Lista 5 - Conjuntos Fechados, Abertos, Limitados e Compactos.

Lista 5 - Conjuntos Fechados, Abertos, Limitados e Compactos.
Exercício 1. Seja (X, d) um espaço métrico. Mostre que, se p ∈ X é um ponto de acumulação de um conjunto
E ⊆ X então, para todo r > 0, a bola B(p; r) contém infinitos pontos de E.
Exercício 2. Seja (X, d) um espaço métrico e K ⊆ X um subconjunto compacto de X. Mostre que, se E ⊆ K é um
conjunto com infinitos pontos, então E adimite um ponto de acumulação em K.
Exercício 3. Seja (X, d) um espaço métrico e E ⊆ X. Mostre que, se E ⊆ F e F é um conjunto fechado, então
Ē ⊆ F , onde Ē denota o fecho de E.
Exercício 4. Num espaço métrico (X, d), se a seguinte relação é satisfeita E ⊂ F ⊆ Ē, onde Ē denota o fecho de E,
então dizemos que E é denso em F . Por exemplo, o conjunto dos números racionais Q é denso em R. Mostre que, se
E é denso em F e F é denso em G, então E é denso em G.
Exercício 5. Seja (X, d) um espaço métrico e E ⊆ X. Mostre que o conjunto de todos os pontos de acumulação de
E, denotado por E 0 é um conjunto fechado.
Exercício 6. Seja (X, d) um espaço métrico e E ⊆ X. Mostre que o complemento de E o é o fecho do complemento
de E.
Exercício 7. Mostre que a interseção arbitrária de conjuntos compactos de um espaço métrico (X, d) é um conjunto
compacto.
Exercício 8. Construa em R um conjunto limitado com exatamente três pontos de acumulação.
Exercício 9. Apresente um conjunto compacto E ⊆ R tal que E 0 é um conjunto enumerável infinito.
Exercício 10. Apresente uma cobertura aberta para o intervalo aberto (0, 1) que não adimite uma subcobertura finita.
Conclua que (0, 1) não é um conjunto compacto em R.
Exercício 11. Seja E ⊆ R um conjunto não-vazio limitado superiormente. Mostre que sup E ∈ Ē.
Exercício 12. Mostre que, se {In }∞
n=0 é uma família de intervalos fechados de R tais que In+1 ⊆ In para todo
n ∈ Z+ , então ∩∞
I
é
um
conjunto
não-vazio.
n
n=1
Exercício 13. Seja {Eα }α∈A uma coleção arbitrária de subconjuntos de Rn e defina
[
\
S=
Eα e T =
Eα .
α∈A
α∈A
Prove ou de um contra-exemplo para cada uma das seguintes afirmações:
a) Se x é um ponto de acumulação de T , então x é um ponto de acumulação de cada um dos conjuntos Eα .
b) Se x é um ponto de acumulação de S, então x é um ponto de acumulação de pelo menos um conjunto Eα .
Exercício 14. Considere o conjunto dos números racionais Q como um espaço métrico com a distância d(p, q) =
|p − q| para todo p, q ∈ Q. Seja E o conjunto de todos os racionais p tais que 2 < p2 < 3. Mostre que E é fechado e
limitado em Q, mas que Q não é um conjunto compacto. O conjunto E é aberto em Q? Justifique sua resposta.
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