pcna-física elementar

Física
Elementar
Material
Didático
Equipe de Física:
(PCNA Fevereiro de 201)



Alexandre Guimarães Rodrigues
(Coordenação)
Rosana Paula de Oliveira Soares
José Benício da Cruz Costa
(Orientação)
Monitores:
Fevereiro 2014
Universidade Federal do Pará





Moisés Andrade de Jesus
Rodrigo de Souza Batista
Anderson Silva Tavares
Horácio Lisboa
Paulo Henrique Marinho Rodrigues
Equipe de Professores

Alexandre Guimarães Rodrigues
(Coordenação Geral)
Matemática:




Rosana Paula de Oliveira Soares
(Coordenação)
Alessandra M. de Souza Lopes
Rita de Cássia Carvalho Silva
Química:



Shirley Cristina Cabral Nascimento
(Coordenação)
Marlice Cruz Martelli
Ana Rosa C.L.M. Duarte
Física:



Alexandre Guimarães Rodrigues
(Coordenação)
José Benício da Cruz Costa
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Sumário
1.CIÊNCIAS,
GRANDEZAS
FÍSICAS,
UNIDADES...........................................................3
1.1OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .........3
1.2 A NATUREZA DA FÍSICA ......................3
3.5 ACELERAÇÃO .................................... 23
3.5.1 ACELERAÇÃO MÉDIA E
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA................. 23
3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA
ACELERAÇÃO CONSTANTE ................... 23
1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES................3
3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA
CINEMÁTICA ............................................ 23
1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL .......................3
3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE .............. 24
1.5 CONVERSÃO DE UNIDADES ...............4
3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E
DA ACELERAÇÃO .................................... 26
1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS
SIGNIFICATIVOS.........................................5
1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
BÁSICAS .....................................................6
4. NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL NA CINEMÁTICA .......................... 27
4.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ..... 28
2.
ANÁLISE VETORIAL BÁSICA ................8
4.2 COEFICIENTE ANGULAR E
INCLINAÇÃO
....................................... 29
2.1OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .............8
4.3 CONCEITO ......................................... 30
2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES ..8
4.4 NOTAÇÕES ........................................ 31
2.3 ESCALARES E VETORES ....................8
4.5 PROPRIEDADES DA DERIVADA........ 32
2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES...9
4.6 APLICAÇÃO NA FÍSICA ..................... 33
2.5 COMPONENTES DE UM VETOR ........ 11
4.7 APLICAÇÃO NA ENGENHARIA ......... 34
2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES
................................................................... 12
4.8 INTEGRAL .......................................... 35
2.7 OPERAÇÕES COM VETORES ........... 14
4.9 OBJETIVO..........................................36
2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ...... 14
4.10 CONCEITODE INTEGRAL ................ 37
2.9 EXERCÍCIOS ....................................... 17
4.11 NOTAÇÃO ......................................... 38
3. CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D)...20
3.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ...... 20
4.12 PROPRIEDADES DA INTEGRAL ...... 39
4.13 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA ......... 40
3.2 REFERENCIAIS ................................... 20
3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ........... 20
5. LEIS DE NEWTON ....................................... 41
3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR
VELOCIDADE ............................................ 21
5.1 1ª. LEI DE NEWTON ........................... 42
5.2 2ª. LEI DE NEWTON ........................... 43
3.4.1 GRANDEZAS ESCALARES E
VETORIAIS: .............................................. 21
5.2.1 RELAÇÃO ENTRE FORÇA E
ACELERAÇÃO .......................................... 44
3.4.2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA...... 21
5.3 3ª LEI DE NEWTON ............................ 45
3.4.3 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA ..... 22
5.4 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ........... 46
3.4.4 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA
................................................................... 22
5.5 EXERCÍCIOS ....................................... 47
3
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
6. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON ...... 48
6.1 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM ........ 49
6.2 FORÇA GRAVITACIONAL ................... 50
6.3 FORÇA NORMAL ................................. 51
6.4 ATRITO ................................................ 52
6.5 TENSÃO............................................... 53
6.6 EXERCÍCIOS ....................................... 54
REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS...................67
4
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
1.CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS E
UNIDADES.
grande parte do mundo, o sistema padrão
1.1
Internacional ou SI. Existem outros sistemas
utilizado
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:
é
como
Sistema
como CGS e o sistema de Engenharia Britânico
VOCÊ APRENDERÁ:
(BE).

O conceito de física e a sua natureza.

As grandezas fundamentais e as unidades
UNIDADES
usadas pelos físicos para medi-las.
Comprimento
SI
CGS
Metro(m)
Centímetro
BE
Pé(ft)
(cm)

Análise dimensional.

Conversão de unidades e como não
Massa
significativos nos seus cálculos.
Quilograma
Grama(g)
Slugs(sl)
Segundo(s)
Segundo
(kg)
perder de vista os algarismos mais

conhecido
Tempo
Segundo(s)
Conceitos básicos de trigonometria.
(s)
1.2 A NATUREZA DA FÍSICA:
RELAÇÕES IMPORTANTES
A ciência e a engenharia se baseiam em
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
medições e comparações. Assim precisamos de
1 kg = 1000 g
regras para estabelecer de que forma as
1 ton = 1000 kg
grandezas devem ser medidas e comparadas, e
1 h = 60 min = 3600 s
de experimentos para estabelecer as unidades
para essas medições e comparações. A física é
uma ciência experimental, e assim como a
1 min = 60 s
Tabela 1.1 – Relações entre os diversos sistemas de
unidades
química e a matemática, forma a base de todas
as
engenharias.
Nenhum
engenheiro
pode
projetar uma tela plana de TV, uma nave
espacial, um reator ou até mesmo uma ratoeira
mais eficiente, sem antes entender os princípios
básicos da física.
1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES:
1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL:
Em física, o termo dimensão é usado para se
referir à natureza física de uma grandeza. A
preocupação com a dimensionalidade de uma
grandeza ou de uma fórmula antecede a questão
da unidade usada. Por exemplo, para medir a
Os experimentos físicos exigem medidas, e
normalmente usamos números para descrever os
resultados das medidas. Qualquer número usado
para descrever um fenômeno físico denomina-se
grandeza física. Por exemplo, duas grandezas
físicas para descrever você são o seu peso e a
distância entre dois objetos podemos utilizar fita
métrica graduada em centímetro, decímetro ou
metro. Entretanto, ninguém discute que essa
medida deverá ser feita a partir de uma unidade
de comprimento. Em outras palavras, a análise
dimensional é usada para verificar relações
sua altura. Para cientistas e engenheiros, em
5
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matemáticas quanto à consistência das suas
fórmula em questão. Portanto, toda fórmula,
dimensões.
independentemente do contexto em questão,
Na mecânica, parte da Física que envolve a
cinemática e a dinâmica, a totalidade dos
conceitos básicos dessa área pode ser expressa
em termos de uma combinação de dimensões
fundamentais. São elas:

Comprimento [L],

Tempo [T],

Massa [M]
deve ser dimensionalmente consistente. Caso
contrário deve ser reanalisada ou simplesmente
descartada. Lembre-se disso ao final das suas
resoluções de problemas e exercícios!
Para a equação
,temos:
[L] =[ ] . [T] [L] = [L]
A dimensão em ambos os lados coincidem, logo
Exemplo: Considere um carro que parte do
repouso e acelera até uma velocidade v em um
essa equação está dimensionalmente correta.
1.5 CONVERSÕES DE UNIDADES
tempo t. Desejamos calcular a distância x
percorrida pelo carro, mas não temos a certeza
de se a relação correta é x = .v.t² ou x = .v.t.
Podemos verificar as grandezas em ambos os
lados da equação para vermos se possuem as
mesmas dimensões da seguinte maneira:
Na equação
, aplicamos as dimensões
Uma vez que qualquer grandeza pode ser
medida em diferentes unidades é importante
saber como converter um resultado expresso em
uma unidade(s) para outra(s) unidade(s). A
conversão pode envolver uma única unidade,
como por exemplo, converter 1km para metros,
1km = 103m. Pode também envolver mais de uma
unidade. Por exemplo, converter uma velocidade
[L], [T], teremos:
dada em km/h para m/s. Neste caso, precisamos
expressar quilômetro em metros e hora em
[L] = [ ].[T]²  [L]= [L].[T]
segundos. Em todos os casos de conversão de
A dimensão do lado esquerdo da equação não
unidades pode-se afirmar que não há nada mais
coincide com a dimensão do lado direito. Logo, a
envolvido que as operações de multiplicação e
relação não está correta, pois não faz sentido
divisão. As regras de conversão podem ser
trabalharmos com uma fórmula do tipo POSIÇÃO
sintetizadas a partir de um cálculo simples
=
medindo
envolvendo regra de três. É necessário que se
posição ou velocidade? Daí a necessidade de
diga, embora óbvio, que só é possível converter
que a dimensão do “lado esquerdo” da fórmula
uma
seja igual à do “lado direito” e, caso seja
sabemos o quanto vale uma unidade de medida
composta por mais de uma parcela, essas devem
em termos da outra e vice-e-versa.
VELOCIDADE.
Afinal,
estamos
unidade
para
outra
unidade
quando
ter a mesma dimensionalidade entre si e a
mesma compatibilidade com a descrição da
Façamos o caso da conversão de velocidade de
km/hm/s. Sabemos que 1 quilômetro possui
6
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1000 metros e que 1 hora possui 3600 segundos
comprimento no sistema métrico inglês. “ft” é a
(60x60s). Logo, 1km/h=1000m/3600s≈0,2778m/s.
contração de feet do idioma inglês que quer dizer
Sabemos quanto vale 1km/h em m/s. E quanto
“pé”. 1 “pé”, ou melhor, 1ft=30,48cm=0,3048m
vale 1m/s em termos de km/h? Vamos para a
regra de três!
1ft = 0,3048m. A pergunta é: quanto vale 3212ft
1 km/h ------ 0,2778 m/s
x
Estratégia de raciocínio:
expresso em metros? Vale x metros. É o que
------- 1 m/s
queremos descobrir. Vamos montar nossa regra
A leitura é feita da seguinte forma: 1km/h vale
de três!
0,2778m/s. 1m/s (que ainda não sabemos quanto
1 ft ------ 0,3048 m
vale em km/h) em termos de km/h vale x
(incógnita).
Em
seguida
fazemos
3212 ft ------ x
uma
multiplicação em diagonal (repare que de um lado
A regra de três foi montada corretamente. Agora
temos somente uma unidade (km/h) e do outro
é só fazer a multiplicação em diagonal e isolar o
lado somente a outra unidade (m/s)). Assim
fator x.
ficamos com
3212ft.0,3048m = x.1ft
1km/h.1m/s = x.0,2778m/s
x = 979,0m
Para finalizar passamos dividindo o termo que
está multiplicando x.
Não se esqueça de fazer o corte nas dimensões
também! ft do lado esquerdo corta com ft do lado
direito da equação e a resposta é dada em
metros, conforme desejamos.
Portanto, x, que é igual a 1 km/h escrito em
termos de unidade de velocidade em m/s vale
1.6
INCERTEZAS
E
ALGARISMOS
SIGNIFICATIVOS
3,6m/s.
As medidas sempre envolvem incertezas. Em
A forma de montar uma regra de três é sempre
simples. Mas atenção! Fazer uma mudança de
unidades não altera a dimensão da grandeza que
você está trabalhando!
muitos casos, a incerteza de um número não é
apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é
indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou
algarismos significativos, do valor da medida. Por
Exemplo 1: A maior queda d’água do mundo é
exemplo, medimos a espessura da capa de um
Salto do Anjo na Venezuela, com uma altura total
livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor
de queda de 3212ft. Expresse esta queda em
apresenta três algarismos significativos. Com
metros.
isto, queremos dizer que os dois primeiros
algarismos são corretos, enquanto o terceiro
Obs.: ft é o símbolo de uma medida de
7
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
dígito é incerto. O último dígito está na casa dos
centésimos,
de
modo
que
a
incerteza
é
aproximadamente igual a 0,01mm.
entre os raios de sol e o chão é de θ = 50,0º,
como mostrado na figura abaixo. Determine a
altura do edifício.
1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS:
A trigonometria é uma área da matemática muito
aplicada na física, sobretudo nos tipos de
problemas tratados pela mecânica. Em especial,
três funções trigonométricas básicas são mais
utilizadas. São essas: o seno, o cosseno e a
tangente de um determinado ângulo. Podemos
Figura 1.2- Edifício Alto e suas projeções.
definir essas funções a seguir em termos de
símbolo que aparecem no triângulo retângulo
abaixo:
Figura 1.1 - Triângulo Retângulo
Estratégia de raciocínio: Desejamos determinar
a altura do edifício. Para isso, analisamos as
informações contidas no triângulo retângulo
sombreado da figura dada. São elas: a altura
como comprimento h0 do cateto oposto ao ângulo
θ, o comprimento da sombra é o comprimento ha
do cateto adjacente ao ângulo θ. Sabemos que a
razão entre o comprimento do cateto oposto e o
comprimento do cateto adjacente é a tangente do
ângulo θ que pode ser usada para se determinar
a altura do prédio.
Pelo teorema de Pitágoras, determina-se que:
Solução: Usamos a função tangente conhecida
da seguinte maneira, com θ = 50,0º e ha = 67,2 m:
h = comprimento da hipotenusa de um triângulo
retângulo
Desse modo:
h0 = comprimento do cateto oposto ao ângulo θ
Assim:
ha = comprimento do cateto adjacente ao ângulo
θ
Em que:
(
(
)(
)(
)
)
O valor de tan 50,0º é determinado usando-se a
calculadora.
O seno, o cosseno e a tangente são números
sem unidades (nem dimensões) porque cada um
é a razão entre os comprimentos de dois lados de
um triângulo retângulo.
Exemplo: Em um dia de sol, um edifício alto faz
sombra de 67,2 m de comprimento. O ângulo
Exemplo: A profundidade de um lago aumenta
gradativamente com um ângulo θ, como indicado
na figura abaixo. Por questões de segurança, é
necessário se determinar a profundidade do lago
em várias distâncias a partir da margem. Para
8
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
fornecer informações a respeito da profundidade,
um guarda-vidas rema até uma distância de 14,0
m da margem em direção ao interior do lago e
solta uma linha de pesca com um peso. Medindo
o comprimento da linha, o guarda-vidas
determina a profundidade como sendo igual a
2,25 m.
a) Qual o valor de θ?
b) Qual seria a profundidade d do lago a uma
distância de 22,0 m a partir da margem?
Solução:
a) Usando
a
função
arco
tangente
conhecida, chegamos a:
(
)
(
)
b) Com θ = 9,13º, a função tangente pode
ser
usada
para
profundidade
determinarmos
desconhecida
a
a
uma
distância maior da margem, onde h0 = d e
ha = 22,0 m. Conclui-se que:
(
)(
)
Temos que 3,54 m é maior que 2,25 m, o que já
era esperado.
Figura 1.3 - Lago e suas projeções.
Estratégia de raciocínio: Podemos observar
que próximo a margem, os comprimentos dos
catetos oposto e adjacente do triângulo retângulo
formado na figura do lago são h0 =2,25 m e ha
=14,0 m, em relação ao ângulo θ. Após a
identificação dessas informações, podemos usar
o arco tangente (tan-1) para determinar o ângulo
do item (a). Para determinar o item (b),
consideramos que os catetos opostos e
adjacentes passam a ser os mais afastados da
margem onde h0 = d e ha =22,0 m. Assim, com o
valor de θ obtido no item (a), a função tangente
pode ser usada para encontrar o valor da
profundidade desconhecida. Considerando a
forma com que a profundidade do lago aumenta
com a distância na figura do lago, é de se esperar
que a profundidade desconhecida seja maior do
que 2,25 m.
9
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
2.
ANÁLISE VETORIAL BÁSICA.
2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
VOCÊ APRENDERÁ:

A diferença entre grandezas escalares e
vetoriais e como somar e subtrair vetores
algebricamente;

O que são as componentes de um vetor e
como usá-las em cálculo;

O que são vetores unitários e como usá-
informação para caracterizar grandezas vetoriais
pode ser dado com a aplicação de uma força
sobre um corpo. De que vale especificar a
magnitude da força que é aplicada sobre um
corpo sem dizer em que direção e sentido a força
é aplicada?
Muitos conceitos da física necessitam de uma
caracterização vetorial completa para ficar bem
definidos. Força é um desses conceitos. Saber
caracterizar e manipular vetores é pré-requisito
indispensável para a formação de qualquer
engenheiro ou profissional da área de exatas.
los.
2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES
2.3 ESCALARES E VETORES
Não é novidade que a física se vale da linguagem
matemática para descrever o mundo natural a
nossa volta. Tal linguagem se mostra adequada
para representar fenômenos naturais ou
produzidos em laboratório e também para
descrever inúmeras situações presentes em
nosso dia-a-dia. Muitos podem achar a linguagem
matemática da qual a física se vale como
abstrata, mas é esta “linguagem abstrata” que
nos ajuda a entender o que se passa ao nosso
redor.
Algumas grandezas físicas como o tempo,
temperatura, volume e massa podem ser
descritas por um único número (incluindo
quaisquer unidades) fornecendo o seu módulo.
Este tipo de grandeza é chamada grandeza
escalar. A grandeza vetorial é uma grandeza
descrita por um módulo, uma direção e um
sentido, e pode, portanto, ser representada por
um vetor. Como exemplo já citado, temos a força
para puxar ou empurrar um corpo. Para
descrever completamente uma força é preciso
fornecer o módulo da força, sua direção e o seu
sentido (empurrar e/ou puxar). No caso do
movimento de um avião, para descrevê-lo é
necessário dizer a velocidade que ele se desloca,
a direção (norte, sul, leste, oeste) e o sentido do
seu movimento. A representação geométrica de
um vetor é dada por uma seta, onde o tamanho
da seta representa o módulo do vetor, a direção e
o sentido da seta fornecem a direção e o sentido
do vetor. Algebricamente, podemos designar um
vetor por uma letra com uma pequena seta (para
a direita) acima da mesma. Outra opção é colocar
a letra que designa o vetor em negrito. Em geral,
ao longo deste material didático faremos opção
pela segunda escolha (em negrito). Para
entendermos melhor os vetores e suas
operações observe a representação do vetor
deslocamento feita na figura abaixo:
Para caracterizar muitos conceitos utilizados na
física basta uma única unidade de medida. Como
exemplos, citamos: temperatura, massa, tempo.
Entretanto, em outros casos precisamos de mais
informações para caracterizar uma grandeza
física útil para descrever uma situação ou
problema de interesse. Por exemplo, ao informar
a localização de um determinado lugar a uma
pessoa, precisamos não apenas informar o
quanto essa pessoa vai andar, mas também para
onde se deve ir. Ou seja, devemos informar a
rota do percurso. Nem percebemos que estamos
lidando com uma grandeza vetorial. Esse
exemplo simples (rota de um percurso) de
tratamento vetorial torna-se imprescindível para o
transporte aéreo. Alguém imagina o voo das
aeronaves sem uma determinação precisa de
rotas aéreas? Outro exemplo simples para
entender a necessidade de haver mais de uma
10
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Trabalharemos com mais detalhes a expressão
analítica do módulo do vetor ao longo do capítulo.
Figura 2.1 - Representação do deslocamento de um
Exemplo Conceitual: Há locais onde a
temperatura é de +20ºC em certa época do ano e
de -20ºC em outra época. Os sinais de mais e de
menos que representam as temperaturas positiva
e negativa implicam que a temperatura é uma
grandeza vetorial?
carro. A flecha neste desenho representa um vetor
deslocamento.
Os vetores podem ser classificados como:
Vetores paralelos - aqueles que possuem a
mesma direção e o mesmo sentido possuindo ou
não mesmo módulo. Se apresentarem mesmo
módulo são iguais.
A
B
Figura 2.2 - Representação de vetores paralelos.
Estratégia de raciocínio e solução: Um vetor
possui uma direção física associada ele, para o
leste ou para o oeste, por exemplo. A pergunta,
então, é se tal direção está associada com a
temperatura. Em particular, os sinais de mais e
de menos que acompanham a temperatura,
implicam este tipo de direção e sentido? Em um
termômetro, os sinais algébricos simplesmente
significam que a temperatura é um número
menos ou maior do que zero em uma escala e
não tem nada a ver com leste, oeste, ou qualquer
outra direção física. A temperatura, então, não é
um vetor. Ela é um escalar, e escalares podem,
às vezes ser negativos.
2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES
Vetores negativos - possuem mesmo módulo e
direção do vetor positivo dado e sentido contrário
a deste vetor.
A
-A
Figura 2.3 - Representação de vetores antiparalelos.
Suponha que uma partícula sofra um
deslocamento
A,
seguido
de
outro
deslocamento B. Podemos representar o
deslocamento total pela letra R que representa o
vetor resultante da soma vetorial ou,
simplesmente, vetor soma. A soma é feita
desenhando a extremidade de um vetor com o
início do outro.
Vetores antiparalelos – possuem a mesma
direção, mas sentidos contrários, possuindo ou
não o mesmo módulo.
O módulo de um vetor é representado da
seguinte forma:
(módulo de A) = |A| = A
Como sabemos da matemática, o módulo fornece
sempre um resultado numérico positivo.
Figura 2.4 - Representação de soma de dois vetores.
R=C=A+B
Uma propriedade importante da soma de dois
vetores é que a ordem em que os vetores são
somados não importa.
11
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
R = A+B = B+A
(lei comutativa)
Podemos também somá-los construindo um
paralelogramo
Figura 2.8 - Representação de soma de dois vetores
antiparalelos.
R = A + (-B)
IMPORTANTE!
“O FATO DE UMA GRANDEZA
SER POSITIVA OU NEGATIVA
NÃO NECESSARIAMENTE
SIGNIFICA QUE A GRANDEZA
É UM ESCALAR OU VETOR!”
2.4.1A Soma de Três ou mais Vetores
Figura 2.5 - Representação de soma de dois vetores
pela regra do paralelogramo.
Quando os dois vetores são perpendiculares
entre si, podemos somá-los aplicando o teorema
de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor
resultante.
Quando existem mais de dois vetores podemos
agrupá-los em qualquer ordem para somá-los.
Assim, se queremos somar os vetores A, B e C,
podemos primeiro somar A e B e depois somar o
resultado a C e também podemos somar o
primeiro B e C e depois somar o resultado a A.
A soma vetorial resultante é a mesma.
R = (A + B) + C = (B + C) + A
(lei associativa)
Figura 2.6 - Representação de soma de dois vetores
perpendiculares.
√| |
| |
| |
A soma de dois vetores paralelos:
2.4.2A Subtração de Vetores
A subtração vetorial é efetuada da mesma foram
que a soma vetorial. Se tivermos dois vetores A e
B fornecendo um vetor resultante C segundo C =
A + B representado na figura (a), podemos
escrever esse resultado como A = C – B, que é
um exemplo de subtração vetorial. Entretanto,
podemos também escrever este resultado como
A = C + (-B) e tratá-lo como uma soma vetorial
representado na figura 2.9.b.
Figura 2.7 - Representação de soma de dois vetores
paralelos.
R=A+B
A soma de dois vetores antiparalelos.
A
R
Figura 2.9.a - Representação de soma vetorial.
-B
12
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
IMPORTANTE!
Figura 2.9.b - Representação de subtração vetorial.
“AS COMPONENTES DE QUALQUER
VETOR PODEM SER USADAS NO
LUGAR DO PRÓPRIO DO VETOR
EM QUALQUER CÁLCULO ONDE
FOR CONVENIENTE FAZÊ-LO!”
2.5 COMPONENTES DE UM VETOR
2.5.1 Componentes Vetoriais
Qualquer vetor pode ser expresso em termos de
suas componentes. Em duas dimensões, as
componentes vetoriais de um vetor A são dois
vetores perpendiculares Axe Ay, que são
chamados de a componente vetorial x e a
componente vetorial y, respectivamente e se
somam vetorialmente de tal forma que A=Ax+ Ay.
Figura 2.10 - Representação de um vetor arbitrário A e
suas componentes vetoriais x e y.
As componentes x e y somadas transmitem o
mesmo significado que o vetor original A.
Podemos determinar as componentes de Aa
partir do triângulo retângulo mostrado na figura
acima da seguinte forma:
Ax= A.cosθ
e
Ay = A.senθ
Onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o
semieixo x positivo e A é o modulo do vetor A.
Uma vez que um vetor tenha sido decomposto
em relação a um conjunto de eixos, as
componentes podem ser usadas no lugar do
vetor, assim:
A=√
e
θ
Exemplo: Um vetor deslocamento r possui um
módulo r = 175,0 m e uma inclinação de 50,0º,
em relação ao eixo dos x como mostrado na
figura abaixo. Determine as componentes x e y
deste vetor.
Figura 2.11 - Representação do vetor deslocamento re
suas componentes x e y.
Estratégia de raciocínio: De acordo com o
nosso conhecimento de trigonometria básica,
podemos observar o triângulo retângulo formado
pelo vetor r e suas componentes x e y. Isto nos
permite aplicar as funções trigonométricas seno e
cosseno para determinar as componentes em
questão.
Solução: A componente y pode ser obtida
usando o ângulo de 50,0º e a seguinte relação:
| |
| |
(
)(
)
Seguindo o mesmo raciocínio, a componente x
pode ser obtida da seguinte maneira:
| |
13
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
| |
(
)(
)
2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES
Outra forma de determinar as componentes é por
meio do ângulo α. Observe:
Sabemos que:
| |
̂ é um vetor unitário adimensional de
comprimento 1 que aponta no sentido positivo do
eixo dos x.
Desse modo:
| |
(
)(
)
| |
(
)(
)
Outro método de expressar componentes
vetoriais consiste em usar vetores unitários. Um
vetor unitário também conhecido como versor é
um vetor que possui um módulo unitário e é
adimensional. Possui a seguinte notação:
O valor de 40,0º foi encontrado por meio do
conhecimento da soma de ângulos internos de
um triângulo que tem que ser igual a 180,0º.
Então como são dados os valores de dois
ângulos é possível determinar o valor do terceiro,
neste exemplo, α.
̂ é um vetor unitário adimensional de
comprimento 1 que aponta no sentido positivo do
eixo dos y.
Representação em duas dimensões:
2.5.2 Componentes Escalares:
As componentes escalares de um vetor são
definidas como números positivos ou negativos.
Seja o vetor A = Ax + Ay. A componente Ax possui
um módulo que é igual a Ax e recebe um sinal
positivo se Ax apontar no sentido positivo do eixo
x e um sinal negativo se apontar no sentido
negativo do eixo x. A componente Ay é definida
seguindo o mesmo raciocínio. Observação
importante: Se o vetor possui dimensão (por
exemplo, dimensão de comprimento como é o
caso de um vetor deslocamento), as
componentes do vetor possuem a mesma
dimensão do vetor.
A tabela abaixo mostra
componentes escalares.
um
exemplo
Componentes vetoriais
Componentes
escalares
Ax= 8 metros na direção Ax= +8 metros
do eixo +x
Ay= 10 metros na direção Ay= - 10 metros
do eixo –y
Tabela 2.1 – Comparação entre componentes
escalares e vetoriais
de
Figura 2.12 - Representação do vetor A em termos
das componentes Ax e Ay escritas em termos dos
versores ̂e .̂
As componentes podem ser escritas como
Ax = Ax ̂ e Ay = Ay ̂. O vetor A é, então, escrito
como:
A =Ax ̂ + Ay ̂.
2.6.1Soma de Vetores e suas Componentes
Uma terceira forma de somar vetores é combinar
suas componentes eixo por eixo. Considere os
vetores A e B e suas respectivas componentes
Ax, Ay e Bx, By. A soma é dada por:
C = A + BC = Cx + Cy
14
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Cx= soma das componentes de A e B no eixo x =
Ax+ Bx
Cy = soma das componentes de A e B no eixo y
=Ay + By
pelo vetor deslocamento B). Determine o módulo,
a direção e o sentido do vetor resultante para a
soma destes dois deslocamentos.
C = Cx + Cy = (Ax+ Bx) + (Ay + By)
Observe as figuras a seguir:
Figura 2.13 - Representação de vetores A e B
fornecendo o vetor resultante C= (C = A + B) e as
componentes vetoriais de A e B.
Figura 2.14 - Representação de um vetor resultante C
em função de suas componentes C = Ax+ Bx+ Ay+ By
Figura 2.16 - Representação de vetor A e B somados
fornecendo o vetor resultante C.
Estratégia-raciocínio: Temos os vetores A e B.
A figura dada nos mostra os vetores A e B,
Suponhamos que o eixo y coincide com a direção
norte. O primeiro passo é decompor cada um dos
vetores nos eixos escolhidos para compor o
sistema de coordenadas. Com isso achamos as
componentes Ax,Bx e Ay,By. Em seguida fazemos
a soma para determinar a resultante em cada
eixo. Tendo a resultante para cada eixo
aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar
o eixo e relações da trigonometria para
determinar direção e sentido do vetor resultante.
Solução: Com as informações dadas na figura,
montamos a seguinte tabela:
Figura 2.15 - Representação de um vetor C e suas
componentes (C = Cx + Cy) formando um triângulo
retângulo.
Exemplo: Um corredor se desloca 145 m numa
direção nordeste, que faz 20º com a direção norte
tomado no sentido horário (representado pelo
vetor deslocamento A) e depois 105 m em uma
direção sudeste fazendo 35,0º com a direção
leste também no sentido horário (representado
Vetor
A
Componente x
Componente y
Ax= (145 m) sen 20,0º
= 49,6m
Ay= (145 m) cos 20,0º=
136 m
B
Bx= (105 m)
35,0º= 86,0 m
By= -(105 m) sen 35,0º
= -60,2 m
C
Cx= Ax+ Bx= 135,6 m
cos
Cy= Ay+ By= 76 m
Tabela 2.2 – Componente de vetores
A terceira linha da tabela fornece as
componentes x e y do vetor resultante C: Cx= Ax+
Bxe Cy= Ay+ By. A figura seguinte nos mostra o
15
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
vetor resultante C e suas componentes vetoriais.
E aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo fornecido pela mesma, temos:
Figura 2.17 - Representação de um vetor resultante C
formando um triângulo retângulo com suas
componentes.
Desse modo:
| |
√| |
| |
√(
)
(
)
| |
O ângulo θ que C faz com o eixo x é:
(
)
(
)
2.7 OPERAÇÕES COM VETORES
Do ponto de vista operacional (algébrico), lidar
com
vetores
significa
independente
da
representação matemática em que o vetor é
dado, combiná-los segundo regras de soma e
multiplicação. Mais explicitamente, significa:
saber como se processa a operação de soma
algébrica entre dois ou mais vetores; o que
acontece quando se multiplica um vetor por um
escalar; e como se dão os dois tipos de produtos
envolvendo vetores (veremos a seguir).
Significado de somar vetores algebricamente:
Suporte operacional à regra do paralelogramo
Multiplicar um vetor por um escalar  altera a
magnitude; não altera a direção; pode alterar o
sentido (a depender do sinal do escalar).
IMPORTANTE!
SE O ESCALAR NÃO FOR
ADIMENSIONAL, O RESULTADO
DIMENSIONAL DO PRODUTO É
ADIMENSÃO DO ESCALAR
MULTIPLICADA PELA DIMENSÃO
DO VETOR.
Fórmulas, cálculos e conceitos fundamentais da
física são definidos em termos de produtos de
vetores. Porém, o leitor talvez esteja se
perguntando por que há dois tipos de
multiplicação entre vetores. O que podemos
afirmar com segurança é que ambos são bem
definidos do ponto de vista matemático e servem
a propósitos diferentes, porém igualmente
importantes.
Em linguagem livre, o produto escalar é uma
maneira de dizer o quanto um vetor é “parecido”
com o outro. Um produto escalar igual a zero
entre dois vetores não nulos nos permite afirmar
que esses vetores são ortogonais entre si.
Podemos dizer neste caso que “um vetor não tem
nada haver com o outro”(você talvez já tenha
ouvido alguém dizer que Fulano e Cicrano(a) são
ortogonais. Se eles não forem parecidos em
nada, do ponto de vista matemático a afirmação
faz sentido!). Conforme o nome expressa, o
produto da multiplicação escalar entre dois
vetores fornece como resultado uma grandeza
escalar.
O produto vetorial entre vetores pode ser
pensado como uma maneira engenhosa de
definir um produto entre dois vetores resultando
em outro vetor. Veremos que além dessa
operação ser correta do ponto de vista
matemático é também muito útil para a física.
Veremos, tanto no contexto da cinemática quanto
no da dinâmica, vetores sendo expressos como
resultado de produto vetorial entre dois vetores.
16
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Existem três formas de multiplicar vetores, porém
nenhuma será igual à multiplicação algébrica.
2.8.1
Multiplicação de um Vetor por Escalar
Podemos multiplicar um vetor arbitrário A por um
escalar (número) w. Dessa operação obtemos um
vetor
resultante
R
com
as
seguintes
características:
| |

| || |
O módulo do vetor resultante é o módulo
que resulta da multiplicação do módulo de A pelo
módulo de w.

A direção do novo vetor é a mesma.

O sentido de R é o mesmo de A se w for
positivo e, sentido oposto se w for negativo.

Para dividirmos A por w, multiplicamos A
Figura 2.18 - Representação da multiplicação de um
vetor por um escalar.
Podemos escrever a equação que define o
produto escalar separando as componentes da
seguinte forma:
A.B = (| |
θ)| | = (cos θ| |)| |
A propriedade comutativa se aplica ao produto
vetorial, desse modo:
A.B = B.A
O produto escalar dos vetores A e B escritos em
termos de seus vetores unitários assume a forma:
A.B = (Ax ̂ + Ay ̂ + Az ̂).(Bx ̂ + By ̂ + Bz ̂)
por 1/w.
2.8.2 Multiplicação de um Vetor por um Vetor
Existem duas formas de multiplicar um vetor por
um vetor: uma forma conhecida como produto
escalar que resulta em um escalar, a outra
conhecida como produto vetorial que resulta em
um vetor.
2.8.3
Produto Escalar
A multiplicação de um vetor por outro vetor
resultando em um escalar é denominada produto
escalar. Dados dois vetores A e B, o produto
escalar é escrito como A.B e definido pela
equação:
A.B = | || |cos θ
Onde | |é o módulo do vetor A, | | é o módulo
do vetor B e θ é o ângulo formado entre os
vetores dados.
Observe a figura a seguir:
Que pode ser expandida aplicando-se a
propriedade distributiva, calculando os produtos
escalares das componentes vetoriais do primeiro
vetor pelas componentes vetoriais do segundo
vetor, resultando em:
A.B = AxBx+ AyBy+ AzBz
IMPORTANTE!
“SE O ÂNGULO θ ENTRE DOIS
VETORES É 0º, A COMPONENTE DE
UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO
É MÁXIMA. SE O ÂNGULO É 90º, A
COMPONENTE DE UM VETOR EM
RELAÇÃO AO OUTRO É NULA. ISSO
TUDO TAMBÉM ACONTECE COM O
PRODUTO ESCALAR.”
Exemplo: Qual é o ânguloθ entre A = 3,0i - 4,0j e
B = -2,0i +3,0k?
Estratégia de raciocínio: Sabemos que o ângulo
entre dois vetores aparece na definição de
produto de escalar: A.B = | || |cos θ.
17
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Solução: Sabemos que | | é o módulo do vetor
A e que é dado por:
| |= √(
)
(
) = 5,0
E que| | é o módulo do vetor B dado por:
| |= √(
)
(
) = 3,61
Podemos calcular o produto escalar escrevendo
os vetores em termos dos vetores unitários e
aplicando a propriedade distributiva:
A.B = (3,0i – 4,0j).(-2,0i + 3,0k)
A.B = (3,0i – 4,0j + 0,0k).(-2,0i +0,0j + 3,0k)
A.B = (3,0i).(–2,0i)+(3,0i).(3,0k)+(-4,0j).(-2,0i)+
A direção do vetor resultante C é perpendicular
ao plano definido por A e B. O seu sentido pode
ser determinado pela Regra da Mão Direita.
Superponha as origens de A e B sem mudar
suas orientações. Já falamos que a direção do
vetor resultante C é perpendicular ao plano
definido por A e B. Se C=AxB, a receita para
determinar o sentido de C é a seguinte. Vá de A
para B pelo menor percurso angular entre os dois
vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem
o menor percurso angular de A para B e o dedo
polegar estendido indica o sentido do vetor
resultante. Se fizermos o mesmo percurso
angular, mas agora de Bpara A, o sentido do
vetor resultante indicado pelo dedo polegar
estendido é invertido conforme indicado na figura
2.19.
(-4,0j).(3,0k)
Em seguida, aplicamos o produto vetorial a cada
termo desta última expressão. O ângulo entre os
vetores unitários do primeiro termo (i e i) é de 0º
e nos demais é de 90º. Assim temos,
A.B = (-6,0).(1)+ (9,0).(0) + (8,0).(0) – (12).(0) = 6,0
Substituindo todos os resultados encontrados na
equação do produto escalar, obtemos,
(
[
2.8.4
(
)(
)
)(
]
)
Produto Vetorial
A multiplicação de um vetor por outro vetor
resultando em um terceiro vetor é denominada
produto vetorial. Dados dois vetores A e B, o
produto vetorial é escrito como AxB. O módulo do
vetor C obtido pelo produto vetorial entre os
vetores A e B é dado por
C = | || |sen θ,
sendo θ o menor ângulo formado entre os vetores
dados, uma vez que sen θ e sen (360º – θ)
apresentam sinais opostos. O produto AxB é lido
como “A vetor B”.
Figura 2.19 – Regra da mão direita
Isso traz uma importante consequência. Vemos
que o produto vetorial entre vetores não é
comutativo. Ou seja, AxB≠BxA. Vemos que o
sentido do vetor resultante é invertido quando
invertemos a ordem do produto (o módulo do
vetor resultante é o mesmo para os dois casos).
Portanto, AxB=-BxA. Vamos então resumir a
toda a informação do produto vetorial entre
vetores numa tabela:
18
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
5.
O produto escalar pode
quantidade negativa? Justifique.
Produto Vetorial C=AxB
| | | || |
Módulo
Direção
Sentido
(função dos módulos dos vetores A
e B e do ângulo entre eles)
Perpendicular ao plano formado
pelos vetores A e B.
Convencionado pela regra da mão
direita. Quatro dedos vão de A para
B pelo menor percurso angular e o
dedo polegar indica o sentido do
vetor resultante.
Tabela 2.3 – Propriedades do vetor C=AxB
IMPORTANTE!
“SE A E B SÃO PARALELOS OU ANTIPARALELOS,
AxB = 0. O MÓDULO DE AxB É MÁXIMO QUANDO A E
B SÃO MUTUAMENTE PERPENDICULARES UM AO
OUTRO.”
2.9
EXERCÍCIOS:
1.
Em 1969, os três astronautas da cápsula
Apollo deixaram o Cabo Canaveral, foram à lua e,
na volta, desceram no oceano Pacífico. Um
almirante cumprimentou-os em cabo Canaveral e
seguiu até o oceano Pacífico em um avião que os
recolheu. Compare os deslocamentos dos
astronautas e do almirante.
2.
Um vetor pode ter módulo igual a zero se
uma de suas componentes for diferente de zero?
3.
É possível que a soma dos módulos de
dois vetores seja sempre igual à soma destes
dois vetores?
4.
Você pode ordenar os acontecimentos no
tempo. Por exemplo, o evento b pode proceder
ao evento c, porém seguir o evento a, dando a
ordenação temporal do evento a, b e c.
Consequentemente, existe um sentido para o
tempo, distinguindo o passado, o presente e o
futuro. Será que o tempo, então, é uma grandeza
vetorial? Se não, por quê?
ser
uma
6.
a) Sendo ⃗ ⃗⃗
, podemos concluir daí
que os vetores são perpendiculares entre si? b)
Se ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗, segue-se daí que ⃗⃗ ⃗ ?
7.
Se ⃗ ⃗⃗
, ⃗ e ⃗⃗ devem ser paralelos
entre si? O inverso é verdadeiro?
8.
Considere dois deslocamentos, um igual a
3 m e um outro de módulo igual a 4 m. Mostre
como os vetores deslocamento podem ser
combinados
de
modo
a
fornecer
um
deslocamento resultante de módulo igual a: a) 7
m; b) 1 m; c) 5 m.
9.
Uma mulher caminha 250 m na direção de
30º a nordeste e em seguida 175 m diretamente
para leste. a) Utilizando métodos gráficos,
determine o deslocamento resultante. b)
Compare o módulo do deslocamento com a
distância que ela caminhou.
10.
Uma pessoa caminha do seguinte modo:
3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e,
finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o
diagrama
vetorial
que
representa
este
movimento. b) Que distância um pássaro deveria
voar, em linha reta, em que direção, de modo a
chegar ao mesmo ponto final?
11.
Quais são os componentes de um vetor ⃗
localizado no plano xy, se sua direção faz um
ângulo de 205º com o eixo x e o seu módulo é
igual a 7,3 unidades?
12.
Um vetor deslocamento r no plano xy tem
um comprimento igual a 15 m e sua direção é
mostrada na figura abaixo. Determine os
componentes x e y deste vetor.
19
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Mostre que: ⃗ ⃗⃗
18.
Uma força de F1, de módulo igual a 2 N
forma um ângulo de 30° com o eixo Ox. Uma
força F2, de módulo igual a 6 N forma um ângulo
de 80° com o eixo Ox. Calcule: (a) o módulo F da
força resultante F; (b) o ângulo formado entre a
resultante e o eixo Ox.
19.
Um vetor A forma um ângulo
com
um vetor B. Sabendo que A = 3 e B = 4, calcule o
módulo do vetor resultante R (unidades de força
em Newton).
13.
Determine, utilizando os vetores unitários,
a) a soma dos dois vetores ⃗
̂
̂ e ⃗⃗
̂
̂. B) Quais são o módulo e a direção do
vetor ⃗ e ⃗⃗?
20.
Um vetor F forma um ângulo
com
um vetor G. Sabendo que F = 5 e G = 8, calcule:
(a) o módulo da resultante R; (b) o ângulo
formado entre a resultante e o vetor F.
14.
No sistema de coordenadas da figura
abaixo, mostre que:
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
ê ̂
̂ ̂ ̂ ̂
15.
Um vetor a de módulo igual a 10 unidades
e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades
apontam para direções que fazem um ângulo de
60º entre si. a) Determine o produto escalar entre
os dois vetores e b) o produto vetorial a x b.
a)
a)
16.
A soma de três vetores é igual a zero, b)
c)
como nos mostra a figura abaixo. Calcule:
a) a x b; b) a x c; c) b x c.
d)
e)
a)
17.
Sejam dois vetores representados em
termos de suas coordenadas como:
̂ e ⃗⃗
̂
⃗
̂
̂
̂
̂
b)
c)
d)
e)
f)
g) 2
Gabarito de Vetores
1ª Questão: conceitual
2ª Questão: conceitual
3ª Questão: conceitual
4ª Questão: conceitual
5ª Questão: conceitual
6ª Questão: conceitual
7ª Questão: conceitual
8ª Questão: a) 7m b) 1m c) 5m
9ª Questão: a) 410,98 m b) 425 m
10ª Questão: a) Gráfico b) 3,19 km
11ª Questão: a) Ax= -6,62Bx=-3,09
12ª Questão: a) Rx= 12,99m Ry= 7,50m
13ª Questão: a) A + B = i + 7j
b) ƖAƖ= 5 a 36° no sentido anti-horário do eixo “x”
positivo, direção nordeste.
c) ƖBƖ=5 a 126° no sentido anti-horário do eixo “x”
positivo, direção noroeste.
14ª Questão: conceitual
15ª Questão: a) A.B= 30 und. b) AxB= 51,96 na
direção: eixo “z”; sentido positivo do eixo “z”
16ª Questão: a) AxB= 12 und. sentido positivo ‘z’.
b) AxC= 12 und. no sentido negativo ‘’z’.
17ª Questão: conceitual.
18ª Questão: a) 7,44 N b) 68,32º
19ª Questão: 6,1 N
20ªQuestão: a) 12,58 N b) 18,54
20
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
3
CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D)
Tópicos:
3.1 Objetivos do Capítulo;
3.2 Referenciais;
3.3 Posição e Deslocamento;
3.4 Velocidade Escalar e Vetor Velocidade;
3.5 Aceleração;
3.6 Equações da Cinemática para Aceleração
Constante;
3.7 Aplicações das Equações da Cinemática;
3.8 Corpos em Queda Livre;
3.9 Análise Gráfica da Velocidade e da
Aceleração;
3.1
OBJETIVOS DO CAPÍTULO:
O capítulo tem por objetivo mostrar como ocorre
o estudo do movimento, introduzindo os
conceitos básicos da cinemática, demonstrando
como as equações podem fornecer informações
valiosas depois de interpretadas, e quais
informações são estas.
É intenção do capítulo discutir conceitos
importantes no movimento, como posição e
deslocamento que são a base para o
entendimento de todo o conteúdo subsequente.
As análises gráficas presentes neste capítulo tem
por objetivo evidenciar o que foi visto nas
equações, facilitando a visualização das
situações abordadas.
3.2
movendo-se
para
baixo
num movimento
retilíneo com velocidade
constante.
Se
o
observador que se encontra dentro dele deixar
cair um objeto, ele cairá normalmente por ação
da força de gravidade normal. Imaginemos agora
que num dado instante há um problema com o
cabo e o elevador entra em queda livre. Se o
observador largar agora o mesmo objeto ele não
cairá. A única diferença em relação ao caso
anterior é que agora o elevador se move com um
movimento uniformemente acelerado (aceleração
constante = g).
No primeiro caso o referencial associado ao
elevador (e ao observador) é referencial
inercial (ou galileano, por esta noção ter sido
introduzida por Galileu Galilei). No segundo
caso o referencial é não inercial. A sua principal
característica é que neles aparecerem forças
suplementares designadas por forças de inércia.
Em outras palavras: “Um referencial é
denominado referencial inercial se nele a
primeira lei de Newton é válida”.
3.3
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO:
Localizar um objeto significa determinar sua
posição em relação a um referencial. Nos
problemas de física, normalmente a origem (ou
ponto zero) de um eixo cartesiano ou linear serve
como referência.
Ex:
REFERENCIAIS:
Referencial é o padrão tomado como guia para
as observações. Por exemplo, imagine que você
está no banco de trás de um carro a 60 Km/h.
Para o motorista, você está parado, com
velocidade igual a 0km/h. Já para alguém que te
observa da calçada, você está se locomovendo a
60 Km/h. Assim, tanto o motorista como o
observador da calçada são referenciais, o que
nos permite dizer que a velocidade é relativa.
Os referenciais não são todos equivalentes.
Imaginemos que nos encontramos num elevador
Figura 3.1- Indicação de Referencial
O Deslocamento é um vetor que aponta da
posição inicial para a sua posição final e possui
um módulo igual à menor distância entre as duas
posições.
Unidade SI de Deslocamento: Metro.
Assim, o deslocamento é a diferença entre x e xo
∆x = x - xo ;
21
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Onde:
∆x – Deslocamento;
xo – Posição inicial;
x – Posição Final.
3.4
Atenção: Deslocamento e espaço percorrido são
diferentes.
Grandeza escalar é uma grandeza que é
determinada apenas por um valor numérico
chamado
de
módulo.
Por exemplo, um carro se move a 100 km / h.
Nesse caso, o movimento do carro é tratado
como
Grandeza
Escalar.
Não dizemos de que maneira ele está se
movimentando.
Exemplo1: Suponha que um avião esteja se
movendo no sentido Leste-Oeste e que um sinal
positivo (+) seja usado para representar o sentido
para leste. Então, ∆x = +1000 m representa um
deslocamento que aponta para o leste e possui
módulo igual a 1000 metros. Já ∆x = - 1000 m é
um deslocamento para o oeste, com módulo
também igual a 1000 metros.
Exemplo2: O mesmo avião do exemplo anterior
voa primeiramente 1000 m para o leste, depois
retorna a cidade de onde decolou. Neste caso o
deslocamento será nulo ∆x = 0 m, porém o
espaço percorrido pelo avião será 2000 metros
Exercício Resolvido:
(Questão – Física, Cutnell & Johnson) Uma
baleia nada em direção ao leste por uma
distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o
oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta
novamente e se dirige 3,7 km para o leste. (a)
Qual a distância total percorrida pela baleia? (b)
Qual o módulo, a direção e o sentido do
deslocamento da baleia?
Raciocínio: A distância percorrida será a soma
das distâncias percorridas pela baleia, já o
deslocamento será a soma atribuindo sinais de
acordo
com
o
sentido:
(a) 6,9 km + 1,8 km + 3,7 km = 12,4 km
(b) Para o leste será atribuído o sinal positivo,
para o oeste será atribuído o sinal negativo.
∆x=+6,9km–1,8km+3,7km=+8,8km
8,8 km para leste.
VELOCIDADE
ESCALAR
E
VETOR
VELOCIDADE:
3.4.1 Grandezas Escalares e Vetoriais:
Já a grandeza vetorial é uma grandeza que, além
do módulo, é determinada por uma direção e um
sentido.
Por exemplo, um carro se move na direção
horizontal, da esquerda para direita e a 100 km/h.
Nesse caso, o movimento do carro é tratado
como uma Grandeza Vetorial, com módulo,
direção e sentido.
→100km/h
Essa seta chamada vetor (→) é o ente usado
para determinar as Grandezas Vetoriais.
Ele determina a direção (horizontal, vertical ou
inclinada), determina o sentido (da esquerda para
a direita ou da direita para a esquerda), e
determina o módulo de acordo com o seu
comprimento (quanto maior o vetor, maior é o
módulo).
3.4.2 Velocidade Escalar Média:
A velocidade escalar média é a razão entre o
espaço percorrido e o tempo gasto para realizálo.
V escalar media=
Unidade SI de
segundo (m/s).
(3.1)
Velocidade:
Metros
por
Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Que distância um
corredor percorre em 1,5h (5400 s) se a sua
velocidade escalar média for de 2,22 m/s?
22
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Raciocínio: A velocidade escalar média é a
distância total percorrida pelo corredor durante o
intervalo de tempo em que corre, ou seja, a
distância percorrida total é a velocidade escalar
média multiplicada pelo número de segundos que
ele corre.
Distância = (Velocidade escalar média)x(Tempo
transcorrido) = 2,22x5400 = 12000 metros.
3.4.3 Velocidade Vetorial Média:
A velocidade vetorial média é a razão entre o
vetor deslocamento e o tempo transcorrido (∆t).
̅
̅ ̅
̅
(3.2)
O vetor velocidade média é um vetor que aponta
na mesma direção e no mesmo sentido que o
deslocamento. O vetor velocidade de um carro
pode apontar apenas em um sentido ou no
sentido contrário. Do mesmo modo que o
deslocamento, usaremos os sinais de mais e de
menos para indicar os dois sentidos possíveis
para uma dada direção.
3.4.4 Vetor Velocidade Instantânea
Que significa "velocidade num dado instante
t?
Para ilustrar este conceito, vamos parafrasear
uma anedota utilizada por Feynman em seu
curso e transcrita no excelente livro texto
(NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS).Essa anedota é
contada na forma de um diálogo fictício entre um
estudante representado por E (que estava
dirigindo seu carro de forma a não chegar
atrasado na aula de física) e o guarda
representado por G(que o fez parar, acusando-o
de
excesso
de
velocidade)
G.: O seu carro estava a 120 km/h, quando o
limite de velocidade aqui é de 60 km/h!
E.: Como é que eu podia estar a 120 km por hora
se só estava dirigindo aqui há cerca de 1 minuto,
e
não
durante
uma
hora?
G.: O que quero dizer é que, se continuasse em
frente do jeito que estava, teria percorrido 120 km
em
uma
hora.
E.: Se tivesse continuado sempre em frente, eu
teria ido bater no prédio da Física!
G.: Bem, isso seria verdade se tivesse seguido
em frente por uma hora. Mas, se tivesse
continuado em frente por 1 minuto, teria
percorrido 120 km/60 =2 km, e em 1s teria
percorrido 2 km/60 = 33,3 m, e em O,ls teria
percorrido 3,33 m, e teria dado perfeitamente
para
prosseguir
durante
0,1
s.
E.: Mas o limite de velocidade é de 60 km/h, e
não
de
1,66m
em
0,1s!
G.: É a mesma coisa: o que conta é a velocidade
instantânea.
Em parte, o estudante E. também tem um pouco
de razão: é permitido exceder o limite de
velocidade em intervalos de tempo extremamente
curtos, como nas ultrapassagens.
A velocidade de um carro usualmente não sofre
nenhuma alteração apreciável em intervalos de
tempo < 0,1 s, de modo que não é preciso, neste
exemplo, tomar intervalos menores. Se
necessário,
para
calcular
a
velocidade
instantânea com precisão cada vez maior,
poderíamos considerar o espaço percorrido em
10-2 s, 10-3 s,... Quanto menor ∆t (e em
conseqüência também o ∆x correspondente),
mais o valor de ∆xI∆t se aproxima da velocidade
instantânea. (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS).
Caso o leitor não tenha visto o conceito de
derivada, um conselho: Não se preocupe!
Retomaremos o estudo do cálculo diferencial e
integral no capítulo 5.
A velocidade em um dado instante é obtida a
partir da velocidade média reduzindo o intervalo
de tempo
até torná-lo próximo de zero. À
medida que
diminui, a velocidade média se
aproxima de um valor-limite, que é a velocidade
instantânea:
(
)
v é a taxa com a qual a posição x está variando
com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a
derivada de x em relação a t.
A
Velocidade
escalar
instantânea,
ou
23
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da
3.6
velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de
ACELERAÇÃO CONSTANTE
qualquer indicação de direção.
3.5
ACELERAÇÃO:
3.5.1 Aceleração
média
e
aceleração
instantânea:
Quando a velocidade de uma partícula varia, dizse que a partícula foi acelerada (ou foi
acelerada). Para movimentos ao longo de um
eixo, a aceleração média amed em um intervalo
de tempo ∆t é:
(
Unidade SI de aceleração:
segundo ao quadrado (m/s²)
EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA
As equações da cinemática descrevem como o
corpo em movimento se comporta em função do
tempo, se ele está aumentando sua velocidade
(acelerado), se está diminuindo (desacelerado),
ou ainda, onde ele se encontrará num
determinado tempo x, e até mesmo é possível
saber qual a velocidade do corpo em função do
deslocamento.
Nos casos onde a aceleração é constante, a
aceleração instantânea é igual à aceleração
média.
Então
temos
na
tabela
a
seguir:
)
metros
por
Onde a partícula tem velocidade v1 no instante t1
e velocidade v2 no instante t2. A aceleração
instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é
dada por:
(
)
Figura 3.2 – Fórmulas para aceleração constante.
Essas equações são somente para o caso da
aceleração constante.
Como:
(
)
3.7
APLICAÇÕES
DAS
EQUAÇÕES
DA
CINEMÁTICA
Então:
(
)
Ou seja, a aceleração de uma partícula em
qualquer instante é a derivada segunda da
posição x(t) em relação ao tempo. A aceleração
também é uma grandeza vetorial.
Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Uma espaçonave
está viajando com uma velocidade de +3250 m/s.
Subitamente, os retrofoguetes são disparados e a
espaçonave começa a reduzir sua velocidade
com uma (des)aceleração cujo módulo é igual a
10,0 m/s². Qual a velocidade da espaçonave
quando o deslocamento da nave é igual a +215
km, em relação ao ponto no qual os retrofoguetes
começaram a atuar?
Raciocínio: Como a espaçonave está reduzindo a
sua velocidade, o vetor aceleração deve ser
contrário ao vetor velocidade.
24
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Dados:
∆x = +215 000 m
O deslocamento para o primeiro segmento foi
fornecido, para o segundo segmento pode ser
determinado sabendo a velocidade inicial para
esse segmento.
v=?
v0 = +3250 m/s
t = não fornecido
Solução:
da
concluímos que:
Para o primeiro segmento:
x = 120 m
equação
,
v=?
v0 = 0 m/s
t = não fornecido
Da equação
√
=
(
√
temos:
√
)
√
= + 2500 m/s
= - 2500 m/s
2
Exemplo : Uma motocicleta, partindo do repouso,
possui aceleração de +2,6m/s². Após ter
percorrido uma distância de 120 m, a motocicleta
reduz sua velocidade, com uma aceleração de 1,5 m/s², até que a sua velocidade seja igual a
+12 m/s. Qual o deslocamento da motocicleta?
(
)
= 25 m/s
Agora podemos usar +25 m/s como a velocidade
inicial para o segundo segmento. Para o segundo
segmento:
x=?
v = +12 m/s
v0 = +25 m/s
t = não fornecido
Raciocínio: O deslocamento total é a soma dos
deslocamentos
para
o
primeiro
segmento
(acelerado) e o segundo (desacelerado).
Da
equação
temos:
(
)
O deslocamento total do motociclista é igual a
120m+160m=280m.
25
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
3.8
CORPOS EM QUEDA LIVRE
Se você arremessasse um objeto para cima ou
para baixo e pudesse de alguma forma eliminar o
efeito de resistência do ar sobre o movimento,
observaria que o objeto sofre uma aceleração
constante para baixo que independe das
características do objeto (como massa,
densidade e forma) e, portanto, é igual para todos
os objetos. Essa aceleração é conhecida como
aceleração em queda livre, representada pela
letra g. Uma pena e uma bola de golfe
abandonadas no vácuo a partir de uma mesma
altura sofrem a mesma aceleração, e por isso
caem ao mesmo tempo no chão.
Em primeira aproximação, a aceleração em
queda livre é constante para qualquer ponto
próximo à superfície da Terra e possui valor igual
a g = 9,8 m/s².Temos então que todas as
equações para a aceleração constante são
válidas.
Exemplo1: (Halliday) Um jogador de beisebol
lança uma bola para cima no eixo y, com
velocidade inicial de 12 m/s (a) Quanto tempo a
bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual a
altura máxima alcançada pela bola em relação ao
ponto de lançamento?(c) Quanto tempo a bola
leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto
inicial?
Raciocínio: (a)Entre o instante em que a bola é
lançada e o instante em que volta ao ponto de
partida sua aceleração é constante = g.
(b) Na altura máxima v = 0 m/s, então:
(
)
( )
(c)
(
)
Resolvendo esta equação do segundo grau,
obtemos:
Existem dois tempos possíveis, pois a bola passa
duas vezes pelo ponto y = 5,0 m, uma vez na
subida e outra na descida. Como podemos ver no
gráfico abaixo da função que descreve o
movimento ( )
.
Altura vs Tempo
8
7
Altura (m)
6
5
4
3
2
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Tempo (s)
Gráfico 3.1 – Altura x Tempo
26
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
3.9
ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO
Figura 3.3 - Análise Gráfica Da Velocidade X Tempo
Na figura acima o ciclista passa por três fases, na
primeira ele está com velocidade positiva, na
segunda está em repouso e na terceira está
voltando com velocidade negativa.
As velocidades médias para os três segmentos
são:
(1): ̅
(2): ̅
(3): ̅
Gráfico 3.2 – Posição x Tempo
O gráfico acima foi desenhado para aceleração
constante
,
levando
em
consideração a equação
. Para
27
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
determinação da velocidade tiramos a tangente
em um determinado ponto (ou derivamos).
v0= 0 m/s,
( )
.
Derivando temos:
( )
( )
.
Velocidade vs Tempo
Velocidade (m/s)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
Tempo (s)
8
10
Gráfico 3.3 – Velocidade x Tempo
Para
( )
temos:
(
)(
)
.
É fácil notar que a velocidade aumenta
uniformemente no decorrer do tempo, o que
caracteriza uma aceleração constante.
28
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
4
NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL NA CINEMÁTICA:
Tópicos:
4.1 Objetivos de Aprendizagem;
4.2 Coeficiente Angular e Inclinação;
4.3 Conceito;
4.4 Notações;
4.5 Propriedades da Derivada;
4.6 Aplicação na Física;
4.7 Aplicação na Engenharia;
4.1
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
do estudo do movimento visto no ensino médio.
Esses
assuntos
serão
revisitados
progressivamente de modo a aproveitar todo o
entendimento adquirido ao longo deste curso.
4.2
COEFICIENTE
ANGULAR
INCLINAÇÃO
Antes de apresentarmos o conceito geométrico
da
derivada,
é
importante
abordarmos
o
coeficiente angular e a inclinação de uma reta.
Como
sabemos
da
geometria
analítica,

Compreender os conceitos da derivada,
principalmente no contexto geométrico;

Saber derivar funções potência;

Conhecer algumas aplicações práticas da
derivada na física e na engenharia.
equação geral de uma reta é da forma:
O entendimento do cálculo diferencial e integral é
muito importante para um estudo mais
aprofundado da física e da engenharia, já que
suas aplicações vão desde o cálculo da
velocidade instantânea de um corpo até a
minimização de custos de um processo qualquer.
O
A intenção neste capítulo é inserir o recurso do
cálculo diferencial e integral no contexto da
cinemática. Para isso forneceremos a definição
de derivada sem a preocupação de sermos
rigorosos. Apresentaremos as características
principais da derivada, principalmente no que diz
respeito à importância do seu significado
geométrico e da implicação operacional desta
operação matemática. A seguir enunciamos
algumas propriedades necessárias para a
utilização da derivada em nível básico. Em
seguida direcionamos o cálculo diferencial para
aplicações na física, principalmente para o uso na
cinemática unificada ao cálculo diferencial e
integral. O aprofundamento da cinemática em
uma e duas dimensões foi desenvolvido nos
capítulos anteriores deste material. Portanto,
espera-se que o leitor esteja mais embasado no
assunto, o que lhe dará o suporte necessário ao
entendimento da cinemática no contexto do
cálculo diferencial e integral, que é uma extensão
E
Onde
é o coeficiente angular e
a
é o coeficiente
linear.
conceito
matemático
intuitivamente
como
que
inclinação
conhecemos
da
reta
é
determinada pelo ângulo (em sentido anti-horário)
que a reta faz com o eixo horizontal orientado da
esquerda
para
a
direita
(seria
o
primeiro
quadrante do círculo trigonométrico). A figura
abaixo, por exemplo, mostra uma reta com
inclinação igual a β:
Figura 4.1 - Reta com inclinação β
A relação entre o coeficiente angular e a
inclinação é
(
)
Assim, se a reta da figura acima tem coeficiente
angular igual a , a relação abaixo é válida:
29
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
( )
Como a tangente de um ângulo maior que 90º é
negativa, retas com tal inclinação (inclinadas para
a
esquerda)
possuem
coeficiente
angular
negativo. A figura abaixo ilustra esse caso, para
uma reta
(coeficiente angular igual a -2):
Figura 4.4 - Reta secante a uma função f(x)
Nota: Reta secante a uma curva é uma reta que
cruza dois ou mais pontos desta mesma curva.
O coeficiente angular da reta secante acima é
dada pela fórmula da geometria analítica:
Figura 4.2 - Reta y = -2x e sua inclinação
Pelas outras propriedades da tangente, podemos
(
(
)
)
( )
criar um esquema geral envolvendo retas com
( )
(
)
coeficiente angular e inclinação diferentes:
Agora, aproximando o ponto x+h do ponto x,
mantido fixo, a reta vai se aproximando de uma
reta tangente em x, ou seja, numa reta que
intercepta a função somente neste ponto, além
de ser “rente” ao gráfico, como segue abaixo:
Figura4.3 - Comparação de inclinação e coeficiente
angular de várias retas
4.3
CONCEITO
Seja uma função
. Traçando uma reta
que intercepta dois pontos quaisquer desta
função, obtém-se uma reta chamada secante,
Figura4.5 - Reta secante se aproximando de uma
tangente
conforme figura abaixo:
Nota: Reta tangente a uma curva é a reta
que intercepta essa mesma curva em somente
um ponto. Assim:
30
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Cruza o
1
variável da qual a função depende. Isso é
2 ou mais
verdadeiramente fundamental! (Acredite)
gráfico em
quantos
É importante ressaltar que a derivada é uma
pontos?
operação pontual, ou seja, a cada ponto de uma
Tipo de
Tangente
função está associada uma única derivada. Daí
Secante
podemos tratar a derivada de uma função como
reta?
sendo uma outra função.
Num caso extremo, com h muito pequeno,
digamos da ordem de 10-20, pode-se considerar a
reta secante praticamente igual a uma tangente.
Nessa situação, seus coeficientes angulares
(inclinações)
serão
próximos
entre
si
e
praticamente iguais à derivada da função f no
4.4
NOTAÇÕES
Em 1695, um matemático alemão chamado
Gottfried Wilhelm von Leibniz, considerado um
dos fundadores do cálculo moderno, criou a
seguinte notação para expressar a derivada:
( )
ponto x, ou seja:
.
Podemos entender
essa notação do
seguinte modo. Sobre a função f(x) atua um
(
( )
)
( )
(
)
objeto matemático (operador) expresso como
.
O resultado dessa operação matemática sobre a
( )
A notação lim indica que a inclinação da curva
função f(x) é escrito então como
secante se aproxima cada vez mais da inclinação
visto
da reta tangente conforme h fica mais próximo de
usada para expressar a derivada de uma função
zero,
f(x) é
ou
seja,
quando
os
dois
pontos
anteriormente,
outra
. Conforme
notação
bastante
( ). Ou seja,
interceptados pela reta secante são praticamente
( )
( )
(
)
coincidentes. Devido à equação acima conter
uma variação em f(x) por uma variação em x, dizse também que a derivada de uma função f em x
O estudo do cálculo diferencial e integral ora em
é igual à taxa de variação instantânea da
curso não objetiva ser definitivo e nem rigoroso a
função neste ponto. Essa questão deve ser
ponto
enfatizada. Pense numa função f qualquer que
usualmente em um curso inicial de cálculo.
dependa de um parâmetro x arbitrário, ou seja,
Entretanto, conforme enfatizamos no início deste
uma função f(x). Vamos supor que alguém
documento, o cálculo diferencial e integral é um
levante a pertinente pergunta: Como a função f
recurso muito importante para o estudo da física.
varia em termos de x? O recurso matemático
Expomos
que permitirá responder essa pergunta é a
cálculo com derivada que serão úteis para o
derivada da função f. Mantenhamos, portanto
nosso estudo.
de
substituir
abaixo
os
algumas
conteúdos
vistos
propriedades
do
em mente que a derivada nada mais é do que a
taxa de variação da função em relação à
31
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
4.5
PROPRIEDADES DA DERIVADA
A seguir, f, u e v são funções de x.
posição de um objeto em função do tempo pode
ser descrita da seguinte forma:
4.5.1 Derivada de uma constante k
( )
O leitor pode estar se perguntando: Por que a
Conforme veremos em breve, a velocidade do
derivada de uma função constante é igual a zero?
objeto é descrita em termos da derivada da
Bem, o que caracteriza uma função constante é
função x(t) que nesse caso será também uma
que independentemente do valor que a variável
função potência.
assume, o valor da função permanece o mesmo,
Muitas vezes precisaremos derivar uma função
conforme gráfico abaixo.
com
mais
de
um
termo.
Outras
vezes
derivaremos uma função multiplicada por um
valor constante. Em virtude disso colocamos as
regras abaixo.
4.5.3 Soma ou Subtração
( )
( )
( )
Figura4.6 - Reta horizontal simbolizando uma função
constante
Vimos que a derivada nada mais é do que a taxa
( )
( )
( )
(
)
A derivada da soma (subtração) é igual à soma
(subtração) das derivadas.
de variação da função. Para o caso da função
constante, a resposta da pergunta “Como varia a
4.5.4 Constante k multiplicando uma função
(
função em termos de x?” é simples. A função
permanece
constante,
ou
seja,
não
varia.
Portanto a taxa de variação da função em
termos de x, ou seja, a derivada, é igual a zero.
( ))
( )
(
)
A derivada obedece, portanto, à propriedade da
distributividade para a soma e subtração. Ou
seja, para calcular a derivada de uma função com
dois ou mais termos, derive cada um dos termos
4.5.2 Derivada de uma função potência em x
( )
, para qualquer n real diferente de
zero
(
)
e depois some tudo. A regra exposta em 4.5.4
expõe que a derivada de uma função f(x)
multiplicada por k é igual a derivada de f(x) vezes
k. Ou seja, a constante fica “esperando” para ser
Escolhemos fornecer a regra da derivada para a
multiplicada pelo resultado da derivada de f(x).
função potência, pois uma grande variedade de
fórmulas importantes para a física é descrita por
Sendo a derivada igual à taxa de variação de
esse tipo de função (também conhecida como
uma função em termos do parâmetro do qual ela
função polinomial). Por exemplo, veremos que no
depende, é pergunta de interesse saber o
estudo do movimento em uma dimensão que a
quanto
varia
a
função
em
um
ponto
específico. Para isso procedemos da seguinte
32
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
forma: Derivamos a função e em seguida
soma) em soma de potências de x, funções cujas
substituímos na derivada da função o ponto
derivadas sabemos calcular (propriedade 4.5.3):
específico
no
qual
estamos
(
interessados.
)
(
Trataremos disso no exemplo abaixo.
(
)
(
)
)
A expressão ficou uma soma de funções, logo, de
acordo com a propriedade 4.5.3, sua derivada
Exemplo 4.1
será a soma das derivadas de cada função:
Seja f(x) um polinômio tal que ( )
Calcule f’(4).
.
(
(
)
)
(
)
(
)
Primeiramente, deve-se calcular a derivada de
f(x) em termos de x para somente depois
(
)
substituir x=4.
A derivada f’(x) recai na propriedade 5.5.3 vista
há pouco, pois podemos encarar f(x) como:
( )
Onde ( )
( )
( )
( )
, ( )
(
)
(
( )
e ( )
)
. Logo:
( )
4.6
APLICAÇÃO NA FÍSICA
Como dito anteriormente, uma
das
várias
interpretações da derivada é a taxa de variação
de uma função num ponto qualquer de seu
domínio.
Dos capítulos anteriores, aprendeu-se que a
velocidade média de uma partícula é
As derivadas de
e
foram calculadas
( )
(
)
seguindo a propriedade 4.5.2. Como 6 é uma
constante, sua derivada é igual a zero, conforme
Vamos analisar um gráfico qualquer posição
versus tempo para discutir a interpretação gráfica
propriedade 4.5.1.
Fazendo x=4 na fórmula de f’(x):
da velocidade média:
( )
OBS: Um erro que as pessoas geralmente
cometem neste tipo de problema é primeiro
substituir x=4 em f(x) e depois derivar a
expressão, que logicamente daria zero por ser
uma constante. O correto é primeiro derivar e
depois substituir.
Figura 4.7 - Interpretação gráfica da velocidade média
O gráfico acima representa a posição de um
Exemplo 4.2
Calcule a derivada de (
) .
R: A solução mais segura neste caso é
desenvolver a expressão acima (quadrado da
objeto em função do tempo. Ressalta-se que o
gráfico mostra a posição do objeto ao longo de
uma linha, ou seja, é um gráfico posição X tempo
33
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
em uma dimensão (chamaremos como 1D). Do
mesmo
gráfico,
extrai-se
informação
da
velocidade com que o objeto vai da posição x(t1)
para a posição x(t2). Em relação ao gráfico
acima, o triângulo formado pela variação
( )
( ), pela variação
e pela
reta que une o ponto (x(t1),t1) ao ponto (x(t2),t2)
é retângulo, logo a tangente do ângulo α
mostrada
na
figura,
também
chamada
de
coeficiente angular da reta que liga x(t1) a x(t2),
pode ser calculada pela razão entre o cateto
oposto e o cateto adjacente:
( )
( )
Mas
essa
é
exatamente
(
expressão
)
da
velocidade escalar média no percurso x(t1) à
x(t2) realizado no intervalo de t1 a t2.
Portanto,
geometricamente,
A reta 1 no gráfico acima é tangente à curva no
instante
t1,
logo,
seu
coeficiente
angular
representa a velocidade instantânea em t1. Os
( )
a
Figura4.8 - Figura anterior para ∆ts cada vez menores
a
velocidade
média do percurso no intervalo de tempo t1 at2
é o coeficiente angular da reta que liga x(t1) a
x(t2).
Conforme a diferença de tempo entre t2 e t1 vai
diminuindo, a velocidade média do percurso
realizado entre esses instantes se aproxima da
velocidade instantânea em t1, de modo que
( )
coeficientes angulares das outras retas são
velocidades médias em intervalos de tempo cada
vez menores a partir de t1. A reta 5, por exemplo,
é a que descreve o menor desses intervalos.
Logo, a velocidade média referente a esse
intervalo deve ser a mais próxima da velocidade
escalar instantânea em t1, o que pode ser
constatado visualmente pela pouca diferença de
inclinação entre essas duas retas. Além disso, se
outras retas descrevessem intervalos de tempo
menores ainda, a tendência seria que suas
inclinações se aproximassem cada vez mais da
reta 1 e, portanto, as velocidades médias dos
seus intervalos de tempo ficariam cada vez mais
( )
(
)
Ou seja, a velocidade instantânea de uma
partícula em um dado instante é igual à derivada
da função espaço nesse mesmo instante.
Voltando ao gráfico acima, ligamos x(t1) a pontos
cada vez mais próximos de t1:
próximos da velocidade instantânea em t1.
Dessa forma, fica evidente a ideia de que a
velocidade
média
vai
se
aproximando
da
velocidade instantânea conforme o intervalo de
tempo vai diminuindo.
O conceito de velocidade instantânea é um pouco
diferente de velocidade média. Enquanto a
velocidade média está relacionada ao quanto um
corpo deslocou em um intervalo de tempo ∆t, a
velocidade instantânea diz respeito à velocidade
34
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
alcançada em um instante t durante o percurso.
Em uma viagem de carro, o velocímetro fornece o
Vamos colocar a diferença conceitual da seguinte
módulo da velocidade do automóvel em todo e
forma. Se você quiser saber precisamente a
qualquer instante. Esse equipamento fornece,
velocidade no exato instante t, digamos t = 4s,
portanto, a velocidade instantânea do automóvel.
então você precisará derivar a função x(t) e
Para encontrar o módulo da velocidade média
substituir t = 4s no resultado da derivada. Se um
no percurso determine a localização do ponto de
objeto estiver em uma posição x1 em um instante
partida e do ponto de chegada do percurso por
t = t1, ou sejax(t1) = x1, e num instante posterior t2
meio de um GPS e com esse aparelho determine
(ou seja, t2> t1) estiver na posição x2, então a
a distância em linha reta entre esses dois
velocidade média do objeto nesse percurso
pontos (ou seja, o deslocamento). Divida o
realizado num tempo finito (ou seja, num
módulo do deslocamento pelo tempo gasto entre
intervalo de tempo ∆t que não tende para zero) é
a partida e a chegada. O resultado dessa razão é
dado simplesmente pela razão do deslocamento
o módulo da velocidade média no trajeto. Para
(mudança de posição) pelo intervalo de tempo
saber qual a velocidade escalar média do
em questão (relembrando que, sendo velocidade
trajeto precisamos da distância percorrida entre
média um vetor sua caracterização completa
os pontos de partida e o ponto de chegada do
depende, além do módulo da determinação de
trajeto. Essa informação pode ser obtida pela
direção e sentido de realização do movimento).
leitura
Embora não seja a intenção deste material definir
(quilometragem no ponto final subtraída da
rigorosamente a operação de diferenciação é
quilometragem no ponto inicial). A velocidade
necessário ressaltar que não é qualquer razão
escalar média é dada pela razão entre distância
entre duas grandezas que pode ser caracterizada
percorrida e o tempo gasto no trajeto. (Nota: O
como derivada. A derivada é definida em termos
deslocamento entre dois pontos não depende do
de um tipo especial de razão obtida a partir de
caminho tomado para se chegar de um ponto a
um processo de limite em que o intervalo de
outro. O mesmo não vale, é claro, para a
variação do parâmetro da função tende para
distância percorrida no trajeto).
do
hodômetro
no
painel
do
carro
zero. Vejamos então como ficam todos esses
conceitos num exemplo prático.
ESQUEMA INFORMATIVO:
→ Derivada da posição em função do →
Velocidade
instantânea
( )
tempo
Velocidade média
→ Razão
do
deslocamento
pelo →
tempo gasto
Velocidade
média
escalar → Razão da distância percorrida pelo →
tempo gasto
35
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Perguntas de verificação de aprendizagem:
dimensão (ou seja, o movimento ocorrendo ao
Pergunta 4.1
longo de uma linha) a posição do objeto é dada
A velocidade instantânea pode ser positiva ou
por
negativa?
( )
Pergunta 4.2
Reprisando, de acordo com a situação inicial
No movimento retilíneo uniforme, a velocidade
(“largar” a bolinha) e com as nossas escolhas de
instantânea é igual à velocidade média?
tempo e posição iniciais definidas para medir a
posição da bolinha em queda livre vertical, temos
Exemplo 4.3 (soltando um objeto no ar: uma
que
x0=0
e
v0=0.
Tomando
como
valor
bolinha em queda livre)
aproximado da aceleração da gravidade 10m/s2
A experiência consiste em largar uma bolinha no
passamos a ter a posição da bolinha em função
ar e determinar a posição da mesma em função
do tempo a expressão:
( )
do tempo em uma “régua” vertical que coincide
com a trajetória vertical descrita pela bolinha.
O gráfico xxt tem, portanto, a forma de uma
Mediremos o tempo de queda a partir do instante
parábola, conforme figura abaixo:
em que soltamos a bola. Ou seja, esse é o
instante t = 0s.
Designaremos a posição da
bolinha em um instante qualquer em função da
variável x, ou seja, a posição em função do
tempo é uma função x(t). Mediremos a posição
da bolinha a partir do ponto em que foi solta. Ou
seja, x(t = t0) = x0 = 0m. “Soltar” significa dizer que
a bolinha possui velocidade nula no instante do
lançamento (ou seja, v(t = t0) = v0 = 0m/s). É fato
indiscutível
que
nesse
caso
a
bolinha
Figura 4.9 - Gráfico espaço versus tempo de uma bola
em queda livre
simplesmente cai em trajetória vertical (nesse
sentido
dizemos
que
o
movimento
é
Vamos supor que o leitor esteja familiarizado com
a equação que fornece a posição de um corpo
em função do tempo submetido à ação de uma
constante,
?
Retomamos aqui a discussão da seção 3.4.4.
unidimensional).
aceleração
Qual a velocidade instantânea para
como
é
o
caso da aceleração da gravidade que atua em
Com centro no instante
, calcularemos a
velocidade média para três intervalos de tempo a
partir de instantes anteriores e para instantes
posteriores,
tomando,
respectivamente,
...
todos nós (caso não esteja, não se preocupe.
Afinal, estamos aqui para isso!). Em uma
36
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
( )
( )
( )
}
( )
( )
(
Exemplo 4.4
(
)
Em uma viagem de carro, Joãozinho precisou
percorrer um trajeto de 200 km. Como dirigir um
)
carro é cansativo, Joãozinho de vez em quando
}
( )
parou o carro para abastecer, almoçar, esticar as
pernas etc. Além disso, a estrada era muito
( )
(
(
)
esburacada, fazendo com que o nosso amigo
)
}
( )
constantemente
freasse.
Chegando
ao
seu
destino, Joãozinho constatou que sua viagem
Pelos valores acima, a velocidade média se
aproxima cada vez mais de 10 m/s, o que sugere
demorou 4 horas. Calcule a velocidade média e
analise a velocidade instantânea nessa viagem.
R: Para calcular a velocidade escalar média,
que:
basta dividir a distância percorrida pelo intervalo
Esse valor poderia ser encontrado derivando x(t):
( )
( )
(
)
de tempo necessário para percorrê-la. Assim:
( )
Como queremos a velocidade no instante igual a
1 s, substituímos t da fórmula acima por 1:
Pelo enunciado da questão, pode-se afirmar que
( )
a velocidade instantânea nessa viagem variou
Outra maneira de encontrar esse valor seria
bastante durante as freadas para atravessar os
considerando o caso limite da sequência quando
buracos,
. Com efeito,
(
)
(
(
)
que
podemos
considerá-la
constante e igual a zero nas paradas para almoço
( )
(
(
sendo
( )
)
e abastecimento, já que nesse meio tempo o
)
carro estava estacionado.
)
Uma interpretação interessante da velocidade
(
)
escalar média encontrada de 50 km/h é que
Joãozinho levaria as mesmas 4 horas para
completar a viagem se dirigisse a uma velocidade
Note, quando
quociente
, também
, mas o
tende a um valor finito igual a 10
m/s neste exemplo. Além disso, o exemplo nos
mostra que, conforme ∆t diminui (foi de 1 para 0,1
e depois para 0,01), a velocidade média nesse
mesmo ∆t se aproxima cada vez mais da
velocidade instantânea, conforme pode ser visto
que
( )
constante de 50 km/h, o que seria possível
somente se a estrada fosse um “tapete”, se não
fosse necessário abastecer nem almoçar, etc.
Caso a viagem tenha sido feita num único “retão”
plano, o módulo do deslocamento entre os pontos
inicial e final coincide com a distância percorrida.
Nessa situação teríamos a coincidência entre o
módulo da velocidade média e a velocidade
escalar média.
37
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Uma pergunta pertinente para quem estuda o
não depende do caminho tomado para ir de um
movimento em um caso qualquer é: Como
ponto a outro).
descrever a variação de velocidade de um corpo?
Agora basta aplicar a fórmula:
( )
Podemos dizer sem medo de estarmos errados
( )
que se há variação de velocidade de um objeto,
esse objeto está acelerado, ou seja, está
submetido a uma aceleração não nula. Por
variação na velocidade queremos dizer que pode
ser tanto no módulo quanto na direção do vetor
velocidade.
Analogamente
à
aceleração
instantânea
definida
é
velocidade,
como
a
a
derivada da função velocidade v(t):
( )
(
b)
Calculando primeiro a derivada de x(t),
que neste caso é a função espaço:
( )
( )
)
( )
Substituindo t=3:
c)
A aceleração é a derivada da velocidade.
Logo, derivando a expressão encontrada em (b):
( )
( ) ( ) ( )
A aceleração, portanto, pode também ser vista
Quando o comando se referiu ao mesmo
como uma taxa de variação da velocidade.
instante, quer dizer que t é novamente igual a 3:
( )
No próximo exemplo exploraremos a relação
entre a função horária da posição e os conceitos
de velocidade e aceleração instantâneas.
OBS: Sempre prestar atenção na unidade, já
que nessa questão o espaço foi dado em
centímetros ao invés de metros.
Exemplo 4.5
Uma partícula move-se ao longo do eixo x de
acordo com a equação ( )
Exemplo 4.6
, sendo x
em centímetros e t em segundos. Calcule:
a)
A velocidade média da partícula no
intervalo [0 s, 3 s] do movimento;
b)
A velocidade instantânea da partícula em
;
c)
A aceleração nesse mesmo instante.
Considere uma bola de basquete em queda livre
e velocidade inicial nula, conforme figura abaixo:
R:
a)
Precisa-se primeiro calcular a posição da
partícula nos instantes t=0 s e t=3 s:
( )
( )
Como vimos, a velocidade média depende tão
Figura4.10 - Bola de basquete em queda livre
somente da posição inicial, da posição final e do
A equação horária desse movimento é dada por
intervalo de tempo considerado (mais uma vez,
, onde so e vo são a posição e a
38
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
velocidade iniciais, respectivamente. Como o eixo
vertical está orientado para cima, so= 2 m, que é
a altura de onde a bola foi largada. Por estar em
queda livre, a bola é acelerada apenas pela
gravidade, que é orientada para baixo e portanto
de valor negativo e igual a aproximadamente 10m/s2. Logo a equação final é
(
)
.
O gráfico da posição em função do tempo para
esse movimento é:
4.7
APLICAÇÃO NA ENGENHARIA
A derivada é uma ferramenta muito poderosa que
nos diz se uma função é crescente ou não em um
determinado ponto. Isso é possível analisando-se
o sinal da derivada da função neste ponto,
conforme a regra abaixo:



As
f’(xo)>0: A função f é crescente em x=xo;
f’(xo)<0: A função f é decrescente em x=xo;
f’(xo)=0: x=xo é um ponto crítico de f.
duas
primeiras
afirmações
podem
ser
constatadas pela figura a seguir:
Figura 4. 12 - Derivada indicando se f é crescente ou
decrescente
Figura 4.11 - Gráfico posição versus tempo do
movimento da bola de basquete
De outra forma, percebe-se que uma função é
Pelo gráfico acima, o que você pode dizer sobre
a velocidade dessa partícula com o tempo?
crescente em xo se a reta tangente à função em
R: Já que a velocidade é a derivada da função
espaço, a rapidez com que a bola cai a cada
instante pode ser verificada pela inclinação da
curva espaço versus tempo acima. A inclinação
cada vez maior dessa curva indica que a bola cai
a velocidades crescentes conforme o tempo
avança, evidenciando assim que o movimento é
de fato acelerado. Entretanto, esse aumento da
velocidade é interrompido quando a bola colide
com o solo, momento em que a velocidade vai a
zero quase que instantaneamente.
eixo x para o caso decrescente.
xo está “subindo”, e “mergulhando” em direção ao
Para o caso de f’(xo)=0, como já visto, diz-se que
xo é um ponto crítico de f. Um ponto crítico é
basicamente um ponto cuja derivada é nula ou
não existe. Intuitivamente, os pontos que anulam
a derivada são ditos máximos ou mínimos locais
de uma função, já que a reta tangente a eles é
horizontal e portanto tem coeficiente angular igual
a zero, conforme figura abaixo:
OBS: Considerou-se nessa análise que a bola
não ficou “quicando” após colidir com o chão.
39
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
definida pela derivada da função espaço, ou seja,
( )
( )
;
 A aceleração de um objeto em um instante
qualquer é chamada de aceleração instantânea e
definida pela derivada da função velocidade ou
pela derivada de segunda ordem da função
espaço, ou seja,
Figura4.13 - Na figura acima, c é máximo local e d é
mínimo local (f’(c)=f’(d)=0)
( )
( )
( )
;
 f’(xo)>0 indica que f é crescente em xo;
 f’(xo)<0 indica que f é decrescente em xo;
 f’(xo)=0 indica que f é máximo ou mínimo local
em xo.
Um ponto de máximo local pode ser definido
como o “cume da montanha”, ou seja, é um ponto
cuja imagem (f(c)) é maior que as imagens dos
pontos imediatamente à esquerda e à direita de c
(c-0,00001
e
c+0,00001,
por
exemplo).
Explicação análoga vale para o mínimo local
(“vale da montanha”).
O estudo dos máximos e mínimos de uma função
é uma das aplicações mais importantes da
derivada para um engenheiro, o qual usa essa
ferramenta,
entre
outras
finalidades,
para
minimizar o custo de seus projetos.
Termos importantes







Coeficiente angular;
Reta tangente;
Reta secante;
Taxa de variação instantânea;
Interpretação geométrica da derivada;
Velocidades média e instantânea;
Acelerações média e instantânea.
Resumo:
 A derivada de uma função f em xo é igual ao
coeficiente angular da reta tangente à f neste
ponto;
 A velocidade de um objeto em um instante
qualquer é chamada de velocidade instantânea e
40
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
4.8
INTEGRAL
Como a curva da figura acima não pertence às
figuras clássicas, como quadrado, triângulo e
Tópicos:
círculo, não são possíveis calcular sua área com
4.9 Objetivos;
4.10 Conceito de Integral;
4.11 Notação;
4.12 Propriedades da Integral;
4.13 Aplicação na Cinemática;
fórmulas “prontas” da geometria.
Bom, mas existe uma figura geométrica cuja área
é bem conhecida na geometria: o retângulo. Sua
área pode ser calculada pelo produto da base
com a altura. Numa tentativa de calcular a área
da figura acima, poderíamos desenhar vários
4.9
OBJETIVOS
 Entender o conceito intuitivo de integral;
 Compreender que a integral é o processo
inverso da derivada;
 Saber integrar funções potência;
 Saber aplicar a integral em problemas de
cinemática.
A integral é um recurso matemático inverso ao da
derivada, ou seja, ao invés de achar a derivada
de uma função, calcula-se a função cuja derivada
resulta na função original. Assim, diz-se que g é a
integral de f se
; em outras palavras, g é a
função cuja derivada resulta em f. Daí, pode-se
ver que a integral e a derivada estão fortemente
ligadas.
retângulos cujas alturas são determinadas pela
própria figura, como segue:
Figura 4.15 - Curva da figura aproximada
grosseiramente por retângulos
4.10 CONCEITO DE INTEGRAL
O conceito de integral está bastante relacionado
Como se vê, a aproximação não é perfeita, pois
à noção de áreas. Os povos gregos se
outros há um excesso de área (último), mas,
perguntavam na Antiguidade: “como calcular a
quanto
área de uma figura qualquer, como a mostrada
retângulos, mais próxima a soma de suas áreas
abaixo”?
vai ficar em relação à área A desejada, como na
em alguns retângulos existe falta (segundo) e em
menores
forem
as
bases
desses
figura abaixo.
Figura 4.14 - Curva qualquer
Figura 4.16 - Aproximação melhorada com o uso de
retângulos mais finos
41
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Essa é a ideia da integral, onde a área de uma
figura qualquer é aproximada pela soma das
áreas de incontáveis retângulos de espessura
praticamente nula. Daí pode-se considerar a
integral um processo de soma de pequeníssimas
5.9.3 Soma ou Subtração
( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
(
)
A integral da soma (subtração) é igual à soma
(subtração) das integrais.
parcelas, que seriam as áreas de cada retângulo,
até chegar ao total esperado (área A da figura
5.9.4 Constante multiplicando uma função
4.14).
( )
∫
Como estimar a área de uma figura qualquer,
propriedades da integral são análogas às da
usando a ideia de integral?
derivada.
4.11
NOTAÇÃO
A integral de uma função f(x) é denotada por
Exemplo 4.7

se assemelha a um S
Dada a função
∫ ( )
colocar algumas propriedades da integral. As
essas
( )
duas
últimas
, calcule sua
integral.
estendido, de soma.
Tal qual fizemos em relação à derivada, vamos
ver,
)
Como
, onde
pode
(
Pergunta 4.3
∫ ( )
se
∫ ( )
)
∫(
Pela propriedade 5.11.3, a integral da diferença é
a diferença das integrais, logo:
propriedades de distributividade da soma e da
∫ ( )
multiplicação de uma integral por uma constante
∫
∫
são mantidas na integração, tal como na
Já que a primeira parcela é a integral de uma
operação de diferenciação.
constante, a mesma é calculada pela propriedade
4.11.1; pela regra 4.11.4, o número 5, que é uma
4.12
PROPRIEDADES DA INTEGRAL
Assim como na seção derivadas, f, u e v são
constante, “sai” da integral multiplicando. Então:
∫ ( )
funções de x. c é uma constante arbitrária que
∫
aparece no processo de integração.
A integral que restou é resolvida pela propriedade
5.9.1
4.11.2, substituindo n por 1 (lembre-se que
Integral de uma constante k
∫
(
x = x1):
)
∫ ( )
5.9.2 Integral de uma função potência em
, para qualquer n ≠ -1
x∫
(
)
OBS: Se n = -1, sua integral será dada por
( )
∫
, ou seja:
∫
∫ ( )
A constante c, como já dito, é uma constante que
sempre aparece no processo de integração. Para
( )
(
)
descobrir seu valor, deve-se saber de antemão o
valor de ∫ ( )
para algum valor de x. Por
42
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
exemplo, se fosse informado que ∫ ( )
é igual
Embora possa parecer estranho obter o espaço
a 2 para x=-4, bastaria substituir x=-4 na
percorrido a partir de um gráfico da velocidade
expressão
em função do tempo, fizemos isso sem perceber
e igualá-la a 2.
quando resolvíamos problemas de cinemática no
4.13 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA
A derivada foi usada para obter a velocidade
ensino médio.
instantânea a partir do espaço e a aceleração
Exemplo 4.8 (movimento retilíneo uniforme -
instantânea a partir da velocidade instantânea. Já
MRU)
que a integral é o processo inverso da derivada,
Vamos supor que um corpo esteja percorrendo
como dito no início do capítulo, era de se esperar
um movimento retilíneo uniforme. Como sua
que a integral fosse usada para calcular a
velocidade não muda conforme o tempo passa
variação de espaço em função da velocidade
(aceleração nula), seu gráfico v versus t será uma
instantânea e a velocidade instantânea a partir da
reta horizontal, como segue:
aceleração
instantânea.
Essa
suposição,
felizmente, é verdadeira, da qual vêm as
equações:
∫
(
∫
(
)
)
Ora, se a integral de uma grandeza é igual à área
Figura4.18 - Gráfico velocidade versus tempo do MRU
do gráfico dessa mesma grandeza, então se nos
velocidade
Destacando no gráfico um instante qualquer t1 e
instantânea em relação ao tempo (v x t), sua área
sombreando a área no intervalo de tempo 0→t1,
entre dois instantes t1 e t2 será igual à variação de
temos:
for
apresentado
um
gráfico
da
espaço ocorrida entre esses mesmos instantes. A
figura abaixo exemplifica melhor essa ideia:
Figura4.17 - A variação no espaço é igual à área do
Figura 4.19 - Gráfico anterior com área sombreada no
gráfico v x t
intervalo de 0 a t1
43
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
A área sombreada do gráfico acima resultou num
Separando um intervalo e de 0 até um instante
retângulo, cuja área é:
qualquer t1 e destacando no gráfico:
Conforme já explicado, pela ideia da integral, a
área do gráfico v versus t é igual à variação da
posição, logo:
( )
( )
( )
Isolando s(t1):
( )
Que
é
justamente
a
equação
horária
do
Figura 4.21 - Gráfico anterior com área sombreada do
intervalo de 0 a t1
movimento uniforme aprendida no ensino médio.
Assim, usou-se a ideia gráfica da integral para
chegar à equação de um movimento bem
A figura resultante foi um trapézio, cuja área é
(
conhecido.
)
( ( )
)
Exemplo4.9 (movimento retilíneo uniformemente
variado – MRUV)
Assim como no exemplo anterior, a área desse
Vamos aplicar a mesma ideia do exemplo
trapézio será igual à variação da posição ocorrida
anterior ao movimento retilíneo uniformemente
no intervalo 0→t1:
( ( )
variado.
)
( )
( )
( )
Suponha que um corpo percorre um MRUV. Sua
equação da velocidade em função do tempo é
(
)
Substituindo v(t1) pela fórmula (5.19):
( )
(
)
(
)
Essa pode ser vista como a equação de uma
reta, onde seus coeficientes linear e angular são
vo e a, respectivamente. Assim:
( )
Que é exatamente a equação horária do MRUV.
Mais uma vez fica demonstrada a possibilidade
de usar a ideia gráfica da integral para chegar às
equações de um movimento.
OBS: Assim como foi feito no MRUV e MRU, a
Figura 4.20 - Gráfico velocidade versus tempo do
MRUV
ideia gráfica da integral poderia ser usada
para chegar à equação horária de qualquer
tipo de movimento, seja ele de aceleração
variável ou não.
44
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
O mesmo raciocínio vale para a velocidade
1ª maneira (sem integral)
instantânea. Por ser a integral da aceleração no
Como a velocidade é uma reta em 0 < t < 30 e
tempo, pode ser calculada também como a área
em 30 < t < 50, o móvel na verdade percorreu um
do gráfico aceleração versus tempo (a x t):
MRUV em cada um desses intervalos de tempo.
Aplicando a equação horária da velocidade para
0 < t < 30:
A equação do espaço fornece:
Como o objeto partiu da origem,
. Pelo
gráfico fornecido, vê-se também que vo = 0:
Figura 4.22 - A variação na velocidade é igual à área
do gráfico a x t
No intervalo de 30 < t < 50, aplicam-se
novamente as equações do MRUV:
Exemplo 4.10
A figura representa o gráfico velocidade x tempo
do movimento retilíneo de um móvel.
(
)
(
)
Nas equações do movimento, o tempo t na
, daí o aparecimento de t – 30.
verdade é
Como geralmente o instante inicial é 0, o termo to
frequentemente é omitido nas equações, levando
o aluno a aplicar as equações erradamente.
Tomando esse mesmo cuidado na equação do
espaço, tem-se:
(
(
)
Figura4.23 - Gráfico v x t do exemplo em questão
a) Qual o deslocamento total desse móvel?
A área do gráfico velocidade x tempo é igual ao
deslocamento. Logo o que se pede é a área do
triângulo acima:
(
)
(
)
)
Desenvolvendo os parênteses, vê-se que a
equação acima é idêntica à encontrada pela
primeira maneira, com integral.
Daí:
b) Esboce o gráfico posição x tempo
correspondente, supondo que o móvel partiu da
origem.
{
(
)
(
)
45
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Plotando o gráfico:
∫
( )
{
)
∫(
( )
{
A questão nos informa que o móvel partiu da
origem, logo ( )
:
( )
Substituindo t = 30 na primeira equação, vem que
(
Figura 4.24 - Gráfico s x t do móvel
)
. Como t = 30 também atende à
segunda equação:
(
)
OBS: Pelo gráfico, vê-se que o objeto mudou de
aceleração instantaneamente no instante t = 30 s,
daí termos analisado o movimento como dois
Assim:
MRUVs, de acelerações diferentes.
( )
{
2ª maneira (com integral)
O gráfico da velocidade pode ser visto como dois
o que resulta no mesmo gráfico obtido na 1ª
segmentos de reta diferentes, um no intervalo 0 <
maneira.
t < 30 e outro para 30 < t < 50. Achando as
equações dessas retas:
{
O diagrama abaixo ilustra a relação entre os
conceitos cinemáticos (posição, velocidade e
aceleração) e os cálculos diferencial e integral:
Como a variação no espaço é igual à integral da
velocidade no tempo:
Figura 4.25 - Diagrama relacionando espaço, velocidade e aceleração através da derivada e da integral
O valor de f(x) no exemplo 4.7 foi proposital,
porque o mesmo pode ser encarado como uma
equação de velocidade do movimento MRUV, na
forma
. Pelas equações “prontas” da
cinemática, a relação do espaço com o tempo é
do tipo
, exatamente a equação
obtida com o uso da integral.
A integral, portanto, vale para qualquer tipo de
movimento, seja ele MRU, MRUV ou de
46
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
aceleração variável, enquanto que as fórmulas do
parágrafo anterior só valem se a aceleração for
constante, ou seja, se não variar com o tempo.
Termos importantes


Área;
Soma de pequenas parcelas.
Resumo
 A integral é o processo inverso da derivada;
 A integral é o limite de um somatório de
parcelas infinitesimais.
 A variação de espaço é a integral da
velocidade instantânea, que por sua vez é a
integral da aceleração;
 A variação de espaço é igual à área do
gráfico v x t;
 A variação de velocidade é igual à área do
gráfico a x t.
47
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
5 LEIS DE NEWTON:
Tópicos:
5.1 Objetivos do Capítulo;
5.2 Primeira Lei de Newton;
5.3 Segunda Lei de Newton;
5.4 Terceira Lei de Newton;
5.5 Diagrama de corpo livre;
5.6 Exercícios.
5.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO:
Uma pergunta interessante para iniciar este
tópico seria: O que é mecânica do ponto de vista
da Física? Podemos dizer que a mecânica é uma
área da física que trata as questões de
movimento dos corpos levando em conta, de uma
maneira geral, as causas do movimento. Nesse
sentido, a mecânica inclui a cinemática e a
dinâmica. A mecânica estuda também situações
de equilíbrio dos corpos (estático e dinâmico) e,
portanto, podemos dizer que a estática também
está compreendida nessa importante área da
física. Acrescenta-se também que se o corpo ou
sistema físico se movimenta de maneira
acelerada, a descrição desse tipo de movimento
também é objeto de estudo da mecânica. Uma
outra maneira de descrever a mecânica é por
meio da influência que corpos exercem nas
interações entre si via forças (sejam forças de
contato ou de qualquer outra natureza). Vemos
que não temos pouca coisa pela frente:
Interações entre corpos; estudos de situações de
equilíbrio e de movimento acelerado, entre outras
tantas coisas. Do ponto de vista de formação
profissional, a mecânica é imprescindível para o
engenheiro, qualquer que seja a sua área. Do
ponto de vista de percepção e entendimento do
mundo ao nosso redor é tão importante quanto o
aspecto formativo. Convidamos então você para
ir adiante ao fascinante estudo da mecânica!
Neste contexto, estudaremos a Dinâmica: que é a
parte da Mecânica que estuda os movimentos e
as causas que os produzem ou os modificam.
Costumamos construir o arcabouço da mecânica
a partir do enunciado das Leis de Newton.
Seguiremos esse caminho, mas faremos uma
observação. As Leis de Newton formam um
conjunto consistente para descrever uma imensa
variedade de situações e fenômenos que vemos
ao nosso redor. É nosso dever entender ao
máximo o que significa cada uma dessas leis. É
também muito importante entender as relações
que cada uma das leis possui entre si, ou seja,
não devemos apenas pensar em cada uma das
leis separadamente.
5.2 1ª LEI DE NEWTON (PRINCÍPIO DA
INÉRCIA)
A primeira lei de Newton afirma que se a força
resultante, atuante sobre um corpo é nula, então
o corpo que estiver em repouso, permanecerá em
repouso ou se estiver em movimento com
velocidade constante, ele continuará nesse
mesmo movimento. Em outras palavras, essa
propriedade da matéria de resistir a qualquer
variação em sua velocidade recebe o nome de
inércia.
Para entender melhor a 1 lei de Newton, veremos
o seguinte exemplo: Quando um cavalo para
diante de um obstáculo, o cavaleiro é “atirado”
para a frente por inércia, por ter a tendência de
prosseguir com a mesma velocidade (figura 6.0)
Figura 5.0. Por inércia, o cavaleiro tende a prosseguir
com sua velocidade.
Porém tão importante quanto o entendimento das
leis é enxergar em que situações essas leis são
válidas e em que situações não são válidas.
Somos levados para o estudo de referencial.
Aqui avisamos ao leitor que o estudo de
referencial é algo bem sutil e procuraremos ser
48
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
tão “light” quanto possível. Basicamente
precisamos entender o que é um referencial
inercial e o que é um referencial não-inercial.
Do ponto de vista físico e matemático são não
equivalentes,
portanto
não
devem
ser
confundidos. Vamos colocar a questão de duas
maneiras simples e complementares. A primeira
é que um referencial que está sofrendo uma
aceleração é não-inercial. A outra é a seguinte.
Só é válida a aplicação direta das leis de Newton
em referenciais inerciais. Se um observador está
em um referencial acelerado ele sentirá o efeito
de força(s) que ele não conseguirá descrever no
próprio referencial. O efeito dessa(s) força(s) é
real (quem nunca foi “espremido” contra a parede
de um ônibus fazendo uma curva?). Mas o
observador não conseguirá descrever essa(s)
força(s) do ponto de vista do próprio referencial.
Por esse motivo essa força(s) é(são) chamada(s)
de força(s) fictícia(s). O que o leitor precisa
mesmo ter em mente é o seguinte:
I.
Um
acelerado.
referencial
inercial
não
está
II.
A aplicação e entendimento das leis de
Newton conforme estudaremos nesse material
são válidos para referenciais inerciais.
E agora leitor? Será que você realmente
entendeu algo mais sobre as leis de Newton, ou
ainda está um pouco abstrato? Vamos fazer
alguns testes de verificação de conhecimento?
5.2.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- Uma partícula A está livre da ação de
forças, enquanto que outra partícula B
está sujeita a duas forças de mesma
intensidade, mesma direção e sentidos
contrários.
partículas
É
correto
estão,
dizer
que
exclusivamente,
as
em
repouso?
Solução: Não, pois de acordo com o
princípio da inércia, as partículas ou estão
em
repouso
ou
realizam
movimento
uniforme.
2- Um ponto material(corpo de dimensões
desprezíveis) está em repouso em relação
a um referencial inercial. É necessária a
aplicação de uma força para tirá-lo do
estado de repouso?
Solução: Sim, pois a força, quando não
equilibrada, produz no ponto material
variação de velocidade.
Já sabemos o que tira um corpo do repouso ou
de um estado de movimento retilíneo uniforme é
um ente externo que chamaremos de força. A
definição dada para esta grandeza servirá como
um “molde”. Conforme estudaremos, esse
“molde” se mostrará adequado para vários tipos
de força que atuam sobre o corpo. Não é
necessário que um corpo esteja em contato direto
com outro para sofrer influência de força. Este é o
caso da força gravitacional. Ainda não definimos
força, mas podemos antecipar algumas
características. O efeito de diversas forças
atuando sobre um corpo se dá através de soma
vetorial, ou seja, força se comporta como um
vetor. Portanto, se você ainda estava em dúvida
sobre a necessidade de aprender a trabalhar com
vetor, aqui a dúvida se desfaz. Em problemas de
mecânica, só entendemos (e em muitos casos,
só resolvemos) os problemas se tratamos as
forças pelo o que elas são. Entes vetoriais!
Vamos enunciar o Princípio da Superposição
de Forças.
Se n forças de diferentes origens atuam sobre a
mesma partícula, o resultado da aplicação de
⃗ é a
todas essas forças, representado por ∑
soma vetorial de todas as forças, conhecido
como força resultante que atua sobre a
partícula.
Obs: Para n=2 esse resultado é a própria regra
do paralelogramo. Na verdade, sendo a força um
vetor podemos somá-la na ordem que bem
entendermos para chegar ao resultado final.
49
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Geometricamente isso quer dizer que podemos
somar as forças duas a duas em qualquer ordem
utilizando a regra do paralelogramo, figura 6.1,
até envolver todas as forças e com isso
chegamos ao resultado final.
5.3 2ª LEI DE NEWTON
A propriedade inercial de um corpo é
caracterizada pela sua massa. A aceleração de
um corpo submetido à ação de um conjunto de
forças é diretamente proporcional à soma vetorial
das forças que atuam sobre o corpo (força
resultante) e inversamente proporcionais à
massa do corpo.
⃗⃗
5.3.1
RELAÇÃO
ACELERAÇÃO
⃗⃗
ENTRE
FORÇA
E
I. Uma força resultante que atua sobre um corpo
faz com que o corpo acelere na mesma direção
da força.
II. Se o módulo da força resultante for constante a
aceleração produzida sobre o corpo também
será.
III. Quanto maior a força resultante aplicada sobre
o corpo maior a aceleração produzida.
IV. Corpos de massas distintas adquirem
acelerações distintas quando submetidos à
mesma força resultante.
V. Quanto mais massivo for o corpo menor a
aceleração produzida para uma mesma força
resultante.
Figura 5.1 - Adição de vetores.
50
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
5.2.2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
5.4 3ª LEI DE NEWTON
Na figura a seguir, representamos as forças que
agem nos blocos (todos com massa igual a 2,0
kg). Determine, em cada caso, o módulo da
aceleração que esses blocos adquirem.
Das três leis de Newton, a 3ª Lei talvez seja a
mais conhecida pelos estudantes e pelo grande
público, embora com alguns equívocos, em geral.
Nesse sentido é importante termos claro o que é
e o que não é a 3ª Lei de Newton. Uma das
maneiras menos formais e talvez mais poéticas
de se enunciar essa lei seria: “É impossível tocar
sem ser tocado”. Com isso queremos dizer que o
ato de tocar traz uma consequência intrínseca.
Você toca em algo ou em alguém e
necessariamente é tocado de volta que ocorre
com o contato físico. Outra maneira interessante
de colocar a 3ª Lei: “Forças acontecem aos
pares!”, uma vez que é impossível haver uma
ação sem reação. Já sabemos que a reação não
é nem mais intensa e nem menos intensa que a
ação. Outro ponto importantíssimo: A ação se dá
num corpo e a reação se dá em outro corpo. Se
você estiver analisando um par de forças atuando
sobre o mesmo corpo pode afirmar com certeza
que não é um par de ação e reação. Vamos
agora estabelecer de forma mais precisa a
terceira lei por meio de alguns enunciados
equivalentes.
ENUNCIADOS
“Quando um corpo A exerce uma força sobre um
corpo B (uma ‘ação’), então o corpo B exerce
uma força sobre o corpo A (uma ‘reação’). Essas
duas forças possuem mesmo módulo e mesma
direção, porém são orientadas em sentidos
contrários. Essas duas forças atuam em corpos
diferentes.”
“Quando dois corpos interagem, as forças que
cada força exerce sobre o outro são sempre
iguais em módulo e possuem sentidos
contrários.”
51
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
1)
Qual o primeiro recurso?
R: Seria desenhar uma figura, um esboço da
situação que será estudada, contendo o objeto ou
sistema
físico
que
será
estudado
e
a
representação geométrica (vetores indicados por
setas) de todas as forças que atuam sobre o
corpo. No primeiro passo, você deve entender e
responder por meio desse recurso gráfico a
Figura 6.2 O homem puxa a pedra (ação), e a pedra
exerce uma força (reação) sobre o homem.
seguinte pergunta: O que eu estou estudando?
** A terceira lei nada afirma sobre o efeito
causado em cada um dos corpos que interagem
entre si via par de forças ação e reação.
responder
Em linguagem de físico, dizemos que ao
a
essa
pergunta
você
está
delimitando o objeto de estudo. Muitas vezes,
para poupar tempo, representamos o objeto
estudado por um ponto e colocamos sobre o
mesmo a representação geométrica de todas as
5.5 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
O que é um diagrama de corpo livre? Podemos
encarar como um procedimento padrão para
resolver diversos problemas de mecânica.
Vamos tentar sistematizá-lo através de perguntas
e respostas.
forças que atuam sobre o objeto.
Figura 6.3 - A figura acima representa: a) um esboço da situação a ser estudada. b) as forças atuantes no corpo A.
c) a força atuante no corpo B.
2)
Qual o próximo passo?
R: Após representar todas as forças que atuam
representação das forças que atuam sobre o
sobre o objeto é necessário escolher um sistema
atuam sobre o objeto. As componentes já
de coordenadas para decompor as forças (se
implicam em uma escolha de sistema de
todas as forças estiverem contidas em uma única
coordenadas específica.
direção,
ou
seja,
se
o
problema
objeto com as componentes das forças que
for
unidimensional, basta estabelecer o sentido
positivo do eixo). Obs: Não se deve confundir a
52
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Figura 6.4 - A figura acima representa forças atuando em um determinado corpo, levando em consideração a
escolha de um eixo coordenado. O objeto, em análise, pode ser representado como um corpo pontual, de acordo
com (d), (e) e (f).
3)
Após escolher o sistema de coordenadas
que usaremos para decompor as forças,
prosseguimos na resolução do problema
encontrando a força resultante para cada eixo
do sistema de coordenadas. Para isso fazemos
a somatória de forças para cada eixo, ou seja,
encontramos as componentes do vetor força
resultante. Em geral, podemos afirmar que
problemas de dinâmica necessitam de
procedimentos de soma vetorial. Observação
1: Se for um problema de estática, temos que a
força resultante sobre o sistema é nula. Nesse
caso vamos trabalhar com um sistema de
equações em que cada componente da força
resultante é igual a zero. Observação 2: Ao longo
da resolução dos problemas vamos ganhando
experiência na escolha de eixos coordenados de
modo a simplificar a resolução do problema.
4)
Tendo as componentes do vetor força
resultante, temos todos os elementos para
prosseguir até o final da resolução do problema.
5)
Após chegar ao final da resolução do
problema, você como engenheiro, vai analisar a
validade da solução encontrada. Para isso,
faça uma análise dimensional da resposta;
análise situações limites¸ e veja se o a resposta
fornece resultado fisicamente aceitáveis ou se
fornece resultados absurdos.
Diagrama de corpo livre é uma representação
(esboço ou figura) do problema a ser estudado
em que você define o objeto (corpo ou sistema
físico) que você vai estudar. Nessa figura você
representa todas as forças que atuam sobre o
corpo. Atenção! Você deve colocar no diagrama
as forças que atuam sobre o corpo, e não as
forças
que
o
corpo exerce
sobre
a
sua
vizinhança.
5.6 EXERCÍCIOS
1 – Uma espaçonave, longe da influência de
qualquer estrela ou planeta, está se movendo em
alta velocidade sob o empuxo de foguetes,
quando um defeito nos motores faz a espaçonave
parar. A espaçonave irá:
a)
Parar imediatamente, jogando todos os
ocupantes a frente do veículo.
b)
Começar a desacelerar, eventualmente
atingindo o repouso.
c)
Continuar se movendo com velocidade
constante por um período, mas depois de um
tempo, começa a desacelerar.
d)
Continua se movendo na mesma
velocidade.
Uma vez que entendemos o passo a passo do
diagrama de corpo livre, podemos resumi-lo.
53
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
2 – Uma criança está brincando com uma bola
em uma superfície nivelada. Ela dá um empurrão
à bola para colocá-la em movimento. Então, a
bola rola uma pequena distância até parar. A bola
reduz a velocidade e páraporque:
a)
A criança parou de empurrá-la.
b)
A velocidade é proporcional a força.
c)
Deve ter existido alguma força sobre a
bola, oposta ao sentido do movimento.
d)
A força resultante sobre a bola é nula,
então ela quer permanecer em repouso.
3 – Dois objetos com massas M e m (M > m),
estão sobre uma superfície sem atrito. Uma força
F acelera o objeto menor com uma aceleração a.
Se a mesma força é aplicada ao objeto maior,
então ela irá:
a)
Mover-se com uma aceleração maior.
b)
Mover-se com a mesma aceleração.
c)
Mover-se com uma aceleração menor.
d)
Não existem informações suficientes para
que as duas forças possam ser comparadas.
6 – Um objeto está livre para se mover sobre uma
mesa, com exceção da força de atrito constante,
f, que se opõe ao movimento do objeto quando
ele se move. Uma aceleração de 2,0 m/s² é
observada quando uma força de 10,0 N é usada
para puxar o objeto. Uma aceleração de 6,0 m/s²
é observada quando uma força de 20 N é usado
para puxar o objeto.
(A)
Qual é o valor da força de atrito f?
(a)
1,0 N.
10,0N.
(B)
(b) 3,33 N.
(c) 5,0 N.
(d)
Qual é a massa do objeto?
(a)
0,4 Kg.
5,0 Kg.
(b) 2,5 Kg.
(c) 3,33 Kg.
(d)
d)
Mover-se somente se a força F for maior
do que algum valor mínimo.
4 – Uma determinada força F impõe ao objeto m1
uma aceleração de 12,0m/s². A mesma força
impõe ao objeto m2 uma aceleração de 3,3 m/s².
Qual é a aceleração que esta força impõe a um
objeto Cuja massa é (a) a diferença entre m1 e
m2 e (b) a soma de m1 e m2.
5 – Uma pedra repousa sobre uma superfície
nivelada. A intensidade da força sobre a
superfície, exercida pela pedra, é Fsp, e a
intensidade da força sobre a pedra, exercida pela
superfície, é Fps. Se estas duas forças forem
comparadas, observa-se que:
a)
Fsp>Fps.
b)
Fsp = Fps.
c)
Fsp<Fps.
54
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON
São muitas as situações a serem analisadas
cobrindo aplicações das leis de Newton. Na
maioria dos casos trataremos situações em que a
interação entre os corpos se dá via contato físico
efetivo do ponto de vista macroscópico. Mas é
muito importante que se diga que corpos podem
exercer influência uns sobre outros mesmo
estando separados espacialmente.
A Terra atrai objetos próximos a sua superfície.
Essa atração diminui em função da distância que
o objeto está do centro do planeta. A gravidade
na superfície do planeta depende de alguns
fatores, em especial: da distância do ponto
estudado ao centro do planeta e da composição
de matéria (densidade) no interior do planeta e da
latitude do ponto que está sendo estudado. Para
essa etapa do curso vamos fazer a aproximação
que o valor da gravidade para pontos próximos à
superfície da Terra é uniforme e constante (igual
a 9,8m/s2).
6.1 FORÇA GRAVITACIONAL
Convencionaremos nesse tópico: que a força
gravitacional como a força gerada pela atração
da Terra com um segundo corpo. De acordo com
a notação habitual as grandezas vetoriais serão
escritas em negrito e os eixos coordenados x e y,
serão, em geral, representados de acordo com a
figura 7.1:
Figura 7.1 – Eixo X e Y
Analisaremos o movimento de um corpo em
queda livre, de acordo com a equação resultante
Sabemos que corpos massivos atraem-se
mutuamente. Embora seja a força de menor
intensidade é a força gravitacional a responsável
por “modelar” nosso universo físico em nível
macroscópico (forma dos planetas, sistemas
solares, galáxias, etc.).
da 2ª lei de Newton
,aplicada ao eixo y:
( )
Chamando a força gravitacional de Fg e a força
de resistência do ar de FAr, temos a situação da
figura 2 :
A respeito de interações entre corpos via contato
direto ou por meio de agentes físicos
destacaremos situações envolvendo resistência
ao movimento (atrito) e mediação de forças via
cordas, fios, cabos, etc.
6.2 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:
O objetivo desse capítulo é aplicar as leis de
Newton a algumas situações para análise de
algumas situações muito utilizadas no estudo
básico da mecânica newtoniana. Serão
abordadas os seguintes tipos de forças:




FORÇA GRAVITACIONAL
FORÇA NORMAL
ATRITO
TRAÇÃO
Figura 7.2 – Força gravitacional
FAr-Fg=m(-ay)
Desconsiderando a resistência do ar teremos:
Nesse caso a aceleração do movimento é
conhecida como aceleração da gravidade(g)
55
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
Sendo a única força atuando sobre o corpo a
força gravitacional é a própria força resultante Fr.
onde a é a aceleração à qual esta sujeito o
sistema.
6.3 FORÇA NORMAL
A força normal é definida como a força
que é produzida pelo contato com uma superfície
e é perpendicular à mesma, como mostra a figura
3:
Figura 7.3 – Força Normal
A força normal existe sempre que há contato
entre o corpo e a superfície de apoio,
independentemente de essa superfície ser ou
não horizontal. A direção da força é sempre
perpendicular
à
superficie
de
apoio.
Designaremos essa força por N.
Exercício 3: A força normal é igual à força
peso,em uma situação qualquer?Cite um caso
em que isso ocorra e outro que não ocorra,caso
haja.
Exercício 4:Ache a normal que é causada pelo
bloco
na
figura
7.4,
sabendo
que:g=10m/s²;m=2kg; a inclinação do plano onde
o bloco está é de 60°
6.4 ATRITO
O Atrito é a força que sempre oferece resistência
ao movimento, devido ao contato entre corpos,
superficies e/ou entre corpo e superfície (o atrito
também ocorre quando um objeto se desloca em
relação a um fuido viscoso).
O Atrito ocorre na direção em que o movimento
ocorre, ou tende a ocorrer. É importante dizer que
a força de atrito sempre se opõe ao
movimento ou à tendencia deste.
Temos a situação em que o atrito impede que
ocorra movimento entre as superfícies que estão
em contato. Esta é a situação conhecida como
atrito estático. Temos também a situação em
que ocorre deslizamento e/ou arraste entre as
superfícies em contato. Nesse caso dizemos que
há atrito cinético. Representaremos a força de
atrito estático como Fest e a força de atrito cinético
como Fcin.
A expressão que conhecemos para a força de
atrito decorre de observação e experiências. Não
há dedução de fórmula por princípios teóricos.
Propriedade 1: O atrito ocorre no contato entre
duas superfícies em contato sem lubrificação (a
lubrificação sempre de modo a diminuir o atrito).
Propriedade 2: Se há uma força aplicada F sobre
um corpo que está em contato com uma
superfície e não ocorre movimento (figura 7.4) a
força de atrito estático contrabalança à força
aplicada.
Propriedade 3: A magnitude da força Fest não é
constante, mas varia de um valor 0 até um valor
máximo dado por |Fest-max|=µest|N|. A constante µest
conhecida como coeficiente de atrito estático.
Propriedade 4: Como pode-se comprovar pela
experiência a força de atrito cinética é menor que
a força de atrito estática máxima, ou seja,
Fcin<Fest-max.
Em linguagem matemática podemos expressar
as propriedades nas seguintes fórmulas:
Fest-max= µestN; 0<Fest≤µestN; Fcin=µcinN; µest>µcin
56
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
A figura abaixo ilustra as três sentenças
as quais acabamos de tratar.
Figura 7.5 – Objeto submetido a uma força externa em
contato com uma superfície com atrito.
Nota-se que a Força de atrito aumenta à medida
que a força externa aumenta, até que se chega a
um limite,a partir daí o bloco entra em movimento
com a força de atrito aproximadamente
constante.
Obs.: Em geral consideramos a força de atrito
cinético constante, mas ele sofre certa variação,
dependendo da velocidade relativa entre as
superfícies em contato.
Paraque essas caracteristicas atribuidas
às cordas sejam válidas, temos que
admitir algumas hipóteses:
6.5 TENSÃO
Para os estudos de Física 1 tensão é a força
exercida numa corda,cabo ou fio. Para efeito de
resolução de problemas chamaremos a força
exercida através de uma corda como tensão
outras vezes como tração. No caso desse tipo de
aplicação a troca de termos não produz nenhum
prejuizo.
De maneira bastante breve, vamos enumerar as
caracteristicas da transmissão de forças via
corda.
I.

Para os casos que analisaremos, e
que normalmente são utilizados
em cursos básicos de física 1, as
cordas serão ideais o que implica:
suas massas são desprezíveis; e
as cordas são inextensíveis;

Se houver polia como nos casos
(b)
e
(c)
da
figura
acima,
desprezaremos a sua massa e
também perdaspor atrito.
A tensão sempre ocorre ao longo da
corda.
II.
A corda sempre puxa o objeto (não é
possível empurrar um objeto com uma
corda).
III.
A tensão sempre possui o mesmo valor
em módulo ao longo da corda.
57
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
6.6 EXERCÍCIOS
7.6.1 Perguntas conceituais
1. Pode um corpo permanecer em equilíbrio
quando somente uma força atua sobre ele?
Explique.
se você puxar bruscamente, o fio se rompe.
Explique isso usando as Leis de Newton para o
movimento.
2. Uma bola lançada verticalmente de baixo para
cima possui velocidade nula em seu ponto mais
elevado. A bola está em equilíbrio nesse ponto?
Por que sim ou porque não?
10. Um engradeado grande é suspenso pela
extremidade de uma corda vertical. A tensão na
corda é maior quando ele está parado, ou quando
ele sobe ou desce com velocidade constante?
Quando o engradeado se move na vertical, a
tensão na corda é maior quando o engradeado
está sendo acelerado ou quando a velocidade
diminui? Explique usando as Leis de Newton.
3. Quando um carro para repentinamente os
passageiros tendem a se mover para frente em
relação aos seus assentos. Quando um carro faz
uma curva abrupta para um lado os passageiros
tendem a escorregar para um lado do carro. Por
quê?
11. Um cavalo puxa uma carroça. Uma vez que a
carroça puxa o cavalo para trás com uma força
igual e contrária à força exercida pelo cavalo
sobre a carroça, por que a carroça não
permanece em equilíbrio, independentemente da
força que o cavalo imprime na carroça?
4. Algumas pessoas dizem que , quando um
carro para repentinamente, os passageiros são
empurrados para frente por uma ‘força de inércia’
(ou ‘força de momento linear’). O que existe de
errado nessa explicação?
5. Na Grécia Antiga, alguns pensavam que o
‘estado natural’ de um objeto fosse o repouso, de
modo que os objetos buscariam o seu estado
natural ficando em repouso quando soltos.
Explique por que essa visão pode muito bem
parecer plausível no mundo atual.
6. A aceleração de um corpo em queda livre é
medida no interior de um elevador subindo com
velocidade constante de 9,8 m/s. Que resultado é
obtido?
7. Por que o chute em uma rocha grande pode
machucar mais o seu pé do que o chute em uma
rocha pequena? A rocha grande deve sempre
machucar mais? Explique (inércia)
8. Por que motivo de segurança um carro é
projetado para sofrer esmagamento na frente e
na traseira? Por que não para colisões laterais e
capotagens?
9. Quando um peso grande é suspenso por um
fio no limite de sua elasticidade, puxando-se o fio
suavemente o peso pode ser levantado; porém,
12. Um caminhão grande e um automóvel
compacto colidem frontalmente. Durante a
colisão , o caminhão exerce uma força F(tc)
sobre o automóvel e o automóvel exerce uma
força F(ct) sobre o caminhão. As forças exercidas
entre eles possuem o mesmo módulo? Sua
resposta depende do valor das velocidades com
que eles colidem? Explique.
13. Em um cabo-de-guerra duas pessoas puxam
as extremidades de uma corda em sentidos
opostos. Pela terceira Lei de Newton, a força que
A exerce em B tem módulo igual à força que B
exerce em A.O que determina quem é o
vencedor? (Dica desenhe um diagrama de corpo
livre para cada pessoa)
14. Por que você é empurrado para frente
quando seu carro para de repente? Por que você
é pressionado para trás quando seu carro acelera
rapidamente? Na sua explicação, faça referência
à lei mais apropriada dentre as três leis de
Newton.
58
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
15. Uma casinha para alimentar pássaros possui
grande massa e está pendurada em um galho de
árvore, como mostrado no desenho.Um fio preso
ao fundo da casinha foi deixado solto e fica
balançando. Uma criança fica curiosa com o fio
balançando e puxa o fio tentando ver o que existe
dentro da casinha. O fio que fica balançando foi
cortado do mesmo carretel do que prende a
casinha ao galho. É mais provável que o fio entre
a casinha e o galho arrebente com um puxão
contínuo e lento, ou com um puxão repentino
para baixo. Apresente seu raciocínio.
16. A força externa resultante que age sobre um
objeto é nula. É possível que o objeto esteja
viajando com uma velocidade que não seja nula?
Se a resposta é sim, diga se há condições que
devam ser impostas ao módulo, direção e sentido
do vetor velocidade. Se a sua resposta for não,
forneça uma explicação para ela
17. Quando um objeto está se movendo para
baixo (a) com uma aceleração constante de 9,8
m/s² e (b) com uma velocidade constante de 9,8
m/s, há uma força resultante sendo aplicada ao
objeto? Explique.
18. Uma mala de 10 kg é colocada sobre uma
balança, dentro de um elevador. O elevador está
acelerando para cima ou para baixo quando a
leitura na balança é (a) 75N (b)120N? Justifique
suas respostas.
19. Uma pilha de livros cujo peso real é de 165N
é colocada em cima de uma balança, dentro de
elevador. A leitura da balança é de 165N.
Explique.
20. Suponha que você está dentro de um
elevador que está subindo com velocidade
constante. Uma balança dentro do elevador
mostra seu peso igual a 600N..(a)A balança
registra um valor maior , menor ou igual ao seu
peso durante o tempo em que o elevador diminui
de velocidade para alcançar o repouso? (b) Qual
a leitura quando o elevador está parado? (c)
Como o valor registrado na balança se compara
aos 600N durante o tempo em que o elevador
ganha novamente velocidade ao voltar para
baixo? Forneça seu raciocínio em cada um dos
casos.
21. Um peso está pendurado em um anel no
meio de uma corda, como ilustrado no desenho.
A pessoa que está puxando a extremidade direita
da corda conseguirá fazer a corda perfeitamente
horizontal? Explique sua resposta em termos das
forças que agem sobre o anel. (problema de
equilíbrio-estática)
22. De acordo com a terceira lei de Newton,
quando você empurra um objeto, o objeto
empurra você de volta com uma força na mesma
direção, em sentido contrário e de mesmo
módulo. Se o objeto for um engradeado de
massa grande
em
repouso
no
chão,
provavelmente não se moverá. Algumas pessoas
pensam que a razão pela qual o engradeado não
se move é porque as duas forças empurrando em
sentidos opostos se anulam. Explique por que
esta lógica é falha e por que o engradeado não
se move (entendimento da 3ª Lei e força de atrito)
7.6.2 Problemas:
23.Se um corpo-padrão de 1kg tem uma
aceleração de 2,00 m/s² a 20,0° com o semieixo
positivo, quais são (a) a componente x e (b) a
componente y da força resultante a que o corpo
está submetido e (c) qual é a força resultante em
termos dos vetores unitários? (trabalhando
vetores no contexto de força)
59
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
24. .Duas forças horizontais agem sobre um
bloco de madeira de 2 kg que pode deslizar sem
atrito na bancada de uma cozinha, situada em um
plano xy. Uma das forças é F1=3i+4j.Determine a
aceleração do bloco em termos dos vetores
unitários se a outra é: (a) F=-3i+(-4)j; (b) F=3i+4j; (c) F=3i+(-4)j.(obs.: todas as forças são
dadas em Newtons) (trabalhando vetores no
contexto de força)
25. Um objeto de 2 kg está sujeito a três forças,
que lhe imprimem uma aceleração(dada em m/s²)
a=-8i+6j. Se duas das três forças(dadas em
Newtons) são F=30i+16j ; G=-12i+8j. Determine
a terceira força. (trabalhando vetores no contexto
de força)
26. Em um cabo-de-guerra bidimensional, Alex,
Charles e Betty puxam horizontalmente um pneu
de automóvel nas orientações mostradas na vista
superior da figura abaixo. Apesar dos esforços da
trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alex
puxa com a força Fa de módulo 220N e Charles
puxa com uma força Fc de módulo 170N.
Observe que a orientação de Fc não é dada.
Qual é o módulo da força Fb exercida por Betty?
27. Um salame de 11 kg está pendurado por uma
corda em uma balança de mola, que está presa
ao teto por outra corda conforme mostrado na
figura (a) abaixo. Qual é a leitura da balança, cuja
escala está em unidades de peso?(b) Na figura
(b) abaixo o salame está suspenso por uma
corda por uma roldana e está presa a uma
balança de mola. A extremidade oposta da
balança está presa a uma parede por outra
corda. Qual é a leitura da balança? (c) Na figura
(c) abaixo a parede foi substituída por um
segundo salame de 11 kg e o sistema está em
repouso. Qual é a leitura da balança?
28. A figura abaixo mostra um arranjo no qual
quatro discos estão suspensos por uma corda. A
corda mais comprida, do alto, passa por uma
polia sem atrito e exerce uma força de 98N sobre
a parede à qual está presa. As tensões nas
cordas mais curtas são T1=58,8N T2=49N
T3=9,8N. Quais as massas (a) do disco A, (b) do
disco B, (c) do disco C e (d) do disco D?
29. Uma força horizontal constante Fa empurra
um pacote dos correios de 2kg sobre um piso
sem atrito onde um sistema de coordenadas xy
foi desenhado. A figura abaixo mostra as
componentes x e y da velocidade do pacote em
função do tempo. Qual o módulo e a orientação
de Fa?
30. Um “veleiro solar” é uma nave espacial com
uma grande vela que é empurrada pela luz do
sol. Embora o empurrão seja fraco em
circunstâncias normais, ele pode ser suficiente
para afastar a nave do sol em uma viagem
gratuita, mas muito lenta. Suponha que a nave
tenha uma massa de 900kg e receba um
empurrão de 20N. Calcule a aceleração
resultante, a distância que a nave percorre a
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PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
partir do repouso em um dia e a velocidade no
final do dia.
31. A tensão para a qual a linha de pescar
arrebenta é chamada de resistência da linha.
Qual a resistência mínima necessária para que a
linha faça parar um salmão de 85N de peso em
11cm se o peixe está se deslocando a 2,8 m/s?
32. Um trenó foguete de 500kg pode ser
acelerado por uma força constante do repouso
até 1600km/h em 1,8s. Qual o módulo da força?
33. Uma caixa com uma massa de 5kg sobe uma
rampa sem atrito que faz um ângulo α com a
horizontal. A figura abaixo mostra em função do
tempo a componente da velocidade da caixa ao
longo de um eixo orientado para cima ao longo
da rampa. Qual o módulo da força normal que a
rampa exerce sobre a caixa?
36. Dois blocos estão em contato com uma mesa
sem atrito. Uma força horizontal é aplicada ao
bloco maior como mostra a figura abaixo. (a) Se
m1=2,3kg, m2=1,2 kg e F=3,2N determine o
módulo da força entre os dois blocos. (b) Mostre
que se uma força de mesmo módulo de F for
aplicada ao bloco menor, no sentido oposto, o
módulo da força entre os dois blocos é de
2,1N.(c)Explique a razão da diferença.
37. A figura abaixo mostra dois blocos ligados por
uma corda (de massa desprezível) que passa por
uma polia sem atrito(também de massa
desprezível).O conjunto é conhecido como
máquina de Atwood. Um bloco de massa
m1=1,3kg; o outro tem massa m2=2,8kg. Quais
são (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b)
a tensão n corda?
34. Na figura abaixo, um bloco de massa m = 5
kg é puxado ao longo de um piso horizontal sem
atrito por uma corda que exerce uma força F de
módulo 12 N e ângulo θ=25° com a horizontal. (a)
Qual é o módulo da aceleração do bloco? (b) O
módulo da força é aumentado lentamente. Qual é
o seu valor imediatamente antes de o bloco
perder contato com o piso?(c) Qual é o módulo
da aceleração do bloco na situação do item (b)?
35. Na figura abaixo, três blocos conectados são
puxados para a direita sobre uma mesa
horizontal sem atrito por uma força de módulo
T3=65 N. Se m1=12kg , m2=24kg e m3=31kg,
calcule (a) o módulo da aceleração do sistema,
(b) a tensão e T1(c) a tensão T2.
38. Um bloco de massa M é puxado ao longo de
uma superfície horizontal sem atrito por uma
corda de massa m, como mostra a figura abaixo.
Uma força horizontal F age sobre uma das
extremidades da corda. (a) Mostre que a corda
deve
ficar
frouxa,
mesmo
que
imperceptivelmente. Supondo que a curvatura da
corda seja desprezível, determine (b) a
aceleração da corda e do bloco, (c) a força da
corda sobre o bloco e (d) a tensão na corda no
seu ponto médio.
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corda de massa desprezível a uma caixa de
dinheiro lavado(m=2kg) situada sobre um plano
sem atrito de ângulo β=60°.A polia não tem atrito
e tem massa desprezível. Calcule a tensão da
corda.
39. Um homem de 85 kg desce de uma altura de
10m em relação ao solo segurando em uma
corda que passa por uma roldana sem atrito e
está presa na outra extremidade a um saco de
areia de 65 kg. Com que velocidade o homem
atinge o solo se ele partiu do repouso?
40. A figura abaixo mostra três blocos ligados por
cordas que passam por polias sem atrito. O bloco
B está sobre uma mesa sem atrito. As massas
são ma=6 kg, mb8kg e mc=10kg. Quando os
blocos são liberados qual a tensão na corda da
direita?
41. figura abaixo mostra um homem sentado em
uma cadeira presa a uma corda de massa
desprezível, que passa por uma roldana de
massa e atrito desprezíveis e desce de volta às
mãos do homem. A massa total do homem e da
cadeira é de 95kg.Qual o módulo da força com
que o homem deve puxar a corda para que a
cadeira suba (a) com velocidade constante e (b)
com uma aceleração para cima de 1,3 m/s²?
43. Duas forças Fa e Fb são aplicadas a um
objeto cuja massa é de 8kg. A maior força é Fa .
Quando ambas as forças apontam para o leste o
objeto adquire aceleração de 0,5 m/s².
Entretanto, quando Fa aponta para leste e Fb
aponta para oeste a aceleração do bloco é de 0,4
m/s² para o leste. Determine o módulo das forças.
44. Apenas duas forças agem sobre um objeto de
m=3kg, como no desenho. Determine o módulo e
a aceleração (em relação ao eixo x) da
aceleração do objeto.
45. Um alpinista, durante a travessia entre dois
penhascos, faz uma pausa para descansar. Ele
pesa 535N. Como mostrado no desenho, ele está
mais próximo do penhasco da esquerda do que
do penhasco da direita, isto faz com que a tração
no trecho à esquerda da alpinista seja diferente
da tração no trecho à sua direita. Determine as
trações na corda à esquerda e à direita da
alpinista.
42.A figura abaixo mostra uma caixa de dinheiro
sujo(m=3 kg) sobre um plano inclinado sem atrito
de ângulo α=30°.A caixa está ligada por uma
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PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
46. O peso do bloco no desenho é igual a
88,9N.O coeficiente de atrito estático entre o
bloco e a parede vertical é de 0,560. (a) Qual a
força mínima F necessária para impedir que o
bloco deslize para baixo da parede? (Dica:A força
de atrito estático exercida sobre o bloco está
dirigida para cima, paralela à parede).
47. A velocidade de um trenó duplo está
aumentando porque ele possui uma aceleração
de 2,4 m/s².Em certo instante de tempo, as forças
de resistência ao movimento, incluindo atrito
cinético e resistência do ar, totalizam 450N.A
massa do trenó com piloto e copiloto é de
270kg.(a) Qual o módulo da força que impulsiona
o trenó para frente? (b) Qual o módulo da força
resultante que age sobre o trenó?
48. No desenho, o peso do bloco sobre a mesa é
de 422N e o bloco pendurado tem peso de 185N.
Ignorando todos os efeitos de atrito e supondo
que a roldana não possui massa, determine: (a) a
aceleração dos dois blocos e (b) a tração no
cabo.
51. Um bloco de 4,1 kg é empurrado sobre o piso
pela aplicação de uma força horizontal constante
de módulo 40N. A figura abaixo mostra a
velocidade do bloco v em função do tempo t
quando o bloco se desloca sobre o piso ao longo
de um eixo x. A escala vertical do gráfico é
definida por vs=5 m/s. Qual é o coeficiente de
atrito cinético entre o bloco e o piso?
52. O coeficiente de atrito estático entre o Teflon
e os ovos mexidos é cerca de 0,04. Qual é o
menor ângulo horizontal que faz com que os ovos
deslizem no fundo da frigideira revestida com
Teflon?
53. O bloco B da figura abaixo pesa 711N. O
coeficiente de atrito estático entre o bloco e a
mesa é de 0,25;o ângulo α é de 30°. Determine o
peso máximo de A para que o sistema
permaneça em repouso.
49. O piso de um vagão de trem está carregado
de caixas soltas, cujo coeficiente de atrito estático
com o piso é 0,25.Se o trem está se movendo
inicialmente com uma velocidade de 48 km/h,
qual é a menor distância na qual o trem pode ser
parado com aceleração constante sem que as
caixas deslizem?
50. Um bloco de 3,5kg é empurrado ao longo de
um piso horizontal por uma força F de módulo
15N que faz um ângulo de 40°com a horizontal
(figura abaixo). O coeficiente de atrito cinético
entre o bloco e o piso é 0,25. Calcule (a) o
módulo da força de atrito que o piso exerce sobre
o bloco e (b) o módulo da aceleração do bloco.
54. Os três blocos da figura abaixo são liberados
a partir do repouso. Aceleram com um módulo de
0,500 m/s². O bloco 1 tem massa M, o bloco 2
tem massa 2M e o bloco três tem massa 2M.
Qual o coeficiente de atrito cinético entre o bloco
2 e a mesa?
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PCNA-FÍSICA ELEMENTAR
55. O bloco A da figura abaixo Pesa 102N, e o
bloco B pesa 32N. Os coeficientes de atrito entre
o bloco A e a rampa são µs=0,56 e µk=0,25.O
ângulo de inclinação da rampa com a horizontal é
de 40°. Suponha que o eixo x é paralelo à rampa,
com o sentido positivo para cima. Em termos de
vetores unitários, qual é a aceleração de A se A
está inicialmente (a) em repouso, (b) subindo a
rampa e (c) descendo a rampa?
56. Qual o menor raio de uma curva sem
compensação(plana) que permite um ciclista a
29km/h faça a curva sem derrapar se o
coeficiente de atrito estático* entre os pneus e a
pista é de 0,32?
59. Um avião está voando em uma circunferência
horizontal com uma velocidade de 480
km/h(figura abaixo). Se as asas estão inclinadas
formando 40° com a horizontal, qual é o raio da
circunferência? Suponha que a força necessária
para manter esse avião na trajetória resulte
inteiramente de uma “sustentação aerodinâmica”
perpendicular à superfície das asas.
60. Um disco de metal de massa m=1,5 kg
descreve uma circunferência de raio r = 20cm
sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece
ligado a um cilindro de massa M=2,5 kg,
pendurado por um fio que passa no centro da
mesa(figura abaixo). Que velocidade do disco
mantém o cilindro em repouso?
57. Durante uma corrida de trenós nas
Olimpíadas de Inverno, a equipe jamaicana fez
uma curva de 7,6m de raio com uma velocidade
de 96,6 km/h.Qual foi a sua aceleração em
unidades de g?
58. Na figura abaixo, um carro passa com
velocidade constante por uma elevação circular e
por uma depressão circular de mesmo raio. No
alto da elevação a força exercida sobre o
motorista pelo assento do carro é zero. A massa
do motorista é de 70 kg. Qual é a força normal
exercida pelo motorista no banco quando ele
passa
pelo
fundo
do
vale?
61. As curvas das rodovias costumam ser
compensadas( inclinadas) para evitar que os
carros derrapem. Quando a estrada está seca a
força de atrito entre os pneus e o piso pode ser
suficiente para evitar derrapagens. Quando a
pista está molhada o coeficiente de atrito diminui
e a compensação se torna essencial. A figura
abaixo mostra um carro que se move com
velocidade escalar constante de 20 m/s em uma
pista circular compensada de raio 190 m. Se a
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força de atrito é desprezível, qual o menor ângulo
de inclinação para o qual o carro não derrapa?
GABARITO DE DINÂMICA
1ª Questão: conceitual
2ª Questão: conceitual
3ª Questão: conceitual
4ª Questão: conceitual
5ª Questão: conceitual
6ª Questão: conceitual
7ª Questão: conceitual
62. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg sobre um
plano sem atrito inclinado, de ângulo θ = 30,0º,
está preso por uma corda de massa desprezível,
que passa por uma polia de massa e atrito
desprezíveis, a um outro bloco de massa m2 =
2,30 kg. Quais são (a) o módulo da aceleração de
cada bloco, (b) a orientação da aceleração do
bloco que está pendurado e (c) a tensão da
corda?
8ª Questão: conceitual
9ª Questão: conceitual
10ª Questão: conceitual
11ª Questão: conceitual
12ª Questão: conceitual
13ª Questão: conceitual
14ª Questão: conceitual
15ª Questão: conceitual
16ª Questão: conceitual
17ª Questão: conceitual
63. A figura abaixo mostra uma caixa de massa
m2 = 1,0 kg sobre um plano inclinado sem atrito
de ângulo θ= 30º. Ela está ligada por uma corda
de massa desprezível a uma caixa de massa m1
= 3,0 kg sobre uma superfície horizontal sem
atrito. A polia não tem atrito e sua massa é
desprezível. (a) Se o módulo da força horizontal ⃗
é 2,3 N, qual é a tensão da corda? (b) Qual é o
maior valor que o módulo de ⃗ pode ter sem que
a corda fique frouxa?
18ª Questão: conceitual
19ª Questão: conceitual
20ª Questão: conceitual
21ª Questão: conceitual
22ª Questão: conceitual
23ª Questão: a) 1,88 N b) 0,68 N
24ª Questão: a) 0 b) 4j m/s² c) 3i m/s²
25ª Questão: a) H=-34i – 12j
26ª Questão: a) 241,65N
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27ª Questão: a) 107,91N
107,91N
b) 107,91N
c)
49 ª Questão: 36,26 m
50 ª Questão: a) 10,98 Nb) 0,146 m/s²
28ª Questão: a) 4Kg b) 1Kg c) 4Kg d) 1Kg
51 ª Questão: 0,536
29ª Questão: a) 11,66N a 59,04° no sentido
horário do eixo “x” positivo.
30ª Questão: a) 0,0222m/s² b) 8,3x10³m
1,92x10³m/s
c)
52 ª Questão: 2,29 °
53ª Questão: 102,63 N
54ª Questão: 0,37
31ª Questão: 308N
55ª Questão: a) 0 m/s2 b) -3,88 m/s2c) -1 m/s2
32ª Questão: 1,23x105N
56ª Questão: 20,72 metros
33ª Questão: 47,37 N
34ª Questão: a) 2,18 m/s2
m/s2
b) 116 N
c) 21
35ª Questão: a) 0,97 m/s2
34,92 N
b) 11,64 N
c)
36ª Questão: a) 1,097 N
conceitual
b) 2,1 N
c)
37ª Questão: a) 3,6 m/s2
b) 17,42 N
57ª Questão: a)9,67.g
58ª Questão: 1372 N
38ª Questão: a)conceitual b) F/M+m
c)MF/M+m
d) (2M+m)F/2(M+m)
59ª Questão: R= 2822,1 metros
60ª Questão: 12º
61 ª Questão: a) a= 0,735 m/s2b) A
aceleração do bloco é para baixo; c) T= 20,85
N
62 ª Questão: T= 3,1 N e F= 15 N
39ª Questão: 5,1 m/s
40ª Questão: 82 N
41ª Questão: a) 466 N
b) 527 N
42ª Questão: 16 N
43ª Questão: Fa = 3,6 N ;Fb = 0,4 N
44 ª Questão: a = 24,037 m/s²e θ = 56,3 ° obs.
Acredito que a questão queria saber a direção da
aceleração, no caso, representação vetorial
módulo e fase.
45 ª Questão: T1 = 845,35 N e T2 = 918,57 N
46 ª Questão: 158,75 N
47 ª Questão: a) 1098 N b) 648 N
48 ª Questão: a) 2,98 m/s² b) 128,32 N
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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