TEORIA DAS PROBABILIDADES Figura 1: Gráfico de pontos. Figura

TEORIA DAS PROBABILIDADES
Figura 1: Gráfico de pontos.
Figura 3: Polígono de frequências.
Figura 4: Função de distribuição de probabilidades
sobre o histograma.
A teoria das probabilidades estuda os modelos de
probabilidades, definidos pela função f(x), para os diferentes
processos ou fenômenos em estudo.
1) CONCEITOS BÁSICOS
1.1) Experimento Aleatório é um experimento no qual:
i)
todos os possíveis resultados são conhecidos;
ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados
possíveis;
iii) pode ser repetido em condições idênticas.
1.2) Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis
para um experimento aleatório.
É denotado por .
Pode ser:
- Discreto  Finito: formado por um conjunto finito de pontos;
Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos;
- Contínuo  formado por um conjunto não enumerável de
pontos.
1.3) Um Evento é um subconjunto do espaço amostral, associado a um
experimento.
É denotado por letras maiúsculas: A, B, E, . . .
a) Um Evento Complementar: o evento complementar de A é dado
pelo conjunto dos pontos que pertencem ao espaço amostral, mas
não pertencem a A. É denotado por Ac.
Ac  A = .
b) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se a
intersecção entre eles é vazia.
A  B = .
Exemplos:
Um dado equilibrado é lançado e seu número observado.
O espaço amostral é:  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Sejam os eventos:
A = O número observado é menor ou igual a 4, então, A = { 1, 2, 3, 4 }
B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 }
C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 }
Então, temos
A  B = { 2, 4 } e A  C = { 1, 3 }
B  C =   B e C são disjuntos
Bc = C, pois B  C = 
c) Evento elementar
Seja um espaço amostral finito  = { 1, 2, ..., N }. Então os
elementos  do espaço amostral são chamados de resultados
elementares.
Um evento é dito elementar se é formado por um único elemento
do espaço amostral, por exemplo:
A1 = { 1 }.
obs: o evento elementar é dado por um subconjunto unitário.
No lançamento de um dado equilibrado, cada um dos resultados
possíveis são eventos elementares:
A1 = { 1 }, A2 = { 2 }, A3 = { 3 }, A4 = { 4 }, A5 = { 5 }, A6 = { 6 }.
Assim sendo, temos que: A1  A2  A3  A4  A5  A6 = 
6
Ou seja:  A i  Ω .
i 1
Exemplos:
i) Experimento: numa comunidade carente conta-se o número de
pessoas abaixo da linha de pobreza;
A = { 0, 1, 2, . . . , N }, N = população da comunidade
Eventos:
A1 = ninguém abaixo da linha de pobreza
 A1 = { 0 }
A2 = no máximo cinco pessoas abaixo da linha de pobreza
 A2 = { 1, 2, 3, 4, 5 }
ii) Experimento: Na fabricação de celulares são contados os
aparelhos produzidos até que se encontre um defeituoso;
B = { 1, 2, 3, 4, . . . },
ou ainda
B = N*, N* = N – { 0 }
Eventos:
B1 = o aparelho defeituoso ocorre até o 10ª celular produzido
 B1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B2 = são produzidos no mínimo 200 aparelhos antes do celular
defeituoso
 B2 = { 201, 202, 203, . . . }, ou
 B2 = { X  N* | X > 200 }
iii)Experimento: No estudo a respeito de um tipo de câncer,
indivíduos são acompanhados e o tempo (em meses) até a
ocorrência da morte é observado;
C = { t  R | t  0 }
ou
C = { t  0 }
Eventos:
C1 = o indivíduo morre antes de completar 6 meses:
 C1 = { t < 6 }
C2 = o indivíduo sobrevive pelo menos 2 anos antes de morrer
 C2 = { t  R | t  24 }
Obs: Este é um exemplo de um espaço amostral contínuo, ou não
enumerável
2) PROBABILIDADES EM ESPAÇOS FINITOS
2.1) Definição Clássica de Probabilidade: seja A um evento associado
a um espaço amostral finito , então
número de pontos favoráveis a A
,
P A  
número total de pontos
PA  é a probabilidade de ocorrência do evento A e deve satisfazer:
a) 0  PA   1;
b) PΩ  1;
c) Se A e B são disjuntos, então, PA  B  PA   PB.
2.2) Definição Frequentista de Probabilidade: seja o evento A
associado a um experimento.
Suponha que esse experimento seja repetido n vezes e seja nA o
número de ocorrências do evento A.
A frequência relativa de A é dada por:
fA 
nA
,
n
0  f A  1.
Se n for grande, então a frequência
probabilidade de ocorrência de A, ou seja,
para n grande,
f A  P ( A) .
f A se aproxima da
2.3) Definição Subjetiva de Probabilidade:
Nas fundamentações clássica e frequentista, o cálculo da
probabilidade independe do observador.
(exemplos lançamento de um dado ou retirado de uma carta do baralho)
Em algumas situações, por outro lado, a repetição do experimento
simplesmente é impossível!
Exemplos:
i) Numa cirurgia, muitas vezes, deseja-se saber se o paciente vai ficar
bom ou o tempo até sua recuperação;
ii) O Brasil vai ser campeão mundial, em casa, na copa do mundo de
futebol de 2014;
iii) Será que vai chover amanhã?
Fenômenos naturais ou envolvendo pessoas normalmente são
imprevisíveis e difíceis (até mesmo impossíveis) de serem reproduzidos.
Nesses casos a probabilidade pode ser considerada subjetiva,
dependendo da crença do observador.
2.4) Propriedades de Probabilidade
i)
Se  é o espaço vazio, então:
P(vazio) = P() = 0;
ii) P(espaço amostral todo) = P() = 1;
iii) Se Ac é o evento complementar de A, então:
P(Ac) = 1 – P(A) e,
P(A) = 1 – P(Ac);
iv) Se A e B são eventos quaisquer, então:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
3) Métodos de Contagem
Quando o espaço amostral é equiprovável, ou homogêneo, o
cálculo de probabilidades se resumo nas contagens dos elementos de
cada um dos eventos e do espaço amostral.
Desta forma, é importante o domínio de algumas técnicas de
contagens.
i) Permutação: quando temos de permutar n elementos em n
posições diferentes
Pn,n  n!
n! n(n  1)(n  2) 1,
n! é o fatorial de n
ii) Arranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k
destes elementos e permutá-los
A n, k 
n!
 n(n  1)( n  2)  (n  k  1) .
(n  k )!
iii) Combinação: quando temos de escolher k, dentre n elementos
distintos, sem considerar a ordem
n
n!
Cn, k    
;
 k  k!(n  k )!
note que
Cn, k 
A n, k
.
Pk , k
4) PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA
Sejam A e B eventos quaisquer tais que PA   0 , então a
probabilidade de B condicionada à ocorrência do evento A é definida
por
P (B | A ) 
P (B  A )
.
P( A)
Lê-se: probabilidade de B dado A.
Nota: se dois eventos A e B são independentes, então a ocorrência
de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro e, neste
caso:
P(B | A)  P(B) ou P( A | B)  P( A) .
4.1) Regra Multiplicativa das Probabilidades: da probabilidade
condicional podemos escrever a probabilidade conjunta de A e B
por
− P( A  B)  P(B | A) P( A)
ou
− P( A  B)  P( A | B) P(B)
E, se A e B forem independentes, então
− P( A  B)  P( A) P(B) .
Exemplos:
i) Considere as informações da qualidade de um produto pela região de
procedência. O produto foi classificado como tipos A e B, sendo o tipo A
de melhor qualidade.
Qualidade
Tipo A
Tipo B
Total
Região
SE
118
42
160
S
52
23
75
CO
54
11
65
Total
224
76
300
Se um fornecedor é sorteado ao acaso para verificação, qual é a
probabilidade de que:
a) Seja de qualidade Tipo A?
P(A) 
224
 0.7467
300
b) Seja procedente da região S?
P(S) 
75
 0.25
300
c) Seja de qualidade Tipo B e da região CO?
P(B  CO) 
11
 0.0367
300
d) Seja da região S ou de qualidade Tipo A?
P(A  S) 
75  224  52 247

 0.8233
300
300
e) Sabendo que o fornecedor escolhido é da região SE, qual a
probabilidade de que seja de qualidade do Tipo B?
P(B | SE) 
42 / 300
42

 0.2625
160 / 300 160
f) Se a amostra não é de região S, qual é a probabilidade de que seja
de qualidade do Tipo A?
P[A | (SE  CO)] 
P[( A  SE)  (A  CO)]
P(SE  CO)
P[A | (SE  CO)] 
(118  54) / 300 172

 0.7644
(160  65) / 300 225
ii) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com quatro
alternativas, sendo uma só correta. A probabilidade de que saiba a
resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, vai “chutar”.
Definindo:
A = o aluno acerta a questão;
S = o aluno sabe a resposta.
a) Qual a probabilidade dele acertar a questão?
P(A) = P(acertar sabendo ou acertar chutando)
P(A) = P(acertar sabendo) +P(acertar chutando)
P(A) = P(A | S) P(S) + P(A | Sc) P(Sc)
P(A) = (1.0)(0.3) + (0.25)(0.7) = 0.475
* Esse resultado é conhecido como “lei da probabilidade total ”.
Na prática a lei da probabilidade total soma as parcelas da
probabilidade de um evento em todas as subpopulações.
b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele
realmente saiba a resposta?
P(S | A) 
P(S  A)
0.3

 0.632
P(A)
0.475
* Esse resultado é conhecido como “teorema de Bayes”.
O teorema de Bayes divide a parcela do evento, sobre a qual
desejamos calcular a probabilidade, pela probabilidade total do evento
Teorema de Bayes: Seja um evento A ocorrendo sobre parcelas
disjuntas do espaço amostral .
A
Assim, podemos escrever A como sendo:
A  (A  E1)  (A  E2 )  (A  E3 )  (A  E4 )  (A  E5 )
em que,
P(A)  P[( A  E1)  (A  E2 )  (A  E3 )  (A  E4 )  (A  E5 )]
é a probabilidade total.
O teorema de Bayes se deve ao Revendo Inglês Thomas Bayes,
num trabalho publicado em 1763, e que recebe o seu nome em sua
homenagem.
Os exercícios a seguir são para resolver em sala
iii) Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infectadas por um
vírus causador de uma doença muito grave. Um teste para detecção
do vírus é eficiente em 99% dos casos nos quais os indivíduos são
infectados, mas resulta em 2% de resultados positivos para os não
infectados (falsos positivos).
a) Uma pessoa dessa população que não tem nenhum sintoma faz o
teste preventivamente. Qual é a probabilidade de que essa pessoa
esteja infectada?
b) Sabendo que o teste dessa pessoa deu positivo, qual a
probabilidade de que ela seja da fato infectada?.
iv) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e
seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30
anos:
a) Ambos estejam vivos
b) Ao menos um esteja vivo.
c) Só o homem estar vivo.
v) Um dado equilibrado é lançado 12 vezes. Calcule a probabilidade de
se obter:
a) Dois seis.
b) Quatro seis.
c) Pelo menos dois seis.
d) No máximo três seis.
Diagrama em árvore para o exercício (iii)
5) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS DE PROBABILIDADE
5.1) Variáveis aleatórias: uma variável aleatória (v.a.) é uma
característica numérica que associa valores do conjunto dos
números reais aos eventos em Ω.
A v.a. representa uma característica individual das unidades
de uma população, que podem ser observadas através de uma amostra.
Exemplos de v.a.’s:
X = número de indivíduos abaixo da linha da pobreza numa amostra de
80 pessoas de uma comunidade;
T = tempo de sobrevida de pacientes com câncer de pulmão;
Y = número de pessoas que votam no candidato Zelão;
R = renda familiar em salários mínimos, numa amostra de pessoas de
uma população rural;
W = número de nascimentos do sexo feminino de uma maternidade, no
período de um dia;
Z = número de dias de estiagem até a ocorrência de chuva em São
Carlos.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como
discretas e contínuas segundo a natureza do espaço amostral:
i) v.a.’s discretas assumem valores em espaços discretos e,
normalmente, são definidas por uma contagem;
ii) v.a.’s contínuas assumem valores em espaços contínuos e,
normalmente, são definidas por uma mensuração.
5.2) Função de probabilidade e função densidade: a função de
probabilidade e a função densidade são funções que associam
probabilidades a uma v.a.
a) A função de probabilidade, denotada por p(x), é uma função
que associa probabilidades diretamente aos possíveis valores de
uma v.a. discreta X, sendo definida por:
p(x) = P(X = x)
Exemplo: Considere os nascimentos, independentes, de três crianças e
seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses
3 nascimentos:
Espaço amostral:
Ω = {(FFF), (FFM), (FMF), (MFF), (FMM), (MFM), (MMF), (MMM)}
Neste caso o espaço amostral é equiprovável, pois cada um de seus
elementos tem mesma probabilidade.
Considerendo que P(F) = P(M) = 1/2, e que os nascimentos são
independentes, temos que:
P(FFF) = P(F)×P(F)×P(F) = 1/8.
Obs: O mesmo vale para todos os demais elementos de Ω, resultando
P(FFF) = P(FFM) = P(FMF) = P(MFF) = P(FMM) =
P(MFM) = P(MMF) = P(MMM) = 1/8
Associando a este espaço amostral a v.a.
X = número de crianças do sexo feminino dentre os três nascimentos,
temos:
Tabela: Função de probabilidade para uma v.a. discreta
Elementos de Ω
Valores de X
Probabilidade p(x)
(FFF)
3
1/8
(FFM), (FMF), (MFF)
2
3/8
(FMM), (MFM), (MMF)
1
3/8
(MMM)
0
1/8
Desta forma, a função p(x) = P(X = x), dada pela tabela acima,
associa as probabilidades aos possíveis valos de X.
b) A função densidade, denotada por f(x), associa
probabilidades a intervalos de valores de uma v.a. contínua X,
sendo dada pela área1 abaixo de sua curva (ver figura):
A função densidade recebe, ainda, os nomes: função densidade
de probabilidade ou função distribuição de probabilidade
(fdp).
Nota: Um exemplo de função densidade de uma v.a. contínua será visto
mais adiante.
1
A operação matemática que calcula a área sob a curva de uma função f(x) é a integral:
P(a  X  b) =
b
 f ( x)dx .
a
5.3) Principais modelos discretos de probabilidade: o modelo
binomial.
Seja X uma v.a. discreta, porém, para a definição do modelo
binomial é que necessário que, antes, seja definido o que um ensaio de
Bernoulli.
Ensaios de Bernoulli são ensaios (ou experimentos) nos quais temos
apenas dois resultados possíveis:
 sim/não;
 presença/ausência;
 ocorre/não ocorre;
 pertence/não pertence;
 0 ou 1.
Ao realizarmos um ensaio de Bernoulli estamos interessados em
apenas um apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso
sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de
fracasso.
Por exemplo, a característica de interesse pode ser:
 a presença de uma doença;
 um hábito de comportamento ou de consumo;
 uma característica física;
 um defeito ou falha ;
 o resultado de uma medição classificado por um ponto de corte.
 etc...
Para um ensaio de Bernoulli temos associadas as seguintes
probabilidades:
p = P(sucesso) e (1 – p) = P(fracasso)
A observação individual desta característica de interesse para os
elementos da amostra caracteriza realizações independentes de
ensaios de Bernoulli.
O modelo binomial é caracterizado pela realização de n ensaios
independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e
fracasso), para os quais P(sucesso) = p é constante.
Seja a v.a. X que conta os sucessos num número fixo de
ensaios independentes de Bernoulli.
Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
Notação: X  binomial(n; p).
A função de probabilidade binomial é dada pela fórmula:
n x
P(X = x) =   p (1 – p)n – x,
 x
x = 0, 1, 2, ..., n.
Exemplos:
i) Considere o exemplo dos nascimentos, independentes, de três
crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo
feminino nesses 3 nascimentos:
Podemos notar que o sexo tem apenas dois resultados possíveis:
masculino e feminino.
Como o interesse está no nascimento de crianças do sexo feminino,
então, o evento caracterizado como sucesso será exatamento o
nascimento do sexo feminino.
Logo, a v.a. X = número de bebês do sexo feminino dentre os três
nascimentos tem distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p = 1/2.
Ou seja:
X  binomial(3; 0.5).
e, a sua fnção de probabilidade é definida como:
 3
x
3 x
P(X = x) =  0.5 1  0.5 ,
 x
x = 0, 1, 2, 3.
Assim, as probabilidades para cada um dos possíveis valores de X
sãocalculadas por:
 3
1
0
3 0
 0.53  ;
 P(X = 0) =  0.5 1  0.5
8
 0
 3
3
1
31
 P(X = 1) =  0.5 1  0.5  3  (0.5)3  ;
8
1
 3
3
2
3 2
 3  (0.5)3  ;
 P(X = 2) =  0.5 1  0.5
8
 2
 3
 3
 P(X = 3) =  0.5 1  0.5
3 3
3
1
 0.53  .
8
Resolvendo as frações, temos:
 x  0,
 x  1,


 x  2,
 x  3,
p(0)  P( X
p(1)  P( X
p(2)  P( X
p(3)  P( X
 0)  0.125
 1)  0.375
 2)  0.375
 3)  0.125
Gráfico da função de probabilidade:
ii) Suponha que uma característica genética é determinada por um par
de genes, sendo D o gene dominante e d o gene recessivo. Assim
sendo, DD é dominante puro; Dd é híbrido e dd recessivo puro. Sabese, ainda, que essa característica é determinada pelo gene recessivo.
Uma família na qual os pais são ambos híbridos tem quatro filhos,
determine:
a) A distribuição de probabilidade e os seus parâmetros.
Qual é a probabilidade de que:
b) três dos filhos tenham a característica genética;
c) no máximo dois dos filhos tenham a característica.
Com os dois pais híbridos, ou seja, ambos Dd, temos as seguintes
possibilidades de cargas genéticas para os filhos:
Considerando, ainda, P(D) = P(d) = 1/2, temos as seguintes
probabilidades associadas:
2

1
1
P
(
DD
)
=


 
4
2

2

1
1
P
(
Dd
)
=
2

 

2
 2

2

1
1
P
(
dd
)
=




4
 2

Filho
probabilidade
Dominante puro
DD
1/4
Hibrído
Dd
1/2
Recessivo puro
dd
1/4
a) Como a característica genética é determinada pelo gene
recessivo, ela só vai se manifestar se o filho for dd. Assim sendo,
teremos uma probabilidade igual a 0.25 de que um filho apresente
a característica.
Seja a v.a. X = número de filhos com a característica genética dentre
os quatro irmãos.
Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p = 0.25.
X  binomial(4; 0.25).
e, a sua fnção de probabilidade é dada por:
 4
 x
p(x) = P(X = x) =  0.25  0.75 
x
4 x
,
x = 0, 1, 2, 3, 4.
b) Probabilidade de que três filhos apresentem a característica.
 4
P( X  3)   0.25 3 0.75 1
 3
P( X  3)  4  (0.0156 )  (0.75)  0.0469
c) Probabilidade de que, no máximo dois filhos tenham a
característica.
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)
ou, ainda,
P( X  2)  1  P( X  3)  1  P( X  3)  P( X  4)
Como P( X  4)  0.0039 , então:
P( X  2)  1  0.0469  0.0039   0.9492
6. Principais modelos contínuos: a distribuição Normal.
Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com
parâmetros  e 2 se a sua f.d.p. for:
f x 
2
1
e  x 
 2
22
,    x   ,       e 2  0 .
Notação: X  normal( ; 2)
ou
X  N( ; 2).
As principais características da distribuição normal são:
i) X tem média  e variância 2;
ii) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);
iii) a função muda sua curvatura nos pontos ( – ) e ( + );
iv) tem o conhecido formato de sino com probabilidade de
aproximadamente 95% entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).
A função de distribuição acumulada F(x) do modelo normal não pode
ser determinada algebricamente, o que dificulta o cálculo das
probabilidades, pois
F(x) = P(X  x)
No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas:
Resultado: a transformação a seguir padroniza a v.a. normal
Z
X 
.

Fazendo com que Z tenha média igual a 0 e variância igual a 1.
Com este resultado, basta construir uma única tabela de
probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as
probabilidades para uma v.a. normal qualquer.
Exemplos:
i) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e variância
16, ou seja, X  N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:
a) P(X  225)
X  220 225  220 
P(X  225) = P

  PZ  1.25 = 0.8943

4
4

b) P(210  X  228)
210  220 X  220 228  220 


P(210  X  228) = P


4
4
4

 P 2.50  Z  2.00 
 PZ  2.00  PZ  2.50  0.9773 – 0.0062 = 0.9711
c) Qual o valor de k tal que P(X  k) = 0.01?
X  220 k  220 
P(X  k) = P

 = 0.01,

4
Da tabela temos que
4

k  220
 2.33
4

k = 210.38
d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que
P(k1  X  k2) = 0.95?
k  220
k  220 
Z 2
P(k1  X  k2) = P 1
 = 0.95,

4
Da tabela temos que P Z 

4

k1  220 
k  220 

  P Z  2
 = 0.025,
4 
4


e,
k1  220
 1.96  k1 = 212.16
4
Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então
k 2  220
 1.96  k2 = 227.84
4
ii) Suponha que a renda de uma população (em s.m.) tenha
distribuição N 4; 0.36 . Qual a probabilidade de que:
a) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda
inferior a 2.87sm?
b) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda
superior a 5.05sm?
c) Qual a proporção de pessoas com renda entre 2.8 e 5.2
sm’s?
a) P(X < 28.7)
28.7  40 
P(X < 28.7) = P Z 
  PZ  1.88 = 0.0301

6

b) P(X > 50.5)
50.5  40 
P(X > 50.5) = P Z 
  1  PZ  1.75 = 0.0401

6

c) P(28 < X < 52)
P(28 < X < 52) = P 2.0  Z  2.0  PZ  2.0  PZ  2.0
= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545
iii) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem
distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e
desvio padrão de 2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa
deseja fixar a garantia do produto de forma que, no máximo
5% dos televisores apresentem problemas abaixo desse limite.
a) Encontre o limite de garantia L?
P(X < L) = 0.05
L  35 

P Z 
  0.05
2.675 


L  35
 1.645
2.675
 L  35  (1.645)  (2.675)
 L = 30.6 mil horas ( 3.5 anos)
b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para
reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto
deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que,
mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaixo
do limite garantia caia pela metade?
P(X < 30.6) = 0.025
30.6  35 

P Z 
  0.025
* 



30.6  35
 1.96
*
 4.4
 1.96
*
 * = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)
Definição:
Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então, Z é tal
que
P(Z  Z) = 
Principais quantis da distribuição Normal

 = 0.01
 = 0.025
 = 0.05
 = 0.95
 = 0.975
 = 0.99
Quantil
1%
2.5%
5%
95%
97.5%
99%
Z
Z0.01 = –2.33
Z0.025 = –1.96
Z0.05 = –1.645
Z0.95 = 1.645
Z0.975 = 1.96
Z0.99 = 2.33
Obs: 1) Note que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;
2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo
comando: qnorm(), 0    1.
iv) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo
que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média
1005g e desvio padrão 12g.
a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g
abaixo da média?
b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no
máximo 2 estejam abaixo de 990g?
c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas
5% dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve
diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido?
d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a
opção seria aumentar a média para atender a especificação.
De quanto deve ser a nova média?
e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se
espera seja o aumento na perda do empacotador em uma
tonelada do produto.