GEOMETRIA

GEOMETRIA
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Definições
Mediatriz (de um segmento): conjunto de pontos que estão à mesma distância de dois pontos unidos
por um segmento de recta. É uma recta e é perpendicular a este segmento no seu ponto médio.
Ceviana (de um triângulo): é um segmento de recta que une um vértice de um triângulo ao lado
oposto.
Bissectriz (de um ângulo): é uma recta que divide um ângulo dado ao meio.
Altura (de um triângulo): ceviana que é perpendicular a um lado do triângulo.
Mediana (de um triângulo): ceviana que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo.
Incentro (de um triângulo): intersecção das bissectrizes.
Ortocentro (de um triângulo): intersecção das alturas.
Baricentro (de um triângulo): intersecção das medianas.
À circunferência que passa pelos vértices de um polígono chamamos circunferência circunscrita ou,
mais simplesmente, circuncircunferência. À circunferência tangente aos lados do polígono chamamos
incircunferência, ou circunferência inscrita. (Nota: o circuncentro de um triângulo é encontrado
através da intersecção das mediatrizes do triângulo. O incentro de um triângulo será a intersecção das
bissectrizes.)
Um polígono chama-se cíclico se tem uma circuncircunferência.
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Notações
Seja ∆[ABC] um triângulo. Diremos que a é a medida do lado oposto ao vértice A, b a medida do
lado oposto ao vértice B e c a medida do lado oposto ao vértice C.
Diremos, também, que o ângulo em A tem de amplitude Â, em B amplitude B̂ e em C amplitude
Ĉ.
A circunferência de raio R será a circunferência circunscrita ao triângulo ∆[ABC]. A circunferência
inscrita terá raio genérico r.
A letra minúscula s denota o semi-perímetro de um dado polígono.
A letra maiúscula A denota a área de um dado polígono.
A letra maiúscula O representa o circuncentro de um triângulo.
A letra maiúscula I representa o incentro de um triângulo.
A letra maiúscula G representa o baricentro de um triângulo.
A letra maiúscula H denota o ortocentro de um triângulo.
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Teoremas
Teorema (do Arco Capaz):
Considere-se uma circunferência de centro O e raio arbitrário, e sejam A, B e C três pontos dessa
circunferência. Então:
1. Se A e O estão do mesmo lado da recta BC então tem-se B ÂC = 21 B ÔC.
2. Se A e O estão em lados opostos da recta BC então tem-se B ÂC = 180 − 12 B ÔC.
Teorema (dos Senos):
Seja ∆[ABC] um triângulo. Tem-se que:
a
= sinb B̂ = sinc Ĉ = 2R
sin Â
Teorema (da Bissectriz):
Seja ∆[ABC] um triângulo. A bissectriz do ângulo em A intersecta o lado BC em L. Então:
BL
= cb
LC
Pelo Teorema acima:
ac
1. BL = b+c
ab
2. LC = b+c
Teorema (dos Cosenos):
Seja ∆[ABC] um triângulo. Tem-se que:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B̂
c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ
Pelo Teorema acima:
2
2
2
1. cos  = b +c2bc−a
2
2 −b2
2. cos B̂ = a +c
2ac
2
2 −c2
3. cos Ĉ = a +b
2ab
Teorema (de Stewart):
Sejam ∆[ABC] um triângulo e AX uma ceviana de comprimento d. Sejam m = BX, n = XC.
Tem-se que:
bmb + cnc = dad + man ⇔ b2 m + c2 n = d2 a + man
(Mnemónica: bomb cinc dad man → Salomé Afonso).
Fórmulas (de Heerão):
Seja ∆[ABC] um triângulo. Tem-se que:
1. A2 = s(s − a)(s − b)(s − c)
2. 16A2 = 2(a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ) − a4 − b4 − c4
Fórmulas (para calcular a área de um triângulo):
B̂
1. A = ac sin
2
2. A = rs
3. A = abc
4R
Definição (Potência do ponto):
Seja P um ponto e t uma recta por P que intersecta uma circunferênca C de centro O em A e B.
A potência do ponto P relativamente à circunferência C denota-se por P ot(P, C) e é dado por:
2
2
P ot(P, C) = OP − OA
(nota que OA é o raio da circunferência descrita acima)
2
Teorema (da Corda):
P ot(P, C) = P A × P B
Eixo Radical:
O eixo radical de duas circunferências, C1 e C2 é o conjunto dos pontos P tais que as tangentes por
P às duas circunferências têm o mesmo comprimento. Por outras palavras, é o conjunto dos pontos
P que tais que P ot(P, C1 ) = P ot(P, C2 ). É sempre uma recta.
Lemas:
1. O eixo radical de duas circunferências é perpendicular à recta que une os centros das duas
circunferências.
2. Se C1 e C2 se intersectam em dois pontos, o eixo radical é a recta definida pelos pontos de
intersecção.
3. Para cada ponto no eixo radical, existe uma e uma só circunferência centrada no ponto da dita
recta que é ortogonal às outras duas. Por outro lado, se uma circunferência é ortogonal a outras duas,
então o seu centro está no eixo radical.
4. Centro Radical: Ao traçarmos os eixos radicais de 3 circunferências, duas a duas, as 3 rectas
obtidas intersectam-se num único ponto. Este ponto tem potências iguais relativamente às 3 circunferências.
Teorema (de Ceva):
Seja ∆[ABC] um triângulo. As cevianas AX, BY e CZ intersectam-se num ponto sse:
BX CY
·
· AZ = 1
XC Y A ZB
Teorema (Trig Ceva):
Seja ∆[ABC] um triângulo. As cevianas AX, BY e CZ intersectam-se num ponto sse:
sin C ÂX sin AB̂Y
·
· sin B ĈZ = 1
sin X ÂB sin Y B̂C sin Z ĈA
Teorema (de Menelaus):
Sejam ∆[ABC] um triângulo, e X ∈ BC, Y ∈ AC e Z ∈ AB três pontos. X, Y e Z estão
colineares sse:
BX CY
·
· AZ = −1
XC Y A ZB
Teorema (de Varignon):
Os pontos médios de um quadrilátero são os vértices de um paralelogramo. Este paralelogramo
tem perímetro igual à soma das diagonais do quadrilátero e a sua área é igual a metade da área do
quadrilátero.
Teorema (de Ptolomeu):
Seja [ABCD] um quadrilátero de diagonais AC e BD. Então,
AB × CD + BC × DA = AC × BD
sse [ABCD] é cíclico.
Lei (do paralelogramo):
Seja [ABCD] um paralelogramo com lados de comprimento a e b e diagonais de comprimento d1
e d2 . Então:
d21 + d22 = 2a2 + 2b2
Lema:
Um quadrilátero [ABCD] tem incircunferência sse:
AB + CD = BC + AD
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Teoremas (de Brahmagupta):
1. A área de um quadrilátero cíclico com lados de medidas a, b, c e d e semi-perímetro s é dada
por:
A2 = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
2. Num quadrilátero cíclico com diagonais perpendiculares, a recta que passa pelo ponto de
intersecção das diagonais e é perpendicular a um dos lados do quadrilátero bissecta o lado oposto.
Teorema (de Miquel):
Sejam a, b, c e d quatro rectas complanares, de modo que não há duas paralelas nem três concorrentes. Os circuncírculos dos quatro triângulos determinados pelas quatro rectas passam por um
mesmo ponto M , o ponto de Miquel.
Teorema (de Euler):
2
OI = R2 − 2Rr
Desigualdade (de Euler):
R ≥ 2r. Igualdade sse o triângulo for equilátero.
Teorema (de Leibniz):
2
OG = R2 − 19 a2 + b2 + c2
Desigualdade (de Leibniz):
9R2 ≥ a2 + b2 + c2 . Igualdade sse G ≡ H, i.e., sse o triângulo é equilátero.
Lema:
Num triângulo ∆[ABC] verifica-se:
ab + bc + ca = s2 + r2 + 4rR.
Lema:
Num triângulo ∆[ABC] verifica-se:
cos  + cos B̂ + cos Ĉ = Rr + 1.
Lema:
Sejam ∆[ABC] um triângulo e A0 o ponto médio de [BC]. Tem-se que:
AH = 2A0 O.
Teorema (Recta de Euler):
O ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão sobre uma recta, chamada recta de Euler. Além
disso, HG = 2GO.
Circunferência (dos 9 pontos):
Os pés das alturas de um triângulo, os pontos médios dos lados e os pontos médios dos segmentos
que unem vértices ao ortocentro, são 9 pontos que estão sobre uma recta, de raio 12 R. O centro desta
circunferência está sobre a recta de Euler e é o ponto médio de [OH].
Definição (Conjugado Isogonal):
Seja ∆[ABC] um triângulo. O conjugado isogonal em relação a ∆[ABC] de um ponto T do plano
de ∆[ABC] é obtido reflectindo as rectas T A, T B e T C em relação às bissectrizes internas de ∆[ABC]
que passam por A, B e C, respectivamente. As rectas resultantes são concorrentes no isogonal T −1
de T .
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Teorema (Fundamental dos Conjugados Isogonais):
Dadaos um triângulo e três rectas que passam pelos respectivos vértices e concorrem num ponto
P , as rectas isogonais a elas, obtidas através da relexão em relação à bissectriz interna correspondente,
são concorrentes no conjugado isogonal P −1 de P .
Lemas:
1. O conjugado isogonal do incentro é ele mesmo.
2. O ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais.
3. Ponto de Lemoine: O conjugado isgonal do baricentro é o ponto de Lemoine. Este ponto é
normalmente denotado por K.
Desigualdade (de Erdös-Mordell):
Sejam P um ponto no plano do triângulo δ[ABC] e da , db e dc as distâncias de P às rectas BC,
CA e AB, respectivamente. Então:
P A + P B + P C ≥ 2(da + db + dc ).
Desigualdades:
√
1. 4 3A ≤ a2 + b2 + c2
2. (a + b + c)( a1 +
1
b
+
1
x
3.
AD
HD
+
BE
HE
+
CF
HF
≥9
4.
HD
HA
+
HE
HB
+
HF
HC
≥
≥9
3
2
5. (a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) ≤ abc
6. cos  + cos B̂ + cos Ĉ ≥
3
2
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