Exerc´ıcios de Análise Funcional Conteúdo 0 Exemplos de espaços

Exercı́cios de Análise Funcional
2o Semestre 2011/2012
Prof. Paulo R. Pinto
http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/
Conteúdo
0 Exemplos de espaços lineares
1
1 Espaços métricos e espaços normados
1
2 Espaços de Banach
2
3 Espaços de Hilbert
5
4 Teoria de Operadores
8
5 Álgebras de Operadores
9
0
Exemplos de espaços lineares
0.1 Seja X um espaço linear de dimensão finita. Mostre que o operador linear canónico
φ : X → X ?? é bijectivo (injectivo e sobrejectivo).
0.2 Mostre as seguintes inclusões enquanto subespaços lineares, com a medida de Lebesgue
em I = [0, 1] e:
Pn (I)
P(I)
C ∞ [0, 1]
c00
l1
C 1 (I)
c0
c
L∞ (I)
C(I)
l∞
s,
l1
Lq (I)
lp
Lp (I)
lq
L1 (I)
F,
l∞
com 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, ilustrando que são estritas (com exemplos).
0.3 a) Verifique que dado x ∈ c, existe y ∈ c0 e um escalar λ tais que
x = y + λ(1, 1, ..., 1, ...),
verifique que c = c0 ⊕ c1 , onde c1 = h(1, 1, ..., 1, ...)i designa o subespaço linear de c gerado
pelo vector (1, 1, ..., 1, ...).
b) Calcule dim(c/c0 ).
1
Espaços métricos e espaços normados
1.1 Seja (X, || · ||) um espaço normado. Dados x ∈ X e r > 0, mostre que
B(x, r) = x + rB(0, 1).
1
1.2 Esboce em R2 cada um os conjuntos:
B1 (0, 1) = {x ∈ R2 : ||x||1 ≤ 1}, B2 (0, 1) = {x ∈ R2 : ||x||2 ≤ 1} e
B∞ (0, 1) = {x ∈ R2 : ||x||∞ ≤ 1}.
1.3 Sejam (X, dX ) e (Y, dY ) espaços métricos e para x = (x1 , y1 ), y = (x2 , y2 ) ∈ X × Y
considere d1 , d2 e d3 definidas como se segue:
d1 (x, y)) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ), d2 (x, y) = max{dX (x1 , x2 ), dY (y1 , y2 )},
p
d3 (x, y) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2 .
a) Prove que d1 , d2 e d3 são métrcas em X × Y .
b) Prove que d2 (x, y) ≤ d3 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ 2d2 (x, y).
1.4 Seja (X, d) um espaço métrico. Prove a desigualdade quadrangular:
|d(x, y) − d(a, b)| ≤ d(x, a) + d(y, b).
1.5 Seja (X, d) um espaço métrico. Prove que d(x, y) :=
d(x,y)
1+d(x,y)
define uma métrica em X.
1.6 a) Seja X um espaço normado. Prove que a bola B(0, 1) é um conjunto convexo.
R1
b) Para 0 < p < 1 considere Lp [0, 1] = {f : 0 |f (t)|p dt < ∞}. Mostre que Lp [0, 1] é espaço
R1
linear métrico, usando a seguinte distânica d(f, g) = 0 |f − g|p dt.
c) Verifique se a bola B(0, 1) é um conjunto convexo, em Lp [0, 1].
d) Será que esta métrica de Lp provêm de alguma norma?
1.7 Seja X um espaço linear. Mostre que podemos sempre munir X de uma norma.
1.8 Considere o conjunto X =]0, 1[ munido com a métrica usual d(x, y) = |x − y|. Mostre
que a sucessão (xn ) definida por xn = 1/n é de Cauchy em X; no entanto, X não é um
espaço métrico completo. Qual é o espaço completado de X?
2
Espaços de Banach
2.1 Num espaço normado, prove que | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. Conclua que
xn → x =⇒ ||xn || → ||x||.
2.2 Mostre que todo o espaço linear X tem uma estrutura de espaço normado.
2.3 Prove que para x ∈ Kn temos
||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤
√
n||x||2 ≤ n||x||∞ .
2.4 Seja (X, || · ||) um espaço normado e (xn ) uma sucessão de Cauchy em X. Prove que se
(xn ) tem um subsucessão convergente, então (xn ) é convergente.
2
R2
|f (t)|dt define uma norma
2] não é
 em C[0, 2]. Mostre que C[0,
1
0
se
t
∈
[0,
1
−
]

n
nt − n + 1
se t ∈ (1 − n1 , 1]
um espaço de Banach. Sug.: use a secessão fn (t) =

1
se t ∈ [1, 2]
2.5 Mostre que ||f || =
0
2.6 Seja X um espaço normado. Prove que X é um espaço de Banach sse toda a sucessão
de Cauchy em S1 = {x ∈ X : ||x|| = 1} é convergente.
2.7 Prove que o espaço das sucessões convergentes c0 é separável.
2.8 Prove que em C[0, 1] a norma || · ||∞ não é equivalente a nenhuma norma || · ||p .
2.9 Prove que (C[0, 1], || · ||∞ ) é um espaço separável.
2.10 Seja ω1 , ..., ωn ∈ R+ . Prove que para p = 1, 2 ou ∞,
||x||w,p :=
n
X
wi |xi |p
1/p
(se p = 1, 2),
||x||w,∞ := max1≤i≤n |wi xi |
i=i
definem normas em Kn . Se
Pn
i=1
wi = 1 prove que
||x||w,1 ≤ ||x||w,2 ≤ ||x||w,∞ .
2.11 Cada matriz A ∈ Mn×m (K) define naturalmente uma operador linear A de Km em Kn
por multiplicação pela matriz.
a) Calcule ||A|| se fixarmos a norma || · ||∞ em Km e Kn .
b) Calcule ||A|| se fixarmos a norma || · ||1 em Km e Kn .
c) Se fixarmos a norma || · ||2 em Km e Kn , então mostre que
2
||A|| ≤ (
n X
m
X
|aij |2 ) = tr(A∗ A).
i=1 j=i
2.12 Considere C[0, 1] com a norma do supremo || · ||∞ , e seja P o espaço dos polinómios
equipado com a norma ||f ||d := ||f ||∞ +||f 0 ||∞ . Seja D : P → C[0, 1] definida por D(f ) = f 0 .
Prove que ||D|| = 1.
Será que ||f || := ||f 0 ||∞ define uma norma em P ?
2.13 Seja κ : [a, b] × [a, b] → R função contı́nua. Prove que
Z b
(T f )(t) =
κ(t, s)f (s)ds
a
define um operador limitado T ∈ L(C[a, b]).
2.14 Seja y ∈ l1 e T : l1 → l1 definida por T (x) = z onde zn = yn xn . Mostre que T ∈ L(l1 )
e calcule ||T ||.
2.15 Sejam X1 , X2 espaços de Banach e T ∈ L(X1 , X2 ). Prove que R : X1 /ker(T ) →
X2 dado por R x + ker(T ) = T (x) está bem definido e é injectivo. Prove que R ∈
L(X1 /ker(T ), X2 ).
3
2.16 Prove que a bola unitária B(0, 1) de lp não é compacta, para p = 1, 2 ou ∞.
P
2.17 Para cada a = (an ) ∈ l1 seja φa o funcional linear de c0 definido por φa (x) = n an xn .
Prove que a → φa é um isomorfismo isométrico entre l1 sobre (c0 )∗ , e portanto l1 ' (c0 )∗ .
2.18 Sejam X1 , X2 espaços de Banach e seja T : X1 → X2 um operador linear. Prove que
T é contı́nuo se φ ◦ T é contı́nuo para todos φ ∈ X2∗ .
2.19 Prove ||(x, y)|| = ||x||X + ||y||Y define uma norma em X × Y , onde || · ||X é uma norma
de X e || · ||Y uma norma em Y . Prove que se X e Y são de Banach então X × Y també o é.
2.20 Sejam (X, || · ||X ) e (Y, || · ||Y ) dois espaços normados e T : X → Y um operador linear.
a) Prove que
||x||T := ||x||X + ||T (x)||Y ,
x∈X
define uma norma em X, e que T : (X, || · ||T ) → (Y, || · ||2 ) é uma contracção (e portanto
limitada).
b) Seja X = Y = c00 e T : c00 → c00 definida por
T (x1 , x2 , ...) = (x1 , 2x2 , 3x3 , ...).
Prove que T : (c00 , || · ||1 ) → (c00 , || · ||1 ) é um operador linear não limitado (onde || · ||1 é
a norma l1 ), enquanto que T : (c00 , || · ||T ) → (c00 , || · ||1 ) é um operador linear com norma
igual a 1.
2.21 Sejam X, Y espaços de Banach e T ∈ L(X, Y ). Seja T t : Y ∗ → X ∗ definido por
T t (g) = g ◦ T para g ∈ Y ∗ . Prove que T t ∈ L(Y ∗ , X ∗ ) e ||T t || = ||T ||.
2.22 Seja T : C[0, 1] → C[0, 1] o operador (integral) de Volterra definido por
Z t
(T f )(t) =
f (s) ds.
0
Determine Im(T ) e T −1 : im T → C[0, 1]. Será T −1 um operador contı́nuo?
2.23 Seja D : (C 1 [0, 1], || · ||∞ ) → (C[0, 1], || · ||∞ ) o operador de derivação D(f ) = f 0 .
a) Prove que o gráfico de D é fechado.
b) Seja fn (t) = tn . Calcule ||fn ||∞ e ||D(fn )||∞ e conclua que D não é um operador contı́nuo.
c) Prove que (C 1 [0, 1], || · ||∞ ) não é um espaço de Banach.
2.24 Seja X um espaço vectorial e φ : X → K um funcional linear com φ 6= 0.
a) Prove que X = {λx + y : y ∈ ker(φ), λ ∈ K}, para cada x 6∈ ker(φ).
b) Prove que dist(0, φ−1 (λ)) = |λ|/||φ||.
2.25 Sejam X = C[0, 1] e t0 ∈ [0, 1]. Defina f, g : C[0, 1] → K pondo
Z 1
f (x) =
x(t) dt,
g(x) = x(t0 ).
0
Mostre que f, g ∈ X ∗ .
4
2.26 Dado y ∈ l∞ seja T : l2 → l2 tal que
T (x1 , x2 , ...) = (y1 x1 , y2 x2 , ...).
Prove que T ∈ L(l2 ) calculando a respectiva norma. Mostre que T é invertı́vel com inverso
T −1 operador limitado se e só se 0 6∈ {y1 , y2 , ...}.
2.27 Sejam (X, || · ||1 ) e (X, || · ||2 ) espaços de Banach tais que existe M :
||x||1 ≤ M ||x||2 .
a) Prove que as duas normas || · ||1 e || · ||2 são equivalentes.
b) Prove que se X for um espaço normado (não completo), então a) pode ser falso.
2.28 Considere o subespaço linear G = {(x, y) ∈ R2 : 2x − y = 0} de R2 munido com a
norma Euclidiana e f : G → R definida por f (x, y) = x. Prove que g : R2 → R definida por
g(x, y) = x/5 + 2y/5 é o único prolongamento de Hahn-Banach de f .
2.29 Seja G = {(xn ) : x1 = x3 = x5 = .... = 0} ⊂ l1 . Prove que qualquer funcional (não
nulo) f : G → R tém infinitos prolongamentos de Hahn-Banach a l1 .
2.30 Seja x0 6= 0 um vector num espaço normado X.
Prove que existe f ∈ X ∗ tal que ||f || = ||x0 ||−1 e f (x0 ) = 1.
2.31 a) Para 0 < p < 1 considere o espaço métrico completoR Lp [0, 1] das funções p1
intergráveis à Lebesgue em [0, 1], com a distânica d(f, g) = 0 |f − g|p dt. Prove que
o dual é trivial (Lp [0, 1])∗ = {0}.
b) Para 0 < p < 1 considere P
o espaço métrico completo lp (N) das sucessões p-sumáveis, com
a métrica d((xn ), (yn )) = n |xn − yn |p . Prove que (lp (N))∗ = l∞ (N).
c) Verifique se a bola B(0, 1) é um conjunto convexo, em Lp [0, 1] ou lp (N).
d) Será que a) ou b) contradizem o teorema(corolários) de Hahn-Banach?.
3
Espaços de Hilbert
3.1 Seja (H, h·, ·i) um espaço pré-Hilberteano e x, y, z ∈ H. Prove que
a) ||z − x||2 + ||z − y||2 = 21 ||x − y||2 + 2||z − 12 (x + y)||2
(Lei de Apollonius).
b) ||x||2 +||y||2 = ||x+y||2 −2||x|| ||y|| cos(](x, y)) se H for um espaço real (Lei dos cosenos).
3.2 Seja (H, h·, ·i) um espaço pré-Hilberteano e (xn ) uma sucessão em H. Prove que
||xn || → ||x||,
hxn , xi → hx, xi
3.3 Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Mostre que:
5
=⇒ xn → x.
a) (lp , || · ||p ) é um espaço de Hilbert sse p = 2.
b) (Lp [0, 1], || · ||p ) é um espaço de Hilbert sse p = 2.
3.4 Considere o espaço linear C[0, 1] e a funções f (t) = |t−1/2| e g(t) = 1/2−f (t). Verifique
que
||f ||∞ = ||g||∞ = 1/2, ||f + g||∞ = 1, ||f − g||∞ = 1/2,
||f ||L1 = ||g||L1 = ||f − g||L1 = 1/4 e ||f + g||L1 = 1/2.
Mostre que (C[0, 1], || · ||L1 ) nem (C[0, 1], || · ||L∞ ) é um espaço pré-Hilberteano.
3.5 a) Seja H um espaço pré-Hilberteano sobre C e T ∈ L(H) tal que hT (x), xi = 0, para
todo x ∈ H. Prove que T = 0.
b) Verifique que o resultado de a) é falso se H for um espaço pré-Hilberteano sobre os reais
R.
3.6 Seja (xn ) uma sucessão num espaço de Hilbert H. Mostre que
w
xn −
→ x (top. fraca) se e só se hxn , yi → hx, yi para todo y ∈ H.
3.7 Seja H um espaço de Hilbert e T ∈ L(H), T ∗ ∈ L(H) o operador adjunto e T t ∈ L(H ∗ )
o operador transposto, onde H ∗ é o dual de H visto com espaço de Banach. Seja C : H → H ∗
o operador antilinear (i.e. C(αx + y) = αC(x) + C(y) com α ∈ K e x, y ∈ H) definido por
y 7→ C(y),
tal que C(y)(x) = hx, yi onde x, y ∈ H.
Mostre que T t = CT ∗ C −1 .
3.8 Sejam H = l2 e M = c00 , verifique que M $ (M ⊥ )⊥ . O que falha para não termos a
igualdade?
3.9 Seja M um subespaço linear fechado num espao̧ de Hilbert H. Mostre que cada φ ∈ M ∗
pode ser prolongado a funcional φ̃ ∈ H ∗ tal que ||φ|| = ||φ̃||, sem recorrer ao teorema de
Hahn-Banach.
3.10 Seja o espaço de Hilbert H = L2 [−1, 1], f (t) = et e M = h{1, t, t2 }i o espaço gerado
por {1, t, t2 }. Determine a aproximação óptima de f em M e calcule d(f, M ).
3.11 Para cada A ∈ Mn×n (R) simétrica e valores próprios positivos, considere o produto
interno hu, viA em Rn dado por


hu, viA := [ x1 · · · xn ] A 
y1
..
.
,
onde
u = (x1 , ..., xn ), v = (y1 , ..., yn ).
yn
Em particular, hu, viI é o produto interno usual em Rn .
a) Para cada A, prove que existe uma matriz invertı́vel S tal que hu, viA = hSu, SviI .
b) Prove que hBu, viA = hu, A−1 B T AviA , para qualquer B ∈ Mn×n (R).
c) Seja T ∈ L(Rn ) definida por T (u) = Bu onde B ∈ Mn×n (R). Qual é o operador adjunto
T ∗ de T no espaço de Hilbert (Rn , h·, ·iA )?
6
d) Para n = 2, calcule ||T ||I e ||T ||A onde T (u) =
1 1
1 2
x1
.
x2
3.12 Seja H um espaço de Hilbert e T ∈ L(H). Mostre que ||T T ∗ || = ||T ||2 .
3.13 Considere o espaço de Hilbert H = l2 .
a) Sejam R e S os operadores de deslocamento em H definidos por:
R(x1 , x2 , ....) = (0, x1 , x2 , 0, ...),
L(x1 , x2 , ....) = (x2 , x3 , ....).
Prove que R∗ = L.
b) Dado (λn ) uma sucessão limitada, considere D : l2 → l2 definido por
D(x1 , x2 , ...) = (λ1 x1 , λ2 x2 , ...).
Prove que D está bem definido, que D ∈ L(l2 ) e que ||D|| = supn |λn |. Calcule D∗ .
3.14 Seja H um espao̧ de Hilbert e (Tn ) uma sucessão em L(H) tal que Tn → T (i.e.
||Tn − T || → 0). Prove que Tn∗ → T ∗ . Conclua que o limite de uma sucessão de operadores
autoadjuntos é um operador autoadjunto.
3.15 Seja S = {xn : n ∈ N} um conjunto ortonormado num espaço de Hilbert H.
a) Mostre que S é um conjunto de vectores linearmente independentes.
b) Se S for um conjunto finito, prove
P que M = hSi é um subespaço linear fechado em H.
Mostre também que PM (x) = xi ∈S hx, xi ixi .
3.16 Considere o espaço de Hilbert Rn munido com o produto interno usual e seja {v1 , ..., vk }
uma base para um subespaço linear M de Rn . Considerando a matriz A = v1 · · · vk
cuja coluna i é dada pelo vector vi (i = 1, ..., k), mostre a matriz A(AT A)−1 AT é simétrica,
idempotente e que
PM (u) = A(AT A)−1 AT (u).
3.17 Para cada n ∈ N seja fn = (1, 1, ..., 1, 0, 0, ....) ∈ l2 . Aplique o processo de ortogonal| {z }
n
ização de Gram-Schmidt ao conjunto linearmente independente {fn : n ∈ N} e identifique o
conjunto obtido {φn : n ∈ N}. Verifique se isto prova que c00 é denso em l2 para a norma
|| · ||2 .
3.18 Seja M um subespaço linear fechado num espaço de Hilbert H, P = PM a projecção
ortogonal sobre M e T ∈ L(H). Mostre que M e M ⊥ são subespaços invariantes de T se e
só se T P = P T .
3.19 Sejam P, Q ∈ L(H) projecções. Mostre que
im Q ⊆ ker P = (im P )⊥ ⇐⇒ P Q = 0 ⇐⇒ P + Q é uma projecção.
7
4
Teoria de Operadores
4.1 Seja H um espaço de Hilbert de dimensão infinita e T ∈ L(H) um operador invertı́vel.
Mostre que T, T −1 6∈ L0 (H).
4.2 Para cada sussecão (λn ) de reais positivos convergente seja T ∈ B(l2 ) definido por
T (x1 , x2 , ..., xn , ...) = (λ1 x1 , λ2 x2 , ..., λn xn , ...).
a) Se (λn ) ∈ c0 , mostre que T é compacto.
b) Será T compacto se (λn ) ∈ l∞ ?
4.3 Seja T ∈ L(H) um operador limitado num espaço de Hilbert. Mostre que
a) im (T )⊥ = ker T ∗ ,
ker(T ∗ ) = im (T ∗ ),
ker(T ) = ker(T ∗ T ) e im (T ∗ ) = im (T ∗ T ).
b) Existem R1 , R2 ∈ L(H) autoadjuntos tais que T = R1 + iR2 .
4.4 Seja k ∈ N e Lk , Rk ∈ L(l2 ) definidos por
Lk (x1 , x2 , ..., xn , ...) = (xk+1 , xk+2 , ...), Rk (x1 , x2 , ..., xn , ...) = (0, ..., 0, x1 , x2 , ..., xn , ...).
| {z }
k
Verifique se Lk e Rk são operadores de Fredholm e calcule os indı́ces ind(Lk ) e ind(Rk ).
4.5 Considere a equação integral de Fredholm em C[0, 1]:
Z t
f (t) − λ
et−s f (s) ds = g(t),
g ∈ C[0, 1].
0
Resolva a equação para qualquer λ ∈ C tal que |λ| < 1.
4.6 Seja T ∈ L(H) e K ∈ L0 (H) onde H é um espaço de Hilbert satisfazendo T ∗ T = I + K.
Mostre que
a) dim(ker(T )) = dim(ker(I + K)) < ∞,
b) T injectivo implica T ∗ sobrejectivo,
c) Se T é normal e injectivo, então é invertı́vel em L(H).
4.7 Sejam A, B ∈ L(H) onde H is a Hilbert space. Mostre que
a) σ(A2 ) = {µ2 : µ ∈ σ(A)},
b) σ(AB) ∪ {0} = σ(BA) ∪ {0},
c) AB − BA = I é uma equação impossı́vel em L(X).
4.8 Sejam H um espaço de Hilbert e T ∈ L(H). Mostre que:
a) λ ∈ σr (T ) =⇒ λ ∈ σp (T ∗ ),
b) se for autodajunto T = T ∗ =⇒ σr (T ) = ∅.
8
4.9 Seja P ∈ L(H) uma projecção (não nula). Mostre que
||P ||L(H) = 1,
σ(P ) ⊆ {0, 1}.
Qual é o espectro pontual, contı́nuo e residual de P ?
4.10 Considere T ∈ L(l2 ) definido por
T (x1 , x2 , ..., xn , ...) = (0,
x1 x2
xn−1
, , ...,
, ...).
2 3
n
Mostre que T é compacto, 0 ∈ σp (T ∗ ), σp (T ) = ∅. Será T normal (T T ∗ = T ∗ T )?
4.11 Sejam L, R ∈ L(l2 (N, C)) os operadores de deslocamento definidos por
R(x1 , x2 , ...) = (0, x1 , x2 , ...),
L(x1 , x2 , ...) = (x2 , x3 , ...).
Mostre que
σp (R) = ∅,
σc (R) = {λ ∈ C : |λ| = 1},
σp (L) = {λ ∈ C : |λ| < 1},
σr (R) = {λ ∈ C : |λ| < 1},
σc (L) = {λ ∈ C : |λ| = 1},
σr (L) = ∅.
4.12 Em X = C ∞ ([0, 1], R) considere os seguintes operadores
D(f (t)) = f 0 (t),
T (f (t)) = tf (t) onde f ∈ X.
a) Mostre que DT − T D = I.
b) Calcule σ(D) e σ(T ).
c) Será que se dim(X) < ∞ então existem T1 , T2 ∈ L(X) tais que T1 T2 − T2 T1 = I?
5
Álgebras de Operadores
5.1 Seja A uma álgebra normada e (xn ), (yn ) sucessões de Cauchy em A. Mostre que (xn yn )
também é uma sucessão de Cauchy. Além disso, prove que
xn → x,
yn → y
=⇒
xn yn → xy.
5.2 Seja A = C[0, 1] a álgebra das funções contı́nua no intervalo [0, 1]. Determine σ(f ) para
cada f ∈ A.
5.3 Seja A uma álgebra de Banach com unidade. Verifique a identidade (ab)n = a(ba)n−1 b
para a, b ∈ A e n ∈ N. Mostre que rσ (ab) = rσ (ba).
5.4 Seja A uma álgebra comutativa com unidade. Mostre que a transformada de Gelfand
b· : A → C(σA ) é uma isometria sse ||a2 || = ||a||2 para qualquer a ∈ A.
n
o
λIn
a
5.5 Considere a álgebra de Banach A =
:
λ
∈
C,
a
∈
M
(C)
, onde In
n×n
0I
λI
n
n
designa a matriz identidade n × n.
a) Verifique que t = [ti,j ] −→ t∗ = [t̄2n+1−j,2n+1−i ] define uma involução ∗ em A.
9
b) Prove que não há nenhuma involução ∗ que torne A numa C*-álgebra.
5.6 Seja A uma álgebra de Banach involutiva tal que ||a∗ a|| ≥ ||a||2 . Mostre que A é uma
C*-álgebra.
5.7 Considere o espaço de Banach (C 1 [0, 1], || · ||) onde ||f || = ||f ||∞ + ||f 0 ||∞ .
a) Moste que C 1 [0, 1] é uma álgebra de Banach.
b) Será C 1 [0, 1] uma C*-álgebra usando a involução f ∗ (t) = f (t).
5.8 Sejam A e B duas C*-álgebras e φ : A → B um homomorfismo-*. Mostre que φ é
contı́nuo.
5.9 Sejam || · ||1 e || · ||2 duas normas numa álgebra-*, tal que A é uma C*-álgebra para cada
norma. Mostre que || · ||1 = || · ||2 .
5.10 Mostre que em L(H), temos:
||·||
t.forte
t.fraca
xn −→ x =⇒ xn −−−→ x =⇒ xn −−−→ x.
Ilustre com exemplos que as implicações ⇐ podem ser falsas.
5.11 Mostre que C[0, 1] e L0 (l2 ) são C*-álgebras, contudo, não são álgebras de von Neumann.
10