COLIGATIVAS: Que dependem do número de partículas de soluto

MATEMÁTICA PARA FÍSICO QUÍMICA – Prof. Rui Lima
TÓPICO 1: EXPONENCIAL E LOGARITMOS
Função Exponencial – Toda função f: IR  IR+* definida por y = ax onde a  IR+* e a  1.
Propriedades
P1) f(0) = 1
P2) f(x + y) = f(x)  f(y)
P3) A função exponencial definida por f(x) = ax é crescente em todo o seu domínio se, e somente se, a > 1.
P4) A função exponencial definida por f(x) = a x é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.
01. (UFPE-2005) As informações abaixo referem-se às duas questões seguintes.
Suponha que um teste possa detectar a presença de esteróides em um atleta, quando a quantidade de esteróides
em sua corrente sanguínea for igual ou superior a 1mg. Suponha também que o corpo elimina ¼ da quantidade de
esteróides presentes na corrente sangüínea a cada quatro horas.
 Se um atleta ingere 10mg de esteróides, passadas quantas horas não será possível detectar esteróides,
8.)
submetendo o atleta a este teste? (Dado: use a aproximação 10 
a)
b)
c)
d)
e)
28
29
30
31
32
 Qual dos gráficos abaixo melhor expressa a quantidade de esteróides na corrente sangüínea do atleta, ao longo
do tempo, a partir do instante em que este tomou a dose de 10mg?
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-1-
02. (UPE-2005) Devido à desintegração radioativa, uma massa m 0 de carbono 14 é reduzida a uma massa m em t anos.
As duas massas estão relacionadas pela fórmula m = m 0  2–t/5400. Nessas condições, em quanto tempo 5g de
carbono 14 serão reduzidos a 1,25g?
a)
b)
c)
d)
e)
10.000 anos.
18.800 anos.
10.800 anos.
8.100 anos.
18.100 anos.
Logaritmo
Logb a = c  bc = a
a – logaritmando (a  IR+*)
b – base do logaritmo ( b  IR+* e b  1)
c – logaritmo de a na base b
Propriedades
P1) logb b =1
P2) logb 1 = 0
P3) logb ax = x logb a
P4) logb bx = x
P5) b
logb a
=a
P6) logb ac = logb a + logb c
P7) logb (a/c) = logb a – logb c
P8) log b a 
log c a
(mudança de base)
log c b
P9) log b n a 
1
log b a
n
P10) log b a 
1
log a b
Função Logarítmica – Toda função f : IR+*  IR, tal que f(x) = logb x, b  IR+* e b  1.
Propriedades
P1) f(1) = 0
P2) f(x  y) = f(x) + f(y)
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P3) A função logarítmica definida por f(x) = logb x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b > 1.
P4) A função logarítmica definida por f(x) = logb x é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1.
 1 
03. (UPE) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = log 10 
 , na qual [H+] indica a concentração,
 H 
em mol/L, de íons de hidrogênio na solução. Ao analisar determinada solução, a química Daniela observou que
nesta a concentração de íons de hidrogênio era [H+] = 7,2.(10-8) mol/L. Daniela pode afirmar que o pH da solução é
Faça: log102 = 0,3 e log103 = 0,48
a)
b)
c)
d)
e)
8,31
7,14
6,56
8,16
7,56
04. (UPE) A equação que gera a desintegração radioativa de uma substância é dada por M = M oe-t, onde M é a massa
da substância, Mo é a massa da substância no início da contagem do tempo,  é uma constante chamada de
constante de desintegração (taxa anual de desintegração) e t, o tempo em anos. Uma determinada substância se
desintegra a uma taxa de 2% ao ano. A massa da substância estará reduzida à metade em
Dado: ln 2 = 0,69 onde ln x é o logaritmo na base natural de x.
a)
b)
c)
d)
e)
31 anos.
42,5 anos.
28,5 anos.
34,5 anos.
21,5 anos.
TÓPICO 2: PERCENTAGEM
Percentagem de um número – t% de x representa t centésimos (t/100) de x.
Por exemplo, 25% de 120 = 25 de 120, ou seja, 25 .120  30 . Então, 30 representa 25% de 120.
100
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100
-3-
05. (UFPE) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para
se obter uma solução salina a 3% (sal) é
a)
b)
c)
d)
e)
90 g
94 g
97 g
98 g
100 g
06. (UPE) O quociente entre as massas de dois elementos A e B, que reagem exatamente entre si originando o
composto AB é igual a 0,75. Misturando 24,0 g de A e 40g de B, ao término da reação, veriica-se que:
a)
b)
c)
d)
e)
houve a formação de 64,0 g de AB.
houve a formação de 56 g de AB, com excesso de 8,0 g de A.
80% da massa de B reagiram completamente com 24,0 g de A.
16,0 g de A reagem integralmente com 40,0 g de B.
não há reação, porque as massas postas em contato não são estequiométricas.
07. (UPE) Um sal hidratado contém 56% de água e 14,3% de sódio. A percentagem de sódio no sal anidro é:
a)
b)
c)
d)
e)
42,50%;
44,00%;
30,76%
16,23%
32,50%.
08. Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool, na proporção de 40% de diesel e 60% de álcool.
Deseja-se modificar esta proporção para 30% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. A quantidade mínima de
álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são
sempre em volume, é de:
a)
b)
c)
d)
e)
200/3
400/3
700/3
800/3
1000/3
TÓPICO 3: PROPORCIONALIDADE
1o CASO: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o quociente é sempre constante.
Gráfico: O gráfico que relaciona duas grandezas diretamente proporcionais x e y, no plano cartesiano, é uma reta que
passa pela origem.
y
y = kx
0
x
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-4-
2o CASO: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto é sempre constante.
Gráfico: O gráfico que relaciona duas grandezas inversamente proporcionais x e y, no plano cartesiano, é um ramo de
hipérbole.
y
y = k/x
0
x
09. Duas grandezas L e M são diretamente proporcionais e têm suas medidas relacionadas conforme a tabela:
A soma dos valores de x, y, z e t é:
a)
b)
c)
d)
e)
66
36
72
54
108
10. Segundo a lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: "A uma temperatura constante, os volumes de uma mesma massa de
gás estão na razão inversa das pressões que produzem". Se sob a pressão de 5 atmosferas, uma massa de gás
ocupa um volume de 0,6dm 3, a expressão que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em função do volume
V, em dm3, ocupado por essa massa de gás, é
a)
b)
c)
d)
e)
V = 3/p
V = 3p
V = 5/6p
V = 5p/6
V = 25/3p
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QUESTÕES PROPOSTAS
01. A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos,
pode ser usada em veículos espaciais para fornecer
potência. Fontes de energia nuclear perdem
potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso
pode ser descrito pela função exponencial
na qual P é a potência instantânea, em watts, de
radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a
potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo,
em dias, a partir de t0 = 0; e é a base do sistema de
logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos
dias são necessários, aproximadamente, para que a
potência de um veículo espacial se reduza à quarta
parte da potência inicial? (Dado: In2 = 0,693)
04. Na química, o pH de uma solução é uma medida de
sua acidez. Ele é definido como o oposto (ou o
negativo) do logaritmo decimal da concentração de
íons positivos da solução. (Essa concentração é
medida em moles por litro.)
Se log2=0,3 e a concentração de certa solução é
2×10-9, então o seu pH é
a)
b)
c)
d)
e)
-9,3
2,7
8,7
9,3
9,7
05. No recente acidente que atingiu rios da região nortenoroeste fluminense, o principal contaminante da
água foi a soda cáustica (NaOH).
Considere que:
a)
b)
c)
d)
e)
336
338
340
342
346
-
02. Sabe-se que a quantidade de uma substância
radioativa presente num material, no instante t > 0,
é dada por
Q(t) = Q0 e-xt
onde Q0 é a quantidade inicial da substância e x é
uma constante positiva associada a cada tipo de
substância. Então o tempo necessário, para que a
quantidade da substância se reduza a metade de
sua quantidade inicial, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
[Ln (1/2)]/x
(Ln 2)/x
x/Ln 2
xLn 2
Ln 2
-
a mortalidade observada em algumas espécies
de peixes desses rios foi diretamente
relacionada a alterações do seu equilíbrio ácidobásico;
o pH do sangue dos peixes pode ser calculado
pela fórmula pH = 6,1 + log ([HCO3-]/[H2CO3]);
na fórmula citada, [HCO3-] refere-se à
concentração molar de bicarbonato e [H 2CO3], à
de ácido carbônico.
Observe os gráficos, nos quais y representa
medidas do pH de amostras de água e x, medidas
de concentração de substâncias encontradas em
amostras de sangue de peixes. As amostras de
água
e
os
peixes
foram
coletados,
simultaneamente, em diversas áreas dos rios
contaminados.
03. Os átomos de um elemento químico radioativo
possuem uma tendência natural a se desintegrar
(emitindo partículas e se transformando em outro
elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a
quantidade original desse elemento diminui.
Suponhamos que certa quantidade de um elemento
radioativo com inicialmente m³ gramas de massa se
decomponha segundo a equação matemática:
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no
tempo t (em anos). Usando a aproximação
log2 = 0,3, determine
a) log 8;
b) quantos anos demorará para que esse
elemento se decomponha até atingir um oitavo
da massa inicial.
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-6-
Quando x = [HCO3-]/[H2CO3], a variação de x em
função de y pode ser representada pelo gráfico de
número:
a)
b)
c)
d)
I
II
III
IV
06. Numa experiência para se obter cloreto de sódio
(sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma
certa quantidade de água do mar e expôs-se o
recipiente a uma fonte de calor para que a água
evapore lentamente. A experiência termina quando
toda a água se evaporar. Em cada instante t, a
quantidade de água existente no recipiente (em
litros) é dada pela expressão:
com n uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água
no recipiente, determine a constante n.
b) Ao fim de
terminará?
quanto
tempo
a
experiência
07. (UFPE) Uma determinada substância S decompõese formando uma outra, numa taxa tal que, a cada
minuto, dois terços da massa de S existente
transforma-se.
Em
quantos
minutos,
aproximadamente ( em inteiros ), uma porção dessa
substância ficará reduzida à décima milésima parte
de sua massa original? ( Tome log10 3 = 0,48 )
08. A massa crua com que é fabricado um certo tipo de
pão é composta de 40% de água. Para obtermos
um pão assado de 35 gramas, é necessária uma
massa inicial de 47 gramas. Qual o valor
aproximado do percentual de água evaporada
durante o tempo de preparo desse pão, sabendo-se
que a água é a única substância perdida durante
esse período?
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09. O
biodiesel
resulta
da
reação
química
desencadeada por uma mistura de óleo vegetal com
álcool de cana.
A utilização do biodiesel etílico como combustível no
país permitiria uma redução sensível nas emissões
de gases poluentes no ar, bem como uma
ampliação da matriz energética brasileira. O
combustível testado foi desenvolvido a partir da
transformação química do óleo de soja. É também
chamado de B-30 porque é constituído de uma
proporção de 30% de biodiesel e 70% de diesel
metropolitano. O primeiro diagnóstico divulgado
considerou performances dos veículos quanto ao
desempenho, durabilidade e consumo.
Em uma análise de combustíveis, foram testados o
B-30, constituído de 30% de biodiesel e 70% de
diesel, e o B-20, constituído de 20% de biodiesel e
80% de diesel. Se um tanque contém 700 litros de
B-20, o número de litros de biodiesel que se deve
acrescentar ao tanque para que a mistura resultante
seja B-30 é
a)
b)
c)
d)
e)
50
100
150
220
280
10. Uma liga metálica de 120 g é constituída de 20% de
ouro. Quantos gramas de ouro devem ser
adicionados para obter uma nova liga com 25% de
ouro?
a)
b)
c)
d)
e)
5g
6g
8g
10 g
12 g
11. Um sal anidro contém 55% de sódio. Determine a
percentagem em massa de sódio no sal hidratado,
sabendo que este contém 60% de água.
a)
b)
c)
d)
e)
22%
45%
40%
12%
6%
12. (UFPE) Um recipiente contém 2565 litros de uma
mistura de combustível, sendo 4% constituídos de
álcool puro. Quantos litros deste álcool devemos
adicionar ao recipiente, a fim de termos 5% de
álcool na mistura?
a)
b)
c)
d)
e)
20
23
25
27
29
-7-
13. Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em
5% a produção de CO‚ com a queima de
combustível de sua frota de carros, diminuindo a
quantidade de quilômetros a serem rodados no ano.
O total de quilômetros rodados pelos carros dessa
empresa em 2005 foi de 199.200 km. Cada carro
faz em média 12 km por litro de gasolina, e a
queima de cada 415 litros desse combustível pelos
carros da empresa produz aproximadamente uma
tonelada de CO‚. Mantidas as mesmas condições
para os carros, em termos de consumo e queima de
combustível, determine quantas toneladas a menos
de CO‚ os carros da empresa deixariam de emitir
em 2006, relativamente ao ano de 2005.
Uma das maneiras de se proteger contra
queimaduras provocadas pela radiação ultravioleta
é o uso dos cremes protetores solares, cujo Fator
de Proteção Solar (FPS) é calculado da seguinte
maneira:
FPS = TPP/TPD
TPP = tempo de exposição mínima para produção
de vermelhidão na pele protegida (em minutos).
TPD = tempo de exposição mínima para produção
de vermelhidão na pele desprotegida (em minutos).
14. Na tabela abaixo, x é diretamente proporcional ao
quadrado de y. Sendo y > 0, os valores de m e p
são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
1/4 e 1/16
4 e 16
16 e 4
1/16 e 1
4e8
15. (UFPE) Uma substância X é composta de três
elementos A, B e C , na proporção de 2 : 3 : 5
partes de volume. Um litro do elemento A pesa três
vezes mais que um litro do elemento C, enquanto
um litro do elemento B pesa duas vezes mais que
um litro do elemento C. Se x é o quociente entre o
peso de um litro da substância X e o peso de um
litro do elemento C, determine x.
O FPS mínimo que uma pessoa de pele tipo II
necessita para evitar queimaduras ao se expor ao
Sol, considerando TPP o intervalo das 12:00 às
14:00h, num dia em que a irradiância efetiva é maior
que 8, de acordo com os dados fornecidos, é
a)
b)
c)
d)
e)
5.
6.
8.
10.
20.
17. Considere que uma unidade de volume do gás
liberado pelo escapamento de um veículo
automotivo seja constituída de 12 partes de
monóxido de carbono, 3 partes de dióxido de
carbono e 1 parte de vapor de petróleo nãoqueimado. Nessas condições, calcule, em litros, o
volume de monóxido de carbono em 100L do gás
liberado pelo escapamento.
18. Observe a equação química que representa a
fermentação do açúcar:
xC6H12O6  yCO2 + zC2H5OH
16. (ENEM) Os níveis de irradiância ultravioleta efetiva
(IUV) indicam o risco de exposição ao Sol para
pessoas de pele do tipo II - pele de pigmentação
clara. O tempo de exposição segura (TES)
corresponde ao tempo de exposição aos raios
solares sem que ocorram queimaduras de pele. A
tabela mostra a correlação entre riscos de
exposição, IUV e TES.
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Uma das formas de equilibrar essa equação é
igualar, em seus dois membros, as quantidades de
átomos de cada elemento químico. Esse processo
dá origem ao seguinte sistema linear:
6x = y + 2z
12x = 6z
6x = 2y + z
-8-
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule
os menores valores inteiros positivos de x, y e z que
formam uma das soluções desse sistema.
19. (UPE) Um minério sólido de massa 200,0g,
constituído pelas substâncias “A” e “B”, tem
densidade 8,0g / mL.. A massa de “A”, no referido
minério, é, aproximadamente,
Dados: Densidades de A e B são, respectivamente,
16,0g/mL e 4,0g/mL.
a)
b)
c)
d)
e)
133,3g.
125,8g.
7,5 x 10-3g.
12,58g.
118,3g.
20. (FUVEST) Dispomos de dois lotes de ligas distintas
de ouro e cobre. O primeiro, chamado A, contém
90% (em massa) de ouro, o restante sendo cobre. O
segundo, chamado B, contém 40% (em massa) de
ouro, o restante sendo cobre. Fundindo, juntos, x kg
de liga A com y kg da liga B, somos capazes de
obter 2,00 kg de uma nova liga, contendo 70% (em
massa) de ouro. Das opções abaixo, qual é aquela
que contém os valores CERTOS de x e y?
x (kg) y (kg)
a)
b)
c)
d)
e)
0,50; 1,50
0,80; 1,20
1,20; 0,80.
1,60; 0,40
1,80; 0,20.
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
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e
b
0,9 e 63 anos
c
c
1 e 9 horas.
08
63,8%
b
c
a
d
2 toneladas
c
1,7
B
75
S = {(, 2, 2) |   IR}; x = 1, y = 2, z = 2
a
c
-9-