Aula 10 - CEFET

Princípios de Modelagem Matemática
Aula 10
Prof. José Geraldo
DFM — CEFET/MG
19 de maio de 2014
Alguns resultados importantes em estatística
1
Alguns resultados importantes em estatística
Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Prof. José Geraldo
Princípios de Modelagem Matemática Aula 10
Alguns resultados importantes em estatística
Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Distribuição normal
A distribuição normal tem importante papel em estatística pois
é utilizada para descrever um grande número de fenômenos
naturais, biológicos e sociais;
fundamenta a inferência estatística.
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Alguns resultados importantes em estatística
Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Distribuição normal
A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade
associada a variáveis aleatórias contínuas.
É completamente descrita, no caso de uma única variável, por
dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ → N (µ, σ)
designa distribuição normal com média µ e o desvio padrão σ .
Sua expressão é dada por
"
#
(x − µ)2
1
ρ (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ
(1)
com −∞ < x + ∞ e σ > 0.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Distribuição normal
ρ(x)
σ = 0, 2
σ = 0, 5
σ=1
x
h
1
Figura: Distribuição normal ρ (x) = √2πσ
exp − (x−µ)
2σ 2
µ = 0 para três diferentes valores de desvio padrão.
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2
i
com média
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Distribuição normal
ρ(x)
a b
x
Figura: Gráfico de uma distribuição normal. A área abaixo da curva no
intervalo [a, b] é igual à probabilidade de se obter, como resultado de
uma medida da variável aleatória, um valor x compreendido neste
´b
intervalo. Em outras palavras, Pr (a ≤ x ≤ b) = a ρ (x) dx.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Exercício
1
Verifique que a distribuição de probabilidades dada em Eq. (1)
está corretamente normalizada, i.e.,
"
#
ˆ +∞
ˆ +∞
(x − µ)2
1
ρ (x) dx = √
exp −
dx = 1.
2σ 2
2πσ −∞
−∞
2
Verifique que a média da variável aleatória X , dado que esta
obedece à distribuição normal dada por Eq. (1), é µ, como
esperado.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Independência de variáveis aletórias
Em um experimento (observação experimental/simulação
computacional), a amostragem é uma etapa fundamental.
Amostragem bem feita deve refletir a estatística da população
→ mas, como inferir, a partir de uma amostra, a estatística de
toda a população?
Dois importantes resultados da teoria de probabilidades — o
teorema do limite central e a lei dos grandes números —
permitem inferir a média e o desvio padrão da população a
partir da média e do desvio padrão amostrais.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Independência de variáveis aletórias
Grosso modo,
a lei dos grandes números estabelece que a média de uma
amostra caracterizada por variáveis aleatórias independentes e
igualmente distribuídas converge para a média da população à
medida que o número de indivíduos amostrados aumenta;
o teorema do limite central (muitas vezes também citado como
teorema central do limite) estabelece que a distribuição de
probabilidades da soma de variáveis aleatórias independentes e
igualmente distribuídas converge para uma distribuição normal
caracterizada pela média e desvio padrão da própria soma.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Independência de variáveis aletórias
Em ambos teoremas, assume-se, por hipótese, que as variáveis
aleatórias são independentes e igualmente distribuídas (iid).
Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se a
distribuição conjunta de probabilidades1 ρ (x, y ) do par (X , Y )
puder ser escrita como
ρX ,Y (x, y ) = ρX (x) ρY (y ) ,
onde ρX (x) e ρY (y ) são distribuições de probabilidade
associadas a cada uma das variáveis aleatórias, X e Y , resp.
Se X e Y representam grandezas, sua independência significa
que a probabilidade de se obter um determinado valor na
medida de uma delas independe do valor obtido na medição da
outra.
1
Sem perda de generalidade, consideramos as variáveis aleatórias X e Y
contínuas.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Variáveis aleatórias identicamente distribuídas
Duas variáveis aleatórias X e Y são igualmente distribuídas se
são descritas pela mesma distribuição de probabilidades.
Por exemplo, se X e Y são variáveis aleatórias com
distribuição normal e possuem médias e variâncias idênticas,
então X e Y são igualmente distribuídas.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Teorema do limite central
Theorem (do limite central)
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias i.i.d. com média µ e
desvio padrão σ. A soma
Sn =
n
X
Xi
(2)
i=1
também é uma variável aleatória cuja distribuição de
probabilidades, nestas
condições, se aproxima de uma distribuição
√ normal N nµ, σ n à medida que n → ∞.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Teorema do limite central
Uma outra maneira de estabelecer o teorema do limite central
é dada a seguir:
Theorem
[do limite central]Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias i.i.d. com média µ e
desvio padrão σ. A soma
n
X
Sn =
Xi
(3)
i =1
√
é uma variável aleatória com média nµ e variância σ n. Então, a distribuição
de probabilidades da variável aleatória
Zn =
Sn − nµ
√
σ n
(4)
se aproxima de uma distribuição normal N (0, 1) à medida que que n → ∞.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Teorema do limite central
O teorema do limite permite obter um resultado importante
para a distribuição da média amostral.
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias i.i.d. com média µ e
desvio padrão σ. Então, a média amostral deste conjunto
n
X̄ =
1X
Xi
n
(5)
i=1
√
é variável aleatória com média µ e desvio padrão σ/ n, cuja
distribuição de probabilidades
se aproxima de uma distribuição
√ normal N µ, σ/ n à medida que n → ∞ (verifique!).
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Teorema do limite central
Um exemplo: Suponha que determinada empresa fabrique
parafusos cujo diâmetro segue uma distribuição uniforme de
média µ = 5, 00 mm e desvio padrão σ = 0, 01 mm. Qual é a
probabilidade de se obter uma amostra de 100 parafusos com
diâmetro médio maior que 5, 001 mm?
O diâmetro Di de cada parafuso na amostra pode ser
considerado uma variável aleatória i.i.d.
O diâmetro médio dos parafusos da amostra D̄ é variável
aleatória √
que segue uma distribuição aproximadamente normal
N µ, σ/ n = N (5, 00; 0, 001) com n = 100.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Teorema do limite central
Um exemplo.
Para este cálculo, é necessário conhecer a distribuição
acumulada da variável aleatória D̄, definida como
ˆ d
ρD̄ (x) dx,
FD̄ D̄ ≤ d =
−∞
que dá a probabilidade de se obter um valor para D̄ menor ou
igual a d .
Deste modo, a probabilidade de se obter D̄ > 5, 001 mm para
a amostra é
ˆ 5,001
Pr D̄ > 5, 10 ' 1 − FD̄ D̄ ≤ 5, 001 = 1 −
ρD̄ (x) dx.
−∞
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Lei dos grandes números
Teorema do limite central
Como ρD̄ (x) representa uma função de distribuição de
probabilidades normal com média µD̄ = 5, 00 mm e desvio
padrão σD̄ = 0, 001 mm temos
Pr D̄ > 5, 10 ' 1 − 0, 8413 = 0, 1587.
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Lei dos grandes números
Exercícios
1
Verifique a equivalência dos dois enunciados do teorema do
limite central.
2
Verifique, usando o teorema do limite central, o resultado para
a distribuição da média amostral.
3
Peças são embaladas em engradados com capacidade para 100
peças. Os pesos das peças são variáveis aleatórias i.i.d. com
distribuição uniforme no intervalo 0, 49 kg ≤ Mi ≤ 0, 51 kg.
Vinte engradados são carregados em um veículo que suporta o
peso de, no máximo, uma 980 kg. Desprezando o peso dos
engradados, qual a probabilidade de que a capacidade de carga
do veículo seja ultrapassada?
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Lei dos grandes números
O resultado que enunciamos para a distribuição da média
amostral X̄ de um conjunto de variáveis aleatórias i.i.d. pode
ser complementado com a lei dos grandes números.
Há duas formas de se enunciar esta lei — a forma fraca e a
forma forte.
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Lei dos grandes números
Theorem ((Lei fraca dos grandes números))
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias i.i.d. com média µ finita.
Definimos a média amostral como a variável aleatória
n
X̄ =
1X
Xi .
n
i=1
Então, para qualquer ε > 0,
lim Pr X̄ − µ < ε = 1.
n→∞
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Lei dos grandes números
Lei dos grandes números
Theorem ((Lei forte dos grandes números))
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias i.i.d. com média µ finita.
Então, para qualquer ε > 0,
Pr lim X̄ − µ < ε = 1.
n→∞
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Distribuição normal
Teorema do limite central
Lei dos grandes números
Lei dos grandes números
A diferença entre as duas formulações da lei dos grandes
números é sutil.
A forma fraca da lei dos grandes números estabelece que, se o
número de indivíduos n da amostra for suficientemente grande,
a probabilidade de a média amostral X̄ estar suficientemente
próxima da média da distribuição µ, dentro de um intervalo de
tamanho 2ε centrado em µ, é muito próxima de 1.
No entanto, amostras com n suficientemente grande ainda
podem apresentar média amostral que se desvie da média da
distribuição, embora isto aconteça com pouca frequência.
A forma forte estabelece que, para todo n suficientemente
grande, a média amostral X̄ se mantém suficientemente
próxima da média da distribuição µ e a probabilidade de se
obter amostras que se desviem desse resultado é nula.
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