Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião Exercícios de treinamento 6. Sabendo que ângulos geométricos têm medidas 8 Fuvest. As retas t e s são paralelas. O valor de x entre 0º e 180º, ângulos adjacentes têm um lado em comum, ângulos complementares têm a soma de suas medidas igual à medida de um ângulo reto e que a bissetriz de um ângulo divide-o em dois ângulos congruentes. Determine a medida dos ângulos formados pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes de medidas complementares, efetuando os procedimentos indicados nos itens a seguir: a) Faça uma figura que represente corretamente esta situação. é: t A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º x s 120º 140º 9. Na figura, as retas r e s são paralelas e as retas s, t e u concorrem no mesmo ponto, o ângulo obtuso formado pelas retas r e u mede 142º e o ângulo agudo formado pelas retas t e r mede 73º. r s//r u b) Identifique quantos são ângulos geométricos apresentados pela figura desenhada. y c) Indique as medidas de todos estes ângulos, mesmo que seja necessário o uso de termos algébricos. 7 Fatec. Na figura, as retas r e s interceptam-se no ponto P, origem da semi-reta t. Sabendo que t é perpendicular à r, determine x e y. t x t Determine as medidas em graus x, y e z, dos ângulos indicados na figura. 10 FGV. Na figura, a medida x do ângulo associado é 20º a r 60º x 2x s z P 80º b // a x +15º y A) 60º B) 80º C) 100º D) 120º E) 140º 1 Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião 11 Fuvest. No retângulo a seguir, o valor, em 12 Fuvest. No triângulo ACD da figura, B é um graus, de α+β é: ponto do lado AD tal que AB=BC=CD. Sendo x a medida do ângulo interno de vértice A e y a medida do ângulo externo de vértice C, podemos afirmar que: 40º C β y α A) 50 B) 90 C) 120 D) 130 E) 220 Solução 1: A x D B A) x = y B) x = 2y C) x = 3y D) y = 2x E) y = 3x 13 Fuvest. Na figura a seguir Â=36º, AB=AC e CB=CD. C A Solução 2: D B a) Calcule as medidas dos ângulos DCB e ADC. b) Prove que AD=BC. Solução 3: 2 Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião 14. Na figura a seguir os segmentos AC e BD interceptam-se no ponto E. Além disso, temos que AB=AC=AD, BÂC=20º e CÂD=50º. A 17. Na figura a seguir, ABCD é um paralelogramo de ângulo agudo Â=20º em que M é o ponto médio do lado BC, P é um ponto do lado CD tal que CP=CM. P D 20º 50º B C M α E C x 20º A β D a) Quantos são os triângulos apresentados por esta figura? b) Quais destes triângulos são isósceles, e quais são suas bases? c) Calcule as medidas α e β. Q B Sendo BQ perpendicular à reta PM podemos afirmar que a medida x do ângulo MBQ vale: A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 20º 18. Seja x a medida, em graus, do ângulo formado pelas semi-retas r e s de origem no vértice A do triângulo retângulo ABC como mostra a figura. A x r s B C Sendo R e S os pontos em que as semi-retas r e s interceptam a hipotenusa BC, e sabendo que o menor ângulo agudo do triângulo mede 20º calcule o valor de x nos seguintes casos: 15. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor BC tem a mesma medida que os lados não paralelos AB e CD; e a base maior AD tem a mesma medida que as diagonais AC e BD. A medida do maior ângulo interno deste trapézio é: A) 108° B) 120° C) 130° D) 135° E) 144° a) AR é altura e AS é bissetriz interna do ∆ ABC. b) AR é altura e AS é mediana do ∆ABC. 16. Num trapézio isósceles, as bases medem 12 m e 8 m e as diagonais são bissetrizes dos ângulos da base maior. Então, o perímetro desse trapézio é de: c) AR é mediana e AS é bissetriz interna do ∆ABC. A) 16 m B) 26 m C) 36 m D) 46 m E) 56 m 3 Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião 19. O ângulo oposto à base BC do triângulo isósceles ABC mede 80º. Determine as medidas dos ângulos formados nas intersecções da altura AH deste triângulo com: 21. Sendo P um ponto do interior do triângulo ABC tal que os ângulos PBA e PCA medem 30º e 50º respectivamente, determine a diferênça entre as medidas dos ângulos BPC e BAC. a) a bissetriz interna do ângulo B. 22. O ponto médio M da base BC do triângulo ABC é vértice do quadrado MNPQ cujo perímetro é igual ao dobro da medida BC. Os vértices N e Q deste quadrado pertencem aos lados AB e AC do triângulo ABC como mostra a figura. A b) a mediatriz do lado AB. P N Q B M C A medida em graus do ângulo interno de vértice A do triângulo ABC é c) o segmento BD, sendo D um ponto do lado AC tal que BD = AC. A) 15º B) 20º C) 30º D) 45º E) 60º 23. Considere um quadrado ABCD e dois triângulos equiláteros: ABP no interior do quadrado e BCQ exterior ao quadrado. Prove que o ponto P pertence ao segmento QD. 20 Unesp. Considere o triângulo ABC da figura: A 50º B C Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz externa do ângulo C um ângulo de 50º, determine a medida do ângulo interno A. 4 Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião 24. Uma folha de um caderno retangular foi 27. Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ dobrada formando, em sua base, um ângulo de 30º conforme a figura. Calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo determinado pela dobra. medem, respectivamente, 170° e 130°. Então, o arco MSN mede: 30º 25. Um pedaço de cartolina, branco de um lado e cinza do outro, tem a forma de triângulo equilátero que foi dobrado de modo que um de seus vértices encontre o lado oposto como mostra a figura: A) 60° B) 70° C) 80° D) 100° E) 110° 28. Sendo P o centro da circunferência que circunscreve o hexágono regular ABCDEF, determine as medidas dos ângulos formados nos cruzamentos das seguintes retas: a) AC e BF. α b) AC e BP. c) BD e EF. β Sendo α e β as medidas em radianos dos ângulos indicados na figura, pode-se afirmar que: A) 3α + 3β = π B) 6α + 3β = π C) –3α + 6β = π D) 3α + 6β = π E) 6α – 3β = π 26 Fuvest. Os pontos B, P e C pertencem À circunferência γ e BC é lado de um polígono regular inscrito em γ. 29. Dados n pontos que dividem uma circunferência em partes iguais, podemos obter formas geométricas poligonais e regulares ligando estes pontos por meio de segmentos de diversas maneiras. Cada uma dessas maneiras é designada por um número p que é chamado de passo de ligação. As figuras a seguir apresentam circunferências divididas em partes iguais por 9 pontos ligados com passos 1, 2, 3 e 4. Sabendo-se que o ângulo BPC mede 18º, podemos concluir que o número de lados do polígono é igual a A soma das medidas, em radianos, dos nove ângulos geométricos com vértices sobre a circunferência, em cada figura, pode obtida pela expressão: A) 6 B) 7 C) 10 D) 12 E) 14 A) (8 − p) ⋅ π B) (6 + p) ⋅ π C) (9 − 2p) ⋅ π D) (4 + 3p) ⋅ π E) (10 − 3p) ⋅ π 5 Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião 30. Um pedaço de papel na forma de um 32. Considere um eneágono regular ABCDEFGHI paralelogramo é tal que pode ser dobrado formando um pentágono regular. Para isto, basta fazer coincidir as extremidades da sua diagonal maior como mostram as figuras a seguir. inscrito numa circunferência de responda às seguintes perguntas: Vinco da dobradura centro O e V Figura 1 Figura 2 Sabendo que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108º e que o vinco da dobradura é perpendicular ao vetor V que, na figura 1, representa a maior diagonal do paralelogramo, pode-se concluir que a inclinação, em graus, deste vetor em relação ao lado menor do paralelogramo é igual a: A) 72 B) 63 C) 54 D) 45 E) 36 b) Quanto vale a soma de seus ângulos externos? c) Quanto mede cada um de seus ângulos externos? d) Quanto mede cada um de seus ângulos internos? e) Quanto mede o ângulo AÔD? f) Quanto mede o ângulo BÂC? g) Qual é a medida do ângulo interno do vértice do polígono estrelado que se obtém prolongando-se os seus lados? 31. Chamamos de formas modulares às figuras geométricas planas ou espaciais capazes de preencher completamente o plano ou o espaço, quando uma infinidade delas é colocada lado a lado. Assim, o decágono irregular, composto por um octógono regular e um quadrado de mesmo lado como mostra a figura, é uma forma modular: Há apenas onze maneiras de se preencher o plano usando apenas de polígonos regulares, e apenas três delas o fazem com um único tipo de polígono: a) Justifique matematicamente o fato de triângulos equiláteros, os quadrados e hexágonos regulares serem formas modulares. a) Quanto vale a soma de seus ângulos internos? Desafio 33. A figura apresenta um octógono regular e um pentágono regular com um lado em comum. Determine as medidas dos ângulos x, y, z e w indicados na figura. y w z x os os b) Explique por qual motivo o pentágono regular não é forma modular. c) Apresente uma forma modular composta por dois tipos de polígono regular que não seja a sugerida pelo enunciado. 6