1 Matrizes

C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 1
Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares – Módulos
1 – Matrizes
10 – Inversão de matrizes
2 – Multiplicação de matrizes
11 – Cálculo de um elemento
3 – Propriedades
da inversa e propriedades
4 – Determinantes
12 – Sistemas lineares –
5 – Determinante nulo
Regra de Cramer
6 – Determinante se altera
13 – Escalonamento
7 – Determinante não se altera
8 – Abaixamento da ordem
14 – Escalonamento
9 – Regra de Chió e
15 – Substituição, eliminação
16 – Característica de uma matriz
Teorema de Binet
Artur Cayley – (1821-1895)
Multiplicação de Matrizes
e o Teorema de Cayley
Matrizes
1
• Matriz • Colunas
• Matriz nula • Matriz unidade
1. Definição de matriz
A=
Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”)
a uma tabela de m . n números reais, dispostos em m
linhas e n colunas. Representa-se por A ou Am×n.
Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
A=
m
x
n
y
p
z
O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna,
pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice
um um ou simplesmente a um um.
O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode
ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um
dois ou simplesmente a um dois.
O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode
ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um
três ou simplesmente a um três.
De modo análogo, x é o elemento a21, y é o elemento a22 e z é o elemento a23.
Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode
ser assim representada:
A=
a11
a21
a
a12
a22
a11 a12 a13
21 a22 a23
a13
ou A =
a23
ou
a11 a12 a13
21 a22 a23
a
De modo geral, representando por aij o elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
a11
a21
am1
a12
a22
am2
a13
a23
am3
…
…
…
a1n
a2n
amn
ou simplesmente A = (aij)mxn
Observações
• Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, estamos dando uma noção intuitiva de matriz. Formalmente, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o
número real aij.
MATEMÁTICA
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 2
• Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos
com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha
da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
• Coluna de uma matriz é uma ênupla de elementos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda
coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
• Fila de uma matriz significa linha ou coluna indistintamente.
• A matriz Amxn é chamada:
⇔
Quadrada
⇔
Matriz Linha ⇔
Matriz Coluna ⇔
Retangular
mn
m=n
m=1
1
5
6
Matriz Quadrada:
B=
1
4
3
6
Matriz Linha:
C = [1 2 6
7. Adição de matrizes
1 linha
Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
É representada pelo símbolo Omxn.
Exemplo
0 0
O3×2 =
0 0
0 0
3. Matriz unidade
ou matriz identidade
∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}
0
0
0 …1
Matriz identidade de ordem 3:
1 0 0
I3 =
0 1 0
0 0 1
4. Matriz oposta
A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz
– A = (– aij)mxn.
2
MATEMÁTICA
Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo
a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a
soma dos elementos correspondentes de A e B.
Simbolicamente:
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
8. Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,
define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B.
A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e
somente se:
1
0
0 …0
0
1
0 …0
aij = 1 ⇔ i = j
⇔ I = 0
0
1 …0
n
aij = 0 ⇔ i j
......................……
A = B ⇔ aij = bij
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
2. Matriz nula
• Obter a transposta é trocar, ordenadamente,
linhas por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
Simbolicamente:
2 linhas
2 colunas
7]
Saiba mais
Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentes
forem dois a dois iguais.
Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij
de A é igual ao correspondente elemento bij de B.
3 linhas
2 colunas
?
6. Igualdade de matrizes
Matriz Retangular:
2
4
3
A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz
A = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m},
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
t
n=1
Exemplo
A=
5. Matriz transposta
Simbolicamente:
A – B = A + (– B)
9. Multiplicação de
número real por matriz
Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, definese o produto de α por A como sendo a matriz B= (bij)mxn
tal que cada elemento bij de B é igual ao produto do
número α pelo correspondente elemento da matriz A.
Simbolicamente:
B = α . A ⇔ bij = α . aij
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
Exemplo:
3.
1
4
3
0
7
–3
= 12
3
9 21
0 –9
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(UERJ – MODELO ENEM) – A temperatura corporal de um
paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco
dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura
observada no instante i do dia j.
35,6
36,4
38,6
38,0
36,0
36,1
37,0
37,2
40,5
40,4
35,5
35,7
36,1
37,0
39,2
M=
P=
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
Resolução
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da matriz e
ocorreu no instante 2 do dia 4.
Sabe-se que duas matrizes de mesma ordem são iguais quando
possuem todos os elementos correspondentes, dois a dois, iguais. Por
exemplo, com relação às matrizes
A=
–1
6
0
,B= 2
–1
6
0
eC= 8
–1
6
0
12
–2
1
–1
2
3
0
–3
1
=
d) 2M =
observa-se que A = B e A ≠ C. Considere as matrizes
Questões de
5
,N=
2
–1
x
y
0
5
z
–2
1
e
.
2
–1
3
0
0
5
–2 1
–1+2
0+0
0–3
5+1
12 + 5
2
–2+0
–1 3
1+0
12
+
2–1
c) M – P =
2
3
0
b) M + P =
=
a13 + a23 + a33
38,6 + 37,2 + 36,1
111,9
––––––––––––––– = –––––––––––––––– = –––––– = 37,3
3
3
3
–1
0
5
0
0
Determine:
a) x + y + z, sabendo que M = N
b) M + P
c) M – P
d) 2M
Resolução
a) Se M = N, temos: x = 3, y = 0 e z = 12. Dessa forma, resulta
x + y + z = 3 + 0 + 12 = 15
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e
a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:
2
0
5
12
–2
1
–1–2
3–3
–
0+3
5–1
–2–0
1–0
2.(– 1)
3
–3
1
5
0
0
1
2.3
2.0
2.0
2.5
2.12
2.(– 2)
2.1
=
1
6
6
–2
1
2
0
–3
1
5
0
4
=
=
–3
–1
=
0
17
3
0–0
12 – 5
2.2
2
0
3+3
0
2+1
–1
0
3
–3
0
0
3
4
7
–2
1
=
–2
6
0
0
10
24
–4
2
a .
Sendo A = (a ij ) 2x3 tal que aij = i + 2j, ∀i ∈ {1; 2}
∀j ∈ {1; 2; 3}, pede-se:
Escrever a matriz A.
RESOLUÇÃO:
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
⇒ A=
3
4
5
6
7
8
Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUÇÃO:
At =
3
5
7
4
6
8
Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUÇÃO:
–A=
–3 –5 –7
–4 –6 –8
MATEMÁTICA
3
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 4
(MODELO ENEM) – Uma loja guarda as camisas que
estão à venda em uma prateleira que permite separá-las em
tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca
e preta), conforme a figura seguinte:
Se A =
1
x
3
y
,
2
1
2x – 1
1
B=
z
4
2
1
e
A = B, qual o valor de x + y + z?
RESOLUÇÃO:
Para controlar o estoque, a loja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em
que (i; j) indica a posição em que as camisas se encontram na
prateleira e aij indica a quantidade de camisas daquela cor e tamanho correspondente. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa
que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quando A =
a)
b)
c)
d)
e)
2
1
9
7
6
2
4
5
0
3
8
4
, pode-se dizer que
existem 7 camisas verdes médias.
existem 18 camisas médias.
existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.
estão em falta camisas azuis grandes.
há mais camisas grandes que pequenas.
3=z
x = 2x – 1
y=4
z=3
x=1
y=4
3
2
1
1
4
1
3
2
1
1
4
1
⇒
Sendo A =
⇒ x+y+z=1+4+3=8
eB=
=
1
4
2
0
1
3
, obter 2A – B.
RESOLUÇÃO:
2.A–B=2.
=
6
4
2
2
8
2
–
1
4
2
1
4
2
0
1
3
5
0
0
–
0
1
3
=
2
7
–1
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se:
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias,
7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas,
2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas
grandes.
Resposta: C
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M101
2
Multiplicação de matrizes
1. Definição
O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz
B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento
cij de C é igual à soma dos produtos dos elementos da
i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da
j-ésima coluna de B.
4
MATEMÁTICA
• Produto • Linha por coluna
Simbolicamente
C = A.B
cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 5
Note que, sendo A = (aij)2x7 e B = (bjk)7x5, temos:
a) A matriz produto A . B existe, pois o número de
colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B
(sete);
b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois
a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5
colunas.
c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o número de colunas de B (cinco) é diferente do número de
linhas de A (dois).
2. Existência da matriz produto
a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o
número de colunas da matriz A for igual ao número
de linhas da matriz B;
b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo
número de linhas da matriz A e o mesmo número de
colunas da matriz B;
c) A existência de A. B não implica a existência de
B . A.
Dadas as matrizes A =
obter a matriz A.B.
1 3
2
2 1 1
e B=
2x3
2 1 3
1 0 2
1 1 0
(
,
3x3
)(
)
2
. 1
2
1
1
1
=
Resolução
•
O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira
(
=
•
1
2
)(
)
2
. 1
(
1
)(
(
=
2
)(
.
)
1
0
1
) (
7
)
3
=
primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
(
=
•
(
3
2
)(
.
(
7
3
3
2
0
)
2
2.2 + 1.1 + 1.1
•
1
(
=
O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
1
7
3
9
=
6
)
) (
=
3
9
)
O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
)
7
3
=
9
) (
7
3
6
3
)
9
=
6
2.1 + 1.0 + 1.1
segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
(
)(
3
2
0
.
2
=
7
1
O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
=
1.3 + 3.2 + 2.0
)(
1
0
1
.
=
1.1 + 3.0 + 2.1
7
) (
9
segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
)
7
=
3
3
O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
•
1.2 + 3.1 + 2.1
1
7
=
O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
(
•
3
(
=
linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
(
1
1
7
3
)
=
9
) (
7
3
9
6
3
8
=
6
3
2.3 + 1.2 + 1.0
)
Assim sendo,
A.B=
1 3
2
.
2 1
1
2
1
1
1 3
0 2
1 0
=
7
3
9
6
3
8
MATEMÁTICA
5
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 6
Para que exista o produto entre duas matrizes, Amxn e Bpxr, é
preciso que n = p, ou seja, o número de colunas da primeira matriz
deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Existindo o
produto, a matriz C, resultante do produto AB, terá o mesmo número
de linhas que a primeira matriz e o mesmo número de colunas da
segunda matriz. Dessa forma, se n = p, então Amxn . Bpxr = Cmxr.
Dadas as matrizes
mine:
a) A.B
2
–1
3
0
e B =
1 1
–1 2
0
5
,
deter
Dessa forma, resulta C =
b) B.A
2
–1
3
0
.
1
–1
1
2
Dadas as matrizes A =
0
5
=
c11
c21
c12
c22
c13
c23
Respostas: a) C =
23 14 e B = 11 52 , obter A.B.
3
2
1
4
Sendo A =
– 1 8 15
–1 –1 0
3
–2
1
1
b) não existe B.A.
5
,eB=
–3
2 –1
3
1
–4
2
1
2
5
,
obter, se possível, A . B e B . A
RESOLUÇÃO:
A.B =
– 1 8 15
–1 –1 0
matriz B, é diferente do número de linhas (2) da segunda matriz A.
a) A2x2 . B2x3 = C2x3 ⇒
b) B2x3.A2x2 não existe, pois o número de colunas (3) da primeira
Resolução
⇒
Observe que:
c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 2 . 1 + 3 . (– 1) = –1
c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 2 . 1+ 3 . 2 = 8
c13 = a11 . b13 + a12 . b23 = 2 . 0 + 3 . 5 = 15
c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = (– 1) .1 + 0 . (– 1) = – 1
c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = (– 1) . 1 + 0 . 2 = – 1
c23 = a21 . b13 + a22 . b23 = (– 1) . 0 + 0 . 5 = 0
.1
1
5
2
=7
3 12
23
RESOLUÇÃO:
A.B=
3 1
5
–2 1 –3
.
2 –1 1
3 1 2
–4 2 5
=
–11
11
8 30
–3 –15
∃B.A
Sendo A =
–1 2
0
1 3 –2
0 5 –1
eB=
2
1
–1
3
2 –2
2
0
4
,
(FATEC) – Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C
são, respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A – B).C
é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
calcular a matriz A . B.
RESOLUÇÃO:
A.B =
6
–1
1
0
2
3
5
0
–2
–1
.
MATEMÁTICA
2
1
–1
3
2 –2
2
0
4
=
–4
–5
–7
5
14
17
–2
–6
–4
RESOLUÇÃO:
I) Se existe A3xr – B3xs, então as matrizes A e B possuem a mesma
ordem. Portanto, r = s e (A – B)3xr.
II) Se (A – B)3xr.C2xt = [(A – B).C]3x4, conclui-se que r = 2 e t = 4.
III)De (I) e (II), conclui-se que r = s = 2 e t = 4 e, portanto
r + s + t = 8.
Resposta: B
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 7
(UFRJ – MODELO ENEM) – Uma fábrica de guarda-roupas
utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada)
para guarda-roupas de mogno e cerejeira, nos modelos básico,
luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis
durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade
de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo
mês.
B =
10
8
4
12
8
6
representa a tabela 2 e a matriz C = B.A
3× 2
representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C=
10
8
4
12
8
6
.
MADEIRA
BÁSICO
LUXO
REQUINTE
Mogno
3
5
4
Cerejeira
4
3
5
TIPO
BÁSICO
LUXO
REQUINTE
Dourada
78
86
100
Prateada
56
64
72
Bronzeada
36
38
46
Resposta: D
MADEIRA
TIPO
MOGNO
CEREJEIRA
Dourada
10
12
Prateada
8
8
Bronzeada
4
6
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo
requinte nesse mês foi de
a) 170
b) 192
c) 120
d) 218
e) 188
RESOLUÇÃO:
2× 3 representa a tabela 1, a matriz
3
86 100
64 72
38 46
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005
78
56
36
FECHADURAS POR MODELO
MODELO
A matriz A =
=
Assim,
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005
3 5 4
4 3 5
3 5 4
4 3 5
Propriedades
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M102
• Comutativa • Anulamento
de produto • Cancelamento
1. Comutativa
pode “cancelar” A e concluir que B = C. Existem,
portanto, matrizes A, B e C tais que AB = AC e B C.
A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja:
as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente iguais.
Existem, portanto, matrizes A e B tais que AB BA.
4. Propriedades da transposta
2. Anulamento do produto
Se A e B forem matrizes conformes para a operação
indicada e k é um número real, então:
a) A = B ⇔ At = Bt
Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas
matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não
nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A 0,
B 0 e AB = 0.
c) (A + B)t = At + Bt
3. Cancelamento
d) (kA)t = k . At
Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
e) (AB)t = Bt . At
b) (At)t = A
MATEMÁTICA
7
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 8
Dadas as matrizes
A=
1 0 , B=
2 1
c)
2 1
0 1
determine:
a) AB
b) BA
e C=
2
0
c) AC
0 ,
2
A.C=
A.B=
1
2
0
1
d) CA
d)
b)
1
3
2
0
2
4
B.A=
C.A=
1
1
4
2
1
1
1
2
.
0
1
=
=
a) A.B =
c) A.C =
1
3
0
2
=
2
0
0
2
.
1
2
0
1
2
4
A=
0
2
1
3
A.B =
=
=
2
4
1
3
b) B.A =
2
4
0
2
d) C.A =
4
2
1
1
2
4
0
2
(B + C) . A =
–2
5
eC= 1
2
=
2.0 + 0.1 =
0.0 + 2.1
e .
, B = Considere as matrizes
3
,
–4
3
4
1
1
1
1
eB=
1 1
–1 –1
determine A.B e B.A.
Resolução
B.A =
1.1 + 1.(– 1)
1.1 + 1.(– 1)
1 1
–1 –1
=
=
Respostas:
2
0
2
2
0
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se
que o produto entre matrizes não é comutativo,
ou seja, diferentemente do que ocorre com o
produto de números reais, podemos ter A.B e
B.A com A.B ≠ B.A.
–2
2
4
.
2.0 + 1.1 =
0.0 + 1.1
Enunciado para questões
Sendo A =
1.0 + 0.2 =
2.0 + 1.2
= 2.1 + 0.2
0.1 + 2.2
=
1.1 + 0.1 =
2.1 + 1.1
= 2.1 + 1.2
0.1 + 1.2
=
1
1
= 1.2 + 0.0
2.2 + 1.0
=
2
0
.
0
1
= 1.2 + 0.0
2.2 + 1.0
Resolução
a)
1
2
1
1
1
1
0
0
0
0
.
1 1
–1 –1
=
1.1 + 1.(– 1)
1.1 + 1.(– 1)
=
1
1
.
1
1
=
1.1 + 1.1
1.1 + 1.1
(– 1).1 + (– 1).1
(– 1).1 + (– 1).1
2
2
–2
–2
=
Observe que, diferentemente do que ocorre
com o produto de números reais, temos
A.B=O sendo A ≠ O e B ≠ O, em que O é a
matriz nula.
1
1
. –22
1
3
=
4
6
6
7
Conclusão: Observe que A . (B + C) ≠ (B + C) . A
obter:
A.B e B.A
RESOLUÇÃO:
A.B=
B.A=
2 1
–2 3
.
1
19
6 –5
=
– 4 18
1 –2
=
3
5
5
7
1 –2
2 1
.
3 5
–2 3
Considere as matrizes A =
determine A . B.
2 4 eB= 1
1 2
–2 –6
3
e
RESOLUÇÃO:
Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
A.B e B.A nem sempre são iguais.
A.B=
2
1
.
4 2
= 3 0 0 –2 –6
1
0 0
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A 0, B 0 e
A . B = 0.
A . (B + C) e (B + C) . A
RESOLUÇÃO:
1 –2
+
B+C=
3 5
A . (B + C) =
8
–22
1
3
2 3
=
1 –4
3
4
.
= 10
6
3
4
MATEMÁTICA
1
1
1
1
3
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 9
(UNESP – MODELO ENEM) – Uma rede de comunicação
tem cinco antenas que transmitem uma para a outra, conforme
mostrado na matriz A = (aij), em que aij = 1 significa que a
antena i transmite diretamente para a antena j, e aij = 0 significa
que a antena i não transmite para a antena j.
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
Este resultado significa que existem 3 maneiras distintas de a
antena 4 transmitir informações para a antena 1, usando apenas
uma única retransmissão entre elas. A saber:
4 transmite para a antena 2 e esta retransmite para 1,
4 transmite para a antena 3 e esta retransmite para 1,
4 transmite para a antena 5 e esta retransmite para 1.
Resposta: D
Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A2?
a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 não transmite
para a antena 1.
b) Como b41 = 1, isso significa que a antena 4 transmite para
a antena 1.
c) Como b41 = 3, isso significa que a antena 4 transmite para
a antena 1.
d) Como b41 = 3, isso significa que existem 3 maneiras diferentes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usando apenas uma retransmissão entre elas.
e) Como b41 = 3, isso nada significa, pois bij só pode valer 0 ou
1, conforme definido no enunciado da questão.
RESOLUÇÃO
Como B = A2 = A . A, temos:
b41 = a41 . a11 + a42 . a21 + a43 . a31 + a44 . a41 + a54 . a51 =
=1.0+1.1+1.1+0.1+1.1=3
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M103
Determinantes
4
• Matriz quadrada • Determinante
é número • Matriz é tabela
1. Conceito
Submetendo os elementos de uma matriz quadrada (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é
chamado determinante dessa matriz.
O determinante da matriz
M=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
.
.
.
.
.
.
an1 an2 .
det M ou det
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
a11 a12 a13
a21 a22 a23
.
.
.
.
.
.
an1 an2 an3
…
…
…
…
…
ou
?
é indicado por:
a1n
a2n
.
.
ann
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
Saiba mais
a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define determinante se a matriz for quadrada.
2. Como calcular
a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11
MATEMÁTICA
9
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 10
b) Matriz de Ordem 2
A=
a11 a12
a21 a22
⇒ det A =
II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e
a13 . a21 . a32
a11 a12
a21 a22
= a11.a22 – a12.a21
c) Matriz de Ordem 3
Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
I) Repetir as duas primeiras colunas ao lado na terceira coluna:
det A =
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e
a12 . a21 . a33
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21 . a33
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
MAT2M104
Calcular o determinante da matriz A =
1
2
1
2
2
3
1
0
3
det A =
1
2
1
1
2
2
2
0
2
2 =
1
3
3
1
3
䊞
䊞
Sendo A =
4
1
䊞
3
2
10
1
4
3
2
䊝
, obter det A
RESOLUÇÃO:
det(A) =
=1.2.3+2.0.1+1.2.3–1.2.1–3.0.1–3.2.2=
= 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2
Resposta: det A = – 2
Resolução
= 1 . 2 – 3 . 4 = – 10
MATEMÁTICA
䊝
(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite
Calcular o determinante da matriz A =
Resolução
det A =
䊝
2
5
3
7
= 2 . 7 – 5 . 3 = –1
Resposta: det A = –1
3 7
2
5
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 11
Calcular det
1
–1
3
1
2
1
3
1
3
1
–1
3
1
= 2
1
3
1 =
3
RESOLUÇÃO:
1
= 2
1
1
–1
3
3
1
3
= – 6 + 16 = 10
Sendo A =
3
2
0 –1
2 –3
eB=2
1
4 0
–1 1
, calcular
(UNESP-adaptado – MODELO ENEM) – Foi realizada
uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um
grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse
grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da
matriz A, em que
det (At . B).
RESOLUÇÃO:
At . B =
2
0
–1
3
2
–3
.
1
2
4 0
–1 1
=
8 5 3
4 –2
2
–7 –1 –3
A=
det(At . B) = 48 – 70 – 12 – 42 + 16 + 60 = 0
1
–1
1
3
0
0
2
–x
2
––
3
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o
peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
RESOLUÇÃO
2
p(x) = det A = 1 . 0 . ––– + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) –
3
2
– 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . ––– =
3
= 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
Resposta: A
(FEI – MODELO ENEM) – As faces de um cubo foram
numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi
registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos
por:
aij =
j
2i + f, se i = j
em que f é o valor associado à face cor, se i ≠ j
respondente. Qual é o valor do determinante da matriz registrada na face 5?
a) 63
b) 61
c) 60
d) 6
e) 0
RESOLUÇÃO:
Para a face 5, temos f = 5. Dessa forma, os elementos da matriz A
são definidos por
aij =
2i + 5, se i = j
j, se i ≠ j
Assim, det (A) = det
1 9 = 63 – 2 = 61
7 2
Resposta: B
MATEMÁTICA
11
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 12
Determinante nulo
5
• Fila nula • Filas paralelas iguais
• Filas paralelas proporcionais
• Fila combinação linear
1. Fila nula
3. Filas paralelas proporcionais
O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas proporcionais.
Exemplo
2 0
3 0
5 0
Exemplo
7
3 = 0, pois a segunda coluna é nula.
1
5 2
15 6
1 5
3
9 = 0, pois a segunda linha é
2
proporcional à primeira (L2 = 3.L1).
De fato:
De fato:
2
0
7
2
0
3
0
3
3
0
5
0
1
5
0
– 0 – 0 – 0
+
= 0
0 + 0 + 0
5
2
3
5
2
15
6
9
15
6
1
5
2
1
5
– 18 – 225 – 60
+
= 0
60 + 18 + 225
2. Filas paralelas iguais
4. Fila combinação linear
O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas.
Exemplo
Exemplo
1
3
1
5
4
5
2
4
2
= 0, pois a primeira linha é igual à
terceira (L1 = L3).
1
1
3
2
0 = 0, pois a terceira linha é combina4
ção linear das duas primeiras
(L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
De fato:
De fato:
1
5
2
1
5
3
4
4
3
4
1
5
2
1
5
– 8 – 20 – 30
12
1
3
5
MATEMÁTICA
+
= 0
8 + 20 + 30
1
1
2
1
1
3
1
0
3
1
5
3
4
5
3
– 10 – 0 – 12
+
= 0
4 + 0 + 18
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 13
Dada a matriz A =
a
0
6
b
c
8
5
d
e
pois
, mostrar que
a) se c = d = 0, então det A = 0.
b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então det A = 0.
c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então det A = 0.
d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então det A = 0.
Resolução
a)
a
0
6
b
0
8
5
0
e
6
8
5
e det A = 0,
0
c
d
6
8
5
pois a 3a. linha é igual à 1a. linha.
c)
3
0
6
4
c
8
5
d
10
1
1
0
1
6
8
32
6
8
䊞
䊞
1
0
6
1
1
8
Nas questões de
2
6
0
5
5
0
5
1
32
e det A = 0,
=
䊝
䊝
䊝
Note que, neste caso, det A = 0 e em A não há fila nula, nem filas pa-
(3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).
3
4
1
Resolver, em , a equação:
2
1
–1
3
5
1
2
x =0
5
Resolução
3
2
2
3
2
4
1
x
4
1 =0 €
a ,
–1
䊞
䊞
5
1
䊞
–1
䊝
䊝
䊝
⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7
Resposta: V = {7}
Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação
linear das outras duas.
De fato: 3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
“calcular” os determinantes.
4
8 =0
0
Observações: Se todos os elementos de uma fila de uma matriz
quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
a
b
c
䊞
1
se a = b = c = d = 1 e e = 32, então:
A=
0
= 32 + 6 + 0 – 30 – 8 – 0 = 0
e det A = 0,
pois a 3a. linha é proporcional à 1a. linha (3a. linha = 2 . (1a. linha)).
1
se a = 3, b = 4 e e = 10, então:
A=
d)
1
Verifique, por exemplo, que:
e det A = 0,
se a = 6, b = 8 e e = 5, então:
A=
5
das filas é combinação linear das demais filas paralelas.
pois a segunda linha é nula.
b)
1
ralelas iguais e nem filas paralelas proporcionais. Certamente, uma
se c = d = 0, então:
A=
1
a
b = 5ac + ab + 3bc – 5ac – ab – 3bc = 0
c
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas paralelas iguais, então det (M) = 0.
1
2
3
2
4
6
5
1 =
2
1
2. 2
3
1
2
3
5
1 =2.0=0
2
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas paralelas proporcionais, então det (M) = 0.
1
3
2
=
a
b
c
1+a 3+b 2+c
= b.(2 + c) + 2a.(3 + b) + 3c(1 + a) – 2b(1 + a) – c(3 + b) – 3a(2 + c) =
= 2b + bc + 6a + 2ab + 3c + 3ac – 2b – 2ab – 3c – bc – 6a – 3ac = 0
Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é combinação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
MATEMÁTICA
13
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 14
a
5
3
b
3
1
2a – 3b
1
3
(MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de estagiário foram distribuídos em uma sala de espera, como representado a seguir:
Alberto
Bruno
André
Carlos
Denise
Alvaro
Daniele Fernanda Barone
= 0
Observando que cada elemento da coluna 3 é igual ao dobro do
correspondente elemento da coluna 1 subtraído do triplo do correspondente elemento da coluna 2, conclui-se que o determinante
é nulo.
O valor de x que satisfaz a equação
a)
1
b) 2
c) 3
2
7
1
3
–1
4
d) 4
5
6
x
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de
matriz e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso
alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos
uma nova matriz.
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
RESOLUÇÃO:
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número
que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira
letra do respectivo nome é:
1
2
1
1
2
1
3
4
1
4
1 = 0, pois a
e o seu determinante é 3
4
6
2
4
6
2
=0é
e) 5
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é
igual à soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C.
RESOLUÇÃO:
2 3 5
7 –1 6 = 0 ⇔ –2x + 18 + 140 + 5 – 21x – 48 = 0 ⇔
1 4 x
⇔ – 23x + 115 = 0 ⇔ 23x = 115 ⇔ x = 5
Observe que para x = 5, C3 = C1 + C2
Resposta: E
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M105
Determinante se altera
6
• Muda de sinal
• Multiplicando a matriz por α
• Multiplicando o determinante por αn
1. Trocando filas paralelas
O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
Exemplo
Trocando entre si as duas últimas colunas, por exemplo, obtêm-se
2
3
1
2
3
5
0
2
5
0
1
1
0
1
1
–0 – 4 – 0
14
MATEMÁTICA
+
= 7
0 + 6 + 5
e
2
1
3
2
1
5
2
0
5
2
1
0
1
1
0
–6 – 0 – 5
+
4 + 0 + 0
= –7
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:09 Página 15
2. Multiplicando uma fila por α
O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por α, quando os elementos de uma fila são multiplicados por α.
Exemplo
Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
1 2 3
1 1 2
1 3 0
3 6 9
1 1 2
1 3 0
e
= 4
= 3 .
1 2 3
1 1 2
1 3 0
= 12
De fato:
1
2
3
1
2
3
6
9
3
6
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
3
0
1
3
1
3
0
1
3
–3 – 6 – 0
+
0 + 4 + 9=
4
– 9 – 18 – 0
+
0 + 12 + 27 =
12
3. Multiplicando a matriz por α
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por
por α.
Exemplo
M=
1
2
1
1
3
4
–1
0
1
⇒ det M =
1
2
1
1
3
4
–1
0
1
αn, quando a matriz é multiplicada
= –4
Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
2M =
2
4
2
2
6
8
–2
0
2
⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32
De fato:
1
1
–1
1
1
det M = 2
3
0
2
3
1
4
1
1
4
=+3 – 0 – 2
det (2M) =
=
+ 3 + 0 – 8=
–4
2
2
–2
2
2
4
6
0
4
6 =
2
8
2
2
8
+ 24 – 0 – 16
Resolução
Calcular o valor de
do-se que
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
= – 17.
5
8 , saben2
2 3 5
Para calcularmos o valor de x 6 8 , é im4 9 2
portante que observemos que os elementos da
segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto,
podemos colocar o 3 em evidência.
Dessa forma, resulta
2
x
4
+
3
6
9
24 + 0 – 64 =
5
2
8 =3. x
2
4
1
2
3
– 32
5
8
2
Agora, devemos observar que trocando as duas
primeiras colunas, desse novo determinante,
de posição entre si, obteremos o determinante
cujo resultado é igual a – 17. Não podemos esquecer que ao trocar duas linhas ou duas colu-
MATEMÁTICA
15
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 16
nas de posição entre si, o sinal do determinante é alterado.
Assim, temos:
2
x
4
3
6
9
5
2
8 =3. x
2
4
1
2
3
=–3.
2
x
4
1
2
3
5
8 =
2
5
8 =
2
Calcular o determinante da matriz
2n
y
b
6m
3x
3a
a
b
c
m
n
p
x
y
z
2p
z
c
2n
y
b
Resposta: 51
=k
6m
3x
3a
2p
n
z =2.3. y
c
b
Considere as matrizes
A=
2
8
, B = 2
8
resolva as questões de
, sabendo-se que
1
,C=
3
3
3
6
8
, D = 3 6
9 24
e
a .
Calcular det(A) e det(B).
RESOLUÇÃO:
det(A) =
1
3
2
=8–6=2
8
det(B) =
2
8
1
=6–8=–2
3
Observação: Comparando os determinantes da matriz A e da
matriz B, verificamos que o determinante de uma matriz quadrada muda de sinal quando trocamos duas filas paralelas de posição
entre si.
m
x
a
p
z =
c
Obter det(C).
RESOLUÇÃO:
3
3
6
= 24 – 18 = 6 = 3 . 2 = 3 det A
8
Observação: Os elementos da primeira linha da matriz C são
iguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A,
multiplicados por 3. Por este motivo, o det(C) = 3 . det A.
16
z
a
b
c
a
=–6. m
x
b
n
y
c
p = – 6k
z
m
=+6. a
x
n
b
y
p
c
z
MATEMÁTICA
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z = – 6k
c
Calcular o determinante da matriz D.
RESOLUÇÃO:
det(D) =
3
9
6
= 72 – 54 = 18 = 9 . 2 = 32 . 2 = 32 . det A
24
Observação: A matriz D = 3 . A, enquanto det D = 32 . det A, pois
A e D são matrizes de ordem 2.
Dado que A =
a) – 30
det(C) =
p
y
Resposta:
concluir que det
n
Resolução
= (– 3) . (– 17) = 51
1
3
m
=–6. x
b
n
y
2c 2b 2a
3p 3n 3m
z y x
b) – 5
RESOLUÇÃO:
2c 2b 2a
c
3p 3n 3m = 2 . 3 . p
z
y x
z
Resposta: A
a
m
x
c) 10
c
p
z
e det(A) = 5, podemos
é igual a:
d) 15
b a
a b
n m =–6. m n
y x
x y
e) 30
c
p = (– 6).5 = – 30
z
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 17
(PUC-MG) – M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu
determinante é det(M) = 2. O valor da expressão
det(M) + det(2M) + det(3M) é:
a) 12
b) 15
c) 36
d) 54
e) 72
RESOLUÇÃO:
Sendo M uma matriz quadrada de ordem 3 e det(M) = 2, temos:
det(2M) = 23.det(M) = 8.2 = 16 e det(3M) = 33.det(M) = 27 . 2 = 54
Assim, det(M) + det(2M) + det(3M) = 2 + 16 + 54 = 72
Resposta: E
Considere os determinantes
1
1
0
0
–1 2
–3 2
3
3 . Utilize seus
–
6
–
6
5
5
1
3
A =
e B =
2
2
5
5
1
1
3
9
3
3
2 –3 3
6 –3 3
conhecimentos sobre o tema e o texto da questão para determinar qual das alternativas relaciona de forma correta A e B.
A
a) B = A
b) B = – A
c) B = –––
2
d) B = 3A
e) A = 3B
RESOLUÇÃO:
B=
–3 2
0
3
5 –6
9
1
5
6 –3 3
1
3
2
3
=3.
–1 2
0
1
5 –6
3
1
5
2 –3 3
1
3
2
3
=3.A
Resposta: D
(MODELO ENEM) – Sabe-se que multiplicar o determinante de uma matriz quadrada por um número real k é o
mesmo que multiplicar os elementos de uma única fila (linha
ou coluna) desse determinante por k. Por exemplo:
a
k. m
x
b
n
y
ka b
= km n
kx y
c
ka kb kc
a b c
a b c
p = m n p = km kn kp = m n p =
z
x y z
x y z
kx ky kz
c
a kb
p = m kn
z
x ky
c
a
p = m
z
x
No Portal Objetivo
kc
kp
kz
b
n
y
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M106
Determinante não se altera
7
• Trocando linhas por colunas
• Somando uma combinação linear
1. Trocando linhas por colunas
O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas.
t
Simbolicamente det A = det A
Exemplo
M=
–2
1
3
1
1
4
5
3
1
⇒ det M = det
Mt
–2
1
=
3
1
1
4
5
3
1
= 35
De fato:
det M =
–2
1
5
–2
1
1
1
3
1
1
3
4
1
3
4
– 15 + 24 – 1
–
2 + 9 + 20
=
35
det Mt =
–2
1
3
–2
1
1
4
1
1 =
5
3
1
5
3
– 15 + 24 – 1
–
2
1
35
+ 20 + 9
MATEMÁTICA
17
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 18
2. Somando uma combinação linear
Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear das demais filas paralelas,
obteremos uma nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).
Exemplos:
51
7
43
6
=
De fato:
51
7
43
6
1)
1 –2
1
2 1
5
–3 4 –2
2)
51 + (–7) . 7
7
43 + (–7) . 6
6
1
2
–3
=
2
7
e
= 306 – 301 = 5
=
1
6
2
7
1
6
= 12 – 7 = 5
1 + 2 . 1 + 3 .(– 2)
5+2. 2 +3. 1
– 2 + 2.(– 3) + 3 . 4
–2
1
4
1 –2 –3
2 1 12
–3 4
4
=
De fato:
1
–2
1
1
–2
2
1
5
2
1
–3
4
–2
–3
4
+ 3 – 20 – 8
Considere a matriz A =
=
–
2 + 30 + 8
1
0
1
–2 1
2 –6
0
1
11
1
0
1
. Calcule det(A) e
1
0
1
–3
1
2
1
12
2
–3
4
4
281
det(M) = 394
211
2
3
2
+
= 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
–2
1 =
–3
11
4
4 + 72 – 24
8
9 , adicionando à primeira coluna de M,
1
a seguinte combinação linear:
– 100.(coluna 2) – 10.(coluna 3)
281
Dessa forma resulta det(M) = 394
211
–2 1
2 – 6 = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
0
1
1
0
det(At) = – 2 2
1 –6
–2
– 9 – 48 + 16
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se
obtém trocando, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) =
1
=
281 – 100.2 – 10.8
394 – 100.3 – 10.9
211 – 100.2 – 10.1
2
3
2
8
9
1
2
3
2
=
8
9
1
1
4
1
=
2
3
2
8
9
1
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
Calcular o determinante da matriz M =
281
394
211
2
3
2
8
9
1
Note que, embora o determinante original e o novo determinante
sejam iguais, o determinante resultante pode ser calculado mais
facilmente.
.
Resolução
Lembrando que o determinante de uma matriz não se altera quando
adicionamos a uma fila qualquer uma combinação linear das demais
filas paralelas, podemos calcular
18
MATEMÁTICA
281
Assim det(M) = 394
211
2
3
2
8
9
1
1
= 4
1
= 3 + 18 + 64 – 24 – 18 – 8 = 35
Resposta: 35
2
3
2
8
9 =
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 19
Calcular os determinantes de A =
2 –1 3
–2 –2 3
0 3 1
e de
At (transposta de A).
RESOLUÇÃO:
2 –1
det A = – 2 – 2
0
3
a
b
c
1
O valor de 1
1
a) 1
b) 0
b+c
a + c é:
a+b
c) abc
d) a + b + c
e) 3
RESOLUÇÃO:
Somar a 2a. coluna na 3a. coluna.
3
3 = – 42
1
2 –2
det(At) = – 1 – 2
3
3
0
3 = – 42
1
1
a
b+c
1
b
a+c
1
c
a+b
1
=
a a+b+c
1
a
1
1 b a + b + c = (a + b + c) . 1 b 1 = 0
1
c a+b+c
1
c
1
Resposta: B
At,
Observação: Comparando os determinantes de A e de
verificamos que o determinante de uma matriz A não se altera quando
trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,
det A = det At.
Sejam A =
B=
1
0
2
2
1
0
1
0
2
2
1
0
2
1
1
e
2+2.1+3.2
1+2.0+3.1
1+2.2+3.0
=
1
0
2
2 10
1 4
0 5
a) 0
O valor do determinante
b) 2
c) – 2
1
17
–5
3
–2
52 – 33 é:
– 16
11
d) 1
e) 572
RESOLUÇÃO:
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos elemen-
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
tos da 3a. coluna uma combinação linear das outras colunas.
II) multiplicar a 1a. linha por (5)
1
3
1
3 –2
1
17 52 – 33 = 0
0 –1
– 5 –16 11
Calcular det(A), det(B) e observe que, apesar de A ≠ B, temos
det(A) = det(B).
e somar na 3a. linha.
–2
1 =2
1
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
1
2
det(A) = 0
1
2
0
1
det(B) = 0
2
2
1
0
2
1 =1+4+0–4–0–0=1
1
10
4 = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1
5
MATEMÁTICA
19
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 20
(MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determinante da matriz A =
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
B=
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
.
.
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resultados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
ordenadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao determinante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos considerar que essa propriedade pode ser expressa matematicamente pela sentença:
1
a) det(A) = – det(A)
b) det(A) = ––––––
det(A)
8
1. Menor complementar
O menor complementar Dij, do elemento aij da
matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de
M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.
2. Cofator ou
complemento algébrico
O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é
Aij = (–1)i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.
O determinante de qualquer matriz quadrada
M de ordem n é igual à soma dos produtos
dos elementos de uma fila pelos seus respectivos cofatores.
20
MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes
transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,
det(A) = det(At).
Resposta: D
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
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digite MAT2M107
Abaixamento da ordem
3. Teorema de Laplace
d) det(At) = det(A)
e) det(At) = – det(A)
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
2
4
6
3
8
1
c) det(A) = –––––––
det(At)
• Menor complementar
• Cofator • Teorema de Laplace
Simbolicamente:
a11 a12
.
.
ai1 ai2
Se M =
.
.
an1 an2
…
…
…
a1j
.
aij
.
anj
…
…
…
a1n
.
ain
.
ann
, então
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + … + aij . Aij + … + anj . Anj
ou
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain
O Teorema de Laplace permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n
determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 21
Calcular o menor complementar e o cofator do elemento
a23 da matriz M =
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
M=
Resolução
Na matriz M =
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
1
5
1
2
A23 = (–
1)2 + 3
, temos
5
8
2
. D23 = (–
1)5
Na matriz M =
.
1
5
1
2
A13 = (–1)1 + 3 .
1
4
1
5
8
2
Calcular o determinante da matriz
M=
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
aplicado o Teorema de
Laplace e utilizando a 3a. coluna.
2
3
–1
Resolução
, temos
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos
A13 = 0; A23 = 3;
A33 = –12.
4
8
1
2
A33 = (–1)3 + 3 .
1
5
4
8
= 1 . (8 – 8) = 0
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 1 . (8 – 20) = – 12
= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
1
0 –1
2 –2 5
–3 4 3
, pedem-se:
2a.
a) os cofatores dos elementos da
linha de M.
b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na segunda linha de M.
M=
Resposta: det M = 21
Calcular os cofatores dos elementos a14 e a44 da matriz
3
–1
2
1
4
2
–3
2
2
1
1
5
–1
0
0
–1
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
0
4
–1
3 =–1.4=–4
1 –1
A22 = (–1)2+2 – 3 3 = 0
A23 = (–1)2+3
=
Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
Dada a matriz M =
Logo:
=2–5=–3
a) A21 = (–1)2+1
2
3
–1
a13 = 2 e a33 = – 1
= (– 1) . (– 3) = 3
1
4
1
Resolução
a23 = 3 e, portanto,
D23 =
Calcular os cofatores dos elementos a13 e
a33 da matriz
1
–3
0
4
=–1.4=–4
–1 2
A14 = (–1)1+4 2 –3
1 2
1
1 = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6
5
3 4
A44 = (–1)4+4 –1 2
2 –3
2
1 = 6 + 6 + 8 – 8 + 9 + 4 = 25
1
b) det M = a21 . A21 + a22 . A22 + a23 . A23
det M = 2 . (– 4) – 2 . 0 + 5 . (– 4)
det M = – 28
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra
de Sarrus, confirmando o resultado.
1 0 –1 1 0
2 – 2 5 2 – 2 = – 6 + 0 – 8 + 6 – 20 + 0 = – 28
–3 4 3 –3 4
MATEMÁTICA
21
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 22
3 4
Calcular o valor de –1 2
2 –3
1 2
2
1
1
5
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
ordenadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao determinante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a:
a) – 24
b) 12
c) 24
d) 25
e) 28
–1
0
0
–1
RESOLUÇÃO:
3 4
–1 2
2 –3
1 2
2
1
1
5
–1
0
= (– 1) . A14 + 0 . A24 + 0 . A34 + (– 1) . A44 =
0
–1
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
= (– 1) . A14 + (– 1) . A44 = (– 1) . (– 6) + (– 1) . 25 = 6 – 25 = – 19
Obs.: Os cofatores A14 e A44 foram calculados no exercício anterior.
2
0
det(A) = 0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0 =2.
3
1
= 2 . (– 3) .
3
1
2
1
2
1
2
3
1
= (– 6) . (– 4) = 24
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
=
Resposta: C
(MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
2 4 6 3 8
0 3 1 4 2
o valor do determinante da matriz A =
.
0 0 0 3 0
0 1 2 1 3
0 2 1 5 1
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
B=
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
.
No Portal Objetivo
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resultados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
9
Regra de Chió e
Teorema de Binet
1. Regra de Chió
A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a
ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do
seu determinante.
Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um
elemento igual a 1.
22
MATEMÁTICA
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M108
• Regra de Chió
• Teorema de Binet
Consiste em
a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o
elemento aij = 1.
1
a
b
c
x
y
m
q
n
r
p
s
z
t
u
v
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 23
b) De cada um dos elementos restantes, subtrair o
produto dos elementos correspondentes na linha e na
coluna eliminadas.
1
a
b
c
x
m–a.x
n–b.x
p–c.x
y
z
.
.
.
.
.
.
1
a
b
c
x
m–a.x
n–b.x
p–c.x
y
q–a.y
r–b.y
s–c.y
z
t–a.z
u–b.z
v–c.z
c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e
multiplicar o resultado por (–1)i + j.
m–a.x
q–a.y
t–a.z
n–b.x
r–b.y
u–b.z
p–c.x
s–c.y
v–c.z
. (–1)i + j
Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz
M=
3
4
2
0
2
3
2
–1
–1
2
–3
2
2
3
1
4
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo
pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1
fazendo, pelo Teorema de Jacobi,
=
=
4
3
2
3
2 0
2 –1 =
–3 2
1
4
1
0
2
1
4
3–4.0
2–4.2
3–4.1
3
2
2
–1 –1
4
2. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A.B) = det A . det B
Para calcular o determinante do produto de duas matrizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,
portanto:
a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em
seguida, calcular o determinante dessa matriz;
b) calcular, separadamente, os determinantes de A e
de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos
(Teorema de Binet).
Observação
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a
3a. coluna.
Calcular o determinante de A . B, sendo
A=
2
–1
3
4
eB=
5
2
1
3
Primeiro Processo
1
0
2
1
2
2–2.0
–3–2.2
1–2.1
4
3
2
3
2
0
2 –1 =
–3
2
1
4
0
–1–0.0
2–0.2
4–0.1
A.B=
det (AB) =
2
–1
3
4
9
1
19
18
.
5
2
1
3
=
9
1
19
18
= 162 – 19 = 143
=
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B =
–1
–6 –7
Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1
que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11
ou a1n ou an1 ou ann.
Resolução
(1.a coluna) – (3.a coluna).
Assim sendo:
3
2
det M =
–1
2
Observação
. (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33
2
–1
3
4
.
5
2
1
3
=
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det M = – 33
Resposta: det (AB) = 143
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
MAT2M109
(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite
MATEMÁTICA
23
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 24
O determinante da matriz M =
1
5
20
3
8
15 41
61 159
é igual
a:
a) 1
b) –1
c) 2385
d) 0
3
Sejam as matrizes A =
Calcule:
a) det A
15
41
20
61 159
5 –3
4
e B = – 1
4
c) det (A + B)
5
2
d) det (A . B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 20 + 3 ⇒ det A = 23
b) det B = 8 + 5 ⇒ det B = 13
c) A + B =
8
5
b) det B
1
e) –1938
RESOLUÇÃO:
a11
↓
1
41 – 40 = 0 1 =
1 –1
159 – 160
= (– 1)2. 15 – 15
61 – 60
5
1
–3
4
+ –1
4
5
2
=
9
2
0
6
det (A + B) = 54 (Observe que: det(A + B) det A + det B)
d) det (A . B) = det A . det B = 23 . 13 = 299
=0–1=–1
Resposta: B
M=
Calcular o determinante da matriz
3
14
10
5
7
30
20
16
2
6
8
3
1
4
3
2
utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO:
det M = –
1
4
3
2
14 – 3 . 4
= – 10 – 3 . 3
5–3.2
3
14
10
5
7
30
20
16
2
6
8
3
30 – 7 . 4
20 – 7 . 3
16 – 7 . 2
=
6–2.4
8–2.3
3–2.2
= – (2 – 4 – 4 + 2 + 2 – 8) = – (– 10) = 10
2
2 –2
=– 1 –1
2 =
–1
2 –1
(MODELO ENEM) – Dezesseis candidatos a uma vaga de
estagiário foram distribuídos em uma sala de espera, como
representado a seguir:
Geraldo
André
Bruno
Alberto
Deise
Márcia
Denise
Carlos
Carla
Barone
Daniel
Daniele
Antônio
Álvaro Benedito Estela
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de
matriz e se substituirmos o nome de cada um desses
candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em
nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz.
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192
b) – 119
c) 0
d) 119
e) 192
RESOLUÇÃO:
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do respectivo nome é:
1 2 1 7
– 2 10 – 17
3 4 13 4
= (– 1)1+1 . – 4 – 2 – 25 = – 192
4 4 2 3
0
4
–6
1 2 5 1
Resposta: A
24
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 25
Inversão de matrizes, cálculo de um
elemento da inversa e propriedades
10 e 11
1. Definição
—
M=
As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são
inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In
é a matriz identidade de ordem n.
Indicaremos a inversa de M por M–1.
2. Existência
Existe a inversa de M se, e somente se, det M 0.
Neste caso, diz-se que M é inversível ou M é não singular.
Se det M = 0, então M é não inversível ou M é singular.
4 1
11 3
4x + z
⇔ 11x + 3z
⇔
4y + w
11y + 3w
4x + z = 1
11x + 3z = 0
⇔
4y + w = 0
11y + 3w = 1
=
1
0
0
1
⇔
x=3
3 –1
y=–1
⇔ M–1 =
z = – 11
– 11 4
w=4
A11
21
A12
A22
= – 13
=
– 113
–1
4
d) Obter M–1, que é a inversa de M, multiplicando
––
1
M por ––––––
.
det M
—
1
M –1 = –––––– . M ⇒
det M
1
3 –1
⇒ M –1 = –– .
– 11 4
1
= – 113
–1
4
cofator de aji
bij = –––––––––––––––
det M
sendo aji um elemento de M.
5. Propriedades
(A–1) –1 = A
b) Obter a matriz M’ chamada matriz dos cofatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo
cofator.
A
t
Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e
de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
Este modo não é prático, pois se recai em n sistemas de n equações e n incógnitas.
2o. Modo: Regra Prática
a) Calcular o determinante de M:
4 1
det M =
= 12 – 11 = 1
11 3
M’ =
– 11
4
Se M é uma matriz inversível e bij um de seus elementos, então:
.
1o. Modo: Usando a definição
Resolução:
x y
, por definição de inversa, decorre
Se M–1 =
z w
que:
4 1
x y
1 0
.
⇔
=
11 3
z w
0 1
• Matriz adjunta • Matriz inversa
4. Como obter um elemento de M–1
3. Como obter a matriz inversa
Exemplo:
Obter a inversa da matriz M =
3
–1
• Existência • Matriz dos cofatores
– 11
4
––
c) Obter a matriz M , chamada matriz adjunta de M,
––
sendo M = (M’)t
A = B ⇔ A–1 = B –1
(At) –1 = (A–1)t
(A . B) –1 = B –1 . A –1
1
det(A–1) = –––––––
det A
No Portal Objetivo
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OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M110
MATEMÁTICA
25
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 26
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
Obter o elemento da segunda linha e
terceira coluna da inversa da matriz:
1
5
0
M=
2
–1
4
3
1
7
a) det M =
Resolução
=
Se as matrizes são inversas uma da outra,
então:
3
a
52 13 . – 5 2 = 10 01 ⇔
2
Resposta: – –––
3
3
1 = – 21
7
1 3 = – (1 – 15) = 14
5 1
b) A32 = (– 1)3 + 2 .
cofator de a32
–––––––––––––––––
det M
A32
14
2
= ––––––––
= –––––– = – –––
3
–
21
det M
Resolução
1 2
5 –1
0 4
c) b23 =
Determinar a sabendo-se que
a matriz inversa de
52 31 é
– 53 2a .
= 10 01 ⇔
⇔
10
⇔
5a + 6 = 1
2a + 2
5a + 6
2a + 2 = 0
⇔ a=–1
Resposta: a = – 1
Exercícios Propostos – Módulo 10
(UEL) – A soma de todos os elementos da inversa da
matriz M =
a) – 2
1 –1
é igual a:
0 2
b) – 1
c) 0
d) 1
Dada a matriz M =
1
5
0
2
1
1
4
10
1
, calcular
a) o determinante de M;
e) 2
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
Se a b for a inversa da matriz 1 – 1 , então, por definição,
c d
0 2
temos:
a b
1 –1
1 0
a – a + 2b
1 0
.
=
⇔
=
⇔
c d
0 2
0 1
c – c + 2d
0 1
⇔
a=1
– a + 2b = 0
⇒
c=0
– c + 2d = 1
mentos é 2.
1
5
0
2
1
1
b) a matriz dos cofatores de M;
RESOLUÇÃO:
1
1 ––
2
1
0 ––
2
e a soma de seus ele-
A11 = (– 1)1 + 1 .
1
1
A13 = (– 1)1 + 3 .
5
0
1
1
A22 = (– 1)2 + 2 .
1
0
4
1
A31 = (– 1)3 + 1 .
2
1
A33 = (– 1)3 + 3 .
1
5
Resposta: E
26
MATEMÁTICA
4
10 = 1 + 20 – 10 – 10 ⇔ det M = 1
1
a=1
1
b = ––
2
c=0
1
d = ––
2
A matriz inversa é, portanto,
det M =
10
1 =–9
A12 = (– 1)1 + 2 .
5
0
=5
A21 = (– 1)2 + 1 .
2
1
4
1
=2
=1
A23 = (– 1)2 + 3 .
1
0
2
1
=–1
4
= 16
10
A32 = (– 1)3 + 2 .
1
5
4
= 10
10
2
1
M’ =
=–9
–9 –5 5
2 1 –1
16 10 –9
10
=–5
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 27
(MODELO ENEM) – Cada um dos cartões abaixo tem de
um lado um número e do outro uma letra.
c) a matriz adjunta de M;
RESOLUÇÃO:
—
M = (M’)t =
–9
–5
5
2
1
–1
16
10
–9
Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal
numa face têm um número par na outra.
Para verificar se tal afirmação é verdadeira:
a) é necessário virar todos os cartões.
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões.
c) é suficiente virar os dois últimos cartões.
d) é suficiente virar os dois cartões do meio.
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.
d) a matriz inversa de M.
RESOLUÇÃO:
—
1
M–1 = –––––– . M =
det M
– 9 2 16
– 5 1 10
5 –1 –9
RESOLUÇÃO:
É preciso virar o primeiro cartão para confirmar que no verso tem
um número par.
É preciso virar o último para confirmar que no verso não tem uma
vogal.
Resposta: E
(UFF) –
x3
M=
1
0
Determine os valores de x ∈ para que a matriz
0
1
não admita inversa.
0
x
–x 1
RESOLUÇÃO:
Se M é matriz quadrada e não existe M –1, temos:
det(M) =
x3 0 1
1 0 x = 0 ⇔ x5 – x = 0 ⇔ x = 0, x = – 1 ou x = 1
0 –x 1
Observação: Ditar para o aluno: Se a matriz quadrada M não
possui inversa (é não inversível), seu determinante é igual a zero
e ela é chamada de matriz singular. Se a matriz quadrada M
possui inversa (é inversível), seu determinante é diferente de zero
e ela é chamada de matriz não singular.
Resposta: Os valores de x para que não exista a inversa de M são
os elementos do conjunto {0; – 1; 1}.
Exercícios Propostos – Módulo 11
tos b13 e b32
4
–3
1
da matriz inversa
Dada a matriz M =
2
1
3
5
0
1
de M.
, calcular os elemen-
2
A23
b32 = –––––– ⇒ b32 = –––
det M
25
RESOLUÇÃO:
A31 = 7
A23 = (– 1) . (– 2) ⇒ A23 = 2
det M = 12 + 10 – 3 + 6 ⇒ det M = 25
A31
7
b13 = –––––– ⇒ b13 = –––
det M
25
MATEMÁTICA
27
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 28
(FUVEST) – O determinante da inversa da matriz
A=
1
0
–1 –2
1
––– 4
5
– 52
1
0
3
– 48
a) ––––
–5
b) ––––
5
é:
c) ––––
5
48
5
d) ––––
52
5
e) ––––
48
RESOLUÇÃO:
I) det (A) =
1
0
–1 –2
1
0
1
––
5
3
4
48
= – ––––
5
1
1
–5
II) det (A–1) = –––––– = ––––––– = ––––
det(A)
– 48
48
–––––
5
Resposta: C
(MODELO ENEM) – A teoria de matrizes e determinantes
encontra grande aplicação na resolução de sistemas lineares. E
ao que tudo indica, segundo documentos históricos, sua
criação remonta a um artigo de 1855, assinado pelo inglês
Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo, Cayley utiliza as
matrizes para facilitar o estudo das transformações dadas por
equações lineares. Para ele, a resolução de sistemas lineares
estaria facilitada com o uso da teoria de matrizes. A ideia era
transformar um sistema linear em uma equação matricial
equivalente cuja resolução forneceria a solução do sistema.
Em notação atual, teríamos, por exemplo,
+y=4
2
⇔
2x
5x + 3y = 14
5
1
3
. y = 14 x
4
Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes
5
2
1
3
, y e 14 , resulta a equação matricial A.X = B
x
4
cuja solução é X = A–1.B, em que A– 1 é a matriz inversa de A.
Considere a matriz A =
5 3 e a sua inversa A
2 1
–1
=
–5 2 3 –1
Com base no texto, e seguindo as orientações de Cayley,
podemos concluir que o par (x, y), solução do sistema
+y=4
, é tal que x + y é igual a:
2x
5x + 3y = 14
a) 6
b) 8
RESOLUÇÃO:
2x + y = 4
⇔
5x + 3y = 14
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolva as
equações e .
AX = B
XA = B
RESOLUÇÃO:
XA = B ⇔ X . A . A–1 = B . A–1 ⇔ X . I = B . A–1 ⇔ X = B . A–1
28
xy = –35
⇔
y = 8
x=–2
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
AX = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ I . X = A– 1 . B ⇔ X = A–1 . B
⇔
MATEMÁTICA
–1
2
c) 10
2
5
1
3
d) 12
. xy = 144 ⇔
. 144 ⇔ xy = –82 ⇔
⇒x+y=–2+8=6
e) 14
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 29
12
Sistemas Lineares –
Regra de Cramer
1. Sistemas lineares
Sistemas de equações, como
+ 2y = 1
e
3x
5x – y = 2
4x – y + z = 3
, constituídos apenas por equações do
2x + y + 3z = 7
1o. grau nas incógnitas x, y ou z são chamados sistemas
lineares.
Observe que não são lineares os sistemas
xx –+3yy == 01 e xx +. y2y= =8 1, pois, em cada um, nem todas
• Matrizes de um sistema
• Sistema normal • Regra de Cramer
Portanto, quanto ao número de soluções, podemos
classificar os sistemas lineares da seguinte forma:
Sistema Possível e Determinado (SPD): uma
só solução
Sistema Possível e Indeterminado (SPI):
infinitas soluções
2
Sistema Impossível (SI): nenhuma solução
as equações são do 1o. grau.
Podemos dizer então que sistema linear (S) é todo
conjunto de m (m 2) equações em n incógnitas
x1, x2, …, xn, que se denota da seguinte forma:
a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1
a21 . x1 + a22 . x2 + ... + a2n . xn = b2
, em que os
.
.
.
am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm
reais aij são os coeficientes de xj e b1, b2, …, bm são
constantes. Se b1 = b2 = … = bm = 0, o sistema linear é
dito homogêneo.
2. Solução de um sistema
As soluções dos sistemas com duas incógnitas são
pares ordenados da forma (α1, α2), com três incógnitas
são ternos ordenados da forma (α1, α2, α3), com quatro
incógnitas são quadras ordenadas da forma (α1, α2, α3,
α4), e assim por diante. A ênupla (α1, α2, …, αn) é uma
solução do sistema linear (S) se ela é solução de cada
uma das n equações de (S).
3. Classificação de um sistema
quanto ao número de soluções
a) Um sistema linear é POSSÍVEL (ou compatível)
se admite pelo menos uma solução.
b) Um sistema linear é IMPOSSÍVEL (ou incompatível) se não admite solução alguma.
c) Um sistema linear é possível e DETERMINADO
se admite uma única solução.
d) Um sistema linear é possível e INDETERMINADO se admite infinitas soluções.
4. Exemplos
a) O sistema
=5
xx ++ 3y
y=3
é possível e determinado.
A única solução é o par ordenado (2; 1).
b) O sistema
x2x++y2y= 4= 8
é possível e indeter-
minado, pois apresenta infinitas soluções. São todos os
pares ordenados do tipo (k; 4 – k). Algumas dessas
soluções são: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), … etc.
c) O sistema
x + y = 5 é impossível, pois não exisx+y=4
te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenças verdadeiras “simultaneamente”. Em outras palavras: não
existem 2 números reais x e y cuja soma é 4 e 5 “simultaneamente”.
5. Matrizes de um sistema
a) Matriz incompleta
A matriz incompleta, representada por M.I., associada a um sistema, é a matriz cujos elementos são, ordenadamente, os coeficientes das incógnitas.
Se M.I. é quadrada, diz-se que o seu determinante é
o determinante do sistema (D).
b) Matriz completa
A matriz completa, representada por M.C., associada a um sistema, é a matriz que, além dos elementos de
M.I., possui mais uma coluna constituída pelos segundos membros de cada equação do sistema. No sistema
linear a seguir, as matrizes incompleta e completa são:
MATEMÁTICA
29
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 30
No sistema linear (S)
plo, temos:
M.I. =
2
3 –4
1
2 1
1 –3 2
xn, demonstra-se que:
2x + 3y – 4z = 5
x + 2y + z = – 1 por exemx – 3y + 2z = 7
M.C. =
2
3 –4 5
1
2 1 –1
1 –3 2 7
D1
D2
D . x1 = D1 ⇔ x1 = ––––; D . x2 = D2 ⇔ x2 = ––––;
D
D
D3
Dn
D . x3 = D3 ⇔ x3 = –––– … D . xn = Dn ⇔ xn = ––––
D
D
na qual ressaltamos que
a) D é o determinante do sistema;
b) Dj é o determinante da matriz que se obtém da
matriz incompleta, trocando-se sua j-ésima coluna por
b1, b2, …, bn.
6. Sistema normal
Um sistema linear de n equações e n incógnitas é
normal se o determinante D do sistema for diferente de
zero.
Teorema de Cramer
Todo sistema normal é possível e determinado e a
No Portal Objetivo
única solução pode ser obtida pela Regra de Cramer.
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M111
Regra de Cramer
Dado um sistema normal nas variáveis x1, x2, x3, …,
Dy
21
⇒ y = —– = –— = 3
7
D
Resolver o sistema
3x + y = 9
pela Regra de Cramer.
2x + 3y = 13
Resolução
a) O sistema é normal e pode ser resolvido
pela Regra de Cramer, pois
D=
3
2
1 =9–2=7⇒D≠0
3
Dx
–7
⇒ x = —–
= ––– = 1
D
–7
Resposta: (2;3)
c) Dy =
Resolver o sistema
x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x+ y+z=6
Resolução
pela Regra de Cramer.
1
2
1
2
3
6
–1
1 = –14 ⇒
1
Dy
–14
⇒ y = —– = —— = 2
D
–7
a) O sistema é normal e pode ser resolvido pe9 1
b) Dx =
= 27 – 13 = 14 ⇒
13 3
D=
Dx
14
⇒ x = ––– = —– = 2
D
7
c) Dy =
3 9
= 39 – 18 = 21 ⇒
2 13
Considere o sistema
b) Dx =
3x + y = 5
. Pedem-se:
x+y=3
a) a matriz incompleta do sistema;
30
la Regra de Cramer, pois
MATEMÁTICA
1
2
1
2
–1
1
2
3
6
2
–1
1
d) Dz =
–1
1 =–7⇒D≠0
1
Resposta: (1; 2; 3)
RESOLUÇÃO:
2
–1
1
3
1
2
3
6
= – 21 ⇒
Dz
–21
⇒ z = —– = —— = 3
D
–7
–1
1 =–7⇒
1
M.I. =
1
2
1
1
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 31
b) o determinante do sistema;
RESOLUÇÃO:
1
Dz = 1
2
D= 3
1
V = {(1, 2, –1)} (S.P.D.)
1 =3–1=2
1
–1 –2
Dz
–2 –1 = – 8 ⇒ z = –––– ⇒ z = – 1
D
1 1
c) resolver o sistema pela “Regra de Cramer”.
(UFPE – MODELO ENEM) – Perguntado sobre a idade de
seu filho Júnior, José respondeu o seguinte:
“Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a
47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos.
As idades de Maria e Júnior somam 39 anos.” Qual a idade de
Júnior?
a) 2 anos
b) 3 anos
c) 4 anos
d) 5 anos
e) 10 anos
RESOLUÇÃO:
Dx = 5
3
Dx
1 ⇒ D = 2 ⇒ x = –––
⇒x=1
x
1
D
Dy = 3
1
5 ⇒ D = 4 ⇒ y = Dy ⇒ y = 2
–––
y
3
D
V = {(1, 2)}
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, as idades de José, de Júnior e de
Maria, temos:
x + y = 47
x + z = 78
y + z = 39
D =
1
1
0
1
0
1
0
1
1
= – 2 e Dy =
1
1
0
47
78
39
0
1
1
= – 8. Dessa forma,
Dy
y = –––– = 4
D
Resposta: C
Resolver o sistema
de Cramer”.
x– y+ z=–2
x – 2y – 2z = –1
2x + y + 3z = 1
pela “Regra
RESOLUÇÃO:
1 –1 1
D = 1 –2 –2 =8
2
1 3
–2 –1 1
Dx
Dx = –1 –2 –2 = 8 ⇒ x = –––– ⇒ x = 1
D
1 1 3
1
Dy = 1
2
–2 1
Dy
–1 –2 = 16 ⇒ y = –––– ⇒ y = 2
D
1 3
MATEMÁTICA
31
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 32
Escalonamento
13 e 14
Dizemos que o sistema
• Escalonamento
• Sistemas equivalentes
Para tanto, fazemos:
x + 2y – z = 7
y + 4z = 13 está
3z = 9
a) (Segunda Equação) – 2 . (Primeira Equação)
escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equação é zero
e os coeficientes de x e y na 3a. equação são iguais a
zero. É fácil resolver este sistema, pois:
x + 2y + z = 7
y – 5z = – 6
3x + 8y – 5z = 11
b) (Terceira Equação) – 3 . (Primeira Equação)
x + 2y – z = 7
y + 4z = 13
3z = 9
⇔
⇔
⇔
x + 2y – z = 7
y + 4 . 3 = 13 ⇔
z= 3
x+2.1–3=7
y=1
z=3
⇔
x + 2y – z = 7
y + 4z = 13 ⇔
z= 3
x + 2y – z = 7
y=1 ⇔
z=3
x=8
y=1
z=3
Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equações e “eliminar” a variável y da 3a. equação.
Para tanto, basta fazermos:
(Terceira Equação) – 2 . (Segunda Equação)
Logo: V = {(8; 1; 3)}
Exemplo
namento.
x + 2y + z = 7
y – 5z = – 6
2z = 2
Resolvendo, agora, o sistema por substituição, obtêm-se z = 1, y = –1 e x = 8. Portanto, o conjunto verdade do sistema é V = {(8; –1; 1)}.
Importante
Para escalonar um sistema e transformá-lo em outro
sistema, equivalente (que apresenta a mesma solução) e
mais simples, podemos
Se o sistema não estiver escalonado, podemos transformá-lo em um outro, escalonado, que tenha a mesma
solução, ou seja, “equivalente” ao primeiro.
Resolver o sistema
x + 2y + z = 7
y – 5z = – 6
2y – 8z = – 10
x + 2y + z = 7
2x + 5y – 3z = 8 por escalo3x + 8y – 5z = 11
a) trocar de posição duas equações;
b) multiplicar qualquer equação por um número real
diferente de zero;
Primeiro Passo: Repetir a 1a. equação e “eliminar” a
c) multiplicar uma equação por um número real diferente de zero e adicioná-la à outra equação.
variável x das demais.
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 e 14
Resolver o sistema
x + 2y – 3z = – 5
– y + 7z = 15
67z = 134
Resolução
I) Da terceira equação, resulta z = 2.
II) Substituindo z por 2, na segunda equação,
temos – y + 7 . 2 = 15 ⇔ y = –1.
III) Substituindo z por 2 e y por –1, na primeira
equação, temos x + 2(– 1)– 3 .2 = –5 ⇔x = 3
IV) De I, II e III resulta V = {(3; – 1; 2)}
32
MATEMÁTICA
Resolver o sistema
x + 2y – 3z = – 5
2x + 3y + z = 5
3x – 5y + z = 16
Resolução
Vamos escalonar o sistema, transformando-o
em um sistema equivalente (de mesma solução) e cuja resolução é mais simples.
Conservamos a primeira equação e eliminamos
x nas demais equações. Para isso, devemos
seguir as seguintes etapas:
a) conservamos a primeira equação;
b) trocamos a segunda equação por (segunda
equação) – 2.(primeira equação);
c) trocamos a terceira equação por (terceira
equação) – 3(primeira equação).
Dessa forma, temos:
x + 2y – 3z = – 5
– y + 7z = 15
– 11y + 10z = 31
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 33
Agora, conservamos a primeira e a segunda equações e eliminamos a
incógnita y na terceira equação. As etapas a serem seguidas, são:
a) conservamos as duas primeiras equações;
b) trocamos a terceira equação por (terceira equação) – 11(segunda
equação).
Dessa forma resulta
x + 2y – 3z = – 5
– y + 7z = 15
– 67z = – 134
Que é equivalente a
x + 2y – 3z = – 5
– y + 7z = 15
67z = 134
Resolvendo esse último sistema, chegamos a x = 3, y = – 1 e z = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(3; – 1; 2)}.
Exercícios Propostos – Módulo 13
Resolver o sistema:
x + 2y + z = 8
y – 2z = – 4
3z = 9
RESOLUÇÃO:
I) 3z = 9 ⇔ z = 3
II) y – 2z = – 4 ⇔ y – 6 = – 4 ⇔ y = 2
III) x + 2y + z = 8 ⇔ x + 4 + 3 = 8 ⇔ x = 1
V = {(1; 2; 3)}
(S.P.D.)
(UFES) – Resolva o sistema linear
2x + 3y + z = 11
x+y+z=6
5x + 2y + 3z = 18
RESOLUÇÃO:
2x + 3y + z = 11
x+y+z=6
⇔
5x + 2y + 3z = 18
x+y+z=6
2x + 3y + z = 11
5x + 2y + 3z = 18
Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à segunda e multiplicando a primeira por (– 5) e adicionando-a à
terceira, temos:
x+y+z=6
y–z=–1
– 3y – 2z = – 12
Multiplicando a segunda equação por (3) e adicionando-a à terceira, temos:
Aplicando o método do escalonamento, resolver o sistema:
x + 2y + z = 8
x + 3y – z = 4
2x + 6y + z = 17
RESOLUÇÃO:
x + 2y + z = 8
x + 3y – z = 4
Resposta: V = {(1; 2; 3)}
x(– 1)
+
x(– 2)
+
2x + 6y + z = 17
x + 2y + z = 8
y – 2z = – 4
2y – z = 1
x + y+ z = 6
y – z = – 1 ⇔ x = 1, y = 2 e z = 3
– 5z = – 15
x(– 2)
+
x + 2y + z = 8
y – 2z = – 4
3z = 9
V = {(1; 2; 3)}
(S.P.D.)
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M112
MATEMÁTICA
33
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 34
(U.F.CEARÁ – MODELO ENEM) – Para uma festinha,
foram encomendados 90 refrigerantes, 230 salgados e 120
doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianças,
senhores e senhoras. Cada criança deverá consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor
deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3
doces; cada senhora deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces. Qual deverá ser o total de
convidados para que não sobrem e nem faltem refrigerantes,
salgados e doces?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à
segunda, temos:
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
4x + 3y + 3z = 120
Multiplicando a primeira equação por (– 1) e adicionando-a à
terceira, resulta
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
2x = 30
⇔
z = 10
y = 10 ⇔ x + y + z = 25
x = 15
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senhores e de senhoras convidados para a festa, temos:
I) Os refrigerantes a serem consumidos são 2 para cada criança,
3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma, resulta
2x + 3y + 3z = 90.
II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, 5
para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos
8x + 5y + 6z = 230.
III)Os doces a serem consumidos são 4 para cada criança, 3 para
cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos
4x + 3y + 3z = 120.
Resolvendo o sistema formado pelas três equações.
2x + 3y + 3z = 90
8x + 5y + 6z = 230
4x + 3y + 3z = 120
Exercícios Propostos – Módulo 14
Nos exercícios de a , resolva e classifique os sistemas,
aplicando o método do escalonamento:
x + 2y + z = 9
2x + y – z = 3
3x – y – 2z = – 4
x + 2y + z = 9
x + 2y + z = 9
3x – y – 2z = – 4
x(– 2) x(– 3)
+
+
– 3y – 3z = – 15 (÷ 3)
– 7y – 5z = – 31
34
– y – z=–5
– 7y – 5z = – 31
MATEMÁTICA
x=1
– y – z=–5
y=3
2z =
4
⇔ V = {(1; 3; 2)}
z=2
O sistema apresenta uma única solução, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Determinado (S.P.D.).
RESOLUÇÃO:
x + 2y + z = 9
2x + y – z = 3
9
x + 2y + z =
x(– 7)
+
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 35
(PUCCAMP – MODELO ENEM) – Se o convidarem para
saborear um belo cozido português, certamente a última coisa
que experimentará entre as iguarias do prato será a batata, pois
ao ser colocada na boca sempre parecerá mais quente. ... Mas
será que ela está sempre mais quente, uma vez que todos os
componentes do prato foram cozidos juntos e saíram ao
mesmo tempo da panela? Sabemos que, ao entrarem em
contato, objetos com temperaturas diferentes tendem a trocar
calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho,
não? Uma coisa é certa: ao comer o cozido, a chance de você
queimar a boca com a batata é muito maior do que com o
pedaço de carne.
Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de
comer.
x–y+z=4
3x – 2y + z = 0
5x – 3y + z = – 4
RESOLUÇÃO:
x–y+z=4
3x – 2y + z = 0
5x – 3y + z = – 4
x– y+ z=4
y – 2z = – 12
2y – 4z = – 24
x(– 3) x(– 5)
+
+
x(– 2)
+
(Aníbal Figueiredo. Física – um outro lado – calor e temperatura.
São Paulo. FTD, 1997.)
x– y+ z=4
y – 2z = – 12
0z = 0
A terceira equação é verdadeira para ∀z ∈ .
Abandonando a última equação e fazendo z = α, com α ∈ , temos:
x=α–8
x–y=4–α
x–y+ α=4
,
⇒
⇒
y = 2α – 12
y = 2α – 12
y – 2α = – 12
com α ∈ ⇒ V = {(α – 8; 2α – 12; α)}, α ∈ O sistema apresenta infinitas soluções, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.).
De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes
usados no preparo de um belo cozido português, incluem-se x
gramas de batatas, y gramas de cebolas e z gramas de linguiça
portuguesa, totalizando 1450 gramas. Sabendo-se que z e x,
nesta ordem, estão entre si na razão 2/3 e que o dobro de y,
acrescido de 100, é igual à soma de x e z, é correto afirmar que
compõem essa receita:
a) 450 g de cebolas.
b) 480 g de batatas.
c) 480 g de cebolas.
d) 500 g de linguiça.
e) 750 g de batatas.
RESOLUÇÃO:
A partir dos dados contidos no enunciado, temos:
x + y + z =1450
z
2
–– = ––
x
3
2y + 100= x + z
⇔
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
x – 2y + z = 100
Multiplicando a primeira equação por (2) e adicionado-a à terceira,
temos:
x – 2y – 3z = 5
– 2x + 5y + 2z = 3
– x + 3y – z = 2
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
3x + 3z = 3000
Adicionado a segunda equação à terceira, temos:
RESOLUÇÃO:
x – 2y – 3z = 5
– 2x + 5y + 2z = 3
– x + 3y – z = 2
x – 2y – 3z = 5
y – 4z = 13
y – 4z = 7
x – 2y – 3z = 5
y – 4z = 13
0z = – 6
x(2)
x(1)
+
+
x + y + z =1450
⇔ x = 600, z = 400 e y = 450
2x – 3z = 0
5x = 3000
Resposta: A
x(– 1)
+
A terceira equação é falsa para ∀z ∈ ⇒ V = Ø
O sistema não apresenta solução, portanto, trata-se de um Sistema Impossível (S.I.).
MATEMÁTICA
35
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 36
Substituição, eliminação
15
• Eliminar incógnitas
Portanto, z = 7 – 2 . 3 – (–1) ⇒ z = 2
O conjunto verdade do sistema é: V = {(3; –1; 2)}
Os métodos de resolução de sistemas lineares
(Cramer e Escalonamento) apresentados anteriormente
são bastante úteis e muito utilizados. No entanto, para
certos sistemas, é mais simples “eliminar” incógnitas
pela “adição” ou “subtração” de duas ou mais equações,
ou, ainda, usar o método geral da substituição.
Exemplo 2
Resolver o sistema
Exemplo 1
Resolver, por substituição, o sistema
2x + y + z = 7
3x – y + z = 12
x + 2y – 3z = – 5
RESOLUÇÃO
“Isolando” z na 1a. equação, temos: z = 7 – 2x – y.
Substituindo z, na 2a. e na 3a. equação, pela expressão obtida, resulta:
3xx +– y2y+–(73 –. (72x––2xy) =– y)12= – 5 ⇔ 7xx –+ 2y5y == 516 ⇔
2y
⇔
7x .=(55 ++ 2y)
+ 5y = 16
x = 5 + 2y
x=3
⇔ ⇔ y = –1
y = –1
⇔
⇔
x2y=+2yy = 90
3x + 4y – 7z = – 34
5x – 4y + 7z = 50
3x – 3y – 7z = – 13
RESOLUÇÃO
A resolução deste sistema, tanto pelo método da
substituição, como pelo método do escalonamento, e,
também, pela Regra de Cramer, é muito trabalhosa.
No entanto, se observarmos as relações existentes
entre os coeficientes das incógnitas, podemos resolvê-lo
rapidamente. De fato:
a) Somando, membro a membro, as duas primeiras
equações, obtemos: 8x = 16 ⇔ x = 2
b) Multiplicando a terceira equação por – 1 e somando-a com a primeira, temos: 7y = – 21 ⇔ y = – 3
c) Substituindo os valores encontrados na primeira
equação, por exemplo, obtemos:
3 . 2 + 4 . (– 3) – 7 . z = – 34 ⇔ z = 4
O conjunto verdade é, portanto, {(2; – 3; 4)}
(ENEM) – Uma companhia de seguros levantou dados
sobre os carros de determinada cidade e constatou que são
roubados, em média, 150 carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número
de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas
respondem por cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
Resolução
Sendo x e y respectivamente, o número de carros roubados
durante um ano, das marcas X e Y, tem-se:
xx =+ 2y
y = 60% .150
• Substituir
⇔
y = 30
x = 60
Se tivermos
x+y+z=–1
x+z+t=5
, então x + y + z + t é igual
y+z+t=7
x+y+t=4
a:
a) – 1
b) 7
c) 5
d) 4
e) 5/9
Resolução
x+y+z=–1
x+z+t=5
y+z+t=7
x+y+t=4
Somando, membro a membro, as equações, temos:
O número esperado de carros roubados da marca Y, durante
um ano, é 30.
Resposta: C
Resposta: B
36
3x + 3y + 3z + 3t = 15 ⇔ x + y + z + t = 5
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 37
(UNICAMP) – Resolver o sistema
x+ y+
x+ y+
x + 2y +
2x + y +
z+
2z +
z+
z+
2w = 1
w=2
w=3
w=4
RESOLUÇÃO:
Somando membro a membro as quatro equações, resulta
5x + 5y + 5z + 5w = 10 ⇔ x + y + z + w = 2
Substituindo x + y + z + w = 2 em cada equação, obtêm-se:
2
2
2
2
+
+
+
+
w=1
z=2
y=3 ⇒
x=4
x=2
y=1
z=0
w=–1
Resolver o sistema
2x + 3y + z = 17
x – 5y + 2z = 5
x + 3y + z = 11
RESOLUÇÃO:
Multiplicando a 3a equação por (– 1), temos:
2x + 3y + z = 17
(I)
x – 5y + 2z = 5
(II)
– x – 3y – z = – 11
(III)
Somando membro a membro as equações I e III, resulta x = 6.
Substituindo x = 6 em cada equação, obtemos:
3y + z = 5
– 5y + 2z = – 1
– 3y – z = – 5
(PUC – MODELO ENEM) – Sabe-se que na compra de uma
caixa de lenços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total
de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco
camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos
R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas
três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será
a) R$ 72,00
b) R$ 65,00
c) R$ 60,00
d) R$ 57,00
e) R$ 49,00
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de uma caixa de
lenços, de um boné e de uma camiseta, temos:
x + 2y + 3z =127
3x + 4y + 5z = 241
O conjunto solução é
V = {(x, y, z, w)} = {(2; 1; 0; – 1)}
(a)
(b)
(c)
A equação (c) é equivalente à equação (a), logo, pode ser eliminada.
Substituindo z = 5 – 3y (a) em (b): – 5y + 10 – 6y = – 1 ⇒
⇒ – 11y = – 11 ⇒ y = 1 ⇒ z = 2
V = {(6; 1; 2)}
Multiplicando a primeira equação por (–1) e adicionando-a à segunda equação, temos:
x + 2y + 3z =127
2x + 2y + 2z = 114
Dividindo a segunda equação por (2), resulta:
x + y + z = 57 (quantia a ser desembolsada na compra de apenas
três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo).
Resposta: D
(UFR-RJ – MODELO ENEM) – Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um videocassete e um
aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o
videocassete custam juntos R$ 1 200,00; o videocassete e o
aparelho de som custam juntos R$ 1 100,00; o televisor e o
aparelho de som custam juntos R$ 1 500,00.
Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados?
RESOLUÇÃO:
Sendo t, v e s, respectivamente os preços de um televisor, um
videocassete e um aparelho de som, temos:
t + v = 1 200
v + s = 1 100
t + s = 1 500
Somando, membro a membro, as três equações, resulta
2t + 2v + 2s = 3 800 ⇔ t + v + s = 1 900
Resposta: Para comprar os três produtos anunciados, o cliente
pagará R$ 1 900,00.
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
MAT2M113
(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite
MATEMÁTICA
37
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 38
Característica de uma matriz
16
• Teorema de Kronecker
Os sistemas lineares são utilizados para resolver
problemas práticos. Além de resolver, é muito importante
“discutir” o sistema, que consiste em prever se ele é possível ou impossível. Em certos casos, quando uma ou mais
equações dependem de um “parâmetro”, é importante
verificar em que condições o sistema admite soluções.
Um dos critérios existentes para discutir um sistema
é o Teorema de Rouché-Capelli. Este teorema utiliza o
conceito de característica de uma matriz. Para simplificar
a apresentação deste conceito, abusando um pouco da
linguagem, escreveremos DETERMINANTE DE ORDEM p em lugar de determinante de uma matriz de
ordem p.
Exemplo
Na matriz
A característica de uma matriz M, não nula, é a máxima ordem dos determinantes não todos nulos que
podem ser extraídos de M. Em outras palavras, a característica de M é o número natural p 1 se, e somente se:
a) Existir pelo menos um determinante
de ordem p diferente de zero.
b) Forem nulos todos os determinantes de
ordem maior que p.
Na matriz M =
2
5
2
3
4
3
1
2
1
3
0
3
N=
, por exemplo, po-
3
por exemplo.
4
Todos os determinantes de ordem 3,
1
2 ,
1
2 3
5 4
2 3
3
0 ,
3
3 1
4 2
3 1
3
0
3
e
4
2
8
2
5
3
10
3
7
2
14
2
2
1
–1
0
3
1
4
2
5
3
7
2
A característica de Q é 2, pois existe pelo menos um
determinante de ordem 2 diferente de zero.
Por exemplo:
2 –1
1
0
A característica da matriz inicial M é, portanto, igual a 2.
3. Teorema de Kronecker
2 1
5 2
2 1
3
0
3
a) Existir um determinante de ordem p (Dp)
diferente de zero.
b) Forem nulos todos os determinantes de
ordem p + 1 obtidos orlando Dp com uma
das restantes linhas e uma das restantes
colunas.
2. Como calcular
Quando forem “visíveis” numa matriz as propriedades que anulam um determinante, o cálculo da característica é rápido.
MATEMÁTICA
3
1
6
1
A característica de uma matriz é p se, e somente se:
são iguais a zero, pois a primeira e a terceira linha são
iguais e, portanto, a característica de M é 2.
38
–1
0
–2
0
Nesta matriz, são nulos todos os determinantes de
ordem 4, pois a segunda e a quarta linha são iguais. A
característica de N, de modo análogo, é a mesma da
matriz
2
–1
3
4
5
7
1
0
1
2
3
2
P=
4
–2
6
8
10
14
Q=
2
5
2
1
4
1
Nesta matriz, são nulos todos os determinantes de
ordem 3, pois a terceira linha é o dobro da primeira. A
característica de P é a mesma da matriz
dem ser extraídos determinantes de ordem 1, de ordem
2 e de ordem 3. Assim sendo, a característica dessa
matriz pode ser 1, 2 ou 3. Existe pelo menos um determinante de ordem 2 diferente de zero,
2
–1
3
4
5
7
1
0
1
2
3
2
M=
4
–2
6
8
10
14
1
0
1
2
3
2
0
0
0
0
0
0
são nulos todos os determinantes de ordem 5, por possuírem uma fila nula. Ao calcular a característica de M,
podemos, então, eliminar esta linha. A característica de
M é, portanto, a mesma da matriz
1. Definição
2 3
5 4
2 3
• Característica
Na matriz M =
2
5
7
3
1 3
4 –2 0
7 –1 3
, existe pelo me-
nos um determinante de ordem 2 diferente de zero.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 39
Por exemplo:
2 3
Dp =
0. Os determinantes de ordem 3, que
5 4
se obtêm orlando Dp, são todos nulos, pois:
2
5
7
3
4
7
1
–2
–1
=0 e
Calcular a característica da matriz:
1
2
0
3
0
–1
4
2
1
3
1
1
0
–1
4
2
1
2
0
3
2
5
7
3
4
7
Portanto, a característica de M é 2.
Observações
a) Para obter os determinantes de ordem 3, orlando
Dp, fixamos os elementos de Dp e copiamos os elementos de uma das restantes linhas e uma das
restantes colunas que estão em torno (na “orla”) de Dp.
3
0 =0
3
b) Se pelo menos um dos determinantes de ordem 3
fosse diferente de zero, a característica de M seria 3.
d) Orlando este menor de ordem 3, obtemos:
1
0
1
0
2
–1
3
–1
0
4
1
4
3
2
1
2
Resolução
1
0
1
1
Se p for a característica de
2
–1
3
2
0
4
1
0
3
2
1
3
1
0
1
0
1
2
–1
3
–1
2
0
4
1
4
0
3
2
1
2
3
1 0 = –1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 2
2 –1
c)
1
2
0
0
–1
4
1
3
1
1
4
3
2
a ,
RESOLUÇÃO:
1
4
2 a
2
3 3
2
7
b 5
3 = – 10 0
2
1
1
2
b)
2 a
3 3
b 5
1
5
1
2
Resolução
Se p for a característica da matriz
≠0⇒p≥2
2
1
1
5
2
1
2
3
2
7
b
1
5
a
1
2
3
2
7
5
=0⇔b=5
=0⇔a=2
d) Se a = 2 e b = 5, então p = 2, pois todos os
determinantes de ordem 3 são nulos.
e) Sendo a ≠ 2 ou b ≠ 5, então p = 3, pois
existe pelo menos um determinante de
ordem 3 diferente de zero.
Resposta: a = 2 e b = 5 ⇒ p = 2
a ≠ 2 ou b ≠ 5 ⇒ p = 3
calcular a característica de cada
, então:
c) Orlando este determinante de ordem 2,
temos:
=0
Calcular a característica da matriz
5
2
7
a) 1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 1
e) Sendo nulos todos os determinantes de
ordem 4, concluímos que a característica p
é 3.
Resposta: 3
=–5≠0⇒p≥3
Nas questões de
matriz.
5
1
, então:
a) 1 = 1 ≠ 0 ⇒ p ≥ 1
b)
=0
1
4
2
RESOLUÇÃO:
2
1
4 =0 ⇒ 2 =20
||
2
A característica da matriz é 1.
A característica da matriz é 2.
MATEMÁTICA
39
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 40
1
2
3
1
4
5
0
8
RESOLUÇÃO:
1
2
O valor de a é:
a) 1
b) 0
3
= –50
1
A característica da matriz é 2.
1
2
3
3
1
4
0
0
0
3
= – 5 0 A característica da matriz é 2.
1
1
2
1
2
1
1
5
0
0
2
1
1
d) 2
a
0
1
é 2.
e) – 2
(ENEM) – O número de atletas nas Olimpíadas vem
aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de
10 000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney,
em 2000.
Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu
devido ao crescimento da participação de
A característica da matriz é 3.
Determinar as características das matrizes incompleta e
completa do sistema linear
x – 2y – 3z = 5
– 2x + 5y + 2z = 3
– x + 3y – z = 2
RESOLUÇÃO:
Sendo p e q, respectivamente, as características das matrizes
completa e incompleta do sistema linear, temos:
1 –2 –3
5
2 =0 e
p = 2, pois – 2
–1
3 –1
1 –2
5
q = 3, pois – 2
–1
3
c) – 1
0
–2
2
RESOLUÇÃO:
1 2 5
2 1 0 =50
1 1 0
1
1
0
RESOLUÇÃO:
1.a linha – 2 a. linha = 3 a. linha (combinação linear)
a–0=1
a=1
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
1 3 0
2 1 0 =0
3 4 0
1
2
A característica da matriz
5
3
2
a) homens e mulheres, na mesma proporção.
b) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada
Olimpíada.
c) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou.
d) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada
Olimpíada.
e) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou.
RESOLUÇÃO:
A partir do gráfico apresentado, nas últimas cinco Olimpíadas, o
número de participantes aumentou devido ao crescimento da
participação de mulheres (1498, 2438, 2705, 3549 e 3905), pois a de
homens praticamente não se alterou (6434, 6983, 6659, 7075,
6416).
Resposta: E
1 –2 0
–2
5
=–60
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M114
40
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 41
Geometria Plana – Módulos
1 – Introdução ao estudo da geometria 9 – Polígonos
2 – Ângulos
10 – Quadriláteros notáveis
3 – Paralelismo
11 – Quadriláteros notáveis
4 – Triângulos
12 – Linhas proporcionais
5 – Segmentos notáveis do triângulo
13 – Semelhança de triângulos
6 – Triângulo retângulo e condição de 14 – Semelhança de triângulos
existência de um triângulo
7 – Congruência de triângulos
8 – Polígonos
15 – Semelhança de triângulos
16 – Relações métricas nos
triângulos (Pitágoras)
Tales de Mileto – Teorema de Tales
(624/625 a.C – 556/558 a.C.)
1
Introdução ao
estudo da geometria
1. Geometria plana
• Geometria plana • Ponto • Reta
• Plano • Semirreta • Segmento de reta
Representação gráfica
A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de
pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é
plana, estamos afirmando que ela está totalmente contida num plano.
O conjunto universo da
geometria plana será, pois, o plano.
2. Ponto, reta e plano
Notação
Costumam-se indicar
São ideias primitivas, entes que não possuem definição. Conhecemos imagens de ponto, por exemplo,
como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis
tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens,
pois não há dimensão para ponto.
a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, …
Analogamente, possuímos a intuição de reta e plano.
b) as retas com letras minúsculas r, s, t, …
c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ, …
d) como dois pontos distintos determinam uma reta,
pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
MATEMÁTICA
41
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 42
3. Semirreta
6. Congruência
Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subconjuntos chamados semirretas.
O termo congruência não será definido. A ideia intuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão congruentes quando suas medidas forem iguais.
Para indicarmos a congruência entre dois entes geométricos, utilizaremos o símbolo ≅.
O ponto A é origem das semirretas e pertence a am→
→
bas. Representa-se por Ar1 e Ar2.
7. Congruência de
segmentos de reta
A semirreta pode ser também indicada por dois pon→
tos. AB indica a semirreta com origem A, que contém o
→
ponto B, e AC indica a semirreta com origem A, que
contém o ponto C.
—
—
Dois segmentos de reta, AB e CD, serão congruentes se, e somente se, tiverem mesma medida.
Simbolicamente:
—
4. Segmento de reta
—
AB ≅ CD ⇔ AB = CD
Podemos definir segmento de reta como sendo a
intersecção de duas semirretas, cada uma contendo a
origem da outra.
—
Representa-se por AB.
8. Segmentos colineares
São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
Exemplos
—
—
— —
AB, MN, AN, AM etc …
9. Ponto médio de um segmento
—
Simbolicamente:
—
→
→
AB = Ar1 Br2
M será ponto médio de um segmento AB se, e
—
—
somente se, M pertencer ao segmento AB e AM for
—
congruente com BM.
5. Medidas
Medida de um ente geométrico é um número real
positivo, obtido pela comparação deste ente com um
outro escolhido como unidade. Ao escolhermos esta unidade, estamos estabelecendo um sistema de medidas.
Assim,
––
M é o ponto médio de AB ⇔
—
A medida do segmento AB em centímetros é 5 e
pode ser representada por:
—
AB = 5 cm ou med (AB) = 5 cm
42
MATEMÁTICA
––
M ∈ AB
––– –––
AM ≅ BM
10. Região convexa
Um conjunto de pontos S é uma região convexa se,
e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S,
—
o segmento AB for subconjunto de S.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 43
Assim,
S é convexa
—
∀A ∈ S, ∀B ∈ S, AB S
Quando existirem dois pontos, A e B, de S, de tal
—
forma que AB não é um subconjunto de S, a região é dita
côncava ou não convexa.
Região angular é a região determinada pela união
do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos
pontos “interiores”.
Assim,
S é não convexa
∃A ∈ S e ∃ B ∈ S
—
tal que AB S
13. Ângulos consecutivos
11. Ângulos
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem.
Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo
vértice e pelo menos um lado em comum.
Simbolicamente:
^
→
→
r Os = Or Os
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas
→
→
Or e Os são os lados do ângulo.
Notação
→
→
O ângulo determinado pelas semirretas Ar e As será
indicado por:
^
^
^
^
Os ângulos mOr e rOs são consecutivos, pois admitem o lado
→
Or em comum.
^
r As ou B AC ou A
^
12. Região angular
Observe que o ângulo geralmente determina, no
plano, três conjuntos:
a) pontos “interiores” (P; Q; R; …)
b) pontos do ângulo (O; A; B; …)
c) pontos “exteriores”(X; Y; Z; …)
^
Os ângulos mOs e rOs são consecutivos, pois admitem o lado
→
Os em comum.
14. Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quando a intersecção entre seus conjuntos de pontos “interiores” for vazia.
MATEMÁTICA
43
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 44
16. Ângulo reto
Duas retas são chamadas concorrentes se, e somente se, elas possuírem um único ponto em comum.
^
^
Os ângulos mOr e rOs são adjacentes.
Observação
Dois ângulos adjacentes são sempre dois ângulos
consecutivos, porém dois ângulos consecutivos nem
sempre são adjacentes.
15. Congruência de ângulos
Observe que duas retas concorrentes determinam
quatro regiões angulares adjacentes.
Quando duas dessas regiões angulares adjacentes
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
Dois ângulos são congruentes se, e somente se,
eles têm mesma medida.
Observação
Simbolicamente:
^
^
^
^
ABC ≅ DEF ⇔ med (ABC) = med (DEF)
As lentes são formadas por materiais
transparentes (meio refringente) de tal forma
que pelo menos uma das superfícies por onde
passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é
plana. Nas lentes esféricas, uma das superfícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e,
consequentemente, caracterizadas por um raio
de curvatura.
As lentes podem ser classificadas, de acordo
com sua construção, como lentes convergentes e divergentes. Quando a lente está no ar ou
em qualquer meio menos refringente que o seu
material, as lentes convergentes são mais grossas na parte central que nas bordas. O contrário
ocorre nas divergentes, que são delgadas no
seu centro e mais grossas nas extremidades.
Exemplos de lentes convergentes são lupas e
lentes para corrigir hipermetropia. Lentes divergentes são encontradas em olho-mágico de
portas e em óculos para correções da miopia.
Outra classificação é feita em termos da
geometria da lente. Caso as duas superfícies
sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava.
Se as duas superfícies são convexas, tem-se
uma lente biconvexa. Sendo uma superfície
44
MATEMÁTICA
Quando duas retas r e s são concorrentes e determinam ângulos adjacentes congruentes, elas são chamadas perpendiculares.
Simbolicamente: r ⊥ s.
plana e outra convexa, tem-se uma lente planoconvexa e assim por diante.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br
Existem seis tipos de lentes, que são representadas pelas figuras a seguir.
Das seis figuras que representam os tipos de
lentes, a quantidade de regiões não convexas
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução
Somente as duas primeiras não são regiões
não convexas.
Resposta: D
Quando falamos em figuras iguais,
intuitivamente nos vêm à mente figuras de
mesmo tamanho e forma. Isto significa que,
executando-se alguns movimentos, as figuras
se “encaixam” exatamente umas sobre as
outras. Observemos que a palavra “iguais”
está sendo usada de forma um tanto imprópria,
já que os conjuntos de pontos que formam
cada uma das figuras são diferentes. Tornamos
mais precisa nossa linguagem usando a
expressão "figuras congruentes".
http://penta.ufrgs.br/edu
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 45
É importante saber que duas figuras congruentes têm medidas iguais.
Assim, se os ângulos das figuras a seguir são
congruentes, então, o valor de x é:
Resolução
a) 20°20’
b) 20°30’
⇒ x = 20°30’
d) 20°50’
e) 21°
3x – 14° = x + 27° ⇒ 2x = 41° ⇒
c) 20°40’
Resposta: B
Nos exercícios de a , represente graficamente os entes
geométricos, apresentando sua notação:
Devemos ter:
e) círculo
f) coroa circular
Reta r determinada por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO:
convexa
↔
não convexa
r = AB
Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem
origem no ponto A e contém o ponto B.
RESOLUÇÃO:
→
AB
Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO:
—
AB
→
→
Ângulo de lados OA e OB e vértice O.
(MODELO ENEM) – É dificíl saber se foram os egípcios ou
os sumérios os primeiros a produzir escritos de natureza matemática. É fato que os mais antigos documentos indubitavelmente matemáticos que chegaram até nós são tabletes sumérios de barro cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C.,
mas como os egípcios escreviam sobre papiros facilmente
degradáveis, eles podem ter produzido documentos ainda mais
antigos e que se perderam. É preciso lembrar, entretanto, que
existem tabletes sumérios de cerca de 3500 a.C., quando ainda
eram usados símbolos anteriores aos cuneiformes, que já
traziam registros numéricos. O sistema de numeração dos sumérios, depois adotado e adaptado por seus sucessores, usava
como base o número 60, de onde se origina a convenção que
empregamos até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a hora
em 60 minutos e o minuto em 60 segundos (a divisão do dia
em 24 horas vem dos egípcios).
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2a. ed. Livraria da Física.
RESOLUÇÃO:
Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60”, faça os cálculos a seguir,
associando-os com:
a) 45°13’
b) 12°40’
c) 104°53’37”
d) 23°12’17”
e) 24°01’17”
Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta
b) ângulo
I) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54”
RESOLUÇÃO:
convexa
não convexa
83° 20’ 43”
+ 21° 32’ 54”
–––––––––––––
104° 52’ 97”
Como 1’ → 60”, temos que.
83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
Resposta: C
c) região angular
convexa
d) circunferência
não convexa
MATEMÁTICA
45
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 46
II) 92° 43’ – 47° 30’
IV) 38° : 3
RESOLUÇÃO:
92° 43’
– 47° 30’
––––––––––
45° 13’
RESOLUÇÃO:
38°
3
08°
12° 40’
2° = 120’
0
Resposta: B
Resposta: A
Logo, 38° : 3 = 12° 40’
III) 41° 23’ – 17° 21’ 43”
RESOLUÇÃO:
41° 22’ 60”
– 17° 21’ 43”
––––––––––––
24° 01’ 17”
Resposta: E
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
MAT2M115
2
(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite
Ângulos
• Obtuso • Agudo • Reto
• Complementares • Suplementares
1. Ângulos agudo, obtuso e raso
Ângulo agudo
Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.
Âgulo obtuso
Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.
Ângulo raso
Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas
opostas.
A medida de um ângulo raso corresponde a dois
ângulos retos ou a 180°.
2. Soma de ângulos
^
^
A soma de dois ângulos A BC e D EF é um ângulo
^
P QR tal que:
^
^
^
med(PQR) = med(ABC) + med(D EF)
Exemplos
Observação:
^
^
^
Quando med(P QR) = med(ABC) – med(DEF), o ân^
^
^
gulo P QR é a diferença entre os ângulos ABC e DEF.
46
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 47
3. Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem
no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos
congruentes. Assim,
→
^
OC é bissetriz do ângulo AOB
^
^
AOC ≅ BOC
O suplemento de um ângulo de medida x é
180° – x
6. Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma de
suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um
dos ângulos é chamado replemento do outro.
4. Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
chamado complemento do outro.
^
^
Replementares ⇔ a + b = 360°
O replemento de um ângulo de medida x é
360° – x
7. Ângulos opostos pelo vértice
Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os
lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
^
^
Complementares ⇔ a + b = 90°
O complemento de um ângulo de medida x é
90° – x
Teorema
5. Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado suplemento do outro.
^
^
Suplementares ⇔ a + b = 180°
Se dois ângulos são opostos pelo vértice,
então eles são congruentes.
Demonstração
a + x = 180°
b + x = 180°
⇒a+x=b+x⇔a=b
MATEMÁTICA
47
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 48
Nas regiões próximas à linha do Equador,
todas as estrelas nascem e se põem quatro
minutos mais cedo, a cada dia que passa. Ao
final de 365 dias, esse adiantamento dará um
total de 24 horas. Por isso, se você observar o
céu todas as noites, sempre à mesma hora,
notará que seu aspecto irá modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de ser
visíveis, enquanto outras vão surgindo no
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar
o céu daqui a três meses, verá que tal modificação será bem mais sensível. Ao término
de seis meses, você poderá verificar que todas
as constelações visíveis serão diferentes, pois
você estará vendo o outro lado do céu
estrelado, que era invisível em virtude da luz
solar.
Ronaldo Rogério de Freitas Mourão.
O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro
Publicações S/A
Na figura acima, o astrônomo observou que as
estrelas A, B e C estão posicionadas de tal
—
^
modo que BD é bissetriz do ângulo ADC. Se
^
^
ADB = 3x – 10° e CDB = 2x + 8°, então, a
^
medida do ângulo ADC é:
a) 80°
d) 86°
b) 82°
e) 88°
c) 84°
Resolução
I)
3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
II)
CDB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
III)
ADC = 2 . 44° = 88°
^
^
Resposta: E
Castelos e palácios eram residências
majestosas para nobres e reis, mas apenas
castelos tinham muros altos, torres e fossos.
Embora os palácios fossem grandes residências e pudessem ter muros ao seu redor, não
tinham muros altos de proteção e não eram
projetados para finalidades militares.
O fosso – um grande dique ou trincheira ao
redor do muro externo do castelo – era a
primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio
de água ou seco (um fosso seco poderia ser
forrado com estacas pontiagudas de madeira).
Normalmente, havia uma ponte elevadiça que
permanecia erguida quando o castelo era
atacado. Vários fossos eram também locais
para depósito de lixo e detritos. A existência de
um fosso dependia do terreno – nem todos os
castelos tinham fossos. Alguns eram
construídos no alto de uma rocha e não precisavam deles. Os castelos de Edinburgo e de
Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto
→
Calcular x na figura, sabendo-se que OC é bissetriz do
^
de uma encosta rochosa. Vários castelos
alemães ao longo do Rio Reno foram construídos nas áreas montanhosas do vale.
www.spectrumgothic.com.br
Durante um ataque a um castelo medieval, os
sentinelas ergueram a ponte levadiça, até que
ela formasse um ângulo α com a horizontal. Se
a medida do ângulo α é a metade da medida do
seu suplemento, então, o complemento de α
vale:
a) 30° b) 40°
c) 50°
d) 60°
Resolução
180° – α
α = ––––––––– ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
2
Logo, o complemento de α é 30°.
Resposta: A
(ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) – As medidas do com-
plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de
ângulo AOB.
40° são, respectivamente, iguais a
a) 30°, 60° e 90°
b) 30°, 45° e 60°
c) 320°, 50° e 140°
d) 50°, 140° e 320°
e) 140°, 50° e 320°
RESOLUÇÃO:
1) complemento: 90° – 40° = 50°
2) suplemento: 180° – 40° = 140°
3) replemento: 360° – 40° = 320°
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
3x – 20° = x + 11°
2x = 31°
x = 15,5°, ou seja,
x = 15° 30’
48
e) 70°
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 49
Calcule o complemento de 69° 51’ 22”.
RESOLUÇÃO:
I)
90° = 89° 59’ 60”
II)
89° 59’ 60”
– 69° 51’ 22”
–––––––––––––––––––
20° 08’ 38”
A medida de um ângulo é igual à metade da medida do
seu suplemento. O complemento desse ângulo mede:
a) 60°
b) 90°
c) 120°
d) 30°
e) 45°
RESOLUÇÃO:
180° – x
I) x = ––––––––
2
2x = 180° – x
3x = 180°
x = 60°
Resposta: D
II) Logo, o complemento
é 90° – 60° = 30°
Na cidade jônia de Mileto (hoje em território pertencente à
Turquia), viveu um homem admirável, mais tarde considerado
um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é
considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemático grego
e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido
entre 640 a.C. e 564 a.C.
Embora a Filosofia, a Astronomia e a Matemática fossem
suas paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio.
Aristóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o
criticavam por descuidar-se dos negócios e desperdiçar seu
tempo com aqueles interesses estranhos. Indiferente às críticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional
safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras
de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou,
ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter
demonstrado que os filósofos, quando querem, também
sabem como enriquecer. Se não o fazem é porque dão valor a
outras coisas que lhes parecem muito mais importantes.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária
ideia que deu rumos definitivos ao pensamento matemático,
ou seja, a de que suas verdades devem ser justificadas,
demonstradas, provadas por meio do raciocínio.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências.
2a. ed. Livraria da Física.
As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales demonstrou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos
pelo vértice, então, eles são congruentes.
Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na
figura seguinte é:
a) 16°
b) 18°
c) 20°
d) 22°
e) 24°
(PUC-MG) – O dobro do complemento de um ângulo é
igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do
ângulo é igual a:
a) 80°
b) 60°
c) 40°
d) 30°
e) 20°
RESOLUÇÃO:
180° – x
2(90° – x) = ––––––––– ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔
5
⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80°
RESOLUCÃO:
3x – 30° = 60° – 2x ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°
Resposta: B
Resposta: A
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MAT2M116
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MATEMÁTICA
49
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 50
3
Paralelismo
• Alternos • Colaterais
• Correspondentes
1. Nomenclatura
Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma
transversal t, obtemos oito ângulos com as designações
r // s ⇔ α ≅ β
4. Ângulos alternos
^
^
^
;
• correspondentes: a e α
^
^
^
^
b e β; c e γ ;
^
^
^
^
deδ
^
• alternos externos: a e γ; b e δ
^
^
^
• alternos internos: c^ e α
;
d e β
^
^
b e γ
^
^
d e α
• colaterais externos: a e δ ;
• colaterais internos: c e β ;
Duas retas paralelas distintas formam com uma
transversal ângulos alternos congruentes e reciprocamente.
^
^
^
^
2. Retas paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, são coplanares com intersecção vazia ou são coincidentes.
Representa-se r // s.
r // s ⇔ γ ≅ β
5. Ângulos colaterais
Duas retas paralelas distintas formam com uma
transversal ângulos colaterais suplementares e reciprocamente.
3. Ângulos correspondentes
Duas retas paralelas distintas formam com uma
transversal ângulos correspondentes congruentes e
reciprocamente.
No Portal Objetivo
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OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M117
50
MATEMÁTICA
r // s ⇔ β + δ = 180°
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 51
(UNICAMP)
–
Para
calcular
a
circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes
valeu-se da distância conhecida de 800 km
entre as localidades de Alexandria e Siena no
Egito (A e S, respectivamente), situadas no
mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que,
quando em Siena os raios solares caíam
verticalmente, em Alexandria eles faziam um
ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com
esses dados, a circunferência terrestre, isto é,
o comprimento de uma volta completa em
torno da Terra.
Resolução
Seja x o comprimento da circunferência da
Terra.
De acordo com o enunciado, tem-se:
Nos exercícios e
o com:
a) 20°
b) 25°
360°
x = ––––– . 800 km ⇔ x = 50 . 800 km ⇔
7,2°
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
a) 140°
b) 160°
⇔ x = 40 000 km
d) 200°
e) 220°
Resposta: 40 000 km
Nelson Piquet, três vezes campeão do
mundo, se tornará um dos donos da equipe
BMW, em 2010, junto com o suíço Peter
Sauber – proprietário hoje de cerca de 20% da
organização. Assim, o futuro de Nelsinho
Piquet estará praticamente assegurado na
Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP da
Europa, no dia 23, em Valência, pela Renault,
mas no ano que vem sua vaga estaria
reservada no Mundial.
Quando escreveu no twitter que poderia “quem
sabe correr no seu próprio time”, há dois dias,
e depois disse que estava “brincando”, na
realidade Nelsinho falou a verdade. Nelson, seu
pai, tenta dar sequência ao que sempre fez com
o filho: competir em sua escuderia. Foi assim
no kart, na Fórmula 3, na GP2 – Nelsinho
sempre obteve sucesso – e provavelmente será
agora também na Fórmula 1.
O Estado de São Paulo – 03/08/2009
—
Na pista de kart da figura seguinte, temos: AB
—
—
paralelo a DE e também paralelo a FG. Assim, a
, determinar o valor de x, associandoc) 40°
d) 50°
c) 180°
Resolução
Assim, x + 60° = 180° ⇒
⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto,
x + y = 120° + 80° = 200°
Resposta: D
e) 80°
RESOLUÇÃO:
x = 30° + 50°
RESOLUÇÃO:
x = 80°
x + 10° = 50°
Resposta: E
x = 40°
Resposta: C
MATEMÁTICA
51
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 52
Antônio Carlos levou seu filho Fernando Antônio para fazer
um passeio no “Rio do Peixe” cujas margens são paralelas. No
local aonde eles foram, havia uma ponte que ligava a margem
I) x + 135° = 180° ⇔ x = 45°
II) x +y + 70°= 180° ⇔ 45°+ y + 70°= 180° ⇔ x = 65°
Resposta: C
r com um ilha localizada pelo ponto B e uma outra ponte
ligando a ilha com o ponto C na outra margem, como mostra a
figura seguinte. Se o ângulo agudo que a margem forma com
—
^
AB mede 18° e ABC = 92°, então, a medida do ângulo obtuso
—
que a margem s forma com a ponte BC é:
a) 102°
b) 104°
c) 106°
d) 108°
e) 110°
(UFPE) – Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
RESOLUÇÃO:
As medidas dos ângulos α e β são, respectivamente:
a) 65° e 115°
b) 70° e 110°
α + 74° = 180° ⇒ α = 106°
d) 60° e 135°
e) 45° e 145°
Resposta: C
RESOLUÇÃO:
Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
I) α + 70°+ 45° = 180° ⇔ α = 65°
II) 45° + β = 180° ⇔ β = 135°
Resposta: C
O valor de y é:
a) 55°
b) 60°
c) 65°
RESOLUÇÃO:
52
MATEMÁTICA
d) 70°
e) 75°
c) 65° e135°
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 53
Triângulos
4
• Vértices • Ângulos internos
• Ângulos externos
^
^
^
Como β ≅ B , γ ≅ C e A + β + γ = 180°, temos:
1. Definição
^
Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama–– –– ––
se triângulo a união dos três segmentos, AB, AC e BC.
Simbolicamente:
––
–––
––
ΔABC = AB BC AC
^
^
A + B + C = 180°
Soma dos ângulos externos
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos externos é igual a 360°.
Demonstração
A união do triângulo ABC com os pontos de sua
região interior é chamada região triangular.
^
^
^
^
^
^
A + α = 180°
2. Elementos do triângulo
B + β = 180°
a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
— —
—
b) Os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo.
C + γ = 180°
^
^
^
^
^
c) Os ângulos BAC = A, ABC = B e ACB = C são os
ângulos internos do triângulo.
d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo
^ ^
β e ^γ são os ângulos externos dos
interno. Na figura, α,
vértices A, B e C, respectivamente.
3. Propriedades
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é igual a 180°.
Demonstração
⇒
^
^
^
^ ^
^
^
^
^
⇒ A + B + C + α + β + γ = 540° ⇒ α
+
β
+γ
14243
180°
= 360°
4. Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual
à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração
^
^
^
^
A + α = 180°
^
A + B + C = 180°
123
^
14243
A palavra triângulo é, muitas
vezes, usada com o sentido de
região triangular.
⇒
^
^
^
α
=B +C
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M118
MATEMÁTICA
53
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 54
^
encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz do ângulo A SC
(ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um
triângulo ABC (figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo
^
—
^
^
encontra o lado AC. Se ABC = 62° e ACB = 34°, então, a medida do
^
ângulo STC é:
que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e
a) 94°
^
ABD = 60°.
b) 95°
c) 96°
d) 97°
^
A medida do ângulo BCD é:
a) 22°
b) 21°
c) 20°
d) 19°
e) 18°
Resolução
Resolução
—
^
^
I) AD é bissetriz do ângulo B’AC ⇒ B’AD = 49°
II) No triângulo AB’C, temos:
^
^
BCD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ BCD = 22°
Resposta: A
Arthur pretende encontrar um tesouro que está escondido no
Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro
deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem
na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o ponto S onde a bissetriz
—
^
^
^
Assim, STC + 52° + 34° = 180° ⇒ STC = 94°
Resposta: A
do ângulo BAC encontra o lado BC do triângulo ABC. Finalmente, ele
Demonstre que a soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo é igual a 180°.
RESOLUÇÃO:
—
Sejam α, β e γ os ângulos internos do ΔABC. Traçando r // BC, temos:
54
MATEMÁTICA
α + b + c = 180°
β = b (alternos internos)
γ = c (alternos internos)
⇒ α + β + γ = 180°
e) 98°
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 55
(PUC) – Na figura abaixo, a = 100° e b = 110°. Quanto
mede o ângulo x?
a) 30°
b) 50°
c) 80°
d) 100°
Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue como o que
aparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e
acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2.
Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas
figuras é:
a) 235°
b) 240°
c) 245°
d) 250°
e) 255°
e) 150°
RESOLUÇÃO:
a = x + (180° – b) ⇔ x = a + b – 180° ⇔ x = 30°
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
Nos exercícios e
a) 40°
b) 60°
, calcule x, associando-o com:
c) 70°
d) 90°
e) 100°
I) α = 90° + 30° = 120°
II) β = 80° + 35° = 115°
RESOLUÇÃO:
x + 50° = 120°
x = 70°
Resposta: C
Logo, α + β = 120° + 115°= 235°
Resposta: A
RESOLUÇÃO:
3x = 80° + x
2x = 80°
x = 40°
Resposta: A
MATEMÁTICA
55
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 56
5
Segmentos
notáveis do triângulo
1. Mediana
Mediana de um triângulo é o segmento de reta
que tem uma extremidade num dos vértices do triângulo
e a outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice.
• Mediana • Bissetriz • Altura
• Acutângulo • Obtusângulo • Retângulo
4. Classificação dos triângulos
Classificação quanto aos lados
Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em:
a) equilátero, quando tem os três lados congruentes.
b) isósceles, quando tem dois lados congruentes.
c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são
congruentes.
—
AMA é a mediana relativa ao vértice A.
2. Bissetriz
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice do triângulo e pela intersecção do
lado oposto a esse vértice com a bissetriz do ângulo interno desse vértice.
Classificação quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classificado em:
a) retângulo, quando possui um ângulo reto.
b) acutângulo, quando possui os três ângulos agudos.
c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.
—
ASA é uma bissetriz do triângulo.
3. Altura
Altura de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice e pela intersecção da reta que
contém o lado oposto a esse vértice, com a perpendicular a ela traçada por esse vértice.
—
AHA é a altura relativa ao vértice A.
56
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 57
(ENEM) – Fractal (do latim fractus, fração,
quebrado) – objeto que pode ser dividido em
partes que possuem semelhança com o objeto
inicial. A geometria fractal, criada no século XX,
estuda as propriedades e o comportamento
dos fractais – objetos geométricos formados
por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido
por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero
(figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado
tenha a metade do tamanho do lado do
triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que
cada triângulo tenha um vértice comum
com um dos vértices de cada um dos
outros dois triângulos, conforme ilustra a
figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3
para cada cópia dos triângulos obtidos no
passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada é
Carlos colocou em sua barraca de cam— — —
—
ping os tirantes AB, AC, PQ e PR, como aparece
na figura seguinte, pois o sistema de
meteorologia havia previsto um vendaval. Se
—
—
—
—
^
^
AD = AE = BD = EC e ABD = ACE = 28°, então,
^
a medida do ângulo DAE é:
a) 65° b) 65°
c) 67°
d) 68°
e) 69°
Resolução
Resolução
A figura 4 será obtida retirando-se os triângulos
equiláteros “menores”, que têm vértices nos
pontos médios dos lados de cada triângulo
azul. Portanto, será
^
^
I)
A DE = AED = 28° + 28° = 56°
II)
No triângulo ADE, temos:
^
^
DAE + 56° + 56° = 180° ⇒ DAE = 68°
Resposta: C
a)
b)
c)
d)
e)
Assinale a afirmação falsa:
Todo triângulo equilátero é acutângulo.
Todo triângulo equilátero é equiângulo.
Todo triângulo equilátero é isósceles.
Todo triângulo acutângulo é equilátero.
Nenhum triângulo retângulo é equilátero.
RESOLUÇÃO:
Resposta: D
(UFES) – Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado
pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 80°
e) 140°
Resposta: D
1) 2x + 2x + 100° = 180° ⇔ x = 20°
2) α = x + x ⇔ α = 2x = 40°
Resposta: B
Calcule x, com os dados da figura seguinte, na qual
^
AB = BC = CD e med (CDB) = 25°.
RESOLUÇÃO:
MATEMÁTICA
57
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 58
RESOLUÇÃO:
No ΔABD, x é ângulo externo.
Logo, x = 25° + 50°
x = 75°
Um triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Nele, está
—
—
inscrito um triângulo equilátero DEF, tal que D ∈ AB, E ∈ AC,
—
^
^
F ∈ BC e os ângulos A DE e FEC são complementares. Calcule
^
a medida, em graus, do ângulo BFD.
RESOLUÇÃO:
1) α + β = 90°
2) Nos triângulos BFD e FEC, tem-se:
θ + x = α + 60°
θ + 60° = β + x
Assim:
2θ + x + 60° = α + β + x + 60° ⇔
⇔ 2θ = α + β ⇔ 2θ = 90° ⇔ θ = 45°
RESOLUÇÃO:
^
Resposta: O ângulo B FD mede 45°
(MODELO ENEM) – Índios guajajaras derrubam torre
de alta tensão no Maranhão
24/10/2007 – da Agência Folha
Um grupo de índios da etnia guajajara derrubou anteontem
uma torre de transmissão de energia elétrica da Eletronorte
que cruza a terra indígena Cana Brava, próxima ao município de
Barra do Corda (456 km de São Luís), no Maranhão.
O grupo já havia ameaçado derrubar a torre diversas vezes,
mas esta foi a primeira vez em que o ato foi concretizado.
A reportagem não conseguiu falar ontem com as lideranças
guajajaras para saber o motivo da derrubada da torre.
A assessoria da Funai (Fundação Nacional do Índio) informou
que os índios exigem a presença do presidente do órgão,
Márcio Meira, na aldeia, mas não apresentaram uma reivindicação específica.
Na torre da figura seguinte, temos:
^
AB = BC = CD = DE = EF. Se G AH = 10°, então a medida do
^
ângulo GEF é:
a)
58
40°
b) 45°
c) 50°
MATEMÁTICA
d) 55°
e) 60°
^
Logo, G EF = 50°
Resposta: C
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M119
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 59
Triângulo retângulo e condição
de existência de um triângulo
6
1. Propriedade importante
do triângulo retângulo
• Existência • Ângulo reto
Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo tem a metade da medida da referida hipotenusa, ou seja
Se um triângulo está inscrito numa circunferência e
um de seus lados é um diâmetro, então o triângulo é
retângulo.
BC
AM = ––––
2
2. Condição de
existência do triângulo
––
––
––
a) AO ≅ BO ≅ CO (raio da circunferência)
^
^
^
^
b) ABO ≅ BAO, pois ΔAOB é isósceles
c) ACO ≅ CAO, pois ΔAOC é isósceles
d) No triângulo ABC, temos: α + α + β + β = 180° ⇔
⇔ 2α + 2β = 180° ⇔ α + β= 90° ⇒
A condição necessária e suficiente para existir um
triângulo é que a medida de cada um de seus lados seja
menor que a soma das medidas dos outros dois.
^
BAC = 90°
Observação
Se a, b, e c forem, respectivamente, as medidas dos
–– ––
––
lados BC, AC e AB do triângulo ABC, então:
Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o
centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
a<b+c
b<a+c
c<a+b
Observação
Se a for o maior lado, a condição necessária e suficiente para existir o triângulo é apenas a < b + c.
(MODELO ENEM) – Sr. Norberto resolveu
levar seu filho Francisco Augusto para um
“passeio maravilhoso”, uma pescaria! Para
que o garoto aproveitasse bem o passeio, ele
não deixou seu filho levar o PSP (vídeo game).
Depois de várias horas sem pegarem um único
peixe, o garoto pegou alguns gravetos
(segmentos de reta) e resolveu montar triângulos. As medidas dos gravetos eram
5 cm, 7 cm, 9 cm e 12 cm. Como ele encostou
ponta com ponta e não quebrou nenhum
graveto, o número de triângulos diferentes que
ele conseguiu montar foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução
Com as medidas dadas, só é possível obter 3
triângulos: (5; 7; 9), (7; 9; 12) e (5; 9; 12).
Resposta: C
(MODELO ENEM) – Pescar de novo? Por
favor, por favor, por favor nãããããããããão! Não
teve jeito, lá foi Francisco Augusto com seu pai
para uma nova pescaria, porém desta vez a
pescaria ia ser mais interessante: eles foram
pescar lulas!
Depois de várias horas “se divertindo”, o
garoto pegou o canivete do pai, começou a
abri-lo e fechá-lo, e observou que assim ele
poderia construir triângulos, como mostra a
figura seguinte. Se a medida da lâmina é
5 cm e a medida do cabo é 7 cm, o número de
triângulos com lados inteiros que ele
conseguiu montar foi:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
MATEMÁTICA
59
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 60
Resolução
Sendo x a medida do 3o. lado, temos:
5 – 7 < x < 5 + 7 ⇒ 2 < x < 12 e, portanto, o número de medidas
possíveis para o terceiro lado é 9.
Resposta: C
Os arcos de sustentação da ponte da figura seguinte são
semicircunferências de centros O e O’, respectivamente. O
—
cabo de aço AD é perpendicular ao plano da ponte e o cabo
—
^
AC forma 38° com o plano da ponte. A medida do ângulo DAO
—
—
formado pelos cabos de aço AD e AO é:
a) 14°
b) 15°
c) 16°
d) 17°
e) 18°
A altura e a mediana relativas à hipotenusa de um triângulo
retângulo formam um ângulo de 40°. Calcular o ângulo agudo
entre esta altura e a bissetriz do maior ângulo agudo do
triângulo.
RESOLUÇÃO:
^
I. ABC = 65°
α = 65°
––– ⇒ α = 32° 30’
2
II. x + α = 90°
x = 90° – 32° 30’
x = 57° 30’
RESOLUÇÃO:
I) O triângulo ABC é retângulo em A e, portanto, OA = OB = OC.
^
^
II) No triângulo isósceles AOC, temos: OAC = OCA = 38° e,
^
portanto, DOA = 38° + 38° = 76°
III)No triângulo ADO, temos:
^
^
D AO + 90° + 76° = 180° ⇒ D AO = 14°
Resposta: A
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M120
60
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 61
As medidas dos lados de um triângulo são respectivamente iguais a x + 1, 2x – 1 e 4 – x. Um possível valor para x é:
3
b) –––
2
2
a) –––
3
d) 2
c) 1
10
III. 10 < x – 1 + 2x + 1 ⇒ – 3x < – 10 ⇒ x > –––
3
e) 10
RESOLUÇÃO:
I) x + 1 < 2x – 1 + 4 – x ⇒ x + 1 < x + 3, verdadeira para ∀x ∈ II) 2x – 1 < x + 1 + 4 – x ⇒ 2x < 6 ⇒ x < 3
III)4 – x < x + 1 + 2x – 1 ⇒ 4 < 4x ⇒ x > 1
De (I), (II) e (III), temos: 1 < x < 3 e, portanto, um possível valor de x é 2.
Resposta: D
Fazendo a intersecção das condições I, II e III, obtemos:
10
–––– < x < 8
3
Como x ∈ , temos
x = 4 ou x = 5 ou x = 6 ou x = 7.
Resposta: B
Se x ∈ , e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são as medidas
dos lados de um triângulo, então o número de possíveis
valores de x é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
RESOLUÇÃO:
I. x – 1 < 2x + 1 + 10 ⇒ – x < 12 ⇒ x > – 12
II. 2x + 1 < x – 1 + 10 ⇒ x < 8
7
Congruência de triângulos
• Congruência • LLL
• LAL • ALA • LAAo
1. Definição
Dois triângulos são congruentes se for possível
estabelecer uma correspondência entre os vértices de
um e os do outro, de modo que os lados e os ângulos
correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.
ΔABC ≅ ΔRPQ ⇔
—
AB
—
BC
—
AC
^
A
^
B
^
C
≅
≅
≅
≅
≅
≅
—
RP
—
PQ
—
RQ
^
R
^
P
^
Q
2. Critérios de congruência
A definição de congruência exige a congruência dos
seis elementos, enquanto os critérios de congruência nos
permitem concluir que dois triângulos são congruentes a
partir da congruência de três elementos convenientes.
MATEMÁTICA
61
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 62
Temos quatro critérios de congruência de triângulos:
1o.
Critério: LLL
—
—
—
^
Dois triângulos são congruentes quando possuem
os três lados respectivamente congruentes.
AB ≅ PQ
—
—
AC ≅ PR
—
—
BC ≅ QR
—
BC ≅ QR
^
B≅ Q
^
^
A≅ P
⇒ ΔABC ≅ ΔPQR
Observações
a) LLA não assegura congruência.
Na figura, os triângulos ABC e A’BC não são congruentes, pois AC A’C, embora
––
BC (lado comum)
⇒ ΔABC ≅ ΔPQR
^
C (ângulo comum)
–– ––
AB ≅ A’B (raio)
2o. Critério: LAL
Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente, congruentes.
b) Se dois triângulos retângulos possuem hipotenusas congruentes e um dos catetos congruentes, então
eles são congruentes.
—
—
AB ≅ PQ
—
—
AC ≅ PR
^
^
A≅ P
3. Teorema
⇒ ΔABC ≅ ΔPQR
Se um triângulo ABC é isoângulo, então ele é isósceles.
Demonstração
3o. Critério: ALA
Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente, congruentes.
Hipótese
—
—
—
BC ≅ QR
^
^
B ≅Q
^
^
C ≅ R
ΔABC isoângulo
^ ^
B≅C
—
Tese { AB ≅ AC
⇒ ΔABC ≅ ΔPQR
4o. Critério: LAAo
Dois triângulos são congruentes quando possuem
um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse lado, respectivamente, congruentes.
^
^
––
Seja AS a bissetriz de A e, portanto, BAS ≅ CAS.
^
^
BAS ≅ CAS
^
^
Assim sendo, B ≅ C
—
AS (lado comum)
⇒
⇒ ΔBAS ≅ ΔCAS pelo critério LAAo.
—
—
Logo AB ≅ AC.
Observação
—
Da demonstração anterior, conclui-se que AS, além
de bissetriz, é a mediana e a altura relativa ao vértice A.
62
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 63
A congruência de triângulos é utilizada
para demonstrar várias propriedades importantes. Podemos por exemplo demonstrar que
I) se um triângulo é isósceles, então, ele é
isoângulo;
II) a bissetriz do ângulo formado pelos lados
congruentes de um triângulo isósceles
coincide com a altura.
^
Assim, a medida do ângulo C AH da figura
I)
Para construir a estrela da figura seguinte,
No triângulo BHD, temos:
^
^
HBD + 90° + 50° = 180° ⇒ HBD = 40°
II)
foram utilizados os triângulos ABC, ADE, AFG e
Assim ABC = 40° + 40° = 80°
AHI, que são congruentes. Se AB = 12 cm,
Como AB = AC, temos:
AC = 5 cm e BC = 13 cm, então, o perímetro
^
^
^
^
ACB = ABC = 80° e, portanto, B AC = 20°
^
—
Logo, CAH = 10°, pois AH é bissetriz do
^
da estrela mede:
a) 80 cm
b) 90 cm
d) 110 cm
e) 120 cm
c) 100 cm
ângulo B AC
Resposta: A
—
seguinte, na qual AB = AC, AH é a altura
—
^
relativa ao vértice A, BS é bissetriz do ângulo B
^
e S DH = 130°, é igual a:
a) 10° b) 12° c) 14°
d) 16°
(MODELO ENEM)
e) 18°
Estrela gigante tem cauda do
tamanho do sistema solar
Redação do Site Inovação Tecnológica –
31/07/2009
Gigante vermelha
Há pouco mais de um mês, astrônomos descobriram que a supergigante vermelha Betelgeuse, uma das estrelas mais brilhantes no
céu, quase 1.000 vezes maior do que o Sol,
está encolhendo misteriosamente.
Resolução
Supernova
Os cientistas descobriram que a Betelgeuse
tem uma espécie de cauda, uma gigantesca
emanação de gases tão grande quanto o nosso
sistema solar inteiro, além de uma espécie de
bolha fervente em sua superfície. Essas podem ser as razões por trás da enorme perda de
massa da estrela.
Apesar de sua magnitude, Betelgeuse está-se
aproximando rapidamente do fim da sua vida.
Emitindo luz equivalente a 100 000 Sóis, ela
perde massa rapidamente e logo deverá explodir como uma supernova. Quando isto acontecer, a supernova poderá ser vista da Terra
mesmo à luz do dia.
http://www.inovacaotecnologica.com.br/
Cite os critérios de congruência de triângulos.
RESOLUÇÃO:
LAL, ALA, LLL e LAAo.
Resolução
O perímetro da estrela mede 80 cm.
Resposta: A
→
→
^
Na figura, OX é bissetriz de AO B e M ∈ OX . Prove que:
––– –––
AM ≅ BM
MATEMÁTICA
63
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 64
RESOLUÇÃO:
OM é comum
^
^
^
^
AOM ≅ BOM (bissetriz)
OAM ≅ OBM (retos)
⇒ LAAo ⇒ ΔMOA ≅ ΔMOB ⇒ AM ≅ BM
Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos
opostos aos lados são também congruentes.
RESOLUÇÃO:
Hipóteses
—
BD comum
^
^
ADB ≅ CBD (alternos internos)
^
⇒ ALA ⇒ ΔABD ≅ ΔCDB
^
ABD ≅ CDB (alternos internos)
—
—
—
—
Logo, AB ≅ CD e BC ≅ DA
Pretendo construir uma piscina circular com 10 m de
diâmetro e centro no ponto O, como mostra a figura seguinte.
No ponto A, pretendo colocar um pequeno toboágua, no ponto
B, uma escada e no ponto C, um guarda-sol com algumas ca^
deiras. Se BC = 5 m e ACO = 15°, então, a medida do ângulo
^
A OD é:
a) 42°
b) 43°
c) 44°
d) 45°
e) 46°
AB ≅ AC
ΔABC é isósceles
^ ^
Tese: B ≅ C
— —
Seja M o ponto médio de BC e, portanto, BM ≅ MC.
—
—
AB ≅ AC
— —
BM ≅ MC
—
AM comum
^
RESOLUÇÃO:
⇒ LLL ⇒ ΔAMB ≅ ΔAMC
^
Logo, B ≅ C
No quadrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se:
–– ––
–– –––
––
––
––
––
AB // CD e AD // BC. Prove que AB ≅ CD e BC ≅ DA .
^
^
I) BC = BO = 5 m e, portanto, BOC = B CO = 15°, pois o triângulo
COB é isósceles
^
II) OBA = 15° + 15° = 30°, pois é ângulo externo do triângulo COB.
III)O triângulo AOB também é isósceles e, portanto,
^
^
OAB = O BA = 30°.
^
Logo, AOD = 15° + 30° = 45°, pois é ângulo externo do triângulo
AOC.
Resposta: D
RESOLUÇÃO:
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M121
64
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 65
8e9
Polígonos
• Polígono equilátero • Equiângulo
• Diagonais • Soma dos ângulos
1. Definição
Consideremos, num plano, n pontos (n 3), A1, A2,
A3, …, An, ordenados de modo que três consecutivos
não sejam colineares.
Chama-se polígono A1, A2, A3, …, An a figura formada pela união dos n segmentos consecutivos:
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M122
3. Classificação
Polígono equilátero
É o polígono que tem todos os lados congruentes.
Exemplos: Losango, quadrado etc.
Polígono equiângulo
––––
––––
–––––
––––
A1A2 A2A3 A3A4 … AnA1
Exemplos: Retângulo, quadrado etc.
Polígono regular
Região poligonal
É a região determinada pela união do polígono com
os pontos de sua região interior.
Polígono convexo
É o polígono cuja região poligonal é convexa.
Observação
Estudaremos somente
polígonos convexos.
2. Nomenclatura
De acordo com o número de lados, temos:
triângulo
É o polígono que tem todos os ângulos internos
congruentes.
— 3 lados eneágono
— 9 lados
quadrilátero — 4 lados decágono
— 10 lados
pentágono
— 5 lados undecágono
— 11 lados
hexágono
— 6 lados dodecágono
— 12 lados
heptágono
— 7 lados pentadecágono — 15 lados
octógono
— 8 lados icoságono
— 20 lados
Genericamente, usa-se o termo polígono de n lados.
Observação importante
Um polígono convexo com n lados tem n vértices, n
ângulos internos e n ângulos externos.
É o polígono que é equilátero e equiângulo simultaneamente.
Exemplo: Quadrado.
4. Número de diagonais
Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento
de reta cujas extremidades são vértices não
consecutivos desse polígono.
Num polígono de n lados:
a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais.
b) os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais.
c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada
duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois
vértices.
Assim, sendo d o número de diagonais do polígono,
temos:
n . (n – 3)
d = ––––––––––
2
Exemplo
O polígono convexo da
figura ao lado tem 7 lados e
cada vértice dá origem a
7 – 3 = 4 diagonais.
Assim,
7.4
d = ––––– = 14
2
MATEMÁTICA
65
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 66
5. Soma dos ângulos internos
6. Soma dos ângulos externos
Seja um polígono de n lados e P um ponto interno.
Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma
dos ângulos internos é 180° . n.
Sejam, num polígono de n lados, ai e ae, respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo
externo adjacente a ele, Si a soma dos ângulos internos
e Se a soma dos ângulos externos.
Sendo ai + ae = 180° para cada um dos vértices do
polígono, temos
Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do
polígono, temos
Si = 180° . n – 360° ⇔
Si = (n – 2) . 180°
Si + Se = 180° . n ⇔ Se = 180° . n – Si ⇔
⇔ Se = 180° . n – (n – 2) . 180° ⇔
Exemplo
Se = 360°
Observação:
A soma dos ângulos internos
do polígono da figura é:
6 . 180° – 360° = 720°
Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos são
congruentes e, portanto,
Si
ai = ––––
n
e
Se
ae = ––––
n
Exercícios Resolvidos – Módulos 8 e 9
(PUCCAMP) – A figura descreve o movimento de um robô:
Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45° para a
esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida
terá sido
a) uma circunferência.
b) um hexágono regular.
c) um octógono regular.
d) um decágono regular.
e) um polígono não regular.
Resolução
Quando esse robô retornar ao ponto A, terá percorrido os lados de um
polígono regular, cujo ângulo externo mede 45°. Assim, sendo n o
número de lados desse polígono, tem-se:
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos
espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são
triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos.
Resolução
360°
––––– = 45° ⇔ n = 8
n
Resposta: C
(UFSCar) – A figura 1 representa um determinado encaixe no
plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4
quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos seis triângulos “encaixados” perfeitamente nos
espaços da figura acima, pode-se afirmar que dois deles são
equiláteros, e os demais são triângulos retângulos isósceles.
Resposta: D
66
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 67
Exercícios Propostos – Módulo 8
Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo.
RESOLUÇÃO:
n=9
n(n – 3)
9(9 – 3)
9.6
d = –––––––– ⇒ d = –––––––– = ––––– = 27 ⇒ d = 27
2
2
2
Cada um dos ângulos externos de um polígono regular
mede 15°. Quantas diagonais tem esse polígono?
RESOLUÇÃO:
360°
I. ae = –––––
n
360°
⇒ 15° = ––––– ⇒ n = 24
n
n(n – 3)
24 . 21
II. d = ––––––––– ⇒ d = ––––––––– ⇒ d = 252
2
2
Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o
dobro do número de lados?
RESOLUÇÃO:
d = 2n
n (n – 3)
d = –––––––––
2
n (n – 3)
⇒ 2n = ––––––––– ⇒ 4n = n(n – 3) ⇒ n = 7
2
Logo, o polígono é um heptágono convexo.
(ENEM) – Na construção civil, é muito comum a utilização
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas
as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar
uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras.
A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é:
a) 360°
b) 540°
c) 1400°
d) 900°
e) 180°
RESOLUÇÃO:
n=7
Si = (n – 2) . 180° ⇒ Si = (7 – 2) . 180° ⇒ Si = 900°
Resposta: D
Cada um dos ângulos internos de um polígono regular
mede 150°. Qual é o número de lados do polígono?
RESOLUÇÃO:
ae + ai = 180°
⇒ ae = 30°
ai = 150°
Se
360°
ae = –––– ⇒ 30° = ––––– ⇒ n = 12
n
n
MATEMÁTICA
67
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 68
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com
as respectivas medidas de seus ângulos internos.
a) triângulo.
d) hexágono.
b) quadrado.
e) eneágono.
c) pentágono.
RESOLUÇÃO:
Para que não haja falhas, ou superposição de ladrilhos, a soma
dos ângulos internos dos ladrilhos, em torno do vértice comum,
deve ser igual a 360°.
Assim, se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois
tipos diferentes de ladrilhos, sendo um deles octogonal, o outro
tipo escolhido deverá ser quadrado, pois 360° = 135° + 90° + 135°
e, então, em torno do mesmo vértice, teremos dois ladrilhos octogonais e um quadrado.
Resposta: B
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de
um
Exercícios Propostos – Módulo 9
Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é
cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de
diagonais desse polígono.
RESOLUÇÃO:
I. Si = 5 . Se ⇒ (n – 2) . 180° = 5 . 360° ⇒
⇒ n – 2 = 10 ⇒ n = 12
––
Num polígono regular ABCDE…, a diagonal AC forma com
––
o lado BC um ângulo de 18°. Esse polígono possui
a) 20 diagonais.
b) 20 lados.
c) 40 diagonais.
d) 18 lados.
e) 35 diagonais.
RESOLUÇÃO:
n(n – 3)
12 . 9
II. d = ––––––––– ⇒ d = ––––––– ⇒ d = 54
2
2
I. ae = 18° + 18° = 36°
A soma dos ângulos internos de dois polígonos cujos
números de lados são inteiros e consecutivos é 1620°. A soma
das quantidades de diagonais destes polígonos é:
a) 9
b) 13
c) 17
d) 20
e) 23
RESOLUÇÃO:
I. Si + Si = 1620°
1
2
(n – 2) . 180° + (n – 1) . 180° = 1620° (÷ 180°)
n–2+n–1=9⇒n=6
Logo, os polígonos têm 6 e 7 lados, respectivamente.
II. d = d1 + d2
6.3
7.4
d = –––––– + ––––––
2
2
d = 9 + 14 = 23
Resposta: E
68
MATEMÁTICA
360°
360°
II. ae = ––––– ⇒ n = ––––– ⇒ n = 10
n
36°
n(n – 3)
10 . 7
III. d = –––––––– ⇒ d = –––––– = 35
2
2
Resposta: E
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 69
Calcule, em graus a soma dos ângulos assinalados na
figura seguinte:
(MODELO ENEM) – Para desenhar uma estrela regular
com nove pontas, Luciana desenhou inicialmente um eneágono
regular como o que aparece na figura seguinte. Ela prolongou os
lados do eneágono, obtendo assim sua estrela regular. A soma
das medidas dos ângulos das pontas da estrela é igual a:
a) 780°
b) 800°
c) 840°
d) 860°
e) 900°
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = Se = 360°
10 e 11
Como β é ângulo externo do eneágono regular, temos:
360°
β = ––––– = 40°
9
Assim, α + 40° + 40° = 180° ⇒ α = 100°
Logo, a soma dos ângulos das pontas da estrela é 9 . 100° = 900°
Resposta: E
Quadriláteros notáveis
Alguns quadriláteros que possuem propriedades particulares são chamados quadriláteros notáveis.
Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e
suas propriedades.
• Trapézio • Paralelogramo
• Retângulo • Losango • Quadrado
No trapézio, ângulos adjacentes a um mesmo lado
transverso são suplementares.
1. Trapézio
Trapézio é todo quadrilátero que possui dois lados
paralelos.
––
–– ––
––
Os lados AB e CD (AB // CD ) são as bases do trapézio da figura.
––
––
Os lados AD e BC são chamados lados transversais ou lados transversos.
No trapézio da figura, temos:
α + β = 180° e γ + δ = 180°
MATEMÁTICA
69
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 70
Observações
a) Trapézio isósceles é aquele que possui os lados
transversais congruentes.
b) Trapézio retângulo é aquele que possui um ângulo reto.
Nos retângulos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:
a) as diagonais são congruentes.
b) os quatro ângulos são retos.
4. Losango
Losango é todo paralelogramo que possui dois
lados adjacentes congruentes.
2. Paralelogramo
Paralelogramo é todo quadrilátero que possui lados opostos paralelos.
Todo losango é um paralelogramo
e, portanto, também é um trapézio.
—
—
—
—
AB // CD e AD // BC
Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem
dois lados paralelos.
Nos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:
a) os lados opostos são congruentes.
b) os ângulos opostos são congruentes.
c) as diagonais se cortam em seus respectivos
pontos médios.
3. Retângulo
Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:
a) as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos
internos.
b) as diagonais são perpendiculares.
c) os quatro lados são congruentes.
5. Quadrado
Quadrado é todo quadrilátero que é retângulo e
losango ao mesmo tempo.
No quadrado, valem todas as propriedades do retângulo e todas as propriedades do losango.
Retângulo é todo paralelogramo que possui um
ângulo reto.
Todo retângulo é um paralelogramo
e, portanto, também é um trapézio.
Todo quadrado é retângulo e losango e,
portanto, também é paralelogramo e trapézio.
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
(ENEM) – Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões
históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do
papel disponível. Considere, a seguir, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Seguindo o processo representado, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível
de material, utilizando uma única folha de
a) 84 cm x 62 cm
70
b) 84 cm x 124 cm
MATEMÁTICA
c) 42 cm x 31 cm
d) 42 cm x 62 cm
e) 21 cm x 31 cm
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 71
Resolução
Para produzir um exemplar de cordel com 32 páginas, são necessárias
16 folhas de 10,5 cm x 15,5 cm dispostas como na figura seguinte, na
qual as medidas estão em centímetros:
(UNESP-MODELO ENEM) – A sequência de configurações
iniciada a seguir dá origem a um fractal, obtido em estágios da
seguinte maneira: (i) Começa-se com um quadrado de lado 1, no
estágio 0; (ii) O estágio n + 1 é obtido a partir do estágio n, dividindose cada lado em três partes iguais, construindo-se externamente sobre
a parte central um quadrado e suprimindo-se, então, a parte central.
Com base nessa descrição, o perímetro da figura, à direita, referente
ao estágio de número 2, é
a) 15
b) 100/9
Resolução
c) 10
d) 75/8
e) 15/2
A folha mais econômica deverá ter 42 cm por 62 cm e ser dobrada
como se segue:
Como pode-se
ser observado na sequência de figuras acima, o
perímetro da figura 2 é:
17
1
100
4 . –––– + 8 . 4 . –––– = ––––
9
9
9
Resposta: B
Resposta: D
Exercícios Propostos – Módulo 10
a)
b)
c)
d)
e)
Assinale a afirmação falsa.
Todo quadrado é um retângulo.
Todo quadrado é um losango.
Todo losango é um paralelogramo.
Todo retângulo é um paralelogramo.
Todo trapézio é um paralelogramo.
RESOLUÇÃO:
Basta observar as relações de inclusão.
Resposta: E
MATEMÁTICA
71
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 72
(PUCCAMP) – Considere as afirmações.
I) Todo retângulo é um paralelogramo.
II) Todo quadrado é um retângulo.
III) Todo losango é um quadrado.
Associe a cada uma delas a letra V, se for verdadeira, ou F caso
seja falsa.
Na ordem apresentada, temos
a) FFF
b) FFV
c) VFF
d) VVF
(CESGRANRIO)
e) FVF
RESOLUÇÃO:
Todo quadrado é losango e retângulo simultaneamente; assim,
um losango só será quadrado quando for também retângulo.
Resposta: D
Determinar o menor ângulo de um paralelogramo, cuja
diferença entre dois ângulos internos é 64°.
Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as
figuras anteriores, nas quais estão descritos os passos iniciais
para se fazer um passarinho: comece marcando uma das
diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça
—
—
coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo
que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o
^
quadrilátero BEDF da fig. 3, pode-se concluir que o ângulo BED
mede:
a) 100°
b) 112° 30’
c) 115°
d) 125° 30’
e) 135°
RESOLUÇÃO:
I)
RESOLUÇÃO:
β + α = 180°
β – α = 64°
⇒ β = 122° e α = 58°
Logo, o menor ângulo mede 58°.
^
^
No triângulo isósceles ABD, temos: A BD = ADB = 45°
II)
(UNIFESP) – Em um paralelogramo, as medidas de ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
RESOLUÇÃO:
Sejam k e 3k as medidas dos dois ângulos internos consecutivos
do paralelogramo a seguir.
—
^
^
45°
DE é bissetriz do ângulo ADB e, portanto, EDB = –––– = 22°30’
2
III) No triângulo BED, temos:
^
Resposta: B
Logo, 3k + k = 180°⇔ k = 45°
Resposta: A
72
MATEMÁTICA
^
B ED + 45° + 22°30’ = 180° ⇔ B ED = 112°30’
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 73
Exercícios Propostos – Módulo 11
^
Calcule a medida do ângulo BAD assinalado na figura
abaixo, na qual ABC é um triângulo equilátero e BCDE é um
quadrado.
RESOLUÇÃO:
^
I. A DE + 90° + 150° = 360°
^
^
ADE = 360° – 240° ⇒ A DE = 120°
^
II. α + α + ADE = 180°
2α = 180° – 120° ⇒ α = 30°
^
III. AEF = α + 15° + 15° = 60°
RESOLUÇÃO:
I. α + α + 60° + 90° = 180°
α = 15°
II. x + α = 60°
x = 60° – 15° = 45°
Na figura, ABCD é um quadrado e CDEF um losango. Se
^
^
EC F mede 15°, a medida do ângulo AEF é:
Resposta: D
(UNESP) – Uma certa propriedade rural tem o formato de
um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio
medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.
^
^
Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km,
do lado YZ que fica à margem do rio é:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
a) 7,5
b) 5,7
c) 4,7
d) 4,3
MATEMÁTICA
e) 3,7
73
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 74
RESOLUÇÃO:
Traçando TY// XW, temos T WX = T YX = b
e XY = WT = 5,7 km, pois XYTW é um paralologramo.
BC = CD = DA. A medida a do ângulo BAD assinalado é igual a:
––––
––––
^
^
^
^
No trapézio ABCD da figura abaixo, tem-se: AB = BD e
^
^
O triângulo TZY é isósceles, pois ZYT = ZYX – T YX =
^
^
= 2b – b = b e Z TY= XYT = b (alternos internos).
Logo, YZ = ZT = WZ – WT = 9,4 km – 5,7 km = 3,7 km
Resposta: E
a)
75°
b) 72°
c) 60°
d) 45°
e) 36°
RESOLUÇÃO:
(MACKENZIE) – Num quadrilátero convexo, a soma de
dois ângulos internos consecutivos mede 190°. O maior dos
ângulos formados pelas bissetrizes internas dos dois outros
ângulos mede:
a) 105°
b) 100°
c) 90°
d) 95°
e) 85°
2α + β = 180°
α + 3β = 180°
α = 72°
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
I. α + β = 190° ⇒ 2x + 2y = 170° ⇒ x + y = 85°
II. x + y + z = 180°
85° + z = 180° ⇒ z = 95°
Logo, o maior ângulo mede 95°.
Resposta: D
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M123
74
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 75
12
Linhas proporcionais
• Teorema de Tales
• Bissetriz interna • Bissetriz externa
Na figura, temos:
1. Teorema de Tales
Se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as
medidas dos segmentos correspondentes da outra.
AB
AC
–––– = ––––
BS
CS
3. Teorema da bissetriz externa
Quando a bissetriz de um ângulo externo de um
triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto,
ficam determinados, nesta reta, dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.
Na figura, temos:
Assim, na figura, temos:
AB
PQ
AC
PR
–––– = –––– ou –––– = –––– ou
CD
RS
BD
QS
AD
PS
–––– = –––– ou …
AB
PQ
2. Teorema da bissetriz interna
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
determina no lado oposto dois segmentos proporcionais
aos lados desse ângulo.
(UNIRIO – MODELO ENEM)
No desenho ao lado apresentado, as frentes
para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do
quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do
que a frente do quarteirão II para a mesma rua.
Sendo assim, pode-se afirmar que a medida,
em metros, da frente do menor dos dois
quarteirões para a rua B é:
a) 160
b) 180
c) 200
d) 220
e) 240
AB
AC
–––– = ––––
BS
CS
Resolução
MATEMÁTICA
75
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 76
—
De acordo com o Teorema linear de Tales,
tem-se
posto de gasolina. Se AP é bissetriz do ângulo
^
BAC, a distância da cidade B até o posto será:
250
x + 40
––––– = –––––––– ⇔ x = 160
200
x
a) 7 km
d) 10 km
b) 8 km
e) 11 km
Resolução
c) 9 km
Resposta: A
(MODELO ENEM) – No mapa da figura
seguinte, estão representadas as cidades A, B
e C, bem como as estradas retilíneas que ligam
as três cidades. As distâncias entre as cidades
AB, AC e BC medem, respectivamente, 18 km,
14 km e 16 km. No ponto P, será construído um
(UnB)__– Considere
__
___a figura abaixo. Sabendo que os segmentos AB, BC e A’B’ têm comprimentos 4 cm, 2 cm e
8 cm, respectivamente, determine o comprimento do segmen–––
to B’C’.
Do teorema da bissetriz do ângulo interno do
triângulo, temos:
18
14
––– = –––––– ⇒ 14x = 18 . (16 – x) ⇒ x = 9 km
x
16 – x
Resposta: C
alojou-se no porto do Pireu, a sete quilômetros de distância,
onde a vida era mais barata, e todas os dias levantava bem
cedo e caminhava até a escola.
Entre outros grandes feitos, coube a Eudóxio a eterna honra de
reformular a teoria das proporções de modo a levar em conta a
existência dos irracionais, problema que os pitagóricos não
haviam conseguido resolver. Sua abordagem, profunda e sutil,
recebeu pouca atenção durante longo tempo, até que, no
século XIX, os matemáticos Dedekind e Weierstrass utilizaram
ideias análogas às eudoxianas para colocar em bases sólidas a
teoria dos números reais.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências
2a. ed. Livraria da Física.
Como você observou no texto acima, quem realmente completou a demonstração do Teorema de Tales foi Eudóxio.
RESOLUÇÃO:
AB
A’B’
De acordo com o Teorema Linear de Tales, tem-se –––– = –––––
BC
B’C’
8
4
Assim: –– = ––––– ⇔ B’C’ = 4
2
B’C’
Resposta: B’C’ = 4 cm
Texto para as questões de
MATEMÁTICA
a .
Logo na fase inicial de sua Academia, Platão recebeu um
humilde aluno, de nome Eudóxio, de Cnidos (Jônia), que
estava destinado a tornar-se um dos maiores matemáticos da
Antiguidade. Extremamente pobre, nascido em 408 a.C.,
Eudóxio foi atraído pela fama de Atenas, de Platão e de sua
Academia e para lá mudou-se em busca da sabedoria junto aos
filósofos. Não tendo recursos para manter-se em Atenas,
76
Utilize o Teorema de Tales para calcular x em cada caso e o
associe com:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
RESOLUÇÃO:
4
1
––– = ––– ⇒ x = 8
x
2
Resposta: E
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 77
—
—
—
—
^
^
γ (correspondentes)
I. CD // SA ⇒ α
^
^
CD // SA ⇒ θ β (alternos internos)
^
^
como por hipótese α
β⇒
—
^
—
⇒ θ ^γ, logo ΔCAD é isósceles ⇒ AC AD
II. Aplicando o Teorema de Tales, temos:
AB
BS
AB
AC
––––– = ––––– ⇒ ––––– = ––––– (c.q.d.)
AD
SC
BS
SC
RESOLUÇÃO:
2
x
––– = –––
x
8
x2 = 16
x=±4
x=4
Resposta: C
—
—
—
No esquema seguinte, os segmentos AB, AC e BC repre-
sentam as trajetórias (retilíneas) entre as cidades A, B e C. No
ponto P será construído um posto de gasolina. Determine a
distância do posto à cidade B, sabendo-se que AB = 36 km,
^
^
AC = 28 km, BC = 32 km e BAP ≅ CAP.
RESOLUÇÃO:
2x – 1
x+3
––––––– = ––––––
3
5
RESOLUÇÃO:
10x – 5 = 3x + 9 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2
Resposta: B
Enuncie e demonstre o teorema da bissetriz para um
ângulo interno de um triângulo.
RESOLUÇÃO:
Teorema: Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o
lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
^
^
Como BAP ≅ CAP, tem-se
AC
AB
–––– = ––––
CP
BP
28
36
Assim, –––– = –––––– ⇔ 16x = 9 . 32 ⇔ x = 9 . 2 ⇔ x = 18
32 – x
x
Resposta: 18 km
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M124
MATEMÁTICA
77
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 78
Semelhança de triângulos
13 a 15
1. Semelhança de triângulos
Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes
e os lados correspondentes proporcionais.
• Semelhança de triângulo
• Critérios de semelhança
1o. Critério: (AA苲)
“Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então são semelhantes.”
^
^
^
^
AP
BQ
⇒ ΔABC 苲 ΔPQR
2o. Critério: (LAL苲)
A semelhança entre os triângulos ABC e PQR será
simbolicamente indicada por:
“Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes ordenadamente proporcionais e se o ângulo compreendido entre esses lados for congruente, então os
triângulos são semelhantes.”
ΔABC ⵑ ΔPQR
Assim, temos:
ΔABC ⵑ ΔPQR ⇔
^ ^ ^ ^ ^ ^
A P ; B Q; C R
AB
BC
AC
–––– = –––– = –––– = k
PQ
QR
PR
O número k é denominado razão de semelhança
dos triângulos.
Se k = 1, então os triângulos são congruentes.
Observações
a) Para indicarmos a semelhança dos triângulos, a
escolha da ordem dos vértices do primeiro triângulo é
qualquer, porém a ordem dos vértices do segundo obedece à mesma sequência do primeiro.
Assim, nas figuras, teremos:
ΔABC ~ ΔPQR ou ΔCAB ~ ΔRPQ ou
ΔBCA ~ ΔQRP ou …
^
^
B ≅Q
AB
BC
–––– = ––––
PQ
QR
⇒ ΔABC ⵑ ΔPQR
3o. Critério: (LLL苲)
“Se dois triângulos têm os três lados correspondentes ordenadamente proporcionais, então os triângulos
são semelhantes.”
b) Para facilitar a resolução de problemas envolvendo semelhança, é interessante destacar os triângulos
semelhantes.
2. Critérios de semelhança
Os critérios de semelhança permitem concluir que
dois triângulos são semelhantes a partir de duas ou três
condições apenas.
78
MATEMÁTICA
AB
BC
AC
–––– = –––– = –––– ⇒ ΔABC ⵑ ΔPQR
PQ
QR
PR
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 79
Observação
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k,
então a razão entre dois elementos lineares correspondentes quaisquer é k.
Exemplo
Se a razão de semelhança de dois triângulos é 2,
então a razão entre as medianas correspondentes é 2, a
razão entre as alturas correspondentes é 2 etc.
3. Polígonos semelhantes
Dois polígonos são semelhantes quando possuem o
mesmo número de lados e é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices tal que os ângulos
correspondentes sejam côngruos e os lados correspondentes, proporcionais.
Assim, se os polígonos das figuras são semelhantes, temos:
a
b
e
––– = ––– = … = ––– = k
a’
b’
e’
Observações
a) Dois polígonos semelhantes podem ser decompostos no mesmo número de triângulos semelhantes.
b) Em polígonos semelhantes, todas as medidas de
segmentos correspondentes estão na mesma razão,
que é a razão de semelhança.
c) A razão entre os perímetros de dois polígonos
semelhantes é igual à razão de semelhança entre os polígonos.
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT2M125
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 a 15
(ETEC-SP) – Leia o texto a seguir:
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da
estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.
Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione)
Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da
pirâmide, em metros, é
a) 14,80
b) 92,50
c) 148
d) 925
e) 1 480
Resolução
Como os raios solares são paralelos, os triângulos da figura são
semelhantes.
HP
HE
–––––––––– = –––––
b
sE
sP + –––
2
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero
comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa
ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura
da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 metros de
lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo
uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo.
b
b = 230 m ⇒ sP + ––– = (255 + 115)m = 370 m
2
HP
1,0
––––– = ––––– ⇒ HP = 148 m
370
2,5
Resposta: C
MATEMÁTICA
79
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 80
(UFPR – MODELO ENEM) – Em uma rua, um ônibus com 12 m
de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base
de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um
carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte
frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor
distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista
possa enxergar o semáforo inteiro.
Resolução
Da semelhança entre os triângulos retângulos da figura, tem-se:
a)
13,5 m
b) 14,0 m
d)
15,0 m
e) 15,5 m
c) 14,5 m
d + 19
4
––––––– = –– ⇔ 2d + 4 = d + 19 ⇔ 2d – d = 19 – 4 ⇔ d = 15
d+2
2
Resposta: D
Exercícios Propostos – Módulo 13
(VUNESP) – A sombra de um prédio, num terreno plano,
numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo
(UFMG) – Observe a figura.
instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura
5 m mede 3 m.
Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no
triângulo ABC. A medida do lado do losango é:
a) 4
b) 4,8
c) 5
d) 5,2
e) 5,8
A altura do prédio, em metros, é
a) 25
b) 29
c) 30
RESOLUÇÃO:
d) 45
e) 75
RESOLUÇÃO:
Seja h a altura do prédio em metros.
Como os triângulos ABC e DEF são semelhantes, temos
h
15
––– = ––– ⇔ h = 25
5
3
Resposta: A
80
MATEMÁTICA
Seja x a medida de cada lado do losango BFDE.
Os triângulos ABC e DFC são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim:
AB
BC
8
12
–––– = –––– ⇔ ––– = ––––––– ⇔ 20x = 96 ⇔ x = 4,8
DF
FC
x
12 – x
Resposta: B
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 81
Com os dados da figura, determine x.
Na figura seguinte, sendo
BC = 4, AE = 3 e DE = 1, calcule
—
a medida do segmento AB.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
^
^
^
I) ΔABE ~ ΔADC pelo critério (AA~), pois A é comum e B EA DCA
AB
BE
AE
x
BE
3
II) –––– = –––– = –––– ⇔ ––– = –––– = ––––– ⇒
AD
DC
AC
4
DC
x+4
Δ ACB ~ Δ ECD (AA~)
⇒ x . (x + 4) =12 ⇔ x2 + 4x – 12 = 0 ⇒ x = 2
AC
BC
––––– = –––––
EC
DC
—
Resposta: A medida de AB é 2.
4
x+2
––– = ––––– ⇒ 12 = 2x + 4 ⇒ x = 4
2
3
Exercícios Propostos – Módulo 14
A figura abaixo mostra um quadrado, inscrito num triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado.
DE // BC ⇒ Δ ABC ~ Δ ADE (AA~)
x
12 – x
–––– = ––––––– ⇒ 3x = 60 – 5x ⇒ 8x = 60 ⇒ x = 7,5cm
20
12
Logo, o lado do quadrado mede 7,5cm.
RESOLUÇÃO:
MATEMÁTICA
81
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 82
(ENEM) – O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
(FUVEST) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A,
ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado
do quadrado?
a) 0,70
b) 0,75
c) 0,80
d) 0,85
e) 0,90
RESOLUÇÃO:
I. DE // AC ⇒ ΔBDE ~ ΔBAC(AA~)
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento
mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de
exinção em 2011 será igual a
a) 465
b) 493
c) 498
d) 838
e) 899
II. AB = AD + DB ⇒ DB = 1 – AD e DE = AF = AD
BD
DE
1 – AD
AD
III. –––– = –––– ⇒ ––––––– = ––––
⇒ AD = 3 – 3AD ⇒ AD = 0,75
BA
AC
1
3
Resposta: B
RESOLUÇÃO:
Os lados dos quadrados DEFG e GHIJ da figura abaixo
medem 6 cm e 9 cm, respectivamente. Calcular a medida do
lado do quadrado ABCD.
A partir do gráfico, tendo A, B e C alinhados, temos:
a – 461
461 – 239
a – 461
222
–––––––––––– = –––––––––––– ⇔ –––––––– = ––––– ⇔
24
2011 – 2007
2007 – 1983
4
a – 461
4
⇔ –––––––– = 9,25 ⇔ a = 461 + 37 ⇔ a = 498
Resposta: C
RESOLUÇÃO:
I. ΔBCE ~ ΔEFH (AA~)
II. GH = GF + FH ⇒ FH = 3 e DE = DC + CE ⇒ CE = 6 – DC
III. AB = BC = DC (lado do quadrado)
BC
CE
DC
6 – DC
–––– = –––– ⇒ –––– = ––––––– ⇒ DC = 12 – 2DC ⇒ DC = 4 cm
EF
FH
6
3
Logo, o lado do quadrado mede 4 cm.
82
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 83
As bases de um trapézio ABCD medem 10 cm e 25 cm e
a altura mede 70 cm. Determinar a distância do ponto de intersecção das diagonais à base maior.
Logo, a distância do ponto de intersecção das diagonais à base
maior mede 50 cm.
RESOLUÇÃO:
ΔOCD ~ ΔOAB (AA~)
x
25
–––––––– = –––– ⇒ 2x = 350 – 5x ⇒ 7x = 350 ⇒ x = 50cm
70 – x
10
Exercícios Propostos – Módulo 15
Demonstre que o segmento com extremos nos pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e tem por medida a metade da medida deste terceiro lado.
RESOLUÇÃO:
–––
–––
As diagonais AC e BD de um quadrilátero medem,
respectivamente, 8 cm e 12 cm. O perímetro do quadrilátero
com extremos nos pontos médios dos lados do quadrilátero
ABCD é:
a) 12 cm
b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm e) 28 cm
RESOLUÇÃO:
I. Δ PBQ ~ Δ ABC
Δ SDR ~ Δ ADC
AM 1
M ponto médio de AB ⇒ –––– = ––
AB
2
⇒
AN 1
N ponto médio de AC ⇒ –––– = ––
AC
2
AM
AN LAL
⇒ ––––– = ––––– ⇒ ΔAMN ~ ΔABC ⇒
AB
AC
⇒
^ ^
M ≅ B ⇒ MN // BC
II. Δ RCQ ~ Δ DCB
Δ SAP ~ Δ DAB
}
}
⇒
AC
PQ = ––––
2
AC
SR = ––––
2
⇒
DB
SP = ––––
2
DB
RQ = ––––
2
⇒
⇒ 2p = PQ + RS + SP + RQ = AC + DB = 12 + 8 = 20
Resposta: C
MN
AM
1
BC
–––– = –––– = ––– ⇒ MN = ––––
BC
AB
2
2
MATEMÁTICA
83
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 84
(FEI) – Uma placa de papelão retangular, de 40 cm por
60 cm, inicialmente será cortada ao longo de uma de suas
diagonais e depois ao longo de duas direções paralelas aos
seus lados, de modo a obter-se um quadrado, conforme indicado na figura. Qual a medida do lado desse quadrado?
a) 20 cm
b) 21 cm
c) 22 cm
d) 23 cm
e) 24 cm
RESOLUÇÃO:
ΔBEF ~ ΔDAF
BE
6
x
EF
–––– = –––– ⇒ ––– = –––––– ⇒ 2x= 12 – x ⇒ x = 4
DA
12
12 – x
AF
RESOLUÇÃO:
Logo, EF = 4
Resposta: D
Num triângulo ABC, retângulo em A, os catetos medem
3 cm e 6 cm. A medida do raio da circunferência, com centro
na hipotenusa e tangente aos catetos do triângulo, é:
a) 1 cm
b) 1,5 cm c) 2 cm
d) 2,5 cm
e) 3 cm
Sendo x a medida, em centímetros, do lado desse quadrado, temse:
40 – x
x
40 – x
x
––––––– = –––– ⇔ ––––––– = ––– ⇔
40
60
2
3
RESOLUÇÃO:
⇔ 2x = 120 – 3x ⇔ 5x = 120 ⇔ x = 24
Resposta: E
ΔCDO ~ ΔCAB (AA~)
3–R
R
CD
DO
–––– = –––– ⇒ ––––––– = –––– ⇒ R = 6 – 2R ⇒ R = 2 cm
3
6
CA
AB
Logo, o raio mede 2 cm.
Resposta: C
Na figura seguinte, ABCD é um retângulo, E é o ponto
—
médio de BC e o triângulo ADE é equilátero.
Se BC = 12, então EF é igual a:
a)
6
84
b) 3
c) 2
3
MATEMÁTICA
d) 4
e) 6
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 85
16
Relações métricas
nos triângulos (Pitágoras)
1. Projeção
ortogonal de um segmento
• Relações métricas
• Teorema de Pitágoras
3. Relações métricas
num triângulo retângulo
––
Dados um segmento de reta AB e uma reta r, cha––
ma-se projeção ortogonal de AB sobre r o segmento de
—
reta A’B’ determinado pela intersecção da reta r com as
retas que passam pelos pontos A e B e são perpendiculares a r.
No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
a) ΔAHB ΔCAB pelo critério (AA), pois o ângulo
^
^
^
B é comum e AHB = CAB = 90°.
b) ΔAHC ΔBAC pelo critério (AA), pois o ângulo
2. Elementos de
um triângulo retângulo
No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
• A, B, e C são vértices;
–––
• a é a medida da hipotenusa BC ;
––
––
• b e c são as medidas dos catetos AC e AB,
^
^
^
C é comum e AHC = BAC = 90°.
Da semelhança dos triângulos, obtêm-se as seguintes relações:
1) O quadrado da medida de um cateto é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da
projeção ortogonal deste cateto sobre a hipotenusa
(Relação de Euclides).
respectivamente;
––
• h é a medida da altura AH relativa à hipotenusa;
–––
• m é a medida da projeção ortogonal BH do cate––
to AB sobre a hipotenusa;
––
• n é a medida da projeção ortogonal CH do cateto
––
AC sobre a hipotenusa.
Assim, temos:
c2 = a . m
e
b2 = a . n
Demonstrações
I) ΔAHB ΔCAB
II) ΔAHC ΔBAC
AB
BH
–––– = ––––
CB
BA
AC
CH
–––– = ––––
BC
CA
c
m
––– = –––
a
c
b
n
––– = –––
a
b
c2 = a . m
b2 = a . n
MATEMÁTICA
85
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 86
2) Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das medidas dos catetos (Teorema de Pitágoras).
Assim, temos:
h2 = m . n
Assim, temos:
Demonstração
AH
HB
ΔAHB ΔCHA ⇔ –––– = –––– ⇔
CH
HA
a 2 = b2 + c 2
Demonstração
Vamos somar membro a membro as Relações de
Euclides obtidas anteriormente.
2
+ c2 = a . m
b =a.n
–––––––––––––––
b2 + c2 = a . m + a . n ⇔
h
m
⇔ ––– = ––– ⇔ h 2 = m . n
n
h
4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos catetos.
Assim, temos:
a.h=b.c
⇔ b2 + c2 = a . (m + n) ⇔
⇔ b2 + c2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2
Demonstração
HA
AB
ΔHAB ΔACB ⇔ –––– = –––– ⇔
AC
CB
h
c
⇔ –– = –– ⇔ a . h = b . c
b
a
3) O quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
(MACKENZIE – MODELO ENEM) – Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a
2 m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em
que uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é
de 16 cm por segundo e a da formiga é de 10 cm por segundo. Após
5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a
aranha e a formiga é:
a) 2,0 m
b) 1,3 m
c) 1,5 m
d) 2,2 m
e) 1,8 m
Resolução
Assim sendo,
AF2 = AP2 + PF2 ⇒ AF2 = 1,22 + 0,52 ⇔ AF = 1,3 m
Resposta: B
Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima
da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a
uma distância de 3 m da base dele. A que altura do solo se quebrou o
poste?
a) 4 m
b) 4,5 m
c) 5 m
d) 5,5 m
e) 6 m
Resolução
Após 5 segundos, a aranha andou 16 cm . 5 = 80 cm = 0,8 m e está a
1,2 m do poste.
Após os mesmos 5 segundos, a formiga subiu
10 cm . 5 = 50 cm = 0,5 m do solo.
Nesse instante, a menor distância entre a aranha e a formiga é dada
—
pela hipotenusa AF do triângulo AFP.
86
MATEMÁTICA
x2 + 32 = (9 – x)2 ⇔ x2 + 9 = 81 – 18x + x2 ⇔ x = 4
Resposta: A
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 87
No Portal Objetivo
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO
(www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite
MAT2M126
Enuncie e demonstre o Teorema de Pitágoras.
RESOLUÇÃO:
x2 = 52 + 122 = 169 ⇔ x = 13
RESOLUÇÃO:
Teorema: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
Demonstração:
b)
I) ΔAHB ~ ΔCAB (AA~)
c
AB
BH
m
–––– = –––– ⇒ –– = –– ⇒ c2 = a . m
a
c
CB
AB
II) ΔAHC ~ ΔBAC (AA~)
RESOLUÇÃO:
122 = y . 24 ⇔ y = 6
n
b
AC
CH
–––– = –––– ⇒ –– = –– ⇒ b 2 = a . n
b
a
BC
AC
Somando-se (I) com (II), temos: c2 + b2 = am + an ⇔
⇔ c2 + b2 = a(m + n) ⇔ c2 + b2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2
c)
Sendo retângulos os triângulos das figuras, determine os
valores de x, y e z.
a)
RESOLUÇÃO:
z2 = 16 . 25 ⇔ z =
16 . 25 ⇔ z = 4 . 5 ⇔ z = 20
MATEMÁTICA
87
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 88
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
(ENEM)
RESOLUÇÃO:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos (Teorema de Pitágoras).
Resposta: D
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com
5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão
é igual a
a) 1,8 m
b) 1,9 m
c) 2,0 m
d) 2,1 m
e) 2,2 m
RESOLUÇÃO
Um barco navegou 10 milhas para o oeste, depois 5 milhas
para o sul, depois 13 milhas para o leste e finalmente 9 milhas
para o norte. Onde o barco parou relativamente ao ponto de
partida?
a) 3 milhas a sudoeste
b) 3 milhas a sudeste
c) 4 milhas ao sul
d) 5 milhões ao norte
e) 5 milhas a nordeste
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC da figura, temos:
x 2 = 90 2 + 120 2 ⇔ x = 150
O comprimento do corrimão é PC + CB + BR e, portanto,
30 cm + 150 cm + 30 cm = 210 cm = 2,1 m
Resposta: D
(UERJ) – Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente
apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base:
uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo
retangular, seios esferoides.
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se
encontraram no infinito.
“Quem és tu” — indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
(Millôr Fernandes – Trinta Anos de Mim Mesmo)
88
MATEMÁTICA
(AE)2 = 32 + 42 ⇒ AE = 5
Portanto, E fica a 5 milhas a nordeste de A.
Resposta: E
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 89
EXERCÍCIOS-TAREFAS
FRENTE 1
A=
Módulo 1 – Matrizes
Escreva a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i + j, para
i ∈ {1, 2, 3}, j ∈ {1, 2}.
1 1 1 eB= 4
1 2 1
Se A =
2 1 1
0 0
Dadas as matrizes A =
questões de
A+B
2A
3B
2 0
1 3
, qual a matriz A + B?
eB=
3 –1
, resolver as
2 4
a .
3
0
2
4
1
2
3
7
4
6
0
1
0
5
8
5
Pergunta-se: o total do material 2 que será empregado para
fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um
aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4 é igual a:
a) 10
b) 20
c) 30
e) 40
e) 50
Módulo 2 – Multiplicação de matrizes
Sendo A =
12
0 2
0 1
eB=
1 2
0 1 , calcular A . B e
3 0
B . A.
Utilize as matrizes A =
questões
21 30 ; B = 12 01 e C = 14
2
0
nas
e . Calcular:
A.C=
2A + 3B
A . (B + C) =
Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 3i – j, calcule
Se A =
X = 2 . At – A.
10 21 , B = 21 e X = xy , determinar X, tal
que A . X = B
Dadas as matrizes A=(aij)3x2, tal que aij = 3i – 2j, e
B = (bij)2x3, tal que bij = 2i, determine:
a) 2A
c) B –
b) A –
At
Bt
d) 2Bt – 3A
(UERJ-MODELO ENEM Adaptado) – Três barracas de
frutas, B1, B2 e B3, são propriedades de uma mesma empresa.
Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual
cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados
pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um
determinado dia de feira.
x
a
d
1,8 3,0
y 2,0
z
c
(MODELO ENEM) – Uma nutricionista recomendou aos
atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade
mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária
para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade
diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M
indica a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e
carboidratos fornecida por cada grama ingerida dos alimentos
citados.
D=
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B1;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas;
c) de x + y + z;
d) da soma dos elementos da terceira linha.
(MODELO ENEM) – Uma empresa fabrica quatro tipos de
aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere
a matriz A = (aij) dada, na qual aij representa quantas peças
do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do
tipo i.
K=
200
300
600
fruta
leite
cereais
fruta
leite cereais
0,006 0,033 0,108
0,001 0,035 0,018
0,084 0,052 0,631
proteínas
gorduras
carboidratos
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas)
de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão
daqueles alimentos é:
a)
d)
18,20
36,30
454,20
51,90
48,30
405,60
b)
e)
29,70
16,20
460,20
75,90
21,50
411,00
c)
48,30
36,00
432,40
MATEMÁTICA
89
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:10 Página 90
(UFF – MODELO ENEM) – Em uma plantação, as árvores
são classificadas de acordo com seus tamanhos em três
classes: pequena (P), média (M) e grande (G).
Considere, inicialmente, que havia na plantação p0 árvores da
classe P, m0 da classe M e g0 da classe G.
Foram cortadas árvores para venda.
(MODELO ENEM) – Dois alunos, A e B, apresentaram a
seguinte pontuação em uma prova de português e em outra de
matemática.
Português
Matemática
aluno A
4
6
aluno B
9
3
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da prova de
matemática é x, obtenha por produto de matrizes a matriz
que fornece a pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentem
mesma pontuação final?
A fim de manter a quantidade total de árvores que havia na
floresta, foram plantadas k mudas (pertencentes à classe P).
Algum tempo após o replantio, as quantidades de árvores das
classes P, M e G passaram a ser,
respectivamente, P1, m2 e g1, determinadas segundo a equação matricial:
P0
P1
k
0
0
0,8
m
+ 0
m1 =
0
0,2 0,9
0
g0
g1
0
0,1 0,95
0
(MODELO ENEM) – Uma lanchonete de sanduíches
naturais vende dois tipos de sanduíches, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo,
atum, salada, rosbife) nas seguintes quantidades (em gramas)
por sanduíche:
Observando-se que p1 + m1 + g1 = p0 + m0 + g0, pode-se
afirmar que k é igual a:
a) 5% de g0
b) 10% de g0
d) 20% de g0
e) 25% de g0
c) 15% de g0
Módulo 3 – Propriedades
1 2 3
0 1
2
Sejam A =
eB=
sanduíche A
sanduíche B
queijo
18 g
10 g
salada
26 g
33 g
rosbife
23 g
12 g
atum
—
16 g
1 2
2 1 .
3 0
Durante um almoço, foram
vendidos 6 sanduíches do
tipo A e 10 sanduíches do
tipo B. Qual foi a quantidade
necessária de cada ingrediente para a preparação
desses 16 sanduíches? Represente-a na forma de produto de matrizes.
Calcule A . B e B . A e verifique que A . B ≠ B . A.
Sendo A =
3 0 , B = 2 4 e
C=
– 0,5
Sejam A =
1
2 0
1 2
2
, calcule AB, AC e mostre que AB = AC.
–1
1 0 0
0 –4 0
0 0 3
e B=
2
0
x
0
4
0
0
0
2
.
Se AB = BA, então x vale:
a) 1
A2
b) – 1
c) 2
e) 0
Seja A uma matriz quadrada de ordem n; definimos
= A . A. Assim, determine
a) A =
–1 –3
4 5
b) A =
1 0 –2
0 3 4
–4 –1 0
90
d) – 2
MATEMÁTICA
A2
nos seguintes casos:
Módulo 4 – Determinantes
Calcular o determinante da matriz A =
x
Resolver a equação 3
1
1
1 2
Se 1 x = 2
5
a) x = 1
d) x = – 2
1
1
3
1
x
3
x
4 =–3
3
2
3 , então:
x
b) x = 6
e) x = 5
c) x = 3
2
0
2
1 –3
2
1
1
3
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 91
a) 18
b) 11
c) 25
2
1 é:
1
0
1
3
1
0
2
3 –1
O valor de
+
2 5
x
1
2
d) – 9
e) 17
A matriz A = (aij)2x2 é tal que
aij = 2i + 3j, i, j ∈ {1, 2}. O determinante da matriz A vale:
a) 0
a)
b) 6
c) – 6
d) 7
e) 1
Calcule o valor de cada determinante a seguir.
3 –7 2
4 1 –1
–2 2 3
1 –1 1
b) 2 1 – 1
4 3 –3
x
4
1 0 –1
c) 3 – 3 1
0 2 2
x+2
= x.
3
Resolva em a equação
(UNICAP-PE) – Calcule o valor de x, a fim de que o
determinante da matriz A seja nulo.
A=
A =
1
4
x–7
2
9
x
1
4
6
0
–1
–2
c
1
b
(U.F.OURO PRETO-MG) – Sejam as matrizes
A=
1
1
2
0
,B=
1
–2
e C = (5 – 1).
a)
1
4
2
5
b)
1
1
2
5
2
4
6
6
3
5
8
11
4
16
20
8
c)
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
d)
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
e)
–1
5
9
13
Pede-se:
• Calcular BC + 2A e CB.
• Determinar λ de maneira que det(A – λI) = 0, em que I é a matriz
identidade de ordem 2×2.
Módulo 5 – Determinante nulo
Nas questões de
justifique o cálculo
8
2
0
2
2
0
5
1
0
1
3
4
m 3
n 9 =
p 12
1
1
3
a) 1
=
a
,
a
b
c
calcule cada determinante e
2
5
7
a
b
c
=
c) 4
d) 5
3
2
6
7
4
1
8
8
2
–6
10
14
4
3
8
7
– 11 12
15 – 16
Classificar as afirmações, de
falsas.
6
5 = 0 é:
x
b) 2
2
3
4
6
Módulo 6 – Determinante se altera
O valor de x que satisfaz a equação
5
4
3
é nulo porque
(FGV-2010-adaptado) – Entre as matrizes a seguir, a
única cujo determinante não é zero é aquela apresentada na
alternativa:
de ordem 3.
a) tem duas linhas proporcionais.
b) tem duas colunas proporcionais.
c) tem elementos negativos.
d) uma coluna é combinação linear das outras duas.
e) uma linha é o produto das outras duas.
. Sabendo-se que At = A, calcule o
determinante da matriz A – A2 + I32, sendo I3 a matriz identidade
(GV) – O determinante associado à matriz
6
1 – 11
4 –3
–2
2
–3 –7
(UNIRIO-RJ) – Seja a matriz
–1
2
a
Calcular o determinante:
y 4x + y
4
0
9
1
e) 6
a
c
2a 2b
a
=2.
c d
c
2a
3c
b
c
d =– a
d
b
d
= b
a
,
em verdadeiras ou
c
a
b
d
2b
a
=2.
3d
3c
b
3d
=6.
a
c
b
d
MATEMÁTICA
91
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 92
4a 4b
a
4c 4d = 16 . c
a
b
Se
c
m
n
p
b) 120
e) 80
c) 24
A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e B = kA.
Determinar k ∈ sabendo que det A = 1,5 e det B = 96.
a
Se d
g
b
e
h
c
f
i
= – 10, qual é o valor de:
a b c
a) 2d 2e 2f
3g 3h 3i
b
b) e
h
a
d
g
4c
4f
4i
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 5, qual
é o valor de det(3A)?
P é uma matriz quadrada de ordem 3 e det P = 7.
Determine o valor de x, sabendo-se que det (2P) = 2x + 6.
A é uma matriz quadrada de ordem 6 e det A = x. Qual é
o valor do determinante da matriz obtida a partir de A quando
suas duas primeiras linhas são multiplicadas por 2, as duas
linhas seguintes são multiplicadas por 3 e as duas últimas são
divididas por 6?
Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e multiplique
cada uma de suas colunas por m(m > 0), obtendo a matriz
m . A. Se det(mA) = 243 e det A = 3:
a)
encontre o valor de m;
b)
multiplicando as duas primeiras colunas de A por 2m e as
1
duas últimas por –– , qual é o valor do determinante da
m
matriz assim construída?
Módulo 7 – Determinante não se altera
a) 8xyz
Resolver a equação:
1
1
1 1–x
1
1
92
1
1
=0
3–x
MATEMÁTICA
b) b
c) 0
d) x . y . z
e) x + y + z
Acrescentando-se a unidade a cada um dos elementos da
matriz
a1 b1 c1
1
a2 b2 c2
1
, o determinante
a3 b3 c3
1
a4 b4 c4
1
a) não se altera.
c) aumenta de 4.
e) fica multiplicado por 4.
b) aumenta de 1.
d) fica multiplicado por 2.
53 53 53
Se 53 54 53 = A, então:
53 53 55
a) A = – 1
d) A = 532
b) A = 0
e) A = 5353
1 –5 –3
B= –5
6
0
6
0
2
E assinale a alternativa correta:
a) A = B
b) A + B = 3B
d) B + A = – 4A
e) A = 6B
c) A = 106
Considere os seguintes determinantes:
2
1 –5
A= –1
0
0
3 –6 –6
A matriz
a b
b a
c c
A=
d e
e b
f a
c
d
e
e
e
f
1
1
1
1
1
1
e
a
b
b
c
d
f
–a
–a
–b
–c
–d
c) A – 2B = B
é tal que a,
b, c, d, e e f são números reais e seu determinante não é nulo.
Se adicionarmos 6 unidades a cada uma dos elementos da
matriz A, o seu determinante
a) não se altera.
b) aumenta 6 unidades.
c) fica multiplicado por 6.
d) aumenta 36 unidades.
e) fica multiplicado por 7.
Calcular o determinante:
1
1
1
1 1+a
1
=
1
1
1+b
O determinante associado à matriz
1 x 2x + b
1 y 2y + b é igual a
1 z 2z + b
2a 3m 5x
x
y = 4, então 2b 3n 5y será igual a:
2c 3p 5z
z
a) 60
d) 240
b
d
(PUC-RIO) – O determinante
1
1
1
tg2α
tg2β
tg2γ
A=
vale:
1
1
1
––––– ––––– –––––
cos2α cos2β cos2γ
a)
b)
c)
d)
e)
1
cos2α . cos2β . cos2γ
(cos α . cos β . cos γ)– 2
tg2α . sec2β + tg2β . sec2β + tg2γ.sec2γ
0
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 93
Módulo 8 – Abaixamento da ordem
Módulo 9 – Regra de Chió e
Teorema de Binet
Calcular o cofator do elemento a33 da matriz M.
M=
4
0
2
3
3
2
1
1
2
0
0
0
1
1
1
2
b) 0
0
x
1
0
c) 1
0
0
x
8
d) 8
2
x2
log x
1
0
0
8
x
= 0 é:
e) 16
M=
–2
0
3
1
3
–1
–4
0
1
2
5
–2
7
0
1
–1
–2
0
3
1
3
–1
–4
0
1
2
5
–2
7
0
1
–1
b) 3
2
0
0
0
0
2 3
3 1
1 4 e B = 2 3 , então o determinante da
c) 7
Calcular o determinante da matriz
1
1
1
1
As matrizes A =
1
3
4
5
1
3
3
3
1
2
2
2
é igual a:
3
0
0
5
0
–4
0
2
1
–1
2
0
1 .
4
2
b) 2
1a 37 e B = 23 12 são tais que
c) 3
d) 4
e) 5
O determinante da matriz A, de ordem 3, é 4 e B = 2 A.
d) 5
e) 6
Calcule os determinantes usando a Regra de Chió:
2
–1
a)
4
0
1
3
1
5
4
3
–2 –1
1
2
1
0
c)
1
2
0
0
2
3
0
0
0
0
3
1
0
0
1
1
e)
1
x
x
x
1
1
x
1
0
x
1
0
0
0
0
1
Mostre que
Resolva, em , a equação:
2
1
4
–5
1
e) 42
Calcular o determinante da matriz A2 . B.
Resolva, em , a equação:
Calcule:
d) 35
.
c) 4
2
1
2x 0
1 – 3 = – 79.
2
1
0 –1 1
0
0
–3 –1 2
utilizando a Regra de Chió.
det (AB) = 4. O valor de a é:
3
0
0
x
0 = 3.
0
–1 x
1
0 –1 x
0 –1 –2
0
Se A =
a) 1
O determinante da matriz
a) – 3
Determinar o A11 (cofator do elemento da primeira linha e
e primeira coluna), na matriz
4
9
3
9
2
6
4
7
2
5
4
8
1
2
1
3
matriz A . B vale:
a) 1
b) 5
da segunda coluna) e A32 (cofator do elemento da terceira linha
M=
Calcular o determinante da matriz
M=
O valor real de x tal que
a) – 8
2
0
0
3
Calcular o deteminante da matriz
M=
2
1
2
2
3
1
0
2
1
2
3
1
a
a
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
2
3
d)
4
10
1
0
1
3
–3
0
5
–2
2
0
1
2
b)
a
b
= a(b – a)(c – b)(d – c).
c
d
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3, det A = 5 e
det B = 3. Qual é o valor de:
a) det (A . B)
b) det (Bt . At)
c) det (2 . At)
MATEMÁTICA
93
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 94
Módulo 10 – Inversão de matrizes
A matriz A =
1
3
0
2 m
1 0
1 2
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem,
resolver a equação A . X . B = A
é inversível.
uma matriz tal que (X . A)t = B, então X é igual a:
O número real m não pode ser igual a:
10
a) 1
b) 2
c) –––
d) 4
3
Achar a matriz inversa de M =
13
Achar a matriz inversa de M =
A matriz
2 1 0
3 –1 x
–1 2 2
2
5
1
0
0
17
e) –––
3
a)
b) 0
2
2
3
3
1
2
d) 1
A matriz inversa de M =
M– 1
1
= –––
4
b) M– 1 =
2
0
2
2
0
2
3
2
3
3
2
3
3
2
7
3
2
7
5
2
2
1
1
d) M– 1 = –––
4
1
0
2
3
2
3
1
e) M– 1 = –––
4
2
0
2
3 3
2 2
3 –3
3
2
7
é:
1
Se det A = ––– e A–1 =
5
5
2
e) 4
Verifique se B =
A=
–2
O elemento da terceira linha e segunda coluna da matriz
1
–2
5
1
é a matriz inversa de
.
inversa da matriz M =
a) 3
2
c) –––
3
b) 2
A matriz P =
Sendo A =
1 0 –1
1 2 –3
2 –1 3
é igual a:
1
d) –––
8
e) 0
1 –3 2
1 1 0
5 –3 0
, podemos afirmar que o
1
b) –––
8
1
c) –––
16
1
e) – –––
16
1
d) – –––
8
Admita que A e B são matrizes de mesma ordem e que
(A . X)t = B. Podemos admitir que a matriz x é igual a:
2
1
b) a = – 5
e) a = 1
MATEMÁTICA
2
d) 2
2
a) –––
3
Módulo 11 – Cálculo de um elemento
da inversa e propriedades
94
c) 8
det (A–1) é igual a:
Se A e B são duas matrizes inversas, pode-se afirmar que
necessariamente:
a) A = B
b) det A = det (2B)
c) det A ≠ det B
d) det A = 0
e) det B ≠ 0
a) a = 5
d) a = –10
.
c) B . A–1
At
1 –1 0
0 1 – 1 é a inversa da matriz M. O
0 0 1
elemento da segunda linha e primeira coluna de M é:
a) – 2
b) 1
c) 0
d) 1
e) 2
1
b) –––
4
.
3 3
2
0 –1 2
3 6
1
c) M– 1
e)
1
a) –––
2
1
= –––
4
d) B . A
B–1
e) 2
Obtenha a matriz inversa da B, tal que B =
2 –3 0
1 2 –1
–1 0 1
b) Bt . A–1
Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 tais que AB = C – 1,
1
B = 2A e det C = ––– . O módulo do determinante da matriz A
32
vale:
é não inversível. O valor de x é
c) – 2
a) Bt . A
igual a:
2
a) – –––
3
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X
a
5
, então
c) a = 10
a) X = A– 1 . B
b) X = A–1 . Bt
d) X = A . Bt
e) X = B . A–1
Considere as matrizes A =
0
0
1
A matriz X
B =
a)
0 1
–1 2
–3 4
c) X = Bt . A–1
3
0
1
e
–1 2
2 – 3 e a equação matricial X . A = B–
–2 0
é tal que:
6 –4 1
3 4 0
–2 1 5
b)
–6 4 1
1 2 –5
2 1 0
1
. A.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 95
c)
e)
3 0
–3 2
–8 1
6
3
2
4
2
1
1
5
0
1
0
0
d)
6 4 1
3 2 0
2 –1 0
Módulo 13 – Escalonamento
Módulo 12 – Sistemas lineares –
Regra de Cramer
Resolver os sistemas propostos, nos exercícios de
utilizando a Regra de Cramer
a ,
x+ y+ z= 1
5x + 4y + 3z = –1
6x + 3y + 2z = 1
2x – 3y + 2z = 7
x+ y– z= 0
x + 2y + 3z = 13
x + 2y = 6
y + 3z = 5
x + 2y + z = 7
c)
x + 3y = 9
3x – 4y = 1
2x – 3y = – 28
4x + y = 14
b)
d)
3x – 2y = – 1
2x + y = 4
3x – 2y = 19
– 2x + 5y = – 20
Os seguintes sistemas lineares admitem uma única
solução; determine essa solução aplicando a Regra de Cramer:
x – 2y – 2z = – 1
x–y+z=–2
2x + y + 3z = 1
b)
c)
x+y+z=7
2x – 3y – 2z = 4
3x + 4y – z = – 1
d)
e)
x+y=1
– 2x + 3y – 3z = 2
x+z=1
a)
Resolver o sistema
Resolver o sistema
x + 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23
6z = 18
x + 2y + 3z = 3
x + 3y + 5z = 7 aplicando o méto2x + 5y + 9z = 11
2x – y + 3z = 0
2y – z = 1
2z = – 6
do do escalonamento.
Resolver o sistema
Resolver, por escalonamento, os sistemas lineares a
seguir:
Resolva os sistemas lineares abaixo usando a Regra de
Cramer
a)
2x + 3y + 3z = 18
3x + 2y + 5z = 23
5x + 4y + 2z = 27
x+y+z=8
x–y=0
3y + 2z = 14
Os alunos do Ensino Médio de uma escola do interior
organizaram uma festa junina no pátio da escola. Três barracas,
B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as
mesmas opções de alimentação: churrasco, quentão e pastel;
cada uma dessas três opções tinha o mesmo preço nas três
barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço
sobre o consumo nas barracas e verificou-se que
na barraca B1 foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e
48 pastéis, arrecadando um total de R$ 102,00;
na barraca B2 foram consumidos 23 churrascos, 50 quentões e
45 pastéis, arrecadando um total de R$ 95,00;
na barraca B3 foram consumidos 30 churrascos, 45 quentões e
60 pastéis, arrecadando um total de R$ 117,00.
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um
pastel?
a)
x + 2y + z = 7
2x + 7y + z = 21
– 3x – 5y + 2z = – 8
b)
x+y+z=0
x–y–z=2
– x + 2y + z = – 1
Resolva a equação matricial a seguir, utilizando o
escalonamento de sistemas lineares.
1
2
5
4 7
3 6
1 –1
.
x
y
z
=
2
2
8
(F.M.TRIÂNGULO MINEIRO-MG – MODELO ENEM) –
Em três mesas de uma lanchonete, o consumo ocorreu da
seguinte forma:
Mesa
Hambúrguer
Refrigerante
Porção de fritas
1
4
2
2
2
6
8
3
3
2
3
1
A conta da 1.a mesa foi R$ 18,00 e a da 2.a mesa R$ 30,00. Com
esses dados:
a) é possível calcular a conta da 3.a mesa e apenas o preço
unitário do refrigerante.
b) é possível calcular a conta da 3.a mesa, mas nenhum dos
preços unitários dos três componentes do lanche.
c) É possível calcular a conta da 3a. mesa e, além disso, saber
exatamente os preços unitários de todos os componentes
do lanche.
d) Não é possível calcular a conta da 3a. mesa, pois deveriam
ser fornecidos os preços unitários dos componentes do
lanche.
e) É impossível calcular a conta da 3a. mesa e os preços
unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido
um erro na conta da 1a. ou da 2a. mesa.
MATEMÁTICA
95
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 96
Resolva o sistema
x
x
y
x
+
+
+
+
Módulo 15 – Substituição, eliminação
y+z=–1
z+w=5
z+w=7
y+w=4
Nas questões de a , resolver os sistemas utilizando o
processo que julgar mais adequado.
3x + y = 13
x + 2y – z = 6
aplicando o
2x + y + 2z = 5
3x + 3y – 2z = 14
Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00; dois
+ 3y = 8
2x
3x – y = 1
artigos A mais um C custam R$ 105,00; a diferença de preços
entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual é o preço
do artigo C?
a) R$ 20,00
b) R$ 25,00
c) R$ 30,00
d) R$ 35,00
e) R$ 40,00
A única solução do sistema
Módulo 14 – Escalonamento
Resolver o sistema
y = 2x + 3
x+y+z=6
x+y=3
x+z=4
método de escalonamento.
Para uma festinha foram encomendados 90 refrigerantes,
230 salgados e 120 doces. Os convidados foram divididos em
3 faixas: crianças, senhores e senhoras. Cada criança deverá
consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces,
cada senhor deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5
salgados e 3 doces; cada senhora deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces. Qual deverá ser
o total de convidados para que não sobrem e nem faltem
refrigerantes, salgados e doces?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
Se
9
a) ––
4
4
x + 3y + –– = 7
z
2
x + 4y + –– = 8, então o valor de (x + y)z é:
z
2
x + 2y – –– = 4
z
81
b) –––
16
c) 16
d) 81
e) 256
c)
x + 2y + 4z = 0
2x + 3y – z = 0
x – 14z = 0
b)
x+y=3
2x + 2y = 6
3x + 3y = 8
d)
2x + 3y + 2z = 5
e)
2x + 3y + z = 0
g)
2x – 3y + 4z = 2
x+y+z=3
96
x + y – 3z = 1
MATEMÁTICA
x – y + 2z = –1
2x – y – z = 5 é o terno ordenado (a; b; c).
x + 6y + 3z = 12
O valor de a + b + c é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(FMTM-MG) – Três pacientes usam, em conjunto, 1830
mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O
paciente A usa cápsula de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o
paciente C, de 12 mg. O paciente A toma metade do n° de
cápsulas de B e os três tomam juntos 180 cápsulas por mês.
O paciente C toma um número de cápsulas por mês igual a:
a) 30
b) 60
c) 75
d) 90
e) 120
(MODELO ENEM) – Considere a reação química não
balanceada:
Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a
seguir:
a)
x+y–z=1
–x+y+z=1
x–y+z=1
f)
2x + 3y + z = 1
3x – 3y + z = 8
2y + z = 0
x+y–z=2
2x + 10y + 4z = 10
3x + 15y + 6z = 3
Ca + H3PO4 → Ca3P2O8 +
↑
↑
↑
cálcio
ácido
fosfato
fosfórico
de cálcio
H2
↑
gás
hidrogênio
Essa equação pode ser balanceada fazendo:
xCa + yH3PO4 → zCa3P2O8 + wH2
dando origem ao sistema
x = 3z
3y = 2w
y = 2z
4y = 8z
a) Resolva o sistema
b) Determine o menor número inteiro de átomos de cálcio,
hidrogênio, fósforo e oxigênio, com o qual ocorre o balanceamento.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 97
(MODELO ENEM) – Durante a década de 1980, uma dieta
alimentar para obesos ficou conhecida como “Dieta de
Cambridge” por ter sido desenvolvida na Universidade de
Cambridge pelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Para
equilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve de recorrer à
matemática, utilizando os sistemas lineares.
Suponha que o Dr. Howard quisesse obter um equilíbrio
alimentar diário de 3g de proteínas, 4g de carboidratos e 3g de
gordura. No quadro abaixo, estão dispostas as quantidades em
gramas dos nutrientes mencionados acima, presentes em
cada 10 gramas dos alimentos: leite desnatado, farinha de soja
e soro de leite.
Alimento
Leite
desnatado
Farinha
de soja
Soro de
leite
Proteína
3
5
2
Carboidrato
5
3
1
Gordura
0
1
7
Nutrientes
Observação: as quantidades são fictícias para simplificar as
contas.
Calcule as quantidades diárias em gramas de leite desnatado,
farinha de soja e soro de leite, para que se obtenha a dieta
equilibrada, segundo Dr. Howard, verificando a necessidade de
cada um desses alimentos na dieta em questão.
Módulo 16 – Característica de uma matriz
a , calcular a característica de cada
1
2
1
2
4
3
1 3 0 0
2 4 0 0
1
3
4
2
1
3
a
2
5
b
3
4
é:
a) sempre igual a 2
b) sempre igual a 3
c) igual a 2, se a = 3 ou b = 1
d) igual a 2, se a = 3 e b = 2
e) igual a 3, se a ≠ 3 ou b ≠ 1
Identifique as matrizes incompleta e completa do sistema
linear a seguir e determine a característica de cada uma.
x – y + 2z = 5
2x + y – z = 0
2x + 3y – z = 0
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 1
2x + 4y – 2z = 6
e assinale a alternativa que apresenta a afirmação sempre
Considere o sistema linear
verdadeira.
a) A característica da matriz completa é igual a 3.
b) A matriz incompleta possui característica igual a 2 e a matriz
completa tem característica igual a 3.
c) As matrizes do sistema possuem características iguais a 1.
d) A matriz incompleta possui característica igual a 3 e a matriz
completa tem característica igual a 2.
e) As duas matrizes do sistema possuem características iguais
a 2.
FRENTE 2
Módulo 1 – Introdução ao estudo da geometria
Calcular:
a) 130° 12’ 24’’ + 108° 42’ 35”
b) 8° 09’ 10” + 20° 50’ 50”
A soma de 2 ângulos vale 33° 22’ 41”. Se um dos ângulos
1
2
1
3
1
3
2
4
2
1
2
3
2
1
3
3
1
5
mede 21° 10’ 12”, calcule o outro.
Calcule o valor de 30° – 20° 10’ 42”.
Calcule:
33° 15’ 17” – (41° 12’ – 25° 10’ 23”) + 55° 22’ 33”.
1
3
4
2
4
6
a
1
3
O valor de a é:
b) 2
A característica da matriz
Efetue:
a) 22° 37’ 38” – 11° 24’ 23”
b) 8° : 5
c) 44° : 3
A característica da matriz
a) 1
Número de gramas de nutrientes
em cada 10 g de alimentos
Nas questões de
matriz.
c) 3
d) 4
e) 5
é 2.
(UFPEL) – Nos últimos 50 anos, o registro de fenômenos
destrutivos cresceu quase 20 vezes, graças à tecnologia e ao
aumento populacional. Os abalos sísmicos e suas consequências – como os tsunamis – matam, em média, tantas pessoas
quanto as inundações e ressacas oceânicas.
No entanto, em termos relativos, os terremotos são muitíssimo mais mortais, já que atingem cerca de 26 vezes menos
gente no mundo do que as enchentes.
MATEMÁTICA
97
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 98
O gráfico mostra a frequência relativa (porcentagem) de cada
catástrofe e, para uma delas, o ângulo do setor.
Módulo 2 – Ângulos
Calcule o complemento dos ângulos abaixo:
a) 40°
b) 40° 30’
c) 40° 30’ 30”
Determine o suplemento de:
a) 130° 12’ 24”
b) 32° 18’
A metade do suplemento de um ângulo mede 7° 42’ 53”.
Qual a medida do ângulo?
Revista Terra –
no. 155
março/2005 [adapt.].
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que
a) o ângulo do setor correspondente a avalanchas e deslizamentos é 10° 8’.
b) o ângulo do setor correspondente a terremotos e tsunamis
é 120°.
c) a soma dos ângulos dos setores correspondentes às tempestades e furacões e secas é de 133° 2’.
d) a diferença entre os ângulos dos setores correspondentes
às inundações e ressacas e avalanchas e deslizamentos é
107° 52’.
e) a porcentagem de tempestades e furacões é de 18%.
(UEMS) – Pesquisadas as idades das pessoas pertencentes a uma certa comunidade, foram obtidos os seguintes
resultados:
Idade
Número de pessoas
10
6
18
20
25
26
30
24
35
14
40
8
60
2
Total
100
O gráfico de setores, a seguir, representa a distribuição dada na
tabela acima.
O dobro da medida do complemento de um ângulo aumentado de 40° é igual à medida do seu suplemento. Qual a
medida do ângulo?
Calcule o valor de x, na figura a seguir:
O triplo da medida do complemento de um ângulo aumentado de 30° é igual à medida do seu suplemento. Qual a medida desse ângulo?
Dois ângulos são adjacentes e a medida de um é o triplo
da medida do outro. A medida do complemento do ângulo
entre as suas bissetrizes é 50°. Determine a medida do
complemento da soma dos ângulos dados.
(MODELO ENEM) – Chama-se passagem de nível a um
cruzamento não desnivelado entre uma ferrovia e um caminho
ou estrada. Ao modo ferroviário é dada quase sempre
prioridade de passagem nestes cruzamentos, dada a sua muito
maior inércia, por motivos de economia e segurança. Por isso,
uma passagem de nível é geralmente equipada com um
dispositivo de aviso da passagem de comboios, dirigido aos
transeuntes da via não ferroviária — frequentemente, este é
completado por aviso ativo (sonoro ou luminoso) e bloqueio
físico, automático ou manual, da via não ferroviária.
No Brasil, há uma quantidade excessiva de passagens de nível,
pois não há um planejamento para que sejam construídos um
número maior de contornos em áreas urbanas, provocando
assim uma redução da velocidade operacional do transporte
ferroviário nacional, além , principalmente, de risco potencial
de acidentes físicos e humanos.
pt.wikipedia.org
Na figura seguinte, Fe é uma ferrovia e Es é uma estrada.
Figura 1
Com relação à Figura 1, pode-se afirmar que o ângulo central
do setor, em graus, que corresponde ao número de pessoas
com 25 anos de idade é de:
a) 72°
b) 86,4°
c) 90° d) 93,6°
e) 108°
98
MATEMÁTICA
Assim, o valor de x é:
a) 23°10’
b) 23°15’
d) 23°25’
e) 23°30’
c) 23°20’
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 99
(MODELO ENEM) – João Vítor estava estudando geometria e aprendeu que dois ângulos são suplemetares quando a
soma de suas medidas dá 180°. Ele aprendeu também que o
suplemento de um ângulo é o que falta para o ângulo completar 180°. Assim, João Vítor conseguiu descobrir que a medida do ângulo cujo suplemento vale 30°20’ é:
a) 142°40’
b) 145°20’
d) 147°20’
e) 149°40’
(FECAPE-MODELO ENEM) – Duas ruas paralelas do
Condomínio Rio Encantado são cortadas transversalmente por
outra rua, que forma com as primeiras ângulos colaterais
internos de tal modo que um excede o outro em 30°. O maior
desses ângulos mede:
a) 105°
b) 110°
c) 120°
d) 125°
e) 150°
c) 146°30’
(MODELO ENEM) – Mariana pediu para sua mãe uma dica
de como determinar a medida do ângulo α do exercício de
paralelismo, da figura seguinte.
Módulo 3 – Paralelismo
Com os dados da figura abaixo, onde as retas r e s são
paralelas, calcule α, associando com:
a)
b)
c)
d)
e)
40°
45°
50°
60°
70°
Calcule o valor de α utilizando os dados da figura.
Dona Tatiana observou a figura e disse para ela traçar retas
^
^
paralelas às paralelas pelos vértices dos ângulos A BC e BCD.
Assim, Mariana descobriu que a medida do ângulo α assinalado na figura mede:
a) 14°
b) 15°
c) 16°
d) 17°
e) 18°
Módulo 4 – Triângulos
Calcule o valor de x utilizando os dados de cada figura:
a)
Na figura r//s. O valor de α é:
a)
b)
c)
d)
e)
90°
100°
110°
120°
22°40’
a)
b)
c)
d)
e)
90°
100°
110°
120°
130°
b)
Na figura r//s. O valor de ^x é:
Calcule o valor de x utilizando os dados de cada figura
Dois dos ângulos correspondentes, formados por duas
retas r e s distintas e interceptadas pela transversal “t”, são
dados pelas medidas 13x – 2° e 18° + 8x. Determinar o valor
de “x”, para que as retas r e s sejam paralelas.
MATEMÁTICA
99
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 100
Num triângulo isósceles a soma dos ângulos da base é
igual a oito vezes o ângulo do vértice. Calcular as medidas dos
ângulos internos do triângulo.
Na figura temos um quadrado ABCD e um triângulo equilátero BCM. A medida do ângulo x é:
a) 15°
b) 25°
c) 35°
d) 45°
e) 55°
Módulo 5 – Segmentos notáveis do triângulo
Calcule b de acordo com os dados da figura.
Na figura seguinte, sendo A = 20° e
^
—
AB = BC = CD = DE = 7cm, calcule a medida do segmento CE.
Um dos ângulos externos de um triângulo é o triplo do
ângulo interno adjacente; a diferença entre as medidas dos
outros dois ângulos internos é igual a 35°. Calcular os ângulos
internos.
Numa grande plantação de eucaliptos, utilizados na produção de celulose, o proprietário mandou
construir cinco postos de observação
para prevenção de incêndio. Os postos de observação estão localizados
nos pontos A, B, C, D e E do mapa da
—
figura ao lado. Se BE é bissetriz do
^
—
ângulo B do triângulo ABC, CD é
^
^
bissetriz do ângulo C, BAC = 30° e
^
A BC = 70°, então, a soma das
^
^
medidas dos ângulos AEB e ADC é:
a)
220°
b) 223°
d) 225°
e) 226°
Os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x. O valor de
x é:
a) 125°
b) 55°
c) 35°
d) 65°
e) 15°
–– ––
–– ––
^
Na figura: AB ≅ AC, med(BA D) = 30° e AE ≅ AD. Calcular o
ângulo x.
c) 224°
O aeromodelo da figura seguinte está preso no teto de
uma loja por dois fios de náilon, como mostra a figura seguinte.
^
Se a medida do ângulo BAC é o dobro da medida do ângulo
^
^
^
BCA e ABC = 69°, então a medida do ângulo BAC é:
a) 70°
b) 72°
c) 74°
d) 76°
e) 78°
(FUVEST-adaptado) – Um avião levanta voo para ir da
cidade A à cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de
voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está
errada e, para corrigi-la, ele altera a direção de voo de um
ângulo de 90°. Se a rota não fosse corrigida, a distância que ele
estaria de B após ter voado os 500 km, seria:
a) 350 km
b) 400 km
c) 450 km
d) 500 km
e) 550 km
(ENEM) – Assinale a única figura a seguir que se encaixa
na seguinte descrição:
O triângulo PQR é um triângulo retângulo com ângulo reto em
R. O lado RQ é menor que o lado PR. M é o ponto médio do
lado PQ e N é o ponto médio do lado QR. S é um ponto dentro
do triângulo. O lado MN é maior do que o lado MS.
100
MATEMÁTICA
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 101
que x + 3, 2x – 5 e 9 sejam lados de um triângulo, encontrou:
11
3
a) ––– < x < 9
b) ––– < x < 17
3
5
c) 8 < x < 15
7
d) ––– < x < 18
6
8
3
e) ––– < x < –––
9
4
Dona Maria Vera explicou para sua filha Maria Isabela que
num triângulo a medida de qualquer lado está sempre entre o
módulo da diferença e a soma dos outros dois.
Com esta informação, você consegue descobrir que o número
—
de valores inteiros possíveis para a medida da diagonal BD, do
quadrilátero ABCD da figura seguinte, é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Módulo 6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
Em um triângulo, dois lados medem, respectivamente, 5 e
8. O menor valor inteiro possível para a medida do terceiro lado
é:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 4
e) 1
Se x ∈ e os números x, x – 1 e 10 são lados de um
triângulo, então o número de possibilidades de x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) maior que 10
Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa
forma com a bissetriz do ângulo reto um ângulo de 15°.
Calcular os ângulos agudos.
Num triângulo isósceles o semi-perímetro é dado por
19,6m. A base mede 5,2m. Determinar a medida dos lados
congruentes.
^
Seja ABC um triângulo retângulo, onde A = 90°. Se a
—
—
altura AH forma com a mediana AM um ângulo de 20°, então
os ângulos agudos desse triângulo são:
a) 40° e 50°
b) 35° e 55°
d) 25° e 65°
e) 45° e 45°
(PUC-MG) – É incorreto afirmar:
Os lados de um triângulo podem medir 2, 4 e 6.
Os lados de um triângulo podem medir 4, 6 e 8.
Os lados de um triângulo isósceles podem medir 3, 3 e 5.
Os lados de um triângulo retângulo podem medir 3, 4 e 5.
Os lados de um triângulo equilátero podem medir 5, 5 e 5.
Associar as questões de a com as alternativas:
a) os elementos fornecidos não permitem concluir que os
triângulos são côngruos.
b) os triângulos são côngruos pelo caso LAL.
c) os triângulos são côngruos pelo caso ALA.
d) os triângulos são côngruos pelo caso LLL.
e) os triângulos são côngruos pelo caso LAAo.
c) 30° e 60°
a)
b)
c)
d)
e)
Módulo 7 – Congruência de triângulos
Maria Isabela estava estudando Geometria Plana e aprendeu que a condição para existir um triângulo é que o maior lado
deve ser menor que a soma dos outros dois; no entanto,
quando não se conhece o maior lado, é necessário fazer a
medida de cada lado menor que a soma dos outros dois.
Assim, quando ela descobriu os possíveis valores de x para
MATEMÁTICA
101
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 102
Com os dados da figura seguinte calcule x e y.
^
^
a medida do angulo A EB é:
a) 12°
b) 14°
c) 16°
^
Se AE = EB = BC, CE = CD, A CD é reto e C DE = 65°, então,
d) 18°
e) 20°
––
––
Na figura abaixo, M é ponto médio de AB e CD . A afir-
mação errada é:
a) A ≅ B
^
^
b) C ≅ D
–––
––
e) A ≅ C
d) AD ≅ BC
^
^
^
^
–––
–––
c) AM ≅ MB
(MODELO ENEM) – Daniel Sheridan é um estudante da
Universidade de Coventry, na Grã-Bretanha. Cursando design,
ele teve uma ideia bem interessante para vencer um daqueles
concursos que promovem inventos a favor do meio ambiente
e da salvação da humanidade: criou uma gangorra que gera
energia elétrica. Tudo bem, não é nada demais, você pode
pensar. Calma, vamos falar um pouco mais sobre o invento. O
estudante teve a ideia de fazê-lo enquanto viajava para trabalhar como voluntário em uma escola no sul de Mombasa, no
Quênia. Lá estava ele observando as crianças quando teve uma
"luz" – palavra bem apropriada. Ele calculou que com cinco ou
dez minutos de brincadeira, as crianças poderiam iluminar uma
sala de aula durante a noite toda!
http://neuroniohiperativos.blogspot.com
Na gangorra da figura seguinte, temos:
^
^
MATEMÁTICA
O ângulo externo de um polígono regular é 18°. O número
de lados do polígono é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 30
e) 16
Determinar a razão entre as medidas de um ângulo interno
e um ângulo externo de um polígono regular, em que o número
de lados é a sexta parte do número de diagonais.
(UNIABC – MODELO ENEM) – Um joalheiro recebe uma
encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o
número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo
assim, o joalheiro deve produzir uma joia
a) triangular.
b) quadrangular.
c) pentagonal.
d) hexagonal.
e) decagonal.
e) 95°
(MODELO ENEM) – Durante o ataque de um time de
basquete, o treinador pediu a seus jogadores, A, B, C, D e E,
para se posicionarem como aparece no esquema seguinte.
102
A soma dos ângulos internos de um decágono convexo é:
a) 1440°
b) 1080° c) 1500° d) 1260° e) 1800°
(VUNESP – MODELO ENEM) – As figuras indicam quatro
ladrilhos na forma de polígonos regulares:
^
AB = AC, BAC = 20° e ADC = 15°.
Assim, a medida do ângulo BAE é:
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
Módulo 8 – Polígonos
Admita as seguintes junções de ladrilhos pelo vértice P:
I. três ladrilhos T e um ladrilho H;
II. três ladrilhos T e dois ladrilhos Q;
III. um ladrilho T, um ladrilho P e um ladrilho H;
IV. um ladrilho T, dois ladrilhos Q e um ladrilho H.
Entre as junções descritas, as únicas que constituem um
preenchimento perfeito do plano, sem sobreposição ou quebra
de ladrilho, são, apenas,
a) I e II
b) I e IV
c) II e III
d) II e IV
e) III e IV
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 103
Módulo 9 – Polígonos
Sabendo-se que a medida de um ângulo interno de um
polígono regular é 8 vezes a medida de um ângulo externo,
determine o polígono.
Determine o polígono convexo em que a soma dos
ângulos internos é três vezes a soma dos ângulos externos.
Considere dois polígonos cujos números de lados são
inteiros e consecutivos. Determine a quantidade de diagonais
de cada polígono, sabendo que a soma dos ângulos internos
dos dois é igual a 1260°.
Calcule a soma dos ângulos internos de um polígono
regular cujo número de lados é a terça parte do número de
diagonais.
(ESPECEX) – Três polígonos regulares têm o número de
lados expressos por números inteiros consecutivos. O número
total de diagonais dos três polígonos é 28. Calcular, em graus,
a medida do ângulo interno do polígono de menor número de
diagonais.
(UNIFESP – MODELO ENEM) – Pentágonos regulares
congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando
uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.
Nestas condições, o ângulo θ mede
a) 108°
b) 72°
c) 54°
d) 36°
e) 18°
(FGV – MODELO ENEM) – Analise as instruções a seguir:
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a construção de um pentágono regular, pode-se afirmar que o menor valor positivo de x.y
é
a) 144
b) 162
c) 216
d) 288
e) 324
A soma das medidas dos sete ângulos destacados na
figura seguinte é igual a:
a) 270°
b) 360°
c) 450°
d) 540°
e) 630°
(MACKENZIE) – Se de cada vértice de um polígono
regular partem 15 diagonais, a medida dos ângulos internos
desse polígono, em radianos, é:
11π
6π
7π
17π
8π
a) ––––
b) –––
c) –––
d) ––––
e) ––––
12
7
8
10
9
Módulo 10 – Quadriláteros notáveis
a)
b)
c)
d)
e)
Assinale a afirmação falsa:
Todo quadrado é um losango.
Existe retângulo que não é quadrado.
Todo trapézio é paralelogramo.
Existe losango que não é quadrado.
Um retângulo pode ser losango.
Assinale a afirmação verdadeira:
a)
b)
c)
d)
e)
Todo
Todo
Todo
Todo
Todo
trapézio é paralelogramo.
retângulo é losango.
losango é quadrado.
quadrado é retângulo e losango.
paralelogramo é losango.
O menor ângulo interno de um paralelogramo mede 40°.
Qual a medida do maior ângulo interno desse paralelogramo?
a) 50°
b) 90°
c) 120°
d) 130°
e) 140°
Classifique cada afirmação abaixo em verdadeira (V) ou
falsa (F).
a) (
) Todo quadrilátero é um trapézio.
b) (
) Todo trapézio é um quadrilátero.
c) (
) Todo quadrado é um losango.
d) (
) Todo losango é um retângulo.
e) (
) Todo retângulo é um losango.
f) (
) Todo retângulo é um quadrado.
g) (
) Todo quadrado é um retângulo.
h) (
) Todo losango é um paralelogramo.
i) (
) Todo retângulo é um paralelogramo.
j) (
) Todo quadrado é um paralelogramo.
Num losango, a diagonal menor mede 12 cm. Se cada ângulo
interno obtuso é o dobro do interno agudo, então o perímetro do
losango, em cm, é igual a:
a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 60
(UFRRJ – MODELO ENEM) – A figura abaixo mostra a
trajetória de uma bola de bilhar. Sabe-se que, quando ela bate
na lateral da mesa (retangular), forma um ângulo de chegada
que sempre é igual ao ângulo de saída. A bola foi lançada da
caçapa A, formando um ângulo de 45° com o lado AD.
MATEMÁTICA
103
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 104
Sabendo-se que o lado AB mede 2 unidades e BC mede 3 unidades, a bola
a) cairá na caçapa A.
b) cairá na caçapa B.
c) cairá na caçapa C.
d) cairá na caçapa D.
e) não cairá em nenhuma caçapa.
(PUC – MODELO ENEM) – Num teste de múltipla escolha, propõe-se um problema que se refere a quadriláteros.
As opções do teste são:
a) paralelogramo
b) losango
c) retângulo
d) quadrado
e) nenhuma das anteriores
Um candidato descobre que a opção e é incorreta e que o teste
possui uma única opção correta. Logo, o candidato, para acertar o teste, deverá assinalar a opção:
a) a
b) b
c) c
d) d
e) e
Módulo 11 – Quadriláteros notáveis
Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e BCE é um
^
triângulo equilátero. Calcular a medida do ângulo BF D.
Num trapézio retângulo, a medida do maior ângulo interno
é o quádruplo da medida do menor. A medida do menor dos
ângulos internos desse trapézio é:
a) 30°
b) 36°
c) 45°
d) 72°
e) 90°
Na figura, ABCD é um quadrado e ADE é um triângulo
––
^
isósceles de base DE . Calcule o valor do ângulo EBD.
(MODELO ENEM) – As figuras A, B e C representam
3 peças de cartolina, nas quais todos os ângulos são retos,
todos os lados menores têm comprimento 1 e todos os lados
maiores têm comprimento 2.
104
MATEMÁTICA
Utilizando as 3 peças de cartolina, sem reposições, cortes ou
superposições, pode(m)-se construir apenas a(s) figura(s)
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
(ENEM) – Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado abaixo, que vai ser repetido em toda a
extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00
por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por
metro quadrado do revestimento será de
a) R$ 8,20
b) R$ 8,40
d) R$ 8,80
e) R$ 9,00
c) R$ 8,60
Módulo 12 – Linhas proporcionais
Calcule m na figura:
No triângulo ABC tem-se AB = 8 cm, BS = 4 cm,
––
SC = 3 cm. Determine AC sabendo que AS é bissetriz interna
^
do ângulo A .
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 105
Considere o triângulo ABC em que AB = 9 cm,
––
AC = 12 cm e BC = 7 cm. Calcule CD sabendo-se que AD é
^.
bissetriz interna do angulo A
(UNIVALI) – O desenho abaixo mostra três terrenos que
têm frentes para a rua A (cujas medidas estão especificadas) e
para a rua B. Na rua B, sabe-se apenas que a soma das
medidas desses lotes é 180 m. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Então as dimensões, em m, dos lotes (I),
(II) e (III), de frente para a rua B são, respectivamente:
Módulo 13 – Semelhança de triângulos
^
^
Na figura seguinte, onde os ângulos BA C e CD A são congruentes, tem-se: BC = 4, CD = 5 e AC = 8. Calcule AB e AD.
Com os dados da figura, calcule x.
a) x = 8
b) x = 4
d) x = 1
1
e) x = –––
5
c) x = 2
Num trapézio escaleno as bases medem 6 m e 8 m e uma
das diagonais mede 7 m. O ponto O divide esta diagonal em
dois segmentos. Calcular a medida destes segmentos.
a)
b)
c)
d)
e)
30, 30, 120;
40, 40, 100;
25, 45, 110;
75, 60, 45;
100, 40, 40.
(UFSM) – A crise energética tem levado as médias e
grandes empresas a buscar alternativas na geração de energia
elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa
encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena
hidroelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observe-se a figura, e admitindo-se
que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que
a barreira mede
a) 33 m
b) 38 m
c) 43 m
d) 48 m
(FUVEST – MODELO ENEM) – A sombra de um poste
vertical, projetada pelo Sol sobre um chão plano, mede 12 m.
Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de
1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é:
a) 6 m
b) 7,2 m c) 12 m
d) 20 m
e) 72 m
(UNIRIO – MODELO ENEM)
e) 53 m
MATEMÁTICA
105
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 106
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não
identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo,
aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, pode-se
afirmar que o raio do disco voador mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
(UFRS – MODELO ENEM) – Para estimar a profundidade
de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos
estão a 1,60 m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda.
Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo,
como mostra a figura.
Módulo 14 – Semelhança de triângulos
—
Na figura, PQRS é um retângulo tal que o lado PQ é o
—
dobro do lado QR. Considerando os dados da figura, determine
o perímetro do retângulo.
Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do
poço é
a) 2,82 m
b) 3,00 m
c) 3,30 m
d) 3,52 m
e) 3,85 m
Na figura, o quadrado PQRS tem 7,2 cm de lado e a base
—
BC do triângulo ABC mede 18 cm. A altura h do triângulo ABC
mede:
Módulo 15 – Semelhança de triângulos
Na figura, ABCD é um quadrilátero e PQRS é outro
quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de
ABCD.
—
—
Calcule a soma das medidas das diagonais AC e BD sabendo que PQ = 5 e QR = 4.
a) 8 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 20 cm
e) 24 cm
Qual deve ser o valor de x para que, quando o cartão retangular da figura a seguir for dobrado na linha pontilhada, o retângulo obtido tenha a mesma forma inicial.
(ENEM) – A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de
altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra
projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra
do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
106
MATEMÁTICA
—
—
Sejam AC e BD as diagonais de um quadrilátero ABCD,
com medidas 12 cm e 10 cm, respectivamente e P, Q, R e S os
pontos médios dos lados do mesmo. Calcule o perímetro do
quadrilátero PQRS.
O senhor Oscar, um velho engenheiro aposentado, atualmente vive em sua propriedade rural, onde complementa a sua
renda mensal proveniente do INSS com a produção e venda de
produtos agrícolas.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 107
Nas horas de folga, o senhor Oscar costuma pescar às margens do rio do Peixe, que serve de divisa para a sua fazenda.
Um belo dia, ele estava situado num ponto O da margem direita de um trecho retilíneo do rio e resolveu calcular a sua
largura naquele ponto sem atravessá-lo. Para isso, tomou
como referência uma pequena pedra localizada no ponto P da
margem esquerda e na perpendicular às margens por O. Além
disso, marcou com estacas os pontos A, B e C do lado da
↔
margem em que se encontrava, de tal forma que a reta OB
↔
fosse paralela à reta AC, os pontos A, O e P fossem alinhados
entre si, C, B e P também.
Módulo 16 – Relações métricas nos triângulos
(Pitágoras)
O terceiro lado do triângulo da figura mede:
41
b) a) 3
Na sequência, munido de uma trena, o senhor Oscar mediu as
distâncias entre as estacas, obtendo os seguintes valores:
OA = 20 m, OB = 24 m e AC = 40 m.
A largura do rio do Peixe, em metros, naquele ponto é igual a
a) 28
b) 30
c) 33
d) 36
e) 48
(UELON) – Após um tremor de terra, dois muros paralelos
em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os
moradores reuniram-se e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo.
Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se
interceptam?
c) 37
e) 34
A diagonal do quadrado de lado 4 cm vale:
a) 4 cm
b) 8 cm
2 cm
d) 2
e) 1 cm
d) 4
2 cm
c) 4
A altura do triângulo equilátero de lado 4 cm é:
Despreze a espessura das barras.
a) 4 cm
b) 2 cm
d) 2
3 cm
e) 1cm
a)
1,50 m
b) 1,75 m
d)
2,25 m
e) 2,50 m
c) 4
3 cm
Com os dados da figura, determine o valor de x.
c) 2,00 m
MATEMÁTICA
107
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 108
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS-TAREFAS
FRENTE 1
a) 2A = 2
Módulo 1 – Matrizes
a11
a21
a31
A=
A+B=
=
1
1
2
1
2A =
2.1
3B =
2A + 3B =
At =
1
=2
4
2 6+
4 0
=
4 – 2 10 – 1
8–4
B=
108
13 – 3
8 18
2
5
22
2
21
22
1
;
4
2 5
3.1 – 2.2
3.2 – 2.2
3.3 – 2.2
c)
1
4
7
=
=
b13
b23
21
22
=4
MATEMÁTICA
2
8
8
8
1
2 4
2 4
2 4
–
2
2
2
–3
3 –3
12 6
21 15
4
4
4
4
2
7
5
1 –1
4 2
7 5
=
=
–1
2
5
=
1
–8
– 17
–5
–2
1
1 –2 –5
5
2 –1
=
11
2
–7
b12 = 1,8
b13 = 3 ⇔
b23 = 2
m + n = 1,8
m+p=3 ⇔
n+p=2
⇔
m + n = 1,8
n – p = – 1,2 ⇔
n+p=2
⇔
m = 1,4
p = 1,6
n = 0,4
m + n = 1,8
n – p = – 1,2 ⇔
2n = 0,8
b) m + n + p = 3,4 milhares de reais, ou seja, R$ 3400,00.
2
4
2
4
–1
2
5
x = b11 = m + m = 2,8
y = b22 = n + n = 0,8
z = b33 = p + p = 3,2
x + y + z = 6800,00 reais
d) d + c + z = p + m + p + n + 2p =
= 4p + m + n = 8200,00 reais
Respostas: a) R$ 1200,00
b) R$ 3400,00
c) R$ 6800,00
d) R$ 8200,00
=
b12
b22
2 2 2
4 4
=
O valor arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à
barraca B2 é p – n = 1,2 milhares de reais, ou seja,
R$ 1200,00.
2 1
2 9
4
4
4
4
–1
2
5
1
4
7
Sendo m, n e p, respectivamente, os valores, em milhares
de reais, arrecadados pelas barracas B1, B2 e B3, temos:
1 4–5 4=
= – 3
a12
a22
a32
3.1 – 2.1
3.2 – 2.1
3.3 – 2.1
1
=
a11
a21
a31
b11
b21
d) 2Bt – 3A = 2
=
2 1
2–5
– – 1
a)
5 4=
4 10
–
8
4
e, portanto:
5
4
2
A=
9 –3
6 12
c) B – At =
2 –2
8 4
14 10
=
9 –3
6 12
0 + (– 3)
=
6 + 12
X = 2 . At – A = 2 .
0
6
=
b) A – Bt =
=
5 –1
7
3.1 – 1 3.1 – 2
=
3.2 – 1 3.2 – 2
2
=
3 3 2
1 1
3.(– 1)
=
3.4
4+9
2+6
=5
3 –1
2
4
2 3
3 4
4 5
=
1
0
3
3.3
3.2
1
0
0 + (– 1)
=
3+4
2.2 2.0
2.3
A=
=
2
2 0
=
+4
1
1
1 3+
2+3
1+2
=
1+2 2+1 1+1
1+0 1+0
=
1+1 1+2
2+1 2+2
3+1 3+2
1+4
A+B=
=
a12
a22
a32
1 –1
4 2
7 5
Observando que a12, a22, a32 e a42 são, respectivamente,
as quantidades de peças do material 2 empregadas para
fabricar os aparelhos dos tipos 1, 2, 3 e 4, temos:
8 . a12 + 2 . a22 + a32 + 5 . a42 =
= 8 . 1 + 2 . 2 + 3 + 5 . 7 = 50
Resposta: E
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 109
Módulo 2 – Multiplicação de matrizes
A.B=
1
0
0
.
2
1
=
2
1
0
1
0
3
.
2
1
0
0
a)B + C =
1 0
2 1
+
1 2
4 0
1+1 0+2
=
1+0
1 0.6 1=
2 3
145 44 14 4
5 4
A.B=
2 2
1.2 + 0.6
2.2 + 3.6 2.2 + 3.1
22 7
=
1.2 + 0.1
2 2
A.C=
Note que A(B + C) = AB + AC.
AX = B ⇔
1 2
0 1
x
y
2
1
=
0.x + 1.y = 1 ⇔ x
0
Portanto: X = = y
1
⇔
1.x + 2.y
2
⇔
0,006 0,033 0,108
0,001 0,035 0,018
0,084 0,052 0,631
200
300
600
.
=
75,90
21,50
411,00
A.B=
=
=
Resposta: E
Efetuando o produto matricial apresentado, temos:
p1 = 0,80p0 + k
m1 = 0,2p0 + 0,9m0
g1 = 0,1m0 + 0,95g0
12
5 2 5
4 4 7
3 6 9
2
0
3
1
=
=
=
5 2 5
4 4 7
3 6 9
23 00 . 12 24 =
23 46 2.2 + 0.4
=
3.2 + 0.4
1
23 00 . – 0,5
2
–1
=
2.2 + 0.(– 1)
=
3.2 + 0.(– 1)
Somando as equações, membro a membro, resulta
p1 + m1 + g1 = p0 + m0 + 0,95g0 + k
=
Como p1 + m1 + g1 = p0 + m0 + g0, temos:
=
1 0 0
0 –4 0
0 0 3
2
0
0 – 16
3x
0
⇔ k = 0,05g0 ⇔ k = 5%g0.
=
1.2 + 2.1 + 3.0
2.2 + 0.1 + 1.0
1.2+0.0+0.x
0.2+(– 4).0+0.x
0.2+0.0+3.x
B.A=
p0 + m0 + g0 = p0 + m0 + 0,95g0 + k ⇔
.
Portanto: AB = AC. Observe que B ≠ C.
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em
gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida
pela ingestão daqueles alimentos é:
2
1
0
1
2
3
23 46 =
2
1
0
+ 0.(– 0,5)
2.1
3.1 + 0.(– 0,5)
=
x + 2y = 2
x=0
⇔
y=1
y=1
≠
+ 0.2
2.1
3.1 + 0.2
=
1
2
3
.
1.1 + 2.2 1.2 + 2.0 1.3 + 2.1
2.1 + 1.2 2.2 + 1.0 2.3 + 1.1
3.1 + 0.2 3.2 + 0.0 3.3 + 0.1
=
3
1
=
2 2
2
0
+ 2.2 + 3.3
1.1
2.1 + 0.2 + 1.3
B.A=
6 1
2 + 4
b) A . (B + C) =
=
5 0 4
2 0 1
3 0 6
1
2
=
=
=
=
2 3
1 2
1 0.4 0=
A.B=
7 2
1.1 + 2.2 1.0 + 2.0 1.2 + 2.1
0.1 + 1.2 0.0 + 1.0 0.2 + 1.1
3.1 + 0.2 3.0 + 0.0 3.2 + 0.1
A.C=
=5 4
=
2
1
2.1 + 3.4 2.2 + 3.0
14 4
=
=
1.1 + 0.4 1.2 + 0.0
1 2
1.1 + 0.0 + 2.3 1.2 + 0.1 + 2.0
2.2 + 0.1 + 1.0
B.A=
Módulo 3 – Propriedades
=
2.1 + 0.0 + 1.3
=
2
2
1
0
1
0
3
2
0
x
2.1+0.0+0.0
0.1+4.0+0.0
x.1+0.0+2.0
2
0
x
0
–16
0
2
0
x
0
0
2
=
1.0+0.0+0.2
0.0+(– 4).0+0.2
0.0+0.0+3.2
=
0
0
2
.
1 0 0
0 –4 0
0 0 3
2.0+0.(– 4)+0.0
0.0+4.(– 4)+0.0
x.0+0.(– 4)+2.0
0
0
6
0
4
0
1.0+0.4+0.0
0.0+(–4).4+0.0
0.0+0.4+3.0
0
0
6
0
4
0
.
=
2.0+0.0+0.3
0.0+4.0+0.3
x.0+0.0+2.3
=
Resposta: A
MATEMÁTICA
109
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 110
AB = BA ⇒
0
2
0 –16
0
3x
0
0
6
=
0 0
2
0 –16 0
0 6
x
⇒
1 2
=x–2
1 x
10
⇒ 3x = x ⇒ x = 0
Resposta: E
a) A2 =
b)
A2
=
a)
–41
. –41
–3
5
= –1611 –1312 2 –2
9
– 16 5 12
–4 –3 4
4
9
–3
5
0 –2
1
1 0 –2
4 . 0 3 4
3
0
–4 –1 0
– 4 –1 0
=
6
3
=
10
33
12
16
4
12 + 6x
Resposta:
A=
2×1
208
486
258
160
208
486
258
160
15
12
3
1
0
2
0
0
1 = 1–4–3=–6
3
0
0
Assim sendo, 17 + (– 6) = 11
Resposta: B
queijo: 18 . 6 + 10 . 10
salada: 26 . 6 + 33 . 10 ⇒
rosbife: 23 . 6 + 12 . 10
atum: 0 . 6 + 16 . 10
2
1
1
1
6
4×2
0
1
3
1
0
2
10 ⇒
.
2x
1
1 =
3
3 –1
= 3 . 5 – 2 . (– 1) = 15+ 2 = 17
2 5
. x = 27 + 3x 3
9
1
2
5
= x + 15 + 12 – 10 – 9 – 2x = – x + 8
Assim sendo, x – 2 = – x + 8 ⇔
⇔ x + x = 8+ 2 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5
Resposta: E
2
3
x
x
b) 12 + 6x = 27 + 3x ⇔ x = 5
18
26
23
0
1
1
3
1
2
5
=
a
a11 a12
21 a22
7
5
= 2.2 + 3.1
2.1 + 3.1
2.1 + 3.2
=
2.2 + 3.2
8
5 8
e det A =
=
10
7 10
= 5 . 10 – 8 . 7 = 50 – 56 = – 6
Resposta: C
4×1
3 –7 2
4
1 –1 =
–2 2
3
a)
= 3.1.3 + (– 7).(– 1).(– 2) + 2.4.2 –
4×1
– 2.1.(– 2) – 3(–1). 2 – (– 7).4.3 = 105
Módulo 4 – Determinantes
–6
2
0
2
x
3
1
1
1
3
1
x
3
–3
2
1
2
0
2
12
1
1
3
0
= 2 + 4 + 6 – 12 = 0
2
4
0
x2
12x
9
x
4
3
x
3
1
3x2
1
x
3
4
= –3
⇔V=
110
1
– –– ; 2
2
MATEMÁTICA
1
c) 3
0
0 –1
– 3 1 = – 14
2
2
x
4
x+2
=x
3
3x – 4(x + 2) = x = – 4
3 ± 25
⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0 ⇔ x = –––––––
⇔
4
3±5
1
⇔ x = –––––– ⇔ x = 2 ou x = – –– ⇔
4
2
–1 1
1 –1 =0
3 –3
9x
3x2 + 4 + 9x – x2 – 12x – 9 = – 3 ⇔
1
b) 2
4
O determinante da matriz A será nulo, por exemplo, se
todos os elementos da coluna 1 forem iguais aos correspondentes elementos da coluna 3.
Dessa forma, x – 7 = 6 ⇔ x = 13.
De At
–1
c
0
= A,
2
1
–1
vem:
a
=
b
–2
–1
2
a
⇒ a = 0, b = – 1 e c = 2.
c
1
b
0
–1
–2
⇒
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 111
Vamos construir a matriz A – A2 + I23. Temos:
A2 = A . A =
=
5
0
–2
0
–1 2
1 –1
2
0 –1 –2
–2
1
5
0
6
1
.
0
–1 2
1 –1
2
0 –1 –2
=
2a. coluna com o dobro da 3a. coluna, isto é, a 1a. coluna é
uma combinação linear das demais colunas.
Resposta: D
Como I23 = I3, vem: A – A2 + I23 =
=
=
1 – 11 6
–2
4 – 3 = 0, pois a 1a. coluna é igual à soma da
–3 –7
2
–1 2 0
2 1 –1
0 –1 –2
–5 2 2
2 – 4 – 2 , cujo determinante é igual a – 76.
2 –2 –6
–
–2
1
5
0
6
1
5
0
–2
+
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
Como:
1) a) det
BC + 2A =
1
=
. (5 – 1) + 2 .
–2
=
– 510
–1
2
CB = (5 – 1) .
11 20 =
+ 22
4
0
= –78
3
2
–12 = (7)
11 20 – λ . 10 01 = 1 1– λ
c) det
2
–λ
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
= 0,
= 0, pois as colunas são
d) det
2
= 0 ⇒ λ2 – λ – 2 = 0 ⇒ λ = – 1 ou λ = 2
–λ
Módulo 5 – Determinante nulo
= det
2 5 8
2 1 2 = 0, pois a 3a. linha é nula.
0 0 0
x(– 1)
+
1
1
1
1
1
5
9
13
3
7
11
15
4
8
12
16
3
7
11
15
2
6
10
14
1
5
9
13
x(– 1)
4
3
5 16
8 20
11 8
2
4
6
6
1
1
2
5
iguais.
Então, det(A – λ . I) = 0 equivale a
1–λ
1
= 0,
pois a soma das duas primeiras linhas resulta igual à
terceira linha.
b) A – λ =
=
pois a primeira e a terceira linha são proporcionais.
b) det
a)
4
1
8
8
3
2
6
7
2
3
4
6
1
4
2
5
=
+
1
1
1
1
= 0,
pois a 2a. e a 4a. coluna são iguais.
a 2 a
b 5 b = 0, pois a 1a. coluna é igual à 3a. coluna.
c 7 c
1 m 3
3 n 9 = 0, pois a 3a. coluna é o triplo da 1a. coluna,
4 p 12
Todas essas quatro matrizes possuem determinante
nulo.
2) det
–6
10
14
sendo então colunas proporcionais.
Para x = 6, a 3a. coluna será igual à soma das duas anteriores, o que implica o anulamento do determinante.
Resposta: E
x y 4x + y
1 0
4
= 0, pois a 3a. coluna é igual
2 1
9
à soma da 1a. coluna multiplicada por 4 com a 2a. coluna,
isto é, a 3a. coluna é uma combinação linear das demais
colunas.
= – 1 .(– 1)2 .
8
7
– 11 12
15 – 16
4
28
40
= – 1 . 4 . 2. 4.
1
7
10
22
16
54
11
8
27
–1
5
=
9
13
0
4
28
40
0
22
16
54
0
28
=
48
36
28
48 =
36
7
12 =
9
= – 32 . (72 + 1320 + 1323 –
– 560 – 693 – 324) = – 36416 ≠ 0
Resposta: E
MATEMÁTICA
111
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 112
Módulo 6 – Determinante se altera
Verdadeira, pois:
a b
c d
=–
, permutando as linhas e
c d
a b
–
det(3A) = 32 . det(A) = 9 . 5 = 45
det(2P) = 2x + 6 ⇔ 23 . det(P) = 2x + 6 ⇔
⇔ 8 . 7 = 2x + 6 ⇔ x = 25
Seja B a matriz obtida a partir de A como no enunciado.
c d
d c
=
, permutando as colunas.
a b
b a
Temos:
1
1
det B = 2 . 2 . 3 . 3 . –– . –– . det A ⇒
6
6
⇒ det B = det A = x
Verdadeira, pois:
2a 2b
a b
=2.
, colocando o 2 “em evidência” na 1a.
c d
c d
a)
ou seja, det (m . A) = m4 . det A ⇒
⇒ 243 = m4 . 3 ⇒ m4 = 81 ⇒ m = 3
m>0
b) Seja B a matriz construída conforme o enunciado;
1
1
det B = 2m . 2m . –– . –– det A ⇒
m m
2a 2b
a b
=2.
, colocando o 2 “em evidência” na 1a.
3c 3d
3c 3d
linha.
a b
a
=2.3
3c 3d
c
b
a
=6
d
c
b colocando o 3 “em
,
d
⇒ det B = 4 det A = 4 . 3 = 12
evidência” na 2a. linha.
Módulo 7 – Determinante não se altera
Verdadeira, pois
4a 4b
a
=4.4.
4c 4d
c
b
, colocando o 4 “em evidência” nas
d
duas primeiras linhas, ou
matriz
4c
4a 4b
4d
=4. c
a
4a 4b
a
= 42 .
4c 4d
c
b
d
b
, pois a
d
Resposta: B
m
n
p
linha. Assim:
1
1
1
0 –x
0 = 0 ⇔ – x . (2 – x)= 0 ⇔
0
0 2–x
x
y = 2.3.5.4 = 120
z
⇔x = 0 ou x = 2 ⇔V = {0; 2}
4
A3×3, B3×3 e B = kA ⇒ det B = det(kA) e A3×3 ⇒
96
96 = k3 . 1,5 ⇔ k3 = –––– ⇔ k3 = 64 ⇔ k = 4
1,5
Resposta: k = 4
a b c
a b c
a) 2d 2e 2f = 2.3. d e f = 6. (–10) = – 60
3g 3h 3i
g h i
b a 4c
b a c
a b c
b) e d 4f = 4. e d f = – 4. d e f = – 4. (–10) = 40
h g 4i
h g i
g h i
MATEMÁTICA
1
1
1
x
y
z
2x + b
1
2y + b = 1
2z + b
1
x
y
z
0
0 = 0,
0
fazendo a 3.a coluna menos a 1.a coluna multiplicada por b e,
em seguida, a 3.a coluna menos a 2.a coluna multiplicada
por 2.
Resposta: C
Para det A = 1,5 e det B= 96, obtém-se:
112
1 1
1
1
1
1
1 1–x 1 = 0 –x
0 ,
1 1 3–x
0
0 2–x
fazendo a 2.a linha menos a 1.a linha e a 3.a linha menos a 1.a
⇒ det B = k3 . det A
1 1
1
1 1 1
1 1 + a 1 = 0 a 0 = 1.a.b = a.b, fazendo a 2.a linha
1 1 1+b
0 0 b
menos a 1.a linha e a 3.a linha menos a 1.a linha.
2a 3m 5x
2b 3n 5y =
2c 3p 5z
a
=2.3.5. b
c
. det A,
pois são 4 colunas
Verdadeira, pois:
2.
m.m.m.m
14243
det (m . A) =
linha.
2
2
2
2
a1
a2
a3
a4
=2.
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
b1
b2
b3
b4
a1
a2
a3
a4
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
c1
c2
c3
c4
b1
b2
b3
b4
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
=
1
1
1
1
1
1
c1
c2
c3
c4
+
+
+
+
1
1
=
1
1
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 113
=2.
1
1
1
1
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
a
a
c3 , fazendo a 2 . coluna menos a 1.
c4
3.a coluna
coluna, a
a 1a. coluna.
Resposta: D
menos a
1a. coluna
ea
4a. coluna
Módulo 8 – Abaixamento da ordem
1
A33 = (– 1)3 + 3 . 2
1
menos
0
0 =A⇔
2
1 0 0
1 1 0 = A ⇔ A = 106
1 0 2
1
B = –5
2
–5 –3
1 –1 –3
0 6 = 5. –5 0 6 =
0 6
2 0 6
Portanto, B = – 5A ⇔ B + A = – 4A.
Resposta: D
2 1
0 2
3 1
3
1 =
2
0
2
3
1 2
1 1
2 1
0
2 = 2 . (8 + 3 – 2 – 6) = 2. 3 = 6
3
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da
sua 1a. linha, temos:
x 0 0
2 . (– 1)1 + 3 . 1 x 8 = 0 e x > 0 (existência do
0 8 x
logaritmo)
x 8
=0e
Logo: 2 . x . (– 1)1 + 1 .
8 x
x > 0 ⇔ 2x . (x2 – 64) = 0 e x > 0 ⇔
a+6
b+6
c+6
d+6
e+6
f+6
b+6
a+6
c+6
e+6
b+6
a+6
a+6
b+6
= 7. c + 6
d+6
e+6
f+6
a
b
= 7. c
d
e
f
b
a
c
e
d
a
c+6
d+6
e+6
e+6
e+6
f+6
b+6
a+6
c+6
e+6
b+6
a+6
c
d
e
e
e
f
1
1
1
1
1
1
7
7
7
7
7
7
c+6
d+6
e+6
e+6
e+6
f+6
e
a
b
b
c
d
e+6
a+6
b+6
b+6
c+6
d+6
1
1
1
1
1
1
f+6
–a + 6
–a + 6 =
–b + 6
–c + 6
–d + 6
e+6
a+6
b+6
b+6
c+6
d+6
⇔ x = 0 ou x2 – 64 = 0 e x > 0 ⇒ x = 8
Resposta: D
f+6
–a + 6
–a + 6 =
–b + 6
–c + 6
–d + 6
f
–a
–a
–b
–c
–d
Fica multiplicado por 7.
–1
2 0
A11 = (–1)1+1 . – 4 5
1 =
1 – 2 –1
= 1 . (5 + 2 + 0 – 0 – 2 – 8) = – 3
A32 = (–1)3+2 =
1
tg2α
1
–––––
cos2α
1
1
1
1
1
tg2β
tg2γ
= tg2β tg2β tg2γ = 0
1
1
–––––
–––––
sec2β sec2β sec2γ
cos2β cos2γ
Observando que sec2x = 1 + tg2x, para qualquer x real que
satisfaça as condições de existência das funções secante
e tangente, conclui-se que a terceira linha do determinante
é igual à primeira mais a segunda e, portanto, o determinante é nulo.
Resposta: E
–2
1 7
0 2
0 =
1 – 2 –1
= (–1) . (4 + 0 + 0 – 14 – 0 – 0) = 10
Resposta: A11 = –3 e A32 = 10.
Trabalhando com os elementos não nulos da segunda
linha, temos:
A22 = (–1)2+2 =
–2
1 7
3
5
1 = 1 . (– 67) = – 67
1 – 2 –1
A23 = (–1)2+3 =
–2
3
3 –4
1 0
Resposta: E
3
1
2
Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da
2
=2. 1
1
1 –1 3
1 –5 2
= 5. (–1) . –5 0 –6 = – 5. –1 0 0 = – 5A
2 0 –6
3 –6 –6
2
1
0 = (– 1)6 . 2
3
1
1a. coluna (apenas o 2 é diferente de zero), resulta:
2 0 1
det M = 2 . (– 1)1 + 1 . 1 2 1 =
1 3 2
Resposta: C
3
1
2
= 3 + 8 – 2 – 18 = – 9
53 53 53
53 0
53 54 53 = A ⇔ 53 1
53 53 55
53 0
⇔ 53 .
O cofator do elemento a33 é:
det M =
7
1 = (– 1) . 32 = – 32
–1
–2
3
1
7
0 –1
2
0 =
0 –4
5 1
1
0 –2 –1
= (– 1) . A22 + 2 . A32 =
= (– 1) . (– 67) + 2 . (– 32) = 3
Resposta: B
MATEMÁTICA
113
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 114
Desenvolvendo pelos elementos da 1a. linha, obtemos:
D = x . A11 + 3 . A14 =
x 0
= x (–1)2 . – 1 x
0 –1
–1
x
0
0
x ⇒
1 + 3 . (–1)5 . 0 – 1
0 0 –1
–2
1
= 1
1
⇒ D = x . (–2x2 + x) –3 . (–1)
Devemos ter D = 3, isto é,
1
x (–2x2 + x) + 3 = 3 ⇒ x (–2x2 + x) = 0 ⇒ x = 0 ou x = —
2
a
2x 0
2
= (–1) . (–1)6 . 1
–3 –1
2x 0
2
–3 + 1 . (–1)7 . 1 2
–3 –1
0
1
1 ⇒
2
– (10 –3 .
– (5 .
+ 5) = –79 ⇒
II)
1
a
3
= 7 – 3a
7
III)
2
3
1
=4–3=1
2
Resposta: A
⇒ 2x = 32 ⇒ x = 5
Usando a primeira coluna, temos:
D = 2 . A11
1
0 0 0
4
0 2 1 = 2 D’ (*)
2 .
2
.
(–1)
=
–5
5 1 4
1
0 –1 2
1442443
D’
1
• Calculemos agora D’ = 4
–5
1
0 0
0 2
5 1
0 –1
0
1,
4
2
I) det A = 4
II) B = 2A ⇒ det B = det(2A) = 23 det A
III) det(A2 . B) = det(A2) . det B =
= (det A . det A) . det B = (det A)2 . det B
De (I), (II) e (III), resulta:
det(A2 . B) = (det A)2 . det B =
= (det A)2 . (23 . det A) = 8 . (det A)3 =
= 8 . 43 = 8 . 64 = 512
usando a primeira linha:
0
2 1
D’ = 1 . A’11 = 1 . (–1)2 . 5 1 4 , isto é,
0 –1 2
D’ = –5 – 20 = – 25.
a)
Trocando a posição da 1.a e da 2.a coluna, temos:
1
2
3
1
• Por fim, em (*), encontramos D = 2 (– 25) = – 50
(–1)
Módulo 9 – Regra de Chió e Teorema de Binet
1
2
1
3
4
9
=
3
9
2
6
4
7
2
5
4
8
5–2.2 6–2.2 9–4.2
1
= 4–2.1 4–2.1 3–4.1 = 2
8–2.3 7–2.3 9–4.3
2
I) det A =
2
1
3
4 =8–3=5
II) det B =
3
2
1
3 =9–2=7
2
1
2 –1 =
1 –3
III) det(A . B) = det A . det B
De (1), (2) e (3), resulta: det(A . B) = 5 . 7 = 35
Resposta: D
114
MATEMÁTICA
2
–1
5
1
1
4
3
4
0
0
–2
–1
Usando a Regra de Chió, temos:
1
2
3
1
2
–1
5
1
1
4
3
4
0
0
–2
–1
–5
–1
–1
= (–1) 2
0
3
0
–2
–1
1
–1
8
2
0
3
0
–2
–1
(–1)
= – 6 – 4 + 2 – 4 + 1 + 12 = 1
= 0, pois as duas primeiras colunas são
(7 – 3a). 1 = 4 ⇔ – 3a= – 3 ⇔ a = 1
⇒ – 2 . 2x – 15 = – 79 ⇒ 2 . 2x = 64 ⇒
2
3
4
De (I), (II) e (III), resulta:
Como D = –79, temos:
2x
2
2
2
1
2–1.1 3–1.1 3–1.1
3
= 2–1.1 3–1.1 4–1.1 =
4
2–1.1 3–1.1 5–1.1
5
I) det(A . B) = 4 ⇔ det A. det B = 4
⇒ D = (–1) . (–2 + 12 – 3 . 2x) –1 . (4 . 2x – 1 + 6 + 2x).
2x)
1
3
3
3
proporcionais.
Escolhemos a 3. linha da matriz dada:
D = (–1) . A33 + 1 . A34 =
1
2
2
2
1
1
1
1
= (–1)
=
(3) =
= (–1)
2
–13
–2
–1
= 28
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 115
b)
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
=
c)
1
1
1
1
2
2
1
2
3
=
1
2
0
0
2
3
0
0
0
0
0
3
1
1
Vamos multiplicar por ––– os elementos da 1a. coluna:
a
=
1
––– . D =
a
1
1
1
2
–1
0
0
0
3
1 =
0
1
1
=
1
1
0
0
0
3
1 = (–1)
0
1
1
1
3
1
1
1
1
1
––– . –––––– . D =
a
b–a
d) Trocando a posição da
e da
1
2
–3
2
0
3
0
0
1
4
5
1
3
10
–2
2
= –3
0
0
2
8
–1 =
4
7
4
–1
7
–4
=
coluna, temos:
3
0
0
= (–1) 2
8
–1 =
4
7
–4
1
x
0
x
x
1
0
x
1
0
1
=
1
x
0
1
0
1
1
0
1–x
0
1
1–x
0
1
a
a
D=
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a) det (A . B) = det A . det B = 5 . 3 = 15
Módulo 10 – Inversão de matrizes
1
det A = 3
0
Pela definição:
a
b
c
d
M . M– 1 =
3
M– 1 =
=
=1–x
=
a
b
.
c
d
2 m
1 0 = 2 + 3m – 12 = 3m – 10
1 2
10
Devemos ter: det A ≠ 0 ⇔ 3m – 10 ≠ 0 ⇔ m ≠ –––
3
Resposta: C
0
x2 – x 1
=
0
1–x 0
= d – c ⇒ D = a . (b – a) . (c – b) . (d – c)
c) det (2 . At) = 23 . det (At) =
= (– 3) (– 32 + 7) = (–3) (– 25) = 75
=
1
1
1
1c–b
⇒ –– . –––– . –––– . D =
1d–b
a
b–a c–b
b) det (Bt . At) = det(Bt) . det(At) =
x(1)
=
c–a d–a
= 8 . det A = 8 . 5 = 40
x
1–x
c–a c–a ⇒
1
1
1
1
⇒ ––– . –––––– . –––––– . D =
a
b–a
c–b
e) Trocando a posição da 1.a e da 2.a linha, temos:
1
1
0
0
(–1)
1
= det A . det B = 5 . 3 = 15
1
8
2.a
1 b–a b–a
1
1
c–b c–b
⇒ ––– . –––––– . D =
⇒
c–b d–b
a
b–a
=
1.a
= (–1).3
⇒
b–a b–a b–a
1
⇒ ––– . D = b – a c – a c – a .
a
b–a c–a d–a
=2–1=1
= [–1] (3 – 1) = –2
(–1)
a
b
c
d
a
b
c
c
Dividindo por b – a os elementos da 1a. coluna, vem:
0
= (–1)
a
b
b
b
1
1
1
1
⇒
1
2
5
.
a
b
c
d
3a + 5c 3b + 5d = 0
a + 2c
b + 2d
1
=
0
1
3a + 5c = 0 e 3b + 5d = 1
a + 2c = 1
b + 2d = 0
⇒
⇒
a=–5
b=2
c=3
d=–1
MATEMÁTICA
115
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 116
Pela regra prática:
I) det B = 5 . 1 – 2 . 2 = 1
Portanto:
M– 1 =
–5
2
3 –1
II) B’ =
Pela regra prática:
I) det M = 5 – 6 = – 1
– 2
5 –3
II) M’ =
—
(M’)t
III) M =
1
1
I) det A = 0
0
II) M’=
=
3
1 =4–3=1
2
=
III) M = (M’)t =
1
5 –4
0
2 –1
0 –3
2
1 5 –4
0 2 –1
0 –3 2
1
=
–2
5
= – 2
1 –2
5
2
3
3
0
2
2
2
3
7
III) M = (M’)t =
2
0
2
3
2
3
3
2
7
1
IV) M–1 = –––
4
2
0
2
3
2
3
3
2
7
Resposta: A
1
—
IV) M– 1 = –––––– . M =
det M
1
= –– .
1
–2
—
1 0 0
5 2 –3
–4 –1 2
—
1 –2
5
Pela regra prática, temos:
2 –3 0
I) det M = 1
2 –1 =4
–1 0
1
II) M’ =
(4 – 3)
0
0
– (4 – 9) . (2 – 0) . (3 – 0)
(2 – 6) (1 – 0)
(2 – 0)
– 2
1
IV) B– 1 = ––– .
1
2
2
3
5
—
5 –2
–5 2
1
=
IV) M – 1 = ––– .
–3 1
3 –1
–1
1 –2
III) B = (B’)t =
5 –2
–3 1
=
– 2
1 5 –4
0 2 –1
0 –3 2
Se a matriz é não inversível, então o det = 0
0
1
2
3 – 1 x = – 4 – x – 4x – 6 = 0 ⇒
2
–1 2
Uma matriz M é inversível se e somente se det (M) ≠ 0.
Dessa forma, se a e B são matrizes inversas,
necessariamente det(A) ≠ 0 e det(B) ≠ 0.
Resposta: E
Módulo 11 – Cálculo de um elemento
da inversa e propriedades
⇒ – 5x – 10 = 0 ⇒ 5x = – 10 ⇒ x = – 2
Resposta: C
1
1
det A–1 = –––––– = –––– = 5
1
det A
––
5
Resposta: A
Pela definição:
B– 1 =
a
b
c
d
Pela regra prática:
B . Bt =
=
⇒
2
5
.
2
1
5a + 2c 5b + 2d
2a + c
2b + d
2a + c = 0
5a + 2c = 1
e
116
b
c
d
A . X . B = A ⇔ A– 1 . A . X . B = A – 1 . A ⇔
⇔ X . B = I ⇔ X . B . B – 1 = I . B– 1 ⇔ X = B– 1
(X . A)t = B ⇔ ((X . A)t)t = Bt ⇔
⇔ X . A = B t ⇔ X . A . A – 1 = B t . A– 1 ⇔ X = B t . A– 1
Resposta: B
1
I) det C = ––– ⇔ det C–1 = 32
32
=
=0
1
2b + d = 1
0
1
5b + 2d = 0
⇒
⇒
a=1
b=–2
c=–2
d=5
II) B = 2A ⇒ det B = det(2A) ⇔ det B = 23 . det A ⇔
⇔ det B = 8 . det A
III) A . B = C
–1
⇒ det(A . B)= det C – 1 ⇔
⇔ det A . det B = det C – 1 ⇔ det A. 8 . det A = 32 ⇔
Portanto:
B– 1 =
a
– 2
1 –2
5
MATEMÁTICA
⇔ (det A)2 = 4 ⇔ det A = ± 2 ⇔ det A = 2
Resposta: D
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 117
1 1
III)Dy = 5 – 1
6 1
1 1
IV)Dz = 5 4
6 3
Lembrando que, se A e B são matrizes inversas, então A .
B = I (I é a matriz identidade), temos:
1 –2
5 2
A.B=
.
=
–2 5
2 1
=
– 2.5 + 5.2
1.5 – 2.2
= – 2.2 + 5.1 0
1.2 – 2.1
1
0
1
Dx
3
–3
V) x = ––––– = ––––– = –––
–2
D
2
Portanto, B é a inversa de A.
Dy
14
VI) y = ––––– = ––––– = – 7
D
–2
Sendo b32 o elemento da terceira linha e segunda coluna
da inversa de M e A23 o cofator do elemento da segunda
linha e terceira coluna de M, temos:
Dz
– 13
13
V) z = ––––– = ––––– = ––––
D
–2
2
I) det M = 1.2.3 + 0.(– 3).2 +
+(–1).1.(–1) – (–1).2.2–0.1.3–1.(–3).(–1) =
3
1
0
2 –1
A23
1
II) b32 = –––––– = –––––––––––––––––––– = ––
det M
8
8
Resposta: D
2
III)Dy = 1
1
0 –1
(– 1)1 + 2 .
A12
0
1
= –––––– = ––––––––––––––––––– = 0
8
det P
1
1
II) det A– 1 = –––––– = – –––
16
det A
24
Dy
y = ––––– = ––––– = 1
D
24
Resposta: E
72
Dz
z = ––––– = ––––– = 3
D
24
(A . X)t = B ⇔ A.X = Bt ⇔ A–1 . A . X = A– 1 . Bt ⇔
⇔ X = A – 1 . Bt
Resposta: B
X . A = B – 1 . A ⇔ X . A . A– 1
6 4
3 2
⇔ X = B– 1 ⇔ X =
2 1
= B– 1 . A . A– 1 ⇔
1
0
0
Resposta: E
Módulo 12 – Sistemas lineares –
Regra de Cramer
Assim:
Dx
48
x = ––––– = ––––– = 2
24
D
2
0 = 0 – 6 + 0 – 10 + 0 + 0 = – 16
0
–3
1
–3
2
7
0 – 1 = 0 – 7 + 26 + 0 – 21 + 26 = 24
3
13
2 –3 7
IV)Dz = 1 1 0 = 26 + 14 + 0 – 7 + 39 + 0 = 72
1 2 13
Resposta: C
1
I) det A = 1
5
2 –3
2
I) D = 1
1 – 1 = 6 + 3 + 4 – 2 + 9 + 4 = 24
1
2
3
2
7 –3
II) Dx = 0
1 – 1 = 21 + 39 + 0 – 26 + 0 + 14 = 48
3
2
13
Sendo b21 o elemento da segunda linha e primeira coluna
de M e A12 o cofator do elemento da primeira linha e
segunda coluna de P, temos:
b21
1
I) D = 5
6
1
4
3
1 1
II) Dx = – 1 4
1 3
1
3
2
13
; –7; –––– –––
2
2
Portanto, V =
=6+0+1+4–0–3=8
(– 1)2 + 3.
1
3 = – 2 + 18 + 5 + 6 – 3 – 10 = 14
2
1
– 1 = 4 – 6 + 15 – 24 + 3 – 5 = – 13
1
= 8 + 18 + 15 – 24 – 9 – 10 = – 2
1
3 =8+3–3–4–9+2=–3
2
Logo, V = {(2; 1; 3)}
1
I) D = 0
1
6
II) Dx = 5
7
2
1
2
2
1
2
0
3 =1+6–6=1
1
0
3 = 6 + 42 – 36 – 10 = 2
1
1
III)Dy = 0
1
6
5
7
0
3 = 5 + 18 – 21 = 2
1
1
IV)Dz = 0
1
2
1
2
6
5 = 7 + 10 – 6 – 10 = 1
7
Dx
2
V) x = ––––– = ––– = 2
1
D
MATEMÁTICA
117
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 118
2
Dy
VI) y = –––– = ––– = 2
D
1
d) D =
Dz
1
V) z = –––– = ––– = 1
1
D
Dx =
–2
5
3
–2
–20
5
19
–2
–2
–20
3
19
= 4 – 15 = –11
= 40 – 95 = –55
Portanto, V = {(2; 2; 1)}
a) D =
Dx =
Dy =
3
–4
1
3
1
–4
9
3
3
1
1
9
Dy =
= 9 + 4 = 13
= 3 + 36 = 39
Dx
–55
x = ––– = –––– = 5
D
–11
= 27 – 1 = 26
Dy
22
y = ––– = –––– = – 2
–12
D
S = {(5, – 2)}
Dx
39
x = ––– = ––– = 3
D
13
Dy
26
y = ––– = ––– = 2
13
D
a) D =
S = {(3, 2)}
b) D =
Dx =
Dy =
2
1
3
–2
4
1
–1
–2
2
4
3
–1
1
–2
–2
1
–1
1 =–3–4–2–4–1+6=–8
2
1
3
–1
–2 – 2
Dx = –2
–1
1 = – 3 – 2 + 4 – 2 + 1 –12 = – 8
1
1
3
1
–1
–2
1
–2
1 = – 6 –2 – 2 – 8 – 1 + 3 = – 16
2
1
3
1
–2
–1
1
–1
–2 = –1 + 8 – 1 – 2 + 2 + 2 = 8
2
1
1
= –4 – 3 = –7
Dy =
= –8 + 1 = –7
= –2 – 12 = –14
Dz =
Dx
–7
x = ––– = ––– = 1
D
–7
–8
Dx
x = ––– = –––– = 1
D
–8
Dy
–14
y = ––– = ––– = 2
–7
D
Dy
– 16
y = ––– = –––– = 2
–8
D
S = {(1, 2)}
c) D =
Dx =
Dy =
4
1
2
–3
14
1
–28
–3
4
14
2
–28
Dz
8
z = ––– = –––– = –1
–8
D
= –12 – 2 = –14
= –42 + 28 = –14
S = {(1, 2, –1)}
2
3
3
b) D = 3
2
5 = – 8 + 75 + 36 – 30 – 18 – 40 = 31
5
4
2
18
3
3
Dx = 23
2
5 =
27
4
2
= –112 – 28 = –140
Dx
–14
x = ––– = ––– = 1
D
–14
118
= –38 + 60 = 22
= 72 + 276 + 405 – 162 – 138 – 360 = 93
2
18
3
3
23
5
5
27
2
Dy
–140
y = ––– = ––––– = 10
–14
D
Dy =
S = {(1, 10)}
= 92 + 450 + 243 – 345 – 108 – 270 = 62
MATEMÁTICA
=
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 119
Dz =
2
3
18
3
2
23 =
5
4
27
Dy
–2
y = ––– = –––– = 2
–1
D
= 108 + 345 + 216 – 180 – 243 – 184 = 62
Dz
–4
z = ––– = –––– = 4
–1
D
Dx
93
x = ––– = –––– = 3
D
31
S = {(2, 2, 4)}
Dy
62
y = ––– = –––– = 2
31
D
1
1
0
e) D = –2
3
–3 = 3 – 3 + 2 = 2
1
0
1
Dz
62
z = ––– = –––– = 2
31
D
1
1
0
2
3
–3 = 3 – 3 – 2 = –2
1
0
1
1
1
0
Dy = –2
2
–3 = 2 – 3 + 2 + 3 = 4
–1
1
1
1
1
1
1
Dz = –2
3
2 = 3+2–3+2=4
1
0
1
Dx =
S = {(3, 2, 2)}
c) D =
1
1
1
2
–3
–2 = 3 – 6 + 8 + 9 + 2 + 8 = 24
3
Dx =
Dy =
Dz =
4
7
1
1
4
–3
–2 = 21 + 16 + 2 – 3 + 4 + 56 = 96
–1
4
–1
1
7
1
2
4
–2 = – 4 – 42 – 2 – 12 + 14 – 2 = – 48
3
–1
–1
1
1
7
2
–3
4 = 3 + 12 + 56 + 63 + 2 – 16 = 120
3
4
–1
Dx
–2
x = ––– = –––– = – 1
D
2
Dy
4
y = ––– = –––– = 2
2
D
Dz
4
z = ––– = –––– = 2
2
D
Dx
96
x = ––– = –––– = 4
D
24
Dy
–48
y = ––– = –––– = –2
24
D
Dz
120
z = ––– = –––– = 5
24
D
S = {(–1, 2, 2)}
Considere que:
x é o preço unitário do churrasco;
y é o preço unitário do quentão;
z é o preço unitário do pastel;
De acordo com o enunciado, temos:
S = {(4, –2, 5)}
d) D =
Dx =
Dy =
Dz =
1
1
1
1
–1
0 = –2 + 3 – 2 = –1
0
3
2
8
1
1
0
–1
0 = –16 + 14 = –2
14
3
2
1
8
1
1
0
0 = 14 – 16 = –2
0
14
2
1
1
8
1
–1
0 = –14 + 24 – 14 = – 4
0
3
14
Dx
–2
x = ––– = –––– = 2
D
–1
28x + 42y + 48z = 102
23x + 50y + 45z = 95 ,
30x + 45y + 60z = 117
Pela Regra de Cramer, temos:
28 42 48
D = 23 50 45 = 3720
30 45 60
102 42 48
5580
Dx = 95 50 45 = 5580; x = –––– ⇒
3720
117 45 60
⇒ x = 1,5 (O preço unitário do churrasco é R$ 1,50.)
28 102 48
1488
Dy = 23 95 45 = 1488; y = –––– ⇒
3720
30 117 60
⇒ x = 0,40 (O preço unitário do quentão é R$ 0,40.)
MATEMÁTICA
119
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 120
b)
Por substituição de x e y, concluímos que o preço unitário
do pastel (z) é R$ 0,90.
Resposta: Os preços unitários de um churrasco, um
quentão e um pastel são respectivamente
iguais a R$ 1,50, R$ 0,40 e R$ 0,90.
Multiplicando a primeira equação por (– 1) e adicionando-a à segunda e multiplicando a primeira equação
por 1 e adicionando-a à terceira, temos:
x+y+z=0
– 2y – 2z = 2
3y + 2z = – 1
Módulo 13 – Escalonamento
x + 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23 ⇔
6z = 18
x + 2y + 3z = 14
4y + 5.3 = 23 ⇔
z=3
⇔
x + 2.2 + 3.3 = 14
y=2 ⇔
z=3
x + 2y + 3z = 3
⇔
x + 3y + 5z = 7
2x + 5y + 9z = 11
⇔
Adicionando a segunda equação à terceira, resulta:
x+y+z=0
x=1
– 2y – 2z = 2 ⇔ z = – 2
y=1
y=1
x + 2y + 3z = 14
y=2 ⇔
z=3
x + 2y + 3z = 3
y + 2z = 4 ⇔
z=1
Desenvolvendo o produto matricial, obtemos o sistema
linear a seguir:
x + 2y + 3z = 3
y + 2z = 4 ⇔
y + 3z = 5
⇒
x + 4y + 7z = 2
– 5y – 8z = – 2 ⇒
– 19y – 36z = – 2
⇒
x + 4y + 7z = 2
5y + 8z = 2
– 19y – 36z = – 2
x=–4
y=2
z=1
x + 4y + 7z = 2 . (– 2)
2x + 3y + 6z = 2
5x + y – z = 8
V = {(– 4; 2; 1)}
2x – y + 3z = 0
2y – z = 1
2z = – 6
⇒
Na terceira equação, z = – 3.
Substituindo z por – 3 na segunda equação, resulta y = – 1.
Por fim, substituindo z por – 3 e y por – 1 na primeira
equação, resulta x = 4.
Resposta: {(4; – 1; – 3)}.
a)
Multiplicando a segunda equação por 5 e adicionando-a
à terceira, resulta:
x + 2y + z = 7
x=–1
3y – z = 7 ⇔
z=2
16y = 48
y=3
120
MATEMÁTICA
+ ⇒
(. 19)
(. 5)
+
⇒
x + 4y + 7z = 2
95y + 152z = 38 ⇒
– 28z = 28
5y + 8z = 2 ⇒ 5y – 8 = 2 ⇒ y = 2
x + 4y + 7z = 2 ⇒ x + 8 – 7 = 2 ⇒ x = 1
1
2 .
A matriz procurada é
–1
Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à segunda e multiplicando a primeira equação
por 3 e adicionando-a à terceira, temos:
x + 2y + z = 7
3y – z = 7
y + 5z = 13
V = {( – 1; 3; 2)}
. (– 5)
– 28z = 28 ⇒ z = – 1
x + 2y + z = 7
2x + 7y + z = 21
– 3x – 5y + 2z = – 8
V = {(1; 1; – 2)}
Respostas: a) V = {(– 1; 3; 2)}
b) V = {(1; 1; – 2)}
x=1
y=2
z=3
V = {(1; 2; 3)}
x + 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23 ⇔
z=3
⇔
x+y+z=0
x–y–z=2
– x + 2y + z = – 1
Resposta:
1
2
–1
Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de um hambúrguer, um refrigerante e uma porção de fritas, temos:
4x + 2y + 2z = 18
6x + 8y + 3z = 30
2x + 3y + z = ?
Dividindo a primeira equação por 2, resulta:
2x + y + z = 9
6x + 8y + 3z = 30
2x + 3y + z = ?
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 121
Multiplicando a primeira equação por (–3) e adicionando-a
à segunda, temos:
42
2x + z = –––
2x + y + z = 9
5
5y = 3
⇔
3
y = –––
2x + 3y + z = ?
5
2x + 3y + z = ?
⇔
x + 2y – z = 6
⇔
y=1
z=–1
x + 2 . 1– (– 1) = 6
⇔
y=1
z=–1
x=3
y=1
z=–1
V = {(3; 1; – 1)}
Assim, o preço unitário do refrigerante é
3
y = –– = 0,60.
5
Sendo a, b e c os preços unitários dos artigos A, B e C,
respectivamente, de acordo com o enunciado, temos:
a + b = 70
2a + c = 105
b–c=5
(– 2)
⇔
+
O valor da terceira conta é
3
42
9
51
2x + 3y + z = 2x + z + 3 . –– = ––– + –– = –– = 10,20
5
5
5
5
Resposta: A
⇔
⇔
⇒
⇒
⇒
⇒
x+y+z
=–1
x
+z+w=5
y+z+w=7
x+y
+w=4
+
x+y+z
=–1
y+z+w=7
–y
+w=6
–z+w=5
⇒
+
x+y+z
=–1
–y
+w=6 ⇒
y+z+w=7
–z+w=5
. (– 1)
⇔
a + b = 70
b–c=5
(2)
– 2b + c = – 35
⇔
⇔
+
a + b = 70
b–c=5
– c = – 25
Portanto, pela terceira equação do último sistema, obtemos c = 25.
Resposta: B
+ ⇒
x+y+z
=–1
y+z+ w =7
z + 2w = 13
– z+ w=5
a + b = 70
– 2b + c = – 35
b–c=5
⇒
+
x+y+z
=–1
y+z+ w=7
z + 2w = 13
3w = 18
Sendo x, y e z o número de crianças, senhores e senhoras,
respectivamente, de acordo com o enunciado, temos:
2x + 3y + 3z = 90
8x + 5y + 6z = 230
4x + 3y + 3z = 120
⇔
(– 4) . (– 2)
⇔
+
+
2x + 3y + 3z = 90
– 7y – 6y = – 130
– 3y – 3z = – 60
⇔
:(–3)
3w = 18 ⇒ w = 6
z + 2w = 13 ⇒ z + 12 = 13 ⇒ z = 1
y+z+w=7⇒y+1+6=7⇒y=0
⇔
x+y+z=–1⇒x+0+1=–1⇒x=–2
S = {(– 2, 0, 1, 6)}
Módulo 14 – Escalonamento
x + 2y – z = 6
2x + y + 2z = 5
3x + 3y – 2z = 14
⇔
+
⇔
x + 2y – z = 6
– 3y + 4z = – 7 (– 1) ⇔
– 3y + z = – 4
+
⇔
x + 2y – z = 6
– 3y + 4z = – 7 ⇔
– 3z = 3
x + 2y – z = 6
– 3y+ 4.(– 1) = – 7 ⇔
z=–1
(7)
⇔
+
2x + 3y + 3z = 90
y + z = 20 ⇔
z = 10
⇔
2x + 3y + 3z = 90
y = 10 ⇔
z = 10
⇔
x = 15
y = 10
z = 10
⇔
(– 2) . (– 3)
+
2x + 3y + 3z = 90
y + z = 20
– 7y – 6z = – 130
2x + 3y + 3z = 90
y + 10 = 20 ⇔
z = 10
2x + 3.10 + 3.10 = 90
y = 10 ⇔
z = 10
Portanto, o total de convidados deverá ser
x + y + z = 15 + 10 + 10 = 35
Resposta: B
MATEMÁTICA
121
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 122
Fazendo
z = k, temos:
– y – 9k = 0 ⇒ y = – 9k
x – 18k + 4k = 0 ⇒ x – 14k = 0 ⇒ x = 14k
As soluções são do tipo (14k, – 9k, k).
4
x + 3y + ––– = 7
z
2
x + 4y + ––– = 8
z
2
x + 2y – ––– = 4
z
b)
1
Fazendo –– = w, obtemos o seguinte sistema:
z
x + 3y + 4w = 7
x + 4y + 2w = 8
x + 2y – 2w = 4
⇔
⇔
⇔
⇔
(– 1) . (– 1)
+
+
x + 3y + 4w = 7
x + 3y + 4w = 7
y – 2w = 1
1
w = ––
4
⇔
2x + 3y – z = 0
⇒
– 15y – 2 = 13 ⇒ – 15y = 15 ⇒ y = – 1
podemos escrever:
3
x = ––
2
3
y = ––
2
1
w = ––
4
d)
MATEMÁTICA
–3
⇒
3x + 3y = 8
x+y–z=2
0 = – 1
x+y=3
–2
⇒
2x + 3y + 2z = 5
⇒
x+y–z=2
y + 4z = 1
Como temos mais incógnitas que equações, o sistema
é possível e indeterminado.
Fazendo z = k, temos:
y + 4k = 1 ⇒ y = 1 – 4k
x + 1 – 4k – k = 2 ⇒ x = 1 + 5k
As soluções são da forma
(1 + 5k, 1 – 4k, k).
= 34 = 81
–1
⇒
x + 2y + 4z = 0
– y – 9z = 0
– 2y – 18z = 0
x+y=3
Portanto, o sistema é impossível:
S=Ø
4
Notamos que a 2.a e a 3.a equação são equivalentes, o
que significa que temos duas equações e três
incógnitas.
Portanto, o sistema é possível e indeterminado.
122
2x + 3y + z = 1
– 15y – z = 13
13z = 26 ⇒ z = 2
c) Observamos que a 1.a e a 2.a equação são equivalentes;
x – 14z = 0
15
Substituindo na 2.a equação, temos:
Resposta: D
2y + z = 0
⇒
2
Logo, o sistema é possível e determinado e S = {(1, – 1, 2)}
3
3
Portanto, (x + y)z = ––– + –––
2
2
x + 2y + 4z = 0 – 2
– 15y – z = 13
2x – 3 + 2 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
1
w = ––
4
2x + 3y + z = 1
Substituindo na 1.a equação, temos:
3
w = ––
2 ⇔
3
1
x + 3.–– + 4.–– = 7
2
4
3
w = –– ⇔
2
1
w = ––
4
⇒
2y + z = 0
⇒
3
3
apresenta como solução x = ––– , y = ––– e z = 4.
2
2
a)
2
⇒
1
1
Como ––– = w = ––– , então z = 4 e o sistema inicial
4
z
3x – 3y + z = 8
⇔
(1)
x + 3y + 4w = 7
y – 2w = 1 ⇔
– 8w = – 2
–3
⇔
+
x + 3y + 4w = 7
y – 2w = 1
– y – 6w = – 3
2x + 3y + z = 1
e)
x+y+z=3
2x + 3y + z = 0
–2
⇒
x+y+z=3
y–z=–6
Portanto, o sistema é possível e indeterminado.
Considerando z = k, temos:
y–k=–6⇒y=k–6
x + k – 6 + k = 3 ⇒ x = – 2k + 9
As soluções são da forma
(9 – 2k, k – 6, k)
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 123
f)
3x + 15y + 6z = 3
–2
2x + 10y + 4z = 10
3
⇒
⇒
0 = 24
3x + 15y + 6z = 3
–2
x + y – 3z = 1
2x – 3y + 4z = 2
xx +– yy +– zz == 11 ⇔ 2x = 2 ⇒ x = 1
III)
– xx +– yy ++ zz == 11 ⇔ 2z = 2 ⇒ z = 1
Portanto:
O sistema é impossível: S = Ø
g)
II)
⇒
– 5y + 10z = 0
x + y – 3z = 1
O sistema é possível e indeterminado. Fazendo z = k,
x+y–z=1
x=1
– x + y + z = 1⇔ y = 1
x–y+z=1
z=1
V = {(1; 1; 1)}
Se o termo ordenado (a; b; c) é a única solução do
x – y + 2z = – 1
sistema 2x – y – z = 5 , então:
x + 6y + 3z = 12
temos:
– 5y + 10k = 0 ⇒ – 5y = – 10k ⇒ y = 2k
x + 2k – 3k = 1 ⇒ x = 1 + k
As soluções são da forma (1 + k, 2k, k).
a – b + 2c = – 1
2a – b – c = 5
⇒ (a + 2a + a) + (– b – b + 6b) +
a + 6b + 3c = 12
+ (2c – c + 3c) = (– 1+ 5 + 12) ⇒
⇒ 4a + 4b+ 4c = 16 ⇒ a + b + c = 4
Módulo 15 – Substituição, eliminação
Resposta: D
3x + y = 13 ⇔ 3x + 2x + 3 = 13 ⇔
y = 2x + 3
y = 2x + 3
Sendo:
a = número de pílulas de A
y = 2x + 3
y = 2.2 + 3
x=2
⇔
⇔
⇔
x=2
x=2
y=7
b = número de pílulas de B
V = {(2; 7)}
temos
I)
x + y = 3
II)
III)
y = 2
x+y+z=6
c = número de pílulas de C
⇒3+z=6⇒z=3
a + b + c = 180
5a + 10b + 12c = 1830
2a = b
Substituindo b por 2a, vem:
x+y+z=6
⇒4+y=6⇒y=2
x+z=4
x+y=3
25a + 12c = 1830
3a + c = 180
Resolvendo o sistema, encontramos a = 30 e c = 90.
Assim, b = 60.
Resposta: D
⇒x+2=3⇒x=1
Portanto
x+y+z=6
⇔
x+y=3
x+z=4
x=1
y=2
z=3
V = {(1; 2; 3)}
3x – y = 1
2x + 3y = 8
⇔
9x – 3y = 3
2x + 3y = 8
⇔
x=1
x=1
⇔
⇔
2.1 + 3y = 8
y=2
V = {(1; 2)}
a)
x = 3z
3y = 2w
⇒
y = 2z
4y = 8z
⇒
x–
x–
3z = 0
3y – 2w = 0
⇒
y – 2z = 0
4y – 8z = 0
3z = 0
y – 2z = 0
6z – 2w = 0
y – 2z = 0
SPI
Se z = α, temos y = 2α, w = 3α e x = 3α. Portanto,
S = {(3α, 2α, α, 3α), α ∈ }.
b) Para a = 1, temos x = 3, y = 2, z = 1 e w = 3. Logo, o
I)
x– x++y y– +z z==11 ⇔ 2y = 2 ⇒ y = 1
menor número inteiro de átomos de cálcio: 3, hidrogênio: 6, fósforo: 2 e oxigênio: 8.
MATEMÁTICA
123
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 124
x = quantidade de leite desnatado
y = quantidade de farinha de soja
3x + 5y + 2z = 30
5x + 3y + z = 40 ⇒
y + 7z = 30
⇒
3x + 5y + 2z = 30
y + 7z = 30 ⇒
5x + 3y + z = 40
I) Na matriz
1 2 a
3 4 1 = 0 ⇔ 12 + 8 + 18a – 16a – 6 – 18 = 0 ⇔
4 6 3
⇔ 2a – 4 = 0 ⇔ 2a = 4 ⇔ a = 2
Resposta: B
I)
III) 1
3
Como pelo menos um deles é diferentede zero,
concluímos que a característica da matriz é igual a 2.
A máxima ordem para um determinante não nulo que
pode ser obtido da matriz é 2.
V) Para a ≠ 3 ou b ≠ 1, a característica é 3.
Resposta: E
Como
3
4
0
0
1
2
0
0
1
3
é igual à da matriz 1
2
3
4
Como
1
2
é igual à da matriz
3
1
Na matriz
2 1 .
1 3
, temos
1 2
≠ 0.
2 1
Logo, a característica dela é maior ou igual a 2.
1 2 3
Como 2 1 1 = 5 + 6 + 18 – 9 – 20 – 3 =
3 3 5
= – 3 ≠ 0, concluímos que a característica da matriz é igual
a 3. A máxima ordem para um determinante não nulo
que pode ser obtido da matriz é 3.
124
MATEMÁTICA
1 –1 2
1 –1
2
3 –1
2
= 14 ≠ 0
A característica q da matriz completa é 3, pois entre as
submatrizes de ordem 3 obtidas a partir da matriz
completa, pelo menos uma possui determinante diferente
de zero. Com efeito
≠ 0, concluímos que a característica da
1 2 3
2 1 1
3 3 5
A característica p da matriz incompleta é 3, pois
matriz é igual a 2. A máxima ordem para um determinante não nulo que pode ser obtido da matriz é 2.
A matriz completa é
1 –1
2 5
2
1 –1 0
2
3 –1 0
≠ 0, concluímos que a característica da
A característica da matriz
1 3 2
2 1 4
1 3 2
A matriz incompleta é
2
1 –1
1 –1
2
3 –1
2
matriz é igual a 2. A máxima ordem para um determinante não nulo que pode ser obtido da matriz é 2.
2
≠0
1
IV) Para a = 3 e b = 1, a característica é 2.
A característica da matriz
1
1 2 a
3 1 2 = 0 ⇔ 5 + 16 + 9a – 4a – 6 – 30 = 0 ⇔ a = 3
4 3 5
II) 1 2 b
3 1 3 = 0 ⇔ 4 + 24 + 9b – 4b – 9 – 24 = 0 ⇔ b = 1
4 3 4
Os possíveis determinantes de ordem 2 que podem ser
obtidos da matriz são:
1 2
1 1
2 1
= 0,
≠0e
≠0
2 4
2 3
4 3
2
, temos 1 2 ≠ 0.
3 4
II) Como a característica é 2, devemos ter:
Módulo 16 – Característica de uma matriz
Logo, a característica dela é maior ou igual a 2.
3x + 5y + 2z = 30
y + 7z = 30
105z = 450
Resolvendo o sistema, encontramos:
x = 7,1; y = 0 e z = 4,2. Logo, as quantidades diárias
necessárias são 7,1 g de leite desnatado, 0 g de farinha de
soja e 4,2 g de soro de leite.
1 2 a
3 4 1
4 6 3
1 –1 2
1–1
2
3–1
2
= 14 ≠ 0
A característica p da matriz incompleta do sistema é 2,
pois todos determinantes de ordem 3 obtidos a partir
dessa matriz são nulos:
e
1
2 –1
3 –1 1 =0e
2
4 –2
13
2
= – 7 ≠ 0.
–1
Resposta: E
1
2 3
3 –1 1
2
4 6
=0
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 125
Observando que
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
= 5 ≠ 0, conclui-se que a característica da
matriz incompleta do sistema é igual a 4
Como pode ser observado no gráfico, a alternativa (e) é
correta.
Resposta: E
100
26
26 . 360
–––––– = –––– ⇒ x = ––––––– = 93,6°
360°
x
100
Resposta: D
FRENTE 2
Módulo 2 – Ângulos
Módulo 1 – Introdução ao estudo da geometria
130°12’24”
+
108°42’35”
––––––––––––
238°54’59”
b)
08°09’10”
+
20°50’50”
––––––––––––
28°59’60” = 28°59’1’ = 28°60’ = 29°
a)
b)
a)
– 22°37’38”
11°24’23”
–––––––––––––
11°13’15”
8° 5
3° 1°36’
× 60
–––––
180’
30
0
^
c) 90° – 40°30’30” = 89°59’60” – 40°30’30” = 49°29’30”
89°59’60”
40°30’30”
–––––––––––
49°29’30”
c)
44°
5
14° 14°40’
2°
× 60
–––––
120’
00
^
b) 180° – 32°18’ = 179°60’ – 32°18’ -147°42’
179°60’
–
32°18’
–––––––––––
147°42’
^
^
a = 21°10’12”
Assim:
^
21°10’12” + b = 33°22’41” ⇔
^
⇔ b = 33°22’41” – 21°10’12” ⇔ b = 12°12’29”
– 29°59’60”
20°10’42”
–––––––––––––
9°49’18”
⇔ x = 179°59’60” – 15°25’46” ⇔ x = 164°34’14”
179°59’60”
–
15°25’46”
–––––––––––––
164°34’14”
= 33°15’17”– 41°12’+25°10’23”+55°22’33” =
= 33°15’17”+25°10’23”+55°22’33”– 41°12’ =
= 72°35’73” = 72°36’13”
Pois
I)
– 33°15’17”
25°10’23”
55°22’33”
–––––––––––––
113°47’73”
113°47’73”
– 41°12’
–––––––––––––
72°35’73”
III) 72°35’73” = 72°35’60”+ 13” = 72°36’13”
Sendo x a medida do ângulo, de acordo com o enunciado
temos:
180° – x
––––––––– = 7°42’53” ⇔
x
⇔ 180° – x = 14°84’106” ⇔ x = 180° – 14°84’106” ⇔
33°15’17”– (41°12’ – 25°10’23”)+55°22’23” =
II)
a) 180° – 130°12’24” =
= 179°59’60” – 130°12’24” = 49°47’36”
179°59’60” –
130°12’24”
–––––––––––––
49°47’36”
Sendo a e b as medidas dos ângulos, a^ + b = 33°22’41” e
^
a) 90° – 40° = 50°
b) 90° – 40°30’ = 89°60’– 40°30’ = 49°30’
_ 89°60’
40°30’
–––––––––
49°30’
Medida do ângulo: x.
Medida do complemento do ângulo: 90° – x.
Medida do suplemento do ângulo: 180° – x.
De acordo com o enunciado, temos:
2.(90° – x) + 40° = 180° – x ⇔
⇔ 180° – 2x + 40° = 180° – x ⇔
⇔ – 2x + x = – 40° ⇔ – x = – 40° ⇔ x = 40°
2x + 10°= x + 90° ⇔ 2x – x = 90° – 10° ⇔ x = 80°
Medida do ângulo: x.
Medida do complemento do ângulo: 90° – x.
Medida do suplemento do ângulo: 180° – x.
MATEMÁTICA
125
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 126
De acordo com o enunciado, temos:
3.(90° – x) + 30° = 180° – x ⇔
68°
3
2° 22°40’
× 60
120’
–––––
0
⇔ 270° – 3x + 30° = 180° – x ⇔
⇔ – 3x + x = 180° – 270° – 30° ⇔
⇔ – 2x = – 120° ⇔ x = 60°
Resposta: E
ângulo entre
3x
x
–– + –– =
2
2
as bissetrizes:
4x
–– = 2x.
2
De acordo com o enunciado, temos:
Resposta: B
90° – 2x = 50° ⇔ – 2x = 50°– 90° ⇔
⇔ – 2x = – 40° ⇔ x = 20°
Os ângulos medem x = 20° e 3x = 60°. A soma desses
Para que r e s sejam paralelas devemos ter:
valores é 20°+ 60°= 80°.
13x – 2° = 18°+ 8x ⇔ 13x– 8x= 18°+ 2°⇔
O complemento de 80° é 90°– 80° = 10°.
⇔ 5x = 20° ⇔ x = 4°
Devemos ter:
5x – 20° = 2x + 50° ⇒ 3x = 70° ⇒ x = 23°20’
Resposta: C
180° – α = 30°20’ ⇒ 180° – 30°20’ = α ⇒ α = 149°40’
Resposta: E
Módulo 3 – Paralelismo
α + 30° = 70° ⇔ α = 40°
Resposta: A
1) x = y + 30° ⇔ y = x – 30°
2) x + y = 180°
Assim: x + (x – 30°) = 180° ⇔ 2x = 210° ⇔ x = 105°
Resposta: A
α = 40°+ 20° = 60°
3α + 52° = 120° ⇔ 3α = 120° – 52° ⇔
x
⇔ 3α = 68° ⇔ α = –– ⇔ α = 22°40’
2
126
MATEMÁTICA
Logo, α = 15°
Resposta: B
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 127
I) 3x + x = 180° ⇒ 4x = 180° ⇒
Módulo 4 – Triângulos
⇒ x = 45° e 3x = 135°
a) x = 20°+ 45° ⇒ x = 65°
b) 120° = 50° + x ⇒ x = 70°
ΙΙ)
a + b = 3x = 135° ⇒ a + b = 135° ⇒
a – b = 35°
x = 20°+ 100°+ 30° ⇒ x = 150°
⇒
a – b = 35°
2a = 170°
a – b = 35°
⇔
b = 50°
a = 85°
Os ângulos internos do triângulo medem 45°, 85°e 50°.
Sejam x a medida dos ângulos da base e y a medida do
ângulo do vértice do triângulo.
De acordo com o enunciado, temos
x + x = 8y e, além disso, x + x + y = 180°.
Portanto:
I) No triângulo ABC, temos:
2x + y = 180° ⇔ 8y + y = 180° ⇔
III) No triângulo AEB, temos:
2x = 8y
⇔
^
II) No triângulo ADC, temos:
^
^
30° + A DC + 40° ⇒ A DC = 110°
x = 4y
^
^
30° + AEB + 35° = 180° ⇒ A CB = 115°
9y = 180° ⇔ y = 20°
x = 4y
^
30° + 70° + A CB = 180° ⇒ ACB = 80°
x = 80°
^
^
Logo, A EB + A DC = 115° + 110° = 225°
Assim sendo, as medidas dos ângulos são
80°, 80° e 20°.
Resposta: D
^
Sendo x a medida do ângulo B CA, temos:
x + 2x + 69° = 180° ⇒ x = 37°
^
Assim, B AC = 2x = 2 . 37° = 74°
Resposta: C
Módulo 5 – Segmentos notáveis do triângulo
No triângulo isósceles ABM temos:
^
^
^
A BM = 90° – 60°= 30°e BAM = B MA = y
Assim,
30° + y + y = 180° ⇔ 2y = 150° ⇔ y = 75°
Como x + y = 90°, temos: x + 75° = 90° ⇔ x = 15°
Resposta: A
I) No triângulo ACD temos:
^
^
A CB = β + β ⇔ A CB = 2β
II) Como o triângulo ABC é isósceles, temos:
^
^
A BC = A CB = 2β
III) No triângulo ABD, temos:
120° = 2β + β ⇔ 3β = 120° ⇔ β = 40°
MATEMÁTICA
127
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 128
Módulo 6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
a = 5, b = 8 e c = x
^
^
^
2) D BC = 20° + 20° = 40° (ângulo externo do ΔABC)
^
3) B DC = D BC = 40° (ΔCBD é isósceles)
^
4) D CE = 20° + 40° = 60° (ângulo externo do ΔACD)
^
^
5) C ED = D CE = 60° (ΔDCE é isósceles)
O triângulo DCE é equilátero, pois os dois ângulos de sua
base medem 60°. Portanto, CE = CD = DE = 7 cm.
3x + 4x + 5x = 180°
12x = 180°
x = 15°
Resposta: E
5<8+x
8<5+x ⇒
x<5+8
x>3
x < 13 ⇒ 3 < x < 133
O menor inteiro positivo para x é 4.
Resposta: D
1) B CA = B AC = 20° (ΔBAC é isósceles)
^
a<b+c
b<a+c⇒
c<a+b
x < x – 1 + 10
11
x – 1 < x + 10 ⇒ 10 + 1 < 2x ⇒ x > –––
2
10 < x + x – 1
11
Como x ∈ e x > ––– , os possíveis valores de x são
2
6; 7; 8; …
Resposta: E
—
I) Como AS é bissetriz do ângulo reto, temos:
^
^
B AS = C AS = 45°
^
^
^
^
II) No triângulo AHC temos:
1) AB = AC ⇒ ΔABC é isósceles ⇒ A BC = A CB = a
^
45° + 15° + 90° + C = 180° ⇔
2) AE = AD ⇒ ΔADE é isósceles ⇒ A DE = A ED = b
^
III) No triângulo ABC temos:
^
4) A DC é um ângulo externo do ΔABD ⇒ b + x = a + 30°
^
^
^
⇔ 90° + B + 30° = 180° ⇔ B = 60°
Assim sendo, os ângulos agudos do triângulo ABC medem
30° e 60°.
b–a=x
⇒ x = 30° – x ⇒
b – a = 30° – x
⇒ x + x = 30° ⇒ 2x= 30° ⇒ x = 15°
^
90° + B + C = 180° ⇔
De (3) e (4) temos:
^
⇔ C = 180° – 45° – 15°– 90° ⇔ C = 30°
^
3) A ED é um ângulo externo do ΔCDE ⇒ b = x + a
No triângulo retângulo AMB, temos:
^
^
AB = 2 . AM e, portanto, B AM = 60° e A BM = 30°
—
Sendo BC a base do triângulo e AB = AC = x temos:
5,2 + x + x
––––––––––– = 19,6 ⇒
2
⇒ 2x + 5,2 = 39,2 ⇒ 2x = 34 ⇒ x = 17
Logo, o triângulo ABC é equilátero e BC = 500 km
Resposta: D
Pela descrição, é a figura da alternativa D.
Resposta: D
128
MATEMÁTICA
Assim sendo, a medida dos lados congruentes e 17 m.
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 129
I) Como M é o ponto médio da hipotenusa, temos:
AM = BM = CM e, portanto, o triângulo AMC é
isósceles.
^
^
II) Fazendo M AC = M CA= x, no triângulo AHC temos:
x + 90° + 20°+ x = 180° ⇔ 2x + 110° = 180° ⇔ x = 35°
^
e, portanto, C = 35°.
III)No triângulo ABC, temos:
^
Como os elementos fornecidos nos permitem concluir
apenas a congruência dos três ângulos, eles não permitem
concluir a congruência dos triângulos, pois AAA não é
critério de congruência.
Resposta: A
^
B + C = 90° ⇔ B + 35°= 90°⇔ B = 55°
Resposta: B
Os lados de um triângulo não podem medir 2, 4 e 6, pois
2 + 4 = 6.
Resposta: A
I) x + 3 < 2x – 5 + 9 ⇒ – x < 1 ⇒ x > – 1
II) 2x – 5 < x + 3 + 9 ⇒ x < 17
11
III) 9 < x + 3 + 2x – 5 ⇒ 11 < 3x ⇒ ––– < x
3
11
Logo, ––– < x < 17
3
Resposta: B
^
^
^
^
^
^
^
^
I) A + B + C = 180° ⇔ 110° + 40° + C = 180° ⇔ C = 30°
^
^
II) P + Q + R = 180° ⇔ 110° + Q + 30° = 180° ⇔ Q = 40°
I) 3 – 7 < BD < 3 + 7 ⇒ 4 < BD < 10
valores inteiros possíveis para BD é 4.
Resposta: A
Assim, BC ≅ QR ⇒ y = 12 e AB ≅ PQ ⇒ x = 8
II) 4 – 5 < BD < 4 + 5 ⇒ 1 < BD < 9
III)
De (I) e (II), temos: 4 < BD < 9 e, portanto, o número de
—
—
—
AC ≅ PR
^
^
^
^
A≅P
C≅R
—
—
—
—
Módulo 7 – Congruência de triângulos
Como os triângulos possuem dois ângulos e o lado entre
eles respectivamente congruentes, podemos concluir que
eles são congruentes pelo critério ALA.
—
—
—
—
—
—
I) M é ponto médio de AB ⇒ AM ≅ MB
II) M é ponto médio de CD ⇒ CM ≅ MD
^
^
III) AMD ≅ B MC pois são opostos pelo vértice
De (I), (II) e (III) podemos concluir que:
Resposta: C
^
^
^
^
A≅ B
C≅ D
^
^
A MD ≅ B MC
—
—
—
—
—
—
AM ≅ MB
Como os elementos fornecidos nos permitem concluir
apenas a congruência de dois lados, eles não permitem
concluir que os triângulos são côngruos.
Resposta: A
CM ≅ MD
AD ≅ BC
Resposta: E
MATEMÁTICA
129
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 130
Sendo ae a medida do ângulo externo, Se a soma das
medidas dos ângulos externos e n o número de lados,
temos:
Se ^
^
ae = ––––
, ae = 18° e Se = 360°
n
Assim :
Se
360°
^
ae = ––––
⇔ 18° = ––––– ⇔ n = 20°
n
n
Resposta: C
I) No triângulo ABC, temos:
180° – 20°
^
^
A BC = A CB = –––––––––– = 80°
2
II) No triângulo ACD, temos:
^
⇔ n2 – 3n = 12n ⇔ n2 – 15n = 0 ⇔ n = 0 ou n = 15
C AD = 80 – 15° = 65°
^
Como o número de lados é igual à sexta parte do número
de diagonais, temos:
d
n.(n – 3)
d = ––– = d = 6n ⇔ –––––––– = 6n ⇔
6
2
Assim sendo, a razão é:
Si
–––
a^i
Si
n
–––
= –––––– = –––
=
^
Se
Se
ae
–––
n
^
III) B AE + 20° + 65° = 180° ⇒ B AE = 95°
Resposta: E
(n – 2).180°
15 – 2
13
= ––––––––––– = ––––––– = –––
360°
2
2
d=n≠0
n(n – 3)
Assim, ––––––– = n ⇔
2
n–3
⇔ –––––– = 1 ⇔ n – 3 = 2 ⇒ n = 5
2
Resposta: C
^
^
I) C ED = C DE = 65° e, portanto,
^
D CE = 50°, pois o triângulo DCE é isósceles.
^
Assim, B CE = 90° – 50° = 40°.
^
^
temos: ABE = 40° + 40° = 80°
^
III) A BE = B AE = 80° e, portanto,
^
^
A EB + 80° + 80° = 180° ⇒ A EB = 20°
Resposta: E
Módulo 8 – Polígonos
Sendo Si a soma dos ângulos internos do polígono e n o
número de lados, temos:
Si = (n – 2) . 1800 e n = 10
Assim: Si = (10 – 2) .180° ⇔ Si = 1440°
Resposta: A
130
180°
^
^
T = ––––– ⇔ T = 60°
3
360°
^
^
Q = ––––– ⇔ Q = 90°
4
^
II) Como B CE = B EC = 40°,
^
As medidas dos ângulos internos desses polígonos
regulares são dadas respectivamente por:
MATEMÁTICA
(5 – 2) . 180°
^
^
P = –––––––––––– ⇔ P = 108°
5
(6 – 2) . 180°
^
^
H = –––––––––––– ⇔ H = 120°
6
Assim:
^
^
I) 3 T + 1 H = 300° ≠ 360°
^
^
II) 3 T + 2 Q = 360°
^ ^ ^
III) T + P + H = 288° ≠ 360°
^
^ ^
IV) T + 2 Q + H =360°
Resposta: D
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 131
Módulo 9 – Polígonos
Como a medida de um ângulo interno de um polígono
regular é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo,
temos:
Se
Si
âi = 8 . âe ⇔ ––– = 8 . ––– ⇔
n
n
⇔ (n – 2).180°= 8 . 360° ⇔ n – 2 = 16 ⇔ n = 18
O polígono tem 18 lados.
Seja Ai a medida do ângulo interno do pentágono regular.
Tem-se que:
Como a soma dos ângulos internos é igual a três vezes dos
ângulos externos, temos:
Si = 3 . Se ⇔ (n – 2) . 180° = 3 . 360° ⇔
⇔n–2=6⇔n=8
O polígono é o octógono.
Vamos considerar dois polígonos P1, com n1 = n lados, e
P2 , com n2 = n + 1 lados.
Como a soma dos ângulos internos dos dois polígonos é
igual a 1260°, temos:
(n1 – 2) . 180° + (n2 – 2) . 180° = 1260° ⇔
⇔ (n – 2) . 180° + (n + 1 – 2) . 180° = 1260° ⇔
⇔n–2+n–1=7⇔n=5
Assim, P1 e P2 têm, respectivamente, 5 e 6 lados.
Sendo d1 e d2, respectivamente, o número de diagonais de
P1 e P2, temos:
180° (5 – 2)
Ai = –––––––––––– = 108°
5
e, conforme a figura, 3 Ai + θ = 360° ⇒
⇒ 3 . 108° + θ = 360° ⇔ θ = 36°
Resposta: D
A medida de cada ângulo externo ^
ae do pentágono regular
360°
é –––––– = 72°.
5
Assim, partindo-se do ponto P, após realizar a instrução I,
chega-se ao ponto Q. Após as instruções II e III, chega-se
ao ponto R. Repetindo-se as instruções II e III, 3 vezes,
como mostra a figura a seguir, obtém-se o pentágono
regular pela primeira vez.
5 . (5 – 3)
6 . (6 – 3)
d1 = –––––––– = 5 e d2 = –––––––– = 9
2
2
Os polígonos têm 5 e 9 diagonais.
Da afirmação “o número de lados é igual à terça parte do
número de diagonais”, temos:
d
n . (n – 3)
n = ––– ⇔ d = 3n ⇔ –––––––– = 3n ⇔
3
2
⇔n–3=6⇔n=9
Assim: Si = (n – 2) . 180° ⇔ Si = (9 – 2) . 180° ⇔ Si = 1260°
Logo x = 72 e y = 3 e portanto
x . y = 72 . 3 = 216
Resposta: C
Sendo d1, d2 e d3 os números de diagonais dos polígonos
com n, n + 1 e n + 2 lados, respectivamente, temos:
d1 + d2 + d3 = 28 ⇔
n.(n – 3)
(n + 3).(n + 1 – 3)
⇔ –––––––– + ––––––––––––––––– +
2
2
(n + 2).(n + 2 – 3)
+ ––––––––––––––––– = 28
2
n2 – 3n + n2 – n – 2 + n2 + n – 2 = 56 ⇔
⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔ n = 5 ou n = – 4
Como n ≥ 3, temos n = 5.
O polígono (do exercício) com menor número de diagonais
é o pentágono e, portanto, a medida ^ai do seu ângulo
interno é:
(5 – 2).180°
(n – 2).180°
Si
^
ai = ––––
= ––––––––––– = ––––––––––– = 108°
n
5
n
Aplicando o teorema do ângulo externo a cada um
sete triângulos da figura, conclui-se que a soma S
ângulos assinalados é igual à diferença entre a soma
ângulos internos do heptágono da figura e a soma
ângulos externos desse mesmo polígono.
Assim:
S = (7 – 2) . 180° – 360° ⇔
⇔ S = (7 – 2 – 2) . 180° ⇔ S = 540°
Resposta: D
dos
dos
dos
dos
Lembrando que o número de diagonais, em cada vértice
de um polígono regular de n lados, é n – 3, tem-se
n – 3 = 15 ⇔ n = 18
O ângulo interno do polígono regular de 18 lados mede,
em radianos,
MATEMÁTICA
131
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 132
π . (8 – 2)
8π
Ai = ––––––––––– = ––––
18
9
Resposta: E
Módulo 10 – Quadriláteros notáveis
Resposta: C
Resposta: D
Os triângulos retângulos ABP, PCQ, QDR e RAB são
isósceles.
Assim, AB = BP = AR = 2 e
PC = CQ = QD = DR = 1.
Logo, a bola cairá na caçapa B.
Como no paralelogramo os ângulos opostos são congruentes, temos:
α + 40° + α +40° = 360° ⇔ 2α + 80° = 360° ⇔ α = 140°
Resposta: E
a
b
c
d
e
f
g
h
i
F
V
V
F
F
F
V
V
V
Resposta: B
Todo quadrado é paralelogramo, todo losango é paralelogramo e todo retângulo também é paralelogramo.
Assim:
Se a opção (e) é incorreta e o teste possui uma única
opção correta, esta só pode ser (a).
Resposta: A
Módulo 11 – Quadriláteros notáveis
Seja x a medida do lado do losango, 2α a medida do ângulo
interno obtuso e 2β a medida do ângulo interno agudo.
Como as diagonais do losango são bissetrizes dos ângulos
internos e também são perpendiculares, temos:
α + β = 90°.
Do enunciado temos que o ângulo interno obtuso é o
dobro do ângulo interno agudo e, portanto:
Como o triângulo DCE é isósce1es, temos
^
x + 90° + 60° + x = 180° ⇔ 2x + 150° = 180° ⇔ x = 15°
^
Fazendo C FD = y, no triângulo CFD temos:
2α = 2.2β ⇔ α = 2β
x + y + 90° = 180° ⇔ x = 15°
Assim :
α + β = 90°
α = 2β
⇔ 15° + y + 90° = 180° ⇔ y = 75°
⇒ α = 60° e β = 30°
Assim:
6
1
6
sen β = ––– ⇔ ––– = ––– ⇔ x = 12 cm
x
2
x
Sendo 2p o perimetro do losango temos:
2p = 4x = 4 .12 ⇒ 2p = 48 cm
Resposta: D
MATEMÁTICA
^
y + B FD = 180° ⇔
^
^
⇔ 75° + B FD = 180° ⇔ B FD = 105°
No ΔAOB temos:
132
^
CDE = CED = x e, portanto:
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 133
Como a medida do maior ângulo interno é o quádruplo da
medida do menor e num trapézio os ângulos adjacentes a
um mesmo lado transverso são suplementares, temos:
α + β = 90°
α = 4β
⇒ α + 4α = 180° ⇔ α = 36°
Do teorema de Tales, temos:
6
m
24
––– = ––– ⇔ m = ––––
5
4
5
Assim: α = 36° e β = 144° e, portanto, a medida do menor
ângulo interno é 36°.
Resposta: B
—
Como AS é bissetriz do ângulo interno do triângulo, temos:
8
AC
AB
AC
––– = ––– ⇔ –– = ––– ⇒ AC = 6 cm
4
CS
BS
3
—
Como BD é diagonal do quadrado ABCD, temos
^
A DE = 45°.
No ΔDBE temos:
^
D BE + 45° + 70 °+ 45° = 180° ⇔
^
^
⇔ D BE +160 ° = 180° ⇔ D BE = 20°
A única peça que pode ser construída é a II, como
mostram as figuras a seguir.
—
I) Sendo x a medida de CD, temos BD = 7 – x.
II) Do teorema da bissetrizdo ângulo interno do triângulos,
temos:
AC
AB
12
9
––– = ––– ⇔ –––––– = –––– ⇔
CD
BD
x
7–x
Num quadrado de 10 pastilhas × 10 pastilhas no padrão
representado na figura, temos: 20 pastilhas pretas e 80
pastilhas brancas.
Assim, a razão entre o número de pastilhas pretas e o
número de pastilhas brancas, respectivamente, é 1:4.
⇔ 9x = 84 – 12x ⇔ 21x = 84 ⇒
⇒ x = 4 cm e, portanto, CD = 4 cm
Logo, o custo por metro quadrado revestido será:
Do Teorema de Tales, temos:
x
50
I) –––– = –––– ⇒ x = 75 m
180
120
1 . R$ 10,00 + 4 . R$ 8,00
–––––––––––––––––––––––––– = R$ 8,40
5
y
40
II) –––– = –––– ⇒ y = 60 m
180
120
Resposta: B
z
30
III) –––– = –––– ⇒ z = 45 m
180
120
Módulo 12 – Linhas proporcionais
Resposta: D
Sendo x o comprimento, em metros, da barreira, de acordo
com o Teorema Linear de Tales, tem-se:
24
1
5
30
––––– = ––––––– ⇔ ––––– = –– ⇔
56 – 24
8
x+2
x+2
⇔ x + 2 = 40 ⇔ x = 38
Resposta: B
MATEMÁTICA
133
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 134
III) Assim:
Módulo 13 – Semelhança de triângulos
AB
OB
AO
6
OB
x
––– = ––– = ––– ⇔ –––––– = ––– = –––
CD
OD
CO
8
OD
7–x
e, portanto:
x
6
––––– = –– ⇔ 4x = 21 – 3x ⇒ x = 3 m
7–x
8
IV) Como x = 3 m, temos AO = 3 m e
CO = 4 m
^
Como o ângulo ABD é comum aos triângulos CBA e ABD,
temos:
ΔCAB ~ ΔADB pelo critério(AA~), pois:
^
^
B AC ≅ C DA
e
^
A BD é comum
Assim:
4
AB
CB
8
AB
CA
––– = ––– = ––– ⇔ ––– = ––– = ––– ⇔
AB
9
AB
AD
DB
AD
⇔
AB
4
–––– = –––– ⇔ AB = 6
9
AB
8
AB
8
6
–––– = –––– ⇔ –––– = –– ⇔AD = 12
AD
9
AD
9
Sendo h a altura em metros do poste, de acordo com a
semelhança dos triângulos da figura, tem-se:
1
0,6
––– = –––– ⇔ h = 20
h
12
Resposta: D
^
Como o ângulo ACD é comum aos triângulos ABC e DEC
são semelhantes e, portanto,
AC
BC
AB
x+5
10
AB
––– = ––– = ––– ⇔ ––– = ––– = ––––––
DC
EC
DE
3
5
DE
Logo:
x+5
x+5
10
––– = –––––– ⇔ 2 = –––––– ⇔
3
3
5
Sendo R o raio, em metros, do objeto voador não identificado, tem-se:
30
2R
3
R
–––––––– = –––– ⇔ ––– = ––– ⇔ R = 3
30 + 50
16
8
8
Resposta: A
Módulo 14 – Semelhança de triângulos
⇔x+5=6⇔x=1
Resposta: D
–––
I) Sendo x a medida do lado QR temos:
PQ = 2x.
II) ΔAPQ ~ ΔABC pelo critério (AA~), pois
—
I) Admitindo que a diagonal AC mede 7 m e sendo x a
—
medida de AO, temos:
II) ΔAOB ~ ΔCOD pelo critério (AA~), pois:
134
^
^
^
^
B AO ≅ D CO (alternos internos)
A BO ≅ C CO (alternos internos)
MATEMÁTICA
^
B AC é ângulo comum
^
^
A Q P ≅ A C B (correspondentes)
Assim:
15 – x
2x
––– = –––––– ⇔ 6x = 60 – 4x ⇒ x = 6 cm
15
20
Sendo 2p o perímetro do retângulo, temos:
2p = 6x = 6 . 6 ⇒ 2p = 36 cm
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 135
Módulo 15 – Semelhança de triângulos
I) No ΔAPQ a altura relativa ao vértice A mede h – 7,2.
II) ΔAPQ ~ ΔABC pelo critério (AA~) pois
Os triângulos ABC e QBR são semelhantes, com razão de
^
semelhança igual a 2, pois Q é ponto médio de AB e R é
B AC é ângulo comum
^
^
A Q P ≅ A C B (correspondentes)
ponto médio de BC.
Logo:
h – 7,2
7,2
III) Assim: –––––– = ––– ⇔ 18h – 18 . 7,2 = 7,2h ⇔
h
18
1
AC
BC
AB
––– = –––– = ––– = –––
2
QR
BR
QB
⇔ 10,8h = 129,6 ⇔ h = 12cm
Como QR = 4 ⇒ AC = 8
Analogamente: ΔADB ~ ΔAPQ
Logo:
Resposta: B
2
BD
AB
AD
––– = –––– = ––– = –––
1
PQ
AQ
AP
Os retângulos devem ser semelhantes e, portanto,
x
6
2
––– = ––– ⇔ x2 = 18 ⇔ x = 3
3
x
No instante em que a sombra de uma pessoa (que tem
Como PQ = 5 ⇒ BD = 10
Portanto: AC + BD = 8 + 10 = 18
180 cm de altura) mede 60 cm, a sombra de um poste (que
tem h cm de altura) mede 200 cm.
Assim sendo:
Os triângulos ABD e APS são semelhantes, com razão de
semelhança igual a 2, pois P é ponto médio de AB e S é
ponto médio de AD.
Logo:
Se, mais tarde, a sombra do poste (que tem 600 cm de
2
BD
AD
AB
––– = –––– = ––– = –––
1
PS
AS
AP
altura) passou a medir 150 cm (pois diminuiu 50 cm), então, sendo s cm a medida da nova sombra da mesma
Como BD = 10 ⇒ PS = 5
pessoa, teremos:
Analogamente:
ΔABC ~ ΔPBQ ⇒
ΔBCD ~ ΔQCR ⇒
ΔACD ~ ΔSRD ⇒
Resposta: B
AC
–––– = 2
PQ
BD
–––– = 2
QR
⇒ PQ= 6
AC = 12
⇒ QR = 5
BD = 10
AC
–––– = 2
SR
⇒ SR = 6
AC = 12
Portanto, o perímetro do quadrilátero PQRS é
PS + PQ + QR + SR = 5 + 6 + 5 + 6 = 22.
MATEMÁTICA
135
C1_2A_MAT_SORO_2013_Rose 20/09/12 10:11 Página 136
Pelo teorema de Pitágoras:
x2 = 32 + 52
x2 = 9 + 25
34
x2 = 34 ⇒ x = Resposta: E
—
Seja x a medida, em metros, da largura OP do rio. Da semelhança dos triângulos retângulos OBP e ACP, tem-se:
OP
OB
–––– = ––––
AC
AP
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado:
d2 = 42 + 42
d2 = 16 + 16 ⇒ d2 = 32 ⇒ d = 32 ⇒ d = 4
2
x
24
Assim, –––––– = ––– ⇔ 5x = 3x + 60 ⇔ x = 30
x + 20
40
Resposta: C
Resposta: B
Seja d a distância, em metros, entre os muros e h a altura,
em metros, do ponto de intersecção das barras.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado:
h2 + 22 = 42
h2 + 4 = 16 ⇒ h2 = 12 ⇒ h = 12 ⇒ h = 2 . 3
Resposta: D
Das semelhanças entre os triângulos retângulos da figura,
tem-se
h
x
h
d–x
–– = –– e –– = ––––––
3
d
9
d
h
h
x
d–x
Assim, –– + –– = –– + –––––– ⇔
d
d
3
9
h
h
9
⇔ –– + –– = 1 ⇔ h = –– ⇔ h = 2,25
3
9
4
Resposta: D
I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo hachurado:
y2 + 12 = 32
y2 + 1 = 9
Módulo 16 – Relações métricas nos triângulos
(Pitágoras)
y2 = 8
II) Aplicando novamente o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa 2 11 e catetos y e
(x + 1):
(x + 1)2 + y2 = (2 11 )2
2
(x + 1) + 8 = 44
(x +1)2 = 36
x + 1 = –6 (não convém!)
x+1=6
Logo: x + 1 = 6 ⇒ x = 5
136
MATEMÁTICA