Pesquisa operacional e economia

XXVI ENEGEP - Fortaleza, CE, Brasil, 9 a 11 de Outubro de 2006
Pesquisa operacional e economia:
O modelo de equilíbrio geral aplicado
Reinaldo Pacheco da Costa (POLI – USP) [email protected]
João Batista Momesso Júnior (POLI – USP) [email protected]
Resumo
Os modelos econômicos utilizados para a tomada de decisões em planejamento da produção
geralmente se utilizam da minimização de custos como objetivo principal. Formula-se aqui
um modelo de alocação preço-quantidade entre mercados, e se postula a sua aplicabilidade a
problemas de distribuição de produtos que envolvem várias origens e destinos, e interrelação entre empresas. A teoria neoclássica do equilíbrio geral da economia provê os
fundamentos para uma abordagem geral na construção de sistemas de planejamento de
produção e distribuição de produtos baseados em mecanismos de formação de preços. Nesta
abordagem os participantes de uma cadeia produtiva são considerados como agentes de
oferta e demanda de um mercado, problema que pode ser formulado como um caso de
otimização do resultado global da cadeia. Apresentam-se duas formas de formulação deste
problema - gráfica e matemática.
Palavras-chave: Economia da produção; Sistemas de produção; Cadeias produtivas.
Introdução – A teoria econômica
Os modelos econômicos como ferramenta de análise e predição de atividades econômicas e
empresariais são seculares; basta citar o clássico autor, apontado por Wright (1982), Von
Thunen, como o formulador do primeiro modelo econômico, formalizado matematicamente.
A obra clássica deste autor “O ESTADO ISOLADO” (1826), procura explicar a influência da
distância do mercado consumidor sobre os sistemas de cultivo da terra.
O conjunto das teorias explicativas sobre o funcionamento de uma economia de mercado é
consensualmente denominado de neoclássico, entendido este como um dos ramos do tronco
principal da ciência econômica - a economia clássica (ROBINSON, 1970).
A filosofia neoclássica procura explicar como uma economia de mercado desempenha as
funções alocativas de maneira o mais eficiente possível. Os fundadores desta corrente do
pensamento econômico consideravam o método utilizado para análise desenvolvido pelas
ciências exatas e naturais (física e matemática) adequado aos estudos em Economia.
Os economistas neoclássicos utilizaram vários conceitos e idéias como maximização dos
lucros, equilíbrio estático e dinâmico, e maximização da utilidade, possibilitando a teorização
com modelos ricos em combinações e proposições. O sistema de equilíbrio geral por eles
formalizado é conhecido também por fluxo circular da economia (PYNDICK, 2005).
O presente trabalho procura mostrar a aplicação do sistema de equilíbrio geral, utilizando a
pesquisa operacional como ferramenta prática de solução de problemas, e sugerir sua
aplicação em estudos sobre cadeias produtivas e redes logísticas.
O modelo de equilíbrio geral aplicado
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Para o clássico problema do transporte existem os algoritmos que resolvem as seguintes
situações: dada uma série de origens (ofertas) e destinos (demandas), como devem se
distribuir os fluxos entre ofertas e demandas de maneira a reduzir o custo total?
Podemos complicar um pouco a análise colocando pontos de transbordo e, indo mais longe,
colocando pontos de transferência que podem agregar custos, como é o caso de armazenagem
ou mesmo fábricas. A literatura aponta este ultimo caso como o do “fixed charge problem”
Salkin (1981), ou o problema de custo fixo. A solução deste problema utiliza algoritmos de
programação mista - variáveis reais e variáveis binárias (0 ou 1); no caso as fábricas (ou
quaisquer outros pontos intermediários, como, por exemplo, armazéns) são do tipo “abre ou
fecha”. Se abrir agrega-se o custo fixo destas fábricas, caso contrário, se for melhor para a
minimização de custos do sistema, fecha-se a fábrica (ou ponto intermediário).
Avançando um pouco mais, podemos analisar um sistema de produção de transporte - várias
fábricas ou áreas de produção agrícola enviando para a agroindústria -, que, após o
processamento, mandam ou para armazenagem ou para pontos de distribuição ou consumo.
Neste caso, podemos analisar qual a configuração ótima de um sistema de tal tipo (quantas
fábricas, onde se localizam, quais os fluxos de oferta e demanda etc.). Neste caso a função
objetivo não estaria adequada se olhássemos apenas pelo ponto de vista da minimização do
custo total.
Ao se pesquisar um sistema deste porte, os preços (lado da demanda) e os custos (lado da
oferta), necessários para cálculos do lucro (sob ponto de vista de empresa –
microeconômicos), poderiam variar em função da quantidade Pyndick (2005). Os modelos
que procuram representar tais sistemas se chamam Modelos de alocação espaço- temporais
(função de preços e quantidades) (TAKAYAMA; 1971).
Apesar de formalizado há bastante tempo na literatura, a resolução dos problemas deste tipo
sempre esbarrou na questão da dificuldade de resolução matemática, e somente a partir de
1951, com o trabalho de Enke (1951), um primeiro algoritmo se estabeleceu. Este autor
desenvolveu uma analogia entre voltagens, amperagens e resistência de um modelo elétrico, a
preços, quantidades e elasticidades – a Demanda no modelo econômico. Este trabalho
inspirou Samuelson (1952) para que escrevesse o clássico artigo “Spatial price equilibrium
and linear programming”.
Mostraremos a seguir como métodos de pesquisa operacional conseguiram tornar
“operacionais” a análise de problemas da economia de mercado (ponto de vista
“Neoclássico”), mostrando duas formas de demonstração: através de uma solução gráfica, e
um através de um modelo matemático formal.
Uma solução gráfica
Considere dois pontos de demanda e de oferta, separados geograficamente, pertencentes a
uma mesma área de comércio, mas inicialmente impossibilitados de comercializar (o que se
chama de “autarquia” – caso de imposição de tarifas ou quotas, por exemplo).
O comércio é então permitido, e daí a questão de saber quais os preços, quantidades e fluxos
de equilíbrio (da mercadoria) que se estabelecem. Este caso é o clássico problema da
microeconomia do equilíbrio parcial entre dois mercados de uma mesma mercadoria. Os
pontos de mercado podem ser também países ou mesmo regiões.
Na figura 1 mostramos a interseção das funções oferta Si, e demanda Di, em cada de duas
regiões, antes de ocorrer o comércio.
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p2
S2´
D2
2
0
1
0
D2´
S2
1
2
0
0
q
2
Figura 1 – Representação de "2" Mercados independentes
Os preços e quantidades em cada mercado são obtidos pela interseção das curvas de oferta e
demanda. Portanto, na região 1 o preço de equilíbrio é p0.1, e a quantidade de equilíbrio q0.1;
na região 2 o preço de equilíbrio é p0.2, e a quantidade de equilíbrio é q0.2.
Se comércio é permitido entre as duas regiões, um novo conjunto de preços e quantidades de
equilibro irá ocorrer, conforme mostra a Fig. 2.
p2
S2´
D2
*
*
D2´
S2
1
1
2
2
1
2
1
2
q
2
Figura 2 - Representação de "2" Mercados integrados
Mercadorias irão se movimentar da região de menor preço para a região de maior preço.
Comércio irá ocorrer até que os preços nas duas regiões sejam iguais. Isto irá acontecer, pois
sempre existirá alguém disposto a comprar na região (ou no período) de menor preço (caso da
safra agrícola, por exemplo), e vender na região (ou período – entre safra) de maior preço.
Observe-se que não foram incluídos os custos de transferência. Pode ser visto facilmente que
sem custos de transferência o mesmo preço irá ocorrer em cada região.
Na fig. 2, o preço de equilíbrio, agora para as duas regiões, será representado por p*, criando
desequilíbrios nos dois mercados: na região 1, como o preço (p0.1 > p*) sobe, a demanda
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diminui; mas a oferta aumenta, criando a quantidade excedente (q1.1 – q2.1). Na região 2
ocorre o contrário, o preço cai (p0.2 < p*), aumentando a demanda excedente em (q2.1 – q2.2).
No caso de dois mercados integrados, o comércio iguala a diferença entre a quantidade de
oferta e demanda excedentes em cada região. Observe–se que este problema poderia ser
resolvido, também, por analogia hidráulica (um sistema de tanques e dutos, com válvulas de
comando), ou seja, por Dinâmica de Sistemas.
O próximo passo na explicação do modelo de equilíbrio geral é introduzir os custos de
transferência, mas antes disso vamos apresentar uma outra forma gráfica de apresentar o
problema, a partir de um artifício introduzido por Samuelson (1952). As regiões são
mostradas em diagrama “back-to-back”, ou seja, o mercado da primeira região é “virado”
como num espelho, em relação à segunda região. E no meio das duas regiões é feito o artifício
de se “plotar” os excedentes de oferta (ES 1 – primeira região) e de demanda (ED 2 - segunda
região).
p2
S2´
D2
D2´
S2
q
2
Figura 3 – Representação dos “2” Mercados com custos de transferência
A função ES 1 é obtida pela diferença horizontal entre as funções de oferta e demanda da
primeira região. Observe que para a quantidade zero, o preço é o de equilíbrio na região 1.
A função ED 2 é obtida da mesma maneira, ponto de vista da região 2. Observe que enquanto
uma das curvas é ascendente (ES1), a outra é descendente (ED2).
O ponto onde se cruzam ES 1 e ED 2, é o ponto de equilíbrio dos mercados, com preço igual
a p* da figura 2.
A fig. 4, a seguir, mostra a introdução do custo de transferência t1.2, e a diminuição do fluxo
de transferência resultante. Agora a quantidade transferida da região 1 para a região 2 é x1.2.
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p2
S2´
D2
D2´
S2
q
2
Figura 4 – Representação de “2” mercados com custo de transferência
A comparação da figura 4 com a 3, claramente indica que menos comércio ocorrerá quando se
consideram os custos de transferência. A aplicação prática disto é que o volume de comércio
poderá crescer se os custos de transferência caírem (lembremos que custos de transferências
podem ser, por exemplo, “tarifas alfandegárias”, ou mesmo custos de transportes).
De maneira geral, para o comércio existir entre quaisquer das duas regiões, a diferença entre
os preços de equilíbrio pré-comércio deve ser maior que os custos de transferência entre as
duas regiões. Como antes, a direção do comércio irá da região de menor para a de maior
preço, desde que este cubra o preço de compra na região de menor preço mais os custos de
transferência.
“O efeito de introduzir um custo de transferência fixo por unidade é o de reduzir o volume de
comércio e aumentar o preço na região para o qual se está transportando, e diminuir na
região de onde se está transportando.” (MACAULAY, 1975, p.6).
O que foi discutido é uma forma intuitiva de se entender o equilíbrio espacial entre mercados
conectados espacialmente. Um desenvolvimento matemático simples mostrará uma maneira
muito mais clara de se ver, porque o equilíbrio pode ser conseguido.
Segue o desenvolvimento de Samuelson (1952), sendo o objetivo, a maximização da receita
liquida social (i.e. receitas menos custos, somados em todos os mercados).
No sentido indicado por Samuelson (1952), qualquer função objetiva matemática que usarmos
para resolver um problema de equilíbrio espacial é somente um mecanismo de obter
matematicamente o que seria obtido pelas forças de competição do mercado.
O modelo de receita social líquida
Novamente, considere as funções de excesso de oferta (ES1) e demanda (ED2) da fig. 4. Se a
diferença vertical entre as duas curvas for confrontada com a quantidade comercializada,
então o resultado é conhecido como a demanda por transporte, ou mais conhecido
estritamente como “serviços de transferência” (carregamento, transporte, descarga, seguro
etc.).
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Demandapor serviços de
transferência
Oferta de serviços de
transferência p
( erf. elástica)
Figura 5 – Demanda e Oferta de transferência
A linha descendente representa a demanda por serviços de transferência, já que reporta a
quantidade de bens que podem ser comercializados em qualquer diferença de preço entre as
duas regiões até o ponto onde nenhum comércio exista, ou que a direção do comercio sofra
uma reversão.
A receita bruta a ser ganha pela “arbitragem do mercado” a cada nível de comércio pode ser
observada na parte de baixo da fig. 5, a seguir. Esta curva é derivada pela multiplicação da
diferença de preço pelo nível de comércio, e é quadrática na forma (Esta é a curva de Receita
Total da Microeconomia, obtida pela multiplicação, em cada ponto da função demanda, do
preço pela quantidade correspondente).
Custo total de transferência
Receita da transferência
Receita liquida
Figura 6 – Cálculo da Receita Líquida
Vários resultados de estática comparada, na variação de parâmetros no sistema podem ser
facilmente obtidos; por exemplo, se a curva de oferta na região 2 (região de importação) se
desloca para a direita então o preço na mesma região irá cair, e menos produto irá ser
importado, e o preço na região 1 irá cair. Também o excesso de demanda na região 2, ED2, se
deslocará para a esquerda por uma quantidade equivalente, já que a região 2 agora requer
menos importação para sua demanda. Várias outras mudanças como custo de transferência,
demanda na região exportadora etc. podem ser simuladas.
Estudo de caso numérico (Didático)
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Apresentamos a seguir um estudo de caso numérico de um modelo econômico de equilíbrio
espacial com três regiões de comércio, onde são apresentadas as funções de oferta e demanda
em cada região. Este estudo é apresentado por Takayama (1971, p.143), e foi redesenhado
para se tornar um estudo didático, como complementação da solução gráfica desenvolvida
acima.
Região 1
Demanda P1 = 20 – 0,1.y1
Oferta
P1 = 0,5 + 0,1x1
Região 2
P2 = 20,0 - 0,20.y2
P2 = 2,5 +0,05.x2
Os custos de transportes (fixos/unidade) são:
t 1.2 = 2
t 1.3 = 2
t 2.1 = 2
t 2.3 = 1
Região 3
P3 = 20 - 0,125.y3
P3 = 5 + 0,10.x3
t 3.1 = 2
t 3.2 = 1
Observe-se que o problema poderia ser formulado tanto pela quantidade quanto pelo preço,
como variáveis estruturais; no caso formulamos pelo preço.
O problema pode ser, então, formulado como um problema de máxima receita social líquida.
Achar (y, x, X) que maximize a seguinte função-objetivo:
20.y1 – ½ (0,1).y12 + 20.y2 – ½ (0,2). y22 + 20.y3 – ½ (0,125).y32 – 5x1 -1/2 (0,1).x12 –
2,5. x2 – 1/2 (0,05) x22 – 5.x3 – 1/2 (0,1).x32 - 2.x12 – 2.x13 – 2.x21 –x23 – 2.x31 – x 32.
Sujeito às seguintes restrições:
x11 + x21 + x31 – y1 >= 0
x12 + x22 + x32 – y2 >= 0
x13 + x23 + x33 – y3 >= 0
(y’, x’, X’) >=0
Para a solução deste problema podem ser usados os algoritmos desenvolvidos para
programação quadrática. Não nos deteremos aqui nesta questão, mas sim destacarmos um
típico problema de rede de empresas (ou cadeias produtivas), que envolvem a questão dos
preços, sugerindo a sua resolução por técnicas de Pesquisa Operacional.
A solução do problema é:
Oferta e Demanda:
y1 = 92,381
x1 = 57.619
Transferência:
x 11 = 57.619
x 21 = 34.762
x 31 = 0
y2 = 56.190
x2 = 125.238
y3 = 81.905
x3 = 47.619
x12 = 0
x22 = 56.190
x32 = 0
Preços de equilíbrio:
R1 = r1 = 10.762
R2 = r2 = 8.762
x 13= 0
x23 = 34.286
x33 = 47.619
R3 = r3 = 9.762
Observe-se que obtivemos matematicamente a solução do problema acima demonstrado
graficamente. São apresentados os resultados dos preços e fluxos do sistema que maximizam
a receita líquida social.
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Sugere-se a utilização deste tipo de modelagem para análise de problemas de cadeias
produtivas pelo fato de que os preços e quantidade são variáveis quando se consideram
mercados de bens e serviços, o que os modelos de minimização de custos omitem.
Beamon (1998) ao levantar modelos e métodos de análise de cadeias produtivas em artigos da
literatura especializada, mostra que uma ínfima parcela dos modelos e métodos se utiliza de
modelos econômicos, que consideram preços nas tomadas de decisão envolvendo produção e
distribuição de produtos.
Conclusões
Formulamos um modelo de otimização de fluxos em mercados que se aplica às atuais cadeias
de suprimento e/ou redes logísticas - como um problema de “alocação preço-quantidade”,
com agentes de oferta e demanda, e demonstramos a aplicabilidade da análise econômica a
este tipo de problema. O termo problema de “alocação preço-quantidade” corresponde à
distribuição de produtos no nível pragmático das cadeias produtivas.
A teoria do equilíbrio geral provê fundamentação teórica à construção de sistemas de
produção e distribuição baseados em mecanismos de preços. Neste enfoque, os participantes
podem ser considerados como agentes de oferta e demanda de uma economia real.
Referências
BEAMON, B. Supply Chain Design and Analysis: Models and Methods. International Journal of Production
Economics. Vol 55, n. 3, p. 252-294, 1998.
ENKE, S. Equilibrium among spatially separeted markets: Solution by an electric analogue - Econometrica,
Vol 19 (jan’ 51), p. 40-47, 1951.
MACAULAY, T.G. Spatial equilibrium models in agricultural economic research. Seminar paper presented to
the department of agricultural economics – Manchester University. Mimeo, 1985.
PINDYCK, R. S. & RUBINFIELD, D. L. Microeconomia. 5ª. Ed. Prentice Hall. 2002.
ROBINSON, J. Liberdade e Necessidade: Uma Introdução ao estudo da sociedade. Col. OS PENSADORES.
ABRIL CULTURAL, 1976.
SALKIN, HARVEY M. Integer Programming – Adisson Wesley – Chapter 12: The fixed problem, p. 482,
1975.
SAMUELSON, P. Spatial price equilibrium and linear programming. American Economic Review – n. 42.
1952.
TAKAYAMA, T. & JUDGE, G.G. – Spatial and temporal price and allocation models – North Holland
Publishing Company. 1971
WRIGHT, C. Método Econométrico: Algumas reflexões sobre a obra pioneira de Van Thunenn. Revista de
Econometria - Ano II/n. 2 – Ed. Sociedade Brasileira de Econometria, 1982.
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