Equações Polinomiais

MARIA DE SOUZA MACHADO ABREU
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Monografia apresentada á comissão
julgadora do curso de Especialização da
Universidade Federal de Minas Gerais
ICEX sob orientação do professor Doutor
HELDER CANDIDO RODRIGUES, em
atendimento a exigência parcial para
obtenção
do
certificado
de
ESPECIALISTA
EM
MATEMÁTICA:
ÊNFASE EM CÁLCULO.
Belo Horizonte
2005
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS – ICEX
CURSO: ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESSORES COM ÊNFASE EM CÁLCULO
ALUNA: MARIA DE SOUZA MACHADO ABREU
ORIENTADOR: HELDER CANDIDO RODRIGUES
2
Agradeço a Deus, aos meus
filhos
Felipe
especial
e
aos
André,
em
professores
Helder Cãndido Rodrigues e
Francisco Dutenhefner e aos
amigos
Marcio
Cristiane
Brandão
Pereira
e
,
Tadeu
Tanuri, a meu pai (in memorian)
e as minhas irmãs Te, Du, Ge,
Na e Si e a todo universo que
conspirou ao meu favor
3
“Na maior parte das ciências uma
geração põe abaixo o que a outra
construiu e o que uma estabeleceu,
a
outra
desfaz.
Somente
na
matemática é que cada geração
constrói um novo andar sobre a
antiga estrutura “
Hankel
4
/
1.0 INTRODUÇÃO
Sabe-se que os matemáticos da Babilônia, há mais de 4000 anos, já
sabiam “completar quadrados” para resolver equações do 2º grau, entretanto
muitos anos se passaram até que o italiano Cardano, apoiado nas sugestões de
Tartaglia e Ferrari, publicou soluções para equações de 3º e 4º graus, esse fato
deu um grande impulso nas pesquisas em álgebra. Na época os pesquisadores
buscavam uma solução geral que incluísse polinômios de qualquer ordem, embora
os resultados encontrados não fossem os esperados houve um grande
desenvolvimento, nessa área, nos anos que se seguiram. No nosso trabalho,
apresentamos, a teoria de polinômios e algumas técnicas utilizadas em equações
polinomiais.
5
2.0 POLINÔMIOS
Dados
n∈ N ,
N
onde
é
o
conjunto
dos
números
naturais
e
an , an − 1 , an − 2  ∈ C onde C é o conjunto dos números complexos, denomina-se
polinômio
em
C,
a
expressão
algébrica
definida
por
P ( x) = an x n + an − 1 x n − 1 + an − 2 x n − 2 +  + a2 x 2 + a1 x + a0 , ∀ x∈ C
Definimos:
an , an − 1 , an − 2  a2 , a1 , a0 Os coeficientes do polinômio,
an x n , an − 1 x n − 1 , an − 2 x n − 2  Os termos do polinômio,
a0 O termo independente do polinômio.
Sendo a n ≠ 0 , o grau do polinômio será igual a n .
2.1 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS.
Vamos definir as operações Adição, Subtração e Multiplicação de
Polinômios.
2.1.1. Adição de Polinômios.
Sejam:
A( x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +  a 2 x 2 + a1 x + a 0 .
B ( x) = bn x n + bn − 1 x n − 1 + b2 x 2 + b1 x + b0 .
Definiremos a operação adição de polinômios da seguinte maneira:
A( x) + B ( x) = (a n + bn ) x n + (a n − 1 + bn − 1 ) x n − 1 +  (a 2 + b2 ) x 2 + (a1 + b1 ) x + a 0 + b0
que é
um polinômio em C
Pela definição, verificamos que o grau do polinômio resultante da operação será
igual ou menor ao maior grau entre
A( x) e B ( x)
Exemplo: sejam.
6
A( x) = 3 x 5 + 10 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 20 x + 10 e
B ( x) = 0 x 5 + 0 x 4 + 22 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1
( A + B)( x) = (3 + 0) x 5 + ((10 + 0) x 4 + (22 + 0) x 3 + (0 + 10) x 2 + (20 + 5) x + 10 + 1
( A + B)( x) = 3x 5 + 10 x 4 + 22 x 3 + 10 x 2 + 25 x + 11
cujo grau é cinco ,igual ao grau de A(x) , Caso os coeficientes, dos termos de
maior grau, de cada polinômio se cancelem, na adição, o grau do polinômio será
menor, por exemplo:
Sejam:
A( x) = 3 x 5 + 10 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 20 x + 10 e
D( x) = − 3x 5 + 0 x 4 + 22 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1
( A + D)( x) = (3 − 3) x 5 + ((10 + 0) x 4 + (22 + 0) x 3 + (0 + 10) x 2 + (20 + 5) x + 10 + 1
( A + D)( x) = 10 x 4 + 22 x 3 + 10 x 2 + 25 x + 11
Cujo grau é quatro, menor que o grau de A(x) .
A adição de polinômios goza das propriedades; Associativa, comutativa,
existência de elemento neutro, existência de elemento inverso aditivo. Tendo em
vista a existência do elemento inverso aditivo definiremos a subtração dos
Polinômios A( x ) e B( x) , A − B = A + ( − B), então,
A( x) − B ( x ) = (a n − bn ) x n + ( a n − 1 − bn − 1 ) x n − 1 +  (a 2 − b2 ) x 2 + ( a1 − b1 ) x + (a 0 − b0 )
2.1.2. Multiplicação de Polinômios
n
n− 1
2
Sejam: A( x) = a n x + a n − 1 x +  a 2 x + a1 x + a 0
e
B ( x) = bn x m + bn − 1 x m− 1 +  b2 x 2 + b1 x + b0 chama-se produto de polinômios
A.B, o polinômio ( A.B )( x ) = a 0 b0 + ( a0 b1 + a1b0 ) x + (a 2 b0 + a1b1 + a 0 b2 ) x 2 +  + a m bn x 2
m+ n
+  c 2 x 2 + c1 x + c0 , cujo grau é m + n .
que é o polinômio em C , C ( x) = c m+ n x
Exemplo de produto de polinômios,
A( x) = 3 x 3 + 4 x 2 + 5 e, B( x) = x + 1, ( A.B )( x) = (3 x 3 + 4 x 2 + 5)( x + 1) = 3 x 3 ( x + 1) + 4 x 2 ( x + 1) + 5( x + 1)
= 3x 4 + 3x 3 + 4 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 5 = 3x 4 + 7 x 3 + 4 x 2 + 5x + 5
que é do quarto grau.
2.2 POLINÔMIOS IDENTICAMENTE NULOS
7
Denomina-se polinômio identicamente nulo, o polinômio que tem todos seus
coeficientes nulos, usaremos o símbolo ≡ para indicar a identidade.
Se P ( x) ≡ 0 , então todos os seus termos são nulos, ∀ x ∈ C
3.0 EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Sejam
f ( x) e g ( x)
, polinômios. Chama-se equação polinomial a
sentença aberta definida pela igualdade: f ( x) = g ( x) .
Os valores atribuídos a x poderão tornar a sentença falsa ou verdadeira. Os
números que a tornarem verdadeira são chamados raízes da equação.
O conjunto S ⊂ C ,cujos elementos são raízes complexas da equação
chama-se conjunto solução ou conjunto verdade da equação polinomial,
significando que todo elemento de
S ⊂ C , torna verdadeira a sentença aberta
f ( x) = g ( x) .
Exemplo de Equação Polinomial.
Sejam f ( x) = x 2 + 1 e g ( x) = 2 x 2 − 3 e a equação x 2 + 1= 2 x 2 − 3
Onde o conjunto solução S = { − 2,2
}
Verifica-se que f (− 2) = g (− 2) = 5 e g (2) = f (2) = 5
3.1 TRANSFORMAÇÕES NAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Duas transformações elementares podem ser feitas nas equações
polinomiais sem que seja alterado o seu conjunto solução:
1ª) “Somar aos dois membros da equação a mesma função polinomial”
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) + h( x ) = g ( x ) + h( x )
8
2ª)”Multiplicar os dois membros da equação pelo mesmo número complexo
k (k ≠ 0) ”
f ( x ) = g ( x ) ⇔ k . f ( x ) = k .g ( x )
Assim, qualquer equação polinomial f ( x) = g ( x) pode ser transformada na
equivalente P ( x) = f ( x) − g ( x) = 0 ou seja , qualquer equação polinomial é
redutível a forma :
an x n + an − 1 x n − 1 + an − 2 x n − 2 +  + a'1 x + a0 = 0 .
Entretanto, uma equação do tipo P ( x) = 0 , poderá ser identicamente nula
, isto se:
P ( x) = 0, ∀ x ∈ C
Evidentemente, nesse caso o conjunto solução da equação
polinomial é o próprio conjunto dos números complexos ou.
S = C
No entanto, poderá ocorrer que seja P (x) uma constante não nula
para todo x , fazendo da sentença aberta P ( x ) = 0 , falsa, (qualquer seja o x )
nesse caso dizemos que :
S=
{}
4.0 O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA (T.F.A.)
“ Todo polinômio P de grau n ≥ 1 admite ao menos uma raiz complexa”
9
Aceitaremos o resultado desse teorema, sem demonstra-lo.
5.0 O TEOREMA D’ALEMBERT
“ O resto da divisão de um polinômio p(x) por x − a é igual a p (a) ”
Demonstração:
A divisão de P ( x)
por ( x − a ) , resulta em um quociente Q (x) e o resto r
Temos: P ( x ) = Q ( x)( x − a ) + r , para x = a ⇒ P (a ) = r .
6.0O TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO.
Todo polinômio de grau n(n ≥ 1) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau ,
a menos de ordem ,essa decomposição será única.
Demonstração:
Seja P , um polinômio de 1º grau, de acordo com o TFA, teremos pelo
menos uma raiz , chamemos essa raiz de r1 , pela definição de raiz, P (r1 ) = 0
Segundo o
teorema D’alembert , P é divisível por x − r1 , pois o resto,
P (r1 ) = 0 significando que existe o polinômio Q1 , tal que P = Q1 ( x − r1 ) ,mas, sendo
1− 1
P do primeiro grau, Q1 = a n x = a n ⇒ P = a n ( x − r1 )
Resulta em P = ( x − r1 )( x − r2 )Q2 mas para n = 2 , Q2
tem grau n − 2 = 2 − 2 = 0 ,
O que resulta em P = a n ( x − r1 )( x − r2 ) , aplicando–se sucessivamente o TFA
podemos chegar a igualdade;
P = Qn ( x − r1 )( x − r2 ) ...( x − rn ) mas Qn , tem grau n − n = 0 logo , Qn = a n
e P = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) ... ( x − rn )
Com os procedimentos acima, provamos a existência da decomposição,
para provarmos sua unicidade vamos supor que nosso polinômio admita duas
decomposições:
10
P = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )...( x − rn )
.
P = am' ( x − r1' )( x − r2' )( x − r3' )...( x − rm' )
Supondo reduzidos e ordenados os dois segundos membros das igualdades têm:
an x n − an S1.x n − 1 + ... = a´'m x m − am' S1' .x m − 1 + ...
e pela definição de igualdade de polinômios, temos necessariamente:
n= m
e
an = am'
Cancelando os termos iguais, ficamos com a igualdade:
( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )...( x − rn ) = ( x − r1' )( x − r2' )( x − r3' )...( x − rm' ).
(I)
Atribuindo a x o valor de r1 , temos:
0 = (r1 − r1' )(r1 − r2' )(r1 − r3' )...(r1 − rn' )
e se o produto é nulo, um dos fatores é necessariamente nulo, operando uma
mudança de ordem, podemos fazer r1 = r1' .
A igualdade (I) se transforma em:
( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )...( x − rn ) = ( x − r1' )( x − r2' )( x − r3' )...( x − rm' )
Cancelando os termos iguais,
( x − r2 )( x − r3 )( x − r4 )( x − rn ) = ( x − r2 )( x − r3' )( x − r4' )( x − rm' )
podemos atribuir x o valor de r2 e daí teremos:
0 = (r2 − r2' )(r2 − r3' )  (r2 − rn' )
'
Da mesma forma , um dos fatores r2 − rk é necessariamente nulo , novamente
usando o artifício de mudar a ordem dos fatores de forma conveniente, podemos
colocar:
r2 = r2'
11
'
continuando para ri = i ∀ i ∈ N , as igualdades,
m = n, a m' = a n , rn' = rn são a prova
que a decomposição é única.
Como conseqüência do teorema da decomposição é que toda equação
polinomial de grau n ≥ 1 , admite n e somente n raízes complexas
7.0 MULTICIPLIDADE DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
Como conseqüência dos resultados obtidos pelo teorema da decomposição
todo polinômio P , de grau n , pode ser entendido como o desenvolvimento de
um produto de n fatores do 1º grau e um fator constante an , que é o coeficiente
dominante em P , ou :
P = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ).( x − rn )
Eventualmente alguns ou, vários desses fatores poderão ser iguais. Ao
associarmos os fatores iguais obteremos:
P = ( x − r1 ) m1 ( x − r2 ) m2 ( x − r 2 ) m3  ( x − rp )
mp
Sendo m = 1 , r será uma raiz simples de P , se m > 1
r será raiz múltipla
de P ,podendo ser dupla , tripla etc. conforme o valor de m ,
de uma forma mais geral diremos que r é uma raiz de multiplicidade m de
P ( x) = 0 , quando o polinômio P é divisível por ( x − r ) m e não é divisível por
( x − r ) m+ 1
8.0 PESQUISA DE RAÍZES MÚLTIPLAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
Examinaremos a seguir um teorema que facilita a pesquisa das raízes
múltiplas de equações polinomiais.
Teorema: Se r é raiz de multiciplidade m da equação , f ( x) = 0 ,então r é
raiz de multiciplidade m − 1
da equação
f ' ( x) = 0 em que f ' ( x) é a derivada
primeira de f (x) .
Demonstração
Seja f ( x) = ( x − r ) m q( x) Uma equação polinomial e r raiz de multiciplidade
m , Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto temos:
12
f ´(x) = ( x − r ) m− 1 [ m.q ( x) + ( x − r ).q´(x)]
e
como
m..q (r ) + (r − r ).q´(r ) = m.q( r ) ≠ 0,
decorre que r é raiz de multiciplidade m − 1 de f ´´(x)
Pelo teorema acima se r , por exemplo, for a raiz de multiciplidade 3 de
uma função polinomial, então, r será necessariamente raiz de multiciplidade 2 da
sua função derivada.
Exemplo: Verificar se a equação 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + 6 = 0 tem alguma raiz dupla.
Como toda raiz
da equação f ( x) = 0 será raiz simples da equação f ' ( x) = 0
,derivando encontremos, f ' ( x) = 6 x 2 − 18 x + 12 , fazendo f ' ( x) = 0
Encontraremos as raízes x = 1 ou x = 2 mas essas não são raízes de f ( x) = 0 ,
logo f ( x) = 0 , não tem raízes duplas.
9.0 RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZEZ.
Nessa seção examinaremos a relação entre coeficientes e raízes de equações
polinomiais, conhecidos como relações de Girard:
9.1 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU.
O teorema da decomposição e suas conseqüências nos permitem escrever
uma equação do 2º grau da seguinte forma: a( x − r1 )( x − r2 ) nos conduzindo a
identidade :
a( x − r1 )( x − r2 ) = ax 2 + bx + c ∀ x ∈ C , mas como é necessário a a ≠ 0
, para garantir o grau da equação teremos:
x2 +
b
c
x + = x 2 − (r1 + r2 ) x + r1 r2 .
a
a
E, por identidade de polinômios vem:
r1 + r2 = −
b
a
e r1 r2 =
c
a
9.2 EQUAÇÕES DO TERCEIRO GRAU
Pelos mesmos argumentos de 9.1 escreveremos a identidade:
13
ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )
x3 +
ou:
b 2 c
x + x + d = x 3 − (r1 + r2 + r3 ) x 2 + (r1r2 + r2 r3 + r1r3 ) x − r1r2 r3 ) ,
a
a
Conseqüentemente:
r1 + r2 + r3 = −
b
c
, r1r2 + r2 r3 + r1r3 =
a
a
e r1r2 r3 = −
d
a
9.3 EQUAÇÕES DE GRAU n QUALQUER
Dada a equação
an x n + an − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 +  + a1 x + a0 = 0
Cujas raízes são r1 , r2 , r3 , rn
Obtemos a identidade:
an ( x − r1 )( x − r2 )( x − rn ) = an x n − an (r1 + r2 +  + rn ) x n − 1 + an (r1r2 + r1r3 +  + rn − 1rn ) x n − 2 −


S1
− an (r1r2 r3 + r1r2 r4 +  rn − 2 rn − 1rn ) x

n− 3
S2
+  + (− 1) an S h x
h
n− h
+  + (− 1) an (r1r2 r3  rn ), ∀ x)

n
S3
Sn
e por identidade de polinômios vem
S1 = −
an − 1
an
S2 =
an − 2
an
: S3 =
an − 3
an
S h = ( Soma de todos os Cn , h produtos de h raízes da equação) = (− 1) h
S n = r1r2 r3  rn = (− 1) n
an − h
an
a0
an
As relações entre coeficientes e raízes de polinômios de qualquer grau
( relações de Girard) não garantem a solução de qualquer polinômio de grau n ,
pois se tentarmos encontrar
uma raiz
qualquer, após varias substituições
14
obteríamos um polinômio de mesmo grau . Dessa forma, o conhecimento do
conjunto verdade estaria vinculado a alguma outra condição (por exemplo, soma,
produto entre raízes)
9.0.1 Exercícios
1)Escreva as relações de Girard para a equação algébrica x 3 + 7 x 2 − 3 x + 5 = 0
Da equação, temos:
a n = 1, a n − 1 = 7, a n − 2 = − 3
x1 + x 2 + x3 = −
a0 = 5
an− 1
= −7
an
x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3 =
x1 x 2 x3 = ( − 1) n
e
a n− 2
= −3
an
a0
= −5
an
2) As raízes da equação x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = 0 , estão em PA. Nessas
condições, resolva a equação:
Sendo x1 , x 2 , x3 raízes da equação podemos representa-las por:
x1 = α − r , x 2 = α , x3 = α + r , pela relação de Girard teremos:
x1 + x 2 + x3 = −
a n− 1
= 9 = α − r + α + α + r = 3α ⇒ α = x 2 = 3
an
Sendo x 2 = α = 3 , uma raiz, o polinômio é divisível por x − 3 .
Ou x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = ( x − 3)( x 2 − 6 x + 5) sendo 1 e 5 , as raízes do polinômio
de segundo grau, logo, S = {1,3,5} .
10.0 RAÍZES COMPLEXAS (NÃO REAIS) DE UM POLINÔMIO
O estudo das relações entre raízes complexas de um polinômio é útil na
determinação de seu conjunto solução, enunciaremos a seguir, dois teoremas que
valem para todos polinômios de coeficientes reais.
15
Definição: Se Z = a + bi (b ≠ 0) é um número complexo não real, chamamos
de Z = a − bi , seu conjugado
Teorema um:
: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o numero
complexo Z , então essa equação admite como raiz o número Z , conjugado de Z .
Demonstração:
Por hipótese,
Z = a + bi (b ≠ 0) ,é raiz da equação polinomial.
Assumiremos as seguintes propriedades dos conjugados,
Z1 = Z 2 ⇔ Z1 = Z 2
Z1 + Z 2 = Z1 + Z 2
Z1 Z 2 = Z1 Z 2
Z1n = ( Z 1 ) n
Z1 = Z1 ⇔ Z1 ∈ R
Por hipótese, e pelas propriedades acima,
a n Z n + an− 1 Z n− 1 + a n− 2 Z n− 2 +  + a1 Z + a0 = 0 ⇒
⇒ a n Z n + a n− 1 Z n− 1 +  + a1 Z + a0 = 0 ⇒
⇒ a n Z n + a n− 1 Z n− 1 +  + a1 Z + a0 = 0 ⇒
⇒ a n Z n + a n− 1 Z n− 1 +  + a1 Z + a0 = 0 ⇒
⇒ a n ( Z ) n + an− 1 ( Z ) n− 1 +  + a1 Z + a0 = 0
Teorema dois: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a
raiz Z com multiplicidade p , então admite a raiz
−
Z , com multiplicidade
p.
É importante observar que, de acordo com os teoremas enunciados, toda
equação polinomial de coeficientes reais, que admitir raízes complexas, não reais,
as
terá
em
número
par,
pois
a
cada
raiz
teremos
sua
conjugada.
16
Conseqüentemente, todo polinômio de grau impar terá um número impar de raízes
reais, por exemplo, uma equação polinomial de 5º grau terá necessariamente uma
, três ou cinco raízes reais , ou seja qualquer polinômio de grau impar com
coeficientes reais, tem pelo menos uma raiz real, já os polinômios de grau par,
com coeficientes reais, poderão não apresentar raiz real.
10.0.1 Exercícios:
1)Resolva a equação x 4 − 9 x 3 + 30 x 2 − 42 x + 20 = 0 sabendo que 3 + i é raiz.
Se 3 + i , é raiz então 3 − i (Conjugado ) também o será logo:
P ( x)[ x − (3 + i )][ x − (3 − i )](Q ( x)) ⇒ P ( x ) = ( x 2 − 6 x + 10)Q ( x)
P ( x)
= x 2 − 3x + 2
x − 6 x + 10
Podemos calcular Q ( x) =
Sendo
{
2
1,2 } raízes de Q( x) = x 2 − 3 x + 2 , ⇒ S = {1,2,3 + i,3 − i}
11.0 RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
Lema: Se P ( x) = 0 é uma equação polinomial de coeficientes reais onde
P ( x) = a n Q( x)[( x − r1 )( x − r2 )....( x − ri )]
−
e
−
−
Q( x ) = [( x − z1 )( x − z 2 )( x − z 2 ).....( x − z p )( x − z p )]
onde r1 , r2 ,....ri são raízes reais do polinômio e
−
z 1 , z1 .... , suas raízes complexas,
não reais, então Q( x) > 0 ∀ x ∈ R
Demonstração:
Considere uma raiz complexa z k = a + bi e sua conjugada
−
−
−
z 1 = a − bi , e o
−
produto ( x − z1 )( x − z 1 ) = x 2 − ( z1 + z 1 ) x + z1 z 1 = x 2 − 2ax + a 2 + b 2 = ( x − a ) 2 + b 2 .mas
( x − a) 2 + b 2 > 0 , ∀ x ∈ R
−
−
−
Logo, Q( x) = ( x − z1 )( x − z 2 )( x − z 2 ).....( x − z p )( x − z p )] só assumirá valores
positivos , sendo Q ( x ) > 0 ∀ x ∈ R
17
11.1 TEOREMA DE BOLZANO
Se, P ( x ) = 0 é uma equação polinomial com coeficientes reais e ] a, b [ um
intervalo real aberto então:
1º) P (a ) e P (b) tem mesmo sinal, existe um número par de raízes reais ou
não existem raízes no intervalo real ] a, b
[
2º) P (a ) e P (b) tem sinais contrários, existe um número impar de raízes reais
da equação em ] a, b
[
Demonstração:
Dado um intervalo real aberto, uma raiz real poderá ser interna ou externa a
esse intervalo.
Seja ri uma raiz interna ao intervalo ] a, b [ , então:
a < r1 < b
ou: a − ri < 0 e b − r1 > 0 ⇒ (a − ri )(b − ri ) < 0
Seja re uma raiz externa ao intervalo
] a, b [
Simetricamente, (a − re )(b − re ) > 0 ,
mas:
P (a ).P (b) = [a n .Q(a ).(a − r1 )(a − r2 )...(a − rp )]...[a n Q(b)(b − r1 )(b − r2 )...(b − rp )] (1)
2
Podemos verificar que o produto P (a ).P (b) , terá um fator a n , um fator Q (a ).Q (b) e
ainda p fatores (a − rm )(b − rm ) onde rm é raiz real da equação dada.
2
Ocorre que, a n > 0 Q(a ).Q(b) > 0 , pois Q ( x ) > 0 ∀ x ∈ R (lema), então, só poderão
ser possíveis fatores negativos do segundo membro da igualdade (1), os fatores
que correspondem as raízes reais de P ( x) = 0 , o que nos permite concluir a
existência de duas únicas possibilidades:
1º) Quando P (a) e P (b) tem o mesmo sinal , isto é P (a) e P (b) > 0 , existe um
número par de fatores negativos do tipo (a − ri )(b − ri ) , logo existe um número par
de raízes reais da equação no intervalo real
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2º) Quando P (a) e P (b) tem sinais contrários ou, P (a ) e P(b) < 0 , existe um número
impar de fatores do tipo (a − ri )(b − ri ) , existindo um número impar de raízes reais
da equação.
12.0 RAÍZES RACIONAIS
Desenvolveremos nesta seção, um raciocínio que nos permitirá obter as
raízes racionais de uma equação polinomial de coeficientes inteiros (caso elas
existam)
De acordo com o teorema das raízes racionais, se:
P( x) = a n x n + a n− 1 x n− 1 + a n − 2 x n− 2 +  + a1 x + a0 = 0, ( a n ≠ 0) de coeficientes
inteiros, admite uma raiz racional
p
, em que p ∈ Z e q ∈ N e, p e q são primos entre
q
si, então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n .Dessa forma, podemos encontrar
raízes de um polinômio de coeficientes inteiros, estabelecendo o conjunto de
todos os divisores de a 0 e o conjunto de todos os divisores positivos de a n ,daí,
dividindo cada divisor de a 0 por cada um divisor de a n ,teremos o conjunto das
“possíveis” raízes racionais da equação polinomial, a seguir fazendo a verificação
de cada candidata (substituindo) teremos as raízes racionais.
Exemplo: Quais são as raízes racionais da equação
2 x 6 − 5 x 5 + 4 x 4 − 5 x 3 − 10 x 2 + 30 x − 12 = 0
Inicialmente, devemos definir o conjunto de todos os divisores de − 12
p ∈ { − 1,1,− 2,2,− 3,3,− 4,4,− 6,6,− 12,12} ,a seguir o conjunto dos divisores positivos de
2, q ∈ {1,2} .Se a equação tiver raízes racionais então:
p
∈ { − 1,1,− 2,2,− 3,3,− 4,4,− 6,6,− 12,12,− 1 / 2,1 / 2,− 3 / 2,3 / 2} , verificando:
q
P (2) = 2.(2) 6 − 5(2) 5 + 4(2) 4 − 5(2) 3 − 10(2) 2 + 30(2) − 12 = 128 − 160 + 64 − 40 − 40 = 60 − 12 = 0
P (1 / 2) = 0
para as demais candidatas, P ( x) ≠ 0 .É importante observar que, se uma
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equação polinomial de coeficientes inteiros, tem a n = 1 ,as raízes racionais, caso
existam, serão inteiras.
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