Equações - Feg/Unesp

Revisão de Pré-Cálculo
EQUAÇÕES E POLINÔMIOS
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016
Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.
IGUALDADE - PROPRIEDADES
1. Reflexiva
u = u.
2. Simétrica
u = v se e somente se v = u.
3. Transitiva
se u = v e v = w então u = w.
4 e 5. Igualdade é preservada pela adição ou multiplicação
u = v se e somente se u + z = v + z (qualquer que seja z)
u = v se e somente se u.z = v.z (z <>0)
As propriedades 4 e 5 são também conhecidas como Leis do corte.
JRRZ & ISMJr
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ALGUMAS IDENTIDADES
a. b = 0 <=> a = 0 ou b = 0
a/b = 0
<=> a = 0
n
√ a = 0 <=> a = 0
JRRZ & ISMJr
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EQUAÇÕES
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões.
O que difere uma igualdade de uma equação é a presença de uma
incógnita (na equação).
A(s) solução(ões) da equação são os valores da incógnita que
satisfazem a igualdade.
Vamos considerar equações em uma variável (incógnita).
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EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Duas equações são equivalentes se elas têm a mesma solução.
A equação u = v é equivalente
1) a equação u + z = v + z
2) a equação u.c = v.c para c um número real não nulo.
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EQUAÇÕES - EXERCÍCIOS
Determine se as equações abaixo são equivalentes ou não.
Se elas não forem equivalentes, verifique se é possível encontrar uma condição
sobre a variável x que torne as equações equivalentes.
1) 2.x - 3 = 7
e
x=5
2) x 2 = 2x e x = 2
3) x 2 = 9
e x = 3.
4) x 4 = x 2
2
e x = x
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EQUAÇÃO LINEAR
Dados a (a ≠ 0) e b números reais, resolva para x
a.x + b = 0
Resolução passo a passo
1. Some - b a igualdade:
a.x = - b
2. Divida por a a igualdade:
x = - b/a
Obs: efetuar uma operação com uma igualdade significa efetuar a
operação com as expressões em cada lado da igualdade.
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Equação Quadrática (ou 2o grau)
Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma
a.x² + b.x + c = 0
(a ≠ 0)
onde a, b e c são números reais.
Soluções (ou raízes) da equação quadrática
x=
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− b±
b ² − 4.a.c
2.a
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Equação Quadrática - Classificação das Raízes
Discriminante
Sinal do Δ
Δ = b 2 − 4.a.c
Classificação das Raízes
Fatoração da Expressão
Δ>0
reais e distintas, r1 e r2
Δ=0
reais e iguais, r
a.( x−r)2
Δ<0
complexas conjugadas
a.x² + b.x + c
a.( x−r 1 ).( x−r 2 )
Observação: quando Δ < 0 dizemos que a expressão quadrática não fatora
nos reais.
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Equação Quadrática - Resolução
Por simplicidade, consideramos a equação com a = 1
x² + b.x + c = 0
x² + b.x = - c
<=>
2
Complete o quadrado em x, isto é, some (b/2) e simplifique
2
2
2
x + b.x + (b /2) = (b /2) − c
2
b −4.c
( x + b/2) =
4
2
Resolva para x + b/2 (extraia as raízes quadrada)
x + b/2 =
b2
√
±
− 4.c
2
Some – b/2 para obter a solução para x
(veja no slide anterior a solução, considere a = 1)
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EQUAÇÃO x^n = a
Sejam a um número real e n um número inteiro positivo
A equação
xn = a
tem por solução real
√n a
●
Se n é ímpar então x =
●
Se n é par e a > 0 então x = ±√ a
●
Se n é par e a < 0 então não existe solução real.
(solução única)
n
(2 soluções)
Se a = 0 então solução trivial x = 0
Na lousa, colocar a resolução gráfica (interseção de y = x^n com a reta
horizontal y = a)
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POLINÔMIOS
Toda expressão p(x) que pode ser escrita como a soma de potências
p ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x 1 + a 0 x 0
a n , a n−1 , ... , a 1, a 0 são os coeficientes de p(x)
grau(p) = n, considerando
a n ≠0
A soma ou o produto de dois polinômios também é um polinômio.
grau(p + q) = max{grau(p), grau(q)}
grau(p.q) = grau(p) + grau(q)
Dois polinômios são iguais se os coeficientes das mesmas potências
são iguais.
Considere polinômios com coeficientes reais.
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Equações Polinomiais
Teorema 1 (Teorema Fundamental da Álgebra)
Se grau(p) = n então a equação p(x) = 0 tem n raízes (reais
ou complexas).
Teorema 2 (Fatoração devido a uma raiz real)
Se r é uma raiz real de p(x) então existe um polinômio g(x)
tal que p(x) = (x – r).g(x) (grau(g) = grau(p) - 1)
Teorema 3: as raízes complexas aparecem em par de raízes
conjugadas (associadas a um fator quadrático x 2 + b x + c )
Teorema 4: todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma
raiz real.
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Fatoração de Polinômios
Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais.
Teorema: todo polinômio pode ser fatorado no produto de fatores
lineares (associados com as raízes reais) e fatores quadráticos
(associados aos pares de raízes complexas conjugadas).
Seja r uma raiz real de p(x).
Definição: a multiplicidade da raiz real r é o número de vezes
que o fator (x – r) aparece na fatoração de p(x).
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Equação Cúbica - Raízes e Fatoração
a x3 + b x 2 + c x + d = 0
Classificação das Raízes
Fatoração da Expressão
3 raízes reais e distintas
a.( x−r 1 ).( x−r 2 ).( x−r 3 )
2 raízes reais e distintas
a.( x−r 1 )2. ( x−r 2 )
(1 raiz dupla e 1 simples)
1 raiz real tripla
1 raiz real simples e
a.( x−r)3
a.( x−r)( x 2 +k x +m)
2 raízes complexas conjugadas
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EXERCÍCIOS
1) Determine os coeficientes do polinômio
p ( x) = ( x−2).( x 2− x+3)
2) Determine os números reais b e c sabendo que
3
2
2
x − 3 x + 20 = ( x + 2).( x + b x + c)
3 e 4) Determine todas as raízes reais da equação
3
2
3
2
3)
x −x − x + 1 = 0
4)
x −x −2 x = 0
5)
x −5 x + 4 = 0
4
2
(determine duas raízes por inspeção e
a terceira por fatoração)
(substitua y = x^2)
6) Fatore os polinômios correspondentes ao lado esquerdo das
igualdades no exercícios 3 a 5.
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