Conjuntos

OS CONJUNTOS
Professora Laura Aguiar
1.1)
Estudando os Conjuntos
Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica, estamos
formando conjuntos. Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser divididos em cinco classes:
peixes, répteis, anfíbios, mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de animais forma um
conjunto.
Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos outros conceitos.
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que cada
elemento é um dos componentes do conjunto.
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso
alfabeto, e os elementos por letras minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos
uma das três formas seguintes:
- Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são
apresentados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto e vírgula
ou por vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8}
- Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos
os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por
todos os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor que 9 } Lê-se: O
conjunto A é formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par menor que 9.
- Diagrama de Euler – Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por
uma curva fechada. Ex:
1.1.1)
Relação de Pertinência
A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um
determinado conjunto.
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim:
SIMBOLOGIA
2 A
3 A
TRADUÇÃO
O elemento 2 pertence ao conjunto A.
O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando
um elemento a um conjunto, nesta ordem.
“elemento”

“conjunto”
Ou
“elemento”

“conjunto”
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto.
1
1.1.2)
Relação de Inclusão
A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro
conjunto.
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está
contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para
que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo.
Simbologia:
SIMBOLOGIA
AB
DE
BA
E
 D
TRADUÇÃO
O conjunto A está contido no conjunto B.
O conjunto D não está contido no conjunto E.
O conjunto B contém o conjunto A.
O conjunto E não contém o conjunto D.
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um
conjunto a outro conjunto.
“ conjunto”
“ conjunto”
“ conjunto”
“ conjunto”





“ conjunto”
“ conjunto”
“ conjunto”
“ conjunto”
Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B.
1.1.3)
Conjunto Vazio
O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto
vazio usaremos os símbolos: { } ou  .
Atenção: Quando os símbolos { } ou  , aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto,
o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado.
Ex. : Seja o conjunto A={  ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que   A , pois
 é um elemento do conjunto A.
Também sempre será verdade que:
i)   A para qualquer que seja o conjunto A.
ii) A  A para qualquer que seja o conjunto A.
1.1.4)
Conjunto Unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.
1.1.5)
Conjunto das Partes
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por
todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos.
Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o
próprio conjunto.
Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ).
2
1.1.6)
Numero de elementos do conjunto das partes
Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(A). E o
número de elementos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)].
Daí :
n[ P( A)]  2 n( A)
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá
conjunto A terá no total 16 subconjuntos.
1.1.7)
2 4 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o
Igualdade de Conjuntos
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em
qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma
única vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por:
A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c}
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como:
1.2)
A  B  A  B eB  A
Operações com conjuntos
1.2.1) União de Conjuntos:
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B.
Indicaremos a união pelo símbolo  . Matematicamente:
A  B  {x | x  a ou x  B}
isto é:
seja x  A e x  B

x  A  B  seja x  A e x  B
seja x  A e x  B

Nos diagramas abaixo
A  B ,é a região hachurada:
3
1.2.2) Interseção de conjuntos:
A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
Indicaremos a interseção pelo símbolo  . Matematicamente:
A  B  {x | x  a e x  B}
Nos diagramas abaixo
A  B , é região hachurada:
Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos
disjuntos.
1.2.3) Diferença de conjuntos:
A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e
não pertencem a B. Matematicamente:
A  B  {x | x  a e x  B}
Nos diagramas abaixo
A  B ,é a região hachurada:
1.2.4) Conjunto complementar:
Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U, a diferença U – A, é
chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos o conjunto U conjunto universo.
Ao complementar de A em relação a U usaremos a notação:
C
A
C
U , ou A , ou A .
Então:
C
A
U
 {x | x U e x  A}
No diagrama abaixo
C
A
U é a região hachurada:
4
Ex: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A={ 1, 3, 5, 7} daí
C
A
U
 U  A  {0,1, 4, 6, 8, 9}
1.2.5) Diferença Simétrica :
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e
não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. Indicaremos a
diferença
simétrica
entre
A
e
b
por:
Daí:
A B.
A  B  {x | x  A  B ou x  B  A}  ( A  B)  ( B  A)
No diagrama abaixo A  B , é região hachurada:
1.2.6) Número de elementos da união de conjuntos:
O número de elementos da união de :
-
dois conjuntos A e B será: n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
três conjuntos A, B e C será:
n( A  B  C)  n( A)  n( B)  n(C)  n( A  B)  n( A  C)  n( B  C)  n( A  B  C)
Dedução:
 n( A)  x  y

Seja n( A  B)  y
 n( B )  y  z

pelo
diagrama
temos
q
n( A  B)  x  y  z , fazendo as
substituições de x, y e z teremos a fórmula, para o número de elementos da união dos dois
conjuntos.
1.2.7) Problemas envolvendo conjuntos
1) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e
60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas
doenças.
Solução:
Sabemos que o total de cães é 100%. Com o auxílio do Diagrama de Venn obtemos:
(80% – x) + (x) + (60% – x)= 100%
140% - 2x + x = 100%
5
40% = x
Resposta: 40% dos animais foram vacinados contra as duas doenças.
2) Sabe-se que numa escola de esportes 47 alunos fazem futebol, 23 fazem natação e 36 fazem
atletismo. Ainda sabe-se que 10 alunos estão matriculados nas 3 modalidades, 12 fazem natação
e futebol, 10 fazem natação e atletismo, e 15 fazem futebol e atletismo.
a) Qual o total de alunos matriculados nesta escola de esportes?
b) Quantos alunos fazem futebol e atletismo?
c) Quantos alunos fazem somente futebol e atletismo?
Solução:
Primeiramente vamos preencher o Diagrama de Venn partindo da interseção mais restrita até a
menos restrita. Ou seja, vamos preencher o campo de interseção das 3 modalidades, depois de
duas modalidades (par a par) e depois preencher o campo dos alunos que só fazem 1 modalidade.
6
Observando a evolução no preenchimento do diagrama ( de 1 até 4) devemos ressaltar que, por
exemplo, das 37 pessoas que faziam futebol: 20 não faziam outros esportes, 10 faziam os 3
esportes, 12 faziam natação também, 15 faziam atletismo também, 2 faziam somente futebol e
natação e 5 faziam somente futebol e atletismo.
Com o Diagrama explicitado podemos responder às perguntas iniciais.
a) Basta somar todos os campos do diagrama. O diagrama montado nos permite somar as partes
sem somar duas ou três vezes as mesmas pessoas.
Total= 69
b) Observando o diagrama 4 percebemos que a quantidade de alunos que fazem futebol e
atletismo é: 15
c) A quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo, somente, é: 5
1.3)
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar
resultados para algumas operações matemáticas.
Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais.
1.3.1) Conjunto dos números naturais (N):
É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5;
...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e
o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou
subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, por
exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os
números negativos.
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”
Leopold Kronecker
1.3.2) Conjunto dos números inteiros (Z):
Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos
destacar os seguintes subconjuntos de Z:
- N, pois N  Z.
- Z* = Z – { 0 } ou Z* = { ...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}
Geometricamente temos:
7
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou
simétrico de –3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando
os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É
bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número
que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se
não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra:
“Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários
conduzem sempre à resultados negativos”.
No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja,
a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E
todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z.
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro:
(-8) : (+2) = -4  é possível em Z.
(-7) : (+2) = ?  não é possível em Z.
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z.
1.3.4) Conjuntos dos números racionais(Q):
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o
conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais:
3
1
1
1
 2,  ,  1,  ,  , 0,
,
2
2
4
2
3
5
, 1,
, 2,...
4
3
a
Observe que todo número racional pode ser escrito na forma
, com a  Z, b  Z*. Assim,
b
escreveremos:
a

, com a  Z e b  Z *
b

Q =
Perceba que a restrição b  Z * , nos obriga a termos b  0 , pois
significado com b  0 . A designação racional, surgiu porque
a
, a divisão de a por b, só tem
b
a
pode ser vista como uma razão
b
entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira
letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras:
- Número inteiro: Se b = 1, temos
N Z Q
a a
  a  Z , o que implica que Z é subconjunto de Q. Assim:
b 1
- Número decimal exato: Dado um número racional
a
, a representação decimal desse número é
b
obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais
após a vírgula, este resultado é um número decimal exato. Exemplos:
1
5
4
247
 0,25;   0,625;
 0,8;
 0,247
4
8
5
1000
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão
a
, que possui uma
b
quantidade infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado de
dízima periódica, e a fração
a
que gera a dízima, é a fração geratriz. Exemplos:
b
8
2
177
83
 0,666...  0, 6 ;
 0,1787878...  0,178 ;
 2,515151...  2, 51
3
990
33
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as
propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão por
zero é impossível!
Geometricamente temos:
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois racionais
sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais
encontrar infinitos racionais; entre eles
3
1
 0,5 e  0,75 podemos
4
2
5
 0,625 . Mas isso não significa que os racionais
8
preenchem toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos
de reta. Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo retângulo, de catetos medindo uma
unidade, é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição,
subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q,
uma equação como
x 2  2 não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional
a
tal que
b
2
a
   2 . Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número não racional ou
b
irracional.
1.3.5) Conjunto dos números irracionais(I):
São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com numerador inteiro e
denominador inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e não periódicas. Exemplos:
2  1,4142135... ; 3  1,7320508... ;
Representação de alguns irracionais na reta:
  3,1415926535...
9
1.3.6) Conjunto dos números reais(R):
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o
conjunto dos números reais R. Simbolicamente:
R  Q  R / Q  x  Q ou x  R / Q  x | x é racional ou x é irracional 
Os números racionais não eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os
pontos da reta correspondente aos números 3 , 2 ,  ,  , e não eram preenchidos com os
números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada
ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real
corresponde um único ponto da reta.
Por isso dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os
pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos
uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala.
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui:
N Z Q R
Q/ R  R
Q Q/ R  R
Q Q/ R  
Q/ R  R Q
Assim com os números reais toda equação do tipo x  a com a  N , pode ser resolvida e todos
os segmentos de reta podem ser medidos.
Existem outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é
impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um
2
número negativo. Assim,  4 não é um número real; é um número complexo ou imaginário.
Podemos usar as seguintes notações para alguns subconjuntos de R:
R
R*
R
R*




real positivo ou nulo
real positivo
real negativo ou nulo
real negativo
O mesmo pode ser feito com Z e Q.
10
1.3.7) Relação de ordem em R:
Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma, das
relações: a = b ou a > b ou a < b.
A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o
número real b.Geometricamente se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real.
A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o
número real b. Geometricamente , se a > b, então a está situado à direita de b na reta real.
Também usaremos a notação:
a  b  a  b ou a  b (a é menor que b ou a é igual a b)
a  b  a  b ou a  b (a é maior que b ou a é igual a b)
a  b
abc  abebc  
b  c
Será muito útil percebermos que se tivermos x  R, e escrevermos:
x > 0  x é positivo
x < 0  x é negativo
x  0  x é não positivo
x  0  x é não negativo
Algumas propriedades importantes das desigualdades:
As simbologias <, >, chamaremos de sentido da desigualdade.Vejamos algumas propriedades
muito úteis:
1ª)Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido:
-2<x<3 e 1<y<5  -2+1 < x+y < 3+5
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a ambos os membros de uma desigualdade sem
alterá-la ou transpor um termo de um membro para o outro, trocando o sinal deste termo.
x+7 < 9  x > 9-7  x > 2 que é o mesmo que fazer x+7 < 9  x +7-7 > 9-7  x > 2
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente
de zero, mas com o seguinte cuidado:
-Se o número for positivo, conservamos o sinal da desigualdade;
-Se o número for negativo invertemos o sinal da desigualdade.
Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15
> -10 .
11
1.4)
Intervalos Reais
Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, tem grande importância na
Matemática; são os intervalos reais.
Representação na reta real
Intervalo aberto:
Intervalo fechado:
Intervalo semi-aberto à direita:
Intervalo semi-aberto à esquerda:
Sentença matemática
{x  R | a < x < b}
Notações simbólicas
]a,b[
(a,b)
{x  R |
a  x b}
[a,b]
[a,b]
{x  R |
a  x b}
[a,b[
[a,b)
{x  R |
a  x b}
]a,b]
(a,b]
Intervalos “infinitos”:
Representação na reta real
Sentença matemática
Notações simbólicas
{x  R |
x  a}
]a,  [
{x  R |
x  a}
[a,
{x  R |
x  a}
]   ,a[
(   ,a)
{x  R |
x  a}
]   ,a]
(   ,a]
 [
( a,  )
[a,
 )
12
Considera-se como intervalo ]   ,  [ = R.
Observações:
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( )
indica que o extremo do intervalo não pertence a ele.
2)   e  , simbolizam apenas a ausência de extremidades pela esquerda ou pela direita no
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto   e  não são números reais!
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos números reais. Assim os seguintes exemplos
não são intervalos:
S={x  Z | -5< x < 2}; L= {x  N | x >3 }; T = {x  Z |  3  x  1}
1.4.1) Operações com intervalos
Estudamos em tópicos anteriores que algumas operações podem ser realizadas com conjuntos.
Como os intervalos reais são subconjuntos de R, também podemos realizar operações com
intervalos.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = { x  R |  3  x  2 } e B = { x  R | 0 x  8 }, para efetuar as
operações representamos cada conjunto em retas reais paralelas. Vamos exemplificar as
operações de união e interseção, mas as operações de diferença (A – B ou B – A) e de
complementar também podem ser efetuadas desta maneira.
A B
A B
13
1.5)
Fixação
1) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que
A B ={2, 3}, o conjunto A B é igual a:
X  A ={0, 1, 5, 6} e X  B ={0,4,6}. Se
A) {1, 4, 5}
B){0, 2, 3, 5}
C){1, 2, 3, 4}
D){1, 2, 3, 4, 5}
E){0, 2, 4, 5, 6}
2) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que
é igual a:
C  ( A  B) ={6, 7} e C  ( A  B) ={4, 5}, então, C
A) {4,5}
B) {6, 7}
C) {4, 5, 6}
D) {5, 6, 7}
E) {4, 5, 6, 7}
3) (U.Uberaba) No diagrama, a parte hachurada representa:
A)
B)
C)
D)
E)
(E  F )  G
( E  G)
G  (E  F )
( E  F )  ( F  G)
(E  F )  G
4) (PUC) A região assinalada no diagrama representa:
( A  B)  C
B) ( A  B)  ( B  C )
A)
14
( A  C)  (B  C)
D) ( A  B)  (C  B)
E) ( A  C )  ( B  C )
C)
5) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é?
A) exatamente 6.
B) exatamente 2.
C) no mínimo 6.
D) no máximo 5.
E) no mínimo 4.
6) (PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres.
Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que
já tem emprego?
A) 60%
B) 40%
C) 30%
D) 24%
E) 12%
7) (CESESP) Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o
jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois
jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.
A) 80%
B) 14%
C) 40%
D) 60%
E) 48%
8) (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
B – Quando chove de manhã não chove à tarde;
C – Houve 5 tardes sem chuva;
D - Houve 6 manhãs sem chuva.
Então n é igual a:
A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
9) (CESGRANRIO) Ordenando os números racionais
p
13
5
2
, q
e r  , obtemos:
24
6
3
A) p < r < q
B) p < q < r
C) r < p < q
D) q < r < p
E) r < q < p
15
10) (UFJF) Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
Aposição do número real x.y é:
A) à esquerda do zero
B) entre zero e x
C) entre x e y
D) entre y e 1
E) à direita de 1
11) Uma indústria lançou um novo modelo de carro que não teve a repercussão esperada. Os técnicos
identificaram 3 possíveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço mais
elevado em relação aos modelos similares do mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado:
Problemas
Número de votos
D
34
A
66
P
63
DeA
17
DeP
22
AeP
50
D,A e P
10
Sem problemas
16
Qual conclusão é verdadeira:
A) Como a quantidade de pessoas que não encontraram problemas é maior do que a daquelas que
encontraram os 3 problemas, a maioria dos entrevistados gostou do modelo.
B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço elevado.
C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas.
D) Necessariamente, quem encontrou problema em A também encontrou problema em D.
12) (PUCCAMP) Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes
estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e que as do sexo feminino
que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições, escolhendo-se uma matrícula ao acaso qual é
a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado?
A) 2/5
B) 3/10
C) ¼
D) 1/5
E) 1/10
13) (PUCMG) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas
é:
A) 20 %
B) 40 %
C) 60 %
D) 75 %
E) 140 %
16
14) (Unirio) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma
cidade, descobriu-se, sobre a população, que:
I - 44% têm idade superior a 30 anos;
II - 68% são homens;
III - 37% são homens com mais de 30 anos;
IV - 25% são homens solteiros;
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos;
VI - 45% são indivíduos solteiros;
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que
representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de:
A) 6%
B) 7%
C) 8%
D) 9%
E) 10%
15) (Unirio) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os
seguintes dados:
- 28% dos funcionários são mulheres;
- 1/6 dos homens são menores de idade;
- 85% dos funcionários são maiores de idade.
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres?
A) 30%
B) 28%
C) 25%
D) 23%
E) 20%
16) (UERJ) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença,
apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos
dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo:
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Podese concluir que X é igual a:
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
17
17) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apresentava as
afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os
resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100, na afirmativa B;
7720, na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas
afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram
falsas as três afirmativas?
A)
B)
C)
D)
E)
360
490
720
810
1080
18) (UERJ) Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo público de uma determinada comunidade.
A tabela a seguir resume o resultado de um levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores dessa
comunidade.
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores consultados que não votariam no
candidato B é:
A) 66,0%
B) 70,0%
C) 94,5%
D) 97,2%
19) (UFG) A afirmação "Todo jovem que gosta de matemática adora esportes e festas" pode ser representada
segundo o diagrama:
M = { jovens que gostam de matemática };
E = { jovens que adoram esportes };
F = { jovens que adoram festas }
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20) (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos
entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam à
praia.De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de:
A) 20%
B) 35%
C) 40%
D) 25%
Gabarito:
1. D
8. D
15. E
1.6)
2. C
9. B
16. A
3. C
10. B
17. E
4. C
11. B
18. B
5. E
12. D
19. C
6. A
13. B
20. B
7. C
14. B
Pintou no ENEM
1)(Enem/2003) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por erro do motorista. Em
boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de
cerveja provoca uma concentração de aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue.
A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocado por bebidas alcoólicas em função de níveis
de concentração de álcool no sangue:
(Revista Pesquisa FAPESP n o 57, setembro 2000)
Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja provavelmente apresenta
A) queda de atenção, de sensibilidade e das reações motoras.
B) aparente normalidade, mas com alterações clínicas.
C) confusão mental e falta de coordenação motora.
D) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar.
E) estupor e risco de parada respiratória.
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Solução:
A ingestão de 1 lata de cerveja provoca uma concentração de álcool de 0,3 g/L. Logo, a ingestão de 3 latinhas
de cerveja provocarão uma concentração de álcool de 0,9 g/L de sangue.
Analisando a tabela, conclui-se que a pessoa terá perda da sensibilidade, das reações motoras, queda de
atenção, dentre outros sintomas. Sendo assim, a resposta é a alternativa A.
2)(Enem) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1•,
C2‚ e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica
que C1•e C2‚ terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em
comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que,
para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:
A) 135.
B) 126.
C) 118.
D) 114.
E) 110.
Resposta: C
1.7)
Sessão Leitura
O homem que colocou o infinito no bolso
O alemão Georg Cantor, no início do século, desafiou o senso comum ao descobrir números que a imaginação
matemática ainda não alcançava.
Desde que o homem aprendeu a pensar, poucos conceitos
perturbaram tanto o seu espírito quanto o infinito. Um
exemplo simples são os números inteiros: 1, 2, 3, 4, 5... e
assim por diante. A sequencia nunca termina e não se pode
imaginar um número que seja maior que todos os outros —
era o que se pensava até o final do século XIX. O fato, porém,
é que há números ainda maiores, como se além de um infinito
houvesse outros. Esse paradoxo abalou o pensamento
matemático e surpreendeu seu próprio autor, o matemático
Georg Cantor (1845-1918). Filho de dinamarqueses, nascido
na Rússia e radicado na Alemanha, sua pátria por adoção,
Cantor era bastante conservador, dizem os historiadores.
[...] quando foi atacado por sua descoberta, defendeu-se dizendo sinceramente que fizera tudo para evitá-lo.
“Apenas, não vejo como fugir dela”, acrescentou. E estava certo. Seu método, claro como água, consistiu em
comparar a lista dos números inteiros com as de outros números. Por exemplo, como os existentes entre 0 e 1,
tais como 0,014828910... ou........... 0,999999273... E a comparação era feita como quem vistoria uma sala de
cinema: se não há cadeiras vazias e ninguém está de pé, é certo que o número de cadeiras é igual ao de
pessoas. Caso contrário, será maior o número do que sobrar, cadeiras ou pessoas.
Com essa ideia em mente, Cantor emparelhou os números inteiros com os números menores que 1 e
constatou: depois de esgotar a lista dos inteiros, ainda havia menores que 1 a emparelhar. Concluiu que o
número desses últimos — apenas entre 0 e 1 — era maior que o infinito número dos inteiros. Nem havia nome
para tal quantidade, e coube a Cantor batizá-la. Chamou de álefe-zero ao conjunto de todos os inteiros — o
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“menor” dos infinitos. Vinha depois o álefe-zero mais 1, e por aí adiante, numa
inimaginável hierarquia de
infinitos. O mundo ficou pasmo, mas, como quase sempre acontece, grande
parte do problema era simples falta de costume com uma ideia nova.
O notável avanço dos fractais
Fonte: Wikipédia
E, depois de assimilados, os métodos cantorianos se mostraram perfeitamente
práticos e muito úteis. Apenas a título de ilustração, eles serviram de base à
recente teoria dos fractais, que representa um notável avanço no conceito de
dimensão. Uma casa tem dimensão 3 porque tem altura, largura e comprimento,
e uma folha tem dimensão 2 porque só tem largura e comprimento. Mas há objetos difíceis de classificar —
como os alvéolos pulmonares. Por serem ramificados como uma árvore, se diz que sua dimensão é fracionária
— alguma coisa entre uma área e um volume — e é denotada por algum número entre 2 e 3. Isso, por si só,
mostra que Cantor ajudou a ampliar os cálculos que a Matemática é capaz de fazer.
Ainda mais importante que esse lado prático, porém, foi uma mudança de fundo na maneira de ver os números.
Curiosamente, o melhor caminho para entender a visão moderna é relembrar como os números eram usados
na Pré-história — e ainda hoje são usados por pastores nômades que aprenderam a contar com seus
ancestrais. Como não sabem dizer quantos animais têm, os pastores colocam pedrinhas numa sacola, uma
para cada vaca que sai do curral. Assim, sabem que têm tantos animais quantas pedras há na sacola. Ou seja,
quase se pode dizer que a sacola de pedras é o número — e que esses povos carregam seus números no
bolso, em lugar de decorá-los.
Colocar pedras abstratas numa sacola infinita
Esse tosco sistema serve apenas para manter o gado sob controle. Mas é mais ou menos isso o que a
Matemática moderna entende por número: uma espécie de comparação entre dois conjuntos — o conjunto de
pedras e o de vacas, ou de qualquer outra coisa. É fácil perceber que, para contar os infinitos números entre 0
e 1, Cantor repetiu o procedimento daqueles pastores: a diferença básica é que, como pedras, ele usou os
números inteiros. Sua sacola era infinita e suas pedras, abstratas, mas seu objetivo, desde o início, era
compreender os números comuns. Ou, pelo
menos, uma categoria rebelde de números
comuns.
O exemplo clássico, conhecido desde a
Antiguidade, é a raiz de 2. À primeira vista, é um
número trivial, para todos os efeitos igual a 1,41.
O problema é que 1,41 ao quadrado dá 1,9881
— e não 2, como deveria acontecer se fosse a
raiz procurada. A resposta exata, na verdade,
nunca poderia ser escrita, e o mesmo vale para
a maior parte dos números entre 0 e 1 . Pelo
simples motivo de que raiz de 2 tem infinitos
algarismos. Existem fórmulas para se
calcularem quantos algarismos se queiram. Por
exemplo, com dez casas decimais, o número
seria 1,4142135623. Mesmo assim, seu
quadrado é 1,9999999997. Ainda não alcança o
alvo, como se raiz de 2 fosse uma construção
eternamente inacabada.
Esse fato perturbou profundamente os gregos antigos, que conheciam bem as frações, e muitas delas com
infinitos algarismos, como 0,66666666... A diferença é que esse número pode ser abreviado na forma de uma
razão: ele vale exatamente 2/3. No entanto, não há razão capaz de simbolizar a raiz de 2 e outros números. Daí
porque foram chamados “irracionais”, no século V A.C. (hoje, frações, inteiros e irracionais são todos
englobados num só conjunto, o dos números reais). Não por acaso, por volta daquela época, o infinito começou
a revelar suas arapucas aos filósofos e matemáticos.
[...]
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http://super.abril.com.br/cotidiano/georg-cantor-alefe-zero-homem-colocou-infinito-bolso440970.shtml
http://www.thefamouspeople.com/profiles/georg-cantor-519.php
Questões:
a)
b)
c)
d)
e)
Qual a principal ideia do texto?
É possível determinar o menor elemento do conjunto dos números inteiros?
De acordo com Cantor, é possível estabelecer um ordenamento entre os infinitos? Justifique.
O intervalo [0,1] está contido em qual conjunto numérico: N, Z, Q , I ou R?
Cite dois números racionais que, de acordo com o texto, poderiam corresponder à quantidade de
dimensões dos alvéolos pulmonares.
1.8)Referências:
MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna
SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD
PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna
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