6. Esforço normal, tensão normal e extensão

6. Esforço normal, tensão normal e extensão
1. Mecânica dos materiais
Restrição dos conceitos da Mecânica dos sólidos para peças lineares
Peça linear (ou elemento unidimensional): elemento estrutural que tem duas
dimensões muito inferiores à terceira
Representa-se pelo seu eixo (ou linha média) que corresponde ao conjunto
dos centróides das secções transversais
Define-se secção transversal como parte do material obtida pelo corte
perpendicular ao eixo do elemento (tem área mínima de todas as secções)
As restrições geométricas permitem introduzir as simplificações seguintes:
A. Sobre as tensões
Hipótese de Navier
x
y
σ y ≡ σz ≡ 0
τ yz ≡ 0
z
O referencial local tem
que ser directo
• tensões normais nos cortes paralelos com o eixo
dos elementos estruturais são desprezáveis
• tensões de corte nos cortes paralelos com o eixo
dos elementos estruturais na direcção de linha
externa da secção transversal são desprezáveis
B. Sobre as deformações
Hipótese de Bernoulli
A secção transversal mantém-se plana e perpendicular ao eixo do elemento
depois da deformação
O referencial local tem que ser direito e central
(a origem no centróide da secção transversal)
x
y
6 equações de equivalência
σx
τ xy
τ xz z
N
Vy
My
∫ σ x dA =N
A
T
∫ σ x zdA =M y
A
− ∫ σ x ydA =M z
A
Vz
Mz
N, M y , M z
σx
∫ τ xy dA =Vy
∫ τ xz dA =Vz
A
A
− ∫ τ xy zdA + ∫ τ xz ydA =T
A
T, Vy , Vz
A
τ xy , τ xz
Excepções:
1. Secção transversal é plana mas não é perpendicular à linha
média nas vigas “altas” sujeitas às cargas transversais 4h>L
2. Secção transversal não é plana em torção de secções sem
simetria radial – empeno
3. Empeno constrangido T
τ xy , τ xz , σ x
A distribuição de tensão de corte é mais complicada, é preciso
distinguir secções transversais de vários tipos
maciças
de parede fina abertas
de parede fina fechadas uni ou multicelulares
nas secções de parede fina o cálculo envolve ainda a determinação do
centro de corte, que nas secções maciças coincide com o centróide
M, N, V, T chamam-se esforços internos
formam um passo intermédio na resolução da distribuição das tensões,
deformações e deslocamentos nos conjuntos das peças lineares
análise
linear
sobreposição
Regras gerais de determinação do estado das tensões
numa secção transversal dum elemento linear:
• determinação do centróide e dos eixos centrais principais de inércia
da secção transversal
• determinação dos esforços internos nesta secção transversal
• determinação de distribuição da componente de tensão para cada esforço
separadamente
• soma das componentes correspondentes de tensão
Sabendo as tensões, determinam-se as deformações e os deslocamentos
das equações básicas (eq. constitutivas, eq. deformação – deslocamento)
~ método das forças na resolução do problemas de elasticidade
2. Princípio de Saint-Vénant
Cargas estaticamente equivalentes
cargas cujas resultantes (força - binário)
são iguais na secção transversal de aplicação
Os efeitos locais na zona de aplicação de
cargas diminuem rapidamente com a
distância, por isso as cargas aplicadas na
realidade podem ser substituídas pelas
cargas estaticamente equivalentes
P
P/4
p = P/A
Adhémar Jean Claude Barré
de Saint-Venant, 1797 - 1886
P/2
P/2
Distribuição da tensão normal uniforme
Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas
3. Tensão normal
Estruturas onde o único esforço interno é o esforço normal:
Treliças, colunas, sistemas rectilíneos de eixo comum sujeitos à carga normal
Elementos de estruturas onde o único esforço interno é o esforço normal:
Barras de apoio, elementos rectilíneos sujeitos a acção de duas forças
Coluna: linha média vertical,
secção transversal pode ser mais grossa, violando assim 4h<L
Carga normal: forças exteriores são aplicadas na direcção da linha média
Em consequência do princípio de Saint-Venant
a carga normal pode ser considerada também
quando a carga equivalente actua na linha média do elemento
Hipóteses de Navier e de Bernoulli implicam distribuição linear de tensão normal
ou seja σ x = ay + bz + c ; τ xy ≡ τ xz ≡ 0 para o esforço normal
Usando as condições de equivalência
Eixos centrais
principais de inércia
2
(
ayz
+
bz
+ cz )dA =bI y = 0 ⇒ b = 0
σ
zdA
=
M
=
0
∫
∫ x
y
A
A
2
(
σ
ydA
=
−
M
=
0
ay
+ byz + cy )dA =aI z = 0 ⇒ a = 0
∫
x ∫ x
z
y
A
σx
τ xy
τ xz z
A
∫ σ x dA = σ x ∫ dA = σ x A = N ⇒ σ x =
A
A
N
A
Distribuição da tensão normal na secção transversal é constante (uniforme)
σ
σ ou σ x tensão normal
N σ lim
σ= ≤
A
n
tracção positiva, compressão negativa
N: esforço normal (positivo / negativo)
A: área da secção transversal
n: coeficiente (factor) de segurança
Tensão normal limite pode ser
+
−
diferente em tracção σ lim e em compressão σ lim
Usando a Lei de Hook
ε( x ) =
σ = Eε
define-se a extensão
σ
(x ) = N (x ) = ∂u = du ⇒ du = ε(x )dx
∂x dx
E
EA
∫x du = ∫x ε(x )dx ⇒ u L = u 0 + ∫x ε(x )dx
xL
xL
xL
0
0
0
Elementos
rectilíneos
mantém o seu
eixo recto
depois da
deformação
N
(x ) = ε(x ) = const ⇒ u L = u 0 + N ∫xx dx = u 0 + N L
EA
EA
EA
L
0
Define-se a variação de comprimento
ΔL = u L − u 0
N
⇒ ΔL =
L
EA
ΔL = u final − u inicial
Sinal unicamente definido como para N,
não é preciso introduzir um referencial
Positivo: alonga (alongamento)
Negativo: comprime (encurtamento)
É preciso introduzir um referencial
para determinar o sinal do deslocamento
x = x0
x
x = xL
x = xL
u0
uL
x
x = x0
uL
u0
L
L
ΔL = 20 − 10 = 10
ΔL = −10 − (− 20) = 10
Sistemas rectilíneos estaticamente indeterminados sujeitos à carga normal
Condição de compatibilidade:
soma de variações de comprimentos
tem que ser igual a zero