Geometria Analítica Básica

Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos
Cálculo I – Matemática I
para Tecnólogo em Construção de Edifícios e
Tecnólogo em Refrigeração e Climatização.
Matemática I – Cálculo IFRS – Campus Rio Grande
IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG
1
DISCIPLINA
CARÁTER
CÓDIGO
MATEMÁTICA I- Cálculo I
obrig
11
CRÉDITOS
LOCALIZAÇÃO NO QSL
CH TOTAL
PRÉ-REQUISITOS
EIXO DE FORMAÇÃO
05
1o período
75h
Fundamentos
Fundamentos
de Matemática
EMENTA
Plano
coordenado:
Circunferência,
Distância
Trigonometria:
entre
Pontos.
Razões
Equação
da
Trigonométricas
no
Reta.
Triângulo
Equação
da
Retângulo,
Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de uma variável real
Função
Exponencial
e
Logaritmo.
Limites:
Definição
e
Propriedades.
Limites
Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes. Derivada: definição Propriedades e
Cálculo.
BIBLIOGRAFIA
1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com
Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.
2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas
aplicações. Editora LTC, 6. Ed.
3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do
Brasil,1982.
4. MENEGHETTI, André, et al.Pré-Cálculo. IMEF Furg. Rio Grande, 2012.
Programa.
1.
Sistemas
de
Coordenadas
no
Plano.
Sistema
de
Coordenadas
no
Plano.
Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no Plano. Cálculo
do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta. Posições relativas da reta no
plano. Interseção de retas. Distância de um Ponto a uma Reta. Distância entre
Retas Paralelas. Equação de Circunferência. Equação da Parábola.
Equação da
Elipse. Equação da Hipérbole.
2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas nos Reais:
Identidade,
Linear,
Quadrática,
Valor
Absoluto.
Operações
Algébricas
com
Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função Logaritmo e Exponencial.
Funções Trigonométricas Inversas.
3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de Limites
Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito. Limites
Transcendentes. Continuidade de Funções.
4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica. Regras de
Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das Funções Trigonométricas.
Derivada das Funções Inversas. Derivada das Funções transcendentes. Derivadas
de Ordem Superior.
2
Unidade A
Geometria
Analítica Básica
Plano Cartesiano, pontos e retas.
Matemática I – Cálculo I
IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG
3
Geometria Analítica
A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos,
mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de
equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole
e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico:
O plano cartesiano.
1. Plano Cartesiano
II Q
III Q
I Q
O plano cartesiano é composto por dois
eixos
ortogonais,
cuja
intersecção
é
a
referência principal do sistema: a origem O
(0,0).
As
coordenadas
dos
pontos
são
determinadas a partir do deslocamento, em
relação à origem, necessário até o ponto.
Cada
ponto
é
localizado
por
duas
coordenadas.
P(xp, yp)
1ª coordenada – abscissa – x
2ª coordenada – ordenada - y
IV Q
Os eixos dividem o plano cartesiano em
quatro partes, chamados quadrantes. Orientados
no sentido anti-horário como na figura ao lado.
 Deslocamento à esquerda da origem: x < 0.
 Deslocamento à direita da origem: x > 0.
 Deslocamento abaixo da origem: y < 0.
 Deslocamento acima da origem: y > 0.
 Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima.
 Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima.
Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2),
B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).
4
2. Distância entre dois pontos no plano.
Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que
liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor
caminho entre eles é determinado por um segmento de reta.
Notação: d(A,B) Lê-se: Distância entre A e B.
Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).
Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância
entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética:
Considerando dois pontos não alinhados
horizontalmente,
nem
verticalmente,
podemos obter um triângulo retângulo,
definido pelas coordenadas de A e de B.
Sempre podemos determinar a medida dos
catetos:
 Cateto horizontal: xb – xa.
Cateto vertical: yb – ya.

Assim pelo Teorema de Pitágoras:
d(A,B)² = (xb  xa)²+ (yb  ya)²
e portanto:
d(A, B)  (x b  xa)²  (y b  ya)²
Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos:
(a) A(1,2) e B(2,1).
5
(b) C(3,1) e D(0,1).
2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e
passa pelo ponto P(4,2)?
2.1. Propriedades das distâncias.
i. d(A,B) > 0
ii. d(A,B) = d(B,A).
iii. d(A,B) = 0  A  B
iv. d(A,B) < d(A,C) + d(C,B)
Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade
Triangular, pois se refere a existência de um triângulo
conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a
propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até
B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por
outro ponto C.
Pense: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5?
3. Ponto médio de um segmento.
Se M é ponto médio do segmento AB, então
d(A,M)= d(M,B) e M  AB.
Vemos facilmente que as coordenadas do
ponto médio do segmento AB, em que A(1,3)
e B(5,1) é M(3,2). O intuito da Geometria
Analítica é não depender de esboços e
gráficos.
Precisamos pensar genericamente para
definir uma fórmula que encontre as coordenadas do ponto médio,
conhecidas as coordenadas dos extremos.
6
Como xm deve ficar a mesma distância
de xa e xb esta distância é
x b  xa
2
,
mas essa medida não é xm, pois a
abscissa
do ponto M deve ser
considerada
o
deslocamento
em
relação à origem, então
xm = xa +
xm =
x b  xa
2
=
xa  x b
2
2x a  x b  x a
2
Analogamente, para obter a ordenada
do ponto M, partimos da distância de ym a yb, acrescentando a distância
a yb.
ym  yb 
y  yb
ya  y b
2y b  y a  y b
 a

2
2
2
M
 xa  x b y a  y b 
,


2
2


Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1)
e B(5,3).
2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto
médio do segmento AB, em que A(4,0).
4. Estudo da Reta
Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta?
Trace uma reta passando por A e B e C estará
nela. A questão é que não podemos nos basear
em gráficos, mesmo que bem feitos.
Devemos caracterizar a reta para afirmarmos
que A, B e C estão alinhados. Que condição
satisfazem?
Um conjunto de pontos pertence a uma mesma
reta se a taxa de variação
y
x
entre dois
quaisquer de seus pontos é constante.
7
Taxa de variação entre A e B:
y
y  ya
 b

x
xb  xa
Taxa de variação entre B e C:
y
y  yb
 c

x
xc  xb
Taxa de variação entre A e C:
y  ya
y
 c

x
xc  xa
Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados.
A taxa de variação
y
x
de uma reta, como é constante, independe dos
pontos escolhidos e é chamada de coeficiente angular da reta. Observe a
figura abaixo:
Notação do coeficiente angular: a.
Sendo A(xa,ya) e B(xb, yb), temos:
a =
y
x

a 
y b  ya
x b  xa
Observe que AB é a hipotenusa de um triângulo
retângulo, tal que um dos ângulos internos é
.
y é o cateto oposto a .
x é o cateto adjacente a .
Portanto o coeficiente angular é: a = tan.
Em que  é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.
Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os
pontos A(3,1) e B(1,4).
2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é:
8
5. Equações da Reta
Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental,
reduzida e geral.
a. Equação fundamental da reta.
Conhecidos dois pontos A(xa, ya) e B(xb,
r
yb) e considerando um ponto P(x,y) que
representará todos os pontos alinhados
com A e B, obteremos uma equação que
mostra como a variável y se relaciona
com a variável x se P pertence à reta
r.
Sabemos
que
a
taxa
de
variação,
coeficiente angular, é constante para
quaisquer dois pontos da reta r.
Calculamos o coeficiente angular, usando a
taxa de variação entre A e B:
a 
y b  ya
x b  xa
(1)
Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica:
a 
y  ya
x  xa
(2)
Obteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já
conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando
a equação em cruz, chegamos a:
r: y – ya = a(x – xa)
Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(xa,
coeficiente angular, a, da mesma.
ya )
e o
Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta que contém os pontos
A(2,1) e B(4,7).
9
b. Equação reduzida da reta.
É a equação mais conhecida, na forma:
y = ax + b
Em que a = tan, é coeficiente angular da
reta.
E b? Notamos que se substituirmos x = 0, na
equação, obtemos y = b. Ou seja, o ponto
P(0,b) pertence à reta e também pertence ao
eixo oy, pois x=0. Portanto P é o ponto de
intersecção da reta com o eixo oy. O coeficiente b é chamado linear e
podemos observá-lo facilmente no gráfico.
Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta, cujo gráfico é:
2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e
B(4,6).
c. Equação geral da reta.
Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta,
por isso precisamos conhecer este formato:
mx + ny + k = 0
Em que m, n e
simultaneamente.
k
são
constantes
reais
e
m
e
n
não
são
nulas
10
Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a
equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos
A(xa,ya) e B(xb,yb) pela equação envolvendo determinante:
x
Obtemos este formato
algebricamente.
apenas
y
1
xa
ya 1  0
xb
yb 1
manipulando
qualquer
equação
Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo:
(a) y – 1 = 3(x+2)
(b) y  
3
1
x 
4
4
(c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).
da
reta
11
6. Intersecção entre retas
Determinar a intersecção entre as retas r e s é encontrar o ponto P
comum às duas retas, ou melhor, um ponto pertencente ao mesmo tempo à
reta r e à reta s. Isso quer dizer que as coordenadas do ponto P satisfaz
ao mesmo tempo à equação de r e à equação de s. O que equivale a resolver
o sistema com as equações das duas retas.
Se as retas possuem um ponto em comum dizemos que elas são concorrentes.
Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo:
(a) r: y = 3x+1
s: y =  x + 5
(b) r: y =  2x + 5
s: y = 4x + 3
Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto?
Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre
retas, assunto do próximo item.
12
7. Posições relativas entre retas
Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas
no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de
pontos comuns às retas.
Observe as figuras abaixo:
Concorrentes r  s
r  s = {P}
Coincidentes
r  s
r  s = r
Paralelas r // s
r  s = 
a. Retas paralelas.
Por
definição,
se
procurássemos
resolver o sistema com as equações de r
e de s não encontraríamos solução. Uma
alternativa
é
pensar
sobre
os
coeficientes angulares destas retas.
Considere
r:
y = asx + bs.
y = a rx + b r
e s:
Em que: ar = tan e as = tan
Se as retas r e s são paralelas:
 =  
tan = tan
 ar = as
Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente
idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem
paralelas dadas suas equações reduzidas é:
r // s

ar = as
e
br
 bs
b. Retas coincidentes.
Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar
se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente
são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções.
Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem
esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem
coincidentes:
r  s

ar = as
e
br = bs
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c. Retas concorrentes.
Considerando novamente as equações
reduzidas de r e s:
r: y = arx + br
s: y = asx + bs
Se as retas são concorrentes:
  
Então:
tan  tan
Portanto:
ar  as
Os
coeficientes
lineares
são
irrelevantes. Concluímos então:
r  s

ar  as
Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta abaixo:
(a) r: y – 1 = 1(x + 2) s: y – 7 = 1(x – 4)
(b) r: y = x – 4
s: y – 5 = 1(x – 4)
(c) r: y – 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5
14
Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um
ângulo de 90º. No próximo item pesquisaremos como determinar a condição
das retas chamadas perpendiculares.
8. Retas perpendiculares.
Considere as equações
retas r e s:
r: y = arx + br
s: y = asx + bs
Assim:
ar = tan
e
reduzidas
das
as = tan (0)
 e  são ângulos internos
triângulo retângulo, logo:
de
um
 +  = 90º (1)
Já  e  são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo
raso, ou seja:
 +  = 180º (2)
Da relação (1), sabemos que
tan  
1
tan 
, ou multiplicando a
expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por
exemplo.
Da relação (2), sabemos que tan =  tan (4). Pense nos ângulos de 30º
e 150º, veja na calculadora se preferir.
Agora substituindo (4) em (3), obtemos:
tan  (tan) = 1
Multiplicando a expressão por  1:
tan  tan = 1
Que por sua vez por (0):
as  ar = 1
Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações
reduzidas das mesmas:
r  s  as  ar = 1
Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares:
(a) r: y = 3x – 1
(b) r: y 
4
2
x 
5
5
s: y 
1
x  5
3
s: y  
5
1
x 
4
5
15
2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: y 
2x  1
3
e que
intersecciona o eixo oy em P(0,1).
9. Distância entre ponto e reta.
O menor caminho que liga um ponto
a
uma
reta
é
um
segmento
perpendicular
à
reta
com
extremidade
neste
ponto.
Na
figura o segmento PA. Por que
podemos ter certeza que este é o
menor? Pois se considerarmos
qualquer outro segmento que liga
P à reta, por exemplo, PB, os
pontos P, A e B formam um
triângulo retângulo, reto em A.
Assim teríamos PB a hipotenusa e
PA um cateto.
Sabemos que a hipotenusa é o
maior lado de um triângulo
retângulo, logo PB > PA e assim, PA é o menor caminho possível.
Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já
construímos e estudamos, sabemos calcular distância entre dois pontos,
determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo
isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o
roteiro abaixo:
1 – Obter r, perpendicular a s, que contenha P.
2 – Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s.
3 – Calcular a distância entre P e A.
4 – Finalmente d(P,A) = d(P,s).
Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da
reta s: mx + ny + k = 0 e as coordenadas do ponto P(xp,yp), após muitas
manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto
e reta:
d(P, s) 
mx p  ny p  k
m²  n²
16
Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: y 
5
x  1.
12
10. Distância entre retas.
Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a
medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s
forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção,
o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes
casos, d(r,s) = 0.
Resta analisar como calcular a distância
entre retas, se estas forem paralelas.
A distância entre as retas r e s, d(r,s), é
o segmento de reta perpendicular a ambas as
retas. Já que são paralelas, desde que o
segmento seja perpendicular a uma, será
automaticamente perpendicular à outra reta.
Assim podemos escolher um ponto qualquer de
uma reta e calcular a distância até a outra
reta,
simplesmente.
Para
complementar
faremos esse trabalho generalizando e
chegando numa fórmula direta.
Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas
paralelas, elas terão o formato:
r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0
Definindo um ponto de r, por exemplo: P(xp,yp). Como é um ponto de
r, satisfaz a equação de r, ou seja, mxp + nyp + kr = 0. Ou ainda:
mxp + nyp =  kr
Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s.
d(P, s) 
mx p  ny p  ks
m²  n²

 k r  ks
m²  n²
Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas equações
gerais r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 é:
d(r, s) 
ks  k r
m²  n²
17
Exemplo: Determine a distância
e s: 3x – 4y – 15 = 0.
entre
as
retas r: 3x - 4y + 15 = 0
11. Exercícios.
1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0),
D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3).
2-6 Responda:
2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano?
3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa?
4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada?
5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo,
descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo, justifique.
6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo
da distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb)? Justifique.
a. d(A,B) =
(xa  x b)²(yb  y a)²
b. d(A,B) =
(xb  xa)²(yb  y a)²
c. d(A,B) =
(xa  y a)²(xb  y b)²
7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima do
eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do
eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q?
8– Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2),
determine a medida do raio desse círculo.
9– Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São
dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a).
10– Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), obtenha x de modo que A seja
equidistante de B e de C.
18
11– Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6) e
C(5,2)?
12– Em quais itens os pontos dados formam um triângulo?
3
a. A(0,1), B(12,4) e C 6,  .

2
b. F 2,3 3  , G(5,0) e H(1,0).
c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9).
13– Sabendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro
C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5).
14– Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto
médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0),
B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas.
15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas:
a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5).
b. s que forma ângulo de 60º com o eixo das abscissas no seu sentido
positivo e passa pelo ponto C(3,-1).
c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5).
d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das abscissas, é decrescente e
intersecciona o eixo oy em y=4.
e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2).
16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma:
a. geral?
b. fundamental?
c. reduzida?
Justifique tua resposta.
17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados,
diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos
determine o ponto de intersecção entre as retas.
a. g: 2x+3y=1 e h: 3x-2y=5
b. r: y=3x-2 e s: 3x-y+8=0
c. a: y=5x+9 e b: 5x-2y+7=0
3
4
d. t: y  x  5 e u: 3x-4y+20=0.
18- Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x +
7y = 9 e que passa pela origem.
5
3
19- Qual a distância entre as retas: r: 5x – 3y + 15 = 0 e s: y  x  5 ?
19
20- Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC,
cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1).
21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em
relação à reta r. Qual a equação da reta r?
22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo
ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro
do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1).
23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do
segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa
ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6).
24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12
s: 5x + 12y + 28 – 0. Qual é a medida do raio do círculo?
e
Resumo e resolução dos exercícios da lista 11
Dicas de estudo:
Fase 1 – Aula dada aula estudada
Faça um resumo da matéria dada em cada dia de aula antes de dormir, seguindo
os seguintes passos:
a) Leia a matéria copiando no resumo o que ache mais importante da maneira
mais sucinta possível, destacando fórmulas e em que elas se aplicam. Nunca
coloque uma fórmula solta sem o significado das suas incógnitas;
b) Quando a leitura chegar nos exemplos pegue uma folha em branco, tapando a
resolução feita em aula e tente refazer o exemplo sem olhar. Caso não tenha
conseguido, aí sim, olhe o desenvolvimento, pense na relação do conteúdo com
a resolução do exemplo e tente fazer o exemplo novamente, mesmo que tenha que
simplesmente copiá-lo.
c) No fim da matéria dada naquele dia, observe os exercícios relacionados a
ela. Marque os exercícios que tu achas que se relacionam com o conteúdo dado.
d) Se tiveres tempo, no mesmo dia, comece a fazer os exercícios.
Fase 2 – Estudando sozinho, em outro dia da semana que não de aula.
a) Releia os resumos feitos na semana (dois dias de aula, dois resumos por
semana). Perceba se consegue lembrar da aula dada e todos os seus significados.
b) Caso não lembre, leia a matéria dada na semana, incluindo a resolução de
seus exemplos.
c) Comece a fazer os exercícios. Caso não consiga, nem começar, releia o resumo
e para cada item verifique se pode possuir relação com o exercício em questão.
d) Caso não consigas concluir um dos exercícios, ou depois de algumas tentativas
não conseguiste chegar na resposta do gabarito. Não insista. Deixe para
discuti-lo com o grupo de estudo ou vá no atendimento.
Fase 3 – Reunião com o grupo de estudo.
a) A reunião deve ser em local que ofereça poucas distrações, no máximo em
quatro pessoas (mais que isso vira festa). O chimarrão é um excelente
acompanhante, lembre-se chimarrão é estimulante e não engorda.
b) O grupo deve ser heterogêneo no sentido de reunir pessoas com diferentes
níveis de compreensão e base matemática.
c) Discuta A TEORIA do conteúdo e a compreensão que cada um teve do mesmo.
20
d) Formule questionamentos para os outros responderem, em duas situações: para
testar o nível de compreensão dos colegas com intenção de ajuda-los e quando
realmente não conseguiste processar as informações oferecidas.
e) Discuta os exercícios que achaste mais difíceis, incluindo àqueles que
porventura não conseguiste resolver.
f) Depois das reuniões semanais nos grupos de estudo, é fundamental que procures
o atendimento do professor.
g) Também é fundamental, consultar bibliografia complementar, entender a teoria
presente nela assim como exercícios adicionais.
Fase 4 - Na semana anterior as avaliações, complementar ao trabalho semanal,
se tiveres seguido todos os passos anteriores, faça:
a) Um novo resumo, mas agora completo, com toda a matéria que será cobrada na
prova.
b) Observe todos os exercícios feitos e escolha uma questão de cada conteúdo
que acreditas que o professor iria cobrar na avaliação.
c) Monte uma prova com estas questões, não exatamente iguais. Considere
variações encontradas nas fontes bibliográficas.
d) Resolva esta prova.
e) Entregue a tua prova para apreciação dos colegas.
f) Com algumas destas provas em mãos defina uma delas para fazer um simulado
no seu grupo de estudo.
Observação final.
Infelizmente, se seguires todos estes passos não podemos garantir que terás um
aprendizado completo, pois isto depende de muitas variáveis, incluindo saúde
física, saúde mental, qualidade do ensino de matemática básica anterior,
alimentação, estresse, entre outros. O que é fundamental, falando em linguagem
matemática: ser necessário, mas não suficiente a VONTADE DE APRENDER!
Bom estudo!
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41
Unidade
UnidadeBA
Geometria
Estudo das
Analítica Básica
Cônicas
Plano Cartesiano, pontos e retas.
Círculo, elipse,
hipérbole e parábola.
Matemática I – Cálculo I
IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG
42
12. Cônicas
São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um
plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do cone,
o corte resulta numa curva diferente.
Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada pela
intersecção é um círculo.
Se o plano corta o cone não paralelamente à base e à
geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que o plano
não contenha o vértice do cone. Na verdade o círculo é um
caso especial de elipse.
Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a curva
gerada é uma hipérbole. Desde que o
plano não contenha o vértice do
cone.
Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e
obliquamente à base do cone a curva formada é uma
parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não
pode conter o vértice do cone.
13. Estudo do círculo.
Círculo é o lugar geométrico dos pontos
do plano que equidistam de um ponto fixo.
Este ponto fixo é chamado de centro e
qualquer segmento que liga o centro a um
ponto do círculo é o raio.
Para chegarmos a equação que relaciona
como a variável y depende de x, suponhamos
um
ponto
P
(x,y)
este
ponto,
representando TODOS os pontos do círculo
. A distância deste ponto ao centro
C(x0,y0) é fixa. Sabemos que:
d(C,P) = r
y0
(x  x0)²  (y  y0)²  r
Elevando os dois
quadrado obtemos:
x0
membros
da
equação
ao
: (x – x0)²+(y – y0)²=r²
Considere C(x0,y0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é chamada
de reduzida.
43
Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida do
raio 3.
2. Determine a equação do círculo, cujo gráfico é:
(a)
(b)
3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo
determine as coordenadas do centro e a medida do raio.
(a) : (x+2)²+(y-1)²=4
(b) : (x-1)²  (y-3)²=9
(c) : (x-2)³+(y-1)³=16
(d) : (x+1)²+(y+5)²=7
(e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0
(f) : (x-1)²+(y-3)²= 0
44
13.1 Equação Canônica do Círculo
Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de
cônicas possuem o segundo membro igual a 1.
 :
(x  x0)2
r2

(y  y 0)2
r2
 1
Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r.
Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os pontos
A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo.
14. Elipse
Além de ser gerada pelo corte do
cone duplo por um plano obliquo à
base e à geratriz, a elipse tem uma
propriedade geométrica importante.
Uma elipse  de focos F1 e F2 é o
conjunto dos pontos P(x,y) do
plano cuja soma das distâncias a F1
e F2 é igual a uma constante 2a
positiva, maior que a distância
entre os focos d(F1,F2)= 2c.
Os pontos A1 e A2 são os vértices
da elipse, o segmento A1A2 é
chamado
de
eixo
focal
e
d(A1,A2)=2a. Já o segmento B1B2 é
chamado de eixo não focal e
d(B1,B2)=2b, em que a²=b²+c². O
centro da elipse é o ponto médio
dos eixos focal e não focal.
Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever:
d(F1, P) + d(F2, P) = 2a
A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos
estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são F 1(c,0)
e F2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as
raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos a forma
canônica da elipse:
 :
x² y²

 1
a²
b²
Em que a = d(A1,O), semieixo focal e b = d(B1,O), semieixo não focal.
45
Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno do
sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos.
Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus
focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse.
2. Uma elipse  tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal
é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P 
14

, 5  , determine sua equação, seus
 3

vértices e seus focos.
46
Podemos fazer translações horizontais e
verticais alterando os eixos focais e
não focais, consequentemente o centro
da elipse deixa de ser a origem do
sistema
cartesiano.
Após
estas
translações podemos constatar que o
eixo focal continua horizontal, medindo
2a e o eixo não focal continua sendo
vertical, medindo 2b. A distância entre
os focos continua sendo 2c e a relação
a² = b² + c² continua válida. Já as
coordenadas dos focos, vértices focais
e
vértices
não-focais
alteram
totalmente.
Considere que as coordenadas do centro
da elipse, ponto médio dos focos ou
vértices, são C(x0,y0).
Já que A1, A2, F1, F2 e C estão alinhados horizontalmente, todos estes pontos
tem a mesma ordenada (coordenada y). Precisamos associar quem são as abcissas
destes pontos.
Analogamente B1, B2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a mesma
abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes pontos.
Chegamos à seguinte conclusão:
 Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).
 Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).
 Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).
Note que agora a equação canônica da elipse é:
 :
(x  x0)² (y  y0)²

 1
a²
b²
Observe a semelhança com a equação canônica do círculo.
Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (8,3) e (2,3) e o comprimento do
seu eixo focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices.
47
Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na origem
do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são complicadas, fogem do
nosso interesse. Agora, rotação de 90º são simples e interessantes. Com esta
rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo não focal torna-se horizontal.
Isso inverte as posições entre x e y, ou melhor, o eixo focal, cuja medida é
2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo não focal, cuja medida é 2b é paralelo
agora ao eixo ox. Com essa inversão, lembrando que a > b, a equação da elipse
fica:
':
(x  x0)² (y  y0)²

 1
b²
a²
Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (1,4), foco no ponto (1,6) e
eixo não focal medindo 2. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco
e a equação da elipse.
48
15. Hipérbole
Além de ser o corte do plano perpendicular à base do cone duplo, a
Hipérbole tem outra propriedade geométrica.
Uma hipérbole  de focos F1 e F2 é o conjunto de todos os pontos P(x,y)
do plano para os quais o módulo da diferença de suas distâncias a F 1 e F2 é
igual a uma constante 2a positiva, menor que a distância entre os focos é
d(F1,F2)= 2c.
Os pontos A1 e A2 são os vértices da Hipérbole e A1A2 é chamado eixo focal.
Por definição, d(A1,A2)=2a. Os pontos B1 e B2 são chamados de vértices
imaginários, o segmento B1B2 de eixo imaginário e d(B1,B2)=2b, considerando: c²=
a² + b². Os vértices imaginários são pensados para satisfazer essa relação e
ainda estão relacionados com o coeficiente angular das retas assíntotas.
A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são retas em que
a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r 1 e r2 no gráfico.
O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que coincide com o ponto
médio do eixo imaginário.
Considerando 0 < a < c:
: |d(F1,P) – d(F2,P)| = 2a
Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F 1(c,0),
F2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem. Manipulando
algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas, o módulo
e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma canônica da hipérbole,
centrada na origem:
 :
Observação:
1.
Na
forma
x²
y²

 1
a²
b²
canônica
a
equação
das
retas
assíntotas
são:
b
b
r1 : y   x e r2 : y 
x . Por definição uma função não intersecciona suas
a
a
assíntotas. Resolva o sistema com as equações da hipérbole e r1 (ou r2) e verifique que
o sistema é impossível.
2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida que
o eixo imaginário.
3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano.
49
Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos


8,0 e
 8,0 .
Além disso determine os vértices e os vértices imaginários.
2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus focos
é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo
focal e suas assíntotas.
Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição
dos elementos desta
cônica não se alteram.
Por exemplo, medida do
eixo
focal
é
2a,
medida
do
eixo
imaginário
é
2b,
d(F1,F2) = 2c, c² = a²
+ b², já que c > a. O
que
mudará?
Coordenadas do centro,
vértices
e
focos,
assim como a equação
canônica da hipérbole.
Considerando
as
coordenadas do centro
C(x0,y0), tem-se:
 Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).
 Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).
 Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).

Assíntotas:
r1 : y  y0  
b
b
(x  x0)
r2 : y  y0 
(x  x0)
a
a
e
.
50
E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições:
H:
(x  x0)² (y  y0)²

 1
a²
b²
Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da
diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 2. Determine seus
elementos principais.
Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 90º. Os efeitos
na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal torna-se
paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo ox. Observando
que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário o termo que fica
subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável x, ou seja:
51
A equação na hipérbole neste caso é:
H':
(y  y0)² (x  x0)²

 1
a²
b²
Exemplo: Dada a equação da hipérbole H :
(y  4)² (x  1)²

 1 , determine os
9
16
elementos principais desta cônica.
16. Parábola
Além de ser originada pelo corte do cone duplo,
quando o plano é paralelo a geratriz do cone,
a parábola possui uma propriedade geométrica
muito interessante que faz com que inúmeras
aplicações do seu formato sejam utilizadas no
nosso
cotidiano.
Assim
como
a
antena
parabólica, fornos solares, faróis de carro,
etc.
A propriedade que caracteriza a parábola e
possibilita determinarmos a sua equação é o
fato de qualquer ponto P(x,y) da parábola ser
equidistante a F e a d, em que F é um ponto
fixo, chamado foco, e d é uma reta fixa,
chamada de reta diretriz.
A reta que contém o foco F e é
perpendicular à reta diretriz d é chamada reta
focal. Podemos observar que a reta focal é a
reta
de
simetria
da
parábola.
Podemos
visualizar este fato dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da
parábola se sobreporão.
52
O ponto V, intersecção da parábola com a reta foca é chamado de vértice da
parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz.
A característica da equidistância nos possibilita obter a equação da parábola.
 : d(P,F)= d(P,d)
Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda
do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a
igualdade acima, obtemos:
:
: y² = 4px
Observação: A propriedade que se refere a
ampla aplicabilidade do formato parabólico
é o fato de feixes perpendiculares à
diretriz da parábola serem refletidos pela
superfície parabólica e incidirem num único
ponto: o foco da parábola. Isso permite
converter sinais fracos de tv, por exemplo,
em um sinal de boa qualidade, colocando no
foco da antena parabólica um receptor
adequado.
Exemplos: 1. Determine a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal e o
foco encontra-se no eixo oy, acima da diretriz.
2. Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é o
ponto:
(a) F (3, 0).
53
(b) F (0,2).
Dando mais ênfase às parábolas,
cujas diretrizes são verticais,
podemos assim como na elipse e na
hipérbole,
observar
como
as
translações modificam o formato da
equação desta cônica. Consideramos
então que o vértice não é mais a
origem,
nem
o
foco
está
necessariamente
no
eixo
ox.
Considerando que o vértice é o
ponto V(x0,y0) e a reta diretriz é
d: x – x0  p = 0, obtém-se a equação
da parábola:
P: (y – y0)²=  4p(x-x0)
Na equação o sinal fica positivo se
a diretriz fica à esquerda do foco
e o sinal fica negativo se a
diretriz fica à direita do foco.
Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação
x – 9 = 0 e o vértice tem coordenadas V(4,1).
Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos a
rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a concavidade
para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os gráficos das funções
quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente na unidade E.
54
17. Exercícios.
1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida
11 ?
2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de equação
: (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x + y  1 = 0.
3- Considere
o quadrado
circunscrito ao círculo de
2
2
3) +(y-2) = 1. Determine a medida da diagonal do quadrado.
4- Dadas as equações de hipérboles
imaginários, focos e assíntotas:
(a) :
abaixo,
determine
equação
vértices,
:(x-
vértices
x²
y²

 1
16
9
(b) : 36x² - 49y² = 1.
5- Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0).
6- Obtenha as coordenadas do foco, F , vértice V e equação diretriz da parábola
de equação. : x² = 32y.
7- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que definem
o eixo não focal e focos:
(a) :
x²
y²

 1
16
9
(b) : 36x² + 49y² = 1.
8- Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida do
eixo focal 10 e medida do eixo não focal 6.
9- Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em (3,0)
e um foco em (4,0).
10- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no ponto
(2,-1) e que passa pelo ponto (2,1).
11- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice focal
no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade das cônicas,
é ½.
12- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e
excentricidade
5
. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a
3
equação desta elipse.
13- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das distâncias
aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10.
14-
Determine
os
elementos
principais
da
cônica
dada
sua
equação:
(x  1)² (y  3)²

 1.
4
25
15- Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice no
ponto (3,0) e assíntota de equação y 
2
x  1.
3
55
16- Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e
diretriz de equação x – 8 = 0.
17- Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta
diretriz de equação x + 4 = 0.
Resumo e resolução dos exercícios do item 17.
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
18. Respostas dos exercícios item 11
1.
2. O(0,0)
3. Negativo.
4. Nulo.
5. Sim, a reta é paralela ao eixo ox.
6. a. Sim. O que poderia diferir é o sinal de dentro dos parênteses, mas elevado
ao quadrado o resultado é o mesmo.
b. Sim. Idem ao anterior.
c. Não. Deduzimos a fórmula da distância do Teorema de Pitágoras, assim o que
está entre parênteses deveriam ser os catetos, o que não é o caso.
 5 5
7- Q   , 
 2 2
8– 6 2
1
9– a= 
3
10– x = 2
11– 16
12–(a)não (b)(c) sim
13– C(1,4)
14– 10 , 5, 5
15–
a. Reduzida: y=2x–1 Fundamental: y – 3= 2(x - 2) Geral: 2x – y - 1 =
0
b.
Fundamental:
geral: 3x  y  3 3  1  0 , reduzida:
y  1  3(x  3),
y 
3x  3 3  1
(c) fundamental: y – 5 = 0(x – 3), geral: y – 5 = 0, reduzida: y = 5
(d) fundamental: y – 4 = -1(x – 0), geral: x + y – 4 = 0, reduzida: y = -x
+ 4
(e) só existe geral: x – 3 = 0
16(a) Não possui restrição.
(b) A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe.
(c) A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente
angular e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não
existe, já que uma reta vertical não intersecciona o eixo oy.
177
 17
,

13 
 13
(a) Perpendiculares. P 
(b) Paralelas.
70
11

(c) Concorrentes. P  
,2

5

(d) Coincidentes.
18- s: 7x – 3y = 0
19-
30
34
12
20-
5
21- m: y – 5 =  2(x – 1)
22- 4x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1).
23- m: y – 5 =  2(x – 1)
24- r =
20
13
Respostas dos exercícios item 17.
1- : (x-1)² + (y + 5)²= 11.
2- s: y – 2 =  3(x  2)
3- 2 2
4- (a) A1(4,0) e A2(4,0). B1(0,3) e B2(0,3). F1(5,0) e F2(5,0).
r1: 3x + 4y = 0 e r2: 3x – 4y = 0

(b) A1  


 85 
1 
1
85 

 1
1 
,0 e A2  ,0 . B1 0,  e B2 0,  . F1  
,0 e F2 
,0 .

7
6 
42

 7
6 


 42

r1: 6x + 7y = 0 e
r2: 6x – 7y = 0.
5- : y² = 8x - 16.
6- V(0,0), F(0,8), d: y + 8 = 0.




7- (a)A1(-4,0) e A2(4,0). B1 (0,3) e B2(0,3). F1  7,0 e F1  7,0 .

 13 
1 
1
13 

 1
1 

.
,0 e A2  ,0 . B1 0,  e B2 0,  . F1  
e
,
0
F
2


 42 ,0
7
42
 6 

 7
6 




x²
y²
8- :

 1
25
9

(b) A1  
x²
y²

 1
9
7
(x  1)² (y  1)²

 1
10-  :
34 2
24 2
(x  1)² (y  2)²
11-  :

 1
16
12
9-  :
71
12-
 :
(x  1)²
16
5

(y  1)²
36
5
 1,
F1(1,-1),

6 
 ,
A 1 1, 1 
5


6 
 ,
A 2 1, 1 
5





4
4
B1 1 
, 1 e B2 1 
, 1
5
5




13-  :
(x  5)² (y  1)²

 1
25
21


14- C(-1,3), A1(-3,3), A2(1,3), B1(-1,-2), B2(-1,8), F1  1  29, 3


F2  1 
29, 3 , r1: 5x + 2y – 1 = 0 e r2: 5x – 2y + 11 = 0.
15-  :
(y  3)² (x  3)²

 1
9
4
16- P:(y-4)² = -36(x+1)
17- P: y² - 14x - 2y = 6
e