Poliedros

Ficha formativa para o 10.º ano - Poliedros
Poliedros são sólidos geométricos cujas faces são superfícies planas.
Os elementos de um poliedro são as faces, os vértices e as arestas. As faces de um poliedro
são polígonos.
Ângulos internos de um polígono regular
Vamos deduzir uma expressão que nos dê a amplitude de cada um dos ângulos internos de
um polígono regular.
Para isso analisemos alguns casos.
•
Triângulo equilátero
Se considerarmos as bissectrizes de cada um dos ângulos internos do triângulo,
elas encontram-se num ponto a que se chama incentro.
360°: 3 = 120° é a amplitude dos ângulos AIO, AIE e EIO
180° - 120° = 60° = IÂO + AÔI
Como IÂO = AÔI = 30° cada um dos ângulos internos do triângulo tem de amplitude
60°.
•
Quadrado
360°: 4 = 90° é a amplitude de cada um dos ângulos formados pelas diagonais do
quadrado.
180° - 90° = 90° = IÂO + AÔI
Como IÂO = AÔI = 45° cada um dos ângulos internos do quadrado mede 90°.
•
Pentágono
360°: 5 = 72°
180° - 72° = 108° é soma das amplitudes dos outros dois ângulos de cada triângulo.
Como estes ângulos são iguais (o triângulo é isósceles), a amplitude de cada
ângulo interno do pentágono é 108°.
•
No caso geral de um polígono de n lados, temos:
360°: n
180° - 360°: n
Portanto, a amplitude de cada um dos ângulos internos é
Um poliedro diz-se regular se as faces são todas geometricamente iguais e em cada vértice o
número e a disposição dos polígonos regulares são iguais.
São 5 os poliedros regulares:
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Tetraedro
•
Cubo
•
Octaedro
•
Dodecaedro
Planificação
•
Icosaedro
Estes 5 sólidos também são chamados sólidos platónicos, em homenagem ao filósofo grego
Platão (400 a.C.). Os gregos associavam aos poliedros regulares elementos da Natureza.
Poliedro
Elemento da
Natureza
Tetraedro
Fogo
Cubo
Terra
Octaedro
Ar
Icosaedro
Água
Dodecaedro
Universo
Porque é que só existem 5 poliedros regulares?
Num poliedro, o número mínimo de faces que se unem num vértice são 3.
Se num vértice juntarmos:
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•
•
3 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada
vértice é 3x60° = 180° Æ Tetraedro
4 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada
vértice é 4x60° = 240° Æ Octaedro
5 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada
vértice é 5x60° = 300° Æ Icosaedro
6 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada
vértice é 6x60° = 360°. Neste caso não poderíamos construir um sólido mas sim
uma superfície plana.
3 quadrados, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 3x90°
= 270° Æ Cubo
•
•
4 quadrados, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 4x90°
= 360°. °. Neste caso também não poderíamos construir um sólido mas sim uma
superfície plana.
3 pentágonos, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é
3x108° = 324° Æ Dodecaedro
Não é possível construir mais poliedros regulares.
Arestas, faces e vértices
1) Tetraedro regular tem 4 faces (triângulos equiláteros).
4 triângulos têm: 4x3 = 12 vértices
4x3 = 12 arestas
Mas em cada vértice do tetraedro "encontram-se"3 triângulos, logo o tetraedro tem 12:3 = 4
vértices.
Numa aresta do tetraedro "encontram-se" 2 triângulos, assim o tetraedro tem 12:2 = 6
arestas.
Seguindo um raciocínio análogo, complete:
2) Um cubo tem __ faces que são quadrados.
Cada quadrado tem __ vértices e __ arestas. Logo __ quadrados têm __ vértices e __
arestas.
Mas em cada vértice do cubo "encontram-se" __ quadrados, logo o cubo tem __ = __
vértices.
E numa aresta "encontram-se" __ quadrados, assim o cubo tem __ = __ arestas.
3) No caso do octaedro, temos:
__ triângulos
Como em cada vértice do octaedro "se encontram" __ vértices, logo ele tem __ vértices.
Numa aresta do octaedro "encontram-se" __ arestas, portanto o octaedro tem __ arestas.
4) No caso do dodecaedro, temos:
__ pentágonos
Como em cada vértice do dodecaedro "se encontram" __ vértices, logo ele tem __ vértices.
Numa aresta do dodecaedro "encontram-se" __ arestas, portanto o dodecaedro tem __
arestas.
5) No caso do icosaedro, temos:
__ triângulos
Como em cada vértice do icosaedro "se encontram" __ vértices, logo ele tem __ vértices.
Numa aresta do icosaedro "encontram-se" __ arestas, portanto o icosaedro tem __ arestas.
Complete o quadro seguinte:
Poliedros
Nº de Faces
Regulares
F
Nº de
Vértices
Nº de
Arestas
V
A
F+V
A+2
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Comparando as duas últimas colunas, podemos ver que em qualquer destes poliedros F + V
= A + 2.
Esta relação é conhecida como regra de Euler:
"Num poliedro o número de faces mais o número de vértices é igual ao número de arestas
mais dois".
Chama-se centro de um poliedro regular ao ponto equidistante dos vértices, das faces e
das arestas.
Chama-se dual de um poliedro regular ao poliedro cujas arestas se obtêm unindo os centros
das faces consecutivas do poliedro dado.
Podemos concluir que o número de vértices de um poliedro é igual ao número de faces do
poliedro dual.
Complete o quadro:
Poliedro
Dual
Tetraedro
Tetraedro
Cubo
Dodecaedro
Utilize o endereço http://www.fc.up.pt/atractor/mat/Polied/fr-polied.htm para ver poliedros
duais.