3ª Aula 29 de Setembro de 2003

1/16
Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
3ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 29 de Setembro de 2003
Sumário: Equações de Equilíbrio de Forças. Equações de Equilíbrio de Momentos.
Tensões numa Faceta com Orientação Arbitrária. Tensão Normal e Tangencial numa
Faceta com Orientação Arbitrária.
Objectivos da Aula: Apreender a forma como se utilizam os Princípios Fundamentais da
Estática para efeitos de obtenção das Equações de Equilíbrio estabelecidas em termos das
Tensões. Mostrar a Suficiência do Tensor das Tensões para representar o Estado de
Tensão num Ponto fazendo uso de equações de equilíbrio de forças. Familiarização com
o Cálculo da Tensão Normal e Tangencial numa Faceta com Orientação Arbitrária.
Resumo do Conteúdo da Aula
1 - Tensões Actuantes num Elemento de Dimensões Infinitesimais
Considere-se um corpo sólido de forma variável sujeito a forças de superfície e a
forças de massa em equilíbrio, tensões de grandeza variável através do sólido
desenvolvem-se no interior do sólido, estas tensões têm uma grandeza e direcção tal que
em cada ponto e em cada elemento do sólido material se verificam condições de
equilíbrio. O sólido pode ser imaginado dividido em pequenos elementos de grandeza
infinitesimal que se desenvolvem em torno de pontos materiais, como se representa na
figura 3.1, em cada elemento de grandeza infinitesimal se manifestam as acções do resto
do sólido sobre o elemento e essas acções, representadas por forças resultantes de tensões
distribuídas nas facetas do elemento infinitesimal, figura 3.1-b, devem estar em equilíbrio
com as forças de massa que se desenvolvem no elemento. As equações de equilíbrio
estático de forças e momentos devem verificar-se no elemento sólido de dimensões
infinitesimais dx, dy e dz. As forças a considerar em cada elemento do sólido são as
forças superficiais representadas na figura 3.1 e as forças de massa existentes no
elemento de volume de dimensões infinitesimais e que podem ser designadas por,
Bxdxdydz, Bydxdydz e Bzdxdydz. As forças resultantes do campo gravítico são forças de
massa.
2/16
Fz +
∂ Fz
∂z
dz
dy
Fy
Fx
dz
Fx +
z
O
x
x
Fy +
y
∂ Fy
∂y
dy
∂ Fx
∂x
dx
Fz
dx
Figura 3.1: Sólido sujeito a Acções Externas.
As forças resultantes das acções do sólido circundante ao elemento de volume
infinitesimal podem considerar-se uniformemente distribuídas nas facetas em que estão
aplicadas dando origem a tensões com componentes segundo os três eixos coordenados.
As forças são:
Fxx = σ xx dydz
Fxy = τ xy dydz
Fxz = τ xz dydz
∂Fxx
∂σ
⎛
⎞
dx = ⎜ σ xx + xx dx ⎟dydz
∂x
∂x
⎝
⎠
∂τ xy ⎞
∂Fxy
⎛
dx = ⎜⎜ τ xy +
dx ⎟⎟dydz
Fxy +
∂x
∂x
⎝
⎠
∂Fxz
∂
σ
⎛
⎞
Fxz +
dx = ⎜ τ xz + xz dx ⎟dydz
∂x
∂x
⎝
⎠
Fxx +
e
(3.1)
etc.
As tensões normais estão realçadas na figura 3.2. As tensões normais dão origem a forças
normais que são, por exemplo, segundo o eixo dos yy:
σ yy dxdz
e
∂σ
⎞
⎛
⎜ σ yy + yy dy ⎟dxdz
⎟
⎜
∂y
⎠
⎝
(3.2)
3/16
σ zz +
∂ σ zz
dz
∂z
σ xx
σ yy +
σ yy
∂ σ yy
dy
∂y
z
σ xx +
∂ σ xx
dx
∂x
y
σ zz
x
Figura 3.2: Tensões Normais num Elemento de Dimensões Infinitesimais.
As forças normais segundo os eixos dos xx e dos zz são obtidas de modo análogo e são:
σ xx dxdz
e
σ zz dydx
e
∂σ
⎛
⎞
⎜ σ xx + xx dx ⎟dydz
∂x
⎝
⎠
∂σ
⎛
⎞
⎜ σ zz + zz dz ⎟dydx
∂z
⎝
⎠
As tensões tangenciais ou de corte estão realçadas na figura 3.3, estas tensões dão origem
a forças tangenciais ou de corte que são segundo o eixo dos yy:
τ xy dydz
τ zy dxdy
e
e
∂τ
⎛
⎞
⎜ τ xy + xy dx ⎟dydz
⎜
⎟
∂x
⎝
⎠
∂τ
⎛
⎞
⎜ τ zy + zy dz ⎟dyxdy
⎜
⎟
∂z
⎝
⎠
(3.3)
4/16
τ xy
∂ τ zx
dz
τ zx +
∂z
τ zy +
∂ τ zy
dz
∂z
τ yx
τ xz +
τ yz +
∂ τ xz
dx
∂x
∂ τ yz
dy
∂y
τ xz
τ yz
τ yx +
z
∂ τ yx
dy
∂y
τ zx
y
τzy
τ xy +
x
∂ τ xy
dx
∂x
Figura 3.3: Tensões Tangenciais de Corte.
2 – Equações de Equilíbrio de Forças
Na figura 3.4 representam-se as forças de massa por unidade de volume e as tensões que
actuam na direcção do eixo dos yy num elemento de dimensões infinitesimais retirado do
sólido tridimensional, forças semelhantes existem e actuam na direcção dos eixos dos xx
e dos zz. As forças que actuam na direcção de cada um dos eixos coordenados devem
estar em equilíbrio.
A soma das forças que actuam na direcção do eixo dos yy permite obter a equação
seguinte:
∂τ
∂σ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ τ xy + xy dx − τ xy ⎟dydz + ⎜ σ yy + yy dy − σ yy ⎟dxdz +
⎜
⎟
⎜
⎟
∂x
∂x
⎝
⎠
⎝
⎠
∂τ zy
⎛
⎞
+ ⎜⎜ τ zy +
dz − τ zy ⎟⎟dxdy + B y dxdydz = 0
∂z
⎝
⎠
(3.4)
Simplificando e dividindo por dxdydz obtém-se
∂τ xy
∂x
+
∂σ yy
∂y
+
∂τ zy
∂z
+ By = 0
(3.5)
5/16
τ zy +
∂ τ zy
dz
∂z
τ zx
σ yy +
σ yy
∂ σ yy
dy
∂y
By
z
τ xy +
y
τ zy
∂ τ xy
dz
∂x
Figura 3.4: Tensões Actuantes na Direcção do Eixo dos yy e forças de massa por unidade de Volume
na direcção do Eixo dos yy.
Considerando o equilíbrio de forças nas direcções dos eixos dos xx e dos zz obtêm-se
mais duas equações de equilíbrio com forma análoga à equação anterior. As três
equações de equilíbrio de forças são:
∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx
+
+
+ Bx = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy
+
+
+ By = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ xz ∂σ yz ∂σ zz
+
+
+ Bz = 0
∂x
∂y
∂z
(3.6)
6/16
Caso Particular: Estado Plano de Tensão
Num estado plano de tensão, plano Oxy, por exemplo, o tensor das tensões num
ponto é:
⎡σ xx τ xy ⎤
⎢
⎥
⎣ τ yx σ yy ⎦
Para existir equilíbrio é necessário que exista equilíbrio de forças segundo os eixos dos
xx e dos yy e também o equilíbrio de momentos segundo o eixo dos zz. Considere-se o
elemento de dimensões dx, dy e espessura unitária, representado na figura 3.5, o qual está
sujeito a forças na direcção dos eixos dos xx e dos yy, como se representa na referida
figura. As forças de massa são no caso dum Estado Plano de Tensão B x dxdy e B y dxdy
e as forças de superfície são no caso de um Estado Plano de Tensão:
∂τ xy ⎞
⎛
∂σ
⎛
⎞
dx ⎟⎟dy; τ xy dy;
⎜ σ xx + xx dx ⎟dy; σ xx dy; ⎜⎜ τ xy +
∂x
∂
x
⎝
⎠
⎝
⎠
∂σ
∂τ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ σ yy + yy dy ⎟dx; σ yy dx; ⎜ τ yx + yx dy ⎟dx; τ yx dx
⎜
⎟
⎜
⎟
∂y
∂y
⎝
⎠
⎝
⎠
∂ σ yy ⎞
⎛
dy ⎟ dx
⎜ σ yy +
∂y
⎝
⎠
y
∂ τ yx ⎞
⎛
dy ⎟ dx
⎜ τ yx +
∂y
⎝
⎠
∂ τ xy ⎞
⎛
⎜ τ xy + ∂x dx ⎟ dy
⎝
⎠
B ydxdy
dy
σ xxdy
B xdxdy
τ xydy
∂ σ xx ⎞
⎛
dx ⎟ dy
⎜ σ xx +
∂x
⎝
⎠
τ yxdx
σ yydx
x
O
dx
Figura 3.5: Forças no Elemento Bidimensional. Forças de superfície e Volume.
O equilíbrio de forças segundo o eixo dos xx obriga a que seja:
7/16
∂τ
⎛
⎞
∂σ xx ⎞
⎛
dx ⎟ dy − σ xx dy + ⎜ τ xy + yx dy ⎟ dx − τ yx dy + Bx dxdy = 0
⎜ σ xx +
∂x
∂y
⎝
⎠
⎝
⎠
simplificando obtém-se:
(3.7)
∂σ xx ∂τ yx
+
+ Bx = 0
∂x
∂y
Procedendo de igual modo para efeitos de equilíbrio de forças segundo o eixo dos yy,
obtém-se:
∂σ yy
∂y
+
∂τ xy
∂x
+ By = 0
As equações de equilíbrio de forças para o sólido bidimensional são:
∂σ xx ∂τ yx
+
+ Bx = 0
∂x
∂y
∂τ xy ∂σ yy
+
+ By = 0
∂x
∂y
(3.8)
3 – Equações de Equilíbrio de Momentos
As Tensões Tangenciais contribuem para a ocorrência de Momentos segundo os
eixos coordenados, como se pode inferir considerando as forças resultantes das tensões
representadas na figura 3.6. A Equação de Equilíbrio de Momentos segundo o Eixo dos
xx, é:
∂τ
∂τ
⎛
⎞
⎛
⎞
dz
dy
dy
− ⎜ τzy + zy dz ⎟ dxdy − τzy dxdy + ⎜ τ yz + yz dy ⎟ dxdz + τ yz dxdz
=0
∂z
∂y
2
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.9)
Desprezando os Infinitésimos de Ordem superior à 1ª obtém-se:
τ zy = τ yz
De igual modo considerando equilíbrio de Momentos segundo os Eixos dos yy e dos zz,
obtém-se:
τ zx = τ xz e τ xy = τ yx
8/16
Como consequência das equações de equilíbrio de Momentos conclui-se que o tensor
das Tensões é um Tensor Simétrico. Como consequência da simetria do Tensor das
tensões conclui-se que o número de componentes independentes do referido tensor é
seis.
τ zy +
∂ τ zx
dz
τ zx +
∂z
∂ τ zy
dz
∂z
τ yx
τ xz +
τ yz +
∂ τ xz
dx
∂x
∂ τ yz
dy
∂y
τ xz
τ yz
τ yx +
z
∂ τ yx
dy
∂y
τ zx
y
τ zy
τ xy +
x
∂ τ xy
dx
∂x
Figura 3.6: Tensões Tangenciais.
Caso Particular: Estado Plano de Tensão
A equação de equilíbrio de momentos, para o estado plano de Tensão, obtém-se,
considerando o equilíbrio de momentos segundo o eixo dos zz, eixo normal ao plano
Oxy. Admitindo que a origem do sistema de eixos está no centro do elemento de
dimensões infinitesimais dx, dy, representado na figura 3.5, a equação de equilíbrio de
momentos é:
− τ xy dy
∂τ yx ⎞ dy
∂τ xy ⎞ dx
dx ⎛
dy ⎛
dx ⎟⎟dy
dy ⎟⎟dx
=0
+ τ yx dx
+ ⎜⎜ τ yx +
− ⎜⎜ τ xy +
2 ⎝
2
2
y
2
∂
∂x
⎠
⎝
⎠
Desprezando os infinitésimos de ordem superior, obtém-se:
9/16
− τ xy + τ yx = 0 ou seja τ xy = τ yx
(3.10)
No caso do estado de tensão bidimensional o número de componentes do tensor das
tensões independente é 3, como resulta da simetria atrás referida.
4 – Tensões Numa Faceta com uma Orientação Arbitrária
Considere-se a faceta ABC representada na figura 3.7, a qual tem uma orientação
arbitrária no espaço. As componentes da tensão nesta faceta podem ser calculadas
considerando o equilíbrio de forças no tetraedro elementar de dimensões infinitesimais
representado na figura 3.7.
Designando a área ABC por dS e designando as áreas OBC, OAC e OAB por
,
dS1 dS2 e dS3 respectivamente, estas áreas podem ser calculadas a partir da área dS
G
considerando as componentes, {l,m,n}, da normal n à faceta ABC, ou seja
dS1 = ldS
dS2 = mdS
dS3 = ndS
A equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos yy é:
T ydS = σ yymdS + τ xyldS + τ zyndS
Simplificando obtém-se:
T y = τ xyl+σ yym + τ zyn
z
C
σ yy
τ yx
A
x
σ xx
τ xy
τ yz
Tx
z
Tz
τ zy
Ty
τ xz
O
τ zx
σ zz
y
y
B
n
x
Figura 3.7: Tetraedro Elementar definido no Interior do Sólido.
10/16
Considerando o equilíbrio segundo os eixos dos xx e dos zz obtêm-se as outras
G
duas componentes da tensão T na faceta ABC, as três componentes são
Tx = lσ xx + mτ yx + nτ zx
Ty = lτ xy + mσ yy + nτ zy
Tz = lτ xz + mτ yz + nσ zz
A equação anterior pode escrever-se com a forma matricial seguinte:
{T} = [σ]{n} ou T = σn
(3.11)
onde:
⎡σ xx
⎧Tx ⎫
⎪ ⎪
{T} = ⎨Ty ⎬ , [σ] = ⎢⎢ τ xy
⎪T ⎪
⎢ τ xz
⎩ z⎭
⎣
τ xy
σ yy
τ yz
τ xz ⎤
⎧l⎫
⎥
⎪ ⎪
τ yz ⎥ e n = ⎨m ⎬ é o versor da Normal à Faceta.
⎪n ⎪
σ zz ⎥⎦
⎩ ⎭
{}
O conhecimento dos elementos do tensor das tensões σ , permite o cálculo das tensões
numa faceta com orientação arbitrária e os elementos do tensor das Tensões são
suficientes para o cálculo das Tensões numa faceta com orientação arbitrária. Nestas
condições é possível afirmar que o tensor das tensões, conjuntamente com o sistema de
eixos em relação ao qual foi calculado, define completamente o estado de tensão num
ponto.
5 – Tensões Normais e Tangencial numa Faceta com Orientação
Arbitrária
z
z
Tz
Tn
Ty
y
T
y
Tx
x
x
Tt
11/16
Figura 3.8: Tensões Normais e Tangencial numa Faceta Elementar.
Na faceta α , com orientação arbitrária, as componentes da tensão considerada T, foram
consideradas segundo os eixos coordenados Ox, Oy e Oz. As componentes de T também
podem ser consideradas segundo a normal e a tangente à superfície como se representa na
figura 3.8. a componente normal, Tn , da tensão pode ser calculada projectando o vector
T segundo a direcção normal à faceta, ou seja:
Tn = lTx + mTy + nTz = l 2 σ x + m 2 σ y + n 2 σ z + 2lmτ xy + 2 ln τ xz + 2mnτ yz
(3.11)
A grandeza da tensão tangencial pode ser calculada por aplicação do Teorema de
Pitágoras como sendo
Tt = T 2 − Tn2
(3.12)
A direcção das componentes da direcção tangencial podem ser calculadas tendo em conta
que
T − lTn
ls = x
Tt
Tt l s + Tn l = Tx
Ty − mTn
Tt m s + Tn m = Ty ou seja: m s =
(3.13)
Tt
Tt n s + Tn n = Tz
T − nTn
ns = z
Tt
As componentes do vector tensão, T, numa faceta arbitrariamente orientada em relação
aos eixos coordenados, podem ser calculadas no sistema de eixos de referência ou nas
direcção normal e tangencial à superfície fazendo uso do tensor das tensões no ponto e
dos cosenos directores da normal à faceta.
Caso Particular: Estado Plano de Tensão
As tensões no sistema de eixos Oxy são σ xx , σ yy e τ xy como se representa na
figura 3.9, no caso de se pretender as tensões na faceta cuja normal faz um ângulo θ com
o eixo Ox e que tem a direcção Ox´, como se representa na referida figura, tem de
considerar-se o equilíbrio de forças na direcção dos eixos dos xx e dos yy ou na direcção
dos eixos Ox´e Oy. O referido ângulo é medido a partir do eixo dos xx (sentido positivo)
e no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Considerando o elemento triangular ABC e considerando o equilíbrio de forças na
direcção do eixo x’x’, ΣFx ' = 0 , obtém-se:
12/16
σ x ' x ' dA = σ xx dA cos θ cos θ + σ yy dAsenθsenθ + τ xy dA cos θsenθ + τ xy dA cos θsenθ
ou seja:
σ x ' x ' = σ xx cos 2 θ + σ yysen 2 θ + 2τ xy cos θsenθ
(3.14)
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
, sen 2 θ =
e 2senθ cos θ = sen 2θ , a
2
2
equação 3.14 pode escrever-se com a seguinte forma:
tendo em conta que: cos 2 θ =
σ x ' x ' = σ xx
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
+ σ yy
+ τ xy sen 2θ
2
2
simplificando obtém-se:
σ x' x' =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
+
cos 2θ + τ xy sen 2θ
2
2
(3.15)
Considerando o equilíbrio de forças segundo o eixo dos y’y’ no elemento ABC de
espessura unitária, obtém-se a tensão tangencial ou de corte na faceta BC como sendo:
τ x ' y' =
σ yy − σ xx
sen 2θ + τ xy cos 2θ
2
(3.16)
σ yy
y
τ yx
C
x´
τ xy
τ x´y´
σ xx
y´
y´
B
θ
x
x´
σ x´x´
13/16
Figura 3.9: Tensão Normal na Faceta cuja normal tem a Direcção Ox’.
As tensões σ x ' x ' e τ x ' y' representam as tensões normais e de corte na faceta BC cuja
normal faz um ângulo θ com o eixo dos xx.
6 – Problemas Propostos para Resolução na Aula
1. Verifique se os tensores abaixo indicados correspondem a estados de equilíbrio
admissíveis.
[
(
⎡a y 2 + ν x 2 − y 2
(a) σ ≈ ⎢
− 2aνxy
⎣⎢
)]
⎤
− 2aνxy
2
2 ⎥
a x + ν y − x ⎦⎥
[
2
)]
(
⎡ x + y 2x − y⎤
(b) σ ≈ ⎢
⎥
⎣ 2 x − y x − 3y ⎦
2. Considere uma placa sujeita a um estado plano de tensão e na referida placa considere
uma área elementar, como se representa nas figuras indicadas em cada alínea, figuras
3.10 e 3.11.
Em cada caso são indicadas as tensões no plano Oxy ou seja σ xx , σ yy e τ xy .
Determine as tensões normal e de corte que actuam num elemento que faça um ângulo
θ com o eixo dos xx, sentido positivo, medido no sentido contrário ao dos ponteiros
do relógio. Mostre os resultados numa figura.
a) Tensões: σ xx = 80Mpa , σ yy = 50Mpa e τ xy = 40Mpa ; θ = −40 o
50MPa
y
40MPa
x
80MPa
Figura 3.10: Estado Plano.
b) Tensões: σ xx = −90MPa , σ yy = −60MPa e τ xy = −75MPa ; θ = −50 o
60MPa
y
75MPa
x
90MPa
14/16
Figura 3.11: Estado Plano.
3. Considere a placa de madeira representada na figura, a orientação das fibras é tal que
estas fazem um ângulo de 20o com o eixo dos xx. Determine as Tensões de corte na
direcção das fibras e as tensões na direcção normal às fibras.
y
3MPa
θ
4.5MP
x
Figura 3.12: Placa Comprimida.
4. Um elemento em estado plano de tensão está sujeito às tensões representadas na figura
3.13. Determine as tensões normais e de corte que actuam no plano inclinado AB.
30MPa
A
40MPa
4
1.5
85MPa
B
Figura 3.13: Placa solicitada no Plano.
5. O estado de tensão num ponto de um sólido é definido pelas seguintes componentes:
⎡80 50 60 ⎤
⎢50 160 −75⎥ MPa
⎢
⎥
⎢⎣60 −75 100 ⎥⎦
15/16
a) Determine a componente normal e a componente de corte num plano cuja normal está
inclinada de α = 68º e β = 35º em relação aos eixos dos xx e dos yy respectivamente.
b) Determine os cossenos directores da tensão de corte no plano considerado.
6. No ponto P = {1,1,1} de um corpo material para um plano de corte α cuja equação é
G G
x+y-z-1=0, a tensão resultante é T(P, n) = {3, 2, −1} .
Determine no ponto P, as componentes normal e tangencial da tensão T.
7 – Problemas Propostos para Resolução nas Horas de Estudo
1. Considere a placa de madeira representada na figura, a orientação das fibras é tal que
estas fazem um ângulo de 35o com o eixo dos xx. Considere a placa sujeita a um
campo de tensões como se representa na figura 3.14. determine as tensões de corte na
direcção das fibras e as tensões na direcção normal às fibras.
y
60MPa
35
100MPa
x
Figura 3.14: Placa Rectangular
2. Num ponto material, o tensor das tensões, no sistema de eixos Oxyz, tem componentes
que são:
0 ⎤
⎡ 80 120
⎢
σ ≈ ⎢120 − 80 0 ⎥⎥ MPa
⎢⎣ 0
0 150⎥⎦
Determine:
a) As componentes do vector Tensão actuante no plano cuja normal tem o versor
(2/3, -2/3, 1/3).
16/16
b) A Grandeza do Vector Tensão.
c) A componente do Vector Tensão na direcção da Normal.
d) O ângulo entre o vector tensão e a normal.
8 – Leituras e Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995,
Páginas 10-16.
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989. Não contém todo o conteúdo da aula.
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
9- Questões a que deve saber responder no final da Aula
-Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos xx para um sólido
tridimensional.
- Mostre que o Tensor das Tensões é um Tensor Simétrico.
- Mostre que o Tensor das Tensões é suficiente para caracterizar o estado de tensão
num ponto.
- Diga como determina a tensão normal e a tensão de corte numa faceta com uma
orientação arbitrária para um estado de tensão tridimensional e bidimensional.
etc.