Os Conjuntos p-Cantor, com p número primo Referências

Os Conjuntos p-Cantor, com p número primo
Rubén Panta Pazos 1, Marigelda Rosa Sobianek 2
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1.
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Seja p um número primo maior que 2. O conjunto
p-Cantor Kp é um conjunto fechado do intervalo [0,1],
obtido como complementar de uma reunião de
intervalos abertos. Para construir o conjunto p-Cantor,
dividimos o intervalo fechado [0, 1] em p partes
iguais, e retiramos os subintervalos abertos
 1 2  ,  3 4  , ... ,  p − 1 p − 1  ,
 ,   , 


,
 p p


 p p


 p

p 
isto é, os subintervalos de ordem par. Logo
subdividimos cada subintervalo fechado restante em
p partes iguais. Retiram-se os subintervalos de ordem
par em cada um deles. Repete-se o processo
indefinidamente. O conjunto Kp dos pontos não
retirados é o conjunto p-Cantor.
Figura 2: Dimensão fractal dos conjuntos Kp.
O trabalho está organizado da forma seguinte:
primeiro é introduzido o conjunto p-Cantor, dando
suas principais propriedades e determinando sua
dimensão fractal. Depois são estudados os produtos
cartesianos
K pn , com n ∈ N, e outras alternativas na
construção de conjuntos fractais no hiper-cubo [0,1]n
baseados nos conjuntos Kp. Finalmente o trabalho da
um esboço das funções de Cantor correspondentes a
Kp e
Figura l: Primeiras etapas na geração de K5.
As propriedades básicas de K3, denominado o
conjunto de Cantor, ou poeira de Cantor 2,3, são
mantidas em qualquer conjunto Kp, com p primo:
1.
2.
3.
4.
Kp é compacto;
Kp possui medida de Lebesgue nula;
Kp é um conjunto perfeito (portanto é um
conjunto enumerável);
Kp é auto-similar com dimensão fractal < 1.
A dimensão fractal é definida pela expressão 1
d fract = − lim+
ε →0
ln(N ) ,
ln(ε )
onde N é o número de subintervalos que ficam numa
etapa dada, e ε representa o fator de escala (1/p).
.
K pn .
Referências
[1] Clark Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic
Dynamics and Chaos, CRC Press, Boca Raton , FLA,
USA, 1995.
[2] Cullen, H. F. Introduction to General Topology. Boston,
MA: Heath, pp. 78-81, 1968.
[3] Elon Lages Lima, Análise Real, volume 1, Impa, Rio de
Janeiro, RJ, 1993.