um estudo introdutório sobre cissóides - famat

FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
263
UM ESTUDO INTRODUTÓRIO SOBRE CISSÓIDES *
Fabiano Elias Reis 1
[email protected]
Dulce Mary de Almeida 2
[email protected]
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
Resumo
Neste trabalho introduzimos uma classe particular de curvas, denominadas cissóides, que são
curvas geradas por duas curvas bases e por um ponto fixo (pólo) num processo análogo à curva
inventada por Diocles para solucionar o problema da duplicação do cubo. Estudamos basicamente
três exemplos de cissóides: Cissóide de Diocles, Lemniscata de Bernoulli e Estrofóide Reta.
Apresentamos suas equações nas formas cartesiana, polar e paramétrica; descrevemos métodos de
construções dessas curvas utilizando o software de geometria dinâmica Cabri-Géomètre II;
explicitamos uma construção mecânica de duas dessas curvas baseada no Esquadro de Newton e
fornecemos alguns dados históricos correlatos.
Palavras-chave: Cissóide de Diocles, Lemniscata de Bernoulli, Estrofóide Reta e Esquadro de
Newton.
1.
INTRODUÇÃO
Nosso trabalho é um estudo modesto sobre algumas curvas que são casos particulares
de Cissóide.
Inicialmente, na secção 2, apresentamos a definição de uma cissóide genérica e
deduzimos suas equações paramétricas em função dos parâmetros das duas curvas bases e do
pólo O. Apresentamos também uma fórmula simplificada para estas equações quando uma
das curvas bases é uma reta.
Em seguida, na secção 3, estudamos a Cissóide de Diocles, curva inventada por
Diocles com o objetivo de solucionar o problema da duplicação do cubo. Além de apresentar
uma solução desse problema, estudamos também duas outras formas de obtenção dessa curva
as quais podem ser derivadas de uma parábola: como rolete do vértice de uma parábola
rolando sobre ela própria e como curva pedal de uma parábola em relação ao seu vértice.
Na secção 4, apresentamos a Lemniscata de Bernoulli, primeiramente como um caso
particular de uma oval de Cassini, curvas que são lugares geométricos dos pontos de um plano
cujo produto das distâncias a dois pontos fixos é constante, em seguida como cissóide de uma
circunferência de raio r e ela própria com relação à um pólo O distante 2 r do centro dessa
circunferência.
Depois, na secção 5, estudamos a Estrofóide Reta que é a cissóide de uma
circunferência e de uma reta radial em relação a um pólo O que está sobre a circunferência e é
um dos pontos mais distantes da reta radial.
Finalmente, na secção 6, apresentamos um mecanismo (baseado no Esquadro de
Newton), acompanhado de justificativa matemática, que permite traçar a Cissóide de Diocles
e a Estrofóide Reta.
* Monografia apresentada à FAMAT – UFU, como requisito parcial para obtenção do título de
Especialista em Matemática. Este exemplar corresponde à redação final da monografia defendida por
Fabiano Elias Reis em 10 de abril de 2008, devidamente corrigida e aprovada pela comissão julgadora.
1
Aluno do VIII Curso de Especialização em Matemática da FAMAT – UFU.
2
Professora Orientadora.
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FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Para cada um dos três exemplos de cissóide estudados nesse trabalho, deduzimos
também suas equações, nas formas polar, paramétricas e cartesiana; apresentamos um método
de construção usando o Programa Cabri-Géomètre II. Sempre que possível, fornecemos
também ao leitor alguns dados históricos correlatos.
2.
CISSÓIDES GENÉRICAS
A cissóide foi inventada por Diocles (grego, c. 240 a.C - c. 180 a.C) como uma das
suas tentativas em resolver o problema da duplicação do cubo por métodos geométricos. E.
Lockwood, em seu livro “A Book Of Curves” [5] escreve-nos que:
“Os matemáticos do século XVII colocaram à prova a sua perícia através da cissóide. Fermat e
Roberval construíram a tangente (1634); Huygens e Wallis encontraram a área (1658); enquanto
Newton dá-a como exemplo, na sua “Arithmetica Universalis”, das antigas tentativas na resolução de
problemas cúbicos...”
Posteriormente, o método usado para gerar a Cissóide de Diocles foi generalizado e
todas as curvas geradas por um processo análogo ao dessa curva são designadas por cissóides.
Em grego: kissós (hera) eidos (forma).
Nosso trabalho é modesto e apresentado na ordem inversa dos acontecimentos,
primeiro apresentaremos as cissóides genéricas e em seguida estudaremos a Cissóide de
Diocles, como caso particular.
2.1 Definição e equações
Uma cissóide geral é definida como segue. Sejam C1 e C 2 duas curvas no plano ℜ 2
dadas e seja O ∈ ℜ 2 um ponto fixo. Sejam P1 e P2 as intersecções de uma reta variável r
passando por O com as curvas C1 e C 2 , respectivamente. O lugar geométrico dos pontos
P ∈ r , tais que OP = OP2 − OP1 = P1 P2 chama-se cissóide de C1 e C 2 com respeito ao pólo
O, Figura (1).
Figura (1)
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265
2.1.1 Equações paramétricas
Mostraremos agora como representar uma cissóide genérica parametricamente.
Considere a curva C1 dada pelas equações paramétricas x = f 1 ( t1 ) e y = g1 ( t1 ) com
t1 ∈ I ⊂ ℜ , o pólo O representado em coordenadas por O( x o , y o ) e a curva C 2 dada pelas
equações paramétricas x = f 2 ( t 2 ) e y = g 2 ( t 2 ) com t 2 ∈ J ⊂ ℜ . Nestas condições as
equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos O e P1 ( f 1 ( t1 ) , g1 ( t1 ) ) , onde P1 ∈ C1 ,
em termos de um parâmetro real λ é dada por:
 x = λ [ x o − f 1 ( t1 ) ] + f1 ( t1 )
λ ∈ ℜ
,

 y = λ [ y o − g1 ( t1 ) ] + g1 ( t1 )
Para encontrar a interseção da reta r com a curva C 2 , ou seja o ponto P2 ( f 2 ( t 2 ) , g 2 ( t 2 ) ) ,
 λ [ xo − f 1 ( t1 ) ] + f1 ( t1 ) = f 2 ( t 2 )
devemos resolver o seguinte sistema de equações: 
 λ [ y o − g1 ( t1 ) ] + g1 ( t1 ) = g 2 ( t 2 )
f 2 ( t 2 ) − f 1 ( t1 )

 λ = x − f (t )
o
1 1

f 2 ( t 2 ) − f1 ( t1 )
g 2 ( t 2 ) − g1 ( t1 )
⇒
⇒
=
.

xo − f 1 ( t1 )
y o − g 1 ( t1 )

g ( t ) − g1 ( t1 )
λ = 2 2
y o − g 1 ( t1 )

Usando a notação: ∆ x = f 1 ( t1 ) − x o e ∆ y = g1 ( t1 ) − y o , segue que:
f 2 ( t 2 ) − f 1 ( t1 )
g 2 ( t 2 ) − g 1 ( t1 )
=
⇒
− f 2 ( t 2 ) ∆ y + f 1 ( t1 ) ∆ y = − g 2 ( t 2 ) ∆ x + g1 ( t1 ) ∆ x
− ∆x
− ∆y
g 2 ( t 2 ) ∆ x − f 2 ( t 2 ) ∆ y = g1 ( t1 ) ∆ x − f 1 ( t1 ) ∆ y .
Supondo que esta equação tenha uma solução, digamos: t 2 = σ ( t1 ) , temos que o ponto
P2 é expresso em coordenadas por P2 ( f 2 ( σ ( t1 ) ) , g 2 ( σ ( t1 ) ) ) . Assim sendo, a condição:
⇒
OP = P1 P2
⇒
P − O = P2 − P1
⇒
( x, y ) − ( x o −
y o ) = ( f 2 ( σ ( t1 ) ) , g 2 ( σ ( t1 ) ) ) − ( f 1 ( t1 ) , g 1 ( t1 ) )
 x = x o + f 2 ( σ ( t1 ) ) − f 1 ( t1 )
( t1 ∈ I )
(1)

 y = y o + g 2 ( σ ( t1 ) ) − g 1 ( t1 )
que são as equações paramétricas da cissóide de C1 (com equações paramétricas dadas por
x = f 1 ( t1 ) e y = g1 ( t1 ) ) e C 2 (com equações paramétricas dadas por x = f 2 ( t 2 ) e y = g 2 ( t 2 ) )
com respeito ao pólo O ( x o , y o ) .
⇒
2.1.2 Equação polar
Se O( x o , y o ) é o pólo, a equação polar da cissóide é claramente
ρ (θ ) = ρ 2 (θ ) − ρ 1 (θ )
sendo, ρ 2 = ρ 2 (θ ) a equação polar de C 2 e ρ 1 = ρ 1 (θ ) a equação polar de C1 .
2.2 Cissóide de uma reta
266
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Um caso especial interessante ocorre quando C 2 é uma reta. Suponha que C 2 é a reta
dada pela equação ax + by + c = 0 .
A equação da reta r que passa por O( x o , y o ) e P1 ( f 1 ( t1 ) , g1 ( t1 ) ) é:
(y−
y o ) ( f 1 ( t1 ) − xo ) = ( x − xo ) ( g 1 ( t1 ) − y o )
⇒
(y−
y o ) ⋅ ∆ x = ( x − xo ) ⋅ ∆ y
Determinando a intersecção dessa reta com a reta C 2 (supondo que r não seja paralela
à C 2 ) encontramos o ponto P2 ( x 2 , y 2 ) dado por:
− c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x

 x2 =
a∆ x + b∆ y

( 2)
, se a∆ x + b∆ y ≠ 0


− c∆ y + y o a∆ x − xo a∆ y
 y2 =
a∆ x + b∆ y

sendo ∆ x = f 1 ( t1 ) − x o e ∆ y = g1 ( t1 ) − y o .
 ax 2 + by 2 + c = 0
De fato:

 ( g1 ( t1 ) − y o ) x 2 − ( f 1 ( t1 ) − xo ) y 2 + y o f 1 ( t1 ) − x o g1 ( t1 ) = 0
 ax 2 + by 2 + c = 0

 ∆ yx 2 − ∆ xy 2 + y o f 1 ( t1 ) − xo g1 ( t1 ) = 0
Utilizando a Regra de Cramer, obtemos:
− c
b
c∆ x − xo b g 1 ( t1 ) + y o b f 1 ( t1 )
x o g 1 ( t1 ) − y o f 1 ( t1 ) − ∆ x
x2 =
=
a
b
− ( a∆ x + b∆ y )
∆y − ∆x
c∆ x − xo b( g1 ( t1 ) − y o ) + y o b( f 1 ( t1 ) − xo )
− c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x
=
=
− ( a∆ x + b∆ y )
a∆ x + b∆ y
e
a
− c
∆ y xo g1 ( t1 ) − y o f 1 ( t1 )
c∆ y + axo g1 ( t1 ) − y o f 1 ( t1 ) a
y2 =
=
a
b
− ( a∆ x + b∆ y )
∆y − ∆x
c∆ y + axo ( g 1 ( t1 ) − y o ) − y o a( f 1 ( t1 ) − x o )
− c∆ y − axo ∆ y + y o a∆ x
=
=
− ( a∆ x + b∆ y )
a∆ x + b∆ y
Substituindo ( 2 ) em (1) , lembrando que x 2 = f 2 ( σ ( t1 ) ) e y 2 = g 2 ( σ ( t1 ) ) , obtemos:
⇒
x =
=
=
=
x o ( a∆ x + b∆ y ) − c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x − f 1 ( t1 )( a∆ x + b∆ y )
a∆ x + b∆ y
x o ( a∆ x + b∆ y ) − c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x − ( ∆ x + xo )( a∆ x + b∆ y )
a∆ x + b∆ y
x o a∆ x + xo b∆ y − c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x − a∆ x∆ x − b∆ x∆ y − x o a∆ x − x o b∆ y
a∆ x + b∆ y
− c∆ x + x o b∆ y − y o b∆ x − a∆ x∆ x − b∆ x∆ y
a∆ x + b∆ y
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
x=
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b∆ y ( xo − ∆ x ) − ∆ x( a∆ x + by o + c )
a∆ x + b∆ y
e
y o ( a∆ x + b∆ y ) − c∆ y + y o a∆ x − xo a∆ y − g1 ( t1 )( a∆ x + b∆ y )
a∆ x + b∆ y
y o ( a∆ x + b∆ y ) − c∆ y + y o a∆ x − xo a∆ y − ( ∆ y + y o )( a∆ x + b∆ y )
=
a∆ x + b∆ y
y o a∆ x + y o b∆ y − c∆ y + y o a∆ x − xo a∆ y − a∆ y∆ x − b∆ y∆ y − y o a∆ x − y o b∆ y
=
a∆ x + b∆ y
− c∆ y + y o a∆ x − xo a∆ y − a∆ y∆ x − b∆ y∆ y
=
a∆ x + b∆ y
a∆ x( y o − ∆ y ) − ∆ y ( x o a + c + b∆ y )
=
a∆ x + b∆ y
desde que ( a∆ x + b∆ y ) ≠ 0 .
Assim as equações paramétricas da cissóide da reta ax + by + c = 0 e da curva C1
(com equações paramétricas dadas por x = f 1 ( t1 ) e y = g1 ( t1 ) , t1 ∈ I ⊂ ℜ ) com respeito ao
pólo O( x o , y o ) é dada por:
y =
b∆ y ( x o − ∆ x ) − ∆ x( a∆ x + by o + c )

x=
a∆ x + b∆ y

( t1 ∈ I )
,


a∆ x( y o − ∆ y ) − ∆ y ( b∆ y + axo + c )
y=
a∆ x + b∆ y

sendo ∆ x = f 1 ( t1 ) − x o e ∆ y = g1 ( t1 ) − y o , desde que ( a∆ x + b∆ y ) ≠ 0 .
3.
( 3)
CISSÓIDE DE DIOCLES
H. Eves [3], nos conta que Diocles (c. 240 a.C. - c. 180 a.C. ) inventou a cissóide a fim
de resolver o problema da duplicação do cubo. No entanto, parece que não foi Diocles quem
lhe atribuiu este nome. E H Lockwood em seu livro A books of curves [5], afirma que o nome
cissóide (‘forma de hera’) é mencionado [pela primeira vez] por Geminus no séc. I a.C., cerca
de um século depois da morte do inventor Diocles. É em comentários à obra de Arquimedes
“Sobre a esfera e o cilindro” que a cissóide aparece e é atribuída a Diocles.
Sobre a vida e obra de Diocles, J. M. R. Souza [7], apresenta-nos a seguinte
informação.
“Durante longo período de tempo tudo o que se conhecia sobre a obra e vida de Diocles,
matemático do início do séc. II a.C., era através de dois fragmentos da sua obra Dos Espelhos
Cáusticos, preservados por Eutócio no comentário ao já referido texto de Arquimedes Da Esfera e do
Cilindro. Um desses fragmentos é a contribuição de Diocles para o famoso problema de Delos”.
Só recentemente é que uma tradução árabe Dos Espelhos Cáusticos foi descoberta numa
Biblioteca em Mashhad, Irã.
Assim, é de referir que nenhuma obra (completa) de Diocles era conhecida de Thomas Heath
quando escreveu, em 1921, History of Greek Mathematics, tendo Toomer, em 1976, traduzido para
inglês e publicado a versão árabe do perdido tratado de Diocles”.
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FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
A referida tradução devida à G.J. Toomer intitula-se Diocles on Burning Mirrors: The
Arabic Translation of the Lost Greeks Original e é uma publicação pela Springer Verlag, [6].
Toomer inicia sua tradução dizendo:
“Nada sabemos sobre Diocles exceto o que pode ser inferido da presente obra. Até a
descoberta do texto árabe, mesmo a sua data constituía uma incerteza”.
Remetemos o leitor interessado em obter mais informações sobre a vida de Diocles a
essa obra traduzida por J. G. Toomer. Passemos agora a apresentar a definição e as
equações da Cissóide de Diocles nas formas paramétricas, polar e cartesiana.
3.1 Definição e equações
Definição: A Cissóide de Diocles é a cissóide de uma circunferência C1 e de uma reta C 2
tangente a circunferência C1 , com respeito ao pólo O pertencente à circunferência e
diametralmente oposto ao ponto de tangência, veja Figura (2).
Figura (2)
3.1.1 Equações paramétricas
Considerando-se um sistema de coordenadas ortogonais tal que a circunferência C1
2
d
1

seja dada pela equação cartesiana  x −  + y 2 = d 2 e a reta C 2 tangente à circunferência
2
4

C1 seja dada pela equação cartesiana x = d , tem-se que o pólo O, ponto pertencente à C1 e
diametralmente oposto ao ponto de tangência, é a origem O( 0,0) . Nessas condições:
π
π
P2 = d (1, tg (θ ) ) e P1 = OP1 = OP1 ( cosθ , senθ ) = d ⋅ cosθ ( cosθ , senθ ) , − < θ < , sen-do θ
2
2
o ângulo entre o eixo Ox e a reta r que passa pelos pontos O, P1 e P2 , veja Figura (3).
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Figura (3)
Substituindo nas equações (3), mas lembrando que: a = 1 , b = 0 , c = − d , xo = y o = 0 ;
P1 = ( f 1 ( t1 ) , g1 ( t1 ) ) = d ⋅ cos 2 θ , d ⋅ sen θ cos θ e então ∆ y = g 1 ( t1 ) − y o = d ⋅ sen θ cos θ ,
∆ x = f1 ( t1 ) − x o = d ⋅ cos 2 θ segue que:
(
)
− d 2 cos 4 θ + d 2 cos 2 θ
= − cos 2 θ + 1 ⋅ d = d ⋅ sen 2 θ e
2
d cos θ
2
d ⋅ cos θ ( − d ⋅ sen θ cos θ ) − d ⋅ sen θ cos θ ( − d )
d ⋅ sen θ cos θ
y =
= − d ⋅ sen θ cos θ −
2
d ⋅ cos θ
cos 2 θ
 cos 2 θ − 1 
 − sen 2 θ 
1 

 = − d ⋅ sen θ 

= − d ⋅ sen θ  cos θ −
 = − d ⋅ sen θ 
cos θ 

 cos θ 
 cos θ 
d ⋅ sen θ ⋅ sen 2 θ
=
= d ⋅ tgθ ⋅ sen 2 θ
cos θ
Portanto, as equações paramétricas da Cissóide de Diocles da circunferência
2
d
1 2

2
 x −  + y = d e da reta tangente x = d (logo, com pólo na origem) é dada por:
2
4

 x = d ⋅ sen 2θ
π
π
( 4)
− <θ <
,

2
2
2
 y = d ⋅ tgθ sen θ
π
π
AP2 AP2
Agora, fazendo a substituição t = tgθ , − < θ < , temos: t = tgθ =
, sendo
=
2
2
d
OA
d
AP2
t.d
senθ =
=
A = A( d ,0 ) ⇒ AP2 = t.d ; cosθ =
e
OP2
OP2 OP2 , veja Figura (4).
x =
(
)
Figura (4)
270
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Mas,
(OP ) = (OA) + ( AP )
2
2
2
cosθ =
2
2
d
d 1+ t
2
2
1
=
(
= d 2 + ( t.d ) = d 2 1 + t 2
1+ t
⇒
t.d
senθ =
e
2
)
d 1+ t
=
2
OP2 = d 1 + t 2 .
t
1+ t2
Portanto,
.
Substituindo em ( 4 ) , obtemos as conhecidas equações paramétricas para a Cissóide de
2
d
1

Diocles da circunferência  x −  + y 2 = d 2 e da reta tangente x = d (logo, com pólo na
2
4

origem) com parâmetro variando em toda a reta real dada por:

t 2d
x=
1+ t2



t 3d
y=

1+ t2
(
)
3
t d
1+ t =
1+ t2
2
3
t∈ ℜ
,
(5)
3.1.2 Equação polar
Utilizando-se a equação de transformação de coordenadas retangulares para
coordenadas polares: ρ = x 2 + y 2 , podemos transcrever as equações (4) a sua forma
equivalente em coordenadas polares como:
ρ
=
x2 + y2
=
d 2 sen 4
( dsen θ ) + ( d ⋅ tgθ sen θ ) =
θ (1 + tg θ ) =
d sen θ ( sec θ )
=
2
2
2
2
2
2
4
d 2 sen 4θ + d 2tg 2θ sen 4θ
=
2
d sen 2 θ sec θ
d sen 2 θ
=
1
cos θ
π
π
sen θ
visto que secθ > 0 pois, − < θ < .
= d sen θ ⋅ tgθ ,
2
2
cos θ
Portanto, a equação da Cissóide de Diocles, dada em (4) ou (5), em coordenadas polares é:
π
π
ρ (θ ) = d ⋅ senθ ⋅ tgθ , − < θ <
(6)
2
2
=
d sen θ
3.1.3 Equação cartesiana
Utilizando as equações (4) obtemos:
y2 ( d − x) =
(
)
⋅ tg θ ⋅ sen θ (1 − sen θ ) =
⋅ sen θ = ( d ⋅ sen θ ) =
d 2 ⋅ tg 2θ ⋅ sen 4θ d − d ⋅ sen 2θ
=
=
d3
d 3 ⋅ tg 2θ ⋅ sen 4θ ( cos 2 θ
=
d3
2
4
6
2
2
3
d 3 ⋅ tg 2θ ⋅ sen 4θ − d 3 ⋅ tg 2θ ⋅ sen6θ
)
x3
d
d 
Assim, a equação da Cissóide de Diocles da circunferência de centro C  ,0  e raio
e a da
2
 2 
reta tangente x = d (portanto, com pólo na origem) em coordenadas cartesianas é:
y 2 ( d − x) = x 3
(7)
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
3.2
271
Construção de uma Cissóide de Diocles usando o programa CabriGéomètre II
O Cabri-Géomètre II é um programa computacional educativo que permite construir e
explorar objetos geométricos interativamente, e foi desenvolvido por Jean-Marie Laborde e
Franck Bellemain na Universidade Joseph Fourier em Grenoble, França.
Nesta seção descreveremos, passo a passo, a construção de uma Cissóide de Diocles,
conforme Figura (5), sendo dadas a circunferência C1 e a reta C 2 tangente a circunferência
C1 , utilizando o programa Cábri-Géomètre II; num formato que facilite a um iniciante não
familiarizado com o uso desse programa. No texto, as janelas da barra de ferramentas do
Cábri se encontram enumeradas de 1 a 11, da esquerda para a direita.
Figura (5): Cissóide de Diocles
Passo 1: Construa uma circunferência C1, digamos de raio b e centro no ponto C, procedendo
da seguinte maneira:
Passo 1.1: Num canto da área de trabalho construa um segmento auxiliar de
comprimento b: Clique na Janela 3 e selecione a opção “Segmento”. O cursor se
transforma em um “lápis” pronto para desenhar na tela. Clique com o mouse em um
ponto no canto auxiliar da área de trabalho, um ponto será construído pelo Cabri.
Clique sobre outro ponto, ainda no canto da área de trabalho, e o segmento com
extremos nesses dois pontos será construído pelo programa. Clique na Janela 10 e
selecione a opção “Comentário”. Clique próximo do segmento, uma caixa de edição é
aberta, digite então a letra “b” para nomear o comprimento do segmento recémconstruído.
Passo 1.2: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Compasso”. Clique com o mouse
em um ponto no centro da área de trabalho, um ponto será construído pelo Cabri. Para
etiquetá-lo, após a sua construção, digite a letra “C” imediatamente. Em seguida
aproxime o cursor (com o mouse) do segmento de comprimento b. Aparecerão as
palavras “Este segmento”, clique com o mouse sobre o segmento, e uma
circunferência com centro em C e raio b será construída pelo Cabri. Para etiquetá-la,
clique na Janela 10 e selecione a opção “Rótulo”. Aproxime o cursor da circunferência
recém-construída aparecerão as palavras “Esta circunferência”, clique sobre a
circunferência, uma caixa de edição é aberta, digite então as palavras “C1”.
Passo 2: Construa a reta C2 tangente à circunferência C1, digamos no ponto A.
Passo 2.1: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Ponto sobre Objeto”. Ao aproximar
o cursor da circunferência C1 o programa perguntará “Nesta circunferência”. Na
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FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
posição que desejar, clique sobre a circunferência construída e um ponto que pertence
à circunferência será construído pelo programa. Digite a letra “A” imediatamente, para
nomear o ponto construído.
Passo 2.2: Clique na Janela 3 e selecione a opção “Reta”. Aproximando o cursor do
ponto A aparecerão às palavras “Por este ponto”. Clique e em seguida aproxime o
cursor do ponto C. aparecerão de novo as palavras “Por este ponto”. Clique, e a única
reta que passa por A e C será construída pelo programa.
Passo 2. 3: Clique na Janela 5 e ative a opção “Reta Perpendicular”. Aproximando o
cursor do ponto A aparecerão as palavras “Por este ponto”. Clique e em seguida
aproxime o cursor da reta construída no passo anterior. Aparecerão de novo as
palavras “Por esta reta”. Clique, e a única reta que passa por A e é perpendicular à reta
AC será construída pelo programa, essa é a reta tangente à circunferência C1 no ponto
A. Para etiquetá-la, após a sua construção, digite as letras “C2”.
Passo 3: Construa o pólo O, ponto pertencente à circunferência e diametralmente oposto ao
ponto de tangência A: Clique na Janela 6 e selecione a opção “Simetria Central”. Aproxime o
cursor do ponto A, aparecerão as palavras “Simétrico deste ponto”, clique sobre o ponto A.
Em seguida, aproxime o cursor do ponto C, aparecerão as palavras ”Em relação a este ponto”,
clique sobre o ponto C, e o ponto pertencente circunferência C1 e diametralmente oposto a A
será construído pelo programa. Digite imediatamente a letra “O”, para etiquetá-lo.
Passo 4: Construa um ponto P2 pertencente à reta C2: Clique na Janela 2 e selecione a opção
“Ponto sobre o objeto”, aproximando o cursor da reta C2 aparecerão as palavras ”Nesta reta”.
Na posição que desejar, clique sobre a reta, e um ponto que pertence à reta. Será construído
pelo programa. Para etiquetá-lo, após sua construção, digite as letras “P2” imediatamente.
Passo 5: Construa uma reta passando pelos pontos O e P2, veja instruções no Passo 2.2.
Imediatamente após sua construção, digite “r” para nomear a reta recém-construída.
Passo 6: Construa o ponto de intersecção P1 entre a reta construída no Passo 5 e a
circunferência C1: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Pontos de intersecção”,
aproximando o cursor da reta r aparecerão as palavras “Esta reta”, clique sobre a reta. Em
seguida aproxime o cursor da circunferência C1 e aparecerão as palavras “Esta
circunferência” clique e os pontos de intersecção desses dois objetos aparecerão na tela.
Digite a letra “P1” para nomear o novo ponto de intersecção construído.
Passo 7: Construa o ponto P na reta r tal que tal que OP = P1 P 2 .
Passo 7.1: Selecione a opção “Compasso” na Janela 5, clique sobre o ponto P1, depois
sobre o ponto P2 e em seguida sobre o ponto O, antes de clicar sobre cada um desses
pontos, observe se o cursor está de fato sobre o ponto desejado e espere o programa
perguntar “Este Ponto”. Em seguida, uma circunferência de centro O e raio P1 P 2
será construída pelo Cabri.
Passo 7.2: Com a opção “Pontos de intersecção” (Janela 2), construa os pontos de
intersecções da reta r com a circunferência construída no passo 7.1, veja instruções no
Passo 6. Após realizar a construção, digite a letra “P” imediatamente, para nomear o
novo ponto construído com a propriedade requerida.
Passo 8: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Lugar Geométrico”. Clique no ponto P e
depois no ponto P2, nesta ordem. A Cissóide de Diocles será desenhada pelo Cabri. Explore a
construção, manipule os extremos do segmento de comprimento b, manipule o ponto A,
etc...e, observe o que acontece.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
273
3.3 Duplicação de um cubo usando uma Cissóide de Diocles
Sobre a origem do problema da duplicação do cubo, isto é, o problema de construir o
lado de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado, H. Eves em seu livro
Introdução à História da Matemática [3], nos diz que:
“Há indícios de que o problema da duplicação do cubo possa ter se originado nas palavras de
algum poeta (talvez Eurípedes) grego antigo, ignorante em matemática, ao descrever a insatisfação do
mítico rei Minos com o tamanho do túmulo erguido para seu filho Glauco. Minos ordenou que o
tamanho de seu túmulo fosse dobrado. O poeta fez então Minos aduzir, incorretamente, que isso poderia
ser feito dobrando-se cada uma das dimensões do túmulo. Essa falha matemática da parte do poeta
levou os geômetras a abraçar o problema de como dobrar um dado sólido, mantendo-se sua forma...
.Conta-se mais tarde ainda, para livrar-se de uma peste que os castigava, os delianos foram orientados
por seu oráculo para dobrar o tamanho do altar cúbico de Apolo. O problema supostamente caiu nas
mãos de Platão que o submeteu aos geômetras. É essa última história que fez com que o problema da
duplicação seja mencionado freqüentemente com problema deliano. Verdadeira a história ou não, o fato
é que o problema foi estudado na academia de Platão, e há soluções geométricas superiores atribuídas a
Eudoxo, Menaecmo e mesmo (embora talvez erradamente) ao próprio Platão”.
Vejamos agora como resolver o problema da duplicação de um cubo dado usando uma
Cissóide de Diocles, isto é, dada a aresta de um cubo, digamos de comprimento d, construir a
aresta do cubo de volume duplo,ou seja construir a aresta de comprimento 3 2 d , usando uma
Cissóide de Diocles. Assumindo esta notação proceda como segue. Construa a Cissóide de
Diocles de equação cartesiana y 2 (d − x ) = x 3 , isto é, a Cissóide de Diocles da circunferência
d
d
C1 de centro C ( ,0) e raio e da reta tangente C 2 dada por x = d (portanto, com pólo na
2
2
d
origem). Construa a reta r que passa pelos pontos A(d ,0) e B(0, ) , portanto r é a reta dada
2
pela equação cartesiana 2 y = d − x . Determine o ponto P, ponto de intersecção da reta r com
a Cissóide de Diocles construída anteriormente. Construa a reta s que passa pela origem do
sistema de coordenadas e pelo ponto P. Determine o ponto Q, ponto de intersecção da reta s
com a reta y = d . Afirmamos que o segmento QE, sendo E o ponto de coordenadas E (0, d ) ,
possui comprimento 3 2 d , portanto é a aresta do cubo que duplica o volume do cubo dado.
Veja Figura (6).
Figura (6)
274
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
De fato: Denote o ponto P em coordenadas por P(a,b). Por construção temos que (a,b) é

 (d − x) y 2 = x 3
solução do seguinte sistema de equações: 
, portanto satisfaz a relação
 d − x
= 2y
3
 a
  = 2 . Segue daí que a equação cartesiana da reta s que passa pela origem e pelo ponto P
 b
é dada por x = 3 2 y e portanto, o ponto Q, ponto de intersecção da reta s com a reta y = d ,
em coordenadas é dado por Q( 3 2 d , d ) . Assim sendo, QE =
que E (0, d ) .
3
2 d como afirmado, uma vez
3.4 Definições alternativas da Cissóide de Diocles
3.4.1 Cissóide de Diocles como curva pedal de uma parábola com respeito a seu vértice
A Cissóide de Diocles é também definida como o lugar geométrico descrito pela
interseção da tangente a uma parábola com a normal a esta, passando pelo vértice da parábola,
isto é como curva pedal de uma parábola com respeito a seu vértice, Figura (7).
Figura (7)
De fato: Considerando-se um sistema cartesiano de coordenadas ortogonais tal que a parábola
1 2
y (d > 0) tem-se, que a equação da reta tangente a
seja dada pela equação x = f ( y ) = −
4d
essa parábola num ponto P( xo , y o ) é:
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
x − x0 = f ' ( y o ) ⋅ ( y − yo )
⇒
x − xo = −
275
yo
( y − yo )
2d
⇒
2 y 0 ( y − y o ) = − 4d ( x − x o )
 yo y
y o2 
.
x = x o − 
y−
2d 
 2d
⇒
Lembrando que P( xo , y o ) satisfaz a relação xo = −
1 2
 y y

y o , segue que x = x o −  o + 2 x0 
4d
 2d

 y

x = −  o y + x 0  e a equação da reta normal a esta reta passando pela origem O
 2d

desse sistema de coordenadas é:
1
2d
x= −
y ⇒
x=
y.
f ' ( yo )
yo
Portanto o ponto Q( x, y ) pertencente a intersecção dessas duas retas é a solução do
(1)

 yo

 x = −  2d y + x 0 
sistema:



(2)
2d

x
=
y

yo
(3)

 x = − 1 y2
o
 o
4d

2dy 2
x
=
O qual pode ser resolvido como segue. Da equação (2) temos:
. Substituindo esse
y0
⇒
2
 xy o 
x 2 y o2
 yo x 
2
2
⇒
d
=
dy


valor na equação (1) segue que: 
⇒
= dy 2 .
 = y
4d
 2d 
 2d 
2
2
Usando a equação (3) nessa última igualdade , obtemos: x ( − x o ) = dy
y 

y
x 2  x + o y  = dy 2
⇒
x 3 + x 2 o y = dy 2
2d 
2d

y
Substituindo x 3 + x ⋅ xy o = dy 2 em (2) obtemos:
2d
2
y
2dy
x3 + x ⋅
⋅ 0 = dy 2
⇒
x 3 + x ⋅ y 2 = dy 2
⇒
y o 2d
⇒
⇒
x 3 + x ⋅ xy
yo
= dy 2 .
2d
y 2 ( d − x) = x3 .
Obtemos assim a equação cartesiana y 2 ( d − x ) = x 3 que é precisamente a equação
d
d 
cartesiana da Cissóide de Diocles da circunferência de centro C  ,0  e raio
e a da reta
2
 2 
tangente x = d em coordenadas cartesianas dada na equação (7).
3.4.2 Cissóide de Diocles como rolete do vértice de uma parábola que rola sobre uma
parábola igual fixa
A Cissóide de Diocles pode também ser definida como o lugar geométrico do vértice
de uma parábola móvel que rola sem escorregar sobre uma parábola fixa “igual” de tal
maneira que as duas parábolas são sempre simétricas em relação à reta tangente às duas
parábolas que passa pelo ponto de contato, isto é, como o rolete do vértice de uma parábola
rolando sobre uma parábola igual fixa, veja Figura (8).
276
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura (8)
De fato: Primeiro observe que o ponto V vértice da parábola que rola é o simétrico do vértice
O da parábola fixa em relação à reta tangente (às duas parábolas) no ponto de contato das
duas parábolas. Considerando-se um sistema cartesiano de coordenadas ortogonais de forma
1 2
y (b > 0) tem-se que
que a parábola fixa seja dada pela equação cartesiana x = f ( y ) = −
2b
o vértice da parábola fixa é a origem O do sistema cartesiano.
Portanto, o ponto V ( x, y ) , vértice da parábola que rola é o simétrico da origem
(vértice da parábola fixa) em relação ao ponto Q, pé da perpendicular traçada do vértice da
parábola fixa (origem) à sua reta tangente no ponto de contato das duas parábolas P ( x 0 , y 0 ) .
x y
Logo as coordenadas do ponto Q em relação às coordenadas do ponto V ( x, y ) são Q( , ) ,
2 2
x y
pois Q é o ponto médio do segmento OV. Além disso da sessão 2.4.1 sabemos que Q( , )
2 2
y 2  d x
x 3
satisfaz a equação ( )  −  = ( ) , pois quando P ( x 0 , y 0 ) varia sobre a parábola fixa
2  2 2
2
x y
Q( , ) varia sobre a Cissóide de Diocles dada por esta equação. Mas,
2 2
y  d x
x
( )2  −  = ( )3 ⇒
y 2 (d − x) = x 3 .
2  2 2
2
Portanto o lugar geométrico dos pontos V ( x, y ) que satisfazem a propriedade de
rolamento requerida é o conjunto dos pontos V ( x, y ) que satisfazem a equação
y 2 (d − x) = x 3 , equação cartesiana da Cissóide de Diocles da circunferência de centro
d
d 
C  ,0  e raio
e da reta tangente x = d (portanto com pólo na origem), como queríamos
2
 2 
demonstrar.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
4.
277
LEMNISCATA DE BERNOULLI
Em 1694, Jacques Bernoulli (suíço, 1654 - 1705), Figura (9), publicou um artigo na
famosa Acta Eruditorum (espécie de periódico científico mensal fundado em 1682), no qual
descrevia uma curva plana na forma da Figura (8), que designou por lemniscus (latim para
“fita com laço”). Mas na verdade a imagem dessa curva era conhecida desde a Antiguidade,
como o famoso “oito deitado”, tido como um símbolo do infinito.
Figura (9) : Jacques Bernoulli
Atualmente, essa curva é conhecida pela designação de Lemniscata de Bernoulli.
Quatorze anos antes, no ano de 1680, Giovanni Domenico Cassini (italiano, 1625 - 1712) já
tinha descrito, de modo genérico, uma família de curvas planas, conhecidas atualmente por
ovais de Cassini, curvas que são lugares geométricos dos pontos de um plano cujo produto
das distâncias a dois pontos fixos é constante. Mas, muito embora a Lemniscata de Bernoulli
seja um caso particular de uma oval de Cassini, Jacques Bernoulli não tinha consciência desse
fato, esse fato só foi notado no final do século XVIII ([5], p. 401). Quem, contudo, primeiro
forneceu uma descrição analítica da Lemniscata de Bernoulli foi Giovanni Fagnano (italiano,
1715 - 1797) em 1750. Grandes matemáticos como Carl Friedrich Gauss (alemão, 1777-1855)
e Leonhard Euler (suíço, 1707 - 1783) também se ocuparam do estudo da lemniscata. Foram
precisamente as investigações de Gauss acerca do comprimento de arco da lemniscata, que o
conduziram ao desenvolvimento da teoria das funções elípticas.
4.1 Definição e equações
Em termos geométricos, a lemniscata possui uma caracterização muito parecida com a
da elipse: dados dois pontos fixos F1 e F2 , distantes 2b > 0 entre si, e um ponto genérico P
de um plano. Representemos, por PF1 e por PF2 as respectivas distâncias do ponto P ao
ponto F1 e do ponto P ao ponto F2 . Denominamos por Lemniscata de Bernoulli de focos F1
e F2 (ou ainda, Lemniscata de Bernoulli determinada pela constante b) o lugar geométrico
dos pontos P desse plano que satisfazem a condição de o produto das distâncias PF1 ⋅ PF2 ser
constante igual a b 2 , veja Figura (10).
278
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura (10)
4.1.1 Equação cartesiana
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal positivo tal que os focos F1 e F2 sejam
dados em coordenadas pelos pontos F1 ( b,0 ) , F2 ( − b,0 ) , b > 0 . Nestas condições, usando a
fórmula da distância entre dois pontos, temos que a condição para que um ponto P( x, y )
pertença à Lemniscata de Bernoulli de focos F 1 e F2 é:
PF1 ⋅ PF2 = b 2
(( x − b )
) (( x + b ) + y ) = b
(( x − b ) + y ) ⋅ (( x + b) + y ) = b
( ( x − b )( x + b ) ) + y (( x − b ) + ( x + b ) ) +
⇒
2
2
⇒
2
+ y2 ⋅
2
2
2
⇒
2
2
4
2
2
(x
⇒
x 4 − 2x 2b 2 + 2 y 2 x 2 + 2 y 2b 2 + y 4 =
(x
(x
⇒
⇒
− b2
2
+ y2
2
+ y2
2
)
)
(
2
⇒
2
)
2
)
+ y 2 2 x 2 + 2b 2 + y 4 =
(
2
− 2b 2 x 2 − y 2
2
=
(
)
=
2b 2 x 2 − y 2
y4 =
b4
b4
0
0
)
Assim, a equação cartesiana da Lemniscata de Bernoulli de focos F1 ( b,0 ) , F2 ( − b,0 ) ,
é dada por:
(x
2
+ y2
)
2
(
)
2b 2 x 2 − y 2 .
=
4.1.2 Equação polar
Substituindo-se as equações de transformações de coordenadas cartesianas para
π
3π
coordenadas polares: x = ρ cos θ e y = ρ senθ , − ≤ θ ≤
, na equação cartesiana da
2
2
(
Lemniscata de Bernoulli, equação x 2 + y 2
(ρ
⇒
ρ
4
=
2b 2 ρ
2
2
cos 2 θ + ρ
( cos
2
2
sen 2θ
θ − sen 2 θ
)
)
2
)
2
=
=
⇒
(
)
2b 2 x 2 − y 2 obtemos:
(
2b 2 ρ 2 cos 2 θ − ρ 2 sen 2θ
ρ
4
=
2b 2 ρ 2 cos( 2θ
)
)
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
279
2b 2 cos( 2θ ) . Observe que esta última equação só tem sentido para ângulos θ
π
π
3π
5π
≤θ ≤
tais que − ≤ θ ≤
ou
.
4
4
4
4
⇒
ρ
=
2
Portanto, a equação da Lemniscata de Bernoulli determinada pela constante b em
coordenadas polares é:
π
π
3π
5π
− ≤θ ≤
≤θ ≤
ou
ρ 2 (θ ) = 2b 2 cos( 2θ ) ,
4
4
4
4
4.1.3 Equações paramétricas
Considerando a equação cartesiana
(x
)
2
(
)
2b 2 x 2 − y 2 , e fazendo a
a
π
π
3π
5π
≤θ ≤
substituição; y = x sent e b =
sendo cos t = tgθ , − ≤ θ ≤
ou
4
4
4
4
2
(
obtemos: x + x sen t
⇒
(x
2
⇒
⇒
2
2
+ x 2 sen 2 t
2
)
2
)
2
2
=
2
)
(
(
a 2
x 1 − sen 2 t
2
x 2 + x 2 sen 2 t = ax cos t
ax cos t
x2 =
1 + sen 2 t
(
+ y2
 a 
2
 x 2 − x 2 sen 2 t
 2
2
=
2
)
⇒
⇒
⇒
=
)
(x
2
(
+ x 2 sen 2 t
)
2
=
(
a 2 x 2 cos 2 t
)
)
x 2 1 + sen 2 t = ax cos t
cos t
x = a
.
1 + sen 2 t
y
cos t
em x = a
segue que:
sen t
1 + sen 2 t
sen t ⋅ cos t
⇒
y = a
.
1 + sen 2 t
Substituindo a equação x =
y
=
sen t
a
cos t
1 + sen 2 t
Portanto, a Lemniscata de Bernoulli determinada pela constante b , possui equações
paramétricas dadas por:
cos t

 x = a 1 + sen 2 t

−π ≤ t≤ π


sent ⋅ cos t
y = a
1 + sen 2 t

onde a = 2 b .
4.2 Lemniscata de Bernoulli como cissóide de uma circunferência
A Lemniscata de Bernoulli determinada pela constante b pode também ser definida
como a cissóide de uma circunferência C1 de diâmetro 2 b e ela própria com respeito a
um ponto fixo O distante b do centro A da circunferência, veja Figura (11).
280
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura (11)
De fato: Seja r uma reta passando por O e cortando a circunferência C1 de diâmetro 2 b
nos pontos P1 e P2 , a cissóide que nos referimos é o lugar geométrico dos pontos P do plano
tal que OP = P1 P2 .
Vamos considerar então um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas com origem
b2
no ponto O tal que a circunferência C1 seja dada pela equação cartesiana ( x − b) 2 + y 2 =
.
2
Seja θ o ângulo (no sentido anti-horário) que a reta r faz com o eixo Ox (eixo polar) e vamos
determinar as coordenadas polares dos pontos P1 e P2 sendo O (origem do sistema
cartesiano) o pólo. Para isso precisamos determinar (relembrar) a equação polar da
circunferência C1 : basta substituir as equações de transformações x = ρ cos θ e y = ρ senθ ,
π
3π
b2
− ≤θ ≤
, na equação cartesiana ( x − b) 2 + y 2 =
e obtemos:
2
2
2
2
b2
( ρ cosθ − b ) 2 + ρ 2 sen 2θ = b
⇒
ρ 2 cos 2 θ − 2bρ cos θ + b 2 + ρ 2 sen 2θ =
2
2
2
b
⇒
ρ 2 cos 2 θ + sen 2θ − 2bρ cos θ +
= 0 ⇒
2 ρ 2 − 4bρ cos θ + b 2 = 0
2
(
)
16b 2 cos 2 θ − 8b 2
4
4b cos θ ± 2 2 b cos( 2θ )
4
4b cos θ ±
(
)
8b 2 2 cos 2 θ − 1
⇒
ρ =
⇒
ρ =
4
2 b cos( 2θ )
,
⇒
ρ =
⇒
ρ = b cos θ ±
2
π
π
e essas equações somente estão definidas para ângulos θ tais que − ≤ θ ≤ .
4
4
P1
Portanto,
se
é
dado
em
coordenadas
polares
por
π
π
2 b cos( 2θ )
≤ θ ≤ , então P2 é dado em coordenadas polares
, −
ρ 1 (θ ) = b cos θ −
4
4
2
4b cos θ ±
2 b cos( 2θ )
. Neste caso o ponto P tal que OP = P1 P2 é dado em
2
π
π
coordenadas polares por ρ (θ ) = ρ 2 − ρ 1 =
2 b cos(2θ ) , − ≤ θ ≤ .
4
4
2 b cos( 2θ )
Se P1 é dado em coordenadas polares por ρ 1 (θ ) = b cos θ +
com
2
ρ 2 (θ
)
=
b cos θ +
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
−
π
π
≤θ ≤
4
4
então,
P2
é
dado
281
em
coordenadas
polares
por
2 b cos( 2θ )
. Neste caso o ponto P tal que OP = P1 P2 é dado em
2
coordenadas polares por
π
π
ρ (θ ) = ρ 2 − ρ 1 = − 2 b cos(2θ ) , − ≤ θ ≤
4
4
π
π
=
2 b cos(2(θ + π ) ) , − + π ≤ θ ≤ + π
4
4
3π
5π
≤θ ≤
=
2 b cos(2θ ) ,
4
4
ρ 2 (θ
)
=
b cos θ −
Segue que o lugar geométrico que procuramos, cissóide da circunferência C1 e ela
própria com respeito ao pólo O, é o conjunto dos pontos P do plano dados pela equação
polar:
π
π
3π
5π
≤θ ≤
ou
ρ (θ ) = ρ 2 − ρ 1 =
2 b cos(2θ ) , − ≤ θ ≤
4
4
4
4
π
π
3π
5π
≤θ ≤
que é precisamente a equação ρ 2 (θ ) = 2b 2 cos 2 ( 2θ ) , − ≤ θ ≤
ou
, a
4
4
4
4
equação polar da Lemniscata de Bernoulli determinada pela constante b, como queríamos
demonstrar.
4.3 Construção da Lemniscata de Bernoulli como cissóide de uma circunferência
usando o programa Cabri-Géomètre II
Nesta seção descreveremos um método para construir uma Lemniscata de Bernoulli
como cissóide de uma circunferência C1 dada, digamos de raio k e centro A, utilizando o
programa Cabri-Géomètre II, conforme Figura (12).
Figura (12): Lemniscata de Bernoulli
282
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Passo 1: Com a opção “Segmento” (Janela 3) construa um segmento. auxiliar num canto da
área de trabalho. Com a opção “Comentário (Janela 10) nomeie o comprimento desse
segmento pela letra “k”.
Passo 2: Selecione a opção “Compasso” (Janela 5) e clique num ponto no centro da área de
trabalho, digite “A” para nomear esse ponto que será o centro da circunferência dada. Em
seguida clique sobre o segmento construído anteriormente, este será o raio da circunferência
dada. Ative a opção “Rótulo” (Janela 10) e etiquete a circunferência construída. pelo
programa como “C1”.
Passo 3: Construa o pólo O distante 2 k do centro A da circunferência C1, procedendo, por
exemplo, como segue:
Passo 3.1: Selecione a opção “Semi-reta” (Janela 3), e clique sobre o ponto A e em
seguida sobre outro ponto qualquer e o programa construirá uma semi-reta passando
pelo ponto A.
Passo 3.2: Com a opção “Pontos de intersecção” (Janela 2), clique sobre a semi-reta
recém-construída e em seguida sobre a circunferência C1, e o programa construirá o
ponto de intersecção desses dois objetos. Digite a letra “B” para nomear esse ponto.
Passo 3.3: Com a opção “Reta perpendicular” (Janela 5), construa duas retas
perpendiculares: uma passando por A e perpendicular a semi-reta construída no Passo
3.1; outra passando pelo ponto B e também perpendicular a semi-reta AB.
Passo 3.4: Construa os “Pontos de intersecção” (Janela 2) da circunferência C1 com a
reta passando pelo ponto A e perpendicular à semi-reta AB. Digite “D” para nomear
um dos pontos de intersecção construídos.
Passo 3.5: Construa outra “Reta perpendicular” (Janela 5), agora passando pelo ponto
D e perpendicular a reta AD.
Passo 3.6: Com a opção “Ponto de intersecção” construa o ponto de intersecção da
reta construída no passo 3.5 e da reta perpendicular à AB que passa por B. Digite E
para nomear este ponto.
Passo 3.7: Construa o “Segmento” (Janela 3) com extremidades nos pontos A e E.
Observe que esse segmento tem comprimento 2 k .
Passo 3.8: Selecione a opção “Compasso”, e clique no ponto A (centro) e sobre o
segmento AE (raio).
Passo 3.9: Selecione a opção “Pontos de intersecção” e construa o ponto de
interseção entre a semi-reta AB e a circunferência construída no Passo 3.8. Digite “O”
para nomear o ponto construído.
Passo 4: Ative a opção “Ponto sobre Objeto” (Janela 2) e construa um ponto sobre a
circunferência C1. Digite “P1” para etiquetar o ponto construído sobre C1.
Passo 9: Com a opção “Reta” (Janela 3) construa a reta passando pelos pontos O e P1. Digite
“r” para nomear a reta recém-construída.
Passo 10: Construa o “P2”, ponto de intersecção entre a reta r e a circunferência C1.
Passo 11: Selecione a opção “Vetor” (Janela 3) e aproxime o cursor do ponto “P1”,
aparecerão as palavras “Deste ponto”, clique sobre o ponto P1. Em seguida aproxime o cursor
do ponto P2, aparecerão as palavras “Para aquele ponto”, clique sobre o ponto P2. O vetor
P1P 2 será construído pelo Cabri.
Passo 12: Construa o ponto P tal que OP = P1P 2 , procedendo da seguinte maneira:
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
283
Passo 12.1: Selecione a opção “Translação” (Janela 6), aproxime o cursor do ponto
“O”, aparecerão as palavras “Transladar este ponto”, clique sobre o ponto O. Em
seguida aproxime o cursor do vetor P1P 2 , aparecerão as palavras “Por este vetor”,
clique sobre o vetor. O programa construirá um ponto com as propriedades desejadas.
Digite “P” para etiquetar esse ponto recém-construído.
Passo 13: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Lugar Geométrico”. Clique sobre o ponto P
e em seguida sobre o ponto P1. A lemniscata de Bernoulli será desenhada pelo Cabri. Explore
a construção: manipule, com o ponteiro, o ponto P1, o ponto A, a semi-reta com origem A,
um dos extremos do segmento de comprimento k construído no canto auxiliar da área de
trabalho e, observe o que acontece.
5.
ESTROFÓIDE RETA
O matemático francês Gilles Persone de Roberval (1602 - 1675), foi provavelmente o
primeiro geômetra a ocupar-se do estudo dessa curva, no entanto a mais antiga referência
dessa curva deve-se ao cientista Evangelista Torricelli (italiano, 1608 - 1647) que a descreve
em suas cartas por volta de 1645. Nessa época essa curva era chamada de pteróide. O nome
Estrofóide Reta foi proposto por Montucci num artigo publicado em 1846. Em grego: strophê
(volta) eidos (forma).
A estrofóide oblíqua aparece pela primeira vez em 1670 num trabalho do matemático
Isaac Barrow (inglês, 1630 - 1677), primeiro “Lucasian Chair of Mathematics” na
“Cambridge University” e imediato antecessor de Sir Isaac Newton (inglês, 1643 - 1727)
neste cargo.
5.1 Definição e equações:
Sejam L uma reta e A um ponto fixo (o pólo) não pertencente a L. Seja O o pé da
perpendicular do ponto A à reta L. O lugar geométrico dos pontos Q1 e Q2 sobre uma reta
variável r passando por A e interseccionando L em um ponto B tal que Q2 B = BQ1 = BO
denomina-se Estrofóide Reta de L com respeito ao pólo A, conforme Figura (13).
Figura (13)
5.1.1 Equação cartesiana
Considere um sistema cartesiano ortogonal com origem no ponto O tal que a reta L
seja o eixo Oy e o ponto A em coordenadas seja dado por A( a,0 ) (a constante real positiva).
Nessas condições se Q( x, y ) representa os pontos Q1 e Q2 , e B (0, b) representa as
coordenadas do ponto B, então a condição: QB = BO é equivalente à:
x + ( y − b)
2
2
=
b
⇒
x + y − 2 yb + b
2
2
2
=
b
2
⇒
b =
x2 + y2
2y
(I)
284
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Como Q, B e A pertencem à reta r, temos que as coordenadas do ponto Q satisfazem a
equação da reta r que passa por B e A, ou seja:
b
ay
 x 
 a− x
y = − x+ b ⇒
y = b − + 1
⇒
y = b
⇒
b =

(II)
a
a− x
 a 
 a 
Igualando as equações (I) e (II) obtemos:
x2 + y2
ay
=
⇔
ax 2 + ay 2 − x 3 − y 2 x = 2ay 2
⇔
ax 2 − ay 2 − x 3 − y 2 x = 0
2y
a− x
⇔
x 2 ( a − x) − y 2 ( a + x) = 0
Portanto a equação cartesiana da Estrofóide Reta da reta x = 0 com respeito ao pólo
A( a,0 ) é dada por:
que pode ser escrita ainda como
x 2 ( a − x) =
y 2 ( a + x)
(
a x2 − y2
x x2 + y2
)
=
(
)
5.1.2 Equação polar
Substituindo-se a equações de transformações de coordenadas cartesianas para
coordenadas polares: x =
(
Estrofóide Reta x x 2 + y 2
)
ρ cos θ e y = ρ sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , na equação cartesiana da
(
ρ cos θ ⋅ ( ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sen 2θ
⇒
⇒
⇒
)
a x 2 − y 2 , obtemos:
=
ρ cos θ ⋅ ρ 2 ⋅ ( cos 2 θ + sen 2θ
)
)
=
(
)
− sen θ )
a ⋅ ρ 2 cos 2 θ − ρ 2 sen 2θ
(
a ⋅ ρ 2 ⋅ cos 2 θ
=
ρ cos θ ⋅ ρ 2 = a ⋅ ρ 2 ⋅ ( cos 2θ )
⇒
cos 2θ
π
3π
ρ = a
θ ≠
,
eθ ≠
cos θ
2
2
ρ cos θ
(
2
Portanto, a equação polar da Estrofóide Reta x x 2 + y 2
ρ (θ
)
=
a cos 2θ ⋅ sec θ
=
a ( 2 cos θ − secθ ) ,
a ( cos 2θ
=
)
(
)
)
a x 2 − y 2 é dada por:
π
3π
0 ≤ θ ≤ 2π , θ ≠
eθ ≠
2
2
=
5.1.3 Equações Paramétricas
π
3π
a( 2 cos θ − sec θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π , θ ≠ 2 e θ ≠ 2
pode ser transformada facilmente na forma paramétrica através das substituições t = θ ,
x = ρ ⋅ cos t e y = ρ sen t . Fazendo as substituições obtemos:
A equação polar ρ
ρ (θ ) =
=
 x = a ⋅ (2 cos 2 t − 1)

π
3π

0 ≤ t ≤ 2π , t ≠ , t ≠

2
2
 y = a ⋅ tgt ⋅ 2 cos 2 t − 1)

que é um sistema de equações paramétricas da Estrofóide Reta x = 0 com respeito ao pólo
A( a,0 ) .
(
)
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
285
5.2 Estrofóide Reta como cissóide de uma circunferência e de uma reta radial
A estrofóide de uma reta L com respeito ao pólo A pode ser definida também como a
cissóide da circunferência C1 de centro em B (simétrico do ponto A em relação à O, sendo O
o pé da perpendicular do ponto A à L) e raio OB e da reta C 2 paralela à L passando pelo
ponto B, em relação ao pólo O, veja Figura (14).
Figura (14)
De fato: Considere um sistema cartesiano ortogonal tal que O seja a origem, a reta L seja o
eixo Oy, B seja dado em coordenadas por B( − a,0 ) sendo a > 0 e, a circunferência C1 seja
dada pela equação cartesiana ( x + a ) 2 + y 2 = a 2 . Nessas condições a equação cartesiana da
reta C 2 é x = − a .
Seja r uma reta passando por O e intersecionando C1 em P1 e C 2 em P2 queremos
determinar o ponto P ∈ r tal que OP = P1P2 . Para isso,vamos primeiro determinar a equação
polar da circunferência C1 , sendo Ox o eixo polar e O o pólo, a qual pode ser obtida como
segue:
(ρ
⇒
⋅ cos θ + a ) + ρ 2 sen 2θ
2
=
ρ 2 ⋅ ( cos 2 θ + sen 2θ ) + 2aρ cos θ
Portanto, ρ
⇒
a2
=
0 ⇒
ρ 2 ⋅ cos 2 θ + 2aρ cos θ + ρ 2 sen 2θ
ρ ( ρ + 2a cos θ
)
=
=
0
0
= − 2a cos θ , 0 ≤ θ ≤ 2π é a equação polar da circunferência C1 . Logo
P1 em coordenadas polares é dado por ρ 1 (θ ) = − 2a cos θ . Analogamente a reta C 2 ,
π
3π
x = − a , em coordenadas polares é dada por ρ 2 (θ ) = − a sec θ , 0 ≤ θ ≤ 2π , θ ≠
θ ≠
e
2
2 .
Logo, P em coordenadas polares é dado por:
π
3π
ρ (θ ) = ρ 2 (θ ) − ρ 1 (θ ) = a ⋅ ( − sec θ + 2 cos θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π , θ ≠ 2 e θ ≠ 2 ; que é
286
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
precisamente a equação polar da Estrofóide Reta da reta L com respeito ao pólo A, como
queríamos demonstrar.
5.3 Construção da Estrofóide Reta como cissóide usando o programa CabriGéomètre II
Descreveremos agora um método para construir uma Estrofóide Reta como cissóide,
usando o programa Cabri-Géomètre II, sendo conhecidos à circunferência C1, e o ponto O
(pólo) pertencente a C1. Neste caso, sabemos que a curva C2 que determina a cissóide é a reta
radial perpendicular à reta passando pelo centro da circunferência e pelo pólo O. Veja Figura
(15).
Figura (15): Estrofóide Reta
Passo 1: Num canto da área de trabalho, com a opção “Segmento” construa um segmento
auxiliar. Com a opção “Comentário” etiquete o comprimento desse segmento com a letra “a”.
Passo 2: Selecione a opção “Compasso” e construa no centro da tela, uma circunferência
centrada em B com raio a. Com a opção “Rótulo” (Janela10) etiquete a circunferência
construída por “C1”.
Passo 3: Clique na Janela 2, selecione a opção “Ponto sobre Objeto”.e construa o ponto O
sobre a circunferência C1.
Passo 4: Com a opção “Reta” (Janela 3) construa a reta que passa pelos pontos O e B. Coma
opção “Reta perpendicular” construa a reta “C2” passando por B e perpendicular à reta BO.
Passo 5: Com a opção “Ponto sobre objeto” construa o ponto P1 sobre a circunferência C1.
Passo 6: Clique na Janela 3, selecione a opção “Reta”, e construa a reta r passando pelos
pontos O e P1.
Passo 7: Construa o ponto P2, ponto de intersecção entre r e C2.
Passo 8: Com a opção “Vetor” (Janela 3) construa o vetor P1P 2 .
Passo 9: Ative a opção “Translação” (Janela 6), clique sobre o ponto O e em seguida sobre o
vetor P1P 2 . Digite “P” para nomear o ponto construído pelo Cabri.
Passo 10: Clique na Janela 5 e selecione a opção “Lugar Geométrico”. Clique sobre o ponto P
e em seguida sobre o ponto P1. A Estrofóide Reta será construída pelo Cabri. Explore a
construção, manipule os objetos manipuláveis.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
6.
287
RÉGUA OU ESQUADRO DE NEWTON
Figura (16): Sir Isaac Newton
Isaac Newton (inglês, 1643–1727), Figura (16), foi o maior matemático de sua
geração. Ele lançou as bases do cálculo diferencial e integral. O seu trabalho sobre óptica e
gravitação fez dele um dos maiores cientistas que o mundo conheceu.
Newton mostrou como a Cissóide de Diocles pode ser gerada por um esquadro de
carpinteiro. Sejam EH e FH os lados exteriores do esquadro, sendo EH o menor deles.
Trace uma reta MN e marque um ponto D à distância EH de MN . Mova o esquadro de
modo que E permaneça sempre em MN e FH passe sempre por D. À medida que E se
movimenta sobre MN , o ponto médio P de EH descreve uma Cissóide de Diocles ([5], p.
151) e o ponto H descreve uma Estrofóide reta (veja Figura (17)), provaremos esses dois fatos
mais adiante.
M
H
D
P
E
N
Figura (17)
Um mecanismo, baseado no Esquadro de Newton, para traçar a Cissóide de Diocles e
a Estrofóide reta encontra-se no seguinte endereço eletrônico http://www.atractor.pt/mat/
mecanismos/paginas/cissestr.html, página sob a responsabilidade de Maria G. Bartolini Bussi
e Pasquale Quattrocchi.
Baseados nas informações constantes nesse site, construímos um mecanismo rústico
em madeira, que quando desmontado é composto pelas seguintes peças:
• Uma base retangular, com medidas 33 x 45 cm, sobre a qual se coloca uma folha de papel
A3 onde será traçada a cissóide e a estrofóide;
• Um esquadro composto por três segmentos, o maior deles medindo 69 cm, formando o pé da
288
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
perpendicular em seu ponto médio com outro segmento medindo 12 cm ( segmento de menor
medida) que é perfurado em dois pontos (posições onde é possível colocar um lápis ou uma
caneta): um deles no pé da perpendicular, chamado de posição H, será usado para construir a
Estrofóide reta, e o outro no ponto médio desse segmento, chamado de posição P, será usado
para construir a Cissóide de Diocles; na outra extremidade desse segmento (de comprimento
menor), posição E, coloca-se um pino que possibilitará o movimento do mecanismo;
• Um trilho no formato de um retângulo com as medidas 23 x 30 cm, que serve para conduzir
o esquadro possuindo furos nos pontos médios dos lados maiores onde será encaixado o pino
do esquadro;
• Um suporte no formato retangular com as medidas 28 x 42 cm, onde o trilho irá
movimentar-se;
• Uma pequena calha giratória que vai obrigar o esquadro girar durante o seu deslocamento,
fixada na base retangular no ponto D, sendo D o ponto que dista EH da reta, passando pelos
pontos médios do trilho.
O mecanismo desmontado é mostrado na Figura (18).
Figura (18)
Para montar o mecanismo:
• coloque o trilho sobre o suporte;
• encaixe o esquadro, conectando o pino que existe no esquadro (na posição E) ao ponto
médio de um dos lados do trilho, tendo o cuidado de encaixar a haste do esquadro (segmento
maior do esquadro) na calha giratória.
Depois de montado, o mecanismo apresenta-se como na Figura (19).
Figura (19)
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
6.1
289
Construção da Cissóide de Diocles através do Esquadro de Newton
Coloque o lápis na posição P. Quando deslizamos o trilho de cima para baixo, a calha
em D obriga o esquadro a rodar em torno do pino, colocado na posição E, e o lápis, na
posição P, vai traçando uma Cissóide de Diocles.
A Figura (20) corresponde à parte da cissóide que é traçada pelo mecanismo quando o
esquadro percorre todo o percurso possível de cima para baixo (até ser detida pela calha
giratória).
Figura (20)
Para obter a outra parte da curva, simétrica em relação ao eixo de simetria passando
pelo ponto D, monte o mecanismo com o esquadro no extremo inferior da base e refaça o
processo anterior, agora fazendo o esquadro e o trilho movimentar de baixo para cima, Figura
(21).
Figura (21)
Justificativa
Seja C1 a circunferência de raio HP = a cujo centro C dista HE = 2a do ponto D e
pertence a reta que passa pelos pontos médios dos trilhos, seja C 2 a reta tangente à
circunferência C1 que dista 3HP = 3a do ponto D, seja O o ponto em C1 diametralmente
oposto ao ponto de tangência, conforme Figura (22). Mostraremos que o ponto P, ponto
290
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
médio do segmento EH , está na Cissóide de Diócles determinada por C1 e por C 2 com
respeito ao pólo O.
OBS:

 2α + β

 2γ + β
= π
= π
⇒
α = γ
⇒
PP2 // DE
Figura (22)
De fato, seja J o ponto na circunferência de centro E e raio HE = 2a tal que DJ é tangente
à essa circunferência em J, seja P2 o ponto em C 2 colinear com J e E, e finalmente, seja r
a reta passando por P2 e P, cortando C1 em P1 , conforme Figura (21). Nessas condições,
tem-se P2 P // ED pois o ∆ EPP2 é isósceles e ∆ JDE ≡ ∆ HDE ; veja mais detalhes dessa
afirmação na observação ao lado da Figura (22). Seja Y o ponto de encontro da reta r com
a reta passando por D e pelo centro da circunferência C1 . Como EP2YD é um
paralelogramo, DY = P2 E = a e, portanto, Y = O . Logo, OP1 = P2 P pois ∆ EPP2 ≡
∆ COP1 ⇒
OP = P1 P2 , o que conclui a demonstração.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
6.2
291
Construção da Estrofóide Reta através do Esquadro de Newton
Repetindo o processo anterior, agora com o lápis na posição H, obtém-se a
Estrofóide Reta, que vai sendo construída pelo lápis durante o movimento do mecanismo.
A curva desenhada na Figura (23) corresponde à parte da estrofóide que é traçada
pelo mecanismo quando o esquadro percorre todo o percurso possível de cima para baixo
(até ser detida pela calha giratória).
Figura (23)
A outra parte da curva, simétrica em relação a um eixo de simetria passando pelo
ponto D, é obtida fazendo o esquadro e o trilho deslocarem-se de baixo para cima,
conforme Figura (24).
Figura (24)
Justificativa
Seja C1 a circunferência de raio HE = 2a cujo centro C dista 2 HE = 4a do ponto
D e que é tangente à reta que passa pelos pontos médios dos trilhos, seja C 2 a reta que
passa pelo centro da circunferência C1 e que é paralela a reta que passa pelos pontos
médios dos trilhos, seja O o ponto em C1 que dista HE = 2a do ponto D, conforme Figura
292
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
(25). Mostraremos que o ponto H, está na cissóide determinada pela circunferência C1 e
pela reta radial C 2 com respeito ao pólo O (ou seja, H está na Estrofóide Reta com respeito
ao pólo D da reta que passa por D e é paralela a reta que passa pelos pontos médios dos
trilhos). De fato, seja J o ponto na circunferência de centro E e raio HE = 2a tal que DJ é
tangente à essa circunferência em J, seja P2 o ponto em C 2 colinear com J e E, e
finalmente, seja r a reta passando por P2 e H, cortando C1 em P1 , conforme Figura (24).
Nessas condições, tem-se P2 H // ED pois o ∆ EHP2 é isósceles e ∆ JDE ≡ ∆ HDE ; mais
detalhes dessa afirmação encontram-se na observação ao lado da Figura (25). Seja Y o
ponto de encontro da reta r com a reta passando por D e pelo centro da circunferência C1 .
Como EP2YD é um paralelogramo, DY = P2 E = 2a e, portanto, Y = O . Logo, OP1 = P2 H
pois ∆ EHP2 ≡ ∆ COP1 ⇒
OH = P1 P2 o que conclui a demonstração.
OBS:

 2α + β

 2γ + β
= π
= π
⇒
α = γ
⇒
P2 H // ED
Figura (25)
7.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Baldin, Y. Y., Villagra, G. A. L.: Atividades com Cabri-Géomètre II. Editora da
Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2002.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
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Blücher Ltda., São Paulo, 1974.
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Editora da Unicamp, Campinas, 1997.
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York, 1972.
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Toomer, G. J.: Diocles on Burning Mirrors: The Arabic Translation of the Lost
Greeks Original. Springer Verlag, Berlim, 1976.
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Antiga Grécia. Dissertação de Mestrado, 2001, http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/
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[10] http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml Encyclopédie des Formes
Mathématiques Remarquables, Robert Ferréol.
[11] http://mathworld.wolfram.com/topics/Cissoids.html Wolfram MathWorld the web´s
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[12] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html A Visual Dictionary of Special Plane Curves , Xah Lee.
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