APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO Primeira Parte

APOSTILA DE
RACIOCÍNIO LÓGICO
Primeira Parte
Este arquivo PDF contém a primeira parte da Apostila de Raciocínio
Lógico, excelente para estudar para concursos públicos. Dependendo
da aceitação deste material, em breve disponibilizaremos para
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AULA 1: CONCEITOS INICIAIS
Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica.
Fundamentos da Lógica:
# Primeiros Conceitos:
O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de
Proposição.
Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras
ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.
Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo
valor lógico é verdadeiro.
Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos
dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa?
Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico.
Concluímos, pois, que...
Æ sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
Æ sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”
Æ sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas –
que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São
outros exemplos de proposições, as seguintes:
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p
é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não!
Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns
princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os
seguintes:
Æ Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
Æ Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da NãoContradição);
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do
Terceiro Excluído).
Æ
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras
proposições. Nada mais fácil de ser entendido.
Exemplos:
Æ Todo homem é mortal.
Æ O novo papa é alemão.
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só
sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:
Æ João é médico e Pedro é dentista.
Æ Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Æ Ou Luís é baiano, ou é paulista.
Æ Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.
Æ Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles
a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso
dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de
conectivo que as une.
# Conectivo “e”: (conjunção)
Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções.
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença:
Æ “Marcos é médico e Maria é estudante”
... poderemos representá-la apenas por: p ∧ q
onde: p = Marcos é médico e
q = Maria é estudante.
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma
conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir
que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é
médico e que Maria é estudante.
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes
seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também
ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma
pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Retomemos as nossas premissas:
p = Marcos é médico e
q = Maria é estudante.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:
Marcos é médico
p
V
Maria é estudante
q
V
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
V
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
Marcos é médico
p
V
Maria é estudante
q
F
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico,
teremos:
Marcos é médico
p
F
Maria é estudante
q
V
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:
Marcos é médico
p
F
Maria é estudante
q
F
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora
disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a
tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em
nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a
compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.
Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples
como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora,
pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai
não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido
falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras!
Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q),
saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a
seguinte estrutura:
p
q
Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos
de dois “efes”. Assim:
p
V
V
F
F
q
Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas,
para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V.
Assim:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A
terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do
conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabelaverdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
p∩q
p
q
Passemos ao segundo conectivo.
# Conectivo “ou”: (disjunção)
Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas
pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a
sentença:
Æ “Marcos é médico ou Maria é estudante”
... então a representaremos por: p ∨ q.
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta
nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei
uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos
presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu!
Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do
menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso,
todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem
a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem
forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis
situações:
Te darei uma bola
p
V
Te darei uma bicicleta
q
V
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Te darei uma bicicleta
q
F
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Te darei uma bicicleta
q
V
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Ou:
Te darei uma bola
p
V
Ou:
Te darei uma bola
p
F
Ou, finalmente:
Te darei uma bola
p
F
Te darei uma bicicleta
q
F
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
F
Juntando tudo, teremos:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas!
Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do
q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira
coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a
disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,
p∪q
p
q
# Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva)
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos
que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente
que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te
darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma
bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te
darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte
que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao
mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela
presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente
verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é
disjunção exclusiva.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se
obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma
das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a
seguinte:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
ou p ou q
F
V
V
F
# Conectivo “Se ... então...”: (condicional)
Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:
Æ Se Pedro é médico, então Maria é dentista.
Æ Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição.
Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.
Æ Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo
nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado.
Por exemplo:
Æ Se nasci em Belém, então sou paraense.
Æ Se nasci em Niterói, então sou fluminense.
E assim por diante. Pronto?
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há
um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu
sou cearense.
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou
cearense, então este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!)
para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras:
suficiente e necessário.
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria
ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária
para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o
formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.
Não podemos, pois esquecer disso:
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional?
Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição
suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for
verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.
A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: pÆ q.
Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a
proposição q é dita conseqüente.
Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q":
Se A, B.
B, se A.
Quando A, B.
A implica B.
A é condição suficiente para B.
B é condição necessária para A.
A somente se B.
Todo A é B.
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das
seguintes maneiras:
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove.
Quando chove, faz frio.
Chover implica fazer frio.
Chover é condição suficiente para fazer frio.
Fazer frio é condição necessária para chover.
Chove somente se faz frio.
Toda vez que chove, faz frio.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p
está contido em q):
p⊂q
q
p
# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional)
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas
sentenças simples.
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:
Æ “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica
alegre”.
Ou ainda, dito de outra forma:
Æ “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica
alegre”.
São construções de mesmo sentido!
Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a
bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem
forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando
antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais
casos, a bicondicional será falsa.
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabelaverdade será a seguinte:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
p=q
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição
composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,
“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes
expressões:
Æ A se e só se B.
Æ Se A então B e se B então A.
Æ A somente se B e B somente se A.
Æ A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.
Æ B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.
Æ Todo A é B e todo B é A.
Æ Todo A é B e reciprocamente.
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato
tradicional: “p se e somente se q”.
# Partícula “não”: (negação)
Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não
antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:
Æ João é médico.
Negativa: João não é médico.
Æ Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não),
então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:
Æ João não é médico.
Negativa: João é médico.
Æ Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~),
antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada
que as demais já vistas. Teremos:
p
V
F
~p
F
V
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:
Æ Não é verdade que A.
Æ É falso que A.
Daí as seguintes frases são equivalentes:
Æ Lógica não é fácil.
Æ Não é verdade que Lógica é fácil.
Æ É falso que Lógica é fácil.
# Negativa de uma Proposição Composta:
O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já
sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí,
dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição.
Veremos, pois, uma a uma:
Æ Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos e por ou.
E só!
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que
encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta
fornecida.
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade
que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”
3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:
Æ “João não é médico ou Pedro não é dentista”.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelasverdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabelaverdade do ~(p ∧ q).
Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a
negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro.
Logo, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p ∧ q)
V
F
F
F
~(p ∧ q)
F
V
V
V
Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da
estrutura ~(p ∧ q).
Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados.
No início, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já
sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma
disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças
também o seja. Daí, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p ∨ ~q
F
V
V
V
Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∨ ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∧ q). Teremos:
~(p ∧ q)
F
V
V
V
~p ∨ ~q
F
V
V
V
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos e por ou.
Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber
como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as
colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica.
Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra,
basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.
Æ Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à
seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue
está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos
passos descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:
Æ “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.
Na linguagem apropriada, concluiremos que:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta
conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q). Teremos, de início:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
~(p ∨ q)
F
F
F
V
Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a
estrutura ~p ∧ ~q. Teremos, a princípio, o seguinte:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p ∧ ~q
F
F
F
V
Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∧ ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos
~(p ∨ q)
V
V
V
F
~p ∧ ~q
V
V
V
F
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos ou por e.
Æ Negação de uma Proposição Condicional: ~(p Æ q)
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem
recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
1º) Mantém-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
Na linguagem lógica, teremos que:
~(p Æ q) = p ∧ ~q
Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais,
realizada há poucos dias:
(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo
está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
a)
b)
c)
d)
e)
É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”.
Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição
condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.
Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional,
manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.
Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É
verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só
há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão,
pois, descartadas essas duas opções.
Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja,
começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar
uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não
está em Paris, a qual havíamos chegado.
Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado
de uma negação!
Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção
(e), e vice-versa. Vejamos:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
e
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e):
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao
resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade.
Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q).
Logo, teremos que:
Æ o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...”
Æ o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;
Æ o ∨ corresponde a ou;
Æ o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.
E chegamos a:
“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
Esta é nossa resposta! Letra d.
Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:
1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste
primeiro passo é sempre uma conjunção (e).
2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.
Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até
este momento. Vejamos:
:
Estrutura
lógica
É verdade quando
É falso quando
p∧q
p e q são, ambos, verdade
um dos dois for falso
p∨q
um dos dois for verdade
p e q, ambos, são falsos
p→ q
nos demais casos
p é verdade e q é falso
p↔ q
p e q tiverem valores lógicos iguais
p e q tiverem valores lógicos diferentes
~p
p é falso
p é verdade
Negativas das Proposições Compostas:
negação de (p e q)
é
~p ou ~q
negação de (p ou q)
é
~p e ~q
negação de (p → q)
é
p e ~q
negação de (p ↔ q)
é
[(p e ~q) ou (q e ~p)]
DEVER DE CASA
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
estudar é condição necessária para João não passear.
estudar é condição suficiente para João passear.
não estudar é condição necessária para João não passear.
não estudar é condição suficiente para João passear.
estudar é condição necessária para João passear.
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja
verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
15
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente
equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto
de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de
vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o
guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa
é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação)
Olá, amigos!
Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que
demos início na aula passada.
Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso
inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço
para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível.
Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de
facilitar futuras referências a qualquer uma delas.
Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página,
quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamandoas de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em
seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente
que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí,
sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”.
A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no
momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas
~(p v q) e ~p ∧~q. Na ocasião, concluímos que:
TABELA 01
~(p ∨ q)
V
V
V
F
~p ∧ ~q
V
V
V
F
Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus
resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes:
TABELA 02
~(p ∨ q)
F
F
F
V
~p ∧ ~q
F
F
F
V
REVISÃO DA AULA PASSADA:
# Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso);
haverá proposições simples ou compostas.
# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas,
dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim,
haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções
exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE
SE...).
# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições
compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a
promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te
darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”.
# Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição
q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem
verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 03
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas!
# Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”.
Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o
seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 04
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida!
# Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”.
Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra
parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte:
TABELA 05
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
F
F
V
Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente!
# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO
proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos
didáticos, lembraremos da seguinte proposição:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado
necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o
resultado necessário: ser cearense.
Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em
que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica!
Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for
VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma
condicional será, portanto, a seguinte:
TABELA 06
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram
acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual
trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para
efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o
conteúdo das proposições componentes da condicional.
Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma
condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário
será justamente a segunda parte da condicional.
Voltemos a pensar na frase modelo da condicional:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA,
sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade):
TABELA 07
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja
cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não
Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a
segunda ser verdadeira. Ok?
É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão:
A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o
conseqüente for FALSO!
Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste
primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar
bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando
mais e mais.
# Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE
proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas:
se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra
também terá que ser FALSA.
Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as
proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a
seguinte:
TABELA 08
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
# Negação de uma Proposição Simples:
Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa!
A tabela-verdade será, portanto, a seguinte:
TABELA 09
p
V
F
~p
F
V
# Negação de uma Proposição Composta:
Æ Negação de uma Conjunção:
A negativa de uma conjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o E por um OU.
Ou seja:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta”
Faremos:
“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta”
Æ Negação de uma Disjunção:
A negativa de uma disjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o OU por um E.
Ou seja:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
Faremos:
“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta”
Æ Negação de uma Condicional:
A negativa de uma condicional se faz assim:
1º) Mantém-se a primeira parte; E
2º) Nega-se a segunda parte;
Ou seja:
~(p → q) = p ∧ ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
Faremos:
“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão”
Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula.
Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem.
RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos
algumas delas. As demais, em páginas mais adiante.
Comecemos com a questão 2:
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja
verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser
analisada. Qual é essa proposição? A seguinte:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em
destaque:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com
negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por
afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos
concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam
acordados”. Pode ser? Teremos:
“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”
Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados,
significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C!
Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta
palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM
(=ALGUM).
Podemos até criar a seguinte tabela:
TABELA 10
p
TODO A é B
ALGUM A é B
~p
ALGUM A não é B
NENHUM A é B
Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era
a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como
interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por
afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela
família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma
delas é magra! Só isso e mais nada.
Adiante!
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é
logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção
(E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte:
Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que:
Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto
é igual a:
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Æ Resposta (letra A)!
Deixemos a questão 4 para daqui a pouco.
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do
ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos,
inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM
(=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o
que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase!
Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo
menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A!
Pulemos a sexta, por enquanto!
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu
levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma
condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a
segunda! Daí, concluiremos o seguinte:
"se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva"
é igual a:
“está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” Æ Resposta (letra E)!
Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando!
# TABELAS-VERDADE:
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE.
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de
proposições compostas.
Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará
exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição
composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?
Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade
será dado por:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões
Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade
terá 4 linhas, já que 22=4.
E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p,
q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8.
E assim por diante.
Æ TABELAS-VERDADES PARA p E q:
Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será
sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja:
TABELA 11
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que
estarão presentes na proposição composta.
Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro!
A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da
bicondicional.
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer
outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal
proposição composta da seguinte forma: P(p, q).
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:
P(p, q)=~(p v ~q)
...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme
sabemos, sempre o mesmo. Teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 12
q
V
F
V
F
Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o
que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não!
Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 13
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se
pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes
forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a
formação desta disjunção. Teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 14
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a
lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também
FALSA a conjunção. Vejamos:
p
V
V
F
F
TABELA 15
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é
a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso,
quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:
TABELA 16
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
~(p v ~q)
F
F
V
F
É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q).
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de
construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma
certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a
uma seqüência.
Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois,
passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem:
1º) Faremos as negações (~);
2º) Faremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem;
3º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...);
4º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).
Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da
proposição [~(p v ~q)]. Vide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo
logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção
(tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos
que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele.
Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar
a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:
Æ EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:
P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles,
isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os
seguintes:
Æ 1º Passo) A negação de q:
TABELA 17
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
~q
F
V
F
V
Æ 2º Passo) A conjunção:
TABELA 18
p
V
V
F
F
p ∧ ~q
F
V
F
F
Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o
segundo parênteses. Teremos:
Æ 3º Passo) A negação de p:
TABELA 19
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~p
F
F
V
V
Æ 4º Passo) A conjunção:
TABELA 20
p
V
V
F
F
q ∧ ~p
F
F
V
F
Æ 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une.
Teremos:
(p ∧ ~q)
F
V
F
F
TABELA 21
(q ∧ ~p)
F
F
V
F
(p ∧~q) v (q ∧~p)
F
V
V
F
Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:
TABELA 22
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
~p
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
V
F
F
q ∧ ~p
F
F
V
F
(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
F
V
V
F
Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições
simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade?
Æ TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r):
A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já
aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito
linhas (23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples.
Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:
p
q
r
TABELA 23
A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com
quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura
inicial:
TABELA 24
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à
estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!
Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos
a tabela-verdade da proposição composta seguinte:
P(p,q,r)=(p ∧ ~q) Æ (q v ~r)
A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r.
Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três
proposições. Teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 25
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que
trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos
os seguintes passos:
Æ 1º Passo) Negação de q:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 26
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
Æ 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes
forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!)
TABELA 27
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
Æ 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r:
TABELA 28
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
Æ 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses:
Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será!
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 29
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
q v ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
Æ 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos
fazer a condicional que os une:
Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na
segunda!
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
TABELA 30
q v ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
(p ∧ ~q) Æ (q v ~r)
V
V
F
V
V
V
V
V
Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só
tabela, como se segue:
TABELA 31
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
q ∨ ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
(p ∧ ~q) Æ (q ∨ ~r)
V
V
F
V
V
V
V
V
Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade
para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes!
Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição
e Contingência.
# TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das
proposições p, q, r, ... que a compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia,
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade
abaixo:
TABELA 32
p
V
q
p∧q
p∨q
(p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na
última coluna, é sempre verdadeiro.
Passemos a outro exemplo de Tautologia:
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p .
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia:
TABELA 33:
p
q
s
p∨q
p∧s
(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
Demonstrado!
Observemos
que
o
valor
lógico
da
proposição
composta
[(p ∨ q) ∧ (p ∧
s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro,
independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem.
# CONTRADIÇÃO:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p,
q, r, ... que a compõem.
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados
da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.
Exemplo 1:
A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre
falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
TABELA 34
p
V
F
~p
F
V
p ↔ ~p
F
F
Exemplo 2:
A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por
meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
TABELA 35
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
(p ↔ ~q) (p ∧ q)
(p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q)
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece
na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos
que p e q assumem.
# CONTINGÊNCIA:
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia
nem uma contradição.
Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao
final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma
contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!
Exemplo:
A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores
lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
TABELA 36
p
V
q
(p ∧ q)
p ↔ (p ∧ q)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem
é uma contradição! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso.
# Questões de Concurso:
(TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da
proposição caracteriza:
(A) um silogismo.
(B) uma tautologia.
(C) uma equivalência.
(D) uma contingência.
(E) uma contradição.
Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição apresentada
no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição, definiremos a seguinte proposição
simples:
p : o candidato A será eleito
Então, a sentença “o candidato A será eleito OU não será eleito” passará ser
representada simbolicamente como: p ∨ ~p .
Construindo a tabela- verdade, teremos que:
TABELA 37
p
V
F
~p
F
V
p ∨ ~p
V
V
Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o valor
lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A alternativa correta é a
letra B.
Passemos a mais uma questão.
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples:
Æ p : João é alto.
Æ q : Guilherme é gordo.
Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativas da
questão poderão ser reescritas simbolicamente como:
a) p → (p ∨ q) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo)
b) p → (p ∧ q) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo)
c) (p ∨ q) → q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo)
d) (p ∨ q)→(p ∧ q) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo)
e) (p ∨ ~p) → q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo)
O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma
Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta.
Teste da alternativa “a”: p → (p ∨ q)
TABELA 38
p
V
q
(p ∨ q)
p → (p ∨ q)
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da
tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com isso, concluímos: a
proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo – é uma
Tautologia!
Daí: Resposta: Letra A!
Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B:
Teste da alternativa B: p → (p ∧ q)
TABELA 39
p
q
(p ∧ q)
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da
proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta
proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência.
Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima:
Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja, todas as
proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só temos o valor lógico falso
quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o conseqüente for falso. Sabendo
que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais
apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o
conseqüente falso será uma tautologia.
- Análise do item ‘a’:
p → (p ∨ q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o conseqüente
será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia.
A questão terminou, mas vamos analisar os restantes.
- Análise do item ‘b’:
p → (p ∧ q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente será
verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores
lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia.
- Análise do item ‘c’:
(p ∨ q) → q
O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou
falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo
concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.
- Análise do item ‘d’:
(p ∨ q) → (p ∧ q)
O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade
ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a
proposição desta alternativa não é uma tautologia.
- Análise do item ‘e’:
(p ∨ ~p) → q
Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o
conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a
proposição desta alternativa não é uma tautologia.
Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que,
inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos
nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas
proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá!
# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES:
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas
tabelas-verdade são idênticos.
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por
qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, p
simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q.
e
q,
pode
ser
representada
Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém
conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões.
¾ Equivalências Básicas:
Æ 1ª) p e p = p
Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente
Æ 2ª) p ou p = p
Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema
Æ 3ª) p e q = q e p
Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte
Æ 4ª) p ou q = q ou p
Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco
Æ 5ª) p ↔ q = q ↔ p
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo
Æ 6ª) p ↔ q = (p Æ q) e (q Æ p)
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte:
TABELA 40
pep
=
P
p ou p
=
P
peq
=
qep
p ou q
=
q ou p
p↔q
=
q↔p
p↔q
=
(p → q) e (q → p)
¾ Equivalências da Condicional:
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão
utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes.
Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação
entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes
as equivalências da condicional:
Æ 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p.
Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove
Æ 2ª) Se p, então q = Não p ou q.
Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso
Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos:
TABELA 41
p→q
=
~q → ~p
p→q
=
~p ou q
Tomemos as questões restantes do dever de casa, e as resolvamos agora:
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
estudar é condição necessária para João não passear.
estudar é condição suficiente para João passear.
não estudar é condição necessária para João não passear.
não estudar é condição suficiente para João passear.
estudar é condição necessária para João passear.
Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também
com uso das expressões condição suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa
nomenclatura, teremos que:
Æ a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e
Æ a segunda parte da condicional é uma condição necessária.
Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que:
Æ Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou
Æ João não passear é condição necessária Marcos não estudar.
Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de
resposta! Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta
da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39 acima: p Æ q = ~q Æ ~p.
Teremos:
Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda.
Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem!
Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que:
Æ João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou
Æ Marcos estudar é condição necessária para João passear. Æ Resposta! (Letra E)
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro
Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional
para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Replicando a tabela 39, temos
que...
TABELA 42
p→q
=
~q → ~p
p→q
=
~p ou q
... a segunda linha da equivalência da condicional resulta numa disjunção! Ora, podemos
tentar começar a desenvolver nosso raciocínio por aí. Invertendo a ordem desta segunda linha da
tabela acima, concluímos que: ~p ou q = p Æ q.
Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q.
Assim:
Æ André é artista = ~p e Æ Bernardo não é engenheiro = q.
Encontrando agora a estrutura equivalente p Æ q, teremos:
“Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”.
Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos leva a
concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando uma condicional
equivalente a ela. Daí, usaremos a equivalência da primeira linha da tabela
acima: p Æ q = ~qÆ~p. Teremos, pois que:
Æ “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que:
Æ “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista” Æ Resposta! (Letra D)
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do
ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
Sol.: Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já sabemos, pela
resolução da questão anterior, que poderemos usar a seguinte equivalência: ~p ou q = p Æ q.
Teremos, pois que:
Æ Pedro não é pedreiro = ~p
Æ Paulo é paulista = q
Daí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte:
Æ Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Æ Resposta! (Letra A)
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa
é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Sol.: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemos testar
as duas equivalências da condicional que conhecemos.
Comecemos pela seguinte: p Æ q = ~q Æ ~p
Daí, considerando que:
Æ Pedro é economista = p e Æ Luísa é solteira = q
Sua condicional equivalente será:
Æ Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Æ Resposta! (Letra E)
Tivemos sorte de encontrar a resposta logo na primeira tentativa! Todavia, se não houvesse
essa sentença entre as opções de resposta, teríamos que tentar a segunda equivalência da
condicional, a qual resulta em uma disjunção. Teríamos, pois que: p Æ q = ~p ou q.
Daí:
Se Pedro é economista, então Luísa é solteira = Pedro não é economista ou Luísa é solteira.
Seria a segunda resposta possível.
Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa, mas ainda
não terminamos a aula de hoje! Demos seqüência ao estudo das equivalências! Adiante!
¾ Equivalências com o símbolo da negação:
Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Trata-se, tão somente,
das negações das proposições compostas! Como tais equivalências já foram inclusive revisadas
nesta aula de hoje, nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente. Teremos:
TABELA 43
~(p e q)
=
~p ou ~q
~(p ou q)
=
~p e ~q
~(p → q)
=
p e ~q
~(p ↔ q)
=
[(p e ~q) ou (~p e q)]
Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos
lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16):
Æ
(p ↔ q) = (p Æ q) e (q Æ p)
(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!)
Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção
equivalente. E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por
um OU.
Fica também como tarefa para casa a demonstração desta negação da bicondicional. Ok?
¾ Outras equivalências:
Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes:
1ª) p e (p ou q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista
2ª) p ou (p e q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista
Por meio das tabelas-verdade, estas equivalências também podem ser facilmente
demonstradas. Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte:
TABELA 44
p e (p ou q)
=
p
p ou (p e q)
=
p
¾ Equivalência entre “nenhum” e “todo”:
Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. É
uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:
1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B
Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco)
2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B
Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)
Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:
TABELA 45
Nenhum A é B
=
Todo A é não B
Todo A é B
=
Nenhum A é não B
# LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO:
Na seqüência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma
questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las.
¾ Leis associativas:
TABELA 46
(p e q) e s
=
p e (q e s)
(p ou q) ou s
=
p ou (q ou s)
¾ Leis distributivas:
TABELA 47
p e (q ou s)
=
(p e q) ou (p e s)
p ou (q e s)
=
(p ou q) e (p ou s)
¾ Lei da dupla negação:
~(~p)
TABELA 48
=
p
Daí, concluiremos ainda que:
TABELA 49
S não é não P
Todo S não é não P
Algum S não é não P
Nenhum S não é não P
=
=
=
=
S é P
Todo S é P
Algum S é P
Nenhum S é P
Exemplos:
1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica
2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional
3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural
4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural
DEVER DE CASA
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE)
Texto para os itens de 01 a 08
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é
verdadeira.
02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
03.Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) →
(¬ Q) é verdadeira.
-------------------------------------Considere as sentenças abaixo.
i.
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve
ser proibido.
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser encorajado.
R
Fumar não faz bem à saúde.
T
Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens
seguintes.
04.A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
05.A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
06.A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.
08.A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).
Gabarito:
01. E
02. E
03. C
04. E
05. C
06. C
07. C
08. E
(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente
a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com
base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia
pode ser corretamente representada por ¬P Æ (¬R ∧ ¬Q)
10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada
por P ∧ ¬Q
11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for
valorada como V, então a sentença representada por ¬P Æ Q é falsa.
12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) Æ P é inferior a 9.
Gabarito: C C E C
13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
(SERPRO 2004 – CESPE)
14. Julgue o item seguinte:
de (P → ¬Q) → ¬P .
A tabela de verdade de P → Q
é igual à tabela de verdade
(Analista Petrobrás 2004 CESPE)
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção
de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à
assertiva acima.
15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
Gabarito: C, E
(Papiloscopista 2004 CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V)
ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a
proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros
casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V
nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q
forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e
será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de
possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
17. As tabelas de valorações das proposições P→Q
18. As proposições (P∨Q)→S
e
e
Q → ¬P são iguais.
(P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.
Gabarito: E, E
19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo.
21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo”
é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
AULA TRÊS: Lógica de Argumentação
Olá, amigos!
Nosso assunto de hoje – Lógica de Argumentação – é um tópico constantemente presente
nos programas de diversos editais de concursos!
Antes disso, vejamos algumas correções que têm que ser feitas referentes à aula passada.
Tais correções foram reclamadas por vocês próprios, no fórum, pelo que agradecemos e nos
desculpamos! São as seguintes:
Æ Logo na página 2, nos equivocamos ao construir a Tabela 05, referente à disjunção
exclusiva. A tabela correta, como já sabíamos, é a seguinte:
p
V
V
F
F
TABELA 05
q
V
F
V
F
p∨q
F
V
V
F
Æ No finalzinho da página 15, na Tabela 39, trocamos dois valores lógicos da terceira
coluna: assim, na segunda linha, onde há um V, leia-se F; e na terceira linha, o inverso: onde há
um F, leia-se V. A Tabela 39 correta é a seguinte:
TABELA 39
p
q
(p ∧ q)
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
Æ Na página 18, ao resolver as questões 1 e 4, em dois momentos fizemos referência à
Tabela 39, quando o correto seria mencionar a Tabela 41 (que trata das equivalências da
condicional)!
Æ Finalmente, na página 20, após a Tabela 43, onde se lê “Tabela 38 pág. 16”, leia-se
“Tabela 40, página 17”.
Até agora, foi o que encontramos! Novamente nos desculpamos com vocês.
Na seqüência, a resolução das questões do dever de casa passado.
DEVER DE CASA
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE)
Texto para os itens de 01 a 08
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é
verdadeira.
Sol.: Para este tipo de questão, um artifício útil é o de substituir a letra que representa a
proposição pelo seu respectivo valor lógico. Neste caso, vemos que o enunciado definiu que as
proposições (P e Q) são ambas verdadeiras! Daí, em lugar de P e de Q, usaremos o valor lógico V.
Teremos:
(~P) ∨ (~Q)
= (~V) ∨ (~V)
Ora, a negação (~) do Verdadeiro é o Falso (~V=F) e vice-versa (~F=V). Daí, teremos:
= F∨F
Estamos diante de uma disjunção (OU), a qual já conhecemos bem: basta que uma das
partes seja verdadeira, que a disjunção será verdadeira. Mas, se as duas partes forem falsas, como
neste caso, então, a disjunção é FALSA. Teremos, finalmente, que:
F ∨ F = F Æ Resposta! Æ O item 1 está errado!
02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos:
R Æ (~T)
F Æ (~V)
FÆF
Redundamos numa condicional. Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando a
primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos:
F Æ F = V Æ Resposta! Æ O item 2 está errado!
03.Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição
(P∧R)→(¬Q) é verdadeira.
Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos:
(P ∧ R) Æ (~Q)
(V ∧ F) Æ (~V)
Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjunção. Como já é
do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção o
também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos:
F Æ (~V)
Ora, sabemos que ~V=F. Daí:
FÆF
E agora? O que dizer desta condicional? Teremos:
F Æ F = V Æ Resposta! Æ O item 3 está correto!
Considere as sentenças abaixo.
i.
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve
ser proibido.
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser encorajado.
R
Fumar não faz bem à saúde.
T
Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens
seguintes.
04.A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase.
Ora, P ∧ (~T) = P e não T
= Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam.
Conclusão: o item 4 está errado!
A representação correta para a sentença I é P ∧ T .
05.A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradução. Teremos:
(~P) ∧ (~R) = não P e não R
= Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
Conclusão: o item 5 está correto!
06.A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
Sol.: Temos que R Æ P = Se R, então P. Daí:
= Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve ser proibido.
Conclusão: o item 6 está correto!
07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.
Sol.: Temos que (R ∧ (~T)) Æ P
= Se R e não T, então P
= Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam,
então fumar deve ser proibido.
Conclusão: o item 7 está correto!
08.A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).
Sol.: Temos que: T Æ ((~R) ∧ (~P))
= Se T, então não R e não P
= Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde e é
falso que fumar deve ser proibido.
Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima.
Ora, sabemos que p Æ q não é equivalente a q Æ p.
Daí, o item 8 está errado!
A representação correta para a sentença V é ((~R) ∧ (~P)) Æ T .
(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente
a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com
base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia
pode ser corretamente representada por ¬P Æ (¬R ∧ ¬Q)
Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos sua tradução.
Sabendo que:
P = hoje choveu
Q = José foi à praia
R = Maria foi ao comércio
Teremos:
~P Æ (~R ∧ ~Q) = Se não P, então não R e não Q
= Se hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia.
Conclusão: o item 9 está correto!
10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada
por P ∧ ¬Q
Sol.: Tomando a sentença P ∧ ~Q , teremos que sua tradução será a seguinte:
= Hoje choveu e José não foi à praia.
Conclusão: o item 10 está correto!
11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for
valorada como V, então a sentença representada por ¬P Æ Q é falsa.
Sol.: Questão semelhante às primeiras que resolvemos hoje! Usaremos o mesmo artifício.
Primeiramente, observemos que a questão atribuiu valores lógicos às seguintes sentenças:
Æ Hoje não choveu = (~P) = F ; e
Æ José foi à praia = Q = V
~P Æ Q
FÆV
Ora, sabemos que a única situação em torna a condicional falsa é Verdadeiro na primeira
parte e Falso na segunda! Como isso não está ocorrendo, teremos que:
FÆV=V
Conclusão: o item 11 está errado!
12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) Æ P é inferior a 9.
Sol.: Observem que se trata de uma proposição composta, formada por três proposições simples
(P, Q e R). Daí, se fôssemos formar uma tabela-verdade para esta sentença composta, quantas
linhas ela teria?
Teremos que nos lembrar da aula passada, na página 7, que:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões
Daí, se há 3 proposições, teremos que:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 3 = 8
Finalmente, para matar essa questão, só precisaríamos saber que o número de valorações
possíveis de uma proposição composta corresponde justamente ao número de linhas da sua tabelaverdade!
Conclusão: o item 12 está correto!
13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
Sol.: Tomemos a segunda parte desta equivalência: (QÆ~P).
Agora, vamos nos lembrar de um tipo de equivalência da condicional que aprendemos na
aula passada: a Æ b = ~b Æ ~a.
Esta equivalência se forma, portanto, da seguinte maneira: trocam-se as proposições de
lugar, e negam-se ambas! Só isso!
Daí, retomemos nossa sentença: (QÆ~P).
Agora, invertamos as posições: (~PÆ Q)
Agora, façamos as duas negativas: (PÆ ~Q)
Pronto! Achamos a proposição equivalente! Teremos, pois, que:
(PÆ~Q)=(QÆ~P)
parte!
Conclusão: o item está errado, pois colocou um sinal de negação (~) antes da primeira
Haveria outra forma de se chegar a essa resposta? Obviamente que sim! Poderíamos, por
exemplo, construir as tabelas-verdades de ambas as proposições e compará-las. Vejamos.
Comecemos com ~(P Æ ~Q). Teremos:
TABELA 01
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
pÆ~q
F
V
V
V
~(pÆ~q)
V
F
F
F
Agora, a segunda parte: (QÆ~P). Teremos:
TABELA 02
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
(qÆ~p)
F
V
V
V
Comparando os resultados, concluímos igualmente que tais sentenças não são equivalentes!
(SERPRO 2004 – CESPE)
14. Julgue o item seguinte:
de (P → ¬Q) → ¬P.
A tabela de verdade de P → Q
é igual à tabela de verdade
Sol.: Façamos o que manda a questão: comparemos as tabelas-verdade. A primeira sentença é
uma mera condicional. Teremos, pois, que:
TABELA 03
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
Agora, passemos à segunda parte: (PÆ~Q)Æ~P. Teremos:
TABELA 04
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
pÆ~q
F
V
V
V
~p
F
F
V
V
(pÆ~q)Æ~p
V
F
V
V
Conclusão: o item 14 está correto!
(Analista Petrobrás 2004 CESPE)
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção
de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente
à assertiva acima.
Sol.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes, definiremos as seguintes
proposições simples p e q:
p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo.
e
q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.
Assim, teríamos que a assertiva desta questão ficaria simbolizada apenas como: p → q
Analisemos o item 15.
15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
Traduzindo essa sentença para a linguagem simbólica, tomando por base as proposições p e
q definidas acima, encontraremos o seguinte: ~q → ~p
Ora, já aprendemos que uma forma de fazer a equivalência da condicional é invertendo as
posições e negando as duas partes. Daí, resta-nos ratificar que: pÆq = ~qÆ~p.
Conclusão: o item 15 está correto!
16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
A tradução da sentença acima para a linguagem simbólica nos faz chegar a: ~p → ~q
Daí, sabemos que não há equivalência lógica entre essa construção e a condicional (pÆq).
Conclusão: o item 16 está errado!
(Papiloscopista 2004 CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V)
ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a
proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros
casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V
nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q
forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e
será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de
possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
17. As tabelas de valorações das proposições P→Q
e
Q → ¬P são iguais.
Sol.: Sequer necessitaríamos construir as respectivas tabelas-verdades, uma vez que já sabemos
que não há equivalência lógica entre essas duas condicionais! Na verdade, a única condicional que
seria equivalente a pÆq seria a seguinte: ~qÆ~p.
Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade, e começando com a
condicional, teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 05
(pÆq)
V
F
V
V
q
V
F
V
F
Já a tabela-verdade da segunda construção (qÆ~p) será a seguinte:
p
V
V
F
F
TABELA 06
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
qÆ~p
F
V
V
V
Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construções
analisadas. Conclusão: o item 17 está errado!
18. As proposições (P∨Q)→S
e
(P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.
Sol.: Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade. Para a sentença
(p∨q)Æs, teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 07
q
V
V
F
F
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
pvq
V
V
V
V
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
(p v q)Æs
V
F
V
F
V
F
V
V
Para a segunda sentença: (pÆs) v (qÆs), teremos:
TABELA 08
P
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
S
V
F
V
F
V
F
V
F
pÆs
V
F
V
F
V
V
V
V
qÆs
V
F
V
V
V
F
V
V
(pÆs) v (qÆs)
V
F
V
V
V
V
V
V
Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado!
19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de uma
disjunção: A ou B.
Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que uma
sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela.
Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. É isso!
Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o ou por um e.
Teremos: ~(A ou B) = ~A e ~B
Vamos por partes! Negando A, teremos:
~A = Carlos não é dentista.
Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição
B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos:
1º) Repete-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda parte.
Teremos:
~B = Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
Finalmente, concluímos que:
~(A ou B) =
~A e ~B = Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
Æ Resposta! = Opção B.
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.
Sol.:
Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposições
simples. Teremos:
Æ P = Pedro é pintor
Æ C = Carlos é cantor
Æ M = Mário é médico
Æ S = Sílvio é sociólogo
Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).
Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!
A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da
sentença do enunciado. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempre verdadeira
se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira.
Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada
uma das alternativas. Executando este procedimento, teremos:
a) (P e ~C) → (M ou S)
b) (P e ~C) → (M ou ~S)
c) (P e C)
→ (M e ~S)
d) (P e C)
→ (M ou S)
e) (~P ou C) → (~M e S)
Como já foi dito, precisaremos atribuir à sentença trazida no enunciado da questão o valor
lógico Verdade. Simbolicamente, teremos que: (P ou C) → (~M e ~S) é Verdade.
Ora, em uma proposição condicional, se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade, a 2ª
parte também deverá ter este mesmo valor lógico, a fim de que toda a condicional seja verdadeira,
não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componente for verdadeira e
a segunda for falsa).
Assim, considerando a 1ª parte da condicional – (P ou C) – como verdade, a 2ª parte da
condicional – (~M e ~S) – necessariamente será também verdade.
Daí, para que (P ou C) seja Verdade, em se tratando de uma disjunção, teremos as
seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjunção):
- PéV eCéV
- PéV eCéF
- PéF eCéV
Obs.: Estamos lembrados que para a disjunção ser verdadeira, basta que uma de suas partes o
seja.
Trabalhemos agora com a segunda parte da nossa condicional. Para que (~M e ~S) seja
Verdade, em se tratando de uma conjunção, concluímos que só há uma combinação possível:
- M é F e S é F.
Obs.: Lembramos que uma conjunção só será verdadeira se ambas as suas componentes também
o forem. Daí, neste caso, ~M e ~S são verdadeiras; logo, as suas negativas (M e S) são falsas!
Pois bem! Entendido isto, agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em cada
uma das alternativas da questão, a fim de encontrar a nossa resposta. Lembrando que a
alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempre Verdade.
Todas as alternativas desta questão trazem proposições condicionais, e sabemos que a
condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F .
Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das condicionais das opções de resposta,
lembrando-nos de que M e F são ambas falsas! Chegaremos aos seguintes resultados:
a) ... → (M ou S) = (F ou F) = F
b) ... → (M ou ~S) = (F ou V) = V
c) ...
→ (M e ~S) = (F e V) = F
d) ...
→ (M ou S) = (F ou F) = F
e) ...
→ (~M e S) = (V e F) = F
Somente a alternativa B tem a segunda parte da condicional com valor lógico verdade,
significando que ela jamais será falsa, ou em outras palavras, ela sempre será verdade.
Conclusão: a opção correta é a B.
Observemos que sequer foi necessário testar, nas alternativas de resposta, a primeira parte
das condicionais. Fica para cada um realizar esse teste.
Mais adiante, resolveremos novamente esta mesma questão, por um outro caminho.
A propósito, esta questão também poderia ter sido resolvida construindo-se a tabelaverdade de cada alternativa de resposta, mas cada tabela teria 16 linhas, pois há quatro
proposições simples, o que tornaria a resolução demasiadamente custosa e quase que inviável para
o tempo da prova.
21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo”
é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
Sol.: Uma questão muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta, formada por três
proposições simples interligadas pelo conectivo ou.
Para simplificar, definiremos as seguintes proposições simples:
Æ A = Alda é alta
Æ B = Bino é baixo
Æ C = Ciro é calvo
Traduzindo a afirmação apresentada no enunciado para a linguagem simbólica, tomando por
base as proposições A, B e C definidas acima, encontraremos o seguinte: A ou ~B ou C
Segundo o enunciado da questão, a afirmação trazida é falsa! Ora, dizer que uma
afirmação qualquer é falsa, e solicitar a verdade, é o mesmo que pedir a negação daquela
sentença.
Iniciemos, portanto, fazendo a negação da sentença trazida no enunciado. Ou seja, façamos
a negação da proposição composta: A ou ~B ou C
Como se faz a negação de p ou q ou r ?
Dispensando a demonstração, simplesmente assim: ~p e ~q e ~r
Daí, a negação de A ou ~B ou C é:
~A e B e ~C
Traduzindo esta linguagem simbólica para uma sentença em palavras, obtemos:
“Alda não é alta, e Bino é baixo, e Ciro não é calvo” ,
Esta poderia ser a resposta da questão! Todavia, nenhuma das opções apresenta este texto!
Vemos que todas as alternativas de resposta trazem o conectivo “se ... então”, ou seja, o
formato da condicional. Ora, a equivalente de uma condicional, como já sabemos, ou será uma
outra condicional, ou, alternativamente, uma disjunção. (Aprendemos isso na aula passada!).
Daí, não há como fazer facilmente a equivalência entre a sentença acima, que é formada
por conjunções, e as alternativas de resposta! O que fazer? Nesta situação, o melhor será
traduzirmos em símbolos estas alternativas, tomando por base as proposições A, B e C definidas
anteriormente, e assim, teremos:
a) B → A
e
~B → ~C
b) A → B
e
B→C
c) A → B
e
~B → ~C
d) ~B → A
e) ~A → ~B
e
B→C
e
C → ~B
Para não termos que construir a tabela-verdade para cada alternativa (procurando por uma
proposição equivalente a ~A e B e ~C), utilizaremos o seguinte artifício:
A proposição ~A e B e ~C utiliza somente o conectivo “e” . Então, para que esta sentença
inteira tenha valor lógico verdade, é necessário que estas três partes que a compõem sejam todas
verdadeiras. Daí, concluiremos que:
Æ se ~A é V, então A é F.
Æ B é V.
Æ se ~C é V, então C é F.
Ou seja, teremos:
AéF
BéV
CéF
Daí, a alternativa que for equivalente a ~A e B e ~C deverá necessariamente apresentar
valor lógico V ao substituímos A por F, B por V e C por F.
Fazendo esse teste para cada opção de resposta, teremos:
a) B → A
e
~B → ~C
⇒ (V→F) e (~V→~F)
Ö
valor lógico é F
b) A → B
e
B→C
⇒ (F→V) e (V→F)
Ö
valor lógico é F
c) A → B
e
~B → ~C
⇒ (F→V) e (~V→~F)
Ö
valor lógico é V
⇒ (~V→F) e (V→F)
Ö
valor lógico é F
Ö
valor lógico é F
d) ~B → A
e) ~A → ~B
e
B→C
e
C → ~B ⇒ (~F→~V) e (F→~V)
A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativa correta!
Conclusão: nossa resposta é a opção C.
É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões! Mais
importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa, pois aprendemos
com o erro e não o repetimos na prova!
Na seqüência, passaremos a falar em Lógica da Argumentação, que é nosso assunto de
hoje. Adiante!
# Argumento:
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma
outra proposição final, que será conseqüência das primeiras!
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2,
... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do
argumento.
No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes
hipótese e tese, respectivamente.
Vejamos alguns exemplos de argumentos:
Exemplo 1)
p1: Todos os cearenses são humoristas.
p2: Todos os humoristas gostam de música.
c : Todos os cearenses gostam de música.
Exemplo 2)
p1: Todos os cientistas são loucos.
p2: Martiniano é louco.
c : Martiniano é um cientista.
O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja,
silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão.
Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são
válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa
um argumento válido e um argumento inválido.
# Argumento Válido:
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a
sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser
visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto
pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a
falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste.
Exemplo: O silogismo...
p1: Todos os homens são pássaros.
p2: Nenhum pássaro é animal.
c: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito
embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.
Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção
está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da
conclusão!
Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se
as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das
premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer
tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito etc., assuntos que talvez
desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do
argumento!
Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo
válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de
diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em
questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona,
usando esse exemplo acima.
Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos
representar essa frase da seguinte maneira:
Conjunto
dos pássaros
Conjunto dos
homens
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja,
pertencem ao conjunto maior (dos pássaros).
E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro
do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo.
Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa.
Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavrachave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois
conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica:
Conjunto dos
Pássaros
Conjunto dos
Animais
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois
conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as
analisemos em conjunto. Teremos:
Pássaros
Animais
Homens
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o
desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma
conseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens
está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais.
Resultado: este é um argumento válido!
Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido.
# Argumento Inválido:
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído,
falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a
verdade da conclusão.
Entenderemos melhor com um exemplo.
Exemplo:
p1: Todas as crianças gostam de chocolate.
p2: Patrícia não é criança.
c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as
premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão.
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não
afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do
argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é
inválido. Vamos lá:
Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já
aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:
Pessoas que gostam
de chocolate
crianças
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que
fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar
localizada a Patrícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa.
Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo vermelho (das
crianças). É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que a Patrícia
poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do
conjunto maior (sem tocar o círculo vermelho!). Vejamos:
Pessoas que gostam
de chocolate
PATRÍCIA
crianças
PATRÍCIA
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o
que nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse
resultado (se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro! O que vocês dizem? É
necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima,
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo azul),
mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo azul)!
Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!
Passemos a uma questão de concurso que versa sobre esse tema.
TCU-2004/CESPE) Julgue o item a seguir.
Considere o seguinte argumento:
Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é
considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi
considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato antieconômico.
Nessa situação, esse argumento é válido.
Sol.: A questão apresenta um argumento (um silogismo) e deseja saber se ele é válido. Ora, vimos
que um argumento só será válido se a sua conclusão for uma conseqüência obrigatória do seu
conjunto de premissas.
No argumento em tela temos duas premissas e a conclusão, que se seguem:
p1: Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é
considerada irregular.
p2: A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular.
c: Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato
antieconômico.
Usaremos o método dos diagramas para verificar a validade (ou não) do argumento.
Começando pela primeira premissa, observemos que a palavra cada tem o mesmíssimo
sentido de toda. Daí, teremos:
Conta irregular
Conta com ato
antieconômico
Analisemos agora a segunda premissa que afirma que “a prestação de contas da prefeitura
de uma cidade (qualquer) foi irregular”.
Ora, no desenho acima, vamos indicar quais as possíveis localizações (se houver mais de
uma!) desta prestação de contas da cidade qualquer.
Teremos:
Conta irregular
Prest. Cidade
qualquer
Conta com ato
antieconômico
Prest. Cidade
qualquer
Daí, verificamos que há duas posições em que a tal prestação de contas desta cidade
qualquer poderia estar. Ora, por ser irregular, terá necessariamente que estar dentro do círculo
maior (azul). Uma vez dentro do círculo azul (conta irregular), surgem duas novas possibilidades:
ou estará dentro do círculo vermelho (conta com ato antieconômico), ou fora dele. Em outras
palavras: a prestação de contas desta cidade qualquer, embora irregular, pode ter apresentado
uma conta com ato antieconômico, ou não!
Analisemos agora a conclusão do argumento: “a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato antieconômico”. Será que esta é uma conclusão necessária, ou seja,
obrigatória, em vista do que foi definido pelas premissas? A resposta, como vimos acima, é
negativa!
Concluímos, pois, que se trata de um argumento inválido, e este item está errado!
Vimos que a utilização de diagramas de conjuntos pode ajudar-nos a descobrir se um
argumento é válido. Ocorre que, em alguns exercícios, será mais conveniente utilizarmos outros
procedimentos. Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se
um argumento é válido ou não!
1º MÉTODO) Utilizando diagramas de conjuntos:
Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo,
algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior
verificação da verdade da conclusão. Já fizemos acima alguns exercícios com uso deste método!
2º MÉTODO) Utilizando a tabela-verdade:
Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo primeiro método, o que
ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os
conectivos “ou” , “e”, “→” e “↔”.
Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa
e outra para a conclusão.
Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as suas linhas em que os
valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras),
os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é
válido! Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na
coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido.
Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve
várias proposições simples.
Passemos a um exemplo com aplicação deste método.
Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
~r_______
~p ∨ ~q
Sol.:
Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há
acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão! Neste caso,
temos duas premissas e a conclusão (um silogismo).
As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas para
linguagem simbólica.
1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão.
Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e
facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e
a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser visto abaixo.
Observemos que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos:
- A 1ª premissa (5ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4ª e a 3ª colunas.
- A 2ª premissa (6ª coluna) é obtida pela negação da 3ª coluna.
- A conclusão (9ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 7ª e a 8ª colunas.
TABELA 09
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
p
q
r
(p ∧ q)
1ª Premissa
2ª Premissa
(p ∧ q) → r
~r
1ª
V
V
V
V
V
2ª
V
V
F
V
3ª
V
F
V
4ª
V
F
5ª
F
6ª
9ª
~p
~q
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
7ª
F
F
V
F
V
F
V
V
V
8ª
F
F
F
F
V
V
V
V
V
Conclusão
~p ∨ ~q
2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das
premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas
premissas com valor lógico V.
Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4ª,
6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido.
3º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as
premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém,
só devemos utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações
lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar
também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.
Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
p∨q
~p___
q
Sol.:
Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as
premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o
valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido.
1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:
Æ para a 1ª premissa
Æ o valor lógico de p ∨ q é verdade
Æ para a 2ª premissa
Æ o valor lógico de ~p
é verdade.
2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade
de, após isso, obter o valor lógico da conclusão.
Vamos iniciar pela análise da 2ª premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição
simples p. (Se iniciássemos pela 1ª premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico
de p, e nem de q.)
- Análise da 2ª premissa:
~p é verdade
Como ~p é verdade, logo p é falso.
- Análise da 1ª premissa:
p ∨ q é verdade
Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo
com a tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade.
Em suma, temos até o momento:
O valor lógico de p é Falso
O valor lógico de q é Verdade
3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor
lógico da Conclusão.
Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o
mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido.
Passemos a mais um exemplo utilizando o terceiro método.
Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:
1ª premissa:
A → (~B ∧ C)
2ª premissa:
~A → B
3ª premissa:
D ∧ ~C_
Conclusão:
B → ~D
Sol.:
1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:
para a 1ª premissa Æ o valor lógico de A → (~B ∧ C)
é verdade
para a 2ª premissa Æ o valor lógico de ~A → B
é verdade
para a 3ª premissa Æ o valor lógico de D ∧ ~C
é verdade
2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples A, B, C e D, com a
finalidade de obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 3ª premissa, pois
somente esta pode fornecer de imediato o valor lógico de pelo menos uma proposição simples,
conforme veremos a seguir.
- Análise da 3ª premissa:
D ∧ ~C
é verdade
Para que a proposição D ∧ ~C seja verdade, é necessário (segundo a tabela-verdade do
conectivo “e”) que o valor lógico de D seja verdade e de ~C seja verdade. Logo, o valor lógico de
C é falso.
- Análise da 1ª premissa:
A → (~B ∧ C)
é verdade
Sabemos que C é falso, então a proposição (~B ∧ C) também terá valor lógico falso. E o
valor lógico de A? Pela tabela-verdade da condicional, sabemos que quando o conseqüente é falso,
é necessário que o antecedente também seja falso, para que a condicional seja verdadeira. Então,
como a proposição composta A→(~B ∧ C) deve ser verdade e como o valor lógico obtido para
(~B∧C) foi falso, conclui-se que o valor lógico de A é falso.
- Análise da 2ª premissa:
~A → B
é verdade
O valor lógico de A é falso, daí ~A é verdadeiro! Então, de acordo com a tabela verdade
da condicional, para que a proposição ~A → B seja verdade é necessário que B seja verdade.
- Em suma:
O valor lógico de D é verdade
O valor lógico de C é falso
O valor lógico de A é falso
O valor lógico de B é verdade
3º passo) Obtenção do Valor Lógico da Conclusão:
A conclusão é dada pela condicional B→~D, e sabemos que o valor lógico de B é verdade e
o valor lógico de D também é verdade. Então qual será o valor lógico da conclusão?
Substituindo os valores lógicos de B e de D na conclusão, obteremos:
verdade → não (verdade) = verdade → falso = falso.
Daí, como a conclusão é falsa, o argumento é inválido.
4º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas
verdadeiras e conclusão falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método (supra) não
possibilitará a descoberta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio
de análises mais complicadas.
Foi descrito no segundo método que, se após a construção da tabela-verdade houver uma
linha em que as colunas das premissas têm valor lógico V e a conclusão tem valor lógico F, então o
argumento é inválido.
Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são
verdades e a conclusão é falsa. Este quarto método baseia-se nisso: faremos a consideração de
que as premissas são verdades e a conclusão é falsa, e averiguaremos se é possível a
existência dessa situação. Se for possível, então o argumento será inválido.
Para a solução do próximo exemplo, vamos utilizar o 4º método. Não utilizaremos o 3º, pois
não teríamos condições de descobrir de maneira direta o valor lógico da conclusão, senão por meio
de uma análise mais trabalhosa.
Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:
A → (B ∨ C)
B → ~A
D → ~C____
A → ~D
Sol.: De acordo com o este método, consideraremos as premissas como verdades e a
conclusão como falsa, e verificaremos se é possível a existência dessa situação. Se for possível,
então o argumento é inválido.
1º passo) Considerando as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, teremos:
para a 1ª premissa Æ o valor lógico de A → (B ∨ C)
é verdade
para a 2ª premissa Æ o valor lógico de B → ~A
é verdade
para a 3ª premissa Æ o valor lógico de D → ~C
é verdade
para a Conclusão
é falso
Æ o valor lógico de A → ~D
2º passo) Quando usamos este método de teste de validade, geralmente iniciamos a análise dos
valores lógicos das proposições simples pela conclusão.
- Análise da conclusão:
A → ~D
é falso
Em que situação uma condicional é falsa? Isso já sabemos: quando a 1ª parte é verdade
e a 2ª parte é falsa. Daí, concluímos que o valor de A deve ser V e o de ~D deve ser F.
Conseqüentemente D é V.
- Análise da 2ª premissa: B → ~A
é verdade
Na análise da proposição da conclusão, obtivemos que A é V. Substituindo, A por V na
proposição acima, teremos: B → ~V , que é o mesmo que: B → F . Como esta proposição
deve ser verdade, conclui-se que B deve ser F, pela tabela-verdade da condicional.
- Análise da 3ª premissa: D → ~C
é verdade
O valor lógico de D é V, obtido na análise da conclusão. Substituindo este valor lógico na
proposição acima, teremos: V → ~C . Para que esta proposição seja verdade é necessário que
a 2ª parte da condicional, ~C, seja V. Daí, C é F.
Observemos que, se quiséssemos, poderíamos ter analisado esta 3ª premissa antes da
2ª, sem qualquer prejuízo à resolução.
- Agora, só resta analisar a 1ª premissa: A → (B ∨ C) é verdade
Até o momento, temos os seguintes valores lógicos: A é V, B é F, C é F e D é V .
Substituindo estes valores na proposição acima, teremos: V → (F ∨ F) . Usando o
conectivo da disjunção, a proposição simplifica-se para V → F , e isto resulta em um valor
lógico Falso. Opa!!! A premissa A → (B ∨ C) deveria ser verdade!!!
Este contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, considerando todas
as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso
argumento é válido.
Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teriam que se confirmar todos os
valores lógicos previstos no 1º passo acima. Em não se confirmando qualquer deles, concluímos
(como fizemos!) que o argumento é válido!
Vamos aproveitar o ensejo para resolver novamente a questão 20 do dever de casa da aula
passada, só que agora de uma maneira diferente: usando o quarto método que acabamos de
aprender. Vejamos:
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.
Sol.:
Iniciaremos definindo as seguintes proposições simples:
Æ P = Pedro é pintor
Æ C = Carlos é cantor
Æ M = Mário é médico
Æ S = Sílvio é sociólogo
Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).
Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!
A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da
sentença do enunciado.
Podemos considerar que estamos diante de um argumento com uma premissa e queremos
encontrar uma conclusão válida para este argumento, entre as apresentadas nas alternativas.
Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada
uma das opções de resposta. Executando este procedimento, obtemos:
a) (P e ~C) → (M ou S)
b) (P e ~C) → (M ou ~S)
c) (P e C)
→ (M e ~S)
d) (P e C)
→ (M ou S)
e) (~P ou C) → (~M e S)
Usando o 4º método, consideraremos as premissas verdades e a conclusão falsa,
verificaremos se essa situação é possível de ocorrer. Se possível, então o argumento
inválido, ou seja, a conclusão não é conseqüência obrigatória das premissas. Se não é possível
ocorrência daquela situação, então o argumento é válido, conseqüentemente a conclusão
conseqüência obrigatória das premissas. E aí, achamos a alternativa correta.
Vamos analisar as alternativas:
e
é
a
é
Æ Análise da alternativa “a”: (P e ~C) → (M ou S)
Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento.
Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e
~C) → (M ou S) é falso
Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C),
tenha valor V e a 2ª parte, (M ou S), tenha valor F. Daí:
- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).
- Para que (M ou S) seja F, é necessário que: M é F e S é F .
Em suma: P é V , C é F, M é F e S é F
A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos
testar substituindo os valores lógicos:
(V ou F) → (~F e ~F)
, que é o mesmo que: (V ou F) → (V e V) .
Resolvendo esta última proposição, obtemos V → V, que resulta no valor lógico V.
Portanto, acabamos de verificar que é possível existir a situação: conclusão falsa e
premissa verdade. Logo, esta conclusão não é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso
esta alternativa não é a correta.
Æ Análise da alternativa “b”: (P e ~C) → (M ou ~S)
Agora vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do
argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da
conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou ~S) é falso
Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C),
tenha valor V e a 2ª parte, (M ou ~S), tenha valor F. Daí:
- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).
- Para que (M ou ~S) seja F, é necessário que: M é F e ~S é F (e é claro S é V).
Em suma: P é V , C é F, M é F e S é V
A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos
testar substituindo os valores lógicos:
(V ou F) → (~F e ~V)
, que é o mesmo que: (V ou F) → (V e F) .
Resolvendo esta última proposição, obtemos V → F, que resulta no valor lógico F.
Portanto, acabamos de verificar que não é possível existir a situação: conclusão falsa e
premissa verdade. Logo, esta conclusão é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta
alternativa é a resposta da questão.
Pronto! Por hoje é só de teoria! Esta aula de hoje é uma que merece ser estudada e
revisada com calma e com carinho, procurando-se sempre entender cada passo de resolução
explicado! Nossas duas próximas serão bem, digamos, interessantes: trabalharemos um assunto
chamado Estruturas Lógicas!
Portanto, nossa recomendação é a seguinte: aproveitem, enquanto ainda estamos na fase
inicial do curso, e revisem, durante esta semana, tudo o que foi visto. Refaçam os exercícios todos,
rememorizem os conceitos, as tabelas, as negações, as equivalências, tudo!
A partir da próxima aula a bola de neve ganhará mais e mais volume! E um número
crescente de informações será passado a cada módulo.
Façam, pois, bom proveito desta semana! Não percam esta oportunidade, ok?
Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus, e com o nosso dever de casa!
DEVER DE CASA
(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:
Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
Gabarito: 1.E, 2.E
(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.
Item 3. A argumentação
•
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
•
Lógica não é fácil.
•
Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
•
P→Q
•
¬P
•
¬Q
Gabarito: 3.E
(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças
denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a
conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base
nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo
todo cachorro é vegetal.
Gabarito: 4.E, 5.E, 6.E, 7.C
Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri,
Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não
é um argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:
10.
P→Q
¬P____
¬Q
11.
P∨Q
Q ∨ R_
P∨R
12.
P→Q
R → ¬Q
R______
¬P
13.
Se x=1 e y=z, então y>2
Y = 2________________
y≠z
14.
Se trabalho não posso estudar.
Trabalho ou serei aprovado em Matemática.
Trabalhei.___________________________
Fui aprovado em Matemática.
Gabarito:
10. inválido 11. inválido 12. válido
13. inválido 14. inválido
15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.
a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.
b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.
Gabarito: 15.b
16. Considere as premissas:
P1. Os bebês são ilógicos.
P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.
P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas
apresentadas.
a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b) Pessoas desprezadas são ilógicas.
c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.
d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.
e) Bebês são desprezados.
Gabarito: 16. b
AULA QUATRO: Estruturas Lógicas
Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de
um ou de outro, em cada caso. Vejamos: (TABELA 01)
1º Método
2º Método
3º Método
4º Método
Utilização dos
Diagramas
(circunferências)
Construção das
Tabelas-Verdade
Considerando as
premissas
verdadeiras e
testando a
conclusão
verdadeira
Verificar a
existência de
conclusão falsa
e premissas
verdadeiras
Deve ser usado quando...
Não deve ser usado
quando...
O argumento apresentar as palavras
todo, nenhum, ou algum
O argumento não
apresentar tais
palavras.
Em qualquer caso, mas
preferencialmente quando o
argumento tiver no máximo duas
proposições simples.
O argumento
apresentar três ou
mais proposições
simples.
O 1º Método não puder ser
empregado, e houver uma
premissa...
...que seja uma proposição
simples; ou
Nenhuma premissa for
uma proposição
simples ou uma
conjunção.
... que esteja na forma de uma
conjunção (e).
O 1º Método não puder ser
empregado, e a conclusão...
...tiver a forma de uma proposição
simples; ou
... estiver a forma de uma disjunção
(ou); ou
A conclusão não for
uma proposição
simples, nem uma
disjunção, nem uma
condicional.
...estiver na forma de uma
condicional (se...então...)
Vejamos o exemplo seguinte:
Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
~r_______
~p ∨ ~q
Sol.: Esse mesmo exercício foi resolvido na aula passada. Lá, utilizamos o 2º método (tabelasverdade) para resolvê-lo, pois estávamos interessados em ensinar como se fazia a tabela-verdade
para uma sentença formada por três premissas (p, q e r).
Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor
caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas:
Æ 1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
Æ 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos
também o 2º método. Adiante.
Æ 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim,
perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
Æ 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção
ou de uma condicional?
A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos,
poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos.
Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante:
Resolução pelo 3º Método)
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos:
Æ 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p∧q) tem que
ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p
é falsa e q é falsa.
Em suma, obtivemos que: p, q e r são todos falsos!
Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores
lógicos obtidos acima. Teremos:
~p ∨ ~q = V ou V = V
Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a
conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido!
Conclusão: o argumento é válido!
Resolução pelo 4º Método)
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
Æ Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:
Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira
parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser
falsa. Logo: r é verdadeiro.
Æ 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa
deveria ser verdadeira, e não foi!
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Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do
teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas
verdadeiras, teremos que o argumento é válido!
Conclusão: o argumento é válido!
Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma
correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício
usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido!
Passemos agora à resolução do dever de casa.
DEVER DE CASA
(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:
Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos:
Conhece
contabilidade
Sabe lidar
com
orçamento
JOÃO
A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido!
Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO!
Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
Paga imposto
CARLOS
É honesto
CARLOS
Carlos não necessariamente é uma pessoa honesta! Vejam que ele pode estar simplesmente
dentro do círculo maior (azul) e sem tocar o menor (vermelho)!
Daí, o argumento é inválido! Como a questão diz que é válido, o item está ERRADO!
(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.
Item 3. A argumentação
•
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
•
Lógica não é fácil.
•
Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
•
P→Q
•
¬P
•
¬Q
Sol.: A forma simbólica está correta. Isso é facilmente constatado. O que temos que analisar é
sobre a validade do argumento.
Qual o melhor método a ser utilizado? Vamos ao roteiro aprendido acima!
1ª Pergunta)
O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
Resposta:
Não! Descartamos o 1º método!
2ª Pergunta)
O argumento contém no máximo duas proposições simples?
Resposta:
Sim! Se quisermos, podemos usar o 2º método, facilmente!
3ª Pergunta)
Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
Resposta:
Sim! A segunda premissa é uma proposição simples! Se quisermos, poderemos
usar o 3º método!
4ª Pergunta)
A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma
disjunção ou de uma condicional?
Resposta:
Sim, também! A conclusão é uma proposição
poderemos igualmente usar o 4º método!
simples.
Opcionalmente,
São três alternativas: poderemos concluir acerca da validade do argumento, por meio do 2º
ou do 3º ou do 4º método! Como são apenas duas proposições simples, optaremos pelo 2º
método, e construiremos a tabela-verdade! Teremos:
TABELA 02
P
Q
PÆQ
~P
~Q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Da tabela-verdade acima nos interessarão somente as duas últimas linhas! Por que isso?
Porque são as duas únicas em que as premissas têm, simultaneamente, valor lógico verdade! Daí,
para que o argumento fosse válido, seria preciso que a conclusão (última coluna) fosse também
verdade nas duas linhas! Como isso não ocorre (vide terceira linha!), diremos que o argumento é
inválido!
O item está, portanto, ERRADO!
(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças
denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a
conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base
nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Sol.: A bem da verdade, para responder a este item (e aos próximos), podemos até deixar de lado
as palavras do enunciado. Já sabemos o que é um argumento válido!
Já é do nosso conhecimento que a análise da validade do argumento se prende à forma,
e não ao conteúdo das premissas (ou da conclusão!). Logo, mesmo uma premissa sendo absurda
em seu conteúdo, ou seja, mesmo sendo falsa, pode perfeitamente gerar um argumento válido.
O item 4 está, portanto, ERRADO!
Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Sol.: Mesmo raciocínio do item anterior. O que se leva em conta na verificação da validade do
argumento é se a construção é perfeita em sua forma. A conclusão pode ter conteúdo falso, e isso
não necessariamente redundará em um argumento inválido!
O item 5 está ERRADO!
Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Sol.: Não necessariamente! A idéia é a mesma dos dois itens anteriores.
O item 6 está ERRADO!
Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo
todo cachorro é vegetal.
VEGETAL
VERDE
CACHORRO
Os diagramas acima não deixam qualquer dúvida: a conclusão é resultado necessário das
premissas! Ou seja, o argumento é válido.
O item 7 está, pois, CORRETO!
Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Sol.: Para dizer se a conclusão (C) ou se as premissas (P) são verdadeiras ou falsas,
observaremos o que há em seu conteúdo.
Ora, sabemos que cachorros não têm asas; que gatos não são cachorros; e que não
existem gatos aquáticos! Portanto, são falsas tanto as premissas quanto a conclusão!
Há duas opções de resposta que nos dizem isso: as letras B e C.
O que vai definir a resposta da questão é a análise da validade do argumento!
Façamos tal análise com uso do 1º método (diagramas). Teremos:
AQUÁTICOS
TEM ASAS
CACHORROS
GATOS
Mais uma vez o desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será
verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido!
Isso somente ratifica o que dissemos na análise dos itens anteriores: mesmo sendo
absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o
que nos leva a um argumento válido!
A resposta da questão é a LETRA C.
Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri,
Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não
é um argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.
Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tãosomente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas!
É o que diz a opção A Æ Resposta!
Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:
10.
P→Q
¬P____
¬Q
Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas
proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a:
TABELA 03
P
Q
PÆQ
~P
~Q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido!
11.
P∨Q
Q ∨ R_
P∨R
Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente
usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º.
Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos:
3ª Pergunta)
Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
Resposta:
Não! Descartemos, pois, o 3º método!
4ª Pergunta)
A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma
disjunção ou de uma condicional?
Resposta:
Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método!
4º Método)
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
Æ Conclusão) P v R é falso. Logo: P é falso e R é falso!
Agora, passamos a testar as premissas. Teremos:
Æ 1ª Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser
verdadeiro!
Æ 2ª Premissa) Q v R é verdade.
Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é V e R é F. Substituindo estes valores
lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda
com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira.
Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e
conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido!
12.
P→Q
R → ¬Q
R______
¬P
Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos:
Æ Conclusão) ~P é falso. Logo: P é verdadeiro!
Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos:
Æ 1ª Premissa) PÆQ é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser
também verdadeiro!
Æ 2ª Premissa) RÆ~Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então ~Q é falso. Daí,
sendo ~Q falso, teremos que R terá que ser também falso.
Æ 3ª Premissa) Sabendo (da 2ª premissa) que R é falso, constatamos que a 3ª premissa
é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1ª e 2ª premissa são verdadeiras, então esta
premissa não pode ser verdadeira!
Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é
válido!
13.
Se x=1 e y=z, então y>2
Y = 2________________
y≠z
Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão.
Teremos:
Æ 2ª Premissa: y=2 é verdadeira!
Æ 1ª Premissa: Ora, se é verdadeiro que y=2, então a segunda parte da 1ª premissa (y>2)
é falsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeira parte desta condicional deverá ser também
falsa. Ou seja, é falso que x=1 e y=z. Daí, teremos que: x≠1 OU y≠z.
Este ou da análise acima denota que não é uma conclusão necessária que y≠z. Pode ser, ou
não! Daí, diremos que o argumento é inválido!
14.
Se trabalho não posso estudar.
Trabalho ou serei aprovado em Matemática.
Trabalhei.___________________________
Fui aprovado em Matemática.
Sol.: Só para variar, vamos resolver essa aqui por meio da Tabela-Verdade, embora sejam três
proposições simples a compor esse argumento. Vamos chamar de:
Æ P = trabalho
Æ Q = estudo
Æ R = aprovado em matemática
Daí, nosso argumento em linguagem simbólica será o seguinte:
PÆ~Q
P ou R
P
R
Nossa tabela-verdade será a seguinte: TABELA 04:
P
Q
R
~Q
PÆ~Q
P ou R
P
R
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Nossa análise se prenderá à terceira e à quarta linhas, nas quais os valores lógicos das
premissas são, simultaneamente, verdadeiro! Daí, vemos que na terceira linha a conclusão é
verdadeira, mas o mesmo não se dá na quarta linha.
Logo, constatamos que o argumento é inválido!
15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.
a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.
Sol.: Fazendo os diagramas do 1º método, teremos:
ENXADRISTAS
ATLETAS
INTELECTUAIS
Observemos que não é um resultado necessário que haja um ponto em comum entre o
diagrama dos intelectuais e dos atletas. Logo, este argumento é inválido!
b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.
Sol.: Terceiro método! Começando pela 2ª premissa. Teremos:
Æ “Eu não passei” é verdade. Logo, que eu passei é falso.
Æ 1ª premissa) “Se estudasse tudo, eu passaria” é verdade! Sabendo que a segunda parte
é falsa, então a primeira parte (estudei tudo) é também falsa!
Analisando a conclusão: “Eu não estudei tudo”, vemos que será verdadeira!
Com isso, constatamos: o argumento é válido!
16. Considere as premissas:
P1. Os bebês são ilógicos.
P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.
P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas
apresentadas.
a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b) Pessoas desprezadas são ilógicas.
c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.
d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.
e) Bebês são desprezados.
Sol.: Trabalhando com o 1º método, teremos:
DESPREZADOS
AMESTRADORES DE
CROCODILOS
ILÓGICOS
BEBÊS
Analisando as opções de resposta com base no desenho acima, vemos que a única delas que
não apresenta um resultado necessariamente verdadeiro é justamente a constante na letra B.
Notem que pode haver pessoas desprezadas que não são necessariamente ilógicas! São
aqueles que estão no círculo maior (marrom) mas não tocam o círculo azul.
Passemos agora ao nosso assunto de hoje!
O tipo de questão que estudaremos agora é o que chamamos de Estruturas Lógicas.
Caracteriza-se por apresentar um conjunto de afirmações (premissas), formado por proposições
compostas (os termos são interligados pelos conetivos lógicos: e, ou, se...então, se e somente se),
e também podem apresentar proposições simples.
A resposta solicitada para este tipo de questão é a alternativa que traz uma conclusão que
é necessariamente verdadeira para o conjunto de premissas fornecidas no enunciado.
Assim, notamos que as questões de estruturas lógicas se assemelham às de Argumento
Válido, pois apresenta premissas (trazidas no enunciado) e uma conclusão válida (que será a
própria resposta procurada!).
Para resolver as questões de estruturas lógicas utilizaremos os métodos de teste de validade
de argumentos apresentados na AULA TRÊS, basicamente o 3º e o 4º métodos.
Dividiremos as questões de Estruturas lógicas em dois tipos, a saber:
1º tipo: Quando uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira. Isso ocorre
em duas situações:
1) o conjunto de premissas traz alguma proposição simples; ou
2) o conjunto de premissas traz alguma proposição composta em forma de conjunção
(com o conectivo “e” interligando os seus termos).
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2º tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira.
Nesta presente aula, veremos somente o 1º tipo, deixando o 2º para a próxima.
O 1º tipo, definido acima, é resolvido utilizando-se o 3º método de teste de validade de
argumentos, já nosso conhecido! Como já vimos, o 3º método é realizado por meio dos seguintes
passos:
1º passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade
dos conectivos, descobrimos os valores lógicos das proposições simples que compõe o
argumento.
2º passo: A partir dos valores lógicos das proposições simples, devemos encontrar qual é a
alternativa que traz uma proposição que é conseqüência obrigatória das premissas, ou
seja, que possui valor lógico necessariamente verdadeiro.
Não há melhor maneira de se aprender a trabalhar questões de Estruturas Lógicas do que
por meio da resolução de questões! Passemos a elas!
EXEMPLO 01:
(AFC 2002 ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem
não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de
Carol. Logo,
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
Solução:
O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol.
P2. Carmem não é cunhada de Carol.
P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol.
Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos traduzir
simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para isso, vamos definir as
seguintes proposições simples:
A = Carina é amiga de Carol
B = Carina é cunhada de Carol
C = Carmem é cunhada de Carol
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A → C
P2. ~C
P3. ~B → A
Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:
1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A , B e C).
Veja o procedimento seqüencial feito abaixo:
a) Começamos pela 2ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só possui uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A →
P2.
~C
P3.
~B →
C
⇒ Como ~C é verdade, logo C é F
A
Resultado: O valor lógico de C é F.
b) Substitua C pelo seu valor lógico F
P1.
A →
P2.
~F
P3.
~B →
F
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor lógico F
A
Resultado: O valor lógico de A é F.
c) Substitua A pelo seu valor lógico F
P1.
F →
P2.
~F
P3.
~B →
F
F
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~B tenha valor lógico
F, e daí B é V.
Resultado: O valor lógico de B é V.
- Em suma:
A é F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso.
Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade)
B é V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade.
C é F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso.
Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade)
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz
uma proposição necessariamente verdadeira.
Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para linguagem
simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta:
falso
a) Carina é cunhada de Carmem
falso
e
é amiga de Carol.
Æ falso
verdade
verdade
b) Carina não é amiga de Carol
ou
falso
c) Carina é amiga de Carol
não é cunhada de Carmem.
Æ verdade
falso
ou
falso
d) Carina é amiga de Carmem
Æ falso
falso
e
falso
e) Carina é amiga de Carol
não é cunhada de Carol.
é amiga de Carol.
Æ falso
verdade
e
não é cunhada de Carmem.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a letra “B” Æ Resposta!
EXEMPLO 02:
(ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não
velejo. Assim,
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. Surfo ou estudo.
P2. Fumo ou não surfo.
P3. Velejo ou não estudo.
P4. Não velejo.
Ora, as premissas são frases pequenas, então não há necessidade de definir letras para
representar as proposições simples. Vamos trabalhar do jeito que está!
Agora vamos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Vejamos a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
Surfo ou estudo
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
Velejo ou não estudo
P4.
Não velejo
⇒ Como ‘Não velejo’ é verdade, logo ‘velejo’ é F
Resultado: O valor lógico ‘velejo’ é F.
b) Substitua ‘velejo’ por F, e ‘não velejo’ por V
P1.
Surfo ou estudo
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
F ou não estudo
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘não
estudo’ tenha valor lógico V . Daí ‘estudo’ é F.
Resultado: O valor lógico de ‘estudo’ é F.
c) Substitua ‘estudo’ por F, e ‘não estudo’ por V
P1.
Surfo ou F
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
F ou V
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘surfo’
tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de ‘surfo’ é V.
d) Substitua ‘surfo’ por V, e ‘não surfo’ por F
P1.
V ou F
P2.
Fumo ou F
P3.
F ou V
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘Fumo’
tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de ‘Fumo’ é V.
- Em suma, as verdades são:
‘não velejo’
;
‘não estudo’
‘surfo’
;
‘Fumo’
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
F
V
a) estudo
e
fumo
F
Æ falso
V
b) não fumo e surfo
V
Æ falso
F
c) não velejo e não fumo
F
Æ falso
F
d) estudo e não fumo
V
Æ falso
V
e) fumo e surfo
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “E” Æ Resposta!
EXEMPLO 03:
(Fiscal Recife 2003 ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então
Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado.
Logo:
a) Caio e Beto são inocentes
d) Caio e Dênis são culpados
b) André e Caio são inocentes
e) André e Dênis são culpados
c) André e Beto são inocentes
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. André é inocente ou Beto é inocente.
P2. Se Beto é inocente, então Caio é culpado.
P3. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado.
P4. Dênis é culpado.
Apesar de as premissas serem frases pequenas, nós as traduziremos para a forma
simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:
A = André é inocente
B = Beto é inocente
C = Caio é inocente
D = Dênis é culpado
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A ou B
P2. B → ~C
P3. C ↔ D
P4. D
Agora passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C e D).
Vejamos a seqüência abaixo:
a) Começaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A ou B
P2.
B → ~C
P3.
C ↔ D
P4.
D
⇒ DéV
Resultado: O valor lógico de D é V .
b) Substitua D por V
P1.
A ou B
P2.
B → ~C
P3.
C ↔ V
P4.
V
⇒ para que a bicondicional seja verdade, é necessário que C tenha valor
lógico V
Resultado: O valor lógico de C é V.
c) Substitua C por V, e ~C por F
P1.
A ou B
P2.
B → F
P3.
V ↔ V
P4.
V
para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F.
Resultado: O valor lógico de B é F.
d) Substitua B por F
P1.
A ou F
P2.
F → F
P3.
V ↔ V
P4.
V
⇒ para que a conjunção seja verdade, A deve ser V.
Resultado: O valor lógico de A é V.
- Em suma:
A é V , significa que é verdade que: “André é inocente”
B é F , significa que é verdade que: “Beto não é inocente”, ou seja, “Beto é culpado”
C é V , significa que é verdade que: “Caio é inocente”
D é V , significa que é verdade que: “Dênis é culpado”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
a) Caio e Beto são inocentes.
Æ falso
b) André e Caio são inocentes
Æ verdade
c) André e Beto são inocentes
Æ falso
d) Caio e Dênis são culpados
Æ falso
e) André e Dênis são culpados
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “B” Æ Resposta!
EXEMPLO 04:
(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião,
nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de
francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de
português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um
problema não foi resolvido. Logo,
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1.
Se a professora de matemática foi à reunião, então nem a professora de inglês nem a
professora de francês deram aula.
P2. Se a professora de francês não deu aula, então a professora de português foi à reunião.
P3. Se a professora de português foi à reunião, então todos os problemas foram resolvidos.
P4. Pelo menos um problema não foi resolvido.
Na premissa P1 aparece a palavra nem. Podemos reescrever esta premissa tirando tal
palavra, mas sem mudar o sentido:
P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então a professora de inglês não deu aula e a
professora de francês não deu aula.
Na premissa P3 temos a proposição: “todos os problemas foram resolvidos”, e na premissa
P4 temos a proposição: “Pelo menos um problema não foi resolvido”. Qual a relação entre estas
duas proposições?
Ora, a proposição “Pelo menos um problema não foi resolvido” é a negação de “todos os
problemas foram resolvidos”. Vamos utilizar este resultado na representação simbólica das
premissas que será feita abaixo.
Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes
proposições simples:
M = a professora de matemática foi à reunião
I = a professora de inglês deu aula
Fr = a professora de francês deu aula
P = a professora de português foi à reunião
R = todos os problemas foram resolvidos
Assim, as frases traduzidas para a linguagem simbólica serão as seguintes:
P1. M → (~I e
~Fr)
P2. ~Fr → P
P3. P → R
P4. ~R
Agora vamos a solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → P
P3.
P → R
P4.
~R
⇒ Como ~R é V , então R é F
Resultado: O valor lógico de R é F.
b) Substitua R por F, e ~R por V
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → P
P3.
P → F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade, P deve ser F
Resultado: O valor lógico de P é F.
c) Substitua P por F
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → F
P3.
F → F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade, ~Fr deve ser F, daí Fr é V
Resultado: O valor lógico de Fr é V.
d) Substitua ~Fr por F
P1.
M → (~I e F)
P2.
F → F
P3.
F → F
P4.
V
⇒ Como um dos termos da conjunção (~I e F) é falso, logo toda a
conjunção será falsa. Daí a condicional passa a ser: M → F . Para que
esta condicional seja verdadeira, M deve ser F.
Resultado: O valor lógico de M é F.
- Em suma:
M é F , significa que é verdade que: “a professora de matemática não foi à reunião”.
I é indeterminado, significa que pode ser falso ou verdade que:“a professora de inglês deu aula”
Fr é V , significa que é verdade que: “a professora de francês deu aula”.
P é F , significa que é verdade que: “a professora de português não foi à reunião”.
R é F , significa que é verdade que: “Pelo menos um problema não foi resolvido”.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
V
F
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês
não deu aula.
V
V
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à
reunião.
F
Æ verdade
V
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não
foi à reunião.
F
Æ falso
F
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi
à reunião.
indeterminado
Æ falso
Æ falso
F
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!
EXEMPLO 05:
(AFC-SFC 2001 ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se
Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou.
Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento
b) Camile e Carla não foram ao casamento
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
e) Vera e Vanderléia não viajaram
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. Se Vera viajou, então nem Camile nem Carla foram ao casamento.
P2. Se Carla não foi ao casamento, então Vanderléia viajou.
P3. Se Vanderléia viajou, então o navio afundou.
P4. O navio não afundou
Na 1ª premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal
palavra, mas preservando o sentido:
P1. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento.
Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais
rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:
A = Vera viajou
B = Vanderléia viajou
C = Camile foi ao casamento
D = Carla foi ao casamento
E = o navio afundou
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A → (~C e ~D)
P2. ~D → B
P3. B → E
P4. ~E
Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e
E). Vejamos a seqüência abaixo:
a) Começamos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → B
P3.
B → E
P4.
~E
⇒ Como ~E é verdade, logo E é F
Resultado: O valor lógico de E é F.
b) Substitua E por F , e ~E por V
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → B
P3.
B→ F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor
lógico F
Resultado: O valor lógico de B é F.
c) Substitua B por F
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → F
P3.
F→ F
P4.
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~D tenha
valor lógico F, daí D é V.
V
Resultado: O valor lógico de D é V.
d) Substitua D por V, e ~D por F
P1.
A → (~C e F)
P2.
F→ F
P3.
F→ F
P4.
V
⇒ A conjunção (~C e F) tem um termo F, daí o valor da conjunção
também é F . Logo a condicional simplifica para: A → F . Esta
condicional deve ser verdadeira, então A é F .
Resultado: O valor lógico de A é F.
- Em suma:
A é F , significa que é verdade que: “Vera não viajou”
B é F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou”
D é V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento”
E é F , significa que é verdade que: “o navio não afundou”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem
simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta.
V
a) Vera não viajou
F
e
Carla não foi ao casamento.
indeterminado
b) Camile não foi ao casamento
Æ falso
F
e
Carla não foi ao casamento
Æ falso
F
V
c) Carla não foi ao casamento
e
Vanderléia não viajou
F
F
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
V
e) Vera não viajou
Æ falso
Æ falso
V
e
Vanderléia não viajou
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!
EXEMPLO 06)
(MPOG 2002 ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w
– 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1.
Logo,
a) 2w – 3r = 0
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
c) M ≠ 2x + 3y
d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
Solução:
O enunciado da questão traz cinco afirmações (premissas), que são descritas abaixo:
P1. Se M=2x+3y, então M=4p+3r.
P2. Se M=4p+3r, então M=2w–3r.
P3. M=2x+3y, ou M=0.
P4. Se M=0, então M+H=1.
P5. M+H≠1
Quando a questão se apresenta desta forma é melhor não substituirmos as proposições
simples por letras, mas somente simplificar os conectivos. Assim teremos:
P1. M=2x+3y → M=4p+3r.
P2. M=4p+3r → M=2w–3r.
P3. M=2x+3y ou M=0.
P4. M=0 → M+H=1.
P5. M+H≠1
Observemos os passos de resolução abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou (M=0)
P4.
(M=0) Æ (M+H=1)
P5.
(M+H≠1)
⇒Todas as premissas são verdadeiras, então (M+H≠1) é V
Resultado: O valor lógico de (M+H≠1) é V
b) Substitua (M+H≠1) por V, e (M+H=1) por F
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou (M=0)
P4.
(M=0) Æ F
P5.
V
⇒ Esta condicional deve ser verdadeira, logo (M=0) é F
Resultado: O valor lógico de (M=0) é F
c) Substitua (M=0) por F
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
⇒ Para que esta disjunção seja verdade, é necessário que
(M=2x+3y) tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de (M=2x+3y) é V
d) Substitua (M=2x+3y) por V
P1.
V Æ (M=4p+3r)
⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que
(M=4p+3r) tenha valor lógico V.
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
V ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
Resultado: O valor lógico de (M=4p+3r) é V
e) Substitua (M=4p+3r) por V
P1.
V Æ V
P2. V Æ (M=2w–3r)
P3.
V ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que
(M=2w–3r) tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de (M=2w–3r) é V
- Em suma:
(M+H≠1) é V , significa que é verdade que: “(M+H ≠ 1)”
(M=0) é F
, significa que é verdade que: “(M ≠ 0) ”
(M=2x+3y) é V , significa que é verdade que: “(M = 2x+3y) ”
(M=4p+3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 4p+3r)”
(M=2w–3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 2w–3r)”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
a) 2w – 3r = 0
Temos que M=2w–3r e que M≠0 , daí 2w–3r ≠ 0
Æ falso
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
Temos que M=4p+3r e que M=2w–3r , daí
4p+3r = 2w–3r
Æ falso
Æ falso
c) M ≠ 2x + 3y
d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
Temos que M=2x+3y e que M=2w–3r , daí
2x+3y = 2w–3r .
Æ falso
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!
EXEMPLO 07)
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto
é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.
Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
Solução:
O enunciado da questão traz quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.
P2. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol.
P3. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.
P4. Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.
Na premissa P4 aparece a palavra nem. Vamos reescrever esta premissa de outra maneira
(sem mudar o sentido):
P4. Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana.
Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes
proposições simples:
Fr = Frederico é francês
A = Alberto é alemão
P = Pedro é português
E = Egídio é espanhol
I = Isaura é italiana
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. Fr → ~A
P2. ou A ou E
P3. ~P → Fr
P4. ~E e ~I
Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição composta que usa somente o
conectivo “e”, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.
P1.
Fr → ~A
P2.
ou A ou E
P3.
~P → Fr
P4.
~E e ~I
⇒ para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser
verdade, daí ~E deve ser V e ~I deve ser V. Portanto, E é F e I é F.
Resultado: O valor lógico de E é F , e o de I também é F.
b) Substitua E por F (e ~E por V), e I por F (e ~I por V).
P1.
Fr → ~A
P2.
ou A ou F
P3.
~P → Fr
P4.
V e V
⇒ para que a conjunção exclusiva seja verdade, A deve ser V.
Resultado: O valor lógico de A é V.
c) Substitua A por V (e ~A por F)
P1.
Fr → F
P2.
ou V ou F
P3.
~P → Fr
P4.
V e V
⇒ para que a condicional seja verdade, Fr deve ser F.
Resultado: O valor lógico de Fr é F.
d) Substitua Fr por F
P1.
F → F
P2.
ou V ou F
P3.
~P → F
P4.
V e V
⇒ para que a condicional seja verdade, ~P deve ser F, daí P é V.
Resultado: O valor lógico de P é V.
- Em suma:
Fr é F , significa que é verdade que: “Frederico não é francês”.
A é V , significa que é verdade que: “Alberto é alemão”
P é V , significa que é verdade que: “Pedro é português”.
E é F , significa que é verdade que: “Egídio não é espanhol”.
I é F , significa que é verdade que: “Isaura não é italiana”.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz
uma proposição necessariamente verdadeira.
V
F
a) Pedro é português e Frederico é francês
V
V
b) Pedro é português e Alberto é alemão
F
Æ falso
F
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
V
Æ verdade
V
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
F
Æ falso
Æ falso
F
e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!
EXEMPLO 08)
(ACExt TCU 2002 ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do
castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde
encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição
necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
Solução:
O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente
para a duquesa ir ao jardim.
P2. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é
condição necessária para a duquesa ir ao jardim.
P3. O barão não sorriu.
Para resolver esta questão devemos relembrar alguns conceitos dados na AULA UM:
1) A proposição condicional: “Se p, então q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:
“p é condição suficiente para q” ou “q é condição necessária para p”.
2) A proposição bicondicional: “p se e só se q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:
“p é condição suficiente e necessária para q” ou
“q é condição suficiente e necessária para p”.
A partir disto vamos reescrever as premissas utilizando os conectivos do condicional
(se...então) e do bicondicional (se e só se):
P1. Se o duque sair do castelo, então o rei vai a caça, e
se o rei vai a caça, então a duquesa vai ao jardim.
P2. O conde encontra a princesa se e só se o barão sorrir e
se a duquesa vai ao jardim, então o conde encontra a princesa.
P3. O barão não sorriu.
Agora vamos traduzir as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as
seguintes proposições simples:
D = o duque sair do castelo.
R = o rei vai a caça.
J = a duquesa vai ao jardim
C = o conde encontra a princesa.
B = o barão sorrir.
Destarte, as premissas traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. (D → R) e (R → J)
P2. (C ↔ B) e (J → C)
P3. ~B
Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:
1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
sequência abaixo:
a) Iniciaremos pela 3ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
(D → R) e (R → J)
P2.
(C ↔ B) e (J → C)
P3.
~B
Como ~B é V , então B é F
Resultado: O valor lógico de B é F.
b) Substitua B por F, e ~B por V
P1.
(D → R) e (R → J)
P2.
(C ↔ F) e (J → C)
P3.
V
para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser
verdade, daí (C ↔ F) é V , e (J → C) é V. Para que a bicondicional
(C ↔ F) seja V, C deve ser F. E para que a condicional (J → C) seja
V, J deve ser F, já que C é F.
Resultado: O valor lógico de C é F, e o de J também é F.
c) Substitua C por F, e J por F
P1.
(D → R) e (R → F)
P2.
(F ↔ F) e (F → F)
P3.
V
para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem
ser verdade, daí (D → R) é V , e (R → F) é V. Para que a
condicional (R → F) seja V, R deve ser F. E para que a condicional
(D → R) seja V, D deve ser F, já que R é F.
Resultado: O valor lógico de R é F, e o de D também é F.
- Em suma:
D é F , significa que é verdade que: “o duque não sai do castelo”.
R é F , significa que é verdade que: “o rei não vai a caça”
J é F , significa que é verdade que: “a duquesa não vai ao jardim”.
C é F , significa que é verdade que: “o conde não encontra a princesa”.
B é F , significa que é verdade que: “o barão não sorrir”.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
F
F
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
V
Æ falso
F
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
V
Æ falso
V
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
F
Æ verdade
V
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
F
Æ falso
V
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a c Æ Resposta!
DEVER DE CASA
01.(AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então
ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala
espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala
francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
02.(MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida.
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos.
Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
03.(MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela
abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando
Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
04.(AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem
certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões
discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está
enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado,
então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou
José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
b) Luís e Júlio não estão enganados
c) Júlio está enganado, mas não Luís
d) Luís está engando, mas não Júlio
e) José não irá ao cinema
05.(TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será
pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana
será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
06.(Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais
de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia,
Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
07.(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤
T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
Gabarito: 01.A
02.C
03.D
04.E
05.A
06.A
07.A
AULA CINCO: Estruturas Lógicas (Continuação)
Olá, amigos!
Iniciaremos nossa aula de hoje com a resolução do dever de casa da semana passada!
Esperamos que todos tenham resolvido – ou ao menos tentado, o que é mais importante! - as oito
questões que foram propostas. Passemos às resoluções.
Dever de Casa
01.(AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala
italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala
dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for
verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não
fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Sol.: Como vimos na aula passada, dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso,
convém traduzirmos as premissas do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:
I: Iara fala italiano.
A: Ana fala alemão.
C: Ching fala chinês.
D: Débora fala dinarmaquês.
E: Elton fala espanhol.
F: Francisco fala francês.
Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças do enunciado estarão assim
traduzidas:
P1:
P2:
P3:
P4:
P5:
~I Æ A
I Æ (C ou D)
DÆE
E ↔ ~(~F)
~F e ~C
Antes de passarmos à resolução propriamente dita, façamos uma rápida análise da premissa
quatro (P4) acima. Ela é curiosa, pois traz, na segunda parte da condicional, a negação de uma
negação! Vejamos: Não é verdade que Francisco não fala francês.
Ora, negar uma negação é o mesmo que afirmar! Aprendemos isso na primeira aula!
Assim, podemos reescrever a quarta premissa, sem prejuízo do sentido original, da seguinte
forma: P4: E ↔ F. Só isso! Nossas premissas agora são as seguintes:
P1: ~I Æ A
P2: I Æ (C ou D)
P3: D Æ E
P4: E ↔ F
P5: ~F e ~C
Passemos aos passos efetivos de resolução.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito de
ser verdadeira!
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (C ou D)
P3.
DÆE
P4.
E↔F
P5.
~F e ~C
⇒ ~F é verdade e ~C é verdade
Resultado: F é Falso e C é Falso.
b) Substitua F por F, e C por F
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou D)
P3.
DÆE
P4.
E↔F
P5.
VeV
⇒ Na bicondicional, ambas as sentenças têm que ter o mesmo valor
lógico! Logo: E é Falso!
Resultado: O valor lógico de E é F.
c) Substitua E por F:
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou D)
P3.
DÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que D seja
também falsa. Logo: D é Falso!
Resultado: O valor lógico de D é F.
d) Substitua D por F
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou F)
P3.
FÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ A disjunção que está na segunda parte desta condicional é falsa.
Logo, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que I seja
também falsa. Logo: I é Falso!
Resultado: O valor lógico de I é F.
e) Substitua I por F (e ~I por Verdadeiro!)
P1.
VÆA
P2.
F Æ (F ou F)
P3.
FÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que A seja
também verdadeira. Logo: A é Verdadeiro!
Resultado: O valor lógico de A é V.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
AéV
É verdade que Ana fala alemão.
⇒
CéF
~C é V ⇒
É verdade que Ching não fala chinês.
DéF
~D é V ⇒
É verdade que Débora não fala dinamarquês.
EéF
~E é V ⇒
É verdade que Elton não fala espanhol.
FéF
~F é V ⇒
É verdade que Francisco não fala francês.
IéF
~I é V ⇒
É verdade que Iara não fala italiano.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
V
Æ verdade
F
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
V
F
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
F
Æ falso
F
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Resposta: alternativa A.
Æ falso
F
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
V
Æ falso
Æ falso
02.(MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico
deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e
passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje,
passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
Sol.: Iniciaríamos fazendo a tradução das proposições para a linguagem simbólica. Mas, como as
frases são curtas, deixemos como está! Nossas premissas são, pois, as seguintes:
P1.
~Vejo Carlos Æ ~Passeio ou Deprimida
P2.
Chove Æ ~Passeio e Deprimida
P3.
~Faz calor e Passeio Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ ~Passeio
P5.
Passeio
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
~Vejo Carlos Æ ~Passeio ou Deprimida
P2.
Chove Æ ~Passeio e Deprimida
P3.
~Faz calor e Passeio Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ ~Passeio
P5.
Passeio
⇒ Passeio é verdade
Resultado: Passeio é verdade.
b) Substitua Passeio por V , e ~Passeio por F
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou Deprimida
P2.
Chove Æ F e Deprimida
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ F
P5.
V
⇒
A conjunção (segunda parte desta
condicional) é falsa. Logo, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que
Chove seja falso!
Resultado: O valor lógico de Chove é F.
c) Substitua Chove por F , e ~Chove por V
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou Deprimida
P2.
F Æ F e Deprimida
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
V e Deprimida Æ F
P5.
V
⇒
A conjunção (primeira parte desta
condicional) terá que ser falsa. Para tanto, é
preciso que Deprimida seja falso!
Resultado: O valor lógico de Deprimida é F.
d) Substitua Deprimida por F
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou F
P2.
FÆFeF
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
VeFÆF
P5.
V
⇒
A disjunção (segunda parte desta
condicional) é falsa. Logo, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que
~Vejo Carlos seja falso!
Resultado: O valor lógico de ~Vejo Carlos é F.
e) Substitua ~Vejo Carlos por F
P1.
F Æ F ou F
P2.
FÆFeF
P3.
~Faz calor e V Æ F
P4.
VeFÆF
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que a conjunção (primeira parte)seja
falsa. Para tanto, teremos ~Faz calor seja
falso!
Resultado: O valor lógico de ~Faz calor é F.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
Passeio é V
⇒
É verdade que Passeio.
Chove é F
~Chove é V ⇒
É verdade que não chove.
Deprimida é F
~Deprimida é V ⇒
É verdade que não fico deprimida.
~Vejo Carlos é F
Vejo Carlos é V ⇒
É verdade que Vejo Carlos.
~Faz calor é F
Faz calor é V ⇒
É verdade que Faz calor.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
F
V
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
F
F
F
V
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
V
V
V
F
V
F
V
Æ verdade
F
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
V
Æ falso
V
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
F
Æ falso
Æ falso
V
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
Æ falso
Resposta: alternativa C.
03.(MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária
para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também,
que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Sol.: Nesta questão, há um trabalho preliminar a ser
efetivos de resolução, teremos que traduzir essas
suficientes para a linguagem convencional de uma
conforme o caso). Isso também já aprendemos como se
realizado! Antes de iniciarmos os passos
tais condições necessárias e condições
estrutura condicional (ou bicondicional,
faz. Teremos, pois, que:
Æ João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir
É o mesmo que: Se Maria sorri, então João está feliz.
E:
Æ João estar feliz é condição suficiente para Daniela abraçar Paulo
É o mesmo que: Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo.
Por fim, sabemos que:
Æ Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio
É o mesmo que: Daniela abraça Paulo se e somente se Sandra abraça Sérgio
Feito isto, podemos reescrever as sentenças do enunciado, da seguinte forma:
P1.
Maria sorri Æ João está feliz
P2.
João está feliz Æ Daniela abraça Paulo
P3.
Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio
P4.
Sandra não abraça Sérgio
Podemos definir cada proposição simples por uma única letra, se assim o quisermos.
Teremos:
Æ M = Maria sorri
Æ J = João está feliz
Æ D = Daniela abraça Paulo
Æ S = Sandra abraça Sérgio
Daí, traduziremos as premissas do enunciado para a linguagem reduzida da lógica, da
seguinte forma:
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔S
P4.
~S
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔S
P4.
~S
⇒ ~S é verdade
Resultado: ~S é verdade.
b) Substitua ~S por V , e S por F
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔F
P4.
V
⇒ Na bicondicional, as duas partes têm que
ter mesmo valor lógico. Daí: D é Falso.
Resultado: D é falso.
c) Substitua D por F
P1.
MÆJ
P2.
JÆF
P3.
F↔F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que J seja também Falso.
Resultado: J é falso.
d) Substitua J por F
P1.
MÆF
P2.
FÆF
P3.
F↔F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que M seja também Falso.
Resultado: M é falso.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~S é V
⇒
É verdade que Sandra não abraça Sérgio.
DéF
~D é V ⇒
É verdade que Daniela não abraça Paulo.
JéF
~J é V ⇒
É verdade que João não está feliz.
MéF
~M é V ⇒
É verdade que Maria não sorri.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
F
V
F
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
Æ falso
V
F
V
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
F
F
V
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
V
V
Æ falso
V
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
V
Æ falso
F
Æ verdade
F
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Æ falso
Resposta: alternativa D.
04.(AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas
não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm
opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,
então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se
Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo
contra Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria
está certa. Logo:
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
b) Luís e Júlio não estão enganados
c) Júlio está enganado, mas não Luís
d) Luís está engando, mas não Júlio
e) José não irá ao cinema
Sol.: Começaremos atribuindo letras às proposições do enunciado. Teremos:
Æ M = Maria está certa
Æ J = Júlio está certo
Æ L = Luís está certo
Æ F = Filme sendo exibido
Æ Jo = José irá ao cinema
Agora, traduzindo as premissas da questão, teremos:
P1.
M Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
M
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem um
jeito de ser verdadeira!
P1.
M Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
M
⇒ M é verdade
Resultado: M é verdade.
b) Substitua M por V
P1.
V Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~J seja também verdade
Resultado: ~J é verdade.
c) Substitua ~J por V
P1.
VÆV
P2.
V Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
Resultado: ~L é verdade.
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~L seja também verdade
d) Substitua ~L por V
P1.
VÆV
P2.
VÆV
P3.
V Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~F seja também verdade
Resultado: ~F é verdade.
e) Substitua ~F por V e F por Falso.
P1.
VÆV
P2.
VÆV
P3.
VÆV
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a disjunção exclusiva seja
verdadeira, é preciso que ~Jo seja verdade
Resultado: ~Jo é verdade.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
MéV
É verdade que Maria está certa.
~J é V
É verdade que Júlio está enganado.
~L é V
É verdade que Luís está enganado.
~F é V
É verdade que o filme não está sendo exibido.
~Jo é V
É verdade que José não irá ao cinema.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
F
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
F
F
b) Luís não está enganado e Júlio não está enganado
V
Æ falso
F
c) Júlio está enganado, e Luís não está enganado
V
Æ falso
Æ falso
F
d) Luís está enganado, e Júlio não está enganado.
Æ falso
V
e) José não irá ao cinema
Æ verdade
Resposta: alternativa E.
05.(TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia
será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora,
então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
Sol.: Aqui, pela similitude dos nomes, é melhor fazer o seguinte:
Æ Anaís = Anaís será professora
Æ Anelise = Anelise será cantora
Æ Anamélia = Anamélia será pianista
Æ Ana = Ana será atleta
Daí, nossas premissas são as seguintes:
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia
P2.
Ana Æ Anamélia
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
~Anamélia
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia
P2.
Ana Æ Anamélia
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
~Anamélia
Resultado: ~Anamélia é verdade.
⇒ ~Anamélia é verdade
b) Substitua ~Anamélia por V e Anamélia por F
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou F
P2.
Ana Æ F
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja
verdadeira, é preciso que Ana seja
também falsa
Resultado: Ana é falso.
c) Substitua Ana por F
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou F
P2.
FÆF
P3.
Anelise Æ F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja
verdadeira, é preciso que Analise seja
também falsa
Resultado: Anelise é falso.
d) Substitua Analise por F
P1.
Ou Anaís, ou F, ou F
P2.
FÆF
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ Para que a disjunção seja
verdadeira, é preciso que Anaís seja
também verdadeira
Resultado: Anaís é verdadeira.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~Anamélia é V
⇒
É verdade que Anamélia não será pianista.
Ana é F
⇒
É verdade que Ana não será atleta.
Anelise é F
⇒
É verdade que Anelise não será cantora.
Anaís é V
⇒
É verdade que Anaís será professora.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
F
V
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
V
Æ falso
F
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
F
e)
Æ falso
F
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
F
Æ verdade
Æ falso
V
Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
Æ falso
Resposta: alternativa A.
06.(Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao
parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também,
que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que
Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi
estuda. Então, no final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
Sol.: Iniciemos fazendo uma tradução das proposições simples do enunciado para uma linguagem
resumida. Teremos:
Æ Ch = Chiquita vai ao parque
Æ Didi est = Didi estuda
Æ Didi aprov = Didi é aprovado
Æ Dadá missa = Dadá vai à missa
Æ Dadá tia = Dadá vai visitar tia Célia
Agora, passando as premissas para o formato definido acima, teremos:
P1.
~Ch
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dada tia
P4.
Dada tia Æ Ch
P5.
Dadá missa Æ Didi est
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 1ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
~Ch
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dada tia
P4.
Dada tia Æ Ch
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ ~Ch é verdade
Resultado: ~Ch é verdade.
b) Substitua ~Ch por V e Ch por F
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dadá tia
P4.
Dada tia Æ F
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Dadá tia seja também falso
Resultado: Dadá tia é falso.
c) Substitua Dadá tia por F
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou F
P4.
FÆF
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, é
preciso que Dadá missa seja também verdade
Resultado: Dadá missa é verdade.
d) Substitua Dadá missa por V
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou V ou F
P4.
FÆF
P5.
V Æ Didi est
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Didi est seja verdade
Resultado: Didi est é verdade.
e) Substitua Didi est por V
P1.
V
P2.
V Æ Didi aprov
P3.
ou V ou F
P4.
FÆF
P5.
VÆV
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Didi aprov seja verdade
Resultado: Didi aprov é verdade.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~Ch é V
⇒
É verdade que Chiquita não vai ao parque.
Dadá tia é F
⇒
É verdade que Dadá não vai visitar tia Célia.
Dadá missa é V
⇒
É verdade que Dadá vai à missa.
Didi est é V
⇒
É verdade que Didi estuda.
Didi aprov é V
⇒
É verdade que Didi é aprovado.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
F
V
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
F
Æ verdade
Æ falso
V
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
Æ falso
V
F
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
F
Æ falso
F
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
Æ falso
Resposta: alternativa A.
07.(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P,
então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
Sol.: Nesta questão as proposições simples já são – elas próprias – letras! Daí, só nos resta colocálas na linguagem da lógica. Teremos:
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou (Q ≤ R)
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ (Q ≤ R)
P4.
Q>R
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou (Q ≤ R)
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ (Q ≤ R)
P4.
Q>R
⇒ (Q > R) é verdade
Resultado: (Q > R) é verdade.
b) Substitua (Q > R) por V e (Q ≤ R) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou F
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ F
P4.
V
Resultado: (S ≤ T) é falso.
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
(S ≤ T) seja falsa
c) Substitua (S ≤ T) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou F
P2.
(Z > P) Æ F
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
(Z > P) seja falsa
Resultado: (Z > P) é falso.
d) Substitua (Z > P) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ F ou F
P2.
FÆF
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ A disjunção (segunda parte) é falsa. Daí, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que (X ≥ Y)seja
falsa
Resultado: (X ≥ Y) é falso.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
(Q > R) é V
⇒
É verdade que (Q > R).
(S ≤ T) é F
⇒
É verdade que (S > T).
(Z > P) é F
⇒
É verdade que (Z ≤ P).
(X ≥ Y) é F
⇒
É verdade que (X < Y).
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) (S > T) e (Z ≤ P)
F
F
b) (S ≥ T) e (Z > P)
F
F
Æ falso
V
d) (X > Y) e (Z ≤ P)
V
Æ falso
V
c) (X ≥ Y) e (Z ≤ P)
Æ falso
F
e) (X < Y) e (S < T)
Resposta: alternativa A.
Æ verdade
Æ falso
Daremos início agora ao estudo do 2º tipo de questão de Estruturas Lógicas. Até o
momento, estudamos um tipo de enunciado, em que havia sempre (pelo menos) uma sentença
apropriada para ser o ponto de partida da resolução. E por que isso? Porque esta tal sentença
estava na forma de uma proposição simples ou de uma conjunção. Assim, só haveria uma forma de
ela ser verdadeira!
Na seqüência, veremos questões um pouco mais, digamos, interessantes: nelas, não haverá
nenhuma sentença em forma de proposição simples ou de conjunção, de sorte que não estará
previamente definido qual o ponto de partida da resolução. A análise se aprofunda um pouco.
Aprenderemos esse tipo de resolução da mesma forma que aprendemos o anterior:
resolvendo questões. Na seqüência, apresentamos vários enunciados de provas recentes, em que
se trabalha esse segundo tipo de estruturas lógicas.
Com um pouco de calma e paciência, aprenderemos tranqüilamente. Adiante.
01.(Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se
durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,
a) não durmo, estou furioso e não bebo
b) durmo, estou furioso e não bebo
c) não durmo, estou furioso e bebo
d)) durmo, não estou furioso e não bebo
e) não durmo, não estou furioso e bebo
Sol.: Resolveremos essa questão de duas formas diferentes!
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se não durmo, bebo.
P2: Se estou furioso, durmo.
P3: Se durmo, não estou furioso.
P4: Se não estou furioso, não bebo.
Indicaremos essas premissas para a seguinte representação simbólica:
D = Durmo
B = Bebo
E = estou furioso
Traduzindo-as para a forma simbólica, teremos:
P1: ~D → B
P2:
E→D
P3:
D → ~E
P4: ~E → ~B
1ª Solução:
Para resolvermos esta questão, devemos:
1º Passo) consideraremos todas as premissas verdadeiras;
2º Passo) atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples (neste
caso, D, B,ou E);
3º Passo) Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas
premissas e verificaremos se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição
entre os resultados obtidos.
Vamos escolher a proposição D que aparece na 1ª parte da condicional de P3, e atribuir o
valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como descobrir o valor lógico de E em P3, pois se
E é V ou se E é F a premissa seria verdadeira). Vamos executar os seguintes passos, mostrados
abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja para sabermos se está certo que D é V.
Teremos:
1° passo
(trocar D por V)
2° passo
3° passo
(trocar E por F, e ~E é V) (trocar B por F)
P1: ~D → B
F→B
F→ B
F→ F
⇒V
P2: E → D
E→V
F→ V
F→ V
⇒V
P3: D → ~E
V → ~E , daí
V→ V
V→ V
⇒V
V → ~B , daí
V→ V
⇒V
~E é V (e E é F)
P4: ~E → ~B
~E → ~B
~B é V (e B é F)
Veja que não houve contradição em considerar que D é V. E com esse teste também
descobrimos o valor lógico de todas as proposições simples, que são os seguintes:
D é V , daí: durmo!
BéF
, daí: não bebo!
EéF
, daí: não estou furioso!
Portanto, a resposta é a alternativa D.
2ª Solução:
Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por
encadeamento lógico das premissas. Isto é feito modificando-as de forma que a segunda parte
da condicional de uma premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa
seguinte. Isto é uma espécie de quebra-cabeça no qual temos que encaixar uma premissa na
outra!
O encadeamento das premissas é feito por tentativa e erro. Durante a execução do
encadeamento, muito provavelmente teremos que usar a seguinte equivalência, vista na primeira
aula: (p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e
troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas inverte e
troca!)
Vamos tentar montar o quebra-cabeça:
- Vamos iniciar pela premissa P2:
Fu → D
- Depois da P2 vamos colocar a premissa P3:
D → ~Fu
- Depois da P3 vamos colocar a premissa P4:
~Fu → ~B
- Finalmente, colocamos o equivalente condicional de P1: ~B → D
Assim, teremos o seguinte encadeamento:
Fu → D → ~Fu → ~B → D
Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos lembrar
que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na segunda.
Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes possíveis
valores lógicos a serem analisados:
Fu
→
D
→
~Fu
→
~B
→
D
1ª linha:
V
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
V
5ª linha:
F
F
F
F
V
6ª linha:
F
F
F
F
F
Daí, resta-nos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
-
Análise da 1ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é V e na 3ª coluna ~Fu também é V. Isto é impossível!
Daí devemos descartar esta 1ª linha!
-
Análise da 2ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
-
Análise da 3ª linha:
Na 2ª coluna de valores lógicos D é F e na última coluna D é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 3ª linha!
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é F e na última coluna ~Fu é F. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 4ª linha!
Da 2ª linha que restou, obtivemos os seguintes valores lógicos:
DéV
, daí: durmo!
~B é V (B é F)
, daí: não bebo!
Fu é F
, daí: não estou furioso!
Portanto, a resposta é a alternativa D.
Lembrando apenas que essa segunda solução foi possível porque estávamos trabalhando
apenas com estruturas condicionais.
02.(MPU Administrativa 2004 ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se
Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos,
Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente.
Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo,
a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.
c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
Solução:
Temos aqui as seguintes premissas:
P1: Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado
P2: Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos,
Beltrano e Sicrano, são culpados.
P3: Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente.
P4: Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado.
Na premissa P2 podemos fazer uma simplificação, pois de acordo com a definição
disjunção vista na primeira aula, quando se diz: “ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado,
ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados”, isto é o mesmo que dizer: “Beltrano é culpado
Sicrano é culpado”. A ESAF usou a forma menos simplificada para tentar dificultar a solução
questão!
Indicaremos as premissas com a seguinte representação simbólica:
Fu = Fulano é culpado
B = Beltrano é culpado
S = Sicrano é culpado
Traduzindo para a forma simbólica, teremos:
P1:
Fu → B
P2: ~Fu → (B ou S)
P3: ~S → ~B
P4:
S → Fu
de
ou
ou
da
Uma vez que nossas sentenças são todas condicionais, poderemos também utilizar duas
soluções. Vejamos.
1ª Solução:
Iniciemos fazendo uma escolha: vamos escolher a proposição Fu que aparece na 1ª parte
da condicional de P1, e atribuir-lhe o valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como
descobrir o valor lógico de B em P1, pois se B é V ou se B é F a premissa seria verdadeira).
Executando os seguintes passos, mostrados abaixo, testaremos se está certo que Fu é V.
1° passo
2° passo
3° passo
(trocar Fu por V, (trocar B por V, e (trocar S por V,
e ~S por F )
~B por F)
e ~F por F)
P1: Fu → B
V → B , daí B é V V → V
V→V
⇒V
P2: ~Fu → (B ou S) F → (B ou S)
F → (V ou S)
F → (V ou F)
⇒V
P3: ~S → ~B
~S → F , daí
F→F
⇒V
V→V
⇒V
~S → ~B
~S é F (S é V)
P4: S → Fu
S→V
S→V
Vejamos que não houve contradição em considerar que Fu é V. E com esse teste,
também descobrimos o valor lógico de todas as proposições. Obtemos que:
Fu é V , daí: Fulano é culpado!
BéV
, daí: Beltrano é culpado!
SéV
, daí: Sicrano é culpado!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
2ª Solução:
Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por
encadeamento lógico das premissas. Já vimos como isso é feito, no exercício anterior.
Atentemos que, quando há uma disjunção dentro de uma condicional, sempre devemos
considerar esta disjunção como primeiro ou último termo do encadeamento. Vamos arbitrar
como primeiro termo, e tentar montar o quebra-cabeça. Teremos:
- Na premissa P2 vamos usar a outra forma equivalente da condicional: ~(B ou S) → Fu
- Esta última condicional pode ser encadear com a premissa P1: Fu → B
- Podemos encadear a premissa P1 com o equivalente condicional de P3 dado por: B → S
- Esta última condicional pode ser encadeada com a premissa P4: S → Fu
Assim teremos o seguinte encadeamento:
~(B ou S) → Fu → B → S → Fu
Conforme já explicado na questão passada, teremos os seguintes valores lógicos a serem
analisados:
~(B ou S) →
Fu
→
B
→
S
→
Fu
1ª linha:
V
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
V
5ª linha:
F
F
F
F
V
6ª linha:
F
F
F
F
F
Analisemos qual dessas linhas lógicas é aceitável:
-
Análise da 1ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja V, quando se tem que B é V e S é V ? Obviamente que não!
Vamos descartar essa linha.
-
Análise da 2ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é V e S é V ? Lógico que sim! Esta
linha permanece!
-
Análise da 3ª linha:
Na 2ª coluna lógica, o valor de Fu é F, e na última coluna Fu é V. Isto é impossível! Logo,
devemos descartar essa linha!
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é F e S é F ? Lógico que não! Vamos
descartar essa linha.
Da 3ª linha, a única que foi aceita, obtivemos os seguintes valores lógicos:
Fu é V
, daí: Fulano é culpado!
BéV
, daí: Beltrano é culpado!
SéV
, daí: Sicrano é culpado!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
03.(AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é
honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.
Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c)) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
Solução:
Eis nossas premissas:
P1: Homero não é honesto, ou Júlio é justo
P2: Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso.
P3: Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.
P4: Beto não é bondoso, ou Homero é honesto.
Vamos usar a seguinte representação simbólica:
H = Homero é honesto
J = Júlio é justo
B = Beto é bondoso
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: ~H ou J
P2: H ou J ou B
P3:
B ou ~J
P4: ~B ou H
Façamos nossa escolha. Vamos escolher a proposição J que aparece em P1, e atribuir-lhe o
valor lógico F. (Se atribuíssemos V não teríamos como descobrir o valor lógico de H em P1, pois se
H é V ou se H é F a premissa seria sempre verdadeira).
Daí, vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar se está certo que J
é F (e ~J é V). Teremos:
P1: ~H ou J
1° passo
2° passo
(trocar J por F, e
~J por V)
(trocar H por F, e
~H por V)
~H ou F , daí
V ou F
~H é V (H é F)
P2: H ou J ou B
H ou F ou B
F ou F ou B , daí
BéV
P3: B ou ~J
B ou V
B ou V
P4: ~B ou H
~B ou H
~B ou F , daí
~B é V (B é F)
Opa! Vejamos que houve uma contradição, pois no 2º passo, obtivemos na premissa P1 que
B é V e na premissa P2 que B é F. Logo, está errado atribuir F para J. Então, J só pode ser V.
Vamos substituir este valor lógico nas premissas iniciais para achar o valor lógico das
outras proposições:
1° passo
2° passo
3° passo
(trocar J por V, e
~J por F)
(trocar B por V, e
~B por F)
(trocar H por V,
e ~H por F)
P1: ~H ou J
~H ou V
~H ou V
F ou V
⇒V
P2: H ou J ou B
H ou V ou B
H ou V ou V
V ou V ou V
⇒V
P3: B ou ~J
B ou F , daí B é V
V ou F
V ou F
⇒V
P4: ~B ou H
~B ou H
F ou H , daí H é V
F ou V
⇒V
Daí, obteremos que:
H é V , daí: Homero é honesto!
JéV
, daí: Júlio é justo!
BéV
, daí: Beto é bondoso!
Portanto, a resposta é a alternativa C.
Este exercício serviu para mostrar que nem sempre acertaremos de primeira na escolha do
valor lógico para uma das proposições simples. Somente o teste nos dirá se a hipótese criada
foi feliz ou não.
Adiante.
04. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática.
Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou
Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:
a)) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia
Solução:
Observe que nas questões anteriores, as opções de resposta (A, B, C, D, E) eram formadas
somente por afirmações interligadas pelo conectivo “e” ou por vírgula (que funciona da mesma
maneira que o conectivo “e”). Aqui, as alternativas C, D e E, apresentam outros conectivos.
Quando isso ocorrer, ou seja, se algumas ou todas as alternativas apresentarem conectivos
que não sejam o conectivo “e”, então é aconselhável utilizarmos o quarto método do teste de
validade de argumentos. Já havíamos dito no início da quarta aula que usaríamos este método para
solução de questões de Estruturas Lógicas.
Este método consiste, conforme já é do nosso conhecimento, em se verificar a existência
simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas,
somente são fornecidas as
premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.
Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a correta,
que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras não for
possível.
Qual é a primeira alternativa que testaremos? Vamos obedecer à seguinte precedência:
1º) Testar as alternativas que são disjunções (conectivo “ou”);
2º) Testar as condicionais (conectivo “se...então”);
3º) Testar as bicondicionais (conectivo “se e somente se”).
Passemos à solução desta questão. Temos as seguintes premissas:
P1: Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática.
P2: Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina.
P3: Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia.
Usaremos a seguinte representação simbólica:
L = Luís estuda História
P = Pedro estuda Matemática
H = Helena estuda Filosofia
J = Jorge estuda Medicina
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: L → P
P2: H → J
P3: L ou H
De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar os testes pela
alternativa A ou pela alternativa E, uma vez que ambas são disjunções. O gabarito desta questão
aponta para a alternativa A, então para que façamos pelo menos dois testes, iniciaremos pela
alternativa E.
- Teste da alternativa E (Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: P ou ~H
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão falsa teremos: (P ou ~H) é F . Sabemos que uma disjunção é falsa
somente quando os termos que a compõe também são falsos.
Daí, obtemos que P é F e ~H é F (e H é V).
Agora, substituindo estes valores lógicos de P e H nas premissas, teremos:
1° passo
2° passo
(trocar P por F e H por V) (trocar L por F e J por V)
P1: L → P
L→ F
, daí L é F
F→
F
⇒V
P2: H → J
V→ J
, daí J é V
V→
V
⇒V
P3: L ou H
L ou V
F ou V
⇒V
Concluímos que é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí a
alternativa utilizada como conclusão não pode ser a resposta da questão. Passemos a testar a
alternativa A.
- Teste da alternativa A (Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: P ou J
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão ser falsa, teremos: (P ou J) é F .
Daí, obteremos que P é F e J é F.
Agora, substituindo estes valores lógicos de P e J nas premissas, teremos:
1° passo
2° passo
(trocar P por F e J por F)
(trocar L por F e H por F)
P1: L → P
L→ F
, daí L é F
F→ F
⇒V
P2: H → J
H→ F
, daí H é F
F→ F
⇒V
P3: L ou H
L ou H
F ou F
⇒F
Concluímos que não é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí
a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.
Resposta: alternativa A.
05. (ANEEL 2004 ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto,
compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,
a)) se jogo, não é feriado.
b) se não jogo, é feriado.
c) se é feriado, não leio.
d) se não é feriado, leio.
e) se é feriado, jogo.
Solução:
Nesta questão, todas as opções de resposta são estruturas condicionais, portanto usaremos
o mesmo método aplicado na solução da questão anterior.
Temos as seguintes premissas:
P1: Se não leio, não compreendo.
P2: Se jogo, não leio.
P3: Se não desisto, compreendo.
P4: Se é feriado, não desisto.
Vamos usar a seguinte representação simbólica:
L = Leio
C = Compreendo
J = Jogo
D = Desisto
E = fEriado
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: ~L → ~C
P2:
J → ~L
P3: ~D → C
p4:
E → ~D
De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar por qualquer
uma. Iniciemos pela alternativa A.
- Teste da alternativa A (se jogo, não é feriado):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: J → ~E
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão ser falsa teremos: (J → ~E) é F . Sabemos que uma
condicional é falsa somente quando a primeira parte é V e a segunda parte é F, daí obtemos que J
é V e ~E é F (logo E é V). Agora vamos substituir estes valores lógicos de J e E nas premissas.
Teremos:
P1:
~L → ~C
1° passo
2° passo
(trocar J por V e E por V)
(trocar L por F e D por F)
~L → ~C
V → ~C , daí
~C é V (C é F)
P2:
J → ~L
V → ~L , daí
V → V
~L é V (L é F)
P3:
~D → C
~D →
C
V→
C
, daí
CéV
P4:
E → ~D
V → ~D
, daí
V → V
~D é V (D é F)
Observemos que ocorreu uma contradição quanto ao valor lógico de C, pois no 2º passo
obtivemos, na linha de P1, que C é F, e na linha de P3 que C é V. Daí concluímos que não é
possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Daí, a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.
Resposta: alternativa A.
06.(AFTN 1998 ESAF) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor
diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena
não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico
dessas três afirmações permite concluir que elas:
a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga
b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga
d)) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa
amiga
e) são inconsistentes entre si
Solução:
Vamos resolver esta questão por encadeamento lógico, como a própria questão sugere.
Temos as seguintes premissas:
P1: se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
P2: se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
P3: se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
Vamos usar a seguinte representação simbólica para as proposições simples:
P = Patrícia é uma boa amiga
R = Vítor diz a verdade
H = Helena é uma boa amiga
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: P → R
P2: R → ~H
P3: ~H → P
Observemos que é muito fácil encadear estas premissas. Iniciaremos o encadeamento por P1,
seguido de P2 e finalmente por P3, assim teremos:
P → R → ~H → P
Teremos os seguintes valores lógicos a serem analisados:
P
→
R
→
~H
→
P
1ª linha:
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
5ª linha:
F
F
F
F
Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
-
Análise da 1ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
-
Análise da 2ª linha:
Na 1ª coluna lógica, o valor de P é F, e na última coluna P é V. Isto é impossível! Logo,
devemos descartar essa linha!
-
Análise da 3ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 2ª linha.
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 2ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
Então as linhas que possuem valores lógicos aceitáveis são: a 1ª e a 6ª linhas. Isto significa
que teremos duas situações válidas para os valores lógicos das proposições simples.
- Da 1ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:
PéV, RéV,
~H é V (H é F) ,
PéV
Ou seja:
Patrícia é uma boa amiga!
Vítor diz a verdade!
Helena não é uma boa amiga!
- Da 6ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:
PéF, RéF,
~H é F (H é V) ,
PéF
Ou seja:
Patrícia não é uma boa amiga!
Vítor não diz a verdade!
Helena é uma boa amiga!
Por meio de uma análise rápida das alternativas da questão, percebemos que a alternativa
correta só pode ser a D, ou seja, são admissíveis, neste encadeamento, as duas situações:
Patrícia ser uma boa amiga, ou Patrícia não ser uma boa amiga. Em ambos os casos, as
premissas são consistentes.
Resposta: alternativa D.
Esta última foi uma questão mais diferenciada. (E muito rara, também!)
É preciso que vocês estudem essa aula de hoje com muito carinho. Lendo atentamente,
percebendo os detalhes das resoluções apresentadas e, obviamente, tentando resolver as
questões do dever de casa, que se segue.
DEVER DE CASA
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos
carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o
Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é
azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do
Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o
mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho,
ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são,
respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
03. (Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles
é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou
Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico,
ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as
profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,
a) professor, médico, músico.
b) médico, professor, músico.
c) professor, músico, médico.
d) músico, médico, professor.
e) médico, músico, professor.
04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive
colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b)) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente,
então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então
Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são,
respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias.
Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Seguese, portanto que, Pedro:
a) bebe, visita Ana, não lê poesias.
b) não bebe, visita Ana, não lê poesias.
c) bebe, não visita Ana, lê poesias.
d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.
e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.
07. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é
inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se
logicamente, portanto, que:
a) Lauro é culpado e Sônia é culpada
b) Sônia é culpada e Roberto é inocente
c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado
d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado
e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente
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apostila lhe tiver sido útil, mas mesmo assim não quiser depositar
nenhum centavo, tudo bem, considere pelo menos a possibilidade de
indicar este material a outras pessoas. Se quiser contribuir e não
tiver dinheiro algum no momento, deposite depois quando tiver, se
quiser e o quanto quiser, o quanto achar que a utilidade deste
material valeu ou está valendo para você.
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comentar algo sobre a apostila ou, digamos, para encomendar o
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