Solução

I OLIMPÍADA MASSARANDUBENSE DE
MATEMÁTICA
SOLUÇÕES DA PROVA DE SEGUNDA FASE DA OMM - NÍVEL MIRIM
1.
A) Se João pegou as cartas com os números 3, 8, 2, 1 e sobrou a carta com o número 5 na mesa,
Marcelo pegou as cartas que sobraram, ou seja, aquelas com os números 4,6,7,9. Assim basta
analisar os pontos de cada um.
Pontos de Marcelo
Pontos de João
4+6+7+9=26
3+8+2+1=14
Marcelo fez 26 pontos, já João fez 14, logo Marcelo ganhou o jogo, pois fez mais pontos.
B) Primeiramente, somando todos os números disponíveis nas cartas, obtemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Assim, o jogo só terminará empatado quando na mesa ficar uma carta com um número que se
subtrair de 45, obtém-se um número par, pois assim seria possível dividir em duas parcelas
iguais, empatando o jogo.
Como 45 é um número ímpar, para obter um número par devemos subtrair um número ímpar
de 45. Por exemplo, se sobrar na mesa o 5, para o jogo terminar empatado, cada jogador tirou
20 pontos. Uma das possíveis distribuições de cartas que resulta nisso, é Marcelo pegar as
cartas 3, 4, 6 e 7, já João pegar as cartas com os números 1, 2, 8 e 9, desta forma ambos somam
20 pontos, e o jogo termina empatado.
Portanto só poderá terminar empatado um jogo quando a carta que sobra na mesa é ímpar ou
seja quando sobra as cartas com os números 1, 3, 5, 7 e 9.
2.
A) Nesta questão foi considerada duas possíveis interpretações:
1.
2 algarismos diferentes dos 5 disponíveis: usar os algarismos dados no problema, não
podendo repetir;
2.
2 algarismos diferentes dos 5 disponíveis: usar os algarismos que existem e não foram
listados, 0, 1, 4, 7, 9.
Realização:
Apoio:
Nível Mirim - OMM
Solução para a interpretação número 1:
Para que seja possível a divisão por 5, o número deve terminar em 0 ou 5, como dentre os
algarismos disponíveis não há o 0, devemos formar todos os possíveis números de dois
algarismos diferentes que terminam em 5.
Assim, temos os seguintes números: 25, 35, 65 e 85.
Solução para a interpretação número 2:
Para que seja possível a divisão por 5, o número deve terminar em 0 ou 5, como excluindo
os algarismos disponíveis, sobram os algarismos 0, 1, 4, 7 e 9, devemos formar todos os
possíveis números de dois algarismos diferentes que terminam em 0.
Assim, temos os seguintes números: 10, 40, 70 e 90.
B) Para ser possível dividir por 2, o número deverá ser par. Assim devemos formar todos os
possíveis números pares de dois algarismos (importante destacar: o problema não informa que
eles precisam ser diferentes), considerando somente os 5 algarismos disponíveis.
Começando com o algarismo 2, temos: 22, 26 e 28.
Começando com o algarismo 3, temos: 32, 36 e 38.
Começando com o algarismo 5, temos: 52, 56 e 58.
Começando com o algarismo 6, temos: 62, 66 e 68.
Começando com o algarismo 8, temos: 82, 86 e 88.
No total, temos 15 números. Na tabela abaixo, colocaremos os 15 números em fila, e o dia que
foram pintados.
22 26 28 32 36
38
52 56 58 62 66 68 82 86
Seg Seg Ter Ter Qua Qua Qui Qui Sex Sex Sab Sab Do Do
88
Seg
Portanto, pela tabela, conseguimos determinar que ele termina a listagem em um segundafeira.
OBSERVAÇÃO: A ordem dos números não interfere na resolução.
3.
A) O final de semana é composto pelos dias Sábado e Domingo, assim basta obter no gráfico a
quantidade de mm que choveu nesses dois dias. A partir do gráfico, no sábado choveu 75mm e
Realização:
Apoio:
Nível Mirim - OMM
no domingo choveu 150mm. Para obter quando choveu no final de semana, devemos somar
esses dois dados, obtendo: 150 + 75 = 225mm.
B) Como sabemos que durante toda a semana choveu 650mm, podemos utilizar a ideia de
somar a quantidade de todos os dias que temos com informação e subtrair de 650mm, a
diferença encontrada é a quantidade que choveu na segunda-feira.
Assim, temos:
175 + 100 + 100 + 50 + 25 + 75 = 525 𝑚𝑚
Subtraindo 525 de 650, encontramos 125 mm. Essa é a quantidade que choveu na segundafeira.
4.
A) Para encontrarmos quanto ela gastará, primeiro iremos calcular quanto ela gasta com cada
fruta:
Maçã: cada quilograma custa R$ 3,00 como ela comprou 4 quilogramas, ela gastou 3 × 4 =
𝑅$ 12,00.
Pêssego: cada quilograma custa R$ 3,50 como ela comprou 3 quilogramas, ela gastou
3,50 × 3 = 𝑅$ 10,50.
Uva: cada quilograma custa R$ 5,00 como ela comprou 2 quilogramas, ela gastou 5 × 2 =
𝑅$ 10,00.
Então, no total ela gastou: 12 + 10,5 + 10 = 𝑅$ 32,50.
B) Considerando que ele comprou a maior quantidade de quilogramas de maçãs com R$ 28,00
de modo que com o dinheiro restante ele comprasse pelo menos mais um quilograma de outra
fruta, e não tivesse troco. Caso João tivesse pego 9 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 27,00, e
com o restante (R$ 1,00) não conseguiria comprar nenhum quilograma de outra fruta. Se João
tivesse pego 8 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 24,00, sobrando R$ 4,00, podendo pegar um
quilograma de pêssego, mas ainda sobraria R$ 0,50. Assim João pegou 7 quilogramas de maçãs,
gastando R$ 21,00, com o restante (R$ 7,00) comprou 2 quilogramas de pêssegos, desta forma
não sobrou troco, satisfazendo as condições do problema.
5.
A) Como a área reservada aos carros é 4 vezes a área reservada às motos, que é 400 m². A área
reservada aos carros é 4 × 400 = 1600 m².
B) Como cada metro quadrado custa R$ 20,00, 400 m² custarão 400 × 20 = 𝑅$ 8.000,00.
Assim, Josevaldo gastará R$ 8.000,00.
Realização:
Apoio:
Nível Mirim - OMM
6.
A) Para encontrar a idade do Vovô Sérgio basta subtrair 1956 de 2016, encontrando assim, que
Vovô Sérgio tem 60 anos. Importante destacar, que é informado que eles estão conversando em
Agosto e o Vovô Sérgio faz aniversário em Fevereiro, isso significa que ele já fez aniversário no
ano de 2016.
B) Para encontrar a idade de Lucas, vamos pensar de maneira inversa a dada no problema.
Sabendo que o Vovô Sérgio tem 60 anos, devemos pensar em um número que multiplicado por
4 dá 60. Essa ideia é a mesma de efetuar a divisão de 60 por 4, encontramos 15. Agora devemos
pensar em um número que subtraído 5 dá 15. Esse número é facilmente obtido somando 5 a
15, encontrando assim 20. Logo Lucas tem 20 anos.
C) Três possíveis interpretações:
1. a idade de Tiago daqui a 6 anos é a metade da idade de Lucas daqui a 6 anos.
Lucas daqui a 6 anos terá 26 anos, a metade de 26 é 13, que é a idade de Tiago daqui a 6
anos, logo ele tem 7 anos hoje.
2. a idade de Tiago hoje é a metade da idade de Lucas daqui a 6 anos.
Lucas daqui a 6 anos terá 26 anos, a metade é 13, que é a idade de Tiago hoje.
3. a idade de Tiago daqui a 6 anos é a metade da idade de Lucas hoje.
Hoje, Lucas tem 20 anos, a metade de 20 é 10, assim, daqui a 6 anos Tiago terá 10 anos, logo
hoje ele tem 4 anos.
Realização:
Apoio: