F - IPS

ANÁLISE MATEMÁTICA I
(com Laboratórios)
Curso: EB
Lógica - Resumo
Ana Matos
DMAT
Noções básicas de Lógica
Consideremos uma linguagem, com certos símbolos.
Chamamos expressão a qualquer sequência de símbolos.
uma expressão com significado
Uma expressão pode ser ↗
↘
expressão sem significado
designar um objecto
Uma expressão com significado pode
↗
↘
traduzir uma afirmação
Termo ou designação é uma expressão com significado que
designa um objecto.
Exemplo:
1. Em português, “Ana” e “gato” são termos ou designações;
“Setúbal é uma cidade” é uma afirmação.
2. Na linguagem dos reais, “0” e “3 × 2 − 5” são termos ou
designações; “3 ≥ 5 + 2” é uma afirmação.
Nota: As aspas permitem distinguir a designação do ente
designado; quando não há risco de confusão, dispensamos o seu
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Resumo de Lógica - 2
uso.
Na Lógica consideramos apenas afirmações sobre as quais se
possa decidir se são verdadeiras ou falsas - a que chamamos
proposições.
O valor lógico de uma proposição é
↙↘
verdade
falso
se a proposição for verdadeira
se a proposição for falsa
↓
↓
denota-se por V ou 1
denota-se por F ou 0
Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V ou F.
Duas proposições dizem-se equivalentes quando têm o mesmo
valor lógico.
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Resumo de Lógica - 3
Cálculo Proposicional
Muitas afirmações que fazemos são obtidas a partir de outras
afirmações por meio de certas operações, como é o caso de:
1. 3 não é um número par;
2. 10 é múltiplo de 3 e π é um número irracional;
3. ln e = 1 ou 2! = 2;
4. se eu sou um ser humano, então sou mortal;
5. vou à praia se e só se estiver bom tempo.
De igual modo, as operações lógicas permitem obter novas
proposições a partir de outras, de modo que, se soubermos o
valor lógico das proposições de que foi obtida, sabemos o valor
lógico da nova proposição (independentemente do seu
significado).
Estas operações lógicas são:
negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência,
associadas aos símbolos
∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔
chamados conectivos lógicos.
No Cálculo Proposicional faz-se o estudo destas operações e
respectivas propriedades.
A tabela de verdade de uma operação lógica (ou de uma
proposição) dá-nos o valor de verdade da nova proposição em
função do valor de verdade das proposições de que foi obtida.
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Resumo de Lógica - 4
Sejam p e q proposições:
•
a negação de p representa-se por ∼ p e lê-se “não p”.
∼ p é verdadeira se e só se p é falsa
A sua tabela de verdade é
•
p ∼p
V
F
F
V
a conjunção de p e q representa-se por p ∧ q e lê-se “p e q”.
p ∧ q é verdadeira caso p e q sejam ambas verdadeiras
e é falsa se pelo menos uma delas for falsa.
A sua tabela de verdade é
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p q p∧q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Resumo de Lógica - 5
•
a disjunção de p e q representa-se por p ∨ q e lê-se “p ou q”.
p ∨ q é verdadeira se pelo menos uma das proposições
iniciais for verdadeira e é falsa se ambas forem falsas.
A sua tabela de verdade é
•
p q p∨q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
a implicação de p por q representa-se por p ⇒ q e lê-se
“p implica q” ou “se p então q”.
-
p é o antecedente e q é o consequente
p é uma condição suficiente para q
q é uma condição necessária para p.
O único caso em que a implicação é falsa é quando
o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
A sua tabela de verdade é
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p q p⇒q
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Resumo de Lógica - 6
Nota: O sentido aqui dado ao termo “implicação” não traduz
necessariamente uma relação de causa-efeito entre as afirmações.
Estabelece apenas uma relação entre os valores lógicos das duas
proposições originais e o valor lógico da nova proposição.
Por exemplo, a proposição “2 é par”⇒“a Terra é um planeta” é
uma proposição verdadeira, visto que ambas as afirmações são
verdadeiras. No entanto, não há qualquer relação de causa-efeito
entre as duas afirmações.
Saliente-se ainda que, se o antecedente da implicação for falso,
a implicação é verdadeira, qualquer que seja o consequente.
•
a equivalência entre p e q representa-se por p ⇔ q e lê-se
“p equivale a q” ou “p se e só se q”.
p ⇔ q é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico
e é falsa caso contrário.
A sua tabela de verdade é
p q p⇔q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
Nota: Tal como no caso da implicação, a equivalência entre duas
proposições não traduz necessariamente uma relação entre o
conteúdo dessas proposições, mas apenas uma relação entre os
seus valores lógicos.
Usam-se parêntesis para indicar a ordem pela qual se realizam as
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Resumo de Lógica - 7
operações lógicas, sobrepondo-se à seguinte convenção de
prioridade das operações:
•
•
•
primeiro a negação;
depois a conjunção e disjunção;
por último a implicação e a equivalência.
Por exemplo, a proposição ∼ p ∧ q ⇔ ∼ p ∨ ∼ q pode
escrever-se simplesmente ∼ p ∧ q ⇔∼ p ∨∼ q.
No entanto, certos parêntesis, embora dispensáveis, devem ser
mantidos pois tornam a leitura mais clara.
Nota: Podem ser definidas outras operações lógicas.
Por exemplo, a disjunção exclusiva, cuja tabela de verdade é
p q p ∨̇ q
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
O símbolo ∨̇ lê-se “ou exclusivo”
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Resumo de Lógica - 8
Algumas propriedades das operações lógicas
Certas proposições, pelo modo como foram obtidas a partir de
outras proposições por meio das operações lógicas, são
verdadeiras, qualquer que seja o valor lógico das proposições
que a originam.
Uma proposição nestas condições diz-se uma tautologia.
As propriedades das operações lógicas podem ser expressas por
meio de tautologias.
Por exemplo, pode-se provar que
∼ ∼ p é equivalente a p
verificando que as proposições p e ∼ ∼ p têm sempre o mesmo
valor de verdade, o que é o mesmo que verificar que
∼ ∼ p ⇔ p
é uma tautologia (ou seja, que o seu valor lógico é sempre V).
Vejamos a tabela de verdade:
p ∼ p ∼ ∼ p ∼ ∼ p ⇔ p
V
F
V
V
F
V
F
V
Propriedades da conjunção e da disjunção
A conjunção e a disjunção
•
•
•
•
são comutativas;
são associativas;
têm elemento neutro;
têm elemento absorvente.
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Resumo de Lógica - 9
⋆
A conjunção é distributiva relativamente à disjunção, isto é
p ∧ q ∨ r é equivalente a p ∧ q ∨ p ∧ r.
⋆
A disjunção é distributiva relativamente à conjunção, isto é
p ∨ q ∧ r é equivalente a p ∨ q ∧ p ∨ r.
Tal como no caso anterior, a demonstração destas propriedades é
feita recorrendo às tabelas de verdade.
Por exemplo,
p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r
exprime a propriedade associativa da conjunção.
Vejamos que é verdadeira.
Na tabela de verdade
p q r p ∧ q p ∧ q ∧ r q ∧ r p ∧ q ∧ r
V V V
V
V
V
V
V V F
V
F
F
F
V F V
F
F
F
F
V F F
F
F
F
F
F V V
F
F
V
F
F V F
F
F
F
F
F F V
F
F
F
F
F F F
F
F
F
F
as colunas correspondentes a p ∧ q ∧ r e a p ∧ q ∧ r são
iguais, o que garante que a proposição p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r
é sempre verdadeira (ou seja, é uma tautologia).
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Resumo de Lógica - 10
Em vez desta justificação final, podemos simplesmente
acrescentar à tabela anterior a coluna correspondente a
p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r e comprovar que o seu valor lógico é
sempre V.
Primeiras Leis de De Morgan
São tautologias:
•
•
∼ p ∧ q ⇔ ∼ p ∨∼ q;
∼ p ∨ q ⇔ ∼ p ∧∼ q.
Propriedades da implicação
São tautologias:
•
•
•
p ⇒ q ⇔∼ p ∨ q;
∼ p ⇒ q ⇔ p ∧∼ q;
p ⇒ q ⇔ ∼ q ⇒∼ p
(uma implicação e sua contra-recíproca são equivalentes).
Todas estas propriedades podem ser demonstradas por meio de
tabelas de verdade.
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Resumo de Lógica - 11
Expressões com variáveis
Para estudar uma certa teoria:
•
definimos uma linguagem adequada (que inclua, por
exemplo, símbolos para as operações fundamentais);
•
num certo conjunto - a que chamamos Universo interpretamos devidamente os símbolos da linguagem.
Consideramos ainda variáveis, que são símbolos (ou grupos de
símbolos) que podem ser substituídos por elementos do universo.
Por exemplo, no universo dos reais, temos a expressão x , em
que x varia num certo subconjunto de ℝ (neste caso os reais não
negativos).
Da substituição de x por qualquer real não negativo, resulta uma
designação (substituindo x por 2, obtemos 2 .
Considerando a expressão x ≥ 4 e substituíndo x por um valor
do domínio de x obtemos uma proposição.
(Por exemplo, para o valor 5 obtemos 5 ≥ 4, que é uma
proposição falsa; para o valor 16 obtemos 16 ≥ 4, que é uma
proposição verdadeira.)
O domínio de uma expressão é constituído pelos valores, do
universo, pelos quais faz sentido substituir as suas variáveis.
Chama-se expressão proposicional, condição ou propriedade
a qualquer expressão com variáveis que se transforma em
proposição (verdadeira ou falsa) sempre que se atribuem valores
(dos respectivos domínios) às variáveis que nela ocorrem.
O conjunto solução de uma condição é constituído pelos
valores que a transformam numa proposição verdadeira.
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Resumo de Lógica - 12
Exemplo:
No Universo dos reais, consideremos a condição
1
= 4.
x 2 −1
O seu domínio é x ∈ ℝ : x 2 − 1 ≠ 0 = ℝ\−1, 1;
o seu conjunto solução é
−
5
2
,
5
2
.
Cálculo com quantificadores
As operações lógicas associadas a ∼, ∧, ∨, ⇒ e ⇔ permitem
obter novas condições a partir de condições mais simples.
Trabalhando agora com variáveis, podemos definir
quantificação universal
↗
três novas operações
→ quantificação existencial
↘
quantificação de existência
e unicidade
por meio das quais obtemos, a partir de uma condição, novas
condições:
•
a quantificação universal tem o significado de “para todo”
ou “qualquer que seja”;
•
•
a quantificação existencial tem o significado de “existe”;
a quantificação de existência e unicidade tem o significado
de “existe um e um só”.
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Resumo de Lógica - 13
Num certo Universo, uma expressão proposicional diz-se:
•
•
universal, se ao substituirmos as suas variáveis por
quaisquer valores dos respectivos domínios obtemos sempre
proposições verdadeiras;
impossível, se obtemos sempre proposições falsas.
Seja px uma condição na variável x.
Quantificador universal → ∀
•
∀x, px é uma proposição, que se lê “qualquer que seja x,
px”.
Num certo universo,
∀x, px é verdadeira sse a condição px é universal.
Quantificador existencial →
•
∃
∃x, px é uma proposição, que se lê “existe pelo menos um x
tal que px”.
Num certo universo,
∃x, px é verdadeira sse a condição px tem alguma solução.
Quantificador de existência e unicidade →
•
∃1
∃ 1 x, px é uma proposição, que se lê “existe um e um só x
tal que px”.
Num certo universo,
∃ 1 x, px é verdadeira sse
a condição px tem uma única solução.
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Resumo de Lógica - 14
Notação: ∀x ∈ D, px, ∃x ∈ D, px e ∃ 1 x ∈ D, px
indicam que a variável x varia em D (subconjunto do universo).
Convenção: O quantificador abrange a mais pequena expressão
proposicional que o segue.
Quantificação múltipla
•
A troca de ordem de dois quantificadores consecutivos
do mesmo tipo origina uma condição (ou proposição)
equivalente.
•
Pelo contrário, a troca de ordem de quantificadores
que não são do mesmo tipo, origina condições (ou
proposições) que, em geral, não são equivalentes às iniciais.
Exemplo: Em ℤ, universo dos inteiros, a proposição
∀b∃a , a + b = 0
é verdadeira (traduz a propriedade de qualquer inteiro ter
simétrico em ℤ).
A proposição
∃a∀b , a + b = 0
é falsa (corresponde a afirmar que existe um inteiro que é
simétrico de todos os inteiros, o que não é verdade).
Segundas leis de De Morgan
Sendo p uma condição tem-se:
•
•
∼ ∀x, p ⇔ ∃x, ∼ p;
∼ ∃x, p ⇔ ∀x, ∼ p.
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Resumo de Lógica - 15