3z 1 4z 1 6z 1 12z 1 2 + + + + = 5 33 5 i. 23 z e z 24 24

SÉRIE ITA/IME
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO
PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS
SEDE
ALUNO(A)
Nº
TURMA
TURNO
DATA
___/___/___
TC
MATEMÁTICA
SECÇÃO NÓ CEGO
Esta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos
envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade.
1. (EUA) Ache todos os números complexos z tais que (3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2
RESP.: z =
−5 ± 33
−5 ± i. 23
e z=
24
24
2.
1− i +
(Peru) Seja z =
1+ i +
1
1+ i +
1
1− i +
1
.
.
.
. Então o valor de z + 1 é igual a:
1
1− i +
a) 1
1
1+ i +
b)
1
1− i +
1
.
.
.
2
c) 2
RESP.: B
3.
(KVANT) Resolva o sistema de equações:
⎧ ⎛ 3x − y ⎞
=3
⎪x + ⎜ 2
2⎟
⎪ ⎝x +y ⎠
⎨
⎪ y − ⎛ x + 3y ⎞ = 0
⎪ ⎜⎝ x 2 + y2 ⎠⎟
⎩
RESP.: z =
3 ± (1 + 2i )
2
4. (PUTNAM/1989) Prove que se 11.z10 + 10.i.z9 + 10.i.z − 11 = 0, então z = 1 .
OSG.: 15019/09
d) 3
e)
3
TC – MATEMÁTICA
5. (EUA/2002) Sabendo que a equação z (z + i )(z + 3i ) = 2002.i é da forma a + b 12i tal que a e b são números reais positivos
e diferentes de zero. Então o valor de a é igual a:
a) 118
b) 210
c) 2 210
d)
e) 100 2
2002
RESP.: A
6. (Peru/2005) O valor da expressão C1n − 3.C3n + 9.C5n − 27.C7n + ............................;
a)
2
n
3
b)
2
n
3
.sen
nπ
3
c)
2
n
3
.sen
2nπ
3
d) sen
para
2π
3
n ∈Ν é igual a:
e) cos
2π
3
RESP.:
QUESTÕES PROBLEMAS
1. Se P0 , P1 , P2 ,....., Pn −1 são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos em uma circunferência de raio 1. Então
prove que:
P0 P1 × P0 P2 × P0 P3 × ........ × P0 Pn −1 = n
2. (UNB) Um antigo pergaminho continha as seguintes instruções para se encontrar um tesouro enterrado em uma ilha
deserta: Ao chegar à ilha, encontre um abacateiro, uma bananeira e uma forca. Conte os passos da forca até o abacateiro;
ao chegar ao abacateiro, gire 90° para a direita e caminhe para frente o mesmo número de passos; neste ponto, crave uma
estaca no solo. Volte novamente para a forca, conte o número de passos até a bananeira; ao chegar à bananeira, gire 90°
para a esquerda e caminhe para a frente o mesmo número de passos que acabou de contar; neste ponto, crave no solo uma
segunda estaca. O tesouro será encontrado no ponto médio entre as duas estacas.
Um jovem aventureiro resolveu seguir as instruções para localizar o tesouro e, sendo um bom conhecedor de números
complexos, reproduziu o mapa no plano complexo, identificando a forca com a origem, o abacateiro com o número
A = 7 + i e a bananeira com o número B = 1 + 3i. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
(JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA)
(1) O menor ângulo entre os números complexos A e iA é igual a 90°.
(2) O ponto médio entre os números complexos A e B é dado por (A – B)/2.
(3) A primeira estaca foi cravada no ponto A – iA.
(4) Seguindo as instruções do mapa, o aventureiro encontraria o tesouro no ponto da ilha corresponde ao número complexo
3 – i.
RESP.:
3. (EUA) Find constants a 0 , a1 ,........, a 6 so that
cos 6 θ = a 6 .cos (6θ ) + a 5 .cos (5θ ) + ..... + a1 .cos (θ ) + a 0
RESP.:
4. (EUA) Sa3456728942
2é o valor da expressão
igual a:
a) 1
2sen2° + 4sen4° + 6sen6° + ......... + 178sen178°
. Então o valor de 2é
cot g1°
b) 90
c) 178
d) 180
e) 0
RESP.: B
⎛ π⎞
⎛ 2π ⎞
⎛ 3π ⎞
5. (EUA) O valor da expressão sen ⎜ ⎟ .sen ⎜ ⎟ .sen ⎜ ⎟ é igual a:
⎝ 7⎠
⎝ 7⎠
⎝ 7⎠
a)
7
8
b)
7
4
c)
7
2
d)
7
16
e) 1
RESP.: A
6. (AIME/1996) Sabendo que o produto das raízes da equação z6 + z4 + z3 + z2 + 1 = 0 que admite parte imaginária positiva
4272o 2252o). Então o valor de 24292é igual a:
a) 144
b) 132
c) 204
d) 216
e) 276
RESP.: E
2
OSG.: 15019/09
TC – MATEMÁTICA
7. (China/87) Seja n um inteiro positivo. Prove que z n +1 − z n − 1 = 0 tem uma raiz satisfazendo |z| = 1 se, e somente se, n + 2
é divisível por 6.
8. (O.C.M./2003) Uma lista de números complexos distintos z1 , z 2 , ,...... , z n é um ciclo de comprimento n para uma função
f : C → C se z 2 = f (z1 ), z3 = f (z 2 ),....., z n = f (z n −1 ) e z1 = f (z n ) . Seja f (z) = z 2 + 2003 e z1 , z 2 ,......., z 2003 um ciclo de
comprimento 2003. Calcule:
2003
1 (f (zi ) + zi ) onde
i =1
o símbolo
∏
indica o produto
RESP.:
9.
(Olimpíada Índia/1997) Determine o menor valor real positivo de A, sabendo que:
21
z =3 e 4
≤ A.
z − .z 2 + 6
RESP.:
10. (O.B.M.U/2001) Seja f (x) = e − x .sen ( x ). Calcule f 2001 (0) .
Obs.: Denotamos por f n (x) a derivada de ordem n no ponto x: assim, f 2 (x) = f "(x) .
RESP.: 21000 .
Fm – 05/03/09
Rev.: TM
3
OSG.: 15019/09