Átomo de Hidrogênio

1
Física IV para Engenharia Elétrica
2º Semestre de 2014
Instituto de Física - Universidade de São Paulo
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected]
Aula -6: Modelo atômico
2
Interpretação quântica para o átomo
Espectro Hidrogênio
Espectro Contínuo
Gás quente
Gás frio
Espectro Emissão
Espectro Absorção
Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a observação
de que a radiação emitida por um gás era composta
principalmente de alguns comprimentos de onda
discretos não podia ser explicada pela mecânica quântica.
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A
Demócrito e Leucipo (400 a.c.)
matéria é descontínua
indivisíveis os átomos.
e
formada
(A = não tomo = partes)
ÁTOMO = NÃO + DIVISÍVEL
por
partículas
5
Modelo Atômico de Dalton
John
Dalton
foi
o
criador
primeira teoria atômica moderna.
da
Em 1803, propôs uma teoria, baseado em
observações empíricas que explicava as leis
da conservação de massa e da composição
definida, é a chamada Teoria Atômica de
Dalton.
Dalton acreditava que o átomo
era
uma
esfera
maciça,
homogênea,
indestrutível,
indivisível e de carga elétrica
neutra.
Se
fizermos
uma
comparação, os átomos seriam
semelhantes a bolinhas de gude:
maciças e esféricas.
6
J. J. Thomson, estudando os raios catódicos,
descobriu o elétron. Mas que relação os
elétrons tinham com os átomos da matéria?
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Modelo Atômico de Thomson
Em 1898, o físico inglês Joseph John Thomson, realizou
experimentos científicos com descargas elétricas de gases e
com a radioatividade, e sugeriu um modelo atômico.
Segundo ele, como a tendência da matéria é ficar neutra, o
número de cargas positivas teria que ser igual ao número de
cargas negativas.
O modelo atômico de Thomson consiste em
uma esfera carregada positivamente e
que elétrons de carga negativa ficam
incrustados nessa.
Modelo
de
Thomsom:
"pudim com passas".
8
Experiência de Rutherford
Rutherford bombardeou uma finíssima lamina
de ouro (de aproximadamente 0,0001cm) com
pequenas
partículas
de
carga
positivas,
denominada partículas alfa, emitidas por um
material radioativo.
9
Experiência de Rutherford
Observações
Conclusões
Grande parte das partículas
alfa atravessa a lâmina sem
desviar o curso.
Boa parte do átomo é vazio.
No espaço vazio (eletrosfera)
provavelmente estão
localizados os elétrons.
Poucas partículas alfa (1 em
20000) não atravessam a
lâmina e voltavam.
Deve existir no átomo uma
pequena região onde esta
concentrada sua massa (o
núcleo).
Algumas partículas alfa
sofriam desvios de trajetória
ao atravessar a lâmina.
O núcleo do átomo deve ser
positivo, o que provoca uma
repulsão nas partículas alfa
(positivas).
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1911 - Ano da publicação de Rutherford
Influenciado pelo modelo atômico
saturniano de Nagaoka Rutherford
propoe o modelo solar.
“The scattering of a and b particles by’ Matter and the Structure of the Atom.
E. Rutherford
Philosophical Magazine, Series 6, vol. 21 (May 1911), p. 669-688
Átomo é um grande vazio, com um centro pequeno e denso
 10,000 vezes menor que o átomo,
 99,9% do peso do átomo
 da ordem de fento-metros (fm) = 10-15 m.
A idéia de se lançar partículas contra um alvo foi tão espetacular
que continua sendo até hoje a base para experimentos de
investigação da Física Nuclear (interior do átomo).
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Modelo Atômico de Rutherford
O modelo atomico de Rutherford constitui-se de um núcleo pequeno
e denso onde se encontram os protons e neutrons, e de uma
eletrosfera, na qual os elétrons ficam girando em órbitas. Átomo é
um grande vazio, com um centro pequeno e denso:
 10,000 vezes menor que o
átomo,
 99,9% do peso do átomo
 da ordem de fento-metros (fm)
= 10-15 m.
As partículas presentes no núcleo,
chamadas prótons, apresentam
carga
positiva.
A
partícula
conhecida
como
nêutron
foi
isolada em 1932 por Chadwick,
embora sua existência já fosse
prevista por Rutherford.
Espectro Hidrogênio
Espectro Contínuo
Gás quente
Gás frio
Espectro Emissão
Espectro Absorção
Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a observação
de que a radiação emitida por um gás era composta
principalmente de alguns comprimentos de onda
discretos não podia ser explicada pela mecânica quântica.
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Modelo Atômico Clássico
Considere um átomo como um sistema
planetário. A força de atração entre um elétron
e o núcleo com carga positiva +e é dada por:
1 𝑒 2 𝑚𝑣 2
𝐹𝑒 =
=
2
4πε0 𝑟
𝑟
onde v é a velocidade tangencial do elétron:
energia cinética:
energia potencial
energia total
𝑣=
2
𝑒
𝐾 = 12𝑚𝑣 2 = 12
4πε0 𝑟
𝑒2
𝑈=−
4πε0 𝑟
𝑒2
𝐸 =𝐾+𝑈 =−
8πε0 𝑟
𝑒
4πε0 𝑚𝑟
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Colapso modelo planetário
Da teoria clássica do eletromagnetismo, uma carga elétrica
acelerada irradia energia. Sua energia total deve diminuir e
com isso o raio da orbita deve diminuir.
Plank já tinha proposto uma mudança radical para a estrutura
do átomo com um comportamento quântico (energia discreta
para explicar corpo negro). Bohr aperfeiçoou essa idéia.
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Linhas do hidrogênio
Em 1885m Joham Balmer apresentou uma fórmula que ele
havia obtido empiricamente, e que fornecia com precisão os
valores dos comprimentos de onda correspondentes as quatro
raias visíveis do hidrogênio.
R=1,097x107 1/m
constante de Rydberg
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Outras Linhas do hidrogênio
Mais tarde outras linhas na região do ultra-violeta e infra-vermelho
foram observadas e também seguiam equações semelhantes.
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Espectros de emissão Hidrogênio
R = 1,097 x 107 m-1
18

Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio
Os elétrons se movem em órbitas circulares
bem definidas em torno do próton.
 Mantendo-se em uma dada órbita o elétron
não irradia.
 A radiação seria quantizada apenas quando o
elétron salta de uma órbita para outra. A
energia dessa radiação seria dada por:
ℎ𝑓 = 𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
 As órbitas seriam dadas por certos valores do
momento angular do elétron e deve ser
múltiplos de ħ.
𝐿 = 𝑛ħ
Niels Bohr (1885-1962)
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Ponto importante – quantização do
momento angular
𝐿 = 𝑛ħ
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Consequências do Modelo de Bohr
O momento angular é dado por:
𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ħ
Com esse momento angular obtemos a
seguinte equação para a velocidade:
Mas a velocidade também pode ser dada por:
𝑛ħ
𝑣=
𝑚𝑟
𝑣=
𝑒
4πε0 𝑚𝑟
Assim igualando as duas e isolando o raio temos:
𝑟𝑛 = 𝑛2 𝑎0
4πε0 ħ2
𝑎0 =
𝑚𝑒 2
a0 é chamado de raio de Bohr. É o raio do átomo de
hidrogênio no seu estado de mais baixa energia, ou
estado fundamental.
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As energias do átomo de hidrogênio
Usando o resultado clássico para a energia
𝑒2
𝐸 =𝐾+𝑈 =−
8πε0 𝑟
Com o valor do raio de Bohr:
4πε0 ħ2 2
𝑟𝑛 =
𝑛
2
𝑚𝑒
𝑟𝑛 = 𝑛2 𝑎0
𝑒2
𝐸0
𝐸𝑛 = −
=− 2
2
8πε0 𝑎0 𝑛
𝑛
𝐸0 = −13.6 𝑒𝑉 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1)
estado fundamental
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As linhas do átomo de hidrogênio
A emissão de radiação ocorre quando o átomo está num
estado excitado e decai para um estado de menor energia.
ℎ𝑓 = 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
1 𝑣 ℎ𝑓 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓
= =
=
λ 𝑐 ℎ𝑐
ℎ𝑐
𝑒2
𝐸𝑛 = −
8πε0 𝑎0 𝑛2
4πε0 ħ2
𝑎0 =
𝑚𝑒 2
1
1
1
= 𝑅∞ ( 2 − 2 )
λ
𝑛𝑓 𝑛𝑖
𝑚𝑒 2
𝑅∞ =
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑦𝑑𝑏𝑒𝑟𝑔
3
2
(4πħ) 𝑐ε0
23
𝑒2
𝐸0
𝐸𝑛 = −
=− 2
2
8πε0 𝑎0 𝑛
𝑛
𝐸0 = −13.6 𝑒𝑉 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1) estado fundamental
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Evolução das teorias
25
O Átomo de Hidrogênio
de acordo com a mecânica quântica
Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas:
 2 2

  V r  r , ,    E  r , ,  

 2

Separação de variáveis:
r, ,   Rr  F    
Cada variável gera
um número quântico
n, l, m
26
Os números quânticos
Conventionalmente, as camadas são
designadas pelas letras K,L,M...
K , n =1
L , n =2
M , n =3
As sub-camadas correspondem aos
valores de L
n=4, N
n=3, M
n=2, L
n=1, K
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Interpretação da função angular
L está relacionado à grandeza momento angular orbital e
seu módulo é quantizado:
L    1
  0,1, 2, ..., n  1
número quântico orbital
Lz é a componente na direção z do momento angular orbital
Lz  m
m  0,  1,  2, ...,  
número quântico magnético
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A Função Angular
Exemplo:
2
L  22  1  6
Lz  m , m  0, 1, 2
Observe que:
- Tanto o módulo quanto a componente z
do momento angular são quantizados
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A Função Angular
Portanto, o par (l, ml) define o tipo de simetria da função de onda:
0
Orbital (s)
 1
Orbital (p)
2
Orbital (d)
3
Orbital (f)
30
31
Autofunções para Átomo de Hidrogênio
Solução mais simples para Equação de
Schrödinger é para o estado 1s
 1s r  
1
a03
e
r
a0
Onde a0 é o raio de Bohr.
Essa equação satisfaz as condições de contorno:
1) Aproxima-se de zero no infinito
2) É finita para r=0
Como depende só de r deve ter uma simetria
esférica
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Probabilidade
Probabilidade de encontrar o elétron em um volume esférico dV
é dado pela função densidade de probabilidade radial P(r), que
por sua vez é a probabilidade de por unidade de distância radial
de encontrar o elétron em uma casca esférica de raio r.:
Pr dr   dV   4r 2 dr
2
2
Pr    4r 2
2
 4 r 2   2 r a0
P1s r    3 e
 a0 
33
34
 Para uma dada carga nuclear, à medida que o número
quântico principal aumenta, as regiões de alta densidade
eletrônica se estendem cada vez mais além do núcleo.
35
A Função Angular – orbital s
  0, m  0
1
Y00  ,   
4
Quando l = 0, a função de onda exibe simetria esférica.
36
Orbitais do tipo s
O orbital com n = 1, l = 0, m = 0 representa o estado
fundamental ou de mais baixa energia o qual é descrito pela
função de onda:
Como este orbital depende apenas da coordenada r então,
ele é um orbital esfericamente simétrico.
Probabilidade de encontrar o
elétron (representada pela
densidade de pontos) diminui
à medida que nos afastamos
do núcleo.
Representa o volume
esférico no qual o elétron
passa a maior parte do
tempo.
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A Função Angular – orbital p
  1, m  0
3
Y10  ,   
cos
8
  1, m  1
3
Y11  ,   
sen e i
8
Quando l = 1, a função de onda exibe simetria em torno do eixo z.
38
Orbital tipo p
A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas
achatadas até o ponto de contato (o núcleo atômico ) e
orientadas segundo os eixos de coordenadas.
39
40
orbital tipo f
41
42
43
Resumo: Átomo de Hidrogênio
• Elétron confinado em 3 dimensões: 3 números quânticos
• n determina a energia do átomo
• L e mL determinam o momento angular do átomo e e a
simetria da função de onda
O elétron possui um número quântico intrínseco de
“spin”, formando um total de 4 números quânticos
S z  mS 
1
mS  
2
notação espectroscópica.
44
De acordo com a mecânica quântica uma
descrição completa de um estado dos elétrons
requerem 4 números quânticos, n, L, mL e ms.
Símbolo
Nome
n
número quântico principal
L
número quântico orbital
mL
número quântico magnetico
ms
número quântico de spin
Átomos com muitos elétrons
45
Devido ao Princípio de Exclusão de Pauli dois elétrons não
podem ter um mesmo conjundo de números quânticos
(n,l,ml,ms).’ (Wolfgang Pauli, 1929).
Por exemplo a órbita n =1 (camada K) pode ter no máximo
2 elétrons.
n
Símbolo
n
l
l
ml
ms
1
0
0
+1/2
1
0
0
-1/2
Valores permitidos
n=1,2,3,4,…
l=0,1,2,3,…,(n-1)
ml
-l, -l+1,…..,(l-1),+l
projeção de L
ms
+1/2 and -1/2
projeção de s.
46
preenchimento
47
48
Configurações eletrônicas e a tabela periódica
A tabela periódica pode ser utilizada como um guia para as
configurações eletrônicas.
 O número do periodo é o valor de n.
 Os grupos 1A e 2A têm o orbital s preenchido.
 Os grupos 3A -8A têm o orbital p preenchido
 Os grupos 3B -2B têm o orbital d preenchido.
 Os lantanídeos e os actinídeos têm o orbital f preenchido.
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Configurações eletrônicas e a tabela periódica
50
51
Ionização e De-excitação
e-
n=4, N
n=3, M
n=2, L
n=1, K
La
L series
L series
K series
M series
Ka
K series
Espectro de raios X
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Os raios X foram descobertos acidentalmente por W. C.
Roentgen em 1895 quando ele estava trabalhando
com tubos de raios catódicos.
Devido a natureza desconhecida desses raios
penetrantes foi denominado raio X.
raios X corresponde a radiação
eletromagnética de comprimentos de
onda ao redor de 0.1 a 10 A
História do raio X
53
O primeiro raio-X foi
tirado da mão de sua
esposa
mas
um
ano
depois, em 1986, já era
amplamente aplicado em
medicina
tornando-se
uma
das
grandes
descobertas do século XX.
Em 1916 raios-X já eram
usados para inspecionar
cargas de navios.
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Produção de raio X
O filamento de tungstênio é aquecido pela passagem de
corrente ( I< 80 mA) e emite elétrons
Elétrons são acelerados por uma diferença de potencial
(DV=20 kV ou 30 kV) entre o filamento (catodo) e um
eletrôdo de Cobre (anôdo).
Válvula de produção
de raio-X



Ao atingirem o ânodo de cobre os
elétrons são freados bruscamente,
emitindo radiação e ionizando os
átomos de cobre.
O processo é como um efeito fotoelétrico invertido.
Radiação eletromagnética emitida tem
vários cumprimentos de onda.
Espectro de raio-X do Cobre
55
lmin



Componente continua – bremsstrahlung.
Componente discreta – ionização do átomo de Cobre
(fenômeno de fluorescência).
Mínimo bem definido para uma dada energia dos
elétrons, lmin.
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Parte continua do espectro - Bremssstrahlung
Fóton de
bremsstrahlung
K
elétron
K
núcleo
Efóton = hu = K – K´
K´
Efóton = hc/l = K – K´
 O fóton de menor comprimento de onda, lmin, seria
emitido quando o elétron perdesse o máximo (toda)
de sua energia cinética durante a colisão (K´=0).
energia inicial do eletron K = eV = hc/lmin
determinando lmin
h = eVlmin/c
constante. de Planck
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Parte discreta do espectro de raio X
Elétrons do catodo (filamento) se chocam com os elétrons
dos átomos arrancando-os.
No processo de recombinação
Emissão de fóton
e-
A energia do fóton é
dada pela diferença de
energia das órbitas.
Idéia de órbitas
Niels Bohr
58
lmin
Lei de Moseley
59
Lei Moseley
60
 l comprimento de onda do raio-X da transição Kα
 Z número atomico do elemento
 s constante correspondente a blindagem da carga nuclear
devida ao eletron e outros (deve ser da ordem de 1).
 A é o fator de escala. Sendo R a constante de Rydberg
 (Z-s) carga efetiva observada pelos eletrons da camada L
61
Usado para prever existência de novos elementos
38 39
40
41
42
43
44
45
46
62