CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Conjuntos Iva Emanuelly – Engenharia Civil João Victor Tenório – Engenharia Civil Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos os estudantes da UFAL. - O conjunto de todos os brasileiros. - O conjunto de todos os números naturais. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z. Representações: formas Compreensão A = conjunto de alunos da UFAL Implícita x / x ; x 2 N B d / d é dia da semana B Hgh Explícita CC a; e; i; o; u Diagrama de Euler-Venn Z Conjuntos especiais Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por: H x X / x x Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único elemento Ex: M = {7} Conjuntos especiais Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos. O conjunto das cidades de Portugal O conjunto vazio. O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos. O conjunto N dos números naturais. O conjunto dos números primos. O conjunto Z dos números inteiros. Conjuntos especiais Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos, representado pela letra U J W O M Também é admitido como restrito a uma região de interesse. Ex.: - Conjunto Universo das letras - Conjunto Universo dos Conjuntos Notações básicas ( também representado por / ) Relação de pertinência Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz parte ou não de tal conjunto x pertence ao conjunto A Simbologia: x A (lê-se: “x pertence a A”) x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia: x A (lê-se: “x NÃO pertence a A”) Exemplos 5 4; 5; 10; 23 g 6 1;2; 0;1;2 F Relação de inclusão 1 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro A A está contido em B Simbologia: B A A B A NÃO está contido em B. Simbologia: A B Exemplos 5; 23 4; 5; 10; 23 g 0; 11 10,2; 20; 1 F B A A Relação de inclusão 2 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro: B contém A Simbologia: B NÃO contém A Simbologia: BA B A Exemplos 5; 23; 4; 10 4; 5; 10 g0; 11; 3; 15 10;18; 11; 3 F B A A B A A Conjuntos: operações •União: A B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B. A A B x U; x A x B B 1 2 3 4 5 9 7 6 8 •Interseção: A B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B. A B x U; x A x B B A 1 3 5 2 4 7 2 4 7 9 6 8 Conjuntos: operações DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B. A B A-B Conjunto complementar Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por: B ou B c B x U; x B O que é equivalente a: U B B UB U-B B Dicas !!! • Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: • Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. • Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: Exemplos (PUC) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? R= 69% Exemplos Vamos Praticar! 1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa: Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro Os Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza. A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma: Subconjunto: (Conjuntos dos números naturais não-nulos) Conjunto dos números inteiros A subtração de 1 - 4 era impossível. A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada. A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma: Conjunto dos números inteiros Subconjuntos: (Conjunto dos números inteiros não-nulos) (Conjunto dos números inteiros não-negativos) (Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos) Conjunto dos números inteiros (continuação) Subconjuntos: (Conjuntos dos números inteiros não-positivos) (Conjuntos dos números inteiros negativos não-nulos) Vamos praticar! 1. Classifique como verdadeiro ou falso: a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. Verdadeiro b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural. Falso c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural. Verdadeiro Vamos praticar! 2. Classifique como verdadeiro ou falso: Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros? Conjunto dos números racionais • Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números racionais (Q). A representação matemática deste conjunto é: Q = Z {números fracionários} Assim, Q= {x/x Será que existe uma forma mais compacta para Q? a , com a Z, b Z e b 0} b Q {x/x a , com a Z, b Z*} b Conjunto dos números racionais - Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por: - Decimal Exata Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125 - Decimal Periódica Ex.: 17/6 = 2,8333... -2/5 = -0,4 23/99 = 0,232323... Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas, que tem, respectivamente, períodos 3 e 23. 26/44 Conjunto dos números racionais Demonstração! - Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica: a) 0,2171717... Conjunto dos números racionais Vamos Praticar! - Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica: a) 0, 222... b) 0,35111... Conjunto dos números irracionais Representam os números decimais infinitos e não-periódicos. π = 3,1415926535... 31/2 = 1,7320508... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. A representação matemática deste conjunto é: R Q Ir {x/xQ ou xIr} Intervalos reais Notações intuitivas: É numa reta real onde todos os infinitos números reais são representados de maneira crescente. -3 -2 -1 0 1 2 3 O - 5 - -2,7 - 2 -1,5 -1,8 2 5 1,5 2,7 1,8 Do menos infinito ao mais infinito 30/44 Intervalos reais Um intervalo é um pedaço da reta real representado por: Bolinhaaberta fechada Bolinha Bolinha aberta A extremidade está incluída A extremidade está excluída (ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo. -4 4 • O intervalo vai do -4 até o 4 • O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4 Intervalos reais S x / x 4 x 4 x 5 S x / x 5 -5 2 x S x / 5 x 2 -6 3 x S x / 6 x 3 Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA -4 4 3 x S x / 4 x 4 ou x 3 Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA -4 4 3 x S x / 4 x 4 4 x 3 S [ 4,4) ( 4,3) INTERVALOS REAIS UNIÃO DE INTERVALOS A B A B x 2 -4 -2 -4 -2 4 2 4 S x / 4 x 4 A B [4,4) x x INTERVALOS REAIS INTERSECÇÃO DE INTERVALOS A B A B x 2 -4 -2 -2 4 2 S x / 2 x 2 A B [2,2) x x Intervalos reais DIFERENÇA DE INTERVALOS A B A B -2 -4 x 2 -4 -2 4 x x S x / 4 x 2 A B [ 4,2) Intervalos reais Vamos Praticar! 1. Dados A = [0,3] e B = [1,5[, calcule: Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/PETEngenharias