Conjuntos

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Conjuntos
Isabelle Araujo – 5º período de Engenharia de Produção
Definição
Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma
espécie.
- O conjunto de todos os estudantes da UFAL.
- O conjunto de todos os brasileiros.
- O conjunto de todos os números naturais.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Seus componentes são formados por elementos que são
denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z.
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Representações: formas
 Compreensão
 A = conjunto de alunos da UFAL
 Implícita
B
 Hgh
N
B
x / x ; x  2
 d / d é dia da semana
 Explícita
 CC
 a; e; i; o; u
 Diagrama de Euler-Venn
Z
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Conjuntos especiais
 Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos
 Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por:

H  x  X / x  x

 Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único
elemento
 Ex: M = {7}
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Conjuntos especiais
Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de
elementos.
 O conjunto das cidades de Portugal
 O conjunto vazio.
 O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia
Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável
de elementos.
 O conjunto N dos números naturais.
 O conjunto dos números primos.
 O conjunto Z dos números inteiros.
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Conjuntos especiais
 Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos,
representado pela letra U
J
W
O
M
 Também é admitido como restrito a uma região de interesse.
Ex.: - Conjunto Universo das letras
- Conjunto Universo dos Conjuntos
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Notações básicas
( também representado por / )
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Relação de pertinência
 Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz
parte ou não de tal conjunto
 x pertence ao conjunto A
 Simbologia:
x A
(lê-se: “x pertence a A”)
 x NÃO pertence ao conjunto A
 Simbologia:
x A
(lê-se: “x NÃO pertence a A”)
 Exemplos
5  4; 5; 10; 23
g
6   1;2; 0;1;2
F
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Relação de inclusão 1
 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do
outro
A
 A está contido em B
 Simbologia:
B A
A B
 A NÃO está contido em B.
 Simbologia:
A B
B
A
A
 Exemplos
5; 23 4; 5; 10; 23
g
0; 11   10,2; 20; 1
F
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Relação de inclusão 2
 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou
superconjunto do outro:
 B contém A
 Simbologia:
 B NÃO contém A
 Simbologia:
BA
B
 A
 Exemplos
B
A
A
B
A
A
5; 23; 4; 10  4; 5; 10

g0; 11; 3; 15 
  10;18; 11; 3
F
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Conjuntos: operações
•União: A  B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementos
pertencentes a A ou a B.
A
AB  x U; x  A x B
B

1 2
3 4
5
9
7 6
8
•Interseção: A  B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado por
elementos pertencentes a A e a B.
A  B  x  U; x  A  x  B
1
3
5

B
A
2
4
7
2
4
7

9
6
8
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Conjuntos: operações
 DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado por
elementos pertencentes a A, mas NÃO a B.
A
B
A-B
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Conjunto complementar
 Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do
universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é
simbolizado por:
B ou B c
B  x U; x B
O que é equivalente a:
U
B  UB
U-B
B
B
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Dicas !!!
• Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a
união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
• Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com
qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
• Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro
para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
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Exemplos
(PUC) Um levantamento socioeconômico entre os
habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%
têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa
própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm
casa própria nem automóvel?
R= 69%
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Exemplos
Vamos Praticar!
1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa:
Falso
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
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Os Conjuntos Numéricos
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Conjunto dos números naturais
 Estes números foram criados pela necessidade prática de contar
as coisas da natureza.
 A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte
forma:
 Subconjunto:
(Conjuntos dos números naturais
não-nulos)
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Conjunto dos números inteiros
 A subtração de 1 - 4 era impossível.
 A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas
comerciais que envolviam dívidas.
 O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.
 A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:
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Conjunto dos números inteiros
 Subconjuntos:
(Conjunto dos números inteiros não-nulos)
(Conjunto dos números inteiros não-negativos)
(Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)
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Conjunto dos números inteiros (continuação)
 Subconjuntos:
(Conjuntos dos números inteiros não-positivos)
(Conjuntos dos números inteiros negativos
não-nulos)
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Vamos praticar!
1. Classifique como verdadeiro ou falso:
a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número
natural.
Verdadeiro
b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número
natural.
Falso
c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número
natural.
Verdadeiro
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Vamos praticar!
2. Classifique como verdadeiro ou falso:
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
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Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?
Conjunto dos números racionais
• Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados
os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números
racionais (Q).

A representação matemática deste conjunto é:
Q = Z  {números fracionários}

Assim,
Q=
Será que existe uma forma mais
compacta para Q?
a
{x/x  , coma Z, b  Z e b  0}
b
Q  {x/x 
a
, com a  Z, b  Z *}
b
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Conjunto dos números racionais
- Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é
um número racional. Na forma decimal podem ser representados por:
- Decimal Exata
Ex.: 3/4 = 0,75
25/8 = 3,125
- Decimal Periódica
Ex.:
17/6 = 2,8333...
-2/5 = -0,4
23/99 = 0,232323...
Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas,
que tem, respectivamente, períodos 3 e 23.
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Conjunto dos números racionais
Demonstração!
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0,2171717...
Solução:
Seja x = 0,2171717...
1
Multiplicando os membros de 1 por 10 e por 1000, temos:
10x = 2,171717...
1000x = 217,171717...
990x = 215
x = 215/990
x = 43/198
2
Subtraindo 2 de 3, obtemos:
3
x = 43/198 = 0,2171717
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Conjunto dos números racionais
Vamos Praticar!
- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:
a) 0, 222...
b) 0,35111...
b) Solução :
Seja x = 0,35111...
1
Multiplicando os membros de 1
100x = 35,111...
2
1000x = 351,111...
3
por 100 e por 1000, temos:
Subtraindo 2 de
3, obtemos:
900x = 316
x = 316/900
x = 79/225
0,35111... = 79/225
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Conjunto dos números irracionais

Representam os números decimais infinitos e não-periódicos.


π = 3,1415926535...
31/2 = 1,7320508...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.

A representação matemática deste conjunto é:
R  Q  Ir  {x/x  Q ou x Ir}
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Intervalos reais
Notações intuitivas:
 É numa reta real onde todos os infinitos números
reais são
representados de maneira crescente.
-3
-2
-1
0
1
2
3
O
- 5
-
-2,7
- 2
-1,5
-1,8
2
5
1,5
2,7
1,8

Do menos infinito ao mais infinito
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Intervalos reais
 Um intervalo é um pedaço da reta real representado por:
Bolinhaaberta
fechada
Bolinha
Bolinha aberta
A extremidade está incluída
A extremidade está excluída
(ou seja, dentro) do intervalo.
(ou seja, fora) do intervalo.
-4
4
• O intervalo vai do -4 até o 4
• O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4
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Intervalos reais
S  x   / x  4
x
4
x
5
S  x   / x  5
-5
2
x
S  x   /  5  x  2
-6
3
x
S  x   /  6  x  3
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Intervalos reais
INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA
-4
4
3
x
S  x   /  4  x  4 ou x  3
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Intervalos reais
INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA
-4
4
3
x
S  x   /  4  x  4  4  x  3
S  [ 4,4)  ( 4,3)
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INTERVALOS REAIS
UNIÃO DE INTERVALOS
A
B
A B
x
2
-4
-2
-4
-2
4
2
4
x
x
S  x   /  4  x  4
A B  [4,4)
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INTERVALOS REAIS
INTERSECÇÃO DE INTERVALOS
A
B
A B
x
2
-4
-2
-2
4
2
x
x
S  x   /  2  x  2
A  B  [2,2)
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Intervalos reais
DIFERENÇA DE INTERVALOS
A
B
A B
-2
-4
x
2
-4
-2
4
x
x
S  x   /  4  x  2
A  B  [4,2)
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Intervalos reais
Vamos Praticar!
1. Dados A = [0,3] e B = [1,5[, calcule:
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Referências
• OLIVEIRA, A. Pré-Enem Comunitário 2013.
• DANTE, L.R. Matemática Volume Único. 1°ed.
Ática, 2005.
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Obrigada pela atenção!
www.ufal.edu.br
www.facebook.com/PETEngenharias
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