Conceito de Tensao

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA – Engenharia Civil
Mecânica Aplicada 2 – Conceito de Tensão
Conceito de Tensão
Índice
Breve Revisão dos Métodos da Estática
1
Tensões em Elementos Estruturais
2
Análise e Dimensionamento
3
Esforço Axial; Tensão Normal
4
Princípio de Saint-Venant
5
Tensão Tangencial
6
Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial
7
Exercício Resolvido
9
Bibliografia
9
Breve Revisão dos Métodos da Estática
Considere a estrutura representada na figura que foi
concebida para suportar uma carga de 30 kN. Esta estrutura
é constituída por:
-
uma
escora
AB
(barra
bi-articulada
sujeita
a
compressão) de secção transversal rectangular cujas
dimensões são de 30x50 mm,
-
um tirante (barra bi-articulada sujeita à tracção) cuja
secção circular tem 20 mm de diâmetro.
A escora e o tirante encontram-se ligados por uma
articulação no ponto B e são suportados por apoios fixos em
A e C.
O primeiro passo para análise desta estrutura é o traçado do diagrama de corpo livre da estrutura. Para tal
isola-se a estrutura dos seus apoios em A e C, e representa-se a acção que estes apoios exercem sobre a
estrutura (reacções de apoio). Note-se que a representação da estrutura foi simplificada omitindo-se todos
os detalhes supérfluos. Nesta altura é possível inferir que as barras AB e BC estarão sujeitas apenas a
esforço axial (pois trata-se de um sistema articulado plano).
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Este facto não será tomado em conta na determinação das
reacções de apoio, assumindo-se que a direcção da reacção em
+
cada ponto é desconhecida. Cada uma das reacções será então
representada pelas suas componentes verticais e horizontais.
Podem escrever-se três equações de equilíbrio:
∑ M = 0 ⇔ A × 0.6 − 30 × 0.8 = 0 ⇔ A = 0
∑ F = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ C = − A ⇔ C = −40kN
∑ F = 0 ⇔ A + C − 30 = 0 ⇔ A + C = 30
-
C
-
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
y
x
y
A quarta equação de equilíbrio será escrita para a articulação B:
-
∑M
corpo AB
B
= 0 ⇔ − Ay × 0.8 = 0 ⇔ Ay = 0
(Estes resultados poderiam ter sido obtidos de uma forma mais simples aplicando o Método dos Nós ao nó
B)
Conclui-se que para equilibrar uma carga vertical de 30 kN em B surge um esforço axial de tracção de 50
kN na barra BC e um esforço axial de compressão de 40 kN na barra AB. Estes resultados embora
necessários, não fornecem qualquer informação acerca da segurança da estrutura face à carga aplicada. O
facto de o tirante BC, por exemplo, ceder ou não sob a acção da carga aplicada depende não só do valor
encontrado para o esforço axial FBC, mas também da área da secção transversal do tirante e do material
que o constitui.
Tensões em Elementos Estruturais
O esforço FBC determinado anteriormente, representa, na
verdade, a resultante das forças internas que se encontram
distribuídas em toda a área A da secção transversal da barra
BC, e a intensidade média dessas forças distribuídas é igual à
força por unidade de área.
A força por unidade de área, ou intensidade das forças distribuídas sobre uma dada secção, é designada
por tensão nessa secção e é denotada pela letra grega
σ (sigma). A tensão num elemento da área da
secção transversal A sujeito a um esforço axial P é então obtida através do quociente do valor P do esforço
pela área A:
σ=
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P
(sinal positivo indica tracção e sinal negativo compressão)
A
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Dado que foram utilizadas as unidades do Sistema Internacional com P expresso em newtons (N) e A em
2
metros quadrados (m ), a tensão
σ é expressa em N/m2 (Pa – Pascal). Apresentam-se de seguida a
conversão para o SI de outras unidades também utilizadas.
1lb
4.448 N
=
= 6.895 kPa (psi = pound per square inch)
2
1in
0.025402 m 2
-
1 psi =
-
1bar = 100 kPa
Análise e Dimensionamento
Considere-se novamente a estrutura anterior e assuma-se que o tirante BC é constituído por aço cuja
máxima tensão admissível é
σ adm = 165 MPa. Poderá o tirante BC suportar com segurança a carga a que
vai estar sujeito? 0 valor da força FBC no tirante foi encontrado anteriormente e é igual a 50 kN. Recordando
que o diâmetro do tirante é 20 mm:
σ=
Dado que o valor obtido para
+50 E 3 N
P
=
= 159 E 6 Pa = 159 MPa
A π ( 0.02 / 2 ) 2 m 2
σ é menor que o valor σ adm da tensão admissível do aço utilizado, conclui-se
que o tirante BC pode suportar com segurança a carga a que vai ser submetido. Para ser completa, a
análise desta estrutura deveria incluir, também:
-
a determinação da tensão de compressão na escora AB,
-
uma investigação das tensões desenvolvidas nas articulações,
-
determinar se as deformações induzidas pela solicitação são aceitáveis,
-
uma análise adicional, necessária para elementos sujeitos a compressão, envolvendo a estabilidade
do membro, i. e., a sua capacidade para suportar uma dada carga sem que haja urna mudança
súbita na sua configuração.
Para além da análise de estruturas e máquinas existentes sujeitas a dadas condições de carregamento, é
também importante o dimensionamento de novas estruturas e máquinas, ou seja, a selecção de
componentes apropriados para desempenhar uma dada tarefa.
Como exemplo de dimensionamento, considere-se novamente a estrutura anterior e admita-se que se
pretende utilizar alumínio cuja tensão admissível é
σ adm = 100 MPa. Dado que o esforço na barra BC é,
ainda, P = FBC = 50 kN para o mesmo carregamento, tem-se:
σ adm =
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P
P
50 E 3 N
⇔ A=
=
= 500 E − 6 m 2
A
σ adm 100 E 6 Pa
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r=
A
= 12.62 E − 3 m = 12.62 mm
π
Conclui-se que será adequado um tirante de alumínio com, pelo menos 26 mm de diâmetro.
Esforço Axial; Tensão Normal
Como já foi indicado anteriormente, o tirante BC do exemplo precedente é um elemento de treliça, logo a
força FBC é dirigida segundo o eixo da barra. Diz-se então que a barra está sujeita a esforço axial.
Voltando à barra BC, recorde-se que o plano de seccionamento através
da barra para determinar o esforço axial no elemento e a tensão
correspondente, é perpendicular ao eixo da barra. O esforço axial é
portanto normal à secção transversal e a correspondente tensão é
denominada por tensão normal. Então, a seguinte equação exprime a
tensão normal num membro submetido a esforço axial:
σ=
P
A
Note-se que nesta equação, obtém-se
σ dividindo o valor P (força
resultante do esforço axial distribuído na secção transversal) pela área A.
σ representa então o valor médio da tensão na secção transversal, e
não a tensão num ponto específico da mesma.
Para definir a tensão num dado ponto Q da secção
transversal considere-se uma área elementar
Dividindo o módulo de
∆A .
∆F por ∆A obtém-se o
valor médio da tensão sobre
∆A . Fazendo ∆A
tender para zero, obtém-se a tensão no ponto Q:
∆F
∆A→ 0 ∆A
σ = lim
De um modo geral, o valor obtido para a tensão
pela equação
σ no ponto Q é diferente do valor da tensão média dado
σ = P A , e verifica-se que σ varia ao longo da secção transversal.
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Na prática, assume-se que a distribuição de tensões normais em
peças sujeitas a esforço axial é uniforme, excepto na vizinhança dos
pontos de aplicação das cargas. O valor da tensão
σ é então igual a
σ médio . No entanto, chama-se a atenção para o facto de que quando é
assumida uma distribuição uniforme de tensões na secção, i.e.,
quando é assumido que as forças internas estão uniformemente
distribuídas sobre a secção transversal, resulta da estática elementar, que a resultante P das forças
internas tem que ser aplicada no centróide C da secção.
Isto significa que uma distribuição uniforme da
tensão apenas é possível se a linha de acção das
cargas concentradas P e P’ passar através do
centróide da secção considerada. A este tipo de
solicitação chama-se carregamento centrado e
assume-se que ocorre em todas as barras de eixo
recto existente em treliças, tal como a considerada.
Princípio de Saint-Venant
Se forem aplicadas cargas concentradas num modelo de borracha conforme
ilustrado na figura, os elementos na vizinhança imediata dos pontos de
aplicação das cargas estão submetidos a tensões muito elevadas, enquanto
os outros elementos na proximidade da extremidades da barra praticamente
não são afectados pelas cargas.
Este
efeito
pode
ser
verificado
observando-se
que
os
maiores
deslocamentos, e logo as maiores tensões e deformações ocorrem perto dos
pontos de aplicação das cargas, enquanto que nos cantos não se observam
deformações.
No entanto, à medida que se consideram secções mais afastadas das extremidades nota-se uma
progressiva igualização das deformações envolvidas, logo uma distribuição de deformações e tensões
quase uniforme na secção transversal.
Este fenómeno está ilustrado na figura seguinte, em que estão representadas as distribuições de tensões
em várias secções transversais de um placa rectangular fina submetida a cargas concentradas, obtidas com
métodos matemáticos baseados na teoria da elasticidade.
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Verifica-se que a uma distância b de cada extremidade, sendo b a largura da placa, a distribuição de
tensões é quase uniforme na secção, podendo admitir-se que o valor da tensão
dessa secção é igual a
σ y em qualquer ponto
σ médio . Por outras palavras, à excepção da vizinhança imediata dos pontos de
aplicação das cargas, pode admitir-se que a distribuição das tensões é independente do modo de aplicação
das cargas. Esta afirmação é conhecida pelo princípio de Saint-Venant (1797-1886).
Tensão Tangencial
As forças internas e as correspondentes tensões discutidas
anteriormente eram normais à secção transversal considerada.
Quando duas forças P e P’ são aplicadas perpendicularmente ao
eixo de uma barra AB, surgem tensões de um tipo distinto
Seccionando a barra AB no ponto C, entre os pontos de aplicação das
cargas, obtém-se o diagrama da parte AC. Conclui-se que têm de existir
forças internas no plano da secção e que a sua resultante é igual a P.
Estas forças internas distribuídas são denominadas tensões tangenciais
ou tensões de corte e o valor da sua resultante, P, é a força de corte na
secção.
Dividindo a forca de corte, P, pela área A da secção transversal, obtém-se a tensão tangencial média na
secção. Indicando a tensão tangencial pela letra grega
τ (tau), tem-se:
τ medio =
P
A
Note-se que o valor obtido é o valor médio da tensão tangencial ao longo da totalidade da secção. Ao
contrário do que foi assumido anteriormente para a tensão normal, a distribuição de tensões tangenciais ao
longo da secção não pode admitir-se como sendo constante. O valor real da tensão tangencial,
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τ , varia
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entre zero nas superfícies da peça até ao valor máximo,
τ max , sobre uma determinada linha situada no
interior da secção transversal, podendo ser significativamente superior ao valor médio.
Ligação entre duas chapas com um parafuso sujeito ao
corte
Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial
Foi visto anteriormente que:
-
forças axiais aplicadas numa barra originam tensões
normais,
-
forças transversais exercidas sobre parafusos e cavilhas
provocam aparecimento de tensões tangenciais nas
ligações.
A razão apontada para a dependência entre as forças axiais e as tensões normais por um lado, e as forças
transversais e as tensões tangenciais, por outro, consistiu no facto de as tensões terem sido determinadas
apenas em planos perpendiculares ao eixo da barra ou da ligação.
Como será discutido neste capítulo, forças axiais provocam tanto tensões normais como tensões
tangenciais em planos que não são perpendiculares ao eixo da peça. De modo análogo, forças transversais
exercidas sobre um parafuso ou rebite originam tanto tensões normais corno tensões tangenciais em planos
que não sejam perpendiculares ao eixo do parafuso ou rebite.
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Considere a barra da figura ao lado, sujeita à acção das forças axiais P e P’.
Seccionando a barra por um plano que faz um ângulo θ com o plano
normal ao eixo da peça (figura a) e desenhando o respectivo diagrama de
corpo livre da parte esquerda (figura b) conclui-se, através das equações de
equilíbrio, que as forças distribuídas que actuam na secção têm de ser
equivalentes à força P.
Decompondo a força P nas componentes F e V, normal e tangencial à
secção, respectivamente (figura c), pode escrever-se:
F = P cos θ
V = Psenθ
A força F representa a resultante das forcas normais distribuídas sobre a
secção e a força V a resultante das forças tangenciais.
Os valores médios das correspondentes tensões normais e tangenciais são obtidos pela divisão de F e V
pela área Aθ da secção, e observando na figura c que
σ=
F
P cos θ
P
=
= cos 2 θ
Aθ A0
A0
cos θ
Aθ = A0 cos θ , obtém-se:
τ=
V
P sin θ
P
=
= sin θ cos θ
Aθ A0
A0
cos θ
Pode observar-se através da primeira equação, que a máxima tensão
normal, ocorre para θ = 0, i.e., quando o plano da secção transversal é
perpendicular ao eixo da peca, e que tende para zero quando θ tende
para 90°.
A segunda equação mostra que a tensão tangencial é nula quando
θ = 0º e θ = 90º , e que atinge o seu valor máximo para θ = 45º .
Constata-se que o mesmo carregamento pode produzir tanto tensões
normais sem gerar qualquer tensão tangencial ou provocar tensão normal
e tangencial com o mesmo valor absoluto, dependendo da orientação da
faceta considerada.
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Exercício Resolvido
Duas peças de madeira com uma secção transversal rectangular uniforme de 90 x 140 mm são unidas
através de uma emenda simplesmente colada, como é indicado. Sabendo que a máxima tensão tangencial
admissível na cola é de 500 kPa, determine o valor da máxima carga axial, P, que pode ser aplicada em
segurança.
θ = 20º
A = 90x140 mm
Resolução
-
Da decomposição da força P em componentes normais e
tangenciais ao plano da emenda, sabe-se que V = Psenθ ;
Aθ = A0 cos θ ;
-
Observando a figura sabe-se que
-
A tensão tangencial provocada pela força P é de
τ=
τ=
V
.
Aθ
P sin θ
P
0.090 × 0.140
= sin θ cos θ ≤ 500 kPa ⇔ P ≤
× 500 E 3 ⇔ P ≤ 19.6 E 3 N
A0
sin 20º × cos 20º
A0
cos θ
Bibliografia
Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T., 2003. Mecânica dos Materiais, 3ª edição,
McGraw-Hill, Portugal
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