matemática

MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Triângulo
Triângulo
É a figura geométrica determinada por três segmentos de reta consecutivos, isto é, cujos extremos
são coincidentes dois a dois.
A
y
α
x
B
β
O ângulo externo é igual à soma dos ângulos
internos que não lhe são adjacentes.
x=α+θ
y=β+θ
z=α+β
θ
z
Condição de existência
C
Ângulos internos
α, β e θ
Ângulos externos
x, y e z
n
m
p
Para existir um triângulo, é necessário que
qualquer lado seja menor que a soma e maior que o
módulo da diferença dos outros dois.
m – n < p < m + n
m – p  < n < m + p
p – n < m < p + n
Lados
AB = m; AC = n; BC = p
Soma dos ângulos internos
α + β + θ = 180°
Num triângulo, o maior lado opõe-se ao maior
ângulo.
Soma dos ângulos externos
EM_V_MAT_028
x + y + z = 360º
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1
Classificação dos triângulos
Isósceles
Dois lados iguais e dois ângulos iguais (os ângulos iguais não são formados pelos lados iguais).
Quanto aos ângulos
A
Acutângulo
A
B
C
B
Todos os ângulos internos são agudos.
AB = AC
^
B =^
C
C
Equilátero
Três lados com medidas iguais e três ângulos
iguais a 60°.
Retângulo
A
Tem um ângulo interno igual a 90°.
C
B
B
A
AC, AB → catetos
BC → hipotenusa
Tem um ângulo interno obtuso e dois agudos.
A
B
Ceviana
É qualquer reta que parte de um vértice do triângulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento.
As principais cevianas são:
a)Altura (h) – segmento da perpendicular traçada de um vértice sobre o lado oposto.
C
Quanto aos lados
b)Mediana (m) – segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
Escalenos
Todos os lados e ângulos com medidas diferentes.
A
c) Bissetriz interna (βa) – segmento da bissetriz
de um ângulo limitado pelo vértice e pelo
ponto de interseção com o lado oposto.
d)Bissetriz externa (β’a) – segmento da bissetriz
de um ângulo externo limitado pelo vértice e
pelo ponto de interseção com o lado oposto.
C
EM_V_MAT_028
2
AB = AC = BC
^
A =^
B= ^
C
Cevianas principais do
triângulo
Obtusângulo
B
C
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Ortocentro
A
ha
As três alturas de um triângulo concorrem em um
único ponto denominado ortocentro do triângulo.
ma
βa
B
A
H3 ha H2
C
HJM
a/2
a
H
hb hc
a/2
B
C
H1
AH = ha
AM = ma
AJ = βa
AJ’ =β’a
O ortocentro do triângulo retângulo coincide
com o vértice do ângulo reto.
A
ma
B
M
C
ha
H
C
β’a
hc ≡ b
ha
hb ≡ c
H≡A
J’
B
Incentro
Um triângulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3
bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.
As três bissetrizes internas de um triângulo
concorrem, em um único ponto, equidistantes dos
três lados do triângulo, denominado incentro.
A
R
B
Q
PJ
C
Todo triângulo retângulo de ângulos agudos,
valendo 30º e 60º, tem a seguinte relação:
√3
30º
I
2
60º
EM_V_MAT_028
/2
O incentro é o centro do círculo inscrito no
triângulo.
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3
Baricentro
As três medianas de um triângulo concorrem em
um único ponto denominado baricentro ou centro de
gravidade do triângulo.
A
P
G
B
Congruência de triângulos
N
M
No caso:
 = 90°
O = ponto médio da hipotenusa BC – circuncentro
C
M, N e P = Pontos médios de BC, AC, AB respectivamente.
Dois triângulos são congruentes quando superpomos um ao outro e eles coincidem no valor
dos lados e dos ângulos. Logo, lados congruentes e
ângulos congruentes.
A
A’
Propriedades
O baricentro fica situado sobre cada mediana,
a 2/3 do vértice e a 1/3 do seu pé. (ponto médio do
lado oposto)
GM = x
AG = 2x
GN = y
BG = 2y
GP = z
CG = 2z
Circuncentro
As mediatrizes dos lados de um triângulo concorrem em um único ponto denominado circuncentro
do triângulo.
B
B’
C’
^
A =^
a
^
^
B = b
AB = A’B’
AC = A’C’
BC = B’C’
^
C =^
c
Casos de congruência
LAL (lado-ângulo-lado)
Dois triângulos são congruentes, quando
possuem dois lados e o ângulo formado entre eles
congruentes.
A
A’
m2
A
m3
C
C
R
o
R R
C
B
m1
B
C’
B’
AC ≡ A’C’
AB ≡ A’B’
^
A ≡^
A
ALA (ângulo- lado-ângulo)
Dois triângulos são congruentes, quando possuem
dois ângulos e o lado adjacente a eles congruentes.
A’
O circuncentro é o centro do círculo circunscrito
ao triângulo.
C
A
B
4
O
C
B
C’
^
C ≡^
C
BC ≡ B’C’
^
B ≡^
B
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B’
EM_V_MAT_028
A
LLL (lado-lado-lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados congruentes.
A
A’
C
1.º Caso:
C’
B
Casos de semelhança de
triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando
possuem dois pares de ângulos respectivamente
iguais.
B’
AC ≡ A’C’
AB ≡ A’B’
BC ≡ B’C’
α
θ
≈
θ
α
LAAo (lado-ângulo-ângulo oposto)
2.º Caso:
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto ao lado
dado congruentes.
Dois triângulos são semelhantes quando possuem três lados homólogos proporcionais.
A’
A
b ≈
c
k.c
K.b
k.a
a
C
C’
B B’
^
A ≡^
A
AB ≡ A’B’
^
C ≡^
C
3.º Caso:
Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de lados homólogos proporcionais
e os ângulos entre eles iguais.
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem três ângulos congruentes, por consequência
os lados opostos aos ângulos serão proporcionais,
como também as cevianas.
A
α
b
k.b
α
a
k.a
Triângulos retângulos
A’
≈
C
C’
B
H
H’
B’
^
A =^
A’,^
B =^
B’,^
C =^
C’
AB
A ' B'
=
AC
A ' C'
=
BC
B' C'
=
AH
A'H'
m
n
a
EM_V_MAT_028
K é a razão de semelhança.
=K
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5
Como + = 90°, podemos observar que na
figura temos três triângulos semelhantes.
AC = b cateto
AB = c cateto
BC = a hipotenusa
AH = h altura
BH = m projeção de AB sobre BC
HC = n projeção de AC sobre BC
Principais fórmulas:
b2 = n . a
c2 = m . a
h2 = m . n
a.h=b.c
a2 = b2 + c2
As fórmulas são demonstradas por semelhança
de triângulos:
b = n (Usamos os
•• (b2 = n . a): AHC
ABC
a
b
lados opostos de 90° e )
c = m (Usamos os
c
a
lados opostos aos ângulos de 90° e )
•• (c2 = m . a):
ABH
ABC
Importante observarmos que, além dos triângulos pitagóricos citados, existem aqueles que são proporcionais.
Assim você pode afirmar que existem infinitos triângulos
pitagóricos, dentre os proporcionais e os não-proporcionais.
Aplicações importantes
Diagonal do quadrado
d2 = 2+
d2 = 2 2
2
2
2
d2 =
2
d=
Altura do triângulo equilátero
A
h = m (Usamos os
n
n
lados opostos aos ângulos e )
•• (h2 = m . n):
ABH
AHC
h
•• (a . h = b . c): AHC ABC b = h (Usamos os
a
c
lados opostos aos ângulos de 90° e )
•• (a = b + c ) – Destacando as duas primeiras
fórmulas temos:
2
2
B
C
2
2
2
b =n.a
c2 = m . a
2
b2+c2=ma+na
b2+c2=a (m+n)
2
2
 
2 = h 2 +   ; 2 −
= h 2 ; h=
 2
4
2 = h 2 +
b2+c2=a2
 2 3 2
;
= h2
4
4
h=
3 2
4
 3
2
Os triângulos retângulos cujos lados têm valores
inteiros são conhecidos como pitagóricos.
Exemplo:
1. Na figura, AB = BC = CD, calcule y em função de x.
y
D
6
C
B
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A
EM_V_MAT_028
``
``
A
Solução:
C
y
E
2x
D
2x
B
A
B
y: ângulo externo do Δ DCA, logo:
``
y = β + 2x
y = 3x
D
A
30º
A
α
``
50º
H
C
M
B
α + α + θ = θ + 30º
A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da
hipotenusa.
2αα = 30º
A
α 40º
50º 80º
H
M
40º
C
α+θ E
α+θ
θ
α
C
D
θ
Solução:
B
C
Solução:
^ +DBA
^ - ângulo externo do Δ ABD, logo: BAD
^ =
A DC
^
ADC.
2. No triângulo retângulo ABC da figura, reto no vértice
A, determine o valor do ângulo formado pela altura e a
B = 50°.
mediana que sai de A, dado ^
B
α
α = 15º
4. Dois navios partem de um mesmo ponto com velocidades iguais a VA= 15Km/h às 14 horas e VB= 60Km/h
às 20 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo
é de 60°. Qual a distância que separa os navios às 22
horas do mesmo dia?
^ = 90o
A
A
^+C
^ = 90o
B
^ = 90o
50 + C
60º
B
^ = 40°
C
Como: AM = MC
^ = 80º
AMB
``
Solução:
α+ 90º + 80º = 180º
ΔS = VA . ΔtA =
α = 10º
15Km/h . (22h – 14h) =
15km/h . 8h =
ΔSA = 120Km
EM_V_MAT_028
3. Na figura AB = AC e AE = AD. Calcule o valor do ângulo
C^
DE, se B^
AD vale 30°.
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7
S = VB . ΔtB =
M e N são pontos médios, logo I é baricentro. Como AM
= BM = 12, temos 3x = 12 → x = 4.
60Km/h . (22h – 20h) =
Como o triângulo é retângulo, o ortocentro é o vértice A,
assim a distância de A até I vale 8cm.
60Km . 2h =
ΔS B = 120Km
Obtemos 2 lados iguais formando um ângulo de 60º,
logo o triângulo equilátero é d = 120Km.
120Km
60º
7.
Calcule o comprimento da circunferência inscrita num
triângulo retângulo isósceles, cuja distância do vértice
do ângulo ao incentro mede 4cm.
``
Solução:
B
d = 120Km
120Km
I
M
5. A hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em Â
vale 30cm. Sendo M e N pontos médios de BC e AC,
calcule AP.
A
AI = 4
AMIN – quadrado
M
AI - diagonal
P
AI = r 2
A
C
N
r=
Solução:
4
2
4=r 2
= 2 2 , o comprimento da circunferê ncia é dado por :
C = 2πr = 4 2 π
Como AM = BM = MC, tem-se:
8. Pretende-se construir um posto policial num ponto p,
situado à mesma distância de três casas em uma área
plana de um condomínio. Em geometria, este ponto p é
conhecido com o nome de:
B
15
M
P
2x
x
a) baricentro.
15
b) ortocentro.
A
C
N
c) circuncentro.
3x = 15
AP = 2x
d) incentro.
x = 5
AP = 10cm
e) ex-incentro.
6. Num triângulo retângulo de hipotenusa medindo 24cm,
calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro.
``
Solução:
A
Solução:
A
R
2x
R
N
l
x
B
8
12
M
R
P
B
12
C
A, B e C = Casas
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C
EM_V_MAT_028
``
C
N
I - Incentro
B
``
r
O ponto de encontro das mediatrizes é o centro do círculo circunscrito, chamado circuncentro. Assim, o posto
policial deve ficar neste ponto, pois a distância dele até
as casas serão iguais ao raio.
11. No retângulo ABCD da figura, AMB é triângulo equilátero. Sabendo que AB = 18cm, calcule AE.
9. Na figura, A, B e C medem 45º. Se AF = 20cm, calcule
BC.
A
D
F
``
``
E
Solução:
A
9
M
θ α
E
D
A
F
y
y E
BE = FE = Y
10. Calcule o segmento AB da figura, dado: CD = 9m,
AB = A^
BD = 3m e D^
CD.
A
12. A cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa
mensal de acordo com o seu consumo no período, desde
que esse consumo ultrapasse um determinado nível.
Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa
mínima referente a custos de manutenção. Em certo
mês, o gráfico consumo (em kWh) x preço (em R$) foi
o apresentado a seguir.
α
C
D
B
R$
2 250
1 750
1 250
750
250
Solução:
A
α
x
50 100 150 200
θ
D 3
9
A
α
θ
12
B
``
x
D
θ
3
B
Solução:
a) Na parte inicial onde o gráfico é constante de 0 a
50kWh.
EM_V_MAT_028
α
b) Determine o consumo correspondente à taxa de
R$1.950,00.
A
x
kWh
a) Determine entre que valores de consumo, em kWh,
é cobrada a taxa mínima.
B
Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, assim:
C
B
AE = 2x = 2 . 6 = 12cm.
α
α
α
x = 6cm.
Logo, os triângulos AFE e BCE são côngruos pelo caso
lado-ângulo-lado, então AF = BC = 20cm.
C
18
Como os triângulos DME e ABE são semelhantes na
9 1
razão
= , temos ME = x e AE = 2x, logo
18 2
x + 2x = 18cm
A
x
θ
AB = AM = 18
D
AE = CE = x
``
B
Solução:
B
C
E
C
B
M
D
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9
14. Calcule o segmento AB na figura, se a reta s tangencia
as circunferências de raio 9cm e 4cm nos pontos A e
B, respectivamente.
b)
2 250
1 950
750
x – 100
100
1 200
R$
A
1 500
x 200
100
O1
B
O2
kWh
``
x −100 1 200
=
100
1 500
Solução:
O1 e O2 são centros, logo O1O2 = 9 + 4 = 13cm.
x – 100 = 80
x = 180kWh
13. A figura ABCD é um quadrado de lado 2cm e ACE
um triângulo equilátero. Calcule a distância entre os
vértices B e E.
= 9 +4
Pelo triângulo retângulo formado: 13 2 = x 2 + 5 2,
x = 12cm.
``
15. Calcule o raio do círculo, se o quadrado ABCD tem 1m
de lado.
Solução:
``
d Q = IQ 2
Solução:
dQ = 2 2
r
dQ = T = 2 2
t 3
2
2 2. 3
hT =
= 6
2
2 2
x = 6. −
2
1- r
hT =
10
r2 = (1 – r)2 + (1 – r)2
r2 = 1 – 2r + r2 + 1 – 2r + r2
r2 – 4r + 2 = 0
r=
2+ 2
2– 2
Como r < 1 a resposta será r = (2 – 2).
EM_V_MAT_028
x= 6− 2
1- r
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16. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
“Às folhas tantas do livro matemático
um quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos romboides, boca trapezoide,
corpo octogonal, seios esferoides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
Até que se encontraram no infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
2. Na figura, AB = AC e AE = AD.
A
30º
E
B
C
D
Calcule o valor de .
3. Na figura, ABC é equilátero e o triângulo CDB é isósceles.
A
C
x
(Millôr Fernandes. Trinta anos de mim mesmo.)
A incógnita se enganou ao dizer quem era. Para
atender ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte
resposta:
a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa.”
b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode
me chamar de quadrado da hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode
me chamar de hipotenusa.”
y
B
D
Calcule o valor de 2x + y.
CD=x
B^
A^
BD=y
4. Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo
isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, CD, DE,
EF, FA são congruentes. (AB = AC)
A
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode
me chamar de quadrado da hipotenusa.”
``
F
Solução: D
E
D
1. No triângulo ABC da figura, calcule y.
A
F
B
C
5. Na figura, determine a medida do ângulo
de m.
y
em função
A
E
C
C
x
D
EM_V_MAT_028
B
AB = AC
CD = CE
BÂC = 80º
B
^
A = 3m
^D =
BC
^
B = 2m
^=m
D
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D
11
6. Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo ABC.
B
9. (UFJF) No triângulo ABC, BÂC = 80°. Qual a medida do
ângulo agudo entre as bissetrizes dos ângulos internos
em B e C?
a) 35º
y
b) 40º
A
c) 50º
C
r
d) 65º
Se = 40º e = 30º , então:
a) y = 0º
e) 100º
10. (UFMG) Observe a figura:
b) y = 5º
D
c) y = 35º
d) y = 15º
y
e) os dados são insuficientes para determinação de y.
7.
Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a
poligonal L = BCB1C1B2C2B3C3...
C
b
C3
A
C1
C2
60º
B3
B2
60º
A
a
60º
B1
60º
x 36º
B
c
x
C
B
Nessa figura, o valor de 3y – x, em graus, é:
a) 8
b) 10
c) 12
O comprimento de L é:
a) 2c
d) 16
e) 18
b) a + b + c
11. (UFF) NA figura a seguir, tem-se que: AB = AC e
AP = PC = CB.
c) 2(a + b)
d) 2(a + c)
a+2
e) 2 – c
8. Na figura abaixo, AB = AC, O é o ponto de encontro
das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BÔC é o
triplo do ângulo Â.
A
B
P
A
O ângulo
a) 20°
O
C
mede:
b) 25°
c) 36°
Então, a medida de  é:
a) 18º
b) 12º
c) 24º
d) 36º
12
e) 15º
C
d) 40°
e) 42°
12. (Fuvest) Num triângulo ABC, os ângulos ^
Be ^
C medem
50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice
A forma com a reta BC ângulos proporcionais a:
a) 1 e 2
b) 2 e 3
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EM_V_MAT_028
B
16. Na figura, M é o ponto médio de AB e MP é paralelo
ao AC.
c) 3 e 4
d) 4 e 5
C
e) 5 e 6
13. A soma das distâncias do ponto P aos vértices do triângulo da figura pode ser igual a:
P
O
6
P
8
10
a) 10
A
M
B
Sabendo que BC = 24cm, calcule OP.
17. Calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro de
um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 90cm.
18. Determine a distância do circuncentro ao baricentro em
um triângulo retângulo de hipotenusa 60cm.
b) 12
c) 13
d) 9
19. Determine a distância do ortocentro ao circuncentro em
um triângulo retângulo de hipotenusa 30cm.
e) 11,9
20. (UFSE) Na figura, são dados AC = 8cm e CD = 4cm.
14. Pedrinho observou que em seu condomínio, a sua casa,
a casa do seu avô e a casa do seu primo, poderiam ser
os vértices de um triângulo. Sabendo que a distância da
casa de Pedrinho para a do seu avô e a do seu primo
são, respectivamente 10m e 15m, ele pretende saber
se com um barbante de 4m será possível o avô e o
primo segurarem as extremidades, estando cada um
em sua casa.
15. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes.
b) (
) Os pontos notáveis de um triângulo isósceles
são colineares.
c) (
) Circuncentro de um triângulo é o ponto equidistante dos três vértices do triângulo.
d) (
) Incentro de um triângulo é um ponto equidistante dos três lados do triângulo.
e) (
) Ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas.
f) (
) O baricentro de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio da hipotenusa.
g) (
) O baricentro de um triângulo é um dos pontos
que divide cada mediana em três segmentos
congruentes.
b) 10
c) 12
d) 15
e) 16
21. (UFPA) Na figura, AB = 15, AD = 12 e CD = 4.
EM_V_MAT_028
a) (
A medida de BD é, em cm:
a) 9
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13
Sendo EC paralela à AB, qual o valor de EC?
a) 1
24. (Fuvest) Dados:
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. (UCMG) A medida, em metros, do segmento AD da
figura é de:
MBC = BAC
AB = 3
BC = 2
AC = 4
Então MC:
a) 3,5
b) 2
c) 1,5
d) 1
23. (F.C.CHAGAS) Na figura abaixo, são dados: ABC = EDC,
ED = 2,5cm, AB = 6cm, BC = 9cm e AC = 12cm.
Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro
do triângulo EDC é, em centímetros:
a) 11,25
e) 0,5
25. (Unesp) Na figura, B é um ponto do segmento de reta
AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
b) 11,50
Se AD = 6dm, AC = 11dm e EC = 3dm, as medidas
possíveis de AB, em dm, são:
a) 4,5 e 6,5
c) 11,75
b) 7,5 e 3,5
d) 12,25
c) 2 e 9
e) 12,50
d) 7 e 4
14
EM_V_MAT_028
e) 8 e 3
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26. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A,
ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3.
Quanto mede o lado do quadrado?
a) 0,70
c) 0,80
A distância do chão aos olhos do observador é 1,8m e
PQ = 61,6m. O comprimento da parte do para-raios que
o observador não consegue avistar é:
a) 16m
d) 0,85
b) 12m
e) 0,90
c) 8m
b) 0,75
27. (UNI-RIO) Numa cidade do interior à noite, surgiu um
objeto voador não-identificado em forma de disco, que
estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m
acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme
mostra a figura.
d) 6m
e) 3m
29. (UFRJ) Um automóvel de 4,5m de comprimento é representado, em escala, por um modelo de 3cm de comprimento. Determine a altura do modelo que representa,
na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura.
30. Considere os três quadrados da figura e calcule x.
Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador
mede, em m, aproximadamente:
a) 3,0
31. (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica é cobrada
uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no
período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível.
b) 3,5
c) 4,0
d) 4,5
e) 5,0
EM_V_MAT_028
28. (UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo
retângulo tem 48m de altura. No centro da cobertura
desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura,
está instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r
­que passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular a MN – está um observador que avista somente
uma parte do para-raios (ver a figura).
Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa
mínima referente a custos de manutenção. Em certo
mês, o gráfico consumo (em kWh) X preço (em R$) foi
o apresentado a seguir.
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15
d)
Raio = x
a) determine entre que valores de consumo em kWh é
cobrada a taxa mínima.
AB = 8
CD = 18
b) determine o consumo correspondente à taxa de
R$1.950,00.
32. Determine x nas figuras abaixo:
a)
AD = BC
33. (UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado
de perímetro 2p são vértices de um quadrado de perímetro:
p 2
4
p 2
b)
2
a)
c) p 2
d) 2p 2
AC = x
e) 4 p 2
Raio = 3cm
34. (Fuvest) A secção transversal de um maço de cigarros
é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros
como na figura.
b)
Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo
são:
BD = x
a) 14r e 2r(1 + 3 )
Raio = 2cm
b) 7r e 3r
c)
c) 14r e 6r
d) 14r e 3r
e) (2 + 3 3 )r e 2r 3
a) 198cm
b) 184cm
16
c) 172cm
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EM_V_MAT_028
Raios = 10cm
35. (Unirio) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo,
têm diâmetro de 110cm e de 30cm e seus centros distam
202cm. A distância entre os pontos de contacto das
rodas com o chão é igual a:
d) 160cm
e) 145cm
36. (Cesgranrio) 15 toras de madeira de 1,5m de diâmetro
são empilhadas segundo a figura a seguir.
39. (Unirio) Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro
mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto
mede:
a) 17cm
b) 19cm
c) 20cm
d) 23cm
e) 27cm
Calcule a altura da pilha.
37. (Unirio) Na figura abaixo, determine o perímetro do
triângulo ABC.
38. (UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ
de lado = 4cm.
40. (Cesgranrio) No retângulo ABCD de lados AB = 4 e
BC = 3 ,o segmento DM é perpendicular à diagonal
AC .
O segmento AM mede:
a) 3/2
b) 12/5
c) 5/2
d) 9/5
e) 2
41. (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ , com 8cm
cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios,
formando o retângulo MNPQ (fig. 1). Mantendo-se fixa
a régua MN ee PQ
girando-se 180º a MN
réguae PQ em torno
do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos
fios, obtêm-se dois triângulos congruentes, MNO e
QPO (fig. 2).
Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são
congruentes, o valor da medida do segmento YK é:
3
cm
2
b) 2 3cm
EM_V_MAT_028
a)
c)
2
cm
2
d)
2 cm
e) 2 2cm
Calcule a distância entre as duas réguas nessa nova
posição.
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17
42. (PUC) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede
17cm. A diferença entre os comprimentos dos dois outros lados é de 7cm. Qual é o perímetro do triângulo?
a) 38cm
b) (17 + 20 2 )cm
c) 22
d) 24
e) 26
46. (Cesgranrio) Na figura abaixo, as quatro circunferências
internas têm raio R.
c) 40cm
d) (17 + 10 2 )cm
e) 47cm
43. (Unificado) Numa circunferência de 16cm de diâmetro, uma corda AB é projetada ortogonalmente sobre
o diâmetro BC . Sabendo-se que a referida projeção
mede 4cm, a medida de AB , em cm, é igual a:
a) 6
b) 8
Calcule o raio da circunferência maior.
c) 10
d) 12
e) 14
44. (Unificado) Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio
da circunferência a ele circunscrita vale:
a) 8
1. Determine o perímetro do triângulo ARS da figura abaixo,
onde AB e AC medem 15cm e 18cm, respectivamente,
sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ângulos ABC e ACB
e RS paralelo a BC.
b) 8,5
A
c) 10
d) 12,5
Q
R
e) 14,5
S
45. (Unirio) Na figura abaixo, o triângulo ABD é equilátero,
B
C
e seu lado mede 3m; H é o ortocentro, sendo que os
pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD ,= x 2. Um triângulo ABC é isósceles, com AB = AC. Nele está
respectivamente.
inscrito um triângulo DEF equilátero.
A
b
D
E
c
a
Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no
mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se
cada rolo possui 1m de fita?
a) 18
b) 20
18
F
C
Designado ângulo B^
F D por a, o ângulo A^
DE por b, e
^
ângulo F E C por c, temos:
a) b = a+c
2
a–c
b) b =
2
b–c
c) a =
2
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EM_V_MAT_028
B
d) c = a+b
2
e) a = b+c
2
3. Na figura a seguir, determine x em função de , e .
7.
(UFRJ) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero
de lado igual a K.
x
B = 30º e ^
C =
4. (EN) Dado o triângulo ABC, tal que ^
80º, marcam-se sobre a reta suporte do lado AB os
pontos D e E, tais que AD = AE = AC e BE > BD.
Determine a soma das medidas dos ângulos A ^
DC e
^
B E C.
Seja PM, PN e PS paralelas aos lados dos triângulos,
determine PM + PN + PS .
8. Considere todos os triângulos de perímetro 15m. Nenhum deles pode ter um lado igual a:
a) 8m
a) 75º
b) 7m
b) 90º
c) 5m
c) 105º
d) 4m
d) 135º
e) 6m
e) 150º
5. Na figura abaixo, são dados AC = BC e o quadrado
BCDE.
D
9. Os três menores lados de um quadrilátero convexo
medem 1cm, 4cm e 8cm. Qual dos valores abaixo pode
representar, em cm, o quarto lado?
a) 12
b) 13
c) 14
C
d) 15
e) 16
E
A
10. Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero.
B
Nessas condições, calcular a medida do ângulo .
6. (PUC) Na figura a seguir, temos
. Se
J E?
A D = 44º, qual a medida do ângulo D^
B^
O valor de x é:
a) 5
EM_V_MAT_028
b) 5,5
c) 6,5
d) 6
e) 7
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19
^D = 20º, BC
^E = 50º e
11. Na figura abaixo, AB = AC, CB
^
DC E= 30º.
15. Na figura, I é o incentro do triângulo ABC. Provar que
α = β.
A
α
β
J
B
C
H
16. Na figura, ABCD é um retângulo e AMB é um triângulo
equilátero.
D
^ .
Calcule o ângulo BDE
12. ABC é um triângulo isósceles de base BC e altura AH.
Prolonga-se o lado AB a partir de B, de um comprimento
BD = BH, e pelos pontos D e H traça-se uma reta que
intercepta o lado AC em P. Calcule o ângulo  do trian^D mede 120º.
gulo ABC, sabendo que o ângulo AP
M
C
P
A
B
Sabendo que AB = 18cm, calcule AP.
13. No triângulo ABC da figura, AB = AC.
17. Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as
posições de três casas construídas numa área plana
de um condomínio.
A
B
C
Calcule , se BÂC = 20º, BCD = 50º e CBE = 60º.
(DEB = )
14. Na figura, tem-se MN //BC; NP //AB; MP//AC.
M
Um posto policial estará localizado num ponto P,
situado à mesma distância das três casas.
Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome
de:
a) baricentro.
b) ortocentro.
A
c) circuncentro.
B
d) incentro.
e) ex-incentro.
C
P
Prove que as alturas do triângulo ABC são mediatrizes
dos lados do triângulo MNP.
20
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EM_V_MAT_028
N
18. Se AB = AC e BÂC = 80°, calcule α.
O valor de x é:
a) 15/2
A
b) 9
c) 10
d) 40/3
α
400
e) 16
300
C
B
22. O triângulo ABC da figura é equilátero, AM e MB = 5
e CD = 6.
19. (UFRS)Constroem-se sobre os catetos AB e AC, de um
triângulo retângulo ABC, os quadrados ABDE e ACFG.
Traçam-se, pelos pontos D e F, as perpendiculares
de DD” e FF” ao suporte BC. Se DD” + FF” = 25cm,
Calcule BC.
20. (PUC) Na figura, sabendo-se que AE = 10m, BD = 40m,
AB = 50m, EC = CD, então, CB e AC podem valer:
O valor de AE é:
76
a)
11
b) 77
11
c) 78
11
d) 79
11
80
e)
11
23. Na figura, a reta r é tangente ao círculo e paralela ao
segmento DE.
a) 25m e 25m
b) 32m e 18m
c) 38m e 12m
d) 40m e 10m
e) 50m e 20m
21. (FEI-SP) Na figura, AD //BC.
Se DE = 6, AE = 5 e CE = 7, o valor da medida do
segmento BD é:
a) 3,5
b) 4
c) 4,5
d) 5
EM_V_MAT_028
e) 5,5
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21
24. (UFF) Considere o triângulo isósceles PQR da figura
abaixo, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativa
ao lado QR é h.
Sabendo-se que M1 e M2, são, respectivamente, pontos
médios de PQ e PR, a altura do triângulo KM1M2, relativa
ao lado M1M2, é:
2h
a)
3
b) h
6
h 3
c)
2
h 3
d)
3
h 3
e)
6
27. Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde AD =
BC, DAB = 80º e CBA = 40º. Um ponto P é tal que o
triângulo DPC é equilátero.
Calcule o perímetro do triângulo APB, sabendo que
AB = 6cm e CD = 3cm.
28. No paralelogramo da figura abaixo, temos EF = 32 e
GF = 24.
25. (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual
ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos, AE e BF,
que formam entre si um ângulo reto.
Calcule BE.
29. Na figura a seguir, M é ponto médio de AB, N ponto
médio de BC e PQ é paralelo a BC.
Considerando AF = 16cm e CB = 9cm, determine:
a) as dimensões do cartão;
Calcule AB, sabendo que PM = 2m.
30. Na figura abaixo, as cordas AB e AC medem 5cm e 6cm
respectivamente, e AH = 3cm.
b) o comprimento do vinco AC.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
22
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Calcule o raio do círculo.
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EM_V_MAT_028
26. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como
a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem
4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa,
tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar
12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura
em relação ao solo.
31. (UERJ) A figura abaixo representa um quadrado ABCD
e dois triângulos equiláteros.
A medida de HD, em cm, é:
a) 5 3
b) 10 3
c) 20 3
d) 6 3
e) 12 3
Se cada lado desses triângulos mede 2cm, calcule o
lado do quadrado ABCD.
32. Os centros de duas circunferências estão separados de
41m. Os raios das circunferências medem 4m e 5m.
35. O triângulo é retângulo no vértice A. As medianas dos
catetos são b e c, e a altura relativa à hipotenusa mede
h. Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
1
1
1
=
+
h2 b2 c 2
36. (UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de
um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d.
Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente.
Calcule o comprimento de tangente comum interna.
33. Três goiabas perfeitamente esféricas de centros C1,
C2, C3 e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente, estão
sobre uma mesa tangencionando-se, como sugere a
figura a seguir.
a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que
2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação
indicada, que d = 2Rh .
b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6 300km.
Usando a fórmula do item “a” calcule a distância
d do horizonte, quando o observador está a uma
altura h = 35m.
EM_V_MAT_028
Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer
se dirigir para o centro da terceira goiaba pelo caminho
mais curto. Quantos centímetros percorrerá?
34. O triângulo ABC da figura é equilátero, de lado medindo
20cm. AH e HD são, respectivamente, as alturas dos
triângulos ABC e AHC.
37. (UFF) Na figura a seguir, o vértice Q do retângulo PQRC
foi obtido pela interseção do arco AM de centro em C
e raio CA, com hipotenusa CB do triângulo retângulo
ABC.
Sabendo que PQ mede 12cm e QR mede 9cm,
determine as medidas dos lados do triângulo ABC.
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23
38. (PUC) Seja ABCD um retângulo e seja P um ponto no
interior desse retângulo, tal que AP = 3cm, BP = 4cm
e CP = 5cm. Calcule DP.
39. (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ABCD
é dobrada no segmento EF , de modo que o vértice B
coincida com o vértice D, como nas figuras.
Sabendo-se que as dimensões do retângulo são AB = 8cm
e BC = 4cm, determine a medida do segmento EF .
40. (UFF) Na figura abaixo, o triângulo QRS é equilátero e
está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L.
42. (Cesgranrio) Um quadrado ABCD de lado tem cada um
de seus lados divididos em 9 partes iguais. Ligando-se
com segmentos de reta os pontos de divisão, segundo a direção da diagonal AC , obtém-se o hachurado
mostrado na figura.
9
Calcule a soma dos comprimentos dos 17 segmentos
assim obtidos.
43. O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de
raio 6m dista 1m do solo. A roda está girando com três
crianças que estão, duas a duas, à mesma distância. A
que distância do solo estão duas delas, no momento em
que a outra está no ponto mais alto.
44. Canos de 50cm de diâmetro externo são empilhados,
como mostra a figura, de modo que cada cano está em
contato com seus vizinhos imediatos.
Pode-se afirmar que o lado do triângulo é:
2
2
3
b) L
3
6
c) L
2
d) L( 2 + 6 )
a) L
h
Calcule a altura h indicada.
45. (UFF) Na figura abaixo, as circunferências têm raios
iguais a R e estão inscritas em um triângulo equilátero
de lado igual a 2cm.
e) L( 6 − 2 )

Se A1B1 e A 2B2 são perpendiculares a OX e se

A 2B1 e A 3B2 são perpendiculares a OY , calcule a
24
razão A3B2 .
A2B1
a) R =
1
cm
1+ 3
b) R =
3
cm
1+ 3
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EM_V_MAT_028
�
41. (Cesgranrio) Na figura a seguir, o ângulo XOY
é de
45º.
c) R =
3
cm
1+ 2
d) R =
3
cm
2+ 3
e) R =
2
cm
2+ 3
46. Um acampamento para meninas fica a 300m de uma
estrada reta. Nessa estrada, um acampamento para
meninos fica localizado a 500m do acampamento
das meninas. Deseja-se construir uma cantina na
estrada, que fique exatamente à mesma distância de
cada acampamento. Essa distância será de:
a) 302,5m
b) 305m
c) 308,5m
d) 312,5m
e) 315m
47. Na figura a seguir, AD e BE são perpendiculares e
medianas do triângulo ABC.
EM_V_MAT_028
Calcule AB sabendo que BC = 7cm e AC = 6cm .
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25
14. 4 + 10 < 15, o que contradiz a desigualdade triangular,
logo não será possível.
15.
2.
= 15°
3. 195°
4.
= 20°
5.
= 6m
6. B.
7.
A.
8. D.
9. C.
10. A.
11. C.
12. D.
13. C.
a) V
b) V
c) V
d) V
e) F
f) F
g) V
16. OP = 4cm
17. AI= 2x = 30cm
18. IM = 10cm
19. AM = 15cm
20. C
21. E
22. AD = 6m
23. A
26
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1. y = 75°
24. D
^
6. DJE = 22°
25. C
7.
26. B
8. A
27. A
9. A
28. D
10. D
29. x = 2,5cm
11. BDE = 60º
30. x = 4
12. Â = 20°
31.
a) A função permanece constante e com o valor mínimo entre 0 e 50Kwh.
b) x = 180Kwh.
13.
= 30°
14. Demonstração.
15. Demonstração.
16. AP = 2a = 12cm.
32.
17. C
a) x = 6 2cm
b) x = 4(1+ 2)cm
c) x = 10(2 + 3 )cm
d) AD = BC = 13cm x = 6cm
18. α = 100º
19. BC = BH + HC = DD´ + FF´ = 25cm.
20. D
21. E
33. C
22. E
34. A
23. B
35. A
24. x = h
6
25.
36. 1,5(1+ 2 3 )m
m
37. 100/7
a) AB = 12 e AE = 24.
38. D
b) x = 15
39. B
26.
40. D
a)
41. 6cm
4
42. C
43. B
12,3
1,5
44. E
b) x = 20,5m
45. E
27. 18cm de perímetro.
46. R (1+ 2 )
28. x = 16
29. AB = 12
30. r = 5cm
1. 2PARS = 33cm
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2. E
3. x = – –
4. B
5.
= 45°
31. 2 2 − 2 cm
32. 40m
33. 16,8cm
34. A
35. Resposta pessoal.
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27
36.
a) Resposta pessoal.
b) 21km
37. BC = 25cm; AC = 15cm e AB = 20cm.
38. 3 2cm

39. 29 25cm
40. E
41. 2
42. 9 2
43. – 4m
44. 50
(
)
3 + 1 cm
45. A
46. D
28
17cm
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47.
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