ҡ VISCOELASTICIDADE LI EAR Comportamento viscoelástico

VISCOELASTICIDADE LIEAR
Comportamento viscoelástico linear
a tensão é proporcional à deformação
coeficientes elásticos independentes da amplitude da
deformação (ou da tensão)
Métodos experimentais
Deformação controlada: mede-se o estado de tensão
causado no provete por aplicação de uma deformação
previamente definida
Tensão controlada: aplica-se ao provete uma tensão
previamente definida, e medem-se as deformações
causadas por essa tensão aplicada
Ensaios Reológicos
Regime
transitório
Deformação
Tensão
controlada
controlada
Relaxação
Fluência
G(t)
J(t)
Dinâmico-mecânico
Dinâmico-mecânico
G'(ω), G"(ω)
J'(ω), J"(ω)
Escoamento
Escoamento
η( γ& ), Ν1( γ& ), Ν2( γ& )
η( γ& ), Ν1( γ& ), Ν2( γ& )
Curvas-
Espectro de relaxação
Espectro de retardação
mestras
H(λ)
L(τ)
dinâmico
estacionário
RELAXAÇÃO DE TESÕES
Numa experiência de relaxação:
•
controla-se a deformação;
•
mede-se a resposta (tensão) a uma deformação em
degrau.
Relaxação de tensões
tensão
deformação
10
2
tensão
6
1
4
2
0
-1
0
0
1
2
3
4
tempo
deformação
8
Relaxação de tensões
tensão
deformação
10
2
6
1
4
deformação
tensão
8
2
0
0
0
1
2
3
4
tempo
Experiência de Relaxação
log(tensão)
deformação
8
2
7
5
4
1
3
2
1
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
log(tempo)
3
deformação
log(tensão)
6
Princípio de sobreposição de Boltzmann
• a tensão no instante t é igual à soma das contribuições
provenientes das deformações aplicadas em todos os
instantes t’, anteriores a t.
t
∫
σ( t ) =
dt '.G ( t − t ' ).
−∞
dγ ( t ' )
dt '
• cada uma das contribuições elementares é
dσ( t ) = G ( t, t ' ).dγ ( t ' )
• invariância no tempo, causalidade
dσ( t ) = G ( t − t ' ).dγ ( t ' )
• somando as contribuições de todos os instantes t’ < t
γ (t)
σ( t ) =
γ (t)
∫ dσ( t , γ ( t ')) = ∫ dγ ( t ').G( t − t ')
γ ( −∞ )
γ ( −∞ )
• fazendo a mudança de variável γ −> t
γ(t)
σ( t ) =
t
∫ d γ(t ' ).G (t − t ' ) = ∫ dt '.G(t − t ' ).
γ ( −∞ )
−∞
dγ ( t ' )
dt '
• deformação γ(t,t’) entre t’ e t
t
t
dγ
γ ( t , t ' ) = ∫ dt".
≡ ∫ dt".γ& ( t" ) = [γ ( t ) − γ ( t ' )]
dt
"
t'
t'
• módulo de relaxação G(t)
σ(t) = [G ( t − t ' ).γ ( t ' )]
σ(t) = G 0 .γ ( t ) −
σ( t ) =
∫
−∞
dt '.
t
∫
−
∫
dt '.γ ( t ' ).
−∞
t
dt '.γ ( t ' ).
−∞
t
t
−∞
∂G ( t − t ' )
∂t '
∂G ( t − t ' )
∂t'
∂G ( t − t ' )
.[γ (t ) − γ (t ')]
∂t '
• módulo de equilíbrio
Geq = G(t → ∞)
• módulo instantâneo
G0 = G(t → 0)
• função memória M(t)
M( t − t ' ) =
σ(t) =
∂ G( t − t' )
∂ t'
t
∫
−∞
dt '.
∂ G ( t − t ')
.[ γ ( t ) − γ ( t ')]
∂ t'
t
σ( t ) =
∫ dt '.M(t − t ' ).γ(t, t ')
−∞
• função viscosidade η(t)
t
η( t ) = ∫ dt '.G ( t ' )

G ( t ) = η(0).δ( t ) +
0
∞
• viscosidade limite
η0 = ∫ dt.G ( t )
0
dη( t )
dt
EXPERIÊCIA DIÂMICO-MECÂICA COM
DEFORMAÇÃO COTROLADA
Num líquido viscoelástico linear, é válido o Princípio de
sobreposição de Boltzmann: a tensão no instante t é igual à
soma das contribuições provenientes das deformações
aplicadas em todos os instantes t’, anteriores a t.
t
σ( t ) =
∫
dt '.G ( t − t ' ).
−∞
dγ ( t ' )
dt '
Consideremos uma deformação sinusoidal de frequência ω e
amplitude γω
γ ( t ' ) = γ ω .eiωt '
• substituindo e fazendo a mudança de variável: t' −> s = t− t',
t
σ( t ) =
∫ dt '.G(t − t ' ).iω.γ ω.e
−∞
iω t '
∞
= ∫ ds.G (s).iω.γ ω .eiω( t − s )
0
∞
σ( t ) = eiωt .iω.γ ω.∫ ds.G (s).e−i.ω.s
0
A equação anterior mostra que:
• a tensão é uma função periódica do tempo, com frequência
ω igual à frequência da deformação aplicada;
• a tensão é dada pelo produto do factor eiωt por uma
quantidade complexa; sendo σω o módulo desse número
complexo, a sua forma mais geral é
σ( t ) = eiωt .σ ω .eiδ = σω .ei.(ω.t + δ)
onde σω é a amplitude das oscilações da tensão
Definindo
• módulo complexo G(ω)
∞
G (ω) = i.ω.η(ω) = i.ω.∫ dt.G(t).e- iωt = G ' (ω) + i.G" (ω) = G (ω) .ei.δ
0
• viscosidade complexa η(ω)
∞
η(ω) = ∫ dt.G(t).e -iωt = η' (ω) − i.η" (ω) = η(ω) .ei.( δ − π / 2)
0
tem-se, a frequência constante e fixa
σ
σ( t )
= G (ω) = ω .ei.δ
γ(t )
γω
o caso geral, analisa-se γ(t) nas suas componentes γ(ω)
∞
2
γ ( t ) = .∫ dω.γ (ω).e + iω.t
π 0
∞
γ (ω) = ∫ dt.γ ( t ).e − iω.t

0
tem-se
∞
t
2
σ( t ) = ∫ dt '.G ( t − t ' ). ∫ dω.γ (ω).iω.eiωt '
π0
−∞
por mudança de variável e troca da ordem de integração,
∞
∞
∞
∞
2
2
σ( t ) = ∫ ds.G (s). . ∫ dω.γ (ω).iω.eiω( t − s ) = . ∫ dω.γ (ω).eiωt .iω. ∫ ds.G (s).e − iωs
π 0
π 0
0
0
∞
2
σ( t ) = .∫ dω.γ (ω).e iωt .G (ω)
π 0
Como
∞
2
σ( t ) = .∫ dω.σ(ω).e + iω.t 
π 0
vem
σ(ω) = G (ω).γ (ω)
∞
σ(ω) = ∫ dt.σ( t ).e − iω.t
0
Princípio de sobreposição de Boltzmann
t
σ( t ) =
∫
dt '.G ( t − t ' ).
−∞
dγ ( t ' )
dt '
Regime impulsivo
deformação em degrau: γ(t) = γ 0 .u(t)
γ& (t) = γ 0 .δ(t)
“derivada”:
t
σ(t) =
Substituindo:
∫ dt'.G(t − t').γ
0
.δ(t'− 0) =γ 0 .G(t)
−∞
Regime permanente
Velocidade de deformação: γ& (t) = γ&
σ(t) =
Substituindo:
t
∞
−∞
0
∫ dt'.G(t − t').γ& =γ& .∫ G(t).dt
∞
η0 = ∫ G(t).dt
Viscosidade:
0
Regime dinâmico
Velocidade de deformação: γ ( t ) = γ 0 .eiωt
t
Substituindo: σ(t) =
∫
dt'.G(t − t').γ 0 .iω.eiωt'
−∞
∞
σ(t) = γ 0 .e .iω.∫ G(s).e −iωs .dt = γ 0 .eiωt .iω.η ( ω) = γ 0 .eiωt .G ( ω)
iωt
0
G ( ω) = G'( ω) + i.G " ( ω) = G ( ω) .eiδ
σ ( t ) = σ0 .eiω.(t +δ)
SÓLIDO VISCOELÁSTICO LIEAR: RELAXAÇÃO
Num sólido viscoelástico:
•
o módulo de equilíbrio é não-nulo
•
a viscosidade limite é infinita
Espectro discreto *
 t
G ( t ) = G eq + ∑ G i .exp − 
 λi 
i
∑ G i = G 0 − G eq
i
*

 t 
G ( t ) = G 0 − ∑ G i . 1 − exp −  
 λi  

i
+∞
Espectro contínuo •
G ( t ) = G eq +
 t
d ln λ.H. exp − 
 λ
−∞
∫
+∞
∫ d ln λ. H = G 0 − G eq
−∞
•
+∞
G( t) = G 0 +

 t 
d
ln
λ
.
H
.
1
−
exp
− 
∫

 λ 

−∞
A viscosidade complexa η(ω) é a transformada de
Carson-Laplace do módulo de relaxação G(t)
∞
G(t)
η(ω) = ∫ dt.G(t).e -iωt
⇐⇒
0
G ( t ) = G eq + ∑ G i . e − t λ i
i
η(ω) =
G eq
iω
+∑
i
G i .λ i
1 + iω.λ i
O módulo complexo G(ω) está associado com a transformada de Carson-Laplace da função memória M(t)
M(t ) = −
dG
dt
⇐⇒
G(0) − iω.η(ω)
M(t ) = −
∞
− iωt
∫ dt.M(t).e = ∑
0
i
Gi
1 + iω.λ i
 t 
dG
G
= ∑ i . exp − 
dt
 λi 
i λi
•
Definindo G (ω) = iω.η(ω)
iω.η(ω) = G 0 − ∑ .
i
Gi


1
= G eq + ∑ G i . 1 −

1
+
i
ω
.
λ

1 + iω.λ i
i
i
G (ω) = G eq + ∑ G i .
i
•
iω.λ i
1 + iω.λ i
a relação entre o módulo complexo e o módulo de
relaxação é
∞
G (ω) = iω.∫ dt.G ( t ).e − iω.t
0
logo
∞
G ' (ω) = ω.∫ dt.G ( t ). sin(ωt )
0
∞
G" (ω) = ω.∫ dt.G ( t ). cos(ωt )
0
A transformada de Carson-Laplace da função viscosidade
dependente do tempo é dada por
t
η( t ) = ∫ dt '.G ( t ' ) ⇐⇒
0
η(ω)
iω
LÍQUIDO VISCOELÁSTICO LIEAR: RELAXAÇÃO
Num líquido viscoelástico:
•
o módulo de equilíbrio é nulo
•
a viscosidade limite é finita.
 t 
espectro de relaxação discreto G ( t ) = ∑ G i . exp − 
 λi 
i
•
∑ Gi = G0
i
•

 t 
G ( t ) = G 0 − ∑ G i . 1 − exp −  
 λi  

i
+∞
espectro de relaxação contínuo G ( t ) =
•
 t
d
ln
λ
.
H
.
exp
− 
∫
 λ
−∞
+∞
∫ d ln λ. H = G 0
−∞
•
+∞
G( t) = G 0 +

 t 
d
ln
λ
.
H
.
1
−
exp
− 
∫

 λ 

−∞
∞
•
η(ω) = ∫ dt.G(t).e -iωt
⇐⇒
G(t)
0
G( t) = ∑ G i .e
−t λi
⇐⇒ η(ω) = ∑
i
i
*
G (ω) = iω.η(ω) ⇐⇒
G (ω) = ∑ G i .
i
=

1
∑ G i . 1 − 1 + iω.λ
i
•
−
dG
dt
⇐⇒
iω.λ i
1 + iω.λ i

Gi
 = G0 − ∑ .
i
i 1 + iω. λ i
G(0) − iω.η(ω)
⇐⇒
t
•
G i .λ i
1 + iω.λ i
η( t ) = ∫ dt '.G ( t ' ) ⇐⇒
0
⇐⇒
M(t ) = −
 t 
dG
G
= ∑ i . exp − 
dt
 λi 
i λi
η(ω)
iω
η( t ) = ∑ G i .λ i .(1 − e − t / λ )
i
i
⇐⇒
η(ω) = ∑
i
G i .λ i
1 + iω.λ i
Módulo de relaxação
G ( t ) = {G eq }+
•
•
∞
 t
d
ln
λ
.
H
(ln
λ
).
exp
− 
∫
 λ
−∞
Módulo de equilíbrio:
G eq = G ( t → ∞)
∞
Módulo instantâneo:
{ } ∫ d ln λ.H
G 0 = G eq +
−∞
Função memória
∞
dG ( t − t ' )
1
 t − t' 
M(t − t' ) =
= ∫ d ln λ.H (ln λ ). . exp −

dt '
λ
λ


−∞
Função viscosidade
G ( t ) = η( 0). δ ( t ) +
dη( t )
dt
∞
t

 t 
η( t ) = {G eq }.t + ∫ d ln λ.λ.H (ln λ ).1 − exp −  = ∫ dt '.G ( t ' )
 λ  0

−∞
•
∞
viscosidade limite:
η0 = ∫ dt '.G ( t ' )
0
Espectro de relaxação
G ( t ) = {G eq }+
∞
 t
d
ln
τ
.
H
(ln
τ
).
exp
− 
∫
 τ
−∞
Momentos do espectro de relaxação H
∞
{ } ∫ d ln τ.H
• ordem zero:
G 0 = G eq +
−∞
∞
• ordem um:
∫ d ln τ.τ.H
η0 =
−∞
∞
• ordem dois:
J 0e .η02
=
∫ d ln τ.τ .H
2
−∞
Tempos característicos
∞
∞
∫ d ln τ.τ.H
τn =
ln τ 1
∞
∫ d ln τ.H
∫ d ln τ.τ .H
2
=
η0
0
=
η
.
J
0 N
G 0N
τw =
ln τ 1
ln τ1
∞
∫ d ln τ.τ.H
ln τ 1
J 0e τ w
=
0
J N τn
= η0 .J 0e
FLUÊCIA
Numa experiência de fluência:
•
controla-se a tensão;
•
mede-se a resposta (deformação) a um degrau de
tensão.
Experiência de fluência
deformação
def_irrev
def_retard
def_inst
tensão
16
14
def. total
10
1
tensão
8
def. irreversível (viscosa)
6
4
def. retardada
2
def. instantânea
0
0
0
1
2
3
4
tempo
tensão
deformação
12
Princípio de sobreposição de Boltzmann
• a deformação no instante t é igual à soma das contribuições
provenientes das tensões aplicadas em todos os instantes t',
anteriores a t.
σ( t )
γ(t ) =
∫
t
dσ( t ' ).J ( t − t ' ) =
σ ( −∞ )
∫
dt '.J ( t − t ' ).
−∞
t
dσ ( t ' )
dt '
t
1
dσ( t ' )
γ ( t ) = J g .σ( t ) + . ∫ dt '.σ( t ' ) + ∫ dt '.J d ( t − t ' ).
η −∞
dt '
−∞
(instantânea + viscosa + retardada)
t
t
−∞
−∞
1
d J (t − t' )
γ ( t ) = J g . σ ( t ) + . ∫ dt '.σ( t ' ) − ∫ dt '. σ( t ' ). d
η −∞
d t'
−∞
∞
∞
1
d J (s)
γ ( t ) = J g . σ ( t ) + . ∫ ds. σ( t − s) + ∫ ds. σ( t − s). d
η 0
ds
0
Susceptibilidade mecânica dependente do tempo J(t)
espectro de retardação discreto
(
)
J(t ) = Jg + ∑ Ji . 1 − e− t τ +
i
i
•
t
η
∑ Ji = Je − Jg
i
•
 t t
J ( t ) = J e − ∑ J i .exp −  +
 τi  η
i
espectro de retardação contínuo
∞
J(t ) = Jg +
(
)
−t τ
∫ d ln τ.L. 1 − e +
−∞
•
t
η
∞
∫ d ln τ. L = J e − J g
−∞
•
∞
J(t) = J e −

∫ d ln τ. L.exp −
−∞
t t
+
τ η
Momentos do espectro de retardação L
∞
•
ordem zero
Je = Jg +
∫ d ln τ.L
−∞
EXPERIÊCIA DIÂMICO-MECÂICA
COM TESÃO COTROLADA
Num líquido viscoelástico linear, é válido o Princípio de
sobreposição de Boltzmann: a deformação no instante t é
igual à soma das contribuições provenientes da tensão
aplicada em todos os instantes t’, anteriores a t.
t
γ(t ) =
∫
dt '.J ( t − t ' ).
−∞
dσ(t ')
dt '
Consideremos uma tensão aplicada da forma
∞
2
σ( t ) = .∫ dω.σ(ω).e + iω.t
π 0
∞

σ(ω) = ∫ dt.σ( t ).e − iω.t
0
• substituindo e fazendo a mudança de variável: t' −> s = t− t',
∞
t
∞
∞
2
2
γ ( t ) = ∫ dt '.J ( t − t ' ).iω. . ∫ dω.σ(ω).eiωt ' = ∫ ds.J (s).iω. .∫ dω.σ(ω).eiω( t − s )
π 0
π 0
−∞
0
• trocando a ordem de integração vem
∞
∞
0
0
2
γ ( t ) = . ∫ dω.eiωt .σ(ω).iω. ∫ ds.J (s).e −i.ω.s
π
Como
∞
∞
2
γ ( t ) = .∫ dω.γ (ω).e +iω.t  γ (ω) = ∫ dt.γ ( t ).e − iω.t
π0
0
tem-se
γ (ω) = J (ω).σ(ω)
A equação anterior mostra que, se a tensão aplicada for
analisada como a soma de um conjunto de componentes
periódicas de frequências ω, a deformação correspondente é
analisada como a soma de um conjunto de componentes com
as mesmas frequências ω.
Define-se
• susceptibilidade mecânica complexa J(ω)
∞
J (ω) = i.ω.∫ dt.J(t).e -iωt = J ' (ω) − i.J" (ω) = J (ω) .e − i.δ
0
∞
Como
∞
1
d J (s)
γ ( t ) = J g . σ ( t ) + . ∫ ds. σ( t − s) + ∫ ds. σ( t − s). d
η 0
ds
0
tem-se
1
J (ω) = J g +
+ J d (ω)
iω.η
∞
J d (ω) = ∫ ds.e − iω.s .
0
d J d (s)
ds
SÓLIDO VISCOELÁSTICO LIEAR: FLUÊCIA
t
γ(t ) =
∫
dσ
. Jg + Jd (t − t ' )
dt '
[
dt '.
−∞
t
• instantânea
∫
dt '.
dσ
. J g = J g . σ( t )
d t'
dt '.
dσ
. J d (t − t' )
d t'
−∞
t
• retardada
∫
]
−∞
espectro de retardação discreto
(
J d (t) = ∑ J i . 1 − e− t
i
⇐⇒
)
τi
dJd
1
= ∑ J i . .e − t
dt
τi
i
J d (ω ) = ∑ J i .
i
⇐⇒
τi
τi
Ji
1
.
=∑
τ i 1 + iω. τ i
i 1 + iω. τ i
J (ω ) = J g + J d (ω )
espectro de retardação contínuo
∞
J d (t) =
∫ d ln τ. L.(1 − e
−∞
−t τ
)
∞
dJd
1
= ∫ d ln τ. L. . e − t
dt
τ
−∞
τ
LÍQUIDO VISCOELÁSTICO LIEAR: FLUÊCIA
t
γ(t ) =
∫
−∞
dt '.
dσ 
t − t'

.J g +
+ J d ( t − t ' )
dt ' 
η

t
• instantânea
∫
dt '.
−∞
dσ
. J g = J g . σ( t )
d t'
t
t
−∞
−∞
d σ  t − t' 
1
dt
'.
.
=
0
+
. ∫ dt '. σ( t ' )


∫ d t'  η 
η
−∞
−∞
• viscosa
t
• retardada
∫
dt '.
−∞
dσ
. J d (t − t' )
d t'
espectro de retardação discreto
(
J d (t) = ∑ J i . 1 − e− t
i
⇐⇒
)
τi
dJd
1
= ∑ J i . .e − t
dt
τi
i
J d (ω ) = ∑ J i .
i
⇐⇒
τi
τi
Ji
1
.
=∑
τ i 1 + iω. τ i
i 1 + iω. τ i
J (ω ) = J g + J d (ω )
espectro de retardação contínuo
∞
J d (t) =
∫ d ln τ. L.(1 − e
−∞
−t τ
)
∞
dJd
1
= ∫ d ln τ. L. . e − t
dt
τ
−∞
τ
Relação entre módulo de relaxação e susceptibilidade
mecânica
t
t
0
0
∫ dt '.G (t ' ).J( t − t ' ) = ∫ dt '.G( t − t ' ).J(t ' ) = t
Relação entre espectros de relaxação H e de retardação L
L=
H=
H
2
∞

ξ.H(ξ )
2 2
G eq − ∫ d ln ξ.
 −π H
τ − ξ 

−∞
L
2
∞

τ.L(ξ ) τ 
−  + π 2 .L2
J g + ∫ d ln ξ.
τ − ξ η0 

−∞
NB - Nos integrais anteriores está subentendido que apenas
deverá ser apenas considerada a parte pricipal
Teorema: Se o espectro de relaxação (discreto) de um líquido
viscoelástico linear for constituído por (N) tempos de
relaxação discretos λi [i = 1,…, N], ordenados do seguinte
modo:
λ1 > λ2 > λ3 > …> λN-1 > λN
então o espectro de retardação é constituído por (N−1) tempos
de retardação τk [k = 1,…, (N−1)] que se encontram
ordenados do seguinte modo:
λ1 > τ1 > λ2 > τ2 > λ3 > τ3 >…> τN-2 > λN-1 > τN-1 > λN
No caso de um espectro de relaxação contínuo:
• Módulo de relaxação
∞
G ( t ) = {G eq }+ ∫ d ln λ.H(ln λ ).e − t λ
−∞
• Viscosidade complexa
∞
η(ω) = ∫ dt.G ( t ).e
− iω. t
0
∞
 G eq 
λ
G (ω)
=
=
 + ∫ d ln λ.H.
1 + iωλ
iω
 iω  − ∞
∞
∞
dω
dω G (ω) iω.t
G(t ) = ∫
.η(ω).eiω.t = ∫
.
.e
π
2
π
2
i
ω
0
0
∞
1
η' (ω) = .∫ dτ.M (τ).sin (ω.τ )
ω0
∞
1
η' ' (ω) = . ∫ dτ.M (τ).[1 − cos(ω.τ)]
ω 0
• Módulo complexo
∞
G (ω) = − ∫ dt.M ( t ).e−iω.t
0
G (ω) = {G eq }+
∞
∫
−∞
d ln λ.H.
iωλ
= iω.η(ω)
1 + iωλ
No caso de um espectro de retardação contínuo:
• Susceptibilidade mecânica complexa
∞
1
1
 1 
J (ω) = J g + 
=
 + ∫ d ln τ.L.
1 + iωτ G (ω)
 iωη  − ∞
∞
J d (ω) = ∫ dt.
0
dJ d (t ) −iω.t
.e
dt
∞
dJ (t )
J 'd (ω) = ∫ dt. d . cos(ω.t )
dt
0
∞
J"d (ω) = ∫ dt.
0
dJ d (t )
. sin(ω.t )
dt
∞
dJ d (t ) 2
= . ∫ dω.J d (ω).e iω.t
dt
π0
∞
∞
dJ d (t ) 2
2
= .∫ dω.J 'd (ω). cos(ω.t ) = . ∫ dω.J"d (ω). sin(ω.t )
dt
π 0
π 0
t
∞
∞
t
∞
∞
2
2
J" (ω)
J d (t ) = ∫ dt. . ∫ dω.J"d (ω). sin(ω.t ) = . ∫ dω. d
.[1 − cos(ω.t )]
π 0
π 0
ω
0
2
2
J ' (ω)
J d (t ) = ∫ dt. .∫ dω.J 'd (ω). cos(ω.t ) = .∫ dω. d
. sin(ω.t )
π
π
ω
0
0
0
Sólido viscoelástico:
G eq ≠ 0 ;
1
=0
η0
Líquido viscoelástico:
G eq = 0 ;
1
≠0
η0
Determinação das constantes viscoelásticas características
da viscoelasticidade linear
∞
∞
2
G ' (ω)
η0 = ∫ d ln t.t.G ( t ) = . ∫ d ln ω.
π −∞
ω
−∞
∞
J 0e
∞

1
2
1 
= 2 . ∫ d ln t.t 2 .G ( t ) = J g + . ∫ d ln ω.J ' ' (ω) −

π −∞
ω
.
η
η0 − ∞

0
∞
2
G 0 = G eq + . ∫ d ln ω.G ' ' (ω)
π −∞
Dissipação de energia
dU = σ.dγ ⇒ ∆U =
γ(t 2 )
t2
γ (t1 )
t1
∫ dγ.σ( γ) = ∫ dt '.σ(t ' ).
dγ ( t ' )
dt '
Sendo
σ( t ) = σ 0 .e i.ω.t
G (ω) =
γ ( t ) = γ 0 .e i (ω.t − δ)
σ 0 iδ
.e
γ0
a variação de energia num período é
2π ω
∆U =
∫
0
[
] [
1
1
dt '. σ + σ* . . iω.γ − iω.γ *
2
2
]
calculando, obtém-se
a energia dissipada por período
∆U = π.σ 0 .γ 0 . sin δ = π.γ 02 .G ' ' (ω) = π.σ 02 .J ' ' (ω)
a energia dissipada por unidade de tempo
∆U ∆U 1
1
1
=
= .ω.σ 0 .γ 0 . sin δ = .ω.γ 02 .G ' ' (ω) = .ω.σ 02 .J ' ' (ω)
∆t
T
2
2
2
Demonstração:
dU = σ.dγ ⇒ ∆U =
σ( t ) = σ 0 .e i.ω.t
γ(t 2 )
t2
γ (t1 )
t1
∫ dγ.σ( γ) = ∫ dt '.σ(t ' ).
G (ω) =
γ ( t ) = γ 0 .e i (ω.t − δ)
dγ ( t ' )
dt '
σ 0 iδ
.e
γ0
Tem-se
2π ω
∆U =
∫
0
2π ω
∆U =
∫
0
[
] [
1
1
dt '. σ + σ* . . iω.γ − iω.γ *
2
2
[
]
][
1
dt '. .σ 0 .γ 0 . eiω.t + e − iω.t . iω.e i(ω.t − δ ) − iω.e − i (ω.t − δ )
4
2π ω
1
∆U = .σ 0 .γ 0 .
4
∫ dt '.iω.[e
i.( 2ω.t − δ)
− eiδ + e − iδ − e − i.( 2ω.t − δ)
0
2π ω
1
∆U = .σ 0 .γ 0 .
4
∫ dt '.iω.[2i.sin(2ω.t − δ) − 2i.sin(δ)]
0
2π ω
1
1
∆U = .σ 0 .γ 0 .2π.sin δ − .σ 0 .γ 0 .
2
2
∫ dt '.ω.[sin(2ω.t '−δ)]
0
∆U = π.σ 0 .γ 0 . sin δ = π.γ 02 .G ' ' (ω) = π.σ 02 .J ' ' (ω)
]
]
Ensaios reológicos empíricos
• Índice de Fluidez (Melt Index) I2 (2160 g)
• viscosidade para baixa velocidade de deformação
• Índice de fluidez I10
• (carga elevada, vel. def. próxima process.)
• Razão de índices de fluidez
I10/I2
• grau de reo-fluidez ou reo-espessamento
• correlação com a distribuição de massa molar
• caudal de saída em extrusão
• Elasticidade G'(ω)
• Razão de estiramento máxima
• Alargamento (inchamento) à saída da fieira
• Qualidade óptica (transparência)
• Resistência à tracção
• Resistência ao rasgamento
• Resistência ao impacto
• Resistência à penetração (dureza)
• Viscosidade limite η0
• Tensão do fundido (filme)
Պ
உ
Funções Materiais da Viscoelasticidade Linear
G(t)
TCL
J(t)
TCL
η(ω) G(ω)
(ω)
G(ω).J(ω) = 1
J(ω)
ω)
Gross
L(ln τ)
H(ln λ)
Módulo
Susceptibilidade
G’(ω), G’’(ω), G(t) J’(ω), J’’(ω), J(t)
Espectros
H(ln λ), L(ln τ)
Qualidade óptica
Amortecimento de vibrações
Ruptura sob tensão de peças
Tensões residuais
Inchamento do extrudido
Envelhecimento
Viscosidade limite
Ruptura de juntas
Vida de tubos pressurizados
Massas molares médias
Distribuição de massas molares