COLÉGIO MILLENIUM CLASSE QUADRILÁTEROS – FRENTE B – 1° ANO – PROF. JAMES Quadrilátero Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD. Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º. (1) Do triângulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180º. (2) Adicionando(1) com (2) , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º a + b + c + d = 360º Observações 1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo: Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono. 2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º. Se = 360º Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Exemplo: h é a altura do paralelogramo. O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos: Retângulo Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos). Exemplo: Losango Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes. Exemplo: Quadrado Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes. Exemplo: É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango. Trapézio É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases. Exemplo: Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos. Destacamos alguns trapézios: Trapézio retângulo É aquele que apresenta dois ângulos retos. Exemplo: Trapézio isósceles É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes. Exemplo: Trapézio escaleno É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes. Exemplo: Propriedades dos Paralelogramos 1ª Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. H: ABCD é paralelogramo. T: Demonstração Afirmativa Justificativa 1. Segmentos de paralelas entre paralelas. 2. Segmentos de paralelas entre paralelas. 2ª Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes. H: ABCD é paralelogramo. T: Demonstração Afirmativa Justificativa 1. Hipótese. 2. Hipótese. 3. Lado comum. 4. Caso L.L.L. 3ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio. H: ABCD é paralelogramo T: Demonstração Afirmativa Justificativa 1. 2. 3. é diagonal (2ª propriedade) Ângulos correspondentes em triângulos congruentes. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes. 4. 5. 4ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio. H: ABCD é paralelogramo. T: Demonstração Afirmativa Justificativa 1. Ângulos alternos internos. 2. Lados opostos (1ª propriedade). 3. Ângulos alternos internos. 4. Caso A.L.A.. Lados correspondentes em triângulos congruentes. 5. Resumindo: Num paralelogramo: • • • • os lados opostos são congruentes; cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais interceptam-se em seu ponto médio. Propriedade característica do retângulo. As diagonais de um retângulo são congruentes. T: ABCD é retângulo. H: .