ESPAÇOS MÉTRICOS
E
ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
Nuno C. Freire e M. F. Veiga
Setembro 2010
ISBN 989-20-2175
i
Prefácio
A aplicação da Matemática, em que se consideram unicamente conceitos
abstractos ao estudo da realidade Física, reflecte como o pensamento humano é
moldado à existência material.
Em Topologia obtem-se uma Teoria relativa aos conceitos de figura, pela
caracterização da forma_ Figuras que podem obter-se uma da outra por uma
deformação continuada são chamadas homeomorfas; homeomorfismo é um
conceito fundamental em Topologia; e distinguem-se figuras formadas por "um só"
ou "vários bocados"_ E de número, pela formulação geral rigorosa do conceito de
limite. Assim em particular a Topologia é fundamental em Análise Matemática.
Já da Antiguidade se recolhem os Elementos de Euclides, um primeiro
exemplo de uma Teoria Axiomática. Esta obtem-se na dedução de propriedades
feita a partir de outras e uma propriedade só é aceite como verdadeira_Um
Teorema da Teoria_ Se foi demonstrada ou seja, se ficou provado que é
consequência lógica de propriedades anteriores. Indispensável é assim a Lógica
Matemática; esta assenta na distinção entre os valores lógicos Verdadeiro e Falso,
e tem como Princípios fundamentais a não contradição (uma proposição não pode
ser simultaneamente Verdadeira e Falsa) e o terceiro excluído (dada uma
proposição, esta é Verdadeira ou é Falsa, não podendo dar-se outro caso). E a
Teoria de Conjuntos, que dá corpo rigoroso a toda a Matemática, que teve
avanços notáveis no séc. XIX. Este livro é inicialmente concebido como um texto
para o estudante que lhe dá chão seguro para proseguir em Análise e, de forma
geral para todo o Curso. A matéria é exposta na forma de exercícios resolvidos,
recolhida de obras consagradas. Sugere-se ao leitor que vá seguindo as
resoluções para de seguida, pouco a pouco, procurar por si resolver recorrendo
quando necessário a uma solução exposta. Inicia com uma abordagem intuitiva de
Teoria de Conjuntos e noções básicas de Lógica Matemática no Cap. I.
Aconselha-se a leitura atenta deste Capítulo. Da experiência de um dos Autores, o
Aproveitamento é muito melhor quando se começa pelos Espaços Métricos,
expostos no Cap. II; assim se facilita o processo de abstracção. Np Cap. III
trata-se a Topologia Geral. As matérias são desenvolvidas de modo a que
excedem um Curso habitual de Topologia de um Semestre. Nomeadamente o
Cap. IV não terá cabimento nesse âmbito. Para o estudo da Topologia incluímos
no Cap. III o esboço de uma Axiomática rigorosa de Teoria de Conjuntos, baseada
na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann que é adoptada pelo texto de
referência [Dugundji]. Numa primeira abordagem (quiçá inevitavelmente para um
primeiro Curso) é suficiente o Cap. I. Motivados pelo interesse no tema,
apresentamos desenvolvimentos possivelmente apropriados para pós-graduação.
São indicadas referências bibliográficas para o aprofundamento em Topologia, que
esperamos possam ser úteis para Colegas interessados.
ii
ÍNDICE
Prefácio ..................................................................................................i
I
I.1
I.2
I.3
RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES .......................................1
Relações numa variável e conjuntos ...............................................2
Relações binárias e funções .......................................................... 21
Axioma de Zermelo e produto cartesiano infinito
Operação de Hilbert .......................................................... .............25
I.4 Funções associadas de conjuntos de uma função ........ .......... .... 26
I.5 Relações de equivalência e relações de ordem ............ .............. 29
I.6 O conjunto N. Noções de cardinalidade ......................... .............. 36
I.7 Filtros e ultrafiltros. Redes ..............................................................47
I. 8 Exercícios e complementos ............................................................ 54
Bibliografia do Capítulo I ................................................................ 57
II
ESPAÇOS MÉTRICOS ................................................................ 58
II.1 Desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder e Minkowski .............59
II.2 Distância num conjunto. Espaço métrico.
Sucessões convergentes .............................................................. 61
II.3 Vizinhanças de um ponto num espaço métrico ............................. 72
II.4 Métricas equivalentes .....................................................................75
II.5 Topologia de um espaço métrico .................................................. 80
II.6 Topologia de subespaço métrico. Separabilidade ......................... 97
II.7 Condições de cardinalidade em espaços métricos ...................... 103
II.8 Limite de uma função entre espaços métricos num ponto
e continuidade ..............................................................................111
II.9 Métricas sobre o produto cartesiano de espaços métricos ......... 126
II.10 Espaços métricos completos. Categoria ................................ ....130
II.11 Separação em espaços métricos ................................................143
II.12 Compacidade em espaços métricos ...........................................144
II.13 Conjuntos conexos em espaços métricos .................................. 154
II. 14 Exercícios e complemantos ................................................ .... 161
Bibliografia do Capítulo II ...................................................... ... 164
iii
III
ESPAÇOS TOPOLÓGICOS .................................................................165
III.1 Uma axiomática da teoria de conjuntos..
Números ordinais e números cardinais ...................................................166
III.2 Espaço topológico e base de uma topologia .........................................178
III.3 Vizinhanças de um ponto .......................................................................185
III.4 Subespaços topológicos ........................................................................ 188
III.5 Conjuntos fechados. Definição da topologia pelo operador de fecho ....190
III.6 Conjuntos notáveis associados a um conjunto no espaço topológico ...192
III.7 Convergência no espaço topológico .....................................................197
III.8 Limites e continuidade .......................................................................... 201
III.9 Separação ............................................................................................ 210
III.10 Topologia produto e topologia ccociente.
Espaços completamente regulares.
Obtenção de topologias ...................................................................... 221
III.11 Compacidade .......................................................................................239
III.12 Conjuntos conexos ...............................................................................257
III. 13 Exercícios e complementos .................................................................268
IV
IV.1
IV.2
IV.3
METRIZABILIDADE ..............................................................................270
Espaços topológicos metrizáveis separáveis .......................................271
Teoremas complementares ................................................................. 275
Exercícios e complementos ................................................................. 280
Bibliografia dos Capítulos III, IV ........................................................... 283
-1-
I RELAÇÕES, CONJUNTOS
E FUNÇÕES
-2I.1 RELAÇÕES NUMA VARIÁVEL E CONJUNTOS
Uma relação Rx numa variável x ∈ U (x pertence a U) é uma expressão em que
figuram palavras da linguagem comum, acrescidas ou não de sinais ou símbolos
matemáticos, que se transforma numa afirmação (proposição) para cada valor atribuido à
variável x, percorrendo o conjunto U. Neste Cap. I não distinguimos entre os conceitos de
colecção ou classe de entes, e o conjunto que constituem; o que é tema de III.1. em que
expomos uma teoria axiomática de conjuntos, a que seguimos neste livro. Podem ocorrer
numa Teoria matemática, relações numa variável x, que envolvam apenas símbolos
matemáticos e a variável x.
Sempre que não é claro no contexto, deve indicar-se expressamente o conjunto de
valores que se considera para a variável, escrevendo Rx x ∈ U.
I.1.1 Exemplos (1) Rx ≡ x é divisível por 3 x ∈ N é uma relação em x,
considerada para x variando no conjunto dos números naturais N 1, 2, . . . ;
(2) Rx ≡∣ x ∣ 1 x ∈ R é uma relação na variável x percorrendo o conjunto R
dos números reais;
(3) Rz ≡∣ z ∣ 1 z ∈ C é uma relação em C, o conjunto dos números
complexos;
(4) Rp ≡ p ∈ Q p ∈ N 0 é uma relação na variável p, onde p varia no conjunto
dos inteiros não negativos N 0 (Q representa o conjunto dos números racionais).
I.1.2 Observações (1) A cada conjunto dado A, podemos associar a relação
correspondente x ∈ A, que é uma relação na variável x. No entanto, uma relação numa
variável pode não definir nenhum conjunto. Aceitamos os princípios do terceiro excluido e
da não contradição (uma proposição é verdadeira ou é falsa, e não pode ser verdadeira e
falsa simultaneamente) da Lógica Clássica, e conclui-se facilmente que a relação x ∉ x não
define nenhum conjunto: se A é o conjunto dos elementos x tais que x ∉ x, suponhamos
A ∈ A; então A ∉ A, de modo que não pode ser A ∈ A, pelo princípio da não contradição.
Pelo princípio do terceiro excluído, deve ter-se portanto A ∉ A; mas então A ∈ A, pela
definição do conjunto A, o que não pode ser, de novo pelo princípio da não contradição.
(2) O aluno já terá distinguido que expressões como " x ∉ x" , " x ∈ x" , serão
”absurdas”. Esta última, por exemplo porque uma vez conceptualizado um conjunto X, há
que distinguir o conjunto dos elementos que lhe pertencem, e que são exactamente os
objectos que satisfazem a relação x ∈ X. Deste modo deve escrever-se 1 ∈ 0, 1, 4 no
lugar de 1 ∈ 0, 1, 4, ∈ em vez de ∈ ; em ambos os casos, se X é um conjunto
formado por elementos a, b, u, escrevemos X a, b, u por exemplo. (A relação
Rx ≡ x ∈ x ∈ N não é ”absurda”, recorde-se, mas uma relação impossível pois não é
verificada por nenhum número natural). Questões como estas inserem-se na Teoria da
Lógica Matemática aprofundada, e neste curso aceitaremos tacitamente axiomas de
regularidade (numa Teoria Matemática, aceitam-se como verdadeiras certas hipóteses sem
necessidade de demonstração, que se chamam axiomas), que dão lugar aos conceitos e
notações habituais em Teoria dos Conjuntos.
-3I.1.3 Substituições numa relação
Se Rx x ∈ U é uma relação em x, e c ∈ U, diz-se que a proposição Rc é obtida
por substituição da variável x pela constante c
I.1.4 Os valores lógicos V, F
Segundo os princípios do terceiro excluido e da não contradição, a cada proposição P
corresponde ou o valor lógico V, se a proposição é verdadeira, ou o valor lógico F, se é
falsa; e não pode ocorrer um terceiro caso. Para simplificar, escreve-se P V, P F
respectivamente no primeiro (segundo) caso.
I.1.5 Exercício Em cada um dos exemplos (1),...,(4) anteriores, determine o valor
lógico das proposições R4 e R1. (Note que 1, 4 pertencem ao conjunto relativo à
variável em cada exemplo).
Resolução
(1) R1 F. R4 F.
(2) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F.
(3) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F.
(4) R1 ≡ 1 ∈ Q 1 ∈ Q V. R4 ≡ 4 ∈ Q 2 ∈ Q V.
I.1.6 Formação de novas relações e tabelas de verdade
Sendo Rx, Sx duas relações numa variável x percorrendo um mesmo conjunto U,
então para cada substituição de x por uma constnte c ∈ U a proposição Rc ou Sc pode
não significar o mesmo que Rc, nem que Sc. A proposição Rc ou Sc, ou mais
geralmente R ou S, em que R, S são quaisquer proposições, designa-se por R ∨ S, neste caso
Rc ∨ Sc. Uma vez que podemos considerar a proposição Rc ∨ Sc para cada valor da
constante c tomada em U, faz sentido considerar a relação Rx ∨ Sx x ∈ U.
Analogamente, dadas Rx, Sx, ambas relações em x ∈ U pode considerar-se a relação
Rx e Sx, que se representa por Rx ∧ Sx. E assim como dada uma proposição R
podemos considerar a sua negação, que notamos ~R, a negação da relação Rx x ∈ U é a
relação ~Rx x ∈ U, sendo ~Rc a negação da proposição Rc, para cada substituição
da variável x pela constante c fixada em U. Importante é também saber se uma relação Rx
implica uma relação Sx, para a variável x tomando valores em U. Isto é verdade sse
(abreviatura de ”se e só se”) para cada substituição da variável x por um elemento c ∈ U, as
proposições obtidas Rc, Sc respectivamente verificam Rc Sc isto é, se sempre
que se dá Rc V então tem-se Sc V; escreve-se neste caso Rx Sx x ∈ U.
Rx, Sx são equivalentes quando Rx Sx e reciprocamente Sx Rx, nota-se
então Rx Sx. Frequentemente, interessa ter informação sobre o valor lógico de uma
proposição, ou de uma relação numa variável, obtida a partir de outras por utilização dos
símbolos lógicos ∨, ∧, ~, , não apenas no caso em que a proposição obtida é verdadeira
(ou a proposição obtida por substituições numa relação), para estudar um problema; para
isso utilizam-se as tabelas de verdade do cálculo proposicional, que indicam a variação dos
valores lógicos.
-4I.1.7 Tabelas de verdade da disjunção, conjunção, negação, implicação e
equivalência
Q P ∨ Q P ∧ Q ~P P Q P Q
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
I.1.8 Exemplos (1) Sabendo-se que uma disjunção P ∨ Q V, e que P F, pode
inferir-se pela observação da tabela, que Q V;
(2) Se soubermos que uma implicação P Q é verdadeira (i.e, P Q V, e
portanto se verifica o caso da 1ª linha, ou os casos da 3ª ou 4ª linhas da tabela de verdade),
e que o consequente Q da implicação é Q F, podemos concluir que P F pela
observação da tabela.
P
V
V
F
F
I.1.9 Observação As tabelas de verdade aplicam-se também a relações, indicando-se
o conjunto em que se considera a variável. Para uma relação Rx x ∈ U, põe-se
Rx V x ∈ A se Rc V para cada subtituição da variável por qualquer constante
c ∈ A ⊂ U. Por exemplo x 2 0 x ∈ R é falsa, e x 2 0 x ∈ R\0 é verdadeira.
Também x 2 1 x 1 x ∈ R é falsa, e x 2 1 x 1 x ∈ R 0 é verdadeira, onde
R 0 é o conjunto dos números reais não negativos. Para significar que duas relações
Rx, Sx x ∈ U têm o mesmo valor lógico (i.e., para cada substituição da variável por
uma constante c, as proposições Rc, Sc têm o mesmo valor lógico, Rc Sc),
escreve-se Rx Sx. Por exemplo as relações em x ∈ N, Rx ≡ x é divisível por 4, e
Sx ≡ x é divisível por 2 ,verificam Rx ∨ Sx Sx, Rx ∧ Sx Rx. Diz-se que
as proposições R, S (respectivamente as relações em x, Rx, Sx) são equivalentes sse
R S (respectivamente Rx Sx)
I.1.10 Exemplo Dadas quaisquer proposições R, S, as tabelas de verdade de R S e
de ~R ∨ S mostram que R S ~R ∨ S:
R
V
V
F
F
S
V
F
V
F
~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ S
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Uma proposição que assume sempre o valor lógico V diz-se uma tautologia. Assim
R S ~R ∨ S é uma tautologia. R ∨ S S ∨ R, R ∧ S S ∧ R são tautologias
-5I.1.11 Exercícios (1) Verifique usando uma tabela de verdade, que ~ ~R R é uma
tautologia.
(2) Mostre que são tautologias, utilizando tabelas de verdade:
(i) R R ∨ S;
(ii) R ∧ S R;
(iii) R S R S ∧ S R;
(iv) R T ∧ S T R ∨ S T;
(v) H T ~T ~H;
(vi) R S ∧ R T R S ∧ T.
(vii) R S ~R ∨ S.
(3) Utilizando o exercício anterior, pode concluir que se R, S 0 são
relações na variável ∈ R , onde R é o conjunto dos números reais positivos, então as
implicações
(i) R R ∨ S e (ii) R ∧ S R são verdadeiras? Porquê?
(4) Sendo x 0 ∈ a, b A ⊂ R, 0,
(i) determine o maior subconjunto E de R tal que R ≡ x 0 − , x 0 ⊂ A é
verdadeira, com x 0 ab
, para todo o ∈ E.
2
(ii) indique um valor de x 0 tal que, para qualquer 0, sejam verdadeiras
simultãneamente x 0 − , x 0 ∩ A ≠ , x 0 − , x 0 ∩ A c ≠ . (A c R\A é o
conjunto complementar de A em R).
Resolução
(1) R ~R ~ ~R
V F
V
F V
F
Uma vez que R, ~ ~R assumem sempre o mesmo valor lógico, conclui-se que
~ ~R R é uma tautologia.
(2)
(i) R S R ∨ S R R ∨ S
V V V
V
V F V
V
F V V
V
F F F
V
(ii) R S R ∧ S R ∧ S R
V V V
V
V F F
V
F V F
V
F F F
V
-6(iii) R S R S R S S R R S ∧ S R
V V
V
V
V
V
V F
F
F
V
F
F V
F
V
F
F
F F
V
V
V
V
Uma vez que os valores lógicos nas 3ª e última coluna coincidem, conclui-se a
tautologia.
(iv) R S T R ∨ S R T S T R T ∧ S T R ∨ S T
V V V V
V
V
V
V
V V F V
F
F
F
F
V F V V
V
V
V
V
V F F V
F
V
F
F
F V V V
V
V
V
V
F V F V
V
F
F
F
F F V F
V
V
V
V
F F F F
V
V
V
V
Uma vez que sempre que o antecedente R T ∧ S T na penúltima coluna é
verdadeiro, também o consequente R ∨ S T na última coluna é verdadeiro, concluimos
que a implicação R T ∧ S T R ∨ S T é verdadeira.
(v) H T ~H ~T H T ~T ~H
V V F F
V
V
V F F V
F
F
F V V F
F
F
F F V V
V
V
Uma vez que os valores lógicos de H T, ~T ~H coincidem nas 5ª e 6ª colunas
coincidem, conclui-se que H T ~T ~H.
(vi) R S T S ∧ T R S R T R S ∧ R T R S ∧ T
V V V V
V
V
V
V
V V F F
V
F
F
F
V F V F
F
V
F
F
V F F F
V
V
V
V
F V V V
V
V
V
V
F V F F
V
V
V
V
F F V F
V
V
V
V
F F F F
V
V
V
V
Coincidindo os valores lógicos nas duas últimas colunas, conclui-se a equivalência.
(vii) R S ~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ S
V V F
V
V
V
V F F
F
F
V
F V V
V
V
V
F F V
V
V
V
-7(3) Sim, porque para cada substituição de por uma constante 0 , as implicações
R 0 R 0 ∨ S 0 e R 0 ∧ S 0 R 0 são verdadeiras ((2),(i),(ii)).
(4) (i) O maior valor de para o qual ab
− , ab
⊂ a, b é o maior 0 tal
2
2
ab
ab
b−a
que ab
−
≥
a
∧
≤
b
0
≤
−
a
∧ ≤ b−a
; é portanto b−a
.
2
2
2
2
2
2
b−a
Conclui-se 0, 2 .
(ii) x 0 a.
I.1.12 Cálculo Proposicional e obtenção de conjuntos.
Dados conjuntos X, Y definidos respectivamente por relações Rx, Sx, obtêm-se
X Y x : Rx ∨ Sx x : x ∈ X ∨ x ∈ Y (”x :” leia-se ”x tal que”),
X ∩ Y x : Rx ∧ Sx x : x ∈ X ∧ x ∈ Y e
Y\X x : Sx ∧ ~Rx x ∈ Y : x ∉ X, onde x ∉ Y significa ~x ∈ Y. Se se
consideram todos os conjuntos, como subconjuntos de um mesmo conjunto universal U,
nota-se apenas X c no lugar de U\X.
Mais geralmente, se A 1 , . . . , A n são conjuntos, a reunião (resp. intersecção) finita dos
conjuntos A k k 1, . . . , n é o conjunto A k (resp. A k ) definido por
k ∈ Sn
k ∈ Sn
A k x : x ∈ A 1 ∨. . . ∨x ∈ A n
k ∈ Sn
( A k x : x ∈ A 1 ∧. . . ∧x ∈ A n )
k ∈ Sn
Para cada n ∈ N, S n é a secção de índice n de N, S n 1, . . . , n.
I.1.13 Observação De I.1.11 (1) concluimos que se A é um subconjunto de um
conjunto universo U, tem-se A c c U.
I.1.14 Exemplos (1) N 0 0, 1, 2, . . . N 0.
(2) Se k ∈ N, representa-se kN 0 0, k, 2k, 3k, . . . , e para cada p ∈ N,
kN p k p, 2k p, 3k p, . . . . Com k 3, obtem-se
3N 0 p N, 3N 0 p .
p ∈ S3
p ∈ S3
I.1.15 Definição Se X ≠ , Y ≠ , o par ordenado x, y (x ∈ X, y ∈ Y) pode definir-se
como sendo o conjunto x, x, y x, y. Obtem-se então o conjunto produto cartesiano
de X por Y, X Y x, y : x ∈ X, y ∈ Y. O produto cartesiano X X representa-se
também por X 2 . De modo análogo, sendo X 1 , . . . , X m conjuntos não vazios, m ∈ N,
define-se o produto cartesiano
m
X 1 . . . X m k1 X k x 1 , . . . , x m : x k ∈ X k , k 1, . . . , m
Nota-se X 1 . . . X m X m se X k X k 1, . . . , m, para cada m ∈ N 2 , onde N 2
2, 3, . . . .
Exemplos (1) O plano cartesiano real é o produto cartesiano R 2 .
(2) i, −1, −i, 1 ∈ C 4 , onde C é o plano complexo.
-8I.1.16 Exercícios (1) Mostre que dados conjuntos não vazios A, B, C, D tem-se:
(i) A C D A C A D; (ii) A B C A C B C (iii)
A C ∩ D A C ∩ A D; (iv) A ∩ B C ∩ D A ∩ C B ∩ D.
(2) Mostre que se R, S são proposições, a) verificam-se as leis de De Morgan:
~R ∨ S ~R ∧ ~S e ~R ∧ S ~R ∨ ~S são tautologias. (Utilize uma tabela de
verdade grande);
b) se P, A, B são proposições,
(i) P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B; (ii) P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B;
c) verifique também utilizando uma tabela de
verdade, que pode trocar-se em b) (i), (ii) ∧ ∨ obtendo outras equivalências.
d) Conclua de b) e a) que se P, R, S são
proposições, então (i) P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S;
(ii) P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S.
(3) Determine : (i) 4N 0 p (ii) 4N 0 p (iii) 2N ∩ 4N.
p ∈ S4
p ∈ S4
(4) Determine as intersecções, e interprete graficamente:
(i) x, x 2 : x ∈ R ∩ x, x 4 : x ∈ R 0 ;
(ii) x, 2x 1 : x ∈ R ∩ x, x 2 : x ∈ R;
(iii) x, x 3 : x ∈ R ∩ x, x : x ∈ R 0 ;
(iv) e it : t ∈ 0, 2 ∩ z ∈ C : Rez Imz, onde Rez x, Imz y para
z x iy ∈ C.
Resolução
(1) (i) x, y ∈ A C D x ∈ A ∧ y ∈ C D x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ y ∈ D
x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ A ∧ y ∈ D x, y ∈ A C ∨ x, y ∈ A D
x, y ∈ A C A D;
(ii)
x, y ∈ A B C x ∈ A B ∧ y ∈ C x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C
x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C x, y ∈ A C ∨ x, y ∈ B C
x, y ∈ A C B C;
(iii) x, y ∈ A C ∩ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧
x ∈ A ∧ y ∈ D x, y ∈ A ∩ C A ∩ D;
(iv) x, y ∈ A ∩ B C ∩ D x ∈ A ∩ B ∧ y ∈ C ∩ D
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ B ∧ y ∈ D
x, y ∈ A ∩ C B ∩ D.
-92 a)
R S ~R ~S R ∨ S R ∧ S ~R ∨ S ~R ∧ ~S ~R ∧ S ~R ∨ ~S
V V F F
V
V
F
F
F
F
V F F V
V
F
F
F
V
V
F V V F
V
F
F
F
V
V
F F V V
F
F
V
V
V
V
Como os valores lógicos das colunas 7ª e 8ª (resp. 9ª e 10ª) coincidem, concluem-se
as leis de De Morgan.
b)
(i) P A B A ∧ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B
V V V
V
V
V
V
V
V V F
F
V
F
F
F
V F V
F
F
V
F
F
V F F
F
F
F
F
F
F V V
V
F
F
F
F
F V F
F
F
F
F
F
F F V
F
F
F
F
F
F F F
F
F
F
F
F
Coinicidindo as duas últimas colunas, conclui-se a equivalência
(ii) P A B A ∨ B P ∧ A ∨ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∨ P ∧ B
V V V V
V
V
V
V
V V F V
V
V
F
V
V F V V
V
F
V
V
V F F F
F
F
F
F
F V V V
F
F
F
F
F V F V
F
F
F
F
F F V F
F
F
F
F
F F F F
F
F
F
F
Como a 5ª coluna coincide com a última, conclui-se a equivalência.
c) P A B A ∨ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B
V V V V
V
V
V
V
V V F V
V
V
V
V
V F V V
V
V
V
V
V F F F
V
V
V
V
F V V V
V
V
V
V
F V F V
V
F
V
V
F F V V
F
V
V
V
F F F F
F
F
F
F
Uma vez que as duas últimas colunas coincidem, concluimos a equivalência
P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B.
-10A equivalência restante é P ∨ A ∧ B P ∨ A ∧ P ∨ B:
P A B A ∧ B P ∨ A ∧ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∧ P ∨ B
V V V V
V
V
V
V
V V F F
V
V
V
V
V F V F
V
V
V
V
V F F F
V
V
V
V
F V V V
V
V
V
V
F V F F
F
V
F
F
F F V F
F
F
V
F
F F F F
F
F
F
F
Como a 4ª e a última coluna coincidem, conclui-se a equivalência.
d) (i) Fazendo A ≡ ~R e B ≡ ~S, concluimos de 1 a) e b) (i) que
P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ ~S P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B
P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S, desde que provemos que se P 1 P 2 então P ∧ P 1 P ∧ P 2 .
Determinando então as tabelas de verdade:
P P1 P2 P ∧ P1 P ∧ P2
V V V
V
V
V V F
V
F
V F V
F
V
V F F
F
F
F V V
F
F
F V F
F
F
F F V
F
F
F F F
F
F
Verifica-se que quando P 1 , P 2 têm o mesmo valor lógico, nas 1ª, 4ª, 5ª e última
linhas, também P ∧ P 1 , P ∧ P 2 assumem o mesmo valor lógico. Ou seja: se P 1 P 2 , então
também P ∧ P 1 P ∧ P 2 .
(ii) Utilizando o resultado provado em (2) b) (i) P 1 P 2 P ∧ P 1 P ∧ P 2 ,
(uma vez sabido que uma implicação P Q é verdadeira, podemos utilizar este resultado,
e designá-lo escrevendo P Q directamente), obtemos de (1) a), b) (ii):
P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ ~S P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B
P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S, como queríamos.
(3) (i) Para cada p 1, 2, 3, 4, tem-se: 4N 0 p é o conjunto dos números naturais,
cujo resto da divisão por p 1, 2, 3 é p, e zero para p 4. Uma vez que cada número
natural verifica pelo menos um destes casos, obtem-se (i) 4N 0 p N.
p ∈ S4
Como nenhum número natural verifica dois destes casos simultãneamente, tem-se
também (ii) 4N 0 p .
p ∈ S4
-11(iii) Sendo todo o múltiplo de 4 um múltiplo de 2, tem-se 2N ∩ 4N 4N.
(4)
(i) O par ordenado x, y pertence à intersecção dos dois conjuntos sse a ordenada y é
da forma y x 2 x 4 , onde x ∈ R, x 0. A única raiz real positiva de x 2 x 4 sendo
x 1, concluimos que a intersecção é o conjunto 1, 1.
2
(ii) Para x ∈ R, tem-se 2x 1 x 2 x 2 − 2x − 1 0 x 2 2 ; deste modo a
2
2
intersecção procurada é 2 − 2 , 5 − 2 , 2 2 , 5 2 .
(iii) 0, 0, 1, 1.
(iv) e it cos t i sin t verifica cos t sin t 0 ≤ t 2 sse t
a intersecção procurada é
2
2
i
2
2
,−
2
2
−i
2
2
4
∨t
5
4
, portanto
.
I.1.17 Axiomas da selecção e da extensão e inclusão de conjuntos.
I.1.18 Axioma da selecção
A relação Rx na variável x define um conjunto A se existe um conjunto E tal que
Rx x ∈ E. Põe-se então A x : Rx.
I.1.19 Inclusão de conjuntos
Se X, Y são conjuntos, pomos X ⊂ Y sse a implicação x ∈ X x ∈ Y é verdadeira.
Diz-se então que X é um subconjunto de Y. Em particular, tem-se sempre X ⊂ X.
I.1.20 Axioma da extensão
Sendo Rx, Sx relações numa variável satisfazendo o axioma da selecção,
A x : Rx, B x : Sx, tem-se A B sse Rx Sx.
I.1.21 Observações (1) Destes dois axiomas, o axioma da extensão parece ”óbvio”
mas é aceitando-os em Teoria dos conjuntos, que podemos utilizar os conceitos intuitivos
habituais, lidando com conjuntos e relações. Em particular, resulta deste último axioma e da
definição de inclusão de conjuntos, que dados conjuntos A, B, tem-se
A B A ⊂ B ∧ B ⊂ A. (as tabelas de verdade mostram imediatamente que, dadas
proposições P, Q, tem-se P Q P Q ∧ Q P).
-12(2) Notando que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer relação impossível,
por exemplo x : Sx com Sx ≡ x ≠ x, ou, sendo Rx uma relação num conjunto,
x : Rx ∧ ~Rx, ( duas relações impossíveis são equivalentes, pois assumem o
valor lógico F para qualquer substituição da variável por uma constante), reconhece-se,
pondo, para cada conjunto X, X x : x ∈ X que X \ X . Também
X \ x : x ∈ X ∧ ~x ≠ x x : x ∈ X ∧ x x x : x ∈ X X.
(3) Uma vez que Rx ∨ Rx Rx, Rx ∧ Rx Rx para qualquer relação
Rx, tem-se X X X, X ∩ X X para cada conjunto X.
(4) Das equivalências Rx ∨ Sx Sx ∨ Rx, Rx ∧ Sx Sx ∧ Rx (as
tabelas de verdade mostram imediatamente que dadas proposições R, S tem-se
R ∨ S S ∨ R e R ∧ S S ∧ R, (ver I.1.6), concluimos que
X Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y ∨ x ∈ X Y X e X ∩ Y Y ∩ X para
quaisquer conjuntos X, Y.
(5) Se P Q, então P ∨ Q Q é uma tautologia. Para o verificar, utilizando uma
tabela de verdade, basta verificar se, em cada linha tal que P Q V, as colunas de
P ∨ Q, Q assumem o mesmo valor lógico; o que é o mesmo que, supondo a hipótese
P Q, constatar que P ∨ Q, Q são equivalentes:
Q P Q P∨Q
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
São os casos da 1ª e 3ª,4ª linhas. Podemos concluir que se Rx, Sx são relações na
variável x, tais que Rx Sx então Rx ∨ Sx Sx e, pondo para cada conjunto X,
X x : x ∈ X, que se X ⊂ Y então X Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y Y.
Analogamente, a tabela de verdade mostra que se R S, então R ∧ S R e portanto
se X ⊂ Y, tem-se X ∩ Y X.
P
V
V
F
F
I.1.22 Exemplo Se X, Y são subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, tem-se:
x ∈ X Y c x ∈ U ∧ ~x ∈ X Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ Y
x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ X c ∧ x ∈ Y c x ∈ X c ∩ Y c ,
donde X Y c X c ∩ Y c . (Utilizando o Ex. 1.1.16 (1) d) (i).).
I.1.23 Exercícios (1) Prove que se X, Y ⊂ U então X ∩ Y c X c Y c .
(2) No que segue, supomos todos os conjuntos sendo subconjuntos de um mesmo
conjunto U. Prove que:
(i) A ⊂ A B e B ⊂ A B;
(ii) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B;
(iii) A ⊂ B B c ⊂ A c ;
(iv) A ⊂ B A ∩ B c ;
-13(3) Se X é um conjunto, diz-se que A 1 , . . . , A p é uma partição de X sse cada A i ⊂ X
, A i ∩ A j sempre que i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ p e A i X.
i ∈ Sp
Prove que se p é um número natural, então pN 0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição
de N.
(4) Mostre que para quaisquer conjuntos A, B, C tem-se
(i) C \ A B C \ A ∩ C \ B;
(ii) C \ A ∩ B C \ A C \ B.
(5) Prove que A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ sse A B ⊂ A ′ B ′ .
Resolução
(1) x ∈ X ∩ Y c x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∩ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ Y
x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ X c Y c , o que prova a igualdade.
(Utilizámos o anterior Ex. 1.1.16 (1) d) (ii)).
(2) (i) Uma vez que a tabela de verdade de mostra que P P ∨ Q (verifique que é
uma tautologia), encontra-se: x ∈ A x ∈ A ∨ x ∈ B; isto prova, pela definição de A B,
que A ⊂ A B. Uma vez que P ∨ Q Q ∨ P é uma tautologia, obtem-se A B B A,
e a inclusão B ⊂ A B conclui-se da demonstração anterior.
(ii) Tem-se P ∧ Q P e P ∧ Q Q (verifique estas tautologias; note que o símbolo
"
" separa proposições formadas por outras utilizando os símbolos " ∨" ," ∧" ). Então
x ∈ A ∩ B x ∈ A ∧ x ∈ B x ∈ A, donde A ∩ B ⊂ A e analogamente A ∩ B ⊂ B.
(iii) Suponhamos A ⊂ B; então x ∈ A x ∈ B, e se x ∉ B (i.e., se x ∈ B c ), não
pode portanto ser x ∈ A, donde x ∉ A; assim x ∉ B x ∉ A, i.e. B c ⊂ A c . Como ~
~P P, tem-se A c c A, B c c B, e da inclusão provada conclui-se
B c ⊂ A c A ⊂ B, provando a equivalência.
(iv) Suponhamos A ⊂ B i.e., x ∈ A x ∈ B. Então se x ∈ A não pode verificar-se
x ∉ B; assim nenhum x verifica x ∈ A ∧ x ∈ B c donde A ∩ B c . Reciprocamente, se
A ∩ B c , e se x ∈ A, não pode ser x ∈ B c , x ∉ B; conclui-se que se x ∈ A então x ∈ B,
i.e., A ⊂ B.
(3) O resto da divisão por p de um número natural n é zero (caso em que
n ∈ pN 0 p), ou um número m, 1 ≤ m p; desta forma, N pN 0 m
m ∈ Sp
porque pN 0 m 1 ≤ m ≤ p é exactamente o conjunto dos números naturais, cujo resto da
divisão por p é m. Se 1 ≤ m, m ′ ≤ p e m ≠ m ′ então pN 0 m ∩ pN 0 m ′ ; assim
pN 0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N.
(4) Notar que substituindo o conjunto universal U, por qualquer conjunto C, nos
anteriores Exemplo, e Ex (1), o essencial da demonstração se aplica, (X A e Y B)
obtendo-se as igualdades (i), (ii). (Isto mostra que o caso A, B ⊂ U anteriormente
considerado, é um caso particular).
(5) A B ⊂ A ′ B ′ x, y ∈ A B x, y ∈ A ′ B ′ x ∈ A x ∈ A ′ e
y ∈ B y ∈ B ′ sse A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ .
-14I.1.24 Exercícios (1) Mostre que se X, Y são conjuntos, (i) X ⊂ X Y; (ii) X ∩ Y ⊂ X.
(Sug: I.1.11, (2) (i), (ii).
(2) Utilizando o axioma da extensão e a técnica em I.1.20, (2)...(5), prove que:
a) (i) X ∩ Y ∩ Z X ∩ Y Z; (ii) X Y Z X Y Z. (Sug: I.15 b), c));
b) (i) X ∩ Y Z X ∩ Y X ∩ Z;
(ii) X Y ∩ Z X Y ∩ X Z. (Sug: I.1.15 b), c)).
c) (i) A relação " X ⊂ Z e Y ⊂ Z" é equivalente a X Y ⊂ Z. (Sug: I.1.11, (2) ((iv)).
(ii) A relação " Z ⊂ X e Z ⊂ Y" é equivalente a Z ⊂ X ∩ Y. (Sug: I.1.11, (2) (vi)).
Resolução
(1) (i) Uma vez que x ∈ X x ∈ X ∨ x ∈ Y, concluimos X x : x ∈ X ⊂
x : x ∈ X ∨ x ∈ Y X Y.
(ii) Tendo-se x ∈ X ∧ x ∈ Y x ∈ X conclui-se
X ∩ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ⊂ x : x ∈ X X.
(2) a) (i) X ∩ Y ∩ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z
x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z X ∩ Y ∩ Z;
(ii) X Y Z x : x ∈ X ∨ X ∈ Y ∨ x ∈ Z
x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z X Y Z.
b) (i) X ∩ Y Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ Z
x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Z
X ∩ Y X ∩ Z;
(ii) X Y ∩ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ Z
x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ X ∨ x ∈ Z X Y ∩ X Z.
c) (i) x ∈ X x ∈ Z ∧ x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∨ x ∈ Y x ∈ Z, donde se
conclui que X ⊂ Z ∧ Y ⊂ Z X Y ⊂ Z;
(ii) x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Z x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Y e
conclui-se Z ⊂ X ∧ Z ⊂ Y Z ⊂ X ∩ Y.
-15I.1.25 Exercícios (1) Prove que para quaisquer conjuntos A, B, C, D se tem:
(i) A A \ B A ∩ B e A \ B ∩ A ∩ B ;
(ii) A \ B A \ A ∩ B A B \ B;
(iii) A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C;
(iv) A \ B \ C A \ B C;
(v) A \ B \ C A \ B A ∩ C;
(vi) A \ B ∩ C \ D A ∩ C \ B D.
(2) Prove que: a) A \ B A se e só se A ∩ B ;
b) A \ B B A B \ B se e só se B .
c) A ⊂ B A ∩ B A A B B.
(Sug: Verifique, utilizando uma tabela de verdade, que se P, Q são proposições, Q
uma tautologia, então P P ∧ Q (faça sempre V na coluna de Q) e portanto, se R é uma
relação impossível, P ∧ ~R P; e que se Q é uma relação impossível então P ∨ Q P.
Pode utilizar (1) (ii) para (2) a), b).
Resoluções
(1) (i) Uma vez que dadas proposições P, Q se tem P P ∧ ~Q ∨ Q, conclui-se a
propriedade correspondente para relações numa variável, obtendo-se
x ∈ A x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ B, donde se
conclui A A \ B A ∩ B pelo princípio de extensão. A relação em x,
x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B é equivalente à relação impossível x ∉ B ∧ x ∈ B que
define assim o conjunto .
Portanto A \ B ∩ A ∩ B , pelo axioma da extensão.
(ii) Dadas proposições P, Q tem-se P ∧ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ P ∧ ~Q
P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∧ Q donde
se conclui A \ B A \ A ∩ B. Também P ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q ∧ ~Q
P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q (esta última
equivalência porque os valores lógicos de P ∨ ~Q ∧ ~Q e de ~Q são sempre o mesmo, já
que se S R então R ∧ S S, como mostram as 1ª, 3ª e 4ª linhas da tabela de verdade),
donde podemos concluir A \ B A B \ B.
(iii) x ∈ A ∩ B \ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∨ ~x ∈ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∧ x ∈ C
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∩ C x ∈ A ∩ B \ A ∩ C, onde a terceira equivalência se
justifica porque se P, Q, R são proposições tais que P Q e Q R, então as proposições
P ∧ Q e P ∧ R são equivalentes, como mostra a tabela de verdade nas 1ª, 5ª, 7ª e 8ª linhas
(fazer P ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B, Q ≡ x ∉ C, R ≡ x ∉ A ∨ x ∉ C):
P Q R P Q Q R P∧Q P∧R
V V V
V
V
V
V
V V F
V
F
V
F
V F V
F
V
F
V
V F F
F
V
F
F
F V V
V
V
F
F
F V F
V
F
F
F
F F V
V
V
F
F
F F F
V
V
F
F
e assim
A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C.
-16(iv) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C
x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A \ B C
(v) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C
x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C
x ∈ A \ B A ∩ C.
(vi) x ∈ A \ B ∩ C \ D x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ D
x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ D x ∈ A ∩ C ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ D
x ∈ A ∩ C \ B D.
(2) a) Por (1), (ii) tem-se A \ B A \ A ∩ B. Logo se A ∩ B , A \ A ∩ B A \
A (se Sx é uma relação impossível, então ~Sx é uma relação sempre verdadeira, e
x ∈ A ∧ ~Sx x ∈ A). Portanto se A ∩ B tem-se A \ B A. Reciprocamente, se
A ⊂ A \ A ∩ B então tem-se x ∈ A x ∈ A ∧ ~x ∈ A ∩ B V; a tabela de verdade
mostra que, dadas proposições P, Q, se Q pode tomar o valor lógico F, então P P ∧ Q
não toma sempre o valor lógico V. Portanto tem de se verificar ~c ∈ A ∩ B V para cada
substituição de x pela consante c, i.e, c ∈ A ∩ B F e x ∈ A ∩ B deve ser uma relação
impossível, i.e., A ∩ B .
b) Utilizando (1), (ii) A B \ B A \ B. A igualdade referida é portanto a igualdade
de conjuntos A \ B B A \ B, que é verdadeira se B , pois então B x : Sx,
onde Sx é uma relação impossível, donde se verifica a equivalência x ∈ A \
B ∨ Sx x ∈ A \ B (se S F então P ∨ S P para qualquer proposição P).
Reciprocamente, a inclusão A \ B B ⊂ A \ B só se verifica se B ⊂ A \ B, porque dadas
proposições P, Q, P ∨ Q P só assume o valor lógico V quando Q P toma o valor
lógico V. Então tem de ser x ∈ B x ∈ A ∧ ~x ∈ B, donde x ∈ B ~x ∈ B, e por
isso tem de ser sempre c ∈ B F para cada substituição de x pela constante c, i.e., x ∈ B é
impossível e B .
c) Dadas proposições P, Q tem-se: P Q P ∧ Q P é uma tautologia, como se
verifica pela tabela de verdade; assim A ⊂ B A ∩ B A. Também a proposição
P Q P ∨ Q Q é uma tautologia, donde se conclui que A ⊂ B A B B.
I.1.26 Quantificação
Vimos que dada uma relação numa variável Rx x ∈ E, a substituição de x por
uma constante c em E, transforma a relação Rx na proposição Rc. Sendo A ⊂ E,
podemos considerar as proposições ”para cada x ∈ A, Rx”, significando que todos os
objectos x ∈ A, satisfazem a relação Rx, e ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx”,
significando que existe pelo menos um objecto x em A que verifica Rx. A proposição
”para cada x ∈ A, Rx”, ou doutro modo, ”para qualquer x ∈ A, Rx”, ou ainda ”para todo
o x ∈ A, Rx” escreve-se ∀x ∈ A, Rx, ou também ∀x ∈ A Rx. Convém, para clareza,
muitas vezes, colocar Rx entre parêntesis, pondo ∀x ∈ ARx, e pode escrever-se
também Rx ∀x ∈ A, utilizando ou não os parêntesis. A proposição ”existe pelo menos um
x ∈ A, Rx” escreve-se ∃x ∈ A, Rx, com a mesma ressalva para o uso de parêntesis. As
proposições assim obtidas, a partir de uma relação numa variável, dizem-se
proposições quantificadas, e ”∀”, ”∃” são respectivamente os quantificadores universal,
e existencial. Um outro quantificador, é o que afirma a existência de um único elemento
num dado conjunto, verificando a relação. Escreve-se então ∃ 1 x, Rx se o conjunto em
que x varia está subentendido, ou ∃ 1 x ∈ A, Rx (∃ 1 x ∈ ARx).
-17I.1.27 Exemplos (1) Dada a relação Rx ≡ x 2 2 x ∈ R, podem considerar-se as
proposições quantificadas ∀x 0x 2 2 F, ∃x ∈ Rx 2 2 V;
∀x ∈ −, 2 2 , x 2 2, verdadeira, ∀x ∈ N 2 x 2 2, verdadeira; assim
como ∃ 1 x ∈ 1, 2x 2 2 V, ∃ 1 x ∈ Qx 2 2 F.
(2) Como vemos no exemplo acima, no primeiro e no terceiro casos, o mesmo
quantificador pode formar uma proposição falsa a partir da mesma relação numa variável,
quantificando a variável num conjunto, mas verdadeira quantificando noutro conjunto.
I.1.28 Exercício Dadas as seguintes relações numa variável, indique quais das
proposições quantificadas são verdadeiras ou falsas:
(1) Rx ≡ 3 x ∈ Q x ∈ R
(i) ∀x, Rx; (ii) ∃x ∈ Z 3 x ∈ Q; (iii) ∀x ∈ −1, 0, 1 Rx.
(2) Rx ≡∣ x ∣ a x a x ∈ R
(i) ∀x 0∣ x ∣ a x a (ii) ∃ 1 x, ∣ x ∣ a x a (iii) ∀x, Rx
(3) R ≡ 2 0
(i) ∀ 0, 1 2 ; (ii) ∀ ∈ 0, 1R; (iii) ∃ ∈ −1, 1R.
Resolução
(1) (i) ∀x ∈ R 3 x ∈ Q F, pois por exemplo 2 ∈ R, 3 2 ∉ Q.
(ii) V (considere-se x 8) (iii) V
(2)
(i) V; (ii) F; (iii) F
(3)
(i) V; (ii) F; (iii) V
I.1.29 Exercício Sendo 0 1 fixo, indique quais das proposições seguintes são
verdadeiras, ou falsas:
n
a) ∃ n ∈ N0 1n ; b) ∀ n ∈ N 1n ; c) n1
∀n ∈ N.
Resolução
a) V; b) F; c) F.
-18I.1.30 Observações (1) Quando se consideram proposições compostas por diversas
proposições quantificadas, a indicação, que deve constar em cada uma destas proposições
quantificadas, da variável que se quantifica e do respectivo conjunto, permite ler a
proposição obtida considerando de cada vez em cada uma, os símbolos relativos a variáveis
que não as quantificadas em cada proposição, como constantes. Em Análise real, segundo a
definição do limite u de uma sucessão u n , recorde-se que u lim u n s e só se é verdadeira
a proposição quantificada ∀ 0∃ p ∈ Nn ≥ p ∣ u n −u ∣ .
(2) Em expressões envolvendo mais que uma proposição quantificada, a ordem pela
qual são feitas as quantificações respeitantes é importante. Por exemplo considerando a
proposição quantificada acima, a proposição ∃ p ∈ N∀ 0n ≥ p ∣ u n − u ∣
significa que u n é constante e igual a u a partir de uma ordem p; esta proposição é falsa se
nu
nu
considerarmos u ≠ 0, u n n2
, mas lim n2
u segundo a definição.
I.1.31 Exercícios (1) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras ou
falsas:
(i) ∀ a ∈ 0, 1∃ 0Ia, ⊂ 0, 1, onde Ia, a − , a ;
(ii) ∀ a ∈ 0, 1∃ 0Ia, ⊂ 0, 1;
(iii) ∃ a ∈ 0, 2 ∩ 0, 1∀ 0Ia, ⊂ 0, 2 ∩ 0, 1;
(iv) ∃ a ∈ 0, 1∀ 0Ia, ⊂ 0, 1;
(v) ∃ 0∀a ∈ 0, 1Ia, ⊂ 0, 1;
(vi) ∀x ∈ R∀ 0∃ n ∈ N 1n ∣ x ∣ ;
(vii) ∀x ∈ R∃ n ∈ N∀ 0 1n ∣ x ∣ ;
n
1 n1
(viii) ∀ n ∈ N n1
n ;
1
(ix) ∀ a ∈ Ra n ∀ n ∈ N a ≤ 0;
(x) ∀x ∈ N∀ 0∃ y ∈ R ∣ x − y ∣
∀x ∈ N∀ 1∃ b ∈ R 1 ∣ bx ∣
(2) Indique, justificando, quais das seguintes proposições são ou não verdadeiras:
a) ∃ a ∈ Z∀ m ∈ Za m 0;
b) ∀ m ∈ Z∃ a ∈ Za m 0;
c) ∃ ∈ Q∀ q ∈ Qq q q.
Resolução
(1)
(i) F (a 1;
(ii) V;
(iii) F;
(iv) F;
(v) F ;
(vi) V;
(vii) F;
(viii) V;
(ix) V;
(x) V (ambas as proposições são verdadeiras).
-19(2) a) F. (O elemento m que satisfaz a m 0, para cada a ∈ Z considerado, é
único, m −a).
b) V.
c) V ( 1).
I.1.32 Propriedade Seja Rx x ∈ X uma relação numa variável. Pelo significado da
proposição ∀x, Rx, ”para todo o x, verifica-se Rx”, a sua negação é a proposição ”existe
pelo menos um x que não verifica Rx”. Obtem-se assim a propriedade da negação do
quantificador universal, ~∀x, Rx ∃x, ~Rx. A negação de ”existe pelo menos um x
tal que Rx” é ”para todo o x, ~Rx”, i.e., ~∃x, Rx ∀x, ~Rx.
Para a negação de uma implicação ∀x, Px Qx, atendendo a que
Px Qx ~Px ∨ Qx, e portanto
~Px Qx ~~Px ∨ Qx ~~Px ∧ ~Qx Px ∧ ~Qx, obtem-se
~∀x, Px Qx ∃x, Px ∧ ~Qx. Analogamente,
~∃x, Px Qx ∀x, Px ∧ ~Qx.
I.1.33 Exemplos (1) A negação de ∃x ∈ R, x 2 −1 é ∀x ∈ R, x 2 ≠ −1.
(2) Se x n é uma sucessão real, a ∈ R, a negação de lim x n a é
~∀ 0, ∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ x n − a ∣ , portanto é a proposição
∃ 0, ~∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ x n − a ∣
∃ 0, ∀p ∈ N, ∃n ∈ N, n ≥ p ∧∣ x n − a ∣≥ .
I.1.34 Exercícios (1) Negue as proposições quantificadas:
(i) ∀m ∈ Z, m 2 m;
(ii) ∃q ∈ Q, q 2 2;
(iii) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x 2 y 2 x y.
(2) Explicite em linguagem lógica que a sucessão real u n não é um infinitamente
grande positivo.
(3) Sendo f uma função real da variável real, exprima logicamente que não se verifica
lim x→0 fx 1.
Resoluções
(1)
(i) ∃m ∈ Z, m 2 ≤ m;
(ii) ∀q ∈ Q, q 2 ≠ 2;
(iii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x 2 y 2 ∧ x ≤ y.
(2)
A negação de ∀ 0, ∃p ∈ N ∀n ∈, n ≥ p u n 1 é
∃ 0, ∀p ∈ N ∃n ∈ N, n ≥ p ∧ u n ≤ 1 .
(3) Trata-se de negar a proposição
∀ 0, ∃ 0 ∀x ∈ R, ∣ x ∣ ∣ fx − 1 ∣ . Obtem-se
∃ 0, ∀ 0 ∃x ∈ R, ∣ x ∣ ∧∣ fx − 1 ∣≥ .
-20I.1.35 Definição Se C X : ∈ A é uma classe não vazia de conjuntos, indiciada
num conjunto de índices A, dizemos que C é uma família de conjuntos. A reunião
generalizada (resp. intersecção generalizada) da classe é o conjunto
C X : ∈ A x : ∃ ∈ A, x ∈ X (resp. C
X : ∈ A x : ∀ ∈ A, x ∈ X ). Se todos os conjuntos X são subconjuntos
de um mesmo conjunto X, A , põe-se X : ∈ A e X : ∈ A X.
I.1.36 Observações (1) Admitimos o Axioma da reuniâo: Para qualquer classe de
conjuntos C, existe sempre o conjuto C.
(2) Pelas definições tem-se X : ∈ A ⊂ X ⊂ X : ∈ A para cada
∈ A. (2) Se X : ∈ A é tal que cada X verifica A ⊂ X ⊂ B então tem-se
A ⊂ X : ∈ A e X : ∈ A ⊂ B
I.1.37 Exercício Determine as intersecções e reuniões generalizadas:
(i) −n, 1 : n ∈ N (ii) 0, 1 − 1n : n ∈ N;
(iii) −q. q : q ∈ Q (iv) −q, q : q ∈ Q (v) − 1n , 1n : n ∈ N
(vi) 1 − 1n , 1 1n : n ∈ N.
I.1.38 Resolução (i) x ∈ R : ∃n ∈ N, −n x ≤ 1 −, 1;
(ii) x ∈ R : ∃n ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1 − 1n 0, 1; (iii) R; (iv) 0;
(v) x ∈ R : ∀n ∈ N, − 1n x 1n 0;
1 − 1n x 1 1n , ∀n ∈ N x 1, 1 − 1n , 1 1n : n ∈ N 1.
I.1.39 Definição Se X, Y são conjuntos não vazios, diz-se que uma parte não vazia
⊂ X Y do conjunto produto cartesiano X Y, é uma relação de X para Y. Se x, y ∈ ,
nota-se também xy. Por exemplo, com X N, Y Q, n, 1n : n ∈ N é uma
relação de N para Q. Tem-se 11, 2 12 , 23 231 , etc. Se A é um conjunto, representamos
PA W : W ⊂ A o conjunto das partes de A. Sendo X ≠ , Y ≠ , X Y é uma
relação de X para Y tal que ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, xy; PX PY é uma relação de PX
para PY tal que ∀A ⊂ X∀B ⊂ Y, A B.
I.1.40 Exercício Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira:
(i) x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V 2 para PV;
(ii) x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V V para V.
Resolução
(i) é verdadeira, pois cada par ordenado x, y ∈ V 2 verifica x, yV sse x, y, V é
um par ordenado tal que x, y ∈ V, onde V ∈ PV. (ii) é falsa.
-21
I.2 RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES
I.2.1 Definição Se X Y ≠ uma relação d e X para Y diz-se uma relação binária em
X; assim uma relação binária em X é uma parte não vazia do produto cartesiano X 2 .
Por exemplo x 0 y sse ∃ m ∈ Ny x m uma relação binária em R tal que
1, 1 ∈ 0 , 1, 2 ∉ 0 , 2, 4, 2, 8, 2, 16 ∈ 0 . Também a 1 b sse b 2a é a relação
binária em N, 1 1, 2, 2, 4, 3, 6, . . . .
I.2.2 Definição (1) Se a relação f de X para Y verifica a propriedade de cada elemento
de X estar na relação com exactamente um elemento de Y, i.e., se
x, y ∈ f ∧ x, y ′ ∈ f y ′ y, dizemos que f é uma função de X em Y ou uma aplicação
de X em Y; nota-se y fx sse x, y ∈ f. Em I.2.1, 0 não é função, 1 é uma função de N
em N. O conjunto das funções de X em Y nota-se Y X .
(2) Se X é um conjunto não vazio, uma sucessão em X é uma função u : N → X,
habitualmente designada pondo u u n , u n : n u n . O conjunto das sucessões em X é
portanto o conjunto X N .
I.2.3 Se f é uma função de X em Y, nota-se f : X → Y, x fx y sempre que
x, y ∈ f. Se X é um conjunto, ≠ A ⊂ X, e f ⊂ A Y é uma função, deve notar-se
f : A ⊂ X → Y.
O conjunto A x ∈ X : ∃ fx x ∈ X : ∃ y, x, y ∈ f é o domínio da função f,
e representa-se por dom f. O conjunto y ∈ Y : ∃ x ∈ dom f, x, y ∈ f é chamado o
conjunto imagem de f, codomínio ou contradomínio ou conjunto imagem de f, e
representa-se por Imf ou fX..
1
I.2.4. Exemplo Para a função fx senx
deve pôr-se
1
f : R \ k : k ∈ Z ⊂ R → R. O domínio de senx
é A R \ k : k ∈ Z e o
codomínio é fA R \ −1, 1.
I.2.5 Definição Se f : X → Y é uma função, ≠ A ⊂ X, então x, fx : x ∈ A é
uma função de A em Y, que se chama a função restrição de f a A. A função restrição de f a
A representa-se por f
∣ A.
-22I.2.6 Definição A função f : X → Y diz-se injectiva se
∀x, x ∈ Xfx fx ′ x x ′ ; sendo ≠ A ⊂ X, f é injectiva em A sse a função
restrição de f a A é injectiva. Também se diz então que f é uma injecção de A em Y. f
diz-se que é sobrejectiva, ou que é uma sobrejecção de X em Y, sse fX Y, i.e., sse todo
o elemento de Y é imagem de um elemento de X. Para significar que f é uma função
sobrejectiva de X em Y, diz-se também que f é uma função de X sobre Y. Se f : X → Y é
injectiva, então fx, x : x ∈ X é uma função de fX em X, chamada a
função inversa da função f, e que se represnta por f −1 ; dizemos então que f
admite uma inversa e, se f é injectiva e sobrejectiva dizemos que f é invertível com inversa
f −1 . A função f −1 inversa de f : X → Y é a função f −1 : Y → X definida por
f −1 y, x : fx y, x ∈ X, y ∈ Y fx, x : x ∈ X, f −1 y x sse fx y. Se f é
injectiva e sobrejectiva, diz-se que f é bijectiva, ou que é uma bijecção.
′
I.2.7 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a aplicação I : A → X, Ix x diz-se a aplicação
de inclusão; I é injectiva. A aplicação I A : A → A, I A x x, que se chama a identidade de
A, é uma bijecção.
m
(2) Dado um produto cartesiano de conjuntos k1 X k , cada aplicação
m
pr k : k1 X k → X k , pr k x 1 , . . . , x m x k k 1, . . . , m diz-se a projecção de índice k. pr k
é sobrejectiva, não é injectiva em geral.
I.2.8 Exercício Determine subconjuntos A, B de R \ 0, 1 e de Q respectivamente, tais
1
que a função restrição da função f : R \ 0, 1 → Q, fx Ix
2 , onde Ix ”maior
inteiro m ≤ x” é a função característica de x, a A,
(i) admita uma inversa;
(ii) seja invertível de A em B.
Resolução
(i) A N;
(ii) A N, B n12 : n ∈ N.
I.2.9 Exercício a) Esboce no plano cartesiano R 2 as relações binárias
(i) M x, y ∈ R 2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1;
(ii) e x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ 1;
(iii) S x, y ∈ R 2 :∣ x ∣ ∣ y ∣≤ 1;
(iv) M x, y ∈ R 2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣ 1;
(v) e x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 1;
(vi) S x, y ∈ R 2 :∣ x ∣ ∣ y ∣ 1.
(vii) f x, x 2 : x ∈ R. (Sug: para (i), (iv), considere as rectas y x 1).
b) Indique, justificando, quais das relações binárias anteriores são, ou não, funções.
c) Mostre que M −1, 1 2 .
-23Resoluções
b) Apenas f em (vii) é uma função, pois em cada uma das outras alíneas, tem-se por
exemplo 0, −1, 0, 1 ∈ , designando por a respectiva relação binária.
c) Tem-se ∣ a ∣≤ 1 a ∈ −1, 1 a ∈ R, e assim
x, y ∈ M max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1 x, y ∈ −1, 1 2 .
I.2.10 Observação Considerando uma relação numa variável Rx x ∈ A, pode
suceder que a cada x ∈ A tal que Rx V corresponda um único elemento bem
determinado y. Pode então considerar-se a relação em duas variáveis Rx, y definida por
Rx, y V sse y verifica Rx, e não é inteiramente óbvio que exista um conjunto não
vazio B tal que Rx, y seja uma relação de A para B; se B existe, então R ⊂ A B, R é uma
relação de A para B e é uma função f : A → B. Aceitamos o seguinte axioma, que assegura
que existe B.
Axioma da substituição
Sejam A um conjunto e Rx, y uma relação em duas variáveis. Se para cada x ∈ A,
existe um único y que verifica Rx, y, existe uma função f de domínio A tal que y fx é
equivalente a x ∈ A ∧ Rx, y.
I.2.11 Definição Dadas funções f : X → Y, g : Y → Z, diz-se função composta de
g com f, ou composição de g com f, ou ainda função g após f, e representa-se por gof, a
função gof : X → Z definida por gofx z sse fx y e gy z, ou seja,
gof x, z ∈ X Z : ∃y ∈ Y, x, y ∈ f ∧ y, z ∈ g. Nota-se gofx gfx x ∈ X.
Se h : Z → W é outra função, define-se analogamente hogof : X → W que se representa
por hogof, hogofx hgfx x ∈ X e o mesmo para a composição de funções em
qualquer número finito.
I.2.12. Observação Se f : X → Y, g : Imf → Z são funções injectivas, então a
função gof : X → Img é bijectiva, e tem-se gof −1 f −1 og −1 . Com efeito, para cada
z ∈ Img, f −1 g −1 z f −1 y x sse gy z, fx y sse gofx z, e dom
f −1 og −1 dom gof −1 .
I.2.13 Exemplo Para cada função f : X → Y tem-se foI X x fI X x fx x ∈ X
e assim foI X f. Também I Y fx fx x ∈ X donde I Y of f.
I.2.14 Exercícios (1) Prove que: a) Se f : X → Y é bijectiva, então f −1 of I X e
fof I Y .
b) Se f : X → Y, g : Y → X são tais que gof I X e fog I Y , então existe f −1 g.
(2) Se dadas f : X → Y, g : Y → X se verifica gof I X então g é sobrejectiva e f é
injectiva.
−1
-24Resoluções
(1) a) Para cada x ∈ X é f −1 fx x 0 se fx 0 fx por definição de f −1 e então
x 0 x ( f é injectiva) e f −1 fx x I X x. Coincidindo f −1 of com I X em cada ponto
x ∈ X, e tendo as duas funções o mesmo domínio, concluimos que f −1 of I X . Qualquer
que seja y ∈ Y, tem-se fof −1 y fx sse f −1 y x sse fx y. Assim
fof −1 y y I Y y para cada y ∈ Y, e tendo ambas fof −1 , I Y domínio Y e coincidindo em
cada ponto, conclui-se que fof −1 I Y .
b) Mostremos que f é injectiva e sobrejectiva. Se fa fb, a, b ∈ X então pela
hipótese gfa gofa I X a a e gfb gofb I X b b donde a b e f
é injectiva. Para cada y ∈ Y, tem-se também pela hipótese fgy fogy y, donde o
elemento x gy ∈ X tem imagem fx y por f e f é sobrejectiva. Tem-se: para cada
y ∈ Y, gy x fx fogy I Y y y e fx y gy gofx x. Portanto
gy x sse fx y, e como domg Y concluimos que g f −1 .
(2) Para cada x ∈ X, tem-se gfx gofx I X x x; pondo fx y, existe
portanto y ∈ Y tal que gy x, o que mostra que g é sobrejectiva.
f é ínjectiva, pois para cada a, b ∈ X, fa fb a gfa gfb b.
I.2.15 Definição Se u u n é uma sucessão em X e : N → N, k k n k é uma
função tal que k k ′ n k n k ′ (estritamente crescente), diz-se que a sucessão v k obtida
pela composição v k uo : N → N é uma subsucessão de u n . Designa-se
habitualmente v k u n k .
I.2.16 Exemplos (1) 1/2k − 1 é a subsucessão da sucessão 1/n que corresponde à
função estritamente crescente k 2k − 1. (Subsucessão 1/3, 1/5, 1/7. . . dos termos de
ordem ímpar) (2) As sucessões 1/3, 1/3, 1/5, 1/7, . . . e 1/3, 1/7, 1/5, 1/9, 1/13, 1/11, . . . não são
subsucessões de 1/n.
I.2.17 Observação Pela definição em I.1.15, se X 1 , . . . , X m m ∈ N são conjuntos não
vazios, e representarmos uma função f : S m 1, . . . , m → X X k : k 1, . . . , m
m
pondo f f1, . . . , fm, então k1 X k é o conjunto destas m −sequências, e pode
identificar-se com o conjunto das funções f ∈ X 1,...,m tais que fk ∈ X k para cada
k 1, . . . , m ( fk corresponde à coordenada−k da m −sequência).
-25I.3 AXIOMA DE ZERMELO E PRODUTO CARTESIANO INFINITO
OPERAÇÃO DE HILBERT
I.3.1 Definição Sendo X : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos não vazios, o
produto cartesiano da classe é, designando X ∈A X , o conjunto das funções f ∈ X A
tais que f ∈ X para cada ∈ A. Representamos este conjunto por ∈A X ;
cada f ∈ pode representar-se por f x , onde x f ∈ A. Se A N,
notamos k1 X k , f x k k 1, 2, . . . para cada f ∈ k1 X k . Os x ∈ A são
as coordenadas de x . Para cada ∈ A, a função p : → X , p x x que faz
corresponder a x a coordenada− de x diz-se a projecção de índice . X é, para cada
índice ∈ A, o conjunto das coordenadas−.
I.3.2 Observação Se em I.3.1 o conjunto de índices A é uma classe não vazia de
conjuntos não vazios M e, para cada M ∈ M, o conjunto das coordenadas-M é M, então
M∈M M é, pela definição, o conjunto das funções x : M → M : M ∈ M tais que
xM x M ∈ M para cada conjunto M ∈ M. Estas funções são chamadas as funções de
escolha para M, e não é inteiramente óbvio que exista, pelo menos uma tal função de
escolha. Aceitamos o seguinte axioma da Teoria de Conjuntos, que é equivalente a ser
M∈M M ≠ .
I.3.3 Axioma da Escolha de Zermelo. Se C é uma classe não vazia constituída por
conjuntos não vazios, existe uma função : C → C : C ∈ C tal que C ∈ C para
cada conjunto C ∈ C. A função chama-se o selector de Zermelo; escolhe em cada
conjunto C da classe C um elemento C do qual se sabe apenas que C ∈ C.
I.3.4 Símbolo de escolha de Hilbert. Dada uma relação numa variável Rx tal que
∃x, Rx é verdadeira, pode fixar-se uma vez por todas um dos objectos que verificam Rx,
e se designa por x Rx. A operação de Hibert, que consiste em obter x Rx para cada
relação Rx tal que ∃x, Rx é verdadeira, dá um processo de obter uma constante a partir
de uma relação não impossível numa variável. Aceitando-a, como fazemos, fica implícito
que aceitamos também o Axioma de Zermelo, como se prova em Lógica Matemática.
-26I.4 FUNÇÕES ASSOCIADAS DE CONJUNTOS DE UMA FUNÇÃO
I.4.1 Definição Se f : X → Y é uma função, podemos considerar as funções
f : PX → PY, definida por f A fx : x ∈ A A ⊂ X, e
f − B x ∈ X : fx ∈ B, f − : PY → PX, associadas a f. f diz-se a
função associada de conjuntos directa de f, e a função f − chama-se a
função associada de conjuntos inversa de f. Põe-se f , f − .
I.4.2 Observação A função associada de conjuntos inversa de f existe sempre, ainda
que f não admita uma inversa. Sempre que não haja risco de confusão, representamos
f A fA, f f e f − B f −1 B, f − f −1 .
1
não é injectiva, é
I.4.3 Exemplos (1) A função f : −1, 1 ⊂ R → R , fx 1−∣x∣
1 1
1 1
sobrejectiva. Tem-se f0 1; f−1, 1, 2 2 , 3 ; f 3 , 2 32 , 2.
(2) Para a função característica Ix tem-se I−1, 1 0, 1; IR Z. Esta
função I : R → R não é injectiva nem sobrejectiva.
(3) Sendo f : Q → R, fs s 2 verifica-se fQ ⊂ Q, fZ ⊂ N 0 . Verifica-se
também que fZ \ 0 ⊂ N, f−1, 1 0, 1.
(4) Sendo X i : i ∈ I uma classe de conjuntos, subconjuntos de um conjunto
universo X, Y j : j ∈ J uma classe de subconjuntos de Y, e f : X → Y uma função, tem-se:
y ∈ f∩X i : i ∈ I ∃x ∈ ∩X i : i ∈ I, y fx
∀i ∈ I∃x ∈ X i y fx ∀i ∈ Iy ∈ fX i y ∈ ∩fX i : i ∈ I. Portanto
f∩X i : i ∈ I ⊂ ∩fX i : i ∈ I. Notar que a inclusão recíproca não é verdadeira,.i.e.
pode suceder ∩ fX i : i ∈ I ⊈ f∩X i : i ∈ I, como mostra o contra-exemplo
f0 0, fx sin 1x x ≠ 0: tem-se f−1, 0 ∩ 0, 1 0,
f−1, 0 ∩ f0, 1 −1, 1.
No entanto, para a função associada de conjuntos inversa, tem-se
−1
x ∈ f ∩Y j : j ∈ J ∃y ∈ ∩Y j : j ∈ J, fx y
∃y ∈ Y∀j ∈ Jy ∈ Y j ∧ fx y ∀j ∈ J, x ∈ f −1 Y j x ∈ ∩f −1 Y j : j ∈ J, e
assim f −1 ∩Y j : j ∈ J ∩f −1 Y j : j ∈ J.
I.4.4 Exercícios (1) Com f : R → R, fx x 4 , determine: a) (i) f1; (ii)
f−1, 1; (iii) f−1, 1; (iv) fR; (v) fR \ 0, 12 (vi) f0, . b) (i) f −1 0; (ii)
f −1 −1;
(iii) f −1 Q 2 ; (iv) f −1 0, ; (v) f −1 1, (vi) f −1 −2, .
(2) Mostre que nas hipóteses de I.4.3 (4), tem-se:
a) fX i : i ∈ I fX i : i ∈ I;
b) f −1 Y j : j ∈ J f −1 Y j : j ∈ J.
(3) Mostre que se f : X → Y é uma função, então f é injectiva de e só se
∀A, B ⊂ X, fA ∩ B fA ∩ fB.
(4) Prove que se f : X → Y é uma função, A ⊂ B ⊂ X, A ′ ⊂ B ′ ⊂ Y, então tem-se
fA ⊂ fB e f −1 .A ′ ⊂ f −1 B ′ .
(5) Seja f : X → Y uma função. Mostre que:
a) se f é injectiva, a função associada de conjuntos directa de f é injectiva;
b) se f é sobrejectiva, então a função associada de conjuntos directa é sobrejectiva.
-27(6) Prove que sendo f : X → Y uma função, A ⊂ X, B ⊂ Y, tem-se:
a) A ⊂ f −1 fA;
b) se f é injectiva, então f −1 fA ⊂ A;
c) f é injectiva se e só se ∀A ⊂ X, f −1 fA A.
d) B ⊃ ff −1 B e, se f é sobrejectiva, então B ⊂ ff −1 B
(7) Mostre que se f : X → Y é uma função, A, B ⊂ X,
a) fB \ fA ⊂ fB \ A;
b) se f é sobrejectiva, então fA c ⊂ fA c ;
c) se f é injectiva, então fB \ A ⊂ fB \ fA e fA c ⊂ fA c ;
d) a função f é bijectiva se e só se ∀A ⊂ X, fA c fA c .
Resoluções
(1) Com f : R → R, fx x 4 tem-se: a) (i) f1 f1 1;
(ii)
f−1, 1 fx : x ∈ −1, 1 1;
(iii)
(iv)
f−1, 1 fx : −1 ≤ x ≤ 1 x 4 : −1 ≤ x ≤ 1 0, 1;
fR x 4 : x ∈ R 0, ; (v) fR \ 0, 12 x 4 : x ≤ 0 ∨ x 12 0, ; (vi)
f0, x 4 : x 0 0, .
(ii)
b) (i) f −1 0 x ∈ R : x 4 0 0;
−1
4
−1
f −1 x ∈ R : x −1 ; (iii) f Q 2
x ∈ R : x 4 ∈ Q ∨ x 4 2 x ∈ R : x 4 ∈ Q; (iv) f −1 0,
x ∈ R : x 4 ≥ 0 R (v) f −1 1, x ∈ R : x 4 1 1, ;
(vi)
f −1 −2, x ∈ R : x 4 −2 R.
(2) a) y ∈ fX i : i ∈ I ∃x ∈ X i : i ∈ I, fx y ∃i ∈ I, x ∈ X i ,
fx y ∃i ∈ I, y ∈ fX i y ∈ fX i : i ∈ I.
b) x ∈ f −1 Y j : j ∈ J fx ∈ Y j : j ∈ J ∃j ∈ J, fx ∈ Y j
x ∈ f −1 Y j : j ∈ J.
(3) Supondo f injectiva, consideremos y ∈ fA ∩ fB. Pela definição, tem-se então
y fa, a ∈ A ∧ y fb, b ∈ B; então fa fb, o que implica a b ∈ A ∩ B e
portanto y ∈ fA ∩ B e tem-se assim fA ∩ fB ⊂ fA ∩ B. Como é sempre
fA ∩ B ⊂ fA ∩ fB por I.4.3 (4), cocluimos que se f é injectiva então
fA ∩ B fA ∩ fB. Reciprocamente, assumindo esta igualdade para todos os A, B ⊂ X
temos: para cada a, b ∈ X, se fa fb então fa fa ∩ fb fa ∩ b
donde a b e f é injectiva.
(4) A ⊂ B ∀x, x ∈ A x ∈ B ∀y, y ∈ fA ∃x ∈ A, y fx
∃x, x ∈ B, y fx ∀y, y ∈ fA y ∈ fB fA ⊂ fB. Também se A ′ ⊂ B ′
então ∀x, x ∈ f −1 A ′ fx ∈ A ′ fx ∈ B ′ ∀x, x ∈ f −1 A ′
x ∈ f −1 B ′ f −1 A ′ ⊂ f −1 B ′ .
(5) a) Mostremos que se f é injectiva e fA ⊂ fB então A ⊂ B, donde se conclui o
resultado. Supondo que para todo o a ∈ A se verifica fa ∈ fB, i.e., existe b ∈ B tal que
fa fb, concluimos a b e assim a ∈ B e portanto A ⊂ B.
b) Sendo B ⊂ Y temos: se B , então B f, ∈ PX; se B ≠ , e f é
sobrejectiva, então para cada b ∈ B existe pelo menos um a ∈ X tal que
fa b, a ∈ f −1 b ⊂ f −1 B. Portanto o conjunto A b∈B f −1 b ⊂ X satisfaz a
condição de, para cada b ∈ B, existir pelo menos um a ∈ A com fa b ou seja,
B ⊂ fA; como obviamente fA ⊂ B conclui-se fA B e f : PX → PY é
sobrejectiva.
-28(6) a) pois x ∈ A fx ∈ fA;
b) suponhamos f injectiva; se então x ∈ f −1 fA tem-se fx ∈ fA pela definição e,
de novo pela definição, fx fa, a ∈ A. Concluimos x a ∈ A e portanto
f −1 fA ⊂ A.
c) Das alíneas a), b) concluimos que se f é injectiva, então para cada A ⊂ X,
A f −1 fA. Reciprocamente, se esta inclusão é verdadeira, consideremos a, b ∈ X tais
que fa fb; então a, b f −1 fa, b f −1 fa, fb f −1 fa a o
que implica a b e f é injectiva.
d) Pelas definições, y ∈ ff −1 B sse y fx para algum x ∈ f −1 B i.e., tal que
fx ∈ B, o que mostra que então y ∈ B; portanto B ⊃ ff −1 B. Supondo que f é
sobrejectiva, seja b ∈ B. Existe pelo menos um x ∈ X verificando fx b, o que implica
x ∈ f −1 b ⊂ f 1 B (pela (4)), e então b fx ∈ ff −1 B o que mostra que
B ⊂ ff −1 B.
(7) a) Seja y ∈ fB \ fA. Então ∃b ∈ B, y fb ∧ ∀a ∈ A, y ≠ fa o que
implica ∃b ∈ B \ A, y fb e portanto y ∈ fB \ A e fB \ fA ⊂ fB \ A;
b) por a), fA c Y \ fA fX \ fA ⊂ fX \ A fA c ;
c) y ∈ fB \ A ∃x ∈ B \ A, fx y ∃x ∈ B \ A, fx y ∧ y ∉ fA y ∈ fB
\ fA pois sendo f injectiva, y não é imagem de nenhum outro elemento, a não ser x ∈ B;
não pode ser y fa, a ∈ A porque isto implicaria a b ∉ A o que é impossível.
Concluimos assim a inclusão. Fazendo B X obtemos fA c fX \ A ⊂ fX \ fA ⊂ Y \
fA fA c ;
d) Pelas alíneas anteriores concluimos que se f é bijectiva então fA c fA c .
Reciprocamente, se esta igualdade se verifica, então fX f c f c c Y e f é
sobrejectiva. Também f é injectiva, pois se b ≠ a então b ∈ a c e
fb ∈ fa c fa c , o que mostra que fb ≠ fa.
I.4.5 Observação Dadas funções f : X → Y, g : Y → Z encontra-se, para C ⊂ Z:
gof −1 C x ∈ X : gfx ∈ C x ∈ B : fx ∈ g −1 C f −1 g −1 C, em
analogia com I.2.12. Se f e g são bijectivas, então I.4.4 (5) e I.2.14 (1) b) mostram que a
função associada de conjuntos directa de f (de g) tem por inversa a função associada de
conjuntos inversa de f (de g) e para cada C ⊂ Z, gof −1 C f −1 og −1 C.
I.4.6 Se f : X → Y é uma função, y ∈ Y, o conjunto f −1 y chama-se a fibra
de f em y; a fibra de f em y é não vazia se e só se y ∈ Imf, onde Imf é o contradomínio
ou conjunto imagem de f.
-29I.5 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E RELAÇÕES DE ORDEM
I.5.1 Definição Uma relação binária em X diz-se uma relação de equivalência em X
se verifica as propriedades:
reflexiva: ∀x ∈ X, xx;
simétrica: ∀x, y ∈ X, xy yx;
transitiva: ∀x, y, z ∈ X, xy ∧ yz xz.
I.5.2 Exemplos (1) Se X é um conjunto não vazio, a relação definida por xy sse
" x, y ∈ X e x y" (relação de igualdade em X) é uma relação de equivalência em X.
(2) Com ≠ A ⊂ X, a relação definida por xy sse " x ∈ A ∧ y ∈ A" é uma relação
de equivalência em A, mas não é uma relação de equivalência em X se A ≠ X.
(3) Dada uma função f : X → Y, a relação binária f em X definida por x f y sse
" x, y ∈ X e fx fy" é uma relação de equivalência em X, chamada a relação de
equivalência associada à função f.
I.5.3 Definições Seja uma relação de equivalência em X. Para cada x ∈ X, o
conjunto C x y ∈ X : xy chama-se a classe de equivalência de x. O conjunto das
classes de equivalência C x x ∈ X diz-se o conjunto cociente de X segundo , e
representa-se por X / . Assim X / C x : x ∈ X ⊂ PX.
A aplicação : X → X / , : x C x que faz corresponder a cada x ∈ X a
respectiva classe de equivalência chama-se a aplicação canónica de X sobre X / _Esta
aplicação é obviamente sobrejectiva_.
I.5.4 Exemplo Para a relação de igualdade no conjunto não vazio A, a classe de
equivalência de a ∈ A é C a a, e o conjunto cociente é a : a ∈ A; a aplicação
canónica associa a cada elemento, o ”singleton” por ele constituído, a a.
I.5.5 Exercício Determine o conjunto cociente e a aplicação canónica, nos exemplos
I.5.2 (2), (3).
I.5.6 Resolução
(2) Com xy sse " x ∈ A ∧ y ∈ A" x, y ∈ A tem-se
C x y ∈ A : x ∈ A ∧ y ∈ A A; assim : A → A / , x C x A. A aplicação
canónica é constante, e A / A.
(3) Sendo x f y sse " x, y ∈ X e fx fy" tem-se: C x f −1 fx é a fibra de f em
fx. X / f f −1 fx : x ∈ X e x f −1 fx.
-30I.5.7 Teorema Sejam X um conjunto e uma relação de equivalência em X. Então:
(a) Cada elemento x ∈ X pertence à sua classe de equivalência C x ;
(b) dois elementos x, y ∈ X são equivalentes para se e só se têm a mesma classe de
equivalência, i.e., para cada x, y ∈ X, tem-se xy sse C x C y ;
(c) o conjunto cociente X / é uma partição de X.
Dem. (a) É consequência de xx para cada x ∈ X;
(b) supondo xy, seja a ∈ C x ; então xa e, como xy, tem-se também yx, pela
simetria. Da propriedade transitiva conclui-se ya, donde ay e a ∈ C y . Isto mostra que
C x ⊂ C y e portanto C x C y . Reciprocamente, se C x C y , então pela (a) tem-se x ∈ C y
donde xy pela definição de C y ;
(c) Pela alínea (a), tem-se x ∈ C x , ∀x ∈ X. Portanto X x∈X C x . Para mostrar que X
/ é uma partição de X, basta provar que se C x ≠ C y então C x ∩ C y ; efectivamente, se
existe a ∈ C x ∩ C y concluimos que C x C y do modo seguinte: a hipótese a ∈ C x , a ∈ C y
implica ax e ay. Então pela simetria e transitividade de , tem-se ax e ya donde yx.
De (b) concluimos C x C y , provando (c). C.Q.D.
1.5.8 Observação Pela propriedade (c) no teorema, duas classes de equivalência ou
são disjuntas, ou coincidem. Dada uma relação de equivalência num conjunto X, o
conjunto cociente X / dá uma partição do conjunto X. Reciprocamente, cada partição
X : ∈ A de um conjunto não vazio X permite definir uma relação binária em X, que
é uma relação de equivalência, pondo xy sse " ∃ ∈ A, x, y ∈ X" . Esta relação binária é
obviamente reflexiva, simétrica e transitiva. A aplicação canónica é x X sse x ∈ X ;
o conjunto cociente é exactamente a partição X : ∈ A.
I.5.9 Exemplo A relação binária em N definida por xy sse " x, y são da mesma
paridade" é uma relação de equivalência em N, que pode ser definida pela partição
2N − 1, 2N do conjunto dos números naturais, onde 2N 2x : x ∈ N é o conjunto dos
números pares e 2N − 1 2x − 1 : x ∈ N é o conjunto dos números ímpares.
I.5.10 Exercício Com ≠ A ⊂ X, explicite a relação de equivalência em X cujo
cociente X / é a partição A, A c de X e indique a aplicação canónica.
I.5.11 Resolução
xy sse " x, y ∈ X e x, y ∈ A ∨ x, y ∈ A c " x A se x ∈ A, x A c se x ∉ A.
I.5.12 Definição Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma função.
Diz-se que f é compatível com se ∀x, y ∈ X, xy fx fy.
-31I.5.13 Exemplo A relação de equivalência f associada à função f : X → Y em I.5.2
Exemplos (3), x f y sse " x, y ∈ X ∧ fx fy" é compatível com f.
I.5.14 Teorema Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma
função.As seguintes condições são equivalentes:
(i) f é compatível com ;
(ii) existe uma única aplicação f : X / → Y tal que f fo, onde : X → X / é a
aplicação canónica.
Dem. (i) (ii) Supondo f compatível com , a função f : X / → Y, fC x fx é
bem definida com valores em Y: pois C x C y implica xy (Teorema I.5.7) donde
fx fy. Tem-se f fo pela definição de f. Além disso f é única, porque se g : X /
→ Y verifica fx gC x então obviamente gC x fx.
(ii) (i) Se existe f nas condições dadas, suponhamos x, y ∈ X e xy; então
x C x C y y (teorema I.5.7) donde deve ser fx fC x fC y fy. Isto
mostra que f é compatível com . C.Q.D.
I.5.15 Observação A função f no teorema anterior é injectiva se e só se ∀x, y ∈ X,
f C x fC y C x C y sse ∀x, y ∈ X, fx fy C x C y sse ∀x, y ∈ X,
fx fy xy; uma vez que f é compatível com , i.e., ∀x, y ∈ X, xy fx fy,
vemos que f é injectiva se e só se é a relação de equivalência associada a f.
I.5.16 Seja f : X → Y uma função, e designe R f a relação de equivalência em X
associada à função f. Chama-se aplicação cociente de f por R e nota-se f/R a função
f/R : X/R → Y definida por f/R C x fx x ∈ X. Conclui-se de I.1.15 que f / R é
injectiva, e Imff/R Imf.
I.5.17 Observação. Segundo I.2.1, uma relação binária no conjunto não vazio X é uma
parte não vazia do produto cartesiano X 2 . é uma relação de equivalência se e só se para
cada x ∈ X, x, x ∈ ∧ y, x ∈ sempre que x, y ∈ ∧ x, z ∈ sempre que
x, y, y, z ∈ , correspondendo a ser reflexiva, simétrica e transitiva. Facilmente se
verifica que se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de relações de equivalência em X,
então ∩ i : i ∈ I é uma relação de equivalência em X. Além disso, se R é uma
relação binária em X, existe uma relação de equivalência 0 em X que contém R a saber,
0 X 2 ; existe portanto, e é bem determinada, a relação de equivalência em X que é a
intersecção de todas as relações de equivalência em X que contêm R.
I.5.18 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio e R é uma relação binária em X,
diz-se que a intersecção das relação de equivalência em X que contêm R é a relação de
equivalência gerada por R. (2) Se ≠ A ⊂ X, a relação de equivalência determinada pelo
conjunto A é a relação de equivalência em X gerada pela relação binária
xR A y x, y ∈ A, R A A 2 . Nota-se X/A o conjunto cociente X/R A , X/A é o conjunto
cociente de X pelo subconjunto A.
-32-
I.5.19 Observação Verifica-se facilmente que a relação de equivalência gerada por R A
em I.5.19 (2) é A 2 x, x : x ∈ X. O conjunto cociente X/A A, x : x ∈ X
”reduz” o conjunto A a um ponto.
I.5.20 Definição Uma relação binária ≤ num conjunto E diz-se uma relação de
ordem parcial, ou uma ordem parcial em E se verifica as propriedades de:
reflexividade: ∀a ∈ E, a ≤ a;
anti-simetria: ∀a, b ∈ E, a ≤ b ∧ b ≤ a a b;
transitividade: ∀a, b, c ∈ E, a ≤ b ∧ b ≤ c a ≤ c.
E, ≤ (ou E) diz-se um conjunto parcialmente ordenado. Se também ∀a, b ∈ E, a ≤ b
ou b ≤ a diz-se que ≤ é uma ordem total e que E é totalmente ordenado ou uma cadeia. .
I.5.21 Exemplos (1) A relação de ordem usual em R, x ≤ y sse y − x ≥ 0, é uma
ordem total em R;
(2) a relação binária ≤ em N definida por n ≤ m sse " n é um divisor de m" é uma
ordem parcial em N.
I.5.22 Exercício Prove que a relação de inclusão de conjuntos em PX é uma ordem
parcial em PX.
I.5.23 Resolução
Reflexividade: Uma vez que P P para qualquer proposição P, se A ∈ PX tem-se
x ∈ A x ∈ A donde ∀A ∈ PX, A ⊂ A;
anti-simetria: para cada A, B ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ A então x ∈ A x ∈ B e
x ∈ B x ∈ B donde x ∈ A x ∈ B e A B;
transitividade: quaisquer que sejam A, B, C ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ C então
x ∈ A x ∈ B, x ∈ B x ∈ C e então x ∈ A x ∈ C concluindo-se A ⊂ C.
I.5.24 Definições Seja E, ≤ um conjunto parcialmente ordenado, e seja ≠ A ⊂ E.
a) Um elemento m ∈ E é um minorante de A (respectivamente um majorante de A) se
satisfaz ∀a ∈ A, m ≤ a (resp. ∀a ∈ A, a ≤ M); se o conjunto A tem pelo menos um
minorante (majorante), A diz-se um conjunto minorado (resp.um conjunto majorado);
b) se de entre os minorantes (majorantes) de A, existe um maior minorante i resp. um
menor majorante s, então diz-se que i é o ínfimo de A, e nota-se i infA;
respectivamente, diz-se que s é o supremo de A, e representa-se s supA; no caso
particular infA ∈ A diz-se que infA é o mínimo de A, e nota-se infA min A e,
respectivamente, se supA ∈ A diz-se que supA é o máximo de A e designa-se
supA max A.
c) diz-se que uma parte não vazia M de E é uma cadeia se ∀x, y ∈ M, x ≤ y ∨ y ≤ x.
d) um elemento v ∈ E é minimal (resp. w é um elemento maximal) se
∀a ∈ E, a ≤ v a v (resp. se ∀a ∈ E, w ≤ a a w).
-33I.5.25 Observação Se A é uma parte não vazia no conjunto parcialmente ordenado
E, ≤, tem-se i infA se e só se
(inf 1) ∀a ∈ A, i ≤ a;
(inf 2) ∀m ∈ E, m ≤ a ∀a ∈ A m ≤ i.
Também s supA sse
(sup 1) ∀a ∈ A, a ≤ s;
(sup 2) ∀M ∈ E, a ≤ M ∀a ∈ A s ≤ M.
No caso particular E, ≤ R, ≤, (inf 2) e (sup 2) podem tomar a forma
(Rinf) ∀ 0, ∃a ∈ A, a i ;
(Rsup)∀ 0, ∃a ∈ A, a s − .
I.5.26 Observação Num conjunto parcialmente ordenado, o ínfimo (resp. o supremo)
de uma parte não vazia, se existe, é único.
I.5.27 Exemplos (1) Em R munido da ordem usual, todo o conjunto não vazio e
minorado (resp. majorado) tem ínfimo (resp. supremo).
(2) Em PX, ⊂ os conjuntos , X são respectivamente um elemento minimal, e um
elemento maximal; além disso, tem-se infX min X e X supX max X. Se
existem pelo menos dois elementos diferentes em X, PX não é uma cadeia.
(3) Em PN, ⊂, C S n 1, . . . , n : n ∈ N é uma cadeia; é um minorante de
C, S 1 1 min C e sup C N, não existe max C.
I.5.28 Exercícios (1) Mostre que se X ≠ então cada conjunto x c x ∈ X no
conjunto parcialmente ordenado PX \ X, ⊂ é um conjunto maximal.
(2) Considere a relação binária em N 2 2, 3, . . . definida por nm sse
" n, m ∈ N 2 e n divide m" .
a) Mostre que o conjunto 2N 2k : k ∈ N não tem majorantes;
b) determine inf2N; este ínfimo é um mínimo ?
c) prove que C 3 k : k ∈ N é uma cadeia em N 2 , .
I.5.29 Resoluções
(1) Se A ⊂ X, A ≠ X e x ∈ X, a hipótese x c ⊂ A é equivalente a A c ⊂ x e, como
c
A ≠ , tem de ser A c x i.e., A x c . Portanto x c é um elemento maximal, para
cada x ∈ X.
(2) a) Para ser 2kM tem de verificar-se também 2k ≤ M " ≤" a ordem usual em
R, e não existe nenhum número natural M tal que ∀k ∈ N, 2k ≤ M. Portanto o conjunto
2N não tem nenhum majorante em N 2 , .
b) Para todo o númrero da forma 2k, k ∈ N, 2 divide 2k; e se m ∈ N 2 e, para todo o
k ∈ N, m2k então m2 fazendo k 1. Portanto 2 inf2N pela definição de ínfimo. É
2 min 2N, já que 2 ∈ 2N.
c) Para cada 3 n , 3 m ∈ C, tem-se n ≤ m ou m ≤ n e, no primeiro caso, 3 n 3 m tendo-se
m
n
3 3 no segundo caso. Assim C é uma cadeia em N 2 , .
-34I.5.30 Definição Se E, é um conjunto parcialmente ordenado, ≠ F ⊂ E, a
restrição 0 da ordem parcial a F é obviamente uma ordem parcial em F, que se diz a
ordem parcial induzida por em F. Habitualmente escreve-se F, para significar o
conjunto parcialmente ordenado F, 0 .
I.5.31 Lema de Zorn Se no conjunto parcialmente ordenado M, ≤ toda a cadeia não
vazia tem pelo menos um majorante, então existe em M pelo menos um elemento
maximal.
I.5.32 Observação O lema de Zorn é equivalente ao axioma da Escolha de Zermelo
I.3.3.
I.5.33 Definição Seja X um conjunto não vazio. Se é uma relação binária em X tal
que
(i) é reflexiva, i.e., ∀x ∈ X, x x;
(ii) é transitiva, i.e., ∀x, y, z ∈ X, x y ∧ y z x z;
(ii) ∀x, y ∈ X, ∃a ∈ X, x a ∧ y a, então o par X, (ou somente X) diz-se um
conjunto dirigido.
I.5.34 Observação Um conjunto parcialmente ordenado X, ≤ diz-se filtrante ou
superiormente filtrante se a ordem parcial verifica, além das propriedades de reflexividade,
anti-simetria e transitividade (ver I.5.17), a propriedade de, para cada x, y ∈ X, existir pelo
menos um elemento a ∈ X tal que x ≤ a e y ≤ a. Assim, um conjunto parcialmente
ordenado filtrante é também um conjunto dirigido. Certos autores chamam a uma relação
binária num conjunto X verificando as propriedades reflexiva e transitiva, uma
quase-ordem. Pode suceder, segundo a definição I.1.28, X, ser um conjunto dirigido e
no entanto a relação binária em X não ser uma ordem parcial. Um exemplo importante, de
que veremos uma aplicação adiante, é o seguinte: consideremos um conjunto não vazio M,
e uma classe de conjuntos F ⊂ PM tal que ∀F ∈ F, F ≠ e se verifique
∀F, F ′ ∈ FF ∩ F ′ ∈ F..
Sendo : F → F : F ∈ F o selector de Zermelo em I.3.3, podemos considerar a
relação binária em A F : F ∈ F definida por a a ′ sse existem F, F ′ ∈ F tais
que a F, a ′ F ′ e F ′ ⊂ F. Então A, é um conjunto dirigido, mas em geral, da
hipótese a a ′ e a ′ a não pode concluir-se a a ′ e não é uma ordem parcial em A.
I.5.35 Observação Se E, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, pode existir um
subconjunto F não vazio de E tal que não exista min F. Por exemplo, com E Q e ≤ a
ordem parcial usual de R induzida sobre Q, não existe min 2 , 2 ∩ Q. O que não que
dizer que, para outra ordem parcial sobre Q, não possa suceder que cada subconjunto não
vazio tenha um mínimo. Se E, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, e existe o mínimo
de uma parte A de E, diz-se também que min A é o primeiro elemento de A.
-35I.5.36 Definição Um conjunto parcialmente ordenado E, ≤ diz-se um
conjunto bem ordenado se toda a parte não vazia de E tem primeiro elemento. Diz-se então
também que ≤ é uma boa ordem em E.
I.5.37 Observação Todo o conjunto bem ordenado é totalmente ordenado, como se
reconhece considerando dois quaisquer elementos e o mínimo do conjunto por eles
formado.
Uma propriedade dos conjuntos parcialmente ordenados, equivalente ao axioma da
Escolha de Zermelo, é que dado qualquer conjunto não vazio E, existe pelo menos uma
ordem parcial ≤ em E, para a qual E, ≤ é um conjunto bem ordenado.
I.5.38 Princípio da boa ordenação Se E é um conjunto não vazio, existe pelo menos
uma boa ordem em E.
-36I.6 O CONJUNTO N. NOÇÕES DE CARDINALIDADE.
I.6.1 O conjunto N 1, 2, . . . dos números naturais pode ser caracterizado pela
axiomática de Peano:
(I) existe um número natural chamado ”um” e representado por 1;
(II) cada número natural a tem um sucessor a ′ que é também um número natural;
(III) o número 1 não é um sucessor de nenhum número natural;
(IV) os sucessores a ′ , b ′ de dois números naturais a, b, a ≠ b, são diferentes;
(V) é válido o princípio de indução dos números naturais: se um subconjunto C de N
verifica as propriedades: (i) 1 ∈ C e (ii) sempre que a ∈ C, tem-se também a ′ ∈ C, então
C N.
I.6.2 Observação A propriedade (V) do conjunto dos números naturais, utiliza-se na
prática, dada uma relação Rn na variável n ∈ N p p, p 1, p 2, . . . , para demonstrar
pelo método de indução em n que a proposição ∀n ∈ N p , Rn é verdadeira, do modo
seguinte: começa-se por provar que Rp V; admite-se então que Rn é verdadeira, para
certo n ≥ p_Esta hipótese chama-se a Hipótese de indução_E prova-se que então também a
Tese de indução Rn 1 V. Pode também utilizar-se o método de indução em n ∈ N 0
para demonstrar ∀n ∈ N 0 , Rn, começando por verificar que R0 é verdadeira; admite-se
então por hipótese de indução que Rn é verdadeira, para certo n ∈ N 0 e, provando que
então também Rn 1 é verdadeira, conclui-se a demonstração.
I.6.4 Exemplo A desigualdade de Bernoulli ∀n ∈ N, ∀a ∈ R , 1 a n ≥ 1 na pode
provar-se por indução do modo seguinte: para n 1 encontra-se
1 a 1 1 a ≥ 1 1. a, donde 1 1. a, e a proposição é verdadeira para n 1;
admitindo que 1 a n ≥ 1 na para certo n ∈ N por Hipótese de indução, concluimos
1 a n1 1 a n 1 a ≥ 1 na1´ a 1 na 1 naa
1 na a na 2 ≥ 1 na a 1 n 1a, concluindo-se a tese de indução e que
portanto a desigualdade é verdadeira.
I.6.5 Exercício Demonstre por indução em n:
a) ∀n ∈ N 2 , ∀a ∈ R , 1 a n 1 na;
n
b) ∀n ∈ N 0 , ∑ k0 2k 1 n 2 .
I.6.6 Observações
(1) Para demonstrar ∀n ∈ N, Rn (respectivamente ∀n ∈ N 0 , Rn) pelo
método de indução em n, pode começar por provar-se R1 V (resp. R0 V); admitir
então por hipótese de indução que, dado certo n ∈ N (respectivamente, dado certo n ∈ N 0 ),
se tem Rk V para cada k 1, . . . , n (para cada k 0, . . . , n e provar então a Tese de
indução Rn 1 V. Para certas propriedades, é difícil encontrar um processo de
demonstração substituindo o método de indução dos números naturais.
-37(2) Um outro método de demonstração importante, e que pode aplicar-se de modo
geral, para demonstrar propriedades é o método de demonstração por redução ao absurdo.
Procede-se do modo seguinte, para provar que uma proposição P Q é verdadeira, por
este método: acrescenta-se à hipótese P, a hipótese de absurdo ~Q. Está portanto a
admitir-se a hipótese H ≡ P ∧ ~Q. Por um raciocínio lógico, procura-se concluir a
tese de absurdo, i.e., concluir que então se verifica uma proposição T tal que T entra em
contradição seja com P, ou com uma propriedade verdadeira na Teoria, ou mesmo com o
princípio da não contradição (por exemplo, se se concluir a ≠ a com a um objecto da
Teoria), ou com o princípio do terceiro excluído. Deste modo, T terá de ser falsa, T F e
teremos provado a implicação H T, i.e., que a implicação P ∧ ~Q F é verdadeira.
Pela análise da tabela de verdade da implicação, terá de ser P ∧ ~Q F; então
~P ∨ Q ~P ∧ ~Q V, e da equivalência P Q ~P ∨ Q podemos concluir
P Q V ficando provada a proposição pretendida pelo método de redução ao absurdo.
Como um exemplo, recordemos a conhecida demonstração da irracionalidade do número
real 2 . Provar que 2 ∉ Q, é provar que, pela definição da raiz quadrada de um número
real não negativo, sendo 2 0, o número p 0 que satisfaz a equação p 2 2 e que
representamos por 2 não é da forma p m/n para nenhuns números naturais m, n.
Trata-se portanto de provar a implicação P Q, onde P ≡ está bem definido o número real
p 2 pela equação p 2 2 (como é sabido das propriedades dos números reais), e
Q ≡ ∀m, n ∈ N, 2 ≠ m/n. Admitindo P e, por hipótese de absurdo ~Q, i.e., que existem
números naturais m, n tais que 2 m/n, concluimos imediatamente 2 m/n 2 m 2 /n 2 ,
e podemos supor que os números naturais m, n não são ambos pares, o que se verifica se na
fracção m/n tivermos dividido ambos os termos pelo máximo divisor comum. Da equação
2 m 2 /n 2 concluimos m 2 2n 2 e portanto que m é um número par, m 2k onde k ∈ N,
pois se na factorização prima de m os factores são todos ímpares, então também m 2 seria
um produto de números ímpares. Substituindo na equação m 2 2n 2 obtemos
4k 2 2m 2 2n 2 , e portanto n 2 2k 2 ; então de novo podemos concluir que n é par, o
que entra em contradição com a propriedade de podermos escrever m/n na forma de uma
fracção irredutível, como fizemos. Concluiu-se portanto a tese de absurdo, ficando provado
que 2 é um número irracional.
I.6.7 Observação O princípio de indução dos números naturais (V) permite tabém
definir uma função por indução do modo seguinte: Obter uma função f de domínio N tal
que, dado um objecto a, o valor de f em 1 seja a (i.e, sendo 1, a ∈ f) e tal que, dadas
funções g definidas cada qual sobre S p 1, . . . , p onde p percorre N, se verifique
p 1, Fg ∈ f, onde Fg é um objecto, valor de uma função dada F definida sobre o
conjunto das funções g, (e portanto com f1 a e f2 Fg 1 com g 1 definida sobre
1; f3 Fg 2 , g 2 definida sobre 1, 2 e assim sucessivamente.). Põe-se a questão: o
valor de f no ponto p 1 pode depender de todos os valores que f toma em cada ponto
q ≤ p: pois se f existe com domínio N e f1 a, f2 Fg 1 , . . . , fp Fg p , então f
já está necessariamente definida sobre N e portanto no ponto p 1. Encontra-se em
[Kelley] uma demonstração de que a função f existe, e de que damos um apontamento.
Para p 1, podemos considerar g 1 1 a e, para q 2 − 1, podemos considerar
g 2 1, a, 2, Fg 1 .
-38Supondo que obtivemos até g p 1, a, 2, Fg 1 , . . . , p, Fg p−1 , q p − 1
podemos considerar g p1 g p p 1, Fg p para q p 1 − 1 e, pelo princípio de
indução dos números naturais, existe uma função g ∗ : N → ImF tal que (1) g ∗ 1 a e a
restrição (2) g ∗0,p de g ∗ a 1, . . , p é g p ( p ∈ N 2 ) e
(3) g ∗ p g p p Fg p−1 Fg ∗0,p−1 p 2, 3, . . . . Portanto, podemos considerar a
classe F de todas as funções h : S p → ImF que são as restrições das g ∗ como em (1), (2),
(3) a S p p ∈ N e satisfazem portanto hq 1 Fh 0 , onde h 0 é a restrição de h a S q pra
cada q ∈ N.
Prova-se depois que dadas duas funções h, h ′ ∈ F, uma é uma restrição da outra.
Portanto a reunião h : h ∈ F é uma função, é a função f pretendida com domínio N, e
é tal que para cada número natural p, fp 1 Ff p , onde f p é a restrição de f a S p .
-39I.6.8 Definição Um subconjunto não vazio C de N diz-se um conjunto indutivo se
verifica a propriedade ∀c ∈ C, c 1 ∈ C.
I.6.9 Proposição (Boa ordenação de N) Cada subconjunto não vazio de N tem primeiro
elemento.
Dem. Seja A um subconjunto não vazio de N, e mostremos que existe a ∈ A tal que
a ≤ q, ∀q ∈ A. Seja B p ∈ N : p ≤ q, ∀q ∈ A. Tem-se 1 ∈ B, e o conjunto B não é
indutivo, pois se q ∈ A então q 1 ∉ B. (Se B fosse indutivo ter-se-ia B N). Existe
portanto p ∈ B tal que p 1 ∉ B. Mostremos por redução ao absurdo que p ∈ A, e notemos
que se p ∈ A, então p é o primeiro elemento de A; se p ∉ A, existe q ∈ A tal que
p ≤ q p 1 e, como p ≠ q, tem-se p q p 1. E obtendo-se a tese de absurdo,
conclui-se a demonstração.
I.6.10 Definição Dizemos que dois conjuntos X, Y são equipotentes e notamos X~Y se
existe uma bijecção : X → Y.
.
I.6.11 Observação Pela definição anterior, tem-se X~X para qualquer conjunto X,
considerando a bijecção I X : X → X. Também se : X → Y e ′ : Y → Z são bijecções, a
função −1 : Y → X é bijectiva, assim como ′ o : X → Z é bijectiva; portanto, se X~Y
tem-se Y~X, e de X~Y, Y~Z conclui-se X~Z. Convenciona-se ~, e que para nenhum
conjunto não vazio X se verifica X~.
-40I.6.12 Definição Diz-se cardinal do conjunto A, e nota-se #A a propriedade que A
tem de comum com todos os conjuntos equipotentes a A. Diremos que: (1) o conjunto A é
finito e tem cardinal n, #A n, n ∈ N, se A~S n 1, . . . , n; (2) o cardinal do conjunto
vazio é finito e igual a zero, # 0; (3) A é um conjunto numerável, se A é equipotente a
N; (4) A é contável, se é finito ou numerável. O número cardinal de N diz-se o cardinal do
numerável, e nota-se # 0 , #N # 0 . (5) O cardinal de R é o contínuo que notaremos c,
#R c.
I.6.13 Definição Se X, Y são conjuntos tais que, para certo Z ⊂ Y se tem X~Z,
diremos que o cardinal de X é menor ou igual que o cardinal de Y, e notaremos
#X #Y. Se #X #Y e não se verifica #Y #X, diremos que o cardinal de X é
menor que o cardinal de Y, e então notamos #X #Y. Convenciona-se 0 #X para
qualquer conjunto X e 0 #X se X ≠ .
I.6.14 Observações (1) Pela definição em I.6.10, se A e B são conjuntos tais que
existe uma função injectiva f : A → B então #A #B, e a recíproca é válida. Dados
conjuntos A, B, se existe uma função sobrejectiva f : B → A então, designando R a relação
de equivalência em B associada à função f (exemplo (3) em I.5.2), a função f : B/R → A,
fC b fb, C b x ∈ B : fx fb para cada b ∈ B é bijectiva (I.5.15). Assim
#A #B/R. Como B/R é uma partição de B, o selector de Zermelo : B/R → B é uma
função injectiva, pois ∀C b , C b ′ ∈ B/R, C b ≠ C b ′ C b ≠ C b ′ (ver I.3.3). Então
tem-se #A #B/R #B donde #A #B (considere-se a função composta og,
onde g : A → B/R é uma bijecção; bastaria g ser injectiva aliás, se #A #B e
#B #C então #A #C). Reciprocamente se existe uma injecção f : A → B então
podemos considerar a função sobrejectiva h : B → A definida por hx f −1 x para cada
x ∈ Imf e hx hb se x ∈ B\Imf, e um tal elemento x existe, onde b x x ∈ Imf
(veja-se I.3.4). Concluimos:
I.6.15 Propriedade Sejam X, Y conjuntos não vazios. As seguintes condições são
equivalentes:
(a) #X #Y;
(b) existe uma função injectiva f : X → Y ;
(c) existe uma função sobrejectiva g : Y → X.
-41I.6.16 Teorema Todo o subconjunto dum conjunto contável é um conjunto contável.
Dem. Supondo A um conjunto contável, se A a 1 , . . . , a m é finito, obviamente cada
subconjunto C a k : k ∈ I onde I ⊂ S m é um conjuto finito de cardinal #C #I.
Suponhamos pois A numerável, e seja B um subconjunto infinito de A. Sendo f : N → A
uma bijecção, tem-se B~f −1 B, e portanto basta provar que f −1 B é numerável, i.e., que
todo o subconjunto infinito C de N é numerável. Designemos por g1 o primeiro elemento
de C (boa ordenação de N, I.6.9). Para cada p ∈ N 2 , podemos considerar o primeiro
elemento gp de C\g1, . . . , gp − 1, uma vez que esta definição faz sentido para p 2
e, obtidos g1, g2, , , , gp 2 ≤ p, existe, pela boa ordenação de N, o primeiro elemento
gp 1 de C\g1, g2, . . . , gp. Pelo princípio de indução dos números naturais, fica
definida uma função g : N → C. Notemos que sendo
C\g1, . . . , gp 1 ⊂ C\g1, . . . , gp para cada p, tem-se gp ≤ gp 1 p ∈ N,
pois se ≠ U ⊂ V então infV ≤ infU. Também gp gp 1 para cada p, pois
encontra-se, utilizando o método de indução: para p 1, g2 min C\g1 g1; e
admitindo que gk 1 gk para cada k 1, . . . , p, p ≥ 1 como hipótese de indução, vem
gp 2 min C\g1, . . . , gp, gp 1 gp 1, pois entre cada gq e gq 1 não
existe nenhum elemento de C pela definição da função g q ∈ N. Também p ≤ gp
p ∈ N, como se prova facilmente por indução em p: tem-se 1 ≤ g1 e, admitindo
k ≤ gk para cada k 1, . . . , p então gp 1 gp ≥ p como já vimos, vem
gp 1 ≥ p 1. Então, pela definição de g, cada elemento p ∈ C é um dos números gq
com 1 ≤ q ≤ p, e assim g é sobrejectiva, donde g : N → C é bijectiva e #C #N como
queríamos provar.
-42I.6.17 Observações (1) Da bijecção : N 0 → N, n n 1 conclui-se que
#N 0 # 0 ; também para cada p ∈ N, o conjunto N p p, p 1, p 2, . . . tem cardinal
#N p # 0 . A bijecção : N 0 → Z definida por 0 0, 2n − 1 n, 2n −n
n ∈ N mostra que N 0 ~Z, donde #Z # 0 .(2) Para provar que um conjunto C é contável,
basta provar que existe uma função sobrejectiva de uma parte não vazia M de N sobre C,
atendendo a I.6.16 e a I.6.15.
I.6.18 Teorema Todo o conjunto infinito contém um conjunto numerável.
Dem. Dado um conjunto infinito X, utilizando o princípio da boa ordenação, existe
uma boa ordem em X. Designemos a 1 o primeiro elemento de X; cconsiderando X\a 1 ,
este conjunto tem também um primeiro elemento a 2 ≠ a 1 , uma vez que a 2 ∈ X\a 1 e
a 1 ∉ X\a 1 ; assim a 1 a 2 . Utilizando o método de indução dos números naturais,
admitamos por hipótese de indução que obtivemos elementos a 1 a 2 . . . a n para certo
n ∈ N 2 O conjunto X\a 1 , . . . , a n é não vazio, pois de contrário seria X a 1 , . . . , a n , e X
seria um conjunto finito. Existe portanto o primeiro elemento a n1 de X\a 1 , . . . , a n , e
podemos obter a n1 com a n min X\a 1 , . . . , a n−1 min X\a 1 , . . . , a n a n1 e
a n1 ≠ a n , donde a 1 . . . a n a n1 . Fica demonstrado pelo método de indução que existe
uma sucessão estritamente crescente a n em X, ficando provado o teorema.
I.6.19 Teorema Se A 1 , A 2 , . . . é uma classe contável constituída por conjuntos
contáveis, então A n : n ∈ N é um conjunto contável. (Nesta notação, se a classe é finita
com m conjuntos, pressupõe-se A mp A m para cada número natural p).
n
, . . . , repetindo
Dem. Pela hipótese, podemos designar A n a n1 , a n2 , . . . , a nk , a k1
n
n
n
n
possivelmente a k1 a k e a kp a k p 1, 2, . . . se A n é um conjunto finito com k
elementos, para cada n ∈ N. Consideremos o conjunto M 2 n . 3 k : n, k ∈ N ⊂ N e a
função f : B → A n : n ∈ N definida por f2 n . 3 k a nk . Como f é sobrejectiva, o
teorema conclui-se da observação anterior.
I.6.20 Observação Se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de cardinais, i #A i
para cada índice i, então os conjuntos A i i são dois a dois disjuntos, (A i i : i ∈ I
é uma classe disjunta) e considerando a bijecção b i : A i → A i i, b i x x, i vemos
que i #A i i para cada i.
I.6.21 Definição Na notação de I.6.19, diz-se soma dos cardinais i i ∈ I o cardinal
do conjunto reunião de uma classe disjunta de conjuntos W i tal que #W i i i ∈ I.
Representa-se ∑ i∈I i #W i : i ∈ I. Se i : i ∈ I , põe-se
∑ i∈I i .
I.6.22 Exercícios (1) Mostre que a definição anterior é coerente, i.e., se para cada
índice i ∈ I, I ≠ , W i , V i são conjuntos tais que as classes de conjuntos W i : i ∈ I e
V i : i ∈ I são ambas disjuntas, e #W i #V i para cada i ∈ I, então
#V i : i ∈ I #W i : i ∈ I.
(2) Mostre que se n # 0 para cada n ∈ N então ∑ n∈N n # 0 .
-43Resoluções
(1) Sendo f i : W i → V i uma bijecção par cada índice i, que existe por hipótese, a
função F : W W i : i ∈ I → V V i : i ∈ I definida por Fw f i w se w ∈ W i
é uma bijecção, concluindo-se a injectividade de
∀i, j ∈ I, ∀w, w ′ ∈ W, f i w f j w ′ i j, por a classe V i : i ∈ I ser uma classe
disjunta.
(2) Pelo teorema I.6.18, a reunião numerável de conjuntos numeráveis é um conjunto
contável; como é um conjunto infinito, é um conjunto numerável.
I.6.23 Definição Dada uma classe não vazia de cardinais i : i ∈ I, cada qual
i #A i 0, define-se o cardinal produto dos i como sendo o cardinal
P i∈I i # i∈I A i . Se pelo menos um dos cardinais factores i # 0, o cardinal
produto é zero. Para I 1, 2 nota-se P i∈I i 1 . 2 .
I.6.24 Observação Para cada númer natural p ≥ 2, existem exactamente p − 1 pares
ordenados de números naturais m, n tais que m n p. Podemos considerar a função
f : N → N N definida por f1 1, 1, f2 1, 2, f3 2, 1 e, tendo obtido até
certo p ∈ N 2 os pares ordenados m, n com m n p, obtidos começando, para certo
k ∈ N, por fk 1, p − 1, fk 1 2, p − 2,..., fk j m, n,...,
fk p − 1 p − 1, 1 onde a primeira coordenada m vai crescendo de uma unidade, e
n decrescendo de uma unidade, podemos continuar o processo para p 1, pondo com
q k p, fq 1, p,..., fq j m, n,..., fq p p, 1, onde ordenamos da
mesma forma os pares m, n. A função f obtida desta forma é uma bijecção, e concluímos
que N 2 ~N e #N 2 # 0 .
Para a comparação de cardinais, conclui-se facilmente da definição que dados
cardinais , , se tem e, que as relações e implicam . Põe-se
0 , para qualquer cardinal . Têm-se também as seguintes propriedades, o primeiro
teorema de que uma demonstração pode encontrar-se em [Cohn], o segundo para o qual
Zermelo obteve uma demonstração.
I.6.25 Teorema de Schroeder-Bernstein Dados dois conjuntos A, B tais que existem
funções injectivas f : A → B e g : B → A, existe uma bijecção : A → B.
Consequentemente, dados cardinais , , se e então .
I.6.26 Teorema (Dicotomia) Dados conjuntos não vazios A, B ou existe uma injecção
f : A → B, ou existe uma injecção g : B → A.
-44I.6.27 Observações (1) Pelas definições das relações e entre cardinais conclui-se
que é válida a Tricotomia: dados números cardinais , tem-se , ou . (2)
Se bem que sejam verificadas as propriedades , se , são números cardinais e se
verificam e então , e também de poder concluir-se de e que
para cardinais dados , , , a relação entre cardinais não é uma ordem parcial; pois
não é uma relação binária, uma vez que não existe o conjunto de todos os cardinais. (3) O
teorema de Schroeder-Bernstein pode enunciar-se pondo: dados conjuntos X, Y, Z tais que
X ⊂ Y ⊂ Z e #X #Z, tem-se #X #Y. (4) A comparação de cardinais, utilizando
se necessário os teoremas I.6.25 e I.6.26, tem aplicação às operações de números cardinais.
I.6.28 Exemplo Utilizando I.6.23, pode concluir-se que o conjunto Q é numerável.
Com efeito, a função f : N 2 → Q q ∈ Q : q 0 definida por fn, m n/m é
sobrejectiva, donde #Q #N 2 #N. Uma vez que N ⊂ Q tem-se #N #Q e
portanto, pelo teorema de Schroeder-Bernstein, tem-se #Q # 0 . Também a bijecção
g : Q → Q − q ∈ Q :q 0 permite concluir #Q − # 0 . Pelo teorema I.6.18, o
conjunto Q Q 0 Q − é contável e, como é infinito, é numerável.
I.6.29 Observações (1) Se , , são cardinais tais que então e
. . . Para uma demonstração ver, por exemplo, [Guerreiro]. (2) Se é um cardinal
infinito, tem-se e . .
I.6.30 Exercícios (1) Utilizando as observações em I.6.29, mostre que se 0 e se
é um cardinal infinito, então . max, .
(2) Prove que se cada cardinal infinito i i ∈ I e #I 0, então
∑ i∈I i max, . (Sug: Dada uma classe disjunta W i : i ∈ I, #W i para cada
i ∈ I, considere uma função F : W i : i ∈ I → A i I
definida por Fa f i a, i
onde, i é um índice escolhido em I e f i : A i → A i é uma bijecção, para cada i ∈ I).
Resoluções
(1) Tem-se supondo max, : como consequência de 0 ;
seguidamente ≤ , donde se conclui . Analogamente, para o
produto, implica . . , e como se tem 1 vem também 1. .
concluindo-se . .
(2) i obtem-se pelo axioma de Zermelo, existe f i por hipótese e usando (1)
-45I.6.31 Teorema de Cantor Para qualquer conjunto A, tem-se #A #PA.
Dem. Se A , obtemos P e 0 1. Supondo pois A ≠ , a função
f : A → PA, fx x é injectiva, e basta provar que não existe nenhuma função
sobrejectiva g : A → PA; seja então g : A → PA uma função. Consideremos o
subconjunto C x ∈ A : x ∉ gx ⊂ A. Tem-se que C não é imagem por g de nehum
elemento x ∈ A. Pois tem-se x ∈ C ou x ∈ A\C. No primeiro caso, é gx ≠ C, pois senão
x ∉ C; e no segundo caso, verifica-se x ∈ gx pela definição de C, e como x ∉ C tem-se
C ≠ gx. Fica demonstrado o teorema.
I.6.32 Exercício Prove que se X é um conjunto infinito de cardinal , então o cardinal
do conjunto FX das partes finitas de X é . (Sug: Prove pelo método de indução que para
cada n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de X constituídos por n elementos é
). Resolução Para n 1, a bijecção f : X → F 1 X, fx x, onde F 1 X é o conjunto
dos subconjuntos de X constituídos por um elemento, mostra que #F 1 X .
Admitindo que, para certo n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de X
constituídos por n elementos é , a aplicação sobrejectiva : X F n X : F j X
: 1 ≤ j ≤ n 1 definida por p, x 1 , . . . , x n p, x 1 , . . . , x n , onde para cada
j 1, . . , n, F j X é o conjunto dos subconjuntos de X constituídos por j elementos , mostra
que #F n1 X #F j X : 1 ≤ j ≤ n 1 . . Assim #F n X para
cada n ∈ N, utilizando o teorema de Schroeder-Bernstein, pois #F n X para cada n;
como FX F n X : n ∈ N, o resultado conclui-se usando I.6.30 (2).
I.6.33 Observação Se X é um conjunto não vazio, A ⊂ X, podemos associar ao
conjunto A a função A : X → 0, 1 definida por A x 1 se x ∈ A e A x 0 se
x ∉ A. A função F : PX → 0, 1 X , FA A é uma bijecção, e assim PX~0, 1 X e
#PX #0, 1 X .
I.6.34 Exercícios (1) Mostre que o cardinal do intervalo 0, 1 de R é o contínuo c.
(Sug: 0, 1 0 0, 1; considere as funções f : 0, 1 → R , fx 1/x e
g : R → R − x ∈ R : x 0, gx −x e utilize I.6.30).
(2) Considere as classes de subconjunto do conjunto dos números naturais
F A ⊂ N : A c é finito, I A ⊂ N : A c é infinito.
a) Mostre que o conjunto F é numerável (Sug: I.6.32);
b) Conclua que #I #PN.
Resoluções (1) Como f é bijectiva, conclui-se #0, 1 #R Também, sendo g
uma bijecção, #R − #R . N ⊂ R e portanto #R é infinito,
#R − #R #R. Se #R ≠ #R conclui-se #R #R, o que implica (
I.1.30) #R 0 #0 R e #R #R − R 0 , obtendo-se #R #R, o
que é impossível, e assim #R c. Concluimos, usando de novo I.1.30, que
#0, 1 c.
(2) a) Utilizando I.6.32, #FN # 0 e : FN → F, A A c é uma bijecção.
b) Uma vez que PN F I e # 0 #PN pelo teorema de Cantor, , conclui-se
que #PN #F #I max# 0 , #I #I utilizando I.6.30.
-46I.6.35 Teorema #PN c.
Dem. Atendendo a I.6.34, basta mostrar que #I #0, 1. Sendo A ∈ I, para cada
n ∈ N, designe n A n 1 se n ∈ A, n 0 se n ∈ A c . Uma vez que nem todos os n
tomam o valor 1, a soma de cada série ∑ n1 n /2 n é um número real x ∈ 0, 1 para cada
A ∈ I. Obtem-se assim uma função f : I → 0, 1, fA ∑ n1 n /2 n . A função f é
claramente injectiva, pois se A, B ∈ I e A ≠ B então existe pelo menos um número natural
n tal que A n ≠ B n. Se 0 x 1 existem pelo menos duas somas finitas S m , S m ′ de
duas séries respectivamente, tais que S m ≤ x S m ′ e, se x ≠ S m tem-se que em cada um dos
intervalos S m , x e x, S m ′ existem duas novas somas finitas S m1 , S m ′ 1 com
S m S m1 x S m ′ 1 S m ′ , m m1, m ′ m ′ 1. Repetindo o processo, obtemos uma
sucessão S mk k 1, 2, . . . de números reais de limite x, que é a soma de uma série fA
para certo A ∈ I, o que mostra que f é sobrejectiva, concluindo a demonstração.
I.6.36 Observação Se na classe X t : t ∈ T todos os conjunto coincidem com um
mesmo conjunto X, então t∈T X t X T .
I.6.37 Definição Se X é um conjunto não vazio, e T é um conjunto, #X ,
#T , o cardinal é por definição #X T ; se T convenciona-se
#X # 1.
I.6.39 Observação Pela observação anterior e a definição em I.6.23, se X t : t ∈ T é
uma classe de conjuntos não vazios indiciada num conjunto T tal que #X t t ∈ T e
#T então # t∈T X t . Se , , são cardinais, , ≠ 0 verificam-se as
igualdades . , . . , . como consequência das
definições. Também se e é um outro cardinal, tem-se . Atendendo a I.6.33,
se #X 2 então #PX 2 #X . Encontramos por exemplo como uma aplicação, a
determinação do cardinal do conjunto das sucessões de números naturais: tem-se
c 2 # 0 #N N #R N 2 # 0 # 0 2 # 0 .# 0 2 # 0 c, concluindo-se #N N c pelo
teorema de Schroeder-Bernstein.
I.6.40 Exercício Determine, e compare os cardinais dos conjuntos Z Z e Z R .
Resolução Utilizando I.6.17, #Z Z # #0 0 #N N c por I.6.39. Utilizando I.6.33 e
I.6.35, e aplicando também I.6.39 e I.6.30 (1),
#
#
#
#
2 2 0 #0, 1 R #Z R # 20 0 2 # 0 2 0 2 2 0 . Pelo teorema de Schroeder-Bernstein,
#Z R 2 c . Atendendo a I.6.33, tem-se 2 c #PR e como, pelo teorema de Cantor,
#R #PR conclui-se #Z Z #Z R .
-47I.7 FILTROS E ULTRAFILTROS. REDES
I.7.1 Definição Seja X um conjunto não vazio. Uma classe não vazia F ⊂ PX
verificando
F 1 ∉ F;
F 2 ∀F, F ′ ∈ F, F ∩ F ′ ∈ F;
F 3 ∀U ∈ PX, U ⊃ F ∧ F ∈ F U ∈ F, diz-se um filtro sobre X.
I.7.2 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a classe F A F ⊂ X : F ⊃ A é um filtro sobre
X. Em particular, se a ∈ X, F a F ⊂ X : a ∈ F é um filtro sobre X. (2) Sendo X um
conjunto, uma parte de X diz-se cofinita se o seu complementar é finito; se X é infinito, a
classe das partes cofinitas de X é um filtro sobre X. Para X N, obtem-se o filtro de
Fréchet. (3) Dada uma sucessão u n num conjunto U, a classe
F F ⊂ U : ∃n ∈ N, u m : m n, n 1, . . . ⊂ F é um filtro sobre U, que se diz o
filtro de Fréchet associado à sucessão u n . O filtro de Fréchet é o filtro de Fréchet
associado à sucessão dos números naturais.
I.7.3 Exercício Mostre que se X é um conjunto não vazio, e a classe B de
subconjuntos de X satisfaz as condições
B 1 ∉ B; B 2 ∀B 1 , B 2 ∈ B, ∃B 3 ∈ B, B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 , então a classe
F F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F é um filtro sobre X.
Resolução F 1 verifica-se, pois ∉ B. F 2 verifica-se também, porque se F 1 ⊃ B 1 e
F 2 ⊃ B 2 , onde B 1 , B 2 ∈ B, então existe B 3 ∈ B tal que F 1 ∩ F 2 ⊃ B 1 ∩ B 2 ⊃ B 3 , logo
F 1 ∩ F 2 ⊃ B 3 e F 1 ∩ F 2 ∈ F. A condição F 3 verifica-se também, pois se F ∈ F então
existe B ∈ B, B ⊂ F; e se F ′ ⊃ F então F ′ ⊃ B e por conseguinte F ′ ∈ F.
I.7.4 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio, uma classe de subconjuntos
B ⊂ PX satisfazendo as condições B 1 , B 2 em I.7.3 diz-se que é uma base de um filtro ou
que é uma base de filtro. (2) Se F é um filtro sobre X, diz-se que uma classe B 0 ⊂ F, onde
F é um filtro sobre X, é uma base do filtro F se satisfaz a condição
BF ∀F ∈ F, ∃B ∈ B 0 , B ⊂ F.
I.7.5 Observações (1) Se B ⊂ PX é uma base de um filtro, então B é uma base do
filtro F F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F, que se diz o filtro gerado por B. (2) Notar que se B 0
é uma base do filtro F, então cada conjunto em B 0 pertence ao filtro F.
I.7.6 Exercícios (1) Determine uma base do filtro F A em I.7.2.
(2) Mostre que a classe F 0 A ⊂ R : ∃ 0, −, ⊂ A é um filtro sobre R que
tem uma base numerável. A classe −, : 0 é uma base do filtro F 0 ? Porquê ?
-48(3) Mostre que a classe B 0 N p : p ∈ N onde N p p, p 1, . . . para cada
p ∈ N é uma base do filtro de Fréchet.
Resoluções (1) A é uma base do filtro F A .
(2) F 1 verifica-se, porque 0 ∈ −, para cada 0, e assim para cada A ∈ F 0
tem-se A ≠ . F 2 é verdadeira também, porque se 1 , 2 0, − 1 , 1 ⊂ A 1 e
− 2 , 2 ⊂ A 2 então min 1 , 2 0 e − min 1 , 2 , min 1 , 2 ⊂ A 1 ∩ A 2 . F 3 Se
−, ⊂ A, 0 e A ′ ⊃ A então −, ⊂ A ′ e A ′ ∈ F. A classe
B 0 −1/n, 1/n : n ∈ N é uma base do filtro F 0 , e é um conjunto numerável, dada a
bijecção : N → B 0 , n −1/n, 1/n. −, : 0 é uma base de F 0 , pois cada
−, ∈ F 0 e, pela definição de F 0 cada conjunto A ∈ F 0 verifica que existe certo 0
tal que −, ⊂ A.
(3) Cada conjunto A do filtro de Fréchet F verifica A c ⊂ S p 1, . . . , p para certo
p ∈ N. Uma vez que N p ∈ F para cada p, e A c ⊂ S p N p ⊂ A para cada A ⊂ N
conclui-se que N p : p ∈ N é uma base de F.
I.7.7 Definição Se F, F ′ são filtros sobre um mesmo conjunto X, diz-se que o filtro F ′
é mais fino que o filtro F, e nota-se F ′ F ou F F ′ se F ⊂ F ′ ; diz-se então também
que o filtro F é menos fino que o filtro F ′ .
I.7.8 Observação No conjunto parcialmente ordenado FX, dos filtros sobre X,
toda a cadeia não vazia tem um majorante. Com efeito, se F i : i ∈ I, I ≠ , é uma cadeia
em FX, para cada subconjunto finito e não vazio J de I e cada classe F j : j ∈ J, tem-se
F j ∈ F j para cada índice j. Verifica-se facilmente que, com #J m, podemos designar
J j1, . . . , jm onde F jk ⊂ F jk ′ para cada 1 ≤ k ≤ k ′ ≤ m; donde todos os F j
pertencem a F jm e portanto ∩F j : j ∈ J ∈ F jm . Por conseguinte, o conjunto das
intersecções finitas destas classes F j : j ∈ J é uma base de um filtro F sobre X ( pois
cada intersecção é não vazia. e a intersecção de duas intersecções finitas é ainda uma
intersecção finita), e o filtro F é mais fino que cada filtro F i , i ∈ I. Pelo lema de Zorn,
existe portanto pelo menos um elemento maximal em FX, .
-49I.7.9 Definição Sendo X um conjunto não vazio, diz-se ultrafiltro sobre X um
elemento maximal no conjunto dos filtros sobre X, parcialmente ordenado para a relação de
inclusão de conjuntos.
I.7.10 Exemplo Se a ∈ X, o filtro F a F ⊂ X : a ∈ F é um ultrafiltro. Não
podem obter-se outros ultrafiltros sobre X sem recorrer ao axioma de Zermelo.
I.7.11 Observação Dado um filtro F sobre X, conclui-se aplicando o lema de Zorn que
existe pelo menos um ultrafiltro U que contém F. Por exemplo em I.7.2 (1), para cada
a ∈ A, F a é um ultrafiltro sobre X que contém F A .
I.7.12 Teorema Se U é um filtro sobre X, U é um ultrafiltro sse para cada A ⊂ X se
verifica A ∈ U ou A c ∈ U.
I.7.13 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do
teorema anterior:
1. Suponhamos que U verifica a propriedade. Se U não é um ultrafiltro, existe um
filtro F ≠ U tal que U ⊂ F;
2. existe A ⊂ X tal que A ∈ F e A ∉ U;
3. A c ∈ U, e conclui-se um absurdo. Portanto se U verifica a propriedade do
enunciado então U é um ultrafiltro.
4. Sejam U um ultrafiltro sobre X, e seja A ⊂ X, A ∉ U. Mostremos que B A c ∈ U.
Se V ∈ U então V não verifica V ⊂ A;
5. V ∩ B ≠ ;
6. a classe V ∩ B : V ∈ U é uma base de um filtro F sobre X;
7. F é mais fino que U, e F U;
8. pode concluir-se B ∈ U, completando a demonstração.
-50Resolução
1. Pois existe pelo menos um ultrafiltro F que contém U;
2. porque por 1. U ⊂ F e U ≠ F;
3. pela hipótese do enunciado sobre U, e porque como A ∈ F pelo passo 2., ter-se-á
também A c ∈ F pelo passo 1., donde A ∩ A c ∈ F o que é impossível. Conclui-se assim
a tese de absurdo da hipótese de absurdo de U não ser um ultrfiltro, portanto U é um
ultrafiltro sobre X.
4. Porque se V ⊂ A e V ∈ U, então A ∈ U uma vez que U é um filtro;
5. pois se V ∩ A c então V ⊂ A, e pelo passo 4. não se verifica V ⊂ A;
6. pois pelos passos 4. e 5. cada V ∩ B ≠ ; como para cada V 1 , V 2 ∈ U se tem
V V 1 ∩ V 2 ∈ U, conclui-se que cada intersecção V 1 ∩ B ∩ V 2 ∩ B V ∩ B é um
conjunto que está na classe, e esta é portanto uma base de um filtro sobre X;
7. F é mais fino que U porque para cada V ∈ U, tendo-se V ∩ B ⊂ V e V ∩ B ∈ F
pelo passo 6., também V ∈ F; assim, sendo U um elemento maximal, tem-se F U;
8. pois B B ∩ X ∈ F pela definição de F no passo 6., uma vez que X ∈ U pois U é
um filtro. Assim B ∈ U pelo passo anterior, e conclui-se que U verifica a propriedade, e
assim o teorema.
-51I.7.14. Teorema É condição necessária e suficiente para que o filtro U sobre X seja um
ultrafiltro que satisfaça a condição ∀A, B ⊂ X, A B ∈ U A ∈ U ∨ B ∈ U.
I.7.15 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração do
teorema:
1. Se U verifica a condição, conclui-se que U é um ultrafiltro da igualdade
A A c X.
2. Sendo U um ultrafiltro, suponhamos A B ∈ U; bastará provar que se A ∉ U então
B ∈ U. Podemos portanto supor A B ∈ U e A ∉ U;
3. tem-se A c ∩ B c ∉ U;
4. A c ∈ U;
5. B c ∉ U;
6. pode concluir-se a demonstração.
Resolução
1. Pois X ∈ U, já que, por hipótese, U é um filtro sobre X.
2. Pois se A ∈ U não há nada aprovar;
3. porque pelo passo 2. A B ∈ U; não pode ser portanto A c ∩ B c A B c ∈ U
pois então vinha A B ∩ A B c ∈ U por U ser por hipótese um filtro, o que é
impossível;
4. pelo teorema em I.7.12, já que A ∉ U pelo passo 2.;
5. porque se B c ∈ U, então do passo 4. conclui-se A c ∩ B c ∈ U, contra o passo 3.;
6. pelo passo 5. e pelo teorema I.7.12, conclui-se B ∈ U como se queria provar no
passo 2.
I.7.16 Observação Se B é uma base de um filtro sobre X, considerando o filtro F
gerado por B temos: se F é um ultrafiltro, então dado A ⊂ X é A ∈ F ou A c ∈ F; assim
deve existir B ∈ B verificando ou B ⊂ A, ou B ⊂ A c . Reciprocamente, se para cada A ⊂ X
existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que B ⊂ A ou B ⊂ A c então F é um ultrafiltro.
Obtemos
I.7.17 Teorema Uma base B de um filtro sobre X é base de um ultrafiltro sobre X sse
para cada A ⊂ X, A contém um conjunto em B ou A c contém um conjunto em B.
I.7.18 Sendo f : X → Y uma função e B uma base de filtro sobre Y, se f −1 B ≠
para cada B ∈ B, a classe f −1 B : B ∈ B é uma base de filtro sobre X. Duas bases de um
mesmo filtro originam, por este processo, duas bases do mesmo filtro. Com X ⊂ Y e
f : X → Y a aplicação de inclusão, se X ∩ B ≠ para cada B ∈ B então X ∩ B : B ∈ B é
uma base de filtro sobre X.
-52I.7.19 Definição Com X, Y, B e f como em I.7.18, a classe f −1 B : B ∈ B diz-se a
base imagem recíproca da base de filtro B; o filtro F gerado pela classe diz-se também a
imagem recíproca do filtro gerado por B. No caso particular de X ⊂ Y e f a aplicação de
inclusão, a imagem recíproca do filtro gerado por B diz-se também o filtro restrição do
filtro gerado por B, ou o filtro induzido pelo filtro gerado por B sobre X.
I.7.20 Se B é uma base de filtro sobre X e f : X → Y é uma função, então
fA : A ∈ B é base de um filtro F sobre Y.
I.7.21 No contexto de I.7.20, a classe fA : A ∈ B diz-se a base imagem directa da
base de filtro B. O filtro F é o filtro imagem directa do filtro sobre X gerado por G.
I.7.22 Observações (1) Se acima B ′ é uma outra base do filtro sobre X gerado por B, a
classe fA ′ : A ′ ∈ B ′ é ainda uma base do filtro F sobre Y.
(2) Mesmo que B seja um filtro, a base imagem directa de B não é, em geral, um
filtro. Se B é um filtro, o filtro imagem directa do filtro B é a classe C ⊂ Y : f −1 C ∈ B.
I.7.23 Teorema Se B é base de um ultrafiltro sobre X, a base imagem directa de B é
uma base de um ultrafiltro sobre Y.
I.7.24 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema anterior, justificando as
passagens:
1. Se B ⊂ Y então f −1 B c f −1 B c ;
2. f −1 B está no filtro gerado por B, ou f −1 B c eatá neste filtro;
3. pode concluir-se o teorema.
Resolução
1. A inclusão f −1 B c ⊂ f −1 B c é consequência imediadata da definição de f −1 . Se
x ∉ f −1 B então fx ∉ B e com y fx ∈ Y tem-se y ∈ B c , x ∈ f −1 y ⊂ f −1 B c
concluindo-se f −1 B c ⊂ f −1 B c ;
2. atendendo a 1., pois por hipótese o filtro gerado por B é um ultrafiltro, e utilizando
o teorema I.7.12;
3. porque B ⊃ ff −1 B, B c ⊃ ff −1 B c e assim pelo passo 2., B pertence ao filtro
imagem directa do ultrafiltro gerado por B, ou B c pertence à imagem directa desse
ultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12.
I.7.25 Recordar que uma sucessão num conjunto não vazio X é uma função de N em
X. A ordem parcial usual de N permite considerar uma subsucessão u nk da sucessão
u n , como a composta u n após g, onde g : N → N, g : k nk é uma função
estritamente crescente; permite também considerar o conceito de limite de uma sucessão.
Podem considerar-se estas noções num contexto mais geral.
-53I.7.26 Definição Sendo X um conjunto não vazio e J, um conjunto dirigido, uma
função x : J → X diz-se uma rede em X, ou uma sucessão generalizada em X. Representa-se
a rede x pondo x j J ou x j onde x j xj j ∈ J.
Se I, ≥, J, são conjintos dirigidos, dizemos que uma aplicação : I → J é
admissível se para cada índice j ∈ J existe pelo menos um índice i 0 ∈ I, tal que
∀i ∈ I, i ≥ i 0 i j. E dizemos que uma rede y i I é uma subrede (subsucessão
generalizada) da rede x j J se existir uma aplicação admissível : I → J tal que y i x i
para cada i ∈ I.
I.7.27 Exemplo Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, F é um
conjunto dirigido F para a quase-ordem (que é uma ordem parcial) F F ′ sse F ′ ⊂ F.
Sendo : F → X o selector de Zermelo, podemos considerar a rede em X, x F F onde
x F F para cada F ∈ F.
I.7.28 Observações (1) O conjunto N com a ordem parcial usual é um conjunto
dirigido; assim toda a sucessão em X é uma rede em X. No entanto, uma subrede da
sucessão u n , ainda que seja uma sucessão, pode não ser uma subsucessão de u n no
sentido habitual, como mostram as subredes
1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9, . . . e 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, . . . de 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Se J N com a ordem parcial usual na definição I.6.26, : I → N é admissível se e
só se i aumenta indefinidamente. Seguindo [Machado], se u u n , dizemos que uma
função composta u n após g como em I.7.25, com g estritamente crescente, é uma
subsucessão estrita de u n ; no entanto subentendemos, salvo menção em contrário, que
uma subsucessão gou n u nk de u n é estrita i.e., que g : N → N, g : k nk é
estritamente crescente.
(2) Se J, é um conjunto dirigido, ≠ I ⊂ J, então a relação binária R em I
definida por iRi ′ sse i, i ′ ∈ I ∧ i i ′ é uma quase-ordem em I, para a qual I é um conjunto
dirigido. Dizemos que I é cofinal com J se para cada j ∈ J, existe pelo menos um i ∈ I tal
que i j; então a aplicação de inclusão i i de I em J é admissível. Portanto, dada uma
rede x j J , a rede x i I é uma subrede daquela.
(3) Sendo x j J uma rede em X, y i I x i uma subrede de x j J e
z k K y k x ok uma subrede de y i I , então também z k K é uma subrede de
x i I .
I.7.29 Exercício Verifique a observação (3) anterior.
Resolução
Por hipótese, existem aplicações admissíveis : I → J e : K → I tais que z k y k
k ∈ K e y j x i i ∈ I. Então z k x k k ∈ K, e resta provar que a aplicação
o : K → J é admissível. Para cada j ∈ J, existe pelo menos um índice i 0 ∈ I tal que
i j para cada i ∈ I tal que i ≥ j 0 , pois é admissível; como é admissível, existe pelo
menos um índice k 0 ∈ K com k ≥ i 0 para todo o k k 0 , k ∈ K. Concluimos que
ok k j para todo o k k 0 , k ∈ K, provando o que se pretende.
-54I.8 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS
I.8.1 Mostre que PA ∩ B PA ∩ PB.
I.8.2 a) Prove que se f : X → Y é uma função então ff −1 B B ∩ fX para cada
B ⊂ Y;
b) dê um exemplo em que A ⊂ X e f −1 fA ≠ A.
I.8.3 Sejam A i : i ∈ I uma classe não vazia de conjuntos, B um conjunto.
Mostre que:
a) ∀i ∈ I, A i ⊂ B A i : i ∈ I ⊂ B;
b) ∀i ∈ I, B ⊂ A i B ⊂ ∩A i : i ∈ I.
I.8.4 Sejam A ⊂ X, I, J ≠ e A i : i ∈ I, B j : j ∈ J ⊂ PX.
a) Mostre que:
(1) A ∩ B j : j ∈ J A ∩ B j : j ∈ J;
(2) A i : i ∈ I B j : j ∈ J A i ∩ B j : i, j ∈ I J.
b) Verifique a lei da dualidade, obtendo
(1’) A B j : j ∈ J A B j : j ∈ J e
(2’) A i : i ∈ I B j : j ∈ J A i B j : i, j ∈ I J.
I.8.5 a) Dadas classes de conjuntos X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 e um conjunto Y, mostre que:
(i) X 1 X 2 Y 1 Y 2 X 1 Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y 1 X 2 Y 2 ;
(ii) X 1 ∩ X 2 Y 1 ∩ Y 2 X 1 Y 1 ∩ X 2 Y 2 ;
(iii) X 1 \X 2 Y X 1 Y\X 2 Y.
b) Prove que X 1 Y 1 X 2 Y 2 X 1 X 2 ∧ Y 1 Y 2 .
c) Prove que se A ⊂ X, B ⊂ Y então
(i) A B A Y ∩ X B;
(ii) A B c A c Y X B c .
I.8.6 Mostre que se A s : s ∈ S, B t : t ∈ T são classes não vazias de conjuntos
não vazios, então
a) A s : s ∈ S B t : t ∈ T A s B t : s, t ∈ S T;
b) ∩A s : s ∈ S ∩B t : t ∈ T ∩A s B t : s, t ∈ S T.
I.8.7 Note que se X, Y são conjuntos não vazios, Rx é uma relação em X e Sy é uma
relação em Y, então x, y ∈ X Y : Sy X y ∈ Y : Sy. Utilizando
x, y ∈ X Y : Rx ∨ Sy x ∈ X : Rx Y X y ∈ Y : Sy conclua
que x, y ∈ X Y : x ∈ A ∨ y ∈ B A Y B X.
I.8.8 Sendo f : X → Y uma função, A, A 1 , A 2 ⊂ X, B, B 1 , B 2 ⊂ Y,
a) (i) mostre que A 1 ⊂ A 2 fA 1 ⊂ fA 2 ;
(ii) dê um exemplo em que fA 1 ⊂ fA 2 mas não se verifique A 1 ⊂ A 2 .
-55b) Prove que fA sse A .
c) Mostre que f −1 B 1 \B 2 f −1 B 1 \f −1 B 2 .
d) Mostre que f −1 B sse B ∩ fX .
e) (i) Prove que fA ∩ B fA ∩ f −1 B, e conclua que
(ii) fA ∩ B sse A ∩ f −1 B e
(iii) fA ⊂ B A ⊂ f −1 B.
I.8.9 Note que se f : X → Y é uma função e g é a função restrição de f a A ⊂ X,
A ≠ , então g −1 B A ∩ f −1 B para cada B ⊂ Y. Prove que se A i : i ∈ I é uma classe
não vazia de subconjuntos não vazios de X tal que X A i : i ∈ I, e g i é a função
restrição de f a A i para cada i ∈ I, então f −1 B g −1
i B : i ∈ I.
I.8.10 Sejam X, Y 0 , Y 1 conjuntos não vazios, f 0 : X → Y 0 e f 1 : X → Y 1 funções.
Mostre que definindo f : X → Y 0 Y 1 por fx f 0 x, f 1 x se tem:
a) fA ⊂ f 0 A f 1 A para cada A ⊂ X;
−1
b) f −1 B 0 B 1 f −1
0 B 0 ∩ f 1 B 1 se B 0 ⊂ Y 0 , B 1 ⊂ Y 1 .
I.8.11 Sejam f 0 : X 0 → Y 0 e f 1 : X 1 → Y 1 funções. Considere a função
g : X 0 X 1 → Y 0 Y 1 definida por gx 0 , x 1 f 0 x 0 , f 1 x 1 . Prove que:
a) gA 0 A 1 f 0 A 0 f 1 A 1 A i ⊂ X i , i 0, 1;
−1
b) g −1 B 0 B 1 f −1
0 B 0 f 1 B 1 B j ⊂ Y j , j 0, 1.
I.8.12 Um número real diz-se algébrico se é uma raiz de um polinómio de coeficientes
inteiros; caso contrário diz-se transcendente. Mostre que o conjunto dos números algébricos
é numerável e conclua que o conjunto dos números transcendentes tem o cardinal do
contínuo.
I.8.13 Uma parte A de um conjunto não vazio X diz-se uma parte própria de X se
A ≠ X.
a) Prove que um conjunto infinito é equipotente a uma parte própria. (Sug: princípio
da boa ordenação; método de indução dos números naturais.)
b) Pode caracterizar os conjuntos infinitos, como sendo os conjuntos equipotentes a
uma parte própria ? Justifique.
I.8.14 a) Deternine os cardinais: (i) #Q 2 ; (ii) #R 2 .
b) Demonstre por indução em n ∈ N que #Q n # 0 e #R n c.
I.8.15 O conjunto de Cantor ([Kuratowski]) é o conjunto C dos números reais s no
intervalo [0,1] que são da forma s 31 3 22 3 33 . . . , onde n ∈ 0, 2 para cada n ∈ N.
Mostre que #C c.
I.8.16 Se X t : t ∈ T é uma classe disjunta não vazia de conjuntos não vazios, Y é
um conjunto não vazio, cada função f x, fx : x ∈ X t : t ∈ T ∈ Y X t :t∈T pode
identificar-se com o t −énuplo x, f t x : x ∈ X t ∈ t∈T Y X t , onde f t é a função
restrição de f a cada conjunto X t t ∈ T. Conclui-se que se os cardinais , t t ∈ T são
não nulos, então ∑ t∈T P t∈T t . Também, se Y t : t ∈ T é uma classe disjunta não
vazia de conjuntos não vazios, X é um conjunto não vazio, podem identificar-se os
conjuntos t∈T Y t X e t∈T Y Xt , donde sendo , t t ∈ T numeros cardinais diferentes de
zero, P t∈T t P t∈T t .
I.8.17 Não pode concluir-se utilizando os axiomas citados até agora, se existe algum
cardinal tal que # 0 2 # 0 . A hipótese de que não existe um tal cardinal diz-se a
hipótese do contínuo.
t
-56I.8.18 Dado o conjunto N dos números naturais, podemos considerar os conjuntos
PN, PPN e assim sucessivamente. Obtidos, desta forma,
P 1 PN, P 2 PPN,. . . , P n N, podemos obter P n1 N e considerar a classe C
P n N : n ∈ N. Prova-se ([Oliveira]) que para cada n, #P n #C. Cada
cardinal de um conjunto P n N diz-se um cardinal acessível. Existem portanto números
cardinais não acessíveis.
. I.8.19 Sendo A uma classe de conjuntos, diremos que uma parte H de A é uma torre
em A se para cada A, B ∈ H se tem A ⊂ B ou B ⊂ A. Uma torre M em A é maximal se
nehuma torre N em A verifica M ⊂ N e N ≠ M. Dizemos ainda que uma classe A de
conjuntos tem carácter finito se cada subconjunto finito de um conjunto em A está em A e
se um conjunto A é tal que toda a sua parte finita está em A, então A está também em A.
Recordar ainda a noção de quase-ordem num conjunto em I.5.29 (ou pré-ordem).
Dado que aceitamos o símbolo da escolha de Hilbert em I.3.4, fica implícito que
aceitamos as proposições equivalentes seguintes:
Princípio maximal de Hausdorff _ Se A é uma classe de conjuntos e N é uma torre em
A, existe uma torre maximal M em A que contem N
Princípio maximal _ Se para cada torre N em A existe um conjunto em A que contem
cada conjunto em N, então existe um conjunto M ∈ A tal que para nenhum N ∈ A se
verifica M ⊂ N
Lema de Tukey _ Existe um elemento maximal em toda a classe não vazia de carácterr
finito
Lema de Kuratowski _ Toda a cadeia num conjunto parcialmente ordenado está contida
numa cadeia maximal
Lema de Zorn _ Se toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado X tem
um majorante, então existe em X um elemento maximal.
Axioma da Escolha de Zermelo _ Dada uma família constituída por conjuntos X i
indiciada num conjunto não vazio de índices I, existe uma função de escolha , o selector
de Zermelo, tal que i ∈ X i para cada índice i ∈ I
Postulado de Zermelo _ Se A é uma classe não vazia de conjuntos não vazios e dois a
dois disjuntos, existe um conjunto C tal que A ∩ C é um conjunto reduzido a um elemento,
para cada A ∈ A
Princípio da Boa Ordem _ Dado qualquer conjunto C, existe uma boa ordem em C
Produto infinito _ Se X : ∈ A é uma família não vazia de conjuntos não vazios,
então ∈A X ≠
I.8.20 O Lema de Zorn pode ser formulado, segundo [Dugundji] de modo mais geral;
dada uma quase-ordem ≤ no conjunto X consideram-se os conceitos de cadeia em X,
elemento maximal em X, analogamente à situação em que ≤ é uma ordem parcial. Tem-se
então o enunciado equivalente
Sendo X um conjunto munido de uma quase-ordem, se toda a cadeia não vazia tem um
majorante então existe em X um elemento maximal.
-57BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO I
[Aliprantis, Burkinshaw] _ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles of
Real Analysis”, Academic Press San Diego.New
York.Boston.London.Sydney.Tokyo.Toronto. (1990).
[Cohn] _COHN, P. M. ”Algebra”, Second Edition, Volume 2.John Wiley & Sons,
Chichester.New York.Brisbane.Toronto.Singapore. (1989).
[Costa] _COSTA, A. A. ”Cours d’Algèbre Générale”, Volume I, 2nde Édition,
Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1969).
[Dieudonné] _DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de Análisis Moderno”, Editorial
Reverté, S.A. Barcelona.Buenos Aires. México. (1966).
[Dugundji] _ DUGUNDJI, JAMES ”Topology”, Allyn and Bacon, Inc. Boston,
London, Sydney, Toronto (1966).
[Guerreiro] _GUERREIRO, J. SANTOS ”Curso de Análise Matemática”, Escolar
Editora, Lisboa (1989).
[Kelley] _KELLEY, JOHN L. ”General Topology”, Graduate Texts in Mathematics, 27
Springer-Verlag, New york.Berlin.Heidelberg.London.Paris.Tokyo.Hong Kong.Barcelona.
(1955).
[Kolmogorov, Fomin] _KOLMOGOROV, A. N., FOMIN, S. V. ”Elementos da Teoria
das Funções e de Análise Funcional”, Editora Mir-Moscou. (1982).
[Kuratowski] _KURATOWSKI, K. ”Topology”. Volume I, Academic Press, New York
and London, PWN_Polish Scientific Publishers, Warszawa. (1966).
[Machado] _ MACHADO, ARMANDO ”Introdução à Análise Funcional”, Escolar
Editora. (1991).
[Oliveira] _OLIVEIRA, FRANCO ”Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiomática
(ZFC)”, Escolar Editora (1982).
[Schwartz] _SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie générale
et analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann, Paris.
(1970).
-58-
II ESPAÇOS MÉTRICOS
-59II.1 DESIGUALDADES DE CAUCHY-SCHWARZ, HOLDER E
MINKOWSKI
II.1.1 Propriedade (desigualdade de Cauchy-Schwarz).
Se u k , v k são números reais não nrgativos, k 1, 2, . . . , n, n ∈ N, então
n
n
n
u k v k ≤ ∑ k1 u 2k 2 ∑ k1 v 2k 2
∑ k1
1
1
Dem. Dados números reais a, b, a b, o intervalo a, b é o conjunto
a, b 1 − a b : 0 ≤ ≤ 1. Uma vez que a função y log x tem a concavidade
voltada para cima, se 0 a b, a imagem y 0 log1 − a b não é menor que
1 − y a y b , onde y a log a, y b log b. Assim tem-se
1 − log a log b ≤ log1 − a b. Sendo a função exponencial crescente, obtem-se
exp1 − log a log b ≤ 1 − a b, ou seja a 1− b ≤ 1 − a b. Notar que esta
desigualdade é verdadeira para quaisquer a, b ≥ 0, e a igualdade dá-se se e só se a b.
Dados números reais positivos a k , b k , 1 ≤ k ≤ n obtemos com
n
n
A ∑ k1 a k , B ∑ k1 b k , fazendo a a k /A e b b k /B para cada k,
1−
b k /B ≤ 1 − a k /A b k /B. Adicionando,
(1) a 1−
k /A
1−
B ≤ 1 − ∑ k1 a k /A ∑ k1 b k /B 1, e
(2) ∑ k1 a 1−
k b k /A
n
n
n
(3) ∑ k1 a 1−
b
≤
a k 1− ∑ k1 b k . Pondo u k a 1−
∑ k1
k
k
k , v k b k , e fazendo
obtemos a desigualdade pretendida, c.q.d.
n
n
n
1
2
II.1.2 Exercícios
1. Utilizando a demonstração anterior, obtenha uma demonstração da desigualdade de
Holder:
Se p, q 1 verificam 1p 1q 1, u k , v k ≥ 0 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N então
n
n
n
p
q
u k v k ≤ ∑ k1 u k p ∑ k1 v k q .
∑ k1
1
1
2. Analisando a demonstração, conclua que só se verifica a igualdade, na desigualdade
de Holder, se exite uma mesma constante c ≥ 0 tal que a k cb k para todo o k 1, . . . , n.
Resoluções
1. Pondo, em (3), 1 − 1p 1q . 2. Pois a igualdade verifica-se em (1) se e só se
a k /A b k /B, i.e. sse a k /b k A/B c para cada k.
,
-60II.1.3 Propriedade (desigualdade de Minkowski).
Se p ≥ 1, u k , v k ∈ R 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N, então
∑ k1 ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k1 ∣ u k ∣ p p ∑ k1 ∣ v k ∣ p p .
Dem. Para p 1, a desigualdade é óbvia. Se p 1, 1q 1 − 1p , com
a k ∣ u k ∣, b k ∣ v k ∣ podemos aplicar a desigualdade de Hölder a cada parcela da soma
n
b k a k b k p−1 .
∑ k1 a k a k b k p−1 ∑ k1
Obtemos assim
n
n
∣ u k v k ∣ p ≤ ∑ k1 a k b k a k b k p−1 ≤
∑ k1
n
n
1
n
1
1
∑ k1 a k p ∑ k1 a k b k qp−1 q ∑ k1 b k p ∑ k1 a k b k qp−1 q .
n
p
1
Então de
1
p
n
1−
n
1
1
q
p
n
1
1
, qp − 1 p, obtemos, dado que ∑ k1 a k b k qp−1 q 0,
n
1
∑ k1 ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k1 a k p ∑ k1 b k p c.q.d.
n
n
1
p
n
1
p
1
II.1.4 As desigualdades em II.1.1, II.1.2 e II.1.3 são casos particulares, para a medida
de contagem, das seguintes desigualdades para integrais:
Desigualdade de Holder
Se p, q 1, 1p 1q 1, , ∑, é um espaço de medida, f, g ∈ R ,
∣ fg ∣ d ≤ ∣ f ∣ p d p ∣ g ∣ q d q .
1
1
Desigualdade de Minkowski
Se p ≥ 1, , ∑, e f, g são como acima,
∣ f g ∣ p d p ≤
1
∣ f ∣ p d p
1
1
∣ g ∣ p d p .
II.1.5 Observações (1) Para p q 2, a desigualdade de Minkowski é também
conhecida por desigualdade de Schwarz; demonstrações de II.1.4 podem ver-se em [Rudin].
(2) Utilizando a medida de contagem se I ⊂ N são válidas
1
1
∑ k∈I ∣ u k v k ∣≤ ∑ k∈I ∣ u k ∣ p p ∑ k∈I ∣ v k ∣ q q p, q ≥ 1,
1
1
p q 1,
∑ k∈I ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k∈I ∣ u k ∣ p p ∑ k∈I ∣ v k ∣ p p p ≥ 1
1
1
1
.
-61II.2 DISTÂNCIA NUM CONJUNTO. ESPAÇO MÉTRICO.
SUCESSÕES CONVERGENTES.
II.2.1 Se a, b são números reais, o número real não negativo ∣ a − b ∣ dá a distância
entre a e b, entendida como o comprimento do segmento da recta de extremos a, b.
Representando da, b ∣ a − b ∣, obtemos uma função d : R R → R tal que
(D1) dx, y ≥ 0, dx, x 0;
(D2) dx, y dy, x;
(D3) dx, z dx, y dy, z (faça-se ∣ x − z ∣∣ x − y y − z ∣) e
(D4) dx, y 0 implica x y.
O teorema de Pitágoras mostra que, analogamente,
1
d e x 1 , x 2 , y 1 , y 2 x 1 − y 1 2 x 2 − y 2 2 2 dá a distância intuitiva entre os pontos
x 1 , x 2 e y 1 , y 2 do plano cartesiano R 2 . Utilizando a desigualdade de Minkowski com
p 2 (também conhecida como desigualdade de Cauchy), vemos que a função
d e : R 2 R 2 → R verifica também as propriedades (D1),...,(D4). Se E é um qualquer
conjunto não vazio, a função d i E E → R definida por d i x, y 0, se x y e d i x, y 1
se x ≠ y, tem também as propriedades (D1),...,(D4).
II.2.2 Definição Se E é um conjunto não vazio, uma função d : E E → R
verificando as condições (D1),...,(D4) acima diz-se uma distância ou uma métrica em E, ou
sobre E. O par E, d chama-se um espaço métrico.
Notar que de (D3) e (D2), aplicando primeiro (D3) directamente, e depois
trocando x com y nesta desigualdade, se conclui que se d é uma métrica em E, então
∣ dx, z − dy, z ∣≤ dx, y.
II.2.3 Exemplos Em II.2.1, d (resp. d e , d i ) são métricas sobre R, respectivamente R 2 e
E, e R, d, R 2 , d e , E, d i são espaços métricos. A métrica d chama-se a métrica
euclideana ou usual em R, e d e é a métrica euclideana em R 2 . A métrica d i chama-se a
métrica discreta.
-62II.2.4 Observação A função d M : R 2 R 2 → R,
d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ é também uma métrica sobre R 2 ;
R 2 , d e e R 2 , d M são espaços métricos diferentes.
II.2.5 Exercícios (1) Verifique a observação anterior.
(2) Mostre que se d é uma métrica em E, então são métricas em E:
(i) 2d definida por 2dx, y 2dx, y x, y ∈ E;
dx,y
d
d
(ii) d1
definida por d1
x, y 1dx,y ;
(iii) min1, d definida por min1, dx, y min1, dx, y.
(3) Prove que z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ é uma distância
em C.
II.2.6 Resoluções
(1) (D1) d M x \ , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ ≥ 0, e
d M x 1 , x 2 , x 1 , x 2 max∣ x 1 − x 1 ∣, ∣ x 2 − x 2 ∣ max0, 0 0. (D2)
d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣
max∣ x 2 − x 1 , ∣ y 2 − y 1 ∣ d M y 1 , y 2 , x 1 , x 2 .
(D3) d M x 1 , x 2 , z 1 , z 2 max∣ x 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − z 2 ∣
max∣ x 1 − y 1 y 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 y 2 − z 2 ∣≤
max∣ x 1 − y 1 ∣ ∣ y 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ ∣ y 2 − z 2 ∣ ≤
max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣∣ x 2 − y 2 ∣ max∣ y 1 − z 1 ∣, ∣ y 2 − z 2 ∣
d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 d M y 1 , y 2 , z 1 , z 2 . (D4) d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2
max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ 0 implica ∣ x 1 − y 1 ∣ 0, x 1 y 1 e ∣ x 2 − y 2 ∣ 0,
donde x 2 y 2 e x 1 , x 2 y 1 , y 2 .
(2) (i) 2d verifica as condições (D1) e (D2), pois d satisfaz (D1), (D2); verifica
também (D3), pois 2dx, z 2dx, z ≤ 2dx, y dy, z 2dx, y 2dy, z
2dx, y 2dy, z, uma vez que d verifica (D3); também 2dx, y 0 implica
dx, y 0, que implica x y, porque d satisfaz (D4), e assim 2d verifica também a
condição (D4), e é uma métrica em E.
dx,y
d
d
0
x, y 1dx,y 0, pois dx, y 0; também d1
x, x 10
0 pois
(ii) d1
d
d
d
d
dx, x 0, e d1 verifica (D1). Como dx, y dy, x, tem-se d1 x, y d1 y, x, e d1
t
verifica (D2). A função ft t1
t ≥ 0 é crescente, e portanto tem-se:
dx,ydy,z
dx,y
dy,z
dx,z
d
x, z 1dx,z ≤ 1dx,ydy,z ≤ 1dx,y 1dy,z , uma vez que dy, z, dx, y ≥ 0.
d1
d
d
d
d
x, z ≤ d1
x, y d1
y, z, e d1
satisfaz a condição (D3). (D4) verifica-se
Assim d1
d
também, pois d1 x, y 0 implica dx, y 0 e então x y porque d satisfaz (D4).
(iii) min1, dx, y min1, dx, y ≥ 0, pois dx, y ≥ 0, 1 ≥ 0; e
min1, dx, x min1, dx, x min1, 0 0 porque dx, x 0; portanto min1, d
verifica (D1). Também, sendo dx, y dy, x, tem-se min1, dx, y min1, dy, x e
min1, dx, y min1, dy, x. Para (D3), encontra-se: sendo a, b ≥ 0, então
min1, a min1, b ≥ 1 min1, b ≥ min1, a b se a ≥ 1; e, se a, b ≤ 1, então
min1, a b ≤ a b min1, a min1, b. Portanto
min1, dx, z min1, dx, z ≤ min1, dx, y dy, z ≤
min1, dx, y min1, dy, z min1, dx, y min1, dy, z e min1, d verifica
(D3). Também min1, dx, y 0 dx, y 0, x y.
-63(3) (D1) z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ ≥ 0, e
z, z max∣ Re z − Re z ∣, ∣ Im z − Im z ∣ max0, 0 0. (D2)
z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣
max∣ Re z 2 − Re z 1 ∣, ∣ Im z 2 − Im z 1 ∣ z 2 , z 1 . (D3)
z 1 , z 3 max∣ Re z 1 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 3 ∣
max∣ Re z 1 − Re z 2 Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 Im z 2 − Im z 3 ∣≤
max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣ ∣ Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ ∣ Im z 2 − Im z 3 ∣≤
max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣
max∣ Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 2 − Im z 3 ∣ z 1 , z 2 z 2 , z 3 . (D4)
z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ 0 implica Re z 1 Re z 2 e
Im z 1 Im z 2 , logo z 1 z 2 .
II.2.7 Vê-se por II.2.1 que a convergência de uma sucessão de números reais x n
para um ponto a, é entendida como a convergência da sucessão das distâncias a a,
dx n , a ∣ x n − a ∣→ 0 n → . A convergência de uma sucessão x n , y n → a, b em R 2
é usualmente entendida de novo, como a convergência da sucessão das distâncias
d e x n , y n , a, b dos termos da sucessão ao limite, para zero. Em ambos os casos, os
termos da sucessão aproximam-se do limite, e a medida dessa proximidade é dada por os
termos, a partir de certa ordem n, verificarem a condição
x n ∈ Ia, a − , a x ∈ R : dx, a no primeiro caso, e
x n , y n ∈ B 0 a, b, x, y ∈ R 2 : d e x n , y n , a, b . Deste modo, dado um
espaço métrico E, d, pode considerar-se a noção de convergência de uma sucessão de
pontos de E para um ponto de E. Põe-se por definição:
II.2.8 Definição Sejam E, d um espaço métrico, x n uma sucessão em E, a ∈ E.
Diz-se que x n é convergente para a, converge para a ou que tem limite a, se é verificada a
condição
l para cada 0, existe uma ordem p p ∈ N tal que dx n , a para cada
n ≥ p.
Nota-se então lim x n a ou x n → a. Em linguagem lógica,
lim x n a ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n ≥ p dx n , a .
Se x n não é convergente, diz-se também que é divergente.
II.2.9 Propriedade Num espaço métrico, o limite de uma sucessão, se existe é único.
Dem. Trata-se de provar que se E, d é um espaço métrico, e x n é uma sucessão em
E, lim x n a, lim x n b, a, b ∈ E, então a b. Dado 0, a condição l aplicada a a, b
separadamente, mostra que existem p/2 ∈ N, para a, e p ′ /2 para b, tais que, com
p maxp/2, p ′ /2 se tem, para cada n ≥ p 0 , dx n , a /2 (pois n ≥ p/2) e
dx n , b /2, pois então n ≥ p ′ /2. Em particular, para n p, verifica-se dx p , a /2
e dx p , b /2. Então usando (D2) e (D3), tem-se da, b ≤ da, x p dx p , b .
Concluímos que não pode ser a ≠ b, pois então seria da, b 0 0 (usando (D1) e
(D4)), e considerando p 0 /2 e p ′ 0 /2 no raciocínio anterior, teríamos simultaneamente
da, b 0 , da, b 0 . A hipótese de absurdo a ≠ b implica uma contradição, e
conclui-se a propriedade c.q.d.
-64II.2.10 Exemplos
n
(1) A sucessão n1
, log2 1n em R 2 , é convergente em R 2 , d e , para o limite
n
1, log 2. Com efeito, como n1
→ 1 e log2 1n → log 2 em R munido da métrica usual,
n
tem-se: dado 0, existe uma ordem p 1 ∈ N tal que ∣ n1
− 1 ∣ / 2 para cada
1
n ≥ p 1 ; e existe p 2 ∈ N tal que ∣ log2 n − log 2 ∣ / 2 se n ≥ p 2 . Se então
n
, log2 1n , 1, log 2
n ≥ p 0 maxp 1 , p 2 ∈ N, tem-se d e n1
n
n1
− 1 2 log2 1n − log 2 2 2 2 . A sucessão é convergente para o
mesmo limite, no espaço métrico R 2 , d M em II.2.4
(2) A sucessão 1n não é convergente em R, d i , d i a métrica discreta em II.2.1.
Com efeito, qualquer que seja a ∈ R, tem-se a ≠ 1n para uma infinidade de números
naturais n, vindo d i 1n , a 1; escolhendo então 1/2 0 na condição de limite l, não
existe nenhuma ordem p ∈ N tal que d i 1n , a 1/2 para cada n ≥ p.
2
2
II.2.11 Observação Se x n é constante e igual a a, a partir de certa ordem, a
propriedade (D1) da métrica mostra que a satisfaz a condição l, e lim x n a.
II.2.12 Exercícios
n
(1) Mostre que n1
, log2 1n → 1, log 2 em R 2 , d M . (II.2.4).
(2) Prove que a sucessão z n n sin 1n ie −n é convergente para 1 no espaço métrico
C, , a métrica em II.2.5 (3).
(3) Demonstre que: a) uma sucessão x n , y n converge para a, b em R 2 , d e se e só
se x n → a e y n → b em R munido da métrica usual.
b) x n , y n → a, b em R 2 , d M se e só se x n → a e y n → b em R, d, d a métrica usual
em R (d s como em II.2.4).
c) Conclua de a) e b) que uma sucessão é convergente em R 2 , d e sse é convergente,
para o mesmo limite, em R 2 , d M .
(4) Mostre que uma sucessão é convergente num espaço métrico munido da métrica
discreta (II.2.3) se e só se é constante, a partir de certa ordem.
Resoluções
n
(1) Uma vez que n1
→ 1 e log2 1n → log 2 em R munido da métrica usual,
n
tem-se: dado 0, existem p 1 , p 2 ∈ N tais que ∣ n1
− 1 ∣ se n ≥ p 1 e
1
∣ log2 n − log 2 ∣ para cada n ≥ p 2 . Então p maxp 1 , p 2 ∈ N verifica a
condição: n p implica
n
n
d M n1
, log2 1n , 1, log 2 max∣ n1
− 1 ∣, ∣ log2 1n − log 2 ∣ .
(2) Tem-se n sin 1n → 1 e e −n → 0 em R para a métrica usual; portanto para cada
0, existem ordens p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ Re z n − 1 ∣
∣ n sin 1n − 1 ∣ e n ≥ p 2 implica ∣ Im z n ∣ . Para n ≥ p maxp 1 , p 2 é portanto
z n , 1 .
-65(3) a) Suponhamos que x n , y n → a, b em R 2 , d e , i.e., para cada 0, existe
p p ∈ N tal que n ≥ p implica d e x n , y n , a, b x n − a 2 y n − b 2 .
Então se n ≥ p tem-se ∣ x n − a ∣≤ d e x n , y n , a, b e
∣ y n − b ∣≤ d e x n , y n , a, b , o que mostra que x n → a e y n → b em R munido da
métrica usual. Reciprocamente, se lim x n a e lim y n b, então para cada 0, existem
p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ x n − a ∣ e n ≥ p 2 implica ∣ y n − b ∣ ;
2
2
com p maxp 1 , p 2 , n ≥ p implica d e x n , y n , a, b , e limx n , y n a, b em
R 2 , d e , c.q.d.
b) Se x n → a, y n → b em R munido da métrica usual, então para cada 0, existem
p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ x n − a ∣ , n ≥ p 2 implica ∣ y n − b ∣ ; vem para
n ≥ p maxp 1 , p 2 que ∣ x n − a ∣ e ∣ y n − b ∣ , donde n ≥ p implica
d M x n , y n , a, b max∣ x n − a ∣, ∣ y n − b ∣ , e x n , y n → a, b em R 2 , d M ,
c.q.d.
c) Tem-se limx n , y n a, b em R 2 , d e sse lim x n a e lim y n b em R munido da
métrica usual, por a); e lim x n a, lim y n b sse limx n , y n a, b em R 2 , d M pela b).
Assim x n , y n converge para a, b em R 2 , d e sse x n , y n converge para a, b em
R 2 , d M .
(4) Sejam x n uma sucessão em E, d i , E um conjunto não vazio, a ∈ E. Se existe
uma ordem p tal que x n a para cada n ≥ p, tem-se lim x n a (II.2.11). Reciprocamente,
se lim x n a, então escolhendo 1/2 0 na condição l, deve existir uma ordem
p p1/2 tal que para cada n ≥ p, d i x n , a 1/2. Para que x n verifique esta condição,
tem de ser x n a, pois se x n ≠ a então d i x n , a 1, pela definição da métrica discreta d i
(II.2.3).
Portanto x n é constante a partir de certa ordem, se é convergente.
-66II.2.13 Obsevação Se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, a função restrição d A
da métrica d ao conjunto A A é uma métrica em A.
II.2.14 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A uma parte não vazia de E. A
métrica d A em A, restrição de d a A A, diz-se a métrica induzida pela métrica d em A. O
espaço métrico A, d A diz-se um subespaço métrico de E, d.
II.2.15 Observação Uma sucessão num subespaço métrico pode não ser convergente
no subespaço, e no entanto ser convergente no espaço métrico: considere-se por exemplo a
sucessão x n 1 1n n em Q, d, convergente em R, d para e, onde d é a métrica usual
em R.
II.2.16 Definição Sejam E, d um espaço métrico, a ∈ E, r 0. Chama-se bola
aberta (resp. bola fechada) de centro a e raio r, o conjunto B 0 a, r x ∈ E : dx, a r
(resp. Ba, r x ∈ E : dx, a ≤ r).
II.2.17 Exemplos
(1) Em R, d, d a métrica usual, Ia, r a − r, a r é, para cada a ∈ R e cada
r 0, a bola aberta B 0 a, r. Ba, r a − r, a r é a bola fechada correspondente.
(2) No espaço métrico C, em II.2.5 (3), a bola fechada B0, 1 é o quadrado
−1, 1 −i, i. A bola aberta correspondente é o quadrado sem os lados.
(3) Se E é um conjunto não vazio, e d i é a métrica discreta em E, a ∈ E, tem-se
B 0 a, 1 x ∈ E : d i x, a 1 x ∈ E : d i x, a 0 a. Ba, 1 E, pois todo o
x ∈ E verifica a condição d i x, a ≤ 1.
II.2.18 Exercícios
(1) Determine a bola aberta e a bola fechada de centro 13 e raio 1 no espaço métrico
R, 2d, d a métrica usual (II.2.5 (2) (i)).
(2) a) Prove que as seguintes funções são métricas em R n , para cada número natural n:
1
n
(i) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ;
(ii) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n;
n
(iii) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣. (Sug: para (i), utilize a
desigualdade de Minkowski).
b) Supondo n 1 na a), determine as métricas induzidas por d e , d M e d s em
R 0 n−1 .
c) Com n 2, esboce no plano cartesiano:
(i) B 0 0, 1, 1 e B0, 1, 1, para as métricas d e e d M ;
(ii) B0, 0, 1 para cada uma das métricas d e , d M , d s .
(3) Se a, b ∈ R 2 , ≠ W ⊂ R 2 , põe-se a, b W a, b x, y : x, y ∈ W.
(i) Prove que a, b B 0 0, 0, r B 0 a, b, r e Ba, b, r a, b B0, 0, r em
2
R , d e , para cada a, b ∈ R 2 e cada r 0.
(ii) É válido um resultado análogo a (i) para as métricas d M e d s ? Porquê?
-67II.2.19 Resoluções
(1) B 0 13 , 1 x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣ 1 x ∈ R :∣ x − 13 ∣ 12
x ∈ R : − 12 x − 13 12 − 16 , 56 . B 13 , 1
x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣≤ 1 x ∈ R :∣ x − 13 ∣≤ 12
x ∈ R : − 12 ≤ x − 13 ≤ 12 − 16 , 56 .
1
n
(2) a) (i) (D1) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ≥ 0; e
1
n
n
d e x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n ∑ k1 ∣ x k − x k ∣ 2 2 ∑ k1 0 0.
1
n
(D2) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2
1
n
∑ k1 ∣ y k − x k ∣ 2 2 d e y 1 , . . . , y n , x 1 , . . . , x n .
1
n
(D3) d e x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . , z n ∑ k1 ∣ x k − z k ∣ 2 2
1
1
2
n
∑ k1 ∣ x k − y k y k − z k ∣ 2 2 ≤ ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣ 2 2 ≤
1
1
n
n
∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ∑ k1 ∣ y k − z k ∣ 2 2
d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n d e y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n .
1
n
(D4) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 0 implica
∣ x k − y k ∣ 0 k 1, . . . , n e, portanto, x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n .
(ii) (D1) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n ≥ 0, e
d M x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n max∣ x k − x k ∣: k 1, . . . , n max0 0.
(D2) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n
max∣ y k − x k ∣: k 1, . . . , n d M y 1 , . . . , y n , x 1 , . . . , x n .
(D3) d M x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . , z n max∣ x k − z k ∣: k 1, . . . , n
max∣ x k − y k y k − z k ∣: k 1, . . . , n ≤
max∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣: k 1, . . . , n ≤
max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n max∣ y k − z k ∣: k 1, . . . , n
d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n d M y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n .
(D4) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n 0 implica
∣ x k − y k ∣ 0 k 1, . . . , n e x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n .
n
(iii) (D1) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣≥ 0, e
n
n
d s x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n ∑ k1 ∣ x k − x k ∣ ∑ k1 0 0.
n
n
(D2) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∑ k1 ∣ y k − x k ∣
d s y 1 , . . , y n , x 1 , . . . , x n .
n
(D3) d s x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . z n ∑ k1 ∣ x k − z k ∣
n
n
∣ x k − y k y k − z k ∣≤ ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣
∑ k1
n
n
∣ x k − y k ∣ ∑ k1 ∣ y k − z k ∣ d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n
∑ k1
d s y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n .
n
(D4) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 0 implica x k y k para cada k,
x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n .
b) R 0 n−1 x, 0, . . . , 0 : x ∈ R . As restrições de d e , d M e d s a
x, 0, . . . , 0 : x ∈ R são a função dx, 0, . . . , 0, y, 0, . . . , 0 ∣ x − y ∣.
(3) (i) a, b B 0 0, 0, r a, b x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 r
a x, b y ∈ R 2 : a x − a 2 b y − b 2 r
u, v ∈ R 2 : u − a 2 v − b 2 r B 0 a, b, r.
a, b B0, 0, r a, b x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ r
a x, b y ∈ R 2 : a x − a 2 b y − b 2 ≤ r
-68u, v ∈ R 2 : u − a 2 v − b 2 ≤ r Ba, b, r).
(ii) Sim, porque pode substituir-se, no desenvolvimento anterior,
d e x, y, 0, 0 x 2 y 2 , d e a x, b y, a, b a x − a 2 b y − b 2 ,
d e u, v, a, b u − a 2 v − b 2 por d M x, y, 0, 0 max∣ x ∣, ∣ y ∣,
d M a x, b y, a, b max∣ a x − a ∣, ∣ b y − b ∣ e
d M u, v, a, b max∣ u − a ∣, ∣ b − v ∣; ou analogamente pela métrica d s , que
também verifica a propriedade d s a x, b y, a, b d s x, y, 0, 0 e, mais
geralmente, d s a, b, c, d d s a, b x, y, c, d x, y para cada
a, b, c, d, x, y ∈ R 2 .
II.2.20 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A, d A um subespaço métrico de
E, d. Se a ∈ A, r 0 tem-se: a bola aberta B 0,A a, r em A, d A é a intersecção
B 0,A a, r B 0 a, r ∩ A. Para a bola fechada, B A a, r Ba, r ∩ A.
Dem Tem-se B 0,A a, r x ∈ A : d A x, a r
x ∈ A : dx, a r B 0 a, r ∩ A. Analogamente para a bola fechada.
II.2.21 Exercícios
(1) Determine B A 0, 0, 2 em R 2 , d s (II.2.18), A x, y ∈ R 2 : x 0.
(2) Determine B 0,A 1, 1 em R, d, d a métrica usual, A 1/n : n ∈ N.
II.2.22 Resoluções
(1) B A 0, 0, 2 x, y ∈ R 2 : x 0, x − 2 ≤ y ≤ 2 − x.
(2) B 0,A 1, 1 A.
II.2.23 Obsevação A condição l em II.2.8 pode escrever-se, em linguagem lógica
l x n → a ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n ≥ p x n ∈ B 0 a, .
′
II.2.24 Teorema Se x n → a no espaço métrico E, d e x n k é uma subsucessão de
x n , então x n k → a.
Dem. Pois com p p na condição l, tem-se n k ≥ k e portanto dx n k , a para
todo o k ≥ p.
II.2.25 Observação Se o ponto a não é limite de nenhuma subsucessão da sucessão
x n , então existe 0 tal que para certo p ∈ N se tem dx n , a , se n ≥ p. Com efeito,
se esta condição não se verifica, temos pela sua negação, em linguagem lógica:
∀ 0, ∀p ∈ N, ∃n ≥ p, dx n , a .
-69Seja então, para 1, n 1 o menor número natural n tal que dx n , a 1, dx n 1 , a 1;
seguidamente, para 1/2, seja n 2 o menor número natural n maior que n 1 tal que
dx n , a 1/2, dx n 2 , a 1/2. Repetindo o processo, obtemos uma sucessão estritamente
crescente n k1 n k . . . n 2 n 1 tal que dx n k , a 1/k. x n k é então uma subsucessão de
x n tal que 0 ≤ dx n k , a 1/k, donde dx n k , a → 0 k → , e assim lim x n k a, contra a
hipótese admitida.
II.2.26 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. O diâmetro de A é o
número A positivo, nulo, ou dado por A supdx, y : x, y ∈ A. Põe-se
0.
II.2.27 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o diâmetro de um conjunto não
vazio é zero se e só se o conjunto se reduz a um ponto.
(2) O conjunto N ⊂ 0, tem diâmetro N em 0, , d 0, , d 0, a
métrica induzida pela métrica usual d de R; N 1 em 0, para a métrica
x, y ∣ 1x − 1y ∣.
(3) Em R, d d a métrica usual, a, b a, b a, b b − a se a b.
II.2.28 Exercícios
(1) Determine B0, 0, r em R 2 , para cada uma das métricas d e , d M e d s em II.2.18
(2).
(2) Verifique que B 0 a, 1 Ba, 1 em R, d i , d i a métrica discreta, e
B 0 a, r Ba, r para a métrica usual de R, a ∈ R, r 0.
(3) Mostre que em qualquer espaço métrico, se A ⊂ B então A ≤ B.
II.2.29 Resoluções
(1) Tem-se d e −1, 0, 1, 0 −1 − 1 2 0, 0 2 4 2. Para quaisquer dois
pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 tais que x 21 y 21 ≤ 1, x 22 y 22 ≤ 1, verifica-se
d e x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ≤ d e x 1 , y 1 , 0, 0 d e 0, 0, x 2 , y 2 ≤ 2. Portanto
B0, 0, 1 2 em R 2 , d e . Analogamente se conclui que B0, 0, 1 2 em R 2 , d M e
em R 2 , d s .
(2) Em R, d i tem-se B 0 a, 1 a 0. Como Ba, 1 R tem-se
Ba. , 1 sup∣ x − y ∣: x, y ∈ R . Em R, d, d a métrica usual, tem-se
B 0 a, r a − r, a r a r − a − r 2r; também
Ba, r a − r, a r 2r.
(3) Se A ⊂ B então dx, y : x, y ∈ A ⊂ dx, y : x, y ∈ B e portanto
A supdx, y : x, y ∈ A ≤ supdx, y : x, y ∈ B B, uma vez que quando o
conjunto dos valores da variável aumenta, o supremo permanece ou aumenta.
II.2.30 Definição Se E, d é um espaço métrico, A, B são subconjuntos não vazios de
E, a distância entre A e B é o número não negativo dA, B infdx, y : x ∈ A, y ∈ B. Se
A a, a ∈ E põe-se da, B da, B.
-70II.2.31 Exemplos (1) Em 0, , d 0, , d 0, a métrica induzida pela métrica usual
de R,
d 0, 1, sinx x : x ∈ 0, d 0, 0, sinx x : x ∈ 0, 0. Para a métrica
discreta,
d i 1, sinx x : x ∈ 0, 1, d i 0, sinx x : x ∈ 0, 0.
(2) Em R 2 , d e , d e a métrica euclideana, d e x, 1x : x 0, x, − 1x : x 0 0.
II.2.32 Observações (1) Apesar do seu nome, a distância dA, B entre subconjuntos
A, B de um espaço métrico E, d não é uma métrica no conjunto das partes não vazias de E,
pois a condição (D3) não é verificada. Por exemplo em R munido da métrica usual,
d−2, −1, 1, 2 d−2, −1, −1, 1 d−1, 1, 1, 0.
(2) Num espaço métrico E, d, se A, B são subconjuntos não vazios, tem-se
dA, B ≤ dx, y para cada x ∈ A, y ∈ B. Podem não existir pontos a ∈ A, b ∈ B tais que
dA, B da, b, como mostra o exemplo acima (2) em II.2.30. Se A ∩ B ≠ então
dA, B 0, mas a condição não é necessária.
(3) Sejam A, B subconjuntos não vazios do espaço métrico E, d, e consideremos dois
pontos x, y ∈ A B. A definição de mostra que se ambos x, y pertencem a A, então
dx, y ≤ A e, dx, y B se x, y ∈ B; se por exemplo x ∈ A, y ∈ B, então com a ∈ A
e b ∈ B, a desigualdade (D3) mostra que
dx, y ≤ dx, a da, y ≤ A da, b db, y ≤ A B da, b. Portanto a
desigualdade dx, y ≤ A B da, b é sempre verdadeira, se a ∈ A, b ∈ B, para
quaisquer pontos x, y ∈ A B. Concluimos que
supdx, y : x, y ∈ A B ≤ A B da, b
para cada a ∈ A, b ∈ B. Donde A B ≤ A B da, b, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B e,
portanto, A B ≤ infA B da, b : a ∈ A, b ∈ B
A B infda, b : a ∈ A, b ∈ B e assim A B ≤ A B dA, B. Se
A, B são finitos, também A B é finito.
II.2.33 Exercícios
(1) Prove que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, a ∈ E, a não é limite
de nenhuma subsucessão de x n e cada x n ≠ a, então da, x n : n ∈ N 0.
(2) Com x n uma sucessão no espaço métrico E, d, mostre que se o ponto a é limite
de x n , então da, x n : n ∈ N 0. A mesma conclusão é válida se a é limite de uma
subsucessão de x n ? Porquê?
(3) Diz-se que um subconjunto B de um espaço métrico E, d é limitado se
B .
a) Mostre que se B é limitado, então para cada p ∈ E, B ⊂ Bp, dp, B B (Sug:
verifique que B p ≤ B dp, B).
b) Conclua de a) que um subconjunto de um espaço métrico é limitado sse está contido
numa bola.
(4) Prove que a classe B E dos subconjuntos limitados de um espaço métrico E, d
verifica as propriedades:
(i) Se B ∈ B E e B ′ ⊂ B então B ′ ∈ B E ;
(ii) se B 1 , . . . B n ∈ B E n ∈ N então B 1 . . . B n ∈ B E . (Sug: método de indução).
(5) Mostre que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, p ∈ E, dx n , p ≤ r,
∀n ∈ N e x n → a então da, p ≤ r. Conclua que se A ⊂ E e dx n , A 0 para cada índice
-71n, x n → a, então da, A 0.
(6) a) Indique, justificando, quais dos seguintes conjuntos são limitados:
(i) N; (ii) 1n : n ∈ N (iii) n1
n : n ∈ N, em 0, , d 0, , d 0, a métrica induzida
pela métrica usual de R;
b) mesma questão, em 0, , , a métrica em II.2.27 (2).
II.2.34 Resoluções
(1) Utilizando II.2.25, se a não é limite de nenhuma subsucessão de x n , então
existem 0, e uma ordem p tais que dx n , a ≥ para cada n ≥ p. Como a ≠ x n para
todo o n, tem-se mindx n , a : 1 ≤ n p s 0. Obtem-se, com c min, s 0 que
dx n , a ≥ c para todo o índice n, e portanto
da, x n : n ∈ N infda, x n : n ∈ N ≥ c 0.
(2) Se x n → a, existe, para cada 0, uma ordem p tal que dx n , a para cada
n ≥ p; deste modo, para cada 0, existe pelo menos um termo x p tal que dx p , a ,
obtendo-se da, x n : n ∈ N ≤ dx p , a , e deste modo da, x n : n ∈ N para
cada 0, donde da, x n : n ∈ N 0. Sim, porque uma vez que o ínfimo de um
conjunto de valores permanece ou diminui, se esse conjunto de valores aumenta, obtemos
da, x n : n ∈ N ≤ da, x n k : k ∈ N 0, aplicando o resultado obtido à
subsucessão x n k de x n .
(3) a) Aplicando a desigualdade A B ≤ A B dA, B em II.31. (3) com
A p, obtem-se B p ≤ B p dp, B B dp, B; portanto, para
cada x ∈ B, tem-se dx, p ≤ B dp, B, o que significa que B ⊂ Bp, B dp, B.
b) Aplicando a), se um conjunto B é limitado, i.e., B é finito, B está contido na bola
Bp, B dp, B (tem-se sempre dp, B ). Reciprocamente, se B ⊂ Bp, r para
certo ponto p e certo r 0, tem-se: para cada x, y ∈ B, é x, y ∈ Bp, r donde
dx, y ≤ dx, p dp, y ≤ 2r. Portanto B ≤ 2r e B é um conjunto limitado.
(4) (i) Se B ∈ B E , B e B ′ ⊂ B então supdx, y : x, y ∈ B ′ ≤
supdx, y : x, y ∈ B , donde B ′ e B ′ ∈ B E ; (ii) para n 2 tem-se: se
B 1 , B então, aplicando B 1 B 2 ≤ B 1 B 2 dB 1 , B 2 obtem-se
B 1 B 2 e B 1 B 2 ∈ B E . Admitindo por hipótese de indução que para certo n ≥ 2,
a implicação B 1 , . . . , B n ∈ B E B 1 . . . B n ∈ B E é verdadeira, obtem-se para n 1: se
B 1 , . . . , B n , B n1 ∈ B E então B 1 . . . B n B n1 B 1 . . . B n B n1 ∈ B E , aplicando a
hipótese de indução e o resultado provado para n 2. Portanto
B 1 , . . . , B n ∈ B E B 1 . . . B n ∈ B E fica provado pelo método de indução, como
queríamos.
(5) Se x n → a então dx n , a → 0. Supondo dx n , p ≤ r para cada n, obtem-se
passando a desigualdade da, p ≤ da, x n dx n , p ao limite,
da, p ≤ lim da, x n lim dx n , p ≤ r. Donde se A ⊂ E, dx n , A 0 para todo o índice n,
tem-se: para cada 0, existe p ∈ A tal que dx n , p , para todo o n ∈ N (se para certo
0 e certo n, fosse dx n , p ≥ para todo o p ∈ A, então
dx n , A infdx n , p : p ∈ A 0). Aplicando o resultado obtido, concluimos que,
para todo o 0, existe p ∈ A tal que da, p ; isto implica que da, A para cada
0, donde da, A 0.
(6) a) (i) Tem-se para cada p ∈ R, ∣ n − p ∣ n − p para n suficientemente grande,
∣ n − p ∣→ n → . Portanto, qualquer que seja o ponto p ∈ R, não existe nenhum raio
r tal que N ⊂ Bp, r; aplicando (3) b), concluimos que N não é limitado em 0, , d 0, .
(ii) ∣ 1n ∣ 1n ∣≤ 1 para todo o n ∈ N, e assim 1n : n ∈ N é limitado, pois está contido
1
n1
na bola B0, 1. (iii) Tem-se ∣ n1
n − 1 ∣ n ≤ 1, donde n : n ∈ N ⊂ B1, 1 e é um
conjunto limitado
-72b) (i) n, 1 ∣ 1n − 1 ∣≤ 1 para cada n ∈ N; tem-se N ⊂ B1, 1 em 0, , e N é
um conjunto limitado. (ii) Para cada p 0,
sup 1n , p : n ∈ N sup∣ n − 1p ∣: n ∈ N , donde 1n : n ∈ N e
1n : n ∈ N não é um conjunto limitado
n
1
1
n1
1
. (iii) n1
n , 1 ∣ n1 − 1 ∣ n1 ≤ 2 . Portanto n : n ∈ N ⊂ B1, 2 e
n1
n : n ∈ N é um conjunto limitado.
II.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO NUM ESPAÇO MÉTRICO
II.3.1 Definição Seja E, d um espaço métrico. Se p ∈ E, um subconjunto V de E
diz-se uma vizinhança de p se existe um raio r 0 tal que B 0 p, r ⊂ V.
II.3.2 Observações (1) Para cada ponto p num espaço métrico E, d, cada bola (aberta
ou fechada) de centro p é uma vizinhança de p.
(2) E é uma vizinhança de cada ponto p ∈ E em cada espaço métrico E, d.
II.3.3 Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual, Ip, r p − r, p r é uma
vizinhança de p. (2) Em R, d i , d i a métrica discreta, p é uma vizinhança do ponto p;
consequentemente, todo o conjunto V tal que p ∈ V é uma vizinhança de p. (3) Em
1
1
, 1−r
é uma
0, , como em II.2.27 (2), B 0 1, r x 0 :∣ 1x − 1 ∣ r 1r
3
2
1
vizinhança de 1 se 0 r 1. 3 , 2 é uma vizinhança de 1, r 2 ; 4 , 2 também é,
pois 34 , 2 ⊃ 34 , 32 que é a bola aberta B 0 1, 13 .
-73II.3.4 Lema Seja E, d um espaço métrico. Dada uma bola aberta B 0 p, r, p ∈ E,
para cada x ∈ B 0 p, r existe x 0 tal que B 0 x, x ⊂ B 0 p, r.
Dem. Considerando, para x ∈ B 0 p, r, x r − dx, p 0 obtemos: se y ∈ B 0 x, x
então dy, p ≤ dy, x dx, p r − dx, p dx, p r donde B 0 x, x ⊂ B 0 p, r como
queríamos.
II.3.5 Teorema Seja E, d um espaço métrico. Para cada p ∈ E, a classe V p das
vizinhanças de p verifica as propriedades:
V 1 para cada V ∈ V p , p ∈ V;
V 2 se V ∈ V p e V ′ ⊃ V então V ′ ∈ V p ;
V 3 se V 1 , V 2 ∈ V p então V 1 ∩ V 2 ∈ V p ;
V 4 dado V ∈ V p , existe W ∈ V p tal que W ⊂ V e V ∈ V x para todo o x ∈ W.
Dem. V 1 Pela definição de vizinhança de um ponto, pois p ∈ B 0 p, r para cada r 0.
V 2 é óbvio. V 3 se V i ∈ V p existe r i 0 tal que B 0 p, r i ⊂ V i i 1, 2. Então com
r minr 1 , r 2 0 tem-se B 0 p, r ⊂ B 0 p, r 1 ∩ B 0 p, r 2 ⊂ V 1 ∩ V 2 . V 4 Seja V ∈ V p ;
existe então r 0 tal que B 0 p, r ⊂ V, e W B 0 p, r satisfaz a condição pedida,
atendendo ao lema anterior.
II.3.6 Observação O teorema mostra que a classe das vizinhanças de um ponto num
espaço métrico E, d é um filtro sobre E (I.7).
II.3.7 Exercícios
(1) Considere as métricas d e , d M e d s em R n em II.2.18 (2).
a) Mostre que se verificam as inclusões
d s
d
d
B 0 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 e 0, . . . 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1 e
d M
d s
B 0 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 0, . . . , 0, n,
d
onde B 0 a 1 , . . . a n , r designa a bola B 0 a 1 , . . . , a n , r para a métrica d d e , d M , d s ,
a 1 , . . . , a n ∈ R n , r 0.
b) Para p 1 , . . . , p n ∈ R n , ∈ R, ≠ A ⊂ R n põe-se
p 1 , . . . , p n A p 1 , . . . , p n x 1 , . . . , x n : x 1 , . . . , x n ∈ A, e
A x 1 , . . . , x n : x 1 , . . . , x n ∈ A. Mostre que para cada p 1 , . . . , p n ∈ R n , 0,
d
(i) p 1 , . . . , p n B 0 0, . . . , 0, r B 0 p 1 , . . . , p n , r, d d e , d M , d s ;
d
(ii) B 0 0, . . . , 0, 1 B 0 0, . . . , 0, , com d d e , d M , d s .
d
d
c) Conclua de b) que B 0 p 1 , . . . , p n , r p 1 , . . . , p n rB 0 0, . . . , 0, 1 r 0,
d de, dM, ds;
d) Conclua das alíneas a), c) que em cada ponto p p 1 , . . . , p n ∈ R n e para cada
d
d
d
d
r 0, B 0 s p, r ⊂ B 0 e p, r ⊂ B 0 M p, r ⊂ B 0 s p, nr, d d e , d M ou d s .
(2) Mostre que o filtro das vizinhanças de cada ponto em R n é o mesmo, para as
métricas d e , d M e d s .
-74II.3.8 Resoluções
(1) Para x 1 , . . . , x n ∈ R n ,
n
d M x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 x 2k 1/2
n
d e x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 ≤ ∑ k1 ∣ x k ∣ d s x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 e concluem-se as três
n
primeiras inclusões. Também ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n, e portanto
n
max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n 1 ∑ k1 ∣ x k ∣ n, donde
d
M
B d
0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 s 0, . . . , 0, n.
0
b), c) Ver a resolução de (3) em II.2.18.
d) Aplicando a função f : R n → R n , fx 1 , . . . , x n p 1 , . . . , p n x 1 , . . . x n às
d
d
d
inclusões B 0 s 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 e 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1 obtem-se
d
d
d
B 0 s p, 1 ⊂ B 0 e p, 1 ⊂ B 0 M p, 1. Analogamente para a inclusão
d M
d s
B 0 p, 1 ⊂ B 0 p, 1. Segue-se por b) (ii) que
d
d
d
d
B 0 s p, r rB 0 s p, 1 ⊂ rB 0 e p, 1 B 0 e p, r, e analogamente para as outras
inclusões.
(2) Para x 1 , . . . , x n ∈ R n tem-se
n
∑ k1 x 2k 1/2 ≤ n maxx 2k : 1 ≤ k ≤ n 1/2 n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n, e
n
max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 x 2k 1/2 . Isto implica que
d
d
d
B 0 e 0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B 0 e 0, . . . , 0, 1 e portanto também
d
d
d
B 0 e p, / n ⊂ B 0 M p, / n ⊂ B 0 e p, para cada p ∈ R n e cada 0 (veja-se a
resolução de (1) d) acima). São portanto equivalentes, para um conjunto V ⊂ R n , as
d
d
condições ∃ 0, B 0 e p, ⊂ V e ∃ 0, B 0 M p, ⊂ V, o que prova que o filtro das
vizinhanças de p em R n , d e coincide com o filtro das vizinhanças de p em R n , d M .
n
n
n
Também ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ n∑ k1 x 2k 1/2 e ∑ k1 x 2k 1/2
n
d
d
d
d
≤ ∑ k1 ∣ x k ∣ e assim B 0 e p, /n ⊂ B 0 s p, e B 0 s p, /n ⊂ B 0 e p, ; portanto
assim como para o caso anterior, o filtro das vizinhanças de cada ponto p em R n , d e é o
mesmo que o filtro das vizinhanças de p em R n , d s . Analogamente, as desigualdades
n
max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n mostram que
d
d
d
B 0 M 0, . . . , 0, 1/n ⊂ B 0 s 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1,
d
d
d
B 0 M p, /n ⊂ B 0 s p, ⊂ B 0 M p, se 0, p ∈ R n e de novo o filtro das vizinhanças
de p em R n , d M é o filtro das vizinhanças de p em R n , d s .
-75
II.4 MÉTRICAS EQUIVALENTES
II.4.1 Definição Sejam d 1 , d 2 duas métricas no conjunto E. Diz-se que a métrica d 2 é
mais fina que a métrica d 1 , e nota-se d 2 d 1 se se verifica a condição: em cada ponto
2
1
p ∈ E, e para cada 0, existe pelo menos um p 0 tal que B 0 p, p ⊂ B 0 p, ,
i
onde B 0 p, r r 0 é a bola aberta no espaço métrico E, d i , i 1, 2. As métricas d 1 , d 2
dizem-se equivalentes se cada uma é mais fina que a outra. Em linguagem lógica:
2
1
d 2 d 1 ≡ ∀p ∈ E, ∀ 0, ∃ p 0, B 0 p, p ⊂ B 0 p, ;
d 1 , d 2 são equivalentes ≡ d 2 d 1 , d 1 d 2 .
II.4.2 Exemplos (1) A métrica discreta d i num conjunto E é mais fina do que qualquer
outra métrica d em E, pois a bola aberta de centro p e raio p 1 está contida em qualquer
bola B 0 p, para d. Se por exemplo E R, a métrica d i não é equivalente à métrica usual
em R. (2) II.3.7 mostra que as métricas d e , d M e d s em R n são todas equivalentes.
II.4.3 Observações (1) Se as métricas d 1 , d 2 em E estão na relação d 2 d 1 , toda a
sucessão x n em E, convergente para um ponto p em E, d 2 converge também para p no
espaço métrico E, d 1 . Assim se d 1 e d 2 são métricas equivalentes, tem-se lim x n p em
E, d 1 se e só se lim x n p em E, d 2
(2) Se existem um ponto p ∈ E e uma sucessão x n em E tais que lim x n a em
E, d 1 , lim x n b em E, d 2 e a ≠ b, podemos concluir que nenhuma das métricas d 1 , d 2 é
mais fina que a outra. Também se existem suvessões x n , y n em E tais que x n é
convergente em E, d 1 (resp. y n ) é convergente em E, d 2 ), mas x n não é convergente
em E, d 2 (resp. y n não é convergente em E, d 1 , então nenhuma das duas métricas é
mais fina que a outra.
(3) A recíproca de (1) é válida, i.e. se duas métricas d 1 , d 2 em E são tais que, para cada
ponto p ∈ E, toda a sucessão convergente para p relativamente à métrica d 1 é convergente
para p relativamente à métrica d 2 (resp. e também cada sucessão convergente para p
relativamente a d 2 , é também convergente para p relativamente à métrica d 1 ), então d 2 é
mais fina que d 1 (resp. as duas métricas são equivalentes).
(4) Se existe uma constante positiva c tal que as métricas d 1 , d 2 em E verificam a
relação d 1 x, y ≤ cd 2 x, y, onde x, y são quaisquer pontos de E, então para cada 0,
2
1
i
/c satisfaz a condição B 0 p, ⊂ B 0 p, em cada ponto p ∈ E, onde B 0 p, r é a
bola em E, d i , i 1, 2. Portanto tem-se d 2 d 1 em particular.
-76II.4.4 Exercícios
(1) Verifique o exemplo (2) em II.4.2.
(2) Demonstre que se d 1 , d 2 são métricas em E tais que para cada ponto p ∈ E, toda a
sucessão x n em E verificando lim x n p em E, d 2 é convergente para p em E, d 1 ,
então d 2 d 1 (Sug: prove a contra-recíproca, mostrando que se d 2 não é mais fina que d 1 ,
existem pelo menos um ponto p e uma sucessão x n , x n → p em E, d 2 mas tal que x n
não converge para p em E, d 1 ).
(3) Mostre que as seguintes métricas são equivalentes:
(i) d 0, e em 0, , como em II.2.27 (2);
(ii) d e min1, d como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E, d;
d
(iii) min1, d e d1
como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E, d. (Sug: para
as três alíneas, pode utilizar II.4.3 (3)).
(4) Demonstre que se d 1 , d 2 , d 3 são métricas em E, d 2 mais fina que d 1 e d 3
equivalente a d 1 , então d 2 é mais fina que d 3 .
(5) Prove que:
1
1
a) df, g ∣ xfx − gx ∣ dx, d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx e
1
0
0
d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ são métricas no conjunto C0, 1 das funções reais
0
contínuas definidas no intervalo [0,1]; (Sug: utilize II.1.4 para d 2 ).
b) a métrica d 1 é mais fina que a métrica d. (Sug: II.4.3 (4)).
2
1
2
II.4.5 Resoluções
d
d
(1) Utilizando II.3.7 temos: B 0 s p, r ⊂ B 0 e p, r para cada p ∈ R n , r 0, e d s d e ;
d e
d s
também B 0 p, r/n ⊂ B 0 p, r e d e d s , d e , d s são equivalentes.; d e é mais fina que d M ,
d
d
d
d
pois B 0 e p, r ⊂ B 0 M p, r; e B 0 M p, r/ n ⊂ B 0 e donde d M d e e d e , d M são
d
d
d
d
equivalentes. B 0 s p, r ⊂ B 0 M p, r, d s d M e B 0 M p, r/n ⊂ B 0 s p, r, d M d s e
d s , d M são equivalentes.
(2) Suponhamos que d 1 e d 2 são métricas em E, e que d 2 não é mais fina que d 1 .
Verifica-se então a negação da condição d 2 d 1 , i.e., com B i0 p, r a bola de centro p e raio
r para a métrica d i , i 1, 2 tem-se: ∃p ∈ E, ∃ 0, ∀ 0 ~B 20 p, ⊂ B 10 p, , ou, o
que é o mesmo, para certo ponto p e certo 0, existe, para cada positivo, um ponto
x ∈ B 20 p, tal que x ∉ B 10 p, . Fazendo 1/n para cada n ∈ N, obtemos uma
sucessão de pontos x n x1/n tais que cada x n ∈ B 20 p, 1/n e x n ∉ B 10 p, . Obtemos
d 2 x n , p 1/n e, fazendo n → , vemos que d 2 x n , p → 0 n → e portanto x n → p em
E, d 2 . Também, x n não converge para p em E, d 1 , uma vez que não existe nenhuma
ordem a partir da qual d 1 x n , p , estas distâncias são sempre ≥ , onde é certo número
positivo, e fica provado o resultado.
-77(3) (i) Utilizando II.4.3, mostremos que cada sucessão convergente em 0, para um
ponto, relativamente a uma das métricas, é convergente para o mesmo ponto, relativamente
à outra métrica. Se p 0, tem-se x n → p se e só se x1n → 1p ; portanto
d 0, x n , p ∣ x n − p ∣→ 0 é equivalente a x n , p ∣ x1n − 1p ∣→ 0.
(ii) Se x n → p em E, d, dx n , p → 0 e então
min1, dx n , p min1, dx n , p ≤ dx n , p → 0, logo x n → p em E, min1, d; e se
min1, dx n , p → 0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que dx n , p min1, dx n , p se
n ≥ p1; para cada 0, existe pmin1, ∈ N, pmin1, ≥ p1, tal que
dx n , p min1, dx n , p min1, ≤ para cada n ≥ pmin1, , e dx n , p → 0,
x n → p em E, d. As métricas d, min1, d são portanto equivalentes.
(iii) Como provámos em (ii), se x n → p em E, min1, d então x n → p em E, d, i.e.
dx ,p
d
d
x n , p 1dxn n ,p → 0 e x n → p em E, d1
.
dx n , p → 0. Segue-se que d1
Reciprocamente, se
dx n ,p
1dx n ,p
dx n ,p
1dx n ,p
→ 0 então lim
dx n ,p
2max1,dx n ,p
0. Existe uma ordem
p1/2 ∈ N tal que
1/2 para cada n ≥ p1/2; então tem de ser dx n , p 1 se
x
é crescente em 0, e se
n ≥ p1/2, pois a função real da variável real x 1x
dx n ,p
dx n , p ≥ 1 com n ≥ p1/2 obtem-se o absurdo 1dx n ,p ≥ 1/2, com n ≥ p1/2. Logo
dx n ,p
2
→ 0 e dx n , p → 0, x n → p em E, d e x n → p em E, min1, d pela alínea
anterior.
(4) Se d 2 é mais fina que d 1 , então (representemos por B i0 p, r cada bola relativa à
respectiva métrica d i , i 1, 2, 3) em cada ponto p de E e para cada 0, verifica-se uma
inclusão B 20 p, p ⊂ B 10 p, , para certo p 0. Sendo d 1 e d 3 equivalentes, em particular
d 1 d 3 ; logo, dado um qualquer número positivo , verifica-se uma inclusão
B 10 p, ′p ⊂ B 30 p, . Com ′p 0 tal que B 20 p, ′p ⊂ B 10 p, p ⊂ B 30 p, vemos que
d2 d3.
1
(5) a) (D1) df, g ∣ xfx − gx ∣ dx ≥ 0, pois o integral de uma função real
0
contínua definida num intervalo limitado e fechado de R é finito e ≥ 0 se a função é ≥ 0 em
1
1
cada ponto do domínio; também df, f ∣ xfx − fx ∣ dx 0dx 0. (D2)
0
0
df, g dg, f porque ∣ xfx − gx ∣∣ xgx − fx ∣ e portanto os integrais são
1
iguais. (D3) df, h ∣ xfx − hx ∣ dx
1
0
1
0 ∣ xfx − gx gx − hxdx ≤ 0 ∣ xfx − gx ∣ ∣ xgx − hx ∣dx
1
1
∣ xfx − gx ∣ dx ∣ xgx − hx ∣ dx df, g dg, h; (D4)
0
0
1
d 1 f, g ∣ xfx − gx ∣ dx 0 implica xfx − gx 0 0 x 1 e
0
fx gx 0 x 1; pela continuidade de f, g conclui-se f g sobre 0, 1.
-781
1
1
(D1) ∣ fx − gx ∣ dx ≥ 0, ∣ fx − fx ∣ dx 0dx 0.
0
0
1
1
0
(D2) d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx ∣ gx − fx ∣ dx d 2 g, f
0
1
0
1
(D3) d 1 f, h ∣ fx − hx ∣ dx ∣ fx − gx gx − hx ∣ dx ≤
1
0
1
0
0 ∣ fx − gx ∣ dx 0 ∣ gx − hx ∣ dx d 2 f, g d 2 g, h.
1
(D4) d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx 0 fx − gx 0 x ∈ 0, 1 i.e, f g.
0
1
1
1
(D1) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ≥ 0, d 2 f, f 0dx 0;
0
0
1
1
1
1
(D2) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ∣ gx − fx ∣ 2 dx 2 d 2 g, f;
0
0
1
1
(D3) d 2 f, h ∣ fx − hx ∣ 2 dx 2
0
1
1
∣ fx − gx gx − hx ∣ 2 dx 2 ≤
0
1
1
∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣ 2 dx 2 ≤
0
1
1
1
1
∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ∣ gx − hx ∣ 2 dx 2 d 2 f, g d 2 g, h;
0
0
1
1
(D4) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 0 fx gx x ∈ 0, 1 i.e, f g.
0
1
1
b) Tem-se df, g ∣ x ∣. ∣ fx − gx ∣ dx ≤ ∣ fx − gx ∣ dx d 1 f, g.
0
0
Conclui-se de II.4.3 (3) que d 1 d.
II.4.6 Definição As métricas d 1 , d 2 em E dizem-se uniformemente equivalentes se
satisfazem a condição de para cada 0, existirem pelo menos um 0 e pelo menos um
2
1
1
2
′ 0 tais que B 0 p, ⊂ B 0 p, e B 0 p, ′ ⊂ B 0 p, qualquer que seja o ponto p
em E. (Notação como em II.4.1).
II.4.7 Observações (1) Pela definição, duas métricas d 1 , d 2 em E são uniformemente
equivalentes se e só se para cada 0, existem , ′ 0 tais que d 2 x, y implica
d 1 x, y para todos os x, y ∈ E, e também para cada 0, existe ′ 0 tal que
d 1 x, y ′ implica d 2 x, y para cada x, y ∈ E. (2) Se duas métricas em E são
uniformente equivalentes, então são equivalentes; a recíproca é falsa. (II.4.10 (2)
adiante).(3) Dadas métricas d 1 , d 2 em E, se existem constantes positivas c 1 , c 2 tais que
d 1 ≤ c 2 d 2 e d 2 ≤ c 1 d 1 em E E (i.e, d 1 x, y ≤ c 2 d 2 x, y em cada x, y ∈ E E, e
analogamente para a segunda desigualdade), então as duas métricas são uniformemente
equivalentes.
II.4.8 Definição Seja E, d um espaço métrico. A sucessão x n em E diz-se uma
sucessão de Cauchy se satisfaz a condição de, para cada número positivo arbitrariamente
escolhido, existir uma ordem p tal que a distância dx n , x m entre cada dois termos x n , x m fôr
menor que , sempre que n, m ≥ p. Em linguagem lógica:
x n é de Cauchy ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m .
II.4.9 Toda a sucessão convergente num espaço métrico, em particular, toda a sucessão
constante a partir de certa ordem, é uma sucessão de Cauchy, mas a recíproca é falsa em
geral.
-79II.4.10 Exercícios
(1) Prove que se duas métricas d 1 , d 2 em E são uniformemente equivalentes, então uma
sucessão é de Cauchy em E, d 1 se e só se é de Cauchy em E, d 2 .
(2) Mostre que as métricas d 0, , em 0, (II.4.4 (3) (i)) não são uniformemente
equivalentes (Sug: considere a sucessão 1n e utilize o exercício anterior).
(3) Prove que se d 1 , d 2 , d 3 são metricas num conjunto E, d 1 , d 2 uniformemente
equivalentes, e se d 2 e d 3 são uniformemente equivalentes, então também d 1 , d 3 são
uniformemente equivalentes.
(4) Mostre que se E, d é um espaço métrico, então:
(i) as métricas d, min1, d são uniformemente equivalentes;
d
(ii) as métricas d, d1
são uniformemente equivalentes.
d
(iii) min1, d, d1
são uniformemente equivalentes (Sug: utilize (i), (ii) e (3)).
(5) Mostre que duas métricas d 1 , d 2 em E podem ser uniformemente equivalentes, mas
um conjunto B ser limitado em E, d 1 e não ser limitado em E, d 2 (Sug: considere E R
em (4) (i), d a métrica usual em R).
(6) Demonstre que toda a sucessão de Cauchy num espaço métrico E, d é um conjunto
limitado.
II.4.11 Resoluções
(1) Basta provar que se x n é uma sucessão de Cauchy em E, d 1 e d 1 , d 2 são
uniformemente equivalentes, então x n é de Cauchy em E, d 2 . Sejam pois d 1 , d 2 métricas
em E nas condições em da definição II.4.4, e seja x n de Cauchy em E, d 1 i.e.,
∀r 0, ∃p pr ∈ N, n, m ≥ p d 1 x n , x m r. Se 0, existe 0 tal que
d 1 x, y d 2 x, y quaisquer que sejam x, y ∈ E; tomando r na expressão
quantificada anterior obtemos: para cada 0, existe uma ordem p p tal que
n, m ≥ p d 1 x n , x m d 2 x n , x m o que, pela transitividade de " " , mostra que
x n é de Cauchy em E, d 2 c.q.d.
(2) Com efeito, a sucessão x n 1n é de Cauchy em 0, , d 0, , mas
1
1
k ≥ 1 para cada m n k, k ∈ N e portanto não existe nenhuma ordem p tal
n , nk
1 1
que n , m 1 para todos os n, m ≥ p, e 1n não é de Cauchy em 0, , . Assim as
métricas d 0, , não são uniformemente equivalentes, pelo exercício anterior.
(3) Da hipótese d 1 , d 2 uniformemente equivalentes e d 2 , d 3 uniformemente equivalentes
temos: P 1,2 ≡ para cada r 0, existe 0 tal que d 1 x, y d 2 x, y r para cada
x, y ∈ E; e podemos trocar d 1 ↔ d 2 obtendo P 2,1 igualmente verdadeira. Analogamente,
verifica-se
P 2,3 ≡ para cada 0, existe r 0 tal que d 2 x, y r d 3 x, y para cada
x, y ∈ E, e P 3,2 obtida trocando d 2 ↔ d 3 é também verdadeira. Pela transitividade de " "
concluimos de P 1,2 e P 2,3 que
P 1,3 ≡ ∀ 0, ∃ 0, d 1 x, y d 3 x, y , para cada x, y ∈ E. E concluimos
também P 3,1 (obtida de P 1,3 trocando d 1 ↔ d 3 ), a partir de P 3,2 e P 2,1
analogamente, ficando provado que d 1 , d 3 são iniformemente equivalentes.
(4) (i) Se 0 ≤ 1 então min1, dx, y implica dx, y . Assim para cada
0, existe min1, tal que min1, dx, y dx, y ; claramente
0 satisfaz dx, y min1, dx, y .
-80dx,y
d
x, y 1dx,y ≤ dx, y . Reciprocamente, dado 0,
(ii) Se dx, y então 1d
0. Como a função 1
é estritamente crescente, a
consideremos 1
dx,y
desigualdade 1dx,y 1 implica dx, y ; assim, para cada 0, existe
d
0 tal que 1d
x, y implica dx, y para cada x, y ∈ E, e as métricas
1
d
d, 1d são uniformemente equivalentes.
(iii) Como vimos em (3), de min1, d uniformemente equivalente a d, e d
d
d
uniformemente equivalente a 1d
podemos concluir que min1, d e 1d
são uniformente
equivalentes.
(5) Com d 2 d, a métrica usual em R, e d 1 min1, d, estas métricas são
uniformemente equivalentes, por (4) (i), e no entanto R é limitado em R, d 1 , pois todo o
conjunto R está contido na bola fechada de centro em qualquer ponto e raio 1; mas
R em R, d 2 .
(6) Seja x n uma sucessão de Cauchy no espaço métrico E, d. Existe então
p p1 ∈ N tal que dx n , x p 1 para cada n ≥ p. O número não negativo
maxdx n . x p : 1 ≤ n p r é finito, pois é o máximo de um conjunto finito; tem-se
dx n , x p ≤ max1, r para todo o n, e portanto x n : n ∈ N ⊂ Bx p , max1, r, o que
prova que o conjunto dos termos x n é limitado, c.q.d.
II.5 TOPOLOGIA DE UM ESPAÇO MÉTRICO
II.5.1 Definição Seja E, d um espaço métrico. Um subconjunto A de E diz-se um
conjunto aberto (para a topologia da métrica) se A é vizinhança de cada um dos seus pontos
i.e., se para cada p ∈ A se tem A ∈ V p . A classe dos conjuntos abertos diz-se a
topologia da métrica em E, d, ou a topologia do espaço métrico E, d.
II.5.2 Observações (1) Conclui-se da definição que , E são conjuntos abertos em
E, d para a topologia da métrica. (2) Pela definição II.3.1 concluimos que sendo A ⊂ E, A
é aberto se e só se verifica a condição: para cada p ∈ A, existe pelo menos um p 0 tal
que B 0 p, p ⊂ A; em linguagem lógica,
A é aberto ≡ ∀p ∈ A, ∃ p 0, B 0 p, p ⊂ A.
II.5.3 Exemplos (1) Pelo lema II.3.4, cada bola aberta num espaço métrico é um
conjunto aberto. (2) Em E, d i , d i a métrica discreta, todo o conjunto é aberto, e a
topologia da métrica é PE.
II.5.4 Definição Se E, d é um espaço métrico, p ∈ E, diz-se que uma base do filtro
V p das vizinhanças do ponto p é uma base de vizinhanças de p.
-81II.5.5 Teorema A topologia da métrica T E de um espaço métrico E, d verifica as
propriedades:
T E 1 , E ∈ T E ;
(T E 2 se A 1 , . . . , A n ∈ T E , n ∈ N, então A 1 ∩. . . ∩A n ∈ T E ;
T E 3 dada uma classe A i : i ∈ I ⊂ T E , tem-se A i : i ∈ I ∈ T E .
Dem.T E 1 é óbvio. T E 2 pode provar-se pelo método de indução do modo seguinte:
para n 2, se A 1 , A 2 são abertos, então A 1 ∈ V p e A 2 ∈ V p para cada p ∈ A 1 ∩ A 2 ;
utilizando V 3 no teorema II.3.5, temos A 1 ∩ A 2 ∈ V p para cada p ∈ A 1 ∩ A 2 e A 1 ∩ A 2 é
portanto um aberto. Admitida a hipótese de indução, A 1 ∩. . . ∩A n é aberto se A 1 , . . . , A n são
abertos, para certo n ≥ 2, então se A 1 , . . . , A n , A n1 são abertos,
A 1 ∩. . . ∩A n1 A 1 ∩. . . ∩A n ∩ A n1 é um conjunto aberto, utilizando de novo V 3 , pois é
a intersecção de dois abertos e, concluido-se a tese de indução, fica provado T E 2. T E 3 é
uma consequência imediata de V 2 em II.3.5, pois se p ∈ A i : i ∈ I então p ∈ A i para
certo i ∈ I; como A i é aberto, tem-se A i ∈ V p donde A i : i ∈ I ∈ V p já que
A i : i ∈ I ⊃ A i ; assim a reunião de conjuntos abertos é um aberto.
II.5.6 Observação A intersecção de uma classe infinita de conjuntos abertos pode não
ser um aberto. É o caso, por exemplo, da intersecção − 1n , 1n : n ∈ N 0 em
R, d, d a métrica usual.
II.5.7 Observações (1) Se E, d é um espaço métrico, p ∈ E, a classe
B 0 p, 1n : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças abertas (vizinhanças que são
conjuntos abertos) do ponto p. (Esta base de vizinhanças pode ser finita, considere-se a
métrica discreta). (2) Para cada subconjunto não vazio C de E, no espaço métrico E, d,
diz-se que V é uma vizinhança do conjunto C se existe pelo menos um conjunto aberto A tal
que C ⊂ A ⊂ V; e diz-se que V é uma vizinhança aberta de C se, além de ser uma
vizinhança de C, V é uim conjunto aberto. Para cada r 0, o conjunto
V r C x ∈ E : dx, C r (definição II.2.30) é uma vizinhança aberta de C. Com
efeito, C ⊂ V r C pois dx, C 0 r para cada x ∈ C. Também V r C é um conjunto
aberto, pois dado x 0 ∈ V r C, dx 0 , C infdx 0 , c : c ∈ C r − r, 0, existe
c 0 ∈ C tal que dx 0 , c 0 r − /2 (caso contrário seria dx 0 , C ≥ r − /2 r − ); então
para cada p ∈ B 0 x 0 , /2, é dp, C ≤ dp, c 0 ≤ dp, x 0 dx 0 , c 0 r − /2 /2 r, e
assim B 0 x 0 , /2 ⊂ V r C.
II.5.8 Teorema (Propriedade de separação de Hausdorff) Seja E, d um espaço
métrico. Se a, b ∈ E, a ≠ b, existem conjuntos abertos A, B tais que a ∈ A, b ∈ B e
A ∩ B .
Dem. Com d da, b 0, basta considerar A B 0 a, d2 , B B 0 b, d2 . Com efeito,
não existe p ∈ A ∩ B, pois então seria da, b ≤ da, p dp, b d, o que é impossível.
A, B são abertos, c.q.d.
-82II.5.9 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E, p ∈ E.
(1) Diz-se que p é um ponto interior de A, se satisfaz a condição de existir pelo menos
um raio 0 tal que B 0 p, ⊂ A; em linguagem lógica:
p é um ponto interior de A ≡ ∃ 0, B 0 p, ⊂ A; o conjunto dos pontos interiores de
A representa-se por intA.
(2) O ponto p é um ponto exterior de A se p é um ponto interior do complementar A c
de A; pode escrever-se em linguagem lógica:
p é um ponto exterior de A ≡ ∃ 0, B 0 p, ⊂ A c ; o conjunto dos pontos exteriores
de A representa-se por extA.
(3) p é um ponto fronteiro do conjunto A se não é um ponto interior de A, nem um
ponto exterior de A; em linguagem lógica, obtem-se pela negação:
p é ponto fronteiro de A ≡ ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ ∧ B 0 p, ∩ A c ≠ . O conjunto
dos pontos fronteiros de A representa-se por ∂A.
II.5.10 Observações (1) Tem-se em qualquer espaço métrico E, d,
int , intE E; (2) qualquer que seja A ⊂ E, o conjunto intA é aberto, intA ⊂ A
e A é um conjunto aberto se e só se intA A; (3) Pela definição, a classe
intA, extA, ∂A é uma partição de E, em qualquer espaço métrico E, d.
II.5.11 Exemplos (1) Em R, d i , d i a métrica discreta, tem-se int0 0,
ext0 R\0 e ∂0 ; (2) na métrica usual d de R, assim como em
R, min 1, d, tem-se int−, 1 −, 1, ext−, 1 1, e ∂−, 1 1.
(3) Em R 2 , d e , intx, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x;
extx, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x e
∂x, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x. Neste caso (assim como para as métricas
d M ou d s em II.2.18), obtêm-se os conceitos intuitivos para o interior, exterior e fronteira de
um conjunto.
II.5.12 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. O interior de A é a reunião da
classe dos subconjuntos abertos de E contidos em A.
Dem. Seja A i : i ∈ I a classe dos subconjuntos abertos de E contidos em A. Se
x ∈ A i : i ∈ I existe pelo menos um índice i tal que x ∈ A i ; como A i é aberto tem-se
B 0 x, ⊂ A i ⊂ A para pelo menos um 0, e de B 0 x, ⊂ A conclui-se x ∈ intA,
logo A i : i ∈ I ⊂ intA. Reciprocamente, se x ∈ intA, tem-se B 0 x, ⊂ A para
certo 0 e, como B 0 x, é um conjunto aberto, B 0 x, ⊂ A i : i ∈ I (rever I.1.36
(1)) e portanto intA ⊂ A i : i ∈ I, ficando provado o teorema c.q.d.
II.5.13 Observação Se A é um subconjunto de um espaço métrico E, d, o interior de A
é o maior subconjunto aberto de A, no conjunto parcialmente ordenado PE para a relação
de inclusão. Com efeito, intA ⊂ A e intA é aberto; e se C ⊂ A e C é aberto, então para
todo o ponto c ∈ C existe 0 tal que B 0 c, ⊂ C ⊂ A, donde c é um ponto interior de
A. Tem-se o
-83II.5.14 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A, B ⊂ E.
(i) Se A ⊂ B então intA ⊂ intB;
(ii) se B ⊂ A e B é aberto, então B ⊂ intA;
(iii) intA ∩ B intA ∩ intB.
II.5.15 Exercícios
(1) Demonstre o Teorema.
(2) Prove que se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, é condição necessária e
suficiente para que p ∈ extA que dp, A 0.
(3) Em cada um dos casos seguintes, determine intA, extA e ∂A e verifique que estes
conjuntos formam uma partição de E:
(i) A 0, 1 no espaço métrico R, d, d a métrica usual;
(ii) A −1, 0 ∩ Q em R, d como em (i);
(iii) A N 1, 2 como nas alíneas anteriores;
(iv) A − 12 , 2 0, 4 em R 2 , d M , d M como em II.2.18 (2) (ii)) (Sug: determine
primeiro intA e ∂A).
(4) Prove que num espaço métrico munido da métrica discreta d i (II.2.3), a fronteira de
qualquer conjunto é vazia.
(5) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E,
a) ∂A ∂A c
b) para cada ponto p ∈ ∂A tem-se dp, A dp, A c 0;
c) ∂A p ∈ E : dp, A dp, A c 0.
-84II.5.16 Resoluções
(1) (i) Se p ∈ intA então existe 0 tal que B 0 p, ⊂ A; de A ⊂ B conclui-se
B 0 p, ⊂ B e assim p ∈ intB.
(ii) Para B ⊂ A e B aberto, tem-se por B intB ⊂ intA por (i), e assim B ⊂ intA.
(iii) Uma vez que A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B, conclui-se de (i) que
intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB. Como intA ∩ intB é aberto, porque é a intersecção de dois
abertos, e intA ∩ intB ⊂ A ∩ B conclui-se de (ii) que intA ∩ intB ⊂ intA ∩ B,
donde intA ∩ B intA ∩ intB c.q.d.
(2) Condição necessária: se p ∈ extA intA c então existe 0 tal que
B 0 p, ⊂ A c . Admitamos por hipótese de absurdo que dp, A 0; da definição de
dp, A infdp, a : a ∈ A concluimos que existe pelo menos um ponto a ∈ A tal que
dp, a , e portanto esse ponto verifica a ∈ B 0 p, ∩ A, concluindo-se o absurdo
B 0 p, ∩ A ≠ , contra a hipótese B 0 p, ⊂ A c . Portanto se p ∈ extA tem-se
dp, A 0 e a condição é necessária. Condição suficiente: admitindo que dp, A 0,
tem-se: para cada a ∈ A, é dp, a dp, A e portanto, se x ∈ E verifica dx, p dp, A
então x ∉ A. Significa isto que B 0 p, dp, A ⊂ A c e assim p ∈ extA, a condição é
suficiente c.q.d.
(3) (i) Cada ponto p tal que p ∈ 0, 1 é um ponto interior do conjunto 0, 1, pois com
min1 − p, p 0 tem-se: x ∈ B 0 p, p − , p implica x p − ≥ 0 e
x p ≤ p 1 − p 1; assim existe 0 tal que B 0 p, ⊂ 0, 1. Donde
0, 1 ⊂ int0, 1. Também se p ∈ int0, 1, então p ∈ 0, 1, pois intA ⊂ A, e não
pode ser p 0: pois para p 0, a qualquer bola aberta B 0 p, −, pertence o ponto
− 2 e − 2 ∉ 0, 1 i.e., nenhum 0 verifica a condição B 0 0, ⊂ 0, 1. Concluimos
que int0, 1 0, 1. O ponto 0 é um ponto fronteiro do conjunto 0, 1, pois como
vimos, cada bola aberta B 0 0, , 0, tem pelo menos um ponto que pertence a 0, 1 c , e
tem também o ponto 0 ∈ 0, 1. Verifica-se pois a condição
∀ 0, B 0 0, ∩ 0, 1 ≠ ∧ B 0 0, ∩ 0, 1 c ≠ . O ponto p 1 é também um ponto
fronteiro, pois para cada 0, p − min1, 2 1 − min1, 2 é um ponto em
B 0 1, 1 − , 1 que pertence a 0, 1, donde B 0 1, ∩ 0, 1 ≠ para cada 0;
e 1 2 ∈ B 0 1, ∩ 0, 1 c para cada 0. Se p 0, então B 0 p, ∣ p ∣ ⊂ 0, 1 c e, se
p 1, então B 0 p, p − 1 ⊂ 0, 1 c . Assim −, 0 1, ⊂ ext0, 1, e como todo o
ponto interior de −, 0 1, pertence a esta reunião, e não é o ponto 1, como de
acima concluimos, tem-se ext0, 1 −, 0 1, . Portanto
int0, 1 0, 1, ∂0, 1 0, 1 e ext0, 1 −, 0 1, . Estes conjuntos são
dois a dois disjuntos e a sua reunião é R.
(ii) intA , pois para cada a ∈ −1, 0 ∩ Q, se 0, a bola B 0 a, não está
contida em −1, 0 ∩ Q, porque lhe pertencem números irracionais.
ext−1, 0 ∩ Q −, −1 0, , pois este conjunto é aberto (reunião de abertos),
−, −1 0, ⊂ −1, 0 ∩ Q c e não existe nenhum conjunto aberto C contendo
propriamente −, −1 0, e contido em −1, 0 ∩ Q c : pois pertenceria a C pelo
menos um ponto c, −1 ≤ c 0, c ∈ R\Q; cada bola aberta de centro c teria pelo menos um
número racional q, −1 q ≤ 0, de modo que não pode ser C intC ⊂ −1, 0 ∩ Q c .
Tem-se ∂−1, 0 ∩ Q −1, 0, porque −1, 0 ⊂ ∂−1, 0 ∩ Q, uma vez que
B 0 p, ∩ A ≠ ≠ B 0 p, ∩ A c , A −1, 0 ∩ Q e, como vimos anterioirmente, se
p ∈ −1, 0 então p ∉ extA; como intA , cada p ∈ −1, 0 é um ponto fronteiro de A.
intA extA ∂A R, e a reunião é disjunta.
-85(iii) Seja p ∈ A N 1, 2 . Se p ≥ 2, então toda a bola aberta B 0 p, , contendo
pontos irracionais, intersecta A c e portanto p ∉ intA; se p 1, cada bola aberta B 0 1,
contém pontos x 1, x ∉ A, e assim 1 ∉ intA. Cada ponto p ∈ 1, 2 é um ponto
interior de A, pois com minp − 1, 2 − p verifica-se
B 0 p, p − , p ⊂ 1, 2 ⊂ A. Donde 1, 2 ⊂ intA. Também
intA ⊂ 1, 2 , pois como vimos, os outros pontos de A não são pontos interiores, e
intA 1, 2 . Se p 1 então p − , p ⊂ −, 1 ⊂ A c desde que 0 1 − p; e
se p 2 , p ∉ N, então p − , p ⊂ A c desde que
0 minp − 2 , p − Ip, Ip 1 − p, com Ip " maior inteiro m ≤ p" . Portanto
−, 1 2 , \N ⊂ extA. Os pontos p n, n ∈ N e o ponto 2 não são ponos
interiores como vimos, e também não são pontos exteriores, pois cada bola aberta de centro
num destes pontos, pertencem-lhe pontos em A e pontos no complementar de A. Assim
∂A N 2 , R é a reunião disjunta
R 1, 2 −, 1 2 , \N N 2 .
(iv) Para cada x 0 , y 0 ∈ − 12 , 2 0, 4 tem-se: se 0 1 ≤ minx 0 − − 12 , 2 − x 0
é x 0 − 1 , x 0 1 ⊂ − 12 , 2; analogamente, se 0 2 ≤ miny 0 , 4 − y 0 , é
y 0 − 2 , y 0 2 ⊂ 0, 4. Donde com minx 0 12 , 2 − x 0 , y 0 , −y 0 tem-se
x 0 , y 0 ∈ x − , x 0 y 0 − , y 0 B 0 x 0 , y 0 , ⊂ A. Portanto
− 12 , 2 0, 4 ⊂ intA. Os outros pontos de A não são pontos interiores de A, porque:
para os pontos x 0 , y 0 de abcissa x 0 − 12 , cada bola aberta
B 0 x 0 , y 0 , x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 contém o ponto x 0 − 2 , y 0 ∉ A; e os
pontos x 0 , y 0 de ordenada y 0 0 (ou y 0 4), cada bola aberta
x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 contém pontos x 0 , y com 0 y , logo x 0 , y ∉ A (ou
pontos x 0 , y onde 4 y 4 , x 0 , y ∉ A. Portanto para os outros pontos de A, não
existe uma bola aberta centrada nesses pontos e contida em A. Concluimos que
intA − 12 , 2 0, 4.Além do próprio centro da bola, que pertencia a A no raciocínio
acima, para os pontos de abcissa − 12 , e ordenadas entre 0 e 4, ou para os pontos de
ordenadas 0 ou 4, com abcissa entre − 12 e 2, vimos que cada bola com esses centros contèm
pontos do complementar de A. Consequentemente, − 12 0, 4 ⊂ ∂A,
− 12 , 2 0 ⊂ ∂A e − 12 , 2 4 ⊂ ∂A. Também 2 0, 4 ⊂ ∂A. Com efeito, cada
ponto 2, y 0 , 0 ≤ y 0 ≤ 4 verifica a condição
2 − 2 , y 0 ∈ 2 − , 2 y 0 − , y 0 ∩ A e a condição
2, y 0 ∈ 2 − , 2 y 0 − , y 0 ∩ A c . E se x 0 , y 0 é tal que para cada 0,
x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A ≠ e x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A c ≠ ,
não pode ser x 0 − 12 ou x 0 2, e nem y 0 0 ou y 0 4, casos em que existe 0 com
x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A ; para − 12 ≤ x 0 ≤ 2 e 0 ≤ y 0 ≤ 4, se nehuma das
abcissas e ordenadas é um extremo do intervalo − 12 , 2 ou 0, 4 respectivamente, tem-se
x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A c , para certo 0. Assim ∂A é a reunião dos
conjuntos − 12 0, 4, 2 0, 4, − 12 , 2 0 e − 12 , 2 4. Portanto
extA ⊂ − 12 , 2 0, 4 c e R 2 intA ∂A − 12 , 2 0, 4 c ,
extA − 12 , 2 0, 4 c .
(4) Em E, d i , d i a métrica discreta, tem-se intA A e extA A c , atendendo a
II.5.11, uma vez que todo o conjunto A se pode escrever como
A a : a ∈ A B 0 a, 1 : a ∈ A, B 0 a, 1 a para cada a ∈ E. Da
propriedade E intA extA ∂A e sendo a reunião disjunta, conclui-se que
∂A E\intA extA , c.q.d.
-86(5) a) Da definição, em linguagem lógica (II.5.9 (3)) de ponto fronteiro de A, conclui-se
imediatamente que ∂A ∂A c , atendendo a que A c c A;
b) Aplicando a a), basta mostrar que para p ∈ ∂A se tem
dp, A infdp, a : a ∈ A 0. Com efeito, tem-se: para cada 0, existe pelo menos
um ponto a ∈ A tal que a ∈ B 0 p, ∩ A, dp, a . Donde
dp, A ≤ dp, a , ∀ 0 e portanto dp, A 0.
c) Utilizando b), basta provar que se dp, A dp, A c 0 então p ∈ ∂A. Com efeito,
conclui-se da definição de dp, A que para cada 0, existem pontos a ∈ A, b ∈ A c tais
que dp, a , i.e., a ∈ B 0 p, ∩ A, e dp, b , i.e., b ∈ B 0 p, ∩ A c . Tem-se pois,
em linguagem lógica, ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ ∧ B 0 p, ∩ A c ≠ , ou seja p ∈ ∂A c.q.d.
II.5.17 Observação É falso que intA B intA intB, como mostra o exemplo
A −1, 0, B 0, 1 em R, d, d a métrica usual. Verifica-se sempre a inclusão
intA intB ⊂ intA B.
II.5.18 Definição Sejam E, d um respaço métrico, A ⊂ E, a ∈ A. Diz-se que a é um
ponto isolado de A se existe pelo menos um 0 tal que a é o único ponto de A na bola
B 0 a, . Em linguagem lógica,
a á um ponto isolado de A ≡ ∃ 0, B 0 a, ∩ A a.
II.5.19 O conjunto N consiste de pontos isolados em R, d, d a métrica usual.
II.5.20 Se d 1 e d 2 são métricas no conjunto E, conclui-se de II.5.10 (1) que a topologia
da métrica d 1 coincide com a topologia da métrica d 2 se e só se para cada A ⊂ E, o interior
de A em E, d 1 é o mesmo que o interior de A em E, d 2 .
Também, então, o exterior de cada conjunto é o mesmo, e a fronteira coincide; pois o
exterior de um conjunto é o interior do complementar, e conclui-se de (3) em II.5.9 que
∂A intA extA c .
II.5.21 Teorema Sejam d 1 , d 2 métricas num conjunto E tais que d 2 d 1 . Então todo o
conjunto aberto em E, d 1 é também um conjunto aberto em E, d 2 . Ou seja, as topologias
T 1 , da métrica d 1 , e T 2 , da métrica d 2 verificam T 2 ⊃ T 1 .
Dem. Seja A um conjunto aberto em E, d 1 , A ∈ T 1 . Para cada a ∈ A existe 0 tal
1
1
que B 0 a, ⊂ A, onde B 0 a, representa a bola para a métrica d 1 e, como existe 0
2
1
2
tal que B 0 a, ⊂ B 0 a, , B 0 a, a bola relativa à métrica d 2 , concluimos que a é um
ponto interior de A em E, d 2 e que A ∈ T 2
c.q.d.
-87II.5.22 Corolário Se d 1 , d 2 são métricas num conjunto E, então a topologia da métrica
d 1 coincide com a topologia da métrica d 2 se e só se as métricas d 1 e d 2 são equivalentes.
Dem. Com as notações do teorema, conclui-se T 1 T 2 se d 1 , d 2 são equivalentes.
Reciprocamente, admitamos que d 2 não é mais fina que d 1 . Existe então pelo menos um
ponto p ∈ E tal que, para certo 0, nenhum raio 0 verifica a inclusão
1
1
B 2
0 p, ⊂ B 0 p, ; isto implica que o conjunto B 0 p, , aberto em E, d 1 , não é
1
1
aberto em E, d 2 pois p ∈ B 0 p, mas p ∉ intB 0 p, em E, d 2 . Não se tem pois
T 1 ⊂ T 2 , e T 1 ≠ T 2 . Portanto se d 1 , d 2 não são equivalentes, as respectivas topologias das
métricas são diferentes c.q.d.
II.5.23 Exemplos (1) As métricas discreta d i , e usual d em R não sendo equivalentes, as
topologias das métricas são diferentes; como d i d, todo o conjunto aberto em R, d é
aberto em R, d i , mas a recíproca é falsa.
(2) Conclui-se de II.3.7 que as topologias das métricas d e , d M e d s em R n são a mesma.
Esta toplogia é a topologia usual de R n .
II.5.24 Exercícios
(1) Utilizando II.5.10 (3), o exemplo (2) acima e a métrica d M em R 2 , comprove o
exemplo (3) em II.5.11 (Sug: esboce a figura).
(2) Prove que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes em E, A ⊂ E, então a é um ponto
isolado de A em E, d 1 se e só se a é um ponto isolado de A em E, d 2 .
(3) Determine o interior e o conjunto dos pontos isolados do conjunto
A − 3 , 0 1n : n ∈ N ⊂ R,
a) em R, min1, d, d a métrica usual de R;
b) em R, d i , d i a métrica discreta.
II.5.25 Resoluções
(1) Sendo A x, y ∈ R 2 : y ≥ x consideremos um ponto x 0 , y 0 ∈ A tal que
y 0 x 0 . Com y 0 − x 0 /2 0 tem-se: se x, y ∈ B 0 x 0 , y 0 , então
x − x 0 y 0 − x 0 /2 e y 0 − y y 0 − x 0 /2; adicionando membro a membro,
x − y y 0 − x 0 y 0 − x 0 donde x − y 0, y x, o que mostra que B 0 x 0 , y 0 , ⊂ A e
portanto x 0 , y 0 ∈ intA. Se y 0 x 0 , r 0, cada bola aberta B 0 x 0 , y 0 , r contém o ponto
x 0 , x 0 − r/2 ∉ A, e o ponto x 0 , y 0 ∈ A e assim este ponto é um ponto fronteiro de A.
Logo intA x, y ∈ R 2 : y x. Se x 0 , y 0 verifica y 0 x 0 , então conclui-se da
primeira parte, trocando x 0 ↔ y 0 , que B 0 x 0 , y 0 , x 0 − y 0 /2 ⊂ A c . Concluimos que
efectivamente extA x, y ∈ R 2 : y x e ∂A x, y : y x, como queríamos.
(2) Bastará provar que se d 2 d 1 e a é um ponto isolado de A em E, d 1 então a é um
1
ponto isolado de A em E, d 2 . Com efeito, seja 0 tal que B 0 a, ∩ A a. Uma
2
1
k
vez que existe 0 tal que B 0 a, ⊂ B 0 a, (com B 0 a, r a bola aberta em E, d k ,
2
1
2
k 1, 2), conclui-se B 0 a, ∩ A ⊂ B 0 a, ∩ A a donde B 0 a, ∩ A a e
assim a é um ponto isolado de A em E, d 1 c.q.d.
-88(3) a) Cada ponto p ∈ − 3 , 0 é um ponto interior de A, pois
B 0 p, minp 3 , ∣ p ∣ p − r, p r ⊂ A, se r minp 3 , ∣ p ∣. Os restantes
ponto de A não são pontos interiores, pois para o ponto p 0 tem-se: para cada 0,
/2 ∈ B 0 0, , /2 ∉ A; e se p 1n , n ∈ N, então existe pelo menos um número irracional
em cada intervalo aberto p − , p , o que mostra que p ∉ intA. Também
1
1
, p nn1
∩ A p se p 1n , n ∈ N, e cada um destes pontos é um ponto
p − nn1
isolado de A. Os pontos p do intervalo − 3 , 0 não são pontos isolados de A pois se
0 r minp 3 , ∣ p ∣ então B 0 p, ∩ A B 0 p, ≠ p. 0 não é também um
ponto isolado de A, porque para cada 0, −, ∩ A ≠ 0. Concluimos que
intA − 3 , 0, e o conjunto dos pontos isolados de A é o conjunto 1n : n ∈ N.
b) intA A, pois para a métrica discreta todo o conjunto é aberto. Cada ponto p ∈ A
é um ponto isolado, porque B 0 p, 1 ∩ A B 0 p, 1 p se p ∈ A.
II.5.26 Definição Seja E, d um espaço métrico. Um conjunto A ⊂ E diz-se um
conjunto fechado se A c é aberto.
II.5.27 Exemplos (1) Se E, d é um espaço métrico, , E são conjuntos fechados, pelo
teorema II.5.4. (2) Para a topologia da métrica discreta sobre um conjunto E, todo o
subconjunto de E é um conjunto fechado e aberto, pois todos os conjutos são abertos
(exemplo (2) em II.5.3). (3) Em qualquer espaço métrico E, d, os subconjuntos fechados
d
são os mesmos, pois a topologia é a
para as topologias das métricas d, min1, d e d1
mesma (observações (2), (3) em II.4.7, exercício (4) em II.4.10).
II.5.28 Exercícios
(1) Demonstre que se d 1 , d 2 são métricas em E tais que d 2 d 1 , e F é um subconjunto
fechado de E em E, d 1 então F é fechado em E, d 2 .
(2) Prove que em qualquer espaço métrico E, d, todo o conjunto reduzido a um
elemento é fechado.
(3) Indique, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de 0, são abertos ou
fechados em 0, , , x, y ∣ 1x − 1y ∣ (Sug: exercício (3) (i) em II.4.4):
(i) 0, 1; (ii) 0, 1; (iii) 0, 1 2.
II.5.29 Resoluções
(1) Seja F fechado em E, d 1 ; então F c é aberto em E, d 1 . Pelo teorema II.5.20, F c é
aberto em E, d 2 e por conseguinte F é fechado em E, d 2 c.q.d.
(2) Para provar que p é fechado, provemos que p c é aberto. Se q ∈ p c então
sendo d dp, q, tem-se p ∉ B 0 q, d i.e., p ∩ B 0 q, d , B 0 q, d ⊂ p c , o que
mostra que p c é aberto c.q.d.
-89(3) (i) 0, 1 é aberto em 0, , , pois é aberto em 0, , d, d a métrica usual.
Este conjunto não é fechado, pois o seu complementar 1, não é aberto, uma vez que o
ponto 1 não é um ponto interior de 1, em 0, , d, d a métrica usual. (ii) 0, 1 não é
aberto em 0, , porque não é aberto em 0, , d, d a métrica usual. Com efeito, o
ponto 1 não é um ponto interior do conjunto 0, 1. O complementar de 0, 1 em 0, é
1, , que é um conjunto aberto em 0, , d para a métrica usual d. Assim 0, 1 é um
fechado em 0, , d, e portanto é fechado em 0, , . (iii) 0, 1 2 não é aberto,
pois o ponto 2 não é um ponto interior do conjunto. O complementar 1, 2 2, não é
aberto em 0, , d (1 não é um ponto interior), e portanto 0, 1 2 não é fechado em
0, , .
II.5.30 Teorema Seja E, d um espaço métrico. A classe dos subconjuntos fechados
de E verifica as propriedades:
F1 , E são conjuntos fechados;
F 2 Se F 1 , . . . , F n são fechados, n ∈ N, então F 1 . . . F n é fechado;
F 3 Se F i : i ∈ I é uma classe de conjuntos fechados, então F i : i ∈ I é um
conjunto fechado.
Dem. F1, F2 e F3 concluem-se imediatamente de T E 1, T E 2 e T E 3 por
passagem ao complementar, utilizando F i : i ∈ I c F ci : i ∈ I e
F i : i ∈ I c F ci : i ∈ I.
II.5.31 Exercício Prove as leis de De Morgan generalizadas: se X i : i ∈ I é uma
classe de subconjuntos de X, então:
(i) X i : i ∈ I c X ci : i ∈ I;
(ii) X i : i ∈ I c X ci : i ∈ I.
II.5.32 Resolução
(i) X i : i ∈ I c x ∈ X : ~x ∈ X i : i ∈ I
x ∈ X : ~∃i ∈ I, x ∈ X i x ∈ X : ∀i ∈ I, x ∉ X i X ci : i ∈ I;
(ii) X i : i ∈ I c x ∈ X : ~x ∈ X i : i ∈ I
x ∈ X : ~∀i ∈ I, x ∈ X i x ∈ X : ∃i ∈ I, x ∉ X i X ci : i ∈ I.
II.5.33 Consideremos o espaço métrico R, d, d a métrica usual. Se x n é uma
sucessão em 0, 1, convergente em R, d para um ponto p, conclui-se de 0 ≤ x n ≤ 1 para
cada n, que 0 ≤ p lim x n ≤ 1 pela passagem de uma desigualdade ao limite; assim
p ∈ 0, 1. O conjunto 0, 1 não verifica esta propriedade, pois por exemplo 1n é uma
sucessão em 0, 1, convergente em R, d para 0 ∉ 0, 1. Põe-se:
II.5.34 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E.
(1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto aderente do conjunto A, ou que p é aderente
a A, se existe uma sucessão x n em A tal que x n → p em E, d;
(2) o conjunto dos pontos aderentes do conjunto A chama-se aderência ou fecho de A,
e representa-se por A.
-90II.5.35 Observações (1) O ponto p é aderente a A, p ∈ A se e só se verifica a condição
de qualquer bola aberta de centro p conter pelo menos um ponto do conjunto A; em
linguagem lógica
p ∈ A ≡ ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ .
Com efeito, se p ∈ A tem-se p lim x n , para pelo menos uma sucessão x n em A.
Então para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal que x n ∈ Bp, para cada n ≥ p,
e portanto o ponto x p ∈ B 0 p, ∩ A. Reciprocamente, suponhamos que a condição se
verifica; fazendo 1n ∈ N para cada n ∈ N, obtemos: para cada n ∈ N, existe pelo
menos um ponto x n ∈ B 0 p, 1n ∩ A. A sucessão x n de pontos de A verifica x n → p em
E, d pois passando as desigualdades 0 ≤ dx n , p ≤ 1n ao limite, obtemos lim dx n , p 0,
e p é um ponto aderente de A. (2) Tem-se A ⊂ A, pois para cada ponto a ∈ A, a é o limite
em E, d da sucessão constante e igual a a.
Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual, tem-se 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1; a
aderência de cada um destes conjuntos é ainda 0, 1, nos espaços métricos R, min1, d e
d
R, d1
. (2) O fecho de R\0 em R, d como no exemplo (1), é o conjunto R, pois
qualquer intervalo aberto contém um ponto diferente de 0. (3) Se x n é uma sucessão
convergente no espaço métrico E, d, x lim x n , tem-se x n : n ∈ N x, x n : n ∈ N.
II.5.36 Exercícios
(1) Prove que se d 1 , d 2 são métricas em E, d 2 d 1 , A ⊂ E, então o fecho de A em
E, d 2 está contido no fecho de A em E, d 1 (Sug: verifique II.4.3 (1))..
(2) Conclua do exercício anterior que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes no conjunto
E, A ⊂ E, então o fecho de A em E, d 1 é o mesmo que o fecho de A em E, d 2 .
(3) Determine A em cada um dos casos seguintes:
n
: n ∈ N em R, d, d a métrica ususal;
(i) A 0 n1
(ii) A como em (i), em R, min1, d, d como em (i);
(iii) A 0, 1 −1, 2 em R 2 , d M e em R 2 , d e (Sug: II.2.12 (3));
(iv) A Q em R, 2d, d a métrica usual (Sug: II.4.7 (3), (2); II.2.5 (2) (i));
(v) A 0, 1 1, 2 4, em R, d, d a métrica usual;
(vi) A x, x 1 : x ∈ R em R 2 , d e , em R 2 , d M e em R 2 , d s .
(4) Demonstre que se A é um subconjunto de E no espaço métrico E, d, então
A p ∈ E : dp, A 0.
(5) Mostre que se E, d é um espaço métrico, e C é um subconjunto finito de E, então
C C.
(6) Dê exemplo de um espaço métrico E, d e de um subconjunto finito A de E tal que
E\A ≠ E.
-91II.5.37 Resoluções
(1) Seja p um ponto aderente de A em E, d 2 . Então existe uma sucessão x n em A
tal que p lim x n em E, d 2 ; assim, para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal que
2
2
x n ∈ B 0 p, , para cada n ≥ p, onde B 0 p, designa a bola aberta em E, d 2 . Se
2
1
0, existe, pela hipótese d 2 d 1 , certo 0 tal que B 0 p, ⊂ B 0 p, , a bola
1
aberta para a métrica d 1 . Concluimos que para cada n ≥ p se verifica x n ∈ B 0 p, , e
assim x n → p em E, d 1 e p é um ponto aderente de A neste espaço métrico.
(2) Conclui-se de (1) que se d 2 d 1 e d 1 d 2 , então cada conjunto fecho de A num
dos espaços métricos E, d 1 e E, d 2 é um subconjunto do outro, e portanto o fecho é o
mesmo.
n
é um ponto aderente de A
(3) (i) Além dos pontos de A, também o ponto 1 lim n1
(Exemplo (3) em II.5.35). Para cada outro ponto p ∈ R, existe r 0 tal que
B 0 p, r ∩ A , e portanto p não é limite em R, d de uma sucessão em A. Concluimos
n
A 0, 1 n1
: n ∈ N.
(ii) Conclui-se do exercício (1) que o fecho de A em R, min1, d é como em (i).
(iii) Os pontos p da forma p 0, y, y ∈ −1, 2 são pontos aderentes de A: por exemplo
0, −1 lim0, −1 1n com cada ponto 0, −1 1n ∈ A; e 0, 2 lim0, 2 − 1n ,
0, 2 − 1n ∈ A n ∈ N. Cada ponto p 1, y, y ∈ −1, 2 é também um ponto aderente de
A, pois 1, y lim1 − 1n , y se −1 y 2; para y −1, tem-se
−1, y lim1 − 1n , −1 1n e, se y 2, −1, y lim1 − 1n , 2 − 1n . Também cada ponto
p x, −1, 0 x ≤ 1 é um limite x, −1 limx − nx , −1 1n de pontos de A, e
0, −1 lim0, −1 1n . Para os pontos da forma x, 2, 0 x ≤ 2, é
x, 2 limx − nx , 2 − 1n , e 0, 2 lim0, 2 − 1n . Portanto o rectângulo 0, 1 −1, 2
com os lados é formado por pontos aderentes de A. Se p x 0 , y 0 ∉ 0, 1 −1, 2, existe
uma bola aberta B 0 p, r para d M tal que B 0 p, r ⊂ A c ; então p não é limite de pontos de A
em R 2 , d M , p não é ponto aderente de A em R 2 , d M . Conclui-se que A 0, 1 −1, 2
em R 2 , d M e, aplicando o exercício (1) acima, e II.4.2 (2), A 0, 1 −1, 2 em R 2 , d e .
(iv) Aplicando II.4.7 (3), (2) e o exercício (2) acima, podemos determinar Q em R, d.
Em cada bola aberta B 0 p, r p − r, p r, e para cada ponto p ∈ R, existe um número
racional, e assim cada ponto p verifica a condição ∀ 0, B 0 p, ∩ Q ≠ e Q R em
R, 2d.
(v) Tem-se 0 lim 1n , 1n ∈ A n ∈ N e 1 lim 1 − 1n , 1 − 1n ∈ A n ∈ N. Assim
0, 1 ∈ A; também 2 lim 2 − 1n com 2 − 1n ∈ A n ∈ N e 4 lim 4 1n com 4 1n ∈ A
para cada n ∈ N. Donde 0, 2 4, ⊂ A. Se p ∉ 0, 2 4, então existe r 0 tal
que p − r, p r ⊂ A c ; portanto A 0, 2 4, .
(vi) Se x, y ≠ x, x 1, x, y ∈ R, x 1 ≠ y, seja r ∣ y − x 1 ∣ /2 0. Para cada
u, v ∈ x − r, x r y − r, y r B 0 x, y, r (a bola para a métrica d M ) tem-se
max∣ u − x ∣, ∣ v − y ∣ r. Se v u 1, tem-se ∣ u − x ∣ r e ∣ u 1 − y ∣ r
donde ∣ x − u ∣ r, ∣ u 1 − y ∣ r obtendo-se ∣ x 1 − y ∣ 2r ∣ x 1 − y ∣, o que é
impossível; portanto B 0 x, y, r ⊂ A c e x, y não é limite de pontos de A, x, y ∉ A.
Conclui-se A A em R 2 , d M . De II.4.2 e do exercício (1) acima, concluimos que também
A A em R 2 , d e e em R 2 , d s .
-92(4) Se p ∈ A então para cada 0, existe a ∈ A tal que a ∈ B 0 p, , i.e tal que
dp, a . Assim ∀ 0, dp, A e portanto dp, A 0. Reciprocamente, se
dp, A infdp, a : a ∈ A 0, então para cada n ∈ N, existe a n ∈ A tal que
dp, a n 1n ; conclui-se lim dp, a n 0, pela passagem de uma desigualdade ao limite,
donde a n → p e p ∈ A.c.q.d.
(5) Basta provar que nenhum ponto p ∈ E, p ∉ C é limite de uma sucessão em C. Se
p ∉ C c 1 , . . . , c m m ∈ N, seja mindp, c k : 1 ≤ k ≤ m 0. Não existe
nenhum ponto c k ∈ B 0 p, , e assim p não é limite de uma sucessão em C, como
queríamos.
(6) Consideremos o espaço métrico E, d i , d i a métrica discreta em
E 1, 2, A 1. Então E\A 2. Como B 0 1, 1 ∩ E\A 1 ∩ 2 ,
verifica-se 1 ∉ E\A e portanto E\A ≠ E.
II.5.38 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. Então:
(1) O conjunto A é fechado;
(2) A é um conjunto fechado se e só se A A.
c
Dem. (1) Provemos que A é aberto. Se p ∉ A, obtemos negando a condição em
linguagem lógica, em II.5.34: ∃ 0, B 0 p, ∩ A , i.e. ∃ 0, B 0 p, ⊂ A c . Para
cada x ∈ B 0 p, existe, pelo lema II,3.4, certo x 0 tal que B 0 x, x ⊂ B 0 p, ⊂ A c ,
B 0 x, x ⊂ A c , donde x ∈ extA e, aplicando o exercício (2) em II.5.13, concluimos
c
dx, A 0. Pelo exercício (4) em II.5.36, tem-se portanto x ∉ A e assim B 0 p, ⊂ A , o
c
que mostra que A é aberto. (2) Se A é fechado, provemos que A ⊂ A, concluindo-se então
c
A A por II.5.34 (2). Equivalentemente, mostremos que A c ⊂ A ; se p ∈ A c , como A c é
aberto por hipótese, existe certo 0 tal que B 0 p, ⊂ A c , B 0 p, ∩ A , i.e.,
verifica-se a negação da condição de p ponto aderente de A em II.5.34, e portanto p ∉ A.
Portanto se A é fechado, tem-se A A. A recíproca conclui-se de (1), c.q.d.
II.5.39 Teorema Seja A um subconjunto do espaço métrico E, d. O conjunto A é a
intersecção da classe dos subconjuntos fechados de E quer contêm A.
c
Dem. Tem-se A extA , aplicando o exercício (2) em II.5.15, e o exercício (4),
II.5.36. Pelo teorema II.5.12, se C i : i ∈ I é a classe dos subconjuntos abertos de A c ,
tem-se extA intA c C i : i ∈ I e a classe dos subconjuntos fechados de E que
contêm A é C ci : i ∈ I. Então A extA c C i : i ∈ I c C ci : i ∈ I
(II.5.30) c.q.d.
II.5.40 Teorema Se E, d é um espaço métrico, A, B ⊂ E, tem-se:
(i) Se A ⊂ B então A ⊂ B;
(ii) se A ⊂ B e B é fechado, então A ⊂ B;
(iii) A B A B.
-93Dem. (i) Se p ∈ A tem-se p lim a n em E, d, para pelo menos uma sucessão a n de
pontos de A; então, como a n é uma sucessão em B, tem-se também p ∈ B. (ii) Dado
p ∈ A, é p lim a n com a n uma sucessão em A, portanto a n ∈ B n ∈ N; sendo B um
conjunto fechado, conclui-se p ∈ B por (2) no teorema II.5.38. (iii) Como A B é um
conjunto fechado que contém A B, concluimos de (ii) que A B ⊂ A B; para a inclusão
recíproca, se p ∈ A B então ou p é limite em E, d de uma sucessão de pontos de A, ou é
limite de uma sucessão de pontos de B; em qualquer caso, p é limite de uma sucessão em
A B, donde p ∈ A B.
II.5.41 Observação A relação (ii) no teorema anterior mostra que o fecho de A num
espaço métrico E, d é o menor conjunto fechado que contém A, no conjunto parcialmente
ordenado PE para a relação de inclusão.
II.5.42 Exercícios
(1) Mostre que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então para cada ponto p ∈ E
tem-se dp, A dp, A (Sug: para provar que infC ≤ infD basta mostrar que
c infC c ≤ infD).
(2) Conclua de (1) que A A (Sug: Exercício II.5.36 (4)).
II.5.43 Resoluções
(1) Sendo A ⊂ A tem-se
dp, A infdp, x : x ∈ A ≤ infdp, x : x ∈ A dp, A, pois o perimeiro conjunto
contém o segundo e, quando o conjunto dos vlores aumenta, o ínfimo permanece ou
diminui. Suponhamos c dp, A. Então c dp, a, ∀a ∈ A. Se x ∈ A é
x lim a n , a n ∈ A n ∈ N, lim dx, a n 0. Encontramos
dp, x ≥ dp, a n − da n , x c − da n , x n ∈ N e passando esta desigualdade ao limite,
dp, x ≥ c − 0 c; então dp, A infdp, x : x ∈ A ≥ c, donde dp, A ≤ dp, A e
dp, A dp, A como queríamos.
(2) Aplicando (4) em II.5.36, A p ∈ E : dp, A 0 p ∈ E; dp, A 0 A.
II.5.44 Exercício Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então
A intA ∂A A ∂A. (Sug: II.5.36 (4), II.5.14 (2), (5) c) e II.5.9).
II.5.45 Resolução
Tem-se intA ∂A ⊂ A ∂A ⊂ A, pois se p ∈ A ∂A então aplicando II.5.15 (5) c),
verifica-se dp, A 0 donde p ∈ A por II.5.36 (4); a primeira inclusão conclui-se de II.5.9
(2). Reciprocamente, se p ∉ intA ∂A então por II.5.9 (3) tem-se p ∈ extA, e aplicando
de novo II.5.15 (2) é dp, A 0; pelo que aplicando de novo II.5.36, p ∉ A. Portanto
A ⊂ intA ∂A ⊂ A ∂A, c.q.d.
-94II.5.46 Exercício Determine o fecho de cada conjunto nos Exemplos II.5.11, e
comprove com o exercício anterior.
II.5.47 Resolução (1) Em R, d i tem-se 0 0 (II.5.27 (2), II.5.38 (2)) e
int0 0, ∂0 . Assim 0 ⊂ int0 ∂0. (2) Em R, d, é
−, 1 −, 1, uma vez que o complementar do conjunto é o aberto 1, . Verifica-se
portanto −, 1 int−, 1 ∂−, 1. Em R 2 , d e , o fecho do conjunto
A x, y : y ≥ x é o próprio conjunto; pois se x n , y n → x, y e y n ≥ x n para cada n,
então aplicando II.12.12 (3) tem-se x n → x, y n → y e conclui-se y ≥ x passando a
desigualdade ao limite. Portanto A intA ∂A também neste caso.
II.5.48 Recordando II.5.6 (2), se E, d é um espaço métrico, ≠ C ⊂ E, a
caracterização C p ∈ E : dp, C 0 em II.5.36 (4) de C (i.e, C é o subconjunto de E
formado pelos pontos p tais que para cada r 0, dp, C r) mostra que
C V r C : r 0.
II.5.49 Exercícios
(1) Prove que num espaço métrico E, d, o fecho de um conjunto C é a intersecção de
uma classe contável decrescente (para a inclusão em PE) de conjuntos abertos. (Distinga
o caso C ).
(2) Demonstre que se A, C ⊂ E, E, d um espaço métrico, e C é fechado então: a)
dp, C 0 para cada p ∈ C c ;
b) extA A c (sug: utilize a a));
c) intA A c c (sug: utilize a alínea anterior).
(3) Demonstre que num espaço métrico E, d o interior de cada conjunto C é reunião
de uma classe contável crescente de conjuntos fechados; considere primeiro o caso C .
II.5.50 Resoluções
(1) Se C tem-se C . Se C é não vazio, seguindo II.5.48 tem-se
C V 1/n C : n ∈ N O m : m ∈ N, onde O m V 1/n : 1 n m, cada O m
é aberto e O 1 ⊃ O 2 ⊃. . . ⊃ O m ⊃ O m1 ⊃. . . c.q.d. Uma vez que a aplicação m → O m é
sobrejectiva, conclui-se de I.6.15 que #O m : m ∈ N # 0 .
(2) a) Provemos equivalentemente que, se dp, C 0 então p ∈ C. Se dp, C 0
então aplicando II.5.36 (4) tem-se p ∈ C C (II.5.38 (2)), ficando provado a) c.q.d.
b) Aplicando II.5.14 (b), tem-se p ∈ extA sse dp, A 0. Pela a), também
p ∉ A sse dp, A 0. Conclui-se p ∈ extA sse p ∈ A c c.q.d.
c) Tem-se intA intA c c extA c A c c por b), c.q.d.
(3) . Se C ≠ , é intC C c c O m : m ∈ N c O cm : m ∈ N
com O cm : m ∈ N uma classe contável crescente de conjuntos fechados, obtida a partir da
classe O m : m ∈ N da a).
-95II.5.51 Se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A, pode dar-se p ∉ A como vimos
já. Neste caso, uma vez que p é limite de uma sucessão a n em A, existe uma infinidade de
termos a n ≠ p (se o conjunto dos termos diferentes de p na sucessão a n é finito, tem-se
a n c a partir de certa ordem, e necessariamente c p). Portanto toda a bola aberta
B 0 p, r contém pelo menos um ponto de A diferente de p, e assim B 0 p, r ∩ A\p ≠
para cada raio r 0, i.e., tem-se p ∈ A\p. Põe-se
II.5.52 Definição Seja E, d um espaço métrico, e seja A ⊂ E.
(1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto de acumulação do conjunto A se p é um
ponto aderente do conjunto A\p;
(2) o conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A e
representa-se por A ′ .
II.5.53 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o conjunto derivado de cada
singleton p é o conjunto vazio, como consequência de ser um conjunto fechado. (2)
0, 1 ′ 0, 1 em R, d se d é a métrica usual em R. (3) Para a métrica discreta d i num
conjunto E tem-se A ′ qualquer que seja o subconjunto A de E.
II.5.54 Exercícios
(1) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então p ∈ A ′ se e só se p é limite
de uma sucessão de pontos de A todos diferentes, e diferentes de p.
(2) Demonstre que A ′ ⊂ A.
(3) Dê um exemplo em que a inclusão em (2) seja estrita.
(4) Prove que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, então p é um ponto de
acumulação do conjunto dos termos se e só se existe uma subsucessão de x n com os
termos todos diferentes, convergente para p.
(5) Mostre que se I é um intervalo de R não reduzido a um ponto, então I ′ I em
R, d, d a métrica usual.
(6) Determine os pontos isolados, os pontos de acumulação e o fecho do conjunto A no
espaço métrico E, d, em cada um dos casos seguintes:
(i) E, d R, d, d a métrica usual, A Q;
(ii) E, d como em (i), A Z;
(iii) E, d como em (i), (ii), A 1/n : n ∈ N 2 ;
(iv) E, d R, d i , d i a métrica discreta, A Q;
(v) E, d R 2 , d e , A B 0 0, 0, 1 N 2 , d e a métrica euclideana.
(7) Demonstre que num espaço métrico E, d, se A ⊂ E, e representando por iA o
conjunto dos pontos isolados de A, se tem A iA A ′ .
(8) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A A A ′ .
(9) Determine intA em (6) (v) e conclua que pode ser A ≠ intA A ′ .
(10) a) Mostre que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A ′ , então toda a
vizinhança do ponto p contém uma infinidade de pontos de A;
b) conclua que se um subconjunto A de um espaço métrico é finito, então A ′ .
-96II.5.53 Resoluções
(1) Admitamos primeiro que existe uma sucessão a n nas condições dadas, a n → p.
Então para cada 0, existe uma ordem n tal que a n ∈ B 0 p, se n ≥ n. Em
particular, tem-se a n ∈ B 0 p, e, como a n ≠ p tem-se a n ∈ B 0 p, ∩ A\p e
p ∈ A ′ . Supondo p ∈ A ′ , i.e., p ∈ A\p consideremos 1; existe pelo menos um ponto
a 1 ∈ B 0 p, 1 ∩ A\p. Para 1/2 existe uma infinidade de pontos
a ∈ B 0 p, 1/2 ∩ A\p; pois se o conjunto B 0 p, 1/2 ∩ A\p fosse finito, digamos
constituído por pontos x 1 , . . . , x m , então com d dp, x 1 , . . . , x m 0, o conjunto
B 0 p, d ∩ A\p seria vazio, e então p ∉ A ′ . Existe portanto pelo menos um ponto
a 2 ∈ B 0 p, 1/2 ∩ A\p, a 2 ≠ a 1 . Seguidamente, repetindo o raciocínio, existe pelo
menos um ponto a 3 ∈ B 0 p, 1/3 ∩ A\p, a 3 ≠ a 2 e a 3 ≠ a 1 ; e vemos que para cada
n ∈ N, existem n pontos diferentes a k ∈ B 0 p, 1/k ∩ A\p, k 1, . . . , n. A sucessão a n
em A satisfazs condições pedidas, pois para cada 0, se n ∈ N e n ≥ n 1/ então
a n ∈ B 0 p, 1/n ⊂ B 0 p, , e assim a n → p c.q.d.
(2) Se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A, utilizando o Teorema II.5.40.
(3) II.5.53 mostra que, por exemplo considerando a métrica discreta em E 1 se
tem E ′ , pois 1 ∉ 1 ∩ E\1, 1 B 0 1, 1. No entanto, E E ≠ .
(4) Utilizando (1), tem-se p ∈ x n : n ∈ N ′ se e só se existe uma sucessão x j → p,
com cada x j um dos termos de x n j ∈ N, x j ≠ x j ′ se j ≠ j ′ . Para cada n 1, 2, . . . , existe
um menor índice j de entre todos os j ≥ n, tal que x j ∈ B 0 p, 1/n; designando-o por jn, a
aplicação de N em N, n → jn é estritamente crescente. A sucessão x jn é portanto uma
subsucessão de x n , e x jn → p n → , podendo escolher-se cada x jn ≠ p c.q.d.
(5) Por (2), tem-se I ′ ⊂ I. Seja p ∈ I, a inf I, b sup I; não pode ser p a, nem
p b, pois então dp, I 0 e p ∉ I (II.5.36 (4)). Uma vez que para cada 0, existe pelo
menos um ponto x ∈ p − , p ∩ I, é x p − ≥ a − e x p ≤ b − . Conclui-se
que para 0 suficientemente pequeno, cada ponto x ∈ p − , p ∩ I e portanto
que para cada 0, B 0 p, ∩ I\p ≠ .
(6) (i) iQ , pois para cada número racional q, existe pelo menos um número
irracional em cada intervalo q − , q , 0; também se p é um número real, para cada
0, tem-se p − , p ∩ Q\p ≠ , pois em p − , p existe uma infinidade de
números racionais, e uma infinidade de números irracionais. Donde Q ′ R. Se p ∈ R,
tem-se dp, Q 0, Q R.
(ii) Cada ponto m ∈ Z é um ponto isolado em R, d, porque
m − 1, m 1 ∩ Z m m ∈ Z. Z ′ , pois nenhuma sucessão de números inteiros,
todos diferentes, é convergente em R, d (utilize-se (1)). Z Z, uma vez que uma
sucessão de números inteiros é convergente em R, d se e só se é constante a partir de certa
ordem.
(iii) Cada ponto p ∈ 1/n : n ∈ N 2 é um ponto isolado: dado p 1/n 0 , n 0 ∈ N 2
tem-se p − , p ∩ N 2 p se min1/n 0 − 1 − 1/n 0 , 1/n 0 − 1/n 0 1.
1/n : n ∈ N 2 ′ 0, uma vez que 1/n → 0 (e portanto qualquer subsucessão de 1/n
tem limte 0, e por (4)); também 1/n : n ∈ N 2 0, 1/n : n ∈ N 2 .
(iv) Em R, d i , tem-se Q ′ , pois para cada ponto p ∈ R,
B 0 p, 1 ∩ Q\p p ∩ Q\p . Assim iQ . Q Q, pois cada conjunto é
fechado.
-97-
(v) Em R 2 , d e , os pontos isolados de A B 0 0, 0, 1 N 2 são os pontos em N 2 .
Pois para cada n, m ∈ N 2 , tem-se: se n, m 1, 1, então B 0 1, 1, 1 ∩ A 1, 1; e
para os outros pontos n, m, é também B 0 n, m, 1 ∩ A n, m. Além disso, os pontos
x, y ∈ B 0 0, 0, 1 não são pontos isolados, pois cada conjunto B 0 x, y, ∩ B 0 0, 0, 1
1−x 2 −y 2
contém o ponto x −
, y; assim iA N 2 , e tem-se B 0 0, 0, 1 ⊂ A ′ . Se
2
x 2 y 2 1 então para cada 0, x, y ∈ B 0 x, y, ∩ B 0 , 0, 0, 1\x, y desde
que 1 − 1, o que mostra que x, y ∈ A ′ . B 0 0, 0, 1 ⊂ B0, 0, 1, pois se
x 2n y 2n 1 e x n , y n → x, y, é x n → x, y n → y (II.2.12 (3)), e x 2 y 2 limx 2n y 2n ≤ 1.
Se x 2 y 2 ≤ 1, é x, y lim1 − 1n x, 1 − 1n y, e x, y ∈ B 0 0, 0, 1, pelo que
B 0 0, 0, 1 B0, 0, 1. Donde A ′ B0, 0, 1. Por II.5.40 (iii) é
A B0, 0, 1 N 2 B0, 0, 1 N 2 .
(7) Tem-se iA ⊂ A ⊂ A e A ′ ⊂ A, uma vez que se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A
(II.5.40 (i)); deste modo, iA A ′ ⊂ A. Se p ∈ A então para cada vizinhança V de p tem-se
V ∩ A ≠ , e dá-se portanto um e um só dos dois casos: 1º caso) para certa vizinhança V de
p, é V ∩ A p; 2º caso) qualquer que seja a vizinhança V de p, existe pelo menos um
ponto x ≠ p, x ∈ V ∩ A. No 1º caso, tem-se p ∈ iA; no 2º caso, tem-se V ∩ A\p ≠
para toda a vizinhança V de p, donde p ∈ A ′ . Assim A ⊂ iA A ′ e A iA A ′ , c.q.d.
(8) Tem-se iA ⊂ A, donde por (7) A ⊂ A A ′ . Também se p ∈ A então p ∈ A
(II.5.34 (2)), e tendo-se A ′ ⊂ A conclui-se A A ′ ⊂ A, A A A ′ .
(9) Como B 0 0, 0, 1 ⊂ A e B 0 0, 0, 1 é um aberto, tem-se B 0 0, 0, 1 ⊂ intA.
Os outros pontos p, q ∈ N 2 ⊂ A não são pontos interiores de A, pois nenhuma bola aberta
B 0 p, q, r ⊂ A. Assim intA B 0 0, 0, 1. Cada ponto x, y ∈ B0, 0, 1 é um ponto
de acumulação de A, uma vez que para cada 0, B 0 x, y, ∩ A\x, y ≠ . Os
pontos em N 2 não são pontos de acumulação de A, pois são pontos isolados de A. Para cada
ponto x 0 , y 0 ∈ B0, 0, 1 N 2 c existe r 0 tal que B 0 x 0 , y 0 , r ∩ A , e
x 0 , y 0 ∉ A ′ . Conclui-se que A ′ B0, 0, 1. Deste modo, intA A ′ B0, 0, 1 ≠ A,
pois por exemplo 2, 3 ∈ A, 2, 3 ∉ B0, 0, 1.
(10) (a) Sendo p ∈ A ′ , admitamos por hipótese de absurdo que existe uma vizinhança V
de p tal que o conjunto V ∩ A é finito. Se V ∩ A , então p não é um ponto de
acumulação de A; suponhamos pois V ∩ A c 1 , . . . , c m , m ∈ N. Teremos
V ∩ A\p c 1 , . . . , c n , n ∈ N, e então, com r mindc k , p : 1 ≤ k ≤ n 0, vem:
U B 0 p, r ∩ V é uma vizinhança de p, mas U ∩ A\p . Isto contradiz que p ∈ A ′ ,
ficando provado que toda a vizinhança de p contém uma infinidade de pontos de A.
(b) Conclui-se imediatamente de (a), pois se A é finito, nehum conjunto pode conter
uma infinidade de pontos de A.
II.6 TOPOLOGIA DE SUBESPAÇO MÉTRICO. SEPARABILIDADE
II.6.1 Conforme a II.5.1, a topologia T de um espaço métrico E, d (classe dos
subconjuntos abertos de E), é definida a partir da clsse V p das vizinhanças de cada ponto
p ∈ E (II.3.5 e II.3.1). Se A ≠ , A ⊂ E, o subespaço métrico A, d A de E, d é o conjunto
A munido da métrica induzida d A em A pela métrica d (II.2.14, rever também II.2.20).
-98II.6.2 Definição Se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, C ⊂ A,
(1) um ponto c ∈ C diz-se um ponto interior de C no subespaço métrico A, d A (ou
somente do subespaço métrico A), se existe um raio r 0 tal que a bola B 0,A c, r ⊂ C;
aqui, B 0,A c, r x ∈ A : dx, c r; o interior de C em A, d A é o conjunto dos pontos
interiores de C no subespaço métrico A;
(2) C diz-se um conjuto aberto no subespaço métrico A se todo o ponto c ∈ C é um
ponto interior de C no subespaço métrico A, i.e., se C coincide com o seu interior em
A, d A .
II.6.3 PROPRIEDADE Sejam E, d um espaço métrico, ≠ A ⊂ E. Se C ⊂ A, então
C é aberto no subespaço métrico A se e só se existe um subconjunto aberto W de E tal que
C W ∩ A.
Dem. Suponhamos primeiro que existe um aberto W de E tal que C W ∩ A. Se
c ∈ C, tem-se c ∈ W, e existe r 0 tal que B 0 c, r ⊂ W, pois W é aberto; então
B 0,A c, r B 0 c, r ∩ A ∩ W ∩ A ⊂ C, o que mostra que C é aberto em A. Reciprocamente,
se C é aberto em A, d A , então existe, para cada ponto c ∈ C, um raio c 0 tal que
B 0,A c, c ⊂ C. Conclui-se que
C B 0,A c, c : c ∈ C A ∩ B 0 c, c : c ∈ C
A ∩ B 0 c, c : c ∈ C, e portanto C W ∩ A, com W B 0 c, c : c ∈ C,
aberto em E c.q.d.
II.6.4 Teorema Se E, d é um espaço métrico e A é uma parte não vazia de E, então a
topologia T A do subespaço métrico A, d A é a classe dos subconjuntos C de A da forma
C W ∩ A, onde W percorre a topologia T E de E, i.e., T A W ∩ A : W ∈ T E .
Dem. Conclui-se imediatamente de II.6.3.
II.6.5 Observações (1) A topologia T A do subespaço métrico A é a topologia da
métrica d A em A. (2) Deduz-se facilmente do teorema anterior que a topologia T A do
subespaço métrico A verifica as mesmas propriedades de T E em II.5.4. Em particular, A é
sempre um subconjunto aberto de A, d A , como consequência de A E ∩ A. No entanto,
um subconjunto C de A pode ser aberto em A, e no entanto C não ser um aberto de E. (3)
Um subconjunto S do subespaço métrico A de E, d é fechado se e só se o seu
complementar A\S em A é aberto em A, d A . Em particular, A é sempre fechado em A, d A .
II.6.6 Exemplos
(1) Em R, d, d a métrica usual de R, considerando A 0, 1, tem-se B 0,A 0, 1 0
e B 0,A 1, 1 1. T A , 0, 1, 0, 1 é a topologia da métrica discreta, para a qual
todo o conjunto é aberto. No entanto, 0 não é um subconjunto aberto de R, d.
(2) Com E, d R, d como em (1), A 0, 1, o interior do conjunto 0. 1 em A, d A
é 0, 1: pois se 0 p 1, existe r 0 0 tal que B 0,A p, r B 0 p, r para cada 0 r r 0 ,
e p é um ponto interior de 0, 1 em R, d; e para p 0, tem-se B 0,A 0, 12 ⊂ 0, 1. Assim,
0, 1 é um subconjunto aberto do subespaço métrico 0, 1 de R, d.
-99II.6.7 Exercícios
(1) Mostre que se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E e A é um conjunto finito, a
topologia T A é a topologia da métrica discreta sobre A (Sug: II.5.3 (2)).
(2) Demonstre que um subconjunto S de um subespaço métrico A do espaço métrico
E, d é fechado em A, d A se e só se existe um subconjunto fechado F de E tal que
S F ∩ E. (Sug: Observação (3) em II.6.5 e Teorema II.6.4).
A
(3) O fecho G de um subconjunto G do subespaço métrico A, d A de E, d é o
conjunto dos pontos de A que são os limites em A, d A das sucessões de pontos de G,
A
A
convergentes no espaço métrico A, d A . Mostre que G G ∩ A e que G G se A é
fechado em E.
(4) Prove que se A é um subespaço métrico de E, d, a classe T A dos abertos do
subespaço métrico A tem as propriedades relativas da classe T E dos abertos de E. Conclua
as propriedades correspondentes em II.5.30, para a classe dos fechados.
(5) Prove que se A é um subespaço métrico de E, d, S ⊂ A e S é aberto (resp.
fechado) em E, então S é aberto (resp. fechado) no subespaço métrico A.
(6) Demonstre que se o conjunto não vazio A é aberto em E, d, S ⊂ A, é condição
necessária e suficiente para que S seja aberto em A que S seja aberto em E. Enuncie e
demonstre a propriedade correspondente para conjuntos fechados. (Sugestão para a
primeira parte: justifique as passagens seguintes
1. Condição necessária: (i) se S é aberto em A, tem-se S W ∩ A, com W um aberto de
E; (ii) então S é aberto em E.
2. A condição é suficiente).
II.6.8 Resoluções
(1) Designemos A a 1 , . . . , a n . Para cada k 1, . . . , n, existe o mínimo
minda j , a k : j 1, . . . , n, j ≠ k r k 0. Tem-se B 0,A a k , r k B 0 a k , r k ∩ A a k ,
e como B 0,A a k , r k é aberto em A, T A concluimos que cada singleton a k é aberto neste
subespaço topológico. Consequentemente, cada subconjunto de A sendo reunião dos
singleton constituídos pelos seus elementos, vem que (II.6.5 (1)) cada subconjunto de A é
aberto em A, T A e assim T A PA é a topologia da métrica discreta sobre A (II.5.3 (2)).
(2) S é fechado em A, d A se e só se A\S é aberto neste espaço métrico, i.e., se e só se
existe um aberto W em E, d tal que A\S W ∩ A, i.e., A ∩ S c A ∩ W. Esta igualdade
implica, por passagem ao complementar, que A c S A c ∩ S c c A ∩ W c A c W c .
Então S S ∩ A A c S ∩ A A c W c ∩ A W c ∩ A, W c fechado em E, d;
reciprocamente, se S verifica S F ∩ A com F fechado em E, d, então
A\S A ∩ S c A ∩ F ∩ A c A ∩ F c A A ∩ F c , F c aberto em E, d, e A\S é aberto
em A, d A pelo que S é fechado neste subespaço métrico.
A
(3) Tem-se p ∈ G se e só se existe pelo menos uma sucessão a n em G tal que a n
converge para p em A, d A , o que equivale a dizer que a n ∈ G n ∈ N, p ∈ A e
A
d A a n , p → 0; assim p ∈ G se e só se p ∈ A e da n , p d A a n , p → 0 para certa
A
sucessão a n em G, ou seja, se e só se p ∈ A e p ∈ G. É portanto G G ∩ A; se A é
fechado em E, G ⊂ A, e p é limite de uma sucessão de pontos de G, esta sucessão está em
A, pelo que o seu limite p é um ponto de A. Portanto, neste caso, p ∈ G implica
A
A
A
p ∈ G ∩ A G e G G, uma vez que é sempre G ⊂ G.
-100(4) Pelo teorema II.6.4, T A W ∩ A : W ∈ T E . Tem-se portanto:
A 1 A E ∩ A ∈ T A , ∩ A ∈ T A ;
A 2 Se A 1 W 1 ∩ A, . . . , A n W n ∩ A ∈ T A , W 1 , . . . , W n ∈ T, então
W W 1 ∩. . . ∩W n ∈ T e A 1 ∩. . . ∩A n W ∈ A ∈ T A ;
A 3 Se A W ∩ A ∈ T A ∈ A, W ∈ T, então W : ∈ A ∈ T donde
A : ∈ A W ∩ A : ∈ A W : ∈ A ∩ A ∈ T A .
Para os conjuntos fechados em A, d A tem-se, usando II.6.5 (3):
F 1 A A\ é fechado, A\A é fechado;
F 2 Se S 1 F 1 ∩ A, . . . , S n F n ∩ A são fechados em A, d A (F 1 , . . . , F n fechados em
E), então F 1 . . . F n é fechado em E, e
S 1 . . . S n F 1 ∩ A . . . F n ∩ A F 1 . . . F n ∩ A é fechado em A;
F 3 Sendo S F ∩ A : ∈ A é uma classe de fechados em A (cada F fechado
em E), conclui-se que S : ∈ A F : ∈ A ∩ A é fechado em A, d A ,
pois F : ∈ A é fechado em E, d.
(5) Atendendendo a II.6.4 e II.6.5, se S ⊂ A e S é aberto (resp. fechado) em E, d,
então S S ∩ A mostra que S é aberto (fechado) em A, d A .
(6) Dem. 1. (i) Pela PROPRIEDADE II.6.3; (ii) pois por hipótese A é aberto em E, d,
e a intersecção finita de abertos é um aberto.
2. Se S é aberto em E, d, a igualdade S S ∩ A mostra, usando II.6.3, que S
é aberto em A, d A .
Para conjuntos fechados, tem-se: se A é fechado em E, S ⊂ A, então S é fechado em A
se e só se S é fechado em E.
Dem. A condição é necessária: se S é fechado em A, então aplicando II.6.5, existe
um fechado F em E, d tal que S F ∩ A. Como a intersecção de dois fechados é um
fechado, vem que S é fechado em E, d. A condição é suficiente, pois se S é fechado em
E, d, a igualdade S S ∩ A mostra, aplicando II.6.5, que S é fechado em A, d A .
II.6.9 Definição O espaço métrico E, d diz-se separável se existe um subconjunto
contável S de E tal que o fecho de S em E, d coincide com E.
II.6.10 Observações (1) Se um subconjunto S do espaço métrico E, d verifica a
condição S E, diz-se que S é denso em E, d (ou que é uma parte densa de E, d). Assim
E, d é um espaço métrico separável se e só se existe uma parte contável S de E, densa em
E. (2) Sendo A ⊂ E, d, A é denso em E, d se e só se verifica a condição de para todo o
ponto p ∈ E, e qualquer que seja 0, existir pelo menos um ponto a ∈ B 0 p, ∩ A.
-101II.6.11 Exemplos (1) R, d, d a métrica usual, é um espaço métrico separável, pois
pode tomar-se S Q (ver a Resolução do Exercicio II.5.53 (6) (i)). (2) Se E é um conjunto
de cardinal maior que o numerável, então E, d i , onde d i é a métrica discreta, não é um
espaço métrico separável; pois cada parte de E é um conjunto fechado e não existe
nenhuma parte própria de E densa em E. O espaço métrico E, d i é separável se e só se E é
um conjunto contável.
II.6.12 Observação Se ≠ A ⊂ E, E, d um espaço métrico, uma parte S de A pode
A
ser densa no subespaço métrico A, d A (i.e., S S ∩ A A, na notação de II.6.7 (3)), e no
entanto não ser densa em E, d, i.e., S ≠ E. Em particular, um subespaço métrico A, d A de
E, d pode ser separável, sem que E, d seja um espaço métrico separável.
II.6.13 Exercícios
(1) Prove que sendo A ⊂ E, d, A é denso em E, d se e só se cada ponto de E é
limite em E, d de uma sucessão de pontos de A.
(2) Mostre que se d 1 , d 2 são métricas sobre um conjunto E, d 2 d 1 , e se A é denso em
E, d 2 , então A é denso em E, d 1 . Conclua que se E, d 2 é separável, então E, d 1 é
separável. (Sug: II.5.36 (1)).
(3) Mostre que os seguintes espaços métricos são separáveis:
(i) 0, , d o, , onde d 0, é a métrica induzida pela métrica usual d de R em 0, ;
(ii) R 2 , d e , d e a métrica euclideana.
(Sug: Para (i), S Q ∩ 0, ; para (ii), S Q 2 ).
(4) Pode concluir de (3) (ii), usando (2), que R 2 , d M , R 2 , d s (II.2.18) são
separáveis? Justifique. (Sug: II.4.2 (2) e (2) acima).
(5) Prove que todo o subespaço métrico de um espaço métrico separável é separável..
(Note a Observação II.6.12).
(6) Dê exemplo de um espaço métrico não separável, que tenha um subespaço métrico
separável.
-102(7) Mostre que se o espaço métrico E, d é separável, então o cardinal de E não é
maior que o cardinal do contínuo. (Sug: I.6.39 e I.6.15).
II.6.14 Resoluções
(1) Com efeito, tem-se E S sse E ⊂ S, i.e., se e só se cada ponto p ∈ E é um ponto
aderente de S.
2
1
(2) Se d 2 d 1 , então o fecho S de S em E, d 2 está contido no fecho S de S em
2
1
1
E, d 1 . Assim E ⊂ S implica E ⊂ S e E S . Consequentemente, se existe S ⊂ E, S
2
1
contável, tal que S E, então também S E.
(3) (i) O conjunto Q ∩ 0, é contável (é um subconjunto de um conjunto contável) e
Q ∩ 0, 0, no espaço métrico 0, , d, pois se p 0, 0, existe pelo menos
um número racional na bola aberta p − , p ∩ 0, .
(ii) Em R 2 , d e tem-se Q 2 R 2 . Com efeito, dado x, y ∈ R 2 , 0, existem
números racionais p, q tais que ∣ x − p ∣ ∣ y − q ∣ , vindo x − p 2 y − q 2 e
p, q ∈ B 0 x, y, ∩ Q 2 .
(4) Utilizando II.4.2 (2), tem-se d e d M , d e d s , e pelo exercício (2) R 2 , d M e
2
R , d s são separáveis.
(5) Se A ⊂ E e S é um subconjunto contável de E tal que a aderência S de S em E, d
é todo o E, então A A ∩ S. Portanto, dado a ∈ A, 0, existe pelo menos um ponto
s ∈ B 0 a, ∩ S, ou, o que é o mesmo, B 0 s, ∩ A ≠ . Conclui-se que
A ⊂ B 0 s, /2 : s ∈ S para cada 0, e os conjuntos B 0 s, /2 não são todos vazios,
quando s percorre S. Sendo S um conjunto contável, podemos designar S s i : i ∈ I
onde I ⊂ N; tem-se pois A ⊂ B 0 s k , /2 : k ∈ I , onde ≠ I ⊂ I e
B 0 s k , /2 ∩ A ≠ , para cada 0. Designando a k um ponto em B 0 s k , /2 ∩ A para cada
k, conclui-se que para cada 0, cada ponto a ∈ A verifica
da, a k ≤ da, s k ds k , a k para certo k, i.e., a B 0 a, pertence pelo menos um
ponto a k . O conjunto dos ponto a k é indiciado em k ∈ I ⊂ I para cada 0. Assim
quando percorre os reais positivos, obtem-se pelo processo indicado um conjunto
contável S A de pontos a k , S A ⊂ A. Tem-se: para cada 0, e dado um ponto a ∈ A, existe
pelo menos um ponto a k ∈ B 0 a, ∩ S A , de modo que S A é um subconjunto contável
denso de A em A, d A (d A a métrica induzida em A), e o subespaço métrico A é separável,
c.q.d.
(6) O espaço métrico R, d i , d i a métrica discreta, e o subespaço métrico N de R, d i
satisfazem as condições pedidas.
(7) Se E, d é um espaço métrico separável, S é um subconjunto contável denso de E,
podemos considerar a aplicação
f : W s n ∈ S N : s n é convergente → E definida por fs n lim s n , e esta
aplicação é sobrejectiva. Portanto #E ≤ #W ≤ #S N , e este último cardinal é o cardinal
do contínuo.
II.6.15 Exercício
Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A é denso em E se e só se
Ac ⊂ A′.
-103II.6.16 Resolução
Suponhamos A E, e seja p ∈ A c . Se 0, tem-se B 0 p, ∩ A ≠ , e como p ∉ A
existe um ponto a ≠ p, a ∈ B 0 p, ∩ A. Portanto B 0 p, ∩ A\p ≠ , concluindo-se
p ∈ A ′ e A c ⊂ A ′ . Reciprocamente, se A c ⊂ A ′ , considere-se x ∈ E. Dois casos se podem
dar:
1º caso) x ∈ A; 2º caso) x ∈ A c . No 1º caso, x lim x é o limite de uma sucessão em A,
e assim x ∈ A; no 2º caso, é x ∈ A ′ por hipótese, donde x ∈ A e conclui-se assim que A c
⊂ A ′ implica A E, como se queria.
II.7 CONDIÇÕES DE CARDINALIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS
II.7.1 Observação Se E, d é um espaço métrico e p é um ponto de E, cada vizinhança
V de p contém, por definição, uma bola aberta B 0 p, para certo 0. Por outro lado,
existe sempre, dado 0, certo número natural n tal que 1n , e verifica-se portanto
B 0 p, 1n ⊂ V. A classe B 0 p, 1n : n ∈ N é contável (atenda-se à sobrejecção
n B 0 p, 1n ), e assim em cada ponto p, existe uma classe contável B 0 p, 1n : n ∈ N de
vizinhanças de p tal que, qualquer que seja a vizinhança V de p, V contém pelo menos uma
vizinhança na classe B 0 p, 1n : n ∈ N. Uma colecção B p de vizinhanças de p
satisfazendo a condição de para cada vizinhança V do ponto, existir pelo menos certa
U ∈ B p tal que U ⊂ V, diz-se que é uma base de vizinhanças de p. Qualquer espaço
métrico tem a propriedade
C 1 ≡ Em cada ponto p, existe uma base contável de vizinhanças de p.
II.7.2 Observações (1) Sendo E, d um espaço métrico, A um subconjunto aberto não
vazio de E, existe, para cada a ∈ A, certo raio a 0 tal que B 0 a, a ⊂ A. Conclui-se que
A B 0 a, a : B 0 a, a ⊂ A onde cada B 0 a, a é um conjunto aberto, e, incluindo
a convenção B : B ∈ , cada aberto em E, d é reunião de uma classe
(possivelmente vazia) de bolas abertas.
II.7.3 Definição (1) Diz-se que uma classe B de subconjuntos abertos do espaço
métrico E, d é uma base da topologia da métrica se cada aberto de E, d é reunião de
conjuntos tomados em B. (2) Diz-se que o espaço métrico E, d satisfaz o
2º Axioma da cardinalidade C 2 se existe uma base contável da topologia da métrica.
Diz-se então também que E, d é um espaço C 2 .
-104II.7.4 Exemplos (1) R, d, d a métrica usual, é um espaço C 2 , pois a classe B dos
intervalos abertos a, b de extremos racionais a, b é uma base contável da topologia da
métrica. (Se p é um número irracional, existe uma sucessão decrescente a n em Q tal que
a n p para cada n e a n → p, donde, com p q, é p, q a n , q : n ∈ N; se q é
também um número irracional, obtem-se p, q a n , b n : n ∈ N, onde a 1 b 1 e
b n é uma sucessão crescente de números racionais tal que b n → q. Como cada aberto de
R, d é uma reunião de intervalos abertos a, b, todo o conjunto aberto é uma reunião de
conjuntos na classe B). (2) R, d i , d i a métrica discreta, não é um espaço C 2 , pois uma
base da topologia da métrica contém necessariamente todos os singleton p, p ∈ R.
II.7.5 Exercícios
(1) Mostre que se E é um conjunto não vazio, o espaço métrico E, d i , d i a métrica
discreta sobre E, é um espaço C 2 se e só se E é um conjunto contável.
(2) Prove que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes sobre E, e se E, d 1 é um espaço
C 2 , então E, d 2 é um espaço C 2 .
(3) a) Mostre que o espaço métrico R 2 , d M , d M a métrica do máximo em R 2 , é um
espaço C 2 . (Sug: cada aberto é uma reunião de rectângulos abertos a, b c, d).
b) Utilizando (2), conclua da a) que R 2 , d e e R 2 , d s (II.2.18) são espaços C 2 .
c) Generalize a) e b) para R N , d M , R N , d e e R N , d s (II.2.18).
II.7.6 Resoluções
(1) Com efeito, se E é contável, então B p : p ∈ E é uma base contável da
topologia da métrica. E se E não é contável, então uma vez que cada base da topologia da
métrica tem de conter p : p ∈ E (pois cada singleton p é um aberto), esta classe não
é contável.
(2) Seja B uma base da topologia da métrica de E, d 1 . Se A é um conjunto aberto em
E, d 2 então A é aberto em E, d 1 , donde A U : U ∈ B A onde B A ⊂ B. Uma vez
que cada conjunto U na classe B A é aberto em E, d 1 , U é aberto em E, d 2 e, de modo
mais geral, todo o conjuto U tomado em B é aberto em E, d 2 . Assim B A é uma base da
topologia da métrica em E, d 2 , donde o resultado.
-105(3) a) Dado um rectângulo aberto a, b c, d ⊂ R 2 , cada ponto
x 0 , y 0 ∈ a, b c, d verifica
x 0 , y 0 ∈ B 0 x 0 , y 0 , x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ⊂ a, b c, d, onde se pode
escolher 0 tal que a x 0 − , x 0 b, c y 0 − , y 0 d e
x 0 − , x 0 , y 0 − , y 0 ∈ Q. Portanto a, b c, d é reunião de abertos na classe
B p 1 , q 1 p 2 , q 2 : p i q i , p i , q i ∈ Q i 1, 2, e mais geralmente cada aberto em
R 2 , d M é reunião de conjuntos na classe B; como esta classe é contável (o seu cardinal
não excede o cardinal de Q 2 # 20 # 0 , rever I.6.24, I6.28. I.6.29, I.6.16). Assim R 2 , d M
é um espaço C 2 .
b) Como as métricas d M , d e e d s são equivalentes sobre R 2 , os espaços métricos
2
R , d e e R 2 , d s são espaços C 2 , como consequência da a).
c) Analogamente ao caso de R 2 , d M , a classe de abertos
B p 1 , q 1 . . . p N , q N : p i q i , p i , q i ∈ Q, i 1, . . . , N é uma base contável da
topologia da métrica, e R N , d M é um espaço C 2 . Como as métricas d e e d s são ambas
equivalentes à métrica d M , também R N , d e e R N , d s são espaços C 2 .
II.7.7 Teorema Um espaço métrico E, d é separável se e só se é um espaço C 2 .
Dem. Se E, d é um espaço C 2 , podemos considerar, dada uma base de abertos
B B n : n ∈ I onde I ⊂ N, um ponto p n ∈ B n para cada n (Axioma de Zermelo).
Obtemos assim um conjunto contável A p n : n ∈ I, e tem-se A E. Para provar esta
igualdade, podemos utilizar II.6.16, e mostrar que A c ⊂ A ′ . Seja p ∈ A c , e seja 0.
Então B 0 p, é um conjunto aberto, e B 0 p, ⊃ B n para certo n ∈ I; donde
p n ∈ B n ⊂ B 0 p, , p n ≠ p e portanto p n ∈ B 0 p, ∩ A\p que é assim um conjunto
não vazio para cada 0, concluindo-se que p ∈ A ′ . Para a recíproca, utilizaremos o
Lema Sejam w, a pontos no espaço métrico E, d, 0. Se dw, a /3 e
/3 2/3 então w ∈ B 0 a, ⊂ B 0 w, .
Suponhamos então que existe um subconjunto contável denso A a n : n ∈ I de E,
e mostremos que E, d é um espaço C 2 .
-106Tem-se: a classe de abertos B B 0 a n , : n ∈ I, 0, Q é contável,
atendendendo a que a função : B → Q 2 , B 0 a n , n, é injectiva (ver II.7.6 (3)
a) acima). Provemos que B é uma base para a topologia da métrica. Basta mostrar que para
cada aberto W e cada w ∈ W, existe uma bola B 0 a n , ∈ B tal que w ∈ B 0 a n , ⊂ W.
Como W é aberto, existe 0 tal que B 0 w, ⊂ W; sendo A denso em E, é
B 0 w, /3 ∩ A ≠ , e assim existe a n ∈ B 0 w, /3 ∩ A. Existe então um número racional
0 tal que /3 2/3, e, pelo Lema, w ∈ B 0 a n , ⊂ B 0 w, ⊂ W, donde
w ∈ B 0 a n , ⊂ W. E é portanto um espaço C 2 c.q.d.
II.7.8 Observação Conclui-se de (5) em II.6.13 e do teorema anterior que todo o
subespaço métrico de um espaço métrico C 2 é também um espaço C 2 .
II.7.9 Exercícios
(1) Prove o Lema utilizado na demonstração do Teorema II.7.7
(2) Prove que se d 2 , d 1 são métricas sobre E, d 2 d 1 , e se E, d 2 é um espaço C 2 ,
então E, d 1 é um espaço C 2 .
(3) a) Mostre que df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 é uma métrica sobre o
conjunto C0, 1 das funções reais contínuas de domínio 0, 1.
b) Prove que d d 1 , onde d 1 é a métrica sobre C0, 1 definida por
1
d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx (II.4.4 (5) a)).
0
c) Sabendo que toda a função contínua f sobre 0, 1 é limte em C0, 1, d de uma
sucessão P n onde cada P n é a restrição a 0, 1 de um polinómio em x, prove que os
espaços métricos C0, 1, d e C0, 1, d 1 são espaços C 2 . (Sug: se n ∈ N 0 e
a 0 a 1 x . . . a n x n 0, ∀x ∈ 0, 1, onde a k ∈ R 0 ≤ k ≤ n então
a 0 a 1 . . . a n 0).
(4) Dê exemplo de um espaço métrico que não seja um espaço C 2 .
-107II.7.10 Resoluções
(1) Uma vez que dw, a /3 , tem-se w ∈ B 0 a, , e precisamos apenas de
provar que B 0 a, ⊂ B 0 w, . Tem-se para x ∈ B 0 a, :
dw, x ≤ dw, a da, x /3 /3 2/3 ; portanto x ∈ B 0 w, e conclui-se a
inclusão B 0 a, ⊂ B 0 w, c.q.d.
(2) Utilizando II.6.13 (2), se d 2 d 1 e E, d 2 é separável, então E, d 1 é separável;
portanto, se E, d 2 é um espaço C 2 , é um espaço separável (Teorema II.7.7), donde
E, d 1 é separável e, de novo pelo Teorema II.7.7, E, d 1 é um espaço C 2 .
(3) a) (D1) df, g ≥ 0, pois é o supremo de um conjunto majorado de números não
negativos; também df, f sup0 0;
(D2) df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1
sup∣ gx − fx ∣: x ∈ 0, 1 dg, f;
(D3) df, h sup∣ fx − hx ∣: x ∈ 0, 1
sup∣ fx − gx gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 ≤
sup∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 ≤
sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 sup∣ gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 df, g dg, h;
(D4) df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 0 implica fx − gx 0
x ∈ 0, 1, i.e, f g.
b) Com efeito,
1
d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx ≤ sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 df, g, e conclui-se
0
d d 1 de II.4.3 (4).
c) Dados a 0 , . . . , a n ∈ R, n ∈ N, existem sucessões a k,j de números racionais tais que
a k,j → a k j → em R para a distância usual. Uma vez que a função
∣ a 0 x 0 . . . a n x n − a 0,j x 0 . . . a n,j x n ∣ atinge um máximo
∣ a 0 . . . a n u n − a 0,j . . . a n,j u n ∣ , onde u ∈ 0, 1, tem-se: para cada k 0, . . . , n,
a k,j u k → a k u k j → em R, i.e., dado 0, existe, para cada k 0, . . . , n, uma ordem
j, k ∈ N tal que ∣ a k u k − a k,j u k ∣ /n 1 sempre que j ≥ j, k. Então com
j maxj, k : 0 ≤ k ≤ n tem-se se x ∈ 0, 1:
∣ a 0 . . . a n x n − a 0,j . . . a n,j x n ∣≤
n
∣ a 0 . . . a n u n − a 0,j . . . a n,j u n ∣≤ ∑ k0 ∣ a k u k − a k,j u k ∣ para cada j ≥ j;
significa isto que a sucessão de polinómios (em x ∈ 0, 1 ) a 0,j . . . a n,j x n converge para
o polinómio na mesma variável a 0 . . . a n x n no espaço métrico C0, 1, d. Portanto, pelo
resultado do enunciado, tem-se: se f ∈ C0, 1, 0, existe um polinómio P tal que
df, P /2, e existe um polinómio Q de coeficientes racionais tal que dP, Q /2;
concluindo-se que para cada tal função f, e cada 0, existe um polinómio Q da variável
em 0, 1 tal que df, Q , usando a desigualdade triangular (D3). Assim, o conjunto Q
dos polinómios de coeficientes racionais ( e da variável x ∈ 0, 1) é um subconjunto denso
de C0, 1, d. Também, pelo enunciado, a aplicação : Q → Q n1 : n ∈ N 0 definida
por b 0 . . . b n x n b 0 , . . . , b n é injectiva. O cardinal de cada conjunto Q n1 n ∈ N 0
é # 0 (utilizar I.6.28 e aplicar indução finita á Observação (2) em I.6.29); potanto, utilizando
de seguida o Teorema I.6.19, conclui-se que Q é um conjunto contável, e C0, 1, d é um
espaço métrico separável. Então é um espaço C 2 , pelo Teorema II.7.7, a b) e (2) acima,
conclui-se que C0, 1, d e C0, 1, d 1 são espaços C 2 .
(4) Utilizando II.7.5 (1), o espaço métrico 0, , d i , d i a métrica discreta, não é um
espaço C 2 (pois se 0, fosse um conjunto contável, também pelo Teorema I.6.19 R
seria um conjunto contável, contra I.6.12 (5), e os teoremas I.6.31 e I.6.35).
-108II.7.11 Definição Seja E, d um espaço métrico. Diz-se que uma classe C de
subconjuntos abertos de E é uma cobertura aberta de E se E ⊂ C : C ∈ C. E diz-se
que a cobertura aberta C é redutível a uma subcobertura contável se existe uma parte
contável C 0 de C tal que E ⊂ C : C ∈ C 0 . C 0 é então uma subcobertura contável de E
da cobertura C.
II.7.12 Teorema Se E, d é um espaço métrico, são equivalentes as condições:
(i) E é separável;
(ii) E é um espaço C 2 ;
(iii) toda a cobertura aberta de E é redutível a uma subcobertura contável.
Dem. Pelo Teorema II.7.7, o teorema ficará provado se provarmos que (ii) implica (iii)
e (iii) implica (i). Admitindo (ii), consideremos uma base contável B U i : i ∈ I (
I ⊂ N) da topologia da métrica. Seja C C j : j ∈ J uma cobertura aberta de E. Para
cada índice j no conjunto não vazio J, C j é uma reunião de conjuntos tomados em B;
podemos portanto considerar a parte não vazia B de B constituída pelos conjuntos U i que
estão contidos em pelo menos um C j . Para cada U i ∈ B, fixemos um único C ji ∈ C com
U i ⊂ C ji , e consideremos a classe C C ji : ∃U i ∈ B, U i ⊂ C ji . Então cada conjunto
C ji ∈ C é reunião de conjuntos na classe B (pois é reunião de conjunto na classe B), e se
p ∈ E tem-se: p ∈ C j para certo j ∈ J; sendo C j uma reunião de conjuntos U i i ∈ I, onde
I ⊂ I tomados na classe B, é p ∈ U i , para certo i ∈ I.
Como U i ⊂ C j , verifica-se U i ∈ B, e assim p ∈ U i ⊂ C ji ∈ C. Também sendo
sobrejectiva a
função i ji da parte de I que indicia a classe B, contida em B, no conjunto dos
índices ji que indiciam a classe C, conclui-se que C é um conjunto contável (I.6.17 (2)), e
assim é uma subcobertura contável de E da cobertura C. Fica provao (iii). Supondo agora
(iii), consideremos n ∈ N, e a cobertura aberta C B 0 a, 1/n : a ∈ E de E. Por
hipótese, existe uma subcobertura contável C 0 B 0 a n , 1/n de C. Com
A a n : n ∈ N, A E e A é contável provando (i), c.q.d.
II.7.13 Exercício Justifique que o conjunto A obtido no contexto da demonstração é
uma parte contável densa de E.
II.7.14 Resolução Com efeito, para cada n ∈ N, o conjunto dos centros a n na classe
contável das bolas abertas B 0 a, 1/n cuja reunião é E, e que existe pela hipótese (iii), é um
conjunto contável. Assim, sendo A a reunião contável de cada um destes conjuntos, A é um
conjunto contável, pelo Teorema I.6.19. Além disso, todo o ponto x ∈ E verifica que existe,
para cada número natural n, pelo menos um a n tal que x ∈ B 0 a n , 1/n ou seja: dado
arbitrário 0, com 1/n obtem-se a n ∈ B 0 x, e B 0 x, ∩ A ≠ , E ⊂ A.
-109II.7.15 Definição Um ponto p num espaço métrico E, d diz-se um ponto de
condensação de E se cada vizinhança de p contém um conjunto de pontos de E de cardinal
maior que o numerável.
II.7.16 Exemplo Em R munido da métrica usual, todo o ponto p é um ponto de
condensação de R.
II.7.17 Se F é um subespaço do espaço métrico E, d e p é um ponto de condensação
de F, então p é também um ponto de condensação de E. Mas por exemplo 1 é um ponto de
condensação de R, d, 1 ∈ Q e 1 não é um ponto de condensação do subespaço métrico Q
de R.
II.7.18 Teorema Se o espaço métrico E, d é separável e tem cardinal maior que o
numerável, então todos os pontos de E, à excepção possivelmente de um conjunto contável
de pontos, são pontos de condensação de E.
II.7.19 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do
teorema anterior:
(1) Provando primeiro que existe pelo menos um ponto de condensação de E,
suponhamos que não. Então cada ponto p ∈ E tem uma vizinhança contável U p ,
concluindo-se o absurdo de E ser um conjunto contável.
(2) Designe M o conjunto dos pontos de condensação de E. Então F E\M é um
conjunto contável, pois assumindo o contrário, tem-se:
(i) o subespaço métrico F tem pelo menos um ponto de condensação x;
(ii) então x é um ponto de condensação de E;
(iii) conclui-se efectivamente que F é contável, provando o teorema.
-110II.7.20 Resolução
(1) Pois conclui-se de E U p : p ∈ E, utilizando o Teorema II.7.12, que existe
uma subcobertura contável U n : n ∈ I (I ⊂ N) de E da cobertura U p : p ∈ E. Então
pelo Teorema I.6.19 E conclui-se o absurdo de E ser um conjunto contável.
(2) (i) Pois F é separável como subespaço métrico do espaço métrico separável E
(II.6.13 (5)), e usando o passo (1);
(ii) pois cada vizinhança U de x no subespaço métrico E, contendo um aberto W de
E a que pertence x, contém uma vizinhança W ∩ F de x em F; contendo o conjunto W ∩ F,
de cardinal maior que o numerável, também o cardinal de U é maior que o numerável;
(iii) pois conclui-se de (ii) o absurdo x ∈ M, contra x ∉ M por (i), e fica provado
que o conjunto F dos ponto de E que não são pontos de condensação de E tem cardinal que
não excede o contável.
-111II.8 LIMITE DE UMA FUNÇÃO ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS
NUM PONTO E CONTINUIDADE
Recordar da Análise Real (ver por exemplo [Guerreiro]) que dados uma função
f : X ⊂ R → R e um ponto a ∈ X, dizemos que o limite de fx quando x tende para a é
certo b ∈ R se para cada número positivo , existe pelo menos um número positivo tal
que a relação x ∈ X e ∣ x − a ∣ implica ∣ fx − b ∣ . O conceito de limite num
ponto para uma função definida num subconjunto de um espaço métrico e tomando valores
noutro espaço métrico, generaliza-se directamente da forma seguinte:
II.8.1 Definição Sejam E, d E , F, d F espaços métricos, f : X ⊂ E → F uma função
e a ∈ X.
(1) O ponto b ∈ F é um limite de fx quando x tende para a, e notando-se lim fx b
x→a
se para cada 0 existe certo 0 de tal modo que para todo o x ∈ X, a implicação
d E x, a d F fx, b é verdadeira. Diz-se então também que b é um limite de f
em a.
(2) Se,
em (1), a ∈ X diz-se também que a função f é contínua em a ou no ponto a.
(3) Com a ∈ A ⊂ X, o ponto b é um limite de fx quando x
tende para a por valores em A se a implicação x ∈ A e d E x, a d F fx, b é
verdadeira. Designa-se então lim fx b.
x → a, x ∈ A
II.8.2 Observações (1) Verifica-se lim fx b (a ∈ domf) se e só se, em linguagem
lógica
x→a
lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, x ∈ domf e d E x, a d F fx, b
x→a
ou, equivalentemente
lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, .
(2) Pela propriedade de separação de Hausdorff num espaço
métrico, conclui-se que se b lim fx e b ′ lim fx então necessariamete b b ′ .
x→a
x→a
Por outras palavras, se existe o limite de fx quando x tende para a, então o limite é
único. Analogamente se conclui que no caso a ∈ A, se existe o limite de fx quando x
tende para a por valores em A então o limite é fa.
(3) Sendo f : X ⊂ E, d E → F, d F , a um ponto não isolado de
X, se existe o limite lim fx
chama-se-lhe o limite de fx quado x tende para a por
valores
x → a, x ∈ X\a
diferentes de a. Em Análise Real, certos autores definem lim fx b se b é o limite de fx
x→a
quando x tende para a por valores diferentes de a; então, se a ∈ X, a função f é contínua
em a sse o limite de fx quando x tende para a existe e coincide com o valor de f no ponto
a.
-112De acordo com II.8.1, consideramos a função f contínua num ponto a do domínio se
existe o limite de f em a.
II.8.3 Exercícios (1) Traduza em linguagem lógica a definição do limite de fx
quando x tende para a por valores em A, no contexto de (3), Definição II.8.1.
(2) Verifique II.8.2 (2).
II.8.4 Resoluçoes (1) Com a ∈ A ⊂ X e f : X ⊂ E, d E → F, d F ,
lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, x ∈ A e d E x, a d F fx, b .
Equivalentemente,
x → a, x ∈ A
lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, fA ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, .
x → a, x ∈ A
(2) Provemos por redução ao absurdo que a existência de
b, b ′ ∈ F, b ≠ b ′ tais que
lim fx b e lim fx b ′ leva a uma contradição.
x→a
x→a
Sendo d d F b, b ′ 0, existirá 0 tal que x ∈ domf e
d E x, a implica d F fx, b d/2 e d F fx, b ′ d/2 (como poderá obter um tal ?);
existindo pelo menos um certo x verificando o antecedente desta implicação (porquê?)
conclui-se utilizando a desigualdade triangular de d F que d F b, b ′ d/2 d/2 d contra o
que tínhamos assumido. Fica provado que o limite num ponto se existe é único. Se
a ∈ domf e lim fx b
x→a
então para cada 0, existindo 0 tal que fa ∈ fdomf ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b,
conclui-se que fa ∈ ∩B 0 b, : 0 b, fa b.
II.8.5 Exemplos (1) Para a função f : domf R → R, fx 1 x ≠ 1n , n ∈ N e
f 1n n ∈ N tem-se, com A 1n : n ∈ N, e considerando a métrica usual em R
lim fx 0 e lim fx 1. Consequentemente (ver II.8.6 seguinte) não existe lim fx.
x → 0, x ∈ A x → 0, x ∈ R\A
x→0
1
(2) A função f : 0, ⊂ R, d→R,d fx x (d a métrica
usual) é contínua em cada ponto do domínio. Se d i é a métrica discreta, e considerarmos
f : R, d → R, d i , não existe o limite lim fx em nenhum ponto a 0, pois existe uma
bola aberta reduzida ao centro 1a em R, d i .
1
n
II.8.6 Observação Dada uma função f : X ⊂ E, d E → F, d F , e sendo a ∈ A ⊂ X
para certo conjunto A, conclui-se das definições que se não existe o limite de fx quando x
tende para a por valores em A, então também não existe lim fx.
x→a
Também se A, B ⊂ X e a ∈ A ∩ B, f : X ⊂ E, d E → F, d F e existem o limite de fx
quando x tende para a por valores em A e o limite de fx quando x tende para a por valores
em B, mas são diferentes, então não existe o limite de f em a. Pois designando estes limites
diferentes por b, b ′ respectivamente, escolha-se 0 tal que B 0 b, ∩ B 0 b ′ , ; não
existe 0 tal que fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, , pois para pelo menos certo ′ 0, ′
e certo x ∈ B ∩ B 0 a, ′ ⊂ X ∩ B 0 a, verifica-se fx ∈ B 0 b ′ , .
-113II.8.7 Exercícios (1) Verifique os exemplos (1), (2) em II.8.5. (2) Mostre que toda a
função entre espaços métricos é contínua em cada ponto isolado do domínio.
II.8.8 Resoluções (1) Dado 0, tem-se com que ∣ 1n ∣ ∣ f 1n ∣
i.e, x ∈ A e ∣ x − 0 ∣ ∣ fx − 0 ∣ . Se x ∈ R\A então ∣ x − 0 ∣
∣ fx − 1 ∣ 0 verifica-se para qualquer escolha de 0 e para cada número positivo
dado. Atendendo a II.8.6, não existe o limite de f em 0. Para a função fx 1x em (2)
tem-se: dado 0, fazendo mina 2 /2, a/2 0 então x 0 e
∣ x − a ∣ ∣ 1x − 1a ∣∣ x − a ∣ /xa a 2 /22/a 2 , pois a − x ≤∣ x − a ∣ a2
implica x ≥ a2 e xa ≥ a 2 /2 em cada ponto a 0.
(2) Se a é um ponto isolado de X, com f : X ⊂ E, d E → F, d F ,
então existe 0 tal que X ∩ B 0 a, a. Donde
fX ∩ B 0 a, fa ⊂ B 0 fa, qualquer que seja 0 a priori dado.
II.8.9 Observações (1) No Cálculo em R N considera-.se habitualmente a métrica
1
N
euclideana d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 (II.2.18) em R N . O
conceito de limite direccional de uma função f : domf ⊂ R N → R (considera-se a métrica
usual em R) num ponto de acumulação a do domínio, segundo uma recta a tv
(v ∈ R N \0, . . . , 0, t ∈ R, ver por exemplo [Agudo]) é, pela definição, o limite de f em a
por valores no conjunto A v a tv : − t , que se determina calculando
lim t→0 fa tv. De acordo com II.8.6, se existem vectores v, w ≠ 0 tais que os limites de
fx no ponto a, por valores em A v e em A w são diferentes, ou se um desses limites não
existe, então não existe o limite da função f em a; no entanto, a existência e igualdade de
todos os limites direccionais no ponto não implica a existência de limite nesse ponto, como
pode constatar-se por exemplo com a função f : R 2 \0, 0 → R, fx, y x 2 y/x 4 y 2 ,
que não tem limite no ponto 0, sendo todos os limites direccionais em 0 iguais a zero (o
limite da função no ponto por valores na parábola P x, x 2 : x ∈ R é diferente de
zero).
(2) Uma função f : domf ⊂ R N → R pode ser separadamente contínua em relação a
todas as variáveis num ponto a a 1 , . . . , a N do domínio, ou seja,. tal que as funções
restrição de f a cada conjunto
C 1 a 1 R N−1 , . . . , C k R k−1 a k R N−k , . . . , C N R N−1 a N são contínuas em a
(existe o limite em a por valores em cada um destes conjuntos), e no entanto a função f não
ser contínua no ponto a. Por exemplo, a função fx, y xy/x 2 y 2 x 2 y 2 ≠ 0,
f0, 0 0 é separadamente contínua em relação a x e a y no ponto 0, 0, mas não é
contínua neste ponto, pois os limites direccionais em 0, 0 segundo as rectas
r x, x : x ∈ R e s x, −x : x ∈ R são diferentes. Conclui-se a não continuidade
no ponto usando II.8.6. Significa isto que para a existência de limite num ponto a, é
necessário que as imagens pela função de pontos que se aproximem de a sem qualquer
restrição ao modo como se aproximem de a, se tornem indefinidamente próximas do limite;
considerando arbitrárias sucessões a n convergindo para a, a convergência de todas as
sucessões fa n para um mesmo ponto do conjunto imagem, já é suficiente para a
existência do limite de f em a, como mostra o seguinte
-114II.8.10 Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : X ⊂ E → F é uma
função e a ∈ X, b ∈ F, então é condição necessária e suficinte para que lim fx b que
para cada sucessão
x→a
x n em X convergente para a, se verifique lim fx n b.
II.8.11 Exercício Demonstre o teorema anterior e conclua:
II.8.12 Corolário Nas condições do Teorema II.8.10, se a ∈ X então f é contínua no
ponto a se e só se para cada sucessão x n em X convergente para a, a sucessão fx n
converge para fa.
II.8.13 Resolução A condição é necessária, pois da hipótese
(1) ∀ 0, ∃ 0, fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, conclui-se que dado 0, sendo
n ∈ N tal que x n ∈ B 0 a, para todo o n ≥ n, então fx n ∈ B 0 b, desde que
n ≥ n; e n naquela condição existe para cada 0, se a sucessão x n em X
converge para a. A condição é suficiente, como pode provar-se pela contra-recíproca. Com
efeito, a negação de (1) é que existe certo 0 tal que, para cada número positivo , existe
pelo menos um ponto x ∈ X ∩ B 0 a, cuja imagem por f não pertence a B 0 b, ;
escolhendo da forma 1/n para cada n 1, 2, . . . conclui-se que existe uma sucessão
de pontos x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . , cada x n ∈ B 0 a, 1/n tal que fx n ∉ B 0 b, . Então x n → a
mas a sucessão fx n não converge para b, e fica assim provado que se f verifica a
propriedade relativa à convergência das sucessões, então verifica a condição (1) i.e, então
lim fx b, c.q.d. O corolário conclui-se imediatamente de II.8.2 (2).
x→a
II.8.14 Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : X ⊂ E → F, a ∈ X e
b lim fx então b ∈ fX.
x→a
Dem. Há a provar que existe uma sucessão b n em fX tal que b n → b. Como
a ∈ X, existe uma sucessão x n de pontos de X com x n → a; então a sucessão
b n fx n satisfaz a condição requerida, pelo Teorema II.8.10 c.q.d.
II.8.15 Corolário Sejam E, d E , F, d F e G, d G espaços métricos, f : X ⊂ E → F tal
que fX ⊂ Y e g : Y ⊂ F → G. Se a ∈ X, lim fx b e lim gy c então lim gofx c.
x→a
y→b
x→a
Consequentemente, se b ∈ Y e g é contínua em b, então lim gofx gb.
x→a
A função composta gof das funções f, contínua em a e g, contínua em fa, é contínua
no ponto a.
-115II.8.16 Demonstre o corolário acima (usando II.8.14, mostre que o ponto b ∈ Y).
II.8.17 Resolução Conclui-se de II.8.14 que b ∈ fX ⊂ Y, pois fX ⊂ Y. Se x n é
uma sucessão em X convergente para a, conclui-se da hipótese, usando o Teorema II.8.10
que fx n → b e, do mesmo modo, que gofx n → c. Então lim gofx c, de novo
utilizando II.8.10.
x→a
As duas últimas asserções são consequência de II.8.2 (2).
II.8.18 Definição Se E, d E , F, d F são espaços métricos e f : X ⊂ E → F, a função
f diz-se contínua (em X) se f é contínua em cada ponto a ∈ X.
II.8.19 Observações (1) II.8.15 mostra que a função composta de duas funções
contínuas é uma função contínua. (2) Se E, d E , F, d F são espaços métricos e f : E → F é
uma função, C ⊂ E, então f écontínua em C se e só se a função restrição
f ∣C : C, d C → F, d F é contínua, onde d C é a métrica induzida. Se f é contínua então
certamente f é contínua em C; mas pode ser f : C ⊂ E → F contínua, e a função
f : E → F não ser contínua. (Por exemplo, com F, d F R, d, d a métrica usual, E não
reduzido a um ponto, C p onde p ∈ E e fp 0, fx 1 se x ≠ p; o limite de f em p
por valores diferentes de p é diferente de fp).
II.8.20 Exercício Mostre que se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : E → F e
a ∈ E então f é contínua em a se e só se a imagem inversa f −1 V de cada vizinhança V de
fa em F é uma vizinhança de a em E.
II.8.21 Resolução Pelas definições, f é contínua em a se e só se o limite de f no ponto
a existe e é fa, o que pode exprimir-se em linguagem lógica por (1)
∀ 0, ∃ 0, fB 0 a, ⊂ B 0 fa, . Tem-se a equivalência (2)
fB 0 a, ⊂ B 0 fa, sse (2’) B 0 a, ⊂ f −1 B 0 fa, ; então se V é uma vizinhança
de fa, tem-se B 0 fa, ⊂ V, certo 0, donde usando (1) e (2’) vem que
B 0 a, ⊂ f −1 V para certo 0 e assim que f −1 V é uma vizinhança de a.
Reciprocamente, se f −1 V é uma vizinhança de a, para cada vizinhança V de fa, então
tomando V B 0 fa, , 0, conclui-se que f −1 B 0 fa, contém certa bola aberta
B 0 a, e obtem-se (1) pela equivalência de (2) e (2’).
II.8.22 Teorema Sejam E 1 , d 1 , E 2 , d 2 espaços métricos e f : E 1 → E 2 uma função.
São equivalentes:
a f é contínua;
b fC ⊂ fC para cada subconjunto C de E 1 ;
c para cada subconjunto fechado F de E 2 , f −1 F é fechado em E 1 ;
d para cada subconjunto aberto A de E 2 , f −1 A é aberto em E 1 .
-116-
Demonstração. Provemos a b Isto conclui-se de II.8.14, pois se x ∈ C
então existe uma sucessão x n em C tal que x n → x; então fx n → fx pela hipótese,
donde fx ∈ fC. Seguidamente b c, pois dado F ⊂ E 2 tal que F F, se
x ∈ f −1 F então usando b e ff −1 F F vem fx ∈ F F, donde x ∈ f −1 F e este
conjunto é fechado. c d. Se A é aberto então F A c é fechado, e usando a hipótese,
f −1 A c é fechado, donde se conclui d pela igualdade f −1 A c f −1 A c . d a, pois
admitindo d, seja a um ponto em E 1 , e considere-se 0. f −1 B 0 fa, sendo um
conjunto aberto a que pertence a, é uma vizinhança de a, e conclui-se que f é contínua no
ponto a usando II.8.20, c.q.d.
II.8.23 Exercício Prove que dada uma função f : E 1 , d 1 → E 2 , d 2 são equivalentes:
(i) f é contínua; (ii) para cada B ⊂ E 2 , f −1 intB ⊂ intf −1 B;
(iii) para cada B ⊂ E 2 tem-se f −1 B ⊂ f −1 B.
(Sug: Prove (i)(ii) e, seguidamente (ii)(iii) recordando II.5.49 (c) e I.8.9 (c).
II.8.24 Resolução (i)(ii) Dado a ∈ f −1 intB, fa ∈ intB e intB é uma
vizinhança de fa. Usando II.8.20, f −1 intB é uma vizinhança de a, a qual está contida
em f −1 B e conclui-se que a é um ponto interior de f −1 B. (ii)(i) Se B é aberto em E 2 ,
B intB, conclui-se de f −1 B ⊂ intf −1 B que f −1 B é aberto em E 1 e assim (i),
usando II.8.22 d. (ii) para cada B ⊂ E 2 ,
f −1 intB c ⊃ intf −1 B c f −1 B c f −1 intB c ⊃ f −1 B c f −1 B c
para cada B ⊂ E 2 , f −1 B ⊃ f −1 B c.q.d..
II.8.25 Definição Uma função f : E, d E → F, d F diz-se uma isometria se
d F fx, fy d E x, y para cada x, y em E. Os espaços métricos E, d E e F, d F
dizem-se isométricos se existe uma bijecção f : E → F que é uma isometria.
-117II.8.26 Observações (1) Uma isometria é uma função injectiva (aplicar a condição
(D1) à métrica d F e (D4) à métrica d E ). (2) Se dois espaços métricos E, F são isométricos,
as propriedades topológicas das respectivas topologias das métricas são as mesmas, pois
com f : E → F uma isometria sobrejectiva, um subconjunto A de E é aberto se e só se fA
é aberto em F como resulta da definição de ponto interior de um conjunto. Com efeito, se
a ∈ E, r 0 então fB 0 a, r B 0 fa, r, representando pelo mesmo símbolo B 0 a bola
aberta. Uma sucessão a n em E converge para um ponto a de E se e só se fa n → fa em
F e, do ponto de vista das propriedades da topologia da métrica, E, F diferem apenas pelos
”nomes” dos seus elementos. (3) Se f : X → Y é uma função injectiva e se o conjunto X
está munido de uma métrica d, então a função d f fa, fb da, b é uma métrica em
fX Y f e os espaços métricos X, d e Y f , d f são isométricos. Deste modo é possível
munir um conjunto de uma métrica se existe uma bijecção de certo espaço métrico sobre o
conjunto; certos autores designam d f acima como a métrica transportada da métrica d em X.
II.8.27 Exercício Verifique a observação (3) acima.
II.8.28 Resolução Tem-se que d f : Y f Y f → R está bem definida, pois dados ponto
a fa, b ′ fb em Y f , corresponde ao par ordenado a ′ , b ′ o único para ordenado
a, b ∈ X X para o qual se põe d f a ′ , b ′ da, b. Devido a d ser uma métrica,
verificam-se: (D1) d f fa, fb ≥ 0 e d f fa, fa da, a 0; (D2)
d f fa, fb da, b db, a d f fb, fa; (D3) dados pontos
a ′ fa, b ′ fb, c ′ fc, é
d f a ′ , c ′ d f fa, fc da, c ≤ da, b db, c d f fa, fb d f fb, fc
d f a ′ , b ′ d f b ′ , c ′ ; (D4) dados a′ fa, b′ fb,
d f a ′ , b ′ 0 d f fa, fb da, b 0. o que implica a b e a ′ b.
x
é uma bijecção de R sobre o intervalo −1, 1, de
II.8.29 A função fx 1∣x∣
x
inversa gx 1−∣x∣ . Como é sabido da Análise Real e assim se costuma designar,
lim x→− fx −1, lim x→ fx 1. Acrescentando a R os objectos −, com as
convenções habituais − x x ∈ R, obtem-se a recta acabada R, e podemos
considerar uma extensão f : R → −1, 1 pondo f x fx x ∈ R e f − −1,
f 1. f é uma bijecção e a sua inversa g : −1, 1 → R é uma bijecção.
Considerando a métrica induzida sobre −1, 1 pela métrica usual usual da, b ∣ a − b ∣,
a métrica transportada d g x, y d g gf x, gf y ∣ f x − f y ∣ é uma distância em
1
1
R para a qual d g x, 1∣x∣
e d g x, − 1∣x∣
se respectivamente x 0 e x 0.
′
II.8.30 Exercício Mostre que a métrica usual de R é equivalente à métrica induzida
pela métrica transportafa d g acima em R. (Sug: considere sucessões convergentes).
-118II.8.31 Resolução Para o cálculo de d g a, b, no caso em que a, b ∈ R podemos fazer
d g a, b d g gfa, gfb ∣ fa − fb ∣. Se x n → x em R, d, d a métrica usual,
tem-se x n /1 ∣ x n ∣ → x/1 ∣ x ∣ neste espaço métrico, donde
d g x n , x ∣ x n /1 ∣ x n ∣ − x/1 ∣ x ∣ ∣→ 0 e x n → x em R, d g . Assim d é mais
fina que a restição de d g a R em R. Reciprocamente, distinguindo os casos x 0 e x 0,
com x n , x ∈ R obtem-se que x n /1 ∣ x n ∣ → x/1 ∣ x ∣ implica ∣ x n − x ∣→ 0; logo a
restrição de d g a R é mais fina que d.
II.8.32 Definição A função f : E, d E → F, d F do espaço métrico E, d E para o
espaço métrico F, d F diz-se lipschitziana com constante de Lipschitz L se
d F fx, fy ≤ Ld E x, y para cada x, y ∈ E.
II.8.33 Em II.8.32 é necessariamente L ≥ 0; uma função constante é lipschitziana e só
para uma tal função pode tomar-se L 0. Se L 1 diz-se também que f é uma contracção
II.8.34 Observações (1) Toda a função lipschitziana é contínua. (2) Uma função
f : E → F ser uma isometria é obviamente o mesmo que ambas f e a função inversa
f −1 : fE → E serem lipsichitzianas com a constante de Lipschitz L 1.
II.8.35 Exercício Verifique II.8.34 (1).
II.8.36 Resolução. Dado 0, tome-se /L.
II.8.37 Definição Diz-se que uma função f : E, d E → F, d F do espaço métrico E
para o espaço métrico F é um homeomorfismo se f é bijectiva e ambas as funções f e f −1
são contínuas. Se existe um homeomorfismo f : E, d E → F, d F diz-se que estes espaços
métricos são homeomorfos.
-119II.8.38 Exemplos (1) Dado o espaço métrico E, d, F um subespaço métrico de E, d,
a bijecção identidade de F, Id F : F, d → F, d, Id F x x é um homeomorfismo. (2)
Como consequência do Teorema do limite da função monótona da Análise Real, toda a
função estritamente crescente f de um intervalo I ⊂ R sobre um intervalo J de R é um
homeomorfismo de I, d sobre J, d, notando ainda por d as respectivas métricas induzidas
sobre I, J pela métrica usual d de R. (3) Se f : a, b ⊂ R, d → R, d é uma função
injeciva e contínua, d a métrica usual, então os subespaços métricos a, b e fa, b de
R, d são homeomorfos. Este é um caso particular de uma propriedade que veremos
adiante. (4) Se A ⊃ B 0 a, r, uma bola no espaço métrico R 2 , d e , os espaços métricos
A, d A e A, d i , onde d A é a métrica induzida por d e e d i é a métrica discreta, não são
homeomorfos. (5) Verifica-se facilmente que os espaços métricos 0, 1, d i e 0, 1, 2d i ,
onde d i é a métrica discreta, são homeomorfos mas não são isométricos.
II.8.39 Exercícios (1) Enuncie e demonstre uma condição necessária e suficiente que
deve verificar um subconjunto A de R para que os espaços métricos A, d A e A, d i ,
d A x, y ∣ x − y ∣ e d i a métrica discreta sobre A, sejam homeomorfos. (2) Prove que a
relação h ⊂ SE SE, A, B ∈ h A, B são subespaço homeomorfos do espaço
métrico E, d E é uma relação de equivalência no conjunto SE dos subespaços métricos de
E, d E . (3) Mostre que se as funções f : E, d E → F, d F e g : F, d F → G, d G são
lipschitzianas então a função composta gof : E, d E → G, d G é lipschitziana.
II.8.40 Resoluções. (1) Se existe uma bijecção contínua f : A, d A → A, d i , a ∈ A,
então existe 0 tal que fa − , a ∩ A ⊂ fa, e portanto
a − , a ∩ A a. Conclui-se já que para que os espaços sejam homeomorfos cada
ponto de A deve ser um ponto isolado de A em R, d, d a métrica usual, e esta é uma
condição necessária. A condição é também suficiente; pois se cada ponto a ∈ A é um ponto
isolado deste conjunto no espaço métrico R, d, o raciocínio acima mostra que a função
identidade de A é um homeomorfismo de A, d A sobre A, d i . A condição necessária e
suficiente pretendida é pois que o conjunto A seja constituído por pontos isolados, no
espaço métrico R munido da métrica usual. (2) Conclui-se de II.8.19 (1) atendendo a que
dadas bijecções f : E → F e g : F → G se tem gof −1 f −1 og −1 ; e porque a composta de
dois homeomorfismos é um homeomorfismo. (3) Se L, M são constantes tais que
d F fx, fy ≤ Ld E x, y e d G gfx, gfy ≤ Md F fx, fy então
d G gofx, gofy ≤ MLd E x, y e gof é lipschitziana com constante de Lipschitz ML.
II.8.41 Uma função contínua de um espaço métrico noutro não transforma em geral
sucessões de Cauchy do domínio em sucessões de Cauchy no espaço imagem. Por exemplo,
considerando em 0, a métrica dx, y ∣ x − y ∣, a função fx 1/x é um
homeomorfismo deste espaço métrico sobre si mesmo; no entanto, a imagem da sucessão
de Cauchy 1/n não é uma sucessão de Cauchy.
II.8.42 Exercício. Prove que se f : E, d E → F, d F é uma função lipschitziana e x n
é uma sucessão de Cauchy em E, então fx n é uma sucessão de Cauchy em F. Conclua
que a função em II.8.41 não é lipschitziana.
-120II.8.43 Resolução Das hipóteses d F fx, fy ≤ Ld E x, y x, y ∈ E e
∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p d E x n , x m /L vem
∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p d F fx n , fx m . Se a função
f : 0, , d → 0, , d, fx 1/x fosse lipschitziana, então a sucessão dos números
naturais seria uma sucessão de Cauchy em 0, , d, o que é falso, pois não é
convergente.
II.8.44 Definição (a) Sendo E, d E e F, d F espaços métricos, a função
f : E, d E → F, d F diz-se uniformemente contínua se verifica a condição
uc ≡ ∀ 0, ∃ 0, ∀x, y ∈ E, d E x, y d F fx, fy ou,
equivalentemente,
∀ 0, ∃ 0, diam E A diam F fA , ∀A ⊂ E, A ≠ , onde
diam E A supd E x, y : x, y ∈ A é o diâmetro de A em E, d E e analogamente para
diam F fA.
(b) Se a função f : E, d E → F, d F é bijectiva e ambas f, f −1 são
uniformemente contínuas, diz-se que f é um homeomorfismo uniforme de E, d E sobre
F, d F .
II.8.45 Observações (1) Obviamente, se f é uma função uniformemente contínua,
então é contínua.
(2) Toda a função lipschitziana f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua. (3)
Existem no entanto funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas, por
exemplo, com d a distância usual em R, a função I R : R, min1, d → R, d, I R x x
é um homeomorfismo uniforme e não é lipschitziana.
II.8.46 Exercícios. (1) Verifique (1) em II.8.45. (2) Verifique II.8.45 (2). (3) Prove que
a função f : R, d → R, d, onde d é a métrica usual, fx 1 x 2 é lipschitziana com
constante de Lipschitz L 1 e mostre que f não é uma contracção. (4) Mostre que sendo d
como em (3), para a função f : R, d → R, d, fx x 2 se tem: i f é contínua; ii f é
lipschitziana em cada intervalo de extremos a, b ∈ R, mas não é lipschitziana em R; iii f
não é uniformemente contínua. (Sug: para ii recorde um Teorema da Análise Real e prove
que f é lipschitziana em a, b, concluindo o caso geral; justifique que não existe nenhum
número real L tal que dfx, f0/dx, 0 ≤ L para todo o x 0). (5) Prove que toda a
função uniformemente contínua transforma sucessões de Cauchy em sucessões de Cauchy.
A recíproca é válida? (6) Prove que se f : E, d E → R, d é uma função contínua, onde d
é a métrica usual, então para cada c ∈ R, o conjunto E c x ∈ E : fx c é aberto. (7)
Sendo f : E, d → E, d uma função, o ponto x ∈ E diz-se um ponto fixo de f se x fx.
Mostre que se f é contínua então o conjunto F dos pontos fixos de f é fechado em E. (8)
Mostre que a função f : 0, 1 2, d → 0, 1, d, onde d é a métrica usual de R,
fx x 0 ≤ x 1, f2 1 é uma bijecção contínua que não é um homeomorfismo.
-121II.8.47 Resoluções (1) Se para cada número positivo existe certo 0 tal que para
cada a, x ∈ E se verifica d f fx, fa sempre que d E x, a , então em particular
dado um ponto a em E, o número satisfaz a condição de ser d F fx, fa se x
verifica d E x, a , 0 a priori dado. (2) Da hipótese d F fx, fy ≤ Ld E x, y, L 0
uma constante independente de x, y ∈ E, d E para a função f : E, d E → F, d F ,
conclui-se que d F fx, fy sempre que x, y ∈ E e d E x, y /L. Se L 0 então
a função f é constante, donde contínua. (3) ∣ 1 x 2 − 1 y 2 ∣
∣ x 2 − y 2 / 1 x 2 1 y 2 ∣∣ x − y ∣∣ x y ∣ / 1 x 2 1 y 2 ≤
∣ x ∣ ∣ y ∣/ 1 x 2 1 y 2 ∣ x − y ∣∣ x − y ∣; no entanto
lim x→ 1 x 2 − 1/x − 1 1 e não exite K 1 tal que
∣ 1 x 2 − 1 y 2 ∣ / ∣ x − y ∣≤ K para todos os x, y ∈ R; (faça-se y 0). (4) i Em
cada a, x ∈ R tem-se ∣ x − a ∣ /∣ x a ∣ 1 ∣ x 2 − a 2 ∣ , 0. ii Se
a ≤ x y ≤ b então ∣ fx − fy ∣≤ sup∣ f ′ t ∣: x t y ∣ x − y ∣≤ L ∣ x − y ∣
onde L 2 max∣ a ∣, ∣ b ∣. Não existe L 0 verificando a condição para f ser
lipschitziana em R, pois supx 2 / ∣ x ∣: x ≠ 0 sup0, . iii Se f fosse
uniformemente contínua existiria, dado 1 0, certo número positivo verificando a
condição 1 ≤ a x, x − a x 2 − a 2 1; mas não existe 0 verificando a
implicação, como se vê tomando a n ∈ N, onde n 1/ para dado, e x n /2.
Assim a hipótese f uniformemente contínua leva a uma contradição, e conclui-se iii pelo
método de redução ao absurdo. (5) Se f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua e a
sucessão x n em E verifica n. m ≥ p d E x n , x m , certa ordem p na implicação
existindo para cada 0 a priori dado, consideremos 0. Pela continuidade uniforme
de f, existirá um número positivo tal que a implicação x, y ∈ E e
d E x, y d F fx, fy é verdadeira; a partir da ordem p, os termos x n , x m
verificam o antecedente desta implicação e consequentemente verificam
d F fx n , fx m .
A recíproca não é válida, pois por exemplo para a função fx x 2 em (4) iii, se x n
é uma sucessão de Cauchy em R, d então existe x lim x n ∈ R donde fx n → fx pela
continuidade de f, e fx n é uma sucessão de Cauchy.
(6) E c f −1 −, c é um conjunto aberto dado que −, c é aberto em R, d e f é
contínua. (7) Há a provar que se x n é uma sucessão em F e x n → x em E, d então x ∈ F.
Como x n fx n para cada n, tem-se x lim x n lim fx n fx pela continuidasde de f.
(8) f é claramente bijectiva; f é contínua, pois se 0 ≤ x n 1 e x n → x ∈ 0, 1 então
lim fx n lim x n x fx, e assim f é contínua em cada ponto x ∈ 0, 1; no ponto 2, f
n
é contínua, pois este ponto é um ponto isolado do domínio. Tem-se x n n1
∈ 0, 1,
−1
−1
−1
x n → 1 e lim f x n lim x n ≠ 2 f lim x n , a função f não é contínua.
II.8.48 Exercícios (1) Prove que a função d x, y ∣ e −x − e −y ∣ 0 ≤ x, y ,
dx, d, x e −x , d , 0 é uma métrica em 0, , onde se
convenciona x ≤ para 0 ≤ x e assim se entende este intervalo. (2) Mostre que
sendo : 0, , d → 0, , d uma função, tem-se lim x→0 x 0 em
0, , d se e só se lim x→0 ∣0,1 x 0 em 0, 1, d, onde ∣0,1 é a função restrição
de ao intervalo 0, 1 e dx, y ∣ x − y ∣ 0 ≤ x, y ≤ 1.
-122II.8.49 Resoluções (1) Para x, y ∈ 0, , tem-se: (D1) d x, y ≥ 0 e d x, x 0;
(D2) Se x, y ∈ R então d x, y ∣ e −x − e −y ∣∣ −e −x − e −y ∣ d y, x e se x ∈ R
então d x, d , x pela definição; (D3) Para x, y, z reais,
d x, z ∣ e −x − e −z ∣≤∣ e −x − e −y ∣ ∣ e −y − e −z ∣ d x, y d y, z; para
y , x, z ∈ R, d x, z ∣ e −x − e −z ∣≤ e −x e −z d x, y d y, z e se z
obtem-se d x, z e −x ≤ e −x d x, y d y, z; (D4) Se x, y ∈ R, x ≠ y é e −x ≠ e −y ,
d x, y ≠ 0 e se x ∈ R então d x, e −x ≠ 0, portanto verifica-se (D4). (2) Se
lim x→0 x 0 em 0, , d tem-se: para cada sucessão x n em 0, 1 tal que
d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0, é d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0; donde
exp−x n → 1 para a métrica usual de R e conclui-se x n → 0 neste espaço métrico.
Reciprocamente, se lim x→0 ∣0,1 x 0, ∣0,1 considerada de 0, 1, d em 0, 1, d,
0 ≤ x n ≤ 1 e x n → 0 em 0, , d então exp−x n → 1 exp0 pela definição de d ;
logo x n → 0 para a métrica usual de R e d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0 como se
queria.
II.8.50 Definição Sejam E, d E , F, d F espaços métricos, f : E, d E → F, d F e
: 0, , d → 0, , d uma função crescente tal que lim x→0 x 0 como em
II.8.49. Diz-se que é um módulo de continuidade de f se verifica a condição
mc para cada x, y ∈ E, d F fx, fy ≤ dx, y.
II.8.51 Observação Se uma função f tem um módulo de continuidade como na
definição anterior, então f é uniformemente contínua. Também supondo que
f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua, então
supd F fx, fy : x, y, ∈ E, d E x, y ≤ t para t 0 suficientemente pequeno, 0
dado, e pondo, para t ∈ 0, , t supd F fx, fy : x, y ∈ E, d E x, y ≤ t tem-se
lim t→0 t 0, é um módulo de continuidade de f. Assim uma função é uniformemente
contínua se e só se tem pelo menos cum módulo de continuidade. As funções lipschitzianas
correspondem ao caso particular de funções uniformemente contínuas em que se pode
tomar para módulo de continuidade da função uma função constante (então infinitas
constantes podem tomar-se para módulos de continuidade).
-123II.8.52 Exercícios (1) Prove a primeira afirmação em II.8.51. (2) Demonstre que sendo
E, d E um espaço métrico, a um ponto fixo em E, a aplicação f a : E, d E → R, d,
f a x d E x, a onde d é a métrica usual de R, é lipschitziana com constante de Lipschitz
L 1. Esta aplicação é contínua? É uniformemente contínua? Justifique. (3) Questão como
em (2), para f A : E, d E → R, d, f A x infd E x, a : a ∈ A, onde ≠ A ⊂ E. Pode
concluir que se x 0 é um ponto de E, x 0 ∉ A e A é um conjunto fechado então existem uma
bola B 0 x 0 , r e um conjunto aberto V em E, d E tais que A ⊂ V e B 0 x 0 , r ∩ V ? (Sug:
considere f A x 0 d r, II.5.36 (4)).
II.8.53 Resoluções (1) Dada f : E, d E → F, d F , e atendendo a II.8.49 (2) tem-se,
pela hipótese d F fx, fy ≤ d E x, y x, y ∈ E e lim t→0 t 0: dado positivo,
certo 0 verifica 0 t 0 ≤ t ; então para cada x, y ∈ E tais que
d E x, y obtem-se d F fx, fy , provando que a função f é uniformemente
contínua. (2) df a x, f a y ∣ d E x, a − d E y, a ∣≤ d E x, y e f a é portanto lipschitziana
(com constante de Lipschitz igual a 1) e assim é uniformemente contínua e, a forteriori,
contínua (II.8.45 (2),(1)). (3) Se ≠ C, D ⊂ 0, tem-se ∣ inf C − inf D ∣ inf C − inf D
ou ∣ inf C − inf D ∣ inf D − inf C. Considerando o primeiro caso, dado 0, existe
d ∈ D tal que inf D d − /2 e também inf C c /2 para cada c ∈ C; donde
∣ inf C − inf D ∣ c − d . Analogamente, no segundo caso, ∣ inf C − inf D ∣ d − c ,
onde d é qualquer elemento em D (assim como c é qualquer elemento em C no primeiro
caso), e onde pode considerar-se 0 arbitrariamente pequeno. Encontra-se
∣ f A x − f A y ∣∣ infd E x, a : a ∈ A − infd E y, a ′ : a ′ ∈ A ∣ d E x, a ′ − d E y, a ′
para certo a ′ ∈ A ou ∣ f A x − f A y ∣ d E x, a − d E y, a onde é qualquer número
positivo, certo a ∈ A. Portanto ∣ f A x − f A y ∣ d E x, y qual quer que seja 0, e
conclui-se ∣ f A x − f A y ∣≤ d E x, y para cada x, y ∈ E. Assim como f a em (2), f A é
lipschitziana com constante de Lipschitz 1, contínua e uniformemente contínua. (4)
Atendendo a II.5.36 (4), tem-se f A x 0 d 0 pois A A. Então cada ponto x na bola
fechada Bx 0 , d/2 está a uma distância de x 0 menor que d, e portanto x ∉ A i.e.,
Bx 0 , d/2 ∩ A ou, equivalentemente, A ⊂ Bx 0 , d/2 c V; como a bola fechada é
um conjunto fechado, V é um aberto e B 0 x 0 , d/2 ∩ V .
II.8.54 Vemos por (4) em II.8.53 que um espaço métrico E verifica a propriedade de
separação: para cada subconjunto fechado F e cada ponto p do espaço, p ∉ F, existem
conjuntos abertos disjuntos U, V tais que p ∈ U, A ⊂ V. Como todo o conjunto reduzido a
um ponto em E é um conjunto fechado, esta é uma propriedade de separação dos espaços
métricos, acrescida à propriedade de separação de Hausdorff. Veremos adiante (II.11) que
os espaços métricos têm também a propriedade de para cada dois subconjuntos fechados
A, B, disjuntos, existirem abertos disjuntos U, V, A ⊂ U, B ⊂ V.
II.8.55 Definição Sejam E, d E e F, d F espaços métricos, a ∈ E, ≠ A ⊂ E e uma
função f : E, d E → F, d F .
(a) A oscilação de f em A é o diâmetro
diamfA supd F fx, fy : x, y ∈ A ∈ 0, , que se representa por Of; A;
(b) chama-se oscilação de f no ponto a ao ínfimo infOf; B 0 a, : 0 que se
considera com a convenção s s ∈ R, e onde B 0 a, designa a bola aberta em
E, d E .
-124II.8.56 Exemplos (1) Para a função f : R, d → R, d, fx 1x x ≠ 0, f0 0,
onde d é a métrica usual, tem-se Of; R\− 1 , 1 2 para cada 0. Também
Of; −, e Of; 0 ; (2) Se f : R, d → R, d i é uma função injectiva, d, d i
são respectivamente a métrica usual e a métrica discreta, então Of; a 1 em cada ponto
a.
II.8.57 Exercícios (1) Mostre que com a, f como em II.8.55,
Of; a infOf; V : V ∈ V a , V a o filtro das vizinhanças de a. (2) Considere a
métrica usual d em R, e a função f : R, d → R, d dada por fx −1 x 0, fx 1
x ≥ 0. Determine: i Of; 0; ii O∣ f ∣; 0, onde ∣ f ∣ x ∣ fx ∣; iii
Omaxf, 0, 0, maxf, 0x maxfx, 0.
II.8.58 Resoluções (1) Tem-se B 0 a, : 0 ⊂ V a e portanto
infOf; V : V ∈ V a ≤ Of; a. Para cada V ∈ V a existe V 0 tal que B 0 a, ⊂ V
para cada , 0 ≤ V e Of; B 0 a, diamfB 0 a, ≤ diamfV
(fB 0 a, ⊂ fV para tais ). Assim
infdiamfV : V ∈ V a ≥ infdiamfB 0 a, : 0 ≤ V e, sendo a função
i a Of; B 0 a, decrescente conclui-se
infdiamfV : V ∈ V a ≥ lim →0 i a Of; a. (2) i
Of; 0 infsup∣ fx − fy ∣:∣ x − y ∣ : 0 inf2 2. ii
O∣ f ∣, 0 inf∣ 1 − 1 ∣ 0; iii Omaxf, 0, 0 inf∣ 0 − 1 ∣ 1.
II.8.59 Teorema Uma função f : E, d E → F, d F é contínua em a ∈ E se e só se
Of; a 0.
Demonstração. A condição é necessária: Se f é contínua em a então dado
1/n 0, n 1, 2, . . . existe certo n 0 tal que x ∈ E e
d E x, a n d F fx, fa ≤ 1/n. Assim
0 ≤ Of; a infOf; B 0 a, : 0 ≤ infOf; B 0 a, n : n ∈ N ≤ inf1/n : n ∈ N
e Of; a 0. A condição é suficiente: se a n é uma sucessão em E convergente para a
então para cada 0 todos os termos de ordem n n, certo n ∈ N verificam
d E a n , a ; como consequência da hipótese, estes índices n verificam então que
d F fa n , fa ≤ Of; B 0 a, , para cada positivo dado a priori, certo 0
dependendo de . Logo fa n → fa c.q.d.
II.8.60 Exercícios (1) Mostre que se a função f : E, d E → R, d, onde d é a distância
usual, é contínua, então a função ∣ f ∣: E, d E → R, d é contínua, e que a recíproca é
falsa (notação para ∣ f ∣ como em II.8.58 (2)). (2) Prove que no contexto da questão
anterior, se a função f é contínua no ponto a ∈ E então a função
maxf, 0x maxfx, 0 é também contínua; mostre com um contra-exemplo que a
recíproca é falsa. (3) Mostre que a função f : R, d → R, d, f0 0, fx sin 1x
x ≠ 0, d como acima, é contínua em todos os pontos excepto no ponto 0. (4)
Considerando R, d como em (3), prove que a função f definida sobre R por fx x
x ∈ Q, fx −x x ∈ R\Q só é contínua em x 0; e as funções ∣ f ∣ e maxf, 0? (5)
Uma função f : E, d E → F, d F diz-se aberta se a imagem de cada subconjunto aberto A
de E é um aberto em F. Prove que se E, d E F, d F R, d, d a métrica usual, e se f é
uma função estritamente crescente, então f é um função aberta.
-125f é um homeomorfismo? (Sug: mostre que cada aberto não vazio de R, d é reunião de
intervalos abertos e que f transforma intervalos abertos em intervalos abertos).
II.8.61 Resoluções (1) A função x ∣ fx ∣ de E, d E em R, d é a função composta
das funções x fx s de E, d E em R, d e s ∣ s ∣ de R, d em R, d.
Como estas funções são contínuas, o resultado conclui-se de II.8.19 (1).
A recíproca é falsa, como mostra o contra-exemplo: f : 0, , d → 0, , d,
fx x x ∈ Q e fx −x x ∈ R\Q, onde dx, y ∣ x − y ∣. ∣ f ∣ é contínua, mas f
não tem limite em nenhum ponto diferente de zero. Pois se a 0 tem-se
lim fx lim x a ≠ −a lim − x lim fx.
x → a, x ∈ Q
x → a, x ∈ R\Q
(2) Pelo Teorema II.8.59, uma função entre espaços métricos é contínua num ponto se e
só se a oscilação nesse ponto é nula. Admitindo que f : E, d E → R, d verifica
Of; a 0, a ∈ E, tem-se: se fa 0 então
Omaxf, 0; a infsup∣ maxfx, 0 − maxfy, 0 ∣: x, y ∈ B 0 a, : 0 ≤
infsup∣ fx ∣: x ∈ B 0 a, O∣ f ∣; 0 pela alínea anterior. Supondo
fa s 0 tem-se: pela continuidade de f em a, existe certo 0 tal que s − fx s/2
para todo o x ∈ B 0 a, ; assim fx s/2 0 se x ∈ a − , a . Então com 0 ≤
tem-se Omaxf, 0; B 0 a, Of; B 0 a, donde se conclui o resultado usando a
hipótese, pois Omaxf, 0; a lim →0 Omaxf, 0; B 0 a, pela definição de oscilação
de uma função num ponto. Para o caso fa 0: existe 0, fx 0 para cada
x ∈ B 0 a, ; vem Omaxf, 0; a lim 0 0 e conclui-se que a função maxf, 0 é
contínua em a. (3) Se x 0 ≠ 0 e x n → x existe 0 tal que fx sin 1x
x ∈ x 0 − , x 0 e lim fx n lim sin1/x n sin lim1/x n sin1/ lim x n fx 0 ,
pela continuidade das funções x sin x de R, d em R, d e x 1x de R\0, d em
R, d; portanto f é contínua em x 0 (Corolário II.8.12). Para cada 0, existe n ∈ N
verificando 1/2n − /2, 1/2n /2 ∈ −, ; assim Of; −, 2 → 2 Of; 0 e
f não é contínua em 0. (4) No ponto a ∈ R tem-se: se 0,
Of; a − , a 2 ∣ a ∣ 2 → →0 2 ∣ a ∣ e f só é contínua em a se a 0. Para
a função ∣ f ∣ é O∣ f ∣, a − , a 2 para suficientemante pequeno, e esta
função tem oscilação nula em cada ponto, é contínua. Se a ∈ R então
Omaxf, 0, a lim →0 ∣ a ∣ ∣ a ∣, a função só é contínua no ponto a 0. (5)
Cada conjunto reunião de uma classe de intervalos abertos de R é um conjunto aberto, pois
é reunião de conjuntos abertos. Reciprocamente, se A é um subconjunto aberto não vazio de
R então para cada a ∈ A, existe certo a 0 tal que I a a − a , a a ⊂ A. Conclui-se
I a : a ∈ A A. Para cada I a tem-se
fI a fx : a − a x a a fa − a , fa a J fa pela hipótese, donde
fA fI a : a ∈ A J fa : a ∈ A, conjunto aberto. A função f é então um
homeomorfismo se é contínua, o que equivale a f −1 ser uma função aberta; como f −1 é
também estritamente crescente, f é um homeomorfismo.
II.8.62 Exercícios (1) Recorde da Análise Real que uma função f : D ⊂ R N → R, D
um aberto em R N , d e se diz diferenciável no ponto a, b ∈ D se existem , ∈ R tais que
fah,bk−fa,b−h−k
0; e que, supondo f diferenciável no ponto a, b,
lim h,k→0,0
2 2
h k
u, v ∈ R 2 , a derivada de f em a, b segundo o vector u, v é então Df u,v a, b
u v. Na hipótese f diferenciável em a, b, que pode afirmar-se sobre a cardinalidade
do conjunto Da, b Df u,v a, b : u, v ∈ R 2 ?
-126(2) Recordando ainda que se f como em (1) é diferenciável em a, b, então f é
contínua em a, b, conclua de II.8.9 (1) que a função f : R 2 → R, fh, k hk
2 2
h k
h, k ≠ 0, 0, f0, 0 0 não é diferenciável no ponto 0, 0. (3) Prove que a função
xy sinxy
x, y ≠ 0, 0, f0, 0 0 é diferenciável no ponto 0, 0.
f : R 2 → R, fx, y
2 2
(Sug: verifique que ∣
x y
fx,y
x 2 y 2
∣≤∣ sinxy ∣ para cada x, y ≠ 0, e utilize II.8.10).
II.8.63 Resoluções (1) O cardinal de Da, b é 1 se 0 e é o cardinal do contínuo
se 2 2 ≠ 0. (2) Com efeito, não existe o limite de hk
no ponto 0, 0.
2 2
(3) Tem-se ∣
fx,y
x 2 y 2
2
∣∣
xy sinxy
x 2 y 2
∣≤
h k
maxx 2 ,y 2 ∣sinxy∣
≤∣
x 2 y 2
sinxy ∣ e se
x n , y n → 0, 0 em R , d e então sinx n y n → 0 em R, munido da métrica usual.
Conclui-se que f é diferenciável com 0.
II.9 MÉTRICAS SOBRE O PRODUTO CARTESIANO DE ESPAÇOS
MÉTRICOS
As métricas euclideana, do máimo e da soma em R N são obtidas a partir da métrica
usual no espaço factor R (podem aliás obter-se métricas correspondentes em C N , C o corpo
dos números complexos). Este processo generaliza-se para qualquer produto cartesiano
finito de espaços métricos.
II.9.1. Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, as funções d e , d M e d S de
E F em R, dadas por
d e x, y, x ′ , y ′ d E x, x ′ 2 d F y, y ′ 2 ,
d M x, y, x ′ , y ′ maxd E x, x ′ , d F y, y ′ e
d S x, x ′ , y, y ′ d E x, x ′ d F y, y ′ x, x ′ ∈ X, y, y ′ ∈ Y
são métricas no produto cartesiano E F.
Mais geralmente, se E 1 , d 1 , . . . , E N , d N N ∈ N são espaços métricos, então as
N
funções d e , d M e d S definidas em E j1 E j por
d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N d 1 x 1 , y 1 2 . . d N x N , y N 2 ,
d M x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N maxd j x j , y j : j 1, . . . , N,
N
d S x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ j1 d j x j , y j
são métricas.
-127II.9.2. Exercícios (1) Demonstre o teorema anterior. (Sug: Desigualdade de
Cauchy-Schwarz).
(2) Determine as métricas que se obtêm sobre E, no contexto do teorema, se cada
espaço métrico E j está munido da métrica discreta.
II.9.3. Podem obviamente considerar-se sobre o produto cartesiano finito outras
métricas. Como veremos, as propriedades de convergência de sucessões e de limite de uma
função num ponto são as mesmas para estas diferentes métricas. Considerando as
N
projecções pr j : E j1 E j → E j , j 1, . . . , N, pr j x 1 , . . . , x N x j tem-se o
II.9.4 Teorema Dado espaços métricos E 1 , . . . , E N e uma sucessão x n1 , . . . , x nN em
N
E j1 E j , a sucessão converge para x 1 , . . . , x N no espaço E, d e (respectivamente no
espaço E, d M , resp. no espaço E, d S se e somente se cada sucessão coordenada
x nj → n→ x j em cada espaço E j , d j .
Dem. Considerando por exemplo a métrica d M em E, se
d M x N1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N → n→ 0 então de
0 ≤ d j x nj , x j ≤ d M x n1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N conclui-se x nj → n→ x j em cada E j , d j .
Reciprocamente, se esta última condição se verifica existe, dado 0 e para cada
j 1, . . . , N, certa ordem pj, ∈ N tal que d j x nj , x j sempre que n ≥ pj, . Então se
n ≥ p maxp1, , . . . , pN, tem-se d M x n1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N . Do mesmo
modo se conclui que a condição é necessária para a convergência em E, d e ou em E, d S ;
e a condição suficiente, para estes espaços conclui-se da propriedade correspondente para
d M e das desigualdades d e ≤ N d M e d S ≤ Nd M c.q.d.
II.9.5 Corolário As métricas d e , d M e d S sobre o produto E j1 E j dos espaços
métricos E j , d j são equivalentes.
Dem. Pois pelo Teorema. tem-se x n1 , . . . , x nN → n→ x 1 , . . . , x N em E, munido de
qualquer das métricas se e só se cada x nj → x j em E j , d j c.q.d.
II.9.6 Exercício Pode acrescentar ao Corolário II.9.5 que d e , d M e d S são
uniformemente equivalentes? Justifique.
N
II.9.7 Resolução d e , d M e d S são uniformemente equivalentes em E, como se obtem
analogamente à demonstração de II.9.4; considerando a condição de Cauchy no lugar da
condição de convergência.
II.9.8 Observação Atendendendo ao Teorema II.9.4, dizemos indistintamente, dados
N
espaços métricos E 1 , d 1 , ..., E N , d N , que E j1 E j é o espaço métrico produto
(quando munido de uma das métricas no teorema).
II.9.9 Teorema As funções projecção pr j : E j1 E j → E j são contínuas e abertas.
N
-128Dem. Sendo A j um aberto de E j , provemos que
A
pr −1
j x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ E : x j ∈ A j E 1 . . . E j−1 A j E j1 . . . E N é aberto
j
em E, d M . Dado e 1 , . . . , e j−1 , a j , e j1 , . . . , e N , a j ∈ A j existe r 0 tal que B 0 a j , r ⊂ A j ;
então
d M x 1 , . . . , x j , . . . , x N , e 1 , . . . , a j , . . . , e N r maxd 1 x 1 , e 1 , . . . , d j x j , a j , . . . , d N x N , e N
e portanto x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ E 1 . . . A j . . . E N i.e., representando B 0,M
B 0,M e 1 , . . . , a j , . . . , e N , r a bola aberta no produto, tem-se B 0,M ⊂ E 1 . . . A j . . . E N que
é assim um aberto; o que mostra que pr j é contínua. E dado A aberto em E, d M ,
mostremos que pr j A é aberto em E j . Sendo a 1 , . . . , a j , . . . , a N ∈ A existe 0 tal que
maxd 1 x 1 , a 1 . , , , . d j x j , a j , . . . , d N x N , a N x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ A; então para
y, a j ∈ A j pr j A tem-se, considerando a k ∈ A k k ≠ j fixos,
d j y, a j d M a 1 , . . . , y, . . . , a N , a 1 , . . . , a N a 1 , . . . , a j , . . . , a N ∈ A y ∈ A
e A j é aberto, c.q.d.
II.9.10 Exercício Considerando F x, 1/x : x ≠ 0 ⊂ R 2 e o espaço produto
R , d R 2 , d, d a métrica usual de R, mostre que as funções projecção não transformam
necessariamente conjuntos fechados em conjuntos fechados (não são funções fechadas).
2
II.9.11 Resolução F é um subconjunto fechado de R 2 , d M pois se x n , 1/x n → x, y
neste espaço métrico, então pelo Teorema II.9.4 tem-se x n → x e 1/x n → y em R, d; como
é sabido da Análise Real, isto implica 1/x n → 1/x ∈ R em R, d. Assim x ≠ 0 e y 1/x i.
e., x, y x, 1/x ∈ F que é portanto um conjunto fechado em R 2 , d M . Mas
pr 1 F R\0 que não é fechado no espaço factor R, d, como se verifica analogamente
utilizando sucessões.
II.9.12 Exercício Demonstre o teorema seguinte (Sug: utilize o limite por meio de
sucessões)
II. 9.13 Teorema Dados um espaço métrico E, d e um produto F j1 F j de
espaços métricos F j , d j , uma finção f f 1 , . . . , f N : E → F é contínua se e somente se
cada função coordenada f j : E, d → F j , d j é contínua.
N
II.9.14 Resolução Dem. Há a provar que f é contínua em cada ponto a ∈ E se e só se
todas as funções f j são contínuas em a. Dada uma sucessão a n em E, d convergente
para a temos: fa n f 1 a n , f 2 a n , . . . , f N a n → f 1 a, f 2 a, . . . , f N a fa em
E, d sse f j a n → f j a em cada E j , d j , atendendendo a II.9.4, c.q.d.
N
II.9.15 Observação Para uma função f : E j1 E j → F, d definida sobre um
produto de espaços métricos e com valores num espaço métrico, não pode concluir-se a
continuidade de f num ponto a 1 , . . . , a N de E da hipótese cada função restrição
N
N−1
f ∣X j : X j → F, d contínua em a j , onde X 1 a 1 j2 E j ,..., X N j1 E j a N . É o
que mostra, em II.8.9 (2), a função f : R 2 → R definida por fx, y xy/x 2 y 2
x, y ≠ 0, 0 e f0, 0 0 por exemplo.
-129II.9.16 A noção de métrica sobre um produto finito generaliza-se ao produto numerável
de espaços métricos. Consideram-se, dados espaços métricos E 1 , d 1 , E 2 , d 2 . . . as
métricas equivalentes min1, d i e põe-se
II.9.17 Definição Dado o produto numerável de espaços métricos E n1 E n
considera-se sobre E a métrica Dx n , y n ∑ n1 min1, d n x n , y n /2 n .
II.9.18 Exercícios (1) Verifique que a fução D em II.8.17 é uma métrica em E e
generalize II.9.4, II.9.13. (2) Prove que no contexto de II.9.17,
D 1 x n , y n ∑ n1 d n x n , y n /2 n 1 d n x n , y n é uma métrica sobre E equivalente a D.
II.9.19 Resoluções (1) (D1) Dx n , y n ≥ 0 pois é a soma de uma série de termos
não negativos; a série converge, pelo critério de comparação dado que o termo geral é
majorado pelo termo geral 1/2 n de uma série geométrica convergente. Também
Dx n , x n ∑ 0 0 pois cada d n verifica (D1); (D2) Dx n , y n Dy n , x n
pois d n x n , y n d n y n , x n para cada n; (D3)
Dx n , z n ∑ n1 d n x n , z n ≤ ∑ n1 d n x n , y n d n y n , z n Dx n , y n Dy n , z
(D4) se Dx n , y n 0 então d n x n , y n 0 para cada n, e assim x n y n , x n y n .
Dada uma sucessão x kn → x n em E, D tem-se
0 ≤ d n x kn , x n ≤ Dx kn , x n → k→ 0, donde cada d n x kn , x n → k→ 0; portanto cada
sucessão coordenada x kn → k→ x n em E n , d n . Reciprocamente, se esta última condição se
verifica, como a série ∑ n1 min1, d n x kn , x n /2 n é convergente para cada k tem-se: dado
0, existe N ∈ N tal que ∑ nN1 min1, d n x kn , x n /2 2 /2, e isto para cada
k 1, 2, . . . . (uma vez que ∑ nN1 1/2 n → N→ 0). Para cada índice n 1, . . . . , N, existe
por hipótese uma ordem kn, /2 verificando d n x kn , x n /2 desde que k ≥ kn, /2. Seja
k maxk1, /2, . . . , kN, /2 ∈ N. Se k ≥ k encontra-se
N
Dx kn , x n ∑ n1 min1, d n x kn , x n /2 n ∑ nN1 min1, d n x kn , x n /2 n e
portando x kn → k→ x n em E. Portanto a generalização de II.9.4 é verdadeira.
Dada f f 1 , f 2 , . . . : E → n1 F n , a generalização de II.9.13 conclui-se da
generalização de II.9.4 analogamente.
(2) Representando d 1,n x n , y n d n x n , y n /1 d n x n , y n encontra-se
(D1) D 1 x n , y n ∑ n1 d 1,n x n , y n é uma série convergente de termos ≥ 0, donde
tem soma ≥ 0; e D 1 x n , x n ∑ 0 0; (D2)
D 1 x n , y n ∑ n1 d 1,n x n , y n /2 n ∑ n1 d 1,n y n , x n /2 n D 1 y n , x n (d 1,n é uma
métrica em E n e assim verifica (D2)); (D3) D 1 x n , z n ∑ n1 d 1,n x n , z n /2 n e a soma
desta série não excede a soma ∑ n1 d 1,n x n , y n /2 n ∑ n1 d 1,n y n , z n /2 n
D 1 x n , y n D 1 y n , z n pois d 1,n x n , z n ≤ d 1,n x n , y n d 1,n y n , z n para cada n;
(D4) se a soma da série D 1 x n , y n é nula, então cada d 1,n x n , y n 0, donde
x n y n .
Analogamente à generalização de II.0.4 em II.919., vê-se que uma sucessão
x kn → k→ x n em E, D 1 se e só se cada sucessão coordenada x kn → k→ x n em E n , d n , e
portanto esta propriedade é equivalente à convergência de x kn para x n em E, D.
-130II.9.20 Observação Recorde-se a Definição II.7.3. Diz-se que uma classe
S S : ∈ de conjuntos abertos é uma subbase da topologia T E do espaço métrico
E, d se a classe B constituída pelas intersecções finitas dos conjuntos em S é uma base de
T E . Se o espaço E, d é um espaço C 2 então, uma base sendo uma subbase, T E tem uma
subbase contável. Reciprocamente, como o cardinal do conjunto das partes finitas de um
conjunto infinito é igual ao cardinal do conjunto, tem-se # 0 #B #FS #S se
E, d é um espaço C 2 (como FS o conjunto das partes finitas de S, a funçao
: FS → B, S 1 , . . . , S n S 1 ∩. . . ∩S n é sobrejectiva, donde #B ≤ #FS;
também se S é um conjunto finito então #B ≤ #FS e B é finita; como
B S : S B e a funçao B → B é injectiva, tem-se #FS #S ≤ #B).
Portanto E, d é um espaço C 2 se e só se tem uma subbase contável.
II.9.21 Proposição O espaço métrico produto contável E i∈I E i de espaços métricos
C 2 (equivalentemente, separáveis) E i i ∈ I é um espaço C 2 (equivalentemente,
separável).
Dem. A equivalência C 2 separável é estabelecida em II.7.7. Pela observação
anterior, basta provar que E tem uma subbase contável. Se U i,n : n ∈ J i i ∈ I, J i ⊂ N
é uma base de E i então os conjuntos pr −1
i U i,n i ∈ I, n ∈ J i constituem uma subbase de
E. (Porquê?) Uma vez que #i J i : i ∈ I ≤ #I # 0 ≤ # 0 (verifique)
conclui-se o resultado, c.q.d.
II.10 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS. CATEGORIA
II.10.1 Recordar que a sucessão x n em E, d é uma sucessão de Cauchy se verifica a
condição ∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m . O espaço métrico E, d diz-se
completo se toda a sucessão de Cauchy em E, d é convergente para um ponto de E.
II.10.2 Exemplos (1) Como é sabido da Análise Real, toda a sucessão de Cauchy de
números reais é convergente para um número real; assim R, d, d a métrica usual, é um
espaço métrico completo. (2) C, d, onde dx iy, a ib x − a 2 y − b 2 é um
espaço métrico completo. (3) Se X é um conjunto não vazio, o espaço métrico discreto
X, d i , d i a métrica discreta de X, é completo. (4) Q, d, com d a métrica restrição da
métrica usual ao conjunto dos números racionais, não é completo. Pois a sucessão
n
u n ∑ k1 1/k! é de Cauchy (a série factorial é convergente para e ∈ R\Q em R) mas a
soma da série não é um número racional.
-131II.10.3 Exercícios (1) Verifique II.10.2 (2). (2).Verifique o exemplo (3) em II.10.2. (3)
Prove que se ≠ F ⊂ E e E, d é um espaço métrico completo, então o subespaço métrico
F, d é completo se e só se F é fechado em E.
II.10.4 Resoluções (1) Seja x n iy n uma sucessão de Cauchy em C i.e.,
∀ 0, ∃p ∈ N tal que dx n iy n , x m iy m x n − x m 2 y n − y m 2 para cada
n, m ≥ p. Então se n, m ≥ p tem-se ∣ x n − x m ∣, ∣ y n − y m ∣≤ dx n iy n , x m iy m ;
logo x n e y n são sucesões de Cauchy em R, e assim existem x, y ∈ R tais que
lim ∣ x n − x ∣ 0, lim ∣ y n − y ∣ 0. Conclui-se
dx n iy n , x iy x n − x 2 y n − y 2 → 0, o que mostra que x n iy n tem limite x iy
em C, d.
(2) Se x n é uma sucessão de Cauchy em x, d i , a condição
∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p d i x n , x m implica, fazendo 1 que x n x m c
constante para cada n, m ≥ p1. Sendo constante e igual a c a partir de certa ordem,
conclui-se x n → c.
(3) Se x n é uma sucessão de Cauchy no subconjunto fechado F do espaço métrico
completo E, d, munido da métrica induzida, a condição de Cauchy mostra que x n é uma
sucessão de Cauchy em e, d equivalentemente. Existe então x ∈ E tal que x n → x em
E, d; como x ∈ F, pois f é fechado, tem-se x n → x em F, d, representando ainda por d a
métrica induzida. Assim F, d é um espaço métrico completo. Reciprocamente, supondo
F, d completo, se x n é uma sucessão de pontos de F convergente em E, d para certo
ponto p, então x n é uma suceesão de Cauchy em E, d, e portanto em F, d. Logo x n → y
certo y ∈ F em f, d e, como então x n → y e x n → x em E, d, tem-se y x pela unicidade
do limite. Isto mostra que x ∈ F, que é assim um conjunto fechado.
II.10.5 Observação A função fx x/1 ∣ x ∣ é um homeomorfismo de R, munido
da métrica usual d, sobre 0, 1, d, onde d é a métrica induzida (isto verifica-se facilmente
utilizando o limite por meio de sucessões). No entanto, R, d é um espaço métrico
completo e 0, 1, d não é completo_A sucessão 1 − 1n é de Cauchy em 0, 1, d mas
não é convergente neste subespaço métrico.
II.10.6 Proposição Se existe um homeomorfismo uniforme do espaço métrico E, d E
sobre F, d F então E, d E é completo se e só se F, d F é completo.
.
II.10.7 Exercício Prove a Proposição II.10.6
II.10.8 Resolução Se E, d E é completo e f : E, d E → F, d F é um homeomorfismo
uniforme, provemos que toda a sucessão de Cauchy y n em F, d F é convergente. Tem-se
y n fx n e, como f −! é uniformemente contínua, a sucessão dos pontos x n f −1 y n é de
Cauchy em E, d E , utilizando II.8.46 (5) Existe portanto x lim x n em E, d E , e da
continuidade de f concluímos que y n fx n → fx em F, d F como queríamos.
-132II.10.9 Teorema de Cantor Seja E, d um espaço métrico completo e seja
F n : n ∈ N uma classe de fechados não vazios tal que F n1 ⊂ F n n 1, 2, . . . e
lim diamF n 0. Existe então certo ponto a ∈ E tal que F n : n ∈ N a.
Dem. Se x, y ∈ F n para cada n, então 0 ≤ dx, y ≤ diamF n → 0 donde dx, y 0 e
x y. Portanto F n : n ∈ N só pode conter um ponto. Tem-se F n : n ∈ N ≠ ;
pois fixando um ponto a n ∈ F n para cada n, a sucessão a n é de Cauchy, convergindo
portanto para certo ponto a. Com efeito, dado 0, existe certa ordem p ∈ N tal que
diamF n se n ≥ p; para m ≥ n ≥ p tem-se a m ∈ F m ⊂ F n e a n ∈ F n i.e. portanto
a n , a m ∈ F n e da n , a m ≤ diamF n . O ponto a tem então a propriedade
∀ 0, ∃n ∈ N, n ≥ n da n , a ; assim
∀ 0, ∃n ∈ N, B 0 a, ∩ F n ≠ , ∀n ≥ n. Da condição F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n vem
∀ 0, B 0 a, ∩ F n ≠ , ∀n ∈ N; conclui-se a ∈ F n F n , ∀n ∈ N i.e.,
a ∈ F n : n ∈ N c.q.d.
II.10.10 Corolário O espaço métrico E, d é completo se e só se tem a propriedade de
toda a classe F n : n 1, 2, . . . de subconjuntos não vazios fechados de E, verificando
F n1 ⊂ F n para cada n e llim diamF n 0 ter intersecção não vazia.
II. 10.11 Exercícios (1) Prove que se a sucessão x n em E, d é de Cauchy, e tem uma
subsucessão x nk → a então x n é convergente para a. (2) Demonstre o corolário em
II.10.10 (Sug: Dada a sucessão de Cauchy x n , considere os conjuntos F n x m : m ≥ n
e utilize (1)).
II.10.12 Resolução (1) Seja x n verificando a condição de Cauchy
∀ 0, ∃p/2 ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m /2. Se a subsucessão x nk → a existe, dado
0, certo k k/2 ∈ N tal que dx nk , a /2 para todos os k ≥ k. Se então
m ≥ maxp/2, k/2 verifica-se dx m , a ≤ dx m , x nm dx nm , a , pois
nm ≥ m, já que k nk é estritamente crescente. Isto mostra que x n → a. (2) Se E, d é
completo então, pelo Teorema de Cantor, tem a propriedade enunciada. Reciprocamente,
sendo x n de Cauchy em E, como x m : m ≥ n 1 ⊂ x m : m ≥ n para n 1, 2, . . .
tem-se F n1 ⊂ F n para cada n, com os F n como na sugestão. Sendo x n de Cauchy vem
que para cada 0, existe p ∈ N tal que dx m , x m ′ ≤ para cada m, m ′ ≥ p; então
diamF p supdx, y : x, y ∈ F p supdx m , x m ′ : m, m ′ ≥ p ≤ . Assim
lim diamF n 0. Pela propriedade da hipótese, existe um ponto a ∈ F n : n ∈ N.
Significa isto que a ∈ x m : m ≥ n para cada n; então tomando 1/k para cada
k 1, 2, . . . tem-se que certo x n1 verifica x n1 ∈ B 0 a, 1/1 ∩ x m : m ≥ 1;
seguidamente, como a ∈ x m : m ≥ n1 1, a intersecção
B 0 a, 1/2 ∩ x m : m ≥ n1 1 sendo não vazia,
-133existe certo x m2 , m2 ≥ n1 1 tal que x m2 ∈ B 0 a, 1/2.
Obtidos x n1 , . . . , x nk , onde n1 n2 . . . nk e x nj ∈ B 0 a, 1/j para 1 ≤ j ≤ k,
podemos obter, pelo raciocínio feito para x n2 certo x nk1 ∈ B 0 a, 1/k 1 com
nk nk 1. x nk é então uma subsucessão de x n e como 0 ≤ da, x nk 1/k → 0
temos x nk → a. Então, usando (1), x n tem limite a e E, d é completo.
II.10.13 Teorema de extensão Sejam X, d, Y, espaços métricos, Y, completo. Se
f : A ⊂ X → Y é uma função uniformemente contínua,
onde A está munido da métrica
induzida, então existe uma única extensão contínua f : A, d → Y, de f ao fecho de A.
f é uniformemente contínua.
Dem. Seja x ∈ A. Existe então uma sucessão x n em A tal que lim x n x e, sendo x n
convergente, é uma sucessão de Cauchy. Deste modo, usando II.8.46 (5), a sucessão fx n
é de Cauchy em Y, e portanto existe o limite y lim fx n ∈ Y. Além disso, se w n é
qualquer sucessão em A convergindo para x, verifica-se facilmente que a sucessão
x 1 , w 1 , x 2 , w 2 , . . . , x n , w n , . . . é ainda convergente para x; donde é também da Cauchy e
y n ≡ fx 1 , fw 1 , fx 2 , fw 2 , . . . , fx n , fw n , . . . é de Cauchy em Y, e assim convergente
neste espaço. Usando II.10.11 (1), como a subsucessão dos termos de ordem ímpar de y n
converge para y, tem-se y n → y. Logo o limite de fw n y é independente da particula
sucessão w n em A convergente para x, e assim, dependendo apenas de x, podemos
designar y f x. Se x ∈ A ⊂ A então a sucessão constante x converge
para x e a
sucessão fx converge para fx em Y . Então
f x fx ao caso
aplicando a definição
particular x ∈ A obtemos uma nova função f : A ⊂ X → Y. f é contínua pelo modo como
é definida, e é uma extensão de f a A; e se g : A ⊂ X → Y é uma extensãocontínua de f a
A tem-se: para x n em A tal que x n → x, é gx limgx n lim fx n f x. Assim
g f. O teorema ficará provado se mostrarmos que f é uniformenmente contínua. Seja
0 e consideremos 0 tal que x, y ∈ A e dx, y fx, fy . Se x, y ∈ A
existem x n , y n em A, x n → x, y n → y. As desigualdades
∣ dx n , y n − dx, y ∣≤ dx n , x ∣ dx, y n − dx, y ∣≤ dx n , x dy n , y → n→ 0
mostram que dx n , y n → dx, y e portanto existe certo n 0 ∈ N tal que dx n , y n para
todo o n ≥ n 0 . Logo fx, fy lim fx n , fy n ≤ . Obteve-se assim
∀ 0, ∃ 0, x, y ∈ A ∧
dx, y fx, fy ≤ , e vê-se que esta propriedade é a
continuidade uniforme de f : A, d → Y, c.q.d.
II.10.14 Exemplo Sendo X ≠ , designa-se por BX o conjunto das funções f : X → R
que são limitadas i.e., existe uma constante Mf ≥ 0 relativa a f tal que ∣ fx ∣≤ Mf
para todo o x ∈ X. Verifica-se facilmente que Df, g sup∣ fx − gx : x ∈ X é uma
métrica em BX. Vamos ver que BX, D é um espaço métrico completo. Seja f n uma
sucessão de Cauchy em BX, D i.e., ∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p Df n , f m ≤ . Então
para cada x ∈ X, a sucessão real f n x é de Cauchy, pois ∣ f n x − f m x ∣≤ Df n , f m ≤
se n, m ≥ p. Existe pois fx lim f n x x ∈ X e fica definida a função f : X → R,
fx lim f n x x ∈ X. Mantendo n ≥ p fixo e fazendo m → na desigualdade
∣ f n x − f m x ∣≤ , ∀x ∈ X, 1 por exemplo, obtemos ∣ f n x − fx ∣≤ 1 x ∈ X
donde ∣ fx ∣≤∣ f p x − fx ∣ ∣ f p x ∣ x ∈ X donde ∣ fx ∣≤ 1 Mf p para todo
o x ∈ X e assim f é limitada, f ∈ BX. Obtemos também: dado 0, existe p ∈ N tal que
∣ f n x − fx ∣≤ x ∈ X para todo o n ≥ p. Logo Df n , f ≤ se n ≥ p e portanto f n → f
em BX, D, c.q.d.
-134II.10.15 Exercícios (1) Sendo E um conjunto não vazio, F, d um espaço métrico e f n
uma sucessão em F E , f ∈ F E diz-se que f n converge pontualmente para f se f n x → fx
para cada x ∈ E e que f n converge uniformemente para f se se verifica a condição
∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p df n x, fx ≤ , ∀x ∈ E. i Verifique que a sucessão de
funções x n em R 0,1 converge pontualmente para a função f : 0, 1 → R, fx 0
x ∈ 0, 1, f1 1, considerando sobre R a métrica usual, 0, 1 munido da métrica
induzida. ii Prove que dados E, d, F, d ′ , se uma sucessão f n em F E converge
uniformente para f ∈ F E e cada f n é contínua, então f : E → F é contínua. iii Pode
concluir que em i, a convergência não é uniforme? (2) Mostre que a convergência de uma
sucessão f n para f em BX, D como em II.10.14 é a convergência uniforme. (3) Prove
que o conjunto CBE das funções reais contínuas limitadas sobre o espaço métrico E, d,
munido da métrica Df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ E é completo (Sug: utilize (1)
iii).
II.10.16 Resoluções (1) i Como é sabido da Análise Real, se 0 ≤ x 1 então a
sucessão x n → 0; e se x 1 então a sucessão constante 1 n → 1. ii Dada a convergência
uniforme f n → f e sendo cada f n : E, d → F, d ′ contínua, consideremos a ∈ E. Se
0, existem 0 e p ∈ N tais que x ∈ E e dx, a d ′ f p x, f p a ≤ /2 e
n ≥ p d ′ f n x, fx ≤ /2, ∀x ∈ E; então se dx, a tem-se
d ′ fx, fa ≤ d ′ fx, f p x d ′ f p x, f p a ≤ /2 /2 , f é contínua em a. iii
Sim, pois a função f não é contínua em 0, 1 mas cada f n é contínua em 0, 1; usando ii,
se a convergência fosse uniforme então a função limite seria contínua. (2) As condições
∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p sup∣ f n x − fx ∣: x ∈ E ≤ e
∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p ∣ f n x − fx ∣≤ são eqivalentes, pois se ≠ A ⊂ 0, ,
s 0, tem-se a ≤ s, ∀a ∈ A sup A ≤ s. (3) Com efeito, (1) iii e (2) mostram que
CBE é um subespaço fechado de BE; o resultado conclui-se de II.10.3 (2).
II.10.17 Definição Se X, d é um espaço métrico, diz-se que um espaço métrico
completo Y, é um completamento de X, d se existe uma isometria f : X, d → Y,
tal que fX é denso em Y.
II.10.18 Exemplo Como é sabido tem-se Q denso em R, considerando sobre R a
métrica usual d; representando ainda por d a métrica induzida em Q, vemos que R, d é um
completamento de Q, d, considerando Id Q : Q, d → R, d, Id Q x x.
II.10.19 Observação Se Y 1 , 1 e Y 2 , 2 são dois completamentos de X, d, existem
isometrias f 1 : X, d → Y 1 , 1 , f 1 X Y 1 e f 2 : X, d → Y 2 , 2 , f 2 X Y 2 . Como a
composta de duas isometrias é uma isometria, a função
f f 2 of −1
1 : f 1 X ⊂ Y 1 , 1 → Y 2 , 2 é uma isometria, donde é uniformemente contínua;
aplicando
o Teorema de extensão II.10.13, f tem uma
única extensão
f : Y 1 , 1 → Y 2 , 2 . Verifica-se facilmente que f é uma isometria bijectiva. Assim
quaisquer dois completamentos de um espaço métrico são isométricos. Veremos de seguida
que cada espaço métrico tem um completamento. Se E, d é completo, é um seu
completamento.
-135II.10.20 Teorema Todo o espaço métrico tem um completamento, único a menos de
uma isometria.
Dem. Seja X, d um espaço métrico. Fixemos a ∈ X e, para cada x ∈ X seja
f x : X → R a função definida por f x y dx, y − dy, a y ∈ X. Pela desigualdade
triangular D3 tem-se ∣ f x y ∣≤ dx, a para todo o y ∈ X, e portanto f x ∈ BX
(Exemplo II.10.14). Obtemos assim uma função f : X, d → BX, D dada por x f x .
Temos que f é uma isometria, donde é uniformemente contínua. Com efeito, tem-se
∣ f x y − f z y ∣∣ dx, y − dy, a − dz, y − dy, a ∣ dx, y − dz, y ∣≤ dx, z para
todo o y ∈ X; consequentemente Df x , f z sup∣ f x y − f z y ∣: y ∈ X ≤ dx, z.
Também no ponto y z, ∣ f x z − f z z ∣ dx, z e assim Df x , f z dx, z. Como
BX, D é completo, obtemos pela definição que fX, D é um completamento de X, d.
O teorema conclui-de de II.10.19, c.q.d
II.10.21 Teorema Se f : X, d → Z, é uma função uniformemente contínua, onde
X, d, Z, são espaços métricos, então existe uma única extensão uniformemente
contínua f : Y, → W, do completamento Y, de X, d no completamento W,
de Z, .
Dem. Considerando isometrias f 1 : X, d → Y, , f 1 X Y e f 2 : Z, → W, ,
f 2 Z W, a função f 2 ofof −1
1 : f 1 X ⊂ Y, → W, é uniformemente contínua e tem,
pelo
Teorema de extensão II.10.13, uma extensão uniformemente contínua única
f : Y, → W, c.q.d.
II.10.22 Exercício Justificando as passagens seguintes, prove que se
E 1 , d 1 , . . . , E N , d N são espaços completos, E E 1 . . . E N e
d M x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N maxd k x k , y k : 1 ≤ k ≤ N então o espaço métrico
produto E, d M é completo.
1. Há a provar que se x n x n1 , . . . , x nN é uma sucessão em E verificando a condição
∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m , então existe a a 1 , . . . , a N ∈ E tal que
x n → a em E, d;
2. se x n é uma sucessão como em 1., então cada sucessão coordenada x nk , 1 ≤ k ≤ N,
é de Cauchy no espaço E k , d k ;
3. existe um ponto a k ∈ E k para cada k tal que x nk → n→ a k em E k , d k ;
4. verifica-se x n → a a 1 , . . . , a N em E, d, c.q.d.
II.10.23 Resolução 1. Pelas definições de sucessão de Cauchy e espaço métrico
completo; 2. pois dada a condição em 1., se , a ordem p verifica a condição
d k x nk , x mk ≤ dx n1 , . . . , x nN , x m1 , . . . , x mN para todos n, m ≥ p; 3. porque pela
hipótese cada espaço E k , d k é completo. 4. Por 3. existe, dado positivo, certa ordem
nk, ∈ N para cada k 1, . . . , N verificando d k x nk , a k sempre que n ≥ nk, .
Podemos considerar então, dado , a ordem n maxn1, , . . . , nN, e tem-se
n ≥ n d 1 x n1 , a 1 , . . . , d N x nN , a N maxd 1 x n1 , a 1 , . . . , d N x nN , a N ; donde
dx n , a para todo o n ≥ n. Existe pois em E o limite a da sucessão x n e E, d é
completo c.q.d.
-136II.10.24 Conclua do Ex. anterior a
Proposição Se E 1 , d 1 , . . . , E N , d N são espaços métricos, E E 1 . . . E N então o
espaço métrico produto E, d M é completo se e só se cada espaço factor
E 1 , d 1 , . . . , E N , d N é completo. (Sug: Dada uma n-sucessão u nk de Cauchy num espaço
E k , d k , fixe pontos a j ∈ E j 1 ≤ j ≤ N, j ≠ k e considere a sucessão
a 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N em E).
II.10.25 Resolução Sendo u nk em E k tal que d k u nk , u mk → n,m→ 0 então também
da 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N , a 1 , . . . , a k−1 , u mk , a k1 , . . . , a N d k u nk , u mk → n,m→ 0. Logo
a sucessão a 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N → x 1 , . . . , x N certo ponto de E, na hipótese E, d
completo. Conclui-se d k u nk , x k ≤ da 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N , x 1 , . . . , x N → n→ 0,
u nk → x k em E k , d k que é portanto completo para cada k. A proposição conclui-se de
II.10.22.
II.10.26 Observação Verifica-se que as métricas d e d ′ são uniformemente equivalentes
em E se e só se a função identidade I : E, d → E, d ′ é um homeomorfismo uniforme (cf.
Definição II.4.6, Definição II.8.44). Como as métricas d M , d e e d S em E E 1 . . . E N
(II.9.1) são uniformente equivalentes por II.9.6, concluimos que E, d M (E, d e , E, d S ) é
completo se e só se cada espaço factor E 1 , . . . , E N é completo. Em particular, R N , d e ,
N
d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 é completo; bem como C N , d e .
II.10.27 Definição Diz-se que um subconjunto R do espaço métrico E, d é um
conjunto raro se intR . Um conjunto A n1
R n , reunião contável de conjunotos
raros R n diz-se que é magro ou de primeira categoria em E, d. O conjunto A ⊂ C, onde
C ⊂ E diz-se de 2ª categoria em C se não é de primeira categoria no subespaço métrico
C, d; e de 2ª categoria em si mesmo se A é de 2ª categoria no subespaço A, d.
II.10.28 Exemplos (1) Cada conjunto singleton p p ∈ R é um conjunto raro no
espaço métrico R, d, assim como no espaço métrico Q, d, no caso p ∈ Q, onde d é a
métrica usual. Assim Q é um conjunto de primeira categoria. (2) Veremos que R N , d e , d e
a métrica euclideana em R N , é de 2ª categoria em si mesmo. (3) Com
d e x, y, x ′ , y ′ x − x ′ 2 y. −y ′ 2 a métrica euclideana em R 2 , o subconjunto
R 0 é de 2ª categoria em si mesmo, mas é de primeira categoria em R 2 , d e . Pois
R 0 n1
−n, n 0 e cada conjunto −n, n 0 é fechado e com interior
vazio em R 2 , d e .
II. 10.29 Exercício Verifique que −n, n 0 é fechado em R 2 , d e e, neste espaço
métrico, int−n, n 0 .
-137II.10.30 Resolução Se a sucessão x k , 0 em −n, n 0 converge para x, y em
R , d e então x k − x 2 0 − y 2 → k→ 0; donde x k → k→ x e y 0; assim de −n ≤ x k ≤ n
para cada k conclui-se −n ≤ lim x k x ≤ n e o limite x, y x, 0 ∈ −n, n 0.
Portanto −n, n 0 é fechado em R 2 , d e . Para cada a, 0 ∈ −n, n 0 e cada raio
0, o ponto a, /2 ∈ B 0 a, 0, \−n, n 0; logo nenhum 0 satisfaz
B 0 a, 0, ⊂ −n, n 0 e int−n. n 0 i.e, int−n, n 0 .
2
II.10.31 Exercício Mostre que A é um subconjunto raro do espaço métrico E, d se e
c
só se A é denso em E; conclua que um conjunto fechado é raro se e só se o seu
complementar é um aberto denso. (Sug: recorde II.5.49 (2) c).
cc
c
II.10.32 Resolução Tem-se intC C C X. Assim sendo F fechado, F é
raro se e só se F c é denso; e sendo F c um conjunto aberto.
II.10.33 Teorema Dado o espaço métrico E, d, as propriedades
a se A n : n ∈ N é uma classe contável de subconjuntos abertos densos então
A n é denso;
n1
b o interior da reunião de uma classe contável F n : n ∈ N de subconjuntos
fechados raros é vazio,
são equivalentes.
II.10.34 Exercício Demonstre o Teorema II.10.33.
II.10.35 Resolução A cada classe contável F n : n ∈ N de fechados raros
corresponde, por II.10.31, a classe contável F cn : n ∈ N de abertos densos, e
reciprocamente. Tem-se
int n1
F n n1
F n c c n1
F cn c n1
F cn E c.q.d.
II.10.36 Definição Um espaço métrico E, d diz-se de Baire se tem qualquer das
propriedades a, b do Teorema II.10.33.
-138II.10.37 Observações (1) Pela definição, todo o espaço de Baire é de 2ª categoria em si
mesmo. Considerando o subespaço métrico A, d de E, d, o interior de A em A, d é
A ≠ ; assim o espaço métrico Q, d, d a métrica induzida pela métrica usual, não é de
Baire: pois cada q, q ∈ Q, é um conjunto raro e Q é a reunião contável
Q //q : q ∈ Q. 2 Se E, d é um espaço de Baire então o complementar de um
conjunto de 1ª categoria é necessariamente de 2ª categoria em E, d. Com efeito, se C é um
subconjunto de E de 1ª categoria em E, d, C n1
R n , cada R n um conjunto raro,
c
intR n , então admitindo C n1 S n com intS n obteríamos E como a
reunião contável dos conjuntos fechados R n , S n de interiores igais ao conjunto vazio;
concluir-se-ia o absurdo intE .
II.10.38 Lema Se o subconjunto C do espaço métrico E, d é raro, então para cada
aberto não vazio U de E existe pelo menos um ponto p ∈ U tal que B 0 p, r ∩ C ,
B 0 p, r ⊂ U, certo r 0.
II.10.39. Exercício Prove o Lema anterior. (Sug: redução ao absurdo).
II.10.40 Resolução Dados o conjunto raro C e o aberto não vazio U, suponhamos com
vista a um absurdo que, para todo o p ∈ U, C encontra qualquer bola aberta de centro p
contida em U. Como U é aberto, U intU ≠ ; sendo não vazia a intersecção de cada
bola aberta de centro p contida em U, com C conclui-se que é p ∈ C para cada p ∈ intU
(pois para o raio suficientemente pequeno, a bola está contida em U). Donde C ⊃ intU,
concluindo-se a contradição intC ≠ , já que intC ⊃ intU. Existem portanto pelo
menos um ponto p em U e uma bola aberta como no enunciado, c.q.d.
II.10.41 Teorema de Baire Todo o espaço métrico completo é da segunda categoria.
Dem. Suponhamos, com vista a um absurdo, que o espaço métrico completo E, d é de
1ª categoria i.e., E n1
A n , cada A n um conjunto raro. Pelo Lema II.10.38, A 1 é
disjunto de uma bola B 0 p, r em E, donde é disjunto de uma bola fechada B 1 Bp 1 , r 1
p 1 p, r 1 r/2. É fácil ver que A 2 é um subconjunto raro do subespaço métrico
E 1 A 2 B 0 p 1 , r 1 ; assim, pelo lema, existe uma bola fechada B 2 Bp 2 , r 2 ⊂ B 1 tal
que A 2 ∩ B 2 , onde r 2 ≤ r 1 /2 e A 1 ∩ B 2 . Obtidos por este processo n pontos
p 1 , p 2 , . . . , p n e bolas fechadas B 1 Bp 1 , r 1 , B 2 Bp 2 , r 2 , . . . , B n Bp n , r n com
B n ⊂. . . ⊂ B 2 ⊂ B 1 , r 1 ≤ r/2, r 2 ≤ r/2 2 , . . . , r n ≤ r/2 n e A k ∩ B m
1 ≤ m ≤ n, 1 ≤ k ≤ m podemos de novo obter, considerando o correspondente subespaço
métrico E n , uma bola fechada B n1 Bp n1 , r n1 tal que A k ∩ B n1 1 ≤ k ≤ n 1,
B n1 ⊂ B n e r n1 ≤ r/2 n1 . Assim por indução em n, existem bolas fechada B n Bp n , r n
naquelas condições para cada n 1, 2, . . . Aplicando o teorema da Cantor, existe um ponto
B n ; mas B n ⊂ A cn para cada n 1, 2, . . . donde
x ∈ n1
B n ⊂ n1
A cn n1
A n c E c , e obtem-se a contradição ∃x, x ∈ ,
n1
provando o teorema.
-139II.10.42 Exemplo R N , d e , d e a métrica euclideana, é de 2ª categoria. Como Q é de 1ª
categoria em R, d, d a métrica usual, concluimos de II.10.28 que R\Q é de 2ª categoria.
Notar que um conjunto de 2ª categoria pode ter interior vazio.
II.10.43 Teorema Se E, d é um espaço de Baire então todo o aberto não vazio de E é
de Baire, considerado como subespaço métrico com a métrica induzida.
II.10.44 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração do
teorema:
1. Sendo A n : n ∈ N uma classe contável de abertos densos do aberto não vazio U de
E, há a provar que A n1
A n é denso em U;
c
2. os conjuntos A n U são abertos densos de E;
c
3. A U é denso em E;
c
4. se p ∈ U então p ∈ A U ;
cc
5. tem-se U ⊂ U :
6. U ⊂ A e pode concluir-se o teorema.
c
II.10.45 Resolução 1. Pela definição de espaço de Baire. 2. U sendo fechado, U e A n
c
c
são abertos, A n U é um conjunto aberto; Além disso E A n ⊂ A n U . 3. Pela
c
hipótese, A n U sendo um aberto denso para cada n, por 2., a intersecção
c
c
c
A U n1 A n U é um conjunto denso. 4. Por 2..5. Pois U c ⊃ U e U c é fechado.
c
6. Se p ∈ U então p ∈ A U usando 4.; usando 5. tem-se
c
c
c
p ∈ U ∩ A U ⊂ A A. Assim A é denso em U, c.q.d.
II.10.46 Exercício Prove que se C, A ⊂ E, d e A é um conjunto aberto, então
C ∩ A ⊃ C ∩ A.
II.10.47 Resolução Se p ∈ C então pelo fecho por meio de sucessões, certa sucessão
c n de pontos de C converge para p. Na hipótese adicional p ∈ A e A aberto, A é uma
vizinhança de p; então os termos c n estão em A a partir de certa ordem m. Logo
p lim n→ c mn é limite de uma sucessão em C ∩ A e portanto p ∈ C ∩ A ou seja, tem-se
efectivamente C ∩ A ⊂ C ∩ A.
-140II.10.48 Podemos dizer que um espaço métrico é de Baire se e só se é localmente de
Baire, no sentido de que E, d é um espaço de Baire se e só se cada ponto tem uma base de
vizinhanças que são de Baire.(considerada a vizinhança como subespaço métrico). Com
efeito, supondo E de Baire, cada vizinhança aberta de cada ponto é de Baire, pelo Teorema
II.10.43. Reciprocamente, se cada ponto a tem uma vizinhança de Baire, então E é de
Baire. Pois sejam A n abertos densos de E n ∈ N, A n1
A n . Se V é uma vizinhança
de a que é de Baire, então cada A n ∩ intV ⊃ A n ∩ intV intV usando II.10.46, e
assim A n ∩ intV é um aberto denso de intV para cada n; V sendo de Baire, o subespaço
aberto intV de V é de Baire (II.10.43) e portanto A ∩ intV n1
An ∩ intV é denso
em intV. Significa isto que, como podemos considerar, dado a, qualquer vizinhança
aberta V de a numa base de vizinhanças abertas do ponto acima, que toda a vizinhança V de
a encontra o conjunto A ∩ intV; então encontra a, temos V ∩ A ≠ para cada vizinhança
V de a i.e., a ∈ A. Como considerámos para a um qualquer ponto de E, concluimos E ⊂ A
i.e., A é denso em E, E é de Baire.
II.10.49 Exercício Seja f : /E, d → F, d ′ uma função contínua e aberta. Prove que: i
Se C é um subconjunto de E de 2ª categoria em si mesmo, então fC é de 2ª categoria em
si mesmo (Sug: Contra-recíproca); ii Se f é além disso sobrejectiva e E, d é de Baire,
então F, d ′ é de Baire (Sug: Mostre que intf −1 V ≠ intV ≠ ).
R n , intR n tem-se
II.10.50 Resolução i Supondo fC n1
R n C ∩ n1
f −1 R n n1
C ∩ f −1 R n . Verifica-se
C C ∩ f −1 n1
intC ∩ f −1 R n ⊂ intf −1 R n ; como fintA é um aberto contido em fA A ⊂ E
tem-se fintA ⊂ intfA e
fintf −1 R n ⊂ intff −1 R n ⊂ intff −1 R n intR n , pela continuidade de f.
Assim C é reunião contável de conjuntos raros i.e., se fC é de 1ª categoria então C é de 1ª
categoria. ii Supondo int n1
F n ≠ , cada F n fechado em F, d ′ mostremos que
F n então f −1 D n1
f −1 F n e cada
intF n ≠ , certo n ∈ N. Se D n1
f −1 F n é fechado em E, d. Como f é sobrejectiva, existe um ponto x no conjunto
f −1 F n ≠ ; Assim, sendo E
f −1 intD ⊂ intf −1 D por II.8.23, e temos int n1
de Baire, existe certo n, intf −1 F n ≠ ; existem pois p ∈ f −1 F n e 0,
B 0 p, ⊂ f −1 F n ; donde fp ∈ fB 0 p, ⊂ F n e, sendo fB 0 p, um subconjunto
aberto de F n tem-se fp ∈ intF n e intF n ≠ c.q.d.
II.10.51 Definição Um subconjunto A do espaço métrico E, d é um G se é uma
intersecção contável de conjuntos abertos G n1
A n em E, d. Um conjunto
W ⊂ E, d é um F se é uma reunião contável de conjuntos fechados. Assim A é um G se
e só se A c é um F .
II.10.52 Exercício i Mostre que dada um função f : R → R, o conjunto C dos pontos
em que f é contínua é um G em R, d, d a métrica usual. (Sug: Sendo U n a reunião dos
abertos U tais que diamfU 1/n, n 1, 2, . . . , verifique que C n1
U n . ii Prove
que se D é um subconjunto contável denso de R, d ventão D não é um G .
-141
W n
(Sug: Se d ∈ D, então V d R\ d é um aberto denso; note que se D n1
onde cada W n é um aberto de R, então cada W n é denso). iii Conclua de i, ii que não
existe nenhuma função real da variável real que seja contínua exactamente nos pontos de
um subconjunto contável denso de R.
II.10.53 Resolução i conclui-se de II.8.59 que f é contínua em a se e só se para cada
N 1, 2, . . . existe um aberto U n,a tgal que a ∈ U n,a e diamfU n,a 1/n. Assim
C n1
U n,a : a ∈ E n1
U n,a : a ∈ E n1
U n é um G . ii.
Todo o intervalo aberto de R contém um ponto em R\d, para cada d fixo, d ∈ R, e assim
cada R\d é um conjunto denso. Como R, d é de Baire (é um espaço métrico completo),
a intrsecção contável dos abertos densos R\d d ∈ D é um conjunto denso i.e., D c é um
conjunto denso. Se todos os abertos W n são densos, então por II.10.31, cada W cn é um
fechado raro e, de novo sendo R, d de Baire, existe n ∈ N tal que intW cn ≠ . Então
usando de novo II.10.31, W n não é um conjunto denso; concluindo-se uma contradição da
hipótese D é um G . iii Com efeito, o conjunto dos pontos em que f é contínua é, por i,
um G e portanto, por ii, não pode ser um subconjunto contável denso de R.
II.10.54 Observação Conclui-se de II.10.52 ii que Q não é um G em R, d, d a
métrica usual. Também Q q : q ∈ Q e assim Q é um F , donde R\Q é um G .
II.10.55 Conclui-se de II.10.5 que a função Id R x x é um homeomorfismo entre
y
x
R, d e R, onde d é a métrica usual e é a métrica x, y ∣ 1∣x∣
− 1∣y∣ ∣. R, d é
completo e R, não é (a sucessão n é de Cauchy neste espaço, mas não é convergente).
Assim a propriedade de um espaço métrico ser completo não é invariante por
homeomorfismo i.e., dois espaçops métricos podem ser homeomorfos, mas um ser
completo e outro não ser. II.10.49 mostra que se E, d é de Baire e existe um
homeomorfismo de E, d sobre F, d ′ então F, d ′ é de Baire i.e., a propriedade de ser um
espaço de Baire é invariante por homeomorfismo. Define-se que um espaço métrico é
topologicamente completo se é homeomorfo a um espaço métrico completo. Como
consequência do Teorema de Baire e de II.10.49, todo o espaço métrico topologicamente
completo é um espaço de Baire. Além disso, se E é um espaço métrico completo, o
subespaço métrico Y de E é topologicamente completo se e só se Y é um G em E. Assim,
R\Q é topologicamente completo, munido da métrica induzida; e prova-se que Q não é
topologicamente completo. Um desenvolvimento deste tema, que não cabe no âmbito deste
livro, encontra-se em [Dugundji]; outra referência é [Lages Lima].
Recorde-se que um subconjunto B do espaço métrico E, d é limitado se o seu
diâmetro é finito ou, equivalentemente, se está contido numa bola. Se X, d é um espaço
métrico, designa-se CX, R o conjunto dase funções reais contínuas sobre X (em R, a
métrica usual); Tem-se o
-142II.10.56 Teorema (Principio da limitação uniforme) Sejam X um espaço métrico
completo e F um subconjunto de CX, R verificando a condição de limitação em cada
ponto a ∈ X de cada conjunto fa : f ∈ F ser limitado em R i.e., certo Ma 0 existe
tal que ∣ fa ∣≤ Ma, ∀f ∈ F. Existem então pelo menos um aberto não vazio U de X e
uma constante M 0 tais que ∣ fx ∣≤ M, ∀x ∈ U, ∀f ∈ F.
Dem. Para cada c 0 e dada f ∈ F, o conjunto x ∈ X :∣ fx ∣≤ c f −1 −c, c é
fechado. Então sendo M 0, o conjunto
XM x ∈ X :∣ fx ∣≤ M, ∀f ∈ F x ∈ X :∣ fx ∣≤ M : f ∈ F é fechado,
pois é uma intersecção de fechados. Por outro lado, pela hipótese, para cada ponto x ∈ X,
certo M 0 existe tal que x ∈ XM i.e., tem-se X XM : M ∈ N. Como X é
completo, é um espaço de Baire, logo sendo não vazio o interior daquel reunião contável de
fechados, pelo menos um XM tem interior não vazio; então XM ⊃ U onde U é um
aberto não vazio de X. Isto significa que para todo o x em U se tem ∣ fx ∣≤ M qualquer
que seja a função f em F, c.q.d.
II.10.57 Observação A teoria dos espaços de Baire abrange não só os espaços métricos,
mas também estruturas mais gerais num conjunto não vazio, as estruturas topológicas, de
que a topologia de um espaço métrico é um caso particular. Estas estruturas, as topologias,
são fundamentais em Análise. No quadro dos espaços métricos, otêm-se utilizando os
espaços de Baire, de que os espaços métricos de Baire são um caso particular, resultados
em Análise. Por exemplo, na Análise Real, obtem-se II.10.52. Se g : N → Q é uma
bijecção, x n gn, a função f : R → R definida por fx n 1/n x n ∈ Q e fx 0
x ∈ R\Q é contínua em cada número irracional, e descontínua em cada número racional,
contrastando com II.10.52 iii.
II.10.58. Exercício Verifique a propriedade da função dada na observação anterior.
II.10.59 Resolução Se x n ∈ Q então fx n 1/n ≠ 0. Mas também x n ∈ R\Q, existe
um sucessão de pontos irracionais p m → m→ x n ; a sucessão fp m 0 → m→ 0 ≠ fx n e f
não é contínua em x n (recorde II.8.12). Se p ∈ R\Q e p k é uma sucessão real convergente
para p, então ou p k tem uma subsucessão p kj em Q ou tem uma subsucessão p k ′ j em
R\Q; vem que fp kj 1/kj j→ → 0 e também a subsucessão fp k ′ j constante e igual a
0, converge para 0. Pelo Teorema II.2.24 tem-se fp k → 0 fp, f é contínua em p.
-143II.11 SEPARAÇÃO EM ESPAÇOS MÉTRICOS
II.11.1 Vimos já que dois pontos diferentes num espaço métrico E podem ser
”separados” por conjuntos abertos i.e., se a ≠ b existem abertos disjuntos V, W tais que
a ∈ V, b ∈ W (por exemplo V B 0 a, r, W B 0 b, r, onde r d/2, d da, b verificam
B 0 a, r, B 0 b, r são abertos, a ∈ B 0 a, r, b ∈ B 0 b, r, B 0 a, r ∩ B 0 b, r ). Esta é a
propriedade de separação de Hausdorff (II.5.7).
Também se F ⊂ E, F é fechado e p ∉ F, existem abertos disjuntos U, V tais que
p ∈ V, F ⊂ U. Esta é um propriedade de separação acrescida, pois sendo cada conjunto
reduzido a um ponto um fechado, a propriedade de Hausdorff é o caso particular
a p, b F. Tem-se ainda o
II.11.2 Teorema Sejam A, B suconjuntos fechados do espaço métrico E, d tais que
A ∩ B . Existem então abertos U, V tais que A ⊂ U, B ⊂ V e U ∩ V .
II.11.3 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração do
Teorema II.11.2.
1. Se A ou B os abertos disjuntos , X estão nas condições do enunciado.
Suponhamos pois A, B ≠ .
2. Seja a ∈ A. Então a ∉ B e da, B infda, y : y ∈ B a 0.
3. Se b ∈ B tem-se db, A infdb, x : x ∈ A b 0.
4. Com S a B 0 a, a/3 e S b B 0 b, b/3, os conjuntos U S a : a ∈ A e
V S b : b ∈ B satisfazem as condiçõe do teorema, uma vez que:
i U, V são abertos, A ⊂ U, B ⊂ V;
ii para provar que U ∩ V admitamos, com vista a um absurdo, que existe
p ∈ U ∩ V; então:
U ∩ V S a ∩ S b : a ∈ A, b ∈ B;
existem a0 ∈ A, b0 ∈ B tais que p ∈ S a0 e p ∈ S b0 ;
se da0, b0 0 tem-se da0, B a0 ≤ e dA, b0 b0 ≤ ;
da0, p a0 /3 e dp, b0 b0 /3;
da0, b0 ≤ da0, p dp, b0 2/3 concluindo-se uma contradição
com e o teorema está provado, c.q.d.
II.11.4 Resolução
1. Pois todo o conjunto é subconjunto do aberto X, ∩ X .
2. Pois se infda, y : y ∈ B 0 então para cada n ∈ N existe y n ∈ B tal que
0 ≤ da, y n 1/n → 0, donde a lim y n ∈ B contra a hipótese A ∩ B .
3. Analogamente a 2., com A no lugar de B.
-1444. i pois a reunião de abertos é um aberto e se a ∈ A então a ∈ S a ⊂ U; analogamente
para B ⊂ V;
ii S a : a ∈ A ∩ S b : b ∈ B S a ∩ S b : a ∈ A, b ∈ B;
pela hipótese de absurdo p ∈ U ∩ V e usando ; pois se S ⊂ 0, então
inf S ≤ s para cada s ∈ S;
por e pela definição de S a ; usando , e a desigualdade triangular D3.
Concluido-se uma contradição fica provado que U ∩ V c.q.d.
II.11.5 Observação Se A, B são subconjuntos fechados de E, d tais que
dA, B infda, b : a ∈ A, b ∈ B 0 então A ∩ B , mas a recíproca não é válida.
Por exemplo os subconjuntos A x, y : x 0, y ≥ x 2 e B x, y : x 0, y ≥ x 2 de
R 2 , d e , d e x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 − x 2 2 y 1 − y 2 2 são fechados e disjuntos, mas
dA, B 0 (esboce o gráfico).
II.12 COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS
II.12.1 Definição Seja E ≠ . Se A ⊂ E, uma classe C O i : i ∈ I diz-se uma
cobertura de A se A ⊂ O i : i ∈ I; diz-se também que C cobre o conjunto A. A
cobertura C diz-se finita se é constituída por um número finito de conjuntos O i i.e.,
I 1, . . . , n, n ∈ N. Uma subcobertura da cobertura C é uma parte de C que ainda cobre A
ou seja, é uma classe C ′ O i : i ∈ J onde J ⊂ I, tal que A ⊂ O i : i ∈ J e diz-se
então que a cobertura C é redutível à subcobertura C ′ , ou que pode extrair-se de C a
subcobertura C ′ de A. Se E, d é um espaço métrico, a cobertura C O i : i ∈ I de A
diz-se que é uma cobertura aberta de A se cada conjunto O i é um aberto. E diz-se que o
conjunto A é compacto em E, d se tem a propriedade de toda a cobertura aberta de A ser
redutível a uma subcobertura finita; se A E dizemos que o espaço métrico E, d é
compacto..
II.12.2 Exemplos (1) Todo o subconjunto finito A a 1 , . . . , a m do espaço métrico
E, d é compacto; pois se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de A,
A ⊂ O i : i ∈ I então existem O i1 , . . . , O im , i1, . . . , im ∈ I tais que
a 1 ∈ O i1 , . . . , a m ∈ O im ; donde pode extrair-se de C a subcobertura finita
C ′ O ik : 1 ≤ k ≤ m de A. (2) R, d, d a métrica usual, não é compacto: pois
C −n, n : n ∈ N é uma cobertura aberta de R da qual não pode extrair-se nenhuma
subcobertura finita. (3) Veremos que cada intervalo fechado a, b do espaço métrico R, d,
d a métrica usual, é compacto.
II.12.3 Propriedade Se a ≤ b, a, b ∈ R, o intervalo a, b é compacto em R, d, d a
métrica usual.
-145II.12.4 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração da
propriedade:
1. Se a b a propriedade é verdadeira. Suponhamos pois a b e seja C O i : i ∈ I
uma cobertura aberta de a, b. Admitamos, com vista a um absurdo, que não pode
extrair-se de C uma subcobertura finita.
2. Sendo c o ponto médio de a, b, um dos subintervalos a, c ou c, b é tal que
nehuma classe finita formada por abertos O i cobre o subintervalo; designemos este
subintervalo por a 1 , b 1 ;
3. existe um subintervalo a 2 , b 2 de a 1 , b 1 , onde a 2 ou b 2 é o ponto médio de a 1 , b 1 ,
tal que nenhuma classe finita dos abertos O i cobre a 2 , b 2 . Tem-se b 1 − a 1 b − a/2,
b 2 − a 2 b − a/2 2 ;
4. para cada n 1, 2, . . . existe um subintervalo a n , b n de a, b tal que nenhuma classe
finita dos abertos O i cobre a n , b n e b n − a n b − a/2 n .
5. A sucessão crescente a n tem um limite , e a sucessão decrescente b n tem um
limite ;
6. tem-se − ≤ b n − a n para cada n e .
7. Certo aberto O i contém ; e existe um intervalo aberto a ′ , b ′ ⊂ O i tal que
∈ a ′ , b ′ ;
8. existe n ∈ N tal que a n , b n ⊂ O i .
9. fica provada a propriedade, c. q. d.
II.12.5 Resolução
1. Pois se a b então a, b a, conjunto finito como em II.12.2 (1).
2. Porque se a, c ⊂ O ik . 1 ≤ k ≤ m e c, b ⊂ O ik . m 1 ≤ k ≤ n então
a, b ⊂ O i1 . . . O in contrariamente à hipótese de absurdo em 1.
3. justificação como em 2.; e porque b 2 − a 2 b 1 − a 1 /2 b − a/2 2
4. conclui-se por indução: pois uma vez obtido a n , b n com b n − a n b − a/2 n , o
raciocínio em 2., 3. permite obter a n1 , b n1 com b n1 − a n1 b − a/2 n1 .
5. Pois ambas a n , b n são monótonas limitadas e usando o teorema do limite da
sucessão monótona da Análise real a n ≤ b, a ≤ b n ;
6. porque lim a n ∈ a n , b n e lim b n ∈ a n , b n para cada n; donde
0 ≤ − ≤ b b − a n ≤ b − a/2 n → 0.
7. Pois os abertos O i cobrem a, b, ∈ a, b e O i é um aberto de R, d;
8. pois ′ b ′ . É a ′ supa n : n ∈ N donde existe n1, a ′ a n para
todo o n ≥ n1; e infb n : n ∈ N donde existe n2 tal que b n b ′ desde que
n ≥ n2. Basta considerar n maxn1, n2 para obter a n , b n ⊂ a ′ , b ′ ⊂ O i .
9. Porque 8. contradiz 4., segundo o qual nenhuma classe finita dos O i cobre a n , b n , já
que se oibteve que basta um O i para cobrir certo a n , b n .
II.12.6 Observação Se a, b ∈ R, a b, o intervalo a, b não é compacto em R munido
b−a
a b−a
da métrica usual. Com efeito tem-ae a, b n1
n , b − n , mas da cobertura
b−a
aberta a b−a
n , b − n não pode extrair-se nenhuma cobertura finita de a, b.
a, b ⊂ n1 a − 1, b − b−a
n não é também compacto, e analogamente para a, b.
-146II.12.7 Observação Se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e O i : i ∈ I é uma
cobertura aberta de A então A ∩ O i : i ∈ I é uma cobertura de A constituída por abertos
de A, d, onde d representa agora a métrica induzida. Pela Definição II.12.1 vê-se que A é
compacto em E, d se e só se o subespaço métrico A, d é compacto.
II.12.8 Exercício Prove que se a n é uma sucessão convergente em E, d, lim a n a
então o conjunto S a, a n : n ∈ N é compacto em E, d.
II.12.9 Resolução Se O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de S, existe certo i0 ∈ I tal
que a ∈ O i0 ; existe então certa ordem p tal que a n ∈ O i0 desee que n ≥ p. Existem
p
O ik .
abertos O ik 1 ≤ k ≤ p tais que a ik ∈ O ik 1 ≤ k ≤ p e tem-se então S ⊂ k0
Pode assim extrair-se de cada cobertura aberta de S uma subcobertura finita, e S é
compacto, como queríamos.
II.12.10 Exercício Mostre que se A 1 , . . . , A n ⊂ E e os A j são compactos em E, d
1 ≤ j ≤ n então A A 1 . . . A n é compacto em E, d.
II.12.12 Resolução Seja C O i : i ∈ I uma cobertura aberta de A. Então
C j O i ∩ A j : i ∈ I é uma cobertura aberta do subespaço métrico A j munido da métrica
induzida 1 ≤ j ≤ n. Como cada A j , d é um espaço métrico compacto (II.12.7), existe
para cada j uma subcobertura finita O i ∩ A j : i ∈ I j de C j de A j , com I j ⊂ I, I j finito. De
A j ⊂ O i : i ∈ I j para cada j 1, . . . , n conclui-se
A A 1 . . . A n ⊂ O i : i ∈ L I j : 1 ≤ j ≤ n. Assim pode extrair-se da
cobertura aberta C de A a subcobertura finita C ′ O i : i ∈ L, o que significa que A é
compacto, c.q.d.
II.12.13 Observação Considerando a recta acabada R −, , onde se convenciona
y
x
− 1∣y∣ ∣ x, y ∈ R,
− x x ∈ R, munida da métrica dx, y ∣ 1∣x∣
a
a
d−, y dx, − ∣ −1 − 1∣a∣
∣ a x, y ∈ R, dx, d, y ∣ 1 − 1∣a∣
∣
a x, y ∈ R e d−, d, − 2, o espaço métrico R, d é ccompacto. Com
x
efeito, tem-se, para 0 r 1, B 0 −, r x ∈ R :∣ 1 1∣x∣
∣ r −, 1 − 1r .
Assim um conjunto A tal que − ∈ A é aberto se e só se existe certo r 0,
A ⊃ −, 1 − 1r Também se 0 s 1,
x
B 0 , s x ∈ R :∣ 1 − 1∣x∣
∣ s 1s − 1, ; um conjunto B tal que ∈ B é
aberto se e só se existe s 0, B ⊃ 1s − 1, . Se x n é uma sucessão real tal que
xn
x
x n → x ∈ R (considerando a métrica usual em R) então 1∣x
→ 1∣x∣
; e se
n∣
xn
x
→ 1∣x∣ , x ∈ R, então x n não tem nenhuma subsucessão tendente para i.e.,
1∣x n ∣
x n é4 limitada, donde tem pelo menos uma subsucessão convergente para certo a ∈ R,
xn
a
vindo 1∣x
→ 1∣a∣
donde a x, x n → x na métrica usual de R (verifique os detalhes).
n∣
Deste modo a métrica d é equivalente à métrica usual dx, y ∣ x − y ∣ em R. Portanto se
O ⊂ R então O é aberto em R, d se e só se O é aberto em R, d.
-147Vem que se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de R no espaço métrico R, d
então: a certo O i− pertence −, existe r 0, −, 1 − 1r ⊂ O i− ; existirão
analogamente s 0 e certo O i ⊃ 1s − 1, , e o compacto
1 − 2r , 1s − 2 ⊂ O i \−, : i ∈ I, onde cada O i \−, é um aberto de R
(porquê?). Pelo que existe J ⊂ I, J finito, 1 − 2r , 1s − 2 ⊂ O i : i ∈ J concluindo-se
R ⊂ O i− O i O i : i ∈ J e a cobertura C é redutível a uma subcobertura finita,
R, d é um espaço métrico compacto.
II.12.14 Teorema O espaço métrico E, d é compacto se e só se cada classe de fechados
F i : i ∈ I tal que F i : i ∈ I verifica que existe uma subclasse finita
F i : i ∈ J, J ⊂ I finito, tal que F i : i ∈ J .
II.12.15 Exercício Prove o teorema acima (Sug: passagem ao complementar e leis de De
Morgan).
II.12.16 Resolução E, d compacto sse ∀O i : i ∈ I cobertura aberta de E, ∃J ⊂ I, J
finito, E ⊂ O i : i ∈ J sse ∀F i O ci classe de fechados F i tal que
F i : i ∈ I F ci : i ∈ I c O i : i ∈ I c O i : i ∈ I E, cada
O i aberto, ∃J ⊂ I, J finito, O i : i ∈ J E sse ∀F i : i ∈ I classe de fechados tal que
F i : i ∈ I , ∃J ⊂ I, J finito,
F i : i ∈ J F ci : i ∈ J c O i : i ∈ J c E c c.q.d.
II.12.17 Corolário Se E, d é um espaço métrico compacto e F 1 , F 2 , . . . , F n , . . . é uma
sucessão de subconjuntos fechados não vazios de E tal que F n ⊃ F n1 n ∈ N então
F n ≠ .
n1
II.12.18 Exercício Prove o corolário anterior.
II.12.19 Resolução Atendendo a II.12.14 tem-se: se E, d é compacto, é verdadeira a
implicação F i : i ∈ I classe de fechados e F i : i ∈ I ∃J ⊂ I, J
finito,F i : i ∈ J . Uma implicação tendo o mesmo valor lógico que a
contra-recíproca tem-se na hipótese E, d compacto que dada a classe de fechados
F n : n ∈ N verificando F n ⊃ F n1 n 1, 2, . . . e cada F n ≠ que cada intersecção
finita F n : n ∈ J F nk ≠ , J ⊂ N, J n1, . . . , nk n1 . . . nk implica
F n : n ∈ N ≠ como se queria.
II.12.20 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico E, d é
fechado em E, d.
-148II.12.21 Exercício Justificando as passagens seguintes obtenha uma demonstração do
teorema:
1. O teorema ficará provado se provarmos que C c é um aberto.
2. Seja p ∈ C c ; se x ∈ C existem abertos disjuntos O x , O ′x tais que x ∈ O x , a ∈ O ′x ;
3. considerando abertos O x , O ′x para cada x ∈ C como em 2., tem-se
C ⊂ O x : x ∈ C e existe um número finito de pontos x1, . . . xm ∈ C tal que
m
O xk ;
C ⊂ k1
m
′
O xk
é aberto e O ⊂ C c ;
4. O k1
5. pode concluir-se o teorema.
II.12.22 Resolução 1. Pois um conjunto é fechado se e só se o seu complementar é
aberto. 2. Pois todo o espaço métrico verifica a propriedade de separação de Hausdorff;
pois ∀x ∈ C, x ∈ O x ⊂ C C ⊂ O x : x ∈ C e sendo C compacto, pode extrair-se da
cobertura aberta O x : x ∈ C uma subcobertura finita; 4. porque uma intersecção finita de
′
abertos é aberto, cada O xk
é aberto por 2; assim O é aberto, e tem-se
m
m
m
m
m
′
O ∩ C ⊂ O ∩ k1 O xk k1
O ∩ O xk k1
k1
O xk
∩ O xk k1
c
e assim O ∩ C ; 5. pois provámos que dado um ponto arbitrário p ∈ C existe,
atendendo a 2. e 4., um aberto O tal que p ∈ O ⊂ C c i.e., concluimos 1., c.q.d.
II.12.23 Teorema Se o espaço métrico E, d é compacto e F é um subconjunto fechado
de E, então F é compacto.
II.12.24 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do
Teorema II.12.23:
1. Seja F i : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de F tal que
F i : i ∈ I . Então cada F i é fechado em E, d;
2. existe um subconjunto finito J do conjunto dos índices I tal que F i : i ∈ J e
pode concluir-se o teorema.
II.12.25 Resolução 1. Pois F é por hipótese fechado em E, d; 2. pois pela hipótese
E, d é compacto, e utilizando II.12.14. O resultado conclui-se atendendendo ao Teorema
II.12.14 c.q.d.
II.12.26 Observação Se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d que não tem
nenhuma subsucessão convergente segue-se de II.5.54 (4) que o conjunto derivado do
conjunto dos termos x n : n 1, 2, . . . é . Uma vez que toda a subsucessão de cada
sucessão x k , x k1 , x k2 , . . . (k fixo) é uma subsucessão de x n , também, para cada k fixo, o
conjunto derivado de x k , x k1 , x k2 , . . . é o conjunto vazio. Atendendo a II.5.53 (8) e
II.5.38 (2), conclui-se que os conjuntos x 1 , x 2 , x 3 , . . . e x k1 , x k2 , x k3 , . . . são fechados
k ∈ N.
-149II.12.27 Teorema As seguintes propriedades de um espaço métrico E, d são
equivalentes:
A Toda a sucessão x n em E tem uma subsucessão convergente;
B se F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . . é uma sucessão decrescente de conjuntos
fechados não vazios, então n1
F n ≠ .
Dem. A B Consideremos uma sucessão x n F n : n 1, 2, . . . onde é
o selector de Zermelo, x n ∈ F n n ∈ N. Uma subsucessão x nk → x, x ∈ E. Para cada
k 1, 2, . . . tem-se x nk ∈ F n , ∀n ≥ k, donde x ∈ F k F k para todo o k (recordar que
F n e verifica-se B; B A pode provar-se pela
nk ≥ k, donde x ∈ n1
contra-recíproca: se existe uma sucessão x n em E que não tem nenhuma subsucessão
convergente, então conclui-se que considerando F n x n1 , x n2 , . . . obtemos uma
sucessão decrescente de conjuntos fechados e não vazios tal que n1
F n . Pois se um
ponto y ∈ n1 F n então vem: dado k 1, existe n1 ∈ N tal que x n1 ∈ F 1 e
x 1 ∈ B 0 y, 1/1 (Porquê?); do mesmo modo, existe x n2 ∈ F 2 tal que n2 n1,
x n2 ∈ B 0 y, 1/2 e para cada k 1, 2, . . . , certo x nk ∈ F k verifica x nk ∈ B 0 y, 1/k,
podendo considerar-se n1 n2 . . . nk nk 1 e isto significa que a
subsucessão x nk → y c.q.d.
II.12.28 Teorema Todo o espaço métrico E, d verificando a condição A
(equivalentemente, B) no Teorema II.12.26 é separável
Dem. Para cada n ∈ N, toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado
C n C ⊂ E : ∀x, y ∈ C, dx, y ≥ 1/n, ⊂ tem o majorante C : C ∈ C n ; aplicando
o Lema de Zorn, existe um elemento maximal T n ∈ C n n 1, 2, . . . . Cada tal conjunto T n
é finito; pois se existe um conjunto infinito x i : i ∈ N ⊂ T n (recorde que todo o conjunto
infinito contèm um conjunto numerável) então a sucessão x i não tem nenhuma
subsucessão de Cauchy, e portanto não tem nenhuma subsucessão convergente,
contrariando a hipótese A. Além disso, para cada x ∈ E, tem-se que existe certo n sendo
dx, T n infdx, y : y ∈ T n 1/n (se dx, T n ≥ 1/n, ∀n ∈ N então:
∀x 1 ∈ T 1 , dx, x 1 ≥ 1, logo x ∈ T 1 pois T 1 é maximal em C 1 obtendo-se a contradição
dx, T 1 0 ≥ 1). O conjunto T n1
T n é contável (finito ou numerável) e é denso em
E. Pois para cada x ∈ E tem-se dx, T ≤ dx, T n 1/n, ∀n ∈ N, e existe uma sucessão
x n em T, x n ∈ T n , dx, x n → 0 e x n → x c.q.d.
II.12.29 Corolário Se no espaço métrico E toda a sucessão tem uma subsucessão
convergente, então cada cobertura aberta C : ∈ A de E tem uma subcobertura
contável C n : n ∈ N.
Dem. Conclui-se do Teorema II.12.28, utilizando o Teorema II.7.12.
II.12.30 Propriedade O espaço métrico E, d é compacto se e só se cada sucessão em E
tem pelo menos uma subsucessão convergente.
II.12.31 Exercício Prove a Propriedade II.12.30. (Sug: para a condição necessária utilize
II.12.27 e II.12.17).
-150II.12.32 Resolução Supondo E, d compacto, seja F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃. . . uma
sucessão de fechados não vazios como no Teorema II.12.27.
Utilizando o Corolário II.12.17 tem-se n1
F n ≠ e conclui-se que E, d tem a
propriedade A do Teorema II.12.27. Reciprocamente, suponhamos que E, d tem esta
propriedade, e seja O i : i ∈ I uma cobertura aberta de E. Pelo Teorema II.12.28 e
Teorema II.7.12, existe uma subcobertura contável O ik : k 1, 2, . . . de E,
n
O ik ; então também A n : n ∈ N, onde A n k1
O ik é uma cobertura
E k1
aberta de E, tal que A 1 ⊂ A 2 ⊂. . . ⊂ A n ⊂ A n1 ⊂. . . . Significa isto que a intersecção da
classe decrescente de fechados F n A cn é n1
F n n1
A n c . Portanto, pelo
n
O ik E i.e. E, d é
Corolário II.12.17, certo F n A cn , e concluimos que A n k1
compacto, c.q.d.
II.12.33 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico compacto
E, d é limitado e fechado.
II.12.34 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha demonstrações de
II.12.33.
1. Seja C compacto. Supondo para um absurdo que C não é limitado, se p x 1 é um
ponto de C, existe um ponto x 2 ∈ C tal que dp, x 2 ≥ 1;
2. existe um ponto x 3 ∈ C verificando dx 2 , x 3 ≥ dp, x 2 1;
3. obtidos pontos x 2 , x 3 , . . . , x n ∈ C com dx k , x k1 ≥ dx k−1 , x k 1 para 2 ≤ k ≤ n − 1,
existe um ponto x n1 ∈ C tal que dx n , x n1 ≥ dx n−1 , x n 1; assim existe uma sucessão
x n em C tal que dx n , x n1 ≥ 1, ∀n ∈ N;
4. a sucessão x n não tem nehuma subsucessão convergente, e fica provado que C é um
conjunto limitado.
5. Pode concluir-se o teorema II.12.33.
II.12.35 Teorema Se C é um subconjunto compacto do espaço métrico E, d E e
f : C ⊂ E, d E → F, d F é uma função contínua, então fC é compacto em F, d F .
II.12.36 Exercício Demonstre o Teorema II.12.35. (Sug: Pode utilizar a Propriedade
II.12.30).
II.12.37 Resolução. Sendo y n uma sucessão em fC, é y n fx n , onde x n é uma
sucessão em C; como existe uma subsucessão x nk → x ∈ C, pois C é compacto, e usando a
Propriedade II.12.30. Como f é contínua, tem-se fx nk → fx ∈ fC em F, d F ou seja,
no subespaço métrico fC, d F e aplicando de novo II.12.30, concluimos que fC é
compacto c.q.d.
-151II.12.38 Proposição Se C ⊂ E, d é um subconjunto compacto e a função
f : C ⊂ E, d → R, d R , onde d R é a métrica usual, é uma função contínua então f tem
um máximo e um mínimo em C.
II.12.39 Exercício Prove a Proposição II.12.38.
II.12.40 Resolução Atendendo ao Teorema II.12.35, o conjunto fC é compacto em
R, d R e portanto, usando o Teorema II.12.33, é fechado e limitado; assim m inf fC e
M sup fC são números reais. Tem-se m lim fa n , M lim fb n , a n , b n ∈ C. Como C
é compacto, existem subsucessões a nk → a ∈ C e b nk → b ∈ C e pela continuidade de f
vem fa nk → fa m, fb nk → fb M (comprove). Assim a é o mínimo de f em C
e b é o máximo de f em C c.q.d.
II.12.41 Se f : E, d E → F, d F é contínua e E é compacto, então f é uniformemente
contínua.
II.12.42 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do
Teorema II.12.41:
1. Suponhamos f contínua, E compacto e, com vista a um absurdo que se tem
~∀ 0, ∃ 0 : d E x, y d F fx, fy , ∀x, y ∈ E.
2. existe certo 0 tal que duas sucessões de pontos x n , y n em E verificam
d E x n , y n → 0 e d F fx n , fy n ≥ ;
3. existe uma subsucessão convergente x nk → x em E, d E ;
4. tem-se y nk → x em E, d E ;
5. fx nk → fx e fy nk → fx;
6. d F fx nk , fy nk → 0, ficando provado o Teorema
II.12.43 Resolução 1. É a negação da condição f uniformemente contínua. 2. Pois da
negação indicada em 1. conclui-se
∀n ∈ N, ∃x n , y n ∈ E, d E x n , y n 1/n ∧ d F fx n , fy n ≥ , certo 0; 3. pois E é
compacto, e usando II.12.30; 4. porque d F y nk , x ≤ d F x nk , y nk d F x nk , x → 0; 5.
porque f é por hipótese contínua;
6. pois
d F fx nk , fy nk ≤ d F fx nk , fx d F fy nk , fx e ambas as parcelas tendem para
0; portanto um 0 como em 2. não pode existir, obtendo-se uma contradição, c.q.d.
II.12.44 Teorema Todo o espaço métrico compacto é completo.
-152II.12.45 Exercício Demonstre o Teorema II.12.44
II.12.46 Resolução Pelo Teorema II.10.10, basta provar que se E, d é compacto e
F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . . é uma sucessão de subconjuntos fechados não vazios de
E, d tal que diamF n → 0, então n1
F n ≠ . Pelo Corolário II.12.17, esta condição é
verificada, concluindo-se que E, d é completo, c.q.d.
II.12.47 Observação Existem espaços métricos completos não compactos; por exemplo
R, d, onde d é a métrica usual, é completo mas não é compacto (R não é limitado em
R, d, e Teorema II.12.33). Como as métricas d e min1, d são equivalentes em R, o
espaço métrico limitado R, min1, d também não é compacto (é homeomorfo a R, d,
recorde-se o Teorema II.12.35).
II.12.48 Observação A propriedade de compacidade permite obter critérios de não
continuidade de uma função entre espaços métricos. Por exemplo, não exite nenhuma
função contínua f de R, d R em si mesmo tal que f0, 2 1, , pois a imagem do
compacto 0, 1 teria de ser um conjunto compacto, donde limitado.
II.12.49 Definição Se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta do espaço métrico E, d,
diz-se que o número positivo é um número de Lebesgue para C se todo o subconjunto A
de M tal que diamA está inteiramente contido em pelo menos um dos abertos O i .
II.12.50 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico compacto tem um
número de Lebesgue.
Dem. Para obter uma demonstração por absurdo, suponhamos que existe uma cobertura
aberta O i : i ∈ I de E tal que qualquer que seja 0, existe certo subconjunto A de E,
diamA , tal que A ⊈ O i se i ∈ I. Então para cada n ∈ N existe
A n ⊂ E, diamA n 1/n, tal que A ⊈ O i , qualquer que seja i ∈ I. Sendo x n ∈ A n para
cada n, a sucessão x n tem uma subsucessão convergente x nk → x; certo O i verifica
x ∈ O i , e existe r 0 tal que B 0 x, 2r ⊂ O i (Porquê?). Para k suficientemente grande,
tem-se 1/nk r e dx nk , x r (Verifique). Então para cada a ∈ A nk verifica-se
dx, a ≤ dx, x nk dx nk , a 2r, e assim A ⊂ B 0 x, 2r ⊂ O i , uma contradição. O
teorema está demonstrado.
-153II.12.51 Exercício Prove que se E, d é um espaço métrico compacto, então para cada
m
0 existe um conjunto finito x 1 , . . . , x m de pontos de E tal que E k1
B 0 x k , .
II.12.52 Resolução. Com efeito a cobertura aberta B 0 x, : x ∈ E de E é redutível a
uma subcobertura finita.
II.12.53 Teorema (Tikhonov) Seja I ⊂ N e seja E n∈I E i .o espaço métrico produto
dos espaços métricos E n n ∈ I. Se cada espaço factor E i é compacto, então E é compacto.
Dem. Consideremos primeiro o caso I finito, I 1, . . . , m, m ∈ N. Sem perda de
generalidade, suponhamos por exemplo m 3. Seja a sucessão u x i,n 3i1 em
E E 1 E 2 E 3 , cada E i compacto. Se x i,nk 3i1 é uma subsucessão de u convergente
para a 1 , a 2 , a 3 ∈ E, notamos x i,nk 3i1 → k a 1 , a 2 , a 3 ; para uma subsucessão coordenada,
i 1 por exemplo, notamos então x 1,nk → k a 1 limx 1,nk . Provemos que existe uma
subsucessão convergente de u. Dada u, existe (II.12.30) uma subsucessão u 1
x i,n,1k 3i1 x i,n,1k 3i1 de u tal que pr 1 ou 1 x 1,n,1k → k a 1 , a 1 ∈ E 1 . Por sua vez,
u 1 x i,n,1k 3i1 tem uma subsucessão u 2 x i,n.2on,1k 3i1 x i,n,2k 3i1 tal que
pr 2 ou 2 x 2,n,2k → a 2 ∈ E 2 ; aqui, k n, 1k n, 1k, k ′ n, 2k ′ são
estritamente crescentes de N em N, e portanto k n, 2on, 1k ≡ k n, 2k é
também estritamente crescente de N em N. A sucessão u 2 é então tal que pr 1 ou 2 → a 1 e
pr 2 ou 2 → a 2 ; u 2 é uma subsucessão de u. Analogamente, existe uma subsucessão
u 3 x i,k,3ok,2k 3i1 x ik,3k 3i1 de u 2 (e, portanto, de u, k, 3 k, 3ok, 2) tal que
pr 3 ou 3 x 3,k,3k → a 3 ∈ E 3 . Fica assim provado que existe uma subsucessão
convergente u 3 → a 1 , a 2 , a 3 de u e, usando II.12.30, E é compacto.
Consideremos agora o caso I N. Seja E i1 E i , cada E i compacto, e seja
u x i,n i1 uma sucessão em E. Como no caso finito, existe uma subsucessão
u 1 x i,n,1k i1 x i,n,1k i1 de u em E tal que pr 1 ou 1 x 1,n,1k → k a 1 ∈ E 1 .
Relativamente à segunda coordenada, existe uma subsucessão
u 2 x i,n,2on,1k i1 x i,n,2k i1 de u 1 (e, portanto, de u) tal que
x 2,n,2k → k a 2 ∈ E 2 . Então pr 1 ou 2 → a 1 , pr 2 ou 2 → a 2 . Prosseguindo o raciocínio existe,
para k 1, 2, . . . , k, até uma subsucessão u k de u tal que pr k ou k → a k ∈ E k . Consideremos a
função n u n n n1 x n,n,nn n1 de N em E. Temos
n 1, n 1n 1 n 1, n 1n (a aplicação n 1, n 1 é a composição das
aplicações estritamente crescentes n 1, n 1on, no. . . o2, 2o1, 1); também
2, 2o1, 11 ≥ 1, 11 pois 2, 2 : N → N é estritamente crescente (se k n k é
estritamente crescente então n k ≥ k). Prosseguindo, obtemos
n 1, n 1on, no. . . o2, 2o1, 1n ≥ n, no. . . o2, 2o1, 1n e portanto temos
n 1, n 1n 1 n 1, n 1n ≥ n, nn. Assim n n, nn é estritamente
crescente, e u n n n1 é uma subsucessão de u, pois cadaer tmo x n,n,nn n1 de
n u n n n1 tem por coordenadas x 1,1,11 ∈ x 1,n : n 1, 2, . . . ,
x 2,2,2̄ 2 ∈ x 2,n : n 1, 2, . . . , etc. Tem-se na coordenada n ∈ N que pr n ou n n → n a n
por construção e a sucessão u n n x n,n,n n n1 tem como subsucessão
u n n x n,n,nn n1 .Revendo II.9.4 e II.9.19, tem-se u n n n1 → n a n n1 ∈ E e E é
compacto, atendendo a II.12.30 c.q.d.
-154II.12.54 Exercício Mostre que o produto contável de espaços métricos é um espaço
métrico compactos e e só se cada espaço factor é compacto.
II.12.55 Resolução Se cada E i é compacto então i∈I E i é compacto, pelo Teorema
II.12.53; reciprocamente, se E i∈I E i é compacto, i ∈ I, E i pr i E é compacto por
II.12.35.
II.13 CONJUNTOS CONEXOS EM ESPAÇOS MÉTRICOS
II.13.1 Observação Se A, B ⊂ X, d, d a métrica usual, A ∩ B então
A ∩ B A ∩ B ′ . Com efeito, verifica-se B ′ ⊂ B e assim A ∩ B ′ ⊂ A ∩ B. Tem-se: se
p ∈ A ∩ B então dada cada vizinhança V de p, V ∩ B ≠ ; mas p ∉ B, donde
V ∩ B V ∩ B\p V\p ∩ B ≠ e assim p ∈ B ′ , logo A ∩ B ⊂ A ∩ B ′ . Um
espaço métrico é separado no sentido de Hausdorff i.e., dados dois pontos diferentes, estes
são ”separados” por abertos disjuntos. Considerando os conjuntos A 0, 1,
B 1, 2 ⊂ R, d, é natural dizer-se que estes conjuntos são ”separados”, pois
”percorrendo um destes conjuntos nunca se encontra o outro”; enquanto já a sucessão
1 − 1n em A ”atinge no limite o ponto 1 ∈ 1, 2 C”, e podemos precisar esta diferença
pela seguinte
II.13.2 Definição Dois subconjutos A, B do espaço métrico X, d são separados se
A ∩ B e nehum dos conjuntos contém um ponto de acumulação do outro i.e., se além
disso A ∩ B e A ∩ B .
II.13.3 Exemplos (1) Os subconjuntos 0, 1 e 1, 2 deR, d são separados, enquanto
0, 1 e 1, 2 não são separados. (2) Os subconjuntos A 0, y : 0 ≤ y ≤ 1 e
B x, sin 1x : 0 x ≤ 1 de R 2 , d e , d e a métrica euclideana, não são separados; pois
0, 1 ∈ A ∩ B, já que a sucessão 1/2n /2, 1 → n→ 0, 1 ∈ A,
1/2n /2, 1 ∈ B (esboçar o gráfico).
II.13.4 Definição Um subconjunto C do espaço métrico X, d diz-se disconexo (em
X, d) se existem abertos G, H tais que C ∩ G e C ∩ H são dois conjuntos disjuntos não
vazios cuja reunião é C i.e., portanto, G, H abertos, C ∩ G ≠ , C ∩ H ≠ , C ∩ G ∩ H
e C C ∩ G C ∩ H; diz-se neste caso que G H é uma disconexão de C (em X, d).
E C diz-se um conjunto conexo (em X, d) se e só se não é disconexo em X, d. O espaço
métrico X, d diz-se conexo se X é conexo em X, d.
-155II.13.5 Observação Vemos pela definição que se ≠ C ⊂ X, d, é o mesmo dizer que
C é conexo em X, d ou que o subespaço métrico C, d é um espaço métrico conexo.
II.13.6 Exemplos (1) O subconjunto C 0, 1 1, 2 é disconexo em R, d, d a
métrica usual; (2) R, d, d a métrica usual, é um espaço métrico conexo; veremos adiante
que todo o intervalo de R é conexo em R, d; (3) Dado um conjunto C ⊂ X, d i com mais
de um ponto, d i a métrica discreta, C é disconexo em X, d i ; (4) Em qualquer espaço
métrico X, d, se p ∈ X então p é um conjunto conexo.
II.13.7 Exercício Verifique o Exemplo II.13.6 (3).
II.13.8 Com efeito, se C contém algum ponto além do ponto p, então p e C\p são
dois abertos não vazios em X, d i cuja reunião é C.
II.13.9 Teorema O espaço métrico X, d é conexo se e só se verifica qualquer das
propriedades equivalentes:
i Não existem dois fechados não vazios e disjuntos F 1 , F 2 tais que X F 1 F 2 ;
ii os únicos subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados são e X.
II.13.10 Exercício Demonstre o teorema anterior.
II.13.11 Resolução X, d conexo se e só se não existem abertos G, H ≠ , G ∩ H e
X G H sse não existem fechados F 1 G c , F 2 H c , F 1 ∩ F 2 G H c e
X c G ∩ H c F 1 F 2 i C aberto, C ≠ e C c aberto X C C c ,
C ∩ C c e C, C c abertos e C ≠ C c C X c.q.d.
II.13.12 Proposição Se A, B ⊂ X, d e A, B são conjuntos separados não vazios, então
A B é disconexo.
II.13.13 Exercício Prove a Proposição II.13.12.
c
II.13.14 Resolução A, B sendo separados, tem-se A ∩ B , donde A ⊂ B G; e
c
A ∩ B , donde B ⊂ A H, G, H abertos. Então
A B ∩ G A ∩ G B ∩ G A ≠ , A B ∩ H A ∩ H B ∩ H B ≠ e
A B A B ∩ G H A B ∩ G A B ∩ H. Portanto G H é uma
disconexão de A B, c. q. d.
-156II.13.15 Proposição Se G H é uma disconexão de C em X, d então os conjuntos
C ∩ G e C ∩ H são separados.
II.13.16 Exercício Demonstre a Proposição II.13.15 justificando as passagens seguintes:
1. C ∩ G e C ∩ H são conjuntos disjuntos;
2. o resultado conclui-se provando que se um ponto p é um ponto de acumulação de
C ∩ G então p ∉ C ∩ H.
3. Admitindo com vista a um absurdo que um ponto p é ponto de acumulação de C ∩ G
e p ∈ C ∩ H, tem-se:
i H contém um ponto x ≠ p, x ∈ C ∩ G; ii C ∩ G ∩ H ≠ ;
iii C ∩ G ∩ C ∩ H e conclui-se o resultado.
II.13.17 Resolução 1. Pois pela hipótese G H é uma disconexão de C; 2. pois estando
G e H exactamente nas mesmas hipóteses, ficará provado também que nenhum ponto de
C ∩ H está no conjunto C ∩ G. 3. i pois H é um aberto por hipótese, e p é um ponto de
acumulaçãop de C ∩ G pela hipótese de absurdo; ii por i; iii pela hipótese de G H ser
uma disconexão de C, obtendo-se uma contradição com ii c.q.d.
II.13.18 Teorema Um conjunto C ⊂ X, d é conexo se e só se C não é reunião de dois
conjuntos separados e não vazios.
Dem. Pois se C é disconexo então existe uma disconexão G H de C e pela Proposição
II.13.15 C C ∩ G C ∩ H é reunião de dois conjuntos separados não vazios; e
reciprocamente, toda a reunião de dois conjuntos não vazios e separados é um conjunto
disconexo, pela Proposição II.13.12.
II.13.19 Teorema Se X, d X é conexo e f : X, d X → Y, d Y é uma função contínua,
então o conjunto fX é conexo.
II.13.20 Exercício Demonstre o teorema acima (Sug: por absurdo).
II.13.21 Resolução Admitindo que fX não é conexo, existem abertos não vazios G, H
em fX tais que fX G H. Então V f −1 G ≠ , U f −1 H ≠ , U, V são abertos
em X, e f −1 G f −1 H é uma disconexão de X, pois f −1 G f −1 H f −1 G H,
concluindo-se uma contradição, c.q.d.
-157II.13.22 Observação Se G H é uma disconexão de A em X, d e B é um subconjunto
conexo de A, então tem-se B ∩ H ou B ∩ G e assim verifica-se B ⊂ G ou B ⊂ H.
Com efeito, de A ⊂ G H, G, H abertos não vazios tais que A ∩ G ≠ , A ∩ H ≠ e
A ∩ G ∩ H vem que B ⊂ G H; também G ∩ H ⊂ A c , donde G ∩ H ⊂ B c . Logo se
ambos os conjuntos B ∩ G, B ∩ H fossem não vazios, G H seria uma disconexão de B.
Portanto ou B ∩ H , B ⊂ H c e B ⊂ G H B ⊂ G; ou B ∩ G , B ⊂ H
analogamente.
II.13.23 Teorema Se A, B são dois subconjuntos conexos de X, d que não são
separados, então A B é um conjunto conexo.
II.13.24 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração do
Teorema II.12.23:
1. Basta supor A, B ≠ . Admitamos que A, B satisfazem as condições do enunciado e a
hipótese de absurdo de que existe uma disconexão G H de A B.
2. Tem-se A ⊂ G e A ∩ H ou A ⊂ H e A ∩ G ; e B ⊂ G e B ∩ H ou
B ⊂ H e B ∩ G ;
3. se A ⊂ G e B ⊂ H então os conjuntos A B ∩ G A e A B ∩ H B são
separados; logo ou ambos A, B ⊂ G ou A, B ⊂ H;
4. pode concluir-se o teorema, c.q.d
II.13.25 Resolução 1. Se A B é disconexo, existe por definição uma disconexão de
A B. 2. Pois A ⊂ A B e utilizando II.13.22; analogamente para B; 3. devido a 1., pela
Proposição II.13.15; pois vem de 2. que A B ∩ G A ∩ G B ∩ G A A, e
analogamente A B ∩ H B. E porque G, H estão exactamente nas mesmas hipóteses; 4.
porque se A B ⊂ G ou A B ⊂ H então A B ∩ H ou A B ∩ G (usando
2.) e então G H não é uma disconexão de A B, contradizendo 1., c.q.d.
II.13.26 Propriedade Seja C i : i ∈ A uma classe de subconjuntos conexos de X, d
tal que nenhuns de dois conjuntos C i , C i ′ i, i ′ ∈ A são separados. então
C C i : i ∈ A é um conjunto conexo.
II.13.27 Exercício Prove a propriedade anterior (Sug: obtenha uma demonstração por
redução ao absurdo, utilizando II.13.22 e II.13.23).
II.13.28 Resolução Conforme à sugestão, acrescentemos à hipótese a hipótese de
absurdo (A) de que existe uma disconexão G H de C. Usando II.13.22, cada C i ⊂ G ou
C i ⊂ H. Dados i, i ′ ∈ A, o conjunto C i C i ′ é conexo (II.13.23) e C i C i ′ ⊂ G e
C i C i ′ ∩ H ou C i C i ′ ⊂ H e C i C i ′ ∩ G , atendendo a II.13.22. Como
um C i ⊂ G (ou um C i ⊂ H), então ou todos os conjuntos C i ⊂ G (e C i ∩ H , ∀i ∈ I)
ou cada C i ⊂ H, sendo então sempre C i ∩ G i ∈ A; isto implica C ⊂ G, C ∩ H
ou C ⊂ H, C ∩ G contradizendo (A) c.q.d.
-158II.13.29 Propriedade Se A é conexo em X, d e A ⊂ B ⊂ A então B é conexo em X, d.
Se A é conexo, então A é conexo.
II.13.30 Exercício Demonstre a Propriedade II.13.29 (Sug: redução ao absurdo).
II.13.31 Resolução Suponhamos a hipótese de absurdo que B é disconexo, no contexto
da propriedade, e seja G H uma disconexão de B. Como A é um subconjunto conexo de
B, II.13.22 permite concluir que A ∩ H ou A ∩ G ; admitamos A ∩ H . Então
A ⊂ H c donde, sendo H c fechado, tem-se A ⊂ B ⊂ A ⊂ H c . Portanto B ∩ H , o que
contradiz a hipótese de absurdo. A segunda afirmação é consequência de A ⊂ A, c.q.d.
II.13.32 Definição O espaço métrico X, d diz-se bem encadeado se para cada dois
pontos a, b ∈ X e cada 0, existe uma sequência a 1 , . . . , a n ∈ X n ∈ N tal que
a 1 a, a n b e da i , a i1 ≤ 1 ≤ i ≤ n − 1; diz-se então que a sequência a i ni1 liga a 1
a a n e tem passo ≤ .
II.13.33 Exemplos (1) Utilizando II.12.3, II.12.51 mostra que R, d, d a métrica usual,
é bem encadeado. (2) R, d i , d i a métrica discreta, não é bem encadeado; assim como
X, d i se X não se reduz a um ponto, de modo mais geral.
II.13.34 Propriedade Todo o espaço métrico conexo é bem encadeado.
II.13.35 Exercício Demonstre a propriedade anterior (Sug: Prove que dado o espaço
métrico X, d, se p ∈ X, o conjunto
Xp, x ∈ X : ∃a i ni1 ∈ X n , n ∈ N, a 1 p, a n x, da i , a i1 ≤ , i 1, . . . , n − 1 é
um aberto e fechado não vazio de X, para cada 0).
II.13.36 Resolução Conforme à sugestão, tem-se p ∈ Xp, e Xp, ≠ . Se
a ∈ Xp, e da, b então existem a 1 , . . . , a n ∈ X, p a 1 , a a n tais que
da i , a i1 ≤ i 1, . . . , n − 1. Segue-se que acrescentando o ponto a n1 b se obtem
uma sequência a i n1
i1 que liga p a b e tem passo ≤ ; isto significa que b ∈ Xp, e
∃ 0, B 0 a, ⊂ Xp, , este conjunto é aberto. Também Xp, contém o seu conjunto
derivado, e assim é fechado. Pois se y é um ponto de acumulação de Xp, então existe
uma sucessão x n em Xp, , cujos termos são todos diferentes e diferentes de y e x n → y;
existe n ∈ N tal que dx n , y , logo, sendo a i mi1 uma sequência ligando p a x n de passo
≤ , a sequência a i m1
i1 onde a m1 y liga p a y e tem passo ≤ i.e., y ∈ Xp, . O
Teorema II.13.9 permite concluir que se X, d é conexo, então Xp, X para cada 0,
o que significa que X, d é bem encadeado, c.q.d.
-159II.13.37 Observação Existem espaços métricos bem encadeados e não conexos; por
exemplo, Q, d, d a métrica induzida pela métrica usual de R, não é conexo:
−, 2 2 , é uma disconexão de Q em R, d. No entanto, Q, d é bem
encadeado. Pois dados a, b ∈ Q, a b, seja b − a. Se 0 e m ∈ N verifica
b − a/m ≤ min, então com a i a i i 0, . . . , m, a sequência a i mi0 ∈ Q m1
liga a a b e tem passo ≤ . Tem-se contudo a
II.13.38 Propriedade Se X, d é um espaço métrico compacto, então X é conexo se e só
se é bem encadeado.
II.13.39 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração de
II.13.38:
1. Se X, d é conexo então é bem encadeado. Para a recíproca, admitamos X compacto
e bem encadeado e a hipótese de absurdo A ≡ X não é conexo.
2. Existem dois conjuntos fechados não vazios e disjuntos X 1 , X 2 tais que X X 1 X 2 ;
3. X 1 , X 2 são compactos. Mostremos que
dX 1 , X 2 infda, b : a ∈ X 1 , b ∈ X 2 0:
i se 0 existem a n ∈ X 1 , b n ∈ X 2 tais que da n , b n 1/n;
ii então existiria um ponto p ∈ X 1 ∩ X 2 ; logo não se dá i e 0.
4. Sendo a ∈ X 1 , b ∈ X 2 , existe uma sequência a i ni1 ∈ X n ligando o ponto a ao ponto
b de passo ≤ /2; obtem-se uma contradição e pode concluir-se a propriedade c.q.d. (Sug:
considere o menor ídice i tal que a i ∈ X 2 ).
II.13.40 Resolução 1. Por II.13.34. 2. Pelo Teorema II.13.9, atendendo a 1. 3. Pelo
Teorema II.12.23; i porque 0 significa que dX 1 , X 2 1/n n ∈ N; ii pois da
hipótese X 1 compacto vem que existe uma subsucessão a nk → k a ∈ X 1 pelo Teorema
II.12.30; então existe uma subsucessão b n ′ k de b nk tal que b n ′ k → b ∈ X 2
analogamente. Usando i, tem-se
da, b ≤ da n ′ k , a da n´k , b n ′ k db n ′ k , b → 0 0 0 0 e assim
a b ∈ X 1 ∩ X 2 , o que é impossível e assim 0. 4. Existem a a 1 , . . . , a n b, a i ∈ X
tais que da i , a i1 ≤ /2 uma vez que, por hipótese, X é bem encadeado; com i o menor
índice como na sugestão, tem-se então da i−1 , a i ≤ /2 onde a i−1 ∈ X 1 e a i ∈ X 2 . Isto é
uma contradição com 3., pois implica dX 1 , X 2 ≤ da i−1 , a i ≤ /2 . Concluindo-se um
absurdo, fica provada a propriedade.
II.13.41 Lema Todo o intervalo I de R é conexo em R, d, d a métrica usual.
II.13.42 Exercício Prove o lema, pela justificação dos passos seguintes:
1. Se I p então I é conexo. 2. Se I a, b então I é compacto e bem encadeado,
donde I é conexo. 3. Se a ∈ I então a, x ⊂ I (resp. x, a ⊂ I para cada x ∈ I tal que a x
(resp. x a). 4. Seja a ∈ I. Tem-se
I x, a : x ∈ I, x a a, x : x ∈ I, a x e portanto I é conexo, c.q.d.
-160II.13.43 Resolução 1. Conforme a II.13.6 (4). 2. Pela Propriedade II.12.3; que a, b é
bem encadeado verifica-se analogamente a II.13.37 e usando a Propriedade II.13.38. 3. Pois
I é um intervalo. 4. Aplicando 3., 2. e II.13.26 no caso particular C i : i ∈ A ≠ c.q.d.
II.13.44 Propriedade Um subconjunto não vazio de R é conexo em R, d, d a métrica
usual se e só se é um intervalo.
II.13.45 Exercício Prove a Propriedade II.13.44
II.13.46 Resolução Se I é um intervalo, I é conexo, pelo lema anterior. E se C ≠ e C
não é um intervalo, então existem a, b ∈ C, a b, tais que p ∉ C, certo p, a p b.
Portanto −, p p, é uma disconexão de C e C não é conexo, c.q.d.
II.13.47 Corolário 1 Se f : A ⊂ X, d → R, d R é uma função contínua e A é conexo,
onde d R é a métrica usual, então fA é um intervalo.
II.13.48 Corolário 2 Se I é um intervalo de R e f : I ⊂ R, d R → R, d R é uma função
contínua, onde d R é a métrica usual, então f assume cada valor entre dois valores
fa, fb, a, b ∈ I.
II.13.49 Exercício Demonstre os corolários acima.
II.13.50 Resolução Corolário 1. Pelo Teorema II.13.19, fA é conexo, e o corolário
conclui-se da Propriedade II.13.44. Corolário 2. Aplicando II.13.44 e o Corolário 1, fI é
um intervalo J de R. Supondo fa y fb, a, b ∈ I então fa, fb ⊂ J e portanto
y ∈ fa, fb ⊂ fI o que significa que y é uma imagem y fx, x ∈ I
II.13.51 Exercício Existe alguma função contínua f : 1, 3 ⊂ R, d R → R, d R , d R a
métrica usual tal que f3/2, 2 3/2, 3 ou f3/2, 2 3/2, 5/6 11/12, 23/24?
Porquê? (Sug: II.13.19, II.13.47).
A conexidade e outras noções relativas generalizam-se na sua maioria aos espaços
topológicos. Serão consideradas no Cap. III cujo assunto é Topologia Geral.
-161II.14 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS
II.14.1 Considere o espaço métrico R N , d M .
a Prove que a soma s : x n Nn1 , y n Nn1 x n y n Nn1 e o produto escalar
p : , x n Nn1 x n Nn1 x n Nn1 , y n Nn1 ∈ R N , ∈ R são funções contínuas.
b Conclua que se f : R N , d → R M , d e g : R N , d → R M , d, onde d d e , d d M
ou d d S sao funções contínuas, então f g : R N , d → R M , d , ∈ R é contínua.
II.14.2 Mostre que se f : X, d X → W, d W é uma função contínua então a função
F : X X → 0, , Fx, y d W fx, fy (0, munido da métrica induzida pela
métrica usual de R) é contínua.
II.14.3 Uma classe S constituída por subconjuntos abertos do espaço métrico E, d
diz-se uma subbase da topologia T d associada à métrica se a colecção das intersecccções
finitas dos conjuntos em S é uma base de T d . Assim um espaço métrico é um espaço C2
se e só se tem uma subbase contável.
II.14.4 A função x n , y n supdx n , y n : n ∈ N onde d min1, d e d é a
métrica usual de R, é uma métrica em R N que se chama a métrica uniforme. Esta métrica é
mais fina que a métrica Dx n , y n ∑ n1 dx n , y n /2 n que se considera sobre o produto
em II.9.17, mas as duas métricas não são equivalentes..
II.14.5 Prove que se f é uma bijecção entre os espaços métricos E e F, onde F é
completo, f é uniformemente contínua e f −1 é contínua, então E é completo.
II.14.6 Dado o espaço métrico X, d, existe um completamento X, d de X, d tal que
X ⊂ X. Supondo com efeito que X não é completo, consideremos BX, D como em
II.10.14, a isometria f : X, d → BX, D, x f x como em II.10.20 e o completamento
fX, D, onde se considera o fecho em BX, D. Sejam X X fX\fX e
d : X X → R definida por
dx,
Y
dx,
y
x,
y
∈
X,
dx,
u
du, x Df x , u
x ∈ X, u ∈ fX\fX e du, v Du, v u, v ∈ fX\fX. A igualdade dx, y Df x , f y
permite concluir que d é uma métrica em X. X, d é completo e X é um subconjunto denso
de X, d. (Verifique os detalhes).
II.14.7 Mostre que a diagonal Δ x, x. x ∈ X é um G em cada espaço métrico
X, d. (Sug: Considere fx, y dpr 1 x, y, pr 2 x, y onde as pr i são as funções
projecção).
II.14.8 Verifica-se o teorema de Alexander: o espaço métrico E é compacto se e só se
de cada cobertura aberta de E por abertos numa subbase (II.4.3) pode extrair-se uma
subcobertura finita. (Ver [Kelley]).
II.14.9 Encontra-se em [Dugundji] que um espaço métrico é compacto se e só se cada
cobertura aberta contável do espaço é redutível a uma subcobertura finita.
II.14.10 Se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, diz-se que o ponto a de E é
um ponto aderente da sucessão x n se em toda a vizinhança V de a existe uma infinidade
de valores do índice n para os quais x n ∈ V. Certamente se x n → a então a é um ponto
aderente de x n ; se a é um ponto de repetição x n a para uma infinidade dos n) então
também a é um ponto aderente de x n . Prove que a é um ponto aderente de x n se e só se
existe uma subsucessão x nk → a.
-162II.14.11 A Propriedade de Bolzano-Weierstrass pode enunciar-se: o espaço métrico
E, d é compacto se e somente se toda a sucessão em E tem pelo menos um ponto aderente.
Uma demonstração ([Schwartz]) é como segue. Se E, d é compacto,
A n x n , x n1 , x n2 , . . . , então a sucessão A n é uma sucessão decrescente de fechados
não vazios; portanto (II.12.17) a sua intersecção é não vazia. Verifique que cada ponto
nesta intersecção é um ponto aderente de x n . Para a condição suficiente, obtenha
primeiro os dois resultados seguintes: A ≡ Se toda a sucessão em E tem pelo menos um
ponto aderente, então dada uma cobertura aberta C de E, existe um número 0 tal que
toda a bola de raio ≤ está inteiramente contida num dos abertos de C. (Por redução ao
absurdo; da negação da tese conclui-se que certa cobertura aberta C de E, para todo o
n 1, 2, . . . existe certo a n em E tal que B 0 a n , 1/n não está contida em nenhum conjunto
de C; se a é um ponto aderente de a n , certo aberto O de C contém a. Note que certo n
verifica 1/n ≤ r/2 e para um destes n, da n , a ≤ r/2, onde B 0 a, r ⊂ O). B ≡ Se toda a
sucessão em E, d tem pelo menos um ponto aderente, então para cada 0, é possível
obter uma cobertura de E por um número finito de bolas de raio . (Sug: também por
absurdo. Dado a 1 ∈ E, ou B 0 a 1 , E ou existe um ponto a 2 de E, a 2 ∉ B 0 a 1 , .
Distinga os casos B 0 a 1 , B 0 a 2 , E e B 0 a 1 , B 0 a 2 , ≠ E e assim
sucessivamente, e conclua um absurdo da hipótese de nenhuma destas reuniões finita cobrir
E).
II.14.12 Mostre que se E, d é compacto, então uma sucessão x n em E converge para
a se e só se a é o único ponto aderente de x n .
II.14.13 Conclua do exposto em II.12 e II.7 que todo o espaço métrico compacto é
separável e C2.
II.14.14 Em R, munido da métrica usual, é válida a recíproca de II.12.33. Obtenha uma
demonstração, notando que se C é limitado então existem a, b tais que C ⊂ a, b.
II.14.15 Conclua de II.14.14 que cada bola fechada em R N , d M é um compacto.
Generalize para R N , d e e R N , d S e obtenha o resultado cabal respeitante a II.12.33 em
RN.
II.14.16 Sendo A um conjunto não vazio de cardinal arbitrário, considere-se o produto
cartesiano R A . Seja FA, R o subconjunto de R A formado pelas funções f x para
cada uma das quais existe um conjunto contável Cf n : n ∈ N tal que
f x 0 se ∉ Cf. É uma propriedade da Análise Real que se a série de termos
positivos ∑ n1 a n é convergente, então para cada bijecção de N sobre N, a série
a n é convergente e tem a mesma soma que ∑ n1 a n . Dadas
∑ n1
f x , g y ∈ FA, R tem-se x − y ≠ 0 apenas possivelmente num conjunto
contável C Cf Cg, e portanto a função
dx , y ∑ ∈A x − y 2 ∑ n∈C x n − y n 2 está bem definida no
conjunto l 2 A x ∈ FA, R : ∑ ∈A x 2 (atenda-se à desigualdade de
Minkowski em II.1.3). Esta função d é uma métrica que se considera no conjunto l 2 A.
Verifica-se que l 2 A l 2 B se e só se #A #B e, se #A n n ∈ N então
l 2 A R n , d e . l 2 A é separável (equivalentemente, um espaço C2) se e somente se
#A ≤ # 0 . Ver, por exemplo, [Dugundji].
-163II.14.17 O cubo de Hilbert é o subespaço I x n ∈ l 2 N :∣ x n ∣≤ 1/n n ∈ N de
2
l N. Encontra-se em [Dugundji] que I é homeomorfo ao produto cartesiano n1 I n
onde I n I 0, 1, n 1, 2, . . . I tem interior vazio em l 2 N, e assim o seu
complementar em l 2 N é denso. Como subespaço fechado do espaço métrico compacto
0, 1 N , I é compacto.
II.14.18 Um subconjunto C de R N diz-se convexo se para cada
a 1 , . . . , a N , b 1 , . . . , b N ∈ C, o conjunto
sa, b 1 − ta 1 , . . . , a n tb 1 , . . . , b N : 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ C. É intuitivo que todo o
conjunto convexo é conexo em R N , d e e exemplos simples em R 2 mostram que a
recíproca é falsa; é verdadeira apenas para N 1 (II.13.44).
-164BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO II
[Agudo] _ F. R. DIAS AGUDO ”Lições de Análise Infinitesimal I. Cálculo
Diferencial em R n ”, Livraria Escolar Editora Lisboa (1969)
[Aliprantis; Burkinshaw] _ ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles of
Real Analysis”, Second Edition, Academic Press, Inc. Harcourt Brace Jovanovich,
Publishers Boston . San Diego . New York . Berkeley . London . Sydney .Tokyo . Toronto
(1990).
[Choquet] _ CHOQUET, G. ”Cours d’Analyse Tome II Topologie, Masson et
C ie ,Editeurs Paris (1973).
[Copson] _ COPSON, E. T. ”Metric Spaces”, Cambridge Tracts in Mathematics, 57,
Cambridge University Press Cambridge . New York . New Rochelle : Melbourne . Sydney
(1988).
[Dieudonné] _ DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de Análisis Moderno”, Editorial
Reverté, S. A. Barcelona . Buenos Aires . México (1966).
[Dugundji] _ DUGUNDJI, JAMES ”Topology”, Allyn and Bacon, Inc. (1966).
[Guerreiro] _ GUERREIRO, J. SANTOS ”Curso de Análise Matemática”, Escolar
Editora Lisboa (1989).
[Kaplansky] _ KAPLANSKY, IRVING ”Set Theory and Metric Spaces”, Chelsea
Publishing Company New York (1977).
[Kelley] _ KELLEY, JOHN L. ”General Topology”, Graduate Texts in Mathematics,
27 Springer New York . Berlin . Heidelberg . Barcelona . Hong Kong . London . Milan .
Paris . Singapore . Tokyo (1975).
[Lages Lima] _ LIMA, E. LAGES ”espaços métricos”, impa Instituto de Matemática
Pura e Aplicada . CNPq Brasil (1983).
[Lipchutz] _ LIPCHUTZ, SEYMOUR ”General Topology”, Schaums Outline Series
in Mathematics, McGraw-Hill Book Company New York . St. Louis . San Francisco .
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[Munkres] _ MUNKRES, JAMES R. ”Topology”, Second Edition Prentice Hall, Inc.
London . Sydney . Toronto . Mexico . New Delhi . Tokyo . Rio de Janeiro (2000).
[Rudin] _ RUDIN, WALTER ”Real & Complex Analysis” Second Edition, Tata
McGraw-Hill Publishing Co. Limited New Delhi (1983).
[Schwartz] _ SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie
générale et analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann
Paris (1970).
-165-
III ESPAÇOS TOPOLÒGICOS
-166III.1 UMA AXIOMÁTICA DA TEORIA DE CONJUNTOS.
NÚMEROS ORDINAIS E NÚMEROS CARDINAIS.
O conceito intuitivo de conjunto como uma colecção de objectos no Cap I é
insuficiente para certas aplicações em topologia, nomeadamente os espaços de ordinais.
Notar que por exemplo, a Definição I.6.12 de cardinal de um conjunto C como sendo a
propriedade que C tem de comum com todos os conjuntos equipotentes a C, observámos
em I.6.27 que a relação ≤ entre cardinais não é uma relação binária exactamente no
sentido de I.2.1, pois a colecção de todos os cardinais não é um conjunto, como veremos na
exposiçaão axiomática de teoria de conjuntos que é feita. Seguimos [Dugundji],
formulando uma axiomática baseada na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann, que
não é completa nem formal; não asseguramos também que seja independente, contudo é
suficiente para as aplicações em topologia que consideramos. Certamente é legítimo
considerar, dada uma propriedade p, a classe (colecção) A dos objectos que verificam p,
que notamos A x : p; assim como dadas classes não vazias A, B, podemos considerar
a classe produto cartesiano A B a, a, b : a ∈ A, b ∈ B e notar
a, b a, a, b; considerar uma relação de A em B como uma classe R ⊂ A B e,
no sentido do Cap. I, uma relação binária em A como uma relação de A em A; considerar
uma função de A em B, etc., Em particular, A ⊂ B significa que x ∈ A x ∈ B, todas as
propriedades em I mantendo-se no sentido lato de classe como sendo um conjunto. Mas
como sublinhado em I.1.2, nem toda a propriedade define um conjunto e entendemos que
(de um modo suficientemente geral), uma propriedade p define a classe Ap x : p. Os
objectos (termos) de uma teoria axiomática, assim como as relações entre estes, não podem
definir-se na totalidade: pois na definição de um termo necessariamente surge outro, para
considerar uma relação é preciso entrar em linha de conta com outra.
III.1.1 Consideramos ”classe” como um termo indefinido e ”∈” como uma relação
indefinida entre classes. As variáveis A, A, x, . . . representam classes. Dadas duas classes
A, B,
I. A proposição A ∈ B ou é verdadeira ou é falsa, não havendo outra possibilidade;
II. A ∈ B não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Uma propriedade p é uma fórmula obtida por negação, disjunção ou conjunção, ou
quantificação de relações A ∈ B. Notar que sendo p q equivalente a ~p ∨ q, os
símbolos , podem surgir em fórmulas.
III.1.2 Definição A ⊂ B ∀x, x ∈ A x ∈ B. A B A ⊂ B∧B ⊂ A.
III.1.3 Axioma da individualidade. x ∈ A ∧ x y y ∈ A.
III.1.4 Definição A classe C é um conjunto se existe uma classe A tal que C ∈ A.
-167III.1.5 Axioma da formação de classes. Para toda a propriedade p na qual todas as
variáveis quantificadas sejam conjuntos, e na qual não figure a variável classe A, existe
uma classe A formada exactamente pelos conjuntos que têm a propriedade p; em símbolos
lógicos, x ∈ A x é um conjunto ∧ px. Notamos A x : px ou A x : p.
III.1.6 Observação A classe de Russel A x : x é um conjunto ∧ x ∉ x não é um
conjunto. Pois admitindo que A é um conjunto, então pela definição tem-se: se A ∈ A
então A ∉ A, impossível por II; se A ∉ A então A ∈ A por definição, contrariando II.
Portanto não se verifica A ∈ A nem A ∉ A, o que é impossível atendendo a I.
III.1.7 Notemos que como o exposto no Cap.I, considerando considerando
rigorosamente ”classe” no lugar de aí ”conjunto”, dar uma relação de equivalência numa
classe A é o mesmo que considerar uma partição de A i.e, uma colecção disjunta de
subclasses de A cuja reunião é A.
III.1.8 Axioma do conjunto vazio. Existe o conjunto vazio
x : x é um conjunto ∧ x ≠ x.
III.1.9 Axioma da Formação de pares. Se A, B são conjuntos diferentes, então a classe
A x : x A ∨ x B é um conjunto : representa-se por A, B.
III.1.10 Axioma da Reunião. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos então
A : ∈ A x : ∃ ∈ A, x ∈ A é um conjunto.
III.1.11 Observação Ao considerar uma classe de conjuntos A : ∈ A entende-se
sempre que A deve ser um conjunto, assim como cada A .
III.1.12 Axioma da Substituição. Se C é um conjunto, A é uma classe e F : C → A é
uma função, então fC é um conjunto.
III.1.13 Axioma da Minúcia. Se C é um conjunto, então para cada classe A, C ∩ A é
um conjunto.
III.1.14 Decorre de III.1.12 em particular que se p é uma propriedade tal que
px x ∈ A, onde A é um conjunto, existe a classe
A x : px x : x é um conjunto ∧ px e então
x : p x : x ∈ A ∧ px ∩ A é um conjunto.
-168III.1.15 Axioma do conjunto das partes. Se A é um conjunto, então o conjunto das
partes PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A é um conjunto.
III.1.16 Observação Notar que sendo A uma classe, o conjunto das partes de A é por
definição a classe PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A; quer dizer, por comodidade de
linguagem diz-se pela definição ”conjunto das partes” no lugar rigoroso de ”classe de
subconjuntos” de uma dada classe.
III.1.17 Observação Decorre rigorosamente ([Dugundji]) destes axiomas que
(1) se A : ∈ A é uma classe de conjuntos, então
A : ∈ A x : ∀ ∈ A, x ∈ A é um conjunto;
(2) se A é um conjunto então A é um conjunto;
(3) se A, B são conjuntos então o produto cartesiano A B é um conjunto;
(4) se A, B são conjuntos, então a classe B A de todas as funções de A em B é um
conjunto;
(5) a classe de todos os conjuntos não é um conjunto.
III.1.18 Para verificar (5) em III.1.17 acima, suponhamos que a classe A de todos os
conjuntos é um conjunto. Então sendo Rp a classe de Russel, definida pela propriedade
px ≡ x é um conjunto, vem como consequência do Axioma da minúcia que a classe
Rp A ∩ Rp é um conjunto, contrariando III.1.6.
III.1.19 Axioma da Fundação. Em cada conjunto não vazio A existe um u ∈ A tal que
u ∩ A (i.e., tal que ∀x, x ∈ A x ∉ u).
III.120 Observação Podemos dizer que este Axioma assegura que cada conjunto não
vazio contem ”átomos u” que formam a sua ”fundação”. A partir deste Axioma
concluem-se:
(1) Se A é um conjunto não vazio, então ~A ∈ A; (pois se A ∈ A então pela
propriedade (2) em III.1.17, A seria um conjunto com o único elemento A e o conjunto
A não teria uma fundação.
(2) Se A, B são conjuntos não vazios, é impossível que ambas A ∈ B, B ∈ A sejam
verdadeiras. (Concluir-se-ia uma contradição com o Axioma da Fundação considerando o
conjunto A, B conforme ao Axioma da Formação de pares).
III.1.21 Axioma do Infinito. Existe um conjunto A com as propriedades.
i ∈ A e ii se ∈ A então a a ∈ A.
III.1.22 Observação Conclui-se rigorosamente, utilizando o Axioma do Infinito, que
existem o conjunto N 0 , N, Q, Z, e o conjunto dos números reais R.
-169III.1.23 Observação Seguindo [Dugundji], o único Axioma, de entre os expostos, que
permite formar subconjuntos de um conjunto dado é o Axioma da Minúcia. Torna-se
conveniente aceitar também, para o efeito, o
III.1.24 Axioma da Escolha. Dada uma classe não vazia A : ∈ A constituída por
conjuntos não vazios e dois a dois disjuntos, existe um conjunto S consistindo de
exactamente um elemento de cada um dos conjuntos.
III.1.25 Definição Seja A : ∈ A uma classe de conjuntos. O produto cartesiano
A A : ∈ A é o conjunto de todas as funções c : A → A : ∈ A tais
que ∀ ∈ A, c ∈ A .
III.1.26 Atendendo à propriedade (4) na Observação III.1.17 e a III.1.14, e ao Axioma
da Reunião, a classe A é um conjunto.
III.1.27 Dado A , diz-se também que a projecção de índice , pr : A → A
que associa a cada c x ∈A a imagem x de por c, é a projecção sobre o factor- do
produto, chamando-se ao conjunto A o factor- de A .
III.1.28 Observações
(1) Se cada A tem exactamente um elemento, então A é um conjunto de um só
elemento. Se A então A . Sendo A ≠ , tem-se A no caso de
pelo menos um conjunto A .
(2) Se cada A A, A um conjunto fixo, então pela definição A é o conjunto A A
de todas as funções de A em A.
(3) Considerando A k 0, 2 para cada k 1, 2, . . . , k A k é, conforme a (2), o
conjunto de todas as sucessões cujos termos são n k 0 ou n k 2. A função
f : k A k → 0, 1 ⊂ R dada por fn k ∑ k1 n k /3 k tem por conjunto imagem o
conjunto de Cantor C. Na exposição em [Dugundji], as somas ∑ k1 n k /3 k são as
representações triádicas dos números em C 0, 1\ k1
M k , onde M 1 1/3, 2/3, M 2 é o
subconjunto de 0, 1\M 1 obtido retirando o segundo de cada um dos três subintervalos de
0, 1/3, 2/3, 1 0, 1\1/3, 2/3 (i.e. o intervalo central em cada uma das reuniões
0, 1/3 0, 1/9 1/9, 2/92/9, 1/3 e 2/3, 1 2/3, 7/9 7/9, 8/98/9, 1); ou seja,
M 2 1/9, 2/97/9, 8/9. E assim sucessivamente, M k é a reunião dos subintervalos
fechados que restam após retirar os subintervalos abertos centrais de entre os 2 k−1 intervalos
presentes. Assim C consiste de todos os números reais em 0, 1 tais que não figura " 1" na
sua representação triádica. Pois ao retirar-se M 1 1/3, 2/3 retiraram-se todos os reais em
0, 1 tais que n 1 1 na sua representação triádica; ao retirar M 2 1/9, 2/97/9, 8/9
retiraram-se os números em 0, 1 para os quais figura n 2 1 na representação triádica, e
assim sucessivamente. A função f é, aplicando (2), uma bijecção de 0, 2 N sobre C.
-170III.1.29 Ainda que existindo sempre o conjunto produto cartesiano A da classe de
conjuntos A : ∈ A, é somente com o Axioma da Escolha entre os Axiomas
anteriores, que pode concluir-se que o produto cartesiano não é vazio, na hipótese de cada
conjunto A ser não vazio. De acordo com o exposto no Cap. I, tem-se
III.1.30 Teorema São equivalentes as propiedades:
1. Seja A : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos. Se cada A ≠ , então
A ≠ ;
2. O Axioma da Escolha;
3. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos não vazios (não necessariamente dois a
dois disjuntos) então existe uma função : A → A : ∈ A (o selector de Zermelo
ou função de escolha) tal que ∀ ∈ A, ∈ A .
Podem concluir-se na teoria de conjuntos obtida ([Dugundji]) os seguintes resultados.
III.1.31 Teorema Seja A : ∈ A uma clase de conjuntos, seja B ⊂ A e
considere-se P : A : ∈ A → A : ∈ B definida por Pc c ∣B . Então P é
sobrejectiva; em particular, cada projecção factor-, pr : A → A é sobrejectiva.
III.1.32 Corolário Se A ⊂ B ∈ A então A ⊂ B . Reciprocamente, se
cada A ≠ e A ⊂ B , então A ⊂ B para cada .
Dem. A primeira inclusão é trivial. Para a segunda, como cada pr é sobrejectiva,
obtemos A pr A ⊂ pr B B .
III.1.33 Teorema Seja Y : ∈ A uma classe de conjuntos não vazios. Para cada ,
sejam A , B subcojuntos de Y . Então
i A B A ∩ B ;
ii A B ⊂ A B .
III.1.34 Notação No contexto de III.1.33, designemos, para C ⊂ Y ,
C pr −1
C . E para C 1 ⊂ Y 1 , . . . , C n ⊂ Y n designe-se
C 1 ∩. . . ∩ C n C 1 , . . . , C n . Tem-se
III.1.35 Em Y , 1 C C : ∈ A; 2 C c C c ; 3
C c C c : ∈ A.
-171III.1.36 Utilizando o Axioma da Escolha pode provar-se:
Dada uma classe de conjuntos A : ∈ A e sendo A : ∈ uma partição de A
tal que cada conjunto A ≠ , T A , então
A : ∈ A : ∈ A A t : ∈ : t ∈ T.
III.1.37 Observação Para a inclusão
A : ∈ A : ∈ Δ ⊂ A t : ∈ Δ : t ∈ T, Dugundji (p.25) utiliza
igualdade A : ∈ A : ∈ A t : ∈ : t ∈ T que prova ser
equivalente ao Axioma da Escolha.
III.1.38 Recordar que uma pré-ordem ou quasi-ordem num conjunto A é uma relação
binária em A tal que
1. ∀a ∈ A, a a;
2. a b ∧ b c a c.
A, diz-se então um conjunto pre-ordenado
O elemento m ∈ A diz-se maximal em A se ∀a ∈ A, m a a m i.e., se
nenhum a ∈ A segue m ou cada a que segue m também precede m.
Se B ⊂ A, o elemento a 0 ∈ A diz-se um majorante de B se ∀b ∈ B, b a 0 .
O subconjunto B ⊂ A é uma cadeia em A se dados quaisquer x, y ∈ B se
verifica uma das relações x y, x y ou y x.
Uma pre-ordem com a propriedade adicional a b ∧ b a a b é
uma ordem parcial em A; A, é então um conjunto parcialmente ordenado. Um conjunto
parcialmente ordenado que é também uma cadeia diz-se um conjunto totalmente ordenado.
III.1.39 Diremos que um ordinal ou conjunto bem ordenado é um conjunto
parcialmente ordenado W, ≤ tal que todo o subconjunto não vazio B de W tem
primeiro elemento b, b ∈ B, b ≤ x, ∀x ∈ B. Diz-se também que é uma boa ordem em W.
Se W, é um ordinal, então ∀a, b ∈ W, a b ∧ b a a b.
III.1.40 Notar que todo o ordinal W é um conjunto totalmente ordenado, pois a, b tem
primeiro elemento para cada a, b ∈ W.
III.1.41 Definição Sejam W, um conjunto bem ordenado e q ∉ W. Definindo em
W q a relação por q q e ∀w ∈ W, w q, w ′ w ′′ w ′ w ′′ w ′ , w ′′ ∈ W, a
relação é uma boa ordem em W q que estende a boa ordem de W. Pois para cada
E ⊂ W q, E ≠ , ou E q ou E ∩ W ≠ , caso em que o primeiro elemento de
E ∩ W em W, é o primeiro elemento de E em E, . Diz-se que W q, equipado com
a boa ordem (que habitualmente continua a designar-se por ) é obtido de W por
junção de um elemento.
-172III.1.42 Observação Se o elemento w do ordinal W tem um sucessor x, w x, então w
tem um sucessor imediato w ′ , primeiro elemento do conjunto x ∈ W : w x; w ′ tem as
propriedades w w ′ ∧ ~∃x ∈ W, w x w ′ , x ≠ w ′ . Contudo, um elemento pode não ter
um predecessor imediato: dado w ∈ W, por exemplo se W é um conjunto infinito sem
majorante, q ∉ W, então fazendo a junção W q, q não tem predecessor imediato: dado
a w, existe sempre b ∈ W, a b q, a ≠ b.
III.1.43 Teorema (Ver [Dugundji]) As seguintes asserções são equivalentes:
1. O Axioma da Escolha;
2. Lema de Zorn≡ Dado um conjunto pre-ordenado X, se cada cadeia em X tem pelo
menos um majorante, então existe cem X um elemento maximal;
3. Teorema de Zermelo≡ Todo o conjunto pode ser bem ordenado.
III.1.44 Definição Seja W um ordinal.
1. O subconjunto S ⊂ W diz-se um ideal em W se ∀x ∈ W, x ∈ S ∧ y x y ∈ S.
2. Para cada a ∈ W, o conjunto Wa x ∈ W : x a ∧ x ≠ a diz-se o intervalo
inicial determinado por a.
III.1.45 Observação. W e são ideais em W. Como W tem primeiro elemento, é
também um intervalo inicial, mas W não é um intervalo inicial. Certamente todo o intervalo
inicial é um ideal em W.
Enunciamos sem demonstração as seguintes propriedades (consultar [Dugundji] para
demonstração).
III.1.46 Propriedade
1. Toda a intersecção ou reunião de uma classe de ideais em W (uma tal classe é um
conjunto) é um ideal em W.
2. Se IW é o conjunto de todos os ideais em W e JW é o conjunto de todos os
intervalos iniciais de W, então JW IW\W; os ideais diferentes de W são intervalos
iniciais.
III.1.47 Definição Sendo W, , W ′ , ′ ordinais, uma função f : W → W ′ diz-se um
monomorfismo se preserva a ordem i.e., a b fa ′ fb. f é um isomorfismo se é um
monomorfismo e é uma bijecção.
III.1.48 Observações (1) Certamente a composta de dois monomorfismos é um
monomorfismo. (2) Se f : W → A é um monomorfismo e é uma bijecção, e se W é um
ordinal, então a ordem de A é uma boa ordem e f é um isomorfismo.
III.1.49 Teorema 1. O conjunto IW de todos os ideais de um ordinal W é um conjunto
bem ordenado para a relação ⊂ de inclusão de conjuntos. 2. A função a Wa de W sobre
o conjunto JW dos intervalos iniciais de W é um isomorfismo ( incluido em
JW ⊂ IW).
-173III.1.50 Teorema Sejam W um ordinal e ∑ ⊂ IW uma classe tal que: a Toda a
reunião de conjuntos em ∑ está em ∑; b se Wa ∈ ∑ então também Wa a ∈ ∑.
Então ∑ IW e, em particular, W ∈ ∑.
III.1.51 Teorema (Comparação de ordinais) Sejam W e X ordinais. Então dá-se um e
um só dos casos:
1. Existe um único isomorfismo de W sobre X;
2. Existe um único isomorfismo de W sobre um intervalo inicial de X.
3. Existe um único isomorfismo de X sobre cum intervalo inicial de W.
III.1.52 Teorema (Construção transfinita) Seja W um ordinal, e seja E uma arbitrária
classe. Suponhamos que para cada x ∈ W, é dada uma regra R x associando a cada
: Wx → E um único R x ∈ E. Então: existe uma e uma só função F : W → E tal que
Fx R x F ∣Wx para cada x ∈ W.
III.1.53 Observaçõe (1) Em N 0 , o Teorema III.1.54 tem o enunciado mais simples:
Seja E uma classe arbitrária e seja e ∈ E um dado elemento. Suponhamos que para
cada n, é dada uma função R n : E → E. Então existe uma e uma só função F : N 0 → E tal
que F0 e e Fn 1 R n1 Fn para cada n ∈ N 0 .
Notar que não pode estabelecer-se III.1.54 definindo simplesmente F : W → E pondo
Fx R x F ∣Wx , pois a definição seria circular. O teorema da Construção transfinita
assegura precisamente a existência de F com a propriedade indicada.
III.1.54 Teorema
a) Todo o subconjunto A de um ordinal W é isomorfo a W ou é isomorfo a um ideal de
W.
b) Nenhum intervalo inicial de W é isomorfo a W.
III.1.55 Teorema A classe de todos os ordinais é uma classe bem ordenada para a
relação W ≤ X ≡ W é isomorfo a um ideal de X (e W X significando que W é isomorfo a
X).
III.1.56 Teorem (Indução transfinita) Seja W um ordinal, e seja Q ⊂ W. Se
∀x ∈ W, Wx ⊂ Q x ∈ Q então Q W.
Dem. O primeiro elemento, 0, de W está em Q, pois W0 ⊂ Q. Não existe
primeiro elemento de W\Q em W, pois se x ∈ W\Q então 0 é o primeiro elemento de W\Q;
mas Q é bem ordenado, logo W\Q .
III.1.57 Observações (1) O teorema anterior é muitas vezes utilizado na forma:
(a) Seja x : x ∈ W um conjunto de proposições. Assumindo que: i P0 é verdade
e ii para cada x, a hipótese de ser P verdadeira verdadeira para cada ∈ Wx implica
que também Px é verdadeira, então Px é verdadeira. (2) Em N 0 , o princípio de indução
transfinita é equivalente a: (b) Seja Pj : j ∈ N 0 um conjunto de proposições.
Assumindo que: i P0 é verdadeira e ii para cada j, a hipótese Pj − 1 é verdadeira
implica que também Pj é verdadeora, então: cada Pj é verdadeira. (3) A equivalência de
(a) e (b) em N é consequência de cada elemento em N ter um predecessor imediato em N 0 ,
mas o análogo de (b) não é verdadeiro em geral: considere-se por exemplo N q,
obt5ido por junção de um último elemento q ∉ N; a formulação em (b) não assegura que
Pq seja verdadeira.
-174III.1.58 Observação Como veremos, a classe M de todos os ordinais não é um
conjunto, se bem que seja uma classe bem ordenada. Na classe de todos os ordinais, a
relação W X significando que W é isomorfo a X é uma relação de equivalência, e
poderíamos considerar a classe formada pelas classes de equivalência; seguidamente,
considerando por exemplo o ordinal 1, 2, 3 para a ordem usual, poderíamos considerar a
respectiva classe de equivalência e interpretá-la como sendo o número ordinal 3. Porem
neste processo, tomando, como Frege, um número ordinal como uma classe de
equivalência, então um número ordinal não seria um conjunto. É assim que, seguindo
[Dugundji] pomos:
III.1.59 Definição Um número ordinal é um conjunto com as propriedades:
n1 ≡ x ∈ ∧ y ∈ x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ y x
n2 ≡ x ∈ y ∧ y ∈ x ∈ .
III.1.60 Exemplos é um númro ordinal. , , , , , , são números
ordinais. Nota-se 0, 1, , 2, , , , 3, etc.; estes são os
números ordinais finitos. Em geral, 0, 1, . . . , n − 1 n. Se é um número ordinal,
é também um número ordinal, que se diz o sucessor de .
III.1.61 Observação Dizemos que ”x precede y” em se ”x ∈ y”. A relação ∈ não é
uma ordem parcial, pois x ∈ x é falso. Dado o número ordinal , pondo x ≤ y se e só se
x y ou x ∈ y obtem-se uma ordem parcial ≤ em e, neste entendimento todo o número
ordinal é um ordinal. A relação ∈ entre números ordinais tem as propriedades seguintes.
III.1.62 Propriedade
a Em cada conjunto não vazio A ⊂, existe um único a ∈ A, chamado o primeiro
elemento de A, tal que a ∈ x ∨ a x para cada x ∈ A.
b O primeiro elemento em é .
c Se z ∈ então z é também um número ordinal.
III.1.63 Destaquemos a demonstração de III.1.62 em [Dugundji]. Para a, existe certo
a ∈ A tal que a ∩ A , pelo Axioma da Fundação. i.e., x ∈ A ~x ∈ a. Atendendo a
n1 em III.1.59, o elemento a tem a propriedade requerida. No que respeita a b, se a é o
primeiro elemento de então atendendo a n2, não existe x tal que x ∈ a. Finalmente quanto
a c, consideremos x, y ∈ z. Como x, y ∈ z ∧ z ∈ x, y ∈, verifica-se n1 para
quaisquer elementos de z. Para verificar n2, suponhamos x ∈ y ∧ y ∈ z. Como
acabamos de provar, tem-se uma das relações x ∈ z, z ∈ x, z x; provemos que as
duas últmas são falsas. Para a primeira destas, se z ∈ x então o subconjunto
A x, y, z ⊂ não tem primeiro elemento contrariando a, pois este elemento teria de
ser z, que não é, pois y ∈ z. E se z x então teríamos x ∈ y ∧ y ∈ x, o que contraria o
Axioma da fundação para o conjunto x, y.
III.1.64 Conforme a c em III.1.62, os números ordinais podem considerar-se como
conjuntos ou como conjuntos de conjuntos.. Na mesma referência que seguimos,
estabelece-se seguidamente a unicidade dos números ordinais:
-175III.1.65 Propriedade
a Se , são números ordinais e ≠ , então ⊂ se e só se ∈ i.e., os números
ordinais consistem de todos os seus subconjuntos próprios.
b Se e são números ordinais então ⊂ ou ⊂.
Tem-se então:
III.1.64 Teorema Seja O a classe de todos os números ordinais. Definindo ≤ sse
⊂ tem-se:
1 A relação ≤ é uma boa ordem em O;
2 O não é um conjunto;
3 Para cada ∈ O, o intervalo inicial O e, em particular, é um conjunto;
4 Se E é um conjunto de números ordinais, existe um número ordinal maior que todos
os números ordinais em E (e, de facto, um menor número ordinal maior que todos os
números ordinais de E;
5 Cada sucessão decrescente de números ordinais é necessariamente finita i.e., se
0 ≥ 1 ≥. . . então existe um número ordinal n tal que i ≥ n se i ≥ n;
6 Cada ordinal W é isomorfo a um certo O. Diz-se então que é o número ordinal
de W e nota-se ordW.
III.1.65 Estabelece-se facilmente 2: se O fosse um conjunto, verificaria as condições
n1 e n2, donde seria um número ordinal tal que O ∈ O, o que como sabemos é
impossíavel. Obtem-se então imediatamente III.1.58, pois se a classe M de todos os
ordinais fosse um conjunto, III.1.61 mostra que O ∈ M : é um número ordinal
seria um conjunto atendendendo a III.1.14, já que a propriedade p ≡ é um número ordinal
∈ M.
III.1.66 Seguindo III.1.60, os números ordinais finitos são 0, 1 0,
n 0, 1, . . . , n~1. Dizemos que um ordinal W é finito se ordW n para algum n. O
sucessor do número ordinal nota-se 1. Conclui-se do Axioma do infinito que
existem números ordinais que não são sucessores. Dizem-se números ordinais limite. Notar
que existem números ordinais infinitos que não são números ordinais limite, por exemplo, o
número ordinal do conjunto N 1, 2, , . . . designa-se por ; o número ordinal infinito
1 tem predecessor imediato . Adoptando a notação para intervalos de R,
notamos o intervalo inicial O 0, . Obviamente ord0, .
III.1.67 Observação Consideraremos O como uma classe bem ordenada de ordinais,
contendo exactamente um representante de cada classe de equivalência de ordinais
isomorfos.
-176III.1.68 Os ordinais relacionam-se com a contagem: para contar, começamos por um
elemento e tacitamente consideramos uma boa ordem. O conceito de cardinal relaciona-se
apenas com tamanho: para saber se um conjunto tem mais elementos que outro, precisamos
apenas de associar cada elemento de um conjunto a outro, e ver se sobram ou faltam. Deste
modo, no Cap. I, definimos dois conjuntos como sendo equipotentes se existe uma bijecção
de um sobre o outro. A equipotência é obviamente uma relação de equivalência na classe
de todos os conjuntos; deste modo divide a classe de todos os conjuntos nas classes de
equivalência, que são as classses de equipotência. Notamos X equipotente a Y por
”cardX cardY”.
III.1.69 Observação Dois ordinais diferentes podem ser equipotentes. Por exemplo, os
ordinais 0, e 0, não são isomorfos, pois nenhum intervalo inicial de um ordinal pode
ser isomorfo ao ordinal (Teorema III.1.54 b)); no entanto, 0, n n 1 é uma
bijeccção do primeiro conjunto sobre o segundo. Esta é uma diferença importante entre
ordinais finitos e ordinais infinitos: para ordinais infinitos, o número ordinal depende de
ambos o tamanho do conjunto e a maneira como os elementos são contados. A
decomposição da classe de todos os ordinais em classes de equipotência é diferente da
decomposição de O em clases de equivalência para a relação de isomorfismo. Cada classe
de isomorfismo pertence a uma classe de equipotência, mas uma classe de equipotência
contem geralmente muitas classes de isomorfismo; como por exemplo a classe de
equipotência que contem , 1, cada 2 1 1, n n − 1 1.
Correspondendo ao exposto no Cap. I, põe-se
III.1.70 Definição Dados conjuntos X, Y nota-se cardX ≤ cardY para significar qu
existe uma injecção de X em Y.
III.1.71 Observações Concluem-se.
(1) cardA ≤ cardX se A ⊂ X;
(2) se existe uma sobrejecção f : X → Y então cardY ≤ cardX.
III.1.72 Associamos um símbolo, chamado o número cardinal de X a cada conjunto X
de tal modo que dois conjuntos têm o mesmo número cardinal se e só se são equipotentes,
do modo seguinte. Uma vez que cada conjunto pode ser bem ordenado, a cada classe de
equipotência pertence pelo menos um número ordinal; e sndo a classe O dos números
ordinais bem ordenada, existe na classe de equipotência de X um menor número ordina, o
número ordinal inicial da classe. Representamos este número ordinal inicial por X, e
dizemos que é o número cardinal de X.
III.1.73 Observações (1) Um número cardinal é um número ordinal que não é
equipotente a nenhum número ordinal menor. X é o menor número ordinal a que X é
equipotente, tomado com conjunto standard equipotente a X. (2) Certamente
X X. Verifica-se W ≤ ordW para todo o ordinal W. (3) Notar que
0, ≨ ord0, 1 (III.1.66).
-177III.1.74 Reservam-se símbolos especiais para certos números cardinais. Nota-se
0, 1, . . . , n n Um conjunto X é finito se e só se X n para algum n;
doutro modo o conjunto diz-se que é infinito, e que o seu número cardinal é um
número cardinal transfinito. Representa-se N 0 (temos notado # 0 ). Os conjuntos X
tais que X ≤ 0 são os contáveis e, se 0 ≨ X dizemos que X não é contável. A
notação com o símbolo hebraico para números cardinais é complementada com ordinais
do modo seguinte: para cada número cardinal , 0 ≤ , o conjunto : 0 ≤ ≤ é
bem ordenado; é portanto isomorfo a um ideal C em C. Convenciona-se então notar
.
III.1.76 Observações (1) Para distinguir, nota-se para significar N munido da ordem
usual e 0 para N. (2) A hipótese do contínuo consiste na igualdade 1 c; a hipótese
generalizada do contínuo é que para cada número ordinal , P 1. (3) No
contexto rigoroso que seguimos para definir X, prova-se que dados conjuntos X, Y se
tem cardX ≤ cardY X ≤ Y. (4) Obtêm-se definições e propriedades
correspondentes às vistas no Cap. I para operações com números cardinais. (5) A reunião
contával de conjuntos contáveis é um conjunto contável.. (6) Obtêm-se as propriedades
correspondentes às expostas no Cap. I. Em particular, obtem-se que dado um conjunto X,
tem-se X ≨ PX. Observemos que a classe C dos números cardinais não é um
conjunto, e é uma classe bem ordenada por III.1.70. 0 é o menor número cardinal e 0 é o
menor número cardinal transfinito. (7) Se não tem predecessor imediato, diz-se que o
número cardinal é um número cardinal inacessível. (8) O facto que 0 é o menor
número cardinal transfinito significa que cada conjunto infinito contem um conjunto
contável, propriedade que revemos do Cap. I.
III.1.77 Observação De notar que, numa Axiomática de teoria de conjuntos sem a
Hipótese do contínuo, tudo o que pode afirmar-se da relação entre o menor número cardinal
maior que 0 o qual notamos 1 , e o contínuo, é que 1 ≤ cardR cardPN c.
Ressalvando que admitimos a Hipótese do contínuo na teoria de conjuntos, cuja
Axiomática foi formulada, nos parágrafos que seguem, pomos contudo a definição geral
III.1.78 Definição Representamos por o número cardinal 1 que é o menor número
cardinal maior que o numerável 0 , quando considerado como um número ordinal em O.
Dizemos que é o primeiro ordinal não contável.
III.1.79 Teorema (1) O intervalo inicial O 0, tem a propriedade de cada
subconjunto finito ter um supremo em 0, . (2) Cada subconjunto contável de 0, tem
um supremo em 0, .
Dem. (1) é óbvio. Para (2), seja A ⊂ O um conjunto contável. Designe S o ideal
O
: ∈ A ⊂ 0, , já que a reunião de conjuntos contáveis é um conjunto
contável (III.1.76 (5)). Como não é equipotente a nenhum número ordinal menor e
O ≤ 0 para cada ≨ , temos S ≤ 0 ≨ 1 O. Portanto S não é
isomorfo a 0, e, atendendo a III.1.47 2., S 0, para algum ≨ , é o supremo de
A, c.q.d.
-178III.2 ESPAÇO TOPOLÓGICO E BASE DE UMA TOPOLOGIA
III.2.1. Definição pela classe dos abertos
Seja X um conjunto não vazio. Diz-se que a classe T ⊂ PX é uma topologia sobre X
se tem as propriedades
T1 , X ∈ T
T2 A ∈ T ∈ A A : ∈ A ∈ T
T3 A 1 , A 2 ∈ T A 1 ∩ A 2 ∈ T
Se T é uma topologia sobre X, o par X, T é um espaço topológico; os conjuntos que
constituem a topologia chamam-se os conjuntos abertos da topologia, ou do espaço
topológico. Podem considerar-se diferentes topologias sobre X, se X não se reduz a um
elemento; não havendo risco de confusão uma vez estabelecida a topologia que se
considera, nota-se apenas X para designar o espaço topológico.
No que segue supomos X um conjunto não vazio.
III.2.2 Exemplos (1) A classe G , X é uma topologia sobre X, a topologia
grosseira ou topologia grossa de X. (2) D PX é a topologia discreta de X. (3) A classe
, A ⊂ X : A c é finito diz-se a topologia cofinita de X. (4) Se X 0, 1, a classe
S , 0, 0, 1 é a topologia de Sierpínski. (5) A classe
, X, a, c, p, a, c, p, b, c, p, q é uma topologia sobre o conjunto X a, b, c, p, q.
(6) O Teorema II.5.4 mostra que se E, d é um espaço métrico, a topologia da métrica T E é
um exemplo de uma topologia sobre E.
III.2.3 Observação Sendo d R a métrica usual de R, é importante em Análise a topologia
sobre R definida do modo seguinte: um conjunto não vazio é aberto se e só se, cada vez que
lhe pertence um ponto p, o conjunto contém um intervalo aberto de centro p. Esta é a
topologia usual U de R; trata-se de um caso particular do exemplo (6) em III.1.2.
III.2.4 Definição Cada conjunto complementar de um conjunto aberto no espaço
topológico X, T diz-se um conjunto fechado
III.2.5 Exercícios 1. Verifique os Exemplos (3), (4), (5) e indique quais os conjuntos
fechados. 2. A que condição deve obedecer X para que as topologias em (2) e (3)
coincidam? Justifique. 3. As classes T 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 3, 4, 5, e
T 2 1, 2, 3, 4, 5, são topologias sobre o conjunto X 1, 2, 3, 4, 5? E a classe
T , A ⊂ X : 5 ∈ A? Justifique.
-179III.2.6 Resoluções 1. (3) T1 é verificada, pois X c é um conjunto finito; T2 se
cada A ⊂ X satisfaz A c finito, então A : ∈ A c A c : ∈ A é finito; T3
A 1 ∩ A 2 c A c1 A c2 é um conjunto finito se ambos A c1 , A c2 são finitos.
Os conjuntos fechados são X e os conjuntos finitos. (4) Verifica-se T1. Dado que S é
uma classe finita e a reunião ou intersecção de quaisquer dois conjuntos em S está em S,
T2 e T3 são verificadas. Os conjuntos fechados são , 0 e 0, 1. (5) T1 é satisfeita;
T2 é verificada por a, c, p, a, c, p e a reunião de qualquer um destes conjuntos com
b, c, p, q está ainda na classe; T3 as intersecções de dois conjuntos diferentes de , X são
∈ T, a ∈ T ou c, p ∈ T. Os fechados (complementares dos abertos) são , X,
b, c, q, p, a, a, b, q e b, q. 2. Deve ser X finito, pois obtem-se a topologia PX; mas
se o conjunto X não é finito não se obtem a topologia discreta de X, pois se p ∈ X então
p c não é um conjunto finito. 3. T 1 não é uma topologia sobre X, pois a intersecção
3 1, 2, 3 ∩ 3, 4, 5 ∉ T 1 . T 2 não é, pois X ∉ T 2 . T 3 é uma topologia, porque
verifica T 1 , T 2 e T 3 .
III.2.7 Definição Diz-se que um espaço topológico X, T, ou a topologia T de X é
metrizável se existe uma métrica d sobre X tal que T é a topologia T X do espaço métrico
X, d (ver II.5.1 e II.5.4).
III.2.8 Observação II.5.3 mostra que o espaço topológico discreto X, D é metrizável.
Se c é um número real positivo, D é a topologia do espaço métrico X, d, onde d é a
métrica sobre X, dx, y 0 x y, dx, y c x ≠ y. O espaço do Exemplo (3) acima
não é metrizável, se X é um conjunto infinito. (4) e (5) não são metrizáveis. (6), e em
particular a topologia usual de R, é metrizável pela definição.
III.2.9 Vemos em III.1.6 que uma mesma topologia metrizável pode ser dada por duas
métricas diferentes.
III.2.10 Exercícios (1) Prove que se M, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, a
classe T L, onde U ∈ L se e só se verifica a condição x ∈ U ∧ y ≤ x y ∈ U é
uma topologia sobre M. (2) Mostre que a classe formada por e cada subconjunto C de N
tal que, se n ∈ C então todos os divisores de n estão em C, é uma topologia sobre N que é
diferente da topologia discreta D PN.
III.2.11 Observação Conforme a III.1.2 (6), a classe U dos conjuntos O da forma
O x − x , x x : x ∈ C, C ⊂ R x 0 é uma topologia sobre R, a topologia
usual de R. Tem-se U I : ∈ A : I é um intervalo aberto, A é um qualquer
conjunto de índices. Notar que a reunião vazia ∈ U, R R : R ∈ R ∈ U, a
reunião I , : , ∈ A : ∈ Γ I , : , ∈ A : ∈ Γ e,
quanto a T3, tem-se
I : ∈ A ∩ I : ∈ B I ∩ I : , ∈ A B. A classe I dos
intervalos abertos de R verifica I : I ∈ C R e se I, J ∈ C e I ∩ J ≠ então para cada
ponto p ∈ I ∩ J, certo L ∈ C verifica p ∈ L ⊂ I ∩ J. Põe-se
-180III.2.12 Definição Se X, T é um espaço topológico, a classe B ⊂ T é uma
base da topologia T se tem as propriedades equivalentes
B ≡ ∀O ∈ T, ∃B O ⊂ B, O B : B ∈ B O i.e., cada aberto é uma reunião
generalizada de conjuntos na base;
B ′ ≡ ∀O ∈ T, ∀x ∈ O, , ∃B x ∈ B : x ∈ B x ⊂ O.
III.2.13 Se B é base da topologia T e B 1 , B 2 ∈ B então B 1 ∩ B 2 é um aberto; logo B
verifica a condição: quaisquer que sejam B 1 , B 2 ∈ B, se x ∈ B 1 ∩ B 2 , existe B x ∈ B tal que
x ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2.
III.2.14 Exemplos (1) Qualquer topologia T é uma base de T. A classe I em III.1.10 é
uma base da topologia usual de R. (2) Dado X ≠ , a classe p : p ∈ X dos conjuntos
singleton de X é uma base da topologia discreta D de X. (3) X é uma bae da topologia
grossa de X ≠ . (4) Se F é um filtro sobre X, F é uma base da topologia F sobre X.
Continuamos a supor X ≠ .
III.2.15 Observação Decorre de B ′ em III.1.12 que X B : B ∈ B. Se uma
classe C ⊂ PX verifica X B : B ∈ C e a condição em III.1.13 então a classe das
reuniões generalizadas de conjuntos em C é um topologia T C sobre X.
III.2.16 Exercício Verifique a Observação III.1.10.
III.2.17 Resolução Tem-se B : B ∈ ∈ T C , X ∈ T C . Dadas
O B , : ∈ A ∈ Γ tem-se
O : ∈ Γ B , : ∈ Γ, ∈ A ∈ T C . E quanto a T3 verifica-se que dados
B, B ′ ∈ C, o conjunto B ∩ B ′ ⊂ B ′′ : B ′′ ⊂ B ∩ B ′ uma vez que cada x ∈ B ∩ B ′
pertence a certo B x ⊂ B ∩ B ′ ; e B ′ ∩ B ′′ ⊃ B x : B x ⊂ B ∩ B ′ , logo
B ∩ B ′ B x : B x ⊂ B ∩ B ′ . Então dados O B : ∈ A, B ∈ C e
O ′ B ′ : ∈ A ′ , B ′ ∈ A ′ tem-se
O ∩ O ′ B ∩ B ′ : , ∈ A A ′ B x : x ∈ B ∩ B , , ∈ A A ′ ∈ T C
como consequência de, já provado, T2.
III.2.18 Definição Diz-se que a classe C ⊂ PX é base para uma topologia sobre X se
B1 X B : B ∈ C;
B2 Para cada dois conjuntos B 1 , B 2 em C e cada ponto x ∈ B 1 ∩ B 2 , certo conjunto B x
na classe C existe tal que x ∈ B x ⊂ B 1 ∩ B 2 .
A topologia T C diz-se que é a topologia gerada pela base C, ou que a classe C
gera a topologia T.
-181III.2.19 Observações (1) Nem toda a classe não vazia M ⊂ PX é base para uma
topologia sobre X, ainda que M satisfaça B1). Por exemplo, com X a, b, c, a classe
M a, b, b, c não pode ser base de uma topologia sobre X: Pois a intersecção dos
abertos b a, b ∩ b, c deveria ser um aberto, logo reunião de conjuntos na classe
M. (2) A condição B2 em III.1.15 verifica-se em particular se para cada B 1 , B 2 ∈ C, a
intersecção B 1 ∩ B 2 ∈ C. (3) Em se constatando que uma classe C ⊂ PX verifica sa
condições B1 e B2, obtem-se uma topologia sobre X, nomeadamente a topologia T C
(Observação III.1.15). (4) Dada uma classe não vazia S ⊂ PX, se B é uma para uma
topologia T sobre X e B ⊃ S, então B é uma base de T e cada conjunto em S é um
aberto.(4) Se em particular em (2), C é uma partição de X, a classe das reuniões
generalizadas dos conjuntos em C é uma topologia sobre X.
III.2.20 Exercício Prove que se B, B ∗ são bases para topologias T e T ∗
respectivamente sobre X, então T ∗ ⊃ T se e só se é verificada a relação ∀B ∈ B,
∀p ∈ B, ∃B ∗ ∈ B ∗ : p ∈ B ∗ ⊂ B.
III.2.21 Resolução Condição necessária: Se T ∗ ⊃ T e p ∈ B, onde B ∈ B então B é
aberto em X, T; pelo teorema anterior, existe B ∗ ∈ B ∗ tal que p ∈ B ∗ ⊂ B. Condição
suficiente: Na hipótese dada, cada B ∈ B é uma reunião generalizada B B ∗p : p ∈ B
onde para cada p ∈ B, B ∗p ∈ B ∗ satisfaz p ∈ B ∗p ⊂ B (Verifique). Donde se O ∈ T tem-se
O B : ∈ A B ∗,p : p ∈ B : ∈ A B ∗,p : ∈ A, p ∈ B ∈ T ∗
e T ⊂ T∗.
III.2.22 Dada uma cadeia não vazia X, ≤, onde pomos a ≨ b com o significado óbvio
a, b ∈ X, notando a, b x ∈ X : a ≨ x ≨ b um intervalo aberto de X, tem-se que a
intersecção dos intervalos a, b ∩ c, d ou é vazia ou é um intervalo aberto; em particular a
classe dos intervalos abertos de X verifica a condição B2 em III.1.18. Se X não tem
elemento mínimo nem elemento máximo, então cada ponto x ∈ X pertence a um intervalo
de X, e verfica-se também a condição B1. Supondo que existe um elemento mínimo a 0
(respectivamente um elemento máximo b 0 ) em X, verifica-se facilmente que a classe
constituída pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma
a 0 , b x ∈ X : a 0 ≤ x ≨ b (resp. pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma
a, b 0 x ∈ X : a ≨ x ≤ b 0 ) de X é uma base para uma topologia sobre X. Esta é a
topologia da ordem de X, ≤.
III.2.23 Exemplos (1) A topologia usual de R é a topologia da ordem usual. (2) Em R 2
pode considerar-se a ordem lexicográfica x, y ≤ a, b sse x ≨ a ou x a ∧ y ≤ b e
obter sobre o plano cartesiano a respectiva topologia da ordem. Sugere-se representar
graficamente as possibilidades para um intervalo aberto.
III.2.24 Exemplo A topologia U sobre R gerada pela classe I a, b : a, b ∈ R é
a topologia do limite superior U de R. Para esta topologia, cada intervalo a, b a ≨ b é
um aberto. Analogamente se obtem a topologia do limite inferior U − , gerada pela classe
I − a, b : a, b ∈ R.
III.2.25 Exercício Verifique que as classes I , I − são bases para uma topologia.
-182III.2.26 Resolução Considerando I , tem-se R −n, n : n ∈ N. Também a
intersecção de dois intervalos da forma a, b é um intervalo da mesma forma se não é
vazia. Analogamente para I −
III.2.27 Definição Dadas topologias T e T ∗ sobre X, diz-se que T ∗ é mais fina que T ou
que T é menos fina que T ∗ se T ∗ ⊃ T. T ∗ é estritamente mais fina que T (T estritamente
menos fina que T ′∗ ) se T ∗ T.
III.2.28 (1) Mostre que a topologia do limite superior I sobre R é estritamente mais
fina que a topologia usual U de R. (2) Mostre que no conjunto parcialmente ordenado
M, ⊂, M a classe das topologias sobre X, existe máximo e mínimo.
III.2.29 Resoluções (1) A classe I dos intervalos abertos em III.1.7 gera U. Tem-se
−, b −n, b − 1/n : n ∈ N logo cada intervalo −, b ∈ T I ; como cada
a, a, a n : n ∈ N ∈ T I conclui-se que cada intervalo aberto
a, b ∈ T I U . Portanto U ⊃ I, donde U ⊃ U. O conjunto 0, 1 é aberto em R, U
mas não é aberto em U, logo U é estritamente mais fina que U. (2) Dado X, tem-se
G ⊂ T ⊂ D para cada topologia T sobre X.
III.2.30 Exercício Seja C0, 1 o conjunto das funções reais contínuas sobre 0, 1.
a Prove que as seguintes classes são bases para topologias sobre C0, 1:
1
i a classe M formada pelos conjuntos Mf, g ∈ C0, 1 : ∣ f − g ∣
0
f ∈ C0, 1, 0, onde o integral é o integral à Riemann ou à Lebesgue;
ii B constituída pelos conjuntos
Uf, g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 ;
iii a classe L dos conjuntos
Uf, W, g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ W onde W é um subconjunto
finito de 0, 1, 0.
b Mostre que T B é mais fina que T L .
c Prove que T M e T L não são comparáveis no conjunto parcialmente ordenado
M0, 1, ⊂, M0, 1 a classe das topologias sobre C0, 1.
d T M é metrizável? T B é metrizável? Justifique.
III.2.31 Resolução
a i Sendo f 0 x 0 0 ≤ x ≤ 1 tem-se C0, 1 Mf 0 , n : n ∈ N. Dadas
f 1 , f 2 ∈ C0, 1, 1 , 2 0, se f ∈ Mf 1 , 1 ∩ Mf 2 , 2 então para cada g ∈ Mf, , onde
1
1
min 1 − ∣ f − f 1 ∣, 2 − ∣ f − f 2 ∣ tem-se
1
0
1
0
1
1
1
0 ∣ g − f ∣ 0 ∣ g − f i ∣≤ 0 ∣ g − f ∣ 0 ∣ f − f i ∣ 0 ∣ f − f i ∣≤ i
i 1, 2 donde Mf, ⊂ Mf 1 , 1 ∩ Mf 2 , 2 .
ii Com f 0 como em i, tem-se C0, 1 Uf 0 , n : n ∈ N. Dados
Uf 1 , 1 , Uf 2 , 2 , dada f ∈ Uf 1 , 1 ∩ Uf 2 , 2 ,
min i − sup∣ fx − f i x ∣: 0 ≤ x ≤ 1, i 1, 2 verifica
sup∣ gx − fx ∣ sup∣ gx − f i x ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ f i x − fx ∣: 0
i 1, 2 e Uf, ⊂ Uf 1 , 1 ∩ Uf 2 , 2 .
-183iii Sendo f 0 como em i, ii, W 0, tem-se C0, 1 Uf 0 , 0, n : n ∈ N.
Também dados W 1 , W 2 subconjuntos finitos de 0, 1, 1 , 2 0 e dadas
f i , i 1, 2 ∈ C0, 1, f ∈ Uf 1 , W 1 , 1 ∩ Uf 2 , W 2 , 2 então com
min i − sup∣ fx − f i x ∣: x ∈ W i : i 1, 2 0, W W 1 W 2 encontra-se
g ∈ Uf, W, sup∣ gx − f i x ∣: x ∈ W i supf i x − fx ∣: x ∈ W i ≤ i
i 1, 2. assim Uf, W, ⊂ Uf 1 , W 1 , 1 ∩ Uf 2 , W 2 , 2 .
b Utilizando III.1.17, temos. dado Uf, W, e dada g ∈ Uf, W, então com
− sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 0 verifica-se Ug, ⊂ Uf, W, .
Efectivamente,
sup∣ gx − x ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ fx − x ∣: x ∈ W . (Preencha os
detalhes). Assim, III.1.17 mostra que T B ⊃ T L .
c Se dadas f, g ∈ C0, 1 tais que g ∈ Mf, 1 mostrarmos que não existem um
subconjunto finito W e 0 para os quais Ug, W, ⊂ Mf, 1 teremos provado que
Mf, 1 não é reunião generalizada de conjuntos em L, donde T L não é mais fina que T M .
Com efeito, qualquer que seja 0 e para cada subconjunto finito W x1, . . . , xn de
0, 1, g ∈ Mf, 1, tem-se: se W x1 0, existe uma função contíunua crescente
: 0, 1 → R tal que 0 g0 /2 e x 2 ∣ g0 ∣ ∣ fx ∣
1/2 ≤ x ≤ 1; vem ∈ Ug, W, mas ∉ Mf, 1.
Analogamente se W 1, considerando certa C0, 1 decrescente, tal
que 1 g1 /2. Para outros conjuntos finitos W vê-se facilmente que existe uma
1
função contínua ∈ C0, 1 tal que xi gxi 1 ≤ i ≤ n e ∣ − f ∣≥ 1.
0
Então ∈ Ug, W, \Mf, 1.
Reciprocamente, podemos também considerar, dadas g, f tais que g ∈ Uf, W, 1 e
sendo 0, uma função ∈ C0, 1 tal que ∈ Mg, \Uf, W, 1: existe uma função
contínua : 0, 1 → R tal quex k ∣ gx k ∣ 1, onde x k ∈ W verificando
1
∣ g ∣ .
0
1
d A métrica d 1 f, g ∣ f − g ∣ em II.4.4 (5) a) verifica que a bola aberta
0
B 0 f, Mf, . Assim a topologia T M é metrizável. Verifica-se facilmente, utilizando a
desigualdade supa b : ∈ A ≤ supa : ∈ A supb : ∈ A que a função
df, g sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 é uma métrica sobre C0, 1; tem-se para a bola
aberta B 0 f, Uf, , donde a topologia T B é a topologia do espaço métrico C0, 1, d.
III.2.32 Observação Dada qualquer classe não vazia H de subconjuntos de X, existe
uma topologia TH sobre X tal que H ⊂ TH ⊂ T para toda a topologia T sobre X tal
que todo o conjunto em H é aberto no espaço topológico X, T. De facto, a classe
n
H ∗ k1
C k : C k ∈ H, n ∈ N é uma base de TH, que é portanto a menor
topologia sobre X, no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂ das topologias sobre X, que
contém a classe H.
III.2.33 Exercício Verifique a observação acima.
III.2.34 Definição Dada uma classe de conjuntos H ⊂ PX, a topologia TH diz-se
a topologia que tem H como subbase.
III.2.35 Observações (1) Notar que toda a classe não vazia de subconjuntos de X é
subbase de uma topologia sobre X. (2) Seguindo III.2.19 (4), se S é uma subbase de T, e B é
uma base de T, a classe das intersecções finitas de conjuntos em S é uma base B ′ de T,
B ′ ⊂ B.
-184III.2.36 Exemplo Se Γ é um número ordinal, podemos considerar sobre o conjunto de
ordinais 0, Γ ∈ M : 0 ≤ ≤ Γ onde M é a classe de todos os ordinais, a topologia
que tem como subbase os intervalos 0, ∈ M : 0 ≤ e
, Γ ∈ M : ≤ Γ. Obtem-se assim o espaço ordinal 0, Γ e podemos
considerar o subespaço 0, Γ. Os conjuntos , ∈ M : formam uma
base da topologia. Notar que , é aberto se e só se 0 ou tem um predecessor
imediato. Também um sigleton , ≠ Γ, é aberto se e só se tem um predecessor
imediato.
III. 2.37 Definição Dada uma classe não vazia N T : ∈ A de topologias sobre
o conjunto X, a topologia supremo ∨T : ∈ A da classe N é a topologia sobre X que
tem a classe T : ∈ A como subbase.
III.2.38 Observação Verifica-se facilmente que ∨T : ∈ A ⊃ T ∈ A e, se T
é uma topologia sobre X mais fina que todas as T , então T ⊃ ∨T : ∈ A. Também
∧T : ∈ A T : ∈ A é uma topologia menos fina que cada T e, se a
topologia T 0 é menos fina que cada T então ∧T : ∈ A é mais fina que T 0 . Conclui-se
a
III.2.39 Propriedade Dado um conjunto X, existem o ínfimo e o supremo de cada
conjunto no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂ de todas as topologias sobre X.
III.2.40 Exercício Considere as classes B a, : a ∈ R,
B − −, b : b ∈ R.
a Mostre que B e B − são bases para topologias U e U − respectivamente sobre
R.
b Prove que em U (U − ) qualquer intersecção generalizada de abertos é um aberto.
c Qual é a topologia ∨U , U − ?
III.2.41 Exemplo As classes , X, 0 e , X, 1, X −1, 0, 1, mostram que a
reunião de duas topologias sobre X pode não ser uma topologia sobre X.
-185III.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO
III.3.1 Vimos que dada uma classe não vazia C de subconjuntos de X, a colecção das
reuniões generalizadas de conjuntos na classe não é necessariamente uma topologia sobre
X, pois a intersecção de dois abertos deve ser um aberto, os conjuntos em C devem ser
abertos, e a condição B2 em III.1.18 pode não ser verificada pela classe C. Respondendo à
questão com a própria pergunta, a classe das intersecções finitas de conjuntos em C (III.1.33
e III.1.34) é uma base B da topologia T sobre X que tem C como subbase. Se considerarmos,
dada a base B, conjuntos V x tais que para cada x ∈ B 1 ∩ B 2 se verifique
x ∈ B x ⊂ V x ⊂ B 1 ∩ B 2 , B x ∈ B na condição B2 em III.I.18, obtemos conferindo III.1.17
que cada intersecção de dois conjuntos na base B é reunião generalizada dos conjuntos V x e
assim cada aberto A de T é uma reunião A V x : x ∈ A.
III.3.2 Definição Dados o espaço topológico X, T, p ∈ X, diz-se que o subconjunto V
de X é uma vizinhança do ponto p se existe um aberto O ∈ T tal que p ∈ O ⊂ V.
Designa-se por V p a classe das vizinhanças do ponto p.
III.3.3 Teorema Um subconjunto A de um espaço topológico X, T é aberto se e só se
A é vizinhança de cada um dos seus pontos.
Dem. Certamente não deixa de verificar a condição dada e X é vizinhança de cada
ponto p ∈ X. Se A é um aberto, de p ∈ A ⊂ A vemos que A é vizinhança de cada um dos
seus pontos. Reciprocamente, se para cada x ∈ A existe um aberto O x tal que x ∈ O x ⊂ A
então A ⊂ O x : x ∈ A ⊂ A donde A O x : x ∈ A é um aberto.
III.3.4 Propriedade A classe V p das vizinhanças de um ponto p ∈ X, T é um filtro
sobre X e verifica as propriedades
i Se V ∈ V p então p ∈ V
ii Se U, V ∈ V p então U ∩ V ∈ V p
iii Se V ∈ V p e U ⊃ V então U ∈ V p
iv Dada U ∈ V p existe para cada x ∈ U certa V ∈ V p tal que V ⊂ U e V ∈ V x para
cada x ∈ V.
Dem. i. . . iii são consequências directas da definição. Para iv, se U ∈ V p tem-se
p ∈ O ⊂ U onde O é um aberto, e pode considerar-se V O para cada x ∈ O, atendendo a
III.2.3, c.q.d.
-186III.3.5 Pode perguntar-se se sendo X um conjunto não vazio, e dispondo de uma
função V : X → PX que associa a cada x ∈ X uma classe V x verificando as condições
i, ii, iii, a classe dos conjuntos A ⊂ X tais que A ∈ V x para cada x ∈ A, é uma
topologia T sobre X. A resposta é afirmativa. Pois certamente T1 é verificada. Para T2, se
x ∈ A : ∈ A e A ∈ V y para cada y ∈ A então, usando iii vem
A : ∈ A ∈ V x . Quanto a T3, dados A, B ∈ T e x ∈ A ∩ B tem-se A, B ∈ V x donde
A ∩ B ∈ Vx.
III.3.6 Observação Se a condição iv em III.2.4 é também verificada, V x é o filtro das
vizinhanças de cada ponto x no espaço topológico X, T, atendendo a III.2.3.
III.3.7 Definição Diz-se que o espaço topológico X, T é um espaço de Hausdorff se
dados dois quaisquer pontos a, b ∈ X, a ≠ b, existem vizinhançase disjuntas U, V de a, b
respectivamente. Em linguagem lógica, o espaço é um espaço de Hausdorff se e só se
verifica a condição
Hausdorff ≡ ∀a, b ∈ X, a ≠ b, ∃U ∈ V a , V ∈ V b , U ∩ V .
Atendendo a II.5.7 e à definição de vizinhança de um ponto, todo o espaço
topológico metrizável é um espaço de Hausdorff.
III.3.8 Definição Dado o espaço topológico X, T, a ∈ X, diz-se que a classe B a é uma
base de vizinhanças do ponto a se B a ⊂ V a e B a é uma base do filtro V a . Também se diz
que B a é um sistema fundamental de vizinhanças do ponto a.
III.3.9 Observação As topologias sobre X para as quais existe uma base de vizinhanças
fechadas (que são conjuntos fechados) de cada ponto têm propriedades particaulares.
Também se destacam as topologias tais que cada ponto tem uma base de vizinhanças
contável.
III.3.10 Exercícios (1) Verifique que as topologias metrizáveis sobre X têm ambas as
propriedades na observação anterior. (2) Conclua que se X é um conjunto infinito então a
topologia cofinita de X não é metrizável.
III.3.11 Resoluções (1) Se X, T é metrizável para uma métrica d, a classe
Ba, 1/n : n ∈ N, onde Ba, 1n x ∈ X : dx, a ≤ 1/n é uma base contável de
vizinhanças de a formada por conjuntos fechados. (2) Com efeito a única vizinhança
fechada de um ponto p ∈ X é todo o X; pois se p ∈ A ⊂ W ≠ X, A aberto e W fechado
então o conjunto infinito A (A é infinito pois X\A é finito) está contido no conjunto finito W,
o que é impossível. Mas se x ≠ p então V X\x é uma vizinhança de p diferente de X,
logo não existe nenhuma vizinhança fechada de p contida em V. Portanto não se verifica
que todo o ponto tem uma base de vizinhanças fechadas logo, por (1), X não é metrizável.
III.3.12 Definição O espaço topológico X diz-se que é um espaço C1 ou que verifica
o 1º axioma da numerabilidade se cada ponto tem uma base de vizinhanças contável.
-187III.3.13 Observações (1) Atendendo a III.2.9 (1), todo o espaço metrizável é um espaço
C1. (2) O espaço topológico N, C, C a topolgia cofinita (Exemplo III.1.2 (3)) é um
espaço C1 não metrizável. (3) Munindo R da topologia para a qual um conjunto A é
aberto se e só se R\A é um conjunto contável ou A , obtem-se um espaço topológico que
não é um espaço C1, como veremos em III.7.
III.3.14 Exercício Verifique III.2.12 (2).
III.3.15 Resolução Como se viu em III.2.9, N, C não é metrizável. Dado n ∈ N, o filtro
das vizinhanças V n de n é uma base de vizinhanças do ponto n. Pela definição da topologia,
tem-se V n F c : n ∉ F, F é um conjunto finito; Assim a função f : F n → V n definida
por fF F c , onde F n é a classe dos subconjuntos finitos de X a que n não pertence é
uma bijecção; donde o cardinal de V p é o cardinal de F p , portanto não excede # 0 .
III.3.16 Observação Dado o espaço topológico X, T, x ∈ X, o menor número cardinal
x, X, T dos números cardinais das bases de viznhanças de x diz-se o carácter
de X, T no ponto x. O carácter de X, T é o número cardinal
X, T supx, X, T : x ∈ X. Assim dizer que um espaço topológico é um espaço
C1 é o mesmo que dizer que o espaço tem um carácter contável.
III.3.17 Definição Se C é um subconjunto do espaço topológico X, W ⊃ A ⊃ C, onde A
é um aberto, diz-se que o conjunto W é uma vizinhança de C.
III.3.18 Definição Diz-se que o espaço topológico X, T é um espaço C2 ou que
verifica o 2º axioma da numerabilidade se existe uma base contável da topologia T.
III.3.19 Observações. (1) Conclui-se do Teorema II.7.7 que todo o espaço topológico X
metrizável para uma métrica d e tal que X, d é separável, é um espaço C2; e se X, d
não é separável, então não é um espaço C2 quando munido da topologia associada à
métrica. Em particular, R, D, D a topologia discreta, não é um espaço C2.
III.3.20 Exercício Prove que todo o espaço C2 é um espaço C1.
III.3.21 Resolução Seja X, T um espaço C2, B uma base contável da topologia. Se
a ∈ X e A é um aberto tal que a ∈ A então existe B ∈ B, a ∈ B ⊂ A. Logo se V é uma
vizinhança de a, existem A ∈ T, B ∈ B, a ∈ B ⊂ A ⊂ V. Postanto a classe
B a B ∈ B : a ∈ B é uma base contável de vizinhanças do ponto a.
III.3.22 Observação Dado um espaço topológico X, T, diz-se peso (weight) do espaço
o número cardinal ínfimo da classe dos números cardinais das bases da topologia T, e
nota-se X, T. Assim um espaço topológico X, T ter peso X, T ≤ # 0 significa que
verifica o 2º axioma da numerabilidade.
-188III.4 SUBESPAÇOS TOPOLÓGICOS
III.4.1 Definição Sejam X, T um espaço topológico, ≠ Y ⊂ X. A classe
T Y Y ∩ A : A ∈ T é uma topologia sobre Y, chamada topologia de subespaço de X ou
topologia induzida em Y por T. Munido desta topologia, Y (ou Y, T Y ) diz-se um subespaço
topológico de X.
III.4.2 Exercício Verifique que T Y é e facto uma topologia sobre Y.
III.4.3 Resolução T 1 Y ∩ , Y ∩ X Y, logo , Y ∈ T Y . T 2 Como
Y ∩ A : ∈ A Y ∩ A : ∈ A, T verifica-se. T 3 verifica-se pois
Y ∩ A 1 ∩ Y ∩ A 2 Y ∩ A 1 ∩ A 2 .
III.4.4 Exercício Mostre que se ≠ C ⊂ A ⊂ X, T então sobre C, coincidem a
topologia de subespaço de A e a topologia de subespaço de X.
III.4.5 Propriedade (base de um subespaço) Seja B uma base da topologia de X, e seja
Y ⊂ X, Y ≠ . Então a classe B Y Y ∩ B : B ∈ B é base para a topologia de subespaço
sobre Y.
Dem. Seja O ∈ T Y , e seja y ∈ O. Existe A ∈ T tal que O Y ∩ A. Como y ∈ A, existe
B ∈ B tal que y ∈ B ⊂ A. Então y ∈ Y ∩ B ⊂ Y ∩ A O c. q. d.
III.4.6 Exemplos (1) A topologia induzida sobre 0, pela topologia usual de R tem
a classe 0, a, a, b: a, b ∈ R, 0 a b como base. O conjunto 0, 1 é um aberto. (2)
Se X é um conjunto não vazio munido da topologia cofinita e Y é um subconjunto finito de
X, a topologia de subespaço de Y é a topologia discreta de Y.
III.4.7 Observações (1) Um subespaço topológico de um espaço metrizável é um
espaço metrizável. (2) Um subespaço de um espaço topológico C1 (respectivamente
C2) é um espaço C1 (respectivamente C2).
III.4.8 Exercícios Verifique III.3.6.
III.4.9 Resolução (1) Sejam X um espaço metrizável, d uma distância em X que define
a topologia de X e Y um subespaço topológico de X. Seja d Y a restrição de d a Y Y. Como
vimos (II.2.14), Y, d Y é um espaço métrico, chamado subespaço métrico de X, d. A
topologia associada a esse espaço métrico coincide com a topologia induzida T Y , pelo
Teorema II.6.4 e portanto T Y é metrizável.
-189III.4.10 As observações em III.3.6 ilustram a noção de propriedade hereditária, ou seja,
uma propriedade que se é verificada por um espaço topológico, então é verificada por todos
os seus subespaços. Adiante estudaremos propriedades não hereditárias.
III.4.11 Observação Quando há subespaços envolvidos há que ter cuidado com os
termos ”aberto”, ”fechado”, etc. Por exemplo, no plano R 2 munido da topologia usual, um
segmento de recta sem as duas extremidades não é um conjunto aberto; mas na recta que o
contem, munida da topologia induzida, já é um conjunto aberto. Há no entanto um caso em
que podemos garantir que qualquer aberto na toplogia induzida também é aberto na
topologia do espaço:
III.4.12 Propriedade Sejam X um espaço topológico e Y ⊂ X, Y um aberto. Então se
A ⊂ Y, e A é aberto no subespaço Y de X, A é aberto em X.
Dem. A aberto em existe B aberto em X tal que A Y ∩ B; como intersecção de dois
abertos de X, A é aberto em X, c.q.d.
III.4.13 Exercícios
(1) Prove que se X é um espaço topológico, C ⊂ Y ⊂ X onde Y ≠ , C é fechado em Y
se e só se existe um fechado F em X tal que C Y ∩ F.
(2) Demonstre a propriedade análoga a III.3.11 para conjuntos fechados: Seja Y fechado
em X, C ⊂ Y. Se C é fechado no subespaço topológico Y então C é fechado em X.
(3) Sejam ≠ A ⊂ Y X. a Prove que a classe T , U ⊂ X : A ⊂ U é uma
topologia sobre X. b Mostre que todo o aberto no subespaço Y é aberto em X, T c Prove
que o conjunto Y não é fechado em X e é fechado no subespaço Y.
III.4.14 Resoluções (1) C é fechado em Y se e só se Y\C Y ∩ A, A aberto em X se e só
se C Y\Y ∩ A Y ∩ A c , A c fechado em X. (2) Conclui-se de (1). (3) a T1 , X ∈ T
pois A ⊂ X; T2 U ∈ T ∈ A A ⊂ U
∈ A A ⊂ U : ∈ A U : ∈ A ∈ T.
T3 U 1 , U 2 ∈ T A ⊂ U 1 , A ⊂ U 2 A ⊂ U 1 ∩ U 2 U 1 ∩ U 2 ∈ T.
b Como A ⊂ Y, Y é aberto em X, cocluindo-se de III.3.11. c Se C ⊂ X tem-se C
fechado se e só se C X ou A ⊂ X\C; mas existe a ∈ A ⊂ Y donde Y ⊈ X\C, ≠ X e Y não
é um subconjunto fechado de X. No entanto Y Y\ é fechado no subespaço Y.
III.4.15 Exemplo Observámos anteriormente (Exemplo III.1.24 (1)) que a topologia
usual de R coincide com a topologia da ordem usual. No entanto, se considerarmos por
exemplo o subespaço Y − 2, 01, 3, a topologia da ordem em Y não coincide com a
topologia induzida pela topologia usual de R.
III.4.16 Exercício Verifique o Exemplo III.3.14 (Sug: considere o conjunto 1, 2; note
que não existem a, b ∈ Y tais que 1 ∈a, b e a, b⊂ Y).
-190III.4.17 Observação Ainda em relação com as observações em III.3.6 e as propriedades
hereditárias, observemos que a topologia induzida tem em geral propriedades diferentes da
topologia do espaço. Por exemplo, a topologia induzida sobre N pela topologia usual de R é
a topologia discreta. Também no exemplo (2) em III.3.5, vemos que pode ser metrizável
um subespaço de um espaço topológico não metrizável, por exemplo Y 1, 2, 2 ⊂ R,
considerado R munido da topologia cofinita (Observação III.1.8).
III.4.18 Exercício Considere em R 2 a topologia gerada pela base
B a, bc, d: a, b, c, d ∈ R, a b, c d. Determine a topologia induzida numa recta
(considere os diferentes casos possíveis para a recta, nomeadamente horizontal, vertical,
declive positivo, declive negativo).
III.4.19 Resolução Determinemos as topologias induzidas através das respectivas bases
obtidas como indicado em III.3.4, intersectando os elementos de B com a recta: (i) no caso
da recta horizontal,da recta vertical ou de declive positivo, obtêm-se todos os intervalos
fechados no extremo menor e abertos no extremo maior; portanto a topologia induzida é a
do limite inferior. (ii) No caso da recta de declive negativo, obtêm-se inclusivamente
conjuntos com um só elemento (singletons) e portanto a topologia induzida é a topologia
discreta.
III.4.20 Veremos adiante (III.14) a partir deste resultado em III.3.18 que a topologia do
limite inferior em R não é metrizável.
III.5 CONJUNTOS FECHADOS. DEFINIÇÃO DA TOPOLOGIA PELO
OPERADOR DE FECHO.
III.5.1 Definição Se X, T é um espaço topológico, o subconjunto F de X diz-se um
conjunto fechado se o seu complementar F c X\F é um aberto.
Das leis de De Morgan decorre
III.5.2 Propriedade Dado um espaço topológico X, T tem-se:
F1 , X são conjuntos fechados;
F2 se cada F é um subconjunto fechado de X ∈ A então F : ∈ A é
fechado;
n
F3 se F 1 , . . . , F n são fechados então k1
F k é um conjunto fechado.
III.5.3 Como consequência das definições, dado um conjunto não vazio X, se C é uma
colecção de subconjuntos F de X verificando as condições F1, F2 e F3 então a classe dos
complementares X\F é a topologia sobre X para a qual C é a classe dos conjuntos fechados.
-191III.5.4 Observação Um conjunto C ⊂ X, T é fechado se e só se X\C é aberto i.e., cada
ponto x ∈ X\C tem uma vizinhança V ⊂ X\C ou, equivalentemente, tal que V ∩ C .
Portanto C é fechado se e só se, considerando um ponto qualquer x ∈ X, a relação V ∈ V x e
V ∩ C ≠ implica x ∈ C. Somos assim levados a considerar, dado um arbitrário
subconjunto A de X, o conjunto A dos pontos x ∈ X tais que é verdadeira a implicação
V ∈ V x e V ∩ A ≠ x ∈ A. Este conjunto A contém A.
III.5.5 Definição Dado A ⊂ X, T, diz-se que um ponto x ∈ X é um ponto aderente de
A se verifica a relação ∀V ∈ V x , V ∩ A ≠ . O conjunto A dos pontos aderentes de A
chama-se a aderência ou fecho de A.
III.5.6 Exercícios (1) Prove que se A ⊂ F ⊂ X e F é fechado em X, T então A ⊂ F.
(2) Mostre que se A, B são subconjuntos de X, então tem-se A B A B no espaço
topológico X, T. (3) Conclua de (2) que A ⊂ B ⊂ X, T A ⊂ B.
III.5.7 Resoluções (1) Se p ∈ A então V ∩ A ≠ para cada V ∈ V p ; donde
∀V ∈ V p , V ∩ F ≠ e assim p ∈ F (III.4.4). (2) Tem-se V ∩ A B V ∩ A V ∩ B
donde p ∈ A B ∀V ∈ V p , V ∩ A B ≠ ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∨ V ∩ B ≠ ou
seja, p ∈ A B sse ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ p ∈ A ∨ ∀V ∈ V p , V ∩ B ≠ p ∈ B.
III.5.8 Teorema O fecho do subconjunto A do espaço topológico X, T é a intersecção
da classe dos subconjuntos fechados de X que contém A.
Dem. Tem-se A ⊂ F : F é fechado, F ⊃ A atendendo a III.4.6 (1).
Reciprocamente, seja p ∈ F : F é fechado, F ⊃ A. Verifica-se então ~p ∈ F c : F
é fechado, F ⊃ A e assim ~p ∈ O ∈ T : O ⊂ A c . Portanto não existe nenhuma
vizinhança V de p contida em A c ; então tem-se ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ donde p ∈ A.
III.5.9 Corolário O fecho A de um subconjunto A do espaço topológico X, T é um
conjunto fechado em X, T.
Dem. Pelo teorema, atendendo a III.5.2.
III.5.10 Propriedade Se A, B são subconjuntos do espaço topológico X, T e o conjunto
A é aberto, então A ∩ B ⊂ A ∩ B.
Dem. Seja p ∈ A ∩ B. Se O é um conjunto aberto, p ∈ O, então O ∩ A é uma
vizinhança de p, logo O ∩ A ∩ B ≠ . Assim cada vizinhança O do ponto p tem intersecção
não vazia com A ∩ B, p ∈ A ∩ B c.q.d.
III.5.11 Atendendo a III.4.4 e III.4.5, o subconjunto A de X, T é fechado se e só se
A ⊃ A, o que é equivalente a A A. Utilizando III.4.10 e III.4.9 vemos que o fecho de A é
A e concluimos de III.4.6 (2) que dado o espaço topológico X, T, se considerarmos a
função, ou operador de fecho F : PX → PX que associa a cada subconjunto A de X o
seu fecho FA A, este operador tem as propriedades no seguinte
-192III.5.12 Teorema No espaço topológico X, T,
F1 ;
F2 A ⊂ A;
F3 A A;
F4 A B A B.
III.5.13 Teorema Se X é um conjunto não vazio e F : PX → PX é um operador de
fecho verificando as propriedades no Teorema III.4.12, então os conjuntos F tais que
FF F F são os conjuntos fechados em X, T, onde a classe T dos conjuntos da forma
X\FC, C ⊂ X, é uma topologia sobre X.
Dem. Atendendo a III.4.3, verifiquemos as condições no Teorema III.4.2.
F1 é fechado, dada F1 e X X é consequência de F2. Vemos por F4 que se
verifica F3. Consequentemente, dados A, B ⊂ X, se B ⊂ A então
A A\B B A\B B ⊃ B; dada então uma classe não vazia de subconjuntos
F F ∈ A, tem-se por F2 que F : ∈ A ⊂ F : ∈ A e para a
inclusão recíproca, se x ∈ F : ∈ A ⊂ F F para cada , então
x ∈ F : ∈ A logo verifica-se F2 c.q.d.
III.6 CONJUNTOS NOTÁVEIS ASSOCIADOS A UM CONJUNTO NO ESPAÇO
TOPOLÓGICO.
III.6.1 Vimos em III.2.3 que o subconjunto A do espaço topológico X, T é aberto se e
só se A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Põe-se a
III.6.2 Definição Dados o espaço topológico X, T, A ⊂ X, um ponto p ∈ X diz-se que
é um ponto interior de A se A é uma vizinhança de p. O conjunto dos pontos interiores de A
é o interior de A e nota-se intA ou A o .
III.6.3 Observações (1) Pela definição em III.4.2 tem-se p ∈ A o se e só se existe um
aberto O tal que p ∈ O ⊂ A. Portanto é sempre A o ⊂ A e tem-se o , X o X. Notar que
p ∈ A o ∃V ∈ V p , V ⊂ A. (2) Também o conjunto A é aberto em X, T sse é vizinhança
de cada um dos seus pontos i.e. se e só se A ⊂ A o sse A A o .
III.6.4 Teorema Dados subconjuntos A, B de X, T tais que A ⊂ B tem-se A o ⊂ B o .
Dem. É consequência imediata de III.5.3 c.q.d.
III.6.5 Corolário Se A ⊂ B ⊂ X e A ∈ T no espaço topológico X, T tem-se A ⊂ B o .
Dem. Conclui-se do teorema e de III.5.3 c.q.d.
-193III.6.6 Teorema Para cada subconjunto A de X, tem-se intA c A c .
Dem. Há a provar que a negação de p ∈ A é equivalente à condição ∃V ∈ V p , V ⊂ A c .
Efectivamente ~∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∃V ∈ V p , V ∩ A c.q.d.
III.6.7 Corolário O conjunto A o é aberto no espaço topológico X, T para cada A ⊂ X.
Dem. Considerando A c no lugar de A em III.4.6 vemos que A o é o complementar do
conjunto fechado A c (III.4.10) c.q.d.
III.6.8 Concluimos de III.5.3, III.5.5 e III.5.7 : dados A, B ⊂ X tem-se em X, T que
o
A B o ⊂ intA B, pois a reunião de abertos é um aberto. Também III.5.5 e III.5.7
implicam intintA intA. Tem-se
III.6.9 Propriedade Se A, B são subconjuntos no espaço topológico X, T tem-se
i o ;
ii A o ⊂ A e A o A sse A é aberto;
iii intintA intA;
iv intA ∩ B intA ∩ intB;
v intA intB ⊂ intA B.
Dem. Resta provar iv. Se x ∈ intA ∩ intB então existem abertos O, O ′ tais que
x ∈ O ⊂ A e x ∈ O ′ ⊂ B, logo x ∈ O ∩ O ′ e O ∩ O ′ é um aberto contido em A ∩ B, donde
x ∈ intA ∩ B. A inclusão intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB conclui-se de III.5.4, c.q.d.
III.6.10 Observação Notar a analogia de i. . . iv em III.4.9 com F1, . . . , F4 em
III.3.12. Também, considerando v, tem-se A ∩ B ⊃ A ∩ B (III.3.6 (3)). Como Exercício
verifique que ambas as inclusões A ∩ B ⊃ A ∩ B e III.5.9 (v) são próprias (Sug: II.5.16).
III.6.11 Observação Comparativamente com III.3.10, o interior de um subconjunto A
no espaço topológico X, T é a reunião da classe dos subconjuntos abertos de A. (Teoremas
III.5.6, intA A c c e III.4.9).
III.6.12 Um subconjunto A de X, T diz-se raro se intA . O conjunto 0, 1 ∩ Q
em R munido da topologia usual dá exemplo de um conjunto de interior vazio que não é
raro.
III.6.13 Exemplos A topologia , X, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2 , 2, 3 sobre
X 0, 1, 2 , 3 , 2 mostra que podem existir subconjuntos próprios de X (i.e., diferentes
de , X) simultaneamente abertos e fechados, enquanto por exemplo 0, 2 não é aberto
nem fechado.
III.6.14 Definição Se A ⊂ X, p ∈ X, diz-se que p é um ponto exterior de A se é um
ponto interior do conjunto A c ; nota-se extA intA c e diz-se exterior de A o conjunto
dos pontos exteriores de A.
-194III.6.15 Observação extA é um subconjunto aberto de X, T, A ⊂ X.
III.6.16 Definição Diz-se que o ponto p em X é um ponto fronteiro do subconjunto A
de X no espaço topológico X, T se verifica a condição ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ .
O conjunto dos pontos fronteiros de A é a fronteira de A e designa-se por frA ou ∂A.
III.6.17 Observação A negação da condição p ∈ ∂A é
∃V ∈ V p , V ⊂ A c ∨ V ⊂ A, equivalente à condição p ∈ intA ∨ p ∈ extA. Portanto
dado p ∈ X, o ponto p verifica uma e uma só das condições
p ∈ intA, p ∈ extA, p ∈ frA.
Assim tem-se
III.6.18 Propriedade Para cada subconjunto A de X, T, a classe intA, extA, frA
é uma partição de X.
III.6.19 Exemplo Se X é um conjunto infinito, A ⊂ X e ambos os conjuntos A, A c são
infinitos, então sendo X munido da topologia cofinita em III.1.2 (3), tem-se
frA X, intA extA .
III.6.20 Observação A fronteira de um conjunto no espaço topológico é um conjunto
fechado. Com efeito, frA X\intA extA pela Propriedade III.4.18.
III.6.21 Exercício Prove que dado A ⊂ X, T,
a frA ⊂ A; b A intA frA; c A extA c .
III.5.22 Resolução a Se p ∈ frA tem-se ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ ; em
particular, ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ e p ∈ A; b de intA ⊂ A ⊂ A e frA ⊂ A conclui-se
intA frA ⊂ A. E se p ∈ A, V ∩ A ≠ , ∀V ∈ V p então ou existe V ∈ V p , V ⊂ A (e
p ∈ intA) ou para cada V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ , e então p ∈ frA; c conclui-se
de b aplicando III.4.18.
III.6.23 Observação Verifica-se também A A frA para cada A ⊂ X, T.
III.6.24 Definição Diz-se que o ponto p ∈ X é um ponto de acumulação do
subconjunto A em X, T se toda a vizinhança de p contém um ponto de A diferente de p. O
conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A e
representa-se por A ′ .
III.6.25 Obsrvação Tem-se p ∈ A ′ sse p ∈ A\p. A inclusão A ′ ⊂ A verifica-se
sempre.
-195III.6.26 Teorema Para cada subconjunto A em X, T, tem-se A A A ′ .
III.6.27 Exercício Demonstre o teorema anterior.
III.6.28 Resolução Pelas observações III.3.4 e III.4.26, tem-se A A ′ ⊂ A. Para a
inclusão recíproca, seja p ∈ A ≡ ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ; Dada V ∈ V p , se p ∈ A então
p ∈ A A ′ ; se
p ∉ A, conclui-se da relação V ∩ A ≠ que V ∩ A\p ≠ , p ∈ A ′ .
III.6.29 Observação Em qualquer espaço topológico X, se x ∈ X tem-se x ∉ x ′ e
x ′ x\x .
III.6.30 No espaço topológico N, I onde I é a topologia gerada pelos conjuntos da
forma n, n 1, n 2, . . . o conjunto derivado A ′ é infinito se e só se A é infinito e, neste
caso, A X.
III.6.31 Exercício Prove que num espaço topológico, o conjunto derivado de um
subconjunto é um conjunto fechado.
III.6.32 Resolução. Há a provar a inclusão A ′ ⊂ A ′ . De facto
p ∈ A ′ p ∈ A\p A\p A ′ (III.5.25, III.4.12) e o rsultado conclui-se de III.3.11.
III.6.33 Definição O ponto a diz-se um ponto isolado do conjunto A no espaço
topológico X se existe uma vizinhança V de a tal que V ∩ A a.
III.6.34 Observação Em qualquer espaço topológico, o fecho de um conjunto é a
reunião disjunta do seu conjunto derivado e do conjunto dos seus pontos isolados.
III.6.35 Exercícios
(1) Verifique III.5.34
(2) Prove que se A é um subconjunto de X, T então
a A ∩ frA sse A é aberto.
b frA se e só se A é aberto e fechado.
c frA o ⊂ frA. Dê um exemplo em que frA frA o .
d frA frA c .
(3) Demonstre que se T 1 e T 2 são topologias sobre X tais que T 2 é mais fina que T 1 ,
A ⊂ X, então a fronteira de A em X, T 1 contém a fronteira de A em X, T 2 .
-196III.6.36 Resoluções
(1) p ∈ A ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∀V ∈ V p , V ∩ A\p ≠ ∨
∨∃V ∈ V p , V ∩ A p p é um ponto isolado de A ou p ∈ A ′ .
(2) a A é aberto sse A ⊂ A o ∀p ∈ A, ~p ∈ frA A ∩ frA
b frA A ⊃ frA ∧ A ∩ frA A é fechado e aberto. E se A é fechado
(aberto) então A ⊃ frA (III.5.23, III.4.12) (A ⊂ A o e A ∩ frA ) logo
frA A ∩ frA
c p ∈ frA o ∀V ∈ V p , V ∩ A o ≠ ∧ V ∩ A o c ≠
∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ ~V ⊂ A o ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ ∃x ∈ V, x ∉ A
∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ p ∈ frA. X, T R, U, A 0.
(3) Pois A c c A.
III.6.37 Definição Um subconjunto A do espaço topológico X, T diz-se denso (em X)
se o fecho A X.
III.6.38 Exemplos (1) Em R, munido da topologia usual, o conjunto Q é denso. (2) Nos
Exemplos III.4.13, o conjunto 0, 1 é denso enquanto 2 , 2 não é denso nem fechado.
(3) A classe T , A ⊂ R : 1 ∈ A é uma topologia sobre R para a qual o conjunto 1 é
denso. Sendo P o conjunto dos números naturais pares, tem-se intP .
Recorde que um subconjunto C de X, T é raro se intC .
III.6.39 Exercícios (1) Mostre que o subconjunto A do espaço topológico X, T é denso
se e só se para cada ponto p ∈ X, todo o aberto contendo p tem intersecção não vazia com
A. (2) Conclua que se C ⊂ X, T, o conjunto X\C é denso se e só se C é um conjunto raro.
III.6.40 Resoluções (1) Cada ponto p ∈ X está em A se e só para cada vizinhança V de
p, V ∩ A ≠ . (2) Atendendendo a (1), X\C é denso se e só se ∀V ∈ V p , V ∩ X\C ≠ sse
qualquer que seja o ponto p, tem-se ~∃V ∈ V p , V ⊂ C ou, o que é o mesmo, se e só se
nenhum ponto do espaço é um ponto minterior de C.
III.6.41 Exercício Prove que se D é um subconjunto denso em X, T e A é um
subconjunto aberto então A D ∩ A. (Sug: Propriedade III.3.11).
III.6.42 Definição A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinal
da forma #D, onde D é um subconjunto denso de X, e representa-se por dX. O espaço X
diz-se separável se dX ≤ # 0 .
III.6.43 Teorema Para qualquer espaço topológico X, tem-se dX ≤ X.
Consequentemente, todo o espaço topológico C2 é separável.
Dem. Seja B B i : i ∈ I uma base da topologia, onde #I ≤ X. Sendo x i ∈ B i
para cada i, D x i : i ∈ I B, o selector de Zermelo, o conjunto D é denso
(III.4.38 (1)); certamente #D ≤ #I e assim dX ≤ X. Recorde III.2.21
-197-.
III.6.44 Observações (1) Conforme a II.7.7, se X, T é metrizável tem-se dX ≤ # 0 se
e só se X ≤ # 0 . (2) A recta de Sorgenfrey K é a recta real munida da topologia gerada
pelos intervalos x, r onde x ∈ R, x r e r ∈ Q. Certamente Q é um subconjunto denso,
dK ≤ # 0 e tem-se K c. Com efeito, o número cardinal da base B formada por
aqueles intervalos x, r é c. E se R é uma classe de abertos de K tal que #R c, então
seja A ∈ R, A x A,j , r A,j . Se x inf A e x ∈ A tem-se que x é um dos pontos x A,j ; além
disso, se x inf A então x ∈ A e portanto, sendo #K # 0 , existe um ponto x 0 que não é o
ínfimo de nenhum aberto A em R. Então o conjunto aberto x 0 , x 0 1 não é reunião de
conjuntos em R, logo R não é uma base da topologia de K. Portanto dK ≨ K e em
particular, K não é metrizável. (3) A propriedade ser separável não é hereditária, como
veremos (III.10.38). Se bem que o seja no contexto dos espaços métricos.
IV.7 CONVERGÊNCIA NO ESPAÇO TOPOLÓGICO
Recordar que uma rede no conjunto X é uma função u de um conjunto dirigido I,
em X, que notaremos u i , u i ui. Recordar também a noção de filtro sobre X.
III.7.1 Definição Se X, T é um espaço topológico, x ∈ X, diz-se que a rede u i em X
converge para x se verifica a condição
u i → x ≡ ∀V ∈ V x , ∃iV ∈ I, i iV u i ∈ V.
Diz-se também então que a rede u i é convergente para x, que x é um limte de
u i e nota-se lim u i x. Se uma rede não tem limite em X, T diz-se que é divergente em
X, T
III.7.2 Exemplos (1) Se p ∈ X; T e u i p i ∈ I então u i → p.
(2) Se a rede é uma sucessão u n , p ∈ X, T então u n converge para p se e só se para
cada vizinhança V do ponto p, existe certa ordem pV tal que u n ∈ V desde que n ≥ pV.
III.7.3 Observação Uma rede ou uma sucessão no espaço topológico X, T pode ser
convergente para diferentes limites, bem como pde ser divergente. Poderia representar-se
x ∈ lim u i para significar que u i → x (a relação x ∈ X ∧ u i → x define um conjunto),
ressalvando a notação lim u i x para o caso em que x é o único elemento do espaço que
verifica a relação u i → x. No primeiro caso de existência de limites diferentes está 1/n em
R, G; no segundo caso, −1 n em R, U.
III.7.4 Exemplos (1) Considerando 0, 1 munido da ordem usual, a rede u i i
i ∈ 0, 1 não tem limite em 0, 1, U, notando U a topologia induzida pela topologia
usual de R. (2) A rede i em (1) converge para 1/3 na topologia sobre 0, 1 que tem a
classe I 1/3 1/3, 2/3 a, 1 : 0 a 1 como subbase. (3) Se X é um conjunto infinito
e C é a topologia cofinita de X, as redes convergentes em X, C são as constantes a partir de
certo índice e as que têm uma infinidade de termos diferentes a partir de certo índice. Cada
rede convergente converge para qualquer ponto.
-198III.7.5 Exercício Verifique os exemplos em III.7.4.
III.7.6 Resoluções (1) Com efeito 1 ∉ 0, 1, U. (2) Dada qualquer vizinhança V do
ponto 1/3, pode tomar-se por exemplo iV 1/10 na condição i → 1/3. (3) Se a rede u i
verifica que o conjunto T dos termos é finito, T u i1 , . . . , u n e p ∈ X então T c p é
uma vizinhança de p; como não existe i 0 iT p tal que u i x constante para todo o
i ≥ i 0 e T não se reduz a p existe sempre u i ∉ T c p, i ≥ i 0 . Logo a rede não converge
neste caso. Mas se o conjunto dos termos é infinito e são todos diferentes a partir de certo
índice, V ∈ V p , então o conjunto dos termos em V c é da forma u 11 , . . . , u im , m ∈ N e
existe um índice iV tal que i iV u i ≠ u i1 , . . . , u im .
III.7.7 Teorema Dada uma rede x j → x em X, T, cada subrede y i x i → x.
Dem Conclui-se da definição de subrede em I.7.26.
Recordar a definição de base de um filtro em I.7.
III.7.8 Definição Sejam X, T um espaço topológico, B uma base de um filtro sobre X,
a ∈ X. Diz-se que a base de filtro B converge para a ou que é convergente para a se o filtro
F sobre X gerado por B é mais fino que o filtro V a . Nota-se então B → a. Diz-se também
que o filtro F converge (é convergente) para a e nota-se F → a.
III.7.9 Observações (1) Pela definição em I.7.7, uma base B de um filtro F sobre X
converge para a ∈ X se e só se verifica a condição
B → a ≡ ∀V ∈ V a , ∃F ∈ B, F ⊂ V. Esta condição é equivalente a
F → a ≡ ∀V ∈ V a , ∃F ∈ F, F ⊂ V. (2) Dado o filtro F sobre X, X, T um espaço
topológico, tem-se F → a se e só se a rede F F no Exemplo I.7.27 é convergente para
a. Analogamente considerando uma base B do filtro F.
III.7.10 Teorema Um espaço topológico tem a propriedade de o limite de cada base de
filtro convergente ser único se e só se é um espaço de Hausdorff
Dem Se X, T é um espaço de Hausdorff, a, b são pontos diferentes em X, existem
vizinhançase U ∈ V a , V ∈ V b tais que U ∩ V . Sendo B uma base de filtro em X tal que
B → a, existe B ∈ B, B ⊂ U; se também B → b então certo B ′ ∈ B verifica B ′ ⊂ V. Donde
≠ B ∩ B ′ ⊂ U ∩ V, o que contradiz U ∩ V , logo não pode ser B → b.
Reciprocamente, se X não é um espaço de Hausdorff, existem dois pontos a, b ∈ X, a ≠ b
tais que ∀U ∈ V a , ∀V ∈ V b , U ∩ V ≠ . A classe B U ∩ V : U ∈ V a , V ∈ V b é então
uma base de filtro sobre X. (Verifique). Tem-se B → a pois se U ∈ V a , escolhendo uma
V ∈ V b tem-se B U ∩ V ⊂ U, B ∈ B. Analogamente B → b, não se tem a unicidade dos
limites das bases de filtro convergentes, c.q.d.
III.7.11 Corolário O espaço topológico X, T é um espaço de Hausorff se e só se o
limite de cada rede convergente em X é único.
Dem É consequência de III.1.9, pois a rede x i I em X é convergente para x se e só se a
base de filtro B formada pelos conjuntos B j x i : i j j ∈ I é convergente para x.
-199III.7.12 Teorema Sejam X, T um espaço topológico, A ⊂ X, p ∈ X.
(1) O ponto p é um ponto aderente de A se e só se existe um filtro F sobre A
convergente para a em X, T.
(2) p é um ponto de acumulação de A se e só se existe um filtro F sobre A\p tal que
F → a.
Dem. (1) Pois p ∈ A V a ∩ A F ∩ A : F ∈ V a é um filtro sobre A. (2) conclui-se
de (1) (ver III.4.25).
III.7.13 Corolário Sejam X; T um espaço topológico, A ⊂ X, p ∈ X.
(1) Tem-se p ∈ A se e só se p é limite de uma rede em A.
(2) O ponto p é um ponto de acumulação de A se e só se p é limite de uma rede em A
não constante e igual a p a partir de nenhum índice.
III.7.14 Exercício Demonstre o teorema (Sug: III.5.9 (2)).
III.7.15 Definição Um espaço topológico X diz-se um espaço sequencial se cada
conjunto A sequencialmente fechado, i.e., tal que A contem os limites de qualquer sucessão
em A, é fechado. X diz-se que é um espaço de Fréchet se cada subconjunto A de X verifica a
condição de todo o ponto x ∈ A ser um limite x lim a n onde a n é uma sucessão em A.
III.7.16 Teorema Se X, T é um espaço topológico C1 então é um espaço de Fréchet.
Dem. Sejam A ⊂ X, a ∈ A. Pelo Corolário III.5.11 (1) existe uma rede a i em A
convergente para a. Se B a V n : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças de a
n
podemos considerr as intersecções finitas U n k1
V k obtendo uma nova base de
vizinhanças de a. Então para cada n 1, 2, . . . existe a in ∈ U n . Dada uma vizinhança V do
ponto a tem-se: V ⊃ U n para certo n, donde a m ∈ V para todo o m ≥ n, a sucessão a n → a
c.q.d.
III.7.17 Teorema Todo o espaço de Fréchet é um espaço sequencial.
Dem. Pois um subconjunto A de X, T é fechado se e só se A ⊃ A c.q.d.
III.7.18 Podemos agora provar III.2.12 (3). Se R,T, onde
T , A ⊂ R : A c é contável (verifique que T é uma topologia sobre R) fosse um
espaço C1, então seria um espaço de Fréchet (Teorema III.7.15). Como os conjuntos
fechados são os contáveis, o único conjunto fechado que contem R\Q é todo o R, donde o
fecho de R\Q é R (intersecção da classe dos fechados que contêm R\Q). Mas o ponto 0 não
é limite de nenhuma sucessão em R\Q, pois 0 não é um termo e dada x n em R\Q, o
conjunto x n : n ∈ N c é uma vizinhança de 0. Conclui-se uma contradição da hipótese de
o espaço verificar o primeiro axioma da numerabilidade, provando o que se pretende.
-200III.7.19 Observação. Ambas as topologias discreta D e a topologia T em III.5.30 sobre
R verificam que uma sucessão real é convergente, R munido de D ou T, se e só se a
sucessão é constante a partir de certa ordem. No entanto, tem-se D ≠ T. Portanto, se um X
é um conjunto, dar uma relação R em X que caracterize uma sucessão x n em X como
sendo convergente para certa topologia sobre X nao define univocamente essa topologia.
Mas se uma relação R em X caracteriza as redes convergentes de X para dados limites,
relativamente a uma topologia sobre o espaço, tal topologia é única. Pois se p ∈ A ⊂ X e A
é um aberto, então A contem cada termo de uma rede em X convergente para p, a partir de
certo índice. Se A não é aberto, existe a ∈ A tal que uma rede V a ∩ A c , o selector de
Zermelo, converge para a, V a o filtro das vzizinhanças de a; mas nenhum termo da rede
está em A.
Relacionam-se com convergência os conceitos seguintes. Recordar os conceitos de
conjunto dirigido e subrede em I.5. e I.7. Dizemos que a rede x i (ou x i I ) indiciada no
conjunto dirigido I, está no conjunto A se x i ∈ A i ∈ I.
III.7.20 Definição Diz-se que a rede x i I está eventualmente no conjunto A se existe
certo i 0 ∈ I tal que x i ∈ A para todo o índice i i 0 . E diz-se que x i I está frequentemente
em A se para cada i1 ∈ I existe certo i2 ∈ I tal que i2 i1 e x i2 ∈ A.
III.7.21 Definição Se I, é um conjunto dirigido, ≠ J ⊂ I, diz-se que J é
cofinal em I ou cofinal com I se verifica a condição ∀i ∈ I, ∃j ∈ J, j i.
III.7.22 Observação Se a rede x i I está frequentemente em A, o subconjunto J dos
índices j ∈ I tais que x j ∈ A é cofinal em I.
III.7.23 Obsrvação Se : J, → I, , onde I, , J, são conjuntos dirigidos, é
uma aplicação isótona i.e., i ′ i i ′ i, e u x i I é uma rede em A, então o
conjunto imagem de é cofinal em I e a composta uo é uma subrede de x i I .
III.7.24 Propriedade Sejam B uma base de um filtro em X e u x i I uma rede em X
que está frequentemente em cada conjunto que constitui B. Então existe uma subrede de
x i I que está frequentemente em cada conjunto de B.
Dem. Designemos E a parte do produto cartesiano I B formada pelos pares i, B tais
que x i ∈ B munida da quase-ordem produto i ′ , B ′ ≥ i, B i ′ i ∧ B ′ ⊂ B; E é um
conjunto dirigido. A aplicação : i, B i é isótona de E em I. Como x i I está
frequentemente em cada conjunto tomado em B, tem-se que o conjunto imagem de é
cofinal em I, consequentemente uo é uma subrede de x i I (III.7.20). Dado então A ∈ B,
se iA ∈ I verifica x iA ∈ A, e se i, B ≥ iA, A tem-se uoi, B x i ∈ B ⊂ A, logo
a subrede uo está eventualmente em A c.q.d.
III.7.25 Definição Sendo x i uma rede no espaço topológico X, T, diz-se que o ponto
x em X é um ponto aderente de x i se a rede x i está frequentemente em cada vizinhança
V de x.
-201III.7.26 Observações (1) Uma rede pode ter um, vários, ou nenhum ponto aderente. Por
exemplo, a rede n N não tem nenhum ponto aderente em R, U, U a topologia usual.
Ainda em R, U, uma vez que o cardinal de Q coincide com o cardinal de N, podemos
considerar uma sucessão x n tal que x n : n ∈ N Q; verifica-se facilmente (confirme)
que esta sucessão está frequentemente em cada intervalo aberto, e portanto todo o número
real é um ponto aderente de x n . (2) Se uma rede x i → x então x é um ponto aderente de
x i ; mas uma rede pode ter um único ponto aderente e não convergir para esse ponto.
III.7.27 Exercício Verifique que a sucessão −1, 1, −1, 2, −1, 3, −1. . . em R, U tem um
único ponto aderente mas não converge para esse ponto.
III.7.27 Teorema Um ponto x num espaço topológico é um ponto aderente de uma rede
x i se e só se existe uma subrede de x i convergente para x.
Dem. Dado o ponto aderente x de x i consideremos a classe de vizinhanças V x . V x é
base de um filtro e x i está frequentemente em cada conjunto V ∈ V x ; da Propriedade
III.7.21 conclui-se que existe uma subrede de x i que está eventualmente em cada
vizinhança V do ponto x ou, o que é o mesmo, que é convergente para x. Reciprocamente,
admitindo que x não é um ponto aderente de x i temos: existe uma vizinhança U de x tal
que x i não está frequentemente em U; logo x i está eventualmente em U c e portanto
nenhuma subrede de x i converge para x, c.q.d.
III.7.28 Teorema Seja x i I uma rede em X, T e seja A i j ∈ I : j ≩ i. Então o
ponto x é um ponto aderente de x i I se e só se x pertence ao fecho de cada conjunto A i .
Dem. Se x é um ponto aderente de x i I isto significa que cada vizinhança de x contem
um ponto x j onde j ≩ i (supondo a rede tendo mais de um termo), para cada dado i ∈ I ou
seja, para cada i tem-se x ∈ A i . Reciprocamente, se o ponto x não é um ponto aderente de
x i I então existe V, vizinhança de x, tal que para certo i, a relação j ≩ i implica x j ∉ V ou
seja, A i ∩ V e x não está no fecho A i , c.q.d.
III.7.29 Exercício Seja X um espaço topológico C1. Prove que:
1. O ponto x do espaço é um ponto de acumulação do subconjunto A se e somente se
existe uma sucessão em A\x convergente para x.
2. Um conjunto A é aberto se e só se cada sucessão que converge para um ponto de A
está eventualmente em A. (Sug: se A não é aberto, considere uma base contável de
vizinhanças de um ponto fronteiro).
3. Um ponto p é ponto aderente de uma sucessão se e só se existe uma subsucessão
convergente para p. (Sug: análogamente a 2.).
III.8 LIMITES E CONTINUIDADE
Recordar que uma classe B de subconjuntos de um conjunto não vazio X tal que
∉ B e para cada B 1 , B 2 ∈ B existe B 0 ∈ B, B 0 ⊂ B 1 ∩ B 2 é uma base de filtro (base de
um filtro) sobre X.
-202III.8.1 Definição Sejam X um conjunto, Y, T Y um espaço topológico e uma função
f : X → Y. Dizemos que o ponto b ∈ Y é um limite de f segundo a base de filtro B sobre X
e notamos b ∈ lim B f se é verificada a condição
b ∈ lim B f ≡ ∀V ∈ V b , ∃W ∈ B, fW ⊂ V. No caso de um único ponto b verificar a
relação b ∈ lim B f notamos b lim B f.
III.8.2 Se Y, T Y é um espaço de Hausdorff e b ∈ lim B f no contexto da definição
acima, então b lim B f. Com efeito, se b ∈ lim B f e b ′ ≠ b conclui.se uma contradição da
hipótese b ′ ∈ lim B f ≡ ∀U ∈ V b ′ , ∃W ′ ∈ B, fW ′ ⊂ U do modo seguinte: cconsiderando
vizinhanças V, U de b e b ′ respectivamente tais que V ∩ U , tomando W ∈ B, fW ⊂ V
ter-se-ia W ∩ W ′ ≠ mas fW ∩ W ′ ⊂ V ∩ U .
III.8.3 Proposição O espaço topológico Y, T Y é um espaço de Hausdorff se e somente
se para cada conjunto não vazio X, cada base de filtro B sobre X e cada função f : X → Y, o
limite b ∈ lim B f em existindo, é único, b lim B f.
Dem. Atendendo a III.8.2 se Y é um espaço de Hausdorff e b ∈ lim B f então b lim B f.
Reciprocamente, se se verifica a condição do enunciado então considerando
f Id : Y, T Y → Y, T Y , a ∈ Y e B uma base de vizinhanças de a, tem-se B → b se e só
se b ∈ lim B I, onde B V a se e só se b lim B I. Portanto o limite de cada base de ffiltro
convergente é únicoe, atendendo a III.7.9, Y é um espaço de Hausdorff c.q.d.
Dados espaços topológicos X, Y e uma função f : X → Y podemos considerar, para
cada a ∈ X, a relação b ∈ lim B a f b ∈ Y onde B a é uma base de vizinhanças de a. Esta
relação define um subconjunto de Y e, se B ′a é outra base de vizinhanças de a então
b ∈ lim B a f b ∈ lim B ′a f (verifique), de modo que poderíamos notar lim a f o conjunto dos
pontos b, b ∈ lim B a f. Dizemos que o subconjunto de Y definido pela aquela relação
b ∈ lim a f é o conjunto dos limites de f em a.
III.8.4 Propriedade Se X, Y são espaços topológicos, Y é um espaço de Hausdorff, e
f : X → Y é uma função, a ∈ X tem-se: se b ∈ lim a f então b fa lim a f.
Dem. Sendo Y um espaço de Hausdorff tem-se V : V ∈ V b b para cada b ∈ Y
(verifique). Da relação ∀V ∈ V b , ∃U ∈ V a , fU ⊂ V conclui-se fa ∈ V, ∀V ∈ V b donde
fa b como se queria.
-203III.8.5 Exemplo Seja Y a, b, c, d um conjunto de quatro pontos munido da
topologia T Y , Y, a, a, c, a, d, a, c, d, e sejam X R munido da topologia
uaual U, f : X → Y definida por fp a a ∈ R\Q, fq c q 0, q ∈ Q, f0 a,
fq d q 0, q ∈ Q. Tem-se: lim x f ≠ para cada x ∈ X; se p ∈ R\Q então
fp ∉ lim p f.
III.8.6 Exercício Verifique o exemplo anterior e conclua que se Y não é um espaço de
Hausdorff pode existir uma função f : X → Y, X um espaço de Hausdorff, tal que existe
limite de f em cada ponto, apenas num ponto o limite é único e não é o valor da função no
ponto.
III.8.7 Resolução Se x 0 existe U ∈ V x tal que fU a, c ⊂ V, ∀V ∈ V c , V b ; mas
não existe U ∈ V x , fU ⊂ a ∈ V a ∨ fU ⊂ a, d ∈ V d ; assim lim x f b, c.
Analogamente se x 0 então lim x f b, d. No ponto x 0 tem-se fU a, c, d ⊂ Y,
Vb Y e lim 0 f b, f0 a ∉ lim 0 f. Assim 0 é o único ponto em que o limite é
único; e o limite não é o valor da função no ponto.
.
III.8.8 Definição Sejam X, T X , Y, T Y espaços topológicos e uma função f : X → Y,
a ∈ X. Dizemos que f é contínua em a se fa ∈ lim a f; que é descontínua em a se não é
contínua no ponto a; e que f é contínua se é contínua em cada ponto.
III.8.9 Observação Atendendo a III.8.4, se Y é um espaço de Hausdorff, a função
f : X → Y é contínua em a ∈ X se e só se lim a f ≠ o que significa fa lim a f.
III.8.10 Exemplos. (1) Cada função constante é contínua; (2) A função
Id : X; T → X, T é contínua. (3) A função no Exemplo III.8.5 é contínua somente nos
pontos racionais diferentes de zero.
III.8.11 Exercício Utilizando o exemplo III.8.5, obtenha uma função de R, U em Y
contínua em cada ponto racional e descontínua em cada irracional.
III.8.12 Resolução A função g f em R\0, g0 b.
III.8.13 Exercício Dados espaços topológicos X, Y, f : X → Y e sendo V a o filtro das
vizinhanças de a ∈ X, a classe fV a fU : U ∈ V a é uma base de filtro B sobre Y e
tem-se b ∈ lim a f se e somente se o filtro gerado por B é mais fino que o filtro V b das
vizinhaças de b em Y. Verifique que esta condição é equivalente à condição fx i → b em Y
para cada rede x i → a em X. (Sug: Considere a rede U indiciada em
V a , U ′ U U ′ ⊂ U, onde é o selector de Zermelo).
Conclui-se de III.8.13 o
-204III.8.14 Teorema Dados espaços topológicos X, T X , Y, T Y , uma função f : X → Y e
um ponto a ∈ X, f é contínua em a se e só se fx i → fa para cada rede x i → a em X.
III.8.15 Observação A continuidade de f : X, T X → Y, T Y no ponto a ∈ X é
equivalente à propriedade ∀V ∈ V fa , f −1 V ∈ V a .
III.8.16 Teorema A composta de duas funções contínuas é contínua.
Dem. No contexto de III.8.15, dada uma função g : Y, T Y → Z, T Z e W ∈ V gfa
tem-se gof −1 W f −1 g −1 W ∈ V a como se pretende.
III.8.17 Exercício Obtenha outra demonstração de III.8.16, usando III.8.14.
III.8.18 Propriedade A função f : X, T X → Y, T Y é contínua se e só se a imagem
inversa de cada aberto O ∈ T Y é um aberto f −1 O em X, T X .
Dem. Se f é contínua, a ∈ X e O é um aberto de Y, fa ∈ O então f −1 O ∈ V a
(justifique). Para cada x ∈ f −1 O tem-se portanto f −1 O ∈ V x e f −1 O ∈ T X (porquê?).
Reciprocamente, se a condição do enunciado se verifica e V é uma vizinhança de fa
então f −1 V contem um aberto a que pertence o ponto a, c.q.d.
III.8.20 Teorema Dada uma função f : X, T X → Y, T Y são equivalentes:
a f é contínua;
b a imagem inversa f 1 S de cada conjunto S numa subbase de T Y é um aberto em X;
c para cada conjunto B tomado numa base de T Y , f −1 B ∈ T X ;
d a imgem inversa f −1 F de cada subconjunto fechado F de Y é um subconjunto
fechado de X;
e tem-se fA ⊂ fA para cada A ⊂ X;
f para cada subconjunto C ⊂ Y, f −1 C ⊂ f −1 C.
Dem. a b pois cada conjunto S é um aberto; b c porque cada base de T Y é uma
subbase de T Y . Também c a aplicando III.8.18, pois T Y é uma base de T Y . c d, pois
a d: se F é fechado, então f −1 F c f −1 F c é um aberto em X. d e: fA sendo
fechado em Y, f −1 fA é por hipótese um fechado contendo A, donde f −1 fA ⊃ A
portanto fA ⊂ fA. e f pois com A f −1 C obtemos
f −1 C ⊂ f −1 ff −1 C ⊂ f −1 C. f a: se O ∈ T Y , O c C é fechado, C C; pela
hipótese, f −1 C ⊃ f −1 C, f −1 O c f −1 O c é o fechado f −1 C donde f −1 O ∈ T X . O
teorema conclui-se da Propriedade III.8.18.
III.8.21 Exercício Prove que uma função f : X, T X → Y, T Y é contínua se e só se
f −1 intB ⊂ intf −1 B para cada subconjunto B de Y. (Sug: III.6.9 ii).
-205III.8.22 Observação Dada f : X, T X → Y, T Y podem existir um conjunto A ⊂ X,
a ∈ A tais que a função restrição f ∣A : A, T A → Y, T Y , (T A a topologia induzida) é
contínua no ponto a, mas f não é contínua em a. Considere-se a função identidade
I : R, U → R, T, T a topologia que tem U Q como subbase; I ∣Q é contínua no ponto
1 mas I não é contínua em nenhum ponto.
III.8.23 Exemplos (1) Se D é a topologia discreta sobte X, toda a função
f : X, D → Y, T é contínua, qualquer que seja o espaço topológico Y, T. Também se G é
a topologia grosseira sobre Y, X, T é um espaço topológico, cada função
f : X, T → Y, G é contínua. (2) Se T e T ′ são topologias sobre X, a função identidade
I : X, T → X, T ′ é contínua se e só se T ⊃ T ′ i.e., T é mais fna que T ′ . (3) A função
fx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é contínua de R, U − em 0, 1, D, pois a imagem
inversa de cada aberto é um aberto. A mesma função não é contínua de R, U em
0, 1, D: a imagem inversa f −1 1 não é um aberto.
III.8.24 Exercício A função f do Exemplo III.8.23 (3) é contínua de R, U em R, U?
Porquê?
III.8.25 Resolução f não é contínua, pois a imagem inversa f −1 0 não é um conjunto
fechado.
III.8.26 Definição Uma função f : X, T X → Y, T Y diz-se sequencialmente contínua
se para cada a ∈ X e cada sucessão x n → a em X, a sucessão fx n → fa em Y .
III.8.27 Teorema Toda a função contínua f : X, T X → Y, T Y é sequencialmente
contínua. Se X, T X é um espaço C1 então f é contínua se e só se é sequencialmente
contínua.
Dem. Pelo Teorema III.8.14 tem-se que se f é contínua e x n → a então fx n → fa.
Supondo X um espaço C1, A ⊂ X, p ∈ A, vemos pela demonstração do Teorema III.7.13
que existe uma sucessão a n em A, a n → p. Se f é sequencialmente contínua,
fp lim fa n ∈ fa n : n ∈ N ⊂ fA (Corolário III.7.10 (1) 3 III.5.6 (2)). Isto mostra
que fA ⊂ fA, concluindo-se a continuidade de f pelo Teorema III.8.20, c.q.d.
III.8.28 Recorde-se a Definição III.6.43. Se X, Y são espaços topológicos e existe uma
função contínua sobrejectiva f : X → Y, D é um subconjunto denso de X de cardinal dX,
a relação Y fX fD ⊂ fD mostra que dY ≤ #fD ≤ #D dX (Propriedade
I.6.15), donde se obtem
III.8.29 Teorema Se Y é um espaço topológico imagem contínua do espaço topológico
X, então dY ≤ dX. Se X é separável então Y é separável.
III.8.30 Recordem-se a Observação II.9.8 e o Teorema II.9.4. Uma vez que o espaço
métrico R 2 , d e é um espaço C1, a propriedade de a soma de duas sucessões
convergentes de números reais ser uma sucessão convergente para a soma dos limites
permite concluir, utilizando o Teorema III.8.27, que a função : R 2 , d e → R, U,
x, y x y é contínua. Então se f : X, T → R, U e g : X, T são funções contínuas,
x n → x tem-se fx n → fx, gx n → gx; logo fx n , gx n → fx, gx donde
fx n gx n fx n , gx n → fx, gx fx gx i.e. a função composta
f g : X, T → R, U, f g of, g, f, gx fx, gx é contínua.
-206III.8.31 Pela Observação III.8.22, dada uma função f : X, T X → Y, T Y , A ⊂ X, a
função restrição f A : A, T A → Y, T Y pode ser contínua num ponto a ∈ A sem que f seja
contínua cem a. Por exemplo, com A − , 0, B 0, ⊂ R, U, a função
f : R, U → R, U, fx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é constante em cada subespaço
topológico A, B e portanto f : A, U A → R, U, f : B, U B → R, U são contínuas. Mas a
sucessão x n −1/n n é convergente em R, U e no entanto fx n não é convergente,
pois fx 2k−1 → 0 ≠ 1 lim fx 2k (Teorema III.7.7). Tem-se contudo
m
F i onde cada F i
III.8.32 Teorema Sejam X, Y espaços topológicos tais que X i1
é um conjunto fechado. Uma função f : X → Y é contínua se e só se cada restrição f i de f
a F i 1 ≤ i ≤ m é contínua de F i em Y.
Dem Seja W um subconjunto fechado de Y. Tem-se
m
m
m
−1
F i i1
f −1 W ∩ F i i1
f −1
f −1 W f −1 W ∩ i1
i W, e assim f W é
fechado em X, como união finita de conjuntos fechados. A recíproca é imediata,
concluido-se o teorema.
III.8.33 Observações (1) Tem-se R p : p ∈ R, cada singleton p é fechado
em R, U e cada função restrição de f a p é constante, donde contínua com valores em
R, D, D a topologia discreta. Considerando por exemplo a função identidade
I : R, U → R, D vemos que a hipótese de a classe dos conjuntos fechados F i ser finita, é
essencial para poder concluir-se a continuidade de f : X → Y. Se X é reunião de uma classe
não vazia (possivelmente infinita) de subconjuntos abertos A ∈ A, a continuidade
de cada função restrição f ∣A : A → Y implica que dada uma rede x i → x em X, sendo
x ∈ A para certo , tem-se x i ∈ A para cada i i 0 , certo ídice i 0 ; logo fx i → fx
em Y. Aplicando o Teorema III.8.14 obtem-se
III.8.34 Teorema Dada uma função f : X → Y, X, Y espaços topológicos tais que
X A : ∈ A, cada A um conjunto aberto, a função é contínua se e somente se
cada função restrição f ∣A : A → Y é contínua.
III.8.35 Exercícios (1) Mostre que se A, B é uma partição de X ≠ então a classe
P , X, A, B é uma topologia sobre X em que todo o conjunto aberto é fechado (2)
Determine a topologia menos fina sobre R de entre as topologia T para as quais a função de
Dirichlet f : R, T → R, U, fx 0 x ∈ Q, fx 1 x ∈ R\Q é contínua. (3) Prove
que a função f : R 2 , d e → R, U, fx, y x 2 y 2 x 2 y 2 ≤ 1, fx, y 1
x 2 y 2 1 é contínua. (Sug: fx, y 1 para cada x, y, x 2 y 2 ≥ 1. (4) Indique uma
condição necessária e suficiente a que deve satisfazer o subconjunto não vazio A do espaço
topológico X, T para que a função característica A : X, T → R, U, A x 1 x ∈ A,
A x 0 x ∉ A seja contínua. (5) Considere a topologia N , A ⊂ R :#A c ≤ # 0
sobre R. Prove que a função identidade I : R, N → R, U é sequencialmente contínua
mas não é contínua. (6) Mostre que se ≠ A ⊂ X, T X então a topoloogia de subespaço T A
é a menos fina de entre as topologias T sobre A para as quais a função de inclusão
I A : A, T → X, T X , I A x x, é contínua. (7) Prove que se X é um conjunto não vazio,
Y, T Y é um espaço topológico e f : X → Y é uma função, então a classe
T f −1 A : A ∈ T Y é uma topologia sobre X tal que f : X, T → Y, T Y é contínua.
-207III.8.36 (1) Verificam-se T1, T2, T3 e o complementar de dada aberto é um aberto.
(2) É a topologia , R, Q, R\Q. (3) Os conjuntos A x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ 1,
B x, y ∈ R 2 ; x 2 y 2 ≥ 1 são fechados (verifica-se facilmente que são
sequencialmente fechados; III.3.9, III.7.12-14). Também de
x n , y n → x, y fx n , y n → fx, y vê-se que f é sequencialmente contínua em cada
ponto de A, donde contínua (Teorema III.8.27); f é contínua em cada ponto tomado em B.
O resultado conclui-se do Teorema III.8.32. (4) O conjunto A ser aberto e fechado. (5) Se
uma sucessão x n → x em R, N então existe certa ordem n 0 , x n x para todo o n ≥ n 0 ;
donde Ix n Ix x n ≥ n 0 e Ix n → Ix em R, U. No entanto I −1 0, 1 0, 1∉ N, I
não é contínua. (6) Pela definição da topologia de subespaço, I −1
A W A ∩ W é um aberto
no subespaço topológico, para cada aberto W em X. Se A ∩ W ∈ T para cada aberto W de X,
então todo o aberto em T A está em T. (7) T1 f −1 ∈ T, X f −1 Y ∈ T; para T2,
dada uma classe f −1 O : ∈ A, O : ∈ A ⊂ T Y tem-se
f −1 O : ∈ A f −1 O, O O : ∈ A ∈ T Y . T3 se U, V ∈ T Y então
f −1 U ∩ f −1 V f −1 U ∩ V, U ∩ V ∈ T Y . A imagem inversa de cada aberto é um aberto.
III.8.37 Definição Se X, Y são espaços topológicos, uma função bijectiva f : X → Y
diz-se que é um homeomorfismo se é contínua e a sua inversa f −1 Y → X é contínua. Os
espaços topológicos X, Y dizem-se homeomorfos se existe um homeomorfismo de X sobre
Y.
III.8.38 Observação As relações f −1 −1 f e gof −1 f −1 og −1 mostram, atendendo ao
Teorema III.8.16, que a relação ”X é homeomorfo a Y” é uma relação de equivalência na
classe dos espaços topológicos.
III.8.39 Exemplos (1) O subespaço topológico 0, de R, U é homeomorfo a todo
o espaço R, U, como mostra o homeomorfismo log x. (2) Cada dois intervalos finitos do
mesmo tipo de R, U são homeomorfos quando munidos das topologias de subespaço;
também 0, 1 é homeomorfo a 1, e a 0, , como mostram as funções 1/x e x − 1.
(3) Considerando E 0, 1/n : n ∈ N munido da topologia U E de subespaço de R, U, T
a topologia sobre E que tem 0, 1/n : n ∈ N como subbase, os espaços topológicos
E, U E , E, T não são homeomorfos. (4) A esfera (considerada como uma parte de
n1
R n1 , d e ) S n x i ∈ R n1 :∣ x i ∣ ∑ i1 x 2i 1 verifica que retirando-lhe o ”pólo
norte” P 0, . . . , 0, 1 que podemos notar P x ′ , 1 convencionando
x x i x ′ , x n1 onde x ′ x 1 , . . . , x n , x ′ x 1 , . . . , x n , a projecção estereográfica
: S n \P → R n , x x ′ /1 − x n1 é um homeomorfismo de inversa y j x
(x x ′ , x n1 , x ′ 2/∣ y j ∣ 2 1y j , x n1 ∣ y j ∣ 2 − 1/∣ y j ∣ 2 1)
quando se considera também R n munido da métrica euclideana. Em particular, a
circunferência excluído o ponto P 0, 1, S 1 \P, d e é homeomorfa à recta R, d e pelo
homeomorfismo x, y x/1 − y.
III.8.40 Exercício Verifique os exemplos (2), (3) e (4) em III.8.39.
III.8.41 Resolução (2) Para a, b, c, d conclui-se utilizando a função 1 − xa xb de
0, 1 sobre a, b e III.8.38. Analogamente para intervalos da forma a, b, a, b ou a, b.
Para intervalos a, b e c, d, considere-se −x de 0, 1 sobre − 1, 0. A função tan x é um
homeomorfismo de 0, /2 sobre 0, . (3) Se X, T é um espaço de Hausdorff
homeomorfo a Y, T ′ então Y, T ′ é um espaço de Hausdorff. Pois se f : X → Y é um
homeomorfismo, dados pontos a ′ fa ≠ b ′ fb ∈ Y, existem abertos disjuntos A, B
em X, a ∈ A, b ∈ B; então, sendo f −1 : Y → X contínua, obtem-se a ′ ∈ fA f −1 −1 A,
b ′ ∈ fB f −1 −1 B, fA, fB são abertos disjuntos de Y. Verifica-se facilmente que
E, U E é um espaço de Hausdorff e E, T não é um espaço de Hausdorff. (4) Comprova-se
usando a continuidade por meio de sucessões num espaço métrico (Corolário II.8.12).
-208III.8.42 Definição Se P é uma propriedade relativa aos espaços topológicos, diz-se que
P é uma propriedade topológica ou um invariante topológico se sempre que X tem a
propriedade P e Y é homeomorfo a X, também Y tem a propriedade P.
III.8.43 Exemplos (1) Como vimos em III.8.41, a propriedade de um espaço topológico
ser um espaço de Hausdorff é topológica. (2) A propriedade de cada topologia metrizável T
sobre um conjunto ser tal que T é a topologia associada à métrica usual d de R não é
obviamente topológica: certamente os espaços métricos R, d e iR, e, onde i 2 −1,
eix, iy ∣ x − y ∣ são homeomorfos, e ≠ d. (3) Também a propriedade de um espaço
métrico E, d (E, d é um espaço topológico) ser completo não é topológica, como mostra
a Observação II.10.5.
III.8.44 Definição Diremos que uma função f : X, T X → Y, T Y é aberta (resp.
fechada) se a imagem directa fC de cada conjunto C aberto (resp. fechado) em X, T X é
um aberto (resp. um fechado) em Y, T Y .
III.8.45 Exemplos (1) A função f : R, U → R, U, fx x x ≠ 0, f0 1 é
aberta; f não é fechada. (2) Qualquer função de X, T em R, D, D a topologia discreta, é
aberta e é fechada. (3) A função f : R, U → 0. 1 munido da topologia de subespaço de
R, U, fx 0 x ≤ 0, fx x 0 ≤ x ≤ 1, fx 1 x ≥ 1 é contínua e fechada, mas
não é aberta.
III.8.46 Observação Certos autores consideram na definição de função aberta, ou
fechada, a condição adicional de a função ser contínua. Certamente em ambos os contextos,
III.8.47 A composta de duas funções abertas (fechadas) é aberta (resp. é fechada)
III.8.48 Exercício Mostre que se no contexto de III.8.44, f é uma bijecção contínua,
então são equivalentes:
i f é um homeomorfismo: ii f é aberta; iii f é fechada.
III.8.49 Teorema Sejam X, Y espaços topológicos.
1. Se a função p : X → Y é fechada, então dados um qualquer conjunto S ⊂ Y e um
aberto U de X tal que U ⊃ p −1 S, existe um aberto V em Y verificando S ⊂ V e
p −1 V ⊂ U;
2. Se uma função p : X → Y é aberta, tem-se que dados um qualquer subconjunto S ⊂ Y
e um fechado A em X tal que A ⊃ p −1 S, existe um fechado B de Y verificando S ⊂ B e
p −1 B ⊂ A.
-209Dem. Provando 1., seja V Y\pX\U. Como p −1 S ⊂ U, tem-se S ⊂ V (recordar
−1
p U c p −1 U c ); sendo p fechada, V é um aberto de Y. Conclui-se o que se pretende,
notando que p −1 V X\p −1 pX\U ⊂ X\X\U U. A demonstração de 2. é análoga.
III.8.50 Teorema As propriedades de um espaço topológico ser de Hausdorff, ser C1,
de ser C2, ou de ser metrizável são invariantes topológicos.
Dem III.8.43 (1) mostra que a propriedade de um espaço topológico ser de Hausdorff é
um invariante topológico. Se f : X → Y é um homeomorfismo, a ∈ X e B a é uma base
contável de vizinhanças do ponto a, então fU : U ∈ B a é uma base contável de
vizinhanças de fa, o que permite concluir que ser C1 é uma propriedade topológica.
Analogamente para C2. Se a topologia de X é associada a uma métrica d e f : X → Y é
um homeomorfismo, então a topologia de Y é a topologia associada à métrica
d ′ fx, fy dx, y.
III.8.51 Exercício Preencha os detalhes na demonstração acima.
III.8.52 Definição Um espaço topológico X diz-se topologicamente completo se é
metrizável e existe uma métrica d em X cuja topologia associada a esta métrica é a
topologia do espaço, e tal que o espaço métrico X, d é completo.
III.8.53 Exercício Prove que a propriedade de ser topologicamente completo é um
invariante topológico. (Sug: III.8.50).
-210III.9 SEPARAÇÃO
As propriedades de separação (que se formulam através dos chamados axiomas de
separação) são uma forma de classificar os espaços topológicos quanto às possibilidades de
separar topologicamente (ou seja, por abertos) pontos e/ou subconjuntos.
Os axiomas de separação designam-se tradicionalmente pela letra T_Talvez por ser a
inicial da sua designação em língua alemã _ Trennungsaxiom, que significa axioma de
separação, sendo esta notação introduzida por Alexander e Hopf. Destes, estudaremos os
axiomas T 0 , T 1 e T 2 _ Que dizem respeito à separação de pontos _ T 3 e T 3 12 _ Que dizem
respeito à separação entre um ponto e um conjunto _ E finalmente T 4 , relativo à separação
entre conjuntos.
Consideraremos um espaço topológico X, T, frequentemente designado por X.
III.9.1 Definição Um espaço topológico X diz-se espaço T 0 se dados dois pontos
distintos a, b ∈ X existe um abertto ao qual um deles pertence e o outro não ou seja,
∃U ∈ T, a ∈ U ∧ b ∉ U ∨ a ∉ U ∧ b ∈ U.
III.9.2 Definição O espaço X diz-se T 1 ou um espaço de Kolmogorov se dados dois
pontos distintos a, b ∈ X, cada um deles pertence a um aberto ao qual o outro não pertence
ou seja, ∃A, B ∈ T, a ∈ A\B ∧ b ∈ B\A.
III.9.3 Exercícios (1) Verifique que todo o espaço T 1 é T 0 . (2) Considere X a, b, c
e a classe T , X, a, c, a, b, a, c. Mostre que X, T é um espaço topológico T 0
que não é T 1 .
III.9.4 Exemplos (1) Se X tem mais do que um elemento, X com a topologia grosseira
não é um espaço T 0 . (2) R munido da topologia U gerada pela base
B a, : a ∈ R é um espaço T 0 . Será um espaço T 1 ?
III.9.5 Teorema O espaço topológico X, T é T 1 se e só se cada conjunto finito é
fechado.
Dem. Basta provar para singletons. A condição é suficiente: dados a, b, a ≠ b a
condição T 1 é verificada com A b c , B a c . Vejamos que é necessária: seja p ∈ X.
Tem-se ∀x ∈ X, x ≠ p, ∃U x ∈ T, x ∈ U x ∧ p ∉ U x . Logo
U x : x ∈ X\p X\p ∈ T donde p é fechado c.q.d.
-211III.9.6 Observação Vemos pelo teorema anterior que o axioma T 1 é equivalente à
condição K 1 ≡ ∀a ∈ X, V : V ∈ V a a.
III.9.7 Corolário X, T é um espaço T 1 se e só se a topologia T é mais fina que a
topologia cofinita de X.
Assim a topologia cofinita é a menos fina das topologias T 1 sobre um conjunto.
III.9.8 Um espaço topológico X diz-se de Hausdorff, separado ou espaço T 2 se dados
dois pontos diferentes a, b ∈ X, existem dois abertos disjuntos A, B tais que a ∈ A e b ∈ B.
A condição de separação de Hausdorff é considerada a propriedade básica de
separação, verificada por muitos dos exemplos relevantes de espaços topológicos,
nomeadamente pelos exemplos históricos (como aliás a própria designação de espaço
”separado” sugere). Veremos em seguida que algumas das propriedades mais familiares da
Análise elementar, como por exemplo a unicidade do limite, são válidas em espaços de
Hausdorff, mas não em espaços topológicos gerais.
III.9.9 Observação Vimos em III.7.11 que um espaço topológico X é de Hausdorff se e
só se o limite de cada base de filtro convergente em X é único, equivalentenente se e só se
cada rede convergente em X tem um único limite. Consequentemente, se X é um espaço
separado então o limite de cada sucessão convergente em X é único. A recíproca é falsa em
geral, tendo-se contudo
III.9.10 Propriedade Seja X, T um espaço C1. X, T é um espaço de Hausdorff se e
somente se o limite de cada sucessão convergente em X é único.
Dem. Basta provar que a condição é suficiente. Provemos a contra-recíproca. Seja X
não de Hausdorff. Então existem a, b ∈ X, a ≠ b, tais que todo o aberto a que a pertence
tem intersecção não vazia com todo o aberto a qua pertence b. Sejam U n : n ∈ N,
V n : n ∈ N bases contáveis de vizinhanças de a e b respectivamente, verificando
U n1 ⊂ U n , V n1 ⊂ V n , ∀n ∈ N. Como U n ∩ V n ≠ , n 1, 2, . . . , existe uma sucessão u n
verificando u n ∈ U n ∩ V n , ∀n ∈ N. Então u n converge para a e para b, concluindo a
demontração.
III.9.11 Teorema O axioma de separação T 2 é equivalente à condição
K 2 ≡ A intersecção da classe de todas as vizinhanças fechadas de cada ponto a
reduz-se ao singleton a.
Dem. T 2 K 2 Dado a ∈ X, se x ∈ X\a existem abertos A x , U x tais que a ∈ A x ,
x ∈ U x e A x ⊂ U cx ; donde X\U x é uma vizinhança fechada de a. Logo
U : U ∈ V a , U é fechado ⊂ X\U x : x ∈ X\a X\ U x : x ∈ X\a
eeste conjunto está contido em X\X\a a e concluimos K 2 .
K 2 T 2 Pela hipótese, dados a, b ∈ X, a ≠ b existe pelo menos uma vizinhança
fechada V de a tal que b ∉ V; logo V c é um aberto a que pertence b que é disjunto de um
aberto A tal que a ∈ A, A ⊂ V, concluindo-se o teorema.
-212III.9.12 Corolário 1 Todo o espaço T 2 é um espaço T 1 . Num espaço de Hausdorff todo o
subconjunto finito é fechado.
Dem. Certamente T 2 T 1 , o que pode ver-se também pela implicação
K 2 K 1 , c.q.d.
III.9.13 Corolário 2 Todo o espaço T 1 que tenha a propriedade de existir uma base de
vizinhanças fechadas de cada ponto é um espaço de Hausdorff.
III.9.14 Exercício Prove o Corolário 2 em III.9.13.
III.9.15 Observações (1) Têm-se as implicações T 2 T 1 T 0 atendendo a
III.9.3 e III.9.12. (2) As implicações recíprocas são falsas. Com efeito, para a primeira, se X
é um conjunto infinito então X, C, C a topologia cofinita, é um espaço T 1 que não é T 2 . E
existem espaços T 0 e não T 1 . (3) Se X, T é um espaço T i i 0, 1, 2 e T ∗ é uma topologia
sobre X mais fina que T então X, T ∗ é um espaço T i
III.9.16 Exercício Verifique III.9.15 (2), (3). (Sug. para (2): Existem em X, C dois
abertos não vazios e disjuntos?)
III.9.17 Propriedade As propriedades de um espaço ser T 0 , T 1 ou T 2 são hereditárias.
Dem. Demonstremos o caso T 2 : Sejam X, T um espaço de Hausdorff, Y, T Y um
subespaço. Sejam a, b ∈ Y, a ≠ b. Existem A, B ∈ T, a ∈ A, b ∈ B e A ∩ B . Então
A ∩ Y, B ∩ Y ∈ T Y , a ∈ A ∩ Y, b ∈ B ∩ Y e A ∩ Y ∩ B ∩ Y A ∩ B ∩ Y .
III.9.18 Exemplos (1) A topologia discreta é Hausdorff. (2) Os espaços metrizáveis são
de Hausdorff. (3) A topologia da ordem é Hausdorff. (4) As topologias do limite superior e
do limite inferior sobre R são Hausdorff .
III.9.19 Teorema Se X, T é um espaço de Hausdorff, A ⊂ X, então o ponto p ∈ X é um
ponto de acumulação de A se e somente se toda a vizinhança de p contém uma infinidade
de pontos de A.
Dem. Claro que a condição é suficiente. Provemos que é necessária: seja p um ponto de
acumulação de A, e admitamos, com vista a um absurdo, que existe um aberto U ao qual
pertence p, tal que U ∩ A é um conjunto finito. Então F U ∩ A\p é também um
conjunto finito, logo fechado (Corolário 1). U\F é então um conjunto aberto a que pertence
p e tem-se U\F ∩ A\p contrariando p ∈ A ′ , c.q.d.
III.9.20 Definição Um espaço topológico X, T diz-se regular se verifica o axioma de
regularidade R ≡ Dados um subconjunto fechado F ⊂ X e um ponto p ∈ X\F, existem
abertos disjuntos U, V tais que F ⊂ U e p ∈ V.
-213III.9.21 Observação Um espaço regular não é necessariamente T 1 , como mostra o
exemplo X a, b, c, T , X, a, b, c.
III.9.22 Definição Um espaço topológico diz-se um espaço T 3 se é regular e T 1 .
III.9.23 Propriedade Todo o espaço T 3 é um espaço de Hausdorff.
III.9.24 Observação Certos autores consideram como espaços regulares unicamente
espaços verificando os axiomas T 1 e R i.e., não distinguem entre espaços regulares e
espaços T 3 na nossa acepção.
III.9.25 Exercício Prove a Propriedade III.9.23.
III.9.26 Exemplos
(1) R N , U, U a topologia usual associada à métrica euclideana d e , é um espaço T 3 .
Com efeito se F é fechado e p ∉ F então infd e p, y : y ∈ F d e p, F d 0 (II.5.49
(2)); os abertos B 0 p, d/2 V e Bp, d/2 c U são disjuntos, F ⊂ U, p ∈ V.
(2) A recíproca da Propriedade III.2.21 não é válida ou seja, um espaço de Hausdorff
não é necessariamente um espaço regular, como mostra o seguinte exemplo. Consideremos
X R, T a topologia que tem a classe dos intervalos abertos e o conjunto Q como subbase.
T é mais fina que a topologia usual, portanto é Hausdorff; X, T não é regular, pois R\Q é
fechado mas 1 e R\Q não têm vizinhanças disjuntas.
III.9.27 O exemplo (2) acima mostra que uma topologia mais fina que uma topologia
regular não é necessariamente regular (III.9.26 (1)). Por outro lado, continua a ter-se
hereditariedade:
III.9.28 Teorema A propriedade de ser regular é hereditária i.e., um subespaço de um
espaço regular é um espaço regular.
III.9.29 Propriedade O axioma da regularidade R é equivalente à seguinte condição: A
classe das vizinhanças fechadas de cada ponto é uma base de vizinhanças do ponto.
Dem. Consideremos um espaço topológico X, T. A condição é necessária: Seja p ∈ X,
P uma vizinhança de p. Existe U ∈ T tal que p ∈ U ⊂ P. X\U é um fechado a que não
pertence p, portanto existem A 1 , A 2 ∈ T tais que p ∈ A 1 , X\U ⊂ A 2 e A 1 ∩ A 2 , donde
p ∈ A 1 ⊂ X\A 2 , X\A 2 ⊂ U ⊂ P e assim p ∈ X\A 2 ⊂ P. A condição é suficiente: Sejam
p ∈ X, F ⊂ X, F fechado tais que p ∉ F. X\F é uma vizinhança de p, logo existem um
aberto V e um fechado F p tais que p ∈ V ⊂ F p ⊂ X\F. X\F p é um aberto que contém F,
p ∈ V e V ∩ X\F p c.q.d.
-214III.9.30 Exercícios (1) Mostre que X é um espaço regular se e só se para cada fechado
F ⊂ X e cada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. (2) Demonstre o
Teorema III.9.28. (Sug: Pela Propriedade III.9.29, um espaço é regular se e só se existe
uma base de vizinhanças fechadas de cada ponto).
III.9.31 Em III.9.26 (2) temos um exemplo de um espaço T 2 e não T 3 .
III.9.32 Propriedade Se X, ≤ é uma cadeia não vazia então X munido da topologia
gerada pelos subintervalos da forma a, b é um espaço T 3
III.9.33 Exercício Demonstre a Propriedade III.9.32
III.9.34 Conclui-se facilmente que munindo uma cada cadeia não vazia da topologia da
ordem (recorde III.2.22) se obtem um espaço T 3 .
III.9.35 Definição O espaço topológico X diz-se normal se dados dois subconjuntos
fehados disjuntos F, G ⊂ X existirem dois abertos disjuntos U, V tais que F ⊂ U e G ⊂ V.
Se X é normal e T 1 diz-se que X é um espaço T 4
III.9.36 Exemplos (1) Se X não se reduz a um elemento, o espaço X, G é normal e não
é T 0 . (2) X a, b, c munido da topologia T , X, a, b, a, b é normal e não é T 4 .
III.9.37 O Teorema II.11.2 mostra que todo o espaço metrizável é T 4 . O Exemplo
III.9.26 (2) dá um exemplo de um espaço de Hausdorff que não é T 4 . Todo o espaço T 4 é
um espaço T 3 ; veremos em III.10 que existem espaços T 3 e não T 4 . (3) Se Γ é um número
ordinal, o espaço ordinal 0, Γ é T 4 . Efectivamente o espaço é T 1 , pois é separado (III.9.18
(3)); para ver que é normal, consideremos dois subconjuntos fechados disjuntos A, B de
0, Γ. Para cada ∈ A, o conjunto ∈ B : tem um supremo b , e verifica-se
b ∈ B B. O aberto b , : ∈ A não contém nenhum ponto de B, pela definição de
supremo de um conjunto. Obtemos assim o aberto U b , : ∈ A ⊃ A e
analogamente obteríamos um aberto V a , : ∈ B ⊃ B. Tem-se U ∩ V .
Pois se U ∩ V ≠ então uma intersecção b , ∩a , não é vazia; supondo ,
obtem-se ∈b , , o que é impossível, e analogamente supondo . Fica assim
provado que 0, Γ é normal. (4) Analogamente se comprova que 0, Γ (munido tambem da
topologia da ordem) e R, U são espaços T 4 .
-215III.9.38 Exercícios (1) Verifique III.9.37. (2) Mostre que T i1 T i i 0, 1, 2, 3.
Vimos que um espaço X é regular se e só se para cada subconjunto fechado F de X e
cada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. Tem-se
III.9.39 Teorema O espaço X é normal se e somente se dados um fechado F ⊂ X e um
aberto U contendo F, existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
Dem. A condição é necessária: Sejam F um fechado, U um aberto tal que F ⊂ U. Então
X\U é um aberto, disjunto de F, logo existem abertos disjuntos O, O ′ , F ⊂ O e X\U ⊂ O ′ ,
O ∩ O ′ . Donde F ⊂ O ⊂ X\O ′ e também X\O ′ ⊂ U; como X\O ′ é um fechado tem-se
F ⊂ O ⊂ O ⊂ U. A condição é suficiente: Sejam F, G dois fechados disjuntos, F ⊂ X\G
com X\G aberto. A condição implica a existência de um aberto O tal que
F ⊂ O ⊂ O ⊂ X\G e portanto, F ⊂ O, G ⊂ X\O, O ∩ X\O c.q.d.
III.9.40 Observação A propriedade de um espaço ser normal (ou de ser T 4 ) não é
hereditária. Mas verifica-se facilmente que todo o subespaço fechado de um espaço normal
(resp. T 4 ) é um espaço normal (resp. T 4 ).
III.9.41 Teorema (Lema de Urysohn) Sejam F 1 , F 2 dois subconjuntos fechados
disjuntos de um espaço normal X, T. Então existe uma função contínua f : X → 0. 1,
0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, tal que
fF 1 0, fF 2 1.
III.9.42 Exercício Justificando os passos seguintes, e utilizando o resultado:
P ≡ O conjunto D 12 , 14 , 34 , 18 , 38 , 58 , 78 , 161 , . . . , 15
, . . . das fracções diádicas
16
(fracções cujo denominador é uma potência de 2) é denso em 0, 1, obtenha uma
demonstração do Lema de Urysohn:
1. Tem-se F 1 ⊂ F c2 e F c2 é aberto;
2. existe um aberto G 1,2 tal que F 1 ⊂ G 1,2 ⊂ G 1,2 ⊂ F c2 ;
3. existem abertos G 1,4 e G 3,4 tais que
F 1 ⊂ G 1,4 ⊂ G 1,4 ⊂ G 1,2 ⊂ G 3,4 ⊂ G 3,4 ⊂ F c2 e podemos repetir o processo
obtendo, para cada t ∈ D, um aberto G t com a propriedade de para cada t1, t2 ∈ D,
t1 t2 se tem G t1 ⊂ G t2 .
4. A função f : X → 0, 1, fx inft : x ∈ G t x ∉ F 2 , fx 1 x ∈ F 2
verifica fF 1 0 e fF 2 1 (Sug: F 1 ⊂ G t para cada t).
5. Ficará provado que a função f em 4. é contínua se provarmos que cada conjunto
f −1 0, b e f −1 a, 1 é aberto em X 0 a, b 1.
6. Provemos que
a) f −1 0, b G t : t ∈ D, t b e
c
b) f −1 a, 1 G t : t ∈ D, t a.
-2167. Provando a):
(i) se x ∈ f −1 0, b tem-se 0 ≤ fx b;
(ii) existe tx ∈ D tal que fx tx b e fx inft : x ∈ G t tx b;
(iii) fx ≤ t, ∀t ≤ tx : x ∈ G t donde fx ≤ tx se x ∈ G tx , e assim se x ∉ G tx
tem-se fx tx, donde x ∈ G tx ;
(iv) x ∈ G t : t ∈ D, t b e f −1 0, b ⊂ G t : t ∈ D, t b.
(v) Suponhamos y ∈ G t : t ∈ D, t b. Então ∃ty ∈ D, ty b ∧ y ∈ G ty .
(vi) fy inft : t ∈ D, y ∈ G t ≤ ty b;
(vii) y ∈ f −1 0, b donde G t : t ∈ D, t b ⊂ f −1 0, b e tem-se
−1
f 0, b G t : t ∈ D, t b.
Provando b):
(i) Seja x ∈ f −1 a, 1; então a fx ≤ 1;
(ii) existem t1, t2 ∈ D, a t1 t2 fx;
(iii) fx inft ∈ D : x ∈ G t t2, donde x ∉ G t2 .
(iv) t1 t2 G t1 ⊂ G t2 , e assim x ∉ G t1 ;
c
(v) x ∈ G t1 onde t1 a;
c
(vi) f −1 a, 1 ⊂ G t : t ∈ D, t a;
c
c
(vii) Seja y ∈ G t : t ∈ D, t a. Existe então ty a, y ∈ G ty ;
(viii) Como t ty G t ⊂ G ty ⊂ G ty tem-se y ∉ G t desde que t ∈ D e t ty;
(ix) fy inft ∈ D : y ∈ G t ≥ ty a;
c
(x) y ∈ f −1 a, 1 e G t : t ∈ D, t a ⊂ f −1 a, 1
(xi) Pode concluir-se o resultado.
III.9.43 Exercícios (1) Justificando as passagens seguintes, comprove o resultadp P
utilizado na resolução de III.9.43:
1. Há a provar que para cada a ∈ 0, 1 tem-se que cada intervalo a − , a contém
um ponto de D, qualquer que seja 0. Sejam um tal a e 0;
2. existe q 2 n , certo número natural n, tal que 0 1q ;
m m1
3. pelo menos um dos intervalos mq , m1
q verifica a ∈ q , q (Sug: Que conjunto se
q−2 q−1
q−1
obtem pela reunião 0, 1q 1q , 2q 2q , 3q . . . q , q q , 1?).
1
m
4. as desigualdades mq ≤ a ≤ m1
q , q implicam a − q a , c.q.d.
(2) Prove que se X, T é um espaço T 4 , B é uma base de T então para cada B j ∈ B e
cada ponto p ∈ B j existe certo B k ∈ B tal que p ∈ B k ⊂ B k ⊂ B j .
III.9.44 Se a função f : C ⊂ X, T X → Y, T Y é contínua, dizemos que a função
F : X, T X → Y, T Y é uma extensão contínua de f se Fx fx x ∈ C.
-217III.9.45 Observação Se f n é uma sucessão de funções reais contínuas sobre X indiciada
em N 0 tal que existem constantes M n , n 0, 1, 2, . . . satisfazendo ∣ f n x ∣≤ M n x ∈ X
para cada n e ∑ n0 M n , então a função f : X → R definida por fx ∑ n0 f n x é
contínua. Com efeito, f está bem definida e dado 0, existe n0 tal que pondo
N
s N x ∑ n1 f n x, tem-se para todo o N ≥ n0,
∣ s N x − s n0 x ∣≤ ∑ nn0 M n , ∀x ∈ X. Sendo então x 0 ∈ X, 0, a continuidade
de cada função s N implica que existe uma vizinhança V do ponto x 0 ,
∣ fx − fx 0 ∣≤∣ fx − s N x ∣ ∣ s N x − s N x 0 ∣ ∣ s N x 0 − fx 0 ∣ 3 para
todo o x ∈ V, f é contínua.
III.9.46 Teorema de Tietze Seja X, T um espaço de Hausdorff. O espaço X é normal se
e somente se para cada subconjunto fechado A, cada função contínua f : A, T A → R, U
tem uma extensão contínua F : X, T → R, U, de modo que se ∣ fx ∣ sobre A então
pode escolher-se F tal que ∣ Fx ∣ x ∈ X.
Dem. A condição é suficiente, pois admitindo-a, sejam C, D subconjuntos fechados
disjuntos de X. Para cada escolha de y 0 , y 1 ∈ R, y 0 ≠ y 1 , a função
f : C D, T CD → R, U, f y 0 sobre C, f y 1 sobre D, é contínua. Dada uma
extensão contínua F : X → R de f, os subconjuntos abertos F −1 I 0 , F −1 I 1 , onde I 0 , I 1 sao
intervalos abertos disjuntos contendo respectivamente y 0 , y 1 tais que C ⊂ F −1 I 0 e
D ⊂ F −1 I 1 . Para provar que a condição é necessária, utilizamos o
-218Lema Se A é um subconjunto fechado do espaço normal X, T X e g : A, T A → R, U
contínua tal que ∣ gx ∣≤ c para cada x ∈ A, existe uma função h : X, T X → R, U tal
que
(1) ∣ hx ∣≤ 13 c para todo o x ∈ X;
(2) ∣ ga − ha ∣≤ 23 c se a ∈ A.
Provemos os três passos seguintes, onde X é normal:
a Sejam A um suconjunto fechado de X e f : A → R contínua, ∣ fa ∣ c para cada
a ∈ A. Tomando f como uma função g no Lema, seja h 0 : X → R no lugar de h tal que
∣ fa − h 0 a ∣≤ 23 c a ∈ A. Aplicando o Lema de novo seguidamente à função f − h 0
definida sobre A, obtemos h 1 : X → R contínua, ∣ h 1 x ∣≤ 13 . 23 c x ∈ X,
∣ fa − h 0 a − h 1 a ∣≤ 23 . 23 c a ∈ A. Admitindo por hipótese de indução que foram
obtidas h 0 , . . . , h n podemos aplicar o Lema à função f − h 0 −. . . −h n obtendo h n1 : X → R
contínua tal que ∣ h n1 x ∣≤ 13 . 23 n c parac cada x ∈ X,
∣ fa − h 0 a −. . . −h n1 a ∣≤ 23 . 23 n c a ∈ A. Assim existe uma função como h n para
cada n ∈ N. Utilizando III.9.44, a função Fx ∑ n0 h n x é contínua de X em R; a
segunda desigualdade acima mostra que Fa fa a ∈ A e, pela primeira tem-se
∣ Fx ∣≤ 13 . ∑ n0 23 n c c para cada x ∈ X.
b Pela hipótese ∣ fa ∣ c sobre A. Obtivemos em a a extensão contínua F de f tal
que ∣ Fx ∣≤ c sobre X. O subconjunto A 0 x ∈ X : Fx c é fechado em X e
A ∩ A 0 , donde aplicando o Lema de Urysohn existe uma função contínua
: X, T → R, U tal que 1 sobre A e 0 sobre A 0 , 0 ≤ ≤ 1. Ponhamos
Gx xFx em X. Então G é contínua, Ga Fa fa sobre A e G é também
uma extensão contínua de f. Além disso, se x ∈ A 0 tem-se Gx 0 e, para x ∈ X\A 0 ,
∣ x ∣≤ 1 e ∣ Fx ∣ c, donde Gx c.
c A função f não sendo necessariamente limitada, consideremos o homeomorfismo
hx x/1 ∣ x ∣ de R sobre − 1, 1. Aplicando b, a composta hof tem uma extensão
contínua F : X → − 1, 1. Então a igualdade h −1 ohofa fa, a ∈ A, mostra que a
função h −1 oF é uma extensão contínua de f c.q.d.
III.9.47 Proposição (1) Se X, T é um espaço regular, F é um subconjunto fechado de X
e p ∈ X\F, existem abertos U, V tais que p ∈ U, F ⊂ V e U ∩ V , U ∩ V .
(2) Se X, T é um espaço normal e F, G ⊂ X, F, G conjuntos
fechados disjuntos, então existem abertos U, V tais que F ⊂ U, G ⊂ V e U ∩ V .
Dem. Provando (1). Pela hipótese existem conjuntos abertos A, B, p ∈ A, F ⊂ B e
A ∩ B . Atendendo a III.9.30 (1), existe um aberto W tal que F ⊂ W ⊂ W ⊂ B. Então
p ∈ A\B ⊂ A\W ⊂ A\W A\W, A\W é aberto, A\W ∩ F ; também
F ⊂ W ⊂ W ⊂ B\A, W ∩ A\W . Os abertos U A\W e V W estão nas
condições pedidas, já que A\W ⊂ A\W e W ∩ A\W c.q.d. (2) obtem-se imediatamente
da definição de espaço normal, usando o Teorema III.9.40.
-219III.9.46 Teorema Todo o espaço regular e C2 é um espaço normal
III.9.47 Exercício Obtenha, pela justificação das passagens seguintes, uma
demonstração do teorema: Suponhamos X nas hipótese do teorema, e seja B uma base
contável da topologia. Consideremos dois subconjuntos fechados A, B de X, A ∩ B .
1. Para cada x ∈ A existe um aberto U ∈ V x tal que U ∩ B ;
2. existe um aberto V ∈ V x tal que V ⊂ U;
3. existe certo W ∈ B verificando-se x ∈ W ⊂ V.
4. Considerando conjuntos W verificando 3. para cada x ∈ A, a classe destes abertos W
é uma cobertura contável W n : n ∈ N de A (i.e., A ⊂ W n : n ∈ N) formada por
conjuntos abertos, cujos fechos são disjuntos de B.
5. Existe uma classe contável de abertos V n : n ∈ N tal que B ⊂ V n : n ∈ N e
sendo cada V n ∩ A ;
n
n
6. Para cada n, sejam W ′n W n \ i1
V i e V ′n V n \ i1
W i ; cada conjunto W ′n , V ′n
é um aberto.
7. A classe W ′n : n ∈ N é uma cobertura de A, e a classe V ′n : n ∈ N é uma
cobertura de B.
8. Os conjuntos W ′ W ′n : n ∈ N e V ′ V ′n : n ∈ N são abertos e disjuntos,
concluindo-se a demonstração. (Sug: Se x ∈ W ′ ∩ V ′ então existem j, k ∈ N tais que
x ∈ W ′j ∩ V ′k ; supondo por exemplo j ≤ k tem-se x ∉ W j ).
III.9.48 Resolução
1. Pois por hipótese X é um espaço regular;
2. por III.9.30 (1);
3. pois B é uma base da topologia.
4. Atendendo a 1., 2. e 3. e porque por hipótese a base B é contável.
5. analogamente aos passos anteriores, com B no lugar de A;
6. porque o fecho de um conjunto é um conjunto fechado, a reunião finita de fechados é
um fechado e a intersecção de dois abertos é um aberto.
-2207. Pois cada ponto x em A pertence a certo W n e não pertence a nenhum dos conjuntos
V i , atendendo a 5.;
8. W ′ e V ′ são abertos, pois são reuniões de conjuntos abertos. E atendendo a 7.
c
k
W j ; e
Também nas condições da sugestão, x ∉ W j pois admitimos x ∈ V ′k ⊂ j1
analogamente na hipótese k ≤ j, c.q.d.
III.9.49 Teorema Todo o conjunto bem ordenado X é um espaço topológico T 4 quando
munido da topologia da ordem.
III.9.50 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do
Teorema III.9.48:
1. Há a provar que X é um espaço normal. Sejam A, B ⊂ X, A, B fechados disjuntos.
2. Cada intervalo x, y de X é um conjunto aberto;
3. suponhamos primeiro que a 0 ∉ A B, a 0 o primeiro elemento de X. Para cada
a ∈ A, existe um intervalo x a , a, x a a tal que x a , a ∩ B ;
4. para cada b ∈ B podemos considerar um intervalo y b , b, y b b, y b , b ∩ A .
5. Os conjuntos U x a , a : a ∈ A e V y b , b : b ∈ B são abertos, U ⊃ A
e V ⊃ B.
6. Se z ∈ U ∩ V então z ∈x a , a ∩y b , b, certos a ∈ A, b ∈ B;
7. supondo a b, se a ≤ y b então os intervalos em 6. são disjuntos; e se y b a então
a ∈y b , b, o que é impossível. Analogamente se b a.
8. Na hipótese 3., tem-se U ∩ V .
9. Consideremos o caso a 0 ∈ A, a 0 o primeiro elemento de X. Então a 0 é um aberto e
também um fechado em X, donde A\a 0 e B são subconjuntos fechados disjuntos de X,
nenhum deles contendo a 0 ;
10. existem abertos disjuntos U, V em X, A\a 0 ⊂ U, B ⊂ V;
11. Pode concluir-se o teorema, c.q.d.
III.9.51 Resolução
1. Pois o espaço X é separado.
2. Pois x, y x, y 1, onde y 1 é o sucessor de y;
3. porque cada intervalo aberto contendo a contém um intervalo da forma x a , a e pelo
menos um intervalo aberto contendo a é disjunto de B (caso contrário a é um ponto
aderente de B, logo a ∈ B; mas a ∈ A, A ∩ B , logo a ∉ B);
4. conclui-se analogamente a 3.
5. Pois são reuniões de abertos. E porque a percorre A para se obter U, a ∈ U para cada
a ∈ A; analogamente para V ⊃ B.
6. Por definição dos conjuntos U, V;
7. pela definição dos intervalos;
8. Conclui-se e 6. e 7.
-2219. a 0 a 0 , a 0 1 é aberto pela definição da topologia da ordem; a 0 é fechado
porque é um subconjunto finito de um espaço separado; e pelas hipóteses anteriores.
10. Aplica-se a conclusão como supondo 3.
11. Considerando os abertos U a 0 (passo 9.) e V, atendendo a 10.
III.9.52 Observação Também cada cadeia munida da topologia da ordem é um espaço
normal, como pode encontrar-se em [Steen, Seebach].
III.10 TOPOLOGIA PRODUTO E TOPOLOGIA COCIENTE.
ESPAÇOS COMPLETAMENTE REGULARES.
OBTENÇÃO DE TOPOLOGIAS
No que segue consideramos espaços topológicos X , T ∈ A e o conjunto
produto caretsiano X ∈A X suposto não vazio.
III.10.1 Teorema A classe B ∈A O ∈A\A X : A ∈ FA, O ∈ T
onde FA é a colecção dos subconjuntos finitos não vazios de A, é uma base para uma
topologia sobre X.
Dem. Tem-se X ∈ B donde R : R ∈ B X. Dados
R 1 ∈A1 O 1 ∈A\A1 X , R 2 ∈A2 O 2 ∈A\A2 X , se
A1 ∩ A2 então R 1 ∩ R 2 ∈A O ∈A\A X onde O O i , ∈ Ai e
A A1 A2 ∈ FA; se B A1 ∩ A2 ≠ então
R 1 ∩ R 2 ∈B O 1 ∩ O 2 ∈A1\B O 1 ∈A2\B O 2 ∈A\A X ∈ B c.q.d.
III.10.2 Se X é um conjunto, X , T : ∈ A é uma colecção de espaços
topológicos e f : X → X : ∈ A é uma correspondente colecção de funções,
podemos considerar sobre X (III.2.37) a topologia ∨f −1
T : ∈ A. Tomando
X ∈A X e f pr : X → X obtem-se sobre X uma topologia; e designando
m
A 1, . . . , m ⊂ A, O 1 , . . . , O m k1 O k ∉A X , tem-se
m
−1
pr −1
k O k O k , k1 pr k O k O 1 , . . . , O m , um aberto na base B
da topologia ∨pr −1
T : ∈ A sobre X ., T . Assim a classe
−1
pr O : O ∈ T , ∈ A é uma subbase da topologia .
III.10.3 Definição A topologia em III.10.2 sobre X ∈A X diz-se a topologia
produto, e notamos X ∈A X , T para designar o espaço topológico obtido.
-222III.10.4 Observações (1) Se o conjunto dos índices é finito, A 1, . . . , N, a base B
no Teorema III.10.1 é constituída pelos conjuntos O 1 . . . O N , cada O k 1 ≤ k ≤ N um
aberto de X k , T k . (2) No contexto de III.10.1 cada conjunto R na classe B diz-se um
rectângulo aberto. Os rectângulos abertos são abertos muito particulares no espaço
topológico produto. (3) Notar que se a classe X , T : ∈ A é infinita, uma ”caixa”
∈A O , O ∈ T \, X nunca é um aberto em A X , T , nem um produto
cartesiano P ∈A O em que O ≠ X , O ≠ para uma infinidade de índices ; pois
P não contem nenhum conjunto O 1 , . . . , O m . (4) Certamente se R é um rectângulo
aberto, pr : X → X é a projecção de índice , ∈ A, a imagem pr R é um aberto no
espaço topológico X ; se O é um aberto de A X , T , sendo a imagem de uma reunião
generalizada a reunião generalizada das imagens, pr O é um aberto de X . Assim as
projecções são funções abertas. (5) Notar que dado um aberto O ∈ , somente para um
número finito das projecções pr é possivelmente pr O ≠ X . (6) Para cada O ∈ T , a
imagem inversa pr −1
O O ≠ X é um rectângulo aberto; as projecções são
funções contínuas. Obtemos
éa
-223III.10.5 Propriedade A topologia produto do espaço topológico produto A X , T
menos fina das topologias sobre ∈A X para as quais cada função projecção é
contínua. As projecções são funções abertas.
Dem. Se cada pr : ∈A X , T → X é contínua, então cada conjunto
R O ≠ X pr −1
O ∈ T ∈ A. Cada rectângulo aberto R é uma
intersecção finita de rectângulos abertos da forma R , e portanto é um aberto da topologia T
concluindo-se ⊂ T e por III.10.3, a propriedade c.q.d.
III.10.6 Exercícios (1) Mostre que se T é uma topologia sobre X ∈A X tal que
cada projeccção pr ∈ A é contínua, então dada um rede x i → x em X, T, cada
rede coordenada x i → x a no espaço factor X . (2) Prove que se cada rede x i → x em X
então x i → x em A X , T e conclua o
III.10.7 Teorema Uma rede x i → x no espaço produto A X , T se e somente se
cada rede factor x i → x no espaço X , T .
III.10.8 Resoluções (1) Conclui-se do Teorema III.8.14. (2) Atendendo a III.10.4,
tem-se que se x i → x no espaço A X , T então x i pr x i → x em X , T
∈ A. (Há a provar que se cada x i → x em X então x i → x . Supondo a negação
de x i → x tem-se P ≡ ∃O ∈A O ∈A\A X onde x ∈ O , O ∈ T
para cada no conjunto finito A tal que, designando I, o conjunto dirigido para a rede
j
x i , para cada i ∈ I existe j i, x ∉ O. Se se verifica a relação
j
P ≡ ∀O ∈ T : x ∈ O , ∃i ∈ I, j i x ∈ O para todos os ∈ A, então
j
tomando iA i ∈ A, a relação P não se verifica, pois se j iA então x ∈ O ,
cada ∈ A. Existe pois pelo menos um ∈ A tal que P é falso ou seja, tal que a rede
factor x i não converge para x concluindo-se que a convergência de cada rede facor
implica a convergência da rede no espaço produto. (1) e (2) permitem concluir o teorema.
III.10.9 Exercício Prove que dada uma classe não vazia de espaços topológicos
X , T : ∈ A a classe B X ∈A O : O ∈ T é base para uma topologia
sobre X ∈A X . (esta topologia diz-se a topologia da caixa, box topology).
III.10.10 Exercícios (1) Prove que a classe T p , 0, 1/m : m ≥ n p : n ∈ N é uma
topologia sobre C 0, 1/n : n ∈ N para cada p 1, 2, . . . . (2) Designe por X p o espaço
topológico obtido munindo C da topologia T p na questão (1). Mostre que sendo k ∈ N, a
sucessão 1/n k → n→ 0 em cada espaço topológico X p mas a sucessão 1/n k n1 em k não é
convergente para 0 no espaço topológico n1 X n , B X , X n1 X n munido da
topologia da caixa B X . (3) Confirme que se o conjunto A dos ídices é infinito, então a
topologia da caixa é estritamente mais fina que a topologia produto.
-224III.10.11 Resoluções (1) T1 verifica-se ; T2 se 1/n p é o maior elemento que figura em
todos os abertos A de T p , então A : ∈ Γ 0, 1/m : m ≥ n p ∈ T p ; T3 dados
abertos A 1 0, 1/m : m ≥ n1 p , A 2 0, 1/n2 p , m ≥ n2, n2 ≥ n1 tem-se
A 1 ∩ A2 A2 ∈ T. (2) Cada aberto 0, 1/m : m ≥ n p contendo 0 em X p contém todos
os termos 1/n k onde k ≥ p. Dada a caixa B n1 0, 1/m : m ≥ n p ∈ B X , não existe
kB ∈ N tal que 1/n k ≤ 1/n p p 1, 2, . . . para todo o termo de ordem k ≥ kB, pois teria
de ser kB ≥ p, ∀p ∈ N. (3) Atendendo a III.8.27 e III.8.14, a função identidade
Id : X, → X, B X não é contínua X n1 X n ; existe assim (III.8.18) pelo menos
um conjunto aberto em B X que não está na classe .
III.10.12 Observação Se o espaço produto A X , T é um espaço de Hausdorff então
j
dados x , y ∈ X , x ≠ y , fixando z 1 x , z 2 y e z ∈ X ≠ , j 1, 2, os pontos
j
z j z em A X , T têm vizinhanças disjuntas V j j 1, 2. Existem portanto abertos
j
j
j
disjuntos A pr V j em X tais que z ∈ A , cada espaço factor é separado.
III.10.13 Teorema O espaço produto A X , T é um espaço de Hausdorff se e
somente se cada espaço factor X , T é um espaço de Haausdorff.
III.10.14 Exercícios (1) Demonstre o Teorema III.10.13. (2) Prove que se
X n , T n : n ∈ N é uma classe contável de espaços topológicos C1 então N X n , T n é
um espaço C1.
III.10.15 Resoluções (1) A condição necessária é III.10.12. Supondo cada X , T um
espaço separado, sejam x x , y y ∈ A X , T , x ≠ y. Existe ∈ A, x ≠ y .
Sendo U , V ∈ T tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V , obtêm-se abertos disjuntos
U , V em tais que x ∈ U , y ∈ V c.q.d. (2) Designe O ,n : n ∈ N
uma base contável de vizinhanças de x tal que O ,n ⊃ O ,n1 . Se O ∈ e x ∈ O
tem-se O ⊃ A 1 , . . . , A m onde x k ∈ A k ∈ T k , 1 ≤ k ≤ m, m ∈ N. É A k
⊃ O k,n , k 1, . . . , m, n fixo, O ⊃ O k,n , . . . , O k,n c.q.d.
Dada uma classe X , T : ∈ A pomos X , T G se T , X .
-225III.10.16 Teorema O espaço produto A X , T é um espaço C1 se e somente se a
classe dos espaços factores X , T ≠ G ∈ A é contável e cada um destes espaços
X , T é um espaço C1.
Dem. Atendendo a III.10.15 (2), há a provar que, supondo cada espaço X como no
enunciado um espaço C1, se a classe M dos X não é contável então o produto não é um
espaço C1; com vista a um absurdo, suponhamos M não contável e X A X , T um
espaço C1. Sejam x x ∈ X e O n,x : n ∈ N uma classe contável de abertos, base de
vizinhançase de x. Designando O ,n pr O n,x , A n,x ∈ A : pr O n,x ≠ X cada
A\An, x tem cardinal maior que o numerável. Seja O ∈ tal
A n,x é finito e C n1
A n,x é contável, existe
que x ∈ O; existe certo O n,x , x ∈ O n,x ⊂ O. Como Ax n1
um índice ∈ C\Ax, X ∈ M ; donde pr O n,x X , n 1, 2, . . . . Tem-se
pr O ∩O ,n O , n 1, 2, . . . , Consideremos um elemento x ′ x ′ ∈ X, x ′ x
∈ Ax , x ′ ≠ x ∉ Ax , x ′ ∈ O, x ′ ≠ x. Deverá existir O n,x ⊂
O ∩O ,n , obtendo-se o absurdo X ⊂ O c.q.d.
III.10.17 Teorema O produto A X , T é metrizável se e só se cada espaço X , T é
metrizável e o cardinal da classe dos espaços X não reduzidos a um ponto é contável.
Dem. A condição é necessária. Com efeito, se X A X , T é metrizável para uma
métrica d, então para cada ∈ A fixando um ponto x ∈ ∈B X , B A\, a
função d x , y dx, y, pr x x ∈ B, pr x x e pr y x
∈ B, pr y y é uma métrica em X . Tem-se subentendendo esta notação que uma
rede x i → x em X , d x i → x em X, d x i → x em X , T (III.10.7) e portanto
X é metrizável (Observação III.7.19). Também se a classe de espaços factor não reduzidos
a um ponto X , T : ∈ Γ, Γ ⊂ A não é contável, tem-se cada X ≠ G donde X não é
um espaço C1 pelo teorema anterior logo X não é metrizável (III.3.10). A condição é
suficiente: notando
X n , d n : n ∈ N a subclasse de X , T : ∈ A (na convenção A ⊃ N) dos
espaços não reduzidos a um ponto, designando p os restantes, considere-se para cada d n
a métrica equivalente d n mind n , 1/n em X n . Seja
Dx , y supd n x n , y n : n ∈ N. Como d n x n , y n → n 0, a função D está bem
definida, e é uma métrica em X (verifique). A rede x i → x em X, D se e só se a rede
de números não negativos dx i , x converge para 0 ou seja, se e só se cada rede
coordenada x i → x em X , T ; portanto (III.10.7, III.7.19) o espaço X é metrizável para a
métrica D c.q.d.
III.10.18 Observação Dada uma classe finita X n , d n : 1 ≤ n ≤ N de espaços
N
métricos as métricas D em X n1 X n na demonstração de III.10.17,
Dx n , y n supmind n , 1/n : 1 ≤ n ≤ N e
d M x n , y n maxd n x n , y n : 1 ≤ n ≤ N são uniformemente equivalentes (III.4.7
(3)). Pelo Corolário II.5.21, a topologia sobre X associada à métrica d M é assim a topologia
produto de X.
-226III.10.19 Exercícios (1) Prove que se cada subconjunto F de X é fechado em X , T
∈ A então F ∈A F é fechado em A X , T (Sug: pelo Corolário III.7.13, um
subconjunto C do espaço topológico é fechado se e só se contem o limite de qualquer rede
convergente em C). (2) Mostre que o conjunto H x, 1/x : x ≠ 0 é fechado no espaço
produto R, U R, U mas o conjunto pr x H pr x a, b a não é fechado no espaço
factor R, U (Sug: Corolário III.7.13 e III.7.15, III.7.16. III7.17). (3) Conclua que as
projecções num produto não são funções fechadas; e que o recíproco de (1) é falso.
III.10.20 Teorema Dado o espaço produto X A X , T , se C ⊂ X ∈ A,
tem-se ∈A C ∈A C .
Dem. Atendendo a III.10.19 (1), o conjunto ∈A C é um fechado contendo
∈A C , donde ∈A C ⊂ ∈A C . Para a inclusão recíproca, se
x ∈ ∈A C , então dado um aberto O em X contendo x , tem-se x ∈ pr O que
é um aberto do espaço factor X (III.10.5). Logo pr O ∩ C ≠ , concluindo-se
O ∩ ∈A C ≠ e assim o teorema.
III.10.21 Dado um espaço factor X do espaço produto X A X , T , ∈ A e dado
um ponto fixo x ∈ ∈A X , a parte Sx ; X ∈A\ x diz-se a
fatia em X por x paralela a X . Sx ; munido da topologia de subespaço de X é
homeomorfa ao espaço factor X para cada x arbitrariamente considerado.
III.10.22 Exercício Verifique III.10.21.
III.10.23 Teorema Seja Y , T : ∈ A uma classe de espaços topológicos, e sejam
X, T um espaço topológico, f : X, T → A Y , T uma função. então f é contínua se e
somente se cada composta pr of : X, T → Y , T ∈ A é contínua.
Dem. Se f é contínua então cada pr of é contínua (III.10.5). Reciprocamente,
suponhamos cada composta pr of uma função contínua.
-227Dada uma rede x i → x em X, fx i pr fx i converge para pr fx fx
(III.8.14, III.10.7) e conclui-se o teorema usando o Teorema III.8.14, c.q.d.
III.10.24 Corolário Sendo X, T um espaço topológico, Y , T : ∈ A uma classe
de espaços topológicos e f : X → Y ∈A uma classe de funções, a função
f : X → A Y , T , fx f x é contínua se e só se cada função dada f é contínua.
Dem. Conclui-se do teorema, pois f pr of.
III.10.25 Teorema Sejam X , T : ∈ A, Y , T ∗ : ∈ A classes de espaços
topológicos indiciadas num mesmo conjunto, e seja f : ∈ A uma classe de funções,
f : X → Y . Se cada função f é contínua, então a função
f : A X , T → A Y , T ∗ , fx f x é contínua.
Dem. Dado V , V ∈ T ∗ tem-se f −1 V f −1
V donde se conclui o
teorema, c. q.d.
III.10.26 Se cada espaço X , T é um espaço T 0 ∈ A então dados pontos
x , y ∈ X A X , T , x ≠ y , pelo menos x ≠ y para um índice . Existe
portanto V ∈ V x tal que y ∉ V no espaço X , e V é uma vizinhança de x tal
que y ∉ V , donde X é um espaço T 0 . Reciprocamente, se o espaço produto é T 0
então dado um qualquer índice , x , y ∈ X , x ≠ y , podemos fixar u x , v y e
u v ≠ , ∈ A obtendo pontos diferentes u u , v v ∈ X, , . Se
v ∉ O u , onde O u é um aberto do produto a que pertence u, então pr O u é um aberto de
X contendo x ao qual não pertence y , o espaço X é T 0 . Estas propriedades continuam
ambas a verificar-se, substituindo no enunciado T 0 por T 1 (resp.por T 2 ).
III.10.27 Exercício Verifique III.10.26.
-228III.10.28 Propriedade O espaço produto X A X , T é um espaço T i
i 0, 1, 2, 3 se e somente se cada espaço factor é respectivamente um espaço T i .
Dem. Provamos que se X é um espaço T 3 então cada factor é um espaço T 3 ; e
provando que se cada X é regular então X é regular, ficará provado o teorema. Admitindo
que X é um espaço T 3 , p ∈ X \F e F é fechado, fixemos um ponto p ∈ X e
consideremos o conjunto F F ∈A\ p . Então p ∉ F e F é fechado no espaço
produto. Existem abertos A, O em X, p ∈ A, F ⊂ O tais que A ∩ O ; donde
pr A ∩ pr O , p ∈ pr A, F ⊂ pr O e conclui-se a condição necessária.
Reciprocamente, se cada X é um espaço regular, dados p p e O ∈ T, p ∈ O ,
existe V ∈ T tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ O .
Então p ∈ V ⊂ V V ⊂ U , donde se conclui o teorema
utilizando III.9.30 (1).
III.10.29 Observação Se X é um espaço T 4 , dados um fechado F ⊂ X e um ponto
p ∈ X\F, os fechados p e F são disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função
contínua f : X → 0, 1 tal que fp 1 e fx 0 x ∈ F. Existem espaços regulares que
não têm esta propriedade (em [Engelking], p. 40 encontra-se um exemplo), de modo que
esta é uma propriedade de separação intermédia entre T 3 e T 4 .
III.10.30 Definição O espaço topológico X diz-se que é 3 12 , um espaço de Tikhonov ou
um espaço completamente regular se é um espaço T 1 e tem a propriedade de, dados um
subconjunto fechado F de X e um qualquer ponto p ∈ X\F, existir uma função contínua
f : X → 0, 1 tal que fp 1 e fF 0.
III.10.31 Observações (1) Certos autores definem espaço completamente regular como
um espaço que verifica a existência de uma função f nas condições de III.10.29, para cada
fechado F e cada ponto p ∈ X\F no contexto mas não sendo o espaço necessariamente um
espaço T 1 ; e reservam a designação de espaço de Tikhonov para espaços que são também
espaços T 1 . Unicamente no Teorema III.10.36 adoptamos esta última definição para maior
generalidade. (2) Certamente, considerando a função 1 − f no lugar de f, a definição
III.10.30 pode formular-se considerando uma função contínua f : X → 0, 1 verificando
fp 0, fF 1. Notar a este respeito que se X é um espaço topológico e as funções
f 1 , . . . , f n são contínuas de X em R munido da topologia usual, 1 , . . . , n são números reais,
n
então a função ∑ i1 i f i : X → R é contínua. Assim como a função
f maxf i : 1 ≤ i ≤ n, fx maxf i x : 1 ≤ i ≤ n (ambas estas propriedades se
verificam facilmente utilizando a caracterização da continuidade por meio de redes
convergentes).
-229III.10.32 Proposição Um espaço topológico X, T que é um espaço T 1 é um espaço T 3 12
se e somente se considerando uma subbase S de T e um qualquer ponto x ∈ V, onde V ∈ S,
existe uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fx 0 e fy 0 para cada y ∈ X\V.
Dem. A condição é necessária, pois x ∉ X\V, X\V é um conjunto fechado. A condição é
suficiente: dados F ⊂ X, F fechado e x ∈ X\F, existem V 1 , . . . , V n ∈ S, certo n, tais que
n
x ∈ i1
V i ⊂ X\F dado que X\F é um aberto contendo x. Pela hipótese, existe para cada
i 1, . . . , n uma função contínua f i : X → 0, 1 tal que f i x 0 e f i y 1 se y ∈ X\V i .
n
X\V i , a função f : X → 0, 1, f maxf i : 1 ≤ i ≤ n é uma
Dado que F ⊂ i1
função contínua (III.9.31 (2)) tal que fx 0 e fF 1 c.q.d.
III.10.33 Corolário Um espaço T 1 dado X é T 3 12 se e somente se para cada x ∈ X e cada
aberto V tal que x ∈ V, existe uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fx 0 e
fy 1 para cada y ∈ X\V.
Dem. Pois uma topologia sobre X é subbase da mesma topologia.
III.9.34 Observação A propriedade de um espaço ser T 3 12 assegura a existência de
bastantes funções reais contínuas não constantes sobre o espaço. Quase todos os espaços
frequentes em Análise são espaços T 3 12 .
III.10.35 Teorema Todo o subespaço de um espaço T 3 12 é ainda um espaço T 3 12 .
Dem. Conclui-se de todo o subespaço de um espaço T 1 ser T 1 , utilizando o Corolário
III.10.33.
III.10.36 Teorema É condição necessária e suficiente para que o espaço produto
A X , T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov) que cada factor
X , T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov).
-230Dem. Se X A X , T é completamente regular então (III.10. 21) cada fatia
Sx ; X ∈A\ x é completamente regular, e portanto cada espaço X é
completamente regular (III.10.21). Reciprocamente, suponhamos cada X completamente
regular. Dados x ∈ X e um subconjunto aberto O ⊂ X tal que x ∈ O temos: existem
abertos O 1 , . . . , O m tais que x ∈ O 1 , . . . , O m ⊂ O. Pela hipótese, existem
funções contínuas f k : X k → 0, 1, U tais que f k x k 1 e f k 0 sobre O ck
para cada k. Pondo fx minf k opr k : 1 ≤ k ≤ m. Tem-se que cada composta
f k opr k é contínua, donde se conclui facilmente que f é contínua; também fx 1,
f 0 sobre O c e conclui-se que X é completamente regular e o teorema, utilizando a
Propriedade III.10.33 c.q.d.
III.10.37 Exercício Prove que se A X , T é um espaço T 4 (respectivamente um
espaço normal) então cada espaço factor X , T é um espaço T 4 (resp. normal). (Sug:
III.10.19 (1)).
III.10.38 Resolução Sejam X A X , T um espaço T 4 , ∈ A e consideremos
dois subconjuntos fechados disjuntos F 1 , F 2 ⊂ X . Os conjuntos F 1 F 1 ∈A\ X
e F 2 F 2 ∈A\ X são subconjuntos fechados disjuntos de X. Existem então
abertos disjuntos O 1 , O 2 em X tais que F i ⊂ O i i 1, 2; logo (III.5.10), necessariamente
que os abertos O i pr O i de X são disjuntos, F i ⊂ O i i 1, 2 e X é um espaço
T 4 . Para o caso X normal, o resultado conclui-se então de III.10.28.
III.10.39 Observação (F. B. Jones) Se um espaço topológico X contém um conjunto
denso D e um subespaço discreto fechado S de cardinalidade #S ≥ #PD então X não é
um espaço normal. Pois suponhamos X normal. Como a topologia induzida sobre S é a
topologia discreta, todo o subconjunto A de S é fechado em S, logo também é fechado em X
(III.4.13 (2)). Analogamente S\A é fechado em X. Assim para cada A ⊂ S existem abertos
disjuntos UA, VS\A tais que A ⊂ UA e S\A ⊂ VS\A. Sendo D denso em X, o
conjunto D ∩ UA, considerando um outro subconjunto B de S no lugar de A, tal que
A\B ≠ (o que é possível dado que S contem pelo menos dois elementos) verifica a
condição UA ∩ VS\B ≠ , tem-se portanto E D ∩ UA ∩ VS\B ≠ . O conjunto E é
um aberto contido em D ∩ UA tal que E ∩ UB . Utilizando o símbolo da escolha de
Hilbert, fixemos um aberto UA UA para cada subconjunto com pelo menos dois
elementos A ⊂ S. A função : M PS\, s : s ∈ S → PD definida por
A D ∩ UA é então injectiva, o que é impossível (D e S são necessariamente
conjuntos infinitos, e obter-se-ia #PS ≤ #PD, contradizendo a hipótese sobre a
relação entre os cardinais de D e de S).
III.10.40 O espaço R, U é normal. Conclui-se de III.10.39 que o espaço produto
X R, U R, U não é um espaço normal. Com efeito, o conjunto D Q Q é um
subconjunto contável denso de X e S x, −x : x ∈ R\Q é um subconjunto discreto
fechado de cardinalidade o contínuo c.
-231Assim o espaço produto de dois espaços normais não é necessariamente um
espaço normal. A questão se o espaço produto X 0, 1, 0, 1 munido da topologia
induzida pela topologia usual, é normal sempre que X é um espaço normal, foi um
problema em aberto em Topologia, anterior à década de 60 do passado século. Finalmente
em 1971 foi provado ([Mary Ellen Rudin]) que a resposta é negativa.
.
III.10.41 Exemplos (1) O espaço R, U R, U é exemplo de um espaço T 3 (como
produto de dois espaços T 3 ) que não é um espaço T 4 . Este espaço é mesmo T 3 1 (Teorema
2
III.10.37 (4), bservação III.10.29). (2) Sendo o primeiro ordinal não contável, o produto
0, 0, (rever III.2.36) é um espaço T 4 , como veremos em III.11. O subespaço
T 0, 0, \, não é T 4 . Com efeito, os conjuntos A , n : 0 ≤ n e
B , : 0 ≤ são subconjuntos disjuntos e fechados no subespaço T. Mas se
U ⊃ A e U é um aberto em T, então como para cada n fixo, o ponto , n ∈ U, tem-se que
existe um ordinal n , n , n ⊂ U; a classe destes n tem um supremo 0
(Teorema III.1.79), e portanto o conjunto 0 , 0, ⊂ U. Consequentemente, toda a
vizinhança de 0 1, , que está em B, contém pelo menos um ponto de U o que implica
que cada aberto V contendo B tem intersecção não vazia com U. Este espaço T é um outro
exemplo de um espaço T 3 1 (analogamente a (2)) que não é T 4 .
2
III.10.42 Verifica-se facilmente (comprove) que a propriedade ser um espaço T i
i 0, 1, 2, 3, 3 12 , 4 é topológica.
Dada uma classe não vazia X , T : ∈ A podemos representar o espaço
topológico produto pondo A X , T X : ∈ A. Se X é um espaço topológico,
designemos CX, I o conjunto das funções contínuas f : X → I onde I 0, 1 munido da
topologia induzida pela topologia usual de R. Pondo I f I f ∈ CX, I, seja
P X f I f : f ∈ CX, I. P X diz-se um paralelotópio, e notamos t f um elemento em P X .
Pelo Teorema III.10.29, cada paralelotópio é um espaço de Tikhonov, e portanto (Teorema
III.10.35) cada subespaço S de um P X é um espaço de Tikhonov. A recíproca é válida a
menos de homeomorfismo:
III.10.43 O espaço topológico X é um espaço de Tikhonov se e somente se é
homemorfo a um subespaço de um paralelotópio. A função : X → P X dada por
x fx f é um homeomorfismo e X ⊂ P X .
Dem. Certamente X é um subespaço de P X . Há a provar a condição suficiente i.e.,
que é injectiva, contínua e aberta. Se x, y ∈ X, x ≠ y então existe um aberto contendo x ao
qual não pertence y; donde certa f ∈ CX, I verifica fx 1 e fy 0, a coordenada-f de
x é diferente da coordenada-f de y logo x ≠ y, é injectiva. é contínua, uma
vez que cada composta pr f ox fx é a função contínua f : X → I. Também é uma
função aberta, pois existe uma base de abertos de X tal que a imagem de cada um desses
abertos é um aberto. Notemos que pela definição da topologia produto de P X , para cada
g ∈ CX, I, g fixo, o conjunto t f ∈ P X : t g 0 é um aberto. Tambem os abertos
V f f −1 0, 1 f ∈ CX, I constituem uma base da topologia de X.
-232Pois dados um aberto U ⊂ X e um ponto p ∈ U existe um aberto V em X tal que
p ∈ V ⊂ V ⊂ U (X é um espaço regular) donde pela hipótese existe g ∈ CX, I, gp 1,
g 0 sobre V c ⊃ U c i.e., x ∉ U gx 0, x ∈ g −1 0, 1 V g x ∈ U obtendo-se
p ∈ V g ⊂ U. Para cada um destes abertos V g na base tem-se
V g t f ∈ P X : t g 0 ∩ X, como vimos um aberto de X c.q.d.
III.10.44 Exercício Mostre que se o subconjunto D de X A X , T é denso, então
pr D é denso em X , T ∈ A. Conclua que se o espaço produto é separável, cada
espaço factor é também separável.
III.10.45 Observação Certos autores ([Dugundji]) consideram unicamente como espaços
separáveis os espaços de Hausdorff contendo um subconjunto contável denso. No teorema
seguinte consideramos um produto X A X , T que é um espaço de Hausdorff (e
assim cada X é um espaço de Hausdorff, atendendo à Propriedade III.10.28).
III.10.46 Teorema O produto X A X , T é um espaço topológico separável no
sentido de III.10.45 se e somente se cada espaço factor X é separável no mesmo sentido e
a cardinalidade da subclasse X : ∈ A, #X ≥ 2 não excede o contínuo.
Dem. Para a condição necessária, usando III.10.28., III.8.29 há a provar que se X é
separável então o número cardinal do conjunto B ∈ A : #X ≥ 2 não excede o
contínuo c. Como cada espaço X é separado, existem abertos não vazios e disjuntos
U , V ⊂ X .Consideremos um subconjunto contável D denso em X.
Seja D D ∩ U para cada ∈ B. Se ∈ B, ≠ então D ≠ D ; com efeito,
sendo D denso, existe certo d ∈ D ∩ U , V D ∩ U ∩ V , e então a
hipótese d ∈ D implicaria U ∩ V ≠ . Portanto a função D é injectiva de B em
PD, donde #B ≤ #PD ≤ c. A condição é também suficiente. Uma vez que para
W A, X p ∈ W\A os espaços W X ; T e X são homeomorfos
(verifique), podemos supor que #X ≥ 2 ∈ A. Seja x n : n ∈ N 0 um
subconjunto contável denso de X para cada . Uma vez que #A ≤ c, existe uma bijecção
: A → J ⊂ 0, 1 e suporemos A 0, 1, adaptando-se o que segue ao caso
J ≠ 0, 1, considerando subintervalos reduzidos a um ponto.para o caso A um conjunto
contável.
Para cada colecção J1, . . . , Jm de subintervalos fechados disjuntos de 0, 1 tal que
P ≡ os seus extremos racionais são racionais, e cada conjunto finito de inteiros não
negativos j1, . . . , jm, seja pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm o ponto x s ∈ X tal
que s jk se ∈ Jk e s 0 ∉ Jk. O conjunto
C pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm : P, jk ∈ N 0 1 ≤ k ≤ m, m ∈ N é contável.
Também C é denso em X. Pois dado um aberto O 1 , . . . , O m em X, tomando na
notação acima m subintervalos disjuntos Jk de extremos raionais tais que k ∈ Jk
e considerando para cada k 1, . . . , m, certo jk tal que x jk ∈ O k (x n : n ∈ N
é cdenso em X para cada ), tem-se: o ponto
pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm ∈ O 1 , . . . , O m .
Conclui-se o teorema da Propriedade III.10.28, c.q.d.
-233III.10.47 Observação O espaço topológico R, U é separável (o subconjunto Q é
denso) donde o espaço produto R, U R, U é separável. A topologia do subespaço
r x, −x : x ∈ R é a topologia discreta de r, e portanto este subespaço não é separável.
Utilizando a Observação II.7.8 conclui-se em particular que R, U não é metrizável (o que
implicaria R, U R, U metrizável, pelo Teorema III.10.17).
III.10.48 Definição Se X , T : ∈ A é uma classe de espaços topológicos, X é um
conjunto e f : X → X : ∈ A é uma classe de funções, a topologia
∨f −1 U : U ∈ T , ∈ A é a topologia inicial ou topologia fraca wX, sobre X.
III.10.49 Observações (1) A designação de topologia para wX, liga-se a que esta é a
topologia menos fina sobre X na classe das topologias sobre X para as quais cada função f
é contínua. Notar que cada f está definida sobre todo o X. (2) Se em III.10.48 a classe é
a classe I : X → Y onde I é a injecção identidade e X é um subconjunto não vazio do
espaço topológico Y, T Y , então a topologia inicial wX, é a topologia de X como
subespaço topológico de Y.
III.10.50 Um processo dual de III.10.48 para obter uma topologia sobre um conjunto é
considerar uma colecção de funções f : X → Y : ∈ A, onde Y é um conjunto não
vazio e cada X , T é um espaço topológico. A classe
Tf : ∈ A U ⊂ Y : f −1
U ∈ T , ∀ ∈ A é uma topologia sobre Y e é a
topologia mais fina sobre Y de entre as quais cada função f é contínua.
III.10.51 Definição Dada uma colecção de funções f : X, T → Y : ∈ A em
III.10.50 a topologia Tf : ∈ A diz-se a topologia final sobre Y da classe
f : ∈ A.
III.10.52 Definição Dados um espaço topológico X, T e um conjunto Y, se no contexto
de III.10.50 f : ∈ A se reduz a uma função sobrejectiva p : X → Y, a topologia final
obtida sobre Y diz-se a topologia de identificação e nota-se Tp. No caso particular em que
é uma relação de equivalência no espaço topológico X, T e p : X → X/ é a
aplicação cociente : x x, a topologia T diz-se a topologia cociente e X/ munido
de T é o espaço topológico cociente.
III.10.53 Exercício Prove que se X é um espaço topológico e p : X → Y é uma função
de X sobre o conjunto Y, então Tp é a mais fina topologia sobre Y de entre aquelas para as
quais a função p é contínua. Generalize este resultado para a topologia final
Tf : X → Y : ∈ A..
-234III.10.54 Exemplos (1) Dado o espaço topológico produto A Y , T , a topologia de
identificação Tpr ∈ A sobre Y coincide com a topologia considerada iniciamente
sobre Y . (2) Se p : 0, 1 → 0, 1, 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia
usual de R, é a função característica de 1/2, 1 então a topologia de identificação Tp
sobre 0, 1 é a topologia de Sierpínski. Neste caso a sobrejecção p : X, T → Y, Tp
não é aberta nem fechada.
III.10.55 Definição Se X, Y são espaços topológicos e p : X → Y é uma função
sobrejectiva, diz-se que p é uma identificação se a topologia de Y é exactamente a topologia
Tp. Assim p é uma identificação se e só se os abertos U de Y são precisamente aqueles
tais que p −1 U é aberto em X.
III.10.56 Exercícios (1) Verifique que a função identidade I X : X, T 1 → X, T 2 é uma
identificação se e só se T 1 T 2 . Conclua que nem toda a sobrejecção contínua é uma
identificação. (2) Mostre que se p : X → Y é uma sobrejecção contínua e aberta (resp.
fechada) então p é uma identificação (Sug: se U ⊂ Y tem-se U pp −1 U). (3) Prove que
se dada uma uma função continua p : X → Y, existe uma função contínua s : Y → X tal que
pos I X , então p é uma identificação.
III.10.57 Se p : X → Y éuma função sobrejectiva, o subconjunto A ⊂ X diz-se
p-saturado se A p −1 pA i.e., se A ⊃ p −1 pA; a carga-p de um subconjunto A de X é o
conjunto p −1 pA, e assim A é p-saturado se e só se contém a sua carga-p.
Como mostra o Exemplo III.10.54 (2), no contexto de X e Y serem espaços topológicos,
a carga-p de um aberto não é necessariamente um aberto. Para determinar se uma
identificação p : X → Y é uma função aberta ou fechada tem-se
III.10.58 Proposição Se p : X → Y é uma identificação, então p é uma função aberta
(fechada) se e somente se a carga-p de cada aberto (fechado) de X é um aberto (um
fechado).
Dem. Se p é aberta então U aberto em X pU aberto em Y p −1 pU aberto em
X. Reciprocamente se p −1 pU é aberto em X sempre que U é aberto em X isto significa,
sendo p uma identificação, que pU é aberto em Y quando U é aberto em X. Analogamente
para p fechada, c.q.d.
III.10.59 Observação Recordar que sendo f : X → Y uma função, y ∈ Y, a fibra de f em
y é o subconjunto f −1 y de X (se f é sobrejectiva então as fibras são não vazias).
Considerando X, Y espaços topológicos e sendo p : X → Y a identificação correspondente à
topologia de identificação Tp de Y, esta topologia é separada se e somente se cada duas
diferentes fibras estão contidas respectivamente em dois abertos de X que são p-saturados e
disjuntos. Esta é uma condição em p e na topologia de X, e tem-se:
-235III.10.60 Teorema Se é uma relação de equivalência no espaço topológico X e
: X → X/ é aplicação cociente, tem-se: o espaço cociente X/ é separado se é um
subconjunto fechado do espaço produto X X e a aplicação cociente é aberta.
Dem. Sejam x, y ∈ X/, x ≠ y. Então ~xy e x, y ∉ donde, sendo um
fechado, existem abertos U, V de X tais que x ∈ U, y ∈ V e U V ⊂ c ; não existem
portanto u ∈ U, v ∈ V tais que uv, donde não existe w ∈ X verificando
w ∈ U ∩ V (porquê?) e assim, sendo sobrejectiva, tem-se U ∩ V .
Logo, pela hipótese, U e V são abertos disjuntos de X/, x ∈ U, y ∈ V c.q.d.
III.10.61 Teorema Se X é um espaço regular, é uma relação de equivalência em X e a
aplicação cociente : X → X/ é fechada então é um subconjunto fechado do espaço
produto X X.
Dem. Seja x, y no complementar de em X X; devemos encontrar abertos A, B de X
tais que x, y ∈ A B ⊂ c ou seja, como vimos na demonstração do teorema anterior, tais
que A ∩ B . Como x ≠ y tem-se x ∉ −1 y. Como é por hipótese
fechada e é contínua, o conjunto −1 y é fechado (dado que o singleton y é um
fechado no espaço regular X, recorde os Axiomas de separação) logo existem por hipótese
abertos disjuntos U, V em X, x ∈ U, −1 y ⊂ V. Sendo p uma função fechada, então
segue-se de III.8.50 que existe um aberto W ⊃ y em X/ tal que
−1 y ⊂ −1 W ⊂ V ⊂ U c . Tem-se U ∩ −1 W U ∩ W pois para
u ∈ U tem-se u ∉ −1 W e assim os abertos U A e −1 W B satisfazem as condições
requeridas, c.q.d.
III.10.62 Corolário Se o espaço topológico X é regular, é uma relação de equivalência
em X e a aplicação cociente : X → X/ é aberta e fechada, então o espaço cociente X/ é
um espaço de Hausdorff.
Dem. É consequência do Teorema III.10.60 e do Teorema III.10.61.
III.10.63 Observação Se X, Y, Z são espaços topológicos e f : X → Y é uma sobrejecção
contínua, existe possivelmente uma função não contínua g : Y → Z sendo contudo contínua
a composta gof : X → Z. (Considere-se por exemplo X, D, X Y 0, 1, D a topologia
discreta de X, a topologia induzida pela topologia usual de R sobre 0, 1 para Y e sobre Z,
f Id 0,1 e g a função de Dirichlet). Tem-se a seguinte propriedade, característica das
identificações:
III.10.64 Propriedade Se f : X → Y é uma sobrejecção contínua, f é uma identificação
se e somente se para cada espaço topológico Z e cada função g : Y → Z, a continuidade de
gof implica a continuidade de g.
Dem. Supondo provada a condição necessária, provemos a condição suficiente.
Supondo que a condição se verifica, consideremos o conjnto Y munido da topologia Tf e
′
designemos por Y ′ o espaço topológico assim obtido, seja p : X → Y a identificação.
Notando I : Y → Y ′ a função identidade, tem-se que p Iof que é contínua logo, usando a
hipótese, I é contínua. Mas então Tf é menos fina que a topologia de Y, e sendo p a
identificação e I −1 op f contínua, concluimos da condição necessária que I −1 é contínua,
Tf é também mais fina que a topologia de Y, f : X → Y é uma identificação.
-236III.10.65 Observação Se X, Y são espaços topológicos, é uma relação de equivalência
em X e f : X → Y é uma função contínua compatível com (I.5.12) vimos no Teorema
I.5.14 que a função f : X/ → Y, fx fx é exactamente a única função tal que se tem
a fectorização f fo, onde : X → X/ é a aplicação cociente. Como é uma
identificação, tem-se pelo teorema anterior que f é contínua se e só se f é contínua.
III.10.66 Exercícios (1) Complete a demonstração da Propriedade III.10.64, provando a
condição necessária. (2) Prove que se X, Y são espaços topológicos e f : X → Y é uma
identificação, então dados um conjunto Z e uma sobrejecção g : Y → Z, as topologias de
identificação Tgof Tg sobre Z.
III.10.67 Exemplo Recordando a definição em III.10.52, se X, T é um espaço
topológico, ≠ A ⊂ X e A é a relação de equivalência A A x, x : x ∈ X em X,
o conjunto cociente é X/A A, x : x ∈ X\A em que o conjunto A fica identificado a
um ponto A A. Notamos X/A X/A. Se A 1 A −1 A é aberto em X, o
complementar C x : x ∈ X\A de A no espaço cociente é homeomorfo a X\A pela
bijecção contínua ∣X\A . Pois a topologia TC induzida pela topologia de X/A é menos fina
que a topologia T ∣X\A ; e se U ⊂ C é fechado na topologia T ∣X\A então
−1
−1
−1
∣X\A U X\A ∩ U é um fechado de X\A, logo U é fechado em X; logo
−1 U c −1 U c é aberto em X, U c é aberto em X/A i.e, U é fechado em C, TC. A
topologia de C é neste caso a topologia de identificação T ∣X\A e o mesmo sucede
analogamente se A é fechado em X, T.
III.10.68 Exercício Prove que se X é um espaço regular e A é um subconjunto fechado
de X, então o espaço cociente X/A em III.10.67 é um espaço de Hausdorff
III.10.69 Teorema Se X é um espaço topológico e é uma relação de equivalência em
X, a aplicação cociente : X → X/ é aberta (fechada) se e somente se
U u : u ∈ U é um aberto (um fechado) em X.
Dem. É consequência da Proposição III.10.58, uma vez que é sobrejectiva e a carga-
de U é U.
III.10.70 Se X, Y são espaços topológicos disjuntos, diz-se união livre de X e Y o espaço
topológico X Y X Y, U X,Y onde U X,Y é a topologia sobre X Y para a qual um
conjunto A ⊂ X Y é aberto se e só se A ∩ X é aberto em X e A ∩ Y é aberto em Y.
III.10.71 Exercício Verifique que dada a união livre X Y,
a) U X,Y é uma topologia sobre X Y para a qual a topologia de subespaço de X (de Y)
coincide com a topologia de X (de Y).
b) os conjuntos X, Y são abertos e fechados em X Y;
c) um subconjunto B ⊂ X Y é fechado se e só se B ∩ X é fechado em X e B ∩ Y é
fechado em Y.
-237III.10.72 Definição Sejam X, Y espaços topológicos disjuntos, A um subconjunto
fechado de X e uma função contínua f : A → Y. Consideremos no espaço X Y a relação
de equivalência w, w, a, fa, fa, a : w ∈ X Y, a ∈ A. O espaço cociente
X Y/ diz-se X fixado a Y por f e nota-se X f Y; a função f diz-se a função de fixação.
Em linguagem intuitiva, identifica-se cada a ∈ A com a sua imagem por f no
subespaço X f Y de X Y. Tem-se
X f Y w : w ∈ X Y\A fA, fa f −1 fa : a ∈ A.
III.10.73 Exemplo Sejam X um espaço topológico, A ⊂ X, A um fechado e fixemos X a
um singleton y ou, como tambem se diz, a um ponto y ∉ X. Então os espaços X f y e
X/A são homeomorfos. Recordemos que X/A é o espaço cociente de X pela relação de
equivalência A A A x, x : x ∈ X. Notemos que se R é uma relação de
equivalência em X, S é uma relação de equivalência em Y e : X → Y preserva as relações
i.e., verifica xRx ′ xSx ′ então a função ∗ : X/R → Y/S é contínua. Pois sendo
p : X → X/R e q : Y → Y/S as aplicações cociente, tem-se ∗ op qo; sendo qo contínua,
∗ op é contínua e, como p é uma identificação, a Propriedade III.10.64 mostra que ∗ é
contínua. Considerando em III.10.72 no lugar de R, A no lugar de S, pondo
: X → X y, x x e : X y → X, x x, y ∈ A, ambas , são
contínuas (Teorema III.8.32 para ) e preservam as relações. Portanto ∗ : X/A → X f y
e ∗ : X f y → X/A são contínuas, uma é a inversa da outra
III.10.74 Observação Ainda no Exemplo III.10.73, notando I o intervalo 0, 1 munido
da topologia induzida usual de R, f0 f1 y ∉ I, o espaço I f y é homeomorfo a
I/0, 1 0, 1, x : x ∈0, 1. Tem-se que a função
: I/0, 1 → S 1 1, 0, cos 2x, sin 2x : 0 x 1, 0, 1 1, 0,
x cos 2x, sin 2x é contínua e de inversa contínua (S 1 munido também da
topologia induzida pela topologia usual de R 2 ). Assim S 1 é homeomorfo ao espaço I f y.
III.10.75 Verifica-se facilmente, usando a Propriedade II.12.3 e o Teorema II.12.27, que
cada sucessão em I/0, 1 tem uma subsucessão convergente. E como − /2, /2 munido
da topologia induzida pela topologia usual de R não tem esta propriedade, estes dois
espaços não são homeomorfos, atendendo ao Teorema III.8.14. Segue-se de III.10.74 e
III.8.38, considerando o homeomorfismo x tgx entre − /2, /2 e R, U que S 1 não é
homeomorfo a R, munidos os espaços das topologias consideradas.
-238III.10.76 Observação Recordem-se ainda I.5.12 e o Teorema I.5.14. Sejam X um espaço
topológico, X 0 um subespaço de X e uma relação de equivalência em X,
0 X 0 X 0 ∩ a relação de equivalência induzida em X 0 (para x 0 , y 0 ∈ X 0 tem-se
x 0 0 y 0 se e só se x 0 y 0 ). Designando j : X 0 → X a injecção identidade, : X → X/ a
aplicação cociente, consideremos a composta oj : X 0 → X/, ojx jx. Se x 0 y,
x, y ∈ X 0 então jxjy e ojx ojy i.e., oj é 0 -compatível. Podemos portanto
considerar oj : X 0 / 0 → X/, ojx jx que é injectiva e, em termos de conjuntos,
identificar X 0 / 0 a um subespaço de X/. A função oj é contínua, como composta de
funções contínuas de modo que naquela identificação, a topologia de X 0 / 0 é mais fina que
a topologia ”induzida” pela topologia de X/. Notar que em geral, a topologia de X 0 / 0 é
mesmo estritamente mais fina que a induzida por X/, e assim não pode identificar-se
X 0 / 0 com um subespaço topológico de X/. Suponhamos por exemplo que na topologia de
X existem dois conjuntos não vazios, um aberto A e um fechado B, com A, B uma
partição de X e não sendo A um fechado (assim B não é aberto).
E admitamos que existem conjuntos não vazios A ′ ⊂ A, B ′ ⊂ B, ambos abertos, seja
X 0 A ′ B ′ . Seja a relação de equivalência em X definida por A, B e 0 a relação de
equivalência induzida em X 0 i.e., 0 definida pela partição A ′ , B ′ de X 0 . A topologia de
X/ A, B é , A, X/, não separada, e "induz" em X 0 / 0 A ′ , B ′ a topologia não
separada , A ′ , X 0 / 0 . Mas a topologia do espaço cociente X 0 / 0 é
, A ′ , B ′ , X 0 / 0 , separada (a topologia discreta) portanto estritamente mais fina que a
topologia "induzida" pela topologia cociente de X/.
-239III.11 COMPACIDADE
Na definição de conjunto compacto em II.12 considerada para a topologia associada à
métrica, não se consideram propriedades dos abertos na topologia que respeitem à
distância. Assim o conceito de conjunto compacto, bem como as propriedades não
métricas, são generalizáveis a espaços topológicos.
III.11.1 Definição Se X, T é um espaço topológico e A ⊂ X, uma classe
C O : ∈ A ⊂ T que cobre A i.e., tal que A ⊂ O : ∈ A diz-se que é uma
cobertura aberta de A; se A ⊂ O k : 1 ≤ k ≤ n, k ∈ A k 1, . . . , n dizemos que
C ∗ O 1 , . . . , O n é uma subcobertura de C, e que pode extrair-se de C a cobertura
finita C ∗ ou que C é redutível a uma cobertura finita. Se toda a cobertura aberta de A (de X)
é redutível a uma cobertura finita dizemos que A é um conjunto compacto (que o espaço
topológico X é compacto). Se o fecho A é compacto, dizemos que A é relativamente
compacto.
III.11.2 Observação Dado ≠ A ⊂ X, T, a cada cobertura aberta C O : ∈ A
de A corresponde a cobertura C A O ∩ A : ∈ A de A por abertos do subespaço
A, T A ; reciprocamente a cada cobertura aberta U : ∈ A de A no subespaço A, onde
U O ∩ A, O ∈ T, corresponde a cobertura aberta O : ∈ A do conjunto A no
espaço topológico X, T. Assim um subconjunto não vazio A de X, T é compacto se e
somente se o subespaço A, T A é compacto. (Comparar com A, sempre aberto e fechado em
A, T A , sem que A seja necessariamente um aberto ou um fechado de X).
III.11.3 Exemplos (1) Certamente todo o subconjunto finito A de X, T é compacto;
pois dada uma cobertura aberta de A existe, para cada ponto no conjunto, pelo menos um
aberto da cobertura contendo o ponto _ Uma colecção finita de tais abertos é uma
subcobertura finita_. Em particular, todo o espaço topológico finito é compacto. (2) Vimos
em II.12 que R, U, U a topologia usual, não é um espaço topológico compacto, assim
como um intervalo da forma a, b, a b ou a, b não é compacto. E que cada intervalo
limitado e fechado a, b é compacto.
III.11.4 Propriedade Se o espaço topológico X, T é compacto e F é um subconjunto
fechado, então F é compacto.
Dem. Dada C F O : ∈ A, cobertura aberta de F, pode extrair-se da cobertura
aberta C F c , O : ∈ A de X uma subcobertura finita, donde se conclui o resultado.
III.11.5 Corolário Se F ⊂ A ⊂ X, T, A é compacto e F é fechado, então F é compacto.
Dem. Pela Obervação III.11.2 conclui-se o corolário, c.q.d.
-240III.11.6 Teorema Todo o subconjunto compacto A do espaço de Hausdorff X, T é
fechado.
III.11.7 Exercício Justificando as passagens seguintes, demonstre o Teorema III.11.6
1. Há a provar que A c é aberto; 2. dado p ∈ A c , existem, paracada x ∈ A abertos A x e
A p , x ∈ A x , p ∈ A x,p , A x ∩ A x,p ;
3. a classe A x : x ∈ A onde os A x são como em 2. é uma cobertura aberta de A.
n
Existem x1, . . . , xn ∈ A tais que A ⊂ k1
A xk .
n
4. U k1 A xk,p , os A xk,p como em 2., é um aberto tal que p ∈ U ⊂ A c e pode
concluir-se o resultado, c.q.d.
III.11.8 Corolário 2 Se X, d é um espaço métrico em que as bolas fechadas são
compactos, então há identidade em X entre conjuntos compactos e conjuntos limitados e
fechados.
III.11.9 Exercícios (1) Demonstre o Corolário 2 (sug: reveja o Teorema II.12.33 e
utilize III.11.5, III.11.6). (2) Prove que o espaço topológico X é compacto se e só se dada
uma classe de subconjuntos fechados F : ∈ A tal que a intersecção
F : ∈ I ≠ para cada I ⊂ A, I finito, se tem F : ∈ A ≠ . (Sug: prove a
contra-recíproca por passagem ao complementar e utilizando as leis de De Morgan). (3)
Mostre que se A 1 , . . . , A n são subconjuntos compactos de X então A 1 . . . A n é compacto.
(4) a) Prove que cada classe T de subconjuntos de N, i
T , N, S n : n 1, 2, . . . , S n 1, . . . , n,
ii T N, A ⊂ N : 1 ∉ A é uma topologia sobre N. b) O espaço topológico N, T é
compacto em i? Em ii? Justifique.
III.11.10 Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, dada uma cadeia de
filtros F i i ∈ I sobre X, cada F i contendo F, a classe F ∗ F i : i ∈ I é um filtro
sobre X (verifique). No conjunto parcialmente ordenado constituído pelos filtros sobre X
que contêm F para a relação ⊂, existe portanto, pelo Lema de Zorn, um elemento maximal
U ⊃ F. Recorde (I.7.9) que U é um ultrafiltro sobre X e que uma propriedade que
caracteriza o filtro U como um ultrafiltro é que dado um arbitrário A ⊂ X, tem-se A ∈ U ou
A c ∈ U.
-241III.11.11 Observação Dizendo que uma família A de do espaço topológico X é
insuficiente se não cobre X, que é finitamente insuficiente se nehuma subfamília finita de A
cobre X, então X é compacto se e somente se toda a família de abertos que seja finitamente
insuficiente é insuficiente. A classe de todas as famílias de subconjuntos abertos de X que
são finitamente insuficientes tem carácter finito; pelo Lema de Tukey em I.8.19, existe uma
família de abertos finitamente insuficiente maximal naquela classe. Se M é uma tal família
maximal e C é um aberto, C ∉ M, existem abertos A 1 , . . . , A n ∈ M tais que
n
A k X. Pois a hipótese de que não existem tais conjuntos A 1 , . . . , A n implica
C k1
que M C é finitamente insuficiente, contradizendo que M é maximal. Nenhum aberto
A contendo um aberto C ∉ M está em M _ Pois então toda a parte finita de A e portanto
de C, está em M, o que implicaria C ∈ M _. Se D é um aberto, D ≠ C e também D ∉ M,
m
B j X como vimos. Assim (como
existem abertos B 1 , . . . , B m ∈ M tais que D j1
se conclui facilmente) C ∩ D A 1 . . . A n B 1 . . . B m X, logo C ∩ D ∉ M.
Tem-se pois que se nenhum elemento numa família finita de abertos de X está em M
também nenhuma intersecção finita destes elementos está em M, nem nenhum aberto que
contenha uma tal intersecção finita
Equivalentemente, se um elemento de M contém a intersecção finita de abertos
C 1 ∩. . . ∩C p , então algum destes C i ∈ M, 1 ≤ i ≤ p.
III.11.12 Teorema de Alexander O espaço topológico X é compacto se e somente se
dada uma arbitrária subbase S da topologia, cada cobertura de X por abertos de S é
redutível a uma cobertura finita.
Dem.A condição é certamente necessária, vejamos que é suficiente. Segundo III.11.11,
há a provar que toda a família finitamente insuficiente de abertos de S é insuficiente.Seja C
uma família finitamente insuficiente de abertos de S. Se C é maximal, consideremos a
família S ∩ C; esta é manifestamente finitamente insuficiente e, pela hipótese é
insuficiente, S ∩ C não cobre X. Tem-se: cada ponto x ∈ A : A ∈ C está em
A : A ∈ S ∩C, existe pois x ∉ A : A ∈ C, C é insuficiente e o teorema fica
provado se C é maximal. Com efeito, se x ∈ A, A ∈ C, existem C 1 , . . . , C p ∈ S tais que
x ∈ C 1 ∩. . . ∩C p ⊂ A dado que S é uma subbase. Segue-se de III.11.11 que algum destes
C i ∈ C i.e., x ∈ C i , C i ∈ S ∩ C, provando a igualdade das reuniões. Considerando então o
caso de C não ser maximal, existe M ⊃ C, M finitamente insuficiente maximal (III.11.10);
como vimos, M é insuficiente, assim C é insuficiente, c.q.d.
III.11.13 Proposição X, T é um espaço topológico compacto se e somente se para cada
filtro F sobre X existe um filtro sobre X mais fino que F que é convergente.
Dem. Condição necessária: supondo X compacto, designemos F A i : i ∈ I um
n
filtro sobre X. Das inclusões A i ⊃ A i concluimos que cada intersecção finita i1
A i ≠ ,
donde existe a ∈ A i : i ∈ I (III.11.9.(2)). Para cada V ∈ V a e cada A i ∈ F tem-se
A i ∩ V ≠ , logo a classe A i ∩ V : i ∈ I, V ∈ V a é base de um filtro F ′ sobre X mais fino
que F, F ′ ⊃ V a e F ′ → a. A condição é suficiente. Suponhamos que se verifica, e seja
F i : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de X cujas intersecções finitas são não
vazias; mostremos que a intersecção da classe é não vazia. Aquelas intersecções finitas são
base de um filtro F sobre X, e existe por hipótese um filtro F ′ ⊃ F tal que F ′ → p, certo
p ∈ X. Para cada C ∈ F ′ e cada V ∈ V p , tem-se C ∩ V ≠ , pois senão certos tais C, V
verificam V ⊂ C c ; não pode existir F ∈ F ′ , F ⊂ V então o que é uma contradição. Portanto
o ponto p ∈ C para cada C ∈ F ′ , concluindo-se p ∈ F : F ∈ F e assim, usando
III.11.9 (2) a proposição, c.q.d.
-242III.11.14 Teorema O espaço topológico X é compacto se e só se todo o ultrafiltro sobre
X é convergente.
Dem. Com efeito, se X é compacto e U é um ultrafiltro sobre X, o único filtro sobre X
mais fino que U é U. E se a condição no enunciado se verifica, dado um filtro F sobre X, o
ultrafiltro U que contém F é convergente (a classe dos filtros mais finos que F contém o
filtro maximal U) c.q.d.
III.11.15 Definição Dizemos que uma rede em X é universal se para cada A ⊂ X, a rede
u i indiciada em I, está eventualmente em A i.e., existe iA,
∀i ∈ I, i iA u i ∈ A, ou u i está eventualmente em A c .
III.11.16 Se u i é uma rede universal em X, a rede fou i fu i é universal em Y
para cada função f : X → Y. Em particular, cada subrede u i de uma rede uinversal u j
é uma rede universal.
III.11.17 Exercício Verifique III.11.16 (sug: dado A ⊂ Y, f −1 A c f −1 A c ).
III.11.18 Lema Toda a rede x j em X tem uma subrede universal.
III.1.19 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração de
III.11.18:
Seja x j uma rede em X indiciada em J, .
1. Existe uma classe C de subconjuntos de X tal que
i ∀A ∈ C, x j está frequentemente em A
ii ∀A, B ∈ C, A ∩ B ∈ C
2. Sendo dada uma cadeia de tais classes C como em 1. no conjunto parcialmente
ordenado PPX, ⊂, a reunião da cadeia tem as propriedades i, ii em 1.; assim existe
uma tal classe maximal C 0 no conjunto das classes como C
3. Designe N A, , j : A ∈ C 0 , j ∈ J, x j ∈ A. Pondo B, i ≥ A, j B ⊂ A ∧ i j
obtemos uma quase-ordem em N tal que N, ≥ é um conjunto dirigido
4. A aplicação : N, ≥ → J, dada por A, j j é admissível, obtendo-se a
subrede x A,j de x j
5. A subrede em 4. é universal, dado que se x A,j está frequentemente em S, onde
S ⊂ X,
a para cada A, j ∈ N, existe B, i ∈ N tal que B, i ≥ A, j e x i x B,i ∈ S
b x i ∈ S ∩ B ⊂ S ∩ A e x j está frequentemente em cada conjunto A ∈ C 0
c ambos os conjuntos S e S ∩ A satisfazem as condições i, ii em 1. para cada A ∈ C 0 ,
e assim aqueles conjuntos estão em C 0
d Tem-se que x A,j está frequentemente em S e, se também estivesse frequentemente
em S c então seria S c ∈ C 0 ; o que é impossível
e x A,j está eventualmente em S
f Pode concluir-se que x a,j é uma subrede universal de x j c.q.d.
-243III.11.20 Resolução
1. Pois a classe X satisfaz ambas as condições
2. porque cada um ou cada dois conjuntos da cadeia estão numa classe da cadeia, e
assim pode aplicar-se o Lema de Zorn
3. A, j ≥ A, j; se A, j ≥ A ′ , j ′ e A ′ , j ′ ≥ A ′′ , j ′′ tem-se A, j ≥ A ′′ , j ′′ . Dados
A, j, B, i ∈ N existe k ∈ J, k j, k i e então A ∩ B, k ∈ N,
A ∩ B, k ≥ A, j, A ∩ B, k ≥ B, i
4. Dado j ∈ J podemos considerar um certo A ∈ C 0 ; então ∀B, i ∈ N,
B, i ≥ A, j B, i i j; e pela definição de subrede
5. a pela definição de uma rede estar frequentemente num dado conjunto
b atendendo a a; pela definição de N e da quase-ordem ≥
c pela hipótese em 5., atendendo às definições de N e de C 0
d pois a hipótese em 5. implica c; e porque, pela definição de cada classe C, se
c
S, S ∈ C 0 ter-se-ia que x j está frequentemente em S ∩ S c , o que é impossível.
-244e pois a negação de uma rede estar eventualmente num conjunto S é equivalente a
que está frequentemente em S c , e atendendo a d, c, b
f porque se uma rede u em X não é universal então existe pelo menos um conjunto
A ⊂ X tal que u não está eventualmente nem em A nem em A c ; donde está
frequentemente e não eventualmente pelo menos num subconjunto de X, c.q.d.
III.11.21 Se U é um ultrafiltro sobre o conjunto X então a rede x F U F U
indiciada em U, ⊂, : U → X o selector de Zermelo, é uma rede universal.
Analogamente, a uma rede universal x i I em X corresponde o filtro F associado à rede
gerado pela base A i : i ∈ I, A i x j : j ∈ I, i ≥ j, que é um ultrafiltro.
III.11.22 Teorema O espaço topológico X é compacto se e somente se toda a rede
universal em X é convergente.
Dem. Para o ultrafiltro U e a correspondente rede universal x F U (resp. para a rede
universal x i e o ultrafiltro associado F) tem-se U → p x F → p (x i → p F → p),
p ∈ X. O teorema conclui-se do Teorema III.11.14.
III.11.23 Propriedade O espaço topológico X, T é compacto se e só se cada rede em X
tem uma subrede convergente.
Dem. Provemos que a condição é suficiente, mostrando que toda a rede universal u j
em X indiciada em J, é convergente, e aplicando III.11.22. Se u i é uma subrede
convergente de u j , u i → a então para cada V ∈ V a tem-se que existe iV verificando
i ≥ iV u j u i ∈ V e u i . Uma vez que existe também certo j 0 ∈ J tal que u j ∈ V
se j j 0 , j ∈ J (dado que não pode ser u j ∈ V c para cada índice j em J verificando j j 1 ,
certo j 1 ∈ J e pela hipótese sobre u j ), concluimos com i 0 no conjunto dirigido dos índices
de u i para o qual i 0 ≥ iV e i j 0 i ≥ i 0 que u i ∈ V, ∀i ≥ i 0 i.e., a subrede
u i → a. A condição é necessária, c.q.d.
III.11.24 Exercícios (1) Comprove que a condição em III.11.23 é efectivamente
necessária. (2) Demonstre o resultado:
III.11.25 Teorema Se X é compacto e a função f : X → Y é contínua, então o subespaço
fX de Y é compacto.
III.11.26 A bijecção contínua f : X → Y é fechada se e só se a inversa f −1 : Y → X é
contínua. Do Teorema III.11.6 conclui-se
III.11.27 Teorema Toda a bijecção contínua de um espaço compacto sobre um espaço
separado é um homeomorfismo.
-245III.11.28 Exercícios (1) Mostre que se X é uma espaço topológico e Y é um espaço
topológico compacto, então a projecção 1 : X Y → X é uma função fechada.(Sug:
III.8.14, III.11.23). (2) Prove que dados espaços topológicos X, Y e uma função f : X → Y,
o grafo G f x, fx : x ∈ X de f é fechado no espaço produto X Y se e somente se
as hipóteses x i → x, onde x i é uma rede em X e, fx i → y implicam fx y. (3) Prove
que no contexto de (2), se Y é compacto separado então f é contínua se e só se o grafo G f
de f é fechado em X Y (Sug: Para a condição suficiente, considere uma vizinhança aberta
de fx 0 , x 0 ∈ X; note que f −1 Y\V G f ∩ X Y\V).
III.11.29 Observação Se X, T é um espaço topológico compacto, podemos dizer que a
topologia T sobre X é compacta. A posição de uma topologia compacta separada T sobre X
é delicada: se T 0 é estritamente mais fina que T , não é compacta (considerando a função
identidade I X : X, T 0 → X, T ter-se-ia a contradição T 0 T pelo Teorema III.11.27); e
se T 1 é estritamente menos fina que T então não é separada, pois III.11.26 levaria
analogamente a uma contradição.
III.11.30 Teorema Se X é um espaço compacto de Hausdorff então X é um espaço T4.
III.11.31 Exercícios (1) a Preencha os detalhes na seguinte demonstração de que se X é
compacto de Hausdorff então X é T3:
i Sejam C um subconjunto fechado de X, p ∈ X\C. Para cada x ∈ C existem abertos
U x , V x tais que p ∈ U x , x ∈ V x , U x ∩ V x
n
ii existem pontos x1, . . . , xn, n ∈ N, tais que C ⊂ V k1
V xk
n
iii para os conjuntos U k1 U xk tem-se p ∈ U, C ⊂ V, U ∩ V , concluindo-se
o resultado. b Com C, D subconjuntos fechados disjuntos de X, D no lugar de p e com C
como em a, conclua o Teorema III.11.30. (2) Recorde o espaço ordinal 0, Γ em III.2.36.
Prove que 0, Γ é compacto. (Sug: dada a rede universal i considere
sup i : i ∈ I; se não existe um índice i0 tal que i i0 para uma infinidade de
índices i então i está frequentemente em cada intervalo aberto contendo ; considere o
Teorema III.11.22 e a demonstração em III.11.20).
III.11.32 Teorema de Tikhonov. Se cada espaço X , T ∈ A é compacto então o
produto X X , T é compacto.
Dem. Há a provar que toda a rede universal u em X é convergente. Dada tal rede u, cada
rede pr ou → x , certo x ∈ X , pois é uma rede universal em X (III.11.16). Portanto a
rede u → x em X, c.q.d.
III.11.33 Definição diz-se que um par Y, c, onde Y é um espaço compacto separado e
c : X → Y é injectiva, contínua, com inversa contínua e tal que cX é denso em Y, é
um compactificado de X. Nota-se então Y, c cX.
-246III.11.34 Observação Se o espaço X tem um compactificado é então homeomorfo a um
subespaço de um compacto Hausdorff, logo é um espaço de Tikhonov (teoremas III.10.35 e
III.11.30). E se X é um espaço de Tikhonov, então pelo Teorema III.10.43, X é homeomorfo
a um subespaço do paralelotópio P X f∈CX,I I f , I f 0, 1 ; podemos portanto tomar
para Y, c o fecho X em P X munido da topologia produto. Aqui CX, I é o conjunto das
funções contínuas de X em I (I munido da topologia induzida pela topologia usual de R) e
x fx f f ∈ CX, I, : X → P X é a fução avaliação como em III.10.43 (recorde
II.2.13 e considere III.11.32).
Concluimos imediatamente
III.11.35 O espaço X tem um compactificado se e só se X é um espaço de Tikhonov.
III.11.36 Definição Se X é um espaço de Tikhonov diz-se que X X, , onde o
fecho é tomado em P X como em III.11.34, é o compactificado de Stone-Cech de X.
III.11.37 Observação Dada uma função f : A → B, a função f ∗ : I B → I A definida por
f y yof y ∈ I B é contínua, considerando os espaços munidos das topologias produto.
Com efeito, a continuidade de f ∗ é equivalente à continuidade de cada composta pr a of ∗ ,
onde a percorre A. (Teorema III.10.23). Tem-se pr a of ∗ y pr a yof yfa e assim
pr a of ∗ é a função y yfa i.e., a projecção contínua pr fa : I B → I fa I.
∗
III.11.38 Dado o espaço de Tikhonov X e um compactificado cX de X, identifica-se
habitualmente X com a sua imagem homeomorfa cX, densa em cX.
III.11.39 Teorema de Stone-Cech. Se X é um espaço de Tikhonov e f : X → Y é
contínua de X no espaço compacto de Hausdorff Y, então existe uma extensão contínua
F : X → Y de f. Mais precisamente, a composta fo −1 : X → Y tem uma extensão
contínua F : X → Y.
Dem. Dada a função f, consideremos f ∗ : CY, I → CX, I definida por f ∗ w wof
w ∈ CY, I. Analogamente, seja f ∗∗ : I CX,I → I CY,I definida por f ∗∗ q qof ∗ , onde
q ∈ I CX,I . f ∗∗ é contínua pela Observação III.11.37. Seja : Y → I CY,I a função avaliação.
Temos então of : X → Y → Y ⊂ I CY,I , f ∗∗ o : X → X ⊂ I CX,I ,
f ∗∗ : I CX,I → I CY,I . A função é um homeomorfismo, e também é um homeomorfismo
de Y sobre Y dado que Y é compacto separado (Y é de Tikhonov, é injectiva, Y é
separado). Tem-se que f ∗∗ o of, e assim obtemos a extensão F −1 of ∗∗ . Com efeito,
dado x ∈ X, se h ∈ CY, I então
f ∗∗ oxh xof ∗ h xhof hofx fxh ofxh dadas as
definições das funções, c.q.d.
-247III.11.40 Observação Dado o espaço de Tikhonov X, consideremos a relação ”≤”
definida na classe CX de todos os compactificados separados de X pondo c 2 X ≤ c 1 X se e
só se existe uma função contínua sobrejectiva 1,2 : c 1 X → c 2 X tal que c 2 1,2 oc 1 ; de tal
modo que cada ponto x ∈ X, considerado como subespaço de c 1 X ou de c 2 X, coincide com
a sua imagem 1,2 x no sentido de III.11.38. Pelo Teorema de Stone-Cech, CX tem o
máximo X. (3) Veremos adiante que CX tem un mínimo se e somente se X é localmente
compacto separado.
III.11.41 Definição O espaço topológico X, T diz-se localmente compacto se cada
ponto de X tem uma vizinhança compacta (que é um subconjunto compacto).
III.11.42 Todo o espaço compacto é localmente compacto. A recíproca é falsa
(considere-se R N munido da topologia usual associada à métrica euclideana).
III.11.43 Observação Se W é uma vizinhança de a ∈ X, X, T um espaço topológico, e
V é uma vizinhança do ponto a no subespaço W então V é uma vizinhança de a em X. Pois
existem abertos O, U ∈ T tais que a ∈ U ∩ W ⊂ V, a ∈ O ⊂ W e assim a ∈ U ∩ O ⊂ V.
Consequentemente, se X é um espaço topológico localmente compacto T2, a ∈ X e W é
uma vizinhança compacta de a, então III.11.30 mostra que o subespaço W é regular; o
ponto a tem portanto uma vizinhança fechada V ⊂ W e V é um conjunto compacto
(Corolário III.11.5), vizinhança de a em X.
III.11.44 Teorema Em cada espaço localmente compacto Hausdorff existe uma base de
vizinhanças compactas de cada ponto e o espaço é regular.
III.11.45 Vimos que se A ⊂ X, um subconjunto W se diz uma vizinhança do conjunto A
quando existe um aberto O tal que A ⊂ O ⊂ W; uma base de vizinhanças de A é uma
classe C de vizinhanças de A tal que toda a vizinhança W de A contém um conjunto em C.
Se X, T é um espaço localmente compacto Hausdorff, existe uma base de vizinhanças
compactas de cada subconjunto compacto K.
III.11.46 Exercício Preencha os detalhes na seguinte demonstração de III.11.45
Seja W uma vizinhança de K. Existe em cada ponto a ∈ K uma vizinhança compacta
n
n
V a ⊂ W de a. Tem-se K ⊂ j1
intV aj , a1, . . . , an ∈ K; logo j1
V aj é uma
vizinhança compacta de A contida em W.
III.11.47 Observações (1) As propriedades do espaço topológico ser compacto ou ser
localmente compacto são invariantes topológicos, e assim dão um critério simples para
decidir se dois espaços topológicos não são homeomorfos. Por exemplo, considerando R
munido da topologia usual, os subespaços a, b e a, b, a b, não são homeomorfos. (2)
Ambas as propriedades em (1) não são hereditárias. Por exemplo o subespaço a, b do
compacto a, b em (1) não é compacto; também o subespaço Q do espaço localmente
compacto R, U não é localmente compacto.
-248III.11.48 Observação Se o subespaço Y do espaço topológico X, T é localmente
compacto, então existem um aberto U ∈ T e um fechado F em X tais que Y U ∩ F. Com
efeito, dado a ∈ Y consideremos uma vizinhança compacta W a de a no subespaço Y; existe
V a ∈ T, a ∈ Y ∩ V a int Y W a , o interior de W a em Y. Consideremos a reunião U
V a : a ∈ Y, aberto em X; tem-se
U\Y U\Y ∩ U V a \Y ∩ V a : a ∈ Y V a \Y ∩ V a . a ∈ Y
V a \int Y W a : a ∈ Y. Se p ∈ V a ∩ int Y W a c V a ∩ Y ∩ V a c V a \Y então
p ∈ V a \W a , já que W a ⊂ Y; assim cada V a \int Y W a V a \W a , U\Y V a \W a : a ∈ Y
que é também um aberto de X. Portanto o complementar de U\Y é um fechado de X; tem-se
Y U\U\Y U ∩ U\Y c .
III.11.49 Teorema O subespaço Y do espaço localmente compacto separado X, T é
localmente compacto se e somente se Y é a intersecção de um aberto e de um fechado de
X. T.
III.11.50 Exercícios (1) Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do
teorema:
1. A condição é suficiente: se Y U ∩ F onde U é um aberto e F é um fechado,
consideremos uma vizinhança W de um ponto a ∈ Y no subespaço Y. W é uma vizinhança
de a em X;
2. existe uma vizinhança compacta V ⊂ W concluindo-se a condição necessária.
3. Para provar a condição necessária, suponhamos que cada ponto a ∈ Y tem uma
vizinhança compacta em Y.
4. A condição é necessária.
(2) Conclua que todo o subespaço aberto ou fechado de um espaço localmente
compacto Hausdorff é localmente compacto. E que em particular todo o subespaço aberto
ou fechado de um espaço de Hausdorff compacto é localmente compacto.
III.11.51 Teorema O espaço de Hausdorff X é localmente compacto se e somente se tem
as propriedades seguintes, equivalentes entre si:
(1) Para cada p ∈ X e cada vizinhança U do ponto p, existe um aberto relativamente
compacto V tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ U.
(2) Para todo o subconjunto compacto K e cada aberto U ⊃ K, existe um aberto
relativamente compacto A tal que K ⊂ A ⊂ A ⊂ U.
(3) X tem uma base constituída por abertos relativamente compactos.
III.11.52 Exercício Demonstre o teorema III.11.51. (Sug. para (3): dado x ∈ X, x é
compacto).
III.11.53 Propriedade Se X é um espaço Hausdorff localmente compacto C2 então X
tem uma base contável constituída por abertos relativamente compactos.
Dem. Sendo O n : n ∈ N uma base contável de X, cada subespaço O n é um espaço
C2 e tem uma base U n,j : j ∈ N formada por abertos relativamente compactos, cada
U n,j ⊂ O n . U n,j é compacto e a classe U n,j : n, j ∈ N é uma base contável de X, c.q.d.
-249III.11.54 Teorema Todo o espaço localmente compacto separado é um espaço de
Tikhonov.
III.11.55 Exercício Justificando os seguintes passos, obtenha uma demonstração do
Teorema III.11.54:
1. Se X é localmente compacto separado, p ∈ X\A e A é um conjunto fechado, existem
abertos relativamente compactos V 1 , V 2 tais que p ∈ V 1 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ V 2 ⊂ X\A
2. V 2 é normal. Existe uma função contínua f : V 2 → I, I 0, 1 munido da topologia
induzida pela topologia usual de R, fp 1, f 0 sobre V 2 \V 1
3. a função F : X → I, Fx fx x ∈ V 2 , Fx 0 x ∈ X\V 1 é contínua
4. tem-se F 0 sobre A e Fp 1, concluindo-se o teorema, c.q.d.
III.11.56 Resolução
1. Aplicando repetidamente o Teorema III.11.44
2. Atendendo a 1., e pelo Teorema III.11.30, V 2 , o subespaço V 2 é normal, donde é um
espaço de Tikhonov
3. Porque F f sobre V 2 \V 1 , aplicando o Teorema III.8.32 com os fechados V 2 e X\V 1
4. Devido a 4, já que f 0 sobre X\V 2 , A ⊂ X\V 2 como em 1., fp 1 por 2., 3. e
pela definição de espaço de Tikhonov.
III.11.57 Existem espaços localmente compactos de Hausdorff que não são normais.
Por exemplo em III.11.30 (2), vimos que os espaços ordinais 0, e 0, são compactos;
pelo teorema de Tikhonov, o produto 0, 0, é compacto, e portanto o subespaço
aberto 0, 0, \, é localmente compacto (III.11.50 (2)). No entanto este
espaço não é normal, como se viu em III.10.41 (2).
III.11.58 Teorema Dada uma família X , T : ∈ A de espaços localmente
compactos, o produto X X , T é localmente compacto se quando muito
possivelmente para um subconjunto finito I ⊂ A, os espaços X ∈ I não são
compactos. Se o produto é localmente compacto então cada espaço factor é localmente
compacto e apenas para um conjunto finito I ⊂ A, cada espaço X ∈ I não é compacto.
III.11.59 Obtenha uma demonstração de III.11.58 pela justificação das passagenes
seguintes:
1. Provando a última asserção, se X é localmente compacto seja x ∈ X, x 0 ∈ X 0 .
Existe uma vizinhança compacta K de x em X e o conjunto pr 0 K é uma vizinhança
compacta de x 0 ; portanto X 0 é localmente compacto.
2. Existe um subconjunto aberto relativamente compacto não vazio V de X , T
3. então pr V é compacto ∈ A e, pr V ⊃ pr V X para todos excepto
possivelmente índices num subconjunto finito I do conjunto dos índices A, concluindo-se o
que se pretendia
4. Para a primeira asserção, na hipótese assumida, seja x x ∈ X. Para cada índice
no conjunto I como considerado no enunciado, existe uma vizinhança compacta K de x
em X . Considerando o conjunto V ∈I K ∈A\I X conclui~se o teorema,
c.q.d.
-250III.11.60 Resoluções
1. K existe por hipótese. Porque pr é aberta e contínua; e pela definição
2. Por hipótese, dado que X ≠
3. Pois cada pr é contínua; dado que V é um aberto do produto, e pela definição
4. Pela hipótese. E porque V é uma vizinhança compacta de x, atendendo ao teorema de
Tikhonov, c.q.d.
III.11.61 Observação Se X é um espaço localmente compacto de Hausdorff e
C : ∈ A é uma classe de subconjuntos compactos de X, então C : ∈ A é
compacto (III.11.5, III.11.4).
III.11.62 Teorema de Alexandrov Se X, T é um espaço Hausdorff localmente
compacto, existe um espaço de Hausdorff compacto X ∗ tal que X é um subespaço de
X ∗ X .
Dem. Suponhamos X não compacto (doutro modo pode tomar-se para qualquer ponto
de X). Seja um ponto que não está em X e consideremos X ∗ X . A classe
T ∗ T X \K : K é um subconjunto compacto de X é uma topologia sobre X ∗ .
Cada cobertura aberta de X em X, T ∗ é redutível a uma cobertura finita, este espaço
topológico é compacto. Dado a ∈ X, considerando uma vizinhança compacta V de a, os
abertos intV e X \V são disjuntos concluindo-se que X, T ∗ é Hausdorff e o
teorema, c.q.d.
III.11.63 Definição Dado X, T de Hausdorff localmente compacto, o espaço X, T ∗ no
teorema é o compactificado de Alexandrov de X, T. Diz-se que é o ponto no infinito.
III.11.64 Observações (1) A Definição III.11.63 é entendida a menos de
homeomorfismo. Dados 0 , 1 , os espaços X 0 e X 1 com a correspondente
topologia são homeomorfos. (2) Se X, T é compacto separado, obter-se-ia o
compactificado X p X para cada p ∈ X. (3) O subespaço X é denso em X, T ∗ , o
compactificado de Alexandrov X ∗ , c, cx x do espaço localmente compacto X é um
compactificado de X, no sentido de III.11.33. (4) Pelo Teorema III.11.62, dado X
localmente compacto, podemos considerar X ∗ X munido da topologia T ∗ , espaço
compacto. Este compactificado de X é separado se e só se X é localmente compacto.
III.11.65 Exemplo A projecção estereográfica P de centro o pólo Norte N (resp. Sul,
n1
S ) da esfera S x k ∈ R n1 : ‖x k ‖ ∑ k1 x 2k 1/2 1 é a função de R n sobre
S\ N S\ S definida por u j x k , x k
1 (resp. −1.
2u k
1u 21 ...u 2n
u 2 ...u 2 −1
n
1
k 1, . . . , n, x n1 1u
2 ...u 2 ,
1
n
-251Considerando R n (S) munido da topologia associada à métrica euclideana (da topologia
induzida pela topologia associada à métrica euclideana), esta função é contínua, como se
verifica facilmente utilizando sucessões convergentes. A função inversa é dada por
xk
x k u j , u j 1−x
, k 1, . . . , n, e verifica-se analogamente que é contínua sobre
n1
S\ N (sobre S\ S ). P é portanto um homeomorfismo de R N sobre S\ N ,
respectivamente S ). Como S é limitado e fechado em R n1 , é um compacto; por ser
um homeomorfismo, P é uma correspondência bijectiva entre os abertos de R n e os abertos
de S\, e entre os subconjuntos compactos de cada espaço. Tem-se que definindo
P ∗ x Px para cada x ∈ R n e P ∗ , onde se considera um ponto que não está
em R n1 , a função P ∗ é assim um homeomorfismo do compactificado de Alexandrov
R n de R n sobre S.
III.11.66 Definição Dizemos que o espaço localmente compacto X é -compacto se X é
uma reunião contável de subconjuntos compactos. Se além disso X é de Hausdorff, dizemos
que é um espaço contável ao infinito.
III.11.67 Definição Sejam C A : ∈ A e D B : ∈ B coberturas de um
conjunto X. Dizemos que C é um refinamento de D se para cada conjunto A existe certo
B ⊃ A.
III.11.68 Definição Diz-se que X, T tem a propriedade de Lindelöf ou que é um espaço
de Lindelöf se cada cobertura aberta O : ∈ A de X tem uma subcobertura contável,
O n : n 1, 2, . . . , X n1
O n .
III.11.69 Teorema de Lindelöf Todo o espaço C2 é um espaço de Lindelöf.
Dem. Seja B i : i ∈ N uma base contável de X. Cada conjunto U numa cobertura
aberta de X é uma reunião contável U B i : i 1, 2, . . . i ∈ I. Assim
B i : ∈ A, i ∈ N é um refinamento de U : ∈ A; escolhendo U ,i ⊃ B i para
cada i ∈ N obtemos uma subcobertura da cobertura aberta pelos conjuntos U dada.
III.11.70 Teorema Todo o espaço topológico que é imagem contínua de um espaço de
Lindelöf é um espaço de Lindelöf.
III.11.71 Exercício Demonstre o Teorema III.11.70.
III.11.72 Teorema Se X é um espaço de Lindelöf e Y é um subconjunto fechado, o
subespaço Y é um espaço de Lindelöf.
III.11.73 Exercício Prove o Teorema III.11.72, (Sug: compare com a Propriedade
III.11.4).
-252III.11.74 Recordar que no espaço ordinal 0, toda a sucessão estritamente crescente
n tem supremo sup n : n 1, 2, . . . . A cobertura aberta 0, : do
espaço não tem nenhuma subcobertura contável. Um subespaço arbitrário de um espaço de
Lindelöf não é necessariamente de Lindelöf, considere-se o subespaço 0, do espaço
compacto 0, (e que é portanto um espaço de Lindelöf).
III.11.75 Observações (1) Se um produto X , T é um espaço de Lindelöf então
cada espaço factor é de Lindelöf. (2) No entanto, um produto de espaços de Lindelöf não é
necessariamente um espaço de Lindelöf.
III.11.76 Exercícios (1) Prove III.11.75 (1). (2) Diz-se que um intervalo I de R é próprio
se contém mais de um ponto. Mostre que toda a classe de intervalos próprios dois a dois
disjuntos de R é contável. (Sug: dada a classe de intervalos disjuntos I : ∈ A
considere um ponto racional q ∈ I obtido aplicando o selector de Zermelo. Existe uma
função sobrejectiva f : Q → q : ∈ A?). (3) Comprove (2) em III.11.75. (Sug:
considere o subespaço fechado x, −x : x ∈ R\Q do produto R, U R, U e aplique
III.11.72. Note que, embora R, U não seja C2, dada uma arbitrária cobertura aberta C
de R, U cada conjunto em C é uma reunião de intervalos da forma a, b e a classe I das
intersecções finitas destes intervalos é um refinamento de C; a cada a, b ∈ I podemos
associar certo C ∈ C, C ⊃a, b. Utilize o resultado (2) concluindo que R, U é um espaço
de Lindelöf).
III.11.77 As propriedades do espaço topológico X, T, de toda a cobertura aberta
contável pode extrair-se uma subcobertura finita e, cada classe contável de subconjuntos
fechados, cujas intersecções finitas são não vazias, a intersecção da classe é não vazia, são
equivalentes.
Efectivamente tem-se
k
∀A n : n ∈ N ⊂ T, X n1
A n , ∃n1, . . . , nk, X j1
A nj
c
∀F n : n ∈ N, F n ∈ T n ∈ N
k
k
F n , n1
F cn X, ∃n1, . . . , nk, j1
F cnj j1
F j c .
n1
III.11.78 Definição Diz-se que o espaço X é numeravelmente compacto se de cada
cobertura aberta contável de X pode extrair-se uma subcobertura finita.
-253III.11.79 Propriedade O espaço topológico X é numeravelmente compacto se e só se
toda a sucessão em X tem um ponto aderente.
Dem. Admitindo que o espaço é numeravelmente compacto, seja a sucessão x n em X.
Podemos considerar a sucessão de conjuntos fechados F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . .
onde F n x n , x n1 , x n2 , . . . , cujas intersecções finitas são não vazias. Atendendo a
III.11.65, existe pelo menos um ponto x ∈ n1
F n . Se V ∈ V x tem-se
V ∩ x n , x n1 , x n2 , . . . ≠ para n 1, 2, . . . Dado cada n existe portanto m ≥ n, x m ∈ V e
assim x está frequentemente em cada vizinhança V de x (recordar III.7.25). A condição no
senunciado é portanto necssária. É também suficiente: admitindo-a, seja F n : n 1, 2, . . .
n
uma classe de fechados cujas intersecções k1
F k ≠ . Consideremos um ponto
n
x n ∈ k1 F k e a sucessão x n ; esta tem um ponto aderente x i.e., dada uma arbitrária
vizinhança V do ponto x, existe, dado qualquer n, certo kn ≥ n, x kn ∈ V i.e.,
V ∩ x n , x n1 , x n2 , . . . ≠ , ∀n 1, 2, . . . Portanto V ∩ F n ≠ para cada n, dada qualquer
F n concluindo-se a propriedade,
V ∈ V x o que sugnifica x ∈ F n F n , ∀n ∈ N, x ∈ n1
c.q.d.
III.11.80 Teorema Se X, T é um espaço C1, então X é numeravelmente compacto se
e somente se todo o subconjunto infinito de X tem um ponto de acumulação.
III.11.81 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema pela justificação das
passagens seguintes:
1. A condição é necessária: se A é um subconjunto infinito de X, podemos considerar
um subconjunto numerável C a n : n 1, 2, . . . de A, a n ≠ a m n ≠ m
2. se X é numeravelmente compacto, certo ponto a ∈ X tem a propriedade
∀O ∈ T : a ∈ O, ∀n ∈ N, ∃m ≥ n, a m ∈ O
3. C ∩ O\a ≠ para cada aberto O contendo a, e X tem a propriedade no enunciado.
4. Para provar que a condição é suficiente, basta mostrar que em a admitindo, então
cada sucessão x n em X sem nenhum ponto de repetição verifica que o conjunto derivado
x n : n ∈ N ′ ≠
5. Admitindo a condição, seja uma sucessão x n como em 4. Existe um ponto p ∈ X tal
que x n está frequentemente em cada vizinhança V de p e pode concluir-se o teorema,
c.q.d.
III.11.82 Teorema Se X é um espaço C1 então X é numeravelmente compacto se e
somente se cada sucessão em X tem uma subsucessão convergente.
III.11.83 Exercício Demonstre o teorema anterior. (Sug: Propriedade III.11.79. Recorde
III.7.29).
Dada uma cobertura C de X, dizemos que pode extrair-se de C uma subcobertura
própria (de X) se existe C ′ C tal que X C : C ∈ C ′ .
-254III.11.84 Proposição Dado um espaço topológico X que é um espaço T1, X é
numeravelmente compacto se e somente se dada qualquer cobertura aberta infinita C de X,
pode extrair-se de C uma subcobertura própria.
Dem. Se existe um subconjunto infinito A de X cujo conjunto derivado A ′ então
cada suconjunto de A é fechado. Para cada a ∈ A, existe um aberto O a tal que a ∈ O a e
O a ∩ A\a ; se X ≠ A, a classe X\A, O a : a ∈ A é uma cobertura aberta infinita de A
da qual não pode extrair-se uma subcobertura própria. E se C é uma cobertura aberta
infinita de X da qual não pode extrair-se uma subcobertura própria, então para cada C ∈ C
existe x C ∈ C, x C ∉ C ′ , ∀C ′ ∈ C, C ′ ≠ C; o conjunto infinito x C : C ∈ C não tem
nenhum ponto de acumulação, concluindo-se a proposição.
III.11.85 Exercício Preencha os detalhes da demonstração acima, mostrando que a
condição em III.11.84 é necessária e suficiente.
III.11.86 Teorema Todo o espaço X, T Hausdorff numeravelmente compacto C1 é
um espaço T3.
Dem. Dado um ponto x ∈ X, seja V n : n 1, 2, . . . uma base contável de vizinhanças
de x tal que V n ⊃ V n1 n ∈ N que podemos obter considerando intersecções ordenadas
finitas de conjuntos numa base de vizinhanças contável do ponto. Pelo Teorema III.9.11,
c
V n x; pelas leis de De morgan, a classe V V n : n ∈ N é
conclui-se que n1
uma cobertura aberta contável de X, da qual pode extrair-se um cobertura finita,
c
c
c
m
V nk c V V m . Se X A B conclui-se
X V V n1 . . . V nm V k1
que B c ⊂ A, e assim a igualdade mostra que V m ⊂ V provando o teorema.
III.11.87 Teorema Se X é um espaço numeravelmente compacto C1, todo o
subconjunto fechado de X é numeravelmente compacto.
III.11.88 Exercício Demonstre o Teorema III.11.87. (Sug: Utilize a Propriedade
III.11.79; note que se um ponto p é um ponto aderente de uma sucessão, então p está no
fecho do conjunto dos termos).
III.11.89 Teorema Se o espaço X é Hausdorff C1, então todo o subespaço
numeravelmente compacto A de X é fechado.
Dem. Seja x ∈ A. Pelo Teorema III.7.16, X é um espaço de Fréchet, existe uma
sucessão a n em A tal que a n → x. Sendo A numeravelmente compacto, a n tem um ponto
aderente a ∈ A
-255i.e., a n está frequentemente em cada vizinhança de a, vê-se facilmente que uma
subsucessão a nk → a x dado que X é separado c.q.d.
III.11.90 Observação Encontra-se em [Dugundji] (Chap. XI, Sec. 8, p. 245) um
exemplo de um espaço de Tikhonov E numeravelmente compacto tal que o produto E E
não é numeravelmente compacto.
III.11.91 Observação Dado um produto X j1 X j , uma sucessão
u u n x nj j1 e, para cada j, uma subsucessão coordenada x j de x nj em X j
definida por uma aplicação estritamente crescente nj, . portanto, nj, 1 ≨ nj, 2 ≨. . . , de
tal modo que nj 1, . nj, . onj − 1, . o. . . on1, . por exemplo, dada certa n1, j,
sendo n2, 1 n1, 1, n2, 2 para certa n2, j,..., nj 1, 1 nj, 1,
nj 1, 2 nj, 2, . . . , nj 1, j nj, j tem-se que a função f : N → X, designando por
nn,n
1 ≤ n ≤ p, a restrição de f p1 a 1, . . . , p
f p a sua restrição a 1, , , . p por fn x n
nn,n
coincide com f p . Deste modo, usando I.6.7, fica definida a sucessão f x n em X.
jj,k
nn,k
Notar que se cada X j é um espaço topológico e x j
→ k→ x j em X j então x n n1 é uma
jj,k
subsucessão de x n n1 e conclui-se que, considerando X munido da topologia produto,
nn,n
então atendendo a III.10.7 tem-se x n → x n em X.
nj.k
III.11.92 Teorema Sendo cada X n , T n um espaço C1 n 1, 2, . . . , o espaço produto
X N X n , T n é numeravelmente compacto se e somente se cada espaço factor X n é
numeravelmente compacto.
III.11.93 Exercício Demonstre o Teorema III.11.92, completando e justificando os
passos seguintes:
1. A condição é necessária, pois admitida a hipótese e dada uma sucessão x nm em X m e
escolhendo um ponto x nk em cada espaço X k k ≠ m, a sucessão x nk k1 tem uma
subsucessão convergente.
2. A condição é suficiente: dada uma sucessão x nk k1 em X, seja x 11,n
→ x 1 uma
1
subsucessão da sucessão x n1 no espaço X 1 . Podemos considerar uma subsucessão
22,n
22,n
11,n
x 2 → x 2 em X 2 tal que x 1 é uma subsucessão de x 1 . Prosseguindo assim
sucessivamente para k 1, . . . , p, p ∈ N obtemos, pelo processo em III.11.91, uma
subsucessão x nn,n
de x nk em X convergente para x n , concluindo-se o teorema c.q.d.
n
III.11.94 Resolução
1. Pela hipótese, atendendo ao Teorema III.11.92. E usando o Teorema III.10.7,
concluimos de novo por III.11.82 que X n0 é numeravelmente compacto, já que é um
espaço C1 pelo Teorema III.10.16.
11,n
2. Existe tal subsucessão x 1 , assim como as segintes que se consideram, dada a
nn,n
hipótese. Aplicando III.11.91, a subsucessão x n → x n , logo X conclui-se que é
numeravelmente compacto, aplicando o Teorema III.11.82, c.q.d.
-256III.11.95 Definição Diz-se que o espaço topológico X é sequencialmente compacto se
cada sucessão em X tem uma subsucessão convergente.
III.11.96 Observação As propriedades de um espaço de Hausdorff ser compacto e, a de
ser sequencialmente compacto são independentes uma da outra. Conforme a III.11.34 (2)
podemos considerar o compactificado de Cech-Stone N de N, D. Prova-se em
[Engelking] (COROLLARY 3.6.15, p. 175) que nenhuma sucessão m n em N com um
numero infinito de termos é convergente. Considerando por exemplo a sucessão n vemos
que um espaço compacto de Hausdoff pode não ser sequencialmente compacto. Utilizando
III.1.23 e a Propriedade III.11.23 conclui-se facilmente que o espaço ordinal 0, é um
espaço de Hausdorff sequencialmente compacto e não compacto.
III.11.97 Teorema Todo o espaço sequencialmente compacto é numeravelmente
compacto.
Dem. Conclui-se da Propriedade III.11.82.
III.11.98 Exercícios (1) Prove que se Y é uma imagem contínua do espaço
sequencialmente compacto X, então Y é sequencialmente compacto. (2) Prove o análogo de
(1) para a propriedade numeravelmente compacto. (3) Prove que se X é sequencialmente
compacto (resp. numeravelmente compacto) e W é um subespaço fechado, então W é
sequencialmente compacto (numeravelmente compacto).
III.11.99 Proposição Dado o espaço topológico X, considerem-se as propriedades:
a X é compacto; b X é sequencialmente compacto; c X é numeravelmente
compacto.
Então: a b c; se X é C1, c b; se X é de Lindelöf, a c; se X é
metrizável Lindelöf, as propriedades são equivalentes.
III.11.100 Exercício Prove a Proposição III.11.99.
-257-
III.12 CONJUNTOS CONEXOS
Constata-se que as definições de conjuntos separados e de conjunto conexo
no espaço métrico X, d são relativas unicamente à topologia associada à métrica
III.12.1 De modo geral num espaço topológico X, T diz-se que
(1) os subconjuntos A, B de X, T são separados se A ∩ B A ∩ B ;
(2) uma disconexão do subconjunto C de X, T é dada por dois subconjuntos
abertos G, H de X verificando G ∩ C ≠ , H ∩ C ≠ , G ∩ C e H ∩ C são disjuntos e
C G ∩ C H ∩ C; diz-se então que G H é uma disconexão de C.
(3) O subconjunto C de X (ou: de X, T) diz-se conexo se não existe nenhuma
disconexão de C; e disconexo se existe pelo menos uma disconexão G H de C.
III.12.2 Observações (1) O subconjunto Y de X, T é conexo se e somente se
o subespaço topológico Y, T Y é conexo. (2) O subconjunto de X, T é conexo.
(3) Em qualquer espaço topológico X, cada singleton a a ∈ X é conexo. (4)
Dado um conjunto X, p ∈ X um ponto fixo, a classe T , A ⊂ X : p ∈ A é uma
topologia sobre X para a qual um subconjunto é conexo se e só se é aberto.
III.12.3 Exercícios (1) Mostre que se o conjunto X não se reduz a um ponto
então o espaço topológico X, PX é disconexo.
(2) Verifique III.12.2 (3). (3) Recorde a topologia de Sierpinsky S sobre 0, 1. O
espaço topológico 0, 1, S é conexo?
III.12.4 Teorema O espaço topológico X, T é conexo se e somente se verifica
qualquer das propriedades equivalentes:
i X não é uma reunião disjunta de dois subconjuntos fechados não vazios;
ii os únicos subconjuntos de X que são abertos e fechados são , X;
iii X não é reunião de dois conjuntos separados não vazios.
-258III.12.5 Exemplo O subconjunto S x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 1 do espaço
métrico R 2 , d e , fronteira da bola aberta B B 0 0, 0, 1 é fechado, R 2 \S é a
reunião disjunta dos abertos não vazios intB e extB e é assim um conjunto
disconexo. Notar que B é aberto e fechado em R 2 \S; e que B, extB são
subconjuntos separados não vazios de R 2 \S.
III.12.6 Teorema Sejam A, B, C ⊂ X, T.
(1) Se G H é uma disconexão de C então os conjuntos C ∩ G e C ∩ H são
separados não vazios.
(2) Se A, B são separados e não vazios então o conjunto A B é disconexo.
Conclui-se imediatamente que o resultado em II.13.19 tem a generalização
III.12.7 Teorema Se C é um subconjunto conexo do espaço topológico X, T X
e f : X, T X → Y, T Y é uma função contínua, então fC é um subconjunto conexo
do espaço topológico Y, T Y .
Recordando que os subconjuntos não vazios conexos de R, U são os
intervalos,
III.12.8 Corolário Se o espaço topológico X, T é conexo e f : X, T → R, U é
contínua então fX é um intervalo de R.
III.12.9 Observações (1) Conclui-se de III.12.7 que a esfera
S 1 S cos t, sin t : 0 ≤ t ≤ 2 no Exemplo III.12.5 é um conjunto conexo. (2)
Dados um espaço topológico X, A, B ⊂ X sendo B um conjunto conexo, se B
intersecta o interior de A e também o exterior de A, então B intersecta a fronteira
de A ( caso contrário, intA extA seria uma disconexão de B). Também R N é
conexo quando munido da topologia usual. Pois se o espaço é reunião de dois
abertos não vazios e disjuntos U, W tome-se um ponto a ∈ U e outro b ∈ W; o
segmento a, b 1 − ta tb : 0 ≤ t ≤ 1 B é conexo. (Porquê?) Ter-se-á
B ∩ U B ∩ intU ≠ e B ∩ W B ∩ extU ≠ , donde deve ser B ∩ frU ≠ e,
em particular, frU ≠ , obtendo-se a contradição que U é simultaneamente
aberto e fechado, e não é. (3) Sendo p ∈ R N , conclui-se de (2) que R N \p é
conexo, atendendo a que se este conjunto é reunião disjunta de dois fechados não
vazios F, K então R N é também reunião disjunta dos fechados F p e K. (4) Uma
demonstração de que a esfera S N x ∈ R N1 :∣ x ∣ 1 N ∈ N é um conjunto
conexo obtem-se então considerando a função f : R N1 \0 → S N dada por fx
fx 1 , . . . , x N1 x 1 / ∣ x ∣ 2 , . . . , x N1 / ∣ x ∣ 2 , x x 1 , . . . , x N1 .
-259III.12.10 Exercícios (1) Complete a demonstração em III.12.9 (4). (2)
Recordando III.10.52 conclua do Teorema III.12.7 que se X, T é um espaço
topológico conexo e é uma relação de equivalência em X então o espaço
topológico cociente X/ é conexo.
O Teorema II.13.26 generaliza-se também a espaços topológicos:
III.12.11 Teorema Se C i : i ∈ I é uma classe de subconjuntos conexos de
X, T não sendo nenhuns dois conjuntos C i , C j separados, enão o conjunto
C C i : i ∈ I é conexo.
III.12.12 Corolário Dada uma classe C i : i ∈ I de subconjuntos conexos de
X, T cuja intersecção não é vazia, a reunião C i : i ∈ I é um subconjunto
conexo de X, T.
III.12.13 Propriedade Se A ⊂ B ⊂ A onde A é um subconjunto conexo de
X, T então B é conexo. Em particular, o fecho A é um conjunto conexo.
III.12.14 Exercícios (1) Demonstre III.12.13, recordando II.13. (2) Dê exemplo
de um subconjunto não conexo de R, U cujo interior seja conexo (Sug: Recorde
III.12.2 (2)). (3) Conclua de III.12.7 que dois espaços topológicos homeomorfos
são ambos conexos ou ambos disconexos. (4) Preencha os detalhes no seguinte
exemplo, que mostra que a intersecção de dois conjuntos conexos pode não ser
um conjunto conexo, onde se considera o espaço topológico S 1 como em III.12.9
(1): Os subespaços S x, y ∈ S 1 : y ≥ 0 e S − x, y ∈ S 1 : y ≤ 0 são
conexos, como se conclui considerando a projecção x, y x; a sua intersecção
não é um conjunto conexo.
Dado o espaço topológico produto X A X , T em III.10 recorde a notação
O 1 , . . . , O m para os abertos na base da topologia e, dado x 0 x 0 a fatia
Sx 0 ; X ≠ x 0 em III.10.21.
III.12.15 Teorema O espaço topológico produto X A X , T é conexo se e
somente se cada espaço factor é conexo.
-260III.12.16 Exercício Completando e justificando os passos seguintes, obtenha
uma demonstração de III.12.15:
1. A condição é necessária, dado que a projecção pr : X → X é sobrejectiva
∈ A
2. Para provar a condição suficiente, utilizemos primeiro o princípio de indução
finita, provando que dado x 0 x 0 ∈ X, então se x 0n é um ponto em X tal que no
máximo n coordenadas de x 0n diferem das coordenadas de x 0 , ambos x 0n , x 0
pertencem a um mesmo subconjunto conexo de X.
a Para n 1, se x 01 difere de x 0 na coordenada então à fatia Sx 0 ;
pertencem ambos x 01 e x 0 .
0
n ≥ 2 consideremos
b Supondo que a propriedade é válida para cada x n−1
0
um x n ;
0
estão num mesmo subconjunto conexo C de X
i pelo caso n 1, x 0n e x n−1
0
, x 0 pertencem a um mesmo subconjunto
ii pela hipótese de indução, x n−1
conexo C 1 de X, e sendo C C 1 conexo conclui-se a propriedade.
3. A reunião A de todos os subconjuntos conexos de X contendo x 0 é um
conjunto conexo contendo
D x ∈ X : x e x 0 diferem no máximo por um número finito de coordenadas;
4. todo o aberto O 1 , . . . , O m contem um ponto de D;
5. o subconjunto D de X é denso, A ⊂ D ⊂ A e pode concluir-se o teorema,
c.q.d.
III.12.17 Observação A relação binária C no espaço topológico X definida por
x C y sse existe um subconjunto conexo de X contendo ambos x e y é obviamente
reflexiva (III.12.2 (3)) e simétrica; é também transitiva (III.12.12), e assim é uma
relação de equivalência em X. A classe de equivalência de a ∈ X é
C a A ⊂ X : a ∈ A, A é um conjunto conexo, subconjunto conexo de X, o
maior subconjunto conexo de X contendo a e diz-se uma componente conexa de
X. Atendendo à Propriedade III.12.13, C a é um subconjunto fechado de X.
Também cada C a é um subconjunto conexo de X que é maximal. Conclui-se que a
colecção das componentes conexas dos diferentes pontos de um espaço
topológico X é uma partição de X formada por subconjuntos fechados.
III.12.18 Definição O espaço topológico X, T diz-se totalmente disconexo se a
componente conexa de cada ponto a ∈ X se reduz a a ou, o que é o mesmo, os
únicos subconjuntos conexos de X são os conjuntos singleton.
-261III.12.19 Observações (1) Um espaço topológico é conexo se e somente se a
componente conexa de cada ponto é todo o espaço.
(2) O espaço topológico R, U não é conexo e não é totalmente disconexo. (3)
O subespaço Q, U Q de R, U é exemplo de um espaço topológico não discreto
totalmente disconexo. (4) O subespaço E de R 2 , d e formado pelos segmentos que
unem a origem 0, 0 aos pontos da forma 1, 1/n n ∈ N e pelo segmento
1/2, 1 0 é conexo. O subespaço E\0, 0 é disconexo. (5) No espaço produto
A X , T , a componente conexa de x x é C x ∈A C x , X onde C x , X
é a componente conexa de x no espaço factor X . Com efeito, III.12.15 mostra
que o produto K ∈A C x , X é conexo, e assim está contido na componente
conexa C x . Admitindo que existe um ponto y y ∈ K\ ∈A C x , X , vem que
certa coordenada y ∉ C x , X . Então o conjunto conexo pr K ⊂ X contem um
ponto y ∉ C x , X e obtem-se a contradição deste último conjunto não ser
maximal na classe dos subconjuntos conexos de X contendo x .
III.12.20 Exercícios a Verifique (1), (2), (3), (4) em III.12.19.(Sug: para (4),
note que a componente conexa de cada ponto em E\, 0 é o segmento que o
contem). b Conclua de (5) que embora o produto infinito de espaços discretos
não seja discreto, é totalmente disconexo.
III.12.21 Definição O espaço topológico X, T diz-se extremamente disconexo
se é um espaço de Hausdorff e o fecho de cada subconjunto aberto é um aberto.
III.12.22 Exemplos (1) Todo o espaço topológico discreto é extremamente
disconexo. (2) Encontra-se em [Engelking] (Theorem 6.2.27.) uma demonstração
de que o compactificado de Stone-Cech (III.11.36) de um espaço de Tikhonov
extremamente disconexo é extremamente disconexo. Assim o compactificado de
Stone-Cech N de N (munido da topologia discreta) dá um exemplo de um espaço
extremamente disconexo não discreto. (3) O fecho do aberto 1/2n : N 1, 2, . . .
de 0, 1/n : n ∈ , d e não é um subconjunto aberto do espaço , que é assim um
espaço totalmente disconexo não extremamente disconexo.
III.12.23 Proposição Um espaço de Hausdorff X é extremamente disconexo se
e somente se para cada dois subconjuntos abertos disjuntos U, V se tem
U ∩ V .
-262III.12.24 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma
demonstração de III.12.23:
1. Se U, V são abertos disjuntos de um espaço topológico, então
U U, U ∩ V .
2. Conclui-se que a condição é necessária.
3. Supondo que se verifica a condição do enunciado, seja U um aberto de X:
a U e X\U sendo sijuntos, tem-se U ∩ X\U ;
b U X\X\U intU concluindo-se a proposição.
III.12.25 Exercício Prove que todo o espaço topológico extremamente
disconexo é totalmente disconexo. (Sug: Dados a ∈ X e um subconjunto conexo C
de X contendo a, b, a ≠ b, existem abertos U, V disjuntos de X, a ∈ U, b ∈ V.
Tem-se que U V é uma disconexão de C?)
Vemos intuitivamente que se um subconjunto C do plano cartesiano tem a
propriedade de cada dois pontos a, b ∈ C poderem ser ligados por uma linha
contínua inteiramente contida em C, então C não é reunião de dois conjuntos
abertos não vazios e dsijuntos i.e., o conjunto C é conexo.
III.12.26 Definição um caminho ou arco no espaço topológico X ligando o
ponto a ao ponto b, a, b ∈ X é uma função contínua : 0, 1 → X tal que
0 a, 1 b. Dizemos que a é o ponto inicial do caminho e b é o ponto final.
Verifica-se facilmente que se F 1 , . . . , F n são subconjuntos fechados não vazios
do espaço topológico X, Y é um espaço topológico e f é uma função de X em Y,
então f é contínua se e só se cada restrição f i f ∣F i é contínua. Assim dados
caminhos : 0, 1 → X, : 0. 1 → X tais que 1 0, a função
∨ : 0, 1 → X, ∨ t 2t 0 ≤ t ≤ 1/2 e ∨ t 2t − 1 é bem definida
e contínua. Notar que se 0 a, 1 0 b e 1 c então
∨ 0 a, ∨ 1 c e b ∈ im ∨ , o codomínio de ∨ . Dizemos que ∨
é o caminho justaposto de e .
III.12.28 Definição O espaço topológico X, T diz-se conexo por caminhos ou
conexo por arcos se para cada dois pontos a, b ∈ X existe um caminho ligando a a
b.
-263III.12.29 Teorema Se o espaço topológico X é conexo por arcos, então X é
conexo.
III.12.30 Exercício Completando e justificando as passagens seguintes,
obtenha um demonstração do Teorema III.12.29:
Dem. Admitamos que X é conexo por arcos e não é conexo.
1. existe uma partição de X por dois abertos não vazios A, B; sejam a ∈ A, b ∈ B.
2. Existe um caminho ligando a a b;
3. im ∩ A e im ∩ B são dois abertos não vazios de im cuja reunião é im;
4. pode concluir-se a tese, c.q.d.
III.12.31 Exercícios (1) Designe 2 o espaço topológico 0, 1, P0, 1. Prove
que um espaço topológico X, T é conexo se e somente se as únicas funções
contínuas de X em 2 são as funções constantes. (2) Conclua de (1) que se A, B são
subconjuntos conexos não separados de X, T então A B é um conjunto conexo.
(Sug: Podemos supor A ∩ B ≠ ? Utilize III.12.13).
III.12.32 Exemplo Esboce graficamente no plano cartesiano os conjuntos
A x, y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, y x/n e B 1/2, 1 0. Uma vez que ambos A, B
são conexos por arcos, são conexos. Além disso, A e B não são separados, dado
que 1, 0 ∈ A ∩ B. Atendendo a III.12.31, A B é um conjunto conexo. No entanto,
A B não é conexo por arcos: dados um ponto de A e um ponto de B, não existe
nenhum caminho ligando os dois pontos inteiramente contido em A B.
III.12.33 Teorema Se o espaço topológico X tem a propriedade de existir um
ponto a ∈ X tal que para cada ponto x ∈ X existe um caminho ligando a a x então X
é conexo por caminhos.
III.12.34 Exercício Demonstre o Teorema III.12.33. (Sug: Considere um
caminho justaposto).
Sendo E um espaço vectorial normado real ou complexo, a, b ∈ E, o segmento
a, b 1 − ta tb : t ∈ 0, 1 é uma imagem contínua do subconjunto conexo
0, 1 de R, U, e é portanto um conjunto conexo. Pode verificar-se utilizando o
Cálculo que a, b é conexo por arcos; por outro lado, isto é consequência imediata
do seguinte
-264III.12.35 Teorema Se f é uma função contínua do espaço topológico X no
espaço topológico Y e X é conexo por arcos então fX é conexo por arcos quando
munido da topologia induzida.
Dem. Dados fa, fb, a, b ∈ X, fo é um caminho ligando fa a fb se é um
caminho em X ligando a a b, concluindo-se o teorema.
III.12.36 Corolário 1 O espaço topológico cociente X/ do espaço topológico
conexo por arcos X pela relação de equivalência em X é conexo por arcos.
III.12.37 Corolário 2 Se existe um homeomorfismo f : X, T X → Y, T Y então
Y, T Y é conexo por arcos se e só se X, T X é conexo por arcos.
III.12.38 Teorema Um produto A X , T é conexo por arcos se e somente
se cada espaço factor é conexo por arcos.
III.12.39 Exercício Demonstre o Teorema acima. (Sug: Utilize III.12.35. Note
que dada f : 0, 1 → A X , f0 a , f1 b , pr of0 a e pr of1 b
e recorde III.10.24).
III.12.40 Definição O espaço topológico X diz-se localmente conexo se cada
ponto tem uma base de vizinhanças abertas conexas.
III.12.41 Exercício Considere os subespaços topológicos de R 2 , d e
E x, y ∈ R 2 : y 0 x, y ∈ R 2 : y 1 e
F r q : q ∈ Q 0, y : y ∈ R, onde r q x, q : x ∈ R.
Verifique que E é localmente conexo e não é conexo, enquanto F é
conexo mas não é localmente conexo. F é conexo por arcos? (Sug: Considere
caminhos justapostos).
III.12.42 Observação Recorde que num espaço de Hausdorff as propriedades
de cada ponto ter uma vizinhança compacta e, a de cada ponto ter uma base de
vizinhanças compactas (i.e., o espaço é localmente compacto) são equivalentes.
Mas um espaço topológico conexo verifica que todo o ponto tem uma vizinhança
aberta conexa, sem que tenha uma base de vizinhanças conexas abertas, como
mostra III.12.41
-265-.
III.12.43 Observação Seja C x a componente conexa de um ponto x no espaço
topológico localmente conexo X. Dado um qualquer ponto y ∈ C x existe uma
vizinhança aberta conexa V de y; cada ponto z nesta vizinhança de y verifica pois
z C y e de y C x, C como em III.12.17, conclui-se z C x. Significa isto que z ∈ C x
para cada z ∈ V i.e. V ⊂ C x e C x é portanto um conjunto aberto. Atendendo à
Observação III.12.17 podemos concluir o
III.12.44 Teorema Se X é um espaço localmente conexo então cada
componente conexa de X é um subconjunto aberto e fechado de X.
III.12.45 Observações (1) O espaço E em III.12.41 mostra que a recíproca do
Teorema III.12.44 é falsa. (2) Se o espaço topológico X tem somente um número
finito de componentes conexas, também cada uma desta é um subconjunto aberto
e fechado de X.
III.12.44 Analogamente a III.12.17, a relação binária no espaço topológico X
dada por x C y sse existe um caminho que liga x a y é uma relação de equivalência
em X (para a transitividade, considere-se o caminho justaposto). A classe de
equivalência de um ponto x é E x E : E é conexo por arcos e x ∈ E. Atendendo
ao Teorema III.12.33, nenhum conjunto conexo por arcos contem propriamente E x .
Se a, b ∈ E x também existe um caminho que liga a a b, donde E x é conexo por
arcos e, usando III.12.33, é conexo. Cada conjunto E x diz-se uma
componente conexa por arcos de X.
III.12.45 Observaçõs (1) As componentes conexas por arcos E x (x ∈ C a , uma
componente conexa) formam uma partição de C a . (Porquê?). (2) As componentes
conexas por arcos de X consituem também uma partição de X. (3) Uma
componente conexa por arcos de um espaço topológico pode não ser aberta nem
fechada. Por exemplo, no espaço F em III.12.41, nenhuma componente conexa
por arcos r q é um aberto. Considerando o subespaço W 0, 0 L, onde
L /x, y ∈ R 2 : 0 x ≤ 1, y sin 1/x, não existe nehum caminho ligando 0, 0
ao ponto 1/, 0, de modo que W não é conexo por arcos. (W é conexo? Porquê?).
A componente conexa por arcos contendo 1/, 0 é L, que não é um conjunto
fechado, dado que o fecho de L é W.
III.12.46 Exercício Mostre que se as componentes conexas pora arcos do
espaço topológico X são abertas, então são fechadas.
-266III.12.47 Teorema O espaço topológico X é localmente conexo se e somente
se as componentes conexas por arcos são abertas.
III.12.48 Teorema Um espaço conexo é conexo por arcos se e somente se
cada ponto tem uma vizinhança aberta conexa por arcos.
III.12.49 Exercícios (1) Prove o Teorema III.12.47. (Sug: Admitindo a hipótese,
cada ponto x ∈ K, onde K é uma componente cconexa por arcos, verifica que
existe U, conexo aberto, tal que x ∈ U; tem-se U ⊂ K?)). (2) Demonstre o Teorema
III.12.48. (Sug: Utilize o Teorema III.12.47; note que a componente conexa aberta
maximal contendo um ponto é todo o espaço). (3) Conclua o
III.12.50 Corolário Seja X um espaço topológico em que cada ponto tem uma
base de vizinhanças abertas conexas por arcos. Se X é conexo, é conexo por
arcos; se não é, então cada componente conexa é aberta, fechada e conexa por
arcos.
III.12.51 Observações (1) Em R N , d e cada bola é um conjunto conexo por
arcos, já que é convexo (i.e., contém o segmento a, b /1 − ta tb : t ∈ 0, 1
que une quaisquer dois dos seus pontos a, b). Assim no espaço cada ponto tem
uma vizinhança aberta conexa por arcos. Conclui-se do Teorema III.12.48 que em
R N , d e um conjunto aberto é conexo se e só se é conexo por arcos. (2) Cada
conjunto B 0 a, r\p, onde p ∈ B 0 a, r (em particular B 0 a, r\a) sendo conexo em
R N , d e (conclui-se analogamente a III.12.9 (3)) é portanto conexo por arcos. Uma
vez que a imagem homeomorfa de um conjunto conexo por arcos é conexa por
arcos, conclui-se de
III.12.9 (4) que cada esfera Sa, r x ∈ R N : d e x, a r é´conexa por arcos.
(e) Tem-se ([Schwartz]) que (1) e (2) são verdadeiras em qualquer espaço
normado.
III.12.52 Definição Dados caminhos , no espaço topológico X com o mesmo
ponto inicial p e o mesmo ponto final q, uma função contínua
H : 0, 1 2 ⊂ R 2 , d e → X tal que Hs, 0 s, H0, t p e
Hs, 1 s, H1, t q diz-se uma homotopia de para . Se existe uma
homotopia de para diz-se que estes caminhos são homotópicos.
III.12.53 Observações (1) Dado um caminho em X, a função H : 0, 1 2 → X
dada por Hs, t s é uma homotopia. Se H é uma homotopia de para
-267então H ∗ : 0, 1 2 → X dada por H ∗ s, t Hs, 1 − t é uma homotopia de
para .
Também dadas homotopias H 1 de 1 para 2 e H 2 de 2 para 3 , a função
H : 0, 1 2 → X, Hs, t H 1 s, 2t 0 ≤ t ≤ 1/2, Hs, t H 2 s, 2t − 1
1/2 ≤ t ≤ 1 é uma homotopia de 1 para 3 . Assim a relação de homotopia é uma
relação de equivalência no conjunto Ca, b de todos os caminhos que igam o
ponto a ao ponto b, para cada dois pontos a, b em X. (2) Certamente cada função
a : 0, 1 → X, T, a t a é um caminho em X, e podemos designar apenas que
a é o ponto a, por abuso de linguagem.
III.12.54 Definição O subconjunto D do espaço topológico X, T diz-se
simplesmente conexo se todo o caminho fechado em X, T é homotópico a um
ponto de X.
III.12.55 Um espaço topológico pode ser simplesmente conexo e não ser
conexo por arcos (considere-se 0, 1, P0, 1. Assim como pode ser conexo
por arcos e não ser simplesmente conexo, como por exemplo um subconjunto
S z ∈ C : r ≤∣ z ∣≤ R 0 ≤ r R em C, d, dz 1 , z 2 ∣ z 1 − z 2 ∣ (nenhum
caminho fechado t se 2it (r s R, s fixo) em S é homotópico a um ponto de
S). Encontra-se em [Munkres] que todo o subconjunto estrelado E de R N , d e i.e.,
tal que existe um ponto p em E verificando p, a ⊂ E para cada a ∈ E, é
simplesmente conexo. Estas questões relativas a homotopia pertencem à
Topologia Algébrica, que não é assunto deste livro.
-268-
III.13 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS
III.13.1 Em cada um dos casos seguintes, indique se o conjunto C é aberto
ou fechdo no respectivo espaço topológico E:
a) E R, U, C Q
b) E BX, X um espaço métrico como em II.10.14, C f ∈ BX : fx 0 0,
onde x 0 é um ponto fixo em X
c) E R R munido da topologia produto (em R a topologia usual),
C x ∈ E : x 0, fixo
d) E R N munido da topologia produto, em R a topologia usual,
C x n ∈ E : x 1 ∈ Z.
III.13. 2 Quais dos espaços em III.13.1 são metrizáveis?
III.13. 3 Considere W x, y ∈ R 2 : x ≠ y ou y 0 ⊂ R 2 , d e . Mostre que
para cada recta horizontal ou vertical r, r ∩ W é um conjunto aberto, mas W não é
um subconjunto aberto.
III.13. 4 Prove que nenhum subespaço próprio de um espaço normado real ou
complexo é um aberto. (Sug: existe uma vizinhança de zero contida no
subespaço?)
III.13 .5 Note que a topologia usual de 0, é a topologia da ordem. Também,
que não é um ponto isolado mas, para cda subconjunto numerável N ⊂ 0, tal
que ∈ N, existe um aberto A em 0, contendo tal que A ∩ N\ .
Pode concluir-se que 0, não é metrizável?
III.13. 6 Verifique que a aplicação canónica : 0, 1 → 0, 1/ onde é a
relação de equivalência: Para cada 0 x 1, xy y x e 00, 01, 10, 11 e,
onde se consideram 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R,
0, 1/ munido da topologia coiente, não é aberta.
III.13. 7 Prove que o grafo /x, fx : x ∈ X da aplicação contínua f do espaço
topológico X no espaço topológico Y tem interior vazio no espaço topológico
produto X Y se Y não tem pontos isolados.
III.13. 8 Dê exemplo de um subconjunto discreto não fechado de R 2 , U.
III.13. 9 Uma família não vazia S ∈Δ de subconjuntos de um espaço
topológico X diz-se localmente finita se todo o ponto x ∈ X tem uma vizinhança que
intersecta quando muito um número finto dos conjuntos S . Certamente toda a
família finita é localmente finita. Verifique que dada uma família localmente finita
S ∈Δ se tem S : ∈ Δ S : ∈ Δ.
III.13.10 Todo o espaço métrico contável é totalmente disconexo.
-269III.13.11 Um espaço topológico X é conexo se e somente se tem a propriedade
de que toda a aplicação contínua de X num espaço topológico Y tem grafo conexo
em X Y munido da topologia produto.
III.13.12 Encontra-se em [Dugundji] que se X, Y são espaços topológicos então
dada f : X → Y contínua,a imagem de cada componente conexa de X é uma
componente conexa de Y. Se h é um homeomorfismo de X sobre Y então h
estabelece uma correspondência biunívoca entre as componentes conexas dos
dois espaços, sendo homeomorfa cada componente conexa à sua imagem por h.
Esta propriedade dá um critério de não homeomorfismo entre dois espaços
topológicos. Como um exemplo, devido a Kuratowski, os subespaços da recta
munida da topologia usual
X 0, 12 3, 45 . . . 3n, 3n 13n 2 . . .
Y 0, 1 3, 45 . . . 3n, 3n 13n 2 . . .
não são homeomorfos. Pois a componente conexa 0, 1 não é homeomorfa a
nenhuma componente de Y.
III.13.13 Notar que em III.13.12, as funções fx x x ≠ 2, f2 1 de X em Y
e gx x/2 x ∈0, 1, gx x − 2/2 x3, 4, gx x − 3 nos outros casos de Y em
X, são bijecções contínuas. O teorema de Schröeder-Bernstein não é portanto
válido no quadro dos espaços topológicos.
III.13.14 Um espaço vectorial E sobre K R ou K C munido de uma
topologia para a quala soma x, y x y de E E em E e o produto escalar
, x x de K E em E são contínuas, considerando-se as topologias produto e
a topologia usual de K diz-se um espaço vectorial topológico (e.v.t.). Encontra-se
em [Schwartz] que um e.v.t. é separado se e só se é um espaço T 1 , o que é
equivalente a 0 ser um conjunto fechado.
III.13.15 Prove que todo o espaço normado é um e.v.t. metrizável.
III.13.16 Um e.v.t. separado e não nulo, não é compacto. É localmente
compacto se e só se tem dimensão finita.
-270-
IV METRIZABILIDADE
-271IV.1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS SEPARÁVEIS METRIZÁVEIS
Se a topologia de X é dada por uma função : X X → 0, tal que
x, x 0, x, y y, x e x, z ≤ x, y y, z de modo análogo à topologia
associada a uma métrica e, X é um espaço T1 então sendo x ≠ y, existe 0 tal
que y ∉ x ∈ X : x, y ; portanto x, y ≠ 0, a função é uma métrica em X e
o espaço é metrizável i.e., a topologia é associada à métrica . Seguiremos por
vezes neste parágrafo as demonstrações em [Engelking], [Kelley] de certos
resultados.
IV.1.1 Definições (1) Uma função : X X → 0, verificando as
condições
(sm1) x, x 0 x ∈ X
(sm2) x, y y, x x, y ∈ X
(sm3) x, z ≤ x, y y, z x, y, z ∈ X
diz-se uma semi-métrica em X. O par X, (ou somente X) diz-se um espaço
semi-métrico.
(2) Dados a ∈ X, , 0, o subconjunto Ua, x ∈ X : x, a
(resp. Ua, x ∈ X : x, a ≤ ) é a semi-bola aberta (resp. fechada) de
centro a e raio .
IV.1.2 Propriedade Se é uma semi-métrica em X então a classe B das
semi-bolas abertas de X, é base para uma topologia T sobre X.
A Propriedade demonstra-se de modo análogo ao da topologia associada a
uma métrica. A topologia T obtida diz-se que é a topologia sobre X associada à
semi-métrica , e dizemos ainda que X, T X, é um espaço semi-métrico.
IV.1.3 Observação Se o espaço semi-métrico X, é um espaço topológico
T1 então é uma métrica e X é um espaço metrizável.
Dados x ∈ X, , ≠ A ⊂ X, pomos Dx, A infx, a : a ∈ A.
-272IV.1.4 Observação Dado A ⊂ X, como acima, a função
D : X, → 0, , x Dx, A é contínua. Com efeito, tem-se
Dx, A ≤ x, y Dy, A donde se conclui ∣ Dx, A − Dy, A ∣≤ x, y e a
continuidade de D.
IV.1.5 Exercício Preencha os detalhes em IV.1.4 provando que a função D
é contínua.
IV.1.6 Teorema O fecho A de um subconjunto A de um espaço semi-métrico
X, é o conjunto dos pontos x tais que Dx, A 0.
IV.1.7 Exercício Demonstre IV.1.6 (Sug: Usando IV.1.4 mostre que
x ∈ X : Dx, A 0 ⊃ A; também se y ∉ A conclua que Dy, A 0).
IV.1.8 Teorema Todo o espaço semi-métrico é um espaço normal.
Dem. Dados A, B ⊂ X, subconjuntos não vazios fechados e disjuntos, sejam
U x ∈ X : Dx, A − Dx, B 0, V x ∈ X : Dx, A − Dx, B 0. Uma vez
que atendendo a IV.14, a função x Dx, A − Dx, B é contínua, os conjuntos U e
V são abertos. U e V são disjuntos, e o teorema conclui-se de IV.1.6, c.q.d.
IV.1.9 Todo o espaço semi-métrico é um espaço C1. O espaço é C2 se
e só se é separável.
Dem. A primeira asserção conclui-se considerando, dado x ∈ X, , as
semi-bolas abertas de raios ni , n ∈ N. Se U n : n ∈ N é uma base contável da
topologia e x n ∈ U n n 1, 2, . . . então o conjunto destes x n é denso, o espaço é
separável. Reciprocamente, se existe x n : n ∈ N, x n : n ∈ N X, seja
B Ux n , r : r ∈ Q, r 0. B é um conjunto contável. Se U é um ´aberto
contendo x existe r 0 tal que Ux, r ⊂ U. Seja s ∈0, r∩Q; se x, x n s/3 então
x ∈ Ux n , 2s/3 ⊂ U e concluimos que B é uma base da topologia T de X, c.q.d.
IV.1.10 Exercícios (1) Mostre que a rede x i em X, é convergente para x
se e só se a rede x i , x converge para zero em R, U, U a topologia usual. (2)
Prove que se é uma semi-métrica em X então min1, x, y min1, x, y é
ainda uma semi-métrica em X. Conclua que que todo o espaço semi-métrico é
homeomorfo a um espaço semi-métrico limitado. (Um conjunto B ⊂ X, diz-se
limitado se tem diâmetro supx, y : x, y ∈ B ).
-273IV.1.11 Teorema Seja X n , n : n 1, 2, . . . uma classe contável de
espaços semi-métricos onde cada semi-métrca n ≤ 1. Então a função
x n , y n ∑ n1 2 −n n x n , y n é uma semi-métrica sobre o produto cartesiano
X n1 X n e a topologia produto sobre X é a topologia associada à semi-métrca
.
Dem. A verificação de que é uma semi-métrica em X deixa-se como
exercício. Para a segunda asserção, notemos que atendendo a IV.1.9, III.10.16 e
III.7.15-17 basta provar que a sucessão x kn → k→ x n na topologia produto se e só
se x kn , x n → k→ 0 (IV.1.10 (1)). Se x kn → x n na topologia produto então
M
dada uma vizinhança V n1 U n x n , nM1 X n tem-se para certo
kV ∈ N que n x kn , x n k ≥ kV onde U n x n , x ∈ X n : n x, x n .
M
Portanto x kn , x n ≤ ∑ n1 2 −n ∑ nM1 2 −n ≤ 1 − 2 −n ∑ nM1 2 −n → M→ , o
que mostra que x kn , x n → k→ 0. Reciprocamente, se x kn converge para x n
em X, , certamente x kn → k→ x n em cada espaço X n , n . Donde se conclui o
resultado, usando o Teorema III.10.7, c.q.d.
Recordar III.10.43. Dado um espaço topoçógico X, sendo I 0, 1 munido
da topologia usual, CX, I o conjunto das funções contínuas f de X em I, podemos
considerar a função e : X → f I f dada por ex fx f i.e., ex f fx t f onde
notamos t f um elemento genérico de f I f e onde f I f designa o produto
cartesiano munido da topologia produto. A função e é um homeomorfismo de X
sobre eX se e somente se X é um espaço de Tikhonov. Tem-se mais geralmente
a
IV.1.12 Propriedade Seja F uma família de funções contínuas
f : X, T → Y f , cada Y f um espaço topológico. Então:
(a) A função de avaliação e : X → f Y f , ex fx f é contínua de X no
espaço produto.
(b) A função é aberta de X sobre eX se e só se F distingue pontos i.e, para
cada x, y ∈ X, x ≠ y, existe f ∈ F tal que fx ≠ fy e distingue conjuntos fechados
i.e., para cada fechado A ⊂ X e cada x ∈ X\A existe f ∈ F tal que fx ∉ fA.
(c) A função e é injectiva se e somente se F distingue pontos.
Dem. Encontra-se esta Propriedade em [Kelley] (p. 116) e uma demonstração.
-274IV.1.13 Observações (1) Atendendo ao Teorema IV.1.11, o produto
contável de espaços semi-métricos é um espaço semi-métrico. Por conseguinte,
se E ≡ existe uma família contável F de funções contínuas f de um espaço
topológico X que é um espaço T1 em I I f tal que F distingue pontos e
conjuntos fechados, então pela Propriedade IV.1.12, X é homeomorfo a um
subespaço do espaço metrizável separável f I f (Teorema III.10.46), pela função
de avaliação e. Deste modo, a condição E é uma condição suficiente para que X
seja separável e metrizável (recordar II.8.26 (2), (3) e, que todo o subespaço de
um espaço métrico separável é um espaço separável). (2) Recordar também que
um espaço métrico é separável se e só se é um espaço C2, equivalentemente se
e só se é um espaço de Lindelöf; e que e que pelo Teorema III.9.46, todo o espaço
regular e C2 é normal. Portanto se X é um espaço T1, regular e C2, (i.e., se X
é T3 e C2) então X é um espaço T4 e C2.
IV.1.14 Teorema da metrizabilidade de Urysohn Todo o espaço topológico
T3 e C2 é homeomorfo a um subespaço do espaço produto I N e é portanto
metrizável.
Dem. Atendendo a IV.1.13 (1), basta mostrar que existe uma família contável
de funções contínuas de X em I que distingue pontos e conjuntos fechados. Seja B
uma base contável da topologia e seja A o conjunto dos pares ordenados
U, V ∈ B 2 tais que U ⊂ V. Uma vez que X é um espaço normal (IV.1.13 (2)) pode
aplicar-se o Lema de Urysohn (Teorema III.9.41); existe portanto uma função
contínua f : X → I verificando fU 0 e fV 1. A família F destas funções
distingue pontos e conjuntos fechados. Com efeito, se C é fechado, x ∈ X\C,
considerem-se V ∈ B e U ∈ B tais que x ∈ V ⊂ X\C, x ∈ U ⊂ V. Então U, V ∈ A e
considerando a correspondente função f em F, tem-se fx 0 ∉ 1 fC;
conclui-se também que F distingue pontos (cada singleton é um conjunto
fechado), c.q.d.
IV.1.15 Teorema Se o espaço topológico X é T3, são equivalentes:
(a) X é regular e C2.
(b) X é homeomorfo a um subespaço do espaço produto I N .
/c) X é separável e metrizável.
Dem. Conclui-se do Teorema IV.1.14, atendendo-se a IV.1.13.
-275-
IV.2 TEOREMAS COMPLEMENTARES
IV.2.1 Observações (1) Notar que na demostração do Teorem IV.4.14, a
hipótese de o espaço X (suposto um espaço T3) ser separável é utilizada na
consequência de que existe então uma base contável da topologia. Portanto o
espaço é normal e ainda, usando o Lema de Urysohn, pode obter-se uma família
contável F de funções contínuas f : X → I distinguindo pontos e conjuntos
fechados. X é assim homeomorfo a um subespaço do produto metrizável ( e
separável) n1 I n , I n I. Obtere-se ainda que a função
dx, y ∑ n1 2 −n ∣ f n x − f n y ∣ é uma métrica em X que define a topologia. (2)
Em se obtendo, no contexto de (1) mas ressalvando que o espaço X, suposto um
espaço T3, não é necesariamente separável, uma família contável F de funções
contínuas f n : X → X, n que distingue pontos e conjuntos fechados, pode
aplicar-se o Teorema IV.1.12. obtendo-se que X é metrizável.
IV.2.2 Num sentido que não segue exactamente IV.2.1, notemos que se a
classe contável F das funções f n pode obter-se de modo que em cada x ∈ X o
conjunto das funções f n que não se anulam em x é finito, então podem
considerar-se semi-métricas n x, y ∑ n1 ∣ f n x − f n y ∣. Aplicando o Teorema
IV.1.12, a função de avaliação e : X → n1 I n permite obter um homeomorfismo
de X na sua imagem, subespaço semi-métrico e o espaço X é metrizável.
IV.2.3 Definição Uma família A de subconjuntos de um espaço topológico
diz-se localmente finita se cada ponto do espaço tem uma vizinhança que
intersecta quando muito uma colecção finita de conjuntos em A.
-276IV.2.4 Observação Se a família A de subconjuntos de X, T é localmente
finita e x é um ponto de acumulação da reunião A : A ∈ A então cada aberto W
contendo x contém uma infinidade de pontos x n na reunião; portanto estes pontos
x n encontrando-se numa reunião finita A i : A i ∈ A, i 1, . . . , n para cada W,
vemos que x é ponto de acumulação de pelo menos certo A ∈ A. Logo tem-se
A : A ∈ A A : A ∈ A.IV.2.5 Exercício Verifique que se a família A de subconjuntos de X, T é
localmente finita, então a família constituída pelos fechos dos conjuntos em A é
também localmente finita.
IV.2.6 Definição A família A de subconjuntos de X, T diz-se discreta se
cada ponto do espaço tem uma vizinhança que encontra exactamente um conjunto
em A.
IV.2.7 Definição Uma família A de subconjuntos do espaço topológico X, T
diz-se que é -localmente finita (resp. -discreta) se é uma reunão contável de
famílias localmemt finitas (resp. discretas).
IV.2.8 Lema Se X é um espaço T1 tal que para cada subconjunto fechado
F e cada aberto W contendo F, existe uma sucessão de subconjuntos abertos
W 1 , W 2 , . . . de X verificando F ⊂ i1
W i e W i ⊂ W i 1, 2, . . . então X é um
espaço T4.
Dem. Dados os subconjuntos fechados disjuntos A, B de X, consideremos
F A, W X\B. Por hipótese, existem abertos W 1 ; W 2 , . . . tais que
1 ≡ A ⊂ i1
W i e B ∩ W i , i 1, 2, . . . Fazendo F B e W X\A obtemos
V i e
uma sucessão de conjuntos abertos V 1 , V 2 , . . . tal que 2 ≡ B ⊂ i1
A ∩ V i i 1, 2, . . . . Sejam então 3 ≡ G i W i \ j≤i V j e H i V i \ j≤i W j .
Os conjuntos G i , H i são abertos e atendendo a 1 e 2 tem-se A ⊂ U i1
G i ,
B ⊂ V i1 H i ; os abertos U, V são disjuntos. Com efeito, 3 mostra que
G i ∩ V j se j ≤ i, donde G i ∩ H j para j ≤ i. Analogamente H j ∩ W i i ≤ j e
G i ∩ H j se i ≤ j. Portanto G i ∩ H j i, j ∈ N e U ∩ V , completando a
demonstração, c.q.d.
-277IV.2.9 Lema Todo o espaço topológico T3 que tem uma base
-localmente finita é um espaço T4.
Dem. Consideremos uma base da topologia B i1
B i onde as famílias B i
são localmente finitas, do espaço X. Dado um qualquer aberto W ⊂ X, para cada
ponto x ∈ W existem (III.9.29) certo número natural ix e um aberto Ux ∈ B ix
tais que x ∈ Ux ⊂ Ux ⊂ W. Fazendo W i Ux : ix i para cada i,
obtemos uma sucessão de abertos W 1 , W 2 , . . . tal que W i1
W i . Atendendo a
IV.2.4, temos W i Ux : ix i Ux : ix i ⊂ W. Sendo portanto F
um subconjunto fechado de X contido em W, tem-se F ⊂ i1
W i , W i ⊂ W,
verifica-se a hipótese do Lema anterior e conclui-se o que se pretende, c.q.d.
IV. 2.10 Notar que dado um espaço produto n1 X, n , onde n é uma
semi-métrica em X para cada n, se dados x ≠ y, x, y ∈ X existe certa n verificando
n x, y 0 então o produto é um espaço topológico separado, e assim é um
espaço metrizável, como se conclui do Teorema IV.1.11 utilizando IV.1.10.
IV.2.11 Teorema Se o espaço topológico X é T3 e tem uma base
-localmente finita, então X é metrizável.
Dem. Seja B n1
B n uma base da topologia, cada B n uma família
localmente finita. Para cada par ordenado m, n ∈ N 2 e cada aberto U ∈ B m , seja
U B ∈ B n : B ⊂ U. Tal como na demonstração de IV.2,11, tem-se U ⊂ U,
pela hipótese para B. Assim,atendendendo a IV.2.11, pode aplicar-se o Lema de
Urysohn (Teorema III.9.41), e existe uma função contínua f U : X → I que vale 1
sobre U e se anula em X\U. Seja m,n x, y ∑∣ f U x − f U y ∣: U ∈ B m . A
colecção dos abertos B em B n tais que B ⊂ U, U ∈ B m , é finita, assim como é finita
a classe dos abertos U ∈ B m tais que x ∈ U, uma vez que ambas B n , B m são
localmente finitas. Deste modo cada m,n está bem definida e é uma semi-métrica
contínua m,n : X X → 0, . A classe das m,n é certamente contável, e o
espaço produto X m,n : m, n ∈ N, onde X m,n X, m,n é metrizável (IV.2.10).. A
família contável formada pelas funções Id m,n : X → X m,n distingue pontos e
conjuntos fechados.Pois se C é um subconjunto fechado de X e x ∉ C, então para
certos m, n e certo U ∈ B m tem-se x ∈ U ⊂ X\C (i.e., C ⊂ X\U) e existe B ⊂ U,
B ∈ B n sendo x ∈ B ⊂ U; então m,n x, y ≥ 1 para cada y ∈ C, e portanto
Id m,n x ∉ C m,n , o fecho de C no espaço factor X m,n X, m,n do espaço produto
metrizável X m,n : m, n ∈ N_Notar também que cada singleton em X é um
conjunto fechado_.Assim, atendendo a IV.1.12, X é homeomorfo a um subespaço
de X m,n : m, n ∈ N, donde (II.8.26) é um espaço metrizável, c.q.d.
Veremos de seguida que as condições em IV.2.11 são necessárias para
que X seja metrizável.
-278Recordar (III.11.67) que dadas coberturas C A : ∈ A e
D B : ∈ B do conjunto X, diz-se que C é um refinamento de D se para cada
conjunto A existe pelo menos certo B tal que B ⊃ A . Por exemplo, no espaço
métrico X, d a classe das bolas abertas de raio 1/2 é um refinamento aberto
(formado por conjuntos abertos) da cobertura de X constituída pelas bolas abertas
de raio 1. Certamente se C é um refinamento de D e C ∗ é um refinamento de D,
então C ∗ é um refinamento de D.
IV.2.12 Observação Se toda a cobertura aberta D de um espaço métrico X
tem um refinamento aberto -discreto C, podemos considerar para cada n ∈ N tal
que existem algum A ∈ C e certo x ∈ A verificando-se A ⊃ B 0 x, ⊃ B 0 x, 1/n, um
refinamento aberto -discreto B n de C (e portanto de D) formado por bolas abertas
de raio 1/n. Então B m : m ≥ n é uma base -discreta de X se D é uma base de X.
IV.2.13 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico X, d tem
um refinamento aberto -discreto.
Dem. Seja U uma cobertura aberta de X, d. Consideremos
U n x ∈ U : dx, X\U ≥ 2 −n , onde dx, C infdx, y : y ∈ C C ⊂ X. Se
x ∈ U n e z ∈ X\U n1 então para cada y ∈ X\U temos
2 −n−1 2 −n − 2 −n−1 ≤ dx, y − dy, z ≤ dx, z, donde
1 ≡ dU n , X\U n1 infdx, z : x ∈ U n , z ∈ X\U n1 ≥ 2 −n−1 . Podemos considerar
uma boa ordem na classe U (I.5.33). Para cada n 1, 2, . . . e cada U ∈ U seja
U ∗n U n \ V n1 : V ∈ U e V U. Então para cada n e cada U, V ∈ U verifica-se
U ∗n ⊂ X\V n1 se V U ou V ∗n ⊂ X\U n1 , no caso U V. Logo, atendendo a 1
tem-se dU ∗n , V ∗n ≥ 2 −n−1 . Sendo U on x ∈ X : dx, U ∗n 2 −n−3 , este conjunto é
aberto e, se x ∈ U on , z ∈ V on então do que precede tem-se x ∉ U ∗n logo, x ∈ V n1 ;
escolhendo y ∈ U ∗n ⊂ X\V n1 tem-se dy, z 2 −n−3 . Portanto
dx, z ≥ dx, y − dy, z ≥ 2 −n−1 − 2 −n−3 ≥ 2 −n−2 , e assim dU on , V on ≥ 2 −n−2 , donde para
cada n 1, 2, . . . tem-se que a classe dos conjuntos abertos U on é discreta. Seja
V U on : n ∈ N, U ∈ U V é uma cobertura aberta de X, pois se U ∈ U e x ∈ U
então x ∈ U on verifica-se para certo n. Tem-se U on ⊂ U pela definição de U ∗n , uma
vez que cada U n ⊂ U. V é portanto um refinamento aberto -discreto de U c.q.d.
Uma vez que toda a família -discreta é -localmente finita, obtemos, pelo
Teorema IV.2.11 e IV.2.12, o
IV.2.14 Teorema de Nagata-Smirnov Um espaço topológico X é metrizável
se e somente se X é um espaço T3 e tem uma base -localmente finita.
-279Provámos também o
IV.2.15 Teorema de Bing O espaço topológico X é metrizável se e só se é
um espaço T3 e tem uma base discreta.
Podemos resumir os resultados obtidos no
IV.2.16 Teorema As seguintes propriedades do espaço topológico X são
equivalentes:
(a) X é metrizável.
(b) X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -localmente finita.
(c) O espaço X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -discreta.
-280-
IV.3 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS
IV.3.1 Encontra-se em {Kaplansky] (2.4, THEOREM 12. p. 40) que todo o
conjunto infinito é reunião disjunta de subconjuntos numeráveis.
IV.3.2 Na referência acima, pelo THEOREM 13. (P. 41) cada conjunto
infinito A pode escrever-se como uma reunião A B C, onde os conjuntos A, B e
C têm o mesmo número cardinal.
IV.3.3 Sejam X, T um espaço topológico sem pontos isolados, B um
subconjunto fixo de X.
a Prove que a classe TB X PB é uma topologia sobre X (chamada a
B-topologia).
b Verifique que em X, TB,
i o conjunto B é formado por pontos isolados;
ii B é denso em X;
iii se TB D PX então B X;
iv se TB G , X então B
IV.3.4 Descreva a topologia sobre o plano cartesiano R 2 que tem como
subbase as rectas do plano.
IV.3.5 Prove que a intersecção finita de subconjuntos abertos densos do
espaço topológico X é um aberto denso em X.
IV.3.6 Dê exemplo de um espaço topológico em que todo o singleton é um
conjunto fechado e tendo a propriedade adicional de que a quaisquer dois abertos
não vazios têm intersecção não vazia.
IV.3.7 Prove que se X é um espaço topológico C1 separável, então todo o
subespaço topológico Y de X é tambáem separável.
IV.3.8 A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinal
dX da classe dos cardinais ∣ A ∣: A X. Prove que se f : X → Y é uma
sobrejecção contínua, então dY ≤ dX.
IV.3.9 Mostre que a função f : X, T X → Y, T Y é aberta se e somente se a
imagem de cada conjunto numa base de T X é um aberto em Y, T Y .
IV.3.10 Se o cardinal ≥ c entaõ o espaço produto R não é um espaço
normal ([Arkhangel’skii, Ponomarev], pp. 90, 117).
IV.3.11 Prove que se o espaço topológico X tem uma base constituída por
conjuntos simultãneamente abertos e fechados, então X é completamente regular.
IV.3.12 Mostre que se X é um conjunto infinito, então em X, C, C a topologia
cofinita,
a) todo o subconjunto de X é compacto;
b) cada subespaço infinito de X é denso em X.
-281IV.3.13 Prove que se X é um conjunto infinito e X, T é compacto separado,
então a cardinalidade de X não é menor que o contínuo.
IV.3.14 Seja X 1 ⊂ X 2 ⊂. . . uma sucessão de espaços topológicos, cada X i
fechado em X i1 . Considere a classe T dos subconjuntos U de X i1
X i tais
que U ∩ X i é aberto em X i para cada i 1, 2, . . .
(a) Mostre que T é uma topologia sobre X tal que cada X i é um subespaço
fechado de X, T;
(b) prove que uma função f : X → Y é contínua se e só se cada função
restrição f ∣X i : X i → Y é contínua.
(c) Prove que se cada subespaço X i é normal, então X, T é um espaço normal
(Sug: Dados A, B subconjuntos fechados disjuntos de X, estenda
f : X → 0, 1, fA 0 e fB 1 definida sobre A B ∩ X i para cada
i 1, 2, . . .
IV.3.15 Um espaço topológico X diz-se paracompacto se cada cobertura
aberta de X tem um refinamento aberto localmente finito (Certos autores, como por
exemplo [Bourbaki], incluem como parte da definição que X é um espaço de
Hausdorff). Verifica-se ([Munkres], Ch. 6, §41) que todo o espaço paracompacto é
normal.
IV.3.16 Prove que todo o subespaço fechado de um espaço paracompacto
é paracompacto.
IV.3.17 Encontra-se em [Munkres] (Ch. 6, §41) que se o espaço X é regular,
então aão equivalentes:
Toda a cobertura aberta de X tem um refinamento tal que
(1) é -localmente finito e é uma cobertura de X;
(2) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X;
(3) é localmente finito fechado (formado por conjuntos fechados) e é uma
cobertura de X;
(4) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X.
Conclua que todo o espaço topológico metrizável é paracompacto e
tem estas propriedades.
IV.3.18 O espaço produto R 0,1 não é paracompacto (IV.3.15 e IV.3.10).
IV.3.19 Uma base de um espaço topológico X diz-se regular ([Engelking],
5.4.2.) se para cada ponto x ∈ X e cada vizinhança U de x, existe uma vizinhança
V de x contida em U tal que a colecção dos conjuntos na base que encontram
ambos V e X\U é finita. Pelo Teorema de metrizabilidade de Arkhangel’skii, um
espaço topológico é metrizável se e somente se é um espaço T1 e tem uma base
regular.
-282IV. 3.20 Encontram-se em [Mill, Reed] numerosas questões de Topologia
Geral em aberto. Um espaço topológico X diz-se -bounded se o fecho de cada
subconjunto contável de X é um conjunto compacto. Utilizando o Teorema de
Arkhangelsl’skii em IV.3.19, os autores obtiveram em [Freire, Veiga] a resposta
afirmativa ao Problema: É consistente com Zermelo-Fraenkel que todo o espaço
de Hausdorff (C1) e numeravelmente compacto é -bounded?
-283-
BIBLIOGRAFIA DOS CAPÍTULOS III, IV
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