ESPAÇOS MÉTRICOS E ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Nuno C. Freire e M. F. Veiga Setembro 2010 ISBN 989-20-2175 i Prefácio A aplicação da Matemática, em que se consideram unicamente conceitos abstractos ao estudo da realidade Física, reflecte como o pensamento humano é moldado à existência material. Em Topologia obtem-se uma Teoria relativa aos conceitos de figura, pela caracterização da forma_ Figuras que podem obter-se uma da outra por uma deformação continuada são chamadas homeomorfas; homeomorfismo é um conceito fundamental em Topologia; e distinguem-se figuras formadas por "um só" ou "vários bocados"_ E de número, pela formulação geral rigorosa do conceito de limite. Assim em particular a Topologia é fundamental em Análise Matemática. Já da Antiguidade se recolhem os Elementos de Euclides, um primeiro exemplo de uma Teoria Axiomática. Esta obtem-se na dedução de propriedades feita a partir de outras e uma propriedade só é aceite como verdadeira_Um Teorema da Teoria_ Se foi demonstrada ou seja, se ficou provado que é consequência lógica de propriedades anteriores. Indispensável é assim a Lógica Matemática; esta assenta na distinção entre os valores lógicos Verdadeiro e Falso, e tem como Princípios fundamentais a não contradição (uma proposição não pode ser simultaneamente Verdadeira e Falsa) e o terceiro excluído (dada uma proposição, esta é Verdadeira ou é Falsa, não podendo dar-se outro caso). E a Teoria de Conjuntos, que dá corpo rigoroso a toda a Matemática, que teve avanços notáveis no séc. XIX. Este livro é inicialmente concebido como um texto para o estudante que lhe dá chão seguro para proseguir em Análise e, de forma geral para todo o Curso. A matéria é exposta na forma de exercícios resolvidos, recolhida de obras consagradas. Sugere-se ao leitor que vá seguindo as resoluções para de seguida, pouco a pouco, procurar por si resolver recorrendo quando necessário a uma solução exposta. Inicia com uma abordagem intuitiva de Teoria de Conjuntos e noções básicas de Lógica Matemática no Cap. I. Aconselha-se a leitura atenta deste Capítulo. Da experiência de um dos Autores, o Aproveitamento é muito melhor quando se começa pelos Espaços Métricos, expostos no Cap. II; assim se facilita o processo de abstracção. Np Cap. III trata-se a Topologia Geral. As matérias são desenvolvidas de modo a que excedem um Curso habitual de Topologia de um Semestre. Nomeadamente o Cap. IV não terá cabimento nesse âmbito. Para o estudo da Topologia incluímos no Cap. III o esboço de uma Axiomática rigorosa de Teoria de Conjuntos, baseada na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann que é adoptada pelo texto de referência [Dugundji]. Numa primeira abordagem (quiçá inevitavelmente para um primeiro Curso) é suficiente o Cap. I. Motivados pelo interesse no tema, apresentamos desenvolvimentos possivelmente apropriados para pós-graduação. São indicadas referências bibliográficas para o aprofundamento em Topologia, que esperamos possam ser úteis para Colegas interessados. ii ÍNDICE Prefácio ..................................................................................................i I I.1 I.2 I.3 RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES .......................................1 Relações numa variável e conjuntos ...............................................2 Relações binárias e funções .......................................................... 21 Axioma de Zermelo e produto cartesiano infinito Operação de Hilbert .......................................................... .............25 I.4 Funções associadas de conjuntos de uma função ........ .......... .... 26 I.5 Relações de equivalência e relações de ordem ............ .............. 29 I.6 O conjunto N. Noções de cardinalidade ......................... .............. 36 I.7 Filtros e ultrafiltros. Redes ..............................................................47 I. 8 Exercícios e complementos ............................................................ 54 Bibliografia do Capítulo I ................................................................ 57 II ESPAÇOS MÉTRICOS ................................................................ 58 II.1 Desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder e Minkowski .............59 II.2 Distância num conjunto. Espaço métrico. Sucessões convergentes .............................................................. 61 II.3 Vizinhanças de um ponto num espaço métrico ............................. 72 II.4 Métricas equivalentes .....................................................................75 II.5 Topologia de um espaço métrico .................................................. 80 II.6 Topologia de subespaço métrico. Separabilidade ......................... 97 II.7 Condições de cardinalidade em espaços métricos ...................... 103 II.8 Limite de uma função entre espaços métricos num ponto e continuidade ..............................................................................111 II.9 Métricas sobre o produto cartesiano de espaços métricos ......... 126 II.10 Espaços métricos completos. Categoria ................................ ....130 II.11 Separação em espaços métricos ................................................143 II.12 Compacidade em espaços métricos ...........................................144 II.13 Conjuntos conexos em espaços métricos .................................. 154 II. 14 Exercícios e complemantos ................................................ .... 161 Bibliografia do Capítulo II ...................................................... ... 164 iii III ESPAÇOS TOPOLÓGICOS .................................................................165 III.1 Uma axiomática da teoria de conjuntos.. Números ordinais e números cardinais ...................................................166 III.2 Espaço topológico e base de uma topologia .........................................178 III.3 Vizinhanças de um ponto .......................................................................185 III.4 Subespaços topológicos ........................................................................ 188 III.5 Conjuntos fechados. Definição da topologia pelo operador de fecho ....190 III.6 Conjuntos notáveis associados a um conjunto no espaço topológico ...192 III.7 Convergência no espaço topológico .....................................................197 III.8 Limites e continuidade .......................................................................... 201 III.9 Separação ............................................................................................ 210 III.10 Topologia produto e topologia ccociente. Espaços completamente regulares. Obtenção de topologias ...................................................................... 221 III.11 Compacidade .......................................................................................239 III.12 Conjuntos conexos ...............................................................................257 III. 13 Exercícios e complementos .................................................................268 IV IV.1 IV.2 IV.3 METRIZABILIDADE ..............................................................................270 Espaços topológicos metrizáveis separáveis .......................................271 Teoremas complementares ................................................................. 275 Exercícios e complementos ................................................................. 280 Bibliografia dos Capítulos III, IV ........................................................... 283 -1- I RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES -2I.1 RELAÇÕES NUMA VARIÁVEL E CONJUNTOS Uma relação Rx numa variável x ∈ U (x pertence a U) é uma expressão em que figuram palavras da linguagem comum, acrescidas ou não de sinais ou símbolos matemáticos, que se transforma numa afirmação (proposição) para cada valor atribuido à variável x, percorrendo o conjunto U. Neste Cap. I não distinguimos entre os conceitos de colecção ou classe de entes, e o conjunto que constituem; o que é tema de III.1. em que expomos uma teoria axiomática de conjuntos, a que seguimos neste livro. Podem ocorrer numa Teoria matemática, relações numa variável x, que envolvam apenas símbolos matemáticos e a variável x. Sempre que não é claro no contexto, deve indicar-se expressamente o conjunto de valores que se considera para a variável, escrevendo Rx x ∈ U. I.1.1 Exemplos (1) Rx ≡ x é divisível por 3 x ∈ N é uma relação em x, considerada para x variando no conjunto dos números naturais N 1, 2, . . . ; (2) Rx ≡∣ x ∣ 1 x ∈ R é uma relação na variável x percorrendo o conjunto R dos números reais; (3) Rz ≡∣ z ∣ 1 z ∈ C é uma relação em C, o conjunto dos números complexos; (4) Rp ≡ p ∈ Q p ∈ N 0 é uma relação na variável p, onde p varia no conjunto dos inteiros não negativos N 0 (Q representa o conjunto dos números racionais). I.1.2 Observações (1) A cada conjunto dado A, podemos associar a relação correspondente x ∈ A, que é uma relação na variável x. No entanto, uma relação numa variável pode não definir nenhum conjunto. Aceitamos os princípios do terceiro excluido e da não contradição (uma proposição é verdadeira ou é falsa, e não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente) da Lógica Clássica, e conclui-se facilmente que a relação x ∉ x não define nenhum conjunto: se A é o conjunto dos elementos x tais que x ∉ x, suponhamos A ∈ A; então A ∉ A, de modo que não pode ser A ∈ A, pelo princípio da não contradição. Pelo princípio do terceiro excluído, deve ter-se portanto A ∉ A; mas então A ∈ A, pela definição do conjunto A, o que não pode ser, de novo pelo princípio da não contradição. (2) O aluno já terá distinguido que expressões como " x ∉ x" , " x ∈ x" , serão ”absurdas”. Esta última, por exemplo porque uma vez conceptualizado um conjunto X, há que distinguir o conjunto dos elementos que lhe pertencem, e que são exactamente os objectos que satisfazem a relação x ∈ X. Deste modo deve escrever-se 1 ∈ 0, 1, 4 no lugar de 1 ∈ 0, 1, 4, ∈ em vez de ∈ ; em ambos os casos, se X é um conjunto formado por elementos a, b, u, escrevemos X a, b, u por exemplo. (A relação Rx ≡ x ∈ x ∈ N não é ”absurda”, recorde-se, mas uma relação impossível pois não é verificada por nenhum número natural). Questões como estas inserem-se na Teoria da Lógica Matemática aprofundada, e neste curso aceitaremos tacitamente axiomas de regularidade (numa Teoria Matemática, aceitam-se como verdadeiras certas hipóteses sem necessidade de demonstração, que se chamam axiomas), que dão lugar aos conceitos e notações habituais em Teoria dos Conjuntos. -3I.1.3 Substituições numa relação Se Rx x ∈ U é uma relação em x, e c ∈ U, diz-se que a proposição Rc é obtida por substituição da variável x pela constante c I.1.4 Os valores lógicos V, F Segundo os princípios do terceiro excluido e da não contradição, a cada proposição P corresponde ou o valor lógico V, se a proposição é verdadeira, ou o valor lógico F, se é falsa; e não pode ocorrer um terceiro caso. Para simplificar, escreve-se P V, P F respectivamente no primeiro (segundo) caso. I.1.5 Exercício Em cada um dos exemplos (1),...,(4) anteriores, determine o valor lógico das proposições R4 e R1. (Note que 1, 4 pertencem ao conjunto relativo à variável em cada exemplo). Resolução (1) R1 F. R4 F. (2) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F. (3) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F. (4) R1 ≡ 1 ∈ Q 1 ∈ Q V. R4 ≡ 4 ∈ Q 2 ∈ Q V. I.1.6 Formação de novas relações e tabelas de verdade Sendo Rx, Sx duas relações numa variável x percorrendo um mesmo conjunto U, então para cada substituição de x por uma constnte c ∈ U a proposição Rc ou Sc pode não significar o mesmo que Rc, nem que Sc. A proposição Rc ou Sc, ou mais geralmente R ou S, em que R, S são quaisquer proposições, designa-se por R ∨ S, neste caso Rc ∨ Sc. Uma vez que podemos considerar a proposição Rc ∨ Sc para cada valor da constante c tomada em U, faz sentido considerar a relação Rx ∨ Sx x ∈ U. Analogamente, dadas Rx, Sx, ambas relações em x ∈ U pode considerar-se a relação Rx e Sx, que se representa por Rx ∧ Sx. E assim como dada uma proposição R podemos considerar a sua negação, que notamos ~R, a negação da relação Rx x ∈ U é a relação ~Rx x ∈ U, sendo ~Rc a negação da proposição Rc, para cada substituição da variável x pela constante c fixada em U. Importante é também saber se uma relação Rx implica uma relação Sx, para a variável x tomando valores em U. Isto é verdade sse (abreviatura de ”se e só se”) para cada substituição da variável x por um elemento c ∈ U, as proposições obtidas Rc, Sc respectivamente verificam Rc Sc isto é, se sempre que se dá Rc V então tem-se Sc V; escreve-se neste caso Rx Sx x ∈ U. Rx, Sx são equivalentes quando Rx Sx e reciprocamente Sx Rx, nota-se então Rx Sx. Frequentemente, interessa ter informação sobre o valor lógico de uma proposição, ou de uma relação numa variável, obtida a partir de outras por utilização dos símbolos lógicos ∨, ∧, ~, , não apenas no caso em que a proposição obtida é verdadeira (ou a proposição obtida por substituições numa relação), para estudar um problema; para isso utilizam-se as tabelas de verdade do cálculo proposicional, que indicam a variação dos valores lógicos. -4I.1.7 Tabelas de verdade da disjunção, conjunção, negação, implicação e equivalência Q P ∨ Q P ∧ Q ~P P Q P Q V V V F V V F V F F F F V V F V V F F F F V V V I.1.8 Exemplos (1) Sabendo-se que uma disjunção P ∨ Q V, e que P F, pode inferir-se pela observação da tabela, que Q V; (2) Se soubermos que uma implicação P Q é verdadeira (i.e, P Q V, e portanto se verifica o caso da 1ª linha, ou os casos da 3ª ou 4ª linhas da tabela de verdade), e que o consequente Q da implicação é Q F, podemos concluir que P F pela observação da tabela. P V V F F I.1.9 Observação As tabelas de verdade aplicam-se também a relações, indicando-se o conjunto em que se considera a variável. Para uma relação Rx x ∈ U, põe-se Rx V x ∈ A se Rc V para cada subtituição da variável por qualquer constante c ∈ A ⊂ U. Por exemplo x 2 0 x ∈ R é falsa, e x 2 0 x ∈ R\0 é verdadeira. Também x 2 1 x 1 x ∈ R é falsa, e x 2 1 x 1 x ∈ R 0 é verdadeira, onde R 0 é o conjunto dos números reais não negativos. Para significar que duas relações Rx, Sx x ∈ U têm o mesmo valor lógico (i.e., para cada substituição da variável por uma constante c, as proposições Rc, Sc têm o mesmo valor lógico, Rc Sc), escreve-se Rx Sx. Por exemplo as relações em x ∈ N, Rx ≡ x é divisível por 4, e Sx ≡ x é divisível por 2 ,verificam Rx ∨ Sx Sx, Rx ∧ Sx Rx. Diz-se que as proposições R, S (respectivamente as relações em x, Rx, Sx) são equivalentes sse R S (respectivamente Rx Sx) I.1.10 Exemplo Dadas quaisquer proposições R, S, as tabelas de verdade de R S e de ~R ∨ S mostram que R S ~R ∨ S: R V V F F S V F V F ~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ S F V V V F F F V V V V V V V V V Uma proposição que assume sempre o valor lógico V diz-se uma tautologia. Assim R S ~R ∨ S é uma tautologia. R ∨ S S ∨ R, R ∧ S S ∧ R são tautologias -5I.1.11 Exercícios (1) Verifique usando uma tabela de verdade, que ~ ~R R é uma tautologia. (2) Mostre que são tautologias, utilizando tabelas de verdade: (i) R R ∨ S; (ii) R ∧ S R; (iii) R S R S ∧ S R; (iv) R T ∧ S T R ∨ S T; (v) H T ~T ~H; (vi) R S ∧ R T R S ∧ T. (vii) R S ~R ∨ S. (3) Utilizando o exercício anterior, pode concluir que se R, S 0 são relações na variável ∈ R , onde R é o conjunto dos números reais positivos, então as implicações (i) R R ∨ S e (ii) R ∧ S R são verdadeiras? Porquê? (4) Sendo x 0 ∈ a, b A ⊂ R, 0, (i) determine o maior subconjunto E de R tal que R ≡ x 0 − , x 0 ⊂ A é verdadeira, com x 0 ab , para todo o ∈ E. 2 (ii) indique um valor de x 0 tal que, para qualquer 0, sejam verdadeiras simultãneamente x 0 − , x 0 ∩ A ≠ , x 0 − , x 0 ∩ A c ≠ . (A c R\A é o conjunto complementar de A em R). Resolução (1) R ~R ~ ~R V F V F V F Uma vez que R, ~ ~R assumem sempre o mesmo valor lógico, conclui-se que ~ ~R R é uma tautologia. (2) (i) R S R ∨ S R R ∨ S V V V V V F V V F V V V F F F V (ii) R S R ∧ S R ∧ S R V V V V V F F V F V F V F F F V -6(iii) R S R S R S S R R S ∧ S R V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V Uma vez que os valores lógicos nas 3ª e última coluna coincidem, conclui-se a tautologia. (iv) R S T R ∨ S R T S T R T ∧ S T R ∨ S T V V V V V V V V V V F V F F F F V F V V V V V V V F F V F V F F F V V V V V V V F V F V V F F F F F V F V V V V F F F F V V V V Uma vez que sempre que o antecedente R T ∧ S T na penúltima coluna é verdadeiro, também o consequente R ∨ S T na última coluna é verdadeiro, concluimos que a implicação R T ∧ S T R ∨ S T é verdadeira. (v) H T ~H ~T H T ~T ~H V V F F V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Uma vez que os valores lógicos de H T, ~T ~H coincidem nas 5ª e 6ª colunas coincidem, conclui-se que H T ~T ~H. (vi) R S T S ∧ T R S R T R S ∧ R T R S ∧ T V V V V V V V V V V F F V F F F V F V F F V F F V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F V V V V F F V F V V V V F F F F V V V V Coincidindo os valores lógicos nas duas últimas colunas, conclui-se a equivalência. (vii) R S ~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ S V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V -7(3) Sim, porque para cada substituição de por uma constante 0 , as implicações R 0 R 0 ∨ S 0 e R 0 ∧ S 0 R 0 são verdadeiras ((2),(i),(ii)). (4) (i) O maior valor de para o qual ab − , ab ⊂ a, b é o maior 0 tal 2 2 ab ab b−a que ab − ≥ a ∧ ≤ b 0 ≤ − a ∧ ≤ b−a ; é portanto b−a . 2 2 2 2 2 2 b−a Conclui-se 0, 2 . (ii) x 0 a. I.1.12 Cálculo Proposicional e obtenção de conjuntos. Dados conjuntos X, Y definidos respectivamente por relações Rx, Sx, obtêm-se X Y x : Rx ∨ Sx x : x ∈ X ∨ x ∈ Y (”x :” leia-se ”x tal que”), X ∩ Y x : Rx ∧ Sx x : x ∈ X ∧ x ∈ Y e Y\X x : Sx ∧ ~Rx x ∈ Y : x ∉ X, onde x ∉ Y significa ~x ∈ Y. Se se consideram todos os conjuntos, como subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, nota-se apenas X c no lugar de U\X. Mais geralmente, se A 1 , . . . , A n são conjuntos, a reunião (resp. intersecção) finita dos conjuntos A k k 1, . . . , n é o conjunto A k (resp. A k ) definido por k ∈ Sn k ∈ Sn A k x : x ∈ A 1 ∨. . . ∨x ∈ A n k ∈ Sn ( A k x : x ∈ A 1 ∧. . . ∧x ∈ A n ) k ∈ Sn Para cada n ∈ N, S n é a secção de índice n de N, S n 1, . . . , n. I.1.13 Observação De I.1.11 (1) concluimos que se A é um subconjunto de um conjunto universo U, tem-se A c c U. I.1.14 Exemplos (1) N 0 0, 1, 2, . . . N 0. (2) Se k ∈ N, representa-se kN 0 0, k, 2k, 3k, . . . , e para cada p ∈ N, kN p k p, 2k p, 3k p, . . . . Com k 3, obtem-se 3N 0 p N, 3N 0 p . p ∈ S3 p ∈ S3 I.1.15 Definição Se X ≠ , Y ≠ , o par ordenado x, y (x ∈ X, y ∈ Y) pode definir-se como sendo o conjunto x, x, y x, y. Obtem-se então o conjunto produto cartesiano de X por Y, X Y x, y : x ∈ X, y ∈ Y. O produto cartesiano X X representa-se também por X 2 . De modo análogo, sendo X 1 , . . . , X m conjuntos não vazios, m ∈ N, define-se o produto cartesiano m X 1 . . . X m k1 X k x 1 , . . . , x m : x k ∈ X k , k 1, . . . , m Nota-se X 1 . . . X m X m se X k X k 1, . . . , m, para cada m ∈ N 2 , onde N 2 2, 3, . . . . Exemplos (1) O plano cartesiano real é o produto cartesiano R 2 . (2) i, −1, −i, 1 ∈ C 4 , onde C é o plano complexo. -8I.1.16 Exercícios (1) Mostre que dados conjuntos não vazios A, B, C, D tem-se: (i) A C D A C A D; (ii) A B C A C B C (iii) A C ∩ D A C ∩ A D; (iv) A ∩ B C ∩ D A ∩ C B ∩ D. (2) Mostre que se R, S são proposições, a) verificam-se as leis de De Morgan: ~R ∨ S ~R ∧ ~S e ~R ∧ S ~R ∨ ~S são tautologias. (Utilize uma tabela de verdade grande); b) se P, A, B são proposições, (i) P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B; (ii) P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B; c) verifique também utilizando uma tabela de verdade, que pode trocar-se em b) (i), (ii) ∧ ∨ obtendo outras equivalências. d) Conclua de b) e a) que se P, R, S são proposições, então (i) P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S; (ii) P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S. (3) Determine : (i) 4N 0 p (ii) 4N 0 p (iii) 2N ∩ 4N. p ∈ S4 p ∈ S4 (4) Determine as intersecções, e interprete graficamente: (i) x, x 2 : x ∈ R ∩ x, x 4 : x ∈ R 0 ; (ii) x, 2x 1 : x ∈ R ∩ x, x 2 : x ∈ R; (iii) x, x 3 : x ∈ R ∩ x, x : x ∈ R 0 ; (iv) e it : t ∈ 0, 2 ∩ z ∈ C : Rez Imz, onde Rez x, Imz y para z x iy ∈ C. Resolução (1) (i) x, y ∈ A C D x ∈ A ∧ y ∈ C D x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ A ∧ y ∈ D x, y ∈ A C ∨ x, y ∈ A D x, y ∈ A C A D; (ii) x, y ∈ A B C x ∈ A B ∧ y ∈ C x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C x, y ∈ A C ∨ x, y ∈ B C x, y ∈ A C B C; (iii) x, y ∈ A C ∩ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ A ∧ y ∈ D x, y ∈ A ∩ C A ∩ D; (iv) x, y ∈ A ∩ B C ∩ D x ∈ A ∩ B ∧ y ∈ C ∩ D x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ B ∧ y ∈ D x, y ∈ A ∩ C B ∩ D. -92 a) R S ~R ~S R ∨ S R ∧ S ~R ∨ S ~R ∧ ~S ~R ∧ S ~R ∨ ~S V V F F V V F F F F V F F V V F F F V V F V V F V F F F V V F F V V F F V V V V Como os valores lógicos das colunas 7ª e 8ª (resp. 9ª e 10ª) coincidem, concluem-se as leis de De Morgan. b) (i) P A B A ∧ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B V V V V V V V V V V F F V F F F V F V F F V F F V F F F F F F F F V V V F F F F F V F F F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F Coinicidindo as duas últimas colunas, conclui-se a equivalência (ii) P A B A ∨ B P ∧ A ∨ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∨ P ∧ B V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F Como a 5ª coluna coincide com a última, conclui-se a equivalência. c) P A B A ∨ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F V V F V V F F V V F V V V F F F F F F F F Uma vez que as duas últimas colunas coincidem, concluimos a equivalência P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B. -10A equivalência restante é P ∨ A ∧ B P ∨ A ∧ P ∨ B: P A B A ∧ B P ∨ A ∧ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∧ P ∨ B V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F Como a 4ª e a última coluna coincidem, conclui-se a equivalência. d) (i) Fazendo A ≡ ~R e B ≡ ~S, concluimos de 1 a) e b) (i) que P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ ~S P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S, desde que provemos que se P 1 P 2 então P ∧ P 1 P ∧ P 2 . Determinando então as tabelas de verdade: P P1 P2 P ∧ P1 P ∧ P2 V V V V V V V F V F V F V F V V F F F F F V V F F F V F F F F F V F F F F F F F Verifica-se que quando P 1 , P 2 têm o mesmo valor lógico, nas 1ª, 4ª, 5ª e última linhas, também P ∧ P 1 , P ∧ P 2 assumem o mesmo valor lógico. Ou seja: se P 1 P 2 , então também P ∧ P 1 P ∧ P 2 . (ii) Utilizando o resultado provado em (2) b) (i) P 1 P 2 P ∧ P 1 P ∧ P 2 , (uma vez sabido que uma implicação P Q é verdadeira, podemos utilizar este resultado, e designá-lo escrevendo P Q directamente), obtemos de (1) a), b) (ii): P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ ~S P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S, como queríamos. (3) (i) Para cada p 1, 2, 3, 4, tem-se: 4N 0 p é o conjunto dos números naturais, cujo resto da divisão por p 1, 2, 3 é p, e zero para p 4. Uma vez que cada número natural verifica pelo menos um destes casos, obtem-se (i) 4N 0 p N. p ∈ S4 Como nenhum número natural verifica dois destes casos simultãneamente, tem-se também (ii) 4N 0 p . p ∈ S4 -11(iii) Sendo todo o múltiplo de 4 um múltiplo de 2, tem-se 2N ∩ 4N 4N. (4) (i) O par ordenado x, y pertence à intersecção dos dois conjuntos sse a ordenada y é da forma y x 2 x 4 , onde x ∈ R, x 0. A única raiz real positiva de x 2 x 4 sendo x 1, concluimos que a intersecção é o conjunto 1, 1. 2 (ii) Para x ∈ R, tem-se 2x 1 x 2 x 2 − 2x − 1 0 x 2 2 ; deste modo a 2 2 intersecção procurada é 2 − 2 , 5 − 2 , 2 2 , 5 2 . (iii) 0, 0, 1, 1. (iv) e it cos t i sin t verifica cos t sin t 0 ≤ t 2 sse t a intersecção procurada é 2 2 i 2 2 ,− 2 2 −i 2 2 4 ∨t 5 4 , portanto . I.1.17 Axiomas da selecção e da extensão e inclusão de conjuntos. I.1.18 Axioma da selecção A relação Rx na variável x define um conjunto A se existe um conjunto E tal que Rx x ∈ E. Põe-se então A x : Rx. I.1.19 Inclusão de conjuntos Se X, Y são conjuntos, pomos X ⊂ Y sse a implicação x ∈ X x ∈ Y é verdadeira. Diz-se então que X é um subconjunto de Y. Em particular, tem-se sempre X ⊂ X. I.1.20 Axioma da extensão Sendo Rx, Sx relações numa variável satisfazendo o axioma da selecção, A x : Rx, B x : Sx, tem-se A B sse Rx Sx. I.1.21 Observações (1) Destes dois axiomas, o axioma da extensão parece ”óbvio” mas é aceitando-os em Teoria dos conjuntos, que podemos utilizar os conceitos intuitivos habituais, lidando com conjuntos e relações. Em particular, resulta deste último axioma e da definição de inclusão de conjuntos, que dados conjuntos A, B, tem-se A B A ⊂ B ∧ B ⊂ A. (as tabelas de verdade mostram imediatamente que, dadas proposições P, Q, tem-se P Q P Q ∧ Q P). -12(2) Notando que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer relação impossível, por exemplo x : Sx com Sx ≡ x ≠ x, ou, sendo Rx uma relação num conjunto, x : Rx ∧ ~Rx, ( duas relações impossíveis são equivalentes, pois assumem o valor lógico F para qualquer substituição da variável por uma constante), reconhece-se, pondo, para cada conjunto X, X x : x ∈ X que X \ X . Também X \ x : x ∈ X ∧ ~x ≠ x x : x ∈ X ∧ x x x : x ∈ X X. (3) Uma vez que Rx ∨ Rx Rx, Rx ∧ Rx Rx para qualquer relação Rx, tem-se X X X, X ∩ X X para cada conjunto X. (4) Das equivalências Rx ∨ Sx Sx ∨ Rx, Rx ∧ Sx Sx ∧ Rx (as tabelas de verdade mostram imediatamente que dadas proposições R, S tem-se R ∨ S S ∨ R e R ∧ S S ∧ R, (ver I.1.6), concluimos que X Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y ∨ x ∈ X Y X e X ∩ Y Y ∩ X para quaisquer conjuntos X, Y. (5) Se P Q, então P ∨ Q Q é uma tautologia. Para o verificar, utilizando uma tabela de verdade, basta verificar se, em cada linha tal que P Q V, as colunas de P ∨ Q, Q assumem o mesmo valor lógico; o que é o mesmo que, supondo a hipótese P Q, constatar que P ∨ Q, Q são equivalentes: Q P Q P∨Q V V V F F V V V V F V F São os casos da 1ª e 3ª,4ª linhas. Podemos concluir que se Rx, Sx são relações na variável x, tais que Rx Sx então Rx ∨ Sx Sx e, pondo para cada conjunto X, X x : x ∈ X, que se X ⊂ Y então X Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y Y. Analogamente, a tabela de verdade mostra que se R S, então R ∧ S R e portanto se X ⊂ Y, tem-se X ∩ Y X. P V V F F I.1.22 Exemplo Se X, Y são subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, tem-se: x ∈ X Y c x ∈ U ∧ ~x ∈ X Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ X c ∧ x ∈ Y c x ∈ X c ∩ Y c , donde X Y c X c ∩ Y c . (Utilizando o Ex. 1.1.16 (1) d) (i).). I.1.23 Exercícios (1) Prove que se X, Y ⊂ U então X ∩ Y c X c Y c . (2) No que segue, supomos todos os conjuntos sendo subconjuntos de um mesmo conjunto U. Prove que: (i) A ⊂ A B e B ⊂ A B; (ii) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B; (iii) A ⊂ B B c ⊂ A c ; (iv) A ⊂ B A ∩ B c ; -13(3) Se X é um conjunto, diz-se que A 1 , . . . , A p é uma partição de X sse cada A i ⊂ X , A i ∩ A j sempre que i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ p e A i X. i ∈ Sp Prove que se p é um número natural, então pN 0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N. (4) Mostre que para quaisquer conjuntos A, B, C tem-se (i) C \ A B C \ A ∩ C \ B; (ii) C \ A ∩ B C \ A C \ B. (5) Prove que A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ sse A B ⊂ A ′ B ′ . Resolução (1) x ∈ X ∩ Y c x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∩ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ X c Y c , o que prova a igualdade. (Utilizámos o anterior Ex. 1.1.16 (1) d) (ii)). (2) (i) Uma vez que a tabela de verdade de mostra que P P ∨ Q (verifique que é uma tautologia), encontra-se: x ∈ A x ∈ A ∨ x ∈ B; isto prova, pela definição de A B, que A ⊂ A B. Uma vez que P ∨ Q Q ∨ P é uma tautologia, obtem-se A B B A, e a inclusão B ⊂ A B conclui-se da demonstração anterior. (ii) Tem-se P ∧ Q P e P ∧ Q Q (verifique estas tautologias; note que o símbolo " " separa proposições formadas por outras utilizando os símbolos " ∨" ," ∧" ). Então x ∈ A ∩ B x ∈ A ∧ x ∈ B x ∈ A, donde A ∩ B ⊂ A e analogamente A ∩ B ⊂ B. (iii) Suponhamos A ⊂ B; então x ∈ A x ∈ B, e se x ∉ B (i.e., se x ∈ B c ), não pode portanto ser x ∈ A, donde x ∉ A; assim x ∉ B x ∉ A, i.e. B c ⊂ A c . Como ~ ~P P, tem-se A c c A, B c c B, e da inclusão provada conclui-se B c ⊂ A c A ⊂ B, provando a equivalência. (iv) Suponhamos A ⊂ B i.e., x ∈ A x ∈ B. Então se x ∈ A não pode verificar-se x ∉ B; assim nenhum x verifica x ∈ A ∧ x ∈ B c donde A ∩ B c . Reciprocamente, se A ∩ B c , e se x ∈ A, não pode ser x ∈ B c , x ∉ B; conclui-se que se x ∈ A então x ∈ B, i.e., A ⊂ B. (3) O resto da divisão por p de um número natural n é zero (caso em que n ∈ pN 0 p), ou um número m, 1 ≤ m p; desta forma, N pN 0 m m ∈ Sp porque pN 0 m 1 ≤ m ≤ p é exactamente o conjunto dos números naturais, cujo resto da divisão por p é m. Se 1 ≤ m, m ′ ≤ p e m ≠ m ′ então pN 0 m ∩ pN 0 m ′ ; assim pN 0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N. (4) Notar que substituindo o conjunto universal U, por qualquer conjunto C, nos anteriores Exemplo, e Ex (1), o essencial da demonstração se aplica, (X A e Y B) obtendo-se as igualdades (i), (ii). (Isto mostra que o caso A, B ⊂ U anteriormente considerado, é um caso particular). (5) A B ⊂ A ′ B ′ x, y ∈ A B x, y ∈ A ′ B ′ x ∈ A x ∈ A ′ e y ∈ B y ∈ B ′ sse A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ . -14I.1.24 Exercícios (1) Mostre que se X, Y são conjuntos, (i) X ⊂ X Y; (ii) X ∩ Y ⊂ X. (Sug: I.1.11, (2) (i), (ii). (2) Utilizando o axioma da extensão e a técnica em I.1.20, (2)...(5), prove que: a) (i) X ∩ Y ∩ Z X ∩ Y Z; (ii) X Y Z X Y Z. (Sug: I.15 b), c)); b) (i) X ∩ Y Z X ∩ Y X ∩ Z; (ii) X Y ∩ Z X Y ∩ X Z. (Sug: I.1.15 b), c)). c) (i) A relação " X ⊂ Z e Y ⊂ Z" é equivalente a X Y ⊂ Z. (Sug: I.1.11, (2) ((iv)). (ii) A relação " Z ⊂ X e Z ⊂ Y" é equivalente a Z ⊂ X ∩ Y. (Sug: I.1.11, (2) (vi)). Resolução (1) (i) Uma vez que x ∈ X x ∈ X ∨ x ∈ Y, concluimos X x : x ∈ X ⊂ x : x ∈ X ∨ x ∈ Y X Y. (ii) Tendo-se x ∈ X ∧ x ∈ Y x ∈ X conclui-se X ∩ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ⊂ x : x ∈ X X. (2) a) (i) X ∩ Y ∩ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z X ∩ Y ∩ Z; (ii) X Y Z x : x ∈ X ∨ X ∈ Y ∨ x ∈ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z X Y Z. b) (i) X ∩ Y Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Z X ∩ Y X ∩ Z; (ii) X Y ∩ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ X ∨ x ∈ Z X Y ∩ X Z. c) (i) x ∈ X x ∈ Z ∧ x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∨ x ∈ Y x ∈ Z, donde se conclui que X ⊂ Z ∧ Y ⊂ Z X Y ⊂ Z; (ii) x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Z x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Y e conclui-se Z ⊂ X ∧ Z ⊂ Y Z ⊂ X ∩ Y. -15I.1.25 Exercícios (1) Prove que para quaisquer conjuntos A, B, C, D se tem: (i) A A \ B A ∩ B e A \ B ∩ A ∩ B ; (ii) A \ B A \ A ∩ B A B \ B; (iii) A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C; (iv) A \ B \ C A \ B C; (v) A \ B \ C A \ B A ∩ C; (vi) A \ B ∩ C \ D A ∩ C \ B D. (2) Prove que: a) A \ B A se e só se A ∩ B ; b) A \ B B A B \ B se e só se B . c) A ⊂ B A ∩ B A A B B. (Sug: Verifique, utilizando uma tabela de verdade, que se P, Q são proposições, Q uma tautologia, então P P ∧ Q (faça sempre V na coluna de Q) e portanto, se R é uma relação impossível, P ∧ ~R P; e que se Q é uma relação impossível então P ∨ Q P. Pode utilizar (1) (ii) para (2) a), b). Resoluções (1) (i) Uma vez que dadas proposições P, Q se tem P P ∧ ~Q ∨ Q, conclui-se a propriedade correspondente para relações numa variável, obtendo-se x ∈ A x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ B, donde se conclui A A \ B A ∩ B pelo princípio de extensão. A relação em x, x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B é equivalente à relação impossível x ∉ B ∧ x ∈ B que define assim o conjunto . Portanto A \ B ∩ A ∩ B , pelo axioma da extensão. (ii) Dadas proposições P, Q tem-se P ∧ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ P ∧ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∧ Q donde se conclui A \ B A \ A ∩ B. Também P ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q (esta última equivalência porque os valores lógicos de P ∨ ~Q ∧ ~Q e de ~Q são sempre o mesmo, já que se S R então R ∧ S S, como mostram as 1ª, 3ª e 4ª linhas da tabela de verdade), donde podemos concluir A \ B A B \ B. (iii) x ∈ A ∩ B \ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∨ ~x ∈ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∧ x ∈ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∩ C x ∈ A ∩ B \ A ∩ C, onde a terceira equivalência se justifica porque se P, Q, R são proposições tais que P Q e Q R, então as proposições P ∧ Q e P ∧ R são equivalentes, como mostra a tabela de verdade nas 1ª, 5ª, 7ª e 8ª linhas (fazer P ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B, Q ≡ x ∉ C, R ≡ x ∉ A ∨ x ∉ C): P Q R P Q Q R P∧Q P∧R V V V V V V V V V F V F V F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V F F F V F V F F F F F V V V F F F F F V V F F e assim A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C. -16(iv) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A \ B C (v) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C x ∈ A \ B A ∩ C. (vi) x ∈ A \ B ∩ C \ D x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ D x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ D x ∈ A ∩ C ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ D x ∈ A ∩ C \ B D. (2) a) Por (1), (ii) tem-se A \ B A \ A ∩ B. Logo se A ∩ B , A \ A ∩ B A \ A (se Sx é uma relação impossível, então ~Sx é uma relação sempre verdadeira, e x ∈ A ∧ ~Sx x ∈ A). Portanto se A ∩ B tem-se A \ B A. Reciprocamente, se A ⊂ A \ A ∩ B então tem-se x ∈ A x ∈ A ∧ ~x ∈ A ∩ B V; a tabela de verdade mostra que, dadas proposições P, Q, se Q pode tomar o valor lógico F, então P P ∧ Q não toma sempre o valor lógico V. Portanto tem de se verificar ~c ∈ A ∩ B V para cada substituição de x pela consante c, i.e, c ∈ A ∩ B F e x ∈ A ∩ B deve ser uma relação impossível, i.e., A ∩ B . b) Utilizando (1), (ii) A B \ B A \ B. A igualdade referida é portanto a igualdade de conjuntos A \ B B A \ B, que é verdadeira se B , pois então B x : Sx, onde Sx é uma relação impossível, donde se verifica a equivalência x ∈ A \ B ∨ Sx x ∈ A \ B (se S F então P ∨ S P para qualquer proposição P). Reciprocamente, a inclusão A \ B B ⊂ A \ B só se verifica se B ⊂ A \ B, porque dadas proposições P, Q, P ∨ Q P só assume o valor lógico V quando Q P toma o valor lógico V. Então tem de ser x ∈ B x ∈ A ∧ ~x ∈ B, donde x ∈ B ~x ∈ B, e por isso tem de ser sempre c ∈ B F para cada substituição de x pela constante c, i.e., x ∈ B é impossível e B . c) Dadas proposições P, Q tem-se: P Q P ∧ Q P é uma tautologia, como se verifica pela tabela de verdade; assim A ⊂ B A ∩ B A. Também a proposição P Q P ∨ Q Q é uma tautologia, donde se conclui que A ⊂ B A B B. I.1.26 Quantificação Vimos que dada uma relação numa variável Rx x ∈ E, a substituição de x por uma constante c em E, transforma a relação Rx na proposição Rc. Sendo A ⊂ E, podemos considerar as proposições ”para cada x ∈ A, Rx”, significando que todos os objectos x ∈ A, satisfazem a relação Rx, e ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx”, significando que existe pelo menos um objecto x em A que verifica Rx. A proposição ”para cada x ∈ A, Rx”, ou doutro modo, ”para qualquer x ∈ A, Rx”, ou ainda ”para todo o x ∈ A, Rx” escreve-se ∀x ∈ A, Rx, ou também ∀x ∈ A Rx. Convém, para clareza, muitas vezes, colocar Rx entre parêntesis, pondo ∀x ∈ ARx, e pode escrever-se também Rx ∀x ∈ A, utilizando ou não os parêntesis. A proposição ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx” escreve-se ∃x ∈ A, Rx, com a mesma ressalva para o uso de parêntesis. As proposições assim obtidas, a partir de uma relação numa variável, dizem-se proposições quantificadas, e ”∀”, ”∃” são respectivamente os quantificadores universal, e existencial. Um outro quantificador, é o que afirma a existência de um único elemento num dado conjunto, verificando a relação. Escreve-se então ∃ 1 x, Rx se o conjunto em que x varia está subentendido, ou ∃ 1 x ∈ A, Rx (∃ 1 x ∈ ARx). -17I.1.27 Exemplos (1) Dada a relação Rx ≡ x 2 2 x ∈ R, podem considerar-se as proposições quantificadas ∀x 0x 2 2 F, ∃x ∈ Rx 2 2 V; ∀x ∈ −, 2 2 , x 2 2, verdadeira, ∀x ∈ N 2 x 2 2, verdadeira; assim como ∃ 1 x ∈ 1, 2x 2 2 V, ∃ 1 x ∈ Qx 2 2 F. (2) Como vemos no exemplo acima, no primeiro e no terceiro casos, o mesmo quantificador pode formar uma proposição falsa a partir da mesma relação numa variável, quantificando a variável num conjunto, mas verdadeira quantificando noutro conjunto. I.1.28 Exercício Dadas as seguintes relações numa variável, indique quais das proposições quantificadas são verdadeiras ou falsas: (1) Rx ≡ 3 x ∈ Q x ∈ R (i) ∀x, Rx; (ii) ∃x ∈ Z 3 x ∈ Q; (iii) ∀x ∈ −1, 0, 1 Rx. (2) Rx ≡∣ x ∣ a x a x ∈ R (i) ∀x 0∣ x ∣ a x a (ii) ∃ 1 x, ∣ x ∣ a x a (iii) ∀x, Rx (3) R ≡ 2 0 (i) ∀ 0, 1 2 ; (ii) ∀ ∈ 0, 1R; (iii) ∃ ∈ −1, 1R. Resolução (1) (i) ∀x ∈ R 3 x ∈ Q F, pois por exemplo 2 ∈ R, 3 2 ∉ Q. (ii) V (considere-se x 8) (iii) V (2) (i) V; (ii) F; (iii) F (3) (i) V; (ii) F; (iii) V I.1.29 Exercício Sendo 0 1 fixo, indique quais das proposições seguintes são verdadeiras, ou falsas: n a) ∃ n ∈ N0 1n ; b) ∀ n ∈ N 1n ; c) n1 ∀n ∈ N. Resolução a) V; b) F; c) F. -18I.1.30 Observações (1) Quando se consideram proposições compostas por diversas proposições quantificadas, a indicação, que deve constar em cada uma destas proposições quantificadas, da variável que se quantifica e do respectivo conjunto, permite ler a proposição obtida considerando de cada vez em cada uma, os símbolos relativos a variáveis que não as quantificadas em cada proposição, como constantes. Em Análise real, segundo a definição do limite u de uma sucessão u n , recorde-se que u lim u n s e só se é verdadeira a proposição quantificada ∀ 0∃ p ∈ Nn ≥ p ∣ u n −u ∣ . (2) Em expressões envolvendo mais que uma proposição quantificada, a ordem pela qual são feitas as quantificações respeitantes é importante. Por exemplo considerando a proposição quantificada acima, a proposição ∃ p ∈ N∀ 0n ≥ p ∣ u n − u ∣ significa que u n é constante e igual a u a partir de uma ordem p; esta proposição é falsa se nu nu considerarmos u ≠ 0, u n n2 , mas lim n2 u segundo a definição. I.1.31 Exercícios (1) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras ou falsas: (i) ∀ a ∈ 0, 1∃ 0Ia, ⊂ 0, 1, onde Ia, a − , a ; (ii) ∀ a ∈ 0, 1∃ 0Ia, ⊂ 0, 1; (iii) ∃ a ∈ 0, 2 ∩ 0, 1∀ 0Ia, ⊂ 0, 2 ∩ 0, 1; (iv) ∃ a ∈ 0, 1∀ 0Ia, ⊂ 0, 1; (v) ∃ 0∀a ∈ 0, 1Ia, ⊂ 0, 1; (vi) ∀x ∈ R∀ 0∃ n ∈ N 1n ∣ x ∣ ; (vii) ∀x ∈ R∃ n ∈ N∀ 0 1n ∣ x ∣ ; n 1 n1 (viii) ∀ n ∈ N n1 n ; 1 (ix) ∀ a ∈ Ra n ∀ n ∈ N a ≤ 0; (x) ∀x ∈ N∀ 0∃ y ∈ R ∣ x − y ∣ ∀x ∈ N∀ 1∃ b ∈ R 1 ∣ bx ∣ (2) Indique, justificando, quais das seguintes proposições são ou não verdadeiras: a) ∃ a ∈ Z∀ m ∈ Za m 0; b) ∀ m ∈ Z∃ a ∈ Za m 0; c) ∃ ∈ Q∀ q ∈ Qq q q. Resolução (1) (i) F (a 1; (ii) V; (iii) F; (iv) F; (v) F ; (vi) V; (vii) F; (viii) V; (ix) V; (x) V (ambas as proposições são verdadeiras). -19(2) a) F. (O elemento m que satisfaz a m 0, para cada a ∈ Z considerado, é único, m −a). b) V. c) V ( 1). I.1.32 Propriedade Seja Rx x ∈ X uma relação numa variável. Pelo significado da proposição ∀x, Rx, ”para todo o x, verifica-se Rx”, a sua negação é a proposição ”existe pelo menos um x que não verifica Rx”. Obtem-se assim a propriedade da negação do quantificador universal, ~∀x, Rx ∃x, ~Rx. A negação de ”existe pelo menos um x tal que Rx” é ”para todo o x, ~Rx”, i.e., ~∃x, Rx ∀x, ~Rx. Para a negação de uma implicação ∀x, Px Qx, atendendo a que Px Qx ~Px ∨ Qx, e portanto ~Px Qx ~~Px ∨ Qx ~~Px ∧ ~Qx Px ∧ ~Qx, obtem-se ~∀x, Px Qx ∃x, Px ∧ ~Qx. Analogamente, ~∃x, Px Qx ∀x, Px ∧ ~Qx. I.1.33 Exemplos (1) A negação de ∃x ∈ R, x 2 −1 é ∀x ∈ R, x 2 ≠ −1. (2) Se x n é uma sucessão real, a ∈ R, a negação de lim x n a é ~∀ 0, ∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ x n − a ∣ , portanto é a proposição ∃ 0, ~∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ x n − a ∣ ∃ 0, ∀p ∈ N, ∃n ∈ N, n ≥ p ∧∣ x n − a ∣≥ . I.1.34 Exercícios (1) Negue as proposições quantificadas: (i) ∀m ∈ Z, m 2 m; (ii) ∃q ∈ Q, q 2 2; (iii) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x 2 y 2 x y. (2) Explicite em linguagem lógica que a sucessão real u n não é um infinitamente grande positivo. (3) Sendo f uma função real da variável real, exprima logicamente que não se verifica lim x→0 fx 1. Resoluções (1) (i) ∃m ∈ Z, m 2 ≤ m; (ii) ∀q ∈ Q, q 2 ≠ 2; (iii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x 2 y 2 ∧ x ≤ y. (2) A negação de ∀ 0, ∃p ∈ N ∀n ∈, n ≥ p u n 1 é ∃ 0, ∀p ∈ N ∃n ∈ N, n ≥ p ∧ u n ≤ 1 . (3) Trata-se de negar a proposição ∀ 0, ∃ 0 ∀x ∈ R, ∣ x ∣ ∣ fx − 1 ∣ . Obtem-se ∃ 0, ∀ 0 ∃x ∈ R, ∣ x ∣ ∧∣ fx − 1 ∣≥ . -20I.1.35 Definição Se C X : ∈ A é uma classe não vazia de conjuntos, indiciada num conjunto de índices A, dizemos que C é uma família de conjuntos. A reunião generalizada (resp. intersecção generalizada) da classe é o conjunto C X : ∈ A x : ∃ ∈ A, x ∈ X (resp. C X : ∈ A x : ∀ ∈ A, x ∈ X ). Se todos os conjuntos X são subconjuntos de um mesmo conjunto X, A , põe-se X : ∈ A e X : ∈ A X. I.1.36 Observações (1) Admitimos o Axioma da reuniâo: Para qualquer classe de conjuntos C, existe sempre o conjuto C. (2) Pelas definições tem-se X : ∈ A ⊂ X ⊂ X : ∈ A para cada ∈ A. (2) Se X : ∈ A é tal que cada X verifica A ⊂ X ⊂ B então tem-se A ⊂ X : ∈ A e X : ∈ A ⊂ B I.1.37 Exercício Determine as intersecções e reuniões generalizadas: (i) −n, 1 : n ∈ N (ii) 0, 1 − 1n : n ∈ N; (iii) −q. q : q ∈ Q (iv) −q, q : q ∈ Q (v) − 1n , 1n : n ∈ N (vi) 1 − 1n , 1 1n : n ∈ N. I.1.38 Resolução (i) x ∈ R : ∃n ∈ N, −n x ≤ 1 −, 1; (ii) x ∈ R : ∃n ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1 − 1n 0, 1; (iii) R; (iv) 0; (v) x ∈ R : ∀n ∈ N, − 1n x 1n 0; 1 − 1n x 1 1n , ∀n ∈ N x 1, 1 − 1n , 1 1n : n ∈ N 1. I.1.39 Definição Se X, Y são conjuntos não vazios, diz-se que uma parte não vazia ⊂ X Y do conjunto produto cartesiano X Y, é uma relação de X para Y. Se x, y ∈ , nota-se também xy. Por exemplo, com X N, Y Q, n, 1n : n ∈ N é uma relação de N para Q. Tem-se 11, 2 12 , 23 231 , etc. Se A é um conjunto, representamos PA W : W ⊂ A o conjunto das partes de A. Sendo X ≠ , Y ≠ , X Y é uma relação de X para Y tal que ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, xy; PX PY é uma relação de PX para PY tal que ∀A ⊂ X∀B ⊂ Y, A B. I.1.40 Exercício Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira: (i) x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V 2 para PV; (ii) x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V V para V. Resolução (i) é verdadeira, pois cada par ordenado x, y ∈ V 2 verifica x, yV sse x, y, V é um par ordenado tal que x, y ∈ V, onde V ∈ PV. (ii) é falsa. -21 I.2 RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES I.2.1 Definição Se X Y ≠ uma relação d e X para Y diz-se uma relação binária em X; assim uma relação binária em X é uma parte não vazia do produto cartesiano X 2 . Por exemplo x 0 y sse ∃ m ∈ Ny x m uma relação binária em R tal que 1, 1 ∈ 0 , 1, 2 ∉ 0 , 2, 4, 2, 8, 2, 16 ∈ 0 . Também a 1 b sse b 2a é a relação binária em N, 1 1, 2, 2, 4, 3, 6, . . . . I.2.2 Definição (1) Se a relação f de X para Y verifica a propriedade de cada elemento de X estar na relação com exactamente um elemento de Y, i.e., se x, y ∈ f ∧ x, y ′ ∈ f y ′ y, dizemos que f é uma função de X em Y ou uma aplicação de X em Y; nota-se y fx sse x, y ∈ f. Em I.2.1, 0 não é função, 1 é uma função de N em N. O conjunto das funções de X em Y nota-se Y X . (2) Se X é um conjunto não vazio, uma sucessão em X é uma função u : N → X, habitualmente designada pondo u u n , u n : n u n . O conjunto das sucessões em X é portanto o conjunto X N . I.2.3 Se f é uma função de X em Y, nota-se f : X → Y, x fx y sempre que x, y ∈ f. Se X é um conjunto, ≠ A ⊂ X, e f ⊂ A Y é uma função, deve notar-se f : A ⊂ X → Y. O conjunto A x ∈ X : ∃ fx x ∈ X : ∃ y, x, y ∈ f é o domínio da função f, e representa-se por dom f. O conjunto y ∈ Y : ∃ x ∈ dom f, x, y ∈ f é chamado o conjunto imagem de f, codomínio ou contradomínio ou conjunto imagem de f, e representa-se por Imf ou fX.. 1 I.2.4. Exemplo Para a função fx senx deve pôr-se 1 f : R \ k : k ∈ Z ⊂ R → R. O domínio de senx é A R \ k : k ∈ Z e o codomínio é fA R \ −1, 1. I.2.5 Definição Se f : X → Y é uma função, ≠ A ⊂ X, então x, fx : x ∈ A é uma função de A em Y, que se chama a função restrição de f a A. A função restrição de f a A representa-se por f ∣ A. -22I.2.6 Definição A função f : X → Y diz-se injectiva se ∀x, x ∈ Xfx fx ′ x x ′ ; sendo ≠ A ⊂ X, f é injectiva em A sse a função restrição de f a A é injectiva. Também se diz então que f é uma injecção de A em Y. f diz-se que é sobrejectiva, ou que é uma sobrejecção de X em Y, sse fX Y, i.e., sse todo o elemento de Y é imagem de um elemento de X. Para significar que f é uma função sobrejectiva de X em Y, diz-se também que f é uma função de X sobre Y. Se f : X → Y é injectiva, então fx, x : x ∈ X é uma função de fX em X, chamada a função inversa da função f, e que se represnta por f −1 ; dizemos então que f admite uma inversa e, se f é injectiva e sobrejectiva dizemos que f é invertível com inversa f −1 . A função f −1 inversa de f : X → Y é a função f −1 : Y → X definida por f −1 y, x : fx y, x ∈ X, y ∈ Y fx, x : x ∈ X, f −1 y x sse fx y. Se f é injectiva e sobrejectiva, diz-se que f é bijectiva, ou que é uma bijecção. ′ I.2.7 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a aplicação I : A → X, Ix x diz-se a aplicação de inclusão; I é injectiva. A aplicação I A : A → A, I A x x, que se chama a identidade de A, é uma bijecção. m (2) Dado um produto cartesiano de conjuntos k1 X k , cada aplicação m pr k : k1 X k → X k , pr k x 1 , . . . , x m x k k 1, . . . , m diz-se a projecção de índice k. pr k é sobrejectiva, não é injectiva em geral. I.2.8 Exercício Determine subconjuntos A, B de R \ 0, 1 e de Q respectivamente, tais 1 que a função restrição da função f : R \ 0, 1 → Q, fx Ix 2 , onde Ix ”maior inteiro m ≤ x” é a função característica de x, a A, (i) admita uma inversa; (ii) seja invertível de A em B. Resolução (i) A N; (ii) A N, B n12 : n ∈ N. I.2.9 Exercício a) Esboce no plano cartesiano R 2 as relações binárias (i) M x, y ∈ R 2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1; (ii) e x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ 1; (iii) S x, y ∈ R 2 :∣ x ∣ ∣ y ∣≤ 1; (iv) M x, y ∈ R 2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣ 1; (v) e x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 1; (vi) S x, y ∈ R 2 :∣ x ∣ ∣ y ∣ 1. (vii) f x, x 2 : x ∈ R. (Sug: para (i), (iv), considere as rectas y x 1). b) Indique, justificando, quais das relações binárias anteriores são, ou não, funções. c) Mostre que M −1, 1 2 . -23Resoluções b) Apenas f em (vii) é uma função, pois em cada uma das outras alíneas, tem-se por exemplo 0, −1, 0, 1 ∈ , designando por a respectiva relação binária. c) Tem-se ∣ a ∣≤ 1 a ∈ −1, 1 a ∈ R, e assim x, y ∈ M max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1 x, y ∈ −1, 1 2 . I.2.10 Observação Considerando uma relação numa variável Rx x ∈ A, pode suceder que a cada x ∈ A tal que Rx V corresponda um único elemento bem determinado y. Pode então considerar-se a relação em duas variáveis Rx, y definida por Rx, y V sse y verifica Rx, e não é inteiramente óbvio que exista um conjunto não vazio B tal que Rx, y seja uma relação de A para B; se B existe, então R ⊂ A B, R é uma relação de A para B e é uma função f : A → B. Aceitamos o seguinte axioma, que assegura que existe B. Axioma da substituição Sejam A um conjunto e Rx, y uma relação em duas variáveis. Se para cada x ∈ A, existe um único y que verifica Rx, y, existe uma função f de domínio A tal que y fx é equivalente a x ∈ A ∧ Rx, y. I.2.11 Definição Dadas funções f : X → Y, g : Y → Z, diz-se função composta de g com f, ou composição de g com f, ou ainda função g após f, e representa-se por gof, a função gof : X → Z definida por gofx z sse fx y e gy z, ou seja, gof x, z ∈ X Z : ∃y ∈ Y, x, y ∈ f ∧ y, z ∈ g. Nota-se gofx gfx x ∈ X. Se h : Z → W é outra função, define-se analogamente hogof : X → W que se representa por hogof, hogofx hgfx x ∈ X e o mesmo para a composição de funções em qualquer número finito. I.2.12. Observação Se f : X → Y, g : Imf → Z são funções injectivas, então a função gof : X → Img é bijectiva, e tem-se gof −1 f −1 og −1 . Com efeito, para cada z ∈ Img, f −1 g −1 z f −1 y x sse gy z, fx y sse gofx z, e dom f −1 og −1 dom gof −1 . I.2.13 Exemplo Para cada função f : X → Y tem-se foI X x fI X x fx x ∈ X e assim foI X f. Também I Y fx fx x ∈ X donde I Y of f. I.2.14 Exercícios (1) Prove que: a) Se f : X → Y é bijectiva, então f −1 of I X e fof I Y . b) Se f : X → Y, g : Y → X são tais que gof I X e fog I Y , então existe f −1 g. (2) Se dadas f : X → Y, g : Y → X se verifica gof I X então g é sobrejectiva e f é injectiva. −1 -24Resoluções (1) a) Para cada x ∈ X é f −1 fx x 0 se fx 0 fx por definição de f −1 e então x 0 x ( f é injectiva) e f −1 fx x I X x. Coincidindo f −1 of com I X em cada ponto x ∈ X, e tendo as duas funções o mesmo domínio, concluimos que f −1 of I X . Qualquer que seja y ∈ Y, tem-se fof −1 y fx sse f −1 y x sse fx y. Assim fof −1 y y I Y y para cada y ∈ Y, e tendo ambas fof −1 , I Y domínio Y e coincidindo em cada ponto, conclui-se que fof −1 I Y . b) Mostremos que f é injectiva e sobrejectiva. Se fa fb, a, b ∈ X então pela hipótese gfa gofa I X a a e gfb gofb I X b b donde a b e f é injectiva. Para cada y ∈ Y, tem-se também pela hipótese fgy fogy y, donde o elemento x gy ∈ X tem imagem fx y por f e f é sobrejectiva. Tem-se: para cada y ∈ Y, gy x fx fogy I Y y y e fx y gy gofx x. Portanto gy x sse fx y, e como domg Y concluimos que g f −1 . (2) Para cada x ∈ X, tem-se gfx gofx I X x x; pondo fx y, existe portanto y ∈ Y tal que gy x, o que mostra que g é sobrejectiva. f é ínjectiva, pois para cada a, b ∈ X, fa fb a gfa gfb b. I.2.15 Definição Se u u n é uma sucessão em X e : N → N, k k n k é uma função tal que k k ′ n k n k ′ (estritamente crescente), diz-se que a sucessão v k obtida pela composição v k uo : N → N é uma subsucessão de u n . Designa-se habitualmente v k u n k . I.2.16 Exemplos (1) 1/2k − 1 é a subsucessão da sucessão 1/n que corresponde à função estritamente crescente k 2k − 1. (Subsucessão 1/3, 1/5, 1/7. . . dos termos de ordem ímpar) (2) As sucessões 1/3, 1/3, 1/5, 1/7, . . . e 1/3, 1/7, 1/5, 1/9, 1/13, 1/11, . . . não são subsucessões de 1/n. I.2.17 Observação Pela definição em I.1.15, se X 1 , . . . , X m m ∈ N são conjuntos não vazios, e representarmos uma função f : S m 1, . . . , m → X X k : k 1, . . . , m m pondo f f1, . . . , fm, então k1 X k é o conjunto destas m −sequências, e pode identificar-se com o conjunto das funções f ∈ X 1,...,m tais que fk ∈ X k para cada k 1, . . . , m ( fk corresponde à coordenada−k da m −sequência). -25I.3 AXIOMA DE ZERMELO E PRODUTO CARTESIANO INFINITO OPERAÇÃO DE HILBERT I.3.1 Definição Sendo X : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos não vazios, o produto cartesiano da classe é, designando X ∈A X , o conjunto das funções f ∈ X A tais que f ∈ X para cada ∈ A. Representamos este conjunto por ∈A X ; cada f ∈ pode representar-se por f x , onde x f ∈ A. Se A N, notamos k1 X k , f x k k 1, 2, . . . para cada f ∈ k1 X k . Os x ∈ A são as coordenadas de x . Para cada ∈ A, a função p : → X , p x x que faz corresponder a x a coordenada− de x diz-se a projecção de índice . X é, para cada índice ∈ A, o conjunto das coordenadas−. I.3.2 Observação Se em I.3.1 o conjunto de índices A é uma classe não vazia de conjuntos não vazios M e, para cada M ∈ M, o conjunto das coordenadas-M é M, então M∈M M é, pela definição, o conjunto das funções x : M → M : M ∈ M tais que xM x M ∈ M para cada conjunto M ∈ M. Estas funções são chamadas as funções de escolha para M, e não é inteiramente óbvio que exista, pelo menos uma tal função de escolha. Aceitamos o seguinte axioma da Teoria de Conjuntos, que é equivalente a ser M∈M M ≠ . I.3.3 Axioma da Escolha de Zermelo. Se C é uma classe não vazia constituída por conjuntos não vazios, existe uma função : C → C : C ∈ C tal que C ∈ C para cada conjunto C ∈ C. A função chama-se o selector de Zermelo; escolhe em cada conjunto C da classe C um elemento C do qual se sabe apenas que C ∈ C. I.3.4 Símbolo de escolha de Hilbert. Dada uma relação numa variável Rx tal que ∃x, Rx é verdadeira, pode fixar-se uma vez por todas um dos objectos que verificam Rx, e se designa por x Rx. A operação de Hibert, que consiste em obter x Rx para cada relação Rx tal que ∃x, Rx é verdadeira, dá um processo de obter uma constante a partir de uma relação não impossível numa variável. Aceitando-a, como fazemos, fica implícito que aceitamos também o Axioma de Zermelo, como se prova em Lógica Matemática. -26I.4 FUNÇÕES ASSOCIADAS DE CONJUNTOS DE UMA FUNÇÃO I.4.1 Definição Se f : X → Y é uma função, podemos considerar as funções f : PX → PY, definida por f A fx : x ∈ A A ⊂ X, e f − B x ∈ X : fx ∈ B, f − : PY → PX, associadas a f. f diz-se a função associada de conjuntos directa de f, e a função f − chama-se a função associada de conjuntos inversa de f. Põe-se f , f − . I.4.2 Observação A função associada de conjuntos inversa de f existe sempre, ainda que f não admita uma inversa. Sempre que não haja risco de confusão, representamos f A fA, f f e f − B f −1 B, f − f −1 . 1 não é injectiva, é I.4.3 Exemplos (1) A função f : −1, 1 ⊂ R → R , fx 1−∣x∣ 1 1 1 1 sobrejectiva. Tem-se f0 1; f−1, 1, 2 2 , 3 ; f 3 , 2 32 , 2. (2) Para a função característica Ix tem-se I−1, 1 0, 1; IR Z. Esta função I : R → R não é injectiva nem sobrejectiva. (3) Sendo f : Q → R, fs s 2 verifica-se fQ ⊂ Q, fZ ⊂ N 0 . Verifica-se também que fZ \ 0 ⊂ N, f−1, 1 0, 1. (4) Sendo X i : i ∈ I uma classe de conjuntos, subconjuntos de um conjunto universo X, Y j : j ∈ J uma classe de subconjuntos de Y, e f : X → Y uma função, tem-se: y ∈ f∩X i : i ∈ I ∃x ∈ ∩X i : i ∈ I, y fx ∀i ∈ I∃x ∈ X i y fx ∀i ∈ Iy ∈ fX i y ∈ ∩fX i : i ∈ I. Portanto f∩X i : i ∈ I ⊂ ∩fX i : i ∈ I. Notar que a inclusão recíproca não é verdadeira,.i.e. pode suceder ∩ fX i : i ∈ I ⊈ f∩X i : i ∈ I, como mostra o contra-exemplo f0 0, fx sin 1x x ≠ 0: tem-se f−1, 0 ∩ 0, 1 0, f−1, 0 ∩ f0, 1 −1, 1. No entanto, para a função associada de conjuntos inversa, tem-se −1 x ∈ f ∩Y j : j ∈ J ∃y ∈ ∩Y j : j ∈ J, fx y ∃y ∈ Y∀j ∈ Jy ∈ Y j ∧ fx y ∀j ∈ J, x ∈ f −1 Y j x ∈ ∩f −1 Y j : j ∈ J, e assim f −1 ∩Y j : j ∈ J ∩f −1 Y j : j ∈ J. I.4.4 Exercícios (1) Com f : R → R, fx x 4 , determine: a) (i) f1; (ii) f−1, 1; (iii) f−1, 1; (iv) fR; (v) fR \ 0, 12 (vi) f0, . b) (i) f −1 0; (ii) f −1 −1; (iii) f −1 Q 2 ; (iv) f −1 0, ; (v) f −1 1, (vi) f −1 −2, . (2) Mostre que nas hipóteses de I.4.3 (4), tem-se: a) fX i : i ∈ I fX i : i ∈ I; b) f −1 Y j : j ∈ J f −1 Y j : j ∈ J. (3) Mostre que se f : X → Y é uma função, então f é injectiva de e só se ∀A, B ⊂ X, fA ∩ B fA ∩ fB. (4) Prove que se f : X → Y é uma função, A ⊂ B ⊂ X, A ′ ⊂ B ′ ⊂ Y, então tem-se fA ⊂ fB e f −1 .A ′ ⊂ f −1 B ′ . (5) Seja f : X → Y uma função. Mostre que: a) se f é injectiva, a função associada de conjuntos directa de f é injectiva; b) se f é sobrejectiva, então a função associada de conjuntos directa é sobrejectiva. -27(6) Prove que sendo f : X → Y uma função, A ⊂ X, B ⊂ Y, tem-se: a) A ⊂ f −1 fA; b) se f é injectiva, então f −1 fA ⊂ A; c) f é injectiva se e só se ∀A ⊂ X, f −1 fA A. d) B ⊃ ff −1 B e, se f é sobrejectiva, então B ⊂ ff −1 B (7) Mostre que se f : X → Y é uma função, A, B ⊂ X, a) fB \ fA ⊂ fB \ A; b) se f é sobrejectiva, então fA c ⊂ fA c ; c) se f é injectiva, então fB \ A ⊂ fB \ fA e fA c ⊂ fA c ; d) a função f é bijectiva se e só se ∀A ⊂ X, fA c fA c . Resoluções (1) Com f : R → R, fx x 4 tem-se: a) (i) f1 f1 1; (ii) f−1, 1 fx : x ∈ −1, 1 1; (iii) (iv) f−1, 1 fx : −1 ≤ x ≤ 1 x 4 : −1 ≤ x ≤ 1 0, 1; fR x 4 : x ∈ R 0, ; (v) fR \ 0, 12 x 4 : x ≤ 0 ∨ x 12 0, ; (vi) f0, x 4 : x 0 0, . (ii) b) (i) f −1 0 x ∈ R : x 4 0 0; −1 4 −1 f −1 x ∈ R : x −1 ; (iii) f Q 2 x ∈ R : x 4 ∈ Q ∨ x 4 2 x ∈ R : x 4 ∈ Q; (iv) f −1 0, x ∈ R : x 4 ≥ 0 R (v) f −1 1, x ∈ R : x 4 1 1, ; (vi) f −1 −2, x ∈ R : x 4 −2 R. (2) a) y ∈ fX i : i ∈ I ∃x ∈ X i : i ∈ I, fx y ∃i ∈ I, x ∈ X i , fx y ∃i ∈ I, y ∈ fX i y ∈ fX i : i ∈ I. b) x ∈ f −1 Y j : j ∈ J fx ∈ Y j : j ∈ J ∃j ∈ J, fx ∈ Y j x ∈ f −1 Y j : j ∈ J. (3) Supondo f injectiva, consideremos y ∈ fA ∩ fB. Pela definição, tem-se então y fa, a ∈ A ∧ y fb, b ∈ B; então fa fb, o que implica a b ∈ A ∩ B e portanto y ∈ fA ∩ B e tem-se assim fA ∩ fB ⊂ fA ∩ B. Como é sempre fA ∩ B ⊂ fA ∩ fB por I.4.3 (4), cocluimos que se f é injectiva então fA ∩ B fA ∩ fB. Reciprocamente, assumindo esta igualdade para todos os A, B ⊂ X temos: para cada a, b ∈ X, se fa fb então fa fa ∩ fb fa ∩ b donde a b e f é injectiva. (4) A ⊂ B ∀x, x ∈ A x ∈ B ∀y, y ∈ fA ∃x ∈ A, y fx ∃x, x ∈ B, y fx ∀y, y ∈ fA y ∈ fB fA ⊂ fB. Também se A ′ ⊂ B ′ então ∀x, x ∈ f −1 A ′ fx ∈ A ′ fx ∈ B ′ ∀x, x ∈ f −1 A ′ x ∈ f −1 B ′ f −1 A ′ ⊂ f −1 B ′ . (5) a) Mostremos que se f é injectiva e fA ⊂ fB então A ⊂ B, donde se conclui o resultado. Supondo que para todo o a ∈ A se verifica fa ∈ fB, i.e., existe b ∈ B tal que fa fb, concluimos a b e assim a ∈ B e portanto A ⊂ B. b) Sendo B ⊂ Y temos: se B , então B f, ∈ PX; se B ≠ , e f é sobrejectiva, então para cada b ∈ B existe pelo menos um a ∈ X tal que fa b, a ∈ f −1 b ⊂ f −1 B. Portanto o conjunto A b∈B f −1 b ⊂ X satisfaz a condição de, para cada b ∈ B, existir pelo menos um a ∈ A com fa b ou seja, B ⊂ fA; como obviamente fA ⊂ B conclui-se fA B e f : PX → PY é sobrejectiva. -28(6) a) pois x ∈ A fx ∈ fA; b) suponhamos f injectiva; se então x ∈ f −1 fA tem-se fx ∈ fA pela definição e, de novo pela definição, fx fa, a ∈ A. Concluimos x a ∈ A e portanto f −1 fA ⊂ A. c) Das alíneas a), b) concluimos que se f é injectiva, então para cada A ⊂ X, A f −1 fA. Reciprocamente, se esta inclusão é verdadeira, consideremos a, b ∈ X tais que fa fb; então a, b f −1 fa, b f −1 fa, fb f −1 fa a o que implica a b e f é injectiva. d) Pelas definições, y ∈ ff −1 B sse y fx para algum x ∈ f −1 B i.e., tal que fx ∈ B, o que mostra que então y ∈ B; portanto B ⊃ ff −1 B. Supondo que f é sobrejectiva, seja b ∈ B. Existe pelo menos um x ∈ X verificando fx b, o que implica x ∈ f −1 b ⊂ f 1 B (pela (4)), e então b fx ∈ ff −1 B o que mostra que B ⊂ ff −1 B. (7) a) Seja y ∈ fB \ fA. Então ∃b ∈ B, y fb ∧ ∀a ∈ A, y ≠ fa o que implica ∃b ∈ B \ A, y fb e portanto y ∈ fB \ A e fB \ fA ⊂ fB \ A; b) por a), fA c Y \ fA fX \ fA ⊂ fX \ A fA c ; c) y ∈ fB \ A ∃x ∈ B \ A, fx y ∃x ∈ B \ A, fx y ∧ y ∉ fA y ∈ fB \ fA pois sendo f injectiva, y não é imagem de nenhum outro elemento, a não ser x ∈ B; não pode ser y fa, a ∈ A porque isto implicaria a b ∉ A o que é impossível. Concluimos assim a inclusão. Fazendo B X obtemos fA c fX \ A ⊂ fX \ fA ⊂ Y \ fA fA c ; d) Pelas alíneas anteriores concluimos que se f é bijectiva então fA c fA c . Reciprocamente, se esta igualdade se verifica, então fX f c f c c Y e f é sobrejectiva. Também f é injectiva, pois se b ≠ a então b ∈ a c e fb ∈ fa c fa c , o que mostra que fb ≠ fa. I.4.5 Observação Dadas funções f : X → Y, g : Y → Z encontra-se, para C ⊂ Z: gof −1 C x ∈ X : gfx ∈ C x ∈ B : fx ∈ g −1 C f −1 g −1 C, em analogia com I.2.12. Se f e g são bijectivas, então I.4.4 (5) e I.2.14 (1) b) mostram que a função associada de conjuntos directa de f (de g) tem por inversa a função associada de conjuntos inversa de f (de g) e para cada C ⊂ Z, gof −1 C f −1 og −1 C. I.4.6 Se f : X → Y é uma função, y ∈ Y, o conjunto f −1 y chama-se a fibra de f em y; a fibra de f em y é não vazia se e só se y ∈ Imf, onde Imf é o contradomínio ou conjunto imagem de f. -29I.5 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E RELAÇÕES DE ORDEM I.5.1 Definição Uma relação binária em X diz-se uma relação de equivalência em X se verifica as propriedades: reflexiva: ∀x ∈ X, xx; simétrica: ∀x, y ∈ X, xy yx; transitiva: ∀x, y, z ∈ X, xy ∧ yz xz. I.5.2 Exemplos (1) Se X é um conjunto não vazio, a relação definida por xy sse " x, y ∈ X e x y" (relação de igualdade em X) é uma relação de equivalência em X. (2) Com ≠ A ⊂ X, a relação definida por xy sse " x ∈ A ∧ y ∈ A" é uma relação de equivalência em A, mas não é uma relação de equivalência em X se A ≠ X. (3) Dada uma função f : X → Y, a relação binária f em X definida por x f y sse " x, y ∈ X e fx fy" é uma relação de equivalência em X, chamada a relação de equivalência associada à função f. I.5.3 Definições Seja uma relação de equivalência em X. Para cada x ∈ X, o conjunto C x y ∈ X : xy chama-se a classe de equivalência de x. O conjunto das classes de equivalência C x x ∈ X diz-se o conjunto cociente de X segundo , e representa-se por X / . Assim X / C x : x ∈ X ⊂ PX. A aplicação : X → X / , : x C x que faz corresponder a cada x ∈ X a respectiva classe de equivalência chama-se a aplicação canónica de X sobre X / _Esta aplicação é obviamente sobrejectiva_. I.5.4 Exemplo Para a relação de igualdade no conjunto não vazio A, a classe de equivalência de a ∈ A é C a a, e o conjunto cociente é a : a ∈ A; a aplicação canónica associa a cada elemento, o ”singleton” por ele constituído, a a. I.5.5 Exercício Determine o conjunto cociente e a aplicação canónica, nos exemplos I.5.2 (2), (3). I.5.6 Resolução (2) Com xy sse " x ∈ A ∧ y ∈ A" x, y ∈ A tem-se C x y ∈ A : x ∈ A ∧ y ∈ A A; assim : A → A / , x C x A. A aplicação canónica é constante, e A / A. (3) Sendo x f y sse " x, y ∈ X e fx fy" tem-se: C x f −1 fx é a fibra de f em fx. X / f f −1 fx : x ∈ X e x f −1 fx. -30I.5.7 Teorema Sejam X um conjunto e uma relação de equivalência em X. Então: (a) Cada elemento x ∈ X pertence à sua classe de equivalência C x ; (b) dois elementos x, y ∈ X são equivalentes para se e só se têm a mesma classe de equivalência, i.e., para cada x, y ∈ X, tem-se xy sse C x C y ; (c) o conjunto cociente X / é uma partição de X. Dem. (a) É consequência de xx para cada x ∈ X; (b) supondo xy, seja a ∈ C x ; então xa e, como xy, tem-se também yx, pela simetria. Da propriedade transitiva conclui-se ya, donde ay e a ∈ C y . Isto mostra que C x ⊂ C y e portanto C x C y . Reciprocamente, se C x C y , então pela (a) tem-se x ∈ C y donde xy pela definição de C y ; (c) Pela alínea (a), tem-se x ∈ C x , ∀x ∈ X. Portanto X x∈X C x . Para mostrar que X / é uma partição de X, basta provar que se C x ≠ C y então C x ∩ C y ; efectivamente, se existe a ∈ C x ∩ C y concluimos que C x C y do modo seguinte: a hipótese a ∈ C x , a ∈ C y implica ax e ay. Então pela simetria e transitividade de , tem-se ax e ya donde yx. De (b) concluimos C x C y , provando (c). C.Q.D. 1.5.8 Observação Pela propriedade (c) no teorema, duas classes de equivalência ou são disjuntas, ou coincidem. Dada uma relação de equivalência num conjunto X, o conjunto cociente X / dá uma partição do conjunto X. Reciprocamente, cada partição X : ∈ A de um conjunto não vazio X permite definir uma relação binária em X, que é uma relação de equivalência, pondo xy sse " ∃ ∈ A, x, y ∈ X" . Esta relação binária é obviamente reflexiva, simétrica e transitiva. A aplicação canónica é x X sse x ∈ X ; o conjunto cociente é exactamente a partição X : ∈ A. I.5.9 Exemplo A relação binária em N definida por xy sse " x, y são da mesma paridade" é uma relação de equivalência em N, que pode ser definida pela partição 2N − 1, 2N do conjunto dos números naturais, onde 2N 2x : x ∈ N é o conjunto dos números pares e 2N − 1 2x − 1 : x ∈ N é o conjunto dos números ímpares. I.5.10 Exercício Com ≠ A ⊂ X, explicite a relação de equivalência em X cujo cociente X / é a partição A, A c de X e indique a aplicação canónica. I.5.11 Resolução xy sse " x, y ∈ X e x, y ∈ A ∨ x, y ∈ A c " x A se x ∈ A, x A c se x ∉ A. I.5.12 Definição Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma função. Diz-se que f é compatível com se ∀x, y ∈ X, xy fx fy. -31I.5.13 Exemplo A relação de equivalência f associada à função f : X → Y em I.5.2 Exemplos (3), x f y sse " x, y ∈ X ∧ fx fy" é compatível com f. I.5.14 Teorema Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma função.As seguintes condições são equivalentes: (i) f é compatível com ; (ii) existe uma única aplicação f : X / → Y tal que f fo, onde : X → X / é a aplicação canónica. Dem. (i) (ii) Supondo f compatível com , a função f : X / → Y, fC x fx é bem definida com valores em Y: pois C x C y implica xy (Teorema I.5.7) donde fx fy. Tem-se f fo pela definição de f. Além disso f é única, porque se g : X / → Y verifica fx gC x então obviamente gC x fx. (ii) (i) Se existe f nas condições dadas, suponhamos x, y ∈ X e xy; então x C x C y y (teorema I.5.7) donde deve ser fx fC x fC y fy. Isto mostra que f é compatível com . C.Q.D. I.5.15 Observação A função f no teorema anterior é injectiva se e só se ∀x, y ∈ X, f C x fC y C x C y sse ∀x, y ∈ X, fx fy C x C y sse ∀x, y ∈ X, fx fy xy; uma vez que f é compatível com , i.e., ∀x, y ∈ X, xy fx fy, vemos que f é injectiva se e só se é a relação de equivalência associada a f. I.5.16 Seja f : X → Y uma função, e designe R f a relação de equivalência em X associada à função f. Chama-se aplicação cociente de f por R e nota-se f/R a função f/R : X/R → Y definida por f/R C x fx x ∈ X. Conclui-se de I.1.15 que f / R é injectiva, e Imff/R Imf. I.5.17 Observação. Segundo I.2.1, uma relação binária no conjunto não vazio X é uma parte não vazia do produto cartesiano X 2 . é uma relação de equivalência se e só se para cada x ∈ X, x, x ∈ ∧ y, x ∈ sempre que x, y ∈ ∧ x, z ∈ sempre que x, y, y, z ∈ , correspondendo a ser reflexiva, simétrica e transitiva. Facilmente se verifica que se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de relações de equivalência em X, então ∩ i : i ∈ I é uma relação de equivalência em X. Além disso, se R é uma relação binária em X, existe uma relação de equivalência 0 em X que contém R a saber, 0 X 2 ; existe portanto, e é bem determinada, a relação de equivalência em X que é a intersecção de todas as relações de equivalência em X que contêm R. I.5.18 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio e R é uma relação binária em X, diz-se que a intersecção das relação de equivalência em X que contêm R é a relação de equivalência gerada por R. (2) Se ≠ A ⊂ X, a relação de equivalência determinada pelo conjunto A é a relação de equivalência em X gerada pela relação binária xR A y x, y ∈ A, R A A 2 . Nota-se X/A o conjunto cociente X/R A , X/A é o conjunto cociente de X pelo subconjunto A. -32- I.5.19 Observação Verifica-se facilmente que a relação de equivalência gerada por R A em I.5.19 (2) é A 2 x, x : x ∈ X. O conjunto cociente X/A A, x : x ∈ X ”reduz” o conjunto A a um ponto. I.5.20 Definição Uma relação binária ≤ num conjunto E diz-se uma relação de ordem parcial, ou uma ordem parcial em E se verifica as propriedades de: reflexividade: ∀a ∈ E, a ≤ a; anti-simetria: ∀a, b ∈ E, a ≤ b ∧ b ≤ a a b; transitividade: ∀a, b, c ∈ E, a ≤ b ∧ b ≤ c a ≤ c. E, ≤ (ou E) diz-se um conjunto parcialmente ordenado. Se também ∀a, b ∈ E, a ≤ b ou b ≤ a diz-se que ≤ é uma ordem total e que E é totalmente ordenado ou uma cadeia. . I.5.21 Exemplos (1) A relação de ordem usual em R, x ≤ y sse y − x ≥ 0, é uma ordem total em R; (2) a relação binária ≤ em N definida por n ≤ m sse " n é um divisor de m" é uma ordem parcial em N. I.5.22 Exercício Prove que a relação de inclusão de conjuntos em PX é uma ordem parcial em PX. I.5.23 Resolução Reflexividade: Uma vez que P P para qualquer proposição P, se A ∈ PX tem-se x ∈ A x ∈ A donde ∀A ∈ PX, A ⊂ A; anti-simetria: para cada A, B ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ A então x ∈ A x ∈ B e x ∈ B x ∈ B donde x ∈ A x ∈ B e A B; transitividade: quaisquer que sejam A, B, C ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ C então x ∈ A x ∈ B, x ∈ B x ∈ C e então x ∈ A x ∈ C concluindo-se A ⊂ C. I.5.24 Definições Seja E, ≤ um conjunto parcialmente ordenado, e seja ≠ A ⊂ E. a) Um elemento m ∈ E é um minorante de A (respectivamente um majorante de A) se satisfaz ∀a ∈ A, m ≤ a (resp. ∀a ∈ A, a ≤ M); se o conjunto A tem pelo menos um minorante (majorante), A diz-se um conjunto minorado (resp.um conjunto majorado); b) se de entre os minorantes (majorantes) de A, existe um maior minorante i resp. um menor majorante s, então diz-se que i é o ínfimo de A, e nota-se i infA; respectivamente, diz-se que s é o supremo de A, e representa-se s supA; no caso particular infA ∈ A diz-se que infA é o mínimo de A, e nota-se infA min A e, respectivamente, se supA ∈ A diz-se que supA é o máximo de A e designa-se supA max A. c) diz-se que uma parte não vazia M de E é uma cadeia se ∀x, y ∈ M, x ≤ y ∨ y ≤ x. d) um elemento v ∈ E é minimal (resp. w é um elemento maximal) se ∀a ∈ E, a ≤ v a v (resp. se ∀a ∈ E, w ≤ a a w). -33I.5.25 Observação Se A é uma parte não vazia no conjunto parcialmente ordenado E, ≤, tem-se i infA se e só se (inf 1) ∀a ∈ A, i ≤ a; (inf 2) ∀m ∈ E, m ≤ a ∀a ∈ A m ≤ i. Também s supA sse (sup 1) ∀a ∈ A, a ≤ s; (sup 2) ∀M ∈ E, a ≤ M ∀a ∈ A s ≤ M. No caso particular E, ≤ R, ≤, (inf 2) e (sup 2) podem tomar a forma (Rinf) ∀ 0, ∃a ∈ A, a i ; (Rsup)∀ 0, ∃a ∈ A, a s − . I.5.26 Observação Num conjunto parcialmente ordenado, o ínfimo (resp. o supremo) de uma parte não vazia, se existe, é único. I.5.27 Exemplos (1) Em R munido da ordem usual, todo o conjunto não vazio e minorado (resp. majorado) tem ínfimo (resp. supremo). (2) Em PX, ⊂ os conjuntos , X são respectivamente um elemento minimal, e um elemento maximal; além disso, tem-se infX min X e X supX max X. Se existem pelo menos dois elementos diferentes em X, PX não é uma cadeia. (3) Em PN, ⊂, C S n 1, . . . , n : n ∈ N é uma cadeia; é um minorante de C, S 1 1 min C e sup C N, não existe max C. I.5.28 Exercícios (1) Mostre que se X ≠ então cada conjunto x c x ∈ X no conjunto parcialmente ordenado PX \ X, ⊂ é um conjunto maximal. (2) Considere a relação binária em N 2 2, 3, . . . definida por nm sse " n, m ∈ N 2 e n divide m" . a) Mostre que o conjunto 2N 2k : k ∈ N não tem majorantes; b) determine inf2N; este ínfimo é um mínimo ? c) prove que C 3 k : k ∈ N é uma cadeia em N 2 , . I.5.29 Resoluções (1) Se A ⊂ X, A ≠ X e x ∈ X, a hipótese x c ⊂ A é equivalente a A c ⊂ x e, como c A ≠ , tem de ser A c x i.e., A x c . Portanto x c é um elemento maximal, para cada x ∈ X. (2) a) Para ser 2kM tem de verificar-se também 2k ≤ M " ≤" a ordem usual em R, e não existe nenhum número natural M tal que ∀k ∈ N, 2k ≤ M. Portanto o conjunto 2N não tem nenhum majorante em N 2 , . b) Para todo o númrero da forma 2k, k ∈ N, 2 divide 2k; e se m ∈ N 2 e, para todo o k ∈ N, m2k então m2 fazendo k 1. Portanto 2 inf2N pela definição de ínfimo. É 2 min 2N, já que 2 ∈ 2N. c) Para cada 3 n , 3 m ∈ C, tem-se n ≤ m ou m ≤ n e, no primeiro caso, 3 n 3 m tendo-se m n 3 3 no segundo caso. Assim C é uma cadeia em N 2 , . -34I.5.30 Definição Se E, é um conjunto parcialmente ordenado, ≠ F ⊂ E, a restrição 0 da ordem parcial a F é obviamente uma ordem parcial em F, que se diz a ordem parcial induzida por em F. Habitualmente escreve-se F, para significar o conjunto parcialmente ordenado F, 0 . I.5.31 Lema de Zorn Se no conjunto parcialmente ordenado M, ≤ toda a cadeia não vazia tem pelo menos um majorante, então existe em M pelo menos um elemento maximal. I.5.32 Observação O lema de Zorn é equivalente ao axioma da Escolha de Zermelo I.3.3. I.5.33 Definição Seja X um conjunto não vazio. Se é uma relação binária em X tal que (i) é reflexiva, i.e., ∀x ∈ X, x x; (ii) é transitiva, i.e., ∀x, y, z ∈ X, x y ∧ y z x z; (ii) ∀x, y ∈ X, ∃a ∈ X, x a ∧ y a, então o par X, (ou somente X) diz-se um conjunto dirigido. I.5.34 Observação Um conjunto parcialmente ordenado X, ≤ diz-se filtrante ou superiormente filtrante se a ordem parcial verifica, além das propriedades de reflexividade, anti-simetria e transitividade (ver I.5.17), a propriedade de, para cada x, y ∈ X, existir pelo menos um elemento a ∈ X tal que x ≤ a e y ≤ a. Assim, um conjunto parcialmente ordenado filtrante é também um conjunto dirigido. Certos autores chamam a uma relação binária num conjunto X verificando as propriedades reflexiva e transitiva, uma quase-ordem. Pode suceder, segundo a definição I.1.28, X, ser um conjunto dirigido e no entanto a relação binária em X não ser uma ordem parcial. Um exemplo importante, de que veremos uma aplicação adiante, é o seguinte: consideremos um conjunto não vazio M, e uma classe de conjuntos F ⊂ PM tal que ∀F ∈ F, F ≠ e se verifique ∀F, F ′ ∈ FF ∩ F ′ ∈ F.. Sendo : F → F : F ∈ F o selector de Zermelo em I.3.3, podemos considerar a relação binária em A F : F ∈ F definida por a a ′ sse existem F, F ′ ∈ F tais que a F, a ′ F ′ e F ′ ⊂ F. Então A, é um conjunto dirigido, mas em geral, da hipótese a a ′ e a ′ a não pode concluir-se a a ′ e não é uma ordem parcial em A. I.5.35 Observação Se E, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, pode existir um subconjunto F não vazio de E tal que não exista min F. Por exemplo, com E Q e ≤ a ordem parcial usual de R induzida sobre Q, não existe min 2 , 2 ∩ Q. O que não que dizer que, para outra ordem parcial sobre Q, não possa suceder que cada subconjunto não vazio tenha um mínimo. Se E, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, e existe o mínimo de uma parte A de E, diz-se também que min A é o primeiro elemento de A. -35I.5.36 Definição Um conjunto parcialmente ordenado E, ≤ diz-se um conjunto bem ordenado se toda a parte não vazia de E tem primeiro elemento. Diz-se então também que ≤ é uma boa ordem em E. I.5.37 Observação Todo o conjunto bem ordenado é totalmente ordenado, como se reconhece considerando dois quaisquer elementos e o mínimo do conjunto por eles formado. Uma propriedade dos conjuntos parcialmente ordenados, equivalente ao axioma da Escolha de Zermelo, é que dado qualquer conjunto não vazio E, existe pelo menos uma ordem parcial ≤ em E, para a qual E, ≤ é um conjunto bem ordenado. I.5.38 Princípio da boa ordenação Se E é um conjunto não vazio, existe pelo menos uma boa ordem em E. -36I.6 O CONJUNTO N. NOÇÕES DE CARDINALIDADE. I.6.1 O conjunto N 1, 2, . . . dos números naturais pode ser caracterizado pela axiomática de Peano: (I) existe um número natural chamado ”um” e representado por 1; (II) cada número natural a tem um sucessor a ′ que é também um número natural; (III) o número 1 não é um sucessor de nenhum número natural; (IV) os sucessores a ′ , b ′ de dois números naturais a, b, a ≠ b, são diferentes; (V) é válido o princípio de indução dos números naturais: se um subconjunto C de N verifica as propriedades: (i) 1 ∈ C e (ii) sempre que a ∈ C, tem-se também a ′ ∈ C, então C N. I.6.2 Observação A propriedade (V) do conjunto dos números naturais, utiliza-se na prática, dada uma relação Rn na variável n ∈ N p p, p 1, p 2, . . . , para demonstrar pelo método de indução em n que a proposição ∀n ∈ N p , Rn é verdadeira, do modo seguinte: começa-se por provar que Rp V; admite-se então que Rn é verdadeira, para certo n ≥ p_Esta hipótese chama-se a Hipótese de indução_E prova-se que então também a Tese de indução Rn 1 V. Pode também utilizar-se o método de indução em n ∈ N 0 para demonstrar ∀n ∈ N 0 , Rn, começando por verificar que R0 é verdadeira; admite-se então por hipótese de indução que Rn é verdadeira, para certo n ∈ N 0 e, provando que então também Rn 1 é verdadeira, conclui-se a demonstração. I.6.4 Exemplo A desigualdade de Bernoulli ∀n ∈ N, ∀a ∈ R , 1 a n ≥ 1 na pode provar-se por indução do modo seguinte: para n 1 encontra-se 1 a 1 1 a ≥ 1 1. a, donde 1 1. a, e a proposição é verdadeira para n 1; admitindo que 1 a n ≥ 1 na para certo n ∈ N por Hipótese de indução, concluimos 1 a n1 1 a n 1 a ≥ 1 na1´ a 1 na 1 naa 1 na a na 2 ≥ 1 na a 1 n 1a, concluindo-se a tese de indução e que portanto a desigualdade é verdadeira. I.6.5 Exercício Demonstre por indução em n: a) ∀n ∈ N 2 , ∀a ∈ R , 1 a n 1 na; n b) ∀n ∈ N 0 , ∑ k0 2k 1 n 2 . I.6.6 Observações (1) Para demonstrar ∀n ∈ N, Rn (respectivamente ∀n ∈ N 0 , Rn) pelo método de indução em n, pode começar por provar-se R1 V (resp. R0 V); admitir então por hipótese de indução que, dado certo n ∈ N (respectivamente, dado certo n ∈ N 0 ), se tem Rk V para cada k 1, . . . , n (para cada k 0, . . . , n e provar então a Tese de indução Rn 1 V. Para certas propriedades, é difícil encontrar um processo de demonstração substituindo o método de indução dos números naturais. -37(2) Um outro método de demonstração importante, e que pode aplicar-se de modo geral, para demonstrar propriedades é o método de demonstração por redução ao absurdo. Procede-se do modo seguinte, para provar que uma proposição P Q é verdadeira, por este método: acrescenta-se à hipótese P, a hipótese de absurdo ~Q. Está portanto a admitir-se a hipótese H ≡ P ∧ ~Q. Por um raciocínio lógico, procura-se concluir a tese de absurdo, i.e., concluir que então se verifica uma proposição T tal que T entra em contradição seja com P, ou com uma propriedade verdadeira na Teoria, ou mesmo com o princípio da não contradição (por exemplo, se se concluir a ≠ a com a um objecto da Teoria), ou com o princípio do terceiro excluído. Deste modo, T terá de ser falsa, T F e teremos provado a implicação H T, i.e., que a implicação P ∧ ~Q F é verdadeira. Pela análise da tabela de verdade da implicação, terá de ser P ∧ ~Q F; então ~P ∨ Q ~P ∧ ~Q V, e da equivalência P Q ~P ∨ Q podemos concluir P Q V ficando provada a proposição pretendida pelo método de redução ao absurdo. Como um exemplo, recordemos a conhecida demonstração da irracionalidade do número real 2 . Provar que 2 ∉ Q, é provar que, pela definição da raiz quadrada de um número real não negativo, sendo 2 0, o número p 0 que satisfaz a equação p 2 2 e que representamos por 2 não é da forma p m/n para nenhuns números naturais m, n. Trata-se portanto de provar a implicação P Q, onde P ≡ está bem definido o número real p 2 pela equação p 2 2 (como é sabido das propriedades dos números reais), e Q ≡ ∀m, n ∈ N, 2 ≠ m/n. Admitindo P e, por hipótese de absurdo ~Q, i.e., que existem números naturais m, n tais que 2 m/n, concluimos imediatamente 2 m/n 2 m 2 /n 2 , e podemos supor que os números naturais m, n não são ambos pares, o que se verifica se na fracção m/n tivermos dividido ambos os termos pelo máximo divisor comum. Da equação 2 m 2 /n 2 concluimos m 2 2n 2 e portanto que m é um número par, m 2k onde k ∈ N, pois se na factorização prima de m os factores são todos ímpares, então também m 2 seria um produto de números ímpares. Substituindo na equação m 2 2n 2 obtemos 4k 2 2m 2 2n 2 , e portanto n 2 2k 2 ; então de novo podemos concluir que n é par, o que entra em contradição com a propriedade de podermos escrever m/n na forma de uma fracção irredutível, como fizemos. Concluiu-se portanto a tese de absurdo, ficando provado que 2 é um número irracional. I.6.7 Observação O princípio de indução dos números naturais (V) permite tabém definir uma função por indução do modo seguinte: Obter uma função f de domínio N tal que, dado um objecto a, o valor de f em 1 seja a (i.e, sendo 1, a ∈ f) e tal que, dadas funções g definidas cada qual sobre S p 1, . . . , p onde p percorre N, se verifique p 1, Fg ∈ f, onde Fg é um objecto, valor de uma função dada F definida sobre o conjunto das funções g, (e portanto com f1 a e f2 Fg 1 com g 1 definida sobre 1; f3 Fg 2 , g 2 definida sobre 1, 2 e assim sucessivamente.). Põe-se a questão: o valor de f no ponto p 1 pode depender de todos os valores que f toma em cada ponto q ≤ p: pois se f existe com domínio N e f1 a, f2 Fg 1 , . . . , fp Fg p , então f já está necessariamente definida sobre N e portanto no ponto p 1. Encontra-se em [Kelley] uma demonstração de que a função f existe, e de que damos um apontamento. Para p 1, podemos considerar g 1 1 a e, para q 2 − 1, podemos considerar g 2 1, a, 2, Fg 1 . -38Supondo que obtivemos até g p 1, a, 2, Fg 1 , . . . , p, Fg p−1 , q p − 1 podemos considerar g p1 g p p 1, Fg p para q p 1 − 1 e, pelo princípio de indução dos números naturais, existe uma função g ∗ : N → ImF tal que (1) g ∗ 1 a e a restrição (2) g ∗0,p de g ∗ a 1, . . , p é g p ( p ∈ N 2 ) e (3) g ∗ p g p p Fg p−1 Fg ∗0,p−1 p 2, 3, . . . . Portanto, podemos considerar a classe F de todas as funções h : S p → ImF que são as restrições das g ∗ como em (1), (2), (3) a S p p ∈ N e satisfazem portanto hq 1 Fh 0 , onde h 0 é a restrição de h a S q pra cada q ∈ N. Prova-se depois que dadas duas funções h, h ′ ∈ F, uma é uma restrição da outra. Portanto a reunião h : h ∈ F é uma função, é a função f pretendida com domínio N, e é tal que para cada número natural p, fp 1 Ff p , onde f p é a restrição de f a S p . -39I.6.8 Definição Um subconjunto não vazio C de N diz-se um conjunto indutivo se verifica a propriedade ∀c ∈ C, c 1 ∈ C. I.6.9 Proposição (Boa ordenação de N) Cada subconjunto não vazio de N tem primeiro elemento. Dem. Seja A um subconjunto não vazio de N, e mostremos que existe a ∈ A tal que a ≤ q, ∀q ∈ A. Seja B p ∈ N : p ≤ q, ∀q ∈ A. Tem-se 1 ∈ B, e o conjunto B não é indutivo, pois se q ∈ A então q 1 ∉ B. (Se B fosse indutivo ter-se-ia B N). Existe portanto p ∈ B tal que p 1 ∉ B. Mostremos por redução ao absurdo que p ∈ A, e notemos que se p ∈ A, então p é o primeiro elemento de A; se p ∉ A, existe q ∈ A tal que p ≤ q p 1 e, como p ≠ q, tem-se p q p 1. E obtendo-se a tese de absurdo, conclui-se a demonstração. I.6.10 Definição Dizemos que dois conjuntos X, Y são equipotentes e notamos X~Y se existe uma bijecção : X → Y. . I.6.11 Observação Pela definição anterior, tem-se X~X para qualquer conjunto X, considerando a bijecção I X : X → X. Também se : X → Y e ′ : Y → Z são bijecções, a função −1 : Y → X é bijectiva, assim como ′ o : X → Z é bijectiva; portanto, se X~Y tem-se Y~X, e de X~Y, Y~Z conclui-se X~Z. Convenciona-se ~, e que para nenhum conjunto não vazio X se verifica X~. -40I.6.12 Definição Diz-se cardinal do conjunto A, e nota-se #A a propriedade que A tem de comum com todos os conjuntos equipotentes a A. Diremos que: (1) o conjunto A é finito e tem cardinal n, #A n, n ∈ N, se A~S n 1, . . . , n; (2) o cardinal do conjunto vazio é finito e igual a zero, # 0; (3) A é um conjunto numerável, se A é equipotente a N; (4) A é contável, se é finito ou numerável. O número cardinal de N diz-se o cardinal do numerável, e nota-se # 0 , #N # 0 . (5) O cardinal de R é o contínuo que notaremos c, #R c. I.6.13 Definição Se X, Y são conjuntos tais que, para certo Z ⊂ Y se tem X~Z, diremos que o cardinal de X é menor ou igual que o cardinal de Y, e notaremos #X #Y. Se #X #Y e não se verifica #Y #X, diremos que o cardinal de X é menor que o cardinal de Y, e então notamos #X #Y. Convenciona-se 0 #X para qualquer conjunto X e 0 #X se X ≠ . I.6.14 Observações (1) Pela definição em I.6.10, se A e B são conjuntos tais que existe uma função injectiva f : A → B então #A #B, e a recíproca é válida. Dados conjuntos A, B, se existe uma função sobrejectiva f : B → A então, designando R a relação de equivalência em B associada à função f (exemplo (3) em I.5.2), a função f : B/R → A, fC b fb, C b x ∈ B : fx fb para cada b ∈ B é bijectiva (I.5.15). Assim #A #B/R. Como B/R é uma partição de B, o selector de Zermelo : B/R → B é uma função injectiva, pois ∀C b , C b ′ ∈ B/R, C b ≠ C b ′ C b ≠ C b ′ (ver I.3.3). Então tem-se #A #B/R #B donde #A #B (considere-se a função composta og, onde g : A → B/R é uma bijecção; bastaria g ser injectiva aliás, se #A #B e #B #C então #A #C). Reciprocamente se existe uma injecção f : A → B então podemos considerar a função sobrejectiva h : B → A definida por hx f −1 x para cada x ∈ Imf e hx hb se x ∈ B\Imf, e um tal elemento x existe, onde b x x ∈ Imf (veja-se I.3.4). Concluimos: I.6.15 Propriedade Sejam X, Y conjuntos não vazios. As seguintes condições são equivalentes: (a) #X #Y; (b) existe uma função injectiva f : X → Y ; (c) existe uma função sobrejectiva g : Y → X. -41I.6.16 Teorema Todo o subconjunto dum conjunto contável é um conjunto contável. Dem. Supondo A um conjunto contável, se A a 1 , . . . , a m é finito, obviamente cada subconjunto C a k : k ∈ I onde I ⊂ S m é um conjuto finito de cardinal #C #I. Suponhamos pois A numerável, e seja B um subconjunto infinito de A. Sendo f : N → A uma bijecção, tem-se B~f −1 B, e portanto basta provar que f −1 B é numerável, i.e., que todo o subconjunto infinito C de N é numerável. Designemos por g1 o primeiro elemento de C (boa ordenação de N, I.6.9). Para cada p ∈ N 2 , podemos considerar o primeiro elemento gp de C\g1, . . . , gp − 1, uma vez que esta definição faz sentido para p 2 e, obtidos g1, g2, , , , gp 2 ≤ p, existe, pela boa ordenação de N, o primeiro elemento gp 1 de C\g1, g2, . . . , gp. Pelo princípio de indução dos números naturais, fica definida uma função g : N → C. Notemos que sendo C\g1, . . . , gp 1 ⊂ C\g1, . . . , gp para cada p, tem-se gp ≤ gp 1 p ∈ N, pois se ≠ U ⊂ V então infV ≤ infU. Também gp gp 1 para cada p, pois encontra-se, utilizando o método de indução: para p 1, g2 min C\g1 g1; e admitindo que gk 1 gk para cada k 1, . . . , p, p ≥ 1 como hipótese de indução, vem gp 2 min C\g1, . . . , gp, gp 1 gp 1, pois entre cada gq e gq 1 não existe nenhum elemento de C pela definição da função g q ∈ N. Também p ≤ gp p ∈ N, como se prova facilmente por indução em p: tem-se 1 ≤ g1 e, admitindo k ≤ gk para cada k 1, . . . , p então gp 1 gp ≥ p como já vimos, vem gp 1 ≥ p 1. Então, pela definição de g, cada elemento p ∈ C é um dos números gq com 1 ≤ q ≤ p, e assim g é sobrejectiva, donde g : N → C é bijectiva e #C #N como queríamos provar. -42I.6.17 Observações (1) Da bijecção : N 0 → N, n n 1 conclui-se que #N 0 # 0 ; também para cada p ∈ N, o conjunto N p p, p 1, p 2, . . . tem cardinal #N p # 0 . A bijecção : N 0 → Z definida por 0 0, 2n − 1 n, 2n −n n ∈ N mostra que N 0 ~Z, donde #Z # 0 .(2) Para provar que um conjunto C é contável, basta provar que existe uma função sobrejectiva de uma parte não vazia M de N sobre C, atendendo a I.6.16 e a I.6.15. I.6.18 Teorema Todo o conjunto infinito contém um conjunto numerável. Dem. Dado um conjunto infinito X, utilizando o princípio da boa ordenação, existe uma boa ordem em X. Designemos a 1 o primeiro elemento de X; cconsiderando X\a 1 , este conjunto tem também um primeiro elemento a 2 ≠ a 1 , uma vez que a 2 ∈ X\a 1 e a 1 ∉ X\a 1 ; assim a 1 a 2 . Utilizando o método de indução dos números naturais, admitamos por hipótese de indução que obtivemos elementos a 1 a 2 . . . a n para certo n ∈ N 2 O conjunto X\a 1 , . . . , a n é não vazio, pois de contrário seria X a 1 , . . . , a n , e X seria um conjunto finito. Existe portanto o primeiro elemento a n1 de X\a 1 , . . . , a n , e podemos obter a n1 com a n min X\a 1 , . . . , a n−1 min X\a 1 , . . . , a n a n1 e a n1 ≠ a n , donde a 1 . . . a n a n1 . Fica demonstrado pelo método de indução que existe uma sucessão estritamente crescente a n em X, ficando provado o teorema. I.6.19 Teorema Se A 1 , A 2 , . . . é uma classe contável constituída por conjuntos contáveis, então A n : n ∈ N é um conjunto contável. (Nesta notação, se a classe é finita com m conjuntos, pressupõe-se A mp A m para cada número natural p). n , . . . , repetindo Dem. Pela hipótese, podemos designar A n a n1 , a n2 , . . . , a nk , a k1 n n n n possivelmente a k1 a k e a kp a k p 1, 2, . . . se A n é um conjunto finito com k elementos, para cada n ∈ N. Consideremos o conjunto M 2 n . 3 k : n, k ∈ N ⊂ N e a função f : B → A n : n ∈ N definida por f2 n . 3 k a nk . Como f é sobrejectiva, o teorema conclui-se da observação anterior. I.6.20 Observação Se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de cardinais, i #A i para cada índice i, então os conjuntos A i i são dois a dois disjuntos, (A i i : i ∈ I é uma classe disjunta) e considerando a bijecção b i : A i → A i i, b i x x, i vemos que i #A i i para cada i. I.6.21 Definição Na notação de I.6.19, diz-se soma dos cardinais i i ∈ I o cardinal do conjunto reunião de uma classe disjunta de conjuntos W i tal que #W i i i ∈ I. Representa-se ∑ i∈I i #W i : i ∈ I. Se i : i ∈ I , põe-se ∑ i∈I i . I.6.22 Exercícios (1) Mostre que a definição anterior é coerente, i.e., se para cada índice i ∈ I, I ≠ , W i , V i são conjuntos tais que as classes de conjuntos W i : i ∈ I e V i : i ∈ I são ambas disjuntas, e #W i #V i para cada i ∈ I, então #V i : i ∈ I #W i : i ∈ I. (2) Mostre que se n # 0 para cada n ∈ N então ∑ n∈N n # 0 . -43Resoluções (1) Sendo f i : W i → V i uma bijecção par cada índice i, que existe por hipótese, a função F : W W i : i ∈ I → V V i : i ∈ I definida por Fw f i w se w ∈ W i é uma bijecção, concluindo-se a injectividade de ∀i, j ∈ I, ∀w, w ′ ∈ W, f i w f j w ′ i j, por a classe V i : i ∈ I ser uma classe disjunta. (2) Pelo teorema I.6.18, a reunião numerável de conjuntos numeráveis é um conjunto contável; como é um conjunto infinito, é um conjunto numerável. I.6.23 Definição Dada uma classe não vazia de cardinais i : i ∈ I, cada qual i #A i 0, define-se o cardinal produto dos i como sendo o cardinal P i∈I i # i∈I A i . Se pelo menos um dos cardinais factores i # 0, o cardinal produto é zero. Para I 1, 2 nota-se P i∈I i 1 . 2 . I.6.24 Observação Para cada númer natural p ≥ 2, existem exactamente p − 1 pares ordenados de números naturais m, n tais que m n p. Podemos considerar a função f : N → N N definida por f1 1, 1, f2 1, 2, f3 2, 1 e, tendo obtido até certo p ∈ N 2 os pares ordenados m, n com m n p, obtidos começando, para certo k ∈ N, por fk 1, p − 1, fk 1 2, p − 2,..., fk j m, n,..., fk p − 1 p − 1, 1 onde a primeira coordenada m vai crescendo de uma unidade, e n decrescendo de uma unidade, podemos continuar o processo para p 1, pondo com q k p, fq 1, p,..., fq j m, n,..., fq p p, 1, onde ordenamos da mesma forma os pares m, n. A função f obtida desta forma é uma bijecção, e concluímos que N 2 ~N e #N 2 # 0 . Para a comparação de cardinais, conclui-se facilmente da definição que dados cardinais , , se tem e, que as relações e implicam . Põe-se 0 , para qualquer cardinal . Têm-se também as seguintes propriedades, o primeiro teorema de que uma demonstração pode encontrar-se em [Cohn], o segundo para o qual Zermelo obteve uma demonstração. I.6.25 Teorema de Schroeder-Bernstein Dados dois conjuntos A, B tais que existem funções injectivas f : A → B e g : B → A, existe uma bijecção : A → B. Consequentemente, dados cardinais , , se e então . I.6.26 Teorema (Dicotomia) Dados conjuntos não vazios A, B ou existe uma injecção f : A → B, ou existe uma injecção g : B → A. -44I.6.27 Observações (1) Pelas definições das relações e entre cardinais conclui-se que é válida a Tricotomia: dados números cardinais , tem-se , ou . (2) Se bem que sejam verificadas as propriedades , se , são números cardinais e se verificam e então , e também de poder concluir-se de e que para cardinais dados , , , a relação entre cardinais não é uma ordem parcial; pois não é uma relação binária, uma vez que não existe o conjunto de todos os cardinais. (3) O teorema de Schroeder-Bernstein pode enunciar-se pondo: dados conjuntos X, Y, Z tais que X ⊂ Y ⊂ Z e #X #Z, tem-se #X #Y. (4) A comparação de cardinais, utilizando se necessário os teoremas I.6.25 e I.6.26, tem aplicação às operações de números cardinais. I.6.28 Exemplo Utilizando I.6.23, pode concluir-se que o conjunto Q é numerável. Com efeito, a função f : N 2 → Q q ∈ Q : q 0 definida por fn, m n/m é sobrejectiva, donde #Q #N 2 #N. Uma vez que N ⊂ Q tem-se #N #Q e portanto, pelo teorema de Schroeder-Bernstein, tem-se #Q # 0 . Também a bijecção g : Q → Q − q ∈ Q :q 0 permite concluir #Q − # 0 . Pelo teorema I.6.18, o conjunto Q Q 0 Q − é contável e, como é infinito, é numerável. I.6.29 Observações (1) Se , , são cardinais tais que então e . . . Para uma demonstração ver, por exemplo, [Guerreiro]. (2) Se é um cardinal infinito, tem-se e . . I.6.30 Exercícios (1) Utilizando as observações em I.6.29, mostre que se 0 e se é um cardinal infinito, então . max, . (2) Prove que se cada cardinal infinito i i ∈ I e #I 0, então ∑ i∈I i max, . (Sug: Dada uma classe disjunta W i : i ∈ I, #W i para cada i ∈ I, considere uma função F : W i : i ∈ I → A i I definida por Fa f i a, i onde, i é um índice escolhido em I e f i : A i → A i é uma bijecção, para cada i ∈ I). Resoluções (1) Tem-se supondo max, : como consequência de 0 ; seguidamente ≤ , donde se conclui . Analogamente, para o produto, implica . . , e como se tem 1 vem também 1. . concluindo-se . . (2) i obtem-se pelo axioma de Zermelo, existe f i por hipótese e usando (1) -45I.6.31 Teorema de Cantor Para qualquer conjunto A, tem-se #A #PA. Dem. Se A , obtemos P e 0 1. Supondo pois A ≠ , a função f : A → PA, fx x é injectiva, e basta provar que não existe nenhuma função sobrejectiva g : A → PA; seja então g : A → PA uma função. Consideremos o subconjunto C x ∈ A : x ∉ gx ⊂ A. Tem-se que C não é imagem por g de nehum elemento x ∈ A. Pois tem-se x ∈ C ou x ∈ A\C. No primeiro caso, é gx ≠ C, pois senão x ∉ C; e no segundo caso, verifica-se x ∈ gx pela definição de C, e como x ∉ C tem-se C ≠ gx. Fica demonstrado o teorema. I.6.32 Exercício Prove que se X é um conjunto infinito de cardinal , então o cardinal do conjunto FX das partes finitas de X é . (Sug: Prove pelo método de indução que para cada n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de X constituídos por n elementos é ). Resolução Para n 1, a bijecção f : X → F 1 X, fx x, onde F 1 X é o conjunto dos subconjuntos de X constituídos por um elemento, mostra que #F 1 X . Admitindo que, para certo n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de X constituídos por n elementos é , a aplicação sobrejectiva : X F n X : F j X : 1 ≤ j ≤ n 1 definida por p, x 1 , . . . , x n p, x 1 , . . . , x n , onde para cada j 1, . . , n, F j X é o conjunto dos subconjuntos de X constituídos por j elementos , mostra que #F n1 X #F j X : 1 ≤ j ≤ n 1 . . Assim #F n X para cada n ∈ N, utilizando o teorema de Schroeder-Bernstein, pois #F n X para cada n; como FX F n X : n ∈ N, o resultado conclui-se usando I.6.30 (2). I.6.33 Observação Se X é um conjunto não vazio, A ⊂ X, podemos associar ao conjunto A a função A : X → 0, 1 definida por A x 1 se x ∈ A e A x 0 se x ∉ A. A função F : PX → 0, 1 X , FA A é uma bijecção, e assim PX~0, 1 X e #PX #0, 1 X . I.6.34 Exercícios (1) Mostre que o cardinal do intervalo 0, 1 de R é o contínuo c. (Sug: 0, 1 0 0, 1; considere as funções f : 0, 1 → R , fx 1/x e g : R → R − x ∈ R : x 0, gx −x e utilize I.6.30). (2) Considere as classes de subconjunto do conjunto dos números naturais F A ⊂ N : A c é finito, I A ⊂ N : A c é infinito. a) Mostre que o conjunto F é numerável (Sug: I.6.32); b) Conclua que #I #PN. Resoluções (1) Como f é bijectiva, conclui-se #0, 1 #R Também, sendo g uma bijecção, #R − #R . N ⊂ R e portanto #R é infinito, #R − #R #R. Se #R ≠ #R conclui-se #R #R, o que implica ( I.1.30) #R 0 #0 R e #R #R − R 0 , obtendo-se #R #R, o que é impossível, e assim #R c. Concluimos, usando de novo I.1.30, que #0, 1 c. (2) a) Utilizando I.6.32, #FN # 0 e : FN → F, A A c é uma bijecção. b) Uma vez que PN F I e # 0 #PN pelo teorema de Cantor, , conclui-se que #PN #F #I max# 0 , #I #I utilizando I.6.30. -46I.6.35 Teorema #PN c. Dem. Atendendo a I.6.34, basta mostrar que #I #0, 1. Sendo A ∈ I, para cada n ∈ N, designe n A n 1 se n ∈ A, n 0 se n ∈ A c . Uma vez que nem todos os n tomam o valor 1, a soma de cada série ∑ n1 n /2 n é um número real x ∈ 0, 1 para cada A ∈ I. Obtem-se assim uma função f : I → 0, 1, fA ∑ n1 n /2 n . A função f é claramente injectiva, pois se A, B ∈ I e A ≠ B então existe pelo menos um número natural n tal que A n ≠ B n. Se 0 x 1 existem pelo menos duas somas finitas S m , S m ′ de duas séries respectivamente, tais que S m ≤ x S m ′ e, se x ≠ S m tem-se que em cada um dos intervalos S m , x e x, S m ′ existem duas novas somas finitas S m1 , S m ′ 1 com S m S m1 x S m ′ 1 S m ′ , m m1, m ′ m ′ 1. Repetindo o processo, obtemos uma sucessão S mk k 1, 2, . . . de números reais de limite x, que é a soma de uma série fA para certo A ∈ I, o que mostra que f é sobrejectiva, concluindo a demonstração. I.6.36 Observação Se na classe X t : t ∈ T todos os conjunto coincidem com um mesmo conjunto X, então t∈T X t X T . I.6.37 Definição Se X é um conjunto não vazio, e T é um conjunto, #X , #T , o cardinal é por definição #X T ; se T convenciona-se #X # 1. I.6.39 Observação Pela observação anterior e a definição em I.6.23, se X t : t ∈ T é uma classe de conjuntos não vazios indiciada num conjunto T tal que #X t t ∈ T e #T então # t∈T X t . Se , , são cardinais, , ≠ 0 verificam-se as igualdades . , . . , . como consequência das definições. Também se e é um outro cardinal, tem-se . Atendendo a I.6.33, se #X 2 então #PX 2 #X . Encontramos por exemplo como uma aplicação, a determinação do cardinal do conjunto das sucessões de números naturais: tem-se c 2 # 0 #N N #R N 2 # 0 # 0 2 # 0 .# 0 2 # 0 c, concluindo-se #N N c pelo teorema de Schroeder-Bernstein. I.6.40 Exercício Determine, e compare os cardinais dos conjuntos Z Z e Z R . Resolução Utilizando I.6.17, #Z Z # #0 0 #N N c por I.6.39. Utilizando I.6.33 e I.6.35, e aplicando também I.6.39 e I.6.30 (1), # # # # 2 2 0 #0, 1 R #Z R # 20 0 2 # 0 2 0 2 2 0 . Pelo teorema de Schroeder-Bernstein, #Z R 2 c . Atendendo a I.6.33, tem-se 2 c #PR e como, pelo teorema de Cantor, #R #PR conclui-se #Z Z #Z R . -47I.7 FILTROS E ULTRAFILTROS. REDES I.7.1 Definição Seja X um conjunto não vazio. Uma classe não vazia F ⊂ PX verificando F 1 ∉ F; F 2 ∀F, F ′ ∈ F, F ∩ F ′ ∈ F; F 3 ∀U ∈ PX, U ⊃ F ∧ F ∈ F U ∈ F, diz-se um filtro sobre X. I.7.2 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a classe F A F ⊂ X : F ⊃ A é um filtro sobre X. Em particular, se a ∈ X, F a F ⊂ X : a ∈ F é um filtro sobre X. (2) Sendo X um conjunto, uma parte de X diz-se cofinita se o seu complementar é finito; se X é infinito, a classe das partes cofinitas de X é um filtro sobre X. Para X N, obtem-se o filtro de Fréchet. (3) Dada uma sucessão u n num conjunto U, a classe F F ⊂ U : ∃n ∈ N, u m : m n, n 1, . . . ⊂ F é um filtro sobre U, que se diz o filtro de Fréchet associado à sucessão u n . O filtro de Fréchet é o filtro de Fréchet associado à sucessão dos números naturais. I.7.3 Exercício Mostre que se X é um conjunto não vazio, e a classe B de subconjuntos de X satisfaz as condições B 1 ∉ B; B 2 ∀B 1 , B 2 ∈ B, ∃B 3 ∈ B, B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 , então a classe F F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F é um filtro sobre X. Resolução F 1 verifica-se, pois ∉ B. F 2 verifica-se também, porque se F 1 ⊃ B 1 e F 2 ⊃ B 2 , onde B 1 , B 2 ∈ B, então existe B 3 ∈ B tal que F 1 ∩ F 2 ⊃ B 1 ∩ B 2 ⊃ B 3 , logo F 1 ∩ F 2 ⊃ B 3 e F 1 ∩ F 2 ∈ F. A condição F 3 verifica-se também, pois se F ∈ F então existe B ∈ B, B ⊂ F; e se F ′ ⊃ F então F ′ ⊃ B e por conseguinte F ′ ∈ F. I.7.4 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio, uma classe de subconjuntos B ⊂ PX satisfazendo as condições B 1 , B 2 em I.7.3 diz-se que é uma base de um filtro ou que é uma base de filtro. (2) Se F é um filtro sobre X, diz-se que uma classe B 0 ⊂ F, onde F é um filtro sobre X, é uma base do filtro F se satisfaz a condição BF ∀F ∈ F, ∃B ∈ B 0 , B ⊂ F. I.7.5 Observações (1) Se B ⊂ PX é uma base de um filtro, então B é uma base do filtro F F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F, que se diz o filtro gerado por B. (2) Notar que se B 0 é uma base do filtro F, então cada conjunto em B 0 pertence ao filtro F. I.7.6 Exercícios (1) Determine uma base do filtro F A em I.7.2. (2) Mostre que a classe F 0 A ⊂ R : ∃ 0, −, ⊂ A é um filtro sobre R que tem uma base numerável. A classe −, : 0 é uma base do filtro F 0 ? Porquê ? -48(3) Mostre que a classe B 0 N p : p ∈ N onde N p p, p 1, . . . para cada p ∈ N é uma base do filtro de Fréchet. Resoluções (1) A é uma base do filtro F A . (2) F 1 verifica-se, porque 0 ∈ −, para cada 0, e assim para cada A ∈ F 0 tem-se A ≠ . F 2 é verdadeira também, porque se 1 , 2 0, − 1 , 1 ⊂ A 1 e − 2 , 2 ⊂ A 2 então min 1 , 2 0 e − min 1 , 2 , min 1 , 2 ⊂ A 1 ∩ A 2 . F 3 Se −, ⊂ A, 0 e A ′ ⊃ A então −, ⊂ A ′ e A ′ ∈ F. A classe B 0 −1/n, 1/n : n ∈ N é uma base do filtro F 0 , e é um conjunto numerável, dada a bijecção : N → B 0 , n −1/n, 1/n. −, : 0 é uma base de F 0 , pois cada −, ∈ F 0 e, pela definição de F 0 cada conjunto A ∈ F 0 verifica que existe certo 0 tal que −, ⊂ A. (3) Cada conjunto A do filtro de Fréchet F verifica A c ⊂ S p 1, . . . , p para certo p ∈ N. Uma vez que N p ∈ F para cada p, e A c ⊂ S p N p ⊂ A para cada A ⊂ N conclui-se que N p : p ∈ N é uma base de F. I.7.7 Definição Se F, F ′ são filtros sobre um mesmo conjunto X, diz-se que o filtro F ′ é mais fino que o filtro F, e nota-se F ′ F ou F F ′ se F ⊂ F ′ ; diz-se então também que o filtro F é menos fino que o filtro F ′ . I.7.8 Observação No conjunto parcialmente ordenado FX, dos filtros sobre X, toda a cadeia não vazia tem um majorante. Com efeito, se F i : i ∈ I, I ≠ , é uma cadeia em FX, para cada subconjunto finito e não vazio J de I e cada classe F j : j ∈ J, tem-se F j ∈ F j para cada índice j. Verifica-se facilmente que, com #J m, podemos designar J j1, . . . , jm onde F jk ⊂ F jk ′ para cada 1 ≤ k ≤ k ′ ≤ m; donde todos os F j pertencem a F jm e portanto ∩F j : j ∈ J ∈ F jm . Por conseguinte, o conjunto das intersecções finitas destas classes F j : j ∈ J é uma base de um filtro F sobre X ( pois cada intersecção é não vazia. e a intersecção de duas intersecções finitas é ainda uma intersecção finita), e o filtro F é mais fino que cada filtro F i , i ∈ I. Pelo lema de Zorn, existe portanto pelo menos um elemento maximal em FX, . -49I.7.9 Definição Sendo X um conjunto não vazio, diz-se ultrafiltro sobre X um elemento maximal no conjunto dos filtros sobre X, parcialmente ordenado para a relação de inclusão de conjuntos. I.7.10 Exemplo Se a ∈ X, o filtro F a F ⊂ X : a ∈ F é um ultrafiltro. Não podem obter-se outros ultrafiltros sobre X sem recorrer ao axioma de Zermelo. I.7.11 Observação Dado um filtro F sobre X, conclui-se aplicando o lema de Zorn que existe pelo menos um ultrafiltro U que contém F. Por exemplo em I.7.2 (1), para cada a ∈ A, F a é um ultrafiltro sobre X que contém F A . I.7.12 Teorema Se U é um filtro sobre X, U é um ultrafiltro sse para cada A ⊂ X se verifica A ∈ U ou A c ∈ U. I.7.13 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do teorema anterior: 1. Suponhamos que U verifica a propriedade. Se U não é um ultrafiltro, existe um filtro F ≠ U tal que U ⊂ F; 2. existe A ⊂ X tal que A ∈ F e A ∉ U; 3. A c ∈ U, e conclui-se um absurdo. Portanto se U verifica a propriedade do enunciado então U é um ultrafiltro. 4. Sejam U um ultrafiltro sobre X, e seja A ⊂ X, A ∉ U. Mostremos que B A c ∈ U. Se V ∈ U então V não verifica V ⊂ A; 5. V ∩ B ≠ ; 6. a classe V ∩ B : V ∈ U é uma base de um filtro F sobre X; 7. F é mais fino que U, e F U; 8. pode concluir-se B ∈ U, completando a demonstração. -50Resolução 1. Pois existe pelo menos um ultrafiltro F que contém U; 2. porque por 1. U ⊂ F e U ≠ F; 3. pela hipótese do enunciado sobre U, e porque como A ∈ F pelo passo 2., ter-se-á também A c ∈ F pelo passo 1., donde A ∩ A c ∈ F o que é impossível. Conclui-se assim a tese de absurdo da hipótese de absurdo de U não ser um ultrfiltro, portanto U é um ultrafiltro sobre X. 4. Porque se V ⊂ A e V ∈ U, então A ∈ U uma vez que U é um filtro; 5. pois se V ∩ A c então V ⊂ A, e pelo passo 4. não se verifica V ⊂ A; 6. pois pelos passos 4. e 5. cada V ∩ B ≠ ; como para cada V 1 , V 2 ∈ U se tem V V 1 ∩ V 2 ∈ U, conclui-se que cada intersecção V 1 ∩ B ∩ V 2 ∩ B V ∩ B é um conjunto que está na classe, e esta é portanto uma base de um filtro sobre X; 7. F é mais fino que U porque para cada V ∈ U, tendo-se V ∩ B ⊂ V e V ∩ B ∈ F pelo passo 6., também V ∈ F; assim, sendo U um elemento maximal, tem-se F U; 8. pois B B ∩ X ∈ F pela definição de F no passo 6., uma vez que X ∈ U pois U é um filtro. Assim B ∈ U pelo passo anterior, e conclui-se que U verifica a propriedade, e assim o teorema. -51I.7.14. Teorema É condição necessária e suficiente para que o filtro U sobre X seja um ultrafiltro que satisfaça a condição ∀A, B ⊂ X, A B ∈ U A ∈ U ∨ B ∈ U. I.7.15 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração do teorema: 1. Se U verifica a condição, conclui-se que U é um ultrafiltro da igualdade A A c X. 2. Sendo U um ultrafiltro, suponhamos A B ∈ U; bastará provar que se A ∉ U então B ∈ U. Podemos portanto supor A B ∈ U e A ∉ U; 3. tem-se A c ∩ B c ∉ U; 4. A c ∈ U; 5. B c ∉ U; 6. pode concluir-se a demonstração. Resolução 1. Pois X ∈ U, já que, por hipótese, U é um filtro sobre X. 2. Pois se A ∈ U não há nada aprovar; 3. porque pelo passo 2. A B ∈ U; não pode ser portanto A c ∩ B c A B c ∈ U pois então vinha A B ∩ A B c ∈ U por U ser por hipótese um filtro, o que é impossível; 4. pelo teorema em I.7.12, já que A ∉ U pelo passo 2.; 5. porque se B c ∈ U, então do passo 4. conclui-se A c ∩ B c ∈ U, contra o passo 3.; 6. pelo passo 5. e pelo teorema I.7.12, conclui-se B ∈ U como se queria provar no passo 2. I.7.16 Observação Se B é uma base de um filtro sobre X, considerando o filtro F gerado por B temos: se F é um ultrafiltro, então dado A ⊂ X é A ∈ F ou A c ∈ F; assim deve existir B ∈ B verificando ou B ⊂ A, ou B ⊂ A c . Reciprocamente, se para cada A ⊂ X existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que B ⊂ A ou B ⊂ A c então F é um ultrafiltro. Obtemos I.7.17 Teorema Uma base B de um filtro sobre X é base de um ultrafiltro sobre X sse para cada A ⊂ X, A contém um conjunto em B ou A c contém um conjunto em B. I.7.18 Sendo f : X → Y uma função e B uma base de filtro sobre Y, se f −1 B ≠ para cada B ∈ B, a classe f −1 B : B ∈ B é uma base de filtro sobre X. Duas bases de um mesmo filtro originam, por este processo, duas bases do mesmo filtro. Com X ⊂ Y e f : X → Y a aplicação de inclusão, se X ∩ B ≠ para cada B ∈ B então X ∩ B : B ∈ B é uma base de filtro sobre X. -52I.7.19 Definição Com X, Y, B e f como em I.7.18, a classe f −1 B : B ∈ B diz-se a base imagem recíproca da base de filtro B; o filtro F gerado pela classe diz-se também a imagem recíproca do filtro gerado por B. No caso particular de X ⊂ Y e f a aplicação de inclusão, a imagem recíproca do filtro gerado por B diz-se também o filtro restrição do filtro gerado por B, ou o filtro induzido pelo filtro gerado por B sobre X. I.7.20 Se B é uma base de filtro sobre X e f : X → Y é uma função, então fA : A ∈ B é base de um filtro F sobre Y. I.7.21 No contexto de I.7.20, a classe fA : A ∈ B diz-se a base imagem directa da base de filtro B. O filtro F é o filtro imagem directa do filtro sobre X gerado por G. I.7.22 Observações (1) Se acima B ′ é uma outra base do filtro sobre X gerado por B, a classe fA ′ : A ′ ∈ B ′ é ainda uma base do filtro F sobre Y. (2) Mesmo que B seja um filtro, a base imagem directa de B não é, em geral, um filtro. Se B é um filtro, o filtro imagem directa do filtro B é a classe C ⊂ Y : f −1 C ∈ B. I.7.23 Teorema Se B é base de um ultrafiltro sobre X, a base imagem directa de B é uma base de um ultrafiltro sobre Y. I.7.24 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema anterior, justificando as passagens: 1. Se B ⊂ Y então f −1 B c f −1 B c ; 2. f −1 B está no filtro gerado por B, ou f −1 B c eatá neste filtro; 3. pode concluir-se o teorema. Resolução 1. A inclusão f −1 B c ⊂ f −1 B c é consequência imediadata da definição de f −1 . Se x ∉ f −1 B então fx ∉ B e com y fx ∈ Y tem-se y ∈ B c , x ∈ f −1 y ⊂ f −1 B c concluindo-se f −1 B c ⊂ f −1 B c ; 2. atendendo a 1., pois por hipótese o filtro gerado por B é um ultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12; 3. porque B ⊃ ff −1 B, B c ⊃ ff −1 B c e assim pelo passo 2., B pertence ao filtro imagem directa do ultrafiltro gerado por B, ou B c pertence à imagem directa desse ultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12. I.7.25 Recordar que uma sucessão num conjunto não vazio X é uma função de N em X. A ordem parcial usual de N permite considerar uma subsucessão u nk da sucessão u n , como a composta u n após g, onde g : N → N, g : k nk é uma função estritamente crescente; permite também considerar o conceito de limite de uma sucessão. Podem considerar-se estas noções num contexto mais geral. -53I.7.26 Definição Sendo X um conjunto não vazio e J, um conjunto dirigido, uma função x : J → X diz-se uma rede em X, ou uma sucessão generalizada em X. Representa-se a rede x pondo x j J ou x j onde x j xj j ∈ J. Se I, ≥, J, são conjintos dirigidos, dizemos que uma aplicação : I → J é admissível se para cada índice j ∈ J existe pelo menos um índice i 0 ∈ I, tal que ∀i ∈ I, i ≥ i 0 i j. E dizemos que uma rede y i I é uma subrede (subsucessão generalizada) da rede x j J se existir uma aplicação admissível : I → J tal que y i x i para cada i ∈ I. I.7.27 Exemplo Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, F é um conjunto dirigido F para a quase-ordem (que é uma ordem parcial) F F ′ sse F ′ ⊂ F. Sendo : F → X o selector de Zermelo, podemos considerar a rede em X, x F F onde x F F para cada F ∈ F. I.7.28 Observações (1) O conjunto N com a ordem parcial usual é um conjunto dirigido; assim toda a sucessão em X é uma rede em X. No entanto, uma subrede da sucessão u n , ainda que seja uma sucessão, pode não ser uma subsucessão de u n no sentido habitual, como mostram as subredes 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9, . . . e 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, . . . de 1, 2, 3, 4, 5, . . . Se J N com a ordem parcial usual na definição I.6.26, : I → N é admissível se e só se i aumenta indefinidamente. Seguindo [Machado], se u u n , dizemos que uma função composta u n após g como em I.7.25, com g estritamente crescente, é uma subsucessão estrita de u n ; no entanto subentendemos, salvo menção em contrário, que uma subsucessão gou n u nk de u n é estrita i.e., que g : N → N, g : k nk é estritamente crescente. (2) Se J, é um conjunto dirigido, ≠ I ⊂ J, então a relação binária R em I definida por iRi ′ sse i, i ′ ∈ I ∧ i i ′ é uma quase-ordem em I, para a qual I é um conjunto dirigido. Dizemos que I é cofinal com J se para cada j ∈ J, existe pelo menos um i ∈ I tal que i j; então a aplicação de inclusão i i de I em J é admissível. Portanto, dada uma rede x j J , a rede x i I é uma subrede daquela. (3) Sendo x j J uma rede em X, y i I x i uma subrede de x j J e z k K y k x ok uma subrede de y i I , então também z k K é uma subrede de x i I . I.7.29 Exercício Verifique a observação (3) anterior. Resolução Por hipótese, existem aplicações admissíveis : I → J e : K → I tais que z k y k k ∈ K e y j x i i ∈ I. Então z k x k k ∈ K, e resta provar que a aplicação o : K → J é admissível. Para cada j ∈ J, existe pelo menos um índice i 0 ∈ I tal que i j para cada i ∈ I tal que i ≥ j 0 , pois é admissível; como é admissível, existe pelo menos um índice k 0 ∈ K com k ≥ i 0 para todo o k k 0 , k ∈ K. Concluimos que ok k j para todo o k k 0 , k ∈ K, provando o que se pretende. -54I.8 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS I.8.1 Mostre que PA ∩ B PA ∩ PB. I.8.2 a) Prove que se f : X → Y é uma função então ff −1 B B ∩ fX para cada B ⊂ Y; b) dê um exemplo em que A ⊂ X e f −1 fA ≠ A. I.8.3 Sejam A i : i ∈ I uma classe não vazia de conjuntos, B um conjunto. Mostre que: a) ∀i ∈ I, A i ⊂ B A i : i ∈ I ⊂ B; b) ∀i ∈ I, B ⊂ A i B ⊂ ∩A i : i ∈ I. I.8.4 Sejam A ⊂ X, I, J ≠ e A i : i ∈ I, B j : j ∈ J ⊂ PX. a) Mostre que: (1) A ∩ B j : j ∈ J A ∩ B j : j ∈ J; (2) A i : i ∈ I B j : j ∈ J A i ∩ B j : i, j ∈ I J. b) Verifique a lei da dualidade, obtendo (1’) A B j : j ∈ J A B j : j ∈ J e (2’) A i : i ∈ I B j : j ∈ J A i B j : i, j ∈ I J. I.8.5 a) Dadas classes de conjuntos X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 e um conjunto Y, mostre que: (i) X 1 X 2 Y 1 Y 2 X 1 Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y 1 X 2 Y 2 ; (ii) X 1 ∩ X 2 Y 1 ∩ Y 2 X 1 Y 1 ∩ X 2 Y 2 ; (iii) X 1 \X 2 Y X 1 Y\X 2 Y. b) Prove que X 1 Y 1 X 2 Y 2 X 1 X 2 ∧ Y 1 Y 2 . c) Prove que se A ⊂ X, B ⊂ Y então (i) A B A Y ∩ X B; (ii) A B c A c Y X B c . I.8.6 Mostre que se A s : s ∈ S, B t : t ∈ T são classes não vazias de conjuntos não vazios, então a) A s : s ∈ S B t : t ∈ T A s B t : s, t ∈ S T; b) ∩A s : s ∈ S ∩B t : t ∈ T ∩A s B t : s, t ∈ S T. I.8.7 Note que se X, Y são conjuntos não vazios, Rx é uma relação em X e Sy é uma relação em Y, então x, y ∈ X Y : Sy X y ∈ Y : Sy. Utilizando x, y ∈ X Y : Rx ∨ Sy x ∈ X : Rx Y X y ∈ Y : Sy conclua que x, y ∈ X Y : x ∈ A ∨ y ∈ B A Y B X. I.8.8 Sendo f : X → Y uma função, A, A 1 , A 2 ⊂ X, B, B 1 , B 2 ⊂ Y, a) (i) mostre que A 1 ⊂ A 2 fA 1 ⊂ fA 2 ; (ii) dê um exemplo em que fA 1 ⊂ fA 2 mas não se verifique A 1 ⊂ A 2 . -55b) Prove que fA sse A . c) Mostre que f −1 B 1 \B 2 f −1 B 1 \f −1 B 2 . d) Mostre que f −1 B sse B ∩ fX . e) (i) Prove que fA ∩ B fA ∩ f −1 B, e conclua que (ii) fA ∩ B sse A ∩ f −1 B e (iii) fA ⊂ B A ⊂ f −1 B. I.8.9 Note que se f : X → Y é uma função e g é a função restrição de f a A ⊂ X, A ≠ , então g −1 B A ∩ f −1 B para cada B ⊂ Y. Prove que se A i : i ∈ I é uma classe não vazia de subconjuntos não vazios de X tal que X A i : i ∈ I, e g i é a função restrição de f a A i para cada i ∈ I, então f −1 B g −1 i B : i ∈ I. I.8.10 Sejam X, Y 0 , Y 1 conjuntos não vazios, f 0 : X → Y 0 e f 1 : X → Y 1 funções. Mostre que definindo f : X → Y 0 Y 1 por fx f 0 x, f 1 x se tem: a) fA ⊂ f 0 A f 1 A para cada A ⊂ X; −1 b) f −1 B 0 B 1 f −1 0 B 0 ∩ f 1 B 1 se B 0 ⊂ Y 0 , B 1 ⊂ Y 1 . I.8.11 Sejam f 0 : X 0 → Y 0 e f 1 : X 1 → Y 1 funções. Considere a função g : X 0 X 1 → Y 0 Y 1 definida por gx 0 , x 1 f 0 x 0 , f 1 x 1 . Prove que: a) gA 0 A 1 f 0 A 0 f 1 A 1 A i ⊂ X i , i 0, 1; −1 b) g −1 B 0 B 1 f −1 0 B 0 f 1 B 1 B j ⊂ Y j , j 0, 1. I.8.12 Um número real diz-se algébrico se é uma raiz de um polinómio de coeficientes inteiros; caso contrário diz-se transcendente. Mostre que o conjunto dos números algébricos é numerável e conclua que o conjunto dos números transcendentes tem o cardinal do contínuo. I.8.13 Uma parte A de um conjunto não vazio X diz-se uma parte própria de X se A ≠ X. a) Prove que um conjunto infinito é equipotente a uma parte própria. (Sug: princípio da boa ordenação; método de indução dos números naturais.) b) Pode caracterizar os conjuntos infinitos, como sendo os conjuntos equipotentes a uma parte própria ? Justifique. I.8.14 a) Deternine os cardinais: (i) #Q 2 ; (ii) #R 2 . b) Demonstre por indução em n ∈ N que #Q n # 0 e #R n c. I.8.15 O conjunto de Cantor ([Kuratowski]) é o conjunto C dos números reais s no intervalo [0,1] que são da forma s 31 3 22 3 33 . . . , onde n ∈ 0, 2 para cada n ∈ N. Mostre que #C c. I.8.16 Se X t : t ∈ T é uma classe disjunta não vazia de conjuntos não vazios, Y é um conjunto não vazio, cada função f x, fx : x ∈ X t : t ∈ T ∈ Y X t :t∈T pode identificar-se com o t −énuplo x, f t x : x ∈ X t ∈ t∈T Y X t , onde f t é a função restrição de f a cada conjunto X t t ∈ T. Conclui-se que se os cardinais , t t ∈ T são não nulos, então ∑ t∈T P t∈T t . Também, se Y t : t ∈ T é uma classe disjunta não vazia de conjuntos não vazios, X é um conjunto não vazio, podem identificar-se os conjuntos t∈T Y t X e t∈T Y Xt , donde sendo , t t ∈ T numeros cardinais diferentes de zero, P t∈T t P t∈T t . I.8.17 Não pode concluir-se utilizando os axiomas citados até agora, se existe algum cardinal tal que # 0 2 # 0 . A hipótese de que não existe um tal cardinal diz-se a hipótese do contínuo. t -56I.8.18 Dado o conjunto N dos números naturais, podemos considerar os conjuntos PN, PPN e assim sucessivamente. Obtidos, desta forma, P 1 PN, P 2 PPN,. . . , P n N, podemos obter P n1 N e considerar a classe C P n N : n ∈ N. Prova-se ([Oliveira]) que para cada n, #P n #C. Cada cardinal de um conjunto P n N diz-se um cardinal acessível. Existem portanto números cardinais não acessíveis. . I.8.19 Sendo A uma classe de conjuntos, diremos que uma parte H de A é uma torre em A se para cada A, B ∈ H se tem A ⊂ B ou B ⊂ A. Uma torre M em A é maximal se nehuma torre N em A verifica M ⊂ N e N ≠ M. Dizemos ainda que uma classe A de conjuntos tem carácter finito se cada subconjunto finito de um conjunto em A está em A e se um conjunto A é tal que toda a sua parte finita está em A, então A está também em A. Recordar ainda a noção de quase-ordem num conjunto em I.5.29 (ou pré-ordem). Dado que aceitamos o símbolo da escolha de Hilbert em I.3.4, fica implícito que aceitamos as proposições equivalentes seguintes: Princípio maximal de Hausdorff _ Se A é uma classe de conjuntos e N é uma torre em A, existe uma torre maximal M em A que contem N Princípio maximal _ Se para cada torre N em A existe um conjunto em A que contem cada conjunto em N, então existe um conjunto M ∈ A tal que para nenhum N ∈ A se verifica M ⊂ N Lema de Tukey _ Existe um elemento maximal em toda a classe não vazia de carácterr finito Lema de Kuratowski _ Toda a cadeia num conjunto parcialmente ordenado está contida numa cadeia maximal Lema de Zorn _ Se toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado X tem um majorante, então existe em X um elemento maximal. Axioma da Escolha de Zermelo _ Dada uma família constituída por conjuntos X i indiciada num conjunto não vazio de índices I, existe uma função de escolha , o selector de Zermelo, tal que i ∈ X i para cada índice i ∈ I Postulado de Zermelo _ Se A é uma classe não vazia de conjuntos não vazios e dois a dois disjuntos, existe um conjunto C tal que A ∩ C é um conjunto reduzido a um elemento, para cada A ∈ A Princípio da Boa Ordem _ Dado qualquer conjunto C, existe uma boa ordem em C Produto infinito _ Se X : ∈ A é uma família não vazia de conjuntos não vazios, então ∈A X ≠ I.8.20 O Lema de Zorn pode ser formulado, segundo [Dugundji] de modo mais geral; dada uma quase-ordem ≤ no conjunto X consideram-se os conceitos de cadeia em X, elemento maximal em X, analogamente à situação em que ≤ é uma ordem parcial. Tem-se então o enunciado equivalente Sendo X um conjunto munido de uma quase-ordem, se toda a cadeia não vazia tem um majorante então existe em X um elemento maximal. -57BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO I [Aliprantis, Burkinshaw] _ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles of Real Analysis”, Academic Press San Diego.New York.Boston.London.Sydney.Tokyo.Toronto. (1990). [Cohn] _COHN, P. M. ”Algebra”, Second Edition, Volume 2.John Wiley & Sons, Chichester.New York.Brisbane.Toronto.Singapore. (1989). [Costa] _COSTA, A. A. ”Cours d’Algèbre Générale”, Volume I, 2nde Édition, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1969). [Dieudonné] _DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de Análisis Moderno”, Editorial Reverté, S.A. Barcelona.Buenos Aires. México. (1966). [Dugundji] _ DUGUNDJI, JAMES ”Topology”, Allyn and Bacon, Inc. Boston, London, Sydney, Toronto (1966). [Guerreiro] _GUERREIRO, J. SANTOS ”Curso de Análise Matemática”, Escolar Editora, Lisboa (1989). [Kelley] _KELLEY, JOHN L. ”General Topology”, Graduate Texts in Mathematics, 27 Springer-Verlag, New york.Berlin.Heidelberg.London.Paris.Tokyo.Hong Kong.Barcelona. (1955). [Kolmogorov, Fomin] _KOLMOGOROV, A. N., FOMIN, S. V. ”Elementos da Teoria das Funções e de Análise Funcional”, Editora Mir-Moscou. (1982). [Kuratowski] _KURATOWSKI, K. ”Topology”. Volume I, Academic Press, New York and London, PWN_Polish Scientific Publishers, Warszawa. (1966). [Machado] _ MACHADO, ARMANDO ”Introdução à Análise Funcional”, Escolar Editora. (1991). [Oliveira] _OLIVEIRA, FRANCO ”Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiomática (ZFC)”, Escolar Editora (1982). [Schwartz] _SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie générale et analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann, Paris. (1970). -58- II ESPAÇOS MÉTRICOS -59II.1 DESIGUALDADES DE CAUCHY-SCHWARZ, HOLDER E MINKOWSKI II.1.1 Propriedade (desigualdade de Cauchy-Schwarz). Se u k , v k são números reais não nrgativos, k 1, 2, . . . , n, n ∈ N, então n n n u k v k ≤ ∑ k1 u 2k 2 ∑ k1 v 2k 2 ∑ k1 1 1 Dem. Dados números reais a, b, a b, o intervalo a, b é o conjunto a, b 1 − a b : 0 ≤ ≤ 1. Uma vez que a função y log x tem a concavidade voltada para cima, se 0 a b, a imagem y 0 log1 − a b não é menor que 1 − y a y b , onde y a log a, y b log b. Assim tem-se 1 − log a log b ≤ log1 − a b. Sendo a função exponencial crescente, obtem-se exp1 − log a log b ≤ 1 − a b, ou seja a 1− b ≤ 1 − a b. Notar que esta desigualdade é verdadeira para quaisquer a, b ≥ 0, e a igualdade dá-se se e só se a b. Dados números reais positivos a k , b k , 1 ≤ k ≤ n obtemos com n n A ∑ k1 a k , B ∑ k1 b k , fazendo a a k /A e b b k /B para cada k, 1− b k /B ≤ 1 − a k /A b k /B. Adicionando, (1) a 1− k /A 1− B ≤ 1 − ∑ k1 a k /A ∑ k1 b k /B 1, e (2) ∑ k1 a 1− k b k /A n n n (3) ∑ k1 a 1− b ≤ a k 1− ∑ k1 b k . Pondo u k a 1− ∑ k1 k k k , v k b k , e fazendo obtemos a desigualdade pretendida, c.q.d. n n n 1 2 II.1.2 Exercícios 1. Utilizando a demonstração anterior, obtenha uma demonstração da desigualdade de Holder: Se p, q 1 verificam 1p 1q 1, u k , v k ≥ 0 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N então n n n p q u k v k ≤ ∑ k1 u k p ∑ k1 v k q . ∑ k1 1 1 2. Analisando a demonstração, conclua que só se verifica a igualdade, na desigualdade de Holder, se exite uma mesma constante c ≥ 0 tal que a k cb k para todo o k 1, . . . , n. Resoluções 1. Pondo, em (3), 1 − 1p 1q . 2. Pois a igualdade verifica-se em (1) se e só se a k /A b k /B, i.e. sse a k /b k A/B c para cada k. , -60II.1.3 Propriedade (desigualdade de Minkowski). Se p ≥ 1, u k , v k ∈ R 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N, então ∑ k1 ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k1 ∣ u k ∣ p p ∑ k1 ∣ v k ∣ p p . Dem. Para p 1, a desigualdade é óbvia. Se p 1, 1q 1 − 1p , com a k ∣ u k ∣, b k ∣ v k ∣ podemos aplicar a desigualdade de Hölder a cada parcela da soma n b k a k b k p−1 . ∑ k1 a k a k b k p−1 ∑ k1 Obtemos assim n n ∣ u k v k ∣ p ≤ ∑ k1 a k b k a k b k p−1 ≤ ∑ k1 n n 1 n 1 1 ∑ k1 a k p ∑ k1 a k b k qp−1 q ∑ k1 b k p ∑ k1 a k b k qp−1 q . n p 1 Então de 1 p n 1− n 1 1 q p n 1 1 , qp − 1 p, obtemos, dado que ∑ k1 a k b k qp−1 q 0, n 1 ∑ k1 ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k1 a k p ∑ k1 b k p c.q.d. n n 1 p n 1 p 1 II.1.4 As desigualdades em II.1.1, II.1.2 e II.1.3 são casos particulares, para a medida de contagem, das seguintes desigualdades para integrais: Desigualdade de Holder Se p, q 1, 1p 1q 1, , ∑, é um espaço de medida, f, g ∈ R , ∣ fg ∣ d ≤ ∣ f ∣ p d p ∣ g ∣ q d q . 1 1 Desigualdade de Minkowski Se p ≥ 1, , ∑, e f, g são como acima, ∣ f g ∣ p d p ≤ 1 ∣ f ∣ p d p 1 1 ∣ g ∣ p d p . II.1.5 Observações (1) Para p q 2, a desigualdade de Minkowski é também conhecida por desigualdade de Schwarz; demonstrações de II.1.4 podem ver-se em [Rudin]. (2) Utilizando a medida de contagem se I ⊂ N são válidas 1 1 ∑ k∈I ∣ u k v k ∣≤ ∑ k∈I ∣ u k ∣ p p ∑ k∈I ∣ v k ∣ q q p, q ≥ 1, 1 1 p q 1, ∑ k∈I ∣ u k v k ∣ p p ≤ ∑ k∈I ∣ u k ∣ p p ∑ k∈I ∣ v k ∣ p p p ≥ 1 1 1 1 . -61II.2 DISTÂNCIA NUM CONJUNTO. ESPAÇO MÉTRICO. SUCESSÕES CONVERGENTES. II.2.1 Se a, b são números reais, o número real não negativo ∣ a − b ∣ dá a distância entre a e b, entendida como o comprimento do segmento da recta de extremos a, b. Representando da, b ∣ a − b ∣, obtemos uma função d : R R → R tal que (D1) dx, y ≥ 0, dx, x 0; (D2) dx, y dy, x; (D3) dx, z dx, y dy, z (faça-se ∣ x − z ∣∣ x − y y − z ∣) e (D4) dx, y 0 implica x y. O teorema de Pitágoras mostra que, analogamente, 1 d e x 1 , x 2 , y 1 , y 2 x 1 − y 1 2 x 2 − y 2 2 2 dá a distância intuitiva entre os pontos x 1 , x 2 e y 1 , y 2 do plano cartesiano R 2 . Utilizando a desigualdade de Minkowski com p 2 (também conhecida como desigualdade de Cauchy), vemos que a função d e : R 2 R 2 → R verifica também as propriedades (D1),...,(D4). Se E é um qualquer conjunto não vazio, a função d i E E → R definida por d i x, y 0, se x y e d i x, y 1 se x ≠ y, tem também as propriedades (D1),...,(D4). II.2.2 Definição Se E é um conjunto não vazio, uma função d : E E → R verificando as condições (D1),...,(D4) acima diz-se uma distância ou uma métrica em E, ou sobre E. O par E, d chama-se um espaço métrico. Notar que de (D3) e (D2), aplicando primeiro (D3) directamente, e depois trocando x com y nesta desigualdade, se conclui que se d é uma métrica em E, então ∣ dx, z − dy, z ∣≤ dx, y. II.2.3 Exemplos Em II.2.1, d (resp. d e , d i ) são métricas sobre R, respectivamente R 2 e E, e R, d, R 2 , d e , E, d i são espaços métricos. A métrica d chama-se a métrica euclideana ou usual em R, e d e é a métrica euclideana em R 2 . A métrica d i chama-se a métrica discreta. -62II.2.4 Observação A função d M : R 2 R 2 → R, d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ é também uma métrica sobre R 2 ; R 2 , d e e R 2 , d M são espaços métricos diferentes. II.2.5 Exercícios (1) Verifique a observação anterior. (2) Mostre que se d é uma métrica em E, então são métricas em E: (i) 2d definida por 2dx, y 2dx, y x, y ∈ E; dx,y d d (ii) d1 definida por d1 x, y 1dx,y ; (iii) min1, d definida por min1, dx, y min1, dx, y. (3) Prove que z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ é uma distância em C. II.2.6 Resoluções (1) (D1) d M x \ , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ ≥ 0, e d M x 1 , x 2 , x 1 , x 2 max∣ x 1 − x 1 ∣, ∣ x 2 − x 2 ∣ max0, 0 0. (D2) d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ max∣ x 2 − x 1 , ∣ y 2 − y 1 ∣ d M y 1 , y 2 , x 1 , x 2 . (D3) d M x 1 , x 2 , z 1 , z 2 max∣ x 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − z 2 ∣ max∣ x 1 − y 1 y 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 y 2 − z 2 ∣≤ max∣ x 1 − y 1 ∣ ∣ y 1 − z 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ ∣ y 2 − z 2 ∣ ≤ max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣∣ x 2 − y 2 ∣ max∣ y 1 − z 1 ∣, ∣ y 2 − z 2 ∣ d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 d M y 1 , y 2 , z 1 , z 2 . (D4) d M x 1 , x 2 , y 1 , y 2 max∣ x 1 − y 1 ∣, ∣ x 2 − y 2 ∣ 0 implica ∣ x 1 − y 1 ∣ 0, x 1 y 1 e ∣ x 2 − y 2 ∣ 0, donde x 2 y 2 e x 1 , x 2 y 1 , y 2 . (2) (i) 2d verifica as condições (D1) e (D2), pois d satisfaz (D1), (D2); verifica também (D3), pois 2dx, z 2dx, z ≤ 2dx, y dy, z 2dx, y 2dy, z 2dx, y 2dy, z, uma vez que d verifica (D3); também 2dx, y 0 implica dx, y 0, que implica x y, porque d satisfaz (D4), e assim 2d verifica também a condição (D4), e é uma métrica em E. dx,y d d 0 x, y 1dx,y 0, pois dx, y 0; também d1 x, x 10 0 pois (ii) d1 d d d d dx, x 0, e d1 verifica (D1). Como dx, y dy, x, tem-se d1 x, y d1 y, x, e d1 t verifica (D2). A função ft t1 t ≥ 0 é crescente, e portanto tem-se: dx,ydy,z dx,y dy,z dx,z d x, z 1dx,z ≤ 1dx,ydy,z ≤ 1dx,y 1dy,z , uma vez que dy, z, dx, y ≥ 0. d1 d d d d x, z ≤ d1 x, y d1 y, z, e d1 satisfaz a condição (D3). (D4) verifica-se Assim d1 d também, pois d1 x, y 0 implica dx, y 0 e então x y porque d satisfaz (D4). (iii) min1, dx, y min1, dx, y ≥ 0, pois dx, y ≥ 0, 1 ≥ 0; e min1, dx, x min1, dx, x min1, 0 0 porque dx, x 0; portanto min1, d verifica (D1). Também, sendo dx, y dy, x, tem-se min1, dx, y min1, dy, x e min1, dx, y min1, dy, x. Para (D3), encontra-se: sendo a, b ≥ 0, então min1, a min1, b ≥ 1 min1, b ≥ min1, a b se a ≥ 1; e, se a, b ≤ 1, então min1, a b ≤ a b min1, a min1, b. Portanto min1, dx, z min1, dx, z ≤ min1, dx, y dy, z ≤ min1, dx, y min1, dy, z min1, dx, y min1, dy, z e min1, d verifica (D3). Também min1, dx, y 0 dx, y 0, x y. -63(3) (D1) z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ ≥ 0, e z, z max∣ Re z − Re z ∣, ∣ Im z − Im z ∣ max0, 0 0. (D2) z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ max∣ Re z 2 − Re z 1 ∣, ∣ Im z 2 − Im z 1 ∣ z 2 , z 1 . (D3) z 1 , z 3 max∣ Re z 1 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 3 ∣ max∣ Re z 1 − Re z 2 Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 Im z 2 − Im z 3 ∣≤ max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣ ∣ Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ ∣ Im z 2 − Im z 3 ∣≤ max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ max∣ Re z 2 − Re z 3 ∣, ∣ Im z 2 − Im z 3 ∣ z 1 , z 2 z 2 , z 3 . (D4) z 1 , z 2 max∣ Re z 1 − Re z 2 ∣, ∣ Im z 1 − Im z 2 ∣ 0 implica Re z 1 Re z 2 e Im z 1 Im z 2 , logo z 1 z 2 . II.2.7 Vê-se por II.2.1 que a convergência de uma sucessão de números reais x n para um ponto a, é entendida como a convergência da sucessão das distâncias a a, dx n , a ∣ x n − a ∣→ 0 n → . A convergência de uma sucessão x n , y n → a, b em R 2 é usualmente entendida de novo, como a convergência da sucessão das distâncias d e x n , y n , a, b dos termos da sucessão ao limite, para zero. Em ambos os casos, os termos da sucessão aproximam-se do limite, e a medida dessa proximidade é dada por os termos, a partir de certa ordem n, verificarem a condição x n ∈ Ia, a − , a x ∈ R : dx, a no primeiro caso, e x n , y n ∈ B 0 a, b, x, y ∈ R 2 : d e x n , y n , a, b . Deste modo, dado um espaço métrico E, d, pode considerar-se a noção de convergência de uma sucessão de pontos de E para um ponto de E. Põe-se por definição: II.2.8 Definição Sejam E, d um espaço métrico, x n uma sucessão em E, a ∈ E. Diz-se que x n é convergente para a, converge para a ou que tem limite a, se é verificada a condição l para cada 0, existe uma ordem p p ∈ N tal que dx n , a para cada n ≥ p. Nota-se então lim x n a ou x n → a. Em linguagem lógica, lim x n a ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n ≥ p dx n , a . Se x n não é convergente, diz-se também que é divergente. II.2.9 Propriedade Num espaço métrico, o limite de uma sucessão, se existe é único. Dem. Trata-se de provar que se E, d é um espaço métrico, e x n é uma sucessão em E, lim x n a, lim x n b, a, b ∈ E, então a b. Dado 0, a condição l aplicada a a, b separadamente, mostra que existem p/2 ∈ N, para a, e p ′ /2 para b, tais que, com p maxp/2, p ′ /2 se tem, para cada n ≥ p 0 , dx n , a /2 (pois n ≥ p/2) e dx n , b /2, pois então n ≥ p ′ /2. Em particular, para n p, verifica-se dx p , a /2 e dx p , b /2. Então usando (D2) e (D3), tem-se da, b ≤ da, x p dx p , b . Concluímos que não pode ser a ≠ b, pois então seria da, b 0 0 (usando (D1) e (D4)), e considerando p 0 /2 e p ′ 0 /2 no raciocínio anterior, teríamos simultaneamente da, b 0 , da, b 0 . A hipótese de absurdo a ≠ b implica uma contradição, e conclui-se a propriedade c.q.d. -64II.2.10 Exemplos n (1) A sucessão n1 , log2 1n em R 2 , é convergente em R 2 , d e , para o limite n 1, log 2. Com efeito, como n1 → 1 e log2 1n → log 2 em R munido da métrica usual, n tem-se: dado 0, existe uma ordem p 1 ∈ N tal que ∣ n1 − 1 ∣ / 2 para cada 1 n ≥ p 1 ; e existe p 2 ∈ N tal que ∣ log2 n − log 2 ∣ / 2 se n ≥ p 2 . Se então n , log2 1n , 1, log 2 n ≥ p 0 maxp 1 , p 2 ∈ N, tem-se d e n1 n n1 − 1 2 log2 1n − log 2 2 2 2 . A sucessão é convergente para o mesmo limite, no espaço métrico R 2 , d M em II.2.4 (2) A sucessão 1n não é convergente em R, d i , d i a métrica discreta em II.2.1. Com efeito, qualquer que seja a ∈ R, tem-se a ≠ 1n para uma infinidade de números naturais n, vindo d i 1n , a 1; escolhendo então 1/2 0 na condição de limite l, não existe nenhuma ordem p ∈ N tal que d i 1n , a 1/2 para cada n ≥ p. 2 2 II.2.11 Observação Se x n é constante e igual a a, a partir de certa ordem, a propriedade (D1) da métrica mostra que a satisfaz a condição l, e lim x n a. II.2.12 Exercícios n (1) Mostre que n1 , log2 1n → 1, log 2 em R 2 , d M . (II.2.4). (2) Prove que a sucessão z n n sin 1n ie −n é convergente para 1 no espaço métrico C, , a métrica em II.2.5 (3). (3) Demonstre que: a) uma sucessão x n , y n converge para a, b em R 2 , d e se e só se x n → a e y n → b em R munido da métrica usual. b) x n , y n → a, b em R 2 , d M se e só se x n → a e y n → b em R, d, d a métrica usual em R (d s como em II.2.4). c) Conclua de a) e b) que uma sucessão é convergente em R 2 , d e sse é convergente, para o mesmo limite, em R 2 , d M . (4) Mostre que uma sucessão é convergente num espaço métrico munido da métrica discreta (II.2.3) se e só se é constante, a partir de certa ordem. Resoluções n (1) Uma vez que n1 → 1 e log2 1n → log 2 em R munido da métrica usual, n tem-se: dado 0, existem p 1 , p 2 ∈ N tais que ∣ n1 − 1 ∣ se n ≥ p 1 e 1 ∣ log2 n − log 2 ∣ para cada n ≥ p 2 . Então p maxp 1 , p 2 ∈ N verifica a condição: n p implica n n d M n1 , log2 1n , 1, log 2 max∣ n1 − 1 ∣, ∣ log2 1n − log 2 ∣ . (2) Tem-se n sin 1n → 1 e e −n → 0 em R para a métrica usual; portanto para cada 0, existem ordens p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ Re z n − 1 ∣ ∣ n sin 1n − 1 ∣ e n ≥ p 2 implica ∣ Im z n ∣ . Para n ≥ p maxp 1 , p 2 é portanto z n , 1 . -65(3) a) Suponhamos que x n , y n → a, b em R 2 , d e , i.e., para cada 0, existe p p ∈ N tal que n ≥ p implica d e x n , y n , a, b x n − a 2 y n − b 2 . Então se n ≥ p tem-se ∣ x n − a ∣≤ d e x n , y n , a, b e ∣ y n − b ∣≤ d e x n , y n , a, b , o que mostra que x n → a e y n → b em R munido da métrica usual. Reciprocamente, se lim x n a e lim y n b, então para cada 0, existem p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ x n − a ∣ e n ≥ p 2 implica ∣ y n − b ∣ ; 2 2 com p maxp 1 , p 2 , n ≥ p implica d e x n , y n , a, b , e limx n , y n a, b em R 2 , d e , c.q.d. b) Se x n → a, y n → b em R munido da métrica usual, então para cada 0, existem p 1 , p 2 ∈ N tais que n ≥ p 1 implica ∣ x n − a ∣ , n ≥ p 2 implica ∣ y n − b ∣ ; vem para n ≥ p maxp 1 , p 2 que ∣ x n − a ∣ e ∣ y n − b ∣ , donde n ≥ p implica d M x n , y n , a, b max∣ x n − a ∣, ∣ y n − b ∣ , e x n , y n → a, b em R 2 , d M , c.q.d. c) Tem-se limx n , y n a, b em R 2 , d e sse lim x n a e lim y n b em R munido da métrica usual, por a); e lim x n a, lim y n b sse limx n , y n a, b em R 2 , d M pela b). Assim x n , y n converge para a, b em R 2 , d e sse x n , y n converge para a, b em R 2 , d M . (4) Sejam x n uma sucessão em E, d i , E um conjunto não vazio, a ∈ E. Se existe uma ordem p tal que x n a para cada n ≥ p, tem-se lim x n a (II.2.11). Reciprocamente, se lim x n a, então escolhendo 1/2 0 na condição l, deve existir uma ordem p p1/2 tal que para cada n ≥ p, d i x n , a 1/2. Para que x n verifique esta condição, tem de ser x n a, pois se x n ≠ a então d i x n , a 1, pela definição da métrica discreta d i (II.2.3). Portanto x n é constante a partir de certa ordem, se é convergente. -66II.2.13 Obsevação Se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, a função restrição d A da métrica d ao conjunto A A é uma métrica em A. II.2.14 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A uma parte não vazia de E. A métrica d A em A, restrição de d a A A, diz-se a métrica induzida pela métrica d em A. O espaço métrico A, d A diz-se um subespaço métrico de E, d. II.2.15 Observação Uma sucessão num subespaço métrico pode não ser convergente no subespaço, e no entanto ser convergente no espaço métrico: considere-se por exemplo a sucessão x n 1 1n n em Q, d, convergente em R, d para e, onde d é a métrica usual em R. II.2.16 Definição Sejam E, d um espaço métrico, a ∈ E, r 0. Chama-se bola aberta (resp. bola fechada) de centro a e raio r, o conjunto B 0 a, r x ∈ E : dx, a r (resp. Ba, r x ∈ E : dx, a ≤ r). II.2.17 Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual, Ia, r a − r, a r é, para cada a ∈ R e cada r 0, a bola aberta B 0 a, r. Ba, r a − r, a r é a bola fechada correspondente. (2) No espaço métrico C, em II.2.5 (3), a bola fechada B0, 1 é o quadrado −1, 1 −i, i. A bola aberta correspondente é o quadrado sem os lados. (3) Se E é um conjunto não vazio, e d i é a métrica discreta em E, a ∈ E, tem-se B 0 a, 1 x ∈ E : d i x, a 1 x ∈ E : d i x, a 0 a. Ba, 1 E, pois todo o x ∈ E verifica a condição d i x, a ≤ 1. II.2.18 Exercícios (1) Determine a bola aberta e a bola fechada de centro 13 e raio 1 no espaço métrico R, 2d, d a métrica usual (II.2.5 (2) (i)). (2) a) Prove que as seguintes funções são métricas em R n , para cada número natural n: 1 n (i) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ; (ii) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n; n (iii) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣. (Sug: para (i), utilize a desigualdade de Minkowski). b) Supondo n 1 na a), determine as métricas induzidas por d e , d M e d s em R 0 n−1 . c) Com n 2, esboce no plano cartesiano: (i) B 0 0, 1, 1 e B0, 1, 1, para as métricas d e e d M ; (ii) B0, 0, 1 para cada uma das métricas d e , d M , d s . (3) Se a, b ∈ R 2 , ≠ W ⊂ R 2 , põe-se a, b W a, b x, y : x, y ∈ W. (i) Prove que a, b B 0 0, 0, r B 0 a, b, r e Ba, b, r a, b B0, 0, r em 2 R , d e , para cada a, b ∈ R 2 e cada r 0. (ii) É válido um resultado análogo a (i) para as métricas d M e d s ? Porquê? -67II.2.19 Resoluções (1) B 0 13 , 1 x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣ 1 x ∈ R :∣ x − 13 ∣ 12 x ∈ R : − 12 x − 13 12 − 16 , 56 . B 13 , 1 x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣≤ 1 x ∈ R :∣ x − 13 ∣≤ 12 x ∈ R : − 12 ≤ x − 13 ≤ 12 − 16 , 56 . 1 n (2) a) (i) (D1) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ≥ 0; e 1 n n d e x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n ∑ k1 ∣ x k − x k ∣ 2 2 ∑ k1 0 0. 1 n (D2) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 1 n ∑ k1 ∣ y k − x k ∣ 2 2 d e y 1 , . . . , y n , x 1 , . . . , x n . 1 n (D3) d e x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . , z n ∑ k1 ∣ x k − z k ∣ 2 2 1 1 2 n ∑ k1 ∣ x k − y k y k − z k ∣ 2 2 ≤ ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣ 2 2 ≤ 1 1 n n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 ∑ k1 ∣ y k − z k ∣ 2 2 d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n d e y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n . 1 n (D4) d e x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 0 implica ∣ x k − y k ∣ 0 k 1, . . . , n e, portanto, x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n . (ii) (D1) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n ≥ 0, e d M x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n max∣ x k − x k ∣: k 1, . . . , n max0 0. (D2) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n max∣ y k − x k ∣: k 1, . . . , n d M y 1 , . . . , y n , x 1 , . . . , x n . (D3) d M x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . , z n max∣ x k − z k ∣: k 1, . . . , n max∣ x k − y k y k − z k ∣: k 1, . . . , n ≤ max∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣: k 1, . . . , n ≤ max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n max∣ y k − z k ∣: k 1, . . . , n d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n d M y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n . (D4) d M x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n max∣ x k − y k ∣: k 1, . . . , n 0 implica ∣ x k − y k ∣ 0 k 1, . . . , n e x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n . n (iii) (D1) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣≥ 0, e n n d s x 1 , . . . , x n , x 1 , . . . , x n ∑ k1 ∣ x k − x k ∣ ∑ k1 0 0. n n (D2) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∑ k1 ∣ y k − x k ∣ d s y 1 , . . , y n , x 1 , . . . , x n . n (D3) d s x 1 , . . . , x n , z 1 , . . . z n ∑ k1 ∣ x k − z k ∣ n n ∣ x k − y k y k − z k ∣≤ ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ ∣ y k − z k ∣ ∑ k1 n n ∣ x k − y k ∣ ∑ k1 ∣ y k − z k ∣ d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 d s y 1 , . . . , y n , z 1 , . . . , z n . n (D4) d s x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 0 implica x k y k para cada k, x 1 , . . . , x n y 1 , . . . , y n . b) R 0 n−1 x, 0, . . . , 0 : x ∈ R . As restrições de d e , d M e d s a x, 0, . . . , 0 : x ∈ R são a função dx, 0, . . . , 0, y, 0, . . . , 0 ∣ x − y ∣. (3) (i) a, b B 0 0, 0, r a, b x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 r a x, b y ∈ R 2 : a x − a 2 b y − b 2 r u, v ∈ R 2 : u − a 2 v − b 2 r B 0 a, b, r. a, b B0, 0, r a, b x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ r a x, b y ∈ R 2 : a x − a 2 b y − b 2 ≤ r -68u, v ∈ R 2 : u − a 2 v − b 2 ≤ r Ba, b, r). (ii) Sim, porque pode substituir-se, no desenvolvimento anterior, d e x, y, 0, 0 x 2 y 2 , d e a x, b y, a, b a x − a 2 b y − b 2 , d e u, v, a, b u − a 2 v − b 2 por d M x, y, 0, 0 max∣ x ∣, ∣ y ∣, d M a x, b y, a, b max∣ a x − a ∣, ∣ b y − b ∣ e d M u, v, a, b max∣ u − a ∣, ∣ b − v ∣; ou analogamente pela métrica d s , que também verifica a propriedade d s a x, b y, a, b d s x, y, 0, 0 e, mais geralmente, d s a, b, c, d d s a, b x, y, c, d x, y para cada a, b, c, d, x, y ∈ R 2 . II.2.20 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A, d A um subespaço métrico de E, d. Se a ∈ A, r 0 tem-se: a bola aberta B 0,A a, r em A, d A é a intersecção B 0,A a, r B 0 a, r ∩ A. Para a bola fechada, B A a, r Ba, r ∩ A. Dem Tem-se B 0,A a, r x ∈ A : d A x, a r x ∈ A : dx, a r B 0 a, r ∩ A. Analogamente para a bola fechada. II.2.21 Exercícios (1) Determine B A 0, 0, 2 em R 2 , d s (II.2.18), A x, y ∈ R 2 : x 0. (2) Determine B 0,A 1, 1 em R, d, d a métrica usual, A 1/n : n ∈ N. II.2.22 Resoluções (1) B A 0, 0, 2 x, y ∈ R 2 : x 0, x − 2 ≤ y ≤ 2 − x. (2) B 0,A 1, 1 A. II.2.23 Obsevação A condição l em II.2.8 pode escrever-se, em linguagem lógica l x n → a ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n ≥ p x n ∈ B 0 a, . ′ II.2.24 Teorema Se x n → a no espaço métrico E, d e x n k é uma subsucessão de x n , então x n k → a. Dem. Pois com p p na condição l, tem-se n k ≥ k e portanto dx n k , a para todo o k ≥ p. II.2.25 Observação Se o ponto a não é limite de nenhuma subsucessão da sucessão x n , então existe 0 tal que para certo p ∈ N se tem dx n , a , se n ≥ p. Com efeito, se esta condição não se verifica, temos pela sua negação, em linguagem lógica: ∀ 0, ∀p ∈ N, ∃n ≥ p, dx n , a . -69Seja então, para 1, n 1 o menor número natural n tal que dx n , a 1, dx n 1 , a 1; seguidamente, para 1/2, seja n 2 o menor número natural n maior que n 1 tal que dx n , a 1/2, dx n 2 , a 1/2. Repetindo o processo, obtemos uma sucessão estritamente crescente n k1 n k . . . n 2 n 1 tal que dx n k , a 1/k. x n k é então uma subsucessão de x n tal que 0 ≤ dx n k , a 1/k, donde dx n k , a → 0 k → , e assim lim x n k a, contra a hipótese admitida. II.2.26 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. O diâmetro de A é o número A positivo, nulo, ou dado por A supdx, y : x, y ∈ A. Põe-se 0. II.2.27 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o diâmetro de um conjunto não vazio é zero se e só se o conjunto se reduz a um ponto. (2) O conjunto N ⊂ 0, tem diâmetro N em 0, , d 0, , d 0, a métrica induzida pela métrica usual d de R; N 1 em 0, para a métrica x, y ∣ 1x − 1y ∣. (3) Em R, d d a métrica usual, a, b a, b a, b b − a se a b. II.2.28 Exercícios (1) Determine B0, 0, r em R 2 , para cada uma das métricas d e , d M e d s em II.2.18 (2). (2) Verifique que B 0 a, 1 Ba, 1 em R, d i , d i a métrica discreta, e B 0 a, r Ba, r para a métrica usual de R, a ∈ R, r 0. (3) Mostre que em qualquer espaço métrico, se A ⊂ B então A ≤ B. II.2.29 Resoluções (1) Tem-se d e −1, 0, 1, 0 −1 − 1 2 0, 0 2 4 2. Para quaisquer dois pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 tais que x 21 y 21 ≤ 1, x 22 y 22 ≤ 1, verifica-se d e x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ≤ d e x 1 , y 1 , 0, 0 d e 0, 0, x 2 , y 2 ≤ 2. Portanto B0, 0, 1 2 em R 2 , d e . Analogamente se conclui que B0, 0, 1 2 em R 2 , d M e em R 2 , d s . (2) Em R, d i tem-se B 0 a, 1 a 0. Como Ba, 1 R tem-se Ba. , 1 sup∣ x − y ∣: x, y ∈ R . Em R, d, d a métrica usual, tem-se B 0 a, r a − r, a r a r − a − r 2r; também Ba, r a − r, a r 2r. (3) Se A ⊂ B então dx, y : x, y ∈ A ⊂ dx, y : x, y ∈ B e portanto A supdx, y : x, y ∈ A ≤ supdx, y : x, y ∈ B B, uma vez que quando o conjunto dos valores da variável aumenta, o supremo permanece ou aumenta. II.2.30 Definição Se E, d é um espaço métrico, A, B são subconjuntos não vazios de E, a distância entre A e B é o número não negativo dA, B infdx, y : x ∈ A, y ∈ B. Se A a, a ∈ E põe-se da, B da, B. -70II.2.31 Exemplos (1) Em 0, , d 0, , d 0, a métrica induzida pela métrica usual de R, d 0, 1, sinx x : x ∈ 0, d 0, 0, sinx x : x ∈ 0, 0. Para a métrica discreta, d i 1, sinx x : x ∈ 0, 1, d i 0, sinx x : x ∈ 0, 0. (2) Em R 2 , d e , d e a métrica euclideana, d e x, 1x : x 0, x, − 1x : x 0 0. II.2.32 Observações (1) Apesar do seu nome, a distância dA, B entre subconjuntos A, B de um espaço métrico E, d não é uma métrica no conjunto das partes não vazias de E, pois a condição (D3) não é verificada. Por exemplo em R munido da métrica usual, d−2, −1, 1, 2 d−2, −1, −1, 1 d−1, 1, 1, 0. (2) Num espaço métrico E, d, se A, B são subconjuntos não vazios, tem-se dA, B ≤ dx, y para cada x ∈ A, y ∈ B. Podem não existir pontos a ∈ A, b ∈ B tais que dA, B da, b, como mostra o exemplo acima (2) em II.2.30. Se A ∩ B ≠ então dA, B 0, mas a condição não é necessária. (3) Sejam A, B subconjuntos não vazios do espaço métrico E, d, e consideremos dois pontos x, y ∈ A B. A definição de mostra que se ambos x, y pertencem a A, então dx, y ≤ A e, dx, y B se x, y ∈ B; se por exemplo x ∈ A, y ∈ B, então com a ∈ A e b ∈ B, a desigualdade (D3) mostra que dx, y ≤ dx, a da, y ≤ A da, b db, y ≤ A B da, b. Portanto a desigualdade dx, y ≤ A B da, b é sempre verdadeira, se a ∈ A, b ∈ B, para quaisquer pontos x, y ∈ A B. Concluimos que supdx, y : x, y ∈ A B ≤ A B da, b para cada a ∈ A, b ∈ B. Donde A B ≤ A B da, b, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B e, portanto, A B ≤ infA B da, b : a ∈ A, b ∈ B A B infda, b : a ∈ A, b ∈ B e assim A B ≤ A B dA, B. Se A, B são finitos, também A B é finito. II.2.33 Exercícios (1) Prove que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, a ∈ E, a não é limite de nenhuma subsucessão de x n e cada x n ≠ a, então da, x n : n ∈ N 0. (2) Com x n uma sucessão no espaço métrico E, d, mostre que se o ponto a é limite de x n , então da, x n : n ∈ N 0. A mesma conclusão é válida se a é limite de uma subsucessão de x n ? Porquê? (3) Diz-se que um subconjunto B de um espaço métrico E, d é limitado se B . a) Mostre que se B é limitado, então para cada p ∈ E, B ⊂ Bp, dp, B B (Sug: verifique que B p ≤ B dp, B). b) Conclua de a) que um subconjunto de um espaço métrico é limitado sse está contido numa bola. (4) Prove que a classe B E dos subconjuntos limitados de um espaço métrico E, d verifica as propriedades: (i) Se B ∈ B E e B ′ ⊂ B então B ′ ∈ B E ; (ii) se B 1 , . . . B n ∈ B E n ∈ N então B 1 . . . B n ∈ B E . (Sug: método de indução). (5) Mostre que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, p ∈ E, dx n , p ≤ r, ∀n ∈ N e x n → a então da, p ≤ r. Conclua que se A ⊂ E e dx n , A 0 para cada índice -71n, x n → a, então da, A 0. (6) a) Indique, justificando, quais dos seguintes conjuntos são limitados: (i) N; (ii) 1n : n ∈ N (iii) n1 n : n ∈ N, em 0, , d 0, , d 0, a métrica induzida pela métrica usual de R; b) mesma questão, em 0, , , a métrica em II.2.27 (2). II.2.34 Resoluções (1) Utilizando II.2.25, se a não é limite de nenhuma subsucessão de x n , então existem 0, e uma ordem p tais que dx n , a ≥ para cada n ≥ p. Como a ≠ x n para todo o n, tem-se mindx n , a : 1 ≤ n p s 0. Obtem-se, com c min, s 0 que dx n , a ≥ c para todo o índice n, e portanto da, x n : n ∈ N infda, x n : n ∈ N ≥ c 0. (2) Se x n → a, existe, para cada 0, uma ordem p tal que dx n , a para cada n ≥ p; deste modo, para cada 0, existe pelo menos um termo x p tal que dx p , a , obtendo-se da, x n : n ∈ N ≤ dx p , a , e deste modo da, x n : n ∈ N para cada 0, donde da, x n : n ∈ N 0. Sim, porque uma vez que o ínfimo de um conjunto de valores permanece ou diminui, se esse conjunto de valores aumenta, obtemos da, x n : n ∈ N ≤ da, x n k : k ∈ N 0, aplicando o resultado obtido à subsucessão x n k de x n . (3) a) Aplicando a desigualdade A B ≤ A B dA, B em II.31. (3) com A p, obtem-se B p ≤ B p dp, B B dp, B; portanto, para cada x ∈ B, tem-se dx, p ≤ B dp, B, o que significa que B ⊂ Bp, B dp, B. b) Aplicando a), se um conjunto B é limitado, i.e., B é finito, B está contido na bola Bp, B dp, B (tem-se sempre dp, B ). Reciprocamente, se B ⊂ Bp, r para certo ponto p e certo r 0, tem-se: para cada x, y ∈ B, é x, y ∈ Bp, r donde dx, y ≤ dx, p dp, y ≤ 2r. Portanto B ≤ 2r e B é um conjunto limitado. (4) (i) Se B ∈ B E , B e B ′ ⊂ B então supdx, y : x, y ∈ B ′ ≤ supdx, y : x, y ∈ B , donde B ′ e B ′ ∈ B E ; (ii) para n 2 tem-se: se B 1 , B então, aplicando B 1 B 2 ≤ B 1 B 2 dB 1 , B 2 obtem-se B 1 B 2 e B 1 B 2 ∈ B E . Admitindo por hipótese de indução que para certo n ≥ 2, a implicação B 1 , . . . , B n ∈ B E B 1 . . . B n ∈ B E é verdadeira, obtem-se para n 1: se B 1 , . . . , B n , B n1 ∈ B E então B 1 . . . B n B n1 B 1 . . . B n B n1 ∈ B E , aplicando a hipótese de indução e o resultado provado para n 2. Portanto B 1 , . . . , B n ∈ B E B 1 . . . B n ∈ B E fica provado pelo método de indução, como queríamos. (5) Se x n → a então dx n , a → 0. Supondo dx n , p ≤ r para cada n, obtem-se passando a desigualdade da, p ≤ da, x n dx n , p ao limite, da, p ≤ lim da, x n lim dx n , p ≤ r. Donde se A ⊂ E, dx n , A 0 para todo o índice n, tem-se: para cada 0, existe p ∈ A tal que dx n , p , para todo o n ∈ N (se para certo 0 e certo n, fosse dx n , p ≥ para todo o p ∈ A, então dx n , A infdx n , p : p ∈ A 0). Aplicando o resultado obtido, concluimos que, para todo o 0, existe p ∈ A tal que da, p ; isto implica que da, A para cada 0, donde da, A 0. (6) a) (i) Tem-se para cada p ∈ R, ∣ n − p ∣ n − p para n suficientemente grande, ∣ n − p ∣→ n → . Portanto, qualquer que seja o ponto p ∈ R, não existe nenhum raio r tal que N ⊂ Bp, r; aplicando (3) b), concluimos que N não é limitado em 0, , d 0, . (ii) ∣ 1n ∣ 1n ∣≤ 1 para todo o n ∈ N, e assim 1n : n ∈ N é limitado, pois está contido 1 n1 na bola B0, 1. (iii) Tem-se ∣ n1 n − 1 ∣ n ≤ 1, donde n : n ∈ N ⊂ B1, 1 e é um conjunto limitado -72b) (i) n, 1 ∣ 1n − 1 ∣≤ 1 para cada n ∈ N; tem-se N ⊂ B1, 1 em 0, , e N é um conjunto limitado. (ii) Para cada p 0, sup 1n , p : n ∈ N sup∣ n − 1p ∣: n ∈ N , donde 1n : n ∈ N e 1n : n ∈ N não é um conjunto limitado n 1 1 n1 1 . (iii) n1 n , 1 ∣ n1 − 1 ∣ n1 ≤ 2 . Portanto n : n ∈ N ⊂ B1, 2 e n1 n : n ∈ N é um conjunto limitado. II.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO NUM ESPAÇO MÉTRICO II.3.1 Definição Seja E, d um espaço métrico. Se p ∈ E, um subconjunto V de E diz-se uma vizinhança de p se existe um raio r 0 tal que B 0 p, r ⊂ V. II.3.2 Observações (1) Para cada ponto p num espaço métrico E, d, cada bola (aberta ou fechada) de centro p é uma vizinhança de p. (2) E é uma vizinhança de cada ponto p ∈ E em cada espaço métrico E, d. II.3.3 Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual, Ip, r p − r, p r é uma vizinhança de p. (2) Em R, d i , d i a métrica discreta, p é uma vizinhança do ponto p; consequentemente, todo o conjunto V tal que p ∈ V é uma vizinhança de p. (3) Em 1 1 , 1−r é uma 0, , como em II.2.27 (2), B 0 1, r x 0 :∣ 1x − 1 ∣ r 1r 3 2 1 vizinhança de 1 se 0 r 1. 3 , 2 é uma vizinhança de 1, r 2 ; 4 , 2 também é, pois 34 , 2 ⊃ 34 , 32 que é a bola aberta B 0 1, 13 . -73II.3.4 Lema Seja E, d um espaço métrico. Dada uma bola aberta B 0 p, r, p ∈ E, para cada x ∈ B 0 p, r existe x 0 tal que B 0 x, x ⊂ B 0 p, r. Dem. Considerando, para x ∈ B 0 p, r, x r − dx, p 0 obtemos: se y ∈ B 0 x, x então dy, p ≤ dy, x dx, p r − dx, p dx, p r donde B 0 x, x ⊂ B 0 p, r como queríamos. II.3.5 Teorema Seja E, d um espaço métrico. Para cada p ∈ E, a classe V p das vizinhanças de p verifica as propriedades: V 1 para cada V ∈ V p , p ∈ V; V 2 se V ∈ V p e V ′ ⊃ V então V ′ ∈ V p ; V 3 se V 1 , V 2 ∈ V p então V 1 ∩ V 2 ∈ V p ; V 4 dado V ∈ V p , existe W ∈ V p tal que W ⊂ V e V ∈ V x para todo o x ∈ W. Dem. V 1 Pela definição de vizinhança de um ponto, pois p ∈ B 0 p, r para cada r 0. V 2 é óbvio. V 3 se V i ∈ V p existe r i 0 tal que B 0 p, r i ⊂ V i i 1, 2. Então com r minr 1 , r 2 0 tem-se B 0 p, r ⊂ B 0 p, r 1 ∩ B 0 p, r 2 ⊂ V 1 ∩ V 2 . V 4 Seja V ∈ V p ; existe então r 0 tal que B 0 p, r ⊂ V, e W B 0 p, r satisfaz a condição pedida, atendendo ao lema anterior. II.3.6 Observação O teorema mostra que a classe das vizinhanças de um ponto num espaço métrico E, d é um filtro sobre E (I.7). II.3.7 Exercícios (1) Considere as métricas d e , d M e d s em R n em II.2.18 (2). a) Mostre que se verificam as inclusões d s d d B 0 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 e 0, . . . 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1 e d M d s B 0 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 0, . . . , 0, n, d onde B 0 a 1 , . . . a n , r designa a bola B 0 a 1 , . . . , a n , r para a métrica d d e , d M , d s , a 1 , . . . , a n ∈ R n , r 0. b) Para p 1 , . . . , p n ∈ R n , ∈ R, ≠ A ⊂ R n põe-se p 1 , . . . , p n A p 1 , . . . , p n x 1 , . . . , x n : x 1 , . . . , x n ∈ A, e A x 1 , . . . , x n : x 1 , . . . , x n ∈ A. Mostre que para cada p 1 , . . . , p n ∈ R n , 0, d (i) p 1 , . . . , p n B 0 0, . . . , 0, r B 0 p 1 , . . . , p n , r, d d e , d M , d s ; d (ii) B 0 0, . . . , 0, 1 B 0 0, . . . , 0, , com d d e , d M , d s . d d c) Conclua de b) que B 0 p 1 , . . . , p n , r p 1 , . . . , p n rB 0 0, . . . , 0, 1 r 0, d de, dM, ds; d) Conclua das alíneas a), c) que em cada ponto p p 1 , . . . , p n ∈ R n e para cada d d d d r 0, B 0 s p, r ⊂ B 0 e p, r ⊂ B 0 M p, r ⊂ B 0 s p, nr, d d e , d M ou d s . (2) Mostre que o filtro das vizinhanças de cada ponto em R n é o mesmo, para as métricas d e , d M e d s . -74II.3.8 Resoluções (1) Para x 1 , . . . , x n ∈ R n , n d M x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 x 2k 1/2 n d e x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 ≤ ∑ k1 ∣ x k ∣ d s x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0 e concluem-se as três n primeiras inclusões. Também ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n, e portanto n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n 1 ∑ k1 ∣ x k ∣ n, donde d M B d 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 s 0, . . . , 0, n. 0 b), c) Ver a resolução de (3) em II.2.18. d) Aplicando a função f : R n → R n , fx 1 , . . . , x n p 1 , . . . , p n x 1 , . . . x n às d d d inclusões B 0 s 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 e 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1 obtem-se d d d B 0 s p, 1 ⊂ B 0 e p, 1 ⊂ B 0 M p, 1. Analogamente para a inclusão d M d s B 0 p, 1 ⊂ B 0 p, 1. Segue-se por b) (ii) que d d d d B 0 s p, r rB 0 s p, 1 ⊂ rB 0 e p, 1 B 0 e p, r, e analogamente para as outras inclusões. (2) Para x 1 , . . . , x n ∈ R n tem-se n ∑ k1 x 2k 1/2 ≤ n maxx 2k : 1 ≤ k ≤ n 1/2 n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n, e n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 x 2k 1/2 . Isto implica que d d d B 0 e 0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B 0 e 0, . . . , 0, 1 e portanto também d d d B 0 e p, / n ⊂ B 0 M p, / n ⊂ B 0 e p, para cada p ∈ R n e cada 0 (veja-se a resolução de (1) d) acima). São portanto equivalentes, para um conjunto V ⊂ R n , as d d condições ∃ 0, B 0 e p, ⊂ V e ∃ 0, B 0 M p, ⊂ V, o que prova que o filtro das vizinhanças de p em R n , d e coincide com o filtro das vizinhanças de p em R n , d M . n n n Também ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ n∑ k1 x 2k 1/2 e ∑ k1 x 2k 1/2 n d d d d ≤ ∑ k1 ∣ x k ∣ e assim B 0 e p, /n ⊂ B 0 s p, e B 0 s p, /n ⊂ B 0 e p, ; portanto assim como para o caso anterior, o filtro das vizinhanças de cada ponto p em R n , d e é o mesmo que o filtro das vizinhanças de p em R n , d s . Analogamente, as desigualdades n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑ k1 ∣ x k ∣≤ n max∣ x k ∣: 1 ≤ k ≤ n mostram que d d d B 0 M 0, . . . , 0, 1/n ⊂ B 0 s 0, . . . , 0, 1 ⊂ B 0 M 0, . . . , 0, 1, d d d B 0 M p, /n ⊂ B 0 s p, ⊂ B 0 M p, se 0, p ∈ R n e de novo o filtro das vizinhanças de p em R n , d M é o filtro das vizinhanças de p em R n , d s . -75 II.4 MÉTRICAS EQUIVALENTES II.4.1 Definição Sejam d 1 , d 2 duas métricas no conjunto E. Diz-se que a métrica d 2 é mais fina que a métrica d 1 , e nota-se d 2 d 1 se se verifica a condição: em cada ponto 2 1 p ∈ E, e para cada 0, existe pelo menos um p 0 tal que B 0 p, p ⊂ B 0 p, , i onde B 0 p, r r 0 é a bola aberta no espaço métrico E, d i , i 1, 2. As métricas d 1 , d 2 dizem-se equivalentes se cada uma é mais fina que a outra. Em linguagem lógica: 2 1 d 2 d 1 ≡ ∀p ∈ E, ∀ 0, ∃ p 0, B 0 p, p ⊂ B 0 p, ; d 1 , d 2 são equivalentes ≡ d 2 d 1 , d 1 d 2 . II.4.2 Exemplos (1) A métrica discreta d i num conjunto E é mais fina do que qualquer outra métrica d em E, pois a bola aberta de centro p e raio p 1 está contida em qualquer bola B 0 p, para d. Se por exemplo E R, a métrica d i não é equivalente à métrica usual em R. (2) II.3.7 mostra que as métricas d e , d M e d s em R n são todas equivalentes. II.4.3 Observações (1) Se as métricas d 1 , d 2 em E estão na relação d 2 d 1 , toda a sucessão x n em E, convergente para um ponto p em E, d 2 converge também para p no espaço métrico E, d 1 . Assim se d 1 e d 2 são métricas equivalentes, tem-se lim x n p em E, d 1 se e só se lim x n p em E, d 2 (2) Se existem um ponto p ∈ E e uma sucessão x n em E tais que lim x n a em E, d 1 , lim x n b em E, d 2 e a ≠ b, podemos concluir que nenhuma das métricas d 1 , d 2 é mais fina que a outra. Também se existem suvessões x n , y n em E tais que x n é convergente em E, d 1 (resp. y n ) é convergente em E, d 2 ), mas x n não é convergente em E, d 2 (resp. y n não é convergente em E, d 1 , então nenhuma das duas métricas é mais fina que a outra. (3) A recíproca de (1) é válida, i.e. se duas métricas d 1 , d 2 em E são tais que, para cada ponto p ∈ E, toda a sucessão convergente para p relativamente à métrica d 1 é convergente para p relativamente à métrica d 2 (resp. e também cada sucessão convergente para p relativamente a d 2 , é também convergente para p relativamente à métrica d 1 ), então d 2 é mais fina que d 1 (resp. as duas métricas são equivalentes). (4) Se existe uma constante positiva c tal que as métricas d 1 , d 2 em E verificam a relação d 1 x, y ≤ cd 2 x, y, onde x, y são quaisquer pontos de E, então para cada 0, 2 1 i /c satisfaz a condição B 0 p, ⊂ B 0 p, em cada ponto p ∈ E, onde B 0 p, r é a bola em E, d i , i 1, 2. Portanto tem-se d 2 d 1 em particular. -76II.4.4 Exercícios (1) Verifique o exemplo (2) em II.4.2. (2) Demonstre que se d 1 , d 2 são métricas em E tais que para cada ponto p ∈ E, toda a sucessão x n em E verificando lim x n p em E, d 2 é convergente para p em E, d 1 , então d 2 d 1 (Sug: prove a contra-recíproca, mostrando que se d 2 não é mais fina que d 1 , existem pelo menos um ponto p e uma sucessão x n , x n → p em E, d 2 mas tal que x n não converge para p em E, d 1 ). (3) Mostre que as seguintes métricas são equivalentes: (i) d 0, e em 0, , como em II.2.27 (2); (ii) d e min1, d como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E, d; d (iii) min1, d e d1 como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E, d. (Sug: para as três alíneas, pode utilizar II.4.3 (3)). (4) Demonstre que se d 1 , d 2 , d 3 são métricas em E, d 2 mais fina que d 1 e d 3 equivalente a d 1 , então d 2 é mais fina que d 3 . (5) Prove que: 1 1 a) df, g ∣ xfx − gx ∣ dx, d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx e 1 0 0 d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ são métricas no conjunto C0, 1 das funções reais 0 contínuas definidas no intervalo [0,1]; (Sug: utilize II.1.4 para d 2 ). b) a métrica d 1 é mais fina que a métrica d. (Sug: II.4.3 (4)). 2 1 2 II.4.5 Resoluções d d (1) Utilizando II.3.7 temos: B 0 s p, r ⊂ B 0 e p, r para cada p ∈ R n , r 0, e d s d e ; d e d s também B 0 p, r/n ⊂ B 0 p, r e d e d s , d e , d s são equivalentes.; d e é mais fina que d M , d d d d pois B 0 e p, r ⊂ B 0 M p, r; e B 0 M p, r/ n ⊂ B 0 e donde d M d e e d e , d M são d d d d equivalentes. B 0 s p, r ⊂ B 0 M p, r, d s d M e B 0 M p, r/n ⊂ B 0 s p, r, d M d s e d s , d M são equivalentes. (2) Suponhamos que d 1 e d 2 são métricas em E, e que d 2 não é mais fina que d 1 . Verifica-se então a negação da condição d 2 d 1 , i.e., com B i0 p, r a bola de centro p e raio r para a métrica d i , i 1, 2 tem-se: ∃p ∈ E, ∃ 0, ∀ 0 ~B 20 p, ⊂ B 10 p, , ou, o que é o mesmo, para certo ponto p e certo 0, existe, para cada positivo, um ponto x ∈ B 20 p, tal que x ∉ B 10 p, . Fazendo 1/n para cada n ∈ N, obtemos uma sucessão de pontos x n x1/n tais que cada x n ∈ B 20 p, 1/n e x n ∉ B 10 p, . Obtemos d 2 x n , p 1/n e, fazendo n → , vemos que d 2 x n , p → 0 n → e portanto x n → p em E, d 2 . Também, x n não converge para p em E, d 1 , uma vez que não existe nenhuma ordem a partir da qual d 1 x n , p , estas distâncias são sempre ≥ , onde é certo número positivo, e fica provado o resultado. -77(3) (i) Utilizando II.4.3, mostremos que cada sucessão convergente em 0, para um ponto, relativamente a uma das métricas, é convergente para o mesmo ponto, relativamente à outra métrica. Se p 0, tem-se x n → p se e só se x1n → 1p ; portanto d 0, x n , p ∣ x n − p ∣→ 0 é equivalente a x n , p ∣ x1n − 1p ∣→ 0. (ii) Se x n → p em E, d, dx n , p → 0 e então min1, dx n , p min1, dx n , p ≤ dx n , p → 0, logo x n → p em E, min1, d; e se min1, dx n , p → 0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que dx n , p min1, dx n , p se n ≥ p1; para cada 0, existe pmin1, ∈ N, pmin1, ≥ p1, tal que dx n , p min1, dx n , p min1, ≤ para cada n ≥ pmin1, , e dx n , p → 0, x n → p em E, d. As métricas d, min1, d são portanto equivalentes. (iii) Como provámos em (ii), se x n → p em E, min1, d então x n → p em E, d, i.e. dx ,p d d x n , p 1dxn n ,p → 0 e x n → p em E, d1 . dx n , p → 0. Segue-se que d1 Reciprocamente, se dx n ,p 1dx n ,p dx n ,p 1dx n ,p → 0 então lim dx n ,p 2max1,dx n ,p 0. Existe uma ordem p1/2 ∈ N tal que 1/2 para cada n ≥ p1/2; então tem de ser dx n , p 1 se x é crescente em 0, e se n ≥ p1/2, pois a função real da variável real x 1x dx n ,p dx n , p ≥ 1 com n ≥ p1/2 obtem-se o absurdo 1dx n ,p ≥ 1/2, com n ≥ p1/2. Logo dx n ,p 2 → 0 e dx n , p → 0, x n → p em E, d e x n → p em E, min1, d pela alínea anterior. (4) Se d 2 é mais fina que d 1 , então (representemos por B i0 p, r cada bola relativa à respectiva métrica d i , i 1, 2, 3) em cada ponto p de E e para cada 0, verifica-se uma inclusão B 20 p, p ⊂ B 10 p, , para certo p 0. Sendo d 1 e d 3 equivalentes, em particular d 1 d 3 ; logo, dado um qualquer número positivo , verifica-se uma inclusão B 10 p, ′p ⊂ B 30 p, . Com ′p 0 tal que B 20 p, ′p ⊂ B 10 p, p ⊂ B 30 p, vemos que d2 d3. 1 (5) a) (D1) df, g ∣ xfx − gx ∣ dx ≥ 0, pois o integral de uma função real 0 contínua definida num intervalo limitado e fechado de R é finito e ≥ 0 se a função é ≥ 0 em 1 1 cada ponto do domínio; também df, f ∣ xfx − fx ∣ dx 0dx 0. (D2) 0 0 df, g dg, f porque ∣ xfx − gx ∣∣ xgx − fx ∣ e portanto os integrais são 1 iguais. (D3) df, h ∣ xfx − hx ∣ dx 1 0 1 0 ∣ xfx − gx gx − hxdx ≤ 0 ∣ xfx − gx ∣ ∣ xgx − hx ∣dx 1 1 ∣ xfx − gx ∣ dx ∣ xgx − hx ∣ dx df, g dg, h; (D4) 0 0 1 d 1 f, g ∣ xfx − gx ∣ dx 0 implica xfx − gx 0 0 x 1 e 0 fx gx 0 x 1; pela continuidade de f, g conclui-se f g sobre 0, 1. -781 1 1 (D1) ∣ fx − gx ∣ dx ≥ 0, ∣ fx − fx ∣ dx 0dx 0. 0 0 1 1 0 (D2) d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx ∣ gx − fx ∣ dx d 2 g, f 0 1 0 1 (D3) d 1 f, h ∣ fx − hx ∣ dx ∣ fx − gx gx − hx ∣ dx ≤ 1 0 1 0 0 ∣ fx − gx ∣ dx 0 ∣ gx − hx ∣ dx d 2 f, g d 2 g, h. 1 (D4) d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx 0 fx − gx 0 x ∈ 0, 1 i.e, f g. 0 1 1 1 (D1) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ≥ 0, d 2 f, f 0dx 0; 0 0 1 1 1 1 (D2) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ∣ gx − fx ∣ 2 dx 2 d 2 g, f; 0 0 1 1 (D3) d 2 f, h ∣ fx − hx ∣ 2 dx 2 0 1 1 ∣ fx − gx gx − hx ∣ 2 dx 2 ≤ 0 1 1 ∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣ 2 dx 2 ≤ 0 1 1 1 1 ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 ∣ gx − hx ∣ 2 dx 2 d 2 f, g d 2 g, h; 0 0 1 1 (D4) d 2 f, g ∣ fx − gx ∣ 2 dx 2 0 fx gx x ∈ 0, 1 i.e, f g. 0 1 1 b) Tem-se df, g ∣ x ∣. ∣ fx − gx ∣ dx ≤ ∣ fx − gx ∣ dx d 1 f, g. 0 0 Conclui-se de II.4.3 (3) que d 1 d. II.4.6 Definição As métricas d 1 , d 2 em E dizem-se uniformemente equivalentes se satisfazem a condição de para cada 0, existirem pelo menos um 0 e pelo menos um 2 1 1 2 ′ 0 tais que B 0 p, ⊂ B 0 p, e B 0 p, ′ ⊂ B 0 p, qualquer que seja o ponto p em E. (Notação como em II.4.1). II.4.7 Observações (1) Pela definição, duas métricas d 1 , d 2 em E são uniformemente equivalentes se e só se para cada 0, existem , ′ 0 tais que d 2 x, y implica d 1 x, y para todos os x, y ∈ E, e também para cada 0, existe ′ 0 tal que d 1 x, y ′ implica d 2 x, y para cada x, y ∈ E. (2) Se duas métricas em E são uniformente equivalentes, então são equivalentes; a recíproca é falsa. (II.4.10 (2) adiante).(3) Dadas métricas d 1 , d 2 em E, se existem constantes positivas c 1 , c 2 tais que d 1 ≤ c 2 d 2 e d 2 ≤ c 1 d 1 em E E (i.e, d 1 x, y ≤ c 2 d 2 x, y em cada x, y ∈ E E, e analogamente para a segunda desigualdade), então as duas métricas são uniformemente equivalentes. II.4.8 Definição Seja E, d um espaço métrico. A sucessão x n em E diz-se uma sucessão de Cauchy se satisfaz a condição de, para cada número positivo arbitrariamente escolhido, existir uma ordem p tal que a distância dx n , x m entre cada dois termos x n , x m fôr menor que , sempre que n, m ≥ p. Em linguagem lógica: x n é de Cauchy ≡ ∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m . II.4.9 Toda a sucessão convergente num espaço métrico, em particular, toda a sucessão constante a partir de certa ordem, é uma sucessão de Cauchy, mas a recíproca é falsa em geral. -79II.4.10 Exercícios (1) Prove que se duas métricas d 1 , d 2 em E são uniformemente equivalentes, então uma sucessão é de Cauchy em E, d 1 se e só se é de Cauchy em E, d 2 . (2) Mostre que as métricas d 0, , em 0, (II.4.4 (3) (i)) não são uniformemente equivalentes (Sug: considere a sucessão 1n e utilize o exercício anterior). (3) Prove que se d 1 , d 2 , d 3 são metricas num conjunto E, d 1 , d 2 uniformemente equivalentes, e se d 2 e d 3 são uniformemente equivalentes, então também d 1 , d 3 são uniformemente equivalentes. (4) Mostre que se E, d é um espaço métrico, então: (i) as métricas d, min1, d são uniformemente equivalentes; d (ii) as métricas d, d1 são uniformemente equivalentes. d (iii) min1, d, d1 são uniformemente equivalentes (Sug: utilize (i), (ii) e (3)). (5) Mostre que duas métricas d 1 , d 2 em E podem ser uniformemente equivalentes, mas um conjunto B ser limitado em E, d 1 e não ser limitado em E, d 2 (Sug: considere E R em (4) (i), d a métrica usual em R). (6) Demonstre que toda a sucessão de Cauchy num espaço métrico E, d é um conjunto limitado. II.4.11 Resoluções (1) Basta provar que se x n é uma sucessão de Cauchy em E, d 1 e d 1 , d 2 são uniformemente equivalentes, então x n é de Cauchy em E, d 2 . Sejam pois d 1 , d 2 métricas em E nas condições em da definição II.4.4, e seja x n de Cauchy em E, d 1 i.e., ∀r 0, ∃p pr ∈ N, n, m ≥ p d 1 x n , x m r. Se 0, existe 0 tal que d 1 x, y d 2 x, y quaisquer que sejam x, y ∈ E; tomando r na expressão quantificada anterior obtemos: para cada 0, existe uma ordem p p tal que n, m ≥ p d 1 x n , x m d 2 x n , x m o que, pela transitividade de " " , mostra que x n é de Cauchy em E, d 2 c.q.d. (2) Com efeito, a sucessão x n 1n é de Cauchy em 0, , d 0, , mas 1 1 k ≥ 1 para cada m n k, k ∈ N e portanto não existe nenhuma ordem p tal n , nk 1 1 que n , m 1 para todos os n, m ≥ p, e 1n não é de Cauchy em 0, , . Assim as métricas d 0, , não são uniformemente equivalentes, pelo exercício anterior. (3) Da hipótese d 1 , d 2 uniformemente equivalentes e d 2 , d 3 uniformemente equivalentes temos: P 1,2 ≡ para cada r 0, existe 0 tal que d 1 x, y d 2 x, y r para cada x, y ∈ E; e podemos trocar d 1 ↔ d 2 obtendo P 2,1 igualmente verdadeira. Analogamente, verifica-se P 2,3 ≡ para cada 0, existe r 0 tal que d 2 x, y r d 3 x, y para cada x, y ∈ E, e P 3,2 obtida trocando d 2 ↔ d 3 é também verdadeira. Pela transitividade de " " concluimos de P 1,2 e P 2,3 que P 1,3 ≡ ∀ 0, ∃ 0, d 1 x, y d 3 x, y , para cada x, y ∈ E. E concluimos também P 3,1 (obtida de P 1,3 trocando d 1 ↔ d 3 ), a partir de P 3,2 e P 2,1 analogamente, ficando provado que d 1 , d 3 são iniformemente equivalentes. (4) (i) Se 0 ≤ 1 então min1, dx, y implica dx, y . Assim para cada 0, existe min1, tal que min1, dx, y dx, y ; claramente 0 satisfaz dx, y min1, dx, y . -80dx,y d x, y 1dx,y ≤ dx, y . Reciprocamente, dado 0, (ii) Se dx, y então 1d 0. Como a função 1 é estritamente crescente, a consideremos 1 dx,y desigualdade 1dx,y 1 implica dx, y ; assim, para cada 0, existe d 0 tal que 1d x, y implica dx, y para cada x, y ∈ E, e as métricas 1 d d, 1d são uniformemente equivalentes. (iii) Como vimos em (3), de min1, d uniformemente equivalente a d, e d d d uniformemente equivalente a 1d podemos concluir que min1, d e 1d são uniformente equivalentes. (5) Com d 2 d, a métrica usual em R, e d 1 min1, d, estas métricas são uniformemente equivalentes, por (4) (i), e no entanto R é limitado em R, d 1 , pois todo o conjunto R está contido na bola fechada de centro em qualquer ponto e raio 1; mas R em R, d 2 . (6) Seja x n uma sucessão de Cauchy no espaço métrico E, d. Existe então p p1 ∈ N tal que dx n , x p 1 para cada n ≥ p. O número não negativo maxdx n . x p : 1 ≤ n p r é finito, pois é o máximo de um conjunto finito; tem-se dx n , x p ≤ max1, r para todo o n, e portanto x n : n ∈ N ⊂ Bx p , max1, r, o que prova que o conjunto dos termos x n é limitado, c.q.d. II.5 TOPOLOGIA DE UM ESPAÇO MÉTRICO II.5.1 Definição Seja E, d um espaço métrico. Um subconjunto A de E diz-se um conjunto aberto (para a topologia da métrica) se A é vizinhança de cada um dos seus pontos i.e., se para cada p ∈ A se tem A ∈ V p . A classe dos conjuntos abertos diz-se a topologia da métrica em E, d, ou a topologia do espaço métrico E, d. II.5.2 Observações (1) Conclui-se da definição que , E são conjuntos abertos em E, d para a topologia da métrica. (2) Pela definição II.3.1 concluimos que sendo A ⊂ E, A é aberto se e só se verifica a condição: para cada p ∈ A, existe pelo menos um p 0 tal que B 0 p, p ⊂ A; em linguagem lógica, A é aberto ≡ ∀p ∈ A, ∃ p 0, B 0 p, p ⊂ A. II.5.3 Exemplos (1) Pelo lema II.3.4, cada bola aberta num espaço métrico é um conjunto aberto. (2) Em E, d i , d i a métrica discreta, todo o conjunto é aberto, e a topologia da métrica é PE. II.5.4 Definição Se E, d é um espaço métrico, p ∈ E, diz-se que uma base do filtro V p das vizinhanças do ponto p é uma base de vizinhanças de p. -81II.5.5 Teorema A topologia da métrica T E de um espaço métrico E, d verifica as propriedades: T E 1 , E ∈ T E ; (T E 2 se A 1 , . . . , A n ∈ T E , n ∈ N, então A 1 ∩. . . ∩A n ∈ T E ; T E 3 dada uma classe A i : i ∈ I ⊂ T E , tem-se A i : i ∈ I ∈ T E . Dem.T E 1 é óbvio. T E 2 pode provar-se pelo método de indução do modo seguinte: para n 2, se A 1 , A 2 são abertos, então A 1 ∈ V p e A 2 ∈ V p para cada p ∈ A 1 ∩ A 2 ; utilizando V 3 no teorema II.3.5, temos A 1 ∩ A 2 ∈ V p para cada p ∈ A 1 ∩ A 2 e A 1 ∩ A 2 é portanto um aberto. Admitida a hipótese de indução, A 1 ∩. . . ∩A n é aberto se A 1 , . . . , A n são abertos, para certo n ≥ 2, então se A 1 , . . . , A n , A n1 são abertos, A 1 ∩. . . ∩A n1 A 1 ∩. . . ∩A n ∩ A n1 é um conjunto aberto, utilizando de novo V 3 , pois é a intersecção de dois abertos e, concluido-se a tese de indução, fica provado T E 2. T E 3 é uma consequência imediata de V 2 em II.3.5, pois se p ∈ A i : i ∈ I então p ∈ A i para certo i ∈ I; como A i é aberto, tem-se A i ∈ V p donde A i : i ∈ I ∈ V p já que A i : i ∈ I ⊃ A i ; assim a reunião de conjuntos abertos é um aberto. II.5.6 Observação A intersecção de uma classe infinita de conjuntos abertos pode não ser um aberto. É o caso, por exemplo, da intersecção − 1n , 1n : n ∈ N 0 em R, d, d a métrica usual. II.5.7 Observações (1) Se E, d é um espaço métrico, p ∈ E, a classe B 0 p, 1n : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças abertas (vizinhanças que são conjuntos abertos) do ponto p. (Esta base de vizinhanças pode ser finita, considere-se a métrica discreta). (2) Para cada subconjunto não vazio C de E, no espaço métrico E, d, diz-se que V é uma vizinhança do conjunto C se existe pelo menos um conjunto aberto A tal que C ⊂ A ⊂ V; e diz-se que V é uma vizinhança aberta de C se, além de ser uma vizinhança de C, V é uim conjunto aberto. Para cada r 0, o conjunto V r C x ∈ E : dx, C r (definição II.2.30) é uma vizinhança aberta de C. Com efeito, C ⊂ V r C pois dx, C 0 r para cada x ∈ C. Também V r C é um conjunto aberto, pois dado x 0 ∈ V r C, dx 0 , C infdx 0 , c : c ∈ C r − r, 0, existe c 0 ∈ C tal que dx 0 , c 0 r − /2 (caso contrário seria dx 0 , C ≥ r − /2 r − ); então para cada p ∈ B 0 x 0 , /2, é dp, C ≤ dp, c 0 ≤ dp, x 0 dx 0 , c 0 r − /2 /2 r, e assim B 0 x 0 , /2 ⊂ V r C. II.5.8 Teorema (Propriedade de separação de Hausdorff) Seja E, d um espaço métrico. Se a, b ∈ E, a ≠ b, existem conjuntos abertos A, B tais que a ∈ A, b ∈ B e A ∩ B . Dem. Com d da, b 0, basta considerar A B 0 a, d2 , B B 0 b, d2 . Com efeito, não existe p ∈ A ∩ B, pois então seria da, b ≤ da, p dp, b d, o que é impossível. A, B são abertos, c.q.d. -82II.5.9 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E, p ∈ E. (1) Diz-se que p é um ponto interior de A, se satisfaz a condição de existir pelo menos um raio 0 tal que B 0 p, ⊂ A; em linguagem lógica: p é um ponto interior de A ≡ ∃ 0, B 0 p, ⊂ A; o conjunto dos pontos interiores de A representa-se por intA. (2) O ponto p é um ponto exterior de A se p é um ponto interior do complementar A c de A; pode escrever-se em linguagem lógica: p é um ponto exterior de A ≡ ∃ 0, B 0 p, ⊂ A c ; o conjunto dos pontos exteriores de A representa-se por extA. (3) p é um ponto fronteiro do conjunto A se não é um ponto interior de A, nem um ponto exterior de A; em linguagem lógica, obtem-se pela negação: p é ponto fronteiro de A ≡ ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ ∧ B 0 p, ∩ A c ≠ . O conjunto dos pontos fronteiros de A representa-se por ∂A. II.5.10 Observações (1) Tem-se em qualquer espaço métrico E, d, int , intE E; (2) qualquer que seja A ⊂ E, o conjunto intA é aberto, intA ⊂ A e A é um conjunto aberto se e só se intA A; (3) Pela definição, a classe intA, extA, ∂A é uma partição de E, em qualquer espaço métrico E, d. II.5.11 Exemplos (1) Em R, d i , d i a métrica discreta, tem-se int0 0, ext0 R\0 e ∂0 ; (2) na métrica usual d de R, assim como em R, min 1, d, tem-se int−, 1 −, 1, ext−, 1 1, e ∂−, 1 1. (3) Em R 2 , d e , intx, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x; extx, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x e ∂x, y ∈ R 2 : y ≥ x x, y ∈ R 2 : y x. Neste caso (assim como para as métricas d M ou d s em II.2.18), obtêm-se os conceitos intuitivos para o interior, exterior e fronteira de um conjunto. II.5.12 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. O interior de A é a reunião da classe dos subconjuntos abertos de E contidos em A. Dem. Seja A i : i ∈ I a classe dos subconjuntos abertos de E contidos em A. Se x ∈ A i : i ∈ I existe pelo menos um índice i tal que x ∈ A i ; como A i é aberto tem-se B 0 x, ⊂ A i ⊂ A para pelo menos um 0, e de B 0 x, ⊂ A conclui-se x ∈ intA, logo A i : i ∈ I ⊂ intA. Reciprocamente, se x ∈ intA, tem-se B 0 x, ⊂ A para certo 0 e, como B 0 x, é um conjunto aberto, B 0 x, ⊂ A i : i ∈ I (rever I.1.36 (1)) e portanto intA ⊂ A i : i ∈ I, ficando provado o teorema c.q.d. II.5.13 Observação Se A é um subconjunto de um espaço métrico E, d, o interior de A é o maior subconjunto aberto de A, no conjunto parcialmente ordenado PE para a relação de inclusão. Com efeito, intA ⊂ A e intA é aberto; e se C ⊂ A e C é aberto, então para todo o ponto c ∈ C existe 0 tal que B 0 c, ⊂ C ⊂ A, donde c é um ponto interior de A. Tem-se o -83II.5.14 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A, B ⊂ E. (i) Se A ⊂ B então intA ⊂ intB; (ii) se B ⊂ A e B é aberto, então B ⊂ intA; (iii) intA ∩ B intA ∩ intB. II.5.15 Exercícios (1) Demonstre o Teorema. (2) Prove que se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, é condição necessária e suficiente para que p ∈ extA que dp, A 0. (3) Em cada um dos casos seguintes, determine intA, extA e ∂A e verifique que estes conjuntos formam uma partição de E: (i) A 0, 1 no espaço métrico R, d, d a métrica usual; (ii) A −1, 0 ∩ Q em R, d como em (i); (iii) A N 1, 2 como nas alíneas anteriores; (iv) A − 12 , 2 0, 4 em R 2 , d M , d M como em II.2.18 (2) (ii)) (Sug: determine primeiro intA e ∂A). (4) Prove que num espaço métrico munido da métrica discreta d i (II.2.3), a fronteira de qualquer conjunto é vazia. (5) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, a) ∂A ∂A c b) para cada ponto p ∈ ∂A tem-se dp, A dp, A c 0; c) ∂A p ∈ E : dp, A dp, A c 0. -84II.5.16 Resoluções (1) (i) Se p ∈ intA então existe 0 tal que B 0 p, ⊂ A; de A ⊂ B conclui-se B 0 p, ⊂ B e assim p ∈ intB. (ii) Para B ⊂ A e B aberto, tem-se por B intB ⊂ intA por (i), e assim B ⊂ intA. (iii) Uma vez que A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B, conclui-se de (i) que intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB. Como intA ∩ intB é aberto, porque é a intersecção de dois abertos, e intA ∩ intB ⊂ A ∩ B conclui-se de (ii) que intA ∩ intB ⊂ intA ∩ B, donde intA ∩ B intA ∩ intB c.q.d. (2) Condição necessária: se p ∈ extA intA c então existe 0 tal que B 0 p, ⊂ A c . Admitamos por hipótese de absurdo que dp, A 0; da definição de dp, A infdp, a : a ∈ A concluimos que existe pelo menos um ponto a ∈ A tal que dp, a , e portanto esse ponto verifica a ∈ B 0 p, ∩ A, concluindo-se o absurdo B 0 p, ∩ A ≠ , contra a hipótese B 0 p, ⊂ A c . Portanto se p ∈ extA tem-se dp, A 0 e a condição é necessária. Condição suficiente: admitindo que dp, A 0, tem-se: para cada a ∈ A, é dp, a dp, A e portanto, se x ∈ E verifica dx, p dp, A então x ∉ A. Significa isto que B 0 p, dp, A ⊂ A c e assim p ∈ extA, a condição é suficiente c.q.d. (3) (i) Cada ponto p tal que p ∈ 0, 1 é um ponto interior do conjunto 0, 1, pois com min1 − p, p 0 tem-se: x ∈ B 0 p, p − , p implica x p − ≥ 0 e x p ≤ p 1 − p 1; assim existe 0 tal que B 0 p, ⊂ 0, 1. Donde 0, 1 ⊂ int0, 1. Também se p ∈ int0, 1, então p ∈ 0, 1, pois intA ⊂ A, e não pode ser p 0: pois para p 0, a qualquer bola aberta B 0 p, −, pertence o ponto − 2 e − 2 ∉ 0, 1 i.e., nenhum 0 verifica a condição B 0 0, ⊂ 0, 1. Concluimos que int0, 1 0, 1. O ponto 0 é um ponto fronteiro do conjunto 0, 1, pois como vimos, cada bola aberta B 0 0, , 0, tem pelo menos um ponto que pertence a 0, 1 c , e tem também o ponto 0 ∈ 0, 1. Verifica-se pois a condição ∀ 0, B 0 0, ∩ 0, 1 ≠ ∧ B 0 0, ∩ 0, 1 c ≠ . O ponto p 1 é também um ponto fronteiro, pois para cada 0, p − min1, 2 1 − min1, 2 é um ponto em B 0 1, 1 − , 1 que pertence a 0, 1, donde B 0 1, ∩ 0, 1 ≠ para cada 0; e 1 2 ∈ B 0 1, ∩ 0, 1 c para cada 0. Se p 0, então B 0 p, ∣ p ∣ ⊂ 0, 1 c e, se p 1, então B 0 p, p − 1 ⊂ 0, 1 c . Assim −, 0 1, ⊂ ext0, 1, e como todo o ponto interior de −, 0 1, pertence a esta reunião, e não é o ponto 1, como de acima concluimos, tem-se ext0, 1 −, 0 1, . Portanto int0, 1 0, 1, ∂0, 1 0, 1 e ext0, 1 −, 0 1, . Estes conjuntos são dois a dois disjuntos e a sua reunião é R. (ii) intA , pois para cada a ∈ −1, 0 ∩ Q, se 0, a bola B 0 a, não está contida em −1, 0 ∩ Q, porque lhe pertencem números irracionais. ext−1, 0 ∩ Q −, −1 0, , pois este conjunto é aberto (reunião de abertos), −, −1 0, ⊂ −1, 0 ∩ Q c e não existe nenhum conjunto aberto C contendo propriamente −, −1 0, e contido em −1, 0 ∩ Q c : pois pertenceria a C pelo menos um ponto c, −1 ≤ c 0, c ∈ R\Q; cada bola aberta de centro c teria pelo menos um número racional q, −1 q ≤ 0, de modo que não pode ser C intC ⊂ −1, 0 ∩ Q c . Tem-se ∂−1, 0 ∩ Q −1, 0, porque −1, 0 ⊂ ∂−1, 0 ∩ Q, uma vez que B 0 p, ∩ A ≠ ≠ B 0 p, ∩ A c , A −1, 0 ∩ Q e, como vimos anterioirmente, se p ∈ −1, 0 então p ∉ extA; como intA , cada p ∈ −1, 0 é um ponto fronteiro de A. intA extA ∂A R, e a reunião é disjunta. -85(iii) Seja p ∈ A N 1, 2 . Se p ≥ 2, então toda a bola aberta B 0 p, , contendo pontos irracionais, intersecta A c e portanto p ∉ intA; se p 1, cada bola aberta B 0 1, contém pontos x 1, x ∉ A, e assim 1 ∉ intA. Cada ponto p ∈ 1, 2 é um ponto interior de A, pois com minp − 1, 2 − p verifica-se B 0 p, p − , p ⊂ 1, 2 ⊂ A. Donde 1, 2 ⊂ intA. Também intA ⊂ 1, 2 , pois como vimos, os outros pontos de A não são pontos interiores, e intA 1, 2 . Se p 1 então p − , p ⊂ −, 1 ⊂ A c desde que 0 1 − p; e se p 2 , p ∉ N, então p − , p ⊂ A c desde que 0 minp − 2 , p − Ip, Ip 1 − p, com Ip " maior inteiro m ≤ p" . Portanto −, 1 2 , \N ⊂ extA. Os pontos p n, n ∈ N e o ponto 2 não são ponos interiores como vimos, e também não são pontos exteriores, pois cada bola aberta de centro num destes pontos, pertencem-lhe pontos em A e pontos no complementar de A. Assim ∂A N 2 , R é a reunião disjunta R 1, 2 −, 1 2 , \N N 2 . (iv) Para cada x 0 , y 0 ∈ − 12 , 2 0, 4 tem-se: se 0 1 ≤ minx 0 − − 12 , 2 − x 0 é x 0 − 1 , x 0 1 ⊂ − 12 , 2; analogamente, se 0 2 ≤ miny 0 , 4 − y 0 , é y 0 − 2 , y 0 2 ⊂ 0, 4. Donde com minx 0 12 , 2 − x 0 , y 0 , −y 0 tem-se x 0 , y 0 ∈ x − , x 0 y 0 − , y 0 B 0 x 0 , y 0 , ⊂ A. Portanto − 12 , 2 0, 4 ⊂ intA. Os outros pontos de A não são pontos interiores de A, porque: para os pontos x 0 , y 0 de abcissa x 0 − 12 , cada bola aberta B 0 x 0 , y 0 , x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 contém o ponto x 0 − 2 , y 0 ∉ A; e os pontos x 0 , y 0 de ordenada y 0 0 (ou y 0 4), cada bola aberta x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 contém pontos x 0 , y com 0 y , logo x 0 , y ∉ A (ou pontos x 0 , y onde 4 y 4 , x 0 , y ∉ A. Portanto para os outros pontos de A, não existe uma bola aberta centrada nesses pontos e contida em A. Concluimos que intA − 12 , 2 0, 4.Além do próprio centro da bola, que pertencia a A no raciocínio acima, para os pontos de abcissa − 12 , e ordenadas entre 0 e 4, ou para os pontos de ordenadas 0 ou 4, com abcissa entre − 12 e 2, vimos que cada bola com esses centros contèm pontos do complementar de A. Consequentemente, − 12 0, 4 ⊂ ∂A, − 12 , 2 0 ⊂ ∂A e − 12 , 2 4 ⊂ ∂A. Também 2 0, 4 ⊂ ∂A. Com efeito, cada ponto 2, y 0 , 0 ≤ y 0 ≤ 4 verifica a condição 2 − 2 , y 0 ∈ 2 − , 2 y 0 − , y 0 ∩ A e a condição 2, y 0 ∈ 2 − , 2 y 0 − , y 0 ∩ A c . E se x 0 , y 0 é tal que para cada 0, x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A ≠ e x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A c ≠ , não pode ser x 0 − 12 ou x 0 2, e nem y 0 0 ou y 0 4, casos em que existe 0 com x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A ; para − 12 ≤ x 0 ≤ 2 e 0 ≤ y 0 ≤ 4, se nehuma das abcissas e ordenadas é um extremo do intervalo − 12 , 2 ou 0, 4 respectivamente, tem-se x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ∩ A c , para certo 0. Assim ∂A é a reunião dos conjuntos − 12 0, 4, 2 0, 4, − 12 , 2 0 e − 12 , 2 4. Portanto extA ⊂ − 12 , 2 0, 4 c e R 2 intA ∂A − 12 , 2 0, 4 c , extA − 12 , 2 0, 4 c . (4) Em E, d i , d i a métrica discreta, tem-se intA A e extA A c , atendendo a II.5.11, uma vez que todo o conjunto A se pode escrever como A a : a ∈ A B 0 a, 1 : a ∈ A, B 0 a, 1 a para cada a ∈ E. Da propriedade E intA extA ∂A e sendo a reunião disjunta, conclui-se que ∂A E\intA extA , c.q.d. -86(5) a) Da definição, em linguagem lógica (II.5.9 (3)) de ponto fronteiro de A, conclui-se imediatamente que ∂A ∂A c , atendendo a que A c c A; b) Aplicando a a), basta mostrar que para p ∈ ∂A se tem dp, A infdp, a : a ∈ A 0. Com efeito, tem-se: para cada 0, existe pelo menos um ponto a ∈ A tal que a ∈ B 0 p, ∩ A, dp, a . Donde dp, A ≤ dp, a , ∀ 0 e portanto dp, A 0. c) Utilizando b), basta provar que se dp, A dp, A c 0 então p ∈ ∂A. Com efeito, conclui-se da definição de dp, A que para cada 0, existem pontos a ∈ A, b ∈ A c tais que dp, a , i.e., a ∈ B 0 p, ∩ A, e dp, b , i.e., b ∈ B 0 p, ∩ A c . Tem-se pois, em linguagem lógica, ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ ∧ B 0 p, ∩ A c ≠ , ou seja p ∈ ∂A c.q.d. II.5.17 Observação É falso que intA B intA intB, como mostra o exemplo A −1, 0, B 0, 1 em R, d, d a métrica usual. Verifica-se sempre a inclusão intA intB ⊂ intA B. II.5.18 Definição Sejam E, d um respaço métrico, A ⊂ E, a ∈ A. Diz-se que a é um ponto isolado de A se existe pelo menos um 0 tal que a é o único ponto de A na bola B 0 a, . Em linguagem lógica, a á um ponto isolado de A ≡ ∃ 0, B 0 a, ∩ A a. II.5.19 O conjunto N consiste de pontos isolados em R, d, d a métrica usual. II.5.20 Se d 1 e d 2 são métricas no conjunto E, conclui-se de II.5.10 (1) que a topologia da métrica d 1 coincide com a topologia da métrica d 2 se e só se para cada A ⊂ E, o interior de A em E, d 1 é o mesmo que o interior de A em E, d 2 . Também, então, o exterior de cada conjunto é o mesmo, e a fronteira coincide; pois o exterior de um conjunto é o interior do complementar, e conclui-se de (3) em II.5.9 que ∂A intA extA c . II.5.21 Teorema Sejam d 1 , d 2 métricas num conjunto E tais que d 2 d 1 . Então todo o conjunto aberto em E, d 1 é também um conjunto aberto em E, d 2 . Ou seja, as topologias T 1 , da métrica d 1 , e T 2 , da métrica d 2 verificam T 2 ⊃ T 1 . Dem. Seja A um conjunto aberto em E, d 1 , A ∈ T 1 . Para cada a ∈ A existe 0 tal 1 1 que B 0 a, ⊂ A, onde B 0 a, representa a bola para a métrica d 1 e, como existe 0 2 1 2 tal que B 0 a, ⊂ B 0 a, , B 0 a, a bola relativa à métrica d 2 , concluimos que a é um ponto interior de A em E, d 2 e que A ∈ T 2 c.q.d. -87II.5.22 Corolário Se d 1 , d 2 são métricas num conjunto E, então a topologia da métrica d 1 coincide com a topologia da métrica d 2 se e só se as métricas d 1 e d 2 são equivalentes. Dem. Com as notações do teorema, conclui-se T 1 T 2 se d 1 , d 2 são equivalentes. Reciprocamente, admitamos que d 2 não é mais fina que d 1 . Existe então pelo menos um ponto p ∈ E tal que, para certo 0, nenhum raio 0 verifica a inclusão 1 1 B 2 0 p, ⊂ B 0 p, ; isto implica que o conjunto B 0 p, , aberto em E, d 1 , não é 1 1 aberto em E, d 2 pois p ∈ B 0 p, mas p ∉ intB 0 p, em E, d 2 . Não se tem pois T 1 ⊂ T 2 , e T 1 ≠ T 2 . Portanto se d 1 , d 2 não são equivalentes, as respectivas topologias das métricas são diferentes c.q.d. II.5.23 Exemplos (1) As métricas discreta d i , e usual d em R não sendo equivalentes, as topologias das métricas são diferentes; como d i d, todo o conjunto aberto em R, d é aberto em R, d i , mas a recíproca é falsa. (2) Conclui-se de II.3.7 que as topologias das métricas d e , d M e d s em R n são a mesma. Esta toplogia é a topologia usual de R n . II.5.24 Exercícios (1) Utilizando II.5.10 (3), o exemplo (2) acima e a métrica d M em R 2 , comprove o exemplo (3) em II.5.11 (Sug: esboce a figura). (2) Prove que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes em E, A ⊂ E, então a é um ponto isolado de A em E, d 1 se e só se a é um ponto isolado de A em E, d 2 . (3) Determine o interior e o conjunto dos pontos isolados do conjunto A − 3 , 0 1n : n ∈ N ⊂ R, a) em R, min1, d, d a métrica usual de R; b) em R, d i , d i a métrica discreta. II.5.25 Resoluções (1) Sendo A x, y ∈ R 2 : y ≥ x consideremos um ponto x 0 , y 0 ∈ A tal que y 0 x 0 . Com y 0 − x 0 /2 0 tem-se: se x, y ∈ B 0 x 0 , y 0 , então x − x 0 y 0 − x 0 /2 e y 0 − y y 0 − x 0 /2; adicionando membro a membro, x − y y 0 − x 0 y 0 − x 0 donde x − y 0, y x, o que mostra que B 0 x 0 , y 0 , ⊂ A e portanto x 0 , y 0 ∈ intA. Se y 0 x 0 , r 0, cada bola aberta B 0 x 0 , y 0 , r contém o ponto x 0 , x 0 − r/2 ∉ A, e o ponto x 0 , y 0 ∈ A e assim este ponto é um ponto fronteiro de A. Logo intA x, y ∈ R 2 : y x. Se x 0 , y 0 verifica y 0 x 0 , então conclui-se da primeira parte, trocando x 0 ↔ y 0 , que B 0 x 0 , y 0 , x 0 − y 0 /2 ⊂ A c . Concluimos que efectivamente extA x, y ∈ R 2 : y x e ∂A x, y : y x, como queríamos. (2) Bastará provar que se d 2 d 1 e a é um ponto isolado de A em E, d 1 então a é um 1 ponto isolado de A em E, d 2 . Com efeito, seja 0 tal que B 0 a, ∩ A a. Uma 2 1 k vez que existe 0 tal que B 0 a, ⊂ B 0 a, (com B 0 a, r a bola aberta em E, d k , 2 1 2 k 1, 2), conclui-se B 0 a, ∩ A ⊂ B 0 a, ∩ A a donde B 0 a, ∩ A a e assim a é um ponto isolado de A em E, d 1 c.q.d. -88(3) a) Cada ponto p ∈ − 3 , 0 é um ponto interior de A, pois B 0 p, minp 3 , ∣ p ∣ p − r, p r ⊂ A, se r minp 3 , ∣ p ∣. Os restantes ponto de A não são pontos interiores, pois para o ponto p 0 tem-se: para cada 0, /2 ∈ B 0 0, , /2 ∉ A; e se p 1n , n ∈ N, então existe pelo menos um número irracional em cada intervalo aberto p − , p , o que mostra que p ∉ intA. Também 1 1 , p nn1 ∩ A p se p 1n , n ∈ N, e cada um destes pontos é um ponto p − nn1 isolado de A. Os pontos p do intervalo − 3 , 0 não são pontos isolados de A pois se 0 r minp 3 , ∣ p ∣ então B 0 p, ∩ A B 0 p, ≠ p. 0 não é também um ponto isolado de A, porque para cada 0, −, ∩ A ≠ 0. Concluimos que intA − 3 , 0, e o conjunto dos pontos isolados de A é o conjunto 1n : n ∈ N. b) intA A, pois para a métrica discreta todo o conjunto é aberto. Cada ponto p ∈ A é um ponto isolado, porque B 0 p, 1 ∩ A B 0 p, 1 p se p ∈ A. II.5.26 Definição Seja E, d um espaço métrico. Um conjunto A ⊂ E diz-se um conjunto fechado se A c é aberto. II.5.27 Exemplos (1) Se E, d é um espaço métrico, , E são conjuntos fechados, pelo teorema II.5.4. (2) Para a topologia da métrica discreta sobre um conjunto E, todo o subconjunto de E é um conjunto fechado e aberto, pois todos os conjutos são abertos (exemplo (2) em II.5.3). (3) Em qualquer espaço métrico E, d, os subconjuntos fechados d são os mesmos, pois a topologia é a para as topologias das métricas d, min1, d e d1 mesma (observações (2), (3) em II.4.7, exercício (4) em II.4.10). II.5.28 Exercícios (1) Demonstre que se d 1 , d 2 são métricas em E tais que d 2 d 1 , e F é um subconjunto fechado de E em E, d 1 então F é fechado em E, d 2 . (2) Prove que em qualquer espaço métrico E, d, todo o conjunto reduzido a um elemento é fechado. (3) Indique, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de 0, são abertos ou fechados em 0, , , x, y ∣ 1x − 1y ∣ (Sug: exercício (3) (i) em II.4.4): (i) 0, 1; (ii) 0, 1; (iii) 0, 1 2. II.5.29 Resoluções (1) Seja F fechado em E, d 1 ; então F c é aberto em E, d 1 . Pelo teorema II.5.20, F c é aberto em E, d 2 e por conseguinte F é fechado em E, d 2 c.q.d. (2) Para provar que p é fechado, provemos que p c é aberto. Se q ∈ p c então sendo d dp, q, tem-se p ∉ B 0 q, d i.e., p ∩ B 0 q, d , B 0 q, d ⊂ p c , o que mostra que p c é aberto c.q.d. -89(3) (i) 0, 1 é aberto em 0, , , pois é aberto em 0, , d, d a métrica usual. Este conjunto não é fechado, pois o seu complementar 1, não é aberto, uma vez que o ponto 1 não é um ponto interior de 1, em 0, , d, d a métrica usual. (ii) 0, 1 não é aberto em 0, , porque não é aberto em 0, , d, d a métrica usual. Com efeito, o ponto 1 não é um ponto interior do conjunto 0, 1. O complementar de 0, 1 em 0, é 1, , que é um conjunto aberto em 0, , d para a métrica usual d. Assim 0, 1 é um fechado em 0, , d, e portanto é fechado em 0, , . (iii) 0, 1 2 não é aberto, pois o ponto 2 não é um ponto interior do conjunto. O complementar 1, 2 2, não é aberto em 0, , d (1 não é um ponto interior), e portanto 0, 1 2 não é fechado em 0, , . II.5.30 Teorema Seja E, d um espaço métrico. A classe dos subconjuntos fechados de E verifica as propriedades: F1 , E são conjuntos fechados; F 2 Se F 1 , . . . , F n são fechados, n ∈ N, então F 1 . . . F n é fechado; F 3 Se F i : i ∈ I é uma classe de conjuntos fechados, então F i : i ∈ I é um conjunto fechado. Dem. F1, F2 e F3 concluem-se imediatamente de T E 1, T E 2 e T E 3 por passagem ao complementar, utilizando F i : i ∈ I c F ci : i ∈ I e F i : i ∈ I c F ci : i ∈ I. II.5.31 Exercício Prove as leis de De Morgan generalizadas: se X i : i ∈ I é uma classe de subconjuntos de X, então: (i) X i : i ∈ I c X ci : i ∈ I; (ii) X i : i ∈ I c X ci : i ∈ I. II.5.32 Resolução (i) X i : i ∈ I c x ∈ X : ~x ∈ X i : i ∈ I x ∈ X : ~∃i ∈ I, x ∈ X i x ∈ X : ∀i ∈ I, x ∉ X i X ci : i ∈ I; (ii) X i : i ∈ I c x ∈ X : ~x ∈ X i : i ∈ I x ∈ X : ~∀i ∈ I, x ∈ X i x ∈ X : ∃i ∈ I, x ∉ X i X ci : i ∈ I. II.5.33 Consideremos o espaço métrico R, d, d a métrica usual. Se x n é uma sucessão em 0, 1, convergente em R, d para um ponto p, conclui-se de 0 ≤ x n ≤ 1 para cada n, que 0 ≤ p lim x n ≤ 1 pela passagem de uma desigualdade ao limite; assim p ∈ 0, 1. O conjunto 0, 1 não verifica esta propriedade, pois por exemplo 1n é uma sucessão em 0, 1, convergente em R, d para 0 ∉ 0, 1. Põe-se: II.5.34 Definição Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. (1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto aderente do conjunto A, ou que p é aderente a A, se existe uma sucessão x n em A tal que x n → p em E, d; (2) o conjunto dos pontos aderentes do conjunto A chama-se aderência ou fecho de A, e representa-se por A. -90II.5.35 Observações (1) O ponto p é aderente a A, p ∈ A se e só se verifica a condição de qualquer bola aberta de centro p conter pelo menos um ponto do conjunto A; em linguagem lógica p ∈ A ≡ ∀ 0, B 0 p, ∩ A ≠ . Com efeito, se p ∈ A tem-se p lim x n , para pelo menos uma sucessão x n em A. Então para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal que x n ∈ Bp, para cada n ≥ p, e portanto o ponto x p ∈ B 0 p, ∩ A. Reciprocamente, suponhamos que a condição se verifica; fazendo 1n ∈ N para cada n ∈ N, obtemos: para cada n ∈ N, existe pelo menos um ponto x n ∈ B 0 p, 1n ∩ A. A sucessão x n de pontos de A verifica x n → p em E, d pois passando as desigualdades 0 ≤ dx n , p ≤ 1n ao limite, obtemos lim dx n , p 0, e p é um ponto aderente de A. (2) Tem-se A ⊂ A, pois para cada ponto a ∈ A, a é o limite em E, d da sucessão constante e igual a a. Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual, tem-se 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1; a aderência de cada um destes conjuntos é ainda 0, 1, nos espaços métricos R, min1, d e d R, d1 . (2) O fecho de R\0 em R, d como no exemplo (1), é o conjunto R, pois qualquer intervalo aberto contém um ponto diferente de 0. (3) Se x n é uma sucessão convergente no espaço métrico E, d, x lim x n , tem-se x n : n ∈ N x, x n : n ∈ N. II.5.36 Exercícios (1) Prove que se d 1 , d 2 são métricas em E, d 2 d 1 , A ⊂ E, então o fecho de A em E, d 2 está contido no fecho de A em E, d 1 (Sug: verifique II.4.3 (1)).. (2) Conclua do exercício anterior que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes no conjunto E, A ⊂ E, então o fecho de A em E, d 1 é o mesmo que o fecho de A em E, d 2 . (3) Determine A em cada um dos casos seguintes: n : n ∈ N em R, d, d a métrica ususal; (i) A 0 n1 (ii) A como em (i), em R, min1, d, d como em (i); (iii) A 0, 1 −1, 2 em R 2 , d M e em R 2 , d e (Sug: II.2.12 (3)); (iv) A Q em R, 2d, d a métrica usual (Sug: II.4.7 (3), (2); II.2.5 (2) (i)); (v) A 0, 1 1, 2 4, em R, d, d a métrica usual; (vi) A x, x 1 : x ∈ R em R 2 , d e , em R 2 , d M e em R 2 , d s . (4) Demonstre que se A é um subconjunto de E no espaço métrico E, d, então A p ∈ E : dp, A 0. (5) Mostre que se E, d é um espaço métrico, e C é um subconjunto finito de E, então C C. (6) Dê exemplo de um espaço métrico E, d e de um subconjunto finito A de E tal que E\A ≠ E. -91II.5.37 Resoluções (1) Seja p um ponto aderente de A em E, d 2 . Então existe uma sucessão x n em A tal que p lim x n em E, d 2 ; assim, para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal que 2 2 x n ∈ B 0 p, , para cada n ≥ p, onde B 0 p, designa a bola aberta em E, d 2 . Se 2 1 0, existe, pela hipótese d 2 d 1 , certo 0 tal que B 0 p, ⊂ B 0 p, , a bola 1 aberta para a métrica d 1 . Concluimos que para cada n ≥ p se verifica x n ∈ B 0 p, , e assim x n → p em E, d 1 e p é um ponto aderente de A neste espaço métrico. (2) Conclui-se de (1) que se d 2 d 1 e d 1 d 2 , então cada conjunto fecho de A num dos espaços métricos E, d 1 e E, d 2 é um subconjunto do outro, e portanto o fecho é o mesmo. n é um ponto aderente de A (3) (i) Além dos pontos de A, também o ponto 1 lim n1 (Exemplo (3) em II.5.35). Para cada outro ponto p ∈ R, existe r 0 tal que B 0 p, r ∩ A , e portanto p não é limite em R, d de uma sucessão em A. Concluimos n A 0, 1 n1 : n ∈ N. (ii) Conclui-se do exercício (1) que o fecho de A em R, min1, d é como em (i). (iii) Os pontos p da forma p 0, y, y ∈ −1, 2 são pontos aderentes de A: por exemplo 0, −1 lim0, −1 1n com cada ponto 0, −1 1n ∈ A; e 0, 2 lim0, 2 − 1n , 0, 2 − 1n ∈ A n ∈ N. Cada ponto p 1, y, y ∈ −1, 2 é também um ponto aderente de A, pois 1, y lim1 − 1n , y se −1 y 2; para y −1, tem-se −1, y lim1 − 1n , −1 1n e, se y 2, −1, y lim1 − 1n , 2 − 1n . Também cada ponto p x, −1, 0 x ≤ 1 é um limite x, −1 limx − nx , −1 1n de pontos de A, e 0, −1 lim0, −1 1n . Para os pontos da forma x, 2, 0 x ≤ 2, é x, 2 limx − nx , 2 − 1n , e 0, 2 lim0, 2 − 1n . Portanto o rectângulo 0, 1 −1, 2 com os lados é formado por pontos aderentes de A. Se p x 0 , y 0 ∉ 0, 1 −1, 2, existe uma bola aberta B 0 p, r para d M tal que B 0 p, r ⊂ A c ; então p não é limite de pontos de A em R 2 , d M , p não é ponto aderente de A em R 2 , d M . Conclui-se que A 0, 1 −1, 2 em R 2 , d M e, aplicando o exercício (1) acima, e II.4.2 (2), A 0, 1 −1, 2 em R 2 , d e . (iv) Aplicando II.4.7 (3), (2) e o exercício (2) acima, podemos determinar Q em R, d. Em cada bola aberta B 0 p, r p − r, p r, e para cada ponto p ∈ R, existe um número racional, e assim cada ponto p verifica a condição ∀ 0, B 0 p, ∩ Q ≠ e Q R em R, 2d. (v) Tem-se 0 lim 1n , 1n ∈ A n ∈ N e 1 lim 1 − 1n , 1 − 1n ∈ A n ∈ N. Assim 0, 1 ∈ A; também 2 lim 2 − 1n com 2 − 1n ∈ A n ∈ N e 4 lim 4 1n com 4 1n ∈ A para cada n ∈ N. Donde 0, 2 4, ⊂ A. Se p ∉ 0, 2 4, então existe r 0 tal que p − r, p r ⊂ A c ; portanto A 0, 2 4, . (vi) Se x, y ≠ x, x 1, x, y ∈ R, x 1 ≠ y, seja r ∣ y − x 1 ∣ /2 0. Para cada u, v ∈ x − r, x r y − r, y r B 0 x, y, r (a bola para a métrica d M ) tem-se max∣ u − x ∣, ∣ v − y ∣ r. Se v u 1, tem-se ∣ u − x ∣ r e ∣ u 1 − y ∣ r donde ∣ x − u ∣ r, ∣ u 1 − y ∣ r obtendo-se ∣ x 1 − y ∣ 2r ∣ x 1 − y ∣, o que é impossível; portanto B 0 x, y, r ⊂ A c e x, y não é limite de pontos de A, x, y ∉ A. Conclui-se A A em R 2 , d M . De II.4.2 e do exercício (1) acima, concluimos que também A A em R 2 , d e e em R 2 , d s . -92(4) Se p ∈ A então para cada 0, existe a ∈ A tal que a ∈ B 0 p, , i.e tal que dp, a . Assim ∀ 0, dp, A e portanto dp, A 0. Reciprocamente, se dp, A infdp, a : a ∈ A 0, então para cada n ∈ N, existe a n ∈ A tal que dp, a n 1n ; conclui-se lim dp, a n 0, pela passagem de uma desigualdade ao limite, donde a n → p e p ∈ A.c.q.d. (5) Basta provar que nenhum ponto p ∈ E, p ∉ C é limite de uma sucessão em C. Se p ∉ C c 1 , . . . , c m m ∈ N, seja mindp, c k : 1 ≤ k ≤ m 0. Não existe nenhum ponto c k ∈ B 0 p, , e assim p não é limite de uma sucessão em C, como queríamos. (6) Consideremos o espaço métrico E, d i , d i a métrica discreta em E 1, 2, A 1. Então E\A 2. Como B 0 1, 1 ∩ E\A 1 ∩ 2 , verifica-se 1 ∉ E\A e portanto E\A ≠ E. II.5.38 Teorema Sejam E, d um espaço métrico, A ⊂ E. Então: (1) O conjunto A é fechado; (2) A é um conjunto fechado se e só se A A. c Dem. (1) Provemos que A é aberto. Se p ∉ A, obtemos negando a condição em linguagem lógica, em II.5.34: ∃ 0, B 0 p, ∩ A , i.e. ∃ 0, B 0 p, ⊂ A c . Para cada x ∈ B 0 p, existe, pelo lema II,3.4, certo x 0 tal que B 0 x, x ⊂ B 0 p, ⊂ A c , B 0 x, x ⊂ A c , donde x ∈ extA e, aplicando o exercício (2) em II.5.13, concluimos c dx, A 0. Pelo exercício (4) em II.5.36, tem-se portanto x ∉ A e assim B 0 p, ⊂ A , o c que mostra que A é aberto. (2) Se A é fechado, provemos que A ⊂ A, concluindo-se então c A A por II.5.34 (2). Equivalentemente, mostremos que A c ⊂ A ; se p ∈ A c , como A c é aberto por hipótese, existe certo 0 tal que B 0 p, ⊂ A c , B 0 p, ∩ A , i.e., verifica-se a negação da condição de p ponto aderente de A em II.5.34, e portanto p ∉ A. Portanto se A é fechado, tem-se A A. A recíproca conclui-se de (1), c.q.d. II.5.39 Teorema Seja A um subconjunto do espaço métrico E, d. O conjunto A é a intersecção da classe dos subconjuntos fechados de E quer contêm A. c Dem. Tem-se A extA , aplicando o exercício (2) em II.5.15, e o exercício (4), II.5.36. Pelo teorema II.5.12, se C i : i ∈ I é a classe dos subconjuntos abertos de A c , tem-se extA intA c C i : i ∈ I e a classe dos subconjuntos fechados de E que contêm A é C ci : i ∈ I. Então A extA c C i : i ∈ I c C ci : i ∈ I (II.5.30) c.q.d. II.5.40 Teorema Se E, d é um espaço métrico, A, B ⊂ E, tem-se: (i) Se A ⊂ B então A ⊂ B; (ii) se A ⊂ B e B é fechado, então A ⊂ B; (iii) A B A B. -93Dem. (i) Se p ∈ A tem-se p lim a n em E, d, para pelo menos uma sucessão a n de pontos de A; então, como a n é uma sucessão em B, tem-se também p ∈ B. (ii) Dado p ∈ A, é p lim a n com a n uma sucessão em A, portanto a n ∈ B n ∈ N; sendo B um conjunto fechado, conclui-se p ∈ B por (2) no teorema II.5.38. (iii) Como A B é um conjunto fechado que contém A B, concluimos de (ii) que A B ⊂ A B; para a inclusão recíproca, se p ∈ A B então ou p é limite em E, d de uma sucessão de pontos de A, ou é limite de uma sucessão de pontos de B; em qualquer caso, p é limite de uma sucessão em A B, donde p ∈ A B. II.5.41 Observação A relação (ii) no teorema anterior mostra que o fecho de A num espaço métrico E, d é o menor conjunto fechado que contém A, no conjunto parcialmente ordenado PE para a relação de inclusão. II.5.42 Exercícios (1) Mostre que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então para cada ponto p ∈ E tem-se dp, A dp, A (Sug: para provar que infC ≤ infD basta mostrar que c infC c ≤ infD). (2) Conclua de (1) que A A (Sug: Exercício II.5.36 (4)). II.5.43 Resoluções (1) Sendo A ⊂ A tem-se dp, A infdp, x : x ∈ A ≤ infdp, x : x ∈ A dp, A, pois o perimeiro conjunto contém o segundo e, quando o conjunto dos vlores aumenta, o ínfimo permanece ou diminui. Suponhamos c dp, A. Então c dp, a, ∀a ∈ A. Se x ∈ A é x lim a n , a n ∈ A n ∈ N, lim dx, a n 0. Encontramos dp, x ≥ dp, a n − da n , x c − da n , x n ∈ N e passando esta desigualdade ao limite, dp, x ≥ c − 0 c; então dp, A infdp, x : x ∈ A ≥ c, donde dp, A ≤ dp, A e dp, A dp, A como queríamos. (2) Aplicando (4) em II.5.36, A p ∈ E : dp, A 0 p ∈ E; dp, A 0 A. II.5.44 Exercício Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A intA ∂A A ∂A. (Sug: II.5.36 (4), II.5.14 (2), (5) c) e II.5.9). II.5.45 Resolução Tem-se intA ∂A ⊂ A ∂A ⊂ A, pois se p ∈ A ∂A então aplicando II.5.15 (5) c), verifica-se dp, A 0 donde p ∈ A por II.5.36 (4); a primeira inclusão conclui-se de II.5.9 (2). Reciprocamente, se p ∉ intA ∂A então por II.5.9 (3) tem-se p ∈ extA, e aplicando de novo II.5.15 (2) é dp, A 0; pelo que aplicando de novo II.5.36, p ∉ A. Portanto A ⊂ intA ∂A ⊂ A ∂A, c.q.d. -94II.5.46 Exercício Determine o fecho de cada conjunto nos Exemplos II.5.11, e comprove com o exercício anterior. II.5.47 Resolução (1) Em R, d i tem-se 0 0 (II.5.27 (2), II.5.38 (2)) e int0 0, ∂0 . Assim 0 ⊂ int0 ∂0. (2) Em R, d, é −, 1 −, 1, uma vez que o complementar do conjunto é o aberto 1, . Verifica-se portanto −, 1 int−, 1 ∂−, 1. Em R 2 , d e , o fecho do conjunto A x, y : y ≥ x é o próprio conjunto; pois se x n , y n → x, y e y n ≥ x n para cada n, então aplicando II.12.12 (3) tem-se x n → x, y n → y e conclui-se y ≥ x passando a desigualdade ao limite. Portanto A intA ∂A também neste caso. II.5.48 Recordando II.5.6 (2), se E, d é um espaço métrico, ≠ C ⊂ E, a caracterização C p ∈ E : dp, C 0 em II.5.36 (4) de C (i.e, C é o subconjunto de E formado pelos pontos p tais que para cada r 0, dp, C r) mostra que C V r C : r 0. II.5.49 Exercícios (1) Prove que num espaço métrico E, d, o fecho de um conjunto C é a intersecção de uma classe contável decrescente (para a inclusão em PE) de conjuntos abertos. (Distinga o caso C ). (2) Demonstre que se A, C ⊂ E, E, d um espaço métrico, e C é fechado então: a) dp, C 0 para cada p ∈ C c ; b) extA A c (sug: utilize a a)); c) intA A c c (sug: utilize a alínea anterior). (3) Demonstre que num espaço métrico E, d o interior de cada conjunto C é reunião de uma classe contável crescente de conjuntos fechados; considere primeiro o caso C . II.5.50 Resoluções (1) Se C tem-se C . Se C é não vazio, seguindo II.5.48 tem-se C V 1/n C : n ∈ N O m : m ∈ N, onde O m V 1/n : 1 n m, cada O m é aberto e O 1 ⊃ O 2 ⊃. . . ⊃ O m ⊃ O m1 ⊃. . . c.q.d. Uma vez que a aplicação m → O m é sobrejectiva, conclui-se de I.6.15 que #O m : m ∈ N # 0 . (2) a) Provemos equivalentemente que, se dp, C 0 então p ∈ C. Se dp, C 0 então aplicando II.5.36 (4) tem-se p ∈ C C (II.5.38 (2)), ficando provado a) c.q.d. b) Aplicando II.5.14 (b), tem-se p ∈ extA sse dp, A 0. Pela a), também p ∉ A sse dp, A 0. Conclui-se p ∈ extA sse p ∈ A c c.q.d. c) Tem-se intA intA c c extA c A c c por b), c.q.d. (3) . Se C ≠ , é intC C c c O m : m ∈ N c O cm : m ∈ N com O cm : m ∈ N uma classe contável crescente de conjuntos fechados, obtida a partir da classe O m : m ∈ N da a). -95II.5.51 Se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A, pode dar-se p ∉ A como vimos já. Neste caso, uma vez que p é limite de uma sucessão a n em A, existe uma infinidade de termos a n ≠ p (se o conjunto dos termos diferentes de p na sucessão a n é finito, tem-se a n c a partir de certa ordem, e necessariamente c p). Portanto toda a bola aberta B 0 p, r contém pelo menos um ponto de A diferente de p, e assim B 0 p, r ∩ A\p ≠ para cada raio r 0, i.e., tem-se p ∈ A\p. Põe-se II.5.52 Definição Seja E, d um espaço métrico, e seja A ⊂ E. (1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto de acumulação do conjunto A se p é um ponto aderente do conjunto A\p; (2) o conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A e representa-se por A ′ . II.5.53 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o conjunto derivado de cada singleton p é o conjunto vazio, como consequência de ser um conjunto fechado. (2) 0, 1 ′ 0, 1 em R, d se d é a métrica usual em R. (3) Para a métrica discreta d i num conjunto E tem-se A ′ qualquer que seja o subconjunto A de E. II.5.54 Exercícios (1) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então p ∈ A ′ se e só se p é limite de uma sucessão de pontos de A todos diferentes, e diferentes de p. (2) Demonstre que A ′ ⊂ A. (3) Dê um exemplo em que a inclusão em (2) seja estrita. (4) Prove que se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, então p é um ponto de acumulação do conjunto dos termos se e só se existe uma subsucessão de x n com os termos todos diferentes, convergente para p. (5) Mostre que se I é um intervalo de R não reduzido a um ponto, então I ′ I em R, d, d a métrica usual. (6) Determine os pontos isolados, os pontos de acumulação e o fecho do conjunto A no espaço métrico E, d, em cada um dos casos seguintes: (i) E, d R, d, d a métrica usual, A Q; (ii) E, d como em (i), A Z; (iii) E, d como em (i), (ii), A 1/n : n ∈ N 2 ; (iv) E, d R, d i , d i a métrica discreta, A Q; (v) E, d R 2 , d e , A B 0 0, 0, 1 N 2 , d e a métrica euclideana. (7) Demonstre que num espaço métrico E, d, se A ⊂ E, e representando por iA o conjunto dos pontos isolados de A, se tem A iA A ′ . (8) Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A A A ′ . (9) Determine intA em (6) (v) e conclua que pode ser A ≠ intA A ′ . (10) a) Mostre que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A ′ , então toda a vizinhança do ponto p contém uma infinidade de pontos de A; b) conclua que se um subconjunto A de um espaço métrico é finito, então A ′ . -96II.5.53 Resoluções (1) Admitamos primeiro que existe uma sucessão a n nas condições dadas, a n → p. Então para cada 0, existe uma ordem n tal que a n ∈ B 0 p, se n ≥ n. Em particular, tem-se a n ∈ B 0 p, e, como a n ≠ p tem-se a n ∈ B 0 p, ∩ A\p e p ∈ A ′ . Supondo p ∈ A ′ , i.e., p ∈ A\p consideremos 1; existe pelo menos um ponto a 1 ∈ B 0 p, 1 ∩ A\p. Para 1/2 existe uma infinidade de pontos a ∈ B 0 p, 1/2 ∩ A\p; pois se o conjunto B 0 p, 1/2 ∩ A\p fosse finito, digamos constituído por pontos x 1 , . . . , x m , então com d dp, x 1 , . . . , x m 0, o conjunto B 0 p, d ∩ A\p seria vazio, e então p ∉ A ′ . Existe portanto pelo menos um ponto a 2 ∈ B 0 p, 1/2 ∩ A\p, a 2 ≠ a 1 . Seguidamente, repetindo o raciocínio, existe pelo menos um ponto a 3 ∈ B 0 p, 1/3 ∩ A\p, a 3 ≠ a 2 e a 3 ≠ a 1 ; e vemos que para cada n ∈ N, existem n pontos diferentes a k ∈ B 0 p, 1/k ∩ A\p, k 1, . . . , n. A sucessão a n em A satisfazs condições pedidas, pois para cada 0, se n ∈ N e n ≥ n 1/ então a n ∈ B 0 p, 1/n ⊂ B 0 p, , e assim a n → p c.q.d. (2) Se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A, utilizando o Teorema II.5.40. (3) II.5.53 mostra que, por exemplo considerando a métrica discreta em E 1 se tem E ′ , pois 1 ∉ 1 ∩ E\1, 1 B 0 1, 1. No entanto, E E ≠ . (4) Utilizando (1), tem-se p ∈ x n : n ∈ N ′ se e só se existe uma sucessão x j → p, com cada x j um dos termos de x n j ∈ N, x j ≠ x j ′ se j ≠ j ′ . Para cada n 1, 2, . . . , existe um menor índice j de entre todos os j ≥ n, tal que x j ∈ B 0 p, 1/n; designando-o por jn, a aplicação de N em N, n → jn é estritamente crescente. A sucessão x jn é portanto uma subsucessão de x n , e x jn → p n → , podendo escolher-se cada x jn ≠ p c.q.d. (5) Por (2), tem-se I ′ ⊂ I. Seja p ∈ I, a inf I, b sup I; não pode ser p a, nem p b, pois então dp, I 0 e p ∉ I (II.5.36 (4)). Uma vez que para cada 0, existe pelo menos um ponto x ∈ p − , p ∩ I, é x p − ≥ a − e x p ≤ b − . Conclui-se que para 0 suficientemente pequeno, cada ponto x ∈ p − , p ∩ I e portanto que para cada 0, B 0 p, ∩ I\p ≠ . (6) (i) iQ , pois para cada número racional q, existe pelo menos um número irracional em cada intervalo q − , q , 0; também se p é um número real, para cada 0, tem-se p − , p ∩ Q\p ≠ , pois em p − , p existe uma infinidade de números racionais, e uma infinidade de números irracionais. Donde Q ′ R. Se p ∈ R, tem-se dp, Q 0, Q R. (ii) Cada ponto m ∈ Z é um ponto isolado em R, d, porque m − 1, m 1 ∩ Z m m ∈ Z. Z ′ , pois nenhuma sucessão de números inteiros, todos diferentes, é convergente em R, d (utilize-se (1)). Z Z, uma vez que uma sucessão de números inteiros é convergente em R, d se e só se é constante a partir de certa ordem. (iii) Cada ponto p ∈ 1/n : n ∈ N 2 é um ponto isolado: dado p 1/n 0 , n 0 ∈ N 2 tem-se p − , p ∩ N 2 p se min1/n 0 − 1 − 1/n 0 , 1/n 0 − 1/n 0 1. 1/n : n ∈ N 2 ′ 0, uma vez que 1/n → 0 (e portanto qualquer subsucessão de 1/n tem limte 0, e por (4)); também 1/n : n ∈ N 2 0, 1/n : n ∈ N 2 . (iv) Em R, d i , tem-se Q ′ , pois para cada ponto p ∈ R, B 0 p, 1 ∩ Q\p p ∩ Q\p . Assim iQ . Q Q, pois cada conjunto é fechado. -97- (v) Em R 2 , d e , os pontos isolados de A B 0 0, 0, 1 N 2 são os pontos em N 2 . Pois para cada n, m ∈ N 2 , tem-se: se n, m 1, 1, então B 0 1, 1, 1 ∩ A 1, 1; e para os outros pontos n, m, é também B 0 n, m, 1 ∩ A n, m. Além disso, os pontos x, y ∈ B 0 0, 0, 1 não são pontos isolados, pois cada conjunto B 0 x, y, ∩ B 0 0, 0, 1 1−x 2 −y 2 contém o ponto x − , y; assim iA N 2 , e tem-se B 0 0, 0, 1 ⊂ A ′ . Se 2 x 2 y 2 1 então para cada 0, x, y ∈ B 0 x, y, ∩ B 0 , 0, 0, 1\x, y desde que 1 − 1, o que mostra que x, y ∈ A ′ . B 0 0, 0, 1 ⊂ B0, 0, 1, pois se x 2n y 2n 1 e x n , y n → x, y, é x n → x, y n → y (II.2.12 (3)), e x 2 y 2 limx 2n y 2n ≤ 1. Se x 2 y 2 ≤ 1, é x, y lim1 − 1n x, 1 − 1n y, e x, y ∈ B 0 0, 0, 1, pelo que B 0 0, 0, 1 B0, 0, 1. Donde A ′ B0, 0, 1. Por II.5.40 (iii) é A B0, 0, 1 N 2 B0, 0, 1 N 2 . (7) Tem-se iA ⊂ A ⊂ A e A ′ ⊂ A, uma vez que se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A (II.5.40 (i)); deste modo, iA A ′ ⊂ A. Se p ∈ A então para cada vizinhança V de p tem-se V ∩ A ≠ , e dá-se portanto um e um só dos dois casos: 1º caso) para certa vizinhança V de p, é V ∩ A p; 2º caso) qualquer que seja a vizinhança V de p, existe pelo menos um ponto x ≠ p, x ∈ V ∩ A. No 1º caso, tem-se p ∈ iA; no 2º caso, tem-se V ∩ A\p ≠ para toda a vizinhança V de p, donde p ∈ A ′ . Assim A ⊂ iA A ′ e A iA A ′ , c.q.d. (8) Tem-se iA ⊂ A, donde por (7) A ⊂ A A ′ . Também se p ∈ A então p ∈ A (II.5.34 (2)), e tendo-se A ′ ⊂ A conclui-se A A ′ ⊂ A, A A A ′ . (9) Como B 0 0, 0, 1 ⊂ A e B 0 0, 0, 1 é um aberto, tem-se B 0 0, 0, 1 ⊂ intA. Os outros pontos p, q ∈ N 2 ⊂ A não são pontos interiores de A, pois nenhuma bola aberta B 0 p, q, r ⊂ A. Assim intA B 0 0, 0, 1. Cada ponto x, y ∈ B0, 0, 1 é um ponto de acumulação de A, uma vez que para cada 0, B 0 x, y, ∩ A\x, y ≠ . Os pontos em N 2 não são pontos de acumulação de A, pois são pontos isolados de A. Para cada ponto x 0 , y 0 ∈ B0, 0, 1 N 2 c existe r 0 tal que B 0 x 0 , y 0 , r ∩ A , e x 0 , y 0 ∉ A ′ . Conclui-se que A ′ B0, 0, 1. Deste modo, intA A ′ B0, 0, 1 ≠ A, pois por exemplo 2, 3 ∈ A, 2, 3 ∉ B0, 0, 1. (10) (a) Sendo p ∈ A ′ , admitamos por hipótese de absurdo que existe uma vizinhança V de p tal que o conjunto V ∩ A é finito. Se V ∩ A , então p não é um ponto de acumulação de A; suponhamos pois V ∩ A c 1 , . . . , c m , m ∈ N. Teremos V ∩ A\p c 1 , . . . , c n , n ∈ N, e então, com r mindc k , p : 1 ≤ k ≤ n 0, vem: U B 0 p, r ∩ V é uma vizinhança de p, mas U ∩ A\p . Isto contradiz que p ∈ A ′ , ficando provado que toda a vizinhança de p contém uma infinidade de pontos de A. (b) Conclui-se imediatamente de (a), pois se A é finito, nehum conjunto pode conter uma infinidade de pontos de A. II.6 TOPOLOGIA DE SUBESPAÇO MÉTRICO. SEPARABILIDADE II.6.1 Conforme a II.5.1, a topologia T de um espaço métrico E, d (classe dos subconjuntos abertos de E), é definida a partir da clsse V p das vizinhanças de cada ponto p ∈ E (II.3.5 e II.3.1). Se A ≠ , A ⊂ E, o subespaço métrico A, d A de E, d é o conjunto A munido da métrica induzida d A em A pela métrica d (II.2.14, rever também II.2.20). -98II.6.2 Definição Se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, C ⊂ A, (1) um ponto c ∈ C diz-se um ponto interior de C no subespaço métrico A, d A (ou somente do subespaço métrico A), se existe um raio r 0 tal que a bola B 0,A c, r ⊂ C; aqui, B 0,A c, r x ∈ A : dx, c r; o interior de C em A, d A é o conjunto dos pontos interiores de C no subespaço métrico A; (2) C diz-se um conjuto aberto no subespaço métrico A se todo o ponto c ∈ C é um ponto interior de C no subespaço métrico A, i.e., se C coincide com o seu interior em A, d A . II.6.3 PROPRIEDADE Sejam E, d um espaço métrico, ≠ A ⊂ E. Se C ⊂ A, então C é aberto no subespaço métrico A se e só se existe um subconjunto aberto W de E tal que C W ∩ A. Dem. Suponhamos primeiro que existe um aberto W de E tal que C W ∩ A. Se c ∈ C, tem-se c ∈ W, e existe r 0 tal que B 0 c, r ⊂ W, pois W é aberto; então B 0,A c, r B 0 c, r ∩ A ∩ W ∩ A ⊂ C, o que mostra que C é aberto em A. Reciprocamente, se C é aberto em A, d A , então existe, para cada ponto c ∈ C, um raio c 0 tal que B 0,A c, c ⊂ C. Conclui-se que C B 0,A c, c : c ∈ C A ∩ B 0 c, c : c ∈ C A ∩ B 0 c, c : c ∈ C, e portanto C W ∩ A, com W B 0 c, c : c ∈ C, aberto em E c.q.d. II.6.4 Teorema Se E, d é um espaço métrico e A é uma parte não vazia de E, então a topologia T A do subespaço métrico A, d A é a classe dos subconjuntos C de A da forma C W ∩ A, onde W percorre a topologia T E de E, i.e., T A W ∩ A : W ∈ T E . Dem. Conclui-se imediatamente de II.6.3. II.6.5 Observações (1) A topologia T A do subespaço métrico A é a topologia da métrica d A em A. (2) Deduz-se facilmente do teorema anterior que a topologia T A do subespaço métrico A verifica as mesmas propriedades de T E em II.5.4. Em particular, A é sempre um subconjunto aberto de A, d A , como consequência de A E ∩ A. No entanto, um subconjunto C de A pode ser aberto em A, e no entanto C não ser um aberto de E. (3) Um subconjunto S do subespaço métrico A de E, d é fechado se e só se o seu complementar A\S em A é aberto em A, d A . Em particular, A é sempre fechado em A, d A . II.6.6 Exemplos (1) Em R, d, d a métrica usual de R, considerando A 0, 1, tem-se B 0,A 0, 1 0 e B 0,A 1, 1 1. T A , 0, 1, 0, 1 é a topologia da métrica discreta, para a qual todo o conjunto é aberto. No entanto, 0 não é um subconjunto aberto de R, d. (2) Com E, d R, d como em (1), A 0, 1, o interior do conjunto 0. 1 em A, d A é 0, 1: pois se 0 p 1, existe r 0 0 tal que B 0,A p, r B 0 p, r para cada 0 r r 0 , e p é um ponto interior de 0, 1 em R, d; e para p 0, tem-se B 0,A 0, 12 ⊂ 0, 1. Assim, 0, 1 é um subconjunto aberto do subespaço métrico 0, 1 de R, d. -99II.6.7 Exercícios (1) Mostre que se E, d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E e A é um conjunto finito, a topologia T A é a topologia da métrica discreta sobre A (Sug: II.5.3 (2)). (2) Demonstre que um subconjunto S de um subespaço métrico A do espaço métrico E, d é fechado em A, d A se e só se existe um subconjunto fechado F de E tal que S F ∩ E. (Sug: Observação (3) em II.6.5 e Teorema II.6.4). A (3) O fecho G de um subconjunto G do subespaço métrico A, d A de E, d é o conjunto dos pontos de A que são os limites em A, d A das sucessões de pontos de G, A A convergentes no espaço métrico A, d A . Mostre que G G ∩ A e que G G se A é fechado em E. (4) Prove que se A é um subespaço métrico de E, d, a classe T A dos abertos do subespaço métrico A tem as propriedades relativas da classe T E dos abertos de E. Conclua as propriedades correspondentes em II.5.30, para a classe dos fechados. (5) Prove que se A é um subespaço métrico de E, d, S ⊂ A e S é aberto (resp. fechado) em E, então S é aberto (resp. fechado) no subespaço métrico A. (6) Demonstre que se o conjunto não vazio A é aberto em E, d, S ⊂ A, é condição necessária e suficiente para que S seja aberto em A que S seja aberto em E. Enuncie e demonstre a propriedade correspondente para conjuntos fechados. (Sugestão para a primeira parte: justifique as passagens seguintes 1. Condição necessária: (i) se S é aberto em A, tem-se S W ∩ A, com W um aberto de E; (ii) então S é aberto em E. 2. A condição é suficiente). II.6.8 Resoluções (1) Designemos A a 1 , . . . , a n . Para cada k 1, . . . , n, existe o mínimo minda j , a k : j 1, . . . , n, j ≠ k r k 0. Tem-se B 0,A a k , r k B 0 a k , r k ∩ A a k , e como B 0,A a k , r k é aberto em A, T A concluimos que cada singleton a k é aberto neste subespaço topológico. Consequentemente, cada subconjunto de A sendo reunião dos singleton constituídos pelos seus elementos, vem que (II.6.5 (1)) cada subconjunto de A é aberto em A, T A e assim T A PA é a topologia da métrica discreta sobre A (II.5.3 (2)). (2) S é fechado em A, d A se e só se A\S é aberto neste espaço métrico, i.e., se e só se existe um aberto W em E, d tal que A\S W ∩ A, i.e., A ∩ S c A ∩ W. Esta igualdade implica, por passagem ao complementar, que A c S A c ∩ S c c A ∩ W c A c W c . Então S S ∩ A A c S ∩ A A c W c ∩ A W c ∩ A, W c fechado em E, d; reciprocamente, se S verifica S F ∩ A com F fechado em E, d, então A\S A ∩ S c A ∩ F ∩ A c A ∩ F c A A ∩ F c , F c aberto em E, d, e A\S é aberto em A, d A pelo que S é fechado neste subespaço métrico. A (3) Tem-se p ∈ G se e só se existe pelo menos uma sucessão a n em G tal que a n converge para p em A, d A , o que equivale a dizer que a n ∈ G n ∈ N, p ∈ A e A d A a n , p → 0; assim p ∈ G se e só se p ∈ A e da n , p d A a n , p → 0 para certa A sucessão a n em G, ou seja, se e só se p ∈ A e p ∈ G. É portanto G G ∩ A; se A é fechado em E, G ⊂ A, e p é limite de uma sucessão de pontos de G, esta sucessão está em A, pelo que o seu limite p é um ponto de A. Portanto, neste caso, p ∈ G implica A A A p ∈ G ∩ A G e G G, uma vez que é sempre G ⊂ G. -100(4) Pelo teorema II.6.4, T A W ∩ A : W ∈ T E . Tem-se portanto: A 1 A E ∩ A ∈ T A , ∩ A ∈ T A ; A 2 Se A 1 W 1 ∩ A, . . . , A n W n ∩ A ∈ T A , W 1 , . . . , W n ∈ T, então W W 1 ∩. . . ∩W n ∈ T e A 1 ∩. . . ∩A n W ∈ A ∈ T A ; A 3 Se A W ∩ A ∈ T A ∈ A, W ∈ T, então W : ∈ A ∈ T donde A : ∈ A W ∩ A : ∈ A W : ∈ A ∩ A ∈ T A . Para os conjuntos fechados em A, d A tem-se, usando II.6.5 (3): F 1 A A\ é fechado, A\A é fechado; F 2 Se S 1 F 1 ∩ A, . . . , S n F n ∩ A são fechados em A, d A (F 1 , . . . , F n fechados em E), então F 1 . . . F n é fechado em E, e S 1 . . . S n F 1 ∩ A . . . F n ∩ A F 1 . . . F n ∩ A é fechado em A; F 3 Sendo S F ∩ A : ∈ A é uma classe de fechados em A (cada F fechado em E), conclui-se que S : ∈ A F : ∈ A ∩ A é fechado em A, d A , pois F : ∈ A é fechado em E, d. (5) Atendendendo a II.6.4 e II.6.5, se S ⊂ A e S é aberto (resp. fechado) em E, d, então S S ∩ A mostra que S é aberto (fechado) em A, d A . (6) Dem. 1. (i) Pela PROPRIEDADE II.6.3; (ii) pois por hipótese A é aberto em E, d, e a intersecção finita de abertos é um aberto. 2. Se S é aberto em E, d, a igualdade S S ∩ A mostra, usando II.6.3, que S é aberto em A, d A . Para conjuntos fechados, tem-se: se A é fechado em E, S ⊂ A, então S é fechado em A se e só se S é fechado em E. Dem. A condição é necessária: se S é fechado em A, então aplicando II.6.5, existe um fechado F em E, d tal que S F ∩ A. Como a intersecção de dois fechados é um fechado, vem que S é fechado em E, d. A condição é suficiente, pois se S é fechado em E, d, a igualdade S S ∩ A mostra, aplicando II.6.5, que S é fechado em A, d A . II.6.9 Definição O espaço métrico E, d diz-se separável se existe um subconjunto contável S de E tal que o fecho de S em E, d coincide com E. II.6.10 Observações (1) Se um subconjunto S do espaço métrico E, d verifica a condição S E, diz-se que S é denso em E, d (ou que é uma parte densa de E, d). Assim E, d é um espaço métrico separável se e só se existe uma parte contável S de E, densa em E. (2) Sendo A ⊂ E, d, A é denso em E, d se e só se verifica a condição de para todo o ponto p ∈ E, e qualquer que seja 0, existir pelo menos um ponto a ∈ B 0 p, ∩ A. -101II.6.11 Exemplos (1) R, d, d a métrica usual, é um espaço métrico separável, pois pode tomar-se S Q (ver a Resolução do Exercicio II.5.53 (6) (i)). (2) Se E é um conjunto de cardinal maior que o numerável, então E, d i , onde d i é a métrica discreta, não é um espaço métrico separável; pois cada parte de E é um conjunto fechado e não existe nenhuma parte própria de E densa em E. O espaço métrico E, d i é separável se e só se E é um conjunto contável. II.6.12 Observação Se ≠ A ⊂ E, E, d um espaço métrico, uma parte S de A pode A ser densa no subespaço métrico A, d A (i.e., S S ∩ A A, na notação de II.6.7 (3)), e no entanto não ser densa em E, d, i.e., S ≠ E. Em particular, um subespaço métrico A, d A de E, d pode ser separável, sem que E, d seja um espaço métrico separável. II.6.13 Exercícios (1) Prove que sendo A ⊂ E, d, A é denso em E, d se e só se cada ponto de E é limite em E, d de uma sucessão de pontos de A. (2) Mostre que se d 1 , d 2 são métricas sobre um conjunto E, d 2 d 1 , e se A é denso em E, d 2 , então A é denso em E, d 1 . Conclua que se E, d 2 é separável, então E, d 1 é separável. (Sug: II.5.36 (1)). (3) Mostre que os seguintes espaços métricos são separáveis: (i) 0, , d o, , onde d 0, é a métrica induzida pela métrica usual d de R em 0, ; (ii) R 2 , d e , d e a métrica euclideana. (Sug: Para (i), S Q ∩ 0, ; para (ii), S Q 2 ). (4) Pode concluir de (3) (ii), usando (2), que R 2 , d M , R 2 , d s (II.2.18) são separáveis? Justifique. (Sug: II.4.2 (2) e (2) acima). (5) Prove que todo o subespaço métrico de um espaço métrico separável é separável.. (Note a Observação II.6.12). (6) Dê exemplo de um espaço métrico não separável, que tenha um subespaço métrico separável. -102(7) Mostre que se o espaço métrico E, d é separável, então o cardinal de E não é maior que o cardinal do contínuo. (Sug: I.6.39 e I.6.15). II.6.14 Resoluções (1) Com efeito, tem-se E S sse E ⊂ S, i.e., se e só se cada ponto p ∈ E é um ponto aderente de S. 2 1 (2) Se d 2 d 1 , então o fecho S de S em E, d 2 está contido no fecho S de S em 2 1 1 E, d 1 . Assim E ⊂ S implica E ⊂ S e E S . Consequentemente, se existe S ⊂ E, S 2 1 contável, tal que S E, então também S E. (3) (i) O conjunto Q ∩ 0, é contável (é um subconjunto de um conjunto contável) e Q ∩ 0, 0, no espaço métrico 0, , d, pois se p 0, 0, existe pelo menos um número racional na bola aberta p − , p ∩ 0, . (ii) Em R 2 , d e tem-se Q 2 R 2 . Com efeito, dado x, y ∈ R 2 , 0, existem números racionais p, q tais que ∣ x − p ∣ ∣ y − q ∣ , vindo x − p 2 y − q 2 e p, q ∈ B 0 x, y, ∩ Q 2 . (4) Utilizando II.4.2 (2), tem-se d e d M , d e d s , e pelo exercício (2) R 2 , d M e 2 R , d s são separáveis. (5) Se A ⊂ E e S é um subconjunto contável de E tal que a aderência S de S em E, d é todo o E, então A A ∩ S. Portanto, dado a ∈ A, 0, existe pelo menos um ponto s ∈ B 0 a, ∩ S, ou, o que é o mesmo, B 0 s, ∩ A ≠ . Conclui-se que A ⊂ B 0 s, /2 : s ∈ S para cada 0, e os conjuntos B 0 s, /2 não são todos vazios, quando s percorre S. Sendo S um conjunto contável, podemos designar S s i : i ∈ I onde I ⊂ N; tem-se pois A ⊂ B 0 s k , /2 : k ∈ I , onde ≠ I ⊂ I e B 0 s k , /2 ∩ A ≠ , para cada 0. Designando a k um ponto em B 0 s k , /2 ∩ A para cada k, conclui-se que para cada 0, cada ponto a ∈ A verifica da, a k ≤ da, s k ds k , a k para certo k, i.e., a B 0 a, pertence pelo menos um ponto a k . O conjunto dos ponto a k é indiciado em k ∈ I ⊂ I para cada 0. Assim quando percorre os reais positivos, obtem-se pelo processo indicado um conjunto contável S A de pontos a k , S A ⊂ A. Tem-se: para cada 0, e dado um ponto a ∈ A, existe pelo menos um ponto a k ∈ B 0 a, ∩ S A , de modo que S A é um subconjunto contável denso de A em A, d A (d A a métrica induzida em A), e o subespaço métrico A é separável, c.q.d. (6) O espaço métrico R, d i , d i a métrica discreta, e o subespaço métrico N de R, d i satisfazem as condições pedidas. (7) Se E, d é um espaço métrico separável, S é um subconjunto contável denso de E, podemos considerar a aplicação f : W s n ∈ S N : s n é convergente → E definida por fs n lim s n , e esta aplicação é sobrejectiva. Portanto #E ≤ #W ≤ #S N , e este último cardinal é o cardinal do contínuo. II.6.15 Exercício Prove que se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A é denso em E se e só se Ac ⊂ A′. -103II.6.16 Resolução Suponhamos A E, e seja p ∈ A c . Se 0, tem-se B 0 p, ∩ A ≠ , e como p ∉ A existe um ponto a ≠ p, a ∈ B 0 p, ∩ A. Portanto B 0 p, ∩ A\p ≠ , concluindo-se p ∈ A ′ e A c ⊂ A ′ . Reciprocamente, se A c ⊂ A ′ , considere-se x ∈ E. Dois casos se podem dar: 1º caso) x ∈ A; 2º caso) x ∈ A c . No 1º caso, x lim x é o limite de uma sucessão em A, e assim x ∈ A; no 2º caso, é x ∈ A ′ por hipótese, donde x ∈ A e conclui-se assim que A c ⊂ A ′ implica A E, como se queria. II.7 CONDIÇÕES DE CARDINALIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS II.7.1 Observação Se E, d é um espaço métrico e p é um ponto de E, cada vizinhança V de p contém, por definição, uma bola aberta B 0 p, para certo 0. Por outro lado, existe sempre, dado 0, certo número natural n tal que 1n , e verifica-se portanto B 0 p, 1n ⊂ V. A classe B 0 p, 1n : n ∈ N é contável (atenda-se à sobrejecção n B 0 p, 1n ), e assim em cada ponto p, existe uma classe contável B 0 p, 1n : n ∈ N de vizinhanças de p tal que, qualquer que seja a vizinhança V de p, V contém pelo menos uma vizinhança na classe B 0 p, 1n : n ∈ N. Uma colecção B p de vizinhanças de p satisfazendo a condição de para cada vizinhança V do ponto, existir pelo menos certa U ∈ B p tal que U ⊂ V, diz-se que é uma base de vizinhanças de p. Qualquer espaço métrico tem a propriedade C 1 ≡ Em cada ponto p, existe uma base contável de vizinhanças de p. II.7.2 Observações (1) Sendo E, d um espaço métrico, A um subconjunto aberto não vazio de E, existe, para cada a ∈ A, certo raio a 0 tal que B 0 a, a ⊂ A. Conclui-se que A B 0 a, a : B 0 a, a ⊂ A onde cada B 0 a, a é um conjunto aberto, e, incluindo a convenção B : B ∈ , cada aberto em E, d é reunião de uma classe (possivelmente vazia) de bolas abertas. II.7.3 Definição (1) Diz-se que uma classe B de subconjuntos abertos do espaço métrico E, d é uma base da topologia da métrica se cada aberto de E, d é reunião de conjuntos tomados em B. (2) Diz-se que o espaço métrico E, d satisfaz o 2º Axioma da cardinalidade C 2 se existe uma base contável da topologia da métrica. Diz-se então também que E, d é um espaço C 2 . -104II.7.4 Exemplos (1) R, d, d a métrica usual, é um espaço C 2 , pois a classe B dos intervalos abertos a, b de extremos racionais a, b é uma base contável da topologia da métrica. (Se p é um número irracional, existe uma sucessão decrescente a n em Q tal que a n p para cada n e a n → p, donde, com p q, é p, q a n , q : n ∈ N; se q é também um número irracional, obtem-se p, q a n , b n : n ∈ N, onde a 1 b 1 e b n é uma sucessão crescente de números racionais tal que b n → q. Como cada aberto de R, d é uma reunião de intervalos abertos a, b, todo o conjunto aberto é uma reunião de conjuntos na classe B). (2) R, d i , d i a métrica discreta, não é um espaço C 2 , pois uma base da topologia da métrica contém necessariamente todos os singleton p, p ∈ R. II.7.5 Exercícios (1) Mostre que se E é um conjunto não vazio, o espaço métrico E, d i , d i a métrica discreta sobre E, é um espaço C 2 se e só se E é um conjunto contável. (2) Prove que se d 1 , d 2 são métricas equivalentes sobre E, e se E, d 1 é um espaço C 2 , então E, d 2 é um espaço C 2 . (3) a) Mostre que o espaço métrico R 2 , d M , d M a métrica do máximo em R 2 , é um espaço C 2 . (Sug: cada aberto é uma reunião de rectângulos abertos a, b c, d). b) Utilizando (2), conclua da a) que R 2 , d e e R 2 , d s (II.2.18) são espaços C 2 . c) Generalize a) e b) para R N , d M , R N , d e e R N , d s (II.2.18). II.7.6 Resoluções (1) Com efeito, se E é contável, então B p : p ∈ E é uma base contável da topologia da métrica. E se E não é contável, então uma vez que cada base da topologia da métrica tem de conter p : p ∈ E (pois cada singleton p é um aberto), esta classe não é contável. (2) Seja B uma base da topologia da métrica de E, d 1 . Se A é um conjunto aberto em E, d 2 então A é aberto em E, d 1 , donde A U : U ∈ B A onde B A ⊂ B. Uma vez que cada conjunto U na classe B A é aberto em E, d 1 , U é aberto em E, d 2 e, de modo mais geral, todo o conjuto U tomado em B é aberto em E, d 2 . Assim B A é uma base da topologia da métrica em E, d 2 , donde o resultado. -105(3) a) Dado um rectângulo aberto a, b c, d ⊂ R 2 , cada ponto x 0 , y 0 ∈ a, b c, d verifica x 0 , y 0 ∈ B 0 x 0 , y 0 , x 0 − , x 0 y 0 − , y 0 ⊂ a, b c, d, onde se pode escolher 0 tal que a x 0 − , x 0 b, c y 0 − , y 0 d e x 0 − , x 0 , y 0 − , y 0 ∈ Q. Portanto a, b c, d é reunião de abertos na classe B p 1 , q 1 p 2 , q 2 : p i q i , p i , q i ∈ Q i 1, 2, e mais geralmente cada aberto em R 2 , d M é reunião de conjuntos na classe B; como esta classe é contável (o seu cardinal não excede o cardinal de Q 2 # 20 # 0 , rever I.6.24, I6.28. I.6.29, I.6.16). Assim R 2 , d M é um espaço C 2 . b) Como as métricas d M , d e e d s são equivalentes sobre R 2 , os espaços métricos 2 R , d e e R 2 , d s são espaços C 2 , como consequência da a). c) Analogamente ao caso de R 2 , d M , a classe de abertos B p 1 , q 1 . . . p N , q N : p i q i , p i , q i ∈ Q, i 1, . . . , N é uma base contável da topologia da métrica, e R N , d M é um espaço C 2 . Como as métricas d e e d s são ambas equivalentes à métrica d M , também R N , d e e R N , d s são espaços C 2 . II.7.7 Teorema Um espaço métrico E, d é separável se e só se é um espaço C 2 . Dem. Se E, d é um espaço C 2 , podemos considerar, dada uma base de abertos B B n : n ∈ I onde I ⊂ N, um ponto p n ∈ B n para cada n (Axioma de Zermelo). Obtemos assim um conjunto contável A p n : n ∈ I, e tem-se A E. Para provar esta igualdade, podemos utilizar II.6.16, e mostrar que A c ⊂ A ′ . Seja p ∈ A c , e seja 0. Então B 0 p, é um conjunto aberto, e B 0 p, ⊃ B n para certo n ∈ I; donde p n ∈ B n ⊂ B 0 p, , p n ≠ p e portanto p n ∈ B 0 p, ∩ A\p que é assim um conjunto não vazio para cada 0, concluindo-se que p ∈ A ′ . Para a recíproca, utilizaremos o Lema Sejam w, a pontos no espaço métrico E, d, 0. Se dw, a /3 e /3 2/3 então w ∈ B 0 a, ⊂ B 0 w, . Suponhamos então que existe um subconjunto contável denso A a n : n ∈ I de E, e mostremos que E, d é um espaço C 2 . -106Tem-se: a classe de abertos B B 0 a n , : n ∈ I, 0, Q é contável, atendendendo a que a função : B → Q 2 , B 0 a n , n, é injectiva (ver II.7.6 (3) a) acima). Provemos que B é uma base para a topologia da métrica. Basta mostrar que para cada aberto W e cada w ∈ W, existe uma bola B 0 a n , ∈ B tal que w ∈ B 0 a n , ⊂ W. Como W é aberto, existe 0 tal que B 0 w, ⊂ W; sendo A denso em E, é B 0 w, /3 ∩ A ≠ , e assim existe a n ∈ B 0 w, /3 ∩ A. Existe então um número racional 0 tal que /3 2/3, e, pelo Lema, w ∈ B 0 a n , ⊂ B 0 w, ⊂ W, donde w ∈ B 0 a n , ⊂ W. E é portanto um espaço C 2 c.q.d. II.7.8 Observação Conclui-se de (5) em II.6.13 e do teorema anterior que todo o subespaço métrico de um espaço métrico C 2 é também um espaço C 2 . II.7.9 Exercícios (1) Prove o Lema utilizado na demonstração do Teorema II.7.7 (2) Prove que se d 2 , d 1 são métricas sobre E, d 2 d 1 , e se E, d 2 é um espaço C 2 , então E, d 1 é um espaço C 2 . (3) a) Mostre que df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 é uma métrica sobre o conjunto C0, 1 das funções reais contínuas de domínio 0, 1. b) Prove que d d 1 , onde d 1 é a métrica sobre C0, 1 definida por 1 d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx (II.4.4 (5) a)). 0 c) Sabendo que toda a função contínua f sobre 0, 1 é limte em C0, 1, d de uma sucessão P n onde cada P n é a restrição a 0, 1 de um polinómio em x, prove que os espaços métricos C0, 1, d e C0, 1, d 1 são espaços C 2 . (Sug: se n ∈ N 0 e a 0 a 1 x . . . a n x n 0, ∀x ∈ 0, 1, onde a k ∈ R 0 ≤ k ≤ n então a 0 a 1 . . . a n 0). (4) Dê exemplo de um espaço métrico que não seja um espaço C 2 . -107II.7.10 Resoluções (1) Uma vez que dw, a /3 , tem-se w ∈ B 0 a, , e precisamos apenas de provar que B 0 a, ⊂ B 0 w, . Tem-se para x ∈ B 0 a, : dw, x ≤ dw, a da, x /3 /3 2/3 ; portanto x ∈ B 0 w, e conclui-se a inclusão B 0 a, ⊂ B 0 w, c.q.d. (2) Utilizando II.6.13 (2), se d 2 d 1 e E, d 2 é separável, então E, d 1 é separável; portanto, se E, d 2 é um espaço C 2 , é um espaço separável (Teorema II.7.7), donde E, d 1 é separável e, de novo pelo Teorema II.7.7, E, d 1 é um espaço C 2 . (3) a) (D1) df, g ≥ 0, pois é o supremo de um conjunto majorado de números não negativos; também df, f sup0 0; (D2) df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 sup∣ gx − fx ∣: x ∈ 0, 1 dg, f; (D3) df, h sup∣ fx − hx ∣: x ∈ 0, 1 sup∣ fx − gx gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 ≤ sup∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 ≤ sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 sup∣ gx − hx ∣: x ∈ 0, 1 df, g dg, h; (D4) df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 0 implica fx − gx 0 x ∈ 0, 1, i.e, f g. b) Com efeito, 1 d 1 f, g ∣ fx − gx ∣ dx ≤ sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 df, g, e conclui-se 0 d d 1 de II.4.3 (4). c) Dados a 0 , . . . , a n ∈ R, n ∈ N, existem sucessões a k,j de números racionais tais que a k,j → a k j → em R para a distância usual. Uma vez que a função ∣ a 0 x 0 . . . a n x n − a 0,j x 0 . . . a n,j x n ∣ atinge um máximo ∣ a 0 . . . a n u n − a 0,j . . . a n,j u n ∣ , onde u ∈ 0, 1, tem-se: para cada k 0, . . . , n, a k,j u k → a k u k j → em R, i.e., dado 0, existe, para cada k 0, . . . , n, uma ordem j, k ∈ N tal que ∣ a k u k − a k,j u k ∣ /n 1 sempre que j ≥ j, k. Então com j maxj, k : 0 ≤ k ≤ n tem-se se x ∈ 0, 1: ∣ a 0 . . . a n x n − a 0,j . . . a n,j x n ∣≤ n ∣ a 0 . . . a n u n − a 0,j . . . a n,j u n ∣≤ ∑ k0 ∣ a k u k − a k,j u k ∣ para cada j ≥ j; significa isto que a sucessão de polinómios (em x ∈ 0, 1 ) a 0,j . . . a n,j x n converge para o polinómio na mesma variável a 0 . . . a n x n no espaço métrico C0, 1, d. Portanto, pelo resultado do enunciado, tem-se: se f ∈ C0, 1, 0, existe um polinómio P tal que df, P /2, e existe um polinómio Q de coeficientes racionais tal que dP, Q /2; concluindo-se que para cada tal função f, e cada 0, existe um polinómio Q da variável em 0, 1 tal que df, Q , usando a desigualdade triangular (D3). Assim, o conjunto Q dos polinómios de coeficientes racionais ( e da variável x ∈ 0, 1) é um subconjunto denso de C0, 1, d. Também, pelo enunciado, a aplicação : Q → Q n1 : n ∈ N 0 definida por b 0 . . . b n x n b 0 , . . . , b n é injectiva. O cardinal de cada conjunto Q n1 n ∈ N 0 é # 0 (utilizar I.6.28 e aplicar indução finita á Observação (2) em I.6.29); potanto, utilizando de seguida o Teorema I.6.19, conclui-se que Q é um conjunto contável, e C0, 1, d é um espaço métrico separável. Então é um espaço C 2 , pelo Teorema II.7.7, a b) e (2) acima, conclui-se que C0, 1, d e C0, 1, d 1 são espaços C 2 . (4) Utilizando II.7.5 (1), o espaço métrico 0, , d i , d i a métrica discreta, não é um espaço C 2 (pois se 0, fosse um conjunto contável, também pelo Teorema I.6.19 R seria um conjunto contável, contra I.6.12 (5), e os teoremas I.6.31 e I.6.35). -108II.7.11 Definição Seja E, d um espaço métrico. Diz-se que uma classe C de subconjuntos abertos de E é uma cobertura aberta de E se E ⊂ C : C ∈ C. E diz-se que a cobertura aberta C é redutível a uma subcobertura contável se existe uma parte contável C 0 de C tal que E ⊂ C : C ∈ C 0 . C 0 é então uma subcobertura contável de E da cobertura C. II.7.12 Teorema Se E, d é um espaço métrico, são equivalentes as condições: (i) E é separável; (ii) E é um espaço C 2 ; (iii) toda a cobertura aberta de E é redutível a uma subcobertura contável. Dem. Pelo Teorema II.7.7, o teorema ficará provado se provarmos que (ii) implica (iii) e (iii) implica (i). Admitindo (ii), consideremos uma base contável B U i : i ∈ I ( I ⊂ N) da topologia da métrica. Seja C C j : j ∈ J uma cobertura aberta de E. Para cada índice j no conjunto não vazio J, C j é uma reunião de conjuntos tomados em B; podemos portanto considerar a parte não vazia B de B constituída pelos conjuntos U i que estão contidos em pelo menos um C j . Para cada U i ∈ B, fixemos um único C ji ∈ C com U i ⊂ C ji , e consideremos a classe C C ji : ∃U i ∈ B, U i ⊂ C ji . Então cada conjunto C ji ∈ C é reunião de conjuntos na classe B (pois é reunião de conjunto na classe B), e se p ∈ E tem-se: p ∈ C j para certo j ∈ J; sendo C j uma reunião de conjuntos U i i ∈ I, onde I ⊂ I tomados na classe B, é p ∈ U i , para certo i ∈ I. Como U i ⊂ C j , verifica-se U i ∈ B, e assim p ∈ U i ⊂ C ji ∈ C. Também sendo sobrejectiva a função i ji da parte de I que indicia a classe B, contida em B, no conjunto dos índices ji que indiciam a classe C, conclui-se que C é um conjunto contável (I.6.17 (2)), e assim é uma subcobertura contável de E da cobertura C. Fica provao (iii). Supondo agora (iii), consideremos n ∈ N, e a cobertura aberta C B 0 a, 1/n : a ∈ E de E. Por hipótese, existe uma subcobertura contável C 0 B 0 a n , 1/n de C. Com A a n : n ∈ N, A E e A é contável provando (i), c.q.d. II.7.13 Exercício Justifique que o conjunto A obtido no contexto da demonstração é uma parte contável densa de E. II.7.14 Resolução Com efeito, para cada n ∈ N, o conjunto dos centros a n na classe contável das bolas abertas B 0 a, 1/n cuja reunião é E, e que existe pela hipótese (iii), é um conjunto contável. Assim, sendo A a reunião contável de cada um destes conjuntos, A é um conjunto contável, pelo Teorema I.6.19. Além disso, todo o ponto x ∈ E verifica que existe, para cada número natural n, pelo menos um a n tal que x ∈ B 0 a n , 1/n ou seja: dado arbitrário 0, com 1/n obtem-se a n ∈ B 0 x, e B 0 x, ∩ A ≠ , E ⊂ A. -109II.7.15 Definição Um ponto p num espaço métrico E, d diz-se um ponto de condensação de E se cada vizinhança de p contém um conjunto de pontos de E de cardinal maior que o numerável. II.7.16 Exemplo Em R munido da métrica usual, todo o ponto p é um ponto de condensação de R. II.7.17 Se F é um subespaço do espaço métrico E, d e p é um ponto de condensação de F, então p é também um ponto de condensação de E. Mas por exemplo 1 é um ponto de condensação de R, d, 1 ∈ Q e 1 não é um ponto de condensação do subespaço métrico Q de R. II.7.18 Teorema Se o espaço métrico E, d é separável e tem cardinal maior que o numerável, então todos os pontos de E, à excepção possivelmente de um conjunto contável de pontos, são pontos de condensação de E. II.7.19 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do teorema anterior: (1) Provando primeiro que existe pelo menos um ponto de condensação de E, suponhamos que não. Então cada ponto p ∈ E tem uma vizinhança contável U p , concluindo-se o absurdo de E ser um conjunto contável. (2) Designe M o conjunto dos pontos de condensação de E. Então F E\M é um conjunto contável, pois assumindo o contrário, tem-se: (i) o subespaço métrico F tem pelo menos um ponto de condensação x; (ii) então x é um ponto de condensação de E; (iii) conclui-se efectivamente que F é contável, provando o teorema. -110II.7.20 Resolução (1) Pois conclui-se de E U p : p ∈ E, utilizando o Teorema II.7.12, que existe uma subcobertura contável U n : n ∈ I (I ⊂ N) de E da cobertura U p : p ∈ E. Então pelo Teorema I.6.19 E conclui-se o absurdo de E ser um conjunto contável. (2) (i) Pois F é separável como subespaço métrico do espaço métrico separável E (II.6.13 (5)), e usando o passo (1); (ii) pois cada vizinhança U de x no subespaço métrico E, contendo um aberto W de E a que pertence x, contém uma vizinhança W ∩ F de x em F; contendo o conjunto W ∩ F, de cardinal maior que o numerável, também o cardinal de U é maior que o numerável; (iii) pois conclui-se de (ii) o absurdo x ∈ M, contra x ∉ M por (i), e fica provado que o conjunto F dos ponto de E que não são pontos de condensação de E tem cardinal que não excede o contável. -111II.8 LIMITE DE UMA FUNÇÃO ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS NUM PONTO E CONTINUIDADE Recordar da Análise Real (ver por exemplo [Guerreiro]) que dados uma função f : X ⊂ R → R e um ponto a ∈ X, dizemos que o limite de fx quando x tende para a é certo b ∈ R se para cada número positivo , existe pelo menos um número positivo tal que a relação x ∈ X e ∣ x − a ∣ implica ∣ fx − b ∣ . O conceito de limite num ponto para uma função definida num subconjunto de um espaço métrico e tomando valores noutro espaço métrico, generaliza-se directamente da forma seguinte: II.8.1 Definição Sejam E, d E , F, d F espaços métricos, f : X ⊂ E → F uma função e a ∈ X. (1) O ponto b ∈ F é um limite de fx quando x tende para a, e notando-se lim fx b x→a se para cada 0 existe certo 0 de tal modo que para todo o x ∈ X, a implicação d E x, a d F fx, b é verdadeira. Diz-se então também que b é um limite de f em a. (2) Se, em (1), a ∈ X diz-se também que a função f é contínua em a ou no ponto a. (3) Com a ∈ A ⊂ X, o ponto b é um limite de fx quando x tende para a por valores em A se a implicação x ∈ A e d E x, a d F fx, b é verdadeira. Designa-se então lim fx b. x → a, x ∈ A II.8.2 Observações (1) Verifica-se lim fx b (a ∈ domf) se e só se, em linguagem lógica x→a lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, x ∈ domf e d E x, a d F fx, b x→a ou, equivalentemente lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, . (2) Pela propriedade de separação de Hausdorff num espaço métrico, conclui-se que se b lim fx e b ′ lim fx então necessariamete b b ′ . x→a x→a Por outras palavras, se existe o limite de fx quando x tende para a, então o limite é único. Analogamente se conclui que no caso a ∈ A, se existe o limite de fx quando x tende para a por valores em A então o limite é fa. (3) Sendo f : X ⊂ E, d E → F, d F , a um ponto não isolado de X, se existe o limite lim fx chama-se-lhe o limite de fx quado x tende para a por valores x → a, x ∈ X\a diferentes de a. Em Análise Real, certos autores definem lim fx b se b é o limite de fx x→a quando x tende para a por valores diferentes de a; então, se a ∈ X, a função f é contínua em a sse o limite de fx quando x tende para a existe e coincide com o valor de f no ponto a. -112De acordo com II.8.1, consideramos a função f contínua num ponto a do domínio se existe o limite de f em a. II.8.3 Exercícios (1) Traduza em linguagem lógica a definição do limite de fx quando x tende para a por valores em A, no contexto de (3), Definição II.8.1. (2) Verifique II.8.2 (2). II.8.4 Resoluçoes (1) Com a ∈ A ⊂ X e f : X ⊂ E, d E → F, d F , lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, x ∈ A e d E x, a d F fx, b . Equivalentemente, x → a, x ∈ A lim fx b ≡ ∀ 0, ∃ 0, fA ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, . x → a, x ∈ A (2) Provemos por redução ao absurdo que a existência de b, b ′ ∈ F, b ≠ b ′ tais que lim fx b e lim fx b ′ leva a uma contradição. x→a x→a Sendo d d F b, b ′ 0, existirá 0 tal que x ∈ domf e d E x, a implica d F fx, b d/2 e d F fx, b ′ d/2 (como poderá obter um tal ?); existindo pelo menos um certo x verificando o antecedente desta implicação (porquê?) conclui-se utilizando a desigualdade triangular de d F que d F b, b ′ d/2 d/2 d contra o que tínhamos assumido. Fica provado que o limite num ponto se existe é único. Se a ∈ domf e lim fx b x→a então para cada 0, existindo 0 tal que fa ∈ fdomf ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, conclui-se que fa ∈ ∩B 0 b, : 0 b, fa b. II.8.5 Exemplos (1) Para a função f : domf R → R, fx 1 x ≠ 1n , n ∈ N e f 1n n ∈ N tem-se, com A 1n : n ∈ N, e considerando a métrica usual em R lim fx 0 e lim fx 1. Consequentemente (ver II.8.6 seguinte) não existe lim fx. x → 0, x ∈ A x → 0, x ∈ R\A x→0 1 (2) A função f : 0, ⊂ R, d→R,d fx x (d a métrica usual) é contínua em cada ponto do domínio. Se d i é a métrica discreta, e considerarmos f : R, d → R, d i , não existe o limite lim fx em nenhum ponto a 0, pois existe uma bola aberta reduzida ao centro 1a em R, d i . 1 n II.8.6 Observação Dada uma função f : X ⊂ E, d E → F, d F , e sendo a ∈ A ⊂ X para certo conjunto A, conclui-se das definições que se não existe o limite de fx quando x tende para a por valores em A, então também não existe lim fx. x→a Também se A, B ⊂ X e a ∈ A ∩ B, f : X ⊂ E, d E → F, d F e existem o limite de fx quando x tende para a por valores em A e o limite de fx quando x tende para a por valores em B, mas são diferentes, então não existe o limite de f em a. Pois designando estes limites diferentes por b, b ′ respectivamente, escolha-se 0 tal que B 0 b, ∩ B 0 b ′ , ; não existe 0 tal que fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, , pois para pelo menos certo ′ 0, ′ e certo x ∈ B ∩ B 0 a, ′ ⊂ X ∩ B 0 a, verifica-se fx ∈ B 0 b ′ , . -113II.8.7 Exercícios (1) Verifique os exemplos (1), (2) em II.8.5. (2) Mostre que toda a função entre espaços métricos é contínua em cada ponto isolado do domínio. II.8.8 Resoluções (1) Dado 0, tem-se com que ∣ 1n ∣ ∣ f 1n ∣ i.e, x ∈ A e ∣ x − 0 ∣ ∣ fx − 0 ∣ . Se x ∈ R\A então ∣ x − 0 ∣ ∣ fx − 1 ∣ 0 verifica-se para qualquer escolha de 0 e para cada número positivo dado. Atendendo a II.8.6, não existe o limite de f em 0. Para a função fx 1x em (2) tem-se: dado 0, fazendo mina 2 /2, a/2 0 então x 0 e ∣ x − a ∣ ∣ 1x − 1a ∣∣ x − a ∣ /xa a 2 /22/a 2 , pois a − x ≤∣ x − a ∣ a2 implica x ≥ a2 e xa ≥ a 2 /2 em cada ponto a 0. (2) Se a é um ponto isolado de X, com f : X ⊂ E, d E → F, d F , então existe 0 tal que X ∩ B 0 a, a. Donde fX ∩ B 0 a, fa ⊂ B 0 fa, qualquer que seja 0 a priori dado. II.8.9 Observações (1) No Cálculo em R N considera-.se habitualmente a métrica 1 N euclideana d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 2 (II.2.18) em R N . O conceito de limite direccional de uma função f : domf ⊂ R N → R (considera-se a métrica usual em R) num ponto de acumulação a do domínio, segundo uma recta a tv (v ∈ R N \0, . . . , 0, t ∈ R, ver por exemplo [Agudo]) é, pela definição, o limite de f em a por valores no conjunto A v a tv : − t , que se determina calculando lim t→0 fa tv. De acordo com II.8.6, se existem vectores v, w ≠ 0 tais que os limites de fx no ponto a, por valores em A v e em A w são diferentes, ou se um desses limites não existe, então não existe o limite da função f em a; no entanto, a existência e igualdade de todos os limites direccionais no ponto não implica a existência de limite nesse ponto, como pode constatar-se por exemplo com a função f : R 2 \0, 0 → R, fx, y x 2 y/x 4 y 2 , que não tem limite no ponto 0, sendo todos os limites direccionais em 0 iguais a zero (o limite da função no ponto por valores na parábola P x, x 2 : x ∈ R é diferente de zero). (2) Uma função f : domf ⊂ R N → R pode ser separadamente contínua em relação a todas as variáveis num ponto a a 1 , . . . , a N do domínio, ou seja,. tal que as funções restrição de f a cada conjunto C 1 a 1 R N−1 , . . . , C k R k−1 a k R N−k , . . . , C N R N−1 a N são contínuas em a (existe o limite em a por valores em cada um destes conjuntos), e no entanto a função f não ser contínua no ponto a. Por exemplo, a função fx, y xy/x 2 y 2 x 2 y 2 ≠ 0, f0, 0 0 é separadamente contínua em relação a x e a y no ponto 0, 0, mas não é contínua neste ponto, pois os limites direccionais em 0, 0 segundo as rectas r x, x : x ∈ R e s x, −x : x ∈ R são diferentes. Conclui-se a não continuidade no ponto usando II.8.6. Significa isto que para a existência de limite num ponto a, é necessário que as imagens pela função de pontos que se aproximem de a sem qualquer restrição ao modo como se aproximem de a, se tornem indefinidamente próximas do limite; considerando arbitrárias sucessões a n convergindo para a, a convergência de todas as sucessões fa n para um mesmo ponto do conjunto imagem, já é suficiente para a existência do limite de f em a, como mostra o seguinte -114II.8.10 Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : X ⊂ E → F é uma função e a ∈ X, b ∈ F, então é condição necessária e suficinte para que lim fx b que para cada sucessão x→a x n em X convergente para a, se verifique lim fx n b. II.8.11 Exercício Demonstre o teorema anterior e conclua: II.8.12 Corolário Nas condições do Teorema II.8.10, se a ∈ X então f é contínua no ponto a se e só se para cada sucessão x n em X convergente para a, a sucessão fx n converge para fa. II.8.13 Resolução A condição é necessária, pois da hipótese (1) ∀ 0, ∃ 0, fX ∩ B 0 a, ⊂ B 0 b, conclui-se que dado 0, sendo n ∈ N tal que x n ∈ B 0 a, para todo o n ≥ n, então fx n ∈ B 0 b, desde que n ≥ n; e n naquela condição existe para cada 0, se a sucessão x n em X converge para a. A condição é suficiente, como pode provar-se pela contra-recíproca. Com efeito, a negação de (1) é que existe certo 0 tal que, para cada número positivo , existe pelo menos um ponto x ∈ X ∩ B 0 a, cuja imagem por f não pertence a B 0 b, ; escolhendo da forma 1/n para cada n 1, 2, . . . conclui-se que existe uma sucessão de pontos x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . , cada x n ∈ B 0 a, 1/n tal que fx n ∉ B 0 b, . Então x n → a mas a sucessão fx n não converge para b, e fica assim provado que se f verifica a propriedade relativa à convergência das sucessões, então verifica a condição (1) i.e, então lim fx b, c.q.d. O corolário conclui-se imediatamente de II.8.2 (2). x→a II.8.14 Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : X ⊂ E → F, a ∈ X e b lim fx então b ∈ fX. x→a Dem. Há a provar que existe uma sucessão b n em fX tal que b n → b. Como a ∈ X, existe uma sucessão x n de pontos de X com x n → a; então a sucessão b n fx n satisfaz a condição requerida, pelo Teorema II.8.10 c.q.d. II.8.15 Corolário Sejam E, d E , F, d F e G, d G espaços métricos, f : X ⊂ E → F tal que fX ⊂ Y e g : Y ⊂ F → G. Se a ∈ X, lim fx b e lim gy c então lim gofx c. x→a y→b x→a Consequentemente, se b ∈ Y e g é contínua em b, então lim gofx gb. x→a A função composta gof das funções f, contínua em a e g, contínua em fa, é contínua no ponto a. -115II.8.16 Demonstre o corolário acima (usando II.8.14, mostre que o ponto b ∈ Y). II.8.17 Resolução Conclui-se de II.8.14 que b ∈ fX ⊂ Y, pois fX ⊂ Y. Se x n é uma sucessão em X convergente para a, conclui-se da hipótese, usando o Teorema II.8.10 que fx n → b e, do mesmo modo, que gofx n → c. Então lim gofx c, de novo utilizando II.8.10. x→a As duas últimas asserções são consequência de II.8.2 (2). II.8.18 Definição Se E, d E , F, d F são espaços métricos e f : X ⊂ E → F, a função f diz-se contínua (em X) se f é contínua em cada ponto a ∈ X. II.8.19 Observações (1) II.8.15 mostra que a função composta de duas funções contínuas é uma função contínua. (2) Se E, d E , F, d F são espaços métricos e f : E → F é uma função, C ⊂ E, então f écontínua em C se e só se a função restrição f ∣C : C, d C → F, d F é contínua, onde d C é a métrica induzida. Se f é contínua então certamente f é contínua em C; mas pode ser f : C ⊂ E → F contínua, e a função f : E → F não ser contínua. (Por exemplo, com F, d F R, d, d a métrica usual, E não reduzido a um ponto, C p onde p ∈ E e fp 0, fx 1 se x ≠ p; o limite de f em p por valores diferentes de p é diferente de fp). II.8.20 Exercício Mostre que se E, d E , F, d F são espaços métricos, f : E → F e a ∈ E então f é contínua em a se e só se a imagem inversa f −1 V de cada vizinhança V de fa em F é uma vizinhança de a em E. II.8.21 Resolução Pelas definições, f é contínua em a se e só se o limite de f no ponto a existe e é fa, o que pode exprimir-se em linguagem lógica por (1) ∀ 0, ∃ 0, fB 0 a, ⊂ B 0 fa, . Tem-se a equivalência (2) fB 0 a, ⊂ B 0 fa, sse (2’) B 0 a, ⊂ f −1 B 0 fa, ; então se V é uma vizinhança de fa, tem-se B 0 fa, ⊂ V, certo 0, donde usando (1) e (2’) vem que B 0 a, ⊂ f −1 V para certo 0 e assim que f −1 V é uma vizinhança de a. Reciprocamente, se f −1 V é uma vizinhança de a, para cada vizinhança V de fa, então tomando V B 0 fa, , 0, conclui-se que f −1 B 0 fa, contém certa bola aberta B 0 a, e obtem-se (1) pela equivalência de (2) e (2’). II.8.22 Teorema Sejam E 1 , d 1 , E 2 , d 2 espaços métricos e f : E 1 → E 2 uma função. São equivalentes: a f é contínua; b fC ⊂ fC para cada subconjunto C de E 1 ; c para cada subconjunto fechado F de E 2 , f −1 F é fechado em E 1 ; d para cada subconjunto aberto A de E 2 , f −1 A é aberto em E 1 . -116- Demonstração. Provemos a b Isto conclui-se de II.8.14, pois se x ∈ C então existe uma sucessão x n em C tal que x n → x; então fx n → fx pela hipótese, donde fx ∈ fC. Seguidamente b c, pois dado F ⊂ E 2 tal que F F, se x ∈ f −1 F então usando b e ff −1 F F vem fx ∈ F F, donde x ∈ f −1 F e este conjunto é fechado. c d. Se A é aberto então F A c é fechado, e usando a hipótese, f −1 A c é fechado, donde se conclui d pela igualdade f −1 A c f −1 A c . d a, pois admitindo d, seja a um ponto em E 1 , e considere-se 0. f −1 B 0 fa, sendo um conjunto aberto a que pertence a, é uma vizinhança de a, e conclui-se que f é contínua no ponto a usando II.8.20, c.q.d. II.8.23 Exercício Prove que dada uma função f : E 1 , d 1 → E 2 , d 2 são equivalentes: (i) f é contínua; (ii) para cada B ⊂ E 2 , f −1 intB ⊂ intf −1 B; (iii) para cada B ⊂ E 2 tem-se f −1 B ⊂ f −1 B. (Sug: Prove (i)(ii) e, seguidamente (ii)(iii) recordando II.5.49 (c) e I.8.9 (c). II.8.24 Resolução (i)(ii) Dado a ∈ f −1 intB, fa ∈ intB e intB é uma vizinhança de fa. Usando II.8.20, f −1 intB é uma vizinhança de a, a qual está contida em f −1 B e conclui-se que a é um ponto interior de f −1 B. (ii)(i) Se B é aberto em E 2 , B intB, conclui-se de f −1 B ⊂ intf −1 B que f −1 B é aberto em E 1 e assim (i), usando II.8.22 d. (ii) para cada B ⊂ E 2 , f −1 intB c ⊃ intf −1 B c f −1 B c f −1 intB c ⊃ f −1 B c f −1 B c para cada B ⊂ E 2 , f −1 B ⊃ f −1 B c.q.d.. II.8.25 Definição Uma função f : E, d E → F, d F diz-se uma isometria se d F fx, fy d E x, y para cada x, y em E. Os espaços métricos E, d E e F, d F dizem-se isométricos se existe uma bijecção f : E → F que é uma isometria. -117II.8.26 Observações (1) Uma isometria é uma função injectiva (aplicar a condição (D1) à métrica d F e (D4) à métrica d E ). (2) Se dois espaços métricos E, F são isométricos, as propriedades topológicas das respectivas topologias das métricas são as mesmas, pois com f : E → F uma isometria sobrejectiva, um subconjunto A de E é aberto se e só se fA é aberto em F como resulta da definição de ponto interior de um conjunto. Com efeito, se a ∈ E, r 0 então fB 0 a, r B 0 fa, r, representando pelo mesmo símbolo B 0 a bola aberta. Uma sucessão a n em E converge para um ponto a de E se e só se fa n → fa em F e, do ponto de vista das propriedades da topologia da métrica, E, F diferem apenas pelos ”nomes” dos seus elementos. (3) Se f : X → Y é uma função injectiva e se o conjunto X está munido de uma métrica d, então a função d f fa, fb da, b é uma métrica em fX Y f e os espaços métricos X, d e Y f , d f são isométricos. Deste modo é possível munir um conjunto de uma métrica se existe uma bijecção de certo espaço métrico sobre o conjunto; certos autores designam d f acima como a métrica transportada da métrica d em X. II.8.27 Exercício Verifique a observação (3) acima. II.8.28 Resolução Tem-se que d f : Y f Y f → R está bem definida, pois dados ponto a fa, b ′ fb em Y f , corresponde ao par ordenado a ′ , b ′ o único para ordenado a, b ∈ X X para o qual se põe d f a ′ , b ′ da, b. Devido a d ser uma métrica, verificam-se: (D1) d f fa, fb ≥ 0 e d f fa, fa da, a 0; (D2) d f fa, fb da, b db, a d f fb, fa; (D3) dados pontos a ′ fa, b ′ fb, c ′ fc, é d f a ′ , c ′ d f fa, fc da, c ≤ da, b db, c d f fa, fb d f fb, fc d f a ′ , b ′ d f b ′ , c ′ ; (D4) dados a′ fa, b′ fb, d f a ′ , b ′ 0 d f fa, fb da, b 0. o que implica a b e a ′ b. x é uma bijecção de R sobre o intervalo −1, 1, de II.8.29 A função fx 1∣x∣ x inversa gx 1−∣x∣ . Como é sabido da Análise Real e assim se costuma designar, lim x→− fx −1, lim x→ fx 1. Acrescentando a R os objectos −, com as convenções habituais − x x ∈ R, obtem-se a recta acabada R, e podemos considerar uma extensão f : R → −1, 1 pondo f x fx x ∈ R e f − −1, f 1. f é uma bijecção e a sua inversa g : −1, 1 → R é uma bijecção. Considerando a métrica induzida sobre −1, 1 pela métrica usual usual da, b ∣ a − b ∣, a métrica transportada d g x, y d g gf x, gf y ∣ f x − f y ∣ é uma distância em 1 1 R para a qual d g x, 1∣x∣ e d g x, − 1∣x∣ se respectivamente x 0 e x 0. ′ II.8.30 Exercício Mostre que a métrica usual de R é equivalente à métrica induzida pela métrica transportafa d g acima em R. (Sug: considere sucessões convergentes). -118II.8.31 Resolução Para o cálculo de d g a, b, no caso em que a, b ∈ R podemos fazer d g a, b d g gfa, gfb ∣ fa − fb ∣. Se x n → x em R, d, d a métrica usual, tem-se x n /1 ∣ x n ∣ → x/1 ∣ x ∣ neste espaço métrico, donde d g x n , x ∣ x n /1 ∣ x n ∣ − x/1 ∣ x ∣ ∣→ 0 e x n → x em R, d g . Assim d é mais fina que a restição de d g a R em R. Reciprocamente, distinguindo os casos x 0 e x 0, com x n , x ∈ R obtem-se que x n /1 ∣ x n ∣ → x/1 ∣ x ∣ implica ∣ x n − x ∣→ 0; logo a restrição de d g a R é mais fina que d. II.8.32 Definição A função f : E, d E → F, d F do espaço métrico E, d E para o espaço métrico F, d F diz-se lipschitziana com constante de Lipschitz L se d F fx, fy ≤ Ld E x, y para cada x, y ∈ E. II.8.33 Em II.8.32 é necessariamente L ≥ 0; uma função constante é lipschitziana e só para uma tal função pode tomar-se L 0. Se L 1 diz-se também que f é uma contracção II.8.34 Observações (1) Toda a função lipschitziana é contínua. (2) Uma função f : E → F ser uma isometria é obviamente o mesmo que ambas f e a função inversa f −1 : fE → E serem lipsichitzianas com a constante de Lipschitz L 1. II.8.35 Exercício Verifique II.8.34 (1). II.8.36 Resolução. Dado 0, tome-se /L. II.8.37 Definição Diz-se que uma função f : E, d E → F, d F do espaço métrico E para o espaço métrico F é um homeomorfismo se f é bijectiva e ambas as funções f e f −1 são contínuas. Se existe um homeomorfismo f : E, d E → F, d F diz-se que estes espaços métricos são homeomorfos. -119II.8.38 Exemplos (1) Dado o espaço métrico E, d, F um subespaço métrico de E, d, a bijecção identidade de F, Id F : F, d → F, d, Id F x x é um homeomorfismo. (2) Como consequência do Teorema do limite da função monótona da Análise Real, toda a função estritamente crescente f de um intervalo I ⊂ R sobre um intervalo J de R é um homeomorfismo de I, d sobre J, d, notando ainda por d as respectivas métricas induzidas sobre I, J pela métrica usual d de R. (3) Se f : a, b ⊂ R, d → R, d é uma função injeciva e contínua, d a métrica usual, então os subespaços métricos a, b e fa, b de R, d são homeomorfos. Este é um caso particular de uma propriedade que veremos adiante. (4) Se A ⊃ B 0 a, r, uma bola no espaço métrico R 2 , d e , os espaços métricos A, d A e A, d i , onde d A é a métrica induzida por d e e d i é a métrica discreta, não são homeomorfos. (5) Verifica-se facilmente que os espaços métricos 0, 1, d i e 0, 1, 2d i , onde d i é a métrica discreta, são homeomorfos mas não são isométricos. II.8.39 Exercícios (1) Enuncie e demonstre uma condição necessária e suficiente que deve verificar um subconjunto A de R para que os espaços métricos A, d A e A, d i , d A x, y ∣ x − y ∣ e d i a métrica discreta sobre A, sejam homeomorfos. (2) Prove que a relação h ⊂ SE SE, A, B ∈ h A, B são subespaço homeomorfos do espaço métrico E, d E é uma relação de equivalência no conjunto SE dos subespaços métricos de E, d E . (3) Mostre que se as funções f : E, d E → F, d F e g : F, d F → G, d G são lipschitzianas então a função composta gof : E, d E → G, d G é lipschitziana. II.8.40 Resoluções. (1) Se existe uma bijecção contínua f : A, d A → A, d i , a ∈ A, então existe 0 tal que fa − , a ∩ A ⊂ fa, e portanto a − , a ∩ A a. Conclui-se já que para que os espaços sejam homeomorfos cada ponto de A deve ser um ponto isolado de A em R, d, d a métrica usual, e esta é uma condição necessária. A condição é também suficiente; pois se cada ponto a ∈ A é um ponto isolado deste conjunto no espaço métrico R, d, o raciocínio acima mostra que a função identidade de A é um homeomorfismo de A, d A sobre A, d i . A condição necessária e suficiente pretendida é pois que o conjunto A seja constituído por pontos isolados, no espaço métrico R munido da métrica usual. (2) Conclui-se de II.8.19 (1) atendendo a que dadas bijecções f : E → F e g : F → G se tem gof −1 f −1 og −1 ; e porque a composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo. (3) Se L, M são constantes tais que d F fx, fy ≤ Ld E x, y e d G gfx, gfy ≤ Md F fx, fy então d G gofx, gofy ≤ MLd E x, y e gof é lipschitziana com constante de Lipschitz ML. II.8.41 Uma função contínua de um espaço métrico noutro não transforma em geral sucessões de Cauchy do domínio em sucessões de Cauchy no espaço imagem. Por exemplo, considerando em 0, a métrica dx, y ∣ x − y ∣, a função fx 1/x é um homeomorfismo deste espaço métrico sobre si mesmo; no entanto, a imagem da sucessão de Cauchy 1/n não é uma sucessão de Cauchy. II.8.42 Exercício. Prove que se f : E, d E → F, d F é uma função lipschitziana e x n é uma sucessão de Cauchy em E, então fx n é uma sucessão de Cauchy em F. Conclua que a função em II.8.41 não é lipschitziana. -120II.8.43 Resolução Das hipóteses d F fx, fy ≤ Ld E x, y x, y ∈ E e ∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p d E x n , x m /L vem ∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p d F fx n , fx m . Se a função f : 0, , d → 0, , d, fx 1/x fosse lipschitziana, então a sucessão dos números naturais seria uma sucessão de Cauchy em 0, , d, o que é falso, pois não é convergente. II.8.44 Definição (a) Sendo E, d E e F, d F espaços métricos, a função f : E, d E → F, d F diz-se uniformemente contínua se verifica a condição uc ≡ ∀ 0, ∃ 0, ∀x, y ∈ E, d E x, y d F fx, fy ou, equivalentemente, ∀ 0, ∃ 0, diam E A diam F fA , ∀A ⊂ E, A ≠ , onde diam E A supd E x, y : x, y ∈ A é o diâmetro de A em E, d E e analogamente para diam F fA. (b) Se a função f : E, d E → F, d F é bijectiva e ambas f, f −1 são uniformemente contínuas, diz-se que f é um homeomorfismo uniforme de E, d E sobre F, d F . II.8.45 Observações (1) Obviamente, se f é uma função uniformemente contínua, então é contínua. (2) Toda a função lipschitziana f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua. (3) Existem no entanto funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas, por exemplo, com d a distância usual em R, a função I R : R, min1, d → R, d, I R x x é um homeomorfismo uniforme e não é lipschitziana. II.8.46 Exercícios. (1) Verifique (1) em II.8.45. (2) Verifique II.8.45 (2). (3) Prove que a função f : R, d → R, d, onde d é a métrica usual, fx 1 x 2 é lipschitziana com constante de Lipschitz L 1 e mostre que f não é uma contracção. (4) Mostre que sendo d como em (3), para a função f : R, d → R, d, fx x 2 se tem: i f é contínua; ii f é lipschitziana em cada intervalo de extremos a, b ∈ R, mas não é lipschitziana em R; iii f não é uniformemente contínua. (Sug: para ii recorde um Teorema da Análise Real e prove que f é lipschitziana em a, b, concluindo o caso geral; justifique que não existe nenhum número real L tal que dfx, f0/dx, 0 ≤ L para todo o x 0). (5) Prove que toda a função uniformemente contínua transforma sucessões de Cauchy em sucessões de Cauchy. A recíproca é válida? (6) Prove que se f : E, d E → R, d é uma função contínua, onde d é a métrica usual, então para cada c ∈ R, o conjunto E c x ∈ E : fx c é aberto. (7) Sendo f : E, d → E, d uma função, o ponto x ∈ E diz-se um ponto fixo de f se x fx. Mostre que se f é contínua então o conjunto F dos pontos fixos de f é fechado em E. (8) Mostre que a função f : 0, 1 2, d → 0, 1, d, onde d é a métrica usual de R, fx x 0 ≤ x 1, f2 1 é uma bijecção contínua que não é um homeomorfismo. -121II.8.47 Resoluções (1) Se para cada número positivo existe certo 0 tal que para cada a, x ∈ E se verifica d f fx, fa sempre que d E x, a , então em particular dado um ponto a em E, o número satisfaz a condição de ser d F fx, fa se x verifica d E x, a , 0 a priori dado. (2) Da hipótese d F fx, fy ≤ Ld E x, y, L 0 uma constante independente de x, y ∈ E, d E para a função f : E, d E → F, d F , conclui-se que d F fx, fy sempre que x, y ∈ E e d E x, y /L. Se L 0 então a função f é constante, donde contínua. (3) ∣ 1 x 2 − 1 y 2 ∣ ∣ x 2 − y 2 / 1 x 2 1 y 2 ∣∣ x − y ∣∣ x y ∣ / 1 x 2 1 y 2 ≤ ∣ x ∣ ∣ y ∣/ 1 x 2 1 y 2 ∣ x − y ∣∣ x − y ∣; no entanto lim x→ 1 x 2 − 1/x − 1 1 e não exite K 1 tal que ∣ 1 x 2 − 1 y 2 ∣ / ∣ x − y ∣≤ K para todos os x, y ∈ R; (faça-se y 0). (4) i Em cada a, x ∈ R tem-se ∣ x − a ∣ /∣ x a ∣ 1 ∣ x 2 − a 2 ∣ , 0. ii Se a ≤ x y ≤ b então ∣ fx − fy ∣≤ sup∣ f ′ t ∣: x t y ∣ x − y ∣≤ L ∣ x − y ∣ onde L 2 max∣ a ∣, ∣ b ∣. Não existe L 0 verificando a condição para f ser lipschitziana em R, pois supx 2 / ∣ x ∣: x ≠ 0 sup0, . iii Se f fosse uniformemente contínua existiria, dado 1 0, certo número positivo verificando a condição 1 ≤ a x, x − a x 2 − a 2 1; mas não existe 0 verificando a implicação, como se vê tomando a n ∈ N, onde n 1/ para dado, e x n /2. Assim a hipótese f uniformemente contínua leva a uma contradição, e conclui-se iii pelo método de redução ao absurdo. (5) Se f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua e a sucessão x n em E verifica n. m ≥ p d E x n , x m , certa ordem p na implicação existindo para cada 0 a priori dado, consideremos 0. Pela continuidade uniforme de f, existirá um número positivo tal que a implicação x, y ∈ E e d E x, y d F fx, fy é verdadeira; a partir da ordem p, os termos x n , x m verificam o antecedente desta implicação e consequentemente verificam d F fx n , fx m . A recíproca não é válida, pois por exemplo para a função fx x 2 em (4) iii, se x n é uma sucessão de Cauchy em R, d então existe x lim x n ∈ R donde fx n → fx pela continuidade de f, e fx n é uma sucessão de Cauchy. (6) E c f −1 −, c é um conjunto aberto dado que −, c é aberto em R, d e f é contínua. (7) Há a provar que se x n é uma sucessão em F e x n → x em E, d então x ∈ F. Como x n fx n para cada n, tem-se x lim x n lim fx n fx pela continuidasde de f. (8) f é claramente bijectiva; f é contínua, pois se 0 ≤ x n 1 e x n → x ∈ 0, 1 então lim fx n lim x n x fx, e assim f é contínua em cada ponto x ∈ 0, 1; no ponto 2, f n é contínua, pois este ponto é um ponto isolado do domínio. Tem-se x n n1 ∈ 0, 1, −1 −1 −1 x n → 1 e lim f x n lim x n ≠ 2 f lim x n , a função f não é contínua. II.8.48 Exercícios (1) Prove que a função d x, y ∣ e −x − e −y ∣ 0 ≤ x, y , dx, d, x e −x , d , 0 é uma métrica em 0, , onde se convenciona x ≤ para 0 ≤ x e assim se entende este intervalo. (2) Mostre que sendo : 0, , d → 0, , d uma função, tem-se lim x→0 x 0 em 0, , d se e só se lim x→0 ∣0,1 x 0 em 0, 1, d, onde ∣0,1 é a função restrição de ao intervalo 0, 1 e dx, y ∣ x − y ∣ 0 ≤ x, y ≤ 1. -122II.8.49 Resoluções (1) Para x, y ∈ 0, , tem-se: (D1) d x, y ≥ 0 e d x, x 0; (D2) Se x, y ∈ R então d x, y ∣ e −x − e −y ∣∣ −e −x − e −y ∣ d y, x e se x ∈ R então d x, d , x pela definição; (D3) Para x, y, z reais, d x, z ∣ e −x − e −z ∣≤∣ e −x − e −y ∣ ∣ e −y − e −z ∣ d x, y d y, z; para y , x, z ∈ R, d x, z ∣ e −x − e −z ∣≤ e −x e −z d x, y d y, z e se z obtem-se d x, z e −x ≤ e −x d x, y d y, z; (D4) Se x, y ∈ R, x ≠ y é e −x ≠ e −y , d x, y ≠ 0 e se x ∈ R então d x, e −x ≠ 0, portanto verifica-se (D4). (2) Se lim x→0 x 0 em 0, , d tem-se: para cada sucessão x n em 0, 1 tal que d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0, é d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0; donde exp−x n → 1 para a métrica usual de R e conclui-se x n → 0 neste espaço métrico. Reciprocamente, se lim x→0 ∣0,1 x 0, ∣0,1 considerada de 0, 1, d em 0, 1, d, 0 ≤ x n ≤ 1 e x n → 0 em 0, , d então exp−x n → 1 exp0 pela definição de d ; logo x n → 0 para a métrica usual de R e d x n , 0 ∣ exp−x n − 1 ∣→ 0 como se queria. II.8.50 Definição Sejam E, d E , F, d F espaços métricos, f : E, d E → F, d F e : 0, , d → 0, , d uma função crescente tal que lim x→0 x 0 como em II.8.49. Diz-se que é um módulo de continuidade de f se verifica a condição mc para cada x, y ∈ E, d F fx, fy ≤ dx, y. II.8.51 Observação Se uma função f tem um módulo de continuidade como na definição anterior, então f é uniformemente contínua. Também supondo que f : E, d E → F, d F é uniformemente contínua, então supd F fx, fy : x, y, ∈ E, d E x, y ≤ t para t 0 suficientemente pequeno, 0 dado, e pondo, para t ∈ 0, , t supd F fx, fy : x, y ∈ E, d E x, y ≤ t tem-se lim t→0 t 0, é um módulo de continuidade de f. Assim uma função é uniformemente contínua se e só se tem pelo menos cum módulo de continuidade. As funções lipschitzianas correspondem ao caso particular de funções uniformemente contínuas em que se pode tomar para módulo de continuidade da função uma função constante (então infinitas constantes podem tomar-se para módulos de continuidade). -123II.8.52 Exercícios (1) Prove a primeira afirmação em II.8.51. (2) Demonstre que sendo E, d E um espaço métrico, a um ponto fixo em E, a aplicação f a : E, d E → R, d, f a x d E x, a onde d é a métrica usual de R, é lipschitziana com constante de Lipschitz L 1. Esta aplicação é contínua? É uniformemente contínua? Justifique. (3) Questão como em (2), para f A : E, d E → R, d, f A x infd E x, a : a ∈ A, onde ≠ A ⊂ E. Pode concluir que se x 0 é um ponto de E, x 0 ∉ A e A é um conjunto fechado então existem uma bola B 0 x 0 , r e um conjunto aberto V em E, d E tais que A ⊂ V e B 0 x 0 , r ∩ V ? (Sug: considere f A x 0 d r, II.5.36 (4)). II.8.53 Resoluções (1) Dada f : E, d E → F, d F , e atendendo a II.8.49 (2) tem-se, pela hipótese d F fx, fy ≤ d E x, y x, y ∈ E e lim t→0 t 0: dado positivo, certo 0 verifica 0 t 0 ≤ t ; então para cada x, y ∈ E tais que d E x, y obtem-se d F fx, fy , provando que a função f é uniformemente contínua. (2) df a x, f a y ∣ d E x, a − d E y, a ∣≤ d E x, y e f a é portanto lipschitziana (com constante de Lipschitz igual a 1) e assim é uniformemente contínua e, a forteriori, contínua (II.8.45 (2),(1)). (3) Se ≠ C, D ⊂ 0, tem-se ∣ inf C − inf D ∣ inf C − inf D ou ∣ inf C − inf D ∣ inf D − inf C. Considerando o primeiro caso, dado 0, existe d ∈ D tal que inf D d − /2 e também inf C c /2 para cada c ∈ C; donde ∣ inf C − inf D ∣ c − d . Analogamente, no segundo caso, ∣ inf C − inf D ∣ d − c , onde d é qualquer elemento em D (assim como c é qualquer elemento em C no primeiro caso), e onde pode considerar-se 0 arbitrariamente pequeno. Encontra-se ∣ f A x − f A y ∣∣ infd E x, a : a ∈ A − infd E y, a ′ : a ′ ∈ A ∣ d E x, a ′ − d E y, a ′ para certo a ′ ∈ A ou ∣ f A x − f A y ∣ d E x, a − d E y, a onde é qualquer número positivo, certo a ∈ A. Portanto ∣ f A x − f A y ∣ d E x, y qual quer que seja 0, e conclui-se ∣ f A x − f A y ∣≤ d E x, y para cada x, y ∈ E. Assim como f a em (2), f A é lipschitziana com constante de Lipschitz 1, contínua e uniformemente contínua. (4) Atendendo a II.5.36 (4), tem-se f A x 0 d 0 pois A A. Então cada ponto x na bola fechada Bx 0 , d/2 está a uma distância de x 0 menor que d, e portanto x ∉ A i.e., Bx 0 , d/2 ∩ A ou, equivalentemente, A ⊂ Bx 0 , d/2 c V; como a bola fechada é um conjunto fechado, V é um aberto e B 0 x 0 , d/2 ∩ V . II.8.54 Vemos por (4) em II.8.53 que um espaço métrico E verifica a propriedade de separação: para cada subconjunto fechado F e cada ponto p do espaço, p ∉ F, existem conjuntos abertos disjuntos U, V tais que p ∈ U, A ⊂ V. Como todo o conjunto reduzido a um ponto em E é um conjunto fechado, esta é uma propriedade de separação dos espaços métricos, acrescida à propriedade de separação de Hausdorff. Veremos adiante (II.11) que os espaços métricos têm também a propriedade de para cada dois subconjuntos fechados A, B, disjuntos, existirem abertos disjuntos U, V, A ⊂ U, B ⊂ V. II.8.55 Definição Sejam E, d E e F, d F espaços métricos, a ∈ E, ≠ A ⊂ E e uma função f : E, d E → F, d F . (a) A oscilação de f em A é o diâmetro diamfA supd F fx, fy : x, y ∈ A ∈ 0, , que se representa por Of; A; (b) chama-se oscilação de f no ponto a ao ínfimo infOf; B 0 a, : 0 que se considera com a convenção s s ∈ R, e onde B 0 a, designa a bola aberta em E, d E . -124II.8.56 Exemplos (1) Para a função f : R, d → R, d, fx 1x x ≠ 0, f0 0, onde d é a métrica usual, tem-se Of; R\− 1 , 1 2 para cada 0. Também Of; −, e Of; 0 ; (2) Se f : R, d → R, d i é uma função injectiva, d, d i são respectivamente a métrica usual e a métrica discreta, então Of; a 1 em cada ponto a. II.8.57 Exercícios (1) Mostre que com a, f como em II.8.55, Of; a infOf; V : V ∈ V a , V a o filtro das vizinhanças de a. (2) Considere a métrica usual d em R, e a função f : R, d → R, d dada por fx −1 x 0, fx 1 x ≥ 0. Determine: i Of; 0; ii O∣ f ∣; 0, onde ∣ f ∣ x ∣ fx ∣; iii Omaxf, 0, 0, maxf, 0x maxfx, 0. II.8.58 Resoluções (1) Tem-se B 0 a, : 0 ⊂ V a e portanto infOf; V : V ∈ V a ≤ Of; a. Para cada V ∈ V a existe V 0 tal que B 0 a, ⊂ V para cada , 0 ≤ V e Of; B 0 a, diamfB 0 a, ≤ diamfV (fB 0 a, ⊂ fV para tais ). Assim infdiamfV : V ∈ V a ≥ infdiamfB 0 a, : 0 ≤ V e, sendo a função i a Of; B 0 a, decrescente conclui-se infdiamfV : V ∈ V a ≥ lim →0 i a Of; a. (2) i Of; 0 infsup∣ fx − fy ∣:∣ x − y ∣ : 0 inf2 2. ii O∣ f ∣, 0 inf∣ 1 − 1 ∣ 0; iii Omaxf, 0, 0 inf∣ 0 − 1 ∣ 1. II.8.59 Teorema Uma função f : E, d E → F, d F é contínua em a ∈ E se e só se Of; a 0. Demonstração. A condição é necessária: Se f é contínua em a então dado 1/n 0, n 1, 2, . . . existe certo n 0 tal que x ∈ E e d E x, a n d F fx, fa ≤ 1/n. Assim 0 ≤ Of; a infOf; B 0 a, : 0 ≤ infOf; B 0 a, n : n ∈ N ≤ inf1/n : n ∈ N e Of; a 0. A condição é suficiente: se a n é uma sucessão em E convergente para a então para cada 0 todos os termos de ordem n n, certo n ∈ N verificam d E a n , a ; como consequência da hipótese, estes índices n verificam então que d F fa n , fa ≤ Of; B 0 a, , para cada positivo dado a priori, certo 0 dependendo de . Logo fa n → fa c.q.d. II.8.60 Exercícios (1) Mostre que se a função f : E, d E → R, d, onde d é a distância usual, é contínua, então a função ∣ f ∣: E, d E → R, d é contínua, e que a recíproca é falsa (notação para ∣ f ∣ como em II.8.58 (2)). (2) Prove que no contexto da questão anterior, se a função f é contínua no ponto a ∈ E então a função maxf, 0x maxfx, 0 é também contínua; mostre com um contra-exemplo que a recíproca é falsa. (3) Mostre que a função f : R, d → R, d, f0 0, fx sin 1x x ≠ 0, d como acima, é contínua em todos os pontos excepto no ponto 0. (4) Considerando R, d como em (3), prove que a função f definida sobre R por fx x x ∈ Q, fx −x x ∈ R\Q só é contínua em x 0; e as funções ∣ f ∣ e maxf, 0? (5) Uma função f : E, d E → F, d F diz-se aberta se a imagem de cada subconjunto aberto A de E é um aberto em F. Prove que se E, d E F, d F R, d, d a métrica usual, e se f é uma função estritamente crescente, então f é um função aberta. -125f é um homeomorfismo? (Sug: mostre que cada aberto não vazio de R, d é reunião de intervalos abertos e que f transforma intervalos abertos em intervalos abertos). II.8.61 Resoluções (1) A função x ∣ fx ∣ de E, d E em R, d é a função composta das funções x fx s de E, d E em R, d e s ∣ s ∣ de R, d em R, d. Como estas funções são contínuas, o resultado conclui-se de II.8.19 (1). A recíproca é falsa, como mostra o contra-exemplo: f : 0, , d → 0, , d, fx x x ∈ Q e fx −x x ∈ R\Q, onde dx, y ∣ x − y ∣. ∣ f ∣ é contínua, mas f não tem limite em nenhum ponto diferente de zero. Pois se a 0 tem-se lim fx lim x a ≠ −a lim − x lim fx. x → a, x ∈ Q x → a, x ∈ R\Q (2) Pelo Teorema II.8.59, uma função entre espaços métricos é contínua num ponto se e só se a oscilação nesse ponto é nula. Admitindo que f : E, d E → R, d verifica Of; a 0, a ∈ E, tem-se: se fa 0 então Omaxf, 0; a infsup∣ maxfx, 0 − maxfy, 0 ∣: x, y ∈ B 0 a, : 0 ≤ infsup∣ fx ∣: x ∈ B 0 a, O∣ f ∣; 0 pela alínea anterior. Supondo fa s 0 tem-se: pela continuidade de f em a, existe certo 0 tal que s − fx s/2 para todo o x ∈ B 0 a, ; assim fx s/2 0 se x ∈ a − , a . Então com 0 ≤ tem-se Omaxf, 0; B 0 a, Of; B 0 a, donde se conclui o resultado usando a hipótese, pois Omaxf, 0; a lim →0 Omaxf, 0; B 0 a, pela definição de oscilação de uma função num ponto. Para o caso fa 0: existe 0, fx 0 para cada x ∈ B 0 a, ; vem Omaxf, 0; a lim 0 0 e conclui-se que a função maxf, 0 é contínua em a. (3) Se x 0 ≠ 0 e x n → x existe 0 tal que fx sin 1x x ∈ x 0 − , x 0 e lim fx n lim sin1/x n sin lim1/x n sin1/ lim x n fx 0 , pela continuidade das funções x sin x de R, d em R, d e x 1x de R\0, d em R, d; portanto f é contínua em x 0 (Corolário II.8.12). Para cada 0, existe n ∈ N verificando 1/2n − /2, 1/2n /2 ∈ −, ; assim Of; −, 2 → 2 Of; 0 e f não é contínua em 0. (4) No ponto a ∈ R tem-se: se 0, Of; a − , a 2 ∣ a ∣ 2 → →0 2 ∣ a ∣ e f só é contínua em a se a 0. Para a função ∣ f ∣ é O∣ f ∣, a − , a 2 para suficientemante pequeno, e esta função tem oscilação nula em cada ponto, é contínua. Se a ∈ R então Omaxf, 0, a lim →0 ∣ a ∣ ∣ a ∣, a função só é contínua no ponto a 0. (5) Cada conjunto reunião de uma classe de intervalos abertos de R é um conjunto aberto, pois é reunião de conjuntos abertos. Reciprocamente, se A é um subconjunto aberto não vazio de R então para cada a ∈ A, existe certo a 0 tal que I a a − a , a a ⊂ A. Conclui-se I a : a ∈ A A. Para cada I a tem-se fI a fx : a − a x a a fa − a , fa a J fa pela hipótese, donde fA fI a : a ∈ A J fa : a ∈ A, conjunto aberto. A função f é então um homeomorfismo se é contínua, o que equivale a f −1 ser uma função aberta; como f −1 é também estritamente crescente, f é um homeomorfismo. II.8.62 Exercícios (1) Recorde da Análise Real que uma função f : D ⊂ R N → R, D um aberto em R N , d e se diz diferenciável no ponto a, b ∈ D se existem , ∈ R tais que fah,bk−fa,b−h−k 0; e que, supondo f diferenciável no ponto a, b, lim h,k→0,0 2 2 h k u, v ∈ R 2 , a derivada de f em a, b segundo o vector u, v é então Df u,v a, b u v. Na hipótese f diferenciável em a, b, que pode afirmar-se sobre a cardinalidade do conjunto Da, b Df u,v a, b : u, v ∈ R 2 ? -126(2) Recordando ainda que se f como em (1) é diferenciável em a, b, então f é contínua em a, b, conclua de II.8.9 (1) que a função f : R 2 → R, fh, k hk 2 2 h k h, k ≠ 0, 0, f0, 0 0 não é diferenciável no ponto 0, 0. (3) Prove que a função xy sinxy x, y ≠ 0, 0, f0, 0 0 é diferenciável no ponto 0, 0. f : R 2 → R, fx, y 2 2 (Sug: verifique que ∣ x y fx,y x 2 y 2 ∣≤∣ sinxy ∣ para cada x, y ≠ 0, e utilize II.8.10). II.8.63 Resoluções (1) O cardinal de Da, b é 1 se 0 e é o cardinal do contínuo se 2 2 ≠ 0. (2) Com efeito, não existe o limite de hk no ponto 0, 0. 2 2 (3) Tem-se ∣ fx,y x 2 y 2 2 ∣∣ xy sinxy x 2 y 2 ∣≤ h k maxx 2 ,y 2 ∣sinxy∣ ≤∣ x 2 y 2 sinxy ∣ e se x n , y n → 0, 0 em R , d e então sinx n y n → 0 em R, munido da métrica usual. Conclui-se que f é diferenciável com 0. II.9 MÉTRICAS SOBRE O PRODUTO CARTESIANO DE ESPAÇOS MÉTRICOS As métricas euclideana, do máimo e da soma em R N são obtidas a partir da métrica usual no espaço factor R (podem aliás obter-se métricas correspondentes em C N , C o corpo dos números complexos). Este processo generaliza-se para qualquer produto cartesiano finito de espaços métricos. II.9.1. Teorema Se E, d E , F, d F são espaços métricos, as funções d e , d M e d S de E F em R, dadas por d e x, y, x ′ , y ′ d E x, x ′ 2 d F y, y ′ 2 , d M x, y, x ′ , y ′ maxd E x, x ′ , d F y, y ′ e d S x, x ′ , y, y ′ d E x, x ′ d F y, y ′ x, x ′ ∈ X, y, y ′ ∈ Y são métricas no produto cartesiano E F. Mais geralmente, se E 1 , d 1 , . . . , E N , d N N ∈ N são espaços métricos, então as N funções d e , d M e d S definidas em E j1 E j por d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N d 1 x 1 , y 1 2 . . d N x N , y N 2 , d M x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N maxd j x j , y j : j 1, . . . , N, N d S x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ j1 d j x j , y j são métricas. -127II.9.2. Exercícios (1) Demonstre o teorema anterior. (Sug: Desigualdade de Cauchy-Schwarz). (2) Determine as métricas que se obtêm sobre E, no contexto do teorema, se cada espaço métrico E j está munido da métrica discreta. II.9.3. Podem obviamente considerar-se sobre o produto cartesiano finito outras métricas. Como veremos, as propriedades de convergência de sucessões e de limite de uma função num ponto são as mesmas para estas diferentes métricas. Considerando as N projecções pr j : E j1 E j → E j , j 1, . . . , N, pr j x 1 , . . . , x N x j tem-se o II.9.4 Teorema Dado espaços métricos E 1 , . . . , E N e uma sucessão x n1 , . . . , x nN em N E j1 E j , a sucessão converge para x 1 , . . . , x N no espaço E, d e (respectivamente no espaço E, d M , resp. no espaço E, d S se e somente se cada sucessão coordenada x nj → n→ x j em cada espaço E j , d j . Dem. Considerando por exemplo a métrica d M em E, se d M x N1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N → n→ 0 então de 0 ≤ d j x nj , x j ≤ d M x n1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N conclui-se x nj → n→ x j em cada E j , d j . Reciprocamente, se esta última condição se verifica existe, dado 0 e para cada j 1, . . . , N, certa ordem pj, ∈ N tal que d j x nj , x j sempre que n ≥ pj, . Então se n ≥ p maxp1, , . . . , pN, tem-se d M x n1 , . . . , x nN , x 1 , . . . , x N . Do mesmo modo se conclui que a condição é necessária para a convergência em E, d e ou em E, d S ; e a condição suficiente, para estes espaços conclui-se da propriedade correspondente para d M e das desigualdades d e ≤ N d M e d S ≤ Nd M c.q.d. II.9.5 Corolário As métricas d e , d M e d S sobre o produto E j1 E j dos espaços métricos E j , d j são equivalentes. Dem. Pois pelo Teorema. tem-se x n1 , . . . , x nN → n→ x 1 , . . . , x N em E, munido de qualquer das métricas se e só se cada x nj → x j em E j , d j c.q.d. II.9.6 Exercício Pode acrescentar ao Corolário II.9.5 que d e , d M e d S são uniformemente equivalentes? Justifique. N II.9.7 Resolução d e , d M e d S são uniformemente equivalentes em E, como se obtem analogamente à demonstração de II.9.4; considerando a condição de Cauchy no lugar da condição de convergência. II.9.8 Observação Atendendendo ao Teorema II.9.4, dizemos indistintamente, dados N espaços métricos E 1 , d 1 , ..., E N , d N , que E j1 E j é o espaço métrico produto (quando munido de uma das métricas no teorema). II.9.9 Teorema As funções projecção pr j : E j1 E j → E j são contínuas e abertas. N -128Dem. Sendo A j um aberto de E j , provemos que A pr −1 j x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ E : x j ∈ A j E 1 . . . E j−1 A j E j1 . . . E N é aberto j em E, d M . Dado e 1 , . . . , e j−1 , a j , e j1 , . . . , e N , a j ∈ A j existe r 0 tal que B 0 a j , r ⊂ A j ; então d M x 1 , . . . , x j , . . . , x N , e 1 , . . . , a j , . . . , e N r maxd 1 x 1 , e 1 , . . . , d j x j , a j , . . . , d N x N , e N e portanto x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ E 1 . . . A j . . . E N i.e., representando B 0,M B 0,M e 1 , . . . , a j , . . . , e N , r a bola aberta no produto, tem-se B 0,M ⊂ E 1 . . . A j . . . E N que é assim um aberto; o que mostra que pr j é contínua. E dado A aberto em E, d M , mostremos que pr j A é aberto em E j . Sendo a 1 , . . . , a j , . . . , a N ∈ A existe 0 tal que maxd 1 x 1 , a 1 . , , , . d j x j , a j , . . . , d N x N , a N x 1 , . . . , x j , . . . , x N ∈ A; então para y, a j ∈ A j pr j A tem-se, considerando a k ∈ A k k ≠ j fixos, d j y, a j d M a 1 , . . . , y, . . . , a N , a 1 , . . . , a N a 1 , . . . , a j , . . . , a N ∈ A y ∈ A e A j é aberto, c.q.d. II.9.10 Exercício Considerando F x, 1/x : x ≠ 0 ⊂ R 2 e o espaço produto R , d R 2 , d, d a métrica usual de R, mostre que as funções projecção não transformam necessariamente conjuntos fechados em conjuntos fechados (não são funções fechadas). 2 II.9.11 Resolução F é um subconjunto fechado de R 2 , d M pois se x n , 1/x n → x, y neste espaço métrico, então pelo Teorema II.9.4 tem-se x n → x e 1/x n → y em R, d; como é sabido da Análise Real, isto implica 1/x n → 1/x ∈ R em R, d. Assim x ≠ 0 e y 1/x i. e., x, y x, 1/x ∈ F que é portanto um conjunto fechado em R 2 , d M . Mas pr 1 F R\0 que não é fechado no espaço factor R, d, como se verifica analogamente utilizando sucessões. II.9.12 Exercício Demonstre o teorema seguinte (Sug: utilize o limite por meio de sucessões) II. 9.13 Teorema Dados um espaço métrico E, d e um produto F j1 F j de espaços métricos F j , d j , uma finção f f 1 , . . . , f N : E → F é contínua se e somente se cada função coordenada f j : E, d → F j , d j é contínua. N II.9.14 Resolução Dem. Há a provar que f é contínua em cada ponto a ∈ E se e só se todas as funções f j são contínuas em a. Dada uma sucessão a n em E, d convergente para a temos: fa n f 1 a n , f 2 a n , . . . , f N a n → f 1 a, f 2 a, . . . , f N a fa em E, d sse f j a n → f j a em cada E j , d j , atendendendo a II.9.4, c.q.d. N II.9.15 Observação Para uma função f : E j1 E j → F, d definida sobre um produto de espaços métricos e com valores num espaço métrico, não pode concluir-se a continuidade de f num ponto a 1 , . . . , a N de E da hipótese cada função restrição N N−1 f ∣X j : X j → F, d contínua em a j , onde X 1 a 1 j2 E j ,..., X N j1 E j a N . É o que mostra, em II.8.9 (2), a função f : R 2 → R definida por fx, y xy/x 2 y 2 x, y ≠ 0, 0 e f0, 0 0 por exemplo. -129II.9.16 A noção de métrica sobre um produto finito generaliza-se ao produto numerável de espaços métricos. Consideram-se, dados espaços métricos E 1 , d 1 , E 2 , d 2 . . . as métricas equivalentes min1, d i e põe-se II.9.17 Definição Dado o produto numerável de espaços métricos E n1 E n considera-se sobre E a métrica Dx n , y n ∑ n1 min1, d n x n , y n /2 n . II.9.18 Exercícios (1) Verifique que a fução D em II.8.17 é uma métrica em E e generalize II.9.4, II.9.13. (2) Prove que no contexto de II.9.17, D 1 x n , y n ∑ n1 d n x n , y n /2 n 1 d n x n , y n é uma métrica sobre E equivalente a D. II.9.19 Resoluções (1) (D1) Dx n , y n ≥ 0 pois é a soma de uma série de termos não negativos; a série converge, pelo critério de comparação dado que o termo geral é majorado pelo termo geral 1/2 n de uma série geométrica convergente. Também Dx n , x n ∑ 0 0 pois cada d n verifica (D1); (D2) Dx n , y n Dy n , x n pois d n x n , y n d n y n , x n para cada n; (D3) Dx n , z n ∑ n1 d n x n , z n ≤ ∑ n1 d n x n , y n d n y n , z n Dx n , y n Dy n , z (D4) se Dx n , y n 0 então d n x n , y n 0 para cada n, e assim x n y n , x n y n . Dada uma sucessão x kn → x n em E, D tem-se 0 ≤ d n x kn , x n ≤ Dx kn , x n → k→ 0, donde cada d n x kn , x n → k→ 0; portanto cada sucessão coordenada x kn → k→ x n em E n , d n . Reciprocamente, se esta última condição se verifica, como a série ∑ n1 min1, d n x kn , x n /2 n é convergente para cada k tem-se: dado 0, existe N ∈ N tal que ∑ nN1 min1, d n x kn , x n /2 2 /2, e isto para cada k 1, 2, . . . . (uma vez que ∑ nN1 1/2 n → N→ 0). Para cada índice n 1, . . . . , N, existe por hipótese uma ordem kn, /2 verificando d n x kn , x n /2 desde que k ≥ kn, /2. Seja k maxk1, /2, . . . , kN, /2 ∈ N. Se k ≥ k encontra-se N Dx kn , x n ∑ n1 min1, d n x kn , x n /2 n ∑ nN1 min1, d n x kn , x n /2 n e portando x kn → k→ x n em E. Portanto a generalização de II.9.4 é verdadeira. Dada f f 1 , f 2 , . . . : E → n1 F n , a generalização de II.9.13 conclui-se da generalização de II.9.4 analogamente. (2) Representando d 1,n x n , y n d n x n , y n /1 d n x n , y n encontra-se (D1) D 1 x n , y n ∑ n1 d 1,n x n , y n é uma série convergente de termos ≥ 0, donde tem soma ≥ 0; e D 1 x n , x n ∑ 0 0; (D2) D 1 x n , y n ∑ n1 d 1,n x n , y n /2 n ∑ n1 d 1,n y n , x n /2 n D 1 y n , x n (d 1,n é uma métrica em E n e assim verifica (D2)); (D3) D 1 x n , z n ∑ n1 d 1,n x n , z n /2 n e a soma desta série não excede a soma ∑ n1 d 1,n x n , y n /2 n ∑ n1 d 1,n y n , z n /2 n D 1 x n , y n D 1 y n , z n pois d 1,n x n , z n ≤ d 1,n x n , y n d 1,n y n , z n para cada n; (D4) se a soma da série D 1 x n , y n é nula, então cada d 1,n x n , y n 0, donde x n y n . Analogamente à generalização de II.0.4 em II.919., vê-se que uma sucessão x kn → k→ x n em E, D 1 se e só se cada sucessão coordenada x kn → k→ x n em E n , d n , e portanto esta propriedade é equivalente à convergência de x kn para x n em E, D. -130II.9.20 Observação Recorde-se a Definição II.7.3. Diz-se que uma classe S S : ∈ de conjuntos abertos é uma subbase da topologia T E do espaço métrico E, d se a classe B constituída pelas intersecções finitas dos conjuntos em S é uma base de T E . Se o espaço E, d é um espaço C 2 então, uma base sendo uma subbase, T E tem uma subbase contável. Reciprocamente, como o cardinal do conjunto das partes finitas de um conjunto infinito é igual ao cardinal do conjunto, tem-se # 0 #B #FS #S se E, d é um espaço C 2 (como FS o conjunto das partes finitas de S, a funçao : FS → B, S 1 , . . . , S n S 1 ∩. . . ∩S n é sobrejectiva, donde #B ≤ #FS; também se S é um conjunto finito então #B ≤ #FS e B é finita; como B S : S B e a funçao B → B é injectiva, tem-se #FS #S ≤ #B). Portanto E, d é um espaço C 2 se e só se tem uma subbase contável. II.9.21 Proposição O espaço métrico produto contável E i∈I E i de espaços métricos C 2 (equivalentemente, separáveis) E i i ∈ I é um espaço C 2 (equivalentemente, separável). Dem. A equivalência C 2 separável é estabelecida em II.7.7. Pela observação anterior, basta provar que E tem uma subbase contável. Se U i,n : n ∈ J i i ∈ I, J i ⊂ N é uma base de E i então os conjuntos pr −1 i U i,n i ∈ I, n ∈ J i constituem uma subbase de E. (Porquê?) Uma vez que #i J i : i ∈ I ≤ #I # 0 ≤ # 0 (verifique) conclui-se o resultado, c.q.d. II.10 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS. CATEGORIA II.10.1 Recordar que a sucessão x n em E, d é uma sucessão de Cauchy se verifica a condição ∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m . O espaço métrico E, d diz-se completo se toda a sucessão de Cauchy em E, d é convergente para um ponto de E. II.10.2 Exemplos (1) Como é sabido da Análise Real, toda a sucessão de Cauchy de números reais é convergente para um número real; assim R, d, d a métrica usual, é um espaço métrico completo. (2) C, d, onde dx iy, a ib x − a 2 y − b 2 é um espaço métrico completo. (3) Se X é um conjunto não vazio, o espaço métrico discreto X, d i , d i a métrica discreta de X, é completo. (4) Q, d, com d a métrica restrição da métrica usual ao conjunto dos números racionais, não é completo. Pois a sucessão n u n ∑ k1 1/k! é de Cauchy (a série factorial é convergente para e ∈ R\Q em R) mas a soma da série não é um número racional. -131II.10.3 Exercícios (1) Verifique II.10.2 (2). (2).Verifique o exemplo (3) em II.10.2. (3) Prove que se ≠ F ⊂ E e E, d é um espaço métrico completo, então o subespaço métrico F, d é completo se e só se F é fechado em E. II.10.4 Resoluções (1) Seja x n iy n uma sucessão de Cauchy em C i.e., ∀ 0, ∃p ∈ N tal que dx n iy n , x m iy m x n − x m 2 y n − y m 2 para cada n, m ≥ p. Então se n, m ≥ p tem-se ∣ x n − x m ∣, ∣ y n − y m ∣≤ dx n iy n , x m iy m ; logo x n e y n são sucesões de Cauchy em R, e assim existem x, y ∈ R tais que lim ∣ x n − x ∣ 0, lim ∣ y n − y ∣ 0. Conclui-se dx n iy n , x iy x n − x 2 y n − y 2 → 0, o que mostra que x n iy n tem limite x iy em C, d. (2) Se x n é uma sucessão de Cauchy em x, d i , a condição ∀ 0, ∃p p ∈ N, n, m ≥ p d i x n , x m implica, fazendo 1 que x n x m c constante para cada n, m ≥ p1. Sendo constante e igual a c a partir de certa ordem, conclui-se x n → c. (3) Se x n é uma sucessão de Cauchy no subconjunto fechado F do espaço métrico completo E, d, munido da métrica induzida, a condição de Cauchy mostra que x n é uma sucessão de Cauchy em e, d equivalentemente. Existe então x ∈ E tal que x n → x em E, d; como x ∈ F, pois f é fechado, tem-se x n → x em F, d, representando ainda por d a métrica induzida. Assim F, d é um espaço métrico completo. Reciprocamente, supondo F, d completo, se x n é uma sucessão de pontos de F convergente em E, d para certo ponto p, então x n é uma suceesão de Cauchy em E, d, e portanto em F, d. Logo x n → y certo y ∈ F em f, d e, como então x n → y e x n → x em E, d, tem-se y x pela unicidade do limite. Isto mostra que x ∈ F, que é assim um conjunto fechado. II.10.5 Observação A função fx x/1 ∣ x ∣ é um homeomorfismo de R, munido da métrica usual d, sobre 0, 1, d, onde d é a métrica induzida (isto verifica-se facilmente utilizando o limite por meio de sucessões). No entanto, R, d é um espaço métrico completo e 0, 1, d não é completo_A sucessão 1 − 1n é de Cauchy em 0, 1, d mas não é convergente neste subespaço métrico. II.10.6 Proposição Se existe um homeomorfismo uniforme do espaço métrico E, d E sobre F, d F então E, d E é completo se e só se F, d F é completo. . II.10.7 Exercício Prove a Proposição II.10.6 II.10.8 Resolução Se E, d E é completo e f : E, d E → F, d F é um homeomorfismo uniforme, provemos que toda a sucessão de Cauchy y n em F, d F é convergente. Tem-se y n fx n e, como f −! é uniformemente contínua, a sucessão dos pontos x n f −1 y n é de Cauchy em E, d E , utilizando II.8.46 (5) Existe portanto x lim x n em E, d E , e da continuidade de f concluímos que y n fx n → fx em F, d F como queríamos. -132II.10.9 Teorema de Cantor Seja E, d um espaço métrico completo e seja F n : n ∈ N uma classe de fechados não vazios tal que F n1 ⊂ F n n 1, 2, . . . e lim diamF n 0. Existe então certo ponto a ∈ E tal que F n : n ∈ N a. Dem. Se x, y ∈ F n para cada n, então 0 ≤ dx, y ≤ diamF n → 0 donde dx, y 0 e x y. Portanto F n : n ∈ N só pode conter um ponto. Tem-se F n : n ∈ N ≠ ; pois fixando um ponto a n ∈ F n para cada n, a sucessão a n é de Cauchy, convergindo portanto para certo ponto a. Com efeito, dado 0, existe certa ordem p ∈ N tal que diamF n se n ≥ p; para m ≥ n ≥ p tem-se a m ∈ F m ⊂ F n e a n ∈ F n i.e. portanto a n , a m ∈ F n e da n , a m ≤ diamF n . O ponto a tem então a propriedade ∀ 0, ∃n ∈ N, n ≥ n da n , a ; assim ∀ 0, ∃n ∈ N, B 0 a, ∩ F n ≠ , ∀n ≥ n. Da condição F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n vem ∀ 0, B 0 a, ∩ F n ≠ , ∀n ∈ N; conclui-se a ∈ F n F n , ∀n ∈ N i.e., a ∈ F n : n ∈ N c.q.d. II.10.10 Corolário O espaço métrico E, d é completo se e só se tem a propriedade de toda a classe F n : n 1, 2, . . . de subconjuntos não vazios fechados de E, verificando F n1 ⊂ F n para cada n e llim diamF n 0 ter intersecção não vazia. II. 10.11 Exercícios (1) Prove que se a sucessão x n em E, d é de Cauchy, e tem uma subsucessão x nk → a então x n é convergente para a. (2) Demonstre o corolário em II.10.10 (Sug: Dada a sucessão de Cauchy x n , considere os conjuntos F n x m : m ≥ n e utilize (1)). II.10.12 Resolução (1) Seja x n verificando a condição de Cauchy ∀ 0, ∃p/2 ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m /2. Se a subsucessão x nk → a existe, dado 0, certo k k/2 ∈ N tal que dx nk , a /2 para todos os k ≥ k. Se então m ≥ maxp/2, k/2 verifica-se dx m , a ≤ dx m , x nm dx nm , a , pois nm ≥ m, já que k nk é estritamente crescente. Isto mostra que x n → a. (2) Se E, d é completo então, pelo Teorema de Cantor, tem a propriedade enunciada. Reciprocamente, sendo x n de Cauchy em E, como x m : m ≥ n 1 ⊂ x m : m ≥ n para n 1, 2, . . . tem-se F n1 ⊂ F n para cada n, com os F n como na sugestão. Sendo x n de Cauchy vem que para cada 0, existe p ∈ N tal que dx m , x m ′ ≤ para cada m, m ′ ≥ p; então diamF p supdx, y : x, y ∈ F p supdx m , x m ′ : m, m ′ ≥ p ≤ . Assim lim diamF n 0. Pela propriedade da hipótese, existe um ponto a ∈ F n : n ∈ N. Significa isto que a ∈ x m : m ≥ n para cada n; então tomando 1/k para cada k 1, 2, . . . tem-se que certo x n1 verifica x n1 ∈ B 0 a, 1/1 ∩ x m : m ≥ 1; seguidamente, como a ∈ x m : m ≥ n1 1, a intersecção B 0 a, 1/2 ∩ x m : m ≥ n1 1 sendo não vazia, -133existe certo x m2 , m2 ≥ n1 1 tal que x m2 ∈ B 0 a, 1/2. Obtidos x n1 , . . . , x nk , onde n1 n2 . . . nk e x nj ∈ B 0 a, 1/j para 1 ≤ j ≤ k, podemos obter, pelo raciocínio feito para x n2 certo x nk1 ∈ B 0 a, 1/k 1 com nk nk 1. x nk é então uma subsucessão de x n e como 0 ≤ da, x nk 1/k → 0 temos x nk → a. Então, usando (1), x n tem limite a e E, d é completo. II.10.13 Teorema de extensão Sejam X, d, Y, espaços métricos, Y, completo. Se f : A ⊂ X → Y é uma função uniformemente contínua, onde A está munido da métrica induzida, então existe uma única extensão contínua f : A, d → Y, de f ao fecho de A. f é uniformemente contínua. Dem. Seja x ∈ A. Existe então uma sucessão x n em A tal que lim x n x e, sendo x n convergente, é uma sucessão de Cauchy. Deste modo, usando II.8.46 (5), a sucessão fx n é de Cauchy em Y, e portanto existe o limite y lim fx n ∈ Y. Além disso, se w n é qualquer sucessão em A convergindo para x, verifica-se facilmente que a sucessão x 1 , w 1 , x 2 , w 2 , . . . , x n , w n , . . . é ainda convergente para x; donde é também da Cauchy e y n ≡ fx 1 , fw 1 , fx 2 , fw 2 , . . . , fx n , fw n , . . . é de Cauchy em Y, e assim convergente neste espaço. Usando II.10.11 (1), como a subsucessão dos termos de ordem ímpar de y n converge para y, tem-se y n → y. Logo o limite de fw n y é independente da particula sucessão w n em A convergente para x, e assim, dependendo apenas de x, podemos designar y f x. Se x ∈ A ⊂ A então a sucessão constante x converge para x e a sucessão fx converge para fx em Y . Então f x fx ao caso aplicando a definição particular x ∈ A obtemos uma nova função f : A ⊂ X → Y. f é contínua pelo modo como é definida, e é uma extensão de f a A; e se g : A ⊂ X → Y é uma extensãocontínua de f a A tem-se: para x n em A tal que x n → x, é gx limgx n lim fx n f x. Assim g f. O teorema ficará provado se mostrarmos que f é uniformenmente contínua. Seja 0 e consideremos 0 tal que x, y ∈ A e dx, y fx, fy . Se x, y ∈ A existem x n , y n em A, x n → x, y n → y. As desigualdades ∣ dx n , y n − dx, y ∣≤ dx n , x ∣ dx, y n − dx, y ∣≤ dx n , x dy n , y → n→ 0 mostram que dx n , y n → dx, y e portanto existe certo n 0 ∈ N tal que dx n , y n para todo o n ≥ n 0 . Logo fx, fy lim fx n , fy n ≤ . Obteve-se assim ∀ 0, ∃ 0, x, y ∈ A ∧ dx, y fx, fy ≤ , e vê-se que esta propriedade é a continuidade uniforme de f : A, d → Y, c.q.d. II.10.14 Exemplo Sendo X ≠ , designa-se por BX o conjunto das funções f : X → R que são limitadas i.e., existe uma constante Mf ≥ 0 relativa a f tal que ∣ fx ∣≤ Mf para todo o x ∈ X. Verifica-se facilmente que Df, g sup∣ fx − gx : x ∈ X é uma métrica em BX. Vamos ver que BX, D é um espaço métrico completo. Seja f n uma sucessão de Cauchy em BX, D i.e., ∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p Df n , f m ≤ . Então para cada x ∈ X, a sucessão real f n x é de Cauchy, pois ∣ f n x − f m x ∣≤ Df n , f m ≤ se n, m ≥ p. Existe pois fx lim f n x x ∈ X e fica definida a função f : X → R, fx lim f n x x ∈ X. Mantendo n ≥ p fixo e fazendo m → na desigualdade ∣ f n x − f m x ∣≤ , ∀x ∈ X, 1 por exemplo, obtemos ∣ f n x − fx ∣≤ 1 x ∈ X donde ∣ fx ∣≤∣ f p x − fx ∣ ∣ f p x ∣ x ∈ X donde ∣ fx ∣≤ 1 Mf p para todo o x ∈ X e assim f é limitada, f ∈ BX. Obtemos também: dado 0, existe p ∈ N tal que ∣ f n x − fx ∣≤ x ∈ X para todo o n ≥ p. Logo Df n , f ≤ se n ≥ p e portanto f n → f em BX, D, c.q.d. -134II.10.15 Exercícios (1) Sendo E um conjunto não vazio, F, d um espaço métrico e f n uma sucessão em F E , f ∈ F E diz-se que f n converge pontualmente para f se f n x → fx para cada x ∈ E e que f n converge uniformemente para f se se verifica a condição ∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p df n x, fx ≤ , ∀x ∈ E. i Verifique que a sucessão de funções x n em R 0,1 converge pontualmente para a função f : 0, 1 → R, fx 0 x ∈ 0, 1, f1 1, considerando sobre R a métrica usual, 0, 1 munido da métrica induzida. ii Prove que dados E, d, F, d ′ , se uma sucessão f n em F E converge uniformente para f ∈ F E e cada f n é contínua, então f : E → F é contínua. iii Pode concluir que em i, a convergência não é uniforme? (2) Mostre que a convergência de uma sucessão f n para f em BX, D como em II.10.14 é a convergência uniforme. (3) Prove que o conjunto CBE das funções reais contínuas limitadas sobre o espaço métrico E, d, munido da métrica Df, g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ E é completo (Sug: utilize (1) iii). II.10.16 Resoluções (1) i Como é sabido da Análise Real, se 0 ≤ x 1 então a sucessão x n → 0; e se x 1 então a sucessão constante 1 n → 1. ii Dada a convergência uniforme f n → f e sendo cada f n : E, d → F, d ′ contínua, consideremos a ∈ E. Se 0, existem 0 e p ∈ N tais que x ∈ E e dx, a d ′ f p x, f p a ≤ /2 e n ≥ p d ′ f n x, fx ≤ /2, ∀x ∈ E; então se dx, a tem-se d ′ fx, fa ≤ d ′ fx, f p x d ′ f p x, f p a ≤ /2 /2 , f é contínua em a. iii Sim, pois a função f não é contínua em 0, 1 mas cada f n é contínua em 0, 1; usando ii, se a convergência fosse uniforme então a função limite seria contínua. (2) As condições ∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p sup∣ f n x − fx ∣: x ∈ E ≤ e ∀ 0, ∃p ∈ N, n ≥ p ∣ f n x − fx ∣≤ são eqivalentes, pois se ≠ A ⊂ 0, , s 0, tem-se a ≤ s, ∀a ∈ A sup A ≤ s. (3) Com efeito, (1) iii e (2) mostram que CBE é um subespaço fechado de BE; o resultado conclui-se de II.10.3 (2). II.10.17 Definição Se X, d é um espaço métrico, diz-se que um espaço métrico completo Y, é um completamento de X, d se existe uma isometria f : X, d → Y, tal que fX é denso em Y. II.10.18 Exemplo Como é sabido tem-se Q denso em R, considerando sobre R a métrica usual d; representando ainda por d a métrica induzida em Q, vemos que R, d é um completamento de Q, d, considerando Id Q : Q, d → R, d, Id Q x x. II.10.19 Observação Se Y 1 , 1 e Y 2 , 2 são dois completamentos de X, d, existem isometrias f 1 : X, d → Y 1 , 1 , f 1 X Y 1 e f 2 : X, d → Y 2 , 2 , f 2 X Y 2 . Como a composta de duas isometrias é uma isometria, a função f f 2 of −1 1 : f 1 X ⊂ Y 1 , 1 → Y 2 , 2 é uma isometria, donde é uniformemente contínua; aplicando o Teorema de extensão II.10.13, f tem uma única extensão f : Y 1 , 1 → Y 2 , 2 . Verifica-se facilmente que f é uma isometria bijectiva. Assim quaisquer dois completamentos de um espaço métrico são isométricos. Veremos de seguida que cada espaço métrico tem um completamento. Se E, d é completo, é um seu completamento. -135II.10.20 Teorema Todo o espaço métrico tem um completamento, único a menos de uma isometria. Dem. Seja X, d um espaço métrico. Fixemos a ∈ X e, para cada x ∈ X seja f x : X → R a função definida por f x y dx, y − dy, a y ∈ X. Pela desigualdade triangular D3 tem-se ∣ f x y ∣≤ dx, a para todo o y ∈ X, e portanto f x ∈ BX (Exemplo II.10.14). Obtemos assim uma função f : X, d → BX, D dada por x f x . Temos que f é uma isometria, donde é uniformemente contínua. Com efeito, tem-se ∣ f x y − f z y ∣∣ dx, y − dy, a − dz, y − dy, a ∣ dx, y − dz, y ∣≤ dx, z para todo o y ∈ X; consequentemente Df x , f z sup∣ f x y − f z y ∣: y ∈ X ≤ dx, z. Também no ponto y z, ∣ f x z − f z z ∣ dx, z e assim Df x , f z dx, z. Como BX, D é completo, obtemos pela definição que fX, D é um completamento de X, d. O teorema conclui-de de II.10.19, c.q.d II.10.21 Teorema Se f : X, d → Z, é uma função uniformemente contínua, onde X, d, Z, são espaços métricos, então existe uma única extensão uniformemente contínua f : Y, → W, do completamento Y, de X, d no completamento W, de Z, . Dem. Considerando isometrias f 1 : X, d → Y, , f 1 X Y e f 2 : Z, → W, , f 2 Z W, a função f 2 ofof −1 1 : f 1 X ⊂ Y, → W, é uniformemente contínua e tem, pelo Teorema de extensão II.10.13, uma extensão uniformemente contínua única f : Y, → W, c.q.d. II.10.22 Exercício Justificando as passagens seguintes, prove que se E 1 , d 1 , . . . , E N , d N são espaços completos, E E 1 . . . E N e d M x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N maxd k x k , y k : 1 ≤ k ≤ N então o espaço métrico produto E, d M é completo. 1. Há a provar que se x n x n1 , . . . , x nN é uma sucessão em E verificando a condição ∀ 0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p dx n , x m , então existe a a 1 , . . . , a N ∈ E tal que x n → a em E, d; 2. se x n é uma sucessão como em 1., então cada sucessão coordenada x nk , 1 ≤ k ≤ N, é de Cauchy no espaço E k , d k ; 3. existe um ponto a k ∈ E k para cada k tal que x nk → n→ a k em E k , d k ; 4. verifica-se x n → a a 1 , . . . , a N em E, d, c.q.d. II.10.23 Resolução 1. Pelas definições de sucessão de Cauchy e espaço métrico completo; 2. pois dada a condição em 1., se , a ordem p verifica a condição d k x nk , x mk ≤ dx n1 , . . . , x nN , x m1 , . . . , x mN para todos n, m ≥ p; 3. porque pela hipótese cada espaço E k , d k é completo. 4. Por 3. existe, dado positivo, certa ordem nk, ∈ N para cada k 1, . . . , N verificando d k x nk , a k sempre que n ≥ nk, . Podemos considerar então, dado , a ordem n maxn1, , . . . , nN, e tem-se n ≥ n d 1 x n1 , a 1 , . . . , d N x nN , a N maxd 1 x n1 , a 1 , . . . , d N x nN , a N ; donde dx n , a para todo o n ≥ n. Existe pois em E o limite a da sucessão x n e E, d é completo c.q.d. -136II.10.24 Conclua do Ex. anterior a Proposição Se E 1 , d 1 , . . . , E N , d N são espaços métricos, E E 1 . . . E N então o espaço métrico produto E, d M é completo se e só se cada espaço factor E 1 , d 1 , . . . , E N , d N é completo. (Sug: Dada uma n-sucessão u nk de Cauchy num espaço E k , d k , fixe pontos a j ∈ E j 1 ≤ j ≤ N, j ≠ k e considere a sucessão a 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N em E). II.10.25 Resolução Sendo u nk em E k tal que d k u nk , u mk → n,m→ 0 então também da 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N , a 1 , . . . , a k−1 , u mk , a k1 , . . . , a N d k u nk , u mk → n,m→ 0. Logo a sucessão a 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N → x 1 , . . . , x N certo ponto de E, na hipótese E, d completo. Conclui-se d k u nk , x k ≤ da 1 , . . . , a k−1 , u nk , a k1 , . . . , a N , x 1 , . . . , x N → n→ 0, u nk → x k em E k , d k que é portanto completo para cada k. A proposição conclui-se de II.10.22. II.10.26 Observação Verifica-se que as métricas d e d ′ são uniformemente equivalentes em E se e só se a função identidade I : E, d → E, d ′ é um homeomorfismo uniforme (cf. Definição II.4.6, Definição II.8.44). Como as métricas d M , d e e d S em E E 1 . . . E N (II.9.1) são uniformente equivalentes por II.9.6, concluimos que E, d M (E, d e , E, d S ) é completo se e só se cada espaço factor E 1 , . . . , E N é completo. Em particular, R N , d e , N d e x 1 , . . . , x N , y 1 , . . . , y N ∑ k1 ∣ x k − y k ∣ 2 é completo; bem como C N , d e . II.10.27 Definição Diz-se que um subconjunto R do espaço métrico E, d é um conjunto raro se intR . Um conjunto A n1 R n , reunião contável de conjunotos raros R n diz-se que é magro ou de primeira categoria em E, d. O conjunto A ⊂ C, onde C ⊂ E diz-se de 2ª categoria em C se não é de primeira categoria no subespaço métrico C, d; e de 2ª categoria em si mesmo se A é de 2ª categoria no subespaço A, d. II.10.28 Exemplos (1) Cada conjunto singleton p p ∈ R é um conjunto raro no espaço métrico R, d, assim como no espaço métrico Q, d, no caso p ∈ Q, onde d é a métrica usual. Assim Q é um conjunto de primeira categoria. (2) Veremos que R N , d e , d e a métrica euclideana em R N , é de 2ª categoria em si mesmo. (3) Com d e x, y, x ′ , y ′ x − x ′ 2 y. −y ′ 2 a métrica euclideana em R 2 , o subconjunto R 0 é de 2ª categoria em si mesmo, mas é de primeira categoria em R 2 , d e . Pois R 0 n1 −n, n 0 e cada conjunto −n, n 0 é fechado e com interior vazio em R 2 , d e . II. 10.29 Exercício Verifique que −n, n 0 é fechado em R 2 , d e e, neste espaço métrico, int−n, n 0 . -137II.10.30 Resolução Se a sucessão x k , 0 em −n, n 0 converge para x, y em R , d e então x k − x 2 0 − y 2 → k→ 0; donde x k → k→ x e y 0; assim de −n ≤ x k ≤ n para cada k conclui-se −n ≤ lim x k x ≤ n e o limite x, y x, 0 ∈ −n, n 0. Portanto −n, n 0 é fechado em R 2 , d e . Para cada a, 0 ∈ −n, n 0 e cada raio 0, o ponto a, /2 ∈ B 0 a, 0, \−n, n 0; logo nenhum 0 satisfaz B 0 a, 0, ⊂ −n, n 0 e int−n. n 0 i.e, int−n, n 0 . 2 II.10.31 Exercício Mostre que A é um subconjunto raro do espaço métrico E, d se e c só se A é denso em E; conclua que um conjunto fechado é raro se e só se o seu complementar é um aberto denso. (Sug: recorde II.5.49 (2) c). cc c II.10.32 Resolução Tem-se intC C C X. Assim sendo F fechado, F é raro se e só se F c é denso; e sendo F c um conjunto aberto. II.10.33 Teorema Dado o espaço métrico E, d, as propriedades a se A n : n ∈ N é uma classe contável de subconjuntos abertos densos então A n é denso; n1 b o interior da reunião de uma classe contável F n : n ∈ N de subconjuntos fechados raros é vazio, são equivalentes. II.10.34 Exercício Demonstre o Teorema II.10.33. II.10.35 Resolução A cada classe contável F n : n ∈ N de fechados raros corresponde, por II.10.31, a classe contável F cn : n ∈ N de abertos densos, e reciprocamente. Tem-se int n1 F n n1 F n c c n1 F cn c n1 F cn E c.q.d. II.10.36 Definição Um espaço métrico E, d diz-se de Baire se tem qualquer das propriedades a, b do Teorema II.10.33. -138II.10.37 Observações (1) Pela definição, todo o espaço de Baire é de 2ª categoria em si mesmo. Considerando o subespaço métrico A, d de E, d, o interior de A em A, d é A ≠ ; assim o espaço métrico Q, d, d a métrica induzida pela métrica usual, não é de Baire: pois cada q, q ∈ Q, é um conjunto raro e Q é a reunião contável Q //q : q ∈ Q. 2 Se E, d é um espaço de Baire então o complementar de um conjunto de 1ª categoria é necessariamente de 2ª categoria em E, d. Com efeito, se C é um subconjunto de E de 1ª categoria em E, d, C n1 R n , cada R n um conjunto raro, c intR n , então admitindo C n1 S n com intS n obteríamos E como a reunião contável dos conjuntos fechados R n , S n de interiores igais ao conjunto vazio; concluir-se-ia o absurdo intE . II.10.38 Lema Se o subconjunto C do espaço métrico E, d é raro, então para cada aberto não vazio U de E existe pelo menos um ponto p ∈ U tal que B 0 p, r ∩ C , B 0 p, r ⊂ U, certo r 0. II.10.39. Exercício Prove o Lema anterior. (Sug: redução ao absurdo). II.10.40 Resolução Dados o conjunto raro C e o aberto não vazio U, suponhamos com vista a um absurdo que, para todo o p ∈ U, C encontra qualquer bola aberta de centro p contida em U. Como U é aberto, U intU ≠ ; sendo não vazia a intersecção de cada bola aberta de centro p contida em U, com C conclui-se que é p ∈ C para cada p ∈ intU (pois para o raio suficientemente pequeno, a bola está contida em U). Donde C ⊃ intU, concluindo-se a contradição intC ≠ , já que intC ⊃ intU. Existem portanto pelo menos um ponto p em U e uma bola aberta como no enunciado, c.q.d. II.10.41 Teorema de Baire Todo o espaço métrico completo é da segunda categoria. Dem. Suponhamos, com vista a um absurdo, que o espaço métrico completo E, d é de 1ª categoria i.e., E n1 A n , cada A n um conjunto raro. Pelo Lema II.10.38, A 1 é disjunto de uma bola B 0 p, r em E, donde é disjunto de uma bola fechada B 1 Bp 1 , r 1 p 1 p, r 1 r/2. É fácil ver que A 2 é um subconjunto raro do subespaço métrico E 1 A 2 B 0 p 1 , r 1 ; assim, pelo lema, existe uma bola fechada B 2 Bp 2 , r 2 ⊂ B 1 tal que A 2 ∩ B 2 , onde r 2 ≤ r 1 /2 e A 1 ∩ B 2 . Obtidos por este processo n pontos p 1 , p 2 , . . . , p n e bolas fechadas B 1 Bp 1 , r 1 , B 2 Bp 2 , r 2 , . . . , B n Bp n , r n com B n ⊂. . . ⊂ B 2 ⊂ B 1 , r 1 ≤ r/2, r 2 ≤ r/2 2 , . . . , r n ≤ r/2 n e A k ∩ B m 1 ≤ m ≤ n, 1 ≤ k ≤ m podemos de novo obter, considerando o correspondente subespaço métrico E n , uma bola fechada B n1 Bp n1 , r n1 tal que A k ∩ B n1 1 ≤ k ≤ n 1, B n1 ⊂ B n e r n1 ≤ r/2 n1 . Assim por indução em n, existem bolas fechada B n Bp n , r n naquelas condições para cada n 1, 2, . . . Aplicando o teorema da Cantor, existe um ponto B n ; mas B n ⊂ A cn para cada n 1, 2, . . . donde x ∈ n1 B n ⊂ n1 A cn n1 A n c E c , e obtem-se a contradição ∃x, x ∈ , n1 provando o teorema. -139II.10.42 Exemplo R N , d e , d e a métrica euclideana, é de 2ª categoria. Como Q é de 1ª categoria em R, d, d a métrica usual, concluimos de II.10.28 que R\Q é de 2ª categoria. Notar que um conjunto de 2ª categoria pode ter interior vazio. II.10.43 Teorema Se E, d é um espaço de Baire então todo o aberto não vazio de E é de Baire, considerado como subespaço métrico com a métrica induzida. II.10.44 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração do teorema: 1. Sendo A n : n ∈ N uma classe contável de abertos densos do aberto não vazio U de E, há a provar que A n1 A n é denso em U; c 2. os conjuntos A n U são abertos densos de E; c 3. A U é denso em E; c 4. se p ∈ U então p ∈ A U ; cc 5. tem-se U ⊂ U : 6. U ⊂ A e pode concluir-se o teorema. c II.10.45 Resolução 1. Pela definição de espaço de Baire. 2. U sendo fechado, U e A n c c são abertos, A n U é um conjunto aberto; Além disso E A n ⊂ A n U . 3. Pela c hipótese, A n U sendo um aberto denso para cada n, por 2., a intersecção c c c A U n1 A n U é um conjunto denso. 4. Por 2..5. Pois U c ⊃ U e U c é fechado. c 6. Se p ∈ U então p ∈ A U usando 4.; usando 5. tem-se c c c p ∈ U ∩ A U ⊂ A A. Assim A é denso em U, c.q.d. II.10.46 Exercício Prove que se C, A ⊂ E, d e A é um conjunto aberto, então C ∩ A ⊃ C ∩ A. II.10.47 Resolução Se p ∈ C então pelo fecho por meio de sucessões, certa sucessão c n de pontos de C converge para p. Na hipótese adicional p ∈ A e A aberto, A é uma vizinhança de p; então os termos c n estão em A a partir de certa ordem m. Logo p lim n→ c mn é limite de uma sucessão em C ∩ A e portanto p ∈ C ∩ A ou seja, tem-se efectivamente C ∩ A ⊂ C ∩ A. -140II.10.48 Podemos dizer que um espaço métrico é de Baire se e só se é localmente de Baire, no sentido de que E, d é um espaço de Baire se e só se cada ponto tem uma base de vizinhanças que são de Baire.(considerada a vizinhança como subespaço métrico). Com efeito, supondo E de Baire, cada vizinhança aberta de cada ponto é de Baire, pelo Teorema II.10.43. Reciprocamente, se cada ponto a tem uma vizinhança de Baire, então E é de Baire. Pois sejam A n abertos densos de E n ∈ N, A n1 A n . Se V é uma vizinhança de a que é de Baire, então cada A n ∩ intV ⊃ A n ∩ intV intV usando II.10.46, e assim A n ∩ intV é um aberto denso de intV para cada n; V sendo de Baire, o subespaço aberto intV de V é de Baire (II.10.43) e portanto A ∩ intV n1 An ∩ intV é denso em intV. Significa isto que, como podemos considerar, dado a, qualquer vizinhança aberta V de a numa base de vizinhanças abertas do ponto acima, que toda a vizinhança V de a encontra o conjunto A ∩ intV; então encontra a, temos V ∩ A ≠ para cada vizinhança V de a i.e., a ∈ A. Como considerámos para a um qualquer ponto de E, concluimos E ⊂ A i.e., A é denso em E, E é de Baire. II.10.49 Exercício Seja f : /E, d → F, d ′ uma função contínua e aberta. Prove que: i Se C é um subconjunto de E de 2ª categoria em si mesmo, então fC é de 2ª categoria em si mesmo (Sug: Contra-recíproca); ii Se f é além disso sobrejectiva e E, d é de Baire, então F, d ′ é de Baire (Sug: Mostre que intf −1 V ≠ intV ≠ ). R n , intR n tem-se II.10.50 Resolução i Supondo fC n1 R n C ∩ n1 f −1 R n n1 C ∩ f −1 R n . Verifica-se C C ∩ f −1 n1 intC ∩ f −1 R n ⊂ intf −1 R n ; como fintA é um aberto contido em fA A ⊂ E tem-se fintA ⊂ intfA e fintf −1 R n ⊂ intff −1 R n ⊂ intff −1 R n intR n , pela continuidade de f. Assim C é reunião contável de conjuntos raros i.e., se fC é de 1ª categoria então C é de 1ª categoria. ii Supondo int n1 F n ≠ , cada F n fechado em F, d ′ mostremos que F n então f −1 D n1 f −1 F n e cada intF n ≠ , certo n ∈ N. Se D n1 f −1 F n é fechado em E, d. Como f é sobrejectiva, existe um ponto x no conjunto f −1 F n ≠ ; Assim, sendo E f −1 intD ⊂ intf −1 D por II.8.23, e temos int n1 de Baire, existe certo n, intf −1 F n ≠ ; existem pois p ∈ f −1 F n e 0, B 0 p, ⊂ f −1 F n ; donde fp ∈ fB 0 p, ⊂ F n e, sendo fB 0 p, um subconjunto aberto de F n tem-se fp ∈ intF n e intF n ≠ c.q.d. II.10.51 Definição Um subconjunto A do espaço métrico E, d é um G se é uma intersecção contável de conjuntos abertos G n1 A n em E, d. Um conjunto W ⊂ E, d é um F se é uma reunião contável de conjuntos fechados. Assim A é um G se e só se A c é um F . II.10.52 Exercício i Mostre que dada um função f : R → R, o conjunto C dos pontos em que f é contínua é um G em R, d, d a métrica usual. (Sug: Sendo U n a reunião dos abertos U tais que diamfU 1/n, n 1, 2, . . . , verifique que C n1 U n . ii Prove que se D é um subconjunto contável denso de R, d ventão D não é um G . -141 W n (Sug: Se d ∈ D, então V d R\ d é um aberto denso; note que se D n1 onde cada W n é um aberto de R, então cada W n é denso). iii Conclua de i, ii que não existe nenhuma função real da variável real que seja contínua exactamente nos pontos de um subconjunto contável denso de R. II.10.53 Resolução i conclui-se de II.8.59 que f é contínua em a se e só se para cada N 1, 2, . . . existe um aberto U n,a tgal que a ∈ U n,a e diamfU n,a 1/n. Assim C n1 U n,a : a ∈ E n1 U n,a : a ∈ E n1 U n é um G . ii. Todo o intervalo aberto de R contém um ponto em R\d, para cada d fixo, d ∈ R, e assim cada R\d é um conjunto denso. Como R, d é de Baire (é um espaço métrico completo), a intrsecção contável dos abertos densos R\d d ∈ D é um conjunto denso i.e., D c é um conjunto denso. Se todos os abertos W n são densos, então por II.10.31, cada W cn é um fechado raro e, de novo sendo R, d de Baire, existe n ∈ N tal que intW cn ≠ . Então usando de novo II.10.31, W n não é um conjunto denso; concluindo-se uma contradição da hipótese D é um G . iii Com efeito, o conjunto dos pontos em que f é contínua é, por i, um G e portanto, por ii, não pode ser um subconjunto contável denso de R. II.10.54 Observação Conclui-se de II.10.52 ii que Q não é um G em R, d, d a métrica usual. Também Q q : q ∈ Q e assim Q é um F , donde R\Q é um G . II.10.55 Conclui-se de II.10.5 que a função Id R x x é um homeomorfismo entre y x R, d e R, onde d é a métrica usual e é a métrica x, y ∣ 1∣x∣ − 1∣y∣ ∣. R, d é completo e R, não é (a sucessão n é de Cauchy neste espaço, mas não é convergente). Assim a propriedade de um espaço métrico ser completo não é invariante por homeomorfismo i.e., dois espaçops métricos podem ser homeomorfos, mas um ser completo e outro não ser. II.10.49 mostra que se E, d é de Baire e existe um homeomorfismo de E, d sobre F, d ′ então F, d ′ é de Baire i.e., a propriedade de ser um espaço de Baire é invariante por homeomorfismo. Define-se que um espaço métrico é topologicamente completo se é homeomorfo a um espaço métrico completo. Como consequência do Teorema de Baire e de II.10.49, todo o espaço métrico topologicamente completo é um espaço de Baire. Além disso, se E é um espaço métrico completo, o subespaço métrico Y de E é topologicamente completo se e só se Y é um G em E. Assim, R\Q é topologicamente completo, munido da métrica induzida; e prova-se que Q não é topologicamente completo. Um desenvolvimento deste tema, que não cabe no âmbito deste livro, encontra-se em [Dugundji]; outra referência é [Lages Lima]. Recorde-se que um subconjunto B do espaço métrico E, d é limitado se o seu diâmetro é finito ou, equivalentemente, se está contido numa bola. Se X, d é um espaço métrico, designa-se CX, R o conjunto dase funções reais contínuas sobre X (em R, a métrica usual); Tem-se o -142II.10.56 Teorema (Principio da limitação uniforme) Sejam X um espaço métrico completo e F um subconjunto de CX, R verificando a condição de limitação em cada ponto a ∈ X de cada conjunto fa : f ∈ F ser limitado em R i.e., certo Ma 0 existe tal que ∣ fa ∣≤ Ma, ∀f ∈ F. Existem então pelo menos um aberto não vazio U de X e uma constante M 0 tais que ∣ fx ∣≤ M, ∀x ∈ U, ∀f ∈ F. Dem. Para cada c 0 e dada f ∈ F, o conjunto x ∈ X :∣ fx ∣≤ c f −1 −c, c é fechado. Então sendo M 0, o conjunto XM x ∈ X :∣ fx ∣≤ M, ∀f ∈ F x ∈ X :∣ fx ∣≤ M : f ∈ F é fechado, pois é uma intersecção de fechados. Por outro lado, pela hipótese, para cada ponto x ∈ X, certo M 0 existe tal que x ∈ XM i.e., tem-se X XM : M ∈ N. Como X é completo, é um espaço de Baire, logo sendo não vazio o interior daquel reunião contável de fechados, pelo menos um XM tem interior não vazio; então XM ⊃ U onde U é um aberto não vazio de X. Isto significa que para todo o x em U se tem ∣ fx ∣≤ M qualquer que seja a função f em F, c.q.d. II.10.57 Observação A teoria dos espaços de Baire abrange não só os espaços métricos, mas também estruturas mais gerais num conjunto não vazio, as estruturas topológicas, de que a topologia de um espaço métrico é um caso particular. Estas estruturas, as topologias, são fundamentais em Análise. No quadro dos espaços métricos, otêm-se utilizando os espaços de Baire, de que os espaços métricos de Baire são um caso particular, resultados em Análise. Por exemplo, na Análise Real, obtem-se II.10.52. Se g : N → Q é uma bijecção, x n gn, a função f : R → R definida por fx n 1/n x n ∈ Q e fx 0 x ∈ R\Q é contínua em cada número irracional, e descontínua em cada número racional, contrastando com II.10.52 iii. II.10.58. Exercício Verifique a propriedade da função dada na observação anterior. II.10.59 Resolução Se x n ∈ Q então fx n 1/n ≠ 0. Mas também x n ∈ R\Q, existe um sucessão de pontos irracionais p m → m→ x n ; a sucessão fp m 0 → m→ 0 ≠ fx n e f não é contínua em x n (recorde II.8.12). Se p ∈ R\Q e p k é uma sucessão real convergente para p, então ou p k tem uma subsucessão p kj em Q ou tem uma subsucessão p k ′ j em R\Q; vem que fp kj 1/kj j→ → 0 e também a subsucessão fp k ′ j constante e igual a 0, converge para 0. Pelo Teorema II.2.24 tem-se fp k → 0 fp, f é contínua em p. -143II.11 SEPARAÇÃO EM ESPAÇOS MÉTRICOS II.11.1 Vimos já que dois pontos diferentes num espaço métrico E podem ser ”separados” por conjuntos abertos i.e., se a ≠ b existem abertos disjuntos V, W tais que a ∈ V, b ∈ W (por exemplo V B 0 a, r, W B 0 b, r, onde r d/2, d da, b verificam B 0 a, r, B 0 b, r são abertos, a ∈ B 0 a, r, b ∈ B 0 b, r, B 0 a, r ∩ B 0 b, r ). Esta é a propriedade de separação de Hausdorff (II.5.7). Também se F ⊂ E, F é fechado e p ∉ F, existem abertos disjuntos U, V tais que p ∈ V, F ⊂ U. Esta é um propriedade de separação acrescida, pois sendo cada conjunto reduzido a um ponto um fechado, a propriedade de Hausdorff é o caso particular a p, b F. Tem-se ainda o II.11.2 Teorema Sejam A, B suconjuntos fechados do espaço métrico E, d tais que A ∩ B . Existem então abertos U, V tais que A ⊂ U, B ⊂ V e U ∩ V . II.11.3 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração do Teorema II.11.2. 1. Se A ou B os abertos disjuntos , X estão nas condições do enunciado. Suponhamos pois A, B ≠ . 2. Seja a ∈ A. Então a ∉ B e da, B infda, y : y ∈ B a 0. 3. Se b ∈ B tem-se db, A infdb, x : x ∈ A b 0. 4. Com S a B 0 a, a/3 e S b B 0 b, b/3, os conjuntos U S a : a ∈ A e V S b : b ∈ B satisfazem as condiçõe do teorema, uma vez que: i U, V são abertos, A ⊂ U, B ⊂ V; ii para provar que U ∩ V admitamos, com vista a um absurdo, que existe p ∈ U ∩ V; então: U ∩ V S a ∩ S b : a ∈ A, b ∈ B; existem a0 ∈ A, b0 ∈ B tais que p ∈ S a0 e p ∈ S b0 ; se da0, b0 0 tem-se da0, B a0 ≤ e dA, b0 b0 ≤ ; da0, p a0 /3 e dp, b0 b0 /3; da0, b0 ≤ da0, p dp, b0 2/3 concluindo-se uma contradição com e o teorema está provado, c.q.d. II.11.4 Resolução 1. Pois todo o conjunto é subconjunto do aberto X, ∩ X . 2. Pois se infda, y : y ∈ B 0 então para cada n ∈ N existe y n ∈ B tal que 0 ≤ da, y n 1/n → 0, donde a lim y n ∈ B contra a hipótese A ∩ B . 3. Analogamente a 2., com A no lugar de B. -1444. i pois a reunião de abertos é um aberto e se a ∈ A então a ∈ S a ⊂ U; analogamente para B ⊂ V; ii S a : a ∈ A ∩ S b : b ∈ B S a ∩ S b : a ∈ A, b ∈ B; pela hipótese de absurdo p ∈ U ∩ V e usando ; pois se S ⊂ 0, então inf S ≤ s para cada s ∈ S; por e pela definição de S a ; usando , e a desigualdade triangular D3. Concluido-se uma contradição fica provado que U ∩ V c.q.d. II.11.5 Observação Se A, B são subconjuntos fechados de E, d tais que dA, B infda, b : a ∈ A, b ∈ B 0 então A ∩ B , mas a recíproca não é válida. Por exemplo os subconjuntos A x, y : x 0, y ≥ x 2 e B x, y : x 0, y ≥ x 2 de R 2 , d e , d e x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 − x 2 2 y 1 − y 2 2 são fechados e disjuntos, mas dA, B 0 (esboce o gráfico). II.12 COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS II.12.1 Definição Seja E ≠ . Se A ⊂ E, uma classe C O i : i ∈ I diz-se uma cobertura de A se A ⊂ O i : i ∈ I; diz-se também que C cobre o conjunto A. A cobertura C diz-se finita se é constituída por um número finito de conjuntos O i i.e., I 1, . . . , n, n ∈ N. Uma subcobertura da cobertura C é uma parte de C que ainda cobre A ou seja, é uma classe C ′ O i : i ∈ J onde J ⊂ I, tal que A ⊂ O i : i ∈ J e diz-se então que a cobertura C é redutível à subcobertura C ′ , ou que pode extrair-se de C a subcobertura C ′ de A. Se E, d é um espaço métrico, a cobertura C O i : i ∈ I de A diz-se que é uma cobertura aberta de A se cada conjunto O i é um aberto. E diz-se que o conjunto A é compacto em E, d se tem a propriedade de toda a cobertura aberta de A ser redutível a uma subcobertura finita; se A E dizemos que o espaço métrico E, d é compacto.. II.12.2 Exemplos (1) Todo o subconjunto finito A a 1 , . . . , a m do espaço métrico E, d é compacto; pois se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de A, A ⊂ O i : i ∈ I então existem O i1 , . . . , O im , i1, . . . , im ∈ I tais que a 1 ∈ O i1 , . . . , a m ∈ O im ; donde pode extrair-se de C a subcobertura finita C ′ O ik : 1 ≤ k ≤ m de A. (2) R, d, d a métrica usual, não é compacto: pois C −n, n : n ∈ N é uma cobertura aberta de R da qual não pode extrair-se nenhuma subcobertura finita. (3) Veremos que cada intervalo fechado a, b do espaço métrico R, d, d a métrica usual, é compacto. II.12.3 Propriedade Se a ≤ b, a, b ∈ R, o intervalo a, b é compacto em R, d, d a métrica usual. -145II.12.4 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração da propriedade: 1. Se a b a propriedade é verdadeira. Suponhamos pois a b e seja C O i : i ∈ I uma cobertura aberta de a, b. Admitamos, com vista a um absurdo, que não pode extrair-se de C uma subcobertura finita. 2. Sendo c o ponto médio de a, b, um dos subintervalos a, c ou c, b é tal que nehuma classe finita formada por abertos O i cobre o subintervalo; designemos este subintervalo por a 1 , b 1 ; 3. existe um subintervalo a 2 , b 2 de a 1 , b 1 , onde a 2 ou b 2 é o ponto médio de a 1 , b 1 , tal que nenhuma classe finita dos abertos O i cobre a 2 , b 2 . Tem-se b 1 − a 1 b − a/2, b 2 − a 2 b − a/2 2 ; 4. para cada n 1, 2, . . . existe um subintervalo a n , b n de a, b tal que nenhuma classe finita dos abertos O i cobre a n , b n e b n − a n b − a/2 n . 5. A sucessão crescente a n tem um limite , e a sucessão decrescente b n tem um limite ; 6. tem-se − ≤ b n − a n para cada n e . 7. Certo aberto O i contém ; e existe um intervalo aberto a ′ , b ′ ⊂ O i tal que ∈ a ′ , b ′ ; 8. existe n ∈ N tal que a n , b n ⊂ O i . 9. fica provada a propriedade, c. q. d. II.12.5 Resolução 1. Pois se a b então a, b a, conjunto finito como em II.12.2 (1). 2. Porque se a, c ⊂ O ik . 1 ≤ k ≤ m e c, b ⊂ O ik . m 1 ≤ k ≤ n então a, b ⊂ O i1 . . . O in contrariamente à hipótese de absurdo em 1. 3. justificação como em 2.; e porque b 2 − a 2 b 1 − a 1 /2 b − a/2 2 4. conclui-se por indução: pois uma vez obtido a n , b n com b n − a n b − a/2 n , o raciocínio em 2., 3. permite obter a n1 , b n1 com b n1 − a n1 b − a/2 n1 . 5. Pois ambas a n , b n são monótonas limitadas e usando o teorema do limite da sucessão monótona da Análise real a n ≤ b, a ≤ b n ; 6. porque lim a n ∈ a n , b n e lim b n ∈ a n , b n para cada n; donde 0 ≤ − ≤ b b − a n ≤ b − a/2 n → 0. 7. Pois os abertos O i cobrem a, b, ∈ a, b e O i é um aberto de R, d; 8. pois ′ b ′ . É a ′ supa n : n ∈ N donde existe n1, a ′ a n para todo o n ≥ n1; e infb n : n ∈ N donde existe n2 tal que b n b ′ desde que n ≥ n2. Basta considerar n maxn1, n2 para obter a n , b n ⊂ a ′ , b ′ ⊂ O i . 9. Porque 8. contradiz 4., segundo o qual nenhuma classe finita dos O i cobre a n , b n , já que se oibteve que basta um O i para cobrir certo a n , b n . II.12.6 Observação Se a, b ∈ R, a b, o intervalo a, b não é compacto em R munido b−a a b−a da métrica usual. Com efeito tem-ae a, b n1 n , b − n , mas da cobertura b−a aberta a b−a n , b − n não pode extrair-se nenhuma cobertura finita de a, b. a, b ⊂ n1 a − 1, b − b−a n não é também compacto, e analogamente para a, b. -146II.12.7 Observação Se E, d é um espaço métrico, A ⊂ E e O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de A então A ∩ O i : i ∈ I é uma cobertura de A constituída por abertos de A, d, onde d representa agora a métrica induzida. Pela Definição II.12.1 vê-se que A é compacto em E, d se e só se o subespaço métrico A, d é compacto. II.12.8 Exercício Prove que se a n é uma sucessão convergente em E, d, lim a n a então o conjunto S a, a n : n ∈ N é compacto em E, d. II.12.9 Resolução Se O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de S, existe certo i0 ∈ I tal que a ∈ O i0 ; existe então certa ordem p tal que a n ∈ O i0 desee que n ≥ p. Existem p O ik . abertos O ik 1 ≤ k ≤ p tais que a ik ∈ O ik 1 ≤ k ≤ p e tem-se então S ⊂ k0 Pode assim extrair-se de cada cobertura aberta de S uma subcobertura finita, e S é compacto, como queríamos. II.12.10 Exercício Mostre que se A 1 , . . . , A n ⊂ E e os A j são compactos em E, d 1 ≤ j ≤ n então A A 1 . . . A n é compacto em E, d. II.12.12 Resolução Seja C O i : i ∈ I uma cobertura aberta de A. Então C j O i ∩ A j : i ∈ I é uma cobertura aberta do subespaço métrico A j munido da métrica induzida 1 ≤ j ≤ n. Como cada A j , d é um espaço métrico compacto (II.12.7), existe para cada j uma subcobertura finita O i ∩ A j : i ∈ I j de C j de A j , com I j ⊂ I, I j finito. De A j ⊂ O i : i ∈ I j para cada j 1, . . . , n conclui-se A A 1 . . . A n ⊂ O i : i ∈ L I j : 1 ≤ j ≤ n. Assim pode extrair-se da cobertura aberta C de A a subcobertura finita C ′ O i : i ∈ L, o que significa que A é compacto, c.q.d. II.12.13 Observação Considerando a recta acabada R −, , onde se convenciona y x − 1∣y∣ ∣ x, y ∈ R, − x x ∈ R, munida da métrica dx, y ∣ 1∣x∣ a a d−, y dx, − ∣ −1 − 1∣a∣ ∣ a x, y ∈ R, dx, d, y ∣ 1 − 1∣a∣ ∣ a x, y ∈ R e d−, d, − 2, o espaço métrico R, d é ccompacto. Com x efeito, tem-se, para 0 r 1, B 0 −, r x ∈ R :∣ 1 1∣x∣ ∣ r −, 1 − 1r . Assim um conjunto A tal que − ∈ A é aberto se e só se existe certo r 0, A ⊃ −, 1 − 1r Também se 0 s 1, x B 0 , s x ∈ R :∣ 1 − 1∣x∣ ∣ s 1s − 1, ; um conjunto B tal que ∈ B é aberto se e só se existe s 0, B ⊃ 1s − 1, . Se x n é uma sucessão real tal que xn x x n → x ∈ R (considerando a métrica usual em R) então 1∣x → 1∣x∣ ; e se n∣ xn x → 1∣x∣ , x ∈ R, então x n não tem nenhuma subsucessão tendente para i.e., 1∣x n ∣ x n é4 limitada, donde tem pelo menos uma subsucessão convergente para certo a ∈ R, xn a vindo 1∣x → 1∣a∣ donde a x, x n → x na métrica usual de R (verifique os detalhes). n∣ Deste modo a métrica d é equivalente à métrica usual dx, y ∣ x − y ∣ em R. Portanto se O ⊂ R então O é aberto em R, d se e só se O é aberto em R, d. -147Vem que se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta de R no espaço métrico R, d então: a certo O i− pertence −, existe r 0, −, 1 − 1r ⊂ O i− ; existirão analogamente s 0 e certo O i ⊃ 1s − 1, , e o compacto 1 − 2r , 1s − 2 ⊂ O i \−, : i ∈ I, onde cada O i \−, é um aberto de R (porquê?). Pelo que existe J ⊂ I, J finito, 1 − 2r , 1s − 2 ⊂ O i : i ∈ J concluindo-se R ⊂ O i− O i O i : i ∈ J e a cobertura C é redutível a uma subcobertura finita, R, d é um espaço métrico compacto. II.12.14 Teorema O espaço métrico E, d é compacto se e só se cada classe de fechados F i : i ∈ I tal que F i : i ∈ I verifica que existe uma subclasse finita F i : i ∈ J, J ⊂ I finito, tal que F i : i ∈ J . II.12.15 Exercício Prove o teorema acima (Sug: passagem ao complementar e leis de De Morgan). II.12.16 Resolução E, d compacto sse ∀O i : i ∈ I cobertura aberta de E, ∃J ⊂ I, J finito, E ⊂ O i : i ∈ J sse ∀F i O ci classe de fechados F i tal que F i : i ∈ I F ci : i ∈ I c O i : i ∈ I c O i : i ∈ I E, cada O i aberto, ∃J ⊂ I, J finito, O i : i ∈ J E sse ∀F i : i ∈ I classe de fechados tal que F i : i ∈ I , ∃J ⊂ I, J finito, F i : i ∈ J F ci : i ∈ J c O i : i ∈ J c E c c.q.d. II.12.17 Corolário Se E, d é um espaço métrico compacto e F 1 , F 2 , . . . , F n , . . . é uma sucessão de subconjuntos fechados não vazios de E tal que F n ⊃ F n1 n ∈ N então F n ≠ . n1 II.12.18 Exercício Prove o corolário anterior. II.12.19 Resolução Atendendo a II.12.14 tem-se: se E, d é compacto, é verdadeira a implicação F i : i ∈ I classe de fechados e F i : i ∈ I ∃J ⊂ I, J finito,F i : i ∈ J . Uma implicação tendo o mesmo valor lógico que a contra-recíproca tem-se na hipótese E, d compacto que dada a classe de fechados F n : n ∈ N verificando F n ⊃ F n1 n 1, 2, . . . e cada F n ≠ que cada intersecção finita F n : n ∈ J F nk ≠ , J ⊂ N, J n1, . . . , nk n1 . . . nk implica F n : n ∈ N ≠ como se queria. II.12.20 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico E, d é fechado em E, d. -148II.12.21 Exercício Justificando as passagens seguintes obtenha uma demonstração do teorema: 1. O teorema ficará provado se provarmos que C c é um aberto. 2. Seja p ∈ C c ; se x ∈ C existem abertos disjuntos O x , O ′x tais que x ∈ O x , a ∈ O ′x ; 3. considerando abertos O x , O ′x para cada x ∈ C como em 2., tem-se C ⊂ O x : x ∈ C e existe um número finito de pontos x1, . . . xm ∈ C tal que m O xk ; C ⊂ k1 m ′ O xk é aberto e O ⊂ C c ; 4. O k1 5. pode concluir-se o teorema. II.12.22 Resolução 1. Pois um conjunto é fechado se e só se o seu complementar é aberto. 2. Pois todo o espaço métrico verifica a propriedade de separação de Hausdorff; pois ∀x ∈ C, x ∈ O x ⊂ C C ⊂ O x : x ∈ C e sendo C compacto, pode extrair-se da cobertura aberta O x : x ∈ C uma subcobertura finita; 4. porque uma intersecção finita de ′ abertos é aberto, cada O xk é aberto por 2; assim O é aberto, e tem-se m m m m m ′ O ∩ C ⊂ O ∩ k1 O xk k1 O ∩ O xk k1 k1 O xk ∩ O xk k1 c e assim O ∩ C ; 5. pois provámos que dado um ponto arbitrário p ∈ C existe, atendendo a 2. e 4., um aberto O tal que p ∈ O ⊂ C c i.e., concluimos 1., c.q.d. II.12.23 Teorema Se o espaço métrico E, d é compacto e F é um subconjunto fechado de E, então F é compacto. II.12.24 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do Teorema II.12.23: 1. Seja F i : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de F tal que F i : i ∈ I . Então cada F i é fechado em E, d; 2. existe um subconjunto finito J do conjunto dos índices I tal que F i : i ∈ J e pode concluir-se o teorema. II.12.25 Resolução 1. Pois F é por hipótese fechado em E, d; 2. pois pela hipótese E, d é compacto, e utilizando II.12.14. O resultado conclui-se atendendendo ao Teorema II.12.14 c.q.d. II.12.26 Observação Se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d que não tem nenhuma subsucessão convergente segue-se de II.5.54 (4) que o conjunto derivado do conjunto dos termos x n : n 1, 2, . . . é . Uma vez que toda a subsucessão de cada sucessão x k , x k1 , x k2 , . . . (k fixo) é uma subsucessão de x n , também, para cada k fixo, o conjunto derivado de x k , x k1 , x k2 , . . . é o conjunto vazio. Atendendo a II.5.53 (8) e II.5.38 (2), conclui-se que os conjuntos x 1 , x 2 , x 3 , . . . e x k1 , x k2 , x k3 , . . . são fechados k ∈ N. -149II.12.27 Teorema As seguintes propriedades de um espaço métrico E, d são equivalentes: A Toda a sucessão x n em E tem uma subsucessão convergente; B se F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . . é uma sucessão decrescente de conjuntos fechados não vazios, então n1 F n ≠ . Dem. A B Consideremos uma sucessão x n F n : n 1, 2, . . . onde é o selector de Zermelo, x n ∈ F n n ∈ N. Uma subsucessão x nk → x, x ∈ E. Para cada k 1, 2, . . . tem-se x nk ∈ F n , ∀n ≥ k, donde x ∈ F k F k para todo o k (recordar que F n e verifica-se B; B A pode provar-se pela nk ≥ k, donde x ∈ n1 contra-recíproca: se existe uma sucessão x n em E que não tem nenhuma subsucessão convergente, então conclui-se que considerando F n x n1 , x n2 , . . . obtemos uma sucessão decrescente de conjuntos fechados e não vazios tal que n1 F n . Pois se um ponto y ∈ n1 F n então vem: dado k 1, existe n1 ∈ N tal que x n1 ∈ F 1 e x 1 ∈ B 0 y, 1/1 (Porquê?); do mesmo modo, existe x n2 ∈ F 2 tal que n2 n1, x n2 ∈ B 0 y, 1/2 e para cada k 1, 2, . . . , certo x nk ∈ F k verifica x nk ∈ B 0 y, 1/k, podendo considerar-se n1 n2 . . . nk nk 1 e isto significa que a subsucessão x nk → y c.q.d. II.12.28 Teorema Todo o espaço métrico E, d verificando a condição A (equivalentemente, B) no Teorema II.12.26 é separável Dem. Para cada n ∈ N, toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado C n C ⊂ E : ∀x, y ∈ C, dx, y ≥ 1/n, ⊂ tem o majorante C : C ∈ C n ; aplicando o Lema de Zorn, existe um elemento maximal T n ∈ C n n 1, 2, . . . . Cada tal conjunto T n é finito; pois se existe um conjunto infinito x i : i ∈ N ⊂ T n (recorde que todo o conjunto infinito contèm um conjunto numerável) então a sucessão x i não tem nenhuma subsucessão de Cauchy, e portanto não tem nenhuma subsucessão convergente, contrariando a hipótese A. Além disso, para cada x ∈ E, tem-se que existe certo n sendo dx, T n infdx, y : y ∈ T n 1/n (se dx, T n ≥ 1/n, ∀n ∈ N então: ∀x 1 ∈ T 1 , dx, x 1 ≥ 1, logo x ∈ T 1 pois T 1 é maximal em C 1 obtendo-se a contradição dx, T 1 0 ≥ 1). O conjunto T n1 T n é contável (finito ou numerável) e é denso em E. Pois para cada x ∈ E tem-se dx, T ≤ dx, T n 1/n, ∀n ∈ N, e existe uma sucessão x n em T, x n ∈ T n , dx, x n → 0 e x n → x c.q.d. II.12.29 Corolário Se no espaço métrico E toda a sucessão tem uma subsucessão convergente, então cada cobertura aberta C : ∈ A de E tem uma subcobertura contável C n : n ∈ N. Dem. Conclui-se do Teorema II.12.28, utilizando o Teorema II.7.12. II.12.30 Propriedade O espaço métrico E, d é compacto se e só se cada sucessão em E tem pelo menos uma subsucessão convergente. II.12.31 Exercício Prove a Propriedade II.12.30. (Sug: para a condição necessária utilize II.12.27 e II.12.17). -150II.12.32 Resolução Supondo E, d compacto, seja F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃. . . uma sucessão de fechados não vazios como no Teorema II.12.27. Utilizando o Corolário II.12.17 tem-se n1 F n ≠ e conclui-se que E, d tem a propriedade A do Teorema II.12.27. Reciprocamente, suponhamos que E, d tem esta propriedade, e seja O i : i ∈ I uma cobertura aberta de E. Pelo Teorema II.12.28 e Teorema II.7.12, existe uma subcobertura contável O ik : k 1, 2, . . . de E, n O ik ; então também A n : n ∈ N, onde A n k1 O ik é uma cobertura E k1 aberta de E, tal que A 1 ⊂ A 2 ⊂. . . ⊂ A n ⊂ A n1 ⊂. . . . Significa isto que a intersecção da classe decrescente de fechados F n A cn é n1 F n n1 A n c . Portanto, pelo n O ik E i.e. E, d é Corolário II.12.17, certo F n A cn , e concluimos que A n k1 compacto, c.q.d. II.12.33 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico compacto E, d é limitado e fechado. II.12.34 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha demonstrações de II.12.33. 1. Seja C compacto. Supondo para um absurdo que C não é limitado, se p x 1 é um ponto de C, existe um ponto x 2 ∈ C tal que dp, x 2 ≥ 1; 2. existe um ponto x 3 ∈ C verificando dx 2 , x 3 ≥ dp, x 2 1; 3. obtidos pontos x 2 , x 3 , . . . , x n ∈ C com dx k , x k1 ≥ dx k−1 , x k 1 para 2 ≤ k ≤ n − 1, existe um ponto x n1 ∈ C tal que dx n , x n1 ≥ dx n−1 , x n 1; assim existe uma sucessão x n em C tal que dx n , x n1 ≥ 1, ∀n ∈ N; 4. a sucessão x n não tem nehuma subsucessão convergente, e fica provado que C é um conjunto limitado. 5. Pode concluir-se o teorema II.12.33. II.12.35 Teorema Se C é um subconjunto compacto do espaço métrico E, d E e f : C ⊂ E, d E → F, d F é uma função contínua, então fC é compacto em F, d F . II.12.36 Exercício Demonstre o Teorema II.12.35. (Sug: Pode utilizar a Propriedade II.12.30). II.12.37 Resolução. Sendo y n uma sucessão em fC, é y n fx n , onde x n é uma sucessão em C; como existe uma subsucessão x nk → x ∈ C, pois C é compacto, e usando a Propriedade II.12.30. Como f é contínua, tem-se fx nk → fx ∈ fC em F, d F ou seja, no subespaço métrico fC, d F e aplicando de novo II.12.30, concluimos que fC é compacto c.q.d. -151II.12.38 Proposição Se C ⊂ E, d é um subconjunto compacto e a função f : C ⊂ E, d → R, d R , onde d R é a métrica usual, é uma função contínua então f tem um máximo e um mínimo em C. II.12.39 Exercício Prove a Proposição II.12.38. II.12.40 Resolução Atendendo ao Teorema II.12.35, o conjunto fC é compacto em R, d R e portanto, usando o Teorema II.12.33, é fechado e limitado; assim m inf fC e M sup fC são números reais. Tem-se m lim fa n , M lim fb n , a n , b n ∈ C. Como C é compacto, existem subsucessões a nk → a ∈ C e b nk → b ∈ C e pela continuidade de f vem fa nk → fa m, fb nk → fb M (comprove). Assim a é o mínimo de f em C e b é o máximo de f em C c.q.d. II.12.41 Se f : E, d E → F, d F é contínua e E é compacto, então f é uniformemente contínua. II.12.42 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do Teorema II.12.41: 1. Suponhamos f contínua, E compacto e, com vista a um absurdo que se tem ~∀ 0, ∃ 0 : d E x, y d F fx, fy , ∀x, y ∈ E. 2. existe certo 0 tal que duas sucessões de pontos x n , y n em E verificam d E x n , y n → 0 e d F fx n , fy n ≥ ; 3. existe uma subsucessão convergente x nk → x em E, d E ; 4. tem-se y nk → x em E, d E ; 5. fx nk → fx e fy nk → fx; 6. d F fx nk , fy nk → 0, ficando provado o Teorema II.12.43 Resolução 1. É a negação da condição f uniformemente contínua. 2. Pois da negação indicada em 1. conclui-se ∀n ∈ N, ∃x n , y n ∈ E, d E x n , y n 1/n ∧ d F fx n , fy n ≥ , certo 0; 3. pois E é compacto, e usando II.12.30; 4. porque d F y nk , x ≤ d F x nk , y nk d F x nk , x → 0; 5. porque f é por hipótese contínua; 6. pois d F fx nk , fy nk ≤ d F fx nk , fx d F fy nk , fx e ambas as parcelas tendem para 0; portanto um 0 como em 2. não pode existir, obtendo-se uma contradição, c.q.d. II.12.44 Teorema Todo o espaço métrico compacto é completo. -152II.12.45 Exercício Demonstre o Teorema II.12.44 II.12.46 Resolução Pelo Teorema II.10.10, basta provar que se E, d é compacto e F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . . é uma sucessão de subconjuntos fechados não vazios de E, d tal que diamF n → 0, então n1 F n ≠ . Pelo Corolário II.12.17, esta condição é verificada, concluindo-se que E, d é completo, c.q.d. II.12.47 Observação Existem espaços métricos completos não compactos; por exemplo R, d, onde d é a métrica usual, é completo mas não é compacto (R não é limitado em R, d, e Teorema II.12.33). Como as métricas d e min1, d são equivalentes em R, o espaço métrico limitado R, min1, d também não é compacto (é homeomorfo a R, d, recorde-se o Teorema II.12.35). II.12.48 Observação A propriedade de compacidade permite obter critérios de não continuidade de uma função entre espaços métricos. Por exemplo, não exite nenhuma função contínua f de R, d R em si mesmo tal que f0, 2 1, , pois a imagem do compacto 0, 1 teria de ser um conjunto compacto, donde limitado. II.12.49 Definição Se C O i : i ∈ I é uma cobertura aberta do espaço métrico E, d, diz-se que o número positivo é um número de Lebesgue para C se todo o subconjunto A de M tal que diamA está inteiramente contido em pelo menos um dos abertos O i . II.12.50 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico compacto tem um número de Lebesgue. Dem. Para obter uma demonstração por absurdo, suponhamos que existe uma cobertura aberta O i : i ∈ I de E tal que qualquer que seja 0, existe certo subconjunto A de E, diamA , tal que A ⊈ O i se i ∈ I. Então para cada n ∈ N existe A n ⊂ E, diamA n 1/n, tal que A ⊈ O i , qualquer que seja i ∈ I. Sendo x n ∈ A n para cada n, a sucessão x n tem uma subsucessão convergente x nk → x; certo O i verifica x ∈ O i , e existe r 0 tal que B 0 x, 2r ⊂ O i (Porquê?). Para k suficientemente grande, tem-se 1/nk r e dx nk , x r (Verifique). Então para cada a ∈ A nk verifica-se dx, a ≤ dx, x nk dx nk , a 2r, e assim A ⊂ B 0 x, 2r ⊂ O i , uma contradição. O teorema está demonstrado. -153II.12.51 Exercício Prove que se E, d é um espaço métrico compacto, então para cada m 0 existe um conjunto finito x 1 , . . . , x m de pontos de E tal que E k1 B 0 x k , . II.12.52 Resolução. Com efeito a cobertura aberta B 0 x, : x ∈ E de E é redutível a uma subcobertura finita. II.12.53 Teorema (Tikhonov) Seja I ⊂ N e seja E n∈I E i .o espaço métrico produto dos espaços métricos E n n ∈ I. Se cada espaço factor E i é compacto, então E é compacto. Dem. Consideremos primeiro o caso I finito, I 1, . . . , m, m ∈ N. Sem perda de generalidade, suponhamos por exemplo m 3. Seja a sucessão u x i,n 3i1 em E E 1 E 2 E 3 , cada E i compacto. Se x i,nk 3i1 é uma subsucessão de u convergente para a 1 , a 2 , a 3 ∈ E, notamos x i,nk 3i1 → k a 1 , a 2 , a 3 ; para uma subsucessão coordenada, i 1 por exemplo, notamos então x 1,nk → k a 1 limx 1,nk . Provemos que existe uma subsucessão convergente de u. Dada u, existe (II.12.30) uma subsucessão u 1 x i,n,1k 3i1 x i,n,1k 3i1 de u tal que pr 1 ou 1 x 1,n,1k → k a 1 , a 1 ∈ E 1 . Por sua vez, u 1 x i,n,1k 3i1 tem uma subsucessão u 2 x i,n.2on,1k 3i1 x i,n,2k 3i1 tal que pr 2 ou 2 x 2,n,2k → a 2 ∈ E 2 ; aqui, k n, 1k n, 1k, k ′ n, 2k ′ são estritamente crescentes de N em N, e portanto k n, 2on, 1k ≡ k n, 2k é também estritamente crescente de N em N. A sucessão u 2 é então tal que pr 1 ou 2 → a 1 e pr 2 ou 2 → a 2 ; u 2 é uma subsucessão de u. Analogamente, existe uma subsucessão u 3 x i,k,3ok,2k 3i1 x ik,3k 3i1 de u 2 (e, portanto, de u, k, 3 k, 3ok, 2) tal que pr 3 ou 3 x 3,k,3k → a 3 ∈ E 3 . Fica assim provado que existe uma subsucessão convergente u 3 → a 1 , a 2 , a 3 de u e, usando II.12.30, E é compacto. Consideremos agora o caso I N. Seja E i1 E i , cada E i compacto, e seja u x i,n i1 uma sucessão em E. Como no caso finito, existe uma subsucessão u 1 x i,n,1k i1 x i,n,1k i1 de u em E tal que pr 1 ou 1 x 1,n,1k → k a 1 ∈ E 1 . Relativamente à segunda coordenada, existe uma subsucessão u 2 x i,n,2on,1k i1 x i,n,2k i1 de u 1 (e, portanto, de u) tal que x 2,n,2k → k a 2 ∈ E 2 . Então pr 1 ou 2 → a 1 , pr 2 ou 2 → a 2 . Prosseguindo o raciocínio existe, para k 1, 2, . . . , k, até uma subsucessão u k de u tal que pr k ou k → a k ∈ E k . Consideremos a função n u n n n1 x n,n,nn n1 de N em E. Temos n 1, n 1n 1 n 1, n 1n (a aplicação n 1, n 1 é a composição das aplicações estritamente crescentes n 1, n 1on, no. . . o2, 2o1, 1); também 2, 2o1, 11 ≥ 1, 11 pois 2, 2 : N → N é estritamente crescente (se k n k é estritamente crescente então n k ≥ k). Prosseguindo, obtemos n 1, n 1on, no. . . o2, 2o1, 1n ≥ n, no. . . o2, 2o1, 1n e portanto temos n 1, n 1n 1 n 1, n 1n ≥ n, nn. Assim n n, nn é estritamente crescente, e u n n n1 é uma subsucessão de u, pois cadaer tmo x n,n,nn n1 de n u n n n1 tem por coordenadas x 1,1,11 ∈ x 1,n : n 1, 2, . . . , x 2,2,2̄ 2 ∈ x 2,n : n 1, 2, . . . , etc. Tem-se na coordenada n ∈ N que pr n ou n n → n a n por construção e a sucessão u n n x n,n,n n n1 tem como subsucessão u n n x n,n,nn n1 .Revendo II.9.4 e II.9.19, tem-se u n n n1 → n a n n1 ∈ E e E é compacto, atendendo a II.12.30 c.q.d. -154II.12.54 Exercício Mostre que o produto contável de espaços métricos é um espaço métrico compactos e e só se cada espaço factor é compacto. II.12.55 Resolução Se cada E i é compacto então i∈I E i é compacto, pelo Teorema II.12.53; reciprocamente, se E i∈I E i é compacto, i ∈ I, E i pr i E é compacto por II.12.35. II.13 CONJUNTOS CONEXOS EM ESPAÇOS MÉTRICOS II.13.1 Observação Se A, B ⊂ X, d, d a métrica usual, A ∩ B então A ∩ B A ∩ B ′ . Com efeito, verifica-se B ′ ⊂ B e assim A ∩ B ′ ⊂ A ∩ B. Tem-se: se p ∈ A ∩ B então dada cada vizinhança V de p, V ∩ B ≠ ; mas p ∉ B, donde V ∩ B V ∩ B\p V\p ∩ B ≠ e assim p ∈ B ′ , logo A ∩ B ⊂ A ∩ B ′ . Um espaço métrico é separado no sentido de Hausdorff i.e., dados dois pontos diferentes, estes são ”separados” por abertos disjuntos. Considerando os conjuntos A 0, 1, B 1, 2 ⊂ R, d, é natural dizer-se que estes conjuntos são ”separados”, pois ”percorrendo um destes conjuntos nunca se encontra o outro”; enquanto já a sucessão 1 − 1n em A ”atinge no limite o ponto 1 ∈ 1, 2 C”, e podemos precisar esta diferença pela seguinte II.13.2 Definição Dois subconjutos A, B do espaço métrico X, d são separados se A ∩ B e nehum dos conjuntos contém um ponto de acumulação do outro i.e., se além disso A ∩ B e A ∩ B . II.13.3 Exemplos (1) Os subconjuntos 0, 1 e 1, 2 deR, d são separados, enquanto 0, 1 e 1, 2 não são separados. (2) Os subconjuntos A 0, y : 0 ≤ y ≤ 1 e B x, sin 1x : 0 x ≤ 1 de R 2 , d e , d e a métrica euclideana, não são separados; pois 0, 1 ∈ A ∩ B, já que a sucessão 1/2n /2, 1 → n→ 0, 1 ∈ A, 1/2n /2, 1 ∈ B (esboçar o gráfico). II.13.4 Definição Um subconjunto C do espaço métrico X, d diz-se disconexo (em X, d) se existem abertos G, H tais que C ∩ G e C ∩ H são dois conjuntos disjuntos não vazios cuja reunião é C i.e., portanto, G, H abertos, C ∩ G ≠ , C ∩ H ≠ , C ∩ G ∩ H e C C ∩ G C ∩ H; diz-se neste caso que G H é uma disconexão de C (em X, d). E C diz-se um conjunto conexo (em X, d) se e só se não é disconexo em X, d. O espaço métrico X, d diz-se conexo se X é conexo em X, d. -155II.13.5 Observação Vemos pela definição que se ≠ C ⊂ X, d, é o mesmo dizer que C é conexo em X, d ou que o subespaço métrico C, d é um espaço métrico conexo. II.13.6 Exemplos (1) O subconjunto C 0, 1 1, 2 é disconexo em R, d, d a métrica usual; (2) R, d, d a métrica usual, é um espaço métrico conexo; veremos adiante que todo o intervalo de R é conexo em R, d; (3) Dado um conjunto C ⊂ X, d i com mais de um ponto, d i a métrica discreta, C é disconexo em X, d i ; (4) Em qualquer espaço métrico X, d, se p ∈ X então p é um conjunto conexo. II.13.7 Exercício Verifique o Exemplo II.13.6 (3). II.13.8 Com efeito, se C contém algum ponto além do ponto p, então p e C\p são dois abertos não vazios em X, d i cuja reunião é C. II.13.9 Teorema O espaço métrico X, d é conexo se e só se verifica qualquer das propriedades equivalentes: i Não existem dois fechados não vazios e disjuntos F 1 , F 2 tais que X F 1 F 2 ; ii os únicos subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados são e X. II.13.10 Exercício Demonstre o teorema anterior. II.13.11 Resolução X, d conexo se e só se não existem abertos G, H ≠ , G ∩ H e X G H sse não existem fechados F 1 G c , F 2 H c , F 1 ∩ F 2 G H c e X c G ∩ H c F 1 F 2 i C aberto, C ≠ e C c aberto X C C c , C ∩ C c e C, C c abertos e C ≠ C c C X c.q.d. II.13.12 Proposição Se A, B ⊂ X, d e A, B são conjuntos separados não vazios, então A B é disconexo. II.13.13 Exercício Prove a Proposição II.13.12. c II.13.14 Resolução A, B sendo separados, tem-se A ∩ B , donde A ⊂ B G; e c A ∩ B , donde B ⊂ A H, G, H abertos. Então A B ∩ G A ∩ G B ∩ G A ≠ , A B ∩ H A ∩ H B ∩ H B ≠ e A B A B ∩ G H A B ∩ G A B ∩ H. Portanto G H é uma disconexão de A B, c. q. d. -156II.13.15 Proposição Se G H é uma disconexão de C em X, d então os conjuntos C ∩ G e C ∩ H são separados. II.13.16 Exercício Demonstre a Proposição II.13.15 justificando as passagens seguintes: 1. C ∩ G e C ∩ H são conjuntos disjuntos; 2. o resultado conclui-se provando que se um ponto p é um ponto de acumulação de C ∩ G então p ∉ C ∩ H. 3. Admitindo com vista a um absurdo que um ponto p é ponto de acumulação de C ∩ G e p ∈ C ∩ H, tem-se: i H contém um ponto x ≠ p, x ∈ C ∩ G; ii C ∩ G ∩ H ≠ ; iii C ∩ G ∩ C ∩ H e conclui-se o resultado. II.13.17 Resolução 1. Pois pela hipótese G H é uma disconexão de C; 2. pois estando G e H exactamente nas mesmas hipóteses, ficará provado também que nenhum ponto de C ∩ H está no conjunto C ∩ G. 3. i pois H é um aberto por hipótese, e p é um ponto de acumulaçãop de C ∩ G pela hipótese de absurdo; ii por i; iii pela hipótese de G H ser uma disconexão de C, obtendo-se uma contradição com ii c.q.d. II.13.18 Teorema Um conjunto C ⊂ X, d é conexo se e só se C não é reunião de dois conjuntos separados e não vazios. Dem. Pois se C é disconexo então existe uma disconexão G H de C e pela Proposição II.13.15 C C ∩ G C ∩ H é reunião de dois conjuntos separados não vazios; e reciprocamente, toda a reunião de dois conjuntos não vazios e separados é um conjunto disconexo, pela Proposição II.13.12. II.13.19 Teorema Se X, d X é conexo e f : X, d X → Y, d Y é uma função contínua, então o conjunto fX é conexo. II.13.20 Exercício Demonstre o teorema acima (Sug: por absurdo). II.13.21 Resolução Admitindo que fX não é conexo, existem abertos não vazios G, H em fX tais que fX G H. Então V f −1 G ≠ , U f −1 H ≠ , U, V são abertos em X, e f −1 G f −1 H é uma disconexão de X, pois f −1 G f −1 H f −1 G H, concluindo-se uma contradição, c.q.d. -157II.13.22 Observação Se G H é uma disconexão de A em X, d e B é um subconjunto conexo de A, então tem-se B ∩ H ou B ∩ G e assim verifica-se B ⊂ G ou B ⊂ H. Com efeito, de A ⊂ G H, G, H abertos não vazios tais que A ∩ G ≠ , A ∩ H ≠ e A ∩ G ∩ H vem que B ⊂ G H; também G ∩ H ⊂ A c , donde G ∩ H ⊂ B c . Logo se ambos os conjuntos B ∩ G, B ∩ H fossem não vazios, G H seria uma disconexão de B. Portanto ou B ∩ H , B ⊂ H c e B ⊂ G H B ⊂ G; ou B ∩ G , B ⊂ H analogamente. II.13.23 Teorema Se A, B são dois subconjuntos conexos de X, d que não são separados, então A B é um conjunto conexo. II.13.24 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração do Teorema II.12.23: 1. Basta supor A, B ≠ . Admitamos que A, B satisfazem as condições do enunciado e a hipótese de absurdo de que existe uma disconexão G H de A B. 2. Tem-se A ⊂ G e A ∩ H ou A ⊂ H e A ∩ G ; e B ⊂ G e B ∩ H ou B ⊂ H e B ∩ G ; 3. se A ⊂ G e B ⊂ H então os conjuntos A B ∩ G A e A B ∩ H B são separados; logo ou ambos A, B ⊂ G ou A, B ⊂ H; 4. pode concluir-se o teorema, c.q.d II.13.25 Resolução 1. Se A B é disconexo, existe por definição uma disconexão de A B. 2. Pois A ⊂ A B e utilizando II.13.22; analogamente para B; 3. devido a 1., pela Proposição II.13.15; pois vem de 2. que A B ∩ G A ∩ G B ∩ G A A, e analogamente A B ∩ H B. E porque G, H estão exactamente nas mesmas hipóteses; 4. porque se A B ⊂ G ou A B ⊂ H então A B ∩ H ou A B ∩ G (usando 2.) e então G H não é uma disconexão de A B, contradizendo 1., c.q.d. II.13.26 Propriedade Seja C i : i ∈ A uma classe de subconjuntos conexos de X, d tal que nenhuns de dois conjuntos C i , C i ′ i, i ′ ∈ A são separados. então C C i : i ∈ A é um conjunto conexo. II.13.27 Exercício Prove a propriedade anterior (Sug: obtenha uma demonstração por redução ao absurdo, utilizando II.13.22 e II.13.23). II.13.28 Resolução Conforme à sugestão, acrescentemos à hipótese a hipótese de absurdo (A) de que existe uma disconexão G H de C. Usando II.13.22, cada C i ⊂ G ou C i ⊂ H. Dados i, i ′ ∈ A, o conjunto C i C i ′ é conexo (II.13.23) e C i C i ′ ⊂ G e C i C i ′ ∩ H ou C i C i ′ ⊂ H e C i C i ′ ∩ G , atendendo a II.13.22. Como um C i ⊂ G (ou um C i ⊂ H), então ou todos os conjuntos C i ⊂ G (e C i ∩ H , ∀i ∈ I) ou cada C i ⊂ H, sendo então sempre C i ∩ G i ∈ A; isto implica C ⊂ G, C ∩ H ou C ⊂ H, C ∩ G contradizendo (A) c.q.d. -158II.13.29 Propriedade Se A é conexo em X, d e A ⊂ B ⊂ A então B é conexo em X, d. Se A é conexo, então A é conexo. II.13.30 Exercício Demonstre a Propriedade II.13.29 (Sug: redução ao absurdo). II.13.31 Resolução Suponhamos a hipótese de absurdo que B é disconexo, no contexto da propriedade, e seja G H uma disconexão de B. Como A é um subconjunto conexo de B, II.13.22 permite concluir que A ∩ H ou A ∩ G ; admitamos A ∩ H . Então A ⊂ H c donde, sendo H c fechado, tem-se A ⊂ B ⊂ A ⊂ H c . Portanto B ∩ H , o que contradiz a hipótese de absurdo. A segunda afirmação é consequência de A ⊂ A, c.q.d. II.13.32 Definição O espaço métrico X, d diz-se bem encadeado se para cada dois pontos a, b ∈ X e cada 0, existe uma sequência a 1 , . . . , a n ∈ X n ∈ N tal que a 1 a, a n b e da i , a i1 ≤ 1 ≤ i ≤ n − 1; diz-se então que a sequência a i ni1 liga a 1 a a n e tem passo ≤ . II.13.33 Exemplos (1) Utilizando II.12.3, II.12.51 mostra que R, d, d a métrica usual, é bem encadeado. (2) R, d i , d i a métrica discreta, não é bem encadeado; assim como X, d i se X não se reduz a um ponto, de modo mais geral. II.13.34 Propriedade Todo o espaço métrico conexo é bem encadeado. II.13.35 Exercício Demonstre a propriedade anterior (Sug: Prove que dado o espaço métrico X, d, se p ∈ X, o conjunto Xp, x ∈ X : ∃a i ni1 ∈ X n , n ∈ N, a 1 p, a n x, da i , a i1 ≤ , i 1, . . . , n − 1 é um aberto e fechado não vazio de X, para cada 0). II.13.36 Resolução Conforme à sugestão, tem-se p ∈ Xp, e Xp, ≠ . Se a ∈ Xp, e da, b então existem a 1 , . . . , a n ∈ X, p a 1 , a a n tais que da i , a i1 ≤ i 1, . . . , n − 1. Segue-se que acrescentando o ponto a n1 b se obtem uma sequência a i n1 i1 que liga p a b e tem passo ≤ ; isto significa que b ∈ Xp, e ∃ 0, B 0 a, ⊂ Xp, , este conjunto é aberto. Também Xp, contém o seu conjunto derivado, e assim é fechado. Pois se y é um ponto de acumulação de Xp, então existe uma sucessão x n em Xp, , cujos termos são todos diferentes e diferentes de y e x n → y; existe n ∈ N tal que dx n , y , logo, sendo a i mi1 uma sequência ligando p a x n de passo ≤ , a sequência a i m1 i1 onde a m1 y liga p a y e tem passo ≤ i.e., y ∈ Xp, . O Teorema II.13.9 permite concluir que se X, d é conexo, então Xp, X para cada 0, o que significa que X, d é bem encadeado, c.q.d. -159II.13.37 Observação Existem espaços métricos bem encadeados e não conexos; por exemplo, Q, d, d a métrica induzida pela métrica usual de R, não é conexo: −, 2 2 , é uma disconexão de Q em R, d. No entanto, Q, d é bem encadeado. Pois dados a, b ∈ Q, a b, seja b − a. Se 0 e m ∈ N verifica b − a/m ≤ min, então com a i a i i 0, . . . , m, a sequência a i mi0 ∈ Q m1 liga a a b e tem passo ≤ . Tem-se contudo a II.13.38 Propriedade Se X, d é um espaço métrico compacto, então X é conexo se e só se é bem encadeado. II.13.39 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração de II.13.38: 1. Se X, d é conexo então é bem encadeado. Para a recíproca, admitamos X compacto e bem encadeado e a hipótese de absurdo A ≡ X não é conexo. 2. Existem dois conjuntos fechados não vazios e disjuntos X 1 , X 2 tais que X X 1 X 2 ; 3. X 1 , X 2 são compactos. Mostremos que dX 1 , X 2 infda, b : a ∈ X 1 , b ∈ X 2 0: i se 0 existem a n ∈ X 1 , b n ∈ X 2 tais que da n , b n 1/n; ii então existiria um ponto p ∈ X 1 ∩ X 2 ; logo não se dá i e 0. 4. Sendo a ∈ X 1 , b ∈ X 2 , existe uma sequência a i ni1 ∈ X n ligando o ponto a ao ponto b de passo ≤ /2; obtem-se uma contradição e pode concluir-se a propriedade c.q.d. (Sug: considere o menor ídice i tal que a i ∈ X 2 ). II.13.40 Resolução 1. Por II.13.34. 2. Pelo Teorema II.13.9, atendendo a 1. 3. Pelo Teorema II.12.23; i porque 0 significa que dX 1 , X 2 1/n n ∈ N; ii pois da hipótese X 1 compacto vem que existe uma subsucessão a nk → k a ∈ X 1 pelo Teorema II.12.30; então existe uma subsucessão b n ′ k de b nk tal que b n ′ k → b ∈ X 2 analogamente. Usando i, tem-se da, b ≤ da n ′ k , a da n´k , b n ′ k db n ′ k , b → 0 0 0 0 e assim a b ∈ X 1 ∩ X 2 , o que é impossível e assim 0. 4. Existem a a 1 , . . . , a n b, a i ∈ X tais que da i , a i1 ≤ /2 uma vez que, por hipótese, X é bem encadeado; com i o menor índice como na sugestão, tem-se então da i−1 , a i ≤ /2 onde a i−1 ∈ X 1 e a i ∈ X 2 . Isto é uma contradição com 3., pois implica dX 1 , X 2 ≤ da i−1 , a i ≤ /2 . Concluindo-se um absurdo, fica provada a propriedade. II.13.41 Lema Todo o intervalo I de R é conexo em R, d, d a métrica usual. II.13.42 Exercício Prove o lema, pela justificação dos passos seguintes: 1. Se I p então I é conexo. 2. Se I a, b então I é compacto e bem encadeado, donde I é conexo. 3. Se a ∈ I então a, x ⊂ I (resp. x, a ⊂ I para cada x ∈ I tal que a x (resp. x a). 4. Seja a ∈ I. Tem-se I x, a : x ∈ I, x a a, x : x ∈ I, a x e portanto I é conexo, c.q.d. -160II.13.43 Resolução 1. Conforme a II.13.6 (4). 2. Pela Propriedade II.12.3; que a, b é bem encadeado verifica-se analogamente a II.13.37 e usando a Propriedade II.13.38. 3. Pois I é um intervalo. 4. Aplicando 3., 2. e II.13.26 no caso particular C i : i ∈ A ≠ c.q.d. II.13.44 Propriedade Um subconjunto não vazio de R é conexo em R, d, d a métrica usual se e só se é um intervalo. II.13.45 Exercício Prove a Propriedade II.13.44 II.13.46 Resolução Se I é um intervalo, I é conexo, pelo lema anterior. E se C ≠ e C não é um intervalo, então existem a, b ∈ C, a b, tais que p ∉ C, certo p, a p b. Portanto −, p p, é uma disconexão de C e C não é conexo, c.q.d. II.13.47 Corolário 1 Se f : A ⊂ X, d → R, d R é uma função contínua e A é conexo, onde d R é a métrica usual, então fA é um intervalo. II.13.48 Corolário 2 Se I é um intervalo de R e f : I ⊂ R, d R → R, d R é uma função contínua, onde d R é a métrica usual, então f assume cada valor entre dois valores fa, fb, a, b ∈ I. II.13.49 Exercício Demonstre os corolários acima. II.13.50 Resolução Corolário 1. Pelo Teorema II.13.19, fA é conexo, e o corolário conclui-se da Propriedade II.13.44. Corolário 2. Aplicando II.13.44 e o Corolário 1, fI é um intervalo J de R. Supondo fa y fb, a, b ∈ I então fa, fb ⊂ J e portanto y ∈ fa, fb ⊂ fI o que significa que y é uma imagem y fx, x ∈ I II.13.51 Exercício Existe alguma função contínua f : 1, 3 ⊂ R, d R → R, d R , d R a métrica usual tal que f3/2, 2 3/2, 3 ou f3/2, 2 3/2, 5/6 11/12, 23/24? Porquê? (Sug: II.13.19, II.13.47). A conexidade e outras noções relativas generalizam-se na sua maioria aos espaços topológicos. Serão consideradas no Cap. III cujo assunto é Topologia Geral. -161II.14 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS II.14.1 Considere o espaço métrico R N , d M . a Prove que a soma s : x n Nn1 , y n Nn1 x n y n Nn1 e o produto escalar p : , x n Nn1 x n Nn1 x n Nn1 , y n Nn1 ∈ R N , ∈ R são funções contínuas. b Conclua que se f : R N , d → R M , d e g : R N , d → R M , d, onde d d e , d d M ou d d S sao funções contínuas, então f g : R N , d → R M , d , ∈ R é contínua. II.14.2 Mostre que se f : X, d X → W, d W é uma função contínua então a função F : X X → 0, , Fx, y d W fx, fy (0, munido da métrica induzida pela métrica usual de R) é contínua. II.14.3 Uma classe S constituída por subconjuntos abertos do espaço métrico E, d diz-se uma subbase da topologia T d associada à métrica se a colecção das intersecccções finitas dos conjuntos em S é uma base de T d . Assim um espaço métrico é um espaço C2 se e só se tem uma subbase contável. II.14.4 A função x n , y n supdx n , y n : n ∈ N onde d min1, d e d é a métrica usual de R, é uma métrica em R N que se chama a métrica uniforme. Esta métrica é mais fina que a métrica Dx n , y n ∑ n1 dx n , y n /2 n que se considera sobre o produto em II.9.17, mas as duas métricas não são equivalentes.. II.14.5 Prove que se f é uma bijecção entre os espaços métricos E e F, onde F é completo, f é uniformemente contínua e f −1 é contínua, então E é completo. II.14.6 Dado o espaço métrico X, d, existe um completamento X, d de X, d tal que X ⊂ X. Supondo com efeito que X não é completo, consideremos BX, D como em II.10.14, a isometria f : X, d → BX, D, x f x como em II.10.20 e o completamento fX, D, onde se considera o fecho em BX, D. Sejam X X fX\fX e d : X X → R definida por dx, Y dx, y x, y ∈ X, dx, u du, x Df x , u x ∈ X, u ∈ fX\fX e du, v Du, v u, v ∈ fX\fX. A igualdade dx, y Df x , f y permite concluir que d é uma métrica em X. X, d é completo e X é um subconjunto denso de X, d. (Verifique os detalhes). II.14.7 Mostre que a diagonal Δ x, x. x ∈ X é um G em cada espaço métrico X, d. (Sug: Considere fx, y dpr 1 x, y, pr 2 x, y onde as pr i são as funções projecção). II.14.8 Verifica-se o teorema de Alexander: o espaço métrico E é compacto se e só se de cada cobertura aberta de E por abertos numa subbase (II.4.3) pode extrair-se uma subcobertura finita. (Ver [Kelley]). II.14.9 Encontra-se em [Dugundji] que um espaço métrico é compacto se e só se cada cobertura aberta contável do espaço é redutível a uma subcobertura finita. II.14.10 Se x n é uma sucessão no espaço métrico E, d, diz-se que o ponto a de E é um ponto aderente da sucessão x n se em toda a vizinhança V de a existe uma infinidade de valores do índice n para os quais x n ∈ V. Certamente se x n → a então a é um ponto aderente de x n ; se a é um ponto de repetição x n a para uma infinidade dos n) então também a é um ponto aderente de x n . Prove que a é um ponto aderente de x n se e só se existe uma subsucessão x nk → a. -162II.14.11 A Propriedade de Bolzano-Weierstrass pode enunciar-se: o espaço métrico E, d é compacto se e somente se toda a sucessão em E tem pelo menos um ponto aderente. Uma demonstração ([Schwartz]) é como segue. Se E, d é compacto, A n x n , x n1 , x n2 , . . . , então a sucessão A n é uma sucessão decrescente de fechados não vazios; portanto (II.12.17) a sua intersecção é não vazia. Verifique que cada ponto nesta intersecção é um ponto aderente de x n . Para a condição suficiente, obtenha primeiro os dois resultados seguintes: A ≡ Se toda a sucessão em E tem pelo menos um ponto aderente, então dada uma cobertura aberta C de E, existe um número 0 tal que toda a bola de raio ≤ está inteiramente contida num dos abertos de C. (Por redução ao absurdo; da negação da tese conclui-se que certa cobertura aberta C de E, para todo o n 1, 2, . . . existe certo a n em E tal que B 0 a n , 1/n não está contida em nenhum conjunto de C; se a é um ponto aderente de a n , certo aberto O de C contém a. Note que certo n verifica 1/n ≤ r/2 e para um destes n, da n , a ≤ r/2, onde B 0 a, r ⊂ O). B ≡ Se toda a sucessão em E, d tem pelo menos um ponto aderente, então para cada 0, é possível obter uma cobertura de E por um número finito de bolas de raio . (Sug: também por absurdo. Dado a 1 ∈ E, ou B 0 a 1 , E ou existe um ponto a 2 de E, a 2 ∉ B 0 a 1 , . Distinga os casos B 0 a 1 , B 0 a 2 , E e B 0 a 1 , B 0 a 2 , ≠ E e assim sucessivamente, e conclua um absurdo da hipótese de nenhuma destas reuniões finita cobrir E). II.14.12 Mostre que se E, d é compacto, então uma sucessão x n em E converge para a se e só se a é o único ponto aderente de x n . II.14.13 Conclua do exposto em II.12 e II.7 que todo o espaço métrico compacto é separável e C2. II.14.14 Em R, munido da métrica usual, é válida a recíproca de II.12.33. Obtenha uma demonstração, notando que se C é limitado então existem a, b tais que C ⊂ a, b. II.14.15 Conclua de II.14.14 que cada bola fechada em R N , d M é um compacto. Generalize para R N , d e e R N , d S e obtenha o resultado cabal respeitante a II.12.33 em RN. II.14.16 Sendo A um conjunto não vazio de cardinal arbitrário, considere-se o produto cartesiano R A . Seja FA, R o subconjunto de R A formado pelas funções f x para cada uma das quais existe um conjunto contável Cf n : n ∈ N tal que f x 0 se ∉ Cf. É uma propriedade da Análise Real que se a série de termos positivos ∑ n1 a n é convergente, então para cada bijecção de N sobre N, a série a n é convergente e tem a mesma soma que ∑ n1 a n . Dadas ∑ n1 f x , g y ∈ FA, R tem-se x − y ≠ 0 apenas possivelmente num conjunto contável C Cf Cg, e portanto a função dx , y ∑ ∈A x − y 2 ∑ n∈C x n − y n 2 está bem definida no conjunto l 2 A x ∈ FA, R : ∑ ∈A x 2 (atenda-se à desigualdade de Minkowski em II.1.3). Esta função d é uma métrica que se considera no conjunto l 2 A. Verifica-se que l 2 A l 2 B se e só se #A #B e, se #A n n ∈ N então l 2 A R n , d e . l 2 A é separável (equivalentemente, um espaço C2) se e somente se #A ≤ # 0 . Ver, por exemplo, [Dugundji]. -163II.14.17 O cubo de Hilbert é o subespaço I x n ∈ l 2 N :∣ x n ∣≤ 1/n n ∈ N de 2 l N. Encontra-se em [Dugundji] que I é homeomorfo ao produto cartesiano n1 I n onde I n I 0, 1, n 1, 2, . . . I tem interior vazio em l 2 N, e assim o seu complementar em l 2 N é denso. Como subespaço fechado do espaço métrico compacto 0, 1 N , I é compacto. II.14.18 Um subconjunto C de R N diz-se convexo se para cada a 1 , . . . , a N , b 1 , . . . , b N ∈ C, o conjunto sa, b 1 − ta 1 , . . . , a n tb 1 , . . . , b N : 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ C. É intuitivo que todo o conjunto convexo é conexo em R N , d e e exemplos simples em R 2 mostram que a recíproca é falsa; é verdadeira apenas para N 1 (II.13.44). -164BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO II [Agudo] _ F. R. DIAS AGUDO ”Lições de Análise Infinitesimal I. Cálculo Diferencial em R n ”, Livraria Escolar Editora Lisboa (1969) [Aliprantis; Burkinshaw] _ ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles of Real Analysis”, Second Edition, Academic Press, Inc. Harcourt Brace Jovanovich, Publishers Boston . San Diego . New York . Berkeley . London . Sydney .Tokyo . Toronto (1990). [Choquet] _ CHOQUET, G. ”Cours d’Analyse Tome II Topologie, Masson et C ie ,Editeurs Paris (1973). [Copson] _ COPSON, E. T. ”Metric Spaces”, Cambridge Tracts in Mathematics, 57, Cambridge University Press Cambridge . New York . New Rochelle : Melbourne . Sydney (1988). [Dieudonné] _ DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de Análisis Moderno”, Editorial Reverté, S. A. Barcelona . Buenos Aires . México (1966). [Dugundji] _ DUGUNDJI, JAMES ”Topology”, Allyn and Bacon, Inc. (1966). [Guerreiro] _ GUERREIRO, J. SANTOS ”Curso de Análise Matemática”, Escolar Editora Lisboa (1989). [Kaplansky] _ KAPLANSKY, IRVING ”Set Theory and Metric Spaces”, Chelsea Publishing Company New York (1977). [Kelley] _ KELLEY, JOHN L. ”General Topology”, Graduate Texts in Mathematics, 27 Springer New York . Berlin . Heidelberg . Barcelona . Hong Kong . London . Milan . Paris . Singapore . Tokyo (1975). [Lages Lima] _ LIMA, E. LAGES ”espaços métricos”, impa Instituto de Matemática Pura e Aplicada . CNPq Brasil (1983). [Lipchutz] _ LIPCHUTZ, SEYMOUR ”General Topology”, Schaums Outline Series in Mathematics, McGraw-Hill Book Company New York . St. Louis . San Francisco . Toronto . Sydney (1969). [Munkres] _ MUNKRES, JAMES R. ”Topology”, Second Edition Prentice Hall, Inc. London . Sydney . Toronto . Mexico . New Delhi . Tokyo . Rio de Janeiro (2000). [Rudin] _ RUDIN, WALTER ”Real & Complex Analysis” Second Edition, Tata McGraw-Hill Publishing Co. Limited New Delhi (1983). [Schwartz] _ SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie générale et analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann Paris (1970). -165- III ESPAÇOS TOPOLÒGICOS -166III.1 UMA AXIOMÁTICA DA TEORIA DE CONJUNTOS. NÚMEROS ORDINAIS E NÚMEROS CARDINAIS. O conceito intuitivo de conjunto como uma colecção de objectos no Cap I é insuficiente para certas aplicações em topologia, nomeadamente os espaços de ordinais. Notar que por exemplo, a Definição I.6.12 de cardinal de um conjunto C como sendo a propriedade que C tem de comum com todos os conjuntos equipotentes a C, observámos em I.6.27 que a relação ≤ entre cardinais não é uma relação binária exactamente no sentido de I.2.1, pois a colecção de todos os cardinais não é um conjunto, como veremos na exposiçaão axiomática de teoria de conjuntos que é feita. Seguimos [Dugundji], formulando uma axiomática baseada na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann, que não é completa nem formal; não asseguramos também que seja independente, contudo é suficiente para as aplicações em topologia que consideramos. Certamente é legítimo considerar, dada uma propriedade p, a classe (colecção) A dos objectos que verificam p, que notamos A x : p; assim como dadas classes não vazias A, B, podemos considerar a classe produto cartesiano A B a, a, b : a ∈ A, b ∈ B e notar a, b a, a, b; considerar uma relação de A em B como uma classe R ⊂ A B e, no sentido do Cap. I, uma relação binária em A como uma relação de A em A; considerar uma função de A em B, etc., Em particular, A ⊂ B significa que x ∈ A x ∈ B, todas as propriedades em I mantendo-se no sentido lato de classe como sendo um conjunto. Mas como sublinhado em I.1.2, nem toda a propriedade define um conjunto e entendemos que (de um modo suficientemente geral), uma propriedade p define a classe Ap x : p. Os objectos (termos) de uma teoria axiomática, assim como as relações entre estes, não podem definir-se na totalidade: pois na definição de um termo necessariamente surge outro, para considerar uma relação é preciso entrar em linha de conta com outra. III.1.1 Consideramos ”classe” como um termo indefinido e ”∈” como uma relação indefinida entre classes. As variáveis A, A, x, . . . representam classes. Dadas duas classes A, B, I. A proposição A ∈ B ou é verdadeira ou é falsa, não havendo outra possibilidade; II. A ∈ B não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Uma propriedade p é uma fórmula obtida por negação, disjunção ou conjunção, ou quantificação de relações A ∈ B. Notar que sendo p q equivalente a ~p ∨ q, os símbolos , podem surgir em fórmulas. III.1.2 Definição A ⊂ B ∀x, x ∈ A x ∈ B. A B A ⊂ B∧B ⊂ A. III.1.3 Axioma da individualidade. x ∈ A ∧ x y y ∈ A. III.1.4 Definição A classe C é um conjunto se existe uma classe A tal que C ∈ A. -167III.1.5 Axioma da formação de classes. Para toda a propriedade p na qual todas as variáveis quantificadas sejam conjuntos, e na qual não figure a variável classe A, existe uma classe A formada exactamente pelos conjuntos que têm a propriedade p; em símbolos lógicos, x ∈ A x é um conjunto ∧ px. Notamos A x : px ou A x : p. III.1.6 Observação A classe de Russel A x : x é um conjunto ∧ x ∉ x não é um conjunto. Pois admitindo que A é um conjunto, então pela definição tem-se: se A ∈ A então A ∉ A, impossível por II; se A ∉ A então A ∈ A por definição, contrariando II. Portanto não se verifica A ∈ A nem A ∉ A, o que é impossível atendendo a I. III.1.7 Notemos que como o exposto no Cap.I, considerando considerando rigorosamente ”classe” no lugar de aí ”conjunto”, dar uma relação de equivalência numa classe A é o mesmo que considerar uma partição de A i.e, uma colecção disjunta de subclasses de A cuja reunião é A. III.1.8 Axioma do conjunto vazio. Existe o conjunto vazio x : x é um conjunto ∧ x ≠ x. III.1.9 Axioma da Formação de pares. Se A, B são conjuntos diferentes, então a classe A x : x A ∨ x B é um conjunto : representa-se por A, B. III.1.10 Axioma da Reunião. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos então A : ∈ A x : ∃ ∈ A, x ∈ A é um conjunto. III.1.11 Observação Ao considerar uma classe de conjuntos A : ∈ A entende-se sempre que A deve ser um conjunto, assim como cada A . III.1.12 Axioma da Substituição. Se C é um conjunto, A é uma classe e F : C → A é uma função, então fC é um conjunto. III.1.13 Axioma da Minúcia. Se C é um conjunto, então para cada classe A, C ∩ A é um conjunto. III.1.14 Decorre de III.1.12 em particular que se p é uma propriedade tal que px x ∈ A, onde A é um conjunto, existe a classe A x : px x : x é um conjunto ∧ px e então x : p x : x ∈ A ∧ px ∩ A é um conjunto. -168III.1.15 Axioma do conjunto das partes. Se A é um conjunto, então o conjunto das partes PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A é um conjunto. III.1.16 Observação Notar que sendo A uma classe, o conjunto das partes de A é por definição a classe PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A; quer dizer, por comodidade de linguagem diz-se pela definição ”conjunto das partes” no lugar rigoroso de ”classe de subconjuntos” de uma dada classe. III.1.17 Observação Decorre rigorosamente ([Dugundji]) destes axiomas que (1) se A : ∈ A é uma classe de conjuntos, então A : ∈ A x : ∀ ∈ A, x ∈ A é um conjunto; (2) se A é um conjunto então A é um conjunto; (3) se A, B são conjuntos então o produto cartesiano A B é um conjunto; (4) se A, B são conjuntos, então a classe B A de todas as funções de A em B é um conjunto; (5) a classe de todos os conjuntos não é um conjunto. III.1.18 Para verificar (5) em III.1.17 acima, suponhamos que a classe A de todos os conjuntos é um conjunto. Então sendo Rp a classe de Russel, definida pela propriedade px ≡ x é um conjunto, vem como consequência do Axioma da minúcia que a classe Rp A ∩ Rp é um conjunto, contrariando III.1.6. III.1.19 Axioma da Fundação. Em cada conjunto não vazio A existe um u ∈ A tal que u ∩ A (i.e., tal que ∀x, x ∈ A x ∉ u). III.120 Observação Podemos dizer que este Axioma assegura que cada conjunto não vazio contem ”átomos u” que formam a sua ”fundação”. A partir deste Axioma concluem-se: (1) Se A é um conjunto não vazio, então ~A ∈ A; (pois se A ∈ A então pela propriedade (2) em III.1.17, A seria um conjunto com o único elemento A e o conjunto A não teria uma fundação. (2) Se A, B são conjuntos não vazios, é impossível que ambas A ∈ B, B ∈ A sejam verdadeiras. (Concluir-se-ia uma contradição com o Axioma da Fundação considerando o conjunto A, B conforme ao Axioma da Formação de pares). III.1.21 Axioma do Infinito. Existe um conjunto A com as propriedades. i ∈ A e ii se ∈ A então a a ∈ A. III.1.22 Observação Conclui-se rigorosamente, utilizando o Axioma do Infinito, que existem o conjunto N 0 , N, Q, Z, e o conjunto dos números reais R. -169III.1.23 Observação Seguindo [Dugundji], o único Axioma, de entre os expostos, que permite formar subconjuntos de um conjunto dado é o Axioma da Minúcia. Torna-se conveniente aceitar também, para o efeito, o III.1.24 Axioma da Escolha. Dada uma classe não vazia A : ∈ A constituída por conjuntos não vazios e dois a dois disjuntos, existe um conjunto S consistindo de exactamente um elemento de cada um dos conjuntos. III.1.25 Definição Seja A : ∈ A uma classe de conjuntos. O produto cartesiano A A : ∈ A é o conjunto de todas as funções c : A → A : ∈ A tais que ∀ ∈ A, c ∈ A . III.1.26 Atendendo à propriedade (4) na Observação III.1.17 e a III.1.14, e ao Axioma da Reunião, a classe A é um conjunto. III.1.27 Dado A , diz-se também que a projecção de índice , pr : A → A que associa a cada c x ∈A a imagem x de por c, é a projecção sobre o factor- do produto, chamando-se ao conjunto A o factor- de A . III.1.28 Observações (1) Se cada A tem exactamente um elemento, então A é um conjunto de um só elemento. Se A então A . Sendo A ≠ , tem-se A no caso de pelo menos um conjunto A . (2) Se cada A A, A um conjunto fixo, então pela definição A é o conjunto A A de todas as funções de A em A. (3) Considerando A k 0, 2 para cada k 1, 2, . . . , k A k é, conforme a (2), o conjunto de todas as sucessões cujos termos são n k 0 ou n k 2. A função f : k A k → 0, 1 ⊂ R dada por fn k ∑ k1 n k /3 k tem por conjunto imagem o conjunto de Cantor C. Na exposição em [Dugundji], as somas ∑ k1 n k /3 k são as representações triádicas dos números em C 0, 1\ k1 M k , onde M 1 1/3, 2/3, M 2 é o subconjunto de 0, 1\M 1 obtido retirando o segundo de cada um dos três subintervalos de 0, 1/3, 2/3, 1 0, 1\1/3, 2/3 (i.e. o intervalo central em cada uma das reuniões 0, 1/3 0, 1/9 1/9, 2/92/9, 1/3 e 2/3, 1 2/3, 7/9 7/9, 8/98/9, 1); ou seja, M 2 1/9, 2/97/9, 8/9. E assim sucessivamente, M k é a reunião dos subintervalos fechados que restam após retirar os subintervalos abertos centrais de entre os 2 k−1 intervalos presentes. Assim C consiste de todos os números reais em 0, 1 tais que não figura " 1" na sua representação triádica. Pois ao retirar-se M 1 1/3, 2/3 retiraram-se todos os reais em 0, 1 tais que n 1 1 na sua representação triádica; ao retirar M 2 1/9, 2/97/9, 8/9 retiraram-se os números em 0, 1 para os quais figura n 2 1 na representação triádica, e assim sucessivamente. A função f é, aplicando (2), uma bijecção de 0, 2 N sobre C. -170III.1.29 Ainda que existindo sempre o conjunto produto cartesiano A da classe de conjuntos A : ∈ A, é somente com o Axioma da Escolha entre os Axiomas anteriores, que pode concluir-se que o produto cartesiano não é vazio, na hipótese de cada conjunto A ser não vazio. De acordo com o exposto no Cap. I, tem-se III.1.30 Teorema São equivalentes as propiedades: 1. Seja A : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos. Se cada A ≠ , então A ≠ ; 2. O Axioma da Escolha; 3. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos não vazios (não necessariamente dois a dois disjuntos) então existe uma função : A → A : ∈ A (o selector de Zermelo ou função de escolha) tal que ∀ ∈ A, ∈ A . Podem concluir-se na teoria de conjuntos obtida ([Dugundji]) os seguintes resultados. III.1.31 Teorema Seja A : ∈ A uma clase de conjuntos, seja B ⊂ A e considere-se P : A : ∈ A → A : ∈ B definida por Pc c ∣B . Então P é sobrejectiva; em particular, cada projecção factor-, pr : A → A é sobrejectiva. III.1.32 Corolário Se A ⊂ B ∈ A então A ⊂ B . Reciprocamente, se cada A ≠ e A ⊂ B , então A ⊂ B para cada . Dem. A primeira inclusão é trivial. Para a segunda, como cada pr é sobrejectiva, obtemos A pr A ⊂ pr B B . III.1.33 Teorema Seja Y : ∈ A uma classe de conjuntos não vazios. Para cada , sejam A , B subcojuntos de Y . Então i A B A ∩ B ; ii A B ⊂ A B . III.1.34 Notação No contexto de III.1.33, designemos, para C ⊂ Y , C pr −1 C . E para C 1 ⊂ Y 1 , . . . , C n ⊂ Y n designe-se C 1 ∩. . . ∩ C n C 1 , . . . , C n . Tem-se III.1.35 Em Y , 1 C C : ∈ A; 2 C c C c ; 3 C c C c : ∈ A. -171III.1.36 Utilizando o Axioma da Escolha pode provar-se: Dada uma classe de conjuntos A : ∈ A e sendo A : ∈ uma partição de A tal que cada conjunto A ≠ , T A , então A : ∈ A : ∈ A A t : ∈ : t ∈ T. III.1.37 Observação Para a inclusão A : ∈ A : ∈ Δ ⊂ A t : ∈ Δ : t ∈ T, Dugundji (p.25) utiliza igualdade A : ∈ A : ∈ A t : ∈ : t ∈ T que prova ser equivalente ao Axioma da Escolha. III.1.38 Recordar que uma pré-ordem ou quasi-ordem num conjunto A é uma relação binária em A tal que 1. ∀a ∈ A, a a; 2. a b ∧ b c a c. A, diz-se então um conjunto pre-ordenado O elemento m ∈ A diz-se maximal em A se ∀a ∈ A, m a a m i.e., se nenhum a ∈ A segue m ou cada a que segue m também precede m. Se B ⊂ A, o elemento a 0 ∈ A diz-se um majorante de B se ∀b ∈ B, b a 0 . O subconjunto B ⊂ A é uma cadeia em A se dados quaisquer x, y ∈ B se verifica uma das relações x y, x y ou y x. Uma pre-ordem com a propriedade adicional a b ∧ b a a b é uma ordem parcial em A; A, é então um conjunto parcialmente ordenado. Um conjunto parcialmente ordenado que é também uma cadeia diz-se um conjunto totalmente ordenado. III.1.39 Diremos que um ordinal ou conjunto bem ordenado é um conjunto parcialmente ordenado W, ≤ tal que todo o subconjunto não vazio B de W tem primeiro elemento b, b ∈ B, b ≤ x, ∀x ∈ B. Diz-se também que é uma boa ordem em W. Se W, é um ordinal, então ∀a, b ∈ W, a b ∧ b a a b. III.1.40 Notar que todo o ordinal W é um conjunto totalmente ordenado, pois a, b tem primeiro elemento para cada a, b ∈ W. III.1.41 Definição Sejam W, um conjunto bem ordenado e q ∉ W. Definindo em W q a relação por q q e ∀w ∈ W, w q, w ′ w ′′ w ′ w ′′ w ′ , w ′′ ∈ W, a relação é uma boa ordem em W q que estende a boa ordem de W. Pois para cada E ⊂ W q, E ≠ , ou E q ou E ∩ W ≠ , caso em que o primeiro elemento de E ∩ W em W, é o primeiro elemento de E em E, . Diz-se que W q, equipado com a boa ordem (que habitualmente continua a designar-se por ) é obtido de W por junção de um elemento. -172III.1.42 Observação Se o elemento w do ordinal W tem um sucessor x, w x, então w tem um sucessor imediato w ′ , primeiro elemento do conjunto x ∈ W : w x; w ′ tem as propriedades w w ′ ∧ ~∃x ∈ W, w x w ′ , x ≠ w ′ . Contudo, um elemento pode não ter um predecessor imediato: dado w ∈ W, por exemplo se W é um conjunto infinito sem majorante, q ∉ W, então fazendo a junção W q, q não tem predecessor imediato: dado a w, existe sempre b ∈ W, a b q, a ≠ b. III.1.43 Teorema (Ver [Dugundji]) As seguintes asserções são equivalentes: 1. O Axioma da Escolha; 2. Lema de Zorn≡ Dado um conjunto pre-ordenado X, se cada cadeia em X tem pelo menos um majorante, então existe cem X um elemento maximal; 3. Teorema de Zermelo≡ Todo o conjunto pode ser bem ordenado. III.1.44 Definição Seja W um ordinal. 1. O subconjunto S ⊂ W diz-se um ideal em W se ∀x ∈ W, x ∈ S ∧ y x y ∈ S. 2. Para cada a ∈ W, o conjunto Wa x ∈ W : x a ∧ x ≠ a diz-se o intervalo inicial determinado por a. III.1.45 Observação. W e são ideais em W. Como W tem primeiro elemento, é também um intervalo inicial, mas W não é um intervalo inicial. Certamente todo o intervalo inicial é um ideal em W. Enunciamos sem demonstração as seguintes propriedades (consultar [Dugundji] para demonstração). III.1.46 Propriedade 1. Toda a intersecção ou reunião de uma classe de ideais em W (uma tal classe é um conjunto) é um ideal em W. 2. Se IW é o conjunto de todos os ideais em W e JW é o conjunto de todos os intervalos iniciais de W, então JW IW\W; os ideais diferentes de W são intervalos iniciais. III.1.47 Definição Sendo W, , W ′ , ′ ordinais, uma função f : W → W ′ diz-se um monomorfismo se preserva a ordem i.e., a b fa ′ fb. f é um isomorfismo se é um monomorfismo e é uma bijecção. III.1.48 Observações (1) Certamente a composta de dois monomorfismos é um monomorfismo. (2) Se f : W → A é um monomorfismo e é uma bijecção, e se W é um ordinal, então a ordem de A é uma boa ordem e f é um isomorfismo. III.1.49 Teorema 1. O conjunto IW de todos os ideais de um ordinal W é um conjunto bem ordenado para a relação ⊂ de inclusão de conjuntos. 2. A função a Wa de W sobre o conjunto JW dos intervalos iniciais de W é um isomorfismo ( incluido em JW ⊂ IW). -173III.1.50 Teorema Sejam W um ordinal e ∑ ⊂ IW uma classe tal que: a Toda a reunião de conjuntos em ∑ está em ∑; b se Wa ∈ ∑ então também Wa a ∈ ∑. Então ∑ IW e, em particular, W ∈ ∑. III.1.51 Teorema (Comparação de ordinais) Sejam W e X ordinais. Então dá-se um e um só dos casos: 1. Existe um único isomorfismo de W sobre X; 2. Existe um único isomorfismo de W sobre um intervalo inicial de X. 3. Existe um único isomorfismo de X sobre cum intervalo inicial de W. III.1.52 Teorema (Construção transfinita) Seja W um ordinal, e seja E uma arbitrária classe. Suponhamos que para cada x ∈ W, é dada uma regra R x associando a cada : Wx → E um único R x ∈ E. Então: existe uma e uma só função F : W → E tal que Fx R x F ∣Wx para cada x ∈ W. III.1.53 Observaçõe (1) Em N 0 , o Teorema III.1.54 tem o enunciado mais simples: Seja E uma classe arbitrária e seja e ∈ E um dado elemento. Suponhamos que para cada n, é dada uma função R n : E → E. Então existe uma e uma só função F : N 0 → E tal que F0 e e Fn 1 R n1 Fn para cada n ∈ N 0 . Notar que não pode estabelecer-se III.1.54 definindo simplesmente F : W → E pondo Fx R x F ∣Wx , pois a definição seria circular. O teorema da Construção transfinita assegura precisamente a existência de F com a propriedade indicada. III.1.54 Teorema a) Todo o subconjunto A de um ordinal W é isomorfo a W ou é isomorfo a um ideal de W. b) Nenhum intervalo inicial de W é isomorfo a W. III.1.55 Teorema A classe de todos os ordinais é uma classe bem ordenada para a relação W ≤ X ≡ W é isomorfo a um ideal de X (e W X significando que W é isomorfo a X). III.1.56 Teorem (Indução transfinita) Seja W um ordinal, e seja Q ⊂ W. Se ∀x ∈ W, Wx ⊂ Q x ∈ Q então Q W. Dem. O primeiro elemento, 0, de W está em Q, pois W0 ⊂ Q. Não existe primeiro elemento de W\Q em W, pois se x ∈ W\Q então 0 é o primeiro elemento de W\Q; mas Q é bem ordenado, logo W\Q . III.1.57 Observações (1) O teorema anterior é muitas vezes utilizado na forma: (a) Seja x : x ∈ W um conjunto de proposições. Assumindo que: i P0 é verdade e ii para cada x, a hipótese de ser P verdadeira verdadeira para cada ∈ Wx implica que também Px é verdadeira, então Px é verdadeira. (2) Em N 0 , o princípio de indução transfinita é equivalente a: (b) Seja Pj : j ∈ N 0 um conjunto de proposições. Assumindo que: i P0 é verdadeira e ii para cada j, a hipótese Pj − 1 é verdadeira implica que também Pj é verdadeora, então: cada Pj é verdadeira. (3) A equivalência de (a) e (b) em N é consequência de cada elemento em N ter um predecessor imediato em N 0 , mas o análogo de (b) não é verdadeiro em geral: considere-se por exemplo N q, obt5ido por junção de um último elemento q ∉ N; a formulação em (b) não assegura que Pq seja verdadeira. -174III.1.58 Observação Como veremos, a classe M de todos os ordinais não é um conjunto, se bem que seja uma classe bem ordenada. Na classe de todos os ordinais, a relação W X significando que W é isomorfo a X é uma relação de equivalência, e poderíamos considerar a classe formada pelas classes de equivalência; seguidamente, considerando por exemplo o ordinal 1, 2, 3 para a ordem usual, poderíamos considerar a respectiva classe de equivalência e interpretá-la como sendo o número ordinal 3. Porem neste processo, tomando, como Frege, um número ordinal como uma classe de equivalência, então um número ordinal não seria um conjunto. É assim que, seguindo [Dugundji] pomos: III.1.59 Definição Um número ordinal é um conjunto com as propriedades: n1 ≡ x ∈ ∧ y ∈ x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ y x n2 ≡ x ∈ y ∧ y ∈ x ∈ . III.1.60 Exemplos é um númro ordinal. , , , , , , são números ordinais. Nota-se 0, 1, , 2, , , , 3, etc.; estes são os números ordinais finitos. Em geral, 0, 1, . . . , n − 1 n. Se é um número ordinal, é também um número ordinal, que se diz o sucessor de . III.1.61 Observação Dizemos que ”x precede y” em se ”x ∈ y”. A relação ∈ não é uma ordem parcial, pois x ∈ x é falso. Dado o número ordinal , pondo x ≤ y se e só se x y ou x ∈ y obtem-se uma ordem parcial ≤ em e, neste entendimento todo o número ordinal é um ordinal. A relação ∈ entre números ordinais tem as propriedades seguintes. III.1.62 Propriedade a Em cada conjunto não vazio A ⊂, existe um único a ∈ A, chamado o primeiro elemento de A, tal que a ∈ x ∨ a x para cada x ∈ A. b O primeiro elemento em é . c Se z ∈ então z é também um número ordinal. III.1.63 Destaquemos a demonstração de III.1.62 em [Dugundji]. Para a, existe certo a ∈ A tal que a ∩ A , pelo Axioma da Fundação. i.e., x ∈ A ~x ∈ a. Atendendo a n1 em III.1.59, o elemento a tem a propriedade requerida. No que respeita a b, se a é o primeiro elemento de então atendendo a n2, não existe x tal que x ∈ a. Finalmente quanto a c, consideremos x, y ∈ z. Como x, y ∈ z ∧ z ∈ x, y ∈, verifica-se n1 para quaisquer elementos de z. Para verificar n2, suponhamos x ∈ y ∧ y ∈ z. Como acabamos de provar, tem-se uma das relações x ∈ z, z ∈ x, z x; provemos que as duas últmas são falsas. Para a primeira destas, se z ∈ x então o subconjunto A x, y, z ⊂ não tem primeiro elemento contrariando a, pois este elemento teria de ser z, que não é, pois y ∈ z. E se z x então teríamos x ∈ y ∧ y ∈ x, o que contraria o Axioma da fundação para o conjunto x, y. III.1.64 Conforme a c em III.1.62, os números ordinais podem considerar-se como conjuntos ou como conjuntos de conjuntos.. Na mesma referência que seguimos, estabelece-se seguidamente a unicidade dos números ordinais: -175III.1.65 Propriedade a Se , são números ordinais e ≠ , então ⊂ se e só se ∈ i.e., os números ordinais consistem de todos os seus subconjuntos próprios. b Se e são números ordinais então ⊂ ou ⊂. Tem-se então: III.1.64 Teorema Seja O a classe de todos os números ordinais. Definindo ≤ sse ⊂ tem-se: 1 A relação ≤ é uma boa ordem em O; 2 O não é um conjunto; 3 Para cada ∈ O, o intervalo inicial O e, em particular, é um conjunto; 4 Se E é um conjunto de números ordinais, existe um número ordinal maior que todos os números ordinais em E (e, de facto, um menor número ordinal maior que todos os números ordinais de E; 5 Cada sucessão decrescente de números ordinais é necessariamente finita i.e., se 0 ≥ 1 ≥. . . então existe um número ordinal n tal que i ≥ n se i ≥ n; 6 Cada ordinal W é isomorfo a um certo O. Diz-se então que é o número ordinal de W e nota-se ordW. III.1.65 Estabelece-se facilmente 2: se O fosse um conjunto, verificaria as condições n1 e n2, donde seria um número ordinal tal que O ∈ O, o que como sabemos é impossíavel. Obtem-se então imediatamente III.1.58, pois se a classe M de todos os ordinais fosse um conjunto, III.1.61 mostra que O ∈ M : é um número ordinal seria um conjunto atendendendo a III.1.14, já que a propriedade p ≡ é um número ordinal ∈ M. III.1.66 Seguindo III.1.60, os números ordinais finitos são 0, 1 0, n 0, 1, . . . , n~1. Dizemos que um ordinal W é finito se ordW n para algum n. O sucessor do número ordinal nota-se 1. Conclui-se do Axioma do infinito que existem números ordinais que não são sucessores. Dizem-se números ordinais limite. Notar que existem números ordinais infinitos que não são números ordinais limite, por exemplo, o número ordinal do conjunto N 1, 2, , . . . designa-se por ; o número ordinal infinito 1 tem predecessor imediato . Adoptando a notação para intervalos de R, notamos o intervalo inicial O 0, . Obviamente ord0, . III.1.67 Observação Consideraremos O como uma classe bem ordenada de ordinais, contendo exactamente um representante de cada classe de equivalência de ordinais isomorfos. -176III.1.68 Os ordinais relacionam-se com a contagem: para contar, começamos por um elemento e tacitamente consideramos uma boa ordem. O conceito de cardinal relaciona-se apenas com tamanho: para saber se um conjunto tem mais elementos que outro, precisamos apenas de associar cada elemento de um conjunto a outro, e ver se sobram ou faltam. Deste modo, no Cap. I, definimos dois conjuntos como sendo equipotentes se existe uma bijecção de um sobre o outro. A equipotência é obviamente uma relação de equivalência na classe de todos os conjuntos; deste modo divide a classe de todos os conjuntos nas classes de equivalência, que são as classses de equipotência. Notamos X equipotente a Y por ”cardX cardY”. III.1.69 Observação Dois ordinais diferentes podem ser equipotentes. Por exemplo, os ordinais 0, e 0, não são isomorfos, pois nenhum intervalo inicial de um ordinal pode ser isomorfo ao ordinal (Teorema III.1.54 b)); no entanto, 0, n n 1 é uma bijeccção do primeiro conjunto sobre o segundo. Esta é uma diferença importante entre ordinais finitos e ordinais infinitos: para ordinais infinitos, o número ordinal depende de ambos o tamanho do conjunto e a maneira como os elementos são contados. A decomposição da classe de todos os ordinais em classes de equipotência é diferente da decomposição de O em clases de equivalência para a relação de isomorfismo. Cada classe de isomorfismo pertence a uma classe de equipotência, mas uma classe de equipotência contem geralmente muitas classes de isomorfismo; como por exemplo a classe de equipotência que contem , 1, cada 2 1 1, n n − 1 1. Correspondendo ao exposto no Cap. I, põe-se III.1.70 Definição Dados conjuntos X, Y nota-se cardX ≤ cardY para significar qu existe uma injecção de X em Y. III.1.71 Observações Concluem-se. (1) cardA ≤ cardX se A ⊂ X; (2) se existe uma sobrejecção f : X → Y então cardY ≤ cardX. III.1.72 Associamos um símbolo, chamado o número cardinal de X a cada conjunto X de tal modo que dois conjuntos têm o mesmo número cardinal se e só se são equipotentes, do modo seguinte. Uma vez que cada conjunto pode ser bem ordenado, a cada classe de equipotência pertence pelo menos um número ordinal; e sndo a classe O dos números ordinais bem ordenada, existe na classe de equipotência de X um menor número ordina, o número ordinal inicial da classe. Representamos este número ordinal inicial por X, e dizemos que é o número cardinal de X. III.1.73 Observações (1) Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum número ordinal menor. X é o menor número ordinal a que X é equipotente, tomado com conjunto standard equipotente a X. (2) Certamente X X. Verifica-se W ≤ ordW para todo o ordinal W. (3) Notar que 0, ≨ ord0, 1 (III.1.66). -177III.1.74 Reservam-se símbolos especiais para certos números cardinais. Nota-se 0, 1, . . . , n n Um conjunto X é finito se e só se X n para algum n; doutro modo o conjunto diz-se que é infinito, e que o seu número cardinal é um número cardinal transfinito. Representa-se N 0 (temos notado # 0 ). Os conjuntos X tais que X ≤ 0 são os contáveis e, se 0 ≨ X dizemos que X não é contável. A notação com o símbolo hebraico para números cardinais é complementada com ordinais do modo seguinte: para cada número cardinal , 0 ≤ , o conjunto : 0 ≤ ≤ é bem ordenado; é portanto isomorfo a um ideal C em C. Convenciona-se então notar . III.1.76 Observações (1) Para distinguir, nota-se para significar N munido da ordem usual e 0 para N. (2) A hipótese do contínuo consiste na igualdade 1 c; a hipótese generalizada do contínuo é que para cada número ordinal , P 1. (3) No contexto rigoroso que seguimos para definir X, prova-se que dados conjuntos X, Y se tem cardX ≤ cardY X ≤ Y. (4) Obtêm-se definições e propriedades correspondentes às vistas no Cap. I para operações com números cardinais. (5) A reunião contával de conjuntos contáveis é um conjunto contável.. (6) Obtêm-se as propriedades correspondentes às expostas no Cap. I. Em particular, obtem-se que dado um conjunto X, tem-se X ≨ PX. Observemos que a classe C dos números cardinais não é um conjunto, e é uma classe bem ordenada por III.1.70. 0 é o menor número cardinal e 0 é o menor número cardinal transfinito. (7) Se não tem predecessor imediato, diz-se que o número cardinal é um número cardinal inacessível. (8) O facto que 0 é o menor número cardinal transfinito significa que cada conjunto infinito contem um conjunto contável, propriedade que revemos do Cap. I. III.1.77 Observação De notar que, numa Axiomática de teoria de conjuntos sem a Hipótese do contínuo, tudo o que pode afirmar-se da relação entre o menor número cardinal maior que 0 o qual notamos 1 , e o contínuo, é que 1 ≤ cardR cardPN c. Ressalvando que admitimos a Hipótese do contínuo na teoria de conjuntos, cuja Axiomática foi formulada, nos parágrafos que seguem, pomos contudo a definição geral III.1.78 Definição Representamos por o número cardinal 1 que é o menor número cardinal maior que o numerável 0 , quando considerado como um número ordinal em O. Dizemos que é o primeiro ordinal não contável. III.1.79 Teorema (1) O intervalo inicial O 0, tem a propriedade de cada subconjunto finito ter um supremo em 0, . (2) Cada subconjunto contável de 0, tem um supremo em 0, . Dem. (1) é óbvio. Para (2), seja A ⊂ O um conjunto contável. Designe S o ideal O : ∈ A ⊂ 0, , já que a reunião de conjuntos contáveis é um conjunto contável (III.1.76 (5)). Como não é equipotente a nenhum número ordinal menor e O ≤ 0 para cada ≨ , temos S ≤ 0 ≨ 1 O. Portanto S não é isomorfo a 0, e, atendendo a III.1.47 2., S 0, para algum ≨ , é o supremo de A, c.q.d. -178III.2 ESPAÇO TOPOLÓGICO E BASE DE UMA TOPOLOGIA III.2.1. Definição pela classe dos abertos Seja X um conjunto não vazio. Diz-se que a classe T ⊂ PX é uma topologia sobre X se tem as propriedades T1 , X ∈ T T2 A ∈ T ∈ A A : ∈ A ∈ T T3 A 1 , A 2 ∈ T A 1 ∩ A 2 ∈ T Se T é uma topologia sobre X, o par X, T é um espaço topológico; os conjuntos que constituem a topologia chamam-se os conjuntos abertos da topologia, ou do espaço topológico. Podem considerar-se diferentes topologias sobre X, se X não se reduz a um elemento; não havendo risco de confusão uma vez estabelecida a topologia que se considera, nota-se apenas X para designar o espaço topológico. No que segue supomos X um conjunto não vazio. III.2.2 Exemplos (1) A classe G , X é uma topologia sobre X, a topologia grosseira ou topologia grossa de X. (2) D PX é a topologia discreta de X. (3) A classe , A ⊂ X : A c é finito diz-se a topologia cofinita de X. (4) Se X 0, 1, a classe S , 0, 0, 1 é a topologia de Sierpínski. (5) A classe , X, a, c, p, a, c, p, b, c, p, q é uma topologia sobre o conjunto X a, b, c, p, q. (6) O Teorema II.5.4 mostra que se E, d é um espaço métrico, a topologia da métrica T E é um exemplo de uma topologia sobre E. III.2.3 Observação Sendo d R a métrica usual de R, é importante em Análise a topologia sobre R definida do modo seguinte: um conjunto não vazio é aberto se e só se, cada vez que lhe pertence um ponto p, o conjunto contém um intervalo aberto de centro p. Esta é a topologia usual U de R; trata-se de um caso particular do exemplo (6) em III.1.2. III.2.4 Definição Cada conjunto complementar de um conjunto aberto no espaço topológico X, T diz-se um conjunto fechado III.2.5 Exercícios 1. Verifique os Exemplos (3), (4), (5) e indique quais os conjuntos fechados. 2. A que condição deve obedecer X para que as topologias em (2) e (3) coincidam? Justifique. 3. As classes T 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 3, 4, 5, e T 2 1, 2, 3, 4, 5, são topologias sobre o conjunto X 1, 2, 3, 4, 5? E a classe T , A ⊂ X : 5 ∈ A? Justifique. -179III.2.6 Resoluções 1. (3) T1 é verificada, pois X c é um conjunto finito; T2 se cada A ⊂ X satisfaz A c finito, então A : ∈ A c A c : ∈ A é finito; T3 A 1 ∩ A 2 c A c1 A c2 é um conjunto finito se ambos A c1 , A c2 são finitos. Os conjuntos fechados são X e os conjuntos finitos. (4) Verifica-se T1. Dado que S é uma classe finita e a reunião ou intersecção de quaisquer dois conjuntos em S está em S, T2 e T3 são verificadas. Os conjuntos fechados são , 0 e 0, 1. (5) T1 é satisfeita; T2 é verificada por a, c, p, a, c, p e a reunião de qualquer um destes conjuntos com b, c, p, q está ainda na classe; T3 as intersecções de dois conjuntos diferentes de , X são ∈ T, a ∈ T ou c, p ∈ T. Os fechados (complementares dos abertos) são , X, b, c, q, p, a, a, b, q e b, q. 2. Deve ser X finito, pois obtem-se a topologia PX; mas se o conjunto X não é finito não se obtem a topologia discreta de X, pois se p ∈ X então p c não é um conjunto finito. 3. T 1 não é uma topologia sobre X, pois a intersecção 3 1, 2, 3 ∩ 3, 4, 5 ∉ T 1 . T 2 não é, pois X ∉ T 2 . T 3 é uma topologia, porque verifica T 1 , T 2 e T 3 . III.2.7 Definição Diz-se que um espaço topológico X, T, ou a topologia T de X é metrizável se existe uma métrica d sobre X tal que T é a topologia T X do espaço métrico X, d (ver II.5.1 e II.5.4). III.2.8 Observação II.5.3 mostra que o espaço topológico discreto X, D é metrizável. Se c é um número real positivo, D é a topologia do espaço métrico X, d, onde d é a métrica sobre X, dx, y 0 x y, dx, y c x ≠ y. O espaço do Exemplo (3) acima não é metrizável, se X é um conjunto infinito. (4) e (5) não são metrizáveis. (6), e em particular a topologia usual de R, é metrizável pela definição. III.2.9 Vemos em III.1.6 que uma mesma topologia metrizável pode ser dada por duas métricas diferentes. III.2.10 Exercícios (1) Prove que se M, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, a classe T L, onde U ∈ L se e só se verifica a condição x ∈ U ∧ y ≤ x y ∈ U é uma topologia sobre M. (2) Mostre que a classe formada por e cada subconjunto C de N tal que, se n ∈ C então todos os divisores de n estão em C, é uma topologia sobre N que é diferente da topologia discreta D PN. III.2.11 Observação Conforme a III.1.2 (6), a classe U dos conjuntos O da forma O x − x , x x : x ∈ C, C ⊂ R x 0 é uma topologia sobre R, a topologia usual de R. Tem-se U I : ∈ A : I é um intervalo aberto, A é um qualquer conjunto de índices. Notar que a reunião vazia ∈ U, R R : R ∈ R ∈ U, a reunião I , : , ∈ A : ∈ Γ I , : , ∈ A : ∈ Γ e, quanto a T3, tem-se I : ∈ A ∩ I : ∈ B I ∩ I : , ∈ A B. A classe I dos intervalos abertos de R verifica I : I ∈ C R e se I, J ∈ C e I ∩ J ≠ então para cada ponto p ∈ I ∩ J, certo L ∈ C verifica p ∈ L ⊂ I ∩ J. Põe-se -180III.2.12 Definição Se X, T é um espaço topológico, a classe B ⊂ T é uma base da topologia T se tem as propriedades equivalentes B ≡ ∀O ∈ T, ∃B O ⊂ B, O B : B ∈ B O i.e., cada aberto é uma reunião generalizada de conjuntos na base; B ′ ≡ ∀O ∈ T, ∀x ∈ O, , ∃B x ∈ B : x ∈ B x ⊂ O. III.2.13 Se B é base da topologia T e B 1 , B 2 ∈ B então B 1 ∩ B 2 é um aberto; logo B verifica a condição: quaisquer que sejam B 1 , B 2 ∈ B, se x ∈ B 1 ∩ B 2 , existe B x ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2. III.2.14 Exemplos (1) Qualquer topologia T é uma base de T. A classe I em III.1.10 é uma base da topologia usual de R. (2) Dado X ≠ , a classe p : p ∈ X dos conjuntos singleton de X é uma base da topologia discreta D de X. (3) X é uma bae da topologia grossa de X ≠ . (4) Se F é um filtro sobre X, F é uma base da topologia F sobre X. Continuamos a supor X ≠ . III.2.15 Observação Decorre de B ′ em III.1.12 que X B : B ∈ B. Se uma classe C ⊂ PX verifica X B : B ∈ C e a condição em III.1.13 então a classe das reuniões generalizadas de conjuntos em C é um topologia T C sobre X. III.2.16 Exercício Verifique a Observação III.1.10. III.2.17 Resolução Tem-se B : B ∈ ∈ T C , X ∈ T C . Dadas O B , : ∈ A ∈ Γ tem-se O : ∈ Γ B , : ∈ Γ, ∈ A ∈ T C . E quanto a T3 verifica-se que dados B, B ′ ∈ C, o conjunto B ∩ B ′ ⊂ B ′′ : B ′′ ⊂ B ∩ B ′ uma vez que cada x ∈ B ∩ B ′ pertence a certo B x ⊂ B ∩ B ′ ; e B ′ ∩ B ′′ ⊃ B x : B x ⊂ B ∩ B ′ , logo B ∩ B ′ B x : B x ⊂ B ∩ B ′ . Então dados O B : ∈ A, B ∈ C e O ′ B ′ : ∈ A ′ , B ′ ∈ A ′ tem-se O ∩ O ′ B ∩ B ′ : , ∈ A A ′ B x : x ∈ B ∩ B , , ∈ A A ′ ∈ T C como consequência de, já provado, T2. III.2.18 Definição Diz-se que a classe C ⊂ PX é base para uma topologia sobre X se B1 X B : B ∈ C; B2 Para cada dois conjuntos B 1 , B 2 em C e cada ponto x ∈ B 1 ∩ B 2 , certo conjunto B x na classe C existe tal que x ∈ B x ⊂ B 1 ∩ B 2 . A topologia T C diz-se que é a topologia gerada pela base C, ou que a classe C gera a topologia T. -181III.2.19 Observações (1) Nem toda a classe não vazia M ⊂ PX é base para uma topologia sobre X, ainda que M satisfaça B1). Por exemplo, com X a, b, c, a classe M a, b, b, c não pode ser base de uma topologia sobre X: Pois a intersecção dos abertos b a, b ∩ b, c deveria ser um aberto, logo reunião de conjuntos na classe M. (2) A condição B2 em III.1.15 verifica-se em particular se para cada B 1 , B 2 ∈ C, a intersecção B 1 ∩ B 2 ∈ C. (3) Em se constatando que uma classe C ⊂ PX verifica sa condições B1 e B2, obtem-se uma topologia sobre X, nomeadamente a topologia T C (Observação III.1.15). (4) Dada uma classe não vazia S ⊂ PX, se B é uma para uma topologia T sobre X e B ⊃ S, então B é uma base de T e cada conjunto em S é um aberto.(4) Se em particular em (2), C é uma partição de X, a classe das reuniões generalizadas dos conjuntos em C é uma topologia sobre X. III.2.20 Exercício Prove que se B, B ∗ são bases para topologias T e T ∗ respectivamente sobre X, então T ∗ ⊃ T se e só se é verificada a relação ∀B ∈ B, ∀p ∈ B, ∃B ∗ ∈ B ∗ : p ∈ B ∗ ⊂ B. III.2.21 Resolução Condição necessária: Se T ∗ ⊃ T e p ∈ B, onde B ∈ B então B é aberto em X, T; pelo teorema anterior, existe B ∗ ∈ B ∗ tal que p ∈ B ∗ ⊂ B. Condição suficiente: Na hipótese dada, cada B ∈ B é uma reunião generalizada B B ∗p : p ∈ B onde para cada p ∈ B, B ∗p ∈ B ∗ satisfaz p ∈ B ∗p ⊂ B (Verifique). Donde se O ∈ T tem-se O B : ∈ A B ∗,p : p ∈ B : ∈ A B ∗,p : ∈ A, p ∈ B ∈ T ∗ e T ⊂ T∗. III.2.22 Dada uma cadeia não vazia X, ≤, onde pomos a ≨ b com o significado óbvio a, b ∈ X, notando a, b x ∈ X : a ≨ x ≨ b um intervalo aberto de X, tem-se que a intersecção dos intervalos a, b ∩ c, d ou é vazia ou é um intervalo aberto; em particular a classe dos intervalos abertos de X verifica a condição B2 em III.1.18. Se X não tem elemento mínimo nem elemento máximo, então cada ponto x ∈ X pertence a um intervalo de X, e verfica-se também a condição B1. Supondo que existe um elemento mínimo a 0 (respectivamente um elemento máximo b 0 ) em X, verifica-se facilmente que a classe constituída pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma a 0 , b x ∈ X : a 0 ≤ x ≨ b (resp. pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma a, b 0 x ∈ X : a ≨ x ≤ b 0 ) de X é uma base para uma topologia sobre X. Esta é a topologia da ordem de X, ≤. III.2.23 Exemplos (1) A topologia usual de R é a topologia da ordem usual. (2) Em R 2 pode considerar-se a ordem lexicográfica x, y ≤ a, b sse x ≨ a ou x a ∧ y ≤ b e obter sobre o plano cartesiano a respectiva topologia da ordem. Sugere-se representar graficamente as possibilidades para um intervalo aberto. III.2.24 Exemplo A topologia U sobre R gerada pela classe I a, b : a, b ∈ R é a topologia do limite superior U de R. Para esta topologia, cada intervalo a, b a ≨ b é um aberto. Analogamente se obtem a topologia do limite inferior U − , gerada pela classe I − a, b : a, b ∈ R. III.2.25 Exercício Verifique que as classes I , I − são bases para uma topologia. -182III.2.26 Resolução Considerando I , tem-se R −n, n : n ∈ N. Também a intersecção de dois intervalos da forma a, b é um intervalo da mesma forma se não é vazia. Analogamente para I − III.2.27 Definição Dadas topologias T e T ∗ sobre X, diz-se que T ∗ é mais fina que T ou que T é menos fina que T ∗ se T ∗ ⊃ T. T ∗ é estritamente mais fina que T (T estritamente menos fina que T ′∗ ) se T ∗ T. III.2.28 (1) Mostre que a topologia do limite superior I sobre R é estritamente mais fina que a topologia usual U de R. (2) Mostre que no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂, M a classe das topologias sobre X, existe máximo e mínimo. III.2.29 Resoluções (1) A classe I dos intervalos abertos em III.1.7 gera U. Tem-se −, b −n, b − 1/n : n ∈ N logo cada intervalo −, b ∈ T I ; como cada a, a, a n : n ∈ N ∈ T I conclui-se que cada intervalo aberto a, b ∈ T I U . Portanto U ⊃ I, donde U ⊃ U. O conjunto 0, 1 é aberto em R, U mas não é aberto em U, logo U é estritamente mais fina que U. (2) Dado X, tem-se G ⊂ T ⊂ D para cada topologia T sobre X. III.2.30 Exercício Seja C0, 1 o conjunto das funções reais contínuas sobre 0, 1. a Prove que as seguintes classes são bases para topologias sobre C0, 1: 1 i a classe M formada pelos conjuntos Mf, g ∈ C0, 1 : ∣ f − g ∣ 0 f ∈ C0, 1, 0, onde o integral é o integral à Riemann ou à Lebesgue; ii B constituída pelos conjuntos Uf, g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1 ; iii a classe L dos conjuntos Uf, W, g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ W onde W é um subconjunto finito de 0, 1, 0. b Mostre que T B é mais fina que T L . c Prove que T M e T L não são comparáveis no conjunto parcialmente ordenado M0, 1, ⊂, M0, 1 a classe das topologias sobre C0, 1. d T M é metrizável? T B é metrizável? Justifique. III.2.31 Resolução a i Sendo f 0 x 0 0 ≤ x ≤ 1 tem-se C0, 1 Mf 0 , n : n ∈ N. Dadas f 1 , f 2 ∈ C0, 1, 1 , 2 0, se f ∈ Mf 1 , 1 ∩ Mf 2 , 2 então para cada g ∈ Mf, , onde 1 1 min 1 − ∣ f − f 1 ∣, 2 − ∣ f − f 2 ∣ tem-se 1 0 1 0 1 1 1 0 ∣ g − f ∣ 0 ∣ g − f i ∣≤ 0 ∣ g − f ∣ 0 ∣ f − f i ∣ 0 ∣ f − f i ∣≤ i i 1, 2 donde Mf, ⊂ Mf 1 , 1 ∩ Mf 2 , 2 . ii Com f 0 como em i, tem-se C0, 1 Uf 0 , n : n ∈ N. Dados Uf 1 , 1 , Uf 2 , 2 , dada f ∈ Uf 1 , 1 ∩ Uf 2 , 2 , min i − sup∣ fx − f i x ∣: 0 ≤ x ≤ 1, i 1, 2 verifica sup∣ gx − fx ∣ sup∣ gx − f i x ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ f i x − fx ∣: 0 i 1, 2 e Uf, ⊂ Uf 1 , 1 ∩ Uf 2 , 2 . -183iii Sendo f 0 como em i, ii, W 0, tem-se C0, 1 Uf 0 , 0, n : n ∈ N. Também dados W 1 , W 2 subconjuntos finitos de 0, 1, 1 , 2 0 e dadas f i , i 1, 2 ∈ C0, 1, f ∈ Uf 1 , W 1 , 1 ∩ Uf 2 , W 2 , 2 então com min i − sup∣ fx − f i x ∣: x ∈ W i : i 1, 2 0, W W 1 W 2 encontra-se g ∈ Uf, W, sup∣ gx − f i x ∣: x ∈ W i supf i x − fx ∣: x ∈ W i ≤ i i 1, 2. assim Uf, W, ⊂ Uf 1 , W 1 , 1 ∩ Uf 2 , W 2 , 2 . b Utilizando III.1.17, temos. dado Uf, W, e dada g ∈ Uf, W, então com − sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 0 verifica-se Ug, ⊂ Uf, W, . Efectivamente, sup∣ gx − x ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ fx − x ∣: x ∈ W . (Preencha os detalhes). Assim, III.1.17 mostra que T B ⊃ T L . c Se dadas f, g ∈ C0, 1 tais que g ∈ Mf, 1 mostrarmos que não existem um subconjunto finito W e 0 para os quais Ug, W, ⊂ Mf, 1 teremos provado que Mf, 1 não é reunião generalizada de conjuntos em L, donde T L não é mais fina que T M . Com efeito, qualquer que seja 0 e para cada subconjunto finito W x1, . . . , xn de 0, 1, g ∈ Mf, 1, tem-se: se W x1 0, existe uma função contíunua crescente : 0, 1 → R tal que 0 g0 /2 e x 2 ∣ g0 ∣ ∣ fx ∣ 1/2 ≤ x ≤ 1; vem ∈ Ug, W, mas ∉ Mf, 1. Analogamente se W 1, considerando certa C0, 1 decrescente, tal que 1 g1 /2. Para outros conjuntos finitos W vê-se facilmente que existe uma 1 função contínua ∈ C0, 1 tal que xi gxi 1 ≤ i ≤ n e ∣ − f ∣≥ 1. 0 Então ∈ Ug, W, \Mf, 1. Reciprocamente, podemos também considerar, dadas g, f tais que g ∈ Uf, W, 1 e sendo 0, uma função ∈ C0, 1 tal que ∈ Mg, \Uf, W, 1: existe uma função contínua : 0, 1 → R tal quex k ∣ gx k ∣ 1, onde x k ∈ W verificando 1 ∣ g ∣ . 0 1 d A métrica d 1 f, g ∣ f − g ∣ em II.4.4 (5) a) verifica que a bola aberta 0 B 0 f, Mf, . Assim a topologia T M é metrizável. Verifica-se facilmente, utilizando a desigualdade supa b : ∈ A ≤ supa : ∈ A supb : ∈ A que a função df, g sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 é uma métrica sobre C0, 1; tem-se para a bola aberta B 0 f, Uf, , donde a topologia T B é a topologia do espaço métrico C0, 1, d. III.2.32 Observação Dada qualquer classe não vazia H de subconjuntos de X, existe uma topologia TH sobre X tal que H ⊂ TH ⊂ T para toda a topologia T sobre X tal que todo o conjunto em H é aberto no espaço topológico X, T. De facto, a classe n H ∗ k1 C k : C k ∈ H, n ∈ N é uma base de TH, que é portanto a menor topologia sobre X, no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂ das topologias sobre X, que contém a classe H. III.2.33 Exercício Verifique a observação acima. III.2.34 Definição Dada uma classe de conjuntos H ⊂ PX, a topologia TH diz-se a topologia que tem H como subbase. III.2.35 Observações (1) Notar que toda a classe não vazia de subconjuntos de X é subbase de uma topologia sobre X. (2) Seguindo III.2.19 (4), se S é uma subbase de T, e B é uma base de T, a classe das intersecções finitas de conjuntos em S é uma base B ′ de T, B ′ ⊂ B. -184III.2.36 Exemplo Se Γ é um número ordinal, podemos considerar sobre o conjunto de ordinais 0, Γ ∈ M : 0 ≤ ≤ Γ onde M é a classe de todos os ordinais, a topologia que tem como subbase os intervalos 0, ∈ M : 0 ≤ e , Γ ∈ M : ≤ Γ. Obtem-se assim o espaço ordinal 0, Γ e podemos considerar o subespaço 0, Γ. Os conjuntos , ∈ M : formam uma base da topologia. Notar que , é aberto se e só se 0 ou tem um predecessor imediato. Também um sigleton , ≠ Γ, é aberto se e só se tem um predecessor imediato. III. 2.37 Definição Dada uma classe não vazia N T : ∈ A de topologias sobre o conjunto X, a topologia supremo ∨T : ∈ A da classe N é a topologia sobre X que tem a classe T : ∈ A como subbase. III.2.38 Observação Verifica-se facilmente que ∨T : ∈ A ⊃ T ∈ A e, se T é uma topologia sobre X mais fina que todas as T , então T ⊃ ∨T : ∈ A. Também ∧T : ∈ A T : ∈ A é uma topologia menos fina que cada T e, se a topologia T 0 é menos fina que cada T então ∧T : ∈ A é mais fina que T 0 . Conclui-se a III.2.39 Propriedade Dado um conjunto X, existem o ínfimo e o supremo de cada conjunto no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂ de todas as topologias sobre X. III.2.40 Exercício Considere as classes B a, : a ∈ R, B − −, b : b ∈ R. a Mostre que B e B − são bases para topologias U e U − respectivamente sobre R. b Prove que em U (U − ) qualquer intersecção generalizada de abertos é um aberto. c Qual é a topologia ∨U , U − ? III.2.41 Exemplo As classes , X, 0 e , X, 1, X −1, 0, 1, mostram que a reunião de duas topologias sobre X pode não ser uma topologia sobre X. -185III.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO III.3.1 Vimos que dada uma classe não vazia C de subconjuntos de X, a colecção das reuniões generalizadas de conjuntos na classe não é necessariamente uma topologia sobre X, pois a intersecção de dois abertos deve ser um aberto, os conjuntos em C devem ser abertos, e a condição B2 em III.1.18 pode não ser verificada pela classe C. Respondendo à questão com a própria pergunta, a classe das intersecções finitas de conjuntos em C (III.1.33 e III.1.34) é uma base B da topologia T sobre X que tem C como subbase. Se considerarmos, dada a base B, conjuntos V x tais que para cada x ∈ B 1 ∩ B 2 se verifique x ∈ B x ⊂ V x ⊂ B 1 ∩ B 2 , B x ∈ B na condição B2 em III.I.18, obtemos conferindo III.1.17 que cada intersecção de dois conjuntos na base B é reunião generalizada dos conjuntos V x e assim cada aberto A de T é uma reunião A V x : x ∈ A. III.3.2 Definição Dados o espaço topológico X, T, p ∈ X, diz-se que o subconjunto V de X é uma vizinhança do ponto p se existe um aberto O ∈ T tal que p ∈ O ⊂ V. Designa-se por V p a classe das vizinhanças do ponto p. III.3.3 Teorema Um subconjunto A de um espaço topológico X, T é aberto se e só se A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Dem. Certamente não deixa de verificar a condição dada e X é vizinhança de cada ponto p ∈ X. Se A é um aberto, de p ∈ A ⊂ A vemos que A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Reciprocamente, se para cada x ∈ A existe um aberto O x tal que x ∈ O x ⊂ A então A ⊂ O x : x ∈ A ⊂ A donde A O x : x ∈ A é um aberto. III.3.4 Propriedade A classe V p das vizinhanças de um ponto p ∈ X, T é um filtro sobre X e verifica as propriedades i Se V ∈ V p então p ∈ V ii Se U, V ∈ V p então U ∩ V ∈ V p iii Se V ∈ V p e U ⊃ V então U ∈ V p iv Dada U ∈ V p existe para cada x ∈ U certa V ∈ V p tal que V ⊂ U e V ∈ V x para cada x ∈ V. Dem. i. . . iii são consequências directas da definição. Para iv, se U ∈ V p tem-se p ∈ O ⊂ U onde O é um aberto, e pode considerar-se V O para cada x ∈ O, atendendo a III.2.3, c.q.d. -186III.3.5 Pode perguntar-se se sendo X um conjunto não vazio, e dispondo de uma função V : X → PX que associa a cada x ∈ X uma classe V x verificando as condições i, ii, iii, a classe dos conjuntos A ⊂ X tais que A ∈ V x para cada x ∈ A, é uma topologia T sobre X. A resposta é afirmativa. Pois certamente T1 é verificada. Para T2, se x ∈ A : ∈ A e A ∈ V y para cada y ∈ A então, usando iii vem A : ∈ A ∈ V x . Quanto a T3, dados A, B ∈ T e x ∈ A ∩ B tem-se A, B ∈ V x donde A ∩ B ∈ Vx. III.3.6 Observação Se a condição iv em III.2.4 é também verificada, V x é o filtro das vizinhanças de cada ponto x no espaço topológico X, T, atendendo a III.2.3. III.3.7 Definição Diz-se que o espaço topológico X, T é um espaço de Hausdorff se dados dois quaisquer pontos a, b ∈ X, a ≠ b, existem vizinhançase disjuntas U, V de a, b respectivamente. Em linguagem lógica, o espaço é um espaço de Hausdorff se e só se verifica a condição Hausdorff ≡ ∀a, b ∈ X, a ≠ b, ∃U ∈ V a , V ∈ V b , U ∩ V . Atendendo a II.5.7 e à definição de vizinhança de um ponto, todo o espaço topológico metrizável é um espaço de Hausdorff. III.3.8 Definição Dado o espaço topológico X, T, a ∈ X, diz-se que a classe B a é uma base de vizinhanças do ponto a se B a ⊂ V a e B a é uma base do filtro V a . Também se diz que B a é um sistema fundamental de vizinhanças do ponto a. III.3.9 Observação As topologias sobre X para as quais existe uma base de vizinhanças fechadas (que são conjuntos fechados) de cada ponto têm propriedades particaulares. Também se destacam as topologias tais que cada ponto tem uma base de vizinhanças contável. III.3.10 Exercícios (1) Verifique que as topologias metrizáveis sobre X têm ambas as propriedades na observação anterior. (2) Conclua que se X é um conjunto infinito então a topologia cofinita de X não é metrizável. III.3.11 Resoluções (1) Se X, T é metrizável para uma métrica d, a classe Ba, 1/n : n ∈ N, onde Ba, 1n x ∈ X : dx, a ≤ 1/n é uma base contável de vizinhanças de a formada por conjuntos fechados. (2) Com efeito a única vizinhança fechada de um ponto p ∈ X é todo o X; pois se p ∈ A ⊂ W ≠ X, A aberto e W fechado então o conjunto infinito A (A é infinito pois X\A é finito) está contido no conjunto finito W, o que é impossível. Mas se x ≠ p então V X\x é uma vizinhança de p diferente de X, logo não existe nenhuma vizinhança fechada de p contida em V. Portanto não se verifica que todo o ponto tem uma base de vizinhanças fechadas logo, por (1), X não é metrizável. III.3.12 Definição O espaço topológico X diz-se que é um espaço C1 ou que verifica o 1º axioma da numerabilidade se cada ponto tem uma base de vizinhanças contável. -187III.3.13 Observações (1) Atendendo a III.2.9 (1), todo o espaço metrizável é um espaço C1. (2) O espaço topológico N, C, C a topolgia cofinita (Exemplo III.1.2 (3)) é um espaço C1 não metrizável. (3) Munindo R da topologia para a qual um conjunto A é aberto se e só se R\A é um conjunto contável ou A , obtem-se um espaço topológico que não é um espaço C1, como veremos em III.7. III.3.14 Exercício Verifique III.2.12 (2). III.3.15 Resolução Como se viu em III.2.9, N, C não é metrizável. Dado n ∈ N, o filtro das vizinhanças V n de n é uma base de vizinhanças do ponto n. Pela definição da topologia, tem-se V n F c : n ∉ F, F é um conjunto finito; Assim a função f : F n → V n definida por fF F c , onde F n é a classe dos subconjuntos finitos de X a que n não pertence é uma bijecção; donde o cardinal de V p é o cardinal de F p , portanto não excede # 0 . III.3.16 Observação Dado o espaço topológico X, T, x ∈ X, o menor número cardinal x, X, T dos números cardinais das bases de viznhanças de x diz-se o carácter de X, T no ponto x. O carácter de X, T é o número cardinal X, T supx, X, T : x ∈ X. Assim dizer que um espaço topológico é um espaço C1 é o mesmo que dizer que o espaço tem um carácter contável. III.3.17 Definição Se C é um subconjunto do espaço topológico X, W ⊃ A ⊃ C, onde A é um aberto, diz-se que o conjunto W é uma vizinhança de C. III.3.18 Definição Diz-se que o espaço topológico X, T é um espaço C2 ou que verifica o 2º axioma da numerabilidade se existe uma base contável da topologia T. III.3.19 Observações. (1) Conclui-se do Teorema II.7.7 que todo o espaço topológico X metrizável para uma métrica d e tal que X, d é separável, é um espaço C2; e se X, d não é separável, então não é um espaço C2 quando munido da topologia associada à métrica. Em particular, R, D, D a topologia discreta, não é um espaço C2. III.3.20 Exercício Prove que todo o espaço C2 é um espaço C1. III.3.21 Resolução Seja X, T um espaço C2, B uma base contável da topologia. Se a ∈ X e A é um aberto tal que a ∈ A então existe B ∈ B, a ∈ B ⊂ A. Logo se V é uma vizinhança de a, existem A ∈ T, B ∈ B, a ∈ B ⊂ A ⊂ V. Postanto a classe B a B ∈ B : a ∈ B é uma base contável de vizinhanças do ponto a. III.3.22 Observação Dado um espaço topológico X, T, diz-se peso (weight) do espaço o número cardinal ínfimo da classe dos números cardinais das bases da topologia T, e nota-se X, T. Assim um espaço topológico X, T ter peso X, T ≤ # 0 significa que verifica o 2º axioma da numerabilidade. -188III.4 SUBESPAÇOS TOPOLÓGICOS III.4.1 Definição Sejam X, T um espaço topológico, ≠ Y ⊂ X. A classe T Y Y ∩ A : A ∈ T é uma topologia sobre Y, chamada topologia de subespaço de X ou topologia induzida em Y por T. Munido desta topologia, Y (ou Y, T Y ) diz-se um subespaço topológico de X. III.4.2 Exercício Verifique que T Y é e facto uma topologia sobre Y. III.4.3 Resolução T 1 Y ∩ , Y ∩ X Y, logo , Y ∈ T Y . T 2 Como Y ∩ A : ∈ A Y ∩ A : ∈ A, T verifica-se. T 3 verifica-se pois Y ∩ A 1 ∩ Y ∩ A 2 Y ∩ A 1 ∩ A 2 . III.4.4 Exercício Mostre que se ≠ C ⊂ A ⊂ X, T então sobre C, coincidem a topologia de subespaço de A e a topologia de subespaço de X. III.4.5 Propriedade (base de um subespaço) Seja B uma base da topologia de X, e seja Y ⊂ X, Y ≠ . Então a classe B Y Y ∩ B : B ∈ B é base para a topologia de subespaço sobre Y. Dem. Seja O ∈ T Y , e seja y ∈ O. Existe A ∈ T tal que O Y ∩ A. Como y ∈ A, existe B ∈ B tal que y ∈ B ⊂ A. Então y ∈ Y ∩ B ⊂ Y ∩ A O c. q. d. III.4.6 Exemplos (1) A topologia induzida sobre 0, pela topologia usual de R tem a classe 0, a, a, b: a, b ∈ R, 0 a b como base. O conjunto 0, 1 é um aberto. (2) Se X é um conjunto não vazio munido da topologia cofinita e Y é um subconjunto finito de X, a topologia de subespaço de Y é a topologia discreta de Y. III.4.7 Observações (1) Um subespaço topológico de um espaço metrizável é um espaço metrizável. (2) Um subespaço de um espaço topológico C1 (respectivamente C2) é um espaço C1 (respectivamente C2). III.4.8 Exercícios Verifique III.3.6. III.4.9 Resolução (1) Sejam X um espaço metrizável, d uma distância em X que define a topologia de X e Y um subespaço topológico de X. Seja d Y a restrição de d a Y Y. Como vimos (II.2.14), Y, d Y é um espaço métrico, chamado subespaço métrico de X, d. A topologia associada a esse espaço métrico coincide com a topologia induzida T Y , pelo Teorema II.6.4 e portanto T Y é metrizável. -189III.4.10 As observações em III.3.6 ilustram a noção de propriedade hereditária, ou seja, uma propriedade que se é verificada por um espaço topológico, então é verificada por todos os seus subespaços. Adiante estudaremos propriedades não hereditárias. III.4.11 Observação Quando há subespaços envolvidos há que ter cuidado com os termos ”aberto”, ”fechado”, etc. Por exemplo, no plano R 2 munido da topologia usual, um segmento de recta sem as duas extremidades não é um conjunto aberto; mas na recta que o contem, munida da topologia induzida, já é um conjunto aberto. Há no entanto um caso em que podemos garantir que qualquer aberto na toplogia induzida também é aberto na topologia do espaço: III.4.12 Propriedade Sejam X um espaço topológico e Y ⊂ X, Y um aberto. Então se A ⊂ Y, e A é aberto no subespaço Y de X, A é aberto em X. Dem. A aberto em existe B aberto em X tal que A Y ∩ B; como intersecção de dois abertos de X, A é aberto em X, c.q.d. III.4.13 Exercícios (1) Prove que se X é um espaço topológico, C ⊂ Y ⊂ X onde Y ≠ , C é fechado em Y se e só se existe um fechado F em X tal que C Y ∩ F. (2) Demonstre a propriedade análoga a III.3.11 para conjuntos fechados: Seja Y fechado em X, C ⊂ Y. Se C é fechado no subespaço topológico Y então C é fechado em X. (3) Sejam ≠ A ⊂ Y X. a Prove que a classe T , U ⊂ X : A ⊂ U é uma topologia sobre X. b Mostre que todo o aberto no subespaço Y é aberto em X, T c Prove que o conjunto Y não é fechado em X e é fechado no subespaço Y. III.4.14 Resoluções (1) C é fechado em Y se e só se Y\C Y ∩ A, A aberto em X se e só se C Y\Y ∩ A Y ∩ A c , A c fechado em X. (2) Conclui-se de (1). (3) a T1 , X ∈ T pois A ⊂ X; T2 U ∈ T ∈ A A ⊂ U ∈ A A ⊂ U : ∈ A U : ∈ A ∈ T. T3 U 1 , U 2 ∈ T A ⊂ U 1 , A ⊂ U 2 A ⊂ U 1 ∩ U 2 U 1 ∩ U 2 ∈ T. b Como A ⊂ Y, Y é aberto em X, cocluindo-se de III.3.11. c Se C ⊂ X tem-se C fechado se e só se C X ou A ⊂ X\C; mas existe a ∈ A ⊂ Y donde Y ⊈ X\C, ≠ X e Y não é um subconjunto fechado de X. No entanto Y Y\ é fechado no subespaço Y. III.4.15 Exemplo Observámos anteriormente (Exemplo III.1.24 (1)) que a topologia usual de R coincide com a topologia da ordem usual. No entanto, se considerarmos por exemplo o subespaço Y − 2, 01, 3, a topologia da ordem em Y não coincide com a topologia induzida pela topologia usual de R. III.4.16 Exercício Verifique o Exemplo III.3.14 (Sug: considere o conjunto 1, 2; note que não existem a, b ∈ Y tais que 1 ∈a, b e a, b⊂ Y). -190III.4.17 Observação Ainda em relação com as observações em III.3.6 e as propriedades hereditárias, observemos que a topologia induzida tem em geral propriedades diferentes da topologia do espaço. Por exemplo, a topologia induzida sobre N pela topologia usual de R é a topologia discreta. Também no exemplo (2) em III.3.5, vemos que pode ser metrizável um subespaço de um espaço topológico não metrizável, por exemplo Y 1, 2, 2 ⊂ R, considerado R munido da topologia cofinita (Observação III.1.8). III.4.18 Exercício Considere em R 2 a topologia gerada pela base B a, bc, d: a, b, c, d ∈ R, a b, c d. Determine a topologia induzida numa recta (considere os diferentes casos possíveis para a recta, nomeadamente horizontal, vertical, declive positivo, declive negativo). III.4.19 Resolução Determinemos as topologias induzidas através das respectivas bases obtidas como indicado em III.3.4, intersectando os elementos de B com a recta: (i) no caso da recta horizontal,da recta vertical ou de declive positivo, obtêm-se todos os intervalos fechados no extremo menor e abertos no extremo maior; portanto a topologia induzida é a do limite inferior. (ii) No caso da recta de declive negativo, obtêm-se inclusivamente conjuntos com um só elemento (singletons) e portanto a topologia induzida é a topologia discreta. III.4.20 Veremos adiante (III.14) a partir deste resultado em III.3.18 que a topologia do limite inferior em R não é metrizável. III.5 CONJUNTOS FECHADOS. DEFINIÇÃO DA TOPOLOGIA PELO OPERADOR DE FECHO. III.5.1 Definição Se X, T é um espaço topológico, o subconjunto F de X diz-se um conjunto fechado se o seu complementar F c X\F é um aberto. Das leis de De Morgan decorre III.5.2 Propriedade Dado um espaço topológico X, T tem-se: F1 , X são conjuntos fechados; F2 se cada F é um subconjunto fechado de X ∈ A então F : ∈ A é fechado; n F3 se F 1 , . . . , F n são fechados então k1 F k é um conjunto fechado. III.5.3 Como consequência das definições, dado um conjunto não vazio X, se C é uma colecção de subconjuntos F de X verificando as condições F1, F2 e F3 então a classe dos complementares X\F é a topologia sobre X para a qual C é a classe dos conjuntos fechados. -191III.5.4 Observação Um conjunto C ⊂ X, T é fechado se e só se X\C é aberto i.e., cada ponto x ∈ X\C tem uma vizinhança V ⊂ X\C ou, equivalentemente, tal que V ∩ C . Portanto C é fechado se e só se, considerando um ponto qualquer x ∈ X, a relação V ∈ V x e V ∩ C ≠ implica x ∈ C. Somos assim levados a considerar, dado um arbitrário subconjunto A de X, o conjunto A dos pontos x ∈ X tais que é verdadeira a implicação V ∈ V x e V ∩ A ≠ x ∈ A. Este conjunto A contém A. III.5.5 Definição Dado A ⊂ X, T, diz-se que um ponto x ∈ X é um ponto aderente de A se verifica a relação ∀V ∈ V x , V ∩ A ≠ . O conjunto A dos pontos aderentes de A chama-se a aderência ou fecho de A. III.5.6 Exercícios (1) Prove que se A ⊂ F ⊂ X e F é fechado em X, T então A ⊂ F. (2) Mostre que se A, B são subconjuntos de X, então tem-se A B A B no espaço topológico X, T. (3) Conclua de (2) que A ⊂ B ⊂ X, T A ⊂ B. III.5.7 Resoluções (1) Se p ∈ A então V ∩ A ≠ para cada V ∈ V p ; donde ∀V ∈ V p , V ∩ F ≠ e assim p ∈ F (III.4.4). (2) Tem-se V ∩ A B V ∩ A V ∩ B donde p ∈ A B ∀V ∈ V p , V ∩ A B ≠ ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∨ V ∩ B ≠ ou seja, p ∈ A B sse ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ p ∈ A ∨ ∀V ∈ V p , V ∩ B ≠ p ∈ B. III.5.8 Teorema O fecho do subconjunto A do espaço topológico X, T é a intersecção da classe dos subconjuntos fechados de X que contém A. Dem. Tem-se A ⊂ F : F é fechado, F ⊃ A atendendo a III.4.6 (1). Reciprocamente, seja p ∈ F : F é fechado, F ⊃ A. Verifica-se então ~p ∈ F c : F é fechado, F ⊃ A e assim ~p ∈ O ∈ T : O ⊂ A c . Portanto não existe nenhuma vizinhança V de p contida em A c ; então tem-se ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ donde p ∈ A. III.5.9 Corolário O fecho A de um subconjunto A do espaço topológico X, T é um conjunto fechado em X, T. Dem. Pelo teorema, atendendo a III.5.2. III.5.10 Propriedade Se A, B são subconjuntos do espaço topológico X, T e o conjunto A é aberto, então A ∩ B ⊂ A ∩ B. Dem. Seja p ∈ A ∩ B. Se O é um conjunto aberto, p ∈ O, então O ∩ A é uma vizinhança de p, logo O ∩ A ∩ B ≠ . Assim cada vizinhança O do ponto p tem intersecção não vazia com A ∩ B, p ∈ A ∩ B c.q.d. III.5.11 Atendendo a III.4.4 e III.4.5, o subconjunto A de X, T é fechado se e só se A ⊃ A, o que é equivalente a A A. Utilizando III.4.10 e III.4.9 vemos que o fecho de A é A e concluimos de III.4.6 (2) que dado o espaço topológico X, T, se considerarmos a função, ou operador de fecho F : PX → PX que associa a cada subconjunto A de X o seu fecho FA A, este operador tem as propriedades no seguinte -192III.5.12 Teorema No espaço topológico X, T, F1 ; F2 A ⊂ A; F3 A A; F4 A B A B. III.5.13 Teorema Se X é um conjunto não vazio e F : PX → PX é um operador de fecho verificando as propriedades no Teorema III.4.12, então os conjuntos F tais que FF F F são os conjuntos fechados em X, T, onde a classe T dos conjuntos da forma X\FC, C ⊂ X, é uma topologia sobre X. Dem. Atendendo a III.4.3, verifiquemos as condições no Teorema III.4.2. F1 é fechado, dada F1 e X X é consequência de F2. Vemos por F4 que se verifica F3. Consequentemente, dados A, B ⊂ X, se B ⊂ A então A A\B B A\B B ⊃ B; dada então uma classe não vazia de subconjuntos F F ∈ A, tem-se por F2 que F : ∈ A ⊂ F : ∈ A e para a inclusão recíproca, se x ∈ F : ∈ A ⊂ F F para cada , então x ∈ F : ∈ A logo verifica-se F2 c.q.d. III.6 CONJUNTOS NOTÁVEIS ASSOCIADOS A UM CONJUNTO NO ESPAÇO TOPOLÓGICO. III.6.1 Vimos em III.2.3 que o subconjunto A do espaço topológico X, T é aberto se e só se A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Põe-se a III.6.2 Definição Dados o espaço topológico X, T, A ⊂ X, um ponto p ∈ X diz-se que é um ponto interior de A se A é uma vizinhança de p. O conjunto dos pontos interiores de A é o interior de A e nota-se intA ou A o . III.6.3 Observações (1) Pela definição em III.4.2 tem-se p ∈ A o se e só se existe um aberto O tal que p ∈ O ⊂ A. Portanto é sempre A o ⊂ A e tem-se o , X o X. Notar que p ∈ A o ∃V ∈ V p , V ⊂ A. (2) Também o conjunto A é aberto em X, T sse é vizinhança de cada um dos seus pontos i.e. se e só se A ⊂ A o sse A A o . III.6.4 Teorema Dados subconjuntos A, B de X, T tais que A ⊂ B tem-se A o ⊂ B o . Dem. É consequência imediata de III.5.3 c.q.d. III.6.5 Corolário Se A ⊂ B ⊂ X e A ∈ T no espaço topológico X, T tem-se A ⊂ B o . Dem. Conclui-se do teorema e de III.5.3 c.q.d. -193III.6.6 Teorema Para cada subconjunto A de X, tem-se intA c A c . Dem. Há a provar que a negação de p ∈ A é equivalente à condição ∃V ∈ V p , V ⊂ A c . Efectivamente ~∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∃V ∈ V p , V ∩ A c.q.d. III.6.7 Corolário O conjunto A o é aberto no espaço topológico X, T para cada A ⊂ X. Dem. Considerando A c no lugar de A em III.4.6 vemos que A o é o complementar do conjunto fechado A c (III.4.10) c.q.d. III.6.8 Concluimos de III.5.3, III.5.5 e III.5.7 : dados A, B ⊂ X tem-se em X, T que o A B o ⊂ intA B, pois a reunião de abertos é um aberto. Também III.5.5 e III.5.7 implicam intintA intA. Tem-se III.6.9 Propriedade Se A, B são subconjuntos no espaço topológico X, T tem-se i o ; ii A o ⊂ A e A o A sse A é aberto; iii intintA intA; iv intA ∩ B intA ∩ intB; v intA intB ⊂ intA B. Dem. Resta provar iv. Se x ∈ intA ∩ intB então existem abertos O, O ′ tais que x ∈ O ⊂ A e x ∈ O ′ ⊂ B, logo x ∈ O ∩ O ′ e O ∩ O ′ é um aberto contido em A ∩ B, donde x ∈ intA ∩ B. A inclusão intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB conclui-se de III.5.4, c.q.d. III.6.10 Observação Notar a analogia de i. . . iv em III.4.9 com F1, . . . , F4 em III.3.12. Também, considerando v, tem-se A ∩ B ⊃ A ∩ B (III.3.6 (3)). Como Exercício verifique que ambas as inclusões A ∩ B ⊃ A ∩ B e III.5.9 (v) são próprias (Sug: II.5.16). III.6.11 Observação Comparativamente com III.3.10, o interior de um subconjunto A no espaço topológico X, T é a reunião da classe dos subconjuntos abertos de A. (Teoremas III.5.6, intA A c c e III.4.9). III.6.12 Um subconjunto A de X, T diz-se raro se intA . O conjunto 0, 1 ∩ Q em R munido da topologia usual dá exemplo de um conjunto de interior vazio que não é raro. III.6.13 Exemplos A topologia , X, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2 , 2, 3 sobre X 0, 1, 2 , 3 , 2 mostra que podem existir subconjuntos próprios de X (i.e., diferentes de , X) simultaneamente abertos e fechados, enquanto por exemplo 0, 2 não é aberto nem fechado. III.6.14 Definição Se A ⊂ X, p ∈ X, diz-se que p é um ponto exterior de A se é um ponto interior do conjunto A c ; nota-se extA intA c e diz-se exterior de A o conjunto dos pontos exteriores de A. -194III.6.15 Observação extA é um subconjunto aberto de X, T, A ⊂ X. III.6.16 Definição Diz-se que o ponto p em X é um ponto fronteiro do subconjunto A de X no espaço topológico X, T se verifica a condição ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ . O conjunto dos pontos fronteiros de A é a fronteira de A e designa-se por frA ou ∂A. III.6.17 Observação A negação da condição p ∈ ∂A é ∃V ∈ V p , V ⊂ A c ∨ V ⊂ A, equivalente à condição p ∈ intA ∨ p ∈ extA. Portanto dado p ∈ X, o ponto p verifica uma e uma só das condições p ∈ intA, p ∈ extA, p ∈ frA. Assim tem-se III.6.18 Propriedade Para cada subconjunto A de X, T, a classe intA, extA, frA é uma partição de X. III.6.19 Exemplo Se X é um conjunto infinito, A ⊂ X e ambos os conjuntos A, A c são infinitos, então sendo X munido da topologia cofinita em III.1.2 (3), tem-se frA X, intA extA . III.6.20 Observação A fronteira de um conjunto no espaço topológico é um conjunto fechado. Com efeito, frA X\intA extA pela Propriedade III.4.18. III.6.21 Exercício Prove que dado A ⊂ X, T, a frA ⊂ A; b A intA frA; c A extA c . III.5.22 Resolução a Se p ∈ frA tem-se ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ ; em particular, ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ e p ∈ A; b de intA ⊂ A ⊂ A e frA ⊂ A conclui-se intA frA ⊂ A. E se p ∈ A, V ∩ A ≠ , ∀V ∈ V p então ou existe V ∈ V p , V ⊂ A (e p ∈ intA) ou para cada V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ , e então p ∈ frA; c conclui-se de b aplicando III.4.18. III.6.23 Observação Verifica-se também A A frA para cada A ⊂ X, T. III.6.24 Definição Diz-se que o ponto p ∈ X é um ponto de acumulação do subconjunto A em X, T se toda a vizinhança de p contém um ponto de A diferente de p. O conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A e representa-se por A ′ . III.6.25 Obsrvação Tem-se p ∈ A ′ sse p ∈ A\p. A inclusão A ′ ⊂ A verifica-se sempre. -195III.6.26 Teorema Para cada subconjunto A em X, T, tem-se A A A ′ . III.6.27 Exercício Demonstre o teorema anterior. III.6.28 Resolução Pelas observações III.3.4 e III.4.26, tem-se A A ′ ⊂ A. Para a inclusão recíproca, seja p ∈ A ≡ ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ; Dada V ∈ V p , se p ∈ A então p ∈ A A ′ ; se p ∉ A, conclui-se da relação V ∩ A ≠ que V ∩ A\p ≠ , p ∈ A ′ . III.6.29 Observação Em qualquer espaço topológico X, se x ∈ X tem-se x ∉ x ′ e x ′ x\x . III.6.30 No espaço topológico N, I onde I é a topologia gerada pelos conjuntos da forma n, n 1, n 2, . . . o conjunto derivado A ′ é infinito se e só se A é infinito e, neste caso, A X. III.6.31 Exercício Prove que num espaço topológico, o conjunto derivado de um subconjunto é um conjunto fechado. III.6.32 Resolução. Há a provar a inclusão A ′ ⊂ A ′ . De facto p ∈ A ′ p ∈ A\p A\p A ′ (III.5.25, III.4.12) e o rsultado conclui-se de III.3.11. III.6.33 Definição O ponto a diz-se um ponto isolado do conjunto A no espaço topológico X se existe uma vizinhança V de a tal que V ∩ A a. III.6.34 Observação Em qualquer espaço topológico, o fecho de um conjunto é a reunião disjunta do seu conjunto derivado e do conjunto dos seus pontos isolados. III.6.35 Exercícios (1) Verifique III.5.34 (2) Prove que se A é um subconjunto de X, T então a A ∩ frA sse A é aberto. b frA se e só se A é aberto e fechado. c frA o ⊂ frA. Dê um exemplo em que frA frA o . d frA frA c . (3) Demonstre que se T 1 e T 2 são topologias sobre X tais que T 2 é mais fina que T 1 , A ⊂ X, então a fronteira de A em X, T 1 contém a fronteira de A em X, T 2 . -196III.6.36 Resoluções (1) p ∈ A ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∀V ∈ V p , V ∩ A\p ≠ ∨ ∨∃V ∈ V p , V ∩ A p p é um ponto isolado de A ou p ∈ A ′ . (2) a A é aberto sse A ⊂ A o ∀p ∈ A, ~p ∈ frA A ∩ frA b frA A ⊃ frA ∧ A ∩ frA A é fechado e aberto. E se A é fechado (aberto) então A ⊃ frA (III.5.23, III.4.12) (A ⊂ A o e A ∩ frA ) logo frA A ∩ frA c p ∈ frA o ∀V ∈ V p , V ∩ A o ≠ ∧ V ∩ A o c ≠ ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ ~V ⊂ A o ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ ∃x ∈ V, x ∉ A ∀V ∈ V p , V ∩ A ≠ ∧ V ∩ A c ≠ p ∈ frA. X, T R, U, A 0. (3) Pois A c c A. III.6.37 Definição Um subconjunto A do espaço topológico X, T diz-se denso (em X) se o fecho A X. III.6.38 Exemplos (1) Em R, munido da topologia usual, o conjunto Q é denso. (2) Nos Exemplos III.4.13, o conjunto 0, 1 é denso enquanto 2 , 2 não é denso nem fechado. (3) A classe T , A ⊂ R : 1 ∈ A é uma topologia sobre R para a qual o conjunto 1 é denso. Sendo P o conjunto dos números naturais pares, tem-se intP . Recorde que um subconjunto C de X, T é raro se intC . III.6.39 Exercícios (1) Mostre que o subconjunto A do espaço topológico X, T é denso se e só se para cada ponto p ∈ X, todo o aberto contendo p tem intersecção não vazia com A. (2) Conclua que se C ⊂ X, T, o conjunto X\C é denso se e só se C é um conjunto raro. III.6.40 Resoluções (1) Cada ponto p ∈ X está em A se e só para cada vizinhança V de p, V ∩ A ≠ . (2) Atendendendo a (1), X\C é denso se e só se ∀V ∈ V p , V ∩ X\C ≠ sse qualquer que seja o ponto p, tem-se ~∃V ∈ V p , V ⊂ C ou, o que é o mesmo, se e só se nenhum ponto do espaço é um ponto minterior de C. III.6.41 Exercício Prove que se D é um subconjunto denso em X, T e A é um subconjunto aberto então A D ∩ A. (Sug: Propriedade III.3.11). III.6.42 Definição A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinal da forma #D, onde D é um subconjunto denso de X, e representa-se por dX. O espaço X diz-se separável se dX ≤ # 0 . III.6.43 Teorema Para qualquer espaço topológico X, tem-se dX ≤ X. Consequentemente, todo o espaço topológico C2 é separável. Dem. Seja B B i : i ∈ I uma base da topologia, onde #I ≤ X. Sendo x i ∈ B i para cada i, D x i : i ∈ I B, o selector de Zermelo, o conjunto D é denso (III.4.38 (1)); certamente #D ≤ #I e assim dX ≤ X. Recorde III.2.21 -197-. III.6.44 Observações (1) Conforme a II.7.7, se X, T é metrizável tem-se dX ≤ # 0 se e só se X ≤ # 0 . (2) A recta de Sorgenfrey K é a recta real munida da topologia gerada pelos intervalos x, r onde x ∈ R, x r e r ∈ Q. Certamente Q é um subconjunto denso, dK ≤ # 0 e tem-se K c. Com efeito, o número cardinal da base B formada por aqueles intervalos x, r é c. E se R é uma classe de abertos de K tal que #R c, então seja A ∈ R, A x A,j , r A,j . Se x inf A e x ∈ A tem-se que x é um dos pontos x A,j ; além disso, se x inf A então x ∈ A e portanto, sendo #K # 0 , existe um ponto x 0 que não é o ínfimo de nenhum aberto A em R. Então o conjunto aberto x 0 , x 0 1 não é reunião de conjuntos em R, logo R não é uma base da topologia de K. Portanto dK ≨ K e em particular, K não é metrizável. (3) A propriedade ser separável não é hereditária, como veremos (III.10.38). Se bem que o seja no contexto dos espaços métricos. IV.7 CONVERGÊNCIA NO ESPAÇO TOPOLÓGICO Recordar que uma rede no conjunto X é uma função u de um conjunto dirigido I, em X, que notaremos u i , u i ui. Recordar também a noção de filtro sobre X. III.7.1 Definição Se X, T é um espaço topológico, x ∈ X, diz-se que a rede u i em X converge para x se verifica a condição u i → x ≡ ∀V ∈ V x , ∃iV ∈ I, i iV u i ∈ V. Diz-se também então que a rede u i é convergente para x, que x é um limte de u i e nota-se lim u i x. Se uma rede não tem limite em X, T diz-se que é divergente em X, T III.7.2 Exemplos (1) Se p ∈ X; T e u i p i ∈ I então u i → p. (2) Se a rede é uma sucessão u n , p ∈ X, T então u n converge para p se e só se para cada vizinhança V do ponto p, existe certa ordem pV tal que u n ∈ V desde que n ≥ pV. III.7.3 Observação Uma rede ou uma sucessão no espaço topológico X, T pode ser convergente para diferentes limites, bem como pde ser divergente. Poderia representar-se x ∈ lim u i para significar que u i → x (a relação x ∈ X ∧ u i → x define um conjunto), ressalvando a notação lim u i x para o caso em que x é o único elemento do espaço que verifica a relação u i → x. No primeiro caso de existência de limites diferentes está 1/n em R, G; no segundo caso, −1 n em R, U. III.7.4 Exemplos (1) Considerando 0, 1 munido da ordem usual, a rede u i i i ∈ 0, 1 não tem limite em 0, 1, U, notando U a topologia induzida pela topologia usual de R. (2) A rede i em (1) converge para 1/3 na topologia sobre 0, 1 que tem a classe I 1/3 1/3, 2/3 a, 1 : 0 a 1 como subbase. (3) Se X é um conjunto infinito e C é a topologia cofinita de X, as redes convergentes em X, C são as constantes a partir de certo índice e as que têm uma infinidade de termos diferentes a partir de certo índice. Cada rede convergente converge para qualquer ponto. -198III.7.5 Exercício Verifique os exemplos em III.7.4. III.7.6 Resoluções (1) Com efeito 1 ∉ 0, 1, U. (2) Dada qualquer vizinhança V do ponto 1/3, pode tomar-se por exemplo iV 1/10 na condição i → 1/3. (3) Se a rede u i verifica que o conjunto T dos termos é finito, T u i1 , . . . , u n e p ∈ X então T c p é uma vizinhança de p; como não existe i 0 iT p tal que u i x constante para todo o i ≥ i 0 e T não se reduz a p existe sempre u i ∉ T c p, i ≥ i 0 . Logo a rede não converge neste caso. Mas se o conjunto dos termos é infinito e são todos diferentes a partir de certo índice, V ∈ V p , então o conjunto dos termos em V c é da forma u 11 , . . . , u im , m ∈ N e existe um índice iV tal que i iV u i ≠ u i1 , . . . , u im . III.7.7 Teorema Dada uma rede x j → x em X, T, cada subrede y i x i → x. Dem Conclui-se da definição de subrede em I.7.26. Recordar a definição de base de um filtro em I.7. III.7.8 Definição Sejam X, T um espaço topológico, B uma base de um filtro sobre X, a ∈ X. Diz-se que a base de filtro B converge para a ou que é convergente para a se o filtro F sobre X gerado por B é mais fino que o filtro V a . Nota-se então B → a. Diz-se também que o filtro F converge (é convergente) para a e nota-se F → a. III.7.9 Observações (1) Pela definição em I.7.7, uma base B de um filtro F sobre X converge para a ∈ X se e só se verifica a condição B → a ≡ ∀V ∈ V a , ∃F ∈ B, F ⊂ V. Esta condição é equivalente a F → a ≡ ∀V ∈ V a , ∃F ∈ F, F ⊂ V. (2) Dado o filtro F sobre X, X, T um espaço topológico, tem-se F → a se e só se a rede F F no Exemplo I.7.27 é convergente para a. Analogamente considerando uma base B do filtro F. III.7.10 Teorema Um espaço topológico tem a propriedade de o limite de cada base de filtro convergente ser único se e só se é um espaço de Hausdorff Dem Se X, T é um espaço de Hausdorff, a, b são pontos diferentes em X, existem vizinhançase U ∈ V a , V ∈ V b tais que U ∩ V . Sendo B uma base de filtro em X tal que B → a, existe B ∈ B, B ⊂ U; se também B → b então certo B ′ ∈ B verifica B ′ ⊂ V. Donde ≠ B ∩ B ′ ⊂ U ∩ V, o que contradiz U ∩ V , logo não pode ser B → b. Reciprocamente, se X não é um espaço de Hausdorff, existem dois pontos a, b ∈ X, a ≠ b tais que ∀U ∈ V a , ∀V ∈ V b , U ∩ V ≠ . A classe B U ∩ V : U ∈ V a , V ∈ V b é então uma base de filtro sobre X. (Verifique). Tem-se B → a pois se U ∈ V a , escolhendo uma V ∈ V b tem-se B U ∩ V ⊂ U, B ∈ B. Analogamente B → b, não se tem a unicidade dos limites das bases de filtro convergentes, c.q.d. III.7.11 Corolário O espaço topológico X, T é um espaço de Hausorff se e só se o limite de cada rede convergente em X é único. Dem É consequência de III.1.9, pois a rede x i I em X é convergente para x se e só se a base de filtro B formada pelos conjuntos B j x i : i j j ∈ I é convergente para x. -199III.7.12 Teorema Sejam X, T um espaço topológico, A ⊂ X, p ∈ X. (1) O ponto p é um ponto aderente de A se e só se existe um filtro F sobre A convergente para a em X, T. (2) p é um ponto de acumulação de A se e só se existe um filtro F sobre A\p tal que F → a. Dem. (1) Pois p ∈ A V a ∩ A F ∩ A : F ∈ V a é um filtro sobre A. (2) conclui-se de (1) (ver III.4.25). III.7.13 Corolário Sejam X; T um espaço topológico, A ⊂ X, p ∈ X. (1) Tem-se p ∈ A se e só se p é limite de uma rede em A. (2) O ponto p é um ponto de acumulação de A se e só se p é limite de uma rede em A não constante e igual a p a partir de nenhum índice. III.7.14 Exercício Demonstre o teorema (Sug: III.5.9 (2)). III.7.15 Definição Um espaço topológico X diz-se um espaço sequencial se cada conjunto A sequencialmente fechado, i.e., tal que A contem os limites de qualquer sucessão em A, é fechado. X diz-se que é um espaço de Fréchet se cada subconjunto A de X verifica a condição de todo o ponto x ∈ A ser um limite x lim a n onde a n é uma sucessão em A. III.7.16 Teorema Se X, T é um espaço topológico C1 então é um espaço de Fréchet. Dem. Sejam A ⊂ X, a ∈ A. Pelo Corolário III.5.11 (1) existe uma rede a i em A convergente para a. Se B a V n : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças de a n podemos considerr as intersecções finitas U n k1 V k obtendo uma nova base de vizinhanças de a. Então para cada n 1, 2, . . . existe a in ∈ U n . Dada uma vizinhança V do ponto a tem-se: V ⊃ U n para certo n, donde a m ∈ V para todo o m ≥ n, a sucessão a n → a c.q.d. III.7.17 Teorema Todo o espaço de Fréchet é um espaço sequencial. Dem. Pois um subconjunto A de X, T é fechado se e só se A ⊃ A c.q.d. III.7.18 Podemos agora provar III.2.12 (3). Se R,T, onde T , A ⊂ R : A c é contável (verifique que T é uma topologia sobre R) fosse um espaço C1, então seria um espaço de Fréchet (Teorema III.7.15). Como os conjuntos fechados são os contáveis, o único conjunto fechado que contem R\Q é todo o R, donde o fecho de R\Q é R (intersecção da classe dos fechados que contêm R\Q). Mas o ponto 0 não é limite de nenhuma sucessão em R\Q, pois 0 não é um termo e dada x n em R\Q, o conjunto x n : n ∈ N c é uma vizinhança de 0. Conclui-se uma contradição da hipótese de o espaço verificar o primeiro axioma da numerabilidade, provando o que se pretende. -200III.7.19 Observação. Ambas as topologias discreta D e a topologia T em III.5.30 sobre R verificam que uma sucessão real é convergente, R munido de D ou T, se e só se a sucessão é constante a partir de certa ordem. No entanto, tem-se D ≠ T. Portanto, se um X é um conjunto, dar uma relação R em X que caracterize uma sucessão x n em X como sendo convergente para certa topologia sobre X nao define univocamente essa topologia. Mas se uma relação R em X caracteriza as redes convergentes de X para dados limites, relativamente a uma topologia sobre o espaço, tal topologia é única. Pois se p ∈ A ⊂ X e A é um aberto, então A contem cada termo de uma rede em X convergente para p, a partir de certo índice. Se A não é aberto, existe a ∈ A tal que uma rede V a ∩ A c , o selector de Zermelo, converge para a, V a o filtro das vzizinhanças de a; mas nenhum termo da rede está em A. Relacionam-se com convergência os conceitos seguintes. Recordar os conceitos de conjunto dirigido e subrede em I.5. e I.7. Dizemos que a rede x i (ou x i I ) indiciada no conjunto dirigido I, está no conjunto A se x i ∈ A i ∈ I. III.7.20 Definição Diz-se que a rede x i I está eventualmente no conjunto A se existe certo i 0 ∈ I tal que x i ∈ A para todo o índice i i 0 . E diz-se que x i I está frequentemente em A se para cada i1 ∈ I existe certo i2 ∈ I tal que i2 i1 e x i2 ∈ A. III.7.21 Definição Se I, é um conjunto dirigido, ≠ J ⊂ I, diz-se que J é cofinal em I ou cofinal com I se verifica a condição ∀i ∈ I, ∃j ∈ J, j i. III.7.22 Observação Se a rede x i I está frequentemente em A, o subconjunto J dos índices j ∈ I tais que x j ∈ A é cofinal em I. III.7.23 Obsrvação Se : J, → I, , onde I, , J, são conjuntos dirigidos, é uma aplicação isótona i.e., i ′ i i ′ i, e u x i I é uma rede em A, então o conjunto imagem de é cofinal em I e a composta uo é uma subrede de x i I . III.7.24 Propriedade Sejam B uma base de um filtro em X e u x i I uma rede em X que está frequentemente em cada conjunto que constitui B. Então existe uma subrede de x i I que está frequentemente em cada conjunto de B. Dem. Designemos E a parte do produto cartesiano I B formada pelos pares i, B tais que x i ∈ B munida da quase-ordem produto i ′ , B ′ ≥ i, B i ′ i ∧ B ′ ⊂ B; E é um conjunto dirigido. A aplicação : i, B i é isótona de E em I. Como x i I está frequentemente em cada conjunto tomado em B, tem-se que o conjunto imagem de é cofinal em I, consequentemente uo é uma subrede de x i I (III.7.20). Dado então A ∈ B, se iA ∈ I verifica x iA ∈ A, e se i, B ≥ iA, A tem-se uoi, B x i ∈ B ⊂ A, logo a subrede uo está eventualmente em A c.q.d. III.7.25 Definição Sendo x i uma rede no espaço topológico X, T, diz-se que o ponto x em X é um ponto aderente de x i se a rede x i está frequentemente em cada vizinhança V de x. -201III.7.26 Observações (1) Uma rede pode ter um, vários, ou nenhum ponto aderente. Por exemplo, a rede n N não tem nenhum ponto aderente em R, U, U a topologia usual. Ainda em R, U, uma vez que o cardinal de Q coincide com o cardinal de N, podemos considerar uma sucessão x n tal que x n : n ∈ N Q; verifica-se facilmente (confirme) que esta sucessão está frequentemente em cada intervalo aberto, e portanto todo o número real é um ponto aderente de x n . (2) Se uma rede x i → x então x é um ponto aderente de x i ; mas uma rede pode ter um único ponto aderente e não convergir para esse ponto. III.7.27 Exercício Verifique que a sucessão −1, 1, −1, 2, −1, 3, −1. . . em R, U tem um único ponto aderente mas não converge para esse ponto. III.7.27 Teorema Um ponto x num espaço topológico é um ponto aderente de uma rede x i se e só se existe uma subrede de x i convergente para x. Dem. Dado o ponto aderente x de x i consideremos a classe de vizinhanças V x . V x é base de um filtro e x i está frequentemente em cada conjunto V ∈ V x ; da Propriedade III.7.21 conclui-se que existe uma subrede de x i que está eventualmente em cada vizinhança V do ponto x ou, o que é o mesmo, que é convergente para x. Reciprocamente, admitindo que x não é um ponto aderente de x i temos: existe uma vizinhança U de x tal que x i não está frequentemente em U; logo x i está eventualmente em U c e portanto nenhuma subrede de x i converge para x, c.q.d. III.7.28 Teorema Seja x i I uma rede em X, T e seja A i j ∈ I : j ≩ i. Então o ponto x é um ponto aderente de x i I se e só se x pertence ao fecho de cada conjunto A i . Dem. Se x é um ponto aderente de x i I isto significa que cada vizinhança de x contem um ponto x j onde j ≩ i (supondo a rede tendo mais de um termo), para cada dado i ∈ I ou seja, para cada i tem-se x ∈ A i . Reciprocamente, se o ponto x não é um ponto aderente de x i I então existe V, vizinhança de x, tal que para certo i, a relação j ≩ i implica x j ∉ V ou seja, A i ∩ V e x não está no fecho A i , c.q.d. III.7.29 Exercício Seja X um espaço topológico C1. Prove que: 1. O ponto x do espaço é um ponto de acumulação do subconjunto A se e somente se existe uma sucessão em A\x convergente para x. 2. Um conjunto A é aberto se e só se cada sucessão que converge para um ponto de A está eventualmente em A. (Sug: se A não é aberto, considere uma base contável de vizinhanças de um ponto fronteiro). 3. Um ponto p é ponto aderente de uma sucessão se e só se existe uma subsucessão convergente para p. (Sug: análogamente a 2.). III.8 LIMITES E CONTINUIDADE Recordar que uma classe B de subconjuntos de um conjunto não vazio X tal que ∉ B e para cada B 1 , B 2 ∈ B existe B 0 ∈ B, B 0 ⊂ B 1 ∩ B 2 é uma base de filtro (base de um filtro) sobre X. -202III.8.1 Definição Sejam X um conjunto, Y, T Y um espaço topológico e uma função f : X → Y. Dizemos que o ponto b ∈ Y é um limite de f segundo a base de filtro B sobre X e notamos b ∈ lim B f se é verificada a condição b ∈ lim B f ≡ ∀V ∈ V b , ∃W ∈ B, fW ⊂ V. No caso de um único ponto b verificar a relação b ∈ lim B f notamos b lim B f. III.8.2 Se Y, T Y é um espaço de Hausdorff e b ∈ lim B f no contexto da definição acima, então b lim B f. Com efeito, se b ∈ lim B f e b ′ ≠ b conclui.se uma contradição da hipótese b ′ ∈ lim B f ≡ ∀U ∈ V b ′ , ∃W ′ ∈ B, fW ′ ⊂ U do modo seguinte: cconsiderando vizinhanças V, U de b e b ′ respectivamente tais que V ∩ U , tomando W ∈ B, fW ⊂ V ter-se-ia W ∩ W ′ ≠ mas fW ∩ W ′ ⊂ V ∩ U . III.8.3 Proposição O espaço topológico Y, T Y é um espaço de Hausdorff se e somente se para cada conjunto não vazio X, cada base de filtro B sobre X e cada função f : X → Y, o limite b ∈ lim B f em existindo, é único, b lim B f. Dem. Atendendo a III.8.2 se Y é um espaço de Hausdorff e b ∈ lim B f então b lim B f. Reciprocamente, se se verifica a condição do enunciado então considerando f Id : Y, T Y → Y, T Y , a ∈ Y e B uma base de vizinhanças de a, tem-se B → b se e só se b ∈ lim B I, onde B V a se e só se b lim B I. Portanto o limite de cada base de ffiltro convergente é únicoe, atendendo a III.7.9, Y é um espaço de Hausdorff c.q.d. Dados espaços topológicos X, Y e uma função f : X → Y podemos considerar, para cada a ∈ X, a relação b ∈ lim B a f b ∈ Y onde B a é uma base de vizinhanças de a. Esta relação define um subconjunto de Y e, se B ′a é outra base de vizinhanças de a então b ∈ lim B a f b ∈ lim B ′a f (verifique), de modo que poderíamos notar lim a f o conjunto dos pontos b, b ∈ lim B a f. Dizemos que o subconjunto de Y definido pela aquela relação b ∈ lim a f é o conjunto dos limites de f em a. III.8.4 Propriedade Se X, Y são espaços topológicos, Y é um espaço de Hausdorff, e f : X → Y é uma função, a ∈ X tem-se: se b ∈ lim a f então b fa lim a f. Dem. Sendo Y um espaço de Hausdorff tem-se V : V ∈ V b b para cada b ∈ Y (verifique). Da relação ∀V ∈ V b , ∃U ∈ V a , fU ⊂ V conclui-se fa ∈ V, ∀V ∈ V b donde fa b como se queria. -203III.8.5 Exemplo Seja Y a, b, c, d um conjunto de quatro pontos munido da topologia T Y , Y, a, a, c, a, d, a, c, d, e sejam X R munido da topologia uaual U, f : X → Y definida por fp a a ∈ R\Q, fq c q 0, q ∈ Q, f0 a, fq d q 0, q ∈ Q. Tem-se: lim x f ≠ para cada x ∈ X; se p ∈ R\Q então fp ∉ lim p f. III.8.6 Exercício Verifique o exemplo anterior e conclua que se Y não é um espaço de Hausdorff pode existir uma função f : X → Y, X um espaço de Hausdorff, tal que existe limite de f em cada ponto, apenas num ponto o limite é único e não é o valor da função no ponto. III.8.7 Resolução Se x 0 existe U ∈ V x tal que fU a, c ⊂ V, ∀V ∈ V c , V b ; mas não existe U ∈ V x , fU ⊂ a ∈ V a ∨ fU ⊂ a, d ∈ V d ; assim lim x f b, c. Analogamente se x 0 então lim x f b, d. No ponto x 0 tem-se fU a, c, d ⊂ Y, Vb Y e lim 0 f b, f0 a ∉ lim 0 f. Assim 0 é o único ponto em que o limite é único; e o limite não é o valor da função no ponto. . III.8.8 Definição Sejam X, T X , Y, T Y espaços topológicos e uma função f : X → Y, a ∈ X. Dizemos que f é contínua em a se fa ∈ lim a f; que é descontínua em a se não é contínua no ponto a; e que f é contínua se é contínua em cada ponto. III.8.9 Observação Atendendo a III.8.4, se Y é um espaço de Hausdorff, a função f : X → Y é contínua em a ∈ X se e só se lim a f ≠ o que significa fa lim a f. III.8.10 Exemplos. (1) Cada função constante é contínua; (2) A função Id : X; T → X, T é contínua. (3) A função no Exemplo III.8.5 é contínua somente nos pontos racionais diferentes de zero. III.8.11 Exercício Utilizando o exemplo III.8.5, obtenha uma função de R, U em Y contínua em cada ponto racional e descontínua em cada irracional. III.8.12 Resolução A função g f em R\0, g0 b. III.8.13 Exercício Dados espaços topológicos X, Y, f : X → Y e sendo V a o filtro das vizinhanças de a ∈ X, a classe fV a fU : U ∈ V a é uma base de filtro B sobre Y e tem-se b ∈ lim a f se e somente se o filtro gerado por B é mais fino que o filtro V b das vizinhaças de b em Y. Verifique que esta condição é equivalente à condição fx i → b em Y para cada rede x i → a em X. (Sug: Considere a rede U indiciada em V a , U ′ U U ′ ⊂ U, onde é o selector de Zermelo). Conclui-se de III.8.13 o -204III.8.14 Teorema Dados espaços topológicos X, T X , Y, T Y , uma função f : X → Y e um ponto a ∈ X, f é contínua em a se e só se fx i → fa para cada rede x i → a em X. III.8.15 Observação A continuidade de f : X, T X → Y, T Y no ponto a ∈ X é equivalente à propriedade ∀V ∈ V fa , f −1 V ∈ V a . III.8.16 Teorema A composta de duas funções contínuas é contínua. Dem. No contexto de III.8.15, dada uma função g : Y, T Y → Z, T Z e W ∈ V gfa tem-se gof −1 W f −1 g −1 W ∈ V a como se pretende. III.8.17 Exercício Obtenha outra demonstração de III.8.16, usando III.8.14. III.8.18 Propriedade A função f : X, T X → Y, T Y é contínua se e só se a imagem inversa de cada aberto O ∈ T Y é um aberto f −1 O em X, T X . Dem. Se f é contínua, a ∈ X e O é um aberto de Y, fa ∈ O então f −1 O ∈ V a (justifique). Para cada x ∈ f −1 O tem-se portanto f −1 O ∈ V x e f −1 O ∈ T X (porquê?). Reciprocamente, se a condição do enunciado se verifica e V é uma vizinhança de fa então f −1 V contem um aberto a que pertence o ponto a, c.q.d. III.8.20 Teorema Dada uma função f : X, T X → Y, T Y são equivalentes: a f é contínua; b a imagem inversa f 1 S de cada conjunto S numa subbase de T Y é um aberto em X; c para cada conjunto B tomado numa base de T Y , f −1 B ∈ T X ; d a imgem inversa f −1 F de cada subconjunto fechado F de Y é um subconjunto fechado de X; e tem-se fA ⊂ fA para cada A ⊂ X; f para cada subconjunto C ⊂ Y, f −1 C ⊂ f −1 C. Dem. a b pois cada conjunto S é um aberto; b c porque cada base de T Y é uma subbase de T Y . Também c a aplicando III.8.18, pois T Y é uma base de T Y . c d, pois a d: se F é fechado, então f −1 F c f −1 F c é um aberto em X. d e: fA sendo fechado em Y, f −1 fA é por hipótese um fechado contendo A, donde f −1 fA ⊃ A portanto fA ⊂ fA. e f pois com A f −1 C obtemos f −1 C ⊂ f −1 ff −1 C ⊂ f −1 C. f a: se O ∈ T Y , O c C é fechado, C C; pela hipótese, f −1 C ⊃ f −1 C, f −1 O c f −1 O c é o fechado f −1 C donde f −1 O ∈ T X . O teorema conclui-se da Propriedade III.8.18. III.8.21 Exercício Prove que uma função f : X, T X → Y, T Y é contínua se e só se f −1 intB ⊂ intf −1 B para cada subconjunto B de Y. (Sug: III.6.9 ii). -205III.8.22 Observação Dada f : X, T X → Y, T Y podem existir um conjunto A ⊂ X, a ∈ A tais que a função restrição f ∣A : A, T A → Y, T Y , (T A a topologia induzida) é contínua no ponto a, mas f não é contínua em a. Considere-se a função identidade I : R, U → R, T, T a topologia que tem U Q como subbase; I ∣Q é contínua no ponto 1 mas I não é contínua em nenhum ponto. III.8.23 Exemplos (1) Se D é a topologia discreta sobte X, toda a função f : X, D → Y, T é contínua, qualquer que seja o espaço topológico Y, T. Também se G é a topologia grosseira sobre Y, X, T é um espaço topológico, cada função f : X, T → Y, G é contínua. (2) Se T e T ′ são topologias sobre X, a função identidade I : X, T → X, T ′ é contínua se e só se T ⊃ T ′ i.e., T é mais fna que T ′ . (3) A função fx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é contínua de R, U − em 0, 1, D, pois a imagem inversa de cada aberto é um aberto. A mesma função não é contínua de R, U em 0, 1, D: a imagem inversa f −1 1 não é um aberto. III.8.24 Exercício A função f do Exemplo III.8.23 (3) é contínua de R, U em R, U? Porquê? III.8.25 Resolução f não é contínua, pois a imagem inversa f −1 0 não é um conjunto fechado. III.8.26 Definição Uma função f : X, T X → Y, T Y diz-se sequencialmente contínua se para cada a ∈ X e cada sucessão x n → a em X, a sucessão fx n → fa em Y . III.8.27 Teorema Toda a função contínua f : X, T X → Y, T Y é sequencialmente contínua. Se X, T X é um espaço C1 então f é contínua se e só se é sequencialmente contínua. Dem. Pelo Teorema III.8.14 tem-se que se f é contínua e x n → a então fx n → fa. Supondo X um espaço C1, A ⊂ X, p ∈ A, vemos pela demonstração do Teorema III.7.13 que existe uma sucessão a n em A, a n → p. Se f é sequencialmente contínua, fp lim fa n ∈ fa n : n ∈ N ⊂ fA (Corolário III.7.10 (1) 3 III.5.6 (2)). Isto mostra que fA ⊂ fA, concluindo-se a continuidade de f pelo Teorema III.8.20, c.q.d. III.8.28 Recorde-se a Definição III.6.43. Se X, Y são espaços topológicos e existe uma função contínua sobrejectiva f : X → Y, D é um subconjunto denso de X de cardinal dX, a relação Y fX fD ⊂ fD mostra que dY ≤ #fD ≤ #D dX (Propriedade I.6.15), donde se obtem III.8.29 Teorema Se Y é um espaço topológico imagem contínua do espaço topológico X, então dY ≤ dX. Se X é separável então Y é separável. III.8.30 Recordem-se a Observação II.9.8 e o Teorema II.9.4. Uma vez que o espaço métrico R 2 , d e é um espaço C1, a propriedade de a soma de duas sucessões convergentes de números reais ser uma sucessão convergente para a soma dos limites permite concluir, utilizando o Teorema III.8.27, que a função : R 2 , d e → R, U, x, y x y é contínua. Então se f : X, T → R, U e g : X, T são funções contínuas, x n → x tem-se fx n → fx, gx n → gx; logo fx n , gx n → fx, gx donde fx n gx n fx n , gx n → fx, gx fx gx i.e. a função composta f g : X, T → R, U, f g of, g, f, gx fx, gx é contínua. -206III.8.31 Pela Observação III.8.22, dada uma função f : X, T X → Y, T Y , A ⊂ X, a função restrição f A : A, T A → Y, T Y pode ser contínua num ponto a ∈ A sem que f seja contínua cem a. Por exemplo, com A − , 0, B 0, ⊂ R, U, a função f : R, U → R, U, fx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é constante em cada subespaço topológico A, B e portanto f : A, U A → R, U, f : B, U B → R, U são contínuas. Mas a sucessão x n −1/n n é convergente em R, U e no entanto fx n não é convergente, pois fx 2k−1 → 0 ≠ 1 lim fx 2k (Teorema III.7.7). Tem-se contudo m F i onde cada F i III.8.32 Teorema Sejam X, Y espaços topológicos tais que X i1 é um conjunto fechado. Uma função f : X → Y é contínua se e só se cada restrição f i de f a F i 1 ≤ i ≤ m é contínua de F i em Y. Dem Seja W um subconjunto fechado de Y. Tem-se m m m −1 F i i1 f −1 W ∩ F i i1 f −1 f −1 W f −1 W ∩ i1 i W, e assim f W é fechado em X, como união finita de conjuntos fechados. A recíproca é imediata, concluido-se o teorema. III.8.33 Observações (1) Tem-se R p : p ∈ R, cada singleton p é fechado em R, U e cada função restrição de f a p é constante, donde contínua com valores em R, D, D a topologia discreta. Considerando por exemplo a função identidade I : R, U → R, D vemos que a hipótese de a classe dos conjuntos fechados F i ser finita, é essencial para poder concluir-se a continuidade de f : X → Y. Se X é reunião de uma classe não vazia (possivelmente infinita) de subconjuntos abertos A ∈ A, a continuidade de cada função restrição f ∣A : A → Y implica que dada uma rede x i → x em X, sendo x ∈ A para certo , tem-se x i ∈ A para cada i i 0 , certo ídice i 0 ; logo fx i → fx em Y. Aplicando o Teorema III.8.14 obtem-se III.8.34 Teorema Dada uma função f : X → Y, X, Y espaços topológicos tais que X A : ∈ A, cada A um conjunto aberto, a função é contínua se e somente se cada função restrição f ∣A : A → Y é contínua. III.8.35 Exercícios (1) Mostre que se A, B é uma partição de X ≠ então a classe P , X, A, B é uma topologia sobre X em que todo o conjunto aberto é fechado (2) Determine a topologia menos fina sobre R de entre as topologia T para as quais a função de Dirichlet f : R, T → R, U, fx 0 x ∈ Q, fx 1 x ∈ R\Q é contínua. (3) Prove que a função f : R 2 , d e → R, U, fx, y x 2 y 2 x 2 y 2 ≤ 1, fx, y 1 x 2 y 2 1 é contínua. (Sug: fx, y 1 para cada x, y, x 2 y 2 ≥ 1. (4) Indique uma condição necessária e suficiente a que deve satisfazer o subconjunto não vazio A do espaço topológico X, T para que a função característica A : X, T → R, U, A x 1 x ∈ A, A x 0 x ∉ A seja contínua. (5) Considere a topologia N , A ⊂ R :#A c ≤ # 0 sobre R. Prove que a função identidade I : R, N → R, U é sequencialmente contínua mas não é contínua. (6) Mostre que se ≠ A ⊂ X, T X então a topoloogia de subespaço T A é a menos fina de entre as topologias T sobre A para as quais a função de inclusão I A : A, T → X, T X , I A x x, é contínua. (7) Prove que se X é um conjunto não vazio, Y, T Y é um espaço topológico e f : X → Y é uma função, então a classe T f −1 A : A ∈ T Y é uma topologia sobre X tal que f : X, T → Y, T Y é contínua. -207III.8.36 (1) Verificam-se T1, T2, T3 e o complementar de dada aberto é um aberto. (2) É a topologia , R, Q, R\Q. (3) Os conjuntos A x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 ≤ 1, B x, y ∈ R 2 ; x 2 y 2 ≥ 1 são fechados (verifica-se facilmente que são sequencialmente fechados; III.3.9, III.7.12-14). Também de x n , y n → x, y fx n , y n → fx, y vê-se que f é sequencialmente contínua em cada ponto de A, donde contínua (Teorema III.8.27); f é contínua em cada ponto tomado em B. O resultado conclui-se do Teorema III.8.32. (4) O conjunto A ser aberto e fechado. (5) Se uma sucessão x n → x em R, N então existe certa ordem n 0 , x n x para todo o n ≥ n 0 ; donde Ix n Ix x n ≥ n 0 e Ix n → Ix em R, U. No entanto I −1 0, 1 0, 1∉ N, I não é contínua. (6) Pela definição da topologia de subespaço, I −1 A W A ∩ W é um aberto no subespaço topológico, para cada aberto W em X. Se A ∩ W ∈ T para cada aberto W de X, então todo o aberto em T A está em T. (7) T1 f −1 ∈ T, X f −1 Y ∈ T; para T2, dada uma classe f −1 O : ∈ A, O : ∈ A ⊂ T Y tem-se f −1 O : ∈ A f −1 O, O O : ∈ A ∈ T Y . T3 se U, V ∈ T Y então f −1 U ∩ f −1 V f −1 U ∩ V, U ∩ V ∈ T Y . A imagem inversa de cada aberto é um aberto. III.8.37 Definição Se X, Y são espaços topológicos, uma função bijectiva f : X → Y diz-se que é um homeomorfismo se é contínua e a sua inversa f −1 Y → X é contínua. Os espaços topológicos X, Y dizem-se homeomorfos se existe um homeomorfismo de X sobre Y. III.8.38 Observação As relações f −1 −1 f e gof −1 f −1 og −1 mostram, atendendo ao Teorema III.8.16, que a relação ”X é homeomorfo a Y” é uma relação de equivalência na classe dos espaços topológicos. III.8.39 Exemplos (1) O subespaço topológico 0, de R, U é homeomorfo a todo o espaço R, U, como mostra o homeomorfismo log x. (2) Cada dois intervalos finitos do mesmo tipo de R, U são homeomorfos quando munidos das topologias de subespaço; também 0, 1 é homeomorfo a 1, e a 0, , como mostram as funções 1/x e x − 1. (3) Considerando E 0, 1/n : n ∈ N munido da topologia U E de subespaço de R, U, T a topologia sobre E que tem 0, 1/n : n ∈ N como subbase, os espaços topológicos E, U E , E, T não são homeomorfos. (4) A esfera (considerada como uma parte de n1 R n1 , d e ) S n x i ∈ R n1 :∣ x i ∣ ∑ i1 x 2i 1 verifica que retirando-lhe o ”pólo norte” P 0, . . . , 0, 1 que podemos notar P x ′ , 1 convencionando x x i x ′ , x n1 onde x ′ x 1 , . . . , x n , x ′ x 1 , . . . , x n , a projecção estereográfica : S n \P → R n , x x ′ /1 − x n1 é um homeomorfismo de inversa y j x (x x ′ , x n1 , x ′ 2/∣ y j ∣ 2 1y j , x n1 ∣ y j ∣ 2 − 1/∣ y j ∣ 2 1) quando se considera também R n munido da métrica euclideana. Em particular, a circunferência excluído o ponto P 0, 1, S 1 \P, d e é homeomorfa à recta R, d e pelo homeomorfismo x, y x/1 − y. III.8.40 Exercício Verifique os exemplos (2), (3) e (4) em III.8.39. III.8.41 Resolução (2) Para a, b, c, d conclui-se utilizando a função 1 − xa xb de 0, 1 sobre a, b e III.8.38. Analogamente para intervalos da forma a, b, a, b ou a, b. Para intervalos a, b e c, d, considere-se −x de 0, 1 sobre − 1, 0. A função tan x é um homeomorfismo de 0, /2 sobre 0, . (3) Se X, T é um espaço de Hausdorff homeomorfo a Y, T ′ então Y, T ′ é um espaço de Hausdorff. Pois se f : X → Y é um homeomorfismo, dados pontos a ′ fa ≠ b ′ fb ∈ Y, existem abertos disjuntos A, B em X, a ∈ A, b ∈ B; então, sendo f −1 : Y → X contínua, obtem-se a ′ ∈ fA f −1 −1 A, b ′ ∈ fB f −1 −1 B, fA, fB são abertos disjuntos de Y. Verifica-se facilmente que E, U E é um espaço de Hausdorff e E, T não é um espaço de Hausdorff. (4) Comprova-se usando a continuidade por meio de sucessões num espaço métrico (Corolário II.8.12). -208III.8.42 Definição Se P é uma propriedade relativa aos espaços topológicos, diz-se que P é uma propriedade topológica ou um invariante topológico se sempre que X tem a propriedade P e Y é homeomorfo a X, também Y tem a propriedade P. III.8.43 Exemplos (1) Como vimos em III.8.41, a propriedade de um espaço topológico ser um espaço de Hausdorff é topológica. (2) A propriedade de cada topologia metrizável T sobre um conjunto ser tal que T é a topologia associada à métrica usual d de R não é obviamente topológica: certamente os espaços métricos R, d e iR, e, onde i 2 −1, eix, iy ∣ x − y ∣ são homeomorfos, e ≠ d. (3) Também a propriedade de um espaço métrico E, d (E, d é um espaço topológico) ser completo não é topológica, como mostra a Observação II.10.5. III.8.44 Definição Diremos que uma função f : X, T X → Y, T Y é aberta (resp. fechada) se a imagem directa fC de cada conjunto C aberto (resp. fechado) em X, T X é um aberto (resp. um fechado) em Y, T Y . III.8.45 Exemplos (1) A função f : R, U → R, U, fx x x ≠ 0, f0 1 é aberta; f não é fechada. (2) Qualquer função de X, T em R, D, D a topologia discreta, é aberta e é fechada. (3) A função f : R, U → 0. 1 munido da topologia de subespaço de R, U, fx 0 x ≤ 0, fx x 0 ≤ x ≤ 1, fx 1 x ≥ 1 é contínua e fechada, mas não é aberta. III.8.46 Observação Certos autores consideram na definição de função aberta, ou fechada, a condição adicional de a função ser contínua. Certamente em ambos os contextos, III.8.47 A composta de duas funções abertas (fechadas) é aberta (resp. é fechada) III.8.48 Exercício Mostre que se no contexto de III.8.44, f é uma bijecção contínua, então são equivalentes: i f é um homeomorfismo: ii f é aberta; iii f é fechada. III.8.49 Teorema Sejam X, Y espaços topológicos. 1. Se a função p : X → Y é fechada, então dados um qualquer conjunto S ⊂ Y e um aberto U de X tal que U ⊃ p −1 S, existe um aberto V em Y verificando S ⊂ V e p −1 V ⊂ U; 2. Se uma função p : X → Y é aberta, tem-se que dados um qualquer subconjunto S ⊂ Y e um fechado A em X tal que A ⊃ p −1 S, existe um fechado B de Y verificando S ⊂ B e p −1 B ⊂ A. -209Dem. Provando 1., seja V Y\pX\U. Como p −1 S ⊂ U, tem-se S ⊂ V (recordar −1 p U c p −1 U c ); sendo p fechada, V é um aberto de Y. Conclui-se o que se pretende, notando que p −1 V X\p −1 pX\U ⊂ X\X\U U. A demonstração de 2. é análoga. III.8.50 Teorema As propriedades de um espaço topológico ser de Hausdorff, ser C1, de ser C2, ou de ser metrizável são invariantes topológicos. Dem III.8.43 (1) mostra que a propriedade de um espaço topológico ser de Hausdorff é um invariante topológico. Se f : X → Y é um homeomorfismo, a ∈ X e B a é uma base contável de vizinhanças do ponto a, então fU : U ∈ B a é uma base contável de vizinhanças de fa, o que permite concluir que ser C1 é uma propriedade topológica. Analogamente para C2. Se a topologia de X é associada a uma métrica d e f : X → Y é um homeomorfismo, então a topologia de Y é a topologia associada à métrica d ′ fx, fy dx, y. III.8.51 Exercício Preencha os detalhes na demonstração acima. III.8.52 Definição Um espaço topológico X diz-se topologicamente completo se é metrizável e existe uma métrica d em X cuja topologia associada a esta métrica é a topologia do espaço, e tal que o espaço métrico X, d é completo. III.8.53 Exercício Prove que a propriedade de ser topologicamente completo é um invariante topológico. (Sug: III.8.50). -210III.9 SEPARAÇÃO As propriedades de separação (que se formulam através dos chamados axiomas de separação) são uma forma de classificar os espaços topológicos quanto às possibilidades de separar topologicamente (ou seja, por abertos) pontos e/ou subconjuntos. Os axiomas de separação designam-se tradicionalmente pela letra T_Talvez por ser a inicial da sua designação em língua alemã _ Trennungsaxiom, que significa axioma de separação, sendo esta notação introduzida por Alexander e Hopf. Destes, estudaremos os axiomas T 0 , T 1 e T 2 _ Que dizem respeito à separação de pontos _ T 3 e T 3 12 _ Que dizem respeito à separação entre um ponto e um conjunto _ E finalmente T 4 , relativo à separação entre conjuntos. Consideraremos um espaço topológico X, T, frequentemente designado por X. III.9.1 Definição Um espaço topológico X diz-se espaço T 0 se dados dois pontos distintos a, b ∈ X existe um abertto ao qual um deles pertence e o outro não ou seja, ∃U ∈ T, a ∈ U ∧ b ∉ U ∨ a ∉ U ∧ b ∈ U. III.9.2 Definição O espaço X diz-se T 1 ou um espaço de Kolmogorov se dados dois pontos distintos a, b ∈ X, cada um deles pertence a um aberto ao qual o outro não pertence ou seja, ∃A, B ∈ T, a ∈ A\B ∧ b ∈ B\A. III.9.3 Exercícios (1) Verifique que todo o espaço T 1 é T 0 . (2) Considere X a, b, c e a classe T , X, a, c, a, b, a, c. Mostre que X, T é um espaço topológico T 0 que não é T 1 . III.9.4 Exemplos (1) Se X tem mais do que um elemento, X com a topologia grosseira não é um espaço T 0 . (2) R munido da topologia U gerada pela base B a, : a ∈ R é um espaço T 0 . Será um espaço T 1 ? III.9.5 Teorema O espaço topológico X, T é T 1 se e só se cada conjunto finito é fechado. Dem. Basta provar para singletons. A condição é suficiente: dados a, b, a ≠ b a condição T 1 é verificada com A b c , B a c . Vejamos que é necessária: seja p ∈ X. Tem-se ∀x ∈ X, x ≠ p, ∃U x ∈ T, x ∈ U x ∧ p ∉ U x . Logo U x : x ∈ X\p X\p ∈ T donde p é fechado c.q.d. -211III.9.6 Observação Vemos pelo teorema anterior que o axioma T 1 é equivalente à condição K 1 ≡ ∀a ∈ X, V : V ∈ V a a. III.9.7 Corolário X, T é um espaço T 1 se e só se a topologia T é mais fina que a topologia cofinita de X. Assim a topologia cofinita é a menos fina das topologias T 1 sobre um conjunto. III.9.8 Um espaço topológico X diz-se de Hausdorff, separado ou espaço T 2 se dados dois pontos diferentes a, b ∈ X, existem dois abertos disjuntos A, B tais que a ∈ A e b ∈ B. A condição de separação de Hausdorff é considerada a propriedade básica de separação, verificada por muitos dos exemplos relevantes de espaços topológicos, nomeadamente pelos exemplos históricos (como aliás a própria designação de espaço ”separado” sugere). Veremos em seguida que algumas das propriedades mais familiares da Análise elementar, como por exemplo a unicidade do limite, são válidas em espaços de Hausdorff, mas não em espaços topológicos gerais. III.9.9 Observação Vimos em III.7.11 que um espaço topológico X é de Hausdorff se e só se o limite de cada base de filtro convergente em X é único, equivalentenente se e só se cada rede convergente em X tem um único limite. Consequentemente, se X é um espaço separado então o limite de cada sucessão convergente em X é único. A recíproca é falsa em geral, tendo-se contudo III.9.10 Propriedade Seja X, T um espaço C1. X, T é um espaço de Hausdorff se e somente se o limite de cada sucessão convergente em X é único. Dem. Basta provar que a condição é suficiente. Provemos a contra-recíproca. Seja X não de Hausdorff. Então existem a, b ∈ X, a ≠ b, tais que todo o aberto a que a pertence tem intersecção não vazia com todo o aberto a qua pertence b. Sejam U n : n ∈ N, V n : n ∈ N bases contáveis de vizinhanças de a e b respectivamente, verificando U n1 ⊂ U n , V n1 ⊂ V n , ∀n ∈ N. Como U n ∩ V n ≠ , n 1, 2, . . . , existe uma sucessão u n verificando u n ∈ U n ∩ V n , ∀n ∈ N. Então u n converge para a e para b, concluindo a demontração. III.9.11 Teorema O axioma de separação T 2 é equivalente à condição K 2 ≡ A intersecção da classe de todas as vizinhanças fechadas de cada ponto a reduz-se ao singleton a. Dem. T 2 K 2 Dado a ∈ X, se x ∈ X\a existem abertos A x , U x tais que a ∈ A x , x ∈ U x e A x ⊂ U cx ; donde X\U x é uma vizinhança fechada de a. Logo U : U ∈ V a , U é fechado ⊂ X\U x : x ∈ X\a X\ U x : x ∈ X\a eeste conjunto está contido em X\X\a a e concluimos K 2 . K 2 T 2 Pela hipótese, dados a, b ∈ X, a ≠ b existe pelo menos uma vizinhança fechada V de a tal que b ∉ V; logo V c é um aberto a que pertence b que é disjunto de um aberto A tal que a ∈ A, A ⊂ V, concluindo-se o teorema. -212III.9.12 Corolário 1 Todo o espaço T 2 é um espaço T 1 . Num espaço de Hausdorff todo o subconjunto finito é fechado. Dem. Certamente T 2 T 1 , o que pode ver-se também pela implicação K 2 K 1 , c.q.d. III.9.13 Corolário 2 Todo o espaço T 1 que tenha a propriedade de existir uma base de vizinhanças fechadas de cada ponto é um espaço de Hausdorff. III.9.14 Exercício Prove o Corolário 2 em III.9.13. III.9.15 Observações (1) Têm-se as implicações T 2 T 1 T 0 atendendo a III.9.3 e III.9.12. (2) As implicações recíprocas são falsas. Com efeito, para a primeira, se X é um conjunto infinito então X, C, C a topologia cofinita, é um espaço T 1 que não é T 2 . E existem espaços T 0 e não T 1 . (3) Se X, T é um espaço T i i 0, 1, 2 e T ∗ é uma topologia sobre X mais fina que T então X, T ∗ é um espaço T i III.9.16 Exercício Verifique III.9.15 (2), (3). (Sug. para (2): Existem em X, C dois abertos não vazios e disjuntos?) III.9.17 Propriedade As propriedades de um espaço ser T 0 , T 1 ou T 2 são hereditárias. Dem. Demonstremos o caso T 2 : Sejam X, T um espaço de Hausdorff, Y, T Y um subespaço. Sejam a, b ∈ Y, a ≠ b. Existem A, B ∈ T, a ∈ A, b ∈ B e A ∩ B . Então A ∩ Y, B ∩ Y ∈ T Y , a ∈ A ∩ Y, b ∈ B ∩ Y e A ∩ Y ∩ B ∩ Y A ∩ B ∩ Y . III.9.18 Exemplos (1) A topologia discreta é Hausdorff. (2) Os espaços metrizáveis são de Hausdorff. (3) A topologia da ordem é Hausdorff. (4) As topologias do limite superior e do limite inferior sobre R são Hausdorff . III.9.19 Teorema Se X, T é um espaço de Hausdorff, A ⊂ X, então o ponto p ∈ X é um ponto de acumulação de A se e somente se toda a vizinhança de p contém uma infinidade de pontos de A. Dem. Claro que a condição é suficiente. Provemos que é necessária: seja p um ponto de acumulação de A, e admitamos, com vista a um absurdo, que existe um aberto U ao qual pertence p, tal que U ∩ A é um conjunto finito. Então F U ∩ A\p é também um conjunto finito, logo fechado (Corolário 1). U\F é então um conjunto aberto a que pertence p e tem-se U\F ∩ A\p contrariando p ∈ A ′ , c.q.d. III.9.20 Definição Um espaço topológico X, T diz-se regular se verifica o axioma de regularidade R ≡ Dados um subconjunto fechado F ⊂ X e um ponto p ∈ X\F, existem abertos disjuntos U, V tais que F ⊂ U e p ∈ V. -213III.9.21 Observação Um espaço regular não é necessariamente T 1 , como mostra o exemplo X a, b, c, T , X, a, b, c. III.9.22 Definição Um espaço topológico diz-se um espaço T 3 se é regular e T 1 . III.9.23 Propriedade Todo o espaço T 3 é um espaço de Hausdorff. III.9.24 Observação Certos autores consideram como espaços regulares unicamente espaços verificando os axiomas T 1 e R i.e., não distinguem entre espaços regulares e espaços T 3 na nossa acepção. III.9.25 Exercício Prove a Propriedade III.9.23. III.9.26 Exemplos (1) R N , U, U a topologia usual associada à métrica euclideana d e , é um espaço T 3 . Com efeito se F é fechado e p ∉ F então infd e p, y : y ∈ F d e p, F d 0 (II.5.49 (2)); os abertos B 0 p, d/2 V e Bp, d/2 c U são disjuntos, F ⊂ U, p ∈ V. (2) A recíproca da Propriedade III.2.21 não é válida ou seja, um espaço de Hausdorff não é necessariamente um espaço regular, como mostra o seguinte exemplo. Consideremos X R, T a topologia que tem a classe dos intervalos abertos e o conjunto Q como subbase. T é mais fina que a topologia usual, portanto é Hausdorff; X, T não é regular, pois R\Q é fechado mas 1 e R\Q não têm vizinhanças disjuntas. III.9.27 O exemplo (2) acima mostra que uma topologia mais fina que uma topologia regular não é necessariamente regular (III.9.26 (1)). Por outro lado, continua a ter-se hereditariedade: III.9.28 Teorema A propriedade de ser regular é hereditária i.e., um subespaço de um espaço regular é um espaço regular. III.9.29 Propriedade O axioma da regularidade R é equivalente à seguinte condição: A classe das vizinhanças fechadas de cada ponto é uma base de vizinhanças do ponto. Dem. Consideremos um espaço topológico X, T. A condição é necessária: Seja p ∈ X, P uma vizinhança de p. Existe U ∈ T tal que p ∈ U ⊂ P. X\U é um fechado a que não pertence p, portanto existem A 1 , A 2 ∈ T tais que p ∈ A 1 , X\U ⊂ A 2 e A 1 ∩ A 2 , donde p ∈ A 1 ⊂ X\A 2 , X\A 2 ⊂ U ⊂ P e assim p ∈ X\A 2 ⊂ P. A condição é suficiente: Sejam p ∈ X, F ⊂ X, F fechado tais que p ∉ F. X\F é uma vizinhança de p, logo existem um aberto V e um fechado F p tais que p ∈ V ⊂ F p ⊂ X\F. X\F p é um aberto que contém F, p ∈ V e V ∩ X\F p c.q.d. -214III.9.30 Exercícios (1) Mostre que X é um espaço regular se e só se para cada fechado F ⊂ X e cada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. (2) Demonstre o Teorema III.9.28. (Sug: Pela Propriedade III.9.29, um espaço é regular se e só se existe uma base de vizinhanças fechadas de cada ponto). III.9.31 Em III.9.26 (2) temos um exemplo de um espaço T 2 e não T 3 . III.9.32 Propriedade Se X, ≤ é uma cadeia não vazia então X munido da topologia gerada pelos subintervalos da forma a, b é um espaço T 3 III.9.33 Exercício Demonstre a Propriedade III.9.32 III.9.34 Conclui-se facilmente que munindo uma cada cadeia não vazia da topologia da ordem (recorde III.2.22) se obtem um espaço T 3 . III.9.35 Definição O espaço topológico X diz-se normal se dados dois subconjuntos fehados disjuntos F, G ⊂ X existirem dois abertos disjuntos U, V tais que F ⊂ U e G ⊂ V. Se X é normal e T 1 diz-se que X é um espaço T 4 III.9.36 Exemplos (1) Se X não se reduz a um elemento, o espaço X, G é normal e não é T 0 . (2) X a, b, c munido da topologia T , X, a, b, a, b é normal e não é T 4 . III.9.37 O Teorema II.11.2 mostra que todo o espaço metrizável é T 4 . O Exemplo III.9.26 (2) dá um exemplo de um espaço de Hausdorff que não é T 4 . Todo o espaço T 4 é um espaço T 3 ; veremos em III.10 que existem espaços T 3 e não T 4 . (3) Se Γ é um número ordinal, o espaço ordinal 0, Γ é T 4 . Efectivamente o espaço é T 1 , pois é separado (III.9.18 (3)); para ver que é normal, consideremos dois subconjuntos fechados disjuntos A, B de 0, Γ. Para cada ∈ A, o conjunto ∈ B : tem um supremo b , e verifica-se b ∈ B B. O aberto b , : ∈ A não contém nenhum ponto de B, pela definição de supremo de um conjunto. Obtemos assim o aberto U b , : ∈ A ⊃ A e analogamente obteríamos um aberto V a , : ∈ B ⊃ B. Tem-se U ∩ V . Pois se U ∩ V ≠ então uma intersecção b , ∩a , não é vazia; supondo , obtem-se ∈b , , o que é impossível, e analogamente supondo . Fica assim provado que 0, Γ é normal. (4) Analogamente se comprova que 0, Γ (munido tambem da topologia da ordem) e R, U são espaços T 4 . -215III.9.38 Exercícios (1) Verifique III.9.37. (2) Mostre que T i1 T i i 0, 1, 2, 3. Vimos que um espaço X é regular se e só se para cada subconjunto fechado F de X e cada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. Tem-se III.9.39 Teorema O espaço X é normal se e somente se dados um fechado F ⊂ X e um aberto U contendo F, existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ V ⊂ U. Dem. A condição é necessária: Sejam F um fechado, U um aberto tal que F ⊂ U. Então X\U é um aberto, disjunto de F, logo existem abertos disjuntos O, O ′ , F ⊂ O e X\U ⊂ O ′ , O ∩ O ′ . Donde F ⊂ O ⊂ X\O ′ e também X\O ′ ⊂ U; como X\O ′ é um fechado tem-se F ⊂ O ⊂ O ⊂ U. A condição é suficiente: Sejam F, G dois fechados disjuntos, F ⊂ X\G com X\G aberto. A condição implica a existência de um aberto O tal que F ⊂ O ⊂ O ⊂ X\G e portanto, F ⊂ O, G ⊂ X\O, O ∩ X\O c.q.d. III.9.40 Observação A propriedade de um espaço ser normal (ou de ser T 4 ) não é hereditária. Mas verifica-se facilmente que todo o subespaço fechado de um espaço normal (resp. T 4 ) é um espaço normal (resp. T 4 ). III.9.41 Teorema (Lema de Urysohn) Sejam F 1 , F 2 dois subconjuntos fechados disjuntos de um espaço normal X, T. Então existe uma função contínua f : X → 0. 1, 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, tal que fF 1 0, fF 2 1. III.9.42 Exercício Justificando os passos seguintes, e utilizando o resultado: P ≡ O conjunto D 12 , 14 , 34 , 18 , 38 , 58 , 78 , 161 , . . . , 15 , . . . das fracções diádicas 16 (fracções cujo denominador é uma potência de 2) é denso em 0, 1, obtenha uma demonstração do Lema de Urysohn: 1. Tem-se F 1 ⊂ F c2 e F c2 é aberto; 2. existe um aberto G 1,2 tal que F 1 ⊂ G 1,2 ⊂ G 1,2 ⊂ F c2 ; 3. existem abertos G 1,4 e G 3,4 tais que F 1 ⊂ G 1,4 ⊂ G 1,4 ⊂ G 1,2 ⊂ G 3,4 ⊂ G 3,4 ⊂ F c2 e podemos repetir o processo obtendo, para cada t ∈ D, um aberto G t com a propriedade de para cada t1, t2 ∈ D, t1 t2 se tem G t1 ⊂ G t2 . 4. A função f : X → 0, 1, fx inft : x ∈ G t x ∉ F 2 , fx 1 x ∈ F 2 verifica fF 1 0 e fF 2 1 (Sug: F 1 ⊂ G t para cada t). 5. Ficará provado que a função f em 4. é contínua se provarmos que cada conjunto f −1 0, b e f −1 a, 1 é aberto em X 0 a, b 1. 6. Provemos que a) f −1 0, b G t : t ∈ D, t b e c b) f −1 a, 1 G t : t ∈ D, t a. -2167. Provando a): (i) se x ∈ f −1 0, b tem-se 0 ≤ fx b; (ii) existe tx ∈ D tal que fx tx b e fx inft : x ∈ G t tx b; (iii) fx ≤ t, ∀t ≤ tx : x ∈ G t donde fx ≤ tx se x ∈ G tx , e assim se x ∉ G tx tem-se fx tx, donde x ∈ G tx ; (iv) x ∈ G t : t ∈ D, t b e f −1 0, b ⊂ G t : t ∈ D, t b. (v) Suponhamos y ∈ G t : t ∈ D, t b. Então ∃ty ∈ D, ty b ∧ y ∈ G ty . (vi) fy inft : t ∈ D, y ∈ G t ≤ ty b; (vii) y ∈ f −1 0, b donde G t : t ∈ D, t b ⊂ f −1 0, b e tem-se −1 f 0, b G t : t ∈ D, t b. Provando b): (i) Seja x ∈ f −1 a, 1; então a fx ≤ 1; (ii) existem t1, t2 ∈ D, a t1 t2 fx; (iii) fx inft ∈ D : x ∈ G t t2, donde x ∉ G t2 . (iv) t1 t2 G t1 ⊂ G t2 , e assim x ∉ G t1 ; c (v) x ∈ G t1 onde t1 a; c (vi) f −1 a, 1 ⊂ G t : t ∈ D, t a; c c (vii) Seja y ∈ G t : t ∈ D, t a. Existe então ty a, y ∈ G ty ; (viii) Como t ty G t ⊂ G ty ⊂ G ty tem-se y ∉ G t desde que t ∈ D e t ty; (ix) fy inft ∈ D : y ∈ G t ≥ ty a; c (x) y ∈ f −1 a, 1 e G t : t ∈ D, t a ⊂ f −1 a, 1 (xi) Pode concluir-se o resultado. III.9.43 Exercícios (1) Justificando as passagens seguintes, comprove o resultadp P utilizado na resolução de III.9.43: 1. Há a provar que para cada a ∈ 0, 1 tem-se que cada intervalo a − , a contém um ponto de D, qualquer que seja 0. Sejam um tal a e 0; 2. existe q 2 n , certo número natural n, tal que 0 1q ; m m1 3. pelo menos um dos intervalos mq , m1 q verifica a ∈ q , q (Sug: Que conjunto se q−2 q−1 q−1 obtem pela reunião 0, 1q 1q , 2q 2q , 3q . . . q , q q , 1?). 1 m 4. as desigualdades mq ≤ a ≤ m1 q , q implicam a − q a , c.q.d. (2) Prove que se X, T é um espaço T 4 , B é uma base de T então para cada B j ∈ B e cada ponto p ∈ B j existe certo B k ∈ B tal que p ∈ B k ⊂ B k ⊂ B j . III.9.44 Se a função f : C ⊂ X, T X → Y, T Y é contínua, dizemos que a função F : X, T X → Y, T Y é uma extensão contínua de f se Fx fx x ∈ C. -217III.9.45 Observação Se f n é uma sucessão de funções reais contínuas sobre X indiciada em N 0 tal que existem constantes M n , n 0, 1, 2, . . . satisfazendo ∣ f n x ∣≤ M n x ∈ X para cada n e ∑ n0 M n , então a função f : X → R definida por fx ∑ n0 f n x é contínua. Com efeito, f está bem definida e dado 0, existe n0 tal que pondo N s N x ∑ n1 f n x, tem-se para todo o N ≥ n0, ∣ s N x − s n0 x ∣≤ ∑ nn0 M n , ∀x ∈ X. Sendo então x 0 ∈ X, 0, a continuidade de cada função s N implica que existe uma vizinhança V do ponto x 0 , ∣ fx − fx 0 ∣≤∣ fx − s N x ∣ ∣ s N x − s N x 0 ∣ ∣ s N x 0 − fx 0 ∣ 3 para todo o x ∈ V, f é contínua. III.9.46 Teorema de Tietze Seja X, T um espaço de Hausdorff. O espaço X é normal se e somente se para cada subconjunto fechado A, cada função contínua f : A, T A → R, U tem uma extensão contínua F : X, T → R, U, de modo que se ∣ fx ∣ sobre A então pode escolher-se F tal que ∣ Fx ∣ x ∈ X. Dem. A condição é suficiente, pois admitindo-a, sejam C, D subconjuntos fechados disjuntos de X. Para cada escolha de y 0 , y 1 ∈ R, y 0 ≠ y 1 , a função f : C D, T CD → R, U, f y 0 sobre C, f y 1 sobre D, é contínua. Dada uma extensão contínua F : X → R de f, os subconjuntos abertos F −1 I 0 , F −1 I 1 , onde I 0 , I 1 sao intervalos abertos disjuntos contendo respectivamente y 0 , y 1 tais que C ⊂ F −1 I 0 e D ⊂ F −1 I 1 . Para provar que a condição é necessária, utilizamos o -218Lema Se A é um subconjunto fechado do espaço normal X, T X e g : A, T A → R, U contínua tal que ∣ gx ∣≤ c para cada x ∈ A, existe uma função h : X, T X → R, U tal que (1) ∣ hx ∣≤ 13 c para todo o x ∈ X; (2) ∣ ga − ha ∣≤ 23 c se a ∈ A. Provemos os três passos seguintes, onde X é normal: a Sejam A um suconjunto fechado de X e f : A → R contínua, ∣ fa ∣ c para cada a ∈ A. Tomando f como uma função g no Lema, seja h 0 : X → R no lugar de h tal que ∣ fa − h 0 a ∣≤ 23 c a ∈ A. Aplicando o Lema de novo seguidamente à função f − h 0 definida sobre A, obtemos h 1 : X → R contínua, ∣ h 1 x ∣≤ 13 . 23 c x ∈ X, ∣ fa − h 0 a − h 1 a ∣≤ 23 . 23 c a ∈ A. Admitindo por hipótese de indução que foram obtidas h 0 , . . . , h n podemos aplicar o Lema à função f − h 0 −. . . −h n obtendo h n1 : X → R contínua tal que ∣ h n1 x ∣≤ 13 . 23 n c parac cada x ∈ X, ∣ fa − h 0 a −. . . −h n1 a ∣≤ 23 . 23 n c a ∈ A. Assim existe uma função como h n para cada n ∈ N. Utilizando III.9.44, a função Fx ∑ n0 h n x é contínua de X em R; a segunda desigualdade acima mostra que Fa fa a ∈ A e, pela primeira tem-se ∣ Fx ∣≤ 13 . ∑ n0 23 n c c para cada x ∈ X. b Pela hipótese ∣ fa ∣ c sobre A. Obtivemos em a a extensão contínua F de f tal que ∣ Fx ∣≤ c sobre X. O subconjunto A 0 x ∈ X : Fx c é fechado em X e A ∩ A 0 , donde aplicando o Lema de Urysohn existe uma função contínua : X, T → R, U tal que 1 sobre A e 0 sobre A 0 , 0 ≤ ≤ 1. Ponhamos Gx xFx em X. Então G é contínua, Ga Fa fa sobre A e G é também uma extensão contínua de f. Além disso, se x ∈ A 0 tem-se Gx 0 e, para x ∈ X\A 0 , ∣ x ∣≤ 1 e ∣ Fx ∣ c, donde Gx c. c A função f não sendo necessariamente limitada, consideremos o homeomorfismo hx x/1 ∣ x ∣ de R sobre − 1, 1. Aplicando b, a composta hof tem uma extensão contínua F : X → − 1, 1. Então a igualdade h −1 ohofa fa, a ∈ A, mostra que a função h −1 oF é uma extensão contínua de f c.q.d. III.9.47 Proposição (1) Se X, T é um espaço regular, F é um subconjunto fechado de X e p ∈ X\F, existem abertos U, V tais que p ∈ U, F ⊂ V e U ∩ V , U ∩ V . (2) Se X, T é um espaço normal e F, G ⊂ X, F, G conjuntos fechados disjuntos, então existem abertos U, V tais que F ⊂ U, G ⊂ V e U ∩ V . Dem. Provando (1). Pela hipótese existem conjuntos abertos A, B, p ∈ A, F ⊂ B e A ∩ B . Atendendo a III.9.30 (1), existe um aberto W tal que F ⊂ W ⊂ W ⊂ B. Então p ∈ A\B ⊂ A\W ⊂ A\W A\W, A\W é aberto, A\W ∩ F ; também F ⊂ W ⊂ W ⊂ B\A, W ∩ A\W . Os abertos U A\W e V W estão nas condições pedidas, já que A\W ⊂ A\W e W ∩ A\W c.q.d. (2) obtem-se imediatamente da definição de espaço normal, usando o Teorema III.9.40. -219III.9.46 Teorema Todo o espaço regular e C2 é um espaço normal III.9.47 Exercício Obtenha, pela justificação das passagens seguintes, uma demonstração do teorema: Suponhamos X nas hipótese do teorema, e seja B uma base contável da topologia. Consideremos dois subconjuntos fechados A, B de X, A ∩ B . 1. Para cada x ∈ A existe um aberto U ∈ V x tal que U ∩ B ; 2. existe um aberto V ∈ V x tal que V ⊂ U; 3. existe certo W ∈ B verificando-se x ∈ W ⊂ V. 4. Considerando conjuntos W verificando 3. para cada x ∈ A, a classe destes abertos W é uma cobertura contável W n : n ∈ N de A (i.e., A ⊂ W n : n ∈ N) formada por conjuntos abertos, cujos fechos são disjuntos de B. 5. Existe uma classe contável de abertos V n : n ∈ N tal que B ⊂ V n : n ∈ N e sendo cada V n ∩ A ; n n 6. Para cada n, sejam W ′n W n \ i1 V i e V ′n V n \ i1 W i ; cada conjunto W ′n , V ′n é um aberto. 7. A classe W ′n : n ∈ N é uma cobertura de A, e a classe V ′n : n ∈ N é uma cobertura de B. 8. Os conjuntos W ′ W ′n : n ∈ N e V ′ V ′n : n ∈ N são abertos e disjuntos, concluindo-se a demonstração. (Sug: Se x ∈ W ′ ∩ V ′ então existem j, k ∈ N tais que x ∈ W ′j ∩ V ′k ; supondo por exemplo j ≤ k tem-se x ∉ W j ). III.9.48 Resolução 1. Pois por hipótese X é um espaço regular; 2. por III.9.30 (1); 3. pois B é uma base da topologia. 4. Atendendo a 1., 2. e 3. e porque por hipótese a base B é contável. 5. analogamente aos passos anteriores, com B no lugar de A; 6. porque o fecho de um conjunto é um conjunto fechado, a reunião finita de fechados é um fechado e a intersecção de dois abertos é um aberto. -2207. Pois cada ponto x em A pertence a certo W n e não pertence a nenhum dos conjuntos V i , atendendo a 5.; 8. W ′ e V ′ são abertos, pois são reuniões de conjuntos abertos. E atendendo a 7. c k W j ; e Também nas condições da sugestão, x ∉ W j pois admitimos x ∈ V ′k ⊂ j1 analogamente na hipótese k ≤ j, c.q.d. III.9.49 Teorema Todo o conjunto bem ordenado X é um espaço topológico T 4 quando munido da topologia da ordem. III.9.50 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do Teorema III.9.48: 1. Há a provar que X é um espaço normal. Sejam A, B ⊂ X, A, B fechados disjuntos. 2. Cada intervalo x, y de X é um conjunto aberto; 3. suponhamos primeiro que a 0 ∉ A B, a 0 o primeiro elemento de X. Para cada a ∈ A, existe um intervalo x a , a, x a a tal que x a , a ∩ B ; 4. para cada b ∈ B podemos considerar um intervalo y b , b, y b b, y b , b ∩ A . 5. Os conjuntos U x a , a : a ∈ A e V y b , b : b ∈ B são abertos, U ⊃ A e V ⊃ B. 6. Se z ∈ U ∩ V então z ∈x a , a ∩y b , b, certos a ∈ A, b ∈ B; 7. supondo a b, se a ≤ y b então os intervalos em 6. são disjuntos; e se y b a então a ∈y b , b, o que é impossível. Analogamente se b a. 8. Na hipótese 3., tem-se U ∩ V . 9. Consideremos o caso a 0 ∈ A, a 0 o primeiro elemento de X. Então a 0 é um aberto e também um fechado em X, donde A\a 0 e B são subconjuntos fechados disjuntos de X, nenhum deles contendo a 0 ; 10. existem abertos disjuntos U, V em X, A\a 0 ⊂ U, B ⊂ V; 11. Pode concluir-se o teorema, c.q.d. III.9.51 Resolução 1. Pois o espaço X é separado. 2. Pois x, y x, y 1, onde y 1 é o sucessor de y; 3. porque cada intervalo aberto contendo a contém um intervalo da forma x a , a e pelo menos um intervalo aberto contendo a é disjunto de B (caso contrário a é um ponto aderente de B, logo a ∈ B; mas a ∈ A, A ∩ B , logo a ∉ B); 4. conclui-se analogamente a 3. 5. Pois são reuniões de abertos. E porque a percorre A para se obter U, a ∈ U para cada a ∈ A; analogamente para V ⊃ B. 6. Por definição dos conjuntos U, V; 7. pela definição dos intervalos; 8. Conclui-se e 6. e 7. -2219. a 0 a 0 , a 0 1 é aberto pela definição da topologia da ordem; a 0 é fechado porque é um subconjunto finito de um espaço separado; e pelas hipóteses anteriores. 10. Aplica-se a conclusão como supondo 3. 11. Considerando os abertos U a 0 (passo 9.) e V, atendendo a 10. III.9.52 Observação Também cada cadeia munida da topologia da ordem é um espaço normal, como pode encontrar-se em [Steen, Seebach]. III.10 TOPOLOGIA PRODUTO E TOPOLOGIA COCIENTE. ESPAÇOS COMPLETAMENTE REGULARES. OBTENÇÃO DE TOPOLOGIAS No que segue consideramos espaços topológicos X , T ∈ A e o conjunto produto caretsiano X ∈A X suposto não vazio. III.10.1 Teorema A classe B ∈A O ∈A\A X : A ∈ FA, O ∈ T onde FA é a colecção dos subconjuntos finitos não vazios de A, é uma base para uma topologia sobre X. Dem. Tem-se X ∈ B donde R : R ∈ B X. Dados R 1 ∈A1 O 1 ∈A\A1 X , R 2 ∈A2 O 2 ∈A\A2 X , se A1 ∩ A2 então R 1 ∩ R 2 ∈A O ∈A\A X onde O O i , ∈ Ai e A A1 A2 ∈ FA; se B A1 ∩ A2 ≠ então R 1 ∩ R 2 ∈B O 1 ∩ O 2 ∈A1\B O 1 ∈A2\B O 2 ∈A\A X ∈ B c.q.d. III.10.2 Se X é um conjunto, X , T : ∈ A é uma colecção de espaços topológicos e f : X → X : ∈ A é uma correspondente colecção de funções, podemos considerar sobre X (III.2.37) a topologia ∨f −1 T : ∈ A. Tomando X ∈A X e f pr : X → X obtem-se sobre X uma topologia; e designando m A 1, . . . , m ⊂ A, O 1 , . . . , O m k1 O k ∉A X , tem-se m −1 pr −1 k O k O k , k1 pr k O k O 1 , . . . , O m , um aberto na base B da topologia ∨pr −1 T : ∈ A sobre X ., T . Assim a classe −1 pr O : O ∈ T , ∈ A é uma subbase da topologia . III.10.3 Definição A topologia em III.10.2 sobre X ∈A X diz-se a topologia produto, e notamos X ∈A X , T para designar o espaço topológico obtido. -222III.10.4 Observações (1) Se o conjunto dos índices é finito, A 1, . . . , N, a base B no Teorema III.10.1 é constituída pelos conjuntos O 1 . . . O N , cada O k 1 ≤ k ≤ N um aberto de X k , T k . (2) No contexto de III.10.1 cada conjunto R na classe B diz-se um rectângulo aberto. Os rectângulos abertos são abertos muito particulares no espaço topológico produto. (3) Notar que se a classe X , T : ∈ A é infinita, uma ”caixa” ∈A O , O ∈ T \, X nunca é um aberto em A X , T , nem um produto cartesiano P ∈A O em que O ≠ X , O ≠ para uma infinidade de índices ; pois P não contem nenhum conjunto O 1 , . . . , O m . (4) Certamente se R é um rectângulo aberto, pr : X → X é a projecção de índice , ∈ A, a imagem pr R é um aberto no espaço topológico X ; se O é um aberto de A X , T , sendo a imagem de uma reunião generalizada a reunião generalizada das imagens, pr O é um aberto de X . Assim as projecções são funções abertas. (5) Notar que dado um aberto O ∈ , somente para um número finito das projecções pr é possivelmente pr O ≠ X . (6) Para cada O ∈ T , a imagem inversa pr −1 O O ≠ X é um rectângulo aberto; as projecções são funções contínuas. Obtemos éa -223III.10.5 Propriedade A topologia produto do espaço topológico produto A X , T menos fina das topologias sobre ∈A X para as quais cada função projecção é contínua. As projecções são funções abertas. Dem. Se cada pr : ∈A X , T → X é contínua, então cada conjunto R O ≠ X pr −1 O ∈ T ∈ A. Cada rectângulo aberto R é uma intersecção finita de rectângulos abertos da forma R , e portanto é um aberto da topologia T concluindo-se ⊂ T e por III.10.3, a propriedade c.q.d. III.10.6 Exercícios (1) Mostre que se T é uma topologia sobre X ∈A X tal que cada projeccção pr ∈ A é contínua, então dada um rede x i → x em X, T, cada rede coordenada x i → x a no espaço factor X . (2) Prove que se cada rede x i → x em X então x i → x em A X , T e conclua o III.10.7 Teorema Uma rede x i → x no espaço produto A X , T se e somente se cada rede factor x i → x no espaço X , T . III.10.8 Resoluções (1) Conclui-se do Teorema III.8.14. (2) Atendendo a III.10.4, tem-se que se x i → x no espaço A X , T então x i pr x i → x em X , T ∈ A. (Há a provar que se cada x i → x em X então x i → x . Supondo a negação de x i → x tem-se P ≡ ∃O ∈A O ∈A\A X onde x ∈ O , O ∈ T para cada no conjunto finito A tal que, designando I, o conjunto dirigido para a rede j x i , para cada i ∈ I existe j i, x ∉ O. Se se verifica a relação j P ≡ ∀O ∈ T : x ∈ O , ∃i ∈ I, j i x ∈ O para todos os ∈ A, então j tomando iA i ∈ A, a relação P não se verifica, pois se j iA então x ∈ O , cada ∈ A. Existe pois pelo menos um ∈ A tal que P é falso ou seja, tal que a rede factor x i não converge para x concluindo-se que a convergência de cada rede facor implica a convergência da rede no espaço produto. (1) e (2) permitem concluir o teorema. III.10.9 Exercício Prove que dada uma classe não vazia de espaços topológicos X , T : ∈ A a classe B X ∈A O : O ∈ T é base para uma topologia sobre X ∈A X . (esta topologia diz-se a topologia da caixa, box topology). III.10.10 Exercícios (1) Prove que a classe T p , 0, 1/m : m ≥ n p : n ∈ N é uma topologia sobre C 0, 1/n : n ∈ N para cada p 1, 2, . . . . (2) Designe por X p o espaço topológico obtido munindo C da topologia T p na questão (1). Mostre que sendo k ∈ N, a sucessão 1/n k → n→ 0 em cada espaço topológico X p mas a sucessão 1/n k n1 em k não é convergente para 0 no espaço topológico n1 X n , B X , X n1 X n munido da topologia da caixa B X . (3) Confirme que se o conjunto A dos ídices é infinito, então a topologia da caixa é estritamente mais fina que a topologia produto. -224III.10.11 Resoluções (1) T1 verifica-se ; T2 se 1/n p é o maior elemento que figura em todos os abertos A de T p , então A : ∈ Γ 0, 1/m : m ≥ n p ∈ T p ; T3 dados abertos A 1 0, 1/m : m ≥ n1 p , A 2 0, 1/n2 p , m ≥ n2, n2 ≥ n1 tem-se A 1 ∩ A2 A2 ∈ T. (2) Cada aberto 0, 1/m : m ≥ n p contendo 0 em X p contém todos os termos 1/n k onde k ≥ p. Dada a caixa B n1 0, 1/m : m ≥ n p ∈ B X , não existe kB ∈ N tal que 1/n k ≤ 1/n p p 1, 2, . . . para todo o termo de ordem k ≥ kB, pois teria de ser kB ≥ p, ∀p ∈ N. (3) Atendendo a III.8.27 e III.8.14, a função identidade Id : X, → X, B X não é contínua X n1 X n ; existe assim (III.8.18) pelo menos um conjunto aberto em B X que não está na classe . III.10.12 Observação Se o espaço produto A X , T é um espaço de Hausdorff então j dados x , y ∈ X , x ≠ y , fixando z 1 x , z 2 y e z ∈ X ≠ , j 1, 2, os pontos j z j z em A X , T têm vizinhanças disjuntas V j j 1, 2. Existem portanto abertos j j j disjuntos A pr V j em X tais que z ∈ A , cada espaço factor é separado. III.10.13 Teorema O espaço produto A X , T é um espaço de Hausdorff se e somente se cada espaço factor X , T é um espaço de Haausdorff. III.10.14 Exercícios (1) Demonstre o Teorema III.10.13. (2) Prove que se X n , T n : n ∈ N é uma classe contável de espaços topológicos C1 então N X n , T n é um espaço C1. III.10.15 Resoluções (1) A condição necessária é III.10.12. Supondo cada X , T um espaço separado, sejam x x , y y ∈ A X , T , x ≠ y. Existe ∈ A, x ≠ y . Sendo U , V ∈ T tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V , obtêm-se abertos disjuntos U , V em tais que x ∈ U , y ∈ V c.q.d. (2) Designe O ,n : n ∈ N uma base contável de vizinhanças de x tal que O ,n ⊃ O ,n1 . Se O ∈ e x ∈ O tem-se O ⊃ A 1 , . . . , A m onde x k ∈ A k ∈ T k , 1 ≤ k ≤ m, m ∈ N. É A k ⊃ O k,n , k 1, . . . , m, n fixo, O ⊃ O k,n , . . . , O k,n c.q.d. Dada uma classe X , T : ∈ A pomos X , T G se T , X . -225III.10.16 Teorema O espaço produto A X , T é um espaço C1 se e somente se a classe dos espaços factores X , T ≠ G ∈ A é contável e cada um destes espaços X , T é um espaço C1. Dem. Atendendo a III.10.15 (2), há a provar que, supondo cada espaço X como no enunciado um espaço C1, se a classe M dos X não é contável então o produto não é um espaço C1; com vista a um absurdo, suponhamos M não contável e X A X , T um espaço C1. Sejam x x ∈ X e O n,x : n ∈ N uma classe contável de abertos, base de vizinhançase de x. Designando O ,n pr O n,x , A n,x ∈ A : pr O n,x ≠ X cada A\An, x tem cardinal maior que o numerável. Seja O ∈ tal A n,x é finito e C n1 A n,x é contável, existe que x ∈ O; existe certo O n,x , x ∈ O n,x ⊂ O. Como Ax n1 um índice ∈ C\Ax, X ∈ M ; donde pr O n,x X , n 1, 2, . . . . Tem-se pr O ∩O ,n O , n 1, 2, . . . , Consideremos um elemento x ′ x ′ ∈ X, x ′ x ∈ Ax , x ′ ≠ x ∉ Ax , x ′ ∈ O, x ′ ≠ x. Deverá existir O n,x ⊂ O ∩O ,n , obtendo-se o absurdo X ⊂ O c.q.d. III.10.17 Teorema O produto A X , T é metrizável se e só se cada espaço X , T é metrizável e o cardinal da classe dos espaços X não reduzidos a um ponto é contável. Dem. A condição é necessária. Com efeito, se X A X , T é metrizável para uma métrica d, então para cada ∈ A fixando um ponto x ∈ ∈B X , B A\, a função d x , y dx, y, pr x x ∈ B, pr x x e pr y x ∈ B, pr y y é uma métrica em X . Tem-se subentendendo esta notação que uma rede x i → x em X , d x i → x em X, d x i → x em X , T (III.10.7) e portanto X é metrizável (Observação III.7.19). Também se a classe de espaços factor não reduzidos a um ponto X , T : ∈ Γ, Γ ⊂ A não é contável, tem-se cada X ≠ G donde X não é um espaço C1 pelo teorema anterior logo X não é metrizável (III.3.10). A condição é suficiente: notando X n , d n : n ∈ N a subclasse de X , T : ∈ A (na convenção A ⊃ N) dos espaços não reduzidos a um ponto, designando p os restantes, considere-se para cada d n a métrica equivalente d n mind n , 1/n em X n . Seja Dx , y supd n x n , y n : n ∈ N. Como d n x n , y n → n 0, a função D está bem definida, e é uma métrica em X (verifique). A rede x i → x em X, D se e só se a rede de números não negativos dx i , x converge para 0 ou seja, se e só se cada rede coordenada x i → x em X , T ; portanto (III.10.7, III.7.19) o espaço X é metrizável para a métrica D c.q.d. III.10.18 Observação Dada uma classe finita X n , d n : 1 ≤ n ≤ N de espaços N métricos as métricas D em X n1 X n na demonstração de III.10.17, Dx n , y n supmind n , 1/n : 1 ≤ n ≤ N e d M x n , y n maxd n x n , y n : 1 ≤ n ≤ N são uniformemente equivalentes (III.4.7 (3)). Pelo Corolário II.5.21, a topologia sobre X associada à métrica d M é assim a topologia produto de X. -226III.10.19 Exercícios (1) Prove que se cada subconjunto F de X é fechado em X , T ∈ A então F ∈A F é fechado em A X , T (Sug: pelo Corolário III.7.13, um subconjunto C do espaço topológico é fechado se e só se contem o limite de qualquer rede convergente em C). (2) Mostre que o conjunto H x, 1/x : x ≠ 0 é fechado no espaço produto R, U R, U mas o conjunto pr x H pr x a, b a não é fechado no espaço factor R, U (Sug: Corolário III.7.13 e III.7.15, III.7.16. III7.17). (3) Conclua que as projecções num produto não são funções fechadas; e que o recíproco de (1) é falso. III.10.20 Teorema Dado o espaço produto X A X , T , se C ⊂ X ∈ A, tem-se ∈A C ∈A C . Dem. Atendendo a III.10.19 (1), o conjunto ∈A C é um fechado contendo ∈A C , donde ∈A C ⊂ ∈A C . Para a inclusão recíproca, se x ∈ ∈A C , então dado um aberto O em X contendo x , tem-se x ∈ pr O que é um aberto do espaço factor X (III.10.5). Logo pr O ∩ C ≠ , concluindo-se O ∩ ∈A C ≠ e assim o teorema. III.10.21 Dado um espaço factor X do espaço produto X A X , T , ∈ A e dado um ponto fixo x ∈ ∈A X , a parte Sx ; X ∈A\ x diz-se a fatia em X por x paralela a X . Sx ; munido da topologia de subespaço de X é homeomorfa ao espaço factor X para cada x arbitrariamente considerado. III.10.22 Exercício Verifique III.10.21. III.10.23 Teorema Seja Y , T : ∈ A uma classe de espaços topológicos, e sejam X, T um espaço topológico, f : X, T → A Y , T uma função. então f é contínua se e somente se cada composta pr of : X, T → Y , T ∈ A é contínua. Dem. Se f é contínua então cada pr of é contínua (III.10.5). Reciprocamente, suponhamos cada composta pr of uma função contínua. -227Dada uma rede x i → x em X, fx i pr fx i converge para pr fx fx (III.8.14, III.10.7) e conclui-se o teorema usando o Teorema III.8.14, c.q.d. III.10.24 Corolário Sendo X, T um espaço topológico, Y , T : ∈ A uma classe de espaços topológicos e f : X → Y ∈A uma classe de funções, a função f : X → A Y , T , fx f x é contínua se e só se cada função dada f é contínua. Dem. Conclui-se do teorema, pois f pr of. III.10.25 Teorema Sejam X , T : ∈ A, Y , T ∗ : ∈ A classes de espaços topológicos indiciadas num mesmo conjunto, e seja f : ∈ A uma classe de funções, f : X → Y . Se cada função f é contínua, então a função f : A X , T → A Y , T ∗ , fx f x é contínua. Dem. Dado V , V ∈ T ∗ tem-se f −1 V f −1 V donde se conclui o teorema, c. q.d. III.10.26 Se cada espaço X , T é um espaço T 0 ∈ A então dados pontos x , y ∈ X A X , T , x ≠ y , pelo menos x ≠ y para um índice . Existe portanto V ∈ V x tal que y ∉ V no espaço X , e V é uma vizinhança de x tal que y ∉ V , donde X é um espaço T 0 . Reciprocamente, se o espaço produto é T 0 então dado um qualquer índice , x , y ∈ X , x ≠ y , podemos fixar u x , v y e u v ≠ , ∈ A obtendo pontos diferentes u u , v v ∈ X, , . Se v ∉ O u , onde O u é um aberto do produto a que pertence u, então pr O u é um aberto de X contendo x ao qual não pertence y , o espaço X é T 0 . Estas propriedades continuam ambas a verificar-se, substituindo no enunciado T 0 por T 1 (resp.por T 2 ). III.10.27 Exercício Verifique III.10.26. -228III.10.28 Propriedade O espaço produto X A X , T é um espaço T i i 0, 1, 2, 3 se e somente se cada espaço factor é respectivamente um espaço T i . Dem. Provamos que se X é um espaço T 3 então cada factor é um espaço T 3 ; e provando que se cada X é regular então X é regular, ficará provado o teorema. Admitindo que X é um espaço T 3 , p ∈ X \F e F é fechado, fixemos um ponto p ∈ X e consideremos o conjunto F F ∈A\ p . Então p ∉ F e F é fechado no espaço produto. Existem abertos A, O em X, p ∈ A, F ⊂ O tais que A ∩ O ; donde pr A ∩ pr O , p ∈ pr A, F ⊂ pr O e conclui-se a condição necessária. Reciprocamente, se cada X é um espaço regular, dados p p e O ∈ T, p ∈ O , existe V ∈ T tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ O . Então p ∈ V ⊂ V V ⊂ U , donde se conclui o teorema utilizando III.9.30 (1). III.10.29 Observação Se X é um espaço T 4 , dados um fechado F ⊂ X e um ponto p ∈ X\F, os fechados p e F são disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fp 1 e fx 0 x ∈ F. Existem espaços regulares que não têm esta propriedade (em [Engelking], p. 40 encontra-se um exemplo), de modo que esta é uma propriedade de separação intermédia entre T 3 e T 4 . III.10.30 Definição O espaço topológico X diz-se que é 3 12 , um espaço de Tikhonov ou um espaço completamente regular se é um espaço T 1 e tem a propriedade de, dados um subconjunto fechado F de X e um qualquer ponto p ∈ X\F, existir uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fp 1 e fF 0. III.10.31 Observações (1) Certos autores definem espaço completamente regular como um espaço que verifica a existência de uma função f nas condições de III.10.29, para cada fechado F e cada ponto p ∈ X\F no contexto mas não sendo o espaço necessariamente um espaço T 1 ; e reservam a designação de espaço de Tikhonov para espaços que são também espaços T 1 . Unicamente no Teorema III.10.36 adoptamos esta última definição para maior generalidade. (2) Certamente, considerando a função 1 − f no lugar de f, a definição III.10.30 pode formular-se considerando uma função contínua f : X → 0, 1 verificando fp 0, fF 1. Notar a este respeito que se X é um espaço topológico e as funções f 1 , . . . , f n são contínuas de X em R munido da topologia usual, 1 , . . . , n são números reais, n então a função ∑ i1 i f i : X → R é contínua. Assim como a função f maxf i : 1 ≤ i ≤ n, fx maxf i x : 1 ≤ i ≤ n (ambas estas propriedades se verificam facilmente utilizando a caracterização da continuidade por meio de redes convergentes). -229III.10.32 Proposição Um espaço topológico X, T que é um espaço T 1 é um espaço T 3 12 se e somente se considerando uma subbase S de T e um qualquer ponto x ∈ V, onde V ∈ S, existe uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fx 0 e fy 0 para cada y ∈ X\V. Dem. A condição é necessária, pois x ∉ X\V, X\V é um conjunto fechado. A condição é suficiente: dados F ⊂ X, F fechado e x ∈ X\F, existem V 1 , . . . , V n ∈ S, certo n, tais que n x ∈ i1 V i ⊂ X\F dado que X\F é um aberto contendo x. Pela hipótese, existe para cada i 1, . . . , n uma função contínua f i : X → 0, 1 tal que f i x 0 e f i y 1 se y ∈ X\V i . n X\V i , a função f : X → 0, 1, f maxf i : 1 ≤ i ≤ n é uma Dado que F ⊂ i1 função contínua (III.9.31 (2)) tal que fx 0 e fF 1 c.q.d. III.10.33 Corolário Um espaço T 1 dado X é T 3 12 se e somente se para cada x ∈ X e cada aberto V tal que x ∈ V, existe uma função contínua f : X → 0, 1 tal que fx 0 e fy 1 para cada y ∈ X\V. Dem. Pois uma topologia sobre X é subbase da mesma topologia. III.9.34 Observação A propriedade de um espaço ser T 3 12 assegura a existência de bastantes funções reais contínuas não constantes sobre o espaço. Quase todos os espaços frequentes em Análise são espaços T 3 12 . III.10.35 Teorema Todo o subespaço de um espaço T 3 12 é ainda um espaço T 3 12 . Dem. Conclui-se de todo o subespaço de um espaço T 1 ser T 1 , utilizando o Corolário III.10.33. III.10.36 Teorema É condição necessária e suficiente para que o espaço produto A X , T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov) que cada factor X , T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov). -230Dem. Se X A X , T é completamente regular então (III.10. 21) cada fatia Sx ; X ∈A\ x é completamente regular, e portanto cada espaço X é completamente regular (III.10.21). Reciprocamente, suponhamos cada X completamente regular. Dados x ∈ X e um subconjunto aberto O ⊂ X tal que x ∈ O temos: existem abertos O 1 , . . . , O m tais que x ∈ O 1 , . . . , O m ⊂ O. Pela hipótese, existem funções contínuas f k : X k → 0, 1, U tais que f k x k 1 e f k 0 sobre O ck para cada k. Pondo fx minf k opr k : 1 ≤ k ≤ m. Tem-se que cada composta f k opr k é contínua, donde se conclui facilmente que f é contínua; também fx 1, f 0 sobre O c e conclui-se que X é completamente regular e o teorema, utilizando a Propriedade III.10.33 c.q.d. III.10.37 Exercício Prove que se A X , T é um espaço T 4 (respectivamente um espaço normal) então cada espaço factor X , T é um espaço T 4 (resp. normal). (Sug: III.10.19 (1)). III.10.38 Resolução Sejam X A X , T um espaço T 4 , ∈ A e consideremos dois subconjuntos fechados disjuntos F 1 , F 2 ⊂ X . Os conjuntos F 1 F 1 ∈A\ X e F 2 F 2 ∈A\ X são subconjuntos fechados disjuntos de X. Existem então abertos disjuntos O 1 , O 2 em X tais que F i ⊂ O i i 1, 2; logo (III.5.10), necessariamente que os abertos O i pr O i de X são disjuntos, F i ⊂ O i i 1, 2 e X é um espaço T 4 . Para o caso X normal, o resultado conclui-se então de III.10.28. III.10.39 Observação (F. B. Jones) Se um espaço topológico X contém um conjunto denso D e um subespaço discreto fechado S de cardinalidade #S ≥ #PD então X não é um espaço normal. Pois suponhamos X normal. Como a topologia induzida sobre S é a topologia discreta, todo o subconjunto A de S é fechado em S, logo também é fechado em X (III.4.13 (2)). Analogamente S\A é fechado em X. Assim para cada A ⊂ S existem abertos disjuntos UA, VS\A tais que A ⊂ UA e S\A ⊂ VS\A. Sendo D denso em X, o conjunto D ∩ UA, considerando um outro subconjunto B de S no lugar de A, tal que A\B ≠ (o que é possível dado que S contem pelo menos dois elementos) verifica a condição UA ∩ VS\B ≠ , tem-se portanto E D ∩ UA ∩ VS\B ≠ . O conjunto E é um aberto contido em D ∩ UA tal que E ∩ UB . Utilizando o símbolo da escolha de Hilbert, fixemos um aberto UA UA para cada subconjunto com pelo menos dois elementos A ⊂ S. A função : M PS\, s : s ∈ S → PD definida por A D ∩ UA é então injectiva, o que é impossível (D e S são necessariamente conjuntos infinitos, e obter-se-ia #PS ≤ #PD, contradizendo a hipótese sobre a relação entre os cardinais de D e de S). III.10.40 O espaço R, U é normal. Conclui-se de III.10.39 que o espaço produto X R, U R, U não é um espaço normal. Com efeito, o conjunto D Q Q é um subconjunto contável denso de X e S x, −x : x ∈ R\Q é um subconjunto discreto fechado de cardinalidade o contínuo c. -231Assim o espaço produto de dois espaços normais não é necessariamente um espaço normal. A questão se o espaço produto X 0, 1, 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual, é normal sempre que X é um espaço normal, foi um problema em aberto em Topologia, anterior à década de 60 do passado século. Finalmente em 1971 foi provado ([Mary Ellen Rudin]) que a resposta é negativa. . III.10.41 Exemplos (1) O espaço R, U R, U é exemplo de um espaço T 3 (como produto de dois espaços T 3 ) que não é um espaço T 4 . Este espaço é mesmo T 3 1 (Teorema 2 III.10.37 (4), bservação III.10.29). (2) Sendo o primeiro ordinal não contável, o produto 0, 0, (rever III.2.36) é um espaço T 4 , como veremos em III.11. O subespaço T 0, 0, \, não é T 4 . Com efeito, os conjuntos A , n : 0 ≤ n e B , : 0 ≤ são subconjuntos disjuntos e fechados no subespaço T. Mas se U ⊃ A e U é um aberto em T, então como para cada n fixo, o ponto , n ∈ U, tem-se que existe um ordinal n , n , n ⊂ U; a classe destes n tem um supremo 0 (Teorema III.1.79), e portanto o conjunto 0 , 0, ⊂ U. Consequentemente, toda a vizinhança de 0 1, , que está em B, contém pelo menos um ponto de U o que implica que cada aberto V contendo B tem intersecção não vazia com U. Este espaço T é um outro exemplo de um espaço T 3 1 (analogamente a (2)) que não é T 4 . 2 III.10.42 Verifica-se facilmente (comprove) que a propriedade ser um espaço T i i 0, 1, 2, 3, 3 12 , 4 é topológica. Dada uma classe não vazia X , T : ∈ A podemos representar o espaço topológico produto pondo A X , T X : ∈ A. Se X é um espaço topológico, designemos CX, I o conjunto das funções contínuas f : X → I onde I 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R. Pondo I f I f ∈ CX, I, seja P X f I f : f ∈ CX, I. P X diz-se um paralelotópio, e notamos t f um elemento em P X . Pelo Teorema III.10.29, cada paralelotópio é um espaço de Tikhonov, e portanto (Teorema III.10.35) cada subespaço S de um P X é um espaço de Tikhonov. A recíproca é válida a menos de homeomorfismo: III.10.43 O espaço topológico X é um espaço de Tikhonov se e somente se é homemorfo a um subespaço de um paralelotópio. A função : X → P X dada por x fx f é um homeomorfismo e X ⊂ P X . Dem. Certamente X é um subespaço de P X . Há a provar a condição suficiente i.e., que é injectiva, contínua e aberta. Se x, y ∈ X, x ≠ y então existe um aberto contendo x ao qual não pertence y; donde certa f ∈ CX, I verifica fx 1 e fy 0, a coordenada-f de x é diferente da coordenada-f de y logo x ≠ y, é injectiva. é contínua, uma vez que cada composta pr f ox fx é a função contínua f : X → I. Também é uma função aberta, pois existe uma base de abertos de X tal que a imagem de cada um desses abertos é um aberto. Notemos que pela definição da topologia produto de P X , para cada g ∈ CX, I, g fixo, o conjunto t f ∈ P X : t g 0 é um aberto. Tambem os abertos V f f −1 0, 1 f ∈ CX, I constituem uma base da topologia de X. -232Pois dados um aberto U ⊂ X e um ponto p ∈ U existe um aberto V em X tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ U (X é um espaço regular) donde pela hipótese existe g ∈ CX, I, gp 1, g 0 sobre V c ⊃ U c i.e., x ∉ U gx 0, x ∈ g −1 0, 1 V g x ∈ U obtendo-se p ∈ V g ⊂ U. Para cada um destes abertos V g na base tem-se V g t f ∈ P X : t g 0 ∩ X, como vimos um aberto de X c.q.d. III.10.44 Exercício Mostre que se o subconjunto D de X A X , T é denso, então pr D é denso em X , T ∈ A. Conclua que se o espaço produto é separável, cada espaço factor é também separável. III.10.45 Observação Certos autores ([Dugundji]) consideram unicamente como espaços separáveis os espaços de Hausdorff contendo um subconjunto contável denso. No teorema seguinte consideramos um produto X A X , T que é um espaço de Hausdorff (e assim cada X é um espaço de Hausdorff, atendendo à Propriedade III.10.28). III.10.46 Teorema O produto X A X , T é um espaço topológico separável no sentido de III.10.45 se e somente se cada espaço factor X é separável no mesmo sentido e a cardinalidade da subclasse X : ∈ A, #X ≥ 2 não excede o contínuo. Dem. Para a condição necessária, usando III.10.28., III.8.29 há a provar que se X é separável então o número cardinal do conjunto B ∈ A : #X ≥ 2 não excede o contínuo c. Como cada espaço X é separado, existem abertos não vazios e disjuntos U , V ⊂ X .Consideremos um subconjunto contável D denso em X. Seja D D ∩ U para cada ∈ B. Se ∈ B, ≠ então D ≠ D ; com efeito, sendo D denso, existe certo d ∈ D ∩ U , V D ∩ U ∩ V , e então a hipótese d ∈ D implicaria U ∩ V ≠ . Portanto a função D é injectiva de B em PD, donde #B ≤ #PD ≤ c. A condição é também suficiente. Uma vez que para W A, X p ∈ W\A os espaços W X ; T e X são homeomorfos (verifique), podemos supor que #X ≥ 2 ∈ A. Seja x n : n ∈ N 0 um subconjunto contável denso de X para cada . Uma vez que #A ≤ c, existe uma bijecção : A → J ⊂ 0, 1 e suporemos A 0, 1, adaptando-se o que segue ao caso J ≠ 0, 1, considerando subintervalos reduzidos a um ponto.para o caso A um conjunto contável. Para cada colecção J1, . . . , Jm de subintervalos fechados disjuntos de 0, 1 tal que P ≡ os seus extremos racionais são racionais, e cada conjunto finito de inteiros não negativos j1, . . . , jm, seja pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm o ponto x s ∈ X tal que s jk se ∈ Jk e s 0 ∉ Jk. O conjunto C pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm : P, jk ∈ N 0 1 ≤ k ≤ m, m ∈ N é contável. Também C é denso em X. Pois dado um aberto O 1 , . . . , O m em X, tomando na notação acima m subintervalos disjuntos Jk de extremos raionais tais que k ∈ Jk e considerando para cada k 1, . . . , m, certo jk tal que x jk ∈ O k (x n : n ∈ N é cdenso em X para cada ), tem-se: o ponto pJ1, . . . , Jm; j1, . . . , jm ∈ O 1 , . . . , O m . Conclui-se o teorema da Propriedade III.10.28, c.q.d. -233III.10.47 Observação O espaço topológico R, U é separável (o subconjunto Q é denso) donde o espaço produto R, U R, U é separável. A topologia do subespaço r x, −x : x ∈ R é a topologia discreta de r, e portanto este subespaço não é separável. Utilizando a Observação II.7.8 conclui-se em particular que R, U não é metrizável (o que implicaria R, U R, U metrizável, pelo Teorema III.10.17). III.10.48 Definição Se X , T : ∈ A é uma classe de espaços topológicos, X é um conjunto e f : X → X : ∈ A é uma classe de funções, a topologia ∨f −1 U : U ∈ T , ∈ A é a topologia inicial ou topologia fraca wX, sobre X. III.10.49 Observações (1) A designação de topologia para wX, liga-se a que esta é a topologia menos fina sobre X na classe das topologias sobre X para as quais cada função f é contínua. Notar que cada f está definida sobre todo o X. (2) Se em III.10.48 a classe é a classe I : X → Y onde I é a injecção identidade e X é um subconjunto não vazio do espaço topológico Y, T Y , então a topologia inicial wX, é a topologia de X como subespaço topológico de Y. III.10.50 Um processo dual de III.10.48 para obter uma topologia sobre um conjunto é considerar uma colecção de funções f : X → Y : ∈ A, onde Y é um conjunto não vazio e cada X , T é um espaço topológico. A classe Tf : ∈ A U ⊂ Y : f −1 U ∈ T , ∀ ∈ A é uma topologia sobre Y e é a topologia mais fina sobre Y de entre as quais cada função f é contínua. III.10.51 Definição Dada uma colecção de funções f : X, T → Y : ∈ A em III.10.50 a topologia Tf : ∈ A diz-se a topologia final sobre Y da classe f : ∈ A. III.10.52 Definição Dados um espaço topológico X, T e um conjunto Y, se no contexto de III.10.50 f : ∈ A se reduz a uma função sobrejectiva p : X → Y, a topologia final obtida sobre Y diz-se a topologia de identificação e nota-se Tp. No caso particular em que é uma relação de equivalência no espaço topológico X, T e p : X → X/ é a aplicação cociente : x x, a topologia T diz-se a topologia cociente e X/ munido de T é o espaço topológico cociente. III.10.53 Exercício Prove que se X é um espaço topológico e p : X → Y é uma função de X sobre o conjunto Y, então Tp é a mais fina topologia sobre Y de entre aquelas para as quais a função p é contínua. Generalize este resultado para a topologia final Tf : X → Y : ∈ A.. -234III.10.54 Exemplos (1) Dado o espaço topológico produto A Y , T , a topologia de identificação Tpr ∈ A sobre Y coincide com a topologia considerada iniciamente sobre Y . (2) Se p : 0, 1 → 0, 1, 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, é a função característica de 1/2, 1 então a topologia de identificação Tp sobre 0, 1 é a topologia de Sierpínski. Neste caso a sobrejecção p : X, T → Y, Tp não é aberta nem fechada. III.10.55 Definição Se X, Y são espaços topológicos e p : X → Y é uma função sobrejectiva, diz-se que p é uma identificação se a topologia de Y é exactamente a topologia Tp. Assim p é uma identificação se e só se os abertos U de Y são precisamente aqueles tais que p −1 U é aberto em X. III.10.56 Exercícios (1) Verifique que a função identidade I X : X, T 1 → X, T 2 é uma identificação se e só se T 1 T 2 . Conclua que nem toda a sobrejecção contínua é uma identificação. (2) Mostre que se p : X → Y é uma sobrejecção contínua e aberta (resp. fechada) então p é uma identificação (Sug: se U ⊂ Y tem-se U pp −1 U). (3) Prove que se dada uma uma função continua p : X → Y, existe uma função contínua s : Y → X tal que pos I X , então p é uma identificação. III.10.57 Se p : X → Y éuma função sobrejectiva, o subconjunto A ⊂ X diz-se p-saturado se A p −1 pA i.e., se A ⊃ p −1 pA; a carga-p de um subconjunto A de X é o conjunto p −1 pA, e assim A é p-saturado se e só se contém a sua carga-p. Como mostra o Exemplo III.10.54 (2), no contexto de X e Y serem espaços topológicos, a carga-p de um aberto não é necessariamente um aberto. Para determinar se uma identificação p : X → Y é uma função aberta ou fechada tem-se III.10.58 Proposição Se p : X → Y é uma identificação, então p é uma função aberta (fechada) se e somente se a carga-p de cada aberto (fechado) de X é um aberto (um fechado). Dem. Se p é aberta então U aberto em X pU aberto em Y p −1 pU aberto em X. Reciprocamente se p −1 pU é aberto em X sempre que U é aberto em X isto significa, sendo p uma identificação, que pU é aberto em Y quando U é aberto em X. Analogamente para p fechada, c.q.d. III.10.59 Observação Recordar que sendo f : X → Y uma função, y ∈ Y, a fibra de f em y é o subconjunto f −1 y de X (se f é sobrejectiva então as fibras são não vazias). Considerando X, Y espaços topológicos e sendo p : X → Y a identificação correspondente à topologia de identificação Tp de Y, esta topologia é separada se e somente se cada duas diferentes fibras estão contidas respectivamente em dois abertos de X que são p-saturados e disjuntos. Esta é uma condição em p e na topologia de X, e tem-se: -235III.10.60 Teorema Se é uma relação de equivalência no espaço topológico X e : X → X/ é aplicação cociente, tem-se: o espaço cociente X/ é separado se é um subconjunto fechado do espaço produto X X e a aplicação cociente é aberta. Dem. Sejam x, y ∈ X/, x ≠ y. Então ~xy e x, y ∉ donde, sendo um fechado, existem abertos U, V de X tais que x ∈ U, y ∈ V e U V ⊂ c ; não existem portanto u ∈ U, v ∈ V tais que uv, donde não existe w ∈ X verificando w ∈ U ∩ V (porquê?) e assim, sendo sobrejectiva, tem-se U ∩ V . Logo, pela hipótese, U e V são abertos disjuntos de X/, x ∈ U, y ∈ V c.q.d. III.10.61 Teorema Se X é um espaço regular, é uma relação de equivalência em X e a aplicação cociente : X → X/ é fechada então é um subconjunto fechado do espaço produto X X. Dem. Seja x, y no complementar de em X X; devemos encontrar abertos A, B de X tais que x, y ∈ A B ⊂ c ou seja, como vimos na demonstração do teorema anterior, tais que A ∩ B . Como x ≠ y tem-se x ∉ −1 y. Como é por hipótese fechada e é contínua, o conjunto −1 y é fechado (dado que o singleton y é um fechado no espaço regular X, recorde os Axiomas de separação) logo existem por hipótese abertos disjuntos U, V em X, x ∈ U, −1 y ⊂ V. Sendo p uma função fechada, então segue-se de III.8.50 que existe um aberto W ⊃ y em X/ tal que −1 y ⊂ −1 W ⊂ V ⊂ U c . Tem-se U ∩ −1 W U ∩ W pois para u ∈ U tem-se u ∉ −1 W e assim os abertos U A e −1 W B satisfazem as condições requeridas, c.q.d. III.10.62 Corolário Se o espaço topológico X é regular, é uma relação de equivalência em X e a aplicação cociente : X → X/ é aberta e fechada, então o espaço cociente X/ é um espaço de Hausdorff. Dem. É consequência do Teorema III.10.60 e do Teorema III.10.61. III.10.63 Observação Se X, Y, Z são espaços topológicos e f : X → Y é uma sobrejecção contínua, existe possivelmente uma função não contínua g : Y → Z sendo contudo contínua a composta gof : X → Z. (Considere-se por exemplo X, D, X Y 0, 1, D a topologia discreta de X, a topologia induzida pela topologia usual de R sobre 0, 1 para Y e sobre Z, f Id 0,1 e g a função de Dirichlet). Tem-se a seguinte propriedade, característica das identificações: III.10.64 Propriedade Se f : X → Y é uma sobrejecção contínua, f é uma identificação se e somente se para cada espaço topológico Z e cada função g : Y → Z, a continuidade de gof implica a continuidade de g. Dem. Supondo provada a condição necessária, provemos a condição suficiente. Supondo que a condição se verifica, consideremos o conjnto Y munido da topologia Tf e ′ designemos por Y ′ o espaço topológico assim obtido, seja p : X → Y a identificação. Notando I : Y → Y ′ a função identidade, tem-se que p Iof que é contínua logo, usando a hipótese, I é contínua. Mas então Tf é menos fina que a topologia de Y, e sendo p a identificação e I −1 op f contínua, concluimos da condição necessária que I −1 é contínua, Tf é também mais fina que a topologia de Y, f : X → Y é uma identificação. -236III.10.65 Observação Se X, Y são espaços topológicos, é uma relação de equivalência em X e f : X → Y é uma função contínua compatível com (I.5.12) vimos no Teorema I.5.14 que a função f : X/ → Y, fx fx é exactamente a única função tal que se tem a fectorização f fo, onde : X → X/ é a aplicação cociente. Como é uma identificação, tem-se pelo teorema anterior que f é contínua se e só se f é contínua. III.10.66 Exercícios (1) Complete a demonstração da Propriedade III.10.64, provando a condição necessária. (2) Prove que se X, Y são espaços topológicos e f : X → Y é uma identificação, então dados um conjunto Z e uma sobrejecção g : Y → Z, as topologias de identificação Tgof Tg sobre Z. III.10.67 Exemplo Recordando a definição em III.10.52, se X, T é um espaço topológico, ≠ A ⊂ X e A é a relação de equivalência A A x, x : x ∈ X em X, o conjunto cociente é X/A A, x : x ∈ X\A em que o conjunto A fica identificado a um ponto A A. Notamos X/A X/A. Se A 1 A −1 A é aberto em X, o complementar C x : x ∈ X\A de A no espaço cociente é homeomorfo a X\A pela bijecção contínua ∣X\A . Pois a topologia TC induzida pela topologia de X/A é menos fina que a topologia T ∣X\A ; e se U ⊂ C é fechado na topologia T ∣X\A então −1 −1 −1 ∣X\A U X\A ∩ U é um fechado de X\A, logo U é fechado em X; logo −1 U c −1 U c é aberto em X, U c é aberto em X/A i.e, U é fechado em C, TC. A topologia de C é neste caso a topologia de identificação T ∣X\A e o mesmo sucede analogamente se A é fechado em X, T. III.10.68 Exercício Prove que se X é um espaço regular e A é um subconjunto fechado de X, então o espaço cociente X/A em III.10.67 é um espaço de Hausdorff III.10.69 Teorema Se X é um espaço topológico e é uma relação de equivalência em X, a aplicação cociente : X → X/ é aberta (fechada) se e somente se U u : u ∈ U é um aberto (um fechado) em X. Dem. É consequência da Proposição III.10.58, uma vez que é sobrejectiva e a carga- de U é U. III.10.70 Se X, Y são espaços topológicos disjuntos, diz-se união livre de X e Y o espaço topológico X Y X Y, U X,Y onde U X,Y é a topologia sobre X Y para a qual um conjunto A ⊂ X Y é aberto se e só se A ∩ X é aberto em X e A ∩ Y é aberto em Y. III.10.71 Exercício Verifique que dada a união livre X Y, a) U X,Y é uma topologia sobre X Y para a qual a topologia de subespaço de X (de Y) coincide com a topologia de X (de Y). b) os conjuntos X, Y são abertos e fechados em X Y; c) um subconjunto B ⊂ X Y é fechado se e só se B ∩ X é fechado em X e B ∩ Y é fechado em Y. -237III.10.72 Definição Sejam X, Y espaços topológicos disjuntos, A um subconjunto fechado de X e uma função contínua f : A → Y. Consideremos no espaço X Y a relação de equivalência w, w, a, fa, fa, a : w ∈ X Y, a ∈ A. O espaço cociente X Y/ diz-se X fixado a Y por f e nota-se X f Y; a função f diz-se a função de fixação. Em linguagem intuitiva, identifica-se cada a ∈ A com a sua imagem por f no subespaço X f Y de X Y. Tem-se X f Y w : w ∈ X Y\A fA, fa f −1 fa : a ∈ A. III.10.73 Exemplo Sejam X um espaço topológico, A ⊂ X, A um fechado e fixemos X a um singleton y ou, como tambem se diz, a um ponto y ∉ X. Então os espaços X f y e X/A são homeomorfos. Recordemos que X/A é o espaço cociente de X pela relação de equivalência A A A x, x : x ∈ X. Notemos que se R é uma relação de equivalência em X, S é uma relação de equivalência em Y e : X → Y preserva as relações i.e., verifica xRx ′ xSx ′ então a função ∗ : X/R → Y/S é contínua. Pois sendo p : X → X/R e q : Y → Y/S as aplicações cociente, tem-se ∗ op qo; sendo qo contínua, ∗ op é contínua e, como p é uma identificação, a Propriedade III.10.64 mostra que ∗ é contínua. Considerando em III.10.72 no lugar de R, A no lugar de S, pondo : X → X y, x x e : X y → X, x x, y ∈ A, ambas , são contínuas (Teorema III.8.32 para ) e preservam as relações. Portanto ∗ : X/A → X f y e ∗ : X f y → X/A são contínuas, uma é a inversa da outra III.10.74 Observação Ainda no Exemplo III.10.73, notando I o intervalo 0, 1 munido da topologia induzida usual de R, f0 f1 y ∉ I, o espaço I f y é homeomorfo a I/0, 1 0, 1, x : x ∈0, 1. Tem-se que a função : I/0, 1 → S 1 1, 0, cos 2x, sin 2x : 0 x 1, 0, 1 1, 0, x cos 2x, sin 2x é contínua e de inversa contínua (S 1 munido também da topologia induzida pela topologia usual de R 2 ). Assim S 1 é homeomorfo ao espaço I f y. III.10.75 Verifica-se facilmente, usando a Propriedade II.12.3 e o Teorema II.12.27, que cada sucessão em I/0, 1 tem uma subsucessão convergente. E como − /2, /2 munido da topologia induzida pela topologia usual de R não tem esta propriedade, estes dois espaços não são homeomorfos, atendendo ao Teorema III.8.14. Segue-se de III.10.74 e III.8.38, considerando o homeomorfismo x tgx entre − /2, /2 e R, U que S 1 não é homeomorfo a R, munidos os espaços das topologias consideradas. -238III.10.76 Observação Recordem-se ainda I.5.12 e o Teorema I.5.14. Sejam X um espaço topológico, X 0 um subespaço de X e uma relação de equivalência em X, 0 X 0 X 0 ∩ a relação de equivalência induzida em X 0 (para x 0 , y 0 ∈ X 0 tem-se x 0 0 y 0 se e só se x 0 y 0 ). Designando j : X 0 → X a injecção identidade, : X → X/ a aplicação cociente, consideremos a composta oj : X 0 → X/, ojx jx. Se x 0 y, x, y ∈ X 0 então jxjy e ojx ojy i.e., oj é 0 -compatível. Podemos portanto considerar oj : X 0 / 0 → X/, ojx jx que é injectiva e, em termos de conjuntos, identificar X 0 / 0 a um subespaço de X/. A função oj é contínua, como composta de funções contínuas de modo que naquela identificação, a topologia de X 0 / 0 é mais fina que a topologia ”induzida” pela topologia de X/. Notar que em geral, a topologia de X 0 / 0 é mesmo estritamente mais fina que a induzida por X/, e assim não pode identificar-se X 0 / 0 com um subespaço topológico de X/. Suponhamos por exemplo que na topologia de X existem dois conjuntos não vazios, um aberto A e um fechado B, com A, B uma partição de X e não sendo A um fechado (assim B não é aberto). E admitamos que existem conjuntos não vazios A ′ ⊂ A, B ′ ⊂ B, ambos abertos, seja X 0 A ′ B ′ . Seja a relação de equivalência em X definida por A, B e 0 a relação de equivalência induzida em X 0 i.e., 0 definida pela partição A ′ , B ′ de X 0 . A topologia de X/ A, B é , A, X/, não separada, e "induz" em X 0 / 0 A ′ , B ′ a topologia não separada , A ′ , X 0 / 0 . Mas a topologia do espaço cociente X 0 / 0 é , A ′ , B ′ , X 0 / 0 , separada (a topologia discreta) portanto estritamente mais fina que a topologia "induzida" pela topologia cociente de X/. -239III.11 COMPACIDADE Na definição de conjunto compacto em II.12 considerada para a topologia associada à métrica, não se consideram propriedades dos abertos na topologia que respeitem à distância. Assim o conceito de conjunto compacto, bem como as propriedades não métricas, são generalizáveis a espaços topológicos. III.11.1 Definição Se X, T é um espaço topológico e A ⊂ X, uma classe C O : ∈ A ⊂ T que cobre A i.e., tal que A ⊂ O : ∈ A diz-se que é uma cobertura aberta de A; se A ⊂ O k : 1 ≤ k ≤ n, k ∈ A k 1, . . . , n dizemos que C ∗ O 1 , . . . , O n é uma subcobertura de C, e que pode extrair-se de C a cobertura finita C ∗ ou que C é redutível a uma cobertura finita. Se toda a cobertura aberta de A (de X) é redutível a uma cobertura finita dizemos que A é um conjunto compacto (que o espaço topológico X é compacto). Se o fecho A é compacto, dizemos que A é relativamente compacto. III.11.2 Observação Dado ≠ A ⊂ X, T, a cada cobertura aberta C O : ∈ A de A corresponde a cobertura C A O ∩ A : ∈ A de A por abertos do subespaço A, T A ; reciprocamente a cada cobertura aberta U : ∈ A de A no subespaço A, onde U O ∩ A, O ∈ T, corresponde a cobertura aberta O : ∈ A do conjunto A no espaço topológico X, T. Assim um subconjunto não vazio A de X, T é compacto se e somente se o subespaço A, T A é compacto. (Comparar com A, sempre aberto e fechado em A, T A , sem que A seja necessariamente um aberto ou um fechado de X). III.11.3 Exemplos (1) Certamente todo o subconjunto finito A de X, T é compacto; pois dada uma cobertura aberta de A existe, para cada ponto no conjunto, pelo menos um aberto da cobertura contendo o ponto _ Uma colecção finita de tais abertos é uma subcobertura finita_. Em particular, todo o espaço topológico finito é compacto. (2) Vimos em II.12 que R, U, U a topologia usual, não é um espaço topológico compacto, assim como um intervalo da forma a, b, a b ou a, b não é compacto. E que cada intervalo limitado e fechado a, b é compacto. III.11.4 Propriedade Se o espaço topológico X, T é compacto e F é um subconjunto fechado, então F é compacto. Dem. Dada C F O : ∈ A, cobertura aberta de F, pode extrair-se da cobertura aberta C F c , O : ∈ A de X uma subcobertura finita, donde se conclui o resultado. III.11.5 Corolário Se F ⊂ A ⊂ X, T, A é compacto e F é fechado, então F é compacto. Dem. Pela Obervação III.11.2 conclui-se o corolário, c.q.d. -240III.11.6 Teorema Todo o subconjunto compacto A do espaço de Hausdorff X, T é fechado. III.11.7 Exercício Justificando as passagens seguintes, demonstre o Teorema III.11.6 1. Há a provar que A c é aberto; 2. dado p ∈ A c , existem, paracada x ∈ A abertos A x e A p , x ∈ A x , p ∈ A x,p , A x ∩ A x,p ; 3. a classe A x : x ∈ A onde os A x são como em 2. é uma cobertura aberta de A. n Existem x1, . . . , xn ∈ A tais que A ⊂ k1 A xk . n 4. U k1 A xk,p , os A xk,p como em 2., é um aberto tal que p ∈ U ⊂ A c e pode concluir-se o resultado, c.q.d. III.11.8 Corolário 2 Se X, d é um espaço métrico em que as bolas fechadas são compactos, então há identidade em X entre conjuntos compactos e conjuntos limitados e fechados. III.11.9 Exercícios (1) Demonstre o Corolário 2 (sug: reveja o Teorema II.12.33 e utilize III.11.5, III.11.6). (2) Prove que o espaço topológico X é compacto se e só se dada uma classe de subconjuntos fechados F : ∈ A tal que a intersecção F : ∈ I ≠ para cada I ⊂ A, I finito, se tem F : ∈ A ≠ . (Sug: prove a contra-recíproca por passagem ao complementar e utilizando as leis de De Morgan). (3) Mostre que se A 1 , . . . , A n são subconjuntos compactos de X então A 1 . . . A n é compacto. (4) a) Prove que cada classe T de subconjuntos de N, i T , N, S n : n 1, 2, . . . , S n 1, . . . , n, ii T N, A ⊂ N : 1 ∉ A é uma topologia sobre N. b) O espaço topológico N, T é compacto em i? Em ii? Justifique. III.11.10 Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, dada uma cadeia de filtros F i i ∈ I sobre X, cada F i contendo F, a classe F ∗ F i : i ∈ I é um filtro sobre X (verifique). No conjunto parcialmente ordenado constituído pelos filtros sobre X que contêm F para a relação ⊂, existe portanto, pelo Lema de Zorn, um elemento maximal U ⊃ F. Recorde (I.7.9) que U é um ultrafiltro sobre X e que uma propriedade que caracteriza o filtro U como um ultrafiltro é que dado um arbitrário A ⊂ X, tem-se A ∈ U ou A c ∈ U. -241III.11.11 Observação Dizendo que uma família A de do espaço topológico X é insuficiente se não cobre X, que é finitamente insuficiente se nehuma subfamília finita de A cobre X, então X é compacto se e somente se toda a família de abertos que seja finitamente insuficiente é insuficiente. A classe de todas as famílias de subconjuntos abertos de X que são finitamente insuficientes tem carácter finito; pelo Lema de Tukey em I.8.19, existe uma família de abertos finitamente insuficiente maximal naquela classe. Se M é uma tal família maximal e C é um aberto, C ∉ M, existem abertos A 1 , . . . , A n ∈ M tais que n A k X. Pois a hipótese de que não existem tais conjuntos A 1 , . . . , A n implica C k1 que M C é finitamente insuficiente, contradizendo que M é maximal. Nenhum aberto A contendo um aberto C ∉ M está em M _ Pois então toda a parte finita de A e portanto de C, está em M, o que implicaria C ∈ M _. Se D é um aberto, D ≠ C e também D ∉ M, m B j X como vimos. Assim (como existem abertos B 1 , . . . , B m ∈ M tais que D j1 se conclui facilmente) C ∩ D A 1 . . . A n B 1 . . . B m X, logo C ∩ D ∉ M. Tem-se pois que se nenhum elemento numa família finita de abertos de X está em M também nenhuma intersecção finita destes elementos está em M, nem nenhum aberto que contenha uma tal intersecção finita Equivalentemente, se um elemento de M contém a intersecção finita de abertos C 1 ∩. . . ∩C p , então algum destes C i ∈ M, 1 ≤ i ≤ p. III.11.12 Teorema de Alexander O espaço topológico X é compacto se e somente se dada uma arbitrária subbase S da topologia, cada cobertura de X por abertos de S é redutível a uma cobertura finita. Dem.A condição é certamente necessária, vejamos que é suficiente. Segundo III.11.11, há a provar que toda a família finitamente insuficiente de abertos de S é insuficiente.Seja C uma família finitamente insuficiente de abertos de S. Se C é maximal, consideremos a família S ∩ C; esta é manifestamente finitamente insuficiente e, pela hipótese é insuficiente, S ∩ C não cobre X. Tem-se: cada ponto x ∈ A : A ∈ C está em A : A ∈ S ∩C, existe pois x ∉ A : A ∈ C, C é insuficiente e o teorema fica provado se C é maximal. Com efeito, se x ∈ A, A ∈ C, existem C 1 , . . . , C p ∈ S tais que x ∈ C 1 ∩. . . ∩C p ⊂ A dado que S é uma subbase. Segue-se de III.11.11 que algum destes C i ∈ C i.e., x ∈ C i , C i ∈ S ∩ C, provando a igualdade das reuniões. Considerando então o caso de C não ser maximal, existe M ⊃ C, M finitamente insuficiente maximal (III.11.10); como vimos, M é insuficiente, assim C é insuficiente, c.q.d. III.11.13 Proposição X, T é um espaço topológico compacto se e somente se para cada filtro F sobre X existe um filtro sobre X mais fino que F que é convergente. Dem. Condição necessária: supondo X compacto, designemos F A i : i ∈ I um n filtro sobre X. Das inclusões A i ⊃ A i concluimos que cada intersecção finita i1 A i ≠ , donde existe a ∈ A i : i ∈ I (III.11.9.(2)). Para cada V ∈ V a e cada A i ∈ F tem-se A i ∩ V ≠ , logo a classe A i ∩ V : i ∈ I, V ∈ V a é base de um filtro F ′ sobre X mais fino que F, F ′ ⊃ V a e F ′ → a. A condição é suficiente. Suponhamos que se verifica, e seja F i : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de X cujas intersecções finitas são não vazias; mostremos que a intersecção da classe é não vazia. Aquelas intersecções finitas são base de um filtro F sobre X, e existe por hipótese um filtro F ′ ⊃ F tal que F ′ → p, certo p ∈ X. Para cada C ∈ F ′ e cada V ∈ V p , tem-se C ∩ V ≠ , pois senão certos tais C, V verificam V ⊂ C c ; não pode existir F ∈ F ′ , F ⊂ V então o que é uma contradição. Portanto o ponto p ∈ C para cada C ∈ F ′ , concluindo-se p ∈ F : F ∈ F e assim, usando III.11.9 (2) a proposição, c.q.d. -242III.11.14 Teorema O espaço topológico X é compacto se e só se todo o ultrafiltro sobre X é convergente. Dem. Com efeito, se X é compacto e U é um ultrafiltro sobre X, o único filtro sobre X mais fino que U é U. E se a condição no enunciado se verifica, dado um filtro F sobre X, o ultrafiltro U que contém F é convergente (a classe dos filtros mais finos que F contém o filtro maximal U) c.q.d. III.11.15 Definição Dizemos que uma rede em X é universal se para cada A ⊂ X, a rede u i indiciada em I, está eventualmente em A i.e., existe iA, ∀i ∈ I, i iA u i ∈ A, ou u i está eventualmente em A c . III.11.16 Se u i é uma rede universal em X, a rede fou i fu i é universal em Y para cada função f : X → Y. Em particular, cada subrede u i de uma rede uinversal u j é uma rede universal. III.11.17 Exercício Verifique III.11.16 (sug: dado A ⊂ Y, f −1 A c f −1 A c ). III.11.18 Lema Toda a rede x j em X tem uma subrede universal. III.1.19 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração de III.11.18: Seja x j uma rede em X indiciada em J, . 1. Existe uma classe C de subconjuntos de X tal que i ∀A ∈ C, x j está frequentemente em A ii ∀A, B ∈ C, A ∩ B ∈ C 2. Sendo dada uma cadeia de tais classes C como em 1. no conjunto parcialmente ordenado PPX, ⊂, a reunião da cadeia tem as propriedades i, ii em 1.; assim existe uma tal classe maximal C 0 no conjunto das classes como C 3. Designe N A, , j : A ∈ C 0 , j ∈ J, x j ∈ A. Pondo B, i ≥ A, j B ⊂ A ∧ i j obtemos uma quase-ordem em N tal que N, ≥ é um conjunto dirigido 4. A aplicação : N, ≥ → J, dada por A, j j é admissível, obtendo-se a subrede x A,j de x j 5. A subrede em 4. é universal, dado que se x A,j está frequentemente em S, onde S ⊂ X, a para cada A, j ∈ N, existe B, i ∈ N tal que B, i ≥ A, j e x i x B,i ∈ S b x i ∈ S ∩ B ⊂ S ∩ A e x j está frequentemente em cada conjunto A ∈ C 0 c ambos os conjuntos S e S ∩ A satisfazem as condições i, ii em 1. para cada A ∈ C 0 , e assim aqueles conjuntos estão em C 0 d Tem-se que x A,j está frequentemente em S e, se também estivesse frequentemente em S c então seria S c ∈ C 0 ; o que é impossível e x A,j está eventualmente em S f Pode concluir-se que x a,j é uma subrede universal de x j c.q.d. -243III.11.20 Resolução 1. Pois a classe X satisfaz ambas as condições 2. porque cada um ou cada dois conjuntos da cadeia estão numa classe da cadeia, e assim pode aplicar-se o Lema de Zorn 3. A, j ≥ A, j; se A, j ≥ A ′ , j ′ e A ′ , j ′ ≥ A ′′ , j ′′ tem-se A, j ≥ A ′′ , j ′′ . Dados A, j, B, i ∈ N existe k ∈ J, k j, k i e então A ∩ B, k ∈ N, A ∩ B, k ≥ A, j, A ∩ B, k ≥ B, i 4. Dado j ∈ J podemos considerar um certo A ∈ C 0 ; então ∀B, i ∈ N, B, i ≥ A, j B, i i j; e pela definição de subrede 5. a pela definição de uma rede estar frequentemente num dado conjunto b atendendo a a; pela definição de N e da quase-ordem ≥ c pela hipótese em 5., atendendo às definições de N e de C 0 d pois a hipótese em 5. implica c; e porque, pela definição de cada classe C, se c S, S ∈ C 0 ter-se-ia que x j está frequentemente em S ∩ S c , o que é impossível. -244e pois a negação de uma rede estar eventualmente num conjunto S é equivalente a que está frequentemente em S c , e atendendo a d, c, b f porque se uma rede u em X não é universal então existe pelo menos um conjunto A ⊂ X tal que u não está eventualmente nem em A nem em A c ; donde está frequentemente e não eventualmente pelo menos num subconjunto de X, c.q.d. III.11.21 Se U é um ultrafiltro sobre o conjunto X então a rede x F U F U indiciada em U, ⊂, : U → X o selector de Zermelo, é uma rede universal. Analogamente, a uma rede universal x i I em X corresponde o filtro F associado à rede gerado pela base A i : i ∈ I, A i x j : j ∈ I, i ≥ j, que é um ultrafiltro. III.11.22 Teorema O espaço topológico X é compacto se e somente se toda a rede universal em X é convergente. Dem. Para o ultrafiltro U e a correspondente rede universal x F U (resp. para a rede universal x i e o ultrafiltro associado F) tem-se U → p x F → p (x i → p F → p), p ∈ X. O teorema conclui-se do Teorema III.11.14. III.11.23 Propriedade O espaço topológico X, T é compacto se e só se cada rede em X tem uma subrede convergente. Dem. Provemos que a condição é suficiente, mostrando que toda a rede universal u j em X indiciada em J, é convergente, e aplicando III.11.22. Se u i é uma subrede convergente de u j , u i → a então para cada V ∈ V a tem-se que existe iV verificando i ≥ iV u j u i ∈ V e u i . Uma vez que existe também certo j 0 ∈ J tal que u j ∈ V se j j 0 , j ∈ J (dado que não pode ser u j ∈ V c para cada índice j em J verificando j j 1 , certo j 1 ∈ J e pela hipótese sobre u j ), concluimos com i 0 no conjunto dirigido dos índices de u i para o qual i 0 ≥ iV e i j 0 i ≥ i 0 que u i ∈ V, ∀i ≥ i 0 i.e., a subrede u i → a. A condição é necessária, c.q.d. III.11.24 Exercícios (1) Comprove que a condição em III.11.23 é efectivamente necessária. (2) Demonstre o resultado: III.11.25 Teorema Se X é compacto e a função f : X → Y é contínua, então o subespaço fX de Y é compacto. III.11.26 A bijecção contínua f : X → Y é fechada se e só se a inversa f −1 : Y → X é contínua. Do Teorema III.11.6 conclui-se III.11.27 Teorema Toda a bijecção contínua de um espaço compacto sobre um espaço separado é um homeomorfismo. -245III.11.28 Exercícios (1) Mostre que se X é uma espaço topológico e Y é um espaço topológico compacto, então a projecção 1 : X Y → X é uma função fechada.(Sug: III.8.14, III.11.23). (2) Prove que dados espaços topológicos X, Y e uma função f : X → Y, o grafo G f x, fx : x ∈ X de f é fechado no espaço produto X Y se e somente se as hipóteses x i → x, onde x i é uma rede em X e, fx i → y implicam fx y. (3) Prove que no contexto de (2), se Y é compacto separado então f é contínua se e só se o grafo G f de f é fechado em X Y (Sug: Para a condição suficiente, considere uma vizinhança aberta de fx 0 , x 0 ∈ X; note que f −1 Y\V G f ∩ X Y\V). III.11.29 Observação Se X, T é um espaço topológico compacto, podemos dizer que a topologia T sobre X é compacta. A posição de uma topologia compacta separada T sobre X é delicada: se T 0 é estritamente mais fina que T , não é compacta (considerando a função identidade I X : X, T 0 → X, T ter-se-ia a contradição T 0 T pelo Teorema III.11.27); e se T 1 é estritamente menos fina que T então não é separada, pois III.11.26 levaria analogamente a uma contradição. III.11.30 Teorema Se X é um espaço compacto de Hausdorff então X é um espaço T4. III.11.31 Exercícios (1) a Preencha os detalhes na seguinte demonstração de que se X é compacto de Hausdorff então X é T3: i Sejam C um subconjunto fechado de X, p ∈ X\C. Para cada x ∈ C existem abertos U x , V x tais que p ∈ U x , x ∈ V x , U x ∩ V x n ii existem pontos x1, . . . , xn, n ∈ N, tais que C ⊂ V k1 V xk n iii para os conjuntos U k1 U xk tem-se p ∈ U, C ⊂ V, U ∩ V , concluindo-se o resultado. b Com C, D subconjuntos fechados disjuntos de X, D no lugar de p e com C como em a, conclua o Teorema III.11.30. (2) Recorde o espaço ordinal 0, Γ em III.2.36. Prove que 0, Γ é compacto. (Sug: dada a rede universal i considere sup i : i ∈ I; se não existe um índice i0 tal que i i0 para uma infinidade de índices i então i está frequentemente em cada intervalo aberto contendo ; considere o Teorema III.11.22 e a demonstração em III.11.20). III.11.32 Teorema de Tikhonov. Se cada espaço X , T ∈ A é compacto então o produto X X , T é compacto. Dem. Há a provar que toda a rede universal u em X é convergente. Dada tal rede u, cada rede pr ou → x , certo x ∈ X , pois é uma rede universal em X (III.11.16). Portanto a rede u → x em X, c.q.d. III.11.33 Definição diz-se que um par Y, c, onde Y é um espaço compacto separado e c : X → Y é injectiva, contínua, com inversa contínua e tal que cX é denso em Y, é um compactificado de X. Nota-se então Y, c cX. -246III.11.34 Observação Se o espaço X tem um compactificado é então homeomorfo a um subespaço de um compacto Hausdorff, logo é um espaço de Tikhonov (teoremas III.10.35 e III.11.30). E se X é um espaço de Tikhonov, então pelo Teorema III.10.43, X é homeomorfo a um subespaço do paralelotópio P X f∈CX,I I f , I f 0, 1 ; podemos portanto tomar para Y, c o fecho X em P X munido da topologia produto. Aqui CX, I é o conjunto das funções contínuas de X em I (I munido da topologia induzida pela topologia usual de R) e x fx f f ∈ CX, I, : X → P X é a fução avaliação como em III.10.43 (recorde II.2.13 e considere III.11.32). Concluimos imediatamente III.11.35 O espaço X tem um compactificado se e só se X é um espaço de Tikhonov. III.11.36 Definição Se X é um espaço de Tikhonov diz-se que X X, , onde o fecho é tomado em P X como em III.11.34, é o compactificado de Stone-Cech de X. III.11.37 Observação Dada uma função f : A → B, a função f ∗ : I B → I A definida por f y yof y ∈ I B é contínua, considerando os espaços munidos das topologias produto. Com efeito, a continuidade de f ∗ é equivalente à continuidade de cada composta pr a of ∗ , onde a percorre A. (Teorema III.10.23). Tem-se pr a of ∗ y pr a yof yfa e assim pr a of ∗ é a função y yfa i.e., a projecção contínua pr fa : I B → I fa I. ∗ III.11.38 Dado o espaço de Tikhonov X e um compactificado cX de X, identifica-se habitualmente X com a sua imagem homeomorfa cX, densa em cX. III.11.39 Teorema de Stone-Cech. Se X é um espaço de Tikhonov e f : X → Y é contínua de X no espaço compacto de Hausdorff Y, então existe uma extensão contínua F : X → Y de f. Mais precisamente, a composta fo −1 : X → Y tem uma extensão contínua F : X → Y. Dem. Dada a função f, consideremos f ∗ : CY, I → CX, I definida por f ∗ w wof w ∈ CY, I. Analogamente, seja f ∗∗ : I CX,I → I CY,I definida por f ∗∗ q qof ∗ , onde q ∈ I CX,I . f ∗∗ é contínua pela Observação III.11.37. Seja : Y → I CY,I a função avaliação. Temos então of : X → Y → Y ⊂ I CY,I , f ∗∗ o : X → X ⊂ I CX,I , f ∗∗ : I CX,I → I CY,I . A função é um homeomorfismo, e também é um homeomorfismo de Y sobre Y dado que Y é compacto separado (Y é de Tikhonov, é injectiva, Y é separado). Tem-se que f ∗∗ o of, e assim obtemos a extensão F −1 of ∗∗ . Com efeito, dado x ∈ X, se h ∈ CY, I então f ∗∗ oxh xof ∗ h xhof hofx fxh ofxh dadas as definições das funções, c.q.d. -247III.11.40 Observação Dado o espaço de Tikhonov X, consideremos a relação ”≤” definida na classe CX de todos os compactificados separados de X pondo c 2 X ≤ c 1 X se e só se existe uma função contínua sobrejectiva 1,2 : c 1 X → c 2 X tal que c 2 1,2 oc 1 ; de tal modo que cada ponto x ∈ X, considerado como subespaço de c 1 X ou de c 2 X, coincide com a sua imagem 1,2 x no sentido de III.11.38. Pelo Teorema de Stone-Cech, CX tem o máximo X. (3) Veremos adiante que CX tem un mínimo se e somente se X é localmente compacto separado. III.11.41 Definição O espaço topológico X, T diz-se localmente compacto se cada ponto de X tem uma vizinhança compacta (que é um subconjunto compacto). III.11.42 Todo o espaço compacto é localmente compacto. A recíproca é falsa (considere-se R N munido da topologia usual associada à métrica euclideana). III.11.43 Observação Se W é uma vizinhança de a ∈ X, X, T um espaço topológico, e V é uma vizinhança do ponto a no subespaço W então V é uma vizinhança de a em X. Pois existem abertos O, U ∈ T tais que a ∈ U ∩ W ⊂ V, a ∈ O ⊂ W e assim a ∈ U ∩ O ⊂ V. Consequentemente, se X é um espaço topológico localmente compacto T2, a ∈ X e W é uma vizinhança compacta de a, então III.11.30 mostra que o subespaço W é regular; o ponto a tem portanto uma vizinhança fechada V ⊂ W e V é um conjunto compacto (Corolário III.11.5), vizinhança de a em X. III.11.44 Teorema Em cada espaço localmente compacto Hausdorff existe uma base de vizinhanças compactas de cada ponto e o espaço é regular. III.11.45 Vimos que se A ⊂ X, um subconjunto W se diz uma vizinhança do conjunto A quando existe um aberto O tal que A ⊂ O ⊂ W; uma base de vizinhanças de A é uma classe C de vizinhanças de A tal que toda a vizinhança W de A contém um conjunto em C. Se X, T é um espaço localmente compacto Hausdorff, existe uma base de vizinhanças compactas de cada subconjunto compacto K. III.11.46 Exercício Preencha os detalhes na seguinte demonstração de III.11.45 Seja W uma vizinhança de K. Existe em cada ponto a ∈ K uma vizinhança compacta n n V a ⊂ W de a. Tem-se K ⊂ j1 intV aj , a1, . . . , an ∈ K; logo j1 V aj é uma vizinhança compacta de A contida em W. III.11.47 Observações (1) As propriedades do espaço topológico ser compacto ou ser localmente compacto são invariantes topológicos, e assim dão um critério simples para decidir se dois espaços topológicos não são homeomorfos. Por exemplo, considerando R munido da topologia usual, os subespaços a, b e a, b, a b, não são homeomorfos. (2) Ambas as propriedades em (1) não são hereditárias. Por exemplo o subespaço a, b do compacto a, b em (1) não é compacto; também o subespaço Q do espaço localmente compacto R, U não é localmente compacto. -248III.11.48 Observação Se o subespaço Y do espaço topológico X, T é localmente compacto, então existem um aberto U ∈ T e um fechado F em X tais que Y U ∩ F. Com efeito, dado a ∈ Y consideremos uma vizinhança compacta W a de a no subespaço Y; existe V a ∈ T, a ∈ Y ∩ V a int Y W a , o interior de W a em Y. Consideremos a reunião U V a : a ∈ Y, aberto em X; tem-se U\Y U\Y ∩ U V a \Y ∩ V a : a ∈ Y V a \Y ∩ V a . a ∈ Y V a \int Y W a : a ∈ Y. Se p ∈ V a ∩ int Y W a c V a ∩ Y ∩ V a c V a \Y então p ∈ V a \W a , já que W a ⊂ Y; assim cada V a \int Y W a V a \W a , U\Y V a \W a : a ∈ Y que é também um aberto de X. Portanto o complementar de U\Y é um fechado de X; tem-se Y U\U\Y U ∩ U\Y c . III.11.49 Teorema O subespaço Y do espaço localmente compacto separado X, T é localmente compacto se e somente se Y é a intersecção de um aberto e de um fechado de X. T. III.11.50 Exercícios (1) Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do teorema: 1. A condição é suficiente: se Y U ∩ F onde U é um aberto e F é um fechado, consideremos uma vizinhança W de um ponto a ∈ Y no subespaço Y. W é uma vizinhança de a em X; 2. existe uma vizinhança compacta V ⊂ W concluindo-se a condição necessária. 3. Para provar a condição necessária, suponhamos que cada ponto a ∈ Y tem uma vizinhança compacta em Y. 4. A condição é necessária. (2) Conclua que todo o subespaço aberto ou fechado de um espaço localmente compacto Hausdorff é localmente compacto. E que em particular todo o subespaço aberto ou fechado de um espaço de Hausdorff compacto é localmente compacto. III.11.51 Teorema O espaço de Hausdorff X é localmente compacto se e somente se tem as propriedades seguintes, equivalentes entre si: (1) Para cada p ∈ X e cada vizinhança U do ponto p, existe um aberto relativamente compacto V tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ U. (2) Para todo o subconjunto compacto K e cada aberto U ⊃ K, existe um aberto relativamente compacto A tal que K ⊂ A ⊂ A ⊂ U. (3) X tem uma base constituída por abertos relativamente compactos. III.11.52 Exercício Demonstre o teorema III.11.51. (Sug. para (3): dado x ∈ X, x é compacto). III.11.53 Propriedade Se X é um espaço Hausdorff localmente compacto C2 então X tem uma base contável constituída por abertos relativamente compactos. Dem. Sendo O n : n ∈ N uma base contável de X, cada subespaço O n é um espaço C2 e tem uma base U n,j : j ∈ N formada por abertos relativamente compactos, cada U n,j ⊂ O n . U n,j é compacto e a classe U n,j : n, j ∈ N é uma base contável de X, c.q.d. -249III.11.54 Teorema Todo o espaço localmente compacto separado é um espaço de Tikhonov. III.11.55 Exercício Justificando os seguintes passos, obtenha uma demonstração do Teorema III.11.54: 1. Se X é localmente compacto separado, p ∈ X\A e A é um conjunto fechado, existem abertos relativamente compactos V 1 , V 2 tais que p ∈ V 1 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ V 2 ⊂ X\A 2. V 2 é normal. Existe uma função contínua f : V 2 → I, I 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, fp 1, f 0 sobre V 2 \V 1 3. a função F : X → I, Fx fx x ∈ V 2 , Fx 0 x ∈ X\V 1 é contínua 4. tem-se F 0 sobre A e Fp 1, concluindo-se o teorema, c.q.d. III.11.56 Resolução 1. Aplicando repetidamente o Teorema III.11.44 2. Atendendo a 1., e pelo Teorema III.11.30, V 2 , o subespaço V 2 é normal, donde é um espaço de Tikhonov 3. Porque F f sobre V 2 \V 1 , aplicando o Teorema III.8.32 com os fechados V 2 e X\V 1 4. Devido a 4, já que f 0 sobre X\V 2 , A ⊂ X\V 2 como em 1., fp 1 por 2., 3. e pela definição de espaço de Tikhonov. III.11.57 Existem espaços localmente compactos de Hausdorff que não são normais. Por exemplo em III.11.30 (2), vimos que os espaços ordinais 0, e 0, são compactos; pelo teorema de Tikhonov, o produto 0, 0, é compacto, e portanto o subespaço aberto 0, 0, \, é localmente compacto (III.11.50 (2)). No entanto este espaço não é normal, como se viu em III.10.41 (2). III.11.58 Teorema Dada uma família X , T : ∈ A de espaços localmente compactos, o produto X X , T é localmente compacto se quando muito possivelmente para um subconjunto finito I ⊂ A, os espaços X ∈ I não são compactos. Se o produto é localmente compacto então cada espaço factor é localmente compacto e apenas para um conjunto finito I ⊂ A, cada espaço X ∈ I não é compacto. III.11.59 Obtenha uma demonstração de III.11.58 pela justificação das passagenes seguintes: 1. Provando a última asserção, se X é localmente compacto seja x ∈ X, x 0 ∈ X 0 . Existe uma vizinhança compacta K de x em X e o conjunto pr 0 K é uma vizinhança compacta de x 0 ; portanto X 0 é localmente compacto. 2. Existe um subconjunto aberto relativamente compacto não vazio V de X , T 3. então pr V é compacto ∈ A e, pr V ⊃ pr V X para todos excepto possivelmente índices num subconjunto finito I do conjunto dos índices A, concluindo-se o que se pretendia 4. Para a primeira asserção, na hipótese assumida, seja x x ∈ X. Para cada índice no conjunto I como considerado no enunciado, existe uma vizinhança compacta K de x em X . Considerando o conjunto V ∈I K ∈A\I X conclui~se o teorema, c.q.d. -250III.11.60 Resoluções 1. K existe por hipótese. Porque pr é aberta e contínua; e pela definição 2. Por hipótese, dado que X ≠ 3. Pois cada pr é contínua; dado que V é um aberto do produto, e pela definição 4. Pela hipótese. E porque V é uma vizinhança compacta de x, atendendo ao teorema de Tikhonov, c.q.d. III.11.61 Observação Se X é um espaço localmente compacto de Hausdorff e C : ∈ A é uma classe de subconjuntos compactos de X, então C : ∈ A é compacto (III.11.5, III.11.4). III.11.62 Teorema de Alexandrov Se X, T é um espaço Hausdorff localmente compacto, existe um espaço de Hausdorff compacto X ∗ tal que X é um subespaço de X ∗ X . Dem. Suponhamos X não compacto (doutro modo pode tomar-se para qualquer ponto de X). Seja um ponto que não está em X e consideremos X ∗ X . A classe T ∗ T X \K : K é um subconjunto compacto de X é uma topologia sobre X ∗ . Cada cobertura aberta de X em X, T ∗ é redutível a uma cobertura finita, este espaço topológico é compacto. Dado a ∈ X, considerando uma vizinhança compacta V de a, os abertos intV e X \V são disjuntos concluindo-se que X, T ∗ é Hausdorff e o teorema, c.q.d. III.11.63 Definição Dado X, T de Hausdorff localmente compacto, o espaço X, T ∗ no teorema é o compactificado de Alexandrov de X, T. Diz-se que é o ponto no infinito. III.11.64 Observações (1) A Definição III.11.63 é entendida a menos de homeomorfismo. Dados 0 , 1 , os espaços X 0 e X 1 com a correspondente topologia são homeomorfos. (2) Se X, T é compacto separado, obter-se-ia o compactificado X p X para cada p ∈ X. (3) O subespaço X é denso em X, T ∗ , o compactificado de Alexandrov X ∗ , c, cx x do espaço localmente compacto X é um compactificado de X, no sentido de III.11.33. (4) Pelo Teorema III.11.62, dado X localmente compacto, podemos considerar X ∗ X munido da topologia T ∗ , espaço compacto. Este compactificado de X é separado se e só se X é localmente compacto. III.11.65 Exemplo A projecção estereográfica P de centro o pólo Norte N (resp. Sul, n1 S ) da esfera S x k ∈ R n1 : ‖x k ‖ ∑ k1 x 2k 1/2 1 é a função de R n sobre S\ N S\ S definida por u j x k , x k 1 (resp. −1. 2u k 1u 21 ...u 2n u 2 ...u 2 −1 n 1 k 1, . . . , n, x n1 1u 2 ...u 2 , 1 n -251Considerando R n (S) munido da topologia associada à métrica euclideana (da topologia induzida pela topologia associada à métrica euclideana), esta função é contínua, como se verifica facilmente utilizando sucessões convergentes. A função inversa é dada por xk x k u j , u j 1−x , k 1, . . . , n, e verifica-se analogamente que é contínua sobre n1 S\ N (sobre S\ S ). P é portanto um homeomorfismo de R N sobre S\ N , respectivamente S ). Como S é limitado e fechado em R n1 , é um compacto; por ser um homeomorfismo, P é uma correspondência bijectiva entre os abertos de R n e os abertos de S\, e entre os subconjuntos compactos de cada espaço. Tem-se que definindo P ∗ x Px para cada x ∈ R n e P ∗ , onde se considera um ponto que não está em R n1 , a função P ∗ é assim um homeomorfismo do compactificado de Alexandrov R n de R n sobre S. III.11.66 Definição Dizemos que o espaço localmente compacto X é -compacto se X é uma reunião contável de subconjuntos compactos. Se além disso X é de Hausdorff, dizemos que é um espaço contável ao infinito. III.11.67 Definição Sejam C A : ∈ A e D B : ∈ B coberturas de um conjunto X. Dizemos que C é um refinamento de D se para cada conjunto A existe certo B ⊃ A. III.11.68 Definição Diz-se que X, T tem a propriedade de Lindelöf ou que é um espaço de Lindelöf se cada cobertura aberta O : ∈ A de X tem uma subcobertura contável, O n : n 1, 2, . . . , X n1 O n . III.11.69 Teorema de Lindelöf Todo o espaço C2 é um espaço de Lindelöf. Dem. Seja B i : i ∈ N uma base contável de X. Cada conjunto U numa cobertura aberta de X é uma reunião contável U B i : i 1, 2, . . . i ∈ I. Assim B i : ∈ A, i ∈ N é um refinamento de U : ∈ A; escolhendo U ,i ⊃ B i para cada i ∈ N obtemos uma subcobertura da cobertura aberta pelos conjuntos U dada. III.11.70 Teorema Todo o espaço topológico que é imagem contínua de um espaço de Lindelöf é um espaço de Lindelöf. III.11.71 Exercício Demonstre o Teorema III.11.70. III.11.72 Teorema Se X é um espaço de Lindelöf e Y é um subconjunto fechado, o subespaço Y é um espaço de Lindelöf. III.11.73 Exercício Prove o Teorema III.11.72, (Sug: compare com a Propriedade III.11.4). -252III.11.74 Recordar que no espaço ordinal 0, toda a sucessão estritamente crescente n tem supremo sup n : n 1, 2, . . . . A cobertura aberta 0, : do espaço não tem nenhuma subcobertura contável. Um subespaço arbitrário de um espaço de Lindelöf não é necessariamente de Lindelöf, considere-se o subespaço 0, do espaço compacto 0, (e que é portanto um espaço de Lindelöf). III.11.75 Observações (1) Se um produto X , T é um espaço de Lindelöf então cada espaço factor é de Lindelöf. (2) No entanto, um produto de espaços de Lindelöf não é necessariamente um espaço de Lindelöf. III.11.76 Exercícios (1) Prove III.11.75 (1). (2) Diz-se que um intervalo I de R é próprio se contém mais de um ponto. Mostre que toda a classe de intervalos próprios dois a dois disjuntos de R é contável. (Sug: dada a classe de intervalos disjuntos I : ∈ A considere um ponto racional q ∈ I obtido aplicando o selector de Zermelo. Existe uma função sobrejectiva f : Q → q : ∈ A?). (3) Comprove (2) em III.11.75. (Sug: considere o subespaço fechado x, −x : x ∈ R\Q do produto R, U R, U e aplique III.11.72. Note que, embora R, U não seja C2, dada uma arbitrária cobertura aberta C de R, U cada conjunto em C é uma reunião de intervalos da forma a, b e a classe I das intersecções finitas destes intervalos é um refinamento de C; a cada a, b ∈ I podemos associar certo C ∈ C, C ⊃a, b. Utilize o resultado (2) concluindo que R, U é um espaço de Lindelöf). III.11.77 As propriedades do espaço topológico X, T, de toda a cobertura aberta contável pode extrair-se uma subcobertura finita e, cada classe contável de subconjuntos fechados, cujas intersecções finitas são não vazias, a intersecção da classe é não vazia, são equivalentes. Efectivamente tem-se k ∀A n : n ∈ N ⊂ T, X n1 A n , ∃n1, . . . , nk, X j1 A nj c ∀F n : n ∈ N, F n ∈ T n ∈ N k k F n , n1 F cn X, ∃n1, . . . , nk, j1 F cnj j1 F j c . n1 III.11.78 Definição Diz-se que o espaço X é numeravelmente compacto se de cada cobertura aberta contável de X pode extrair-se uma subcobertura finita. -253III.11.79 Propriedade O espaço topológico X é numeravelmente compacto se e só se toda a sucessão em X tem um ponto aderente. Dem. Admitindo que o espaço é numeravelmente compacto, seja a sucessão x n em X. Podemos considerar a sucessão de conjuntos fechados F 1 ⊃ F 2 ⊃. . . ⊃ F n ⊃ F n1 ⊃. . . onde F n x n , x n1 , x n2 , . . . , cujas intersecções finitas são não vazias. Atendendo a III.11.65, existe pelo menos um ponto x ∈ n1 F n . Se V ∈ V x tem-se V ∩ x n , x n1 , x n2 , . . . ≠ para n 1, 2, . . . Dado cada n existe portanto m ≥ n, x m ∈ V e assim x está frequentemente em cada vizinhança V de x (recordar III.7.25). A condição no senunciado é portanto necssária. É também suficiente: admitindo-a, seja F n : n 1, 2, . . . n uma classe de fechados cujas intersecções k1 F k ≠ . Consideremos um ponto n x n ∈ k1 F k e a sucessão x n ; esta tem um ponto aderente x i.e., dada uma arbitrária vizinhança V do ponto x, existe, dado qualquer n, certo kn ≥ n, x kn ∈ V i.e., V ∩ x n , x n1 , x n2 , . . . ≠ , ∀n 1, 2, . . . Portanto V ∩ F n ≠ para cada n, dada qualquer F n concluindo-se a propriedade, V ∈ V x o que sugnifica x ∈ F n F n , ∀n ∈ N, x ∈ n1 c.q.d. III.11.80 Teorema Se X, T é um espaço C1, então X é numeravelmente compacto se e somente se todo o subconjunto infinito de X tem um ponto de acumulação. III.11.81 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema pela justificação das passagens seguintes: 1. A condição é necessária: se A é um subconjunto infinito de X, podemos considerar um subconjunto numerável C a n : n 1, 2, . . . de A, a n ≠ a m n ≠ m 2. se X é numeravelmente compacto, certo ponto a ∈ X tem a propriedade ∀O ∈ T : a ∈ O, ∀n ∈ N, ∃m ≥ n, a m ∈ O 3. C ∩ O\a ≠ para cada aberto O contendo a, e X tem a propriedade no enunciado. 4. Para provar que a condição é suficiente, basta mostrar que em a admitindo, então cada sucessão x n em X sem nenhum ponto de repetição verifica que o conjunto derivado x n : n ∈ N ′ ≠ 5. Admitindo a condição, seja uma sucessão x n como em 4. Existe um ponto p ∈ X tal que x n está frequentemente em cada vizinhança V de p e pode concluir-se o teorema, c.q.d. III.11.82 Teorema Se X é um espaço C1 então X é numeravelmente compacto se e somente se cada sucessão em X tem uma subsucessão convergente. III.11.83 Exercício Demonstre o teorema anterior. (Sug: Propriedade III.11.79. Recorde III.7.29). Dada uma cobertura C de X, dizemos que pode extrair-se de C uma subcobertura própria (de X) se existe C ′ C tal que X C : C ∈ C ′ . -254III.11.84 Proposição Dado um espaço topológico X que é um espaço T1, X é numeravelmente compacto se e somente se dada qualquer cobertura aberta infinita C de X, pode extrair-se de C uma subcobertura própria. Dem. Se existe um subconjunto infinito A de X cujo conjunto derivado A ′ então cada suconjunto de A é fechado. Para cada a ∈ A, existe um aberto O a tal que a ∈ O a e O a ∩ A\a ; se X ≠ A, a classe X\A, O a : a ∈ A é uma cobertura aberta infinita de A da qual não pode extrair-se uma subcobertura própria. E se C é uma cobertura aberta infinita de X da qual não pode extrair-se uma subcobertura própria, então para cada C ∈ C existe x C ∈ C, x C ∉ C ′ , ∀C ′ ∈ C, C ′ ≠ C; o conjunto infinito x C : C ∈ C não tem nenhum ponto de acumulação, concluindo-se a proposição. III.11.85 Exercício Preencha os detalhes da demonstração acima, mostrando que a condição em III.11.84 é necessária e suficiente. III.11.86 Teorema Todo o espaço X, T Hausdorff numeravelmente compacto C1 é um espaço T3. Dem. Dado um ponto x ∈ X, seja V n : n 1, 2, . . . uma base contável de vizinhanças de x tal que V n ⊃ V n1 n ∈ N que podemos obter considerando intersecções ordenadas finitas de conjuntos numa base de vizinhanças contável do ponto. Pelo Teorema III.9.11, c V n x; pelas leis de De morgan, a classe V V n : n ∈ N é conclui-se que n1 uma cobertura aberta contável de X, da qual pode extrair-se um cobertura finita, c c c m V nk c V V m . Se X A B conclui-se X V V n1 . . . V nm V k1 que B c ⊂ A, e assim a igualdade mostra que V m ⊂ V provando o teorema. III.11.87 Teorema Se X é um espaço numeravelmente compacto C1, todo o subconjunto fechado de X é numeravelmente compacto. III.11.88 Exercício Demonstre o Teorema III.11.87. (Sug: Utilize a Propriedade III.11.79; note que se um ponto p é um ponto aderente de uma sucessão, então p está no fecho do conjunto dos termos). III.11.89 Teorema Se o espaço X é Hausdorff C1, então todo o subespaço numeravelmente compacto A de X é fechado. Dem. Seja x ∈ A. Pelo Teorema III.7.16, X é um espaço de Fréchet, existe uma sucessão a n em A tal que a n → x. Sendo A numeravelmente compacto, a n tem um ponto aderente a ∈ A -255i.e., a n está frequentemente em cada vizinhança de a, vê-se facilmente que uma subsucessão a nk → a x dado que X é separado c.q.d. III.11.90 Observação Encontra-se em [Dugundji] (Chap. XI, Sec. 8, p. 245) um exemplo de um espaço de Tikhonov E numeravelmente compacto tal que o produto E E não é numeravelmente compacto. III.11.91 Observação Dado um produto X j1 X j , uma sucessão u u n x nj j1 e, para cada j, uma subsucessão coordenada x j de x nj em X j definida por uma aplicação estritamente crescente nj, . portanto, nj, 1 ≨ nj, 2 ≨. . . , de tal modo que nj 1, . nj, . onj − 1, . o. . . on1, . por exemplo, dada certa n1, j, sendo n2, 1 n1, 1, n2, 2 para certa n2, j,..., nj 1, 1 nj, 1, nj 1, 2 nj, 2, . . . , nj 1, j nj, j tem-se que a função f : N → X, designando por nn,n 1 ≤ n ≤ p, a restrição de f p1 a 1, . . . , p f p a sua restrição a 1, , , . p por fn x n nn,n coincide com f p . Deste modo, usando I.6.7, fica definida a sucessão f x n em X. jj,k nn,k Notar que se cada X j é um espaço topológico e x j → k→ x j em X j então x n n1 é uma jj,k subsucessão de x n n1 e conclui-se que, considerando X munido da topologia produto, nn,n então atendendo a III.10.7 tem-se x n → x n em X. nj.k III.11.92 Teorema Sendo cada X n , T n um espaço C1 n 1, 2, . . . , o espaço produto X N X n , T n é numeravelmente compacto se e somente se cada espaço factor X n é numeravelmente compacto. III.11.93 Exercício Demonstre o Teorema III.11.92, completando e justificando os passos seguintes: 1. A condição é necessária, pois admitida a hipótese e dada uma sucessão x nm em X m e escolhendo um ponto x nk em cada espaço X k k ≠ m, a sucessão x nk k1 tem uma subsucessão convergente. 2. A condição é suficiente: dada uma sucessão x nk k1 em X, seja x 11,n → x 1 uma 1 subsucessão da sucessão x n1 no espaço X 1 . Podemos considerar uma subsucessão 22,n 22,n 11,n x 2 → x 2 em X 2 tal que x 1 é uma subsucessão de x 1 . Prosseguindo assim sucessivamente para k 1, . . . , p, p ∈ N obtemos, pelo processo em III.11.91, uma subsucessão x nn,n de x nk em X convergente para x n , concluindo-se o teorema c.q.d. n III.11.94 Resolução 1. Pela hipótese, atendendo ao Teorema III.11.92. E usando o Teorema III.10.7, concluimos de novo por III.11.82 que X n0 é numeravelmente compacto, já que é um espaço C1 pelo Teorema III.10.16. 11,n 2. Existe tal subsucessão x 1 , assim como as segintes que se consideram, dada a nn,n hipótese. Aplicando III.11.91, a subsucessão x n → x n , logo X conclui-se que é numeravelmente compacto, aplicando o Teorema III.11.82, c.q.d. -256III.11.95 Definição Diz-se que o espaço topológico X é sequencialmente compacto se cada sucessão em X tem uma subsucessão convergente. III.11.96 Observação As propriedades de um espaço de Hausdorff ser compacto e, a de ser sequencialmente compacto são independentes uma da outra. Conforme a III.11.34 (2) podemos considerar o compactificado de Cech-Stone N de N, D. Prova-se em [Engelking] (COROLLARY 3.6.15, p. 175) que nenhuma sucessão m n em N com um numero infinito de termos é convergente. Considerando por exemplo a sucessão n vemos que um espaço compacto de Hausdoff pode não ser sequencialmente compacto. Utilizando III.1.23 e a Propriedade III.11.23 conclui-se facilmente que o espaço ordinal 0, é um espaço de Hausdorff sequencialmente compacto e não compacto. III.11.97 Teorema Todo o espaço sequencialmente compacto é numeravelmente compacto. Dem. Conclui-se da Propriedade III.11.82. III.11.98 Exercícios (1) Prove que se Y é uma imagem contínua do espaço sequencialmente compacto X, então Y é sequencialmente compacto. (2) Prove o análogo de (1) para a propriedade numeravelmente compacto. (3) Prove que se X é sequencialmente compacto (resp. numeravelmente compacto) e W é um subespaço fechado, então W é sequencialmente compacto (numeravelmente compacto). III.11.99 Proposição Dado o espaço topológico X, considerem-se as propriedades: a X é compacto; b X é sequencialmente compacto; c X é numeravelmente compacto. Então: a b c; se X é C1, c b; se X é de Lindelöf, a c; se X é metrizável Lindelöf, as propriedades são equivalentes. III.11.100 Exercício Prove a Proposição III.11.99. -257- III.12 CONJUNTOS CONEXOS Constata-se que as definições de conjuntos separados e de conjunto conexo no espaço métrico X, d são relativas unicamente à topologia associada à métrica III.12.1 De modo geral num espaço topológico X, T diz-se que (1) os subconjuntos A, B de X, T são separados se A ∩ B A ∩ B ; (2) uma disconexão do subconjunto C de X, T é dada por dois subconjuntos abertos G, H de X verificando G ∩ C ≠ , H ∩ C ≠ , G ∩ C e H ∩ C são disjuntos e C G ∩ C H ∩ C; diz-se então que G H é uma disconexão de C. (3) O subconjunto C de X (ou: de X, T) diz-se conexo se não existe nenhuma disconexão de C; e disconexo se existe pelo menos uma disconexão G H de C. III.12.2 Observações (1) O subconjunto Y de X, T é conexo se e somente se o subespaço topológico Y, T Y é conexo. (2) O subconjunto de X, T é conexo. (3) Em qualquer espaço topológico X, cada singleton a a ∈ X é conexo. (4) Dado um conjunto X, p ∈ X um ponto fixo, a classe T , A ⊂ X : p ∈ A é uma topologia sobre X para a qual um subconjunto é conexo se e só se é aberto. III.12.3 Exercícios (1) Mostre que se o conjunto X não se reduz a um ponto então o espaço topológico X, PX é disconexo. (2) Verifique III.12.2 (3). (3) Recorde a topologia de Sierpinsky S sobre 0, 1. O espaço topológico 0, 1, S é conexo? III.12.4 Teorema O espaço topológico X, T é conexo se e somente se verifica qualquer das propriedades equivalentes: i X não é uma reunião disjunta de dois subconjuntos fechados não vazios; ii os únicos subconjuntos de X que são abertos e fechados são , X; iii X não é reunião de dois conjuntos separados não vazios. -258III.12.5 Exemplo O subconjunto S x, y ∈ R 2 : x 2 y 2 1 do espaço métrico R 2 , d e , fronteira da bola aberta B B 0 0, 0, 1 é fechado, R 2 \S é a reunião disjunta dos abertos não vazios intB e extB e é assim um conjunto disconexo. Notar que B é aberto e fechado em R 2 \S; e que B, extB são subconjuntos separados não vazios de R 2 \S. III.12.6 Teorema Sejam A, B, C ⊂ X, T. (1) Se G H é uma disconexão de C então os conjuntos C ∩ G e C ∩ H são separados não vazios. (2) Se A, B são separados e não vazios então o conjunto A B é disconexo. Conclui-se imediatamente que o resultado em II.13.19 tem a generalização III.12.7 Teorema Se C é um subconjunto conexo do espaço topológico X, T X e f : X, T X → Y, T Y é uma função contínua, então fC é um subconjunto conexo do espaço topológico Y, T Y . Recordando que os subconjuntos não vazios conexos de R, U são os intervalos, III.12.8 Corolário Se o espaço topológico X, T é conexo e f : X, T → R, U é contínua então fX é um intervalo de R. III.12.9 Observações (1) Conclui-se de III.12.7 que a esfera S 1 S cos t, sin t : 0 ≤ t ≤ 2 no Exemplo III.12.5 é um conjunto conexo. (2) Dados um espaço topológico X, A, B ⊂ X sendo B um conjunto conexo, se B intersecta o interior de A e também o exterior de A, então B intersecta a fronteira de A ( caso contrário, intA extA seria uma disconexão de B). Também R N é conexo quando munido da topologia usual. Pois se o espaço é reunião de dois abertos não vazios e disjuntos U, W tome-se um ponto a ∈ U e outro b ∈ W; o segmento a, b 1 − ta tb : 0 ≤ t ≤ 1 B é conexo. (Porquê?) Ter-se-á B ∩ U B ∩ intU ≠ e B ∩ W B ∩ extU ≠ , donde deve ser B ∩ frU ≠ e, em particular, frU ≠ , obtendo-se a contradição que U é simultaneamente aberto e fechado, e não é. (3) Sendo p ∈ R N , conclui-se de (2) que R N \p é conexo, atendendo a que se este conjunto é reunião disjunta de dois fechados não vazios F, K então R N é também reunião disjunta dos fechados F p e K. (4) Uma demonstração de que a esfera S N x ∈ R N1 :∣ x ∣ 1 N ∈ N é um conjunto conexo obtem-se então considerando a função f : R N1 \0 → S N dada por fx fx 1 , . . . , x N1 x 1 / ∣ x ∣ 2 , . . . , x N1 / ∣ x ∣ 2 , x x 1 , . . . , x N1 . -259III.12.10 Exercícios (1) Complete a demonstração em III.12.9 (4). (2) Recordando III.10.52 conclua do Teorema III.12.7 que se X, T é um espaço topológico conexo e é uma relação de equivalência em X então o espaço topológico cociente X/ é conexo. O Teorema II.13.26 generaliza-se também a espaços topológicos: III.12.11 Teorema Se C i : i ∈ I é uma classe de subconjuntos conexos de X, T não sendo nenhuns dois conjuntos C i , C j separados, enão o conjunto C C i : i ∈ I é conexo. III.12.12 Corolário Dada uma classe C i : i ∈ I de subconjuntos conexos de X, T cuja intersecção não é vazia, a reunião C i : i ∈ I é um subconjunto conexo de X, T. III.12.13 Propriedade Se A ⊂ B ⊂ A onde A é um subconjunto conexo de X, T então B é conexo. Em particular, o fecho A é um conjunto conexo. III.12.14 Exercícios (1) Demonstre III.12.13, recordando II.13. (2) Dê exemplo de um subconjunto não conexo de R, U cujo interior seja conexo (Sug: Recorde III.12.2 (2)). (3) Conclua de III.12.7 que dois espaços topológicos homeomorfos são ambos conexos ou ambos disconexos. (4) Preencha os detalhes no seguinte exemplo, que mostra que a intersecção de dois conjuntos conexos pode não ser um conjunto conexo, onde se considera o espaço topológico S 1 como em III.12.9 (1): Os subespaços S x, y ∈ S 1 : y ≥ 0 e S − x, y ∈ S 1 : y ≤ 0 são conexos, como se conclui considerando a projecção x, y x; a sua intersecção não é um conjunto conexo. Dado o espaço topológico produto X A X , T em III.10 recorde a notação O 1 , . . . , O m para os abertos na base da topologia e, dado x 0 x 0 a fatia Sx 0 ; X ≠ x 0 em III.10.21. III.12.15 Teorema O espaço topológico produto X A X , T é conexo se e somente se cada espaço factor é conexo. -260III.12.16 Exercício Completando e justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração de III.12.15: 1. A condição é necessária, dado que a projecção pr : X → X é sobrejectiva ∈ A 2. Para provar a condição suficiente, utilizemos primeiro o princípio de indução finita, provando que dado x 0 x 0 ∈ X, então se x 0n é um ponto em X tal que no máximo n coordenadas de x 0n diferem das coordenadas de x 0 , ambos x 0n , x 0 pertencem a um mesmo subconjunto conexo de X. a Para n 1, se x 01 difere de x 0 na coordenada então à fatia Sx 0 ; pertencem ambos x 01 e x 0 . 0 n ≥ 2 consideremos b Supondo que a propriedade é válida para cada x n−1 0 um x n ; 0 estão num mesmo subconjunto conexo C de X i pelo caso n 1, x 0n e x n−1 0 , x 0 pertencem a um mesmo subconjunto ii pela hipótese de indução, x n−1 conexo C 1 de X, e sendo C C 1 conexo conclui-se a propriedade. 3. A reunião A de todos os subconjuntos conexos de X contendo x 0 é um conjunto conexo contendo D x ∈ X : x e x 0 diferem no máximo por um número finito de coordenadas; 4. todo o aberto O 1 , . . . , O m contem um ponto de D; 5. o subconjunto D de X é denso, A ⊂ D ⊂ A e pode concluir-se o teorema, c.q.d. III.12.17 Observação A relação binária C no espaço topológico X definida por x C y sse existe um subconjunto conexo de X contendo ambos x e y é obviamente reflexiva (III.12.2 (3)) e simétrica; é também transitiva (III.12.12), e assim é uma relação de equivalência em X. A classe de equivalência de a ∈ X é C a A ⊂ X : a ∈ A, A é um conjunto conexo, subconjunto conexo de X, o maior subconjunto conexo de X contendo a e diz-se uma componente conexa de X. Atendendo à Propriedade III.12.13, C a é um subconjunto fechado de X. Também cada C a é um subconjunto conexo de X que é maximal. Conclui-se que a colecção das componentes conexas dos diferentes pontos de um espaço topológico X é uma partição de X formada por subconjuntos fechados. III.12.18 Definição O espaço topológico X, T diz-se totalmente disconexo se a componente conexa de cada ponto a ∈ X se reduz a a ou, o que é o mesmo, os únicos subconjuntos conexos de X são os conjuntos singleton. -261III.12.19 Observações (1) Um espaço topológico é conexo se e somente se a componente conexa de cada ponto é todo o espaço. (2) O espaço topológico R, U não é conexo e não é totalmente disconexo. (3) O subespaço Q, U Q de R, U é exemplo de um espaço topológico não discreto totalmente disconexo. (4) O subespaço E de R 2 , d e formado pelos segmentos que unem a origem 0, 0 aos pontos da forma 1, 1/n n ∈ N e pelo segmento 1/2, 1 0 é conexo. O subespaço E\0, 0 é disconexo. (5) No espaço produto A X , T , a componente conexa de x x é C x ∈A C x , X onde C x , X é a componente conexa de x no espaço factor X . Com efeito, III.12.15 mostra que o produto K ∈A C x , X é conexo, e assim está contido na componente conexa C x . Admitindo que existe um ponto y y ∈ K\ ∈A C x , X , vem que certa coordenada y ∉ C x , X . Então o conjunto conexo pr K ⊂ X contem um ponto y ∉ C x , X e obtem-se a contradição deste último conjunto não ser maximal na classe dos subconjuntos conexos de X contendo x . III.12.20 Exercícios a Verifique (1), (2), (3), (4) em III.12.19.(Sug: para (4), note que a componente conexa de cada ponto em E\, 0 é o segmento que o contem). b Conclua de (5) que embora o produto infinito de espaços discretos não seja discreto, é totalmente disconexo. III.12.21 Definição O espaço topológico X, T diz-se extremamente disconexo se é um espaço de Hausdorff e o fecho de cada subconjunto aberto é um aberto. III.12.22 Exemplos (1) Todo o espaço topológico discreto é extremamente disconexo. (2) Encontra-se em [Engelking] (Theorem 6.2.27.) uma demonstração de que o compactificado de Stone-Cech (III.11.36) de um espaço de Tikhonov extremamente disconexo é extremamente disconexo. Assim o compactificado de Stone-Cech N de N (munido da topologia discreta) dá um exemplo de um espaço extremamente disconexo não discreto. (3) O fecho do aberto 1/2n : N 1, 2, . . . de 0, 1/n : n ∈ , d e não é um subconjunto aberto do espaço , que é assim um espaço totalmente disconexo não extremamente disconexo. III.12.23 Proposição Um espaço de Hausdorff X é extremamente disconexo se e somente se para cada dois subconjuntos abertos disjuntos U, V se tem U ∩ V . -262III.12.24 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração de III.12.23: 1. Se U, V são abertos disjuntos de um espaço topológico, então U U, U ∩ V . 2. Conclui-se que a condição é necessária. 3. Supondo que se verifica a condição do enunciado, seja U um aberto de X: a U e X\U sendo sijuntos, tem-se U ∩ X\U ; b U X\X\U intU concluindo-se a proposição. III.12.25 Exercício Prove que todo o espaço topológico extremamente disconexo é totalmente disconexo. (Sug: Dados a ∈ X e um subconjunto conexo C de X contendo a, b, a ≠ b, existem abertos U, V disjuntos de X, a ∈ U, b ∈ V. Tem-se que U V é uma disconexão de C?) Vemos intuitivamente que se um subconjunto C do plano cartesiano tem a propriedade de cada dois pontos a, b ∈ C poderem ser ligados por uma linha contínua inteiramente contida em C, então C não é reunião de dois conjuntos abertos não vazios e dsijuntos i.e., o conjunto C é conexo. III.12.26 Definição um caminho ou arco no espaço topológico X ligando o ponto a ao ponto b, a, b ∈ X é uma função contínua : 0, 1 → X tal que 0 a, 1 b. Dizemos que a é o ponto inicial do caminho e b é o ponto final. Verifica-se facilmente que se F 1 , . . . , F n são subconjuntos fechados não vazios do espaço topológico X, Y é um espaço topológico e f é uma função de X em Y, então f é contínua se e só se cada restrição f i f ∣F i é contínua. Assim dados caminhos : 0, 1 → X, : 0. 1 → X tais que 1 0, a função ∨ : 0, 1 → X, ∨ t 2t 0 ≤ t ≤ 1/2 e ∨ t 2t − 1 é bem definida e contínua. Notar que se 0 a, 1 0 b e 1 c então ∨ 0 a, ∨ 1 c e b ∈ im ∨ , o codomínio de ∨ . Dizemos que ∨ é o caminho justaposto de e . III.12.28 Definição O espaço topológico X, T diz-se conexo por caminhos ou conexo por arcos se para cada dois pontos a, b ∈ X existe um caminho ligando a a b. -263III.12.29 Teorema Se o espaço topológico X é conexo por arcos, então X é conexo. III.12.30 Exercício Completando e justificando as passagens seguintes, obtenha um demonstração do Teorema III.12.29: Dem. Admitamos que X é conexo por arcos e não é conexo. 1. existe uma partição de X por dois abertos não vazios A, B; sejam a ∈ A, b ∈ B. 2. Existe um caminho ligando a a b; 3. im ∩ A e im ∩ B são dois abertos não vazios de im cuja reunião é im; 4. pode concluir-se a tese, c.q.d. III.12.31 Exercícios (1) Designe 2 o espaço topológico 0, 1, P0, 1. Prove que um espaço topológico X, T é conexo se e somente se as únicas funções contínuas de X em 2 são as funções constantes. (2) Conclua de (1) que se A, B são subconjuntos conexos não separados de X, T então A B é um conjunto conexo. (Sug: Podemos supor A ∩ B ≠ ? Utilize III.12.13). III.12.32 Exemplo Esboce graficamente no plano cartesiano os conjuntos A x, y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, y x/n e B 1/2, 1 0. Uma vez que ambos A, B são conexos por arcos, são conexos. Além disso, A e B não são separados, dado que 1, 0 ∈ A ∩ B. Atendendo a III.12.31, A B é um conjunto conexo. No entanto, A B não é conexo por arcos: dados um ponto de A e um ponto de B, não existe nenhum caminho ligando os dois pontos inteiramente contido em A B. III.12.33 Teorema Se o espaço topológico X tem a propriedade de existir um ponto a ∈ X tal que para cada ponto x ∈ X existe um caminho ligando a a x então X é conexo por caminhos. III.12.34 Exercício Demonstre o Teorema III.12.33. (Sug: Considere um caminho justaposto). Sendo E um espaço vectorial normado real ou complexo, a, b ∈ E, o segmento a, b 1 − ta tb : t ∈ 0, 1 é uma imagem contínua do subconjunto conexo 0, 1 de R, U, e é portanto um conjunto conexo. Pode verificar-se utilizando o Cálculo que a, b é conexo por arcos; por outro lado, isto é consequência imediata do seguinte -264III.12.35 Teorema Se f é uma função contínua do espaço topológico X no espaço topológico Y e X é conexo por arcos então fX é conexo por arcos quando munido da topologia induzida. Dem. Dados fa, fb, a, b ∈ X, fo é um caminho ligando fa a fb se é um caminho em X ligando a a b, concluindo-se o teorema. III.12.36 Corolário 1 O espaço topológico cociente X/ do espaço topológico conexo por arcos X pela relação de equivalência em X é conexo por arcos. III.12.37 Corolário 2 Se existe um homeomorfismo f : X, T X → Y, T Y então Y, T Y é conexo por arcos se e só se X, T X é conexo por arcos. III.12.38 Teorema Um produto A X , T é conexo por arcos se e somente se cada espaço factor é conexo por arcos. III.12.39 Exercício Demonstre o Teorema acima. (Sug: Utilize III.12.35. Note que dada f : 0, 1 → A X , f0 a , f1 b , pr of0 a e pr of1 b e recorde III.10.24). III.12.40 Definição O espaço topológico X diz-se localmente conexo se cada ponto tem uma base de vizinhanças abertas conexas. III.12.41 Exercício Considere os subespaços topológicos de R 2 , d e E x, y ∈ R 2 : y 0 x, y ∈ R 2 : y 1 e F r q : q ∈ Q 0, y : y ∈ R, onde r q x, q : x ∈ R. Verifique que E é localmente conexo e não é conexo, enquanto F é conexo mas não é localmente conexo. F é conexo por arcos? (Sug: Considere caminhos justapostos). III.12.42 Observação Recorde que num espaço de Hausdorff as propriedades de cada ponto ter uma vizinhança compacta e, a de cada ponto ter uma base de vizinhanças compactas (i.e., o espaço é localmente compacto) são equivalentes. Mas um espaço topológico conexo verifica que todo o ponto tem uma vizinhança aberta conexa, sem que tenha uma base de vizinhanças conexas abertas, como mostra III.12.41 -265-. III.12.43 Observação Seja C x a componente conexa de um ponto x no espaço topológico localmente conexo X. Dado um qualquer ponto y ∈ C x existe uma vizinhança aberta conexa V de y; cada ponto z nesta vizinhança de y verifica pois z C y e de y C x, C como em III.12.17, conclui-se z C x. Significa isto que z ∈ C x para cada z ∈ V i.e. V ⊂ C x e C x é portanto um conjunto aberto. Atendendo à Observação III.12.17 podemos concluir o III.12.44 Teorema Se X é um espaço localmente conexo então cada componente conexa de X é um subconjunto aberto e fechado de X. III.12.45 Observações (1) O espaço E em III.12.41 mostra que a recíproca do Teorema III.12.44 é falsa. (2) Se o espaço topológico X tem somente um número finito de componentes conexas, também cada uma desta é um subconjunto aberto e fechado de X. III.12.44 Analogamente a III.12.17, a relação binária no espaço topológico X dada por x C y sse existe um caminho que liga x a y é uma relação de equivalência em X (para a transitividade, considere-se o caminho justaposto). A classe de equivalência de um ponto x é E x E : E é conexo por arcos e x ∈ E. Atendendo ao Teorema III.12.33, nenhum conjunto conexo por arcos contem propriamente E x . Se a, b ∈ E x também existe um caminho que liga a a b, donde E x é conexo por arcos e, usando III.12.33, é conexo. Cada conjunto E x diz-se uma componente conexa por arcos de X. III.12.45 Observaçõs (1) As componentes conexas por arcos E x (x ∈ C a , uma componente conexa) formam uma partição de C a . (Porquê?). (2) As componentes conexas por arcos de X consituem também uma partição de X. (3) Uma componente conexa por arcos de um espaço topológico pode não ser aberta nem fechada. Por exemplo, no espaço F em III.12.41, nenhuma componente conexa por arcos r q é um aberto. Considerando o subespaço W 0, 0 L, onde L /x, y ∈ R 2 : 0 x ≤ 1, y sin 1/x, não existe nehum caminho ligando 0, 0 ao ponto 1/, 0, de modo que W não é conexo por arcos. (W é conexo? Porquê?). A componente conexa por arcos contendo 1/, 0 é L, que não é um conjunto fechado, dado que o fecho de L é W. III.12.46 Exercício Mostre que se as componentes conexas pora arcos do espaço topológico X são abertas, então são fechadas. -266III.12.47 Teorema O espaço topológico X é localmente conexo se e somente se as componentes conexas por arcos são abertas. III.12.48 Teorema Um espaço conexo é conexo por arcos se e somente se cada ponto tem uma vizinhança aberta conexa por arcos. III.12.49 Exercícios (1) Prove o Teorema III.12.47. (Sug: Admitindo a hipótese, cada ponto x ∈ K, onde K é uma componente cconexa por arcos, verifica que existe U, conexo aberto, tal que x ∈ U; tem-se U ⊂ K?)). (2) Demonstre o Teorema III.12.48. (Sug: Utilize o Teorema III.12.47; note que a componente conexa aberta maximal contendo um ponto é todo o espaço). (3) Conclua o III.12.50 Corolário Seja X um espaço topológico em que cada ponto tem uma base de vizinhanças abertas conexas por arcos. Se X é conexo, é conexo por arcos; se não é, então cada componente conexa é aberta, fechada e conexa por arcos. III.12.51 Observações (1) Em R N , d e cada bola é um conjunto conexo por arcos, já que é convexo (i.e., contém o segmento a, b /1 − ta tb : t ∈ 0, 1 que une quaisquer dois dos seus pontos a, b). Assim no espaço cada ponto tem uma vizinhança aberta conexa por arcos. Conclui-se do Teorema III.12.48 que em R N , d e um conjunto aberto é conexo se e só se é conexo por arcos. (2) Cada conjunto B 0 a, r\p, onde p ∈ B 0 a, r (em particular B 0 a, r\a) sendo conexo em R N , d e (conclui-se analogamente a III.12.9 (3)) é portanto conexo por arcos. Uma vez que a imagem homeomorfa de um conjunto conexo por arcos é conexa por arcos, conclui-se de III.12.9 (4) que cada esfera Sa, r x ∈ R N : d e x, a r é´conexa por arcos. (e) Tem-se ([Schwartz]) que (1) e (2) são verdadeiras em qualquer espaço normado. III.12.52 Definição Dados caminhos , no espaço topológico X com o mesmo ponto inicial p e o mesmo ponto final q, uma função contínua H : 0, 1 2 ⊂ R 2 , d e → X tal que Hs, 0 s, H0, t p e Hs, 1 s, H1, t q diz-se uma homotopia de para . Se existe uma homotopia de para diz-se que estes caminhos são homotópicos. III.12.53 Observações (1) Dado um caminho em X, a função H : 0, 1 2 → X dada por Hs, t s é uma homotopia. Se H é uma homotopia de para -267então H ∗ : 0, 1 2 → X dada por H ∗ s, t Hs, 1 − t é uma homotopia de para . Também dadas homotopias H 1 de 1 para 2 e H 2 de 2 para 3 , a função H : 0, 1 2 → X, Hs, t H 1 s, 2t 0 ≤ t ≤ 1/2, Hs, t H 2 s, 2t − 1 1/2 ≤ t ≤ 1 é uma homotopia de 1 para 3 . Assim a relação de homotopia é uma relação de equivalência no conjunto Ca, b de todos os caminhos que igam o ponto a ao ponto b, para cada dois pontos a, b em X. (2) Certamente cada função a : 0, 1 → X, T, a t a é um caminho em X, e podemos designar apenas que a é o ponto a, por abuso de linguagem. III.12.54 Definição O subconjunto D do espaço topológico X, T diz-se simplesmente conexo se todo o caminho fechado em X, T é homotópico a um ponto de X. III.12.55 Um espaço topológico pode ser simplesmente conexo e não ser conexo por arcos (considere-se 0, 1, P0, 1. Assim como pode ser conexo por arcos e não ser simplesmente conexo, como por exemplo um subconjunto S z ∈ C : r ≤∣ z ∣≤ R 0 ≤ r R em C, d, dz 1 , z 2 ∣ z 1 − z 2 ∣ (nenhum caminho fechado t se 2it (r s R, s fixo) em S é homotópico a um ponto de S). Encontra-se em [Munkres] que todo o subconjunto estrelado E de R N , d e i.e., tal que existe um ponto p em E verificando p, a ⊂ E para cada a ∈ E, é simplesmente conexo. Estas questões relativas a homotopia pertencem à Topologia Algébrica, que não é assunto deste livro. -268- III.13 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS III.13.1 Em cada um dos casos seguintes, indique se o conjunto C é aberto ou fechdo no respectivo espaço topológico E: a) E R, U, C Q b) E BX, X um espaço métrico como em II.10.14, C f ∈ BX : fx 0 0, onde x 0 é um ponto fixo em X c) E R R munido da topologia produto (em R a topologia usual), C x ∈ E : x 0, fixo d) E R N munido da topologia produto, em R a topologia usual, C x n ∈ E : x 1 ∈ Z. III.13. 2 Quais dos espaços em III.13.1 são metrizáveis? III.13. 3 Considere W x, y ∈ R 2 : x ≠ y ou y 0 ⊂ R 2 , d e . Mostre que para cada recta horizontal ou vertical r, r ∩ W é um conjunto aberto, mas W não é um subconjunto aberto. III.13. 4 Prove que nenhum subespaço próprio de um espaço normado real ou complexo é um aberto. (Sug: existe uma vizinhança de zero contida no subespaço?) III.13 .5 Note que a topologia usual de 0, é a topologia da ordem. Também, que não é um ponto isolado mas, para cda subconjunto numerável N ⊂ 0, tal que ∈ N, existe um aberto A em 0, contendo tal que A ∩ N\ . Pode concluir-se que 0, não é metrizável? III.13. 6 Verifique que a aplicação canónica : 0, 1 → 0, 1/ onde é a relação de equivalência: Para cada 0 x 1, xy y x e 00, 01, 10, 11 e, onde se consideram 0, 1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, 0, 1/ munido da topologia coiente, não é aberta. III.13. 7 Prove que o grafo /x, fx : x ∈ X da aplicação contínua f do espaço topológico X no espaço topológico Y tem interior vazio no espaço topológico produto X Y se Y não tem pontos isolados. III.13. 8 Dê exemplo de um subconjunto discreto não fechado de R 2 , U. III.13. 9 Uma família não vazia S ∈Δ de subconjuntos de um espaço topológico X diz-se localmente finita se todo o ponto x ∈ X tem uma vizinhança que intersecta quando muito um número finto dos conjuntos S . Certamente toda a família finita é localmente finita. Verifique que dada uma família localmente finita S ∈Δ se tem S : ∈ Δ S : ∈ Δ. III.13.10 Todo o espaço métrico contável é totalmente disconexo. -269III.13.11 Um espaço topológico X é conexo se e somente se tem a propriedade de que toda a aplicação contínua de X num espaço topológico Y tem grafo conexo em X Y munido da topologia produto. III.13.12 Encontra-se em [Dugundji] que se X, Y são espaços topológicos então dada f : X → Y contínua,a imagem de cada componente conexa de X é uma componente conexa de Y. Se h é um homeomorfismo de X sobre Y então h estabelece uma correspondência biunívoca entre as componentes conexas dos dois espaços, sendo homeomorfa cada componente conexa à sua imagem por h. Esta propriedade dá um critério de não homeomorfismo entre dois espaços topológicos. Como um exemplo, devido a Kuratowski, os subespaços da recta munida da topologia usual X 0, 12 3, 45 . . . 3n, 3n 13n 2 . . . Y 0, 1 3, 45 . . . 3n, 3n 13n 2 . . . não são homeomorfos. Pois a componente conexa 0, 1 não é homeomorfa a nenhuma componente de Y. III.13.13 Notar que em III.13.12, as funções fx x x ≠ 2, f2 1 de X em Y e gx x/2 x ∈0, 1, gx x − 2/2 x3, 4, gx x − 3 nos outros casos de Y em X, são bijecções contínuas. O teorema de Schröeder-Bernstein não é portanto válido no quadro dos espaços topológicos. III.13.14 Um espaço vectorial E sobre K R ou K C munido de uma topologia para a quala soma x, y x y de E E em E e o produto escalar , x x de K E em E são contínuas, considerando-se as topologias produto e a topologia usual de K diz-se um espaço vectorial topológico (e.v.t.). Encontra-se em [Schwartz] que um e.v.t. é separado se e só se é um espaço T 1 , o que é equivalente a 0 ser um conjunto fechado. III.13.15 Prove que todo o espaço normado é um e.v.t. metrizável. III.13.16 Um e.v.t. separado e não nulo, não é compacto. É localmente compacto se e só se tem dimensão finita. -270- IV METRIZABILIDADE -271IV.1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS SEPARÁVEIS METRIZÁVEIS Se a topologia de X é dada por uma função : X X → 0, tal que x, x 0, x, y y, x e x, z ≤ x, y y, z de modo análogo à topologia associada a uma métrica e, X é um espaço T1 então sendo x ≠ y, existe 0 tal que y ∉ x ∈ X : x, y ; portanto x, y ≠ 0, a função é uma métrica em X e o espaço é metrizável i.e., a topologia é associada à métrica . Seguiremos por vezes neste parágrafo as demonstrações em [Engelking], [Kelley] de certos resultados. IV.1.1 Definições (1) Uma função : X X → 0, verificando as condições (sm1) x, x 0 x ∈ X (sm2) x, y y, x x, y ∈ X (sm3) x, z ≤ x, y y, z x, y, z ∈ X diz-se uma semi-métrica em X. O par X, (ou somente X) diz-se um espaço semi-métrico. (2) Dados a ∈ X, , 0, o subconjunto Ua, x ∈ X : x, a (resp. Ua, x ∈ X : x, a ≤ ) é a semi-bola aberta (resp. fechada) de centro a e raio . IV.1.2 Propriedade Se é uma semi-métrica em X então a classe B das semi-bolas abertas de X, é base para uma topologia T sobre X. A Propriedade demonstra-se de modo análogo ao da topologia associada a uma métrica. A topologia T obtida diz-se que é a topologia sobre X associada à semi-métrica , e dizemos ainda que X, T X, é um espaço semi-métrico. IV.1.3 Observação Se o espaço semi-métrico X, é um espaço topológico T1 então é uma métrica e X é um espaço metrizável. Dados x ∈ X, , ≠ A ⊂ X, pomos Dx, A infx, a : a ∈ A. -272IV.1.4 Observação Dado A ⊂ X, como acima, a função D : X, → 0, , x Dx, A é contínua. Com efeito, tem-se Dx, A ≤ x, y Dy, A donde se conclui ∣ Dx, A − Dy, A ∣≤ x, y e a continuidade de D. IV.1.5 Exercício Preencha os detalhes em IV.1.4 provando que a função D é contínua. IV.1.6 Teorema O fecho A de um subconjunto A de um espaço semi-métrico X, é o conjunto dos pontos x tais que Dx, A 0. IV.1.7 Exercício Demonstre IV.1.6 (Sug: Usando IV.1.4 mostre que x ∈ X : Dx, A 0 ⊃ A; também se y ∉ A conclua que Dy, A 0). IV.1.8 Teorema Todo o espaço semi-métrico é um espaço normal. Dem. Dados A, B ⊂ X, subconjuntos não vazios fechados e disjuntos, sejam U x ∈ X : Dx, A − Dx, B 0, V x ∈ X : Dx, A − Dx, B 0. Uma vez que atendendo a IV.14, a função x Dx, A − Dx, B é contínua, os conjuntos U e V são abertos. U e V são disjuntos, e o teorema conclui-se de IV.1.6, c.q.d. IV.1.9 Todo o espaço semi-métrico é um espaço C1. O espaço é C2 se e só se é separável. Dem. A primeira asserção conclui-se considerando, dado x ∈ X, , as semi-bolas abertas de raios ni , n ∈ N. Se U n : n ∈ N é uma base contável da topologia e x n ∈ U n n 1, 2, . . . então o conjunto destes x n é denso, o espaço é separável. Reciprocamente, se existe x n : n ∈ N, x n : n ∈ N X, seja B Ux n , r : r ∈ Q, r 0. B é um conjunto contável. Se U é um ´aberto contendo x existe r 0 tal que Ux, r ⊂ U. Seja s ∈0, r∩Q; se x, x n s/3 então x ∈ Ux n , 2s/3 ⊂ U e concluimos que B é uma base da topologia T de X, c.q.d. IV.1.10 Exercícios (1) Mostre que a rede x i em X, é convergente para x se e só se a rede x i , x converge para zero em R, U, U a topologia usual. (2) Prove que se é uma semi-métrica em X então min1, x, y min1, x, y é ainda uma semi-métrica em X. Conclua que que todo o espaço semi-métrico é homeomorfo a um espaço semi-métrico limitado. (Um conjunto B ⊂ X, diz-se limitado se tem diâmetro supx, y : x, y ∈ B ). -273IV.1.11 Teorema Seja X n , n : n 1, 2, . . . uma classe contável de espaços semi-métricos onde cada semi-métrca n ≤ 1. Então a função x n , y n ∑ n1 2 −n n x n , y n é uma semi-métrica sobre o produto cartesiano X n1 X n e a topologia produto sobre X é a topologia associada à semi-métrca . Dem. A verificação de que é uma semi-métrica em X deixa-se como exercício. Para a segunda asserção, notemos que atendendo a IV.1.9, III.10.16 e III.7.15-17 basta provar que a sucessão x kn → k→ x n na topologia produto se e só se x kn , x n → k→ 0 (IV.1.10 (1)). Se x kn → x n na topologia produto então M dada uma vizinhança V n1 U n x n , nM1 X n tem-se para certo kV ∈ N que n x kn , x n k ≥ kV onde U n x n , x ∈ X n : n x, x n . M Portanto x kn , x n ≤ ∑ n1 2 −n ∑ nM1 2 −n ≤ 1 − 2 −n ∑ nM1 2 −n → M→ , o que mostra que x kn , x n → k→ 0. Reciprocamente, se x kn converge para x n em X, , certamente x kn → k→ x n em cada espaço X n , n . Donde se conclui o resultado, usando o Teorema III.10.7, c.q.d. Recordar III.10.43. Dado um espaço topoçógico X, sendo I 0, 1 munido da topologia usual, CX, I o conjunto das funções contínuas f de X em I, podemos considerar a função e : X → f I f dada por ex fx f i.e., ex f fx t f onde notamos t f um elemento genérico de f I f e onde f I f designa o produto cartesiano munido da topologia produto. A função e é um homeomorfismo de X sobre eX se e somente se X é um espaço de Tikhonov. Tem-se mais geralmente a IV.1.12 Propriedade Seja F uma família de funções contínuas f : X, T → Y f , cada Y f um espaço topológico. Então: (a) A função de avaliação e : X → f Y f , ex fx f é contínua de X no espaço produto. (b) A função é aberta de X sobre eX se e só se F distingue pontos i.e, para cada x, y ∈ X, x ≠ y, existe f ∈ F tal que fx ≠ fy e distingue conjuntos fechados i.e., para cada fechado A ⊂ X e cada x ∈ X\A existe f ∈ F tal que fx ∉ fA. (c) A função e é injectiva se e somente se F distingue pontos. Dem. Encontra-se esta Propriedade em [Kelley] (p. 116) e uma demonstração. -274IV.1.13 Observações (1) Atendendo ao Teorema IV.1.11, o produto contável de espaços semi-métricos é um espaço semi-métrico. Por conseguinte, se E ≡ existe uma família contável F de funções contínuas f de um espaço topológico X que é um espaço T1 em I I f tal que F distingue pontos e conjuntos fechados, então pela Propriedade IV.1.12, X é homeomorfo a um subespaço do espaço metrizável separável f I f (Teorema III.10.46), pela função de avaliação e. Deste modo, a condição E é uma condição suficiente para que X seja separável e metrizável (recordar II.8.26 (2), (3) e, que todo o subespaço de um espaço métrico separável é um espaço separável). (2) Recordar também que um espaço métrico é separável se e só se é um espaço C2, equivalentemente se e só se é um espaço de Lindelöf; e que e que pelo Teorema III.9.46, todo o espaço regular e C2 é normal. Portanto se X é um espaço T1, regular e C2, (i.e., se X é T3 e C2) então X é um espaço T4 e C2. IV.1.14 Teorema da metrizabilidade de Urysohn Todo o espaço topológico T3 e C2 é homeomorfo a um subespaço do espaço produto I N e é portanto metrizável. Dem. Atendendo a IV.1.13 (1), basta mostrar que existe uma família contável de funções contínuas de X em I que distingue pontos e conjuntos fechados. Seja B uma base contável da topologia e seja A o conjunto dos pares ordenados U, V ∈ B 2 tais que U ⊂ V. Uma vez que X é um espaço normal (IV.1.13 (2)) pode aplicar-se o Lema de Urysohn (Teorema III.9.41); existe portanto uma função contínua f : X → I verificando fU 0 e fV 1. A família F destas funções distingue pontos e conjuntos fechados. Com efeito, se C é fechado, x ∈ X\C, considerem-se V ∈ B e U ∈ B tais que x ∈ V ⊂ X\C, x ∈ U ⊂ V. Então U, V ∈ A e considerando a correspondente função f em F, tem-se fx 0 ∉ 1 fC; conclui-se também que F distingue pontos (cada singleton é um conjunto fechado), c.q.d. IV.1.15 Teorema Se o espaço topológico X é T3, são equivalentes: (a) X é regular e C2. (b) X é homeomorfo a um subespaço do espaço produto I N . /c) X é separável e metrizável. Dem. Conclui-se do Teorema IV.1.14, atendendo-se a IV.1.13. -275- IV.2 TEOREMAS COMPLEMENTARES IV.2.1 Observações (1) Notar que na demostração do Teorem IV.4.14, a hipótese de o espaço X (suposto um espaço T3) ser separável é utilizada na consequência de que existe então uma base contável da topologia. Portanto o espaço é normal e ainda, usando o Lema de Urysohn, pode obter-se uma família contável F de funções contínuas f : X → I distinguindo pontos e conjuntos fechados. X é assim homeomorfo a um subespaço do produto metrizável ( e separável) n1 I n , I n I. Obtere-se ainda que a função dx, y ∑ n1 2 −n ∣ f n x − f n y ∣ é uma métrica em X que define a topologia. (2) Em se obtendo, no contexto de (1) mas ressalvando que o espaço X, suposto um espaço T3, não é necesariamente separável, uma família contável F de funções contínuas f n : X → X, n que distingue pontos e conjuntos fechados, pode aplicar-se o Teorema IV.1.12. obtendo-se que X é metrizável. IV.2.2 Num sentido que não segue exactamente IV.2.1, notemos que se a classe contável F das funções f n pode obter-se de modo que em cada x ∈ X o conjunto das funções f n que não se anulam em x é finito, então podem considerar-se semi-métricas n x, y ∑ n1 ∣ f n x − f n y ∣. Aplicando o Teorema IV.1.12, a função de avaliação e : X → n1 I n permite obter um homeomorfismo de X na sua imagem, subespaço semi-métrico e o espaço X é metrizável. IV.2.3 Definição Uma família A de subconjuntos de um espaço topológico diz-se localmente finita se cada ponto do espaço tem uma vizinhança que intersecta quando muito uma colecção finita de conjuntos em A. -276IV.2.4 Observação Se a família A de subconjuntos de X, T é localmente finita e x é um ponto de acumulação da reunião A : A ∈ A então cada aberto W contendo x contém uma infinidade de pontos x n na reunião; portanto estes pontos x n encontrando-se numa reunião finita A i : A i ∈ A, i 1, . . . , n para cada W, vemos que x é ponto de acumulação de pelo menos certo A ∈ A. Logo tem-se A : A ∈ A A : A ∈ A.IV.2.5 Exercício Verifique que se a família A de subconjuntos de X, T é localmente finita, então a família constituída pelos fechos dos conjuntos em A é também localmente finita. IV.2.6 Definição A família A de subconjuntos de X, T diz-se discreta se cada ponto do espaço tem uma vizinhança que encontra exactamente um conjunto em A. IV.2.7 Definição Uma família A de subconjuntos do espaço topológico X, T diz-se que é -localmente finita (resp. -discreta) se é uma reunão contável de famílias localmemt finitas (resp. discretas). IV.2.8 Lema Se X é um espaço T1 tal que para cada subconjunto fechado F e cada aberto W contendo F, existe uma sucessão de subconjuntos abertos W 1 , W 2 , . . . de X verificando F ⊂ i1 W i e W i ⊂ W i 1, 2, . . . então X é um espaço T4. Dem. Dados os subconjuntos fechados disjuntos A, B de X, consideremos F A, W X\B. Por hipótese, existem abertos W 1 ; W 2 , . . . tais que 1 ≡ A ⊂ i1 W i e B ∩ W i , i 1, 2, . . . Fazendo F B e W X\A obtemos V i e uma sucessão de conjuntos abertos V 1 , V 2 , . . . tal que 2 ≡ B ⊂ i1 A ∩ V i i 1, 2, . . . . Sejam então 3 ≡ G i W i \ j≤i V j e H i V i \ j≤i W j . Os conjuntos G i , H i são abertos e atendendo a 1 e 2 tem-se A ⊂ U i1 G i , B ⊂ V i1 H i ; os abertos U, V são disjuntos. Com efeito, 3 mostra que G i ∩ V j se j ≤ i, donde G i ∩ H j para j ≤ i. Analogamente H j ∩ W i i ≤ j e G i ∩ H j se i ≤ j. Portanto G i ∩ H j i, j ∈ N e U ∩ V , completando a demonstração, c.q.d. -277IV.2.9 Lema Todo o espaço topológico T3 que tem uma base -localmente finita é um espaço T4. Dem. Consideremos uma base da topologia B i1 B i onde as famílias B i são localmente finitas, do espaço X. Dado um qualquer aberto W ⊂ X, para cada ponto x ∈ W existem (III.9.29) certo número natural ix e um aberto Ux ∈ B ix tais que x ∈ Ux ⊂ Ux ⊂ W. Fazendo W i Ux : ix i para cada i, obtemos uma sucessão de abertos W 1 , W 2 , . . . tal que W i1 W i . Atendendo a IV.2.4, temos W i Ux : ix i Ux : ix i ⊂ W. Sendo portanto F um subconjunto fechado de X contido em W, tem-se F ⊂ i1 W i , W i ⊂ W, verifica-se a hipótese do Lema anterior e conclui-se o que se pretende, c.q.d. IV. 2.10 Notar que dado um espaço produto n1 X, n , onde n é uma semi-métrica em X para cada n, se dados x ≠ y, x, y ∈ X existe certa n verificando n x, y 0 então o produto é um espaço topológico separado, e assim é um espaço metrizável, como se conclui do Teorema IV.1.11 utilizando IV.1.10. IV.2.11 Teorema Se o espaço topológico X é T3 e tem uma base -localmente finita, então X é metrizável. Dem. Seja B n1 B n uma base da topologia, cada B n uma família localmente finita. Para cada par ordenado m, n ∈ N 2 e cada aberto U ∈ B m , seja U B ∈ B n : B ⊂ U. Tal como na demonstração de IV.2,11, tem-se U ⊂ U, pela hipótese para B. Assim,atendendendo a IV.2.11, pode aplicar-se o Lema de Urysohn (Teorema III.9.41), e existe uma função contínua f U : X → I que vale 1 sobre U e se anula em X\U. Seja m,n x, y ∑∣ f U x − f U y ∣: U ∈ B m . A colecção dos abertos B em B n tais que B ⊂ U, U ∈ B m , é finita, assim como é finita a classe dos abertos U ∈ B m tais que x ∈ U, uma vez que ambas B n , B m são localmente finitas. Deste modo cada m,n está bem definida e é uma semi-métrica contínua m,n : X X → 0, . A classe das m,n é certamente contável, e o espaço produto X m,n : m, n ∈ N, onde X m,n X, m,n é metrizável (IV.2.10).. A família contável formada pelas funções Id m,n : X → X m,n distingue pontos e conjuntos fechados.Pois se C é um subconjunto fechado de X e x ∉ C, então para certos m, n e certo U ∈ B m tem-se x ∈ U ⊂ X\C (i.e., C ⊂ X\U) e existe B ⊂ U, B ∈ B n sendo x ∈ B ⊂ U; então m,n x, y ≥ 1 para cada y ∈ C, e portanto Id m,n x ∉ C m,n , o fecho de C no espaço factor X m,n X, m,n do espaço produto metrizável X m,n : m, n ∈ N_Notar também que cada singleton em X é um conjunto fechado_.Assim, atendendo a IV.1.12, X é homeomorfo a um subespaço de X m,n : m, n ∈ N, donde (II.8.26) é um espaço metrizável, c.q.d. Veremos de seguida que as condições em IV.2.11 são necessárias para que X seja metrizável. -278Recordar (III.11.67) que dadas coberturas C A : ∈ A e D B : ∈ B do conjunto X, diz-se que C é um refinamento de D se para cada conjunto A existe pelo menos certo B tal que B ⊃ A . Por exemplo, no espaço métrico X, d a classe das bolas abertas de raio 1/2 é um refinamento aberto (formado por conjuntos abertos) da cobertura de X constituída pelas bolas abertas de raio 1. Certamente se C é um refinamento de D e C ∗ é um refinamento de D, então C ∗ é um refinamento de D. IV.2.12 Observação Se toda a cobertura aberta D de um espaço métrico X tem um refinamento aberto -discreto C, podemos considerar para cada n ∈ N tal que existem algum A ∈ C e certo x ∈ A verificando-se A ⊃ B 0 x, ⊃ B 0 x, 1/n, um refinamento aberto -discreto B n de C (e portanto de D) formado por bolas abertas de raio 1/n. Então B m : m ≥ n é uma base -discreta de X se D é uma base de X. IV.2.13 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico X, d tem um refinamento aberto -discreto. Dem. Seja U uma cobertura aberta de X, d. Consideremos U n x ∈ U : dx, X\U ≥ 2 −n , onde dx, C infdx, y : y ∈ C C ⊂ X. Se x ∈ U n e z ∈ X\U n1 então para cada y ∈ X\U temos 2 −n−1 2 −n − 2 −n−1 ≤ dx, y − dy, z ≤ dx, z, donde 1 ≡ dU n , X\U n1 infdx, z : x ∈ U n , z ∈ X\U n1 ≥ 2 −n−1 . Podemos considerar uma boa ordem na classe U (I.5.33). Para cada n 1, 2, . . . e cada U ∈ U seja U ∗n U n \ V n1 : V ∈ U e V U. Então para cada n e cada U, V ∈ U verifica-se U ∗n ⊂ X\V n1 se V U ou V ∗n ⊂ X\U n1 , no caso U V. Logo, atendendo a 1 tem-se dU ∗n , V ∗n ≥ 2 −n−1 . Sendo U on x ∈ X : dx, U ∗n 2 −n−3 , este conjunto é aberto e, se x ∈ U on , z ∈ V on então do que precede tem-se x ∉ U ∗n logo, x ∈ V n1 ; escolhendo y ∈ U ∗n ⊂ X\V n1 tem-se dy, z 2 −n−3 . Portanto dx, z ≥ dx, y − dy, z ≥ 2 −n−1 − 2 −n−3 ≥ 2 −n−2 , e assim dU on , V on ≥ 2 −n−2 , donde para cada n 1, 2, . . . tem-se que a classe dos conjuntos abertos U on é discreta. Seja V U on : n ∈ N, U ∈ U V é uma cobertura aberta de X, pois se U ∈ U e x ∈ U então x ∈ U on verifica-se para certo n. Tem-se U on ⊂ U pela definição de U ∗n , uma vez que cada U n ⊂ U. V é portanto um refinamento aberto -discreto de U c.q.d. Uma vez que toda a família -discreta é -localmente finita, obtemos, pelo Teorema IV.2.11 e IV.2.12, o IV.2.14 Teorema de Nagata-Smirnov Um espaço topológico X é metrizável se e somente se X é um espaço T3 e tem uma base -localmente finita. -279Provámos também o IV.2.15 Teorema de Bing O espaço topológico X é metrizável se e só se é um espaço T3 e tem uma base discreta. Podemos resumir os resultados obtidos no IV.2.16 Teorema As seguintes propriedades do espaço topológico X são equivalentes: (a) X é metrizável. (b) X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -localmente finita. (c) O espaço X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -discreta. -280- IV.3 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS IV.3.1 Encontra-se em {Kaplansky] (2.4, THEOREM 12. p. 40) que todo o conjunto infinito é reunião disjunta de subconjuntos numeráveis. IV.3.2 Na referência acima, pelo THEOREM 13. (P. 41) cada conjunto infinito A pode escrever-se como uma reunião A B C, onde os conjuntos A, B e C têm o mesmo número cardinal. IV.3.3 Sejam X, T um espaço topológico sem pontos isolados, B um subconjunto fixo de X. a Prove que a classe TB X PB é uma topologia sobre X (chamada a B-topologia). b Verifique que em X, TB, i o conjunto B é formado por pontos isolados; ii B é denso em X; iii se TB D PX então B X; iv se TB G , X então B IV.3.4 Descreva a topologia sobre o plano cartesiano R 2 que tem como subbase as rectas do plano. IV.3.5 Prove que a intersecção finita de subconjuntos abertos densos do espaço topológico X é um aberto denso em X. IV.3.6 Dê exemplo de um espaço topológico em que todo o singleton é um conjunto fechado e tendo a propriedade adicional de que a quaisquer dois abertos não vazios têm intersecção não vazia. IV.3.7 Prove que se X é um espaço topológico C1 separável, então todo o subespaço topológico Y de X é tambáem separável. IV.3.8 A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinal dX da classe dos cardinais ∣ A ∣: A X. Prove que se f : X → Y é uma sobrejecção contínua, então dY ≤ dX. IV.3.9 Mostre que a função f : X, T X → Y, T Y é aberta se e somente se a imagem de cada conjunto numa base de T X é um aberto em Y, T Y . IV.3.10 Se o cardinal ≥ c entaõ o espaço produto R não é um espaço normal ([Arkhangel’skii, Ponomarev], pp. 90, 117). IV.3.11 Prove que se o espaço topológico X tem uma base constituída por conjuntos simultãneamente abertos e fechados, então X é completamente regular. IV.3.12 Mostre que se X é um conjunto infinito, então em X, C, C a topologia cofinita, a) todo o subconjunto de X é compacto; b) cada subespaço infinito de X é denso em X. -281IV.3.13 Prove que se X é um conjunto infinito e X, T é compacto separado, então a cardinalidade de X não é menor que o contínuo. IV.3.14 Seja X 1 ⊂ X 2 ⊂. . . uma sucessão de espaços topológicos, cada X i fechado em X i1 . Considere a classe T dos subconjuntos U de X i1 X i tais que U ∩ X i é aberto em X i para cada i 1, 2, . . . (a) Mostre que T é uma topologia sobre X tal que cada X i é um subespaço fechado de X, T; (b) prove que uma função f : X → Y é contínua se e só se cada função restrição f ∣X i : X i → Y é contínua. (c) Prove que se cada subespaço X i é normal, então X, T é um espaço normal (Sug: Dados A, B subconjuntos fechados disjuntos de X, estenda f : X → 0, 1, fA 0 e fB 1 definida sobre A B ∩ X i para cada i 1, 2, . . . IV.3.15 Um espaço topológico X diz-se paracompacto se cada cobertura aberta de X tem um refinamento aberto localmente finito (Certos autores, como por exemplo [Bourbaki], incluem como parte da definição que X é um espaço de Hausdorff). Verifica-se ([Munkres], Ch. 6, §41) que todo o espaço paracompacto é normal. IV.3.16 Prove que todo o subespaço fechado de um espaço paracompacto é paracompacto. IV.3.17 Encontra-se em [Munkres] (Ch. 6, §41) que se o espaço X é regular, então aão equivalentes: Toda a cobertura aberta de X tem um refinamento tal que (1) é -localmente finito e é uma cobertura de X; (2) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X; (3) é localmente finito fechado (formado por conjuntos fechados) e é uma cobertura de X; (4) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X. Conclua que todo o espaço topológico metrizável é paracompacto e tem estas propriedades. IV.3.18 O espaço produto R 0,1 não é paracompacto (IV.3.15 e IV.3.10). IV.3.19 Uma base de um espaço topológico X diz-se regular ([Engelking], 5.4.2.) se para cada ponto x ∈ X e cada vizinhança U de x, existe uma vizinhança V de x contida em U tal que a colecção dos conjuntos na base que encontram ambos V e X\U é finita. Pelo Teorema de metrizabilidade de Arkhangel’skii, um espaço topológico é metrizável se e somente se é um espaço T1 e tem uma base regular. -282IV. 3.20 Encontram-se em [Mill, Reed] numerosas questões de Topologia Geral em aberto. Um espaço topológico X diz-se -bounded se o fecho de cada subconjunto contável de X é um conjunto compacto. Utilizando o Teorema de Arkhangelsl’skii em IV.3.19, os autores obtiveram em [Freire, Veiga] a resposta afirmativa ao Problema: É consistente com Zermelo-Fraenkel que todo o espaço de Hausdorff (C1) e numeravelmente compacto é -bounded? -283- BIBLIOGRAFIA DOS CAPÍTULOS III, IV [Aliprantis; Burkinshaw] _ CHARALAMBOS D. ALIPRANTIS, OWEN BURKINSHAW "Principles of Real Analysis" Second Edition Academic Press, INC. Harcourt Brace Jovanovich, Publishers Boston, San Diego, New York, Berkeley, London, Sydney, Tokyo, Toronto (1990) [Arkhangels’kii, Ponomarev] _ ARKHANGELS’KII, A. V. and PONOMAREV, V.I. 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