conjuntos - supergel

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I - CONJUNTOS
I.1) Conceito , elemento e pertinência :
Toda coleção ou agrupamento de coisas com, pelo menos, um atributo comum recebe o
nome de Conjunto .
Exemplos :
a) Conjunto de letras do nosso alfabeto .
b) Conjunto dos números naturais ímpares .
c) Conjunto dos dias da semana .
Cada componente de um conjunto é denominado elemento do conjunto e a sua relação
com o conjunto ao qual pertence é chamada de relação de pertinência . Por isso , usamos
o símbolo  (pertence) ou  (não pertence) para denotar se um determinado
elemento é componente ou não de um conjunto .
Exemplos :
a) -1  conjunto dos números negativos .
b) 3  conjunto dos números pares .
I.2) Representação dos conjuntos :
Para nomear os conjuntos usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto: A , B , C , D , ...
e para nomear seus elementos usamos letras minúsculas : a , b , c , ....
A descrição do conjunto pode ser feita através de três formas :
1o) Enumerando , entre chaves , os seus elementos como nos exemplos que se seguem .
a) A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 }  conjunto dos naturais compreendidos entre 0 e 6 .
b) B = { a , e , i , o , u }  conjunto das vogais do nosso alfabeto
2o) Descrevendo um atributo comum a todos os elementos como nos exemplos que se
seguem .
a) A = { x  N / 0 < x < 6 }  " elementos x que pertencem aos números naturais , tal
que x está compreendido entre 0 e 6 ".
b) B = { x  alfabeto / x é vogal }  " elementos x que pertencem ao alfabeto , tal que
x é vogal ".
I.3) Conjunto unitário , conjunto vazio e conjunto universo :
1o) Se um conjunto não possui elementos ,então ele é chamado de conjunto vazio e
sua representação será A =  ou A = { } . Nunca se deve representar o conjunto
vazio assim : A = {  } .
2
Exemplos :
a) B = conjunto dos números naturais ímpares menores do que 1  B = 
b) C = dias da semana cujo nome começam com a letra p  C = { }
2o) Se um conjunto possui apenas um elemento , então ele é chamado de Conjunto
unitário .
Exemplos :
a) Conjunto D,dos ímpares naturais compreendidos entre 0 e 2  D= {1}
b) Conjunto E , das consoantes da palavra "vôo"  E = {v}
3o) Quando vamos desenvolver um assunto em matemática , é muito comum
estabelecer um limite para todos os números envolvidos . Esse limite estabelecido
normalmente é o conjunto dos números para os quais o assunto diz respeito.
Exemplos :
a) No universo dos números naturais , a equação 2x - 1 = 0 não tem solução , ou seja ,
1
a única solução , que é x =
, não pertence ao universo dos números naturais . Neste
2
caso , escrevemos U = N , ou seja , o universo considerado foi o conjunto dos números
naturais .
b) Um instituto de pesquisa realizou uma pesquisa sobre a preferência dos leitores de
jornais de uma cidade pelos jornais A e B.Neste caso , o universo considerado foi o
conjunto dos leitores de jornais da cidade . Então , escrevemos U = leitores de jornais
da cidade .
I.4) Conjuntos iguais :
Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando todo elemento de A pertence ao conjunto
B e , reciprocamente , todo elemento de B pertence a A .
Exemplos :
a) Os conjuntos A = { xN / 0<x<3 } e B = { xN / x é divisor de 2 } são iguais ,
pois em ambos os casos os elementos são 1 e 2 .
b) Os conjuntos C = { xN / x2 - 2x = 0 } e D = { xN / x é par e x < 3 } são iguais ,
pois em ambos os casos , os elementos são 0 e 2 .
I.5) Subconjuntos e Inclusão :
Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B se todo elemento de A pertence a B
.Neste caso , a relação entre o conjunto A e o conjunto B é uma relação de Inclusão e ,
então , dizemos "A está contido em B ", ou seja , A  B . Poderíamos também dizer
3
" B contém A “, ou seja , B  A . A negação para A  B é " A não está contido em
B ".
Exemplos :
a) Em relação aos conjuntos A = {-1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, B = { 1 , 2 , 3 , 4 }, C =  e
D = { -1 , 0 , 1 } , podemos afirmar :
1) A  B 2) B  A
3) B  C
4) D  A
5) D  B
6) D  C 7) C  D
8) {2 , 3 , 5}  A 9) {1 , 5 , 7}  B 10) {1}  C
OBS : O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto
b) Dados os conjuntos M = {x  Z / x > -3} , N = {x  Z / -5 < x < 3 } e P = {x  Z /
0 < x < 2} , podemos afirmar :
1) M  P 2) P  M 3) N  M 4) P  M 5) P  N 6) M  P
Observação importantíssima : Na relação de elemento com conjunto só se
usa um dos símbolos  ou  e na relação de conjunto com conjunto só se
usa um dos símbolos  ou  ou suas negações .
I.6) Reunião ou União de conjuntos :
Dados dois conjuntos A e B , chama-se reunião ou união desses conjuntos o conjunto C
que possui apenas todos os elementos de A e todos os elementos de B .Então ,
escrevemos C = A  B (lê-se : " C é igual a A união B " ) .
Exemplos :
a) Se A = {-3,-2,-1,0,1,2 } , B = {0,1,2,3,4 } , C = {5,6,7,8} e D = {-2,-1,0 } , temos :
1o) AB = { -3,-3,-1,0,1,2,3,4 }
2o) AC = { -3,-2,-1,0,1,2,5,6,7,8 }
3o) AD = A = { -3,-2,-1,0,1,2 }
4o) BC = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8 }
5o) BD = { -2,-1,0,1,2,3,4 }
6o) CD = { -2,-1,0,5,6,7,8 }
b) Se M = {1,3,5} , N = { 0,2,4 } , O = {3,6,9,12 } e P = { 0,1,2,3,4 } , temos :
1o) M  N  O = { 0,1,2,3,4,5,6,9,12 }
2o) M  N  P = { 0,1,2,3,4,5 }
3o) N  O  P = { 0,1,2,3,4,6,9,12 }
4o) M  N  O  P = { 0,1,2,3,4,5,6,9,12 }
4
I.7) Interseção de conjuntos :
Dados dois conjuntos A e B , chama-se interseção de A e B o conjunto de todos os
elementos de A que pertencem a B . Indica-se A  B (lê-se "A interseção B ) .
I.8) Diferença de conjuntos :
Dados dois conjuntos A e B , chama-se diferença entre A e B o conjunto dos elementos
de A que não pertencem a B , ou seja , A - B (lê-se "A diferença B) é o conjunto {x / x
 A e x  B} .
Exemplos :
a) Se A = {1,2,3,4,5} e B = {0,1,2,3} , então A - B = {4,5} e B - A = {0} .
b) Se C = {-1,0,1,2,3,4} e D ={2,3,4} , então C - D = {-1,0,1} e D - C =  .
c) Se E = {2,3,4,5} e F = {-1,0,1}, então E - F = E e F - E = F .
I.9) Conjunto complementar :
Dados os conjuntos A e B , tais que B  A , chama-se complementar de B em relação a
A o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B , ou seja , o conjunto A - B .
Indica-se C AB (lê-se complementar de B em relação a A).Então, C AB = A - B .
Exemplo :
Se A = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4} e B = {-2,0,3,4} , então C AB = {-3,-1,1,2} .
I.10) Considerações finais :
 Dados dois conjuntos A e B , podemos calcular o número de elementos de A  B
do seguinte modo : sendo n(A) o número de elementos de A , n(B) , o número de
elementos de B ,n(A  B) , o números de elementos de A  B e n(A  B) o número
de elementos de A  B , temos
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
Considerando três conjuntos A , B e C , teremos , de modo análogo
n(AB C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AB) - n(AC) - n(BC) + n(ABC)
 Chama-se Conjunto das partes de um conjunto A o conjunto formado por todos os
subconjuntos de A . Indica-se P(A) (lê-se "conjunto das partes de A") .
Exemplo :
Dado o conjunto A = {1,2,3,4} , temos
P(A)={,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},
{2,3,4},{1,2,3,4}}.Se um conjunto A , finito , possui n elementos , então P(A) possui
2n elementos .
5
No conjunto das partes de um conjunto A , cada elemento é um subconjunto deA.Então,
a relação é de pertinência .
Exemplo :
Se A = {1,2,3,4} , podemos escrever :
a)   P(A) mas   A
b) {1,2,3} P(A) mas {1,2,3} A
c) {{1,2},{2,3,4},{1,2,3,4}} P(A)
Exercícios Resolvidos :
1) Escrever , entre chaves , os elementos de cada conjunto definido a seguir .
A = {x / x é solução da equação x2 - 7x + 12 = 0}
B = {x / x é divisor natural de 12}
C = {x / x é múltiplo natural de 3 menor do que 20}
D = {x / x é número natural primo menor do que 15}
Resolução :
a) Na resolução da equação x2 - 7x + 12 = 0 , temos   (-7) 2 - (4).(1).(12)  1 e
3 ou
 (7)  1
. Então A = {3 , 4};
 
2.(1)
4
b) Como os divisores naturais de 12 são1,2,3,4,6 e12 , temos B = {1,2,3,4,6,12};
c) Como os múltiplos naturais de 3 menores do que 20 são 0,3,6,9,12,15 e 18 , temos
A = {0,3,6,9,12,15,18};
d) Os naturais primos menores do que 15 são 2,3,5,7,11 e 13 e D = {2,3,5,7,11,13}.
x=
2) Descreva , por um atributo comum , os elementos de cada conjunto dado a seguir.
A = {0,2,4,6,8,10}
B = {Segunda-feira , Sexta-feira , Sábado}
C = {Minas Gerais , Rio de Janeiro , Espírito Santo , São Paulo }
D = {leste , oeste , norte , sul}
E = {Janeiro , Fevereiro , Março , Abril , Maio , Junho}
Respostas :
a) A = {x / x é par natural menor do que 11}
b) B = {x / x é dia da semana cujo nome começa com "s"}
c) C = {x / x é estado da região sudeste do Brasil}
d) D = {x / x é ponto cardeal}
e) E = {x / x é mês do primeiro semestre do ano}
3) Sendo A = {x / x é natural menor do que zero} , B = {x / x é ímpar natural
compreendido entre 2 e 11} , C = {x / x é múltiplo natural de 4 menor do que 20} e D =
={x / x é número inteiro compreendido entre -3 e 7} , complete cada sentença a seguir
com o sinal adequado de pertinência ou inclusão .
6
a) -1 ..... A
b) A ..... B
c) 5 ..... B
f) {2,3,5,7,9} ...... B
g) D ..... {-2,5,6}
d) {3,5,7} ...... B
e) 9 ..... B
h) D ..... A
i) {0,4,16,20} ......C
Resolução :
a) -1  A
b) A  B
c) 5  B
f) {2,3,5,7,9}  B
g) D  {-2,5,6}
d) {3,5,7}  B
e) 9  B
h) D  A
i) ) {0,4,16,20}  C
4) Se A = {-3,-2,-1,0} e B = { 2,3,4} , então ,complete adequadamente cada sentença a
seguir :
a) {-2} ..... A
e) 2 ..... B
b) {3} .... .A
f) {2,3} ..... B
c) {-2} ..... P(A)
g)  ..... B
d) {{-2}} ...... P(A)
h) {2,3,4,5} .... P(B)
Resolução :
a) {-2}  A
e) 2  A
b) {3}  A
f) {2,3}  B
c) {-2}  P(A)
g)   B
d) {{-2}}  P(A)
h) {2,3,4,5}  P(B)
5) Numa pesquisa realizada com 3.400 usuários de ônibus na cidade de Belo Horizonte,
1.900 usuários preferiam entrar no ônibus pela porta da frente e1.300 preferiam entrar
no ônibus pela porta de trás . Se 600 usuários manifestaram não ter preferência alguma ,
quantos admitiam tanto entrar pela porta da frente quanto pela de trás ?
Resolução :
Denotaremos por conjunto F o conjunto daqueles que preferem entrar no ônibus pela
porta da frente e por T , aqueles que preferem entrar no ônibus pela porta de trás.Então,
pela expressão n(FT) = n(F) + n(T) - n(FT), teremos
1.900 + 1.300 - x + 600 = 3.400  x = 1.900 + 1.300 + 600 - 3.400 = 400 usuários.
Observe que ,além da união de F e T ,neste caso, há ainda 600 elementos do conjunto
universo que não pertencem à união de F e T .
6) (PUC/MG ) - Em uma pesquisa sobre a leitura dos jornais editados na capital de um
estado , 45% dos entrevistados afirmaram ler o jornal A , 65% afirmaram ler o jornal B,
e 26% afirmaram ler somente outros jornais.A porcentagem dos leitores que lêem o
jornal A e B é :
a) 20%
b) 26%
c) 30%
d) 36%
7
Resolução :
n(AB) = n(A) + n(B) + n(outros) - n(AB)  100% = 45% + 65% + 26% - x 
 x = 45% + 65% + 26% - 100%  x = 36% .
7) (PUC/MG ) - Considere o conjunto de números naturais M = {xN / 1<x 9}. A
soma dos elementos ímpares de M é :
a) 9
b) 15
c) 16
d) 24
Resolução:
Como os números naturais ímpares de M são 3 , 5 , 7 e 9 , a soma pedida é 3 + 5 + 7 +
+ 9 = 24 .
II - EVOLUÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
II.1) A ampliação dos conjuntos numéricos :
O conjunto numérico mais elementar é o dos números naturais, ou seja , o conjunto N =
={ 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , ... } . Note que , se representarmos o conjunto N numa semi-reta
numérica , associando pontos a cada um de seus elementos , todos os trechos
compreendidos entre dois elementos ficarão vazios.Observe que , por exemplo , entre 2
e 3 não há nenhum número natural e esse fato permite sempre escrever intervalos
naturais por enumeração de seus elementos .
Exemplos :
a) {x  N / x < 6 } pode ser escrito como {0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5}
b) { x  N / 1 < x < 5} pode ser escrito como {2 , 3 , 4}
A partir do conjunto N , várias ampliações foram sendo sugeridas motivadas
peresolução de problemas matemáticos.Veja, por exemplo, a seguinte situação prática :
Um cliente de um banco tinha , em determinado momento , um saldo em sua conta de
R$ 1.000,00 . Num momento posterior , o cliente efetuou um saque de R$ 1.500,00 .
Como poderia ser registrado na ficha do cliente sua nova situação de saldo , contando
apenas com os números naturais ?
Então, é necessário ampliar o conjunto N , inserindo novos elementos como -500 . Ai ,
surgiu , então o Conjunto dos números inteiros relativos ,nomeado com o símbolo Z.
Z = { -500 , -499 , ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
8
Esse novo conjunto numérico , representado numa reta numérica , ainda apresentava
vazios que sugeriam a existência de outros números .Ainda aqui , os elementos de Z
podem ser apresentados por enumeração dos seus elementos .
Exemplos :
a) {xZ / x < 2} é o mesmo que {... , -3 ,-2 , -1 , 0 , 1}
b) {xZ / -3 < x < 1} é o mesmo que {-2 , -1 }
A próxima ampliação dos conjuntos anteriores pode ser sugerida pela seguinte situação
prática :
Um trabalhador , que recebia mensalmente R$ 312,00 , teve um reajuste salarial
correspondente a R$10,00 por cada R$100,00 que recebia anteriormente . Como
registrar , em reais o que passou a receber, contando apenas com os elementos do
conjunto Z ?
O reajuste deste trabalhador, um número não inteiro (R$31,20), está compreendido
entre os inteiros 31 e 32 e o que passou a receber então está compreendido entre 343 e
344 . Daí a necessidade de se ampliar o conjunto Z . Então surgiu o conjunto dos
números racionais , ou seja , aqueles números que podiam ser pedaços determinados
de um inteiro . Esse novo conjunto numérico , nomeado com o símbolo Q , pode ser
assim definido :
a
Q={x/x=
; a,bZ e b0}
b
Na verdade , faz parte desse conjunto todos os números enquadrados em uma das
categorias a seguir :
 Números Inteiros , pois todos eles podem ser escritos na forma definida .
Exemplos :
3 6 9 12
    ...
1 2 3 4
 2 - 4 -6 -8



 ...
b) -2 =
1
2
3
4
a) 3 =
 Números decimais exatos , pois são números finitos , representáveis por frações .
Exemplos :
25 5

10 2
3
b) 0,003
1000
a) 2,5 =
 Números decimais periódicos (dízimas periódicas), pois são representáveis por
frações .
9
Exemplos :
a) 0,333 ... =
1
3
b) 0,212121 ... =
c) 2,555 ... =
7
33
23
9
d) 1,343434 ... =
133
99
A fração que eqüivale a uma dízima periódica chama-se geratriz da dízima .Veja , a
seguir , como determinar a geratriz de uma dízima periódica .
Em qualquer caso , pode-se determinar a geratriz de uma dízima pelo processo
elucidado pelos exemplos a seguir :
a) geratriz de 0,333 ...
Denotemos por x a dízima dada . Então , temos x = 0,333 ... e 10x = 3,333 ...
Subtraindo a primeira equação da segunda , teremos 10x - x = 3,333.... - 0,333 ... = 3 .
3 1
Então , 9x = 3 e x =  .
9 3
b) geratriz de 1,555 ...
Sendo x = 1,555... , 10x = 15,555 ... e 10x - x = 15,555 ... - 1,555...  9x = 14 e
14
x=
.
9
c) geratriz de 0,373737 ...
Sendo x = 0,373737 ... , 100x = 37,373737 ... e 100x - x = 37,3737 ... - 0,3737... =
37
= 37  99x = 37 e x =
.
99
d) geratriz de 3,232323 ...
Sendo x = 3,232323 ... ,100x = 323,3232... e 100x - x = 323,232323 ... - 3,232323 ...=
320
= 99x  99x = 320 e x =
.
99
e) geratriz de 0,0333 ...
Sendo x = 0,0333 ... , 10x = 0,333 ... , 100x = 3,333... e 100x - 10x = 3,33... - 0,33...= 3
1
 90x = 3 e x =
.
30
f) geratriz de 1,23555 ...
Sendo x = 1,23555 ... , 100x = 123,555 ... , 1000x = 1.235,555 ... e 1000x - 100x =
1.112 278
= 1.112  900x = 1.112 e x =
=
.
900
225
10
Uma dízima periódica é dita simples , se não apresenta , depois da parte inteira , algarismos (anti-período) antes do(s) algarismo(s) que se repete(em) infinitamente
(período) .
Exemplos :
a) 0,333 ...
b) 1,7777 ...
c) 0,545454...
d) 3,787878 ...
Uma dízima periódica é dita composta , se apresenta , depois da parte inteira ,
algarismos (anti-período) antes do período .
Exemplos :
a) 0,0333 ...
b) 5,0666 ...
c) 0,2777 ...
d) 4,23555 ....
e) 1,235999 ...
Para maior agilidade nas transformações, duas regras podem facilitar as conversões:
Se a dízima é simples , a geratriz será a soma da parte inteira com uma fração cujo numerador é o período da dízima e cujo denominador são tantos noves quanto
forem os algarismos do período .
Se a dízima for composta , sua geratriz será a soma da parte inteira com uma
fração cujo numerador será o anti-período seguido do período menos o anti-período e o denominador será constituído de tantos noves quanto forem os algarismos do período e tantos zeros quanto forem os algarismos do anti-período .
Representar determinado número racional numa reta numérica é simples , mas
representar todo o conjunto Q numa reta numérica é impossível .
Existem números que não são exatos e nem periódicos . É o caso das raízes quadradas
não exatas como 2 , 3 , 5 . Outros números mais famosos são do mesmo caso ,
como o número  e o número de Euler e . O número  , eqüivalente à divisão do
comprimento da circunferência pela medida do seu diâmetro é usado com a
aproximação de  = 3,14 , mas é infinito . O número de Euler e , muito usado em
cálculos envolvendo logarítmos , tem um valor aproximado e = 2,718 . Esses números
são chamados de Números Irracionais e seu conjunto é nomeado de várias formas

como I ou Q . O conjuntos dos números racionais e o conjunto dos números irracionais
são disjuntos , ou seja , não há racional que seja também irracional . Então , integrando
esses dois últimos conjuntos , definimos o Conjunto dos Números Reais , nomeado
com o símbolo R :
R = Racionais  Irracionais
11
Representados numa reta numérica , o conjunto dos números reais preenche
completamente todos os intervalos , ou seja ,
Entre dois números reais , sempre existe um número real
O conjunto C dos números complexos, que contém o conjunto R dos números reais, é
definido como C = { x / x = a + bi; a,bR e i =  1 } .
Pelo fato exposto nos parágrafos anteriores , veremos a partir de agora , como
representar intervalos de números reais .
II.2) Representação dos intervalos reais :
Como o conjunto R é contínuo , ou seja , na reta numérica qualquer ponto representa
um número real , faremos uma convenção na notação representativa dos intervalos
reais :
Os extremos de cada intervalo real serão apresentados entre colchetes de modo que , se
algum extremo for excluído do intervalo , o colchete estará aberto para ele .
Exemplos :
a) O conjunto A = { x  R / -2 < x < 3 } eqüivale a A = ]-2 , 3[ .
b) O conjunto B = { x  R / 5  x  9 } eqüivale a B = [5 , 9] .
c) O conjunto C = { x  R / -7  x < 9} eqüivale a C = [-7 , 9[ .
d) O conjunto D = { x  R / -5 < x  5} eqüivale a D = ]-5 , 5] .
e) O conjunto E = { x  R / x  3 } eqüivale a ]- , 3] , pois para  o intervalo é
sempre aberto .
f) O conjunto F = { x  R / x > -7 } eqüivale a ]-7 , +  [ .
g) O conjunto dos reais R pode ser representado por ] - , +  [ .
II.3) A relação entre os conjuntos numéricos :
Vimos , pela evolução dos conjuntos numéricos , que N  Z  Q  R  C e que o
conjunto I  R.
II.4) Subconjuntos notáveis dos reais :
O símbolo * (asterisco) é usado para indicar a exclusão do zero de qualquer conjunto
real . Então , temos :
N*  Naturais sem o zero ou {1,2,3,4,5 ...}
Z*  Inteiros sem o zero ou {... ,-3 ,-2 ,-1 , 1 , 2 , 3 ...}
Q*  Racionais sem o zero ou {x  Q / x  0 }
R*  Reais sem o zero ou { x  R / x  0 }
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Os símbolos + (mais) e - (menos) são usados para indicar , respectivamente, os
números não negativos e os não positivos de um conjunto real . Então , temos :
Z+ = { 0,1,2,3,4, ... } = N
Q+ = {x Q / x  0}
R+ = {x R / x  0}
e
e
e
Z - = { ... , -3,-2,-1,0}
Q- = {x Q / x  0}
R - = {x R / x  0}
Exercícios Resolvidos :
1) Complete cada sentença a seguir com um sinal de pertinência ou de inclusão :
_
a) -3 ..... N
e) Z .... N
i)
b) -2,5 ...... Z
f) Q .... R
7 ..... Q j) 2 ..... I
c) 3, 3 ..... Q
g) Q ...... Z
5
l)  ..... I
2
d) 1,323232... ..... I
h) I ....... R
m) -5 .... Z
Resolução :
_
_
a) -3  N
b) -2,5  Z
c) 3, 3  Q , pois 3, 3 é o mesmo que 3,333...
d) 1,323232...  I e) Z  N f) Q  R
g) Q  Z h) I  R
5
i) 7  Q j) 2  I
l)   I
m) -5  Z
2
2) Complete cada sentença a seguir com um dos símbolos dos conjuntos vistos :
a) Z+  Z - = ......
b) Q+  Q- = .......
c) R+  R - = ......
d) Z - Z * = .......
e) Z - Z * = .......
f) Q - Q * = ........
g) Q - Q * = ........
h) R - Q = .......
Resolução :
a) Z+  Z - = Z b) Q+  Q- = Q
e) Z - Z * = Z+ f) Q - Q * = Q -
c) R+  R - = R
g) Q - Q * = Q+
d) Z - Z * = Z h) R - Q = I
3) Descrever , de acordo com a linguagem da teoria dos conjuntos , os seguintes intervalos reais :
a) [-3 , 1]
b) [-5 , 3[
c) ]0 , 4]
d) ]-1 , 3[
e) ]- , 7]
f) [-2 , +  [
Resolução :
a) {x  R / -3  x  1} b) { x  R / -5  x <3}
d) { x  R / -1 < x < 3}
e) { x  R / x  7}
c) { x  R / 0 < x  4}
f) { x  R / x  -2}
4) Determine o intervalo real de x para o qual o valor de Y na expressão abaixo é
definido .
Y=
2x - 6 
1
5-x
13
Resolução :
Duas condições devem ser observadas , neste caso , devidas aos dois radicais :
1o) 2x – 6  0  2x  6  x  3;
2o) 5 - x > 0  -x > -5 ou x < 5.
Então, fazendo a interseção dessas duas condições , temos x  [-3 , 5 [ .
Exercícios Propostos
1) Escreva , enumerando os elementos , o conjunto A = {divisores comuns de 18 e 24}.
2) Descreva , através de um atributo comum , o conjunto B = {0,2,4,6,8} .
3) Determine o conjunto C = {x  N / x2 = 9 }.
4) Determine o conjunto D = { x  N / 2 < x + 2 < 10 } .
5) Determine o conjunto E = { x  N / 3x + 1 = 8 } .
6) Determine o conjunto F = { x  Z / x2 – 1 = 8 } .
7) Determine o conjunto G = { x  Z / -2x = 3 ou -x + 1 = 3 } .
8) Determine o conjunto H = { x  Q / x2 = 5 } .
9) Determine o conjunto J = { x  R / -2  -x + 3 < 5 } .
10) Determine o conjunto M = { x  R / x2 + 4 = 0 } .
11) Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2,3} , B = {-4,-3,-2,-1,0} , C = {-6,-5,-4} e D =
= {4,5,6} , determine :
a) ABC
b) ABD
c) BCD
d) ABC
e) ABD
f) BCD
g) A – B
h) A – C
i) A – D
j) B – C
l) B – D
m) C – D
n) (AB) – (CD)
o) (B – A)  (D – C)
p) ABCD
q) ABCD
12) Sendo A = {x  N / x < 6 } , B = { x  N / x  8} e C = { x  N / x  15} ,
determine :
a)C BA
b) C CA
c)C CB
13) Dados os intervalos reais A = [-2 , 3[ , B = [-5 , 5] e C = ]-2 , 5] , determine :
a) A  B b) A – B
c) A  C
d) B – C
e)BC
f) B  A
g) A – (B  C )
h) (B – C )  ( A – B)
i) (C – A )  ( A  B )
14) Quantos subconjuntos não vazios possui o conjunto A = {x  N / 2 < x  6} ?
Quantos deles possuem menos de três elementos ?
15) Se um conjunto de naturais possui 63 subconjuntos não vazios , então quantos elementos tem esse conjunto ?
16) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir .
( ) Se A tem 5 elementos , B tem 4 elementos e A  B tem 2 elementos , então,
A  B tem 10 elementos .
( ) Se A tem 8 elementos , B tem 6 elementos e A  B tem 14 elementos , então, A
e B são disjuntos .
14
( ) Se A tem 5 elementos , A  B tem 1 elemento e A  B tem 11 elementos ,
então , B tem 7 elementos .
( ) Se A tem 5 elementos , B tem 9 elementos , C tem 4 elementos , A  B tem 2
elementos , A  C tem 2 elementos , B  C tem 3 elementos e os três conjuntos têm
apenas um elemento comum , então , A  B  C tem 13 elementos.
( ) Se A tem 8 elementos , B tem 6 elementos , C tem 3 elementos , A  B tem 2
elementos , A  C tem 3 elementos , B  C tem 3 elementos e e A  B tem 11
elementos , então A  B  C tem 2 elementos .
17) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir .
a) ( ) Todo número natural é racional .
b) ( ) Todo número inteiro é natural .
c) ( ) Todo número racional é inteiro .
d) ( ) Todo número racional é real .
e) ( ) Todo número irracional é real .
f) ( ) Existem racionais que são periódicos .
g) ( ) Existem irracionais que são inteiros .
18) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada sentença a seguir .
a) ( ) Se n  Z  n  Q e n  R .
b) ( ) Se n  Q  n  Z e n  R .
c) ( ) Se n  Z  n  Q e n  R .
d) ( ) Se n  I  n  Q e n  R .
e) ( ) -5  Z e -5  N .
f) ( ) 3,7 Q e 3,7  Z .
2
2
g) ( )   Q e   Z .
3
3
h) ( ) 2 7  Q e 2 7  I .
19) Dois conjuntos A e B são tais que P(A) tem 128 elementos , P(B) tem 64
elementos e os dois têm 5 subconjuntos comuns . Quantos subconjuntos A e B
têm juntos ?
20) Quantos elementos inteiros tem cada conjunto abaixo ?
a) A = [-3 , 7]  Z +
b)B = Z +  Z –
c)C = ( Z –  Z + )  ] 0 , 5]
d)D = ( Q -  Z + )  [ -3 , 5 ]
3
7
e)E = (Q +  R - )  [
,
[
2
3
Questões de vestibulares
1) (PUC / MG ) - Os números p e q são tais que 3  p  6 e 18  q  36 .O
p
maior valor possível de
é
q
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
2
3
6
12
15
2) (PUC / MG ) – A soma 1,333... + 2,3222.... é igual à fração
129
a)
90
b)
179
90
c)
229
90
329
90
.............................................................................................................................................
3) (PUC / MG ) – Considere os conjuntos A = {4, 2, m, 5}, B = {4, 5, 8} e A – B =
={n , 7} sem elementos repetidos . O valor de m + n é
d)
a)7
b)8
c)9
d)11
.............................................................................................................................................
4) (PUC / MG) – Considere o conjunto A = {4, 9, 25} e B = {x  R / y = x2 e y  A} .
A soma dos elementos de B é
a)0
b)10
c)14
d)20
.............................................................................................................................................
5) (PUC / MG) – Considere os seguintes subconjuntos de números naturais :
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
P = {x  N / 6  x  20 }
A = { x  P / x é par }
B = { x  P / x é divisor de 48 }
C = { x  P / x é múltiplo de 5 }
O número de elementos do conjunto (A – B)  C é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
16
6) (PUC/MG) – Considere os conjuntos A = { x  Z / x + 1 < 5 } e B = { x  Z /
x  > 3 } . O número de elementos do conjunto A  B é
a)2
b)4
c)8
d)9
.............................................................................................................................................
7) (UFLA – Lavras) – Sendo A e B dois conjuntos não vazios tal que A – B =  ,
assinale a alternativa correta:
a)sempre existe n  B tal que n  A
b)A  B = 
c)Se n  B , então n  A
d)Se n  B , então n A
.............................................................................................................................................
8) (FUVEST – SP) – Dados dois números reais a e b que satisfazem as desigualdades
1  a  2 e 3  b  5 , pode-se afirmar que
a)
a
2

b
5
b)
a
2

b
3
c)
1
a
2


5
b
3
1
a
1


5
b
2
.............................................................................................................................................
9) (Newton de Paiva – MG) – Uma pesquisa de popularidade dos produtos A , B e C,
realizada em um supermercado , revelou , após as entrevistas , que 53 preferem o
produto A ; 42 preferem o produto B ; 43 preferem o produto C ; 5 preferem os produtos
A , B e C ; 10 preferem os produtos B e C ; 15 preferem os produtos A e C ;15
preferem os produtos A e B ; e 5 não preferiram nenhum dos três produtos. O número
de pessoas entrevistadas é de
d)
a)188 .
c)133.
b)138 .
d)108 .
17
10) (UFV – Viçosa) – Com o objetivo de analisar o consumo de três marcas A , B e C
de um mesmo produto , fez-se uma pesquisa em que foram consultadas 1.000 pessoas .
O resultado da pesquisa encontra-se na tabela abaixo :
Marca
Número de consumidores
A
B C A e B A e C B e C A,BeC
400 450 520
100
200
300
60
Analisando esses resultados , pode-se concluir que o número de pessoas que não
Consomem nenhuma das marcas é
a)200.
b)170.
c)290.
d)370.
............................................................................................................................................
11) (UFU – Uberlândia) – Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e
15 elementos , respectivamente . Então , sempre se pode afirmar que
a)A  B terá , no mínimo , 12 elementos .
b)A  B terá , no mínimo , 15 elementos .
c)O número máximo de elementos de A  B é igual ao número máximo de elementos
de A  B .
d)O número mínimo de elementos de A  B é igual ao número máximo de elementos
de A  B .
.............................................................................................................................................
5
2
5
3
12) (UFMG) – Se A = {x  R ; x > }, B = {x  R ; x < }e C = {x  R ;  x  },
8
3
8
4
então , (A  C)  B é
2
}.
3
3
b){x  R ; x  }.
4
5
2
c){x  R ;  x  }.
8
3
5
d){x  R ; x  }.
8
.............................................................................................................................................
13) Sejam os conjuntos A = {x  Z : x = 6n + 3 , nZ} e B = {x  Z : x = 3n ,
nZ}.Então , A  B é igual a
a){x  R ; x <
18
a){x  Z : x é ímpar e múltiplo de 3}.
b){x  Z : x é para e múltiplo de 3.
c){x  Z : x é múltiplo de 3}.
d){x  Z : x é múltiplo de 9}.
............................................................................................................................................
14) (UFMG) – Os conjuntos A , B e AB têm , respectivamente , 10 , 9 e 15
elementos . O número de elementos de AB é
a)2.
b)3.
c)4.
d)6
.............................................................................................................................................
15) (CESGRANRIO – RJ) – Sejam M , N e P conjuntos . Se M  N = {1,2,3,5} e
M  P = {1,3,4} , então M  N  P é
a){1,3}.
b){1,3,4}.
c){1,2,3,5}.
d){1,2,3,4,5}.
............................................................................................................................................
16) (MACK – SP) – Dados os conjuntos A , B e C , não vazios , sabe-se que A  B ;
então sempre se tem
a)A  C = .
b)B  C = .
c)A  C  B.
d)A  B = .
.............................................................................................................................................
17) (CESGRANRIO – RJ) – O número de conjuntos X que satisfazem a condição
{1,2}  X  {1,2,3,4} é
a)3
c)5
b)4
d)6
19
18) (U.F.RS) – O número de elementos do conjunto P(A)  P(B) , com A e B disjuntos
e com dois elementos cada um , é
a)2.
b)4.
c)5.
d)7.
.............................................................................................................................................
19)(CESESP – SP) – Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y . 80%
dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60% o jornal Y . Sabendo-se que todo aluno é
leitor de pelo menos um dos jornais , assinale a alternativa que corresponde ao
percentual de alunos que lêem ambos .
a)80%.
b)14%.
c)40%.
d)60%.
.............................................................................................................................................
20)(F.G.V. – SP) – Numa Universidade com N alunos , 80 estudam Física , 90
Biologia, , 55 Química , 32 Biologia e Física , 23 Química e Física , 16 Biologia e
Química e 8 estudam nas três faculdades .Sabendo-se que esta Universidade somente
mantém as três faculdades , quantos alunos estão matriculados na Universidade ?
a)304.
b)162.
c)146.
d)154.
.............................................................................................................................................
21) (PUC – Campinas/SP) – Considerando N = {0,1,2,3,4, ...} e , ainda , A = {x  N /
24
 n , n  N } e C = { x  N / 3x + 4 < 2x + 9} , podemos afirmar que
x
a)A  B tem 8 elementos.
b)A  B = A.
c)A  B = A.
d)A  B possui 4 elementos.
20
22)(U.E. LONDRINA ) – Seja n(E) o número de elementos de um conjunto E . Se A é
o conjunto dos divisores naturais de 18 e B é o conjunto dos divisores naturais de 48 ,
então n(A  B) é um número
a)quadrado perfeito.
b)múltiplo de 5.
c)maior do que 10.
d)menor do que 6.
.............................................................................................................................................
23)(PUC – SP) – A dízima periódica 0,4999... é igual a
a)
49
.
99
b)
5
.
11
c)
1
.
2
49
.
90
.............................................................................................................................................
24)(PUC – SP) – Um número racional qualquer
d)
a)tem sempre um número finito de ordens decimais.
b)tem sempre um número infinito de ordens decimais.
c)não pode expressar-se na forma decimal exata.
d)nenhuma das alternativas anteriores.
.............................................................................................................................................
25)(PUC – SP) – Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um
número racional. Um exemplo é
a) 12 . 3  36 .
b) 4 .
9 6.
c) 3 .1  3 .
d) 2 . 2  8 .
21
26)(F.G.V. – SP) – Qualquer que sejam o racional x e o irracional y , pode-se dizer
que
a)x . y é irracional.
b)y . y é irracional.
c)x + y é racional.
d)x + 2y é irracional.
.............................................................................................................................................
27)(U.E.BA – BA) – Se A = {x  R / -1 < x < 2} e B = { x  R / 0  x < 3} , o con –
junto A  B é o intervalo
a)[0 , 2[.
b)]0 , 2[.
c)[-1 , 3].
d)]-1 , 3[.
.............................................................................................................................................
28)(MACK – SP) – Se designarmos por [3 , 4] o intervalo fechado, em R , de extremidades 3 e 4 , é correto escrever :
a){3 , 4} = [3 , 4].
b){3 , 4}  [3 , 4].
c){3 , 4}  [3 , 4].
d){3 , 4}  [3 , 4].
.............................................................................................................................................
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Exercícios Propostos :
1) A = {1,2,3,6}
2) B = {x / x é par menor do que 9} 3) C = {3} 4) D = {1,2,3,
4,5,6,7}
5) E = 
6) F = {-3,3} 7) G = {-2}
8) H =  9) J = ]-2 , 5]
10) M =  11) a)  b)  c)  d) {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} e) {-4,-3,-2,-1 ,0 ,
1,2,3} f) {-6,-5,-4,-3,-2,-1,4,5,6} g) {1,2,3} h) A i) A j) {-3,-2,-1,0} l) B
m) C n) {-1,0} o)  p)  q) {-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6} 12) a) {x  N /
6  x  8} b) {x  N / 6  x  15} c) {x  N / 8 < x  15} 13) a) A b) 
c) [-2 , 5]
d) [-5 , -2] e) ]-2 , 5]
f) [-5 , 5] g) {-2} h)  i) A 14) 15
subconjuntos . 10 deles . 15) 6 elementos 16) F , V , V , F , V
17) a) V b) F
c) F d) V e) V f) V g) F
18) a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) V
h) V 19) 8
20) a) 7 b) 1
c) 6 d) 10 e) 2
22
Questões de Vestibulares :
1) b 2) d 3) c 4) a 5) a 6) a 7) c 8) c 9) e 10) b 11) b
14) c 15) d 16) c 17) b 18) d 19) c 20) b 21) d 22) c 23) c
26) d 27) d 28) c
12) c
24) d
13) a
25) a