conjuntos numéricos

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais (N)
É representado por : N = {0,1,2,3,4,5,....}
Onde : N* = N – {0} = {1,2,3,4,....}
Verifica-se que a soma e o produto de qualquer número natural, sempre resulta em um outro número
natural, porem a subtração nem sempre é um número natural, exemplo :
3 – 4 = -1 , Daí a necessidade de introduzir os números negativos.
Conjunto dos Números Inteiros ( Z )
É os Naturais mais os negativos : {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Onde : Z* = Z – {0} = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}
Z

= inteiro não-negativos = {0,1,2,3,4,...}
Z

= inteiro não-positivos = {...,-3,-2,-1,0}
Z
Z
*

= inteiro positivos = {1,2,3,4,...}
*

= inteiro negativos = {...,-3,-2,-1}
Verifica-se que a soma a subtração e o produto de qualquer número inteiro, sempre resulta em um
outro número inteiro, porem a divisão nem sempre é um número inteiro, exemplo :
(-7) : (+2) = ? , Daí a necessidade de ampliar os números inteiros introduzindo as frações.
OBS  Você sabia que Z, é a primeira letra da palavra ZAHL, que em alemão significa número ?
Conjunto dos Números Racionais ( Q )
Acrescentando as frações positivas e negativas ao conjunto dos números inteiros (Z), obtemos o
conjunto dos números racionais (Q):
São números Racionais : {  2 , 
3
,  1, 
2
1
2
,0 ,
1
,
3
2 4
,1 ,
5
, 2}
3
Observe que todo Números Racional, pode ser escrito da forma
a
, com
a Z
,e
b Z
*
b
Exemplo :

3
4
, 1
2
, 2 
2
4
, etc.
2
Assim, podemos escrever: Q  {x 
a
, com a  Z e b  0}
b
Verifica-se que a soma a subtração o produto e a divisão de qualquer número racional, sempre resulta
em um outro número racional. Certamente devemos lembrar que a divisão por zero é impossível (
a
0
não tem significado ) .
OBS  A letra Q dos racionais, é a primeira letra da palavra quociente.
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS :
1
Decimais exatas, finitas :
 0 , 25

4
5
  0 , 625
6 
8
6
 6 ,0
1
Decimais ou dízimas periódicas, infinitas :
2
177
 0 , 6666 ...  0 , 6
3
 0 ,1787878
...  0 ,1 78
990
DETERMINAÇÃO DE GERATRIZ DA DECIMAL :
Veja alguns exemplos de como determinar uma geratriz.

0,75
75

0,75

100

3
, logo
4
3
é a geratriz de 0,75
4
0,414141...
x = 0,414141..
.
100x = 41,4141...
100x = 41 + 0,4141...
logo
100x = 41 + x
41
, é a geratriz de 0,414141...
99
100x - x = 41
99x = 41
x =
41
99

0 ,1 78
x = 0,1787878.
10x = 1,787878..
..
..
10x = 1 + 0,787878..
. (porem
0, 78 
78
)
99
78
10x = 1 +
logo,
99
10x =
177
é geratriz de 0,1787878...
990
99  78
99
990x = 177
x =
177
990
OBS  O número 0,9999... =
9
= 1. Neste caso, observamos que 0,999..., cada vez mais se aproxima
9
de 1, logo dizemos que a seqüência tem 1 como limite.
NUMERO RACIONAL NA FORMA MISTA :
Todo número racional maior que 1 ou menor que -1, podes ser escrito na forma mista ou vice-versa.
Exemplo:
7


1
3
2

-
5
2,7

4

-1
2
, pois
3

27
 2
10
1
5
resto
2
3

7  2  3, com
, pois

4 5 1

5
32
1
1 
 32 1
igual a 1, logo 


 3 
2
2
2
2

2
 13  2
5  3  1, com resto igual a 2, logo  
 3 
3
3

7 
 2  10  7
, pois 
 2 

10
10
10 

7
21
 4,2
5
Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão por numero
diferente de zero) sejam definidas em Q, uma equação como x² = 2, não pode ser resolvida em Q, pois
a 
não existe racional
tal que  
b
b
2
a
 2 . Surge então a necessidade de outro tipo de número, os
números irracionais .
Conjunto dos Números Irracionais ( Q’ )
Dentre os números decimais existem as dízima não-periódicas, que são números com infinitas casas
decimais e não-periódos. Esses números são chamados de irracionais (Q’).
Q’ = { x / x é dízima não-periódica}
Ex: π = 3,14159265 .....
φ = 1,61083....
3 = 1,73205 ...
OBS  Embora não pareça, estes números podem ser representados na reta numérica.
Conjunto dos Números Reais ( R )
Da reunião do conjunto dos racionais (Q) com o conjuntos dos números irracionais (Q’) obtemos o
conjuntos dos números Reais (R).
R = Q U Q’ = { x / x  Q ou x  Q’} = { x / x é racional ou x é irracional}
OBS  Com os números reais, todos os segmentos de reta podem ser medidos.
Conjunto dos Complexos ( C )
Mesmo com os números reais, existem equações do tipo x² = – a , para a  R, que não podem ser
resolvidas pois não existe neste conjunto, representação numérica para raízes quadradas de números
negativos, veio então a necessidade de um outro conjunto numérico que desse solução para estas
equações, sendo ele o conjunto dos números complexos (C).
OBS  Este conjunto numérico tem como base a unidade imaginária ( i ), onde:
i  1
e i² = – 1
RELAÇÃO DE CONJUNTOS
Diagrama numérico
Os elementos do Conjunto N pertence aos demais conjuntos exceto o conjunto irracional
O conjunto Z pertence aos conjuntos Q e R
O conjunto Q engloba os elementos do conjunto N e Z simultaneamente
Os elementos do conjunto Q’ não se associam com os demais conjuntos
O conjunto R é resultado da união entre os demais conjuntos, ou seja, conjuntos N, Z, Q e I
Diferença entre dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado
pelos elementos de A que não pertencem a B.
O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo:
Uma pesquisa realizada pelo Colégio Unicanto detectou que 500 alunos gostam de matemática, 700 de
português, 300 das duas disciplinas e 1 000 alunos afirmam não gostar de nenhuma destas. Nestas
condições, quantos foram os entrevistados?