Apostila de Física-Matemática - Professor

F ÍSICA -M ATEMÁTICA
R UDI G AELZER (I NSTITUTO
DE
F ÍSICA - UFRGS)
Apostila preparada para as disciplinas de FísicaMatemática ministradas para os Cursos de Bacharelado em Física do Instituto de Física da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
Porto Alegre - RS.
Início: M AIO DE 2006
Impresso: 12 de abril de 2017
Apostila escrita com:
P ROCESSADOR DE D OCUMENTOS
LYX
http://www.lyx.org/
http://wiki.lyx.org/LyX/LyX
Referências bibliográficas:
S ISTEMA biblatex
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https://github.com/plk/biblatex
S UMÁRIO
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
1.1 Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Coordenadas curvilíneas ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Análise vetorial em sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais
1.3.1 Álgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Integrais de caminho, de superfície e de volume . . . . . . . .
1.4 Operadores vetoriais diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Divergente e laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais . . . . . . . . . . .
1.5.1 Coordenadas polares cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Coordenadas polares esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Coordenadas elípticas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Linhas de força e superfícies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Linhas de força de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . .
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2 Funções de Uma Variável Complexa
2.1 Números e variáveis complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Representações vetorial e polar . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Álgebra de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fórmula de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Raízes de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funções de uma variável complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Transformações ou mapeamentos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Pontos de ramificação, linhas de ramificação e superfícies de
2.3.3 Exemplos de funções unívocas ou plurívocas . . . . . . . . .
2.4 O cálculo diferencial de funções de uma variável complexa . . . . .
2.4.1 Limite de uma função complexa . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Derivadas de funções complexas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 As condições de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Funções analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Funções harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Pontos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Integração no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Integrais de caminho no plano complexo . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Propriedades matemáticas das integrais de linha . . . . . . .
2.5.3 Tipos de curvas e domínios no plano complexo . . . . . . . .
2.5.3.1 Tipos de curvas no plano complexo . . . . . . . . . .
2.5.3.2 Domínios simplesmente ou multiplamente conexos .
2.5.3.3 Convenção para o percurso de um contorno fechado
2.6 O teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 O teorema de Green no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6.2 O teorema de Cauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Fórmulas integrais de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Representação em séries de funções analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Séries complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1.1 Convergência da série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1.2 Convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1.3 Convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Testes de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2.1 Testes de convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2.2 Teste de convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Séries de potências e séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Séries de Taylor de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Teoremas de existência e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Algumas técnicas de construção de séries de Taylor e Laurent . . . . . . .
2.8.8 Séries de Laurent de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.9 Classificação de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.9.1 Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.9.2 Singularidades essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.9.3 Singularidades removíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Integração no plano complexo pelo método dos resíduos . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Teorema dos resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Cálculo de resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.1 Primeiro método: direto da definição . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.2 Segundo método: polos de ordem m em z = z0 . . . . . . . . . . .
2.9.3.3 Terceiro método: resíduo de uma função racional . . . . . . . . . .
2.9.3.4 Quarto método: pelo desevolvimento em série de Laurent . . . . .
2.9.4 Cálculo de integrais definidas ou impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4.1 Integrais do tipo I: funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4.2 Integrais do tipo II: funções racionais de funções trigonométricas
2.9.4.3 Integrais do tipo III: integrais de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4.4 Integrais do tipo IV: integrando com polos no eixo real . . . . . . .
2.9.4.5 Integrais do tipo V: integração ao longo de linhas de ramificação .
2.9.4.6 Outros tipos de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Continuação analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Teoria de Grupos Abstratos
3.1 Definições e classificações iniciais . . . . . . . . . . .
3.1.1 Exemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1 Grupos infinitos discretos . . . . . . .
3.1.1.2 Grupos contínuos compactos . . . . .
3.1.1.3 Grupos contínuos não compactos . .
3.1.1.4 Grupos finitos . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Tabela de multiplicação de grupo . . . . . . .
3.2.2 Grupo cíclico Cn . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Grupo simétrico Sn . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Verificação dos axiomas de grupo . .
3.2.3.2 Notação de ciclos . . . . . . . . . . . .
3.3 Subgrupos, classes laterais e classes de conjugação
3.3.1 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Classes laterais e o teorema de Lagrange . . .
3.3.3 Classes de conjugação . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Subgrupos invariantes e grupo fator . . . . .
3.3.5 Produto direto de grupos . . . . . . . . . . . .
3.4 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Grupos cristalográficos pontuais . . . . . . . .
3.4.2 Projeções estereográficas . . . . . . . . . . . .
Autor:
Rudi Gaelzer – IF/UFRGS
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DE ABRIL DE
2017
iii
3.4.3 Grupos cristalográficos espaciais . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Mapeamentos entre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Funções e mapeamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Mapeamento entre grupos e homomorfismo . . . . . . . . . .
3.6 Estruturas algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Estruturas compostas por um conjunto com operações . . .
3.6.1.1 Estruturas do tipo grupo . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2 Estruturas do tipo anel . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Elementos de espaços métricos e topologia . . . . . . . . . . .
3.6.3 Estruturas do tipo Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.1 Mapeamentos entre espaços vetoriais . . . . . . . . .
3.6.4.2 Subespaços vetoriais e subespaços complementares
3.6.4.3 Bases de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.4 Espaço vetorial normado . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.5 Espaço com produto interno . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.6 Espaço vetorial métrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.7 Espaço vetorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.8 Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4.9 Espaço afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Estruturas do tipo álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Teoria de Representações de Grupos
4.1 Primeiras definições e representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Vetores e funções de base e representações regulares . . . . .
4.1.2 Representação natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Representações de grupos de transformações lineares . . . . . . . . .
4.2.1 Espaços vetoriais e operadores na mecânica quântica . . . . .
4.2.2 Espaços vetoriais e suas representações . . . . . . . . . . . . .
4.3 Representações equivalentes e caracteres . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Soma e produto diretos de matrizes e representações . . . . . . . . .
4.4.1 Soma direta de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Soma direta de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Produto direto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Produto direto de representações . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Representações redutíveis ou irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Teoremas fundamentais sobre representações de grupos e caracteres
4.6.1 Teoremas sobre representações . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Interpretação do teorema da ortogonalidade . . . . . . . . . . .
4.6.3 Teoremas sobre caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Interpretação do teorema da ortogonalidade dos caracteres . .
4.6.5 Decomposição de uma representação em irreps . . . . . . . . .
4.6.6 Construção de uma tabela de caracteres . . . . . . . . . . . . .
4.7 Bases simetrizadas para representações irredutíveis . . . . . . . . . .
4.8 Bases para representações de grupos de produto direto . . . . . . . .
4.8.1 Redução da representação do produto direto . . . . . . . . . .
4.8.2 Bases para representações de produtos diretos . . . . . . . . .
4.8.3 Representação de um grupo produto direto . . . . . . . . . . .
4.9 Aplicações físicas da teoria de representações de grupo . . . . . . . .
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5 Álgebra e Análise Tensoriais
5.1 Introdução e definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Convenção de soma de índices e símbolos auxiliares . . .
5.1.2 Símbolos auxiliares: Kronecker e Levi-Civita . . . . . . . .
5.2 Propriedades de transformação de escalares, vetores e tensores
5.2.1 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Transformações de paridade ou reflexões . . . . . . . . . .
5.2.3 Reversão temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Espaços funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.3.2 Tensores Cartesianos de postos zero e um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Tensores Cartesianos de posto dois ou superior . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Adição de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Simetria e antissimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Tensores hermitianos ou anti-hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Produto externo de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.1 Produto externo de dois tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.2 Diádicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.3 Gradiente de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.4 Produto externo em geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Contração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5.2 Produtos com diádicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.6 Regra do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Composição de transformações, rotações infinitesimais e tensores isotrópicos . . .
5.5.1 Composição de transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Rotações infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Tensores isotrópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Rotações impróprias, pseudotensores e tensores duais . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Rotações impróprias e pseudotensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Tensores duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Tensores irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Tensores generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Coordenadas curvilíneas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 O espaço de Riemann e o tensor de métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2.1 Operação de elevação ou rebaixamento de índice . . . . . . . . . . .
5.7.2.2 Elementos infinitesimais de arco e volume . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Transformações generalizadas de coordenadas e tensores generalizados . . . . . .
5.9 Tensores relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Derivadas dos vetores de base e os símbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Diferenciação covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Operadores vetoriais na forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.1Gradiente de campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.2Divergente de campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.3Laplaciano de um campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12.4Rotacional de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Diferenciação absoluta e curvas geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.1Diferenciação absoluta ou intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.2Curvas Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.3Transporte paralelo de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Os tensores de Riemann, Ricci e Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.1O tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.1.1Propriedades do tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.2O tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.3O tensor de Einstein e as equações do campo gravitacional . . . . . . . . . .
5.15 Aplicações físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.1A transformação de Lorentz, o espaço-tempo de Minkowski e a formulação
covariante do eletromagnetismo clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.1.1A situação anterior a 1900. A transformação de Galileu . . . . . . .
5.15.1.2Equações de Maxwell e a transformação de Galileu . . . . . . . . . .
5.15.1.3A transformação de Lorentz e os princípios da relatividade restrita .
5.15.1.4O espaço-tempo de Minkowski e os quadrivetores . . . . . . . . . . .
5.15.1.5Formulação covariante do eletromagnetismo clássico . . . . . . . .
5.15.2A métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.2.1Derivação do tensor de métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.2.2Consequências e aplicações da métrica de Schwarzschild . . . . . .
Autor:
Rudi Gaelzer – IF/UFRGS
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A Distribuições e a “Função” Delta de Dirac
A.1 Definição de Distribuições . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Definição operacional de distribuição . . . . .
A.1.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Propriedades de distribuições . . . . . . . . .
A.1.2.1 Combinação linear de distribuições .
A.1.2.2 Produto de duas distribuições . . . .
A.1.2.3 Séries e integrais de distribuições . .
A.1.2.4 Derivadas de distribuições . . . . . .
A.2 Propriedades da “Função” δ . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Definição da δ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Representações da δ(x − x0 ) como o limite de
A.2.3 Principais propriedades . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 Derivadas da δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5 Deltas de Dirac em mais de uma dimensão .
Autor:
Rudi Gaelzer – IF/UFRGS
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Rudi Gaelzer – IF/UFRGS
Impresso:
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