prova de matemática comentada ufrgs 2012 – professor ferrugem

PROVA DE MATEMÁTICA COMENTADA UFRGS 2012 – PROFESSOR FERRUGEM
Questão 26 – Matemática Básica – Muito Fácil
Temos que, 5,5 L de sangue e 5 x 106 glo. ver/mm3, assim: 5,5 x 106 x 5 x 106 = 275 x 1011 = 2,75 x 1013.
PORTANTO ALTERNATIVA E
Questão 27 – Matemática Básica – Fácil
Sendo x a quantidade de notas de R$ 5,00 e y a quantidade de notas de 20,00, temos que:
𝑥+𝑦 =6
5𝑥 + 20𝑦 = 𝑅
Testando as alternativas, observamos que:
𝑥+𝑦 =6
−5𝑥 − 5𝑦 = −30
a) Se R = 90, temos que:
→
→ 15𝑦 = 60 → 𝑦 = 4 𝑒 𝑥 = 2.
5𝑥 + 20𝑦 = 90
5𝑥 + 20𝑦 = 90
Assim, 6 notas totalizando R$ 90,00.
PORTANTO ALTERNATIVA A
Questão 28 – Matemática Básica – Fácil
1
1
I. Consideremos a = 3 e b = 4, assim 3 < 4 𝐹 0,333 … < 0,25
1
3
2
3
II. Mínimo múltiplo comum, se a = 1, b = 2 e c = 3, temos que: + =
1+2
.
3
III. Sendo a = 27, b = 9 e c = 3, observamos que: (27 : 9): 3 = 1 e 27: (9 : 3) = 3 (F)
PORTANTO ALTERNATIVA B
Questão 29 – Funções Polinomiais – Fácil
Se f(x) = g(x), então 4x – 2x2 – 1 = 3 – 2x →2x2 - 6x + 4 = 0 → x2 – 3x + 2 = 0 por soma e produto determinamos as
raízes que são 1 e 2.
Assim, f(1) = 1 e f(2) = - 1, logo a soma f(1) + f(2) = 0.
PORTANTO ALTERNTIVA C
Questão 30 – Matemática Básica – Fácil
1
1
𝑥
1+
=𝑥 →1+
=𝑥 →1+
= 𝑥 → 𝑥 + 1 + 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
1
𝑥+1
𝑥
+
1
1+𝑥
𝑥
PORTANTO ALTERNATIVA A
Questão 31 – Matemática Básica – Mediana
a) (F), visto que Sul da Ásia: 475(1 – i) = 431 → 1 – i = 0,9, assim i = 10% ou seja, redução de 10%.
b) (V), visto que 3(1 + i) = 17 → 1 + i = 5,66 → i = 4,66 ou seja, um aumento de 466%.
c) (F) basta observar
d) (F) 36(1 + i) = 90 → 1 + i = 2,5 → i = 1,5, ou seja, um aumento de 150%.
e) (F) 227(1 – i) = 198 → 1 – i = 0,87 → i = 0,13, ou seja uma redução de 13%.
PORTANTO ALTERNATIVA B
Questão 32 – Progressões – Logaritmos – Mediana
Se a3 + a10 = 32, então pela propriedade dos termos eqüidistantes dos extremos a1 + a12 = 32, assim:
3
𝑙𝑜𝑔(𝑎 1 +𝑎 12 ) = 𝑙𝑜𝑔323 = 3𝑙𝑜𝑔32 = 3.5 = 15
PORTANTO ALTERNATIVA B
Questão 33 – Progressões – Fácil
A seqüência das abscissas do vértice oposto são números da PA (0,5; 9,5;...) e queremos a18 , assim pela escadinha,
temos que: a18 = a1 + 17R →a18 = 0,5 + 17.(4,5) = 77.
PORTANTO ALTERNATIVA E
Questão 34 – Progressões – Mediana
Os perímetros dos triângulos desenhados formam uma PG de razão ½ assim, a soma dos quatro primeiros termos é
1
1
1
dada por 1 + 2 + 4 + 8 =
15
8
PORTANTO ALTERNATIVA D
Questão 35 – Translação de Funções – Exponencial – Muito Fácil
Bem, função exponencial crescente, a única alternativa que representa uma função adicionada de k > 0 unidade é a
alternativa A.
PORTANTO ALTERNATIVA A
Questão 36 – Logaritmos – Fácil
Sabemos que 𝑙𝑜𝑔24 = 2 𝑒 𝑙𝑜𝑔28 = 3, assim 𝑙𝑜𝑔27 está entre 2 e 3, visto que 7 está entre 4 e 8.
PORTANTO ALTERNATIVA C
Questão 37 – Equações Algébricas – Muito Fácil
𝑏
−7
7
1
𝑆 = − = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = −
→ 2 + 2 + 𝑥3 + 𝑥4 = → 𝑥3 + 𝑥4 = −
𝑎
2
2
2
PORTANTO ALTERNATIVA B
Questão 38 – Funções Trigonométricas – Difícil
Se f(x) = sen(5x), observamos que em relação ao gráfico padrão da senóide, temos alteração no período desta
função, assim P =
2𝜋
5
e portanto no intervalo [- 2π, 2π] (duas voltas) observamos que: existem 21 intersecções com o
eixo das abscissa
PORTANTO ALTERNATIVA C
Questão 39 – Trigonometria – Muito Fácil
O comprimento de uma volta é dado por C = 2πR assim, C = 2π ≅ 6,28, logo 10 voltas 62,8.
PORTANTO ALTERNATIVA B
Questão 40 – Geometria Plana – Mediana
Por semelhança de triângulos determinamos que:
2
4
𝑥+2
= 𝑥+4 → 𝑥 = 4
Assim, 4 + 2 + 2 + 4 = 12.
PORTANTO ALTERNATIVA D
Questão 41 – Geometria Espacial – Mediana
Sendo l a aresta da base e h a altura da pirâmide, temos que: 𝑉 =
𝑙 2 .ℎ
.
3
Dobrando a aresta da base e reduzindo a metade da altura temos uma nova pirâmide de volume V’ dado por:
ℎ
(2𝑙)2 . 2 2𝑙 2 ℎ
′
𝑉 =
=
= 2. 𝑉
3
3
PORTANTO ALTERNATIVA D
Questão 42 – Geometria Analítica – Plana – Fácil
Se este triângulo é eqüilátero e sua base é paralela ao eixo das abscissas e os pontos estão sobre a reta y = 2 o
ângulo formado é de 60o ou 120o e sen60o = sen120o =
3
.
2
PORTANTO ALTERNATIVA E
Questão 43 – Geometria Plana – Difícil
Pela condição de existência de um triângulo a soma de dois lados deve ser sempre maior que o terceiro lado, assim
testando as alternativas à única que satisfaz a definição:
6 + 4 > 5 e 6 + 5 > 4 e 4 + 5 > 6.
PORTANTO ALTERNATIVA E
Questão 44 – Geometria – Plana – Mediana
AC = πR2
AS = AQ – AC = 4R2 – πR2 = R2(4 – π)
𝜋𝑅 2
𝜋
Razão: 𝑅 2 (4−𝜋) = 4−𝜋 .
PORTANTO ALTERNATIVA D
Questão 45 – Geometria Plana – Espacial – Difícil
Observamos um triângulo retângulo de base (Metade da largura do retângulo = L/2) cuja altura é ½ e hipotenusa
igual ao raio(R = 1), temos que:
12 =
𝑙 2
2
+
1 2
2
→
𝑙2
4
1
=1−4 →
𝑙2
4
3
=4→𝑙= 3
Logo, a área do retângulo é dada por AR = l x h = 3 x 5 = 5 3.
PORTANTO ALTERNATIVA E
Questão 46 – Geometria Analítica – Mediana
Escrevendo a equações gerais em reduzidas temos que: 2x + y – 3 = 0 → y = - 2x + 3
5
5x – 4y – 8 = 0 → 𝑦 = 4 𝑥 − 2
1
x – 3y + 3 = 0 → 𝑦 = 3 𝑥 + 1
Como r é decrescente r: 2x + y – 3 = 0 e s crescente e possui intercepto vertical positivo x – 3y + 3 = 0.
PORTANTO ALTERNATIVA A
Questão 47 – Geometria Analítica – Difícil
Pelas alternativas observamos que ambas as coordenadas do centro são positivas C(2, 3), assim:
R2 = 2 2 + 3 2
R2 = 13
Logo. (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13
PORTANTO ALTERNATIVA C
Questão 48 – Sistemas Lineares – Mediana
Sendo custo do prato verde = v, custo do prato amarelo = a e custo do prato branco = b, temos que:
3𝑣 + 2𝑎 + 4𝑏 = 88
64 − 2𝑣
𝑒 𝑎 = 58 − 4𝑣
2𝑣 + 5𝑏 = 64 → 𝑏 =
5
4𝑣 + 𝑎 = 58
Substituindo na primeira equação:
64 − 2𝑣
256 − 8𝑣
256 − 8𝑣
3𝑣 + 2 58 − 4𝑣 + 4
= 88 → 3𝑣 + 116 − 8𝑣 +
= 88 → −5𝑣 +
= −28
5
5
5
−25𝑣 + 256 − 8𝑣 = −140 → −33𝑣 = −396 → 𝑣 = 12
Assim, a = 58 – 4.12 = 10 e b =
64−2.12
5
=8
Logo, 80% do valor do prato amarelo.
PORTANTO ALTERNATIVA A
Questão 49 – Probabilidade – Muito Difícil
Devemos inicialmente escolher um dos vértices do triângulo e admitir que nesse vértice possam aparecer todas as
bolas exceto a bola preta ( PQ SÓ TEM UMA) E o outro vértice deve repetir a cor deste último, temos:
14
1
1
P = 15 . 14 = 15 .
Como escolhemos os 3 vértices dois a dois existem três possibilidades para que isso aconteça, dessa forma:
1
1
P = 3.15 = 5 = 20%.
PORTANTO ALTERNATIVA C
Questão 50 – Probabilidade – Difícil
Num mesmo grupo de 4 times o total de jogos(espaço amostral) é dado por 𝐶42 = 6 e cada equipe joga três vezes.
3 2
1
P(mesma equipe) = 6 . 5 = 5 = 20%.
Como cada grupo possui 4 equipes P = 20% . 4 = 80%.
PORTANTO ALTERNATIVA D