geometria analítica e álgebra linear sistemas de equações lineares

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ESCALONAMENTO: MÉTODO DE ELIMINAÇÃO GAUSSIANA
Professor: GILCIMAR BERMOD RUEZZENE
EQUAÇÃO LINEAR
É uma equação da forma
a1x1 + a2x2 + ... anxn = b
na qual x1, x2, ..., xn são as variáveis; a1, a2, ..., an são os respectivos
coeficientes das variáveis e b é o termo independente.
Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em
identidade, isto é, que satisfazem a equação, constituem sua solução.
Esses valores são as raízes da equação linear.
Exemplo:
2x + y = 10
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = .b2
..
.
..
.
..
.
..
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
SISTEMA COMPATÍVEL

2x + 3y =18
3x + 4y =25
4x + 2y =100
8x + 4y =200
SISTEMA INCOMPATÍVEL

3x + 9y =12
3x + 9y =15
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

3x1 + 6x2 = 0
12x1 + 24x2 = 0
SISTEMAS EQUIVALENTES

3x + 6y = 42
e
x + 2y = 14
OPERAÇÕES
ELEMENTARES
SISTEMAS EQUIVALENTES
E
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema
equivalente quando se efetuam operações elementares sobre suas
equações:
I)
Permutação de duas equações.
II) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de
zero.
III) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação
previamente multiplicada por um número real diferente de zero.
MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA DE
EQUAÇÕES LINEARES

2x1 + 4x2 =
16
ESCALONAMENTO:
MÉTODO DE ELIMINAÇÃO GAUSSIANA
O método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados
quando se faz uso do computador, devido ao menor número de
operações que envolve.
Método
O método consiste na aplicação sucessiva de propriedades básicas
de álgebra linear.
1) Combinações lineares: adição de uma linha com um múltiplo de
outra linha, para substituir uma das linhas consideradas.
2) Troca de linhas
3) Multiplicação de uma linha por uma constante
EXEMPLO 1
Encontrar os valores das incógnitas u, v e w aplicando-se a eliminação
de Gauss.
2u + v + w = 5
4u – 6v = –2
–2u + 7v + 2w = 9
EXEMPLO 2
Encontrar os valores das incógnitas x, y e w aplicando-se a eliminação
de Gauss.
2x + y + w = 3
x+y–w=4
x – y + w = –2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS


REFERÊNCIAS
 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à
álgebra linear. São Paulo: Makron Books, 1990.
 BOLDRINI, José Luiz [et al]. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo:
Harper & Row do Brasil, 1980.
 STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. Tradução All
tasks. São Paulo: Cengage Learning, 2009.