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5. ESPAÇOS VETORAIS EUCLIDIANOS
5.1 Definição
Espaço Vetorial Euclidiano é todo o espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido
um produto interno.
5.2 Produto Interno em Espaços vetoriais
Definição: Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de VV em R, que a todo
par de vetores (u , v ) V V associa um número real, indicado por u v ou u , v , tal que os
seguintes axiomas sejam verificados:
P1: u v v u ;
P2: u (v w) u v u w ;
P3: (u ) v (u v ) para todo R ;
P4: u u 0 e u u 0 se, e somente se, u 0 .
Propriedades do Produto Interno
I) 0 u u 0 0 para todo u V ;
II) (u v ) w u w v w ;
III) u (v ) (u v ) para todo o real;
IV) u (v1 v2 vn ) u v1 u v2 u vn
Exemplos:
1) No espaço vetorial V R 2 , a função que associa a cada par de vetores, u ( x1, y1 ) e v ( x2 , y2 )
o número real u v 3x1x2 4 y1 y2 é um produto interno?
Solução:
É necessário mostrar que a função dada verifica os quatro axiomas.
P1: u v 3x1 x2 4 y1 y2 u v 3x2 x1 4 y2 y1 v u .
P2: Se w ( x3 , y3 ) , então:
u (v w) ( x1 , y1 ) ( x2 x3 , y 2 y3 ) 3x1 ( x2 x3 ) 4 y1 ( y 2 y3 )
u (v w) (3x1 x2 4 y1 y 2 ) (3x1 x3 4 y1 y3 ) u v u w .
P3: (u ) v (x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) 3(x1 ) x2 4(y1 ) y2 (3x1 x2 4 y1 y2 ) (u v ) ;
P4: u u 3x 1 x 1 4y1 y1 3x 12 4 y12 0 e u u 3x 12 4 y12 0 se, e somente se, x1 y1 0 , isto
é, u (0, 0) 0 .
Isto prova que a função dada define um produto interno em V. Porém, esse produto interno é
diferente do produto interno usual de R 2 , definido por: u v x1 x2 y1 y2 .
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2) Em relação ao produto interno usual de R 2 , calcule u v , sendo dados:
a) u (3, 4) e v (5, 2) ;
1
b) u (6, 1) e v ( , 4) ;
2
c) u (2, 3) e v (0, 0)
Solução:
a) u v (3)5 4(2) 15 8 23
1
b) u v 6( ) 1(4) 3 4 7
2
c) u v 2(0) 3(0) 0 0 0
5.3 Módulo de um vetor
Definição: Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou
comprimento de v o número real não-negativo, indicado por v , definido por:
v v v
Observe que se u ( x1 , y1 , z1 ) for um vetor do R 3 com produto interno usual, tem-se:
u ( x1 , y1 , z1 ) ( x1 , y1 , z1 ) x12 y12 z12
5.4 Distância entre dois vetores
Definição:
chama-se distância entre vetores (ou pontos) u e v o número real representado por
d (u , v ) e definido por:
d (u , v ) | u v |
Sendo u ( x1 , y1 , z1 ) e v ( x2 , y2 , z 2 ) vetores do R 3 , com produto interno usual, tem-se:
d (u, v ) | u v || ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 ) |
Ou
d (u , v ) ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2
5.5 Propriedades do Módulo de um vetor
Definição: Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Então, as seguintes propriedades são válidas:
I) | v | 0, v V e | v | 0, se, e somente se, v 0 .
II) | v || | | v |, v V , R .
III) | u v | | u | | v |, u , v V .
IV) | u v | | u | | v |, u , v V .
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5.6 Ângulo de dois vetores
Definição: Sejam u e v vetores
não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V.
A desigualdade de Schwartz | u v | | u | | v | , pode ser escrita como:
|u v |
u v
1 ou
1
| u || v |
| u || v |
O que implica:
u v
1 1
| u || v |
Por esse motivo, pode-se dizer que essa fração é o co-seno de um ângulo , denominado ângulo dos
vetores u e v :
u v
cos( ) , 0
| u || v |
Problemas Resolvidos.
1) Considere o R 3 com o produto interno usual. Determine a componente c do vetor v (6, 3, c)
tal que | v | 7 .
Solução:
| v | 6 2 (3) 2 c 2 7 36 9 c 2 49 c 2 4 c 2
2) Seja o produto interno usual no R 3 . Determinar o ângulo entre os seguintes vetores:
u (2, 1, 5) e v (5, 0, 2)
Solução:
| u | 2 2 12 (5) 2 30
| v | 5 2 0 2 2 2 29
u v 2 5 1 0 (5) 2 10 10 0
Donde vem:
u v
0
rad.
cos( )
0
2
| u || v |
30 29
5.7 Vetores Ortogonais
Definição: Seja V um espaço
vetorial Euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V são
ortogonais, e se representa por u v , se, e somente se, u v 0 .
Exemplo: seja V R 2 um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 2 y1 y2 . Em relação a este produto interno, os vetores u (3, 2) e
v (4, 3) são ortogonais, pois:
u v (3) 4 2 2 3 12 12 0 .
Obs.:
1) O vetor 0 V é ortogonal a qualquer vetor v V .
2) Se u v , então u v para todo R .
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3) u1 v e u 2 v , então (u1 u2 ) v .
5.8 Conjunto Ortogonal de Vetores
Definição: Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores
{v1 , v2 ,, vn } V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, se
vi v j 0 para i j .
Exemplo: No R 3 , o conjunto {(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -1, -5)} é ortogonal em relação ao produto
interno usual, pois:
(1, 2, 3) (3, 0, 1) 0
(1, 2, 3) (1, 5, 3) 0
(3, 0, 1)) (1, 5, 3) 0
5.8.1 Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A {v1 , v2 , , vn } é linearmente independente (LI).
Demonstração:
Considere a igualdade:
a1v1 a2 v2 an vn 0
E faça o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi :
(a1v1 a2 v2 an vn ) vi 0 vi
ou
a1 (v1 vi ) a2 (v2 vi ) an (vn vi ) 0
Como A é ortogonal v j vi 0 para j i e vi vi 0 , pois vi 0 . Então, ai (vi vi ) 0 implica
ai 0 para todo i 1, 2, , n . Logo, A {v1 , v2 , , vn } é LI. cqd.
5.8.2 Base Ortogonal
Definição: Diz-se que uma base {v1 , v2 ,, vn } de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois
ortogonais.
Assim, levando em conta o teorema anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores nãonulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apresentado
no exemplo anterior, {(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -1, -5)}, é uma base ortogonal de R 3 .
5.8.2.1 Base Ortonormal
Definição: Uma base B {v1 , v2 , , vn } de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é
ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é, se:
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0 para i j
vi v j
1 para i j
Exemplos: Em relação ao produto interno usual:
1) B {(1, 0), (0, 1)} é uma base ortonormal de R 2 (é a chamada base canônica);
2) B {(
3 1
1 3
, ), ( ,
)} é também uma base ortonormal de R 2 . (verifique);
2 2
2 2
3) B {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é uma base ortonormal de R 3 (é a base canônica);
5.8.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Definição: Seja um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer B {v1 , v2 , , vn } desse
espaço. A partir dessa base é possível determinar uma base ortogonal de V.
De fato, supondo que v1 , v2 ,, vn não são ortogonais, considere que:
w1 v1
E determine o valor de de modo que w2 v2 w1 seja ortogonal a w1 :
(v2 w1 ) w1 0
v2 w1 (w1 w1 ) 0
v2 w1
w1 w1
Isto é,
v2 w1
w2 v2 w1
w1 w1
Assim, os vetores w1 e w2 são ortogonais.
Considere agora o vetor:
w3 v3 a2 w2 a1 w1
e determine os valores de a 2 e a1 de maneira que w3 seja ortogonal aos vetores w1 e w2 ou seja:
(v3 a2 w2 a1 w1 ) w1 0
(v3 a2 w2 a1 w1 ) w2 0
v3 w1 a2 ( w2 w1 ) a1 ( w1 w1 ) 0
v3 w2 a 2 ( w2 w2 ) a1 ( w1 w2 ) 0
Tendo em vista que w1 w2 0 , vem:
v3 w1 a1 ( w1 w1 ) 0
v3 w2 a2 ( w2 w2 ) 0
e
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v3 w1
v3 w2
a1 ; a2 , isto é:
w1 w1
w2 w2
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v3 w2 v3 w1
w3 v3 w2 w1
w2 w2
w1 w1
Assim, os vetores w1 , w2 e w3 são ortogonais.
Pode-se concluir o teorema por indução, admitindo-se que, por esse processo, tenham sido
obtidos (n-1) vetores w1 , w2 , , wn1 e considerar o vetor:
wn vn an1 wn1 a2 w2 a1 w1
Sendo a1 , a2 , , an1 tais que o referido vetor wn seja ortogonal aos vetores w1 , w2 , , wn1 .
Os valores a1 , a2 , , an1 que aparecem em wn são:
vn w1
vn w2
vn wn1
a1 ; a2 ; ; an1
w1 w1
w2 w2
wn1 wn1
Assim, a partir de uma base qualquer B {v1 , v2 , , vn } , obteve-se a base ortogonal
{w1 , w2 , , wn }. Esse processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma
base qualquer, chama-se processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
wi
Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor wi . Fazendo ui ,
| wi |
obtém-se:
B {u1 , u 2 , , u n }
Que é uma base ortonormal obtida a partir da base
B {v1 , v2 , , vn }
Exemplo:
Sejam v1 (1, 1, 1) , v2 (0, 1, 1) e v3 (0, 0, 1) vetores de R 3 . Esses vetores constituem uma base
B {v1 , v2 , v3 } não ortogonal em relação ao produto interno usual. Pretende-se obter, a partir de B,
uma base B {u1 , u 2 , u3 } que seja ortonormal.
Solução
w1 v1 (1, 1, 1)
w1
1 1 1
(1,1,1)
u1
,
,
| w1 |
12 12 12 3 3 3
(0,1,1) (1, 1, 1)
v2 w1
(1, 1, 1)
w2 v2 w1 (0, 1, 1)
w
w
(
1
,
1
,
1
)
(
1
,
1
,
1
)
1 1
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2 1 1
w2 ( , , )
3 3 3
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2 1 1
2 1 1
( , , ) ( , , )
w
3 3 3 3 3 3 2 , 1 , 1
u2 2
| w2 |
4 1 1
6
6 6 6
9 9 9
3
v3 w2 v3 w1
w3 v3 w2 w1
w2 w2
w1 w1
2 1 1
(0, 0, 1) ( , , ) 2 1 1 (0, 0, 1) (1, 1, 1)
3 3 3 ( , , )
(1, 1, 1)
w3 (0, 0, 1)
2 1 1 3 3 3 (1, 1, 1) (1, 1, 1)
2 1 1
( , , ) ( , , )
3 3 3
3 3 3
1 1
w3 (0, , )
2 2
1 1
1 1
(0, , )
(0, , )
w3
2 2
2 2 0, 1 , 1
u3
| w3 |
1 1
2
2
2
0
4 4
2
A base B {u1 , u 2 , u3 } é uma base ortonormal, porque:
u1 u 2 u1 u3 u 2 u3 0
e
| u1 || u 2 || u3 | 1
5.8.4 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal
Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano e B {v1 , v2 , , vn } uma base ortogonal de V.
Para um vetor w V , tem-se:
w a1v1 ai vi an vn .
Efetuando o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi , vem:
w vi (a1v1 ai vi an vn ) vi
ou
w vi a1 (v1 vi ) ai (vi vi ) an (vn vi )
Ou
w vi ai (vi vi ) , pois vi v j 0 para j i
Logo,
w vi
ai
vi vi
é a i-ésima coordenada de w em relação a base B.
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Exemplo: Seja V R 2 com produto interno usual e a base ortogonal B {( 2, 1), (1, 2)} . Calcule
as coordenadas do vetor w (4, 7) em relação a essa base B, na qual v1 (2, 1) e v2 (1, 2) .
Solução:
w a1v1 a2 v2
Para determinar a1 e a 2 , utiliza-se a fórmula (5.8.4):
w v1 (4, 7) (2, 1) 8 7 15
a1
3
v1 v1 (2, 1) (2, 1) 4 1 5
w v2
(4, 7) (1, 2) 4 14 10
a2
2
v2 v2 (1, 2) (1, 2)
1 4
5
Logo:
ou
w 3v1 2v2
wB (3, 2)
Como se viu as coordenadas de w , na base canônica, são 4 e 7, enquanto na base B são 3 e 2.
Obs.: No caso particular de B {v1 , v2 , , vn } ser uma base Ortonormal de V, os coeficientes a i
do vetor w a1v1 ai vi an vn , pela fórmula (5.8.4), são dados por:
a i w vi
Pois, vi vi 1.
Assim,
w (w v1 )v1 (w v2 )vi (w vn )vn
Exercícios Propostos:
1) Determinar o valor de m para que os vetores u (2, m, 3) e v (m 1, 2, 4) sejam ortogonais
em relação ao produto interno usual do R 3 .
2) Seja V R 3 e o produto interno definido por: ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z 2 ) 2x1 x2 3 y1 y2 z1 z 2 .
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u (1, 2, 1) e v (1, 1, 1) .
3) O conjunto B {(1, 1), (2, b)} é uma base ortogonal de R 2 em relação ao produto interno
definido por:
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) 2x1 x2 y1 y2
Calcule o valor de b e a partir de B, calcule uma base ortonormal.
4) Considere o seguinte produto interno em P2 : p q a2 b2 a1b1 a0 b0 , sendo
p a 2 x 2 a1 x a 0 e q b2 x 2 b1 x b0 . Dados os vetores p1 x 2 2 x 3 , p2 3x 4 e
p3 1 x 2 , calcule:
a) p1 p2
b) | p1 | e | p3 |
c) | p1 p2 |
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p2
d)
| p2 |
e) co-seno do ângulo entre p1 e p3 .
Respostas:
1) m = 7/2.
2) (
1
6
, 0,
2
1
,
3) B {(
3
6
).
1
3
), (
1
6
,
2
4) (a) -18; (b) 14 e 2 ; (c)
6
)}
3 ; (d)
2 2
3
4
x ; (e) cos
5
5
5
6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Neste capítulo será estudado um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o
contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável dependente quanto a
independente são vetores, por isso são chamadas funções vetoriais. Neste curso, o estudo será
limitado ao estudo das funções vetoriais lineares, que serão denominadas de transformações
lineares.
Diz-se que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, e escreve-se
T : V W . Sendo T uma função que a cada vetor v V tem apenas um vetor imagem w W , que
será indicado por w T (v ) .
Exemplo: seja a transformação T : R 2 R 3 que associa vetores v ( x, y) R 2 com vetores
w ( x, y, z ) R 3 . Seja a lei que define a transformação T: T ( x, y ) (3x, 2 y, x y ) . Então, se
v1 (2, 1) , tem-se: T (v1 ) T (2, 1) (3 2, 2 1, 2 1) (6, 2, 1) .
6.1 Definição
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V W é chamada transformação linear de V
em W se:
I) T (u v ) T (u ) T (v ) ;
II) T (u ) T (u )
para todo u , v V e para todo R .
Obs.: uma transformação linear de V em V é chamada “Operador Linear”.
Exemplo: A transformação T : R 2 R 3 , definida por T ( x, y ) (3x, 2 y, x y ) é linear
Demonstração:
I) Sejam u ( x1 , y1 ) e v ( x2 , y2 ) vetores genéricos de R 2 . Então:
T (u v ) T ( x1 x2 , y1 y2 ) (3( x1 x2 ), 2( y1 y2 ), ( x1 x2 ) ( y1 y2 ))
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T (u v ) (3x1 3x2 , 2 y1 2 y2 , x1 x2 y1 y2 )
T (u v ) (3x1 , 2 y1 , x1 y1 ) (3x2 , 2 y2 , x2 y2 ) T (u ) T (v )
II) Para todo o R e para todo u ( x1 , y1 ) R 2 , tem-se:
T (u ) T (x1 , y1 ) (3x1 ,2y1 , x1 y1 ) (3x1 ,2 y1 , x1 y1 ) T (u ) . cqd.
6.2 Núcleo de uma Transformação linear
Definição: chama-se núcleo de uma transformação linear T : V W ao conjunto de todos os
vetores v V que são transformados em 0 W . Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(T):
N (T ) {v V | T (v ) 0 W }
Observe-se que N (T ) V e N (T ) , pois 0 N (T ) e T (0) 0 .
Exemplos:
1) O núcleo da transformação linear T : R 2 R 2 , T ( x, y) ( x y, 2 x y) é o conjunto:
N (T ) {( x, y ) | T ( x, y ) (0, 0)}
x y 0
2 x y 0
o que implica em ( x y, 2 x y ) (0, 0) ou
Sistema cuja solução é x = 0 e y = 0. Logo, N (T ) {( 0, 0)}
2) Seja a transformação linear T : R 3 R 2 , T ( x, y, z ) ( x y 4 z, 3x y 8z )
Neste caso, o núcleo é dado por: N (T ) {( x, y, z ) R 3 | T ( x, y, z ) (0, 0)} , isto é, um vetor
( x, y, z ) N (T ) se, e somente se, ( x y 4 z, 3x y 8 z ) (0, 0) ou
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x y 4z 0
3x y 8 z 0
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sistema homogêneo cuja solução é x 3z e y z . Logo,
N (T ) {( 3z, z , z ) | z R} ou N (T ) {z (3, 1, 1) | z R} .
Esse núcleo representa uma reta de R 3 que passa pela origem.
6.2.1 Propriedades do Núcleo
1) O núcleo de uma transformação linear T : V W é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:
Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao núcleo N(T) e um número real qualquer. Então, T (v1 ) 0
e T (v2 ) 0 . Assim,
I) T (v1 v2 ) T (v1 ) T (v2 ) 0 0 0 , isto é, (v1 v2 ) N (T ) .
II) T (v1 ) T (v1 ) 0 0 , isto é, v1 N (T ) . cqd.
2) Uma transformação linear T : V W é injetora se, e somente se, N (T ) {0} .
6.3 Imagem
Definição: chama-se imagem de uma transformação linear T : V W ao conjunto dos vetores
w W que são imagem de pelo menos um vetor v V . Indica-se o conjunto imagem por Im(T) ou
T(V).: Im( T ) {w W | T (v ) w} .
Observe que Im( T ) W e Im(T ) , pois 0 T (0) Im( T ) . Se Im( T ) W , T é sobrejetora, isto
é, para todo w W existe pelo menos um v V tal que T (v ) w .
Exemplos:
1) Seja T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x, y, 0) a projeção ortogonal do R 3 sobre o plano xy. A imagem
de T é o próprio plano xy:
Im(T ) {( x, y, 0) R 3 | x, y R}
Observe que o núcleo de T é o eixo-z:
N (T ) {( 0, 0, z ) | z R}
Pois T (0, 0, z ) (0, 0, 0) para todo z R .
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57
2) A imagem da transformação linear identidade I: V V definida por I (v ) v , v V , é todo o
espaço V. O núcleo, neste caso, é N ( I ) {0} .
3) A imagem da transformação nula T : V W definida por T (v ) 0, v V , é o conjunto
Im( T ) {0} . O núcleo, neste caso, é todo o espaço V.
6.3.1 Propriedades da Imagem
A imagem de uma transformação linear T : V W é um subespaço de W.
Demonstração:
Sejam w1 e w2 vetores pertencentes a Im(T) e um número real qualquer. Deve-se mostrar que
existem vetores v e u pertencentes a V tal que T (v ) w1 w2 e T (u ) w1 .
Como w1 , w2 Im(T ) , existem vetores v1 , v2 V tais que T (v1 ) w1 e T (v2 ) w2 . Fazendo
v v1 v2 e u v1 , tem-se:
T (v ) T (v1 v2 ) T (v1 ) T v2 w1 w2
e
T (u ) T (v1 ) T (v1 ) w1 .
Portanto, Im(T) é um subespaço de W. cqd.
6.3.2 Teorema da Dimensão
“Seja V um espaço de dimensão finita e T : V W uma transformação linear. Então,
dim N(T)+dim Im(T) = dim V”.
Exemplo: Determine o núcleo e a imagem do operador linear
T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x 2 y z, y 2 z, x 3 y z ) e verifique o Teorema da
Dimensão.
Solução:
a) N (T ) {( x, y, z ) R 3 | T ( x, y, z ) (0,0,0)} .
De T ( x, y, z ) ( x 2 y z, y 2 z, x 3 y z ) (0,0,0) vem o sistema:
x 2 y z 0
y 2z 0
x 3y z 0
Cuja solução geral é (5 z, 2 z, z ), z R . Logo,
N (T ) {( 5 z,2 z, z ) | z R} {z (5,2, 1) | z R} [(5,2, 1)]
b) Im(T ) {( a, b, c) R 3 | T ( x, y, z ) (a, b, c)} , isto é (a, b, c) Im( T ) se existir ( x, y, z ) R 3
tal que:
( x 2 y z, y 2 z, x 3 y z ) (a, b, c)
Donde vem o sistema:
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58
x 2 y z a
y 2z b
x 3y z c
Que só terá solução se a b c 0 . Logo, Im(T ) {( a, b, c) R 3 | a b c 0} . Note que:
dim N (T ) dim Im( T ) 1 2 3 , que é a dimensão do domínio R 3 .
OBS.: De modo geral: “se T : V W é linear e {v1 , , v n } gera V, então {T (v1 ), , T (vn )}
gera a Im(T)”.
6.3.3 Corolários
Seja T : V W uma transformação linear.
1) Se dim V = dim W, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora.
2) Se dim V = dim W e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se B {v1 , , vn } é
base de V, então T ( B) {T (v1 ), , T (vn )} é base de W.
Demonstração:
1) De fato: T é injetora N (T ) {0} (propriedade 2 do Núcleo de T) 0 + dim Im(T) = dim V
(Teorema da Dimensão) dim Im(T) = dim W (hipótese) Im(T) = W. T é sobrejetora.
Reciprocamente:
T é sobrejetora Im(T) = W dim Im(T)
= dim W dim Im(T) = dim V (hipótese) dim N(T)
= 0 (Teorema da Dimensão) N (T ) {0} T é injetora (propriedade 2 do Núcleo de T). cqd.
Assim, numa transformação linear na qual dim V = dim W , se T é injetora (ou sobrejetora), então T
é também bijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo).
2) De fato: como dim V = dim W = n, basta mostrar que T(B) é LI. Para tanto, considere a
igualdade:
a1T (v1 ) anT (vn ) 0
Ou pela linearidade de T:
T (a1v1 an vn ) 0
Com T é injetora, vem:
a1v1 an vn 0
Sendo B uma base, B é LI e, portanto:
a1 a n 0
Logo, T(B) é uma base de W. cqd.
6.3.4 Isomorfismo
Definição: Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação
linear T : V W , que é bijetora.
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59
Será visto mais adiante que a todo isomorfismo T : V W corresponde um isomorfismo inverso
T 1 : W V .
Exemplos:
1) O operador linear
T : R 2 R 2 , T ( x, y) (2 x y, 3x 2 y)
é um isomorfismo no R 2 . Como dim V = dim W = 2, basta mostrar que T é injetora (Corolário 1 de
3.3.3). De fato: N(T) = {(0,0)}, o que implica em T ser injetora.
2) O espaço vetorial R 2 é isomorfo ao subespaço W {( x, y, z ) R 3 | z 0} do R 3
( W representa o plano xy de R 3 }.
De fato, a aplicação T : R 2 W , tal que T(x, y) = (x, y, 0), é bijetora: pois a cada vetor (x,y) de R 2
corresponde um só vetor (x, y, 0) de W e, reciprocamente. Logo, R 2 e W são isomorfos.
6.4 Matriz de uma Transformação Linear
Sejam T : V W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem prejuízo da
generalização, considere o caso em que dim V = 2 e dim W = 3.
Sejam A {v1 , v2 } e B {w1 , w2 , w3 } bases de V e W, respectivamente.
Um vetor v V pode ser expresso por:
v x1v1 x2 v2 ou v A ( x1 , x2 )
E a imagem T (v ) por:
T (v ) y1 w1 y 2 w2 y3 w3
(1)
ou T (v ) B ( y1 , y 2 , y3 )
Por outro lado:
T (v ) T ( x1v1 x2 v2 ) x1T (v1 ) x2T (v2 )
Sendo T (v1 ) e T (v2 ) vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B:
T (v1 ) a11w1 a21w2 a31w3
T (v2 ) a12 w1 a22 w2 a32 w3
Substituindo-se esses vetores em (2), vem
T (v ) x1 (a11w1 a21w2 a31w3 ) x2 (a12 w1 a22 w2 a32 w3 )
Ou
T (v ) (a11 x1 a12 x2 )w1 (a21 x1 a22 x2 )w2 (a31 x1 a32 x2 )w3
Comparando-se essa igualdade com (1), conclui-se:
y1 a11 x1 a12 x2
y2 a21 x1 a22 x2
y3 a31 x1 a32 x2
(2)
(3)
(4)
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60
Ou na forma matricial:
y1 a11
y a
2 21
y3 a31
a12
x
a 22 1
x
a32 2
Ou simbolicamente:
T (v )B T BA vA
Sendo a matriz T B denominada matriz de T em relação às bases A e B.
A
Exemplo: Seja T : R 3 R 2 , T ( x, y, z ) (2 x y z, 3x y 2 z ) , linear. Considere as bases
com
e
sendo
v1 (1, 1, 1), v2 (0, 1, 1), v3 (0, 0, 1)
A {v1 , v2 , v3 } ,
B {w1 , w2 } ,
w1 (2, 1) e w2 (5, 3) .
a) Determinar T B .
b) Se v (3, 4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R 3 ), calcule T (v ) B utilizando
a matriz encontrada.
A
Solução:
a) A matriz T B é de ordem 2 3:
A
T BA
a11
a12
a21
a22
a13
a23
T (v1 ) T (1, 1, 1) (2, 2) a11 (2, 1) a21 (5, 3)
2a11 5a 21 2
a 4
11
a11 3a 21 2
a 21 2
T (v2 ) T (0, 1, 1) (0, 1) a12 (2, 1) a22 (5, 3)
2a12 5a 22 0
a 5
12
a12 3a 22 1
a 22 2
T (v3 ) T (0, 0, 1) (1, 2) a13 (2, 1) a23 (5, 3)
2a13 5a 23 1
a 13
12
a 22 5
a13 3a 23 2
Logo:
4 5 13
2 2 5
T BA
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b) Sabe-se que:
T (v )B T BA vA
Como v está expresso com componentes na base canônica, teremos, primeiramente, que expressálo na base A. Seja v A (a, b, c) , isto é,
a3
(3, 4, 2) a(1, 1, 1) b(0, 1, 1) c(0, 0, 1) ou a b 4
a b c 2
Sistema cuja solução é a = 3, b = -7 e c = 6, ou seja v A (3, 7, 6) .
Portanto:
3
4 5 13 31
T (v )B
7
2 2 5 6 10
Ou T (v )B (31, 10)
6.5 Operações com Transformações Lineares
6.5.1 Adição
Sejam T1 : V W e T2 : V W transformações lineares. Chama-se soma das transformações
lineares T1 e T2 à transformação linear
T1 T2 : V W
tal que (T1 T2 )(v ) T1 (v ) T2 (v ), v V .
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
T1 T2 BA T1 BA T2 BA
6.5.2 Multiplicação por Escalar
Sejam T : V W transformação linear e R . Chama-se produto de T pelo escalar à
transformação linear
T : V W
tal que (T )(v ) T (v ), v V .
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
T BA T BA
Exemplo: Sejam T1 : R 2 R 3 e T2 : R 2 R 3 transformações lineares definidas por
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T1 ( x, y) ( x 2 y, 2x y, x) e T2 ( x, y) ( x, y, x y) . Determine:
a) T1 T2 .
b) 3T1 2T2
c) a matriz canônica de 3T1 2T2 e mostrar que 3T1 2T2 3T1 2T2
Solução:
a) (T1 T2 )( x, y) T1 ( x, y) T2 ( x, y) ( x 2 y, 2x y, x) ( x, y, x y)
(T1 T2 )( x, y) (2 y, 2x, 2x y)
b) (3T1 2T2 )( x, y) (3T1 )( x, y) (2T2 )( x, y) 3T1 ( x, y) 2T2 ( x, y)
(3T1 2T2 )( x, y) 3( x 2 y, 2x y, x) 2( x, y, x y)
(3T1 2T2 )( x, y) (5x 6 y, 6x 5 y, x 2 y)
5
c) 3T1 2T2 6
1
6
1
5 3 2
1
2
2 1
1 2 0
0 1
0
1 3T1 2T2
1
6.5.3 Composição
Sejam T1 : V W e T2 : W U transformações lineares. Chama-se aplicação composta de T1 e
T2 , e se representa por T2 T1 , à transformação linear
T2 T1 : V U
tal que (T2 T1 )(v ) T2 (T1 )(v ), v V
Se A, B e C são bases de V, W e U, respectivamente, demonstra-se que:
T2 T1 CA T2 CB T1 BA
Exemplo: Sejam S e T operadores lineares em R 2 definidos por S ( x, y ) (2 x, y ) e
T ( x, y ) ( x, x y ) . Determinar:
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a)
b)
c)
d)
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S T
T S
SS
T T
Solução:
a) ( S T )( x, y ) S (T ( x, y )) S ( x, x y ) (2 x, x y )
Observe que:
S T
2 0 2 0 1 0
S T
1 1 0 1 1 1
b) (T S )( x, y ) T ( S ( x, y )) T (2 x, y ) (2 x, 2 x y ) . Observe que S T T S . Isso geralmente
ocorre.
c) ( S S )( x, y ) S ( S ( x, y )) S (2 x, y ) (4 x, y )
d) (T T )( x, y ) T (T ( x, y )) T ( x, x y ) ( x, y ) .
As transformações S S e T T são também representadas por S 2 e T 2
6.6 Transformações Lineares Planas
Entende-se por transformações lineares planas as transformações de R 2 em R 2 . A seguir,
serão vistas algumas de especial importância e suas interpretações geométricas.
6.6.1 Reflexões
a) Reflexão em torno do eixo dos x.
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua imagem (x, -y), simétrica em
relação ao eixo dos x.
Demonstra-se que as reflexões são transformações lineares.
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y ) , sendo sua
Essa transformação particular é
matriz canônica:
1 0
0 1
1 0 x x
ou seja
0 1 y y
b) Reflexão em torno do eixo dos y.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
1 0
0 1
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y ) , sendo sua
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64
1 0 x x
ou seja
y y
0
1
c) Reflexão na origem.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y ) , sendo sua
1 0
0 1
1 0 x x
ou seja
0 1 y y
6.6.2 Dilatações e Contrações
a) Dilatação ou contração na direção do vetor.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y ), R , sendo
0
0
0 x x
ou seja
0 y y
OBS.:
Se 1 T dilata o vetor;
Se 1 T contrai o vetor;
Se 1 T é a identidade I;
Se 0 T troca o sentido do vetor.
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:
0
ou seja
0
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) (x, y ), 0 , sendo
0
1
0 x x
1 y y
Essa transformação é também chamada dilatação ou contração na direção 0x (ou horizontal)
de um fator .
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OBS.:
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65
Se 1 T dilata o vetor;
Se 0 1 T contrai o vetor;
c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y ), 0 , sendo
1 0
0
1 0 x x
ou seja
0 y y
OBS.: Se, nesse caso, fizermos 0 , teríamos
T ( x, y ) ( x, 0) e T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x.
6.6.3 Cisalhamentos
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x y, y ) , sendo sua
1
0 1
1 x x y
ou seja
0 1 y y
Considere a figura abaixo. O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no
paralelogramo OAP’B’, de mesma base e mesma altura. Esse cisalhamento é também chamado
cisalhamento horizontal de fator .
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b) Cisalhamento na direção do eixo dos y.
T : R 2 R 2 tal que T ( x, y ) ( x, y x) , sendo sua
Essa transformação particular é
matriz canônica:
1
1
ou seja
0
1
0 x x
1 y y x
Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento vertical de fator .
6.6.4 Rotação
A rotação do plano em torno da origem (Figura abaixo), que faz cada ponto descrever um
ângulo , determina uma transformação linear T : R 2 R 2 cuja matriz canônica é:
cos
T
sen
sen
cos
As imagens dos vetores e1 (1, 0) e e2 (0,1) , Figura da direita acima, são:
T (e1 ) (cos , sen )
T (e2 ) (sen , cos )
Isto é,
T (e1 ) (cos )e1 (sen )e2
T (e2 ) (sen ) e1 ( cos )e2
Portanto, a matriz da transformação T é:
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T cos
sen
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67
sen
cos
Essa matriz chama-se matriz de rotação de um ângulo , 0 2 , e é a matriz canônica
da transformação linear T : R 2 R 2 , T ( x, y ) ( x cos ysen , xsen y cos ) .
Exemplo: Obtenha a imagem do vetor v (4, 2) pela rotação / 2 .
Solução:
cos / 2 sen / 2
sen / 2 cos / 2
T (4, 2)
4 0 1 4 2
2 1 0 2 4
6.7 Transformações Lineares no Espaço
Entende-se por transformações lineares no espaço as transformações de R 3 em R 3 . Dentre
as diversas transformações lineares em R 3 , examinaremos as reflexões e as rotações.
6.7.1 Reflexões
a) Reflexão em aos planos coordenados.
A reflexão em relação ao plano xOy é transformação linear que leva cada ponto (x, y, z) para
sua imagem (x, y, -z), simétrica em relação ao plano xOy. Assim essa transformação é definida por:.
T ( x, y , z ) ( x, y , z )
E sua matriz canônica é:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
As reflexões em relação aos planos xOz e yOz têm, respectivamente, as seguintes matrizes
canônicas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a) Reflexão em aos eixos coordenados.
A reflexão em torno do eixo dos x é o operador linear T : R 3 R 3 definido por:.
T ( x, y , z ) ( x, y , z )
E sua matriz canônica é:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
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68
De forma análoga, T ( x, y, z ) ( x, y, z ) e T ( x, y, z ) ( x, y, z ) definem as reflexões em
relação aos eixos Ou e Oz, respectivamente.
a) Reflexão na origem.
A reflexão na origem é o operador linear T : R 3 R 3 definido por:.
T ( x , y , z ) ( x, y , z )
E sua matriz canônica é:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6.7.1 Rotações
a) Rotação em torno do eixo dos z.
Dentre as rotações do espaço ressaltamos a rotação do eixo dos z, que faz cada ponto descrever um
ângulo . Esse operador linear é definido por:.
T ( x, y, z ) ( x cos ysen , xsen y cos , z )
E sua matriz canônica é:
cos
sen
0
sen
cos
0
0
0
1
OBS>: O ângulo corresponde ao ângulo central cujos lados interceptam, na circunferência de
centro O , um arco de medida . Esse ângulo não é o ângulo formado pelos vetores v e T (v ).
Exercícios Propostos
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1) Verifique se a transformação é linear:
a) T : R 2 R 3 , definida por T ( x, y ) ( x y, 2 x y, 0) ;
b) T : R 2 R 2 , definida por T ( x, y ) ( x 2, y 3) ;
c) T : R 2 R , definida por T ( x, y) x .
2)
T : R3 R3
Considere
o
operador
linear
T ( x, y , z ) ( x 2 y 2 z , x 2 y z , x y 4 z ) .
a) Determinar o vetor u R 3 tal que T (u ) (1, 8, 11) ;
b) Determinar o vetor v R 3 tal que T (v ) v .
definido
por
3) Sabendo-se que T : R 2 R 3 é uma transformação linear e que T (1, 1) (3, 2, 2) e
T (1, 2) (1, 1, 3) . Determinar T(x, y).
4) Seja T : R 3 R 2 uma transformação linear e B {v1 , v2 , v3 } uma base do R 3 , sendo
v1 (0, 1, 0) , v2 (1, 0, 1) e v3 (1, 1, 0) . Determinar T (5, 3, 2) , sabendo-se que
T (v1 ) (1, 2) , T (v2 ) (3, 1) e T (v3 ) (0, 2)
5) Seja T : R 3 R 2 uma transformação linear tal que T (e1 ) (1, 2) , T (e2 ) (0, 1)
T (e3 ) (1, 3) , {e1 , e2 , e3 } a base canônica de R 3 .
e
a) Determine o N(T) e uma de suas bases. T é injetora?
b) determine Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
6)
Seja T : R 3 R 2 , T ( x, y, z ) (2 x y z, 3x y 2 z ) , linear.
A {v1 , v2 , v3 }, com v1 (1, 1, 1), v2 (0, 1, 1), v3 (0, 0, 1) e
w1 (1, 0) e w2 (0, 1) ou seja a base canônica:
Considere as bases
B {w1 , w2 } , sendo
a) Determine T B .
b) Se v (3, 4, 2) , calcule T (v ) B , utilizando a matriz encontrada.
A
7) Determinar a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa um cisalhamento por
um fator 2 na direção horizontal seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y.
8) Calcular o ângulo formado pelos vetores v e T( v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z
de um ângulo , nos seguintes casos:
a) 180 e v (3, 0, 3) ;
b) 90 e v (
3
2 2
Respostas:
1) (a) sim; (b) não; (c) não.
,
2
2
,
);
4
2
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2) (a) u (1, 2, 3) ; (b) v z (2, 1, 1), z R .
3) T ( x, y ) (7 x 4 y, 3x y, x y ) .
4) T (5, 3, 2) (10, 20) .
5) (a) N (T ) {( z, 5 z, z ) | z R} e T não é injetora; (b) Im(T ) T (1,0,0), T (0,1,0), T (0,0,1) e T é
sobrejetora.
4 5 13
A
6) (a) T B
;
2 2 5
31
(b) T (v )B
10
1 2
7)
1
0
8) (a) 90 ; (b) 60 .
7. OPERADORES LINEARES
No capítulo anterior foi dito que as transformações lineares T de um espaço vetorial V em si
mesmo, isto é, T : V V , são chamadas operadores lineares sobre V.
7.1 Operadores Lineares
7.1.1 Definição
As transformações lineares T de um espaço vetorial V em si mesmo, isto é, T : V V , são
chamadas operadores lineares sobre V.
7.1.2 Operadores Inversíveis
Definição:Um operador T : V V associa a cada vetor v V um vetor T (v ) V . Se por meio de
outro operador S for possível inverter essa correspondência, de tal modo que a cada vetor
transformado T (v ) se associe o vetor de partida v , diz-se que S é operador inverso de T, e se
indica por T 1 .
7.1.2.1 Propriedades dos Operadores Inversíveis
Seja T : V V um operador linear.
I) Se T é inversível e T 1 é seu inverso, então:
T T 1 T 1 T I (identidade).
II) T é inversível se, e somente se, N (T ) {0} .
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71
III) Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) também é base
de V.
IV) Se T é inversível e B uma base de V, então T 1 : V V é linear e:
T
1
B
T B 1
isto é, a matriz do operador linear inverso numa certa base B é a inversa da matriz do operador T
nessa mesma base.
Exemplo 7.1.1 - Seja o operador linear em R 2 definido por: T(x, y) = (4x-3y, -2x+2y).
a) Mostrar que T é inversível .
b) Encontrar uma regra para T 1 como a que define T.
Solução:
4 3
a) A matriz canônica de T é T
. Como det [T] = 2 0, T é inversível.
2 2
1
1 32
4 3
1
1
b) T T
2 2
1 2
Logo:
T
1
x 1 3 x x 32 y
1
3
( x, y) T 1 2
ou T ( x, y) ( x 2 y, x 2 y)
y 1 2 y x 2 y
7.2 Mudança de Base
Sejam A e B bases de um espaço vetorial V. Pretende-se relacionar as coordenadas de um vetor v
em relação à base A com coordenadas do mesmo vetor v em relação à base B.
Para simplificar, considere o caso em que dimV = 3. O problema para espaços de dimensão n é
análogo. Sejam as bases A {v1 , v2 , v3 } e B {w1 , w2 , w3 } .
Dado um vetor v V, este será combinação linear dos vetores da base A e B. Assim,
v x1v1 x2 v2 x3 v3
ou
v A ( x1 , x2 , x3 )
v y1 w1 y 2 w2 y3 w3
ou
v B ( y1 , y 2 , y3 ) .
e
(1)
(2)
Por sua vez, os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
v1 a11w1 a21w2 a31w3
v2 a12 w1 a22 w2 a32 w3
v3 a13 w1 a23 w2 a33 w3
Substituindo (3) em (1), resulta:
(3)
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v x1 (a11w1 a21w2 a31w3 ) x2 (a12 w1 a22 w2 a32 w3 ) x3 (a13 w1 a23 w2 a33 w3 )
Ou
v (a11 x1 a12 x2 a13 x3 )w1 (a21 x1 a22 x2 a23 x3 )w2 (a31 x1 a32 x2 a33 x3 )w3
(4)
Comparando (4) com (2), resulta:
y1 a11 x1 a12 x 2 a13 x3
y 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3
y 3 a31 x1 a32 x 2 a33 x3
Ou na forma matricial:
y1 a11
y a
2 21
y3 a31
I BA
a11
a 21
a12
a 22
a32
a13 x1
a 23 x2
a33 x3
a12
a 22
v1
v2
Ou, ainda
v B I BA v A
Sendo a matriz:
I
A
B
a11 a12
a 21 a 22
a31 a32
a13
a 23
a33
Chamada Matriz de Mudança de Base de A para B.
Note que o papel dessa matriz é transformar as componentes de um vetor v na base A em
componentes do mesmo vetor na base B.
Observações:
1) Comparando a matriz I B com (3), observe que cada coluna, pela ordem, é formada pelas
componentes dos vetores da base A em relação à base B, isto é,
A
a11
v1 B a21 ,
a31
a12
v2 B a22 e
a32
a13
v3 B a23
a33
2) A matriz I B é também conhecida com matriz de transição de A para B.
A
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73
3) A matriz I B é, na verdade, a matriz do operador linear identidade I: V V considerado nas
bases A e B.
A
4) A matriz I B , por transformar os vetores linearmente independentes da base A nos vetores
linearmente independentes da base B, é inversível. Portanto, da equação
A
v B I BA v A
Pode-se obter:
v A I BA v B
1
Donde se conclui que
I
A 1
B
I A
B
Isto é, a inversa da matriz mudança de base de A para B é a matriz mudança de base B para A.
Exemplo 7.1.2 - Sejam as bases A {v1 , v2 } e B {w1 , w2 } do R 2 , onde v1 (2, 1) , v2 (1, 1)
e w1 (1, 0) , w2 (2, 1) .
a) Determinar a matriz mudança de base de A para B.
4
A
b) Utilizar a matriz I B para calcular v B , sabendo-se que v A .
3
Solução:
a) pretende-se calcular:
a
a
I BA 11 12
a 21 a 22
v1
v2
Expresse os vetores da base A em relação à base B:
v1 (2, 1) a11 (1, 0) a21 (2, 1)
a11 2a 21 2
a 21 1
a11 4 e a21 1 ,
v2 (1, 1) a12 (1, 0) a22 (2, 1)
a12 2a 22 1
a 22 1
Logo,
ou
isto é,
v1 B
4
1
isto é,
v2 B
3
1
ou
a12 3 e a22 1,
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74
4 3
1 1
I BA
b) Sabendo-se que:
v B I BA v A
e
v A
4
3
Obtém-se:
4 3 4
1 1 3
v B
v B
7
1
Obs.:
Caso se queira v na base canônica, basta fazer:
v 7(1, 0) 1(2, 1) (5, 1) .
v 4(2, 1) 3(1, 1) (5, 1)
ou
A
Se o problema fosse apenas calcular v B a partir de v A , sem utilizar a matriz I B , bastaria
determinar o vetor v na base canônica, isto é, v (5, 1) e, depois, resolver a equação:
(5, 1) a1 (1, 0) a2 (2, 1) para encontrar a1 7 e a2 1 .
7.2.1 Outra forma de determinação da Matriz Mudança de Base
A matriz mudança de base I B pode ser determinada de uma forma diferente.
Valendo-se das bases A e B do exemplo anterior e sendo C {(1, 0), (0, 1)} a base canônica,
vem:
A
2 1
1 1
I CA
e
I CB
1 2
0 1
Assim, a matriz mudança de base de uma base qualquer para a canônica é a matriz que se obtém
A
B
daquela base dispondo seus vetores em colunas. Faça I C A e I C B .
Levando em conta o que foi visto em 6.5.3, pode-se escrever:
I BA I I BA I CB I CA I CB I CA B 1 A
1
Então, para as bases B e A dadas, tem-se:
I
A
B
1 2
B A
0 1
1
1
2 1 1 2 2 1 4 3
1 1 0 1 1 1 1 1
7.2.1 Aplicações da Matriz-Rotação
Foi visto que a matriz rotação de um ângulo é:
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cos
sen
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75
sen
cos
Observe que as imagens de (1, 0) e (0, 1), pela rotação de , são:
cos
sen
sen 1 cos
cos sen 0 sen
e
sen cos 1 cos respectivamente.
cos 0 sen
Portanto, a base P {u1 , u2 } , sendo u1 (cos , sen ) e u2 (sen , cos ) , é obtida da
base canônica C {eˆ1 , eˆ2 }, sendo eˆ1 (1, 0) e eˆ2 (0, 1) , pela rotação de um ângulo . Assim,
como a base canônica C determina o sistema de coordenadas retangulares xOy, a base P determina
também um sistema de coordenadas retangulares x Oy que provém do sistema xOy por meio da
rotação de um ângulo . Conseqüentemente, cada ponto R ou cada vetor v do plano possui
coordenadas (x, y) em relação ao sistema xOy e ( x , y ) em relação ao sistema x Oy .
A matriz rotação pode ser encarada como matriz mudança de base de P para C, isto é,
I CP
Pois,
cos
sen
sen
cos
(cos , sen ) cos (1, 0) sen (0, 1)
( sen , cos ) sen (1, 0) cos (0, 1)
Exemplo 7.1.3 - Para =90, tem-se a base:
P {(cos 90, sen90), ( sen90, cos 90)} {( 0, 1), (1, 0)}
E, portanto:
I CP
0 1
1 0
Considerando o vetor vP (4, 2) , o vetor v na base canônica é:
0 1 4 2
1 0 2 4
v C I CP v P
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76
No caso de mudança de base de C para P, já foi visto que:
I
C
P
I
P 1
C
cos
sen
sen
cos
1
cos
sen
sen
cos
Exemplo 7.1.4 Para uma rotação de 45 no sistema xOy, o vetor v ( x, y ) (4, 2) na base
canônica será v P ( x , y ) (3 2 , 2 ) na base P.
De fato:
sen 45
sen 45 cos 45
v P
cos 45
2
4 2
2
2
2
2
2 4 3 2
2 2 2
2
7.3 Matrizes Semelhantes
Definição: Seja T : V V um operador linear. Se A e B são bases de V e T A e T B as matrizes
que representam o operador T nas bases A e B, respectivamente, então:
T B I BA T A I BA
1
Sendo I A a matriz mudança de base de B para a base A.
As matrizes T A e T B são chamadas semelhantes. Pode-se afirmar ainda que duas matrizes
T A e T B são semelhantes quando definem em V um mesmo operador linear T. Mais
precisamente, duas matrizes T A e T B são semelhantes quando existir uma matriz M tal que
B
T B M 1 T A M
7.3.1 Propriedades
As matrizes semelhantes T A e T B possuem o mesmo determinante, isto é,
detT B detT A
Problemas Resolvidos.
1) Sejam T : R 2 R 2 um operador linear e as bases A {( 3, 4), (5, 7)} e B {(1, 1), (1, 1)} . E
seja:
2 4
T A
2 1
A matriz de T na base A. Calcule T B pela relação: T B M 1 T A M na qual M é a matriz
mudança de base de B para A.
Solução:
Necessita-se da matriz M que será calculada pela relação: M I A A 1 B , isto é,
B
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3 5
M
4 7
1
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1 1 7 5 1 1 2 12
1 1 4 3 1 1 1 7
77
e
M
1
7
2 6
1
1
2
Logo:
7
2 6 2 4 2 12 5 8 2 12
M
1 7 1 1 1 7
1
2
1
1
2
T B M T A
1
T B
2 4
1 5
As matrizes T A e T B são semelhantes, pois detT B detT A . Ou seja
detT B
2 4
10 4 6
1 5
detT A
2 4
2 8 6
2 1
e
2) Seja o operador T : R 2 R 2 definido por: T ( x, y ) (2 x 9 y, x 2 y ) . Determinar T , a matriz
canônica de T, e a seguir utilizar a relação T B M 1 T A M para transformá-la na matriz de T na
base B {( 3, 1), (3, 1)} .
Solução:
Da definição de T, obtém-se imediatamente:
T
2 9
1 2
A matriz M de mudança de base de B para a canônica A, é dada por:
1 0
M
0 1
1
3 3 1 0 3 3 3 3
1 1 0 1 1 1 1 1
e
M 1
Portanto:
1
6
1
6
1
2
1
2
M I A A 1 B ou
B
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1
M 6
1
6
T B M 1 T A
2011
1
5
2 2 9 3 3 6
1 1 2 1 1 1
2
6
78
5
2 3 3
1
1 1
2
T B
5 0
0 1
7.4 Operador Ortogonal
Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear T : V V é ortogonal se
preservar o módulo de cada vetor de V, isto é,
T (v ) v
Exemplos:
R 2 , com o produto interno
3 3
4
4
T ( x, y ) x y, x y é ortogonal.
5 5
5
5
1)
No
usual,
o
operador
linear
definido
por:
De fato:
2
2
3
4
16 2 24
9 2 9 2 24
16 2
4
3
T ( x, y ) x y x y
x
xy
y
x
xy
y
5
5
25
25
25
25
25
25
5
5
T ( x, y)
25 2 25 2
x
y x 2 y 2 ( x, y) , ( x, y) R 2
25
25
2) Considere o R 2 com o produto interno usual. A rotação do plano de um ângulo dada por:
T ( x, y ) ( x cos ysen , xsen y cos ) é ortogonal. Verifique.
3) No R 3 , com o produto interno usual, o operador linear dado por: T ( x, y, z ) ( y, x, z ) é
ortogonal. De fato:
T ( x, y, z) ( y) 2 x 2 ( z) 2 x 2 y 2 z 2 ( x, y, z)
7.4.1 propriedades do Operador Ortogonal
I) Seja T : V V um operador ortogonal sobre o espaço euclidiano V. Então, a inversa da matriz
de T coincide com sua transposta, isto é,
T 1 T T
Exemplo:
cos
1) A matriz rotação de : T
sen
sen
1
T
é ortogonal. Logo, T T . Verifique.
cos
II) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou 1 . Verifique usando o exemplo anterior.
III) Todo o operador linear ortogonal T : V V preserva o produto interno de vetores, isto é, para
quaisquer vetores u , v V , tem-se: u v T (u ) T (v )
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79
IV) A composta de duas transformações ortogonais é uma transformação ortogonal ou,
equivalentemente, o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
V) As colunas ou linhas de uma matriz ortogonal são vetores ortonormais.
7.5 Operador Simétrico
Definição: Diz-se que um operador linear T : V V é simétrico se a matriz que o representa numa
base ortonormal A é simétrica, isto é, se:
T A T T A
Observações:
1) Demonstra-se que a matriz do operador simétrico é sempre simétrica, independente da base
ortonormal do espaço. Em nosso estudo só trabalharemos com bases canônicas.
2) O operador simétrico é também chamado operador auto-adjunto.
Exemplos:
1) O operador linear T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (2 x 4 y, 4 x y ) é simétrico. Mostre.
2) No R 3 , o operador T definido por: T ( x, y, z ) ( x y, x 3 y 2 z, 2 y ) é simétrico.
Verifique.
7.5.1 Propriedades
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Se T : V V é um operador simétrico, então para quaisquer
vetores u , v V , tem-se:
T (u ) v u T (v )
Exemplo: Seja o operador simétrico, no R 2 , definido por: T ( x, y ) ( x 3 y, 3x 4 y ) . Considere os
vetores: u (2, 3) e v (4, 2) . Demonstre a propriedade acima.
Solução:
T (u ) T (2, 3) (11, 6)
T (v ) T (4, 2) (10, 4)
T (u ) v (11, 6) (4, 2) 44 12 32
e
mas,
T (v ) u (10, 4) (2, 3) 20 12 32 .
Logo,
T (u ) v u T (v )
Exercícios Propostos:
1) A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são inversíveis e, nos
casos afirmativos, determinar uma fórmula para T 1 .
a) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (3x 4 y, x 2 y )
b) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) ( x 2 y, 2 x 3 y )
c) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (2 x y, 4 x 2 y )
d) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x y 2 z, y z, 2 y 3z )
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80
e) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x y z, x 2 y, z )
f) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x, x z, x y z )
2) Seja o operador linear T : R R definido pela matriz:
3
3
1 0 1
2 1 1 .
0 0 1
a) Determine a lei que define o operador T 1 .
b) Utilize a matriz T ou T 1 para obter o vetor v R 3 tal que T (v ) (2, 3, 0) .
3) Considere as seguintes bases de R 2 : A = {(1, 1), (0, -1)} e B = {(2, -3), (-3, 5)}.
A
a) Determine a matriz mudança de base I B .
b) Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A (2, 3) .
c) Determinar a matriz mudança de base de B para A.
4) Sejam B {(1, 0), (0, 1)} , B1 {(1, 1), (1, 0)} , B2 {( 1, 1), (2, 3)} e B3 {( 2, 1), (5, 1)} ,
bases de R 2 .
I BB1 , I BB1 , I BB2 , I BB2 e I BB32 .
a) Determinar as matrizes mudança de base:
b) Determinar o vetor coordenada de v (3, 4) em relação as bases B , B1 , B2 e B3 .
7 6
A
5) Sabendo que I B
e A {(1, 3), (2, 4)} , determinar a base B.
11 8
6) Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz de T na base A e, a seguir<
utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) ( x 2 y, x y ) ; A {(1, 1), (1, 2)} e B {(1, 3), (0, 2)}
b) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (2 x 3 y, x y ) ; A {(1, 0), (0, 1)} e B {( 3, 0), (2, 1)}
c) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (7 x 4 y, 4 x y ) ; A é a base canônica e B {(2, 1), (1, 2)}
d) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x 2 y 2 z, y, 2 y 3z ) ; A é a base canônica e
B {( 0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} .
7) Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
a) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (
1
x
1
y,
2
2
2
2
b) T : R R , T ( x, y ) ( y, x)
c) T : R 2 R 2 , T ( x, y ) ( x y, x y )
d) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( z, x, y )
e) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x, y, z )
1
2
x
1
2
y)
8) Determinar a e b para que os seguintes operadores sejam simétricos:
a) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) (3x 2 y, ax y 3z, by z )
b) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x 2 z, ax 4 y bz, 2 x 3 y z )
Respostas:
1) a) T 1 ( x, y ) ( x 2 y,
1
3
x y ) b) T 1 ( x, y) (3x 2 y, 2 x y) c) T não é inversível.
2
2
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d) T 1 ( x, y, z ) ( x y z, 3 y z, 2 y z )
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81
e) T 1 ( x, y, z ) (2 x y 2 z, x y z, z )
f) T não é inversível.
2) a) T 1 ( x, y, z ) ( x z, 2 x y z, z ) . b) v (2, 7, 0)
8 3
A
3) a) I B
;
5 2
b) vB (7, 4) ;
2 3
B
c) I A
5 8
0 1
1 2
1 1
B
4) a) I B1
,
I BB1
I BB2
1 0
1 1
1 3
8 17
I BB32
3 6
b) vB (3, 4) , v B1 (4, 7) , v B2 (1, 1) , v B3 ( 233 , 113 )
I BB
2
3 2
1 1
5) B {( 3, 2), (2, 1)}
0 3
6) a) T A
,
1 2
2 3
b) T A
,
1 1
5 4
19
2 7
0 53
3 3
T B
T B
7 4
c) T
,
4 1
1 2 2
d) T 0 1
0 ,
0 2
3
7) a) é ortogonal;
e) é ortogonal;
8) a) a = -2 e b = -3;
T B
9 0
0 1
T B
1 0 0
0 1 0
0 0 3
b) é ortogonal;
c) não é ortogonal;
b) a = 0 e b= -3.
d) é ortogonal;
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82
8. AUTOVETORES E AUTOVALORES
8.1 Definição de autovetor e autovalor
Seja T : V V um operador linear. Um vetor v V , v 0 , é um autovetor do operador T se existir
R tal que T (v ) v .
O número real tal que T (v ) v é denominado autovalor de T associado ao autovetor v .
Observações:
a) como se vê pela definição, um vetor v 0 é autovetor se a imagem T (v ) for um múltiplo escalar
de v . No R 2 e R 3 , dir-se-ia que v e T (v ) têm a mesma direção. Assim, dependendo do valor de ,
o operador T dilata v , contrai v , inverte o sentido de v ou o anula se no caso em que
= 0.
b) Os autovalores são também denominados vetores característicos ou vetores próprios.
c) Os autovalores são também denominados valores característicos ou valores próprios.
Exemplos:
1) O vetor v (5, 2) é autovetor do operador linear T : R 2 R 2 , T ( x, y ) (4 x 5 y, 2 x y )
associado ao autovalor = 6, pois: T (v ) T (5, 2) (30, 12) 6(5, 2) 6v .
2) Na simetria definida no R 3 por T (v ) v , qualquer vetor v 0 é autovetor associado ao
autovalor = -1.
8.2 Determinação dos Autovalores e dos Autovetores
8.2.1 Determinação dos Autovalores
Seja o operador linear T : R 3 R 3 , cuja matriz canônica é:
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a32
a13
a32
a33
Isto é, A T .
Se v e são, respectivamente, autovetor e correspondente autovalor do operador T, tem-se:
( v é matriz coluna 31)
A v v
Ou
A v v 0
Tendo em vista que v I v (I é a matriz identidade), pode-se escrever:
( A I )v 0
Para que esse sistema admita soluções não nulas, isto é,
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83
x 0
v y 0
z 0
Deve-se ter:
det( A I ) 0
(8.2.1)
Ou
a11
det a 21
a
31
a12
a 22
a32
a13 0 0
a32 0 0 0
a33 0 0
Ou ainda,
a12
a13
a11
det a 21
a 22
a32 0
a31
a32
a33
(8.2.2)
A equação det( A I ) 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e
suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O determinante det( A I ) 0 é um
polinômio em denominado polinômio característico.
8.2.2 Determinação dos Autovetores
A substituição de pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares (8.2.1) permite
determinar os autovetores associados.
Problemas resolvidos
1) Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear
T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) (3x y z, x 5 y z, x y 3z )
Solução
A matriz canônica do operador T é:
3 1 1
A 1 5 1
1 1 3
A equação característica do operador T é:
3 1
1
det( A I ) 1 5 1 0
1
1 3
Resolvendo o determinante e efetuando algumas operações algébricas, chega-se a equação:
3 112 36 36 0
(8.2.3)
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As soluções inteiras da equação característica (8.2.3), caso existam, são múltiplas do termo
independente -36. Com as devidas substituições na equação acima se constata que 2 é uma
delas. Assim, após divisão da equação (8.2.3) pelo fator (-2), resulta:
( 2)(2 9 18) 0
E, portanto, as demais raízes são solução da equação:
2 9 18 0
Logo, os autovalores do operador T são: 1 2 , 2 3 e 3 6 .
O sistema de equações lineares que permite a determinação dos autovetores associados é:
det( A I ) 0 .
x
Considerando v y , o sistema fica:
z
1 x 0
3 1
1 5 1 y 0
1
1 3 z 0
(8.2.4)
Substituindo por 2 no sistema (8.2.4), obtêm-se os autovetores associados a 1 2 .
1 1 1 x 0
1 3 1 y 0
1 1 1 z 0
Isto é,
x yz 0
x 3 y z 0
x yz 0
O sistema admite infinitas soluções próprias do tipo:
z = -x
y = 0.
Assim os vetores do tipo v1 ( x, 0, x) x(1, 0, 1) , com x 0 , são autovetores associados o
autovalor 1 2 .
De maneira semelhante, os autovetores associados aos demais autovalores, são:
2 3
v2 x(1, 1, 1) , com x 0 .
v3 x(1, 2, 1) , com x 0 .
3 6 .
2) Determinar os autovalores e os autovetores da matriz:
4 5
A
2 1
Solução:
A equação característica de A é:
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det( A I )
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4
5
0
2
1
Isto é:
(4 )(1 ) 10 0
ou
2 5 6 0
Cujas raízes são: 1 6, 2 1 . Que são os autovalores da matriz A.
O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos autovetores
associados é:
5 x 0
4
( A I ) v 0
1 y 0
2
(8.2.5)
Substituindo por 6 no sistema 8.2.5), obtém-se os autovetores associados ao autovalor 1 6 :
2 5 x 0
2 5 y 0
Isto e:
2 x 5 y 0
2x 5 y 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y
2
x.
5
2
2
Assim, os vetores do tipo v1 ( x, x) x(1, ) , com x 0, ou, ainda, v1 x(5, 2) são autovetores
5
5
associados ao autovalor 1 6 .
Substituindo-se por -1 no sistema (8.2.5), obtém-se os autovetores associados ao autovalor
2 1 .
5 5 x 0
2 2 y 0
Isto é:
5 x 5 y 0
2 x 2 y 0
y x .
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
Assim, os vetores do tipo v2 ( x, x) x(1, 1) , com x 0, são autovetores associados ao
autovalor 2 1 .
3) Determinar os autovalores e os autovetores da matriz:
16 10
A
16 8
Solução:
A equação característica de A é:
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det( A I )
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86
16 10
0
16
8
Isto é:
(16 )(8 ) 160 0
ou
2 8 32 0
Cujas raízes são: 1 4 4i, 2 4 4i . Portanto, como só estamos considerando autovalores
reais e as raízes são complexas, diz-se que a matriz A não tem autovalores e nem autovetores reais.
8.3 Propriedades dos Autovalores e dos Autovetores
I) Se v é autovetor associado ao autovalor de um operador linear T, o vetor v , para todo real
0, é também autovetor de T associado ao mesmo .
T (v ) T (v ) (v ) (v )
De fato: T (v ) v e
autovetor associado ao autovalor .
o que prova que o vetor v é
II) Se é um autovalor de um operador linear T : V V , o conjunto S de todos os vetores
v V , inclusive o vetor nulo, associado ao autovalor , é um subespaço vetorial de V.
De fato: se v1 , v2 S :
e, portanto, v1 v2 S .
T (v1 v2 ) T (v1 ) T (v2 ) v1 v2 (v1 v2 )
Por outro lado, se v S , para todo R , tem-se;
T (v ) T (v ) (v ) (v ) e, portanto, v S .
O subespaço vetorial
S {v V | T (v ) v}
é denominado subespaço associado ao autovalor ou espaço característico de T correspondente a
ou auto-espaço associado a .
III) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos
autovalores.
De fato: Sejam T : V V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação entre
matrizes semelhantes é T B M 1 T A M , sendo M a matriz mudança de base de B para A. Então:
det(T B I ) det( M 1 T A M I ) det( M 1 T A M M 1 I M )
det(T B I ) det( M 1 T A M I ) det( M 1 (T A I ) M ) det M 1 det(T A I ) det M
det(T B I ) det M 1 det M det(T A I ) det( M 1 M ) det(T A I )
det(T B I ) det(T A I )
8.4 Diagonalização de Operadores
cqd.
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87
Sabe-se que, dado um operador T : V V , a cada base B de V corresponde uma matriz T B que
representa T na base B. O propósito aqui é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T
nessa base seja a mais simples representante de T. Essa matriz é a matriz diagonal.
8.4.1 Propriedade
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador T : V V são linearmente
independentes.
Demonstração:
Considere o caso em que 1 e 2 são distintos. A prova para o caso de n autovalores distintos é
análoga.
Sejam T (v1 ) 1v1 e T (v2 ) 2 v2 , com 1 2 . Considere a igualdade:
a1v1 a 2 v 2 0
(8.4.1)
Pela linearidade de T, tem-se:
a1T (v1 ) a 2T (v 2 ) 0
a11v1 a 2 2 v 2 0
ou
Multiplicando ambos os membros da igualdade (8.4.1) por 1 , vem:
a11v1 a 2 1v 2 0
(8.4.2)
(8.4.3)
Subtraindo-se (8.4.3) de (8.4.2), resulta:
a 2 (2 1 ) v2 0
Mas: 2 1 0 e v 2 0 . Logo, a2 0 . Substituindo-se a 2 por seu valor em (8.4.1), tendo em
vista que vˆ1 0 , vem:
a1 0 . Logo, o conjunto {v1 , v2 } é LI. cqd.
Corolário:
Sempre que se tiver um operador T : R 2 R 2 com 1 2 , o conjunto {v1 , v2 }, formado pelos
autovetores associados , será uma base de R 2 . Este fato vale em geral, isto é, se T : V V é linear,
dimV=n e T possui n autovalores distintos, o conjunto {v1 , v2 , , vn } , formado pelos
correspondentes autovetores, é uma base de V
Exemplo:
Seja o operador linear: T : R 2 R 2 , T ( x, y) (3x 5 y, 2 y) . A matriz canônica de T é:
3 5
A
2
0
A equação característica de T é:
3
det( A I )
0
5
0
2
ou
(3 )( 2 ) 0
2 6 0 . Cujas raízes são: 1 2, 2 3 . Portanto, os autovalores
Que resulta em;
de T são 1 2, 2 3 . Como 1 2 , os correspondentes autovetores formam uma base de
R2 .
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88
Calculam-se os autovetores através do sistema homogêneo
3
0
5 x 0
2 y 0
Obtém-se:
Para 1 2 os vetores v1 x(1, 1) .
Para 2 3 os vetores v2 x(1, 0) .
Logo, o conjunto {(1, 1), (1, 0)} é uma base de R 2 .
Problema resolvido:
4) Os autovalores de um operador linear T : R 2 R 2 são 1 2 e 2 3 , sendo v1 (1, 1) e
v2 (1, 0) os respectivos vetores associados. Determinar T(x, y).
Solução:
Expresse, inicialmente, (x, y) em relação a base {(1, 1), (1, 0)} :
( x, y ) a(1, 1) b(1, 0)
ou
a b x
a y
Donde vem: a y
operador T, resulta:
e b x y . Logo, ( x, y ) y (1, 1) ( x y )( 1, 0) . Aplicando o
T ( x, y ) yT (1, 1) ( x y )T (1, 0)
Mas,
T (1, 1) 2(1,1) (2,2)
T (1, 0) 3(1,0) (3, 0)
Logo,
T ( x, y ) y (2, 2) ( x y )(3, 0)
T ( x, y ) (3x 5 y, 2 y )
Observação:
Chamando de P a base acima, isto é:
P {(1, 1), (1, 0)} . E observando que:
T (1, 1) 2(1,1) 2(1,1) 0(1, 0)
T (1, 0) 3(1,0) 0(1, 1) 3(1,0)
Donde, conclui-se que a matriz
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T P
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89
0
0 3
2
Que representa o operador T na base dos autovetores e é uma matriz diagonal cujos elementos da
diagonal principal são 1 e 2 .
8.4.2 Propriedade
Considere um operador linear T em R 3 que admite autovalores 1 , 2 e 3 distintos, associados
v1 , v2 e v3 , respectivamente. O corolário da propriedade anterior assegura que o conjunto
P {v1 , v2 , v3 } é uma base de R 3 .
Tendo em vista que
T (v1 ) 1v1 1v1 0v2 0v3
T (v2 ) 2 v2 0v1 2 v2 0v3
T (v3 ) 3 v3 0v1 0v2 3 v3
O operador T é representado na base P dos autovetores pela matriz diagonal:
T P
1
0
0
0
2
0
0
0 D
3
Constituída de autovalores na diagonal principal.
Sendo A a matriz canônica do operador T, isto é, T A , as matrizes A e D são
semelhantes por representarem o mesmo operador T em bases diferentes. Logo, a relação entre
matrizes semelhantes, permite escrever:
D M 1 A M
sendo M a matriz mudança de base P para a canônica C {e1 , e2 , e3 } , onde e1 (1, 0, 0) ,
e2 (0, 1, 0) e e3 (0, 0, 1) .
Como:
M I C C 1 P I 1 P P
P
Portanto, a relação anterior escreve-se:
D P 1 A P
(8.4.4)
Sendo P a matriz cujas colunas são os autovetores do operador T.
A relação (8.4.4) motiva a definição seguinte:
A matriz quadrada A é diagonalizável se existir uma matriz inversível P tal que P 1 A P seja
diagonalizável.
Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora.
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90
A definição acima pode ser expressa de modo equivalente: Um operador linear T : V V é
diagonalizável se existir uma base de V formada por autovetores de T.
Problemas resolvidos
5) Determinar uma matriz P que diagonaliza a matriz:
3 1 1
A 1 5 1
1 1 3
E calcular P 1 A P .
Solução:
No problema resolvido número 1, já foram calculados os autovalores e os autovetores de A e foi
encontrado: 1 2 e v1 (1, 0, 1) , 2 3 e v2 (1, 1, 1) , 3 6 e v3 (1, 2, 1) .
Como os i são distintos, o conjunto P {v1 , v2 , v3 } forma base do R 3 e, portanto, a matriz
1 1 1
P 0 1 2
1 1 1
diagonaliza A.
Calculando:
12
P 1 AP 13
16
12
P 1 AP 13
16
0
1
3
13
0
1
3
13
12 3 1 1 1 1 1
1
5 1 0 1 2
3 1
1
1 3 1 1 1
6 1
12 2 3 6
1
3 12
3 0
1
3 6
6 2
2 0 0
P AP 0 3 0 D
0 0 6
1
T ( x, y ) ( 4 x 5 y , 2 x y ) .
6) Seja T : R 2 R 2 um operador linear dado por:
2
uma base de R em relação a qual a matriz de T é diagonal.
Solução:
A matriz canônica do operador T é:
4 5
A
2 1
Encontre
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Pelo problema resolvido de número 2, os autovalores são: 1 6, 2 1 , e os respectivos
autovetores são: v1 (5, 2) e v2 (1, 1) .
A base em relação a qual a matriz P é diagonal é P {( 5, 2), (1, 1)} , base dos autovetores.
Por conseguinte a matriz
5 1
P
2 1
é a matriz que diagonaliza A, isto é:
1
P 1 AP 72
7
4 5 5 1 6 0
D
2 1 2 1 0 1
1
7
5
7
7) Determinar a matriz P que diagonaliza a matriz
2 1 0
A 0 1 1
0 2 4
Solução:
A equação característica de A é:
1
0
2
det( A I ) 0
1 1 0
0
2
4
Ou seja,
(2 )(1 )( 4 ) 2(2 ) 0
Ou, ainda
(2 )[(1 )(4 ) 2] (2 )[2 5 6] (2 )(2 )(3 ) 0
Donde vem: 1 2 e 2 3 (o número 2 é uma raiz dupla da equação).
Calculando os autovetores por meio do sistema homogêneo:
1
0 x 0
2
0
1 1 y 0
0
2
4 z 0
Obtém-se:
Para 1 2 um só autovetor LI, v1 (1, 0, 0) ;
Para 2 3 um só autovetor LI, v1 (1, 1, 2) .
Como só existem 2 vetores LI de R 3 , não existe uma base P constituída de autovetores . Logo, A
não é diagonalizável.
8.5 Diagonalização de Matrizes Simétricas
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8.5.1 Propriedades
I) A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais.
Será demonstrado apenas o caso de uma matriz simétrica A de ordem 2. De fato: seja a matriz
p r
A
r q
A equação característica de A é:
det( A I )
p
r
0
r
q
Isto é,
( p )(q ) r 2 0
Ou:
2 ( p q) ( pq r 2 ) 0
O discriminante dessa equação do 2º.grau em é:
( p q) 2 4( pq r 2 ) p 2 2 pq q 2 4 pq r 2 p 2 2 pq q 2 r 2 ( p q) 2 r 2
Tendo em vista que esse discriminante é uma soma de quadrados (não negativo), as raízes da
equação característica são reais e, por conseguinte, a matriz A possui dois autovalores.
II) Se T : V V é um operador linear simétrico com autovalores distintos, então os autovetores
são ortogonais.
De fato:
Sejam 1 e 2 dois autovalores do operador simétrico T e 1 2 . Sejam ainda T (v1 ) 1v1 e
T (v1 ) 1v1 e T (v2 ) 2 v2 . Pretende-se mostrar que
v1 v2 0
Sendo T um operador simétrico, pela propriedade 7.5.1, vem:
T (v1 ) v2 v1 T (v2 )
Ou
1v1 v2 v1 2 v2
Ou:
1v1 v2 v1 2 v2 0
Ou, ainda:
(1 2 ) (v1 v2 ) 0
Mas, 1 2 0 implica v1 v2 0 , ou seja:
v1 v2
III) em 8.4.3 foi visto que uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dos autovetores através de:
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D P 1 A P
93
(8.5.1)
No caso particular de a matriz A ser simétrica, pela propriedade anterior (II), P será base ortogonal.
Tendo em vista futuras aplicações, é conveniente que P, além de ortogonal, seja ortonormal, o que
se obtém normalizando cada vetor.
Assim, de acordo com a propriedade V de 7.4.1, os autovetores ortonormais de P formarão uma
matriz ortogonal e, pela propriedade I de 7.4.1, tem-se P 1 P T . Portanto, a relação (8.5.1) fica:
D PT A P
e, nesse caso, diz-se que P diagonaliza A ortogonalmente.
8.5.2 Problemas resolvidos
8) Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica:
7 2 0
A 2 6 2
0 2 5
Solução:
A equação característica de A é:
7 2
0
det( A I ) 2 6 2 0
0
2 5
Ou:
(7 )(6 )(5 ) 4(5 ) 4(7 ) 0
(7 )(6 )(5 ) 48 8 0
(7 )(6 )(5 ) 8(6 ) 0
(6 )(2 12 27) 0
(6 )( 3)( 9) 0
As raízes dessa equação são 1 3 , 2 6 e 3 9 e, por conseguinte, são autovalores da matriz
A.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
( A I )v 0
x
Considerando v y , o sistema fica:
z
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0 x 0
7 2
( A I )v 2 6 2 y 0
0
2 5 z 0
94
(8.5.2)
Substituindo-se por 3 no sistema (8.5.2), obtém-se os autovetores associados a 1 3 .
4 2 0 x 0
2 3 2 y 0
0 2 2 z 0
4x 2 y 0
2 x 3 y 2 z 0
2 y 2z 0
y 2 x , z 2x .
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
Assim, os vetores v1 ( x, 2x, 2x) x(1, 2, 2) são autovetores associados ao autovalor 1 3 .
Fazendo:
x
1
1 2 2
2
2
1
3
Obtém-se o autovetor unitário u1 ( 13 , 23 , 23 ) associado a 1 3 .
De maneira similar, substituindo-se 2 6 e 3 9 em (8.5.2), resultam, respectivamente:
e
v2 ( x, 12 x, x) x(1, 12 , 1)
u 2 ( 23 , 13 , 23 ) ;
e
v3 ( x, x, 12 x) x(1, 1, 12 )
u 2 ( 23 , 23 , 13 ) .
A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 , u 2 e u3 associados aos
autovalores 1 , 2 e 3 é ortogonal:
13
P 23
23
2
3
1
3
23
1
3
2
3
2
3
A matriz P é a matriz diagonalizadora. De fato:
D P 1 A P P T A P
Isto é,
13
D 23
23
13
D 23
23
2
3
1
3
23
2
3
1
3
23
7 2 0 13
23 2 6 2 23
1
2 5 23
3 0
2
3
6
1 4
23 2 2 6
1
4 3
3 2
3 0 0
D 0 6 0
0 0 9
2
3
2
3
1
3
23
1
3
2
3
2
3
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95
9) Seja o operador linear simétrico T : R 3 R 3 definido pela matriz:
1 0 2
A 0 0 0
2 0 4
Determinar uma matriz ortogonal que diagonaliza A.
Solução:
A equação característica de A é:
1 0
2
det( A I ) 0
0 0
2
0 4
Ou seja:
(1 )( )( 4 ) 4 0
3 52 0 2 (5 ) 0
As raízes dessa última equação são: 1 0 , 2 0 e 3 5 e, por conseguinte, são autovalores do
operador linear simétrico T.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
( A I )v 0
x
Considerando v y , o sistema fica:
z
2 x 0
1 0
0
0 y 0
2
0 4 z 0
(8.5.3)
Substituindo-se por zero no sistema (8.5.3), obtém-se os autovetores associados a 1 0 e
2 0 :
1 0 2 x 0
0 0 0 y 0
2 0 4 z 0
x 2z 0
2 x 4 z 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: z 12 x e y qualquer.
Assim os vetores v ( x, y, 12 x) são autovetores associados a 1 0 e 2 0 .
Fazendo-se x = 2 e y = 0, por exemplo, obtém-se um vetor v1 (2, 0, 1) ; fazendo-se x = 0 e y = 1,
por exemplo, obtém-se outro vetor v2 (0, 1, 0) . Os autovetores v1 e v2 , linearmente
independentes, são associados ao mesmo autovalor 0 .
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Os autovetores unitários associados a v1 e v2 , são:
1
2
1
u1 v1 ( , 0,
);
v1
5
5
1
u 2 v2 (0, 1, 0)
v2
Substituindo por 5 no sistema (8.5.3), obtém-se os autovetores associados a 3 5 :
4 0 2 x 0
0 5 0 y 0
2 0 1 z 0
4 x 2 z 0
5y 0
2x z 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: z 2 x e y 0 .
Assim, os vetores v3 ( x, 0, 2 x) x(1, 0, 2) , são os autovetores associados a 3 5 .
Fazendo x
1
1 0 4
1
5
1
2
obtém-se o autovetor unitário u 3 ( , 0,
) , associado a 3 5 .
5
5
A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 , u 2 e u3 associados aos
autovalores 1 , 2 e 3 é ortogonal:
2
5
P0
1
5
0
1
0
0
2
5
1
5
A matriz P é a matriz diagonalizadora. De fato:
D P 1 A P P T A P
Isto é,
2
5
D0
1
5
0
1
0
1 0 2 2
5
0 0 0 0 0
2
2 0 4 15
5
2
5
D0
1
5
0
1
0
5
0 0
5
0 0 0
0
2
0 0 105
5
1
5
1
5
0 0 0
D 0 0 0 .
0 0 5
0
1
0
0
2
5
1
5
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10) Seja o operador linear simétrico T : R 2 R 2 definido pela matriz
4 12
A
12 3
Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza A.
Solução:
A equação característica de A é:
det( A I )
4
12
0
12 3
Isto é:
(4 )( 3 ) 144 0
2 156 0
As raízes dessa equação são 1 12 e 2 13 e, por conseguinte, 1 12 e 2 13 são os
autovalores do operador linear T.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
( A I )v 0
x
Considerando v , o sistema fica:
y
4
12
12 x 0
3 y 0
(8.5.4)
Substituindo por -12 no sistema (8.5.4), obtêm-se os autovetores associados a 1 12 :
16 12 x 0
12 9 y 0
16 x 12 y 0
12 x 9 y 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y 43 x .
Assim, os vetores v1 ( x, 43 x) x(1, 43 ) são os autovetores associados a 1 12 .
Fazendo:
x
1
1
16
9
1
25
9
3
5
obtém-se o autovetor unitário u1 ( 53 , 54 ) associado ao autovalor 1 12 .
Substituindo por 13 no sistema (8.5.4), obtêm-se os autovetores associados a 2 13 :
9 12 x 0
12 16 y 0
9 x 12 y 0
12 x 16 y 0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y 34 x .
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Assim, os vetores v2 ( x, 34 x) x(1, 34 ) são os autovetores associados a 2 13 .
Fazendo:
x
1
1 169
1
25
16
4
5
obtém-se o autovetor unitário u 2 ( 54 , 53 ) associado ao autovalor 2 13 .
A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 e u 2 associados aos
autovalores 1 e 2 é ortogonal:
53
P 4
5
4
5
3
5
A matriz P é a matriz diagonalizadora de A. De fato:
D P 1 A P P T A P
53
D 4
5
54 4 12 53
3
3 54
5 12
53
D 4
5
54 365
3 48
5 5
52
5
39
5
4
5
3
5
12 0
D
0 13
Exercícios Propostos
1) verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes
matrizes:
2 2
a) v (2, 1),
1 3
1 1 1
b) v (1, 1, 2), 0 2 1
0 2 3
1 1 0
c) v (2, 1, 3), 2 3 2
1 2 1
2) Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares:
a) T : R 2 R 2 , T ( x, y) ( x 2 y, x 4 y) .
b) T : R 2 R 2 , T ( x, y) (2 x 2 y, x 3 y)
c) T : R 2 R 2 , T ( x, y) (5x y, x 3 y)
d) T : R 2 R 2 , T ( x, y) ( y, x)
e) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x y z, 2 y z, 2 y 3z )
f) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x, 2 x y, 2 x y 2 z )
g) T : R 3 R 3 , T ( x, y, z ) ( x y, y, z )
Apostila de Álgebra Linear
Prof. Airton Prati
2011
99
3) Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
1 3
a) A
1 5
2 1
b) A
3 4
1 1 0
c) A 2 3 2
1 1 2
3 1 3
d) A 0 2 3
0 0 1
1 0 0
e) A 1 1 2
0 1 1
3 2 1
f) A 1 4 1
1 2 3
4) Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e
calcular P 1 AP .
2 4
a) A
3 1
9 1
b) A
4 6
5 1
c) A
1 3
1 2 1
d) A 1 3 1
0 2 2
0
0
1
e) A 2 3 1
0 4 3
2 3 1
f) A 0 1 4
0 0 3
5) Seja T : R 2 R 2 o operador linear definido por T ( x, y ) (7 x 4 y, 4 x y ) .
a) Determinar uma base de R 2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
b) Dar a matriz T nessa base.
6) Para cada uma dessas matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para a qual
P 1 A P seja diagonal:
2 2
a) A
2 2
1 0 1
d) A 0 1 0
1 0 1
3 1
b) A
1 3
2 2
c) A
2 5
7 2 2
e) A 2 1
4
1
2 4
7) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P 1 A P .
5 3
a) A
3 5
6 0 6
d) A 0 2 0
6 0 1
Respostas:
0 0 2
b) A 0 1 0
2 0 0
3 1 1
c) A 1 5 1
1 1 3
2 2 1
e) A 2 2
1
1 1
5
Apostila de Álgebra Linear
Prof. Airton Prati
2011
100
1) a) sim; b) sim; c) não.
2) a) 1 3 , v1 ( y, y) ; 2 2 , v2 (2 y, y) .
b) 1 1 , v1 y(2, 1) ; 2 4 , v2 x(1, 1) .
c) 1 2 4 , v x(1, 1) .
d) Não existem.
e) 1 2 1 , v ( x, y, y ) ; 3 4 , v3 x(1, 1, 2) .
f) 1 1 , v1 z(3, 3, 1) ; 2 1 , v2 z(0, 3, 1) ; 3 2 , v3 z (0, 0, 1)
g) 1 2 3 1 , v ( x, 0, z ) , x e z não simultaneamente nulos.
3) a) 1 2 , v1 y(3, 1) ; 2 4 , v2 y(1, 1) .
b) 1 1 , v1 y(1, 1) ; 2 5 , v2 x(1, 3) .
c) 1 1 , v1 x(1, 0, 1) ; 2 2 , v2 z(2, 2, 1) ; 3 3 , v3 x(1, 2, 1)
d) 1 1 , v1 x(1, 1, 1) ; 2 2 , v2 x(1, 1, 0) ; 3 3 , v3 x(1, 0, 0)
e) 1 1 , v1 z(2, 2, 1) ; 2 e 3 imaginários.
f) 1 2 , v1 ( x, y, x 2 y) ; 2 6 , v2 ( x, x, x)
2 0
P 1 A P
0 5
1 4
4) a) P
,
1 3
1 1
b) P
,
1 4
10 0
P 1 A P
0 5
c) Não diagonalizável.
2 1 0
d) P 1 0 1 ,
2 1 2
3 0 0
P A P 0 2 0
0 0 1
1
e) Não diagonalizável.
3 1 7
f) P 1 0 2 ,
0 0 1
5) a) {(-2, 1), (1, 2)};
1
2
6) a) P
1
2
1
2
1
2
1 0 0
P A P 0 2 0
0 0 3
1
9 0
b)
.
0 1
b) P
1
2
1
2
1
2
1
2
c) P
1
5
2
5
2
5
1
5
Apostila de Álgebra Linear
1
2
d) P 0
1
2
7) a) P
1
b) P
1
2
0
1
2
2
1
2 ,
1
2
1
2
1
0 ,
1
0
2
2
1
2
c) P 0
1
2
1
6
1
e) P
6
2
6
1
3
1
3
1
3
2
13
0
2
13
1
1
6
2
,
6
1
6
13
0 ,
3
13
3
3
1
3
1
3
2011
1
3
1
1
6
1
3
1
6
1
3
6
0
1
2
1
2
8 0
PT A P
0 2
0
2
0
1
0
d) P 1
0
e) P
0
1
0
1
2
1
Prof. Airton Prati
0
2 0
P A P 0 1 0
0 0 2
T
2 0 0
P A P 0 3 0
0 0 6
T
2 0 0
P A P 0 10 0
0 0 3
T
1
2
1
,
2
0
Bibliografi
[1] BOLDRIN, C e FIGUEIREDO, W., Álgebra Linear, Ed. Arbra Ltda, São Paulo, 1986.
[2] STEINBRUCh, A.e WINTERLE, P., Algebra Linear, McGraw-Hill, São Paulo, 1987.
101
