Apostila 2

Apostila de Álgebra Linear
Prof. Airton Prati
2011
46
5. ESPAÇOS VETORAIS EUCLIDIANOS
5.1 Definição
Espaço Vetorial Euclidiano é todo o espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido
um produto interno.
5.2 Produto Interno em Espaços vetoriais
Definição: Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de VV em R, que a todo
 
 
 
par de vetores (u , v )  V  V associa um número real, indicado por u  v ou  u , v  , tal que os
seguintes axiomas sejam verificados:
   
P1: u  v  v  u ;
  
   
P2: u  (v  w)  u  v  u  w ;
 
 
P3: (u )  v   (u  v ) para todo   R ;
 
 
 
P4: u  u  0 e u  u  0 se, e somente se, u  0 .
Propriedades do Produto Interno
    

I) 0  u  u  0  0 para todo u  V ;
      
II) (u  v )  w  u  w  v  w ;


 
III) u  (v )   (u  v ) para todo o  real;
  

   
 
IV) u  (v1  v2    vn )  u  v1  u  v2    u  vn
Exemplos:


1) No espaço vetorial V  R 2 , a função que associa a cada par de vetores, u  ( x1, y1 ) e v  ( x2 , y2 )
 
o número real u  v  3x1x2  4 y1 y2 é um produto interno?
Solução:
É necessário mostrar que a função dada verifica os quatro axiomas.
 
 
 
P1: u  v  3x1 x2  4 y1 y2  u  v  3x2 x1  4 y2 y1  v  u .

P2: Se w  ( x3 , y3 ) , então:
  
u  (v  w)  ( x1 , y1 )  ( x2  x3 , y 2  y3 )  3x1  ( x2  x3 )  4 y1  ( y 2  y3 )
  
   
u  (v  w)  (3x1 x2  4 y1 y 2 )  (3x1 x3  4 y1 y3 )  u  v  u  w .
 
 
P3: (u )  v  (x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  3(x1 ) x2  4(y1 ) y2   (3x1 x2  4 y1 y2 )   (u  v ) ;
 
 
P4: u  u  3x 1 x 1  4y1 y1  3x 12  4 y12  0 e u  u  3x 12  4 y12  0 se, e somente se, x1  y1  0 , isto


é, u  (0, 0)  0 .
Isto prova que a função dada define um produto interno em V. Porém, esse produto interno é
 
diferente do produto interno usual de R 2 , definido por: u  v  x1 x2  y1 y2 .
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 
2) Em relação ao produto interno usual de R 2 , calcule u  v , sendo dados:


a) u  (3, 4) e v  (5,  2) ;


1
b) u  (6,  1) e v  ( ,  4) ;
2


c) u  (2, 3) e v  (0, 0)
Solução:
 
a) u  v  (3)5  4(2)  15  8  23
 
1
b) u  v  6( )  1(4)  3  4  7
2
 
c) u  v  2(0)  3(0)  0  0  0
5.3 Módulo de um vetor

Definição: Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou


comprimento de v o número real não-negativo, indicado por v , definido por:

 
v  v v

Observe que se u  ( x1 , y1 , z1 ) for um vetor do R 3 com produto interno usual, tem-se:

u  ( x1 , y1 , z1 )  ( x1 , y1 , z1 )  x12  y12  z12
5.4 Distância entre dois vetores


Definição:
chama-se distância entre vetores (ou pontos) u e v o número real representado por
 
d (u , v ) e definido por:
 
 
d (u , v ) | u  v |


Sendo u  ( x1 , y1 , z1 ) e v  ( x2 , y2 , z 2 ) vetores do R 3 , com produto interno usual, tem-se:
 
 
d (u, v ) | u  v || ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z 2 ) |
Ou
 
d (u , v )  ( x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2
5.5 Propriedades do Módulo de um vetor
Definição: Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Então, as seguintes propriedades são válidas:



 
I) | v |  0,  v  V e | v | 0, se, e somente se, v  0 .


II) |  v ||  | | v |,  v  V ,   R .
 
 
 
III) | u  v |  | u | | v |,  u , v  V .
 


 
IV) | u  v |  | u | | v |,  u , v  V .
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5.6 Ângulo de dois vetores


Definição: Sejam u e v vetores
não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V.
 
 
A desigualdade de Schwartz | u  v |  | u | | v | , pode ser escrita como:
 
 
|u v |
u v
   1 ou
  1
| u || v |
| u || v |
O que implica:
 
u v
1     1
| u || v |
Por esse motivo, pode-se dizer que essa fração é o co-seno de um ângulo , denominado ângulo dos
 
vetores u e v :
 
u v
cos( )    , 0    
| u || v |
Problemas Resolvidos.

1) Considere o R 3 com o produto interno usual. Determine a componente c do vetor v  (6,  3, c)

tal que | v |  7 .
Solução:

| v | 6 2  (3) 2  c 2  7  36  9  c 2  49  c 2  4  c  2
2) Seja o produto interno usual no R 3 . Determinar o ângulo entre os seguintes vetores:


u  (2, 1,  5) e v  (5, 0, 2)
Solução:

| u | 2 2  12  (5) 2  30

| v | 5 2  0 2  2 2  29
 
u  v  2  5  1  0  (5)  2  10  10  0
Donde vem:
 

u v
0
  rad.
cos( )    
0 
2
| u || v |
30  29
5.7 Vetores Ortogonais


Definição: Seja V um espaço
vetorial Euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V são
 
 
ortogonais, e se representa por u  v , se, e somente se, u  v  0 .
Exemplo: seja V  R 2 um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno

( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  x1 x2  2 y1 y2 . Em relação a este produto interno, os vetores u  (3, 2) e

v  (4, 3) são ortogonais, pois:
 
u  v  (3)  4  2  2  3  12  12  0 .
Obs.:


1) O vetor 0  V é ortogonal a qualquer vetor v V .
 
 
2) Se u  v , então  u  v para todo   R .
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
 

 

3) u1  v e u 2  v , então (u1  u2 )  v .
5.8 Conjunto Ortogonal de Vetores
Definição: Seja V um espaço vetorial Euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores


{v1 , v2 ,, vn }  V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, se
 
vi  v j  0 para i  j .
Exemplo: No R 3 , o conjunto {(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -1, -5)} é ortogonal em relação ao produto
interno usual, pois:
(1, 2,  3)  (3, 0, 1)  0
(1, 2,  3)  (1,  5,  3)  0
(3, 0, 1))  (1,  5,  3)  0
5.8.1 Teorema
 

Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A  {v1 , v2 , , vn } é linearmente independente (LI).
Demonstração:
Considere a igualdade:


 
a1v1  a2 v2    an vn  0

E faça o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi :



  
(a1v1  a2 v2    an vn )  vi  0  vi
ou
 
 
 
a1 (v1  vi )  a2 (v2  vi )    an (vn  vi )  0
 
 
 
 
Como A é ortogonal v j  vi  0 para j  i e vi  vi  0 , pois vi  0 . Então, ai (vi  vi )  0 implica
 

ai  0 para todo i  1, 2,  , n . Logo, A  {v1 , v2 , , vn } é LI. cqd.
5.8.2 Base Ortogonal


Definição: Diz-se que uma base {v1 , v2 ,, vn } de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois
ortogonais.
Assim, levando em conta o teorema anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores nãonulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apresentado
no exemplo anterior, {(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -1, -5)}, é uma base ortogonal de R 3 .
5.8.2.1 Base Ortonormal
 

Definição: Uma base B  {v1 , v2 , , vn } de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é
ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é, se:
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  0 para i  j
vi  v j  
1 para i  j
Exemplos: Em relação ao produto interno usual:
1) B  {(1, 0), (0, 1)} é uma base ortonormal de R 2 (é a chamada base canônica);
2) B  {(
3 1
1 3
, ), ( ,
)} é também uma base ortonormal de R 2 . (verifique);
2 2
2 2
3) B  {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é uma base ortonormal de R 3 (é a base canônica);
5.8.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
 

Definição: Seja um espaço vetorial euclidiano V e uma base qualquer B  {v1 , v2 , , vn } desse
espaço. A partir dessa base é possível determinar uma base ortogonal de V.


De fato, supondo que v1 , v2 ,, vn não são ortogonais, considere que:
 
w1  v1




E determine o valor de  de modo que w2  v2  w1 seja ortogonal a w1 :



 
 

(v2  w1 )  w1  0 
v2  w1   (w1  w1 )  0
 
v2  w1
  
w1  w1
Isto é,
 

  v2  w1  
w2  v2     w1
 w1  w1 


Assim, os vetores w1 e w2 são ortogonais.
Considere agora o vetor:




w3  v3  a2 w2  a1 w1



e determine os valores de a 2 e a1 de maneira que w3 seja ortogonal aos vetores w1 e w2 ou seja:




(v3  a2 w2  a1 w1 )  w1  0





(v3  a2 w2  a1 w1 )  w2  0
 
 
 
 v3  w1  a2 ( w2  w1 )  a1 ( w1  w1 )  0
 
 
 
v3  w2  a 2 ( w2  w2 )  a1 ( w1  w2 )  0
 
Tendo em vista que w1  w2  0 , vem:
 
 
 v3  w1  a1 ( w1  w1 )  0
 
 
v3  w2  a2 ( w2  w2 )  0
e
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 
 
v3  w1
v3  w2
a1    ; a2    , isto é:
w1  w1
w2  w2
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 
 

  v3  w2    v3  w1  
w3  v3     w2     w1
 w2  w2 
 w1  w1 

 
Assim, os vetores w1 , w2 e w3 são ortogonais.
Pode-se concluir o teorema por indução, admitindo-se que, por esse processo, tenham sido
 

obtidos (n-1) vetores w1 , w2 , , wn1 e considerar o vetor:





wn  vn  an1 wn1    a2 w2  a1 w1

 

Sendo a1 , a2 , , an1 tais que o referido vetor wn seja ortogonal aos vetores w1 , w2 , , wn1 .

Os valores a1 , a2 , , an1 que aparecem em wn são:
 
 
 
vn  w1
vn  w2
vn  wn1
a1    ; a2    ; ; an1  

w1  w1
w2  w2
wn1  wn1
 

Assim, a partir de uma base qualquer B  {v1 , v2 , , vn } , obteve-se a base ortogonal
 

{w1 , w2 , , wn }. Esse processo que permite a determinação de uma base ortogonal a partir de uma
base qualquer, chama-se processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

wi


Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor wi . Fazendo ui   ,
| wi |
obtém-se:
 

B  {u1 , u 2 , , u n }
Que é uma base ortonormal obtida a partir da base
 

B  {v1 , v2 , , vn }
Exemplo:



Sejam v1  (1, 1, 1) , v2  (0, 1, 1) e v3  (0, 0, 1) vetores de R 3 . Esses vetores constituem uma base
  
B  {v1 , v2 , v3 } não ortogonal em relação ao produto interno usual. Pretende-se obter, a partir de B,
  
uma base B  {u1 , u 2 , u3 } que seja ortonormal.
Solução
 
w1  v1  (1, 1, 1)


w1

 1 1 1 
(1,1,1)
u1   
 
,
,

| w1 |
12  12  12  3 3 3 
 
 (0,1,1)  (1, 1, 1) 

  v2  w1  

(1, 1, 1)
w2  v2     w1  (0, 1, 1)  
w

w
(
1
,
1
,
1
)

(
1
,
1
,
1
)


 1 1
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
2 1 1
w2  (  , , )
3 3 3
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
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2 1 1
2 1 1

( , , ) ( , , )
w

3 3 3  3 3 3    2 , 1 , 1 
u2   2 


| w2 |
4 1 1
6
6 6 6

 
9 9 9
3
 
 

  v3  w2    v3  w1  
w3  v3     w2     w1
 w2  w2 
 w1  w1 
2 1 1 

 (0, 0, 1)  ( , , )  2 1 1  (0, 0, 1)  (1, 1, 1) 
3 3 3 (  , , )  
(1, 1, 1)
w3  (0, 0, 1)  
2 1 1  3 3 3  (1, 1, 1)  (1, 1, 1) 
 2 1 1
 ( , , )  ( , , ) 
3 3 3 
 3 3 3

1 1
w3  (0,  , )
2 2

1 1
1 1

(0, , )
(0, , )
w3

2 2 
2 2   0,  1 , 1 
u3   
| w3 |
1 1
2
2
2

0 
4 4
2
  
A base B  {u1 , u 2 , u3 } é uma base ortonormal, porque:
 
 
 
u1  u 2  u1  u3  u 2  u3  0
e



| u1 || u 2 || u3 | 1
5.8.4 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal
 

Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano e B  {v1 , v2 , , vn } uma base ortogonal de V.

Para um vetor w V , tem-se:




w  a1v1    ai vi    an vn .

Efetuando o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi , vem:
 




w  vi  (a1v1    ai vi    an vn )  vi
ou
 
 
 
 
w  vi  a1 (v1  vi )    ai (vi  vi )    an (vn  vi )
Ou
 
 
 
w  vi  ai (vi  vi ) , pois vi  v j  0 para j  i
Logo,
 
w  vi
ai   
vi  vi

é a i-ésima coordenada de w em relação a base B.
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Exemplo: Seja V  R 2 com produto interno usual e a base ortogonal B  {( 2, 1), (1, 2)} . Calcule



as coordenadas do vetor w  (4, 7) em relação a essa base B, na qual v1  (2, 1) e v2  (1, 2) .
Solução:



w  a1v1  a2 v2
Para determinar a1 e a 2 , utiliza-se a fórmula (5.8.4):
 
w  v1 (4, 7)  (2, 1) 8  7 15
a1    


3
v1  v1 (2, 1)  (2, 1) 4  1 5
 
w  v2
(4, 7)  (1, 2)  4  14 10
a2    


2
v2  v2 (1, 2)  (1, 2)
1 4
5
Logo:




ou
w  3v1  2v2
wB  (3, 2)

Como se viu as coordenadas de w , na base canônica, são 4 e 7, enquanto na base B são 3 e 2.
 

Obs.: No caso particular de B  {v1 , v2 , , vn } ser uma base Ortonormal de V, os coeficientes a i




do vetor w  a1v1    ai vi    an vn , pela fórmula (5.8.4), são dados por:
 
a i  w  vi
 
Pois, vi  vi  1.
Assim,

  
  
  
w  (w  v1 )v1  (w  v2 )vi    (w  vn )vn
Exercícios Propostos:


1) Determinar o valor de m para que os vetores u  (2, m,  3) e v  (m  1, 2, 4) sejam ortogonais
em relação ao produto interno usual do R 3 .
2) Seja V  R 3 e o produto interno definido por: ( x1 , y1 , z1 )  ( x2 , y2 , z 2 )  2x1 x2  3 y1 y2  z1 z 2 .


Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u  (1, 2, 1) e v  (1, 1, 1) .
3) O conjunto B  {(1,  1), (2, b)} é uma base ortogonal de R 2 em relação ao produto interno
definido por:
( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )  2x1 x2  y1 y2
Calcule o valor de b e a partir de B, calcule uma base ortonormal.
 
4) Considere o seguinte produto interno em P2 : p  q  a2 b2  a1b1  a0 b0 , sendo




p  a 2 x 2  a1 x  a 0 e q  b2 x 2  b1 x  b0 . Dados os vetores p1  x 2  2 x  3 , p2  3x  4 e

p3  1  x 2 , calcule:
 
a) p1  p2


b) | p1 | e | p3 |


c) | p1  p2 |
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54

p2
d) 
| p2 |


e) co-seno do ângulo entre p1 e p3 .
Respostas:
1) m = 7/2.
2) (
1
6
, 0, 
2
1
,
3) B   {(
3
6
).
1
3
), (
1
6
,
2
4) (a) -18; (b) 14 e 2 ; (c)
6
)}
3 ; (d)
2 2
3
4
x  ; (e) cos   
5
5
5
6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Neste capítulo será estudado um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o
contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável dependente quanto a
independente são vetores, por isso são chamadas funções vetoriais. Neste curso, o estudo será
limitado ao estudo das funções vetoriais lineares, que serão denominadas de transformações
lineares.
Diz-se que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, e escreve-se


T : V  W . Sendo T uma função que a cada vetor v V tem apenas um vetor imagem w W , que


será indicado por w  T (v ) .

Exemplo: seja a transformação T : R 2  R 3 que associa vetores v  ( x, y)  R 2 com vetores

w  ( x, y, z )  R 3 . Seja a lei que define a transformação T: T ( x, y )  (3x,  2 y, x  y ) . Então, se

v1  (2, 1) , tem-se: T (v1 )  T (2, 1)  (3  2,  2 1, 2  1)  (6,  2, 1) .
6.1 Definição
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V  W é chamada transformação linear de V
em W se:
 


I) T (u  v )  T (u )  T (v ) ;


II) T (u )  T (u )
 
para todo u , v  V e para todo   R .
Obs.: uma transformação linear de V em V é chamada “Operador Linear”.
Exemplo: A transformação T : R 2  R 3 , definida por T ( x, y )  (3x,  2 y, x  y ) é linear
Demonstração:


I) Sejam u  ( x1 , y1 ) e v  ( x2 , y2 ) vetores genéricos de R 2 . Então:
 
T (u  v )  T ( x1  x2 , y1  y2 )  (3( x1  x2 ),  2( y1  y2 ), ( x1  x2 )  ( y1  y2 ))
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 
T (u  v )  (3x1  3x2 ,  2 y1  2 y2 , x1  x2  y1  y2 )
 


T (u  v )  (3x1 ,  2 y1 , x1  y1 )  (3x2 ,  2 y2 , x2  y2 )  T (u )  T (v )

II) Para todo o   R e para todo u  ( x1 , y1 )  R 2 , tem-se:


T (u )  T (x1 , y1 )  (3x1 ,2y1 , x1  y1 )   (3x1 ,2 y1 , x1  y1 )  T (u ) . cqd.
6.2 Núcleo de uma Transformação linear
Definição: chama-se núcleo de uma transformação linear T : V  W ao conjunto de todos os


vetores v V que são transformados em 0  W . Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(T):

 
N (T )  {v  V | T (v )  0  W }



Observe-se que N (T )  V e N (T )   , pois 0  N (T ) e T (0)  0 .
Exemplos:
1) O núcleo da transformação linear T : R 2  R 2 , T ( x, y)  ( x  y, 2 x  y) é o conjunto:
N (T )  {( x, y ) | T ( x, y )  (0, 0)}
 x y 0

2 x  y  0
o que implica em ( x  y, 2 x  y )  (0, 0) ou
Sistema cuja solução é x = 0 e y = 0. Logo, N (T )  {( 0, 0)}
2) Seja a transformação linear T : R 3  R 2 , T ( x, y, z )  ( x  y  4 z, 3x  y  8z )
Neste caso, o núcleo é dado por: N (T )  {( x, y, z )  R 3 | T ( x, y, z )  (0, 0)} , isto é, um vetor
( x, y, z )  N (T ) se, e somente se, ( x  y  4 z, 3x  y  8 z )  (0, 0) ou
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 x  y  4z  0

3x  y  8 z  0
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sistema homogêneo cuja solução é x  3z e y  z . Logo,
N (T )  {( 3z, z , z ) | z  R} ou N (T )  {z (3, 1, 1) | z  R} .
Esse núcleo representa uma reta de R 3 que passa pela origem.
6.2.1 Propriedades do Núcleo
1) O núcleo de uma transformação linear T : V  W é um subespaço vetorial de V.
Demonstração:



Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao núcleo N(T) e  um número real qualquer. Então, T (v1 )  0

e T (v2 )  0 . Assim,
 


 
I) T (v1  v2 )  T (v1 )  T (v2 )  0  0  0 , isto é, (v1  v2 )  N (T ) .



II) T (v1 )  T (v1 )   0  0 , isto é, v1  N (T ) . cqd.

2) Uma transformação linear T : V  W é injetora se, e somente se, N (T )  {0} .
6.3 Imagem
Definição: chama-se imagem de uma transformação linear T : V  W ao conjunto dos vetores


w W que são imagem de pelo menos um vetor v V . Indica-se o conjunto imagem por Im(T) ou



T(V).: Im( T )  {w  W | T (v )  w} .


Observe que Im( T )  W e Im(T )   , pois 0  T (0)  Im( T ) . Se Im( T )  W , T é sobrejetora, isto




é, para todo w W existe pelo menos um v V tal que T (v )  w .
Exemplos:
1) Seja T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x, y, 0) a projeção ortogonal do R 3 sobre o plano xy. A imagem
de T é o próprio plano xy:
Im(T )  {( x, y, 0)  R 3 | x, y  R}
Observe que o núcleo de T é o eixo-z:
N (T )  {( 0, 0, z ) | z  R}
Pois T (0, 0, z )  (0, 0, 0) para todo z  R .
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


2) A imagem da transformação linear identidade I: V  V definida por I (v )  v , v  V , é todo o

espaço V. O núcleo, neste caso, é N ( I )  {0} .
 

3) A imagem da transformação nula T : V  W definida por T (v )  0, v  V , é o conjunto

Im( T )  {0} . O núcleo, neste caso, é todo o espaço V.
6.3.1 Propriedades da Imagem
A imagem de uma transformação linear T : V  W é um subespaço de W.
Demonstração:


Sejam w1 e w2 vetores pertencentes a Im(T) e  um número real qualquer. Deve-se mostrar que

 

 
existem vetores v e u pertencentes a V tal que T (v )  w1  w2 e T (u )  w1 .
 
 




Como w1 , w2  Im(T ) , existem vetores v1 , v2 V tais que T (v1 )  w1 e T (v2 )  w2 . Fazendo
  


v  v1  v2 e u  v1 , tem-se:

 



T (v )  T (v1  v2 )  T (v1 )  T v2   w1  w2
e




T (u )  T (v1 )  T (v1 )  w1 .
Portanto, Im(T) é um subespaço de W. cqd.
6.3.2 Teorema da Dimensão
“Seja V um espaço de dimensão finita e T : V  W uma transformação linear. Então,
dim N(T)+dim Im(T) = dim V”.
Exemplo: Determine o núcleo e a imagem do operador linear
T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  2 z, x  3 y  z ) e verifique o Teorema da
Dimensão.
Solução:
a) N (T )  {( x, y, z )  R 3 | T ( x, y, z )  (0,0,0)} .
De T ( x, y, z )  ( x  2 y  z, y  2 z, x  3 y  z )  (0,0,0) vem o sistema:
x  2 y  z  0

 y  2z  0
x  3y  z  0

Cuja solução geral é (5 z,  2 z, z ), z  R . Logo,
N (T )  {( 5 z,2 z, z ) | z  R}  {z (5,2, 1) | z  R}  [(5,2, 1)]
b) Im(T )  {( a, b, c)  R 3 | T ( x, y, z )  (a, b, c)} , isto é (a, b, c)  Im( T ) se existir ( x, y, z )  R 3
tal que:
( x  2 y  z, y  2 z, x  3 y  z )  (a, b, c)
Donde vem o sistema:
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x  2 y  z  a

 y  2z  b
 x  3y  z  c

Que só terá solução se a  b  c  0 . Logo, Im(T )  {( a, b, c)  R 3 | a  b  c  0} . Note que:
dim N (T )  dim Im( T )  1  2  3 , que é a dimensão do domínio R 3 .


OBS.: De modo geral: “se T : V  W é linear e {v1 , , v n } gera V, então {T (v1 ), , T (vn )}
gera a Im(T)”.
6.3.3 Corolários
Seja T : V  W uma transformação linear.
1) Se dim V = dim W, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora.


2) Se dim V = dim W e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se B  {v1 , , vn } é


base de V, então T ( B)  {T (v1 ), , T (vn )} é base de W.
Demonstração:

1) De fato: T é injetora  N (T )  {0} (propriedade 2 do Núcleo de T)  0 + dim Im(T) = dim V
(Teorema da Dimensão)  dim Im(T) = dim W (hipótese)  Im(T) = W.  T é sobrejetora.
Reciprocamente:
T é sobrejetora  Im(T) = W  dim Im(T)
 = dim W  dim Im(T) = dim V (hipótese)  dim N(T)
= 0 (Teorema da Dimensão)  N (T )  {0}  T é injetora (propriedade 2 do Núcleo de T). cqd.
Assim, numa transformação linear na qual dim V = dim W , se T é injetora (ou sobrejetora), então T
é também bijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo).
2) De fato: como dim V = dim W = n, basta mostrar que T(B) é LI. Para tanto, considere a
igualdade:



a1T (v1 )    anT (vn )  0
Ou pela linearidade de T:



T (a1v1    an vn )  0
Com T é injetora, vem:

 
a1v1    an vn  0
Sendo B uma base, B é LI e, portanto:
a1    a n  0
Logo, T(B) é uma base de W. cqd.
6.3.4 Isomorfismo
Definição: Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação
linear T : V  W , que é bijetora.
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Será visto mais adiante que a todo isomorfismo T : V  W corresponde um isomorfismo inverso
T 1 : W  V .
Exemplos:
1) O operador linear
T : R 2  R 2 , T ( x, y)  (2 x  y, 3x  2 y)
é um isomorfismo no R 2 . Como dim V = dim W = 2, basta mostrar que T é injetora (Corolário 1 de
3.3.3). De fato: N(T) = {(0,0)}, o que implica em T ser injetora.
2) O espaço vetorial R 2 é isomorfo ao subespaço W  {( x, y, z )  R 3 | z  0} do R 3
( W representa o plano xy de R 3 }.
De fato, a aplicação T : R 2  W , tal que T(x, y) = (x, y, 0), é bijetora: pois a cada vetor (x,y) de R 2
corresponde um só vetor (x, y, 0) de W e, reciprocamente. Logo, R 2 e W são isomorfos.
6.4 Matriz de uma Transformação Linear
Sejam T : V  W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem prejuízo da
generalização, considere o caso em que dim V = 2 e dim W = 3.
 
 
Sejam A  {v1 , v2 } e B  {w1 , w2 , w3 } bases de V e W, respectivamente.

Um vetor v V pode ser expresso por:




v  x1v1  x2 v2 ou v A  ( x1 , x2 )

E a imagem T (v ) por:




T (v )  y1 w1  y 2 w2  y3 w3
(1)

ou T (v ) B  ( y1 , y 2 , y3 )
Por outro lado:





T (v )  T ( x1v1  x2 v2 )  x1T (v1 )  x2T (v2 )


Sendo T (v1 ) e T (v2 ) vetores de W, eles são combinações lineares dos vetores de B:




T (v1 )  a11w1  a21w2  a31w3




T (v2 )  a12 w1  a22 w2  a32 w3
Substituindo-se esses vetores em (2), vem







T (v )  x1 (a11w1  a21w2  a31w3 )  x2 (a12 w1  a22 w2  a32 w3 )
Ou




T (v )  (a11 x1  a12 x2 )w1  (a21 x1  a22 x2 )w2  (a31 x1  a32 x2 )w3
Comparando-se essa igualdade com (1), conclui-se:
y1  a11 x1  a12 x2
y2  a21 x1  a22 x2
y3  a31 x1  a32 x2
(2)
(3)
(4)
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Ou na forma matricial:
 y1   a11
 y   a
 2   21
 y3   a31
a12 
x 
a 22   1 
x
a32   2 
Ou simbolicamente:
T (v )B  T BA vA
Sendo a matriz T B denominada matriz de T em relação às bases A e B.
A
Exemplo: Seja T : R 3  R 2 , T ( x, y, z )  (2 x  y  z, 3x  y  2 z ) , linear. Considere as bases
  



 
com
e
sendo
v1  (1, 1, 1), v2  (0, 1, 1), v3  (0, 0, 1)
A  {v1 , v2 , v3 } ,
B  {w1 , w2 } ,


w1  (2, 1) e w2  (5, 3) .
a) Determinar T B .


b) Se v  (3,  4, 2) (coordenadas em relação a base canônica do R 3 ), calcule T (v ) B utilizando
a matriz encontrada.
A
Solução:
a) A matriz T B é de ordem 2  3:
A
T BA  
a11
a12
 a21
a22
a13 
a23 

T (v1 )  T (1, 1, 1)  (2, 2)  a11 (2, 1)  a21 (5, 3) 
2a11  5a 21  2
a  4
  11

 a11  3a 21  2
 a 21  2

T (v2 )  T (0, 1, 1)  (0,  1)  a12 (2, 1)  a22 (5, 3) 
2a12  5a 22  0
 a 5
  12

a12  3a 22  1
a 22  2

T (v3 )  T (0, 0, 1)  (1,  2)  a13 (2, 1)  a23 (5, 3) 
 2a13  5a 23  1
 a  13
  12

a 22  5
a13  3a 23  2
Logo:
 4 5 13 

 2  2  5
T BA  
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b) Sabe-se que:
T (v )B  T BA vA

Como v está expresso com componentes na base canônica, teremos, primeiramente, que expressálo na base A. Seja v A  (a, b, c) , isto é,
 a3

(3,  4, 2)  a(1, 1, 1)  b(0, 1, 1)  c(0, 0, 1) ou  a  b  4
a  b  c  2

Sistema cuja solução é a = 3, b = -7 e c = 6, ou seja v A  (3,  7, 6) .
Portanto:
3
 4 5 13     31 

T (v )B  
  7   

 2  2  5  6   10
 

Ou T (v )B  (31,  10)
6.5 Operações com Transformações Lineares
6.5.1 Adição
Sejam T1 : V  W e T2 : V  W transformações lineares. Chama-se soma das transformações
lineares T1 e T2 à transformação linear
T1  T2 : V  W




tal que (T1  T2 )(v )  T1 (v )  T2 (v ), v V .
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
T1  T2 BA  T1 BA  T2 BA
6.5.2 Multiplicação por Escalar
Sejam T : V  W transformação linear e   R . Chama-se produto de T pelo escalar  à
transformação linear
T : V  W



tal que (T )(v )  T (v ), v  V .
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
T BA   T BA
Exemplo: Sejam T1 : R 2  R 3 e T2 : R 2  R 3 transformações lineares definidas por
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T1 ( x, y)  ( x  2 y, 2x  y, x) e T2 ( x, y)  ( x, y, x  y) . Determine:
a) T1  T2 .
b) 3T1  2T2
c) a matriz canônica de 3T1  2T2 e mostrar que 3T1  2T2   3T1   2T2 
Solução:
a) (T1  T2 )( x, y)  T1 ( x, y)  T2 ( x, y)  ( x  2 y, 2x  y, x)  ( x, y, x  y)
(T1  T2 )( x, y)  (2 y, 2x, 2x  y)
b) (3T1  2T2 )( x, y)  (3T1 )( x, y)  (2T2 )( x, y)  3T1 ( x, y)  2T2 ( x, y)
(3T1  2T2 )( x, y)  3( x  2 y, 2x  y, x)  2( x, y, x  y)
(3T1  2T2 )( x, y)  (5x  6 y, 6x  5 y, x  2 y)
5
c) 3T1  2T2    6

 1
6
1
 5  3 2
 1
 2
2   1
 1  2 0
0   1
0
1   3T1   2T2 
1 
6.5.3 Composição
Sejam T1 : V  W e T2 : W  U transformações lineares. Chama-se aplicação composta de T1 e
T2 , e se representa por T2  T1 , à transformação linear
T2  T1 : V  U



tal que (T2  T1 )(v )  T2 (T1 )(v ), v V
Se A, B e C são bases de V, W e U, respectivamente, demonstra-se que:
T2  T1 CA  T2 CB  T1 BA
Exemplo: Sejam S e T operadores lineares em R 2 definidos por S ( x, y )  (2 x, y ) e
T ( x, y )  ( x, x  y ) . Determinar:
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a)
b)
c)
d)
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S T
T S
SS
T T
Solução:
a) ( S  T )( x, y )  S (T ( x, y ))  S ( x, x  y )  (2 x, x  y )
Observe que:
S  T   
2 0  2 0 1 0 


  S T 
1  1 0 1 1  1
b) (T  S )( x, y )  T ( S ( x, y ))  T (2 x, y )  (2 x, 2 x  y ) . Observe que S  T  T  S . Isso geralmente
ocorre.
c) ( S  S )( x, y )  S ( S ( x, y ))  S (2 x, y )  (4 x, y )
d) (T  T )( x, y )  T (T ( x, y ))  T ( x, x  y )  ( x, y ) .
As transformações S  S e T  T são também representadas por S 2 e T 2
6.6 Transformações Lineares Planas
Entende-se por transformações lineares planas as transformações de R 2 em R 2 . A seguir,
serão vistas algumas de especial importância e suas interpretações geométricas.
6.6.1 Reflexões
a) Reflexão em torno do eixo dos x.
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua imagem (x, -y), simétrica em
relação ao eixo dos x.
Demonstra-se que as reflexões são transformações lineares.
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x, y ) , sendo sua
Essa transformação particular é
matriz canônica:
1 0 
0 1


1 0   x   x 
ou seja 
    
0  1  y   y 
b) Reflexão em torno do eixo dos y.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
 1 0
 0 1


T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x, y ) , sendo sua
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64
1 0   x   x 
ou seja 
  y   y 
0

1

   
c) Reflexão na origem.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x, y ) , sendo sua
 1 0 
 0  1


 1 0   x    x 
ou seja 
    
 0  1  y   y 
6.6.2 Dilatações e Contrações
a) Dilatação ou contração na direção do vetor.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )   ( x, y ),   R , sendo
 0 
0  


 0   x   x 
ou seja 
    
 0    y   y 
OBS.:
Se   1 T dilata o vetor;
Se   1 T contrai o vetor;
Se   1 T é a identidade I;
Se   0 T troca o sentido do vetor.
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:

0


ou seja 
0
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  (x, y ),   0 , sendo
0
1
0  x   x 

1  y   y 
Essa transformação é também chamada dilatação ou contração na direção 0x (ou horizontal)
de um fator .
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OBS.:
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Se   1 T dilata o vetor;
Se 0    1 T contrai o vetor;
c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y.
Essa transformação particular é
sua matriz canônica:
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x,  y ),   0 , sendo
1 0 
0  


1 0   x   x 
ou seja 
    
0    y   y 
OBS.: Se, nesse caso, fizermos   0 , teríamos
T ( x, y )  ( x, 0) e T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x.
6.6.3 Cisalhamentos
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x.
Essa transformação particular é
matriz canônica:
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x   y, y ) , sendo sua
1  
0 1 


1    x   x  y 
ou seja 
   

0 1   y   y 
Considere a figura abaixo. O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no
paralelogramo OAP’B’, de mesma base e mesma altura. Esse cisalhamento é também chamado
cisalhamento horizontal de fator .
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b) Cisalhamento na direção do eixo dos y.
T : R 2  R 2 tal que T ( x, y )  ( x, y   x) , sendo sua
Essa transformação particular é
matriz canônica:
1


1
ou seja 

0
1
0  x   x 

1  y   y  x 
Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento vertical de fator .
6.6.4 Rotação
A rotação do plano em torno da origem (Figura abaixo), que faz cada ponto descrever um
ângulo , determina uma transformação linear T : R 2  R 2 cuja matriz canônica é:
cos 
T  
 sen
 
 sen 
cos  

As imagens dos vetores e1  (1, 0) e e2  (0,1) , Figura da direita acima, são:
T (e1 )  (cos , sen )
T (e2 )  (sen , cos )
Isto é,
T (e1 )  (cos )e1  (sen )e2
T (e2 )  (sen ) e1  ( cos )e2
Portanto, a matriz da transformação T é:
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
T   cos
sen

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 sen 
cos  
Essa matriz chama-se matriz de rotação de um ângulo , 0    2 , e é a matriz canônica
da transformação linear T : R 2  R 2 , T ( x, y )  ( x cos   ysen , xsen  y cos  ) .



Exemplo: Obtenha a imagem do vetor v  (4, 2) pela rotação    / 2 .
Solução:
cos  / 2  sen / 2

 sen / 2 cos  / 2 
T (4, 2)  
4 0  1 4  2
2  1 0  2   4 
  
   
6.7 Transformações Lineares no Espaço
Entende-se por transformações lineares no espaço as transformações de R 3 em R 3 . Dentre
as diversas transformações lineares em R 3 , examinaremos as reflexões e as rotações.
6.7.1 Reflexões
a) Reflexão em aos planos coordenados.
A reflexão em relação ao plano xOy é transformação linear que leva cada ponto (x, y, z) para
sua imagem (x, y, -z), simétrica em relação ao plano xOy. Assim essa transformação é definida por:.
T ( x, y , z )  ( x, y ,  z )
E sua matriz canônica é:
1 0 0 
0 1 0 


0 0 1
As reflexões em relação aos planos xOz e yOz têm, respectivamente, as seguintes matrizes
canônicas:
1 0 0
0  1 0


0 0 1
  1 0 0
 0 1 0


 0 0 1
a) Reflexão em aos eixos coordenados.
A reflexão em torno do eixo dos x é o operador linear T : R 3  R 3 definido por:.
T ( x, y , z )  ( x,  y ,  z )
E sua matriz canônica é:
1 0 0 
0  1 0 


0 0  1
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68
De forma análoga, T ( x, y, z )  ( x, y,  z ) e T ( x, y, z )  ( x,  y, z ) definem as reflexões em
relação aos eixos Ou e Oz, respectivamente.
a) Reflexão na origem.
A reflexão na origem é o operador linear T : R 3  R 3 definido por:.
T ( x , y , z )  (  x,  y ,  z )
E sua matriz canônica é:
 1 0 0 
 0 1 0 


 0 0  1
6.7.1 Rotações
a) Rotação em torno do eixo dos z.
Dentre as rotações do espaço ressaltamos a rotação do eixo dos z, que faz cada ponto descrever um
ângulo . Esse operador linear é definido por:.
T ( x, y, z )  ( x cos   ysen , xsen  y cos  , z )
E sua matriz canônica é:
cos 
 sen

 0
 sen
cos 
0
0
0
1
OBS>: O ângulo  corresponde ao ângulo central cujos lados interceptam, na circunferência de


centro O , um arco de medida . Esse ângulo  não é o ângulo  formado pelos vetores v e T (v ).
Exercícios Propostos
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1) Verifique se a transformação é linear:
a) T : R 2  R 3 , definida por T ( x, y )  ( x  y, 2 x  y, 0) ;
b) T : R 2  R 2 , definida por T ( x, y )  ( x  2, y  3) ;
c) T : R 2  R , definida por T ( x, y)  x .
2)
T : R3  R3
Considere
o
operador
linear
T ( x, y , z )  ( x  2 y  2 z , x  2 y  z ,  x  y  4 z ) .


a) Determinar o vetor u  R 3 tal que T (u )  (1, 8,  11) ;



b) Determinar o vetor v  R 3 tal que T (v )  v .
definido
por
3) Sabendo-se que T : R 2  R 3 é uma transformação linear e que T (1,  1)  (3, 2,  2) e
T (1, 2)  (1,  1, 3) . Determinar T(x, y).
  
4) Seja T : R 3  R 2 uma transformação linear e B  {v1 , v2 , v3 } uma base do R 3 , sendo
v1  (0, 1, 0) , v2  (1, 0, 1) e v3  (1, 1, 0) . Determinar T (5, 3,  2) , sabendo-se que



T (v1 )  (1,  2) , T (v2 )  (3, 1) e T (v3 )  (0, 2)


5) Seja T : R 3  R 2 uma transformação linear tal que T (e1 )  (1, 2) , T (e2 )  (0, 1)

 
T (e3 )  (1, 3) , {e1 , e2 , e3 } a base canônica de R 3 .
e
a) Determine o N(T) e uma de suas bases. T é injetora?
b) determine Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
6)
Seja T : R 3  R 2 , T ( x, y, z )  (2 x  y  z, 3x  y  2 z ) , linear.
  



A  {v1 , v2 , v3 }, com v1  (1, 1, 1), v2  (0, 1, 1), v3  (0, 0, 1) e


w1  (1, 0) e w2  (0, 1) ou seja a base canônica:
Considere as bases
 
B  {w1 , w2 } , sendo
a) Determine T B .


b) Se v  (3,  4, 2) , calcule T (v ) B , utilizando a matriz encontrada.
A
7) Determinar a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa um cisalhamento por
um fator 2 na direção horizontal seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y.


8) Calcular o ângulo  formado pelos vetores v e T( v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z
de um ângulo , nos seguintes casos:

a)   180 e v  (3, 0, 3) ;

b)   90 e v  (
3
2 2
Respostas:
1) (a) sim; (b) não; (c) não.
,
2
2
,
);
4
2
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70


2) (a) u  (1, 2,  3) ; (b) v  z (2,  1, 1), z  R .
3) T ( x, y )  (7 x  4 y, 3x  y,  x  y ) .
4) T (5, 3,  2)  (10, 20) .
5) (a) N (T )  {( z,  5 z, z ) | z  R} e T não é injetora; (b) Im(T )  T (1,0,0), T (0,1,0), T (0,0,1) e T é
sobrejetora.
 4 5 13 
A
6) (a) T B  
;
 2  2  5
 31 

(b) T (v )B  

 10
  1  2
7) 
1 
0
8) (a)   90 ; (b)   60 .
7. OPERADORES LINEARES
No capítulo anterior foi dito que as transformações lineares T de um espaço vetorial V em si
mesmo, isto é, T : V  V , são chamadas operadores lineares sobre V.
7.1 Operadores Lineares
7.1.1 Definição
As transformações lineares T de um espaço vetorial V em si mesmo, isto é, T : V  V , são
chamadas operadores lineares sobre V.
7.1.2 Operadores Inversíveis

Definição:Um operador T : V  V associa a cada vetor v V um vetor T (v )  V . Se por meio de
outro operador S for possível inverter essa correspondência, de tal modo que a cada vetor


transformado T (v ) se associe o vetor de partida v , diz-se que S é operador inverso de T, e se
indica por T 1 .
7.1.2.1 Propriedades dos Operadores Inversíveis
Seja T : V  V um operador linear.
I) Se T é inversível e T 1 é seu inverso, então:
T  T 1  T 1  T  I (identidade).

II) T é inversível se, e somente se, N (T )  {0} .
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71
III) Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) também é base
de V.
IV) Se T é inversível e B uma base de V, então T 1 : V  V é linear e:
T 
1
B
 T B 1
isto é, a matriz do operador linear inverso numa certa base B é a inversa da matriz do operador T
nessa mesma base.
Exemplo 7.1.1 - Seja o operador linear em R 2 definido por: T(x, y) = (4x-3y, -2x+2y).
a) Mostrar que T é inversível .
b) Encontrar uma regra para T 1 como a que define T.
Solução:
 4  3
a) A matriz canônica de T é T   
 . Como det [T] = 2  0, T é inversível.
 2 2 
1
1 32 
 4  3
1
1

b) T  T   



 2 2 
1 2
 
Logo:
T
1
  
 x  1 3   x   x  32 y 
1
3
( x, y)  T 1     2     
 ou T ( x, y)  ( x  2 y, x  2 y)
 y  1 2  y   x  2 y 
7.2 Mudança de Base

Sejam A e B bases de um espaço vetorial V. Pretende-se relacionar as coordenadas de um vetor v

em relação à base A com coordenadas do mesmo vetor v em relação à base B.
Para simplificar, considere o caso em que dimV = 3. O problema para espaços de dimensão n é
  
  
análogo. Sejam as bases A  {v1 , v2 , v3 } e B  {w1 , w2 , w3 } .

Dado um vetor v V, este será combinação linear dos vetores da base A e B. Assim,




v  x1v1  x2 v2  x3 v3
ou

v A  ( x1 , x2 , x3 )




v  y1 w1  y 2 w2  y3 w3
ou

v B  ( y1 , y 2 , y3 ) .
e
(1)
(2)
Por sua vez, os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:




v1  a11w1  a21w2  a31w3




v2  a12 w1  a22 w2  a32 w3




v3  a13 w1  a23 w2  a33 w3
Substituindo (3) em (1), resulta:
(3)
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









v  x1 (a11w1  a21w2  a31w3 )  x2 (a12 w1  a22 w2  a32 w3 )  x3 (a13 w1  a23 w2  a33 w3 )
Ou




v  (a11 x1  a12 x2  a13 x3 )w1  (a21 x1  a22 x2  a23 x3 )w2  (a31 x1  a32 x2  a33 x3 )w3
(4)
Comparando (4) com (2), resulta:
y1  a11 x1  a12 x 2  a13 x3
y 2  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3
y 3  a31 x1  a32 x 2  a33 x3
Ou na forma matricial:
 y1   a11
 y   a
 2   21
 y3  a31
I BA  
a11
a 21

a12
a 22
a32
a13   x1 
a 23   x2 
a33   x3 
a12 
a 22 
v1 

v2 
Ou, ainda
v B  I BA v A
Sendo a matriz:
I 
A
B
 a11 a12
 a 21 a 22
a31 a32
a13 
a 23 
a33 
Chamada Matriz de Mudança de Base de A para B.

Note que o papel dessa matriz é transformar as componentes de um vetor v na base A em
componentes do mesmo vetor na base B.
Observações:
1) Comparando a matriz I B com (3), observe que cada coluna, pela ordem, é formada pelas
componentes dos vetores da base A em relação à base B, isto é,
A
 a11 

v1 B  a21 ,
a31 
 a12 

v2 B  a22  e
a32 
 a13 

v3 B  a23 
a33 
2) A matriz I B é também conhecida com matriz de transição de A para B.
A
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73
3) A matriz I B é, na verdade, a matriz do operador linear identidade I: V  V considerado nas
bases A e B.
A
4) A matriz I B , por transformar os vetores linearmente independentes da base A nos vetores
linearmente independentes da base B, é inversível. Portanto, da equação
A
v B  I BA v A
Pode-se obter:
v A  I BA  v B
1
Donde se conclui que
I  
A 1
B
 I A
B
Isto é, a inversa da matriz mudança de base de A para B é a matriz mudança de base B para A.

 


Exemplo 7.1.2 - Sejam as bases A  {v1 , v2 } e B  {w1 , w2 } do R 2 , onde v1  (2,  1) , v2  (1, 1)
e w1  (1, 0) , w2  (2, 1) .
a) Determinar a matriz mudança de base de A para B.
 4


A
b) Utilizar a matriz I B para calcular v B , sabendo-se que v A    .
 3
Solução:
a) pretende-se calcular:
a
a
I BA   11 12 
a 21 a 22 

v1 

v2 
Expresse os vetores da base A em relação à base B:

v1  (2,  1)  a11 (1, 0)  a21 (2, 1)
a11  2a 21  2

 a 21  1

a11  4 e a21  1 ,

v2  (1, 1)  a12 (1, 0)  a22 (2, 1)
a12  2a 22  1


a 22  1

Logo,
ou
isto é,
v1 B
4
 
 1
isto é,
v2 B
 3
 
1
ou
a12  3 e a22  1,
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74
4  3

 1 1 
I BA  
b) Sabendo-se que:
v B  I BA v A
e
v A  
4

 3
Obtém-se:
4  3 4
 
  1 1   3
v B  
v B
7
 
 1
Obs.:

Caso se queira v na base canônica, basta fazer:

v  7(1, 0)  1(2, 1)  (5,  1) .

v  4(2,  1)  3(1, 1)  (5,  1)
ou


A
Se o problema fosse apenas calcular v B a partir de v A , sem utilizar a matriz I B , bastaria


determinar o vetor v na base canônica, isto é, v  (5,  1) e, depois, resolver a equação:
(5,  1)  a1 (1, 0)  a2 (2, 1) para encontrar a1  7 e a2  1 .
7.2.1 Outra forma de determinação da Matriz Mudança de Base
A matriz mudança de base I B pode ser determinada de uma forma diferente.
Valendo-se das bases A e B do exemplo anterior e sendo C  {(1, 0), (0, 1)} a base canônica,
vem:
A
2  1

 1 1 
I CA  
e
I CB
1 2


0 1 
Assim, a matriz mudança de base de uma base qualquer para a canônica é a matriz que se obtém
A
B
daquela base dispondo seus vetores em colunas. Faça I C  A e I C  B .
Levando em conta o que foi visto em 6.5.3, pode-se escrever:
I BA  I  I BA  I CB I CA  I CB  I CA  B 1 A
1
Então, para as bases B e A dadas, tem-se:
I 
A
B
1 2
B A

0 1
1
1
 2  1 1  2  2  1  4  3
 1 1   0 1   1 1    1 1 

 
 
 

7.2.1 Aplicações da Matriz-Rotação
Foi visto que a matriz rotação de um ângulo  é:
Apostila de Álgebra Linear
cos 
 sen

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75
 sen 
cos  
Observe que as imagens de (1, 0) e (0, 1), pela rotação de , são:
cos 
 sen

 sen  1 cos  
cos   sen  0  sen 
e





 sen cos   1   cos   respectivamente.
cos   0  sen 

  

 


Portanto, a base P  {u1 , u2 } , sendo u1  (cos , sen ) e u2  (sen , cos ) , é obtida da
base canônica C  {eˆ1 , eˆ2 }, sendo eˆ1  (1, 0) e eˆ2  (0, 1) , pela rotação de um ângulo . Assim,
como a base canônica C determina o sistema de coordenadas retangulares xOy, a base P determina
também um sistema de coordenadas retangulares x Oy  que provém do sistema xOy por meio da

rotação de um ângulo . Conseqüentemente, cada ponto R ou cada vetor v do plano possui
coordenadas (x, y) em relação ao sistema xOy e ( x , y ) em relação ao sistema x Oy  .
A matriz rotação pode ser encarada como matriz mudança de base de P para C, isto é,
I CP
Pois,
cos 

 sen
 sen 
cos  
(cos  , sen )  cos  (1, 0)  sen (0, 1)
( sen , cos  )   sen (1, 0)  cos  (0, 1)
Exemplo 7.1.3 - Para =90, tem-se a base:
P  {(cos 90, sen90), ( sen90, cos 90)}  {( 0, 1), (1, 0)}
E, portanto:
I CP
0  1


1 0 


Considerando o vetor vP  (4, 2) , o vetor v na base canônica é:
0  1 4  2
  
1 0  2  4 
v C  I CP v P  
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76
No caso de mudança de base de C para P, já foi visto que:
I 
C
P
 
 I 
P 1
C
cos 

 sen
 sen 
cos  
1
 cos 

 sen
sen 
cos  

Exemplo 7.1.4 Para uma rotação de 45 no sistema xOy, o vetor v  ( x, y )  (4, 2) na base

canônica será v P  ( x , y )  (3 2 ,  2 ) na base P.
De fato:
sen 45 

 sen 45 cos 45
v P  
cos 45
 2
 4  2
 2  
   2
 2
2

2   4   3 2 

  
2   2   2 
2 
7.3 Matrizes Semelhantes
Definição: Seja T : V  V um operador linear. Se A e B são bases de V e T A e T B as matrizes
que representam o operador T nas bases A e B, respectivamente, então:
T B  I BA  T A I BA
1
Sendo I A a matriz mudança de base de B para a base A.
As matrizes T A e T B são chamadas semelhantes. Pode-se afirmar ainda que duas matrizes
T A e T B são semelhantes quando definem em V um mesmo operador linear T. Mais
precisamente, duas matrizes T A e T B são semelhantes quando existir uma matriz M tal que
B
T B  M 1 T A M
7.3.1 Propriedades
As matrizes semelhantes T A e T B possuem o mesmo determinante, isto é,
detT B  detT A
Problemas Resolvidos.
1) Sejam T : R 2  R 2 um operador linear e as bases A  {( 3, 4), (5, 7)} e B  {(1, 1), (1, 1)} . E
seja:
2 4 
T A  

 2  1
A matriz de T na base A. Calcule T B pela relação: T B  M 1 T A M na qual M é a matriz
mudança de base de B para A.
Solução:
Necessita-se da matriz M que será calculada pela relação: M  I A  A 1 B , isto é,
B
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3 5
M 

4 7 
1
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1  1  7  5 1  1  2  12
1 1    4 3  1 1    1 7 

 

 

77
e
M
1
7

 2 6


1

1
2

Logo:
7

 2 6  2 4   2  12 5 8  2  12
M 

  1 7   1 1  1 7 
1
2

1


 




1
2

T B  M T A
1
T B
 2  4


1  5 
As matrizes T A e T B são semelhantes, pois detT B  detT A . Ou seja
detT B 
2 4
 10  4  6
1 5
detT A 
2 4
 2  8  6
2 1
e
2) Seja o operador T : R 2  R 2 definido por: T ( x, y )  (2 x  9 y, x  2 y ) . Determinar T  , a matriz
canônica de T, e a seguir utilizar a relação T B  M 1 T A M para transformá-la na matriz de T na
base B  {( 3, 1), (3, 1)} .
Solução:
Da definição de T, obtém-se imediatamente:
T   
2 9

1 2 
A matriz M de mudança de base de B para a canônica A, é dada por:
1 0
M 

0 1
1
3  3 1 0 3  3 3  3
1 1   0 1 1 1   1 1 

 

 

e
M 1
Portanto:
 1

 6
1

 6
1
2
1

2
M  I A  A 1 B ou
B
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 1

M  6
1

 6
T B  M 1 T A
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1
5
2  2 9 3  3   6
1  1 2 1 1   1


2
6
78
5 
2  3  3

1 
  1 1 
2
T B  
5 0

0  1
7.4 Operador Ortogonal
Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear T : V  V é ortogonal se
preservar o módulo de cada vetor de V, isto é,


T (v )  v
Exemplos:
R 2 , com o produto interno
3 3
4 
4
T ( x, y )   x  y, x  y  é ortogonal.
5 5
5 
5
1)
No
usual,
o
operador
linear
definido
por:
De fato:
2
2
3 
4 
16 2 24
9 2 9 2 24
16 2
4
3
T ( x, y )   x  y    x  y  
x 
xy 
y 
x 
xy 
y
5 
5 
25
25
25
25
25
25
5
5
T ( x, y) 
25 2 25 2
x 
y  x 2  y 2  ( x, y) , ( x, y)  R 2
25
25
2) Considere o R 2 com o produto interno usual. A rotação do plano de um ângulo  dada por:
T ( x, y )  ( x cos   ysen , xsen  y cos  ) é ortogonal. Verifique.
3) No R 3 , com o produto interno usual, o operador linear dado por: T ( x, y, z )  ( y, x,  z ) é
ortogonal. De fato:
T ( x, y, z)  ( y) 2  x 2  ( z) 2  x 2  y 2  z 2  ( x, y, z)
7.4.1 propriedades do Operador Ortogonal
I) Seja T : V  V um operador ortogonal sobre o espaço euclidiano V. Então, a inversa da matriz
de T coincide com sua transposta, isto é,
T 1  T T
Exemplo:
cos 
1) A matriz rotação de : T   
 sen
 sen 
1
T
é ortogonal. Logo, T   T  . Verifique.

cos  
II) O determinante de uma matriz ortogonal é  1 ou  1 . Verifique usando o exemplo anterior.
III) Todo o operador linear ortogonal T : V  V preserva o produto interno de vetores, isto é, para
 
 


quaisquer vetores u , v  V , tem-se: u  v  T (u )  T (v )
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79
IV) A composta de duas transformações ortogonais é uma transformação ortogonal ou,
equivalentemente, o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
V) As colunas ou linhas de uma matriz ortogonal são vetores ortonormais.
7.5 Operador Simétrico
Definição: Diz-se que um operador linear T : V  V é simétrico se a matriz que o representa numa
base ortonormal A é simétrica, isto é, se:
T A T  T A
Observações:
1) Demonstra-se que a matriz do operador simétrico é sempre simétrica, independente da base
ortonormal do espaço. Em nosso estudo só trabalharemos com bases canônicas.
2) O operador simétrico é também chamado operador auto-adjunto.
Exemplos:
1) O operador linear T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (2 x  4 y, 4 x  y ) é simétrico. Mostre.
2) No R 3 , o operador T definido por: T ( x, y, z )  ( x  y,  x  3 y  2 z,  2 y ) é simétrico.
Verifique.
7.5.1 Propriedades
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Se T : V  V é um operador simétrico, então para quaisquer
 
vetores u , v  V , tem-se:
  

T (u )  v  u  T (v )
Exemplo: Seja o operador simétrico, no R 2 , definido por: T ( x, y )  ( x  3 y, 3x  4 y ) . Considere os


vetores: u  (2, 3) e v  (4, 2) . Demonstre a propriedade acima.
Solução:

T (u )  T (2, 3)  (11,  6)

T (v )  T (4, 2)  (10, 4)

T (u )  v  (11,  6)  (4, 2)  44  12  32
e
mas,
 
T (v )  u  (10, 4)  (2, 3)  20  12  32 .
Logo,
  

T (u )  v  u  T (v )
Exercícios Propostos:
1) A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são inversíveis e, nos
casos afirmativos, determinar uma fórmula para T 1 .
a) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (3x  4 y,  x  2 y )
b) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  ( x  2 y,  2 x  3 y )
c) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (2 x  y,  4 x  2 y )
d) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  y  2 z, y  z, 2 y  3z )
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80
e) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  y  z, x  2 y, z )
f) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x, x  z, x  y  z )
2) Seja o operador linear T : R  R definido pela matriz:
3
3
1 0 1 
2  1 1  .


0 0  1
a) Determine a lei que define o operador T 1 .


b) Utilize a matriz T ou T 1 para obter o vetor v  R 3 tal que T (v )  (2,  3, 0) .
3) Considere as seguintes bases de R 2 : A = {(1, 1), (0, -1)} e B = {(2, -3), (-3, 5)}.
A
a) Determine a matriz mudança de base I B .


b) Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A  (2, 3) .
c) Determinar a matriz mudança de base de B para A.
4) Sejam B  {(1, 0), (0, 1)} , B1  {(1, 1), (1, 0)} , B2  {( 1, 1), (2,  3)} e B3  {( 2, 1), (5,  1)} ,
bases de R 2 .
I BB1 , I BB1 , I BB2 , I BB2 e I BB32 .
a) Determinar as matrizes mudança de base:

b) Determinar o vetor coordenada de v  (3, 4) em relação as bases B , B1 , B2 e B3 .
  7 6
A
5) Sabendo que I B  
 e A  {(1, 3), (2,  4)} , determinar a base B.
 11 8
6) Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz de T na base A e, a seguir<
utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  ( x  2 y,  x  y ) ; A  {(1, 1), (1, 2)} e B  {(1,  3), (0, 2)}
b) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (2 x  3 y, x  y ) ; A  {(1, 0), (0, 1)} e B  {( 3, 0), (2,  1)}
c) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (7 x  4 y,  4 x  y ) ; A é a base canônica e B  {(2, 1), (1, 2)}
d) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  2 y  2 z, y, 2 y  3z ) ; A é a base canônica e
B  {( 0, 1,  1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} .
7) Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
a) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (
1
x
1
y,
2
2
2
2
b) T : R  R , T ( x, y )  ( y,  x)
c) T : R 2  R 2 , T ( x, y )  ( x  y, x  y )
d) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( z, x,  y )
e) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x, y, z )
1
2
x
1
2
y)
8) Determinar a e b para que os seguintes operadores sejam simétricos:
a) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  (3x  2 y, ax  y  3z, by  z )
b) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  2 z, ax  4 y  bz, 2 x  3 y  z )
Respostas:
1) a) T 1 ( x, y )  ( x  2 y,
1
3
x  y ) b) T 1 ( x, y)  (3x  2 y,  2 x  y) c) T não é inversível.
2
2
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d) T 1 ( x, y, z )  ( x  y  z, 3 y  z, 2 y  z )
2011
81
e) T 1 ( x, y, z )  (2 x  y  2 z,  x  y  z, z )
f) T não é inversível.

2) a) T 1 ( x, y, z )  ( x  z, 2 x  y  z,  z ) . b) v  (2, 7, 0)
8  3
A
3) a) I B  
;
5  2

b) vB  (7, 4) ;
2  3
B
c) I A  

5  8
0 1
1 2 
1  1
B
4) a) I B1  
,
I BB1  
I BB2  



1 0 
 1 1
 1  3
 8 17
I BB32  

 3 6 




b) vB  (3, 4) , v B1  (4, 7) , v B2  (1,  1) , v B3  ( 233 , 113 )
I BB
2
  3  2


  1  1
5) B  {( 3,  2), (2, 1)}
0  3
6) a) T A  
,
1 2 
2  3
b) T A  
,
1 1 
  5 4

19
 2 7 
 0 53 


 3 3
T B  
T B
 7  4
c) T   
,
 4 1 
1  2  2
d) T   0 1
0  ,

0 2
3 
7) a) é ortogonal;
e) é ortogonal;
8) a) a = -2 e b = -3;
T B  
9 0

0  1
T B
1 0 0
 0 1 0
0 0 3
b) é ortogonal;
c) não é ortogonal;
b) a = 0 e b= -3.
d) é ortogonal;
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82
8. AUTOVETORES E AUTOVALORES
8.1 Definição de autovetor e autovalor

 
Seja T : V  V um operador linear. Um vetor v  V , v  0 , é um autovetor do operador T se existir


  R tal que T (v )   v .



O número real  tal que T (v )   v é denominado autovalor de T associado ao autovetor v .
Observações:

 
a) como se vê pela definição, um vetor v  0 é autovetor se a imagem T (v ) for um múltiplo escalar



de v . No R 2 e R 3 , dir-se-ia que v e T (v ) têm a mesma direção. Assim, dependendo do valor de ,



o operador T dilata v , contrai v , inverte o sentido de v ou o anula se no caso em que
 = 0.
b) Os autovalores são também denominados vetores característicos ou vetores próprios.
c) Os autovalores são também denominados valores característicos ou valores próprios.
Exemplos:

1) O vetor v  (5, 2) é autovetor do operador linear T : R 2  R 2 , T ( x, y )  (4 x  5 y, 2 x  y )


associado ao autovalor  = 6, pois: T (v )  T (5, 2)  (30, 12)  6(5, 2)  6v .


 
2) Na simetria definida no R 3 por T (v )  v , qualquer vetor v  0 é autovetor associado ao
autovalor  = -1.
8.2 Determinação dos Autovalores e dos Autovetores
8.2.1 Determinação dos Autovalores
Seja o operador linear T : R 3  R 3 , cuja matriz canônica é:
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a32 
a33 
Isto é, A  T  .

Se v e  são, respectivamente, autovetor e correspondente autovalor do operador T, tem-se:



( v é matriz coluna 31)
A  v  v
Ou

 
A v  v  0

Tendo em vista que v  I v (I é a matriz identidade), pode-se escrever:
 
( A   I )v  0
Para que esse sistema admita soluções não nulas, isto é,
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83
 x  0 
    
v   y   0 
 z  0
Deve-se ter:
det( A  I )  0
(8.2.1)
Ou
  a11

det  a 21
 a
  31
a12
a 22
a32
a13   0 0  

a32    0  0    0
a33   0 0   
Ou ainda,
a12
a13 
a11  

det  a 21
a 22  
a32   0
 a31
a32
a33   
(8.2.2)
A equação det( A  I )  0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e
suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O determinante det( A  I )  0 é um
polinômio em  denominado polinômio característico.
8.2.2 Determinação dos Autovetores
A substituição de  pelos seus valores no sistema homogêneo de equações lineares (8.2.1) permite
determinar os autovetores associados.
Problemas resolvidos
1) Determinar os autovalores e os autovetores do operador linear
T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  (3x  y  z,  x  5 y  z, x  y  3z )
Solução
A matriz canônica do operador T é:
 3 1 1 
A   1 5  1
 1  1 3 
A equação característica do operador T é:
3   1
1
det( A  I )   1 5    1  0
1
1 3  
Resolvendo o determinante e efetuando algumas operações algébricas, chega-se a equação:
3  112  36  36  0
(8.2.3)
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84
As soluções inteiras da equação característica (8.2.3), caso existam, são múltiplas do termo
independente -36. Com as devidas substituições na equação acima se constata que   2 é uma
delas. Assim, após divisão da equação (8.2.3) pelo fator (-2), resulta:
(  2)(2  9  18)  0
E, portanto, as demais raízes são solução da equação:
2  9  18  0
Logo, os autovalores do operador T são: 1  2 , 2  3 e 3  6 .
O sistema de equações lineares que permite a determinação dos autovetores associados é:
det( A  I )  0 .
 x
  
Considerando v  y , o sistema fica:
 
 z 
1   x  0 
3    1
  1 5    1   y   0 

   
 1
 1 3     z  0
(8.2.4)
Substituindo  por 2 no sistema (8.2.4), obtêm-se os autovetores associados a 1  2 .
 1  1 1   x  0
 1 3  1  y   0

   
 1  1 1   z  0
Isto é,
 x yz 0

 x  3 y  z  0
 x yz 0

O sistema admite infinitas soluções próprias do tipo:
z = -x
y = 0.

Assim os vetores do tipo v1  ( x, 0,  x)  x(1, 0,  1) , com x  0 , são autovetores associados o
autovalor 1  2 .
De maneira semelhante, os autovetores associados aos demais autovalores, são:

2  3
v2  x(1, 1, 1) , com x  0 .

v3  x(1,  2, 1) , com x  0 .
3  6 .
2) Determinar os autovalores e os autovetores da matriz:
4 5
A

2 1
Solução:
A equação característica de A é:
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det( A  I ) 
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85
4
5
0
2
1 
Isto é:
(4   )(1   )  10  0
ou
2  5  6  0
Cujas raízes são: 1  6, 2  1 . Que são os autovalores da matriz A.
O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos autovetores
associados é:
5   x  0
4  
 
( A  I ) v  0  

1     y  0
 2
(8.2.5)
Substituindo  por 6 no sistema 8.2.5), obtém-se os autovetores associados ao autovalor 1  6 :
 2 5   x  0
 2  5  y   0

   
Isto e:
 2 x  5 y  0

 2x  5 y  0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y
2
x.
5

2
2

Assim, os vetores do tipo v1  ( x, x)  x(1, ) , com x  0, ou, ainda, v1  x(5, 2) são autovetores
5
5
associados ao autovalor 1  6 .
Substituindo-se  por -1 no sistema (8.2.5), obtém-se os autovetores associados ao autovalor
2  1 .
 5 5   x  0 
 2 2   y   0 

   
Isto é:
5 x  5 y  0

2 x  2 y  0
y  x .
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:

Assim, os vetores do tipo v2  ( x,  x)  x(1,  1) , com x  0, são autovetores associados ao
autovalor 2  1 .
3) Determinar os autovalores e os autovetores da matriz:
 16 10
A

 16 8 
Solução:
A equação característica de A é:
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det( A  I ) 
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86
 16   10
0
 16
8
Isto é:
(16   )(8   )  160  0
ou
2  8  32  0
Cujas raízes são: 1  4  4i, 2  4  4i . Portanto, como só estamos considerando autovalores
reais e as raízes são complexas, diz-se que a matriz A não tem autovalores e nem autovetores reais.
8.3 Propriedades dos Autovalores e dos Autovetores


I) Se v é autovetor associado ao autovalor  de um operador linear T, o vetor v , para todo real 
 0, é também autovetor de T associado ao mesmo .






T (v )  T (v )   (v )   (v )
De fato: T (v )  v e
autovetor associado ao autovalor .

o que prova que o vetor v é
II) Se  é um autovalor de um operador linear T : V  V , o conjunto S  de todos os vetores

v V , inclusive o vetor nulo, associado ao autovalor , é um subespaço vetorial de V.
 
De fato: se v1 , v2  S  :
 
 




 
e, portanto, v1  v2  S  .
T (v1  v2 )  T (v1 )  T (v2 )  v1  v2   (v1  v2 )
Por outro lado, se v  S  , para todo   R , tem-se;





T (v )  T (v )   (v )   (v ) e, portanto, v  S  .
O subespaço vetorial



S   {v  V | T (v )  v}
é denominado subespaço associado ao autovalor  ou espaço característico de T correspondente a 
ou auto-espaço associado a .
III) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos
autovalores.
De fato: Sejam T : V  V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação entre
matrizes semelhantes é T B  M 1 T A M , sendo M a matriz mudança de base de B para A. Então:
det(T B  I )  det( M 1 T A M  I )  det( M 1 T A M   M 1 I M )
det(T B  I )  det( M 1 T A M  I )  det( M 1 (T A   I ) M )  det M 1 det(T A   I ) det M
det(T B  I )  det M 1 det M det(T A   I )  det( M 1 M ) det(T A   I )
det(T B  I )  det(T A   I )
8.4 Diagonalização de Operadores
cqd.
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87
Sabe-se que, dado um operador T : V  V , a cada base B de V corresponde uma matriz T B que
representa T na base B. O propósito aqui é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T
nessa base seja a mais simples representante de T. Essa matriz é a matriz diagonal.
8.4.1 Propriedade
Autovetores associados a autovalores distintos de um operador T : V  V são linearmente
independentes.
Demonstração:
Considere o caso em que 1 e  2 são distintos. A prova para o caso de n autovalores distintos é
análoga.




Sejam T (v1 )  1v1 e T (v2 )  2 v2 , com 1  2 . Considere a igualdade:



a1v1  a 2 v 2  0
(8.4.1)
Pela linearidade de T, tem-se:






a1T (v1 )  a 2T (v 2 )  0
a11v1  a 2 2 v 2  0
ou
Multiplicando ambos os membros da igualdade (8.4.1) por 1 , vem:



a11v1  a 2 1v 2  0
(8.4.2)
(8.4.3)
Subtraindo-se (8.4.3) de (8.4.2), resulta:


a 2 (2  1 ) v2  0


Mas: 2  1  0 e v 2  0 . Logo, a2  0 . Substituindo-se a 2 por seu valor em (8.4.1), tendo em


vista que vˆ1  0 , vem:
a1  0 . Logo, o conjunto {v1 , v2 } é LI. cqd.
Corolário:

Sempre que se tiver um operador T : R 2  R 2 com 1  2 , o conjunto {v1 , v2 }, formado pelos
autovetores associados , será uma base de R 2 . Este fato vale em geral, isto é, se T : V  V é linear,


dimV=n e T possui n autovalores distintos, o conjunto {v1 , v2 , , vn } , formado pelos
correspondentes autovetores, é uma base de V
Exemplo:
Seja o operador linear: T : R 2  R 2 , T ( x, y)  (3x  5 y, 2 y) . A matriz canônica de T é:
 3  5
A
2 
0
A equação característica de T é:
 3  
det( A  I )  
 0
5 
0
2   
ou
(3   )( 2   )  0
2    6  0 . Cujas raízes são: 1  2, 2  3 . Portanto, os autovalores
Que resulta em;
de T são 1  2, 2  3 . Como 1  2 , os correspondentes autovetores formam uma base de
R2 .
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Calculam-se os autovetores através do sistema homogêneo
 3  
 0

 5   x  0 

2     y  0
Obtém-se:

Para 1  2 os vetores v1  x(1,  1) .

Para 2  3 os vetores v2  x(1, 0) .
Logo, o conjunto {(1,  1), (1, 0)} é uma base de R 2 .
Problema resolvido:

4) Os autovalores de um operador linear T : R 2  R 2 são 1  2 e 2  3 , sendo v1  (1,  1) e

v2  (1, 0) os respectivos vetores associados. Determinar T(x, y).
Solução:
Expresse, inicialmente, (x, y) em relação a base {(1,  1), (1, 0)} :
( x, y )  a(1,  1)  b(1, 0)
ou
a  b  x

 a  y
Donde vem: a   y
operador T, resulta:
e b   x  y . Logo, ( x, y )   y (1,  1)  ( x  y )( 1, 0) . Aplicando o
T ( x, y )   yT (1,  1)  ( x  y )T (1, 0)
Mas,
T (1,  1)  2(1,1)  (2,2)
T (1, 0)  3(1,0)  (3, 0)
Logo,
T ( x, y )   y (2,  2)  ( x  y )(3, 0)
T ( x, y )  (3x  5 y, 2 y )
Observação:
Chamando de P a base acima, isto é:
P  {(1,  1), (1, 0)} . E observando que:
T (1,  1)  2(1,1)  2(1,1)  0(1, 0)
T (1, 0)  3(1,0)  0(1,  1)  3(1,0)
Donde, conclui-se que a matriz
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T P  
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89
0

0  3
2
Que representa o operador T na base dos autovetores e é uma matriz diagonal cujos elementos da
diagonal principal são 1 e 2 .
8.4.2 Propriedade
Considere um operador linear T em R 3 que admite autovalores 1 , 2 e 3 distintos, associados
  
v1 , v2 e v3 , respectivamente. O corolário da propriedade anterior assegura que o conjunto
  
P  {v1 , v2 , v3 } é uma base de R 3 .
Tendo em vista que



T (v1 )  1v1  1v1  0v2  0v3



T (v2 )  2 v2  0v1  2 v2  0v3


T (v3 )  3 v3  0v1  0v2  3 v3
O operador T é representado na base P dos autovetores pela matriz diagonal:
T P
1
  0
 0
0
2
0
0
0   D
3 
Constituída de autovalores na diagonal principal.
Sendo A a matriz canônica do operador T, isto é, T   A , as matrizes A e D são
semelhantes por representarem o mesmo operador T em bases diferentes. Logo, a relação entre
matrizes semelhantes, permite escrever:
D  M 1 A M
  

sendo M a matriz mudança de base P para a canônica C  {e1 , e2 , e3 } , onde e1  (1, 0, 0) ,


e2  (0, 1, 0) e e3  (0, 0, 1) .
Como:
M  I C  C 1 P  I 1 P  P
P
Portanto, a relação anterior escreve-se:
D  P 1 A P
(8.4.4)
Sendo P a matriz cujas colunas são os autovetores do operador T.
A relação (8.4.4) motiva a definição seguinte:
A matriz quadrada A é diagonalizável se existir uma matriz inversível P tal que P 1 A P seja
diagonalizável.
Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora.
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90
A definição acima pode ser expressa de modo equivalente: Um operador linear T : V  V é
diagonalizável se existir uma base de V formada por autovetores de T.
Problemas resolvidos
5) Determinar uma matriz P que diagonaliza a matriz:
 3 1 1 
A   1 5  1
 1  1 3 
E calcular P 1 A P .
Solução:
No problema resolvido número 1, já foram calculados os autovalores e os autovetores de A e foi



encontrado: 1  2 e v1  (1, 0,  1) , 2  3 e v2  (1, 1, 1) , 3  6 e v3  (1,  2, 1) .
  
Como os i são distintos, o conjunto P  {v1 , v2 , v3 } forma base do R 3 e, portanto, a matriz
1 1 1 
P   0 1  2
 1 1 1 
diagonaliza A.
Calculando:
 12
P 1 AP   13
 16
 12
P 1 AP   13
 16
0
1
3
 13
0
1
3
 13
 12   3  1 1   1 1 1 
1  
5  1  0 1  2
3   1
1  
 1 3   1 1 1 
6   1
 12   2 3 6 
1  
3  12
3   0
1  
3 6 
6   2
 2 0 0
P AP  0 3 0  D
0 0 6
1
T ( x, y )  ( 4 x  5 y , 2 x  y ) .
6) Seja T : R 2  R 2 um operador linear dado por:
2
uma base de R em relação a qual a matriz de T é diagonal.
Solução:
A matriz canônica do operador T é:
4 5
A

2 1
Encontre
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Pelo problema resolvido de número 2, os autovalores são: 1  6, 2  1 , e os respectivos


autovetores são: v1  (5, 2) e v2  (1,  1) .
A base em relação a qual a matriz P é diagonal é P  {( 5, 2), (1,  1)} , base dos autovetores.
Por conseguinte a matriz
5 1 
P

2  1
é a matriz que diagonaliza A, isto é:
1
P 1 AP   72
7
 4 5 5 1  6 0 

D
  2 1 2  1 0  1
1
7
5
7
7) Determinar a matriz P que diagonaliza a matriz
2 1 0 
A  0 1  1
0 2 4 
Solução:
A equação característica de A é:
1
0 
2  

det( A  I )   0
1    1   0
 0
2
4   
Ou seja,
(2   )(1   )( 4   )  2(2   )  0
Ou, ainda
(2   )[(1   )(4   )  2]  (2   )[2  5  6]  (2   )(2   )(3   )  0
Donde vem: 1  2 e 2  3 (o número 2 é uma raiz dupla da equação).
Calculando os autovetores por meio do sistema homogêneo:
1
0   x  0
2  
 0
1    1   y   0

 0
2
4     z  0
Obtém-se:

Para 1  2 um só autovetor LI, v1  (1, 0, 0) ;

Para 2  3 um só autovetor LI, v1  (1, 1,  2) .
Como só existem 2 vetores LI de R 3 , não existe uma base P constituída de autovetores . Logo, A
não é diagonalizável.
8.5 Diagonalização de Matrizes Simétricas
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8.5.1 Propriedades
I) A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais.
Será demonstrado apenas o caso de uma matriz simétrica A de ordem 2. De fato: seja a matriz
p r
A

 r q
A equação característica de A é:
det( A  I ) 
p
r
0
r
q
Isto é,
( p   )(q   )  r 2  0
Ou:
2  ( p  q)  ( pq  r 2 )  0
O discriminante dessa equação do 2º.grau em  é:
  ( p  q) 2  4( pq  r 2 )  p 2  2 pq  q 2  4 pq  r 2  p 2  2 pq  q 2  r 2  ( p  q) 2  r 2
Tendo em vista que esse discriminante é uma soma de quadrados (não negativo), as raízes da
equação característica são reais e, por conseguinte, a matriz A possui dois autovalores.
II) Se T : V  V é um operador linear simétrico com autovalores distintos, então os autovetores
são ortogonais.
De fato:


Sejam 1 e  2 dois autovalores do operador simétrico T e 1  2 . Sejam ainda T (v1 )  1v1 e




T (v1 )  1v1 e T (v2 )  2 v2 . Pretende-se mostrar que
 
v1  v2  0
Sendo T um operador simétrico, pela propriedade 7.5.1, vem:
  

T (v1 )  v2  v1  T (v2 )
Ou








1v1  v2  v1  2 v2
Ou:
1v1  v2  v1  2 v2  0
Ou, ainda:
 
(1  2 ) (v1  v2 )  0
 
Mas, 1  2  0 implica v1  v2  0 , ou seja:
 
v1  v2
III) em 8.4.3 foi visto que uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dos autovetores através de:
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D  P 1 A P
93
(8.5.1)
No caso particular de a matriz A ser simétrica, pela propriedade anterior (II), P será base ortogonal.
Tendo em vista futuras aplicações, é conveniente que P, além de ortogonal, seja ortonormal, o que
se obtém normalizando cada vetor.
Assim, de acordo com a propriedade V de 7.4.1, os autovetores ortonormais de P formarão uma
matriz ortogonal e, pela propriedade I de 7.4.1, tem-se P 1  P T . Portanto, a relação (8.5.1) fica:
D  PT A P
e, nesse caso, diz-se que P diagonaliza A ortogonalmente.
8.5.2 Problemas resolvidos
8) Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica:
 7 2 0 
A   2 6  2
 0  2 5 
Solução:
A equação característica de A é:
7 2
0
det( A  I )   2 6    2  0
0
2 5
Ou:
(7   )(6   )(5   )  4(5   )  4(7   )  0
(7   )(6   )(5   )  48  8  0
(7   )(6   )(5   )  8(6   )  0
(6   )(2  12  27)  0
(6   )(  3)(  9)  0
As raízes dessa equação são 1  3 , 2  6 e 3  9 e, por conseguinte, são autovalores da matriz
A.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
 
( A  I )v  0
 x
  
Considerando v   y  , o sistema fica:
 z 
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0   x  0 
7    2
 
( A  I )v    2 6    2   y   0
 0
 2 5     z  0
94
(8.5.2)
Substituindo-se  por 3 no sistema (8.5.2), obtém-se os autovetores associados a 1  3 .
 4  2 0   x  0
 2 3  2  y   0

   
 0  2 2   z  0

 4x  2 y  0

 2 x  3 y  2 z  0
  2 y  2z  0

y  2 x , z  2x .
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:

Assim, os vetores v1  ( x, 2x, 2x)  x(1, 2, 2) são autovetores associados ao autovalor 1  3 .
Fazendo:
x
1

1 2 2
2
2
1
3

Obtém-se o autovetor unitário u1  ( 13 , 23 , 23 ) associado a 1  3 .
De maneira similar, substituindo-se 2  6 e 3  9 em (8.5.2), resultam, respectivamente:


e
v2  ( x, 12 x,  x)  x(1, 12 ,  1)
u 2  ( 23 , 13 ,  23 ) ;


e
v3  ( x,  x, 12 x)  x(1,  1, 12 )
u 2  ( 23 ,  23 , 13 ) .

 
A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 , u 2 e u3 associados aos
autovalores 1 ,  2 e  3 é ortogonal:
 13
P   23
 23
2
3
1
3
 23

 
1 
3 
2
3
2
3
A matriz P é a matriz diagonalizadora. De fato:
D  P 1 A P  P T A P
Isto é,
 13
D   23
 23
 13
D   23
 23
2
3
1
3
 23
2
3
1
3
 23
  7  2 0   13
 23   2 6  2  23
1  
 2 5   23
3   0
2
3
6
 1 4


 23  2 2  6
1  
 4 3 
3  2
3 0 0
D  0 6 0
0 0 9
2
3
2
3
1
3
 23

 
1 
3 
2
3
2
3
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95
9) Seja o operador linear simétrico T : R 3  R 3 definido pela matriz:
 1 0  2
A   0 0 0 
 2 0 4 
Determinar uma matriz ortogonal que diagonaliza A.
Solução:
A equação característica de A é:
1  0
2
det( A  I )  0

0 0
2
0 4
Ou seja:
(1   )(  )( 4   )  4  0
 3  52  0  2 (5   )  0
As raízes dessa última equação são: 1  0 , 2  0 e 3  5 e, por conseguinte, são autovalores do
operador linear simétrico T.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
 
( A  I )v  0
 x
  
Considerando v  y , o sistema fica:
 
 z 
 2   x  0
1   0
 0

0   y   0

  2
0 4     z  0
(8.5.3)
Substituindo-se  por zero no sistema (8.5.3), obtém-se os autovetores associados a 1  0 e
2  0 :
 1 0  2  x  0
 0 0 0   y   0

   
 2 0 4   z  0

 x  2z  0

 2 x  4 z  0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: z  12 x e y qualquer.

Assim os vetores v  ( x, y, 12 x) são autovetores associados a 1  0 e 2  0 .

Fazendo-se x = 2 e y = 0, por exemplo, obtém-se um vetor v1  (2, 0, 1) ; fazendo-se x = 0 e y = 1,



por exemplo, obtém-se outro vetor v2  (0, 1, 0) . Os autovetores v1 e v2 , linearmente
independentes, são associados ao mesmo autovalor   0 .
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96
 
Os autovetores unitários associados a v1 e v2 , são:

1 
2
1
u1   v1  ( , 0,
);
v1
5
5

1 
u 2   v2  (0, 1, 0)
v2
Substituindo  por 5 no sistema (8.5.3), obtém-se os autovetores associados a 3  5 :
 4 0  2  x  0
 0  5 0   y   0

   
 2 0  1  z  0

 4 x  2 z  0

  5y  0
  2x  z  0

O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: z  2 x e y  0 .

Assim, os vetores v3  ( x, 0,  2 x)  x(1, 0,  2) , são os autovetores associados a 3  5 .
Fazendo x 
1
1 0  4

1
5

1
2
obtém-se o autovetor unitário u 3  ( , 0, 
) , associado a 3  5 .
5
5

 
A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 , u 2 e u3 associados aos
autovalores 1 ,  2 e  3 é ortogonal:
2
 5
P0
1
 5
0
1
0


0
2 
5
1
5
A matriz P é a matriz diagonalizadora. De fato:
D  P 1 A P  P T A P
Isto é,
2
 5
D0
1
 5
0
1
0
  1 0  2  2

 5
0   0 0 0   0
2  
 2 0 4   15
5 
2
 5
D0
1
 5
0
1
0
5 
 0 0
5


0  0 0
0 
2  
0 0  105 
5 
1
5
1
5
0 0 0 
D  0 0 0 .
0 0 5
0
1
0


0
2 
5
1
5
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10) Seja o operador linear simétrico T : R 2  R 2 definido pela matriz
 4 12 
A

12  3
Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza A.
Solução:
A equação característica de A é:
det( A  I ) 
4
12
0
12  3  
Isto é:
(4   )( 3   )  144  0

2    156  0
As raízes dessa equação são 1  12 e 2  13 e, por conseguinte, 1  12 e 2  13 são os
autovalores do operador linear T.
O sistema homogêneo de equações que permite a determinação dos autovetores associados é:
 
( A  I )v  0
  x
Considerando v    , o sistema fica:
 y
4  
 12

12   x  0

 3     y  0
(8.5.4)
Substituindo  por -12 no sistema (8.5.4), obtêm-se os autovetores associados a 1  12 :
16 12  x  0
12 9   y   0

   

16 x  12 y  0

 12 x  9 y  0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y   43 x .

Assim, os vetores v1  ( x,  43 x)  x(1,  43 ) são os autovetores associados a 1  12 .
Fazendo:
x
1
1
16
9

1
25
9

3
5
obtém-se o autovetor unitário u1  ( 53 ,  54 ) associado ao autovalor 1  12 .
Substituindo  por 13 no sistema (8.5.4), obtêm-se os autovetores associados a 2  13 :
 9 12   x  0
 12  16  y   0

   

 9 x  12 y  0

 12 x  16 y  0
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y  34 x .
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
Assim, os vetores v2  ( x, 34 x)  x(1, 34 ) são os autovetores associados a 2  13 .
Fazendo:
x
1

1  169
1
25
16

4
5
obtém-se o autovetor unitário u 2  ( 54 , 53 ) associado ao autovalor 2  13 .


A matriz P, cujas colunas são as componentes dos autovetores unitários u1 e u 2 associados aos
autovalores 1 e  2 é ortogonal:
 53
P 4
 5
4
5
3
5



A matriz P é a matriz diagonalizadora de A. De fato:
D  P 1 A P  P T A P
 53
D  4
5
 54   4 12   53

3  
 3  54
5  12
 53
D  4
5
 54   365
3   48
5   5
52
5
39
5
4
5
3
5






 12 0 
D

 0 13
Exercícios Propostos
1) verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes
matrizes:
 2 2

a) v  (2, 1), 

1 3 
1 1 1

b) v  (1, 1, 2), 0 2 1


0 2 3
1  1 0

c) v  (2, 1, 3), 2 3 2


1 2 1
2) Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares:
a) T : R 2  R 2 , T ( x, y)  ( x  2 y,  x  4 y) .
b) T : R 2  R 2 , T ( x, y)  (2 x  2 y, x  3 y)
c) T : R 2  R 2 , T ( x, y)  (5x  y, x  3 y)
d) T : R 2  R 2 , T ( x, y)  ( y,  x)
e) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  y  z, 2 y  z, 2 y  3z )
f) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x,  2 x  y, 2 x  y  2 z )
g) T : R 3  R 3 , T ( x, y, z )  ( x  y, y, z )
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99
3) Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
 1 3
a) A  

 1 5
2 1 
b) A  

 3 4
1  1 0
c) A  2 3 2


1 1 2
3  1  3
d) A  0 2  3


0 0  1
1 0 0 
e) A  1 1  2


0 1  1
3 2 1
f) A  1 4 1


1 2 3
4) Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e
calcular P 1 AP .
 2 4
a) A  

3 1 
9 1 
b) A  

 4 6
5  1
c) A  

1 3 
 1 2 1
d) A   1 3 1


 0 2 2
0
0
1

e) A   2 3  1


 0  4 3 
2 3  1 
f) A  0 1  4


0 0 3 
5) Seja T : R 2  R 2 o operador linear definido por T ( x, y )  (7 x  4 y,  4 x  y ) .
a) Determinar uma base de R 2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
b) Dar a matriz T nessa base.
6) Para cada uma dessas matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para a qual
P 1 A P seja diagonal:
 2 2
a) A  

 2 2
1 0 1
d) A  0  1 0


1 0 1
 3  1
b) A  

 1 3 
 2 2
c) A  

2 5
 7  2  2
e) A   2 1
4 

1 
 2 4
7) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P 1 A P .
5 3
a) A  

3 5
6 0 6
d) A  0  2 0


6 0 1
Respostas:
 0 0 2
b) A  0  1 0


2 0 0
 3 1 1 
c) A   1 5  1


 1  1 3 
 2  2  1
e) A   2 2
1 

  1 1
5 
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100
1) a) sim; b) sim; c) não.
2) a) 1  3 , v1  ( y, y) ; 2  2 , v2  (2 y, y) .
b) 1  1 , v1  y(2, 1) ; 2  4 , v2  x(1, 1) .
c) 1  2  4 , v  x(1, 1) .
d) Não existem.
e) 1  2  1 , v  ( x, y,  y ) ; 3  4 , v3  x(1, 1, 2) .
f) 1  1 , v1  z(3,  3, 1) ; 2  1 , v2  z(0,  3, 1) ; 3  2 , v3  z (0, 0, 1)
g) 1  2  3  1 , v  ( x, 0, z ) , x e z não simultaneamente nulos.
3) a) 1  2 , v1  y(3, 1) ; 2  4 , v2  y(1, 1) .
b) 1  1 , v1  y(1, 1) ; 2  5 , v2  x(1, 3) .
c) 1  1 , v1  x(1, 0,  1) ; 2  2 , v2  z(2,  2, 1) ; 3  3 , v3  x(1,  2,  1)
d) 1  1 , v1  x(1, 1, 1) ; 2  2 , v2  x(1, 1, 0) ; 3  3 , v3  x(1, 0, 0)
e) 1  1 , v1  z(2, 2, 1) ;  2 e  3 imaginários.
f) 1  2 , v1  ( x, y,  x  2 y) ; 2  6 , v2  ( x, x, x)
  2 0
P 1 A P  

 0 5
 1 4
4) a) P  
,
  1 3
1 1 
b) P  
,
1  4
10 0
P 1 A P  

 0 5
c) Não diagonalizável.
2 1 0 
d) P  1 0 1  ,


2 1  2
3 0 0
P A P  0 2 0
0 0 1
1
e) Não diagonalizável.
 3 1  7 
f) P   1 0  2 ,


 0 0 1 
5) a) {(-2, 1), (1, 2)};
 1
 2
6) a) P  
 1
 2
1 
2 
1 
2 
1 0 0
P A P  0 2 0
0 0 3
1
9 0 
b) 
.
0 1


b) P  


1
2
1
2

1 
2 
1 
2 


c) P  


1
5
2
5

2 
5 
1 
5 
Apostila de Álgebra Linear
 1
 2

d) P   0
 1

2


7) a) P  


1



b) P  


1
2
0
1
2
2
1 
2  ,
1 
2 
1 
2 
1
0 ,
1 
0 
2 
2
 1

 2
c) P   0

 1

2

 1

6

1
e) P  
 6
 2

 6
1
3
1
3
1
3
2
13
0
2
13
1

1 

6 
2 
,

6
1 

6 

13 
0 ,
3 

13 
3
3
1
3
1
3
2011
1
3
1

1
6
1
3
1
6
1
3
6

0 

1 
2
1 

2
8 0
PT A P  

0 2 
0
2
0
1

0

d) P  1
0




e) P  





0

1
0

1

2
1
Prof. Airton Prati
0
2 0

P A P  0  1 0 
0 0  2
T
 2 0 0
P A P  0 3 0
0 0 6
T
 2 0 0 
P A P   0 10 0 
 0 0  3
T
1 

2
1 
,
2

0 

Bibliografi
[1] BOLDRIN, C e FIGUEIREDO, W., Álgebra Linear, Ed. Arbra Ltda, São Paulo, 1986.
[2] STEINBRUCh, A.e WINTERLE, P., Algebra Linear, McGraw-Hill, São Paulo, 1987.
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