Utilizando-se, necessariamente, os algarismos 1 e 2, podemos
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01) (MACK) Utilizando-se, necessariamente, os algarismos 1 e 2, podemos formar K números distintos com 5 algarismos. Então K vale: a) 30 b) 48 c) 64 d) 72 e) 78 Como são 5 algarismos, tendo 2 opções, o total de número é 2 2 2 2 2 32 . No entanto, necessariamente utilizar 1 e 2 implica o descarte dos números 11111 e 22222, onde somente um deles aparece. Logo, 32 - 2 = 30. 5 4 2 40 impar 3 3 1 "1", "3" 03) (UNESP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema. O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é: a) 4. b) 6. c) 8. d) 12. e) 16. 4 2 2 1 16 P1 P2 P3 P4 A poltrona 1 pode ser ocupada com qualquer um dos 4 viajantes. A poltrona 2, no entanto, deve ser ocupada por um viajante do sexo oposto: existem 2 pessoas de sexo diferente da 1ª. Para a poltrona 3 e 4, sobrarão necessariamente um homem e uma mulher. Logo, existem 2 opções para a poltrona 3 e 1 para a poltrona 4. Conjuntos A A 05) (MACK) A partir de um grupo de 12 professores, quer se formar uma comissão com um presidente, um relator e cinco outros membros. O número de formas de se compor a comissão é: a) 12.772 b) 13.024 c) 25.940 d) 33.264 e) 27.764 Serão feitas 7 escolhas a partir de 12 opções, sendo as escolhas separadas em dois grupos de um (presidente e relator) e um grupo de 5 com cargos iguais. COMISS AO REL 12 11 10 9 8 7 6 33.264 5! PRES 02) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x. Para formar números ímpares, o algarismo das unidades necessariamente deve ser ímpar. Logo, existem 2 opções: “1” ou “3”. Para os demais, bastar evitar a repetição. Seqüências 06) (UFMG) Observe a figura. Nela, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é: a) 20 b) 21 c) 25 d) 31 e) 35 Estão disponíveis 7 pontos. Logo, é possível formar 765 35 trios diferentes. No entanto, os trios formados 3! com exclusivamente com G, H, I, J não formam triângulos, 432 e totalizam 4 trios. Logo, existem 35 - 4 = 31 3! triângulos. 04) (FGV) O número de segmentos de reta que têm ambas as extremidades localizadas nos vértices de um cubo é: 07) (MACK) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em número de: a) 12. b) 15. c) 18. d) 24. e) 28. a) 426 b) 444 c) 468 d) 480 e) 504 Um cubo possui 8 vértices. Para formar segmentos, escolheremos dois. Como os segmentos AB e BA são iguais, é preciso dividir. 87 28 2! Sendo 9 atletas, existem 9 8 7 504 possibilidades de pódio. Não é preciso dividir, pois as classificações ABC e CBA são distintas. O que não interessa é um pódio sem brasileiros. Como são 5 atletas estrangeiros, são 5 4 3 60 pódios sem brasileiros. Assim, o total de pódios com pelo menos um brasileiro é 504 - 60 = 444. 08) (PUCCAMP) Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para formar um grupo de trabalho. De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado? 12) (CÓSER) Sendo possível somente percorrer as arestas dos cubos abaixo, quantos caminhos diferentes podemos fazer indo do ponto A até o ponto B, percorrendo o mínimo de arestas possível? a) 182 b) 330 c) 462 d) 782 e) 7920 a) 150 b) 350 c) 1.260 d) 2.520 e) 7.560 A inclusão obrigatória de um membro implica a diminuição do número de vagas. Assim, restam 11 pessoas para 4 escolhas. 11 10 9 8 330 4! 09) (UFSM) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca? a) 12 b) 30 c) 42 d) 240 e) 5040 A seqüência de estacas deve ser entendida como um anagrama. Por exemplo, o anagrama VAAAAAB indica que a primeira estaca é vermelha, as seguintes são azuis e a última é branca. Atenção para as cinco letras 7! “A” repetidas: 7 6 42 . 5! 10) (UFRN) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02 20/02 2002 forma uma seqüência de algarismos que permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos não necessariamente diferentes é: a) 120 b) 720 c) 900 d) 1000 e) 1100 O primeiro algarismo não pode ser zero. Portanto, são 9 opções. Ao definir o primeiro, para o último só resta uma opção: igual ao primeiro. Para o segundo algarismo são 10 opções, e fixa uma única opção para o quarto. Para o 3º, 10 opções mais uma vez. SEM RESTRIÇ AO 9 0 10 10 1 1 900 A2 A1 11) (UNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é: Para sair do ponto A e chegar ao ponto B, são necessários 4 deslocamentos para frente, 2 deslocamentos para dentro e 3 deslocamentos para cima, gerando anagramas como 9! FFFFDDCCC. Logo, 1260 caminhos distintos. 4! 3! 2! 13) (UEL) Para responder a certo questionário, preenchese o cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão. De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? a) 3.125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10 Cada uma das cinco questões pode ser respondida de dois modos: “SIM” ou “NÃO”. Logo, são 2 2 2 2 2 32 maneiras distintas de responder ao questionário. 14) (ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é: a) 12! b) (8!) (5!) c) 12! - (8!) (5!) d) 12! - 8! e) 12! - (7!) (5!) A palavra VESTIBULANDO possui 12 letras distintas. Logo, existem 12! Anagramas diferentes com suas letras. Para que as vogais fiquem juntas, elas serão contadas como um único elemento: AEIOU. Ainda, restam 7 letras, totalizando 8 opções. Assim, existem AEIOU , V , , S ,T , B , L , N , D 12! 8! 5! anagramas 8 ELEMENTOS com as vogais 8! 5! separadas. TROCA TROCA ELEMENTOS a) 21. b) 30. c) 60. d) 90. e) 120. Como cada grupo tem seu cabeça de chave definido, temos a perda de uma vaga por grupo. Restam 6 times para distribuição. CHAVE A CHAVE B CHAVE C 65 43 2 1 90 2! 2! 2! INTERNA 15) (CÓSER) Calcule o número de anagramas existentes com as letras (sem os espaços) da frase “VOU TIRAR NA”. São 10 letras, sendo dois R´s e dois A´s. Logo, existem 10! 907.200 anagramas distintos. 2! 2!
