7ª Série de Problemas Mecânica e Ondas LEEC 1

6ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
LEEC
1. Num dia de chuva intensa em que a altitude das nuvens relativamente ao
solo era 500 m, mediram-se várias grandezas para a caracterizar, obtendose que o caudal de água era 5×10-3 L m-2 s-l, a velocidade das gotas de
chuva 5 m/s e a massa média das gotas era 65×10-3 g.
1.a) Qual seria a velocidade das gotas de água se não houvesse atrito no ar?
1.b) Qual e o trabalho realizado pelas forças de atrito sobre uma gota de
chuva? Calcule o valor médio das forças de atrito que actuam sobre uma
gota.
1.c) Se tivermos uma balança do tipo dinamómetro à chuva e o seu prato
tiver 0.4 m2, quantas gotas de chuva lá caiem por unidade de tempo? Que
peso indica a balança dinamómetro? Suponha que o fluxo de chuva é
constante, que as gotas depois de baterem escorrem rapidamente para fora
da balança; a densidade da água é 1 g/cm3.
1.d) Qual a constante da mola da balança, se o prato tiver um deslocamento
de 1 cm? Se não fez a alínea anterior, considere que a balança indica
2×10-2 N.
2. A distância do Sol a Terra é, por definição, uma unidade astronómica
(U.A.). Um satélite artificial foi colocado em órbita circular em torno do
Sol, com um período de 8 anos terrestres.
2.a) Qual é o raio da órbita do satélite em U.A.?
2.b) Qual seria a resposta à alínea a), se a força gravitacional fosse
proporcional a 1/r3 em vez de 1/r2?
2.c) Qual a relação entre o raio da órbita e o seu período, no caso geral em
que a força gravitacional varia com 1/rn (n > 0)? (3a Lei de Kepler
generalizada.)
3. Qual é a energia cinética de um satélite artificial de massa m numa órbita
circular com um raio duplo do raio da Terra?
4. Um meteoro aproxima-se do Sol. A grande distância a sua velocidade é de
500 m/s, estando apontando a 1012 m do centro do Sol (ver figura na
página seguinte).
4.a) Determine a distância mínima a que o meteoro passa do centro do Sol.
4.b) Qual a velocidade do meteoro quando passa no ponto mais próximo do Sol?
4.c) Sabendo que o raio do Sol é 6,95×108 m, que valor mínimo pode ter o
parâmetro de impacto b para que o meteoro não caia no Sol? Sugestão:
Repare que o momento angular inicial do meteoro é mbv. Porquê?
5. Deduza a equação do movimento do pêndulo gravítico usando a relação
&
&
N dL dt .
6. Considere um objecto de massa m que se move sem atrito sobre uma mesa,
preso por um fio de comprimento l a outro objecto, de massa M (ver
figura). Este último desloca-se na vertical. Suponha o fio inextensível.
6.a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano.
6.b) Como varia o lagrangeano do sistema quando este sofre uma rotação em
torno da vertical (eixo zz)?
6.c) Escreva as equações de Lagrange e use-as para mostrar que o momento
angular do sistema se conserva.
6.d) Imprimindo uma certa velocidade inicial à massa m é possível fazer com
que esta tenha movimento circular. Calcule essa velocidade em função do
raio da trajectória pretendida (indique também a direcção e o sentido).
6.e) Como varia, nas condições da alínea d), o raio da trajectória com
período? (Compare com a 3a Lei de Kepler para o movimento dos
planetas!)