Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções - FGV-EESP

Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI)
Impacto das reuniões do COPOM no preço de
opções de índice de taxas de juros (IDI)
Erick Wakamoto Takarabe
Marcos Eugênio da Silva
25-Novembro-2014
Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI)
Sumário
1
Modelagem
2
Calibragem do DTMC
3
Consistência do modelo
4
Resultados e conclusões
Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI)
Modelagem
Modelo de taxa de juros
O modelo de taxa de juros: preço de um ZCB é dado por:
P (t, v) = E exp −
v
Z
!!
Rs ds
(1)
t
Onde:
Rt = rt + θt ,
(2)
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Modelagem
Exemplo do comportamento da taxa de juros de curto
prazo
Figura : Comportamento do CDI diário (taxa linear a.a., base 252), com
duas reuniões do COPOM no período, sofrendo duas baixas
consecutivas de 50 Bps cada.
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Modelagem
Índice de taxa de juros de curto prazo - IDI
1
IDI (t) = IDI (t − 1) × (1 + CDI (t − 1)) 252
(3)
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Modelagem
Hipóteses do modelo de taxa de juros
1
No caso do Brasil, existe uma persistência das decisões da
política monetária, isto é, dado que houve um aumento da
taxa de juros na última reunião do COPOM, existe uma
probabilidade maior que ocorra outro aumento na próxima
reunião.
2
Não pode ser constatada uma relação forte entre o nível da
taxa overnight e as decisões do COPOM
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Modelagem
Indícios para hipótese 1
Figura : Decisão do COPOM em t em função da decisão realizada em
t − 1. Período de Jan/2001 a Nov/2013.
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Modelagem
Indícios para hipótese 2
Figura : Decisão do COPOM em t em função do CDI (taxa linear a.a.,
base 252) em t. Período de Jan/2001 a Nov/2013.
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Modelagem
Modelo da dinâmica das decisões do COPOM
Γ (t) = ΦΓ (t − 1) ,
onde:
Γ (t) =
h
P [θ1 ] (t) P [θ2 ] (t) · · · P [θn ] (t)


P (1, 1) P (1, 2) · · · P (1, n)
P (2, 1)



Φ =  .

..
.
 .

.


P (n, 1)
···
P (n, n)
i0
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Modelagem
Modelo de opção de compra sobre IDI

Z

n
X

 v

rs ds +
θ (ti ) × (v − ti ) −
c(t) = E IDISpot × exp 
t
i=1
1
− IDISpot × exp (rstrike × (v − t)) ×
f (t, v)
+
Onde:
IDIStrike = IDISpot × exp (rstrike × (v − t))
(4)
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Modelagem
Esperança condicional
Dado que a decisão do COPOM não tem uma relação forte com o
nível da taxa de juros de curto prazo:

 n

!
Z v

X







(t
)
(v
)
c(t) = E [Θ] × IDISpot × E exp  θ i × − ti  × exp
rs ds −
t
i=1

 
n
X

 
1
exp rstrike × (v − t) −
θ (ti ) × (v − ti ) Θ ×
f (t, v)
i=1
+
(5)
Onde: Θ = [θ (t1 ) , θ (t2 ) , ..., θ (tn )]
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Modelagem
Variáveis auxiliares
du (t, v)
1 + TxLinTermo ×
252
!
du (t, v)
252
!
1 + TxLinStrike ×
= exp
Θj
Z
v
!
rs ds
 t

n
X



= exp rstrike × (v − t) −
θ (ti ) × (v − ti )
i=1
h
i
j
j
= θ (t1 ) , ..., θ (tn )
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Modelagem
Modelo final

 n

N
X

X

1
P Θj × exp  θj (ti ) × (v − ti ) ×
×
c(t) =IDISpot ×
f (t, v) j=1
i=1
,
du(t, v)
× TxLinTermo × N (d1 ) − TxLinStrike Θj × N (d2 ) ×
252
(6)
onde:
!

2
TxLinTermo


ln
+ σ (v−t)

2

Θj )
(

 TxLinStrike
√
,
se
TxLin
Θj > 0
Strike
d1 = 
σ v−t




1.000.000,
caso contrário
√
d2 = d1 − σ v − t
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Modelagem
Parâmetros do Black-76
Termo do ativo objeto: pode-se supor que a taxa de juros
linear no momento do vencimento da opção, descontado o
efeito dos choques das reuniões do COPOM, será a mesma
observada hoje.
Strike do ativo objeto:
TxLinStrike Θj =
IDIStrike
IDISpot
×
exp(
1
j
i=1 θ (ti )×(v−tj ))
Pn
−1 ×
252
du(t,v)
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Modelagem
Volatilidade
Figura : Comparativo entre o CDI e o CDI ajustado, com dados de
Jan/2001 a Nov/2013.
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Calibragem do DTMC
Avaliação histórica
Decisão em t
Decisão em t − 1
-50
-25
0
25
50
-50
-25
0
25
50
70%
18%
12%
0
0
20%
40%
40%
0
0
5%
8%
74%
5%
8%
14%
0
14%
43%
29%
0
0
6%
13%
81%
Tabela : Percentual de ocorrência das combinações de decisões do
COPOM, considerando o período de Jan/2001 a Nov/2013, e valores de
[−50; −25; 0; 25; 50] Bps, totalizando 123 observações.
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Consistência do modelo
Variação do strike
Figura : Comportamento do prêmio da opção de compra variando o
IDIStrike .
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Consistência do modelo
Variação do vencimento
du(t, v)
No de COPOM até v
PU(t, v)
Prêmio (R$)
50
112
238
1
3
7
98.089,57
95.860,20
91.485,99
0
3,75
4.919,18
Tabela : Comportamento do prêmio da opção de compra variando o
vencimento.
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Consistência do modelo
Variação da última decisão do COPOM
Última decisão do COPOM (Bps)
Prêmio (R$)
-50
-25
0
25
50
3,75
12,49
60,21
181,27
313,29
Tabela : Comportamento do prêmio da opção de compra variando a
última decisão do COPOM.
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Resultados e conclusões
Resultados
strike
prêmio
calculado
prêmio de.
referência
Valor
intrínseco em v
Reuniões do
COPOM até v
132.000
130.000
140.900
145.000
146.000
148.800
157.200
3.750,62
7.782,24
60,23
1.442,74
630,23
6,94
77,14
3.752,88
7.773,39
224,76
2.635,14
1.721,14
31,60
57,74
3.764,97
7.877,31
0,00
874,47
0,00
0,00
438,67
0
1
3
7
7
7
7
Tabela : Comparação entre os prêmios calculados pelo modelo proposto
e os prêmios de referência da BM&FBOVESPA.
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Resultados e conclusões
Conclusões
para os casos de opções ITM (in-the-money) de vencimento
curto e sem nenhuma reunião do COPOM no período, os
prêmios calculado e de referência tendem a convergir.
para vencimentos médios e longos (que contenham pelo
menos 1 reunião do COPOM no período), o modelo se
mostra mais sensível à última reunião do COPOM.
utilizando a diferença positiva entre o IDISpot e o IDIStrike no
vencimento (valor intrínseco em v) da opção como critério de
avaliação da capacidade preditiva do modelo, nota-se que os
resultados pioram com o aumento do prazo, assim como
esperado. Porém o "erro"do modelo proposto tende a ser
menor que o "erro"dos prêmios de referência.