Universidade do Algarve Departamento de Fı́sica Problemas de Electricidade e Magnetismo Orlando Camargo Rodrı́guez Faro, 15 de Fevereiro de 2005 Capa: Kubische ruimteverdeling (Divisão cúbica do espaço) por: M.C. Escher §1. Carga eléctrica e Lei de Coulomb Problema 1. A força electrostática entre dois iões iguais, separados por uma distância de 5,0×10−10 m, é de 3,7×10−9 N. (a) Qual é a carga em cada ião? (b) Quantos electrões faltam em cada ião? Problema 2. Duas cargas fixas, de +1×10−6 C e +3×10−6 C, estão separadas por uma distância d = 10 cm. (a) Onde é que se pode localizar uma terceira carga, de modo a que a força resultante sobre ela seja nula? (b) O equilı́brio dessa terceira carga vai ser estável ou instável? Problema 3. A carga total de duas pequenas esferas carregadas positivamente é de 5×10−5 C. Como está a carga distribuida entre as duas esferas, sabendo-se que a força de repulsão entre elas, quando estão separadas de 2 m, é igual a 1 N? Problema 4. Qual deve ser a distância entre dois protões, para que a força eléctrica repulsiva que neles actua seja igual aos seus próprios pesos, na superfı́cie da Terra? (Procure o valor da massa do protão na Tabela de Constantes Fı́sicas). Problema 5. No modelo de Bohr o raio do átomo de hidrogénio é 5,29×10−11 m. Determine: (a) A intensidade da força eléctrica que actua no electrão devido ao protão e compare esse valor com a intensidade da atracção gravı́tica entre as duas cargas. (b) A aceleração centrı́peta e a velocidade orbital do electrão. Problema 6. Duas esferas iguais, de massa m e carga q, estão penduradas por fios de seda de comprimento l, como mostra a Figura No.1. Admita que o ângulo θ é tão pequeno que permite fazer a substituição tan θ ≈ sin θ, sem se cometer um erro apreciável. Mostre que, dentro desta aproximação, se tem que x= lq 2 2π0 mg !1/3 , onde x é a distância entre os centros das duas esferas. Se l = 120 cm, m = 10 g e x = 5 cm, qual é o valor de q? Figura No.1 1 Problema 7. Duas esferas, de cargas idênticas, estão penduradas em fios inextensı́veis de comprimento l = 50 cm e cuja massa é desprezável. Supondo que os fios fazem um ângulo de 30◦ com a vertical e que a massa de cada uma das esferas vale 20 g, calcule o valor da carga existente em cada esfera. Problema 8. Duas partı́culas com cargas iguais e separadas por uma distância d = 3,2×10−3 m são largadas do repouso. A aceleração da primeira partı́cula é igual a 7 m/s2 e a da segunda 9 m/s2 . Se a massa da primeira partı́cula for igual a 6,3×10−7 kg, determine: (a) A massa da segunda partı́cula. (b) A carga de cada partı́cula. Problema 9. Duas cargas, q1 = +6µC e q2 = +4µC, assentes no eixo X, estão separadas por uma distância d = 10 cm. Considere a carga q1 colocada na origem do eixo X. (a) Uma terceira carga q3 = +2µC situa-se entre q1 e q2 , num ponto equidistante daquelas duas cargas. Determine a força que é exercida na carga q3 . (b) Ao longo do eixo X pode deslocar-se uma outra carga q = -2µC. Em que ponto(s) do eixo é que esta carga deixa de ficar sujeita à acção de qualquer força eléctrica? Problema 10. Três cargas estão dispostas nos vértices de um triângulo equilátero, tal como indicado na Figura No.2(a). Qual é a direcção e o sentido da força que age sobre a carga +q? (a) (b) Figura No.2 Problema 11. Nos vértices de um quadrado de 40 cm de lado estão colocadas cargas idênticas de +3µC. Determine a força que actua em cada uma das cargas. §2. Campo electrostático Problema 12. Qual o módulo de uma carga eléctrica pontual, escolhida de modo a produzir um campo de 2 N/C à distância de 50 cm? Problema 13. Localize na Figura No.2(b) o ponto (ou os pontos) onde a intensidade do campo eléctrico é nula. Considere a = 50 cm. Problema 14. Três cargas idênticas q estão colocadas em três vértices de um quadrado de lado l. Calcule o campo eléctrico no quarto vértice. 2 Problema 15. Um fio metálico, de comprimento l, está uniformemente carregado com uma carga total q. Determine o campo eléctrico num ponto P situado ao longo do eixo do fio, a uma distância a do seu extremo mais próximo. Problema 16. Um bastão fino de vidro é encurvado de modo a formar um semicı́rculo de raio R. Uma carga +Q está distribuida uniformemente ao longo da metade superior, e uma carga -Q ao longo da metade inferior, como mostra a Figura No.3(a). Determine o campo eléctrico E, no centro P do semicı́rculo. (a) (b) Figura No.3 Problema 17. Determine o campo eléctrico, num ponto P , criado por um fio de comprimento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distância r perpendicular ao fio. Qual é a simetria do campo? Problema 18. Determine o campo eléctrico E, num ponto P , localizado no eixo de um anel uniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do anel. Problema 19. Determine o campo eléctrico E, num ponto P , localizado no eixo de um disco uniformemente carregado, de raio R e densidade superficial de carga σ. O plano do disco é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do disco. Determine igualmente o campo eléctrico quando R → ∞ (plano infinito). Problema 20. Campo axial produzido por um dipolo eléctrico: Para um dipolo constituido por uma par de cargas q e −q, separadas por uma distância vertical 2a, considere um ponto P colocado à distância r do centro do dipolo e situado no seu eixo (ver Figura No.3(b)). (a) Demonstre que para grandes valores de r a intensidade do campo eléctrico, em P , corresponde a 1 p E= , 4π0 r3 onde p representa o módulo do momento do dipolo (p = 2aqey ). (b) Qual a direcção de E? 3 Problema 21. Experiência de Millikan: No aparelho da Figura No.4 (idealizado por R.A. Millikan) uma pequena gota de óleo carregada, colocada num campo eléctrico uniforme E, pode ser equilibrada ajustando-se o valor de E de modo a que a força eléctrica na gota tenha uma intensidade exactamente igual, e sentido oposto, ao seu peso. O raio da gota é de 1,64×10−4 cm, e o valor de E, na situação de equilı́brio, de 1,92×105 N/C. (a) Qual a carga da gota em termos da carga do electrão, e? (b) Porque é que Millikan não tentou equilibrar electrões em vez de gotas de óleo? (A densidade do óleo é 0,851 g/cm3 ). Figura No.4 §3. Movimento de cargas num campo eléctrico uniforme Problema 22. Existe um campo eléctrico uniforme no espaço entre duas placas paralelas de cargas opostas. Um electrão parte do repouso, na superfı́cie da placa carregada negativamente, e incide sobre a superfı́cie da placa oposta, a 2 cm de distância, após 1,5×10−8 s. (a) Qual a velocidade desse electrão quando ele incide sobre a segunda placa? (b) Qual é o módulo do campo eléctrico E? Problema 23. Um electrão com uma velocidade inicial v0 = v0 ex , onde v0 = 8,6×105 m/s, entra numa região onde existe um campo eléctrico uniforme E = E0 ex , onde E0 = 4,1×103 N/C. Determine: (a) A aceleração do electrão. (b) O tempo que o electrão leva a parar. (c) A distância que o electrão percorre até parar. Problema 24. Protões são projectados com uma velocidade inicial v0 = 9, 55 × 103 m/s, numa região onde existe um campo eléctrico uniforme E = -E0 ey (ver Figura No.5), onde E0 = -720 N/C. Os protões devem atingir um alvo que se encontra a uma distância horizontal l = 1,27 mm, do ponto de onde foram projectados. Determine: (a) Os ângulos θ que resultam na colisão dos protões com o alvo. (b) O tempo total de vôo para cada trajectória. 4 Y E v0 θ X l Figura No.5 §4. Potencial eléctrico Problema 25. Uma carga pontual q1 = +2µC é colocada na origem do eixo X. Uma segunda carga q2 = -3µC é colocada na posição x = 100 cm. Em que ponto(s) do eixo X é que o potencial eléctrico se anula? Problema 26. Duas cargas pontuais, q1 = +5nC e q2 = −3nC, estão separadas por uma distância d = 35 cm. (a) Qual é a energia potencial do sistema constituı́do pelas duas cargas? Qual é o significado do sinal algébrico dessa energia potencial? (b) Qual é o potencial eléctrico no ponto que se situa na linha que une as cargas e que é equidistante das duas? Problema 27. Demonstre que o potencial no ponto P da Figura No.6 é nulo. Figura No.6 Problema 28. Três cargas q estão colocadas em três vértices de um quadrado de lado l. Determine o potencial eléctrico no quarto vértice. Problema 29. Três cargas encontram-se nos vértices de um triângulo isósceles, como indicado na Figura No.7 (a = 2 cm, b = 4 cm). Calcule o potencial eléctrico no ponto médio da base. Considere que q = 7µC. 5 Figura No.7 Problema 30. Duas placas metálicas, iguais e paralelas, com uma densidade superficial de carga +σ e -σ, estão separadas por uma distância de 50 cm e encontram-se ligadas a uma bateria de 90 V. Supondo que a distância entre as placas é muito menor do que as dimensões das mesmas, determine: (a) A intensidade do campo eléctrico E entre as placas. (b) A densidade superficial de carga σ. Problema 31. Qual a diferença de potencial, ∆ϕ, necessária para parar um electrão com uma velocidade inicial de 4,2×105 m/s? Problema 32. Considere dois pontos, P1 e P2 , num campo eléctrico. O potencial em P1 é ϕ1 = -30 V e o potencial em P2 é ϕ2 = +150 V. Determine o trabalho que uma força externa deverá realizar para mover uma carga q = -4,7µC de P2 para P1 . Problema 33. A intensidade do campo eléctrico entre duas placas paralelas carregadas, separadas por 1,8 cm, é 2,4×104 N/C. Determine a diferença de potencial ∆ϕ entre as placas. Calcule a energia cinética Ec , ganha por um protão que se move da placa positiva para a placa negativa. Problema 34. (a) Calcule a velocidade v de um protão que é acelerado, do repouso, por uma diferença de potencial ∆ϕ = 120 V. (b) Calcule a velocidade v de um electrão que é acelerado do repouso, pela mesma diferença de potencial. Problema 35. Um ião, acelerado por uma diferença de potencial ∆ϕ = 115 V, sofre um acréscimo de energia cinética ∆Ec = 7,37×10−7 J. Calcule a carga do ião. Problema 36. Um electrão, movendo-se paralelamente ao eixo X, tem uma velocidade inicial v0 = 3,7×106 m/s na origem. A sua velocidade é reduzida para v = 1,4×105 m/s no ponto x = 2 cm. Calcule a diferença de potencial ∆ϕ entre a origem e este ponto. Qual dos pontos está a um potencial mais elevado? Problema 37. Calcule a energia potencial do átomo de hidrogénio, Ep , considerando que o seu electrão se encontra a uma distância r em relação ao núcleo do átomo. Problema 38. Considere um fio uniformemente carregado, de comprimento l e densidade linear de carga λ. Determine o potencial ϕ, num ponto P a uma distância a do seu extremo mais próximo. 6 Problema 39. Determine o potencial ϕ, num ponto P , criado por um fio de comprimento infinito e densidade linear de carga λ, a uma distância r perpendicular ao fio. Determine também a diferença de potencial ∆ϕ às distâncias r e R (R > r), igualmente perpendiculares ao fio. Calcule o campo electrostático em r a partir de ∆ϕ. Problema 40. Determine o potencial ϕ, num ponto P localizado no eixo de um anel uniformemente carregado, de raio R e carga total Q. O plano do anel é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do anel. Problema 41. Determine o potencial ϕ, num ponto P , localizado no eixo de um disco uniformemente carregado de raio interior R0 , raio exterior R, e densidade superficial de carga σ. O plano do disco é perpendicular ao eixo X e o ponto P está a uma distância x do centro do disco. Determine igualmente o potencial do disco quando R0 = 0. Problema 42. O eixo X é o eixo de simetria de um anel uniformemente carregado de raio R e carga Q. Uma carga pontual Q, de massa M , situa-se no centro do anel. Quando é deslocada ligeiramente, a carga pontual acelera ao longo do eixo X em direcção ao infinito. Mostre que a velocidade da carga, no infinito, é: s v= Q2 . 2M Rπ0 Problema 43. Uma esfera oca, não condutora, tem um raio exterior b e um raio interior a. A carga total da esfera é Q e encontra-se uniformemente distribuida. Determine o campo eléctrico E e o potencial ϕ a uma distância r do centro da esfera, se: (a) r < b. (b) a < r < b. (c) r < a. Problema 44. Considere duas esferas ocas, condutoras e concêntricas, uniformemente carregadas. As esferas têm raios r1 e r2 e cargas Q1 e Q2 , respectivamente (r1 < r2 ). Determine o campo eléctrico e o potencial para uma distância r em relação ao centro das esferas, nos seguintes casos: (a) r < r1 . (b) r1 < r < r2 . (c) r < r2 . §5. Fluxo de um campo eléctrico e Lei de Gauss Problema 45. Um cone com uma base de raio R e altura h encontra-se numa mesa horizontal. Um campo eléctrico uniforme e horizontal, E, atravessa o cone. Determine o fluxo eléctrico que entra no cone. Problema 46. Um campo eléctrico de intensidade 3,5×103 N/C é aplicado ao longo do eixo dos X. Calcule o fluxo eléctrico, através de um plano rectangular de área 0,35×0,70 m2 , se o plano: (a) For paralelo ao plano Y Z. (b) For paralelo ao plano XY . (c) Contiver o eixo Y e a sua normal fizer um ângulo de 40◦ com o eixo dos X. Problema 47. Um campo eléctrico uniforme E = aex + bey N/C intersecta uma superfı́cie de área A. Determine o fluxo através desta área, se a superfı́cie se encontrar no plano: (a) Y Z. (b) XZ. (c) XY . 7 Problema 48. Determine, pela aplicação da Lei de Gauss, o campo eléctrico a uma distância r de uma distribuição linear de carga uniforme e infinita, cuja carga por unidade de comprimento é λ. Problema 49. Determine o campo eléctrico devido a um plano Y Z infinito e não condutor, carregado uniformemente com uma carga por unidade de área σ. Problema 50. Um cubo de lado l está colocado numa região do espaço onde existe um campo eléctrico uniforme e perpendicular a duas das suas faces. Determine o fluxo do campo através do cubo. Problema 51. Um fio de comprimento infinito, carregado com uma densidade de carga λ, encontra-se a uma distância d de um ponto O, como indicado na Figura No.8. a) Determine o fluxo do campo eléctrico através de uma superfı́cie esférica centrada em O quando R < d. b) Mostre que o fluxo do campo √ eléctrico através de uma superfı́cie esférica centrada em O, quando R > d, é dado por 2λ R2 − d2 /0 . c) Se λ > 0 qual a orientação e sentido das linhas do campo eléctrico em torno do fio? Figura No.8 §6. Corrente eléctrica Problema 52. De quantos electrões por segundo é constituı́da uma corrente de 0,7 A, ao passar numa dada secção de um condutor? Problema 53. Um fio de cobre de secção 3 mm2 transporta uma corrente de 5 A. Sabendo que a massa molar do cobre é 63,5 g/mol e que a densidade do cobre é 8920 kg/m3 , determine a velocidade de deslocamento dos electrões no fio. Assuma que cada átomo de cobre contribui com um electrão para a corrente. Problema 54. Num dado condutor tem-se um fluxo de electrões de 0,6 mol em 45 minutos. Determine a carga total que atravessa o condutor e a intensidade da corrente. 8 Problema 55. Um fio condutor de secção recta circular, com um diâmetro não uniforme, transporta uma corrente de 5 A (ver Figura No.9). O raio da secção recta A1 é 0,4 cm2 . (a) Determine a densidade de corrente em A1 . (b) Se a densidade de corrente em A2 for um quarto da densidade de corrente em A1 , qual é o raio do condutor em A2 ? A1 A2 Figura No.9 Problema 56. Uma corrente eléctrica é dada por I(t) = I0 sin (ωt) , onde I0 = 100 A e ω = 120π rad/s. Determine a carga total transportada pela corrente, no intervalo de tempo entre ti = 0 s e tf = 1/240 s. Problema 57. Suponha que a corrente através de um condutor decresce exponencialmente no tempo, segundo a lei I(t) = I0 e−t/τ , onde I0 e τ são constantes. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. (a) Que quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = τ s? (b) Que quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = 10τ s? (c) Que quantidade de carga passa por este ponto, entre t = 0 s e t = ∞ s? §7. Resistividade Problema 58. Considere um fio de chumbo de raio 0,321 mm. (a) Calcule a resistência por unidade de comprimento. (b) Determine a intensidade da corrente no fio, se uma diferença de potencial de 10 V for mantida através do fio, agora de comprimento l = 1 m. (c) Determine a densidade de corrente e o campo eléctrico no fio, supondo que este transporta uma corrente de 2 A. Problema 59. Um fio de metal, de resistência R0 e comprimento l0 , é cortado em três segmentos iguais. Os segmentos são unidos, de modo a formar um novo fio de comprimento l = l0 /3. Determine a resistência R do novo fio em função de R0 . Problema 60. Um fio condutor, de comprimento l0 e resistência R0 , é esticado a temperatura constante até atingir um comprimento l = 2l0 . Determine R, a resistência final do fio, em função de R0 (considere que antes e depois do alongamento o fio mantem uma forma cilı́ndrica). 9 Problema 61. Dois fios, um de cobre e outro de alumı́nio, têm o mesmo comprimento e a mesma resistência. Determine a razão dos seus raios através da razão entre as suas resistividades. Problema 62. Pretende-se fabricar um fio uniforme a partir de 1 g de cobre. Supondo que se utiliza todo o cobre disponı́vel, e que o fio deve ter uma resistência de 0,5 Ω, determine qual deverá ser o comprimento e o diâmetro do fio. §8. Força de Lorentz Problema 63. Considere uma carga q animada de uma velocidade v numa região do espaço onde existe um campo magnético B. Indique, para cada uma das situações seguintes, a direcção e o sentido da força F, exercida sobre a carga, devido ao campo √ magnético: (a) v = ey v e B = ex B; (b) v = − 2 (ex v + ey v) /2 e B = ex B; (c) v = √ 2 (ex v + ey v) /2 e B = −ez B. Desenhe no plano XY , para cada caso, os vectores v, B e F. Problema 64. Um electrão é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 375 V, após o que entra numa região do espaço onde existe um campo magnético de intensidade 4 mT, perpendicular à sua velocidade inicial. Calcule o raio da trajectória circular do electrão, a sua velocidade angular e o perı́odo do movimento. Problema 65. Um feixe de partı́culas de carga q, animadas de velocidade v = ex v (v > 0), entra numa região do espaço onde existe um campo eléctrico uniforme E = −ey E, de intensidade E = 80 kV/m. Perpendicular a E e no sentido negativo do eixo Z existe um campo magnético uniforme e de intensidade 0,4 T. Se a velocidade das partı́culas for convenientemente escolhida, elas não são deflectidas por aqueles campos cruzados. Qual deverá ser a velocidade seleccionada para que tal aconteça? Problema 66. Um electrão com uma velocidade de 5×106 m/s entra numa região do espaço onde existe um campo magnético uniforme, de intensidade B = 0,5 T, e perpendicular à velocidade do electrão. Determine a força magnética, F, que actua sobre o electrão e o raio R da circunferência descrita. Problema 67. Um electrão que se desloca ao longo do eixo X com velocidade ex v (v > 0) atravessa um campo magnético constante B ⊥ v e sofre uma deflecção no sentido negativo do eixo Y . Determine o campo magnético B. Problema 68. Um protão, movendo-se a uma velocidade de 4×106 m/s através de um campo magnético de 1,7 T, experimenta uma força magnética de 8,2×10−13 N. Determine o ângulo entre v e B. Problema 69. Um ião monovalente executa cinco revoluções, em 1,5 ms, num campo magnético uniforme de magnitude B = 5×10−2 T. Determine a massa aproximada m do ião. 10 Problema 70. Um ião monovalente, de massa m, é acelerado do repouso por uma diferença de potencial ∆ϕ. A sua trajectória é então deflectida por um campo magnético uniforme (perpendicular à velocidade do ião) num semicı́rculo de raio R. Um outro ião, bivalente, de massa m0 , é também acelerado a partir do repouso, pela mesma diferença de potencial e a sua trajectória é deflectida pelo mesmo campo magnético, num semicı́rculo de raio R0 = 2R. Determine a razão das massas dos dois iões. §9. Força magnética sobre uma corrente eléctrica Problema 71. Determine a força exercida em cada segmento do fio condutor da Figura No.10. Considere que B = 0,15 T, I = 5 A, lBC = 16 cm, θ= 35◦ . C B θ I A I B D E Figura No.10 Problema 72. Considere o sistema indicado na Figura No.11. A barra AC tem uma massa de 50 g e pode deslizar livremente ao longo de dois fios metálicos paralelos que estão afastados entre si de 40 cm e fazem um ângulo de 37◦ com o plano XZ. A corrente I é constrangida a fluir através desses fios e da barra. Existe um campo magnético B = 0,2 T na direcção −Y . Determine o valor que a corrente, I, deve tomar para que a barra permaneça imóvel (despreze uma pequena torção na barra). Figura No.11 11 Problema 73. Um fio de comprimento L = 2,8 m transporta uma corrente de 5 A numa região onde um campo magnético uniforme tem uma magnitude de 0,39 T. Calcule a intensidade da força magnética F sobre o fio, se o ângulo entre o campo magnético e a corrente for de: (a) 60◦ . (b) 90◦ . (c) 120◦ . Problema 74. Um fio com uma massa por unidade de comprimento de 0,5 g/cm assenta no plano XZ e transporta uma corrente de 2 A, no sentido positivo do eixo Z. Determine a direcção e magnitude do campo magnético, B, mı́nimo necessário para levantar este fio no sentido positivo do eixo Y . Problema 75. Um circuito rectangular, com dimensões 10 cm × 20 cm, está suspenso por um fio inextensı́vel e de massa desprezável, como indicado na Figura No.12. A secção horizontal inferior do circuito está imersa num campo magnético uniforme B. Se uma corrente de 3 A percorrer o circuito, no sentido indicado, determine o campo magnético B necessário para produzir uma tensão de 4×10−2 N no fio. I I B Figura No.12 §10. Força entre correntes; Lei de Bio-Savart Problema 76. Calcule o campo magnético no ponto O, para o segmento condutor indicado na Figura No.13. O fio consiste em duas secções rectas e um arco circular de raio R e de comprimento Rθ (com θ expresso em radianos). Problema 77. Um fio condutor, percorrido por uma corrente I1 = 30 A, e um circuito rectangular, percorrido por uma corrente I2 = 20 A, situam-se no mesmo plano, como indicado na Figura No.14. Determine a força resultante, R, que actua sobre o circuito devido à corrente I1 , sabendo que a = 1 cm, b = 8 cm e h = 30 cm. Problema 78. Um condutor consiste num anel circular de raio R = 0,1 m e duas secções rectas (ver Figura No.15). O condutor assenta no plano da folha de papel e transporta uma corrente I = 7 A. Determine o campo magnético B, no centro do anel, resultante da passagem de corrente. 12 I O θ R I Figura No.13 I1 h I2 PSfrag replacements a b Figura No.14 Problema 79. Caracterize o campo magnético no ponto C, BC , produzido pelas duas correntes da Figura No.16. Considere I1 = 5 A, I2 = 10 A, a = 8 cm, b = 20 cm e c = 15 cm. §11. Lei de Ampère Problema 80. No cabo coaxial representado na Figura No.17 um fio, de raio a, transporta uma corrente I1 , uniformemente distribuida por toda a sua secção recta, ao longo do eixo de um tubo metálico, com raio interno b e raio externo c. O tubo metálico transporta uma corrente I1 , no sentido oposto à corrente transportada pelo fio, uniformemente distribuida ao longo da sua secção recta. Determine a intensidade do campo magnético para: (a) r < a. (b) a < r < b. (c) b < r < c. (d) r > c. Problema 81. Um cilindro condutor, oco, de raio interno b e raio externo c, transporta uma corrente I, uniformemente distribuida ao longo da sua secção recta. Determine a intensidade do campo B magnético para: (a) b < r < c. (b) r < b. 1 Problema 82. Nióbio metálico torna-se supercondutor quando arrefecido abaixo de 9 K. Se a supercondutividade for destruı́da, quando o campo magnético superficial exceder 0,1 13 I R Figura No.15 I1 c I2 PSfrag replacements a b C Figura No.16 T, determine a corrente máxima, Imax , que um fio de nióbio de 2 mm de diâmetro pode transportar, permanecendo supercondutor. Problema 83. Um conjunto de 100 fios condutores rectilı́neos e longos formam um cilindro de raio R = 0,5 cm. (a) Se cada fio transportar uma corrente de 2 A, caracterize a força magnética por unidade de comprimento que actua num fio situado a 0,2 cm do eixo do cilindro. (b) Um fio à superfı́cie do cilindro sofre uma força maior ou menor do que a calculada na alı́nea (a)? Problema 84. Considere dois fios condutores, paralelos entre si e ao eixo X. Os fios estão separados por uma distância 2a e transportam uma corrente I no sentido negativo do eixo X. (a) Desenhe as linhas do campo magnético no plano Y Z. (b) A que distância d, ao longo do eixo Z, toma o campo magnético um valor máximo? 14 1 c a I1 I1 b PSfrag replacements Figura No.17 1 15 §A.I. O sistema SI de unidades Unidades básicas Quantidade Comprimento Massa Tempo Temperatura Corrente eléctrica Intensidade luminosa Quantidade de substância Unidade metro quilograma segundo kelvin ampere candela mol Sı́mbolo m kg s K A cd mol radiano esteradiano rad sr Unidades adicionais Ângulo plano Ângulo sólido Unidades derivadas com nome próprio Quantidade Frequência Força Pressão Energia Potência Carga Potencial eléctrico Capacidade eléctrica Resistência Conductância eléctrica Fluxo magnético Densidade do fluxo magnético Inductância Fluxo luminoso Iluminância Actividade Dose absorbida Dose equivalente §A.II. Unidade hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber tesla henry lumen lux becquerel gray sievert Sı́mbolo Hz N Pa J W C V F Ω S Wb T H lm lx Bq Gy Sv Derivação s−1 kg×m×s−2 N×m−2 N×m J×s−1 A×s W×A−1 C×V−1 V×A−1 A×V−1 V×s Wb×m−2 Wb×A−1 cd×sr lm×m−2 s−1 J×kg−1 J×kg−1 Prefixos yotta zetta exa peta tera Y Z E P T 1024 1021 1018 1015 1012 giga G mega M quilo k hecto h deca da 109 106 103 102 10 deci centi milli micro nano 16 d 10−1 c 10−2 m 10−3 µ 10−6 n 10−9 pico p femto f ato a zepto z yocto y 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 §A.III. Constantes fı́sicas Aceleração da gravidade Const. gravı́tica Velocidade da luz no vácuo Carga elementar Constante de Coulomb Constante eléctrica Constante magnética (4πε0 )−1 Const. da estructura fina Const. de Planck Const. de Dirac Magnetão de Bohr Ráio de Bohr Const. de Rydberg Magnetão nuclear Momento magn. do electrão Momento magn. do protão c.d.o de Compton c.d.o de Compton para o protão c.d.o de Compton para o neutrão Const. de Stefan-Boltzmann Const. de Wien Const. universal dos gases Const. de Avogadro Const. de Boltzmann Volume dum gás em condições normais Raio do electrão Massa do electrão Massa do protão Massa do neutrão Unid. elementar de massa (ou unid. de massa atómica, u.m.a.) m/s2 m3 kg−1 s−2 m/s (def) C Nm2 /C2 F/m α = e2 /2hcε0 h h̄ = h/2π µB = eh̄/2me a0 Ry µN µe µp λCe = h/ (me c) λCp = h/ (mp c) 9,80665 6, 67259 × 10−11 2, 99792458 × 108 1, 6021892 × 10−19 9 × 109 8, 85418782 × 10−12 4π × 10−7 = = 12, 5663706144 × 10−7 8, 9876 × 109 ≈ 1/137 6, 6260755 × 10−34 1, 0545727 × 10−34 9, 2741 × 10−24 0, 52918 13,595 5, 0508 × 10−27 9, 2847701 × 10−24 1, 41060761 × 10−26 2, 2463 × 10−12 1, 3214 × 10−15 λCn = h/ (mn c) 1, 3195909 × 10−15 m σ 5, 67032 × 10−8 Wm2 K−4 kW R 2, 8978 × 10−3 8,314472 mK J/mol NA k = R/NA Vm 6, 02214199 × 1023 1, 3806503 × 10−23 22, 41383 × 10−3 mol−1 J/K m3 /mol re me mp mn mu = 2, 817938 × 10−15 9, 109534 × 10−31 1, 6726485 × 10−27 1, 674954 × 10−27 1, 6605656 × 10−27 m kg kg kg kg g G, γ c e K ε0 µ0 µ0 1 m(126 C) 12 17 H/m Nm2 C−2 Js Js Am2 Å eV J/T A·m2 A·m2 m m Diâmetro do Sol Massa do Sol Perı́odo rot. do Sol Raio da Terra Massa da Terra Perı́odo rot. da Terra Perı́odo orb. da Terra D M T RT MT TT Ano tropical Unidade astronómica Ano-luz Parsec Unidade Astronómica Const. de Hubble AU ly pc AU H 1392 × 106 1, 989 × 1030 25,38 6, 378 × 106 5, 976 × 1024 23,96 365,24219879 31556926 1, 4959787066 × 1011 9, 4605 × 1015 3, 0857 × 1016 149597870000 ≈ (75 ± 25) c.d.o = comprimento de onda §A.IV. Escalas de temperaturas K = ◦ C = ◦ C = ◦ F = ◦ C + 273,15, K - 273,15, 5/9(◦ F 32), ◦ 9/5 C + 32. 18 m kg dias m kg horas dias s m m m m km×s−1 ×Mpc−1 §A.V. Relações úteis Unidades angulares 57,29577951308232◦ = 1 rad 1◦ = 0,01745329251 rad 10 = 2,90888208666×10−4 rad 100 = 4,8481368111×10−6 rad 1 gradiano = 0,01570796326795 rad (ângulo recto/100) Unidades de comprimento 1 amstrong = 1×10−10 m 1 polegada = 0,0254 m 1 pé = 0,3048 m 1 pé (USA) = 1200/3937 m 1 jarda = 0,9144 m 1 jarda (USA) = 3600/3937 m 1 milha naútica = 1852 m 1 milha terrestre = 1609,344 m 1 milha terrestre = 6336000/3937 m (USA) Unidades de área 1 acre = 4046,8564224 m2 1 are = 1×102 m2 1 hectare = 1×104 m2 Unidades de volume 1 litro = 1×10−3 m3 1 barril de petróleo = 0,15898729492 m3 1 galão (USA) = 3,785411784×10−3 m3 1 galão (UK) = 4,54609929488×10−3 m3 19 Unidades de massa 1 libra = 0,45359237 kg 1 onça = 0,02834952312 kg 1 slug = 14,5939029372 kg Unidades de velocidade 1 nó = 1852/3600 m/s 1 milha por hora = 0,44704 m/s Unidades de pressão 1 atm = 101325 Pa 1 atmosfera técnica = 98066,5 Pa 1 metro de água = 9806,65 Pa 1 milimetro de mercúrio = 101325/760 Pa 1 torr = 101325/760 Pa 1 pé de água = 2989,06692 Pa 1 polegada de água = 249,08891 Pa 1 polegada de mercúrio = 3386,38815789 Pa 1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa Unidades de força 1 dine = 1×10−5 N 1 quilograma-força = 9,80665 N 1 libra-força = 4,44822161526 N Unidades de potência 1 cavalo-força métrico = 735,49875 W 1 BTU por hora = 0,29307107017 W Unidades de energia 1 cal = 4,186 J 1 eV = 1,602×10−19 J 1 pé libra-força = 1,35581794833 J 1 cavalo-força = 745,699871582 J 1 BTU = 1055,05585262 J (British thermal unit) 20 §A.VI. §A.VI.1 Propriedades fı́sicas de algumas substâncias Densidade 3 Substância Água∗ Água de mar∗ Gelo Alumı́nio Ar Betão Bronze Cobre Duralumı́nio Glicerina∗ Granito Eter∗ Ferro Invar Irı́dio Latão Mercúrio∗ Óleo Ouro Petróleo Prata Volfrâmio Zinco kg/m 1 ×103 1,02×103 9,2 ×102 2,71×103 1,29 2,2 ×103 8,8 ×103 8,92×103 2,79×103 1,26×103 2,8 ×103 7,1×102 7,8×103 8,7×103 2,24×104 8,4×103 1,36×104 9,2 ×102 1,93×104 8,5 ×102 1,05×104 1,91×104 7,14×103 ∗ ρ kg/dm3 ou g/cm3 1 1,02 0,92 2,71 1,29×10−3 2,2 8,8 8,92 2,79 1,26 2,8 0,71 7,8 8,7 22,4 8,4 13,6 0,92 19,3 0,85 10,5 19,1 7,14 A 20◦ C/293 K. 21 §A.VI.2 Calor especı́fico c ◦ Substância J/(kg· C) cal/(g·◦ C) Água 4186 1 Gelo 2090 0,5 Vapor de água 2010 0,4802 Alumı́nio 880 0,210 Ar 1000 0,24 Árgon 314 0,075 Chumbo 129 0,031 Cobre 385 0,091 Estanho 250 0,06 Ferro 461 0,11 Mercúrio 125 0,03 Vidro 840 0,2 §A.VI.3 Calor latente Calor latente de fusão λf : λf Substância J/kg cal/g 3 Água 333×10 80 Calor latente de evaporação λe : λe Substância J/kg cal/g 3 Água 2260×10 539 22 §A.VI.4 Condutividade térmica Substância Água Gelo Neve seca Alumı́nio Ár a temperatura ambiente Ár a 0◦ C Asbesto Chumbo Cobre Concreto Cortiça Ferro Fibra de vidro Hélio a 0◦ C Hidrogénio a 0◦ C Lã Lexan Madeira (Carvalho) Prata Vidro 23 W/(m·K) 0,596 0,017 0,11 209,0 0,03 0,024 0,17 35,0 400,0 8,4 0,046 68,0 0,063 0,13 0,17 0,042 0,19-0,22 0,17 423 0,84 k cal/(s·cm·◦ C) 0,1424 0,004 0,026 50,0 0,0072 0,0057 0,04 8,3 95,56 2,0 0,011 16,3 0,015 0,03 0,04 0,01 0,0454-0,0525 0,04 101,0 0,25 §A.VI.5 Constantes de van der Waals Gás He Ne Ar Kr Xe H2 N2 O2 Cl2 H2 O CH4 CO2 CCl4 §A.VI.6 a (l2 atm/mol2 ) b (l/mol) 0,0341 0,02370 0,211 0,0171 1,34 0,0322 2,32 0,0398 4,19 0,0510 0,244 0,0266 1,39 0,0391 1,36 0,0318 6,49 0,0562 5,46 0,0305 2,25 0,0428 3,59 0,0427 20,4 0,1383 Resistividade a 20◦ C Metal Resistividade (Ω·m) Alumı́nio 2,826×10−8 Borracha sólida 1-100×1013 Chumbo 2,2×10−7 Cobre 1,724×10−8 Constantan 49×10−8 Cromonı́quel 100×10−8 Ferro 9,71×10−8 Germânio 1-500×10−3 Grafite 3-60×10−5 Manganina 48,2×10−8 Mercúrio 98×10−8 Platina 10,6×10−8 Prata 1,59×10−8 Quartzo fundido 7,5×1017 Silı́cio 0,1-60 Tungsténio 5,6×10−8 Vidro 1-10000×109 24 25 (227) 88 Ra 226,03 Fr (223) **Actinı́deos *Lantanı́deos Ac** 137,34 87 73 91 Pa 231,04 90 Th 232,04 Metais 140,91 140,11 61 (263) Sg 106 183,85 W 74 95,94 Mo 42 52,00 Cr 62 (262) Bh 107 186,21 Re 75 (98) Tc 43 54,94 Mn 238,03 U 92 144,24 Metalóides 237,05 Np 93 (145) 95 151,96 Eu 63 (265) Hs 108 190,2 Os 76 101,07 Ru 44 55,85 Fe 96 157,25 Gd 64 (266) Mt 109 192,22 Ir 77 102,91 Rh 45 58,93 Co (244) (243) (247) Bk 97 158,92 Tb 65 (269) Uun 110 195,09 Pt 78 106,4 Pd 46 58,71 Ni Metais de transição (247) Pu Am Cm 94 150,36 Nd Pm Sm 60 59 Pr 58 (262) (261) Db 105 104 Rf 180,95 178,49 Ta 72 Hf 92,91 Nb 41 50,94 V 91,22 Zr 40 47,90 Ti Ce 89 138,91 La* 57 88,91 132,91 87,62 85,47 Y 56 Sr Rb 39 44,96 Ba 38 37 55 40,08 39,10 Sc Cs 20 Ca 19 24,31 K 22,99 29 (251) Cf 98 162,50 Dy 66 (272) Uuu 111 196,97 Au 79 107,87 Ag 47 63,55 Cu 30 31 Si (257) N 70 208,96 Bi 83 121,75 Sb 51 74,92 As 33 30,97 P 15 14,01 101 168,93 (258) (259) No 102 173,04 Tm Yb 69 207,2 Pb 82 118,69 Sn 50 72,59 Ge 32 28,09 Fm Md 100 167,26 Er 68 (282) Uut 113 204,37 Tl 81 114,82 In 49 69,72 Ga Não-metais (252) Es 99 164,93 Ho 67 (277) Uub 112 200,59 Hg 80 112,40 Cd 48 65,38 Zn 26,98 Al 14 13 C 12,01 10,81 B F (210) At 85 126,90 I 53 79,90 Br 35 35,45 Cl 17 19,00 Gases nobres (260) Lr 103 174,97 Lu 71 (209) Po 84 127,60 Te 52 78,96 Se 34 32,06 S 16 16,00 O (222) Rn 86 131,30 Xe 54 83,80 Kr 36 39,95 Ar 18 20,18 Ne Mg 28 18 VIIIA Na 9 17 VIIA 12 8 16 VIA 11 7 15 VA 9,01 6 14 IVA Be 5 13 IIIA 6,94 27 12 IIB Li 26 11 IB 10 25 10 4,00 24 8 4 23 7 VIIB 3 22 6 VIB 1,01 21 5 VB He 4 IVB H 3 IIIB 2 2 IIA 1 1 IA Grupo 9 VIIIB §A.VII. Tabela periódica dos elementos §B.VIII. §B.VIII.1 Noções relevantes de Matemática Alfabeto grego A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M §B.VIII.2 α β γ δ , ε ζ η θ, ϑ ι κ λ µ alfa beta gama delta epsilon zeta eta teta iota kapa lambda miu N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω ν ξ o π, $ ρ, % σ, ς τ υ φ, ϕ χ ψ, ϕ ω niu csi omicron pi ró sigma tau upsilon fi qui psi omega Constantes matemáticas Nome Constante de Arquimedes Constante de Napier Constante de Euler Constante de Catalan Sı́mbolo π e γ = lim G= n→∞ ∞ X Valor 3,14159265358979323846... 2,718281828459... ! n X k=1 1/k − ln(n) = 0,5772156649... (−1)n 2 = 0,915965594... n=0 (2n + 1) 26 §B.VIII.3 Figuras no plano Figura Perı́metro Área a+b+c b × h/2 4a a2 2a + 2b a×b 2πr πr2 Triângulo c a h b Quadrado a a Rectângulo a b Cı́rculo r 27 Perı́metro dum polı́gono regular de n lados inscrito no cı́rculo Triângulo (n = 3) Quadrado (n = 4) r r 2π/3 π/2 P3 = 6r sin (π/3) P4 = 8r sin (π/4) Polı́gono de n lados: Pn = 2nr sin (π/n) 28 (1) §B.VIII.4 Sólidos no espaço Sólido Área Volume 6a2 a3 2πr × h + 2πr2 h × πr2 πr × g onde g = h/ cos α e tan α = r/h h × πr2 /3 4πr2 (4/3) πr3 Cubo de lado a a a a Cilindro de altura h e raio da base r r r h r r Cone de altura h e raio da base r h r r Esfera de raio r r r r 29 §B.VIII.5 Trigonometria h a α b Para o triângulo rectângulo da figura ter-se-ia que §B.VIII.5.1 sin α = a/h , (2) cos α = b/h , (3) tan α = a/b . (4) Relações fundamentais sin (−α) = − sin α , cos (−α) = cos α , sin2 α + cos2 α = 1 , (5) sin (π − α) = sin α , cos π − α = − cos α , (6) sin (π/2 − α) = cos α , cos (π/2 − α) = sin α , (7) sin α , tan (−α) = − tan α , cos α cos α 1 1 cot α = , sec α = , csc α = , sin α cos α sin α tan2 α = sec2 α − 1 , cot2 α = csc2 α − 1 , tan α = sin x = sin α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = (π − α) ± 2kπ, k ∈ N , cos x = cos α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = −α ± 2kπ , π tan x = tan α ⇒ x = α ± kπ e x 6= ± kπ . 2 §B.VIII.5.2 (8) (9) (10) (11) (12) (13) Relações entre senos sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α , (14) sin (α − β) = sin α cos β − sin β cos α , (15) sin (2α) = 2 sin α cos α , (16) ! sin α − sin β = 2 sin sin2 α = α−β α+β cos 2 2 1 − cos (2α) , 2 , (17) (18) s α 1 − cos α sin =± , 2 2 ! 30 (19) ! ! α−β α+β cos , sin α + sin β = 2 sin 2 2 ! ! α−β α+β sin α − sin β = 2 cos sin . 2 2 (20) (21) (22) §B.VIII.5.3 Relações entre co-senos cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin α , (23) cos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α , (24) cos (2α) = cos2 α − sin2 α , ! (25) α+β α−β cos 2 2 cos α + cos β = 2 cos ! ! α+β α−β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 cos2 α = , (26) ! , (27) 1 + cos (2α) , 2 (28) s α 1 + cos α cos =± . 2 2 §B.VIII.5.4 (29) Relações entre tangentes tan (α + β) = tan α + tan β , 1 − tan α tan β (30) tan α − tan β , 1 + tan α tan β 2 tan α , tan (2α) = 1 − tan2 α tan (α − β) = (31) (32) s α 1 − cos α tan =± . 2 1 + cos α §B.VIII.5.5 (33) Relações entre funções inversas α arctan α = arcsin √ 2 α +1 ! sin (arccos α) = 31 = arccos √ √ 1 − α2 . 1 α2 + 1 ! , (34) (35) 32 §B.VIII.6 Números complexos i= q n √ −1 , (36) ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ , (37) (ρ1 cisθ1 ) . (ρ2 cisθ2 ) = ρ1 ρ2 cis (θ1 + θ2 ) , (38) ρ1 cisθ1 ρ1 = cis (θ1 − θ2 ) , ρ2 cisθ2 ρ2 (39) (ρcisθ)n = ρn cis (nθ) , (40) ρcisθ = √ n ρcis θ + 2kπ n ! 33 , k ∈ {0, . . . , n − 1} . (41) §B.VIII.7 Logaritmos • ln x corresponde ao logaritmo de x em base e. • log x corresponde ao logaritmo de x em base 10. • loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1). §B.VIII.8 Propriedades ln (x1 x2 ) = ln x1 + ln x2 ; (42) ln (xn ) = n ln x; √ ln n x = ln x/n; (43) (44) ln (x1 /x2 ) = ln x1 − ln x2 ; (45) ln (1) = 0 ; (46) ln (e) = 1 ; (47) loga (1) = 0 ; (48) loga (a) = 1 ; (49) loga (x) = logb (x) / logb (a) ; (50) loga (ax ) = x ; (51) aloga (x) = x . (52) 34 §B.VIII.9 Limites Notáveis: sin x =1, x→0 x tan x lim =1, x→0 x ex − 1 lim =1, x→0 x ax − 1 lim = ln a , x→0 x lim lim (x + 1)1/x = e , x→0 (53) (54) (55) (56) (57) ln (x + 1) =1, (58) x→0 x (x + 1)m − 1 =m, (59) lim x→0 x ex lim p = ∞ (p ∈ IR) , (60) x→∞ x xp = ∞ (p > 0 e a > 1) . lim x→∞ log x a (61) lim 35 §B.VIII.10 Propriedades das derivadas (C)0 = 0 0 0 (f ± g) = f ± g 0 !0 f f 0g − g0f = g g2 §B.VIII.11 (Cf )0 (f g)0 = Cf 0 = f 0g + g0f (f (g))0 = fg g 0 Tabela de derivadas x0 (ex )0 = 1 = ex (ln x)0 = (sin x)0 = cos x (tan x)0 = (xm )0 (ax )0 = mxm−1 = ax ln a (cos x)0 = − sin x (cot x)0 = 1 x 1 cos2 x (arcsin x)0 = √ 1 1 − x2 −1 sin2 x (arccos x)0 = √ 36 −1 1 − x2 §B.VIII.12 Propriedades dos integrais indefinidos 0 Z f (x)dx Z Z dP (f ) Z Z Z Z Z Z Z = f (x) d Z = P (f ) + C (f ± g)dx §B.VIII.13 Z Z = f dx ± Z gdx Z f (x)dx = f (x)dx Z Cf (x)dx = C f (x)dx f dg = fg − Z gdf Tabela de integrais indefinidos dx dx x sin xdx dx sin2 x dx √ 1 − x2 dx √ x2 + λ xdx 3/2 (x2 + λ) = x +C = ln |x| +C = − cos x +C = tan x +C = arcsin x √ = ln x + x2 + λ +C = −√ 1 +λ x2 +C +C 37 Z xm dx Z ex dx xm+1 m+1 = ex = Z cos xdx dx 2 Z cos x dx 1 + x2 Z dx Z 3/2 (x2 + λ) +C +C = sin x +C = − cot x +C = arctan x +C = x +C λ x2 + λ √ §B.VIII.14 Mudanças de Sistemas de Coordenadas 1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z): r= q x2 + y 2 , tan φ = y/x . 2. De coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z): x = r cos φ , y = r sin φ . 3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (φ, θ, r): q tan φ = y/x , tan θ = z/ x2 + y 2 , r = q x2 + y 2 + z 2 . 4. De coordenadas esféricas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z): x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ . 38 §B.IX. Sistemas de coordenadas Z (x,y,z) ° Y z x y X Coordenadas cartesianas (x, y, z) Z Z θ (r,φ,z) ° (φ,θ,r) ° r Y z r φ φ X X Coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) Coordenadas esféricas (φ, θ, r) 39 Y §B.X. O operador nabla 1. Em coordenadas cartesianas: ∂ ∂ ∂ + ey + ez . ∂x ∂y ∂z (62) ∂ 1 ∂ ∂ + eφ + ez . ∂r r ∂φ ∂z (63) 1 ∂ 1 ∂ ∂ + eθ + eφ . ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ (64) ∇ = ex 2. Em coordenadas cilı́ndricas: ∇ = er 3. Em coordenadas esféricas: ∇ = er 4. Relações entre o operador nabla e alguns operadores diferenciais do Cálculo Vectorial: ∂U ∂U ∂U gradU = ∇U = ex + ey + ez . (65) ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az + + . ∂x ∂y ∂z divA = ∇ · A = rotA = ∇ × A = §B.XI. ex ey ez ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Ax Ay Az . (66) (67) O operador de Laplace (Laplaciano) ∆ = div grad = ∇ · ∇ = ∇2 . (68) 1. Em coordenadas cartesianas: ∂2 ∂2 ∂2 ∆= + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (69) 2. Em coordenadas cilı́ndricas: 1 ∂ ∂ ∆= r r ∂r ∂r ! + 1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂φ2 ∂z 2 (70) 3. Em coordenadas esféricas: 1 ∂ ∂ ∆= 2 r2 r ∂r ∂r ! 1 ∂ ∂ + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ 40 ! + 1 ∂2 . r2 sin2 θ ∂φ2 (71)