Aula10 Teorema do tranporte de Reynolds FFenômenos de Transportes
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle (cont.) Teorema do Transporte de Reynolds: relação geral entre a taxa de variação de qq. propriedade arbitrária, N, de um sistema e variações no tempo dessa propriedade associadas com o volume de controle dN dt sistema ∂ (1) = ηρ d V + ηρ V ⋅ d A ∫SC ∂t V∫C O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no instante quando o sistema e o volume de controle coincidem; isto é verdade desde que ∆t → 0, quando o sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume e tem as mesmas fronteiras. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Interpretação Física dN dt : sistema ∂ ηρdV : ∫ ∂t VC é a taxa de mudança total de uma propriedade extensiva arbitrária do sistema é a taxa de mudança no tempo da propriedade extensiva arbitrária, N, dentro do volume de controle: • η é a propriedade intensiva correspondente a N (por unidade de massa) • ρdV é um elemento de massa contido no volume de controle • é a quantidade total da ∫ηρdVpropriedade extensiva, N, contida VC dentro do volume de controle ∫ηρV ⋅ dA : SC é o fluxo total da propriedade geral , N, através da superfície de controle: • ρV ⋅ dA é a massa de fluido que escoa através do elemento de área dA na unidade de tempo • ηρV ⋅ dA é a taxa do escoamento da d A propriedade extensiva, N, através da área UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Dois pontos importantes sobre o Teorema do Transporte de Reynolds V 1. A velocidade na equação (1) é medida em relação ao volume de controle 2. Para o desenvolvimento da equação (1) consideramos um volume de controle fixo em relação às coordenadas de referência x, y e z, portanto, a variação da propriedade extensiva arbitrária, N, dentro do volume de controle deve ser avaliada por um observador fixo no volume de controle Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um volume de controle movendo-se uniformemente: ∂ ηρdV + ∫ ηρ Vr ⋅ dA = ∫ ∂t VC sistema SC onde : Vr = V − VSC ( dN dt ) Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um V.C. deformável e movendo-se arbitrariamente: ∂ ηρdV + ∫ ηρ Vr ⋅ dA = ∫ ∂t VC sistema SC onde : Vr = V ( x , y , z , t ) − VSC ( x , y , z , t ) dN dt ( ) UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Conservação da Massa De acordo com as considerações feitas na aula passada, temos que: N = M e η = 1, dM dt sistema portanto: ∂ = ρdV + ∫ ρV ⋅ dA ∫ ∂t VC SC Da lei da conservação da massa: dM dt =0 sistema Chega-se à formulação para V.C. da conservação da massa ou Equação da Continuidade: ∂ 0= ρdV + ∫ ρV ⋅ dA ∫ ∂t VC SC O princípio da conservação da massa exige que a soma da variação da quantidade de massa dentro do V.C. com a quantidade de massa que atravessa a S.C. seja zero. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Formas Especiais da Conservação da Massa • Escoamento incompressível: 0 = ∫ V ⋅ dA (vazão volumétrica) SC • Regime permanente: 0 = ∫ ρV ⋅ dA SC • Escoamento uniforme (escoamento uniforme numa seção implica que a velocidade é constante através de toda a área da seção). quando ρ também é constante na seção: ∫ ρV ⋅ dA = ρ nVn ⋅ An = ± ρ nVn An An UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Exemplo1 Água flui a uma velocidae uniforme de 3 m/s para dentro de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm para 2 cm. Calcule a velocidade da água que sai pelo bocal e a vazão UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos (SEM0403) Exemplo 2 Água flui para dentro e fora de um aparelho, como mostrado na Fig. Calcule a taxa de variação da massa de água (dm/dt) no aparelho.
