Aula 13 - Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da USP
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle Formulação para sistema vs Formulação para volume de controle: • fluidos são capazes de distorção e de deformação contínua, assim é difícil de identificar e acompanhar certa massa de fluido • na prática, muitas vezes estamos interessados no efeito do movimento do fluido em alguma máquina de fluxo (bombas, turbinas, compressores, etc.), num motor de combustão interna, ou numa estrutura (tubulações, bocais, asas de aeroplanos, aerofólios de carros de corrida, etc.), entre outros, e não no movimento da massa fluida em si. Assim, muitas vezes é mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume fixo de espaço, ao invés de a uma massa fixa e definida de fluido. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez As leis Básicas do Sistema (em termos de taxa de variação de uma propriedade extensiva) 1- Conservação da massa: “A massa, M, de um sistema é constante” dM dt =0 sistema onde : M sistema = ∫ dm massa ( sistema ) = ∫ ρdV V ( sistema ) 2- Segunda Lei de Newton: “Para um sistema movendo-se relativo a um referencial inercial, a soma de todas as forças externas atuando no sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema com o tempo” r dP F= dt r r onde r P , sistema P é a quantidade de movimento linear r r = ∫ Vdm = ∫ V ρdV sistema massa ( sistema ) V ( sistema ) UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez 3- Primeira Lei da Termodinâmica “Lei da conservação da energia de um sistema” δQ − δW = dE , como equação de taxa : Q& − W& = dE dt sistema onde a energia total do sistema é dada por : E sistema = ∫ edm massa ( sistema ) ∫ eρdV = V ( sistema ) V2 + gz onde : e = u + 2 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação do Volume de Controle N: qualquer propriedade extensiva do sistema h: propriedade intensiva (por unidade de massa) do sistema Assim: N sistema ∫ ηdm = = massa ( sistema ) ∫ ηρdV V ( sistema ) Portanto: N = M , então η = 1 r r N = P , então η = V N = E , então η = e UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Passagem da formulação de Sistema à Formulação de Volume de Controle (V.C.) • Como massa cruza as fronteiras do volume de controle, variações no tempo da propriedade extensiva N associadas ao V.C. envolvem o fluxo de massa e as propriedades transportadas (por convecção) pelo fluxo de massa. • Uma forma conveniente de levar em conta o fluxo de massa é aplicar um processo limite envolvendo um sistema e um volume de controle coincidentes em um certo instante. • A equação final relaciona a taxa de variação da propriedade extensiva arbitrária, N, para um sistema com as variações no tempo dessa propriedade associadas com um volume de controle. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez DERIVAÇÃO Configuração do sistema e do volume de controle (Quadro negro) UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Cont. Vista ampliada da sub-região (3) (Quadro negro) UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Cont. Vista ampliada da sub-região (1) (Quadro negro) UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Teorema do Transporte de Reynolds: “Relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle” dN dt sistema r r ∂ (1) = ∫ ηρdV + ∫ ηρV ⋅ dA ∂t VC SC - O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no instante em que o sistema e o volume de controle coincidem; isto é verdade pois quando ∆t → 0 o sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume e tem as mesmas fronteiras. - Esta formulação é válida para volume de controle fixo e não deformável. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Interpretação Física dN dt : sistema ∂ ∫ ηρdV : ∂t VC é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do sistema é a taxa de variação no tempo da propriedade extensiva arbitrária, N, dentro do volume de controle: • η é a propriedade intensiva correspondente a N (por unidade de massa) • ρdV é um elemento de massa contido no volume de controle • ∫ ηρ dV é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida VC dentro do volume de controle r ∫ ηρV SC r ⋅ dA : é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de controle: r r • ρV ⋅ dA é a taxa de fluxo de rmassa através do elemento de área dA por unidade de tempo r r • ηρV ⋅ dA é a taxa de fluxo da r propriedade extensiva N através da área dA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos Termodinâmica I (SEM0233) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez Avaliação da integral de superfície do Teorema do Transporte para o caso especial do Escoamento Uniforme • Escoamento uniforme numa seção implica que as propriedades e velocidade são constantes sobre toda a área da seção. Supondo que na seção: ρ é constante e η é um escalar e é constante na seção transversal: r r r r ∫ ηρV ⋅ dA = ηρ nVn ⋅ An = η [± ρ nVn An ] An (Quadro negro)
