Aula10 Teorema do tranporte de Reynolds FFenômenos de Transportes

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos
(SEM0403)
Forma Integral das Equações Básicas
para Volume de Controle (cont.)
Teorema do Transporte de Reynolds:
relação geral entre a taxa de variação de qq. propriedade
arbitrária, N, de um sistema e variações no tempo dessa
propriedade associadas com o volume de controle
dN
dt
sistema
∂
(1)
=
ηρ
d
V
+
ηρ
V
⋅
d
A
∫SC
∂t V∫C
O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no
instante quando o sistema e o volume de controle
coincidem; isto é verdade desde que ∆t → 0, quando o
sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume
e tem as mesmas fronteiras.
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Interpretação Física
dN
dt
:
sistema
∂
ηρdV :
∫
∂t VC
é a taxa de mudança total de uma
propriedade extensiva arbitrária do
sistema
é a taxa de mudança no tempo da
propriedade extensiva arbitrária, N, dentro
do volume de controle:
• η é a propriedade intensiva correspondente
a N (por unidade de massa)
• ρdV é um elemento de massa contido no
volume de controle
•
é a quantidade total da
∫ηρdVpropriedade
extensiva, N, contida
VC
dentro do volume de controle
∫ηρV ⋅ dA :
SC
é o fluxo total da propriedade geral , N,
através da superfície de controle:
• ρV ⋅ dA é a massa de fluido que escoa
através do elemento de área dA na unidade
de tempo
• ηρV ⋅ dA é a taxa do escoamento da
d
A
propriedade extensiva, N, através da área
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Dois pontos importantes sobre o
Teorema do Transporte de Reynolds
V
1. A velocidade
na equação (1) é medida em
relação ao volume de controle
2. Para o desenvolvimento da equação (1)
consideramos um volume de controle fixo em
relação às coordenadas de referência x, y e z,
portanto, a variação da propriedade extensiva
arbitrária, N, dentro do volume de controle deve ser
avaliada por um observador fixo no volume de
controle
Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um
volume de controle movendo-se uniformemente:
∂
ηρdV + ∫ ηρ Vr ⋅ dA
=
∫
∂t VC
sistema
SC
onde : Vr = V − VSC
(
dN
dt
)
Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um
V.C. deformável e movendo-se arbitrariamente:
∂
ηρdV + ∫ ηρ Vr ⋅ dA
=
∫
∂t VC
sistema
SC
onde : Vr = V ( x , y , z , t ) − VSC ( x , y , z , t )
dN
dt
(
)
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Conservação da Massa
De acordo com as considerações feitas na aula
passada, temos que:
N = M e η = 1,
dM
dt
sistema
portanto:
∂
=
ρdV + ∫ ρV ⋅ dA
∫
∂t VC
SC
Da lei da conservação da massa:
dM
dt
=0
sistema
Chega-se à formulação para V.C. da conservação da
massa ou Equação da Continuidade:
∂
0=
ρdV + ∫ ρV ⋅ dA
∫
∂t VC
SC
O princípio da conservação da massa exige que a soma
da variação da quantidade de massa dentro do V.C.
com a quantidade de massa que atravessa a S.C. seja
zero.
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Formas Especiais da Conservação
da Massa
• Escoamento incompressível:
0 = ∫ V ⋅ dA (vazão volumétrica)
SC
• Regime permanente:
0 = ∫ ρV ⋅ dA
SC
• Escoamento uniforme (escoamento uniforme numa
seção implica que a velocidade é constante através de
toda a área da seção).
quando ρ também é constante na seção:
∫ ρV ⋅ dA = ρ nVn ⋅ An = ± ρ nVn An
An
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Exemplo1
Água flui a uma velocidae uniforme de 3 m/s para dentro
de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm
para 2 cm. Calcule a velocidade da água que sai pelo
bocal e a vazão
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Exemplo 2
Água flui para dentro e fora de um aparelho, como
mostrado na Fig. Calcule a taxa de variação da massa
de água (dm/dt) no aparelho.