QUESTÕES TRIÂNGULO RETÂNGULO

QUESTÕES – TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o
ˆ reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é
ângulo ADB
21
a)
.
8
27
b)
.
8
35
c)
.
8
37
d)
.
8
45
e)
.
8
2. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do
triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares,
AD  2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
3. (G1 - ifsp 2014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60
cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros,
a) 30 2.
b) 60 2.
c) 90 2.
d) 120 2.
e) 150 2.
4. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à
hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é


2  1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC
mede, em cm,
a) 4 2  5.
b) 3  2.
c)
d) 3
6  2 2.


2 1 .
e) 3 4 2  5.
5. (G1 - ifsp 2013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as
quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O
comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular
Página 1 de 12
às cordas possui 25 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a
distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é
a) 1.
b) 1,5.
c) 2.
d) 2,5.
e) 3.
6. (Insper 2012) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km
de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também
retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à
capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103.
A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é
a) 250.
b) 240.
c) 225.
d) 200.
e) 180.
7. (Fgv 2012) As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no ponto P, sendo que AP  6,
PB  4 e CP  2. O raio desse círculo mede
a) 5.
b) 6.
c) 3 3 .
d) 4 2 .
Página 2 de 12
e) 5 2 .
8. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado
como resultado da cobrança direta de um escanteio.
Suponha que neste tipo de gol:
1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado;
2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja
40 m;
3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa
decimal de aproximação.
9. (Espm 2012) A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios
r, tangentes entre si e aos lados do quadrado.
A razão entre R e r é igual a:
a) 2
b) 3
3
c)
2
d) 2
5
e)
2
10. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados um dos gols e
a marca do pênalti (ponto P).
Página 3 de 12
Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do
campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas.
• Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros.
• Largura do gol: 8 metros.
• Altura do gol: 2,5 metros.
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção
da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute
até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente igual a
a) 12.
b) 14.
c) 16.
d) 18.
e) 20.
11. (Unicamp 2012) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo.
a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma tomada para cada 5
m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o número mínimo de
tomadas do cômodo representado ao lado e o espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão
distribuídas uniformemente pelo perímetro do cômodo.
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto do cômodo,
ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como está indicado na figura.
Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando a espessura da parede e do teto,
determine o comprimento mínimo de fio necessário para conectar o interruptor à lâmpada.
12. (Ita 2011) Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm,
respectivamente. Se D e um ponto sobre AB e o triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento AD , em
cm, é igual a
3
a)
4
15
b)
6
15
c)
4
Página 4 de 12
25
4
25
e)
2
d)
13. (Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois
retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a seguir.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
14. (Espm 2010) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De acordo com as
medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a:
a) 24 cm2
b) 25 cm2
c) 28 cm2
d) 35 cm2
e) 36 cm2
Página 5 de 12
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
No ΔABD, temos:
BD2  92  15  BD  12
ΔBEM
15
EM
45
ΔADB 
 2  EM 
9
12
8
45
.
8
Portanto, a distância pedida é
Resposta da questão 2:
a) No ΔAOE : AE2  r 2   3r   AE  8r 2  AE  2r 2
2
ΔADB ~ ΔAEO 
AB
2r
3r
3r  2

 AB 
 AB 
3r
2
2 2 r
2
b) No ΔACO, temos:
CO2  (2r  r)  r  CO2  3  r 2  CO  r  3
Resposta da questão 3:
[D]
Página 6 de 12
x  302  302
x 2  1800
x  30 2
Logo, o perímetro P será dado por:
P  4  30 2
P  120 2 cm.
Resposta da questão 4:
[C]
No triângulo ABC, temos:
AD  BD  CD  1
AB2  2


2 1
e
AC2  AB2  22
AC  4  2  ( 2  1)
AC  6  2  2
Resposta da questão 5:
[E]
Página 7 de 12
252 = 202 + (5x)2
625 = 400 + 25x2
25x2 = 225
x2 = 9
x=3
Resposta da questão 6:
[E]
Determinando o valor de k no triângulo XZP:
K2 = 1202 + 1602
K = 200 km.
ΔXZP ΔXDY
200 120

 2d  360  d  180km
300
d
Resposta da questão 7:
[E]
Considerando:
O = centro da circunferência,
R = medida do raio,
M = ponto médio de AB e
N = ponto médio de AD
Temos:
Página 8 de 12
PD  2  6  4  PD  12
AM 
6  4
5
2
12  2 
OM 
2  5
2
Logo, R2  52  52  R  5 2.
Resposta da questão 8:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:
R2 = (R – 1)2 + 202
R2 = R2 – 2  R + 01 + 400
2  R = 401
R = 200,5 m.
Resposta da questão 9:
[C]
Observando a figura, podemos escrever que
Página 9 de 12
R  r 2  R2   2R  r 2
R2  2.R.r  r 2  R2  4R2  4Rr  r 2
4R2  6.R r  0
R  0(não convém) ou
R 3

r
2
Resposta da questão 10:
[A]
Considerando x a distância pedida, temos:
y2 = 42 + 112
y2 = 137
x2 = y2 + 2,52
2
x = 137 + 6,25
x2 = 143,25
x 12m
Resposta da questão 11:
a) Perímetro do quarto = 10,8 m = 2,5 m + 0,8 m.
3 tomadas espaçadas a cada
10,8
 3,6m.
3
b) Na figura tem-se x2 = 1,22 + 0,52.
x = 1,69.
x = 1,3 m.
Logo, o comprimento do fio será:
1,3 m + (2,7 – 1) = 3 m.
Página 10 de 12
Resposta da questão 12:
[D]
x2 =(8 – x)2 + 62
x2 = 64 – 16x + x2 + 36
16x = 100
100
x
16x
25
x
4
Resposta da questão 13:
a) No semicírculo
x 2  5 2  6 2  x  11 (maior que 3)
Logo o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira.
b) no triângulo.
6  x 10

 x  2,25 (menor que 2,5)
6
16
Logo o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira.
Resposta da questão 14:
[B]
Página 11 de 12
y2 + 62 = 102  y = 8
x 2 = (8 – x)2 + 42  x = 5
5.10
A=
 25
2
Página 12 de 12