Livro - Resistência dos Materiais - R. C. Hibbeler - 7ª Edição

7a
e
IÇ
•
R. C. Hibbel
7º edição
Conversão para SI
S. C. Fan
Nanyang Technological University
Tradução
Arlete Simille Marques
E n g e n h e i ra Quím ica - U n i versidade Federal do Paraná
Revisão técnica
Sebastião Simões da Cunha Jr.
Instituto de Engenh a ria Mecâ n i ca da U n iversidade Federal de ltaj u bá
EDITORA AFILIADA
São Paulo
Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela
© 2010 Pearson Education do Brasil
© 2008 Pearson Education South Asia Pte Ltd.
Título original: Mechanics of materiais, seventh edition
Tradução autorizada a partir da edição de Cingapura, adaptada da edição original em inglês
Mechahics of materiais, 7th edition, de Russell Hibbeler, publicada pela Pearson Education, Inc.,
sob o selo Prentice Hall.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico,
incluin,?o fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e
trapsfnissã'o de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.
Diretor editorial: Roger Trimer
Gerente editorial: Sabrina Cairo
Supervisor de produção editorial: Marcelo Françozo
Editora: Gabriela Trevisan
Preparação: Renata Gonçalves e Sonia Midori
Revisão: Regiane Miyashiro
Capa: Alexandre Mieda
Editoração eletrônica: ERJ Composição Editorial
Dados Internacionais de Catalogação na P ublicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Hibbeler, Russell Charles
Resistência dos materiais I Russell Charles Hibbeler ;
tradução Arlete Simille Marques ;
revisão técnica Sebastião Simões da Cunha Jr.7. ed. - São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2010.
Título original: Mechanics of materiais.
ISBN 978-85-7605-373-6
1. Estruturas - Análise (Engenharia)
2. Resistência dos materiais I. Título.
09-10017
CDD-620.112
Índice para catálogo sistemático:
1. Resistência dos materiais : Engenharia 620.112
2009
Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à
Pearson Education do Brasil Ltda.,
uma empresa do grupo Pearson Education
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Tel.: (11) 2178-8686 Fax: (11) 2178-8688
e-mail: [email protected]
Ao estudante
Com a esperança de que esta obra estimule o
interesse pela resistência dos materiais
e proporcione um guia aceitável para o entendimento da matéria.
Sumário
1
1.
Tensão
1.1
Introdução . .
3.7
O diagrama tensão-deformação de
cisalhamento
.
........
.
....................................
1
*3.8
............... ....
Equilíbrio de um corpo deformável ......... 1
1 .3
Tensão
1.4
Tensão normal média em uma barra
....................................................
com carga axial
1.5
......................................
15
Tensão de cisalhamento média .............. 20
1.6
Tensão admissível
1.7
Projeto de acoplamentos simples
2.
14
...................................
4.
4.1
4.2
..........
33
.
2.1
Deformação
2.2
Conceito de deformação
3.
........... ..............................
.......................
47
Propriedades mecânicas
dos materiais
57
3.1
O ensaio de tração e compressão .
......
57
3.2
O diagrama tensão-deformação
...........
58
3.3
Comportamento da tensão-deformação
..
de materiais dúcteis e frágeis .
.. .............
......................
85
.............
86
......................
95
...... .....
estaticamente indeterminado
.
................
96
Método de análise de força para
......
100
.....................................
106
elementos carregados axialmente
4.6
Tensão térmica
4.7
Concentrações de tensão
....................
111
. . ...... . . .......
114
.....................................
116
*4.8
Deformação axial inelástica
*4.9
Tensão residual
5.
Torção
60
76
Deformação elástica de um elemento
Elemento com carga axial
5.1
....
125
Deformação por torção de um
eixo circular
.......... . .
125
...... ......................
126
...... ......................
.
63
5.2
A fórmula da torção
.......
64
5.3
Transmissão de potência...................... 132
..........................
73
5.4
Ângulo de torção
3.4
Lei de Hooke
3.5
Energia de deformação
3.6
Coeficiente de Poisson
...... .......................
.
Princípio de Saint-Venant
4.4
47
74
85
Princípio da superposição
4.5
.
Carga axial
4.3
47
Deformação
........ . ...................
submetido a carga axial
32
......................
Falha de materiais devida à
fluência e à fadiga
1.2
.
............
.................
.
.................................
139
VIII
5.5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Elementos estaticamente indeterminados
7.4
carregados com torque ....................... 150
*5.6
*5.7
Eixos maciços não circulares ................ 155
compostas por vários elementos . .
.. .. ...
7.5
Tubos de parede fina com seções
5.8
Concentração de tensão ...................... 165
*5.9
Torção inelástica................................... 167
*5.1O
Tensão residual ..................................... 172
*7.6
Fluxo de cisalhamento em elementos
1 81
Centro de cisalhamento para seções
transversais abertas.............................. 289
8.
8.1
Flexão
276
de paredes finas ................................... 285
transversais fechadas ........................... 157
6.
Fluxo de cisalhamento em estruturas
8.2
Cargas combinadas
300
Vasos de pressão de paredes finas
. 300
... .
Estado de tensão causado por
cargas combinadas .............................. 304
6.1
Diagramas de força cortante
e momento fletor ................................. 181
6.2
Método gráfico para construir
9.
diagramas de força cortante e momento
fletor
6.3
.....................................................
9.1
Deformação por flexão de um
6.4
A fórmula da flexão .............................. 203
6.5
Flexão assimétrica ................................ 216
*6.6
Vigas compostas .................................. 224
*6. 7
Vigas de concreto armado ................... 229
*6.8
Vigas curvas.......................................... 231
6. 9
Concentrações de tensão .................... 236
* 6.1O
Flexão inelástica ................................... 244
6.11
Tensão residual..................................... 251
Cisalhamento
transversal
262
262
7.1
Cisalhamento em elementos retos
7.2
A fórmula do cisalhamento .................. 263
7.3
Tensões de cisalhamento em vigas ...... 264
......
321
de tensão
188
elemento reto ...................................... 201
7.
Transformação
9.2
Transformação de tensão no plano
......
321
Equações gerais de transformação
de tensão no plano .............................. 324
9.3
Tensões principais e tensão de
cisalhamento máxima no plano .......... 327
9.4
Círculo de Mohr- tensão no plano.... 338
9.5
Tensão em eixos provocada por
carga axial e torção .............................. 345
9.6
Variações de tensão ao longo
de uma viga prismática ........................ 346
9.7
Tensão de cisalhamento
máxima absoluta ................................. 351
1 O.
Transformação
da deformação
10.1
10.2
361
Deformação plana................................ 361
Equações gerais de transformação
no plano de deformação...................... 362
SUMÁRIO
*10.3
12.9
Círculo de Mohr- plano
Vigas e eixos estaticamente
indeterminados- método da
superposição ........................................ 466
de deformação ..................................... 367
*10.4
IX
Deformação por cisalhamento
máxima absoluta .................................. 373
10.5
Rosetas de deformação ....................... 376
10.6
Relações entre o material e suas
1 3.
Teorias de falhas................................... 387
1 1.
Projeto de vigas
401
e eixos
11.1
Base para o projeto de vigas ............... 401
11.2
Projeto de viga prismática ................... 401
*11.3
Vigas totalmente solicitadas ................ 411
*11.4
Projeto de eixos ................................... 413
1 2.
421
12.1
A linha elástica ..................................... 421
12.2
Inclinação e deslocamento por
integração ............................................ 423
'12.4
Funções de descontinuidade ............... 435
Inclinação e deslocamento pelo
método dos momentos de área .......... 442
12.5
Método da superposição ..................... 452
12.6
Vigas e eixos estaticamente
indeterminados .................................... 457
12.7
13.1
Carga crítica .............................. .......... 477
13.2
Coluna ideal com apoios de pinos....... 478
13.3
Colunas com vários tipos de apoio...... 483
*13.4
A fórmula da secante ............ .............. 492
*13.5
Flambagem inelástica .......................... 497
'13.6
.
.
Projeto de colunas para cargas
concêntricas ......................................... 502
*13.7
Projeto de colunas para
cargas excêntricas ...................... ......... 510
.
1 4.
Métodos de energia
14.1
Trabalho externo e energia
Vigas e eixos estaticamente
indeterminados- método
da integração ...................... ................ 458
.
de deformação ..................................... 519
14.2
Energia de deformação elástica
para vários tipos de carga.................... 522
14.3
Conservação de energia ...................... 531
14.4
Carga de impacto ................................ 535
*14.5
Princípio do trabalho virtual................. 543
*14.6
Método das forças virtuais
aplicado a treliças ....... ........................ 545
.
'14.7
Método das forças virtuais
aplicado a vigas.................................... 551
*14.8
Teorema de Castigliano ................... ... 558
*14.9
Teorema de Castigliano
.
aplicado a treliças ................. .... ......... 558
.
*12.8
519
Deflexão em
vigas e eixos
'12.3
477
de colunas
propriedades ........................................ 379
*10.7
Flambagem
Vigas e eixos estaticamente
indeterminados- método
dos momentos de área ........................ 461
.
*14.10 Teorema de Castigliano
aplicado a vigas.................................... 561
X
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
B
Apêndices
A
Propriedades geométricas
de uma área
568
Centroide de uma área
A.2
Momento de inércia de uma área
A.3
Produto de inércia para uma área ....... 572
A.4
Momentos de inércia para uma área
em torno de eixos inclinados
A.5
........
...............
570
574
Círcul o de Mohr para momentos
de inércia
..............................................
de perfis estrutu rais
Inclinações e
d eflexões de vigas
582
586
568
A.1
........................
c
P ro p riedades geométricas
576
D
Revisão d e fu n d a m e ntos
de engen haria
588
Sol u ções parciais e respostas
599
Índ ice remissivo
628
Prefácio
O objetivo deste livro é oferecer ao estudante uma
apresentação clara e minuciosa da teoria e da apli­
cação dos princípios fundamentais da resistência. dos
materiais. O entendimento é baseado na explanação
do comportamento físico dos materiais sob carga e na
subsequente modelagem desse comportamento para
desenvolver a teoria. A ênfase recai sobre a importân­
cia de satisfazer os requisitos de equilíbrio, compatibi­
lidade de deformação e comportamento do material.
E l e m e ntos n ovos e a p ri m o ra d o s
•
•
•
Material de revisão. Foram acrescentadas no­
vas seções de revisão no final de cada capítulo
para atender às solicitações dos estudantes. Es­
sas novas seções foram planejadas para ajudá­
los a relembrar e estudar conceitos fundamen­
tais dos capítulos.
Ilustrações. Com base no impressionante re­
torno positivo em relação às ilustrações inseridas na edição anterior, aprimoramos 100 ilustrações adicionais como parte do programa de
arte fotorrealista.
Problemas. Nesta sétima edição, os proble-
mas foram revisados, porém o equilíbrio entre
aplicações fáceis, médias e difíceis foi mantido.
Cada página do livro passou por uma revisão
detalhada executada por três pessoas, além do
autor, para verificar a precisão.
Co nteú d o
O livro está organizado e m 1 4 capítulos. O Capí­
tulo 1 começa com uma revisão dos conceitos impor­
tantes da estática, seguida por uma definição formal
de tensão normal e de cisalhamento e por uma discus­
são da tensão normal em eixos com cargas axiais e da
tensão de cisalhamento média provocada por cisalha­
mento direto.
No Capítulo 2 são definidas as deformações nor­
mal e por cisalhamento, e no Capítulo 3 discutimos
algumas das propriedades mecânicas importantes dos
materiais. Tratamentos separados para carga axial,
torção e flexão são apresentados nos capítulos 4, 5 e
6, respectivamente. Em cada um deles são considera­
dos o comportamento iinear elástico e o comporta­
mento plástico do material. Além disso, também estão
incluídos tópicos relacionados com concentrações de
tensões e tensão residual. Cisalhamento transversal é
abordado no Capítulo 7, juntamente com uma discus­
são de tubos de parede fina, fluxo de cisalhamento e
centro de cisalhamento. O Capítulo 8 inclui uma dis­
cussão de vasos de pressão de parede fina e apresenta
uma revisão parcial do material abrangido nos capítu­
los anteriores, como o estado de tensão que resulta de
cargas combinadas. No Capítulo 9 são apresentados
os conceitos de transformação de estados multiaxiais
de tensão. De modo semelhante, o Capítulo 10 discute
os métodos de transformação de deformação, incluin­
do a aplicação de várias teorias de falha. O Capítulo
1 1 apresenta um meio para fazer um resumo e uma
revisão adicionais de material anterior, ao abordar
aplicações de projetos de vigas e eixos. O Capítulo 12
examina vários métodos para calcular deflexões de vigas e eixos, além de incluir uma discussão sobre a de­
terminação das reações desses elementos estruturais,
se forem estaticamente indeterminados. O Capítulo
13 dá uma discussão de flambagem de colunas e, por
fim, no Capítulo 14, são considerados o problema do
impacto e a aplicação de vários métodos de energia
para calcular deflexões.
As seções deste livro que contêm material mais
avançado são indicadas por um asterisco sobrescrito
(*). Se o tempo disponível permitir, alguns desses tó­
picos poderão ser incluídos no curso. Além do mais,
este material oferece uma referência adequada para
os princípios básicos, quando forem estudados em ou­
tros cursos, e pode ser usado como base para projetas
especiais.
XII
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
M étodo a lternativo d e a bordag e m . Al­
guns professores preferem abordar transformações
de tensão e deformação primeiro, antes de discutir
aplicações específicas de carga axial, torção, flexão e
cisalhamento. Um método possível seria discutir pri­
meiro a tensão e sua transformação, capítulos 1 e 9, se­
guidas por deformação e sua transformação, Capítulo
2 e a primeira parte do Capítulo 10. A discussão e os
problemas nesses últimos capítulos foram estrutu­
rados de modo a possibilitar essa abordagem. Além
disso, os conjuntos de problemas foram subdivididos
de modo que esse material possa ser estudado sem
conhecimento prévio dos capítulos envolvidos. Então,
os capítulos 3 a 8 podem ser estudados sem perda de
continuidade.
E l e m e ntos d isti ntivos
Org a n iza ção e abordagem.
O conteúdo de
cada capítulo é organizado em seções bem definidas
que contêm uma explanação de tópicos específicos,
problemas ilustrativos resolvidos e um conjunto de
problemas como exercícios para o estudante. Os tópi­
cos em cada seção estão reunidos em subgrupos espe­
cíficos definidos por títulos. A finalidade é apresentar
um método estruturado para introduzir cada nova de­
finição ou conceito e tornar o livro conveniente para
referência e revisão posteriores.
Su mário do capít u l o .
Na primeira página de
cada capítulo são apresentados os "Objetivos do ca­
pítulo", que dão uma visão geral do material que será
estudado.
P ro cedimentos para análise. Encontrado
após várias seções do livro, esse recurso exclusivo ofe­
rece ao leitor um método lógico e ordenado para se­
guir quando aplicar a teoria. Os problemas dados como
exemplo que vêm em seguida são resolvidos segundo
o método descrito, de modo a esclarecer sua aplica­
ção numérica. Entretanto, é preciso entender que, uma
vez dominados os princípios e adquiridas a confiança
e a capacidade de julgamento suficientes, o estudante
poderá desenvolver seus próprios procedimentos para
resolver problemas.
Pontos importantes. Esse recurso proporciona
uma revisão ou resumo dos conceitos mais importan­
tes apresentados em uma seção e destaca os pontos
mais significativos que devem ser levados em conta na
aplicação da teoria para resolver problemas.
P rob l emas como exemplos. Todos os pro­
blemas dados como exemplo são apresentados de um
modo conciso e em estilo fácil de entender.
P roblemas para o estudante resol ver. Vá­
rios problemas neste livro descrevem situações reais
encontradas na prática da engenharia. Esperamos que
esse realismo estimule o interesse do estudante pela
matéria e propicie-lhe um meio para desenvolver sua
capacidade de, partindo da descrição física do proble­
ma, reduzi-lo a um modelo ou a uma representação sim­
bólica aos quais possa aplicar os princípios aprendidos.
Há, no livro, um equilíbrio aproximado entre proble­
mas que usam unidades SI ou FP S. Além disso, tenta­
mos organizar os conjuntos de problemas e ordená-los
segundo o grau crescente de dificuldade. As respostas
para todos os problemas, exceto o quarto de cada série
são apresentadas na parte final deste livro. Um aste­
risco sobrescrito(*) colocado antes do número de um
problema indica que sua resposta não foi apresentada.
As respostas são dadas com precisão de três algarismos
significativos, ainda que os dados para as propriedades
dos materiais possam não ter tal grau de precisão. Em­
bora pareça uma prática pouco recomendável, foi ado­
tada simplesmente por consistência e para permitir ao
estudante melhor oportunidade de verificar a validade
de sua solução. Um quadrado preto (ícone quadrado)
é usado para identificar problemas que requerem aná­
lise numérica ou uma aplicação de computador.
Apêndices.
Os apêndices do livro oferecem uma
fonte de revisão e listas de dados em forma de tabelas.
O Apêndice A dá informações sobre o centroide e o
momento de inércia de uma área. Os apêndices B e C
apresentam tabelas com dados para formas estruturais
e a deflexão e inclinações para vários tipos de vigas e ei­
xos. O Apêndice D contém problemas típicos, acompa­
nhados de soluções parciais, que são comumente usados
em exames. Esses problemas também podem ser usados
para revisão e prática na preparação para os exames.
PREFÁCIO
Verificação tripla da precisão.
A sétima edi­
ção foi submetida à nossa rigorosa revisão, denomi­
nada triple accuracy checking (verificação tripla de
precisão) . Além da revisão feita pelo autor de toda a
arte gráfica e também de todas as p áginas, o texto foi
verificado por:
•
•
•
Scott Hendricks, Virginia Polytechnic University
Karim Nohra, University of South Florida
Kurt Norlin, Laurel Technical Services
XIII
Recu rsos para os professores
•
"
Manual de soluções (em inglês). Manual
de so­
luções preparado pelo autor; também verificado
pelo programa triple accuracy checking.
Recursos de apresentação. Toda a arte gráfica do
texto está disponível em slides em PowerPoint e
formato JPEG. Esses arquivos estão disponíveis
no endereço www.prenhall.com/hibbeler_br. Se
você precisar de um login e uma senha para esse
site, favor entrar em contato com seu represen­
tante local da Pearson Education.
XIV
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ag rad ecim entos
Ao longo dos anos, este texto foi moldado pelas
sugestões e comentários de muitos de meus colegas
professores. Seu encorajamento e boa vontade de fa­
zer críticas construtivas são muito apreciados e espero
que aceitem este reconhecimento anónimo. Gostaria
de acrescentar uma nota de agradecimento aos reviso­
res das várias edições anteriores.
B. Aalami, San Francisco State University
R. Alvarez, Hofstra
University
S. Biggers, Clemson University
R. Case, Florida Atlantic University
R. Cook, University ofWisconsin-Madison
J. Easley, University of Kansas
I . Elishakoff, Florida Atlantic University
A. Gilat, Ohio State University
J. Hashemi, Texas Tech University
H. Huntley, University of Michigan-Dearborn
J. Kayser, Lafayette College
P. Kwon, Michigan State University
W. Liddel, Auburn University at Montgomery
J. Ligon, Michigan Technological University
C. Lissenden, Penn State University
D. Liu, Michigan State University
University of Rhode Island
G. May, University of New Mexico
D. Oglesby, University of Missouri-Rolla
A . Pelegri, Rutgers-The State University ofNew
Jersey
D. Quesnel, University of Rochester
M. P. Rossow, Southern Illinois University­
Edwardsville
S. Schiff, Clemson University
C. Sulzbach, Colorado School of Mines
C. Tsai, Florida Atlantic University
K. Walsh, Arizona State University
T.W.Wu, The University of Kentucky
A. Marcus,
Gostaria de agradecer também a todos os meus
alunos que usaram as edições anteriores e ofereceram
comentários para melhorar seu conteúdo.
Por fim, gostaria de agradecer à assistência de mi­
nha esposa, Cornelie (Conny), durante o tempo decor­
rido para preparar o manuscrito para publicação.
Gostaria muito de receber quaisquer comentários
que vocês queiram fazer ou sugestões que queriam dar
referentes ao conteúdo desta edição.
Russell Charles Hibbeler
[email protected]
Tensão
O BJ ETIVOS DO CAPÍTULO
N este capítulo, faremos u m a revisão dos prin cípios i m portantes da estática e mostraremos como eles são
usados para determ i nar a s cargas resu ltantes i nternas em um corpo. Depois, apresentaremos os conceitos
de tensão n ormal e tensão de cisa l h a mento e a p l icações específicas da a n á l i se e do proj eto de elementos
sujeitos a carga axial ou a cisa l h amento direto.
1 .1
Intro d u çã o
A resistência dos materiais é um ramo d a mecânica
que estuda as relações entre as cargas externas aplica­
das a um corpo deformável e a intensidade das forças
internas que agem no interior do corpo. Esse assunto
também envolve o cálculo das deformações do corpo
e proporciona o estudo de sua estabilidade quando su­
jeito a forças externas.
No projeto de qualquer estrutura ou máquina,
em primeiro lugar, é necessário usar os princípios
da estática para determinar as forças que agem sobre
os vários elementos, bem como no seu interior. O
tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade
dependem não só das cargas internas, mas também do
tipo de material de que são feitos. Por consequência, a
determinação precisa e a compreensão fundamental do
comportamento do material serão de vital importância
para o desenvolvimento das equações necessárias usadas
na resistência dos materiais. Tenha sempre em mente que
muitas fórmulas e regras de projeto definidas em códigos
de engenharia e utilizadas na prática são baseadas nos fun­
damentos da resistência dos materiais, e, por essa razão, é
muito importante entender os princípios dessa matéria.
Desenvolvi m e nt o h i stórico. A origem da
resistência dos materiais (ou mecânica dos mate­
riais) remonta ao início do século XVII, quando Ga­
lileu realizou experimentos para estudar os efeitos
de cargas sobre hastes e vigas feitas de diferentes
materiais. Entretanto, para a compreensão adequada
desses efeitos, foi necessário fazer descrições expe­
rimentais precisas das propriedades mecânicas dos
vários materiais. Os métodos utilizados passaram
por uma notável melhoria no início do século XVIII.
Nessa época, foram desenvolvidos estudos experi­
mentais e teóricos sobre o assunto, principalmen­
te na França, por cientistas extraordinários, como
S aint-Venant, Poisson, Lamé e Navier. Como esses
estudos se baseavam em aplicações da mecânica de
corpos materiais, foram denominados "resistência
dos materiais". Nos dias atuais, contudo, em geral são
denominados "mecânica de corpos deformáveis" ou,
simplesmente, "mecânica dos materiais" ou, como é
mais comum, "resistência dos materiais" .
Com o .passar dos anos, depois de muitos dos
problemas fundamentais da mecânica dos materiais
terem sido resolvidos, tornou-se necessário usar téc­
nicas avançadas da matemática e da computação
para resolver problemas mais complexos. Como re­
sultado, esse assunto se expandiu para outras áreas
da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade
e a teoria da plasticidade. A pesquisa nessas áreas
é contínua, não apenas para atender à necessidade
de resolver problemas avançados de engenharia,
mas também para j ustificar a maior utilização e as
limitações a que está sujeita a teoria fundamental d a
mecânica dos materiais.
1 .2
E q u i l íbrio d e u m corpo
d efo rmável
Haja vista o importante papel desempenhado pela
estática no desenvolvimento e na aplicação da resis­
tência dos materiais, também é muito importante que
seus fundamentos sejam bem compreendidos. Por essa
razão, revisaremos alguns dos princípios essenciais da
estática que serão usados neste livro.
Cargas externas. Um corpo pode ser submeti­
do a vários tipos de cargas externas; todavia, qualquer
uma delas pode ser classificada como uma força de su­
perfície ou uma força de corpo (Figura 1.1).
de
Como o nome sugere, forças de
supeifície são causadas pelo contato direto de um corpo
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
\
Idealização da
força concentrad&
\�, �
t
s
G
���"""r � i Força de
""-- ... : _superfície
.......,.::!S;::.:J
-+-r.
Idealização da carga
linear distribuída
i
'Força
de corpo
Figura 1.1
com a superfície de outro. Em todos os casos, essas forças
estão distribuídas pela área de contato entre os corpos.
Se essa área for pequena em comparação com a área
da superfície total do corpo, então a força de superfície
pode ser idealizada como uma única força concentrada,
aplicada a um ponto do corpo. Por exemplo, a força do
solo sobre as rodas de uma bicicleta pode ser conside­
rada uma força concentrada quando estudamos a carga
que age sobre a bicicleta. Se a carga de superfície for apli­
cada ao longo de uma área estreita, ela pode ser idea­
lizada como uma carga distribuída linear, w (s). Neste
caso, a carga é medida como se tivesse uma intensidade
de força/comprimento ao longo da área, e é representada
graficamente por uma série de setas ao longo da linha s.
A força resultante FR de w(s) é equivalente à área sob
a curva da carga distribuída, e essa resultante age no
centroide C ou centro geométrico dessa área. A carga ao
longo do comprimento de uma viga é um exemplo típico
de aplicação frequente dessa idealização.
Força de corpo. Aforça de corpo é desenvolvida
quando um corpo exerce uma força sobre outro, sem
contato físico direto entre eles. Citamos como exem­
plo os efeitos causados pela gravitação da Terra ou
seu campo eletromagnético. Embora as forças de cor­
po afetem cada uma das partículas que compõem o
corpo, elas normalmente são representadas por uma
única força concentrada que age sobre ele. No caso da
gravidade, essa força é denominada peso do corpo e
age no centro de gravidade deste.
Reações do apoio. As forças de superfície que
se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato en­
tre corpos são denominadas reações. Para problemas
bidimensionais, isto é, corpos sujeitos a sistemas de
forças coplanares, os apoios mais comuns são mostra­
dos na Tabela 1.1. Observe cuidadosamente o símbolo
usado para representar cada apoio e o tipo de reações
que cada um exerce sobre o elemento de contato. Em
geral, sempre podemos determinar o tipo de reação
do apoio imaginando que o elemento a ele acopla-
do está sendo transladado ou está girando em uma
determinada direção. Se o apoio impedir a transla­
ção em uma determinada direção, então uma força
deve ser desenvolvida no elemento naquela direção.
Da mesma forma, se o apoio impedir a rotação, um
momento deve ser exercido no elemento. Por exem­
plo, um apoio de rolete só pode impedir translação na
direção do contato, perpendicular ou normal à super­
fície. Por consequência, o rolete exerce uma força nor­
mal F sobre o elemento no ponto de contato. Como
o elemento pode girar livremente ao redor do rolete,
não é possível desenvolver um momento sobre ele.
Eq uações de equil íbrio . O equilíbrio de um
corpo exige um equilíbrio de forças, para impedir a
translação ou um movimento acelerado do corpo ao
longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio
de momentos, para impedir que o corpo gire. Essas
condições podem ser expressas matematicamente pe­
las duas equações vetoriais
(1.1)
Nessas fórmulas, �F representa a soma de todas as
forças que agem sobre o corpo, e �M0 é a soma dos
momentos de todas as forças em torno de qualquer
ponto O dentro ou fora do corpo. Se estipularmos um
sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto
O, os vetares força e momento podem ser resolvidos
em componentes ao longo dos eixos coordenados, e as
duas equações apresentadas podem ser escritas como
seis equações em forma escalar, ou seja,
�F = O
�M = O
X
X
�Fy = O
�M = O
y
�F = O
�M = O
z
(1.2)
z
Na prática da engenharia, muitas vezes a carga so­
bre um corpo pode ser representada como um siste­
ma de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as for­
ças encontrarem-se no plano x-y, então as condições
de equilíbrio do corpo podem ser especificadas por
apenas três equações de equilíbrio escalares, isto é ,
�Fx = O
�Fy = O
�Mo = O
(1.3)
Neste caso, se o ponto O for a origem das coordenadas,
então os momentos estarão sempre dirigidos ao longo do
eixo z, perpendicular ao plano que contém as forças.
A aplicação correta das equações de equilíbrio
exige a especificação completa de todas as forças co-
TENSÃO
Tip o de acop lamento
v
�
F
Uma incógnita: F
Cabo
Rolete
�
Apoio liso
Reação
F
Uma incógnita: F
A
F8
---
Uma incógnita: F
nhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A
melhor maneira de levar em conta essas forças é dese­
nhar o diagrama de corpo livre do corpo. Certamente,
se o diagrama de corpo livre for desenhado de maneira
correta, os efeitos de todas as forças e momentos biná­
rios aplicados poderão ser levados em conta quando as
equações de equilíbrio forem escritas.
Cargas resu lta ntes i nternas.
Uma das mais
importantes aplicações da estática na análise de pro­
blemas de resistência dos materiais é poder determi­
nar a força e o momento resultantes que agem no in­
terior de um corpo e que são necessários para manter
a integridade do corpo quando submetido a cargas
externas. Como exemplo, considere o corpo mostrado
na Figura 1.2a, mantido em equilíbrio pelas quatro
forças externas.* Para obtenção das cargas internas
que agem sobre uma região específica no interior
de um corpo, é necessário usar o método das seções.
O método exige que seja feita uma seção ou "corte"
imaginário passando pela região onde as cargas inter­
nas deverão ser determinadas. Então, as duas partes
do corpo são separadas e o diagrama de corpo livre
de uma das partes é desenhado (Figura 1.2b) . Pode­
mos ver que há, na verdade, uma distribuição de força
interna agindo sobre a área "exposta" da seção. Essas
forças representam os efeitos do material que está na
parte superior do corpo agindo no material adjacente
na parte inferior.
' O peso do corpo não é mostrado, já que admitimos que é bem peque­
no e, portanto, desprezível em comparação com as outras cargas.
Ti po de acop lamento
Reação
�--=
F.
1k
Pino externo
�
"
Pino interno
F=
Apoio fixo
3
Duas incógnitas: Fn Fy
Fx"
Fx ��.
[r)'
Duas incógnitas F,, f';.
Mf
'
�=:=
c=::
_______
Três incógnitas: F,, Fy,
M
Embora a distribuição exata da carga interna seja
desconhecida, podemos usar as equações de equilíbrio
força e o momento resultantes da distribuição, FR e MRo'
em qualquer ponto especifico O na área secionada (Fi­
gura 1.2c). Observe que FR age no ponto O, embora seu
valor calculado não dependa da localização desse pon­
para relacionar as forças externas sobre o corpo com a
to. Por outro lado, MR0 depende dessa localização, pois
os braços do momento devem se estender de O até a
linha de ação de cada força externa no diagrama de cor­
po livre. Mais adiante, mostraremos que, na maioria das
vezes, o ponto O escolhido coincide com o centroide da
área secionada e, portanto, sempre escolheremos essa
localização para O, a menos que digamos o contrário.
Além disso, se um elemento for longo e delgado, como
no caso de uma haste ou viga, a seção considerada será,
de modo geral, perpendicular ao eixo longitudinal do
elemento. Esta seção é denominada seção transversal.
Três dimensões. Mais adiante, mostraremos como
relacionar as cargas resultantes, FR e MRo' com a dis­
tribuição de forças na área secionada e, desse modo,
desenvolver equações que possam ser usadas para
análise e projeto. Todavia, para isso devemos conside­
rar as componentes de FR e MRO' que agem normal ou
perpendicularmente à área secionada e no interior do
plano da área (Figura 1 .2d). Há quatro tipos diferentes
de cargas resultantes que podem ser definidos:
Essa força age perpendicularmen­
te à área e se desenvolve sempre que as cargas exter­
nas tendem a empurrar ou puxar os dois segmentos
do corpo.
4
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
ou
T.
Esse efeito é
desenvolvido quando as cargas externas tendem a tor­
cer um segmento do corpo com relação ao outro.
I
\
seção
�F
/
Fl
Momento dt�
F4
F3
z
(a)
'\\\!YI�
Momento
M. O momento fietor é causado
pelas cargas externas que tendem a fietir o corpo em
torno de um eixo que se encontra no plano da área.
Observe que, neste livro, a representação gráfica
de um momento ou torque é apresentada em três
dimensões, como um vetor acompanhado pelo sím­
bolo gráfico de uma seta curvada. Pela regra da mão
direita, o polegar dá à seta o sentido do vetor e os
dedos, ou curvatura da seta, indicam a tendência da
rotação ( torção ou flexão ) . Usando um sistema de
coordenadas x, y, z , cada uma das cargas descritas
pode ser determinada diretamente pelas seis equa­
ções de equilíbrio aplicadas a qualquer segmento d o
corpo.
sistema de forças coplanares (Figura 1 .3a) , então ha­
Se o corpo for submetido a um
verá na seção apenas componentes da força normal,
força de cisalhamento e momento fietor (Figura 1 .3b )
Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem
no ponto O, como mostrado no segmento à esquerda,
então a solução direta para N pode ser obtida apli­
cando-se 2.F, = O, e V pode ser obtida diretamente
de 2.F, = O. Por fim, o momento fietor M0 pode ser
deter�inado diretamente pela soma dos momentos
em torno do ponto O ( o eixo z ) , 2.M0 = O de modo a
eliminar os momentos causados pelas forças desco­
nhecidas N e V.
Os seguintes exemplos ilustram esse procedimento
numericamente e também servem como revisão de al­
guns dos princípios importantes da estática.
.
(b)
(c)
MRo
i'if--------�f
i
· �. N
i�l. "
1
1
M
\\,
i 1.
I
I
Momento
fletor
Momento
de torção T
,
'
1
,
Força
---!:� rmal
- ---:.;,� FR
,p:Y"'
.#.,e·
II
iforça de
ci�alhamento
I
'V
(d)
Figma 1.2
A força de cisalhamento
encontra-se no plano da área e é desenvolvida quando
as cargas externas tendem a provocar o deslizamento
de um dos segmentos do corpo sobre o outro.
(a)
yl
Força de
visalhamento
O"
(b)
to
Figura 1.3
) •-x
N Força
Momento
fletor
.
normal
TENSÃO
""
"�
'"
_
"'
�"'A =
,
"'
"""'
"' V""'
li!�
-�'"'
"'
R®�mms IIVIR®RIF��mms
�
�
" Resistência. dos materiais é um estudo da relação entre as
""
'"
0
-
�x
�
"
,
�
2
cargas externas que agem sobre: um corpo e a intensidade:
cargas de superffcie distribufdas ou concentradas ou.como
forças de corpo que agem em todo o volu me do corpo.
" Cargas distribuídas lineares produzem umà força resultante cujo valor é igual à área s ob o diagrama de carga e cuja
localização passa pelo centroide dessa área:
das cargas internas no interior do corpo.
"Forças externas podem ser aplicadas aum corpo como
" Um apoio prod uz um� força emuma dete:rrrrÍt!ada diteção sobre o lilh�mento. a ele acopiado se ele impedir a t�anslà­
çiio do eleménto naquela direção e produz utninomento sobre o elemento se ele impedir a rotação.
" As equações de equilíbrio .!F == O e.};M == O devem ser satisfeitas de modo a impedir, respectivamente, a translação
com movimento acelerado e a rotação de um. corpo.
" Ao aplicarmos as equações de e qu ihbrio, é importante desenhar o diagrama de corpo livre antes, de modo a consi­
. ·.·... ,
éto do das seções éusado para deter:minar as cargas resultantes i nternas que agem sobre a superf(cie do corpo
secionado; Em geral , essas res u ltantes consistem em uma força normal, uma força de ci salha men to, um momento de
derar todos OS termos presentes nas equaçõt�S.
" o
m
torção e
..
.
·
um momento fietor.
O método das seções é usado para determinar as cargas resultantes internas em um ponto localizado sobre a seção de
um corpo. Para obter essas resultantes, a aplicação do método das seções deve obedecer às etapas descritas a seguir.
Reação dos apoios
segmento do corpo deverá ser considerado. Se esse segmento tiver um apoio ou um
acoplamento com outro corpo, será necessário determinar as reações que agem no segmento do corpo escolhido
antes de secioná-lo. Desenhe o diagrama de corpo livre para o corpo inteiro e aplique as equações de equilíbrio
necessárias para obter essas reações.
" Em primeiro lugar, decida qual
Diagrama de corpo livre
todas as cargas distribuídas externas, momentos, torques e forças que agem sobre o corpo em suas locali­
zações exatas e, então, trace uma seção imaginária que passe pelo corpo no ponto onde as cargas resultantes internas
devem ser determinadas.
" Normalmente, se o corpo representar um elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção será perpen­
dicular ao eixo longitudinal do elemento.
" Desenhe um diagrama de corpo livre de um dos segmentos "cortados" e indique as resultantes desconhecidas N,
V, M e 'f na seção. Essas resultantes geralmente são localizadas no ponto que representa o centro geomét rico ou
centroide da área secionada.
" Se o elem ento estiver sujeito a um sistema de forças coplanares, somente N, VeM agem no centroide.
"Defina os eixos co ordenados x, y, z com origem no centroide e mostre as componentes resultantes que agem ao
longo dos eixos.
• Mantenha
Equações de equilíbrio
" Os momentos gerados na s e ção
em tomo de cada um dos eixos coordenados onde as resultantes agem devem ser so­
as forças desconhecidas NeVe pe rmite uma solução díreta paraM (e T).
" Se a solução das equações de equilíbrio produzir um valor negativo para uma resultante, o sentido direcional admi­
tido para a resultante será oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre.
mados. Isso elimina
5
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
""""' �"'=""'""'==*"�"�=S'i!!�E"" �''Jp�a=
�2,F, =
!Él�Uf'' ,
;����
'"�"' 3
'"�
8
Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal em C da viga mostrada na Figura 1.4a.
O;
·
+'�'2,F
I
y = o,
270 N/m
-Ne = O
Ne = O
Ve - 540 N = O
Ve = 540 N
-Me - 540 N (2 m) = O
Me = -1.080 N·m
Resposta
Resposta
Resposta
O sinal negativo indica que Me age na direção
oposta à mostrada no diagrama de corpo livre. Tente resolver
esse problema usando o segmento AC, obtendo, em primeiro
lugar, as reações do apoio em A, que são dadas na Figura 1.4c.
OBSERVAÇÃO:
(a )
540 N
lSO N/ m
r-- 1
-- -
I
Determine as cargas resultantes internas que agem na
seção transversal em C do eixo de máquina mostrado na
Figura 1.5a. O eixo está apoiado em mancais em A e B, que
exercem somente forças verticais no eixo.
SOLUÇÃO
(b)
Resolveremos esse problema usando o segmento AC do
eixo.
50 mm
(a)
SOLUÇÃO
Reações dos apoios. Este problema pode ser resolvido
da maneira mais direta considerando o segmento CB da
viga, já que, assim, as reações dos apoios em A não têm de
ser calculadas.
Diagrama de corpo livre. Passar uma seção imaginária
pela perpendicular ao eixo longitudinal da viga resulta no
diagrama de corpo livre do segmento CB mostrado na Figu­
ra 1.4b. É importante manter a carga distribuída exatamente
onde ela se encontra no segmento até que a seção tenha sido
feita. Somente depois disso é que essa carga será substituída
por uma única força resultante. Observe que a intensidade
da carga distribuída em C é determinada por proporção, isto
é, pela Figura 1.4a, w/6 m = (270 N/m)/9 m, w = 180 N/m. O
valor da resultante da carga distribuída é igual à área sob
a curva de carga (triângulo) e age no centroide dessa área.
Assim,F = 1/2 (180 N/m)(6 m) = 540 N, que age a 1/3(6 m) =
2 m de C, como mostra a Figura 1.4b.
Equações de equilíbrio. Aplicando as equações de equi­
líbrio, temos:
(SOO
(b)
50 mm
TENSÃO
7
SOLUÇÃO
Reações dos apoios. A Figura 1.5b mostra um diagrama
de corpo livre do eixo inteiro. Visto que apenas o segmento
O modo mais direto de resolver este problema é secio­
AC deverá ser considerado, somente a reação em A terá de nar o cabo e a viga em C e, então, considerar todo o seg­
ser determinada. Por quê?
mento esquerdo.
1 + "'i,MB = O; -A/0,400 m) + 120 N(O,l25 m) - 225 N(O,lOO m)
Diagrama de corpo livre. Veja Figura 1.6b.
A
Y
=O
= - 18,75 N
Equações de equilíbrio.
O sinal negativo para AY indica que AY age no sentido
contrário ao mostrado no diagrama de corpo livre.
Se passarmos uma seção ima­
ginária perpendicular à linha de centro do eixo em C, obte­
remos o diagrama de corpo livre do segmento AC mostrado
na Figura 1.5c.
Diagrama de corpo livre.
� "'i.F, = O ;
+j"'i.F)' = O;
Equações de equilíbrio.
Resposta
Nc = O
- 18,75 N - 40 N Vc = O
Resposta
Vc = -58,8 N
L+ "'i.Mc = O;Mc + 40N(0,025m) + 18,75 N(0,250m) = O
Resposta
Me= -5,69 N·m
OBSERVAÇÃO: Os sinais negativos para Vc e Me indicam que
elas agem em direções opostas às mostradas no diagrama de
corpo livre. Como exercício, calcule a reação em B tente obter
os mesmos resultados usando o segmento CBD do eixo.
e
O guindaste na Figura 1.6a é composto pela viga AB e rol­
danas acopladas, além do cabo e do motor. Determine as cargas
internas resultantes que agem na seção transversal em C se o
motor estiver levantando a carga W de 2.000 N ( 200 kg) com
velocidade constante. Despreze o peso das roldanas e da viga.
=
125
+ "'i.F = O·'
X
�
+i"'i.F) = o,·
'
2.000 N + Nc= O
Nc = -2.000 N
-2.000 N - Vc= O
Vc = -2.000 N
2.000 N(1,125 m) - 2.000 N(0,125 m) + Me = O
Me= -2.000 N·m
Resposta
OBSERVAÇÃO: Como exercício, tente obter esses mesmos re­
sultados considerando apenas o segmento de viga AC, isto é,
retire a roldana em A da viga e mostre as componentes da força
de 2.000 N da roldana que agem sobre o segmento AC da viga.
Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal em G da viga de madeira mostrada na Fi­
gura 1.7a. Considere que as articulações em A, B, C, D e E
estejam acopladas por pinos.
SOLUÇÃO
Reações dos apoios. Neste problema, consideraremos o
segmento AG para análises. A Figura 1.7b mostra um diagra­
ma de corpo livre da estrutura inteira. Verifique as reações
calculadas em E e C. Observe, particularmente, que BC é
um elemento de duas forças, pois somente duas forças agem
sobre ele. Por essa razão, a reação em C deve ser horizontal,
como mostrado.
Uma vez que BA e BD também são elementos de duas
forças, o diagrama de corpo livre da articulação B é mos­
trado na Figura 1.7c. Novamente, verifique os valores das
forças calculadas F BA e F
Diagrama de corpo livre. Usando o resultado obtido para
F a seção esquerda da viga é mostrada na Figura 1. 7d.
Equações de equilíbrio. Aplicando as equações de equi­
líbrio ao segmento AG, temos
+ "'i.F = O ·
7.750 N(-t) + N G= o
N G = -6.200 N
Resposta
+j"'i.F)' = O; -1.500 N + 7.750 N(f) - VG = o
VG = 3.150 N
Resposta
L+"'i.MG = O;
M0 - (7.750 N)(f)(1 m) + (1.500 N)(l m) = O
M0 = 3.150 N·m
Resposta
,
BA
�,)�Nc
2.000 N
c
/Me
V
2.000 N
(b)
Figura 1.6
Resposta
L + "kMc =O;
sv·
125 m
Resposta
---3to
X
'
8
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Como exercício, obtenha esses mesmos resultados usando o
segmento GE.
(a)
(a)
Ex=
6.200N
(b)
1.500 N 7.750N
,�-.6.200N l ffi
/�3t�
A --��).!o
f--lm-lv:Ma
FsA = 7.750N Fsv = 4.650N .
(d )
(c)
Figura 1.7
,"'pli���Rik<i
11 .B
�
Jr�
"-'Jt� 8;
P-« � =
-
-�
""�Jt"'
çc Y:i'k
�
""""
�
j}fifj
"
�
"'iL
Figura 1.8
Wsv = (2 kg/m)(0,5 m)(9,81 N/kg) = 9,81 N
WAD = (2 kg/m)(1,25 m)(9,81 N/kg) = 24,525 N
Essas forças agem no centro de gravidade de cada segmento.
Equações de equilíbrio. Aplicando as seis equações esca­
lares de equilíbrio, temos*
Resposta
�F = o·
(F8\. = O
Resposta
�Fv = O;
�F, = O; (F8), - 9,81 N - 24,525 N - 50 N = O
(Fs), = 84,3 N
Resposta
X
>
Determine as cargas internas resultantes que agem na �(M8)x = O; (MB)x + 70 N·m - 50 N (0,5 m) - 24,525 N (0,5 m)
seção transversal em B do cano mostrado na Figura 1.8a. A - 9,81 N (0,25 m) = O
massa do cano é 2 kg/m, e ele está sujeito a uma força vertical
Resposta
(M8}_ = -30,3 N·m
de 50 N e a um momento de 70 N·m em sua extremidade A.
O tubo está preso a uma parede em C.
�(M8)y = 0; (MB)y + 24,525 N (0,625 m) + 50 N (1,25 m) = 0
SOLUÇÃO
Resposta
(M8)y = -77,8 N·m
O problema pode ser resolvido considerando o segmento �(Ms), = O;
Resposta
(MB) z = 0
AB, que não envolve as reações do apoio em C.
Diagrama de corpo livre. Os eixos x, y, z são definidos
em B, e o diagrama de corpo livre do segmento AB é mostrado na Figura 1.8b. Consideramos que as componentes da
O valor de cada momento em torno de um eixo é igual ao valor de
força resultante e do momento na seção agem nas direções
cada força vezes a distância perpendicular entre o eixo e a linha de
positivas das coordenadas e passam pelo centroide da área
ação da força. A direção de cada momento é determinada pela re­
da seção transversal em B. O peso de cada segmento do tubo
gra da mão direita, com os momentos positivos (polegar) dirigidos
é calculado da seguinte maneira:
ao longo dos eixos de coordenadas positivos.
*
TENSÃO 9
O que os sinais negativos para (Mn)x e (MB) y
indicam? Observe que a força normal Nn = (Fn\ = O, ao
passo que a força de cisalhamento é Vn = V (0) 2 + (84,3?
= 84,3 N. Além disso, o momento de torção é Tn = (MB)y =
77,8 N·m e o momento fietor é Mn = V(30,3? + (O) = 30,3
N ·m.
OBSERVAÇÃO:
Determine a força normal interna resultante que age na
Problema 1.3
seção transversal no ponto A em cada coluna. Em (a), o seg­
mento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa *1.4. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força
de 400 kg/m. Em (b) , a coluna tem uma massa de 200 kg/m.
de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem
sobre a seção no ponto A.
1.1.
S kN
I
I
�m
3m
S kN
B
200 mm
N
+-
1,2 m
1,2 m
SO N
A
Problema 1.4
Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal no ponto D do elemento AB.
1.5.
D
( a)
(b)
Problema 1.1
Determine o torque resultante interno que age sobre
as seções transversais nos pontos C e D do eixo. O eixo está
preso em B.
1.2.
300 mm
-T150
�
�-IJL:.�--����
mm
B
70 N·m
Problema 1.5
1.6. A viga AB é suportada por um pino em A e por um
cabo BC. Determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal no ponto D.
1.7. Resolva o Problema 1.6 para as cargas internas resul­
tantes
que agem no ponto E.
1.3. Determine o torque resultante interno que age nas se­
ções transversais nos pontos B e C.
Problema 1.2
1Ü
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
B
' 5.000 N
" D 0,6 m
" � I
�0,8 m--+--- 1,2 m ---J
1,6 m
�
J.
Q
ilfJl�G
AM
que passam pelos pontos D e E. Considere que as reações
nos apoios A e B sejam verticais.
6,0 kN/m
4,5 ��
�
I��,
b I : 4 m�,,
,,b-�
1,8 m 1,8 m
,35m 1,35 m
E
Problemas 1.10/11
Problemas 1.617
*1.12. Determine as cargas internas resultantes que agem
*1.8. A lança DF do guindaste giratório e a coluna DE têm
peso uniforme de 750 N/m. Se o guincho e a carga pesam sobre: (a) seção e (b) seção b-b. Cada �.eção está locali­
1.500 N, determine as cargas internas resultantes nas seções zada no centroide, ponto C.
transversais que passam nos pontos A, B e C.
a-a
E
Problema 1.12
Problema 1.8
1.13. Determine a resultante das forças internas normal e
A força F 400 N age no dente da engrenagem. De­ de cisalhamento no elemento em: (a) seção e (b) seção
termine as cargas internas resultantes na raiz do dente, isto é, b-b, sendo que cada uma delas passa pelo ponto A. Consi­
no centroide da seção (ponto A).
dere 8 = 60°. A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo
do centroide do elemento.
F=
1.14. Determine a resultante das forças internas normal e
de cisalhamento no elemento na seção b-b, cada uma em
função de 8. Represente esses resultados em gráficos para oo
::; 8 ::; 90°. A carga de 650 N é aplicada ao longo do eixo do
centroide do elemento.
1.9.
=
a-a
a-a
400N
a
4mm
a
Problema 1.9
1.10. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Deter­
mine as cargas internas resultantes na seção transversal que
passa pelo ponto C. Considere que as reações nos apoios A
e B sejam verticais.
A viga suporta a carga distribuída mostrada. Deter­
mine as cargas internas resultantes nas seções transversais
1.11.
650N
650N
Problemas 1.13/14
TENSÃO
1.15. A carga de 4.000 N está sendo levantada a uma velo­
cidade constante pelo motor M, que pesa 450 N. Determine
as cargas internas resultantes que agem na seção transversal
que passa pelo ponto B na viga. A viga pesa 600 N/m e está
fixada à parede em A.
'"1.16. Determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal que passa pelos pontos C e D da viga
no Problema 1.15.
11
*1.20. A estrutura do poste de energia elétrica suporta os
três cabos, e cada um deles exerce uma força de 4 kN nas
escoras. Se as escoras estiverem acopladas por pinos em A,
B e C, determine as cargas internas resultantes nas seções
transversais que passam pelos pontos D, E e F.
0,075 m
4 kN
Problema 1.20
1.21. O guindaste de tambores suspende o tambor de 2,5
kN. O pino de ligação está conectado à chapa em A e B. A
ação de aperto sobre a borda do tambor é tal que somente
1.17. Determine as cargas internas resultantes que agem na
forças
horizontais e verticais são exercidas sobre o tambor
seção transversal que passa pelo ponto B.
em G e H. Determine as cargas internas resultantes na seção
transversal que passa pelo ponto I.
900 kN/m
1.22. Determine as cargas internas resultantes nas seções
transversais que passam pelos pontos K e J no guindaste de
tambores no Problema 1 .21.
Pl'oblemas 1.15/16
A
2,5 kN
Problema 1.17
1.18. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Deter­
mine as cargas internas resultallles que agem na seção trans­
versal que passa pelo ponto C. Considere que as reações nos
apoios A e B sejam verticais.
1.19. Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal que passa pelo ponto D no Problema 1 .18.
1,5 kN/m
3m
j�
3m
-
�
Problemas 1.18/19
3m
�
Problemas 1.21/22
1.23. O cano tem massa de 12 kg/m. Se ele estiver fixado à pa­
rede em A, determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal em B. Despreze o peso da chave CD.
12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
y
Pl'Oblema 1.23
A viga mestra AB suporta a carga na asa do avião. As
cargas consideradas são a reação da roda de 175 kN em C, o
peso de 6 kN do combustível no tanque da asa, com centro
de gravidade em D, e o peso de 2 kN da asa, com centro de
gravidade em E. Se a viga estiver fixada à fuselagem em A,
determine as cargas internas resultantes na viga nesse ponto.
Considere que a asa não transfere nenhuma carga à fusela­
gem, exceto pela viga.
y
X
*1.24.
Problema 1.25
1.26. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois
mancais A e B e está sujeito às iorças aplicadas às polias nele
fixadas. Determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal que passa pelo ponto D. As forças de
400 N agem na direção -z e as forças de 200 N e 80 N agem
na direção +y. Os suportes A e B exercem somente as com­
ponentes y e z da força sobre o eixo.
z
z
y
X
y
X
Problema 1.26
Problema 1.24
Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal que passa pelo ponto B do poste de sinali­
zação. O poste está fixado ao solo, e uma pressão uniforme
de 50 N/m2 age perpendicularmente à parte frontal da placa
de sinalização.
1.25.
1.27. O eixo está apoiado em suas extremidades por dois
mancais, A e B, e está sujeito às forças aplicadas às polias
nele fixadas. Determine as cargas internas resultantes que
agem na seção transversal que passa pelo ponto C. As forças
de 400 N agem na direção -z e as forças de 200 N e 80 N
agem na direção +y. Os apoios A e B exercem somente as
componentes y e z da força sobre o eixo.
TENSÃO
13
z
z
y
X
X
750 N
Problema 1.27
Problema 1.30
Determine as cargas internas resultantes que agem
na seção transversal da estrutura nos pontos F e G. O con­ 1.31. A haste curvada tem raio e está presa à parede em B.
tato em E é liso.
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção
transversal que passa pelo ponto A, o qual está localizado a
um ângulo (} em relação à horizontal.
*1.28.
r
r
I
400 N
p
Problema 1.28
Problema 1.31
A haste do parafuso está sujeita a uma tensão de 400 N.
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção *1.32. A haste curvada AD de raio r tem peso por com­
transversal no ponto C.
primento w. Se ela estiver no plano horizontal, deter­
mine as cargas internas resultantes que agem na seção
transversal que passa pelo ponto B. Dica: A distância
entre o centroide C do segmento AB e o ponto O é CO =
0,9745 r.
1.29.
A
B
B
Problema 1.29
O cano tem massa de 12 kg/m e está preso à parede
em A. Determine as cargas internas resultantes que agem na
seção transversal que passa por B.
1.30.
Problema 1.32.
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1.33. Um elemento diferencial tomado de uma barra cur­
vada é mostrado na figura. Mostre que dN/d() = V, dV/d() =
-N, dM/d() = - Te dT/d() = M.
PI·oblema 1.33
1 .3
pequena, agindo sobre a área M a ela associada, é mos­
trada na Figura 1 .10a. Essa força, como todas as outras,
terá uma direção única, mas, em nossa discussão, nós a
substituiremos por suas três componentes, a saber, �Fx,
e �Fz' tangentes e normais à área, respectivamente.
�F
' y
A medida que a área M tende a zero, o mesmo ocorre
com a força �F e suas componentes; porém, em geral,
o quociente entre a força e a área tenderá a um limite
finito. Esse quociente é denominado tensão e, como j á
observamos, descreve a intensidade da força interna so­
bre um plano especifico (área) que passa por um ponto.
Tensão normal. A intensidade da força, ou força
por unidade de área, que age perpendicularmente à
M, é definida como tensão normal, a (sigma). Visto
que �Fz é normal à área, então
az
Te nsão
N a Seção 1 .2 dissemos que a força e o momento
que agem em um ponto específico da área secionada
de um corpo (Figura 1 .9) representam os efeitos re­
sultantes da distribuição de forças que agem sobre a
área secionada (Figura 1.10a). Obter essa distribuição
da carga interna é de suma importância na resistência
dos materiais. Para resolver esse problema, é necessá­
rio estabelecer o conceito de tensão.
Considere que a área secionada está subdividida
em pequenas áreas, como M sombreada em tom mais
escuro na Figura 1 .10a. À medida que reduzimos M
a um tamanho cada vez menor, temos de adotar duas
premissas em relação às propriedades do material.
Consideraremos que o material é contínuo, isto é, pos­
sui continuidade ou distribuição uniforme de matéria
sem vazios, em vez de ser composto por um número
finito de moléculas ou átomos distintos. Além disso, o
material deve ser coeso, o que significa que todas as
suas porções estão muito bem interligadas, sem trincas
ou separações. Uma força típica finita �F, porém muito
Figura 1.9
�Fz
.
= hm A A
AA---> 0 /..l
(1.4)
Se a força normal ou tensão tracionar o elemento
de área M, como mostra a Figura 1 .10a, ela será
denominada tensão de tração, ao passo que, se com­
primir o elemento �A, ela será denominada tensão
de compressão.
Ten são de cisa l hamento .
A intensidade da for­
ça, ou força por unidade de área, que age tangente a M,
é denominada tensão de cisalhamento, 7 (tau).Aqui es­
tão as componentes da tensão de cisalhamento:
7z x
•
7zy
.
� Fx
= hm A A
AA---> 0 /..l
.
�Fy
= hm A A
AA---> 0 /..l
(1.5)
Observe que a notação do índice z em az é usa­
da para indicar a direção da reta normal dirigida para
fora, que especifica a orientação da área �A (Figura
1 .11). São usados dois índices para as componentes da
tensão de cisalhamento, 7ZX e 7Z)'. O eixo z especifica a
orientação da área e x e y referem-se às retas que indicam a direção das tensões de cisalhamento.
Estad o g e ra l de tensão. Se o corpo for ain­
da mais secionado por planos paralelos ao plano x-z
(Figura 1 .10b) e pelo plano y-z (Figura 1 .10c), então
podemos "cortar" um elemento cúbico de volume de
material que representa o estado de tensão que age
em torno do ponto escolhido no corpo (Figura 1.12).
Assim, esse estado de tensão é caracterizado por três
componentes que agem em cada face do elemento.
Essas componentes da tensão descrevem o estado de
tensão no ponto somente para o elemento orientado
ao longo dos eixos x, y, z. Se o corpo fosse seciona­
do em um cubo que tivesse alguma outra orientação,
TENSÃO
I
z
I
rz
Tz�T y
z
z
X......
-----y
Figura 1.11
Figura 1.12
y
então o estado de tensão seria definido por um conjun­
to diferente de componentes de tensão.
Unidades. No Sistema Internacional de Unida­
des de Medidas, ou Sistema SI, os valores da tensão
normal e da tensão de cisalhamento são especificadas
nas unidades básicas de newtons por metro quadrado
(N/m2). Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1
N/m2), é muito pequena, e, em trabalhos de engenha­
ria, são usados prefixos como quilo (103), simbolizado
por k, mega (106), simbolizado por M, ou giga (109),
simbolizado por G, para representar valores de tensão
maiores, mais realistas.*
,� Y
.
X
15
(a)
z
1 .4
Te nsão n o rm a l média e m
u ma ba rra c o m ca rg a axi a l
X
/�y
•
(b)
z
T.\)'
X
(c)
Figura 1.10
y
Frequentemente, elementos estruturais ou mecâni­
cos são compridos e delgados. Além disso, estão sujei­
tos a cargas axiais que normalmente são aplicadas às
extremidades do elemento. Pendurais, parafusos e ele­
mentos de treliças são exemplos típicos. Nesta seção,
determinaremos a distribuição de tensão média que
age na seção transversal de uma barra com carga axial,
como aquela cuja forma geral é mostrada na Figura
1 .13a. Esta seção define a área da seção transversal da
barra e, como todas as outras seções transversais são
iguais, a barra é denominada prismática. Se desprezar­
mos o peso da barra e da seção conforme é indicado,
então, para o equilíbrio do segmento inferior (Figura
1 .13b ), a força resultante interna que age na área da
seção transversal deve ter valor igual, direção oposta
e ser colinear à força externa que age na parte inferior
da barra.
Premissas. Antes de determinarmos a distribui­
ção da tensão média que age sobre a área da seção
transversal da barra, é necessário adotar duas premis­
sas simplificadoras em relação à descrição do material
e à aplicação específica da carga.
' Às vezes, a tensão é expressa em unidades de N/mm', em que
1 mm = 10-3 m. Todavia, o SI não permite prefixos no denomina­
dor de uma fração, portanto é melhor usar a unidade equivalente
1 N/mm2 = 1 MN/m' = 1 MPa.
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
p
p
+
p
( a)
Região de
deformação
uniforme
da barra
Força interna
Área da seção
transversal
Força externa
p
(b)
p
(c)
p
I
z
y
X
p
(d)
É necessário que a barra permaneça reta antes e de­
pois da aplicação da carga; além disso, a seção trans­
versal deve permanecer achatada ou plana durante a
deformação, isto é, durante o tempo em que ocorrer
a mudança no volume e na forma da barra. Se isso
acontecer, as linhas horizontais e verticais da grade
aplicada à bana se deformarão unifom?emente quan­
do a barra for submetida à carga (Figura 1.13c). Não
consideraremos aqui as regiões da barra próximas às
suas extremidades, onde a aplicação das cargas ex­
ternas pode provocar distorções localizadas. Em vez
disso, focalizaremos somente a distribuição de tensão
no interior da seção média da barra.
2. Para que a barra sofra deformação uniforme é ne­
cessário que P seja aplicada ao longo do eixo do
centroide da seção transversal e que o material seja
homogéneo e isotrópico. Materiais Jwmogêneos
têm as mesmas propriedades físicas e mecânicas em
todo o seu volume e materiais isotrópicos têm as
mesmas propriedades em todas as direções. Muitos
Figura 1.13
materiais de engenharia podem ser considerados
homogéneos e isotrópicos por aproximação, como
fazemos neste livro. O aço, por exemplo, contém
milhares de cristais orientados aleatoriamente em
cada milímetro cúbico de seu volume, e, visto que
a maioria dos problemas que envolvem esse mate­
rial tem um tamanho físico muito maior do que um
único cristal, a premissa adotada em relação à com­
posição desse material é bem realista. Entretanto,
devemos mencionar que o aço pode ser transfor­
mado em anisotrópico por laminação a frio (isto é,
se for laminado ou forjado em temperaturas sub­
críticas). Materiais anisotrópicos têm proprieda­
des diferentes em direções diferentes e, ainda que
seja esse o caso, se a anisotropia for orientada ao
longo do eixo da barra, então a barra também se
deformará uniformemente quando sujeita a uma
carga axial. Por exemplo, a madeira, por causa de
seus grãos ou fibras, é um material de engenharia
homogéneo e anisotrópico e, como possui uma
orientação padronizada de suas fibras, ela se pres­
ta perfeitamente à análise que faremos a seguir.
Distri buição da tensão n o rmal m édia. Con­
tanto que a barra esteja submetida a uma deformação
uniforme e constante como j á observamos, essa de- .
formação é o resultado d e uma tensão normal cons­
tante cr, Figura 1 . 13d. O resultado é que cada área
M na seção transversal está submetida a uma força
!::..F = crM, e a soma dessas forças que agem em toda a
área da seção transversal deve ser equivalente à força
resultante interna P na seção. Se fizermos M � dA e,
portanto, !::.F
. � dF, então, reconhecendo que cr é cons­
tante, tem-se
1.
I
=
(T
�I
(1.6)
onde
cr = tensão normal média em qualquer ponto na área
da seção transversal
P = força normal interna resultante, que é aplicada no
centroide da área da seção transversal. P é deter­
minada pelo método das seções e pelas equações
de equilíbrio
A = área da seção transversal da barra
A carga interna P deve passar pelo centróide da se­
ção transversal, visto que a distribuição de tensão uni­
forme produzirá momentos nulos em torno de quais­
quer eixos x e y que passem por esse ponto (Figura
1 .13d). Quando isso ocorre,
TENSÃO
(MR)x = 2-Mx ;
=
1
y(J
(MR)y = 2- My ;
-
1
X O"
O=
dA =
O=
dA =
1 dF
1 dA
-1 x dF
-0"1 x dA
(J
y
=
y
=
Essas equações são, de fato, verdadeiras, uma vez
que, pela definição de centroide, 1y dA O e 1x dA O.
(Veja o Apêndice A.)
==
==
Eq ui líbrio. Deve ser evidente que existe somente
uma tensão normal em qualquer elemento de volume
de material localizado em cada ponto na seção trans­
versal de uma barra com carga axial. Se considerarmos
o equilíbrio vertical do elemento (Figura 1 . 14), então,
aplicando a equação do equilíbrio de forças:
lT( ilA) - lT ' ( IlA) = O
(J = (J '
Em outras palavras, as duas componentes da ten­
são normal no elemento devem ter valores iguais, mas
direções opostas, o que é denominado tensão uniaxial.
A análise anterior aplica-se a elementos suj eitos a
tensão ou compressão, como mostra a Figura 1 .15. Por
interpretação gráfica, a amplitude da força resultante
interna P é equivalente ao volume sob o diagrama de
tensão; isto é, P = O"A (volume = altura x base). Além
disso, como consequência do equilíbrio de momentos,
essa resultante passa pelo centroide desse volume.
Embora essa análise tenha sido desenvolvida para
barras prismáticas, essa premissa pode ser adaptada um
pouco para incluir barras que tenham uma leve conici­
dade. Por exemplo, usando a análise mais exata da teo­
ria ela elasticidade, podemos demonstrar que, no caso de
uma barra cónica de seção retangular cujo ângulo entre
dois lados adjacentes seja 15°, a tensão normal média
calculada por O" = PIA, é somente 2,2% menor que seu
valor determinado pela teoria da elasticidade.
Tensão
normal
média
análise, a força interna
17
máxima.
Em nossa
P e a área da seção transversal
Figura 1.14
p
t
tp
Tensão
J:
u
t
p
Compressão
Figura 1.15
A eram constantes ao longo do eixo longitudinal da
barra e, como resultado, a tensão normal O" = PIA
também é constante em todo o comprimento da barra.
Entretanto, ocasionalmente, a barra pode estar sujeita
a várias cargas externas ao longo de seu eixo ou pode
ocorrer uma mudança em sua área da seção transversal.
O resultado é que a tensão normal no interior da bar­
ra poderia ser diferente de uma seção para outra e, se
quisermos determinar a tensão normal média máxima,
torna-se importante determinar o lugar onde a razão PIA
é um méLYimo. Para isso, é necessário determinar a força
interna P em várias seções ao longo ela barra. Neste caso,
pode ser útil mostrar essa variação por meio de um dia­
grama de força axial ou nonnal. Especificamente, esse
diagrama é uma representação gráfica da força normal
P em relação à posição x ao longo do comprimento da
barra. Como convenção de sinais, P será positiva se cau­
sar tração no elemento e negativa se causar compressão.
Uma vez conhecida a carga interna em toda a barra, en­
tão a razão PIA máxima pode ser identificada.
s edónado, há utna distribuição de fórças que age sobre
em equilíbrio. A intensidade dessa força interna em um
un.ida:de de área. quando a área tende a zero. Por essa definição, o material no
tipo de carga que age sobre o corpo e ela. orientação do elemento
J.elxa.,ae ma:rei'laJ homogêneo e isotrópico e é submetida a uma fórça axial que age
então o material no interior da barra é submetido somente à tensão no r­
uniforme ou média na área da seção transversal.
18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A equação a = PIA dá a tensão normal média na área da seção transversal de um elemento quando a seção é
submetida a uma força normal resultante interna P. Para elementos com carga axial, a aplicação dessa equ ação exige
as etapas descritas a seguir.
Carga interna
•
Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo longitudinal no ponto onde a tensão normal deve ser deter­
minada use o diagrama de corpo livre e as equações de equilíbrio de forças necessárias para obter a força axial
interna P na seção.
e
Tensão normal média
" Determine a área da seção transversal do elemento na seção analisada e calcule a tensão normal média a = PIA.
• Sugerimos que a ação de a seja mostrada sobre um pequeno elemento de volume do material localizado em um
ponto na seção onde a tensão é calculada. Para isso, em primeiro lugar, desenhe na face do elemento coinci­
dente com a área secionadaA.Aqui,a age na mesma direção que a força interna P, uma vez que todas as tensões
normais na seção transversal agem nessa direção para desenvolverem essa resultante. A tensão normal a que age
na face oposta do elemento pode ser desenhada em sua direção adequada.
a
das seções na Figura 1.16b; o diagrama de força normal que
representa esses resultados graficamente é mostrado na Fi­
gura 1.16c. Por inspeção, a maior carga está na região BC,
A barra na Figura 1.16a tem largura constante de 35 mm onde
30 kN. Visto que a área da seção transversal da
e espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média barra PéBcconstante,
maior tensão normal média também
máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. ocorre dentro dessaaregião.
SOLUÇÃO
Tensão normal média. Aplicando a Equação 1.6, temos
Carga interna. Por inspeção, as forças internas axiais nas
30(103 )N
PBc
regiões AB, BC e CD são todas constantes, mas têm valores
=
=
a
c
B
A (0,035 m)(0,010 m) = 85 '7 MPa
diferentes. Essas cargas são determinadas usando o método
=
Resposta
12 kN
12 kN
12 kN
A distribuição de tensão que age sobre
uma seção transversal arbitrária da barra dentro da região
BC é mostrada na Figura 1.16d. Graficamente, o volume (ou
"bloco") representado por essa distribuição é equivalente à
carga de 30 kN; isto é, 30 kN (85,7 MPa)(35 mm)(10 mm).
OBSERVAÇÃO:
�
(a)
�� Psc � 30 kN
PAn � l2 kN
=
9 kN
9 kN
PcD � 22 kN
�r-)��-�
(b)
� 22kN
I
(c)
A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB
e BC, como mostra a Figura 1.17a. Se AB tiver diâmetro de
10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão
normal média em cada haste.
SOLUÇÃO
Carga interna Em primeiro lugar, devemos determinar a
força axial em cada haste. A Figura 1.17b mostra um diagra­
ma de corpo livre da luminária. Aplicando as equações de
equilíbrio de forças, obtemos
+ "V F = O ·
FBC(.:!.) FB A cos 60° = o
-+""'
+ j2:FY = O; F8c(f) + F8A sen 60° - 784,8 N O
X
'
5
=
Figura 1.16
FBC= 395,2 N, FBA = 632,4 N
TENSÃO
19
A peça fundida mostrada na Figura 1.18a é feita de aço,
cujo peso específico é 'Yaço = 80 kN/m3• Determine a tensão
de compressão média que age nos pontos A e B.
z
(a)
X
(a )
8,05 MPa
0.
8,05 MPa
(d)
Figura 1.17
Pela terceira lei de Newton, a qual diz que a cada ação cor­
responde uma reação igual em sentido contrário, essas forças
submetem as hastes à tensão em todo o seu comprimento.
Tensão normal média. Aplicando a Equação 1.6, temos
-3-9-5''-2-N-----c:- = 7'86 MPa Resposta
(]' lJC =
A ac
1r(0,004 m ?
Resposta
OBSERVAÇÃO: A distribuição de tensão normal média
que age sobre uma seção transversal da haste AB é mos­
trada na Figura l. 1 7c, e, em um ponto nessa seção transver­
sal, um elemento de material sofre tensão, como mostra a
Figura 1.17d.
64 kN/m2
(c)
(b)
Figura 1.18
SOLUÇÃO
A Figura 1.18b mostra um diagrama de
corpo livre do segmento superior da peça fundida onde a
seção passa pelos pontos A e B. O peso desse segmento é
determinado por Waço = 'YaçoVaço' Assim, a força axial interna
P na seção é 2;i.Fz = O;
P - Waço = O
P - (80 kN/m3)(0,8 m)1r(0,2 m)2 = O
P = 8,042 kN
Tensão de compressão média. A área da seção transver­
sal na seção é A 1r(0,2 m)2, portanto a tensão de compressão
média torna-se
Carga interna.
=
20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(F
= _8_:__,0_42_kN_2
1r(0,2 m)
= 64,0 kN!m2
=
p
A
Resposta
A tensão mostrada no elemento de volume
de material na Figura 1.18c é representativa das condições no
ponto A ou no ponto B. Observe que essa tensão age para
cima na parte inferior ou face sombreada do elemento, já que
essa face faz parte da área da superfície inferior da seção cor­
tada e, nessa superfície, a força resultante interna P está em­
purrando para cima.
OBSERVAÇÃO:
e x. Para resolver este problema, trabalharemos em unidades
newtons e milímetros.
(1)
+j"i,Fy = O'·
FAB + FC - 3.000 N = o
(2)
),+"i,MA = O; -3.000 N(x) + Fc(200 mm) = O
Tensão normal média. Podemos escrever uma terceira
equação necessária, a qual exige que a tensão de tração na
barra AB e a tensão de compressão em C sejam equivalentes,
isto é,
cr = 400Fmm2 = 650Fmm2
F = 1,625F
Substituindo essa expressão na Equação 1, resolvendo para
FAB e, então, resolvendo para Fc, obtemos
FAB = 1 . 143 N
FC = 1.857 N
A posição da carga aplicada é determinada pela Equação 2,
Resposta
x = 124 mm
OBSERVAÇÃO: O < x < 200 mm, como exigido.
c
O elemento AC mostrado na Figura 1.19a está submetido
a uma força vertical de 3 kN. Determine a posição x dessa for­
ça de modo que a tensão de compressão média no apoio liso C
seja igual à tensão de tração média na barra AB. A área da se­
ção transversal da barra é 400 mm2 e a área em C é 650 mm2•
c
AB
1 .5
AB
Tensão d e cisa l h a m ento
média
( a)
A
A tensão d e cisalhamento foi definida na Seção 1 .3
como a componente da tensão que age no plano da área
secionada. Para mostrar como essa tensão pode desenvol­
ver-se, consideraremos o efeito da aplicação de uma força
F à barra na Figura 1 .20a. Se considerarmos apoios rígidos
e F suficientemente grande, o material da barra irá defor­
mar-se e falhar ao longo dos planos identificados por AB
e CD. Um diagrama de corpo livre do segmento central
não apoiado da barra (Figura 1 .20b) indica que a força de
cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada a cada seção para
manter o segmento em equihbrio. A tensão de cisalha­
mento média distribuída sobre cada área secionada que
desenvolve essa força de cisalhamento é definida por
(1.7)
(b)
Figura 1.19
SOLUÇÃO
Carga interna. As forças em A e C podem ser relaciona­
das considerando-se o diagrama de corpo livre para o ele­
mento AC (Figura 1.19b ). Há três incógnitas, a saber, FAB' Fc
Nessa expressão,
rméct = tensão de cisalhamento média na seção, que
consideramos ser a mesma em cada ponto
localizado na seção
V = força de cisalhamento interna resultante na se­
ção determinada pelas equações de equilíbrio
A = área na seção
TENSÃO
(a)
( a)
F
21
F
Tméd
v
(b)
v
(b)
(c)
F
Figura 1.20
A ação da distribuição da tensão de cisalhamento
média sobre as seções é mostrada na Figura 1 .20c. Ob­
serve que rméd está na mesma direção de V, uma vez
que a tensão de cisalhamento deve criar forças associa­
das e que todas elas contribuem para a força resultante
interna V na seção analisada.
O caso de carregamento discutido na Figura 1 .20 é um
exemplo de cisalhamento simples ou direto, visto que o
cisalhamento é causado pela ação direta da carga aplica­
da F. Esse tipo de cisalhamento ocorre frequentemente
em vários tipos de acoplamentos simples que utilizam pa­
rafusos, pinos, material de solda etc. Todavia, em todos es­
ses casos, a aplicação da Equação 1.7 é apenas uma apro­
ximação. Uma investigação mais exata da distribuição
da tensão de cisalhamento na seção crítica revela, muitas
vezes, que ocorrem tensões de cisalhamento no material
muito maiores do que as previstas por essa equação. Em­
bora isso possa acontecer, a aplicação da Equação 1 .7 é,
de modo geral, aceitável para muitos problemas de en­
genharia envolvendo projeto e análise. Por exemplo, as
normas de engenharia permitem sua utilização para o
cálculo das dimensões de elementos de fixação como
parafusos e para obtenção da resistência de fixação de
juntas sujeitas a cargas de cisalhamento. A propósito, dois
tipos de cisalhamento que ocorrem frequentemente na
prática merecem tratamento separado.
�
As j untas de aço e
mad�tra mostradas nas Figuras 1 .2 1 a e 1 .21c, res­
p� cttvamente, são exemplo s de acoplam entos de
�tsalhamento simples normalmente denomin ados
]Untas sobrepostas. Nesse caso, conside raremos que
o � elem�ntos são finos e que a porca na Figura 1.21a
.
nao esta mUito
apertada , o que nos permite des­
prezar o atrito entre os element os. Se fizermos um
cort e entre os elemento s, obteremo s os diagrama s
Cisa hament o s i m p l es .
F
(c)
F
(d)
Figura 1.21
de corpo livre mostrados nas Figuras 1 .21b e 1 .21d.
Sendo os elementos finos, podemos desprezar o mo­
mento criado pela força F. Por consequência, para
equilíbrio, a área da seção transversal do parafuso
na Figura 1 .21b e a superfície de fixação entre os ele­
mentos na Figura 1.21d estão sujeitas somente a uma
única força de cisalhamento simples V = F. Essa for­
ça é usada na Equação 1 .7 para determinar a tensão
de cisalhamento média que age na seção mais clara
da Figura 1 .21d.
Cisa l h a m ento d u p l o . Quando a junta é cons­
truída como mostra a Figura 1 .22a ou 1.22c, duas super­
fícies de cisalhamento devem ser consideradas. Esses
tipos de acoplamentos são normalmente denominados
juntas de dupla superposição. Se fizermos um corte en­
tre cada um dos elementos, os diagramas de corpo li­
vre do elemento central serão como os mostrados nas
22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
z
Plano da seção
2
(a)
(b)
F
Cisalhamento puro
X
(a)
(b)
Figura 1.23
momento
F
2
r---1
��ea
�
força braço distância
'SMx = O ;
(d)
(c)
Figura 1.22
Figuras 1 .22b e 1.22d. Temos aqui uma condição de ci­
salhamento duplo. Por consequência, V = F/2 age so­
bre cada área secionada, e esse cisalhamento deve ser
considerado quando aplicarmos rméct = VIA .
Eq u i l íbrio. Considere um elemento de volume de
material tomado em um ponto localizado na superfície
de qualquer área secionada na qual age uma tensão de
cisalhamento média (Figura 1 .23a). Se considerarmos
o equilíbrio de forças na direção y, então
força
li
tensão área
n
rzy ( � x � y ) - r�y � x � y = O
r zy = r�y
De modo semelhante, o equilíbrio de forças na di­
reção z dá como resultado ryz = r'yz . Por fim, considerando os momentos em torno do eixo x,
t
-rzy ( � x � y ) �z + ryz ( � x �z) � y = O
de modo que
rzy = r' zy = r'yz = ryz = r
Em outras palavras, o equilíbrio de forças e mo­
mentos exige que a tensão de cisalhamento que age
sobre a face superior do elemento sej a acompanha­
da por tensões de cisalhamento que agem sobre as
três outras faces (Figura 1 .23b ). Nesse caso, todas as
quatro tensões de cisalllamento devem ter valores
iguais e serem direcionadas no mesmo sentido ou
em sentido oposto uma das outras nas bordas opos­
tas do elemento. Isso é denominado propriedade
complementar do cisalhamento e, sob as condições
mostradas na Figura 1 .23, o material está submetido
a cisalhamento puro.
Embora aqui tenhamos considerado um caso de ci­
salhamento simples provocado pela ação direta de uma
carga, em capítulos posteriores mostraremos que a ten­
são de cisalhamento também pode surgir indiretamen­
te devido à ação de outros tipos de carga.
'
I.
1
I
,'�' \S� duas peçasflnps ou pequenas.forem mterconectadas, as C�rgíls aplicadas>podempro"\IQC?J; o,.cisal�amento do,111a�
..te�iatJ<Oll1 f1exãq despre;zív�l.Càsqisso ocorta� � adequad<?•. .e� g�ral" que: a . mut.Us.e ci<:l,Projetç:rfon�idere,qlJ,e Upla
7; ., tf��âQ dt:,qisallurmento,ntédia age s obrt}a área da SeÇã()tra,q.sv��saL • . . · . ···•· •.· •.•. .
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.
•
,
'
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·
•
·
.
·
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sul'17r(fcie� W:t�rco�e�tad�s. q desenh� ád�quad? de um dia�rama.de corpo livre de um ségmenrodo eléínentó de
.tixação.n'bs perm:ítirá ohter a ihtettskfade e 'à �iréção dessa força.
� �
·
.
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dé�
•.
.
.
·
•
.
. ·. ...
·
.
.
.·
f!
1
,
•
TENSÃO
23
VIA é u tiliz ad a para calcular somente a tensão de cisalhamento média no material, e sua aplica­
A e quação 7méd
ção deve obedecer às etapas descrit as a seguir.
==
Cisalh amento intern o
•
•
Secione o elemento no ponto onde a tensão de cisalhamento média deve ser determinada.
Faça o diagrama de corpo livre adequado e calcule a força de cisalhamento interna V que age na seção que é
necessária para manter a peça em equilíbrio.
Tensão de cisalhamento média
ermine a área secionada A e calcule a tensão de cisalhamento média 7méd = VIA.
" Sugerimos que 7méd seja mostrada sobre um pequeno elemento de volume do material localizado em um ponto
da seção onde a tensão é determinada. Para tanto, em primeiro lugar, represente 7méd na face do elemento coin­
cidente com a área secionada A. Essa tensão de cisalhamento age na mesma direção de V. Então, as tensões
• D et
de cisalhamento que agem sobre os três planos adjacentes podem ser desenhadas em suas direções adequadas,
conforme o esquema mostrado na Figura 1.23.
S*ie5Nfll1Gm � . � (!)
Oc0<
"'�
SOLUÇÃO
Parte (a)
A barra mostrada na Figura 1.24a tem área de seção Carga interna. A barra é secionada (Figura 1.24b ), e a car­
transversal quadrada com 40 mm de profundidade e lar­ ga interna resultante consiste somente em uma força axial
gura. Se uma força axial de 800 N for aplicada ao longo do para a qual P = 800 N.
eixo que passa pelo centroide da área da seção transversal Tensão média. A tensão normal média é determinada
da barra, determine a tensão normal média e a tensão de pela Equação 1.6.
cisalhamento média que agem no material ao longo do (a)
plano de seção a-a e do (b) plano de seção b-b.
800 N
P
u = A = Resposta
(0-,0-4_m_)_(0-,0-4-m-) = 500 kPa
800
( a)
P = 800 N
SOO N
(b)
(c)
�>
375 kPa
x'
( d)
Figura 1.24
( e)
24
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Não existe nenhuma tensão de cisalhamento na seção,
visto que a força de cisalhamento na seção é zero.
=O
Resposta
7méd
A distribuição da tensão normal média na
seção transversal é mostrada na Figura 1.24c.
OBSERVAÇÃO:
Parte (b)
Carga interna.
Se a barra for secionada ao longo de b-b ,
o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado
na Figura 1.24d. Neste caso, a força normal (N) e a força de
cisalhamento (V) agem na área secionada. A utilização dos
eixos x, y resulta
+ "i,F = O·
-800 N + N sen 60° + V cos 60° = O
+ j!Fy = o'·
V sen 60° - N cos 60° = O
ou, mais diretamente, utilizando os eixos x ' , y ' ,
+'-,."i,F,. = O;
N - 800 N cos 30° = O
+/'" Fy' = o·'
V - 800 N sen 30° = O
Resolvendo qualquer conjunto de equações,
N = 692,8 N
V = 400 N
Tensões médias. Neste caso, a área secionada tem espessura
e profundidade de 40 mm e 40 mm/sen 60° = 46,19 respec­
tivamente (Figura 1.24a). Portanto, a tensão normal média é
X
�
S kN
>
(b)
(a)
V = 2,5 kN
63,7 MPa
"-r
5 kN �
Força da haste
sobre a escora
mm,
u
692,8 N _ = 375 kPa
=N
=
_
_
_
_
A ( 0,04 m )_(0'-,0-4-61_9 m_)
-
(d)
(c)
Resposta
e a tensão de cisalhamento média é
Tméd =
V
400 N
A = (0,04 m)(0,04619 m) = 217 kPa
OBSERVAÇÃO:
Figura 1.24e.
Resposta
S kN
A distribuição das tensões é mostrada na
(e)
Figura 1.25
Tensão de cisalhamento média.
Para a haste,
V
5.000 N
A = 7T (0,005 m) = 63,7 MPa
A escora de madeira mostrada na Figura 1.25a está sus­
pensa por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está
presa na parede. Considerando que a escora suporta uma
carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento mé­
dia na haste na parede e ao longo dos dois planos sombrea­
dos da escora, um dos quais é indicado como abcd.
Tméd =
SOLUÇÃO
OBSERVAÇÃO: A distribuição da tensão de cisalhamento
média no segmento secionado de haste e escora é mostrada
nas figuras 1.25d e 1.25e, respectivamente. Além disso, essas
figuras mostram um elemento de volume típico do material
tomado em um ponto localizado na superfície de cada seção.
Observe cuidadosamente como a tensão de cisalhamento
deve agir em cada face sombreada desses elementos e, então,
nas faces adjacentes dos elementos.
Como mostra o diagrama de
corpo livre na Figura 1 .25b, a haste resiste à força de ci­
salhamento de 5 kN no local em que está presa à pare­
de. A Figura 1.25c mostra um diagrama de corpo livre do
segmento secionado da escora que está em contato com a
haste. Aqui, a força de cisalhamento que age ao longo de
cada plano sombreado é 2,5 kN.
Cisalhamento interno.
2
Para a escora,
2.500 N
V=
Tméd =
A (0,04 m)(0,02 m) - 3 ' 12 MPa
Resposta
Resposta
TENSÃO
O elemento inclinado na Figura 1.26a está submetido a
uma força de compressão de 3.000 N. Determine a tensão
de compressão média ao longo das áreas de contato lisas
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao
longo do plano horizontal definido por EDB.
25
+ �p = O·'
FAB - 3. 000 N(t)= o
FAB = 1. 800 N
+j'i.F = O'·
FBC - 3.000 N(�)= o
FBC = 2.400N
Além disso, pelo diagrama de corpo livre do segmento
superior do elemento inferior (Figura 1.26c), a força de cisa­
lhamento que age no plano horizontal secionado EDB é
� X
)'
V = 1.800N
As tensões de compressão médias ao longo
dos planos horizontal e vertical do elemento inclinado são
Tensão média.
1.800N
(25 mm)(40 mm) = l,80N/mm
2.400N
(50mm)(40mm) = l,ZON/mm
Resposta
2
2
Resposta
Essas distribuições de tensão são mostradas na Figura 1.26d.
A tensão de cisalhamento média que age no plano hori­
zontal definido por EDB é
Tméd
(a)
N
1.800 N - 0,60 N/mm
= (75 mm
)(40 mm)
_
2
Resposta
A distribuição dessa tensão na área secionada em ques­
tão é mostrada na Figura 1.26e.
.800 N
(c)
1.34. A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN
aplicada no centroide da área da seção transversal. Deter­
mine a tensão normal média que age na seção Mostre
como fica essa distribuição de tensão sobre a seção trans­
versal da área.
a-a.
(b)
8 kN
a
(d)
Figura 1.26
SOLU ÇÃO
�ar�as internas. O diagrama de corpo livre do elemento
l�clmado
é mostrado na Figura 1.26b. As forças de compres­
sao que agem nas áreas de contato são
Problema 1.34
26
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de
3 kN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm, determine a tensão
média de cisalhamento no pino.
1.35.
500 N
�
�
T
6 mm
200 N
t
Problema 1.37
1.38. O pequeno bloco tem espessura de 5 mm. Se a dis­
tribuição de tensão no apoio desenvolvida pela carga variar
Problema 1.35
como mostra a figura, determine a força F aplicada ao bloco
e a distância d até o ponto onde ela é aplicada.
''1.36. Durante uma corrida, o pé de um homem com mas­
sa 75 kg é submetido momentaneamente a uma força equi­
valente a 5 vezes o seu peso. Determine a tensão normal
média desenvolvida na tíbia T da perna desse homem na
seção média A seção transversal pode ser considerada
circular, com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro inter­
no de 25 mm. Considere que a fíbula F não está suportando
nenhuma carga.
3 kN
a-a.
40 MPa
Pmblema 1.38
A alavanca está presa ao eixo fixo por um pino cônico
AB, cujo diâmetro médio é 6 mm. Se um binário for aplicado
à alavanca, determine a tensão de cisalhamento média no
pino entre ele e a alavanca.
1.39.
12 mm
75 gN
Problema 1.36
O mancai de encosto está sujeito às cargas mostradas.
Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções
transversais que passam pelos pontos B, C D. Faça um ras­
cunho dos resultados sobre um elemento de volume infinite­
simal localizado em cada seção.
1.37.
e
250 mm
20 N
�
250 mm
Problema 1.39
20 N
TENSÃO
O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na
figura. Se o material falhar quando a tensão normal média
atingir 0,840 MPa, determine a maior carga vertical P aplica­
da no centro que ele pode suportar.
1.41. O bloco de concreto tem as dimensões mostradas na
figura. Se ele for submetido a uma força P = 4 kN aplicada
em seu centro, determine a tensão normal média no mate­
rial. Mostre o resultado sobre um elemento de volume infi­
nitesimal do material.
'1.40.
27
O eixo está sujeito à força axial de 30 kN. Se ele passar
pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, deter­
mine a tensão no mancal que age sobre o colar C. Determine
também a tensão de cisalhamento média que age ao longo
da superfície interna do colar no ponto onde ele está acopla­
do ao eixo de 52 mm de diâmetro.
1.45.
40 mm
Problema 1.45
Os dois elementos de aço estão interligados por uma
solda de topo angulada de 60°. Determine a tensão de ci­
salhamento média e a tensão normal média suportada no
plano da solda.
1.46.
A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de
aço interligadas por um anel em A. Determine qual das has­
tes está submetida à maior tensão normal média e calcule
seu valor. Considere () = 30°. O diâmetro de cada haste é
dado na figura.
1.42.
Resolva o Problema 1.42 para () = 45°.
�
�('----.-+d-'-''·-------'� 8
25 mm
Problemas 1.40/41
8 kN
kN
I
60°
30 mm
Problema 1.46
O gancho é usado para sustentar o tubo de tal modo
que a força no parafuso vertical é 775 N. Determine a tensão
'"1.44. A luminária de 250 N é sustentada por três hastes
normal média desenvolvida no parafuso BC se ele tiver diâ­
de aço interligadas por um anel em A. Determine o ângulo metro de 8 mm. Considere que A seja um pino.
de orientação () de AC de modo que a tensão normal média
na haste AC seja duas vezes a tensão normal média na haste
775 N
AD. Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâ­
metro de cada haste é dado na figura.
1.43.
1.47.
40 mm 30 mm
Problema 1.47
A prancha de madeira está sujeita a uma força de
tração de 425 N. Determine a tensão de cisalhamento média
*1.48.
Problemas 1.42/43/44
28
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
e a tensão normal média desenvolvidas nas fibras da madeira *1.52. A junta está submetida a uma força axial de 5 kN.
orientadas ao longo da seção a-a a 15° em relação ao eixo Determine a tensão normal média que age nas seções AB
e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de
da prancha.
espessura.
a
425 N
�
a
Problema 1.48
A junta de topo quadrada aberta é usada para trans­
mitir uma força de 250 N de uma placa a outra. Determi­
ne as componentes da tensão de cisalhamento média e da
tensão normal média que essa carga cria na face da solda,
seção AB.
1.49.
5 kN
Problema 1.52
1.53. O garfo está sujeito a força e a um binário. Determi­
ne a tensão de cisalhamento média no parafuso que age nas
seções transversais que passam por A e B. O parafuso tem 6
mm de diâmetro. Dica: O binário sofre a resistência de um
conjunto de forças desenvolvidas na haste do parafuso.
Problema 1.49
1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um
ângulo de 52° sob uma carga axial de 100 kN. Se o diâmetro
do corpo de prova for 12 mm, determine a tensão de cisalha­
mento média e a tensão normal média que agem na área do
plano de falha inclinado. Determine também qual a tensão
normal média em atuação sobre a seção transversal quando
ocorreu a falha.
Problema 1.53
1.54. Os dois elementos usados na construção da fuselagem
de um avião estão interligados por uma solda em boca-de­
-peixe a 30°. Determine a tensão de cisalhamento média e a
1.51. Um corpo de prova sob tração com área de seção
transversal A é submetido a uma força axial P . Determine a tensão normal média no plano de cada solda. Considere que
tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e cada plano inclinado suporta uma força horizontal de 2 kN.
indique a orientação (} de uma seção na qual ela ocorre.
Problema 1.50
37,5 mm
p
4 kN
Problema 1.51
4 kN
Problema 1.54
TENSÃO
1.55. Os grampos na fileira AB contida no grampeador es­
tão colados de modo que a tensão de cisalhamento máxima
que a cola pode suportar é (Jmáx = 84 kPa. Determine a força
mínima F que deve ser aplicada
ao êmbolo para extrair um
grampo da fileira por cisalhamento e ?ermi�r que ele saia
sem deformação pela fenda em C. As d1mensoes externas do
grampo são mostradas na figura, e a espessura é 1,25 mm.
Considere que todas as outras partes são rígidas e despreze
o atrito.
01
1mA�========�c=======���
07
p
F
7.s f0n
1,12,5 mm I
29
,
5P
Problemas 1.58/59
O tampão é utilizado para vedar a extremidade do
tubo cilíndrico que está sujeito a uma pressão interna p =
650 Pa. Determine a tensão de cisalhamento média que a
cola exerce sobre os lados do tubo necessária para manter
o tampão no lugar.
*1.60.
0
1mm
l
Problema 1.55
Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm,
respectivamente. Se for aplicada uma carga de 8 kN ao anel
em B, determine a tensão normal média em cada haste se
(} = 60°.
4
'1.56.
Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm,
Problema 1.60
respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao
anel em B, determine o ângulo (} da haste BC de modo que 1.61. O alicate de pressão é usado para dobrar a extremi­
a tensão normal média em cada haste seja equivalente. Qual dade do arame E. Se uma força de 100 N for aplicada nas
é essa tensão?
hastes do alicate, determine a tensão de cisalhamento média
no pino em A. O pino está sujeito a cisalhamento duplo e
tem diâmetro de 5 mm. Somente uma força vertical é exer­
cida no arame.
1.57.
Resolva o Problema 1. 6 1 para o pino B, o qual está
sujeito a cisalhamento duplo e tem 5 mm de diâmetro.
1.62.
lOO N
B
S kN
Problemas 1.56/57
1.58, Cada uma das barras da treliça tem área de seção
transversal de 780 m m2• Determine a tensão normal média
em cada elemento resultante da aplicação da carga P = 40
kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão.
Cada uma das barras da treliça tem área de seção
transversal de 780 m m2• Se a tensão normal média máxima
em qualquer barra não pode ultrapassar 140 MPa, determi­
ne o valor máximo P das cargas que podem ser aplicadas
à treliça.
1.59.
lOO N
Problemas 1.6l/62
1.63. A lâmpada de engate do vagão ferroviário é sustenta­
da pelo pino de 3 mm de diâmetro em A. Se a lâmpada pesar
20 N e o peso do braço extensor AB for 8 N/m, determine a
tensão de cisalhamento média no pino necessária para sus­
tentar a lâmpada. Dica: A força de cisalhamento no pino é
causada pelo binário exigido para o equilíbrio em A.
30
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
�+------ 900 mm ------�
na barra como mostra a figura, escreva um código compu­
tacional que possa ser usado para determinar a tensão nor­
mal média em qualquer localização especificada Mostre
uma aplicação do programa usando2os valores L1 1,2 m,
d
1.2 875mm ,L2 0,6 m,d2 1,8 m,
1 2kN,A1
P12 0,-1,56 m,P
625
mm
•
kN,A
2
x.
32 mm
=
Problema 1.63
estrutura de dois elementos está sujeita a um car­
regamento distribuído mostrado. Determine a tensão nor­
mal média e a tensão de cisalhamento média que agem nas
seções
seção transversal
CE tem 35 emm. Considere
8 kN/m.quadrada do elemento
=
=
=
=
=
=
=
*1.64. A
a-a
b-b. A
w =
Problema 1.66
A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto
BC. Se P 15 kN, determine a tensão de cisalhamento mé­
dia desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos estão
sujeitos
a cisalhamento
duplo, como mostra a figura, e cada
um tem diâmetro
de 18 mm.
*1.68.
vigao valor
é apoiadaporumpinoemA
máximo P das cargas queeumelocurtoBC.
a viga suportará
Determine
se a tensão de cisalhamento média em cada pino não puder ul­
trapassar 80 MPa. Todos os pinos sofrem cisalhamento duplo,
como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18 mm.
1.67.
=
A
4P
w
Problema 1.64
O elemento A da junta escalonada de madeira usada
na treliça está submetido a uma força de compressão de 5
kN.
Determine
tensão normal
age na haste
pendurai
C coma diâmetro
de 10 média
mm e que
no elemento
B comdo
espessura de 30 mm.
1.65.
4P
�B
A
Problemas 1.67/68
1.69.
estrutura está sujeita a carga de 1 kN. Determine
a tensão de cisalhamento média no parafuso em A em fun­
ção
da barra e. Represente essa função em gráfico
paradoO ângulo
e 90° e indique os valores de e para os quais essa
tensão é mínima. O parafuso tem diâmetro de 6 mm e está
sujeito a cisalhamento simples.
A
:::;
:::;
A
f
0,15 m
----+�- 0,45 m
Problema 1.65
111.66. Considere o problema geral de uma barra composta
por m segmentos, cada um deles com área de seção trans­
versal constante A, e comprimento Lm. Se houver cargas
n
1 kN
Problema 1.69
TENSÃO
O guindaste giratório está preso por um pino em A e
deslocar-se
orta umda montacargas
sup
ao longo
fiange inferiordedacorrente
viga, 0,3que
m :Spode
x :S 3,6 m. Se a
capacidade
do guindaste
7,5
kN, determinede acarga
tensãonominal
normalmáxima
média máxima
na barrafor BC
de 18 mm de diâmetro e a tensão de cisalhamento média
máxima no pino de 16 mm de diâmetro em B.
1.70.
31
A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m2 •
Se ela estiver
sujeitade aseuumacomprimento
carga axiale distribuída
memente
ao longo
a duas cargasunifor­
con­
centradas
como
mostra
a
figura,
determine
a
tensão
normal
média na barra em função de x para O < x :S 0,5 m.
1.74. A área da seção transversal da barra é 400(10-6) m2 •
Se ela estiver sujeita a uma carga axial distribuída unifor­
memente ao longo de seu comprimento e a duas cargas con­
centradas como mostra a figura, determine a tensão normal
média na barra em função de x para 0,5 m < x :S 1,25 m.
1.73.
( S kN/m 6kN
w=
-
- --
- - '4- - - - -
-:-r
o 75 m----[1
0,5 m ----j1�
3 kN
,
Problemas 1.73/74
A coluna é feita de concreto de densidade 2,30 Mg/m3
esuaestáextremidade
sujeita a umasuperior
força B.deDetermine
compressãoa tensão
axial denormal
15 kNmé­
em
dia na coluna em função da distância medida em relação
à base. Observação: por causa da deformação localizada nas
extremidades,
o resultado servirá apenas para determinar a
tensão normal média em uma seção removida das extremi­
dades da coluna.
1.75.
f----- 3 m -------1
Problema 1.70
A batTa tem área de seção transversal A e está submeti­
da à carga axial P. Detetmine a tensão normal média e a tensão
média que agem na seção sombreada que está
de cisalhamento
orientada
a
um
ângulo
relaçãoemàfunção
horizontal.
em
gráfico a variação dessas8 emtensões
de 8 (ORepresente
:S 8 :S 90°).
1.71.
z
I 15kN
z
Problema 1.71
A lança tem peso uniforme de 3 kN e é alçada até a
posição
desejada
por meio do cabo BC. Se o cabo tiver diâme­
tro
de
15
mm,
construa
um gráfico da tensão normal média no
cabo em função da posição
da larH(a 8 para oo :S 8 :S 90°.
'1 .72.
y
X
Problema 1.75
'1.76. A estrutura de dois elementos está sujeita à carga
distribuída mostrada. Determine a maior intensidade da
carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura sem que a
tensão normal média ou a tensão de cisalhamento média na
seção b-b ultrapasse 15 MPa e 16 MPa, respectiva­
mente. O elemento CB tem seção transversal quadrada de
30 mm de lado.
w
u
Problema 1.72
=
r =
32
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
B
1.79. A barra uniforme com área da seção transversal A e
massa por unidade de comprimento m está apoiada por um
pino em seu centro. Se ela girar no plano horizontal a uma
velocidade angular constante determine a tensão normal
média na barra em função de x.
w,
Problema 1.79
Problema 1. 76
O pedestal suporta uma carga P em seu centro. Se a den­
sidade de massa do material for determine a dimensão radial
em função dez de modo que a tensão normal média no pedes­
tal permaneça constante. seção transversal é circular.
1.77.
p,
r
A
p
Problema 1.77
O raio do pedestal é definido por (O,Se-0•08Y') m,
onde é dado em metros. Se o material tiver densidade de
2,5 Mg/m3, determine a tensão normal média no apoio.
1.78.
r =
y
1 .6
Tensão a d m i ssível
Um engenheiro responsável pelo projeto de um
elemento estrutural ou mecânico deve restringir a ten­
são atuante no material a um nível seguro. Além disso,
uma estrutura ou máquina em uso contínuo deve ser
analisada periodicamente para que se verifique quais
cargas adicionais seus elementos ou partes podem su­
portar. Portanto, vale repetir, é necessário fazer os cál­
culos usando-se uma tensão segura ou admissível.
Para se garantir a segurança, é preciso escolher
uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a
um valor menor do que a carga que o elemento pode
suportar totalmente. Há várias razões para isso. Por
exemplo, a carga para a qual o elemento é projetado
pode ser diferente das cargas realmente aplicadas. As
dimensões estipuladas no projeto de uma estrutura ou
máquina podem não ser exatas, na realidade, por causa
de erros de fabricação ou cometidos na montagem de
seus componentes. É possível ocorrer problemas com
vibrações, impactos ou cargas acidentais desconheci­
das, que não tenham sido contemplados no projeto.
Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste pro­
vocado por exposição a intempéries tendem a deterio­
rar os materiais em serviço. Por fim, as propriedades
mecânicas de alguns materiais como madeira, concre­
to ou compósitos reforçados com fibras podem apre­
sentar alta variabilidade.
Um método para especificação da carga admissível
para o projeto ou análise de um elemento é o uso de
um número denominado fator de segurança. O fator
de segurança (FS) é a razão entre a carga de ruptura,
Frup, e a carga admissível, Fadm Neste contexto, Fruf é
determinada por ensaios experimentais do materia , e
o fator de segurança é selecionado com base na ex­
periência. Assim, podemos confiar que as incertezas
mencionadas foram consideradas e que o fator de se­
gurança será válido para a utilização do elemento em
condições semelhantes de carga e geometria. Em lin­
guagem matemática,
•
Problema 1.78
·
TENSÃO
p
p
a
a
33
Tensão normal uniforme
f O'adm
�i�liiiil
A = -­
(a )
p
<Tactm
(b)
Figura 1.27
FS
=
1 .7
Frup
F adm
(1.8)
Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente
relacionada com a tensão desenvolvida no interior do
elemento, como no caso da utilização de = PIA e
méd = VIA, então podemos expressar o fator de segua-
rança como a razao entre a tensa o de ruptura a-rup ( ou
) e a tensão admissível (Jadm (ou 'Tadm) ;* isto é,
'T
rup
r
-
_
FS
=
crrup
cradm
(1.9)
P rojeto d e acoplamentos
simples
Adotando-se premissas simplificadoras e m relação
ao comportamento do material, as equações a- = PIA e
r . = VIA geralmente podem ser usadas para projetar
med
um acoplamento simples ou um el emento mecamco.
Em particular, se um elemento estiver submetido a
uma força normal em uma seção, a área de seção exigi­
da é determinada por
A
A = -p
cractm
ou
FS
=
'Trup
'Tadm
(1.10)
Em qualquer dessas equações o fator de seguran­
ça escolhido é maior que 1 , para evitar o potencial de
falha. Valores específicos dependem dos tipos de ma­
teriais usados e da finalidade pretendida da estrutura
ou máquina. Por exemplo, o FS utilizado no projeto
dos componentes de um avião ou de veículos espaciais
pode estar próximo de 1, de modo a reduzir o peso do
veículo. Por outro lado, no caso de uma usina nuclear,
o fator de segurança para alguns de seus componen­
tes pode chegar a 3, visto que podem existir incertezas
no carregamento ou no comportamento do material.
Todavia, em geral, os fatores de segurança e, portanto,
as cargas ou tensões admissíveis para elementos es­
truturais e mecânicos estão bem padronizados, j á que
as incertezas envolvidas em seu projeto foram razoa­
velmente avaliadas. Seus valores, os quais podem ser
encontrados em normas de projeto e manuais de enge­
nharia, pretendem manter um equilíbrio entre garantir
a segurança pública e ambiental e oferecer soluções de
projeto econômicas e razoáveis.
•·
Em alguns casos, como em colunas, a carga aplicada não está li­
nearmente relacionada com a tensão e, portanto, somente a
Equação 1.8 pode ser usada para determinar o fator de seguran­
ça. Ver Capítulo 13.
•
(1.11)
Por outro lado, se a seção estiver sujeita a uma for­
ça de cisalhamento, então a área de seção exigida é
A=
v
'T adm
(1.12)
Como discutido na Seção 1.6, a tensão admissível
usada em cada uma dessas equações é determinada
pela aplicação de um fator de segurança a uma tensão
normal ou de cisalhamento especificada ou pela ob­
tenção dessas tensões diretamente de uma norma de
projeto adequada.
Agora, discutiremos quatro tipos comuns de pro­
blemas em cuj o projeto as equações citadas podem ser
usadas.
Área da seção tra n sversal de um elemento
de tração. A área da seção transversal de um ele­
mento prismático submetido a uma força de tração pode
ser determinada desde que a força tenha uma linha de
ação que passe pelo centroide da seção transversal. Por
exemplo, considere a "barra com olhal" mostrada na Fi­
gura 1 .27a. Na seção intermediária a-a, a distribuição
de tensão é uniforme na seção transversal e a área som­
breada A é determinada, como mostra a Figura 1.27b.
Área da seção transversal de u m acopla­
m ento su bmetid o a cisalha mento. Muitas
vezes, parafusos ou pinos são usados para interligar
chapas, pranchas ou vários elementos. Como exemplo,
34
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tadm
V=P
A=
p
--
Tactm
p
( c)
(b)
(a)
Figura 1.28
considere a junta sobreposta mostrada na Figura 1 .28a.
Se o parafuso estiver solto ou se a força de aperto do
parafuso for desconhecida, é seguro supor que qualquer
força de atrito entre as chapas é desprezível. O resultado
é o diagrama de corpo livre para uma seção que pas­
sa entre as chapas e pelo parafuso mostrado na Figura
1 .28b. O parafuso está sujeito a uma força de cisalha­
mento interna resultante V = P em sua seção transver­
sal. Considerando-se que a tensão de cisalhamento que
provoca essa força está uniformemente distribuída na
seção transversal, a área da seção transversal do parafu­
so, A , é determinada como mostra a Figura 1 .28c.
Área exigida para resistir ao a poio.
A ten­
são normal produzida pela compressão de uma super­
fície contra outra é denominada tensão de apoio. Se
essa tensão se tornar suficientemente grande, poderá
esmagar ou deformar localmente uma ou ambas as
superfícies. Por consequência, para evitar falha, é ne­
cessário determinar a área de apoio adequada para
o material usando uma tensão de apoio admissível.
Por exemplo, a área A da chapa da base da coluna B
mostrada na Figura 1 .29 é determinada pela tensão de
apoio admissível do concreto obtida por A = Pl(a') adm '
É claro que, por essa fórmula, consideramos que a ten­
são de apoio admissível para o concreto é menor do
que a admissível para o material da chapa de base da
coluna e, além disso, que a tensão de apoio é unifor­
memente distribuída entre a chapa e o concreto, como
mostra a figura.
Área exi gida para resistir a cisa l hamento
provocado por carga axial. Em alguns casos,
hastes ou outros elementos serão apoiados de tal modo
que pode ser desenvolvida uma tensão de cisalhamen­
to no elemento, ainda que ele esteja submetido a uma
carga axial. Um exemplo dessa situação seria uma haste
de aço cuja extremidade esteja engastada em concreto
e carregada como mostra a Figura 1.30a. O diagrama
de corpo livre da haste (Figura 1 .30b) mostra que uma
tensão de cisalhamento age na área de contato da haste
com o concreto. Essa área é (1rd)l, onde d é diâmetro da
haste e l é o comprimento do engaste. Seria difícil deter­
minar a distribuição real da tensão de cisalhamento ao
longo da haste, mas, se considerarmos que ela é unifor­
me, poderemos usar A = Vlradm para calcular l, desde
que d e T adm sejam conhecidos (Figura 1 .30b).
�!
p
( a)
(aa)adm
Distribuição uniforme!
da tensão normal
Tensão de cisalhamento uniforme
p
(b)
Figma 1.29
Figma 1.30
TENSÃO
s ua a
ss
a
as
pretendida. Há
a
u a p
sp a
representam apenas algumas
· · ·
35
a
.
prójeto de um elementopar a re i tência é b eado na seleção de um tensão admissível que
aplicada
real
tensão
a
influenciar
de
capazes
nhecidos
desco
fatores
muitos
carga
ça
n
r
eg
om
ta:tc
áum elemento. Portanto, çlependendo da tiliz ção retendid do elemento, a lic - e umfatordé segurança àr se
> Ql;>ter a c arga admissível que o elemento pode u ort r.
das muitas aplicações das fórmulas para tens ão
.t os: quatrocasos ilustrados nesta seção
e na análise de engenharia. Entretanto, empr
projeto
no
utilizadas
média
cisalhamento
de
tensão
1,10r1Ilal média e
distribuição de ten ão é
rt""' �'"'"'" equações forem aplicadas, é importante ter em mente que con id eramos que
uniformem ente distribufda
ou
nderada " na seção.
"po
p as
s
·
pa
s e
s
a
para resolver
preciso, em
média
problemas,
a tensão de cisalhamento
a tensão normal média ae seção
Quandolugar,usamos
c
a
feita
vez
Uma
o elemento
agirá.
seção,
a
críti
tensão
a
qual
na
cuidadosamente
considerar
primeiro
deve ser projetado para que a área da seção seja suficiente para resistir à tensão que age sobre ela. determinação
dessa área envolve as etapas a seguir.
passando pela área e desenhe um diagrama de corpo livre de um segmento do elemento. Então,
Secione o elementointerna
a força resultante na seção é determinada pelas equações de equiHbrio.
a tensão admissível seja conhecida ou possa ser determinada, a área exigida necessária para sustentar
Contanto
seção é calculada por A = Pkradm ou A = VITadm'
a carga naque
é
A
Carga interna
•
Área exigida
•
AB = TVadBm = 90 6,6710kN3 kPa 74'11 10-6 mz
2
d
= 1T ( B J dB = 9 ,7 mm
4
representem
valores
essespara
um ta­
escolher diâme­
teremos osde menores
os pinos,
admissíveis
trosEmbora
fabricado ou esteja disponível. Escolhere­
seja
que
manho
mos um tamanho maior do que o exigido, com aproximação
ele 1 mm.
=
X
em B
pinos vistas
interligados
dois elementos
apresenta
também por
3 1a, que
a Figura 1.estão
comoOsmostra
admis­
de cima dos acoplamentos em A e B. Se a tensão
for T d = 90 MPa e=a
sível de cisalhamento para osparapinosa haste
"cs for ( ) adm
tração admissível
tensão
115 MPa,de determine,
ele 1 mm,CBoumenor
com aproximação
neces­
B e o diâmetro ele haste
pinos Aa ecarga.
diâmetroparaelossuportar
sélrios
SOLUÇÃO
de duas forças,como
um elemento
quelivreCBdoé elemento
Reconhecendo
Resposta
juntamente
AB
corpo
de
diagrama
Resposta
31b.
1.força
na Figura
mostrado
em Aose célBlculos
calculadas
as reaçõcs
a
que
observe
e
verifique
exercício,
Como
Diâmetro da haste. O diâmetro exigido para a haste em
resultante em A deve ser usada para o projeto elo pino A, vis­
seção média é, portanto,
sua
to que essa é força ele cisalhamento à qual o pino resiste.
6,67kN
Pela Figura 1.31a e diagramas de
corpo
li
v
re
da
porção
secionada
de
cada
pino
em
contato
103 kPa
115
com o demento
(Figura
l.3lc),
vemos
que
o
pino
A
está submetido a cisalhamcnto dnplo, ao passo que o pino
cst;í sujeito a eisalhamento simples. Portanto,
X
t
é
a
Diâmetro dc>s pinos.
X
AB
13
1T( d412)
kPa 56 10-6
= 6,3 mm
_----_
-.. k_
N_
d11
=
3 1'
X
111
2
dnc =
escolheremos
8,59 mm
d8c
=
9 mm
Resposta
36
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A
6,67kN
6kN
5,68 kN 2 kN
t �v_:
u
_L
�
�
-�
5 , 32 �
--:--- 2m
-��
Í'é- ----�=='---����
�--i!d;
•i'',;;z.
!;}-�
- - -----­
4
-------4-
�------
Pino
�3
(b)
kN
em A
Pino em B
(c)
Figura 1.31
SOLUÇÃO
Força de cisalhamento interna. A Figura 1.32b mostra
O braço de controle está submetido ao carregamento um
diagrama de corpo livre do braço. Para equilíbrio, temos
mostrado na Figura 1.32a. Determine, com aproximação de 5
mm, o diâmetro exigido para o pino de aço em C se a tensão 1 + 2: M = 0 F s(0,2 m) =
; A
15 kN(0,075 m)
c
de cisalhamento admissível para o aço for Tadm = 55 MPa. Ob­
serve, na figura, que o pino está sujeito a cisalhamento duplo.
-25 kN m (0,125 m) = o
FAB = 15 kN
A
B
200mm
�
- - - ., ) k' - �J_---.;�
5m � 2SkN
' I
"'
(a )
7
(
300mm
15 kN 50 mm' /
m
30,41kN
'
Figura 1.32
�""''"
15,m205 kN
Pino e C
(b)
(c)
TENSÃO
O; -15 kN - c, + 25 kN(�) = o
Cx 5kN
cy - 15 kN - 25 kNm = o
j 2-Fy = O;
Cy 30kN
o pino em C resiste à força resultante em C. Portanto,
�(5 kN)2 - (30 kN)2 30,41 kN
Fc
Como o pino está sujeito a cisalhamento duplo, a força de
cisalhamento de 15,205 kN age sobre sua área da seção
entre o braço e cada orelha de apoio do pino
transversal
(Figura
1. 32c).
Área exigida. Temos
v
15,205 kN = 276,45 10-6 m2
A = -55 103 kN/m2
17 (1r = 276,45 mm2
d=18,8mm
Use um pino que tenha um diâmetro
d 20mm
Resposta
� 2-Fx
=
=
+
=
=
=
Tadm
37
=
X
X
De modo que
A = 17( �2 ) 0,3333(10-2) m2
d 0,0206 m 20,6 mm
Resposta
Espessura do disco. Como mostra o diagrama de corpo
livre da seção central do disco (Figura 1. 33b), o material na
área secionada deve resistir à tensão de cisalhamento para
impedir
passe peloéorifício.
Se considerarmos
que essa que
tensãoo disco
de cisalhamento
distribuída
uniformemen­
te pela área secionada, então, sendo V 20 kN, temos
=
=
=
=
Uma vez que a área secionada A 217(0,02 m)(t), a espessu­
ra exigida para o disco é
3 ) m2 = 4,55(10-3 ) m 4,55 mm
t 0,5714(10Resposta
217(0,02 m )
=
=
=
=
A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um
disco circular fixo acoplado como mostra a Figura 33a. Se a
haste passar por um orifício de 40 mm de diâmetro, 1.determine
o diâmetro mínimo exigido para a haste e a espessura mínim a
do disco necessária para suportar a carga de 20 kN. A tensão
normal admissível para a haste é = 60 MPa e a tensão
admissível de cisalhamento para o dis�o é ractm = 35 MPa.
u d
Uma carga axial sobre o eixo mostrado na Figura 1.34a sofre a
resistência do colar em C, que está acoplado ao eixo e localiza­
do no lado direito do mancai em B. Determine o maior valor
de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão
no colar não ultrapasse uma tensão de apoio admissível em C
de ( ) = 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não
exced�aa"tensão de tração admissível (u,)adm = 55 MPa.
u
d
SOLUÇÃO
Diâmetro de haste. Por inspeção, a força axial na haste é 20 kN.
Portanto, a área da seção transversal exigida para a haste é
(a)
(b)
Tadm
A
20kN
(a )
t 20kN
(b)
Figura 1.33
Carga
axial
l�l
( c)
Posição
3P �:€�
c
(d)
Figura 1.34
38
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SOLUÇÃO
Para resolver o problema, determinaremos P para cada condição
de falha possível. Então, escolheremos o menor valor. Por quê?
Tensão normal. Usando o método das seções, a carga axial
noga interior
regiãonoFEdo
eixodaé 2P,região
ao passo
axial, 3P,daocorre
interior
EC (Fiqueguraa maior
1.34b).car­A
variação da carga interna é claramente mostrada no diagrama
de força normal (Figura 1.34c). Como a área da seção transver­
sal é constante em todo o eixo, a região EC estará sujeita à ten­
são normal média máxima. Aplicando a Equação 1. 1 1, temos
p
55(106) N/m2 = 1T(0,30p3 m?
P 51,8 kN
Tensão de apoio. Como mostra o diagrama de corpo livre na
Figura 1.34d, o colar em C deve resistir à carga de 3P que age
sobre urna área de apoio de [1T(0,04 m)2 - 1r(0,03 m)2] =
2,199(10-3)m2• Assim,
p · 75(106) N/m2 = -----3P
= -2,199(10-3) m2
P=55,0 kN
Por comparação, a maior carga que pode ser aplicada ao eixo
é P 51,8 kN, pois qualquer carga maior do que essa resultará
em tensão maior do que a tensão normal admissível no eixo.
CTadm
A
=
Ab =
A
CTadm
'
=
Figura 1.35
P(1,25 m) - FAc(2 m)
(1)
= 0; s(2 m) - P(0,75 m)
(2)
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão
admissível na haste, no bloco e nos pinos, respectivamente.
Haste AC. A haste exige
= 340(106) N/m2 [1r(O,Ol m)2] = 106,8
Usando a Equação 1,
(2m) 171 kN
p = (106,81,kN)
25m
Bloco B. Nesse caso,
FB
= 35(106) N/m2 [1.800 mm2 (10-6) m2/mm2] 63 kN
Usando a Equação 2,
m) 168 kN
p (63 kN)(2
0,75m
Para esses pinos,
Pino ou
= 450(106) N/m2 ['1T(0,009 m)2] = 114,5 kN
Pela Equação 1,
p = 114,1,52kN5m(2 m) 183 kN
Por
comparação,
quando
P alcança
seu menor
(168 kN),
desenvolve
a tensão
normal
admissível
no blocovalorde alumínio.
Por consequência,
Resposta
P 168kN
1 + 2: Ms
1 + 2: MA
=
= O;
=
F
O
O
FAc = (craç)ndm(AAc)
kN
=
= (ual) adm
A8
A barra rígida mostrada na Figura 1.35a é sustentada
poralumínio
uma hastecomdeárea
aço AC
de 20 transversal
mm de diâmetro
de seção
de 1.800e ummm2•blocoOs
depinos de 18 mm
de diâmetro em e C estão submetidos a
cisalhamento simples. Se as tensões de ruptura do aço e do alu­
mínio forem
= 680 MPa e = 70 MPa, respec­
tivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada
pino for 900 MPa, determine a maior carga P que pode
ser aplicada à barra.Aplique um fator de segurança 2.
AB
A
(cr.ç)rup
(cr.1 )rup
rrup =
PS =
SOLUÇÃO
=
=
=
A
C.
V = FAc = Tadm A
=
Pelas equações 1.9 e 1. 10, as tensões admissíveis são
( ) =
= 6802MPa 340 MPa
70 MPa 35 MPa
2
� 900MPa
2 = 450MPa
"
,"
;
Í
O diagrama de corpo livre para a barra é mostrado na Figura :�R(illBUi��s;s:�
1. 35b. Há três incógnitas. Neste caso, aplicaremos
as
equa­
O elemento está sujeito a uma força de compres­
e F8 em termos *1.80.
ções
de
equilíbrio
de
modo
a
expressar
são
de
4
kN. Se edetermine,
forem feitos
de madeira edetiverem
da carga aplicada P. Temos
mm de espessura,
com aproximação
5 mm,10a
(u,,o) rup
F
S
(u,J) rup
=
(u,, ) adm = F
S
u,," adm
Tadm = F
S
=
=
=
=
�x "'
��c
�
�
"
=
A
B
B
0 " s,
"'""'
"
"'
""
"'
-
=
"'"
�
%<&"'!li
TENSÃO
39
200 N
4 kN
O tamanho a do cordão de solda é determinado pelo
cálculo da tensão de cisalhamento média ao longo do plano
sombreado, que tem a menor seção transversal. Determine o
menor tamanho a das duas soldas se a força aplicada à chapa
for P = 100 kN. Aétensão= de100cisalhamento
admissível para o
material da solda Tadm MPa.
Problema 1.83
*1.84.
Problema 1.80
A junta está presa por dois parafusos. Determine o
diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura
cisalhamento
para para
os parafusos
for r,uFSr ==3502,5.MPa. Use
por
um fator
de segurança
cisalhamento
1.81.
80 kN
3 0mm�
�r3omm
O tamanho do cordão de solda é a = 8 mm Conside­
rando que a junta falhe por cisalhamento em ambos os lados
do bloco ao longo do plano sombreado, que é a menor seção
transversal, determine a maior força P que pode ser aplicada
à chapa. tensão de cisalhamento admissível para o mate­
rial da solda é Tadm = 100 MPa.
Problema 1.84
1.85.
.
A
40
40 kN
Problema 1.81
1.82. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de
ruptura
por tração é a,ur = 510 MPa. Usando um fator de se­
gurança FS = I ,7.5 para
tração, determine o menor diâmetro
das
hastes
de
modo
que
elas
possamporsuportar
mostrada.
Considere que a viga está acoplada
pinos aemcarga
Ae
C.
8 r'
'D
6 kN
1.86. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de
25 kN. Determine seu diâmetro d com aproximação de múl­
tiplos de 5 mm e a espessura exigida h com aproximação de
múltiplos de 5 mm do suporte de modo que a arruela não pe­
netre
ou cisalhe
A tensão normal admissível para
o parafuso
é aactom suporte.
= 150 MPa e a tensão de cisalhamento
admissível para o material do suporte é radm = 35 MPa.
Problema 1.82
uma chaveta
eixo
eteumaao cabo,
força
vertical
aplicada
perpendicularmen
determine a
sível para a chaveta f rd se a MPa.de cisalhamento admis­
1.83.
Problema 1.85
A manivela está presa ao eixo A por
de
de 200 N for
dimensão
o
25
Tadm
mm.
Se
tensão
= 35
de
for fixo
Problema 1.86
40
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A estrutura está sujeita a carga de 8 kN. Determine
o diâmetro exigido para os pinos em A e B se a tensão de
cisalhamento admissível para o material for r dm = 42 MPa.
O pino A está sujeito a cisalhamento duplo, a� passo que o
pino B está sujeito a cisalhamento simples.
1.87.
8 kN
1,5 m
�- +
1 5m-
A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro
de 6 mm com tensão normal admissível <Tadm = 168 MPa. De­
termine a maior carga que pode ser suportada sem provocar
a ruptura do cabo quando () = 30° e cp = 45°. Despreze o
tamanho do guincho.
1.91. A lança é suportada pelo cabo do guincho cuja ten­
são normal admissível é <Tadm = 168 MPa. Se a lança tiver
de levantar lentamente uma carga de 25 kN, de () = zoo até
() = 50°, determine o menor diâmetro do cabo com aproxi­
mação de múltiplos de 5 mm. O comprimento da lança AB é
6 m. Despreze o tamanho do guincho. Considere d = 3,6 m.
1.90.
B
- 1,5 m
Problema 1.87
-1
*1.88. Os dois cabos de aço AB e AC são usados para
suportar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de tração
admissível <Tadm = 200 MPa, determine o diâmetro exigido
para cada cabo se a carga aplicada for P = 5 kN.
Problemas 1.90/91
A estrutura está sujeita ao carregamento distribuído
de 2 kN/m. Determine o diâmetro exigido para os pinos em
A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material
for radm = 100 MPa.Ambos os pinos estão sujeitos a cisalha­
mento duplo.
*1.92.
p
Problema 1.88
Os dois cabos de aço AB e AC são usados para su­
portar a carga. Se ambos tiverem uma tensão de tração
admissível <Tadm = 180 MPa, e se o cabo AB tiver diâmetro
de 6 mm e o cabo AC tiver diâmetro de 4 mm, determine a
maior força P que pode ser aplicada à corrente antes que um
dos cabos falhe.
1.89.
Problema 1.92
Determine as menores dimensões do eixo circular e
da tampa circular se a carga que devem suportar é P = 150
kN. A tensão de tração, a tensão de apoio e a tensão de cisa­
lhamento admissíveis são (<T) adm = 175 MPa, (<T) adm = 275
MPa e <Tadm = 115 MPa.
1.93.
p
Problema 1.89
TENSÃO
rk
P=
O conjunto consiste em três discos A, B e C usados
para
suportar
de 140o diâmetro
kN. Determine o menor diâ­
metro d1 do discoa carga
superior,
d2 do espaço entre os
apoios e o diâmetro d3 do orifício no disco inferior. A tensão
de apoio admissível para o material é (a d ) = 350 MPa e a
tensão de cisalhamento admissível é •: lz5 MPa.
150 kN
1.97.
d�
1--'
-
-
l
l
d2 = 30 mm
1-=--- d, �
41
] t
r--
ractm
140 kN
t
Cr .
.
Problema 1.93
·. i·
8 · . ·· ·
dl
�
11� d3
.•. . .
· ·
� ..
��+
20 mm
�.
-�- dz �---
lO mm
1.97
Se a tensão de apoio admissível para o material sob os L98. As tiras A e B devem ser coladas
com a utilização das
apoi
os em Adeeapoio
B forqu(a�d) d� 2,8 MPa, determine os tamanhos
das chapas
r das A' e B' exigidos para suportar a duas tiras C e D. Determine a espessura exigida t para C e
carga. Considere
dimensão
das chapas
deverá ter D de modo que todas as tiras falhem simultaneamente. A
aproximação
de lOP =mm.7,5AskN.A
reações
nos apoios
são verticais.
largura das tiras A e B é 1,5 vez a das tiras e D .
1.95. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os
30 mm
30 mm
a carga
MPa, determinetransversais
em A e B forser(aap)íld��da 2,8à viga.
apoios
't
+-i
As seções
quedaspode
máxima
40 N
'--....c _..;;_ ...;J:� B � �
de apoio A' e B' são 50 mm 50 mm
chapas
quadradas
e 100 mm 100 mm, respectivamente.
1.98
15 kN
1.99. Se a tensão de apoio admissível para o material sob
os apoios em A e B for (a' )"qd�� = 2,8 MPa, determine os ta­
10 kN
lO kN
lO kN
manhos das chapas de apoi� adradas A' e B' exigidos para
suportar a carga. A dimensão das chapas deve ter aproxi­
2,5 m
� l ,5 m- 1,5 m_,.
mação de múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são
verticais. Considere P = 7,5 kN.
1.94.
Problema
=
C
D
P
=
A
X
X
I
Problema
p
-
p
A
Problemas 1.94/95
B
a área da seção transversal exigida para o
elementoDetermine
e os diâmetros
exigidos
para os pinos em A e B
sede acisaltensão
normal
admissível
for
aadm = 21 MPa e a tensão
hamento for 28 MPa.
' 1.96.
\----� 4,5 m-----+-�
BC
radm
=
c
Problema 1.99
'1.100. Se a tensão de apoio admissível para o material sob
osmáxima
apoios emqueApode
e B ser
for apl(a,,i)cada
adm = 2,8 MPa, determine a carga
à viga. As seções transversais
quadradas
das
chapas
de
apoio
A' e B' são 50 mm 50 mm e
100 mm 100 mm, respectivamente.
P
7,5kN
X
X
1 ,2 m
Problema 1.96
p
lO kN/m
""��---.-r���
1---·�-� 4,5 m
Problema 1.100
2,25 m
42
RESISTÉ'.NCIA DOS MATERIAIS
O conjunto de pendurai é usado para suportar um
carregamento distribuído w = 12 kN/m. Determine a tensão
de cisalhamento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em
A e a tensão de tração média na haste AB, com diâmetro de 12
mm Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o pa­
rafuso for T0 = 175 MPa e a tensão de escoamento por tração
para a haste for ue = 266 MPa, determine o fator de segurança
em relação ao escoamento em cada caso.
1.101.
.
dimensões w e t tais que a área bruta da área da seção trans­
versal seja wt = 1.250 mm2 e a carga P seja máxima. Qual é
essa carga máxima? Considere que o orifício na barra tem o
mesmo diâmetro do pino.
p
Problemas 1.103/104
A viga composta de madeira está interligada por um
parafuso em B. Considerando que os acoplamentos em A, B,
C e D exerçam somente forças verticais na viga, determine o
diâmetro exigido para o parafuso em B e o diâmetro externo
exigido para as respectivas arruelas se a tensão de tração admis­
sível para o parafuso for (u)actm = 150 MPa e a tensão de apoio
admissível para a madeira for (u)actm = 28 MPa. Considere que
o orifício das arruelas tem o mesmo diâmetro do parafuso.
1.105.
1----- 1,2 m ---->-��- 0,6 m ----1
Determine a intensidade w da carga distribuída má­
xima que pode ser suportada pelo conjunto de pendurai de
modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admis­
sível de ractm = 95 MPa nos parafusos de 10 mm de diâmetro
em A e B e uma tensão de tração admissível de uactm = 155
MPa na haste AB de 12 mm de diâmetro.
2 kN
3 kN
Problema 1.101
1.102.
Problema 1.105
1.106. A barra é mantida em equilíbrio por pinos em A e
B. Observe que o apoio em A tem uma única orelha, o que
envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem ore­
lha dupla, o que envolve cisalhamento duplo. A tensão de
cisalhamento admissível para ambos os pinos é ractm = 150
MPa. Se uma carga uniformemente distribuída w = 8 kN/m
for colocada sobre a barra, determine sua posição admissível
mínima x em relação a B. Cada um dos pinos A e B tem diâ­
metro de 8 mm Despreze qualquer força axial na barra.
1.107. A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de pino
em A e B. Observe que o apoio em A tem uma única orelha,
o que envolve cisalhamento simples no pino, e o apoio B tem
orelha dupla, o que envolve cisalhamento duplo. A tensão de
cisalhamento admiSSÍVel para ambos OS pinos é Tadm = 125
MPa. Se x = 1 m, determine a carga distribuída máxima w
que a barra suportará. Cada um dos pinos A e B tem diâme­
tro de 8 mm. Despreze qualquer força axial na barra.
.
I-----
1,2 m ----..11--- 0,6 m ---j
Problema 1.102
1.103. A barra é suportada pelo pino. Se a tensão de tração
admissível para a barra for (u)actm = 150 MPa e a tensão de
cisalhamento admissível para o pino for ractm = 85 MPa, de­
termine o diâmetro do pino para o qual a carga P será máxi­
ma. Qual é essa carga máxima? Considere que o orifício na
barra tem o mesmo diâmetro d do pino. Considere também
t = 6 mm e w = 50 mm.
*1.104. A barra está acoplada ao suporte por um pino de
diâmetro d = 25 mm Se a tensão de tração admissível para
a barra for (u)actm = 140 MPa e a tensão de apoio admissível
entre o pino e a barra for (uJactm = 210 MPa, determine as
.
Problemas 1.106/107
TENSÃO 43
A barra é mantida em equilíbrio pelos apoios de
que o apoio em A tem uma úni­
em
ino A e B. Observe cisalham
ento simples no pino, e o
que envolve
�a orelha, o orelha
volve
cisalhamento �upl�.
�
e
que
o
dupla,
apoio B tem
. el para
ambos os pmos e
adm1ss1v
ento
cisalham
de
A tensão
125 MPa. S e x = 1 m e w = 12 kN/m, determine o me0'�; diâmetro exigido para os pinos A e B. Despreze qualquer
força axial na barra.
'1.108.
T
==
a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino
como mostra o diagrama de corpo livre. Determine a carga
máxima P que o acoplamento pode suportar se a tensão de
cisalhamento admissível para o material for '�'actm = 56 MPa
e o diâmetro do pino for 12,5 mm. Determine também as
intensidades das cargas IV1 e w2•
p
Problema 1.108
2
O pino está submetido a cisalhamento duplo, visto
que é usado para interligar os três elos. Devido ao desgaste,
a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino
como mostra o diagrama de corpo livre. Determine o diâ­
metro d do pino se a tensão de cisalhamento admissível for
49 kN. Determine também as
'�'adm = 70 MPa e a carga P
intensidades das cargas IV1 e IV2•
1.109.
=
Problema 1.110
A chaveta é usada para manter as duas hastes juntas.
Determine a menor espessura t da chaveta e o menor diâme­
tro d das hastes. Todas as partes são feitas de aço com tensão
de ruptura por tração = 500 MPa e tensão de ruptura
por cisalhamento
375 MPa. Use um fator de segurança
(FS)1 = 2,50 em tração e (FS), = 1,75 em cisalhamento.
1.111.
p
urup
'�'rup =
p
p
2
2
Problema 1. 109
1.110. O pino está submetido cisalhamento duplo, visto
que é usado para interligar os três elos. Devido ao desgaste,
a
Problema 1.111
44
RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
�������m �� ��]1,�11WI"�
"� � "" "' $ :; � � ., _;�
:
�
:
"'=
-�
);/
'"
G
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�
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X
"
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�
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"'
""
�
"
�
-
�
�
As carga internas em um corpo consis­
�
Momento
de torção T
tem em uma força normal, uma força
de cisalhamento, um momento fletor e
um momento de torção. Elas represen­
tam as resultantes de uma distribuição
de tensão normal e de tensão de cisa­
"i.Fx = O
"i.Fy = O
!,Fz = O
"i.Mx = O
"i.My = O
"i.Mz = O
lhamento que agem na seção transver­
sal. Para obter essas resultantes, use o
método das seções e as equações de
equilíbrio.
Se uma barra for feita de um material
isotrópico homogêneo e submetida a
uma série de cargas axiais externas que
passam pelo centroide da seção trans­
versal, então uma distribuição de tensão
normal uniforme agirá sobre a seção
transversal. Essa tensão normal média
pode ser determinada por u = PIA,
onde P é a carga axial interna na seção.
(T
Força de
císalhamento
Momento
fletor
p
= A
A tensão de cisalhamento média pode
ser determinada por rméd = VIA, onde
V é a força de cisalhamento resultante
na área da seção transversal A. Essa
fórmula é frequentemente usada para
determinar a tensão de cisalhamento
média em elementos de fixação ou em
peças usadas para acoplamentos.
O projeto de qualquer acoplamento
simples exige que a tensão média ao
longo de qualquer seção transversal
não ultrapasse um fator de segurança
ou um valor admissível de uadm ou '�"adm'
Esses valores são apresentados em
normas ou padrões e são considerados
seguros com base em testes experi­
mentais ou por experiência.
,
�
�
Tméd =
FS
=
O'rup
O'adm
v
A
=
'Trup
7adm
TENSÃO 45
o parafuso longo passa pela chapa de 30 mm de es­ 1.115. O punção circular B exerce uma força de 2 kN na
a força na haste do parafuso �or 8 k�, determine parte superior da chapa A. Determine a tensão de cisalha­
Se
a.
;
ssu
p�
haste, a tensao de cisal.hamento mento média na chapa provocada por essa carga.
a tensão normal média nacilíndrica
da chapa defimda pelas
área
da
o
me'dia ao long
2 kN
lhamento me'dIa' na cacisa
de
tensão
a
e
a-a
corte
de
r has
��ça do parafuso ao longo da área cilíndrica definida pelas
tinhas de corte b-b.
+1 112
·
1 b
j b
8 kN
18 mm
P1·oblema 1.115
Problema 1.112
A sapata de apoio consiste em um bloco de alumínio
de 150 mm por 150 mm que suporta uma carga de compres­
são de 6 kN. Determine a tensão normal média e a tensão
de cisalhamento média que agem no plano que passa pela
seção a-a. Mostre os resultados em um elemento de volume
inri nitesimal localizado no plano.
t. ll3.
O cabo tem peso específico y (peso/volume) e área
de seção transversal A. Se a flecha s for pequena, de modo
que o comprimento do cabo seja aproximadamente L e seu
peso possa ser distribuído uniformemente ao longo do eixo
horizontal, determine a tensão normal média no cabo em seu
ponto mais baixo C.
*1.116.
a
Problema 1.116
1.117. A viga AB é suportada por um pino em A e também
por um cabo BC. Um cabo separado CG é usado para manter
a estrutura na posição vertical. Se AB pesar 2 kN/m e o peso da
coluna FC for 3 kN/m, determine as cargas internas resultantes
que agem nas seções transversais localizadas nos pontos D e E.
Despreze a espessura da viga e da coluna nos cálculos.
a
Problema 1.113
Determine as cargas internas resultantes que agem nas
seções transversais que passam pelos pontos D e E da estrutura.
1.114.
I
I
G
1--- 0,9 m -+-�- 1,5 m
Problema 1.114
1--�-� 3,6
-�-
m ---Problema 1.117
46
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
O tubo de concreto de 3 Mg está suspenso por três 1.119. O acoplamento de gancho e haste está sujeito a uma
cabos. Se os diâmetros de BD e CD forem 10 mm e AD ti­ força de tração de 5 kN. Determine a tensão normal média
ver diâmetro de 7 mm, determine a tensão normal média em em cada haste e a tensão de cisalhamento média no pino A
entre os elementos.
cada cabo.
1.118.
S kN
40 mm
S kN
Problema 1.119
Problema 1.118
ef r maça
OBJ ETJVOS DO CAP ÍTULO
é especificada pelo conceito da deformação normal e por ci sa­
Em engenharia, a deformação de u m corpo
e mostraremos como e las podem ser determ inadas
l ha mento. Neste capítulo, definiremos essas q uantidades
para vários ti pos de probl emas .
2.1
D efo rmaçã o
Sempre que uma força é aplicada a u m corpo, esta
tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mu­
danças são denominadas deformações e podem ser
altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se
não forem utilizados equipamentos que façam medi­
ções p recisas. Por exemplo, uma tira de borracha so­
frerá uma grande deformação quando esticada. Por
outro lado, os elementos estruturais de um edifício
sofrem apenas leves deformações quando há muitas
pessoas anelando dentro dele. Também pode ocorrer
deformação em um corpo quando há mudança de
temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou
contração térmica de um telhado causada pelas con­
dições atmosféricas.
De modo geral, a deformação de um corpo não será
uniforme em lodo o seu volume e, p ortanto, a mudança
na geometria de cada segmento de reta no interior do
corpo pode variar ao longo de seu comprimento. Por
exemplo, uma parte da reta pode se alongar, ao passo
que outra porção pode se contrair. Se considerarmos
segmentos de reta cada vez mais curtos, eles ficarão
aproximadarnente mais retos após a deformação e,
port anto, para um estudo mais uniforme das mudan­
ças provocadas por deformação, consideraremos que
as reta s são m uito cu rtas e localizadas na vizinhança
de um ponto. Com isso, p e rce be mos que a quantidade
da
em qualquer s e g m e n to de reta localiza­
do t:m um ponto distinto do corpo será diferente da
obser·vada em
outro ponto. Além disso, essas
também
da orient aç ão do segem questão. Por exemplo, um
se alongar se estiver orientado
em uma
a o passo q ue pode contrair-se, caso
orientado em outra
2.2
Con ceito d e defo rm a çã o
Para descrever a deformação por meio de mu­
danças no comprimento de segmentos de reta e nos
ângulos entre eles, desenvolveremos o conceito de
deformação. De fato, as medições de deformação são
experimentais e, uma vez obtidas, podem ser relacio­
nadas com as cargas aplicadas, ou tensões, que agem
no interior do corpo, o que mostraremos a seguir.
Defo rmação n o rm a l . O alongamento ou con­
tração de um segmento de reta por unidade de com­
primento é denominado deformação normal. Para
desenvolver uma definição formal da deformação
normal, considere a reta AB, contida no interior do
corpo não deformado mostrado na Figura 2.1a. Essa
reta se encontra ao longo do eixo n e tem um compri­
mento original b.s. Após a deformação, os pontos A e
B são deslocados para A ' e B ' , e a reta torna-se uma
curva de comprimento b.s' (Figura 2.1b ) . Portanto, a
mudança no comprimento da reta é b.s' - b.s. Se defi­
nirmos a deformação normal média usando o símbolo
Eméct( epsílon), então
Eméd =
b.s' - b.s
b.s
(2.1)
À medida que escolhemos o ponto B cada vez mais
próximo do ponto A, o comprimento da reta fica cada
vez menor, de modo tal que b.s � O. Desta maneira, B '
aproxima-se d e A ' , d e forma que b.s' � O . Por conse­
quência, no limite, a deformação normal no ponto A e
na direção de n é
E
b.s' - b.s
= B --> A lim
ao longo de n
b.s
(2.2)
48
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Defo rmaçã o por cisalh a mento. A mudança
que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que
originalmente eram perpendiculares um ao outro é de­
nominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo
é representado por y (gama) e medido em radianos
(rad). Para mostrar como isso se desenvolve, consi­
dere os segmentos de reta AB e AC que se originam
no mesmo ponto A de um corpo e estão direcionados
ao longo dos eixos perpendiculares n e t (Figura 2.2a).
Após deformação, as extremidades das retas são des­
locadas, e as próprias retas transformam-se em curvas,
de modo tal que o ângulo entre elas em A é {}' (Fi­
gura 2.2b) . Por consequência, definimos a deformação
por cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e
t como
Corpo não deformado
(a )
1T
rIm e'
'Ynt = - 2 B --> A ao longo de n
C -> A ao longo de t
(2.4)
Observe que, se 8' for menor do que 1rl2, a defor­
mação por cisalhamento é positiva, ao passo que se {}'
for maior do que 1rl2, então a deformação por cisalha­
mento é negativa.
Corpo deformado
(b)
Figma 2.1
Se a deformação normal for conhecida, podemos
usar essa equação para obter o comprimento final
aproximado de um segmento curto de reta na direção
de n após a deformação. Temos
(2.3)
Por consequência, quando E é positivo, a reta inicial
se alongará, ao passo que, se E for negativo, a reta se
contrairá.
Corpo não deformado
(a )
c
U n idades.
Observe que a deformação normal é
uma quantidade adimensional, visto que é uma razão
entre dois comprimentos. Apesar disso, é prática comum
expressá-la em termos de uma razão entre unidades de
comprimento. Se usarmos o Sistema Internacional de
Unidades de Medida (SI), as unidades básicas serão me­
tros/metro (mim). Na prática, na maioria das aplicações
de engenharia, E será muito pequena, portanto as me­
didas de deformação serão expressas em micrômetros
por metro (p,mim), onde 1 p,m = 10-6 m. Às vezes, em
trabalho experimental, a deformação é expressa como
porcentagem, por exemplo, 0,001 mim = 0,1 % . Uma de­
formação normal de 480(10- 6) pode ser expressa como
480 p,mim, ou 0,0480% , e também podemos indicar essa
resposta simplesmente como 480 /L (480 "micros").
(
c
r
c
s
c
(I
v
Corpo deformado
(b)
Figura 2.2
11
d
p
c
DEFORMAÇÃO
49
os ângulos de cada lado. Assim, pela Equação 2.3,
!::.s '
(1 + E)!::.s em relação às retas LU, .:ly e .:lz, os com­
primentos aproximados dos lados do paralelepípedo são
z
=
(1 + E)Llx
e os ângulos aproximados entre os lados, mais uma vez
definidos originalmente pelos lados Llx, .:ly e Llz, são
X
2 - Yxy
7T'
( a)
Corpo não
deformado
(b)
(1 + Ey)dy
Elemento
deformado
(c)
Figura 2.3
Componentes cartesianas da d eformação.
Usando as definições anteriores de deformação normal
e deformação por cisalhamento, mostraremos agora
como elas podem ser usadas para descrever a defor­
mação do corpo (Figura 2.3a). Para isso, imagine que o
corpo está subdividido em pequenos elementos como
o mos�rado �a Figura 2.3b. Esse elemento é retangular,
suas d1mensoes, quando não deformado, são LU, .:ly e
6z e ele está localizado na vizinhança de um ponto no
corpo (Figura 2.3a). Considerando que as dimensões
do elemento são muito pequenas, sua forma, quando
d�formado, será a de um paralelepípedo (Figura 2.3c),
VIst o que segmentos de reta muito pequenos perma­
nec erão aproximadamente retas após a deformação
do co�po. Para chegar a isso, temos de considerar, em
.
pnmeuo lugar, como a deformação normal muda os
compn. mentos dos lados do elemento retangular e em
'
segUI'da, como a deformação por cisalhamento muda
2 - Yyz
7T'
2 - Yxz
7T'
Observe, em particular, que as deformações nor­
mais causam uma mudança no volume do elemento
retangular, ao passo que deformações por cisalhamen­
to provocam uma mudança em sua forma. É claro que
ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a
deformação.
Então, resumindo, o estado de deformação em um
ponto de um corpo exige a especificação de três de­
formações normais, EX, Ey e EZ , e três deformações por
cisalhamento, yxy, yyz e yxz . Essas deformações descrevem completamente a deformação de um elemento
de volume retangular do material localizado no pon­
to e orientado de modo que seus lados são original­
mente paralelos aos eixos x, y, z. Uma vez definidas
essas deformações em todos os p ontos no corpo, a
forma deformada do corpo poderá ser descrita. De­
vemos acrescentar, ainda, que, conhecido o estado de
deformação em um ponto, definido por suas seis com­
ponentes, é possível determinar as componentes da
deformação em um elemento orientado no ponto em
qualquer outra direção. Discutiremos essa questão no
Capítulo 10.
Análise de pequenas deformações.
A maio­
ria dos projetas de engenharia envolve aplicações para
as quais são permitidas somente pequenas deforma­
ções. Por exemplo, quase todas as estruturas e máqui­
nas parecem ser rígidas, e as deformações que ocorrem
durante a utilização dificilmente são percebidas. Além
disso, ainda que a deflexão de um elemento como uma
chapa fina ou haste delgada seja aparentemente gran­
de, o material de que ele é feito poderá estar submeti­
do somente a deformações muito pequenas. Portanto,
neste livro, consideraremos que as deformações que
ocorrem no interior de um corpo são quase infinitesi­
mais, de modo que as deformações normais que ocor­
rem dentro do material são muito pequenas em com­
paração com a unidade (ou seja, comparadas a 1), isto
é, E << 1 . Esta premissa, baseada na intensidade da de­
formação, tem ampla aplicação prática na engenharia
e, em geral, é denominada análise de pequenas defor­
mações. Como exemplo, ela permite as aproximações
sen e = e, cos e = 1 e tg e = e, contanto que e seja muito
pequeno.
50
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
X !i%!RY"" �""
�
""'�w::;{
*";;,
� if!b:':J;;>'I" �
:fi""- = "'"'�ff>-�
- M ;;"""' ��'!% = """'0
� � -"'
""� """ 80 � �,
"""
=
,
��
�- "" �
� "'�
-=-
" �� �
�
��
"' s"'=�
Cargas provocarão deformações em todos os corpos materiais e, como t�âíxltado , os pOntos no corpo.sofrerão d�slocamentos ou mudanças de posição.
.
pequeno sçgme1:1to di;\teta no corpo, ao
" Deformação normal.é uma medida do alongament o ou contração de
passo que deformação par cisathamentÇJ é u�a medida da mud an ça que ocorre 110. ânguloentre dois segn1�nt os de
reta pequenos originalmente perpendiculares wna.ó outro.
.
. •
• O estado de deformação em um ponto é caracterizado p or seis componentes da deformaç�o�três d eform 1,1 ções nor·
mais, ex, eY, e, e três deformações por cisalhamento, 'Yxy' 'Yyz e 'Y.,�· Essas conwone,ntes dependem da ori�utação dos
segmentos de reta e de sua lo calização no corpo.
. .
. . .. .. •..
.
• D eformação é a quantidade geométrica medida por técnicas exp erimentai Uma :vez obtida pode-se determinar a
tensão no corpo pelas r elaçõe entre as propriedades do material.
• A maioria do materiais de engenharia sofre pequenas deformações e, portanto, uma defornüj.ção normal e << 1.
Essa premissa da " análise de pequenas deformações''permite a simpll.ficaç o dos cálculos da deformação normal, já
que é p o sível fazer aproximações de prime ira ordem em relação ao seu t aman ho
"
"
"'
o;
�
"
"
«
<»
f
""
,
"
«,
«
""
"
"' "F
•
""
Uli:l
. .
s
s
:t=
m��m�s
1 1\11 111�RW��mms
"'
.
·.·.
.s . · ·.
.
· .... . ..,
.
ã
s
.
c
""'
.
.
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é
L1 = 0,20239 m - 0,2 m = 0,00239 m = 2,39 mm L
A haste delgada mostrada na Figura 2.4 é submetida a
um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que
Resposta
cria uma deformação normal na haste de ez 40(10-3)z 112,
onde z é dado em metros. Determine (a ) o deslocamento da Parte (b). A deformação normal média na haste é determi­
extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura nada pela Equação 2.1, a qual considera que a haste ou "seg­
mento de reta" tem um comprimento original de 200 mm e uma
e (b) a deformação normal média na haste.
mudança no comprimento de 2,39 mm Por consequência,
8
=
.
Eméd =
L1s' - Lls
,
us
=
2,39 mm = 0,0119 mm/mm
20O mm
Resposta
Figura 2.4
SOLUÇÃO
Parte (a). Visto que a deformação normal é dada em cada
ponto ao longo da haste, um segmento diferencial dz, locali­
zado na posição z (Figura 2.4) terá um comprimento defor­
mado que pode ser determinado pela Equação 2.3; isto é,
Uma força que a tua na empunhadura do cabo da alavan­
ca mostrada na Figura 2.5a provoca uma rotação no cabo da
alavanca de 8 0,002 rad em sentido horário. Determine a
deformação normal média desenvolvida no cabo BC.
=
.i (I· 1----- 1 m ----!I---JH
i \t _ c
�� -�ar--�������-=!<IJ
A soma total desses segmentos ao longo do eixo dá
como resultado o comprimento deformada da haste, isto é,
0,2 m
z' = ro
[1
J
+ 40(10-3)z112] dz
= z + 40(10-3)(� r/2) 18,2 m
= 0,20239 m
(a)
Figura 2.5
B
T
.til
O,S m
DEFORMAÇÃO
Visto que 'Yx
figura. Assim,y
1.---- 1 m-----1
c
'Yxy =
=
-l(
tg
Trl2 -
51
O', então 'Yxy é o ângulo mostrado na
3 mm
250 mm - 2 mm
)
=
0,0121 rad
Resposta
y
(b)
Figura 2.5 (cont.)
SOLUÇÃO
Visto que O = 0,002 rad é um ângulo pequeno, o alonga­
mento do cabo CB (Figura 2.5b) é BB ' 0(0,5 m) (0,002
rad)(0,5 m) 0,001 m. Portanto, a deformação normal mé­
dia no cabo é
0,001 m = 0 ,001 m/m
BB'
=
Resposta
Eméd =
1m
CB
=
=
=
B
--j_b_
T r------------------�7J::n
I
I I
250 mm /
3 mm
1
)
L
I
I
�"��-]/
;1
I
r------ 300 mm -------1 C
____________
A
/
I
_; _____
�.
'
. .�� ,,
�
___
X
(a)
� h2 mm
T
1
3 mm
I/
r�
250 mm I
A chapa é deformada até a forma representada pelas li­
nhas tracejadas mostradas na Figura 2.6a. Se, nessa forma
deformada, as retas horizontais na chapa permanecerem
horizontais e seus comprimentos não mudarem, determine
(a) a deformação normal ao longo do lado AB e (b) a de­
formação por cisalhamento média da chapa em relação aos
eixos x e y.
SOLUÇÃO
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a
reta após a deformação, como mostra a Figura 2.6b. O
comprimento desta reta é
Parte (a).
AB '
AB' =
Y(250 - 2) 2 + (3) 2 = 248,018 mm
Portanto, a deformação normal média para AB é
( � As ) méd =
"
=
AB' - AB
AB
248,018 mm - 250 mm _
-_
250 mm
-7,93(10-3) mm/mm
A
(b)
y
,_,li-J t�
B
/
f- 3 mrn
---------------
l�
250 mm
-
I
1
1
--�� ---x
I �
L- �
A
7
..
.
------
,';fi
�
C
(c)
Figura 2.6
Resposta
O sinal negativo indica que a deformação causa uma
con tração de AB.
A chapa mostrada na Figura 2.7a é fixa ao longo de AB
Parte (b). Como observamos na Figura 2.6c, o ângulo BAC
e presa por guias horizontais rígidas nas partes superior e
entre os lados da chapa, em relação aos eixos x, y, que antes inferior, AD e B C. Se o lado direito da chapa, CD, sofrer
era 90°, muda para O' devido ao deslocamento de B para B ' . um deslocamento horizontal uniforme de 2 mm, determine
52
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
y
X
'Yx
y
7T
=2
-
1,58404 rad -0,0132 rad
Resposta
=
De acordo com a convenção de sinais, um sinal negativo
indica que o ângulo e' é maior que 90°.
OBSERVAÇÃO: Se os eixos x e y fossem horizontal e verti­
cal no ponto E, não haveria nenhuma deformação normal na
direção y e uma deformação normal na direção x. Os eixos
continuariam perpendiculares um ao outro e, portanto, devi­
do à deformação, 'Yxy = O no ponto E.
JlU��m�qm��s
�
�v=;;�
"' �
""""'
Si!!'"'
''\,
�
"
;;;
�"
;;/'-
:
�
""
�
"'
%
X
,
�
"'=
���
-d
�
O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é
150 mm. Se a pressão do ar em seu interior for aumentada
até o diâmetro atingir 175 mm, determine a deformação nor­
mal média na borracha.
2.2. O comprimento de uma fita elástica delgada não esti­
(b)
cada é 375 mm. Se a fita for esticada ao redor de um cano de
Figura 2.7
diâmetro externo 125 mm, determine a deformação normal
(a) a deformação normal média ao longo da diagonal AC média na fita.
e (b) a deformação por cisalhamento em E em relação aos 2.3. A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos
eixos x, y.
cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um des­
locamento de 10 para baixo na extremidade C, determine a
SOLUÇÃO
deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD.
Parte (a). Quando a chapa é deformada, a diagonal AC
torna-se AC' (Figura 2.7b ). Os comprimentos das diagonais
AC e AC' podem ser determinados pelo teorema de Pitá­
goras. Temos
2.1.
mm
V(O,l50? + (0,150) 2 = 0,21213 m
AC' = V(0,150) 2 + (0,152? = 0,21355 m
AC =
Portanto, a deformação normal média ao longo da dia­
gonal é
_
( EAc ) méd -
AC' - AC
AC
_
-
0,21355 m - 0,21213 m
0,21213 m
Pmblema 2.3
O diâmetro da parte central do balão de borracha é
100 mm. Se a pressão do ar em seu interior provocar o
aumento do diâmetro do balão até d = 125 mm, determine a
Parte (b). Para obter a deformação por cisalhamento em
deformação normal média na borracha.
E em relação aos eixos x e y, em primeiro lugar, é necessário
determinar o ângulo ()', que especifica o ângulo entre esses
eixos após a deformação (Figura 2.7b ). Temos
=
(r[_)
tg 2
0,00669 mm/mm
Resposta
*2.4.
d=
76 mm
75 mm
e' = 90,759°
1�o (90,759°) 1,58404 rad
=
=
=
Aplicando a Equação 2.4, a deformação por cisalha­
mento em E é, portanto,
11
Problema 2.4
('
DEFORMAÇÃO
pino em A e pelos
A viga rígida é sustentada pora um
.
vtga
a
1'
d
'
for des1 ocada 10
tca
ap
P
carga
· Se a e a deformaçao normal
cabos BD e CE
·
desenvo1Vl-·
determin
xo
mm para bal '
D.
e
B
CE
os
cab
da nos
2.6. A viga rígida é sustentada por um pino. e� A e p�los
admt�stvel maxtma
cabos BD e CE. Se a deformação normaldetermme
o deslocamrnlmm,
em cada cabo for E = O 002
P.
da
carga
mo
mento vertical máxi
2.5.
-
máx
'
53
r e-(
f�::.=.
' �""!""-� p
�r
_j
300 mm
Problemas 2.8/9
2.10. O cabo AB não está esticado quando (} = 45o . Se uma
carga vertical for aplicada à barra AC e provocar a mudança
do ângulo para (} = 47°, determine a deformação normal no
Problemas 2.5/6
cabo.
2.7. Os dois cabos estão interligados em A . Se a força P
2.11. Se a carga aplicada à barra AC provocar o deslo­
provocar um deslocamento horizontal de 2 mm no ponto camento do ponto A para a esquerda de uma quantidade
A, determine a deformação normal desenvolvida em
11L, determine a deformação normal no cabo AB. Origi­
cada cabo.
nalmente, (} = 45 o .
em
Problemas 2.10/11
Problema 2.7
'2.12. A forma original de uma peça de plástico é retan­
a ião con­ gular. Determine a deformação por
cisalhamento l'xy nos
CBD um cabo fl í el AB. Se
cantos A e B se o plástico se distorcer como mostram as
linhas tracejadas.
2.13. A forma original de uma peça de plástico é retangu­
cabo não est á esticado.
lar. Determine a deformação por cisalhamento y nos can­
controle par a u m avião consiste
tos D e C se o plástico se distorcer como mostraci as linhas
CBD um cabo tlexível AB. Se uma
tracejadas.
ex.tremidade D do elemento provocar
2.14. A forma original de uma peça de plástico é retangu­
lt'ft>rnrHu·lln normal no cabo de
mm/mm, deterIar. Determine a deformação normal média que ocorre ao
dc:Sit)carnellto do
D. Em sua
original , o
longo das diagonais AC e DB.
de controle para um
e
v
ex v
c
54
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O quadrado deforma-se até chegar à posição mostra­
da pelas linhas tracejadas. Determine a deformação normal
média ao longo de cada diagonal, AB e CD. O lado D' B'
permanece horizontal.
2.18.
3 mm
Problemas 2.12/13/14
Originalmente, o cabo de ancoragem AB de uma es­
trutura de edifício não está esticado. Devido a um terremoto,
as duas colunas da estrutura inclinam-se até um ângulo () zo.
Determine a deformação normal aproximada do cabo quan­
do a estrutura estiver nessa posição. Considere que as colunas
são rígidas e giram ao redor de seus apoios inferiores.
2.15.
=
Problema 2.18
O quadrado deforma-se até chegar à posição mos­
trada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por
cisalhamento em cada um de seus cantos, A, B, C e D. O lado
D' B' permanece horizontal.
2.19.
JJ,
Problema 2.15
*2.16. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamen­
tos indicados. Determine a deformação por cisalhamento ao
longo das bordas da chapa em A e B.
2.17. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamen­
tos indicados. Determine as deformações normais médias ao
longo do lado AB e das diagonais AC e DB.
y
Problema 2.19
O bloco é deformado até chegar à posição mostrada
pelas linhas tracejadas. Determine a deformação normal mé­
dia ao longo da reta AB.
*2.20.
7,5 mm
Problemas 2.16/17
3 mm
\1
-----------, B
Problema 2.20
DEFORMAÇÃO
55
longo do eixo x é jadas. Determine a deformação normal média ao longo da
Um cabo fino que se encontruma ao
de
seus pontos sofre diagonal D B e do lado AD.
cada
que
modo
tal
de
o
d f0 rmad
2 ao longo do eixo. Se k for cons­
kx
�
o
ament
desloc
u�
tante, qual é a deformação normal em qualquer ponto P ao
longo do cabo?
2 •21.
==
Problema 2.21
chapa retangular é submetida à deformação mos­
trada pela linha tracejada. Determine a deformação por ci­
salhamento média 'Yxy da chapa.
2.22. A
y
X
Problemas 2.25/26
O material é distorcido até a posição tracejada, como
mostra a figura. Determine (a) as deformações normais mé­
dias ex e eY e a deformação por cisalhamento 'Yxy em A e (b) a
deformação normal média ao longo da reta BE.
*2.28. O material é distorcido até a posição, como mostra a
figura. Determine a deformação normal média que ocorre ao
longo das diagonais AD e CF.
2.27.
b
y
c
r·
L
�
25 mm
Problema 2.22
chapa retangular é submetida à deformação mos­
trada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por
cisalhamento média 'Y,y da chapa.
'2.24. A chapa retangular é submetida à deformação mos­
trada pelas linhas tracejadas. Determine as deformações
normais médias ao longo da diagonal AC e do lado AB.
2.23. A
mm
100 mm
A f--- 80 mm ----..j F
---"-- X
Problemas 2.27/28
2.29. O bloco é deformado até a posição mostrada pelas
linhas tracejadas. Determine a deformação por cisalhamento
nos cantos C e D.
\-- - 1,\J_�_SS."'_m_cc:::!
J
y
15 mm
a retangular. Determine a
a se os canD forem submetidos a d{'slocamcntos CJUe provoquem
da bmTacha mos t rada
linhas tracejadas.
2.26.
forma
da peça de borracha é retangular e
ela submetida
mostrada
linhas traced a peça de bo rra c h é
por cisalhamento m é di
1 0\J,
1
I_
If-- 100 mm --1ID
Problema 2.29
X
56
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
comprimento original da barra é 30 mm quando uma deformação normal E 0,0002x ao longo de seu compri­
está reta. Se ela for submetida
a uma deformação cisa­ mento, determina mudança no comprimento do cabo. Dica:
lhamento definida por 'Yxy = 0,02x, onde x é dado empormilíme­ Para a curva,y =f(x), ds = Vl + (dy/dx)2 • dx.
tros, determine o deslocamento Lly na extremidade de sua
foi distorcida
até anaforma
naborda
qualinferior.
não ocorrebarra
alongamento
da barra
direçãomostrada,
x.
2.30.
O
=
y
A
y=
I
y
0,02x2
Problema 2.33
fibra AB tem comprimento L e orientação O. Se
suas
extremidades
A e B sofrerem deslocamentos muito pe­
2.31.
raio original do tubo curvado é 0,6 m. Se ele sofrer
respectivamente, determine a deformação
uA e
aquecimento não uniforme que provoque uma deformação quenos
normal ao longo de seu comprimento E= 0,05 cosO, determi­ normal na fibra quando ela estiver na posição A 1B 1•
ne o aumento no comprimento do tubo.
*2.32. Resolva o Problema 2.31 considerando E = 0,08 senO.
Problema 2.30
2.34. A
O
v8,
y
X
Problema 2.34
2.35. Se a deformação normal for definida em relação ao
comprimento final, isto é,
€1I1 p->p'(JlS1i.J.-SI JlS)
=
Problemas 2.31/32
rlDl
A
2.33. Um cabo fino é enrolado ao longo da superfície cuja
em vez de em relação ao comprimento original, Equação 2.2,
forma é y 0,02x2, onde x e y são dados em mm. posição mostre
diferença
entre essas
deformações
original da extremidade B é x = 250 mm. Se o cabo sofrer da comoqueumatermo
de segunda
ordem,
a saber, €1é-representa­
<, = €1 <·
=
A
Pro r1e a es
ecâ n icas dos materia is
OBJ ETIVOS DO CAP ÍTU LO
básicos de tensão e deformação , mostraremos , neste capítulo, como a
Agora que já discutimos os conceitos
deformaçã o por meio de métodos experim ent a i s capazes de determ i n a r
tens ão pode ser relacionada com a
para um m ateria l específico. O comportame nto descrito por esse diagra m a
0 d iagra m a tensão-defo rmação
lizados n a engen haria. Di scuti remos, ta m bém, p ropriedades me­
será d iscutido para materia i s comumente uti
lvimento da resistênci a dos materi a is.
cân ica s e outros ensaios rel acionados com o desenvo
3.1
O ensa i o d e tração e
d0
com p ressão
A resistência de um material depende de sua ca­
pacidade ele suportar uma carga sem deformação ex­
cessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao
próprio material e eleve ser determinada por métodos
experimentais. Um elos testes mais importantes nesses
casos é o ensaio ele tração ou compressão. Embora
seja possível determinar muitas propriedades mecâni­
cas importantes ele um material por esse teste, ele é
usado primariamente para determinar a relação entre
a tensão normal média e a deformação normal média
cm m uit os materiais usados na engenharia, como me­
tais, <:erâmicas, polímeros e compósitos.
Para executar o ensaio ele tração ou compressão,
prepara-se um corpo ele prova elo material com forma
c larnanho " padronizados". Antes do teste, duas pe­
quenas marcas são identificadas ao longo do compri­
rncnto elo corpo ele prova. Essas marcas são localizadas
longe de ambaH as extremidades do corpo ele prova,
porque a d i s tri b ui çã o de te n s ã o nas extremidades é
um t a n t o c01nplexa devido au aperto nos acoplamen­
tos on d e a carga é a p l ic ad a . Em seguida, são medidos
tran sversa l inici a l d o corpo de prova,
a !Í n::a da
e o
de referência, L0, quc é a distância
e n t re as d u as marcas. Por
utilizado IlO ensaio de
o corpo de prova
geral
13 mm e comprimento de
3 . 1 ). Para aplicar-se
de
u m metal em
sem provoca r flexão no corpo ele prot:'ítre'mlthld<:s normalmente são en<:aixaclas em
de
A
le nt a e co n s t ant e , até
como
para alongar o
é proj e t a da
para m a n ter esse a longamento
=
13 mm
Figura 3.1
travessa ----'•.-,w'--��---=.-"
superior
móvel
corpo de
prova para
ensaio de tração
mostrador
de carga
Figura 3.2
Dados ela carga aplicada P são lidos no mostrador
da máquina ou em um mostrador digital e registrados
em intervalos frequentes. O alongamento 8 = L - Lo
entre as marcas n o corpo de prova também pode ser
medido por meio de um calibre ou por um dispositivo
mecânico ou ótico denominado extensômetro. Então,
esse valor de 8 (delta) é usado para calcular a defor­
mação normal média no corpo de prova. Entretanto,
às vezes, essa medida não é tomada, j á que também
é possível ler a deformação diretamente por meio ele
um extensômetro de resistência elétrica, mostrado na
Figura 3.3. A operação desse equipamento baseia-se
58
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Extensômetro de resistência elétrica
Figura 3.3
na variação da resistência elétrica em um arame muito
fino ou lâmina delgada de metal sob deformação. Em
essência, o extensómetro é colado ao corpo de prova
em uma direção específica. Se o adesivo for muito for­
te em comparação com o extensómetro, este passará,
então, a ser parte integrante do corpo de prova. Assim,
quando o corpo de prova for solicitado na direção do
extensómetro, o arame e o corpo de prova sofrerão a
mesma deformação. Pela medição da resistência elétri­
ca do arame, o extensómetro pode ser calibrado para
ler valores de deformação normal diretamente.
3.2
O d i a g ra m a tensã o­
d efo r m a çã o
Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou
compressão, é possível calcular vários valores da ten­
são e da deformação correspondentes no corpo de
prova e, então, construir um gráfico com esses resulta­
dos. A curva resultante é denominada diagrama ten­
são-deformação e, normalmente, ela pode ser descrita
de duas maneiras.
Diagrama tensão-deformação convencional.
Utilizando os dados registrados, podemos determinar
a tensão nominal, ou tensão de engenharia, dividindo
a carga aplicada P pela área original da seção transver­
sal do corpo de prova, A 0• Esse cálculo considera que
a tensão é constante na seção transversal e em toda a
região entre os pontos de calibragem. Temos
Se os valores correspondentes de a e E forem mar­
cados em um gráfico no qual a ordenada é a tensão e
a abscissa é a deformação, a curva resultante é deno­
minada diagrama tensão-deformação convencional.
Esse diagrama é muito importante na engenharia por­
que proporciona os meios para se obterem dados so­
bre a resistência à tração (ou compressão) de um ma­
terial sem considerar o tamanho ou a forma física do
material, isto é, sua geometria. Entretanto, tenha sem­
pre em mente que dois diagramas tensão-deformação
para um determinado material nunca serão exatamen­
te iguais, já que os resultados dependem de variáveis
como a composição e as imperfeições microscópicas
do material, seu modo de fabricação e a taxa de carga
e temperatura utilizadas durante o teste.
Agora, discutiremos as características da curva ten­
são-deformação convencional referente ao aço, um
material comumente utilizado para fabricação de ele­
mentos estruturais e mecânicos. A Figura 3.4 mostra
o diagrama tensão-deformação característico para um
corpo de prova de aço obtido pelo método descrito.
Por essa curva, podemos identificar quatro modos di­
ferentes de comportamento do material, dependendo
do grau de deformação nele induzido.
elástico. Ocorre o comportamen­
to elástico do material quando as deformações no cor­
po de prova estão dentro da primeira região mostrada
na Figura 3.4. Podemos ver que a curva é na verdade
uma linha reta em grande parte dessa região, de mod;
que a tensão é proporcional à deformação. Em outras
palavras, o material é linearmente elástico. O limite
superior da tensão para essa relação linear é denomi­
nado limite de proporcionalidade, a1 • Se a tensão ul­
trapassar ligeiramente o limite de pr�porcionalidade,
o material ainda pode responder de maneira elástica;
todavia, a reta tende a encurvar-se e achatar-se como
'
cr
cr[ �
tensão de ruptura real
------�-- --�·
----------------
--
ll
l
d
li
fi
/
s
d
p
c
1:
d
a
('
Jl
ll
li
(' I
q
1'1
li
(í
ll
(3.1)
11
l' l
('l
Da mesma maneira, a deformação nominal, ou de­
formação de engenharia, é determinada diretamente
pela leitura da deformação no extensómetro, ou divi­
dindo a variação, 8, no comprimento de referência do
corpo de prova pelo comprimento de referência ori­
ginal do corpo de prova, L0• Aqui, consideramos que
a deformação é constante em toda a região entre os
pontos de calibragem. Assim,
(3.2)
.
r
tr
1 <.
tamento
elástico
Diagramas de tensão-deformação convecional e real para um
material dúctil ( aço)(não está em escala)
Figura 3.4
ll
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
mostra a figura . Isso continua até a tensão atingir o
Ao atingir esse ponto, se a car­
lim ite de elasticidade.
á à sua
ga for removida, o corpo de prova ainda voltar
forma original. No entanto, no caso do aço, o limite de
elasticidade raramente é determinado, visto que está
muito próximo do limite de proporcionalidade, por­
tanto é muito difícil detectá-lo.
Um pequeno aumento na tensão
de elastici dade resultará no colapso
limite
do
acima
com que ele se deforme permanen­
fará
e
l
materia
do
tamento é denominado esco­
compor
Esse
ente.
tem
amento e é indicado pela segunda região da curva.
A tensão que causa escoamen to é denomin ada ten­
são de escoamento ou ponto de escoamen to, cr , e a
deform ação que ocorre é denominada deform�ção
plástica. Embora a Figura 3 .4 não mostre, o ponto de
escoamento para aços com baixo teor de carbono ou
laminados a quente é frequentemente distinguido por
dois valores. O ponto de escoamento superior ocorre
antes e é seguido por uma redução repentina na capa­
cidade ele suportar carga até um ponto de escoamen­
to inferior. Entretanto, uma vez alcançado o ponto
de escoamento, o corpo de prova continuará a alon­
gar-se (deformar-se) sem qualquer aumento na carga,
como mostra a Figura 3 .4. Observe que a figura não
está em escala; se estivesse, as deformações induzidas
pelo escoamento seriam 10 a 40 vezes maiores do que
as procluziclas até o limite ele elasticidade. Quando o
material está nesse estado, costuma ser denominado
perfeitamente plástico.
por
Quando o escoacnlo
t
iver
terminado,
pode-se
aplicar
uma carga adi­
n:
Clonai ao corpo de prova, o que resulta em uma curva
que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada
até atingir uma tensão máxima denominada limite de
resistência, cr,. O crescimento da curva dessa manei­
�·a é � : nominado endurecimento por deformação e é
tdcnttflcado na terceira região da Figura 3.4. Durante
todo o e n s ai e> � nq �1anto o corpo se alonga, sua seção
transversal chm mut. Essa redução na área é razoavel­
mente uniforme por todo o comprimento de referência do corpo de � n; va, até mesmo a deformação que
ao lumte de resistência.
No limite de re s i s t ê nci a , a área da seção
t ransversal cmneça a diminuir em uma r e g i ão localizatÜl do corpo de "
em vez de em tod o o seu compri­
.
fenorncno
causado por planos deslizan-
do
e as deformações
causadas por tensão de cisalhaComo
tende a for-
nu interior
ou
'
que (í corpo d e prova se
nessa
cada
trans­
Visto que a área d a
está
continuamente,
59
Estricção
(a )
Falha de um
material dúctil
(b)
Figura 3.5
a área menor só pode suportar uma carga sempre de­
crescente. Por consequência, o diagrama tensão-de­
formação tende a curvar-se para baixo até o corpo de
prova quebrar, quando atinge a tensão de ruptura, a
(Figura 3 .5b) . Essa região da curva provocada pela ;��
tricção é indicada na quarta região da Figura 3.4.
Diagrama tensão-defo rmação real .
Em
vez de sempre usar a área da seção transversal e o com­
primento originais do corpo de prova para calcular a
tensão e a deformação (de engenharia), poderíamos
utilizar a área da seção transversal e o comprimento
reais do corpo de prova no instante em que a carga é
medida. Os valores da tensão e da deformação calcu­
lados por essas medições são denominados tensão real
e deformação real, e a representação gráfica de seus
valores é denominada diagrama tensão-deformação
real. O gráfico desse diagrama tem a forma mostra­
da pela curva superior na Figura 3 .4. Observe que os
diagramas cr-E convencional e real são praticamente
coincidentes quando a deformação é pequena. As di­
ferenças entre os diagramas começam a aparecer na
faixa do endurecimento por deformação, quando a
amplitude da deformação se torna mais significativa.
Em particular,há uma grande divergência na região de
estricção. Nessa região, o diagrama cr-E convencional
mostra que, na verdade, o corpo de prova suporta uma
carga decrescente, já que A0 é constante quando calcu­
l �mos a tensão de engenharia, cr = P/A0• Contudo, pelo
dtagran:a ::-E �e �l, a área real A no interior da região
de estncçao dtmmm. sempre até a ruptura a por'
rup'
t� n to, na verd ad e, o material suporta tensão crescente,
vtsto que a = PIA .
Embora os diagramas tensão-deformação conven­
.
cional e real sejam diferentes, a maioria dos projetas
.
de eng� nhan� fica dentro da faixa elástica, pois, em ge­
r a� , a dtstorçao do material não é severa dentro dessa
fmxa. Contanto que o material seJ· a "rígido" , c'Omo a
.
.
.
0:�10na dos metms, a deformação até o limite de elas­
ttctdade permanecerá pequena, e o erro associado à
60
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
crs=435400
= 324�
300 ((cree)i)s == 248
262'--cr = 240 7!-'=:::
2oo
cr (MPa)
�---
l7
CTJ
CFtp
/Lf
/--
ii __
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
__
/
/
e;:;:::
. :=;c;:2'
/=
/:;=:;:;::;�c.:_l _
1·
I
/
'��
�
� -�
� -��
�
_
10< I
v_
t[_ 1.,1-.L
e= (0,o030050 0,10 \""' 0,20
0,30
E
) 00,,004
40
___J_+--_j__----:-�---L--::-':;:----'----;-;
:J____ E (mm/mm)
_
'
0,00 I
Etp
=
O '003
0,002
0,()QJ 2
"!
= 0,380
Diagrama tensão-deformação para aço doce
Figura 3.6
u E
utilização de valores de engenharia de e é muito
pequeno (aproximadamente 0,1 % ) , em comparação
com seus valores reais. Essa é uma das principais ra­
zões para a utilização dos diagramas tensão--deforma­
ção convencionais.
Os conceitos discutidos até aqui podem ser resumi­
dos na Figura 3.6, a qual mostra um diagrama tensão-­
deformação convencional para um corpo de prova real
feito de aço doce. Para destacar os detalhes, a região
elástica da curva é mostrada em cor clara em uma es­
cala de deformação exagerada, também em cor clara.
Acompanhando o comportamento, vemos que o limite
de proporcionalidade é atingido em
241 MP�,
onde lp O '0012 mm/mm. Em seguida, ocorre um h262 MPa e, enmite superior de escoamento
tão, repentinamente, um limite inferior de escoamento
248 MPa. O final do escoamento ocorre a u�a
deformação e 0,030 mm/mm, que é 25 vezes maiOr
do que a deformação no limite de proporcionalidade.
Na continuação, o corpo de prova sofre endurecimento
por deformação até atingir o limite de resistência
434 MPa e, então, começa a sofrer estricção até ocorrer
324 MPa. Por comparação, a deformação na
falha,
falha,
0,380 mm/mm é 317 vezes maior que
E=
(Be)i =
E=
(ue)s =
u1 =
E1 =
3.3
u1P =
E, =
E1P !
Comporta m e nto d a tensão­
d eformaçã o d e materi a i s
dúcteis e frágeis
O s materiais podem ser classificados como dúcteis
ou frágeis, dependendo de suas características de ten-
são-deformação. Agora, cada um será estudado sepa­
radamente.
M ateriais d úctei.s. Qualquer material que possa
ser submetido a grandes deformações antes de sofrer
ruptura é denominado material dúctil. O aço doce,
como já discutimos, é um exemplo típico. Os engenhei­
ros costumam escolher materiais dúcteis para o proje­
to uma vez que esses materiais são capazes de absor­
ver choque ou energia e, se ficarem sobrecarregados,
exibirão, em geral, grande deformação antes de falhar.
Um modo de especificar a ductilidade de um ma­
terial é calcular o percentual de alongamento ou a
redução percentual da área no instante da ruptura. A
porcentagem de alongamento é a deformação de rup­
tura do corpo de prova expressa como porcentagem.
Assim, se o comprimento de referência original do
corpo de prova for L0 e seu comprimento na ruptura
for Lru ' então
p
Porcentagem
de alongamento
=
0 ( 100% )
L p- L
ru
Lo
(3.3)
E1=
Como vimos na Figura 3.6, visto que
0,380, esse
valor seria 38% para um corpo de prova de aço doce.
A porcentagem de redução da área é outro modo
de especificar a ductilidade e é definida dentro da re­
gião de estricção da seguinte maneira:
Porcentagem de
redução da área
= Ao A-o Af ( 100 % )
(3.4)
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 6 1
Nessa expressão, A0 é a área da seção transversal
área na ruptura. O
original do corpo de prova e A1 é a
.
aço doce tem um valor típico de 60%
ênio e zinco,
molibd
latão,
como
ais,
materi
s
Outro
defor­
tensãode
ísticas
caracter
exibir
m
pode
tamb ém
por
passam
isso,
e,
aço
do
às
antes
semelh
dúctil
mação
por comportamento de tensão-deformação elástica,
escoamento a tensão constante, endurecimento por
deformação e, por fim, estricção até ruptura. Entre­
tanto, na maioria dos metais não ocorrerá escoamento
constant e além da faixa elástica. Um metal que apre­
senta tal comportamento é o alumínio. Frequentemen­
te, esse metal não tem um ponto de escoamento bem
definido e, por consequência, é prática padrão definir
um limite de escoamento para o alumínio por meio
de um procedimento gráfico denominado método da
rleformação residual. Em geral escolhe-se uma defor­
mação de 0,2% (0,002 mm/mm) e, tomando como ori­
gem esse ponto no eixo E, traça-se uma paralela à parte
inicial em linha reta do diagrama tensão-deformação.
O ponto em que essa reta intercepta a curva determina
o limite de escoamento. Um exemplo da construção
desse gráfico para determinar o limite de escoamento
para uma liga de alumínio é mostrado na Figura 3.7.
Pelo gn1fico, o limite de escoamento é (J'te = 352 MPa.
Tenha sempre em mente que o limite de escoamen­
to não é uma propriedade física do material, visto que
é uma tensão que causa uma deformação específica
permanente no material. Todavia, neste livro, consi­
deraremos que limite de escoamento, ponto de escoa­
mento, limite de elasticidade e limite de proporcionali­
dade coincidem, a menos que seja afirmado o contrário.
Uma exceção seria a borracha natural que, na verdade,
não tem sequer um limite de proporcionalidade, já que
a tensão c a deformação não são relacionadas linear­
mente (Figura 3.8). Ao contrário, esse material, que é
conhecido como u m polímero exibe comportamento
A madeira é um material que, em geral, é modera­
damente dúctil e, por isso, costuma ser projetada para
reagir somente a carregamentos elásticos. As caracte­
rísticas de resistência da madeira variam muito de uma
espécie para outra e, para cada uma dessas espécies,
dependem do teor de umidade, da idade, do tamanho e
do arranjo dos nós na madeira j á cortada. Como a ma­
deira é um material fibroso, suas características de tra­
ção e compressão serão muito diferentes quando ela
for carregada paralela ou perpendicularmente a seu
grão. A madeira racha quando carregada em tração
perpendicular a seu grão e, por consequência, quase
sempre se entende que, em elementos estruturais de
madeira, as cargas de tração serão aplicadas paralela­
mente ao grão.
M ateriais frágeis. Materiais que exibem pouco
ou nenhum escoamento antes da falha são denomina­
dos materiais frágeis. O ferro fundido cinzento é um
exemplo, pois tem um diagrama tensão-deformação
sob tração, como o mostrado pela porção AB da cur­
va na Figura 3.9. Neste caso, a ruptura em (J' = 152
MPa ocorreu, inicialmente, uma imperfeição �� trinca
microscópica, então propagou-se rapidamente pelo
corpo de prova causando a ruptura completa. O resul­
tado desse tipo de ruptura é que a tensão de ruptura
sob tração para materiais frágeis não é bem definida,
visto que o surgimento de trincas iniciais em um corpo
de prova é bastante aleatório. Por essa razão, em vez
da tensão de ruptura propriamente dita, registra-se a
tensão de ruptura média observada em um conjunto
de ensaios de tração. A Figura 3.10a mostra um corpo de
prova que sofreu uma falha típica.
Em comparação com seu comportamento sob tra­
ção, os materiais frágeis, como o ferro fundido cinzento,
exibem uma resistência muito mais alta à compressão
axial, como fica claro na porção AC da curva na Figura
3.9. Neste caso, quaisquer trincas ou imperfeições no
elástico não linear.
a
(MPa)
400
cr
15
(MPa)
lO
��,+��"'-,-��"""�-��-L-�
O,Ol O
aet,ommçílo residual)
5"
e
(mmjmm)
Limite de elleottmento para uma líga de alumfnio
3.7
"-----;!;----';----L..__---.�----1.-- E (mm/mm)
2
4
6
8
10
Diagrama cr-E para borracha natural
Figura 3.8
62
RESISTI':NCIA DOS MATERIAIS
L
u (MPa)
6
o ,_
os
_o�
,o___T
-__
7
20 , B
ur = 152
- o�
,o4 - o,o3 - o,o2 - o,o1 A
, ___+_ �_ _r__
__
__
__
0,01
-200
Ruptura de um material
frágil por tração
( a)
E Cmm1mm)
(i
n
g
[]
/,
-400
-600
-800
p<
Compressão provoca
protub erância
lateral no material
(b)
-1000
c
Diagrama u-E para ferro fundido cinzento
Ol
y,
er
Figura 3.10
Figura 3.9
d;l
corpo de prova tendem a fechar-se e, à medida que a
carga aumenta, o material em geral abaula-se ou toma
a forma de um barril (Figura 3.10b).
O concreto, assim como o ferro fundido cinzento, é
classificado como um material frágil e também tem bai­
xa capacidade de resistência à tração. As características
de seu diagrama tensão-deformação dependem prima­
riamente da mistura do concreto (água, areia, brita e ci­
mento) e do tempo e temperatura de cura. Um exemplo
típico de um diagrama tensão-deformação "completo"
para o concreto é dado na Figura 3.11. Observamos nes­
se gráfico que a máxima resistência à compressão do
concreto é quase 12,5 vezes maior do que sua resistên-
cia à tração, (a"Jmáx = 34,5 MPa, em comparação com
(a)máx = 2,76 MPa. Por essa razão, o concreto é quase
sempre reforçado com barras ou hastes de aço quando
projetado para suportar cargas de tração.
Em geral, pode-se dizer que a maioria dos materiais
exibe comportamentos dúcteis e frágeis. Por exemplo,
o aço tem comportamento frágil quando seu teor de
carbono é alto, e dúctil quando o teor de carbono é re­
duzido. Além do mais, em baixas temperaturas, os ma­
teriais tornam-se mais duros e mais frágeis, ao passo
que, quando a temperatura sobe, eles ficam mais ma­
cios e mais dúcteis. Esse efeito é mostrado na Figura
3.12 para um plástico metacrilato.
ro
()
sa
h
M
te1
Nc
de
lid<
po >
111<1
u (MPa)
ta,
ace
60
out
50
Sell
40
é LI !
30
des
-20
20
ter '
-30 u
( c)máx = 34,5
-40
10
tncc
l
h
u (MPa)
(u,)máx = 2,76 10
-o,oo2s-o,o02o-o,oo1s-o,oo1o-o,ooos
� ·
-o,oo3o
--�---.-----�---.----.----,---,�----�
E CmmImm)
o 0,0005
-10
,
"_,
0"'
'"
)-l'
/�p
,,,_,�,,,,. .
I
/'"'
�.d"""-----�--1 ,------
Diagrama u-E para mistura de concreto típica
Figura 3.11
no r
livn
mat
ria i�
l1W J I
�C.---L___l___j____J___L___j__
E (mm/mm)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Diagrama u-E para um plástico metacrilato
Figura 3.12
se m
mat1
disse
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
3.4
Le i d e H o o ke
u
anterior, o diagrama
Corno observamos na seção
. .
. .
dos matenms de entensao-deformação para a mmona
.
tensao e deforgenhana eXl'be uma relação lznear entre
maçao dentro da região elástica. Por consequencm, um
·
aumento na tensão provoca um aumento proporcwna1
to
na deformação. Esse fato foi �escober. por Ro�ert
Hooke, em 1676, para molas, e e con�ec1do como lel de
Hooke e pode ser expresso matematicamente como
�
�
.·
A
•
�
(MPa)
1.200
1 .000
900
800
600
500
Nesta expressão, E representa a constante de pro­
porcionalidade, denominada módulo de elasticidade
ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas
Young, que publicou uma explicação sobre o módulo
em 1807.
Na realidade, a Equação 3.5 representa a equação
da porção inicial em linha reta d? dia�rama te�são-:-cte­
formação até o limite de proporcwnahdade.Alem d1sso,
0 módulo de elasticidade representa a inclinação des­
sa reta. Visto que a deformação é adimensional, pela
Equação 3.5 E terá unidades de tensão como Pascal,
MPa ou GPa. Como exemplo, considere o diagrama
tensão-deformação para o aço mostrado na Figura 3.6.
Nesse diagrama ' (j'/p = 240 MPa e E1p = 0,0012 mm/mm,
de modo que
200
240 GPa
0,0012 mm/mm
=
200 GPa
Como mostra a Figura 3.13, o limite de proporciona­
lidade para um tipo particular de aço depende da com­
posição de sua liga. Todavia, a maioria dos aços, desde o
mais mole aço laminado até o mais duro aço-ferramen­
ta, tem o mesmo módulo de elasticidade, geralmente
aceito como Eaço = 200 GPa. Valores comuns de E para
outros materiais de engenharia são encontrados em
normas de engenharia e manuais de referência. Apre­
sen tamos alguns valores representativos no final deste
livro. Devemos observar que o módulo de elasticidade
é uma propriedade mecânica que indica a rigidez de um
material. Materiais muito rígidos, como o aço, têm gran­
des valores de E (E = 200 GPa), ao passo que mate­
o
riais esponjosos, co�o a borracha vulcanizada, podem
ter valores mais baixos (Eh = 0,70 MPa).
orr
O módulo de elasticidade é uma das propriedades
mecânicas mais importantes utilizadas no desenvolvi­
mento de equações apresentadas neste livro. Porém, é
sempre bom lembrar que E só pode ser usado se um
material tiver comportamento linear elástico . Além
disso, se a tensão no material for maior que o limite
_
700
400
E1P
aço de mola
(1% carb ono)
1.100
(3.5)
E = (j'lp =
63
aço duro
(0,6% carb ono )
tratado a quente
aço para máquina
carbono)
aço estrutural
(0,2% carb ono)
aço mole
(0,1% carbono)
(0,6%
300
-�--
100
_
L___j_
__l__ _j__-'----'-- E
0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
(mm/mm:
Figura 3.13
de proporcionalidade, o diagrama tensão-deformação
deixa de ser uma linha reta, e a Equação 3.5 deixa de
ser válida.
Endurecimento por d eformação. Se um cor­
po de prova de material dúctil, como o aço, for carregado
na região plástica e, então, descarregado, a deformação
elástica é recuperada à medida que o material volta a
seu estado de equilíbrio. Entretanto, a deformação plás­
tica permanece, e o resultado é que o material fica su­
jeito a uma deformação permanente. Por exemplo, um
cabo que é encurvado (plasticamente) retomará ( elasti­
camente) um pouco da forma original quando a carga
for retirada, mas não retornará totalmente à sua posi­
ção original. Esse comportamento pode ser ilustrado
no diagrama tensão-deformação mostrado na Figura
3.14a. Nesse diagrama, em primeiro lugar, o corpo de
prova é carregado além de seu ponto de escoamento
A, até o ponto A ' . Uma vez que é preciso vencer forças
interatômicas para alongar o corpo de prova elastica­
mente, então essas mesmas forças reunirão os átomos
novamente quando a carga for removida (Figura 3.14a).
Por consequência, o módulo de elasticidade, E, é o mes­
mo, e, portanto, a inclinação da reta O'A' é igual à incli­
nação da reta OA.
Se a carga for reaplicada, os átomos no material se­
rão deslocados novmnente até ocorrer escoamento à
tensão A' ou próximo dela, e o diagrama tensão-defor­
mação continuará na mesma trajetória de antes (Figura
3.14b). Contudo, cabe observar que esse novo diagrama
tensão-deformação, definido por O'A'B, agora tem um
ponto de escoamento mais alto, (A'), uma consequência
do endurecimento por deformação. Em outras palavras,
o material tem, agora, uma região elástica maior; contudo,
tem menos ductilidade e uma região plástica menor do
que tinha quando em seu estado original.
64
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
região
plástica
região
elástica
Figura 3.15
o�----'--,o""',-----'-- "
permane�te elástica
Ideformaçao I recuperaçao I
(a )
_
região
elástica
região
plástica
���o
B
histerese mecânica
O
(b)
O'
Figura 3.14
Na verdade, certa quantidade de calor ou energia
pode ser perdida à medida que o corpo de prova é des­
carregado desde A' e novamente carregado até essa
mesma tensão. O resultado é que as trajetórias A' a 0'
e 0' a A ' apresentarão leves curvaturas durante uma
medição cuidadosa do ciclo de carregamento, mostra­
das pelas linhas tracejadas na Figura 3.14b. A área in­
terna entre essas curvas representa energia perdida e
é denominada histerese mecânica. Ela se torna uma
consideração importante na seleção de materiais que
servirão como amortecedores para elementos estrutu­
rais ou equipamentos mecânicos vibratórios, embora
seus efeitos não sejam considerados neste livro.
3.5
E n e rg ia d e d efo rmaçã o
Quando um material é deformado por uma carga
externa, tende a armazenar energia internamente em
todo o seu volume. Como essa energia está relaciona­
da com as deformações no material, ela é denominada
energia de deformação. Por exemplo, quando um corpo
de prova de ensaio de tração é submetido a uma carga
axial, um elemento de volume do material é submetido
a uma tensão uniaxial, como mostra a Figura 3.15. Essa
tensão desenvolve uma força !:::..F = a!:::..A = a(!:::.x
. l:::.y. )
nas faces superior e inferior do elemento após ele ter
sofrido um deslocamento vertical E l:::..z . Por definição,
trabalho é determinado pelo produto entre a força e
o deslocamento na direção da força. Visto que a for­
ça aumenta uniformemente de zero até seu valor final
8F quando é obtido o deslocamento E !:::..z , o trabalho
realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor
médio da força (!:::..F/2) vezes o deslocamento E !:::..z . Esse
"trabalho externo" é equivalente ao "trabalho interno"
ou energia de deformação armazenada no elemento,
se considerarmos que nenhuma energia é perdida sob
a forma de calor. Por consequência, a energia de de­
formação !:::.. U é !:::.. U = (1!2!:::..F) E !:::.. z = (1/2a !:::..x !:::.y. ) E
!:::..z .Visto que o volume do elemento é !:::.. V = !:::..x !:::.y. l:::..z ,
então !:::.. U = 1!2aE!:::.. V.
Às vezes, é conveniente formular a energia de defor­
mação por unidade de volume de material, denominada
densidade de energia de deformação, a qual pode ser
expressa por
u
=
!:::.. U
--
!:::. V
=
1
- aE
2
(3.6)
Se o comportamento do material for linear elástico,
então a lei de Hooke se aplica, a = EE e, portanto,
podemos expressar a densidade de energia de defor­
mação em termos da tensão uniaxial como
(3.7)
M ó d u l o de res i l i ê n cia. Em particular, quan­
do a tensão a atinge o limite de proporcionalidade, a
densidade de energia de deformação, como calculada
pela Equação 3.6 ou 3.7, é denominada módulo de
resiliência, isto é,
(3.8)
L
s
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
Observe, na região elástica do diagrama tensão-de­
formação (Figura 3.16a) , que u, é equivalente à área
sob o di�grama. Em termos físi­
triangular sombreada
cos, a resiliência de um m_atenal representa sua capa­
cidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano
permanente.
Mód u lo d e t e n a ci d a d e .
Outra importante
de tenaci­
o
é
módulo
material
um
de
ade
propried
área
a
inteira
representa
quantidade
Essa
.
)
dade (u
Figura
16b ) ,
(
3.
formação
tensão-de
agrama
i
d
o
sob
portanto indica a densidade de energia de deforma­
ção do material um pouco antes da ruptura. Essa
propriedade é importante no projeto de elementos
estruturais que possam ser sobrecarregados aciden­
talmente. Materiais com alto módulo de tenacidade
sofrerão grande distorção devido à sobrecarga; con­
t udo, podem ser preferíveis aos que têm baixo valor
de módulo de tenacidade, j á que os que têm u1 baixo
podem sofrer ruptura repentina sem dar nenhum si­
nal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem
rnudar sua resiliência e tenacidade. Por exemplo, os
d iagramas tensão-deformação na Figura 3.17 mos­
t ram como os graus de resiliência e tenacidade de
um aço podem mudar quando o teor de carbono n a
liga é alle rado.
u,
"-----;:EL--------- E
pl
Módulo de resiliência u,
(a )
L------L- E
Módulo de tenacidade u1
(b)
Figma 3.16
é importante na engenharia porque proporciona um meio para ob­
à tração çm à cómpressão dt; um material sem éonsiderar o tamanho ou a forma
onvencional
calculadas pela área da seção transversal e comprimento de referência
ori-
gi
da re ão elástica. Essa propriedade
elastiCidade, E.
,;ó ;lin'lit!td,e P'lO
' J'JOI'cicmarlid'àde, o limite de elastieidade, · a
de escoamento ponneiode
es<�óâmento e sofrem ruptura repentina.
êfl1to 1mais alto para um material. O
t�tír�•cla; O módulo de elasticidade
Essa energia por unidade
de proporcionalidade, é
módulo de tenacidade .
65
66
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
limite de escoamento. Para uma deformação residual de
0,2 %, partimos da deformação de 0,2% ou 0,0020 mm/mm
e traçamos, no gráfico, uma reta paralela a OA (tracejada)
o que tem a resistência mais alta
até interceptar a curva u-e em A ' . O limite de escoamento é
aço estrutural
carb ono)
aproximadamente
que tem a maior tenacidade
Resposta
u1, 469MPa
aço mole
carbono)
o mais dúctil
limite de resistência. Essa tensão é definida pelo pico do
gráfico ponto B na Figura 3. 1 8.
Resposta
745,2 MPa
Figura 3.17
Tensão de ruptura. Quando o corpo de prova é deforma­
do até seu máximo de e = 0,23 mm/mm, ocorre ruptura no
ponto Por isso, "'P
Resposta
(J' = 621 MPa
Um ensaio de tração para um aço-liga resultou no dia­
grama tensão-deformação mostrado na Figura 3. 1 8. Calcu­
le o módulo de elasticidade e o limite de escoamento com
base em uma deformação residual de 0,2 %. Identifique no
gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura.
ift�m1'21lllü�"a.� SOLUÇÃO
O diagrama tensão-deformação para uma liga de alu­
mínio
utilizada na fabricação de peças de aeronaves é mos­
Módulo de elasticidade. Devemos calcular a inclinação
trado na Figura 3.19. Se um corpo de prova desse material
da porção inicial em linha reta do gráfico. Pela curva e escala for
à tensão de tração de 600 MP a, determine a
ampliadas, essa reta se estende do ponto O até um ponto es­ submetidopermanente
no corpo de prova quando a carga
timado A, cujas coordenadas aproximadas são (0,0016 mm/ deformação
é
retirada.
Calcule
também
o módulo de resiliência antes e
mm, 345 MPa).
depois
da
aplicação
da
carga.
Portanto,
SOLUÇÃO
345
MPa
E =
= 215 GPa
Resposta Deformação permanente. Quando o corpo de prova é
0,0016
submetido à carga, endurece por deformação até alcançar
o
ponto B no diagrama (Figura 3. 19). Nesse ponto, a
Observe que a equação da reta OA é, portanto, u = 215(1Q3)e. deformação
é aproximadamente 0,023 mm/mm. Quando a
f (0,6% carbono)
aço duro
-
- · ,
CHI
/J(
(0,2%
=
(0,1%
u-€,
L----- E
(J' r
I' c
=
C.
rttp
� """'"""�� "'= �!!'"'" #'
�
"
"'
0"'
0
""
�
"'
"
mm/mm
u-€
u(MPa)
800
B
� = 745,2----1-------=·· ·
700
100
o
Ec:l
�· ·
200
Emp 0,23
�-L�L-_L�L--L�--L�--L�-�� E(mm/mm)
I o,ooos I o.oo16 I o,ooz4
=
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24
0,0004
0,0012
Q2Sl20
0,2%
Figura 3.18
OE
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
ortamento do material segue a reta
a retilaradaà reta, o comp
cargparale
OA. Visto que ambas as retas têm a mes­
o C podeé osermódulo
determi­de
no pont
mação ação
a defor
clinação,
inanalit
ma
OA
reta
da
ícamente. A inclin
asticidade, isto é,
elnada
MPa
E 0,0450
06mm/mm = 75,0 GPa
triângulo CBD, temos que
450 MPa
E
0,006 mm/mm = 75 'O GPa
Essa deformação representa a quantidade de deformação
elástica recuperada. Assim, a deformação permanente, E 0c, é
E0c = 0,023 mm/mm - 0,008 mm/mm
0,0150 mm/mm
Resposta
OBSERVAÇÃO: Se a distância origiual entre as marcas de refe­
prova era 50 mm, após a remoção da carga
essa distflncicorpo
a seráde50 mm + (0,0150)(50 mm) = 50,75 mm
Módulo de resiliência. Aplicando a Equação 3. 8 , temos·'
1
= l utpEtp = (450 MPa)(0,006 mm/mm)
( )
21
1,35 MJ/m3
Resposta
é
BC,
=
( u,.) fim = 2, utp Etp
67
1
21 (600MPa)(0,008mm/mm)
Resposta
= 2,40 MJjm3
OBSERVAÇÃO: Por comparação, o endurecimento por defor­
mação nocontudo,
materialobserve
provocouqueumo módulo
aumentodenotenacidade
módulo depara
re­
siliência;
oOABF,
material
diminuiu,
queaacurva
área CBF.
sob a curva original,
é maior
que a visto
área sob
=
Pelo
=
=
rência
no
.
u, ;nído
=
A Figura 3.20a mostra uma haste de alumínio com área
de seção transversal circular e sujeita a uma carregamento
axial de 10 kN. Se uma porção do diagrama tensão-defor­
mação para o material for a mostrada na Figura 3.20b, deter­
mine o valor aproximado do alongamento da haste quando
a cargapermanente
é aplicada. Sedaahaste?
carga Considere
for removida,
qual é o alonga­
E 1 = 70 GPa.
mento
"
SOLUÇÃO
Para a análise, desprezaremos as deformações localizadas no
ponto de aplicação da carga e no local em que a área da se­
ção transversal da haste muda repentinamente. (Esses efei­
tos
serão discutidos
4. 1 e 4.em7.)toda
A tensão
a deformação
normalnassãoseções
uniformes
a seçãonormal
médiae
de cada segmento.
Para estudar a deformação da haste, devemos obter a de­
formação propriamente dita. Para isso, em primeiro lugar,
calculamos a tensão e, em seguida, usamos o diagrama ten-
lO kN
<r
kN
(MPa )
(a)
750
(MPa)
u
8
56,6 60
50
u,.
40
{f,
F
=
30
20
paralelo
�
-: ---'------'-----'--- •
--:0;:-:,0�4f-----0::-':-:
0 :---;-;
0 0�2;,o6
•fEBC
1() .
(mm/m m)
·
I
-- EOG--•
Ercc
=
=
Figura 3.20
onde I J
1 N·rn.
0,0450
o,o8
0,000808
(b)
o, 1o
o, 12
(mm/mm)
68
RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
obter a édeformação. A tensão normal
nosão-deformação
interior de cadaparasegmento
10(103 ) N = 31 83 MPa
p
uA S = - =
A
7r(O,Ol m )2
'
P 10(103 ) N = 56 59 MPa
7T(0,0075 m )2
use = - =
A
3.1. Um cilindro de concreto com 150 mm de diâmetro
300 mm de comprimento de referência é testado sob com­e
Os resultados doàensaio
são apresentados na tabe
pressão.carga
como
em relação contração. Desenhe o diagramala
tensão-deformação usando escalas de 10 mm = 2 MPa e
10 mm = 0,1(10-3) mm/mm. Use o diagrama para determi­
nar
o módulo de elasticidade aproximado.
'
Carga (kN)
Pelo diagrama tensão-deformação, o material na região AB é
deformado elasticamente, visto que u, = 40 MPa 31,83 MPa.
Usando a lei de Hooke,
31,83(106) Pa = 0,0004547 mmjmm
uA S
=
As = E
70( 10 ) Pa
E
9
ai
O material no interior da região BC é deformado plastica­
mente, visto que = 40 MPa < 56,59 MPa. Pelo gráfico,
para use = 56,59 MPa,
Ese = 0,045 mm/mm
O valor aproximado do alongamento da haste é, portanto,
8 = "i.EL = 0,0004547(600 mm) + 0,045(400 mm)
= 18,3mm
Resposta
Quando a carga de 10 kN for removida, o segmento AB
da haste retornará a seu comprimento original. Por quê?
Por outro lado, o material no segmento BC se recuperará
elasticamente ao longo daEreta FG (Figura 3.20b). Uma vez
que a inclinação de FG é a recuperação da deformação
elástica é
56,5 9(106) Pa = 0,000808 mm/mm
use
=
=
E
70(10 ) Pa
Então, a defcnmaç.ão plástica remanescente no segmento BC é
E0a = 0,0450 - 0,000808 = 0,0442 mm/mm
Portanto,
quandoé a carga é removida, o alongamento perma­
nente
da haste
u,
Problema 3.1
em umsãoensaio
para umOs dados
materialobtidos
cerâmico
dadosdenatensão-deformação
tabela. A curva é
linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o dia­
grama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o
módulo de resiliência.
3.2.
u = P/A e = ô/L
(MPa)
(mm/mm)
0,0
232,4
318,5
345,8
360,5
373,8
ai'
Erec
-
ai
9
8' = E0aLnc = 0,0442(400 mm) = 17,7 mm
Resposta
0,0000
0,0150
0,0300
0,0500
0,0650
0,0850
0,1000
0,1125
0,1250
0,1550
0,1750
0,1875
0,0
25,0
47,5
82,5
102,5
127,5
150,0
172,5
192,5
232,5
250,0
265,0
>
Contração (mm)
0,0000
0,0006
0,0010
0,0014
0,0018
0,0022
Pl'oblema 3.2
Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação
para
um
são dados
tabela. A curva
é li­
near entrematerial
a origemcerâmico
e o primeiro
ponto.naRepresente
o diagra­
ma em gráfico e determine o valor aproximado do módulo
de tenacidade. A tensão de ruptura é u, 373,8 MPa.
3.3.
=
u = P/A € = ô /L
(mm/mm)
(MPa)
0,0
232,4
318,5
345,8
360,5
373,8
0,0000
0,0006
0,0010
0,0014
0,0018
0,0022
Pl'oblema 3.3
ll
a
c
li
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
diâmetrciao original
de aço com
corpommdedeprova
foi subde
referên
mento
compri
i' j3 m:e 50ensaio de tração. Os dados resultantes
ums na tabela. Construa o grafico do d1.�gramsãoa
ntado ção e determme
apresãoe-defo
. os valores aproximados
tensmódulo dermaelastici
ento, do
de escoam
da otensão
dade,tensã
es­
Use
ra.
de
ruptu
da
e
ncia
resistê
de
ede 10 mm 209 MPa e 10 mm 0,05 mm/muma
limit
m.
De­
cala e novamente a região elástica usando a mesma escala
senh
mas use uma escala de deformação de 10 mm =
tensão,/mm
mm .
•
4
u
e t'd
1 o 'a
me
,
de comprimento
referência. Se o corpo de prova for sub­
metido
a carga dede tração
até 500 MPa, determine o valor
aproximado
da
recuperação
e do aumento no com­
primento de referência após oelástica
descarregamento.
do
=
a
500
0,00 1
400
Carga (kN) Alongamento (mm)
0,0000
0,0125
0,0375
0,0625
0,0875
0,1250
0,2000
0,5000
t,OOOO
2,5000
7,0000
10,0000
11,5000
(MPa)
600
=
de
0,0
7,5
23,0
40,0
55,0
59,0
59,0
60,0
83,0
100,0
107,5
97,5
92,5
69
300
/
1/
200
100
1//
I'
Oo
o
��
I�!--''
./'/
[/"
�""'
1\
CcC
c"
0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28
0,0005 0,001 0,00 15 0.002 0,0025 0,003 0,0035
E"(rnmlmm)
Problema 3.6
A figura
apresenta
o diagrama
tensão-deformação
para
um
aço-liga
com
12
de
diâmetro
original e 50 mm
Problema 3.4
de comprimento de referência. Determine os valores aproxi­
do módulo de resiliência e do módulo de tenacidade
figura apresenta o diagrama tensão-deformação mados
para
o
material.
aço-li
ga coma 1250mm
deDetermine
diâmetro osoriginal
e apro­
com­
de
referênci
mm.
valores
do móduldeo deprova
elasticidade
para o material, a carga
que
causa
(MPa)
que o corpo de prova suportará.escoamento e a carga
3.7.
mm
3.5.
A
para um
pri mento
x i mados
aplicada ao corpo
rmíxima
a
600
500
O' (MPa)
(í(J()
500
400
300
�!'
200
��
/
, C
'
'
-�
\
.'
·c.
ir
O o�/0,04
100
,/
�'""
r-ç,--�-- -
0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28
O 0,0005 0,00 I 0,00 15 0,002 0,(Xl25 0,003 0.0035
Problema 3.7
E"(rnmlmm)
figura
apresen
ta oinediagrama tensão-deformação de
uma
barra
de
aço.
Determ
os valores aproximados do mó­
dulo
de
elastic
idade,
l
i
mi
t
e
de
propor
cionali
dade
limite de
resistên
cia
módul
e
o
de
resiliên
cia.
Se
a
barra
for
�ubmetida
a uma carga de tração de 450 MPa, determine o valor da
recupe
da deformação elástica e da deformação per­
manentração
e na barra
quando descarregada.
'3.8.
A
70
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
u (MPa)
p
u (MPa)
550
500
450
400
350
l
c/(
,_,-•.,r c·
/"
200
150
100
50
o /
o
/
li
f-c ""
c.-
\,
28
ll
/
/
,/
0,10
I
-��
7T
/
'
21
14
300
250
35
/
o
7
"
o
·'
0,008
o'
.
'
· ,
I
''os '·
li
o
11
(!
p
0,016
0,024
0,032
0,040 0,048
E (mmjmm)
ii •
rr
lt
Problema 3.11
0,00 1 0
0,20
0,0020
E (mmjmm)
0,30
'3.12. A figura mostra o diagrama tensão-deformação para
fibra
de vidro.fabricada
Se uma barra
de 50material
mm defordiâmetro
comprimento
com esse
submetidae 2amumade
carga de tração axial de 60 kN, determine seu alongamento.
0,0030
u(Pa)
Problema 3.8
A figura mostra o diagrama cr-E para as fibras elásti­
cas que compõem a pele e os músculos dos seres humanos.
Determine o módulo de elasticidade das fibras e estime os
módulos de tenacidade e de resiliência.
3.9.
L-----
<" (mm/mm)
A mudança no peso de um avião é determinada pela
leitura de um extensômetro A montado no suporte de alumí­
nio da roda do avião. Antes de o avião ser carregado, a leitura
do extensômetro no suporte é E = 0,00100 mm/mm, ao passo
que, após o carregamento, é E = 0,00243 mm/mm. Determi­
ne a mudança na força que age2 sobre o suporte
se a área da
seção transversal dele for 2.200 mm2• Ea1 = 70 GPa.
Problema 3.12
3.13.
J. l
pr<
f<li
l i pt
11<1
l'iiiJ
IC
Problema 3.9
Uma barra de açoA-36 tem comprimento de 1.250 mm e
área da seção transversal de 430 mm2• Determine o comprimen­
to da barra se ela for submetida a uma tração axial de 25 kN. O
material tem comportamento elástico linear.
3.11. O diagrama tensão-deformação para o polietileno
que é utilizado para revestir cabos coaxiais é determinado
por
um ensaiodecom
provaPcom
comprimento
de referência
250 um
mm.corpo
Se umadecarga
aplicada
ao corpo
de prova desenvolver uma deformação E 0,024 mm/mm,de
determine o valor aproximado do comprimento do corpo
prova
medido entre os pontos de referência quando a car­
gaelasticamente.
é removida. Considere que o corpo de prova se recupere
3.10.
=
Problema 3.13
3.14. Um corpo de prova com comprimento original de 300 nun
tem diâmetro original de 12 mm e é submetido a uma força
de 2,5 kN. Quando a força é aumentada para 9 kN, o corpoo
de prova sofre um alongamento de 22,5 mm. Determine
módulo
elástico. de elasticidade para o material se ele permanecer
1
a
J
J
r
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
71
= 130 MPa, determine o diâmetro exigido para cada
é feitoar
nuclearsupor
reator
ral dee1um
ento estrutu
mligaelem
1ver
e
t'
d
t
o
cabo.
disso,daqualcarga?
é o novo
comprimento
do cabo AB
ement
esse
Se
.
io
zircôn
de
macargc aXl'al de 20 kN determme a area da seçao- transver- após aAlém
u
aplicação
Considere
que
o
comprimento
uma · 'da Use um fator de segurança 3 em relaçao ao escoa- não alongado de AB seja 750 mm. E = 200 GPa.
1 m de
se eleEzrtiVer
tomm?
otoelemen
sobre
Qualoéeaseucarga
o.iment
ment
�
:=
00
5
0,
for
amen
along
compr400 MPa. O material tem comportamento elastlco. GPa,
o poste é sustentado por um pino em C e por um
.
araSe o diâmetro do uma
A-36.se deforma
de aço ele
em ABe quanto
ancorag
de
e
aranfor1 5 mm,
quando
determin
força horizontal de 15 kN agir sobre o poste.
:U.5
de
.
a
-I ��
IJ''
IJ' adm
U
•
•
_
'
.
aço
.
=
'J 16
c
• •
me
Problema 3.18
3.19. A figura mostra o diagrama tensão-deformação para
duas
barras de poliestireno. Se a área da seção transversal da
barra AB for 950 mm2 e a de BC for 2.500 mm\ determine
a maior força P que pode ser suportada antes que qualquer
elementos sofra ruptura. Considere que não ocorre ne­
dos
nhuma fiambagem.
P1·oblema 3.16
cloreto detensão-de­
polivinil
provoca aadição
reduçãodedeplastificadores
sua rigidez. Osaodiagramas
formação apresentados a seguir mostram tal efeito para três
tipos desse material. Especifique o tipo que deve ser usado
na fabricação
de umaquehasteterácomde 125suportar,
mm denocomprimento
de diâmetro
mínimo, umae
carga axial de 100 kN e alongar, no máximo, 6 mm.
3.,17.
T
A
50 mm
tr
(MPa)
105 r
u (MPa)
-,-----,---.
----
p
175
105
70
/)
(plastificado
12
T
-----------------------�- ---
.1
" I
I
I
I
140
�,ão plastifi ·ado
copolímero
flexível
r,m
I
I
I
compressão :I
I
I
I
I
I
I
I
I
35
-n
,";"----_j__
_ ____L____L__ E (mm/mm)
p
O LJI.____J_____j_____L__--'--_l_- E (mm/mm)
o�
o�
�o
o�
o
p
0,10
0,20
0,30
P1·oblema 3.19
*3.20. A figura mostra o diagrama tensão-deformação de
duas barras de poliestireno. Determine a área da seção trans­
versal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simul­
3·18. Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de
tânea quando a carga P = 15 kN é aplicada. Considere que
kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for não
ocorra nenhuma fiambagem.
Problema 3.17
ZOO
72
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3.22. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para
uma
resina de poliéster. Se a viga rígida for suportada por uma
barraAB e um poste CD, ambos feitos desse material, determine
a maior carga P que pode ser aplicada à viga antes da ruptura. O
diâmetro da barra é 12 e o diâmetro do poste é 40
mm,
mm.
J.
til
!li
ra
l'll
0,.
(' :I
( L'
u(MPa)
175
"
,: I
I
I
140
compressão
105
70
u (MPa)
100
95 1-----,
35
Oo
LL-----'--'--
0,20
0,40
0,60
0,80
E(mm/mm)
80
compressão
70
Problema 3.20
60
A figura apresenta o diagrama tensão-deformação
para uma resina de poliéster. Se a viga rígida for suportada
por uma barra AB e um poste CD,
ambos feitos desse mate­
rial, e for submetida à carga P = 80 kN, determine o ângulo
de inclinação da viga quando a carga for aplicada. diâme­
tro da barra é 40 mm, e o diâmetro do poste é 80 mm.
50
3.21.
C(
40
SL'
li I
O
"---'----'--'-'---'--
0,01
0,02 0,03
0,04
E (mm/mm)
A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo
Se o cabo tiver diâmetro de
de ancoragem AB de açoeleA-36.
estica quando um carregamento
mm, determine= 1,quanto
5distribuído
5 kN/m agir sobre o tubo. material per­
w
manece elástico.
*3.24. A viga é sustentada por um pino em e por um cabo
de ancoragem AB de aço A-36. Se o cabo tiver diâmetro de
o carregamento w se a extremidade B for
mm, determine
5deslocada
18 mm para baixo.
3.23.
O
C
se
PI
III
de
ll'
I'(
u (MPa)
l' ll
100
95 1-------,
compressão
70
60
50
l':._____j___l-_J.L_-LJ_
0,01
II I
pi
Problema 3.22
80
:IS
0,02
0,03 0,04
Problema 3.21
E (mm/mm)
Problemas 3.23/24
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
vez
res deo tração
os indicado
são instalad
zes' para
s vetros
tenha aemtraçao- um es.parafus
garantiremque
Se uma doporca do paor,
omodoconexõ
uando utilizad
qapertad
cabeças
seis
que
tal
a deis eram de 3 mm, forem esmaindicad
gadas ate
ras origina
altudeixa
de 1,5 o.mm2d'em cadaa
árean�deh�contato
ndoine uma
wgram
ste do parafus
a dotensao
determ
cabe-ça, del
na
figura.
mostrado
e
matenal
'o1·1nação
3
" .25
•
•
À
,
d e torqUtme
ra fuso ro r '
o,"3
'
,
_
m rn,
'----'----
0,0015
0,3
e(mm/mm)
Problema 3.25
Coeficie nte d e P o isso n
Quando submetido a uma força de tração axial, um
corpo deformável não apenas se alonga, mas também
se contrai lateralmente. Por exemplo, se esticarmos
uma tira de borracha, podemos notar que a espessura,
assim como a largura ela tira diminuem. Da mesma for­
ma, uma força de compressão que age sobre um corpo
provoca contração na direção da força e, no entanto,
seus lados se expandem lateralmente. Esses dois casos
são ilustrados na Figura 3.21 para uma barra com com­
primento e raio originais r e L, respectivamente.
Quando a carga P é aplicada à barra, provoca uma
mudança o no comprimento e o' no raio da barra. As
deformações na direção longitudinal ou axial e na di­
reção lateral ou radial são, respectivamente,
EJong
=
o
L
EJat
v = ---
e
(3.9)
EJong
Essa expressão tem sinal negativo porque o alon­
gamento longitudinal (deformação positiva) provoca
contração lateral (deformação negativa) e vice-versa.
Observe que essa deformação lateral é a mesma em
a-(MPa)
3.6
e o' são proporcionais. Essa constante é denominada
coeficiente de Poisson, v (nu), e seu valor numérico é
único para um determinado material homogêneo e iso­
trópico. Em termos matemáticos,
O
tensa o-
73
EJat
o'
=­
r
No início do século XIX, o cientista francês S. D.
Poisson percebeu que, dentro da faixa elástica, a razão
entre essas deformações é uma constante, visto que o
todas as direções laterais (ou radiais). Além do mais,
ela é causada somente pela força axial ou longitudinal;
isto é, nenhuma força ou tensão age em uma direção
lateral de modo a deformar o material nessa direção.
O coeficiente de Poisson é adimensional e, para a
maioria dos sólidos não-porosos, seu valor encontra­
se, em geral, entre 1/4 e 1/3. Valores típicos de v para al­
guns materiais comuns são apresentados no final deste
livro. Um material ideal que não apresente nenhum
movimento lateral quando é alongado ou comprimi­
do terá v = O. Na Seção 10.6 mostraremos que o valor
máximo possível para o coeficiente de Poisson é 0,5.
Portanto, O ::; v ::; 0,5.
Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas
na Figura 3.22. Se uma força axial P 80 kN for aplica­
da à barra, determine a mudança em seu comprimento e a
mudança nas dimensões da área de sua seção transversal
após a aplicação da carga. material comporta-se elasti­
camente.
=
O
SOLUÇÃO
A tensão normal na barra é
80(103) N
p
=-=
(0,1 m ) (O,OS m) 16,0(106) Pa
Pela tabela apresentada no final deste livro, para o aço A-36,
E 200 GPa e, portanto, a deformação na direção é
a
aço
Figura 3.21
=
z
A
--:--:----,--------,-
=
z
74
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
"'
y
P = 80 kN
ticil
lüü mm
Figura 3.22
valo
lQ,_
)'
rn a l
fi n a
lk (
-X
(a)
z
dt<l['
ll i é l
do 1
p l' l <
y
'Yxy
2
O
alongamento axial da barra é, portanto,
Resposta
, ondeasvdeformações
aço = 0,32, dado encontrado em tabe­
laPelanoEquação
final deste3.9livro,
ele contração em ambas
as direções e são
x
y
Assim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são
= -[25, 6 (10-6)](0, 1 m ) = -2,56 p,m Resposta
=
= -[25, 6 (10-6)](0,05 m ) -1,28 p,m Resposta
=
8x
8Y
3.7
L
Ex ,
L
EY Y
=
O d i a g ra m a tensão­
d efo rmaçã o d e
dsa l h a mento
N a Seção 1.5 mostramos que, quando u m elemento
do material é submetido a cisalhamento puro, o equi­
líbrio exige que tensões de cisalhamento iguais sejam
desenvolvidas nas quatro faces do elemento. Essas ten­
sões devem dirigir-se ou afastar-se de cantos diagonal­
mente opostos do elemento (Figura 3 .23a). Além disso,
se o material for homogéneo e isotrópico, essa tensão
de cisalhamento distorcerá o elemento uniformemen­
te (Figura 3.23b) . Como mencionamos na Seção 2.2,
a deformação por cisalhamento yxy mede a distorção
angular do elemento em relação aos lados que se encontravam, originalmente, ao longo dos eixos x e y.
O comportamento de um material submetido a
cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório
por meio de corpos de prova na forma de tubos finos
submetidos a carga de torção. Se o torque aplicado e
pod
<;o e
!!_ - 'Yxy
2
t; d \ 11
(b)
Figura 3.23
os ângulos de torção resultantes forem medidos, então,
pelos métodos que explicaremos no Capítulo 5, os da­
dos podem ser usados para determinar a tensão de cisa­
lhamento e a deformação por cisalhamento e para cons­
truir um diagrama tensão-deformação de cisalhamento.
Um exemplo desse diagrama para um material dúctil
é mostrado na Figura 3.24. Como ocorre no ensaio de
tração, esse material, quando submetido a cisalhamen­
to, exibe comportamento linear elástico e terá um limite
de proporcionalidade definido rlp' Também ocorrerá en­
durecimento por deformação até que a tensão de cisa­
lhamento máxima 7111 seja atingida. Por fim, o material
começará a perder sua resistência ao cisalhamento até
atingir um ponto no qual sofrerá ruptura, rrup'
A maioria dos materiais de engenharia, como o que
acabamos de descrever, apresentará comportamento
elástico linear e, portanto, a lei de Hooke para cisalha­
mento pode ser expressa por
(3.10)
Tm
'Trup
T[p
G
--�
�
i
I
'Ylp
'Ym
Figura 3.24
'Yrup
(' i i
sal h
d t' I
l kl
1 1/(l
do 1
suh
v
11
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
.
módulo de elas.
N essa expressão, G é denominado
,
de ng1dez. Seu
lo
modu
ou
•Jade tlO cisalham ento
• :tu
tu
·
ser medido como a me1.maça- o d a ret a no
p ode
s
r-y, isto é, G = r1/y1P . Va1ores t1p1co para
d Hwr�1 m
no
ntados
aprese
são
comuns de engenharia
da
de
medi
des
unida
deste livro. Observe que as
é
I'
ue
visto
psi),
ou
E (Pa
�
de G se rão as mesmas de
.
l.
nswna
ad1me
dade
quanti
- " " ""' em radianos, uma
Na Seção 10.6 mostraremos que as três constantes
nadas
do materi al, E, v e G, na realidade, estão relacio
equação
>
•
(3.11)
Contanto que E e G sejam conhecidos, o valor de v
pode� ser de erm in do por essa equação, em vez de medi­
t
a
experimentais. Por exemplo, no caso do aço A-36,
200 GPa e Gaço = 76 GPa; portanto, pela Equa3 . 1 1 , l'a�o = 0 3 2
, .
corpo de prova de liga de titânio é-testado em torção,
5a mostra
diagramadetensão
deformação
de ci­
salhamento3.. 2Determi
ne oo módulo
cisalhamento
G, o limite
proporcionalidade e o limite de resistência ao cisalhamento.
Determi
também
a máxima
disbloco
tânciadesse
d de deslocamento ho­
superi
rizontal ne part
e
o
r
de
um
material, mostra­
3.uma25b,força
se eledesecisalhamento
comportar elasticamente
quandode
Qual
é
o
valor
net:essiírin causar esse deslocamento?
c
a
Um
de
do
1m
da
Figura
�uhmetido a
'V
V.
para
75
SOLUÇÃO
Módulo de cisalhamento. Esse valor representa a incli­
nação da porção em linha reta OA do diagrama Assim,
r-y. As co­
ordenadas do ponto A são (0,008 rad, 360 MPa).
360 MPa
G =
0,008 rad = 45(103 ) MPa Resposta
A equação da reta OA é, portanto, r= 45(103)y, que é a lei de
Hooke para cisalhamento.
Limite de proporcionalidade. Por inspeção, o gráfico dei­
xa de ser linear no ponto A. Assim,
r1P = 360MPa
Resposta
limite de resistência. Esse valor representa a
cisalhamento máxima, ponto B. Pelo gráfico, tensão de
r = 504MPa
Resposta
11!
Deslocamento elástico máximo e força de c:isalhamento.
Visto
que a máxima deformação elástica por cisalhamento é
0,008 rad, um valor muito pequeno, o deslocamento horizon­
tal da parte superior do bloco na Figura 3.25b será:
tan(O ,008 rad) "'0,008 rad = 50 dmm
Resposta
d = 0,4 mm
A tensão de cisalhamento média correspondente no
bloco é r1P = 360 MPa. Assim, a força de cisalhamento V
necessária para provocar o deslocamento é
v
� 360 MPa = (75 mm)(100
mm)
V=2700kN
Resposta
--
rméd
=
;
corpo
de prova
de alumínio, mostrado na Figura
3.cia26,Um
tem
diâmetro
d0 = 25 mm e comprimento de referên­
L0 = 250 mm. Se uma força de 165 kN provocar um
alongame
ntoo de 1,20 mm no comprimento de referência,
determi
ne
módulo
de elasticidade. Determine também
qual
é
a
contraç
ão
do
diâmetr
a no cor­
po de prova. Considere G = o26queGPaa força
e =provoc
440 MPa
(a)
v
al
SOLUÇÃO
e
u
•
poMódulo de éelasticidade. A tensão normal média no cor­
165(103) N = 336,1 MPa
=
(1r/4)(0,02S m)2
de prova
u
P
A
76
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A contração do diâmetro é, portanto,
165 kN
= 0,0416 mm
8 ' = (0,00166)(25 mm)
*3 . 8
do
Figura 3.26
e a deformação normal média é
=
u
Eal
= --;- =
u
a
u
e
336,1(106) Pa
0,00480 = 70,0 GPa
Resposta
Em primeiro lugar, determina­
remos o coeficiente de Poisson para o material, usando a
Equação 3.11.
Contração do diâmetro.
E
2(1 + v)
70,0 GPa
26 GPa = 2(1
+ v)
v = 0,347
G =
à fl u ê n ci a e à fad i g a
Flu ê n cia.
1,20 mm = 0,00480 mmjmm
L 250 mm
Como < = 440 MPa, o material comporta-se elas­
ticamente. O módulo de elasticidade é
=
Fa l h a d e materia is d evida
Até aqui, as propriedades mecânicas de u m mate­
rial foram discutidas somente para uma carga estática
ou aplicada lentamente à temperatura constante. En­
tretanto, em alguns casos, pode acontecer de um ele­
mento estrutural ser usado em um ambiente no qual
tenha de suportar carregamentos por longos períodos
a temperaturas elevadas ou, em outros casos, o carre­
gamento pode ser repetitivo ou cíclico. Não considera­
remos esses efeitos neste livro, embora mencionemos
brevemente como determinar a resistência de um ma­
terial para essas condições, j á que eles recebem trata­
mento especial no projeto de máquinas e estruturas.
165 kN
E
Visto que Ecompr = 0,00480 mm/mm, então, pela Equação 3.9,
Ela!
v = --Elong
0,347 = 0,00480 mmjmm
Elat = -0,00166 mmjmm
Resposta
Quando um material tem de suportar
uma carga por muito tempo, pode continuar a defor­
mar-se até sofrer uma ruptura repentina ou ter sua
utilidade prejudicada. Essa deformação permanen­
te dependente do tempo é conhecida como fluência.
Normalmente, a fluência é considerada quando metais
e materiais cerâmicos são usados em elementos estru­
turais ou peças mecânicas sujeitos a altas temperatu­
ras. Todavia, para alguns materiais, como polímeros e
compósitos - entre eles, madeira ou concreto -, a
temperatura não é um fator importante; mesmo assim,
pode ocorrer fluência estritamente devido à aplicação
de carga por longo tempo. Como exemplo típico, con­
sidere o fato de uma tira de borracha não retornar à
sua forma original após ser liberada de uma posição
esticada na qual foi mantida durante um período mui­
to longo. Portanto, de modo geral, ambas, tensão e/ou
temperatura, desempenham um papel significativo na
taxa de fluência.
Para finalidades práticas, quando a fluência se tor­
na importante, o projeto geralmente considera um
material adequado para resistir a uma deformação por
fluência específica durante um período determinado.
Nesse caso, uma importante propriedade mecânica
usada no projeto de elementos estruturais sujeitos à
fluência é o limite de fluência. Esse valor representa a
tensão inicial mais alta que o material pode suportar
durante um tempo específico sem provocar uma deter­
minada quantidade de deformação por fluência. Como
o limite de fluência varia com a temperatura, o projeto
deverá especificar os valores para temperatura, dura-
p:il
t i I I'
fl u <
lJI
de
pr
le i
pc
liI I
111:
li'/
/JI,
l'X
I'X
) ', l
lil
dt
('(
(\{
F
P'
li
('(
I'
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
d o ca rregamento
• de
A cm
ção por fiuen
Por exemplo, uma deforma
do
para o aço emprega em
% por ano foi sugerida
e deformação admissível por flu-
e tubulações e de 0,25 % por ano para reves­
de chumbo para cabos.
vários métodos para determinar um limite de
admissível para um deter minad o mater ial.
ve o teste simul tâneo
Um dos mais simpl es envol
eratu ra const ante,
temp
à
prova
de
s
corpo
de vários
uma tensão axial
a
tido
subme
é
deles
um
mas cada
rio para se
ecessá
�
?
temp
�
d
ão
mediç
A
diferente.
a defo�maou
ivel
admiss
açao
deform
uma
produz ir
permite a
prova
de
corpo
cada
para
ruptura
de
ao
relação
em
tensão
da
gráfico
um
de
ção
constru
os
executad
são
testes
esses
ente,
Normalm
t e mpo.
durante 1 .000 horas, no máximo. A Figura 3.27 mos­
t ra u m exemplo elos resultados para aço inoxidável
ft temperatur a ele 650°C e fluência de deformaçã o
ele 1 % . Como podemos observar, esse ma­
tem limite de escoamento de 276 MPa à tem­
peratura ambiente (0,2% de deformação residual) e
uma resistência à fluência em 1 .000 horas de aproxi­
m ad a m ent e cr1 = 1 38 MPa.
Em geral, a resistência à fluência diminuirá para
temperaturas mais altas ou para tensões aplicadas
mais altas·. Para períodos mais longos, é preciso fazer
extrapolações nas curvas, o que costuma exigir certa
t�xpcriência com o comportamento ela fluência e al­
gum conhecimento suplementar das propriedades de
fluência do ma teria l a ser utilizado. Contudo, uma vez
determinada a resistência à fluência elo material, apli­
ca��.;c um fator de segurança para obter-se uma tensão
udrnissi'vcl adeq uada para o projeto.
n'"' ""u:''""
Quando um metal é submetido a ciclos re­
de tensih> ou deformação, sua estrutura pode
romper-se, o q ue, por rim, resulta em ruptura. Esse
comportamento é denominado .fadiga e, normalmente,
por grande porcentagem de falhas em
bielas e virabrequins de motores, pás de turbinas a va­
por ou a gás, aeoplamentos ou apoios para pontes, ro­
das e eixos de vagões ferroviários, entre outras peças
sujeitas a carregamento cíclico. Em todos esses casos, a
ruptura ocorrerá a uma tensão menor que a tensão de
escoamento do material.
Aparentemente, a natureza dessa falha resulta do
fato de haver regiões microscópicas, geralmente na
superfície de um elemento, onde a tensão localizada
se torna muito maior do que a tensão média que age
na seção transversal como um todo. Como essa ten­
são mais alta é cíclica, leva à formação de minúsculas
trincas. A ocorrência dessas trincas provoca aumento
adicional da tensão em suas extremidades ou bor­
das, o que, por sua vez, provoca aumento adicional
da extensão das trincas no material com a contínua
aplicação da tensão cíclica. A certa altura, a área da
seção transversal do elemento reduz-se a um ponto
no qual não se pode mais suportar a carga, e o resul­
tado é a ocorrência de ruptura repentina. O material,
ainda que considerado dúctil, comporta-se como se
fosse frágil.
Para especificar uma resistência segura para um
material metálico sob carga repetida, é necessário
determinar um limite abaixo do qual nenhuma evi­
dência de falha possa ser detectada após a aplica­
ção de uma carga durante um número específico de
ciclos. Essa tensão-limite é denominada limite de
fadiga. Usando uma máquina de ensaio adequada
para tal finalidade, vários corpos de prova são sub­
metidos a uma tensão cíclica específica até falharem.
Os resultados são marcados em um gráfico no qual
a tensão S (ou a) é a ordenada e o número de ciclos
até a falha, N, é a abscissa. Esse gráfico é denomi­
nado diagrama S-N ou diagrama tensão-ciclo e, n a
maioria das vezes, o s valores de N são marcados e m
uma escala logarítmica, j á que, e m geral, são muito
grandes.
100
()
·��-·'"-�·"-'----L---L__j__
2(]{)
400
77
60()
800
1000
I( h)
'J'"'w' """'' cr-I para aço inoxidável
a 650"C e deformação por fluência de 1%
Figura 3.27
78
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplos de diagramas S-N para dois materiais
comuns de engenharia são mostrados na Figura 3 .28.
O limite de fadiga é a tensão à qual o gráfico S-N
se torna horizontal ou assintótico. Como podemos
observar, ele tem um valor bem definido ( S11) aço =
186 MPa para o aço. Entretanto, para o alumínio, o
limite de fadiga não é bem definido e, por isso, é nor­
malmente especificado como a tensão ( S11) .1 = 1 3 1
MPa para u m limite d e 500 milhões d e ciclos. Valo­
res típicos de limites de fadiga para vários materiais
de engenharia geralmente são encontrados em ma­
nuais. Uma vez obtido um determinado valor, consi­
dera-se que a vida útil em relação à fadiga é infinita
para qualquer tensão abaixo desse valor, e, portanto,
o número de ciclos até a falha não é mais levado em
consideração .
S(MPa)
300
(
alumínio
(Sres) aço = 1 86
(Sres)al = 1 3 1
.U !J
d c ft
fui l
de r
aço
. ...
de 1
C(lc' i
100
O ':-:----'----:'::---:-':-:---c::-:'-::---:'-:o..,.-- N ( 1 06)
0,1
10
100
500 1 .000
Diagrama S-N para ligas de aço e alumínio
(o eixo N tem escala logarítmica)
FigUl'a 3.28
a
,
,
c
.. Coeficiente de Poísson, v, é uma medida da deformação later l de um material homog�neo e isotrópi o em relação
nmà delas for um
à ua deformação longitudinal. De modo g e ral , essas deformações têm sinais op ostos isto .é,
alongamento a outra será uma contração,
• O diagrama tensão-def
ormação de cisalhamento é um gráfico da tensão .de dsalhamento em relação à dt;.�formação
por cisalhamento. Se o material for homogêneo e isotrópico e também linear elá tico a. inclinação da curva dentro
da região elástica é denominada módulo de rigidez ou módulo de ci alhamento G.
• Existe uma relação matemática entre G, E e v.
• Fluência é a deformação de um material relacionada ao tempo no qual a tensão e/ou temperatura desempenham
um importante papel. Elementos estruturais são projetados para.resistir aos efeitos da fluência com base em seu
limite de fluê cia, que é à ten ão inicial mais alta queum material pode suportar durante um período específico em
provocar uma deformação por fluência também e pecífica
" Fadiga ocorre em metais quando a tensão ou deformação é cíclica. Provoca a ocorrência de ruptura frágil. Elemen­
to estruturais são projetados para resistir à fadiga assegurando que a tensão no elemento não ultrapasse seu: limite
valor é determinado em um diagrama S-N como a máxima tensão à qual o
de resistência ou limite de fadiga.
elemento pode resistir quando submetido a um número determinado de ciclos de carregamento.
s
,s ,
s
n
s
s
s
se
.
s
COI I
Esse
y
n ---------------
----� �- --------------------
A haste plástica de acrílico tem 200 mm de compri­
mento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga axial de 300 N for
aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e
em seu diâmetro. EP = 2,70 GPa, = 0,4.
3.26.
-+- c ·· ·
vP
mm
lOO mm
· ·· : �
300 N
1
r-----
300 N ':----'---'--'----'-----'-'----0.--'---·-·-.c.' . :
r------ 200
-tl
------1
125
mm ------\
X
Problema 3.27
Um bloco cilíndrico curto de bronze C86.100, com
original de 38 mm e comprimento de 75 mm, é co··
diâmetro
3.27. O bloco é feito de titânio Ti-6A1-4V. É submetido a
em
uma máquina de compressão e comprimido até
locado
uma compressão de 1,5 mm ao longo do eixo y, e sua forma atingir o comprimento
de 74,5 mm. Determine o novo diâ­
sofre uma inclinação de () = 89,7°. Determine E , Ey e Exy
metro do bloco.
Problema 3.26
*3.28.
:r
•
,.
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
do diagrama tensão­
figura mostra a porção elásticade
prova do �ual ela
corpo
.
o
aço-lig
um
para
�
��formaçãotinha diâmetro ongm
mm
13
compnmento
de
al
a
foi obtid
ao corpo
aplica
carga
a
o
ferência de 50 mm. Quandé 12?9265 mm. Ddaeterm
. o
d
me
tro
diâme
o
de prova for 50 kN,
coeficiente de Poisson para o matenal.
29.
A
.
10,1004 ---LV"-
79
T(MPa)
'Y
�
e re
""
350
-
'--+P
· .,------1
I __,__
p�---�1!1'
�,�
�1
-
y(rad)
_
a(MPa)
400
Problema 3.31
1---(----;
.,-O,-:L00- :-:2:- -
_
_
i.é.__
As sapatas do freio do pneu de uma bicicleta são fei­
tas de borracha. Se uma força de atrito de 50 N for aplicada
de cada lado dos pneus, determine a deformação por cisalha­
mento média na borracha. As dimensões da seção transver­
sal de cada sapata são 20 mm e 50 mm. Gb = 0,20 MPa.
*3.32.
-
--
E (mm/mm)
Problema 3.29
A figura mostra a porção elástica do diagrama ten­
siío-deformação para um aço-liga. O corpo de prova do qual
ela foi obtida tinha diâmetro original de 13 mm e compri­
mento de referência de 50 mm. Se uma carga P = 20 kN
for aplicada ao corpo de prova, determine seu diâmetro e
comprimento de referência. Considere = 0,4.
3.30.
v
a(MPa)
400
Problema 3.32
1 ------;(
_
_
_
_
·----=o ,:'-:
oo""'
z
3.31. A
(U,
E(mm/mm)
3.33. O tampão tem diâmetro de 30 mm e ajusta-se ao in­
terior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32 mm.
Ambos, tampão e luva, têm 50 mm de comprimento. Deter­
mine a pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior
do tampão para que ele entre em contato com as laterais da
luva. Determine também a que distância o tampão deve ser
comprimido para baixo para que isso aconteça. O material
do tampão tem E = 5 MPa e = 0,45.
v
Problema 3.30
figura mostra o diagrama tensão-deformação de
para um aço-liga. Se um parafuso de 6 mm de
feit. o desse material for utilizado em uma
so­
determine o módulo de elasticidade E e ajunta
força
para provocar o escoamento do material. ConsidereP
Problema 3.33
80
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
O bloco de borracha é submetido a um alongamento
de 0,75 mm ao longo do eixo x, e suas faces verticais sofrem
uma inclinação de modo que () = 89,3°. Determine as defor­
mações Ex, EY e Yxy ' Considere vb =0,5.
3.34.
-:-----------...-.:.:.� ...:;,-:.-
----
_,ti
!------ 100 mm ------j
��-�-----------
l
I
I
I
X
Problema 3.34
resistência de um material é o ensaio de tração. Os resultados obtidos com a
um orpo de prova de tamanho conhecido são represent ados em um gráfi o no qual
a tensão normal é m ar a da no eixo vertical a deformação normal é marca da no eixo horizontal.
s
ã
s
Um do testes mais imp ortante para a
aplicaç o de uma força de tração a
c
engenharia exi­
portam ento inicial linear
elástico, pelo qual a tensão é pr opor­
cional à deformação, definida pela lei
de Hooke, u = Ee. Nest a expressão, E,
denominado módulo de el as ticid ade,
é a inclinação dessa re t a no diagrama
tensão-deformação.
c
c
e
Muitos materiais de
bem
com
u = Ee
material dúctil
Quando o material sofre tensão além
escoamento, ocorre de­
formação permanente. O aço, p arti­
cularmente, tem uma região de es­
coamento na qual o material exibe
um a ument o na deform aç ã o, mas
nenhum aumento na tensão. A re­
gião de en dure cime nto por deforma­
do ponto de
tensão de ruptura
limite de
resistência
tensão
de ruptura
ção provoca escoamento adicional do
material com um aument o
correspon­
de resis tên­
cia, uma região localizada no corpo de
prova começa a sofrer uma constriçã o ,
denominada estricção. É nesse local
onde, finalmente, ocorre a ruptura.
dente na tensão. No limite
região escoa­
elástica mento
tamento
elástico
por deformação
comportamento plástico
Materiais dúcteis, como a maioria
s metais, exibem comportamento
elástico e plástico. A madeira é mo­
do
deradamente dúctil. Geralmente, a
ductilidade é e sp e cificada pelo alonga­
mento permanente até a falha ou pela
redução permanente na área da seção
transversal.
E
endurecimento
Porcentagem de alongamento =
Lt - L0
L
(100%)
o
Porcentagem de redução de área =
A
o
Ao
-
At
(100% )
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
pouco ou
da falha .
antes
scoamento
e vidro são exemplos
disso, o concreto é frági l
81
(T
Material frágil
de escoamento de um mapode ser elevado por endure­
por deformação, o que se
aplicação de uma carga
o suficiente para provocar um
aumento n a tensão de modo a causar
esçoamcnto c, em seguida, liberando
A maior tensão produzida
ttu·m•�g" o novo ponto de escoamento
o material.
(T
região
região
elástica
plástica
/Descarga
O'
I deformação I recuperação/
permanente
elástica
(T
Ut
u,
�-----L----
Ep[
Módulo de resiliência
E
Módulo de tenacidade
p
82
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Diagramas de tensão de cisalhamento
em relação à deformação por cisalha­
mento também podem ser estabele­
cidos para um material. Dentro da
região elástica,
=
Gy, onde G é o
módulo de cisalhamento, determina­
r
G
do pela inclinação da reta dentro da
2(1 + v)
c�1 rg:
l' j {i , t
E
=
região elástica. O valor de G também
p ode ser obtido pela relação que exis­
te entre G, E e
.u x.
cabe
(o r
T
'------ ')'
v.
Quando materiais estão em serviço
por longos períodos, torna-se impor­
tante considerar a fluência e a fadiga.
Fluência
é a taxa de deformação em
relação ao tempo que ocorre a alta
tensão e/ou alta temperatura. O pro­
jeto de estruturas deve exigir que a
tensão no material não ultrapasse
uma tensão predeterminada denomi­
nada limite de fluência. Pode ocorrer
fadiga quando o material é submeti­
do a um grande número de ciclos de
carregamento. Esse efeito provoca a
formação de microtrincas, o que leva
a uma falha frágil. Para evitar fadiga, a
tensão no material não deve ultrapas·
sar um limite de fadiga específico.
z��®ilu���sJ��.�I!i;; �ls�iiL:· -?X« .:. ·� .
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3.35.
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A figura mostra a porção elástica do diagrama ten­
são-deformação para uma liga de alumínio.
O
_
-
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. .
n, =
cr
�
.
�
�
"'
•.
m.�
G,1 para o alumínio.
0,00614
(MPa)
3.37.
500
.
;c
= c&�
••
0
'<L�=
lo1
ra d a
O
(mm/mm)
Problema 3.36
cabeçote H está acoplado ao cilindro de um compres­
sor por seis parafusos de aço. Se a força de aperto de cada pa­
rafuso for
4 kN, determine a deformação normal nos parafusos.
5 de diâmetro. Se ue = 280 MPa e E,ço
Cada um deles tem
"----'-- E (mm/mm)
0,00614
mm
200 GPa, qual é a deformação em cada parafuso quando a
porca é desatarraxada, aliviando, assim, a força de aperto?
=
Problema 3.35
*3.36.
y; �
(MPa)
"'----'-- E
cr
""
"'
500
50
mm e 12,5 mm de diâmetro. Quando a carga aplicada for 45
kN, o novo diâmetro do corpo de prova será 12,48375 mm.
va usado para o ensaio tem comprimento de referência de
Calcule o módulo de cisalhamento
"
"'
corpo de pro­
""-�
$ �� "'
.U9.
�'" " ' l
'.\.40 .
de Jli
A figura mostra a porção elástica do diagrama ten­
são-deformação para uma liga de alumínio.
O
tlt· ) (
corpo de pro­
tema
va usado para o ensaio tem comprimento de referência de
50 mm e 12,5 mm de diâmetro. Quando a carga aplicada é
50 kN, determine o novo diâmetro do corpo de prova. O
módulo de cisalhamento é G,1 = 28 GPa.
lll lll i J
\j !l ii l l ·
Problema 3.37
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS
sustentado por um pino em C e um
0 tub o rígid o é
Se o diâmetro do cabo
gem AB de aço
,
ca bo d e anCora
esticado quando uma
e
ele
quanto
o
5 mm, determine
.
matena1 permanece
O
tubo.
o
sobre
age
1
P
A-36.
for
carga
_
-
•
.
5 kN
clástíco.
83
8 mm de diâmetro é feito de uma liga
diâmetro interno de 12 mm e diâmetro externo de 20 mm.
3.41.
O p arafuso de
de alumínio e está instalado em uma luva de magnésio com
Se os comprimentos originais do parafuso e da luva forem
80 mm e 50
mm, respectivamente, determine as defor­
mações na luva e no parafuso se a porca do parafuso for
apertada de tal modo que a tensão no parafuso seja de 8
kN. Considere que o material em A é rígido. Ea1 70 GPa,
Emg = 45 GPa.
=
30 mm
Problema 3.41
Problema 3.38
3.39.
I
O tubo rígido é sustentado por um pino em
cabo de ancoragem AB de aço
C e um
A-36. Se o diâmetro do cabo
for 5 m m , determine a carga P se a extremidade B for deslo­
cada 2,5 mm para a direita.
3.42.
Um corpo de prova de aço com diâmetro original de
12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm foi subme­
tido a um ensaio de tração. Os dados resultantes do teste são
apresentados na tabela. Construa o diagrama tensão-defor­
mação e determine os valores aproximados do módulo de
elasticidade, limite de resistência e tensão de ruptura. Use
uma escala de
20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm.
Desenhe novamente a região elástica linear usando a mesma
escala de tensão, mas uma escala de deformação de
0,001 mm/mm.
20 mm =
Carga (kN) Alongamento (mm)
o
11,1
31,9
37,8
40,9
43,6
53,4
62,3
64,5
62,3
58,8
ls.
-
;
"'
a
Problema 3.39
50
' d 49
315
0,40
0,0025
0,0175
0,0600
0,1020
0,1650
0,2490
1 ,0160
3,0480
6,3500
8,8900
11,9380
Problema 3.42
'3.40.
Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo
de prova de liga de
cobre com comprimento de referência
de
mm sofre uma deformação de
mm/mm quando a
lcnsã 0 e e
O MPa. Se ue =
MPa quando Ee =
mm/mm , determine a distância
entre os pontos de referência
quando a carga é
alivia da.
o
3.43.
Um corpo de prova de aço com diâmetro original de
12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm foi submeti­
do a um ensaio de tração. Usando os dados apresentados na
tabela, construa o diagrama tensão-deformação e determine
o valor aproximado do módulo de tenacidade. Use uma esca­
la de
20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm.
84 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Carga (kN) Alongamento (mm)
o
11,1
31,9
37,8
40,9
43,6
53,4
62,3
64,5
62,3
58,8
o
0,0175
0,0600
0,1020
0,1650
0,2490
1,0160
3,0480
6,3500
8,8900
11,9380
Problema 3.43
100
*3.44. Uma haste de latão de mm de diâmetro tem mó.
GPa. Se a haste tiver m de
dulo de elasticidade E1., =
8
3
kN
comprimento e for submetida a uma carga axial de
determine seu alongamento. Qual será o alongamento se
diâmetro for mm?
6
2
�
OB
Problema 3.44
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Obs v r
IIH' d i t;
dad 1·s
l or n a r
V i�
nl n·1
Carg a axial
ULO
OBJET IVOS DO CA PÍT
o lvemos o método para determinar a tensão normal e m e l ementos carregados axial­
Capítu l o 1 , desenv
o , discutire m os com o determinar a deformação desses e l ementos e d esenvolveremos
mente. Neste capítul
determi nar as reações nos apoios q uando tais reações n ã o puderem ser determinadas
um m éto do para
ções de eq u i l íbrio . Tam bém discutiremos u ma a n á l ise dos efeitos da tensão térmica,
estri tam ente pelas equa
es i n e lásticas e tensão resid ual .
conce ntraç ões de tensão, deformaçõ
4.1
Princípi o d e S a i nt-Ve n a nt
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos o conceito
de tensão como um meio para medir a distribuição de
força no interior de um corpo e o conceito de deforma­
ção como um meio para medir a deformação geomé­
trica de um corpo. Também mostramos que a relação
matemática entre tensão e deformação depende do
tipo de material do qual o corpo é feito. Em particular,
se o material se comportar de maneira linear elástica, a
lei de Hooke será aplicável e haverá uma relação pro­
porcional entre tensão e deformação.
Com essa ideia em mente, considere o modo como
uma barra retangular se deforma elasticamente quan­
do submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo
de seu centroide (Figura 4.1a). Nesta figura, a barra
está presa a um apoio em uma de suas extremidades,
e a força é aplicada em um furo na outra extremida­
de. Devido ao carregamento, a barra deforma-se como
indicam as distorções das linhas da grade desenhada
sobre a barra, que antes eram horizontais e verticais.
Observe a deformação localizada que ocorre em cada
extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as
medições são feitas cada vez mais distante das extremi­
dades. Além disso, as deformações vão se nivelando e
tornam-se uniformes em toda a seção média da barra.
Visto que a deformação está relacionada com a ten­
são no interior da barra, podemos afirmar que a tensão
será distribuída mais uniformemente por toda a área da
s� ção transversal se um corte for feito em uma seção
distante do ponto onde a carga externa é aplicada. Por
exemplo, considere um perfil da variação da distribuide tensão que age nas seções a-a, b-b e e-c, cada
uma mostrada na Figura 4.lb. Comparando as curvas,
a t ensão quase alcança um valor uniform na seção e-c,
e
que está suficientemente afastada da extremidade. Em
outras palavras, a seção e-c está longe o suficiente do
p ont? de aplicação de P , de tal modo
que a deformação
localizada provocada por P seja desprezí
vel. A distância
mínima em relação à extremidade da barra onde isso
ocorre pode ser determinada por meio de uma análise
matemática baseada na teoria da elasticidade.
Todavia, como regra geral, que também se aplica a
muitos outros casos de carregamento e geometria de
elementos estruturais, podemos considerar que essa dis­
tância é, no mínimo, igual à maior dimensão da seção
transversal carregada. Em consequência, no caso da bar­
ra na Figura 4.lb, a seção e-c deve estar localizada a uma
distância no mínimo igual à largura (e não à espessura)
da barra.* Essa regra se baseia na observação experimen­
tal do comportamento do material, e somente em casos
especiais, como o que acabamos de discutir, ela foi vali­
dada matematicamente. Entretanto, devemos observar
que essa regra não se aplica a todos os tipos de elemen­
tos e casos de carregamento. Por exemplo, elementos es­
truturais de paredes finas submetidos a carregamentos
que provocam grandes deflexões podem criar tensões e
deformações localizadas que têm influência a uma dis­
tância considerável do ponto de aplicação da carga.
Observe, na Figura 4.1a, como o apoio impede a
redução da largura da barra, o que deveria ocorrer
devido ao alongamento lateral da barra - uma con­
sequência do "efeito de Poisson", discutido na Seção
3.6. Contudo, por esse mesmo argumento, poderíamos
demonstrar que a distribuição de tensão no apoio tam­
bém se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção
transversal a uma curta distância do apoio; e mais, a
amplitude da força resultante criada por essa distribui­
ção de tensão deve ser também igual a P.
O fato de a tensão e a deformação comportarem-se
dessa maneira é denominado princípio de Saint-Venant,
visto que foi observado pela primeira vez pelo cientista
francês Barré de Saint-Venant, em 1855. Em essência,
esse prirlcípio afirma que a tensão e a deformação pro­
duzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes
' Quando a seção e-c está localizada dessa maneira, a teoria da
elasticidade prevê que a tensão máxima será crmáx = 1,02 crméd'
86
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
lin
Carregamento distorce
as linhas localizadas
cxl
da<
a
b
c
Linhas localizadas
longe da carga e do
apoio permanecem retas
Carregamento distorce
as linhas localizadas
perto do apoio
p
�
Ii
usa
o
seção a-a
(a )
seção b-b
(b)
Figma 4.1
da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e
à deformação produzidas por quaisquer carregamentos
aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente
equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mes­
ma região. Por exemplo, se duas forças P/2 aplicadas si­
metricamente agirem sobre a barra (Figura 4.1c), a dis­
tribuição de tensão na seção e-c, que é suficientemente
afastada dos efeitos localizados dessas cargas, será uni­
forme e, portanto, equivalente a uméct = PIA como antes.
Então, resumindo, não temos mais de considerar as
distribuições de tensão um tanto complexas que podem
realmente se desenvolver nos pontos de aplicação de car­
ga ou em apoios, quando estudarmos a distribuição de
tensão em um corpo em seções suficientemente afastadas
dos pontos de aplicação de carga. O princípio de Saint­
-Venant afirma que os efeitos localizados causados por
qualquer carga que age sobre um corpo serão dissipados
ou atenuados em regiões suficientemente afastadas do
ponto de aplicação da carga. Além do mais, a distribui­
ção de tensão resultante nessas regiões será a mesma que
a causada por qualquer outra carga estaticamente equiva­
lente aplicada ao corpo dentro da mesma área localizada.
4.2
D efo rmaçã o e lástica d e
u m e l e m e nto s u bmetido
a carga axial
Usando a lei d e Hooke e a s definições de tensão
e deformação, desenvolveremos, agora, uma equação
l=====�x�----�tr�d�x�------�
--
:---1
I
�
I
- -
que pode ser usada para determinar a deformação
elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
Para generalizar o desenvolvimento, considere a barra
mostrada na Figura 4.2a, cuja área de seção transver­
sal varia gradativamente ao longo de seu comprimento
L. A barra está sujeita a cargas concentradas em suas
extremidades e a uma carga externa variável distribuí­
da ao longo de seu comprimento. Essa carga distribuída
poderia, por exemplo, representar o peso de uma barra
vertical ou forças de atrito que agem sobre a superfície
da barra. Aqui, queremos determinar o deslocamen­
to relativo 8 (delta) de uma das extremidades da bar­
ra em relação à outra extremidade, causada por esse
carregamento. Na análise a seguir, desprezaremos as
deformações localizadas que ocorrem em pontos de
carregamento concentrado e nos locais em que a seção
transversal muda repentinamente. Como observamos
na Seção 4.1, esses efeitos ocorrem no interior de pe­
quenas regiões do comprimento da barra e, portanto,
terão somente um leve efeito sobre o resultado final.
Na maioria dos casos, a barra se deformará uniforme­
mente, de modo que a tensão normal será uniformemen­
te distribuída na seção transversal.
Usando o método das seções, isolamos um elemento
diferencial da barra de comprimento dx e área de seção
transversal A(x) em uma posição arbitrária x. O diagra­
ma de corpo livre desse elemento é mostrado na Figu­
ra 4.2b. A força axial interna resultante é representada
por P(x), j á que o carregamento externo fará com que
ela varie ao longo do comprimento da barra. Essa carga,
P(x), deformará o elemento até a forma indicada pela
-�
I
I
�----- L -------4�
(a)
seção e-c
(c)
seção e-c
8
Figma 4.2
P(x)
�da P(x)
dx-tl.�
(b)
tc g r
da c
ondl
I
;I
Ca r�
hll ll
versa
mod(
exter
gma
!ante
que a
,
.
.,.
CARGA AXIAL
. ha t 1 aceJ' ada e,
tm
portanto, o deslocamento de uma das
.
ento em re1 açao a outra extrenuelem
do
des
ida
m
c xtre
e a defonnaçao no e1emento sao
dade será d. A tensão
.
(J'
=
_
,
_
P( x)
A (x )
E =
e
_
do
dx
assem
Contanto que essas quantidades não ultrap
oná-las
mos
relaci
pode
e,
lidad
ciona
o limite de propor
.
e,
usando a lei de Hooke, tsto
'
(J'
( )
,
a
s
1a
a
e
D
-
:
.s
e
D
IS
i·
e
,
I.
)
l·
o
o
l·
L·
a
e
a
Para o comprimento total da barra, L , devemos in­
tegrar essa expressão para determinar o deslocamento
da extremidade exigido. Isso nos dá
0
ond e
o
P(x)
L
A (x)
E
=
[ LP(x) dx
}0 A(x)E
(4.1)
= deslocamento de um ponto na barra relativo
= distância original entre os pontos
a um outro ponto
=
=
força axial interna na seção, localizada a dis­
tância x de uma extremidade
área da seção transversal da barra, expressa
em função de x
módulo de elasticidade para o material
Carga constante e área de seção tra n sversal .
Em muitos casos, a barra terá uma área de seção trans­
versal constante, A; e o material será homogéneo, de
modo que E é constante. Além do mais, se uma força
externa constante for aplicada a cada extremidade (Fi­
gura 4.3), então a força interna P também será cons­
tante cm todo o comprimento da barra. O resultado é
que a Equação 4.1 pode ser integrada e nos dará
=
a,
�X
i> �
�
�
E]]
Figura 4.3
Para aplicar a Equação 4.3,
temos de desenvolver uma convenção de sinal para a
força axial interna e o deslocamento de uma extremi­
dade da barra em relação à outra extremidade. Para
tanto, consideraremos que ambos, força e deslocamen­
to, são positivos se provocarem tração e alongamento,
respectivamente (Figura 4.4); ao contrário, força e des­
locamento negativos causarão compressão e contra­
ção, respectivamente.
Por exemplo, considere a barra mostrada na Fi­
gura 4.5a. As forças axiais internas,"P" , são determi­
nadas pelo método das seções para cada segmento
(Figura 4.5b) . Elas são PAB = +5 kN, PBc = - 3 kN,
Pcn = - 7 kN. Essa variação na carga axial é mostra­
da no diagrama de força normal para a barra (Figura
4.5c) . Aplicando a Equação 4.3 para obter o desloca­
mento da extremidade A em relação à extremidade
D , temos
�ôA;n = ""
AE=
PL
(5 kN)LA B
AE
+
(
(-7 kN)Lcv
-3 kN)LBc + ---AE
E,
1----�H
��
+8
(4.2)
E
L
(4.3)
Convenção de sinais.
;
·.
Se a barra for submetida a várias forças axiais dife­
rentes, ou se a área da seção transversal ou o módulo
de elasticidade mudar repentinamente de uma região
da barra para outra, a equação acima poderá ser apli­
cada a cada segmento da barra onde todas essas quan­
tidades são constantes. Então, o deslocamento de uma
extremidade da barra em relação à outra é determina­
do pela adição algébrica dos deslocamentos das extre­
midades de cada segmento. Para esse caso geral,
= EE
P(x)
do
=E
dx
A(x)
P(x) dx
do =
A(x)E
87
[3-+ P
�8
+x
-
+IIIP
C]
H
+8
Figura 4.4
+Pl!o - +x
AE
88
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
( a)
A
pCD =
P (kN)
5
7 kN ---����d<Cil--- 7 kN
A
B
3
-7
-
D
( c)
(b)
Figura 4.5
Se substituirmos os outros dados e a resposta cal­
culada for positiva, significará que a extremidade A
se afasta da extremidade D ( a barra alonga-se) , ao
passo que um resultado negativo indicaria que a ex­
tremidade A se aproxima da extremidade D ( a barra
fica mais curta) . A notação de índice duplo é usada
*'
para indicar esse deslocamento relativo, (8AID); entre­
tanto, se o deslocamento tiver de ser determinado em
relação a um ponto fixo, então será usado um único
índice. Por exemplo, se D estiver l ocalizado em um
apoio fixo, o deslocamento calculado será denotado
simplesmente como 8A '
em�m®!li tMm®R�m��mms
"" ""'� �=
'"
" Op,.irzctpio:deSaint-::Venantafirma que ambas,deformação e tensão localizadas que ocorrem noi!lteriordas regipes dé
��� ;:;, = '"'
=s "'
flplica�ão .de ca�ga ounos apoiQs, teudem a "rúvelar-se" a uma distância suficientemente afastàda dessas regiões,
:,"O d�slQcaiileuto c;le um elemento ç.arregado aJCifÜmente é determinado pela relação entre a carga aplicada e a tensão
1;>pr meio. c1a f6rmul,a u = i � :Pela rela9ão entre o cleslocamento e a deformação por meiocla expressão e = dô!dx, Por
.
. , miando-se alei de ooke, u = Ee, dando como resultado.a Eql.lação 4.l.
.. • .
,essas .duas equações Sã(} c�momadas,
�
•tJ'tuaxeique a lei de Hoolce éusad rio desenvolvimen.tG da equação do deslocam�l1t(),é im�?rta11te q1lé as cargas não
provoquem escoamento do material.e que o materiál seja homogêneo e se comporte de maneira linear elástica.
1
·
·.
�
.
fA
H
Equação 4.1 (ou a Equação 4.2).A aplicação exige a s etapas descritas a seguir.
O desl oc amento relativo entre dois pontos A e B em um elemento carregado axialmente p ode ser determinado
aplicando -se a
Força interna
•
Use o método das seções para determinar a forç a axial interna
P no elemento.
função de x, isto é, P(x).
" Se essa força variar ao longo do comprimento do elemento, deve-se fazer um corte em um local
" Se várias
arbitrário a dis­
forças externas constantes agirem sobre o elemento, então, em cada segmento do elemento se deve
tância x de uma extremidade do elemento e a força deve ser repre sentada
em
força de tração interna épositiva e umaforça de compressão interna é negativa. Por conve­
d eterminar a força interna entre quaisquer duas forças externas.
" Para qualquer segmento, uma
niência, os resultados do carregamento interno podem ser mostrados graficamente em um diagrama de força normal.
Deslocamento
" Quando a área
da seção transversal, o módulo de elasticidade ou o carregamento interno mudar repentinamente, a
g
Quando se substituem dados nas equações 4.1 a 4.3, não se deve esquecer de atribuir o sinal adequado a P. Car­
regamentos de tração são positivos, e c arre gamentos de compressão são negativos. Além disso, usa-se um con­
" Se a área
•
g
da seção transversal do elemento varia ao lon o de seu eixo, essa área deve ser expressa em
função de sua posição, x, isto é, A(x).
Equação 4.2 deverá ser aplicada a cada se mento para o qual essas quantidades sejam constantes.
junto de unidades consistente. Para qualquer segmento, se o resultado calculado for uma quantid ade numérica
positiva, indica alongamento; se for negativa, mdica uma contração.
CARGA AXIAL 89
75 kN
�
75 kN
75 kN
5 -�p (kN)
o �--'74
1,0
lÃB = 75 kN
1,75
P8c = 35 kN
2,25
-45
x (m)
Pcn =
(b)
(a)
35
(c)
Figma 4.6
barra de aço A-36 mostrada na Figura 4.6a é compos­
ta por dois segmentos,AB e BD, com áreas de seção trans­
versal A,w = 600 mm2 e A8n 1.200 mm2 , respectivamente.
Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o
deslocamento de B em relação a C.
A
=
SOLUÇÃO
Devido à aplicação das cargas externas, as
forças axiais internas nas regiões AB, BC e CD serão todas
diferentes. Essas forças são obtidas pela aplicação do método
das seções e da equação do equilíbrio da força vertical, como
mostra a Figura 4.6b. A Figura 4.6c mostra a representação
gráfica dessa variação.
Deslocamento. Pelos dados apresentados na tabela ao
final deste livro, Eaço = 210(103) MPa. Pela convenção de si­
nais, as forças de tração internas são positivas, e as forças de
compressão são negativas; portanto, o deslocamento vertical
de A em relação ao apoio fixo D é
[+75 kN](1 m)(106)
I)A = L PL
AE
[600 mm2 (210)(103 ) kN/m2 ]
m)(106)
+ [+35 kN](0,75
[1.200 mm2 (210)(103 ) kN/m2 ]
kN](0,5 m)(106)
+ [1.200[-45
mm2 (210)(103 ) kN/m2 ]
= +0,61 mm
Resposta
Uma vez que o resultado é positivo, a
alonga-se,
porta nto o deslocamento em A é para cima.barra
Aplicando a Equação 4.2 entre os pontos B e C, obtemos
Força interna.
_
/)B IC = pBCLBC
Anc B
[+35 kN](0,75 m)(106)
[1.200 mm2 (210)(103 ) kN/m2 ]
+ 0,104 mm
Resposta
Nesse
alo nga. caso, B afasta-se de C' visto que o segmento se
=
O conjunto mostrado na Figura 4.7a é composto por
um tubo de alumínio AB com área de seção transversal
de 400 mm2• Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro
está acoplada a um colar rígido e passa pelo tubo. Se uma
carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, determi­
ne o deslocamento da extremidade C da barra. Considere
Eaço 200 GPa, Ea1 = 70 GPa.
=
SOLUÇÃO
Força interna. O diagrama de corpo livre do tubo e da
barra (Figura 4. 7b) mostra que a barra está sujeita a uma
tração de 80 kN e o tubo, a uma compressão de 80 kN.
Deslocamento. Em primeiro lugar, determinaremos o
deslocamento da extremidade C em relação à extremidade
B. Trabalhando com as unidades newtons e metros, temos
oc;n
AE
PL
= �� =
=
--" _c_-:__:__--_
_:_
w( 0,0-05 m ? [200 ( 1 09 )_N/_m�2]
[+80(103 ) N](0,6 m)
+0,003056 m
PAB = 80 kN
80 kN
P8c = 80 kN
-> ,
80 kN
(b)
Figma 4.7
90
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
90kN
200mm
AI
�
li
200mm90kN}-4OOmml
�
�
I
300mm f60kN
Ql
30kNf
F
1�
Cd
(a)
u
•
•••.
·.
.
.u
·.•
.
•
J
PAc =
(b)
Figura 4.8
O sinal positivo indica que a extremidade C se desloca para
a direita em relação à extremidade B , j á que a barra se alonga.
O deslocamento da extremidade B em relação à extre­
midade fixa A é
PL
ôB - AE -
-
Nesta expressão, o sinal negativo indica que o tubo fica mais
direita em relação a A.
Visto que ambos o s deslocamentos são para a direita,
o deslocamento resultante de
A é, portanto,
(�)
ôc =
88
op
Psv =
(c)
(d)
Poste BD:
[-30 ( 1 03 ) N] (0,300 m)
�
9
2
2
?T(0,020 m) [70(10 ) Njm ]
6
= -102( 10- ) m
= 0,102 mm
Por cálculo proporcional do triângulo sombreado, o deslo­
camento do ponto
�"'
""
�
�
"'
��eNJem�
"'
"
;s:
�.�
"' '
Um elemento
(
)
F é, portanto,
ô p = 0,102 mm + (0,1 84 mm)
+ ôc;s = 0,001143 m + 0,003056 m
Resposta
A, B e F na viga.
locamentos da linha central nos pontos
C em relação à extremidade
= 0,00420 m = 4,20 mm ---?
----I B
F
A Figura 4.8d mostra um diagrama que ilustra os des­
= -0,001143 m = 0,001143 m ---?
fixa
i �
0,102mm,1-A-- 600 mm----1
!---400 mm
O,l02�m
84mm
60kN 30kN (�·0,o,2l86mm
[-80 ( 10 3) N] ( 0,4 m)
---;:;------:c-::'---=-::---=---=------=2
[400 mm ( 10-6 ) m2/mm2] [70 ( 109 ) Njm2]
curto e, por isso, B desloca-se para a
30kN
60kN
400 mm
600 mm
D
1
= 0,225 mm t
lu
Resposta
=
ài« x/'
é feito de um material com peso específico
E. Se esse elemento tiver a forma
'Y e módulo de elasticidade
de um
Uma
viga rígida AB
está apoiada nos dois postes curtos
mostrados na Figura 4.8a. AC é feito de aço e tem diâmetro
de 20 mm, e BD
é
feito de alumínio e tem diâmetro de 40
mm. Determine o deslocamento do ponto
F em AB se uma
cone com as dimensões mostradas na Figura 4.9a, de·
termine até que distância sua extremidade se deslocará sob a
força da gravidade, quando suspenso na posição vertical.
y
OB�
carga vertical de 90 kN for aplicada nesse ponto. Considere
Eaço
= 200 GPa, Ea1 = 70 GPa .
I ra r
loc;1
SOLUÇÃO
Força interna.
As forças de compressão que agem na par­
do elemento AB (Figura 4.8b ). Essas forças são iguais às for­
ças internas em cada poste (Figura 4.8c).
Deslocamento.
cada poste é
I
y
te superior de cada poste são determinadas pelo equilíbrio
P(y)
L
O deslocamento da parte superior de
Poste AC:
X
I ice
4. 1 .
lié lic
lll c l i
d ete
3
[ - 60 ( 10 ) N] (0,300 m)
�
6
= -286(10- ) m
= 0,286 mm
----'----
ht- l i c
lJ c (
X
(a)
Figma 4.9
(b)
CARGA AXIAL
SOLUÇÃO
• •
A
força axial interna varia ao longo do eleForça •mterna·
um segmento
peso W(y) de
.
a que ela depende do
_
mento, J"
(Figura
4.9b) . Por
seçao
qualquer
de
o
do eIem ento abaix
devemos
usar
deslocamento,
o
calcular
'ncia ' para
.
,
.
conseque
.
dtstancta
sua
uma
a
de
localizada
seção
Na
- 0 4· 1 ·
a E quaça
.
_
,
em
funçao
de
de­
cone
e
do
x
raw
o
inferior
'
.
ext renll'dade
.
,
nal, tsto e ,
orcw
prop
lo
cálcu
por
termi nado
y
o volume de u m cone c o m raio da b a s e x e
91
y
altura
yé
Problema 4.1
4.2.
A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas si­
métricas dos dois pisos de um edifício. Determine o deslocamen­
to vertical de sua extremidade,
Visto que
+ t �Fy
=
W = yV, a força interna na seção torna-se
P ( y ) - ')'1TrÔ y3
3L2
Deslocamento.
A
=
310 kN
4.3.
A coluna de aço A-36 é usada para suportar as car­
gas simétricas dos dois pisos de um edifício. D etermine as
_
O;
A, se P1 = 200 kN, P2
e a coluna tiver área de seção transversal de 14.625 mm2•
P1 P
A
3
se
se mover mm para baixo e B se mover
e
cargas
2
2,25 mm para baixo quando as cargas forem aplicadas.
área da seção transversal também é
coluna tem área de seção transversal de 14.625 mm2•
A
função da posição y (Figura 4.9b ). Temos
A aplicação da Equação 4.1 entre os limites y = O e
0 =
=
( LP ( y ) dy
lo A ( y )E
L
y dy
�
3
1
=
y L dá
=
fL [ (y1TrÔ/3L2 ) i] dy
lo [(1TrÕ/L2 )y2j E
Resposta
OBSERVAÇÃO:
Uma verificação parcial desse resultado mos­
trará que as unidades dos termos, quando canceladas, dão o des­
locamento em unidades de comprimento, como esperado.
Problemas 4.2/3
*4.4.
O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas
na figura. Determine o deslocameuto da extremidade
relação à extremidade
forem
Ecobre
4.1.
O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hé­
lice de aço
com 8 m de comprimento medido desde a
hélice até o mancai de encosto D no
motor. Se o eixo tiver diâ­
metro externo de 400 mm e espessur
a de parede de 50 mm,
de termine a quantidad
e de contração axial do eixo quando a
hélice exercer uma força de 5
kN sobre o eixo. Os apoios em
B e C são mancais de
deslizamento.
d
=
AB
= 20 mm,
126 GPa.
d
A em
D se os diâmetros de cada segmento
se =
25 mm e
d
cv =
12 mm. Considere
A-36
Problema 4.4
4.5.
A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mos­
trado. Se a área de seção transversal da haste for 60 mm2,
92 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
B e A. Despreze o tamanho
B, C e D.
A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço ino­
determine o deslocamento de
'4.8.
dos acoplamentos em
xidável 304 conectados aos elementos rígidos
AB e DC. De­
termine o deslocamento vertical da carga de 2,5 kN se os ele­
mentos estiverem na horizontal quando a carga for aplicad a.
Cada cabo tem área de seção transversal de 16 mm2•
4.9.
A carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidá­
vel 304 conectados aos elementos rígidos
AB e DC. Determi­
ne o ângulo de inclinação de cada elemento após a aplicação
4. 1
to
da
.'10
de
tra
illl
da carga de 2,5 kN. A posição original dos elementos era hori­
E
zontal e cada cabo tem área de seção transversal de 1 6 mm2•
F
.!
"' .·.> •.• , , .,
1
1
·< • ._ ' > "' ' '· ' · , . , , . ., , : :. .: : ·"'· '' ' '· '
I
l
0,9 m
r
D
8 kN
l__
A
Problema 4.5
o, m
CB de aço A-36 e
uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de
25 mm Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar
2 mm para a direita e B se deslocar 0,5 mm para a esquerda quan­
4.6.
H
O conjunto é composto por uma haste
0,3 m
.
do as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada segmento
B e C e considere que elas são rígidas.
c
I
i--- 0,9 m
4.1'
(O (
B
das
0,3 m
2 5 kN
Problemas 4.8/9
quando não alongado é mostrado na figura. Despreze o tama­
nho das conexões em
0,6 m---1
1,5 m
:HJ'i
12 I
q ua
4.10. A barra tem área de seção transversal de 1.800 mm2 e
E = 250 GPa. Determine o deslocamento da extremidade A
da barra quando submetida ao carregamento distribuído.
t---- x ---1
��----1
Problema 4.6
4.7.
O eixo
AC de aço A-36 com 15 mm de diâmetro é susten­
B. Se for submetido a
w=
500x113 Njm
tado por um colar rígido fixado ao eixo
uma carga axial de 80 kN em sua extremidade, determine a dis­
4.11.
tribuição de pressão uniforme p no colar exigida para o equilí­
-6A1-4V) e uma barra rígida
brio. Calcule também o alongamento nos segmentos
BC e BA.
O conjunto é composto por três hastes de titânio
(Ti­
AC. A área da seção transversal de
cada haste é dada na figura. Se uma força de 30 kN for aplicada
ao anel F, determine o deslocamento horizontal do ponto F.
'4.12.
O conjunto é composto por três hastes de titânio
-6A1-4V) e uma barra rígida
(Tí­
AC. A área da seção transversal
de cada haste é dada na figura. Se uma força de 30 kN for apli­
cada ao anel F, determine o ângulo de inclinação da barra AC
1,2 m
C
1t" Acv = 600 mm2
�D
E
80 kN
Problema 4.7
lr's
1,8 m
A
T
0,6 m
Í
F
!t0 , 3 m
'ô
30 kN
0,3 m A EF = 1.200 mm
j_
1
Problemas 4.11112
4. 15.
hmr.
na lí:
de te
CARGA AXIAL
por molas é compossuporte para tubos· apoiado
- ongma
·
·
1, nao es t-ao a1ongapos1çao
na
que,
uas molas
· · d ave
' 1
de aço mox1
h
astes
tres
kN/m,
60
k
ez
rigid
cm
e
1ame
e
d
5
EF
d'
tro
mm
etro
d1am
1_1
com
CD,
04 AB
que
o
e
ele
flmdo
tubo
o
Se
GH.
rígida
viga
3
de iz mm e uma
ine
o
kN,
desloca
4
determ
de
peso
um
em
t·
tiver
ta
.
transpo tubo quando estive
te.
do
ao
supor
acopla
r
mento do
"-13· U m
to por d
das e te' m
e
-
=
A
"
A
93
*4.16. O sistema articulado é composto por três elementos de
aço A-36 conectados por pinos, cada um com área de seção
transversal de 500 mm2. Se uma força vertical P 250 kN for
aplicada à extremidade B do elemento AB, determine o deslo­
camento vertical do ponto B.
4.17. O sistema articulado é composto por três elementos de
aço A-36 conectados por pinos, cada um com área de seção
transversal de 500 mm2 . Determine o valor da força p necessária
para deslocar o ponto B a uma distância de 2,5 mm para baixo.
=
0,2S m 0,2S m
Problema 4.13
Um suporte para tubos apoiado por molas é compos­
por duas molas que, na posição original, não estão alonga­
das têm rigidez k = 60 kN/m, três hastes de aço inoxidável
304,AB e CD, com diâmetro de 5 mm e EF com diâmetro de
12 mm, e uma viga rígida GH. Se o tubo for deslocado 82 mm
quando estiver cheio de fluido, determine o peso do fluido.
4.14.
to
e
p
Problemas 4.16/4.17
m
0,2S m 0,2Sm
4.15. O
Problema 4.14
1114.18. Considere o problema geral de uma barra compos­
ta por m segmentos, cada um com área de seção transversal
constante A111 e comprimento L"'. Se houver n cargas sobre a
barra como mostra a figura, escreva um código computacio­
nal que possa ser usado para determinar o deslocamento da
barra em qualquer local específico x . Mostre uma aplicação
do código usando os valores L1 = 1,2 m, d1 = 0,6 m, P1 2
kN, A1 1.875 mm2 , L2 = 0,6 m, d2 = 1,8 m, P2 = -1,5 kN,
A2 625 mm2•
=
=
=
conjunto é composto por três hastes de titânio e uma
barra rígida AC. A área da seção transversal de cada haste é dada
na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F,
determine o deslocamento vertical do ponto F. E,i = 350 GPa.
Anc = 4S mm2
2 m ABA = 60 mm2 2 m
f.
---...J c
A ��---,-
f--0,5
lP = 20kN
,,\!F
Problema 4.15
Problema 4.18
4.19. A barra rígida é sustentada pela haste CE acoplada
por pino, com área de seção transversal de 14 mm2 feita de
alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra em
D quando a carga distribuída for aplicada.
e
94 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
nar resistência ao atrito uniformemente distribuída ao longo
do comprimento do poste e variar linearmente de w = O em y ""
O a w = 3 kN/m em y = 2 m, determine a força F em sua parte
inferior necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual
é o deslocamento da parte superior do poste, A, em relação à
sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste.
4.2 7
UI
da p
d a dt
ai!
20 kN
*4.20. A viga rígida está apoiada em suas extremidades por
dois tirantes de aço A-36. Se a tensão admissível para o aço
for uadm = 115 MPa, a carga w = 50 kN/m e x = 1,2 m, deter­
mine o diâmetro de cada haste de modo que a viga permane­
ça na posição horizontal quando carregada.
4.21. A viga rígida está apoiada em suas extremidades
por dois tirantes de aço A-36. Os diâmetros das hastes são
dAB = 12 mm e dcv = 7,5 mm. Se a tensão admissível para
Problema 4.23
o aço for uactm = 115 MPa, determine a intensidade da carga
distribuída w e seu comprimento x sobre a viga para que esta *4.24. A haste tem uma leve conicidade e comprimento L.
permaneça na posição horizontal quando carregada.
Está suspensa a partir do teto e suporta uma carga P em sua
extremidade. Mostre que o deslocamento de sua extremida­
de em razão dessa carga é 8 = PLI('ITEr2r1). Despreze o peso
B
do material. O módulo de elasticidade é E.
4.25. Resolva o Problema 4.24 incluindo P e o peso do ma­
terial e também considerando que o peso específico da haste
é y (peso por unidade de volume).
Al
Dr
TC
� _j
4.ZX.
do
st
"'­
.
HI k i
4. 21).
dli('(
p i r :'i 1
;llé li
d a 1'.1
,.j!;;-I.__.
--1--'--..l._J._
�
-"--�
:-= 2,4 m
- -
Problemas 4.20/21
O poste é feito de abeto Douglas e tem diâmetro de
60 mm. Se estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo pro­
porcionar resistência ao atrito w = 4 kN/m uniformemente
distribuída ao longo de seus lados, determine a força F na par­
te inferior do poste necessária para haver equilíbrio. Calcule
também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A,
em relação à sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste.
4.22.
20 kN
Pmblemas 4.24/25
Dois lados opostos de uma esfera de raio r0 foram
cortados para fabricar o suporte apresentado na figura. Se a
altura original do suporte for r/2 determine até que distân­
cia ele se encurta quando suporta uma carga P. O módulo de
elasticidade é E.
4.26.
,
p
Problema 4.22
4.23. O poste é feito de abeto Douglas e tem diâmetro de 60
mm. Se estiver sujeito a uma carga 20 kN e o solo proporcio-
Problema 4.26
4.JO.
pcl;1
o lli<Í
d l' l t: l
q ll i l l l
CARGA AXIAL 95
dades foram truncadas é usa- 4 . 3 Prin c íp i o da s u pe rposiçã o
ma bola cujas extremi
P. Se o mo' du1o d e e1 ashciapmo
de
carga
. ortar a
sup
. o d ecresc1
, .mo em sua
E' determme
para material for
O princípio d a superposição é frequentemente usa­
a carga é aplicada.
altura q uando
U
·
·
·
O
p
Problema 4.27
Determine o alongamento da tira de alumínio quan­
30 kN. E.1 = 70 GPa.
do submetida a uma força axial de
4.28.
�����:
15 mm
50 mm
+==-�
�250 mm+·---800 mm----+
�
�
30 kN
Problema 4.28
peça fundida é feita de um material com peso espe­
dfico e módulo de elasticidade E. Se ela tiver a forma da
pirilmide cujas dimensões são mostradas na figura, determine
até que distância sua extremidade será deslocada pela ação
da gravidade quando estiver suspensa na posição vertical.
4.29.
A
y
Problema 4.29
O raio do pedestal apresentado na figura é definido
pela função r = 2/(2 + y112) m, onde y é dado em metros. Se
o módulo de elasticidade para o material for E = 100 MPa,
determine o deslocamento da parte superior do pedestal
quando ele suportar a carga de 5 kN.
4.30.
r=
(2 2 1/2)
+y
r
Problema 4.30
do para determinar a tensão ou o deslocamento em
um ponto de um elemento quando este estiver sujeito
a um carregamento complicado. Subdividindo o carre­
gamento em componentes, o princípio da supelposi­
ção afirma que a tensão ou o deslocamento resultante
no ponto pode ser determinado se antes se determinar
a tensão ou o deslocamento causado por cada com­
ponente da carga agindo separadamente sobre o ele­
mento. Então, a tensão ou deslocamento resultante é
determinado pela soma algébrica das contribuições
causadas por cada uma das componentes das cargas.
Para aplicar o princípio da superposição, as duas
condições a seguir devem ser válidas.
1. A carga deve estar relacionada lineannente com
Por exemplo, as equações O' = PIA e 8 = PLIAE
envolvem uma relação linear entre P e O' ou 8.
a tensão ou o deslocamento a ser detenninado.
2.
A carga não deve provocar mudanças signifi­
cativas na geometria ou configuração original
Se ocorrerem mudanças significa­
tivas, a direção e a localização das forças apli­
cadas e seus momentos mudarão e, por conse­
quência, a aplicação das equações de equilíbrio
darão resultados diferentes. Como exemplo,
considere a haste delgada mostrada na Figu­
ra 4.10a, sujeita à carga P . Na Figura 4.10b, P
é substituída por duas de suas componentes,
P = P 1 + P 2 • Se P provocar uma grande deflexão
na haste, como mostra a figura, o momento da
carga em torno de seu apoio, Pd, não será igual
à soma dos momentos das componentes das car­
gas, Pd i= PA + P2d2, porque d 1 i= d2 i= d.
do elemento.
A maioria das equações envolvendo carga, tensão
e deslocamento desenvolvidas neste livro representa
relações lineares entre estas grandezas. Além disso,
os elementos ou corpos considerados serão tais que
o carregamento produzirá deformações tão pequenas
que a mudança na posição e na direção do carrega­
mento será insignificante e poderá ser desprezada.
Entretanto, uma exceção a essa regra será discutida
no Capítulo 13. Essa exceção é uma coluna que su­
porta uma carga axial equivalente à carga crítica ou
de flambagem. Mostraremos que, mesmo quando essa
carga sofre apenas um ligeiro aumento, provoca gran­
de deflexão lateral na coluna, ainda que o material
permaneça no regime linear elástico. Essas deflexões,
associadas às componentes de qualquer carga axial,
não podem ser superpostas.
96 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
1----- dz -------1
(b)
(a)
Figura 4.10
4.4
Elemento com carga axial
estaticamente indeterminado
Quando uma barra está presa somente em uma ex­
tremidade e é submetida a uma força axial, a equação
de equilíbrio da força aplicada ao longo do eixo da
barra é suficiente para determinar a reação no supor­
te fixo. Um problema como esse, no qual as reações
podem ser determinadas estritamente pelas equações
de equilíbrio, é denominado estaticamente determina­
do. Entretanto, se a barra estiver presa em ambas as
extremidades, como na Figura 4.11a, então aparecem
duas reações axiais desconhecidas (Figura 4.11 b), e a
equação de equilíbrio de força torna-se
+ j �F = O;
Neste caso, a barra é denominada estaticamente in­
determinada, visto que a(s) equação(ões) de equilíbrio
não é( são) suficiente( s) para determinar as reações.
Para estabelecer uma equação adicional necessária
para a solução, temos de considerar a geometria da de­
formação. Especificamente, uma equação que indique
as condições para o deslocamento é denominada con­
dição de compatibilidade ou condição cinemática.
Uma condição de compatibilidade adequada exigiria
que o deslocamento relativo de uma extremidade da
barra em relação ao da outra extremidade fosse igual
a zero, visto que os apoios das extremidades são fixos.
Por consequência, podemos escrever
Considerando que AE é constante, podemos resol­
ver essas duas equações para as reações, o que dá
e
Ambos os resultados são positivos, portanto, as
reações estão mostradas corretamente no diagrama de
corpo livre.
A
rt
Lt
L
i[
-�
c
p
B
(a)
FALAc
AE
F-B=--L_:::cB
= O
AE =
!•.a d a ,
l klcJ
tr rll<t I
() 1 < 1 1 11
SOLL
f)AIB = 0
Essa equação pode ser expressa em termos das
cargas aplicadas por meio de uma relação cm·ga-des­
locamento que depende do comportamento do ma­
terial. Por exemplo, se ocorrer comportamento linear
elástico, 8 = PL/AE pode ser usada. Percebendo-se
que a força interna no segmento AC é + FA , e que no
segmento CB a força interna é - F8 (Figura 4.11c), a
equação de compatibilidade pode ser escrita como
;\
de > r
Equili
(l·i1:u r
cic r r l c
C Oi l l < i l
Íll d t• i c
c q u < � �·
()
\ "
Cornp
F8 Fs
(b)
(c)
Figura 4.11
lll c n l c .
CARGA AXIAL 97
qne l:iajàuma relaçã5� lin�ar�ntr� o s:arregame:çtto � a
provoque mudanças signifie�ti.v�s·na g�(;l.ll).� l!'i� . priginal do elemento.
é estaticmnente indeterminado �e as eqJúl,ÇÕes cJe equilíbrio não
aticamente indeterminados, as forças desconhecidas são determinadas satisfazendo os requisitos
o ai
e
Em problemas est
de equilíbrio, c mp t bilidad e força-deslocamento para o elemento.
Eq uilíbrio
Desenhe um di agrama de corpo livre do elemento para identificar todas as forças qu e agem sobre ele.
problema pode ser classificado como estaticamente indeterminado se o número de reações desconhecid as no
diagrama de corpo livre for maior do que o número de equações de equilíbrio disponíveis,
• Escreva a equações de equilíbrio para o elemento.
•
.. O
Comp atibilidade
ara escrever as equações de compatibilidade, considere desenhar um diagrama de deslocamento para investigar
o modo como o elemento se alongará ou contrairá quando submetido a cargas externas.
• Expresse as condições de comp atibilidade em termos dos deslocamentos causados pelas forças.
• Use uma relação carga-des locamento tal como 8 = PL!AE p ara relacionar os deslocament os desconhecidos
com as reações desconhecidas.
• Resolva as equações de equilíbrio e compatibilidade p ara as forças reativas desconhecidas. Se qualquer dessas forças
tiver um valor numérico negativo, isso indica que ela age no sentido oposto ao indicado no diagrama de cmpo livre.
• P
e*el'!ll emm
��.5 ,
Esse deslocamento pode ser expresso em termos das rea­
ções desconhecidas pela relação carga-deslocamento, Equa­
ção 4.2, aplicada aos segmentos AC e CE (Figura 4.12c ). Tra­
A haste de aço mostrada na Figura 4.12a tem diâmetro
balhando
com as unidades newtons e metros, temos
de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carre­
gada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B' e a haste.
Determine as reações em A e B' se a haste for submetida a
urna força axial P = 20 kN como mostra a figura. Despreze
FA(0,4 m)
o ta manho do colar em C. Considere E = 200 GPa.
O '001 m = 1r(0,0025 m)=::9 ) Njm2]
2 [200(10
SOLUÇÃO
Fs(0,8 m)
Equilíbrio. Como mostrado no diagrama de corpo livre
(Figura 4.12b ), consideraremos que a força P é grande o sufi­
ou
ciente para fazer com que a extremidade B da haste entre em
�ontato com parede em B'. O problema é estaticamente FA (0,4 m) - F8 (0,8 m) = 3927 0 N · m
(2)
mdcterminado visto que há duas incógnitas e apenas uma
equação de equilíbrio.
A resolução das equações 1 e 2 nos dá
O equilíbrio da haste exige
Resposta
FA = 16,6 kN
FB = 3,39 kN
Visto que a resposta para F8 é positiva, a extremidade B
:±; 'ZF . = O ·
(1)
realmente entrará em contato com a parede, como conside­
Com patibilidade. A carga faz com que o ponto B movi­
ramos desde o início.
�ente-se até o ponto B' sem mais nenhum deslocamento adi­ OBSERVAÇÃO: Se F8 fosse uma quantidade negativa, o
Cional. Portanto, a condição de compatibilidade para a haste é
problema seria estaticamente determinado, de modo que
F
8 = O e FA = 20 kN.
881A = 0,001 m
"
"' "' �"' ="'JP
aço
a
X
'
------=-
---'---:---;
--;;-
,
98 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
( a)
(c)
(b)
Figura 4.12
Resolvendo as equações 1 e 2 simultaneamente, temos
30 kN
F;at 15 kN
O poste de alumínio mostrado na Figura 4.13a é reforça­
do com um núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma
Visto que os resultados são positivos, a tensão será,
carga de compressão axial resultante P 45 kN, aplicada na realmente, de compressão.
tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e
Portanto, a tensão normal média no alumínio e no latão é
no latão. Considere Ea1 70(103) MPa e 1 t 105(103) MPa.
30 kN
5,09 MPa
SOLUÇÃO
1T[(0,05 m)2 - (0,025 m)2 ]
Resposta
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre do poste é mostra­
do na Figura 4.13b. Aqui, a força axial resultante na base é
15 kN
7,64 MPa
representada pelas componentes desconhecidas suportadas
1r[ (0,025 m)2 ]
Resposta
pelo alumínio, Fal ' e pelo latão, F1•1• O problema é estatica­
mente indeterminado. Por quê?
As distribuições de tensão são mostradas na Figura 4.13c.
O equilíbrio da força vertical exige
=
Ea =
=
=
F"1 =
=
=
lat =
a:
Cor
h mi
re l a
po d
a eq
(1)
Compatibilidade. A tampa rígida na parte superior do
poste obriga que o deslocamento de ambos, alumínio e la­
As três barras de aço A-36 mostradas na Figura 4.14a
tão, seja o mesmo. Portanto,
estão conectadas por pinos a um elemento rígido. Se a car­
ga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força de­
8al 8lal
senvolvida em cada barra. Cada uma das barras e EF
tem área de seção transversal de 25 mm2, e a barra CD tem
Pelas relações carga-deslocamento,
área de seção transversal de 15 mm2 •
=
AB
FatL = AFtatL
AalEal
latElat
Aal)(Eal)
Fat = Flat(A
lat Elat
( I :i
SOLU ÇÃO
m)2 - (0,025 m)2 ] ][ 70(1W MPa l
Fal = Flat [1T[(0,057T(0,025
m) 2
105(10)3 MPa
(2)
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre do elemento rígido
é mostrado na Figura 4.14b. Esse problema é estaticamente
indeterminado visto que há três incógnitas e somente duas
equações de equilíbrio disponíveis. Essas equações são
+t2:F = o·
1+ 2:Mc =O; -JS1(0,4 m) + 15 kN(0,2 m) + Fe(0,4 m) =O
50 mm
y
'
t:Tiat
=
--
t ,.l
Fla t
Fa l
�
(b)
Figura 4.13
(2)
(1)
7,64 MPa
O"a!
(a)
l'<' l a
(c)
= 5,09 MPa
l O 111111
CARGA AXIAL 99
A
F
D
B. �•
c
ro,2 m� 0,2 m
I
I.
ú
E
�
Q
m
.
0,4 m ==f
I
15 kN
15 kN
(a)
J
d 0,4 m --;j
::��E
A
0,4 m
8c
A'
(c)
(b)
Figura 4.14
A carga aplicada fará com que a reta
horizontal ACE mostrada na Figura 4.14c desloque-se até a
reta inclinada A'C' E'. Os deslocamentos dos pontos A, C e E
O parafuso de liga de alumínio 2014-T6 mostrado na Figura
podem ser relacionados por triângulos proporcionais. Assim, 4.15a é apertado de modo a comprimir um tubo cilíndrico de liga
a equação ele compatibilidade para esses deslocamentos é
demagnésioAm 1004-T61. O tubo tem raio externo de lO mm, e
consideramos
que o raio interno do tubo e o raio do parafuso são
úc - oE
ambos 5 mm. As arruelas nas partes superior e inferior do tubo
0,4 m
são consideradas rígidas e têm espessura desprezível. Inicialmen­
te, a porca é apertada levemente à mão; depois, é apertada mais
meia-volta com uma chave de porca. Se o parafuso tiver 20 roscas
por polegada, determine a tensão no parafuso.
Pela relação carga-deslocamento (Equação 4.2), temos
Compatibilidad e.
SOLUÇÃO
Equilíbrio. Consideramos que o diagrama de corpo livre
de uma seção do parafuso e do tubo (Figura 4.15b) está cor­
reto para relacionar a força no parafuso, ��· com a força no
Fc = 0,3FA + 0,3FE
(3) tubo, F,. O equilíbrio exige
A resolução simultânea das equações 1 a 3 resulta
Fp - F = O
(1)
+t iFy = O'·
O problema é estaticamente indeterminado visto que
Resposta
FA = 9,52 kN
há duas incógnitas nesta equação.
FC = 3,46 kN
Resposta
Compatibilidade. Quando a porca é apertada contra o para­
fuso,
o tubo encurta o,, e o parafuso alonga-se oP (Figura 4.15c).
FE = 2,02 kN
Resposta
Visto que a porca ainda é apertada mais meia-volta,
ela avança
uma distância de 1/2(20/20 mm) = 5 mm ao longo do parafuso.
Assim, a compatibilidade desses deslocamentos exige
t
lO
Considerando o módulo de elasticidade EA m = 45 GPa,
E"1 = 75 GPa e aplicando a equação 4.2, temos
(+t)
m
8
(a)
(b)
Figura 4.15
Posição
(c)
1
0,5 mm
Posição
inicial
F;(60 mm)
2
?T[ (10 mm) - (5 mm)2 ][45(103 ) MPa]
FP (60 mm)
-'-::= 0,5 mm
7r[(5 mm)2 ][75(10 3 ) MPa]
5F, = 125?T(1,125) - 9FP
A resolução simultânea das equações 1 e 2 dá
�� = F, = 31.556 N = 31,56 kN
-
-
-=---
-
(2)
1 00
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Portanto, as tensões no parafuso e no tubo são
31.556 N
2
N/
= j!p_ =
AP 1r(5 mm)2 = 401,8 mm = 401,8 MPa
31.556 N
= f; =
133, 9 N/mm2
2
A1
[ (10 mm)
(5 mm)2 ]
9
Resposta
= 133, MPa
Essas tensões são menores do que a tensão de escoa­
mento informada para cada material, (aJar 414 MPa e
(ae)mg
152 MPa (ver o final do livro) e, portanto, essa
análise "elástica" é válida.
crb
=
cri
1r
-
=
Pelo diagrama de corpo livre da barra (Figura
4.1lb) a reação em A pode ser agora determinada
pela equação de equilíbrio,
,
c
+ i L:Fy = O;
Visto que L cs =
L - LAC' então
=
4.5
Método d e a n á l ise d e fo rça
p a ra e l e m e ntos ca rre g a d os
axi a l m ente
Também é possível resolver problemas estaticamente
indeterminados escrevendo a equação de compatibilidade
levando em consideração a superposição das forças que
agem no diagrama de corpo livre. Este método de solução
é conhecido como método de análise deflexibilidade ou
deforça. Para demonstrar a aplicação desse método, con­
sidere, mais uma vez, a barra na Figura 4.1la. Para escre­
ver a equação de compatibilidade necessária, em primeiro
lugar, escolheremos qualquer um dos apoios como "re­
dundante" e anularemos temporariamente o efeito que
ele causa na barra. Neste contexto, a palavra redundante
indica que o apoio não é necessário para manter a barra
em equihbrio estável e, portanto, quando ele é retirado,
a barra toma-se estaticamente determinada. No caso em
questão, escolheremos o apoio em B como redundante.
Então, pelo princípio da superposição, a barra na Figu­
ra 4.16a é equivalente à barra submetida somente à carga
externa P (Figura 4.16b) mais a barra submetida somente
à carga redundante desconhecida F8 (Figura 4.16c).
Se a carga P provocar um deslocamento 8P para
baixo em B, a reação F8 deve provocar um desloca­
mento equivalente 88 para cima na extremidade B, de
modo que não ocorra nenhum deslocamento em B
quando as duas cargas forem superpostas. Assim,
Esses resultados são os mesmos que os obtidos na
Seção 4.4, exceto pelo fato de que, aqui, aplicamos pri­
meiro a condição de compatibilidade e depois a condi­
ção de equilíbrio para obter a solução. Observe tam­
bém que o princípio da superposição pode ser usado
aqui pois o deslocamento e a carga estão relacionados
linearmente (8 = PLIAE); portanto, entende-se que o
material se comporta de maneira linear elástica.
cj�
A
L
Sem deslocamento em B
(a)
B
•jj
A
Deslocamento em B quando
a força redundante em B
é removida
p
(b)
+
Esta equação representa a equação de compatibili­
dade para deslocamentos no ponto B, na qual conside­
ramos que deslocamentos para baixo são positivos.
Aplicando a relação carga-deslocamento a cada caso,
temos 8p PLACIAE e 88 = FBLIAE. Por consequência,
=
A
Deslocamento em B quando
somente a força redundante
em B é aplicada
(c)
Figura 4.16
Fs
ll l
l I IO
de
li'
'
;\
ser
L' a
SOLU
Comp
t'Oil/0
CARGA AXIAL
1 Ü1
., Escolha um dos apoios como redundante e escreva a equação de compatibilidade. Para tanto, igualamos o des­
locamento conhecido no apoio redundante, o qual é normalmente zero, ao deslocamento no apoio causado so­
mente pelas cargas externas que agem sobre o elemento mais (vetorialmente) o deslocamento no apoio causado
somente pela reação redundante que age sobre o elemento.
., Expresse a carga externa e deslocamentos redundantes em termos dos carregamentos usando uma relação car­
ga-deslocamento tal como a = PL/AE.
., Uma vez estabelecida, a equação de compatibilidade pode ser, então, resolvida para a amplitude da força redundante.
Equilíbrio
um diagrama de corpo livre e escreva as equações de equilíbrio adequadas para o elemento usando o
resultado calculado para o redundante. Resolva essas equações para as outras reações.
• Desenhe
A haste de aço A-36 mostrada na Figura 4.17a tem diâ­
metro de 5 mm. Ela está presa à parede fixa em A e, antes
de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em
B ' e a haste. Determine as reações em A e B'.
SOLUÇÃO
Aqui, consideraremos o apoio em B'
como redundante. Pelo princípio da superposição (Figura
4. 17b), temos
Compatibilidade.
(±.)
Ü,Ü01 m = 8p - 88
As deftexões ap e aB são determinadas pela Equação 4.2.
Substituindo na equação 1, obtemos
0,001 = 0,002037 m - 0,3056(10- 6 )F8
F8 = 3,39(103 ) N = 3,39 kN
Resposta
m
Pelo diagrama de corpo livre (Figura 4.17c),
(1) :4 2:F,= O ; - FA +20 kN- 3,39 kN= o FA = 16,6 kN
Equilíbrio.
Resposta
A
A coluna é construída de concreto de alta resistência e
seis hastes de reforço de aço A-36. Se ela for submetida a uma
força axial de 150 kN, determine a tensão normal média no
concreto e em cada haste. Cada uma tem diâmetro de 20 mm.
*4.32. A coluna é construída de concreto de alta resistência
e seis hastes de reforço de aço A-36. Se for submetida a uma
força axial de 150 kN, determine o diâmetro exigido para
cada haste, de modo que 1/4 da carga seja suportada pelo
concreto e 3/4, pelo aço.
A
lOO mm �
4.31.
·
150 kN
20 kN
+-I )ojJ
FA
(b)
(c)
.
Figura 4.17
1-+-'-
3 39 kN
Problemas 4.31132
1 02
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
25kN
O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6.061-T6 e
está sujeito a uma força de tração de 200 kN. Determine a tensão
normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo
tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm
4.33.
1-----400 mm----4
200kN
������������������� ---+-
200 kN
Problema 4.33
A coluna de concreto é reforçada com quatro hastes
de aço, cada uma com diâmetro de 18 mm. Determine a ten­
são no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma
carga axial de 800 kN. Eaço = 200 GPa, E = 25 GPa.
4.35. A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada
com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a uma for­
ça axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para cada
haste de modo que 1/4 da carga seja suportada pelo aço e 3/4,
pelo concreto. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 GPa.
4.34.
c
800kN
B
�B
�
75mm '
T�12mm
.
4.42.
moto
Ali é
portn
Cada
Problemas 4.37/38
A carga de 7,5 kN deve ser suportada pelos dois ca­
bos verticais de aço para os quais cre = 500 MPa. Se os com­
primentos originais dos cabos AB e AC forem 1.250 mm e
1.252,5 mm respectivamente, determine a força desenvolvida
em cada cabo depois da suspensão da carga. Cada cabo tem
área de seção transversal de 12,5 mm2•
*4.40. A carga de 4 kN deve ser suportada pelos dois ca­
bos verticais de aço para os quais cre = 560 MPa. Se os com­
primentos originais dos cabos AB e AC forem 1.250 mm e
1.252,5 respectivamente, determine a área da seção transver­
sal de AB para que a carga seja compartilhada igualmente
entre os dois cabos. O cabo AC tem área de seção transversal
de 13 mm2•
4.39.
1.252,5 mm
4.43.
llflla I
11 0
de
cstúo
('Oill p
l u vn I
n p l ic;
Problemas 4.34/35
O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20 mm e
Problemas 4.39/40
raio interno de 15 mm. Se ele se ajustar exatamente entre as
paredes fixas antes de ser carregado, determine a reação nas 4.41. O apoio é composto por um poste sólido de latão ver­
melho C83400 embutido em um tubo de aço inoxidável 304.
paredes quando for submetido à carga mostrada.
Antes da aplicação da carga, a folga entre essas duas partes
é 1 mm. Dadas as dimensões mostradas na figura, determine
B
a maior carga axial que pode ser aplicada à tampa rígida A
c
A
sem provocar o escoamento de qualquer um dos materiais.
�
*4.36.
f--
300 mm
SkN700 mm
---
(libra
versa I
de se'
na
111 ;
corpo
Problema 4.36
O poste A de aço inoxidável304 tem diâmetro d = 50 mm
e está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400.
Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for apli­
cada uma força de 25 kN à tampa rígida, determine a tensão
normal média desenvolvida no poste e no tubo.
4.38. O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em
um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão apoia­
dos sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de
25 kN à tampa rígida, determine o diâmetro d exigido para o
poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente
entre o poste e o tubo.
'4.44.
r dor(
4.37.
Problema 4.41
CARGA AXIAL
1 03
A-36 são usados para suportar o 4.45. carregamento distribuído é sustentado pelas três
0�·8,25cabokNs de( aço
325 kg). comprimento
• original de barras de suspensão. AB e EF são feitas de alumínio e CD
e a força su- é feita de aço. Se cada barra tiver área de seção transversal
mm e o de A B e 800,2 mm. D:etermm
suspenso por eles. de 450 mm2, determine a intensidade máxima w do carre­
or cada cabo quando o motor
gamento distribuído de modo a não ultrapassar uma tensão
ca:o tem área de seção transversal de 6,25 mm2•
admissível de (aadm)aço = 180 MPa no aço e (aadm)a1 = 94 MPa
no alumínio. Eaço = 200 GPa, E.1 = 70 GPa.
d
L42• D
motor e
AB é SOO
O
·
O
""
1
I ,
f--1,5 m 1,5 m---j
-+----
Problema 4.45
Problema 4.42
4A3 . O parafuso AB tem diâmetro de 20 mm e passa por
uma luva com diâmetro interno de 40 mm e diâmetro exter­
no de 50 mm. O parafuso e a luva são feitos de aço A-36 e
estão presos aos apoios rígidos como mostra a figura. Se o
comprimento do parafuso for 220 mm e o comprimento da
l u va for 200 mm, determine a tração no parafuso quando for
aplicada uma força de 50 kN aos apoios.
)-zoomm--j
�220mm---!
O elo rígido é sustentado por um pino em A, um
cabo de aço BC com comprimento de 200 mm quando não
alongado com área de seção transversal de 22,5 mm2 e um
bloco curto de alumínio com 50 mm de comprimento quan­
do não carregado com área de seção transversal de 40 mm2•
Se o elo for submetido à carga vertical mostrada, determine
a tensão normal média no cabo e no bloco. Eaço = 200 GPa,
E.1 = 70 GPa.
4.47. O elo rígido é sustentado por um pino em A, um cabo
de aço BC com comprimento de 200 mm quando não alon­
gado com área de seção transversal de 22,5 mm2 e um bloco
curto de alumínio com 50 mm de comprimento quando não
carregado com área de seção transversal de 40 mm2• Se o elo
for submetido à carga vertical mostrada na figura, determine
a rotação do elo em torno do pino A. Dê a resposta em radia­
nos. Eaço = 200 GPa, E.1 = 70 GPa.
4.46.
Problema 4.43
O corpo de prova representa um sistema de matriz
reforçada por filamentos feito de plástico (matriz) e vidro
(fibra). Se houver n fibras, cada uma com área de seção trans­
versal A1 e módulo E!' embutidas em uma matriz com área
de s ção transversal A e módulo E determine a tensão
na matriz e em cada fib�a quando a f;�ça P for imposta ao
corpo de prova.
'4.44.
e
p
Problemas 4.46/47
p
Problema 4.44
*4.48. Cada um dos três cabos de aço A-36 tem diâmetro de
2 mm e comprimentos LAc = 1,60 m e LA8 = LAD = 2,00 m
quando não carregados. Determine a força em cada cabo de­
pois que a massa de 150 kg é suspensa pelo anel em A.
4.49. Cada um dos três cabos AB e AD de aço A-36 tem diâme­
tro de 2 mm e comprimentos LAc = 1,60 m e LAB = LAD = 2,00
m quando não carregados. Determine o diâmetro
exigido para
o cabo AC de modo que cada cabo seja submetido à mesma for­
ça provocada pela massa de 150 kg suspensa pelo anel em A.
1 04
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
'4,5(
B
po r '
l' 1111
b;JIT
lO mm
to d;
20 mm
4. 5 7
por
II I I II
que .
,; fll l'
p
Problemas 4.48/49
Problema 4.53
As três barras de suspensão são feitas do mesmo ma­ 4.54. O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embuti­
terial e têm áreas de seção transversal iguais, A. Determine a do em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20
tensão normal média em cada barra se a viga rígida ACE for mm e seu diâmetro interno é 10 mm. Se a tensão de escoamen­
submetida à força P.
to para o aço for (ae)aço = 640 MPa e para o bronze (ae\., 520
MPa, determine o valor da maior carga elástica P que pode ser
aplicada ao conjunto. Eaço = 200 GPa, Ebr = 100 GPa.
4.50.
=
p
lO mm
4.5H. <
ll ll'l dll
V('I�.; l i
20 mm
fi .
('
;í
<�plica
Problema 4.50
O conjunto é composto por um parafuso de aço A-36
e um tubo de latão vermelho C83400. Se a porca for apertada
contra o tubo de modo que L = 75 mm, e quando girada um
pouco mais, avance 0,02 mm no parafuso, determine a
força no parafuso e no tubo. O parafuso tem diâmetro de
7 mm, e o tubo tem área de seção transversal de 100 mm2•
*4.52. O conjunto é composto por um parafuso de açoA-36 e
um tubo de latão vermelho C83400. A porca foi apertada con­
tra o tubo de modo que L = 75 mm. Determine a quantidade
máxima de avanço adicional da porca no parafuso para que o
material não sofra escoamento. O parafuso tem diâmetro de 7
mm, e o tubo tem área de seção transversal de 100 mm2•
p
4.51.
Problema 4.54
4.55. O elemento rígido é mantido na posição mostrada na
figura por três tirantes de aço A-36. Cada tirante tem com·
primento de 0,75 m quando não alongado e área de seção
transversal de 125 mm2• Determine as forças nos tirantes se
for dada uma volta completa em um parafuso tensor na has·
te EF. O avanço da rosca é 1,5 mm. Despreze o tamanho do
parafuso tensor e considere-o rígido. Observação: O avan·
ço provocaria na haste, quando não carregada, um encur­
tamento de 1,5 mm quando o parafuso tensor girasse uma
revolução completa.
po'
do rn;JI
para
0,75 m
Problemas 4.51/52
O parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está em­
butido em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa
luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm. Se o parafuso
for submetido a uma força de compressão P = 20 kN, deter­
mine a tensão normal média no aço e no bronze. Eaço = 200
GPa, Ebr = 100 GPa.
4.53.
IIi<! I \' l i
l ra 11w<
lll(>d u / .
\ '�='
rB
l111A
4.51),
E
Jil 1
-.j
f-- 0 ,5 m- �0,5 m
C
0,75 m
,.�
c.ofm lll
'4,611. (
lll<� l n i ;
l i iiWc
ílH'> d u / 1
p o\I L:
. dctc1
Problema 4.55
novo
p1
CARGA AXlAL
um pino em A e é sustentada
b rra está presaio,por
uma com diâmetro de 25 mm
cada
alumín
a:tes de
GPa. Considerando que a
70
=
1
E
e
icidad
a
elast
móduIo d e
· 1, determme o des1ocamenvertlca
lmente
inicia
ida
barra e, n,g dade B quando for aplicada uma força de 10 kN.
extremi
está pres � �or um pino em A �Aé sustentada
4,57• A barra
w, cada uma com d1ametro de 2 5
de alumm
tes
por d ua 8 has
· ade E 1 = 7O GP a. Cons1' derando
·
elast1c1d
a .
de
ulo
. a força
mm e n1ód
verbcal, determme
te
inicialmen
e
a
rígid
é
ra
bar
ue a
�1 cada haste quando for aplicada uma força de 10 kN.
1 05
p
A
h
·
·
•
e
l-- o,6 m
Problemas 4.59/60
suporte é mantido preso à parede por três parafusos de
aço A-36 em B, C e D. Cada parafuso tem diâmetro de 12,5 mm e
comprimento de 50 mm quando não alongado. Se uma força de
4 kN for aplicada ao suporte como mostra a figura, determine a
força desenvolvida em cada parafuso. Para o cálculo, considere
que os parafusos não sofrem cisalhamento; ao contrário, a for­
ça vertical de 4 kN é suportada pela saliência em A. Considere
também que a parede e o suporte são rígidos. O detalhe mostra
a deformação muito ampliada dos parafusos.
4.6L O
D
Problemas 4.56/57
4.58. O
conjunto é composto por dois postes do material 1 com
módulo de elasticidade E1 e cada um com área de seção trans­
versal A e um poste do material2 com módulo de elasticidade
E? área de seção transversal A2• Se uma carga central P for
aplicada à tampa rígida, determine a força em cada material.
c
1
p
ta
l­
Ie
s­
lo
l­
r·
ta
Problema 4.61
suporte é mantido preso à parede por três parafusos
de aço A-36 em B, C e D. Cada parafuso tem diâmetro de 12,5
mm e comprimento de 50 mm quando não alongado. Se uma
força de 4 kN for aplicada ao suporte como mostra a figu­
ra, determine até que distância a parte superior do suporte
afasta-se da parede no parafuso D. Para o cálculo, considere
que os parafusos não sofrem cisalhamento; ao contrário, a
força vertical de 4 kN é suportada pela saliência em A. Consi­
dere também que a parede e o suporte são rígidos. O detalhe
mostra a deformação muito ampliada dos parafusos.
4.62. O
s
ÍO
Problema 4.58
conjunto é composto por dois postes AB e CD do
material 1 com módulo de elasticidade E1 e área de seção
transversal A1 cada e um poste central EF do material 2 com
módulo de elasticidade E2 e área de seção transversal A2 • Se
os postes AB e CD tiverem
de ser substituídos por postes
do material 2, determine a área da seção transversal exigida
para esses novos postes de modo que ambos os conjuntos
sofram o mesmo grau de deformação quando carregados.
'4.60. O conjunto é composto por dois postes AB e CD do
material 1 com módulo de elasticidade E1 e área de seção
lr�nsversal A1 cada e um poste
EF do material 2 com
modulo de elasticidade E e áreacentral
A . Se
de
seção
poste EF tiver de ser substituído por um transversal
do
mat
�rial
poste
t, d etermine a áre
a
da
seção
exigida
esse
transversal
para
novo poste de modo que ambos os conjuntos sofram o mes­
mo grau de deformação
quando carregados.
4.59. O
0
Pl'Oblema 4.62
A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pi­
nho branco e uma mola. Se o comprimento dos postes quan­
do não carregados for 1 m e a área de seção transversal for
600 mm2 e a mola tiver rigidez k = 2 MN/m e comprimento
1,02 m quando não deformada, determine a força em cada
poste após a aplicação da carga à barra.
4.63.
1 06
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos *4.68. A barra rígida suporta um carregamento distribuído
de pinho branco e uma mola. Se o comprimento dos postes uniforme de 90 kN/m. Determine a força em cada cabo se cada
quando não carregados for 1 m e a área de seção transversal um tiver área de seção transversal de 36 mm2 e E = 200 GPa.
for 600 mm2 e a mola tiver rigidez k = 2 MN/m e comprimen­
to de 1,02 m quando não deformada, determine o desloca­
mento vertical de A e B após a aplicação da carga à barra.
'4.64. A
50 kN/m
�,
A
lm
C O ll
Jll lli
se r
I[C
C
Problemas 4.63/64
4.65. A roda está sujeita à força de 18 kN transmitida pelo
Problema 4.68
eixo. Determine a força em cada um dos três raios. Considere
que o aro é rígido, que os raios são feitos do mesmo material 4.69. A posição original da barra rígida é horizontal e ela é
sustentada por dois cabos com área de seção transversal de
e que cada um tem a mesma área de seção transversal.
36 mm2 cada e E = 200 GPa. Determine a leve rotação da
B
barra quando uma a carga uniforme é aplicada.
fl/1'1
Fqt
S l' l'
fll' l
i!III,
n·�t
qtl\
Problema 4.65
O poste é feito de alumínio 6061-T6 e tem 50 mm de
diâmetro . Está preso aos suportes A e B e em seu centro C
há uma mola espiral acoplada ao colar rígido. Se a mola não
estiver comprimida na posição original, determine as reações
Problema 4.69
em A e B quando a força P = 40 kN é aplicada ao colar.
4.67. O poste é feito de alumínio 6061-T6 e tem diâmetro de
50 mm. Está preso aos suportes A e B e em seu centro C há 4 . 6 Te nsão térmica
uma mola espiral acoplada ao colar rígido. Se a mola não es­
tiver comprimida na posição inicial, determine a compressão
Uma mudança na temperatura pode provocar al­
na mola quando a carga P = 50 kN for aplicada ao colar.
terações nas dimensões de um material. Se a tempe­
4.66.
k = 200 MN/m
ratura aumenta, o material, em geral, expande-se; se
a temperatura diminui, o material contrai. A relação
entre a expansão ou contração do material e o aumen­
to ou redução da temperatura normalmente é linear.
Se for esse o caso e se o material for homogêneo e
isotrópico, estudos experimentais demonstraram que a
deformação de um elemento de comprimento L pode
ser calculada pela fórmula
(4.4)
Problemas 4.66/67
CARGA AXIAL
�lente
"" m a propriedade do material denominada coefict
linear de expansão télmica. As unidades
medem deformação por grau de temperatura
[lfOC [Celsius] ou 1f0K [Kelvin] no .si]. Valores
típicos são apresentados no final do hvro.
atura do elemento
À T == variação na temper
elemento
do
l
inici
�
L == comprimento
do elemento
nto
compnme
variação no
Se a mudança na temperatura ocorrer em todo o
rio m rimento do elemento, isto é, !::.. T = !::.. T(x), ou se 8
�
p
udar ao longo do comprimento, a Equação 4.4 aplica­
que tenha comprimento dx. Nes­
se para cada segmento
ento do elemento é
comprim
no
a
mudanç
a
aso,
te c
fh
=
1La
!::.. T dx
+ t �Fy = O '·
O problema é estaticamente indeterminado, uma vez
que essa força não pode ser determinada por equilíbrio.
Compatibilidade. Visto que o = O, o deslocamento tér­
mico or que ocorreria em A (Figura 4.18c) é contrabalançado
pela força F que seria exigida para levar a barra oF de volta
à sua posição original. A condição de compatibilidade em A
torna-se
AIB
( + t)
A aplicação das relações térmicas e de carga-desloca­
mento resulta:
FL
O = a!':!.TL - ­
AL
Assim, pelos dados apresentados no final do livro,
(4.5)
A mudança no comprimento de um elemento estatica­
1 07
F
=
a!':!.TAE
= [12(10-6)rC](60°C - 30°C)(O,Ol0 m)2 [200(106) kPa]
= 7,2 kN
Equação 4.4 ou 4.5, visto que o elemento está livre para
O valor de F indica claramente que mudanças na tem­
se expandir ou contrair quando sofrer mudança na tem­
peratura. Contudo, quando o elemento é estaticamente peratura podem provocar grandes forças de reação em ele­
indeterminado, esses deslocamentos térmicos podem ser mentos estaticamente indeterminados.
Visto que F também representa a força axial interna no
restringidos pelos apoios, o que produz tensões ténnicas
interior
da barra, a tensão de compressão normal média é,
que devem ser consideradas no projeto.
portanto,
O cálculo dessas tensões térmicas pode ser feito pe­
mente determinado pode ser calculada diretamente pela
los métodos descritos nas seções anteriores. Os exem­
plos apresentados a seguir ilustram algumas aplicações.
u
=
_!!_
A
= 7 '2 X 10-3 2MN
(0,01 m)
=
72 MPa
Resposta
A barra de açoA-36 mostrada na Figura 4.18 está restringi­
da para caber exatamente entre os dois suportes fixos quando
1'1 30aC. Se a temperatura aumentar até T2 = 60°C, determi­
ne a tensão tétmica normal média desenvolvida na barra.
=
Um tubo de alumínio 2014-T6 com área de seção trans­
versal de 600 mm2 é utilizado como luva para um parafuso
de aço A-36 com área de seção transversal de 400 mm2 (Fi­
SOLUÇÃO
gura 4.19a). Quando a temperatura é T1 = 15°C, a porca
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre da barra é mostrado
mantém o conjunto em uma posição precisa, de tal modo
na Figura 4.18b. Visto que não há nenhuma carga externa, a que a força axial no parafuso é desprezível. Se a tempera­
força em A é igual, mas oposta, à força que age em B; isto é, tura aumentar para T2 = 80°C, determine a tensão normal
média no parafuso e na luva.
lO mm
H
F
.1
l
]}o mm
150 mm
F
(a)
(b)
Figura 4.18
( c)
( a)
(b)
Figura 4.19
(8r)F
(c )
Posição
final
1
08
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SOLUÇÃO
Equilíbrio. A Figura 4.19b mostra o diagrama de corpo
livre para um segmento secionado do conjunto. As forças
FP e F1 são produzidas desde que o coeficiente de expansão
térmica da luva seja mais alto do que o do parafuso. Por essa
razão, a luva se expandirá mais do que o parafuso quando a
temperatura aumentar. O problema é estaticamente indeter­
minado, pois essas forças não podem ser determinadas por
equilíbrio. Entretanto, exige-se que
+t �Fy = O '·
FP = FI
(1)
Compatibilidade. O aumento de temperatura provoca a
expansão (8) T na luva e (8) T no parafuso (Figura 4.19c). En­
tretanto, as forças redundantes Fb e F, alongam o parafuso
e encurtam a luva. Como consequência, a extremidade do
conjunto atinge uma posição final, que não é a mesma que a
posição inicial. Consequentemente, a condição de compati­
bilidade torna-se
(+i)
Aplicando as equações 4.2 e 4.4 e usando as proprieda­
des mecânicas apresentadas no final do livro, temos
[12(1o--6 )r C](80°C - 15°C)( 0,150 m)
Fb(0,150 m)
+ ------�--��--��--�--�
2
( 400 mm )(10-6 m2/mm2 )[200(109 ) N/m2]
= [23(10-6)rC](80°C - 15°C)(0,150 m)
Fs (0,150 m)
Usando a equação 1 e resolvendo, obtemos
FI = Fp = 20,26 kN
A tensão normal média no parafuso e luva é, portanto,
20,26 kN
aP =
Resposta
400 mm2 (10-6 m2/mm2 ) = 50'6 MPa
20'26 kN
a1 =
600 mm2 (10-6 m2/mm2 ) = 33 '8 MPa
Resposta
Visto que nessa análise consideramos com­
portamento linear elástico para o material, as tensões calcula­
das devem ser verificadas para garantir que não ultrapassem
os limites de proporcionalidade para o material.
OBSERVAÇÃO:
! .Ll l l Ll LLl l
r- 300 mm+300 mm--hso kN/m
��s��u® �.u
�- "�%'?"4
_
«� "'
- � � �--= - �
�
=
�= ""'
'0
A bana rígida mostrada na Figura 4.20a está presa à parte
superior dos três postes feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6
Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quand;
não há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é
T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada poste se a
barra for submetida a um carregamento distribuído uniforme.
mente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C.
SOLUÇÃO
Equilíbrio. O diagrama de corpo livre da barra é mostrado
na Figura 4.20b. O equihbrio de momentos em torno do centro
da bana exige que as forças nos postes de aço sejam iguais. A
soma das forças no diagrama de corpo livre dá como resultado
2Faço + Fa1 - 90(1Q3) N = O
+ t �Fy = O;
(1 )
Compatibilidade. Por causa da carga, geometria e sime­
tria do material, a parte superior de cada poste sofre o mes­
mo deslocamento. Em consequência,
(+i)
8aço = 8ai
(2)
A posição final da parte superior de cada poste é igual
ao deslocamento causado pelo aumento da temperatura
mais o deslocamento causado pela força de compressão
axial interna (Figura 4.20c). Assim, para um poste de aço e
para o poste de alumínio, temos
(+ J )
8aço = -( 8aço)T + ( 8aço)F
(+ J )
8ar = -( 8.r ) r + ( 8.r ) F
Aplicando a equação 2, temos
- ( 8,çJT + (8,ç)F = - (8al) T + (8al)F
Usando as equações 4.2 e 4.4 e as propriedades dos ma­
teriais apresentadas no final do livro, obtemos
- [12(10-6)tCJ(80°C - 20°C)(0,250 m)
Faço (0,250 m)
+ ----'--=- ----::----:-7T(0,020 m) 2[200 109 ) N/m2]
= -[23(10-6)tCJ(80°C - 20°C)(0,250 m)
Far (0,250 m)
+ -----�---��--�
7T(0,03 m) 2[73,1(109 ) Njm2]
Faço = 1,216Far - 165,9(103 ) (3)
Sl' l
pa i
,d u
4.7
([
do
on;
!L' i !
lll'
ljll<
4.7 1
di! '
li'
\' ( l
�·;í o
d;1 I
sol>
lat i .
90 kN
HlL-�-�--�!!;F��!W�l'�J
Aço
Alumínio
Aço
60 mm
ro r
lu�
250 mm
( a)
4.7 :
l' ll i l
(b)
Figura 4.20
(c)
dett
a l t· r
CARGA AXIAL
' istência, todos os dados numé
a cons
. . Aricos
para mante r em
soCelsms
graus
e
metros
s,
newton
,t,oram
sos
exp res
,
d
es
1
e
3
a
equaço
das
nea
ultâ
sim
F.1 = 123 kN Resposta
""' - 1 6,4 kN
vo para Faço indic� que essa força age no
0 valor negati
4.20b. Em outras
contrário ao mostrado na Figura
tração,
e o poste de
sob
estão
aço
de
es
os post
.
ssão
pre
com
sob
está
Aluminio 2014-T6
Bronze C86100
-
A
chave elétrica fecha quando as hastes de ligação
a translação e a rotação
CD AB se aquecem, o que provoca
em F. A posição
contato
o
fechar
até
BDE
rígido
do braço
20°C. Se AB for
é
temperatura
a
e
vertical
é
BDE
de
al
rigin
o
feíta de bronze C86100 e CD, de alumínio 6061-T6, determi­
ne espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar
quando a temperatura alcançar l10°C.
e
0
Aço
inoxidável 304
D
-·"m"'"'·
4.70. A
1 09
Pmblema 4.72
4.73. Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em
uma pista de rolamento tem 6 m de comprimento quando sua
temperatura é 10°C. Se houver uma folga de 3 mm em um de
seus lados antes de tocar seu apoio fixo, determine a tempe­
ratura exigida para fechar a folga. Qual é a tensão de com­
pressão no concreto se a temperatura aumentar até 60°C?
4.74. Um tubo de vapor com 1,8 m de comprimento é feito
de aço com ue = 280 MPa e está ligado diretamente a duas
turbinas A e B, como mostra a figura. O diâmetro externo
do tubo é 100 mm e a espessura da parede é 6 mm. A ligação
foi feita a T1 = 20°C. Considerando que os pontos de aco­
plamento elas turbinas são rígidos, determine a força que o
tubo exerce sobre elas quando o vapor e, portanto, o tubo,
atingem uma temperatura ele T2 = 135°C.
4.75. Um tubo de vapor com 1,8 m de comprimento é feito
de aço com ue = 280 MPa e está ligado diretamente a duas
turbinas A e B, como mostra a figura. O diâmetro externo do
tubo é 100 mm e a espessura da parede é 6 mm. A ligação foi
feita a T1 20°C. Considerando que a rigidez dos pontos de
acoplamento das turbinas é k = 16 MN/mm, determine a força
que o tubo exerce sobre as turbinas quando o vapor e, portan­
to, o tubo, atingem uma temperatura de T2 = 135°C.
=
Pl'oblema 4.70
Uma trena de aço é usada por um supervisor para me­
dir o comprimento de uma reta. A seção transversal da trena
é retangular, com 1,25 mm de espessura por 5 mm de largura,
e o comprimento é 30 m quando T1 = 20°C e a carga de tra­
_ na trena é 100 N. Determine o comprimento verdadeiro
çao
da reta medida se a leitura da trena for 139 m quando usada
sob tração de 175 N a T2 = 40°C. O piso onde a trena é utili­
zada é plano. aaço = 17(10-6)/°C' Eaço = 200 GPa.
4.71.
Pl'oblema 4.71
Pl'oblemas 4.74175
*4.76. Os trilhos de aço A-36 de uma ferrovia têm 12 m de
comprimento e foram assentados com uma pequena folga
entre eles para permitir dilatação térmica. Determine a folga 8
exigida para que os trilhos apenas encostem um no outro
quando a temperatura aumentar de T1 = -3ooc para T2 =
30°C. Considerando essa folga, qual seria a força axial nos
trilhos se a temperatura atingisse T3 = 40°C? A área de se­
ção transversal de cada trilho é 3.200 mm2 •
li!
!jJ .
··::
12 m
Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto
Pl'oblema 4.76
são indicados na figura. Se o conjunto estiver bem ajustado
entre seus apoios fixos quando a temperatura é T1 = 20°C, 4.77. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e
determine a tensão normal média em cada material quando o outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de tal modo
que há uma folga ele 0,2 mm entre eles quando T1 = 15 oC.
a temperatura atingir T2 40°C.
'4.72.
=
1 1Ü
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Qual é a maior temperatura T2 exigida para apenas fechar a
24(10-6)/°C,
folga? Cada haste tem diâmetro de 30 mm,
17(10-6)/°C, E
E., 70 GPa,
126 GPa. Determi­
ne a tensão normal média em cada haste se T2 95ac.
4.78. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o
outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de modo tal que
há uma folga de 0,2 mm entre eles quando T1 = 15°C. Cada
haste tem diâmetro de 30 mm, = 24(10-6)fCC, E., = 70 GPa,
a, bre = 17(10-6WC, E
126 GPa. Determine a tensão nor­
mala média em cada haste se T2 150°C. Calcule também o
novo comprimento do segmento de aluminio.
a,abre =
=
,abr =
c
,abre =
a., =
=
a.,
=
O tubo de aço A-36 está acoplado aos colares em A e
B. Quando a temperatura é 15°C, não há nenhuma carga axial
no tubo. Se o gás quente que passa pelo tubo provocar uma
elevação de 11T (20 + 30x)°C na temperatura do tubo, onde
x é dado em metros, determine a tensão normal média no tubo.
O diâmetro interno é 50 mm, e a espessura da parede é 4 mm.
4.83. O tubo de bronze 86100 tem raio interno de 12,5 mm e es.
pessura de parede de 5 mm. Se o gás que passa por ele mudar a
temperatura do tubo unifmmemente de TA 60aC em A para
T8 15°C em B, determine a força axial que ele exerce sobre as
paredes. O tubo foi instalado entre as paredes quando T = l5°C.
4.82.
4
=
=
=
iA
Problemas 4.77178
2,4 m
Bi
Problemas 4.82/83
Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas
e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T1
*4.84. O bloco rígido pesa 400 kN e será suportado pelos
150°C. Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando postes
A e B, feitos de aço A-36, e pelo poste C, feito de latão
a temperatura for T2 = 20°C. As propriedades dos materiais e vermelho
C83400. Se todos os postes tiverem o mesmo com­
as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura. primento original
antes de serem carregados, determine a ten­
são normal média desenvolvida em cada um deles, quando o
poste C for aquecido de modo que sua temperatura aumente
l0°C. Cada poste tem área de seção transversal de 5.000 mm2•
4.79.
=
lei
po
s ií <
de
nh
llll
,ol
do
11 1 <
//li
() I
t ri I
de
da
de
p t•
lot
Sl'
('( li
l 'X l
f'l( )
/III
Pmblema 4.79
A haste central CD do conjunto é aquecida de
T1 30°C até T2 = 180°C por resistência elétrica. Na tempera­
tura mais baixa, a folga entre C e a barra rígida é 0,7 mm. De­
termine a força nas hastes AB e EF provocadas pelo aumento
na temperatura. As hastesAB e EFsão feitas de aço e cada uma
tem área de seção transversal de 125 mm2• CD é feita de alumi­
nio e tem área de seção transversal de 375 mm2• E 200 GPa,
E., 70 GPa,
12(10-6)/°C e
23(10-6)fCC.
4.81. A haste central CD do conjunto é aquecida de T1 30°C
até T2 180°C por resistência elétrica. As duas hastes AB
e EF situadas nas extremidades também são aquecidas de
T1= 30°C até T2 soac. Na temperatura mais baixa, T1, a
folga entre C e a barra rígida é 0,7 mm. Determine a força
nas hastes AB e EFprovocada pelo aumento na temperatu­
ra. As hastes AB e EF são feitas de aço e cada uma tem área
de seção transversal de 125 mm2 • CD é feita de alumínio e
tem área de seção transversal de 375 mm2 • E 200 GPa,
E81 = 70 GPa, = 12(10-6)/aC e = 23(10-6WC.
dl'
*4.80.
=
aaço =
=
a., =
aç =
o
=
=
Pt·oblema 4.84
A barra tem área de seção transversal A , comprimento
L, módulo de elasticidade E e coeficiente de expansão térmí·
ca A temperatura da barra muda uniformemente ao longo
de seu comprimento de TA em A para T8 em B de modo que,
em qualquerpontox ao longo da barra, T = TA + x(T8 - TA )!L.
Determine a força que a barra exerce nas paredes rígidas. Ini·
cialmente, não há nenhuma força axial na barra.
4.85.
a.
=
aaço
a.,
0,7 mm
aço =
Problema 4.85
A haste é feita de aço A-36 e tem diâmetro de 6 mm.
Se as molas forem comprimidas 12 mm quando a tempera­
tura da haste é T = l0°C, determine a força na haste quando
sua temperatura for T = 75°C.
4.86.
k=
Problemas 4.80/81
200 Njm
Problema 4.86
o \
<;a <
CARGA AXIAL
4.7
Co ncentra ções d e tensã o
Seção 4.1, mostramos que, quando uma força axial
um elemento, ela cria uma distribuição de
ap lic ad a a
complexa dentro de uma região localizada do
de aplicação da carga. Essas distribuições de ten­
$!O típ icas são mostradas na Figura 4.1. As distribuições
sob um carretensão complexas não surgem somente
entrado; também aparecem em seções nas
1w1u.._,,,.. conc
seção transversal do elemento muda. Por
da
a
áre
quais a
ere a barra na Figura 4.21a, que está sub­
consid
lo,
exem p
axial P. Aqui, podemos ver que as li­
força
uma
a
a
metid
antes, eram horizontais e verticais,
quais,
as
,
grade
da
nhas
um padrão irregular em torno
formam
e
deflexão
em
sofr
da barra. A tensão normal
centro
no
zado
locali
o
furo
d
máxima na barra ocorre na seção a-a que passa pela me­
nor área de seção transversal da mesma. Contanto que
o material se comporte de maneira linear elástica, a dis­
tribuição de tensão que age sobre essa seção pode ser
determinada por análise matemática, usando-se a teoria
da elasticidade ou por meios experimentais, medindo a
d eformação normal na seção a-a e calculando a tensão
pela lei de Hooke, cr = EE. Independentemente do mé­
todo usado, a forma geral da distribuição de tensão será
como a mostrada na Figura 4.2lb. De maneira semelhante
se a seção transversal sofrer redução com a utilização, po;
exemplo, de filetes de rebaixo, como na Figura 4.22a, então,
novamente, a tensão normal máxima na barra ocorrerá na
menor �rea d: seção transversal, seção a-a, e a distribuição
de tensa o sera como a mostrada na Figura 4.22b.
Em ambos os casos, o equilíbrio da força exige que
o valor da f�rça :esultante desenvolvida pela distribui­
� de tensao seJa igual a P. Em outras palavras,
çao
v
a
a
Não distorcida
p -[ �Umáx
( a)
Distribuição de tensão real
(b)
r-[
lf
Distribuição de tensão média
(c)
Figura 4.21
P
=
lcr dA
111
(4.6)
Como afirmamos na Seção 1 .4, essa integral é uma
representação gráfica do volume sob cada um dos dia­
gramas de distribuição de tensão mostrados na Figura
4.21b ou 4.22b. Além do mais, o equilíbrio de momen­
.
to exige que cada distribuição de tensão seja simétrica
por toda a seção transversal, de modo que p deve pas­
sar pelo centroide de cada volume.
Ent�etanto, �a prát�ca da engenharia, a distribuição
de tensao real nao precisa ser determinada. Em vez disso'
basta saber qual é a tensão máxima nessas seções e então
o element? é projetado para resistir a essa tensão uand;
.
a carga axml P for aplicada. Em casos nos quais a área da
s�ção transversal de um elemento muda, como os já discu­
tidos, podem-se determinar valores específicos da tensão
n�rmal máxima na seção crítica por métodos experimen­
tais ou por técnicas matemáticas avançadas que utilizam a
teoria da elasticidade. Os resultados dessas investigações
normalmente são apresentados em gráficos com a utiliza­
ção de umfator de concentração de tensão K. Definimos
K como a razão entre a tensão máxima e a tensão média
que agem sobre a menor seção transversal·' isto é'
�
K=
CTmáx
(4.7)
CTméd
Contanto que K seja conhecido e a tensão normal
média tenha sido calculada por crmed
,
= PIA ' onde A
""
e a menor area de seção transversal (figuras 4.21c e
4.22c), então, pela Equação 4.7, a tensão máxima n a
seção transversal é cr = K(PIA).
_,
p
._) i ; , ,
.•
I
máx
a
l i ,
!\i
,l
a
Não distorcida
____; lfmáx
p-['--__)sg
p-� Uméd
Distorcida
(a )
Distribuição de tensão real
(b)
Distribuição de tensão média
(c)
Figura 4.22
..-...P
. �p
112
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
( a)
(d)
( c)
(b)
Figura 4.23
Em geral, valores específicos de K são apresenta­
dos em gráficos em manuais relacionados à análise
de tensão, como os exemplos dados nas figuras 4.24 e
4.25, respectivamente.* Em particular, observe que K é
independente das propriedades do material da barra;
mais exatamente, ele depende somente da geometria
da barra e do tipo de descontinuidade. À medida que o
tamanho r da descontinuidade diminui, a concentração
de tensão aumenta. Por exemplo, quando há uma mu­
dança na seção transversal de uma barra, determina-se
teoricamente que um canto vivo (Figura 4.23a) pro­
duz um fator de concentração de tensão maior que 3.
Em outras palavras, a tensão normal máxima será três
vezes maior do que a tensão normal média na menor
seção transversal. Todavia, pode-se reduzir o fator para,
digamos, 1,5, introduzindo-se um filete de rebaixo (Figura
4.23b ). Uma redução adicional pode ser obtida por meio
de pequenas ranhuras ou furos na zona de transição (figu­
ras 4.23c e 4.23d). Em todos esses casos, a configuração do
elemento ajuda a reduzir a rigidez do material em torno
dos cantos, de modo que a deformação, e também a tensão,
sejam distribuídas mais uniformemente por toda a barra.
Os fatores de concentração de tensão dados nas figu­
ras 4.24 e 4.25 foram determinados com base em um car­
regamento estático, considerando que a tensão no ma­
terial não ultrapassa o limite de proporcionalidade. Se o
material for muito frágil, o limite de proporcionalidade
pode ser igual à tensão de ruptura e, portanto, para esse
material, a falha começará no ponto de concentração de
tensão quando o limite de proporcionalidade for atingi­
do. Em essência, uma trinca começará a formar-se nesse
ponto e uma concentração de tensão mais alta se desen­
volverá na ponta dessa trinca. Por sua vez, isso provoca a
propagação da trinca pela seção transversal, resultando
em fratura repentina. Por essa razão, é muito importante
que se usem fatores de concentração de tensão em pro­
jetos nos quais são utilizados materiais frágeis. Por outro
lado, se o material for dúctil e estiver submetido a uma
carga estática, os projetistas normalmente desprezam a
utilização de fatores de concentração de tensão, visto
que nenhuma tensão que ultrapasse o limite de propor­
cionalidade resultará em uma trinca. Ao contrário, o ma­
terial terá resistência de reserva devido a escoamento e
endurecimento por deformação. Na próxima seção, dis­
cutiremos os efeitos causados por esse fenômeno.
·•
Veja Lipson, C e Juvinall, R. C, Handbook ofstress and strength,
Macmillan, 1963.
Concentrações de tensão também são responsáveis
por muitas falhas de elementos estruturais ou mecâni­
cos sujeitos a carregamentos de fadiga. Nesses casos, uma
concentração de tensão provocará trincas no material se
a tensão ultrapassar o limite de tolerância do material
seja ele dúctil ou frágil. Aqui, o material localizado n �
ponta da trinca permanece em estado frágil, e, portanto, a
trinca continua a crescer, levando a uma fratura progres­
siva. Consequentemente, engenheiros envolvidos nos
projetos desses elementos devem sempre procurar mo.
dos de limitar o dano que pode ser causado por fadiga.
J(
d l ll í
p
p.:�
_p
3,0
2,8
2,6 1\i
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O'méd -ht
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1,2
t 1 r
I
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1,0
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
mhh� h
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J(
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O c;í l
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'<l i
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2,2
2,0
( .01 1 1 1
, , . 11'< 1
Figura 4.24
3,2
sou
o
0,1
0,2
r
w
0,3
Figura 4.25
0,4
0,5
CARGA AXIAL
1 13
ocotr.em em séçães onde a áreadà s�ção transversal.nruda tepentjvàmente, Qt1aU:to tn(\is
maior a concentração de tensão.
IJ:nálise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a menor árl}a de seção .tran:;; versal: Para
um fator de conc;entração de. tensão, K, que foi determinado por t11eios experimentais e tí função
do corpo de prova.
oncentração de tensão em um corpo de prova dúctil submetido a um.carregamento estático não
tsídtentoa no projeto. Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos ele fadiga, as
dé tensão se tornarão impol'tantes.
·
·
·
A tira de aço mostrada na Figura 4.27 está sujeita a uma
As dimensões da barra de aço são mostradas na Figura
u
=
115
MPa,
determine
el
carga
axial de 80 kN. Determine a tensão normal máxima
for
issív
adm
ad
ão
m
tens
a
426. Se
.
pode
desenvolvida
na tira e o deslocamento de uma de suas ex­
suportar
barra
a
que
P
axial
força
r
maio
a
tremidades em relação à outra. A tensão de escoamento do
p
aço é ue = 700 MPa e Eaço = 200 GPa.
t
10 mm�
80 kN
1
!
-�
-l·.
A 40 mm
B
I
fi�,
�00 mm I
20 mm
I
?lb
D
C
----.f' ,IS.._ -I ---- ·--;,
800 mm ��-300 mm-1
��' ��
. •
----r-\�
80 kN
----"" 10 mm
7"
Figura 4.27
SOLUÇÃO
tp
Por inspeção, a tensão normal
máxima ocorre na menor seção transversal, onde o filete de
rebaixo começa em B ou C. O fator de concentração de ten­
são é determinado pela Figura 4.23. Exige-se que
Tensão normal max1ma.
Figura 4.26
SOLUÇÃO
Como há um filete de rebaixo, o fator de concentração de
tensão pode ser determinado pelo gráfico na Figura 4.24. O
cálculo elos parâmetros geométricos necessários dá
!__
= 10 mm = O ' 50
n 20 mm
w = 40 mm = 2
20 mm
h
6 mm
w 40 mm
r
h = 20 mm = 0 '3 ' h = 20 mm = 2
Assim, K = 1,6.
A tensão máxima é, portanto,
[
J
80(103)
K Ap = 1,6 (O 02 m)(O 01 m) = 640 MPa
'
'
Resposta
Observe que o material permanece elástico, visto que
Portanto, elo gráfico
640 MPa < ue = 700 MPa.
k = 1,4
Deslocamento. Aqui, desprezaremos as deformações lo­
O cálculo da tensão normal média na menor seção trans­
calizadas ao redor da carga aplicada e na mudança repentina
versal dá
na seção transversal no filete de rebaixo (princípio de Saint­
Venant). Temos
p
2
(20 mm)(10 mm) = O,OOSP N/mm
80(103) N(0,3 m)
PL = 2
=
/
A
0 D 2.: AE
(0,04 m)(0,01 m)[200(109 ) N/m2]
A aplicação da Equação 4.7 com
uadm = umax produz
80(103) N (0,8 m )
adm = [( méd
+
(0,02 m)(O,Ol m)[200(109) N/m2]
115N/mm2 = 1,4(0,0005P)
P = 16,43(103) N
uA/D = 2,20 mm
Resposta
= 16,43 KN
Resposta
,
(T
(T
umáx =
{
{
}
}
1 14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
.
: �1 :
p
t
(J
*
.
.
.
(J
(a)
(b)
Figura 4.28
*4. 8 Defo r m a çã o axi a l i n e lástica
Até aqui, consideramos somente carregamentos
que provocam o comportamento elástico do material
do elemento. Entretanto, às vezes, acontece de um
elemento ser projetado de modo que o carregamento
provoca o escoamento do material e, com isso, sua de­
formação permanente. Esses elementos costumam ser
feitos de um metal de alta ductilidade, como aço reco­
zido de baixo teor de carbono, cujo diagrama tensão­
-deformação é semelhante ao da Figura 3.6 e pode ser
modelado como mostra a Figura 4.28b. Um material
que exiba esse comportamento é denominado elástico
peifeitamente plástico ou elastoplástico.
Para ilustrar fisicamente como tal material se com­
porta, considere a barra na Figura 4.28a, que está sujeita
à carga axial P . Se a carga provocar o desenvolvimento
de uma tensão elástica u = u1 na barra, então, aplicando
a Equação 4.6, o equilíbrio exige P = 1u1dA = u1A.
Além disso, a tensão u1 provoca uma deformação E1
na barra, como indica o diagrama tensão-deformação
(Figura 4.28b ). Se, agora, P for aumentada para Pp , de
tal modo que provoque escoamento do material, isto é,
u = ue então, novamente, Pp = 1uedA = ueA. A carga
Pp é denominada carga plástica, uma vez que representa
a carga máxima que pode ser suportada por um material
elastoplástico. Para o caso em questão, as deformações
não são definidas de maneira única. Ao contrário, no
instante em que ue é atingida, em primeiro lugar, a barra
é submetida à deformação por escoamento Ee (Figura
4.28b) e, em seguida, a barra continuará a escoar (ou
alongar-se) de modo que serão geradas as deformações
t
(J
p
a
a
t
IJj
E
E
e
N
a árc
E
()
CO!l l l
E2, E3 etc. Visto que nosso "modelo" do material exibe
comportamento de material perfeitamente plástico
esse alongamento continuará indefinidamente, mesm�
sem nenhum aumento na carga. Contudo, na verdade
após um pouco de escoamento, o material começará �
endurecer por deformação, de modo que a resistência
extra que ele obtenha impedirá qualquer deformação
adicional. O resultado é que qualquer projeto baseado
nesse comportamento será seguro, pois o endurecimen­
to por deformação proporciona ao material um poten­
cial para suportar uma carga adicional, se necessário.
Agora, considere o caso de uma barra que tenha um
furo, como mostra a Figura 4.29a. À medida que o valor
de P aumenta, ocorre uma concentração de tensão no
material próximo ao furo, ao longo da seção a-a. Nesse
ponto, a tensão alcançará um valor máximo umáx = u1 e
sofrerá uma deformação elástica correspondente E 1 (Fi­
gura 4.29b ). As tensões e deformações correspondentes
em outros pontos ao longo da seção transversal serão
menores, como indica a distribuição de tensão mostra·
da na Figura 4.29c. Como esperado, o equilíbrio exige
P = 1udA. Em outras palavras, P é geometricamente
equivalente ao "volume" contido no interior da distri­
buição de tensão. Se, agora, aumentarmos a carga para
P', de modo que umáx = u o material começará a es­
coar para fora do furo, até que a condição de equilíbrio
P' = 1uAdA seja satisfeita (Figura 4.29d). Como a figu­
ra mostra, isso produz uma distribuição de tensão cujo
"volume" é geometricamente maior que o mostrado na
Figura 4.29c. Um aumento adicional na carga provocará,
a certa altura, o escoamento de toda a seção transversal,
até que nenhuma carga maior possa ser sustentada pela
d ns l l
i)(
1 5 kN
qu;Ht d •
do n :H
l tii i iSVt
fc i l ; l l l l <
ddcm
li
li
e'
�·
l
"---�--�--------
p
(a)
I
h l c /ll
(JI IJj
IJe
harn
c p()(
(b)
Figura 4.29
!Je
�
I
[-�--�·-··-·
I
�
IJ,
!Je
�
p
P'
Pp
(c)
(d)
(e)
Í t i'i p
!:<� ncho l
0.0 1
Í'>'>o
CARGA AXIAL
barra . E sSa
r
' a pela cond1çao
pode ser calculad
Figura 4.29e
carga plástica P é mostrada na' íb
.
pp
de eqml1 no
= fAO"e dA = (}"e A
mento e A é
Nessa expressão, O", é a tensão de escoa
na
seção
barra
da
ersal. .
' a de seção transv
.a-a.
are
1
amente
numenc
ustram
1
O s exemplos a segmr
tipos
de prooutros
a
conceitos se aplicam
.
co rno. esses
1
mento
comporta
apresenta
quando o matena
el as toplá stico.
Dois cabos de aço são usados para suspender o peso de
do cabo AB,
15 kN ( 1,5 kg) (Figura 4.30a). O comprimento
do
AC, quan­
nto
cabo
comprime
o
e
m,
5
é
alongado,
não
o
quand
de seção
do mio alongado, é 5,0075 m. Se cada cabo tiver área
o
per­
elástico
ser
considerad
puder
aço
o
e
mm2
transversal de 30
u-E
0b,
Figura
3
4.
na
gráfico
o
mostra
como
plástico,
mente
feita
determine a força em cada cabo e o respectivo alongamento.
""'
(J"
(MPa)
350 1---.--
L:..____l_______ E
0,0017
( a)
(mm/mm)
1 15
que é menor que a deformação elástica máxima, 0,0017
(Figura 4.30b ). A tensão no cabo AB quando isso acontece
pode ser determinada pela Figura 4.30b por cálculo propor­
cional; isto é,
0,0015 0,0015
350 MPa uAB
uAB = 308,82 MPa
E =
,
Assim, a força no cabo é
FA8 �� (308,82 N/mm2)(30 mm2) = 9.264,6 N = 9,26 kN
Visto que o peso a ser suportado é 15 kN, podemos concluir
que ambos os cabos devem ser usados para suporte.
Uma vez sustentado o peso, a tensão nos cabos depende
da deformação correspondente. Há três possibilidades, a sa­
ber: as deformações em ambos os cabos são elásticas, o cabo
AB é deformado plasticamente enquanto o cabo AC é de­
formado elasticamente, ou ambos os cabos são deformados
plasticamente. Começaremos considerando que ambos os
cabos permanecem elásticos. O exame do diagrama de corpo
livre do peso suspenso (Figura 4.30c) indica que o problema
é estaticamente indeterminado. A equação de equilíbrio é
TAB + ��c + 15 kN = O
+ t�Fy = O·'
(1)
Visto que AC é 0,0075 m mais comprido do que AB, en­
tão, pela Figura 4.30d, a compatibilidade do deslocamento
das extremidades B e C exige que
(2)
8A8 0,0075 m + 8Ac
O módulo de elasticidade (Figura 4.30b) é E,ço 350
MPa/0,0017 205,9(103) MPa. Uma vez que essa é uma
análise linear elástica, a relação carga-deslocamento é
8 = PLIAE e, portanto,
TAB (5 m)
= 0 0075 m
30(10-6)[205,9(106) kPa] '
c (�5�,0_07_5_m�)
+ --T�A�
30(10-6 )[205,9(106) kPa]
(3)
5TAB 46,3275 + 5,0075TAC
Resolvendo as equações 1 e 3, temos
TAB 12,135 kN
TAC 2,865 kN
=
=
=
=
(b)
A
5 m 5,0075 m
Posição inicial
(c)
__
=
=
(d)
Figura 4.30
=
A tensão no cabo AB é, portanto,
12,135(103) N 404 5 MPa
Por insp eçao,
- o cabo AB começa a suportar o peso quando o
UAB = 30 mm
ganch ' Ievantado. Entretanto, se esse cabo alongar mais do
q ue ?,01
a carga será sustentada por ambos os cabos. Para Essa tensão é maior do que a tensão elástica máxima admis­
q ue ISSO ocorra, a defor
sível (u, 350 MPa) e, portanto, o cabo AB sofre deforma­
mação no cabo AB deve ser
ção plástica e suporta sua carga máxima de
0,0075
m
0'0015
AB
TAB 350 MPa (30 mm2) 10,5 kN Resposta
5m
SOLUÇÃO
0 e
2
m,
=
'
=
E
=
=
=
=
116
RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
Pela equação 1,
TAB = 4,5 kN
Resposta
pela Figura 4.23 e que é exclusivo para a geometria da barra
em questão. Aqui,
4 mm
r
= 0 '125
h (40 mm - 8 mm)
Observe que o cabo AC permanece elástico, visto que a ten­
são no cabo é uAc = 4,5(103)N/30 mm3 = 150 MPa < 350
40 mm
w
------ = 1,25
MP a. A deformação elástica correspondente é determinada
h (40 mm - 8 mm)
por cálculo proporcional (Figura 4.30b); isto é,
A carga máxima, sem provocar escoamento, ocorre quando
0,0017
u . = u . A tensão normal média é ume = PIA. Usando a
150 MPa 350 MPa
Eq;';_ação'4.7, temos
EAC = 0,000729
'd
Assim, o alongamento de AC é
8Ac =
(0,000729)(5,0075) = 0,00365 m
Resposta
[
�(
m)]
250(106) Pa = 1,75 (0,002 0,032
Resposta
P0 = 9,14 kN
Então, aplicando a equação 2, o alongamento de AB é
Resposta
0A B = 0,0075 + 0,00365 = 0,01115 m
Essa carga foi calculada usando a menor seção transversal. A
distribuição de tensão resultante é mostrada na Figura 4.31b.
Para equilíbrio, o "volume" contido no interior dessa distri­
buição deve ser igual a 9,14 kN.
Parte (b). A carga máxima sustentada pela barra provoca
A barra na Figura 4.31a é feita de aço e consideramos o escoamento de todo o material na menor seção transversal.
que seja elástica perfeitamente plástica, com u, =250 Mpa. Portanto, à medida que P aumenta até a carga plástica P ,
Determine (a) o valor máximo da carga P que pode ser provoca uma mudança gradativa na distribuição de tensã6
aplicada sem provocar o escoamento do aço e (b) o valor do estado elástico mostrado na Figura 4.3lb para o estado
máximo de P que a barra pode suportar. Faça um rascunho plástico mostrado na Figura 4.31c. Exige-se que
da distribuição de tensão na seção crítica para cada caso.
PP
A
PP
250(106) Pa = (0,002 m)(0,032
m)
.,.__
Resposta
P
=
16,0
kN
P
p
Nessa expressão, P é igual ao "volume" contido na distribui­
ção de tensão que, nesse caso, é PP = u,A.
P
(a)
fi
fl
dcnl
pom
a rc<
n:c t l j
poSS I
j:í q u
nula�
l' Í ( I S,
I
l a ] II I
scrú ,
lN!IIi
as 1'01
('{), (
do l'li
I';
l'Ol l S I 1
l n o. d ·
fh!Si('r
('il l').'. < l
d ( ·, li
passo
SOilll'l
pcrpo
ds d i s l
l o. pc r
()
l'iiiJl(' l
(b)
Figma 4.31
SOLUÇÃO
Parte (a). Quando o material se comporta elasticamente, te­
mos de usar um fator de concentração de tensão determinado
*4. 9 Te nsão resid u a l
Se u m elemento, ou u m grupo de elementos, car­
regado axialmente formar um sistema estaticamente
indeterminado capaz de suportar cargas de tração, bem
como de compressão, então, carregamentos externos
excessivos que provocam escoamento no material cria­
rão tensões residuais nos elementos quando as cargas
forem removidas. A razão para isso tem a ver com a
recuperação elástica do material que ocorre duran te 0
descarregamento. Por exemplo, considere um elemento
prismático feito de um material elastoplástico que te·
nha o diagrama tensão-deformação OAB como mostra
a Figura 4.32. Se uma carga axial produzir uma ten são
1\ I
l'nr i n'l'
da (
e·
ra
iO
CARGA AXIAL
A
c
A
o
O'
l
D
'
/
i
Eo•
B
i
B ,,
C P = 60 kN
1---3-+--- 00 mm---1
(a )
Ec
1 17
_,
'1
(b)
u(MPa)
Figma 4.32
no material e uma deformação plástica correspon-
quando a carga for removida, o material res­
ente e seguirá a reta CD de modo
elasticam
ponde rá
da deformação plástica. Uma
pouco
um
erar
a recup
zero no ponto O' só será
tensão
até
total
ã
o
raç
e
p
u
rec
possível se o elemento for estaticamente determinado,
já que as reações dos apoios para o elemento devem ser
nulas quando a carga for removida. Nessas circunstâno elemento será deformado permanentemente, de
modo que a deformação permanente no elemento
será e0, Todavia, se o elemento for estaticamente inde­
tt'rminado, a remoção da carga externa fará com que
as forças dos apoios respondam à recuperação elástica
CD. Como essas forças impedirão a total recuperação
do elemento, induzirão nele tensões residuais.
Para resolver um problema desse tipo, podemos
considerar um ciclo completo de carregamento e, en­
tão, descarregamento do elemento como sendo a super­
posiçüo el e uma carga positiva (carregamento) a uma
carga negativa (descarregamento) . O carregamento, O
a C, resulta em uma distribuição ele tensão plástica, ao
pass o que o descarregamento, ao longo ele CD, resulta
somente em uma distribuição de tensão elástica. A su­
perposiçã o exige que as cargas se cancelem; contudo,
as distribuições de tensão não se cancelarão e, portan­
to, permane cerão tensões residua is.
O exemplo a seguir ilustra esses conceitos numeri­
camen te.
ec,
E
(mm/mm)
(c)
Figma 4.33
ambos os segmentos AC e CB permanecem elásticos,AC é plás­
tico enquanto CB é elástico, ou ambos,AC e CB, são plásticos.'
Uma análise elástica, semelhante à discutida na Seção 4.4,
produzirá FA = 45 kN e F8 = 15 kN nos apoios. Entretanto,
isso resulta em uma tensão de
45 kN
uAC =
1T(0,005 m) = 573 MPa (compressão) > u = 420 MPa
2
e
no segmento AC, e
15 kN = 191 MPa (tração)
1r(0,005 m)
no segmento CB. Visto que o material no segmento AC es­
coará, consideraremos que AC se torna plástico, enquanto
CB permanece elástico.
Para esse caso, a máxima força desenvolvida possível em
AC é
(FA)e = u A = 420(103) kN/m2 [1r(0,005 m)2]
= 33,0 kN
e, pelo equilíbrio da haste (Figura 4.33b)
': haste mostrada na Figura 4.33a tem raio de 5 mm e
FB = 60 kN - 33,0 kN = 27,0 kN
feita de um material elástico perfeitamente plástico para
q ual a-e = 420 MPa, E = 70 GPa (Figura 4.33c). Se uma A tensão em cada segmento da haste é, portanto,
P = 60 kN for aplicada à haste e, então, retirada, de­
termme a tensão residual
na haste e o deslocamento per­ uAC = u = 420 MPa (compressão)
man ente do colar em c.
27 O kN 344 MPa ( traçao) < 420 MPa ( OK)
uc8 =
1T(0,005
m)
SOLUÇÃO
uc8
=
2
e
,
0
.
e
O
. ção, a haste da haste é mostrado na Figura 4.33b.
�r mspe
é estaticamente indeterminada. A aplica­
diagrama de corpo livre
Çílo
ela carga P provocará uma de três possibilidades, a saber:
'
2 =
_
' A possibilidade de CB se tornar plástica antes de A C não ocorrerá
porque, quando o ponto C se deformar, a deformação em AC (visto
que é mais curta) sempre será maior que a deformação em CB.
118
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Finalmente,
Tensão residual. Para obter a tensão residual, também é
necessário saber qual é a deformação em cada segmento resultante do carregamento. Visto que CB responde elasticamente, oc = E 'AcLAc = -0,006555 (100 mm) = 0,656 mm +8c
F8Lc8
= -=
AE
Assim,
Resposta
(27,0 kN)(0,300 m)
?T(0,005 m? [70(106) kNjm2] = 0'001474 m
�
m +O 04913
= 0,001474
EcB =
0,300 m =
Lc8
,O
Além disso, visto que 8c é desconhecido, a deformação em AC é
0,001474 m = _0 01474
'
0,100 m
Determine a tensão normal máxima desenvolvida na
barra quando submetida a uma carga P = 8 kN.
4.87.
*4.88.
Se a tensão normal admissível para a barra for
uadm = 120 MPa, determine a força axial máxima P que pode
ser aplicada à barra.
Portanto, quando P é aplicada, o comportamento tensão-de­
formação para o material no segmento CB passa de O para
p
p
A' (Figura 4.33c), e o comportamento tensão-deformação
para o material no segmento AC passa de O para B'. Se a
carga P for aplicada na direção oposta, em outras palavras,
a carga é removida; ocorre, então, uma resposta elástica e é
Problemas 4.87/88
preciso aplicar uma força contrária FA = 45 kN e uma for­
ça contrária F8 = 15 kN a cada segmento, respectivamente. 4.89. A barra de aço tem as dimensões mostradas na figu­
Como calculamos antes, essas forças produzem tensões ra. Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada
uAc = 573 MPa (tração) e uc8 = 191 MPa (compressão); de modo a não ultrapassar uma tensão de tração admissível
como resultado, a tensão residual em cada elemento é
O"adm = 150 MPa.
+
(uAC)r = -420 MPa 573 MPa = 153 MP a Resposta
Resposta
(ucs)r = 344 MPa - 191 MPa = 153 MPa
p
Essa tensão de tração é a mesma para ambos os segmentos,
o que era esperado. Observe também que o comportamento
tensão-deformação para o segmento AC passa de B' para D'
24 mm
na Figura 4.33c, ao passo que o comportamento tensão-defor­
mação para o material no segmento CB passa de A ' para C'.
Pl'oblema 4.89
Deslocamento permanente. Pela Figura 4.33c, a defor­
4.90. Determine a força axial máxima P que pode ser apli·
mação residual em CB é
cada à barra. A barra é feita de aço e tem tensão admissível
O"adm = 147 MPa.
153(106) Pa
=
= 0,002185
E 1CB = E 70(109 ) Pa
4.91. Determine a tensão normal máxima desenvolvida na
barra quando sujeita a uma carga P = 8 kN.
de modo que o deslocamento permanente de C é
(T
oc = E ' csL c8 = 0,002185 (300 mm) = 0,656 mm +- Resposta
Também podemos obter esse resultado determinando a
deformação residual E ' Ac em AC (Figura 4.33c ). Visto que a
reta B' D' tem inclinação E, então
OEAC
=
ou
=
�
E
( 420 + 153) 106 Pa
70(10 ) Pa
9
= 0,008185
Portanto,
E 'Ac = EAc + OEAc = -0,01474 + 0,008185 = -0,006555
p
p
15 mm
Pl'oblemas 4.90/91
Determine a tensão normal máxima desenvolvidaJiíi
barra quando sujeita a uma carga P = 8 kN.
*4.92.
·t'>cl
, \ li
d \' k
lt
dplll
I'
CARGA AXIAL
1 19
*4.96. O peso de 1.500 kN ( 150 t) é assentado lentamente
no topo de um poste feito de alumínio 2014-T6 com núcleo
de aço A-36. Se ambos os materiais puderem ser considera­
dos elásticos perfeitamente plásticos, determine a tensão em
cada um deles.
=
-
Problema 4.92
distribuição de tensão resultante aoessalongo1' stnda'b seção
.
na figura. por d mçao,
a
para barra é mostradaado
da força axial resultante P
0 valor aproxim
é o fator de concentração
qual
disso,
Além
à barra.
ria?
met
geo
essa
tensão para
,
49,.,.
A
d.,1,,nnnt�;;
%
Alumínio
s o mm
25 mm
Aço
Problema 4.96
A haste do parafuso de aço com 10 mm de diâmetro
está embutida em uma luva de bronze. O diâmetro externo
dessa luva é 20 mm. Se a tensão de escoamento for (CTe)aço
640 MPa para o aço e (CTe)b, 520 para o bronze, determine
o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao
conjunto. Eaço 200 GPa, Ebr 100 GPa.
4.97.
=
=
=
Problema 4.93
p
distribuição de tensão resultante ao longo da seção
A B para a barra é mostrada na figura. Por essa distribuição,
determine o valor aproximado da força axial resultante P
"plicada à barra. Além disso, qual é o fator de concentração
d1; tensão para essa geometria?
lO mm
4JJ4.
=
A
lO mm
20 mm
p
p
Problema 4.97
Problema 4.94
chapa de aço A-36 tem espessura de 12 mm. Se
filetes de rebaixo em B e C' e CTadm 150 MPa ' deter,
mme a carga axial máxima P que ela
pode suportar. Calcule
alongamento da chapa desprezando o efeito dos filetes.
4.95.
A
=
0
�c
�
---==D
J-I
+,;,200;�;;;;!
mm
� 800 mm
7 30 mm
��
··
Aj '
I
�
120 mm
r = 30 mm
Problema 4.95
_1
60 mm
4.98. O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio, cada
um com o mesmo comprimento inicial de 3 m e área de seção
transversal de 4 mm2 • Se considerarmos que os materiais são
elásticos perfeitamente plásticos com (CTe)aço = 120 Mpa e
(CTe)a1 70 MPa, determine a força em cada cabo se o peso
for (a) 600 N e (b) 720 N. Ea1 70 GPa, Eaço 200 GPa.
=
=
=
Fat
Alumínio
Faço
Aço
p
Problema 4.98
1 20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
4.102. A barra rígida é sustentada por um pino em A e d oi
4.99. A barra tem área de seção transversal de 625 mm2• Se
uma força P 225 kN for aplicada em B e, então, removida, de­ cabos de aço, cada um com diâmetro de 4 mm. Se a tensãos
termine a tensão residual nas seções AB e BC. ue 210 MPa. de escoamento para os cabos for ue 530 MPa e Eaço == 200
GPa, determine (a) a intensidade da carga distribuída qu
pode ser colocada sobre a viga de modo a provocar um iní­e
cio de escoamento somente em um dos cabos e (b) a menor
A
intensidade da carga distribuída que provoque o escoamento
de ambos os cabos. Para o cálculo, considere que o aço é elás­
tico perfeitamente plástico.
=
=
=
w
B
4. J()5
;\-Jú
trans
Vl' L..; a
11· q w
cabw
t'O pc
,; dcs
come
c
Problema 4.99
A barra tem área de seção transversal de 300 mm2
e é feita de um material cujo diagrama tensão-deformação
pode ser aproximado pelos dois segmentos de reta mostra­
dos na figura. Determine o alongamento da barra resultante
do carregamento aplicado.
*4.100.
Pl'Oblema 4.102
A viga rígida é suportada pelos três postes A, B e C
de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de
75 mm e são feitos de alumínio, para o qual E.1 70 GPa e
(u) .1 20 MPa. O poste B tem diâmetro de 20 mm e é fei­
to de latão, para o qual E1a1 100 GPa e (u)1•1 590 MPa.
Determine o menor valor de P de modo que (a) somente
hastes A e C sofram escoamento e (b) todos os postes sofram
escoamento.
4.103.
=
�
280 1------�
140
=
=
p
=
4. 10ú.
:,n do
l i l' l l l i d
p r i n lt'r
as
p
LL----------'--E(mm/mm)
0,001
0,021
Problema 4.100
ai
A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois
cabos de aço, cada um com diâmetro de 4 mm. Se a tensão
f--- 2 m+ 2 m+2 m+2 m--j
de escoamento para os cabos for ue = 530 MPa e Eaço 200
Problema 4.103
GPa, determine a intensidade da carga distribuída w que
pode ser colocada sobre a viga e provocará um início de es­ *4.104. A viga rígida é suportada pelos três postes A, B e C
coamento somente no cabo EB. Qual é o deslocamento do de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de
ponto G para esse caso? Para o cálculo, considere que o aço 60 mm e são feitos de alumínio, para o qual E.1 = 70 GPa e
é elástico perfeitamente plástico.
(ue).1 20 MPa. O poste B é feito de latão, para o q?al
E1., = lOO GPa e (uJ 1., = 590 MPa. Se P = 130kN,determJOC
o maior diâmetro do poste B, de modo que todos os postes
sofram escoamento ao mesmo tempo.
4.101.
=
=
p
C) u a 1
ponl
lrihu
se
lo
der
p
O de
ur n
A
ai
f--- 2 m+ 2 m-f--- 2 m+ 2 m--j
Problema 4.101
c
Çfio i1
Problema 4.104
CARGA AXIAL
1 21
três cabos de aço 4.107. Resolva o Problema 4.106 se o diagrama tensão-de­
viga rígida é sustentadade por
A área da seção formação for definido por = cE3'2.
m.
1,2
mento
compri
com
Um
cada
a
da seçao trans­
area
e
mm2,
10
é
tr::�Jnsve rs;t�t de AB e EF
distribuída
carga
maior
a
Determine
2•
mm
d e CD é 4 ada pela viga antes que qualque
r dos
suport
ser
que pode
e
e
1
aço
o
' t'
que
'd
erarmos
cons
Se
r.
escoa
a
ece
' stanc
, 1a a1as
.
cabos com
,
1
que
d
viga
ate
me
determ
o,
erfeitamente plásticexatamente antes de todos os cabos
baixo
Je slocada apara
ar.
esco
começarem
A
(]'
_
,
G'
·
.
.
,
I-
PI"Oblema 4.107
A barra com diâmetro de 50 mm está presa em suas
extremidades e suporta a carga axial P. Se o material for
elástico perfeitamente plástico como mostra o diagrama ten­
são-deformação, determine a menor carga P necessária para
provocar o escoamento do segmento AC. Se essa carga for li­
berada, determine o deslocamento permanente do ponto C.
4.109. Determine o alongamento da barra no Problema 4.108
quando são removidos tanto a carga P quanto os apoios.
*4.108.
A
Problema 4.105
diagrama tensão-deformação de um material pode
descrito pela curva (]' = Determine a deflexão 8 da ex­
tremidade de uma haste feita desse material se ela tiver com­
primento L, área de seção transversal A e peso específico y.
4.106. O
ser
ce112 •
G'
u (MPa)
140
/
I
._/-'------ E (mm/mm)
0,001
Problemas 4.108/109
Problema 4.106
carregamento é plic do em
sobre um corp o, tende a criar uma dis­
ão de tensão no interior do corpo que
uniformemente distribuída em
do ponto de aplicação. Isso
ominado princípio
Saint-
a a
lf.f;•.\Jtl<ltltclo um
a mais
afastadas
de
um
Venant.
amento relativo na extremidade de
elemento carregado
em rela­
à outra extremidade é determinado por
axialmente
8
=
[LP(x) dx
Jo AE
p
�
--�d=x�------�- 1
--------�lr-�=====�x�-:
1
I
- - - -
1 22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Se uma série de forças rodais externas cons­
tantes for aplicada a um elemento e AE tam­
bém for constante para o elemento, então
AE
Para aplicação, é necessário usar uma con­
venção de sinais para a carga interna P e ter
certeza de que o material não escoará, mas
permanecerá linear elástico.
8
_
� PL
I
r P4
L� ----------------------�
.1 . I
�----------L ------------��
1 \�
I
P1----1
P2 -
4.
- P3
ll'
!11
III
""
c' I
lu
(' (
l l'
Superposição de carga e deslocamento é pos­
sível desde que o material permaneça linear
elástico e não ocorra nenhuma mudança sig­
nificativa na geometria.
Ju
As reações em uma barra estaticamente inde­
terminada podem ser determinadas tanto por
equilíbrio quanto por condições de compa­
tibilidade que especifiquem o deslocamento
nos apoios. Esses deslocamentos são relacio­
nados com as cargas por meio elas relações
8
carga-deslocamento, isto é, = PLIAE.
4. 1
Cí\'
Uma mudança na temperatura pode provo­
car uma mudança no comprimento ele um
elemento feito de um material homogêneo
isotrópico correspondente a
8
= a8TL
Se o elemento estiver confinado, essa expansão
produzirá tensão térmica no elemento.
Furos e transições acentuadas em uma seção
transversal criarão concentrações ele tensão.
Para projeto, obtemos o fator de concentra­
ção de tensão K em um gráfico, o qual foi
determinado por estudos experimentais. En­
tão, esse valor é multiplicado pela tensão mé­
dia para obter-se a tensão máxima na seção
transversal.
O"máx
= Kuméd
Se o carregamento em uma barra provocar
escoamento elo material, então a distribuição
ele tensão produzida poderá ser determinada
pela distribuição ele deformação e pelo dia­
grama tensão-deformação. Para materiais
perfeitamente plásticos, o escoamento fará
com que a distribuição de tensão na seção
transversal de um furo ou transição se nivele
e se torne uniforme.
'4,
('; i i
qll:
I I I II
I' lo
��
l�l · · l
-
\
1
I
Pp
p
�-----+-
Se um elemento estiver restringido e um car­
regamento externo provocar escoamento,
quando a carga for liberada, provocará uma
tensão residual no material.
CARGA AXIAL
mm de diâmetro a uma
rebite de aço com 6 entre
duas chapas de tal
preso
está
C
de 800°
mm de cumpri­
50
tem
ele
,
ratura
tempe
a
que, ness
1,25
kN entre as
de
erto
a
de
força
uma
�
ce
exer
força
da
mado
aproxi
Determine o valor esfriar até soe. Paradeoaperto
cálcu­
, . chapas quando o rebite
t�s
que as cabeças do rebite" e as chapas são rígidas.
14(10-6)/ C, E. = 200 GPa. O
também
é uma estimativa conservadora da resposta real?
Um
e
=
a
nço
f��!i 1Ulli11UV
1 23
4.113. A força P é aplicada à barra, a qual é composta por
um material elástico perfeitamente plástico. Construa um
gráfico para mostrar como a força varia em cada seção AB e
BC (ordenadas) à medida que P (abscissa) aumenta. A barra
tem áreas de seção transversal de 625 mm2 na região AB e
2.500 mm2 na região BC e ae = 210 MPa.
aço
Problema 4.113
A haste de alumínio 2014-T6 tem diâmetro de 12 mm e
está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quan­
do T1 = 25°C. Se a temperatura baixar para T2 = 2o c e
força axial P = 80 N for aplicada ao colar rígido, como
uma
ser
pode
que
apli­
P
·U t i. Determine a força axial máxima
mostra
a figura, determine as reações em A e B.
é
l
=
150
MP
a.
admissíve
a
tensão
A
aço.
adm
cada à c hapa de
4.114.
Pt·oblema 4.110
-
o
B
A
Problema 4.114
A haste de alumínio 2014-T6 tem diâmetro de 12 mm
e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quan­
do T1 = 40°C. Determine a força P que deve ser aplicada ao
colar de modo que, quando T = 0°C, a reação em B seja nula.
4.115.
p
B
A
Problema 4.111
'4.112. O
elo rígido é sustentado por um pino em A e dois
de aço A-36, cada um com comprimento de 300 mm
quando não alongados e área de seção transversal de 7,8
mnl1• Determine a força desenvolvida nos cabos quando o
elo suportar a carga vertical de 1,75 kN.
cabos
T
c
+ 1\l:\I«B�
125 mm
�
lOO mm
150 mm --j
1 ,75 kN
Problema 4.112
Problema 4.115
A coluna de aço A-36 tem área de seção transversal
de 11.250 mm2 e está engastada em concreto de alta resistên­
cia, como mostra a figura. Se uma força axial de 300 kN for
aplicada à coluna, determine a tensão de compressão média
no concreto e no aço. Até que distância a coluna se encurta?
Seu comprimento original é 2,4 m.
*4.116.
�5 mm
300 kN
1
l
2,4 m
Problema 4.116
1 24
I
RESIST�NCI.l\ DOS Ml\TERI.l\15
A coluna de açoA-36 está engastada em concreto de
alta resistência, como mostra a figura. Se uma força axial de
300 kN for aplicada à coluna, determine a área exigida para o
aço de modo que a força seja compartilhada igualmente en­
tre o aço e o concreto. Até que distância a coluna se encurta?
Seu comprimento original é 2,4 m.
4.117.
300 kN
mm
m
Problema 4.117
conjunto é formado por uma barra de alumínio
ABC com 30 mm de diâmetro com um colar fixo em B e
uma haste de aço CD com 10 mm de diâmetro. Determine o
deslocamento do ponto D quando o conjunto for carregado
como mostra a figura. Despreze o tamanho do colar em B e o
acoplamento em C. Eaço 200 GPa, E.1 70 GPa.
4.118. O
=
=
=t
'9mm
30o1mm
4 kN
c
D
_l
700 mm
20 kN
Problema 4.118
A junta é composta por três chapas de aço A-36
interligadas nas costuras. Determine o deslocamento da ex­
tremidade A em relação à extremidade B quando a junta
for submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem
espessura de 5 mm.
4.119.
46 kN
�,.._-(::_-""--'"---.----:o
Problema 4.119
oe
N u:
u
Mo
elo
rE
su ç
anz
res1
5.
I II C
l < l l'l
xos
;ll'(
cu I
CSI I
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lon
COI
l e i!
f<ll.
lon
l icl
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d;l(
.\ I
se
COI
'
roi,
c
f
for
p i <I
I ot
Úll ;
Tor ção
ULO
OBJETIVOS DO CA PÍT
Neste capítu lo, discutiremos os efeitos da a p l i ca çã o d e u m carrega mento de torção a um elemento longo
reta, como um eixo ou tubo. I n ic i a lmente, considera remos q u e o elemento tem seção transversal circu l a r.
Mostraremos como determ i n a r a distri b u i çã o da tensão no i nterior do elemento e o â n g u l o de torção q u a n0 materi a l se comporta de m a n e i ra l i n e a r elástica e, a i nd a , q u a ndo é i nelástico. Tam bém d iscuti remos a
estaticamente i n d eterm i n ados, a lém de tópicos especia is , e ntre eles e l e mentos com
anál i se de eixos e tubos
tran sversais não circul a res. Por fi m , d a remos atenção especia l às concentrações de tensão e à tensão
d e torção .
residua l causa da por ca rrega mentos
5.1
Deformaç ão p o r t o rção d e
u m eixo ci rcu l a r
a torcer um ele­
O efeito do
longitudinal.
eixo
seu
de
torno
em
mento
de ei­
projetas
em
primária
preocupação
uma
é
torque
xos ou eixos de acionamento utilizados em veículos e
estruturas diversas. Podemos ilustrar fisicamente o que
acontece quando um torque é aplicado a um eixo cir­
cular considerando que este seja feito de um material
com alto grau de deformação, como a borracha (Figura
5.l a). Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas
longitudinais da grade, marcados originalmente no eixo,
tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado na
Figura 5.lb. Examinando a figura, vemos que a torção
faz que os círculos continuem como círculos e cada linha
longitudinal da grade se deforme na forma de uma héque intercepta os círculos em ângulos iguais. Além
disso, as seções transversais nas extremidades do eixo
con l.inuam planas, e as linhas radiais nessas extremi­
dades continuam retas durante a deformação (Figura
5.l.b). Por essas observações, podemos considerar que,
se o ângul o de rotação for pequeno, o comprimento e o
.
Torque é um momento que tende
ra10
do eixo permanecerão inalterados.
Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades
for aplicado um torque à sua outra extremidade, o
plano sombre ado na Figura 5.2 será distorcido até uma
for�a oblíqua , como mostra a figura. Aqui, uma linha
tadtal localizada na seção transversal a uma distância x
da extremidade fixa do eixo girará de um ângulo cp(x
� ulo
ang
o/(x), definido dessa maneira, é denominado
angulo de torção, depende da posição x e variará ao
longo do eixo
·
como mostra a figura.
Para entender como essa distorção deforma o
materi al , Iso
· 1aremos agora um pequeno elemento lo.
.
•
A · radtal
ca hzado a' dIs
A da lmha
' t anc1a
p (ro)
central . do
.
F
(
igur
a 5.3). Devido à deformação observada na
'
Ftgu ra 5.2, as
faces anterior e posterior do elemento
?
).
Antes da deformação
( a)
Círculos continuam
circulares
Linhas
longitudinais
ficam torcidas
Linhas radiais
continuam retas
Depois da deformação
(b)
Figura 5.1
sofrerão uma rotação - a face posterior, de c/J(x), e
a face anterior, de cfJ(x) + b.cp. O resultado é que, em
razão da diferença entre essas rotações, b.cp, o ele­
mento é submetido a uma deformação por cisalha­
mento. Para calcular essa deformação, observe que,
antes da deformação, o ângulo entre as bordas AB e
AC é 9 0° ; todavia, após a deformação, as bordas do
elemento se tornam AD e AC e o ângulo entre elas
é 8 ' . Pela definição de deformação por cisalhamento
(Equação 2.4), temos
1 26 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
d<
ci
1T
'Y = - - lim e'
2
C -> A ao longo de CA
B A ao longo de BA
--->
!I
ri,
nl
!h
í
lo
y
(\
III :
11 :
A tensão de cisalhamento para o
material aumenta linearmente
com p, isto é, y = (p/c)Ym áx·
IIII
11 ; I
dt'
Figma 5.4
O
Esse ângulo, ')', é indicado no elemento e pode ser
relacionado com o comprimento �x do elemento e
com a diferença no ângulo de rotação, �</J, entre as fa­
ces sombreadas. Se �x --7 dx e �<P --7 dcp, temos
ângulo de torção <jJ(x) aumenta à medida que x aumenta.
Figura 5.2
Portanto,
dcp
y = p­
dx
(5 .1)
Visto que dx e dcp são os mesmos para todos os
elementos localizados em pontos da seção transver­
sal em x, então dcp!dx é constante nesta seção, e a
Equação 5.1 indica que o valor da deformação por
cisalhamento para qualquer um desses elementos va­
ria somente com sua distância radial p em relação à
linha central do eixo. Em outras palavras, a deforma­
ção por cisalhamento no interior do eixo varia linear­
mente ao longo de qualquer linha radial, de zero na
linha central do eixo até um valor máximo 'Ymáx em
seu contorno externo (Figura 5 .4). Visto que dcp/dx
y/p = 'Ymá/c, então,
Deformação por cisalhamento do elemento
==
(5.2)
y
Os resultados obtidos aqui também são válidos para
tubos circulares. Dependem somente das premissas
adotadas em relação às deformações já mencionadas.
X
5.2
Figura 5.3
(I
Jll l
BD = p d</J = dx y
c
/
po
A fó rm u l a d a to rção
Quando um torque externo é aplicado a u m eixo,
ele cria um torque interno correspondente no interi� r
do eixo. Nesta seção, desenvolveremos uma equ a çao
que relaciona esse torque interno com a distribuição
(' J S :
lo;
11 < 1
{ Is.
(j l l l
l t' ll
!<>1 1
t'S'i;
l i< l i
TORÇÃO
,
ersal de um
d e cisalhamento na seção transv
ular. .
.
.
ou tu bo circ
l for hnear elast1co, entao a le1 de
a
ateri
o m
ncta, uma vase aplica, r = Gy, e, por cons eque
amento,
como
cisalh
linear na deformação por
o
uma
em
variaçã
resulta
na seção anterior,
pondente
ao
o
corres
na tensão de cisalh ament
sal.
de qualquer linha radial na seção transver
a
ocorre
deforcom
assim como
.
.
(,,..ons·ectuentemente,
por cisalhamento para um �1xo ma�1ço, . r vae1xo longltudmal a
de zero na linha central do
ície
externa. Essa vasuperf
um valor máximo rmáx na
faces anteriores
nas
é mostrada na Figura 5.5,
os em uma
localizad
ados
de vários elementos selecion
raio
externo
no
c. Pela
e
p
radial intermediária
de
lei
pela
ou
Hooke
propo rcionalidade de t�iângulos,
('r Gy) e pela Equaçao 5.2 [y = (p/c) ymáJ, podemos
_
A
(5.4)
'
Visto que rmá)c é constante,
(5.5)
A integral nessa equação depende somente da geo­
metria do eixo. Ela representa o momento polar de
inércia da área da seção transversal do eixo calculada
em torno da linha central longitudinal do eixo. Esse
valor será representado pelo símbolo J e, portanto, a
Equação 5.5 pode ser escrita de uma forma mais com­
pacta, a saber,
escrever
(5.3 )
Essa equação expressa a distribuição da tensão de
cisalhamento em função da posição radial p do elemen­
to; em outras palavras, define a distribuição da tensão
na seção transversal em termos da geometria do eixo.
lJsando essa equação, aplicaremos agora a condição
que exige que o torque produzido pela distribuição de
tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao
Iorque interno resultante T na seção, o que mantém
o eixo em equilíbrio (Figura 5.5). Especificamente,
euda elemento de área dA, localizado em p, está su­
jeito a uma força dF = r dA. O torque produzido por
essa força é dT = p( r dA). Portanto, para toda a seção
transversal, temos
1 27
rmáx =
J
Te
(5.6)
onde
rmáx = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que
ocorre na superfície externa
T = torque interno resultante que age na seção
transversal. Seu valor é determinado pelo mé­
todo das seções e pela equação de equilíbrio
de momento aplicada ao redor da linha central
longitudinal do eixo
J = momento polar de inércia da área da seção
transversal
c = raio externo do eixo
Pelas equações 5.3 e 5.6, a tensão de cisalhamento
na distância intermediária p pode ser determinada por
uma equação semelhante:
Tp
(5.7)
r =J
Qualquer uma das duas equações citadas é frequen­
temente denominada fórmula da torção. Lembre-se
de que ela só é usada se o eixo for circular e o material
for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear
elástica, visto que a dedução da fórmula se baseia no
fato de a tensão de cisalhamento ser proporcional à
deformação por cisalhamento.
A tensão de cisalhamento varia linearmente
ao longo de cada linha radial da seção transversal.
Figura 5.5
Eixo m aciço. Se o eixo tiver uma seção transver­
sal circular maciça, o momento polar de inércia J pode
ser determinado por meio de um elemento de área na
forma de um anel diferencial, de espessura dp e circun­
ferência 21Tp (Figura 5.6). Para esse anel, dA = 21Tp dp,
portanto,
J
=
1
p2 dA
=
1>
( 27Tp dp)
=
27T
1
p3 dp
c
=
27T
(�) 1 :
p4
1 28
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
T
Figma 5.6
Falha de um eixo de madeira por torção.
É interessante observar que, em razão dessa distribui­
ção axial da tensão de cisalhamento, eixos feitos de ma­
deira tendem a rachar ao longo do plano axial quando
sujeitos a um torque excessivo (Figura 5.8). Isso aconte­
ce porque a madeira é um material anisotrópico. A re­
sistência ao cisalhamento desse material, paralela a seus
grãos ou fibras, direcionada ao longo da linha central do
eixo, é muito menor do que a resistência perpendicular
às fibras, direcionada no plano da seção transversal.
Figura 5.8
(5.8)
Observe que J é uma propriedade geométrica da
área circular e é sempre positivo. As unidades de me­
dida comuns para J são mm4 ou pol4•
Já demonstramos que a tensão de cisalhamento va­
ria linearmente ao longo de cada linha radial da seção
transversal do eixo. Todavia, se isolarmos um elemen­
to de volume do material na seção transversal, então,
devido à propriedade complementar do cisalhamento,
tensões de cisalhamento iguais também devem agir
sobre quatro de suas faces adjacentes, como mostra a
Figura 5.7a. Por consequência, o forque interno T não
somente desenvolve uma distribuição linear da tensão
Eixo tubular. Se um eixo tiver uma seção transver­
sal tubular, com raio interno c; e raio externo C0, então,
pela Equação 5.8, podemos determinar seu momento po­
lar de inércia subtraindo J para um eixo de raio c; daquele
determinado para um eixo de raio C0• O resultado é
de cisalhamento ao longo de cada linha radial no pla­
no da área de seção transversal, como também uma
distribuição de tensão de cisalhamento associada é de­
senvolvida ao longo de um plano axial
T
(Figura 5.7b).
J
=
7T (c4
2
o
- c1)
1
Como ocorre no eixo maciço, a tensão de cisalhamen­
to distribuída pela área da seção transversal do tubo va­
ria linearmente ao longo de qualquer linha radial (Figura
5.9a). Além do mais, a tensão de cisalhamento varia ao
longo de um plano axial dessa mesma maneira (Figura
5.9b ). A Figura 5.9a mostra exemplos da tensão de cisa­
lhamento agindo sobre elementos de volume típicos.
Tensão d e torção m áxima absol uta.
(a)
Tensão de cisalhamento varia linearmente ao
longo de cada linha radial da seção transversal.
(b)
Figura 5.7
(5.9)
Em
qualquer seção transversal do eixo, a tensão máxima
de cisalhamento ocorre na superfície externa. Contu·
do, se o eixo for submetido a uma série de torques ex·
ternos, ou se o raio (momento polar de inércia) mudar,
a tensão de torção máxima no interior do eixo poderá
ser diferente de uma seção para outra. Se quisermos
determinar a tensão de torção máxima absoluta, tor·
na-se, então, importante determinar a localização na
qual a razão Tc/J é máxima. A esse respeito, pode ser
útil mostrar a variação do torque interno T em cada
seção ao longo d a linha central do eixo por meio de
um diagrama de forque. Especificamente, esse diagra·
ma é uma representação gráfica do torque interno T
em relação à sua posição x ao longo do comprimento
do eixo. Como convenção de sinal, T será positivo se,
pela regra da mão direita, o polegar se dirigir para fora
do eixo quando os dedos se curvarem na direção da
torção causada pelo torque (Figura 5 .5) . Uma vez de·
terminado o torque interno em todo o eixo, podem os
identificar a razão máxima Tc/J.
TORÇÃO
T
1 29
A tensão de cisalhamento varia linearmente ao
longo de cada linha radial da seção transversal.
(b)
( a)
Figura 5.9
eiJro com seção transw;rsál ci�cular'.� S\lbhJ.étido a um torqne, a . séÇã9 Jransversal nmrm,1mtce
as linbas radiais giram.l��� ��9'/'�ç� \l�í.t; defotmação por cisalhamento n
. <r�i11terior dó ·""'"'"'"""
ao longo de qualqttt:{t;li@:a.radi�I;��zero nalfnha centraldo eixo a um �áximo
�J � � ;i�:: :;ltrzeamwnte, �e, ,Zfiti(;l):eOa:9.��..elástico,
•tens�b� 4e�cisalh�ff!ettto
1hlh�
Hocike,·para. umi1l�te
·
ao
a
C(')ntral Q·� o até ú� valor
te de proporeio� ·
settc<>nt,Clrllt.o externo:Essa tensão'de cisalliamento m.áximànilo eleveultrapassar Ó
r o ri
c
linha radial d9 eb:o ta�béii1 vari(l
·
·
colJ1portam�nto
·
mill,
dâ proprie,da<:le ·éotnple11n:etttar do cisallia1Ilento, a distribu�ção datensão de cisa111�ehto fulear no mte�
seção transversal tanibéll1é distribuída ao longo d��I11plano axial adjac�nte dÓ eixo.
dá torção é baseada no requisitQ de que o t()rque resultante .na seção trà11sversal seja igl!a� 11,o torque
distribuição fuleardatensão �e,çisalliame11to e1ll torno da linha centrall<:mgitudinal do eixo.É lJJ;Jc(Js­
ou tubo tenha seçiio transversal circular e que seja feito de material homogêneo de comportamento
A fórmula da torção pode ser aplicada conforme o procedhnento descrito a seguir.
Carregamento intern o.
• Secione o eixo perpendicularmente à
sua linha central no ponto onde a tensão de cisalhamento deve ser determina­
da e use os diagramas de corpo livre e as equações de equilíbrio necessárias para obter o torque interno na seção.
,,, Propriedade da seção.
•
Calcule o momento polar de inércia da área de seção transversal. Para uma seção maciça de raio c,J = 1TC4/2, e, para
um tubo de raio externo c e raio interno c. , 1 = 1r ( c 4- d ) /2.
o
Tensão de cisalhamento.
,
o
t
a distância radial p, medida do centro da seção transversal até o ponto onde a tensão de cisalhameuto
deve ser determinada. Então, aplique a fórmula da torção r = Tp/1 on, se quiser determinar a tensão de cisalhamento
máxima, use rmáx = Tc/1. Quando substituir os dados, não se esqueça de usar um conjunto consistente de unidades.
A tensão de cisalliamento age na seção transversal em uma direção que é sempre perpendicular a p. A força que
? la cria deve contribuir com um torqne em torno da linba central do eixo orientado na mesma direção que o torque
m terno resultante T que age na seção. Uma vez estabelecida essa direção, pode-se isolar um elemento de volume
localizado no ponto onde r é determinada e, assim, pode-se mostrar a direção na qual r age nas três faces restantes
do elemento.
�0''-'""'"'u«mc
1 30
RESISTI':NCIA DOS MATERIAIS
pressar 7 f(p) . Usando semelhança de triângulos (Figura
5.10b), temos
=
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi repre­
sentada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrá­
rias, como mostra a Figura 5.10a. Determine o torque inter­
no resultante na seção.
!_ = 56 N/mm2
P
SO mm
7 = 1,12pN/mm2
Essa tensão age em todas as porções do elemento do anel di.
ferencial que tem área dA = 2np dp. Visto que a força criada
por 7 é dF 7 dA, o torque é
=
d T = pdF = p( 1rdA)
50
p(l , 1 2p)Z1rpdp = 2,241Tp3dp
=
( ) 150 = 11,0
Para a área inteira na qual 7 age, exige-se
T
(a)
=
fo
3
2,24 1Tp dp
= 11,0 kN·m
=
1 4
2,24 1T 4p
O
0
l l !l
X
10
6
N·mm
Resposta
eixo maciço de raio é submetido a um torque T (Fi·
gura 5.11a). Determine a fração de T à qual resiste o mate­
rial contido no interior da região externa do eixo, que tem
raio interno c/2 e raio externo c.
c
OBSI
ii iljll
t'l \0,
I t'\111
(' ; d t ;
a ulil
I ! 1 1 1 1\
(b)
SOLUÇÃO I
O
Figura 5.10
()
III l i l i ('
momento polar de inércia para a área da seção transversal é
'>; d ila
(a)
(b)
Figura 5.11
Aplicando a fórmula da torção com 7máx = 56 MPa 56 N/mm2
(Figura 5.10a), temos
=
T(50
T = ll,O kN · m
SOLUÇÃO 1 1
)
mm
A tensão no eixo varia linearmente, tal que 7 = (pie)7máx (Equa·
ção 5.3). Portanto, o torque dT' no anel (área) localizado no
interior da região sombreada mais clara (Figura S.llb) é
dT' p(7 dA) p(p/c) 7má/21Tp dp)
Para toda a área sombreada mais clara, o torque é
SOLUÇÃO
=
Resposta
O mesmo resultado pode ser obtido determinando-se o tor­
que produzido pela distribuição de tensão ao redor da linha
central ( centroide) do eixo. Em primeiro lugar, temos de ex-
=
T'
=
_
-
21TT áx
m
---
C
21T7m áx
1cp dp
c/2
1
4c
4 c/2
1
�� - p
C
3
sou,
TorqL
n u l a;.
()
TORÇÃO
1 31
4.250 kN·mm
15?T ' C3
TI - --7
32 max
(1)
-
1.250 kN·mm
em termos do torque apliser expresso
torque TI podeprimeu
.
a formula da torça o para
lugar,
o
em
,
T u sando
a tensão máxima no eixo. Temos
,
,!;,IMrmnu •
'Tmáx
_
Te = Te
=]
(?T/2)c4
(a)
4.250 kN · mm
ou
'Tmáx
= 1T2T3
C
Substituindo essa expressão na Equação 1, obtemos
Resposta
T 116S T
I
-
-
X
(b)
Aqui, a região sombreada mais clara resiste
a aproximadamente 94% do torque, e o "núcleo" interno do
= O a p = c/2, resiste aos restantes 6% de T (ou 1116). O
n;sultaclo é que o material localizado na região externa do eixo
é altamente efetivo na resistência ao torque, o que justifica
a utilização de eixos tubulares como um meio eficiente para
transmitir torque e, com isso, economizar material.
OBSERVAÇÃO:
O eixo mostrado na Figura 5.12a está apoiado em dois
mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de ci­
salhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na
seção a-a do eixo (Figura 5.12c).
MPa
y
X
(c )
Figura 5.12
Tensão de dsalhamento.
tra em p = c = 75 mm,
SOLUÇÃO
�
0,377 MPa
Visto que o ponto A se encon­
Te 1250 kN·mm X 75 mm
Torque interno. As reações dos mancais sobre o eixo são
z
nulas contanto que o peso do eixo seja desprezado. Além dis­ TA = J = 4,97 X 107 mm4 = 1 '89 N/mm = 1,89 MPa
Resposta
so, os torques aplicados satisfazem o equilíbrio de momento
torno da linha central do eixo.
Da mesma forma, para o ponto B, em p =15 mm, temos
. O torque interno na seção a-a será determinado pelo
dtagrama de corpo livre do segmento esquerdo (Figura
Tp = 1.250kN·mm X 15 mm = 0,377 MPa Resposta
78 =
5 .l2b) Temos
J
4,97 X 107 mm4
em
.
'i.M = O·
4.250 kN,·mm - 3.000 kN·mm
Pr�p riedade da seção.
o etxo é
T = O T = 1.250 kN·mm
OBSERVAÇÃO: As direções dessas tensões em cada elemen­
O momento polar de inércia para to em A e B (Figura 5.12c) são estabelecidas pela clireção do
torque interno resultante T, mostrado na Figura 5.12b. Ob­
serve cuidadosamente como a tensão de cisalhamento age
nos planos de cada um desses elementos.
J = '!!_ ( 75 mm)4 = 4' 97 X 107 mm4
2
1 32
i�ti���� s.�
!70 "*
�
=
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
"
�"" "'
""
0
�
Tensão de c:isalhamento. Para qualquer ponto localiza do
na superfície externa do tubo, p = C0 = 0,05 m, temos
""3: 00 "' "'
�
"
�
O tubo mostrado na Figura 5.13a tem diâmetro interno
de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm Se sua extremidade
Tc0 40 N m (0,05 m) = O 345 MPa
r = - =
'
for apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B,
Resposta
o J
5,80(10-6 ) m4
determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material
nas paredes interna e externa ao longo da porção central do
tubo quando são aplicadas forças de 80 N à chave.
E para qualquer ponto localizado na superfície interna, p
c; = 0,04 m, de modo que
·
.
�
�boomm
80 N
Tci 40 N · m (0,04 m) = 0 276 MPa
'
J
5,80(10-6 ) m4
r· = - =
'
\
80 N
X
5.3
Tra nsm issão d e potê ncia
Eixos e tubos de seções transversais circulares são
frequentemente usados para transmitir potência desen­
volvida por uma máquina. Quando usados para essa
finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da
potência gerada pela máquina e da velocidade angular
do eixo. Potência é definida como o trabalho realizado
por unidade de tempo. O trabalho transmitido por u m
eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado
e o ângulo de rotação. Portanto, se durante um instante
dt um torque aplicado T provocar a rotação de no eixo,
então a potência instantânea será
Figma 5.13
SOLUÇÃO
Torque interno. Toma-se uma seção em uma localização
intermediária C ao longo da linha central do tubo (Figura
5.13b). A única incógnita na seção é o torque interno T. O
equilíbrio de força e o equilíbrio de momento em torno dos
eixos x e z são satisfeitos. Exige-se
2,MY = O; 80 N (0,3 m) + 80 N (0,2 m) T = O T = 40 N m
Propriedade da seção. O momento polar de inércia para
a área da seção transversal do tubo é
-
·
T de
P=
dt
Visto que a velocidade angular do eixo w
também podemos expressar a potência como
i n fo
quê1
r ios
(I I
Resposta
OBSERVAÇÃO: Para mostrar como essas tensões agem nos
pontos representativos D e E na área da seção transversal,
em primeiro lugar, observamos a seção transversal da parte
anterior do segmento CA do tubo (Figura 5.13a). Nessa se­
ção (Figura 5.13c), o torque interno resultante é igual, mas
oposto, ao mostrado na Figura 5.13b. As tensões de cisalha­
mento em D e E contribuem para esse torque e, portanto,
agem nas faces sombreadas dos elementos nas direções mos­
tradas. Como consequência, observe como as componentes
da tensão de cisalhamento agem nas outras três faces. Além
disso, visto que a face superior de D e a face interna de E es­
tão em regiões livres de tensão tomadas nas paredes externa
e interna do tubo, não pode existir nenhuma tensão de cisa­
lhamento nessas faces ou nas outras faces correspondentes
dos elementos.
( a)
l' lll
é fll
=
díJ!dt,
(5.10)
No SI (Sistema Internacional de Unidades de Me·
dida), a potência é expressa em watts quando o torque
P'FOJ
p
nhcc
ll' t' l ll
da
r
c ,
111 a l c
d i ll l l'
da to
se j a I
f' l O j l'
I' a
se d e
o ra i ( J
( 1:
J
de p o:
t'.\ ('0/1!
nllnr (
lhado 1
piado. �
l i III
dt· cis; d
<lllll' l ro
ToRçÃo
tons-metro
íl me�1'10 em new
por segundo (rad/s)
(1 N · m) e w é expressa
(1 W = 1 N · m/s).
se trata de máqu inas rotativas, costuma-se
·equência de rotação de um eixo, f Fre-.
""'"'"nmu a ft
1 ou Cla medida do número d,e revo uçoes
mt�mt:m e�
ssa
do e e expre em h ertz
0 eixo faz por segun
1 ciclo = 2 1r rad, então
que
Visto
).
ciclo/s
1
a potência torna-se
e a Equação 5.10 para
(5.11)
Quando a potência transmiti­
um eixo e sua frequência de rotação são co­
eixo pode ser de­
nhí�Ct<m :s, o torque desenvolvido no
T = P/2 7Tf Se
é,
isto
5.11,
pela Equação
vel,
radm' para o
admissí
ento
a tensão de cisalham
determinar
as
podemos
conhecidos,
forem
A'-'"'"c"''" da seção transversal do eixo pela fórmula
torção, contanto que o comportamento do material
linear elástico. Especificamente, o parâmetro de
ou parâmetro geométrico J/c torna-se
do eixo.
J
T
c
Tadm
(5.12)
eixo maciço, J = ( /2) c\ portanto, pode­
determinar, por substituição, um valor único para
do eixo. Se o eixo for tubular, de modo que
('rr/2)(c"4 - ci4), o projeto permite uma ampla faixa
Para um
1r
1 33
SOLUÇÃO
O torque no eixo é determinado pela Equação 5.10, isto é,
Tw. Expressando P em newtons-metro por segundo e w
em radianos/segundo, temos
P=
( )( )
P=
3.750 N rnls
·
rad 1 min = 18,33 rad/s
w = 175 .rev 27T1 rev
60 s
mm
Assim,
P=
Tw; 3.750 N · rnls = T(18,33) rad/s
T = 204,6 N · m
Aplicando a Equação 5.12, obtemos
T
c 2 c
1 1 3 2(204,6 N m)(l.OOOmm/m) 113
l
_I!_
=
c=
2
7TTactm
j
7T (100 N mm )
c = 10,92 mm
( ) [
J
·
·
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro
d = 22 mm
Resposta
c
de possibilidades para a solução. Isso porque se pode
escolher um valor arbitrário para c ou c.' e, então, calcular o outro raio pela Equação 5.Ú.
IX&UVIR!rl1 1�i1:;
�'t!0 'k=si%
Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 mm e diâ­
metro externo de 42 mm será usado para transmitir 90 kW
de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de
modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 50 MPa.
eixo maciço de aço AB mostrado na Figura 5.14 será
para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está aco­ SOLUÇÃO
Se o eixo girar a w = 175 rpm e o aço tiver uma tensão
O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é determi­
cisalhamen
, . to admissível radm = 100 MPa ' determine o dil
nado
pela fórmula da torção.
"me
extgtdo para o eixo com precisão de mm.
Te
Tmáx = J
T(0,021 m)
50(106 ) N/m2 =
(7T/2)[(0,021 m) 4 - (0,015 m) 4]
T = 538 N · m
Um
ll�ado
i&
ro
-
-,------:­
Aplicando a Equação 5.11, a frequência de rotação é
= 27TfJ
90(103) N m/s = 27T.f(538 N m)
.f = 26,6 Hz
p
·
Figura 5.14
·
Resposta
1 34
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para
transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a
tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo.
5.1. Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de ci­
=
salhamento admissível radm 84 MPa. Se o diâmetro do eixo
300 N·m 500 N·m
for 37,5 mm, determine o torque máximo T que pode ser
transmitido. Qual seria o torque máximo T' se fosse feito um
A
furo de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da
distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma li­
nha radial em cada caso.
5.5.
pn
X Í II
do
Problema 5.1
O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T. De­
termine o raio r' do núcleo interno do eixo que resista à me­
tade do torque aplicado (T/2). Resolva o problema de duas
maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinan­
do a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento.
5.3. O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T. De­
termine o raio r' do núcleo interno do eixo que resista a 1/4 do
torque aplicado (T/4). Resolva o problema de duas maneiras:
(a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a resultan­
te da distribuição da tensão de cisalhamento.
Problema 5.5
5.2.
T
O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para
transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo es­
tiver apoiado em mancais lisos em A e B , que não resistem a
torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no
eixo nos pontos C e D. Indique a tensão de cisalhamento nos
elementos de volume localizados nesses pontos.
5.7. O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro
interno de 25 mm. Se for submetido aos torques aplicados
mostrados na figura, determine a tensão de cisalhamento
máxima absoluta desenvolvida no eixo. Os mancais lisos em
A e B não resistem a torque.
*5.8. O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro
interno de 25 mm. Se for submetido aos torques aplicados
mostrados na figura, faça o gráfico da distribuição da tensão
de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial que se
encontra no interior da região EA do eixo. Os mancais lisos
em A e B não resistem a torque.
5.6.
d hlrí
!>l XI �
d o, d<
, l'\ l l'
.
O tubo é submetido a um torque de 750 N m. Deter­
mine a parcela desse torque à qual a seção sombreada cinza
resiste. Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a
fórmula da torção e (b) determinando a resultante da distri­
buição da tensão de cisalhamento.
min<' ; 1
·
r
5.9. O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço
galvanizado interligadas por uma redução em B. o tubo m;
. rno
nor tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro mte
17 mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25m:
e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver finnemen
Problemas 5.6/7/8
Pl'Oblema 5.4
de di
�t·n
a
!í. l J .
Problemas 5.2/3
*5.4.
5. 1 0.
pcqu
Kr
TORÇÃO
1 35
eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito
aos carregamentos de torção mostrados. Determine a tensão
de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da
tensão de cisalhamento nos elementos de volume localiza­
dos nesses pontos.
*5.12. O
c
35 mm
75
P1·oblema 5.12
5.13. Um tubo de aço com diâmetro externo de 62,5 mm é
para transmitir 3 kW quando gira a 27 rev/minuto. De­
usado
75 N
termine, com aproximação de múltiplos de 5 o diâmetro
Problema 5.9
interno d do tubo se a tensão de cisalhamento admissível for
Tadm = 70 MPa.
!.10. O elo funciona como parte do controle do elevador de um
avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 25
diâmetro interno e parede de 5 de espessura, determine
a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de
(,()() N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da
distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal.
mm,
mm
mm
62,5
Problema 5.13
5.14. O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50
e
tensão de cisalhamento admissível r"d = 6 MPa. Determine o
maior torque T1 que pode ser aplicad� ao eixo se ele também
estiver sujeito a outros carregamentos de torção. Exige-se que
T1 aja na direção mostrada. Determine também a tensão de ci­
salhamento máxima no interior das regiões CD e DE.
5.15. O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm.
Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no
eixo e trace um rascunho da distribuição da tensão de cisa­
lhamento ao longo da linha radial do eixo onde a tensão de
cisalhamento é máxima. Considere T1 = 20 N · m.
mm
Problema 5.10
5.11. O eixo é composto por três tubos concêntricos, to­
dos do mesmo material, e cada um com os raios internos
externos mostrados na figura. Se for aplicado um torque
T 800 N m ao disco rígido preso à sua extremidade, deter­
mine a tensão de cisalhamento máxima no eixo.
e
·
E
r; = 20 mm
r0 = 25 mm
r; = 26 mm
ro = 30 mm
r; = 32 mm
r0 = 38 mm
Problema 5.11
68 N·m
Problemas 5.14/15
1 36 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O motor transmite um torque de 50 N m ao eixo AB.
Esse torque é transmitido ao eixo CD pelas engrenagens em
E e F. Determine o torque de equilíbrio T' no eixo CD e a
tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Os mancais B,
C e D permitem a livre rotação dos eixos.
5.17. Se o torque aplicado ao eixo CD for T' = 75 N m, de­
termine a tensão de cisalhamento máxima absoluta em cada
eixo. Os mancais B, C e D permitem a livre rotação dos eixos,
e o motor impede a rotação dos eixos.
·
*5.16.
·
mostrados na figura. Determine as tensões de cisalhamen.
to máxima e mínima no eixo e especifique suas localizações'
medidas em relação à extremidade fixa.
5.22. O eixo maciço é submetido aos carregamentos de tor­
ção distribuídos e concentrados mostrados na figura. De ter­
mine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de cisalha­
mento admissível para o material for r = 175 MPa.
actm
Problemas 5.20/21/22
Os eixos de aço estão interligados por um filete de
solda como mostra a figura. Determine a tensão de cisalha­
mento média na solda ao longo da seção a-a se o torque apli­
cado aos eixos for T = 60 N m. Observação: A seção crítica
onde a solda falha encontra-se ao longo da seção a-a.
5.23.
Problemas. 5.16/17
O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e
diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso à
parede em C e for submetido a um torque uniformemente
distribuído, como mostra a figura, determine a tensão de ci­
salhamento desenvolvida nos pontos A e B. Esses pontos se
encontram na superfície externa do tubo. Faça um rascunho
da tensão de cisalhamento sobre os elementos de volume lo­
calizados em A e B.
5.19. O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e
diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso
à parede em C e for submetido ao torque uniformemente
distribuído ao longo de todo o seu comprimento, determine
a tensão de cisalhamento máxima absoluta no tubo. Discuta
a validade desse resultado.
5.18.
· � 100mm
�25mm
y
1
oomm
C
60N·m
·
T=
fifi
a
Problema 5.23
*5.24. A haste tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 N/m.
Determine a tensão de torção máxima provocada na haste
pelo seu peso em uma seção localizada em A.
5.25. Resolva o Problema 5.24 para a tensão de torção má·
xima em B.
Problemas 5.18/19
O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujei­
to aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados
mostrados na figura. Determine a tensão de cisalhamento
nos pontos A e B e trace um rascunho da tensão de cisalha­
mento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
5.21. O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujeito
aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados
S,,
*5.20.
Problemas 5.24/25
TORÇÃO
geral de um eixo circular
Considere o problema
por m segmentos, cada um com raio Se h�u�er
eixo como mostra a figura, escreva um
. rcodtgo
w rq ue s no
a tenpara
determma
usado
ser
possa
que
al
.
1
.
C<)tnp n t, cion
po
es
1çao
que�
p�ciqua
em
a
maxtm
ento
ham
�
de cisal
do codtgo
ao longo do eixo. Mostre uma aphcaçao
SOnm1,L2 = 1 ,2 m, c2 = 25 mm,
os valores L1 = 0,,6 m,c1
T
O,
d1
m,
1.200 N .
2 -900 N · m, d2 = 1,5 m.
·
C111 •
'
-
,
a
x
=
.
1 37
5.29. O eixo tem diâmetro de 80 mm e, devido ao atrito
na superfície no interior do furo, está sujeito a um torque
variável descrito pela função t = (25xe'2) N mim, onde x é
dado em metros. Determine o torque mínimo T necessário
para vencer o atnto e fazer o eixo girar. Determine também
a tensão máxima absoluta no eixo.
·
.
o
=
=
(25x e-'2) N·m/m
Problema 5.26
O poste de madeira, o qual está enterrado no solo até
seu comprimento, é submetido a um momento
dt: torção de 50 N m que o faz girar a uma velocidade angu­
lar constante. Esse momento enfrenta a resistência de uma
tlistrilmiç·ão linear de Iorque desenvolvida pelo atrito com o
Problema 5.29
solo, que varia de zero no solo a t0 N mim na base do poste.
Determ i ne o valor de equilíbrio para t0 e, então, calcule a
5.30. O eixo maciço tem conicidade linear de rA em uma ex­
tensão de cisalhamento nos pontos A e B que se encontram
tremidade
e r8 na outra extremidade. Deduza uma equação
na superfície externa do poste.
que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma
localização x ao longo da linha central do eixo.
5.27.
a metade de
X
·
·
m
Problema 5.27
Uma mola cilíndrica é composta por um anel de bor­
a um anel e eixo rígidos. Mantendo o anel fixo e
um torque T ao eixo, determine a tensão de cisalhamen t o máxima na bor
racha.
'5.28.
rach a preso
aplicand o
PI"Oblema 5.28
Problema 5.30
Ao perfurar um poço à velocidade angular constante,
a extremidade inferior do tubo de perfuração encontra uma
resistência à torção TA . Além disso, o solo ao longo das la­
terais do tubo cria um torque de atrito distribuído ao longo
do comprimento do tubo, que varia uniformemente de zero
na superfície B a tA em A. Determine o torque mínimo T8
que deve ser transmitido pela unidade de acionamento para
se vencerem os torques de resistência e calcule a tensão de
cisalhamento máxima no tubo. O tubo tem raio externo ra e
raio interno rr
5.31.
1 38
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O eixo de transmissão de um tratar é feito de um tubo
de aço com tensão de cisalhamento admissível T d = 42 MPa
Se o diâmetro externo for 75 mm e o motor tran��itir 145 kW
ao eixo quando estiver girando a 1.250 rev/minuto, deter­
mine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.
5.37. O moto-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minu­
to. Se o diâmetro do eixo for 20 mm, determine a tensão de
cisalhamento máxima que será desenvolvida no eixo.
5.38. O moto-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/rni­
nuto. Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo
for Tactm = 56 MPa, determine, com aproximação de múltiplos
de 5 mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado,
*5.36.
JL
JlL
'lJl�
,ji�ü
A'
.� .�.·� TA
l t' i l l
ql
pi i ri
O eixo de transmissão AB de um automóvel é feito de
aço com tensão de cisalhamento admissível Tactm = 56 MPa. Se
o diâmetro externo do eixo for 62,5 mm e o motor transmitir
165 kW ao eixo quando estiver girando a 1.140 rev/minuto,
determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.
5.33. O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um
automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite
125 kW quando o eixo está girando a 1.500 rev/minuto. De­
termine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro
externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível
do material é Tactm = 50 MPa.
*5.32.
Problemas 5.37/38
O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 mm
está apoiado nos mancais lisos em D e E. O eixo está aco­
5.39.
O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W quan­
do gira a 300 rev/minuto. Se o eixo tiver diâmetro de 12 mm,
determine a tensão de cisalhamento máxima que será desen­
volvida no eixo.
5.35. O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W
quando gira a 80 rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento
admissível para o eixo for Tadm = 28 MPa, determine, com
aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do
eixo que pode ser usado.
5.34.
SA2
,: l ll
;t
Problema 5.31
Problemas 5.32/33
<)(
e
plado a um motor em C, que transmite 3 kW de potência
ao eixo quando está girando a 50 rev/s. Se as engrenagens A
e B absorverem 1 kW e 2 kW, respectivamente, determine
a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no
interior das regiões AB e BC. O eixo é livre para girar em
seus mancais de apoio D e E.
2 kW
5.4.1
C O II '
l i do
( pt
'
111 ú l
dl' (
3 kW
Um navio tem um eixo de transmissão da hélice que
gira a 1.500 rev/minuto quando está desenvolvendo 1.500 kW.
Se o eixo tiver 2,4 m de comprimento e 100 mm de diâmetro,
determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo causa·
da por torção.
5.41. O motor A desenvolve potência de 300 W e gira a ��­
lia acoplada a 90 rev/minuto. Determine os diâmetros extgt·
dos para os eixos de aço nas polias em A e B se a tensão de
cisalhamento admissível for Tactm = 85 MPa.
Problema 5.39
*5.40.
Problemas 5.34/35
s ..
TORÇÃO
Problema 5.41
motor transmite 400 kW ao eixo de aço AB, o qual
50 mm e diâmetro in­
tubular e tem diâmetro externo de�elocidade
angula.r c,om
menor
a
Determine
mm.
46
de
tc.rno
de cisalhamento admissivel
a qual ele pode girar se =a tensão
175 MPa.
para o material for T
o
adm
é importante quando analisamos as reações em eixos
estaticamente indeterminados.
Nesta seção, desenvolveremos uma fórmula para
determinar o ângulo de torção cp (fi) de uma extremi­
dade de um eixo em relação à sua outra extremidade.
Consideraremos que o eixo tem seção transversal cir­
cular que pode variar gradativamente ao longo de seu
comprimento (Figura 5.15a) e que o material é homo­
gêneo e se comporta de maneira linear elástica quan­
do o torque é aplicado. Como ocorreu no caso de uma
barra carregada axialmente, desprezaremos as defor­
mações localizadas que ocorrem nos pontos de aplica­
ção dos torques e em locais onde a seção transversal
muda abruptamente. Pelo princípio de Saint-Venant,
esses efeitos ocorrem no interior de pequenas regiões
do comprimento do eixo e, em geral, provocam apenas
um leve efeito no resultado final.
Usando o método das seções, isolamos do eixo um
disco diferencial de espessura dx localizado na posição
x (Figura 5.15b) . O torque interno resultante é repre­
sentado por T(x), visto que o carregamento externo
I
z
Problema 5.42
motor transmite 40 kW quando está girando a taxa
constante de 1.350 rpm em A. Esse carregamento é transmi­
tido ao eixo de aço BC do ventilador pelo sistema de correia
polia mostrado na figura. Determine, com aproximação de
múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro desse eixo se a tensão
de cisalhamento admissível para o aço for T
= 84 MPa.
5.43. O
adm
i
X
B
200 mm
(
a)
lOO mmi
A
Problema 5.43
5.4 Âng u l o d e to rção
Às vezes, o projeto de um eixo depende de restri­
à quantidade de rotação ou torção que pode ocor­
rer quando o eixo
é submetido a um torque. Além do
.
mats,
saber calcular o ângulo de torção para um eixo
1 39
(b)
Figura 5.15
1 40
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
pode acarretar variação no torque interno ao longo da
linha central do eixo. A ação de T(x) provocará uma tor­
ção no disco, de tal modo que a rotação relativa de uma
de suas faces em relação à outra será dcf> (Figura 5.15b) .
O resultado é que um elemento de material localizado
em um raio arbitrário p no interior do disco sofrerá uma
deformação por cisalhamento 'Y · Os valores de 'Y e dcp
são relacionados pela Equação 5.1, a saber,
dcp =
'Y
dx
p
(5.13)
Visto que a lei de Hooke ( r
G'}') se aplica e
que a tensão de cisalhamento pode ser expressa em
termos do torque aplicado pela fórmula da torção
r = T(x)p/J(x), então 'Y = T(x)p/J(x)G. Substituindo
essa expressão na Equação 5.13, o ângulo de torção
para o disco é
dcp =
T(x)
dx
J(x)G
Integrando em todo o comprimento L do eixo, ob­
temos o ângulo de torção para o eixo inteiro, a saber,
c/>
=
( LT(x) dx
lo J(x)G
(5.14)
Nessa expressão,
cf> = ângulo de torção de uma extremidade do
eixo em relação à outra extremidade, medi­
do em radianos
T(x) = torque interno na posição arbitrária x, de­
terminado pelo método das seções e pela
equação de equilíbrio de momento aplica­
da em torno da linha central do eixo
J(x) = momento polar de inércia do eixo expre sso
em função da posição x
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento do
. 1
matena
Torq ue e área d e seção tra n sversa l co n s.
tantes. Na prática da engenharia, normalmen te, 0
material é homogêneo, de modo que G é constan te
Além disso, a área da seção transversal do eixo e o tor�
que aplicado são constantes ao longo do comprimento
do eixo (Figura 5.16). Se for esse o caso, o torque inter.
no T(x) = T, o momento polar de inércia J(x) 1 e a
Equação 5.14 podem ser integrados, o que resulta
""
�
�
( 5.1 5)
As semelhanças entre estas duas equações e as equa­
ções para uma barra carregada axialmente (8 = JP(x)dx!
A(x)E e 8 = PLIAE) devem ser notadas.
Podemos usar a Equação 5.15 para determinar 0
módulo de elasticidade ao cisalhamento G do mate­
rial. Para tal, colocamos um corpo de prova de com­
primento e diâmetro conhecidos em uma máquina de
ensaio de torção como a mostrada na Figura 5.17. En­
tão, o torque aplicado T e o ângulo de torção cp são
medidos entre um comprimento de referência L. Pela
Equação 5.15, G = TL/Jcp. Em geral, para se obter um
valor mais confiável de G, realizam-se diversos desses
ensaios e utiliza-se o valor médio.
Se o eixo for submetido a vários torques diferentes
ou se a área da seção transversal ou o módulo de cisa­
lhamento mudar abruptamente de uma região do eixo
para a seguinte, a Equação 5.15 poderá ser aplicada
a cada segmento do eixo onde essas quantidades são
todas constantes. Então, o ângulo de torção de uma ex·
l ll ' l l
pela
lll l'fl
Cor
I fl,
(!<Iii I
d:tdc
q t r:d
li I !Iii
''ii() (
dt
fi i!{<',(
os
I ';
11:1 1 .
da
t'�f ;i
Mostrador
de carga
Seletor
de faixa
de carga
Registro da
deformação
por torque
\l' l
l
�
ex
d
'I Í d n
Í ll l c ll
cada
'ir(,'OC
l or q u
IIII! /r[(
r
larnht
() ( ' Í \ t
r/•
Unidade móvel
sobre trilhos
Figura 5.16
Figura 5.17
ToRÇÃO
)
,
(
r
[(+
(
'\0
X
+</>(x)
. .. �>
Se substituirmos os outros dados e encontrarmos uma
resposta positiva, significa que a extremidade A girará na
direção indicada pelos dedos da mão direita quando o
polegar estiver direcionado para fora do eixo (Figura
5.19a). A notação de índice duplo é usada para indicar
esse ângulo de torção relativo (cpAID); entretanto, se o ân­
gulo de torção tiver de ser determinado em relação a um
ponto fixo, será usado apenas um índice. Por exemplo, se
D estiver localizado em um apoio fixo, então o ângulo de
torção calculado será representado por cpA
•
-
Convenção de smal pos1t1vo
para Te q,.
Figura 5.18
tremidade do eixo em relação à outra é determinado
soma vetorial dos ângulos de torção de cada seg­
mento. Para esse caso,
cp
=
TL
2:.­
JG
+x
(a)
(5.16)
5.16, temos de desenvolver uma convenção de sinal
Convenção de sina l .
Para aplicar a Equação
para o torque interno e para o ângulo de torção de
uma extremidade do eixo em relação à outra extremi­
dade. Para tal, usaremos a regra da mão direita, pela
qual o torque e o ângulo serão positivos desde que o
polegar esteja direcionado para fora do eixo quando
os
dedos o envolverem para dar a tendência da rota(Figura 5.18).
Para ilustrar a utilização dessa convenção de si­
nal, considere o eixo mostrado na Figura 5.19a, que
está submetido a quatro torques. O ângulo de torção
da extremidade A em relação à extremidade D deve
ser determinado. Para este problema, devemos con­
siderar três segmentos do eixo, visto que o torque
interno muda em B e C. Os torques internos para
cada segmento são determinados pelo método das
seções (Figura 5.19b ). Pela regra da mão direita, com
torq ues positivos direcionados para longe da extre­
midade secionada do eixo' temos TAB = + 80 N · m '
Tlic = -70 N · m e TCD = - 10 N · m. Esses resultados
também são mostrados no diagrama de torque para
o eixo (Figur a 5.19c) . Pela Equação 5.16, temos
cpA
m _
+
(+80 N · m) LAB ( -70 N · m) L sc
+
JG
JG
( - 10 N · m) L cD
JG
1 41
SO N·m
lO N · m
TcD = lO N·m
(b)
T (N·m)
80
(c)
Figura 5.19
1 42
y
/ii(
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
�
�Gi>�ffi(l§)S IM�mRm��mms
-
1lJ
0 ""
"'
" O âpgulo de torção é determin&do pela rela,ç�o entre o torque aplicado e a ten�.ão de.cisalhamet�J9 d!ldlof,��!}).fó:tn:J.ula
da torção r = Tp/1, e pela relação entre.a .rot ção relativa e a deformação por cisalhamen��. dad�p�l�equação d<P y
dx/p, Por .fifn, essas equações são combinadas pela lei de Hooke, r = Gy; oqu� dá comp rest.tltâdo a Bqu�ção 5.14.
•. Visto que a leide Hool}e � usada no desenvolvin:�ento da fórmula para o ângulo de Jorção,é imJlortante que os tor·
ques aplicados nãoprovoquem escoamento do material e que o materialsej!lp�mogêneo e �e·. co111p(;)r�� de maneira
.linear elástica.
,
a
.""
O ângulo de torção de uma extremidade de um eixo ou tubo em relação à outra extremidade pode ser determina­
do pela aplicação das equações 5.14 a 5.16.
Torque interno .
torque interno é determinado em um ponto sobre a linha central do eixo pelo método das seções e pela equação
de equilíbrio de momento aplicada ao longo da linha central do eixo.
• Se o torque variar ao longo do comprimento do eixo, deve-se fazer um corte ( seção) na posição arbitrária x ao longo
do eixo, e o torque é representado como função de isto é, T(x).
• Se vários torques externos constantes agirem sobre o eixo entre suas extremidades, deve-se determinar, então, o
torque interno em cada segmento do eixo, entre quaisquer dois torques externos. Os resultados podem ser represen­
tados como um diagrama de torque.
• O
x,
Ângulo de torção.
Quando a área da seção transversal circular variar ao longo da linha central do eixo, o momento polar de inércia
deve ser expresso em função de sua posição ao longo do eixo, J(x) .
• Se o momento polar de inércia ou o torque interno mudarem repentinamente entre as extremidades do eixo, então <P =
(T(x)IJ(x) G) dx ou <P = TUJG deve ser aplicada a cada segmento para o qual!, G e Tsão contínuos ou constantes.
• Ao determinar o torque interno em cada segmento, não se esqueça de utilizar uma convenção de sinal consistente,
tal como a que discutimos na Figura 5.18.Além disso, não se esqueça de usar um conjunto consistente de unidades
quando substituir dados numéricos nas equações.
•
x
, e�EIMmlll (l§)Jt��
'
Esses resultados também são mostrados no diagrama de tor­
que (Figura 5.20c).
As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo Ângulo de torção. O momento polar de inércia para o
de aço estão sujeitas aos torques mostrados na Figura 5.20a. eixo é
Se o módulo de elasticidade ao cisalhamento for 80 GPa e
o eixo tiver diâmetro de 14 mm, determine o deslocamento
do dente P da engrenagem A. O eixo gira livremente den­
tro do mancai em B.
Aplicando a Equação 5.16 a cada segmento e fazendo a soma
algébrica dos resultados, temos
SOLUÇÃO
Torque interno. Examinando a figura, vemos que os tor­
(+150 N · m)(0,4 m)
TL
ques nos segmentos AC, CD e DE são diferentes, porém
tPA = 2,: JG = 3,77( 10-9 ) m4 [80(109 ) N/m2]
constantes em cada segmento. A Figura 5.20b mostra diagra­
mas de corpo livre de segmentos adequados do eixo junta­
(-130 N · m)(0,3 m)
+ --:___
--- 4--,- [80(10
_:__:_-::-___;_--;;
_
mente com os torques internos calculados. Pela regra da mão
9 ) -9 ) N/m2�)]
3,77(10---,m
direita e pela convenção de sinal estabelecida, a qual afirma
que a direção de um torque positivo se afasta da extremida­
de secionada do eixo, temos
(-170 N · m)(0,5 m)
d
+ 3,77(109) m4 [80(109) N/m2 )] = - 0 '212 ra
TA = + 150 N m T = -130 N m T = -170 N m
�
·
.
=
.
�
_
c
·
cD
·
DE
·
ToRÇÃO
1 43
Visto que a resposta é negativa, pela regra da mão direita, o
polegar está orientado na direção da extremidade E do eixo
e, portanto, a engrenagem A girará conforme mostra a Figu­
ra 5.20d.
O deslocamento do dente P na engrenagem A é
SP
= cpAr =
(0,212 rad)(100 mm) = 21,2 mm
Resposta
Lembre-se de que essa análise só é válida
se a tensão de cisalhamento não ultrapassar o limite de pro­
porcionalidade do material.
OBSERVAÇÃO:
'"
�
o;;
Tcv = 130 N·m
� ="
=
=
"'
d�BME!m� �IS.�� :"
� '"'
R
Os dois eixos maciços de aço mostrados na Figura 5.21a
estão interligados por meio das engrenagens engrenadas.
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo
AB quando é aplicado o torque T = 45 N · m. Considere
G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos man­
cais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem
diâmetro de 20 mm.
TvE = 170 N·m
(a)
(b)
T (N·m)
150
1
I
4 -- 0 ,�
0 ,�
o r-----4�
�7
-130
, 2 x ( m)
�1�
__
__
__
-17Ó 1
(c)
SOLUÇÃO
As figuras 5.21b e 5.21c mostram diagra­
mas de corpo livre para cada eixo. A soma dos momentos
ao longo da linha central x do eixo AB produz a reação tan­
gencial entre as engrenagens F = 45 N · m/0,15 m = 300 N.
Então, somando-se os momentos em torno da linha central x
do eixo DC, essa força cria um torque (Tv)x = 300 N (0,075 m) =
22,5 N · m no eixo DC.
Torque interno.
+x
Figul'a 5.20
1 44
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Para resolver o problema, em primeiro
lugar, calcularemos a rotação da engrenagem C devido ao
torque de 22,5 N m no eixo DC (Figura 5.21b). Esse ângulo
de torção é
( +22,5 N · m)(1,5 m)
TLnc =
<Pc = -JG
(1T/2)(0,010 m)4[80(109 ) N/m2] = +0'0269 rad
Ângulo de torção.
Visto que as engrenagens na extremidade do eixo estão
engrenadas, a rotação <Pc da engrenagem C provoca a rota­
ção cp8 da engrenagem B (Figura 5.21c), onde
cp8 (0,15 m) = (0,0269 rad)(0,075 m)
cp8 = 0,0134 rad
Agora, determinaremos o ângulo de torção da extremidade
A em relação à extremidade B do eixo AB causada pelo tor­
que de 45 N · m (Figura 5.21c). Temos
'+'A(B .i.
-
TABLAB ­
JG
!W(jl
nlli l<
N
·
Âng J
P'
dn pt
\t'p, ! l l
c t � 600 1mm
�
(a)
c
A150mm
k!ll(l
150mm
�
lOO N
TAzi :
,•'
(b)
Portanto, a rotação da extremidade A é determinada
pela soma de <P8 e <PAIB' visto que ambos os ângulos estão na
mesma direção (Figura 5.21c). Temos
<PA = </J8 + <PAIB = 0,0134 rad + 0,0716 rad = +0,0850 rad
1
Resposta
()
lll: J i n
!�Ido d
IOI ( j l l\
900 mm
li���ebll1li1 s.�
J?'
0
""
0
O poste maciço de ferro fundido com 50 mm de diâ­
metro mostrado na Figura 5.22a está enterrado no solo até
600 mm de seu comprimento total. Se for aplicado um tor­
que em sua parte superior com uma chave de torque rígida,
determine a tensão de cisalhamento máxima no poste e o
ângulo de torção na parte superior. Considere que o torque
estaria prestes a girar o poste e que o solo exerce uma resis­
tência uniforme à torção t N mm/mm ao longo dos 600 mm
de comprimento que estão enterrados. G = 40(103) MPa.
·
SOLUÇÃO
O torque interno no segmento AB do poste é
constante. Pelo diagrama de corpo livre (Figura 5.22b), temos
"i,M, = O; TAs = 100 N(300 mm) = 30 X 103 N · mm
O valor da distribuição uniforme do torque ao longo do seg­
mento BC que está enterrado pode ser determinada pelo
equilíbrio do poste inteiro (Figura 5.22c).Aqui,
"i,Mz = O
100 N(300 mm) - t(600 mm) = O
t = SO N · m
Torque interno.
'" u��c
~
SO! l J (
Torq u o
cor po
ld
Ângul•
:ro l
(c)
pit'\\ii
podl' \i
ll:t! 1 1 \ ; r
t = 50 N·mmjmm
(d)
Figura 5.22
Por consequência, pelo diagrama de corpo livre de uma
ção do poste localizada na posição x no interior da região BC
(Figura 5.22d), temos
se­
T8c - SOx = O
T8c = SOx
A maior tensão de ci­
salhamento ocorre na região AB, visto que o torque é maior
Tensão de cisalhamento máxima.
I
'.\
ToRÇÃo
1 45
lugar e ] é constante para o poste. Aplicando a fór­
da torção, temos
!.AJ{_ 30 X 103 N · mm (25 mm) = 1,22 N ;mm2
(1T/2)(25 mm)4
J
_
=
Resposta
"' n u lo de torção.
A
g s
uo po . t e
O ângulo de torção na parte superior
em relação à. parte inferior
determinado
pode ser
' prestes a gtrar. Ambos os
esta
mas
fixa,
é
ela
que
do p os te, já
AB e BC sofrem torção e, portanto, nesse caso,
f LBc TBC
temos
TAB LAB
o
+
.JG
( a)
dx
JG
(30 X 103 N·mm)(900 mm)
6
JG
27 X 10 N·mm2
+
y
+
f 600
Jo
50x dx
JG
50[(600)2 /2] N·mm2
2 --;:;- = 0,00147 rad
30 X --:106
- N·mm
----::3
4
(11'/2)(25 mm) 40(10 ) N·mm2
JG
---=-=--
-
JG
--
Resposta
li�IMIIi!il !M�CiJ
0
�
(b)
"
�
eixo cônico mostrado na Figura 5.23a é feito de um
com módulo de cisalhamento G. Determine o ân­
de torção de sua extremidade B quando submetido ao
O
material
ltJrq ue.
SOLUÇÃO
Examinando a figura ou o diagrama de
corpo livre da seç�io localizada na posição arbitrária x (Figu­
ra 5.23b) , o Iorque interno é T.
Angulo de torção. Aqui, o momento polar de inércia va­
ria ao longo da linha central do eixo e, portanto, devemos
pressá-lo em termos da coordenada x. O raio c do eixo emex­x
ser determinado em termos de x por cálculo proporcio­
nal usando a inclinação da reta AB na
Figura 5.23c. Temos
forque interno,
L
IC
e·
em x,
Aplica ndo
] ( X)
(
c2 -c1c = c2 - x L
X
[ ( c2 - c1 )]4
= z c2 11'
)
X
a Equação 5.14, temos
-L
--
(c)
Figura 5.23
Executando-se a integração por meio de uma tabela de
integrais, o resultado torna-se
1 46 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Rearranjando os termos, obtemos
O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD
e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que
permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, pre.
Resposta sas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques de
85 N m, determine o ângulo de torção da engrenagem A
em relação à engrenagem D. Os tubos têm diâmetro ex ter.
Para fazer uma verificação parcial deste resultado, observe no de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça
que, quando
então,
tem diâmetro de 40 mm.
5.47.
·
c
1
= c
2
= c,
TL
JG
que é a Equação 5.15.
5,50
H<) L
I klr
As hélices de um navio estão acopladas a um eixo ma­
ciço de açoA-36 com 60 m de comprimento, diâmetro externo
de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm Se a potência de
saída for 4,5 MW quando o eixo gira a 20 rad/s, determine a
tensão de torção máxima no eixo e seu ângulo de torção.
5.45. Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efeti­
Problema 5.47
vidade da utilização do tubo mostrado na figura com a de uma
seção maciça de raio Para isso, calcule o aumento percentual '5.48. O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD
na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de com­ e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que
primento para o tubo em comparação com o da seção maciça. permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, presas às
extremidades do eixo, forem submetidas a torques de 85 N m,
determine o ângulo de torção da extremidade B da seção
maciça em relação à extremidade C. Os tubos têm diâmetro
externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A seção
maciça tem diâmetro de 40 mm.
*5.44.
.
c.
·
�.5 1 .
do i l ( l!
n I rc r
Problema 5.45
O eixo de transmissão tubular para a hélice de um ae­
rodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor transmitir
4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s,
determine o diâmetro interno exigido para o eixo, conside­
rando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo
de torção do eixo quando ele está em operação? Considere
90 MPa e G 75 GPa.
Tadm
5.46.
=
=
Problema 5.48
O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 e tent
30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em
linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kWr·e
provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro exte
no do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 �:·8
determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolVI
no eixo. Determine também o ângulo de torção no eL�o
potência total.
5.49.
Problema 5.46
ToRÇÃO
1 47
F
Problema 5.49
engrenagens acopladas
As extremidades estriadas e aos
torques mostrados.
Problema 5.52
sujeitas
;� ;i o de aço A-36deestão
em
C
relação
m
engrenage
da
torção
0 ângulo
5.53. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é
engrenagem D. O eixo tem diâmetro de 40 mm.
transmitida às engrenagens de tal modo que C recebe 70% e
D recebe 30%. Se a rotação do eixo de aço A-36 de 100 mm
300 N· m 500 N ·m
de diâmetro for w = SOO rev/minuto, determine a tensão de
cisalhamento máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção
da extremidade E do eixo em relação a B. O mancai em E
permite que o eixo gire livremente em torno de seu eixo.
11 !10
x
Problema 5.50
eixo de aço A-36 de 20 mm de diâmetro é submeti­
torques mostrados. Determine o ângulo de torção da
extremidade B.
!1.51. O
do aos
�
30 ·
I
80
�m
� �O mm
20 N ", �
�
800 mm
m
Problema 5.53
A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é
transmitida às engrenagens de tal modo que C e D recebem
quantidades iguais. Se a rotação do eixo de aço A-36 de 100
mm de diâmetro for w = 500 rev/minuto, determine a tensão
de cisalhamento máxima absoluta no eixo e a rotação da ex­
tremidade B do eixo em relação a E. O mancai em C permite
que o eixo gire livremente em torno de seu eixo.
5.54.
Problema 5.51
O parafu
de aço A-36 com 8 mm de diâmetro está
par� fusado firmesomente
em A. Determine as forças
l:Ol1J Ugadas F que devemaoserbloco
aplicadas
à chave de torque de
modo que a tensão de
cisalhamento
máxima
no parafuso seja
IR MPa . Calcule
também o deslocamento correspondente
cada força F n
ano para causar essa tensao. Consideque a chave deecess
torque seja rígida.
,
.
_
.
Problema 5.54
1 48
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
5.55. O motor transmite 33 kW ao eixo de aço inoxidá­
vel 304 quando gira a 20 Hz. O eixo é apoiado em mancais
lisos em A e B, que permitem a livre rotação do eixo. As
engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 20 kW e 12 kW,
respectivamente. Determine o diâmetro do eixo com apro­
ximação de mm se a tensão de cisalhamento admissível for
56 MPa e o ângulo de torção admissível de C em
Tactm
relação a D for 0,20°.
*5.56. O motor transmite 33 kW ao eixo de aço inoxidável
304 quando gira a 20 Hz. O eixo tem diâmetro de 37,5 mm
e está apoiado em mancais lisos em A e B, que permitem a
livre rotação do eixo. As engrenagens C e D presas ao eixo
absorvem 20 kW e 12 kW, respectivamente. Determine a ten­
são máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção da engre­
nagem C em relação à engrenagem D.
:;.62.
i,' t:"ti
,·c n l r
C !í
=
Considere o problema geral de um eixo circular com.
posto por m segmentos, cada qual com raio cm e módulo de
cisalhamento G " . Se houver n torques no eixo, como mostra
a figura, escrev� um código computacional que possa ser usa.
do para determinar o ângulo de torção de sua extremidade A.
Mostre uma aplicação do código usando os valores L1 O,S m,
= 0,02 m, G1 = 30 GPa, L2
1,5 m, c2 0,05 m, G2 = 15 GPa,
T1 = -450 N m, d1 0,25 m, T2 600 N m, d2 0,8 m.
Problemas 5.58/59
*5.60.
==
c1
Problemas 5.55/56
·
=
=
=
=
·
=
�. I.J.
l i <' I I I Í
l'lll'OI
�ulo a
dt· I O I
' ' l P< ' I
dt'Vt' !
I ilho.
J l l' I I I Í I
l'lll
I t'
l íl
O motor produz um torque T 20 N m na engrena­
gem A. Se a engrenagem C travar repentinamente e parar
de girar, mas B puder girar livremente, determine o ângulo
de torção de F em relação a E e de F em relação a D do
eixo de aço L2 cujo diâmetro interno é 30 mm e diâmetro
externo é 50 mm. Calcule também a tensão de cisalhamento
máxima absoluta no eixo. O eixo está apoiado em mancais
em G e H.
5.57.
=
·
Problema 5.60
5.61. Os eixos de 30 mm de diâmetro são feitos de aço-l'cr·
ramenta L2 e estão apoiados em mancais que permitem aos
eixos girarem livremente. Se o motor em A desenvolver um
torque T 45 N m no eixo AB, enquanto a turbina em E tl
fixa e não pode girar, determine a quantidade de rotação das
engrenagens B e C.
=
·
I I I II
.<nt:ulo
(' (
Problema 5.57
5.58. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem
diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em
A, B e C que permitem livre rotação. Se o apoio em D for
fixo, determine o ângulo de torção da extremidade B quando
os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura.
5.59. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem
diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em
A, B e C que permitem livre rotação. Se o apoio em D for
fixo, determine o ângulo de torção da extremidade A quando
os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura.
Problema 5.61
TORÇÃO
1 49
5.65. O dispositivo serve como uma mola de torção com­
pacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno
maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo
por um anel rígido em B. Podemos considerar que o anel em
A também é rígido e está preso de modo que não pode girar.
Se um torque T = 0,25 N · m for aplicado ao eixo, determine
o ângulo de torção na extremidade C e a tensão de cisalha­
mento máxima no tubo e eixo.
5.66. O dispositivo serve como uma mola de torção com­
pacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno
O,S m
maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo
0,6 m�A
por um anel rígido em B. Podemos considerar que o anel em
A também é rígido e está preso de modo que não pode girar.
Se a tensão de cisalhamento admissível para o material for
P1·oblema 5.62
Tadm = 84 MPa e o ângulo de torção em C estiver limitado a
Quando um poço é perfurado, considera-se que a ex­ cf>adm = 3°, determine o torque máximo T que pode ser apli­
que se aprofunda no solo cado na extremidade C.
rr.:mttlaot c do tubo da perfuratriz
Além disso, o atrito do
TA.
torção
à
resistência
litncontra uma
uma distribuição linear
cria
tubo
do
laterais
das
longo
!IOIO ao
torque por unidade de comprimento que varia de zero na
B a t0 em A. Determine o torque necessário TB que
pela unidade de acionamento para girar o
fornecido
deve ser
tubo. Calcule também o ângulo de torção relativo de uma ex­
trernid ;:tclc elo tubo em relação à outra extremidade no instan­
cm que o tubo está prestes a girar. O tubo tem raio externo
raio interno rr O módulo de cisalhamento é G.
zs �
'
-
\
�..
�•M'"''"
Problemas 5.65/66
5.67. O eixo tem raio c e está sujeito a um torque por uni­
dade de comprimento t0 distribuído uniformemente por todo
o comprimento L do eixo. Se ele estiver preso em sua ex­
tremidade distante A, determine o ângulo de torção cf> na
extremidade B. O módulo de cisalhamento é G.
Problema 5.63
conjunto é feito de aço A-36 e é composto por uma
maciça de 15 mm de diâmetro conectada ao interior
um tu bo por meio de um disco rígido em B. Determine o
de torçiio em A. O tubo tem diâmetro externo de 30
mm espessura de parede
de 3 mm.
O
c
Problema 5.67
*5.68. O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um
furo ele modo que o torque de reação na haste AB pode ser
expresso pela equação t = (kx2) N mim, onde x é dado em
metros. Se um torque T 50 N · m for aplicado à cabeça do
parafuso, determine a constante k e a quantidade de torção
nos 50 mm de comprimento da haste. Considere que a haste
tem um raio constante de 4 mm.
5.69. Resolva o Problema 5.68 se o torque distribuído for
t
(kx213) N mim.
·
=
Problema 5.64
=
·
1 50
R ESISTtNCIA DOS MATERIAIS
racha é G. Dica: Como mostrado na figura, a deform ação d
elemento no raio r pode ser determinada por rd() = dry. Us�
essa expressão juntamente com T= T/(27rr2h) do Problema
5.28 para obter o resultado.
t'fl ( f
( 'pll
I ,
(I' i L', I
(;10 !
= 50 N·m
Problemas 5.68/69
O contorno da superfície do eixo é definido pela equa­
ção y = e'", onde a é uma constante. Se o eixo for submetido
a um torque T em suas extremidades, determine o ângulo
de torção na extremidade A em relação à extremidade B. O
módulo de cisalhamento é G.
5.70.
5 .5
B
com torq u e
Problema 5.70
5.71. O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e está
sujeito aos carregamentos distribuídos e concentrados mos­
trados. Determine a tensão de cisalhamento máxima absolu­
ta no eixo e construa um gráfico para o ângulo de torção do
eixo em radianos em relação a x.
A
0,5 m
'
11 - .
-
0,5 m
Problema 5.71
�
B
Uma mola cilíndrica é composta por um anel de bor­
racha preso a um anel e eixo rígidos. Se o anel for mantido
fixo e um torque T for aplicado ao eixo rígido, determine o
ângulo de torção do eixo. O módulo de cisalhamento da bor*5,72.
E l e mentos estati ca m ente
i n d eterm i n a d os ca r regados
T
�/�
Problema 5.72
Um eixo carregado com torque pode ser classifi­
cado como estaticamente indeterminado se a equ ação
de equilíbrio de momento aplicada em torno da linha
central do eixo não for adequada para determinar os
torques desconhecidos que agem no eixo. Um exem­
plo dessa situação é mostrado na Figura 5.24a. Como
mostra o diagrama de corpo livre (Figura 5.24b), os
torques de reação nos apoios A e B são desconhecidos.
Exige-se que
OI
III<' Ii L I
O li /, /1(
dos
Pa
l'<ll
Fx
T - TA - TE = O
Visto que há somente uma equação de equil íbrio
relevante, porém duas incógnitas, esse problema é es ta·
ticamente indeterminado. Para obter uma solução, utili·
zaremos o método de análise discutido na Seção 4.4.
A condição de compatibilidade necessária, ou a
condição cinemática, exige que o ângulo de torção
de uma extremidade do eixo em relação à outra ex·
tremidade seja igual a zero, visto que os apoios nas
extremidades são fixos. Portanto,
cpAIB = 0
Para escrever essa equação em termos dos torques
desconhecidos, consideraremos que o material se co�·
porta de maneira linear elástica, de modo que a rel aç.a o
•
dc1
He�
III <;
() l' Í ;
TORÇÃO
151
por cp = TLIJG.
.
Carga e deslocamento é expressa
no
AC
mterno
torque
o
que
sabemos
. segmento
e
torque
o
TB
CB
mterno
'
segmento
que no
de
em
ques­
compatibilida
de
quação
(Fi g:ra 5.24c) , a �
nta como
tão po de ser esc
ent re
.
0
Com
+T e
-
Aqui, consideramos que JG é constante.
Resolvendo as duas equações para as reações e
os
per ce b endo que L = LAc + Lnc' obtem
e
Observe que cada um desses torques de reação au­
me nta ou diminui linearmente com a localização LAc
ou LBc do torque aplicado.
(c)
Figura 5.24
Os torques desconhecidos em eixos estaticamente indeterminados são determinados por meio do cumprimento
requisitos de equilíbrio, compa tibilida de e relação torque-deslocamento para o eixo.
um diagrama de corpo livre do eixo para identificar todos os torques que agem sobre ele. Então, escreva as
de equilíbrio de momento em torno da linha central do eixo.
Plira escre
ver a equação de compatibilidade, investigue o modo como o eixo sofrerá torção quando submetido às
externas e considere como os apoios restringem o eixo quando ele sofre a torção.
l"'.v:nr�>cc<> a condição de compatibilidade em t ermos dos deslocamentos rotacionais causados pelos torques de reação
, use uma relação torque-deslocamento, como <{> = TL/JG, para relacionar os torques desconhecidos com os
desconhecidos.
as equações de equihbrio e compatibilidade para os torques de reação desconhecidos. Se qualquer dos valores nu­
for negativo, isso indica que o torque age no sentido oposto ao da direção indicada no diagrama de corpo livre.
-T8 + 800 N · m 500 N · m TA = O (1)
eixo maciço de aço mostrado na Figura 5.25a tem
de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, de­ Compatibilidade. Visto que as extremidades do eixo são
as reações nos apoios fixos A e B.
fixas, o ângulo de torção de uma extremidade do eixo em
relação à outra deve ser zero. Por consequência, a equação
SOLUÇÃO
de compatibilidade pode ser escrita como
Examina o diagrama de corpo livre (Figura
cpA/8 = 0
percebemos quendoo problema
estaticam
é
indeterm
ente
i­
que há somente uma
equação de equihbrio disponível, Essa condição pode ser expressa em termos dos torques des­
que os valores de T e
conhecidos pela relação carga-deslocamento, cp = TLIJG.
A T8 são desconhecidos. Exige-se
O
-
1 52
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
m�e�ml!i� StR 2" "
"" ����'"'VW'>fí: TIS :��E:VVz'W';qg<»K12G
A
C'/
0!
O eixo mostrado na Figura 5.26a é composto por um
tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de
T = 250 N m for aplicado em sua extremidade, faça uma
representação gráfica da distribuição da tensão de cisalha.
mento ao longo da linha radial de sua área de seção trans.
versai. Considere Gaço 80 GPa, G1,r = 36 GPa.
A pi
·
B
=
( a)
I ·:ssc�
lll'llh
X
da l i n
20 mm A
T = 250 N·m
(b)
l i ! Uto
ele cs
!'ara
IH'SS(I
X
(c)
(b)
250 N·m
20,60 MPa
Figura 5.25
0,1286( 10-3) rad
Aqui, há três regiões do eixo nas quais o torque interno é cons­
tante, BC, CD e DA. Nos diagramas de corpo livre na Figura
5.25c, mostramos os torques internos que agem em segmentos
do eixo por meio de cortes em cada uma dessas regiões. Pela
convenção de sinal estabelecida na Seção 5.4, temos
-T8(0,2 m)
JG
+
(TA + 500 N m)(1,5 m)
·
JG
+
TA(0,3 m)
JG
=O
(' i i
( Js rcs
Distribuição da tensão
de cisalhamento
(c)
Ohsn'
Distribuição da deformção
por cisalhamento
(d )
l r·rLtcc
11 1 úd u lr
que o
vis;t l h a
ou
SOLUÇÃO
1,8TA - 0,2T8 = -750
Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos
Equilíbrio. A Figura 5.26b apresenta um diagrama de
po livre do eixo. A reação na parede é representada pelas
quantidades desconhecidas de torque às quais resistem
aço, Taço' e o latão, T1 . O equilíbrio exige
Resposta
lt' l l
l'máx
Figura 5.26
(2)
r
I
OBSER
co r·
0
,t
- Taço - Tlnt + 250 N m = O
·
( l)
O sinal negativo indica que TA age na direção oposta da mos­ Compatibilidade. Exige-se que o ângulo de torção na.eX·
trada na Figura 5.25b.
tremidade A seja o mesmo para o aço e para o latão, V1510
que eles estão unidos. Assim,
lllt' 11 t o
. Ma is
p a r;
l e i de 1
11111
rnaç;io
ToRÇÃO
.
nd o a relação carga-deslocamento, f/1 = TL/JG, temos
Aphca
1 53
5.73. O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e está
preso nas extremidades A e B. Se for submetido ao momen­
to, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões
AC e CB do eixo.
1!at L
(2)
33,33Tiat
Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos
Taço = 242,72 N m
T1., = 7,28 N m
Esses torques agem em todo o comprimento do .ei�o, visto que
pontos. intermed1ános ao longo
nc nhum torque externo age em
da linha central do eixo. A tensão de c1salhamento no nuc, 1eo de
latão varia de zero em seu centro a máxima na interface onde
ele está em contato com o tubo de aço. Pela fórmula da torção,
7,28 N mm · (103) mm/m 10 mm
(7T/2)(10 mm)4
4,63 N/mm2 = 4,63 MPa
Para o aço, a tensão de cisalhamento mínima também ocorre
nessa interface
Taça =
·
·
·
·
=
(r,";<)mfn
c
Pt•oblema 5.73
O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de
37,5 mm e espessura de 0,3 mm. A conexão C está sendo
apertada com uma chave de torque. Se o torque desenvolvi­
do em A for 16 N m, determine o valor F das forças conju­
gadas. O tubo está engastado na extremidade B.
5.75. O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 37,5
mm e espessura de 0,3 mm. A conexão em C está sendo apertada
com urna chave de torque. Se for aplicada uma força F = 100 N,
determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo.
5.74.
·
242,72 N mm 103 mm/m 10 mm
(7T/2)[(20 mm)4 - (10 mm)4 ]
= 10,30 N/mm2 = 10,30 MPa
·
=
·
·
)''Ir'· >-,.-,.
a tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície externa,
242,72 N mm 103 mm/ m 20 mm
(7T/2)[(20 mm)4 - (10 mm)4 ]
20,60 N/mm2 = 20,60 MPa
Os resultados são apresentados no gráfico da Figura 5.26c.
Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na in­
tcr[ace latão-aço. Isso era esperado, já que os materiais têm
módulos de rigidez diferentes; isto é, o aço é mais rígido do
que latão ( Ga
G1at) e, portanto, suporta mais tensão de
t:!salhamento naçointerfac
e.
OBSERVAÇÃO: Embora, neste caso, a tensão de cisalha­
lll ento seja descontínua , a deformaç
ão por cisalhamento não
Mais exatamente, a deformação por
cisalhamento é a mes­
m� para ambos, latão e aço, o que pode ser demonstrado pela
lcJ de Hooke, y
r/G. Na interface (Figura 5.26d), a defor­
por cisalhamento é
(raço)IThix =
·
=
•
o
>
·
·
'·
B
..,
Problemas 5.74/75
,.
'J;
O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC,
com diâmetro de 12 mm e CB, com diâmetro de 25 mm. Se
estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a
um torque de 750 N m, determine a tensão de cisalhamento
máxima no eixo. Gaço = 75 GPa.
*5.76.
·
A
=
Problema 5.76
1 54
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
*5.80. Os dois eixos de 1 m de comprimento são feitos de
5.77. O eixo é feito de aço-ferramenta L2, tem diâmetro de
40 mm e está preso em suas extremidades A e B. Se for sub­ alumínio 2014-T6. Cada eixo tem diâmetro de 30 mm e os
metido ao conjugado, determine a tensão de cisalhamento dois estão acoplados pelas engrenagens presas a uma das
extremidades de cada um deles. As outras extremidades de
máxima nas regiões AC e CB.
cada um dos eixos estão engastadas em apoios fixos em A
e B. Além disso, os eixos estão apoiados em mancais em c
e D, que permitem que eles girem livremente ao longo de
suas linhas centrais. Se um torque de 900 N m for aplicado
à engrenagem que está mais acima, como mostra a figura
determine a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo
2kN
·
'
600m�
Problema
l l/1Í I.H
'SJiq
t'
5.77
O eixo composto tem uma seção média que inclui o
eixo maciço de 20 mm de diâmetro e um tubo soldado a flan­
ges rígidas em A e B. Despreze a espessura das flanges e
determine o ângulo de torção da extremidade C do eixo em
relação à extremidade D . O eixo é submetido a um torque de
800 N m. O material é aço A-36.
5.78.
·
Problema
5.80
5.81. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada eixo tem
diâmetro de 25 mm e dois estão acoplados pelas engre·
nagens presas a uma das extremidades de cada um deles. As
outras extremidades de cada um dos eixos estão en gastada
em apoios fixos em A e B. Além disso, os eixos estão apoia·
dos em mancais em C e D, que permitem que eles girem li·
vremente ao longo de suas linhas centrais. Se for aplicado
um torque de 500 N m à engrenagem em E, como mostra a
figura, determine as reações em A e B.
5.82. Determine a rotação da engrenagem em E no Pro·
blema 5.81.
os
s
Problema
·
5.78
O eixo é composto por uma seção maciça de aço AB
e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão. Se o
eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um tor­
que T 50 N m a ele em C, determine o ângulo de torção
que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima
e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
Considere Gaço 80 GPa, G1., 40 GPa.
5.79.
=
F�
"'�\
50 mm
lOOmm �'
·
=
=
5.81182
O eixo de aço A-36 é composto por dois segmentont·:
AC, com diâmetro de 10 mm e CB, com diâmetro de 20 mfor
Se o eixo estiver engastado em suas extremidades A e B e
submetido a um torque distribuído uniforme de 300 N mimto
ao longo do segmento CB, determine a tensão de cisalhamen
máxima absoluta no eixo.
s
5.83.
c
Problema
·
5.79
nos ;
5.H6.
111 1 1 1 ,
111\' 1 1 1
Y
----%
..
l,S m
��
Problemas
20mm
�
75 m
O
�·
m
B.
!íl':.lHllS.'l
ti ver
TORÇÃO
1 55
B
A
Problema 5.87
Problema 5.83
o eixo cônico está confinado pelos apoios fixos em A
*5 . 6
Se for aplicado um torque T em seu ponto médio, determine as reações nos apoios.
•5 .84.
B.
c
Problema 5.84
Uma porção do eixo de aço A-36 é submetida a um
carregamento de torção distribuído linearmente. Se o eixo
tiver as dimensões mostradas na figura, determine as reações
nos apoios fixos A e C. O segmento AB tem diâmetro de 30
mm, e o segmento BC tem diâmetro de 15 mm.
5.86, Determine a rotação da junção B e a tensão de cisalha­
mento máxima absoluta no eixo do Problema 5.85.
5.85.
Problemas 5.85/86
O eixo de raio c é submetido a um torque distribuído
medido como torque/com
do eixo. Determine as
reações nos apoios fixos A eprimento
B.
S.87,
t,
Eixos maciços n ã o
circ u l a res
Na Seção 5.1, demonstramos que, quando um tor­
que é aplicado a um eixo de seção transversal circu­
lar - isto é, um eixo simétrico em relação à sua linha
central - as deformações por cisalhamento variam
linearmente de zero na linha central a máxima na su­
perfície externa. Além disso, devido à uniformidade da
deformação por cisalhamento em todos os pontos de
mesmo raio, a seção transversal não se deforma; mais
exatamente, ela permanece plana após a torção do
eixo. Todavia, eixos cujas seções transversais não são
circulares não são simétricos em relação às respectivas
linhas centrais e, como a tensão de cisalhamento é dis­
tribuída de um modo muito complexo nas seções trans­
versais, elas ficarão abauladas ou entortarão quando o
eixo sofrer torção. Evidência disso pode ser observada
no modo como as linhas de grade se deformam em um
eixo de seção transversal quadrada quando ele sofre
esforço de torção (Figura 5.27). Uma consequência
dessa deformação é que a análise da torção de eixos
não circulares se torna consideravelmente complicada
e não será estudada neste livro.
Entretanto, por análise matemática baseada na te­
oria da elasticidade, é possível determinar a distribui­
ção da tensão de cisalhamento no interior de um eixo
de seção transversal quadrada. Exemplos da variação
da tensão de cisalhamento ao longo de duas linhas ra­
diais do eixo são mostrados na Figura 5.28a. Como a
variação dessas distribuições de tensão de cisalhamen­
to é complexa, as deformações por cisalhamento que
elas criam entortarão a seção transversal como mostra
a Figura 5.28b. Observe que os pontos nos cantos do
eixo estão submetidos a tensão de cisalhamento nula
e, portanto, também a uma deformação por cisalha­
mento nula. A razão para isso pode ser mostrada con­
siderando-se um elemento de material localizado em
um desses pontos (Figura 5.28c). Seria de esperar que
a face superior desse elemento estivesse submetida a
uma tensão de cisalhamento para auxiliar na resistência
1 56
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
ao torque aplicado T. Porém, isso não ocorre, já que as
tensões de cisalhamento r e r ' , que agem na sup e1jície
externa do eixo, devem ser nulas, o que, por sua vez
implica que as componentes da tensão de cisalham en�
to correspondentes r e r' na face superior também de­
vem ser iguais a zero.
Os resultados da análise para seções transversais
quadradas, juntamente com outros resultados da teo.
ria da elasticidade para eixos com seções transversais
triangulares e elípticas são apresentados na Tab ela 5. 1 .
Em todos os casos, a tensão de cisalhamento máxima
ocorre em um ponto na borda da seção transversal
mais próxima da linha central do eixo. Na Tabela 5. 1,
esses pontos são indicados como "pontos" em negrito e
bem visíveis nas seções transversais. A tabela também
dá fórmulas para o ângulo de torção de cada eixo. Se
estendermos esses resultados para um eixo de seção
transversal arbitrária, também poderemos demonstrar
que um eixo com seção transversal circular é o mais
eficiente, pois está submetido a uma tensão de cisalha­
mento máxima menor, bem como a um ângulo de tor­
ção menor do que um eixo correspondente com seção
transversal não circular e submetido ao mesmo torque.
Não deformado
Figura 5.27
SOLUC
l'or ins
( fil ll SVl
l as f(m
Tn m h é 1
Forma da
seção transversal
Tmáx
Quadrada
P or C O I I
torsao.
Triângulo equilátero
Distribuição da tensão de
cisalhamento ao longo de
duas linhas radiais
(a)
47
Tmáx
Área de seção
transversal deformada
t
r
gm , dc v
;\
Elipse
2T
\
7Tab2
T
(a2 + b2) TL
7Ta3b3G
"��lljNJ�Íil® t;::;U !3
�"*� !!0=
-
"'"'�=�
"'
�
�
O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na Figura 5.29 t� Ol
área de seção transversal na forma de um triângulo eqUtlá:
tero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado �
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissÍstlY�·
for r
56 MPa e o ângulo de torção na extremidade e
ver r�:rtrito a c/J " 0,02 rad. Qual é a intensidade do torquluear
que pode ser aplÍcado a um eixo de seção transversal circ
feito com a mesma quantidade de material? G.1 26 GPa.
"'
d
Figura 5.28
éo
46 TL
a
(b)
(c)
20 T
7
ll l ll q u a 1
('()lll p r i l
=
d
���
=
=
l · n t ü o, a
ToRçÃo
1 57
Comparando esse resultado (33,10 N · m)
com o obtido na primeira parte da solução (24,12 N · m), ve­
mos que um eixo de seção transversal circular pode supor­
tar 37% mais torque do que um eixo com seção transversal
triangular.
OBSERVAÇÃO:
T
1,2 m
6oo
*5 . 7
Tu bos d e p a rede fin a
com seções tra n sversais
fech adas
Figura 5.29
soLUçAo
Por
i nspeção, o torque interno resultante em qualquer seção
al ao longo da linha central do eixo também é T. Pe­
nsvers
tra
las fórmulas para r e c/J dadas na Tabela 5.1, exige-se que
20T
56 N/mm2 = 20T 3
Tadrn ;
3
(40 mm)
a
T = 179,2(103) N · mm = 1.779,2 N · m
máx
==
Também,
<fladm = �
; O '02 rad
a
46TL
ai
= 46T (1,42m)(10)3 3 mm/m
(40 mm) [26(10 ) N/mm2]
T = 24,12(103) N · mm = 24,12 N · m
Resposta
Por
comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de
torção.
Seção transversal circular. Se quisermos utilizar a mes­
ma quantidade de alumínio para fabricar um eixo do mesmo
comprimento com seção transversal circular, em primeiro lu­
gar,devemos calcular o raio da seção transversal. Temos
Acírculo = Atriângulo ;
�
1TC2 = ( 40 mm)(40 sen 60°)"
c = 14,850 mm
Então, as limitações de tensão e ângulo de torção exigem
T(14,850 mm)
(17'/2)(14,850 mm)4
T = 288,06(103) N · mm = 288,06 N · m
56 N/mm2 =
á-
<flaúm""
J�
ai
;
T(1,2 m)(103) mm/m
(17'/2)(14,85 mm)4[26(1Q3) N /mm2
T = 33,10(103) N · mm = 33,10 N ·
0,02 rad =
m
Resposta
Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado.
Tubos de parede fina de forma não circular são
usados frequentemente para construir estruturas leves
como as utilizadas em aviões. Em algumas aplicações,
elas podem ser submetidas a um carregamento de tor­
ção. Nesta seção, analisaremos os efeitos da aplicação
de um torque a um tubo de parede fina de seção trans­
versal fechada, isto é, um tubo sem qualquer fratura ou
fenda ao longo de seu comprimento. Um tubo desse
tipo, com área de seção transversal constante, porém
arbitrária, é mostrado na Figura 5.30a. Para a análise,
consideraremos que as paredes têm espessura variável
t. Como elas são finas, poderemos obter uma solução
aproximada para a tensão de cisalhamento consideran­
do que essa tensão é uniformemente distribuída pela
espessura do tubo. Em outras palavras, poderemos de­
terminar a tensão de cisalhamento média no tubo em
qualquer ponto dado. Antes, porém, discutiremos al­
guns conceitos preliminares relacionados com a ação
da tensão de cisalhamento sobre a seção transversal.
Fl uxo de cisa l hame nto. As figuras 5.30a e 5.30b
mostram um pequeno elemento do tubo de comprimen­
to finito s e largura diferencial dx. Em uma extremidade,
o elemento tem espessura tA e na outra extremidade, a
espessura é tE . Devido ao torque aplicado T, uma ten­
são de cisalhamento é desenvolvida na face frontal do
elemento. Especificamente, na extremidade A, a tensão
de cisalhamento é tA , e na extremidade B, é t8 • Essas ten­
sões podem ser relacionadas observando-se que tensões
de cisalhamento equivalentes tA e t8 também devem agir
sobre as laterais longitudinais do elemento, sombreadas
na Figura 5.30b. Visto que essas laterais têm espessu­
ras constantes, tA e tE , as forças que agem sobre elas são
dFA = rA(tA dx) e dFE = TE(tE dx). O equilíbrio de força
exige que essas forças sejam de igual valor, mas em dire­
ções opostas, de modo que
Esse importante resultado afirma que o produto
entre a tensão de cisalhamento longitudinal média e
a espessura do tubo é a mesma em cada ponto na área
de seção transversal do tubo. Esse produto é denomi-
1 58
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
i n t<
t r iú n
a
l'
I�
( a)
( c)
(b)
N
r,
Borda livre
de tensão
(superior)
de tensão
(inferior)
(d)
(e)
Figura 5.30
nado fluxo de cisalhamento: q, e, em termos gerais,
podemos expressá-lo como
I q = rméi
(5.17)
Uma vez que q é constante na seção transversal, a
maior tensão de cisalhamento média ocorrerá no local
em que a espessura do tubo for a menor.
Se um elemento diferencial com espessura t, compri­
mento ds e largura dx for isolado do tubo (Figura 5 .30c),
vemos que a área colorida sobre a qual a tensão de ci­
salhamento média age é dA = t ds. Por consequência,
dF = Tméd t ds = q ds ou q = dF!ds. Em outras palavras,
o fluxo de cisalhamento, que é constante na área da seção
transversal, mede a força por unidade de comprimento
ao longo da área de seção transversal do tubo.
É importante observar que as componentes da tensão
de cisalhamento mostradas na Figura 5.30c são as úni­
cas que agem no tubo. Componentes que agem na outra
direção, como mostra a Figura 5.30d, não podem existir.
Isso porque as faces superior e inferior do elemento se
encontram nas paredes interna e externa do tubo, e essas
bordas devem estar livres de tensão. Em vez disso, como
' A terminologia "fluxo" é usada, pois q é análogo à água que flui
por um canal aberto de seção transversal retangular com profun­
didade constante e largura variável w. Embora a velocidade da
água v em cada ponto ao longo do canal seja diferente (como
rméd) , o fluxo q = vw será constante.
já observamos, o torque aplicado faz com que o fluxo de
cisalhamento e a tensão média estejam sempre direciona·
dos tangencia/mente à parede do tubo, de modo que con­
tribuem para o torque resultante T.
Tensão d e cisa l h a mento média. A tensão de
cisalhamento média, Tméct' que age sobre a área som­
breada dA = t ds do elemento diferencial, mostrado
na Figura 5.30c, pode ser relacionada com o torque T
considerando-se o torque produzido pela tensão de ci­
salhamento em tomo de um ponto selecionado O no
interior do limite do tubo (Figura 5 .30e). Como m os­
trado, a tensão de cisalhamento desenvolve uma força
dF = Tméd dA = Tméd (t ds) sobre o elemento. Essa
força age tangencialmente à linha central da parede do
tubo e, visto que o braço de momento é h, o torque é
dT = h (DF) = h (Tméd t ds)
Para a seção transversal inteira, exige-se
f
T = h méct t ds
r
Aqui, a "integral de linha" indica que a integração é
executada ao redor de toda a borda da área. Visto que
o fluxo de cisalhamento q = rméct t é constante, esses ter·
mos que estão juntos saem da integral, de modo que
f
T = Tméd t h ds
(';I
tnlt· l i
\lll ii / ,
o ilf l)',ll
SOU J
Ten sã
!uho t'
ToRÇÃo
simplifica ão gr�fi a a a calcular
� p�
�
pode-se fazer uma
medw,
pelo
a
md1cada
are
a
que
varmos
obser
.
Ult e gr a1 se
,
.
.
tnãngulo
1
na Figura 5.30e, e dAm = ( l/2) h ds. Assnn,
T = 27'méd t dAm = 27'méd tAm
Resolvendo para rméct ' temos
T
1'méd = 2tA
111
1 59
Visto que q = rméct t, podemos determinar o fluxo de
cisalhamento em toda a seção transversal pela equação
�
(5.19)
O ângulo de torção de um
parede
fina
de
comprimento
L pode ser de­
tubo de
terminado pelos métodos de energia, e o desenvolvi­
mento da equação necessária é apresentado como um
problema mais adiante no texto.* Se o material se com­
portar de modo linear elástico e G for o módulo de
cisalhamento, então esse ângulo cf>, dado em radianos,
pode ser expresso como
Âng u l o d e torçã o .
(5.18)
Nessa expressão,
média que age sobre
rméd = tens ão de cisalhamento
a espessura do tub o
T torque interno resultante na seção transver­
sal, determinado pelo método das seções e
equações de equilíbrio
t = espessura do tubo no local onde Tméd deve
ser determinada
A m área média contida no contorno da linha
central da espessura do tubo. Am aparece
sombreada na Figura 5.30f.
=
=
4>
=
ft
____!!:__ ds
4A;;p
(5.20)
Nessa expressão, a integração deve ser executada em
todo o contorno da área de seção transversal do tubo.
q é o produto entre a espessura do tubo e a t ens ão de dsalhamento média. Esse valor é cons­
os pontos ao longo da seção.transversal do tu b o. O re sult a do é que a maior te s ão de cisalhamento
\,;l�•'llll<uu,<Ou•u
n
transversal ocorre no local onde a espessura do tubo é a menor.
cisalhamento e a tensão de cisalhamento média agem tangencialmente à parede do tubo em todos os
em uma direção tal que contribuem para o torque resultante.
Tme'd =
T = T
-21Ttr�,
2tA111
--
Resposta
Calcule a tensão de cisalhamento média em um tubo de pa­
fina com seção transversal circular de raio médio r ' e espes­ Podemos verificar a validade desse resultado pela aplicação
submetido a um torque T (Figura 5.31a). Calcul� também da fórmula da torção. Neste caso, pela Equação 5.9, temos
o ângulo de torção relativo se o tubo tiver comprimento L.
rede
sura t,
SOLUÇÃO
Distribuição da tensão
de cisalhamento real
(fórmula da torção)
'----v----'
Tmáx
Tméd
A área média para o
Aplicando a Equação 5.18 temos
Tensão de cisalhamento média.
tubo é A111 = 1rr2,.
Distribuição da tensão
de cisalhamento média
(aproximação para parede fina)
(a)
(b)
Figura 5.31
' Veja o Problema 14.19.
1 60
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
J
Visto que
de modo que
'TT
= - (r4 - r I1 )
2
O
e
rm = r = r. t = r - r.1, I = !!_ (2r�,) (2rm)t
2
o
1
o
=
21Tr�,t
L��5
�
L
t:J
40mm
mm
c
(a)
60 N·m
35 N·m
ii
Resposta
A
que está de acordo com o resultado anterior.
A distribuição da tensão de cisalhamento média que age
em toda a seção transversal do tubo é mostrada na Figura
5.31b. A figura também mostra a distribuição da tensão de
cisalhamento que age em uma linha radial calculada pela
fórmula da torção. Observe como cada r age em uma dire­
ção tal que contribui para o torque resultante T na seção. À
medida que a espessura do tubo diminui, a tensão de cisalha­
mento em todo o tubo torna-se mais uniforme.
Ângulo de torção. Aplicando a Equação 5.2 0, temos
·ct
Á-.
'I'
__'!l:__
=
2
4AmG
f ds =
t
TL
4( 'TTr2m) 2Gt
60 N·m
(b)
f ds
. o '·""'·
60 N·m
(c)
1 ,75 MPa
A
A integral representa o comprimento em torno da linha cen­
tral, que é 2m·11 • Substituindo, o resultado final é
(d)
!i<Jd:i>
íll t'dia
de Kl
{ !i
c;
SOUJ1
Te nsã
que 111
\';d j ; ;l(
d l t' d S (
(e)
Figura 5.32
Resposta
Aplicando a Equação 5.18 para o ponto A, tA = 5 mm, de
Mostre que obtemos o mesmo resultado se usarmos a Equa­ modo que
ção 5.15.
T
35 N · m
= 1 '75 MPa
=
rA =
2tA 111 2(0,005 m)(0,00200 m2 )
--
Resposta
O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção transversal E, para o ponto B, t8 = 3 mm, portanto,
retangular, como mostrado na Figura 5.32a. Se for subme­
tido aos dois torques, determine a tensão de cisalhamento
35 N · m
rs = ____!__ =
média no tubo nos pontos A e B. Determine também o ân­
2tAm 2(0,003 m)(0,00200 m2 )
gulo de torção da extremidade C. O tubo é fixo em E.
SOLUÇÃO
Se tomarmos as seções do
tubo nos pontos A e B, o diagrama de corpo livre resultante
é o mostrado na Figura 5.32b. O torque interno é 35 N · m.
Como mostra a Figura 5.32d, a área A111 é
Am = (0,035 m)(0,057 m) = 0,00200 m2
Tensão de c::isalhamento média.
=
2,92 MPa
Esses resultados são mostrados em elementos de mcnt�U!··
ve
riallocalizados nos pontos A e B (Figura 5.32e. ). Ob5ser32bCf
l3
dadosamente como o torque de 35 N m na Figura
essas tensões nas faces sombreadas de cada elemento.
s fi·
Ângulo de torção. Pelos diagramas de corpo livre na
guras 5.32b e 5.32c, os torques internos nas regiões DE:o dli
são 35 N · m e 60 N · m, respectivamente. Pela convença
·
Resposta
·
l i i Jil
ToRÇÃo
161
na Seção 5.4, esses torques são ambos positivos. Aplicando a Equação 5.18,
a Equação 5.20 torna-se
_I_ 85 N · m (103) mm/m
me 2 tAm 2(10 mm)(2.50 mm2) 1 '7 N/mm2
0
7
'd
=
=
s s
=
Re po ta
Visto que t é constante exceto nos cantos, a tensão de cisalha­
mento média é a mesma em todos os pontos da seção trans­
versal. A Figura 5.33c mostra essa tensão agindo sobre um
elemento localizado no ponto A na Figura 5.33c. Observe
que T age para cima na face sombreada, visto que ela con­
tribui para o torque interno resultante T na seção.
Ângulo de torção. O ângulo de torção provocado por T é
determinado pela Equação 5.20; isto é,
méd
Resposta
Um
tubo quadrado de alumínio tem as dimensões mos­
na
tradas Figura 5.33a. Determine a tensão de cisalhamento
média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque
85 N m. Calcule também o ângulo de torção devido a
carregamento. Considere Ga1 26 GPa.
q,
TL
= 4A2 G
m
=
·
=
=
f ds =
t
85 N . m(1Q3 mm /m)(1,5 m)(103 mm/m)
4(2.500 mm2)2[26(103) N /mm2]
0,196(10- 4) mm- 1
f
f ds
(10mm)
ds
Nesta expressão, a integral representa o comprimento em
tomo
da linha central do contorno do tubo (Figura 5.33b).
Ttnllíio de c:isalhamento média. Por inspeção, o tor­
Assim,
quc interno resultante na seção transversal onde está lo­
calizado o ponto A é T 85 N m. Pela Figura 5.33b, a
cfJ 0,196(10-4) mm- 1 [4(50 mm)] 3,92(10-3) rad
área sombreada A1 1 , é
SOLUÇÃO
·
=
A111
=
=
=
(50 mm)(50 mm) = 2.500 mm2
Resposta
Um tubo fino é composto por três chapas de açoA-36 de
5 mm de espessura, de tal modo que sua seção transversal é
triangular, como mostra a Figura 5.34a. Determine o torque
máximo T ao qual ele pode ser submetido se a tensão de ci­
salhamento admissível for r 90 MPa e a torção no tubo
estiver restrita a não mais d� 0que qJ 2(10-3) rad.
d
lO
=
=
SOLUÇÃO
A área A1 1 aparece sombreada na Figura 5.34b e é
mm
A 111 = 21 (200 mm)(200 mm sen 60°)
17,32(103 ) mm2 (10-6 m2/mm2 ) = 17,32(10-3 ) m2
(a)
=
w
SOmm
Am
A
1,7 MPa
(b)
=
(c)
Figura 5.33
A maior tensão de cisalhamento média ocorre em pontos
onde a espessura do tubo é a menor, ou seja, ao longo das
laterais, e não nos cantos. Aplicando a Equação 5.18, com
t 0,005 m, obtemos
T
T
Tméd-- 2tA 111 .' 90(lO ) N/m - 2(0,005 m)( 17,32(10-3 ) m2 )
T = 15,6 kN · m
6
z _
1 62
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem se
transversal elíptica. Se for submetido ao carregamentoç��,
torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento má
ma no interior das regiões AC e BC e o ângulo de torçã�
da extremidade B em relação à extremidade A.
5.90. Resolva o Problema 5.89 para a tensão de cisa
mento máxima no interior das regiões AC e BC e âng ulolh;.
torção cp da extremidade B em relação à C.
5.89.
200mm .
\ ·•·
�)
200mm
.
�
·....
�
.e
�'(200�
'
mm
.•
e
(a)
50N·m
<2m
·
�200mm_j
c
X
1,5 my/
5.')"\. (
acÍol
nwl ido
dídor. �
l hililll'll
c isai
P'
B
(b)
Figura 5.34
Problemas 5.89/90
f ds
Também pela Equação 5.20, temos
cp
__I!:_
f
4A;11G t
T(3 m)
ds
O '002 rad =
4(17,32(10-3 ) m)2 [75(109 ) Njm2] (0,005 m)
=
300,0 = T
fds
A integral representa a soma das dimensões ao longo dos
três lados do contorno da linha central. Assim,
300,0 = T[3(0,20 m)]T = 500 N m Resposta
Por comparação, a aplicação do torque é restrita devido ao
ângulo de torção.
5.91. O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é pam·
fusado em uma parede com uma chave de torque. Determine
as maiores forças conjugadas F que podem ser aplicadas ao
eixo sem provocar o escoamento do aço. Te = 56 MPa.
*5.92. O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é para·
fusado em uma parede com uma chave de torque. Determine
a máxima tensão de cisalhamento no eixo e o deslocamento
que cada força conjugada sofre se o valor das forças conju·
gadas for F = 150 N. Gaço = 75 GPa.
5.')5.
)
(
lll lll ('
·
%
lt!R®BI!UiENli�S
.
.i!
�
:
.
i ! t' III Íd<i
.HI�HI tÍ
•
��
Compare os valores da tensão de cisalhamento elás­
tica máxima e do ângulo de torção desenvolvidos em eixos
de aço inoxidável 304 com seções transversais circular e qua­
drada. Cada eixo tem a mesma área de seção transversal de
5.600 mm2, comprimento de 900 mm e está submetido a um
torque de 500 N m.
*5.88.
F
·
I
Problemas 5.91/92
A ,,/
r-- a �
Problema 5.88
eixo é feito de plástico e tem seção transversal eldv.íp·
tica. Se for submetido ao carregamento de torção mostra�c
determine a tensão de cisalhamento no ponto A e mostht+l·
tensão de cisalhamento em um elemento de volume loca
do nesse ponto. Determine também o ângulo de torção 1/1 113
extremidade B . G = 15 GPa.
5.93.
O
p
TORÇÃO
1 63
A
m�
l,S my/
mm
B
Problema 5.96
Uma escora de alumínio 2014-T6 está presa entre as
duas paredes em A e B. Se tiver seção transversal quadrada
de 50 mm por 50 mm e for submetida ao carregamento de
Problema 5.93
torção mostrado, determine as reações nos apoios fixos. De­
termine
também o ângulo de torção em C.
0 eixo quadrado é usado na extremidade de um cabo
do
para registrar a rotação cabo em um me­
d e acionamento
A
as dimensões mostradas na figura e for sub­
d idor. S e tiver
cisa­
tensão
determine
a
de
m,
N
8
de
torque
metido a um
lhamento no eixo no ponto A. Faça umderascunho da tensão
um elemento volume localizada
. · �c
d e cisalhament o sobre
nesse ponto.
;tK �
�
.
· �B
..
�
5.97.
<600mm
·
'>�60N·
600mm'>m��ON·m� )
600mm
�
'v
Problema 5.97
O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm.
Se a tensão de cisalhamento admissível for ractm = 80 MPa,
determine o torque máximo T que ele pode transmitir. Cal­
cule também o ângulo de torção de uma extremidade do
tubo em relação à outra se o tubo tiver 4 m de comprimento.
Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimen­
sões médias são mostradas na figura.
5.99. O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm
Se o torque aplicado for T = 50 N · m, determine a tensão
de cisalhamento média no tubo. Despreze as concentrações
de tensão nos cantos. As dimensões médias são mostradas
na figura.
5.98.
Problema 5.94
O cabo de latão tem seção transversal triangular de
em um lado. Se a tensão de escoamento para o latão
for
205 MPa, determine o torque máximo T ao qual o
cabo pode ser submetido de modo a não sofrer escoamento.
Se esse torque for aplicado a um segmento de 4 m de com­
primento, determine o maior ângulo de torção de uma ex­
tremidade do cabo em relação à outra extremidade que não
causará dano permanente ao cabo. G1at = 37 GPa.
mm
5.95.
r,. =
.
T
T
. i
r....J
.. i
I. . � T
Problema 5.95
Problemas 5.98/99
Pretende-se fabricar uma barra circular para resistir a
todavia, durante o processo de fabricação' a barra fil'OU el'1Pftca, sendo
que uma dimensão ficou menor que a outra
por um fat
or k, como mostra a figura. Determine o fator k que
causará aumento da tensão de cisalhamento máxima.
Determine a espessura constante do tubo retangu­
lar se a tensão de cisalhamento média não pode ultrapassar
84 MPa quando um torque T = 2,5 kN m for aplicado ao
tubo. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As di­
mensões médias do tubo são mostradas na figura.
'.5.96,
Iorque;
*5.100.
·
1 64
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
*5.104. O tubo de aço tem seção transversal elíptica co
5.101. Determine o torque T que pode ser aplicado ao tubo
retangular se a tensão de cisalhamento média não pode ul­ as dimensões médias mostradas na figura e espessura conrns
trapassar 84 MPa. Despreze as concentrações de tensão nos tante t = 5 mm. Se a tensão de cisalhamento admissív
cantos. As dimensões médias do tubo são mostradas na figu­ for Tadm = 56 MPa e o tubo tiver de resistir a um torqueei
ra e o tubo tem espessura de 3 mm.
T = 375 N m, determine a dimensão b. A área média Para
a elipse é A 111 = 1Tb(0,5b ).
·
:;J 07 .
d i III
Se•
Il't1Stl<1
li. i n d
j()l
Problema 5.104
Problemas 5.100/101
Um tubo com as dimensões mostradas na figura é
submetido a um torque T = 50 N · m. Desprezando as con­
centrações de tensão em seus cantos, determine a tensão de
cisalhamento média no tubo nos pontos A e B. Mostre a ten­
são de cisalhamento nos elementos de volume localizados
nesses pontos.
5.102.
Problema 5.102
O tubo é feito de plástico, tem 5 mm de espessura
as dimensões médias são mostradas na figura. Determine a
tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo
for submetido a um torque T = 500 N · m. Mostre a tensão
de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses
pontos. Despreze as concentrações de tensão nos cantos.
5.105.
e
�mm
�
O
p<Hrt'll
f.\tT II I I
20
Problema 5.105
tubo é feito de plástico, tem 5 mm de espessura,
e as dimensões médias mostradas na figura. Determine a 5.106. O tubo de aço tem seção transversal elíptica deandi·te
tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se ele for mensões médias mostradas na figura e espessura const
submetido ao torque T = 5 N · m. Mostre a tensão de cisalha­ t = 5 mm. Se a tensão de cisalhamento admissível for Tadm =tor·56
mento nos elementos de volume localizados nesses pontos. MPa, determine a dimensão b necessária para resistir ao
que mostrado. A área média para a elipse é A"' = 7rb(0,5b)
5.103.
·:;. JHI!.
tubo ,:
!UUlJ, I
IIIÍrtr
O
111dicad
!li O\('"''
.
\!l n·,
75 N·m
Problema 5.103
Problema 5.106
TORÇÃO
1 65
o é feito de aço de alta resistência, tem pelas linhas tracejadas para a posição da seção mostrada na
tubo simétricmostrada
s na figura e 5 mm de espessu­ figura. O tubo tem 2,5 mm de espessura.
édias
m
t::>
Aln,en:So
T = 40 .N · m, determine a
torque
um
a
metido
. desenvolvida
Se ' sub
'
nos pontos A e
med1a
mento
!---- 45 mm ---j
de cisalha
s de voluelemento
em
nto
cisalhame
de
. ·· .·
ensão
t
'
.
B. lndtque
'
pontos.
ses
nes
os
'' m ,
zad
locali
0
rOf
30ri
[� (
a
5.8
Problema 5.107
Devido a um erro de fabricação, o círculo interno do
excêntrico em relação ao círculo externo. Qual é a
porcentagem de redução da resistência à torção quando a
líXCent ricidade e for igual a 114 da diferença entre os raios?
*5,108.
tubo é
Problema 5.110
Co n ce nt ração d e tensão
A fórmula da torção, rmáx = Tc!J, pode ser aplica­
da a regiões de um eixo que tenham seção transversal
circular constante ou ligeiramente cônica. Quando sur­
gem mudanças repentinas na seção transversal, a dis­
tribuição da tensão de cisalhamento e da deformação
por cisalhamento no eixo tornam-se complexas e só
podem ser obtidas por meios experimentais ou, possi­
velmente, por análise matemática baseada na teoria da
elasticidade. Três descontinuidades comuns em seções
transversais que ocorrem na prática são mostradas na
Figura 5.35. Elas aparecem em acoplamentos, que são
utilizados para interligar dois eixos colineares (Figura
5.35a) , em rasgos de chaveta, usados para conectar en­
grenagens ou polias a um eixo (Figura 5.35b) , e filetes de
redução, utilizados para fabricar um único eixo colinear
de dois eixos com diâmetros diferentes (Figura 5.35c) .
Problema 5.108
Para uma tensão de cisalhamento média dada, deter­
fator de elevação da capacidade de resistência ao tor­
se as seções semicirculares forem invertidas das posições
lneltca•das pelas linhas tracejadas para as posições da seção
mostrada na figura. O tubo tem 2,5 mm de espessura.
U09.
mine o
f--- 45
íf-(
G
mm
( a)
�---1
30 mm
�--��-------------
!.�lO. Para uma dada tensão de cisalhamento máxima deter­
que se
mine 0
Problema 5.109
fator de elevação da capacidade de resistência 'ao tor­
a seção semicircular for invertida da posição indicada
t�
12,5 m
o
( c)
Figura 5.35
1 66
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
K 1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,00
}
[ Dl ]&«, 0,/�
l
I
( 'f
\
0,05
�4 �
0,10
d
0,15
ta
D/d 2,5
2,0
I
\
i
primeiro lugar, temos de determinar a razão geométrj.
ca Dld para definir a curva adequada e, então, um a ve
calculada a abscissa r!d, o valor de K é determinad o a z
longo da ordenada. Em seguida, a tensão de cis alha�
menta máxima é determinada pela equação
0,20
I
I
I
I
1,67
1,25
1,11
(5.21)
,,
E-E .
0,25
.
0,30
Figura 5.36
Em cada caso, a tensão de cisalhamento max1ma
ocorrerá no ponto (em negrito) indicado na seção
transversal.
Para que o engenheiro não precise executar uma
análise complexa da tensão em uma descontinuidade
do eixo, a tensão de cisalhamento máxima pode ser
determinada para uma geometria específica com a
utilização de umfator de concentração de tensão por
torção, K. Como vimos no caso de elementos carrega­
dos axialmente (Seção 4.7), K é normalmente obtido
de um gráfico. Um exemplo para o filete de rebaixo
é mostrado na Figura 5.36. Para usar esse gráfico, em
Aqui, a fórmula da torção é aplicada ao menor dos
dois eixos interligados, visto que Tmáx ocorre na ba se do
filete (Figura 5 .35c).
Podemos observar pelo gráfico que um aumento no
raio r do filete provoca um decréscimo em K. Por con.
sequência, a tensão de cisalhamento máxima no eixo
pode ser reduzida aumentando o raio do filete. Além
disso, se o diâmetro do eixo maior for reduzido, a razão
Dld será menor, assim como o valor de K e, portan to'
T . será mais baixa.
max
Como no caso de elementos carregados axialmentc,
os fatores de concentração de tensão por torção sempre
devem ser utilizados no projeto de eixos feitos de mate­
riaisfrágeis ou que serão submetidos a carregamentos de
fadiga ou de torção cíclica. Essas condições dão origem
à formação de trincas na concentração de tensão, o que
muitas vezes pode resultar na falha repentina do eixo.
Entenda também que, se um grande carregamento ele
torção estático for aplicado a um eixo feito de um mate·
rial dúctil, deformações inelásticas podem-se desenvol­
ver no interior do eixo. Como resultado do escoamento,
a distribuição de tensão se tornará mais uniformemente
distribuída em todo o eixo, de modo que a tensão máxi·
ma resultante não será limitada na concentração de tcn·
são. Esse fenômeno será discutido na próxima seção.
Concentrações de tensão em eixos ocorrem em pontos de mudança repentina na área da seção transverllal, tal como
acqplamentos, rasgos de chaveta e filetes de rebaixo. Quanto mais .s.evera a mudança,maior a concentração de tensão.
" Para projeto ou análise, não é necessário conhecer a exata distribuição da tensão de cisalhamento na seçã() transver·
sal. Em vez disso, é possível obter tensão de císalhamento máxima poro a utilização do fat{)rde con(:entração de.
tensão, K, determinado por meios experimentais e função somente da geometria do eixo.
" Em geral,a concentração de tensão em um eixo dúctil submetido a torque estático não terá de ser considerada no projeto;
todavia, se o materialforfrágil ou sujeito carregamentos de fadiga, s concentrações de tensão tornam-se importantes.
•
a
a
a
nas extremidades engastadas dos eixos de menor diâmetro.
o torque interno pode ser determinado naquele lugar pelo
método das seções (Figura 5.37b).
O eixo em degrau mostrado na Figura 5.37a está apoia­
do nos mancais em A e B. Determine a tensão máxima no Tensão de cisalhamento máxima. O fator de concentra·
eixo resultante dos torques aplicados. O filete na junção de ção de tensão pode ser determinado pela Figura 5.36. pela
geometria do eixo, temos
cada eixo tem raio r 6 mm.
t\ \\Íil
A plic:
OBS E I
:; a o d1
' ' " " "'
I H ,� .. r;
prlii l i
.9
!\ <
d ;p; < I (
ra d o
=
SOLUÇÃO
Torque interno. Examinando a figura, vemos que o equi­
líbrio de momento em torno da linha central do eixo é satis­
feito. Uma vez que a tensão de cisalhamento máxima ocorre
D
-
d
r
d
=
2(40 mm)
2(20 mm)
6 mm
2 ( 20 mm)
=
2
=
O' 1 5
l lli l fl l (
TORÇÃO
1 67
'Ymáx
Distribuição linear da
deformação por cisalhamento
(a)
(b)
T = 30 N·m
dp
(b)
(c)
Figura 5.38
Distribuição da
Distribuição da
de cisalhamento
tensão de cisalhamento tensão
real causada pela
prevista pela fórmula da concentração
de tensão
torção
(c)
Figura 5.37
obtemos o valor de K 1,3.
Aplicando a Equação 5.21, temos
=
Te
K1 ;
7'máx
=
1,3
[ 30 N2 m0,020
(0,020 m)
m)
·
( / )(
7f
4
J = 3,10 MPa
Resposta
Por evidências experimentais, a distribui­
tensão real ao longo de uma linha radial da seção
transversal na seção crítica é semelhante à mostrada na Figu­
ra 5.37c. Compare com a distribuição de tensão linear obtida
fórmula da torção.
OBSERVAÇÃO:
de
*5 . 9
To� rção i n e l ásti ca
As equações de tensão e deformação desenvolvi­
até aqui só são válidas se o esforço de torção apli­
fizer o material se comportar de maneira linear
· se os carregamentos de torçao
elástica 11odavta,
forem
excessi vos, o materia
l pode escoar e, por consequência,
de fazer uma "análise plástica" para determi­
a distribuição da tensão de cisalhamento e o
de torção. Para fazer essa análise, é necessário
"'umnor
. ,. as condiç
ões de deformação e equilíbrio para
·
Mostramos na Seção 5.1 que as deformações por
cisalhamento que se desenvolvem no m aterial devem
variar linearmente de zero no centro do eixo ao valor
máximo em seu contorno externo (Figura 5.38a). Essa
conclusão foi baseada inteiramente em considerações
geométricas, e não no comportamento do material.
Além disso, o torque resultante na seção deve ser equi­
valente ao torque provocado por toda a distribuição da
tensão de cisalhamento na seção transversal analisada.
Essa condição pode ser expressa matematicamente,
considerando-se a ação da tensão de cisalhamento r
sobre um elemento de área dA localizado à distância
do p do centro do eixo (Figura 5.38b ). A força produzi­
da por essa tensão é dF = r dA, e o torque produzido é
dT = p dF = pr dA. Para o eixo inteiro, exige-se
(5.22)
Se a área dA sobre a qual r age puder ser definida
como um anel diferencial com área dA = 2np d p (Figura
5.38c), então a Equação 5.22 poderá ser escrita como
(5.23)
Essas condições de geometria e carregamento se­
rão usadas agora para determinar a distribuição da
tensão de cisalhamento em u m eixo quando este for
submetido a três tipos de tm·que.
Se o torque produ­
zir uma deformação por cisalhamento elástica máxima
'Ye no contorno externo do eixo, então a distrib uição
da tensão de cisalhamento ao longo da linha radial do
eixo será semelhante à mostrada na Figura 5.39b. Para
determinar a distribuição da tensão de cisalhamento,
Torq u e elástico m áxi mo.
1 68
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
r
T
T
··
�
( a)
(a )
Anel
Plástico
To n
d cm
e
I'
O CSL
Iii 'i '
Núcleo
elástico
Distribuição da tensão
de cisalhamento
(c)
Distribuição da deformação
por cisalhamento
(b)
Figura 5.39
e
ou
7T Te c3
(5.24)
2
É claro que esse mesmo resultado pode ser obtido de
uma maneira mais direta, usando-se a fórmula da torção,
Te = Tec/[(7r/2)c4] .Além do mais, o ângulo de torção pode
ser determinado pela Equação 5.13, a saber,
=
dcp
=
Y
x
d
p
ddc1
da I L
Distribuição da deformação
por cisalhamento
(b)
( 'om
Distribuição da tensão
de cisalhamento
(c)
l o rq t
Figum 5.40
devemos usar a lei de Hooke ou determinar os valo­
res correspondentes da tensão de cisalhamento pelo
diagrama T-y do material (Figura 5.39a). Por exemplo,
uma deformação por cisalhamento y produz a tensão
de cisalhamento T em p = c. Da mesma maneira, em
p = p l ' a deformaÇão por cisalhamento é y1 = (p/c)
Ye· Pelo diagrama T-y, y1 produz T1 • Quando essas ten­
sões e outras semelhantes são representadas grafica­
mente em p = c, p = p1 etc., o resultado esperado é
a distribuição de tensão de cisalhamento linear dada
na Figura 5.39c. Visto que essa distribuição da tensão
de cisalhamento pode ser descrita matematicamente
como T = Te (p/c), o torque elástico máximo pode ser
determinado pela Equação 5.23; isto é,
Te
Cll/1/j
(5.25)
Como observamos na Seção 5.4, essa equação resulta
em cp = TUJG quando o eixo é submetido a um torque
constante e tem uma área de seção transversal constante.
Agora, vamos con­
siderar que o material no eixo exibe comportamento
elástico perfeitamente plástico. Como mostra a Figura
5.40a, isso é caracterizado por um diagrama da tensão
de deformação por cisalhamento pelo qual o material
sofre uma quantidade crescente de deformação por
cisalhamento quando a tensão de cisalhamento no ma­
terial atinge o ponto de escoamento, Te. Assim, à me­
dida que o torque aplicado aumentar de intensidade
após ultrapassar Te, começará a provocar escoamen
to. Em primeiro lugar, no contorno externo do eiXO,
p = c e então, à medida que a deformação por cisalha·
menta máxima aumenta até, digamos, y ' , o escoamen­
to do contorno progredirá para dentro na direção do
centro do eixo (Figura 5.40b). Como mostra a figura,
isso produz um núcleo elástico no qual, por cálculo
proporcional, o raio externo do núcleo é Pe = ('Y/'Y')c.
Além disso, a porção externa do eixo forma um anel
plástico, visto que as deformações por cisalhamei:to "!
são maiores do que yY no interior dessa região. A d1s trt·
buição da tensão de cisalhamento correspondente ao
longo de uma linha radial do eixo é mostrada na Figur�
5.40c. Ela foi determinada tomando-se pontos sucesst·
vos na distribuição da deformação por cisalhamen�o
e determinando-se o valor correspondente da tensao
de cisalhamento pelo diagrama T-y. Por exemplo, elll
'
P = c ' y dá T ' e em p = p , ye também dá Te etc .
e
e
Uma vez que agora podemos determinar T codmo
função de p, podemos aplicar a Equação 5.23 para e_
terminar o torque. Como fórmula geral para o coln
portamento elástico-plástico do material, tem os
Torq u e e lástico-p lástico .
.
(',
Fqua
­
.
:..
.
TORÇÃO
2'll'
rrl dp
lo
r•(Te Pe
lo
)
}!_ p2 dp + 2rr
21TTe 1c
-TePe 3 Te Pe
2'll'
�'!!_
Te lor
Pe
1T
Pe
4
3
p dp +
+
21T
1cTeP2
dp
Pe
p2 dp
(C
3
Pe
3
-
(5.26)
)
entos a?ic.ionais em T ten­
forq u e plásti c � . Au�
,
a reduzir o raw do nucleo elast1co
nw de todo o material, isto é,
omme
esc:
P
ate provocar
e � O (Figu5.40c). Então, o material do eixo é submetido a um
�;omportamento perfeitamen:e plástico , e a .distribuição
da tensão de cisalhamento e constante (Figura 5.40c).
r = re, podemos aplicar a Equação 5.23 para
o torque plástico que representa o maior
rminar
te
de
possível que o eixo suportará.
(5.27)
Comparando com o torque elástico máximo T_,
t:Olmcato 5.24, podemos ver que
Em outras palavras, o torque plástico é 33% maior
que o torque elástico máximo.
O ângulo de torção p para a distribuição da tensão
de cisalhamento na Figura 5.40c não pode ser definido
exclusivamente. Isso porque r = re não corresponde a
nenhum valor único de deformação por cisalhamento
r � re· O resultado é que, uma vez aplicado T , o eixo
continuará a deformar-se ou torcer-se sem nenhum au­
mento correspondente na tensão de cisalhamento.
Em geral, a maioria dos ma­
teriais de engenharia terá um diagrama da tensão de
deformação por cisalhamento como mostra a Figura
5.41a. Por consequência, se T aumentar de modo que a
deformação por cisalhamento máxima no eixo se torne
r = r, (Figura 5.41b), então, por cálculo proporcional,
-v e ocorre em pe = (reIr )c. Da mesma maneira, as de'
formações por cisalhamento em p = p1 e p = p2, podem
ser determinadas por cálculo proporcional, isto é, r1 =
(p/c)'Y" e r2 = (p/c)r, . Se os valores corresponden­
tes de ri ' re, r2 e r, forem lidos no diagrama r-r e, en­
tão, representados em gráfico, obtemos a distribuição
da tensão de cisalhamento que age na linha radial na
seção transversal (Figura 5.41c). O torque produzido
por essa distribuição de tensão é denominado Iorque
máximo, Tmáx '
Torq u e máxi mo.
u
T
Tll j-------�
c
Distribuição da deformação por
cisalhamento máxima
(b)
( a)
Distribuição da tensão de
cisalhamento máxima
(c)
1 69
Figura 5.41
( d)
1 70
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
O valor de Tmáx pode ser determinado por integração
"gráfica" da Equação 5.23. Para tanto, a área da seção
transversal do eixo é subdividida em um número finito de
anéis, como o que aparece sombreado na Figura 5.41d. A
área desse anel, yA = 2np !:::.p. , é multiplicada pela tensão
de cisalhamento T que age sobre ele, de modo que a força
!:::.F
. = T !:::.A pode ser determinada. Então, o torque criado
. = p(T !:::.A) . A soma de to.
por essa força é !:::.. T = p !:::.F
dos os torques na seção transversal inteira, determinados
desse modo, dá o torque máximo, Tmáx; isto é, a Equação
5.23 torna-se Tmáx 2'11'2,Tp2!:::.p. . Por outro lado, se a dis­
tribuição de tensão puder ser expressa como uma função
analítica, T = f(p) , como nos casos do torque elástico e
do torque plástico, então a integração da Equação 5 .23
poderá ser executada diretamente.
=
SOLL
TorqL
lharnt
�;lo, l t
" A distribuiçãoda deformação por cisalhamento em uma linha radial de um eixo é baseada em considerações geomé ­
tricas e constatou-se que ela permanece sempre linear. A distribuição da tensão de· cisalhamento, todavia, depende
do torque aplicado e,portanto, deve ser determinada pelo cpmportamento do material ou pelo diagrama da tensão
de deformação por cisalhamento.
" Uma vez determinada a distribuição da tensão de cisalhamento para o elxo, ela produz um torque emtorno da linha
central do eixo que é equivalente ao torque resultante que age na seção transversal.
" Comportamento perfeitamente plástico consi dera que a distribuição datensão de cisalhamento seja constqnte e que o
eixo continuará a torcer sem nenhum aumento no valor do torque. Esse torque é denominado torque plástico.
i\ '
de d e i
d;\S
que pode ser aplicado ao eixo sem provocar o escoamento
do material
e ( b) oaotorque
máximo
ousertorque
plástico por
pode
ser
aplicado
eixo.
Qual
deve
a
deformação
eixo tubular na Figura 5 .42a é feito de uma liga de cisalhamento mínima no raio externo para desenvolver
alumínio que se supõe tenha um diagrama elástico-plástico torque
totalmente plástico?
r-y, como mostra a figura. Determine (a) o torque máximo
que
O
fl(l
,ao oh
Tor q u
to p a r;
l'q ua�·
I �.
um
Pn rt l l'�
dadt· d
Oeforr
!OI II H '
20 MPa
J li i i ii i C I
lllm. l r; �
lllt' I I I O
30 mm
pi;Í' i[ ÍC;
I IIÍ11ad;1
r
(MPa)
Distribuição de tensão de
deformação por cisalhamento elástica
0,172 ( 10-3) rad
0,286 ( 10-3)
y
(rad)
Distribuição da deformação
por cisalhamento elástica
(b)
( a)
20 MPa
l l n1
llH'IJ I ( ) I
íco
Jlil l ii
0,477 ( 10-3) rad
0,286 ( 10-3) rad
Distribuição da tensão
de cisalhamento plástica
Distribuição da tensão de deformação
(c) por cisalhamento plástica inicial
Figura 5.42
1\ 1r
ToRÇÃO
S OLUÇÃO
Torque elástico máximo.
Exige-se que a tensão de cisa­
20 MPa. Pela fórmula da tor­
seja
externa
fibra
na
to
lhamen
os
tem
o,
çã
Te (0,05 m)
20 (106 ) N/m2 = ( 'lT/2)[(0,05 m) 4 - (0,03 m)4]
Te =
(MPa)
75
0,0016
_
_
_
_
_
0,008
'Ye =
0,0016 rad
(b)
,
Resposta
Para esse tubo, TP representa um aumento de 20% na capaci­
dade de torque em comparação com o torque elástico Te.
Deformação por c:isalhamento do raio externo. O tubo
torna-se totalmente plástico quando a deformação por cisa­
lhamento na parede interna se torna 0,286(10-3) rad, como
mostra a Figura 5.42c. Visto que a deformação por cisalha­
mento permanece linear na seção transversal, a deformação
plástica nas fibras externas do tubo na Figura 5.42c é deter­
minada por cálculo proporcional:
/'o
50 mm
30 mm
'Yo = 0,477(10-3 ) rad
(rad)
Distribuição da deformação por cisalhamento
10,05m
1 3 IOOSm
[20(106) Njm2] 2 dp = 125,66(106)-p
3 �mm
mm
= 4,10 kN m
·
'Y
(a)
·
p
_[___
"-----'-----
Resposta
3,42 kN m
As distribuições da tensão de cisalhamento e da tensão
ção por cisalhamento para esse caso são mostra­
deforma
de
das na Figura 5.42b. Os valores na parede interna do tubo
são obtidos por cálculo proporcional.
Torque plástico. A distribuição da tensão de cisalhamen­
to para esse caso é mostrada na Figura 5.42c. A aplicação da
Equação 5.23 exige r = re · Assim
Tp = 21T
r
171
Resposta
T0 = 75 MPa
Distribuição da tensão de cisalhamento
(c)
Figura 5.43
L;
ÇP = y p
(1,5 m)
O'6 = 'Ymáx
(0,02 m)
'Ymáx = 0,008 rad
A distribuição da tensão de deformação por cisalha­
mento, que sempre varia linearmente, é mostrada na Figura
5.43b. Observe que ocorre escoamento do material, já que
'Ymáx > 'Ye = 0,0016 rad na Figura 5.43a. O raio do núcleo
elástico, p0, pode ser obtido por cálculo proporcional. Pela
Um eixo maciço circular tem raio de 20 mm e compri­ Figura 5.43b,
mento de 1,5 m. A Figura 5.43a mostra um diagrama r-y
elástico-plástico do material. Determine o torque necessá­
� = 0,02 m
rio para torcer o eixo de çfJ = 0,6 rad.
0,0016 0,008
Pe = 0,004 m = 4 mm
SOLU ÇÃO
Para resolver o problema, em primeiro lugar, obteremos a dis­
Tendo como base a distribuição da deformação por ci­
tribuição da deformação por cisalhamento. Uma vez conheci­
da essa distribuição, o torque aplicado pode ser determinado. salhamento, a Figura 5.43c mostra a distribuição da tensão
cisalhamento, que é representada no gráfico sobre um
A máxima deformação por cisalhamento ocorre na su­ de
segmento
da linha radial. Agora, o torque pode ser obti­
perfície do eixo, p = c. Visto que o ângulo de torção é çfJ = 0,6 do pela Equação
5.26. Substituindo os valores numéricos
rad para todo o comprimento de 1,5 m do eixo, então, usando obtemos
a Equação 5.25 para o comprimento total, temos
1 72
RESISTéNCIA DOS MATERIAIS
7TTe (4c3 Pe3 )
T=6
7T[75(106) N/m2]
[4(0,02 m) 3 - (0,004 m) 3]
6
Resposta
1,25 kN · m
-
=
=
*5 . 1 O
Te nsão resi d ua l
Quando um eixo é submetido a deformações por ci­
salhamento plásticas provocadas por torção, a remoção
do torque acarretará a permanência de parte da tensão
de cisalhamento no eixo. Essa tensão é denominada ten­
são residual, e sua distribuição pode ser calculada pelos
princípios de superposição e recuperação elástica.
A recuperação elástica foi discutida na Seção 3.4 e
refere-se ao fato de que, sempre que um material é de­
formado plasticamente, parte da deformação no mate­
rial é recuperada quando a carga é retirada. Por exemplo,
se um material for deformado até 1\, mostrada como o
ponto C na curva r-y na Figura 5.44, a retirada da car­
ga provocará uma tensão de cisalhamento inversa, de
modo que o comportamento do material acompanhará
o segmento de reta CD, criando uma certa quantidade
de recuperação elástica da deformação por cisalhamen­
to y1• Essa reta é paralela à porção inicial em linha reta
AB do diagrama r-y e, assim, ambas as retas terão a
mesma inclinação G, como indicado na figura.
Para ilustrar como a distribuição de tensão residual
pode ser determinada em um eixo, em primeiro lugar,
Torque plástico aplicado que
causa deformações plásticas
por cisalhamento em todo o eixo
( a)
consideraremos que o eixo está submetido a um tor­
que plástico TP . Como explicamos na Seção 5 .9, T cria
uma distribuição de tensão de cisalhamento mostrad a
na Figura 5.45a. Consideraremos que essa distribuição
é consequência da deformação do material y1 no con .
torno externo do eixo, Figura 5.44. Considerarem os
também que '}'1 é grande o suficiente para admitirmos
que o raio do núcleo elástico aproxima-se de zero, isto
é, y1 > > 'Ye · Se TP for removido, o material tende a re.
cuperar-se elasticamente, acompanhando a reta CD.
Visto que ocorre comportamento elástico, podemos
sobrepor à distribuição de tensão na Figura 5.45a um a
distribuição linear de tensão causada pela aplicação do
T
Comportamento
elás tico plástico
do m aterial
l
cj
/
•....:
··
c
··.:... •.••.. •·s•·•
· ..••.
.. . .
�
\ A rec peração
\_: elástica
--------��----�Y�e--------�===t�==�r�----- r
máxima é 2ye
- Ter------'
Torque plástico inverso que
provoca deformações elásticas
por cisaJhamento em todo o eixo
(b)
Comportamento elástico
do material
D
Figura 5.44
Distribuição de tensão de
cisalhamento residual no eixo
(c)
('
r
h
li
I' I
+
Torque elástico
plástico aplicado
-­
fi
('I
Tmáx - Te
Torque elástico --plástico inverso
(d)
Figura 5.45
Distribuição de tensão de
cisalhamento residual no eixo
ToRçÃo
173
torque plástico TP na direção oposta (Figura 5.45b).
Aqui, a tensão de cisalhamento máxima Tr , calculada
p or essa distribuição de tensão, é denominada módulo
de ruptura por torção e é determinada pela fórmula da
torção,* que dá
T
(MPa)
Pela Equação 5.27,
Tr =
[(2/3) 7TTe c3]c
(7T/2)c4
Observe que, nesse caso, a aplicação inversa de Tp
usando a distribuição linear da tensão de cisalhamento na Figura 5.45b é possível, visto que a recuperação
máxima para a deformação por cisalhamento elástica
é 2Te, como observamos na Figura 5.44. Isso corres­
ponde a uma tensão de cisalhamento máxima aplicada
de 2Te, que é maior do que a tensão de cisalhamento
máxima de 4!3Te calculada antes. Por consequência, a
superposição de distribuições de tensão que envolva a
aplicação e, então, a remoção de torque plástico resul­
ta na distribuição de tensão de cisalhamento residual
no eixo como mostra a Figura 5.45c. Devemos notar,
por esse diagrama, que a tensão de cisalhamento no
centro do eixo, Te, deve ser, na realidade, nula, visto que
o material ao longo da linha central do eixo não sofre
deformação. O motivo de ela não ser nula é que con­
sideramos anteriormente que todo o material do eixo
sofreu deformação após atingir o ponto de escoamen­
to para podermos determinar o torque plástico (Figu­
ra 5.45a). Em situações reais, temos de considerar um
torque elástico-plástico na modelagem do comporta­
mento do material, o que resulta na superposição da
distribuição de tensão mostrada na Figura 5.45d.
( a)
84 MPa
(b)
Torque plástico aplicado
(c)
'Tr 104,52 MPa
=
Torque plástico inverso
( d)
20,52 MPa
E *BM�Um !S.�n "
Distribuição da tensão de cisalhamento residual
Figura 5.46
Um
tubo
é feito de uma liga de latão e tem 1,5 m de
comprimento e área da seção transversal mostrada na Figu­
ra 5.46a. diagrama T-y elástico-plástico do material tam­
SOLUÇÃO
�ém é mostrado na Figura 5.46a. Determine o torque plás­
plástico.
torque plástico deformará o tubo
são a distribuição da tensão de cisalhamento Torque
de
tal
modo
que
todo
o
material sofre escoamento. Por con­
rticoesidualQuais
e
a
torção
permanente
remanescente
no
tubo
se
for removido logo após o tubo se tornar totalmente plásti� sequência, a distribuição de tensão será a mostrada na Figura
5.46b. Aplicando a Equação 5.23, temos
= 42 GPa.
0"
�
O
TP.
O
T
TP
co? G
A fórmula da torção só é válida quando o material se comporta
de maneira elástica linear; todavia, o módulo de ruptura tem esse
nome porque presume que o material se comporte elasticamente
e, e ntão, sofr
e ruptura repentina no limite de proporcionalidade.
=
27T
3
(84
N/mm2 )[(50 mm)3 -(25mm)3] 19,24(106 ) N . mm
=
Resposta
1 74
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
exato jáemteráquecomeçado
o tubo senotorna
totalmente
No instante
plástico,
o escoamento
raio
interno,
isto
é,torção
em c,que
= 25ocorre
mm, Ypode
e = 0,002 rad (Figura 5. 4 6a). O ângulo de
ser determinado pela Equação 5.25
que, para o tubo inteiro, se torna
L (0,002)(1,5 m)(103 mm/m) = O,120 rad �
-=
cjJ =
(25 mm)
p e c,
P é removido ou, na verdade, reaplicado na di­
reçãoQuando
oposta,Tentão
a distribuição da tensão de cisalhamento
linear "fictícia" mostrada na Figura 5.46c deve ser sobrepos­
ta à mostrada na Figura 5.46b. Na Figura 5.46c, a tensão de
cisalhamento máxima ou o módulo de ruptura é calculado
pela fórmula da torção
19,24(10)6 N · mm - (50 mm)
(?T/2)[(50 mm)4 - (25 mm)4]
104,52 N mm2 104,52 MPa
Além disso, na parede interna do tubo, a tensão de cisalha­
mento é
( 25mm )
Ti = (104, 5 2 MPa) -- = 52,26 MPa
50 mm
Pela Figura 5.46a, G= T/Ye = 84 N/mm2/(0,002 rad) =
42(103) MPa, de modo que, quando
T é removido, o ângulo
de torção correspondente c/J' é
TL
cf/ = -P- =
P
JG
19,24(10)6 N mm (1,5)(103 mm/m)
O eixo é usado para transmitir 660 W ao girar a
450 rpm. Determine a tensão de cisalhamento
máxi
Os segmentos são interligados por um filete demsaolndao
eixo.
de raio 1,875 mm.
*5.112.
25mm
y
=
s.
Problema 5.112
O eixo está preso à parede em A e é submetido aos
torques mostrados na figura. Determine a tensão de cisalha­
mento máxima no eixo. Um filete de solda de raio 4,5 é
usado para interligar os eixos em
5.113.
B.
mm
Jll i
l i
=
o l
CO
A
5. 1
de
ele
COI
111 <1
·s.
p
llll'
tcn
c l ;í
·
Problema 5.113
O eixo aumentado foi projetado para girar a 720
rpm
enquanto
transmite 30 kW de potência. Isso é possível?
= 0,0747 radJ
A tensão de cisalhamento admissível é Tadm = 12 MPa.
O eixo aumentado foi projetado para girar a 540
Portanto, a distribuição da tensão de cisalhamento resi­ 5.115.
rpm.
Se
o raio do filete de solda que interliga os eixos for
dual resultante é mostrada na Figura 5. 4 6d. A rotação per­ r = 7,20 mm e a tensão de cisalhamento admissível para o
manente do tubo após a remoção de TP é
material for Tadm = 55 MPa, determine a potência máxima
1+ cjJ = 0, 1 20 - 0,0747 = 0,0453 rad � Resposta que o eixo pode transmitir.
5.114.
Ou
{'
5. L
lll C
III Í I
1101'
5. 1 2
A tensão de cisalhamento admissível para o aço usada
forem interligados
no eixo é Tadm = 8 MPa. Se os elementos
por um filete de solda de raio r = 4 mm, determine o torque
máximo T que pode ser aplicado.
de
5.111.
t
rn a t ,
o ra
5. 12.
Problemas 5.114/115
Problema 5.111
5. 1
*5.116. A tensão de cisalhamento admissível para o aço
n tos
usado
na fabricação do eixo é Ta = 8 MPa. Se os eleme
r = 2,25
forem interligados por um filetedm de solda de raio
mm, determine o torque máximo T que pode ser aplicado.
lliC I J
urn 1
esc o
e le r
lll i d ;
cisai
ToRçÃo
175
30 mm
30 mm
Pt·oblema 5.116
5.117. Um eixo maciço é submetido ao torque T, que pro­
voca 0 escoamento do material. Se o material for elástico­
plástico, mostre que o torque pode ser expresso em3termos
do ângulo de torção cjJ do eixo como T = 4/3 7;,(1 - c/J /4c/J3) ,
onde Te e c/Je são o torque e o ângulo de torção quando o
material começa a escoar.
5.118. Um eixo maciço com diâmetro de 50 mm é feito de
material elástico-plástico com tensão de escoamento r =
ll2 MPa e módulo de cisalhamento G = 84 GPa. Deterro"ine
o torque exigido para desenvolver um núcleo elástico no eixo
com diâmetro de 25 mm. Calcule também o torque plástico.
5.119. Determine o torque necessário para torcer um cabo
de aço curto de 3 mm de diâmetro por várias revoluções se
ele for feito de um aço que se presume ser elástico-plástico
com tensão de escoamento re = 80 MPa. Considere que o
material se torna totalmente plástico.
'5.120. Um eixo maciço tem diâmetro de 40 mm e compri­
mento de 1 m e é feito de um material elástico-plástico com
tensão de escoamento re = 100 MPa. Determine o torque
elástico máximo Te e o ângulo de torção correspondente.
Qual é o ângulo de torção se o torque for aumentado para
T = 1,2T.? G = 80 GPa.
5.121. O eixo é submetido a um torque T que produz escoa­
mento na superfície do segmento de maior diâmetro. Deter­
mine o raio do núcleo elástico produzido no segmento de me­
nor diâmetro. Despreze a concentração de tensão no filete.
Problema 5.123
O tubo de 2 m de comprimento é feito de um
material elástico-plástico como mostra a figura. Deter­
mine o torque aplicado T que submete o material da bor­
da externa do tubo a uma deformação por cisalhamento de
= 0,008 rad. Qual seria o ângulo de torção permanente
'}'
do tubo quando o torque for removido? Faça um rascunho
da distribuição da tensão residual no tubo.
*5.124.
máx
r
VIU
(MPa)
240
.
..
·
·
_
0,003
y
(rad)
Problema 5.124
T
5.125. O tubo tem comprimento de 2 m e é feito de um
material elástico-plástico material como mostra a figura.
Determine o torque necessário só para tornar o material to­
talmente plástico. Qual é o ângulo ele torção permanente do
tubo quando esse torque é removido?
60 mm
Problema 5.121
Uma barra com seção transversal circular de 75 mm
de diâmetro é submetida a um tm·que de 12,5 kN · m. Se o
mat�rial for elástico-plástico, com r. = 112 MPa, determine
o raiO do núcleo elástico.
5.123. Um eixo tubular tem diâmetro interno de 20
diâ­
metro externo de 40 mm e comprimento de 1 m. É feito de
um material elástico perfeitamente plástico com tensão de
escoamento re = 100 MPa. Determine o torque máximo que
el� pode transmitir. Qual é o ângulo de torção de uma extre­
U:Idade em relação à outra extremidade se a deformação por
Cisalhamento na superfície interna do tubo estiver prestes a
escoar? G = 80 GPa.
5.122.
mm,
r
350
(MPa)
tl
0,007
Problema 5.125
y
(rad)
1 76
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
O eixo
é feito de umé mostrado
materialnaendurecido
por defor­o
mação
cujo
diagrama
figura.
Determine
torque T que deve ser aplicado ao eixo de modo a criar um
núcleo elástico no eixo com raio = 12,5 mm.
5.126.
5. 1
(MPa)
125 1------
T
r-y
Pc
ter
r ai•
r=
icn
50
Problema 5.128
O eixo é composto por duas seções rigidamente
acopladas. Se o material for elástico perfeitamente plástico
como mostra a figura, determine o maior torque T que pode
ser aplicado ao eixo. Além disso, desenhe a distribuiç
tensão de cisalhamento na linha radial para cada seção.ãoDes­da
preze o efeito da concentração de tensão.
15
5.129.
(MPa)
105 f------
T
"-._·· //··1· ·
70 �
/.f'
•..
_
_
___,____...._
._
0,005
0,01
'Y
(rad)
Problema 5.126
O tubo de 2 m de comprimento é feito de um ma­
terial elástico perfeitamente plástico como mostra a figura.
Determine o torque aplicado T que submete o material
da borda externa do tubo à deformação por cisalhamento
= 0,006 rad. Qual será o ângulo de torção permanente
do tubo quando esse torque for removido? Faça um rascu­
nho da distribuição de tensão residual no tubo.
5.127.
T
70
yrnáx
v1
(MPa)
- 0,002
'5. 1.
Se '
-
y
por
(rad)
de V<
1;iío
Problema 5.129
O eixo é feito de um material elástico perfeitamente
plástico como mostra a figura. Faça um gráfico da distribui­
ção da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma li­
nha radial se o eixo for submetido a um torque T = 2 kN o
Qual
distribuição da tensão residual no eixo quando
torqueseráforaremovido?
5.130.
·
T
210
0
((
d
n
y
(rad)
20
Problema 5.127
O diagrama tensão-deformação por cisalhamento
para um eixo maciço de 50 mm de diâmetro pode ser apro­
ximado como mostra a figura. Determine o torque exigido
máximaqualdeserá
125
para provocar
MPa
no eixo. Seumao eixotensão
tiverde3 mcisalhamento
de comprimento,
o ângulo de torção correspondente?
*5.128.
s
d
(MPa)
0,003
m.
T
150
tzJ·
c
ll
(MPa)
0,001875
Problema 5.130
y (rad)
!V
é
I'
ToRÇÃO
?e. 37,5 mm de diâmetro é feito deu� ma­
Umstico-eixoplastlco
mostra a figura. Determme o
como
elá
a!
'·0 de seu núcleo elastlco
· se e1e for submeti'do a um torque
·
·
.
d · der 300 N m. Se o eiXO tiver 250 mm e compnmento,
ne ângulo de torção.
5.131.
177
'
tert
rat
T
""
term i
0
r
T
(MPa)
uy(
0,005 ud)
Problema 5.132
O eixo é feito de um material elástico perfeitamente
a figura. Determine o torque que o eixo
plástico como mostra
se o ângulo de torção admissível for 0,375 rad.
transmitir
pode
ângulotemde torção permanente, uma vez
Determine
torque. Oo eixo
removido otambém
2 m de comprimento.
5.133.
(MPa)
T
"VI0,006
r
'Y
(rad)
(MPa)·u
150 v/
0,001875
Problema 5.131
ao eixo que tem raio de 100 mm
é aplicado
Um torque
a uma1 relação tensão-deformação
obedecer
o material
por cisalhamento de r = 20y !3 MPa, determine o torque que
deve ser aplicado ao eixo de modo que a máxima deforma­
ção por cisalhamento se torne 0,005 rad.
'5.132.
r
.
Se
Torque provoca torção
a
à
em
.sal circular, de modo que
to no eixo é proporcional
'Y
Problema 5.133
cisalhamen­
a
um eixo com seção transver­
deformação por
sua distância radial do centro
do eL'<o. Contanto que o material seja homogêneo e
lei
Hooke se aplique, a tensão de cisalhamento é deter­
pela fórmula da torção,
r =
projeto de
um
Tp
J
-
eixo exige a determinação de um parâ­
geométrico,
J
C
=
u
T
'radm
vezes, a potência gerada por um eixo rotativo
.mfor
mada, caso em q e o torque é determinado por
""' T w.
T
T
(rad)
1 78
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
o ângulo de torção de um eixo circular é determinado
por
<P _
{L T(x) dx
lo JG
Se o torque e JG forem constantes, então
<P
=
TL
22 JG
Para aplicação e para termos certeza de que o material
não escoará, mas permanecerá linear elástico, é necessá­
rio usar uma convenção de sinal para o torque interno.
Se o eixo for estaticamente indeterminado, então os
torques de reação são determinados por equilíbrio,
compatibilidade de torção e relação torque-torção, tal
como cp = TLIJG.
I
5.
pl
tk
III
Eixos maciços não circulares tendem a entortar para fora
do plano quando submetidos a um torque. Há fórmulas
disponíveis para determinar a tensão de cisalhamento
elástica e a torção para esses casos.
5. 1
II I I
<I (
A tensão de cisalhamento
em
tu bos
é determinada con­
l'l' l
siderando-se o fluxo de cisalhamento no tubo. Conside­
ra-se que a tensão de cisalhamento em cada espessura t
do tubo seja constante. Seu valor é determinado por
'Tméd =
T
2tA m
'5. 1
Jli Í I
Ocorrem concentrações de tensão em eixos quando a
seção transversal muda repentinamente. A tensão de ci­
salhamento máxima é determinada com a utilização de
um fator de concentração de tensão K que, por sua vez,
é determinado por meios experimentais e representado
em forma gráfica. Uma vez obtido o fator,
P" t
I'C [ !
li III
TORÇÃO
��Se
ultrapassar proporlimite
too,qe eãoaplicadoist fizeruição material
será
não
tensão
de
ástic
�X. el
radial em relação
à linha
nciatorque
cional distâ
relacionado
à distribuição
estará
o
disso,
Em
diagrama tensão deri cisalhamento-defor­
teãonsãoporpelo
.
maç cisalhamento
r
0
u
nt
à
ad
rib
T
o
o
1 79
central do eixo.
vez
de
e equilíb o
que de­
m torque plásticoelástica
eixo to provocará
no
reação
s al,
poi
tensão de
desenvolvimento
o
materiame
cisalh nto residual no eixo.
for submetido a u
Se um
do, o rque
removi
é
o que causará
de
r e es­
fina de raiomáximédio
de parede
Considerequeumatubo
ma no tubo
cisalhamento
tensão de aproxima
pessurao a Mostre
da tensão de cisalha­
torque aplicado Tse
devid
mento média calculada pela Equação 5.18 quando rlt
5.134.
t.
um
-7 oo,
O tubo de uma perfuratriz de poço de petróleo é fei­
de aço e tem diâmetro externo de 112 mm e espessura de
tomm.
o tubo estiver girando a 650 rev/minuto enquanto
6 Sepotência
recebe
de um motor de 12 kW, determine a tensão
de cisalhamento máxima no tubo.
5.138. O eixo cônico é feito de liga de alumínio 2014-T6 e seu
raio pode ser descrito pela função r 0,02( 1 + ) m, onde é
dado em metros. Determine o ângulo de torção de sua extremi­
dade A se ele for submetido a um torque de 450 N m.
5.137.
=
x312
x
·
Problema 5.134
O eixo de aço inoxidável 304 tem 3 m de compri­
mento e diâmetro externo de 60 mm. Quando está girando
a 60 rad/s, transmite 30 kW de potência do motor E para o
gerador G. Determine a menor espessura do eixo se a tensão
o eixo esti­
vercisalhamento
restrito a umaadmissível
torção nãoformai;r =do150queMP0,0a8erad.
5.135.
de
rd
Problema 5.138
O motor do helicóptero transmite 660 kW ao eixo
do rotor AB quando a hélice está girando a 1.500 rev/minuto.
Determine,
comABaproximação
decisalhamento
múltiplos deadmissível
5 mm, o diâ­
metro
do
eixo
se
a
tensão
de
for
Problema 5.135
56
MPa
e
as
vibrações
limitarem
o
ângulo
de
torção
'5.136. O eixo maciço de aço inoxidável304 tem 3m de com­
do eixo a 0,05 rad. O eixo tem 0,6 m de comprimento e é feito
prim
ento diâmetro de 50 mm. Ele deve transmitir 40 kW de de aço-ferramenta L2.
potê
ncia
do motor E para o gerador Determine a menor
velo
cidad
eixo pode ter se estiver restrito a
uma torçãoe angular
não maiorquedoo que
1,5 °.
5.139.
Tadm =
e
G.
Problema 5.136
Problema 5.139
1 80
RESIST�NCii\ DOS MATERIAIS
*5.140. O motor do helicóptero transmite 660 kW ao eixo do
rotor
AB quando a hélice está girando a 1.500 rev/minuto.
Determine,
com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâ­
metro do eixo AB se a tensão de cisalhamento admissível for
e as vibrações limitarem o ângulo de torção
do eixo75a 0,MPa
03 rad. O eixo tem 0,6 m de comprimento e é feito
de aço-ferramenta L2.
radm =
O tubo circular de aço A-36 é submetido
que de 10 kN m. Determine a tensão de cisalhamea untom
60 e calcule o ângulo de torção do
médio
seraio
ele
tiver
4
m
de
comprimento
estiver presousando
em sua
midade mais distante.
Resolva oe problema
as
ções 5.7, 5. 1 5, 5.1 8 e 5.20.
5.142.
·
p =
tor­
mm
no
tub o
extre­
e qu a.
(
'v
c
c
fi
c
tr
Problema 5.142
O tubo de alumínio tem 5 mm de espessura e
sões da seção transversal externa mostradas na figura.
termine a máxima tensão de cisalhamento média no tubo.
Problema 5.140
Se o tubo tiver comprimento de 5 m, determine o ângulo
torção.
G31 28 GPa.
5.141. O material de fabricação de cada um dos três eixos
a módulo de cisalhamento G.
tem tensão dequalescoamento
Determine
das geometrias resistirá ao maior torque
sem escoamento. Qual porcentagem desse torque pode ser
suportada pelos outros dois eixos? Considere que cada eixo
é feito com a mesma quantidade de material e tem a mesma
área de seção transversal A.
5.143.
c
dimen­
f(
De­
de
=
r
OD
Problema 5.141
<I (
S ii
'
i'
cl
·'
C)
150 mm
p<
II I
III
100 mm
dl
de
Problema 5.143
IH
ce
Jl !
co
pi:
as
a i
de
SC J
l'O
pu
lar
S <Í I
111 ;
l' :; ·,
,\' <I
s ol
,,)-._
Flexão
OBJ ETIVOS DO CAPÍTU LO
mecâ n i cos usados em projetas de e n g e n h a ri a . N este
Vig as e eixos são i m portantes e l em entos estrutu ra is e
capítulo, determ i n a remos a tensão provocada nesses e l e m e ntos por conta da flexão . O capítu l o começa
com uma discussão sobre como construi r os d i a g ramas de força cortante e momento fletor para uma viga
ou eixo. Assi m como os d i a g ra mas d e força n o rm a l e de torq u e , os d i a g ramas de força cortante e momento
fletor proporcionam u m m e i o úti l pa ra d eterm i n a r a m a i o r força de cisa l ha m e nto e o ma ior momento em u m
elemento e especificam o n d e esses máxi m os ocorre m . U m a vez determ i n ado o momento i nterno em uma
seção, a tensão de flexão pode ser ca l c u l a d a . Em pri m e i ro lugar, considera remos e lementos retos, com seção
transversal simétrica e feitos de materi a i s homogêneos l i n ea res elásticos. Em seg u i d a , d iscutiremos casos
especiais que envolvem flexão assi m étrica e elementos feitos de materiais com pósitos. Tam bém considera ­
remo s elementos c u rvos, concentrações de tensã o , flexão i n e lástica e tensões resid u a i s .
6.1
Diagra m a s de fo rça
co rta nte e m o m e nto fletor
Elementos delgados que suportam carregamentos
aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal
são denominados vigas. Em geral, vigas são barras lon­
gas e retas com área de seção transversal constante e
classificadas conforme o modo como são apoiadas. Por
exemplo, uma viga simplesmente apoiada é suportada
por um apoio fixo em uma extremidade e um apoio
móvel (ou rolete) na outra extremidade (Figura 6.1),
uma viga em balanço é engastada em uma extremida­
de e livre na outra, e uma viga apoiada com extremida­
de em balanço é uma viga na qual uma ou ambas as ex­
tremidades ultrapassam livremente os apoios. As vigas
certamente podem ser consideradas entre os mais im­
p ortantes de todos os elementos estruturais. Citamos
como exemplo elementos utilizados para suportar o
piso de um edifício, a plataforma de uma ponte ou a
asa de um avião. Além disso, o eixo de um automóvel,
a lança de um guindaste e até mesmo muitos dos ossos
do corpo humano agem como vigas.
Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas de­
senvolvem uma força de cisalhamento interna (força
cortante) e momento fletor que, em geral, variam de
p onto p ara ponto ao longo do eixo da viga. Para proje­
tar uma viga corretamente, em primeiro lugar, é neces­
.
sá:t�
determinar a força de cisalhamento e o momento
maXlmos que agem na viga. Um modo de fazer isso é
expressar V e M em função de uma posição arbitrária
x ao longo do
eixo da viga. Então, essas funções de ci­
salh amento e momento podem ser representadas em
Viga simplesmente apoiada
Viga em balanço
Viga apoiada com uma extremidade em balanço
Figura 6.1
gráficos denominados diagramas de força cortante e
momento fletor. Os valores máximos tanto de V quan­
to de M podem ser obtidos desses gráficos. Além disso,
uma vez que fornecem informações detalhadas sobre
a variação do cisalhamento e do momento ao longo do
eixo da viga, os diagramas de força cortante e momen­
to fletor são frequentemente usados pelos engenheiros
para decidir onde colocar materiais de reforço no inte­
rior da viga ou como calcular as dimensões da viga em
vários pontos ao longo de seu comprimento.
Na Seção 1.2, utilizamos o método das seções para
determinar o carregamento interno de um elemento
em um ponto específico. Todavia, se tivermos de de­
terminar V e M internos em função de x ao longo de
uma viga, então será necessário localizar a seção ou
corte imaginário a uma distância arbitrária x da extre­
midade da viga e formular V e M em termos de x. Nesse
1 82
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
sentido, a escolha da origem e da direção positiva para
qualquer distância x selecionada é arbitrária. Entre­
tanto, na maioria das vezes, a origem é localizada na
extremidade esquerda da viga e a direção positiva é da
esquerda para a direita.
Em geral, as funções de cisalhamento interno e mo­
mento fletor obtidas em função de x serão descontínuas,
ou seja, suas inclinações serão descontínuas em pontos
nos quais uma carga distribuída muda ou onde são apli­
cadas forças concentradas ou conjugados. Por essa razão,
as funções de cisalhamento e momento fletor devem ser
determinadas para cada região da viga localizada entre
quaisquer duas descontinuidades de carregamento. Por
exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 terão de ser usadas
para descrever a variação de V e M em todo o compri­
mento da viga na Figura 6.2 . Essas coordenadas serão
válidas somente dentro das regiões de A a B para xl' de
B a C para x2 e de C a D para e x3•
Antes de
apresentar um método para determinar o cisalhamen­
to e o momento em função de x e, então, construir um
gráfico dessas funções (diagramas de força cortante e
momento fletor), é necessário estabelecer uma con­
venção de sinal de modo a definir força cortante in­
terna e momento fletor como "positivos" e "negativos".
Embora a escolha de uma convenção de sinal seja ar­
bitrária, aqui adotaremos a convenção frequentemente
utilizada na prática da engenharia e mostrada na Figura
6.3 . As direções positivas são as seguintes: a carga dis­
tribuída age para baixo na viga; a força cortante interna
Convenção de sinal para vigas.
Figura 6.2
rffilTTm
w (x)
Carga distribuída positiva
v v
+ t
Cisalhamento interno positivo
M M
Momento interno positivo
Convenção de sinal para a viga
Figura 6.3
provoca uma rotação em sentido horário no segmento
da viga sobre o qual age; e o momento interno causa
compressão nas fibras superiores do segmento de forma
que a flexão deste faz com que ele retenha água. Carre­
gamentos opostos a esses são considerados negativos.
" Vigas são elementos longos e r etas que s:uportam cargas perpendiculàreã' a s eu eix:cdongitudin:al. Elas são classifiCá­
das de acordo com o modo como são apoiadas, por exemplo, sil:uplesmente apoiaQ!lS, em Jjalt�nç0 ou apoiadas com
uma extremidade em balanço.
. .
.
• Para projetar a dequadament uma viga , é importante conht:C!'lr
. a. �ariação do cis��á:tl?:eríto .e do mofllento f!etor �9
�
l ongo de seu eixo, de modo a determin:ar os pontos onc1e esse&,yal0res são máximo�·
•
..
• Cofll a d �termin:ação de umaconve çã o de :>in:alp ra isalh�eJil to e.�omento
os
,
<J
cis�lhatne1ltp
e. () �o�
Y:
!i
�
� �
�i
8
P
mento naviga podem ser determinados em fun �tão dt: sua posição f,e esses vafol'es podem serrepresentados em
gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fl�t<}f.
.. .
·
.
. .
.
·.
·
v
l'
·
·
Os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga podem ser construídos por meio dos procedimen­
tos descritos a seguir.
Reações nos apoios
" Determin:e todas as forças de reação e momentos conjugados que agem na viga e decomponha todas as forças
componentes que agem perpendicular e paralelamente ao eixo da viga.
d;i
Especifique coordenadas separadas x com origem na extremidade esquerda da viga e que se estendam até as regiões
da viga entre forças concentradas e/ou momentos, ou até onde não existir nenhuma descontinuidade do carrega­
mento distribu ído.
01
Funções de cisalhamento e momento
"
()
em
IC
FLEXÃO
seu
s s
s soma
a s das s o
m
um
1 83
ã
eixo em cada di t ância x e faça o diagra a de corpo livre de
dos seg­
• Secione a viga perpendicularmente a
esqueça
e
que
as
ações
de
V
M devem er mostradas no sentido positivo, d e acordo com a convenç o
Não
mentos.
de inal dada na Figura 6.3.
forças perpendiculares ao eixo da viga.
• o ci al h m ento é obtido pela
p ela om do momento em t rno da extremidade ecionad do segmento.
• o momento é obtido
ss a
.
s
am a a s
x).
ei passo
u
momento fletor diretamente abaixo
a
Diagramas de força cortante e momento fletor
s
a
a de momento fletor (M versus
• Construa o diagrama de força cortante (V versus x) e o di agr
nu mérico das funções que descrevem V e M forem positivos, serão m rc do acima do xo x, ao
negativos serão marcados abaixo do ixo
• Em geral, é conveniente mostrar o diagram de força cortante e
i
de corpo livre da v ga
se
.
as
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6.4a.
SOLUÇÃO
Reações nos apoios. As reações nos apoios foram deter­
minadas como mostra a Figura 6.4d.
funções de c::i salhamento e momento fletor. A viga foi
secionada a uma distância arbitrária x do apoio A, estenden­
do-se pelo interior da região AB; o diagrama de corpo livre
do segmento esquerdo é mostrado na Figura 6.4b. As ações
das incógnitas V e são indicadas no sentido positivo na face
direita do segmento de acordo com a convenção de sinal pré­
estabelecida. A aplicação das equações de equilíbrio produz
V = -p2
+ i 2:Fy = O;
(1)
M
t
L
:4rr
2
'
p
2
do diagr ma
p
A
A
Se os valores
q e valores
Bl
�2
L
( a)
p
�'4- --�-- --'-�-''-'--"" - ��J! \)M
v
(b)
(c)
p
(2)
2
Um diagrama de corpo livre para um segmento esquerdo da
v
p
viga que se estende até a distância no interior da região BC
1-------; z
mostrado na Figura 6.4c. Como sempre, as ações de V e
�------�- x
são mostradas no sentido positivo. Por consequência,
P ..._
+ i 2:Fy = o·'
-p2 - P - V = O
p
(3)
v = -2
1+ 2:1\1 = 0;
M + P(x �) - f x = O
(d)
p
(4)
M = (L x)
2
Figura 6.4
representação
dasdiagrama
equaçõesde1 eforça
3, e ocortante
diagramaé uma
de momento
fietor gráfica
é uma
representação gráfica das equações 2 e 4 (Figura 6.4d).
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
OBSERVAÇÃO: Essas equações podem ser verificadas em te e momento fletor para a viga mostrada na Figura 6. 5 a.
parte, observando-se que dV!dx = e dM!dx = Vem cada SOLUÇÃO
caso.
desenvolvidas na próxima seção Reações nos apoios. As reações nos apoios foram deter­
como(Essas
equaçõerelações
s 6.1 e 6.serão
2.)
minadas na Figura 6.5d.
1+ 2:M = O;
p
M = -x
x
é
M
_
_
_
_
�
X
O
-w
Mo
1 84 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
(a)
A
Mo
M0
�\)M
(b)
v
T
o
T
M
�)M
0
v
T
Mo
Diagramas de força cortante e momento fletor. Quan.
do as funções acima são representadas em gráfico, obtemos
os diagramas de força cortante e momento fietor mostrados
na Figura 6.5d.
OBSERVAÇÃO: O cisalhamento é constante
comprimento da viga, isto é, não é afetado peloemmotomedonto
conjugado
no centro
da viga. Exatamente
corno
uma
força criaqueumagesalto
no diagrama
de força cortante
(Exemplo 6.1), um momento conjugado cria um salto no
diagrama de momento fietor.
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6.6a.
SOLUÇÃO
ladas na Figura 6.6c.
Reações nos apoios.
(c)
-�·1
v
I
M
�-+-L-0
-.
�
.. J X
As reações nos apoios foram calcu­
------ L------1
( a)
---'- X
(d)
Figura 6.5
Funções de cisalhamento e momento fletor. Esse
problema é semelhante ao exemplo anterior, no qual duas
coordenadas x devem ser usadas para expressar o cisalha­
mento e o momento em todo o comprimento da viga. Para
o segmento no interior da região AB (Figura 6.5b), temos
+ t 2-Fy = o '·
M
V = -yo
1+ 2-M = O;
Mo
M = --x
L
Para o segmento no interior da região BC (Figura 6.5c),
+ f 2-Fy = O·'
M
V = --o
L
1+2- M = O;
Mo
M = M0 - yx
( i)
M = Mo 1 -
r:fl
wL
,
v
lll
:
li
!JJ�>�L
w
M M wL2
1'---k--;-· f_----- -:-T-j -8
�--�--- -----_,-X
wL
2
=
�x
2
(c)
Figura 6.6
...._
FLEXÃO
Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagra­
ma de corpo livre do segmento esquerdo da viga é mostrado
na Figura 6.6b. O carregamento distribuído neste segmen­
por sua força resultante somente depois
to é representado
é isolado como um diagrama de corpodalivre.
que segmentosegmento
for­
x, o valor
comprimento
quenteo é wx. Essatem
Visresto ulta
no
área
age
da
força
centroide
çacompreende o carregamento distribuído, à distância x/2queda
dadez direita. A aplicação das duas equações de equi­
extíbrioremiprodu
l
wL
2 wx v = o
V = w (� - x )
(1)
0
L+� M = O
Funções de cisalhamento e momento fletor. Um diagra­
ma de corpo livre de um segmento da viga de comprimento x
Figura 6.7c. Observe que a intensidade da carga
é mostradonanaseção
triangular
é determinada por cálculo proporcional,
isto é, w!x = wiL ou w = w0x/L. Como a intensidade da carga
carregamento
é deter­
é conhecida,
minada
pela aárearesultante
sob o didoagrama
(Figura 6.distribuído
7c). Assim,
w L l_(WoX ) _
+ i 'ZF = O·
x V=O
2
2 L
V = Wo (L2 - xz )
(1)
2L
y
_
0
'
IVo
;
(2)
Esses resultados para V e podem ser verificados observan­
do que dV!dx = -w. De fato,Messa expressão está correta, já que
positiva age para baixo. Observe também que dM/dx = V.
Diagramas
cortante e momento fletor.
Os
diagramas dedeforçaforçacortante
e momento fietor mostrados na
Figura 6.6c são obtidos pela representação gráfica das equa­
1 e 2. O ponto de cisalhamento zero pode ser determi­
ções
nado pela Equação 1:
V = w (� - x ) = O
L
X=2
OBSERVAÇÃO: Pelo diagrama de momento fietor esse valor
de representa o ponto na viga onde ocorre o momento má­
xiPelamo,Equação
já que, pela
Equação 6.2, a inclinação V = O = dM/dx.
2, temos
( a)
w
x
IV�L
-- - - -
c t- ..
( WoX ) x
2 L
1
�
t
--
--
--
!
��x--_.jX�l v
w03L;'
.
--
.. ... ..
-
·.. .
....
··.
.
·..
wox
1=y
't )
I \ M
(c)
!liJrrTT I
(,f,4� llUj
IVo
•" L
Z.
B�iiiWHlllll��i��
WoL
3-
�,
graficamente os diagramas de força cortan­
te eRepresente
momento fietor
para a viga mostrada na Figura 6.7a.
"' ':>
SOLUÇÃO
-=�
��"""
�
é substituída por
A carga distribuídadeterminadas
forç
a
resultante,
e
as
reações
foram
como
mostra a Figura 6.7b.
su a
w�L
"�
Reações nos apoios.
1 85
v
1f---r
----":--
M
wof, '
3
X
--------------�------� x
(d)
Figura 6.7
1 86
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
w0I} w0L
1 ( WoX )x ( 1 ) M = O
-3 -2 ( x) + -2 L
3'
(2)
Esses
equaçõesresultados
6. 1 e 6.2podem
, isto é, ser verificados pela aplicação das
1 + 2:M = O;
d
dx
2
+
-x
V
Wo
w = -- = -- (O 2L
kN/m
WoX
2x) = L
OK
9
�<-��1m�
2 m�
30kN lSm 42kN
I
���----
gráficos das equações 1 e 2 são mostrados na Figura 6.7d.
Diagramas de força cortante e momento fletor.
(a)
Os
--------4
(b)
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fletor para a viga mostrada na Figura 6.8a.
SOLUÇÃO
A carga distribuída é dividida em
dois carregamentos, sendo um triangular e outro retangular
são substituídos por suas forças
e, então, essesAscarregamentos
resultantes.
reações foram determinadas como mostra o
diagrama de corpo livre da viga (Figura 6.8b).
Funções de cisalhamento e momento fletor. Um dia­
grama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado na
Figura 6.8c. Como fizemos para a reação nos apoios, o car­
regamento trapezoidal é substituído por uma distribuição
retangular e outra triangular. Observe que a intensidade da
carga triangular na seção é determinada por cálculo pro­
porcional.distribuído
A força resultante
cada carre­as
gamento
tambémesãoa localização
mostradas.deAplicando
equações de equilíbrio, temos
1
+ I 2:Fy = O 30 kN -(2 kN/m)x - -(4 kN/m) (--) x - V = O
18 m
2
Reações nos apoios.
;
X
-30 kN -x(2 kN/m)x (i) + � (4 kN/m) Ctm) x (�) +
1+2:M = O ;
(1)
6kN/m
2
�42kN
30kN�
V(kN)
l---9,-73_5_m--.-,� -----+--x(m)
Ml(:� m) Mmh� �� -m42
�
!
(d)
Figura 6.8
J
\
x�)
A Equação 2 pode ser verificada observando-se
que dM!dx
isto é, Equação 1. Além disso, w = -dV!dx =O 2 + 2/9x.kN/tn, e
= O equação está de acordo, visto que, quando x = , w 2
quando x = 18m, w = 6 kN/m (Figura 6.8a).
Diagramas de força cortante e momento fletor.
Equações
são representadas em gráfico na Figuraquando
(2) Visto que 1oe 2ponto
momento
dM!dx = V = O, então,depela
Equaçãomáximo
1, ocorre
M
=
=
V,
Essa
As
6.8d.
15kN
V = O = 30 - 2x - -x92
Escolhendo a raiz positiva,
x = 9,735 m
Assim, pela Equação 2,
(9,735)3
Mmáx = 30(9,735) - (9,7 35) 2 27
= 163 kN·m
::/�
5,75kN
'""
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fletor para a viga mostrada na Figura 6.9a.
/
"
SOLUÇÃO
minadas e são mostradasAsnoreações
diagramanosdeapoios
corpoforam
livre dadeter­
viga
(Figura 6.9d).
Funções de cisalhamento e momento fletor. Visto que
uma descontinuidade na carga distribuída e também uma
carga
centrose dadescreverem
viga, duas asregiões
vem serconcentrada
consideradasno para
funçõesde dex de­ci­
salhamento e momento para a viga inteira.
O :S x1 < 5 m (Figura 6.9b):
+ t 'i,F = o·
5,75 kN - V = O
V = 5,75 kN
(1)
Reações nos apoios.
há
'
y
1 87
(a)
�,:
l� �.�
!:B�B ��Il
0 !!= "' :
;;
= S7
FLEXÃO
5,75 kN
15 kN 5(x2 - 5)
(b)
(c)
5,7V(5kNkN)
5,75 1-------l--..,-x(m)
= O; -80kN · m - 5,75kN x1 M = O
M = (5,75x1 SO) kN· m
(2)
5 m < x2 10m (Figura 6. 9 c):
+ t 'i,F = o·
5,75kN - 15kN - 5 kN/m(x2 - 5 m) - V = O
V = (15,75 - 5x2) kN
(3)
(d)
15 kN(x2 - 5 m)
L + 'i, M = O; -80 kN m - 5,75 kN x2
Figura 6.9
(
1 e 2 dão V= 5,75 kN eM= 80 kN
quando x1 = O, equações
5 kN/m(x2 - 5 m) x2 -2 5 m ) M = O quando
as Equações 3 e 4 dão V = -34,25 kN· m;e
=
10
m,
x
2
M = O. Esses valores estão de acordo com as reações nos
apoios mostradas no diagrama de corpo livre (Figura 6.9d).
= ( -2,5x22 + 15,75x2 92,5) kN m
(4)
Diagramas de força cortante e momento fletor. As Equa­
Esse
s
resu
ltados
podem
ser
verificados,
observan­
em
parte,
ções
1 a 4 são apresentadas nos gráficos da Figura 6.9d.
do-se que, aplicando = -dV/dx e V = dM/dx. Além disso,
L+ 'i,M
M(kN·m) 108,75 -34,25
80
1------'--x(m)
+
+
::S
y
'
+
·
+
+
+
M
w
·
as
1 88
6.2
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
M étodo g ráfico p a ra
construi r d i a g ramas d e força
corta nte e mome nto fletor
Quando uma viga está sujeita a vários carregamen­
tos diferentes, determinar V e M em função de x e re­
presentar essas equações em gráfico pode ser bastante
tedioso. Nesta seção, discutiremos um método mais
simples para construir os diagramas de força cortante
e momento fletor - um método baseado em duas re­
lações diferenciais que existem entre carga distribuída,
cisalhamento e momento.
Com a fi­
nalidade de generalizar, considere a viga mostrada
na Figura 6.10a, que está sujeita a um carregamento
arbitrário. Um diagrama de corpo livre para um pe­
queno segmento �x da viga é mostrado na Figura
6.10b. Visto que esse segmento foi escolhido em uma
posição x onde não há nenhuma força concentrada
nem momento conjugado, os resultados que serão
obtidos não se aplicarão a esses pontos de carrega­
mento concentrado.
R e g i õ e s d e ca rga d istri b u íd a .
Observe que todos os carregamentos mostrados n o
segmento agem em suas direções positivas, de acordo
com a convenção de sinal estabelecida (Figura 6.3 ).
Além disso, ambos, cisalhamento e momento intern os
resultantes, que agem na face direita do segmento, de­
vem sofrer uma pequena mudança finita para manter
o segmento em equilíbrio. A carga distribuída foi subs­
tituída por uma força resultante w (x)� que age a uma
distância fracionária k( �x) da extremidade direita'
onde O < k < 1 [por exemplo, se w(x) for uniforme'
k = 1/2].
Aplicando as duas equações de equilíbrio ao seg­
mento, temos
+ i 2- Fy = O·'
V - w (x) �x - (V + �V) = O
�V = - w(x) �x
1 + 2- M0 = O ;
- V �x - M + w(x) �x[k(�x)] + ( M + � M )
� M = V �x - w(x) k(�x) 2
Dividindo por �x e calculando o limite quando
�x --7 O, essas duas equações tornam-se
dV
- = -w(x)
dx
inclinação do diagrama
de força cortante em
cada ponto
( a)
w (x) r _
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1--- k(llx)
r)MHM
1
I
o
(6. 1)
-intensidade da
carga distribuída
em cada ponto
(6. 2)
inclinação do diagrama cisalhamento
de momento em cada = (força cortante)
ponto em cada ponto
1
v
=
dM
=V
dx
w(x)llx
== o
, "'
V + ll V
Llx
Diagrama de corpo
livre do segmento Llx
N
A
Área da seção transversal
do segmento
(b)
Figura 6.10
Essas duas equações proporcionam um meio con­
veniente para se obter rapidamente os diagramas de
força cortante e momento fletor para uma viga. A
Equação 6.1 afirma que, em um ponto, a inclin ação
do diagrama de força cortante é igual à intensidade
negativa do carregamento distribuído. Por exemplo,
considere a viga na Figura 6.11a. O carregamento dis­
tribuído é positivo e aumenta de zero até w8• Portanto,
o diagrama de força cortante será uma curva com in­
clinação negativa, que decresce de zero até -w8 • Incli­
nações específicas wA = O, - w c, -wn e - w8 são mos­
tradas na Figura 6.11b.
Demaneirasemelhante,aEquação6.2afirmaque,em
um ponto, a inclinação do diagrama de momento é igua l
aocisalhamento (força cortante) . Observe que o diagra­
ma de força cortante na Figura 6.11b começa em + V:,,
FLEXÃO
D.M = J V(x)dx
Mudança no -área sob o diagrama
momento - de força cortante
1 89
(6.4)
_
(a)
A Equação 6.3 afirma que a mudança na força cor­
tante entre os pontos C e D é igual à área (negativa)
sob a curva de carga distribuída entre esses dois pon­
.
tos (Figura 6.11d). De maneira semelhante, pela Equa­
ção 6.4, a mudança no momento entre C e D (Figura
6.11f) é igual à área sob o diagrama de força cortante
dentro da região entre C a D.
Como dissemos antes, essas duas equações não se
aplicam a pontos onde age uma força concentrada ou
um binário.
(b)
(c)
Regiões de força e mome nto concentra­
dos. Um diagrama de corpo livre de um pequeno
f-------�L-x
segmento da viga na Figura 6.10a tomado sob uma das
forças é mostrado na Figura 6.12a. Aqui, podemos ver
que o equilíbrio de forças exige
- VB
+ i L.Fy = o·'
(6.5)
Assim, quando F age para baixo na viga, D. V é nega­
tivo, de modo que a força cortante "saltará" para bai­
xo. De maneira semelhante, se F agirpara cima, o salto
( D. V) será para cima.
D.V
(d)
v
=
--F
Pela Figura 6.12b, o equilíbrio de momento exige
que a mudança no momento seja
(e)
.\i' +�Mo = o·'
I
M + D.M - M0 - V D.x - M = O
Fazendo D.x ---1 O, obtemos
M
(f)
V - F - (V + D. V) = O
11M
c
D
(6.6)
',
\
I
X
Figura 6.11
decresce até zero e, então, torna-se negativo e decresce
até - V8• Então, o diagrama de momento terá uma incli­
nação inicial de + VA , que decresce até zero e, em seguida,
torna-se negativa e decresce até -V8• Inclinações especí­
ficas VA , Vc, VD, O e -V8 são mostradas na Figura 6.11c.
As equações 6.1 e 6.2 também podem ser reescritas
na forma dV = -w(x) dx e dM = V dx. Observando
q�e w(x) dx e V dx representam áreas diferenciais sob o
dtagrama de carga distribuída e força cortante, respecti­
va�ente, podemos integrar essas áreas entre quaisquer
dms pontos C e D na viga (Figura 6.11d), e escrever
D.V = - Jw(x)dx
Mudança na
força cortante
=
-área sob a carga
distribuída
(6.3)
Nesse caso, se M0 for aplicado em sentido horário,
D.M é positivo, de modo que o diagrama de momento
"saltará" para cima. De manei ra semelhante, quando
M0 for aplicado em sentido anti-horário, o salto (D.M)
será para baixo.
A Tabela 6.1 ilustra a aplicação das equações 6.1,
6.2, 6.5 e 6.6 a alguns casos comuns de carregamento.
Nenhum desses resultados deve ser memorizado; mais
exatamente, cada um deles deve ser cuidadosamente
estudado de modo que fique perfeitamente claro como
os diagramas de força cortante e momento ftetor po­
dem ser construídos com base no conhecimento da
inclinação nos diagramas de carga e força cortante,
respectivamente. Valeria muito a pena dedicar tempo
e esforço para testar o seu grau de entendimento des­
ses conceitos analisando as colunas de diagramas de
força cortante e momento apresentados na Tabela 6.1
e tentando reconstruir esses diagramas com base no
conhecimento do carregamento.
1 90
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
+LlM
F
v
1.---1- J
+11M
v
101
r-- Ax --i V + IlV
( a)
Figura 6.12
MI t
Mz
( r--1 ----,-t'---l --- f--, ')
MI("tr---,
r�t
Carregamento
I
p
VI
Vz
'----,
v
M(tt
VI
v
..___.._
__,____ '____,__ !----' f)'
Diagrama de dV
força cortante dx
w=O
= -w
Força P para baixo faz V saltar
para b aixo de V1 para Vz .
v
v
Nenhuma mudança na força cortante,
já que a inclinação w = O.
Ml
Diagrama d e dM
momento
dx
=
V
------
Inclinação constante muda de V1 para V2•
M
Inclinação positiva constante. M0 em
sentido anti-horário faz saltar para baixo.
1---
Vz
Inclinação negativa constante.
Inclinação negativa
que aumenta de -w1 a -w2•
-wz
·-
Inclinação negativa que
decresce de -wl a-w2•
Inclinação positiva que decresce de V1 para Vz.
Ml
-------
Inclinação positiva que decresce de V1 para Vz.
Ml
1)--
__
__
__
__
__
__
__
__
__
Inclinação positiva que decresce de V1 para Vz.
FLEXÃO
s
s ,
Reações nos apoio s
as reações nos apoios e decomponha as forças que agem na viga
viga.
1 91
o proce dimento descríto a seguir proporciona um método para construir os diagramas de força cortante e mo­
para uma viga com base na relações entre carga di tribuída cisalhamento e momento,
ento
m
., Determine
paralelas ao eixo d a
n s rpen i ulares
em comp one te p e
dc
e
valores conhecidos da u
da viga.
em ue
i
a
in
si
(negati­
s que os t um ponto, od
Se tiv rm s de det rminar um valor numérico do cisalhamento em
emos utílizar
indica a
a equação equilíbrio de força, ou ll V = - Jw(x)
en re dois pon­
ag ama de a a entre os dois pontos.
tos ais r igual área
Vist que (x) deve ser i tegrad para obter llV, então, se w(x) for uma curva de grau n, V(x) será uma
grau
por exemplo, se w(x) for uniforme, V(x) será l inear.
Diagrama de momento
os eix s e e ons rua um gráfico com os valores conhecidos do momento nas
v ga.
VDefina
is to que dM!dx = a
do diagrama de momento em qualquer ponto é igual ao cisalhamento no ponto.
portanto, esse seria um ponto de momento máximo ou
No ponto onde o isalhamento é nulo, dM!dx =
tiv rmos de determinar um v alor
momento no ponto, podemos usar o método elas seções a equa­
ois ontos
çãouais uequilíbrio
ele momento, ou usar = JV(x) que indica que a
qVisto
er igual área
o a ra
cortante entre os dois pontos.
qu
ser integrada para obter então, se V(x) for uma curva ele grau n, será uma curva de
grau n 1; por xemplo, se V(x) for linear, M(x) será parabólica .
Diag rama de força cortante
s
força cortante nas duas extremidades
• Defina os eixos V e x e construa um gráfico com os
q alq r ponto é gu l à ten dade
to que dV/dx = -w, a inclinação do diagrama de força cortante
va) do carregamento distribuído no ponto. Ob erve
w é p i iva quando age para baixo.
• Vi
e
•
o
e
•
qu
dx, que
o
o M
•
•
• Se
c
e
ele
x
V,
à
é
q
e V(x) deve
e
+
(negativa) sob o di
c
r
c
a
n
w
•
•
à
que é
n + 1;
o método das seções
p
e
de
rg
que
mudança no cisalhamento
t
curva de
t
extremidades da i
inclinação
mínimo.
O e,
numérico do
sob
llM
di g ma de força
mudança no momento entre d
dx,
M(x)
llM,
e�e:�mu���IZ"
�::
" si):;;�
"' ::::"'fjj
�"'"" f!iiíiP �:P"S:-s,
""�
"'
=�
:;c
p
"0'0
Represente graficamente os diagramas ele força cortan­
te e momento fletor para a viga na Figura 6.13a.
'="""
e
SOLUÇÃO
apoios. As reações são mostradas no diagra­
maReações
de corponoslivre
(Figura 6. 13b).
Diagrama de força cortante. De acordo com a conven­
ção
ele sinal (Figura 6. 3 ), em x = O, V = + P e em = L,
V = + P. Esses pontos estão representados na Figura 6. 1 3b.
Vistoforçaquecortante
w = O (Figura 6. 1 3a), a inclinação do diagrama
será zero (dV!dx = -w = O) em todos os
de
e,
portanto,
pontos
das extremidades. uma linha reta horizontal liga os pontos
Diag rama de momento. Em x = O, M = - PL e em
L, M = O (Figura 6. 1 3d). O diagrama de força cortante
indica que o cisalhamento
é positivo constante e, portanto, a
inclinação do diagrama ele momento será positiva constante,
dM!dx = V = + P em todos os pontos. Por consequência, os
pontos
extremidades
ligados por uma linha reta com
inclinaçãonaspositiva,
como são
mostra a Figura 6.13d.
p
x
x =
t
v
-PL
(c)
I
X
M
I�"
(d)
Figura 6.13
X
p
1 92
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6. 14a.
(1\ l 1 1 1 1 ! UJ q
:t----- L ------1
Mo
woL2
2
�----- L ------1
(b)
v
waL
v
(b)
Inclinação negativa e constante = -w0
L------�� x
I._'
r
----1n
- X
-
(d)
Figura 6.14
SOLUÇÃO
M
(c)
M
Mo
( c)
-- -- x
Reações nos apoios. A reação no apoio fixo é mostrada
no diagrama de corpo livre (Figura 6. 14b).
Diagrama de força cortante. O cisalhamento ou a for­
ça cortante V = O em cada extremidade é representado em
primeiro lugar (Figura 6. 14c). Visto que não existe nenhuma
carga distribuída na viga, o diagrama de força cortante terá
inclinação nula em todos os pontos. Portanto, uma linha reta
horizontal liga os pontos nas extremidades, o que indica que
o cisalhamento é nulo em toda a viga.
Diagrama de momento. O momento M0 nos pontos das
extremidades da viga é representado em primeiro
lugar (Fi­
gura 6. 14d). Pelo diagrama de força cortante, a=inclinação do
diagrama de momento será nula, visto que V O. Portanto,
uma linha reta horizontal liga os pontos nas extremidades
como mostra a figura.
�------�� x
woL2
2
Inclinação positiva decrescente
(d)
Figma 6.15
Diagrama de força cortante. O cisalhamento em cada
ponto da extremidade é representado em primeiro lugar (Fi­
gura 6.15c). A carga distribuída na viga é positiva constante
e, portanto, a inclinação do diagrama de força cortante será
e negativa (dV/dx w ) Isso significa uma linha
constante
reta com inclinação negativa que liga
os pontos nas extre­
midades.
Diagrama de momento. O momento em cada ponto
da extremidade é representado em primeiro lugar (Figura
6.15d). O diagrama de força cortante indica que V é positi­
va e decresce de w0L a zero e, portanto, o diagrama de mo­e
mento deve começar com uma inclinação positiva de w0L
decrescer
até zero.
que o dediagrama
deto
força
cortante
é umaEspecificamente,
reta inclinada, ovisto
diagrama
momen
mostra a
será
figura.parabólico, com inclinação decrescente, como
= -
0 .
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
Represente graficamente os diagramas de força cortan­ te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6.16a.
te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6. 1 5a. SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
Reações nos apoios. As reações no apoio fixo foram cal­
culadas e são mostradas no diagrama de corpo livre (Figura
Reações nos apoios. As reações no apoio fixo são mos­
6.
16b).
tradas no diagrama de corpo livre (Figura 6. 15b).
FLEXÃO
2kN/m
Wo
t--�4���- ,5
2
v
Inclinação negativa decrescente
,,!•.�·
•"l ;;
Tq�
2kN/m
m------>1
(a)
woL
1 93
1,51--kN - 4,5 m 3kN1
V(kN)
1,5
2,6 m (m
------
--
(b)
(c)
Inclinação =
O
Inclinação negativa crescente
M
'
\.
'--------'t:--'----- x
)
Inclinação positiva decrescente
(d)
Figura 6.16
O cisalhamento em cada
ponto da extremidade é representado em primeiro lugar
(Figura 6.16c). A carga distribuída na viga é positiva, porém
decrescente. Portanto, a inclinação do diagrama de força cor­
tante será negativa decrescente. Em x = O, a inclinação come­
ça em -w0 e vai até zero emx = L. Visto que o carregamento
é linear, o diagrama de força cortante é uma parábola com
inclinação negativa decrescente.
Diagrama de momento. O momento em cada extremi­
dade é representado em primeiro lugar (Figura 6.16d). Pelo
diagrama de força cortante, V é positiva, mas decresce de
W0L/2 em x = O até zero em x = L. A curva do diagrama de
momento que apresenta esse comportamento de inclinação
é uma função cúbica de x, como mostra a figura.
Diagrama de força cortante.
M
(kN m) \
O
-2 -3
(c) Inclinação =
16
Inclinação positiva decrescente
·
i
./ ·/
./
.. //
Iodbllição
.
2
�
'
\
-3
'\<' Inclinação
.
,/ Inclinação = 1 , 5 Inclinação =
/
negativa
\�ecrescente
\
(d)
E*EIXI!Ji!G(i!Jj �.n n
�� "
""
te
�
0 �"' /d/20
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
e momento fietor para a viga na Figura 6.17a.
SOLUÇÃO
(e )
As reações foram determinadas e
são mostradas no diagrama de corpo livre (Figura 6.17b).
em primeiro lugar (Figura 6.17c). Pelo comportamento da
Diagrama de força cortante. Os pontos nas extremida­
carga distribuída, a inclinação do diagrama de força cortante
des = O, V = + 1,5 e x = 4,5, V = -3, são representados variará de zero em x = O a -2 em x = 4,5. O resultado é que
Reações nos apoios.
x
Figura 6.17
1 94
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
8kN 8kN
diagrama de força cortante é uma parábola com a forma
mostrada na figura.
o ponto de cisalhamento nulo pode ser determinado pelo
método das seções para um segmento da viga de compri­
mento x (Figura 6.17e). Exige-se que V = O, de modo que
0
+/2:Fy = O;
x )] x = O;
1,5 kN - .!.2 [2 kN/m ( 4,5m
(a)
x = 2,6 m
Os pontos nas extremidades
xroDiagrama
=lugar
O, M(Figura
= dO eexm6.17d).
=omento.
4,5, M = O, são representados em primei­
Pelo comportamento do diagrama de
força cortante, a inclinação do diagrama de momento come­
çará em +1,5 e, então, torna-se positiva decrescente até che­
gar a zero em 2,6 m. Em seguida, torna-se negativa crescente
e alcança -3 em x = 4,5 m. Aqui, o diagrama de momento é
uma função cúbica de x. Por quê?
OBSERVAÇÃO: O momento máximo ocorre em x = 2,6,
visto que dM/dx = V= O nesse ponto. Pelo diagrama de cor­
po livre na Figura 6.17e, temos
(
L+IM = O;
-1,5 kN(2,6 m) + H2 kN/m(�:�:)}2,6 m)( 2·�m ) + M = O
M = 2,6 kN m
·
�
i�mtirtoc�"�'-n=a� :
�
- j"""
�
11,2tkN
4,A8������
kN
V(kN)
c)
4,8 I -3,2 1 n
(
m
)
-m11,I 2
M(kN·m)
28,8 �2,4
x(m)
(b)
(d)
.
D
L
ti
a
X
�------�-
"' " ,$L
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fietor para a viga mostrada na Figura 6.18a.
Figura
SOLUÇÃO
As reações são indicadas no diagra­
ma de corpo livre (Figura 6.18b).
Diagrama de força cortante. Em x = O, VA = +4,8 kN e
em x = 10, VD = -11,2 kN (Figura 6.18c). Em pontos inter­
mediários entre cada força, a inclinação do diagrama de força
cortante será zero. Por quê? Por consequência, o cisalhamen­
to conserva seu valor de +4,8 até o ponto B. Em B, o cisalha­
mento é descontínuo, visto que há uma força concentrada de
8 kN naquele lugar. O valor do cisalhamento imediatamente
à direita de B pode ser determinado fazendo-se um corte
na viga nesse ponto (Figura 6.18e), onde, para equilíbrio,
V = -3,2 kN. Use o método das seções e mostre que o dia­
grama "salta" novamente em C, como mostra a figura e, em
seguida, fecha no valor de - 11,2 kN em D.
Devemos observar que,com base na Equação 6.5 ,Ll. V= -F,
o diagrama de força cortante também pode ser construído "se­
guindo a carga" no diagrama de corpo livre. Começando em A,
a força de 4,8 kN age para cima, portanto VA = +4,8 kN. Não
há nenhuma carga distribuída agindo entre A e B, assim, o ci­
salhamento permanece constante (dV/dx = 0). Em B, a força
Reações nos apoios.
6.18
de 8 kN age para baixo, então o cisalhamento salta 8 kN para
baixo, de +4,8 kN para -3,2 kN. Novamente, o cisalhamento é
constante de B a C (nenhuma carga distribuída); então, em C,
desce mais 8 kN, até -11,2 kN. Por fim, sem nenhuma carga
distribuída entre C e D, termina em -11,2 kN.
Diagrama de momento. O momento em cada extre­
midade da viga é zero (Figura 6.18d). A inclinação do
diagrama de momento de A a B é constante em +4,8. Por
quê? O valor do momento em B pode ser determinado
usando a estática (Figura 6.18c) ou pela determinação da
área sob o diagrama de força cortante entre A e B, isto é,
Ll.M
AB = (4,8 kN)(6 m) = 28,8 kN m. Visto que MA == O,
então Ms = MA + Ll.MAB = O + 28,8 kN m = 28,8 kN m .
Partindo do ponto B, a inclinação do diagrama de momen to
é -3,2 até alcançar o ponto C. Novamente, o valor do mo­
mento pode ser obtido pela estática ou pela determinação
da área sob o diagrama de força cortante de B a C, isto é,
Ll.28,8
MsckN= (m-3,2- 6,4kN)(2
m) = -6,4 kN m, de modo que Me ==
kN m = 22,4 kN m. Continuando dessa
maneira, verifique que o fechamento ocorre em D.
·
·
·
·
·
·
·
FLEXÃO
1 95
Diagrama de momento. Os momentos nas extremidades
MA = O e Mv = O são representados em primeiro lugar (Figu­
ra 6.19d). Estude o diagrama e observe como as inclinações
e, portanto, as várias curvas, são definidas pelo diagrama de
força cortante usando dM!dx V. Verifique os valores nu­
méricos para os picos pelo método das seções e pela estática
soLUÇÃO
ou pelo cálculo das áreas adequadas sob o diagrama de for­
ça cortante para determinar a mudança no momento entre
apoios.
O
diagrama
de
corpo
livre
com
as
Reações nos
dois pontos. Em particular, o ponto de momento nulo pode
calculadas
é
mostrado
na
apoios
Figura
6.19b.
nos
ções
rea
ser
determinado definindo-se M em função de x, onde, por
Diagrama de força cortante. Como sempre, começamos
conveniência,
estende-se do ponto B e entra na região BC
das forças cortantes nas extremidades VA (Figura 6.19e ).xPor
pe la representação
consequência,
"' +4,40 kN, e Vv O (Figura 6.19c). O diagrama de força
cortante terá inclinação nula de A a B. Então, saltará para 1 + L- M = O;
baixo 8 kN até -3,60 kN. Em seguida, a inclinação é negativa
cente. A força cortante em C pode ser determinada pela -4,40 kN(4 m + x) + 8 kN(x) +
cres
área sob o diagrama de carga, Vc = Vn + ó.V8c -3,60 kN
- (1/2)(6 m)(2 kN/m) = -9,60 kN. Então, o diagrama salta
17,6 kN para cima até 8 kN. Por fim, de C a D, a inclinação do
diagrama de força cortante será constante, porém negativa,
até o cisalhamento atingir zero em D.
Represente graficamente os diagramas de força cor­
apo�ada com uma
tante e momento fletor para a vigana
Figura 6.19a.
mostrada
balanço
em
de
ida
rem
ext
=
=
=
8kN
8kN
!
4,40 kN
V(kN)
(c44) 0 1
kN/m
17,6 kN
2kN/m
-3,60 -9,60
x(m)
M(kN·m)17,6, clínação= -3,60
I-__,n=c�li4n:,.,àção4.,_0 _\,_.
x (m)
3 ,94
InI clinação=f.- --1\9,6-0�16I Inclinação= 8
�n
/,/"
(d)
. i/--.
�
·
=
( - 1� x3 - 3,60x
+
)
17,6 kN · m = O
x = 3,94 m
'I
l.
M
Revendo esses diagramas, observamos que,
em razão do processo de integração para a região AB, a car­
ga é nula, a força cortante é constante e o momento é linear;
para a região BC, a carga é linear, a força cortante é para­
bólica e o momento é cúbico; e, para a região CD, a carga é
constante, a força cortante é linear e o momento é parabóli­
co. Recomendamos que os exemplos 6.1 a 6.6 também sejam
resolvidos por esse método.
OBSERVAÇÃO:
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para o eixo. Os mancais em A e B
exercem somente reações verticais no eixo.
6.1.
B
\\\
--+--+-i
'
(e )
Figura 6.19
24kN
Problema 6.1
6.2. Um dispositivo é usado para suportar uma carga. Se a
força aplicada ao cabo for 250 N, determine as tensões T1 e
T2 em cada extremidade da corrente e, então, represente gra­
ficamente os diagramas de força cortante e momento para o
braço ABC.
1 96
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
A
!l--250N300mm
B
mm75
Problema 6.5
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B
exercem somente reações verticais sobre o eixo. Expresse
também a força cortante e o momento no eixo em função de
x dentro da região 125 mm < x < 725 mm.
6.6.
T2
l.SOON
Problema 6.2
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para o eixo. Os mancais em A e D
exercem somente reações verticais sobre o eixo. A carga é
aplicada às polias em B, C e E.
6.3.
Problema 6.6
400N 550N
175N
75mm
6.7. Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fletor para o eixo e determine a força cortante
e o momento em todo o eixo em função de x. Os mancais em
A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo.
Problema 6.3
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga.
*6.4.
Problema 6.7
Represente graficamente os diagramas de força cortan­
te e momento fletor para o tubo. A extremidade rosqueada
está sujeita a uma força horizontal de 5 kN. Dica: As reações
no pino C devem ser substituídas por cargas equivalentes no
ponto B no eixo do tubo.
*6.8.
5
Problema 6.4
1----- 400 mm
Um suporte de concreto armado é usado para apoiar
as longarinas da plataforma de uma ponte. Represente gra­
Problema 6.8
ficamente os diagramas de força cortante e momento para o
a cor­
suporte quando submetido à carga das longarinas mostradas 6.9. Represente graficamente os diagramas de forç00
kN
1
tante
de
e
momento
fletor
para
a
viga.
Dica:
A
carga
na figura. Considere que as colunas em A e B exercem so­
C
dever ser substituída por cargas equivalentes no ponto no
mente reações verticais no suporte.
eixo da viga.
6.5.
-------1
FLEXÃO
Problema 6.13
Problema 6.9
O guindaste de motores é usado para suportar o mo­
tor que pesa 6 kN. Represente graficamente os diagramas de
força cortante e momento fletor da lança ABC quando ela
está na posição horizontal mostrada.
6.10.
1,r2 m
A
1 97
r--o,9
6.14. Considere o problema geral de uma viga simples­
mente apoiada submetida a n cargas concentradas. Escreva
um código computacional que possa ser usado para deter­
minar a força cortante interna e o momento em qualquer
localização específica x ao longo da viga e construa os dia­
gramas de força cortante e momento fietor para a viga. Mos­
tre uma aplicação do código usando os valores P1 = 2,5 kN,
d1 = 1,5 m, P2 = 4 kN, d2 = 4,5 m, L1 = 3 m, L = 4,5 m.
l����
Problema 6.10
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga composta. Ela é suporta­
da por uma chapa lisa em A, que desliza no interior de uma
ranhura e, por isso, não pode suportar uma força vertical,
embora possa suportar momento e carga axial.
6.11.
�---- L ------�
Problema 6.14
6.15. A viga está sujeita ao momento uniformemente distri­
buído m (momento/comprimento). Represente graficamente
os diagramas de força cortante e momento fietor para a viga.
Problema 6.15
'6.12. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga composta interligada por
um pino em B.
30kN
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga.
*6.16.
Problema 6.11
40kN
lOkN/m
Problema 6.16
Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de
um
barco
com largura uniforme e peso de 50 N/m. Determi­
Problema 6.12
ne 0 momento fietor máximo exercido sobre o barco. Consi­
dere que a água exerce uma carga distribuída uniforme para
6.13. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga.
cima na parte inferior do barco.
6.17.
1 98
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
2,5 k:N/m
Problema 6.21
Problema 6.17
6.22. Represente graficamente os diagramas de força cor­
Represente graficamente os diagramas de força cor­ tante e momento fietor para a viga composta. Os três seg­
tante e momento fietor para a viga. Ela é suportada por uma mentos estão interligados por pinos em B e E.
chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e,
por isso, não pode suportar uma força vertical, embora possa
suportar momento e carga axial.
6.18.
Problema 6.22
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga.
6.23.
Problema 6.18
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga.
6.19.
30kN/m
30kN/m
03 kNal !30kN/m
I Fl JlU!i
�1,5 m+1,5 m-t-1,5 m��. ·
Problema 6.23
*6.24. A viga está parafusada ou presa por pino em A e re­
pousa sobre um coxim em B que exerce uma carga unifor­
memente distribuída na viga ao longo de seu 0,6 m de com­
primento. Represente graficamente os diagramas de força
cortante e momento fietor para a viga se ela suportar uma
carga uniforme de 30 kN/m.
P1·oblema 6.19
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga e determine a força
cortante e o momento em toda a viga em função de x.
'6.20.
Problema 6.24
6.25. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga. Os dois segmentos estão
interligados em B.
Problema 6.20
6.21. Represente graficamente os diagramas de força
cortante e momento fletor para a viga e determine a for­
ça cortante e o momento na viga em função de x, onde
1,2 m < x < 3 m.
Problema 6.25
1 98
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Problema 6.21
Problema 6.17
6.22. Represente graficamente os diagramas de força cor­
Represente graficamente os diagramas de força cor­ tante e momento fletor para a viga composta. Os três seg­
tante e momento fletor para a viga. Ela é suportada por uma mentos estão interligados por pinos em B e E.
chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e,
por isso, não pode suportar uma força vertical, embora possa
suportar momento e carga axial.
6.18.
Jb··· .
A
� 2m
Bf.Jil l !].h ! ]rF
UJ 2m D IJ , m L2m --I
3 kN
!
0,8 kN/m
3 kN
Problema 6.22
6.23. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga.
Problema 6.18
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga.
6.19.
30kN/m
03 kN(ij j30kN/m
I�Jà , JUJJ:t
�l,S m+l,S m�l,S m�· ·
Problema 6.23
A viga está parafusada ou presa por pino em A e re­
pousa sobre um coxim em B que exerce uma carga unifor­
memente distribuída na viga ao longo de seu 0,6 m de com­
primento. Represente graficamente os diagramas de força
cortante e momento fletor para a viga se ela suportar uma
carga uniforme de 30 kN/m.
*6.24.
Pl'Oblema 6.19
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga e determine a força
cortante e o momento em toda a viga em função de x.
*6.20.
Problema 6.24
Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga. Os dois segmentos estão
interligados em B.
6.25.
Problema 6.20
Represente graficamente os diagramas de força
cortante e momento fletor para a viga e determine a for­
ça cortante e o momento na viga em função de x, onde
1,2 m < x < 3 m.
6.21.
Problema 6.25
FLEXÃO
1 99
Considere o problema geral de uma viga em balanço 6.29. Represente graficamente os diagramas de força cor­
submetida a n cargas concentradas e a uma carga distribuída tante e momento fletor para a viga.
constante w. Escreva um código computacional que possa
ser usado para determinar a força cortante interna e o mo­
mento em qualquer localização específica x ao longo da viga
e construa os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga. Mostre uma aplicação do código usando os va­
lores P1 = 4 kN, d1 = 2 m, w = 800 N/m, a1 = 2 m, a2 = 4 m,
L = 4 m.
6.26.
Problema 6.29
6.30. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para a viga.
A
3
----�--- 2L
Problema 6.26
______
__
�
Problema 6.30
Determine a distância de colocação a do suporte de
A viga T está sujeita ao carregamento mostrado. Re­
rolete de modo que o maior valor absoluto do momento seja 6.31.
graficamente os diagramas de força cortante e mo­
um mínimo. Represente graficamente os diagramas de força presente
mento
fletor.
cortante e momento fletor para essa condição.
6.27.
lOkN
Problema 6.27
Problema 6.31
Represente graficamente os diagramas de força cor­
O esqui suporta o peso de 900 N ( 90 kg) do ho­
tante e momento fletor para a barra. Somente reações verti­ *6.32.
mem.
Se
a carga da neve em sua superfície inferior for tra­
cais ocorrem em suas extremidades A e B.
pezoidal, como mostra a figura, determine a intensidade w
e, então, represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fletor para o esqui.
'6.28.
=
900N
A
360N
720N
l l2mm
Smm Jsomm
12mm
40mm
1------1 T
Problema 6.28
lV
IV
--1----- 1 m-------4Problema 6.32
200
RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS
Represente graficamente os diagramas de força cor­ gramas de força cortante e momento fietor se ela suportar a
carga distribuída mostrada na figura.
tante e momento fietor para a viga.
6.33.
w
� 2/3
Problema 6.33
L -----+--- 1/3 L
Problema 6.37
�
c
Represente graficamente os diagramas de força cor­ 6.38. Represente graficamente os diagramas de força cor­
tante e momento fietor para a viga de madeira e determine tante e momento fietor para a viga.
a força cortante e o momento fietor em todo o comprimento
da viga em função de x.
6.34.
18 kN/m
B
Problema 6.38
ffiillll[N/m
Represente graficamente os diagramas de força
cortante
e momento fletor para a viga e determine a for­
6.35. O pino liso está apoiado em duas chapas A e B e su­
ça
cortante
e o momento em função de x.
jeito a uma carga de compressão de 0,4 kN/m provocada pela
barra C. Determine a intensidade da carga distribuída w0 das
chapas agindo sobre o pino e represente graficamente os dia­
gramas de força cortante e momento fietor para o pino.
200 N/m
Problema 6.34
6.39.
. &:·
�
-
3m
.I
I
B
3m
Problema 6.39
�
*6.40. Determine a distância de colocação a do suporte de
rolete de modo que o maior valor absoluto do momento seja
um mínimo. Represente graficamente os diagramas de força
*6,36. Represente graficamente os diagramas de força cor­
cortante e momento fietor para essa condição.
tante e momento fietor para a viga.
Problema 6.35
p
Problema 6.36
p
Problema 6.40
A viga composta consiste em dois segmentos interli­ 6.41. Represente graficamente os diagramas de força cor­
gados por um pino em B. Represente graficamente os dia- tante e momento fietor para a viga.
6.37.
FLEXÃO
8 kN/m
Problema 6.41
longitudinais se tornam curvas e as linhas transversais
verticais continuam retas, porém sofrem rotação.
O comportamento de qualquer barra deformável
sujeita a um momento fietor provoca o alongamento
do material na parte inferior da barra e a compressão
do material na porção superior da barra. Por conse­
quência, entre essas duas regiões deve existir uma
superfície, denominada supe1jície neutra, na qual não
ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longi­
tudinais do material (Figura 6.20).
6.42. O caminhão será usado para transportar a coluna de
concreto. Se ela tiver um peso uniforme de w (força/com­
primento), determine a colocação dos apoios a distâncias a
iguais em relação às extremidades, de modo que o momen­
to fletor absoluto máximo na coluna seja o menor possível.
Além disso, represente graficamente os diagramas de força
cortante e momento fietor para a coluna.
Eixo de
Eixo
longitudinal
Figura 6.20
Problema 6.42
6.3
Deformação por flexão d e
u m e l e m e nto reto
Nesta seção, discutiremos as deformações que
ocorrem quando uma viga prismática reta, feita de um
material homogêneo, é submetida à flexão. A discus­
são ficará limitada a vigas com área de seção transver­
sal simétrica em relação a um eixo e a um momento
fletor aplicado em torno de uma linha central perpen­
dicular a esse eixo de simetria, como mostrado na Fi­
gura 6.20. O comportamento de elementos com seções
transversais assimétricas ou feitos de vários materiais
diferentes é baseado em observações semelhantes e
será discutido separadamente em seções posteriores
deste capítulo.
Se usarmos um material de alta capacidade de de­
formação, como a borracha, poderemos ilustrar fisica­
mente o que acontece quando um elemento prismáti­
co reto é submetido a um momento fietor. Considere,
por exemplo, a barra reta (não deformada) na Figura
6.21a, que tem seção transversal quadrada e marcada
por uma grade de linhas longitudinais e transversais.
Quando um momento fietor é aplicado, as linhas da
grade tendem a se distorcer segundo o padrão mostra­
do na Figura 6.2lb. Aqui, podemos ver que as linhas
201
Antes da deformação
(a)
M
Linhas horizontais
tornam-se curvas
Após a deformação
(b)
Figura 6.21
202
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
y
y
(a)
(b)
Figul'a 6.22
Com base nessas observações, adotaremos as três
premissas seguintes em relação ao modo como a tensão
deforma o material. A primeira é que o eixo longitudi­
nal x, que se encontra no interior da superfície neutra
(Figura 6.22a), não sofre qualquer mudança no compri­
mento. Mais exatamente, o momento tenderá a defor­
mar a viga de modo que essa linha toma-se uma curva
localizada no plano de simetria x-y (Figura 6.22b ). A
segunda é que todas as seções transversais da viga per..
manecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal
durante a deformação. A terceira é que qualquer defor­
mação da seção transversal dentro de seu próprio plano,
como observamos na Figura 6.2lb, será desprezada. Em
particular, o eixo z, que se encontra no plano da seção
transversal e em torno do qual a seção transversal gira, é
denominado eixo neutro (Figura 6.22b ) Sua localização
será determinada na próxima seção.
Para mostrar como essa distorção deformará o
material, isolaremos um segmento da viga localizado
à distância x ao longo do comprimento da viga com
espessura �x antes da deformação (Figura 6.22a). A
Figura 6.23 mostra uma vista lateral desse elemento
tomado da viga antes e após a deformação. Observe
que qualquer segmento de reta �x, localizado na su­
perfície neutra, não muda de comprimento, ao passo
que qualquer segmento de reta �s, localizado à distân.
cia arbitrária y acima da superfície neutra, se contrairá
e se tornará �s' após a deformação. Por definição, a
deformação normal ao longo de �s é determinada pela
Equação 2.2, a saber,
�s' - �s
Ãs---> 0
�s
E = lo1m
Agora, representaremos essa deformação em ter­
mos da localização y do segmento e do raio de curva­
tura p do eixo longitudinal do elemento. Antes da de­
formação, �s = �x (Figura 6.23a). Após a deformação,
� tem raio de curvatura p com centro de curvatura
no ponto O' (Figura 6.23b ). Visto que M define o ân­
gulo entre os lados da seção transversal do elemento,
�x = �s = p�e. Da mesma maneira, o comprimento
deformado de �s torna-se �s' = (p -y)MJ. Substituin­
do na equação acima, obtemos
(p - y)M1 - p�e
Ã0---> 0
p�e
.
E = hm
-------
ou
y
p
E = --
(6.7)
FLEXÃO
E= -
Eixo
longitudinal
203
(?) Emáx
Distribuição da deformação normal
Elemento antes da deformação
( a)
Figura 6.24
O'
Eixo
longitudinal
Figura 6.25
Elemento após a deformação
(b)
Figura 6.23
Esse importante resultado indica que a deforma­
ção normal longitudinal de qualquer elemento no inte­
rior de uma viga depende de sua localização y na seção
transversal e do raio de curvatura do eixo longitudinal
da viga no ponto. Em outras palavras, para qualquer
seção transversal específica, a deformação normal
l�ngitudinal variará linearmente com y em relação ao
e1xo neutro. Ocorrerá uma contração (-E) nas fibras
localizadas acima do eixo neutro (+y), ao passo que
ocorrerá um alongamento (+E) nas fibras localizadas
abaixo do eixo ( -y). Essa variação da deformação na
seção transversal é mostrada na Figura 6.24. Aqui, a
deformação máxima ocorre na fibra mais externa lo­
calizada a distância c do eixo neutro. Usando a E�ua­
ção 6.7 e visto que Ema,x = c/p, então' por divisão
'
E
Emáx
-yjp
cjp
De modo que
(6.8)
X
Essa deformação normal depende somente das pre­
missas adotadas em relação à deformação. Contanto
que somente um momento seja aplicado à viga, é razo­
ável adotar uma premissa adicional, ou seja, que esse
momento provoca uma tensão normal somente na dire­
ção longitudinal, ou direção x. Todas as outras compo­
nentes de tensão normal e tensão de cisalhamento são
nulas, visto que a superfície da viga está livre de qual­
quer outra carga. É esse estado de tensão uniaxial que
faz o material ter a componente da deformação nor­
mal longitudinal Ex, (<Tx = EE), definida pela Equação
6.8. Além do mais, pelo coeficiente de Poisson, também
devem existir componentes de deformação associadas
EY = -vEx e Ez = vEx, que deformam o plano da área da
seção transversal, embora, aqui, tenhamos desprezado
essas deformações. Todavia, essas deformações farão
com que as dimensões da seção transversal fiquem me­
nores abaixo do eixo neutro e maiores acima do eixo
neutro. Por exemplo, se a viga tiver seção transversal
quadrada, ela se deformará na verdade como mostra
a Figura 6.25.
-
6.4
A fór m u l a da flexão
Nesta seção, desenvolveremos uma equação que
relaciona a distribuição de tensão longitudinal em
uma viga e o momento fletor interno resultante que
age na seção transversal da viga. Para isto, partiremos da
premissa de que o material se comporta de uma maneira
linear elástica, de modo que a lei de Hooke se aplica, isto é,
<T = EE. Então, uma variação linear da deformação
nomwl (Figura 6.26a) deve ser a consequência de uma
204
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
y
Variação da deformação normal
(vista lateral)
Variação da tensão de flexão
(vista lateral)
(a)
(b)
Variação da tensão de flexão
(c)
Figura 6.26
variação linear da tensão nonnal (Figura 6.26b ). Logo,
assim como a variação da deformação normal, cr variará
de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo,
crmáx, à distância c mais afastada do eixo neutro. Pela proporcionalidade de triângulos (Figura 6.26b) ou pela lei de
Hooke, cr = EE, e, pela Equação 6.8, podemos escrever
(6.9)
Essa equação representa a distribuição de tensão na
área da seção transversal. Aqui, a convenção de sinal defi­
nida é significativa. Para M positivo, que age na direção +z,
valores positivos de y dão valores negativos para cr, isto é,
uma tensão de compressão, visto que age na direção x ne­
gativa. De maneira semelhante, valores negativos de y da­
rão valores positivos ou de tração para cr. Se um elemento
de volume de material for selecionado em um ponto espe­
cífico na seção transversal, somente essas tensões normais
de tração ou de compressão agirão sobre ele. Por exemplo,
o elemento localizado em +y é mostrado na Figura 6.26c.
Podemos localizar a posição do eixo neutro na se­
ção transversal satisfazendo a condição de que a for­
ça resultante produzida pela distribuição de tensão na
área da seção transversal deve ser nula. Observando
que a força dF = crdA age sobre o elemento arbitrário
dA na Figura 6.26c, exige-se
O=
1 dF = ler dA
{
= -amáx y dA
C
}A
Visto que crmá/c não é igual a zero, então
(6.10)
Em outras palavras, o momento de primeira ordem
da área da seção transversal do elemento em torno do
eixo neutro deve ser nulo. Essa condição só pode ser
satisfeita se o eixo neutro também for o eixo do cen­
troide horizontal para a seção transversal analisada. '
Por consequência, uma vez determinado o centroide
para a área da seção transversal do elemento, a locali­
zação do eixo é conhecida.
Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de
que o momento interno resultante M deve ser igual
ao momento produzido pela distribuição de tensão
em torno do eixo neutro. O momento de dF na Figura
6.26c em torno do eixo neutro é dM = y dF. Esse mo­
mento é positivo, visto que, pela regra da mão direita,
o polegar está direcionado ao longo do eixo z positivo
quando os dedos são curvados no sentido da rotação
causada por dM. Uma vez que dF = crdA, pela Equa­
ção 6.9, temos, para toda a seção transversal,
ou
1
cr
M = max i dA
c A
,
(6.11)
' Lembre-se de que a localização y para o centroide da área da
seção transversal é definida pela equação y = Jy dAIJdA. Se
Jy dA = O, então, y = O e, portanto, o centroide encontra-se no
eixo de referência (neutro) . Veja o Apêndice A.
FLEXÃO 205
Nessa expressão, a integral representa o momento
de inércia da área da seção transversal, calculada em
torno do eixo neutro. Esse valor é representado pela
letra I. Por consequência, a Equação 6.11 pode ser re­
solvida para crmáx e escrita em sua forma geral como
�
�
(6.12)
Nessa expressão,
crmáx = tensão normal máxima no elemento, que
ocorre em um ponto na área da seção trans­
versal mais afastado do eixo neutro
M = momento interno resultante, determinado
pelo método das seções e pelas equações
de equilíbrio e calculado em torno do eixo
neutro da seção transversal
I = momento de inércia da área da seção trans­
versal calculada em torno do eixo neutro
c = distância perpendicular do eixo neutro a
um ponto mais afastado do eixo neutro,
onde (Tmáx age.
Visto que crmá/c = - crly (Equação 6.9), a tensão
normal em uma distância intermediária y pode ser
determinada por uma equação semelhante à Equação
6.12. Temos
(6.13)
Observe que o sinal negativo é necessário, já que
está de acordo com os eixos x, y e z definidos. Pela re­
gra da mão direita, M é positivo ao longo do eixo +z,
y é positivo para cima e, portanto, cr deve ser negativa
(compressão), uma vez que age na direção negativa de
x (Figura 6.26c).
Qualquer das duas equações (6.12 e 6.13) é denomi­
nada fónnula da flexão. Essa fórmula é usada para
determinar a tensão normal em um elemento reto,
com seção transversal simétrica em relação a um eixo,
e momento aplicado perpendicularmente a esse eixo.
Embora tenhamos considerado que o elemento seja pris­
mático, na maioria dos projetas de engenharia também
podemos usar a fórmula da flexão para determinar a ten­
são normal em elementos que tenham ligeira conicidade.
Por exemplo, por análise matemática baseada na teoria
da elasticidade, um elemento com seção transversal re­
tangular e comprimento com 15° de conicidade terá uma
tensão normal máxima real aproximadamente 5,4% me­
nor que a calculada pela fórmula da flexão.
A lsecao transv�rsal de umavigaretapermanece.plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão
tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. O eixo neutro é submetido à tensão nula.
conta da deformação, a deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima nas fibras ex­
Contanto que o materialseja homogêneo e a lei de Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente
na seção transversal.
Quando o material é linear elástico, o eixo neutro passa pelo centraide da área da seção trànsversal Bss a conclusãÇJ
se baseia.no fato de que a força nm:maf.r�sultatite que age na seção transversal deve ser nula.
fórmula da flexão baseict�se no fato de que o momento result ante na seção transversal é igual ao momento produ­
zido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.
,
Para aplicar a fórmula da flexão, sugerimos o seguinte procedimento.
Momento interno
'" Tome uma seção do elemento no ponto onde a flexão ou tensão normal deve ser det erminada e obtenha o momento
interno M na seção. O eixo do centroide ou eixo neutro para a seção transversal tem de ser conhecido, visto que M
deve ser calculado em torno desse eixo.
• Se a tensão de flexão máxima absoluta
tiver de ser determinada, represente graficamente o diagrama de momento
fletor para determinar o momento máximo na viga.
Prop riedade da seç ão
•
Determine o momento de inércia da área da seção transversal em torno do eixo neutro. Os métodos usados para
esse cálculo são discutidos no Apêndice A, e a tabela que apresenta os valores de I para várias formas comuns é
dada no final deste livro.
••
206
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tensão normal
y, me i
perpendicularmente o eixo
E p ecifiqu e
o ponto onde a tensão normal deve ser
use crmáx = Me/I.
termin
. Então, aplique equ ç o cr = - My!I. Porém, se qui er calcular
não se esqueça de verificar e
de medida o co i tent
o momento
em
torno do eixo
• A tensão
direç o tal que a força que ela cria no ponto c o tri i
e r que
a mesma direção do momento interno M (Figur 6.26c) . Desse mo o po emo representar
iç o
ten o que
sobre
transversal ou isolar um elemento de volume do material e usá-lo
fazer uma representação ráfic
tensão normal que
no ponto.
•
""
a distância
d da
ada
a aã
Ao substituir os dados,
age uma
ã
n ut o está n
bu ã de sã
age
toda a seção
g a da
s
-
"'
�q�e��u�
�.n �
" "'
- a
a
neutro, até
s
a tensão de flexão máxima,
s as unidades
sã ns s es
em
n bu para
a
d d s
de­
.
,
age
""
""'�
A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à
distribuição de tensão mostrada na Figura 6.27a. Determine o
momento interno M na seção provocado pela distribuição de
tensão (a) pela fórmula da flexão e (b) pela determinação da
resultante da distribuição de tensão pelos princípios básicos.
a distri­
para
A força criada por essa tensão é dF = crdA e, portanto, para
a seção transversal inteira,
) (20 N/mm2 )] (60 mm) dy
FR = J cr dA = J-6+600mmmm [(-=L
60 mm
A
= (-10 N/mm2 )/
SOLUÇÃO
1
+60 mm
-60 mm
=O
O momento resultante da distribuição de tensão em torno
A fórmula da flexão é CT = Me/I. Pela Figura
6.27a, c = 60 mm e cr = 20 MPa. O eixo neutro é definido do eixo neutro (eixo z) deve ser igual a M. Visto que o valor
como a reta NA, porque a tensão é nula ao longo dessa reta. do momento de dF em torno desse eixo é dM = y dF, e dM é
Visto que a seção transversal tem forma retangular, o momen­ sempre positivo (Figura 6.27b ) , então, para a área inteira,
to de inércia para a área em torno de NA é determinado pela
fórmula para um retângulo dada no final deste livro; isto é, M = J y dF = J +60 mm y -y- (20 N/mm2 ) (60 mm) dy
Parte (a).
máx
máx
[e
A
=
Portanto,
[(
)l] [�=
-60 mm
°
Njmm2
3
60 mm
]
)
= 288(104) N · mm = 2,88 kN · m
M(60 mm)
864(104 ) mm4
Resposta
Esse resultado também pode ser determinado sem a ne­
cessidade da integração. A força resultante para cada uma
das duas distribuições de tensão triangulares na Figura 6.27c
M = 288(104) N · mm-= 2,88 kN m
Resposta é graficamente equivalente ao volume contido no interior de
cada distribuição de tensão. Assim, cada volume é
Parte (b). Em primeiro lugar, mostraremos que a força re­
sultante da distribuição de tensão é nula. Como mostrado na
Figura 6.27b, a tensão que age sobre um elemento arbitrário F = -21 (60 mm)(20 N/mm2 )(60 mm) = 36(103) N = 36 kN
dA = (60 mm) dy, localizada à distância y do eixo neutro, é
Essas forças, que formam um conjugado, agem na mesma
c2o
N/mm2 )
cr = -=L
direção
das tensões no interior de cada distribuição (Figu­
60 mm
ra 6.27c). Além do mais, agem passando pelo centroide de
·
(
)
!I
'(J
\f
20 MPa
, ,
N
A
20 MPa
(c)
Figura 6.27
FLEXÃO
207
isto é, 113 (60 mm) = 20 mm em relação à parte tro usando o teorema dos eixos paralelos. (Veja EquaçãoA.5 no
cada volume,parte
inferior da viga. Por consequência, a dis­ Apêndice A.) Como optamos por trabalhar em metros, temos
r
e
à
superio
80 mm, como mostrado. O momento do
é
elas
e
entr
cia
tân
I = 2. (1 + Ad2 )
portanto,
é,
do
uga
nj
co
=2
M 36 kN (80
) = 2.880 kN · mm = 2,88 kN m Resposta
1 (0,25 m)(0,020 m)3 + (0,25 m)(0,020 m)(0,160 m)2
1
+
1 2 (0,020 m)(0,300 m)3
= 301,3(10-6) m4
=
·
mm
A viga simplesmente apoiada na Figura 6.28a tem a
área de seção transversal mostrada na Figura 6.28b. De­
termine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e
represente a distribuição de tensão na seção transversal
nessa localização.
=
[
[�
J
]
Aplicando a fórmula da flexão, para
170 mm, a tensão de flexão máxima absoluta é
22,5 kN m(0,170 m)
Umáx =
301,3(10_6 ) m4 = 12,7 MPa
Tensão de flexão.
c
·
Resposta
SOLU ÇÃO
A Figura 6.28d mostra vistas bidimensionais e tridimen­
sionais
da distribuição de tensão. Observe como a tensão em
Momento interno máximo. O momento interno máximo
ponto
na seção transversal desenvolve uma força que
cada
M
=
22,5
kN
m,
ocorre
no
centro,
como
mostra
o
dia­
viga,
na
grama de momento fletor (Figura 6.28c). Veja o Exemplo 6.3. contribui para o momento dM em torno do eixo neutro de
tal modo que tenha a mesma direção que M. Especificamen­
Propriedade da seção. Por razões de simetria, o centroide
te, no ponto B, y = 150 mm e, portanto,
C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia altura da viga (Figura
6.28b). A área é subdividida nas três partes mostradas, e o mo­
22,5 kN · m(0,150 m)
ys
mento de inércia de cada parte é calculado em torno do eixo neu- us = M�-;
u =
301,3(10-6 ) m4 = 11 '2 MPa
·
8
B
-
1+---
3m 6 m
----1
1+-----
m
20 l_L_
l;Oimm
20mm 150mm
�-r- 1 250mm I
N
20
:
(a)
L__
:r
m
-------1
-,
,----
'
.
c
_l_
=
A
12,7 MPa
D
( d)
(b)
)
_
_
"]1=
A tensão normal que age sobre os elementos do material
localizados nos pontos B e D é mostrada na Figura 6.28e.
_
_
_
�
3
6
���-------------�� x (m )
(c)
B
Figura 6.28
�
12,7 M
l1,2 MPa
11,2 MPa
D
(e)
12,7 MPa
22,5
kN·m
208
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Propriedade da seção. O momento de inércia em torno
do eixo neutro é determinado pelo teorema dos eixos parale­
A viga mostrada na Figura 6.29a tem área de seção trans­ los aplicado a cada uma das três partes compostas da área da
versal em forma de um canal (Figura 6.29b ). Determine a seção transversal. Trabalhando em metros, temos
tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a-a.
I = _!_12 (0,250 m)(0,020 m)3 +
SOLUÇÃO
Momento interno. Aqui, as reações no apoio da viga não
+ ( 0,250 m) ( 0,020 m) ( 0,05909 m - 0,010 m?
precisam ser determinadas. Em vez disso, pelo método das
seções, podemos usar o segmento à esquerda da seção a-a
(Figura 6.29c). Em particular, observe que força axial inter­
+ 2 1 (0,015 m)(0,200 m)3 +
na resultante N passa pelo centroide da seção transversal.
Entenda, também, que o momento interno resultante deve ser
calculado em torno do eixo neutro da viga na seção a-a.
+ (0,015 m)(0,200 m)(0,100 m - 0,05909 m? ]
Para determinar a localização do eixo neutro, a área da se­
ção transversal é subdividida em três partes compostas, como
mostra a Figura 6.29b. Visto que o eixo neutro passa pelo cen­
= 42,26(10-6) m4
troide, então, pela Equação A.2 do Apêndice A, temos
Tensão de flexão máxima. A tensão de flexão máxima
-y = 2: yA =
ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro, ou seja, na
2:A
parte inferior da viga, c = 0,200 m - 0,05909 m = 0,1409 m.
2[0,100 m](0,200 m)(0,015 m) + [0,010 m](0,02 m)(0,250 m) Assim,
2(0,200 m)(0,015 m) + 0,020 m(0,250 m)
4,859 kN · m(0,1409 m) = 16 2 MPa
Me
= 0,05909 m = 59,09
,. = '
max
I =
42,26(10-6 ) m4
Essa dimensão é mostrada na Figura 6.29c.
Resposta
Aplicando a equação do equilíbrio de momento em tor­
Mostre que a tensão de flexão no topo da viga é = 6,79 MPa.
no do eixo neutro, temos
OBSERVAÇÃO: A força normal N = 1 kN e a força de cisa­
L+�MNA = O; 2,4 kN(2 m) + 1,0 kN(0,05909 m) - M = O lhamento
V = 2,4 kN também contribuirão com uma tensão
M = 4,859 kN m
adicional na seção transversal. A superposição de todos es­
ses efeitos será discutida mais adiante, em outro capítulo.
[
]
[�
mm
u
u
'
·
O elemento com seção transversal retangular (Figura
6.30a) foi projetado para resistir a um momento de 40 N m.
Para aumentar sua resistência e rigidez, foi proposta a adi­
ção de duas pequenas nervuras em sua parte inferior (Figu­
ra 6.30b). Determine a tensão normal máxima no elemento
para ambos os casos.
·
SOLUÇÃO
O eixo neutro está claramente no centro
da seção transversal (Figura 6.30a),portanto, y = c = 15 mm
= 0,015 m. Assim,
Sem nervuras.
(b)
2.4 kN
�----- 2 m------�
(c)
Figura 6.29
Logo, a tensão normal máxima é
( 40 N · m)(0,015 m)
Me
fimáx = J =
0,135(10-6 ) m = 4,44 MPaResposta
4
FLEXÃO
209
Portanto, a tensão normal máxima é
a
mx
á
40 N m(0,01908 m)
0,1642(10-6) m4 = 4,65 MPa
·
Me
= - =
I
R
esposta
Esse resultado surpreendente indica que o
acréscimo de nervuras à seção transversal aumentará a ten­
são normal em vez de diminuí-la; por essa razão, elas devem
ser omitidas.
OBSERVAÇÃO:
( a)
30
Um elemento com as dimensões mostradas na figura
deverá ser usado para resistir a um momento fletor interno
M = 2 kN m. Determine a tensão máxima no elemento se o
momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno
do eixo y. Trace um rascunho da distribuição de tensão para
cada caso.
6.43.
·
(b)
Figura 6.30
Pela Figura 6.30b, segmentando a área no
retângulo grande principal e nos dois retângulos (nervuras)
na parte inferior, a localização de y do centroide e do eixo
neutro é determinada da seguinte maneira:
Com nervuras.
y
z
y
= 2:A
[0,015 m] (0,030 m)(0,060 m) + 2[0,0325 m] (0,005 m)(0,010 m)
(0,03 m)(0,060 m) + 2(0,005 m)(0,010 m)
0,01592
m
=
X
2:-A
Esse valor não representa c. O valor de c é
Problema 6.43
A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita
a um momento interno M = 300 N m. Determine a tensão
criada nos pontos A e B. Além disso, trace um rascunho de
c = 0,035 m - 0,01592 m = 0,01908 m
uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age
Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia na seção transversal.
em torno do eixo neutro é
I=
u2 (0,060 m)(0,030 m)3
+
·
+
(0,060 m)(0,030 m)(0,01592 m - 0,015 m) 2 ]
[
1
+2
12 (0,010 m)(0,005 m)3 +
+
*6,44.
(0,010 m) (0,005 m)(0,0325 m - 0,01592 m) 2
M = 300 N·m
J
10 mm
Problema 6.44
A viga está sujeita a um momento M. Determine a
porcentagem desse momento à qual resistem as tensões que
agem nas pranchas superior e inferior A e B da viga.
6.45.
21 Ü
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
y
Determine o momento M que deve ser aplicado à
viga de modo a criar uma tensão de compressão no ponto D
= 30 MP a. Além disso, trace um rascunho da distribuição
de tensão que age na seção transversal e calcule a tensão
máxima desenvolvida na viga.
6.46.
uv
25
z
Problema 6.49
Foram apresentadas duas alternativas para o projeto
de uma viga. Determine qual delas suportará um momento
de M = 150 kN m com a menor quantidade de tensão de
flexão. Qual é essa tensão? Com que porcentagem ela é mais
efetiva?
6.50.
·
Problemas 6.45/46
6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como
um material linear elástico frágil, tem peso específico de
24 kN/m3 e espessura de 20
Calcule a tensão de flexão
máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e
1,5
(b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for
MPa, explique as consequências de apoiar a peça em cada
uma das posições.
'6.48. A peça de mármore, que podemos considerar como
um material linear elástico frágil, tem peso específico de
24 kN/m3• Se for apoiada nas bordas como mostrado em
(b ), determine a espessura mínima que ela deve ter para não
quebrar. A tensão de ruptura é
1,5 MPa.
1----200 mm-----J __L
mm.
1------'-'-��
u,P =
u
=
"'P
J"1'
3
.---���
15 mm
(b)
m
�== 0 mm
3
r
1--------"'"'-��
(a)
30 mm
Problema 6.50
6.51. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um
momento M 75 N m. Determine a tensão de flexão criada
nos pontos B e C da seção transversal. Trace um rascunho
dos resultados sobre um elemento de volume localizado em
cada um desses pontos.
"6.52. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a
um momento M = 75 N m. Determine as tensões de flexão
máximas tanto de tração quanto de compressão na peça.
=
·
·
Problemas 6.47/48
6.49. A viga tem a seção transversal mostrada na figura. Se
for feita de aço com tensão admissível = 170 MPa, de­
termine o maior momento interno ao qu"al' ela pode resistir
se o momento for aplicado (a) em tomo do eixo z e (b) em
tomo do eixo y.
u ct
Problemas 6.51/52
FLEXÃO
21 1
A viga é composta por quatro peças de madeira cola­
o mostra a figura. Se o momento que age na seção
com
s
da
transversal for M = 450 N · m, determine a força resultante
que a tensão de flexão produz na peça superior A e na peça
lateral B.
6.53.
B
15
M = 450 N · m
Problemas 6.56/57
A alavanca de controle é usada em um cortador de
grama de empurrar. Determine a tensão de flexão máxima
na seção da alavanca se uma força de 100 N for aplicada
ao cabo. A alavanca é suportada por um pino em A e um
cabo em B. A seção é quadrada, 6 mm por 6 mm.
6.58.
a-a
15 mm
a-a
lOO N
Pl'Oblema 6.53
A área da seção transversal da escora de alumí­
nio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao momento
M 8 kN · m, determine a tensão de flexão que age nos pon­
tos A e B e mostre os resultados em elementos de volume
localizados nesses pontos.
6.55. A área da seção transversal da escora de alumínio tem
forma de cruz. Se ela for submetida ao momento M 8 kN · m,
determine a tensão de flexão máxima na viga e faça o rascu­
nho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão
que age em toda a seção transversal.
6.54.
=
=
Problema 6.58
6.59. Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no
elemento se ele for submetido a um momento fletor interno
M = 40 kN · m.
20 mm �
I � 50 mm
�m
= S kN·m
lO mm
lo
180 mm
1
A viga é composta por três tábuas de madeira prega­
das como mostra a figura. Se o momento que age na seção
transversal for M = 1,5 kN · m, determine a tensão de flexão
Problema 6.59
máxima na viga. Faça um rascunho de uma vista tridimensio­
nal da distribuição de tensão que age na seção transversal.
*6.60. A peça fundida cônica suporta a carga mostrada. De­
6.57, Determine a força resultante que as tensões de flexão
termine a tensão de flexão nos pontos A e B. A seção trans­
produzem na tábua superior A da viga se M = 1,5 kN · m.
versal na seção é dada na figura.
Problemas 6.54/55
'6.56.
a-a
mm
212
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
125 375 mm
750N 750N
A
25mm 6
.
75mm l . . . .
25mm ��OOm�
-��mccm-1-<--t
t
1
---
lj_ '
í-r-
lO mm 180mm
J 10mm
Fz
ç B
· ;"
Problema 6.71
*6,72. Determine a tensão de flexão máxima absoluta no
eixo de 30 mm de diâmetro que está sujeito às forças con­
centradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente
Problema 6.60
forças verticais.
6.61. Se o eixo no Problema 6.1 tiver diâmetro de 100 mm, 6.73. Determine o menor diâmetro admissível do eixo que
determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo.
está sujeito às forças concentradas. Os mancais de luva em A
e
B suportam somente forças verticais, e a tensão de flexão
6.62. Se o eixo no Problema 6.3 tiver um diâmetro de 40 mm,
admissível
é uadm = 160 MPa.
determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo.
6.63. Se o eixo no Problema 6.6 tiver um diâmetro de 50 mm,
B
A
determine a tensão de flexão máxima absoluta no eixo.
*6.64. Se o tubo no Problema 6.8 tiver diâmetro externo de
30 mm e espessura de 10 mm, determine a tensão de flexão
máxima absoluta no eixo.
m6.65. Se a viga ACB no Problema 6.9 tiver seção transversal
quadrada de 150 mm por 150 mm, determine a tensão de
flexão máxima absoluta na viga.
Problemas 6.72173
6.66. Se a lança do guindaste ABC no Problema 6.10 tiver
seção transversal retangular com base de 60 mm, determine, 6.74. Determine a tensão de flexão máxima absoluta no
com aproximação de múltiplos de 5 mm, a altura h exigida se eixo de 40 mm de diâmetro que está sujeito às forças con­
a tensão de flexão admissível for uadm 170 MPa.
centradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente
forças verticais.
6.67. Se a lança do guindaste ABC no Problema 6.10 tiver
seção transversal retangular com base de 50 mm e altura
Determine o menor diâmetro admissível para o eixo
de 75 mm, determine a tensão de flexão máxima absoluta 6.75.
que
está
sujeito às forças concentradas. Os mancais de luva
na lança.
em A e B suportam somente forças verticais, e a tensão de
flexão admissível é uadm 150 MPa.
*6.68. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na
viga no Problema 6.24.A seção transversal é retangular com
base de 75 mm e altura de 100 mm.
6.69. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na
viga no Problema 6.25. Cada segmento tem seção transversal
retangular com base de 100 mm e altura 200 mm.
6.70. Determine a tensão de flexão máxima absoluta no
pino de 20 mm de diâmetro no Problema 6.35.
6.71. O elemento tem seção transversal com as dimensões
mostradas na figura. Determine o maior momento interno M
que pode ser aplicado sem ultrapassar as tensões de tração e
compressão admissíveis de (u,)adm = 150 MPa e (u) adm = 100
-------...
MPa, respectivamente.
/
600N
-
0,8 m � 1,2 m ---l-0,6
=
A
300mm
2kN
=
450mm
375mm
Problemas 6.74175
400N
FLEXÃO
213
'6.76. A travessa ou longarina de suporte principal da carro­
ceda do caminhão está sujeita à carga distribuída uniforme.
Determine a tensão de flexão nos pontos A e B.
25kN/m
20mm 150mm
300 �,l B
20mm
Problema 6.76
Et
750N750N
Problema 6.79
Se a viga tiver seção transversal quadrada de 225 mm
em cada lado, determine a tensão de flexão máxima absoluta
na viga.
*6.80.
Uma porção do fêmur pode ser modelada como um
tubo com diâmetro interno de 9,5 mm e diâmetro externo
de 32 mm. Determine a força estática elástica máxima P que
pode ser aplicada ao centro do osso sem causar fratura. Con­
Problema 6.80
sidere que as extremidades do osso estão apoiadas em role­
tes. O diagrama E para a massa do osso é mostrado na 6.81. A viga está sujeita à carga P em seu centro. Determi­
figura e é o mesmo para tração e para compressão.
ne a distância a dos apoios de modo que a tensão de flexão
máxima absoluta na viga seja a maior possíveL Qual é essa
tensão?
p
(MPa)
6.77.
u -
16,10 r------�
8,75
u
f---(---; ""
0,02 0,05 E (mm/mm)
�----=--L:----':-::--
Problema 6.77
�
' H"
p
!
1 D�
�-a
_j
La
�
� L/2 ��--+��- L/2 �
�--------�----
--
�
P1·oblema 6.81
Se a viga no Problema 6.20 tiver seção transversal re­ 6.82. Se a viga no Problema 6.23 tiver a seção transversal
tangular com largura de 200 mm e altura de 400 mm, deter­ mostrada na figura, determine a tensão de flexão máxima ab­
mine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.
soluta na viga.
6.78.
1.200mm. 1
1
400mm
l
Problema 6.78
6mm
168mm
l
12 mm
1·100mm'l
p:=�Si:
��. t
Problema 6.82
Se o eixo tiver diâmetro de 37,5 mm, determine a ten­ 6.83. O pino é usado para interligar os três elos. Devido ao
desgaste, a carga é distribuída na parte superior e inferior do
são de flexão máxima absoluta no eixo.
6.79.
•
214
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
pino, como mostra o diagrama de corpo livre. Se o diâmetro
do pino for 10 mm, determine a tensão de flexão máxima na
área da seção transversal na seção central a-a. Para resolver
0 problema, em primeiro lugar, é necessário determinar as
intensidades das cargas W1 e W2•
t
4 kN
+
H7,5 mm-l
400 N
l-o,s
400 N
Pl'oblemas 6.86/87
*6.88. A viga de aço tem a área de seção transversal mos­
trada na figura. Determine a maior intensidade da carga dis­
tribuída w0 que ela pode suportar de modo que a tensão de
flexão máxima na viga não ultrapasse a = 150 MPa.
6.89. A viga de aço tem a área de seção transversal mostra­
da na figura. Se w0 = 10 kN/m, determine a tensão de flexão
máxima na viga.
máx
a
t
2 kN
2 kN
Pl'oblema 6.83
1---- 4 m
----+---- 4 m
Um eixo é feito de um polúnero com seção transversal
200 mm
elíptica. Se ele resistir a um momento interno M = 50 N · m,
H j_
determine a tensão de flexão máxima desenvolvida no material
8 mm
20
(a) pela fórmula da flexão, onde Iz = 1/4 (0,08 m)(0,04 m)3, e
(b) por integração. Trace o rascunho de uma vista tridimen­
T
sional da distribuição de tensão que age na área da seção
transversal.
Pl'oblemas 6.88/89
6.85. Resolva o Problema 6.84 se o momento M = 50 N m
for aplicado em torno do eixo y em vez de em torno do eixo 6.90. A viga tem a seção transversal retangular mostrada
na figura. Determine a maior carga P que pode ser suportada
x. Aqui, I>' = 114 (0,04 m) (0,08 m)3•
em suas extremidades em balanço de modo que a tensão de
flexão na viga não ultrapasse a = 10 MPa.
6.91. A viga tem a seção transversal retangular mostrada
na figura. Se P = 1,5 kN, determine a tensão de flexão máxi­
ma na viga. Faça um rascunho da distribuição de tensão qve
age na seção transversal.
*6.84.
---->�
-I1 � ::
7T
·
7T
máx
p
p
11
50 mm
1=r1oO mm
Pl'oblemas 6.84/85
A viga simplesmente apoiada é composta por quatro
hastes de 16 mm de diâmetro, agrupadas como mostra a fi­
gura. Determine a tensão de flexão máxima na viga devida à
carga mostrada.
6.87. Resolva o Problema 6.86 se o conjunto girar 45° e for
assentado nos apoios.
6.86.
Pl'oblemas 6.90/91
A viga está sujeita ao carregamento mostrado na fi­
gura. Se a dimensão de sua seção transversal a = 180 mm,
determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.
6.93. A viga está sujeita ao carregamento mostrado na fi­
gura. Determine a dimensão a exigida para sua seção trans­
versal se a tensão de flexão admissível para o material for
a = 150 MPa.
*6.92.
máx
FLEXÃO
rJ
<:: ·0,6 m
Problemas 6.92/93
21 5
25kN
a
Problemas 6.96/97
6.94. A longarina ABD da asa de um avião leve é feita de
6.98. A viga de madeira está sujeita à carga uniforme
alumínio 2014 T6 e tem área de seção transversal de 1.000 mmZ, w = 3 kN/m. Se a tensão de flexão admissível para o material
profundidade de 80 mm e momento de inércia . em torno �e for uactm = 10 MPa, determine a dimensão b exigida para sua
seu eixo neutro de 1,662(106) mm4• Determme
a tensao seção transversal. Considere que o suporte em A é um pino
de flexão máxima absoluta na longarina se a carga for a e em B é um rolete.
mostrada na figura. Considere que A, B e C são pinos. O
acoplamento é feito ao longo do eixo longitudinal central
da longarina.
ti;[ll,Sb
_.j bI�
15 kN/m
0,65 mi
TI
_L \
D
� 1m--�----2m �
Problema 6.98
6.99. A viga de madeira tem seção transversal retangular
na proporção mostrada na figura. Determine a dimensão b
exigida se a tensão de flexão admissível for uactm = 10 MPa.
Problema 6.94
O barco pesa 11,5 kN e tem centro de gravidade em
Se estiver apoiado no reboque no contato liso A e pre­
so por um pino em B, determine a tensão de flexão máxi­
ma absoluta desenvolvida na escora principal do reboque.
Considere que a escora é uma viga:caixão com as dimensões
mostradas na figura e presa por um pino em C.
6.95.
G.
37,5 mm
Problema 6.99
A viga é feita de um material com módulo de elasti­
cidade sob compressão diferente do módulo de elasticidade
sob tração. Determine a localização c do eixo neutro e de­
duza uma expressão para a tensão de tração máxima na viga
cujas dimensões são mostradas na figura se ela estiver sujeita
ao momento fletor M.
6.101. A viga tem seção transversal retangular e está sujei­
ta ao momento fletor M. Se o material de fabricação da viga
tiver módulos de elasticidade diferentes para tração e com­
pressão, como mostrado na figura, determine a localização c
do eixo neutro e a tensão de compressão máxima na viga.
*6.100.
(T
Problema 6.95
'6.96, A viga suporta a carga de 25 kN. Determine a tensão
de flexão máxima absoluta na viga se os lados de sua seção
transversal triangular forem a = 150 mm.
6.97, A viga suporta a carga de 25 kN. Determine o tama­
nho a exigido para os lados de sua seção transversal triangu­
lar se a tensão de flexão admissível for uactm = 126 MPa.
Problemas 6.100/101
216
6.5
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Flexão a ss i m étrica
y
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impu­
semos a condição de que a área da seção transversal
fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao
eixo neutro e também que o momento interno resultan­
te M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre
nas seções em T ou em U, mostradas na Figura 6.31. Po­
rém, essas condições são desnecessárias, e, nesta seção,
mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser
aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal
de qualquer formato, como a uma viga com momento
interno resultante que aja em qualquer direção.
Eixo de simetria
neutro
y
Eixo de simetria
Momento a p licado ao l o n g o do eixo prin­
ci paI. Considere que a seção transversal da viga tem
a forma assimétrica mostrada na Figura 6.32a. Como
na Seção 6.4, o sistema de coordenadas x, y, z orienta­
do para a direita é definido de modo tal que a origem
esteja localizada no centroide C da seção transversal e
o momento interno resultante M aja ao longo do eixo
+z. A distribuição de tensão que age sobre toda a área
da seção transversal deve ter força resultante nula,
momento interno resultante em torno do eixo y nulo e
momento interno resultante em torno do eixo z igual
a M.* Estas três condições podem ser expressas mate­
maticamente considerando-se a força que age sobre o
elemento diferencial dA localizado em (O, y, z) (Figura
6.32a). Essa força é dF = udA e, portanto, temos
O=
-1 u dA
1 zu dA
O=
M=
1 -yu dA
z
Figura 6.31
y
(6.14)
(a )
(6.15)
y
(6.16)
Como mostrado na Seção 6.4, a Equação 6.14 é
satisfeita desde que o eixo z passe pelo centroide da
área da seção transversal. Além disso, visto que o eixo
z representa o eixo neutro para a seção transversal, a
deformação normal variará de zero no eixo neutro a
máxima em um ponto y localizado à maior distância
y = c do eixo neutro (Figura 6.32b ). Contanto que o
material se comporte de maneira linear elástica, a dis­
tribuição de tensão normal na área da seção transversal
* A condição de que os momentos em torno do eixo y sejam nulos
não foi considerada na Seção 6.4, visto que a distribuição da ten­
são de flexão era simétrica em relação ao eixo y e tal distribuição
de tensão produz automaticamente momento nulo em torno do
eixo y . Veja a Figura 6.26c.
Distribuição de deformação normal
(vista lateral)
(b)
Distribuição da tensão de flexão
(vista lateral)
(c)
Figura 6.32
FLEXÃO
y
y
z
X
y
y
z
X
(b)
(a)
217
(c)
(d)
Figura 6.33
tamb ém será linear, de modo que cr = - (y/c) crm:íx
(Figura 6.32c ). Quando essa equação é substituída na
Equação 6.16 e integrada, resulta na fórmula da flexão
O'
máx = Me/I. Quando substituída na Equação 6.15, obtemos
O=
que exige
- cr á
mx
C
1 yz dA
A
Essa integral é denominada produto de inércia
para a área. Como indicado no Apêndice A, ela real­
mente será nula desde que os eixos y e z sejam esco­
lhidos como os eixos principais de inércia para a área.
Para uma área de forma qualquer, a orientação dos
eixos principais pode ser determinada pelas equações
de transformação de inércia ou pelo círculo de Mohr
de inércia, como mostrado no Apêndice A, Seções A.4
e A.S. Entretanto, se a área tiver um eixo de simetria,
é fácil definir os eixos principais visto que eles sempre
estarão orientados ao longo do eixo de simetria e per­
pendiculares a ele.
Então, resumindo, as equações 6.14 a 6.16 sempre
serão satisfeitas independentemente da direção do
momento aplicado M. Por exemplo, considere os ele­
mentos mostrados na Figura 6.33. Em cada um desses
casos, y e z definem os eixos principais de inércia para
a seção transversal cuja origem está localizada no
centroide da área. Nas figuras 6.33a e 6.33b, os eixos
principais são localizados por simetria, e nas figuras
6.33c e 6.33d, a orientação dos eixos é determinada
pelo s métodos apresentados no Apêndice A. Visto
que M é aplicado em torno de um dos eixos principais
(eixo z), a distribuição de tensão é determinada pela
fórmula da flexão, cr = M/Iz, e é mostrada na figura
para cada caso.
Momento a p l ica do a rbitrariam ente. Às
vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo
que o momento interno resultante não aja em torno
de um dos eixos principais da seção transversal. Quan­
do isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser
decomposto em componentes dirigidas ao longo dos
eixos principais. Então, a fórmula da flexão pode ser
usada para determinar a tensão normal provocada por
cada componente do momento. Por fim, usando o prin­
cípio da superposição, a tensão normal resultante no
ponto pode ser determinada.
Para tal, considere que a viga tenha seção trans­
versal retangular e está sujeita ao momento M (Fi­
gura 6.34a). Aqui, M forma um ângulo () com o eixo
principal z. Consideraremos que () é positivo quando
estiver direcionado do eixo + z para o eixo + y, como
mostra a figura. Decompondo M em componentes ao
longo dos eixos z e y, temos Mz = M cos () e MY = M
sen (), respectivamente. Cada uma dessas componentes
é mostrada separadamente na seção transversal nas
figuras 6.34b e 6.34c. As distribuições de tensão nor­
mal que produzem M e suas componentes Mz e MY são
mostradas nas figuras 6.34d, 6.34e e 6.34f, respectiva­
mente. Aqui, consideramos que (cr)máx > (cr')máx ' Por
inspeção, as tensões de tração e compressão máximas
[(uJmáx + (u'Jm:íJ ocorrem em dois cantos opostos da
seção transversal (Figura 6.34d).
Aplicando a fórmula da flexão a cada componente
do momento nas figuras 6.34b e 6.34c, podemos ex­
pressar a tensão normal resultante em qualquer ponto
na seção transversal (Figura 6.34d), em termos gerais,
como
(6.17)
218
RESISTi!:NCIA DOS MATERIAIS
y
y
+
X
Z
�
Mz = M cos (J
(a )
:
X
(b)
(c)
y
+
(d)
(e)
(f)
Figura 6.34
onde
u = tensão normal no ponto.
= coordenadas do ponto medidas em relação
y, z
aos eixos x, y, z com origem no centroide
da área da seção transversal e formando
um sistema de coordenadas orientado
para a direita. O eixo x é direcionado para
fora da seção transversal, e os eixos y e z
representam, respectivamente, os eixos
principais dos momentos de inércia míni­
mo e máximo para a área.
MY, Mz = componentes do momento interno resultante direcionadas ao longo dos eixos
principais y e z·. São positivos se direcio­
nados ao longo dos eixos +y e +z; caso
contrário, são negativos. Ou, em outras
palavras, My = M sen e e Mz = M cos e,
onde e é positivo se medido do eixo + z
na direção do eixo +y.
IY, Iz = momentos principais de inércia calculados
em torno dos eixos y e z, respectivamente.
Veja o Apêndice A.
Como observamos antes, é muito importante que
os eixos x, y, z formem um sistema orientado para a di-
reita e que sejam designados os sinais algébricos ade­
quados às componentes do momento e às coordenadas
quando aplicamos essa equação. A tensão resultante
será de tração se ela for positiva e de compressão se ela
for negativa.
O ângulo a do
eixo neutro na Figura 6.34d pode ser determinado pela
Equação 6.17 com u = O, visto que, por definição, ne­
nhuma tensão normal age no eixo neutro. Temos
Orientação do eixo n eutro .
y=
Mylz
z
MzIy
Visto que Mz = M cos e e My
=
M sen 8, então,
(6. 18)
Essa é a equação da reta que define o eixo neu­
tro para a seção transversal. Uma vez que a inclinaçã o
dessa reta é tg a = ylz, então,
tg a
=
Iz
-tg e
ly
(6. 19)
FLEXAO
Aqui, podemos ver que, para flexão assimétrica, o
ngu
â lo 8, que define a direção do momento M (Figura
6.34a) , não é igual a a, o ângulo que define a inclinação
do eixo neutro (Figura 6.34d), a menos que Iz = IY . Ao
contrário, se, como na Figura 6.34a, o eixo y for esco­
lhido como o eixo principal para o momento de inércia
219
mínimo e o eixo z for escolhido como o eixo princi­
pal para o momento de inércia máximo, de modo que
< I , então, pela Equação 6.19, podemos concluir
z
que o ângulo a, positivo quando medido do eixo + z
em direção ao eixo + y, estará entre a linha de ação de
M e o eixo y, isto é, 8 s a s 90°.
I
Y
ser aplicada quando a flexãoocorrer em torno de eixos que represéntem os (3ix os,prin fórmula da flexão
de inércia para a seção transversal. Esses eixos têm ()rigem no centroíde e estão orientados ao lorigo de um
de s imetria, caso ele exista, e perpendicularmente a ele.
momento for aplicado em torno de algúmebm arbitrário, então deve ser decomposto emcomponéntes ao longo
éadà um dos .eixós principais, e a tensão em um ponto é determinada por superposição da tensão provocada por
cada uma das componentes dos momentos.
·
Assim,
Tensão de flexão.
A seção transversal retangular mostrada na Figura 6.35a
está sujeita a um momento fletor M = 12 kN · m. Determi­
ne a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção e
especifique a orientação do eixo neutro.
7,20(103) N m(0,2 m)
·
--�----�--�- +
1,067(10-3) m4
SOLUÇÃO
Componentes do momento interno.
Por inspeção, ve­
mos que os eixos y e z representam os eixos principais de
inércia, uma vez que são eixos de simetria para a seção
transversal. Como exigido, definimos o eixo z como o eixo
principal para momento de inércia máximo. O momento é
decomposto em suas componentes y e z, onde
4
My = --(12 kN · m) = -9, 60 kN · m
5
3
Mz = - (12 kN · m) = 7 , 20 kN m
5
Propriedades da seção. Os momentos de inércia em tor­
no dos eixos y e z são
uc =
·
�
1� (0,2 m)(0,4 m)3
Iy = 1 (0,4 m)(0,2 m)3 = 0,2667(10-3) m4
lz =
=
-9,60(103) N m( -0,1 m)
= 2,25 MPa
0,2667 (10 3) m4
·
+
7,20(103) N · m(0,2 m)
1,067(10-3) m4
--------���--
+
+
-9,60(103) N m(0,1 m)
0,2667(10-3) m4
·
=
7,20(103) N m( -0,2 m)
1,067(10-3) m4
-9,60(103) N · m(0,1 m)
+
0,2667(10-3) m4
-4 '95 MPa
R espos ta
-2 '25 MPa
Resposta
·
----------�--�-- +
=
1,067(10-3) m4
A
4,95 MPa
M = 12 kN·m
0,1
y
N
y
(a)
(b)
Figura 6.35
R esposta
(c)
_j
M = 12 kN·m
�4
220
RESISTÉ':NCIA DOS MATERIAIS
Propriedades da seção. Com referência à Figura 6.36b e
trabalhando em metros, temos
-9,60(103) N m( -0,1 m)
= 4 ' 95 MPa
+
0,2667(10-3) m4
·
_
Resposta
z=
_
-
� zA
=
�A
[0,05 m](0,100 m)(0,04 m) + [0,115 m](0,03 m)(0,200 m)
(0,100 m)(0,04 m) + (0,03 m)(0,200 m)
A distribuição da tensão normal resultante foi traçada usan­
do esses valores (Figura 6.35b ). Visto que a superposição se
= 0,0890 m
aplica, a distribuição de tensão é linear, como mostrado.
Orientação do eixo neutro. A localização z do eixo neu­
tro (NA) (Figura 6.35b) pode ser determinada por cálculo Pelo teorema dos eixos paralelos apresentado no Apêndice
A, I = I + Ad2 e, assim, os momentos principais de inércia
proporcional. Ao longo da borda BC, exige-se
são:
2,25 MPa 4,95 MPa
1
1
lz = 12 (0,100 m)(0,04 m)3 + 12 (0,03 m)(0,200 m)3 =
(0,2 m - z)
z
0,450 - 2,25z = 4,95z
z = 0,0625 m
Da mesma maneira, essa é também a distância de D ao eixo
neutro na Figura 6.35b.
Também podemos determinar a orientação de NA pela
Equação 6.19, que é usada para especificar o ângulo a que o
eixo faz com o eixo z ou eixo principal máximo. De acordo
com a convenção de sinal que adotamos, e deve ser medido
do eixo + z em direção ao eixo + y . Por comparação, na Figu­
ra 6.35c, e = -tg-1 413 = -53,1 o (ou e = + 306,9°). Assim,
lz
tg ()
Iy
1,067(10-3) m4
tg a' = 0,2667(10-3) m4 tg (-53 ' 1 °)
= -79,4°
tg
Q'
=
Iy =
-
u2 (0,04 m) (0,100 m)3 +
+ (0,100 m)(0,04 m)(0,0890 m - 0,05 m) 2
[
+ 112 (0,200 m)(0,03 m)3 +
]
+ (0,200 m)(0,03 m)(O,l15 m - 0,0890 m) 2 ]
Resposta
Q'
As componentes do momento
são mostradas na Figura 6.36c. Por inspeção, a maior tensão
Esse resultado é mostrado na Figura 6.35c. Usando o valor de tração ocorre no ponto B, visto que, por superposição, am­
de z calculado acima, verifique, usando a geometria da seção bas as componentes do momento criam uma tensão de tra­
transversal, que obtemos a mesma resposta.
ção naquele lugar. De maneira semelhante, a maior tensão
de compressão ocorre no ponto C. Assim,
,Jf�m� llfl�� rs. n �:
/ =-""
�x
"'
-
= a=�""0
�"' '"h'"'"'"
MzY
=
�
;;
\% "s.-
Uma viga em T está sujeita a um momento fietor de
15 kN m, como mostra a Figura 6.36a. Determine a tensão
normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro.
·
Myz
u = -�+ �Iy
Iz
7,50 kN m( -0,100 m) 12,99 kN · m(0,0410 m)
us =
20,53(10-6 ) m4 + 13,92(10-6) m4
= 74,8 MPa
7,50 kN · m(0,020 m) 12,99 kN m( -0,0890 m)
+
uc =
13,92(10-6 ) m4
20,53(10-6 ) m4
Resposta
= -90,3 MPa
·
·
SOLUÇÃO
Os eixos y e z são
eixos principais de inércia. Por quê? Pela Figura 6.36a, ambas
as componentes do momento são positivas. Temos
Componentes do momento interno.
(15 kN m) cos 30° = 12,99 kN m
Mz = (15 kN m) sen 30° = 7,50 kN m
MY =
Tensão de flexão máxima.
·
·
·
·
Por comparação, a maior tensão normal é, portanto, de com­
pressão, e ocorre no ponto C.
Orientação do eixo neutro. Quando aplicamos a Equa­
ção 6.19, é importante ter certeza de que os ângulos e O
a
FLEXÃO
221
z
0,02m ,\ 0,02 m
0,080m (, 0,080m
z
r--
0,03m
O,lOOm
L
(a)
O,lOO m SO kN m
B r -__ . �
,__ _,
z
J
(c)
� \12,99 kN·m
0,0890m
..
--
(d)
Figura 6.36
a
Resposta
O eixo neutro é mostrado na Figura 6.36d. Como esperado,
ele se encontra entre o eixo y e a linha de ação de M.
�
"'
"'""
=
(b)
y
foram definidos corretamente. Como já dissemos, y deve
representar o eixo para o momento principal de inércia mí­
nimo e z deve representar o eixo para o momento princi­
pal de inércia máximo. Aqui, esses eixos estão posicionados
adequadamente, visto que Iy < Iz . Usando essa configuração'
O e são positivos quando medidos do eixo + z em direção
ao eixo +y. Por consequência, pela Figura 6.36a, (} = +60°.
Assim,
E�El\l16U.fl� l>.�m
z
y
z
-'------+-H--....-,tJ
u
-f-
·
A seção em Z mostrada na Figura 6.37a está sujeita
ao momento fletor M = 20 kN m. Usando os métodos
apresentados no Apêndice A (veja Exemplo A.4 ou A.5),
os eixos principais y e z estão orientados como mostra a
figura, de tal modo que representam os momentos prin­
cipais de inércia mínimo e máximo, IY = 0,960(10-3)m4 e
Iz = 7,54(10-3)m4, respectivamente. Determine a tensão
normal no ponto P e a orientação do eixo neutro.
SOLUÇÃO
Para usar a Equação 6.19, é importante que o eixo z seja o
eixo principal para o momento de inércia máximo, o que ele
é, porque a maior parte da área está em uma posição mais
afastada desse eixo.
Componentes do momento interno. Pela Figura 6.37a,
M = 20
Y
Mz = 20
kN m sen 57,1
kN · m cos 57,1
·
16,79 kN · m
o = 10,86 kN · m
o =
Tensão de flexão. Em primeiro lugar, devem ser deter­
minadas as coordenadas y e z do ponto P. Observe que as
coordenadas y ' e z ' de P são ( -0,2 m, 0,35 m). Usando os
triângulos colorido e sombreado da construção mostrada na
Figura 6.37b, temos
yP = - 0,35 sen 32,9° - 0,2 cos 32,9° = -0,3580 m
Zp = 0,35 cos 32,9° - 0,2 sen 32,9° = 0,1852 m
RESISTÉÕNCIA DOS MATERIAIS
222
z
'
Problemas 6.102/103
N
*6.104. A viga tem seção transversal retangular. Se estiver
sujeita a um momento fletor M = 3.500 N · m direcionado
como mostra a figura, determine a tensão de flexão máxima
na viga e a orientação do eixo neutro.
Figura 6.37
z
Aplicando a Equação 6.17, temos
= 3.500 N·m
(10,86 kN m)(
-0,3580 m)
� �
7,54(10-3) m4
·
------
--
---
= 3,76 MPa
m)
(16,79 k N · m)(0,1852
� �
0,960(10-3) m4
+�
-----
--
A viga em T está sujeita a um momento fletor
15 k N m direcionado, como mostra a figura. Determine
O ângulo () = 57,1 o é mostra- a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo neu­
tro. A localização y do centroide, C, deve ser determinada.
Resposta
Orientação do eixo neutro.
[ 7,54(10-3)-3)m4m4
do na Figura 6.37a. Assim,
tg a =
0,960(10
a = 85,3°
Problema 6.104
J tg 57'1
6.105.
M=
·
y
o
Resposta
O eixo neutro está localizado como mostra a Figura 6.37b.
6.102.
A viga-cmxao está sujeita a um momento fletor
M = 25 kN · m direcionado, como mostra a figura. Determi­
H
50 mm
ne a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo
Problema 6.105
neutro.
6.103. Determine o valor máximo do momento fletor M
6.106. Se o momento interno resultante que age na seçã o
de modo que a tensão de flexão no elemento não ultrapasse transversal da escora de alumínio tiver valor M = 520 N m
100 MPa.
e for direcionado como mostra a figura, determine a tensão
·
FLEXÃO 223
y do centroide C
de flexão nos pontos A e B. A localização
ser determinada.
deve
escora
da
transversal
seção
da
área
da
Especifique, também, a orientação do eixo neutro.
6.107. O momento interno resultante que age na seção
M = 520 N · m e
transversal da escora de alumínio tem valor
Determine
a tensão
figura.
a
mostra
como
cionado
está dire
C
localização
A
centroide
do
y
escora.
na
máxima
o
flexã
de
da área da seção transversal da escora deve ser determinada.
Especifique, também, a orientação do eixo neutro.
y
X
150 N
y
150 N
Problema 6.109
6.110. A tábua é usada como uma trave de assoalho sim­
plesmente apoiada. Se um momento ftetor M = 1 ,2 kN . m
for aplicado a 3 o em relação ao eixo z, determine a tensão
desenvolvida na tábua no canto A. Compare essa tensão com
a desenvolvida pelo mesmo momento aplicado ao longo do
eixo z (O = 0°). Qual é o ângulo para o eixo neutro quando
O = 3°? Comentário: Normalmente, as tábuas do assoalho
seriam pregadas à parte superior da viga de modo que e = oo
Problemas 6.106/107
e a alta tensão devida a um mau alinhamento eventual não
ocorreria.
'6.108. O eixo de 30 mm de diâmetro está sujeito às car­
gas vertical e horizontal de duas polias como mostra a figura.
O eixo está apoiado em dois mancais em A e B, que não
oferecem nenhuma resistência à carga axial. Além do mais,
podemos considerar que o acoplamento ao motor em C não
oferece nenhum apoio ao eixo. Determine a tensão de flexão
máxima desenvolvida no eixo.
X
y
X
150 N
Problema 6.110
150 N
Problema 6.108
6.109. O eixo está sujeito às cargas vertical e horizon­
tal de duas polias, como mostra a figura, e está apoiado
em. dois mancais em A e B, que não oferecem nenhuma
�es�stência à carga axial. Além do mais, podemos consier ar que acoplamento ao motor em C não oferece ne­
nh�m apoio ao eixo. Determine o diâmetro d exigido para
erxo se a tensão de flexão admissível para o material for
uadm = 180 MPa.
0
Considere o caso geral de uma viga prismática sujei­
ta às componentes de momento ftetor M,. e Mz, como mos­
tra a figura, quando os eixos x, y, z passam pelo centroide
da seção transversal. Se o material for linear elástico, a ten­
são normal na viga é uma função linear da posição tal que
u = a + by + cz. Usando as condições de equilíbrio O = IAu
dA, MY = IAz a dA, Mz = IA -ya dA, determine as cons­
tantes a, b e c e mostre que a tensão normal pode ser de­
terminada pela equação a = [-(MzIy + MyIyz)y + (MyIz +
MzIYZ )z]I(IyIz - Iyz2) , onde os momentos e produtos de inércia são definidos no Apêndice A.
6.111.
224
RESISTÍ:NCIA DOS MATERIAIS
inércia I = 0,060(10-3)m4 e Iz = 0,471(10-3)m4, calculados em
torno d6s eixos principais de inércia y e z, respectivamente. Se
a seção for submetida a um momento interno M = 250 N . m
direcionado na horizontal, como mostra a figura, determ ine
a tensão produzida no ponto B. Resolva o problema usando
a Equação 6.17.
X
Problema 6.111
O eixo de aço de 65 mm de diâmetro está sujeito a
duas cargas que agem nas direções mostradas na figura. Se
os mancais em A e B não exercerem uma força axial sobre o
eixo, determine a tensão de flexão máxima absoluta desen­
volvida no eixo.
*6.112.
Para a seção, Ii = 31,7(10-6)m4, 12, = 114(10-6)m4,
15,1(10-6)m4• Usando
as técnicas apresentadas no
Apêndice A, a área da seção transversal do elemento
tem momentos principais de inércia IY = 29,0(10-6)m4 e
I, = 117(10-6)m\ calculados em torno dos eixos principais
de inércia y e z, respectivamente. Se a seção for submetida a
um
momento M = 2.500 N · m direcionado como mostra a
Problema 6.112
figura, determine a tensão produzida no ponto A, usando a
6.113. O eixo de aço está sujeito às duas cargas que agem Equação 6.17.
nas direções mostradas na figura. Se os mancais em A e B 6.118. Resolva o Problema 6.117 usando a equação desen­
não exercerem uma força axial sobre o eixo, determine o di­ volvida no Problema 6.111.
âmetro exigido para o eixo, se a tensão de flexão admissível
for cradm = 180 MPa.
Iy'z' =
Problemas 6.114/115/116
6.117.
.3··0·..o··�
kN ·.
1,25m
.
· j
..
ylmy
1,25m
.
.
B
/
Problema 6.113
6.114. Usando as técnicas descritas no Apêndice A, Exem­
Problemas 6.117/118
plo A.5 ou A.6, a seção em Z tem momentos principais de
inércia IY = 0,060(10-3)m4 e I, = 0,471(10-3)m4, calculados
em torno dos eixos principais de inércia y e z, respectiva­ *6.6 Vigas compostas
mente. Se a seção for submetida a um momento interno
M = 250 N · m direcionado na horizontal, como mostra a
Vigas construídas com dois ou mais materiais di­
figura, determine a tensão produzida no ponto A . Resolva o ferentes são denominadas vigas compostas. Citamos
problema usando a Equação 6.17.
como exemplos as de madeira com tiras de aço nas
6.115. Resolva o Problema 6.114 usando a equação desen­
partes superior e inferior (Figura 6.38a) ou as mais co­
volvida no Problema 6.111.
muns, vigas de concreto reforçadas com hastes de aço
(Figura 6.38b ). Os engenheiros projetam essas vigas de
*6.116. Usando as técnicas descritas no Apêndice A, Exem­
propósito,
para desenvolver um meio mais eficiente de
plo A.S ou A.6, a seção em Z tem momentos principais de
FLEXÃO
suportar cargas aplicadas. Por exemplo, na Seção 3.3 foi
dem onstrado que o concreto é excelente para resistir
à tensão de compressão, mas muito ruim para resistir à
tensão de tração. Por consequência, as hastes de refor­
ço de aço mostradas na Figura 6.38b foram colocadas
na zona de tensão da seção transversal da viga para
que elas resistam às tensões de tração resultantes do
mom ento M.
Visto que a fórmula da flexão foi desenvolvida para
vigas de material homogéneo, ela não pode ser aplica­
da diretamente para determinar a tensão normal em
uma viga composta. Entretanto, nesta seção, desenvol­
veremos um método para modificar ou "transformar"
a seção transversal da viga em uma seção feita de um
único material. Feito isso, a fórmula da flexão poderá
ser usada para a análise de tensão.
Para explicar como aplicar o método da seção trans­
formada, considere a viga composta feita de dois ma­
teriais, 1 e 2, com áreas de seção transversal mostradas
na Figura 6.39a. Se um momento fletor for aplicado a
essa viga, então, como ocorre com uma viga de mate­
rial homogéneo, a área total da seção transversal per­
manecerá plana após a flexão e, por consequência, as
deformações normais variarão linearmente de zero no
eixo neutro a máxima no material mais afastado desse
eixo (Figura 6.39b ). Contanto que o material apresente
comportamento linear elástico, a lei de Hooke se apli­
ca e, em qualquer ponto no material l, a tensão normal
é determinada por cr = E1 E. De maneira semelhante,
para o material 2, a distribuição de tensão é determi­
nada por cr = E2E. É óbvio que, se o material l for mais
rígido que o material 2, por exemplo, aço e borracha,
a maior parte da carga será suportada pelo material l,
visto que E1 > E2• Considerando que seja esse o caso,
a distribuição de tensão será semelhante à mostrada
na Figura 6.39c ou 6.39d. Em particular, observe o sal­
to na tensão que ocorre na junção entre os materiais.
Nesse local, a deformação é a mesma, porém, visto que
os módulos de elasticidade ou rigidez para os materiais
mudam repentinamente, a tensão também muda. A lo­
calização do eixo neutro e a determinação da tensão
máxima na viga, usando essa distribuição de tensão,
pode ser baseada em um procedimento de tentativa
e erro. Isso requer satisfazer as seguintes condições:
a distribuição de tensão produz uma força resultante
nula na seção transversal e o momento da distribuição
de tensão em torno do eixo neutro deve ser igual a M .
Contudo, u m modo mais simples d e cumprir essas
duas condições é transformar a viga em outra, feita de
um único material. Por exemplo, se considerarmos que
a viga é feita inteiramente do material 2, menos rígido,
então a seção transversal seria semelhante à mostrada
na Figura 6.39e. Nesse caso, a altura h da viga perma­
nece a mesma, já que a distribuição de tensão de defor­
mação mostrada na Figura 6.39b deve ser preservada.
225
(a)
(b)
Figura 6.38
Todavia, a porção superior da viga tem de ser alargada,
de modo a poder suportar uma carga equivalente à su­
portada pelo material l, mais rígido, na Figura 6.39d. A
largura necessária pode ser determinada considerando
a força dF que age em uma área dA = dz dy da viga
na Figura 6.39a. Essa força é dF = cr dA = (E1E) dz
dy. Por outro lado, se a largura de um elemento corres­
pondente de altura dy na Figura 6.39e for n dz, então
dF' = cr'dA' = (E2E)n dz dy. Igualando essas duas
forças de modo a produzirem o mesmo momento em
torno do eixo z, temos
ou
(6.20)
Esse número adimensional n é denominado fator
de transformação. Esse fator indica que a seção trans­
versal com largura b na viga original (Figura 6.39a)
deve ser aumentada na largura para b2 = nb na região
onde o material l está sendo transformado no material 2
226
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
y
X
( a)
� bj
Variação da tensão de flexão
(d )
JL---J1
f-b
Variação da tensão de flexão
(vista lateral)
(c)
Variação da deformação normal
(vista lateral)
(b)
X
Viga transformada para o material@
(e)
X
= n'b
Viga transformada para o material(D
(f)
Variação da tensão de flexão para
a viga transformada para o material@
( g)
Variação da tensão de flexão para
a viga transformada para o material(!)
(h )
Figura 6.39
(Figura 6.39e). De um modo semelhante, se o material
2, menos rígido, for transformado no material 1 , mais
rígido, a seção transversal será semelhante à mostrada
na Figura 6.39f. Aqui, a largura do material 2 foi muda­
da para b1 = n' b, onde n' = E/E1• Observe que, nesse
caso, o fator de transformação n ' deve ser menor do
que um, visto que E 1 > E2 • Em outras palavras, preci­
samos uma quantidade menor do material mais rígido
para suportar um determinado momento.
Assim que a viga tenha sido transformada em ou­
tra feita de um único material, a distribuição de tensão
normal na seção transversal transformada será linear,
como mostra a Figura 6.39g ou 6.39h. Por consequên­
cia, o centroide (eixo neutro) e o momento de inércia
para a área transformada podem ser determinados, e
a fórmula da flexão pode ser aplicada do modo usual
para determinar a tensão em cada ponto na viga trans­
formada. Entenda que a tensão na viga transformada
é equivalente à tensão no mesmo material da viga ver­
dadeira. Porém, para o material transformado, a tensão
determinada na seção transformada tem de ser multi­
plicada pelo fator de transformação n (ou n '), já que a
área do material transformado, dA' = n dz dy, é n ve­
zes a área do material verdadeiro dA = dz dy. Isto é,
dF = cr dA = cr'dA'
cr dz dy = cr'n dz dy
cr = ncr'
(6.21)
Os exemplos 6.21 e 6.22 ilustram numericamente a
aplicação do método da seção transformada.
FLEXÃO
227
materi ais diferentes, de modo a suportar uma carga com efi<.:iência � A aplicação da
o lllaterial seja homogêneo e, p ortanto a s eção transversal <ia viga deve s er.transfo npada
quis��os usar essa fórmula para calcular a tensão de flexão.
.
.t:x•·�� a[efr:tlftS.tOJ't/itlÇil!o �J,tma�azão entre os módulos dos diferentes materiais que comp õ em a viga.Usado como
cqnve:rt�e .as dimensões da seção transversal da viga composta em: uma viga feita de um
essa vigatenha a m esma resistência que a viga composta. Assim, o material rígido será
ru••�o.t>a.•, de
sulbstitutd o porum niateriaimenos' rígjdo e vice-versa.
vez determinada .a. tensão na seçã9 transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para
corrtliQS'{(l��.sé:ii\.1 �·-,···-
,._
,
. .
.
mpdo tt1:1e
a tensão na viga verdadeira.
�� "'
E><E I'li�U® l>.2y1
�0
=
�
Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com
uma tira de aço localizada em sua parte interior. Ela tem a
área de seção transversal mostrada na Figura 6.40a. Se for
submetida a um momento fletor M = 2 kN m, determine a
tensão normal nos pontos B e C. Considere Eaço = 200 GPa.
Emad = 12 GPa.
·
de aço. Visto que o aço tem rigidez maior do que a madeira
(Eaço > Emad), a largura da madeira deve ser reduzida a uma
largura equivalente para o aço. Por consequência, deve ser
menor do que um. Para que isso ocorra, = EmaiEaço' de
modo que
baço = nbmad = 12 GPa (150 mm) = 9 mm
200 GPa
11
n
A seção transformada é mostrada na Figura 6.40b.
A localização do centroide (eixo neutro), calculada em
Propriedades da seção. Embora a escolha seja arbitrária,
relação
aqui, transformaremos a seção em outra feita inteiramente da seção,a éum eixo de referência localizado na parte inferior
SOLUÇÃO
B
2
kN m
A
y
·
�r2kNm
0,210 MPa
3,50 MPa
7,78 MPa
(d)
7,78 MPa
(c)
Figma 6.40
� ��"
228
y =
=
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
2:-A
2:A
[0,01 m](0,02 m)(O,l50 m) + [0,095 m](0,009 m)(O,l50 m)
0,02 m(O,l50 m) + 0,009 m(O,l50 m)
y
--
=
0,03638 m
[
Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
1
!NA =
12 (0,150 m)(0,02 m)3 +
·
+ (0,150 m)(0,02 m)(0,03638 m - 0,01 m) 2
u
]
+ 2 (0,009 m)(0,150 m)3 +
+ (0,009 m)(0,150 m)(0,095 m - 0,03638 m) 2
=
9,358(10-6 ) m4
z
18mm lOOmm
t-H��1�F==:;�{---JILL_Y A
-i f--
N
]
(b)
Figura 6.41
momento fletor máximo que a viga pode suportar com e
Aplicando a fórmula da flexão, a tensão sem
o reforço de madeira. Eaço = 200 GPa, Emad = 12 GPa.
normal em B' e C é
O momento de inércia da viga de aço é Iz = 7,93 106 mm\
e sua área de seção transversal é
5.493,75 mm2•
2 kN m(0,170 m - 0,03638 m)
uB' =
= 28 '6 MPa
SOLUÇÃO
9,358(10-6 ) m4
2 kN m(0,03638 m)
Sem a tábua. Neste caso, o eixo neutro coincide com o
uc =
= 7 '78 MPa
Resposta
eixo
z. A aplicação direta da fórmula da flexão para a viga de
9,358(10-6) m4
aço dá como resultado
A distribuição da tensão normal na seção transformada
Me
(toda de aço) é mostrada na Figura 6.40c.
( uadm )aço = I
A tensão normal na madeira, localizada em B na Figura
168 N/mm2 = M(105 mm)
6.40a, é determinada pela Equação 6.21; isto é,
7,93(106) mm4
M = 12,688 kN· m
Resposta
12 GPa
Tensão normal.
A=
·
x
·
z
O"B = nO"B' =
(28, 56 MPa ) = 1,71 MPa
200 GPa
Visto que agora temos uma viga composta,
devemos transformar a seção em um único material. Será
mais fácil transformar a madeira em uma quantidade equi­
Usando esses conceitos, mostre que a tensão normal no valente
de aço. Para tal, n = Emad/Eaço Assim, a largura de
aço e na madeira no ponto onde elas estão em contato é uma quantidade
equivalente de aço é
uaço = 3,50 MPa e umact = 0,210 MPa, respectivamente. A
distribuição de tensão normal na viga verdadeira é mostra­
12(103) MPa (300 mm) - 18 mm
da na Figura 6.40d.
b aço- nbmad 200(103 ) MPa
Resposta
Com a tábua.
.
_
_
_
A seção transformada é mostrada na Figura 6.41b. O eixo
neutro encontra-se em
Para reforçar uma viga de aço, uma tábua de carvalho
foi colocada entre seus flanges, como mostra a Figura 6.41a. Se
a tensão normal admissível para o aço for ( uadm)aço = 168 MP a
e para a madeira for (uactm)mact = 21 MPa, determine o
_
�)iA
�A
[0)(5.493,75 mm2) + [55 mm)(100 mm)(18 mm)
5.493,75 mm2 + 100(18) mm 2
= 13,57 mm
y =
-
=
FLEXÃO
E
0
229
momento de inércia em torno do eixo neutro é
1 = [7,93 (106) mm2 + 5.493,75 mm2 (13,57 mm?J
+
[__!__12 (18 mm)(100 mm)3
+
+ (18 mm)(100 mm)3(55 mm - 13,57 mm) 2
]
(a)
A tensão normal máxima no aço ocorrerá
na parte infe­
105 mm 13,57 mm
118,57 mm. O momento máximo baseado na tensão admis­
o aço é
rior da viga (Figura 6.41b) . Aqui, c =
sível para
=
+
Me
(uadm ) aço = I
168 N/mm2
M (118,57 mm)
13,53 X 106 mm4
M = 19,17 kN · m
Considera-se
concreto fraturado
nessa região.
A tensão normal máxima na madeira ocorre na parte su­
perior da viga (Figura 6.41b). Aqui, c' 105 mm 13,57
91,43 mm. Visto que u = nu o momento máximo
baseado na tensão admissível para a madeira é
=
mm =
mad
[
M'c'
(uactm )mad = n 1-
M
(b)
-
aço'
]
21 N/mm2 = 12(103) MPa M'(91,436mm) 4
200(103) MPa 13,53 X 10 mm
M' = 51,79 kN·m
Por comparação, o momento máximo é limitado pela
tensão admissível no aço. Portanto,
Resposta
M = 19,17 kN · m
OBSERVAÇÃO: Usando a tábua como reforço, conseguimos
48%
de capacidade adicional para o momento da viga.
*6 .7
Vi gas d e concreto a rm a d o
Todas a s vigas sujeitas a flexão pura devem resistir
a tensões de tração e compressão. Porém, o concreto
é muito suscetível a fratura quando está sob tração,
portanto, por si só, não seria adequado para resistir a
um momento fletor.* Para contornar essa deficiência,
os engenheiros colocam hastes de reforço de aço no
interior das vigas de concreto no local onde o concreto
A inspeção de seu diagrama tensão-deformação particular na
Figura 3.11 revela que o concreto pode ser 12,5 vezes mais resis­
tente sob compressão do que sob tração.
( c)
Figura 6.42
está sob tração (Figura 6.42a). Para maior efetividade,
essas hastes são localizadas o mais longe possível do
eixo neutro da viga, de modo que o momento criado
pelas forças desenvolvidas nas hastes seja maior em
torno do eixo neutro. Por outro lado, também é neces­
sário cobrir as hastes com concreto para protegê-las da
corrosão ou da perda de resistência se ocorrer um in­
cêndio. Em situações reais de projeto com concreto ar­
mado, a capacidade do concreto de suportar qualquer
carga de tração é desprezada, visto que a possível fra­
tura do concreto é imprevisível. O resultado é que se
considera que a distribuição da tensão normal que age
na área da seção transversal de uma viga de concreto
armado é semelhante à mostrada na Figura 6.42b.
A análise da tensão requer localizar o eixo neutro e
determinar a tensão máxima no aço e no concreto. Para
tal em primeiro lugar, a área de aço A é transformada
em uma área equivalente de concreto usando o fator de
transformação n = E /E . Essa razão, que dá n > 1,
,
aço
aço
cone
230
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
é escolhida, porque é preciso uma quantidade "maior"
de concreto para substituir o aço. A área transformada é
nAaço, e a seção transformada é semelhante à mostrada
na Figura 6.42c. Aqui, d representa a distância entre a
parte superior da viga até o aço (transformado), b é a
largura da viga e h ' é a distância ainda desconhecida
entre a parte superior da viga e o eixo neutro. Podemos
obter h' usando o fato de que o centroide C da área da
seção transversal da seção transformada se encontra no
eixo neutro (Figura 6.42c). Portanto, com referência ao
eixo neutro, o momento das duas áreas, �yA, deve ser
nulo, visto que y = �yAf4.A = O. Assim,
bh'
(�) -
nAaço (d -
300
mm
(h') !i_ - 7.856 mm2(400 mm h') = O
2
h'2 + 52,37h' - 20.949,33 = o
Resolvendo para a raiz positiva,
h' =
mm
Usando esse valor para h', o momento de inércia da seção
120,90
[_!_
transformada, calculado em torno do eixo neutro, é
I
=
12
( 300 mm)(120,90 mm) 3
+ 300 mm(120,90 mm)
h') = O
( 120·�mm r
]
+ 7.856mm 2 ( 400mm - 120,9 mm)2
Uma vez obtida h ' por essa equação quadrática, a
solução prossegue da maneira usual para obter a ten­
são na viga.
= 788,67
X
106 mm
Aplicando a fórmula da flexão à seção
transformada, a tensão normal máxima no concreto é
Tensão normal.
(<TconJmáx
788,67 X 106 mm4
A viga de concreto armado tem a área de seção transver­
sal mostrada na Figura 6.43a. Se for submetida a um momen­
= 9,20 M
to fietor M = 60 kN m, determine a tensão normal em cada
Resposta
uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima
A tensão normal à qual a tira "de concreto" resiste e que é
no concreto. Considere E = 200 GPa e Econe = 25 GPa.
substituída pelo aço é
=
60 kN
·
m (1.000 mm/m)(120,90 mm)(l.OOO N/kN)
·
aço
SOLUÇÃO
60 kN
·
m (1.000 mm/m)(l.OOO N /kN)(400 m - 120,90 mm)
Visto que a viga é feita de concreto, na análise que faremos a lT�onc =
788,67 X 106 mm4
seguir desprezaremos sua resistência à tensão de tração.
= 21,23 MPa
Propriedades da seção. A área total de aço, Aaço
2[7r(12,5 mm)2] = 982 mm2 será transformada em uma área A tensão normal em cada uma das duas hastes de reforço é,
equivalente de concreto (Figura 6.43b). Aqui,
portanto,
( 200(103 ) MPa 21 '23 MPa = 169 84 MPa
u = nu'c
200(103)
MPa (982 mmz ) = 7.856 mm2
one =
a
A ' = nAa =
ço
25(103) MPa
ço 25(103) MPa
=
)
'
Resposta
Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro. Assim, A distribuição da tensão normal é mostrada graficamente na
Figura 6.43c.
�yA O ou
=
,
N
Barras de 25 mm
de diâmetro
( a)
50 mm
t
c
j
400 mm
����
= 7.856 mm2
(b)
Figura 6.43
169,84 MPa
169,84 MPa
(c)
FLEXÃO
*6.8
Vigas cu rvas
A fórmula da flexão aplica-se a um elemento pris­
átic
m o reta, já que demonstramos que, para um ele­
mento reto a deformação normal varia linearmente
em relação ao eixo neutro. Entretanto, se o elemento
for curvo, essa premissa torna-se inexata e, portanto,
temos de desenvolver outra equação que descreva a
distribuição de tensão. Nesta seção, consideraremos a
análise de uma viga curva, isto é, um elemento que tem
um eixo curvo e está sujeito a flexão. Como exemplos
típicos, citamos ganchos e elos de corrente. Em todos
os casos, os elementos não são delgados; mais exata­
mente, têm uma curva acentuada, e as dimensões de
suas seções transversais são grandes, em comparação
com o raio de curvatura.
A análise a ser considerada supõe que a área da
seção transversal é constante e tem um eixo de sime­
tria perpendicular à direção do momento aplicado
M (Figura 6.44a). Além disso, o material é homogé­
neo e isotrópico e comporta-se de maneira linear
elástica quando a carga é aplicada. Como no caso de
urna viga reta, também admitiremos que as seções
transversais do elemento permanecem planas após a
aplicação do momento. Além do mais, qualquer dis­
torção da seção transversal dentro de seu próprio
plano será desprezada.
Para realizar a análise, três raios, que se estendem
do centro de curvatura O' do elemento, são identifi­
cados na Figura 6.44a. São os seguintes: r, que indica
a localização conhecida do centroide para a área da
seção transversal; R, que indica a localização ainda
não especificada do eixo neutro, e r, que indica a lo­
calização de um ponto arbitrário ou elemento de área
dA na seção transversal. Observe que o eixo neutro
se encontra no interior da seção transversal, visto que
o momento M cria compressão nas fibras superiores
da viga e tração nas fibras inferiores, e, por definição,
o eixo neutro é uma reta onde a tração e a deforma­
ção são nulos.
Se isolarmos um segmento diferencial da viga (Fi­
gura 6.44b), a tensão tende a deformar o material de
tal modo que cada seção transversal sofrerá uma rota­
ção de um ângulo [5()/2. A deformação normal E na tira
de material localizada em r agora será determinada.
Essa tira tem comprimento original r d() (Figura 6.44b ).
Contudo, devido às rotações M/2, a mudança total no
comprimento da tira é oe(R - r). Por consequência,
E=
8e(R - r)
r de
231
Definindo k = o()/de, que é constante para qualquer
elemento particular, temos
( )
R-r
E = k -r
Diferentemente do caso das vigas retas, podemos
ver, aqui, que a deformação normal é uma função não­
linear de r; na verdade, ela varia de maneira hiperbó­
lica. Isso ocorre ainda que a seção transversal da viga
permaneça plana após a deformação. Visto que o mo­
mento provoca comportamento elástico no material, a
lei de Hooke se aplica e, portanto, a tensão em função
da posição é
( )
R-r
cr = Ek -r
(6.22)
Essa variação também é hiperbólica e, uma vez que
agora já foi definida, podemos determinar a localiza­
ção do eixo neutro e relacionar a distribuição de ten­
são ao momento interno resultante M.
Para obter a localização R do eixo neutro, exige­
se que a força interna resultante provocada pela dis­
tribuição de tensão que age na seção transversal seja
nula; isto é,
1 cr dA = O
1 Ek( R ; r ) dA = O
{}A dAr - }A{ dA = O
Visto que Ek e R são constantes, temos
R
Resolvendo para R, obtemos
R=
{
A
dA
}A r
(6.23)
Nessa expressão,
R = localização do eixo neutro, determinada em re­
lação ao centro de curvatura O' do elemento
A = área da seção transversal do elemento
r = posição arbitrária do elemento de área dA na
seção transversal, determinada em relação ao
centro de curvatura O' do elemento
A integral na Equação 6.23 pode ser calculada para
várias geometrias de seção transversal. A Tabela 6.2
apresenta os resultados para algumas seções transver­
sais comuns.
232
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Centroide
N
M
y
dA
r
O'
R
( a)
M
ISO
-(R
- r)
M
2
Variação da tensão de flexão
(vista lateral)
(c)
(b)
N
O'
( e)
( d)
Figura 6.44
FLEXÃO
M = EkA(r - R)
Resolvendo para Ek na Equação 6.22, substituindo
na equação acima e resolvendo para u, temos
j dA
Área
For ma
A
233
r
(]"
= ----,----
M(R - r)
Ar(r - R)
(6.24)
u = tensão normal no elemento
Nessa expressão,
(rz - rl)
2
b
r�
I
I
'Tf'C2
7rab
b 'z
(rz - rl)
(ln � )
M = momento interno, determinado pelo método
-b
z'Tr (r - �)
27rb
a-
(r- �
r2 - a2
)
Para relacionar a distribuição de tensão com o mo­
mento fletor resultante, exige-se que o momento inter­
no resultante seja igual ao momento da distribuição de
tensão calculado em torno do eixo neutro. Pela Figura
6.44a, a tensão u que age sobre um elemento de área
dA localizado a uma distância y do eixo neutro cria
uma força dF = u dA no elemento e um momento em
torno do eixo neutro dM = y (u dA) . Esse momento é
positivo, visto que, pela regra da mão direita, ele está
direcionado na mesma direção de M. Para a seção
transversal inteira, exige-se M = fyu dA.
Uma vez que y = R - r, e u é definida pela Equa­
ção 6.22, temos
M=
1 (R - r)Ek(R ; r ) dA
Expandindo essa expressão, e entendendo que Ek
e R são constantes, obtemos
A primeira integral é equivalente a A/R como de­
terminado pela Equação 6.23, e a segunda integral é
simplesmente a área de seção transversal A. Perceben­
do que a localização do centroide da seção transver­
sal é determinada por r = Jr dA/A, a terceira integral
pode ser substituída por rA. Assim, podemos escrever
das seções e equações de equilíbrio e calcu­
lado em torno do eixo neutro para a seção
transversal. Esse momento é positivo se ten­
der a aumentar o raio de curvatura do ele­
mento, isto é, se tender a recuperar a forma
reta do elemento
A = área da seção transversal do elemento
R = distância medida do centro de curvatura até o
eixo neutro, determinada pela Equação 6.23
r = distância medida do centro de curvatura até o
centroide da área da seção transversal
r = distância medida do centro de curvatura até o
ponto onde a tensão u deve ser determinada
Pela Figura 6.44a, y = R - r ou r = R - y. Além disso,
a distância constante e normalmente muito pequena é
e = r - R. Quando esses resultados são substituídos na
Equação 6.24, podemos escrever também
(]"
= ----,-----,Ae(R - y )
My
(6.25)
Essas duas últimas equações representam duas for­
mas da chamada fórmula da viga curva, que, como a
fórmula da flexão, pode ser usada para determinar a
distribuição de tensão normal em elementos curvos.
Essa distribuição de tensão, como dissemos antes, é hi­
perbólica; um exemplo é mostrado nas Figuras 6.44c e
6.44d. Visto que a tensão age na direção da circunfe­
rência da viga, às vezes ela é denominada tensão cir­
cunferencial. Todavia, devemos perceber que, devido à
curvatura da viga, a tensão circunferencial criará uma
componente correspondente de tensão radial, assim
denominada porque essa componente age na direção
radial. Para mostrar como ela é desenvolvida, conside­
re o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 6.44e,
que é um segmento da parte superior do elemento
diferencial na Figura 6.44b. Aqui, a tensão radial u, é
necessária, visto que ela cria a força dF, exigida para
equilibrar as componentes das forças circunferenciais
dF que agem ao longo da reta O' B.
Às vezes, as tensões radiais no interior de elementos
curvos podem tornar-se significativas, especialmente se
o elemento for construído com chapas finas e tiver, por
exemplo, a forma de uma seção em I. Nesse caso, a ten-
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
234
como no caso de ganchos ou anéis. Todavia, se o raio
de curvatura for maior do que cinco vezes a largura
do elemento, a fórmula da flexão pode ser usada nor­
malmente para determinar a tensão. Especificamente,
para seções retangulares para as quais essa razão é
igual a 5 , a tensão normal máxima, quando determ i­
nada pela fórmula da flexão, será aproximadamente
7 % menor do que seu valor determinado pela fór­
mula da viga curva. Esse erro é reduzido mais ainda
quando a razão entre o raio de curvatura e a largura
for maior que 5. *
são radial pode tornar-se tão grande quanto a tensão
circunferencial e, por consequência, o elemento deve
ser projetado para resistir a ambas as tensões. Entre­
tanto, na maioria dos casos, essas tensões podem ser
desprezadas, em especial se a seção transversal do ele­
mento for sólida. Então, a fórmula da viga curva dará
resultados muito próximos daqueles determinados por
meios experimentais ou por análise matemática basea­
da na teoria da elasticidade.
Geralmente, a fórmula da viga curva é usada quan­
do a curvatura do elemento é muito pronunciada,
A fórmula da viga curva d eve ser :usada para determinar a tensão cir,cuttferertci!ll
curvatura for menor do. qu:e cinco.vezes a largura da viga.
• Devido à curvatura da viga, a deformação normal na viga não varia linearmente com a largu ra , como ""'"""""" <>�
viga reta. O resultado é que o eÍiíO neutro n ão pa�sapelo centroide da seção transversal.
• A coJ1Ipon ente da tensã o radial causada pela :flexão pode, em geral, ser desprezada, especialmente se
versal for urna seção sólida e não for feita .de chapas finas.
•
a li
uinte procedimento.
Para p car a fórmula da viga curva, sugerimos o seg
Propriedades da seção
r el ação ao centro de curvatura.
e a localização do entroide, r , medida
Calcule a localização do eixo neutro, R, usando a Equação 6.23 ou a Tabela 6.2. Se a área de seção transversal
con sistir em n p arte s comp ost as , calcule J dA/r para cada parte. Ent ão, pela Equaç ã o 6.23, para a s eção inteira,
!,Ai!,(! dA/r). Em todos os casos, R < r.
R
• Determine a área da seção transversal A
•
"
=
Tensão normal
en ã
ist n até
" Visto que
que s a ã
e a tensão
Uma
em
c
"
em
nt
at
u t
é determinada l Equação
aã
use
ã
um p o o r af s ado do centro de c rva ur a
pe a
" A t s o normal localizada
6.24. Se a
o p on o for medida em rel ç o ao eixo neutro, então calcu e e = r - R e
a Equ ç o 6.25.
d â cia y
r - R ger lm te r d z
número muito pequeno, é me hor calcular r e R com precis o suficiente para
a ubtr ç o dê
número e q e
m ínim três algarismos significativos.
• S
for positiva, será de ra o,
for neg iv , será de compressão.
•
distribuição de te s o em toda seção transversal pode ser apr se t da de forma gráfica, ou um eleme to de
volume do material pode ser isolado e usado para representar a
que age no ponto na seção transversal onde
foi calculada.
�
e�m�Pl11���.2��
"'
�
2
t
aã
a en p o u um
um
u tenha no
o
t çã ao passo que, se
nã
a
l
at a
e na
tensão
Momento interno. Visto que M tende a aumentar o raio
de curvatura da barra, ele é positivo.
Propriedades da seção. A localização do eixo neutro é
determinada pela Equação 6.23. Pela Figura 6.45a, temos
mm
(20 mm) =
90mm
1 10 mm
= (200 mm)
90mm
dr
r
ln r
u d
SOLUÇÃO
n
f dA = llO
J
A r
J!i
Uma barra de aço com seção transversal retangular tem
a forma de um arco de círculo como mostra a Figura 6.45a.
Se a tensão normal admissível for
= 140 MPa, deter­
mine o momento fletor máximo M q�empode ser aplicado à
barra. Qual seria esse momento se a barra fosse reta?
l
É
=
4,0134 mm
claro que esse mesmo resultado pode ser obtido direta­
mente pela Tabela 6.2. Assim,
R
(20 mm)(20 mm)
=�
f dA = 4,0134 mm
A r
""'
99 '666 mm
' Veja, por exemplo, Boresi, A. P., et ai., Advanced mechanics of
materiais. 3. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1978, p. 333.
FLEXÃO
235
M
122,5 MPa
M
O'
(b)
(a)
Figura 6.45
Deve-se observar que, em todos os cálculos que fizemos, R
174.153 N · mm(99,666 mm - 90 mm)
= (20 mm)(20
�
foi determinado com vários algarismos significativos para
mm)(110 mm)(100 mm - 99,666
mm)
garantir que Cr - R) tenha uma precisão de, no mínimo, três
= 122,5 N /mm2
algarismos significativos.
Não sabemos se a tensão normal atinge seu máximo na A distribuição da tensão é mostrada na Figura 6.45b.
parte superior ou na parte inferior da barra, portanto, temos
Se a barra fosse reta, então
de calcular o momento M para cada caso separadamente.
Visto que a tensão normal na parte superior da barra é de
Me
u=compressão, u = -140 MP a.
I
M(10 mm)
140 N/mm2 =
fz- (20 mm)(20 mm)3
M = 186.666,7 N mm = 0,187 kN m Resposta
-140 N/mm2
OBSERVAÇÃO: Isso representa um erro de aproximadamen­
te 7% em relação ao valor mais exato determinado acima.
M(99,666 mm - 110 mm)
(20 mm)(20 mm)(110 mm)(100 mm - 99,666 mm)
(T
----------------
----
adm
·
·
M = 199.094 N · mm = 0,199 kN · m
A barra curva tem a área de seção transversal mostrada
De maneira semelhante, a tensão normal na parte inferior da na Figura
6.46a. Se estiver sujeita a momentos fletores de
barra será de tração, portanto, u = + 140 MPa, e
4 kN · m, determine a tensão normal máxima desenvolvida
na barra.
M(R
r;)
u = Ari ( r - R)
SOLUÇÃO
M(99,666
mm
90
)
140 N/mm2 (20 mm)(20 mm)(90 mm)(100 mm - 99,666 mm) Momento interno. Cada seção da barra está sujeita ao
mesmo momento interno resultante de 4 kN m. Visto que
esse momento tende a diminuir o raio de curvatura da barra,
ele é negativo. Assim, M = - 4 kN · m.
M = 174.153 N · mm = 0,174 kN · m
Resposta
Propriedades da seção. Aqui, consideraremos que a se­
ção transversal é composta por um retângulo e um triàngulo.
Por comparação, o momento máximo que pode ser apli­ A área total da seção transversal é
cado é 0,174 kN · m e, portanto, a tensão normal máxima
ocorre na parte inferior da barra. A tensão de compressão na 2:A = (0,05 m) 2 + (0,05 m)(0,03 m) = 3,250(10-3 ) m2
parte superior da barra é, então,
adm
mm
·
�
o
236 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
4 kN·m
4 kN·m
4 kN·m
O'
A
A
( a)
129 MPa
(b)
Figura 6.46
A localização do centroide é determinada em relação ao
centro de curvatura, ponto O' (Figura 6.46a).
_
r=
M(R - rB )
BArB (r - R)
(J'
2:rA
2: A
( -4 kN m)(0,23142 m - 0,200 m)
- 3,2500(10-3 ) m2 (0,200 m)(0,00166 m)
= -116 MPa
·
[0,225 m](0,05 m)(0,05 m) + [0,260 mH (o,050 m)(0,030 m) No ponto A, rA = 0,280 m e a tensão normal é
3,250(10-3) m2
M(R - rA )
( -4 kN m)(0,23142 m - 0,280 m)
= 0,23308 m
A - Ar (r - R ) - 3,2500(10-3 m2 (0,280 m)(0,00166 m)
)
A
Resposta
= 129 MPa
Podemos calcular !TA dA/r para cada parte pela Tabela 6 .2.
Para o retângulo,
Por comparação, a tensão normal máxima ocorre em A.
0,250 m = 0,011157 m
{ dA =
Uma representação bidimensional da distribuição de tensão
m
ln
0,05
JA--;:0,200 m
é mostrada na Figura 6.46b.
(J'
(
E, para o triângulo,
1 dA =
A r
=
(
(0,05 m)(0,280 m)
0,280 m
(0,280 m - 0,250 m) ln 0,250 m
)
_
0'05 m =
0,0028867 m
1 dA/r
2:A
----
2:
•
)
Assim, a localização do eixo neutro é determinada por
R=
-
0,011157 m + 0,0028867 m = 0'23142 m
Observe que R < r, como esperado. Além disso, os cálcu­
los foram realizados com precisão suficiente, de modo que
(r -R) = 0,23308 m - 0,23142 m = 0,00166 m tenha preci­
são de três algoritmos significativos.
Tensão normal. A tensão normal máxima ocorre em A ou
em B. Aplicando a fórmula da viga curva para calcular a ten­
são normal em B, r8 = 0,200 m, temos
6 .9
Conce ntrações d e tensão
A fórmula da flexão, umáx = Me/I, pode ser usada
para determinar a distribuição de tensão em regiões de
um elemento onde a área da seção transversal é cons­
tante ou ligeiramente cônica. Entretanto, se a seção
transversal mudar repentinamente, a distribuição de
tensão normal e a distribuição de tensão de deforma­
ção na seção tornam-se não lineares e podem ser obti­
das por meios experimentais ou, em alguns casos, por
análise matemática usando a teoria da elasticidade.
Entre as descontinuidades comuns, citamos entalhes
na superfície de elementos (Figura 6.47a), furos para a
passagem de elementos de fixação ou outros itens (Fi­
gura 6.47b) ou mudanças abruptas nas dimensões ex­
ternas da seção transversal do elemento (Figura 6.47c).
A tensão normal máxima em cada uma dessas descon­
tinuidades ocorre na seção que passa pela menor área
de seção transversal.
Para o projeto, em geral, é importante conhecer a
tensão normal máxima desenvolvida nessas seções, e
não a distribuição de tensão verdadeira em si. Como
FLEXÃO
r-f:
2,0
I
I
1,9
1,8
'.\
I \
\ \\
1,7
K
1,6
\
.\
1,5
_LIII!Ii;t')?
i
r
I-;I-II-1-
I-f--
\V
\V
3
----- h - 1 '5
\
" ''·
I � 1 '25
\
"
h=
<� >-I w 1 1_"'
...... j::,,::::J � �
.._1 "':y -=
h '
\ \ \,.\;
\ "
\ ,\
1,4
1,3
1,2
h
/
w
---IL
i'-
1,1
1,0
/
7 h=4
I�
237
o
.......
'----+=:.:1����- ::::::
�-
I
I
·:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
h
Figura 6.48
Figura 6.47
nos casos anteriores de barras com cargas axiais e eixos
com cargas de torção, podemos obter a tensão normal
máxima devida à flexão usando um fator de concentra­
ção de tensão K. Por exemplo, a Figura 6.48 dá valores
de K para uma barra chata cuj a seção transversal muda
repentinamente com a utilização de filetes. Para usar
esse gráfico, basta determinar as relações geométricas
wlh e r/h e, então, calcular o valor correspondente de K
para uma determinada geometria. Uma vez obtido K,
a tensão de flexão máxima é determinada por
Me
U"máx = K I
(6.26)
()
Aqui, a fórmula da flexão é aplicada à menor área
de seção transversal, visto que cr , ocorre na base do
filete (Figura 6.50). Da mesma ���eira, a Figura 6.49
pode ser usada se a descontinuidade consistir em sul­
cos ou entalhes regulares.
lí�rsJmttll s
(),2
0,3
r
li
Figma 6.49
���®RmT�rsJmes�-"'�"
x
0
_l
0, 1
=
""'*''§{'?�
�
'?"'-"00>"$"'=
"0 "'
�=="'
"'
7
YJ!
"
;; B
::::::
�
!0
--
""
• Concentrações de tensão em elementos sujeitos a flexão oco:�;rem em pontos de mudançana seção hans-ver-sâl.çausa­
da por entalhes e furos porque, nesses pontos, a te11são e, a deformação tornam-se não lineares. Quanto mais severa
a mudança, maior a concentração de tensão.
!> Para projeto ou análi�e, não é �ecessário couhecei>a distribuição de tensão exata emtornôda mudança na seção
>
transversal, porque a tensão normal máxima ocorre nameMrárea de seção transversal, É P?ssível obteress�,t tensão.
' usando-se um fator .de concentração . de tensão,K; que foi determinado por meios experimentf!is e é função apenas . da geometria do elemento.
. " Nôrmalnlente, a concentraçãode tensão �II! ull1 m�terial dúctil sujeito a um momento estático não terá de ser con"
siderada noproj�to; todavia,se o'material.fôr fr:ágil o� estiver sujeito a carregamento de fadiga, então as conce�tra­
çõ�s de tensão se tornam impQrtantes.
%C!
i(
0
'<
-
238
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Como ocorre com as cargas mciais e de torção, a
concentração de tensão para a flexão sempre deve ser
considerada no projeto de elementos feitos de materiais
frágeis ou sujeitos a carregamentos de fadiga ou cíclicos.
Entenda, também, que os fatores de concentração de
tensão somente se aplicam quando o material está sujei­
to a um comportamento elástico. Se o momento aplica­
do provocar o escoamento do material, como acontece
com os materiais dúcteis, a tensão será redistribuída por
todo o elemento, e a tensão máxima resultante será mais
baixa do que a determinada quando são usados fatores
de concentração de tensão. Esse fenômeno é discutido
mais adiante na próxima seção.
MI
(
Figura 6.50
OBSERVAÇÃO: A distribuição de tensão normal é não li­
near e é mostrada na Figura 6.51b. Entretanto, entenda que,
pelo princípio de Saint-Venant, Seção 4.1, essas tensões lo­
calizadas suavizam-se e tornam-se lineares à medida que
avançamos (aproximadamente) até uma distância de 80 mm
ou mais para a direita da transição. Nesse caso, a fórmula da
flexão dá u . = 234 MPa (Figura 6.51c). Observe, também
que a escoih"� de um filete com raio maior provocará um�
redução significativa de u já que, à medida que r cresce na
Figura 6.48, K decresce.
máx
5
)M
,1--:::o-O'máx
A transição na área da seção transversal da barra de aço
é obtida por filetes de redução como mostra a Figura 6.51a.
Se a barra for submetida a um momento fietor de 5 kN · m,
determine a tensão normal máxima desenvolvida no aço. A
tensão de escoamento é ue = 500 MPa.
5 kN·m
SOLUÇÃO
O momento cria a maior tensão na barra na base do file­
te, onde a área da seção transversal é a menor. O fator de
concentração de tensão pode ser determinado pela Figura
6.48. Pela geometria da barra, temos r = 16 mm, h = 80 mm,
w = 120 mm. Assim,
r
h=
16 mm = 0 2
80 mm '
w
=
h
120 mm = 1 5
80 mm '
340 MPa
(b)
5
Esses valores dão K = 1,45.
Aplicando a Equação 6.26, temos
Me
(5 kN m)(O 04 m)
máx = K - = (1 45) [
u
I
1
u(0,020
m)(0,08 m) 3 ]
·
'
'
=
340 MPa
Este resultado indica que o aço permanece elástico, visto que
a tensão está abaixo da tensão de escoamento (500 MPa).
(c)
Figura 6.51
FLEXÃO
239
I 12mm
12mm
y
A viga composta é feita de alumínio 6061-T6 (A)
e latão vermelho C83400 (B). Determine a dimensão h da
tira de latão de modo que o eixo neutro da viga esteja lo­
calizado na costura dos dois metais. Qual é o momento má­
ximo que essa viga suportará se a tensão de flexão admis­
sível para o alumínio for (uadm).1 128 MPa e para o latão
(uadm) lat 35 MPa?
'6.120. A viga composta é feita de alumínio 6061-T6 (A)
e latão vermelho C83400 (B). Se a altura h = 40 mm, deter­
mine o momento máximo que pode ser aplicado à viga se a
tensão de flexão admissível para o alumínio for ((]'adm\1 128
MPa e para o latão (uactm)1., 35 MPa.
6.119.
=
=
z
=
=
Problema 6.122
6.123. A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de
madeira. Determine a tensão máxima no aço e na madei­
ra se a viga for submetida a um momento M 1,2 kN · m.
Eaço 200 GPa, Emad 12 GPa.
=
=
=
Problemas 6.119/120
6.121. As partes superior e inferior da viga de madeira
são reforçadas com tiras de aço, como mostra a figura. De­
termine a tensão de flexão máxima desenvolvida na madei­
ra e no aço se a viga for submetida a um momento fletor
M = 5 kN · m. Trace um rascunho da distribuição de ten­
são que age na seção transversal. Considere Emact 11 GPa,
E 200 GPa.
=
aço
=
y
�20mm
40 mm
30
M = S kN·m
12mm
Problema 6.123
*6.124. Os lados da viga de abeto Douglas são reforçados
com tiras de aço A-36. Determine a tensão máxima desen­
volvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um
momento fletor Mz = 4 kN · m. Faça um rascunho da distri­
buição de tensão que age na seção transversal.
I
y
X
z
Problema 6.121
6.122. O centro e os lados da viga de abeto Douglas são re­
forçados com tiras de aço A-36. Determine a tensão máxima
Problema 6.124
desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a
um momento fletor M
10 kN · m. Faça um rascunho da 6.125. A viga composta é feita de aço A-36 (A) e latão ver­
distribuição de tensão que age na seção
transversal.
melho C83400 (B) e tem a seção transversal mostrada na fi=
240
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
gura. Se for submetida a um momento M = 6,5 kN m, deter­
mine a tensão máxima no latão e no aço. Determine também
a tensão em cada material na junção entre eles.
6.126. A viga composta é feita de aço A-36 (A) unido a la­
tão vermelho C83.400 (B) e tem a seção transversal mostra­
da na figura. Se a tensão de flexão admissível para o aço for
(aadm)aço = 180 MPa e para latão (aadm)Iat = 60 MPa, deter­
mine o momento máximo M que pode ser aplicado à viga.
·
O
6.129. Uma tira bimetálica é feita de pedaços de alumínio
2014-T6 e latão vermelho C83400 e tem a seção transversal
mostrada na figura. Um aumento na temperatura provoca a
curvatura de sua superfície neutra e forma um arco circular
com raio de 400 mm. Determine o momento que agiria em
sua seção transversal resultante da tensão térmica. E.1 74
GPa e E1•1 = 102 GPa.
Latão 40mm
Alumínio
""
Tzmm
Izmm
Problema 6.129
X
6.130. O garfo é usado como parte do conjunto do trem de
pouso de um avião. Se a reação máxima da roda na extremida­
de do garfo for 4,5 kN, determine a tensão de flexão máxima
na porção curva do garfo na seção a-a. Nesse lugar, a área da
seção transversal é circular, com diâmetro de 50 mm
.
Problemas 6.125/126
A viga de concreto armado é feita com duas hastes
de reforço de aço. Se a tensão de tração admissível para o aço
for (a.1Jadm = 280 MPa e a tensão de compressão admissível
para o concreto for (a,onJadm = 21 MPa,determine o momen­
to máximo M que pode ser aplicado à seção. Considere que o
concreto não pode suportar uma tensão de tração. Eaço = 200
GPa, Econe = 26,5 GPa.
6.127.
Hastes de 25 mm de diâmetro
4,5 kN
Problema 6.130
Determine a maior valor das forças aplicadas P se a
tensão
de
flexão admissível for (aadm), = 50 MPa sob com­
Problema 6.127
pressão e (aadm), = 120 MPa sob tração.
*6.128. Determine a carga uniformemente distribuída
Se P = 6 kN, determine as tensões de tração e com­
máxima w que pode ser suportada pela viga de concre­ *6.132.
pressão
máximas
na viga.
to armado se a tensão de tração admissível para o aço for
(a. )adm = 200 MPa e a tensão de compressão admissível
para1 o concreto for (a o )·d = 20 MPa. Considere que o
H�
p
'�
concreto não pode supo��r u�a tensão de tração. Considere
Eaço = 200 GPa, Econc = 25 GPa.
15
,---L..
6.131.
75mm
m
lOm
:I
�
10
160 mm ____l0 lO mm
Hastes de 16 mm de diâmetro �..�
P 1 ,0 J
�
_
.u_
..,.
�!l) IIIM:JI:.JJ!j " Ct]}so L z.s m -2,5 m __j
z�m
0
mm
mm
1
IVo
Problema 6.128
Problemas 6.131/132
FLEXÃO 241
A viga curva está sujeita a um momento fletor
900 N m como mostra a figura. Determine a tensão
nos pontos A e B e mostre a tensão sobre um elemento de
volume localizado em cada desses pontos.
6.134. A viga curva está sujeita a um momento fletor
M 900 N m. Determine a tensão no ponto C.
6.133.
M
==
==
·
A
1
220mm
·
lOOmm c
�,,' 150mm20mm
15 mmA-t
r-------1
�I
,
---r
' __l
B
•
l
Problemas 6.136/137
6.138. Em voo, a nervura curva do avião a jato é submetida
a um momento previsto M = 16 N m na seção. Determine a
tensão de flexão máxima na nervura nessa seção e trace um
rascunho bidimensional da distribuição de tensão.
·
Problemas 6.133/134
A barra curva usada em uma máquina tem seção
transversal retangular. Se a barra for submetida a um conju­
gado, como mostra a figura, determine as tensões de tração e
compressão máximas que agem na seção a-a. Trace um ras­
cunho tridimensional da distribuição de tensão na seção.
6.135.
a
Problema 6.138
A haste de aço tem seção transversal circular. Se
cada uma de suas extremidades for segurada e um conjuga­
do M = 1,5 N m for desenvolvido nesses locais, determine a
tensão que age nos pontos A e B e no centroide C.
6.139.
·
---12mm-�
A
B
75mm
H
Problema 6.135
'6.136. A braçadeira circular de mola produz uma força
de compressão de 3 N sobre as chapas. Determine a tensão
de flexão máxima produzida na mola A. A mola tem seção
transversal retangular, como mostra a figura.
6.137. Determine a força de compressão máxima que a bra­
çadeira de mola pode exercer sobre as chapas se a tensão de
flexão admissível para a braçadeira for = 4 MPa.
(]'adm
Problema 6.139
C
242
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Uma barra curva é usada em uma máquina e tem
seção transversal retangular. Se a barra estiver sujeita a um
conjugado, como mostra a figura, determine as tensões de
tração e compressão máximas que agem na seção a-a. Tra­
ce um rascunho tridimensional da distribuição de tensão
na seção.
75 mm
*6.140.
a
I75 mm
H
50 mm
'\,- sükn
100 mm
250 N
H
75 mm
Problema 6.142
6.143. A barra tem espessura de 6,25 mm e é feita de
material com tensão de flexão admissível aadm = 126 MPa.
Determine o momento máximo M que pode ser aplicado.
um
__j_
150 mm
250 N
B
Problema 6.140
O elemento tem seção transversal elíptica. Se for
submetido a um momento M = 50 N m, determine a tensão
nos pontos A e B. A tensão no ponto A', que está localizado
no elemento próximo à parede é igual à tensão no ponto A?
Explique sua resposta.
6.141.
·
Problema 6.143
75 mm
A barra tem espessura de 12,5 mm e está sujeita a
um momento de 90 N · m. Determine a tensão de flexão má­
xima na barra.
*6.144.
B
Problema 6.141
O elemento tem seção transversal elíptica. Se a ten­
são de flexão admissível for a'd = 125 MPa, determine o
momento máximo M que pode s�r aplicado ao elemento.
6.142.
Problema 6.144
FLEXÃO
A barra está sujeita a um momento M = 40 N m.
r dos filetes de modo a não ultrapasD etermine o menor raio
sível uadm 124 MPa.
admis
flexão
de
o
sar a tensã
=
lOS mm
72 mm
·
6,145.
243
36 mm
20 kN · m
Problema 6.149
6.150. Determine o comprimento L da porção central da
barra de modo que as tensões de flexão máximas em A, B e
C sejam as mesmas. A barra tem espessura de 10 mm.
A barra está sujeita a um momento M = 17,5 N m.
5 mm, determine a tensão de flexão máxima no ma­
Problema 6.145
6.146.
Se
teria l.
r =
350 N
40 mm
7 mm
�
·
� 200 mm --+--- t --+--- t + 200 mm ----j
Problema 6.150
6.151. Se o raio de cada entalhe na chapa for r = 10 mm,
determine o maior momento M que pode ser aplicado. A ten­
são de flexão admissível para o material é uactm = 180 MPa.
Problema 6.146
M
A barra está sujeita a um momento M = 20 N m.
Determine a tensão de flexão máxima na barra e trace um
rascunho que mostre, aproximadamente, a variação da ten­
são na seção crítica.
6.147.
·
20 mm
30 mm
M
M
Problema 6.147
= 175 MPa. Determine o momento máximo M que pode
A tensão de flexão admissível para a barra é
ser aplicado à barra.
M
'6.148.
uau m
30 mm
Problema 6.151
A barra escalonada tem espessura de 15 mm. De­
termine o momento máximo que pode ser aplicado às suas
extremidades se ela for feita de um material com tensão de
flexão admissível uadm = 200 MPa.
'"6.152.
45 mm
M
M
M
M
Problema 6.148
Determine a tensão de flexão máxima desenvolvida
na barra se ela for submetida aos conjugados mostrados na
figura. A barra tem espessura de 6 mm.
6.149.
Problema 6.152
· •·
244
RESISTí':NCIA DOS MATERIAIS
A barra tem espessura de 12,5 mm e é feita de um
material com tensão de flexão admissível o-adm = 140 MPa. *6 . 1 o F l exão i n e l ástica
Determine o momento máximo M que pode ser aplicado.
As equações para determinar a tensão normal
6.153.
de­
vido à flexão que foram desenvolvidas anteriormente
são válidas somente se o material se comportar de um a
maneira linear elástica. Se o momento aplicado provo­
car o escoamento do material, então será preciso rea­
lizar uma análise plástica para determinar a distribui­
ção de tensão. Todavia, para ambos os casos, elástico e
plástico, entenda que, para a flexão de elementos re tos,
há três condições que devem ser cumpridas.
Problema 6.153
A barra tem espessura de 12,5 mm e está sujeita a um
momento de 900 N m. Determine a tensão de flexão máxima
na barra.
6.154.
·
Problema 6.154
A barra entalhada simplesmente apoiada é submeti­
da a duas forças P. Determine o maior valor de P que pode
ser aplicada sem provocar o escoamento do material. O ma­
terial é aço A-36. Cada entalhe tem raio r = 3 mm.
6.155.
I
*
I
*
p
p
3 Tmm
12 mm
�
------ ·----,-v--- ·-/
�
500 mm� 500 mm�-500 mm�-500 mm
�
42 mm
Problema 6.155
A barra entalhada simplesmente apoiada é submetida
a duas cargas, cada uma de valor P = 500 N. Determine a tensão
de flexão máxima desenvolvida na barra e trace um rascunho
da distribuição da tensão de flexão que age na seção transversal
no centro da barra. Cada entalhe tem raio r = 3
'6.156.
I
I
p
Distri b uição l i near d a deformação no r­
mal. Com base em considerações geométricas, mos­
tramos, na Seção 6.3, que as deformações normais que
se desenvolvem em um material sempre variam linear­
mente de zero no eixo neutro da seção transvers al a
máximas no ponto mais afastado do eixo neutro.
Força resu ltante n u l a . Visto que há somen­
te um momento interno resultante que age na seção
transversal, a força resultante provocada pela distri­
buição de tensão deve ser nula. Uma vez que o- cria
uma força na área dA de dF = (}" dA (Figura 6.52), en­
tão, para a área total da seção transversal A, temos
(6.27)
Essa equação proporciona um meio para obter a loca­
lização do eixo neutro.
M omento resultante. O momento resultante
na seção deve ser equivalente ao momento causado
pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro.
Visto que o momento da força dF = (}" dA em torno do
eixo neutro é dM = y((J" dA) então, somando os resul­
tados na seção transversal inteira (Figura 6.52), temos,
(M R ) z
=
"'
Mz ;
�
y
p
�
�
Problema 6.156
=
mm.
12 mm
.---- --*------,,3-vr---*---=
/,-L---;:J I
42 mm
mm
_L
500 mm 500 mm -500 mm -500 mm
�
M
z
).·�.:
(]"
X
í
/\
Figura 6.52
ly((J" dA
)
(6.28)
FLEXÃO
245
Essas condições de geometria e carregamento se­
rão usadas agora para determinar a distribuição de
tensão em uma viga quando submetida a um momen­
to interno resultante que provoque o escoamento do
material. Durante toda a discussão, consideraremos
que 0 material tem o mesmo dia�rama te?são.-?efor­
mação sob tração e sob compressao. Por s1mphcidade,
começaremos pela viga cuja área de seção transversal
tem dois eixos de simetria; neste caso, um retângulo de
altura h e largura b, como mostra a Figura 6.53a. Serão
considerados três casos de carregamento de especial
interesse.
Agora que estabelecemos a distribuição de tensão,
podemos verificar se a Equação 6.27 é satisfeita. Para
tanto, em primeiro lugar, precisamos calcular a força re­
sultante para cada uma das duas porções da distribuição
de tensão na Figura 6.53e. Em termos geométricos, isso
equivale a determinar os volumes sob os dois blocos
triangulares. Como mostra a figura, a parte superior da
seção transversal do elemento está sujeita à compres­
são, e a porção inferior está sujeita à tração. Temos
Mom ento e l ástico m áxi m o . Considere que
momento aplicado M = Me é suficiente para pro­
Visto que T é igual, mas oposta a C, a Equação 6.27
é satisfeita, e, de fato, o eixo neutro passa pelo centrai­
de da área da seção transversal.
O momento elástico máximo Me é determinado
pela Equação 6.28, que afirma que Me é equivalente ao
momento da distribuição de tensão em torno do eixo
neutro. Para aplicar essa equação geometricamente,
temos de determinar os momentos criados por T e C
na Figura 6.53e em torno do eixo neutro. Uma vez que
cada uma das forças age no centroide do volume de
seu bloco de tensão triangular associado, temos
0
duzir tensões de escoamento nas fibras superiores e
inferiores da viga, como mostra a Figura 6.53b. Visto
que a distribuição da deformação é linear, podemos
determinar a distribuição de tensão correspondente
pelo diagrama tensão-deformação (Figura 6.53c).
Aqui, vemos que a deformação de escoamento Ee pro­
voca a tensão de escoamento U'e, e as deformações in­
termediárias E 1 e E2 causam as tensões U'1 e U'2, respec­
tivamente. Quando essas tensões, e outras como elas,
são representadas em gráfico nos pontos medidos y =
h/2, y = y1 , y = y2 etc., o resultado é a distribuição de
tensão mostrada na Figura 6.53d ou 6.53e. A lineari­
dade da tensão é, evidentemente, uma consequência
da lei de Hooke.
T=C=
!(!!_(}' )
2 2
e
b = l_4 bh (J'e
(6.29)
a
Distribuição da deformação
(vista lateral)
(a )
(b)
Distribuição da tensão
(vista lateral)
(d)
Figura 6.53
El Ez Ee
Diagrama tensão-deformação
(regi5u elástica)
(c)
246 RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
É claro que esse mesmo resultado pode ser obtido
de uma maneira mais direta pela fórmula da flexão,
isto é, O"e = Me(h/2)/[bh3/12] OU Me = bh2 0"/6.
Momento p lásti co. Alguns materiais, como o
aço, tendem a exibir comportamento elástico perfeita­
mente plástico quando a tensão no material ultrapas­
Em razão da simetria, a Equação 6.27 é satisfeita
sa O"e' Considere, por exemplo, o elemento na Figura
e
o
eixo neutro passa pelo centroide da seção trans­
6.54a. Se o momento interno M > Me , o material nas
versal,
como mostra a figura. O momento aplicado M
partes superior e inferior da viga começará a escoar
pode
ser
relacionado com a tensão de escoamento ue
e provocará uma redistribuição da tensão na seção
pela
Equação
6.28. Pela Figura 6.54e, exige-se que
transversal até que o momento interno exigido M seja
desenvolvido. Se a distribuição de deformação nor­
mal assim produzida for como a mostrada na Figura M =
+
+
+
6.54b, a distribuição de tensão normal correspondente
é determinada pelo diagrama tensão-deformação da
+
+
mesma maneira que no caso elástico. Pelo diagrama
tensão-deformação para o material mostrado na Fi­
gura 6.54c, as deformações E1 , Ee e E2 correspondem
às tensões IJ1 ' IJe e IJe' respectivamente. Quando essas
e outras tensões são representadas graficamente na
seção transversal, obtemos a distribuição de tensão
mostrada na Figura 6.54d ou 6.54e. Aqui, cada um dos
"blocos" de tensão de compressão e tensão de tração
é composto por componentes de blocos retangulares e
triangulares. Os volumes desses blocos são
T<�Ye) cl(�Ye)
C2[Ye
YM > Me
H
Ez
\ ,·
l'
(a )
T2[Ye �(� - Ye)]
�(� - Ye)]
---- E
----
���
Ez
El Ee
�
Distribuição da deformação
(vista lateral)
Diagrama tensão-deformação
(região elástica-plástica)
(c)
(b)
A
M,,
Distrib uição de tensão
(vista lateral)
(d)
(e)
Figura 6.54
Momento plástico
(f)
FLEXÃO
(
Ou, pela Equação 6.29,
· 4· y2
3
M = -Me 1 - _: �
2
3 h2
)
(6.30)
A inspeção da Figura 6.54e revela que M produz
duas zonas de escoamento plástico e um núcleo elásti­
co no elemento. A fronteira entre elas está localizada a
distância ±y do eixo neutro. À medida que o valor de
M aumenta, ye aproxima-se de zero. Isso converteria o
material em inteiramente plástico e, então, a distribui­
ção de tensão seria semelhante à mostrada na Figura
6.54f. Pela Equação 6.30 com y = O ou determinando
os momentos dos "blocos" de tensão em torno do eixo
neutro, podemos expressar esse valor-limite como
c
c
Mp
=
1
4
-bh2 (Je
mento e que seus diagramas tensão-deformação para
tração e compressão são diferentes (Figura 6.55b) .
Se o momento M produzir o escoamento da viga,
será difícil determinar a localização do eixo neutro e
a deformação máxima produzida na viga. Isso porque
a seção transversal é assimétrica em torno do eixo ho­
rizontal e o comportamento tensão-deformação do
material é assimétrico sob tração e sob compressão.
Para resolver esse problema, há um procedimento de
tentativa e erro com as seguintes etapas:
1.
2.
(6.31)
Pela Equação 6.29, temos
3.
(6.32)
Esse momento é denominado momento plástico.
Seu valor é exclusivo somente para a seção retangular
mostrada na Figura 6.54f, visto que a análise depende
da geometria da seção transversal.
Às vezes, as vigas usadas na construção de edifícios
são projetadas para resistir a momento plástico. Quan­
do isso ocorre, os códigos e manuais de engenharia
normalmente apresentam uma propriedade de projeto
para uma viga denominado fator de forma. O fator de
forma é definido com a razão
(6.33)
Esse valor especifica a capacidade de momento
adicional que uma viga pode suportar além de seu mo­
mento elástico máximo. Por exemplo, pela Equação
6.32, uma viga com seção transversal retangular tem
um fator de forma k = 1 ,5. Portanto, podemos concluir
que essa seção suportará 50% mais momento fietor do
que seu momento elástico máximo quando ela se tor­
nar totalmente plástica.
Momento resiste nte. Considere, agora, o caso
mais geral de uma viga com seção transversal simétrica
somente em relação ao eixo vertical, enquanto o mo­
mento é aplicado em torno do eixo horizontal (Figura
6.55 a). Consideraremos que o material exibe encrua-
247
4.
Para um dado momento M, assuma uma lo­
calização para o eixo neutro e a inclinação
da distribuição de deformação "linear", Fi­
gura 6.55c.
Estabeleça, por meios gráficos, a distribuição
de tensão na seção transversal do elemento
usando a curva (]"-E para marcar os valores da
tensão correspondentes aos valores da defor­
mação. Então, a distribuição de tensão resul­
tante (Figura 6.55d) terá a mesma forma da
curva (]"-E.
Determine os volumes envolvidos pelos "blo­
cos" de tensão de tração e compressão. (Como
aproximação, isso pode exigir a divisão de cada
bloco em regiões compostas.) A Equação 6.27
requer que os volumes desses blocos sejam
iguais, visto que representam a força de tração
resultante T e a força de compressão resultante
C na seção (Figura 6.55e). Se essas forças não
forem iguais, deve ser feito um ajuste na loca­
lização do eixo neutro (ponto de deformação
nula), e o processo é repetido até a Equação
6.27 (T = C) ser satisfeita.
Assim que T = C, os momentos produzidos por
T e C podem ser calculados em torno do eixo
neutro. Aqui, os braços de momento para T e
C são medidos do eixo neutro até os centroi­
des dos volumes definidos pelas distribuições
de tensão (Figura 6.55e). A Equação 6.28 re­
quer M = Ty' + Cy". Se essa equação não for
satisfeita, a inclinação da distribuição da defor­
mação deve ser ajustada e os cálculos para T e
C e para momento devem ser repetidos até se
obter uma boa concordância.
É óbvio que esse processo de cálculo é muito tedio­
so e, felizmente, não ocorre com muita frequência na
prática da engenharia. A maioria das vigas são simétri­
cas em torno de dois eixos e construídas com materiais
que, presume-se, têm diagramas tensão-deformação
tanto para compressão quanto para tração semelhan­
tes. Sempre que isso ocorre, o eixo neutro passará pelo
centroide da seção transversal e, por isso, o processo
de relacionar a distribuição de tensão com o momento
resultante é simplificado.
248
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Localização
assumida do
eixo neutro
Inclinação assumida
da distribuição de
deformação
Momento
conhecido
M)
Distribuição de deformação
(vista lateral)
/
( a)
(c)
(b)
Uz
Distribuição de tensão
(vista lateral)
(d)
c
N
T
(e)
Figura 6.55
" A qistribuição da. deformação normal na seção transversal de uma viga é baseada somente em considerações geomé­
tricas, e constatou-se que ela permanece sempre linear, independentemente da carga aplicada. Todavia, a distribui­
ção de tertsão normal deve ser determinada pelo comportamento do material, ou pelo diagrama tensão-defórroação,
tão logo a distribuição da deformação tenha sido definida.
" A localização do eixo neutro é determinada pela condição de que a força resultante na seção transversal seja nula.
" O momento interno resultante na seção transversal deve ser igual ao momento da distribuição de tensão em: torno
d o eixo neutro.
normal
é constante na seção transversal
" Comportamento perfeitamente plástico supõe que a distribuição de tensão
e que. a flexão na viga continuará sem que haja nenhum aumento no momento. Esse momento é denominado mo­
mento plástico.
Momento elástico máximo. A distribuição de tensão nor­
mal para o momento elástico máximo é mostrada na Figura
A viga tem as dimensões mostradas na Figura 6.56a. Se 6.56b. O momento de inércia em torno do eixo neutro é
ela for feita de um material elástico perfeitamente plásti­
co com tensão de escoamento por tração e por compressão 1 = 1 (12,5 mm)(225 mm)3
ue = 250 MPa, determine o fator de forma para a viga.
12
SOLUÇÃO
1
2
+ 2
1 2 (12,5 mm)3 + 200 mm(12,5 mm)(l18,75 mm)
Para determinar o fator de forma, em primeiro lugar, é ne­
cessário calcular o momento elástico máximo Me e o mo­ = 82,44 X 106 mm4
mento plástico M .
[
P
[
J-
Aplicando a fórmula da flexão, temos
]
FLEXÃO
249
250 MPa
( a)
(c)
(b)
Figura 6.56
Me (125
)
mm
Me = 164,88 kN m
·
Momento plástico. O momento plástico provoca o esco­
amento do aço em toda a seção transversal da viga, de modo
que a distribuição de tensão normal é semelhante à mostrada
na Figura 6.56c. Devido à simetria da área de seção transver­
sal e visto que os diagramas tensão-deformação para tração
compressão são iguais, o eixo neutro passa pelo centroide
da seção transversal. Para determinar o momento plástico, a
distribuição de tensão é dividida em quatro "blocos" retan­
gulares compostos, e a força produzida por cada "bloco" é
igual ao volume do bloco. Portanto, temos
C1 = T1 = 250 N/mm2(12,5 mm)(l12,5 mm) = 351,56 kN
C2 = T2 = 250 N/mm2(12,5 mm)(200 mm) = 625 kN
Uma viga em T tem as dimensões mostradas na
Figura 6.57a. Se for feita de um material elástico per­
feitamente plástico com tensão de escoamento por
tração e por compressão ue = 250 MPa, determine o
momento plástico ao qual a viga pode resistir.
e
Essas forças agem no centro ide do volume para cada blo­
O cálculo dos momentos dessas forças em torno do eixo
neutro dá o momento plástico:
15 mm
(a)
co.
MP = 2[(56,25 mm)(351,56 kN)] + 2[(118,75 mm)(625 kN)]
=
Fator de forma.
k
=
188 kN
· m
Aplicando a Equação 6.33 temos
MP
= 188 kN m = 1 '14
Me 164,88 kN m
·
·
Resposta
Esse valor indica que a viga oferece uma
seção muito eficiente para resistir a um momento elástico.
� maior parte do momento é desenvolvida nas fianges, isto
e , nos segmentos superior e inferior da viga, ao passo que a
contribuição da aba ou segmento vertical é muito pequena.
�esse caso em particular, somente 14% momento adi­
Clonai pode ser suportado pela viga alémdodo que ela pode
suportar elasticamente.
OBSERVAÇÃO:
(b)
Figul'a 6.57
SOLUÇÃO
A distribuição de tensão "plástica" que age na seção trans­
versal da viga é mostrada na Figura 6.57b. Neste caso, a seção
transversal não é simétrica em relação ao eixo horizontal e,
250
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
por consequência, o eixo neutro não passará pelo centroide
da seção transversal. Para determinar a localização do eixo
neutro, d, exige-se que a distribuição de tensão produza uma
força resultante nula na seção transversal. Considerando que
d :::; 120 mm, temos
250 MPa (0,015 m)(d) - 250 MPa (0,015 m)(0,120 m - d)
- 250 MPa (0,015 m)(0,100 m) = O
d = 0,110 m < 0,120 m OK
Usando esse resultado, as forças que agem em cada segmen­
to são
T = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,110 m) = 412,5 kN
C1 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,010 m) = 37,5 kN
C2 = 250 MN/m2 (0,015 m)(0,100 m) = 375 kN
Por consequência, o momento plástico resultante em torno
do eixo neutro é
m ) + 37 5 kN ( 0•01 m )
Mp = 412 ,5 kN ( 0 ' 110
'
2
2
+ 375 kN ( 0,01 m + O,O� m )
MP = 29,4 kN · m
Resposta
produzido por essa distribuição de tensão pode ser calcu] ac1
· d o-se o "volume" dos blocos de tensão. Para ist )
determman
subdividiremos essa distribuição em dois blocos triangul
res e um bloco retangular na região de tração e também �.:
região de compressão (Figura 6.58d). Visto que a viga t�;1�
2 cm de largura, as resultantes e suas localizações são de t e ._
minadas da seguinte maneira:
0
T1 = C1 = 21 (12 mm)(280 N/mm2 )(20 mm) = 33.600 N
1
= 33,6 kN
y1 = 0,3 cm + � (1,2 cm) = 1,10 cm = 11,0 mm
3
T2 = C2 = (12 mm)(1.050 N/mm2)(20 mm) = 25.200 N
= 252 kN
y2 = 0,3 cm + .!_ (1,2 cm) = 0,90 cm = 9 mm
2
T3 = C3 = .!.2 (3 mm)(1.050 N/mm2)(20 mm) = 31.500 N
= 31,5 kN
y3 = 32 (0,3 cm) = 0,2 cm = 2 mm
O momento produzido por essa distribuição de tensão nor­
mal em torno do eixo neutro é, portanto,
M = 2[33,6 kN (110 mm) + 252 kN (9 mm) + 31,5 kN (2 mm)l
Resposta
= 5.401,2 kN · mm = 5,40 kN m
.
·
A viga na Figura 6.58a é feita de uma liga de titânio
cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado,
em parte, por duas retas. Se o comportamento do material
for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o mo­
mento fietor que pode ser aplicado à viga e que fará com
que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja
submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm.
SOLUÇÃO 1 1
Em vez de usar essa técnica parcialmente gráfica, também
é possível calcular o momento analiticamente. Para tanto,
precisamos expressar a distribuição de tensão na Figura
6.58c em função da posição y ao longo da viga. Observe que
u = f(E) foi dada na Figura 6.58a. Além disso, pela Figu ra
6.58b, a deformação normal pode ser determinada em função
da posição y por cálculo proporcional de triângulos; isto é ,
SOLUÇÃO I
0,05
O :s; y :s; 1,5 cm = 15 mm
E = --y
Examinando o diagrama tensão-deformação, podemos dizer
1,5
que o material exibe comportamento "elástico-plástico com
encruamento". Visto que a seção transversal é simétrica e Substituindo esse resultado nas funções u-E mostradas na
os diagramas u-E de tração e compressão são iguais, o eixo Figura 6.58a, obtemos
neutro deve passar pelo centroide da seção transversal. A
(I)
O :::; y :::; 0,3 cm = 3 mm
u = 350y
distribuição de deformação, que é sempre linear, é mostrada
na Figura 6.58b. Em particular, o ponto onde ocorre a de­
u = 23,33y + 980 3 cm :::; y :::; 1,5 cm = 15 mm (Z)
formação elástica máxima (0,010 mm/mm) foi determinado
por cálculo proporcional, tal que 0,05/1,5 cm = 0,010/y ou
Pela Figura 6.58e, o momento provocado por (J' qw:
y = 0,3 cm = 3 mm.
age na tira de área dA = 2 dy é
A distribuição de tensão normal correspondente que age
dM = y(u dA) = yu(2 dy)
na seção transversal é mostrada na Figura 6.58c. O momento
FLEXÃO
251
<r(MPa)
1.330
f-----� -
y=
0,J_050
0,010
�--_J
_
_
_
_
_
_
_
(a)
___
E (mmjmm)
0,3 cm
-r'i�
Distribuição de deformação
(b)
N
1.330 MPa
Distribuição de tensão
(c)
M
Figura 6.58
Equações
1 e 2, o momento para a seção transversal
é, portanto,
Pelas
inteira
[
2 20
=
J: 350i dy + 20 J:s (23,33i dy + 980y dy�
5.401(10 3) N · mm = 5,40 kN m
6. 1 1
·
Resposta
Te nsão resi d u a l
•
a vtga for carregada de tal modo que provoque o
esc�amento do material, então a retirada da carga cau­
sara tensão residual que se desenvolverá na viga. Visto
'Jue as tensões residuais são importantes quando se con­
!!t.�eram fadiga e outros tipos de comportamento mecântco, d'J scuhremos um método
usado para calcular essas
tensões quando um elemento é submetido à flexão.
co m o
da torção, podemos calcular a
�Jstnbuiçãonodacaso
tensão residual pelos princípios da
�uperp.osição e recuperação elástica. Para explicar
com o Isso
é feito, considere a viga mostrada na Fi­
gura 6.59a, com seção transversal retangular e feita
Ç'
ve
. .
·
(e)
(d)
de um material elástico perfeitamente plástico para
o qual os diagramas tensão-deformação sob tração e
sob compressão são iguais (Figura 6.59b). A aplicação
do momento plástico Mp provoca uma distribuição de
tensão idealizada na Figura 6.59c. Pela Equação 6.31,
esse momento é
Mp
=
1
-bl?
fTe
4
Se Mp provocar deformação no material nas partes
superior e inferior da viga até E ( >>Ee ) , como mostra o
ponto B da curva fJ'-E na Figura 6.59b, então a remo­
ção desse momento fará o material recuperar parte
dessa deformação elasticamente segundo a trajetória
BC indicada pela reta tracejada. Uma vez que essa
recuperação é elástica, podemos sobrepor à distribui­
ção de tensão mostrada na Figura 6.59c uma distri­
buição de tensão linear provocada pela aplicação do
momento plástico na direção oposta (Figura 6.59d).
Aqui, a tensão máxima, que é denominada módulo
de ruptura por flexão, fTr' pode ser determinada pela
fórmula da flexão quando a viga está carregada com
o momento plástico. Temos
252
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(\. Carga elástica-plásti�
\71"
ELf
EJ
/'
I
;:/
I
r;Recuperação
/
€1
��
I'
elástica real
c
( a)
(b)
Figura 6.59
Me
crmáx = ] ;
a
r
=
MA� h)
(tzbh3 )
1,5 ae
(�bh2ae ) (�h)
(tzbh3 )
Observe que, aqui, é possível a aplicação inversa do
momento plástico usando uma distribuição de tensão line­
ar, visto que a recuperação elástica do material nas partes
superior e inferior da viga pode ter uma recuperação de
deformação máxima 2Ee, como mostra a Figura 6.59b. Isso
corresponderia a uma tensão máxima de 2ae nas partes
superior e inferior da viga, que é maior do que a tensão
exigida de 1,5 a a qual já calculamos (Figura 6.59d).
A superposição do momento plástico (Figura 6.59c) e
sua remoção (Figura 6.59d) dão a distribuição de tensão
residual mostrada na Figura 6.59e. Como exercício, use os
"blocos" triangulares que representam essa distribuição
de tensão e mostre que ela pode resultar em força nula e
momento nulo resultantes no elemento, como exigido.
O exemplo a seguir ilustra numericamente a aplica­
ção desses princípios.
e,
Distribuição de tensão
residual na viga
( e)
Momento plástico inverso
causando deformação elástica
( d)
Momento plástico aplicado
causando deformação plástica
(c)
A viga mostrada na Figura 6.60a está sujeita a um
momento inteiramente plástico M . Se esse momento for
removido, determine a distribuição de tensão residual na
viga. O material é elástico perfeitamente plástico e tem ten­
são de escoamento e = 250 MPa.
p
cr
SOLUÇÃO
A distribuição de tensão normal na viga provocada por Mr
é mostrada na Figura 6.60b. Quando MP é removido, o ma·
teria! responde elasticamente. A remoção de MP requer a
aplicação de M na direção oposta e, portanto, acarreta uma
suposta distribuição de tensão elástica, como mostra a FlgUra 6.60c. O módulo de ruptura é calculado pela fórm ula da
flexão. Usando MP = 188 kN · m e I = 82,44 10' mm4 do
Exemplo 6.27, temos
p
cr
r
actm
cr
Como esperado,
cr
r
x
6
(188 X 106 N · mm) (12�
82 44 X 106 mm4
= 285,1 N/mm2 = 285,1 MPa
< 2 cry.
-
-
'
FLEXÃO
253
281,51 MPa 2.501MPa
125
y
y = 109,61 mm
mm
Uma barra retangular de aço A-36 tem largura
25tornommdoe altura
75 mm. Determine
o momento
aplicado emde
eixo horizontal
que provocará
o escoamento
metade da barra.
6.158. A viga-caixão é feita de um material elástico perfei­
tamente plástico para o qual uc 250 MPa. Determine a
tensão residual nas partes superior e inferior da viga após a
aplicação e posterior remoção do momento plástico
6.157.
250 MPa
=
M .
P
Momento plástico aplicado
(vista lateral)
(b)
u,
= 285,1 MPa
Momento plástico inverso
(vista lateral)
(c)
Problema 6.158
A viga é feita de um material elástico plástico para o
qual 250 MPa. Determine a tensão residual nas partes
superior e inferior da viga após a aplicação e posterior remo­
ção do momento plástico
6.159.
uc =
M .
P
35,1 MPa
-------,�
250 MPa
35,1 MPa
Distribuição de tensão residual
(d)
Problema 6.159
*6.160. Determine o módulo da seção plástica e o fator de
forma
da seção transversal da viga.
A superposição das tensões dá a distribuição de tensão 6.161. A viga é feita de um material elástico perfeitamen­
residual mostrada na Figura 6.60d. Observe que o ponto de te plástico. Determine o momento elástico máximo e o moten
nula foi determinado por cálculo proporcio­
nal;sãoistonormal
é, pela Figura 6.60b e 6.60c, exige-se que
Figma 6.60
254
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
mento plástico que podem ser aplicados à seção transversal. 6.166. A viga é feita de um material elástico perfeitamen­
tesuportado
plástico.por
Determine
Considere 50 mm e 230 MPa.
P que pode ser
uma vigao momento
que tenha plástico
a seção Mtransversal
trada na figura 210 MPa.
a =
ue =
mos­
a
i2a
ue =
I
2
J
Problemas 6.160/161
A haste tem seção transversal circular. Se for feita de
Problemas 6.166
um material elástico plástico, determine o fator de forma e o
módulo da seção plástica
6.167. Determine o momento plástico MP que pode ser
portado
por uma viga que tenha a seção transversal
6.163. A haste tem seção transversal circular. Se for feita de
um material elástico plástico, determine o momento elástico da na figura 210 MPa.
máximo e o momento plástico que podem ser250aplicados
MPa. à
seção transversal. Considere r 75 mm,
6.162.
Z.
su­
mostra­
ue =
=
ue =
Mp i
I
Problemas 6.162/163
�25 mm
*6.164. Determine o módulo da seção plástica e o fator de
�
forma
da seção transversal.
6.165. A viga é feita de material elástico perfeitamente
6.167
plástico. Determine o momento elástico máximo e o mo­ *6.168. Determine o Problema
da seção plástica e o fator de
mento plástico que podem ser aplicados à seção transversal. forma para o elementomódulo
que tem seção transversal tubular.
Considere 50 mm e 250 MPa.
a =
u
e
=
Problema 6.168
Determine o módulo da seção plástica e o fator de
forma para o elemento.
6.169.
Problemas 6.164/165
.�.
FLEXÃO 255
enelástico. perfeitam
to é feito= de230material
epar!emen
o momento
MPa. Determme
ao equal
podem ser= aplicaque
plástico
o momento
á0:0ximtransversa
50
e h 80 mm.
=
b
mm
re
Conside
l.
à5eça
O
ue
0
'
6.173. A viga é feita de um material fenólico, um plástico
estrutural,
cujaporção
curva datensão-deformação
é mostrada napelafi­
gura.
Se
uma
curva
puder
ser
representada
equação = [5(106)E] 112 MPa, determine o valor da carga
distribuída
pode sernasaplicada
a deforma­
ção máximaqueprovocada
fibras àemvigasuasemseçãoquecrítica
ultra­
passe = 0,005 mm/mm.
u
w
Emáx
m
t!. J:ll �.LJ l. ['�: i150mm
·
l-- 2 m
2m�·• . ·� ·• .
w
. . . .
.
. .
. "
llll
..
·
. ... . . .
6.171.
Problemas 6.169/170
O elemento em T é feito de um material elástico
±u (MPa)
Determine o fator de forma e o módulo da seção
z.
�-----
E(mm/mm)
Problema 6.173
viga-caixão é feita de um material elástico plástico
para o qual = 175 MPa. Determine a intensidade da carga
distribuída que fará com que o momento seja (a) o maior
momento elástico e (b) o maior momento plástico.
6.174. A
ue
w
0
Problema 6.171
A viga é feita de um material elástico plástico para o
'6.172.
qual uc =
interior
P que
200
MPa.central
Se oa-a,
maior momento na viga ocorrer no
da
seção
determine o valor de cada força
faz
com
que
esse
momento
seja (a) o maior momento
elástico e (b) o maior momento plástico.
p
�3m
p
a
�2m j_ 2m-r:- 2m j_ 2m�
[J}oomm
lOOmm
---� �
Problema 6.172
3 m--200mm
300 m{ D }ao mm
150mm
------+---
--4 f----4 f--
Problema 6.174
6.175. A viga é feita de um poliéster cuja curva tensão-de­
formação
mostrada na= 140
figura.tg-Se1 (15E)]
a curvaMPa,puder
1 (15E) é
tada pela éequação
ondesertg-represen­
dada
em
radianos,
determi
n
e
o
valor
da
força
P que pode ser
aplicada à viga sem que a deformação máxima provocada nas
fibras em sua seção crítica ultrapasse Ernáx = 0,003 mm/mm.
u
256
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
50 mm
---1 �
IJll ilüo mm
� 2,4 m ---11--- 2,4 m -----1
±u(Pa)
±u(MPa)
'------
E (mm/mm)
Problema 6.177
A barra é feita de uma liga de alumínio cujo dia­
grama tensão-deformação pode ser aproximado pelos
seg­
mentos de reta mostrados na figura. Considerando que esse
diagrama é o mesmo para tração e compressão, determine
onasmomento
que a barra
suportarádasevigaa deformação
máxima
fibras superiores
e inferiores
for = 0,03.
6.178.
e(mm/mm)
E
Problema 6.175
*6,176. O diagrama tensão-deformação para uma liga de
titânio
aproximado
pelasmaterial
duas retasformostradas
figura. Sepodeumaserescora
feita desse
submetidanaa
flexão, determine
momento
máxima
atingir umo valor
de (a)ao quale (b)ela resistirá se a tensão
aA
máx
±u(MPa)
630 1-------�:c-- �,
560 1---,---,100
as ·
0,006
0,025
Problema 6.178
A barra é feita de uma liga de alumínio cujo dia­
grama tensão-deformação pode ser aproximado pelos seg­
mentos de reta mostrados na figura. Considerando que esse
diagrama é o mesmo para tração e compressão, determine
o momento que a barra suportará se a deformação máxima
nas fibras superiores e inferiores da viga for 0,05.
75
6.179.
±u(MPa)
(T =
(T
E
=
máx
B
1.260 !---����--,
A
980
= 1---�--r
±u(MPa)
630 !---�----��
560 1---,---,420 -
L-�_J���----�---L-
0,01
0,04
E(mm/mm)
1/
E mm mm
0,05 ( / )
L....l -c----L ---__j_
0,006
Problema 6.176
A viga é feita de plástico polipropileno, e seu dia­
grama tensão-deformação pode ser aproximado pela curva
mostrada na figura. Se a viga for submetida a uma deforma­
ção máxima tanto para tração quanto para compressão de
0,02 mm/mm, determine o momento máximo M.
6.177.
E =
0,025
Problema 6.179
*6.180. A viga é feita de um material que pode ser conside­
rado como perfeitamente plástico sob tração e plástico sob
compressão. Determine o momento fletor máximo M
pode ser suportado pela viga de modo que o material sob
compressão na borda externa comece a escoar.
que
FLEXÃO
:::
�a
Pl'oblema 6.180
A barra de plexiglass tem uma curva tensão-defor­
mação que pode ser aproximada pelos segmentos de reta
rados na figura. Determine o maior momento
most
pode ser aplicado à barra antes que ela falhe. M que
6.181.
(
\�
20
20 �
a
(MPa)
60
tensão
-0,06 -0,04
--+--+---+----:;fé--+---+-- E (mm/mm)
0,04
compressão
-80
-100
P•·oblema 6.181
g as
Dia ram
rffiDTm
de força cortante e mo­
w(x)
grá­
ficas do cisalhamento interno e do
momento no nterior de
A
mento fletor são representações
i
uma viga.
n
g uma distância ar­
it mina o de e e qu ,
x
fim, a
resultados.
adotar uma convenção d
construção desses diagramas requer
um corte
Carga distribuída positiva
a vi a a
t t
b rária x da extremidade s erda
V M em função
a det er
çã
de
v
construção do gráfi­
e, por
co com os
v
Cisalhamento interno positivo
M
Será necessário
e sinal para
força cortante e momento positivos.
Momento interno positivo
v
g
a
d
e diag a a
tante e
fletor
Também é p ossí el fazer a representa­
ção ráfic
r m s de força cor­
a nclina ã
iag a
uma negativa do c gam n­
g a momen­
to
a en
A
ng v)
u
a
de
A
tante e
ent a mudança no
m n t fletor.
valores de
m­
mento
das
momento
mos
que, em
do d
se considerar­
cada ponto,
.
i
ç o
r ma de força cortante corres­
ponde a
to distribuído.
arre
e
A inclinação do dia r ma de
é o cisalh m to
área ( e ati a sob o diagrama de
carregamento representa a m danç
na força cortante.
área sob o diagrama
r pres
a
e
Os
força cor­
mo­
o
força cortante e
o
fletor também podem ser obti­
dos pelo método
seções.
dV
dx
dM
w=-
dx
llV = - jw dx
11M = jv dx
V=
257
- V8
\ X
258
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um momento fietor tende a produzir
uma variação linear da deformação
normal no interior de uma viga. Con­
tanto que o material seja homogêneo
e a lei de Hooke se aplique, o equilí­
brio pode ser usado para relacionar o
momento interno na viga com a distri­
buição de tensão. O resultado é a fór­
mula da flexão,
(}" =
Me
I
--
X
onde I e c são determinados em rela­
ção ao eixo neutro que passa pelo cen­
troide da seção transversal.
Se a seção transversal da viga não for
simétrica em torno de um eixo perpen­
dicular ao eixo neutro, então ocorrerá
y
flexão assimétrica. A tensão máxima
pode ser determinada por fórmulas,
ou o problema pode ser resolvido con­
siderando-se a superposição da flexão
em torno de dois eixos separados.
X
Vigas feitas de materiais compostos
podem ser "transformadas" de modo
a podermos considerar que sua se­
ção transversal seja feita de um único
material. Para isso, usa-se um fator de
transformação que é a razão entre os
módulos de elasticidade dos materiais.
Então, a tensão na viga pode ser deter­
minada da maneira usual, pela fórmu­
la da flexão.
Vigas curvas deformam-se de tal modo
que a deformação normal não varia li­
nearmente em relação ao eixo neutro.
Désde que o material seja homogêneo
e linear elástico e a seção transversal
tenha um eixo de simetria, então a
fórmula da viga curva pode ser usada
para determinar a tensão de flexão.
(}" =
M(R - r)
Ar(r - R)
ou
Ae(R - y)
My
(}" = -----''-----
N
FLEXÃO
tensão ocorrem
a ões cujade seção
C nceelemnt entos
transversal
a furos
amente devido
muda repentintensão
de flexão máxi­
com a
ma nesses locais
fator dedeterminada
concentração
de
obtido em gráficos
nsã que meios
experimentais.
Se momento fletor fizer o material
seu limite elástico, a de­
formação normal permanecerá linear;
todavia, a distribuição de tensão varia­
com o diagrama de de­
de acordo
por cisalhamento e o saldo
n modo,
equilibrio
força e momento.
os momentos
plás ic e
Desse
resistente suportados
em
determinados.
259
r ç
o
em
e entalhes. A
utilização do
o K,
te
é
é
amáx
=
Kaméd
de­
terminados por
0
ultrapassar
rá
formação
e tre o
de
t o
pela viga pod
ser
momento plástico ou resistente
aplicado e removido, fa á pormate­
isso,
rial es tensões
nder elasticamente
residuais nae,viga.
Se um
for
r
r
o
po
induzirá
6.182. A viga é composta por três tábuas unidas por pregos, 6.183. A viga é composta por três tábuas unidas por pregos,
como
a figura. Se o momento que age na seção trans­ como mostra a figura. Determine as tensões de tração e com­
versalmostra
for
M = 650 N m, determine a força resultante que a pressão máximas na viga.
tensão de flexão produz na tábua de cima.
·
15
15
Problema 6.182
Problema 6.183
260
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
fle­
tor para Faça
a vigaosediagramas
determinedeaforça
forçacortante
cortantee emomento
o momento
fletor na viga em função de onde O :S :S 1,8 m.
'6.184.
x,
x
450 N
i�Y�F� fJlJ !) :r.
�
J· - · · · · · · · .-.-�
· ·j· .
\'
-
_
_
1,8 m
kN
A
N
�
t
300 N
B
150 N
1,2 m
Problema 6.187
'6.188. A viga é composta por quatro peças de madeira co­
a figura.a Setensão
o momento
interno
Faça os diagramas de força cortante e momento fle­ Mladas,120comokN mostra
m, determine
de flexãofletor
máxima
na viga.for
tor para a viga. Dica: A carga de 100 kN deve ser substituída Trace um rascunho
tridimensional da distribuição de tensão
por carregamento equivalente no ponto C sobre o eixo da que age na seção transversal.
viga.
Problema 6.184
6.185.
=
�1,2 m
k
�
i
�rJú
-L � _"J
,) 00 k
75 kN
A
·
1,2 m
1,2 m
mm
M = 120 kN · m
Problema 6.185
6.186. Determine o módulo da seção plástica e o·fator de
forma para a viga em I.
Problema 6.188
20 mm
6.189. A viga é composta por quatro peças de
ladas,120comokNmostra a figura. Se o momento fletormadeira
interno for
M
m, determine a força resultante que o
to fletor exerce nas peças superior e inferior da viga.
co­
=
momen
·
mm
M = 120 kN· m
Problema 6.186
6.187. Faça os diagramas de força cortante e momento fle­
tor para o eixo se ele for submetido às cargas verticais da
correia, engrenagem e volante. Os mancais em A e B exer­
cem somente reações verticais sobre o eixo.
Problema 6.189
FLEXÃO
/6 90 15,1 (10-6)m4• Pelas técnicas descritas no Apêndice A,
Para a seção, I, = 114(10-6)m4, 31,7 (10-6)m4,
do elemento tem momentos de
Y'área da seção transversal
=
.
e I,. = 117(10-6)m4,
I
29(10-6)m4
de
cipais
prin
Y
'reia
�
de inércia y' e z',
dos eixosforprincipais
catn�speculactivdosameemnte.torno
meti
su
b
'd
seçao
a
Se
a um momento
afigura,
·
·
.
d
direcwna
o,
como
mostra
a
etermme
d
m
kN
2
M
tensão produzida no ponto A, (a) pela Equação 6. 1 1 e (b)
;ela equação desenvolvida no Problema 6.111.
1 .
""
-
re
""
'
z
A escora tem seção transversal quadrada por e
está sujeita ao momento fletor M aplicado a um ângulo O,
como mostra a figura. Determine a tensão de flexão máxi­
ma
M e O. Especifique
Qual ânguloa resultará
tensãoemdetermos
flexãodena escora?
orientaçãonadomaior
eixo
neutro para este caso.
6.191.
a
a,
z
y'
y
Problema 6.191
80 mm 60 mm
Problema 6.190
261
a
Cisa l hamento tra nsversa l
OBJ ETIVOS DO CAPÍTULO
N este capítu lo, desenvolveremos u m método para dete rm i n a r a tensão de cisa l h a m ento em u m a viga com
seção tra n sversa l prismática e feita de m ateria l hom ogêneo q u e se comporta de u m a m a n e i ra l i n ea r elástica.
O método de a n á l ise a ser d esenvolvido ficará l i m itado a casos especiais de geometria da seção transversal.
Apesa r disso, é a m p l am e nte a p l icado em projeto e a n á l ise de engenharia. O conceito de fluxo de cisalha­
mento e o de tensão de cisa l ha m ento serão discutidos para vigas e elementos de paredes finas. O capítulo
é fi n a l izado com u m a discussão sobre centro de cisa l h a m ento .
7.1
Cisa l h a m e nto e m
e l e m e ntos reto s
N a Seção 6.1, mostramos que, e m geral, a s vigas
suportam cargas de cisalhamento e também de mo­
mento fietor. O cisalhamento V é o resultado de uma
distribuição de tensão de cisalhamento transversal que
age na seção transversal da viga (Figura 7.1). Devido à
propriedade complementar de cisalhamento, observe
que tensões de cisalhamento longitudinais associadas
também agirão ao longo dos planos longitudinais da
viga. Por exemplo, um elemento retirado de um ponto
interno da seção transversal está sujeito a tensões de
cisalhamento transversal e longitudinal como mostra
a Figura 7 .1.
É possível explicar fisicamente por que a tensão de
cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais
de uma viga considerando que ela é composta por três
tábuas (Figura 7.2a). Se as superfícies superior e infe­
rior de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem
soltas, a aplicação da carga P fará com que as tábuas
�
Tensão de cisalhamento
transversal
Tensão de cisalhamento i
longitudinal
7
I .J
�*r"' .r"�5t
,
.
Figma 7.1
Tábuas soltas
( a)
Tábuas unidas
(b)
Figura 7.2
deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a
deflexão mostrada na Figura 7.2a. Por outro lado, se
as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento
longitudinais entre elas impedirão que uma deslize so·
bre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma
unidade única (Figura 7.2b) .
Como resultado d a tensão de cisalhamento, serão
desenvolvidas tensões de deformação que tenderão a
distorcer a seção transversal de uma maneira basta �te
complexa. Para mostrar isso, considere uma barra fetta
de um material com alto grau de deformação e ���:·
cado com uma grade de linhas horizontais e vertiCaiS
(Figura 7.3a). Quando é aplicado um cisalhamento V.
as linhas da grade tendem a se deformar conforme. 0
• nao
padrão mostrado na Figura 7.3b. Essa distn· bm· çao
se çao
na
uniforme da deformação por cisalhamento
transversal fará que ela se deforme, isto é, não pertníl·
neça plana.
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
263
cisalhamento longitudinal e nos resultados da Equa­
ção 6.2, V = dM/dx. Para mostrar como essa relação
é definida, consideraremos o equilíbrio da força hori­
zontal de uma porção do elemento retirado da viga na
(a) Antes da deformação
(b) Após a deformação
Figura 7.3
Lembre-se de que, no desenvolvimento da fórmu­
la da flexão, consideramos que as seções transversais
devem permanecer planas e perpendiculares ao eixo
longitudinal da viga após a deformação. Embora essa
regra seja infringida quando a viga é submetida a ci­
salhamento e também a flexão, de modo geral, pode­
rnos considerar que a distorção da seção transversal
descrita anteriormente é pequena o suficiente para ser
desprezada. Essa consideração é particularmente ver­
dadeira para o caso mais comum como de uma viga
esbelta; isto é, uma viga cuja largura é pequena em
comparação com seu comprimento.
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos as fór­
mulas da carga axial, da torção e da flexão determi­
nando, em primeiro lugar, a distribuição da deforma­
ção com base em premissas referentes à deformação
da seção transversal. Entretanto, no caso do cisalha­
mento transversal, a distribuição da deformação por
cisalhamento ao longo da largura de uma viga não
pode ser expressa facilmente em termos matemáti­
cos. Por exemplo, ela não é uniforme nem linear para
seções transversais retangulares, como já mostramos.
Portanto, a análise de tensão de cisalhamento citada
será desenvolvida de uma maneira diferente da usada
para estudar os carregamentos anteriores. Especifica­
mente, desenvolveremos uma fórmula para a tensão
de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fór­
mula da flexão e a relação entre momento fletor e
cisalhamento (V = dM/dx).
7.2
A fó rm u l a d o cisa l h a me nto
O desenvolvimento de uma relação entre a distri­
buição da tensão de cisalhamento que age na seção
transversal de uma viga e a força de cisalhamento
resultante na seção é baseado no estudo da tensão de
Figura 7.4a e mostrado na Figura 7.4b. A Figura 7.4c
apresenta um diagrama de corpo livre do elemento que
mostra somente a distribuição de tensão normal que
age sobre ele. Essa distribuição é provocada pelos mo­
mentos fletores M e M + dM. Excluímos o efeito de
V, V + dV e w(x) sobre o diagrama de corpo livre, já
que esses carregamentos são verticais e, portanto, não
estarão envolvidos no somatório de forças horizon­
tais. Na verdade, o elemento na Figura 7.4c satisfará
!,F" = O desde que a distribuição de tensão de cada
lado do elemento forme apenas um conjugado e, por­
tanto, uma força resultante nula.
Agora, considere o segmento na parte superior do
elemento que foi secionado em y ' em relação ao eixo
neutro (Figura 7.4b ) . Esse segmento tem largura t na
seção, e cada um dos lados da seção transversal tem
área A'. Como a diferença entre os momentos resul­
tantes em cada lado do elemento é dM, podemos ver
na Figura 7.4d que !,F" = O não será satisfeita a menos
que uma tensão de cisalhamento longitudinal aja sobre
a face inferior do segmento. Na análise que faremos a
seguir, consideraremos que essa tensão de cisalhamen­
to seja constante em toda a largura t da face inferior.
Ela age na área t dx. Aplicando a equação do equilí­
brio da força horizontal e usando a fórmula da flexão
(Equação 6. 1 3), temos
� 2-Fx
=
O;
r cr ' dA' - r cr dA' - r(t dx) = O
}A'
lA'
( d�) L? dA'
=
( ){
r(t dx)
(7.1)
Resolvendo p ara r, obtemos
r=
1 dM
y dA'
It dx }A'
Essa equação pode ser simplificada observando-se
que V = dM/dx (Equação 6.2). Além disso, a integral
representa o momento de primeira ordem da área A'
em torno do eixo neutro que representaremos pelo
símbolo Q. Visto que a localização do centroide da
área A ' é determinada por y' = JA ' y dA' IA', também
podemos escrever
264
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
'i.F, = O satisfeita
Área = A'
I�
A
(c)
A'
u'
(J
I
I
I
I
I
j _ _ _l
Vista tridimensional
Q
=
{
}A'
(d)
Vista lateral
Figura 7.4
y dA' = y'A'
(7.2)
O resultado final é, portanto,
�
LEJ
(7.3)
Nessa expressão,
r = tensão de cisalhamento no elemento no ponto
localizado à distância y ' do eixo neutro (Fi­
gura 7 .4b ). Consideramos que essa tensão é
constante e, portanto, média, por toda a largu­
ra t do elemento (Figura 7.4d)
V = força de cisalhamento interna resultante, de­
terminada pelo método das seções e pelas
equações de equilíbrio
I = momento de inércia da área da seção transver­
sal inteira, calculada em torno do eixo neutro.
t = largura da área da seção transversal do ele­
mento, medida no ponto onde T deve ser de­
terminada
Q = !A'y dA' = y'A' , onde A ' é a porção superior
(ou inferior) da área da seção transversal do
elemento, definido pela seção onde t é medida
e y' é a distância até o centroide de A ' , medi­
da em relação ao eixo neutro
A Equação 7.3 é conhecida como fórmula do cisa­
lhamento. Embora, na dedução dessa fórmula, tenha­
mos considerado somente as tensões de cisalhamento
que agem no plano longitudinal da viga, ela também se
aplica para determinar a tensão de cisalhamento trans­
versal na área da seção transversal da viga. Isso porque
as tensões de cisalhamento transversal e longitudinal
são complementares e numericamente iguais.
Visto que a Equação 7.3 foi derivada indiretamente da
fórmula da flexão, é necessário que o material se comporte
de uma maneira linear elástica e tenha o mesmo módulo
de elasticidade sob tração e sob compressão. A tensão de
cisalhamento em elementos compostos, isto é, os que têm
seções transversais feitas de materiais diferentes, também
pode ser obtida pela fórmula de cisalhamento. Para tanto,
é necessário calcular Q e I da seção transformada do ele­
mento como discutimos na Seção 6.6. Todavia, a espessura
t na fórmula permanece a largura verdadeira t da seção
transversal no ponto onde T deve ser calculada.
7.3
Te nsões d e dsa l h a m e n to
em vig a s
Para desenvolver uma certa percepção do méto­
do de aplicação da fórmula de cisalhamento e tam­
bém discutir algumas de suas limitações, estudaremos,
agora, as distribuições de tensão de cisalhamento em
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
alguns tipos comuns de seções transversais de vigas.
Então, daremos aplicações numéricas da fórmula do
císalhamento nos exemplos que serão apresentados
Jogo em seguida.
Considere que
seção
transversal
retangular
de largura
a viga tem uma
.Sa.
7
A
Figura
a
distribuição
mostra
b e altura h como
da tensão de cisalhamento pela seção transversal pode
ser determinada pelo cálculo da tensão de cisalhamen­
to a uma altura arbitrária y em relação ao eixo neutro
(Figura 7.5b) e posterior representação gráfica dessa
função. Aqui, a área sombreada colorida escura A '
será usada para calcular T .* Por consequência,
Se çã o tra n sversal reta n g u la r.
Q = y'A'
=
[y + �(� - ) ] (� - )b
y
y
Aplicando a fórmula do cisalhamento, temos
ou
(7.4)
Esse resultado indica que a distribuição da tensão
de cisalhamento na seção transversal é parabólica.
Como mostra a Figura 7 .Se, a intensidade varia de zero
nas partes superior e inferior, y = ±h/2, até um valor
máximo no eixo neutro, y = O. Especificamente, visto
que a área da seção transversal é A = bh, então, em
y = O, temos, pela Equação 7.4,
Tmáx
=
1 ,5
v
(7.5 )
A
A
Tmáx
v
Distrib uição da tensão de cisalhamento
(c)
Figura 7.5
A área abaixo de y também pode ser usada [A' = b(h/2
porém envolve um pouco mais de manipulação algébrica.
+
y)],
265
(d )
266
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Esse mesmo valor para Tmáx pode ser obtido dire­
tamente pela fórmula do cisalhamento T = VQ/It, se
percebermos que Tmáx ocorre onde Q é maior, já que
V, I e t são constantes. Por inspeção, Q será máximo
quando toda a área acima (ou abaixo) do eixo neutro
for considerada; isto é, A' = bh/2 e y' = h/4 . Assim,
T á
mx
=
ft
VQ
=
V(h/4) (bh/2)
[fz bh3 ] b
= 1,5
V
A
Por comparação, Tmáx é 50% maior que a tensão de
cisalhamento média determinada pela Equação 1.7;
isto é, r 'd = VIA .
É i�portante lembrar que, para cada T que age na
área da seção transversal na Figura 7.5c, há uma r cor­
respondente que age na direção longitudinal ao longo
da viga. Por exemplo, se a viga for secionada por um
plano longitudinal que passa por seu eixo neutro, en­
tão, como observamos anteriormente, a tensão de cisa­
lhamento máxima age sobre esse plano (Figura 7.5d).
É essa tensão que pode provocar a falha em uma viga
de madeira, como mostra a Figura 7.6. Nesse caso, a
ruptura horizontal da madeira começa a ocorrer no
eixo neutro nas extremidades da viga, visto que, nesse
local, as reações verticais submetem a viga a uma gran­
de tensão de cisalhamento, e a madeira tem baixa re­
sistência ao cisalhamento ao longo de seus grãos, que
são orientados na direção longitudinal.
É instrutivo mostrar que, quando a distribuição da
tensão de cisalhamento (Equação 7.4) é integrada por
toda a seção transversal, dá o cisalhamento resultante
V. Para fazer isso, escolhemos uma tira de área dife­
rencial dA = b dy (Figura 7.5c) e, visto que T age uni­
formemente em toda a tira, temos
1T dA 11112 (h2 l)b dy
-h/2 bh h/
� [ h2 y .!.l] 2
-h/2
h
� [�2 (� �) �( �3 �3 ) J
A
6V
3
=
=
=
6
4
__:_
4
-
acabamos de realizar, podemos determinar a distribui­
ção da tensão de cisalhamento que age na seção trans­
versal. Os resultados são mostrados nos diagramas das
figuras 7.7b e 7.7c. Como ocorreu na seção transversal
retangular, a tensão de cisalhamento varia parabo lica­
mente na altura da viga, j á que a seção transvers al pode
ser tratada como a seção retangular que tem, primeiro,
a largura da aba superior, b, então a espessura da alma
talma e, novamente, a largura da aba inferior, b . Em par­
ticular, observe que a tensão de cisalhamento variará
apenas ligeiramente na alma e, também, que ocorre um
salto na tensão de cisalhamento na junção aba-alma,
visto que a espessura da seção transversal muda nesse
ponto ou, em outras palavras, t na fórmula do cisalha­
mento, muda. Por comparação, a alma suportará uma
quantidade significativamente maior da força de cisa­
lhamento do que as abas, o que será ilustrado numeri­
camente no Exemplo 7.2.
Abas
( a)
-
v
3
+
-
+
= v
(b)
D istribuição da
tensão de
cisalhamento
Uma viga de abas largas
consiste em duas "abas" (largas) e uma "alma", como
mostra a Figura 7.7a. Por uma análise semelhante à que
Viga d e a bas largas.
Intensidade da distribuição da
tensão de cisalhamento
(vista lateral)
(c)
Figura 7.6
Figura 7.7
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
do uso da fórmula d o cisa l ha­
Li m itaçõ es
das premissas mais importantes utilima
U
to.
me n
adas no desenvolvimento da fórmula do cisalhamento
de cisalhamento é uniformemente dis­
� que a tensãolargura
t na seção onde a tensão de cisa­
pela
a
uíd
trib
Em outras palavras, a tensão
nada.
determi
é
o
ent
l h am
calculada na largura. Pode­
é
média
mento
a
salh
de ci
dessa
premissa comparando-a
precisão
a
ar
test
mos
mais exata baseada na
matemática
análise
uma
m
co
respeito,
esse
se a seção trans­
A
e.
elasticidad
da
ria
teo
distribuição
da tensão
a
retangular,
for
viga
da
sal
ver
eixo
no
neutro,
calculada
verdadeira
mento
salha
ci
e
d
pela teoria da elasticidade, varia como mostra a Figura
7.8. O valor máximo, r' máx' ocorre nas bordas da seção
transversal e seu valor depende da razão b!h (largura/
altura). Para seções nas quais b/h = 0,5, r'máx é somen­
te 3% maior que a tensão de cisalhamento calculada
pela fórmula do cisalhamento (Figura 7.8a). Contu­
do, em seções achatadas, para as quais blh = 2 , r' máx é
aproximadamente 40 % maior que rmáx (Figura 7.8b).
O erro torna-se maior ainda à medida que a seção fica
mais achatada, ou à medida que a relação b!h aumen­
ta. Erros dessa ordem são, certamente, inaceitáveis se
usarmos a fórmula do cisalhamento para determinar
a tensão de cisalhamento na aba de uma viga de abas
largas, como já discutimos.
É preciso destacar, também, que a fórmula do cisa­
lhamento não dará resultados precisos quando usada
para determinar a tensão de cisalhamento na junção
aba-alma de uma viga de abas largas, já que esse é um
ponto de mudança repentina na seção transversal e,por­
tanto, um lugar onde ocorrerá concentração de tensão.
(a)
(b)
Figura 7.8
267
Além disso, as regiões internas das abas são bordas livres
(Figura 7.7b), e o resultado é que a tensão de cisalha­
mento nessas bordas deve ser nula. Entretanto, se a
fórmula do cisalhamento for aplicada para determinar
a tensão de cisalhamento nessas bordas, obteremos um
valor r' que não será igual a zero (Figura 7.7c). Feliz­
mente, essas limitações à aplicação da fórmula do cisa­
lhamento às abas de uma viga de abas largas não são
importantes na prática da engenharia. Na maioria dos
casos, os engenheiros têm de calcular somente a tensão
de cisalhamento média máxima que ocorre no eixo neu­
tro onde a razão b/h (largura/altura) é muito pequena
e, portanto, o resultado calculado fica muito próximo
da tensão de cisalhamento máxima verdadeira, como
j á explicamos.
Outra limitação importante ao uso da fórmula do ci­
salhamento pode ser ilustrada com referência à Figura
7.9a, que mostra uma viga cuja seção transversal tem
um contorno irregular não retangular. Se aplicarmos a
fórmula do cisalhamento para determinar a tensão de
cisalhamento (média) r ao longo da reta AB, ela terá a
direção mostrada na Figura 7.9b. Considere, agora, um
elemento do material tomado no ponto B do contorno,
tal que uma de suas faces esteja localizada sobre a su­
perfície externa da viga (Figura 7.9c). Aqui, a tensão de
cisalhamento r calculada na face frontal do elemento
é decomposta nas componentes r' e r". Por inspeção, a
componente r' deve ser nula, visto que sua componente
longitudinal correspondente r', que age na superfície do
contorno livre de tensão, deve ser nula. Portanto, para
satisfazer essa condição de contorno, a tensão de cisa­
lhamento que age sobre o elemento no contorno deve
ter direção tangente ao contorno. Então, a distribuição
da tensão de cisalhamento na reta AB terá a direção
mostrada na Figura 7.9d. Devido à maior inclinação das
tensões de cisalhamento em A e B, a tensão de cisalha­
mento máxima ocorrerá nesses pontos. Valores específi­
cos para essa tensão de cisalhamento devem ser obtidos
pelos princípios da teoria da elasticidade. Observe, en­
tretanto, que podemos aplicar a fórmula do cisalhamen­
to para obter a tensão de cisalhamento que age em cada
uma das retas coloridas na Figura 7 .9a. Aqui, essas retas
interceptam as tangentes ao contorno da seção trans­
versal em ângulos retas, e, como mostra a Figura 7.9e, a
tensão de cisalhamento transversal é vertical e constan­
te ao longo de cada reta.
Resumindo os pontos discutidos, a fórmula do ci­
salhamento não dá resultados precisos quando aplica­
da a elementos cujas seções transversais são curtas ou
achatadas, ou em pontos onde a seção transversal sofre
mudança abrupta. Tampouco deve ser aplicada em uma
seção que intercepta o contorno do elemento a um ân­
gulo diferente de 90°. Então, nesses casos, a tensão de
cisalhamento deve ser determinada por métodos mais
avançados baseados na teoria da elasticidade.
268
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Superfície externa
livre de tensão
"
\-
T
Distribuição da tensão de cisalhamento
pela fórmula do cisalhamento
(a)
(b)
T
"
tPT 71
( c)
( d)
Figura 7.9
'" Forças de cisalhamento em vigas provocam distribuição não linear da deformação por cisalhamento na seção trans­
versal gerando uma distorção na viga.
'" Devido à propriedade complementar da tensão de cisalhamento, a tensão de cisalhamento desenvolvida em uma
viga age na seção transversal e também em planos longitudinais.
" A fórmala do cisalhamento foi deduzida considerando equilt'brio da força horizontal da tensão de cisalhamento lon­
gitudinal e distribuições de tensão de flexão que agem sobre uma porção de um segmento diferencial daviga.
'" A fórmula do cisálhamento é usada para elementos prismáticos retos feitos de material homogéneo e que tenham
comportamento linear elástico. Além disso, a força de cisalhamento interna resultante deve estar direcionada ao
longo de um eixo de simetria para a área da seção transversal.
" Para uma viga com seção transversal retangular, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura .
A tens ão de cisalhamento máxima ocone ao longó do eixo neutro.
'" A fórmula do cisalhamento não deve ser usada para determinar a tensão de cisalhamento em seções transversais
curtas ou achatadas ou em pontos onde ocorrem mudanças repentinas na seção transversal ou em um ponto sobre
um. contorno inclinado.
Sugerimos o seguinte procedimento para ap licar a fórmula do cisalhamento.
Cisalhamento interno
" Secíone o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto onde a tensão de cisalhamento deve ser determinada
e obtenha o cisalhamento interno V na seção.
Propriedades da seção
• Determine a localização do eixo neutro e determine o momento de inércia I da área
da seção transversal inteira em
torno do eixo neutro.
• Passe uma seção horizontal imaginária pelo ponto onde a tensão de cisalhamento deve ser determinada . Meça
largura t da área nessa seção.
a
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
acima oudistân
abaixo dessa é er
f
ou
o de, medida em relação ao eixo Pode
cia t A'ansvaté sal dont elemento
que é a tida
pelas
7.4d).
substitua os dados na fórmula do cisalhamento al le a de
de unidades
Usando
que a di e ão adequada da tensão de cisalhamento ans sa seja definida um nto de
volume de material localizado o ponto onde ela é calculada. I ss pode ser feito se entendermos que age na seção
na mesma direção de Com isso, podemos a tensões de is l a nt
que
s planos
agem os
se
Nessa
ã
s sões
ten
porç o da ár ea que encontra
expressão, y' é a
usando Q = y'A '.
A'
é
que
a porção da área da
e
r
d
n
t
e
n
er útil e
de cisalhamento longitudinais (Figura
A ' . D et
seção
de
seção r
o ce
r i
mine Q por integração Q =
er
"
m
A .y dA'
neutro.
n
no elemento"
de cisalh amen to
•
269
consistente,
um conjunto
cí salhamento T .
• Sugerimos
r ç
transversal
n
outros trê
tr
n
V.
do elemento.
?]:
e)<.BrvJRI!l!
Jl rz.n
w
""-'zr'*"' � >"'
"' :?= �"'- """"' ="' "'"ffi B;?
�
viga mostrada na Figura 7.10a é feita devertical
madeira e está
(cortante) interna
anteuma =força3 kN.de (a)cisalhamento
sujeita
cisalhamen­
tensãodedecisalhamento
Determineaatensão
resulta
V
calcule
(b)
e
P
ponto
no
viga
na
to
máxima na viga.
SOLUÇÃO
Parte (a). Propriedades da seção. O momento de inér­
cia da área da seção transversal calculado em torno do eixo
neutro é
= __!_ bh3 = __!_ (100 mm)(125 mm)2 = 16, 2 8 X 106 mm4
12 12
m:
e
A
ver
l
o
definir
cu
sobre
r
c ah
s
c
lso��t:
me
r
tensão
eleme
o correspondentes
�p
l j .
125 mm
v � 3 kN
� 37,5 mm
100 mm
�I
(a)
I
Traçamos na seção uma reta horizontal que passa pelo ponto
parcial A' corresponde à porção sombreada na
Figeuraa área
7. 10b. Por consequência,
Q = )?A' = [ 12, 5 mm + � (50 mm)] (50 mm) (100 mm)
= 18,75 mm X 104 mm3
Tensão de cisalhamento. A força de cisalhamento (ou
força cortante)temos
na seção é V = 3 kN. Aplicando a fórmula do
cisalhamento,
4 3
= VQ = (3 kN)(18,75 X 10 mm )
6
4
It
(16,28 X 10 mm )(100 mm)
= 3,46 mm X 10-4 kN/mm 2 = 0,346 MPa
Resposta
Visto que contribui para V, ela age para baixo em P na
seção
transversal.
um elemento
do material
nessePorpontoconsequência,
sofreria a ação
de tensõesde devolume
cisa­
lhamento, como mostra a Figura 7.10c.
P,
(b)
Tp
rP
(d)
Figura 7.10
(c)
270
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Parte (b). Propriedades da seção. A tensão de cisalha­
mento máxima ocorre no eixo neutro, visto que t é constante
em toda a seção transversal e Q é o maior nesse caso. Para a
área escura A ' na Figura 7.10d, temos
Q = Y'A ' =
=
[ 62,52mm ] (100 mm) (62,5 mm)
Para o ponto B, t8 = 0,015 m, e Q8 = Q8, (Figura 7.11c) . Por
consequência,
19,53 mm X 104 mm3
A aplicação da fórmula do cisa­ Observe, pela discussão sobre as "Limitações ao uso da fór­
mula do cisalhamento", que os valores calculados para am­
bas, 78 e 78, não serão, na verdade, muito precisos. Por quê?
4
3
(3 kN)(19,53 X 10 mm )
VQ
Para o ponto C, te = 0,015 m e A' é a área sombreada escu­
Tmáx = It = (16,28 X 106 mm4 )(100 mm)
ra mostrada na Figura 7.11d. Considerando que essa área é
composta por dois retângulos, temos
= 3,60 mm X 10-4 kN/mm2 = 0,360 MPa Resposta
Qc = 2:y' A' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m)
Observe que isso é equivalente a
+ [0,05 m](0,015 m)(0,100 m)
= 0,735(10-3 ) m3
3 kN
v
7
= 1 5 - = 1 5 ---máx
' A
' (100 mm)(125 mm)
Assim,
= 3,6 X 10-4 kN/mm2 = 0,36 MPa
Resposta
80 kN[0,735(10-3 ) m3]
VQc
=
Te = 7máx =
Ite
155, 6( 10-6) m4 (0,015 m) = 25 '2 MPa
Tensão de cisalhamento.
lhamento produz
��m�FlU��,.�
"'� 0 )/
j!� " '0��0\ )1
X
Parte (b). A força de cisalhamento na alma será determi­
nada formulando, em primeiro lugar, a tensão de cisalha­
mento em uma localização arbitrária y no interior da alma
Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura (Figura 7.1le). Trabalhando em metros, temos
7.11a. Se for submetida a uma força de cisalhamento (força
cortante) V = 80 kN, (a) trace uma curva da distribuição da
I = 155,6(10-6) m4
tensão de cisalhamento que age na área da seção transver­
t = 0,015 m
sal da viga e (b) determine a força de cisalhamento à qual a
alma resiste.
A' = (0,300 m)(0,02 m) + (0,015 m)(0,1 m - y)
Q = 2:y' A' = (0,11 m)(0,300 m)(0,02 m)
SOLUÇÃO
+ [ y + ! (0,1 m - y) ] (0,015 m)(0,1 m - y)
Parte (a). A distribuição da tensão de cisalhamento será
= (0,735 - 7,50 yZ )(10-3 ) m3
parabólica e variará da maneira mostrada na Figura 7.1lb.
Devido à simetria, somente as tensões de cisalhamento nos
pontos B', B e C devem ser calculadas. Para mostrar como de modo que
esses valores são obtidos, em primeiro lugar, determinamos
o momento de inércia da área da seção transversal em torno
80 kN(0,735 - 7,50 y2 )(1 o-3 ) m3
VQ
7
=
=
do eixo neutro. Trabalhando em metros, temos
It
(155,6(10-6) m4 )(0,015 m)
= (25,193 - 257,07y2 ) MPa
3
(0,015
m)(0,200
m)
I=
1
age na área infinitesimal dA = 0,015 dy mostra­
+ 2 2 (0,300 m)(0,02 m)3 + (0,300 m)(0,02 m)(O,llO m? daEssanatensão
Figura 7.11 e, portanto, a força de cisalhamento à qual
a alma resiste é
= 155,6(10-6) m4
'"'
"tif'4"" "o
"'"''"'""'
[�
U
'if -"'*
-
00
::,._"
]
]
Para o ponto B', t8, = 0,300 m, e A ' é a área escura mostrada
na Figura 7.11c.Assim,
Q8, = f'A ' = [0,110 m](0,300 m)(0,02 m) = 0,660(10-3) m3
de modo que
V.Ima =
1
10,1 m(25,193 - 257,07y2)(106)(0,015 ,
m) a
7 dA =
-O,l m
Aalma
V.1ma=
73,0 kN
R esposta
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
["",)
TE' =
1,13 MPa
V"-
(a)
(b)
i
271
=
B
22,6 MPa
Te =
25,2 MPa
/22,6 MPa
1,13 MPa
f---- 0,300 m �_L
0,02 m
(0,1 m - yL
yl
N
I
c
I
I
.:.:.. J
= dy
0,015 m�
I
( d)
(c)
Tm
0,1
Figura 7.11
( e)
_l
A
I
Por comparação, a alma suporta 91% do O momento de inércia, calculado em torno do eixo neutro
cirestantes
salhamento
total
kN), enquanto
as abasdeterminando
suportam osa (Figura 7. 12a), é, portanto,
9%. Tente(80resolver
este problema
força em uma das abas (3,496 kN) pelo mesmo método. En­ I = u (0,030 m)(0,150 m)3
tão, = V - = 80 kN-2(3,496 kN) = 73,0 kN.
2
+ (0,150 m)(0,030 m)(0,120 m - 0,075 m)2 ]
OBSERVAÇÃO:
Valma
2 Vaba
+ [ 1� (0,150 m)(0,030 m)3
A viga mostrada na Figura 7 . 1 2a é feita com duas tábuas.
máxima necessária na
Determine
de cisalhamento
colnhaadeparajunção.
quea tensão
elaOsmantenha
as
tábuas
unidas ao longo da li­
apoios
em
B e C exercem apenas reações
verticais na viga.
+ (0,030 m)(0,150 m)(0,165 m - 0,120 m)2 ]
= 27,0(10-6) m4
SOLUÇÃO
Cisalhamento interno. As reações nos apoios e o diagra­
(aba) superior
está presa
à inferior (alma) pela cola,
ma7.12bde. Vemos
força cortante para a viga são mostrados na Figura Aquetábua
é
aplicada
na
espessura
t = 0,03 m. Por consequência,
que o cisalhamento máximo na viga é 19,5 kN. A ' é definida como a área da tábua superior (Figura 7.12a).
Temos
Propriedades da seção. O centroide e, portanto, o eixo
neutro serão determinados pelo eixo de referência posicio­
nad
parte inferior da área da seção transversal (Figura Q y ' A' [0,180 m 0,015 m - 0,120 m] (0,03 m)(0,150 m)
7.12oa).naTrabalhando
em metros, temos
0,2025 ( 10-3) m3
- -­
L yA
Tensão de dsalhamento. Com os dados obtidos acima e
LA
aplicando a fórmula do cisalhamento, obtemos
0,
, [ 075 m] (0,150 m)(0,030 m) + [0,165 m](0,030 m)(0,150 m)
VQ 19,5 kN (0,2025(10-3 ) m3 )
(0,150 m)(0,030 m) (0,030 m) (0,150 m)
a
= 27,0(10-6 ) m4(0,030 m) = 4,88 MPResposta
=
áx
m
�
It
"' 0 ,120 m
=
=
=
Y ==
+
T
272
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
26 kN
V (kN)
Plano contendo cola
150 mm 30 mm
____L_
:.:;r-r-
150 mm
4,88 MPa
(c)
Figura 7.12
Aé tensão de cisalhamento que age no topo da tábua de baixo
mostrada na Figura 7. 12c.
OBSERVAÇÃO: É a resistência da cola a essa tensão de ci­
salhamento lateral ou horizontal que é necessária para impe­
dir que as tábuas deslizem no suporte C.
� 25 mm
�
Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 15 kN,
determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B. Indique
Pl'Oblema 7.4
as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento
de volume localizado nesses pontos. Considere = 125 mm. 7.5. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
Mostre que o eixo neutro está localizado em y = 0,1747 m mento V = 125 kN, determine a força de cisalhamento à qual
em relação à parte inferior e !NA = 0,2182(10-3) m4•
a alma da viga resistirá.
7.2. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 30 kN, determine a tensão de cisalhamento máxi­
� 25 mm
ma na viga. Considere = 200 mm.
�
7.3. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­
mento V = 30 kN, determine a força de cisalhamento à qual
a alma da viga resiste. Considere = 200 mm.
7.1.
w
w
w
200 mm
Problema 7.5
A viga tem seção transversal retangular e é feita de ma­
deira
com
tensão dea umcisalhamento
= 11,2 �Pa.
Se for submetida
cisalhamentoadmissível
V = 20 kN, determme a
menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5a de seus lados.
7.7. A viga tem seção transversal retangular e é feita
Problemas 7.112/3
madeira. Se for submetida a um cisalhamento V = 20áxikN,mae
*7.4. Se a viga de abas largas for submetida a um cisalha­ a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento m
mentdoo
uma curva da variação da tensão de cisalhanal
mento V = 125 kN, determine a tensão de cisalhamento má­ nae trace
seção transversal. Faça um rascunho tridimensio
xima na viga.
resultado.
7.6.
r.c1m
de
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL
273
A escora está sujeita a um cisalhamento vertical
130 kN. Construa um gráfico da intensidade da distri­
buição da tensão de cisalhamento que age na área da seção
transversal
de cisalhamento
resultante de­
senvolvida noe calcule
segmentoa força
vertical
AB.
*7.12.
V=
��m
:-i'Omm
V= 130kN 150mm
I
Problemas 7.617
Determine a tensão de cisalhamento máxima na es­
se N.ela for submetida a uma força de cisalhamento
20k
7.9. Determine a força de cisalhamento máxima V que a
escora pode suportar se a tensão de cisalhamento admissível
Problema 7.12
o material for = 40 MPa.
7.10. Faça um gráfico da intensidade da tensão de cisalha­ 7.13. O raio da haste de aço é 30 mm. Se ela for submetida
a um cisalhamento V = 25 kN, determine a tensão de cisa­
mento
distribuída
na seção
transversal daV =escora
submetida
a uma força
de cisalhamento
15 kN.se ela for lhamento máxima.
'7.8.
cora
V ==
para
Tadm
12mm
)/
I
20 mm
G::
'-* =50kN
Problema 7.13
7.14. Se a viga T for submetida a um cisalhamento verti­
cal V = 60 kN, determine a tensão de cisalhamento máxima
nato naviga.junção
Calculeaba-alma
tambémAB.o Trace
salto daumtensão
Problemas 7.8/9/10
rascunhode cisalhamen­
da variação
7.11. Se o tubo estiver sujeito a um cisalhamento V = 75 kN, da intensidade da tensão de cisalhamento em toda a seção
transversal.
determine a tensão de cisalhamento máxima nele.
7.15. Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical
V = 60 kN, determine a força de cisalhamento vertical à qual
a aba resiste.
� I 75 mm
o�.!0��1
10�
��
l r"�J�
'
v
Problema 7.11
�V=60kN
Problema 7.14/15
27 4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
viga T está sujeita ao carregamento mostrado na
figura. Determine a tensão de cisalhamento transversal má­
xima na seção crítica da viga.
"7.16. A
Problema 7.19
Desenvolva uma expressão para a componente ver­
tical média da tensão de cisalhamento que age no plano ho­
rizontal que passa pelo eixo, localizado a uma distância y do
eixo neutro.
*7.20.
r------1 _l
100 mm
f
T
100 mm
_l__
T
20 mm
20 mm
Problema 7.16
7.17. Determine as maiores forças P que o elemento pode su­
portar se a tensão de cisalhamento admissível for = 70 MPa.
Os apoios em A e B exercem somente reações verticais so­
bre a viga.
7.18. Se a força P = 4 kN, determine a tensão de cisalha­
mento máxima na seção crítica da viga. Os apoios em A e B
exercem somente reações verticais sobre a viga.
Tadm
� 1 m �A+---- 2 m
B
-
Problemas 7.17/18
-+�
Problema 7.20
Dormentes de ferrovia devem ser projetados parare­
sistir a grandes carregamentos de cisalhamento. Se o dormen­
te for submetido a cargas de 150 kN exercidas pelos trilhos
e o leito de cascalho exercer uma reação distribuída como
mostra
a figura,
determine
a intensidade
equilíbrio
e determine
a tensão
de cisalhamento
máximaparano dormente.
7.21.
w
150 kN
1m
150 kN
�
I 200 mm I
I
150 mm
_l
7.21
Faça uma representação gráfica da distribuição da 7.22. A viga está sujeitaProblema
a uma carga uniforme Determi­
tensão de cisalhamento na seção transversal de uma haste
a localização a dos apoios de modo que a tensão de cisa­
com raio Quantas vezes a tensão de cisalhamento máxima nelhamento
na viga seja a menor possível. Qual é essa tensão?
é que a tensão de cisalhamento média que age na se­
çãomaior
transversal?
7.19.
c.
w.
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 27 5
Determine a tensão de cisalhamento nos pontos B e
C localizados na alma da viga de fibra de vidro.
7.27.
IV
�ra devem ser enda vigaSedea �VIgaadetiver
midadesa figura.
Ascomextreo mostra
de suportar o
as
ad mento mostrado, determine a menor profundidade
lhrega
d
\
cdaa viga no entalhe se a tensa-o de cisa· lhamento admiSSIVe
·
1 for
450 MPa. A largura da viga é de 8 metros.
Problema 7.22
7.2 3.
lOOmm
18mm
H ___j___)
� 150mm
12mm
l
� -r18mm
lOOmm
1
'
r,Jm
=
15 kN
20kN
c
15kN
=
--r
�
Determine a tensão de cisalhamento máxima que
age na seção crítica da viga de fibra de vidro.
Problema 7.27
*7.28.
Problema 7.23
A viga é composta por três aotábuas coladas nas linhas
B. Se for submetida carregamento mostra­
dedo junção
na figura,A edetermine
a tensão dea-a.cisalhamento
desenvol­
em
apoios
Os
seção
na
coladas
juntas
vida nas somente reações verticais sobre a viga. C e D
exercem
A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas
junção A e B. Se for submetida ao carregamento mostra­
do na figura, determine a tensão de cisalhamento máxima
desenvolvida nas juntas coladas. Os apoios em C e D exer­
cem somente reações verticais sobre a viga.
A viga é composta por três tábuas coladas nas linhas
detradojunção A e B. Se for submetida ao carregamento mos­
na figura, determine a força de cisalhamento vertical
máxima à qual resiste a aba superior da viga. Os apoios em C
exercem somente reações verticais sobre a viga.
'7.24.
7.25.
de
7.26.
eD
25 kN 25 kN 25 kN
D1lL
E L�LLL.
>•· · · · ·�D
B
2,5 kN/m
3kN/m
�1m L lm�,J -2m · ----�lOOmm
18mm
H ___j___)
� 150mm
12mm
� -rl
lOOmm
18mm
c
=
--r
,---�
--
7.29. A viga é composta por três peças de plástico coladas
nas linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamen­
to mostrado na figura, determine a tensão de cisalhamento
desenvolvida
nas juntas
coladas
apoios
em C e D exercem
somente
reaçõesna seção
verticaiscrítica.
sobreOsa viga.
Problema 7.28
3kN/m
�
1ll1!!l1llll1
40 mm�50 mm
200 mm 505t mm
40mmt
�
r-r- ··· · .. ··
""�' ' ' "
A
.
..
1___
r: __L ... .. ...
B
.��.·
, .• ,
Problemas 7.24/25/26
200mm
.
50mm�
Ysomm
200mm
50 mm_l_ .=&E
_L_ li
_j
�
Problema 7.29
A
27 6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
7.30. A viga é composta por três peças de plástico coladas 7.33. Escreva um código computacional que possa ser usado
nas
linhas de junção A e B. Se for submetida ao carregamen­ para determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga que
to mostrado na figura, determine a força de cisalhamento tem a seção transversal mostrada na figura e é submetida a uma
vertical
a aba superior
na seção
crítica.
constante
distribuídado específica
w e àosforça
concLentrada
Os apoiosà qual
em Cresiste
e D exercem
somenteda viga
reações
verticais
so­ P.cargaMostre
uma aplicação
código usando
valores
4 m'
a = 2 m, P = 1,5 kN, d1 = O, d2 = 2m,w = 400 N/m, t 15 mm '
bre a viga.
t2 20 mm, b = 50 mm e = 150 mm.
=
3kN/m
h
=
!1rr11r111rrt
200mm
50mm20��A
�
50 mm J:=_;O mm
_1___ 11
1
1;1i'ii!l1 J
=
·�
11-- -a-L --------11
Problema 7.33
A viga tem seção transversal retangular e está sujeita
a
uma
carga
P cuja intensidade é suficiente para desenvolver
rmomento totalmente plástico MP = PL no apoio fixo. Se
um
o material for elástico plástico, então, a uma distância x < L,
Problema 7.30
o momento M = Px cria uma região de escoamento plás­
tico
com um núcleo elástico associado de altura 2y' . Essa
7.31. Determine a variação da tensão de cisalhamento na
pela Equação
0, e o momento
seção transversal de um rebite oco. Qual é a tensão de cisa­ situação
distribuídofoinadescrita
seção transversal
como6.3mostra
a Figura
lhamento máxima no rebite? Mostre também que, se
Prove
que
a
tensão
de
cisalhamento
máxima
desenvolvida
então = 2(V/A).
na viga é dada por = 3/2(PIA'), onde A ' = 2y' b, a área
da seção transversal do núcleo elástico.
_:::___j
B
7.34.
Mé
6.54e.
r; � 1'0,
Tm áx
rmáx
��I
p
Região plástica
r;
Problema 7.31
A b r-
Região elástica
Problema 7.34
A viga tem seção transversal quadrada e está sujeita
à força de cisalhamento V. Faça um rascunho da distribuição 7.35. A viga na Figura 6.54f é submetida a um momento to·
da tensão de cisalhamento na seção transversal e especifique
plástico Mp. Prove que as tensões de cisalhamenlo
a tensão de cisalhamento máxima. Além disso, determine o talmente
longitudinal
namostra
viga sãoa Figura
nulas. 7Dica:
local em relação ao eixo neutro onde começará a aparecer um elementoedatransversal
viga
como
.4d.
uma trinca ao longo do elemento devido ao cisalhamento.
"7.32.
Considere
7.4
F l uxo d e dsa l h a m e nto em
estrutu ras com postas por
vá rios e l e m e ntos
Problema 7.32
Na prática da engenharia, às vezes são construídas
estruturas compostas por várias partes para se o bt�l
maior resistência à cargas. Alguns exemplos são m�s·
trados na Figura 7. 1 3. Se as cargas provocarem fl.e�ao
r
nas partes componentes, pode ser necessário uttitza
elementos de fixação como pregos, parafus ?s, to
rial de soldagem ou cola para evitar o desltzam en
r
d
I
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 277
do fluxo de cisalhamento ao longo da junção que liga
a parte composta na Figura 7.14a à aba da viga. Como
mostra a Figura 7.14b, três forças horizontais devem
agir sobre essa parte. Duas dessas forças, F e F + dF,
são desenvolvidas por tensões normais causadas pelos
momentos M e M + dM, respectivamente. A terceira
força, a qual, para equilíbrio, é igual a dF, age na junção
e deve ser suportada pelo elemento de fixação. Como
sabemos, dF é o resultado de dM, então, como no caso
da fórmula do cisalhamento (Equação 7.1), temos
dM
dF = I
1 y dA'
A'
A integral representa Q, isto é, o momento da área
A', de cor clara na Figura 7.14b, em torno do eixo neutro
para a seção transversal. Visto que o segmento tem com­
primento dx, o fluxo de cisalhamento, ou força por uni­
dade de comprimento ao longo da viga, é q = dF!dx. Por
consequência, dividindo ambos os lados por dx e obser­
vando que V = dM!dx (Equação 6.2), podemos escrever
(7.6)
Nessa expressão,
Figura 7.13
relativo dessas partes (Figura 7.2). Para projetar esses
elementos de fixação, é preciso conhecer a força de
cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do
comprimento da estrutura. Esse carregamento, quan­
do medido como força por unidade de comprimento, é
denominado fluxo de cisalhamento q. *
O valor do fluxo de cisalhamento ao longo de qual­
quer seção longitudinal de uma viga pode ser obtido
por um desenvolvimento semelhante ao usado para
determinar a tensão de cisalhamento em uma viga.
Para demonstrar isso, consideraremos a determinação
q = fluxo de cisalhamento, medido como uma força
por unidade de comprimento ao longo da viga
V = força de cisalhamento ou força cortante inter­
na resultante, determinada pelo método das
seções e equações de equilíbrio
momento
de inércia de toda a área da seção
I=
transversal calculado em torno do eixo neutro
Q = J�.y dA' = )I'A', onde A' é a área da seção
transversal do segmento acoplado à viga na
junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser
calculado e y' é a distância do eixo neutro ao
centroide de A '
(b)
( a)
Figura 7.14
A utilização da palavra "fluxo" nessa terminologia será significa­
tiva na discussão na Seção 7.5.
dF
278
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A aplicação dessa equação segue o mesmo "pro­
cedimento de análise" delineado na Seção 7.3 para
a fórmula do cisalhamento. A propósito, é muito im­
portante identificar corretamente o valor adequado
de Q na determinação do fluxo de cisalhamento em
uma junção particular da seção transversal. Alguns
exemplos devem servir para ilustrar como isso é fei­
to. Considere as seções transversais da viga mostrada
na Figura 7.15. As partes constituintes sombreadas
estão presas às vigas por elementos de fixação. Nos
planos da conexão, o fluxo de cisalhamento neces-
sário q é determinado usando-se um valor de Q cal­
culado a partir de A e y 1 indicados em cada figura.
Observe que esse valor de q encontrará a resistência
de um único elemento de fixação nas figuras 7 .15 a e
7.15b, de dois elementos de fixação na Figura 7.15 c
e de três elementos de fixação na figura 7.15 d. Em
outras palavras, o elemento de fixação nas Figuras
7.15a e 7 .15b suporta o valor calculado de q e, n as
figuras 7.15c e 7.15d, cada elemento de fixação su­
porta q/2 e q/3, respectivamente.
1
(a)
N
(b)
A
A
(d)
(c)
Figma 7.15
�
!ia��ffi(!!)S INI!ia�RWAI�mms
�
ttma medida da fotç& por unidade de comprimento ao longo de um eixo lon:�itudínal de
uma viga.Esse valor é detç:nninado� ela fótmula d o cis,?lhame�t? � é usado para se defi�ir a f�rça de ctsalhamento
desenvolvida em elementos de fixaçao e cola que mantem os v:arws segmentos de uma vtga umdos.
" Fluxo. decisalhamento é
�
m mNIRU�(!!)
�.� �
SOLUÇÃO
Propriedades da seção. O eixo neutro (centroide) será
é composta por quatro tábuas coladas, como localizado
relação à parte inferior da viga (Figura 7.16a).
mostra a Figura 7. 1 6a. Se for submetida a um cisalhamento Trabalhandoemcom
metros, temos
V = 850 kN, determine o fluxo de cisalhamento em B e C
ao qual a cola deve resistir.
A viga
�
cc_,_""
- "'
_
Y
" =
%=
2:yA = 2[0,15 m](0,3 m)(O,Ol m) + [0,205 m](O,l25 m)(O,Ol m) + [0,305 m](0,250 m)(O,Ol m)
2(0,3 m)(O,Ol m) + 0,125 m(O,Ol m) + 0,250 m(O,Ol m)
2:A
= 0, 1 968m
=
v
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 279
Qs = y�A� = [0,305 m
= 0,271(10-3 ) m3
Da mesma forma, a cola em C e C' mantém a tábua interna
presa à viga (Figura 7.16b), portanto
Qc = y�A'c = [0,205 m - 0,1968 m](0,125 m)(O,Ol m)
= 0,01026(10-3 ) m3
N
Fluxo de cisalhamento.
V = 850 kN
lO mm--1 f--125 mm--j f-- lü mm
(a)
B -"
N
c
A'c J
E'---
c
ITY'c
y'B
'
qc
A
portanto,
(0,01 m)(0,3 m)(0,1968 m - 0,150 m) 2
[�
+ 1 (0,125 m)(O,Ol m)3
J
+ 2 (0,250 m)(O,Ol m) 3
+ (0,250 m)(O,Ol m)(0,305 m - 0,1968 m?
= 87,52(10-6) m4
850 kN(0,01026(10-3 ) m3 )
= 0'0996 MN/m
87,52(10-6) m4
�
;;
%
A viga-caixão deve ser construída com quatro tábuas
pregadas, como mostra a Figura 7.17a. Se cada prego pu­
der suportar uma força de cisalhamento (força cortante) de
30 N, determine o espaçamento máximo s dos pregos em B e
em C de modo que a viga suporte a força vertical de 80 N.
SOLUÇÃO
Cisalhamento interno. Se a viga for secionada em um pon­
to arbitrário ao longo de seu comprimento, o cisalhamento in­
terno exigido para equilíbrio é sempre V = 80 N, portanto o
+ (0,125 m)(O,Ol m)(0,205 m - 0,1968 m?
U
=
"" �
O momento de inércia calculado em torno do eixo de inércia
+
I
VQc
--
E:�il\21�1ll @l �.Iii
Figura 7.16
U
=
Visto que são usadas duas linhas de junção para prender
cada tábua, a cola por metro de comprimento de viga em
cada linha de junção deve ser forte o' suficiente para resitir à
metade de cada valor calculado de q . Assim,
Resposta
q8 = 1,31 MN/m e q c = 0,0498 MN/m
(b)
I = 2 2 (0,01 m)(0,3 m? .
Para B e B ' , temos
E para C e C',
� 's
é,
- 0,1968 m](0,250 m)(O,Ol m)
J
J
diagrama de força cortante é o mostrado na Figura 7.17b.
Propriedades da seção. O momento de inércia da área
da seção transversal em torno do eixo neutro pode ser de­
terminado considerando-se um quadrado de 7,5 cm X 7,5 cm
menos um quadrado de 4,5 cm X 4,5 cm.
I = -121 (7,5 mm)(7,5 mm)3 - -121 (4,5 mm)(4,5 mm)3
= 229,5 mm3
O fluxo de cisalhamento em B é determinado usando-se Q8
definido pela área sombreada mais escura mostrada na Figu­
7.17c. É essa porção "simétrica" da viga que deve manter­
Visto que a cola em B e B' mantém a tábua da parte superior ra
-se
"presa" ao resto da viga por pregos no lado esquerdo e
presa à viga (Figura 7.16b), temos
pelas fibras da tábua no lado direito. Assim,
280
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
80N
25 cm3 ) = 7,059 N/cm
= VQI c = 80 N(20,
229,5 cm4
Esses valores representam a força de cisalhame por
unidade de comprimento da viga à qual os pregos nto
em B' na Figura 7.17c e os pregos em e asem B
asemfibras
C' na Figura 7. 1 7d devem resistir, respectivamente. Visto
caso, o fluxo de cisalhamento encontra a resis­
que,
tênciaemdecada
duas superfícies e cada prego pode resistir a 30 N,
espaçamento para B é
30 N ----,----- = 5,10 cm Use sE = 5 cm
----,---.,
(11,76/2)-N/cm
qc
C
1,5 cm
c
c
fibras
0
Resposta
E para C,
30 N
(7,059/2) N/cm = 8,50 cm Use = 8,5 cm
V (N)
-----'=--=-::...:_
-___
-
se
Resposta
resistência
cisalhamento
total dede40doisN
são Pregos
usados com
em uma
viga queao pode
ser construída
modos:
II (Figura 7. 1 8). Se os pregos forem
espaçadosCasodeI9oucm,Caso
determine
o maior cisalhamento verti-
(b)
(c)
r4,5 cm-j
--.---at:l��H
:=1},5 cm
c
N --'-----t!!;fr+-----J!+it'it- A
(d)
Figura 7.17
9 cm�
0,51_
cm r
·r
h cm �f .
4 cm N
s
L. r
0,5li-3
cm cm--i
Caso I
= y'A' = [3 cm](7,5 cm)(1,5 cm) = 33,75 cm3
Da mesma forma, o fluxo de cisalhamento em C pode ser de­
terminado com a utilização da área sombreada "simétrica"
mostrada na Figura 7.17d. Temos
Qc = y'A' = [3 cm](4,5 cm)(1, 5 cm) = 20,25 cm3
Qs
Fluxo de dsalhamento.
qB
75 cm4 3 ) = 11 '76 N/cm
= VQI B = 80 N(33,
229,5 cm
Figura 7.18
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 281
eme cada caso de modo que os 7.37. A viga é construída com duas tábuas presas uma à ou­
ser suportado
pode
m.
tra na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de
falh
não
ção
fixa
de
s
nto
pregos espaçados de 150 mm. Se uma força de cisalhamento
interna V= 3 àkNqualforcada
aplicada
às resistirá.
tábuas, determine a força de
SOLUÇÃO
cisalhamento
prego
os casos, o mo­
em ambos
é a mesma
.
ainérgeociametria
.
V
o
o
e
d
e1xo
neutr
torno
em
mento de
:2 (3 mm)(5 mm)3 - 2 [ 1� (1 mm)(4 mm)3 ] = 20,58 mm4
�
1 . Nesse projeto, uma única fileira de pregos prende
�
supe, rior ou a parte inferior da aba à alma. Para uma
parteabas
aessas
d
I
Q = )I' A' = [2,25 cm][3 cm(0,5 cm)] = 3,375 cm3
Problema 7.37
modo que
7.38. A viga é construída com cinco tábuas parafusadas
VQ
como mostra a figura. Determine a força de cisalhamento má­
q=!
xima desenvolvida em cada parafuso se o espaço entre eles for
s = 250 mm e o cisalhamento aplicado for V = 35 kN.
40 N - V(3,375 cm3 )
9 cm 20,58 cm4
Resposta
V = 27,1 N
1 1 . Nesse caso, uma única fileira de pregos prende
dos lados das tábuas à alma. Assim,
Q = )I' A' = [2,25 cm][1 cm(0,5 cm)] = 1,125 cm3
VQ
q=
!
40 N - V(1,125 cm43 )
9 cm 20,58 cm
V = 81,3 N
Resposta
q ue
eleme
e
t
IS O q u
1
,
==
SO m
SO m
de
_
um
_
7.39. A viga é construída com cinco tábuas parafusadas como
mostra a figura. Determine o espaçamento máximo s para os
parafusos se cada um deles puder resistir a um cisalhamento
'7.36. A viga é construída com duas tábuas presas uma à
na parte superior e na parte inferior por duas fileiras de 20 kN e o cisalhamento aplicado for V = 45 kN.
de pregos espaçados de 150
prego puder supor­
tar uma força de cisalhamento deSe2,cada
5
kN,
determine a força
cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à viga.
Problema 7.38
outra
mm.
de
5SOm0 ��
Problema 7.36
Problema 7.39
282
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
"7.40. A viga está sujeita a um cisalhamento V= 800
A viga-mestra de alma dupla é composta por duas
termine a tensão de cisalhamento média desenvolvidaN. De­
nos 7.43.
chapas
de compensado
a elementos
de madeirade nafi­
parte superior
e na partepresas
inferior.
Se cada elemento
pregos ao longo dos lados A e B se eles estiverem espaçados xação
de s = 100 Cada prego tem diâmetro de 2 mm.
puder suportar 3 kN em cisalhamento simples, deter­
mine o espaçamento s exigido entre os elementos de fixação
para suportar o carregamento P = 15 kN. Considere que
presa por pino e B é um rolete.
mm
.
Aé
�q:�=
250 mm
mm
]l 50so mm
�
--1 1
I
p
A
1 1--
SO mm 50 mm
150 mm
7.41. A viga é fabricada com dois T estruturais equivalen­
tes e duas chapas. Cada chapa tem altura de 150 mm e espes­
P1·oblema 7.43
sura de 12 mm. Se um cisalhamento V = 250 kN for aplicado *7,44. A viga-mestra de alma dupla é composta por duas fo­
à seção transversal, determine o espaçamento máximo dos de compensado presas a elementos de madeira na parte
parafusos. Cada parafuso pode resistir a uma força de cisa­ lhas
superior e na parte inferior. A tensão de flexão admissível
lhamento de 75 kN.
para a madeira é = 56 MPa, e a tensão de cisalhamen­
é
to admissível
fixação
forem
espaçados de =s =21150MPa.mmSee oscadaelementos
um puderdesuportar
3 kN em cisalhamento simples, determine a carga máxima
que pode ser aplicada à viga.
Problema 7.40
cractm
Tadm
[
� �"--'{
:T ::
250 mm
A viga é fabricada com dois T estruturais equivalentes
e duas chapas. Cada chapa tem altura de 150 mm e espessura
de 12 Se os parafusos estiverem espaçados de s = 200
mm, determine a força de cisalhamento máxima V que pode
ser aplicada à seção transversal. Cada parafuso pode resistir
a uma força de cisalhamento de 75 kN.
Problema 7.41
7.42.
mm
.
��
--1 1
I
�
][ soso mm
p
A
1 1--
SO mm 50 mm
150 mm
Problema 7.44
A viga é composta por tiras de poliestireno aocoladcisasa­
como mostra a figura. Se a coltrêsa tiver
uma resistência
lhamento de 80 kPa, determine a carga máxima P que pode ser
aplicada sem que a cola perca sua capacidade de aderência.
7.45.
30 mm
H
�
40 mm
t-=
f40 mm
60 mm
Problema 7.42
P
_j__
p
20 mm
A
� 0,8 m f- 1 m --+-- 1 m -4- o,s m �
Problema 7.45
.�.
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 283
pregadas como mostra a
tábuassupmiar
quatropuder
"'fiA6ra' . Sevicadgaaéumfeitadoscompregos
força de cisa­
uma
gu nto de 500 N determine. os espaçamento
s' e s exigidos ens
. mento V= 3,5 kN.
for submetida a um c1salha
trc e eS Se a viga
A
lhalll e
I
'
mm
7.49. A viga de madeira Testá sujeita a uma carga compos­
taadmissível
por forças
concentradas, P . Se a tensão de cisalhamento
V para cada um"dos pregos for conhecida, escreva um código computacional que especifique o espaçamento dos pregos entre cada carga. Mostre uma aplicação do
código usando os valores L = 4,5 m, a1 = 1,2 m, P1 = 3 kN,
a2 = 2,4 m, P2 = 7, 5 kN, b1 = 37,5 mm, h1 = 250 mm,
b2 = 200 mm, h2 = 25 mm, e V
= 1 kN.
n
prego
prego
l
250 mm
� � 40 mm
Problema 7.46
A viga é fabricada com dois perfis em U equivalentes
Problema 7.49
espessura
chapa tem altura de 150kNmmforeaplicado
duas chapas.Se Cada
V = 250 máximo entreà 7.50. A escora é construída com três peças de plástico
cisalhamentoo espaçamento
um determine
seção transversal,
coladas como mostra a figura. Se a tensão de cisalhamento
resistir a uma força de ci­ admissível
pode
parafuso
Cada
ossalhparafusos.
para o plástico for = 5,6 MPa e cada junta
amento de 75 kN.
colada puder resistir a 50 kN/m, determine o maior carrega­
mento distribuído w que pode ser aplicado à escora.
7.47.
e
de 12 mm.
rndm
jlllfP 1 1 1 1 ���l 1 1 r
Problema 7.47
Uma viga de madeira é composta por tábuas, cada
uma com seção transversal retangular. Escreva um código
computacional
que possa ser usado para determinar a tensão
de cisalhamento máxima na viga quando ela for submetida
a qualquer
cisalhamento V. Mostre uma aplicação do código
usan
do
uma
sal em caixão.seção transversal em "T" e uma seção transver­
'7.48.
l-
lm
2m
lm
_j
n
1
T
25 mm
1
75 mm
SO mm-1 f--1 112 mm
12 mm
Problema 7.50
7.5L A escora é construída com três peças de plástico çoladas
como mostra a figura. Se a carga distribuída for = 3 kN/m,
determine o fluxo de cisalhamento ao qual cada junta colada
deve resitir.
w
Problema 7.48
284
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
{1.1 Lg! ll LU LMJ-l.lf
l-lm
2m , lm_j
mm
75mm
12mm 12mm
T
1
SO mm--1 r-
-I !--
Problema 7.51
A vigaP =está7 kN.sujeita
ao carregamento
na fi­
gura, onde
Determine
a tensão demostrado
cisalhamento
�édia desenvolvida nos pregos no interior da região AB da
v1ga. Os pregos estão localizados em cada lado da viga e es­
paçados de 100 mm. Cada prego tem diâmetro de 5 mm.
*7.52.
Problema 7.53
O elemento consiste em dois canais [U] de plásti­
copudercomsuportar
12 mm uma
de espessura
em A eadmissível
B. Se a cola
tensão decolados
cisalhamento
de
= 4,2 MPa, determine a intensidade máxima do car­
regamento distribuído triangular que pode ser apli�ado ao
elemento tomando como base a resistência da cola.
7.54.
w
Tadm
k---2 m---1----2 m------1
75mm
�
--1
30mm250 mm 30 mm
__..j l-·.
� f.--
Problema 7.54
Ommelemento
consistecolados
em dois
canais [U] de plástico
A viga é composta por quatro tábuas pregadas. Se os 7.55.
com
12
de
espessura
em
A e B. Se a carga distri­
pre.g�s estiver�m de ambos os 3lados da viga e cada um puder buída tiver intensidade máxima w = 50 kN/m, determine
resistir a um c1salhamento de kN, determine a carga máxi­ tensão de cisalhamento máxima à ;ual a cola resiste.
ma P que pode ser aplicada à extremidade da viga.
Problema 7.52
7.53.
a
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 285
q = rt
Wo
�2 m-----*�--� 2 m----�
/
75 mm
Pt·oblema 7.55
7.5
Fl uxo d e cisa l h a m e nto em
elementos d e p a redes fi nas
Na seção anterior, desenvolvemos a equação do
fluxo de cisalhamento, q = VQ!I, e mostramos como
ela pode ser usada para determinar o fluxo de cisalha­
mento que age ao longo de qualquer plano longitudi­
nal de um elemento. Nesta seção, mostraremos como
aplicar essa equação para determinar a distrib uição do
fluxo de cisalhamento pela área da seção transversal
de um elemento. Aqui, consideraremos que o elemen­
to tem paredes finas, isto é, a espessura da parede é
pequena em comparação com a altura ou largura do
elemento. Como mostraremos na próxima seção, essa
análise tem importantes aplicações no projeto estrutu­
ral e mecânico.
Antes de determinar a distribuição do fluxo de ci­
salhamento em uma seção transversal, em primeiro
lugar mostraremos como o fluxo de cisalhamento está
relacionado com a tensão de cisalhamento. Para tal,
considere o segmento dx de uma viga com abas largas
na Figura 7.1 9a. Um diagrama de corpo livre de uma
porção da aba é mostrado na Figura 7.19b. A força dF
é desenvolvida ao longo da seção longitudinal sombrea­
da de modo a equilibrar as forças normais F e F + dF
criadas pelos momentos M e M + dM, respectivamen­
te. Visto que o segmento tem comprimento dx, então
0 fluxo de cisalhamento ou força por comprimento ao
longo da seção é = dF!dx. Como a parede da aba é
q
fi!w, a variação da tensão de cisalhamento r não va­
na muito ao longo da espessura t da seção; portanto,
consideraremos que ela é constante. Por consequência,
dF ==- r dA = r(t dx) = dx, ou
q
(7.7)
Esse mesmo resultado também pode ser determi­
nado comparando a equação do fluxo de cisalhamento,
q = VQ/I, com a fórmula do cisalhamento, r = VQ!It.
Como a tensão de cisalhamento, o fluxo de cisalha­
mento age em ambos os planos, longitudinal e trans­
versal. Por exemplo, se o elemento de canto no ponto
B na Figura7.19b for removido (Figura 7.19c), o fluxo
de cisalhamento age como mostrado na face lateral do
elemento. Embora a componente vertical transversal
do fluxo de cisalhamento exista, nós a desprezaremos
porque, como mostra a Figura 7.19d, essa componente,
assim como ocorre na tensão de cisalhamento, é apro­
ximadamente zero em toda a espessura do elemento.
Isso porque consideramos que as paredes são finas e
as superfícies superior e inferior do elemento estão li­
vres de tensão. Resumindo, somente será considerada
a componente do fluxo de cisalhamento que age para­
lelamente às paredes do elemento.
Por uma análise semelhante, isolar o segmento do
lado esquerdo na aba superior (Figura 7.19e) definirá
a direção correta do fluxo de cisalhamento no elemen­
to de canto C do segmento (Figura 7.19f). Mostre, por
esse método, que o fluxo de cisalhamento nos pontos
correspondentes B' e C' na aba inferior é dirigido
como mostra a Figura 7.19g.
Esse exemplo ilustra como a direção do fluxo de
cisalhamento pode ser definida em qualquer ponto da
seção transversal de uma viga. Agora, usando a fórmu­
la do fluxo de cisalhamento, q = VQ/I, mostraremos
como determinar a distribuição do fluxo de cisalha­
mento por toda a seção transversal. É de esperar que
essa fórmula dê resultados razoáveis para o fluxo de
cisalhamento já que, como afirmamos na Seção 7.3, a
precisão dessa equação melhora para elementos que
têm seções transversais retangulares finas. Contudo,
para qualquer aplicação, a força de cisalhamento V
deve agir ao longo de um eixo de simetria ou eixo prin­
cipal de inércia do centroide da seção transversal.
Começaremos determinando a distribuição do flu­
xo de císalhamento ao longo da aba superior direita da
viga T na Figura 7.20a. Para tal, considere o fluxo de ci­
salhamento q que age no elemento cinza-escuro loca­
lizado a uma distância arbitrária x da linha central da
seção transversal (Figura 7.20b). Esse fluxo é determi­
nado pela Equação 7.6 com Q = y'A' = [d/2](b/2 x)t.
Assim,
VQ
q= I =
V[d/2] ( ( b/2) - x)t
I
=
(2
Vt d !!__
2I
_
x\I (7.S)
;
Por inspeção, essa distribuição é linear e varia de
=
q O em X = b/2 a (qmá)aba = Vt db/4I em X = O. (A li­
mitação de x = O é possível aqui, visto que considera­
mos que o elemento tem "paredes finas" e, portanto, a
286 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
J
1
t
F� � �
��F+ dF
( a)
(b)
c
q
(f)
q'
é considerado nulo
ao longo da espessura
da ab a desde que as
extremidades da aba
estejam livres de tensão
considerado constante
ao longo da espessura
(d)
da aba
qé
( e)
( g)
Figura 7.19
espessura da alma é desprezada.) Devido à simetria,
uma análise semelhante produz a mesma distribui­
ção de fluxo de cisalhamento para as outras abas, de
modo que os resultados são como os mostrados na
Figura 7 .20d.
A força total desenvolvida nas porções esquerda
e direita de uma aba pode ser determinada por inte­
gração. Visto que a força no elemento cinza-escuro na
então
= q
Figura 7.20b é
dF dx,
F aba =
Vtdb2
)
(b
b/2Vtd
{
d
d
x
16f
x
J Jo
q
=
ll Z
-
X
=
Também podemos determinar esse resultado pelo
cálculo da área sob o triângulo na Figura 7.20d, visto
que q é uma distribuição de força/comprimento. Por
consequência,
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 287
l__
t
T
A
N
��dx12
A
N
(c)
(b)
Faba
Faba
Distribuição de fluxo de cisalhamento
(d)
Todas as quatro forças que agem nessas abas são
mostradas na Figura 7.20e, e, pela direção delas, pode­
mos ver que o equilíbrio da força horizontal na seção
transversal é mantido.
Uma análise semelhante pode ser realizada para a
alma (Figura 7.20c) . Nesse caso, temos Q = �y'A' =
[d/2](bt) + [y + (1/2)(d/2 - y)]t(d/2 - y) = bt d/2 +
(t/2)(d2/4 y2), de modo que
q=
( 2 _ i) ]
[
VQ Vt db 1 d
=
+
I
I 2 2 4
(7.9)
Para a alma, o fluxo de cisalhamento varia de
maneira parabólica ' de q = 2(q max) aba = Vt db/2I em
Y "' d/2 até um máximo q = (qmáx)alma = (Vt d/I)(b/2 + d/8)
em y
= O (Figura 7.20d) .
Para determinar a força na alma, Fa1ma, temos de integrar a Equação 7.9, isto é,
.
}j;lma=
==
df2 vt [ db + 1 ( d2 i) ] dy
1
J -d/2
Vt [ db
.:!:_ ( d2 y .:!:_ l ) ] l d/2
+
y
I
-d/2
J 2
q dy =
2
2
4
-
3
2 4
l F,mo
v
Faba
(e)
Figura 7.20
-
Faba
-
(
Vtd2
1
= 4I 2b + 3 d
)
É possível simplificar essa expressão observando
que o momento de inércia para a área da seção trans­
versal é
[
( )2] + 112_ td3
I = 2 1_ bt3 + bt !!_
2
12
Desprezando o primeiro termo, visto que a espessura de cada aba é pequena, obtemos
(
td2
1
I = 4 2b + 3 d
)
Substituindo na equação acima, vemos que Palma = V,
o que era esperado (Figura 7.20e) .
Pela análise precedente, três pontos importantes de­
vem ser observados. O primeiro é que o valor de q muda
na seção transversal, visto que Q será diferente para cada
segmento de área A' para o qual for determinado. Em
particular, q variará linearmente ao longo dos segmentos
( abas) perpendiculares à direção de V e parabolicamente
288
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ao longo de segmentos (alma) inclinados ou paralelos em
relação a V. O segundo é que q sempre age paralelamente
às paredes do elemento, visto que a seção na qual q é cal­
culado é tomada perpendicularmente às paredes. E o ter­
ceiro é que o sentido da direção de q é tal que o cisalha­
mento parece "fluir" pela seção transversal, para dentro
na aba superior da viga, "combinando-se" e, então, "fluin­
do" para baixo pela alma, uma vez que deve contribuir
para a força de cisalhamento V, e, então, separando-se
e "fluindo" para fora na aba inferior. Se conseguirmos
"visualizar" esse "fluxo", teremos um meio fácil para de­
finir não somente a direção de q, mas também a direção
correspondente de r. Outros exemplos da direção que q
toma ao longo de segmentos de elementos de paredes
finas são mostrados na Figura 7.21. Em todos os casos, a
simetria prevalece em torno de um eixo colinear com V;
o resultado é que q "flui" em uma direção tal que dará as
componentes necessárias da força vertical equivalentes
a V e ainda satisfará os requisitos do equilíbrio da força
horizontal para a seção transversal.
I
I
!v
I
I
� ,
I
�� -t= - ill
I
Fluxo de cisalhamento q
Figura 7.21
.. Se um elemento for composto por segmentos com paredes fli:t a , só o fluxo de Cisalha1Uentoparalelo às paredes
elemento é importante.
• O fluxo de cisalhamento varia linearmente ao longo de segmentos perpendiculares à direção do cisalhamento V.
s
• O fluxo de cisalhamento varia p arabolicam en te ao longo de seg1nentos inclinados ou parti!elos em relação à
do cisalhamento V.
• Na seção transversal, o cisalhamento "flui'' ao longo dos segmentos de modo que contribui p ara o cisalhamento
ainda, satisfaz o equilíbrio de força horizontal e vertical.
A viga-caixão de paredes finas na Figura 7.22a está su­
jeita a um cisalhamento de 10 kN. Determine a variação do
fluxo de cisalhamento em toda a seção transversal.
SOLUÇÃO
Por simetria, o eixo neutro passa pelo centro da seção trans­
versal. O momento de inércia é
1
1
I = -(6
12 mm)(8 mm)3 - -12 (4 mm)(6 mm)3 = 184 mm4
Só o fluxo de cisalhamento nos pontos B, C e D deve ser
determinado. Para o ponto B, a área A ' O (Figura 7.22b),
visto que podemos considerar que ela está localizada intei­
ramente no ponto B. Como alternativa, A' também podere­
presentar toda a área da seção transversal, caso em que Qn =
y 'A' = O, uma vez que y' = O. Como Qn = O, então
qB = 0
Para o ponto C, a área A ' é a sombreada escura na Figura
7.C2está
2c. Aqui,
médias,Temos
visto que o ponto
na linhausamos
centralas dedimensões
cada segmento.
Qc = y'A ' = (3,5 cm)(5 cm)(1 cm) = 17,5 cm3
=
Assim,
= 0,951 kN/cm = 95,1 N/mm
O fluxo de cisalhamento em D é calculado pelos três
tângulos sombreados, mostrados na Figura 7.22d. Temos
Qn = 2:y'A ' = 2[2 cm](1 cm)(4 cm)
- [3,5 cm](4 cm)(1 cm) = 30 cm3
Portanto,
VQD
10 N(30 cm3 /2) = 1'63 kN/cm = 163 N/Jlll
=
qD =
I
184 cm4
transvadaersal.
seção
da
esses
simetria
a
e
Com
resultados
a distribuição do fluxo de cisalhamento é represent
rpaaro alo�bog�h·
Figura
linea
7.
2
2e.
Como
esperado,
a
distribuição
é
dos segmentos horizontais (perpendiculares a V) e
ca ao longo dos segmentos verticais (paralelos a V).
re­
011
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 289
*7 . 6
p a ra seções tra n sve rsa is
N
a b e rtas
( a)
1.
N
I
.
·
..
Centro d e dsa l ha m e nto
A'
L
llll
(b)
I
A
l lmf--5 cm--!
N
11 I IY
.
·
·
1Tcm f--4(c)cm--j
·· . .
.
.
TL .
_
.
·
.
·
.
.
.
.
cm
A
.· 4 cm
_i
· .
.
.
.
.
N
=
(e )
(d)
Na seção anterior, consideramos que o cisalhamen­
to interno V era aplicado ao longo de um eixo princi­
pal de inércia do centroide que também representa um
eixo de simetria para a seção transversal. Nesta seção,
consideraremos o efeito da aplicação do cisalhamento
ao longo de um eixo principal do centroide que não é
um eixo de simetria para uma seção transversal aber­
ta. Como antes, só analisaremos elementos com pare­
des finas, portanto, usaremos as dimensões até a linha
central das paredes dos elementos. Um exemplo típico
desse caso é a seção do perfil em U (canal) mostrada
na Figura 7.23a, que tem uma extremidade engastada
e a outra em balanço e é submetida a uma força P . Se
essa força for aplicada ao longo do eixo anteriormen­
te vertical e assimétrico que passa pelo centroide C da
área da seção transversal, o perfil não somente se cur­
vará para baixo, mas também será torcido em sentido
horário, como mostra a figura.
Para entender por que o elemento sofre torção, é
preciso estudar a distribuição do fluxo de cisalhamen­
to ao longo das abas e da alma do perfil em questão
(Figura 7.23b ). Quando essa distribuição é integrada
ao longo das áreas da aba e da alma, dará forças re­
sultantes Faba em cada aba e uma força V P na alma
Figma 7.22
p
Distribuição do fluxo de cisalhamento
(b)
(a)
Faba
p
V=
(c)
(e )
(d)
Figura 7.23
290
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(Figura 7 .23c). Se os momentos dessas forças forem so­
mados ao redor do ponto A, podemos ver que o conju­
gado ou torque criado pelas forças na aba é responsá­
vel pela torção do elemento. A torção verdadeira é no
sentido horário quando vista da frente da viga, como
mostra a Figura 7.23a, já que as forças de reação de
"equilíbrio" interno Faba provocam a torção. Portanto,
para impedir essa torção, é necessário aplicar P a um
ponto O localizado à distância e da alma do perfil (Fi­
gura 7.23d). Exige-se !.MA = Fabad = Pe ou
menta na alma e nas abas para esse caso é simétrico e
portanto, as forças resultantes nesses elementos cria�
rão momentos nulos em torno de A (Figura 7.24b). É
óbvio que, se um elemento tiver uma seção com dois
eixos de simetria, como no caso de uma viga de abas
largas, o centro de cisalhamento coincidirá com a in­
terseção desses eixos (o centroide).
F,.bad
e = -p
Pelo método discutido na Seção 7.5, F.,ba pode ser
avaliada em termos de P ( = V) e das dimensões das
abas e da alma. Isso feito, então, P será cancelada após
a substituição na equação acima, o que possibilitará
expressar e simplesmente em função da geometria da
seção transversal e não em função de P ou de sua loca­
lização ao longo do comprimento da viga (ver Exemplo
7.9). O ponto O assim localizado é denominado centro
de cisalhamento ou centro de flexão. Quando P é aplica­
da no centro de cisalhamento, a viga sofrerá flexão sem
torção, como mostra a Figura 7.23e. Os manuais de pro­
jeto costumam apresentar listas com a localização desse
ponto para vários tipos de vigas com seções transversais
de paredes finas comumente utilizadas na prática.
Ao fazermos essa análise, devemos observar que o
centi·o de cisalhamento sempre estará localizado sobre
um eixo de simetria da área da seção transversal de um
elemento. Por exemplo, se girarmos de 90° o perfil na
Figura 7.23a e P for aplicada em A (Figura 7.24a), não
ocorrerá nenhuma torção, visto que o fluxo de cisalha-
v =f
n
v =f
=
(b)
Figura 7.24
é o ponto no qual se pode aplicar uma força que causará a deflexão de uma viga sem pro­
vocar torção.
• O centro de cisalhamento sempre estará localizado em um eixo de simetria da seção transversal.
• A localização do centro de cisalhamento é função apenas da geometria da seção transversal e n ão depende do
regamento aplicado.
• O centro de cisalhamento
A localização do centro de cisalhamento para um elemento de paredes finas no qual o cisalhamento interno está
na mesma direção de um eixo principal do centroide para a seção transversal pode ser determinado pelo procedimen­
to descrito a se guir.
Resultantes do fluxo de cisalhamento
" Determine a d ireç ão do fluxo de cisalhamento em vários segmentos da seção transversal, faça um rascunho das
forças resultantes em cada segmento da seção transversal. (Por exemplo, vej a a Figura 7.23c.) Visto que o centro de
cisalhamento é determinado p elo cálculo dos momentos dessas forças resultantes em tomo de um ponto (A), esco­
lha esse ponto em uma localização que elimine os momentos do maior número possível de forças resultantes.
p,
I'<
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 291
a o nt
a a s
o
s
n
t
na
alham
n
no
esse a longo o nt
a o
o
a
o
i a ha n s n o
g nt
a
iguale esse momento ao mo­
., S ome os momentos das resultantes do fluxo de cisalhamento em torno do ponto
de em torno de A. A resolução dessa equação permite-nos determinar a distância do braç do momento
a linha de ação de em relação a
locs aliza
a seção ransversxa o centro isa amento encontra-se no ponto onde esse eixo
eixo de simetriadeparaContudo,
iprauma linha
se não e ixtir nenhum eixo de simetria, gire a s ão transversal de
de ação
inter
de
linha
ação para ntão o centro de cisalhamento encontra-se no ponto de
para
obter
outra
processo
a
o
repi
90°.
linhas
a
duas
das
o
ã
ç
se
t
in
O s valores das forças resultantes que cri m um m me o em torno de A devem ser c lcul do . Para qualquer seg­
e to q em um p nto arbitrário
segmento
cálculo c rre po de à de ermi ção do fluxo de cis
mento,
r
c
ri
fluxo de
V
uma
do
c
mprime
o
do
segmento.
Observe
que
variação
linear
d
á
q
o
de
ação
tegr
e à in
V
o
s
perpendiculares
d
e
uma
variação
parabólica
fluxo
de
c
s
l
me
t
o
em
e
g
me t s
em se me
ento
am
alh
cis
paralelos ou inclinados em relação V.
Centro de cisa lham ento
mento
que
A
V
V
., Se exi t
ce t
A.
t
V.
t
l,
de c
V. E
er
e�BI'll�����i��:�:
-
e
o
e,
lh
eç
,
90°
e
Centro de cisalhamento. Somando-se os momentos em
torno do ponto A (Figura 7.25c), exige-se que
""
07!= )0�12>0;&"' "'cd
do centro de cisalhamento
paraDetermine
o perfil ema Ulocalização
de paredes finas cujas dimensões são
Vb2h
Ve = F.bah =
mostradas na Figura 7.25a.
2h[(h/6) + b]
SOLUÇÃO
Assim,
Resultantes do fluxo de cisalhamento. Um cisalhamen­
o fluxo
à seção provoca
vertical para baixoabas aplicado
na Figura 7.25b,deo
e alma mostrado
amentoaspelasforças resultantes
citoquesalhprovoca
ta
e = [(h/3)b2+ 2b]
Faba e V nas abas e alma,
como mostra a Figura 7.25c. Os momentos serão calculados
em torno do ponto A porque, assim, teremos de determinar Como afirmamos antes, e depende somente da geometria
apenas a força Faba na aba inferior.
da seção transversal.
A área da seção transversal pode ser dividida em três
- uma alma e duas abas. Visto
componentes
retângulares
que consideramos
que cada componente
é fino, o momento
de inércia da área em torno do eixo neutro é
th2 ( h + b )
I = 121 th3 + 2 [ bt(zh )2] = 2
6
Pela Figura 7.25d, q na posição arbitrária x é
0;:i,S
=""
JP,;ii ;;c ,'iií8)
V
V(h/2) [b - x]t
I (th2j2)[(h/6) + b]
consequência, a força Faba é
VQ
q=-=
Por
-----
F;b, ==
{b
V(b - x )
h[(h/6) b]
+
Distribuição do fluxo de cisalhamento
(b)
(a)
V
+ b]
lbq dx = h[( h/6)V + b] Jo (b - x) dx = 2h[(h/6)
o
bz
Esse mesmo resultado também pode ser encontrado deter­
(qmáx)aba (Figura 7.25b) e, en­
em primeiro lugar,triangular
tU:aion,adetndo-se,
112 b(qmáJaba = Faba'
erminando-se
a área
R espos
(c)
Figma 7.25
292
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O; portanto, esse ponto deve ser o centro de cisalha­
o pontovisto
que a soma dos momentos dessas forças e em
Determine a localização do centro de cisalhamento para torno de O é zero (Figura 7.26c).
cantoneira
de abas iguaisinterna
(Figuraresultante
7.26a). Calcule
de F pode ser encontrado determinando, em pri­
aa força
de cisalhamento
em cadatambém
aba. meiroO valor
lugar,
cisalhamento
rias ao longoodafluxoabadesuperior
(Figurana7.2localização
6d). Aqui, arbitrá­
mento
V
SOLUÇÃO
Quando uma força de cisalhamento vertical para baixo é
aplicada à seção, as direções do fluxo de cisalhamento e das
resultantes do fluxo de cisalhamento são as mostradas nas
figuras 7.26b e 7.26c, respectivamente. Observe que a força
F em cada aba deve ser igual, visto que, para equilíbrio, a
soma de suas componentes horizontais deve ser igual a zero.
Além disso, as linhas de ação de ambas as forças interceptam
V
O momento de inércia da cantoneira, calculado em torno
do eixo neutro, deve ser determinado pelos "princípios fun­
damentais", visto que as abas estão inclinadas temds relação
ao eixo neutro. Para o elemento de área dA = (Figura
7.26e), temos
Assim, o fluxo de cisalhamento é
Distribuição do fluxo de cisalhamento
(a)
(b)
J
v m á­
v
o .
A variação de q é parabólica e atinge um alor
ximo quando s = b, como mostra a Figura 7 .26b. A for­
ça F é, portanto,
(c)
(d)
Esse resultado pode ser facilmente verifi­
cado,
pois
a
soma
das componentes
verticais daantes,
forçaa sorna
cada aba deve ser igual
a V e, como afirmamos
das componentes horizontais é nula.
OBSERVAÇÃO:
F em
( e)
Figma 7.26
. Uma força de c1salhamento
.
e, aplicada
V = 18dekNc1'salha
,
ment
Determme o fiuxo
aemA
v1ga-cmxao
s1metnca.
eB.
"7.56.
,
·
·
·
·
·
°
7,(
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 293
cisalhamento V = 150 N, determine o fluxo de cisalhamento
A força de cisalhamento V = 18 kN é aplicada à viga- nos
pontos A e B .
7.62. A escora de alumínio tem 10 mm de espessura e a
seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um
cisalhamento V = 150 N, determine o fluxo de cisalhamento
máximo na escora.
· o· Determine o fluxo de cisalhamento em C.
5
7 7
' · a�
-can<
lOmmj
30mm�
lO mm�
lOOmm
k
Problemas 7.61162
Problemas 7.56/57
7.63. A cantoneira está sujeita a um cisalhamento V= 10 kN.
O perfil em U é submetido a um cisalhamento V= 75 kN. Faça
um rascunho da distribuição do fluxo de cisalhamento
Determine o fluxo de cisalhamento desenvolvido no ponto A. ao longo
da aba AB. Indique valores numéricos em todos
O
perfil
em
U
é
submetido
a
um
cisalhamento
V=
75
kN.
os
picos.
Determine o fluxo de cisalhamento máximo no perfil.
7.58.
7.59.
A- 30mm
200mm
/
r 30mm
�
Problemas 7.58/59
A viga suporta um cisalhamento vertical V = 35 kN.
Determine
da viga. a força resultante desenvolvida no segmento AB
Problema 7.63
*7.64. A viga está sujeita a uma força de cisalhamento V= 25 kN.
Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B.
7.65. A viga é composta por quatro chapas e está sujeita a
uma força de cisalhamento V = 25 kN. Determine o fluxo de
cisalhamento máximo na seção transversal.
'7.60.
��1l m42 mm
j 125 mm
�
k----+--->�:T'='"""'
v
Pt·oblema 7.60
T
�L
A escora de alumínio tem 10 de espessura e a
seção tran
sversal mostrada na figura. Se for submetida a um
7.61.
mm
Problemas 7.64/65
294
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
7.66. A força de cisalhamento V = 18 kN é aplicada à viga­
-mestra-caixão. Determine a posição d das chapas de reforço
BE e FG de modo que o fluxo de cisalhamento em A seja
duas
vezes maior
do quecentral
o fluxoparadeocisalhamento
B. Use
as dimensões
da linha
cálculo. Todasemas chapas
têm 10 mm de espessura.
Problema 7.69
Determine a localização do centro de cisalha
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem ameseçãntoo
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento
têm a mesma espessura t.
7.70.
e
Problema 7.66
está sujeito
força de cisalhamento
V = 40OkN.tuboDetermine
o fluxoa deumacisalhamento
no tubo nos
pontos A e B.
7.67.
Problema 7.70
Determine a localização do centro de cisalhamento
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento
têm a mesma espessura t.
7.71.
e
Problema 7.67
Determine a localização do centro de cisalhamen­
to (ponto O) para o elemento de paredes finas com a seção
transversal mostrada na figura, onde b2 b1• Os segmentos
do elemento têm a mesma espessura t.
*7.68.
e
>
Problema 7.71
Determine a localização do centro de cisalhamento
(ponto
O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal
mostrada na figura. Os segmentos do elemento
têm a mesma espessura t.
7.72.
e
Problema 7.68
Determine a localização do centro de cisalhamento
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento
têm a mesma espessura t.
7.69.
e
Problema 7.72
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 295
ermine a localização do centro de cisalhamento
1·�n�o Det
O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
a na figura. Os segmentos do elemento
ostradssura
ransv sal m
t(Jl
espe
a
a mesm
e
3
er
t.
Problema 7.76
a localização do centro de cisalhamento
(pontoDetermine
O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal mostrada na figura.
7.77.
e
Problema 7.73
a localização do centro dequecisalhamento
Determine
finas tem a seção
de paredes
elemento
o
para
t
O)
(poransvn oersal mostrada na figura.
segmentos
Os
do elemento
ttêm a mesma espessura
7.74.
e
O•
t.
a ..,. •.·
.
�
..�..
a
.
d)
�
e
/
Problema 7.77
Se a cantoneira tiver espessura de 3 mm, altura
= 100 mm e for submetida a um cisalhamento V = 50 N,
determine o fluxo de cisalhamento no ponto A e o fluxo de
cisalhamento máximo na cantoneira.
7.79.
cantoneira está sujeita a um cisalhamento V = 10
kN.
Faça
um rascunho da distribuição do fluxo de cisalha­
Problema 7.74
mento ao longo da aba AB. Indique os valores numéricos
em todos os picos. A espessura é 6 e as abas (AB) têm
Determine
a
localização
do
centro
de
cisalhamento
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem uma 125
fenda ao longo de sua lateral.
7.78.
h
A
'1.15.
e
f-lüü mm�
mm ,
mm .
I
-+
lüü mm
f-e-
0 .,....___
L::=::::
= :::.J _j_
lüü mm
Problemas 7.78/79
*7.80. Determine a posição para a aplicação da força P
de
modo que a viga sofra deflexão para baixo sem torção.
Problema 7.75
Considere = 200
'7.76. Determine a localização do centro de cisalhamento
força P é aplicada à alma da viga como mostra a
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem uma 7.81.
figura.
Se
mm, determine a altura h da aba direita
fenconda ao longo de sua lateral. Cada elemento tem espessura de modo que=a250
viga
sofratêmdeflexão
paraespessura
baixo sem torção. Os
stante
segmentos do elemento
a mesma
e
h
e
t.
A
mm.
e
t.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
296
p
Problema 7.82
Determine a localização do centro de cisalhamento
(ponto O) para o tubo que tem uma fenda ao longo de seu
comprimento.
7.83.
e
Problemas 7.80/81
Determine a localização do centro de cisalhamento
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal mostrada na figura.
7.82.
e
Problema 7.83
cisalhamento transversal
emtensão determinada
p l fórmula da flexão eindiretamente
pela relação
momento cisalhamento (V =
dM/dx). resultado a fórmula do
cisalhamento
A
de
vigas é
ea
entre
e
é
O
r =
VQ
--
T
Em particular, o valor para Q é o mo­
It
eixo
emporção
torno da área
o
da seção
"que
da espessura t
uma
viga
o d
mento da área A'
neutr
.
transversal
nd e r
do
Essa área é a
é mantida"
acima
em
eve
Área = A'
ser determinada.
A
CisALHAMENTO TRANSVERSAL 297
ersal retan­
a vigaa distribuição transv
da tensão de ci­á
atingir
to imo no eixo neutro.
=a!hamenmáx
valor
tiver seção
ular,
será parabólica
e
Tmáx
Distribuição da tensão de cisalhamento
colas ou soldas
entos de fixação,
Elem
se­
partes dapor
ligar ascomposta
usade dosumaparaestrutura
são
ção elementos. resistência desses
váriosntos de fixação é determinada
elemefluxo
cisalhamento, ou que
for­
a e de comprimento,
ça s runisustentado
pela viga.
deve
A
de
pelo
A
q,
d d
por
e
q =
VQ
-
I
uma viga tiver seção
de
ar des finas, então o fluxo de cisalha­
mento que passa pela seção transver­
sal ode á ser determinado
transversal
Se
p e
p
r
q =
por
VQ
­
I
O fluxo de cisalhamento varia linear­
mente
longo de segmentos
zontais aoparabolicamente
ao longohori­de
segmentos inclinados ou verticais.
e
Contanto que a distribuição da tensão
em cada elemento de
umacisalhament
seção de oparedes
seja co­
finascentro
a
localização
cisalhamento para a seção transversalde
nada pelo equilí­
poderá
ser determiQuando
brio
de
momentos.
aplicada ao elemento passaruma carga
esse
ponto, o
sofrerá
mas
não torção.
de
nhecida,
O do
elemento
por
flexão,
v
Distribuição do fluxo de cisalhamento
298
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
está sujeito a uma força de cisalha
'7.84.
viga é composta por quatro tábuas pregadas como *7.88. = O2 elemento
kN. Determine o fluxo de cisalhamento máximemon­
mostra a figura. Determine a força de cisalhamento à qual noto Velemento.
Todos os segmentos da seção transversal têm
cada prego ao longo dos lados e da parte superior D deve 15 mm de espessura.
resistir
se
estiverem
uniformemente
espaçados
de
s = 75
viga está sujeita a um cisalhamento V = 22,5 kN.
A
C
mm .
A
lOOmm
25 mrn
75 mrn
-r­
__L___
Problema 7.88
viga é composta por três chapas finas soldadas,
como
mostra
a figura. Se for submetida a um cisalhamento
Problema 7.84
V = 48 kN, determine o fluxo de cisalhamento nos pontos
7.85.
viga é composta por quatro tábuas coladas ao longo Ana eviga.B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima
das linhas de junção. Se a cola puder resistir a 15 kN/m, qual é
o cisalhamento vertical máximo V que a viga pode suportar?
7.86. Resolva o Problema 7. 8 5 se a viga sofrer uma rotação
de 90° em relação à posição mostrada na figura.
7.89.
A
A
Problema 7.89
Uma chapa de aço com espessura 6 mm é dobrada
para formar a seção de paredes finas mostrada na figura. Se
7.87. O elemento está sujeito a uma força de cisalhamento for submetida a uma força de cisalhamento V = 1,25 kN, de­
V = 2 kN. Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A, B termine a tensão de cisalhamento nos pontos A e nd e
os resultados nos elementos de volume localizados nesses
e espessura de cada segmento de paredes finas é 15 mm. pontos.
Problemas 7.85/86
7.90.
C. I
iqu
C. A
LI 'I1
50;:-m ·
v
l___
Problema 7.87
iJ7l/
�
� íc
l somm 50 mm
!
I
I
Problema 7.90
..�
CtSALHAMENTO TRANSVERSAL 299
aço de espessura
6 mm é dobrada para 7.93. Faça um rascunho da intensidade da distribuição da
umaseçchaãopadedeparedes
finas
mostrada
na figura. Se for tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal
.
formmaetiada a uma força de c1salhamento
V = 1,25 kN, deter- da viga e determine a força de cisalhamento resultante que
age no segmento AB. O cisalhamento que age na seção é
m1ne a tensão de cisalhamento no ponto B.
V = 175 kN. Mostre que !NA = 340,82(106) mm4•
91
"/.
'
s u.b
r
lso mm
Problema 7.91
Determine a localização e do centro de cisalhamento
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção
transversal mostrada na figura.
'7,92.
o
f-- e
Problema 7.93
Problema 7.92
Ca rgas com bi nadas
OBJ ETIVOS DO CAPÍTULO
Este capítu l o serve como revisão da a n á l ise de tensão q u e foi d esenvolvida n os ca pítulos a nteri o res referen­
tes a carg a axi a l , torção/ flexão e cisa l h a mento. D iscutirem os a so l ução de pro b l e m a s nos q u a is várias dessas
cargas ocorrem s i m u lta n e a mente sobre a seção transversa l de um e l e m e nto. Entretanto, a ntes d isso, o capí­
tulo começa com u m a a n á l ise da tensão desenvo lvida em vasos de pressão de p a redes fi nas.
8.1
Vasos d e p ressão d e
p a redes fin as
Vasos cilíndricos ou esféricos são muito usados na
indústria como caldeiras, tanques ou reservatórios.
Quando estão sob pressão, o material de que são feitos
é submetido a cargas em todas as direções. Mesmo que
seja esse o caso, o vaso de pressão pode ser analisado
de uma maneira mais simples, contanto que tenha pa­
redes finas. Em geral, "paredes finas" refere-se a um
vaso para o qual a relação raio interno-espessura da
parede tem valor igual ou superior a 10 (rlt � 10). Es­
pecificamente, quando r/t = 10, os resultados de uma
análise de parede fina preverão uma tensão aproxima­
damente 4 % menor que a tensão máxima real no vaso.
Para relações maiores, esse erro será até menor.
Quando a parede do vaso é "fina," a variação da dis­
tribuição de tensão pela sua espessura não será signifi­
cativa, portanto consideraremos que ela é uniforme ou
constante. Adotada essa premissa, analisaremos, agora, o
estado de tensão em vasos de pressão de paredes finas ci­
líndricos e esféricos. Em ambos os casos, entende-se que
a pressão no vaso é a pressão manométrica, visto que ela
mede a pressão acima da pressão atmosférica que consi­
deramos existir dentro e fora da parede do vaso.
Vaso cilín d ri cos.
Considere o vaso cilíndrico
com parede de espessura t e raio interno r como mostra
a Figura 8.1a. A pressão manométrica p é desenvolvida
no interior do vaso por um gás ou fluido nele contido,
cujo peso consideramos insignificante. Devido à uni­
formidade dessa carga, um elemento do vaso que este­
ja afastado o suficiente das extremidades e orientado
como mostra a figura é submetido a tensões normais
(J' 1 na direção circunferencial ou do aro e (J'2 no sentido
longitudinal ou axial. Ambas essas componentes da
tensão exercem tração sobre o material. Queremos de­
terminar o valor de cada uma dessas componentes em
termos da geometria do vaso e de sua pressão interna.
Para isto, temos de usar o método das seções e aplicar
as equações de equilíbrio de força.
Para a tensão circunferencial (ou de aro), considere
que o vaso é secionado pelos planos a, b e c. Um dia­
grama de corpo livre do segmento posterior juntamen­
te com o gás ou fluido contido no vaso é mostrado na
Figura 8.1b. Aqui são mostradas apenas as cargas na
direção x . Elas são desenvolvidas pela tensão circunfe­
rencial uniforme (J'1 que age em toda a parede do vaso
e pela pressão que age na face vertical do gás ou fluido
secionado. Para equilíbrio na direção x, exige-se
y
\
c
li
(a)
I
li
11
O"J
(c)
(b)
Figura 8.1
CARGAS COMBINADAS 301
2[lTlt dy)]
llT1 �r �
-
p (2r dy)
=O
(8.1)
=
Para obter a tensão longitudin al lT2 , consideraremos
da seção b do cilindro (Figura 8.1a).
a porção esquerda
a Figura 8.1c, lT2 age uniformemente em
C nlD mostra
e, e p age na seção do gás ou fluido. Visto
t a a p ared
0 0 raio médio é aproximadamente igual ao raio in­
o equilíbrio na direção y requer
t erno do vaso,
�
t'
�
�
(8.2)
Nessas equações,
tensão normal nas direções circunferencial
lT
2 e longitudinal, respectivamente. Conside­
ramos que cada uma delas é constante em
toda a parede do cilindro e que cada uma
submete o material à tração
=
p pressão manométrica interna desenvolvi­
da pelo gás ou fluido
r = raio interno do cilindro
t = espessura da parede (rlt � 10)
lT
�
�
'S.Fy = O '·
=
Comparando as equações 8.1 e 8.2, devemos obser­
var que a tensão circunferencial ou de aro é duas vezes
maior do que a tensão longitudinal ou axial. Por con­
sequê cia, quando vasos de pressão cilíndricos são fa­
n
bricados com chapas laminadas, as juntas longitudinais
d evem ser projetadas para suportar duas vezes mais
tensão do que as juntas circunferenciais.
Vasos esféricos.
Podemos analisar um vaso de
pressão esférico de maneira semelhante. Por exemplo,
considere que o vaso tem espessura de parede t e raio
intern o r e que está sujeito a uma pressão manomé­
tríca interna p (Figura 8.2a). Se o vaso for secionado
pela metade usando a seção a, o diagrama de corpo
livre resultante é o mostrado na Figura 8.2b. Como
no vaso cilíndrico, o equilíbrio na direção y requer
(8.3)
Por comparação, esse é o mesmo resultado obtido para
a tensão longitudinal no vaso de pressão cilíndrico. Além
do mais, pela análise, essa tensão será a mesma indepen­
dentemente da orientação do diagrama de corpo livre
hemisférico. Por consequência, um elemento do material
está sujeito ao estado de tensão mostrado na Figura 8.2a.
Essa análise indica que um elemento de material
tomado de um vaso de pressão cilíndrico ou esférico
está sujeito à tensão biaxial, isto é, tensão normal exis­
tente em duas direções apenas. Na verdade, o material
do vaso também está sujeito a uma tensão radial, lT3,
que age ao longo de uma linha radial. Essa tensão tem
um valor máximo igual à pressão p na parede interna e
diminui até zero à medida que atravessa a parede e al­
cança a superfície externa do vaso, visto que a pressão
manométrica nesse lugar é nula. Entretanto, para vasos
de paredes finas, ignoraremos a componente da tensão
radial, uma vez que a premissa limitadora que adota­
mos, rlt = 10, resulta em lT e lT1 como sendo, respecti­
2
vamente, 5 e 10 vezes mais altas do que a tensão radial
máxima, (lT3) máx = p. Por último, entenda que as fórmu­
las que acabamos de deduzir só devem ser usadas para
vasos sujeitos a uma pressão manométrica interna. Se
o vaso estiver suj eito a uma pressão externa, a tensão
de compressão desenvolvida no interior da parede fina
pode tornar o vaso instável e sujeito a falhas.
Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de
1,2 m e espessura de 12 mm. Determine a pressão interna
máxima que ele pode suportar de modo que nem a compo­
nente de tensão circunferencial nem a de tensão longitudi­
nal ultrapasse 140 MPa. Sob as mesmas condições, qual é a
pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho
semelhante pode sustentar?
SOLUÇÃO
A tensão máxima ocorre na
direção circunferencial. Pela Equação 8.1, temos
mm)
140 N/mmz p(600
12 mm
p 2,8 N/mm2
Resposta
Vaso de pressão cilíndrico.
=
=
y
Observe que, quando essa pressão é alcançada, a Equa­
ção 8.2 mostra que a tensão na direção longitudinal será
u2 1/2 (140 MPa) 70 MPa. Além do mais, a tensão máxi­
ma na direção radial ocorre no material da parede interna do
vaso e é (u3)máx p 2,8 MPa. Esse valor é 50 vezes menor
que a tensão circunferencial (140 MPa) e, como afirmamos
antes, seus efeitos serão desprezados.
=
(a)
(b)
Figura 8.2
=
=
=
302
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Aqui, a tensão máxima ocorre em qualquer 8.5. O tubo de extremidade aberta tem parede de espes­
das duas direções perpendiculares em um elemento do vaso sura 2 mm e diâmetro interno 40 mm. Calcule a pressão que
(Figura 8.2a). Pela Equação 8.3, temos
o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a
ruptura mostrada na figura. A tensão máxima que o material
pode suportar na temperatura de congelamento é '" 360
(600 mm)
140 N/mm2 = p2(12
MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno �lemen­
mm)
to de material imediatamente antes de o tubo falhar.
p 5,6 N/mm2
Resposta
Vaso esférico.
a
.
=
=
Embora seja mais difícil de fabricar, o vaso
de pressão esférico suportará duas vezes mais pressão do
que um vaso cilíndrico.
OBSERVAÇÃO:
lll R�Eme��tii
""' �"' �w
=
�'""';::"" 'A�;"""= :; A ''+?""' ;q;;'Y "''S'«
"'
�
_ �
"'
�
'"'
- "
2s "'0,
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tid(!Z.<1ifc-Yfi "'J'1S7';:::r""7
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� "' c� �J;ff"'E � ��"" _""
_
-
_
=
'
""
�-"' '" �
Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m.
Se for submetido a uma pressão interna p 300 kPa, deter­
mine a espessura exigida para que a tensão normal máxima
não ultrapasse 12 MPa.
8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado
com aço de 12 mm de espessura. Se for submetido a uma
pressão interna p = 1,4 MPa, determine seu raio externo
para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa.
8.3. A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilin­
dro de parede fina. Determine o estado de tensão na parede
do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar
uma pressão interna de 0,5 MPa.A parede tem espessura de
6 mm, e o diâmetro interno do cilindro é 200 mm.
8.1.
Problema 8.5
8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de poli­
vinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm.
Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, deter­
mine o estado de tensão nas paredes do tubo.
=
Problema 8.6
Se o fluxo de água no interior do tubo do Problema
8.6 for interrompido devido ao fechamento de uma válvula,
determine o estado de tensão nas paredes do tubo. Despreze
o peso da água. Considere que os apoios exercem somente
forças verticais sobre o tubo.
8.7.
Problema 8.7
A cinta de aço A-36 tem 50 mm de largura e está presa
ao redor do cilindro rígido liso. Se os parafusos forem aper­
tados de modo que a tração neles seja 2 kN, determine a ten­
são normal na cinta, a pressão exercida sobre cilindro e a
distância até onde metade da cinta estica.
*8.8.
( a)
(b)
P1·oblema 8.3
*8.4. O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão
interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm
e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da
tensão que agem no ponto A. Desenhe um elemento de volume
do material nesse ponto e mostre os resultados no elemento.
o
Problema 8.8
Problema 8.4
8.9. Inicialmente, a cinta de aço inoxidável 304 está per­
feitamente ajustada em torno do cilindro rígido liso. Sear
ela for submetida a uma queda de temperatura não lí.ne a
!J.. T = 12 sen2 ooc, onde (! é dado em radianos, deterrmne
tensão circunferencial na cinta.
CARGAS COMBINADAS 303
*8.12. Uma caldeira é feita de chapas de aço de 8 mm de
espessura ligadas nas extremidades por uma junta de topo
que consiste em duas chapas de cobertura de 8 mm e rebites
com diâmetro de 10 mm e espaçados de 50 mm, como mostra
a figura. Se a pressão do vapor no interior da caldeira for
1,35 MPa, determine: (a) a tensão circunferencial na chapa
da caldeira separada da costura, (b) a tensão circunferencial
na chapa de cobertura externa ao longo da linha de rebites
a-a e (c) a tensão de cisalhamento nos rebites.
Problema 8.9
O barril está cheio de água, até em cima. Determine
a distância s entre o aro superior e o aro inferior de modo
que a força de tração em cada aro seja a mesma. Determine
também a força em cada aro. O barril tem diâmetro interno
de 1,2 m. Despreze a espessura da parede. Considere que
somente os aros resistem à pressão da água. Observação: A
água desenvolve pressão no barril de acordo com a lei de
Pascal,p = (900z) Pa, onde z é a profundidade da água em
relação à superfície, medida em metros.
a
8 .10.
Problema 8.12
8.13. O anel cujas dimensões são mostradas na figura é co­
locado sobre uma membrana flexível bombeada com uma
pressão p. Determine a mudança no raio interno do anel
após a aplicação dessa pressão. O módulo de elasticidade
para o anel é R.
Problema 8.13
Problema 8.10
Um tubo de madeira com diâmetro interno de 0,9 m é
atado com aros de aço cuja área de seção transversal é 125 mm2•
Se a tensão admissível para os aros for u = 84 MPa, deter­
mine o espaçamento máximo s dos aros ;omlongo da seção do
tubo de modo que este possa resistir a uma pressão mano­
métrica interna de 28 kPa. Considere que cada aro suporta a
pressão do carregamento que age ao longo do comprimento
s do tubo.
8.11.
d
Problema 8.11
8.14. Um vaso de pressão com extremidades fechadas é fa­
bricado com filamentos de vidro trançados sobre um mandril
de modo que, no final, a espessura da parede t do vaso é com­
posta inteiramente de filamento e adesivo epóxi, como mostra
a figura. Considere um segmento do vaso de largura w trança­
do a um ângulo fJ. Se o vaso for submetido a uma pressão in­
terna p, mostre que a força no segmento é FfJ = u0wt, onde u0
é a tensão nos filamentos. Além disso, mostre que as tensões
nas direções circunferencial e longitudinal são u, = u0 sen2 fJ e
u1 = u0 cos2 O, respectivamente. A que ângulo fJ (ângulo de tran­
çamento ótimo) os filamentos teriam de ser trançados para ob­
terem-se tensões circunferencial e longitudinal equivalentes?
Pt·oblema 8.14
304 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
8.2
Esta d o d e tensão ca usado
p o r ca rg a s co m b i n a d a s
Nos capítulos anteriores, desenvolvemos méto­
dos para determinar as distribuições de tensão em
um elemento submetido a uma força axial interna, a
uma força de cisalhamento, a um momento fletor ou
a um momento de torção. Entretanto, na maioria das
vezes, a seção transversal de um elemento está sujeita
a vários desses tipos de cargas simultaneamente, e o re­
sultado é que o método da superposição, se aplicável,
pode ser usado para determinar a distribuição da ten­
são resultante provocada pelas cargas. Para aplicar a
superposição, em primeiro lugar, é preciso determinar
a distribuição de tensão devido a cada carga e, então,
essas distribuições são superpostas para determinar a
distribuição de tensão resultante. Como afirmamos na
Seção 4.3, o princípio da superposição pode ser usado
para essa finalidade contanto que exista uma relação
linear entre a tensão e as cargas. Além disso, a geom e­
tria do elemento não deve sofrer mudança significativa
quando as cargas são aplicadas. Isso é necessário para
assegurar que a tensão produzida por uma carga não
esteja relacionada com a tensão produzida por qual­
quer outra carga. A discussão ficará restrita ao cumpri­
mento desses dois critérios.
Os problemas nesta seção, que envolvem cargas com­
binadas, servem como uma revisão básica da aplicação
de muitas das equações de tensão importantes mencio­
nadas anteriormente. É necessário compreender muito
bem como essas equações são aplicadas, como indicado
nos capítulos anteriores, se quisermos resolver com su­
cesso os problemas apresentados no final desta seção. Os
exemplos a seguir devem ser cuidadosamente estudados
antes de passarmos para a resolução dos problemas.
mente. Consideramos que o material é homogêneo e se comporta de um modo linear elástico. Além disso, o princípio
O seguinte procedimento nos dá um modo geral para definir as componentes da tensão normal e da tensão de
cisalhamento em um ponto de um elemento quando ele é submetido a vários tipos diferentes de cargas simultanea­
de Saint-Venant exige que o ponto onde a tensão deve ser determinada esteja bem distante de quaisquer descontinui­
dades na seção transversal ou de pontos de carga aplicada.
Carga interna
• Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto onde a tensão deve ser determinada e obtenha as com­
ponentes internas da força normal e da força de cisalhamento resultantes, bem como as componentes dos momentos
fletor e de torção.
centraide da seção transversal, e as componentes do momento
centroide, os quais representam os eixos principais de inércia para a
" As componentes da força devem agir passando pelo
devem ser calculadas em torno dos eixos do
seção transversal.
Tensão normal média
• Calcule a componente da tensão associada a cada carga interna. Para cada caso, represente o efeito como uma distri­
buição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal ou mostre a tensão sobre um elemento do material
localizado em um ponto específico na seção transversal.
Força normal
" A força normal interna é desenvolvida por uma distribuição de tensão normal uniforme determinada por if
= PIA·
" A força de cisalhamento interna em um elemento submetido a flexão é desenvolvida por uma distribuição da tensão
de cisalhamento determinada pela fórmula do cisalhamento, r = VQ!It. Todavia, deve-se tomar um cuidado especial
Força de cisalhamento
ao aplicar essa equação, como observamos na Seção 7.3.
desenvolvido por uma distribuição de tensão normal que varia
linearmente de zero no eixo neutro a máxima no contorno externo do elemento. A distribuição de tensão é de­
Momento fletor
• Para
elementos retos, o momento fletor interno
My![Ae(R - y)].
é
terminada pela fórmula da flexão, (J" = -My/1. Se o elemento for curvo, a distribuição de tensão é não linear e
determinada por (J"
=
é
Momento de torção
" Para eixos e tubos circulares, o momento de torção interno é desenvolvido por uma distribuição da tensão de cisa­
lhamento que varia linearmente da linha central do eixo até um máximo no contorno externo do eixo. A distribuição
da tensão de cisalhamento é determinada pela fórmula da torção, r = Tp/J. Se o elemento for um tubo fechado de
parede fina, use
if
=
T/2A111t.
CARGAS COMBINADAS 305
de pressão de parede fina
o for cilíndrico de parede
o de pre
fina, a pr ssão interna p provo ará um stado de tensão biaxial no
a componente da tensão de aro ou circunferencial é u = p rlt a comp onente da tensão longi­
= p r!2t. Se o va?o de pressão for esférico de parede fina, então o estado de tensão biaxial é representa do
tudinal é
q
tes, cada uma com valor = pr/2t.
por duas componentes e valen
"*z,,, ,vu·�- 0
ssã
as
v
e
IDlno•,uu de modo que
u2
•
m
c
1
e
e
u2
Uma vez calculadas as compon ntes da tensão nor al da tensão de cisalhamento para cada carga, us o princípio
da superposição e de t rmine as componentes da tensão nor al da tensão de cisalhamento resultant s.
R pres ente os resultados em um elemento de material localizado no ponto ou mostre os resultados como uma dis­
tribuição de tensã o que age sobre a área da seção transversal do elemento.
e
e
e
m
e
m
e
e
p
u=-=
e
15 · 000 N
(100 mm)(40 mm)
3 '75 N/mm2
=
3 '75 MPa
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento
mostrado na Figura 8.3a. Despreze o peso do elemento e deter­ Momento fletor. A distribuição da tensão normal devi­
mine o estado de tensão nos pontos B e C.
da ao momento fletor é mostrada na Figura 8.3d. A tensão
máxima é
Me 750.000 N·mm(50 mm)
u áx
15.000 N
m
I
[ A (40 mm)(100 mm?J
= 11,25 N/mm2 = 11,25 MPa
A
, / 750.000 N·rnm
15.000 N
(b)
(a)
Figura 8.3
SOLUÇÃO
=
Superposição. Se as distribuições da tensão normais aci­
ma forem somadas algebricamente, a distribuição da tensão
resultante é a mostrada na Figura 8.3e. Embora aqui isso
não seja necessário, a localização da linha de tensão nula
pode ser determinada por cálculo proporcional de triângu­
los; isto é,
7, 5 MP a
15 MPa
(100 mm - x)
x = 33,3 mm
X
O elemento é secionado passando por B
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial Elementos de material em B e C estão submetidos somente
de 15.000 N agindo no centroide e um momento fletor de a tensão normal ou tensão uniaxial, como mostram as figuras
750.000 N · mm em torno do eixo do centroide ou principal 8.3f e 8.3g. Por consequência,
(Figura 8.3b).
Componentes da tensão.
Resposta
u8 = 7,5 MPa (tração)
Força normal. A distribuição da tensão normal uniforme
Resposta
u = 15 MPa (compressão)
devida à força normal é mostrada na Figura 8.3c. Aqui,
Cargas internas.
e
C.
c
+
MPa
Força normal
(c)
7,5
11,25 MPa
Momento fletor
(d)
Figura 8.3 (cont.)
Carga combinada
(e)
B LL�� c [�
7,5 MPa
(f)
15 MPa
( g)
306
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
kPa
(a)
(b)
(c)
Figura 8.4
A Equação 8.2 , u = pr/2t, não se aplica
aqui, visto que o tanque é aberto na2 parte superior e, por­
tanto, como já dissemos, a água não pode desenvolver uma
carga nas paredes na direção longitudinal.
Portanto, o ponto A está sujeito à tensão biaxial mostrada
na Figura 8.4c.
OBSERVAÇÃO:
O tanque na Figura 8.4a tem raio interno de 600 mm e
espessura de 12 mm. Está cheio até em cima com água cujo
peso específico é Yágua = 10 kN/m3• Se o tanque for feito de
aço com peso específico Yaço = 78 kN/m3, determine o estado
de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta.
SOLUÇÃO
Cargas internas. O diagrama de corpo livre da seção do
O elemento mostrado na Figura 8.5a tem seção trans­
tanque e da água acima do ponto A é mostrado na Figura 8.4b.
Observe que o peso da água é suportado pela superfície da versal retangular. Determine o estado de tensão que a carga
água imediatamente abaixo da seção e não pelas paredes do produz no ponto C.
tanque. Na direção vertical, as paredes simplesmente apoiam
SOLUÇÃO
o peso do tanque. Esse peso é
Cargas internas. As reações dos apoios sobre o elemen­
2
2
612
600
to
foram determinadas e são mostradas na Figura 8.5b. Se
�ço = Yaço V.ço= (78 kN/m3 )
considerarmos o segmento AC da esquerda do elemento
1.000 m - 1.000 m
(Figura 8.5c), as cargas internas resultantes na seção consis­
(1 m) = 3,56 kN
tem em uma força normal, uma força de cisalhamento e um
momento fietor. Resolvendo,
A tensão na direção circunferencial é desenvolvida pela
pressão da água no nível A. Para obter essa pressão, devemos N = 16,45 kN
M = 32,89 kN nt
V = 21,93 kN
usar a lei de Pascal, segundo a qual a pressão em um ponto
localizado a uma profundidade z na água é p = 'Yáguaz Por Componentes da tensão.
consequência, a pressão no tanque no nível A é
Força normal. A distribuição uniforme da tensão normal
que
age sobre a seção transversal é produzida pela força nor­
P = Yáguaz = (lO kN/m3)(1 m) = 10 kN/m2 = 10 kPa
mal (Figura 8.5d). No ponto C,
[(
7T
--
) (
7T
)
--
]
·
•
Componentes da tensão.
16,45 kN
P
uc = =
= 1,32 MPa
Aplicando a Equação 8.1, usando
A (0,050 m)( 0,250 m)
o raio interno r = 600 mm, temos
Força de cisalhamento. Aqui, a área A' = O, visto que
m)
pr 10 kN/m2 ( -ºººnto.
l.
o
oo
= 500 kPa
Resposta o ponto C está localizado na parte superior do elem e de
0"1 = =
1
o
m)
sã
ten
a
y'A'
8.5e),
Assim,
para
(Figura
e,
O
C
=
=
Q
( 1 goo
cisalhamento vale
Tensão longitudinal. Visto que o peso do tanque é supor­
tado uniformemente pelas paredes, temos
Momento fletor. O ponto C está localizado a Y
3,56 kN
mm do eixo neutro, portanto, a tensão normal ern C
125
u2 = �
= _____ 2 __6-00--2- = 77,9 kPa
Aaço TT[( _ill_ m) - ( .ooo m) ]
Resposta (Figura 8.5f) é
1
Tensão circunferencial.
1.000
"'
:__
c
v
CARGAS COMBINADAS 307
50 kN/m
16,45 kN
1--���- 4 m -------4-(a )
r==
21,93 kN
(c)
crc
= 1,32 MPa
cr c
+
+
Força de cisalhamento
(e )
Figura 8.5
Força normal
(d)
= 63,15 MPa
---{Jd}-- 64,5 MPa
Momento fletor
(f)
( g)
seis equações de equilíbrio. Verifique esses resultados. A for­
ça normal (500 N) e a força de cisalhamento (800 N) devem
I
agir no centroide da seção transversal, e as componentes do
momento fletor (8.000 N cm e 7.000 N cm) são aplicadas
em torno dos eixos do centroide (principais). Para "visuali­
Superposição. A tensão de cisalhamento é nula. A soma
zar" melhor as distribuições da tensão devidas a cada uma
das tensões normais determinadas acima dá uma tensão de dessas
cargas, consideraremos as resultantes iguais, mas oposcompressão em C com valor de
tas que agem emAC (Figura 8.6c).
1,32 MPa + 63,16 MPa = 64,5 MPa
Resposta Componentes da tensão.
Este resultado, agindo sobre um elemento em C, é mostrado Força normal. A distribuição da tensão normal é mostra­
da na Figura 8.6d. Para o ponto A, temos
na Figura 8.5g.
500 N
p
2=
A 7r(0,75 cm2 ) = 283 N/cm 2,83 MPa
uc =
Me
-
=
(32,89 kN m)(0,125 m)
[121 (0,050 m) (0,250) 3 ]
·
=
63 16 MPa
'
·
·
uc =
0 ,75 cm.
haste maciça mostrada na Figura 8.6a tem raio de Força de cisalhamento. A distribuição da tensão de ci­
Se estiver sujeita à carga mostrada, determine o salhamento é mostrada na Figura 8.6e. Para o ponto A, Q é
est ado de tensão no ponto A.
determinada pela área semicircular sombreada. Pela tabela
apresentada
no final deste livro, temos
S
A
OLUÇÃO
cargas internas.
.
A haste é secionada no ponto A. Pelo
diagrama de corpo livre do segmento AB (Figura 8.6b ) as
cargas internas resultantes podem ser determinadas pelas
,
308
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
(800 N) (14 cm) 11.200 N·cm 800 N
��SOON
(800 N) (10 cm) 8.000 N·cm
z
=
=
X
(b)
(a)
7.000N·cm
+
+
+
o fclm)etor Moment
For(ç5a00norN)mal Força de cisalhamento Moment
o flcm)etor Moment
o deN·ctomr)ção
(
8
.
0
00
N·
7
.
0
00
N·
(
1
1.
2
00
(
(800N)
(g)
(h)
(e)
Carga combinada
(c)
(d)
(f)
Figma 8.6
de modo que
VQ
TA = It =
800 N(0,2813 cm3 )
[ t ?T(0,75 cm)4 ] -(0,75 cm)
604 N/cm2
=
6,04 MPa
·
Momentos fletores. Para a componente de 8.000 N cm,
o ponto A encontra-se no eixo neutro (Figura 8.6f), portanto,
a tensão normal é
Para o momento de 7.000 N · cm, c = 0,75 cm, portanto, a
tensão normal no ponto A (Figura 8.6g) é
�
Te
11.200 N cm(0,75 cm) -_
_J
[ t ?T(0,75 cm)4 ]
16,901 N/cm2 = 169,01 MPa
Superposição. Quando os resultados acima são superpos­
tos, vemos que um elemento de material em A está sujeito
às componentes da tensão normal, bem como da tensão de
cisalhamento (Figura 8.6i).
TA
_
_ 7.000 N · cm(0,75 cm) _I
[ t ?T(0,75 cm)4 ]
_
-
·
-
6,04 MPa 169,01 MPa
83 MPa 211,26 MPa
'ft�tlou�-2,,�75,
0
5MPa
MPa
��214,
0
9
(i)
+
+
Figura 8.6 (cont.)
Me
-
-
O bloco retangular de peso desprezível mostrado na Fi·
gura 8.7a está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplica��
em seu canto. Determine a distribuição da tensão nonnu
Momento de torção. No ponto A, pA = c = 0,75 cm (Fi­
que age sobre uma seção que passa por ABCD.
gura 8.6h). Assim, a tensão de cisalhamento é
21.126 N/cm2
=
211,26 MPa
CARGAS COMBINADAS 309
40 kN
O'A
O'B
O'c
uv
y
(b)
( a)
Figura 8.7
,
SOLUÇÃO
Cargas internas. Se considerarmos o equilíbrio do seg­
mento na parte inferior do bloco (Figura 8.7b ) vemos que a
força de 40 kN deve agir passando pelo centroide da seção
transversal, e duas componentes do momento fietor também
devem agir em torno dos eixos do centroide ou principais de
inércia para a seção.Verifique esses resultados.
=
=
=
=
-125 kPa + 375 kPa + 375 kPa = 625 kPa
-125 kPa - 375 kPa + 375 kPa = -125 kPa
-125 kPa - 375 kPa - 375 kPa = -875 kPa
-125 kPa + 375 kPa - 375 kPa = -125 kPa
Visto que as distribuições da tensão devidas ao momento
fietor são lineares, a distribuição da tensão resultante tam­
bém é linear e, portanto, é semelhante à mostrada na Figura
8.7f. A linha de tensão nula pode ser localizada ao longo de
cada lado por triângulos proporcionais. Pela figura, exige-se
(0,4 m - e )
(0,8 m - h)
e
h
625 kPa
125 kPa e 625 kPa
125 kPa
e = 0,0667 m
h = 0,133 m
Um bloco retangular tem peso desprezível e está sujeito
a uma força vertical P (Figura 8.8a ). (a) Determine a faixa de
para a excentricidade e>' da carga ao longo do eixo y,
A distribuição uniforme da tensão normal valores
de modo a não provocar nenhuma tensão de tração no bloco.
é mostrada na Figura 8.7c. Temos
(b) Especifique a região na seção transversal onde P pode
ser
aplicada sem causar uma tensão de tração no bloco.
P
40
kN
----- = 125 kPa
u = A = -(0-,8-m
)( 0,4 m )
Componentes da tensão .
Força normal.
,
SOLUÇÃO
Parte (a). Quando P se desloca para o centroide da seção
Momentos fletores. A distribuição da tensão normal
para o momento de 8 kN·m é mostrada na Figura 8.7d. A transversal (Figura 8.8b) é necessário adicionar um conjugado
Mx = PeY para manter uma carga estaticamente equivalente.
tensão máxima é
A tensão normal combinada em qualquer lugar da coordena­
Mxcy
8 kN m(0.2 m)
da
y na seção transversal provocada por essas duas cargas é
] = 375 kPa
O'máx = -1- = 1
x
[12 (0,8 m)(0,4 m)
·
3
Da mesma forma, para o momento de 16 kN·m, Figura
8.7e, a tensão normal máxima é
My cy
16 kN m(0,4 m) =
=
] 375 kPa
umax =
[
1
Iy
12 (0,4 m)(0,8 m)
Superposição. A tensão normal em cada ponto do canto
pode ser determinada por adição algébrica. Considerando
que a tensão de tração é positiva, temos
·
--
·
3
p
O' = - A
Nesta expressão, o sinal negativo indica tensão de compres­
são. Para eY positiva (Figura 8.8a), a menor tensão de com­
pressão ocorrerá ao longo da borda AB, onde y = -h/2
(Figura 8.8b). (Por inspeção, P provoca compressão naquele
lugar, mas Mx causa tração.) Por consequência,
O'mín =
375 kPa
Força normal
(40 kN)
Momento fletor
(8 kN·m)
(c)
(d)
375 kPa
-
� ( 1 - �iyh )
875 kPa
Momento fletor
( 16 kN· m)
Carga combinada
(e )
(f)
Figma 8.7 (cont.)
31Ü
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
z
p
p
(a)
(c)
11
11
p
D
( d)
(b)
Figma 8.8
Essa tensão permanecerá negativa, isto é, de compressão, Em qualquer coordenada x, y na seção transversal, a tensão
contanto que o termo entre parênteses seja positivo, isto é, normal combinada devida às cargas normal e de flexão é
Visto que A = bh e I, = i/12 bh3, então
1>
Por inspeção (Figura 8.8d), os momentos criam tensão de
tração no ponto A, e a força normal cria uma tensão
de compressão nesse mesmo lugar. Por consequência, a
nor tensão de compressão ocorrerá no ponto A, para o qual
x = -b/2 e y = -h/2. Assim,
6ey
�
h
ou
Resposta
Em outras palavras, se -1/6 h � e> � 116 h, a tensão no blo­
co ao longo da borda AB ou CD será nula ou permanecerá
como tensão de compressão.
OBSERVAÇÃO: Às vezes, isso é denominado "regra do ter­
ço médio". É muito importante ter sempre essa regra em
mente ao se carregarem colunas ou arcos que têm seção
transversal retangular e são feitos de materiais como pedra
ou concreto, que só podem suportar pouca ou nenhuma ten­
são de tração.
Parte (b). Podemos estender a análise que fizemos na parte
(a) em duas direções, considerando que P age no quadrante
positivo do plano x-y (Figura 8.8c). A carga estática equiva­
lente quando P age no centroide é mostrada na Figura 8.8d.
uA
= -p
A
(1 -
Aeyh Ae,b
2Ix
2Iy
)
me­
Como antes, a tensão normal continua negativa ou de
pressão no ponto A, contanto que os termos entre parênte·
ses permaneçam positivos, isto é,
com­
Substituindo A = bh I
' X
= 1/12 bh3 ' I)' = 1/12 hb3, obte mos
0<1-
� - �6ey
h
6ex
b
CARGAS COMBINADAS 3 1 1
p
A
kN
Figura 8.8 (cont.)
Problemas 8.17/18
Por consequência, independentemente do valor de P, se ela 8.19. A serra tem uma lâmina ajustável que está apertada
for aplicada em qualquer ponto dentro dos limites da reta
com uma tensão de 40 N. Determine o estado de tensão nos
GH mostrada na Figura 8.8e, a tensão normal no ponto A
pontos
A e B da estrutura.
a ten­
permanecerá de compressão. De maneira semelhante,será
de
são normal nos outros cantos da seção transversal
S mm
compressão se P estiver confinada aos limites das retas EG,
_d
r
FEe HF.
75 mm--j A 3 mm 1 t:ill
S mm
�--��====�=====Z-�= 1
OBSE RVAÇÃO: O paralelogramo sombreado definido des­
seção.
da
kern)
(ou
Pela
núcleo
denominado
é
sa maneira
3 mm
"regra do terço médio" da parte (a), as diagonais do parale­
B
logramo terão comprimentos b/3 e h/3.
��
I
50
mm
����� _j_
Problema 8.19
O suporte de aço é usado para ligar as extremidades
*8.20. Determine as tensões normais mínima e máxima na
de dois cabos. Se a tensão normal admissível para o aço for
seção a do suporte quando a carga é aplicada em x = O.
= 120 kN, determine a maior força de tração P que pode
ser aplicada aos cabos. O suporte tem espessura de 12 mm e 8.21. Determine as tensões normais mínima e máxima na
largura de 18 mm.
seção a do suporte quando a carga é aplicada em x = 50 mm.
'8,16. O suporte de aço é usado para ligar as extremidades
de dois cabos. Se a força P = 2,5 kN for aplicada, determine a
4 kN
tensão normal máxima no suporte. O suporte tem espessura
de 12 mm e largura de 18 mm.
8.15.
1r"""'
lO
�rnJO mm
�
18 mm
1
, --.._J �
a
Sü mm
Problemas 8.15/16
Ajunta está sujeita a uma força de 1,25 kN, como mos­
tra a figura. Faça um rascunho da distribuição da tensão nor­
mal que age na seção a-a se a seção transversal retangular do
elemento tiver largura de 12 mm e espessura de 18
8.18. A junta está sujeita a uma força de 1,25 kN, como mos­
tra a figura. Determine o estado de tensão nos pontos A e B
e faça um rascunho dos resultados em elementos diferenciais
localizados nesses pontos. O dispositivo tem área de seção
transversal retangular de largura 12 mm e espessura 18 mm.
8.17.
mm .
mm
15 mm
Problemas 8.20/21
8.22. A força vertical P age na parte inferior da chapa cujo
peso é desprezível. Determine a distância máxima d até a
borda da chapa na qual aquela força pode ser aplicada de
modo a não produzir nenhuma tensão de compressão na se­
ção a-a da chapa. A chapa tem espessura de 10 mm, e P age
ao longo da linha central dessa espessura.
312
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
O suporte em degrau está sujeito à carga de apoio de
50 kN. Determine as tensões de compressão máxima e míni­
ma no material.
8.25.
50 kN
d
·
�
�·
·· . · .
30 mm 30 i
.·
p
Problema 8.22
A força vertical P = 600 N age na parte inferior da
Problema 8.25
chapa, cujo peso é desprezível. A chapa tem espessura de 10
mm, e P age ao longo da linha central dessa espessura, de 8.26. A barra tem diâmetro de 40 mm Se for submetida a
modo que d = 100 mm. Desenhe um gráfico da distribuição uma força de 800 N, como mostra a figura, determine as com­
ponentes da tensão que agem no ponto A e mostre os resul­
da tensão normal que age ao longo da seção a-a.
tados em um elemento de volume localizado nesse ponto.
8.27. Resolva o Problema 8.26 para o ponto B.
8.23.
.
d
p
Problema 8.23
A cabine de teleférico e seus passageiros pesam 7,5
kN, e o centro de gravidade do conjunto está em G. O braço
de suspensão AE tem área da seção transversal quadrada de
38 mm por 38 mm e está preso por pinos acoplados às suas
extremidades A e E. Determine a maior tensão de tração
desenvolvida nas regiões AB e DC do braço.
*8.24.
Problemas 8.26/27
*8.28. Visto que o concreto só pode suportar pouca ou ne­
nhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto
for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simples­
mente apoiada mostrada na figura, que tem seção transversal
retangular de 450 mm por 300 mm. Se o peso específico do
concreto for 24 kN/m3, determine a tração exigida na haste AB,
que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão
de tração seja desenvolvida na seção central a-a da viga. Des­
preze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga.
8.29. Resolva o Problema 8.28 se o diâmetro da haste for
12 mm. Use o método da área transformada discutido na
Seção 6.6. Eaço = 200 GP a, E = 25 GPa.
c
Problemas 8.28/29
Problema 8.24
CARGAS COMBINADAS 3 1 3
8
ll�
figura. Determine a tensão normal desenvolvida nos pon­
bloco está sujeito às duas cargas axiais mostradas
reze o peso do bloco.
tos A e B. Desp
s.3t o bloco está sujeito às duas cargas axiais mostradas na
da distribuição da tensão normal que
fi ura. Faça um rascunho
corte a-a. Despreze o peso do bloco.
no
l
transversa
ão
seç
na
a!e
30,
o
àê=±s+
250 N
A,
12 mm
12 mm
100 mm
�T
B
a
o mm
100 mm 12 mm
Problema 8.34
Problemas 8.30/31
Uma barra de seção transversal quadrada de 30 mm
30 mm tem 2 m de comprimento e é segura pela mão por
uma das extremidades, com a outra voltada para cima. Se
tiver massa de 5 kg/m, determine o maior ângulo fJ medido
relação à vertical no qual ela pode ser segura sem sofrer
tensão de tração perto da mão.
8.33. Resolva o Problema 8.32 se a barra tiver seção trans­
versal circular de 30 mm de diâmetro.
8.35. A viga em balanço é usada para suportar a carga de 8
kN. Determine o estado de tensão nos pontos A e B e trace
um rascunho dos resultados sobre os elementos diferenciais
localizados em cada um desses pontos.
'8.32.
por
em
-
25 mm ' ----t x""'
20 mm -_l_------IY'llllll
S kN
Problema 8.35
*8.36. O cilindro de peso desprezível repousa sobre um
piso liso. Determine a distância excêntrica eY na qual a carga
pode ser posicionada de modo que a tensão normal no pon­
to A seja nula.
z
p
Problemas 8.32/33
A viga de abas largas está sujeita à carga mostrada na
figura. Determine as componentes da tensão nos pontos A
B e mostre os resultados em um elemento de volume em
cada um desses pontos. Use a fórmula do cisalhamento para
calcular a tensão de cisalhamento.
8.34,
e
X
Problema 8.36
314
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
8.37. A viga suporta a carga mostrada na figura. Determine
o estado de tensão nos pontos E e F na seção a-a e repre­
4 kN
sente os resultados em um elemento de volume diferencial
localizado em cada um desses pontos.
'l I .
[
m--jlc
�-+0-,7-5-m+-l20mm
lüüm15 mm�T200mm
150mm20 mm
'E
ffi[
lümm ,150mmF
IlOOOO 15mm
lümmT
300mm
l r---L-4
_Trn
+-
T
Problema 8.37
j_
BHT
,����
a
j_
Problemas 8.39/40
O pino de suporte sustenta a carga de 3,5 kN. D e­
termine as componentes da tensão no elemento estru­
tural do suporte no ponto A. O suporte tem 12 mm de
espessura.
8.42. O pino de suporte sustenta a carga de 3,5 kN. Deter­
mine as componentes da tensão no elemento estrutural do
suporte no ponto B. O suporte tem 12 mm de espessura.
8.41.
O elo de metal está sujeito à força axial P = 7 kN.
Sua seção transversal original deve ser alterada pelo corte
de uma ranhura circular em um lado. Determine a distância
a até onde a ranhura pode penetrar na seção transversal de
modo que a tensão de tração não ultrapasse O' actm = 175 MP a.
Indique um modo melhor de remover o material até essa
profundidade da seção transversal e calcule a tensão de
tração para esse caso. Despreze os efeitos da concentração
de tensão.
8.38.
p
3,5 kN
Problemas 8.41/42
Problema 8.38
8.39. Determine o estado de tensão no ponto A quando a
viga está sujeita à força de 4 kN no cabo. Indique o resultado
como um elemento de volume diferencial.
''8.40. Determine o estado de tensão no ponto B quando a
viga é submetida à força de 4 kN no cabo. Indique o resulta­
do como um elemento de volume diferencial.
8.43. O painel de sinalização uniforme pesa 7,5 kN e é
suportado pelo tubo AB que tem raio interno de 68 mm e
raio externo de 75 mm. Se a parte frontal do painel estiver
sujeita a uma pressão uniforme do vento p = 8 kN/m2, de­
termine o estado de tensão nos pontos C e D. Mostre os re­
sultados em um elemento de volume diferencial localizado
em cada um desses pontos. Despreze a espessura do painel
de sinalização e considere que ele está apoiado ao longo da
borda do tubo.
*8.44. Resolva o Problema 8.43 para os pontos E e R
CARGAS COMBINADAS 3 1 5
r
z
X
�-1,5 m
y
----1-�­
Problemas 8.47/48
Problemas 8.43/44
A barra tem diâmetro de 40 mm. Se sua extremidade
for submetida às duas componentes de força mostradas na
figura, determine o estado de tensão no ponto A e mostre os
resultados em um elemento de volume diferencial localizado
nesse ponto.
8.46. Resolva o Problema 8.45 para o ponto B.
8.45.
O painel de sinalização está sujeito à carga uniforme
do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos
A e B no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mos­
tre os resultados em um elemento de volume localizado em
cada um desses pontos.
8.50. O painel de sinalização está sujeito a carga uniforme
do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos C
e D no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mostre
os resultados em um elemento de volume localizado em cada
um desses pontos.
8.49.
z
1,5
Problemas 8.45/46
O guindaste AB consiste em um tubo que é usado
para levantar o feixe de hastes que tem massa total de 3 Mg
e centro de massa em G. Se o tubo tiver diâmetro externo de
70 mm e 10 mm de espessura de parede, determine o estado
de tensão que age no ponto C. Mostre os resultados em um
elemento de volume diferencial localizado nesse ponto. Des­
preze o peso do tubo.
'8.48. O guindaste AB consiste em um tubo que é usado
para levantar o feixe de hastes que tem massa total de 3 Mg
e centro de massa em G. Se o tubo tiver diâmetro externo de
70 mm e 10 mm de espessura da parede, determine o estado
de tensão que age no ponto D. Mostre os resultados em um
elemento de volume diferencial localizado nesse ponto. Des­
preze o peso do tubo.
8.47.
kPa
--L
�
B
300 N
1m
r
C
�y
Problemas 8.49/50
8.51. O eixo de 18 mm de diâmetro é submetido à carga
mostrada na figura. Determine as componentes da tensão no
ponto A. Trace um rascunho dos resultados em um elemento
de volume localizado nesse ponto. O mancai em C só pode
exercer as componentes de força CY e Cz sobre o eixo, e o
mancai de encosto em D só pode exercer as componentes de
força Dx, DY e Dz sobre o eixo.
*8.52. Resolva o Problema 8.51 para as componentes da ten­
são no ponto B.
316
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
D
8.58. A lança de guindaste é submetida a uma carga de
2,5 kN. Determine o estado de tensão nos pontos A e B. Mos­
tre os resultados em um elemento de volume diferencial lo­
calizado em cada um desses pontos.
X
Problemas 8.51/52
8.53. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figu­
ra. Determine o estado de tensão desenvolvido no material
no ponto A e mostre os resultados em um elemento de volu­
me diferencial nesse ponto.
8.54. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figu­
ra. Determine o estado de tensão desenvolvido no material
no ponto B e mostre os resultados em um elemento de volu­
Pl'Oblema 8.58
me diferencial nesse ponto.
8.55. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figu­ 8.59. A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800 kN.
ra. Determine o estado de tensão desenvolvido no material Determine a equação da reta y = f(x) ao longo da qual a
no ponto C e mostre os resultados em um elemento de volu­ carga pode ser posicionada sem provocar tensão de tração
me diferencial nesse ponto.
na pilastra. Despreze o peso da pilastra.
800 kN
150 mm
8.1
Sll
ca
x ..._
(C i
lO kN
Problemas 8.53/54/55
*8.56. A haste maciça de 25 mm de diâmetro está sujeita às
B
cargas mostradas na figura. Determine o estado de tensão no
Problemas 8.59
ponto A e mostre os resultados em um elemento diferencial
localizado nesse ponto.
*8.60. A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800 kN.
8.57. A haste maciça de 25 mm de diâmetro está sujeita às Se x = 0,25 m e y = 0,5 m, determine a tensão normal em cada
cargas mostradas na figura. Determine o estado de tensão no canto A, B, C, D (não mostrado na figura) e trace a distribuição
ponto B e mostre os resultados em um elemento diferencial da tensão na seção transversal. Despreze o peso da pilastra.
localizado nesse ponto.
800 kN
y
f
z
400 N
Problemas 8.56/57
B
Problema 8.60
CARGAS COMBINADAS 3 1 7
A barra de distribuição de peso carregada simepara levantar o tanque de 10 kN ( 1
en
m
'ca te é usadame
· o estad o d e tensao
- nos pontos A
trt
erm
Det
.
da)
nela
to
em
elementos
de volumes
e
os
resultados
iqu
ind
B e
.
iais
enc
difer
8,61.
X
=
e
��
mm
25 mm
A
Problema 8.62
O homem tem massa de 100 kg e centro de massa
em G. Se ele se mantiver na posição mostrada na figura,
determine a tensão de tração máxima e a tensão de com­
pressão máxima desenvolvidas na seção da barra cur­
va. Ele é suportado uniformemente pelas duas barras, e
cada uma delas tem diâmetro de 25 mm. Considere que o
piso é liso.
8.63.
a-a
Problema 8.61
8.62. Um poste com as dimensões mostradas na figura está
sujeito à carga de apoio P. Especifique a região na qual essa
carga pode ser aplicada sem provocar o desenvolvimento de
tensão de tração nos pontos A, B, C e D.
a
Problema 8.63
Considera-se que um vaso de pressão
tem paredes finas desde que r!t � 10.
Para um vaso cilíndrico de parede fina,
a tensão circunferencial ou de aro é
Uj
=
pr
t
Essa tensão é duas vezes maior que a
tensão longitudinal,
az
= Zt
pr
A tens ão no interior das paredes de va­
sos esféricos de parede fina é a mesma
em todas as direções, de modo que
318
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A superposição das componentes da
tensão pode ser usada para se determi­
narem a tensão normal a tensão de
cisalhamento em um ponto localizado
em um elemento submetido a uma car­
ga combinada. Para resolver, em pri­
meiro lugar, é necessário determinar
a força axial e a orça de cisalhamento
resultantes e o momento fletor e de tor­
ção resultantes na seção onde o ponto
está localizado. Então, as tensões nor­
mal e de cisalhamento resultantes são
determinadas pela soma algébrica das
componentes da tensão normal e da
tensão de cisalhamento no ponto.
e
f
M '
u
p
A
r=
My
u =-
1
VQ
Tp
r =-
J
It
*8.64. O bloco está sujeito às três cargas axiais mostradas
na figura. Determine a tensão normal desenvolvida nos pon­
tos A e B. Despreze o peso do bloco.
500 N
a
10
Problemas 8.65/66
mm
��m
--j f--­
A pressão do ar no cilindro será aumentada se forem
exercidas as forças P = 2 kN nos dois pistões, cada qual com
raio de 45 mm. Se a espessura da parede do cilindro for 2 mm.
determine o estado de tensão na parede do cilindro.
Problema 8.64
*8.68. Determine a força máxima P que pode ser exe rcida
8.65. Se P = 15 kN, desenhe o gráfico da distribuição de ten­
em cada um dos dois pistões de modo que a componentea.
são que age na seção transversal a-a do elo fora de centro.
da tensão circunferencial no cilindro não ultrapasse 3 M P
8.66. Determine o valor da carga P que provocará a tensão Cada pistão tem raio de 45 mm e a espessura da parede do
normal máxima = 200 MPa na seção a-a do elo.
cilindro é 2 mm.
8.67.
umáx
CARGAS COMBINADAS 3 1 9
8.71. O apoio está sujeito à carga de compressão P . Deter­
mine as tensões normais absolutas máxima e mínima que
agem no material.
p�
� ��Í
�
�
2
-
2
Problemas 8.67/68
Problema 8.71
O parafuso da prensa exerce uma força de compres­ '8.72. O apoio tem seção transversal circular, cujo raio au­
são de 2,5 kN nos blocos de madeira. Determine a tensão menta linearmente com a profundidade. Se for submetido à
normal máxima desenvolvida ao longo da seção a-a. Nesse carga de compressão P, determine as tensões normais máxi­
lugar, a seção transversal é retangular com dimensões 18 mm ma e mínima que agem no material.
por 12 mm.
8.69.
mm
Problema 8.72
Problema 8.69
O suporte de parede tem espessura de 6 mm e é usado
para suportar as reações verticais da viga carregada, como
mostra a figura. Se a carga for transferida uniformemente
para cada alça do suporte, determine o estado de tensão
nos pontos C e D da alça B. Considere que a reação vertical
F nessa extremidade age no centro e na borda do suporte,
como mostra a figura.
8.70.
50 kN
A tampa do tanque cilíndrico é parafusada ao tanque
ao longo das abas. O tanque tem diâmetro interno de 1,5 m
e espessura da parede de 18 mm. Considerando que a maior
tensão normal não deve ultrapassar 150 MPa, determine a
pressão máxima que o tanque pode sustentar. Calcule tam­
bém o número de parafusos necessários para prender a tampa
ao tanque se cada um deles tiver diâmetro de 20 mm A ten­
são admissível para os parafusos é (U'adm\ = 180 MPa.
8.74. A tampa do tanque cilíndrico é parafusada ao tanque
ao longo das abas. O tanque tem diâmetro interno de 1,5 m,
e a espessura da parede é 18 mm. Se a pressão no interior do
tanque for p = 1,20 MPa, determine a força nos 16 parafusos
utilizados para prender a tampa ao tanque. Além disso, espe­
cifique o estado de tensão na parede do tanque.
8.73.
.
F
Problemas 8.73174
mm
Problema 8.70
8.75. Um pé-de-cabra é usado para retirar o prego em A. Se
for necessária uma força de 40 N, determine as componentes
da tensão na barra nos pontos D e E. Mostre os resultados
em um elemento de volume diferencial localizado em cada
um desses pontos. A barra tem seção transversal circular com
diâmetro de 12 mm. Não ocorre deslizamento em B.
320
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
15
15
40 kN
Problema 8.75
O parafuso da prensa exerce uma força de compres­
Pl'Oblema 8.77
são de 2,5 kN nos blocos de madeira. Faça um rascunho da
distribuição de tensão ao longo da seção a-a da prensa. Nes­ 8.78. O olhal está sujeito à força de 250 N. Determine as
se lugar, a seção transversal é retangular com dimensões 18 tensões de tração e compressão máximas na seção a-a. A
mm por 12 mm.
seção transversal é circular e tem 6 mm de diâmetro. Use a
fórmula da viga curva para calcular a tensão de flexão.
8.79. Resolva o Problema 8.7 8 se a seção transversal for
quadrada, de dimensões 6 mm por 6 mm.
8.76.
250 N
a
Problema 8.76
O parafuso da prensa é composto pelos elementos es­
truturais AB e AC conectados por um pino em A. Se a força
de compressão em C e B for 180 N, determine o estado de
tensão no ponto F e indique os resultados em um elemento
de volume diferencial. O parafuso DE está sujeito somente a
uma força de tração ao longo de seu eixo.
8.77.
P1·oblemas 8.78179
ransformação e tensã
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Neste capít u l o, mostraremos como transformar as componentes de tensão associadas a u m d eterm inado
sistema de coordenadas em componentes associadas a u m sistema de coordenadas com u m a orientação
difere nte. Uma vez defi nidas as equa ções de transformação necessárias, pode remos obter a ten são normal
máxi ma e a tensão d e cisa l h a mento m áx i m a em u m ponto e determ i n a r a orientação dos e l ementos sobre
os quais e l as a g e m . A transformação de tensão no p l a n o será d iscutida na pri m e i ra parte deste capítulo,
u m a vez que essa condição é m u ito com u m n a prática d a e n g e n h a ri a . N o fi n a l d o capítu lo, discutiremos u m
método para determ i n a r a tensão de cisa l h a mento a bsoluta m á x i m a n o ponto e m q u e o materia l está sujeito
a esta dos p l a n o e trid i m ension a l de tensão .
9.1
Tra n sfo rmação d e tensão
no plano
Na Seção 1 .3 mostramos que o estado geral de ten­
são em um ponto é caracterizado por seis componentes
independentes da tensão normal e de cisalhamento que
agem nas faces de um elemento de material localizado
no ponto (Figura 9.1a). Todavia, esse estado de tensão
não é comum na prática da engenharia. Ao contrário,
os engenheiros frequentemente fazem aproximações
ou simplificações das cargas sobre um corpo de modo
que a tensão produzida em um elemento estrutural
ou mecânico possa ser analisada em um único plano.
Quando isso ocorre, diz-se que o material está sujeito
a tensões no plano (Figura 9.lb ). Por exemplo, se não
houver nenhuma carga na superfície de um corpo, as
componentes de tensão normal e de cisalhamento se-
Estado geral de tensão
(a )
rão iguais a zero na face de um elemento que estiver
na superfície. Por consequência, as componentes de
tensão correspondentes na face oposta também serão
nulas e, portanto, o material no ponto estará sujeito a
tensão no plano.
O estado geral de tensão no plano em um ponto é,
portanto, representado por uma combinação de duas
componentes de tensão normal, crx e crY , e uma com­
ponente de tensão de cisalhamento, crxy ' que agem nas
quatro faces do elemento. Por conveniência, neste li­
vro estudaremos esse estado de tensão no plano x-y,
(Figura 9.1c). Entenda que, se o estado de tensão em
um ponto for definido pelas três componentes de ten­
são mostradas no elemento na Figura 9.2a, então, um
elemento que tenha uma orientação diferente, como
na Figura 9.2b, estará suj eito a três componentes dife­
rentes de tensão. Em outras palavras, o estado plano
de tensão em um ponto é representado exclusivamen-
Estado plano de tensão
(b)
Figura 9.1
Estado plano de tensão
(visão bidimensional)
(c)
322
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
I
y
x'
IJ
-- X
(a )
(b)
ponentes de força, digamos, Fx e FY , dirigidas ao longo
dos eixos x, y, que produzem uma força resultante FR , e
então tentar determinar as componentes de força Fx, e
FY , dirigidas ao longo dos eixos x' e y ' , de modo que pro­
duzam a mesma resultante. A transformação de compo­
nentes de tensão, entretanto, é mais difícil do que a de
componentes de força, visto que, no caso da tensão, a
transformação deve levar em conta o valor e a direção
de cada componente da tensão e a orientação da área
sobre a qual cada componente age. No caso da força, a
transformação deve levar em conta somente o valor e a
direção da componente de força.
Figura 9.2
te por três componentes que agem sobre um elemento
que tenha uma orientação especifica neste ponto.
Nesta seção, mostraremos por meio de exemplos
numéricos como transformar as componentes de tensão
que tenham um elemento com determinada orientação
em um elemento que tenha uma orientação diferente.
Isto é, se o estado de tensão for definido pelas compo­
nentes (J'x' (J'Y e (J'xy ' orientadas ao longo dos eixos x, y,
(Figura 9.2a) , mostraremos como obter as componentes
(J'x'' (J'Y, e (J'x'y'' orientadas ao longo dos eixos, x', y ' (Fi­
gura 9.2b) , de modo que representem o mesmo estado
de tensão no ponto. Isso equivale a conhecer duas com-
(Figura 9.3a), então o estado de tensão para alguma outra orientação (Figura 9.3b) pode ser determinado pelo proce­
Se o estado de tensão em um ponto for conhecido para uma determinada orientação de um elemento de material
dimento descrito a seguir.
M, as áreas adjacentes do segmento serão M seu 8
" Para determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento (!'_,.,, axY que agem na face x' do elemento
gura 9.3b), secione o elemento na Figura 9.3a como mostra a Figura
e
M cos 8.
9.3c. Se considerarmos
(Fi­
que a área secionada é
" Faça o diagrama de corpo livre do segmento, o que requer mostrar as forças que agem no elemento. Para tal, multi­
plique as componentes de tensão em cada face pela área sobre a qual elas agem.
• Aplique as equações de equilíbrio de força nas direções x ' e y' para obter as duas componentes de tensão desconhe­
cidas (J'x ' e 'Tx 'y''
'
" Se tivermos de determinar ay'' que age na face +y do elemento na Figura 9.3b, será necessário considerar um segmento
do elemento como mostrado na Figura 9.3d e seguir o mesmo procedimento que acabamos de descrever. Entretanto,
aqui, a tensão de cisalhamento Tx ' 'não terá de ser determinada, se tiver sido calculada anteriormente, uma vez que ela
v
é complementar, isto é, tem a mesma amplitude em cada uma das quatro faces do elemento (Figura 9.3b).
I
'
/x
y
IJy
'Txy
rrx
\
y'
U"x
-- X
O'x
(c)
(T)'
( a)
(b)
Figura 9.3
IJy
(d)
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 323
têm as áreas mostradas na Figura 9.4b. O diagrama de corpo
livre do segmento é mostrado na Figura 9.4c.' Aplicando as
equações de equilíbrio de força nas direções x e y' para evi­
0 estado plano de tensão em um ponto na superfície da
tar uma solução simultânea para as duas incógnitas u_,, e '�"x'y' '
representado
elemento
é
no
orientado
avião
do
fUselagem ra a Figura 9.4a. Represente o estado de tensão temos
om o most
ele��nto orientado a 30° no sentido horá­
�o pontorelaemçãou�a pos1
+/'2-Fx' = O;
Ux• ô.A - (50 ô.A
30°) 30°
çao mostrada.
rio em
COS
+ (25 ô.A cos 30°) sen 30° + (80 ô.A sen 30°) sen 30°
+
(25 ô.A sen 30°) cos 30° = C
SOLUÇÃO
elemento é secionado pela reta a-a na Figura 9.4a, o seg­
inferior removido e, considerando que o plano secio­
(inclinado) tem área M, os planos horizontal e vertical
0
me nto
nado
Ux• =
-4,15 MPa
lOoo
Resposta
r
SO MPa
(a)
x'
4,15 MPa
a
a
25,8 MPa
M cos 30°
(b)
COS
b
(d)
(c)
SO M sen 30°
M sen 30°
�
(Jx· M
M cos 30°
Tx'y' M
(e)
(f)
Figma 9.4
x'
324
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
+'\2:Fy• = O; Tx•v• ilA - (50 ilA cos 30°) sen 30°
- (25 ilA cos 30°) cos 30° - (80 ilA sen 30") cos 30°
+ (25 ilA sen 30") sen 30° = O
=
68,8 MPa
Como cr_e é negativa, ela age na direção oposta à mostrada
na Figura 9 .4c. Os resultados são mostrados na parte superior
do elemento na Figura 9.4d, uma vez que essa superfície é a
considerada na Figura 9.4c.
Agora, temos de repetir o procedimento para obter a
tensão no plano perpendicular b-b. O corte do elemento na
Figura 9.4a ao longo de b-b resulta em um segmento cujos
lados têm as áreas mostradas na Figura 9.4e. Se orientarmos
o eixo + x ' para fora, perpendicularmente à face secionada, o
diagrama de corpo livre associado será o mostrado na Figura
9.4f. Assim,
Tx•y•
Resposta
CTx• ilA - (25 ilA cos 30°) sen 30°
+ (80 ilA cos 30°) cos 30° - (25 ilA sen 30") cos 30°
- (50 ilA sen 30") sen 30° = O
+J"2:Fi = O;
CTx• =
-rx'y'
-25,8 MPa
Resposta
ilA + (25 ilA cos 30°) cos 30°
+ (80 ilA cos 30°) sen 30° (25 ilA sen 30") sen 30°
+ (50 ilA sen 30") cos 30° = O
Tx'y'
=
68,8 MPa
Resposta
Como é uma quantidade negativa, ela age no sentido opos­
to à direção mostrada na Figura 9.4f. A Figura 9.4d mostra as
componentes de tensão agindo no lado direito do elemento.
Portanto, por essa análise podemos concluir que o estado
de tensão no ponto pode ser representado escolhendo um
elemento orientado como mostra a Figura 9.4a ou escolhen­
do um elemento orientado como mostra a Figura 9.4d. Em
outras palavras, os estados de tensão são equivalentes.
crx,
9.2
E q ua ções g e ra is d e
tra n sfo rmaçã o d e tensão
no p l a n o
O método para transformar as componentes de
tensão normal e de cisalhamento dos eixos coordena­
dos x, y para os eixos coordenados x', y', como discuti-
mos na seção anterior, agora será desenvolvido de u m
modo geral e expresso como um conjunto de equações
de transformação de tensão.
Antes de deduzir as equa­
ções de transformação, devemos definir uma conven­
ção de sinal para as componentes de tensão. A qui,
adotaremos a mesma usada na Seção 1 .3. Em resumo
uma vez definidos os eixos x, y ou x', y' , uma comp o�
nente de tensão normal ou de cisalhamento é positiva
contanto que aja na direção positiva da coordenada
na face positiva do elemento ou na direção negativa
da coordenada na face negativa do elemento, Figura
9.5a. Por exemplo, ux é positiva, porque age p ara a
direita na face vertical direita e para a esquerda (di­
reção -x) na face vertical esquerda. A Figura 9.5 a
mostra a tensão de cisalhamento agindo na direção
positiva em todas as quatro faces do elemento. Na
face direita, Txy age para cima (direção +y); na face
inferior, Txy age para a esquerda (direção -x) e assim
por diante.
Todas as componentes de tensão mostradas na Fi­
gura 9.5a mantêm o equilíbrio do elemento e, por isso,
saber a direção de Txy em uma face do elemento define
sua direção nas outras três faces. Por consequência, a
convenção de sinal que definimos também pode ser
lembrada por meio da simples observação de que a
Convenção de sinal.
tensão normal positiva age para fora de todas as fa­
ces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima
na face direita do elemento.
Dado o estado plano de tensão mostrado na Figura
9.5a, a orientação do plano inclinado no qual as compo·
nentes de tensão normal e de cisalhamento devem ser
determinadas serão definidas usando o ângulo 6. Para
mostrar esse ângulo de maneira adequada, em primei·
ro lugar é preciso definir um eixo x' positivo dirigido
para fora, perpendicular ou normal ao plano, e um eixo
y' associado dirigido ao longo do plano (Figura 9.5b).
Observe que ambos os conjuntos de eixos sem linha c
com linha formam sistemas de coordenadas voltados
para a direita; isto é, o eixo z (ou z') positivo é definido
pela regra da mão direita. Curvando os dedos de x (ou
x') na direção de y (ou y'), obtemos a direção para 0
eixo z (ou z') positivo que aponta para fora. O â�g; tlo
8 é medido do eixo x positivo para o eixo x ' postttvo
Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos
da mão direita, isto é, no sentido anti-horário, como
mostra a Figura 9.5b.
.
ci�·
Componentes de tensão n ormal e de
lhamento. Usando a convenção de sinal defini a.
o elemento na Figura 9.6a é secionado ao l�ngo do
no inclinado e o segmento mostrado na Ft gur� 9À6b
isolado. Considerando que a área secionada e !:l
áreas das faces horizontal e vertical do segmento
M sen {} e M cos 8, respectivamente.
•
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 325
y
y
y
L------ X
(a)
(b)
Convenção de sinal positivo
Figura 9.5
\
y'
y'
\
y
x'
x'
f)
( a)
(c )
(b)
uy M
sen fJ
(d)
Figma 9.6
O diagrama de corpo livre resultante para o segmen­
to é mostrado na Figura 9.6c. Aplicando as equações
de equilíbrio de força para determinar as componen­
tes da tens ão normal e de cisalhamento desconhecidas,
U'x'
e Tx'y' ' obtemos
+7'2:-Fx'
=
O;
crx'
LlA - (rxy LlA sen 8) cos 8
- ( crY LlA sen 8) sen 8 - (rxy LlA cos e)
- (crx
crx•
=
LlA cos 8 ) cos 8
crx cos2 8
+
=
cry sen28
sen ()
O
+ rxy (2 sen 8 cos 8)
RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
326
Para aplicar as
e
8 de
acordo
com
equações de transformação de tensão 9.1 9.2, basta entrar com os valores conhecidos de
a convenção de sinal definida, Figura 9.5. Se o cálculo de e Tx'y' produzir quantidades p �sitlva�
essas tensões agirã
e
o na direção
Por conveniência,
+'\2:Fy'
=
positiva dos eixos x' e y ' .
( fTY LiA sen8) cos 8 - ( 7xy LiA cos 8) cos 8
-
+ ( lfx LiA cos 8) sen 8 = O
7x'y'
=
( fTy
-
fT
x) sen 8 cos 8 + 7xy( cos2 8 - sen2 8)
Essas duas equações podem ser simplificadas pe­
las identidades trigonométricas sen 28 = 2 sen 8 cos 8,
sen2 8 = (1 - cos 2 8)12 e cos2 8 = (1 + cos 2 8)/2 e,
nesse caso, obtemos
crx'
Ux
=
'T x'y' =
+ fTy
2
Ux
-
2
+
Ux -
2
Uy
Uy
cos 28
+
xy sen 28 (9.1)
ui ==
2
- cry
2
lfx•
=
lfx
fT
,
7
cos 28
cos 28
+ fTy lfx - fTy
2 + 2 cos 28 + Txy sen 28
=
-80 + 50 + -80 - 50 cos 2(-30°) + (-25) sen 2
(-30")
2
2
=
-25,8 MPa
Tx'y' =
sen 28 + 'Txy
Ux
,
Plano CD. Para obter as componentes de tensão no pla­
no CD (Figura 9.7b ), o eixo x ' positivo 'é dirigido para fora
perpendicularmente a CD, e o· eixo y associado é dirigi�
do ao longo de CD. O ângulo medido de x até o eixo x' é
8 = -30° (em sentido horário). Aplicando as equações 9.1 e
9.2 obtemos
7
=
(9.2)
Se a tensão normal que age na direção y ' for neces­
sária, ela poderá ser obtida pela simples substituição
de (8 = 8 + 90°) para 8 na Equação 9.1 (Figura 9.6d),
o que resulta em
Ux + Uy
fT
essas equações podem ser facilmente programadas em uma calculadora de bolso.
7x'y' LiA + (7xy LiA sen 8) sen8
O;
fT_e
- 7xy sen 28
(9.3)
Se o cálculo de crl produzir uma quantidade po­
sitiva, isso indicará que ela age na direção y ' positiva
como mostra a Figura 9.6d.
=
lfx - fTy
2 sen 28 + 7xy cos 28
- -80 2- 50 sen 2(-30°) + ( -25) cos 2( -30°)
-68,8 MPa
-
Os sinais 'negativos indicam que crx, e 7x'i agem nas direções
de x ' e y negativos, respectivamente. A Figura 9.7d mostra
os resultados agindo no elemento.
Plano BC. De modo semelhante, as componentes de ten­
são que agem na face B C, Figura 9.7c, são obtidas usando
8 = 60°.Aplicando as equações 9.1 e 9.2', obtemos
-80 + 50 + -80 - 50 cos 2(60°) + (-25) sen 2( 60°)
2
2
lfx• =
=
O estado plano de tensão em um ponto é representado
pelo elemento mostrado na Figura 9.7a. Determine o esta­
do de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30°
no sentido horário em relação à posição mostrada.
Resposta
-4,15 MPa
Tx'y' =
=
Resposta
- -80 2- 50 sen 2(60°) + ( -25) cos 2(60°)
68,8 MPa
= -SO MPa
cry
= 50 MPa
Txy
= -25 MPa
' Como alternativa, poderíamos aplicar a Equação 9.3
com () = -30° em vez da Equação 9.1.
ck
lJ l
de
m;
co
111 1
SC<
Te
mi
dif
rcs
Resposta
SOLUÇÃO
Aqui, , , foi calculada duas vezes, como confirmação. O si­
Este problema foi resolvido no Exemplo 9.1 usando os prin­ nal negT�Úvo para cr_e indica que essa tensão age na direção
cípios básicos. Aqui, aplicaremos as equações 9.1 e 9.2. Pela de x ' negativo (Figura 9.7c). Os resultados são mostrados no
convenção de sinal definida (Figura 9.5), vemos que
elemento na Figura 9.7d.
crX
9
dos
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 327
50 MPa
SO MPa
o=
D
(a)
X
-30°
x'
(b)
x'
4,15 MPa
c
X
D
25,8 MPa
(d)
(c)
Figura 9.7
Tensões princi pais e tensão de
dsalhamento máxima no plano
Pelas equações 9.1 e 9.2 podemos ver que O'x, e Tx'y'
dependem do ângulo de inclinação e dos planos nos
quais essas tensões agem. Na prática da engenharia,
muitas vezes é importante determinar a orientação
dos planos que fazem com que a tensão normal seja
máxima e mínima e a orientação dos planos que fazem
com que a tensão de cisalhamento seja máxima. Nesta
seção, consideraremos cada um desses problemas.
(Ux ; Uy)
T
Figura 9.8
Tensões pri ncipais
no p l a n o . Para deter­
minar a tensão normal máxima e mínima, temos que
diferenciar a Equação 9.1 em relação a (J e igualar o
resultado a zero, o que dá
dO'x•
de
=
O'x - O'y
(2 sen 28)
2
+ 2Txy cos 2e =
O
Resolvendo essa equação, obtemos a orientação e = eP
dos planos da tensão normal máxima e mínima.
·
(9.4)
A solução tem duas raízes, eP 1 e epz · Especifica­
mente, os valores de 2eP 1 e 2eP2 estão afastados um
do outro por 180° ' portanto, ep! e ep2 estarão afasta­
dos por 90°.
Os valores de ep1 e ep2 devem ser substituídos na
Equação 9.1, se quisermos obter as tensões normais
exigidas. Podemos obter os necessários seno e cosseno
de 2eP1 e 2eP2 pelos triângulos sombreados mostrados
na Figura 9.8. A construção desses triângulos baseia-se
na Equação 9.4, considerando que Txy e (O'x - O') são
ambas quantidades positivas ou ambas quantidades
negativas. Temos, para ep!'
328
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
da tomando-se a derivada da Equação 9.2 em relação
a e e igualando o resultado a zero. Isso dá
tg 2 es
para ep2'
COS
2ep2
=
-
(
(jx - (jy
2
)l� (
(jx - (jy
2
)+
(9.6)
- ((jx - G'y )/2
Txy
= ----­
As duas raízes dessa equação, es1 e esz' podem ser
determinadas pelos triângulos sombreados mostrados
na Figura 9.10. Por comparação com a Figura 9 .8, cada
raiz de 2es está a 90° de 2ep . Logo, as raízes e e ep esta-0
a 45° uma da outra, e o resultado é que os planos para
tensão de cisallzamento máxima podem ser determi­
nados orientando um elemento a 45° em relação à
posição de um elemento que define os planos da ten­
são principal.
Usando qualquer uma das raízes es1 ou esz' p odemos
determinar a tensão de cisalhamento máxima tomando
os valores trigonométricos de sen 2es e cos 2es da Figura
9.10 e substituindo-os na Equação 9.2. O resultado é
s
2
Txy
2
Se qualquer desses dois conjuntos de relações tri­
gonométricas for substituído na Equação 9.1 e simpli­
ficado, obteremos
T máx
(9.5)
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá
a tensão normal máxima ou inínima no plano que age
em um ponto, onde (j1 2 (j2 • Esse conjunto particular
de valores é denominado tensões principais no plano,
e os planos correspondentes sobre os quais agem são
denominados planos principais de tensão (Figura 9.9) .
Além do mais, se as relações trigonométricas para eP1
e eP forem substituídas na Equação 9.2, podemos ver
2
que rx,y, = O·, isto é, nenhuma tensão de cisallzamento
age nos planos principais.
Tensão de cisalhamento máxima no plano.
A orientação de um elemento cuj as faces estão sujeitas
à tensão de cisalhamento máxima pode ser determina-
no plano
o valor de
=
)(
(jx
�
(jy
)+
2
(9.7)
máxno plano calculado pela Equação 9.7 é
T
denominado tensão de cisal/zamento máxima no pla­
no porque age sobre o elemento no plano x-y.
Substituindo os valores de sen 2e, e cos 2e, na Equa­
ção 9.1, vemos que também há uma tensão normal nos
planos onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima,
Obtemos
(jméd =
2
(9.8)
Como ocorre com as equações de transformação
de tensão, pode ser conveniente programar essas equa­
ções em uma calculadora de bolso.
y'
Tensões principais no plano
Figura 9.9
/
Tx
Figura 9.10
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
329
de tensão Jloponto també'mpode ser -te�re$e��â49 como a tensão de cisalhamentç.m(lxirrt4.ilo.plano. Nesse
lllÚâ tensão normal média.também.age no,ele��n��;
que representa.a tens�o de cisalb��yJ1to Jllá..'$ima M plano coro a�. tt?nsões. norm�is médias· associadas
orientado a45° emrelação a<J elemento qÚt:l represen.(a as tensões principais,
·
N:;0
m�EENII !lJU� �.à :
�
�
=�
Quando a carga de torção T é aplicada à barra na Figura
9.11a, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro
no material. Determine (a) a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a tensão normal média associada e (b) as tensões
principais.
SOLUÇÃO
Pela convenção de sinal definida,
a =O
X
Pelas equações 9.4 e 9.5 temos
Tensão principal.
)' O
a =
rxy = - r
Tensão de c:isalhamento máxima no plano.
ções 9.7 e 9.8,temos
Pelas equa­
tg 2(}p = ( ax - a )/2
y
-r
(O _ 0)/2 ,
ap2 =
45°,
apl =
135°
Resposta
Se agora aplicarmos a Equação 9.1 com (}P2 = 45°, então
ax + ay
ax - ay
+
ax • =
2
2 cos 2(} + r.q sen 28
= O + O + ( -r ) sen 90° = - r
Assim, a2 = -r age em (}P2 = 45° como mostra a Figura 9.1lb,
e a1 = r age na outra face, (}P1 = 135°.
ax + ay
O
+
O
OBSERVAÇÃO: Materiais frágeis falham por conta da ten­
O'méd =
2 = ��
2 =O
Resposta são normal. É por isso que, quando um material frágil, como
o ferro fundido, é submetido à torção, falha sob tração à in­
Assim, como esperado, a tensão de cisalhamento máxima no clinação de 45°.
plano é representada pelo elemento na Figura 9.1la.
Foi constatado por métodos experimentais que materiais
dzícteis falharão devido a tensão de cisalhamento. O resulta­
do é que, se for aplicado um torque a uma barra feita de aço
doce, a tensão de cisalhamento máxima no plano provocará
Quando a carga axial P é aplicada à barra na Figura
a ruptura da barra.
9.12a, produz uma tensão de tração no material. Determine
(a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento má­
xima no plano e a tensão normal média associada.
Resposta
SOLUÇÃO
Pela convenção de sinal estabelecida,
T
(a)
Figura 9.11
a =a
X
)'
a =O
rxy =
0
Por observação, o elemento orientado
como mostra a Figura 9.12a ilustra uma condição de tensão
principal visto que nenhuma tensão de cisalhamento age nes­
se elemento. Isso também pode ser mostrado por substitui­
ção direta dos valores acima nas equações 9.4 e 9.5. Assim,
Tensão principal.
(b)
Resposta
330
·,....-
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
��?
?"�� :�,4f"'"�"' ::70�
���Nll mum 2.s
WC
�
•
M
-
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo
é mostrado no elemento na Figura 9.13a. Represente esse
estado de tensão em termos das tensões principais.
SOLUÇÃO
Pela convenção de sinal estabelecida, temos
( a)
u
_:"""""Uméd = �/
,
Uméd - 2
-
X
x'
,
= -20 MPa
uy = 90 MPa
Orientação de elemento.
60
( -20 - 90)/2
4SO
7máxno
-2
plano
= 60 MPa
Aplicando a Equação 9.4, temos
\
(T
Txy
p
Resolvendo e denominando essa raiz OP2, como mostraremos
a seguir, obtemos
(b)
Figura 9.12
Como estudos experimentais constataram que a tensão nor­
mal provoca falha em materiais frágeis, se a barra for feita Como a diferença entre 20P1 e 20P2 é 180°, temos
de material frágil, como ferro fundido, a tensão normal pro­
20 = 180° + 20 = 132 51°
vocará ruptura.
Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equa­
Lembre-se de que O é positivo quando medido em sentido
ções 9.6, 9.7, e 9.8, temos
anti-horário do eixo x até a normal orientada para fora (eixo
'
x ) na face do elemento e, portanto, os resultados são os
- ( ux - uy)/2
trados
na Figura 9.13b.
tg 20s = ----­
Txy
Tensões principais. Temos
Ux - Uy 2
UTmáx =
+ Txy = -+ ( O ) = ±-U2
2
2
Ux + Uy
/ ux - Uy 2
0" 1 + Txy2
,2 - 2 ± 'J
2
p2
pl
no plano
�(
G"méd =
) 2
�(
fíx - fíy
=
2
-
sen
Resposta
28 + Txy cos 28
-- sen 90° + O =
u - 0
2
= -20 2+ 90 ±
= 35,0 ± 81,4
Resposta
Para determinar a orientação adequada do elemento, apli­
que a Equação 9.2.
Tx ' y '
mos·
Q)2 2
2
2
u
2
'
u1
u2
= 116 MPa
=
-46,4 MPa
( )
�( -20 90 y + (60)2
-
2
Resposta
Resposta
O plano principal no qual cada tensão normal age pode
ser determinado pela Equação 9.1 com, digamos, O Opz "'
-23,7 °. Temos
==
Essa tensão de cisalhamento negativa age na face x ' , na dire­
Ux + Uy Ux - U)'
ção de y ' negativo, como mostra a Figura 9.12b.
Ux• = 2 + 2 cos 20 + Txy sen 20
OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como
-20 + 90 -20 - 90
=
+ 2 cos 2 ( -23 '7°) + 60 sen 2(-23 7")
aço doce, então a tensão de cisalhamento provocará a ruptu­
2
ra da barra quando esta for submetida à tração.
= -46,4 MPa
•
p
d
I
rc
Sl'
111.
se
Or
M
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
x'
90 MPa
331
u1 = 116 MPa
eP, = 23,7°
Uz = 46,4 MPa
(a)
(c)
(b)
Figura 9.13
consequência, a2 = -46,4 MPa age no plano definido
-23,7°, ao passo que aP1 = 116 MPa age no plano
definfdo por eP1 = 66,3°. Os resultados são mostrados no ele­
mento na Figura 9.13c. Lembre-se de que nenhuma tensão
de cisalhamento age nesse elemento.
Por
por e 2 =
Observe que esses ângulos mostrados na Figura 9.14b estão
a 45° dos planos principais de tensão, que foram determina­
dos no Exemplo 9.5.
Tensão de dsalhamento máxima no plano. Aplicando
a Equação 9.7,
'T��plano
=
�(
) + rx/ �( -202- 90 ) + (60)
O'x - O'y 2
2
2
=
2
O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é
= 81,4 MPa
Resposta
representado no elemento mostrado na Figura 9.14a. Repre­
sente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento
A direção adequada de r no plano no elemento pode ser de­
máxima no plano e a tensão normal média associada.
terminada considerando e = e ,2 = 21,3° e aplicando a Equa­
ção 9.2. Temos
SOLUÇÃO
Orientação de elemento. Como ax = -20 MPa, aY = 90
ax - O'y
MPa e rxy = 60 MPa e aplicando a Equação 9.6, temos
sen 2e + rxy cos 2e
'Tx'y' = 2
-( -20 - 90)/2
-20 - 90 sen 2(21,3°) + 60 cos 2(21,3°)
= 60
2
2e,, = 42,5°
e,, = 21,3°
= 81,4 MPa
2e,l = 180° + 2e,, e,1 = 111,3°
máx
(
90 MPa
(
)
)
x'
35 MPa
(a)
(b)
Figura 9.14
(c)
332
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
Assim, T
= T,,y' age na direção de y ' positivo nessa da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
face (IJ = 2l,3°). As tensões de cisalhamento nas outras três ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.
faces estão dirigidas como mostra a Figura 9.14c.
Tensão normal média. Além da tensão de cisalhamento
máxima que calculamos, o elemento também está sujeito a
uma tensão normal média determinada pela Equação 9.8;
isto é,
ax + ay
-20 + 90 = 35 MPa
améd =
Resposta
2
2
máx no plano
Essa é uma tensão de tração. Os resultados são mostrados
na Figura 9 .14c.
;:;,
�R®BIYJ���S
"" ""'""
-
""
� "'
"'
= �
""
�
8
9.1.
Problema 9.4
� = �=
Prove que a soma das tensões normais a_, + aY = ax, + a/
é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b.
9.2. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes
de tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método do equilíbrio descrito na Seção 9.1.
/0
B
9.5. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.
A
50 MPa
B
A
Problema 9.5
O estado de tensão em um ponto em um elemento es­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes
9.3. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­ da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.
da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o proble­
ma usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.
9.6.
Pt·oblema 9.2
A
350 kPa
Problema 9.6
Resolva o Problema 9.2 usando as equações de trans­
formação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.
ns­
'9.4. O estado de tensão em um ponto em um elemento es­ *9.8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de tra
formação
de
tensão
desenvolvidas
na
Seção
9.2.
trutural é mostrado no elemento. Determine as componentes
9.7.
Problema 9.3
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
:�9r�aRe
ção de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. Mostre o
18OMPa
150MPa
solva o Problema 9.6 usando as equações de trans­
resultado em um desenho.
rmine o estado de tensão equivalente em um ele­
9 10• Dete
ele
e estiver orientado a 30° em sentido anti-horário
�ento,asção
ao elemento mostrado. Use as equações de transrn rel
tensao.
de
ção
a
m
for
e
300 kPa
-
Problema 9.14
9.15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
12MPa
14--
9.11.
333
----
Problema 9.10
30MPa
Problema 9.15
Determine o estado de tensão equivalente em um ele­
*9.16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento, se ele estiver orientado a 60° em sentido horário em
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
relação ao elemento mostrado.
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
;::==:::::: :,:::= 120 kPa
--+
H--•
250MPa
300kPa
L----��
'9.12.
Problema 9.11
Resolva o Problema 9.6 usando as equações de trans­
formação de tensão.
9.13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
mento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no
ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
60MPa
Problema 9.16
Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois
estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determi­
ne o estado de tensão resultante representado no elemento
orientado como mostrado à direita.
9.17.
/, 58 MPa
00 MPa c
+
9.14. O
�ento.
Problema 9.13
350MPa
11
!!
�61
Problema 9.17
lrx
estado de tensão em um ponto é mostrado no ele­
Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de 9.18. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita
CISalhamento máxima no plano e a tensão normal média no à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões
ponto. Esp ecifique a orientação do elemento em cada caso.
principais desenvolvidas na barra.
334
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O grampo de fixação força a superfície lisa contra
ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração
no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos
pontos A e B e mostre os resultados em elementos localiza­
dos em cada em um desses pontos. A área da seção transver­
sal em A e B é mostrada na figura adjacente.
9.23. Resolva o Problema 9.22 para os pontos C e D.
9.22.
������������� --r
50 mm
�������±=���=-�---L
4 kN/m
4 kN/m
Problema 9.18
Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está
sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a
tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal
média desenvolvidas no aço.
0
9.19.
30
1{J�
_L
40 mm 10 mm
50 mm
l_ H
30 mm 0A
T� f_
25 mm
Problemas 9.22/23
Problema 9.19
*9.24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo
A tensão que age nos dois planos em um ponto é de zoo com a horizontal como mostra a figura. Determine a
indicada na figura. Determine a tensão de cisalhamento no tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpen­
plano a-a e as tensões principais no ponto.
dicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga
axial de 250 N.
b
*9.20.
a
250 N
Problema 9.24
60
Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalha­
mento que age ao longo da fibra for 3,85 MPa. Se a tensão
normal ux = 2,8 MPa, determine a tensão de compressão
necessária para provocar ruptura.
9.25.
b
lTr
Problema 9.20
A tensão que age nos dois planos em um ponto é in­
dicada na figura. Determine a tensão normal ub e as tensões
principais no ponto.
9.21.
�do
A viga T está sujeita ao carregamento distribus�e�
aplicado ao longo de sua linha central. Determine as ten
principais nos pontos A e B e mostre os resultados ern
mentos localizados em cada um desses pontos.
Problema 9.25
9.26.
a
Problema 9.21
e e
lJ.
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
335
9.30. A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas.
Determine a tensão principal na viga no ponto A e no ponto
B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na par­
te inferior da alma, respectivamente. Embora a precisão não
seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular
a tensão de cisalhamento.
Problema 9.26
A haste curvada tem diâmetro de 15 mm e está sujeita
rça
fo de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão
no plano desenvolvidas no ponto A
de cis alhamento máxima
no ponto B. Mostre os resultados em elementos adequada­
mente orientados nesses pontos.
IAI
9.27.
à
e
L
__ lü mm
lü mm
200 mm
f------1 10 mm
25 kN
T
200 mm
Problema 9.30
!--- 75 mm -�- 75 mm �
O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mos­
tradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalha­
mento máxima no plano desenvolvida em qualquer lugar na
superfície do eixo.
9.31.
Problema 9.27
'9.28. A superfície superior da viga simplesmente apoiada
está sujeita à tensão de tração T Determine as tensões prin­
cipais nos pontos A e B.
0•
h
c
�.
� ___.... ____..
2
To
____.._ �
F
L/2 ---4o-- L/2 -----!
Problema 9.28
Problema 9.31
viga tem seção transversal retangular e está sujeita às
cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão
de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A
no ponto B. Esses pontos estão imediatamente à esquerda
da carga de 10 kN. Mostre os resultados em elementos ade­
quadamente orientados localizados nesses pontos.
9.29. A
e
!
lO kN
l
187 5 m
T- .,.._ 5 kN
...-._____i_,.B-- I
: �
.
'""
""""
""' , "!
[!- fi" "'
A
.
� •
•
I
. . . ..:J
'""
, _�
.
.
600 mm 1 600 mm
Problema 9.29
lj_
;i r
Um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira
de papel em espiral e colando as bordas como mostra a figura.
Determine a tensão de cisalhamento que age ao longo da li­
nha de junção localizada a 30° em relação à vertical, quando o
tubo é submetido a uma força axial de 10 N. O papel tem 1 mm
de espessura e o tubo tem diâmetro externo de 30 mm
9.33. Resolva o Problema 9.32 para a tensão normal que
age perpendicularmente à linha de junção.
*9.32.
.
150 mm
J
B
!\
.
·
5 mm
lO N
lO N
30 mm
Problemas 9.32/33
9.34. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mos­
tradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisa­
lhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A. Os
mancais suportam apenas reações verticais.
3 36
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
A viga de abas largas está sujeita à força de 50 kN.
Determine as tensões principais na viga no ponto A loca­
lizado na alma na parte inferior da aba superior. Embora a
precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento
para calcular a tensão de cisalhamento.
'9.40. Resolva o Problema 9.39 para o ponto B localizad o
na alma na parte superior da aba inferior.
9.39.
p
Problema 9.34
9.35. O tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75
mm, espessura de parede de 6 mm e pesa 0,8 kN/m. Se for
submetido a um torque e a uma carga axial como mostra
a figura, determine (a) as tensões principais e (b) a tensão
de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua
superfície na seção a.
1,2 kN
7,5 kN
12mm
10mm I I250mm
12mm
T
200mm
A j_
r--1
Problemas 9.39/40
9.41. O parafuso está preso a seu suporte em C. Se aplicar­
mos urna força de 90 N à chave para apertá-lo, determine
as tensões principais desenvolvidas na haste do parafuso no
ponto A. Represente os resultados em um elemento localiza­
do nesse ponto. A haste tem 6 mm de diâmetro.
9.42. Resolva o Problema 9.41 para o ponto B.
Problema 9.35
c
*9.36. As cargas internas em uma seção da viga são mostradas na figura. Determine as tensões principais no ponto A.
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano
nesse ponto.
9.37. Resolva o Problema 9.36 para o ponto B.
9.38. Resolva o Problema 9.36 para o ponto C localizado
no centro na superfície inferior da alma.
Problemas 9.41/42
90N
A viga tem seção transversal retangular e está sujeita
às cargas mostradas. Determine as tensões principais desen­
volvidas no ponto A e no ponto B, localizado imediatamente
à esquerda da carga de 20 kN. Mostre os resultados em ele­
mentos localizados nesses pontos.
9.43.
800kN
Problemas 9.36/37/38
kN
�
20kN
X
Problema 9.43
10 kNBF']--1100
50mm 50 mm
AJY
w :=two mn1
nun
jl(
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
w=
eixo maciço da hélice de um navio estende-se para
15 rad/s quando
operação, ele gira a
cas
d o co. Em
900 kW de potência, o que causa um
tor despenvolve MN
no eixo. Se o diâmetro externo do
u 0 de 1,23
ln!P111018
determine
as tensões principais em qual­
,
mm
50
for 2
ie do eixo.
na
superfíc
ado
localiz
nto
o
p
da hélic: de um. navio estende-se
9,4 5 , 0 eix o maciço
15 rad/s
operaçao, ele g1ra a
Em
casco.
do
ra
fo
pa �a o 0 motor desenvolve
de
kW
900
o que
potência,
nd
qu
Se
eixo.
no
MN
diâmetro
1,23
o
=
F
de
ulso
imp
um
c�usa
t erno do eixo for 250 mm, determine a tensão de cisa­
máxima no plano em qualquer ponto localizado
�bamento
na superfície do eixo.
0
,
337
=
w=
150
Pwblema 9.48
A viga-caixão está sujeita às cargas mostradas na figu­
ra. Determine as tensões principais na viga nos pontos A e B.
9.49.
6 kN
4 kN
T
F
Pl'oblemas 9.44/45
O tubo de aço tem diâmetro interno de 68 mm e diâ­
metro externo de 75 mm Se estiver preso em C e for subme­
tido à força horizontal de 100 N que age na extremidade do
cabo da chave, determine as tensões principais no tubo no
ponto A localizado na superfície do tubo.
9.47. Resolva o Problema 9.46 para o ponto B localizado
na superfície do tubo.
9.46.
.
l'wl Izoo mm
150 mm
AH
150 mmI
�
200 mm
Pl'oblema 9.49
9.50. Uma barra tem seção transversal circular com di­
âmetro de 25 mm e está sujeita a torque e a momento
fietor. No ponto de tensão de flexão máxima as tensões
principais são 140 MPa e -70 MPa. Determine o torque e
o momento fletor.
250 mm
9.51. As cargas internas em uma seção da viga consis­
tem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalha­
mento de 800 N e duas componentes de momento de
30 N · m e 40 N · m. Determine as tensões principais no ponto
B
A . Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no
plano nesse ponto.
*9.52. As cargas internas em uma seção da viga con­
sistem em uma força axial de 500 N, uma força de cisa­
c
lhamento de 800 N e duas componentes de momento de
-- y
30 N · m e 40 N · m. Determine as tensões principais no pon­
to B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima
no plano nesse ponto.
9.53. As cargas internas em uma seção da viga consis­
Pl'oblemas 9.46/47
tem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalha­
'9.48. A extremidade da viga em balanço está sujeita à car­
mento
de 800 N e duas componentes de momento de
ga m ostrada. Determine as tensões principais na viga nos
30
N
·
m
e 40 N · m. Determine as tensões principais no ponto
pontos A e B.
C. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no
plano nesse ponto.
100 N
r
L
X
338
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
C írc u l o d e M o h r - tensã o
9.4
n o plano
Nesta seção, mostraremos que as equações para
transformação da tensão no plano têm uma solução
gráfica que muitas vezes é conveniente usar e fácil de
lembrar. Além do mais, essa abordagem nos permiti­
rá 'visualizar ' qual será a variação das componentes
de tensão normal e tensão de cisalhamento u e r
à medida que o plano em que agem é orient�do é%
diferentes direções (Figura 9.15a).
As equações 9.1 e 9.2 podem ser reescritas na forma
,
SOO N
Pl'Oblemas 9.51/52/53
1119.54. A viga tem seção transversal retangular e está su­
jeita às cargas mostradas na figura. Escreva um código com­
putacional que possa ser usado para determinar as tensões
principais nos pontos A, B, C e D. Mostre uma aplicação do
código usando os valores h = 300 mm, b = 200 mm, N, = 2
kN, VY = 1,5 kN, Vz = O,MY = O e Mz = -225 N m.
_
ITx•
(
ITx + ITy
2
·
Tx'y' =
-
(
)=(
ITx - ITy
ITx - ITy
2
)
2
)
cos 28
sen 28 +
Txy
+ rxy se
n
2()
(9.9)
cos 28 (9.10)
O parâmetro 8 pode ser eliminado elevando cada
equação ao quadrado e somando as duas equações. O
resultado é
Problema 9.54
Para um problema específico, ux , u e rx são cons­
y
Y
O elemento estrutural tem seção transversal re­ tantes conhecidas. Assim, a equação acima
pode ser es­
tangular e está sujeito à carga mostrada na figura. Escre­ crita de uma forma mais compacta como
va um código computacional que possa ser usado para
determinar as tensões principais nos pontos A, B e C.
Mostre uma aplicação do código usando os valores b = 150 mm,
h = 200 mm,P = 1,5 kN, x = 75 mm, z = -50 mm, V, = 300 N, onde
e Vz = 600N.
1119 .55.
f
R =
'J
(
ITméd =
X
Problema 9.55
ITx
+
2
ux - 1Ty
2
)+
(9.12)
ITy
2
2
Txy
Se definirmos eixos coordenados com u positiva
para a direita e r positiva para baixo e então cons­
truirmos o gráfico da Equação 9.11, veremos que essa
equação representa um círculo de raio R e centro n o
eixo u no ponto C(uméct' O) (Figura 9.15b ). Esse círc t.d?
é denominado círculo de Mohr porque foi desenvol vt·
do pelo engenheiro alemão Otto Mohr.
Para construir o círculo de Mohr, em primeiro lu­
gar é necessário definir os eixos u e r (Figura 9.1 6c).
- conhe­
Como as componentes de tensão ux, uy , rry sao
_
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
339
(IJx - 1Jy) 2 + Txy2
-2-
T
( a)
(b)
Figura 9.15
cidas, o centro do círculo pode ser marcado no gráfico
C(améd , O). Para obter o raio, precisamos conhecer no
1
mínimo um ponto no cucu o. Cons1'dere o caso em
que o eixo x' coincide com o eixo x como mostra a
Figura 9J6a. Então, e = o o e aX' = uX ' T.\ y , = TX),· Esse
ponto será denominado 'ponto de referência ' A e
'
·
·'
_[_ x x'
Txy = Tx'y'
e = oo
marcaremos suas coordenadas A (ux , rx) na Figura
9.16c. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo
sombreado, agora podemos determinar o raio R, que
está de acordo com a Equação 9.12. Uma vez conhe­
cidos os pontos C e A, o círculo pode ser obtido como
mostra a figura.
x'
y' ----;...:=::±=�Txy
'
( a)
X
(b)
()"
(c)
Figura 9.16
340
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
d ve ser
usar o
Mohr.
As
Construção do círculo
tal que a abscissa represente a tens o normal u omo positiva para a direita e a
Defina umrepresentedeacoordenadas
t ns o
ordenada
positiva para baixo (Figura 9. 1 7a).*
u
" Usando a convenção de sinal positivo para comocomo
os a a Figu a . 17b, arqu o
,; (� u)/2 da origem (Figura 9. 17a).
está
localizado
no eixo a uma d stân a
Marque o ont de rên a cujas oo d nadas são A(u ). Esse ponto representa as o o tes tensão
normal e cisal ame to sobre a face vertical direita do elemento e, visto que o eixo x' coincide com o eixo isso
=
(Figura 9.17b) .
Ligue o
ao centro do círculo e determine CA por tr gono ia. Essa distância representa o raio do
círculovez(Figura
9.17a). desenhe o cír u .
" Uma
determinado
Tensão principal
"Asistotensões
principais u1 (u1 ) s r es nta as p os dois pontos e D onde o círculo intercepta o ixo
é, onde = O (Figura 9.17a).
" Essas
agem em planos (definidos
por ângulos
(Figura 9.17c). E as csão representadas no círculoe por
ângulostensões(mostrado)
o ost a o) são medid�s da
de referên ia radial até as linhas CB
respectivamente.
sa trigonom tria, somente um ângulos precisa ser alcu a o pelo
est o a
do outro. Lembre-se d ade
ota o
a
no círculo (aqui, sentido an i- or rio)
( +x) até la o
( +x') (Figura 9.17c).*
direção de rota o o eixo
Tensão de cisalhamento máxima no plano
As com o ent s te s normal média e de
a são
isa a nto máxima
círculo
como
as
c
oor na as do ponto E ou (Figura 9. 1 7a).
Nesse caso, os â gu os 0,1 d o a orientação dos planos quer contêm essas
componentes (Figura 9.17d). ângulo
ode ser determinado por t igonometria. Aqui,
20,1 é mostrado na Figura
taç o é se do horário
portanto, 0,1 deve ser sentido horário no elemento (Figura
Tensões em um plano arbitrário
"As componentes de normal de tensão cis l a ento e u agem sobre um plano especifico defi­
nido pelo
(Figura 9. 17 ) , od ser obtidas o ulo usan o rigo o a determinar as coorde­
nadas
de ângulo
onto (Figura 9. 1 7a).
Para localizar ângulo o e do para o pla o (n ss caso, em sentido ti-ho ário) (Figura ),
círculo na mesma direção 20 (sentido anti-horário) linha de referência radial até a linha radial (Figura 9.17a). *
seguintes etapas e
ã
e
'
p
•
representa O
ã
refe
ci
n
h
0°
ponto A
u ,u , T
x
x
+
ci uméd
'
A
:2: u2
e 20P2 n ã
,T
.ty
r d
d
çã
p n
tensão de
F
•
P, o
e
B
l
linha
ã
círculo, já que OP 1 e OP2
t h á
representa
l d
c
no pl no
lh me
a ro
e
e
c
CD,
90° um
mesma
ã
determinadas pelo
em
O
n ti
e,
9.17d).*
tensão
P
x,
da tensão principal,
em
p
de
R
9.17a e p
O
mp nen
metr
c
20P
referência
d
e Osz ã
l
c
el
OP1 e O 2
e
n ão
de
n
m
e
desses
çã OP d
•
ão epr
direção de r
e que
e de
centro do círc l o C, que
e
m
c lo
e
p n
r 9
i
e u2
T
ndo
X
C
20P1
•U
tr
m
r e
c
R,
u,
c
de cisalhamento T
i
u
o
de
•
círculo de
sistema
•
•
observadas para construir e
m
nh ci
p
O
de
ah m
p el
em
n
círc
u ,
x
Tx'y'
e e
an
, da
Agora, considere girar o eixo x ' de 90° no sen­
tido anti-horário (Figura 9.16b ). Nesse caso, ux, =
uY , Tx'y ' = - Txy · Esses valores são as coordenadas do
ponto G(uY , - Tx) no círculo (Figura 9 .16c). Por con­
sequência, a linha radial CG está a 1 80° em sentido
anti-horário em relação à 'linha de referência ' CA.
Em outras palavras, uma rotação 8 do eixo x ' no ele­
mento corresponderá a uma rotação 28 no círculo na
mesma direção. *
Uma vez definido, o círculo de Mohr pode ser usado
para determinar as tensões principais, a tensão de cisa­
lhamento máxima no plano e a tensão normal média
' Se, ao contrário, construíssemos o eixo r positivo para cima, então
o ângulo 28 no círculo seria medido na direção oposta à orienta­
ção e do plano.
q e
d t
n metri para
r
9.17e deve ser medido no
CA
CP
associada, ou a tensão em qualquer plano arbitrário. O
método para fazer isso é explicado no procedimen to de
análise a seguir.
A carga axial P produz o estado de tensão no
como
mostra
para esse
caso.a Figura 9.18a. Construa o círculo
SOLUÇÃO
Construção do círculo.
(TX = (T
material
de Mohr
Pela Figura 9.18a,
(Ty = o
Txy =
0
Os eixos e u estão definidos na Figura 9.18b. O
círculo Cuencontra-se
no eixo u em
centro do
p
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
T
341
(b)
(a)
frméd
(c )
(d)
\
y'
(e)
Figura 9.17
A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão nor­
+ Uy u + O u
mal média associada são identificadas no círculo como ponto
2
2
2
E ou F (Figura 9.18b). Em E temos
Pela face direita do elemento (Figura 9.18a), vemos que
as coordenadas do ponto de referência para (} 0° são
T !roáPlano 2
A(u , 0). Por consequência, o raio do círculo CA é R = u/2
u
(Figura 9.18b).
Uméd = 2
Tensões. Observe que as tensões principais estão nos pon­
tos A e D.
Por observação, o ângulo em sentido horário 2 e,1 = 90°.
Portanto, e,1 = 45o, de modo que o eixo x ' está orientado a
45° em sentido horário em relação ao eixo x (Figura
9.18c).
Como E tem coordenadas
positivas,
então
e
rmáx no agem
u
O elemento na Figura 9.18a representa esse estado de tensão
nas direções x' e y ' positivas, respectivamente. pi,no
principal.
Uméd =
Ux
=
u
méd
342
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
p
- IT
F
Pela face direita do elemento (Figura 9.19a) , as coordena­
das do ponto de referência para 8 = oo são A(O, -r) (Figura
9.19b) . Por consequência, o raio CA é R = r.
Tensões. Aqui, o ponto A representa um ponto de tensão
normal média e tensão de cisalhamento máxima no plano
(Figura 9.19b) . Assim,
T mnoáxplano =
uméd = O
(a)
( a)
�/' X
T
no plano
-
A (0, - r)
(b)
'Tmáx
-T
méd = �
5�
;
IT
2
(c)
Figura 9.18
d
x'
p
T
A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo
como mostra a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr
para esse caso.
SOLUÇÃO
Construção do círculo.
u
.t
=O
Pela Figura 9.19a,
uy
=O
rxy = -r
Os eixos u e r estão definidos na Figura 9.19b. O centro do
círculo C encontra-se no eixo u em
Uméd =
Ux + Uy
2
0+0
= --
2 =0
(b)
!\
Cl
'/'<:",
)v<j!o
1T1
=
T
""'
(c)
Figura 9.19
x'
(jl
'[(
()
cs
ri1
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
343
As tensões principais são identificadas como pontos B e
J) no círculo. Assim,
horário de CA a CB é 20P1 = 90°, de
0 ângulo em sentido
Esse
ângulo em sentido horário define
45°.
=
odo que ()
'
o
eixo
x ) . Os resultados são mostrados
(ou
a
dt
1
ão
ç
e
�dir
na Figura 9.19c.
p
12 MPa
(a)
Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A sobre
sujeito ao estado de
0 cilindro maciço na Figura 9.20a está
tensões principais
as
Determine
figura.
na
do
mostra
tensão
o.
pont
e
ness
agem
que
SOLUÇÃO
Construção do círcul o.
Pela Figura 9.20a,
= -12 MPa ay = O
O centro do círculo encontra-se em
a
X
méd =
a
'Tx
y
= 26 MPa
-12 + o = - 6 MPa
2
O
dos
ponto inicial A( -12, -6) e o centro C( -6, O) são marca­
na Figura 9.20b. O círculo é construído com raio
R
(MPa)
2,49 MPa
= �(12 - 6)2 + (6)2 = 8,49 MPa
Tensões principais. As tensões principais são indicadas
pelas coordenadas dos pontos B e D. Temos, para a1 > a2,
a1 = 8,49 - 6 = 2,49 MPa
Resposta
a2
= -6 - 8,49 = -14,5 MPa
2 ()P = tg-1 (12 � 6) = 45,0o
2
()P2 = 22,5o
(c )
Figma 9.20
Resposta
A orientação do elemento pode ser determinada pelo cál­
culo do ângulo em sentido anti-horário 2()P2 na Figura 9.20b,
que define a direção ()pz de a2 e seu plano principal associado.
Temos
elemento está orientado de modo tal que o eixo x ' ou a
e�tá dirigido a 22,5° em sentido anti-horário em relação à ho:
rtzontal (eixo x) como mostra a Figura 9.20c.
O
r
(b)
m�e:rv�eu® �.n 0 "'�
="'� "' ""
"
""�
�
�
O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no
elemento na Figura 9.21a. Determine a tensão de cisalha­
mento máxima no plano e a orientação do elemento sobre
o qual ela age.
SOLUÇÃO
Construção do círculo.
ax
= -20 MPa
Pelos dados do problema,
aY = 90 MPa
rxy
= 60 MPa
344
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A tensão d
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média sãoe
identificadas pelo ponto E ou F no círculo. Em particular' as
coordenadas do ponto E(35,81,4) dão
90 MPa
Tensão de cisalhamento máxima no plano.
T máx = 81,4 MPa
u = 35 MPa
20 MPa
Resposta
Resposta
no plano
méct
O ângulo em sentido anti-horário fJ pode ser determina­
do pelo círculo, identificado como 2881 • Temos
(a)
(
)
81
+ 35 = 42'so
28 = tg-1 20 60
{JSJ = 21,3°
SJ
Resposta
Esse ângulo em sentido anti-horário define a direção do eixo
(Figura 9.21c). Como o ponto E tem coordenadas positi­
vas, ambas, a tensão normal média e a tensão de cisalhamen­
to máxima no plano, agem nas direções x ' e y ' positivas como
mostra a figura.
x'
u
(MPa)
;;
=
s
"
"
" E���� eu�=�.� n �
"'""
T
�
"'
O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no
elemento na Figura 9.22a. Represente esse estado de ten­
são em um elemento orientado a 30° em sentido anti-horá­
rio em relação à posição mostrada na figura.
(MPa)
(b)
SOLUÇÃO
Pelos dados do problema,
Construção do círculo.
x'
21,3°
X
'(T----'---
(c)
Figura 9.21
u = -8 MPa
.T
uy = 12 MPa
rxy
= -6 MPa
Os eixos u, T estão definidos na Figura 9.21b. O centro do
círculo C está localizado sobre o eixo u em
uméd = -8 + 12 = 2 MPa
2
As coordenadas do ponto inicial para fJ = oo são A( -8, -6).
Por consequência, pelo triângulo sombreado, o raio CA é
R = �(10)2 + (6)2 = 11,66
Os eixos u, T estão definidos na Figura 9.21b. O centro do Tensões no elemento a 30°. Como o elemento deve sofrer
círculo C está localizado sobre o eixo u, no ponto
rotação de 30° em sentido anti-horário, temos de traçar a linha
radial
CP, 2(30°) = 60° em sentido anti-horário, medida em
-20 + 90 = 35 MPa
relação
a CA(fJ = 0°) (Figura 9.22b ). Agora, temos de obter as
=
fTméd
2
coordenadas do ponto P( x'' Tx'y') . Pela geometria do círculo,
O ponto C e o ponto de referência A( -20, 60) são marca­
"' = 60° - 30,96° = 29,04 °
<P = tg -1 _i_ = 30,96°
dos. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo sombre­
10
ado para determinar o raio do círculo CA, temos
Resposta
fTx, = 2 - 11,6 cos 29,04° = -8,20 MPa
R = Y(6o? + (55? = 81,4 MPa
Resposta
Tx'y' = 11,66 sen 29,04° = 5,66 MPa
(T
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
345
Te nsão e m e ixos p rovocad a
9.5
p o r ca rga axi a l e torçã o
À s vezes, eixos circulares estão sujeitos aos efeitos
combinados de carga axial e torção. Contanto que o
material permaneça linear elástico e esteja sujeito ape­
nas a pequenas deformações, podemos usar o princípio
da superposição para obter a tensão resultante no eixo
provocada por ambas as cargas. Desse modo, as ten­
sões principais podem ser determinadas por meio das
equações de transformação de tensão ou pelo círculo
de Mohr.
(a)
Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N · m são
aplicados ao eixo como mostra a Figura 9.23a. Se o diâme­
tro do eixo for 40 mm, determine as tensões principais em
um ponto P sobre sua superfície.
SOLUÇÃO
r
Cargas internas. As cargas internas consistem no torque
de 2,50 N·m e na carga axial de 900 N (Figura 9.23b ).
Componentes de tensão. As tensões produzidas no pon­
to P são, portanto,
(MPa)
(b)
r
5,66MPa
12,2 MPa
(c)
y60°
x'
Figura 9.22
u
=
Te
-=
1
= p =
A
2,50 N m(0,02 m)
= 198 '9 kPa
f (0,02 m)4
900 N = 716 2 kPa
'
1r(0,02 m) 2
·
O estado de tensão definido por essas duas componentes é
mostrado no elemento em P na Figura 9.23c.
Tensões principais. As tensões principais podem ser de­
terminadas pelo círculo de Mohr (Figura 9.23d).Aqui, o cen­
tro do círculo C encontra-se no ponto
o + 716,2
Essas duas componentes de tensão agem na face BD do elemen­
O'méd =
2 = 358,1 kPa
'
to mostrado na Figura 9.22c, visto que o eixo x para essa face está
orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao eixo x.
o ponto C (358,1, O) e o ponto de referência
As componentes de tensão que agem na face adjacente AMarcando
(0,
198,9),
vemos que o raio do círculo é R 409,7. As
DE do elemento, que está a 60° em sentido horário em rela­
tensões
principais
são representadas pelos pontos B e D.
ção ao eixo x positivo (Figura 9.22c ), são representadas pelas Portanto,
coordenadas do ponto Q no círculo. Esse ponto encontra-se
na linha radial CQ, que está a 180° em relação a CP. As co­
Resposta
u1 = 358,1 + 409,7
767,7 kPa
ordenadas do ponto Q são
u2 = 358,1 - 409,7
-51,5 kPa Resposta
ux, = 2 + 11,66 cos 29,04°
12,2 MPa
O ângulo em sentido horário 2(JP pode ser determinado pelo
2
= -(11,66 sen 29,04°) -5,66 MPa (confirme) Resposta círculo. Ele é 2(} 2
está orientado de
29,1 o. O elemento
'
f
modo tal que o e xo x ou u2 está dirigido no sentido horário
OBS ERVAÇÃO: Aqui, rx'J" age na direção -y'.
(} = 14 5o em relação ao eixo x como mostra a Figura 9.23e.
7x'y'
=
=
pi
'
=
=
=
=
346
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
!
p
N·m
N ·m
(a )
(a)
p
(b)
fo
re
eJ1
se
ell
el1
or
t r<
1
(b)
716,2 kPa
kPa
/III
111 1
(c )
r (kPa) (d)
767,7 kPa
Distribuição da
Distribuição da
tensão de cisalhamento tensão de flexão
(c)
1
1
2
2
ta i
1111
('()
/'C I
ea
r e�
llll
1 /l(
co
(e )
Figura 9.23
eh'
tór
3
3
de
t /'(1
cej
qu
O l
9.6
Va riações d e te nsão
4
4
rm
a o l o n g o d e uma vi g a
p rismática
Como as vigas resistem a cargas internas de cisalha­
mento e momento, sua análise de tensão requer a apli­
cação das fórmulas do cisalhamento e da flexão. Aqui,
discutiremos os resultados gerais obtidos quando essas
equações são aplicadas a vários pontos de uma viga em
balanço que tem seção transversal retangular e supor­
ta uma carga P em sua extremidade (Figura 9 .24a).
Em geral, em uma seção arbitrária a-a ao longo
do eixo da viga (Figura 9.24b) , o cisalhamento interno
V e o momento M são desenvolvidos de uma distri­
buição de tensão de cisalhamento parabólica e uma
distribuição de tensão normal linear (Figura 9.24c).
ll ií l
5
Componentes x-y da tensão
5
Tensões principais
(d)
(e )
Figura 9.24
O resultado é que as tensões que agem sobre elemen­
tos localizados nos pontos 1 a 5 ao longo da seção serão
como mostra a Figura 9 .24d. Observe que os elemen tos
1 e 5 estão sujeitos apenas à tensão normal m áxima, ao
passo que o elemento 3, que está sobre o eixo neutro,
está sujeito apenas à tensão de cisalhamento máxima.
Os elementos intermediários 2 e 4 resistem a am bas,
tensão normal e tensão de cisalhamento.
ga r
pri
(JCI
I nu
so
Ca r
det
Fig
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
347
r
f.--�---':.c::_:=-�
Trajetórias das tensões
para uma viga em b alanço
j___
Figma 9.25
Em cada caso, o estado de tensão pode ser trans­
formado em tensões principais pelas equações de
transformação de tensão ou pelo círculo de Mohr. Os
resu ltados são mostrados na Figura 9.24e. Aqui, cada
elemento sucessivo, 1 a 5, sofre uma orientação no
sentido anti-horário. Especificamente em relaçãoo ao
elemento 1, que consideramos estar na posição o , o
elemento 3 está orientado a 45o e o elemento 5 está
orientado a 90°. Além disso, a tensão de tração máxi­
ma, que age nas faces verticais do elemento 1 torna-se
menor nas faces correspondentes de cada um dos ele­
mentos sucessivos, até chegar a zero nas faces horizon­
tais do elemento 5. De modo semelhante, a tensão de
compressão máxima nas faces verticais do elemento 5
reduz-se a zero nas faces horizontais do elemento 1.
Se essa análise for estendida a muitas seções verti­
cais ao longo da viga, exceto a seção a-a, um perfil dos
resultados poderá ser representado por curvas deno­
minadas trajetórias de tensão. Cada uma dessas curvas
indica a direção de uma tensão principal que tem valor
constante. A Figura 9.25 mostra algumas dessas traje­
tórias para a viga em balanço. Nessa figura, as linhas
cheias representam a direção das tensões principais de
tração e as tracejadas, a direção das tensões principais
de compressão. Como esperado, as linhas interceptam
o eixo neutro a ângulos de 45°, e as linhas cheias e tra­
cejadas sempre se interceptam a 90°. Por quê? Saber
qual é a direção dessas linhas pode ajudar os engenhei­
ros a decidir onde reforçar uma viga de modo que ela
não falhe nem se torne instável.
E*EMI\fltí<Wl
Sl�ÍB
"
:h="'=
2\
viga mostrada na Figura 9.26a está sujeita ao carre­
gamento distribuído w = 120 kN/m. Determine as tensões
principais na viga no ponto P, que se encontra na parte su­
perior da alma. Despreze o tamanho dos filetes e as concen­
trações de tensão nesse ponto. I = 67,4(10-6)m4•
A
2 m -����--!
(a)
36 kN
r-;y=��
�c:!.I::J 10 mm
15 mm
r-- --,
I
I
I
I
200 mm
�H
0,15 m
1.) M
I
, , ,lj
,
=
30,6 kN·m
V = 84 kN
15 mm 175 mm
120 kN
(b)
-- 35,2 MPa
45,4 MPa
-
(c)
(d)
19,2 MPa
r
(MPa)
(e)
Figura 9.26
Componentes de tensão.
No ponto P,
-My 30,6(103 ) N · m(0,100 m)
67,4(10-6 ) m4
O" = -- =
I
=
-45 '4 MPa
Resposta
SOLUÇÃO
A reação de apoio sobre a viga em B é
determinada, e o equilíbrio da viga secionada mostrado na
Figura 9.26b produz
Cargas internas.
V = 84 kN
M = 30,6 kN·m
r = lt =
VQ
84(103 ) N[(0,1075 m)(0,175 m)(0,015 m)]
67,4(10-6 ) m4 (0,010 m)
35,2 MPa
Resposta
Esses resultados são mostrados na Figura 9.26c.
=
348
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Tensões principais. As tensões principais em P podem ser
determinadas pelo círculo de Mohr. Como mostra a Figura
9.26d, o centro do círculo encontra-se em ( -45,4 + 0)/2 =
-22,7 e as coordenadas do ponto A são A ( -45,4, -35,2).
Mostre que o raio é R = 41,9 e, portanto,
=
0'1
= (41,9 - 22,7) = 19,2 MPa
-(22,7 + 41,9) = -64,6 MPa
O ângulo em sentido anti-horário 20P2 = 57,2°, de modo
0'2
que
opz
= 28,6°
Esses resultados são mostrados na Figura 9.26e.
"'
�
�
�
�
�R®B·��
�
�
�
"'
"'
·
;;
'"0
�-"' =
Problema 9.67
Determine o estado de tensão equivalente se um ele­
mento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação
ao elemento mostrado.
*9.68.
�
·
"""'"'
Resolva o Problema 9.4 usando o círculo de Mohr.
9.57. Resolva o Problema 9.2 usando o círculo de Mohr.
9.58. Resolva o Problema 9.3 usando o círculo de Mohr.
9.59. Resolva o Problema 9.10 usando o círculo de Mohr.
Problema 9.68
*9.60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr.
9.69. Determine o estado de tensão equivalente, se um ele­
mento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação
9.61. Resolva o Problema 9.11 usando o círculo de Mohr.
ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.
9.62. Resolva o Problema 9.13 usando o círculo de Mohr.
9.63. Resolva o Problema 9.14 usando o círculo de Mohr.
*9.64. Resolva o Problema 9.16 usando o círculo de Mohr.
9.65. Resolva o Problema 9.15 usando o círculo de Mohr.
9.66. Determine o estado de tensão equivalente se um
7 MPa
elemento estiver orientado a zoo em sentido horário em
relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no
elemento.
'9.56.
'J
c
fl
Problema 9.69
Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso.
9.70.
3 MPa
!) ,'
c i�
pc
Problema 9.66
9.67. Determine o estado de tensão equivalente se um ele­
mento estiver orientado a 60° em sentido anti-horário em
relação ao elemento mostrado.
Problema 9.70
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
349
tensões principais e (b) a tensão de 9.75. A chapa quadrada de metal tem espessura de 12 mm
D etermine (a) as
plano e a tensão normal média. Es­ e está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as ten­
no
ma
máxi
<,h,,m,tau.v
sões principais desenvolvidas no aço.
a orientação do elemento em cada caso.
3,2 kN/m
Problema 9.71
Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
ame
cisalh nto máxima no plano e a tensão normal média. Es­ *9.76. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso<
pecifique a orientação do elemento em cada caso.
'9.72.
� 105MPa
-35MPa
--
Problema 9.72
Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­
pecifique a orientação do elemento em cada caso.
9.73.
Problema 9.76
Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos
seguintes estados de tensão.
9.77.
30MPa
(a)
Problema 9.73
30MPa
(b)
Problema 9.77
9.74. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de
Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Es­ 9.78.
seguintes
estados de tensão.
pecifique a orientação do elemento em cada caso.
2 MPa
45MPa
(a)
Problema 9.74
(b)
Problema 9.78
(c)
350
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois es­
tados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine
o estado de tensão resultante com referência a um elemento
orientado como mostrado na parte inferior da figura.
9.79.
9
[
p
ti
kPa
+
45 kPa
18 kPa
Problema 9.83
A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seçüo
transversal mostrada na figura. Se ela estiver presa à engre­
nagem em B e não girar quando submetida a uma força de
400 N, determine as tensões principais no material na seçüo
transversal no ponto C.
'9.84.
Problema 9.79
*9.80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura
9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre que determinar as
coordenadas do ponto P(ux'' rx'y') no círculo dá o mesmo va­
lor que as equações de transformação de tensão (equações
9.1 e 9.2).
9.81. A barra retangular em balanço está sujeita à força de
25 kN. Determine as tensões principais no ponto A .
40mm
7,5 mm
Problema 9.84
A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m
Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamenlo
ponto D que agem nos sentidos perpendicular e paralelo à;
fibras, respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam
ângulo de 30° com a horizontal, como mostra a figura.
9.85.
25 kN
Problema 9.81
Resolva o Problema 9.81 para as tensões principais
no ponto B.
9.82.
110
um
40mm
H
]zoo
lOO mm
25 kN
Problema 9.82
Os degraus da escada rolante estão apoiados nos dois
lados pelo pino móvel em A e pelo rolete em B. Se um ho­
mem que pesa 1.500 N ( 150 kg) estiver em pé no centro
do degrau, determine as tensões principais desenvolvidas na
seção transversal no ponto C. Os degraus movem-se à velo­
cidade constante.
9.83.
=
4m
_l_
� �
•
50 mm
100 mm
Problema 9.85
mm
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
a carga distribuída de 200 N/m.
a suporta
estrutur
normal
tensão de cisalhamento no
são
ten
a nos sentidose a perpendicular
e paralelo às
queectagivaemmente.
as
ponto,
fibras
Nesse
formam um
sp
rede 60° com a horizontal, como mostra a figura.
A
E
9.87. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está suj eita à
de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de
força
cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e
no ponto B. Mostre os resultados em elementos localizados
nesses pontos.
�200mm
100mm
W
Problema 9.87
SOmm
l�OOmm�
4m
�
9.7
_i
Tensão d e cisa l h a m e nto
Quando um ponto em um corpo está sujeito a um
estado de tensão geral tridimensional, um elemento de
material tem uma componente de tensão normal e duas
componentes de tensão de cisalhamento que agem em
cada uma de suas faces (Figura 9.27a). Como no caso
--<
z'
z
�
x'
y
y'
( a)
(b)
--<
z'
x'
600N
máxi m a a bsol uta
Problema 9.86
X
351
y'
2
(d)
Figura 9.27
Tensão triaxial
(c)
O'mfn
352
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
o-
da tensão no plano, é possível desenvolver equações de
transformação de tensão que podem ser usadas para
determinar as componentes de tensão normal de ci­
salhamento T que agem em qualquer plano oblíquo do
elemento (Figura 9.27b ). Além do mais, também é pos­
sível determinar no ponto a orientação exclusiva de um
elemento sobre cujas faces ajam somente tensões princi­
pais. Como mostra a Figura 9.27c, considera-se que essas
tensões principais têm amplitudes de intensidade máxi­
ma, intermediária e mínima, isto é, (Jm áx 2:: (Jint 2:: (Jmin '
A discussão da transformação de tensão em três di­
mensões não está no escopo deste livro; todavia, ela é
discutida em livros que tratam da teoria da elasticidade.
Para nossa finalidade, consideraremos que a orientação
principal do elemento e as tensões principais são co­
nhecidas (Figura 9.27c). Essa é uma condição conhecida
como tensão triaxial. Se visualizarmos esse elemento
em duas dimensões, isto é, nos planos y ' - z ' , x' -z' e
x' -y ' (figuras 9.28a, 9.28b e 9.28c), podemos usar o cír­
culo de Mohr para determinar a tensão de cisalhamento
máxima no plano para cada caso. Por exemplo, o diâ­
metro do círculo de Mohr estende-se entre as tensões
principais o-int e min no caso mostrado na Figura 9.28a.
Por esse círculo (Figura 9.28d), a tensão de cisalha­
mento máxima no plano é (Ty,z )máx ( m1 - mm. )/2 e a
tensão normal média associada é (a-int + a-min)/2. Como
mostra a Figura 9.28e, o elemento sobre o qual estej am
essas componentes de tensão deve estar orientado a 45°
o-
z'
z'
ITint
L_____
(a)
T
y'
= o-.
y'
Umáx
frmáx
x ' -------'
(b)
L--- X '
(c)
(d)
z'
z'
(e)
o-
(f)
Figura 9.28
(g)
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
posição do elemento na Figura 9.28a. Os
e relação à
�culos de Mohr para os elementos nas Figuras 9.28b e
tamb ém foram representados na Figura 9.28d. Os
orientados a
Íementos correspondentes que estejam
de
tensão
de
cisalhamento
componentes
a
s
eito
suj
:so e plano e tensão norm l média são mostrados
�
máxima no
mente.
respectiva
9.28g,
e
9.28f
ras
gu
na s Fi
ír
os
três
c
culos
na
Figura 9.28d, vemos
do
paran
m
Co
cisalhamento
máxima
absoluta, rabs máx'
de
são
ten
que a
círculo
que
tem
o
maior
raio,
o que ocorre
pelo
inida
e
éd f
mostrado
na
Figura
9.28b.
Em
outras pa­
mento
ele
a
0
par
orientado
está
9.28f
por uma
Figura
na
nto
eleme
o
as,
lavr
' em relação ao elemento
em
tomo
do
eixo
y
45°
de
o
açã
rot
na Figura 9.28b. Observe que essa condição também pode
ser determinada diretamente apenas escolhendo as tensões
principais máxima e mínima na Figura 9.27c, caso em que
a tensão de cisalhamento absoluta máxima será
�Se
T abs
máx =
rrmáx
E a tensão normal média
CTméd =
CTmáx
-
2
rrmín
(9.13)
associada será
2
+
CTmín
(9.14)
353
tensão de cisalhamento máxima no plano seJ· a (rx,y,)m,,a..x =
( crmáx crint)/2, esse valor não é a tensão de cisalhamento máxima absoluta à qual o material está sujeito. Em
vez disso, pela Equação 9.13 ou Figura 9.29b,
-
- ==
T abs
(
.
'T x'z'
) máx
==
CTmáx
2
-
O
==
CTmáx
--
2
(9.1 5)
No caso em que uma das tensões principais no plano
tem sinal oposto ao da outra, então essas tensões serão
representadas como crmáx e crmín e a tensão principal fora
do plano crint = O (Figura 9.30a). Os círculos de Mohr
que descrevem esse estado de tensão para orientações
de elementos em torno de cada eixo coordenado são
mostrados na Figura 9.30b. Claramente, nesse caso,
'T abs
máx
==
( Tx'y' ) máx
•
==
rrmáx
-
2
rrmín
(9.16)
O cálculo da tensão de cisalhamento máxima ab­
soluta como indicado aqui é importante no projeto de
elementos estruturais feitos de material dútil, visto que
a resistência do material depende de sua capacidade
de resistir à tensão de cisalhamento. Essa situação será
discutida também na Seção 10.7.
'
z
A análise considerou somente as componentes de ten­
são que agem em elementos localizados em posições de­
terminadas por rotações em tomo do eixo x ' , y ' ou z'. Se
tivéssemos usado as equações de transformação de ten­
são tridimensionais da teoria da elasticidade para obter
valores das componentes de tensão normal e de tensão
de cisalhamento que agem sobre qualquer plano oblíquo
arbitrário no ponto, como na Figura 9.27b, poderíamos
mostrar que, independentemente da orientação do plano,
valores específicos da tensão de cisalhamento T no plano
sempre serão menores do que a tensão de cisalhamento
máxima absoluta determinada pela Equação 9.13. Além
disso, a tensão normal cr que age em qualquer plano terá
um valor que se encontrará entre as tensões principais
máxima e mínima, isto é, crmáx 2':. cr 2':. cr , .
x'
y'
Tensão no plano x'-y '
( a)
mm
Esses resultados têm uma im­
plicação importante para o caso da tensão no plano,
em particular quando as tensões principais no plano
têm o mesmo sinal, isto é, ambas são de tração ou am­
bas são de compressão. Por exemplo, considere que o
material está sujeito à tensão no plano de modo tal
que as tensões principais no plano são representadas
como crmáx e crint nas direções x ' e y ' , respectivamente,
enquanto a tensão principal fora do plano na direção
z' é crm = O (Figura 9.29a). Os círculos de Mohr que
ín
descrevem esse estado de tensão para orientações de
elemento em torno dos três eixos coordenados são
mostrados na Figura 9.29b. Aqui, vemos que, embora a
Tensão n o p l a n o .
l7máx
( (Tx•z)máx
T
(Tx'y')máx
\_Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento máxima no plano
máxima ab soluta
(b)
Figura 9.29
354
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
z
'
G"m áx
Um áx
(rxy)m áx
Tensão no plano x'-y'
(a)
' .
. !hamento maxtma
�ensao
\__ ,.,
• de cisa
y'
no plano e tensão máxima absoluta
T
(b)
Figura 9.30
ésiado çletensã'o gerahridi:mensiÔnal em l.lm pontô.pode ser representado por um e1el11efl.tq pt;ientaqo çl e inodo
�qne sQ:m�nt,e três tensõl'!s principais ajatn sobre ele,
·. ·.·· . ...
.
.
• Por essa mientação? pode 7se . obter a orie�taç!to do. ele:mento .. que representa a tensão. de •ds.&1hamento :máxi.tna
absolu�a pela rotaçãO do elemento 45" em torno do eixo que define a direção de o-1.r- .
. . . ..
• Se 1;1mbasas tensões principais no plano tiverem .o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento máxima ubsoluta oco.rrerá
jol'a do p/ano eterá UJ1l ValOr Tabs má< = ir rnál2 '
• Se as tensões principais no plano tiverem s inais opostos, então a tensão decist;�lhamento máxima absoluta é iguqld
tensãode Cisa}J!amentO tnáxima no plano; isto é, Tabsmá� = (O'máx - G"rnfn)/2.
.
·
.
··
.
.
-
· ·
.
26 = tg-l ( 20 40- 10 ) = 76,0°
Ell� Ell i'VI �I1\� 1'1.11�
Devido ao carregamento aplicado, o elemento no ponto Portanto,
sobre
estrutura
na Figura
9. 3 1a estáas sujeito
estado pla­e a
6 = 38,0°
no de atensão
mostrado.
Determine
tensõesaoprincipais
tensão de cisalhamento máxima absoluta no ponto.
Essa
rotação
eme seusentido
m1fi-horário define a direção do
eixo
ou
plano
principal
associado (Figura 9.31c).
SOLUÇÃO
Como não h'ánenhuma tensão principal no elemento na di­
reção temos
Tensões principais. As tensões principais no plano podem
ser determinadas pelo círculo de Mohr. O centro do círculo
= 31,2 kPa
= -51,2 kPa Resposta
encontra-se no eixo em = (-20 + 0)/2 = -lO kPa.
Marcando o ponto de referência A( -20, -40) em gráfico, o Tensão de cisalhamento máxima absoluta. Pelas
círculo de Mohr pode ser obtido como mostra a Figura 9.31b. ções 9.13 e 9.14, temos
O raio é
31,2 -( -51,2) = 41,2 kPa
R = �(20 - 10f + (40)2 = 41,2 kPa
2
Resposta
As tensões principais encontram-se nos pontos onde o círcu­
lo intercepta o eixo isto é,
31,2 - 51,2 = _ 10 kPa
_ 2+
méd = -10 + 41,2 = 31,2 kPa
2
= -10 - 41,2 = -51,2 kPa
bem, -opodem
OBSERVAÇAO: Esses mesmos resultados tam
.
.
,
ser obtidos pelo c1rcu1o de Mohr para cada onentaça
Pelo
círculo,
o
ângulo
26,
medido
no
sentido anti-horário de elemento em torno dos eixos y' e (Figura 9. 3 1 d) . Co01,0
CA ao eixo
é
e têm sinais opostos, a tensão de cisalhamento
�
. .
x'
G"
•
z,
u
um
éct
umá
x
un
i t = O
umín
equa ·
abs
7máx
u;
umáx
u
Um
áx
unún
Umín
-u,
G" á
m
x
umí
n
x',
z
'
de unt
ma ·
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
355
A
y'
t-+
20 kP'
40 kPa
L--- X
(a )
(kPa)
(b)
'
r
2(! = 76,0° + 90°
=
166°
A
lO kP
u
Tabs
máx
(c)
= 41,2 kPa
'
z ,
to na superfície do vaso de pressão cilíndrico na Figura a 9.pon
3
2
a
sujeito ao estado plano de tensão. Determine
tensão deestácisalhamento
máxima absoluta nesse ponto.
O
SO LUÇÃO
tensões principais são umáx = 32 MPa, urnt 16 MPa e
Se essas tensões forem representadas em gráfico ao
As
mrn = O.
rr
T
(kPa)
(kPa)
( e)
(d)
Figma 9.31
xima absoluta é igual à tensão de cisalhamento máxima no
plano. Isso resulta de uma rotaçãodedemodo
45° doqueelemento
na
o
elemento
Figura
9.
3
1c
em
torno
do
eixo
adequadamente orientado é mostrado na Figura 9.31e.
=
)
x'
longo do eixo u, poderemos construir três círculos de Mohr
que descrevem o estado de tensão visto em cada um dos
três planos perpendiculares (Figura 9.32b) . O maior círculo
tem raio de 16 MPa e descreve o estado de tensão no plano
que contém umáx 32 MPa e umín O e é mostrado pelo
sombreado
Figuraplano
9.32a.produz
A orientação de um elemento
a 45° dentronadesse
o estado da tensão de ci­
salhamento
máxima
absoluta
e
a
tensão normal associada,
a saber,
Resposta
'�"abs máx = 16 MPa
uméd 16 MPa
Esses mesmos
resultados
direta
das equações
9.13 epodem
9. 14;istoseré, obtidos pela aplicação
=
=
=
356
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 9.32
- mín - --32 - O - 16 MPa Resposta
2+
2+ O
32
Umáx crmín
me'd 2 - --2 - 16 MPa
Por comparação, a tensão de cisalhamento máxima no pla­
ser determinada pelo círculo de Mohr desenhado entre
no pode
= 32 MPa e
= 16 MPa (Figura 9.32b). Isso dá um valor de
32 - 16 = 8 MPa
=
2
32 - 16 = 24 MPa
Uméd = 16 +
2
_
T abs má'
cr
crmáx
_
cr
máx
cr
_
_
_
_
r
(MPa)
(b)
9.89. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem
um
dos seguintes estados de tensão.
cada
15 MPa
crint
T máx
no phmo
(a )
Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem
cada um dos seguintes estados de tensão.
'9.88.
6 MPa
(b)
Problemn 9.89
A tensão em um ponto é mostrada no
termine
as tensões principais e a tensão de
xima absoluta.
9.90.
e!emento. IJ�
cisalhamento nl:t
x�Y
z
( d)
Problema 9.88
(e)
80 MPa
Problemn 9.90
TRANSFORMAÇÃO
DE TENSÃO 357
9.94. Considere o caso geral de tensão no plano mostrado
mostradade no elemento.to De­
um pontos e éa tensão
tasenstenãosõesemprincipai
Escreva um código computacional que mostrará
cisalhamen má- naumafigura.
representação
gráfica dos três círculos de Mohr para o
absoluta.
elemento e também calcule a tensão de cisalhamento máxi­
ma no plano e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
A
7 MPa
Problema 9.91
o em um ponto é mostrada no elemento. De­
tensã
tensões principais e a tensão de cisalhamento má­
as
xjma absoluta.
'9,92.
A
termine
90 MPa
Problema 9.94
9.95. O eixo maciço está sujeito a torque, momento fletor
etensões
força deprincipais
cisalhamento
comonosmostra
Determine as
que agem
pontosa figura.
A e B e a tensão de
cisalhamento máxima absoluta.
}K)
45 N·m
300 N·m
Pl'Oblema 9.92
'
�J
(
'
800 N
As tensões principais que agem em um ponto em um
são mostradas na figura. Desenhe os três círculos de
Problema 9.95
que descrevem esse estado de tensão e determine as
de cisalhamento máximas no plano e as tensões nor­ '9.96. O parafuso está preso a seu suporte em C. Se a força
médias
associadas para os planos
e Para de 90 N for aplicada à chave para apertá-lo, determine as
cdiardaeçãocaso,adeqmostre
os
resultados
no
elemento
orientado
na tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima ab­
uada.
soluta desenvolvidas na haste do parafuso no ponto A. Re­
presente os resultados sobre um elemento localizado nesse
ponto. A haste tem diâmetro de 6 mm.
9.97. Resolva o Problema 9. 9 6 para o ponto B.
9.93.
corpo
Mohr
tensões
mais
x-y, y-z
Problema 9.93
x-z.
Problemas 9.96/97
358
RESISTti\ICIA DOS MATERIAIS
ux
A tensão no plano ocorre quando o material
em um ponto está sujeito a duas componentes
e u e a uma de tensão
Y
de cisalhamento Txy· Contanto que essas com­
de tensão normal
ponentes sejam conhecidas, as componentes
de tensão que agem sobre um elemento que
tenha orientação diferente podem ser deter­
minadas pelas
duas equações de equilíbrio de
I
y
x'
força ou pelas equações de transformação de
lfy lfx Tx'y' lfx lfy sen
tensão.
lf.<' =
lfx +
2
e
lfy
+ --2-- cos 20 +
= ----2
20 +
rxy
rxy
sen 2 0
-- X
cos 20
Para projeto, é importante determinar as
orientações do elemento
que produzam as
tensões normais principais máximas e a tensão
de cisalhamento máxima no plano. Pelas equa­
ções de transformação de tensão, constata-se
que nenhuma tensão de cisalhamento age nos
=
Uy )(lfx - ) x/
planos de tensão principal.
lft,2
lfx +
--2-- ±
lfy 2
--2-+
Os planos de tensão de
T
cisalhamento máxima
x
tensão normal média associada ( u + u
são orientados a 45° em relação a essa orien­
)((]"
tação e, nesses planos de cisalhamento, há uma
T má.'t
no plano
X
- (T
)'
--2--
Ux + lfy
(Tméd = --2--
)
2
+
Y)/2.
2
T.ry
li
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
de Mohr fornece um auxilio gráfico
a tensão em qualquer plano,
normais principais e a tensão de ci­
máxima no plano. Para desenhar o
s eixos IJ" e T são definidos, e o centro
C [(ux + uy)/2, O] e o ponto de refe­
(ux, rxy) são representados em gráfico.
do círculo estende-se entre esses dois
e é determinado por trigonometria.
de cisalhamento máxima absoluta
igual
à tensão de cisalhamento máxima
contanto que as tensões principais
fTrnJn
tenham sinais opostos. Se elas tive­
o mesmo sinal, a tensão de cisalhamento
absoluta se encontrará fora do plano.
fTmáx
('Tx'z')máx = 'Tabs
máx
359
360
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no
um pontoe éa tensão
mostradade cisalhamento
no elemento. má­
De­ nesse
ponto.
termineAastensão
tensõesemprincipais
xima absoluta.
9.102. As cargas internas que agem sobre uma seção
versal no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mrn
de diâmetro consistem em uma força axial de 12,5 kN, urn
momento fietor de 1,2 kN m e um momento de torção de
2,25 kNtambém
· m. Determine as tensões principais no ponto
J 120 MPa
Calcule
a tensão de cisalhamento máxima no
x�Y
nesse ponto.
9.98.
pla no
tran s­
z
·
B.
plano
90
2,25 kN·m
Problema 9.98
9.101/102
O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 9.103. Determine Problemas
o estado
de tensão
em umo
msoldadas
e espessura
de parede
15 mm.de junção
É feito de chapas de aço
se ele estiver
orientado
a 30° equivalente
em sentido horári
ao longo
de umadelinha
a 45° em relação elemento
à horizontal. Determine as componentes de tensão normal e em relação ao elemento mostrado. Use as equações de
da tensão de cisalhamento ao longo dessa linha de junção, se formação de tensão.
o vaso estiver sujeito a uma pressão interna de 3 MPa.
9.99.
trans­
300 kPa
1,25 m
Problema 9.99
Determine o estado de tensão equivalente, se um
elemento estiver orientado a 40° em sentido horário em re­
lação ao elemento mostrado. Use o círculo de Mohr.
*9.100.
Problema 9.103
O estado de tensão em um ponto em um elemento
estrutural
é mostrado
no elemento.
DetermineAB.as compo·
nentes de tensão
que agem
no plano inclinado
'9.104.
A
50 MPa
Problema 9.100
9.101. As cargas internas que agem sobre uma seção trans­
versal
no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mm
de diâmetro consistem em uma força axial de 12,5 kN, um
momento fietor de 1,2 kN m e um momento de torção de
2,25 kN · m. Determine as tensões principais no ponto A.
·
B
Problema 9.104
ransformação a
ef r maça
DO CAPÍTU LO
tu
tra n sform açã o da deformação e m um ponto é sem e l h a nte à da tensão e , por isso, os m étodos do Capí­
a q u i . D iscuti remos tam bém vários m odos de m e d i r deformações e d esenvolveremos
l o 9 serão a p l icados
ções i mportantes com as propriedades do materi a l , entre e l a s u m a forma g e n e ra l iza d a da l e i de
algu m a s rela
fi
Hooke. N o n a l d o capítu lo, discuti remos a lg u ma s das teorias usadas para prever a fa l h a d e u m m ateri a l .
deformação por cisalhamento, y, , · As deformações de
um elemento provocadas por cada uma dessas tensões
de deformações são ilustradas na Figura 10.1. Observe
que as deformações normais são produzidas por mu­
danças no comprimento do elemento nas direções x e y
enquanto aquelas por cisalhamento resultam da rota­
ção relativa de dois lados adjacentes do elemento.
Embora a deformação plana e a tensão plana te­
nham, cada qual, três componentes que se encontram
no mesmo plano, entenda que tensão plana não causa
necessariamente deformação plana ou vice-versa. A
razão disso tem a ver com o efeito de Poisson discuti­
do na Seção 3 .6. Por exemplo, se o elemento na Figura
10.2 for submetido a tensão plana a_, e ay' não somente
se produzirão deformações normais Ex e EY , mas haverá
também uma deformação normal associada, Ez. Obvia­
mente, esse não é um caso de deformação plana. Desse
modo, em geral, a menos que
O, o efeito de Pois­
san impedirá a ocorrência simultânea de deformação
plana e tensão plana. Devemos salientar também que,
uma vez que a tensão de cisalhamento e a deformação
por cisalhamento não são afetadas pelo coeficiente de
Poisson, a condição X Z
O.
yz O exige "I'XZ
I )'Z
Defo rmaçã o p l a n a
Como descrevemos n a Seção 2.2, o estado geral de
deformação em um ponto em um corpo é representado
por uma combinação de três componentes de defor­
mação normal, Ex , EY , Ez ' e três de deformação por cisa­
Jhamento, 'Yxy ' 'Yxz ' 'Yyz ' Essas seis componentes tendem
a deformar cada face de um elemento do material e,
como ocorre com a tensão, as componentes da defor­
mação normal e da deformação por cisalhamento no
ponto variarão de acordo com a orientação do elemen­
to. As componentes da deformação em um ponto cos­
tumam ser determinadas por meio de extensômetros
(medidores de deformação) que medem essas compo­
nentes em direções específicas. Contudo, para análise e
projeto, às vezes os engenheiros precisam transformar
esses dados para obter as componentes da deformação
em outras direções.
Para entender como isso é feito, em primeiro lugar
vamos dedicar atenção ao estudo da deformação pla­
na. Especificamente, não consideraremos os efeitos das
componentes E z ' 'Yxz e 'Yyz ' Logo, em geral, um elemento
deformado no plano está sujeito a duas componentes
de deformação normal, Ex , EY , e a uma componente de
v=
y
y
= "' =
r =r =
y
1
l'xy
2
� - - - - - -
1--_;,--""-----
I
I
I
I
I
t
I
I
dy
LL
' --�--LLJ_-------- X
Deformação normal Ex
Deformação normal Ey
(a)
(b)
Figura 10.1
I
I
I
I
I
I
I
_
---
-
_
,
I
I
I
I
I
2
/'xy
��
- -----����------- X
�-
Deformação por cisalhamento l'xy
(c)
362
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
r�rI
y
z
+<,dy
A
dy
o
---
--
Yxy
I +2 Yxy
f
I
+ 2
I
I -- - -
dx
( a)
-
í
I
I
I
I
I
I
I
I
-'
\.'_ +Exdx
X
y
y'
Estado plano de tensão, O'.n O'y, não causa estado
plano de deformação no plano x-y desde que Ez * O.
Figura 10.2
1 0. 2
E q u a ções g e ra i s d e
(b)
tra n sfo r m a çã o n o p l a n o
Convenção de sinal positivo
d e d efo rmaçã o
Na análise do estado plano de deformação, é im­
portante estabelecer equações de transformação que
possam ser usadas para determinar as componentes x',
y' da deformação normal e daquela por cisalhamento
em um ponto, desde que as componentes x, y da de­
formação sejam conhecidas. Em essência, esse é um
problema de geometria e requer relacionar as defor­
mações e rotações de segmentos de reta diferenciais
que representam os lados de elementos diferenciais
paralelos a cada conjunto de eixos.
Conve n çã o de si n a l . Antes de desenvolver as
equações de transformação da deformação, é preciso
definir uma convenção de sinal para as deformações.
Essa convenção é a mesma estabelecida na Seção 2.2 e
será definida novamente aqui para a condição de esta­
do plano de deformação. Com referência ao elemento
diferencial mostrado na Figura 10.3a, as deformações
normais Ex e EY serão positivas, se provocarem alon­
gamento ao longo dos eixos x e y, respectivamente, e
aquelas por cisalhamento Yxy serão positivas, se o ângu­
lo interno AOB ficar menor que 90°. Essa convenção
de sinal também segue a correspondente usada para
o estado plano de tensão (Figura 9.5a), isto é, u , uY ,
x
Txy positivas provocarão
no elemento nas
, , deformação
,
direções Ex , EY , Yxy positivas, respectivamente.
Aqui, o problema será determinar, em um ponto,
as deformações normais e de cisalhamento Ex'' Ey'' Yx 'y''
medidas em relação aos eixos x' e y', se conhecermos
Figma 10.3
Ex , E>', Yxy medidas em relação aos eixos x,y. Se o ângulo
.
entre os eixos x e x' for 8 então, ass1m como ocorre
com o estado plano de tensão, 8 será positivo, contanto
que siga a curvatura dos dedos da mão direita, isto é,
sentido anti-horário, como mostra a Figura 10.3b.
Defo rmações normal e por cisa l hamento.
Para desenvolver a equação de transformação da de·
formação e determinar Ex'' temos de determinar o alon·
gamento de um segmento de reta dx' que se encontra
ao longo do eixo x' e está sujeito às componentes da
deformação Ex' EY , Yxy ' Como mostra a F�gura 10.4� as
componentes da reta dx' ao longo dos e1xos x e y sao
dx
dy
=
=
dx' cos e
dx' sen 8
(10.1)
Quando ocorre a deformação normal positiva e,
(Figura 10.4b ), a reta dx sofre um alongamento ci:;•
o que provoca um alongamento E dx cos 8 na reta l\
Do mesmo modo, quando ocorréx E>' (Figura 10.4c) , a
reta dy sofre um alongamento E ,dy, o que provoca. um
alongamento E ,dy sen 8 na reta> dx, . por fim, constd c·
r ando que dx p�rmaneça fixa na posição, a defonnaçao
Por cisalhamento y·'.Y , que é a mudança no ângulo �?tr�
dx e dy, provoca o deslocamento Y.x;•dy para a dtl'C I ·
ta da extremidade da reta dy, como mostra a F't gU f'l
10.4d. Isso acarreta o alongamento yxydY cos 8 na retH
dx' . Se esses tres alongamentos forem somados' o a1on·
gamento resultante de dx' será
ôx' = Ex dx cos 8 + Ey dy sen 8 + Yxy dy cos 8
·
�
A
•
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
Como mostra a Figura 10.4e, a reta dy' sofre uma
rotação de {3o Podemos determinar esse ângulo por
uma análise semelhante ou simplesmente substituindo
e por e + 90° na Equação 10o3o Usando as identidades
sen(e + 90°) = cos e, cos(e + 90°) = -sen e, temos
Pela Equação 202, a deformação normal ao longo
reta dx' é Ex, = ox' /dx ' o Portanto, usando a Equação
t emos
E
x' ::::
cos2 e + €.y seif e + 'Yxy serr e cos e
€.x
{3 =
(1002)
A
equação de transformação da deformação para
det ermin ar 'Yx'l pode ser desenvolvida considerando-se
quantidade de rotação que cada um dos segmentos de
quando sub�et�do às compo�entes
:eta dx' e dy'çãosofre
E
,
E
x Y , 'Yxy o Em pnmerro lugar, considera­
da deforma
dx' , definida pelo ângulo em sentido
de
ão
remos a rotaç
na Figura 10.4eo Esse ângulo
mostrado
a
anti-horário
pelo
ado
deslocamento oy' pela ex­
determin
pode ser
Para
obter
oy' , considere as três
/dx'
oy'
=
pressão a
deslocamento
seguintes
do
que agem na
entes
compon
,
que
dá
-E
de
E
dx
sen
e
(Figura
10.4b);
uma
x
x
direção y ' :
dy
cos
e
(Figura
10.4c);
ea
,
que
dá
€.
de
E
Y
uma outra
Y
(Figura
y
e
dá
sen
Assim,
y
d
que
'
10.4d)o
x
últim a de 'Yxy
8y' , provocada pelas três componentes da deformação, é
o
ôy'
- E dx serr e
x
=
y
+
y
a = (-Ex + Ey) serre cos e
y'
y
y'
x'
()
d------------�
y dx' i
dx
i
I
I
I
Antes da deformação
( a)
= -(-Ex +
Visto que a e {3 representam a rotação dos lados
e dy' de um elemento diferencial cujos lados es­
tavam originalmente orientados ao longo dos eixos x'
e y ' e que {3 está na direção oposta de a, Figura 10.4e,
então o elemento está sujeito a uma deformação por
cisalhamento de
'Yx'y' = a - {3 =
(10.4)
Usando as identidades trigonométricas sen 28 =
(1 + cos 2e)/2 e sen2 e + cos2
(} = 1, podemos rescrever as equações l0o2 e 10.4 na
forma final
2 sen (} cos e, cos2 e =
(1003)
y
y' Eyd1I�ydy
dy Eydy () dx'
'IL- � -- ---x
Ey
cos()
x'
Deformação normal
(b)
Deformação por cisalhamento
(d)
-2(€.x - €.y) sen e cos e
+ 'Yxy( cos2 e - sen2 e )
X
y'
Ey) cos e sen e - 'Yxy cos2 e
dx '
oy'!dx ' , temos
- 'Yxy sen2 e
( -Ex + Ey) sen (e + 90° ) cos( & + 90° )
- 'Yxy sen2( e + 90°)
€.y dy COS e - 'Yxy dy sen e
Pela Equação 1001, com a =
363
l'xy
Figura 10.4
()
sen(J
- - 12_
--------------- -�
Ex
_ _ _ _ _ _ _ _ _
Deformação normal
(c )
(e)
/
364
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
y'
\\
y
\\
x'
{)
Deformação normal positiva, Ex•
( a)
Ex' =
Ex + Ey
2
+
Ex - Ey
2
'Yxy
cos 28 + 2 sen 28
( Ex - Ey ) sen 28 + 'Yxy cos 28
=
2
2
2
'Yx'y'
Deformação por cisalhamento positiva, 'Yx'
(b)
Figura. 10.5
(10.5)
(10.6)
Essas equações de transformação da deformação
dão a deformação normal Ex, na direção x ' e a defor­
mação por cisalhamento 'Yx'y ' de um elemento orien­
tado a um ângulo 8, como mostra a Figura 10.5. De
acordo com a convenção de sinal estabelecida, se E ",
é positiva, o elemento alonga-se na direção de x ' po ­
sitivo (Figura 10.5a) e, se yx,y. é positiva, o elemento
deforma-se como mostra a Figura 10.5b. Observe que
essas deformações ocorrem como se a tensão normal
positiva rrx' e a de cisalhamento positiva rx'y' agissem
sobre o elemento.
A deformação normal na direção y ' , se exigida,
pode ser obtida pela Equação 10.5 com a simples subs­
tituição de 8 por (8 + 90°). O resultado é
Ex + Ey
Ey• = --2
Ex - Ey
2
cos 28
y
y'
'Yxy
- -sen
28
2
(10.7)
Devemos notar a semelhança entre as equações
10.5, 10.6 e 10.7 e as utilizadas na transformação no es­
tado plano de tensão, equações 9.1, 9.2 e 9.3. Por com­
paração, rrx , rry , rrx , , rr}.. correspondem a Ex , Ey , Ex. , E),. ; e
rxy ' rx'y' correspondem a 'Y.q/2, 'Yx•y,/2.
Como ocorreu com
a tensão, a orientação de um elemento em um ponto
pode ser determinada de modo tal que a deformação
do elemento seja representada por deformações nor­
mais, sem nenhuma por cisalhamento. Quando isso
ocorre, as deformações normais são denominadas
deformações principais e, se o material for isotrópico,
os eixos ao longo dos quais essas deformações ocor­
rem coincidirão com os eixos que definem os planos
da tensão principal.
Pelas equações 9.4 e 9.5 e pela correspondência já
mencionada entre tensão e deformação, a direção do
eixo e os dois valores das deformações principais E 1 e
E2 são determinados por
(10.8)
_
E1,2 -
2
\j
f ( Ex - Ey )z
Ex + Ey
±
2
'Yxy
+ ( 2 )z
(10.9)
Defo rmaçã o por cisa l h a m ento máxima no
p l a n o . Pelas equações 9.6, 9.7 e 9.8, a direção do
eixo e a deformação por cisalhamento máxima no pia·
no e a deformação normal média associada são deter·
minadas pelas seguintes equações:
tg 28s
Ex - Ey
= - ( 'Yxy )
(10.1 0)
(10.11 )
Defo rmações prin cipais.
Eméd=
2
(10.12)
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
365
de defon#ação é .r'tepr,�seí:ltatlto pêlái
\l;ll!�çpíeS l?dtlci�•aj�,,, ne�:t1.IJ:u):lla
' s,d<�fPl
·
.
·
,
·· · · ·• . · · · ··• · .
•
·
•
oeleménfo:
•·'
·· . · . •. ·�·, · ·, ·.··
,
. · ,,
.· •. .
\
.·
.
·
·
def<:írmação no ponto tarubéjll pode ser tepresentado:c�111o a deiormação.pot dsalhàmento ru
an�·
caso, uma deformação norjlla} médiatam�é� !lgirá so!J:re � ele111ento. . . ,
. ·..· . . .. . · ·.' . . >' .· •
,
. . •,norruais;medias
que repref!enta·a deforma,ção por cisàlhamertto
.
no P:l��o �,sua.� deformações
·
,
-••· •
• •• .• .\
está a 45." em relação ao elemento qu,erepresenta, as d(;lforiliações príncipais,
.l
'
-''"'' --'-�-
.<
m�.�
e�a�V��U� n_Q:n . .
Um elemento diferencial de material em um ponto está su­
jeito a um estado plano de deformação dado por �x = S00(10-6),
-300(10-6), , = 200(10-6), que tende a dtstorcer o elemento como mostra a Figura 10. 6 a. Determine as deformações
equivalentes que agem sobre um elemento orientado no ponto
a 30" no sentido horário em relação à posição original.
e
,
•
átinr
•
t{
· ,.
·
I
---
y
=
,,
•
'Yx'y'
( Ex - Ey ) 'Yxy2 2e
-2 = - 2 sen 2e + -cos
= - [soo - 2( -300) J (10-6) sen[2(-30")]
.
.
.
>
�
'Yx'y' = 793(10-6 )
Resposta
Asrãoequações
10.
S
e
10.
6
de
transformação
da
deformação
se­
usadas para resolver o problema.Visto que e é positivo em A deformação na direção y' pode ser obtida pela Equa­
sentido anti-horário, para esse problema e = -30". Portanto,
ção 10.7 com e = -30". Todavia, também podemos obter Ey'
Ex - Ey
Ex + Ey
/'xy
pela Equação 10.S com e = 60"(e = -30" + 90") (Figura
Ex• = --- + ---cos 2e + -z sen 2e
2
2
10.6b). Substituindo Ex, por E/' temos
Ex - Ey
Ex + Ey
/'xy
= [soo + 2(-300) ] (10-6)
Ey• = --- + ---cos2e + 2 sen2e
2
2
[soo
(-300)
]
+
2 (10-6) cos(2( -30"))
= [soo + 2( -300) ] (10-6)
200(10-6) sen(2(-30"))
+[ 2
[soo - ( -300) ( 10-6) cos[ 2( 60") J
J
+
2 J
Resposta
SOLUÇÃO
y
y'
I,..
y
12/_ --1770
I
Eyay
---
j
I
( a)
/
:I'Yxy
Exdx
j
L I,' - --- - -- I
f--- dx -+c
�
I
I
2
X
(b)
Figura 10.6
x'
366
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
200(10-6) sen[2(60°)]
2
Ey• = -13,4(10-6)
(-350 - 200)(10-6)
Resposta
Esses resultados tendem a distorcer o elemento como mos­ Assim, 2() = -8,28° e -8,28° + 180° = 171,72°, de modo
tra a Figura 10. 6c.
que P
()P = -4, 1 4° e 85, 9 °
Resposta
Cada um desses
ângulosparaé positivo
se medido
noparasentido
Um elemento diferencial de material em um ponto anti-horário,
do
eixo
as
normais
dirigidas
fora
está sujeito a um estado plano de deformação definido por em cada face do elemento (Figura 10. 7b).
Ex = -350(10-6), EY = 200(10-6), 'Yxv = 80(10-6), que tende Deformações principais. As deformações principais são
a distorcer o elemento como mostra a Figura 10.7a. Deter­
mine as deformações principais no ponto e a orientação do determinadas pela Equação 10.9. Temos
elemento associada.
- Ey)2 + (Ex + Ey ± )(Ex--/'xy)2
Elz' - --2
2
2
2
( -350 + 200)(10-6)
2
+
x
_
y
'Yxy
(a )
y
y
Resposta
Podemos determinar qual dessas duas deformações distor­
ce o elemento na direção aplicando a Equação 10.5 com
() = -4,14°.Assim,
Ex - Ey cos 20 + -sen
Ex +-Ey + --/'xy 20
Ex•. = -2
2
2
x'
'
E2dx'
(b)
Figura 10.7
SOLUÇÃO
Orientação do elemento.
Pela Equação 10. 8 temos
+
80(10-6 ) sen2(-4,14o)
2
çõe;'
Por consequência, Ex, = E2. Quando sujeito às deform
�
mostra a
principais,
10.7b. o elemento é distorcido, como
FJgur'1
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
367
Assim, Ymáx no plano tende a distorcer o elemento de modo que
o ângulo reto entre dx' e dy' diminui (convenção de sinal
positivo) (Figura 10.8b).
Além disso, há deformações normais médias associadas impos­
elem ento. Pela Equação 10.10 temos
tas ao elemento que são determinadas pela Equação 10.12:
Orientação do
6)
0200)(1
-350
(
Ex - Ey )
(
-350 + 200 (10-6) = _75(10-6)
Ex + Ey
--=
=
s
tg20
=
E med =
80(10-6)
Yxy
2
2
Assim, 20, = 81,72° e 81,72° + 180° = 261, 7 2°, de modo que
Essas deformações tendem a provocar contração no elemen­
to (Figura 10.8b).
Os = 40,9° e 13P
Observe que essa orientação está a 45a em relação à mostra­
da na Figura 10. 7b no Exemplo 10. 2 , como esperado.
*1 0 . 3 C írcu l o d e M o h r - p l a n o
Deformação por dsalhamento máxima no plano. Apli­
cando a Equação 10.11, obtemos
d e d efo rmaçã o
•
2
(�Y (�Y
[ )( -350; 2oo y C�Y} 10_6)
+
=
+
556(10-6)
Resposta
o sinal adequado de ymáx no lano pode ser obtido pela aplica­
da Equação 10.6 com Osp= 40,9°. Temos
Yx'y'
Yxy
Ex - E y
- = ---- sen20 + -cos 20
2
2
2
( -350 - 200 ) (1o-6) sen2(40,9a )
= 2
')'��looo =
ção
Visto que a s equações d e transformação d o esta­
do plano de deformação são matematicamente se­
melhantes às de transformação do estado plano de
tensão, também podemos resolver problemas que
envolvem a transformação da deformação usando o
círculo de Mohr. Essa abordagem tem a vantagem
de possibilitar a visualização gráfica da variação das
componentes das deformações normal e por cisalha­
mento em um ponto de uma orientação do elemento
para outra.
Como no caso da tensão, o parâmetro (} nas equa­
ções 10.5 e 10.6 pode ser eliminado e o resultado, res­
crito na forma
y
y
y'
(a )
(b)
FigUl'a 10.8
'�
. (.
':.?'
368
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
2 ('Ylx'y')2 -
x'
(E - Eméd) +
onde
-
R
(10.13)
Eméd =
R=
A Equação 10. 13 representa a equação do círculo
de Mohr para deformação, com centro sobre o eixo E
no ponto C(Eméd' O) e raio R.
Figura 10.9
O procedimento para traçar o círculo de Mohr para deformação é o mesmo definido para tensão.
Construção do círculo
• Defina um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a deformação normal e, positiva para a direita, e a
ordenada represente metade do valor da deformação por cisalhamento, 'YI2,positiva para baixo (Figura 10.9) .
emédx= (ex·:;_ e)/2 da origem (Figura 10.9).
• Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A( ex, 'Yxy/2). Esse ponto representa o caso no qual o eixo x'
• Usando a convenção de sinal positiva para
localizado sobre o eixo
e
a uma distância
=
e
,
e
, 'Y , como mostra a Figura 10.3, determine o centro do círculo C,
0° (Figura 10.9).
coincide com o eixo x. Daí, e
• Ligue o ponto A ao centro C do círculo e, pelo triângulo sombreado, determine o raio R do círculo (Figura 1 0 . 9) .
• Uma vez determinado R, trace o círculo.
Deformações principais
= O (Figura 10.10a).
• As deformações principais
112
e1 e e2 são determinadas pelo círculo como as coordenadas dos pontos B e D, isto é, onde
• A orientação do plano sobre o qual
age pode ser determinada pelo círculo calculando 2eP1 por trigonometria.
Aqui, esse ângulo é medido em sentido anti-horário da linha de referência radial CA até a linha CB, Figura 10.10a.
'
Lembre-se de que a rotação de eP1 deve ser n a mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x ,
e1
e2 são indicadas como positivas, como na Figura 10.10a, o elemento na Figura 10.10b se alongará nas
Figura 10. 10b.*
• Quando
e1
direções x'
e
e
y' como mostra o contorno tracejado.
Deformação por cisalhamento máxima no plano
• A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo
círculo como as coordenadas dos pontos E e F (Figura 10.10a).
e eméd agem pode ser determinada pelo círculo calculando 2 e,1 por trigonomean
tria. Aqui, esse ângulo é medido "efri sentido horário da linha de referência radial CA até a linha CE (Figura 10.10a).
Lembre-se de que a rotação de e,, deve ser na mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x '
• A orientação do plano no qual 'Ymáx
(Figura 10. 10c).*
Deformações em plano arbitrário
• As componentes da deformação normal e por cisalhamento e., e 'Yx'y' para um plano específico a um ângulo e (Figura10.10d),
podem ser obtidas pelo círculo usando trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P (Figura 10.10a).
• Para localizar P, o ângulo conhecido e do eixo x' é medido no círculo como 2e. Essa medição é feita da linha de
referência radial CA até a linha radial CP. Lembre-se de que as medições de 2e no círculo devem estar na mesma
direção de e para o eixo x ' . *
• Se for necessário, o valor de
linha
e/ pode ser determinado calculando a coordenada
e
do ponto Q na Figura 10.10a. A
CQ encontra-se a 180° de CP e, por isso, representa uma rotação de 90° do eixo x ' .
' Se, ao contrário, o eixo y/2 fosse construído como positivo para cima, então o ângulo 20 no círculo seria medido na direção oposta à
orientação () do plano.
da
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
369
D ( -Ez, Ü)
( a)
'}'
2
(a)
y y'
(b)
Figura 10.11
SOLUÇÃO
Construção do círculo. Os eixos e /2 estão definidos na
Figura 10.1la. Lembre-se de que o eixoypositivo y/2 deve es­
tar dirigido para baixo, de modo que as rotações em sentido
mui-horário do elemento correspondam à rotação em senti­
do anti-horário ao redor do círculo e více-versa. O centro do
círculo C está localizado sobre o eixo em
E
'.--- --- =�---.li__
- . .. .
(d)
Figura 10.10
E
x'
X
Visto queA(8 =/2oa)= 60(10-6),
as coordenadas
referência
são A[250(10-6)],
60(10-6)do2].ponto
Pelo tri­de
ângulo sombreado na Figura 10.1la, o raio do círculo é CA,
isto é,
'Yx
plano
de deformação em um ponto é repre­
sentadoestado
pelas
componentes
= 250(10-6), = - 150(10-6)
e :xy 120(10-6). Determine as deformações principais e a Deformações principais. As coordenadas dos pontos B
onentação do elemento.
e D representam as deformações principais. Elas são:
O
=
Ex
EY
E
370
··�
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
F
y
(a )
1 (50 + 208,8)(10-6) = 259(10-6)
Ez = (50 - 208, 8 )(10-6) = -159(10-6)
Resposta
A direção da deformação principal positiva E1 é definida
anti-horário medido da linha de
pelo ânguloradial
21JP1 emCAsentido
referência
até a linha CE. Temos
tg 2(]P! = (25060- 50)
1Jp1 = 8,35°
Resposta
o lado dx' docomoelemento
está
orientado
a
Por
8,35°consequência,
em sentido anti-horário,
mostra
a
Figura
10.11b.
Isso define também a direção de E1 • A deformação do ele­
mento também é mostrada na figura.
E =
y'
(b)
Figura 10.12
Resposta
x'
('Yx'y' )�oá�lano = 208,8(10-6)
2
(
) noplano = 418(10-6 )
"•·'y• máx
I -�
Resposta
Para
podemos determinar o ângulo em
sentidoorientar
horárioo 21Jelemento,
s1 pelo círculo.
21ls1 = 90° - 2(8,35°)
lls1 = 36,r
Resposta
Esse ângulo é mostrado na Figura 10.12b. Visto que a defor­
mação por cisalhamento definida pelo ponto E no círculo
tem valor positivo e a deformação normal média também
positiva, a tensão de cisalhamento positiva e a tensão normal
média positiva correspondentes deformam o elemento a a
forma tracejada delineada na figura.
é
té
O estado plano de deformação em um ponto é repre­
E
E ' = -150(10-6)
sentado
pelas componentes
>
e 'Yxy = 120(10-6).
Determinex =as250(10-6),
deformações
por cisalha­
mento máximas no plano e a orientação do elemento.
SOLUÇÃO
O círculo foi definido no exemplo anterior e mostrado na
Figura 10.12a.
Deformação por c:isalhamento máxima no plano. Me­
tade da deformação por cisalhamento máxima no plano e
a deformação
normal
média são representadas pelas coor­
denadas
do ponto
E ou F no círculo. Pelas coordenadas do
ponto E,
O estado plano de deformação em um pontooneén re­te.s
sobre um elemento que tem as comp
presentado
Ex = -300(10-6), EY = -100(10-6), 'Yxy = 100(10-6). Determt:
ne o estado de deformação em um elemento orientmaadoda.a .
em sentido horário em relação a essa posição infor
SOLUÇÃO
os
Construção do círculo. Os eixos e y/2 estão defin id
e
br
so
na 10.13a. O centro do círculo encontra-se
eixoFigura
E em
20
E
0
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
y
371
I
y'
x'
(a)
(b)
Figura 10.13
As coordenadas do ponto de referência A são A[- 300(10-6),
50(10-6)].
O raio CA determinado pelo triângulo sombreado
portanto,
é,
A.
-1
'I'
-(200 + 111,8 13,43°)(10-6)
= -309(10-6 )
Ex• =
'y'
2
COS
Resposta
-(111 ,8 sen 13,43°)(10-6)
= -52,0(10-6 )
Resposta
A deformação normal pode ser determinada pela coorde­
nada E do ponto Q no círculo (Figura 10.13a). Por quê?
-(200 - 111,8 cos 13,43°)(10-6) = -91,3(10-6)
Yx
=
Yx'y '
E/
€y' ==
Prove que a soma das deformações normais nas dire­
ções perpendiculares é constante.
10.2. As componentes do estado plano de deformação no
ponto da aba da bequilha são Ex = -400(10-6), EY = 860(10-6)
e Yxy = 375(10-6). Use as equações de transformação da de­
formação
para determinar as deformações equivalentes no
plano sobre um elemento orientado a um ângulo de (} = 30°
em sentido anti-horário em relação à posição original. Trace
um
çõesesboço
dentrododoelemento
plano x-y.deformado devido a essas deforma­
10.1.
Deformações sobre elemento inclinado. Como o ele­
mento deve ser orientado a zoo em sentido horário, temos de
definir um linha radial CP, 2(20°) = 40° em sentido horário,
10.13a).As coordenadas do
medi
daPde(ECA' Yx·(O,/2)= 0°)são (Figura
ponto
obtidas
pela geometria do círculo.
x
'
Observe que y
50
= tg [
(300 - 200) ] = 26,570,
Assim,
Como resultado dessas deformações, o elemento deforma-se
em relação aos eixos x ' , y ' , como mostra a Figura 10.13b.
Resposta
P•·oblema 10.2
10.3. As componentes do estado plano de deformação no
ponto
a aba do pino são Ex 200(10-6), EY 180(10-6)
e Yxy =sobre
-300(10-6). Use as equações
de transformação da
deformação e determine as deformações equivalentes no
plano sobre um elemento orientado a um ângulo 60° em
sentido anti-horário em relação à posição original. Trace um
noesboço
planodox-y.elemento distorcido devido a essas deformações
=
=
(:1 =
372
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Resolva o Problema 10.3 para um elemento orienta­
do a um ângulo O = 30°em sentido horário.
*10.4.
y
Problemas 10.3/4
Devido à carga P, as componentes do estado plano
de deformação no ponto do suporte são Ex = 500(10-6),
EY = 350(10-6) e 'Yxy = -430(10-6). Use as equações de trans­
formação da deformação para determinar as deformações
equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um
ângulo de O = 30° em sentido horário em relação à posição
original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a
essas deformações no plano x-y.
10.5.
Problema 10.7
*10. 8. As componentes do estado plano de deformação
no ponto sob:; o dente da engrenagem são Ex = 520(10-6),
EY = -760(10 ) , yxy = -750(10-6). Use as equações de trans ­
formação da deformação para determinar (a) as deforma­
ções principais no plano e (b) a deformação por cisalhamen­
to máxima no plano e a deformação normal média. Em cada
caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as
deformações distorcem o elemento no plano x-y.
p
y
Problema 10.8
Problema 10.5
10.6. As componentes do estado plano de deformação no
ponto sobre uma chave são Ex = 120(10-6), EY = -180(10-6),
'Yxy = 150(10-6). Use as equações de transformação da de­
formação para determinar (a) as deformações principais no
plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano
e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a
orientação do elemento e mostre como as deformações dis­
torcem o elemento no plano x-y.
10. 7. As componentes do estado plano de deformação
no ponto sobre o dente da engrenagem são Ex = 850(10-6),
EY = 480(10-6) e 'Yxy = 650(10-6). Use as equações de trans­
formação da deformação para determinar (a) as deforma­
ções principais no plano e (b) a deformação por cisalha­
mento máxima no plano e a deformação normal média.
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e
mostre como as deformações distorcem o elemento no
plano x-y .
As componentes do estado plano de deforma­
ção no ponto sobre a chave de porca são E = 260(1 0-6),
EY = 320(10-6) e 'Yxy = 180(10-6). Use as equàÇões de trans­
formação da deformação para determinar (a) as deformações
principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento má­
xima no plano e a deformação normal média. Em cada caso,
especifique a orientação do elemento e mostre como as de­
formações distorcem o elemento no plano x-y.
10.9.
Problema 10.9
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
ponentes do estado planoede deformação no.
A�0 s com250(1
-825(10-6)
-450(10-6)da deformaçao
raÇ aSas equaçoes de0-6),transformaçao
paraa
U
plano
i
_r
p
no
s
(b)
e
cipais
deformaçõe
as
(a)
nar
�
.
dd:efot:rrmimação por c1salhamento
max1ma no planoa e a defor­
caso,
cada
Em
especifique orientação
média.
a:o �·ão!emnorentomale mostre como as deformações
distorcem o ele­
o
plan
no
mento
10.10•
b
O
EX
==
E,=
�
)
�
yxy =
�
x-y.
373
10.13. As componentes do estado plano de deformação no
e
ponto sobre o suporte são 350(10-6), 400(10-6)
-675(10-6). Use as equações de transformação da de­
formação para determinar (a) as deformações principais no
plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano
a deformação normal média. Em cada caso, especifique a
eorientação
do elemento e mostre como as deformações dis­
torcem o elemento no plano
Ex =
EY =
'Yxy =
x-y.
y
Problema 10.13
Problema 10.10
Considere o caso geral de deformação plana no qual
e são conhecidas. Escreva um código computacional que
possa ser usado para determinar a deformação normal e a
deformação por cisalhamento, e no plano de um ele­
mento orientado de (} em relação à horizontaL Calcule tam­
bém as deformações principais e a orientação do elemento
e a deformação por cisalhamento máxima no plano, a defor­
mação normal média e a orientação do elemento.
10.15. Resolva o Problema 10. 2 usando o círculo de Mohr.
*10.16. Resolva o Problema 10.4 usando o círculo de Mohr.
10.17. Resolva o Problema 10. 3 usando o círculo de Mohr.
10.18. Resolva o Problema 10. 5 usando o círculo de Mohr.
10.19. Resolva Problema 10.6 usando o círculo de Mohr.
*10.20. Resolva o Problema 10. 8 usando o círculo de Mohr.
10.21. Resolva o Problema 10. 7 usando o círculo de Mohr.
Problema 10.11
10.22. Resolva o Problema 10. 9 usando o círculo de Mohr.
'10.12. Um extensômetro está montado no eixo de aço Ae 25 mm de diâmetro como mostra a figura. Quando
o
está girando a uma velocidade angular 1 .760 rev/ *1 0 . 4 Defo rmaçã o p o r
min usando um anel corrediço, a leitura no extensômetro
Determine a potência de saída
do motor.
cisa l h a m ento m áxi m a
Consid800(10-6).
ere que o eixo
está sujeito somente a um torque.
As componentes do estado plano de deforma­
ventiladorUsesão as equações
250(10-6),de
ponto sobree a pá do-825(10-6).
ção=no-450(10-6)
transformação da deformação para determinar (a) as defor­
mações principais no plano e (b) a deformação por cisalha­
mento máxima no plano e a deformação normal média. Em
caso, especifique a orientação do elemento e mostre
como as deformações distorcem o elemento no plano
10.11.
Ex =
10.14.
EY
Ex,
Yxy
Y ,y =
.
ev
cada
Ee
_
Yx'y "
x-y.
o
36 d
eixo
é
w
e
e =
=
a bsol uta
Problema 10.12
Na Seção 9.7, salientamos que o estado de tensão
em um ponto pode ser representado em três dimen­
sões por elemento orientado em uma direção especí­
fica, tal que fique sujeito apenas a tensões principais
que tenham valores máximo, intermediário e mínimo,
(]'
rnáx' (J'int e (]'rnín' Essas tensões submetem o material a
deformações principais associadas Emáx' Eint e Emfn' Além
374
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
disso, se o material for homogêneo e também isotró­
pico, o elemento não estará sujeito a deformações por
cisalhamento, visto que a tensão de cisalhamento nos
planos principais é nula.
Considere que as três deformações principais pro­
vocam alongamentos ao longo dos eixos x' , y' e z',
como mostra a Figura 10. 14a. Se virmos o elemento em
duas dimensões, isto é, nos planos x'-y', x'-z' e y'-z'
(figuras 10. 14b, 10.14c e 10. 14d), poderemos usar o cír­
culo de Mohr para determinar a deformação por cisa­
lhamento máxima no plano para cada caso. Por exem­
plo, vendo o elemento no plano x'-y' (Figura 10. 14b),
o diâmetro do círculo de Mohr estende-se entre E ,
e Eint (Figura 10. 14e). Esse círculo dá as componentn;;�
normal e de deformação por cisalhamento em cada
elemento orientado em torno do eixo z'. Da mesma
forma, os círculos de Mohr para cada elemento orien­
tado em torno dos eixos y' e x' também são mostradas
na Figura 10.14e.
Por esses três círculos, podemos ver que a defor..
mação por cisalhamento máxima absoluta é deter­
minada pelo círculo que tem o maior raio. Ela ocorre
no elemento orientado a 45° em torno do eixo y' em
relação ao elemento mostrado em sua posição original
(Figura 10. 14a ou 10.14c). Por essa condição,
(10.1 4)
e
Emáx
+
2
Emín
Defo rmaçã o p l a n a . Como no caso do esta do
plano de tensão, a análise anterior tem importante im­
plicação quando o material está sujeito a um estado
plano de deformação, em especial quando as defor­
mações principais têm o mesmo sinal, isto é, ambas
provocam alongamento ou contração. Por exemplo, se
as deformações principais no plano forem E e E
enquanto a deformação principal fora do pl��o f��:
E mín = O (Figura 10. 15a), os círculos de Mohr que des­
c:evem as componentes normal e de deformação por
c1salhamento para elementos orientados em torno dos
eixos x', y' e z' são mostrados na Figura 10.15b. Por
inspeção: o �aior círculo tem raio R = (l'x ' z ')má/2. Por
consequencw,
_
/'mabsáx = ( l'x'z' ) máx
=
Emáx
Esse valor representa a deformação por cisalha­
mento máxima absoluta para o material. Observe que
z'
z'
( 1 + Emfn)dz'
y'
y'
.------.-�( 1 + Emáx)dx'
f-------'' --'­
( 1 + Eint)dy
, 1
(c)
(b)
x'
( a)
z'
Emín
1-----,·-.
( 1 + Emfn)dz'
( d)
(10 .15 )
'Ymabsáx
2
(e)
')'
2
Figura 10.14
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
z
x'
x' -y '
375
'
deformação no plano
(a)
2
('Yx'z')máx
2
'Y
2
(b)
Figura 10.15
z
'
Ernáx E
x'
x' -y '
y'
deformação no plano
( a)
(b)
Figura 10.16
ela é maior do que a deformação por cisalhamento
máxima no plano, que é ( 'Yx'y' ) máx = Emáx - Eint'
Por outro lado, se uma das deformações principais
no plano tiver sinal contrário ao da outra deformação
principal, então Emáx causará alongamento, Enún provo­
cará contração e a deformação principal fora do plano
será Eint O (Figura 10. 16a). Os círculos de Mohr que
descrevem as deformações para cada orientação do
elemento em torno dos eixos x y e z 1 são mostrados
na Figura 10. 16b. Nesse caso,
Portanto, podemos resumir esses dois pontos da
seguinte maneira: se ambas as deformações principais
no plano tiverem o mesmo sinal, a deformação por ci­
salhamento máxima absoluta ocorrerá fora do plano e
terá um valor 'Ymáx abs = Emáx' Todavia, se as deformações
principais no plano tiverem sinais opostos, a deforma­
ção por cisalhamento máxima absoluta será igual à de­
formação por cisalhamento máxima no plano.
=
1,
')/mabsáx = ( 'Yx'y' ) máx = Emáx - Emín
1
lli
tri.c:lirrtensíonal ge�a}�m unr p�}lto pôde ser relm�:Sê}lta<llQ J'l{>t· uw lll.lc�mcentqJJittenta:ao
defor�açõ�s v,rip.cipai� aia sobre ele�
�·�·'"""v' p0d€�:tl1<)S Qbter á OrientaÇão do el�mentO qll;{ll'Cptesenta.a de:forili�tÇãOJIC!li. CiJí:aJll:í:l:ílilelí.tQ:jfiiáJI;Í:'•
gltando oeH:mento 45° em torno do eú:o g.u� define adireção de eu"'
, <,,' > . .
. ento
.. . . a1Jl
.
. .
cisalhamento máxima absoluta será 1ftáio�·do que aquela por cisalh
.
as í}eformações principais no pláno. tíver�m 'ó,
��nal: Gt1a.n�()· i��o. ()C�rre,r,.a,g�fg�a.��();P()r
5
·· . �. I
·
·
mâ:xiilia absoluta agirá fora do plan!J•
·
mesí?;!o
· ·
·
·
·
·
·
nr�xit1la�lil;Pl��()
·· ·
SOLUÇÃO
'
·
•
··
I
Deformação máxima no plano. Resolveremos esse pro­
esta
do
em
um
ponto
é
represen­
plano
de
deformação
blema
usando
o círculo
de Mohr.
Pelas componentes
daE em
de­
pelas componentes da deformação Ex -400(10-6), formação,
o
centro
do
círculo
encontra-se
sobre
o
eixo
ey cis200(10
-6), x� 150(10-6). Determine a deformação
alh
-400 + 200
amento
no plano e a deformação por ci­
- 100(10-6 )
( 10-6 )
salhamento máximaáxima
Eméd =
absoluta.
2
O
ta do
==
por
y , =
=
=
37 6
·,· ·
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
.I2 (lo-6)
Como 'Yx/2 = 75(10-6), as coordenadas do ponto de refe­
rência são
A[ - 400(10-6), 75(10-6)2]. Como mostra a Figura
10.17, o raio do círculo é, portanto,
Figura 10.17
Calculando as deformações principais no plano, temos
Emáx = ( -100 + 309)(10-6)
Emín ( - 100 - 309)(10-fí)
=
= 209(10-6)
=
-409(10-6)
Pelo círculo, a deformação por cisalhamento máxima no plano é
= Emáx - Emín = [209 - ( -409)](10-6) = 618(10-6)
Pe­
los resultados acima, temos Emáx = 209(10-6), Eint = O,
- 409(10-6). Os três gráficos dos círculos de Mohr traçados
ymá>
no plano
Resposta
Deformação por cisalhamento máxima absoluta.
Ernin =
para as orientações do elemento em torno de cada um dos
eixos x', y', z', também são mostrados na Figura 10.17. Ob­
servamos que, uma vez que as deformações principais no
plano têm sinais opostos, a deformação por cisalhamen­
to máxima no plano também é a deformação por cisalhamento
máxima absoluta; isto é,
Resposta
1 0. 5
Rosetas d e d eformaçã o
Na Seção 3.1, mencionamos que a deformação nor­
mal em um corpo de prova de tração pode ser medida
com a utilização de um extensômetro de resistência
elétrica, que consiste em uma grade de filamentos ou
um pedaço de lâmina de metal ligado ao corpo de pro­
va. Todavia, no caso de uma carga geral aplicada a um
corpo, as deformações normais em um ponto sobre sua
superfície são frequentemente determinadas por meio
de um conjunto de três extensômetros de resistência
elétrica agrupados conforme um padrão específico.
Esse padrão é denominado roseta de deformação 011
roseta e, uma vez tomadas as leituras dos três extensô­
metros, os dados podem ser usados para especificar 0
estado de deformação no ponto. Entretanto, devemos
observar que essas deformações são medidas somente
no plano dos extensômetros e, visto que a superfície d o
corpo está livre de tensão, os extensômetros p odem ser
submetidos ao estado plano de tensão, mas não ao esta­
do plano de deformação. Nesse sentido, a reta norm al
à superfície livre é um eixo principal de deformação
e, portanto, a deformação principal normal ao longo
desse eixo não é medida pela roseta de deformação.
Aqui, o importante é que o deslocamento fora do pla­
no causado por essa deformação principal não afetará
as medições dos extensômetros no plano.
No caso geral, os eixos dos três extensômetros são
posicionados segundo os ângulos (}a , (}b , (}c como mos­
tra a Figura 10. 18a. Se tomarmos as leituras de E", Eh, E,,
poderemos determinar as componentes da deforma­
ção Ex' EY , Yxy no ponto aplicando a equação de trans­
formação da deformação (Equação 10.2) para cada
extensómetro. Temos
cos2 (}a
cos2 fh
Ex cos2 (}c
Ea = Ex
sen2 (}a + Yxy sen(}a cos (}a
Ey sen2 (}b + Yxy sen(}b cos (}b (10.16)
Ey sen2 (}c + Yxy sen(}c cos (}c
+ Ey
Eb = Ex
+
Ec =
+
Os valores de Ex, EY , Yxy são determinados resolven­
do-se as três equações simultaneamente.
Em geral, as rosetas de deformação são posiciona­
das a 45° ou a 60°. No caso da roseta de deformação a
45° ou 'retangular' mostrada na Figura 10. 18b, (}a = oo ,
(}b = 45°, (}c = 90°, de modo que a Equação 10. 16 dá
Ex = Ea
- ( Ea + Ec )
Ey = Ec
Yxy
2 Eb
o
E, no caso da roseta a 60° na Figura 10.18c, ()a = o ,
(}b = 60°, (}c = 120°. Aqui, a Equação 10. 16 dá
Ey =
Yxy
=
=
1
3 (2Eb
2
yi3 (
+
2Ec
E b - Ec
- E a)
)
(:
(10.17)
� s dt•,
h
Uma vez determinadas Ex, Ey, Exy , as equaçoe
M
de
o
transformação da Seção 10.2 ou o círcul
?oesI'
ç
a
m
or
def
as
podem ser usados para determinar
principais no plano e a deformação por cisalhamen to
máxima no plano no ponto.
2
p
rr
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
�X
377
�:�
��
-X
.
a
( a)
roseta de deformação a 45°
(b)
(a)
\��
X
a
roseta de deformação a 60°
(c)
a
(b)
Fig. 10.18
estado de deformação no ponto A sobre o suporte na
de deformação
meio da àsroseta
por Devido
é medido10.19b.
gura 10.1na9aFigura
Fimostrada
cargas aplicadas, as
dos extensômetros dão E" = 60(10-6), Eh = 135(10-6)
leituras264(10-6).
Determine as deformações principais no
plano no ponto e as direções nas quais elas agem.
O
e 6c
=
SOLUÇÃO
Usaremos a Equação 10.16 para a solução. Definindo um
eixo x como mostra a Figura 10.19b e medindo os ângulos
em sentido anti-horário do eixo +x até as linhas centrais de
o o, (} = 60° e (} = 120°. Subs­
cada
temose(}�s=dados
tiçãotuindoextensômetro,
esses resultados
do probl�ma na Equa­
obtemos
60(10-6) = Ex cos2 oo + Ey sen2 oo + 'Yxy sen oo cosO
(1)
= Ex
135(10-6) = E cos2 60° + E sen2 60° + sen 60° cos 60°
= 0,25Ex + 0,75Ey + 0,433'}'xy
(2)
(c)
b
10.16,
X
)'
"'
IX)'
x'
(d)
Figura 10.19
'Yxy = -149(10-6)
= E. cos2 120° + E sen2 120° + xy sen 120° cos 120 Esses mesmos resultados também podem ser obtidos de ma­
(3) neira mais direta pela Equação 10.17.
= 0,256x + 0,75Ey - 0,433Yxy
As deformações principais no plano podem ser determi­
nadas
pelo círculo de -74,
Mohr.5(10-6)
O ponto
referência
no círculo
Pelm nte,
a Equação
1
e
resolvendo
as
equações
2
e
3
simultanea­
2] e odecentro
está emA[(60(10-6),
do círculo,
e obtemos
264(10-6)
·'
Y
y
378
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
C, encontra-se sobre o eixo E em
de deformação no ponto A sob
10.19c). Pelo triângulo sombreado, oEméraioct =é153(10-6) (Figura 10.26.
daAscancomponentes
�oneira são Ex = � 140(10-6), EY = 180(10-�J,
a aba-125(10
6) , E = O. Determme (a) as deformações
pats em A, (b) a deformaçãoporporcisalhamento
cisalhamentomáxima
máxima no a
no e (c) a deformação
absoluta,
Assim, as deformações principais no plano são
E1 = 153(10-6 ) + 119,1(10-6 ) = 272(10-6 )
Resposta
Resposta
Ez = 153(10- 6 ) - 119,1(10- 6 ) = 33,9(10-6 )
2()pz -- tg-1 (15374,-5 60) = 38,7o
()Pz = 19,3°
Resposta
OBSERVAÇÃO: O elemento deformado é mostrado na posi­
ção tracejada na Figura 10.19d. Entenda que, devido ao efeito
Problema 10.26
de Poisson, o elemento também está sujeito a uma deforma­
ção
fora
do
plano,
isto
é,
na
direção
embora
esse
valor
não
10.27. A barra de aço está sujeita à carga de tração de 2,5
influencie os resultados calculados.
tiver 12 mmmáxima
de espessura,
a deformação
Secisalhamento
absoluta.determine
E = 200 GPa, = 0,3.
,
yX =
' ·
pnnc1'
Z
),
pl
x-y
z,
10.23. As componentes da deformação no ponto A sobre
o suporte são Ex = 300(10-6), EY = 550(10-6), 'Yxy = -650(10-6),
Ez = O. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a de­
formação
por cisalhamento máxima no plano e (c) a
deformação por cisalhamento máxima absoluta.
50
mm
kN.
por
v
�-<----- 375
x-y
-
mm-----­
Problema 10.27
*10.28. A roseta de deformação a 45° está montada
a superfície de uma chapa de alumínio. As seguintes
ras
foram obtidas em cada extensômetro: Ea = 475(10-"),
Eb = 250(10-6) e Ec = -360(10-6). Determine as deformações
principais no plano.
sobre
lcitu·
�<f
'
�
c_mrmt�r.·
11f
Problema 10.23
As componentes da deformação em um ponto são
480(10-6), EJ' = 650(10-6), 'Yxy = 780(10-6) e Ez = 0.
Determine
(a) asmáxima
deformações
a deformação
por cisalhamento
no planoprincipais,
e (c)(ab)deformação
por
cisalhamento máxima absoluta.
10.25. As componentes da deformação em um ponto so­
bre a parede de um vaso de pressão são Ex = 350(10-6),
O. Determine
EY = -460(10-6) e 'Yxy = -560(10-6) e Ez
as
deformações
principais
no
ponto,
(b)
a
deformação
(a)
por cisalhamento máxima no plano e (c) a deformação
por
cisalhamento máxima absoluta.
*10.24.
Ex =
x-y
=
x-y
.�v
..· ·.·.·.
.
.
da s�br�ISc
a 60° está monta
de deformação
A roseta
m
fora
leituras
seguintes
As
do suporte. E -780(10-6), Eb = 400(1� )
aemsuperfície
cada extensômetro:
a =
,
Ec 500(10-6). Determine (a) as deformações
nocasoplan, mooestre
(b) a deformação por cisalhamento máxima
cada
Em
normal média
formação
elemento distorcido
devidoassociada.
a essas deformações.
Problema 10.28
10.29.
=
obl ld
,
prin c tp ais
a de ·
0
•
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
379
'10.32. A roseta de deformação a 45° está montada so­
obtidas
bre um eixo de aço. As seguintes leituras foram520(10-6),
em cada extensômetro: E" = 800(10-6),
E6 =
-450(10-6).
Determine (a) as deformações principais
noEc =plano
e suas orientações.
Problema 10.29
de deformação a 45o está montada próxi­
A roseta
ferramenta.
leituras foram ob­
e
da
dent
ao
ma s em cada extensômetro:AsE" =seguintes
E6 520(10-6) e
tlda -450(10-6).Determine (a) as 800(10-6),
deformações=principais
no
e b) a deformação por cisalhamento máxima no plano
pÍaanodeformação
normal média
Em cada caso, mos­
elemento distorcido
devidoassociada.
a essas deformações.
10. 30.
15
=
e
tre 0
Problema 10.32
Considere a orientação geral dos três extensôme­
tros
em
um
ponto que
comopossa
mostraser ausado
figura.para
Escreva
um códi­as
go computacional
determinar
deformações principais no plano e a deformação por cisa­
lhamento máxima no plano em um ponto. Mostre uma apli­
cação do código usando os valores ()a = 40°, Ea = 160(10-6),
06 = 125°, E6 = 100(10-6), ()c = 220°, Ec = 80(10-6).
"10.33.
Problema 10.30
10.31. A roseta de deformação a 60° está montada sobre
uma
viga. As seguintes
leituras foram obtidas em cada ex­
tensômetro:
Ea = 150(10-6), E6 = -330(10-6) e Ec = 400(10-6).
Determine (a) as deformações principais plano e (b) a
deformação por cisalhamento máxima no noplano
e a defor­
mação normal
média.
Em
cada
caso,
mostre
o
elemento
dis­
devido a essas deformações.
torcido
Problema 10.33
1 0.6
Rel a ções e ntre o m ateri a l
e s u a s p ro p riedades
Problema 10.31
Agora que já apresentamos os princípios gerais
da tensão e da deformação multiaxial, usaremos esses
princípios para desenvolver algumas relações impor­
tantes que envolvem as propriedades dos materiais.
Para tal, consideraremos que o material seja homo­
gêneo e isotrópico e comporta-se de um modo linear
elástico.
380
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
+
( a)
�
(d )
(c)
(b)
Figul'a 10.20
Se o material em
um ponto estiver sujeito a um estado de tensão triaxial,
ux, uY , uz (Figura 10.20a), deformações normais associa­
das EX, E)', EZ serão desenvolvidas no material. As tensões
podem ser relacionadas com as deformações pelo princípio da superposição, coeficiente de Poisson, E1at = -vE1ong
e pela lei de Hooke, como aplicável na direção uniaxial,
E = uiE. Para mostrar como isso é feito, em primeiro lu­
gar consideraremos a deformação normal do elemento na
direção x, causada pela aplicação isolada de cada tensão
normal. Quando ux é aplicada (Figura 10.20b), o elemento
alonga-se na direção x e a deformação < nessa direção é
Lei de Hooke generalizada.
Essas três equações expressam a lei de Hooke de
uma forma geral para um estado de tensão triaxial.
Como observamos da dedução, elas serão válidas so­
mente se o princípio da superposição for aplicável, 0
que exige uma resposta linear elástica do material e a
aplicação de deformações que não provoquem altera­
ções graves na forma do material - isto é, exigem-se
pequenas deformações. Ao aplicar essas equações, ob­
serve que as tensões de tração são consideradas quan­
tidades positivas e as tensões de compressão, negativas.
Se a deformação normal resultante for positiva, isso
indicará que o material alonga-se, ao passo que uma
deformação normal negativa indicará que o material
contrai-se.
A aplicação de u provoca a contração do elemento com
y
uma deformação < na direção x (Figura 10.20c). Aqui,
O'y
E11x = -vE
Da mesma forma, a aplicação de uz (Figura 10.20d),
provoca uma contração na direção x tal que
O'z
E"'x = -vE
Quando essas três deformações normais são super­
postas, a deformação normal Ex é determinada para o
estado de tensão na Figura 10.20a. Equações seme­
lhantes podem ser desenvolvidas para as deformações
normais nas direções y e z. Os resultados finais podem
ser escritos como
1
Ex =
E
Ey =
E
1
[ux - v(uy + uz)]
[uy - v ( ux
Ez = [uz - v ( ux
E
1
+
+
uz)]
uy)]
(10. 18)
Como o material é is o trópico, o elemento na Figura
10.20a permanecerá um bloco retangular quando sub­
metido às tensões normais, isto é, nenhuma deforma­
ção por cisalhamento será produzida no material. Se
agora aplicarmos uma tensão de cisalhamento r, ao
Y is
elemento (Figura 10.2la), observações experimenta
indicam que o material se distorcerá somente devido
a uma deformação por cisalhamento Y.<J ' isto é, r.,y não
causará outras deformações no material. Da mesma
·
forma, r z e Txz provocarão somente deformações po�
y
cisalhamento Tyz e Txz ' respectivamente. Portanto, a �et
de Hooke para tensão de cisalhamento e deformaçao
por cisalhamento pode ser escrita como
1
Yxy = G Txy
Yyz = G Tyz
1
Yxz =
G Txz (10. 1 9)
1
Na Seçãt;
E esta
ade
3.7, afirmamos que o módulo de elasticid
pe la
G
nto
relacionado com o módulo de cisalhame
Equação 3. 11, a saber,
Relações q u e e nvolvem E,
v
e G.
(10.20)
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
381
y
(b)
( a)
�------
( a)
X
y
(c)
Figura 10.21
Um modo de deduzir essa relação é considerar que
um elemento do material está sujeito a cisalhamento
puro (crx = crY = crz = O) (Figura 10.22a). A aplicação
da Equação 9.5 para obter as tensões principais nos dá
(ímáx = Tx e (Tm ín = -rx ' Pela Equação 9.4, o elemento
y
y
tem de ser orientado a 8P1 = 45oem sentido anti-ho­
rário em relação ao eixo x, de modo a definir a dire­
ção do plano no qual crmáx age (Figura 10.22b ). Se as
três tensões principais crma,x = rxy , cr.m t = O, cr , = - rxy '
forem substituídas na primeira das Equações 10. 18, a
de formação principal Emáx pode ser relacionada com a
tensão de cisalhamento xy . O resultado é
r
mm
(10.21)
Essa deformação, que distorce o elemento ao longo
do eixo x', também pode ser relacionada com a defor­
maç ão por cisalhamento 'Yxy por meio das equações de
transformação da deformação ou pelo círculo de Mohr
para deformação. Para tal, em primeiro lugar obser­
v.e que, considerando-se cr = cr = cr = O então pela
z
'
'
X
y
Equaçao
- 10. 18, E = E = O. Substituindo esses resultados na equaçã� de transformação (Equação 10. 9),
obtemos
;máx,
;
'Yxy
Et = Emáx = l
Pela lei de Hooke yx = rx /G de modo que
' y
y '
== rj2G. Substituindo na Equação 10.21 e rearnJando os termos, temos o resultado final, a saber
q uação 10.20.
�------ X
(b)
Figura 10.22
Dilatação e m ó d u l o d e compressibilidade.
Quando um material elástico for submetido a tensão
normal, seu volume mudará. Para calcular essa mudan­
ça, considere um elemento de volume que está sujeito
às tensões principais crx , crY, crz . Os lados do elemento
são originalmente dx, dy, dz (Figura 10.23a); contudo,
após a aplicação da tensão, eles se tornam, respecti­
vamente, (1 + E) dx, (1 + E) dy, (1 + E) dz (Figura
10.23b ). Portanto, a mudança no volume do elemento é
8V =
( 1 + Ex) (1 + Ey) ( 1 + Ez )
dx dy dz - dx dy dz
Desprezando os produtos das deformações, já que
elas são muito pequenas, temos
8V = kr + Ey + Ez ) dx dy dz
A mudança em volume por unidade de volume é
denominada 'deformação volumétrica' ou dilatação
(e) e pode ser expressa como
BV
e = d = Ex + Ey + E z
V
(10.22)
Por comparação, as deformações por cisalhamento
não mudarão o volume do elemento; mais exatamente,
mudarão apenas sua forma retangular.
382
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
dz
t
(a)
(b)
Figma 10.23
Tensão hidrostática
Se usarmos a lei de Hooke generalizada, como de­
finida pela Equação 10. 18, podemos expressar a dilata­
ção em termos da tensão aplicada. Temos
Figma 10. 24
( 10.23)
Quando um elemento de volume de material é sub­
metido à pressão uniforme p de um líquido, a pressão no
corpo é a mesma em todas as direções e é sempre nor­
mal à qualquer superfície sobre a qual ela age. Tensões
de cisalhamento não estão presentes, visto que a resis­
tência de um líquido ao cisalhamento é nula. Esse esta­
do de carga 'hidrostática' exige que as tensões normais
sejam iguais em toda e qualquer direção e, portanto,
um elemento do corpo está sujeito às tensões principais
O'x = O' = O'z = -p (Figura 10.24). Substituindo na
Y
Equação 10.23 e rearranjando os termos, obtemos
p
e
E
3 ( 1 - 2v)
( 10.24)
O termo à direita consiste somente nas proprieda­
des do material E e v e é igual à razão entre a tensão
normal uniforme p e a dilatação ou ' deformação volu­
métrica' . Como essa razão é semelhante àquela entre
tensão elástica linear e deformação, que define E, isto
é, O"!E = E, os termos da direita são denominados mó­
dulo de elasticidade do volume ou módulo de compres­
sibilidade. Suas unidades são as mesmas da tensão' c
ele será simbolizado pela letra k; isto é,
E
k = --__
3 ( 1 - 2v)
Observe que, para a maioria dos metais, v = 1/3,
portanto, k E. Se existisse um material que não mu·
classe de volume, então 8V = O e, por consequência, k
teria de ser infinito. Pela Equação 10.25, o valor máximo
teórico para o índice de Poisson é,portanto, v = O,S.Aié m
disso, durante o escoamento não se observa nenhuma
mudança de volume no material e, portanto, v = 0,5 é
usado quando ocorre escoamento plástico.
(10. 25)
=
10.8, as deformações principais foram determi·
Exemplo
O suporte no Exemplo 10.8 (Figura 10. 25a), é feito de No
nadas
como
aço para o qual E = 200 GPa, v = O 3 Determine as
272(10-6)
tensões principais no ponto A.
33,9(10-6)
SOLUÇÃO
aço
aço
'
'
I
E1 =
E2 =
.�.
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
383
0,3uy
200(109)
0,3ux
Pa
29,4 MPa uy = 58,0 MPa
A tensão de cisalhamento é determinada pela lei de Hooke
para cisalhamento. Todavia, em primeiro lugar temos de cal­
cular G.
E
200 GPa
G=
2(1 + v) = 2(1 + 0,3) = 76,9 GPa
Assim,
Txy = 76,9(109)[ - 149(10-6)] = - 11,46 MPa
O círculo de Mohr para esse estado plano de tensão tem um
ponto de referência A(29,4 MPa, - 11,46 MPa) e centro em
= 43,7 MPa (Figura 10.25b) . O raio é determinado pelo
triângulo
sombreado.
Ux =
(a)
u (MPa)
r
(MPa)
uméd
(b)
R = Y(43,7 - 29,4)2 + (11,46)2 = 18,3 MPa
o ponto A encontra-se sobre a supe1jície do supor­
Como
te na qual não existe carga, a tensão na superfície é nula, Portanto,
portanto, o ponto A está sujeito ao estado plano de tensão.
Aplicando a lei de Hooke com u3 = O, temos
Resposta
u1 = 43,7 MPa + 18,3 MPa = 62,0 MPa
Resposta
u 2 = 43,7 MPa - 18,3 MPa = 25,4 MPa
OBSERVAÇÃO: Cada uma dessas soluções é válida desde
(1) que o material seja linear elástico e isotrópico, pois, nesse caso,
os planos principais de tensão e deformação coincidem.
Figura 10.25
A
solução simultânea das equações 1 e 2 produz
u1 = 62,0 MPa
u2 = 25,4 MPa
Resposta
Resposta
A barra de cobre na Figura 10.26 está sujeita a uma car­
ga uniforme ao longo de suas bordas, como mostra a figura.
Se tiver comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e
espessura t = 20 mm antes da aplicação da carga, determine
seus novos comprimento, largura e espessura após a aplica­
ção da carga. Considere E,o = 120 GPa, = 0,34.
v
,o
é possível resolver o problema usando o estado de
dado,
lambém
deformação
800 MPa
'Yxy = -149(10-6)
visto no Exemplo 10.8. Aplicando a lei de Hooke no
temos
x-y,
SOO MPa
Figura 10.26
384
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SOLUÇÃO
SOLUÇÃO
Por inspeção,
a barra
Dilatação. A dilatação pode ser determinada pela
são.
Pelas cargas,
temosestá sujeita a um estado plano de ten­ ção
10.23 com ax = ay = a, = -20 kPa. Temos
=O
a)' = -500MPa
a 0
a = 800MPa
1 - 2v
e = --- ( �< + ay + az)
E
As deformações normais associadas são determinadas pela
1
2(0,45) [3(-20 kPa)]
=
lei de Hooke generalizada, Equação 10.18; isto é,
600 kPa
R esposta
=
-0,
01 cm3/cm3
ax v
- - (ay + az )
E =E E
Mudança no comprimento. A deformação norm al de
0'34 (-500MPa) = 0,00808 cada
800MPa
lado pode ser determinada pela lei de Hooke,
120(103 ) MPa
10.18; isto é,
Uy - -V +
(u uz )
Ey = E
E
034
-500MPa
'
1
120(103) MPa 120(103)' MPa (800MPa + O) = -000643
=
600kP)-20kPa - (0,45)(-20kPa- 20kPa)]
U v
Ez = Ez - E (ux + uy)
= -0,00333 cm /cm
0,34
=O120(10 ) MPa (800 MPa - 500 MPa) = -0,000850 Assim, a mudança no comprimento de cada lado é
8a = -0, 0 0333(4 cm) = -0, 0 133 cm Resposta
Os novos comprimento, largura e espessura da barra são,
portanto,
8b = -0,00333(2 cm) -0,00667 cm Resposta
a' = 300 mm + 0,00808(300 mm) = 302,4 mm
Resposta
8c = -0,00333(3 cm) = -0,0100 cm Respmta
Resposta
b' = 50 mm + ( -0,00643)(50 mm) = 49,68 mm
Os sinais negativos indicam que cada dimensão diminuiu.
Resposta
t' = 20 mm + ( -0,000850)(20 mm) = 19,98 mm
Equ a­
rX)'
X
z =
X
J(
ra
Hi
se
C •
[]l
o
' li
t ic
de
na
Equaçã o
X
--c--- -
10.
tid
dct
sur
3
=
Mostre que, para o caso do estado plano de t n ã , a
o bloco retangular mostrado na Figura 10.27 estiver lei de Hooke pode ser expressa como
Se
sujeito a uma pressão uniforme p = 20 kPa, determine a
dilatação
e
a
mudança
no
comprimento
de
cada
lado.
Con­
Ux = ( l _E VZ) (Ex + VEy), Uy = ( 1 E Vz) (Ey + VEx)
sidere E = 600 kPa, v = 0,45.
Hooke, Equação 10.18, parao, desenvol­
Use a leidedetransformação
ver as equações
da deformaçã
10.5 e 10.6, a partir das equações de transformação de tensão,
9.1 e 9.2.
em
Uma barra de liga de cobre é carregada
quemódulo940de(10 ")
pamento de ensaio de Otração e constata-se
e a = 100 MPa a = a = O Determine o 0,35.
ticidade, Eco' e a dilatação, eco' do cobre. vco =
b = 2 cm
as
no plano
As tensões
to sao-e -3).a1 - 250 MPa.
associa· das em um pprincipais
ano em um pon180(10
a = 112 MPa ' E1 = 1 02(10-3) E = O
módulo
de elasticidade e o coeficiente de Poisson.
10. 34.
e s
o
_
10.35.
equ ações
um equi·
*10. 36.
Ex
x
'
'
)'
•
z
2
etas-
s
deformaçõe
10.37.
Figura 10.27
=
I
'
'
2
'
-
•
e
D e termw 0
10. •
lllll
scj;
a m
· w. .
k N/
Iom
sôcs
suas
/•,
/'
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
385
módulo de= compressibilidade
para bar­
em um ponto são mostradas
AsSetensões
principais
DetseermEbine 5o GPa
0,
4
3.
e
v
na
figura.
o
material
for
grafite,
para o qual Eg = 5,6 GPa
b
dura
e
vg = 0,23, determine as deformações principais.
principais em um ponto sobre a fu­
rmaçõesde um
Asde defo
avião a jato são E1 = 780(10-6)
alu6).mínio
182 MPa
as
tensões
principais
associadas
400(1no0-mesmDoetermine
70
v
Ea1=
=
3.
3
GPa,
0,
plano.
Dica:
Veja
ai
Pporoblentoma 10.34.
2014-T6.
é feitadede700alumínio
Aahasdetetração
N e tiver diâmetroSe forde 20subme­
mm,
carg
mação
por
cisalhamento
máxima
absoluta
defor
a
ine
rm
" tehaste em um ponto sobre sua superf1c1e.
'.
10.45.
==
==
o
à
ue
105 MPa
Problema 10.40
é feita de alumínio 2014-T6. Se for subme­
A haste
10.41.a à carga
Problema
tração
de 700 N e tiver diâmetro
de
20
mm,
de
tiddetermine as deformações
principais em um ponto sobre a
O eixo tem raio de 15 mm e é feito de aço-ferramen­
superfície da haste.
ta L2. Determine as deformações nas direções x' e y', se for
aplicado um torque T = 2 kN m ao eixo.
10.45
10.46.
·
Problema 10.41
10.42. Uma haste tem raio de 10 mm. Se for submetida a
uma carga2,axial
de 15determine
N tal queoamódulo
deformação
axial na haste
seja
7
5(10-6),
de
elasticidade
Ee
a mudança em seu diâmetro. v = 0,23.
10.43. As deformações principais em um ponto sobre a
Problema
superfície de alumínio de um tanque são E1 = 630(10-6) e
= 350(10-6). Se for um caso de estado plano de tensão, de­
A seção transversal da viga retangular é submetida
termine
as tensões principais
associadas
no
ponto
no
mesmo
ao
momento
fletor M. Determine uma expressão para o au­
plano. Eai = 70 GPa, vai = 0,33. Dica: Veja o Problema 10.34. mento no comprimento
das retas AB e CD. O material tem
módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson v.
Uma
carga
periférica
uniforme
de
100
kN/m
e
70
kN/m é aplicada a um corpo de prova de poliestireno. Se a
formaa original do corpo de prova for quadrada, de dimen­
ssuas
ões novas50 mm,
b = 50 mm e espessura t = 6 mm, determine
dimensões
a', b' e t' após a aplicação da carga.
= 4 GPa e vP = 0,25.
e,
=
10.46
10. 47.
e2
'10.44.
=
E1,
a=
r
l
lOO kN/m
50 mm
Problema 10.47
O vaso de pressão esférico tem diâmetro interno de
2 m e espessura de 10 mm. Um extensómetro com 20 mm
de comprimento é ligado ao vaso e constata-se um aumento
no comprimento de 0,012 mm quando o vaso é pressurizado.
Determine a pressão que provoca essa deformação e calcule
a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão por
cisalhamento
pontoo qual
sobreE a super­
fície externa domáxima
vaso. Oabsoluta
materialemé aço,umpara
aço = 200
GPa e vaço = 0,3.
*10. 48.
f-- b = 50
mm
--1
Problema 10.44
386
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
Um material está sujeito às tensões principais
Determine a orientação de um extensômetro colo�a�
do em um ponto, de modo que sua leitura da deformação
normal responda apenas a uY, e não a ux. As constantes do
material são E e v.
*10.52.
uY .
u
e
y
Uma haste tem raio de 10 mm. Se estiver sujeita a
uma carga axial de 15 N tal que a deformação axial na haste
seja Ex = 2,75(10-6), determine o módulo de elasticidade E e
a mudança em seu diâmetro. v = 0,23.
Um extensômetro colocado no plano vertical sobre a
supetfície
ângulo de 60° em relação ao eixo do
tubo dá umaextema
leituraa um
EA = -250(10-6) no ponto A. Determine
a força vertical P, se o tubo tiver diâmetro extemo de 25 mm e
diâmetro interno de 15 mm. O tubo é feito de bronze C86100.
que
<
,c!ll Í '
( 'on�
bos, '
,·,pé�
da p <
Problema 10.48
10.49.
' 10. 56
lklt'l'
\dO di
10.50.
As tensões principais em um ponto são mostradas na
figura. Se o material for alumínio, para o qual E.1 = 70 GPa
v.1 = 0, 3 3, determine as deformações principais.
Problema 10.52
10.53.
e
iíiSI.
nio W(
\llpt' ! Ít
lh'I <Jilll
c
111.!\ll.
I IIÍIIÍO (
lOS MPa
Um extensômetro colocado no plano vertical sobre
a superfície externa a um ângulo de 60° em relação ao eixo
do tuboas deformações
dá uma leituraprincipais
EA = 250(10-6) no ponto A. Deter­
Problema
mine
no tubo no ponto A. O tubo
Um vaso de pressão cilíndrico de paredeforfina
tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 15 raio interno
r, espessura t e comprimento L. Se
mm e é feito de bronze C86100.
tido
a
uma
pressão
p, mostre que o aumento
raio interno é dr =interna
rE1 = pr2(1 - 1!2v)/Et e o aumento
seu comprimento é D.L = pLr(l/2 - v)/Et. Com
mostre que a mudança no volume interno -�
sultados,
dV = 1Tr2(1 + E)Z(l + E2)L - m:J.L. Visto que E1 e sa
quantidades
pequenas,de volume,
mostre denominada
também quedeformação
a mudança
volume
por unidade
lwnétrica, pode ser expressa como dV/V = pr(2,5 - 2v)!Et.
As extremidades do vaso de pressão cilíandrico são
para reduzir
fechadas com tampassesemiesféricas
planaes.o corpo
tampas
fossem
as
flexão
ocorreria
que
de flexão nas linhas de junção entre as tampas
ser eliminadase com a escolha adequadante.das esp s a
dem
t11 e te das tampas do cilindro, respectivame
Problema
Problema 10. 50
10.51.
10. 53
-
tem
10.54.
sub me­
em seu
em
ess es re­
torna e
E2
o
no
vo­
10.55.
10. 51
t ens ão de
As ten sõe s
po ­
es u r '
er
Iss o requ
j'dl il' Sl
a knt
ddorn1
'"ill llll
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
para o cilindro e para as
expansãMoso radtreialquesejaessaa mesma
relação é f/t11 (2 - v)/(1 - v).
mat.eri.al e que am­
é feitotem
vasosferas,
quee semie
, doomesmo
raiO mterno. Se a
mesmo
12 mm, qual será a espessura exigi­
ndroras?forCons
ciliiesfe
idere v 0,3.
as sem
=
0
do
=
387
O vaso de pressão cilíndrico de parede fina com raio
r e espessura t é submetido a uma pressão interna
interno
p. Se as constantes do material forem E e v, determine as
deformações nas direções circunferencial e longitudinal.
Com esses resultados, calcule o aumento no diâmetro e no
comprimento de um vaso de pressão de aço cheio demardee
O vaso temda 3parede
sob pressão manométrica dede 150,5MPa.
m e espessura
comprimento, raio200interno
GPa, v = 0,3.
de 10 mm. E
o aumento no volume do tanque do Proble­
ma 10.59.Estime
Dica: Use os resultados do Problema 10.54 como
confirmação.
10.59.
aço =
aço
*10.60.
está sujeito à carga axial de 60 kN.
de aço Ano-36volume
tubaomudança
do material após a aplica­
carga.
Problema 10. 55
30 mm 40 mm
Problemas 10.59/60
Um material macio está confinado no interior de um
cilindro rígido
que repousa sobre um suporte rígido. Consi­
derando que O e = O, determine qual será o fator de
aumento do módulo de elasticidade quando é aplicada uma
carga, se v 0,3 para o material.
10.61.
1
----
0,S m
1
-----
Ex =
cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alumí­
líquido. Quando frio, o líquido fica a 0,3 da parte
cavidade. Se essa parte superior for coberta e a tem­
aumentar l10°C, determine as componentes da tensão
tl;,•"re u, no alumínio. Dica: Use a Equação 10. 1 8 com um termo
lldieional a8T para a deformação (Equação 4.4).
cavidade
de um
corpofiio,rígidoo lílquido
iso estáficacheia
commmalu­da
6061-T6
l
í
quido.
Quando
a
0,
3
.J!Iírte superior da cavidade. Se essa parte superior não for coberta
aumentar l10°C, determine as componentes da
lfll�-tl'oennmperatura
ação e no alumínio. Dica: Use as Equações 10.18
termo adicional aô.Tpara a deformação (Equação 4.4).
Problema 10. 56
A
ll!fulo
í!{lm um
E
Y
=
mm
I
z
p
A
E,, EY
y
X
Ez
I
z
0,3 mm
----.· · i&
- . .1·
�
OOmml
--L
.
y
l5 mm
Problemas 10.57/58
Problema 10. 61
Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio
interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p.
Mostre4 que o aumento de volume no interior do vaso é ô.V =
(2p7Tr /Et)(1 - v). Use uma análise de pequenas deformações.
10. 62.
*1 0 . 7
Teo rias d e fa l ha s
Quando um engenheiro enfrenta o problema de
executar um projeto utilizando um material específi­
co, torna-se importante estabelecer um limite superior
para o estado de tensão que define a falha do mate-
388
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
rial. Se o material for dúctil, normalmente a falha será
especificada pelo início do escoamento, ao passo que
se for frágil, isso ocorrerá pela ruptura. Esses modos
de falha são definidos prontamente se o elemento es­
trutural estiver sujeito a um estado de tensão uniaxial,
como no caso de tensão simples; todavia, se o elemen­
to estrutural estiver sujeito a tensão biaxial ou triaxial,
será mais difícil definir um critério para a falha.
Nesta seção, discutiremos quatro teorias frequente­
mente utilizadas na prática da engenharia para prever
a falha de um material sujeito a um estado de tensão
multiaxial. Essas teorias, e outras como elas, também
são usadas para determinar as tensões admissíveis
informadas em muitos manuais e códigos de projeto.
Porém, não existe nenhuma teoria de falha única que
possa ser aplicada a um material específico todas as ve­
zes, porque um material pode comportar-se como dúc­
til ou frágil dependendo da temperatura, taxa de carre­
gamento, ambiente químico ou processo de fabricação
ou moldagem. Quando usamos uma determinada te­
oria de falha, em primeiro lugar é necessário calcular
as componentes da tensão normal e de cisalhamento
em pontos do elemento estrutural onde essas tensões
são maiores. Para esse cálculo, podemos usar os funda­
mentos da resistência dos materiais ou utilizar fatores
de concentração de tensão onde aplicável ou, em situa­
ções complexas, determinar as maiores componentes
da tensão por análise matemática baseada na teoria da
elasticidade ou por uma técnica experimental adequa­
da. Seja qual for o caso, uma vez definido esse estado
de tensão, as tensões principais nesses pontos críticos
serão determinadas, uma vez que cada uma das teorias
apresentadas a seguir é baseada no conhecimento das
tensões principais.
M ateriais d ú cteis
Teoria
tensão
máxima. A cau­
sa mais comum do escoamento de um material dúctil
como o aço é o deslizamento, que ocorre ao longo dos
planos de contato dos cristais orientados aleatoriamen­
te e que formam o material. Esse deslizamento deve-se
à tensão de cisalhamento e, se submetermos um corpo
de prova com o formato de uma tira fina com alto po­
limento a um ensaio de tração simples, poderemos ver
como essa tensão provoca o escoamento do material
(Figura 10.28). As bordas dos planos de deslizamento
que aparecem na superfície da tira são denominadas
linhas de Liider. Essas linhas indicam claramente os
planos de deslizamento na tira, que ocorrem a aproxi­
madamente 45° em relação ao eixo da tira.
Considere agora um elemento do material tomado
de um corpo de prova de ensaio de tração e que este­
ja sujeito somente à tensão de escoamento O'e (Figura
10.29a) . A tensão de cisalhamento máxima pode ser de­
terminada traçando-se um círculo de Mohr para o ele­
mento (Figura 10.29b ). Os resultados indicam que
Linhas de Lüdet
em uma tira
de aço doce
Figura 10.28
Tmáx = l
O'e
(1 0.26)
Além do mais, essa tensão de císalhamento age em
planos que estão a 45° em relação aos planos de tensão
principal (Figura 10.29c), e esses planos coincidem com a
direção das linhas de Lüder mostradas no corpo de prova,
indicando que, de fato, a falha ocorre por cisalhamento.
Usando essa ideia de que os materiais dúcteis fa­
lham por cisalhamento, Henri Tresca propôs, em 1868,
a teoria da tensão de cisalhamento máxima, ou cri·
tério de escoamento de Tresca. Essa teoria pode ser
usada para prever a tensão de falha de um material
dúctil sujeito a qualquer tipo de carga. A teoria da ten­
são de cisalhamento máxima afirma que o escoamento
do material começa quando a tensão de cisalhamento
máxima absoluta no material atinge a tensão de ci­
salhamento que provoca o escoamento desse mesmo
material quando sujeito somente a tensão axial. Por­
tanto, para evitar falha, a teoria da tensão de cisalha­
mento máxima exige que T bs no material seJ' a menor
ou igual a O' /2, onde O'e é determinada por um e nsaio
de tração si�ples.
Para aplicar a teoria, expressaremos a tensão de
cisalhamento máxima absoluta em termos das tensõe5
principais. O procedimento para tal foi discutido na
Seção 9.7 com referência à condição de estado plano
de tensão, isto é, na qual a tensão principal fora do pla­
no é nula. Se as duas tensões principais no pla no tiv<>
rem o mesmo sinal, isto é, forem ambas de tração nu
de compressão, a falha ocorrerá fora do plano e,
Equação 9. 15,
,
max a
no
Por outro lado, se as tensões principais no pla
verem sinais opostos, a falha ocorrerá no plan o e,
Equação 9. 16,
r:
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
Tmáx
abs
=
(J'máx
-
uz
(J'mín
2
389
to máxima para
, o estado plano de tensão
, .
qumsquer
duas tensoes pnnclsa
para
ser expres
pelos seguintes critérios:
e
aís no plano como (J'1 (J' 2
e pela 10.26, a teoria da tensão
por e ssas equações
· alhamen
CIS
p
I (J' 1l
I 2I
I(J'l (J'zl
(J'
_
_
==
(J'e
==
(J'e
==
(J'e
}
2 têm os mesmos
(J' (J'
1'
sinais
} (J'l' (J'2 têm sinais opostos
Teoria da tensão de cisalhamento máxima
Figma 10. 30
(10.27)
A Figura 10.30 apresenta um gráfico dessas equa­
ções. Fica claro que, se qualquer ponto do material es­
tiver sujeito ao estado plano de tensão e suas tensões
principais no plano forem representadas por uma co­
ordenada ((J'1 ' (J'2) marcada no contorno ou fora da área
hexagon al mostrada nessa figura, o material escoará
no ponto e diz-se que ocorrerá a falha.
Teo ria da energia d e d istorção máxima. Na
Seção 3.5, afirmamos que um material, quando de­
formado por uma carga externa, tende a armazenar
energia internamente em todo o volume. A energia por
unidade de volume do material é denominada densi­
dade de energia de deformação, e, se o material estiver
sujeito a uma tensão uniaxial, (J', a densidade de ener­
gia de deformação, definida pela Equação 3. 6, pode ser
expressa como
T
( 10.28)
T
É possível formular um critério de falha com base
nas distorções causadas pela energia de deformação.
Antes disso, entretanto, precisamos determinar a den­
sidade de energia de deformação em um elemento de
volume de material sujeito às três tensões principais,
(J'1 , (J'2 e (J'3 (Figura 10. 31a). Aqui, cada tensão principal
contribui com uma porção da densidade de energia de
deformação total, de modo que
( a)
Se o material comportar-se de maneira linear elás­
tica, a lei de Hooke será aplicável. Portanto, substituin­
do a Equação 10. 18 na equação acima e simplificando,
obtemos
T
""'
)
"'-. Tmáx = T
y'
Ue
�méd /
x'
-�
45°
( c)
Figma 10.29
2
( 10.29)
Essa densidade de energia de deformação pode ser
considerada como a soma de duas partes, uma que re­
presenta a energia necessária para provocar uma mu­
dança de volume no elemento sem mudar a forma do
elemento e outra que representa a energia necessária
para distorcer o elemento. Especificamente, a energia
armazenada no elemento como resultado da mudan­
ça em seu volume é causada pela aplicação da tensão
390
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
+ +
principal média, uméct = (u1
u3)/3, visto que
u2
essa tensão provoca deformações principais iguais no
material (Figura 10. 31b ). A porção remanescente da
tensão, ((T1 - (Tméd) , ( (T2 - (Tméd) , ( (]"3 - (Tméd) , provoca a
energia de distorção (Figura 10.31c).
Evidências experimentais mostram que materiais
não escoam quando submetidos a uma tensão (hidros­
tática) uniforme, como uméct que acabamos de discutir.
O resultado é que, em 1904, M. Huber propôs que o
escoamento em um material dúctil ocorre quando a
energia de distorção por unidade de volume do mate­
rial é igual ou ultrapassa a energia de distorção p or
unidade de volume do mesmo material quando s ub.
metido a escoamento em um ensaio de tração simples.
Essa teoria é denominada teoria da energia de dis­
torção máxima e, visto que mais tarde foi redefinida
independentemente por R. von Mises e H. Hencky, às
vezes ela também porta os nomes desses cientistas.
Para obter a energia de distorção por unidade de vo­
lume, substituiremos as tensões (a_-1 (Tméd) , (u2 - améd),
(u3 - uméct) por u1, u2 e u3, respectlvamente, na Equação
10.29, percebendo que uméct (u1 + u2 + u)/3. Expan­
dindo e simplificando, obtemos
=
No caso da
duz-se a
-
tensão plana, u3
= O, essa equação re­
(a)
11
u3
= O e, portanto,
Para um ensaio de tração
uniaxial,
u1
=
u0, a2
=
Como a teoria da energia de distorção máxima exi­
ge que ua = (ua)e, então, para o caso de tensão no pla­
no ou biaxial, temos
(10.30)
(b)
+
(c)
Essa equação representa uma curva elíptica (Figura
10.32).Assim, se um ponto no material sofrer uma tensão
tal que a coordenada da tensão é marcada no contorno
ou fora da área sombreada, diz-se que o material falha.
Teoria da energia de distorção máxima
Figura 10. 31
Figura 10. 32
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
Cisalhamento puro
u2
M ateriais frágeis
Uma comparação entre os dois critérios de falha
que descrevemos até aqui é mostrado na Figura 10.33.
Observe que ambas as teorias dão os mesmos resul­
tados quando as tensões principais são iguais, isto é,
pelas equações 10.2? e 10. ? 0, 0'1 .= O" 2 = O"e ou, quando
_
uma das tensões pnnc1pms for Igual a zero e a outra
tiver valor ue. Por outro lado, se o material for subme­
tido a cisalhamento puro, r, então as teorias demons­
tram a maior discrepância na previsão da falha. As
coordenadas da tensão desses pontos sobre as curvas
foram determinadas considerando o elemento mostra­
do na Figura 10.34a. Pelo círculo de Mohr associado
para esse estado de tensão (Figura 10. 34b ), obtemos
as tensões principais 0' 1 = r e 0'2 = - r. Aplicando as
equações 10.27 e 10.30, a teoria da tensão de cisalha­
mento máxima e a teoria da energia de distorção máxi­
ma produzem (]'1 = (]'/2 e (]'1 = (]'eV3' respectivamente
(Figura 10.33).
Ensaios de torção reais, usados para desenvolver
uma condição de cisalhamento puro em um corpo de
prova dúctil, mostraram que a teoria da energia de
distorção máxima dá resultados mais precisos para
falha por cisalhamento puro do que a teoria da ten­
são de cisalhamento máxima. Na verdade, visto que
((J'/'/3)/(0"/2) = 1,15, a tensão de cisalhamento para
escoamento do material, como dada pela teoria da
energia de distorção máxima, é 15% mais precisa do
que a dada pela teoria da energia da tensão de cisalha­
mento máxima.
l
1
(a)
u2 =
Afirmamos an­
teriormente que materiais frágeis, como ferro fundido
cinzento, tendem a falhar repentinamente por ruptu­
ra, sem nenhum escoamento aparente. Em um ensaio
de tração, a ruptura ocorre quando a tensão normal
atinge o limite de resistência O"r (Figura 10.35a) . Além
disso, em um ensaio de torção, a ruptura frágil ocorre
devido à tensão de tração máxima, desde que o plano
de ruptura para um elemento esteja a 45° em relação
à direção de cisalhamento (Figura 10.35b). Portanto,
a superfície de ruptura é helicoidal, como mostra a fi­
gura.* Testes experimentais mostraram também que,
durante torção, a resistência do material não é muito
afetada pela presença da tensão principal de compres­
são associada que está em ângulo reta em relação à
tensão de tração principal. Por consequência, a tensão
de tração necessária para romper um corpo de pro­
va durante um ensaio de torção é aproximadamente
a mesma necessária para romper um corpo de prova
sob tensão simples. Por causa disso, a teoria da tensão
normal máxima afirma que um material frágil falha­
rá, quando a tensão principal máxima O"1 no material
atingir um valor limite igual ao limite de resistência à
tensão normal que o material pode suportar quando
submetido à tração simples.
Se o material estiver sujeito ao estado plano de ten­
são, exige-se que
Teoria da tensão normal máxima.
Figura 10.33
'T
391
I 0'1I = O'r
I O"zl = O"r
(10.31)
-r
Falha de um material
frágil sob tração
(a)
A (r, O)
T
Figura 10.34
(b )
Falha de um material
frágil sob torção
(b)
Figura 10. 35
Um pedaço de giz escolar quebra desse modo quando suas extre­
midades são torcidas com os dedos.
392
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
2
(J
Envelope de falha
B
T
Teoria da tensão normal máxima
Figura 10. 37
Figura 10. 36
Essas equações são mostradas no gráfico da Figu­
ra 10.36. Aqui, vemos que, se a coordenada da tensão
(a 1' a2) em um ponto no material • cair sobre o contor•
no ou fora da área sombreada, diz-se que o matena1
sofreu ruptura. Essa teoria é geralmente atribuída a
W. Rankine, que a propôs em meados do século XIX.
Constatou-se, por meios experimentais, que a teoria
está de acordo com o comportamento de materiais
frágeis cujos diagramas tensão-deformação são seme­
lhantes sob tração e sob compressão.
Critério de falha de Mohr. Em alguns materiais
frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão
são diferentes. Quando isso ocorre, podemos usar um
critério baseado na utilização do círculo de Mohr
para prever a falha do materi�l. Esse n;étodo f?i de­
senvolvido por Otto Mohr e, as vezes, e denommado
critério de falha de Mohr. Para aplicá-lo, em primeiro
lugar é preciso realizar três ensaios no material. Um
ensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressão
uniaxial são usados para determinar o limite de resis­
tência às tensões de tração e compressão, ( a,) 1 e ( a,)
respectivamente. Além disso, é realizado um ensaio
de torção para determinar o limite de resistência à
tensão de cisalhamento Tr do material. Em seguida, é
construído o círculo de Mohr para cada uma dessas
condições de tensão, como mostra a Figura 10. 37. O
círculo A representa a condição de tensão a1 = a2 O,
a
- ( a ) · o círculo B representa as condições de
3
tensão a 1 = ( a ,) 1, a2 = a3 O; e o círculo C representa
a condição de tensão de cisalhamento puro provoca­
da por T Esses três círculos estão contidos em um
'envelop� de falha' indicado pela curva em cinza ex­
trapolada, desenhada na tangente a todos os três cír­
culos. Se uma condição de tensão plana em um ponto
for representada por um círculo que estiver contido
no interior do envelope, diz-se que o material não fa­
lhará. Todavia, se o círculo for tangente ao envelope
em um ponto, ou estender-se para fora de seu contor­
no, então diz-se que ocorrerá falha.
c'
=
r
•
c'
=
=
Critério de falha de Mohr
Figura 10. 38
=
Também podemos representar esse critério em um
gráfico de tensões principais u1 e u2( u3 0), mostrado
na Figura 10.38. Aqui, ocorre falha quando o valor a b ·
soluto de qualquer uma das tensões principais atinge
um valor igual ou maior do que ( 1J,) 1 ou (u,) c ou, �m
geral, se o estado de tensão em um ponto for defimdo
pela coordenada da tensão ( ul' uz) , marcada sobre 0
contorno ou fora da área sombreada.
Qualquer um desses dois critérios pode ser usado
na prática para prever a falha de um n:�terial :rag ' I:
Todavia, devemos entender que sua utilidade e b ?.
tante limitada. Uma ruptura por tração ocorre m wto
repentinamente e, em geral, seu i�ício dep�nde e . c
centrações de tensão desenvolvidas em ImpetfelÇ .
.
.
.
microscópicas do matena1 como me1uso es ou vazws.
entalhes na superfície e pequenas trincas. Como ca da
uma dessas irregularidades varia de um corpo de pro�
va para outro torna-se difícil especificar a falha com
base em um ú�ico ensaio. Por outro lado, trincas e ou·
.
tras irregulandades tendem a fechar-se quando o cOI·.
Po de prova é comprimido e, portanto, na- o forma!11 os
.
pontos de falha que formanam quando se submete n
corpo de prova à tração.
,
�
� �:�
-
c
a
n
d
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
393
dúctil, á falha será especificada pelo iúício do escoamento; se for frágil, será eEpeci1icada ;pela
no ,ae lSta definida quando ocorre deslizamertto entre os cristais que compõem o material. Esse desliza­
tensão
, de cisalhamento e a teoria da tensão de cisalhamento máxima é baseada nessa ideia.
tl(J defm•mlu:ao é armazenada em um material quando ele é submetido à tensão normal. A: teoria da energia
máxima depende de uma energia de deformação que distorce o material, e não da parte que aumenta
... "
material frágil é causada somente pela tensão de tração máxima no material, e não pela tensão de
constitui a base da teoria da tensão normal . máxíma e será aplicável se o diagrama tensãO'-defor·
for semelhante sob tração e sob compressão.
tiver diagramas tensãO'-deformação diferentes sob pressão e sob compressão, o critério de falha
""'n""''" ser usado para prever falha.
a imperfeições no material, a ruptura sob tensão de um material frágil é difícil de prever e, por isso, as teorias
para materiais frágeis devem ser usadas com cautela.
na Figura 10.39a tem diâmetro
aço mostrado
de mm
tubo
externo de 80 mm.
Se estiver
diâmetro
e
60
de
o
intsujeernito a um momento de torção
de se8 kNessasm e a um mo­
cargas provo­
o ftetor de 3,5 kN m, determine
ment
cam falha como definido pela teoria da energia de distorção
máxima. A tensão de escoamentoMPa.para o aço determinada
por ensaio de tração é e = 250
a
o
·
8 kN·m_�
·
a
(a)
SO LUÇÃO
esseesteja
problema, temos de investigar um ponto
Para resolver
o tubo que
sujeitodea umtorção
estadoe momento
de tensãofletor,
críti­
máxima. Ambos, momento
uniformes ao longo do comprimento do tubo. Na se­
ção arbitrária a-a (Figura 10.39a), essas cargas produzem
as distribuições de tensão mostradas nas figuras 10. 3 9b e
l.0.39c. Por inspeção, os pontos A e B estão sujeitos ao mes­
estadoemde A.tensão
tensão
Assim,crítico. Aqui, investigaremos o estado
(8.000 N m)(0,04 m) = 116'4 MPa
Te
rA J
(7T/2)[(0,04 m) 4 - (0,03 m) 4]
sobre
ca
(b)
+
são
(c)
mo
de
·
-
(3.500 N m)(0,04 m) = 101'9MPa
I (7T/4)[(0,04m) 4 - (0,03 m)4]
Esses resultados são mostrados em uma vista tridimensional
de material no ponto A (Figura 10.39d) e,
umaumvezelemento
que
o
material
está sujeito ao estado plano de tensão,
ele também é mostrado em duas dimensões (Figura 10.39e).
do círculo de Mohr para esse estado plano de
tensãocentro
está locali
zado em
o - 101, 9
G'méd =
2 = -50,9 MPa
IJ'A
Me
=-
de
O
(d )
·
�
A
116,4
--t---�-t--+__1_- O"
r
(MPa)
Figura 10.39
(e)
(MPa)
(f)
394
RESISTl:NCIA DOS MATERIAIS
O ponto de referência A(O, -116,4 MPa) é marcado e o cír­
culo, construído (Figura 10.39f). Aqui, o raio calculado pelo
triângulo sombreado é R = 127,1 e, portanto, as tensões prin­
cipais no plano são
0"1 = -50,9 + 127,1 = 76,1 MPa
0"2 = -50,9 - 127,1 = -178,0 MPa
Pela Equação 10.30, exige-se
0"12 - 0"10"2 + O"/ ::; 0"/
(76,1)2 - (76,1)( -178,0) + ( -178,0)2 ::; (250)2
51.000 62.500 OK
Considerando-se que o critério foi cumprido, o material no
interior do tubo escoará ('falhará') , de acordo com a
teoria da energia de distorção máxima.
?
<
não
O eixo maciço de ferro fundido mostrado na Figura
está raio
sujeitode amodo
um torque
400 Nde· m.acordo
Determine
10.seu40amenor
que nãoT =falhe
com a
teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência de
um corpo de prova de ferro fundido determinado por um
ensaio de tração é (O",), = 150 MPa.
SOLUÇÃO
A tensão crítica ou máxima ocorre em um ponto localizado
sobre a superfície do eixo. Considerando que o eixo tem raio
r, a tensão de cisalhamento é
Te ( 400 N·m)r 254,65 N·m
=
Tmáx =
J
(7r/2)r4
r3
T = 400 N·m
O círculo de Mohr para esse estado de tensão (cisalham
puro) é mostrado na Figura 10. 40b. Como R = T entãoento
0"1 = -0"2 = 7rnáx = 254,6r53 N·m
A teoria da tensão normal máxima, Equação 10. 3 1, exige
O"r
254•65 I 0"1I150 106 N/m2
r3
Assim, o menor raio do eixo é determinado por
254•65 = 150 106 N/m2
r3
r = 0, 0 1193 m = 11,93 m
Resposta
máx'
:s
::;
X
X
m���J�Ul® n m. � i4
�
�
"
O eixo maciço mostrado na Figura 10.41a temraio de 0,5
e é feito de aço com tensão de escoamento O" xo= de360acordo
MPa.
Determine se as cargas provocam a falha do ei
com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e a teoria da
energia de distorção máxima.
SOLUÇÃO
O estado de tensão no eixo é provocado pela força axial e pelo
torque. Visto que a tensão de cisalhamento máxima causada
pelo torque ocorre na superfície externa do material, temos
15 kN
p
A
1r(0,5 cm) = -19,10 kN/cm2 = 191 MPa
cm
---�2
(a)
-rmáx
T
(b)
Figma 10.40
(b)
Figura 10.41
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
395
3,25 N·m (0,54cm) = 16'55 k:N/cm2 = 165 5 MPa
f (0,5 cm)
da tensão sobre um elemento
componentes
ação das
A é mostrada na Figura 10. 4 1b. Em vez
noculopontde oMohr,
as tensões principais também po­
cír
obs 9.tida5. s pelas equações de transformação de tensão,
Equaçõe
'
A
usar 0
s er
a1,2
(j + (jy
2
- -1912 + o - ( -19� o r + (165,5)2
==
X
_
_
___
Pl'Oblema 10.65
+
As componentes do estado plano de tensão em um
ponto crítico de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos­
tradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento)
com base na teoria da energia de distorção máxima.
-
10. 66.
_
+
5 191,1
-95,95,6 MPa
a1 - 286,6 MPa
a2
==
±
==
125 MPa
==
Visto que as
principais
têm
sinais opostos, pela Seção 9. 7 , a defor­
mação por cisalhamento máxima absoluta ocorrerá no plano
portanto, aplicando a segunda das Equações 10.27, temos
Teoria da tensão de c:isalhamento máxima.
tensões
� 80MPa
l a 1 - a2 l :S G'e
e,
75MPa
195,6 - (-286,6)1� 360
382,2 > 360
a falha por cisalhamento do material ocorrerá de
A tensão de escoamento para uma liga de magnésio
acordo com essa teoria.
e
zircónio
e = 107 MPa. Se uma peça de máquina for fa­
Teoria da energia de distorção máxima. Aplicando a
bricada comé aesse
material e um ponto crítico no material for
Equação 10.30, temos
submetido às tensões principais no plano a1 e a2 = -0,5a1,
determine o valor de a que provocará escoamento de acor­
do com a teoria da tensão de cisalhamento máxima.
( a12 - a1 a2 + al) :S G'e2
Resolva o Problema 10.67 usando a teoria da ener­
[(95,6? - (95. 6)( -286,6) - < -286,6) 2]� (36W
gia
de
distorção
máxima.
118.677,9:5 129.600
Se um eixo for feito de um material para o qual
ae = 350 MPa, determine a tensão de cisalhamento por tor­
Por essa teoria, não ocorrerá falha.
ção máxima exigida para provocar escoamento pela teoria
da energia de distorção máxima.
Resolva o Problema 10.69 usando a teoria da tensão
de cisalhamento máxima. As duas tensões principais têm si­
nais opostos.
PRmsrne��s
A tensão de escoamento para um material plástico
material está sujeito ao estado plano de tensão. é ae = 110
MPa. Se esse material estiver sujeito ao estado
ExpresseUma teoria
da
falha
de
energia
de
distorção
em
termos
plano
de
tensão
e ocorrer uma falha elástica quando uma
ay e rxy.
tensão
principal
for
120 MPa, qual será o menor valor da
Um
material
está
sujeito
ao
estado
plano
de
tensão.
outra
tensão
principal?
Use a teoria da energia de distorção
Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxi­ máxima.
de ax, aY e rxydiferentes.
' Considere que as tensões prin­
Resolva o Problema 10.71 usando a teoria da tensão
C!�paats�mtêmtermos
sinais algébricos
de
cisalhamento
máxima. Ambas as tensões principais têm o
As
componentes
do
estado
plano
de
tensão
em
um
mesmo
sinal.
Pont
de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos­
A chapa é feita de bronze
Tobin, que escoa a
tcoradaso crítico
na
figura.
Determine
se
ocorreu
falha
(escoamento)
da
tensão
de cisalhamento
a
=
175
MPa.
Pela
teoria
de
falha
m base na teoria da tensão de cisalhamento máxima.
Problema 10.66
Assim,
10.67.
1
*10. 68.
10.69.
10.70.
10.63,
�
X
§� "-
"' K«
"'
/
0
'""
z
:s:,
���"'
"
"'
4
0
/:
=
"'
'"'"'
10. 71.
de (]' ,
x
'10. 64.
*10. 72.
10.65,
10. 73.
e
396
RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
máxima, determine a tensão de tração máxima ux que pode
ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de
tração = 0,75ux.
10.74. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a = 175 MPa.
Peladeteoria
determine
a ten­se
são
traçãoda energia
máximadeuxdistorção
que podemáxima,
ser aplicada
à chapa,
também for aplicada uma tensão de tração uy = 0,75u_,
uy
a-e
As tensões principais no plano
que agem
na figura.
Se osobmatere rial
diferencial
são
mostradas
elemento
for aço-máquina com tensão de escoamento u = 700 MPa
o fator de segurança para escoamento, se
determine
siderada a teoria da tensão de cisalhamento máxima.for :
10.81.
urn
con
SO MPa
SO MPa
Problema 10.81
Problemas 10.73174
Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fa­
bricar um eixo de acionamento maciço que transmita 33 kW
a 2.400 rev/min. Usando um fator de segurança de 2 para o
escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode
ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamen­
tomáxima.
*10.76. Resolva o Problema 10. 7 5 usando a teoria da ener­
gia de distorção máxima.
10.77. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um
eiUsando
xo de um
acionamento
que transmita
a 1.500 rev/min.
fator de segurança
de 2,5 20parakWescoamento,
deter­
mine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com
base na teoria da energia de distorção máxima. u = 25 MP a.
10. 78. Uma barra com área de seção transversal quadrada é fei­
ta de um material cuja tensão de escoamento é u = 840 MP a. Se
a barra for submetida a um momento fietor de 10 kN m, deter­
mine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria
da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança
de 1,5 para o escoamento.
10.79. Resolva o Problema 10. 7 8 usando a teoria da tensão
de cisalhamento máxima.
*10.80. As tensões principais de deformação no plano que
agem sobre um elemento diferencial são mostradas na figu­
o material
for aço-máquina
tensão de escoamento
ra. Se= 700
MPa, determine
o fatorcom
de segurança
para escoa­
mento usando a teoria da energia de distorção máxima.
10. 75.
O estado de tensão que age sobre um ponto
em um elemento de máquina é mostrado na figura. Determi­
a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser
neselecionado
para a fabricação da peça com base na teoria
tensão de cisalhamento máxima.
10.82.
crítico
da
e
e
ae
475 MPa
480 MPa
·
A tensão de escoamento para uma liga de
u = 160 MPa. Se uma peça de máquina for fabricada
material
ponto crítico
aoe;seestado
planoe umde tensão
de modono talmaterial
que asfortensões
cipais sejam e = 0,25ul' determine o valor de
causará
distorçãoescoamento
máxima. de acordo com a teoria da energia
*10.84. Resolva o Problema 10. 8 3 usando a teoria da
de cisalhamento máxima.
10. 85. Uma liga de alumínio deve ser usada para
um
de acionamento maciço que transmita 25 kN
1.200eixo
rev/min.
Usandooummenor
fator diâmetro
de segurança
de 2,que
5
coamento, determine
do eixo
selecionado
tosermáxima.
u =com
70 MPbasea. na teoria da tensão de cisalhamen·
�·:
10.86. O estado de tensão que age sobre um ponto
estrutura de um banco de automóvel durante ãoumade es�
é mostrado na figura. Determine a menor tenspara
mento
para um aço que possa
o elemento estrutural com basesernaselecionado
teoria da tensão de
lhamento máxima.
Problema 10.82
10.83.
urânio é
com
'J
submetido
(J,
prin·
a-1
a-2
a- 1
que
de
tensão
I(
te
fabricar
a
Ir
para es·
Ç <l
pode
e
li !
crític?
c ohs a•
cs
oa ·
Problema 10.80
se
fabncar
.
ctsa·
111
....
.
.
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
397
Deduza uma expressão para um momento fletor
equivalente Me que, se aplicado sozinho a uma barra maciça
de seção transversal circular, provocaria a mesma energiafletorde
distorção que a aplicação combinada de um momento
M e um torque T.
*1110.92. O resultado do cálculo das cargas internas em uma
seção crítica ao longo do eixo de acionamento de aço de um
navio
torquepropulsão
de 3,45axial
kN dem,12,um5 kN.
momento
fletor dede
2,25 kNsãomume uma
Se os limites
escoamento para tração e cisalhamento forem ue = 700 MPa e
re 350 MPa, respectivamente, determine o diâmetro exigido
para
o eixo pela teoria da tensão de cisalhamento máxima.
10.91.
175MPa
r560MPa
·
·
=
Problema 10.86
Resolva o Problema 10.86 usando a teoria da ener­
gia de distorção máxima.
10.87.
175MPa560MPa
r
Problema 10.92
O elemento está sujeito às tensões mostradas na Fi­
gura. Se I.Te 350 MPa, determine o fator de segurança para
essa cargae (b)comteoria
base nada energia
(a) teoriadedadistorção
tensão demáxima.
cisalhamento
máxima
10.93.
=
56MPa
84MPa
Problema 10.87
Se uma peça de máquina for feita de titânio (Tie umdeponto
crítico
for
submetido
ao
estado plano
tensãodetermine
de modonotalomaterial
que
as
tensões
principais
valor de u1 em MPa que
u1 e u2escoamento
= 0, 5 ul'
provocará
de acordo com (a) a teoria da tensão
de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção
máxima.
10.89. Deduza uma expressão para um torque equivalen­
aplicado sozinho a uma barra maciça de seção
trar.nsveque,rsalsecircular,
provocaria a mesma energia de distor­
que
a
aplicação
torque T. combinada de um momento fletor M e
10.90. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para
fabri
car um eixo de acionamento que transmita 40 kN a
1.800 rev/min. Usando um fator de segurança FS = 2 para
escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode
s ionado com base na teoria da energia de distorção
máxielec
ma.
6Al-4V)
/345kN·
m
12,5 kN/ '
'10.88.
são
te
ção
um
Problema 10.93
O estado de tensão que age em um ponto crítico so­
bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine
aselecionado
menor tensão
o aço quecompoderia
paradea escoamento
fabricação daparaferramenta
base serna
teoria da energia de distorção máxima.
10.95. O estado de tensão que age em um ponto crítico so­
bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine
a menor tensão
o aço quecompoderia
selecionado
paradea escoamento
fabricação daparaferramenta
base serna
teoria da tensão de cisalhamento máxima.
10.94.
398
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SOO N·m
---t[]t-
SOO N·m
__.._ . 70 MPa
175 MPa
2 kN
--
Problema 10.96
Se um eixo maciço de diâmetro d for submetido a
um
torque
e máxima,
um momento
M, mostre que, pela teoria da
*10.96. O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de
máxima admissí­
tensão
normal
a
tensão
está sujeito a um torque de 500 N m e a uma força vel é = (16hrd3)(M + YW +principal
50 mm
'P).
compressão
axial dade tensão
2 kN. Determine
se eleOfalhará
deacordo
com a teoria
normal máxima.
limite dede
T
resistência do concreto é = 28 MPa.
Problemas 10.94/95
10.97.
T
·
uadm
u,
Problema 10. 97
Quando um ele ento de material está
sujeito a deformações que ocorrem
p ano, ele sofre defor­
somente
mação pl an a. Se as componentes da
re
deformação E , E e ')'
das para uma onentação especifica do
el emento, as deformações que agem
m
em um l
x
i'
xy
fo
m conhecÍ-
em alguma outra orientação do ele­
mento poderão ser determinadas pe­
transformação da de­
formação no p ano Da mesma forma,
as deformações princip is normais e a
deformação por cisalhamento máxima
no plano poderão ser determinadas
por equações de transformação.
las equações da
l .
a
f
Ex - Ey cos 20 + -sen
Ex Ey --/'xy
E·' = --Ex -- - Ex - Ey
Yxy
-zsen 20
Ey• = 2
Ex ---Ey) sen 20+ 'Yxy cos 20
(=
-z
2
2/'xy)2
Ex Ey ± � ( Ex - Ey)2 (Elz - --2
2
/'�;Imo = ) ex � Ey y + (/';y r
Ex +--Ey
Eméd = -2
+
·'
+
2
+
Ey
2
2
2"
u
---cos 20 2
'Yx'y'
_
'
+
2
+
as a
Problemas de tr n orm ção da defor­
mação também podem ser resolvidos
de maneira parcialmente gráfica usan­
do o círculo de Mohr. Para traçar o
círculo,
o eixos e y/2 e
traçam-se no gráfico o centro do cír­
+
O] e o 'ponto de re­
culo C
ferência'
O raio do círculo
estende-se entre esses dois pontos e é
determinado por trigonometria.
definem-se s
[(Ex Ey)/2,
A(Ex, 'Yx/2).
E
..
....
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO
Jrn:u1�.av por cisalhamento má­
será igual àquela por
máxima no plano desde
deformações principais no pia­
sinais opostos. Se tiverem o
sinal, então a deformação por
máxima absoluta ocor­
plano
.
fora do
de Hooke pode ser expressa
dimensões, onde cada defor­
está relacionada com as três
da tensão normal pelas
do material E e v.
e v forem conhecidas, então
ser determinada.
G
G=
é uma medida da defor­
volumétrica. O módulo de
Jre!>sit,íli<iadle é usado para medir
de um volume de material.
E
[2(1 + v)]
uu'"""<"v
k=
que as tensões principais
um material sejam conhecidas,
usar uma teoria de falha
a base para um projeto.
dúteis falham sob cisalha­
e, nesse caso, a teoria da tensão
v<OGLLlUU'-'<OlUU máxima OU a teoria
energia de distorção máxima po­
r usadas para prever falha. Amteorías fazem comparações com
de escoamento de um corpo
rova submetido à tensão uniaxial.
frágeis falham sob tração,
a teoria da tensão normal
ou o critério de falha de Mohr
ser usados. Nesse caso, as com­
são feitas com o limite de
à tensão de tração desen­
em um corpo de prova.
3(1
E
-
2v)
399
400
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
0
"'
�
�
�R(!!) IB I.!!e NJ�S me R�X�,;IS�®
t
�
"'
Y
�
As tensões principais que agem em um ponto sobre
um vaso de pressão
cilíndrico de parede fina são =deter­
pr!t,
= pr/2t e = O. Se a tensão de escoamento for
o valor máximo de p com base na (a) teoria da tensão
mine
de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção
máxima.
10.99. Um vaso de pressão esférico de parede fina tem
raio interno r e espessura t e está sujeito a uma pressão
interna p. Se as constantes do material forem E e deter­
mine
a deformação
na direção circunferencial em termos
dos parâmetros
citados.
*10.100. As componentes da deformação no ponto A sobre
aEzcarcaça
são Ex = 250(10-6), EY = 400(10-6), 'Yxy = 275(10-6),
= O. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a
deformação por cisalhamento máxima no plano e (c) a
deformação por cisalhamento máxima absoluta.
="'
-=
""
"'"' �
�
��+%" =�;;- -"'
w
0
340 MPa
10.98.
a2
=
2
W!
"� """' � �% %
�
y
"'
"' �:�, ,
F ��Z>V�f
!A07ffj ""
"'
"
=�
a1
a ,
0
a3
c
f\
Ir
fc
v,
x-y,
Problema 10.103
*10.104. A roseta de deformação a 60o está montada sobre
viga. As seguintes leituras foram obtidas para
uma
tensômetro: E" = 600(10-6), Eb = -700(10-6) e E, = 350cad(10abex­-6).
Determine (a) as deformações principais no plano e ( ) a
deformação
cisalhamento
no plano
e a defor­
mação
normalpormédia.
Em cada máxima
caso, mostre
o elemento
dis­
torcido devido a essas deformações.
1
SLI
CI :
V('
lo1
cs
to:
vi�
qu
1111
Problema 10.100
10.101. Um elemento diferencial é submetido à de­
formação no plano que tem as seguintes componentes:
Ex = 950(10-6), EY = 420(10-6), 'Yxy = -325(10-6). Use as equa­
ções de transformação
e determine
(a) as de­
formações
principais eda(b)deformação
a deformação
por cisalhamento
máxima no plano e a deformação média associada. Em cada
caso,
especifique
a orientação
do elemento e mostre como as
deformações
distorcem
o elemento.
10.102. As componentes do estado plano de tensão em um
Problema 10.104
crítico
sobre
uma
carcaça
fina
de
aço
são
mostradas
ponto
nana figura.
ocorre falha
(escoamento)
base 10.105. A viga de alumínio tem a seção transversal
teoria daDetermine
energia desedistorção
máxima.
A tensão com
de escoa­
na figura. Se for submetida a um
gular mostrada
mento para o aço é e = 650 MPa.
fletor
M = 7,5 kN m, determine o aumento na dimensão
dimensão
50 mm na parte superior da viga e a redução=dessa
0,
3
.
na
parte
inferior
da
viga.
E
ai
=
70
GPa
e
v.1
340 MPa
reta n­
momento
a
de
·
I
75 mm
M = 7,5 kN·m
Problema 10.102
Resolva o Problema 10.102 pela teoria da tensão de
cisalhamento máxima.
10.103.
L
�50 mm�
Problema 10.105
Xà •
ba
vil:'
é r
ca r
las
f<ÍI
ll p l
OS I
Fig
vig.
c !'c
Projeto de vi
5 DO CAPÍTULO
as
e e1x
s
d iscutiremos como projetar u m a viga de modo q u e e l a possa resistir a cargas de flexão e cisa­
Nest e ca pítu lo,
Especificamente, desenvo lveremos métodos usados p a ra projetar vigas prismáticas e d eterm i n a r a
tota l m e nte sol i citada s . N o fi n a l do capítu lo, considera remos o projeto de eixos com base n a
for m a de viga s
resistên cia a momento s fl etores e de torçã o .
Base p a ra o p roj eto
de vigas
Vigas são elementos estruturais projetados para
suportar cargas aplicadas perpendicularmente a seus
eixos longitudinais. Por causa dessas cargas, elas desen­
volvem uma força de cisalhamento interna e um mo­
mento fletor que, em geral, variam de ponto a ponto ao
longo do eixo da viga. Algumas delas também podem
estar sujeitas a uma força axial interna; todavia, os efei­
tos dessa força costumam ser desprezados no projeto
visto que, em geral, a tensão axial é muito menor do
que as tensões desenvolvidas por cisalhamento e fle­
xão. Quando escolhemos uma viga para resistir a am­
bas as tensões de cisalhamento e flexão, diz-se que ela
é projetada com base na resistência. O projeto de uma
viga de acordo com esse conceito exige a utilização das
fórmulas de cisalhamento e flexão desenvolvidas nos
capítulos 6 e 7. Entretanto, a aplicação dessas fórmu­
las limita-se a vigas feitas de material homogéneo que
apresente comportamento linear elástico.
A análise de tensão de uma viga geralmente despreza
os efeitos provocados por cargas distribuídas externas
e forças concentradas aplicadas à viga. Como mostra a
Figura 11.1, essas cargas ctiarão tensões adicionais na
viga diretamente sob a carga. Nota-se especificamente
que, além da tensão de flexão (J'x e da tensão de cisalha­
mento rxy que discutimos anteriormente, também será
desenvolvida uma tensão de compressão (J'Y. Todavia,
por meio de métodos de análise avançados, como os da
teoria da elasticidade, podemos mostrar que a tensão
(]' diminui rapidamente por toda a altura (ou profunY
didade) da viga e, na maioria das relações vão/altura
usadas na prática da engenharia, o valor máximo de
(J' em geral representa apenas uma pequena porcenta­
Y
gem em comparação com a tensão de flexão (J'x' isto é,
(]' » (]' . Além disso, a aplicação direta de cargas concen­
tr�dai é geralmente evitada no projeto de vigas. Em
vez disso, utilizam-se chapas de assento para distribuir
essas cargas com maior uniformidade pela superfície
da viga.
Embora as vigas sejam projetadas sobretudo para
resistência, elas também têm de ser escoradas de ma­
neira adequada ao longo de seus lados para que não
sofram flambagem ou tornem-se repentinamente ins­
táveis. Além disso, em alguns casos as vigas têm de ser
projetadas para resistir a uma quantidade limitada de
deflexão, como ocorre quando suportam tetos de ma­
terial frágil como gesso. Métodos para determinar a
deflexão de vigas serão discutidos no Capítulo 12, e as
limitações impostas à flambagem das vigas costumam
ser discutidas em códigos e manuais de proj eto estru­
tural ou mecânico.
1 1 .2
Figura 11.1
P roj eto d e viga p rismát i ca
Para projetar uma viga com base na resistência, exi­
ge-se que as tensões de flexão e de cisalhamento ver­
dadeiras na viga não ultrapassem aquelas admissíveis
para o material, definidas por códigos e manuais de
proj eto estrutural ou mecânico. Se o vão livre da viga
for relativamente longo, de modo que os momentos
internos tornam-se grandes, o engenheiro considerará,
em primeiro lugar, um projeto baseado na flexão e en­
tão verificará a resistência ao cisalhamento. Um pro-
402
RESIST�NCIA DOS MATERIAIS
jeto para flexão requer a determinação do módulo de
resistência à flexão da viga, que é a relação entre I e c,
isto é, S = 1/c. Pela fórmula da flexão, cr= Me/I, temos
Mrnáx
Sreq = -­
cradrn
(11.1)
Nessa expressão, M é determinado pelo diagrama de
momento da viga, e a tensão de flexão admissível, cradm'
é especificada em um código ou manual de projeto. Em
muitos casos, o peso desconhecido da viga será pequeno
e poderá ser desprezado em comparação com as cargas
que a viga deve suportar. Todavia, se o momento adicio­
nal provocado pelo peso tiver de ser incluído no projeto,
o s escolhido terá de ser ligeiramente maior que sre '
q
Uma vez conhecido Sreq, se a forma da seção transversai da viga for simples, como um quadrado, um círculo ou um retângulo cujas proporções largura/altura
sejam conhecidas, suas dimensões poderão ser deter­
minadas diretamente por sre ' visto que, por definição,
q
S = 1/c. Contudo, se a seção
transversal for com­
p��ta por vários elementos, como uma seção de abas
largas, poderá ser determinado um número infinito de
dimensões para a alma e para as abas que satisfaçam
o valor de S . Entretanto, na prática, os engenheiros
escolhem ur{;� determinada viga que cumpra o requi­
sito S > S em um manual que relacione as formas
padronizacÍis oferecidas por fabricantes. Muitas vezes,
há várias vigas com o mesmo módulo de resistência à
flexão que podem ser selecionadas nessas tabelas. Se
não houver restrições para as deflexões, normalmente
se escolherá a viga que tenha a menor área de seção
transversal, já que a quantidade de material utilizado
em sua fabricação é menor e, portanto, ela será mais
leve e mais econômica do que as outras.
A discussão acima considera que a tensão de flexão
admissível do material é a mesma sob tração e sob com­
pressão. Se for esse o caso, a viga que tenha seção trans­
versal simétrica em relação ao eixo neutro deverá ser es­
colhida. Contudo, se as tensões de flexão admissíveis sob
tração e sob compressão não forem as mesmas, a escolha
de uma seção transversal assimétrica poderá ser mais
eficiente. Nessas circunstâncias, o projeto da viga deverá
levar em conta a resistência ao maior momento positivo,
bem como ao maior momento negativo no vão.
Uma vez selecionada a viga, podemos usar a fór­
mula do cisalhamento Tadm � VQ!It para confirmar se a
tensão de cisalhamento admissível não foi ultrapassa­
da. Muitas vezes esse requisito não será um problema.
Todavia, se a viga for 'curta' e suportar grandes cargas
concentradas, a limitação à tensão de cisalhamento po­
derá ditar o tamanho dela. Essa limitação é particular­
mente importante no projeto de vigas de madeira, por­
que a madeira tende a rachar ao longo de suas fibras
devido ao cisalhamento (veja a Figura 7.6).
Uma vez que as vigas são ge.
ralmente feitas de aço ou madeira, agora discutirem os
algumas das propriedades tabeladas de vigas feitas
desses materiais.
Vigas fa b ricadas.
a ço. A maioria das vigas de aço fabrica­
das é produzida por laminação a quente de um ling ote
até se obter a forma desejada. As propriedades dessas
formas, denominadas perfis laminados, são tabeladas
no manual do American Institute of Steel Construction
(AISC). Uma lista representativa de vigas de abas
largas retiradas desse manual é dada no Apêndice B.
Como observado nesse apêndice, os perfis de abas
largas são projetados segundo sua altura e p eso por
unidade de comprimento; por exemplo, W460 X 68 in­
dica uma seção transversal de abas largas (W) com 460
mm de altura e 0,68 kN/m de peso (Figura 1 1 .2). Para
qualquer seção dada, são informados o peso por com­
primento, as dimensões, a área da seção transversal, o
momento de inércia e o módulo de resistência à fle­
xão. Está incluído também o raio de giração r, que é uma
propriedade geométrica relacionada com a resistência
da seção à flambagem. Isso será discutido no Capítulo
13. O Apêndice B e o Manual do AISC (AISC Manual)
também apresentam listas de dados de outros elementos
estruturais como vigas em U e cantoneiras.
Se,eo,es de
A maioria das vigas feitas de ma­
deira tem seção transversal retangular porque são fáceis
de fabricar e manusear. Manuais como os da National
Forest Products Association apresentam listas de di­
mensões de madeiras frequentemente utilizadas no pro­
jeto de vigas. Muitas vezes são informadas as dimensões
nominais e também as reais. A madeira bruta é iden­
tificada por suas dimensões nominais, como 50 X 100
(50 mm por 100 mm); todavia, suas dimensões 'acabada�·
são menores (37,5 mm por 87,5 mm). A redução das clt­
mensões deve-se à exigência de obter superfícies lisas da
madeira bruta serrada. É óbvio que as dimensões reais
devem ser usadas no cálculo de vigas de madeira.
Uma seção composta é constrn!d.a
com duas ou mais peças unidas para formar uma UI�I­
ca unidade estrutural. Como indicado pela Equaçao
11.1, a capacidade da viga de resistir a um m�m � nt�
varia diretamente com seu módulo de res1s. tencta '
T
15,4 mm
l�
459 mm
9,14 mm
/--- 154 mm --1
Figura 11.2
W460 X 68
c
c
I
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
Soldada
Parafusada
Viga de lâminas coladas
(b)
Viga-caixão de madeira
(a)
Vigas-mestras de chapas de aço
Figma 11.3
Figma 11.4
�
� visto que S = l/c, então S aumenta se I aumentm: Para
umentar I, a maior parte do material deve ser coloca,­
d a 0 mais longe do eixo neutro quanto for possível. E
evidentemente, que torna uma viga de abas largas
grande altura tão eficiente na resistência a um mo­
mento. Todavia, para cargas muito grandes, o módulo
de resistência de uma viga de aço laminado disponível
pode não ser grande o suficiente para suportar um de­
terminado momento. Em vez de usar várias vigas dis­
poníveis para suportar a carga, os engenheiros geral­
utente 'constroem' uma viga com chapas e cantoneiras.
Uma seção em duplo T alta que tenha essa forma é
denominada uma viga-mestra de chapa. Por exemplo,
as duas abas da viga-mestra de aço na Figura 1 1 .3 são
.chapas que podem ser soldadas ou, se forem utilizadas
cantoneiras, parafusadas à chapa da alma.
·
Vigas de madeira também são 'construídas', em
geral na forma de uma seção de viga-caixão (Figura
1 1 .4a). Elas podem ser feitas com almas de compensa­
do e tábuas maiores para as abas. Quando os vãos são
muito grandes, usam-se vigas de lâminas coladas. Esses
elementos estruturais são feitos com várias tábuas la­
minadas unidas por cola de modo a formar uma única
unidade (Figura 1 1.4b ).
Exatamente como ocorre com as seções laminadas
ou vigas feitas de uma única peça, o projeto de seções
compostas exige que as tensões de flexão e cisalha­
mento sejam verificadas. Além disso, deve-se verificar
a tensão de cisalhamento nos elementos de fixação
como solda, cola, pregos etc., para assegurar que a viga
aja como uma única unidade. Os princípios para fazer
isso foram descritos na Seção 7.4.
a as
uportam cargas aplicadas perpendicularmente a seus eixos. Se forem proj et d
àsa
a as
resistir
de
que
c
rg
403
xã máxima na ga é
viga.
tensões de cisalhamento e flexão admissíveis.
tensão de fle
o
vi
na superfície da
muito
m
ao
com
base a
r a as
n
resistência,
i r do que as tensões localizadas p ovo c d
pela
o seguinte procedimento nos dá um método racional para o projeto de
Tendo como base a discussão cprecedente,
viga considerando a resistên ia.
Determine a força cortante e o momento fletor máximos na viga, geralmente obtidos pela construção dos diagramas
cortante e momento fletor viga.
os diagramas de força cortante e momento fletor são úteis para identificar regiões onde a força cor­
Paraforça
viogmomento
as compostas,
fletor são excessivamente grandes e podem exigir reforço estrutural adicional ou elementos de fixação.
média
a
longa, o projeto exigirá a determinação de seu módulo de resistência à flexão pela
m laviga
da flexãorelativamente
ler .
' req =
determinado sreq' as dimensões da seção transversal para formas simples podem ser calculadas, visto que
usadas seções de aço laminado, vários valores possíveis podem ser selecionados em tabelas apresen­
Escolha
entre elas a que tenha a menor área da seção transversal, visto que essa viga terá o
no
Apêndice
men
or
peso
e,
portanto,
será
a
mais
econômica.
C ifi se de que o módulo de resistên
cnado pelo peso da viga seja considerado. cia, ligeiramente maior que req de modo que o momento adicional
mas de força cortante e momento fletor
da
e
normal
for
u
=
fór­
S
vez
Mmáx
adm
1/c.
de S
B.
ert
�
qu e
-
S, é
S
,
404
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
curtas que suportam grandes cargas, sobretudo as de madeira, em geral são inicialmente projetadas para resistir ao
"Vigas
cisalhamento e, em seguida, examinadas no que se refere ao cumprimento dos requisitos da tensão de flexão admissível.
" Usando a fórmula do cisalhamento, verifique se a tensão de cisalhamento admissível não é ultrapassada; isto use
x Q/It.
" TSeadma vigaVmátiver
seção transversal retangular maciça, a fórmula do cisalhamento será Tadm 1,5(Vmá/A) (Equação
transversal for uma aba larga, em geral será adequado considerar que a tensão de cisalhamen
7.constante
5) e, se anaseção
área da seção transversal da alma da viga, de modo que Tadm ? VmjAahna' onde Anima é determinada pelto oé
produto entre a altura da viga e a espessura da alma (veja a Seção
adequação dos elementos de fixação usados em vigas compostas depende da tensão de cisalhamento qual es­
ses elementos podem resistir. Especificamente, o espaçamento exigido entre pregos parafusos de um tamanho
particular é determinado pelo fluxo de cisalhamento admissível, qadm = VQ!I, calculado em pontos sobre a seção
transversal onde os elementos de fixação estão localizados (veja a Seção 7.4).
Tensão de cisalhamento
é,
?
?
7.3).
Adequação dos elementos de fixação
"A
I
à
ou
SOLUÇÃO
de força cortante e momento fletor. As rea­
Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão Diagramas
ções
nos
apoios
foram calculadas e os diagramas de força
MPa e tensão de cisalhamento ad­ cortante e momento
admissívelTa u�dm100= 170
são mostrados
na Figura 11.5b.
MPa. Selecione uma forma W adequada Por esses diagramas, Vmfletor
missível
dm
M
=
90
kN
e
=
120 kN ·
m
x
áx
á
para suportar a carga mostrada na Figura 11. 5a.
Tensão de flexão. O módulo de resistência exigido para a
viga é determinado pela fórmula da flexão,
120 kN
60 kN
m.
C-2 m_j_2 m-+--2 m
(a)
-
1
60 kN
120 kN
p
n
sí
Sl
lll
I,
liÍ
S<
DI
Te
Pela tabela no Apêndice as seguintes vigas são adequadas:
W460 X 60 S = 1.120 X 103 mm3
W410 X 67 S = 1.200 X 103 mm3
W360 X 64 = 1.030 X 103 mm3
W310 X 74 S = 1.060 X 103 mm3
W250 X 80 = 984 X 103 mm3
W200 X 100 S = 987 X 103 mm3
A viga escolhida será a que tiver o menor peso por
isto é,
za
IIII
B,
S
s
I. o
me tro.
W460 X 60
o
O momento máximo verdadeiro M ' , queda inclui
da viga,
Ção viga
pode ser calculado e a adequ�compar
em 9,ação81 Nco/kmg)(a�
Todavia,
nada pode ser verificada.
o da viga, (60,35 kg/m)(s q
m)cargas= 3.aplicadas,
552,2SN = peso
3,55 kN, provocará apena
aumento em ,,q· Apesar disso,
oK
= 706(103)mm3 < 1.120(103)mm3
5
pc sn
sel eci o�
1
·
um p e ucmt
- 120
(b)
Figum 11.5
Sreq
121
PROJETO DE VIGAS
Com? � viga
de aba�
. é Ull_la seção
no mtenor
alma
da
sera
que
a
alma
ti
m
os
estende-se
da
parte
admi
,
Aqui
. até a mais infe�ior da viga. P�o Apêndice
Vl·ga W460 60, d - 455 mm, ta ma - 8 mm. Logo,
90(103 ) N = 24,7 MPa < lOOMPa OK
Vmáx
A - (455 mro)(8 mro)
de dsalhamento.
cisalhamento medw
a tensa�0 de
B,
superior
uma
X
1
_
E EIXOS 405
Tensão de cisalhamento. A tensão de cisalhamento máxi­
eixo
na viga depende dos valores de Q e t. Ela ocorre no neu­
ma
neutro, considerando-se Q máxima
nesse ponto e eixo
tro na alma, onde a espessura t = 0,03 m da seção transversal
éxoa domenor.
usaremos
a área retangular abai­
eixo Para
neutrosimplificar,
para calcular
Q, em vez da área composta
por duas partes acima desse eixo (Figura 11.6c). Temos
alma
Resposta
11.6a é composta
ra mostrada na Figuratensão
T des madei
vigatábua
de 200MPa e a30tensão Sede acisalhamento
de flexão
ad­
admis­
for O'adm = 12
for r.,dm = 0,8 MPa, determine se a viga suportará com
.,. ,,rn,nca' a carga mostrada. Especifique também o espaça­
máximo exigido entre os pregos para manter as duas
cada prego puder resistir com segurança a
unidas, se amen
de cisalh to.
A
mm X
(a)
mm.
"''"''v"'
•
!ábuas
] ,50 kN
A Figu­
mostra as reações na viga e os diagramas de força cor­
tante e momento fletor.Aqui, Vmáx = 1,5 kN, Mmáx = 2 kN · m.
Tensão de flexão. O eixo neutro ( centroide) será locali­
em relação à parte inferior da viga. Trabalhando em
zado
unidades métricas, temos
Diagramas de força cortante e momento fletor.
ra l L6b
- :s-yA
= :SA
y
(0,1 rn)(0,03 rn) (0,2 rn) + 0,215 m(0,03 m)(0,2 m)
0,03 m(0,2 m) + 0,03 m(0,2 m)
= 0,1575 m
Logo,
l=
[1� (0,03 m)(0,2 m)3 +(0,03 m)(0,2 m)(0,1575 m- 0,1 m?]
+L� (0,2 m)(0,03 m)3 + (0,03 m)(0,2 m)(0,215 m- 0,1575 m)2]
60,125 (10-6) m4
Visto que c 0,1575 m (e não 0,230 m - 0,1575 m = 0,0725 m),
exige-se
=
I
V (kN)
1,5
0,5
1------+---� x
-1
M (kN·m)
1 :
( )
-_
_
.· -
/1'-
--�'----
------j l-,03 m
(c)
0
=
MmáxC
-­
(J' adrn >
-
. ) kPa 2kN·m(0 1575m) = 5 24(103 ) kPa OK
12(103
60,125(10-6) m4 '
I
�
'
(m)
(d)
Figma 11.6
x (m)
406
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Q = )!'A' =
( 0'1 5�5 m) [(0,1575 m)(0,03m)]
0,372(10-3 ) m3
de modo que
=
> VmáxQ
Tadm - �
kN/m
kN[0,372(10-3 )] m3 = 309 kPa OK
800 kPa 60,1,5125(106) m4 (0,03 m)
Espaçamento d os pregos. Pelo diagrama de cisalhamen­
to, vemos que ele varia ao longo de todo o vão. Como o es­
paçamento
dos pregos (edepende
do valorconservadores),
do cisalhamento
viga, por simplicidade
para sermos
calcu­na
laremos o espaçamento tendo como base V = 1,5 kN para a
região BC e V = 1 kN para a região CD. Visto
que os pregos
unem a aba à alma (Figura 11.6d), temos
Q = y'A' = (0,0725 m - 0,015 m)[(0,2 m)(0,03 m)]
= 0,345(10-3 ) m3
O fluxo de cisalhamento para cada região é, portanto,
VscQ 1,5 kN[0,345 (10-3)) m3
=
qBC = -I
60,125(10-6) m4 = 8'61 kN/m
VCDQ 1 kN[0,345(10-3 )) m3
qCD = - =
60,125(10-6) m4 = 5,74kN/m
Um prego pode resistir- a 1,50 kN sob cisalhamento, portanto,
o espaçamento torna se
1,50 kN
ssc =
8,61 kN/m = 0,174m
1,50 kN
scD =
5,74 kN/m = 0,261 m
2:
�-
Para facilitar a medição, use
j
20
kN
f- 1.33 m
�---+-------�------� x (m)
-12
- 16
M (kN·m)
10.67
-6
(b)
Figum 11.7
SOLUÇÃO
dos cortante
apoios eme momento
A e B foram calculadas e os diagramas
deçõesforça
fletor são mostrados na Figura
11.7b. Aqui, Vmáx = 20 kN, Mmáx = 10,67 kN·m.
Tensão de flexão. Aplicando a fórmula da flexão, obtemos
Mmáx
10,67kN· m - 0,00119 m3
Sreq - 9(10
3 ) kN/m
Uadm
Considerando
11.7a). Logo, que a largura é a, a altura é h = 1,5a (Figura
Diagramas de força cortante e momento fletor. As rea­
_
_
_
2
Sreq = !_
'
rz (0,75a)
(a) ( 1 5a) 3
=
000119m
' 3
0,003160 m3
a = 0,147 m
Resposta
Tensão de dsalhamento. Aplicando a fórmula do cisa­
lhamento
seções retangulares (que é um caso especial
de Tmáx = Vpara
Q!It), temos
20kN
Vmáx
Tmáx = 1 '5 A = (1, 5 ) (0, 147 m)( ,5 )( 0, 147
1
m)
A viga de madeira laminada mostrada na Figura 11.7a
= 0, 9 29 MPa 0,6 MPa
suporta uma carga distribuída uniforme de 12 kN/m. Se for
necessário que a viga tenha uma relação altura/largura de EQUAÇÃO
1,5 , determine9suaMPamenor
largura.deAcisalhamento
tensão de flexão
admis­ Considerando-se que o critério do cisalhamento falhou, vign
e
a
tensão
admissível
sível
é
uadm =
tem de ser calculada novamente com base no cisalhamento.
é Tadm = 0,6 MPa. Despreze o peso da viga.
SB
C
S D
C
150mm
= 250mm
=
Resposta
a3 =
c
>
a
11 ..
l icn
(/
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
407
150mm
TPmmO mm
�5_
�40mm
3
Vmáx
'Tactm = l A
1------1
20kN
600 kN/m2 _ �2 (a)(1,
5a)
a = 0,183 m = 183 mm Resposta
seção maior também resistirá adequadamente à tensão
-
p
Problema 11.3
apoiada
é
feita
de
madeira
com
viga simplesmente
=kPa.6,5Determine
MPa e tensão de ci­ *11.4. Selecione no Apêndice a viga de aço de abas lar­
xão admissível
ão dentofleadmissí
tenshame
=
500
as dimen­ gas de menor peso que suportará com segurança a carga da
v
el
sal�1ies da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar
rela­ máquina mostrada na figura. A tensão de flexão admissível
altura/largura de 1,25.
é = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é
= 98 MPa.
n.t. A
B
uadm
radm
SkN/m
uadm
'Tadm
25 kN 25 kN 25 kN 25 kN
dE:jtcStat
A viga simplesmente apoiada é feita de madeira com
tensão de flexão admissível = 7 MPa e tensão de cisalha­
mento admissível = 0,5 MPa. Determine as dimensões
da viga se ela tiver de ser retangular e apresentar relação
altura/largura de 1,25.
Problema 11.4
Problema 11.1
As vigas do assoalho de um galpão de depósito de­
ser selecionadas em função de vigas quadradas de ma­
feitas de carvalho. Se cada viga tiver de ser projetada
deirasuportar
uma decarga
1,5 kN/m asobre
um vão
plesmente apoiado
7,5 m,dedetermine
dimensão
a desim­
sua
seção transversal quadrada com aproximação de múltiplos
de 5 mm. A tensão de flexão admissível é
MPa e a
tensão de cisalhamento admissível é = 0,8=7532MPa.
11 .2.
vem
para
11.5.
uadm
radm
75 kN/m
uadm
radm
B
Problema 11.5
A viga de madeira tem seção transversal retangular e
é
usada
para suportar
carga de 6 kN. Se a tensão de fle­
Problema 11.2
xão admissível
for uma
= 14 MPa e a tensão de cisalhamento
admissível for " = 5 MPa, determine a altura h da seção
de
madeira
deve
ser
carregada
como
mostra
a
transversal
;proximação de múltiplos de 5 mm, se ela
figura. ASeviga
extremidades suportarem somente forças ver­ tiver de ser com
retangular
ter largurasomente
b = 75 mm. Considere
deteasrmine
o
maior
valor
de
P que pode ser aplicado.
que os apoios em A e Be exercem
reações verticais
25 MPa, = 700 kPa.
sobre a viga.
11.6.
uadm
11.3.
ticais,
11adm "'
r d
radm
408
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
_!II I LLU 11:
1------2,5
11.7. Resolva o Problema 11. 6 se a seção transversal tiver
largura desconhecida, mas tiver de ser quadrada, isto é, h b.
:r�2��, r�"�::=*�
m --�-1--- 1 ,8 m
Problemas 11.10/11
Problemas 11.617
*11.8. A viga simplesmente apoiada é composta por duas
seções
W310 33 montadas como mostra a figura. Determi­
se a tensão
ne a carga uniforme máxima que160 elaMPasuportará
de flexão admissível for uadm 100 MPa. e a tensão de cisa­
lhamento admissível for Tadm
X
w
=
=
�
Determine, com aproximação de múltiplos
a largura mínima da viga que suportará comésegurançdea5amcarm�
gae aPtensão
40 kN.A
tensão de flexão
admissível
168 MPa
é radm uadm105 MPa.
de cisalhamento
admissível
11.12.
6 kN
3
p
\V
=
=
=
=
15o =rL)=====-2 -±
���-�A���2 ;k
__,'>.
p
m
m
_
-_
_
-_
_
_
:...
-.._
B
Problema 11.12
Selecione no Apêndice a viga de aço de abas largas
de menor peso que suportará com segurança as cargas mostra­
das na figura. A tensão de flexão admissível é = 168 MPa
e a tensão de cisalhamento admissível é radm uad100m MPa.
\V
11.13.
B
75 7,5
�·�· �Â
2
=
kN/m
kN
Problema 11.8
A viga simplesmente apoiada é composta por duas se­
Problema 11.13
W310 33 montadas como mostra a figura. Determine 11.14. Selecione no Apêndice
ções
a viga estrutural de aço
setensão
ela suportará
com
segurança
uma carga 30 kN/m. A de abas largas de menor peso e menor
altura que suportará
de
flexão
admissível
é
uadm 160 MPa e a tensão de
com
segurança
a
carga
mostrada
na
figura.
A tensão de fle­
cisalhamento admissível for raum 100 MPa.
xão
admissível
é
uaum = 168 MPa e a tensão de cisalhamen to
admissível é Tadm 100 MPa.
m -�.J----- 3 m -----1
11.9.
X
=
B
w =
=
=
�
= ·I
1----- 2 m
-------
Problema 11.14
s lar­a
no Apêndice a viga de açocomdeseguabaranç
Selecione
suportará
gas mais curta e de menor
pesoAquetensão
admissívssíelvel
de flexãoadmi
na
as
mostradas
figura.
cargas
11.10. Selecione no Apêndice a viga de aço de abas lar­
MPa e a tensão de cisalhamento
gas de menor peso que suportará com segurança as cargas éTadumadm 84 160
MP
a.
na figura, na qual 100 kN/m e P kN.
mostradas
A tensão de flexão admissível é uadm 160 MPa e a 25tensão
de cisalhamento admissível é Tadm 100 MPa.
11.11. Selecione no Apêndice a viga de aço de abas largas
de menor peso e menor altura que suportará com segurança
cargas mostradas
na figura, éna qual O e P 50 kN.
Aas tensão
de flexão admissível
168 MPa e a tensão
de cisalhamento admissível é Taumu�dmlOO MPa.
Problema 11.15
B
w =
=
=
=
B
'
B
11.15.
Problema 11.9
=
w =
=
=
=
é
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
409
cerâmico cuja tensão de "'11.20. A viga composta foi feita com duas seções unidas
vigvela ééfeita =de5umMPmaterial
a
e
tensão
de cisalhamento T = por um pino em B. Use o Apêndice e selecione a viga de
admissí
largas leve que seria segura para cada seção, se a tensão
Determineaoma largura b da viga, se a altura for h 2b.adm deabasflexão
admissível for
e a tensão de cisa­
lhamento admissível forIJTaadmdm = 168100MPa
MPa. A viga suporta a
carga de um tubo de 6 kN e 9 kN, como mostra a figura.
A
B
(T
=
��! trn� �H= T
15 kN
l�so
150 mm
mm
50 mm
-1
DI
T
=
A
Problema 11.20
a de aço tem uma tensão de flexão admissível
de aço em balanço foiDetermine
montada com duas 11.2L= A140vigMPa
A vigaasTcomo
uma tensão de cisalhamento admis­
figura.
a
cargas
as
mostra
IJadm
soldad
s
çhmáxiapamas P que podem ser suportadas com segurança pela sível Tactm = 90 MPa.eDetermine
a carga máxima que ela pode
suportar
com
segurança.
de
flexão
admissível
for
170
MP
a
e
a
IJ d
vigaãseo dea tensão
tens cisalhamento admissível for Tadm"�' 95 MPa.
Problema 11.16
11.17.
=
\J_j}
150 mm
f----1 j_ 15
mm
5o mm
-jt15 mm
I
1
�
p
p
2m
2m
Problema 11.17
�
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga W310 21 e verifique se ela suportará com segu­
Problema 11.21
rança a carga mostrada na figura. A tensão de flexão admissí­
IJadm 160 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é 11.22. A viga de madeira tem seção transversal retangular.
84 MPa.
Se sua largura for 150 mm, determine a altura h de modo
que atinja simultaneamente sua tensão de flexão admissí­
25 kN/m
vel IJactm =10 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível
Tactm 0,35 MPa. Calcule também a carga máxima P que a
viga pode suportar.
11.18.
X
vel é
=
Tndm =
IIIIIII
4m
=
p
�-----
Problema 11.18
Selecione no Apêndice a viga de aço de abas largas
menor
peso que suportará com segurança as cargas=mos­
tradas na figura.
de flexão admissível é 160
MPa e a tensão deAcitensão
salhamento admissível é Tadm IJa84dm MPa.
de
B
11.19.
?5k�,rn f1 I I I I I I I !i
=
-,h
25 kN/m
� 1:
---+----�
4m
-------.1
Problema 11.19
H
___L
150 mm
B
Problema 11.22
A viga será usada para suportar a máquina que tem
peso
de
80 kN enãocentro
gravidade em G. Se a tensão de
flexão máxima
puderdeultrapassar
IJactm = 160 MPa, de11.23.
41 0
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
termine a largura b exigida para as abas. Os apoios em B e
C são lisos.
"11.24. A largura das abas da viga é b = 200 mm. Se a ten­
são
de flexãoo maior
máximapesonãodapuder
ultrapassar
= 160 MPa,
determine
máquina
que a viga pode
supor­
tar. O centro de gravidade da máquina encontra-se em G e
os apoios em B e C são lisos.
u adm
f- b --1 1_12 mm
12 mm-=' F' Ins mm
.��--' iJ2 mm
B,
Trace os diagramas de força cortante e n to
fletor para o eixo e determine, com aproximaçãomome
de múl­
= 50 MPa e
tiplos de 5 mm, o diâmetroemexigido
se
A e D exercem somente rea­
r = 20 MP a. Os mancais
sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em
çCÕe�sE.verticais
Considere P = 550 N.
11.29. Trace os diagramas de força cortante e momento
fletor para o eixo e determine, com aproximação de múl­
tiplos de 5 mm, o diâmetro exigido, se = 50 MPa e
r = 20 MPa. Os mancais A e D exercem somente reações
verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em e
E. Considere P = 400 N.
*11.28.
uadm
11.25. A viga- caixão tem tensão de flexão admissí­
vel = 10 MPa e tensão de cisalhamento admissível
= 775 MPa.queDetermine
a intensidade máxima da car­
; 'distribuída
ela
pode
suportar
segurança.
grtambém
o espaçamento máximo segurocomentre
os pregosCalcule
para
cada terço do comprimento da viga. Cada prego pode resistir
a uma força de cisalhamento de 200 N.
Problemas 11.23/24
uadm
w
d
d
B,
uad m
adm
B, C
Problema 11.25
viga foi construída com três tábuas como mostra a
figura.
Se
cada
prego puder
suportar umamáximo
força deentre
cisalhamen­
to de 250 N, determine
o espaçamento
os pre­
gos,s, s' e s",para as regiõesAB, BC e CD, respectivamente.
11.26. A
400 N
p
Problemas 11.28/29
11.30. A viga com avanço foi construída com duas p eças
de madeira de 50 mm por 100 mm escoradas como mostra
a
figura. Se a tensão de flexão admissível for = 4,2CalMculPae,
determine a maior carga P que pode ser aplicada.
também o espaçamento máximo associado,s, entre os pregos
ao longo da seção AC da viga, se cada um deles puder resia vistiar
que g
a uma força de cisalhamento de 4 kN. Considereforça
está unida por pinos em A, B e D. Despreze a axial
desenvolvida na viga ao longo de DA.
u adm
-l t_--25 mm
---� �25 mm
Problema 11.26
viga foi construída com duas tábuas como mostra
a figura. Se cada prego puder suportar uma força de cisalha­
mento de 1 kN, determine o espaçamento máximo entre os
pregos,
com aproximação de 25 mm para as regiões
AB, BCs,es'CD,e s"respectivamente.
11.27. A
Problema 11.30
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
Viga arqueada de concreto
(b)
( a)
41 1
Viga-mestra de aço coberta com chapas
(c)
Figma 11.8
Vigas total mente solicitadas
"·'
Na seção anterior, desenvolvemos um método para
as dimensões da seção transversal de uma
.. ":nm.htr,,n de modo que ela resista ao momento má­
Mmáx' em seu vão. Visto que, em geral, o momento
viga varia ao longo do seu comprimento, a escolha
de uma viga prismática costuma ser ineficiente, pois ela
nunca é totalmente solicitada em pontos ao longo da viga
M < Mmáx' Para refinar o projeto de modo a reduzir
o peso de uma viga, às vezes os engenheiros escolhem
uma com área de seção transversal variável tal que, em
seção transversal ao longo dela, a tensão de flexão
seu valor admissível máximo. Vigas com área da
transversal variável denominam-se não prismáti­
cas e são muito usadas em máquinas, uma vez que podem
ser fundidas rapidamente. A Figura 11.8a mostra alguns
exemplos. Em estruturas, essas vigas podem ser 'arquea­
como mostra a Figura 11.8b. Elas também podem
'compostas' ou fabticadas em uma oficina usando
chapas. Um exemplo é uma viga-mestra feita com uma
prismática laminada coberta com chapas soldadas
na região onde o momento é máximo (Figura 11.8c).
A análise de tensão de uma viga não prismática é ge­
ralmente muito difícil de executar e está além do escopo
livro. Na maioria das vezes, esses tipos de viga são
analisados por métodos experimentais ou pela teoria da
elasticidade. Todavia, os resultados obtidos de tal aná­
indicam que as premissas adotadas na dedução da
,
formul
a da flexão são aproximadamente corretas para
as tensões de flexão em seções não prismáticas,
que a conicidade ou a inclinação do contorno
'""M·�-'
ou inferior da viga não seja muito acentuada.
�
· ·
-
------�!---- �
. _, -r
Por outro lado, a fórmula do cisalhamento não pode ser
usada para o projeto de uma viga não prismática, por­
que os resultados obtidos são muito enganadores.
Embora seja aconselhável ter cautela ao aplicar a
fórmula da flexão no projeto de uma viga não prismá­
tica, aqui mostraremos, em princípio, como essa fór­
mula pode ser usada como um meio aproximado para
obter a forma geral da viga. Nesse sentido, as dimen­
sões da seção transversal de uma viga não prismática
que suporta uma determinada carga podem ser deter­
minadas pela fórmula da flexão expressa como
s
=
_3!__
U'adm
Se expressarmos o momento interno M no tocante
a sua posição x ao longo da viga, então, visto que U'adm é
uma constante conhecida, o módulo de resistência S ou
as dimensões da viga tornam-se função de x. Uma viga
projetada dessa maneira é denominada viga totalmen­
te solicitada. Embora somente as tensões de flexão
tenham sido consideradas para aproximar sua forma
final, deve-se ter o cuidado de garantir também que
ela resistirá ao cisalhamento, especialmente em pontos
onde são aplicadas cargas concentradas. O resultado é
que a forma ideal de uma viga não pode ser totalmente
determinada apenas pela fórmula da flexão.
Determine a forma de uma viga totalmente solicitada e
simplesmente apoiada que suporta uma força concentrada
em seu centro (Figura 11.9a) . A viga tem seção transversal
p
h
r
l
--------�
ho
( a)
l-H
DI
\
fM
(b)
Figura 11.9
412
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
retangular de largura constante b, e a tensão admissível é em x = O, é necessário que a viga resista à tensão de cisalhamenta
apoio11.e,9ema).termos práticos, exige-se que h O nos
cr
apoios no(Figura
SOLUÇÃO
interno na viga (Figura 11.9b), expresso em fun­
Oçãomomento
da posição, O � x < L/2, é
p
M = -x
A viga em balanço mostrada na Figura ll.lOa tem for­
2
ma trapezoidal com altura h0 em A e altura 3h0 em B. Se for
submetida a uma carga P em sua extremidade, determine a
Por consequência, o módulo de resistência exigido é
tensão normal máxima absoluta na viga, que possui seção
transversal
retangular de largura constante b.
p
M
S = -- = -- x
2 cradm
CTadm
SOLUÇÃO
Visto que S = I/c, para uma área de seção transversal h por Em qualquer seção transversal, a tensão normal máxima
b, temos
ocorre nas superfícies
superior e inferior da viga. Entretanto,
= MIS e o módulo de resistência S aumenta
visto
que
à medida que x aumenta, a tensão normal máxima absoluta
p
I fi bh3
- = -- = --- x
não
ocorre necessariamente na parede B, onde o momento
h/2
2cradm
é máximo. Pela fórmula da flexão, podemos expressar a ten­
são normal máxima em uma seção arbitrária em relação a
h 2 = ____]!____ X
CTadm b
sua posição x (Figura ll.lOb). Aqui, o momento interno tem
valor
= Px. Uma vez que a inclinação da parte inferior da
Se h = h 0 em x = L/2, então
viga éM2hJL
(Figura ll. lOa), a altura da viga na posição
3PL
h0
2h0
ho2 = --h = y x + h 0 = L (2x + L)
2cradm b
Aplicando a fórmula da flexão, temos
de modo que
>
adm '
crmáx
C
xé
Resposta
Por inspeção, vemos que a altura h deve variar de
uma maneira parabólica em relação à distância x.
forma constitui a base para
o projeto de feixesNadeprática,
molasessa
usados
para suportar os eixos
traseiros da maioria dos caminhões pesados ou vagões de
trens. Observe que, embora esse resultado indique que h = O
OBSERVAÇÃO:
Me Px(h/2)
cr = - =
I
(fi bh3 )
(I)
Para determinar a posição x na qual ocorre a tensão
mal máxima absoluta, temos de tomar a derivada de em
relação a x e igualá-la a zero, o que dá
der ( 6PL2 ) 1 (2x + Lj2 - x(2) (2x + L) (2) = 0
=
dx
(2x + L )4
bh02
nor­
s
p
h
o
f..--- L --------1
( a)
(b)
Figura 11.10
P ROJETO DE VIGAS E EIXOS
413
A
( a)
Diagrama de momento causado
pelas cargas no plano y- z
y
(b)
�1 /
_{/
L-------------------�- y
Diagrama de momento causado
pelas cargas no plano x -y
(c)
y
Diagrama de torque causado por torques
aplicados em torno da linha central do eixo
(d )
(J'
(J'
(e )
(g)
(f)
Figura 11.11
Logo,
análise e naquela do Exemplo 11.4. Uma análise matemática
mais
exata, usando-se a teoria da elasticidade, revela que a
4x2 4xL + L2 - 8x2 - 4xL = O
aplicação
da fórmula da flexão, como fizemos neste exemplo,
L2 - 4x2 = O
resultará em apenas pequenos erros para a tensão normal,
se o ângulo de inclinação da viga for pequeno. Por exemplo,
1
= L
seaproximadamente
esse ângulo for 15°,
a tensão calculada neste exemplo será
2
5% maior do que a calculada pela análise
Substituindo na Equação 1 e simplificando, a tensão normal mais exata. Vale a pena observar também que o cálculo de
máxima absoluta é, portanto,
(cr ) foi efetuado com finalidade meramente ilustrativa,
visto
que, pelo princípio de Saint-Venant, a distribuição de
3 -PL
tensão
verdadeira no apoio (parede) é muito irregular.
= - -Resposta
��X 4 bho2
O bserve que, na parede, B, a tensão normal máxima é
+
X
-
máx B
(T
Me PL( 1,5ho)
( crmáx )B = I = [1_
)3]
12 b ( 3h0
é 11,1 %
crmáx
que
menor que
OBS
É bom lembrar que a fórmula da flexão foi
deduziERdaVAÇÃO:
a
partir
da
de que a viga éprismática. Visto
isso não ocorre premissa
aqui, devemos esperar algum erro nessa
abs
*1 1 .4
P roj eto d e eixos
Em geral, os eixos com seções transversais circula­
res são utilizados em muitos tipos de máquinas e equi­
pamentos mecânicos. O resultado é que muitas vezes
estarão sujeitos a tensão cíclica ou de fadiga, causadas
pelas cargas combinadas de flexão e torção que devem
transmitir, ou às quais devem resistir. Além dessas
4 1 4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
cargas, podem existir concentrações de tensão em um
eixo devido a chavetas, acoplamentos e transições re­
pentinas em sua área de seção transversal (Seção 5.8).
Portanto, para projetar um eixo de forma adequada, é
necessário levar em conta todos esses efeitos.
Nesta seção, discutiremos alguns dos aspectos im­
portantes do projeto de eixos uniformes usados para
transmitir potência. Esses eixos são frequentemente
submetidos a cargas aplicadas a polias e engrenagens
acopladas, como mostra a Figura l l .l l a. Visto que as
cargas podem ser aplicadas ao eixo em vários ângulos,
o momento fletor interno e o momento de torção em
qualquer seção transversal podem ser determinados
substituindo-se as cargas por suas contrapartes estati­
camente equivalentes e então decompondo essas car­
gas em componentes em dois planos perpendiculares
(Figura l l . l lb). A seguir, podemos traçar os diagra­
mas de momento fletor para as cargas em cada plano,
e o momento interno resultante em qualquer seção ao
longo do eixo será determinado por adição vetorial,
M = YMx2 + Mz2 (Figura 11.11c). Além de sujei­
tos ao momento, os segmentos do eixo também estão
sujeitos a diferentes torques internos (Figura l l . l lb ).
Aqui, vemos que, para obter equilíbrio, o torque de­
senvolvido em uma engrenagem tem de equilibrar o
torque desenvolvido na outra engrenagem. Para le­
var em conta a variação geral do torque ao longo do
eixo, podemos traçar também um diagrama de torque
(Figura l l .l ld).
Uma vez definidos os diagramas de momento e
torque, é possível investigar certas seções críticas ao
longo do eixo nas quais a combinação de um momen­
to resultante M e um torque T cria a pior situação de
tensão. A propósito, o momento de inércia do eixo é
o mesmo em torno de qualquer eixo diametral e, visto
que esse eixo representa um dxo principal de inércia
para a seção transversal, podemos aplicar a fórmu­
la da flexão usando o momento resultante para obter
a tensão de flexão máxima. Como mostra a Figura
11.11e, essa tensão ocorrerá em dois elementos, C e
D, cada um localizado no contorno externo do eixo.
Se essa seção também tiver de resistir a um torque
T, então desenvolve-se também uma tensão de cisa­
lhamento máxima nesses elementos (Figura 1 1 . 1 1f).
Além do mais, as forças externas também criarão
tensão de cisalhamento no eixo determinada por
r = VQ!It; todavia, essa tensão geralmente contribui­
rá com uma distribuição de tensão muito menor na
seção transversal em comparação com a desenvolvi­
da por flexão e torção. Em alguns casos, ela deve ser
investigada, porém, por simplicidade, desprezaremos
seu efeito na análise que faremos em seguida. Então,
em geral, o elemento crítico D (ou C) sobre o eixo
está sujeito ao estado plano de tensão, como mostra a
Figura 11.11g, na qual
(J
= --
Me
Te
r=J
e
I
Se a tensão normal admissível ou a tensão de ci­
salhamento admissível for conhecida, as dimensões
do eixo serão baseadas na utilização dessas equações
e na seleção de uma teoria da falha adequada. Por
exemplo, se soubermos que o material é dútil, então
seria adequado usar a teoria da tensão de cisalhamen­
to máxima. Como dissemos na Seção 10.7, essa teoria
exige que a tensão de cisalhamento admissível, que é
determinada pelos resultados de um teste de tração
simples, seja igual à tensão de cisalhamento máxima
no elemento. Usando a equação de transformação de
tensão (Equação 9.7), para o estado de tensão na Figu­
ra l l .llg, temos
) ( �Y +
) �; �c
= ( y+ ( y
Tadm =
r2
Visto que I = 7Tc4/4 e J = 7Tc4!2, essa equação torna-se
2 v 2
M
Tadm 3
-
--
7TC
+ T2
Resolvendo para o raio do eixo, obtemos
(11.2)
A aplicação de qualquer outra teoria da falha re­
sultará, é claro, em uma formulação diferente para c.
Todavia, em todos os casos poderá ser necessário apli­
car essa formulação a várias 'seções críticas' ao longo
do eixo para determinar a combinação particular de M
e T que dá o maior valor para c.
O exemplo a seguir ilustra o procedimento n ume­
ricamente.
por mancais
O eixo na Figura
11.12a édesuportado
potência de esparaoso a �
à transmissão
Devido
B.
e
as correias das polias estão sujeitas àspelatensõe
diâmetro eixo teoria da
Determine
o menor
máxima, comdo = 50 MPa.
de cisalhamento
SOLUÇÃO
As reaçoes dos apmos foram calculadas e11.sao12mb).osOs
de corpo livreparado MxeixoeM(Figura
diagrama
são mostrados
momento
de
mas
ras 11.12c e 11.12d,fietor
respectivamente., O diagrama
_cm
A
m
etxo.
tr d �
tens ao
­
Tadm
-
.
-
tradas ncr
de
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
415
z
x
A0,250 m475 N
�
X
Y
950 N
0,250 m 650 N
47 N
0,150 m
(b)
"'
y
D
0,250 m
475 N
1
I
0,150 m
475 N
950 N
I
118,75
( c)
37 ,5 N ·m
l:lmostrado na Figura 11.12e. Por inspeção, os pontos críticos
o momento fietor ocorrem em C ou B. Além disso, ime­
matam(�nte à direita de C e em B, o momento de torção é 7,5
· m. Em C, o momento resultante é
+
75 N·m
·
(e)
Figul'a 11.12
Me =
�
500 N
L---------�---------�-----�- y (m)
( d)
y (m )
-7,5
I
650 N
150 N
Mz (N·m)
c =
(
(
+
2 YM2 T2
7TTadm
--
)1/3
)
2 Y(124,5 N · m)2 + (7,5 N · m)2
Y(118,75 N · m? (37,5 N · m) 2 = 124,5 N · m
=
7r (50)(106 ) N/m2
�
passo que é menor em B, a saber
Ms = 75 N · m
= 0,0117 m
Visto que o projeto é baseado na teoria da tensão de cisa- Assim, o menor diâmetro admissível é
:"��1!!2__!máxim
! a, pode-se aplicar a Equação 11.2. O radical
+ T2 será o maior de todos em uma seção imediataResposta
d = 2(0,0117 m) = 23,3 mm
à direita de C. Temos
41 6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
11.31. A viga mostrada na figura suporta uma força con­
centrada P em seu centro. Se for feita de uma chapa com
largura constante b, determine a tensão de flexão máxima
t
11.35. A viga tem largura w e altura que varia com o mo 1
a figura. Se ela suportar uma força concentrada P em s n'
extremidade,
determine a tensão de flexão máxima ab
. e espec1
' fique sua 1 oca1'Izaçao x.
na viga
-
ua
so lil a
p
absoluta na viga.
'J
n
n
q
c
i
L
--+---- 2 -----1
p
Pl'oblema 11.31
Determine a variação do raio r da viga em balanço
que suporta a carga distribuída uniforme, de modo que ela
tenha uma tensão de flexão máxima constante umáx em todo
o seu comprimento.
*11,32.
Pl'oblema 11.35
'11.36. A viga mostrada na figura suporta uma carga distribu í.
da uniforme w. Se for feita de uma chapa com largura constante
b, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.
ho��}Jl}ff4!1 �!!�ho
1---- ;
Pt·oblema 11.36
; ----1
li
li C
mi
qu
viga afunilada simplesmente apoiada suporta
força concentrada P em seu centro. Determine a tensão de
flexão máxima absoluta na viga.
11.37. A
11
di�
Pl'oblema 11.32
Determine a variação na altura d de uma viga em
balanço que suporta uma força concentrada P em sua extre­
midade, de modo que ela tenha uma tensão de flexão máxi­
ma constante uadm em todo o seu comprimento. A viga tem
largura constante b0•
11.33.
Problema 11.37
p
�---L --.j
=
Pl'oblema 11.33
11.34. A viga tem a forma de um tronco de cone reto com
diâmetro de mm em A e de mm em B. Se ela suportar
uma força de N em A, determine a tensão de flexão má­
12
750
11.38. Os mancais em A e D exercem somente as campo
nentes y e z da força sobre o eixo. Se Tadm 60 MPa , deter
mine, com aproximação de 1 mm, o eixo de menor dWmcíro
que suportará a carga. Use a teoria da falha da tensão dt·
cisalhamento máxima.
11.39. Resolva o Problema 11. 3 8 usando a teoria de falha
da energia de distorção máxima com uadm 180 MPa .
300
li ,,
mo:
for\
=
xim
ria (
xima absoluta na viga e especifique sua localização x.
750 N
,,
j
mm
Pl'oblema 11.34
X
1 1.4.
Pl'oblemas 11.38/39
�..
rnos
lorç;
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
1•40• os mancais em A e D .exercem somente as compo­ ximação de 1
.'l
41 7
o diâmetro exigido para o eixo. Use a teoria
e1xo.
Se
o
T
=
60
MPa,
deter­
sobre
de
falha
da
energia
de distorção máxima, radm = 140 MPa.
força
da
dm
y e
a
com aproximação de 1 mm, o eixo de menor diâmetro
750 N
suportará a carga. Use a teoria da falha da tensão de
máxima.
z
mm,
c
�
z
12 mm
.-4----,.,4--i.-l'-- 1.500 mm-----..,"'"
300 mm
l.250 N
750 N
350 m
P1·oblema 11.43
y
O eixo está apoiado sobre mancais que não oferecem resistência a carga axial. Se a tensão normal admissível
para o eixo for aadm = 80 MPa, determine, com aproximação
o menor diâmetro do eixo que suportará a carga.
de 1
Use a teoria de falha da energia de distorção máxima.
*11.44.
mm,
X
11.41. Os mancais em A e D exercem somente as compo­
nentes y e z da força sobre o eixo. Se Tactm = 60 MPa, deter­
mine, com aproximação de 1 mm, o eixo de menor diâmetro
qne suportará a carga. Use a teoria de falha da energia de
distorção máxima. aactm = 130 MPa.
Pmblema 11.40
�
X
z
350 m
Problema 11.44
O eixo está apoiado sobre mancais que não oferecem
resistência a carga axial. Se a tensão de cisalhamento admissí­
vel para o eixo for Tactm = 35 MPa, determine, com aproxima­
ção de 1 o menor diâmetro do eixo que suportará a carga.
Use a teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima.
11.45.
y
mm,
X
Problema 11.41
11.42. As polias acopladas ao eixo estão carregadas como
mostra a figura. Se os mancais em A e B exercerem somente
forças horizontais e verticais sobre o eixo, determine, com apro­
ximação de 1 o diâmetro exigido para o eixo usando a teo­
ria de falha da tensão de cisalhamento máxima. Tadm = 84 MPa.
mm,
X
750 N
c
12 mm
1.500 mm--�,4
O eixo é suportado por mancais em A e B que exer­
cem
sobre
o eixo somente as componentes da força nas di­
Problema 11.42
reções x e z. Se a tensão normal admissível para o eixo for
a d = 105 MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o
11.43, As polias acopladas ao eixo estão carregadas como
mostra a figura. Se os mancais em A e B exercerem somente �e�or diâmetro do eixo que suportará a carga da engrena­
forças horizontais e verticais sobre o eixo, determine, com apro- gem. Use a teoria de falha da energia de distorção máxima.
300 mm
1.250 N
750 N
11.46.
4 1 8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
cerem somente as componentes y e z da força sobre o eixo
determine o torque de equilíbrio T na engrenagem C e eu�
tão determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro
do eixo que suportará a carga. Use a teoria de falha da ten­
são de cisalhamento máxima com Tadm = 60 MPa.
z
y
Problema 11.46
11.47. O eixo é suportado por mancais em A e B que exercem
lüü mm
sobre o eixo somente as componentes da força nas direções x
F7
= l,S kN
e z. Se a tensão normal admissível para o eixo for uactm = 105
P1·oblema
11.48
MPa, determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro
do eixo que suportará a carga da engrenagem. Use a teoria de 11.49. A polia acoplada à extremidade do eixo está sujeita à
falha da tensão de cisalhamento máxima com ractm = 42 MPa. carga mostrada na figura. Se os mancais em A e B exercerem
somente as componentes y e z da força sobre o eixo, determi­
ne o torque de equilíbrio T na engrenagem C e então deter­
mine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro do eixo
que suportará a carga. Use a teoria de falha da energia de
distorção máxima com uadm = 80 MPa.
X
z
y
)
Problema 11.47
A polia acoplada à extremidade do eixo está sujeita
à carga mostrada na figura. Se os mancais em A e B exer-
'"11.48.
Ocorre falha de uma viga quando o cisalhamento in­
terno ou o momento na viga é máximo. Portanto, para
resistir a essas cargas, é importante que a tensão de ci­
salhamento máxima e a tensão de flexão associadas não
ultrapassem valores admissíveis determinados em códi­
gos e manuais de engenharia. Normalmente, o projeto
da seção transversal de uma viga começa pela determi­
nação da resistência à tensão de flexão admissível
Uadm
�c
= -1-
X
11.
lOO mm
Fz = l,S kN
P<r
xin
cai
Problema 11.49
1 1 .5
'llp(
.0
L-----------------------�-----------------------�
crn J
PROJETO DE VIGAS E EIXOS
41 9
admis­
seguida, é verificada a tensão de cisalhamento
Para seções retangulares, Tadrn � 1 , 5 ( Vm JA) e para
de abas largas, é adequado usar Tadm � vmá/Aalma '
geral, use
Tadm = lt
VQ
vigas compostas, o espaçamento entre os elemen­
fixação ou a resistência da cola ou solda é deter­
pelo fluxo de cisalhamento admissível
de
qadm = I
VQ
totalmente solicitadas são não prismáticas e pro­
de modo tal que cada seção transversal ao longo
viga resistirá à tensão de flexão admissível. Isso defi­
o formato da viga.
geral, um eixo mecânico é projetado para resistir
de torção e de flexão. Normalmente, a flexão
ser decomposta em dois planos e, portanto, é ne­
cessário traçar os diagramas de momento para cada
componente do momento fletor e então selecionar a o
!ilí< 1rnoJrneJllto máximo com base na adição vetorial. Uma
determinadas as tensões de flexão e de cisalhamen­
máximas, dependendo do tipo de material, usa-se
uma teoria da falha adequada para comparar a tensão
,o.a<imtsslvel com a tensão exigida.
A
tensões
11 50. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para eixo e, em seguida, determine o diâmetro exigido com apro­
ximação de 1 mm se uadm = 140 MPa e Tadm = 80 MPa. Os man­
cais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo.
1.500 N
800 N
h-L
l I
125 mm
600 mm
·wJdi
�-t--1 I--�
Problema 11.51
75 mm
�p
A viga simplesmente apoiada é feita de madeira
com tensão de flexão admissível u"d = 8 MPa e tensão de
em sua extremidade, determine seu raio y cisalhamento admissível radm = 750 l�Pa. Determine suas diem função de x, de modo que seja submetida a uma tensão de
mensões se ela tiver de ser retangular e a relação altura/larflexão máxima constante uad em todo o seu comprimento.
gura tiver de ser h/b = 1,25.
m
Problema 11.50
Aviga em balanço tem seção transversal circular. Se ela
suportar uma força P
'11.52.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
420
300
F, = S kN
01
X
Problema 11.52
A viga tem a forma de um tronco de cone reto com
diâmetro de 0,3 m em A e diâmetro de 0,6 m em B. Se supor­
tar um momento de 12 kN m em sua extremidade, determi­
ne a tensão de flexão máxima absoluta na viga e especifique
sua localização x.
11.53.
)'
Problema 11.55
·
Os mancais em A e B exercem somente as compo­
nentes x e z das forças sobre o eixo de aço. Determine, com
aproximação de 1
o diâmetro do eixo, de modo que
ele possa resistir às cargas das engrenagens sem ultrapas­
sar uma tensão de cisalhamento admissível T dm = 80 MPa.
Use a teoria de falha da energia de distorçãoa máxima com
(Tadm = 200 MPa.
*11.56.
mm,
1----- 1,8 m -------1
F, = S kN
Problema 11. 53
Selecione no Apêndice B a viga com avanço de abas
largas de aço que tenha o menor peso e que suportará com
segurança as cargas. Considere que o apoio em A é um pino
e que o apoio em B é um rolete. A tensão de flexão admissí­
vel é uadm = 168 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é
Tadm = 100 MPa.
A
X
1 0,6 m"'*j - 1,2 m --1
2,4 m ---4"'"'---"
1
)'
Problema 11.56
Selecione no Apêndice B a viga de abas largas de aço
que tenha o menor peso e que suportará com segurança as car­
gas mostradas. A tensão de flexão admissível é uadm = 160 MPa
e a tensão de cisalhamento admissível é Tadm = 84 MPa .
11.57.
10 kN
lü kN
Problema 11.54
Os mancais em A e B exercem somente as compo­
nentes x e z das forças sobre o eixo de aço. Determine, com
aproximação de 1 mm, o diâmetro do eixo, de modo que ele
possa resistir às cargas das engrenagens sem ultrapassar uma
tensão de cisalhamento admissível de Tadm = 80 MPa. Use a
teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima.
de
pa r
toe
1�
to c
con
q ua
çã o
do t.
ÚJ'Cél
rlfts1
t i ca
ante
dcsl'
pos ,
I'CSl
11.54.
1------
urr
err
11.55.
A
b
! i i
40 kN 50 kN 40 kN
n
f--- 3 m
�
-41,5 mt1,5 m+- 3 m --/
u
HH
.
•••
•
u
Problema 11.57
u d
járç·t
a poi
rixa,
dcsl<
gura
vigas
dete1
rna d
de si1
s,
no p<
eflexão em vi
e eiXOS
as
OBJETIVOS DO CAPÍTU LO
Muitas vezes é preciso l i m ita r o grau de d eflexão que u m a viga ou eixo pode sofrer q u ando submetido a
uma carga; portanto/ n este ca pítu l o discutiremos vários métodos pa ra determ i n a r a deflexão e a i n c l i n ação
em pontos específicos de vigas e eixos. Os métodos a n a l íticos i n cl uem o método da i ntegração, a uti l ização
de funções de descontin u idade e o método da superposição. Além desses será apresentad a u m a técnica
parc ialm ente g ráfica d e n o m inada método dos momentos de á reas. N o fin a l do capítu l o usa remos esses mé­
tod os para determ i n a r as reações dos a po ios em vigas o u eixos estaticamente i n d eterm i n ados.
1 2. 1
A l i n h a e l á stica
Antes de determinar a inclinação ou o deslocamen­
to em um ponto de uma viga (ou eixo), geralmente
convém traçar um rascunho da forma defietida da viga
quando carregada, de modo a 'visualizar ' quaisquer
resultados calculados e, com isso, fazer uma verifica­
ção parcial desses resultados. O diagrama da deflexão
do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada
área da seção transversal da viga é denominado linha
elástica. Na maioria das vigas, o rascunho da linha elás­
tica pode ser traçado sem muita dificuldade. Todavia,
antes disso é necessário saber como a inclinação ou o
deslocamento da viga são restringidos pelos vários ti­
pos de apoio. Em geral, os apoios que resistem a uma
força, como um pino, restringem o deslocamento, e os
apoios que resistem a um momento, como uma parede
fixa, restringem a rotação ou a inclinação bem como o
deslocamento. Com isso em mente, mostramos na Fi­
gura 12.1 dois exemplos típicos de linhas elásticas para
vigas ou eixos carregados, traçados em escala ampliada.
Se a linha elástica de uma viga parecer difícil de se
determinar, sugerimos primeiramente traçar o diagra­
ma de momento fietor da viga. Utilizando a convenção
de sinal estabelecida na Seção 6.1, um momento inter­
no positivo tende a curvar a viga com a concavidade
p
para cima (Figura 12.2a). Da mesma maneira, um mo­
mento negativo tende a curvar a viga com a concavi­
dade para baixo (Figura 12.2b ). Portanto, se o diagra­
ma de momento for conhecido, será fácil representar a
linha elástica. Por exemplo, considere a viga na Figura
12.3a e seu diagrama de momento associado mostrado
na Figura 12.3b. Devido aos apoios de rolete e pino,
o deslocamento em B e D deve ser nulo. Dentro da
região de momento negativo, AC (Figura 12.3b ), a li­
nha elástica deve ser côncava para baixo, e dentro da
região de momento positivo, CD, ela deve ser côncava
para cima. Por consequência, deve haver um ponto de
inflexão em C, no qual a curva passa de côncava para
cima a côncava para baixo, visto que o momento nes­
se ponto é nulo. Utilizando esses fatos, a Figura 12.3c
mostra o rascunho da linha elástica da viga em escala
ampliada. Devemos observar também que os desloca­
mentos LiA e Ll E são especialmente críticos. No ponto
E, a inclinação da curva elástica é nula e, ali, a deflexão
da viga pode ser máxima. Porém, o que determina se
LlE é realmente maior que LiA são os valores relativos
de P1 e P2 e a localização do rolete em B.
Seguindo esses mesmos princípios, observe agora
como foi construída a curva da linha elástica na Figu­
ra 12.4. Nesse caso, a viga está em balanço, engastada
no apoio fixo em A e, portanto, a curva elástica deve
ter deslocamento e inclinação nulos nesse ponto. Além
disso, o maior deslocamento ocorrerá em D, onde a
inclinação é nula, ou em C.
+M..
+M
( �)
Momento interno positivo
concavidade para cima
(a)
Figura 12.1
�
- M .�
Momento interno negativo
concavidade para b aixo
(b)
Figura 12.2
422
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
�t:::::::::
p2
pl
( a) A
(b)
(c)
·
�
�
�
-�
===c===�==::::_:_,--,,-I .,D
=�Q
E
___
MI
-�,...---------------
X
Diagrama de momento fletor
LlAr.-
-�---_--d�E
B
---.,.,--�
0�;:c
E
AD
Ponto de inflexão
A
Linha elástica
Figura 12.3
( a) A
�·l-
*
---------"--------J
D
M
(b)
(c) A
J
p
�-----�---- x
Diagrama de momento fletor
I
O eixo v estende-se na direção positiva para cima em
relação ao eixo x e mede o deslocamento do centroide
na área da seção transversal do elemento. Com essas
duas coordenadas, mais tarde definiremos a equaç ão
da curva da linha elástica, v, em função de x. Por fim
usa-se uma coordenada y 'localizada' para especifica1:
a posição de uma fibra no elemento da viga. Essa coor­
denada é positiva para cima em relação ao eixo neutro
como mostra a Figura 12.5b. Lembre-se de que ess ;
mesma convenção de sinal para x e y foi usada na de­
dução da fórmula da flexão.
Para deduzir a relação entre o momento interno e
p, limitaremos a análise ao caso mais comum de uma
viga inicialmente reta que é deformada elasticamente
por cargas aplicadas de modo perpendicular ao eixo x
da viga e que se encontra no plano de simetria x-v para
a área da seção transversal da viga. Devido à carga, a
deformação da viga é provocada pela força cortante
interna, bem como pelo momento fletor. Se o compri­
mento da viga for muito maior do que sua altura, a
maior deformação será causada por flexão e, portanto,
concentraremos nossa atenção em seus efeitos. Defie­
xões causadas por cisalhamento serão discutidas mais
adiante neste capítulo.
brum
,
v
-
[ ;-
L
•
.··
f--- X
Ponto de inflexão
D
c
T llc
i
� Y:::;::JJ:.v-
-�
-
dx =1
(a)
/ M
c--o-]- X
e
O'
Linha elástica
Figma 12.4
Relação momento-curvatura. Agora desen­
volveremos uma importante relação entre o momen­
to fletor interno na viga e o raio de curvatura p (rô)
da curva da linha elástica em um ponto. A equação
resultante será usada em todo o capítulo como base
para estabelecer cada um dos métodos apresentados para
determinar a inclinação e o deslocamento da linha
elástica para uma viga (ou eixo).
A análise a seguir, que faremos nesta e na próxima
seção, exigirá a utilização de três coordenadas. Como
mostra a Figura 12.5a, o eixo x estende-se na direção
positiva para a direita, ao longo do eixo longitudinal
inicialmente reto da viga. Ele é usado para localizar o
elemento diferencial, cuja largura não deformada é dx.
Após a
deformação
Antes da
deformação
(b)
Figma 12.5
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS
Q uando o momento fletor interno M deforma o
da viga , o ângulo entre as seções transversais
J>tr.lll'-''"�
(Figura 12.5b) . O arco dx representa uma
�nn m-,, v d8
da linha elástica que intercepta o eixo neutro
cada seção transversal. O raio de curvatura para
arco é definido como a distância p, que é medida
centro de curvatura O' até dx. Qualquer arco sobre
elemento, exceto dx, está sujeito a uma deformação
c - '''"' ' " Por exemplo, a deformação no arco ds, locali­
em uma posição y em relação ao eixo neutro, é
ds)!ds. Todavia, ds = dx = pd8 e ds' = (p y)d8
e ""' (ds'
Y)dO p d8]/p d8 ou
l.l p or ta nto, E = [ (p
-
-
-
,
1
E
p
y
(12.1)
Se o material for homogéneo e comportar-se de
uma maneira linear elástica, a lei de Hooke, E = IY!E,
é aplicável . Além disso, a fórmula da flexão também
se aplica, IJ = My/1. Combinando essas equações e
substituindo na equação anterior, temos
P
M
E!
(12.2)
onde
1 2.2
-
v
Figura 12.6
O'
I n c l i n a çã o e desloca m e nto
por i ntegração
A curva da linha elástica para uma viga pode ser
expressa matematicamente como IJ = f(x). Para se obter essa equação, em primeiro lugar temos de repre­
sentar a curvatura (11p) em termos de v e x . A maioria
dos livros de cálculo mostra que essa relação é
raio de curvatura em um ponto específico so­
bre a curva da linha elástica (11p é denomina­
do curvatura)
M = momento fletor interno na viga no ponto onde
p deve ser determinado
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do
eixo neutro
Portanto, o sinal de p depende da direção do momen­
to. Como mostra a Figura 12.6, quando M é positivo, p
prolonga-se acima da viga, ou seja, na direção positiva
de v; quando M é negativo, p prolonga-se abaixo da
viga, na direção negativa de v.
A utilização da fórmula da flexão IJ = My/1 tam­
bém nos permite expressar a curvatura em termos da
tensão na viga, a saber,
(12.3)
e
p =
O produto E! nessa equação é denominado rigidez
à flexão e sempre representa uma quantidade positiva.
IJ
Ey
Ambas as equações, 12.2 e 12.3, são válidas para
raios de curvatura pequenos ou grandes. Todavia, o
valor calculado de p é quase sempre uma quantidade
muito grande. Por exemplo, considere uma viga de aço
A-36 construída com um perfil W360 x 70 (Apêndice
B), onde Ea o = 200 GPa e IJ0 = 350 MPa. Quando o
ç
material nas fibras externas, y = ± 180 mm, está a pon­
to de escom; então, pela Equação 12.3, p = 6.144 m.
Valores de p calculados em outros pontos ao longo da
curva da linha elástica da viga podem ser ainda maio­
res, já que IJ não pode ser maior do que IJ nas fibras
externas.
-
1
1
p
423
1
[1
P
d2vjdx2
+ (dvjdx) 2] 312
Substituindo na Equação 12.2, obtemos
[1
d2vjdx2
+ (dvjdx) 2FI2
M
E!
(12.4)
Essa equação representa uma equação diferencial
não linear de segunda ordem. Sua solução, denomi­
nada elástica, dá a forma exata da linha elástica con­
siderando, é claro, que as deflexões na viga ocorram
apenas por flexão. A utilização de matemática superior
nos fornece soluções da elástica apenas para casos sim-­
ples de geometria e carga de vigas.
Para facilitar a solução de um número maior de pro­
blemas de deflexão, a Equação 12.4 pode ser modifica­
da. A maioria dos códigos e manuais de engenharia es­
pecifica limitações para as deflexões visando a questões
de tolerância ou estética, e o resultado é que as defle­
xões elásticas para a maioria das vigas e eixos formam
uma curva rasa. Por consequência, a inclinação da linha
elástica determinada por dvldx será muito pequena e o
quadrado dessa inclinação será desprezível em com­
paração com a unidade.* Portanto, a curvatura, como
definimos anteriormente, pode ser aproximada por
*
Veja o Exemplo 12.1.
424
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1/p = d2 vldx2• Usando essa simplificação, agora a Equa­
ção 12.4 pode ser expressa como
A !'' '\--------------'' D
·��
B
( a)
(12.5)
Também é possível escrever essa equação de duas
formas alternativas. Se diferenciarmos cada lado em
relação a x e substituirmos V = dM!dx (Equação 6.2),
obteremos
( -)
d
d2v
= V(x)
- EI
dx
dx2
HBHHf
(12.6)
Se diferenciarmos mais uma vez, usando -w = dV!dx
(Equação 6.1), obteremos
C
1
p
(b)
p
I
HHHUl
v
IV
(12.7)
Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão será
constante ao longo do comprimento da viga. Conside­
rando que seja esse o caso, os resultados que obtivemos
serão reordenados no seguinte conjunto de equações:
d4v
= -w(x)
dx4
d3v
EI 3 = V(x)
dx
d2v
EI
= M(x)
dx2
EI
(12.8)
(12.9)
(12.10)
A solução de qualquer dessas equações requer in­
tegrações sucessivas para obter a deflexão v da linha
elástica. Para cada integração é necessário introduzir
uma 'constante de integração' e então resolver para
todas as constantes de modo a obter uma solução úni­
ca para um problema particular. Por exemplo, se a car­
ga distribuída for expressa em função de x e a Equação
12.8 for usada, teremos de avaliar quatro constantes
de integração; contudo, se o momento fletor interno M
for determina do e a Equação 12.10 for usada, teremos
de determinar somente duas constantes de integração.
A escolha da equação com a qual começar depende
do problema. Entretanto, de modo geral é mais fácil
determinar o momento interno M em função de x, in­
tegrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de
integração.
Lembre-se de que na Seção 6.1 dissemos que se a
carga sobre uma viga for descontínua, isto é, consistir
em uma série de várias cargas distribuídas e concentra­
das, teremos de escrever várias funções para o momen­
to interno, cada uma delas válida dentro da região entre
···�!:?�
(c)
Figura 12.7
as descontinuidades. Além disso, por questão de con­
veniência ao escrever cada expressão de momento, a
origem de cada coordenada x pode ser selecionada ar­
bitrariamente. Por exemplo, considere a viga mostrada
na Figura 12.7a. O momento interno