MATEMÁTICA RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Grandezas inversamente proprocionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo faz um percurso em: 1 hora com velocidade de 120km/h. 2 horas com velocidade de 60km/h. 3 horas com velocidade de 40km/h. Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais. 1. RAZÃO Sejam dados dois números a e b (b ≠ 0 ) , chamamos de razão entre estes dois números ao quociente indicado entre eles. A razão a b também pode ser escrita a:b (que se lê a está para b. Os números a e b, que são os termos da razão, são denominados respectivamente de antecedente e conseqüente. Como exemplos, vamos indicar a razão entre os números abaixo: a) 3 e 7 por b) 9 e 5 por 3 7 9 5 ou 3:7; ou 9:5. 4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 2. PROPORÇÃO É uma regra prática, que facilita o cálculo de problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Regra de três direta Apresenta grandezas diretamente proporcionais. Exemplos: a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o total de chocolates contidos em 4 pacotes? Dispositivo prático: Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dizemos que os números a,b,c,d com b ≠ 0 e d ≠ 0 estão em proporção, na ordem dada, se, e semente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. Indicamos esta proporção por: a c = b d ou a:b::c:d que se lê: a está para b, assim como c está para d. Propriedade fundamental das proporções Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. pacotes 1 4 a c = ⇒ a⋅d = b⋅c b d As grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de pacotes o número de chocolates também aumenta. Quando as grandezas são diretamente proporcionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a proporção, temos: Aplicando esta propriedade, podemos determinar o valor de uma incógnita na proporção. 3. REGRA DE RÊS Grandezas Diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Exemplo: Um veículo que percorre: 80km em 1 hora. 160km em 2 horas. 240km em 3 horas. Editora Exato chocolates 35 x 1 35 = 4 x x = 4 ⋅ 35 x = 140 propriedade fundamental das pro- porções Resposta: o total é 140 chocolates. b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1h20min? Dispositivo prático: 12 produção tempo 90 peças x 50 min 80mi - 1h20min = 80min Cálculo da porcentagem Exemplo: achar 16% de 300. Resolução: 16% é o valor que eu tenho que achar (x) 300 é 100% montando uma regra de três. As grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando o tempo a produção também aumenta. Montando a proporção, temos: 16 − 100 300 ⋅ 16 ⇒ x = 48 x = x − 300 100 90 50 = x 80 50 ⋅ x = 90 ⋅ 80 50x = 7.200 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 7.200 50 x = 144 x= Resposta: em 1h20min a máquina produzirá 144 peças. Regra de três inversa Apresenta grandezas inversamente proporcionais. (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia? Resolução: Horas Valor R$ 6 4 1.026,00 X 5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 6.x = 4.1026, 00 A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. x = R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado. Gasto mensal: Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052 R$ 2.052,00. 6. PORCENTAGEM Uma razão de conseqüente 100 é denominada taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda “tantos por cento”. 2 antecedente Resolução: Usando a propriedade fundamental, temos: 7x = 21⋅ 13 ⇒ x = conseqüente 20 100 (vinte centésimos) lê-se “20 por 3 cento” e representa-se pelo símbolo 20%. Significado da taxa de porcentagem Vamos interpretar determinadas frases que ouvimos ou lemos, quase que diariamente: a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo 50% das questões”. Significa que sobre cada 100 questões, devemos acertar no mínimo 50. b) “Liquidação com desconto de 40%”. Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço de uma determinada mercadoria, há um desconto de R$ 40,00. c) “Certo candidato está com 30% da preferência popular”. Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gostam do candidato. Editora Exato Calcular o termo desconhecido na proporção: 7 21 = 13 x x 100 Assim, 4.1026 = 684 6 21⋅ 13 ⇒ x = 39 . 7 Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à velocidade média de 100km/h. Com qual velocidade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas? Resolução: Dispositivo prático: velocidade tempo 100 x 5 4 As grandezas são inversamente proporcionais, pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é necessário que a velocidade do carro aumente, para que o carro percorra o mesmo percurso. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, as flechas têm sentidos contrários. Montando a proporção, temos: 13 x 5 = ⇒ uma das grandezas se inverte 100 4 4 ⋅ x = 100 ⋅ 5 4x = 500 500 4 x = 125 3 (FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00? a) R$5.500,00. b) R$7.500,00. c) R$8.000,00. d) R$10.000,00. 4 (PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na PUC e foram aprovados 9600. Qual a porcentagem de reprovação? a) 24. b) 30. c) 32. d) 36. e) Nenhuma. 5 (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens são casados e 20% das mulheres são casadas. Então, o número de pessoas casadas é: a) 50. b) 46. c) 52. d) 48. e) 54. 6 Se x= 125 km/h. 4 Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 12 homens, trabalhando 5 horas por dia? Resolução: homens dias horas/dias 20 12 6 x 8 5 Então: 6 12 5 6 60 = ⋅ ⇒ = ⇒ x 20 8 x 160 6 3 = ⇒ 3⋅x = 6⋅8 ⇒ x 8 48 3 ⋅ x = 48 ⇒ x = ⇒ x = 16 3 (MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? a) 133. b) 86. c) 75. d) 65. 2 (SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? a) 8. b) 15. c) 10,5. d) 13,5. Editora Exato um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia; então, quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. e) 22. EXERCÍCIOS 1 2 de 5 GABARITO 14 1 C 2 D 3 C 4 D 5 C 6 D
