Enviado por Do utilizador4420

Regras de Tres Resumo (1)

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MATEMÁTICA
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E
PORCENTAGEM
Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e
a distância são grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas inversamente proprocionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui
na mesma razão da primeira.
Exemplo:
Um veículo faz um percurso em:
1 hora com velocidade de 120km/h.
2 horas com velocidade de 60km/h.
3 horas com velocidade de 40km/h.
Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade
são grandezas inversamente proporcionais.
1. RAZÃO
Sejam dados dois números a e b (b ≠ 0 ) , chamamos de razão entre estes dois números ao quociente indicado entre eles.
A razão
a
b
também pode ser escrita a:b (que se
lê a está para b. Os números a e b, que são os termos da razão, são denominados respectivamente de
antecedente e conseqüente.
Como exemplos, vamos indicar a razão entre
os números abaixo:
a) 3 e 7 por
b) 9 e 5 por
3
7
9
5
ou 3:7;
ou 9:5.
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES
2. PROPORÇÃO
É uma regra prática, que facilita o cálculo de
problemas que envolvem duas grandezas diretamente
ou inversamente proporcionais.
Regra de três direta
Apresenta grandezas diretamente proporcionais.
Exemplos:
a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o
total de chocolates contidos em 4 pacotes?
Dispositivo prático:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Dizemos que os números a,b,c,d com b ≠ 0 e
d ≠ 0 estão em proporção, na ordem dada, se, e semente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e
d. Indicamos esta proporção por:
a c
=
b d
ou a:b::c:d que se lê:
a está para b, assim como c está para d.
Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é
igual ao produto dos meios.
pacotes
1
4
a c
= ⇒ a⋅d = b⋅c
b d
As grandezas são diretamente proporcionais,
pois aumentando-se a quantidade de pacotes o número de chocolates também aumenta.
Quando as grandezas são diretamente proporcionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a
proporção, temos:
Aplicando esta propriedade, podemos determinar o valor de uma incógnita na proporção.
3. REGRA DE RÊS
Grandezas Diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na
mesma razão da primeira.
Exemplo:
Um veículo que percorre:
80km em 1 hora.
160km em 2 horas.
240km em 3 horas.
Editora Exato
chocolates
35
x
1 35
=
4
x
x = 4 ⋅ 35
x = 140
propriedade fundamental das pro-
porções
Resposta: o total é 140 chocolates.
b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando
durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em
1h20min?
Dispositivo prático:
12
produção
tempo
90 peças
x
50 min
80mi - 1h20min = 80min
Cálculo da porcentagem
Exemplo: achar 16% de 300.
Resolução:
16% é o valor que eu tenho que achar (x)
300 é 100%
montando uma regra de três.
As grandezas são diretamente proporcionais,
pois aumentando o tempo a produção também aumenta.
Montando a proporção, temos:
16 − 100
300 ⋅ 16
⇒ x = 48
x =
x − 300 
100
90 50
=
x
80
50 ⋅ x = 90 ⋅ 80
50x = 7.200
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1
7.200
50
x = 144
x=
Resposta: em 1h20min a máquina produzirá
144 peças.
Regra de três inversa
Apresenta grandezas inversamente proporcionais.
(PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6
horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00.
Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas
por dia?
Resolução:
Horas
Valor R$
6
4
1.026,00
X
5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
6.x = 4.1026, 00
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de
duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
x =
R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado.
Gasto mensal:
Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052
R$ 2.052,00.
6. PORCENTAGEM
Uma razão de conseqüente 100 é denominada
taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda
“tantos por cento”.
2
antecedente
Resolução:
Usando a propriedade fundamental, temos:
7x = 21⋅ 13 ⇒ x =
conseqüente
20
100
(vinte centésimos) lê-se “20 por
3
cento” e representa-se pelo símbolo 20%.
Significado da taxa de porcentagem
Vamos interpretar determinadas frases que ouvimos ou lemos, quase que diariamente:
a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de
uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo
50% das questões”.
Significa que sobre cada 100 questões, devemos acertar no mínimo 50.
b) “Liquidação com desconto de 40%”.
Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço
de uma determinada mercadoria, há um desconto de
R$ 40,00.
c) “Certo candidato está com 30% da preferência popular”.
Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gostam do candidato.
Editora Exato
Calcular o termo desconhecido na proporção:
7
21
=
13
x
x
100
Assim,
4.1026
= 684
6
21⋅ 13
⇒ x = 39 .
7
Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à
velocidade média de 100km/h. Com qual velocidade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas?
Resolução:
Dispositivo prático:
velocidade
tempo
100
x
5
4
As grandezas são inversamente proporcionais,
pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é necessário que a velocidade do carro aumente, para que
o carro percorra o mesmo percurso.
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, as flechas têm sentidos contrários.
Montando a proporção, temos:
13
x
5
= ⇒ uma das grandezas se inverte
100 4
4 ⋅ x = 100 ⋅ 5
4x = 500
500
4
x = 125
3
(FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00?
a) R$5.500,00.
b) R$7.500,00.
c) R$8.000,00.
d) R$10.000,00.
4
(PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na
PUC e foram aprovados 9600. Qual a
porcentagem de reprovação?
a) 24.
b) 30.
c) 32.
d) 36.
e) Nenhuma.
5
(CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do
sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens
são casados e 20% das mulheres são casadas.
Então, o número de pessoas casadas é:
a) 50.
b) 46.
c) 52.
d) 48.
e) 54.
6
Se
x=
125 km/h.
4
Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias,
trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo
trabalho, quantos dias levarão 12 homens, trabalhando 5 horas por dia?
Resolução:
homens
dias
horas/dias
20
12
6
x
8
5
Então:
6 12 5
6 60
=
⋅ ⇒ =
⇒
x 20 8
x 160
6 3
= ⇒ 3⋅x = 6⋅8 ⇒
x 8
48
3 ⋅ x = 48 ⇒ x =
⇒ x = 16
3
(MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes
movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá
a maior, enquanto a menor dá 100 voltas?
a) 133.
b) 86.
c) 75.
d) 65.
2
(SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas
operando 4 horas por dia, durante 4 dias,
produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas
toneladas do mesmo produto seriam produzidas
por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas
por dia, durante 6 dias?
a) 8.
b) 15.
c) 10,5.
d) 13,5.
Editora Exato
um trabalho foram feitos em 10 dias por
24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia;
então, quantos dias serão necessários para
terminar o trabalho, sabendo que 4 operários
foram dispensados e que o restante agora trabalha
6 horas por dia?
a) 18.
b) 19.
c) 20.
d) 21.
e) 22.
EXERCÍCIOS
1
2
de
5
GABARITO
14
1
C
2
D
3
C
4
D
5
C
6
D
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