Convolução

CONVOLUÇÃO
TEMPO DISCRETO
- da definição de impulso unitário:
𝛿[𝑛] = {
1
0
𝑛=0
𝑛≠0
- temos que o impulso unitário deslocado é definido por:
𝛿[𝑛 − 𝑘] = {
1
0
𝑛=𝑘
𝑛≠𝑘
- a partir dessas definições, a partir de um sinal 𝑥[𝑛] qualquer, pode-se afirmar:
𝑥[𝑛] 𝛿[𝑛] = ⋯ + 𝑥[−2] 𝛿[−2] + 𝑥[−1] 𝛿[−1] + 𝑥[0] 𝛿[0] + 𝑥[1] 𝛿[1] + 𝑥[2] 𝛿[2] + ⋯ ⇔
⇔ 𝑥[𝑛] 𝛿[𝑛] = ⋯ + 𝑥[−2] ∙ 0 + 𝑥[−1] ∙ 0 + 𝑥[0] ∙ 1 + 𝑥[1] ∙ 0 + 𝑥[2] ∙ 0 + ⋯ ⇔
⇔ 𝑥[𝑛] 𝛿[𝑛] = 𝑥[0] ∙ 1
∴ 𝑥[𝑛] 𝛿[𝑛] = 𝑥[0] 𝛿[𝑛]
E consequentemente:
𝑥[𝑛] 𝛿[𝑛 − 𝑘] = 𝑥[𝑘] 𝛿[𝑛 − 𝑘]
- qualquer sinal pode ser descrito/expresso como uma soma (combinação linear) de impulsos unitários deslocados e
ponderados por 𝒙[𝒏]
 Suponha o sinal 𝑥[𝑛] a seguir:

Podemos desmembrar esse sinal 𝑥[𝑛] dessa maneira:
−1
𝑥[−4] 𝛿[𝑛 + 4] = {
0
𝑛 = −4
𝑛 ≠ −4
𝑥[−3] 𝛿[𝑛 + 3] = {
1,5
0
𝑛 = −3
𝑛 ≠ −3
𝑥[−2] 𝛿[𝑛 + 2] = {
1,5
0
𝑛 = −2
𝑛 ≠ −2
−1
𝑥[−1] 𝛿[𝑛 + 1] = {
0
𝑛 = −1
𝑛 ≠ −1
𝑥[0] 𝛿[𝑛] = {
2
0
𝑛=0
𝑛≠0
1
0
𝑛=1
𝑛≠1
−2
𝑥[2] 𝛿[𝑛 − 2] = {
0
𝑛=2
𝑛≠2
−1
𝑥[3] 𝛿[𝑛 − 3] = {
0
𝑛=3
𝑛≠3
0,5
0
𝑛=4
𝑛≠4
𝑥[1] 𝛿[𝑛 − 1] = {
𝑥[4] 𝛿[𝑛 − 4] = {
De modo que:
𝑥[𝑛] = ⋯ + 𝑥[−4] 𝛿[𝑛 + 4] + 𝑥[−3] 𝛿[𝑛 + 3] + 𝑥[−2] 𝛿[𝑛 + 2] + 𝑥[−1] 𝛿[𝑛 + 1] + 𝑥[0] 𝛿[𝑛] + 𝑥[1] 𝛿[𝑛 − 1]
+ 𝑥[2] 𝛿[𝑛 − 2] + 𝑥[3] 𝛿[𝑛 − 3] + 𝑥[4] 𝛿[𝑛 − 4] + ⋯

Portanto, generalizando, qualquer sinal 𝑥[𝑛] pode ser expresso da seguinte maneira:
∞
𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘] 𝛿[𝑛 − 𝑘]
𝑘=−∞
Resposta ao impulso unitário
- a resposta de um sistema LIT de tempo discreto a uma entrada 𝛿[𝑛] é definida como sendo ℎ[𝑛]
Logo, tomando um sinal qualquer, que, como sabemos, pode ser descrito como a combinação linear de impulsos
unitários deslocados e ponderados, temos:
- portanto, temos que: a saída de qualquer sistema LIT de tempo discreto é a convolução da entrada 𝒙[𝒏] com a
resposta ao impulso 𝒉[𝒏] do sistema
Soma de convolução
∞
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] ⇔ 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 = 𝑘]
𝑘=−∞