1 – Justificativa Esse projeto tem como objetivo a resolução de 6 questões referentes a aplicação dos multiplicadores de La Grange em foguetes, otimizando suas dimensões para obter melhores desempenhos. O projeto mostra como o método de La Grange pode ser utilizado de maneira prática , pois muitas vezes aprende-se um método ou fórmula matemática e não se sabe como aplicá-los de forma útil, o que é muito importante em qualquer área, no caso, a engenharia aeroespacial. 2 – Introdução O foguete é um gênero de motor capaz de gerar maior potência em proporção ao seu tamanho do que qualquer outro tipo de motor conhecido. Um foguete pode produzir cerca de três mil vezes mais potência do que um motor de automóvel do mesmo tamanho. Inventado pelos chineses no século XIII, mantém nestes longos 700 anos seus princípios iniciais, ou seja, expele um vento quente em alta velocidade, causado pela queima de algum combustível. Mas ao contrário dos motores a hélice ou a jato, que empurram o avião para a frente e estes sustentam-se pela resistência do ar nas asas, o foguete não precisa de ar para planar. Ao contrário, no vácuo ele apresenta melhor rendimento, pois não há a resistência do ar. O grande desafio sempre foi como fazer um foguete que vá mais alto, mais depressa e com mais carga útil. Embora um foguete possa produzir grande potência, queima combustível muito rapidamente. O foguete Saturno V (110 metros de altura), por exemplo, queima mais de 1.210.000 litros de combustível durante os primeiros 2 min. 45 s de vôo. A solução para este impasse já estava elaborada há 300 anos, nos manuscritos de um fabricante de fogos de artifício chamado Johann Schmidlap. Sua idéia era que fossem montados foguetes um no topo de outro. Era a idéia do foguete de fases ou de vários estágios. Nesse arranjo, cada foguete contribui com o seu impulso para ajudar o de cima. Quando acaba o combustível do primeiro, este solta-se e o segundo começa a funcionar já a partir de uma velocidade considerável e assim por diante, fazendo com que velocidades finais muito elevadas possam ser atingidas pelo último foguete da série. Os estágios se resumem a, basicamente, dois ou mais foguetes, colocados um em cima do outro. Quando o foguete do estágio inferior queima todo o seu combustível, ele se desacopla do conjunto e aciona o segundo estágio e depois o terceiro, permitindo que o corpo restante do foguete aproveite o impulso obtido e alivie o peso agora desnecessário, a fim de obter uma velocidade bem maior no ultimo estágio. O primeiro estágio é o que carrega, geralmente, a maior parte do combustível, pois os instantes iniciais da subida são os que exigem maior uso de energia. A atmosfera é mais densa perto do solo (há mais atrito do foguete com o ar), a gravidade é maior na região próxima à superfície terrestre, e o peso do foguete é ainda grande (pois nenhum estágio se desacoplou e ele ainda carrega todo o combustível que vai ser queimado). O foguete Saturno V era um lançador de três estágios, sendo o primeiro impulsionado por querosene e os demais por hidrogênio líquido. Como mostrado na imagem abaixo: 4 5 O principal problema é obter o equilíbrio entre massa e potencia do foguete, sujeitos a uma restrição dada por uma equação que define a velocidade mínima para que o foguete consiga concluir seu trajeto, o que deve ser feito é a otimização dessas dimensões e os multiplicadores de Lagrange se adéquam a essas condições. Giuseppe Luigi Lagrangia (seu nome de batismo) ou Joseph Louis Lagrange como ficou conhecido, teve importância decisiva para o desenvolvimento da ciência, com suas contribuições para a teoria dos números e a mecânica celeste. Ele nasceu em Turim, Itália em 1736, filho do tesoureiro real de Sardenha, de origem francesa e que perdeu toda a fortuna da família. Um dos fundadores, em 1758, da academia de ciências de Turim, na década de 1760 já era conhecido como um dos grandes matemáticos europeus e sua fama aumentou ainda mais após as pesquisas sobre a orbita da lua e os satélites de Júpiter. Chegou a ser nomeado senador e conde do império por Napoleão Bonaparte, e logo após faleceu em Paris, em 10 de abril de 1813. Uma de suas contribuições foi o desenvolvimento de um método que mostra valores extremos de uma função sujeita a alguma restrição, é simples explicar graficamente esse método. No caso de funções de duas variáveis, os valores extremos de f(x,y), sujeita a restrição g(x,y) = k, queremos achar os valores extremos de f(x,y) quando o ponto (x,y) pertencer à curva de nível g(x,y)= k. A figura abaixo mostra essa curva juntamente com varias outras curvas de nível da função f, essas curvas de nível tem equação f(x,y) = c. Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y) = k é achar qual o maior valor de c tal que a curva de nível f(x,y) = c intercepte g(x,y) = k. Isso acontece quando essas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas têm uma reta tangente em comum. Isso significa que as retas normais ao ponto (xo, yo) onde as duas curvas se tocam devem Ser as mesmas. Logo os vetores gradientes são paralelos: ou seja, ∇f(x,y) = λ∙∇g(x,y), para algum escalar λ. Para um foguete com um único estagio consumindo combustível a uma taxa constante, a variação de velocidade resultante da aceleração do foguete foi modelada por: Onde: Mr = Massa do propulsor + combustível inicial P = Massa da carga S = Fator estrutural determinado pelo projeto do foguete. É a razão entre a massa do foguete sem combustível e sem carga com a massa do foguete com carga e combustível. 6 3 – Resolução das questões 3.1 Questão 1 – Mostre que a velocidade atingida depois que os três estágios são ejetados é dada por Considerando um foguete de três estágios de massa A, com c e S constantes em cada estágio. Mi é a massa do i-ésimo estágio, pode-se considerar que o propulsor tem massa M1 e sua carga tem massa M2 + M3 + A. Sabe-se que a variação de velocidade para um foguete de um único estágio consumindo combustível a uma taxa constante é modelada por: Então para o primeiro estágio: Mr = M1 P = M2 + M3 + A E a variação da velocidade pode ser obtida usando a equação que nos foi dada V1 Quando o segundo estagio é ejetado Mr agora é igual a M2 e P = M3 + A, já que o primeiro estágio já não faz mais parte do foguete. E a variação de velocidade dois será dada por: V2 Do mesmo modo para o terceiro estágio, quando o primeiro e o segundo estágio já foram ejetados teremos: 7 Mr = M3 P=A Assim: V3 = Estas variações de velocidade são para um cada estagio separadamente, agora temos que juntar as variações de velocidade, e teremos a velocidade final do foguete. vf = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 Substituindo os valores já encontrados teremos: vf = Colocando a constante ‘c’ em evidência vf = vf = vf = – – – – – – ] ] vf = A partir da propriedade logarítmica ln(x) + ln(y) = ln (x ∙ y) , fez-se: vf = A partir da propriedade logarítmica – ln(x/y) = ln(x-1/y-1) = ln(y/x). vf = E fazendo o caminho inverso: Vf = 8 3.2 Questão 2 – Desejamos minimizar a massa total M = M1+M2+M3 do propulsor sujeito à restrição que a velocidade desejada v f do problema 1 seja atingida. O método dos multiplicadores de Lagrange é apropriado, mas é difícil implementá-lo usando as expressões de que dispomos até aqui. Para simplificar, definimos variáveis N1 de modo que a restrição possa ser expressa como vf=c(ln N1 + ln N2 + ln N3). Como é difícil exprimir M em termos de Ni, desejamos usar uma função mais simples que ao ser minimizada leve também a minimização de M. Mostre que: = = Da questão 1 temos: ; N2 = N1= ; N3 = = = => = = = = = = = = = = ∙ ∙ = 9 3.3 Questão 3 – Verifique que ln((M+A)/A) tem os mesmos pontos de mínimo que M; utilize os multiplicadores de Lagrange e o resultado do problema 2 para determinar as expressões para os valores de Ni onde o mínimo ocorre sujeito a restrição vf=c(ln N1 + ln N2 + ln n3). Restrição: vf = c (ln( N1) + ln( N2) + ln( N3) = Usando os Multiplicadores de Lagrange para determinar as expressões para os valores de Ni onde o mínimo ocorre sujeito a restrição. Derivando em relação a N1: Derivando em relação a N2: Derivando em relação a N3: 10 Resolvendo: :. = => E conclui-se que N1 = N2 = N3 Então vf = c (ln( N1) + ln( N2) + ln( N3) pode ser expressa como: vf = 3c ln N1 .: então a massa mínima M do Propulsor do foguete pode ser dada por: N1 = N2 = N3 = evf/(3c). 3.4 Questão 4 – Determine uma expressão para valor mínimo de M como função de vf Para determinar uma expressão para o valor mínimo de M como função de v f, usamos resultados já obtidos. Em função de vf: :. 11 3.5 Questão 5 – Se desejarmos colocar um foguete de três estágios em uma órbita 100 milhas acima da superfície terrestre, a velocidade final necessária é de aproximadamente 17500 mi/h. Suponha que cada estágio seja construído com um fator estrutural S = 0.2 e que a rapidez de exaustão seja c = 6000 mi/h. (a) Determine a massa total mínima M do propulsor do foguete como função de A. (b) Estabeleça a massa de cada estágio como função de A.(não precisam ter tamanhos iguais). (a) A partir da expressão do problema 4, podemos determinar a massa total mínima M do propulsor do foguete como função de A. (b) 12 3.6 Questão 6 – O mesmo foguete requeria uma velocidade final de 24700 mi/h aproximadamente para escapar da gravidade terrestre. Determine a massa de cada estágio que minimizaria a massa total do propulsor do foguete e lhe permitiria carregar uma sonda de 500 lb. para o espaço. No problema 5 , Neste caso A=500, então a massa de cada estagio do propulsor do foguete é aproximadamente: 13 4 - Conclusão Através do Método de Lagrange é possível dimensionar da melhor forma possível áreas ou objetos por exemplo, obtendo os pontos de máximo e/ou mínimo. Tornando viável projetos dos mais simples que vemos no dia a dia ou mais complexos como os foguetes. Com os Multiplicadores de Lagrange foi obtida a equação da massa mínima. Em uma situação concreta supõe-se que foguete partindo do repouso deve atingir a velocidade final vf = 7.8 km/s = 28080 km/h. Esta é a velocidade orbital de um satélite a 100 km acima do solo. Tomando S = 0.2 e c = 10000 Km/h . Através da equação: Podemos representá-la na forma: Onde n é o número de estágios do foguete. Obtemos os seguintes valores: 1- n=1, M - 6.57A (este valor negativo mostra a impossibilidade de se atingir a velocidade desejada com o foguete de um estágio); 2- n=2, M A 3- n=3, M A 4,M A 5- n=5, M A De acordo com os resultados observa-se que a massa de um foguete de dois estágios é cerca de 306 vezes a massa da carga útil, enquanto que um foguete de três estágios deve ter massa de 71A isto representa um decréscimo substancial da massa de um foguete, já a passagem de 3 para 4 estágios implica em um decréscimo de 71A para 53A , que não é compensador financeiramente, pois o acréscimo de um único estágio acarreta grandes custos e complicações. Devido a isto os foguetes de três estágios são os mais aconselháveis. 14 5 – Referências .Espaço, o último desafio, de Luis Fábio S. Pucci, Editora Devon. .Barsa, Enciclopedia, volume 8, Editora Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações LTDA, 2000. .Stewart, James. Cálculo, volume 2 / tradução Antonio Carlos Moreti, Antonio Carlos Gilli Martins. – São Paulo : Pioneira Thomson Learning, 2006. .http://br.groups.yahoo.com/group/ad_astra/message/1243<Acessado às 9:00, 14/06/2010> .http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/dinamica/cohete1/dos_etapas/cohete2.ht m <Acessado às 10:00, 14/06/2010> 15
