Enviado por Do utilizador2083

serie de fourier de tempo discreto

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SINAIS PERIÓDICOS DE TEMPO
DISCRETO: A SÉRIE DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
Considere representar um sinal periódico, com período N, aproximado, como um
superposição ponderada de senóides complexas:
Para escolher os coeficientes A[k] da DTFS, minimizaremos o MSE:
Multiplicando cada termo:
Defina:
Aplicando a propriedade de ortogonalidade de senóides complexas de tempo discreto ao
último termo:
Adicionando e subtraindo
no lado direito do MSE:
Reescrevendo a soma do meio como um quadrado:
A dependência que o MSE tem dos coeficientes desconhecidos A[k] é apenas no termo do
meio. O MSE é minimizado forçando o termo do meio a tender a zero com a opção:
X[k] tem período N em k, uma vez que:
MSE mínimo, quando
, é:
Permutando a ordem do somatório:
Para m=n:
Substituindo
Resulta MSE=0. Dessa forma
em
REPRESENTAÇÃO POR DTFS
x[n] têm período fundamental
Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como:
A representação pelos coeficientes da DTFS também é conhecida como representação de
domínio de frequencia, porque cada coeficiente da DTFS é associado com uma senóide
complexa de frequencia diferente.
Examinaremos agora a representação, considerando a contribuição de cada termo para a
onda quadrada do exemplo 3.2. Neste exemplo, os coeficientes da DTFS tem simetria par,
X[k]=X[-k]. As condições gerais sob as quais os coeficientes da DTFS tem simetria par ou
impar, serão discutidos na seção 3.6.
Suponha por conveniência, que N seja par a fim de que N/2 seja inteiro.
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