SINAIS PERIÓDICOS DE TEMPO DISCRETO: A SÉRIE DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO Considere representar um sinal periódico, com período N, aproximado, como um superposição ponderada de senóides complexas: Para escolher os coeficientes A[k] da DTFS, minimizaremos o MSE: Multiplicando cada termo: Defina: Aplicando a propriedade de ortogonalidade de senóides complexas de tempo discreto ao último termo: Adicionando e subtraindo no lado direito do MSE: Reescrevendo a soma do meio como um quadrado: A dependência que o MSE tem dos coeficientes desconhecidos A[k] é apenas no termo do meio. O MSE é minimizado forçando o termo do meio a tender a zero com a opção: X[k] tem período N em k, uma vez que: MSE mínimo, quando , é: Permutando a ordem do somatório: Para m=n: Substituindo Resulta MSE=0. Dessa forma em REPRESENTAÇÃO POR DTFS x[n] têm período fundamental Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como: A representação pelos coeficientes da DTFS também é conhecida como representação de domínio de frequencia, porque cada coeficiente da DTFS é associado com uma senóide complexa de frequencia diferente. Examinaremos agora a representação, considerando a contribuição de cada termo para a onda quadrada do exemplo 3.2. Neste exemplo, os coeficientes da DTFS tem simetria par, X[k]=X[-k]. As condições gerais sob as quais os coeficientes da DTFS tem simetria par ou impar, serão discutidos na seção 3.6. Suponha por conveniência, que N seja par a fim de que N/2 seja inteiro.
